Определение длины световой волны с помощью дифракционной решетки: Методические указания к лабораторной работе

Министерство образования Российской Федерации ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики

И.Н. АНИСИНА, Т.И. ПИСКАРЕВА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом Оренбургского государственного университета

Оренбург 2004

2

ББК 22.34 я 73 А 67 УДК 535.421 (075)

Рецензент Кандидат технических наук, доцент Ф.Г.Узенбаев

А 67 Анисина И.Н., Пискарева Т.И. Определение длины световой волны с помощью дифракционной решетки: Методические указания к лабораторной работе.- Оренбург: ОГУ, 2004.-19 с.

Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы по определению длины световой волны с помощью дифракционной решетки. Работа включает теоретическое изложение материала, описание методики проведения опыта и контрольные вопросы для самоподготовки. Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы по дисциплине «Общая физика» для студентов специальностей 012500, 170600, 271300.

А 1603110000 6ЛЛ-01

БКК 22.34 я 73

© Анисина И.Н., Пискарева Т.И.,2004 © ОГУ, 2004

3

1 Лабораторная работа № 4а Определение длины световой волны с помощью дифракционной решётки 1.1 Цель работы 1) Познакомиться с теоретическим описанием явления дифракции света. 2) Познакомиться с методом измерения длины световой волны с помощью дифракционной решетки. 3) Измерить длины световых волн для лучей красного, зеленого и фиолетового цветов, угловую и линейную дисперсию в видимом диапазоне. 1.2 Введение Дифракция света – явление отклонения направления распространения света от прямолинейного в однородной среде – является прямым следствием принципа Гюйгенса – Френеля, согласно которому каждая точка пространства, которой достигла световая волна, становится вторичным источником, от которого волны распространяются по всем направлениям. Дифракция света как волновое явление зависит от длины волны λ . Красный свет сильнее дифрагирует, чем фиолетовый, т.е. разложение белого света в спектр, вызванный дифракцией, имеет обратную последовательность цветов по сравнению с получающейся при разложении света в призме. Условием наблюдения дифракционной картины является когерентность волн, т.е. равенство их частот и постоянство разности фаз за время достаточное для наблюдения. В частности, монохроматические волны являются когерентными. В зависимости от условий эксперимента различают два вида дифракционных явлений: дифракцию в сходящихся лучах (или дифракцию Френеля) и дифракцию в параллельных лучах (или дифракцию Фраунгофера). Первый вид дифракционных явлений наблюдается при отсутствии каких-либо оптических приборов между отверстием или экраном, на котором происходит дифракция света, и местом наблюдения. Результирующая дифракционная картина, например, от отверстия малых размеров В для любой точки О на экране Э в случае френелевской дифракции определяется как результат интерференции волн, пришедших в эту точку от всех вторичных источников волн, расположенных в отверстии экрана В (рисунок 1). Другой возможный и часто применяемый на практике вариант наблюдения явления дифракции – использование оптического прибора,

4

собирающего в одну точку все параллельные лучи. Например, для наблюдения дифракции в параллельных лучах от отверстия В между отверстием и экраном Э устанавливают линзу таким образом, чтобы экран Э был расположен в ее фокальной плоскости (рисунок 2). В результате дифракции свет распространяется от отверстия по всевозможным направлениям, и каждый параллельный пучок собирается линзой в точку на экране Э. Световые волны, собранные линзой в одну точку, интерферируют между собой. Результат интерференции зависит от разности фаз интерферирующих волн. В случае круглого отверстия дифракционная картина состоит из центрального светлого пятная и чередующихся темных и светлых колец вокруг него.

Рисунок 1

Рисунок 2

5

1.3. Дифракция от круглого отверстия Выполним приблизительный расчет радиуса центрального светлого пятна при наблюдении дифракции в параллельных лучах от отверстия радиуса R. Для этого примем, что отверстие освещается монохроматическим светом с длиной волны λ , таким образом, что колебания во всех точках отверстия происходят в одной фазе. Линза, собирающая параллельный пучок световых лучей в одну точку, обладает замечательным свойством: оптическая длина пути для всех параллельных лучей, идущих от некоторой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, до фокуса линзы, одинакова. Другими словами: на пути от любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения света, до фокуса разность хода световых лучей остается неизменной. Так как во всех точках отверстия колебания происходят в одной фазе, разность хода для волн, собранных линзой в направлении, перпендикулярном плоскости экрана, равна нулю. Поэтому в точке 02 (рисунок 3) наблюдается максимум интенсивности световых колебаний. Световой пучок, распространяющийся в результате дифракции под углом α к направлению прямолинейного распространения света, собирается линзой в точку 01 . И в этом случае от любой точки на плоскости, перпендикулярной направлению распространения света, например на плоскость АВ , длина оптического пути до фокуса 01 одинакова. Однако к плоскости АВ световые волны от разных точек отверстия приходят в разных фазах, так как проходят различные пути.

Рисунок 3 Вычислим разность хода для волн, идущих от центра отверстия и от его краев. Как видно из рисунке 3, эта разность хода равна:

6 ∆l = DC = AD sin α = R sin α .

(1.1) Можно принять, что граница центрального светлого пятна, или, точнее, положение первого темного кольца, определяется условием: ∆l = R sin α =

α 2

.

(1.2)

При увеличении угла α попеременно выполняются условия минимума и максимума интерференции. Таким образом, в результате дифракции света малое отверстие в экране радиусом R воспринимается как светлое пятно с угловым радиусом, приблизительно равным: α ≈ sin α =

λ 2D

=

λ D

.

(1.3)

Это пятно окружено системой концентрических светлых и темных колец. Уравнение (1.3) показывает, что угловые размеры центрального светлого дифракционного пятна (как и угловые размеры окружающих его светлых колец) зависит не только от радиуса отверстия R, но и от длины волны света λ . Поэтому при освещении отверстия белым светом, состоящим из световых волн различной длины, в результате дифракции наблюдается центральное белое пятно, окруженное системой концентрических цветных колец. 1.4. Дифракция и разрешающая способность оптических приборов Явление дифракции ставит предел для разрешающей способности многих оптических инструментов и человеческого глаза. При дневном освещении диаметр зрачка, т.е. диаметр D отверстия, на котором происходит дифракция света, равна примерно 2 мм; длину волны света λ примем равной 5,6 • 10 −7 м. Тогда угловой радиус α центрального светлого дифракционного пятна при попадании на зрачок глаза параллельного пучка света может быть определен по формуле (1.3): α=

λ D

≈

5,6 ⋅ 10−7 м ≈ 2,8 ⋅ 104 рад ≈ 1′ . −3 2 ⋅ 10 м

Таким образом, в результате дифракции бесконечно удаленный точечный источник воспринимается глазом как светлое пятно с угловым радиусом, равным примерно одной угловой минуте. Две светящихся точки могут восприниматься глазом как отдельные источники света при условии, если угловое расстояние между ними превышает угловой радиус

7

центрального дифракционного светлого пятна от одного точечного источника (рисунок 4). Следовательно, разрешающая способность человеческого глаза равна примерно одной угловой минуте. При фотографировании звезд с помощью телескопа изображение звезд на фотопластинке получается не точечным. Это является следствием дифракции света на отверстии объектива телескопа (рисунок 5). Радиус центрального светлого дифракционного пятна на фотопластинке можно определить из условия (1.3): α ≈ tgα =

r , F'

где F ' - фокусное расстояние.

Рисунок 4

Рисунок 5 Но, с другой стороны, α=

Поэтому

λ D

.

8

λ D

≈

r . D

Откуда

F′ . (1.4) D Выражение (1.4) показывает, что изображение звезд на фотопластинке тем ближе к точечным, чем больше диаметр D объектива телескопа и чем меньше его фокусное расстояние F. Оценим разрешающую способность крупнейшего в мире советского телескопа с диаметром объектива 6м: r≈λ

α≈

λ D

⋅ 57 ⋅ 60 ⋅ 60′′ ≈

5,6 ⋅ 107 м ⋅ 205200′′ ≈ 0,02. 6м

Следовательно, с помощью самого большого в мире оптического телескопа можно различить на небе светящиеся объекты: звезды, детали на поверхности планет, отстоящие друг от друга не менее чем на две сотые угловой секунды. Явление дифракции ограничивает и разрешающую способность микроскопа. Очевидно, что если в изображении, построенном объективом микроскопа, две светящиеся точки становятся неразличимыми в результате наложения их дифракционных изображений, то дальнейшее увеличение изображения с помощью окуляра не может сделать их различными. Следовательно, как и в случае определения разрешающей способности глаза и телескопа, минимальное угловое расстояние между точками, которые могут быть разрешены как отдельные источники света, приблизительно равно угловому радиусу α центрального светлого дифракционного пятна. Согласно выражению (1.3), угол α выражается через диаметр объектива D и длину световой волны λ : α≈

λ D

.

Обозначив расстояние от предмета до объектива микроскопа через d (рисунок 6), получим для минимального линейного расстояния y между двумя светящимися точками А и В , на котором они могут быть разрешены при наблюдении в микроскоп, следующее выражение: y ≈ ad ≈

λd D

.

9

Рисунок 6 Отсюда видно, что разрешающая способность микроскопа возрастает с увеличением диаметра объектива микроскопа, с уменьшением длины световой волны и расстояния от объектива до объекта. Так как объектив микроскопа должен построить действительное изображение, то d>F. Следовательно, для уменьшения расстояния d необходимо использовать, возможно, более короткофокусные линзы. Увеличение разрешающей способности объектива микроскопа при заданном фокусном расстоянии путем увеличения диаметра D объектива ограничено естественным пределом: D=2R, где R – радиус кривизны линзы. Это означает, что плосковыпуклая линза, обычно применяемая в качестве первой линзы объектива микроскопа, должна быть полушаровой. Так как фокусное расстояние плосковыпуклой линзы определяется формулой: F′ =

R , n −1

то для объектива микроскопа можно записать соотношение:

d>

R . n −1

Учитывая это, можно минимальное расстояние, на котором могут находиться две светящиеся точки, различимые с помощью микроскопа, выразить так: y≈

λd D

>

λF ′ 2R

≈

λR 2 R(n − 1)

=

λ 2(n − 1)

.

10

Принимая показатель преломления стекла, из которого сделана линза объектива, n = 1,5, получаем: y ≈ λ . Таким образом, минимальное расстояние, на котором с помощью микроскопа могут быть разрешены две светящиеся точки при оптимальной конструкции объектива, равно приблизительно длине световой волны. Один из возможных путей увеличения разрешающей способности оптического микроскопа заключается в использовании коротковолнового ультрафиолетового излучения. Так как ультрафиолетовое излучение не воспринимается человеческим глазом, но сильно действует на фотопластинку, изображение фотографируется, проявляется и потом рассматривается. 1.5. Дифракция от одной щели

Важную роль в прикладной оптике играют явления дифракции на отверстиях в форме щели с параллельными краями. Рассмотрим сначала дифракцию в параллельных лучах на одной узкой щели. Пусть на щель, длина которой много больше ее ширины, падает световая волна с плоским фронтом. Чтобы сделать дифракционную картину видимой на конечном расстоянии, за щелью помещают собирающую линзу, а за линзой в ее фокальной плоскости – экран. Выясним, от чего зависит освещенность, в произвольно выбранной на экране точке А, в которую линза собирает параллельный пучок лучей, идущих в результате дифракции в некотором произвольном направлении (рисунок 7,а). Во всех точках волновой поверхности, достигшей щели, совершаются колебания в одинаковой фазе, Но в точку А на экране волны приходят с неодинаковыми фазами, так как оптические пути их различны. Поскольку линза не изменяет длины оптического пути, разность хода света от точек В и С щели можно определить, опустив перпендикуляр из точки С на направление распространения света, проходящего через точку В. Если λ

разность хода BD = , 2

то расстояние ВС=x является шириной зоны

Френеля. Разобьем щель на зоны шириной, равной ширине зоны Френеля. Все зоны ориентированы относительно выбранного направления ϕ одинаково, но колебания, приходящие от двух соседних зон в точку А, имеют разность хода λ

2

. Поэтому, если на щели укладывается четное число зон, то в точке А

Происходит полное взаимное гашение колебаний и освещенность будет равна нулю. Если же число зон нечетное, то колебания от одной из зон останутся непогашенными и в точке А будет наблюдаться некоторая освещенность (максимум освещения).

11

Итак, освещенность в точке А зависит от числа Френеля, которые укладываются на щели. Найдем количественное выражение этой зависимости. Пусть x – ширина зоны. Учитывая, что разность хода между лучами, исходящими от краев зоны равна

λ

2

, можно записать:

λ

BD 2 = = sin ϕ , BC x

отсюда: x=

λ 2 sin ϕ

.

12

Рисунок 7 Если а – ширина щели, то легко определить число n укладывающихся на ней зон: n=

a 2a sin ϕ = . x λ

(1.5)

Из выражения (1.5) видно, как зависит число зон, укладывающихся на щели, от угла ϕ , ширины щели и длины волны λ . Если число зон является четным (n = 2k), то можно записать следующее равенство: 2k =

2a sin ϕ

λ

,

13

или a sin ϕ = kλ .

(1.6)

Это условие, при выполнении которого наблюдается минимум освещенности от одной щели. Условием наблюдения максимума освещенности является условие нечетности числа зон: n=2k+1. Тогда: 2k + 1 =

2a sin ϕ

λ

,

или a sin ϕ = (2k + 1)

λ 2

.

(1.7)

Итак, для заданных значений длины волны λ и ширины щели а в направлениях, определяемых выражением (1.6), наблюдаются минимумы освещенности, а в направлениях, определяемых выражением (1.7), наблюдаются максимумы освещенности. Распределение интенсивности света на экране за щелью показано на рисунке 7,б. Картина на экране представляет собой изображение щели, построенное линзой. Это изображение искажено дифракционными явлениями. 1.6. Дифракция от двух щелей

Рассмотрим теперь дифракцию от двух щелей шириной а, разделенных непрозрачным промежутком шириной b (рисунок 8). Пусть плоский фронт монохроматической волны достиг положения, совпадающего с плоскостью пары щелей. С помощью линзы соберем все параллельные группы дифракционных параллельных лучей на экране MN. Выберем на экране произвольную точку А, в которой собирается пучок параллельных лучей, идущих в некотором направлении, как показано на рисунке 8, и

14

определим, от чего зависит освещенности в этой точке.

получение

максимума

или

минимума

Рисунок 8 Пусть выбранное направление таково, что выполняется условие (1.6) получения минимума света от одной щели: α sin ϕ = kλ.

Так как в этом направлении каждая щель в отдельности на экране света не дает, значит, и при наличии двух щелей в этом направлении не будет наблюдаться света. Условие (1.6) в применении к двум щелям называют условием прежних минимумов. Ясно, что оно справедливо для любого числа щелей, так как независимо от числа щелей минимумы наблюдаются в тех же местах на экране, что в случае одной щели. Теперь выберем такое направление, в котором каждая щель в отдельности дает на экране свет. Для случая двух щелей могут в зависимости от разности хода слагаемых колебаний представиться две возможности: 1) интерференция на экране света от обеих щелей приводит к усилению света; 2) происходит взаимное гашение. Назовем точки щелей, расположенных на расстоянии d=a+b, соответственными точками. Очевидно, что усиление света будет происходить тогда, когда разность хода А от соответственных точек равна четному числу полуволн. Как видно из рисунка 8, эта разность хода определяется формулой: ∆ = d sin ϕ .

При выполнении условия d sin ϕ = 2k

λ 2

= kλ .

(1.8)

Свет от соответственных точек будет при интерференции в точке А давать максимум освещенности. Выражение (1.8) называют выражением для главных максимумов так же, как и выражение для прежних минимумов, справедливо при любом количестве щелей. В направлении, для которого разность хода от соответственных точек щелей равна нечетному числу полуволн, наблюдается интерференционный минимум на экране. Поэтому в направлениях, в которых каждая щель в

15

отдельности дает на экране свет, при совместном действии щелей света наблюдаться не будет, если выполняется условие: d sin ϕ = (2k + 1)

λ 2

.

(1.9)

Это справедливо для любого четного числа щелей. Направления, определяемые выражением (1.9), называют направлениями на дополнительные минимумы. Такое название происходит оттого, что в случае одной щели в этих направлениях на экране будет свет. 1.7. Дифракционная решетка

Прозрачную пластину, на которую нанесен ряд параллельных непрозрачных полос, называют дифракционной решеткой. Прозрачные полосы в дифракционной решетке можно рассматривать как щели. С увеличением числа щелей главные максимумы и прежние минимумы остаются на прежних местах, но максимумы становятся ярче, а промежутки между ними все темнее. С увеличением числа щелей энергия световых колебаний в главных максимумах возрастает пропорционально квадрату числа щелей. Действительно, результирующая амплитуда А в главном максимуме равна сумме амплитуд колебаний а, присылаемых каждой щелью, так как в главных максимумах интерферируют колебания в одинаковых фазах. Если число щелей N, то A = Na. Но поскольку амплитуды, то

энергия

колебаний

пропорциональна

квадрату

E ~ A2 = N 2 a 2 ~ N 2 .

Максимумы света на экране располагаются симметрично относительно центрального максимума, для которого k=0. Максимумам присваиваются номера, соответствующие значения k. Различают максимумы первого, второго и т.д. порядка. При освещении решетки белым светом максимумы одного и того же порядка для различных длин волн будут наблюдаться в различных направлениях. Это значит, что дифракционная решетка разлагает свет сложного состава в спектр. Способность разлагать белый свет в спектр – ценное свойство дифракционной решетки. Решетка, как и призма, является спектральным прибором, Чем шире спектр, чем на больший угловой интервал ∆ϕ растягивается данный интервал

16

длин волн ∆λ , тем лучше решетка как спектральный прибор. Это качество дифракционных решеток количественно характеризуется отношением

∆ϕ , ∆λ

называемым дисперсией решетки. Хорошие решетки имеют тысячи щелей и непрозрачных промежутков (штрихов) на миллиметре, а общее число щелей на решетке шириной 15 см превышает 150000. Точность изготовления решетки должна быть велика. Основная область применения решеток – спектральный анализ. С помощью хороших решеток удается разделить спектральные линии, для которых разность длин волн составляет всего

1 длины световой волны. 400000

1.8. Экспериментальная часть

Для выполнения работы применяется установка, состоящая из осветителя 1, щелевого механизма 2, линз 3 и 5, дифракционной решетки 4 и экрана 6 с делениями (рисунок 9). Осветитель 1 через щель 2 испускает узкий пучок света, который, проходя через линзу 3, становится плоскопараллельным и падает нормально в виде плоской волны на дифракционную решетку 4. Экран 6 располагается в фокальной плоскости собирающей линзу 5. 1. Включите блок питания осветителя в сети ~ 220В. 2. Перемещением линзы 5 вдоль рельса добейтесь четкого изображения центральной полосы ( m=0) и спектров m=1 и m=2 порядков. Ослабив два винта ниже линейки (экрана с делениями), установите «0» шкалы на центральную световую полосу (m=0). Получите симметричную картину относительно центра линейки. 3. Линейкой измерьте расстояние f от линзы 5 до линейки (экрана) 6. 4. Измерьте по шкале экрана среднее (от значений справа и слева) лучей красного, зеленого, расстояние l от центра для фиолетового цвета m=1 и m=2 порядков, соответственно. Значение l для лучей соответствующего цвета занесите в таблицу 1. 5. Определите углы отклонения лучей красного, зеленого, фиолетового цвета m=1 и m=2 порядков, соответственно, по формуле:

ϕ ≈ sin ϕ ≈ tgϕ =

l , f

т.к. углы дифракции ϕ - малы. Значения углов ϕ занесите в таблицу 1. 6. Рассчитайте длины волн λ видимого света для лучей красного, зеленого, фиолетового цвета по формуле:

17

λ=

d sin ϕ , m

где d = 10−5 период решетки, m=1 и m=2. Значения λ занесите в таблицу 1. 7. Сравните среднее значение длин волн λ из таблицы 1 для лучей фиолетового, зеленого, красного цвета со справочными из таблицы 2 (учтите, что 1m = 1 ⋅ 109 нM = 1 ⋅ 1010 A& ). 8. Рассчитайте среднюю угловую дисперсию Dϕ и линейную &&& в видимом для m=1 порядка: дисперсию D l Dϕ =

∆ϕ ϕ1k − ϕ1 f , = ∆λ λ1k − λ1 f

Dl =

∆l l1k − l1 f . = ∆λ λ1k − λ1 f

9. Сделайте вывод по результатам работы.

18

Рисунок 9 m=1

m=2

l1 f l13

l1k

,м

,м

,м

ϕ 2 f , ϕ 23 , ϕ 2 k , м

м

м

м

м

м

Средние значения длин волн для фиолетового, зеленого, красного цвета

λ13 , м

λ2 f , м

λ23 , м

λ1k , м

м

l2 f l23 , l2k , ϕ 2 f , ϕ 23 , ϕ 2 k , м

λ1 f , м

Таблица 1

λ2 k , м

м

λf =

λ1 f + λ2 f 2

λ3 =

λ13 + λ23 2

λk =

λ1k + λ2k 2

19

Таблица 2 Цвет Фиолетовый Зеленый Красный

Диапазон длин волн 380 – 450 нм 3800 – 4500 510 – 550 нм 5100 – 5500 620 – 760 нм 6200 – 7600

А& А& А&

1.9. Контрольные вопросы

1. Объясните сущность явления дифракции света , механизм ее возникновения. 2. Сформулируйте принцип Гюйгенса – Френеля. 3. Физические основы дифракции Фраунгофера на щели. 4. Назначение дифракционной решетки. Условие главных максимумов. Характер распределения интенсивности света на экране. 5. Характеристики спектральных приборов (дисперсия, разрешающая способность). 6. Сформулируйте критерий Рэлея. 7. Применение явления дифракции.

20

ЛИТЕРАТУРА 1. 2. 3. 4.

Савельев И.В., Курс общей физики, т.2., М., Наука, 1978. Ландеберг Г.С., Оптика, М., Наука, 1976. Сивухин Д.В., Общий курс физики, т.4., М., Мир, 1981. Кабардин О.В., Орлов В.А., Шефер Н.И., Факультативный курс физики, 10кл., Учебное пособие для учащихся, М., Просвещение, 1987.