МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский государственный университет Физический факультет Кафедра общей физики
Л.Н.Вячеславов
ДИФРАКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Описание лабораторной работы 1.6 по физической оптике
НОВОСИБИРСК 1998
www.phys.nsu.ru Представленное описание лабораторной работы составляет часть практикума по физической оптике для студентов второго курса физического факультета НГУ. В упрощенном варианте лабораторная работа может выполняться студентами других естественнонаучных факультетов. Цель работы - знакомство с простейшими типами оптических элементов, основанными на явлении дифракции.
www.phys.nsu.ru Рецензент
д-р физ.-мат. наук, проф. Б.А.Князев
© Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru
© Новосибирский государственный университет, 1998
www.phys.nsu.ru 2
www.phys.nsu.ru АННОТАЦИЯ
Работа посвящена знакомству с простейшими дифракционными оптическими элементами (ДОЭ), представляющими собой одномерную и двумерные аксиально-симметричные решетки. На основе метода Фурье-оптики дается единое рассмотрение преобразования исходной плоской волны с помощью ДОЭ. Кроме стандартных заданий по измерению характеристик ДОЭ приводятся описание и примеры выполнения более сложных экспериментов с использованием ДОЭ: изучение интерференции в Фурье-плоскости от кольцевой решетки, получение и исследование бездифракционных бесселевых пучков и наблюдение скачка фазы при прохождении волны через фокус. Характерным для этих экспериментов является использование цифровой техники при измерениях и сравнение полученных там результатов с компьютерными расчетами.
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 3
www.phys.nsu.ru ДИФРАКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ТЕОРИЯ(1) Современная элементная база оптики включает в себя рефракционные, дифракционные и волоконные компоненты. Классическая геометрическая оптика применяется для расчета и анализа рефракционых оптических компонентов (линз, зеркал, призм) из однородного и изотропного вещества. Эти расчеты полностью основаны на законе преломления Снеллиуса и Декарта. Оптические приборы рассматриваются на основе построения систем лучей в различных оптических элементах. По техническим причинам применяются главным образом оптические компоненты с плоскими или сферическими поверхностями. Если используется протяженный источник, создающий в плоскости изображения оптического устройства определенное поле, то в изображении возникает ряд дополнительных ошибок (аберраций), для определения которых нужно строить систему наклонных лучей. Анализ аберраций, способы определения их величины по различным лучевым формулам и разработка дополнительных компонентов со сферическими поверхностями для коррекции аберраций до последнего времени составляют большую часть оптического проектирования. Начиная с 30-х годов, оптики применяют рефракционные элементы с асферическими поверхностями для коррекции аберраций. Форма поверхности безаберрационной линзы или последовательность и количество сферических линз в объективе рассчитываются таким образом, чтобы разность хода между любыми двумя лучами, приходящими в фокальную точку, равнялась нулю (принцип таутохронизма). В этом случае фронт падающей световой волны преобразуется в сферический, сходящийся в точку. Принципиальной особенностью, выделяющей рефракционные линзы и сферические зеркала в отдельный класс оптических элементов является то, что они имеют единственный фокус и в образовании каждой точки фокальной области участвует вся поверхность элемента. Параллельно развитию рефракционных оптических элементов на протяжении всего времени существования физики шло развитие дифракционной оптики. Развитие дифракционной оптики существенно сдерживалось отсутствием подходящих материалов и технологий их
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 4
www.phys.nsu.ru обработки, которые позволяли бы производить дифракционные решетки с произвольной формой и профилем штриха. С появлением лазеров и ЭВМ начался процесс взаимопроникновения оптики и электроники. Одним из следствий этого процесса стало возникновение в конце 60-х годов новых оптических элементов, рассчитанных с помощью ЭВМ и выполненных на устройствах, управляемых ЭВМ. Первоначально эти элементы назывались синтезированными голограммами. Заданный геометрический микрорельеф (дифракционная структура) создавался в пленке на поверхности подложки и его оптическая толщина кратна длине волны. Прошедшие с этого времени годы характеризуются взрывообразным развитием технологий опто - и микроэлектроники. Элементная база оптики расширяется вследствие совершенствования технологий изготовления микрорельефов с одной стороны и постоянно повышающегося уровня понимания физических основ функционирования дифракционных оптических элементов (ДОЭ) и развития методов их расчета - с другой стороны.
www.phys.nsu.ru Для ДОЭ разность оптических путей от предмета до изображения не является непрерывной функцией координат на экране. В согласии с обобщенным принципом таутохронизма ее можно представить в виде
ε + mλ , где ε - небольшая часть длины волны λ, а m - любое целое
число. С этой точки зрения обычные оптические системы (m = 0) частный случай дифракционных. В этом смысле ДОЭ часто называют обобщенными оптическими компонентами. Они могут осуществлять различные преобразования волновых фронтов и это открывает широкие перспективы их применения для фокусировки оптического излучения в заданную область пространства с заданным распределением энергии в ней (например, в кольцо); для коррекции волновых аберраций оптических элементов и систем; для геометрических преобразований изображений; для деления пучков и осуществления перекрестных оптических связей; для создания эталонных асферических волновых фронтов. Простейшими примерами ДОЭ являются линейная дифракционная решетка и зонная пластинка (ЗП) Френеля. Дифракционная решетка состоит из штрихов в виде прямых линий. Расстояние между штрихами постоянно и равно периоду решетки d. Если на решетку падает узкий монохроматический пучок света (например, лазерный луч с длиной волны λ), то после решетки обнаруживается целый веер пучков, исходящих из точки падения,
www.phys.nsu.ru 5
www.phys.nsu.ru λ
причем угловое расстояние между осями пучков равно d . То есть дифракционная решетка выполняет роль делителя пучка. ЗП Френеля представляет из себя экран, состоящий из чередующихся прозрачных и непрозрачных колец. Способ расчета радиусов колец ЗП следует из принципа Гюйгенса-Френеля и подробно описан, например, в монографии Г.С.Ландсберга "Оптика" 1976 года издания. Радиусы ~ колец пропорциональны корням квадратным из целых чисел и в случае плоской монохроматической падающей волны
rm = mλ F
, m - целое, (1) где F - расстояние от ЗП до плоскости, где наблюдается пик интенсивности, наиболее удаленный от ЗП. Локально, то есть в небольших участках экрана, там где отрезки круговых зон можно заменить отрезками прямых, ЗП можно рассматривать как линейную дифракционную решетку. Откуда немедленно следует наличие многих дифрагированных пучков. Выбор радиусов колец согласно (1) приводит к тому, что период дифракционной структуры ЗП является переменным и пучки, дифрагированные различными участками, образуют в совокупности сферические волны. Пучки +1 порядка дифракции сходятся в расчетной плоскости на расстоянии F пучки
www.phys.nsu.ru +2m + 1 -ого порядка дифракции сходятся в расчетной плоскости на F / ( 2m + 1)
, четные порядки дифракции отсутствуют. расстоянии Таким образом, ЗП Френеля не только разделяет падающий пучок, но и фокусирует порядки дифракции, преобразуя падающую плоскую волну в набор сферических волн. Основная особенность любых ДОЭ, отличающая их от рефракционных элементов, - это разделение падающей волны на множество дифрагированных волн (порядков дифракции). Обычно полезным (или рабочим) является лишь один из порядков дифракции. Поэтому вводится такая характеристика ДОЭ как дифракционная эффективность. Это есть отношение количества энергии в рабочем порядке к энергии света, содержащейся в падающем пучке. Другая яркая отличительная черта ДОЭ - сильная зависимость их оптических свойств от длины волны света. В данной работе это свойство не изучается, хотя оно широко применяется в спектральных
www.phys.nsu.ru 6
www.phys.nsu.ru приборах (см., например, работу 5.2 - "Изучение дифракционной решетки").
1.1. ЛИНЕЙНАЯ РЕШЕТКА Линейная (одномерная) решетка представляет собой пластину с рисунком в виде параллельных полос (штрихов) пересекающих пластину в одном направлении так, что функция пропускания (Функцией пропускания решетки называется отношение амплитуды световой волны, прошедшей сквозь решетку. К амплитуде падающей плоской световой волны. Решетка предполагается тонкой и амплитуды берутся непосредственно в плоскости решетки.) зависит лишь от одной координаты t ( x) = t ( x + dm)
(1)
где d - период решетки, m=0, 1, 2... Периодическую функцию t(õ) можно разложить в комплексный ряд Фурье
www.phys.nsu.ru t ( x) =
m=∞
∑ Ameik xm
(2)
x
m=−∞
где d/ 2
−i
1 t(x)e Am = d −d∫/ 2
2π , kx = d
kx xm dx .
При падении на решетку плоской волны распределение поля сразу за решеткой будет иметь вид: E ′( z, x) = t ( x)E( z) =
m= ∞
∑
m= −∞
Amei ( kz + kx xm) =
m=∞
∑
m= −∞
i
Ame
E( z) = E0l ikz
2π ⎛ λ ⎞ ⎜ z + xm⎟ ⎠ λ ⎝ d
(3)
Можно заметить что каждое слагаемое в ряде (3) соответствует плоской волне, распространяющейся под углом θm = m λ к оси z. d
www.phys.nsu.ru 7
www.phys.nsu.ru Амплитуды Àm этих волн соответствуют амплитудам гармоник разложения Фурье функции пропускания решетки. Интенсивность света в каждой волне пропорциональна квадрату модуля амплитуды. Если сразу за решеткой поместить тонкую линзу с фокусным расстоянием F, то каждая плоская волна, соответствующая порядку дифракции m, сфокусируется в пятно малого размера радиусом λ a = F (D>>d, где D – диаметр пучка в выходном зрачке линзы) на D λ расстоянии lm = mF от оси системы. Непосредственно на оси будет d сфокусирован нулевой порядок - часть света, прошедшая решетку и не испытавшая дифракции. На рисунке 1 приведены функции пропускания и распределения интенсивностей для некоторых амплитудных (а, в) и фазовых решеток (б, г). Интересен вопрос о симметрии в распределении интенсивностей по порядкам дифракции с одинаковым номером m, но разными знаками. В пособии к разделу “Дифракция света” [1] показано, что исходя из свойств преобразования Фурье спектр амплитудных решеток всегда симметричен. Что касается фазовых решеток, то распределение интенсивностей может быть несимметричным и, как можно показать, для этого необходима асимметрия профиля отдельного штриха. Обратимся теперь к фазовой решетке с треугольным профилем штриха. Этот тип ДОЭ наиболее распространен и широко используется в спектральных приборах благодаря его почти 100% дифракционной эффективности. Идеальная решетка с пилообразным профилем штриха придает первоначальной плоской волне E0eikz дополнительный фазовый сдвиг, линейно зависящий от координаты õ, нормальной к штрихам решетки
www.phys.nsu.ru
E ′( x, z) = E0eiê[ z + x( n −1)α]
(4)
т. е. отклоняет плоскую волну на угол θï ð. ≈ (n − 1)α (здесь nпоказатель преломления материала решетки и предполагается, что углы θï ð., α << 1 ) Для того, чтобы этот угол θпр, являющийся также и углом преломления света в стеклянной призме с углом α, совпал с m-
www.phys.nsu.ru 8
www.phys.nsu.ru ым порядком дифракции света на решетке необходимо выполнение условия [2, стр. 313]:
θ ЉЏ™ р . =
mλ = θ• р . = (n − 1)α . d
(5)
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 9
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 10
www.phys.nsu.ru а
Амплитудная гармоническая решетка t(x)=1+cos(2pt/d)
0.3
0.2
1
АМПЛИТУДА
0.1
0.5
2
1
0
1
2
8
Фазовая гармоническая решетка t(x)=exp(2pif0cos(2pt/d)), f0=0.4
6
4
2
б
0.5 f0 0.5
2 2
1 1
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0.2
f01
ФАЗА
0
0.3
0.1
0 0
1 1
2 2
8
6
4
Амплитудная ступенчатая (бинарная) решетка t(x)=1, dn<x
2
www.phys.nsu.ru 0.15
в
1
0.1
d
АМПЛИТУДА
a
0.5
2
1
0
1
2
Фазовая ступенчатая (бинарная) решетка t(x)=exp(2pif0u(x)), u(x)=1, dn<x
1
6
4
2
0
1 1
4
6
8
0.3
г 0.2
a
0.1
0.5
2 2
2
d 0.5fo
0
8
f0
ФАЗА f'3( tt )
0.05
0 0
1 1
2 2
8
6
4
2
0
2
4
6
8
Рис. 1. Схемы дифракционных решеток и соответствующие им распределения интенсивностей порядков дифракции в Фурье-плоскости.
www.phys.nsu.ru 11
www.phys.nsu.ru Тогда порядок m оказывается единственным порядком, в котором для идеальной решетки содержится 100% первоначальной энергии света. Это, в частности, следует из выражения распределения интенсивностей в фокальной плоскости линзы, расположенной сразу за решеткой, имеющего вид [2] ∗) 2
2
⎛ Sinu ⎞ ⎛ SinN δ ⎞ I ( θ) = I 0 ⎜ ⎟ •⎜ ⎟ , ⎝ u ⎠ ⎝ Sinδ ⎠
где u=π
d ( θ + (n − 1)α) , λ
δ=π
d θ λ
(6)
для любого другого порядка m ± l, где l целое число, um+ l = ±πl и I ( θ) = 0 при l ≠ 0 . Т. е. интенсивность света в порядках m ± l при l ≠ 0 равна нулю. Как показано на рис 2. Решетку с пилообразным профилем, можно представить как изготовленную из деталей, вырезанных из обычной призмы с тем же углом α при вершине, (см. рис. 2). Интересно что после вырезания N маленьких призм высотой h = d α и длиной d остается ступенчатая фигура, показанная на рис. 2в, которая тоже является ДОЭ, известным как Эшелон Майкельсона. Если при его образовании было выполнено условие (5) получения 100% дифракционной эффективности для дифракционной решетки, то решетке передаются все “отклоняющие” свет свойства первоначальной призмы. При этом Эшелон Майкельсона с высотой mλ имеет всего один порядок дифракции с ступеньки h = d α = n −1 нулевым углом отклонения для нормально падающей волны ( θ = 0 ) [3].
www.phys.nsu.ru
∗
Следует отметить, что в книге [2] (рис. 6.28. а) содержится ошибка в ходе лучей для такой решетки, приводящая там к неправильному знаку в формуле для u.
www.phys.nsu.ru 12
www.phys.nsu.ru а)
d
α
б)
d
α
в)
www.phys.nsu.ru Рис. 2. Пропускающая решетка со штрихом треугольной формы (а) и соответствующей ей призма, имеющая тот же угол наклона α (б). Штриховой линией выделен остаток от призмы после “вырезания” из нее элементов дифракционной решетки. Остаток представляет собой также ДОЭ - Эшелон Майкельсона.
www.phys.nsu.ru 13
www.phys.nsu.ru 1.2. КРУГОВАЯ РЕШЕТКА - АКСИКОН
Рассмотренная выше линейная решетка и ее спектр были одномерными. Простейшим примером двумерного ДОЭ является круговая (или кольцевая) решетка с постоянным шагом. Штрихи такой решетки представляют собой концентрические окружности, разделенные одинаковым расстоянием Dr = d . Распределение освещенности в зоне дифракции Фраунгофера представляет собой тоже эквидистантные концентрические окружности. Действительно, функция пропускания кольцевой решетки в полярных координатах является фактически одномерной: t ( r ) = t ( r + dm)
(7)
Разлагая поле падающей плоской волны, промодулированное функцией пропускания (7) в ряд Фурье, аналогично случаю с линейной решеткой, получим
www.phys.nsu.ru ( ) E r , z = Å0
m =∞
∑ Am eikz + k mr r
(8)
m= 0
где
2π 1 . , Am = kr = d d
r 0+d
∫
t(r ) e
i kr m r
d z,
r0
Легко видеть сходство этих выражений с выражениями, полученными в предыдущем пункте. Теперь, однако, гармоники имеют осевую симметрию и представляют собой конические сходящиеся и расходящиеся волны: ⎛ 2πi E( z, r ) = Amåõð⎜ ⎝ λ
r ⎛ ⎞⎞ ⎜ z + λm⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎠ d
(9)
λ m к оси. Эти волны d фокусируются в фокальной плоскости стоящей сразу за решеткой
распространяющаяся под углами
θm =
www.phys.nsu.ru 14
www.phys.nsu.ru линзы и образуют серию равноотстоящих концентрических колец. λ Расстояние между кольцами равно Δr = F , где F - фокусное d расстояние линзы. Интересной особенностью кольцевой решетки является то, что в силу аксиальной симметрии порядки дифракции, отличающиеся только знаком, попадают в одно место и образуют одно кольцо в зоне Фраунгофера (Фурье- плоскости, совпадающей в нашем случае с фокальной плоскостью линзы). Уместно отметить также, что гармоники Фурье разложения могут иметь сильно различающиеся амплитуды в зависимости от вида функции пропускания. В частности, для решетки со ступенчатым d профилем при ширине штриха, равным половине периода (a = ) 2 отсутствует все четные порядки дифракции. Аналогом круговой решетки в традиционных оптических элементах служит коническая линза, представляющая собой тело, образуемое при вращении треугольника или призмы вокруг оси, лежащей либо в плоскости основания (собирающая линза), либо при вершине призмы (рассеивающая линза). Отражательным аналогом круговой решетки является коническое зеркало.
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 15
www.phys.nsu.ru 1.3. ЗОННАЯ ПЛАСТИНКА И
КИНОФОРМНАЯ ЛИНЗА В описанной в предыдущем разделе круговой решетке, в отличие от линейной, штрихи (кольца радиуса R) имеют неодинаковые площади, зависящие от R при постоянном шаге d. Если теперь потребовать постоянство площади штрихов для круговой решетки, то придется отказаться от постоянства d, который нужно будет уменьшать: d ∝ R−1 . Классическим примером ДОЭ такого типа является, зонная пластинка Френеля. Как и для всякой решетки для зонной пластинки характерно наличие множества порядков дифракции таким образом. Зонная пластинка разлагает падающую плоскую волну на сферические волны. Чтобы показать это запишем функцию пропускания зонной пластинки в виде:
( ) (
) (
)
www.phys.nsu.ru t r 2 = t r 2 + d 2m = t v + d 2 m
(9)
где v=r2, m = 0, 1, 2,K , а d представляет собой начальный шаг решетки, равный радиусу первых двух центральных зон. Периодическую функцию пропускания t(v) также можно разложить в ряд Фурье t (v) =
m =∞
∑ Am e
m = −∞
imbv
, b=
2π d2
,
1
d2
− imbv
Am = d 2 ∫ t (v)e
dv.
(10)
0
Функция пропускания зонной пластинки принимает вид: m=∞
( ) ∑ Am e m=−∞
t r2 =
2πimr 2 d2
(11)
Каждый член ряда (11) имеет вид функции пропускания тонкой d2 r d = 1 , где r1 = линзы [4, 5] с фокусным расстоянием Fm = 2lm lm 2 радиус первой зоны Френеля.
www.phys.nsu.ru 16
www.phys.nsu.ru m=3 m=2
m=1
m=-2 m=-1
m=-3
m=-4
m=4
m=0
www.phys.nsu.ru Рис.3. ход лучей при дифракции плоской волны на зонной пластинке Френеля
Таким образом, функция пропускания зонной пластины представляет собой сумму функций пропускания тонких линз, либо F справа от решетки, либо собирающих свет в точки с координатами m рассеивающих его из симметрично расположенных слева от ДОЭ точек. Следовательно, зонная пластинка разлагает исходную плоскую волну на сферические волны сходящиеся в точки на оси z или расходящиеся из точек на оси с координатами (фокусными r 2 расстояниями z = f ≅ 1 , где r1 - радиус первой зоны Френеля. λm Амплитуда каждой из создаваемых таким образом сферических волн определяется соответствующим коэффициентом Àm ряда (10). Зонные пластинки, как и другие ДОЭ бывают амплитудные и фазовые. Если с зонной пластинкой Вуда можно сопоставить фазовую периодическую решетку с прямоугольным профилем штриха, то аналогом решетки с пилообразным профилем здесь будет так
www.phys.nsu.ru 17
www.phys.nsu.ru называемая киноформная линза - ДОЭ с профилем штриха, близким к параболическому (рис.4).
r rm Rm r m-1 f h
h
www.phys.nsu.ru h max
Рис.4. Построение фазового профиля киноформной линзы
Рассмотрим построение зон такой киноформной линзы, Если Fглавное фокусное расстояние, то расстояние Rm от фокуса до внешней границы каждой зоны, при условии равенства путей всех лучей в пределах зоны и изменения скачком на длину волны λ на границе зон, равно Rm = rm2 + F 2 = F + λm.
Отсюда точное выражение для радиуса зон имеет вид rm =
2F λm + m2 λ2 .
www.phys.nsu.ru 18
www.phys.nsu.ru Рассмотрим построение фазового профиля киноформной линзы в предположении, что на линзу падает плоская световая волна. Для этого, приравнивая оптические пути лучей (см. рис. 4), проходящих через зону и по ее внутреннему краю, составим тождество для лучей, фокусирующихся m-й зоной:
[
r 2 = F + ( hmax − h)n + (m − 1)λ
] − [F + (hmax − h)] , 2
2
где zm−1 ≤ r ≤ rm h и n - толщина и показатель преломления материала. Получим уравнение фазового профиля, полагая hmax = λ / (n − 1) и пренебрегая членами высшего порядка, малыми
по сравнению с m2λ2: h(r ) =
2mlF + m2l 2 − r 2 r2 − r2 = m . 2F( n − 1) 2F( n − 1)
Согласно критерию Рэлея искажение формы волнового фронта,
www.phys.nsu.ru меньшие чем λ
4
, не приводят к ухудшению качества изображения
откуда легко показать, что фазовый профиль периода киноформной линзы может быть линейным началом со второй зоны. При этом обеспечивается пространственное разрешение киноформных линз, близкое к дифракционному пределу, определяемому их апертурой. Для линейного пилообразного профиля фазовую задержку можно (rm − r )l . представить как hlin( n − 1) = rm − rm−1 Следует отметить, что для киноформной линзы радиус первой зоны в
2 раз больше, чем для зонной пластинки, поскольку разность путей от краев двух соседних зон здесь λ, а не λ как для зонной 2 пластинки. Точно также для линейной решетки с прямоугольным профилем, показанной на рис. 1 г, ширина штриха вдвое меньше периода решетки. Необходимо указать также, что линейный и тем более параболический фазовый профиль решетки технически трудно изготовить. По этой причине такие профили часто приближенно воспроизводят с помощью ступенчатых функций [6], как это и сделано в случае имеющейся в работе киноформной линзы. Наличие в дифракционной картине, создаваемой киноформной линзой, кроме
www.phys.nsu.ru 19
www.phys.nsu.ru основного максимума еще достаточно заметных "паразитных" порядков связано как раз с таким приближенным соответствием профиля реальной киноформной линзы параболическому. В таблице 1 приведены характеристики основных классических дифракционных линз.
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 20
www.phys.nsu.ru Круговые зонные пластинки Названи е ЗП
Автор год
Радиусы границ зон ρ m , ρ 0 -
Функция пропускания
Фокусное расcтояни е для ρого порядка дифракци и f0
радиус первой зоны Френеля
ρ 0 = λ0 f1 1. Амплит удная (центр прозрач ный) 2Ампли тудная (центр непрозр ачный)
О.Френель, 1819
3 Фазовая
Ст.Рэлей . 1888,
Дж. Сорэ, 1875
⎡ iπρ ⎤ 1 1 1 www.phys.nsu.ru exp ⎢ − ∑ 2 πi ρ ρ ⎥
mρ 0 , m = 1, 2,3...
mρ 0 , m = 1, 2,3...
∞
2
ρ =−∞
⎣
2 0
⎦
ρ-нечетное
ρнечетное
⎡ iπρρ 2 1 1 ∞ 1 2 ⎤ exp − ∑ ⎢ 2 + i 2π ρ ⎥ ρ 2 π i ρ =−∞ ρ ⎣ ρ0 ⎦
ρ 02 λ0 ρ
-нечетное
mρ 0 , m = 1, 2,3...
ρ 02 λ0 ρ
∞
∑ ( −1)
ρ =−∞
m
sin (πρ 2 ) ⎡ iπρ 2 ⎤ exp ⎢ 2 ⎥ πρ 2 ⎣ ρ0 ⎦
www.phys.nsu.ru
Таблица 1 Дфр.эффект ивность 1го порядка,%
10,1
10,1
ρнечетное
ρ 02 λ0 ρ
40,5
21
www.phys.nsu.ru ρнечетное
Р.Вуд,18 98 Д. Габор, 1948
2mρ02 + ( mλ0 ) m = 1, 2,3...
5.Интер ференци онная
Д. Габор,19 48
2mρ + ( mλ0 ) 1 − 1 exp ⎡ iπρ ⎤ − 1 exp ⎡ − iπρ ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ 2 4 m = 1, 2,3... ⎣ ρ0 ⎦ 4 ⎣ ρ0 ⎦
6.Киноф ормная линза
А.Волш 1952, Г.Г. Слюсаре в,1957, Л. Лезем,19 69 Дж.Гудм ен,А.Си лвестри, 1970
2mρ +( mλ0 ) m = 1, 2,3...
2
% ρ02 +( m %λ0 ) 2m
2
4.Интер ференци онная ампл.
7Фазова я ступенч атым профиле м
2
2
2
2 0
ρ 02 λ0 ρ
⎡ iπρρ 2 ⎤ ∑ i jρ (ϕ1 ) exp ⎢ − ρ 2 ⎥ 0 ⎣ ⎦ ρ
ρ=±1 2
⎡ iπρ ⎤ exp ⎢ − 2 ⎥ ⎣ ρ0 ⎦
www.phys.nsu.ru 2 0
m +l N m = 0,...N − 1 m% =
6,3
2
⎡ iπρρ 2 ⎤ ∑ Cρ exp ⎢ ρ 2 ⎥ ρ =−∞ ⎣ 0 ⎦ ∞
www.phys.nsu.ru
ρ 02 λ0 ρ
34,0
ρ=±1±2…
ρ 02 λ0
100
ρ=1
2 ρ 02 ⎡sin(π N) ⎤ ⎢ ⎥ λ0 ρ ⎣ πN ⎦ ρ = mN + 81,N=4
m = 0, ±1, ±2...
22
www.phys.nsu.ru
8. Эшелет ная
А.И. Тудоров ский 1959
l = 1, 2,3...
o, ρ ≠ mN +1 ⎧ ⎪⎪ m sin(πρ N) ⎡⎣Cρ ⎤⎦ = ⎨( −1) , ρ = mN +1, πρ N ⎪ ⎪⎩ m = 0, ±1, ±2...
2mρ0 m = 1, 2,3...
⎡ iπ ( λ − λ0 ) ρ 2 ⎤ exp ⎢ ⎥ ρ 02λ0 ⎣ ⎦
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru
ρ 02
100
λ0 − λ ρ = 1, λ < ρ = −1, λ >
23
www.phys.nsu.ru ДИФРАКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ (2) 2.1. ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА
www.phys.nsu.ru Излучение гелий-неонового лазера с помощью двух объективов расширяется до получения параллельного пучка света. Поворотом обоймы можно вводить в световой пучок объекты, которые включают кроме простой линзы следующие ДОЭ: линейную решетку, круговую решетку (аксикон), зонную пластинку Френеля и киноформную линзу. Для периодических решеток в фокальной плоскости линзы L1 (Фурьеплоскости) могут быть получены пространственные Фурье - спектры и с помощью фотодиода, перемещающегося в Фурье-плоскости, измерено распределение интенсивности излучения по различным порядкам дифракции. Необходимо линзу L1, F=300 мм размещать возможно ближе к ДОЭ и диафрагмировать объектив 2 с помощью встроенной в него диафрагмы (почему?). Для аксикона достаточно просто измерить интенсивность нулевого порядка (с диафрагмой на фотодиоде) и суммарную интенсивность нулевого и первого порядков (сняв диафрагму диаметром 1,5 мм, которая при всех других измерениях одета на фотодиод с диаметром светочувствительной площадки 1 см). Для зонной пластинки и киноформной линзы распределение интенсивности в положительных порядках и расстояния межу ними определяются без линзы L1, а одна из съемных линз L2, F=90мм используется в этом случае для фокусировки
www.phys.nsu.ru 24
www.phys.nsu.ru нескольких расходящихся волн, соответствующих дифракции с m<0. Схема лабораторной установки приведена на рис .5. 7
1
2
3
4
порядкам
5
6
www.phys.nsu.ru Рис. 5. Схема лабораторной установки: 1,2 - расширитель пучка, 3 - вращающаяся обойма с ДОЭ, 4 - линзы L1 или L2 , 5 - диафрагма, 6 - фотодиод , 7 - Íå-Nå лазер.
2.2. ЗАДАНИЕ 1. Идентифицировать все дифракционные оптические элементы.(Линейная решетка, ансикон, зонные пластинки 2. Измерить расстояние между порядками для всех ДОЭ, определить характерные пространственные размеры ДОЭ (период для периодических решеток или ширину средних зон для непериодических круговых решеток). 3. Определить дифракционную эффективности ДОЭ, симметрию интенсивности света, дифрагированного в отрицательные и
I + m ⎛ Am ⎞ ~⎜ ⎟ = ? . Сделать заключение I −m ⎝ A−m ⎠ 2
положительные порядки
о типе пространственной модуляции волнового произведённой каждым ДОЭ - амплитудная или фазовая.
фронта,
www.phys.nsu.ru 25
www.phys.nsu.ru 2.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Для каких ДОЭ дифракционная эффективность наиболее высока? 2. Как будет выглядеть профиль киноформной отрицательной цилиндрической линзы? 3. Как для аксикона по дифракционной картине можно убедиться в несимметричности формы штриха?
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 26
www.phys.nsu.ru ДИФРАКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, КУРСОВЫЕ ЗАДАНИЯ (3) Курсовые задания выполняются с ДОЭ, входящими в комплект, описанной выше лабораторной работы. Дополнительно применяется другое несложное оптическое оборудование: линзы, диафрагмы, лампа накаливания в качестве источника света и др. Существенным усложнением в некоторых курсовых работах являются количественные измерения распределения интенсивности в дифракционной картине. Для этой цели здесь используется 1024канальный фотоприемник на основе прибора с зарядовой связью (ПЗС). Блоки электроники [7, 8], разработанные в ИЯФ СО РАН, преобразуют электрические сигналы с фотоприемника в цифровой код. Программа созданная в НГУ, позволяет проводить накопление и оперативную обработку данных на персональном компьютере. Качественно новым элементом, характерным для первых двух из описанных ниже курсовых работ, является также численный расчет распределения интенсивности дифрагированного света и сравнение его с измеренным. Применение пакета типа Mathcad, не предполагающего наличие у пользователя специальных знаний по программированию, значительно облегчает эту задачу. В последующих двух курсовых работах количественные измерения интенсивностей в дифракционных картинах не являются обязательными, поэтому в качестве фоторегистратора можно использовать фотопленку. Разумеется, применение цифровой фотокамеры значительно расширит возможности экспериментатора и в этих заданиях.
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 27
www.phys.nsu.ru 3.1. РАДИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ИНТЕНСИВНОСТИ В ДИФРАКЦИОННОМ МАКСИМУМЕ КРУГОВОЙ РЕШЕТКИ В разделе 1.2. отмечалась такая особенность круговой решетки, как пространственное совмещение положительных и отрицательных порядков дифракции с одним и тем же номером. Этот факт является причиной другого специфического явления, характерного для круговой решетки: радиальный профиль интенсивности в дифракционном максимуме n ≠ 0 ее картины Фраунгофера зависит от относительных фаз волновых фронтов. Фазы, в свою очередь, определяются положением решетки по координате r радиусом r0, с которого начинается нарезка решетки, и начальной фазой, с которой периодическая функция пропускания решетки t(r) стартует в точке r = r0 . В этом отношении круговая решетка отличается от линейной, для которой распределение интенсивностей в картине Фраунгофера не зависит от положения решетки на оси x. Различие здесь в том, что круговую решетку невозможно просто передвинуть по оси r - для этого необходимо изготовить новую решетку. Переходя к количественному рассмотрению эффекта запишем выражение пространственной части электрического поля волны в зоне дифракции Фраунгофера E ( r ′ ) через поле волны сразу за решеткой Å(r). При круговой симметрии двумерное преобразование Фурье принимает вид одномерного преобразования Фурье-Бесселя (см., например, книгу [4], стр. 28):
www.phys.nsu.ru ⎡ r ′2 ⎤∞ E(r ′, z) = exp⎢ik ⎥ ∫ E(r )J0 (kr r )rdr , ⎢⎣ 2F ⎥⎦ 0
(14)
kr ′ 2πr ′ = , J0 - функция Бесселя нулевого порядка, F F λF фокусное расстояние линзы, использующейся для выполнения преобразования Фурье [1, 4]. Для упрощения задачи рассмотрим простейший случай гармонической решетки, когда
где kr =
www.phys.nsu.ru 28
www.phys.nsu.ru 2πr ⎡ ⎤ E( r) = E0t( r) = E0 ⋅ 0,5⎢1 + cos( + d) ⎥ d ⎣ ⎦
(15)
Вычисление интеграла (14) упрощается при замене функции Бесселя ее асимптотическим приближением, справедливым для всех не нулевых порядков дифракции и при 2πnr >> 1 [9, стр.185] d J0 (kr r ) ≈
2
π(kr r )
⋅ cos(kr r − π ) . 4
(16)
После подстановки (15) и (16) в (14) и опускания быстро осциллирующих членов получаем
E(r ′) = −0 ,5iE 0
⎡ k r2 ⎤ exp ⎢ik ( z + )⎥ × 2πr ′F 2F ⎦ ⎣
r©d ⎤ ⎡ 2πir × ∫ { exp[i(δ + π/ 4 )]exp ⎢ (1 − ) + lF ⎥⎦ ⎣ d 0
www.phys.nsu.ru R0
(17)
r©d ⎤ ⎡ 2πir exp ⎢ (1 − ) exp[− i(δ + π/ 4 )] } r dr lF ⎥⎦ ⎣ d
где R0 - радиус решетки. Интеграл (17) может быть выражен через специальные функции [10] или достаточно просто определен числено. Интенсивность в центре дифракционного максимума (при r ′ = λF ) легко получается d из (17): Ir =
4dR03E02 9( λF )
2
cos2 ( δ −
π ). 4
(18)
Для линейной одномерной решетки того же радиуса R0 и с той же функцией пропускания t(x) интенсивность в центре дифракционного максимума (которым в этом случае является диск Эри) дается известным выражением ([4], стр.95):
www.phys.nsu.ru 29
www.phys.nsu.ru Ix =
π 2 R40 I 0
16( λF ) 2
.
(19)
Из сравнения выражений (18) и (19) сразу видна зависимость интенсивности в центре дифракционного максимума от начальной фазы δ функции пропускания круговой решетки. Кроме того, интенсивность в центре дифракционного максимума круговой решетки слабее зависит от размера решетки по сравнению со случаем обычной линейной решетки. Не считая общего множителя R02 , связанного с изменением площади решеток, дополнительные множители R0 и R02 отражают изменение площади дифракционных максимумов при изменении размера решеток. В случае круговой решетки в дифракционном максимуме, имеющим вид кольца, в то время как в диске Эри изменяется только его ширина Δr ≈ 1 R0 меняется его площадь s ≈ 1
. Распределения интенсивности в R02 дифракционном максимуме первого порядка, который в рассматриваемом случае гармонической решетки является единственным ненулевым порядком, вычисленные для различных фаз δ с помощью интеграла (17), приведены на рис.6. Видна сильная зависимость профиля дифракционного кольца от начальной фазы решетки. Экспериментальная часть курсовой работы проводится с использованием круговой решетки с постоянным шагом, имеющейся в комплекте лаборатории работы. Для того чтобы увеличить размер кольца, соответствующего дифракционному максимуму первого порядка, для освещения решетки используется слабо сходящийся световой пучок, получаемый из излучения гелийнеонового лазера с помощью телескопической системы, имеющей эффективное фокусное расстояние несколько метров.
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 30
www.phys.nsu.ru Интенсивность, отн.ед. 4 б d=0 (а)
а
3
d=-p /4 (б) d=p /4 (в)
2 в 1
www.phys.nsu.ru Dr, отн.ед.
-2
-4
0
2
4
Рис.6 Распределение интенсивности в кольцевом дифракционном максимуме круговой решетки для разных начальных фаз решетки
2
3
1 2
ФД
Рис.7. Схема измерения радиального профиля круговой решетки. 1 - He-Ne лазер, 2 - линзы, 3 - ДОЭ, 4 - щелевая диафрагма, ФД - фотодетектор
www.phys.nsu.ru 31
www.phys.nsu.ru Период и начальная фаза амплитудной круговой решетки со ступенчатой (бинарной) функцией пропускания определяются непосредственными измерениями с помощью микроскопа с соблюдением необходимой осторожности (чтобы не повредить решетку объективом микроскопа). После подстановки полученных данных в (17) и численного интегрирования можно сравнить теоретический профиль дифракционного кольца с измеренным экспериментально. Для измерений можно использовать перемещаемый с помощью точной подвижки фотоприемник, снабженный входной щелью, или многоканальный детектор, такой, например, как ПЗС линейка. Результаты сравнения экспериментально определенного профиля кольца, и профиля, рассчитанного по формуле (17) для реальной решетки приведены на рис.8. I, отн.ед.
а)
www.phys.nsu.ru D, расчет 1/2 D, расчет D, эксп. б)
1/2 D экспер.
Dr, мм -6
-4
-2
0
2
6
4
Рис.8 Сравнение с расчетом измерений профиля дифракционного максимума круговой решетки при полной апертуре (а) и когда половина решетки закрыта (б).
www.phys.nsu.ru 32
www.phys.nsu.ru Здесь же показаны результаты расчетов для случая, когда в (17) присутствует только одно слагаемое, что соответствует отсутствию одного из порядков с m = 1. Экспериментальные точки в этом случае соответствуют измерению, когда половина круговой решетки была закрыта непрозрачным экраном, край которого нормален радиусвектору точки измерения. Хорошо видно, из расчета и эксперимента, что для половинной апертуры интерференция двух порядков исчезает и форма дифракционного максимума соответствует распределению в диске Эри при дифракции на отверстии с вдвое меньшим радиусом, чем у решетки.
3.2. БЕЗДИФРАКЦИОННЫЕ БЕССЕЛЕВЫ ПУЧКИ Формируемые коническими волнами световые пучки, названые в работе [11] бездифракционными (diffraction-free beams) обладают интересными свойствами и постоянно привлекают внимание исследователей [12 13]. Такие пучки кажутся полезными также для приложений, например, в микролитографии [14], для новых лазерных методов ускорения частиц до высоких энергий [15], в лазерных доплеровских методах измерения скоростей [16], для накачки лазеров[17], в нелинейной оптике [18,19] и в оптике сверхкоротких импульсов [20]. Изучаются бездифракционные пучки ультразвуковых волн и в акустике [21]. Для описания таких пучков будем по-прежнему придерживаться скалярной теории (пренебрегая поляризацией) и запишем интеграл Кирхгофа-Френеля, преобразованный в случае аксиальной симметрии аналогично (14):
www.phys.nsu.ru
E(r ′, z) =
∞ kE0 exp[ikr '2/ 2z] ∫ exp(ikr 2 / 2z)E(r )J0 (kr r )rdr , (20) iz 0
Для единственной конической волны kr = kr ′ / z . E(r ) = exp(i kr r ) интеграл (20) был оценен с помощью приближенных методов в [22], что дало для интенсивности световой волны I (r1′z) = E(r1′z)E* (r1′z) : где
www.phys.nsu.ru 33
www.phys.nsu.ru I ( r ' , z) =
4πzI 0λ d2
J02 ( 2πr ′ / d)
(21)
Из формулы (21) видно, что радиальное распределение выражается функцией Бесселя нулевого порядка и не зависит от продольной координаты z. Это и дало возможность авторам работы [11] назвать пучок, образованный конической волной, бездифракционным или бесселевым. Следует сразу указать, что это свойство бесселевого пучка сохраняются только на конечном расстоянии z0 т.е. до тех пор пока существует самопересекающаяся коническая волна. Для случая круговой решетки z0 ≈ R0 d , где R0λ радиус решетки (см. рис. 9) .
www.phys.nsu.ru r1
z1
z0
z
ДОЭ
Рис.9. Единственная коническая волна, возникающая после дифракции на ДОЭ плоской волны создает бездифракционный пучок конечной длины z0 (заштрихован)
Из выражения (21) следует также линейное возрастание интенсивности бесселевого пучка по мере удаления от ДОЭ. Этому можно дать простую геометрическую трактовку. На некотором
www.phys.nsu.ru 34
www.phys.nsu.ru расстоянии с от ДОЭ вклад в интенсивность для точек пучка на его оси дает часть световой волны, проходящая в плоскости ДОЭ через кольцо шириной Δr и радиусом r1 = z1 λ . Поскольку при d равномерном освещении ДОЭ и при постоянной ширине Δr количество света, проходящее через такое кольцо, линейно растет с z1, то линейно будет расти и интенсивность на оси бесселевого пучка. Такая квазигеометрическая интерпретация также позволяет почувствовать, почему размер центрального максимума бесселевого пучка не меняется с расстоянием: размер центрального пятна в дифракционной картине Фраунгофера для кольца постоянной ширины r Δr и радиуса r1 не меняется при постоянном отношении 1 где z1 z1 расстояние от центра кольца до дифракционной картины. Что касается распределения интенсивности на оси бесселевого пучка, то при отличии радиального распределения исходной плоской волны от равномерного будет другим и аксиальное распределение в бесселевом пучке. Точный вид аксиального (при r1 = 0 ) распределения получается из выражения (20), которое в этом случае упрощается и выражается через интегралы Френеля [23]. Из формул (20 - 21) видно, что бесселев пучок полностью определяется параметрами R0 , λ, d и радиальным распределением падающей плоской волны. Все эти параметры определяются конкретным ДОЭ или классическим элементом, использующимся для создания конической волны, а также имеющимся источником света с длиной волны λ. Можно, однако, менять характерные размеры бесселевого пучка с помощью линзовых систем, не меняя вышеуказанных параметров. Действительно, реально важным для бесселевого пучка является угол наклона конической волны, который можно изменить, например, с помощью двухлинзовой телескопической системы, как это показано на рис.10. Система из двух софокусно расположенных линз L1 и L2 преобразует первоначальную коническую волну с углом наклона к F оси θ1 в новую коническую волну с углом наклона θ2 = θ1 ⋅ 1 . F2 Такая волна соответствует волне, дифрагированной на решетке с F эффективным шагом d2 = d1 2 , и соответственно преобразуется F1 масштаб бесселевого пучка.
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 35
www.phys.nsu.ru L2
θ2
Ð
L1
2θ1
ДОЭ F1
F2
www.phys.nsu.ru Рис.10 Схема преобразования бесселевого пучка с помощью двухлинзовой телескопической системы Подобная оптическая система может использоваться для увеличения размеров бесселевого пучка, что, в частности, может быть полезным при измерении радиального распределения его интенсивности. Дополнительно в фокальной плоскости Р может располагаться диафрагма, задерживающая не нужные порядки дифракции. Падающая на ДОЭ волна обычно получается с помощью преобразования излучения гелий-неонового лазера. Если применяется лазер, работающий на низшей поперечной моде, то радиальный профиль интенсивности падающей волны соответствует гауссову распределению. Свойство бесселевого пучка, полученного из исходного гауссового пучка [1], а также сравнение этих двух пучков является отдельной интересной задачей [24]. Экспериментальная часть курсовой работы включает в себя преобразование бесселевого пучка с помощью линзовой системы и измерение его радиального распределения на различных расстояниях вдоль оси пучка z. Для освещения круговой решетки удобно использовать расширенный гауссов пучок излучения гелий-неонового лазера. Полезно сравнить результаты при различных входных диафрагмах, пропускающих большую или меньшую часть гауссового пучка. Результаты измерений требуется сверить с расчетами, проведенными с помощью формулы (20), в которую для периода
www.phys.nsu.ru 36
www.phys.nsu.ru решетки
можно
подставить
эквивалентный период для F2 преобразованной конической волны: d2 = d1 . Лучшее совпадение с F1 экспериментом достигается, однако, если последовательно учитывать в решетке прохождение излучения через все элементы, показанные на рис. 10: ДОЭ и линзы L1 и L2. Для этого нужно последовательно применяя уравнение (20), вычислять распределение поля в плоскостях, расположенных сразу за линзой L1, затем в Р и далее за линзой L2 с использованием функции пропускания тонкой линзы с фокусным расстоянием F: t (r ) = exp(ikr 2 / F ) . Результаты таких расчетов и измерений, проведенных студентами II курса НГУ П. В. Гашевым, С. В. Чугасовым и Д. Е. Есиным с помощью цифрового фотодетектора на основе ПЗС, представлены на рис. 11-13. Из данных измерений ясно видно, что в конической волне радиальное распределение с характерным размером 10-4 м остается практически неизменным на длине 1,5 м. В плоскости Р находилась диафрагма, задерживающая все порядки дифракции с m≠1, а в исходном гауссовом пучке оставлялась лишь его центральная часть так, что радиальное распределение падающего на ДОЭ излучения было близко к прямоугольному. Существенным элементом в эксперименте является тщательная центровка всех оптических элементов, в значительной степени определяющая качество результирующего пучка. Из сравнения экспериментальных данных с распределением J02 видно, что полученный пучок близок к бездифракционному и бесселевому (рассчитанный радиальный профиль не отличим на рисунках 11-13 от функции J02 ). Некоторые отклонения расчетов от эксперимента, возможно, связаны с неточностью принятых приближений, например приближения тонкой линзы для используемых многолинзовых объектов, неполным подавлением нулевого порядка дифракции в плоскости P и др.
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 37
www.phys.nsu.ru I, отн. ед. 5
4
z=8 см
экспер. 3
расчет
2 1
-0.1
r, мм 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Рис. 11. Радиальное распределение бесселевого пучка на расстоянии 8 см от начала пучка
www.phys.nsu.ru I,
отн. ед. z=50 cм
экспер. расчет
r, мм
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Рис.12. Тоже, что и Рис. 11, но на расстоянии 50 см от начала пучка
www.phys.nsu.ru 38
www.phys.nsu.ru I, отн. ед.
z=150 см
экспер. расчет
r, мм -0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Рис. 13. Тоже, что и Рис.11, но на расстоянии 150 см от начала пучка
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 39
www.phys.nsu.ru 3.3. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В БЕЛОМ СВЕТЕ
Еще одной интересной особенностью распределения (21) является то, что оно не зависит от длины волны. Это означает, что бесселев пучок можно получить и в белом свете, что было продемонстрировано в одной из первых работ с кольцевой решеткой [22]. Следует отметить, что такое свойство не является особенностью лишь кольцевой решетки, а свойственно и другим плоским решеткам, в частности, линейной. Действительно, при пересечении двух плоских монохроматических когерентных волн под углом α расстояние между образующимися в результате интерференции полосами равно [3]: Δl =
λ α sin . 2 2
Если интерферирующие плоские волны образовались в результате дифракции нормально падающей на линейную решетку исходной плоской волны, то для угла наклона волны m-го порядка θm
www.phys.nsu.ru справедливо соотношение: sin( θ m) = mλ / d . При интерференции двух волн, соответствующих порядкам дифракции m и -m, угол между ними α = 2 θm , а расстояние между интерференционными полосами
d не зависит от длины волны света. 2m Рис. 14 иллюстрирует эту возможность для Бесселевого пучка, полученного при освещении кольцевой решетки лампой накаливания с малым размером светящейся области и без применения какой либо фильтрации света по спектру. Студентам предлагается оценить угловой размер источника белого света, необходимый для получения четкой интерференционной картины, зарегистрировать получившийся бесселев пучок и сравнить его радиальное и аксиальное распределение с расчетом. Δl =
www.phys.nsu.ru 40
www.phys.nsu.ru
Рис.14 Фотография радиального распределения для бесселевого пучка, полученного при освещении кольцевой решетки точечным источником белого света
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 41
www.phys.nsu.ru 3.4. АНОМАЛИЯ ФАЗЫ ПРИ
ПРОХОЖДЕНИИ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ ФОКУС Если три предыдущих задания выполнялись с круговой решеткой постоянного шага, то в настоящей работе используется круговая решетка с переменным шагом - киноформная линза. Исследуемое в работе явление наблюдалось впервые более века тому назад, в 1890 г. и его подробное описание имеется в литературе (см. например [25]). К сожалению, теория трехмерного распределения амплитуды и фазы волны вблизи фокуса включает в себе довольно много математики и поэтому значительно теряет в наглядности. Физическое, без сложной математики, объяснение изменение фазы при прохождении через фокус можно найти в книге [26]. Мы здесь будем следовать наглядной, хотя и не строгой трактовке, данной в работе [27] и будем рассматривать фокусировку гауссового пучка. Такое упрощение мотивируется тем, что преобразование гауссового пучка описывается проще всего, поскольку он сохраняет подобие в любой точке включая и место фокуса, называемое в этом случае перетяжкой. В перетяжке гауссов пучок имеет минимальный радиус w0 , а при удалении от нее на расстояние z радиус пучка увеличивается:[28].
www.phys.nsu.ru w( z) = w0 1 − ( λz
πw02
)2
(22)
Зависимость размера гауссова пучка от продольной координаты вблизи перетяжки (22) принимает вид гиперболы с асимптотикой θf = λ , как это видно из рис.15. πw02 Два волновых фронта АВ и ЕD симметрично располагаются относительно перетяжки. Согласно геометрической оптике оптический путь между этими фронтами есть прямая линия ВЕ. С учетом дифракции свет движется по более короткому, хотя и искривленному пути ВСD. Хотя гипербола ВСD не является путем лучей в смысле геометрической оптики, но касательная к ней в любой точке параллельная направлению потока энергии и перпендикулярна поверхности постоянной фазы, что и дает основание вычислять реальную фазу волны вдоль гиперболы.
www.phys.nsu.ru 42
www.phys.nsu.ru r D
B C f
w0
z
O
A E |z1|
|z1|
www.phys.nsu.ru Рис. 15 Волновые фронты AB и DE гауссового пучка разделены оптическим путем BCD. Разница между путем BCD и геометрическим путем BE приводит к фазовой аномалии (скачку фазы при переходе волны через фокус)
Длина пути ВСD
z1
2
L1( z1 , θf ) = 2 ∫ 1 + w'(t , θ f ) dt ,
(23)
0
где w' (t , θ f ) - производная функции w(t , θf ) , при этом в функции (22) w0 выражена через
θf . Длина пути ВЕ равна L 2( z 1 , θ f ) =
w ( z 1 , θ f ) 2 + z 12 ,
(24)
а разность фаз ΔΦ( z1 , θ f ) =
2π ( L 2( z1, θ f ) − L1( z1, θ f )) . λ
(25)
www.phys.nsu.ru 43
www.phys.nsu.ru В используемом параксиальном приближении фокусировка пучка не должна быть слишком сильной: θ f << 1 , кроме того, отличие
путей BCD и BE следует измерять на расстояниях от перетяжки, λ значительно превышающей ее длину z1 >> zr ≡ , здесь zr πθ f релеевская длина, характеризующая длину перетяжки гауссового пучка. Как видно из рис.16 при выполнении этих условий различие фазы пучка от геометрической составляет с хорошей точностью π. Это совпадает с выводом точной теории [25]. Экспериментальное наблюдение фазовой аномалии удобно проводить с помощью киноформной линзы. Наиболее интенсивную дифрагированную волну, соответствующую первому порядку, можно использовать как опорную при определении фазы вблизи фокуса более слабой волны порядка m=2. 3.6
www.phys.nsu.ru DF, рад
3.4
qf=0.125
qf=0.25
qf=0.08
3.2 π
z1/zR 3 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Рис. 16. Фазовая аномалия (скачок фазы) в зависимости от расстояния до центра перетяжки для различных углов фокусировки θ f
www.phys.nsu.ru 44
www.phys.nsu.ru Картины интерференции двух соответствующих этим порядкам дифракции сферических волн фотографировались с помощью объектива от микроскопа в качестве входного объектива фотокамеры. Два таких изображения снятые до фокуса и после него представлены на рис. 17 ясно показывают изменение взаимной фазы волн на π.
www.phys.nsu.ru Рис.17 Фотографии интерференции волн, соответствующих порядкам дифракции на киноформной линзе. Снимки сделаны в двух плоскостях, расположенных до и после фокуса волны с m=2. Основной вклад в картину вносит вклад интерференции с наиболее интенсивной волной с m =1.
Описанные выше курсовые задания, естественно, не исчерпывают всех возможностей экспериментов с решетками, которые могут быть, предложены для курсовых работ. В качестве примера можно указать на возможность наблюдения и использования для создание моделей интерферометров и других приборов эффектов Тальбота и Лауэ [29, 30] для случаев одномерной и круговой решеток. Первый эффект характеризуется самовоспроизведением функций 2 d2 m, пропускания решетки на расстояния от решетки, кратных l t = λ при условии освещения решетки монохроматической плоской волной. Второй эффект позволяет наблюдать четкие полосы при дифракции на решетке света, первоначально не имеющего ни пространственной ни временной когерентности. Предварительная фильтрация света производится с помощью второй решеткой, также располагающейся от
www.phys.nsu.ru 45
www.phys.nsu.ru первой решетки на расстояниях, кратных l t . Простое описание этих эффектов и некоторых использующих их экспериментов можно найти в работах [31, 32]. Автор выражает благодарность В. И. Наливайко (ИАиЭ СО РАН) за предоставление ДОЭ и участие в создании лабораторной работы.
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 46
www.phys.nsu.ru ЛИТЕРАТУРА
1. Вячеславов Л.Н., Дифракция света, Методические указания, Новосибирск, НГУ, 1991 2. Бутиков Е.И., Оптика, М., Высшая школа, 1986. 3. Сивухин Д.В., Оптика, М. Наука, 1985. 4. Гудмен Дж., Введение в Фурье-оптику, М., Наука, 1973. 5. Мешков И.Н., Чириков Б.В., Электромагнитное поле, ч.2, Новосибирск, Наука, (1987) 6. Корольков В.П., Коронкевич В.П., Михальцова И.А. и др., Киноформы: технологии, новые элементы и оптические системы, Автометрия, 3, 95, (1989); 4, 47, (1989) 7. Батраков А. М, Козак В. Р. Препринт ИЯФ СОАН СССР 85-9, Новосибирск, 1985. 8. Башкеев А.А., Коваленко Ю.Ф., Федотов М.Г., Шульженко Г.И., Прибор для регистрации частиц и фотонов, ПТЭ, 3, 168, (1987) 9. Справочник по специальным функциям, под ред. Абрамовиц М.А., Стиган И., М., Наука, (1979) 10. Belange, M. Riox, Diffraction ring pattern at the focal plane of spherical lens-axicon doublet, Can. J. Phys. 54, 1774, 1976. 11. Durnin J.J., Miceli Jr., Eberli J.H., Diffraction-free beams, Phys. Rev. Lett., 58, 1499 (1987) 12. Валяев А.Б., Кривошлыков С.Г., Модовые свойства бесселевых пучков, Квантовая электроника, 16, 1047, (1989) Turunen J., 13. Vahimaa P., Kettunen V., Kuittinen M., Electromagnetic analysis of nonparaxial Bessel beams generated by diffractive axicons, J. Optical Soc. Am. A 14, 1817, (1997) 14. Erdelyi, Z. L. Horvath, G. Szabу, and Zs. Bor, F. K. Tittel and J. R. Cavallaro, Generation of diffraction-free beams for applications in optical microlithography, J. Vacuum Scie. & Tech. B:, 15, 287, 1997 15. Hafizi, E. Esarey, P. Sprangle, Laser-driven acceleration with Bessel beams, Phys. Rev. E, 55, 3539, 1997 16. Ozkul, S. Leroux, N. Anthore, M. K. Amara, S. Rasset, Optical amplification of diffraction-free beams by photorefractive two-wave mixing and its application to laser Doppler velocimetry, Appl. Opt. 34, 5485, 1995
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 47
www.phys.nsu.ru 17. Klewitz, F. Brinkmann, S. Herminghaus, P. Leiderer, Bessel-beampumped tunable distributed-feedback laser, Appl. Optics, 34, 7670, 1995. 18. Андреев Н.Е., Аристов Ю. А., Полонский Л.А., Пятницкий Л.Н., Бесселевы пучки электромагнитных волн: самовоздействие и нелинейные структуры, ЖЭТФ, 73, 969, 1991. 19. Tewari, H. Huang, R. W. Boyd, Theory of third-harmonic generation using Bessel beams, and self-phase-matching, Phys. Rev. A, 54, 2314, 1996. 20. Sxajalg H., Saari P., Suppression of temporal spread of ultrashort pulses in dispersive media by Bessel beam generator, Optics letters, 21, 1162, (1996) 21. Eberly, Nondiffracting Bessel optics: Theory and practice, J. Acoustical Soc. Am., Suppl., 86, S61, (1989). 22. Dyson J., Circular and spiral diffraction gratings, Proc. Royal Soc., A 248, 93, (1958). 23. Perez M.V., Comez-Reino C., Cuadrado J.M., Diffraction pattern and zone plates produced by thin linear axicons, Optica acta, 33, 1161, (1986) 24. Overfelt P. L., Kenney C. S., Comparison of the propagation characteristics of Bessel, Bessel[-Gauss, and Gaussian beams diffracted by a circular aperture, J. Optical Soc. Am.,A8,732, (1991) 25. Борн М., Вольф Э. Основы оптики, 26. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Теория поля, М., Физматгиз, (1967) 27. Boyd W.R., Intuitive explanation of the phase anomaly of focused light beams, J. Optical Soc. Am., 70, 877, (1980) 28. Карлов Н.В., Лекции по квантовой электронике, М., Наука, (1988) 29. Talbot F., Facts relating to optical science No. IV, Philos. Mag., 9, 401, (1836) 30. Lau E., Beugungserscheinungen an doppelrastern, Ann. Phys. (Leipzig), 6, 417, (1948) 31. Jans J., Lohnman A.W., The Lau effect (a diffraction experiment with incoherent illumination), Optics Commun., 28, 263, (1979) 32. Liu L., Talbot and Lau effects on incident beams of arbitrary wavefront, and their use, Appl. Optics, 28, 4668, (1989)
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 48
www.phys.nsu.ru Леонид Николаевич Вячеславов
ДИФРАКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Описание лабораторной работы 1.6 по физической оптике
www.phys.nsu.ru Компьютерный набор Г. Р. Казакова
© Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru
__________________________________________________________ Подписано в печать Формат 60×84/16. Офсетная печать. Уч.-изд. л. Заказ № Цена руб. Тираж 100 экз. __________________________________________________________ Редакционно-издательский отдел Новосибирского университета; участок оперативной полиграфии НГУ 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2.
www.phys.nsu.ru 49
