Массивное нейтрино во внешних полях

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÊÀÔÅÄÐÀ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè

ÄÂÎÐÍÈÊΠÌÀÊÑÈÌ ÑÅÐÃÅÅÂÈ× ÌÀÑÑÈÂÍÎÅ ÍÅÉÒÐÈÍÎ ÂÎ ÂÍÅØÍÈÕ ÏÎËßÕ

01.04.02 - òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà

ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈß íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê

ÍÀÓ×ÍÛÉ ÐÓÊÎÂÎÄÈÒÅËÜ äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð

À.È.ÑÒÓÄÅÍÈÊÈÍ

ÌÎÑÊÂÀ  2004

Îãëàâëåíèå 1 Ââåäåíèå

4

1.1

Èñòîðèÿ èññëåäîâàíèÿ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî . . . . . . . . .

4

1.2

Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî . . . . . .

6

1.3

Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå àòìîñôåðíûõ íåéòðèíî . . . .

12

1.4

Ðåàêòîðíûå ýêñïåðèìåíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5

Ñîâðåìåííûå êèíåìàòè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ íà ¾ìàññû¿ ôëåéâîðíûõ íåéòðèíî . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1

Ýêñïåðèìåíòû ïî èçó÷åíèþ β -ðàñïàäà è èçìåðåíèå ìàññû íåéòðèíî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.2

15

Îãðàíè÷åíèå íà ìàññû ìþîííîãî è τ -ëåïòîííîãî íåéòðèíî

1.6

15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Îñíîâû ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé òåîðèè ìàññû è ñìåøèâàíèÿ íåéòðèíî

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7

Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.8

Ýëåêòðîìàãíèòíûå õàðàêòåðèñòèêè íåéòðèíî . . . . . . . . .

22

1.9

Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè . . . . . . . . . . . . . . .

25

2 Ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû ìàññèâíîãî íåéòðèíî 2.1

Âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ íåéòðèíî . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1

28 32

Ñòðóêòóðà ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè ìàññèâíîãî íåéòðèíî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

42

2

2.1.2 2.2

øèííîé ôóíêöèè íåéòðèíî . . . . . . . . . . . . . . .

47

Çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.2.1

51

Âû÷èñëåíèå â êàëèáðîâêå 'ò Õîôòà-Ôåéíìàíà . . . .

58

Ìàãíèòíûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.3.1

Èññëåäîâàíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî . . . . . . . . . . . . . .

62

Àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî . . . . . . . . . . . . . .

69

2.4.1

71

2.3.2 2.4

Èññëåäîâàíèå çàðÿäîâîãî ôîðìôàêòîðà ïðè íóëåâîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 2.3

Èññëåäîâàíèå ðàñõîäèìîñòåé â ýëåêòðîìàãíèòíîé âåð-

Àíàïîëüíûé ìîìåíò . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Ýâîëþöèÿ ñïèíà íåéòðèíî â ïðîèçâîëüíûõ âíåøíèõ ïîëÿõ 75 4 Ðåëàêñàöèÿ ñïèíà íåéòðèíî â âåùåñòâå ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè 86 5 Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ ðàçëè÷íîé êîíôèãóðàöèè 93 5.1

Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ïîëå ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

97

Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ ïðè îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî â ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùèõñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ . . . . . . 104 5.2.1

Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ïîëå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû 105

5.2.2

Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ïîëå ïëîñêîãî îíäóëÿòîðà . . 110

5.2.3

Âîçìîæíûå ïðèìåíåíèÿ ÿâëåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà ïðè îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî . . . . . . . . . . . 114

6 Çàêëþ÷åíèå

117

3

A Ïðàâèëà Ôåéíìàíà

123

B Ôåéíìàíîâñêèå èíòåãðàëû

128

Ãëàâà 1 Ââåäåíèå 1.1 Èñòîðèÿ èññëåäîâàíèÿ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî Ïåðâîíà÷àëüíî èäåÿ îá îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî áûëà âûäâèíóòà âûäàþùèìñÿ ñîâåòñêèì ôèçèêîì Á. Ïîíòåêîðâî â 1957 ã. [1]. Äàííàÿ ðàáîòà ïîñëåäîâàëà çà ñåðèåé ïóáëèêàöèé, ïîñâÿùåííûõ ôóíäàìåíòàëüíûì âîïðîñàì ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé, òàêèõ êàê îòêðûòèå íàðóøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé ÷åòíîñòè â β -ðàñïàäå [2] è òåîðèè äâóõêîìïîíåíòíîãî áåçìàññîâîãî íåéòðèíî [35]. Ñîâðåìåííîå èçëîæåíèå ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé òåîðèè ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé ïðèâåäåíî â êíèãå [6].  ðàáîòå [1] Á. Ïîíòåêîðâî âïåðâûå ïðåäïîëîæèë, ïî àíàëîãèè ñ äîâîëüíî õîðîøî èçâåñòíûìè â òî

¯ 0 ), ÷òî âîçìîæíû òàêæå è ïåâðåìÿ îñöèëëÿöèÿìè K ìåçîíîâ (K 0 ↔ K ðåõîäû ìåæäó íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî â âàêóóìå. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ê ìîìåíòó îïóáëèêîâàíèÿ ñòàòüè [1], ýëåêòðîííîå àíòèíåéòðèíî åùå íå áûëî îáíàðóæåíî â ýêñïåðèìåíòå. Äåòåêòèðîâàíèå ýëåêòðîííîãî àíòèíåéòðèíî ïðîèçîøëî ïðè ïðîâåäåíèè ðåàêòîðíîãî ýêñïåðèìåíòà [7], â êîòîðîì ýëåêòðîííîå àíòèíåéòðèíî áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî â ðåçóëüòàòå îáðàòíîãî

β -ðàñïàäà. Îêîí÷àòåëüíî èäåÿ îá îñöèëëÿöèÿõ ìåæäó íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî áûëà ñôîðìóëèðîâàíà Á. Ïîíòåêîðâî â 1958 ã. â ðàáîòå [8].  ýòîé ñòàòüå áûëî îòìå÷åíî, ÷òî â äàííîì òèïå îñöèëëÿöèè íåéòðèíî íå ñîõðàíÿåòñÿ 4

5

ëåïòîííîå ÷èñëî. Ñëåäóåò óïîìÿíóòü, ÷òî â ñâîåé ñòàòüå [8] Á. Ïîíòåêîðâî ðàññìàòðèâàë îñöèëëÿöèè íåéòðèíî íå òîëüêî ñ ÷èñòî òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, íî òàêæå è ïðåäëîæèë âîçìîæíûé ýêñïåðèìåíò ïî èçó÷åíèÿ äàííîãî ÿâëåíèÿ â ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ. Îäíàêî, êàê ýòî òàêæå áûëî îòìå÷åíî è ñàìèì àâòîðîì, äëèíà îñöèëëÿöèé, ò.å. õàðàêòåðíîå ðàññòîÿíèå, ïîéäÿ êîòîðîå, çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïåðâîíà÷àëüíî èñïóùåííûõ àíòèíåéòðèíî ïåðåéäåò â íåéòðèíî, äîëæíà áûòü áîëüøîé. Òàêèì îáðàçîì, ïîäîáíûé ýêñïåðèìåíò âðÿä ëè ìîã áûòü îñóùåñòâëåí â òî âðåìÿ. Á. Ïîíòåêîðâî âåðíóëñÿ ê ðàññìîòðåíèþ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â 1967 ã.  åãî ðàáîòå [9] áûëè ñôîðìóëèðîâàíû êðèòåðèè âîçìîæíîñòè âîçíèêíîâåíèÿ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî, êîòîðûå, ïî ñîâðåìåííîé òåðìèíîëîãèè, ýêâèâàëåíòíû íàëè÷èþ íåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ â ìàññîâîé ìàòðèöå íåéòðèíî. Íàðÿäó ñ îñöèëëÿöèÿìè íåéòðèíî, ïðèíàäëåæàùèìè ê ðàçëè÷íûì ïîêîëåíèÿì, â ýòîé ñòàòüå îáñóæäàëèñü òàêæå è îñöèëëÿöèè ìåæäó àêòèâíûìè è ñòåðèëüíûìè íåéòðèíî.  ðàáîòå [9] âûñêàçûâàëîñü ïðåäïîëîæåíèå î âîçìîæíîñòè îñöèëëÿöèé íåéòðèíî èñïóùåííûõ â íåäðàõ Ñîëíöà â ðåçóëüòàòå ïðîòåêàþùèõ òàì òåðìîÿäåðíûõ ðåàêöèé. Êàê ñëåäñòâèå ïîäîáíûõ îñöèëëÿöèé, ïîòîê íåéòðèíî, ðåãèñòðèðóåìûé íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, äîëæåí áûòü ìåíüøå îæèäàåìîãî. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî â ñòàòüå [9] Á. Ïîíòåêîðâî ïðåäóãàäàë õîðîøî èçâåñòíóþ òåïåðü ïðîáëåìó ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî. Îòìåòèì, ÷òî ðàáîòà [9] áûëà îïóáëèêîâàíà åùå äî òîãî, êàê áûëè ïîëó÷åíû îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû ïî ðåãèñòðàöèè ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî.  ðàáîòå [10] Â. Í. Ãðèáîâ è Á. Ïîíòåêîðâî ðàññìîòðåëè ìàéðàíîâñêóþ ìàññîâóþ ìàòðèöó.  äàííîì ñëó÷àå äâà ìàéîðàíîâñêèõ íåéòðèíî èìåþò îïðåäåëåííûå ìàññû è ñâÿçàíû ñ íåéòðèíî, ó÷àñòâóþùèìè â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ, ïîñðåäñòâîì ñìåøèâàíèÿ. Âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ýëåêòðîííîå íåéòðèíî îñòàíåòñÿ â ïðåæíåì ñîñòîÿíèè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, áûëî ïîëó÷åíî â ñòàòüå [10]. Òàêæå â äàííîé ðàáîòå áûëè ðàñ-

6

ñìîòðåíû âàêóóìíûå îñöèëëÿöèè ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî. Àíàëîãèÿ ìåæäó êâàðêîâûì è ëåïòîííûì ñåêòîðàìè áûëà ïðîâåäåíà â ðàáîòàõ [11, 12], â êîòîðûõ íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè ðàññìàòðèâàëèñü íà îñíîâå ñìåøèâàíèÿ ìåæäó äâóìÿ äèðàêîâñêèìè íåéòðèíî. Ïî àíàëîãèè ñ êâàðêàìè è ëåïòîíàìè îñöèëëÿöèè ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî â ñëó÷àå äèðàêîâñêîé è ìàéîðàíîâñêîé ìàññîâîé ìàòðèöû òàêæå îáñóæäàëèñü â ðàáîòå [13]. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ñìåøèâàíèå ìåæäó íåéòðèííûìè ñîñòîÿíèÿìè, ïðèíàäëåæàùèìè ê ðàçëè÷íûì ïîêîëåíèÿì, ðàññìàòðèâàëîñü â ðàáîòå [14].  äàííîé ñòàòüå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ñóùåñòâóþò ñîñòîÿíèÿ íåéòðèíî (îïðåäåëåííûå êàê èñòèííûå íåéòðèíî) îòëè÷íûå îò ñîñòîÿíèé, ó÷àñòâóþùèõ â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ, êîòîðûå áûëè íàçâàíû ñëàáûìè íåéòðèíî. Áûëî òàêæå ïîêàçàíî, ÷òî èñòèííûå è ñëàáûå ñîñòîÿíèÿ íåéòðèíî ñâÿçàííû äðóã ñ äðóãîì ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îäíàêî, îñöèëëÿöèè íåéòðèíî, êàê ÿâëåíèå, îñíîâàííîå íà âðåìåííîé ýâîëþöèè êâàíòîâîé ñèñòåìû ñî ñìåøèâàíèåì, â ðàáîòå [14] íå îáñóæäàëèñü.

1.2 Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî Âîçìîæíîñòü ðåãèñòðèðîâàòü ñîëíå÷íûå íåéòðèíî íà÷àëà èíòåíñèâíî îáñóæäàòüñÿ ïîñëå òîãî, êàê â 1958 ã. áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæåíî (ñì. ðàáîòó [15]), ÷òî âåðîÿòíîñòü ðîæäåíèÿ èçîòîïà 7 Be â òåðìîÿäåðíîé ðåàêöèè 3 He +4 He →7 Be + γ îêàçàëàñü áîëåå ÷åì â òûñÿ÷ó ðàç âûøå, ÷åì ïðåäïîëàãàëîñü ðàíåå. Èñïîëüçóÿ ýòîò ðåçóëüòàò, Â. Ôàóëåð è À. Êàìåðîí ïðåäïîëîæèëè [15], ÷òî èçîòîï 8 B ìîæåò âîçíèêàòü ïðè ïðîòåêàíèè ðåàêöèè 7 Be + p →8 B + γ â êîëè÷åñòâàõ, äîñòàòî÷íûõ äëÿ ãåíåðàöèè ñóùåñòâåííîãî ïîòîêà íåéòðèíî, îáðàçóþùèõñÿ â ðåçóëüòàòå β -ðàñïàäà ðàäèîàêòèâíîãî 8 B. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî 8 B íåéòðèíî ñîñòàâëÿþò ëèøü 10−2 îò îáùåãî ïîòîêà ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî, ðàñïàä ðàäèîêòèâíîãî 8 B ÿâëÿåòñÿ êðàéíå âàæíûì. Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü êðàéíå ñëîæíî ýêñïåðèìåí-

7

òàëüíî çàðåãèñòðèðîâàòü íåéòðèíî, îáëàäàþùèõ ìàëîé ýíåðãèåé. Íàïðèìåð, ìîíîýíåðãåòè÷åñêèå 7 Be íåéòðèíî, îáðàçóþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå ðåàêöèè e− +7 Be → νe +7 Li, îáëàäàþò ýíåðãèåé 0.86 ÌýÂ, à 8 B íåéòðèíî èìåþò ýíåðãèþ â äèàïàçîíå ìåíüøåì, ÷åì 15 ÌýÂ. Èìåííî ïîýòîìó 8 B íåéòðèíî äàþò îñíîâíîé âêëàä â ýêñïåðèìåíòàëüíî ðåãèñòðèðóåìûå ïîòîêè ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî. Ïåðâàÿ óñïåøíàÿ ïîïûòêà èçìåðèòü êîëè÷åñòâî ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî, äîñòèãàþùèõ ïîâåðõíîñòè Çåìëè, áûëà ïðåäïðèíÿòà â ÑØÀ â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà Õîóìñòýéê (Homestake) [16].  äàííîì ýêñïåðèìåíòå ýëåêòðîííîå íåéòðèíî ðåãèñòðèðîâàëîñü ïðè ïîìîùè ðåàêöèè Ïîíòåêîðâî-Äýéâèñà: νe +37 Cl → e− +37 Ar. Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî âûøå, â ýêñïåðèìåíòå Õîóìñòýéê ðåãèñòðèðîâàëèñü ãëàâíûì îáðàçîì 8 B íåéòðèíî. Ïîñëå îáðàáîòêè äàííûõ áûëî ïîëó÷åíî ÿâíîå ðàññîãëàñîâàíèå ìåæäó ïðåäñêàçàííûì è èçìåðåííûì ïîòîêàìè ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî [17]. Èçìåðåííûé ïîòîê íåéòðèíî îêàçàëñÿ ïðèìåðíî â òðè ðàçà ìåíüøèì ïðåäñêàçàííîãî. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî ðàáîòå [16], îòíîøåíèå èçìåðåííîãî ïîòîêà íåéòðèíî ê ïðåäñêàçàííîìó R ðàâíî 0.34 ± 0.03. Ñïóñòÿ ãîä ïîñëå îïóáëèêîâàíèÿ ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà Õîóìñòýéê, â ñòàòüå [10] Â. Í. Ãðèáîâ è Á. Ïîíòåêîðâî âûäâèíóëè ãèïîòåçó î òîì, ÷òî íåéòðèíî, ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè îò Ñîëíöà ê Çåìëå, ïåðåõîäèò èç îäíîãî òèïà â äðóãîé, êîòîðûé òðóäíåå äåòåêòèðîâàòü. Òåì ñàìûì, äåôèöèò ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî ìîæåò áûòü îáúÿñíåí. Ôàêòè÷åñêè, àâòîðû ïðåäëîæèëè ìåõàíèçì îñöèëëÿöèé íåéòðèíî êàê ñïîñîá ðåøåíèÿ ïðîáëåìû ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî. Çäåñü íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî âû÷èñëåíèÿ ïîòîêà íåéòðèíî, èçëó÷àåìîãî Ñîëíöåì, îñíîâûâàþòñÿ íà ñòàíäàðòíîé ñîëíå÷íîé ìîäåëè.  ñâîþ î÷åðåäü ïðåäñêàçàíèÿ ñòàíäàðòíîé ñîëíå÷íîé ìîäåëè îáëàäàþò äîâîëüíî âûñîêîé òî÷íîñòüþ áëàãîäàðÿ ðÿäó îñîáåííîñòåé:

• Òî÷íîñòü èçìåðåíèé è âû÷èñëåíèé âõîäíûõ äàííûõ. • Çàâèñèìîñòü ìåæäó ïîòîêàìè íåéòðèíî è èçìåðÿåìîé ñîëíå÷íîé ñâå-

8

òèìîñòüþ.

• Èçìåðåíèÿ ãåëèîñåéñìîëîãè÷åñêèõ ÷àñòîò ñîëíå÷íûõ ìîä êîëåáàíèé äàâëåíèÿ (òàê íàçûâàåìûõ p ìîä). Òàêèì îáðàçîì, íà âû÷èñëåíèÿ ïîòîêîâ íåéòðèíî â ðàìêàõ ñòàíäàðòíîé ñîëíå÷íîé ìîäåëè ìîæíî ïîëàãàòüñÿ ñ áîëüøîé ñòåïåíüþ âåðîÿòíîñòè. Ýêñïåðèìåíò Õîóìñòýéê [18], â êîòîðîì èñïîëüçîâàëîñü ÿäðî

37

Cl â êà-

÷åñòâå ìèøåíè, ïðèíàäëåæèò ê ãðóïïå òàê íàçûâàåìûõ ðàäèîõèìè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå ðàáîòàþò ãàëëèåâûå ýêñïåðèìåíòû: SAGE (Ðîññèÿ) è GALLEX1 . Èäåÿ èñïîëüçîâàíèÿ

71

Ga â êà÷åñòâå ìèøåíè

ïðèíàäëåæàëà ñîâåòñêîìó ôèçèêó-òåîðåòèêó Â.À. Êóçìèíó è áûëà ñôîðìóëèðîâàíà èì åùå â 1965 ã. Ñîëíå÷íûå íåéòðèíî â äàííûõ ýêñïåðèìåíòàõ ðåãèñòðèðîâàëèñü ïðè ïîìîùè ðåàêöèè νe +71 Ga → e− +71 Ge. Çàïóñê ãàëëèåâûõ äåòåêòîðîâ îçíàìåíîâàë ñîáîé áîëüøîé øàã âïåðåä â èçó÷åíèè ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî. Îäíèì èç ãëàâíûõ äîñòîèíñòâ äàííîãî ìåòîäà îêàçàëñÿ íèçêèé ýíåðãåòè÷åñêèé ïîðîã. Äåéñòâèòåëüíî, ñ ïîìîùüþ ïîäîáíûõ äåòåêòîðîâ ñòàëî âîçìîæíî ðåãèñòðèðîâàòü äàæå pp íåéòðèíî, èìåþùèå ýíåðãèþ ìåíåå 0.42 ÌýÂ. Äàííûå íåéòðèíî, îáðàçóþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå ðåàêöèè

p + p → d + e+ + νe , äàþò íàèáîëüøèé âêëàä â ïîòîê ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî. Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ SAGE è GALLEX òàêæå îáíàðóæèâàþò ðàñõîæäåíèå, õîòÿ è â íåñêîëüêî ìåíüøåé ñòåïåíè, ÷åì â ýêñïåðèìåíòå Õîóìñòýéê, ìåæäó èçìåðåííûì è ïðåäñêàçàííûì ïîòîêàìè ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî. Äëÿ ñðàâíåíèÿ, îòíîøåíèå R, ïîëó÷åííîå â õîäå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà SAGE ðàâíî 0.60 ± 0.05 [19].  ñëó÷àå ýêñïåðèìåíòà GALLEX äàííîå îòíîøåíèå ðàâíî 0.58 ± 0.05 [20]. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ãàëëèåâûå äåòåêòîðû äàþò áîëåå âûñîêèé ïðîöåíò çàðåãèñòðèðîâàííûõ ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî ïî ñðàâíåíèþ ñ õëîðíûì äåòåêòîðîì Õîóìñòýéê. Ñîâðåìåííîå îáúÿñíåíèå íàáëþäàåìîãî ñ ïîìîùüþ ãàëëèåâûõ äåòåêòîðîâ äåôèöèòà 1  ïîäãîòîâêå è ïðîâåäåíèè äàííîãî ýêñïåðèìåíòà ó÷àñòâóþò íåñêîëüêî ñòðàí.  èõ ÷èñëå Ãåðìàíèÿ,

Ôðàíöèÿ, Èòàëèÿ, Èçðàèëü è ÑØÀ.

9

ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî àíàëîãè÷íî îáúÿñíåíèþ, äàâàåìîìó â ñëó÷àå õëîðíîãî äåòåêòîðà. Åñëè ñóùåñòâóåò ñìåøèâàíèå ïåðâîíà÷àëüíî èñïóùåííûõ ýëåêòðîííûõ íåéòðèíî, òî èç-çà íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé èëè ïåðåõîäîâ â âåùåñòâå, îáóñëîâëåííûõ ýôôåêòîì Ìèõååâà-Ñìèðíîâà-Âîëüôåíøòåéíà1 , ýòè ÷àñòèöû ïðåîáðàçóþòñÿ â äðóãèå òèïû íåéòðèíî, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü çàðåãèñòðèðîâàíû ýêñïåðèìåíòàëüíî. Äîñòàòî÷íî âåñêèé àðãóìåíò â ïîëüçó ñóùåñòâîâàíèÿ ïåðåõîäîâ ñîëíå÷íûõ ýëåêòðîííûõ íåéòðèíî â ìþîííûå è τ -íåéòðèíî áûë âûäâèíóò â õîäå àíàëèçà äàííûõ, íåäàâíî ïîëó÷åííûõ ïðè ïðîâåäåíèè ýêñïåðèìåíòà CHO (SNO, Sudbury Neutrino Observatory) [21, 22]. Äåòåêòîð ýêñïåðèìåíòà ÑÍÎ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷åðåíêîâñêèé äåòåêòîð, ðàáî÷èì âåùåñòâîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ òÿæåëàÿ âîäà (D2 O). Ñîëíå÷íûå íåéòðèíî ðåãèñòðèðóþòñÿ ïðè ïîìîùè ñëåäóþùèõ òðåõ ðåàêöèé:

νe + d → e− + p + p,

(1.2.1)

ν + d → ν + n + p,

(1.2.2)

ν + e → ν + e.

(1.2.3)

Çàìåòèì, ÷òî ðåàêöèÿ (1.2.1) èäåò ÷åðåç âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííûõ òîêîâ, â òî âðåìÿ êàê ðåàêöèÿ (1.2.2)  ÷åðåç íåéòðàëüíûå òîêè. Ðåàêöèÿ (1.2.3) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óïðóãîå ðàññåÿíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, â ðåàêöèÿõ (1.2.2) è (1.2.3) ìîãóò ó÷àñòâîâàòü âñå òèïû íåéòðèíî.  òå÷åíèè 306.4 äíåé ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà ÑÍÎ áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî ïðèìåðíî 1697 ñîáûòèé òèïà (1.2.1), 577 ñîáûòèé òèïà (1.2.2) è 264 ñîáûòèÿ òèïà (1.2.3). Ýíåðãåòè÷åñêèé ïîðîã ïðè äåòåêòèðîâàíèè ýëåêòðîíîâ îòäà÷è áûë ðàâåí 5 ÌýÂ, à ïîðîã ïðîòåêàíèÿ ðåàêöèè (1.2.2) 2.2 ÌýÂ. Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ýêñïåðèìåíòå íàáëþäàëèñü ãëàâíûì îáðàçîì 8 B íåéòðèíî. Îñîáåííî âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíûé ñïåêòð 8

B íåéòðèíî èçâåñòåí. 1 Äàííîå

ÿâëåíèå áóäåò îáñóæäàòüñÿ áîëåå ïîäðîáíî íèæå.

10

 ýêñïåðèìåíòå ÑÍÎ áûëî ïîëó÷åíî, ÷òî (ñì. ðàáîòû [21, 22]) 6 −2 −1 (ΦES ñ . ν )SN O ' 2.39 × 10 ñì

(1.2.4)

ãäå (ΦES ν )SN O - ïîòîê íåéòðèíî, èçìåðåííûé ïðè ïîìîùè ïðîöåññà (1.2.3). Ñïåêòð ýëåêòðîíîâ, îáðàçóþùèõñÿ â ðåçóëüòàòå ïðîöåññà (1.2.1), òàêæå áûë èçìåðåí â õîäå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà ÑÍÎ, ïðè÷åì íèêàêîãî çàìåòíîãî èñêàæåíèÿ ñïåêòðà íå áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî. Åñëè áû äåôèöèò ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî áûë âûçâàí íå ïðîöåññîì îñöèëëÿöèé íåéòðèíî, à êàêèì-ëèáî äðóãèì ïðîöåññîì, íàïðèìåð ðàññåÿíèåì íåéòðèíî, òî â ýòîì ñëó÷àå ïðîèçîøëî áû èñêàæåíèå ñïåêòðà âòîðè÷íûõ ýëåêòðîíîâ.  ýêñïåðèìåíòå ÑÍÎ áûëî ïîëó÷åíî, ÷òî ïîòîê ýëåêòðîííûõ íåéòðèíî íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè ñîñòàâëÿåò (ñì. ñòàòüè [21, 22]) 6 −2 −1 (ΦCC ñ , νe )SN O ' 1.76 × 10 ñì

(1.2.5)

ãäå (ΦCC νe )SN O - ïîòîê íåéòðèíî, èçìåðåííûé ïðè ïîìîùè ïðîöåññà (1.2.1). Äëÿ ïîòîêà âñåõ òèïîâ íåéòðèíî, èçìåðåííîãî ñ ïîìîùüþ ïðîöåññà (1.2.2) áûëî ïîëó÷åíî ñëåäóþùåå çíà÷åíèå (ñì. ðàáîòû [21, 22]) 6 −2 −1 C ñ , (ΦN ν )SN O ' 5.09 × 10 ñì

(1.2.6)

÷òî ïðèìåðíî â òðè ðàçà áîëüøå, ÷åì ïîòîê ýëåêòðîííûõ íåéòðèíî. Ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî íàðÿäó ñ ýëåêòðîííûìè íåéòðèíî â âåëè÷èíó C ΦN òàêæå äàþò âêëàäû ìþîííûå è τ -íåéòðèíî, ìîæíî, èñïîëüçóÿ äàííûå ν

ýêñïåðèìåíòà ÑÍÎ, âû÷èñëèòü ïîòîê Φνµ,τ . Äëÿ ðàñ÷åòà âåëè÷èíû Φνµ,τ â ðàáîòàõ [21,22] òàêæå áûëè ó÷òåíû âêëàäû ïðîöåññà (1.2.3). Îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïîòîêà èìååò âèä

(Φνµ,τ )SN O ' 1.76 × 106 ñì−2 ñ−1 .

(1.2.7)

Îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â õîäå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà ÑÍÎ, ÿâëÿåòñÿ ïîäòâåðæäåíèå òîãî ôàêòà, ÷òî â ïîòîêå ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî êðîìå ýëåêòðîííûõ íåéòðèíî òàêæå ïðèñóòñòâóþò ìþîííûå è τ -íåéòðèíî.

11

Ñðàâíèì òåïåðü ïðåäñêàçàíèÿ ñòàíäàðòíîé ñîëíå÷íîé ìîäåëè ñ ðåçóëüòàòàìè ýêñïåðèìåíòà ÑÍÎ.  ðàáîòå [23] áûë âû÷èñëåí ïîòîê 8 B íåéòðèíî

(Φνe )SSM ' 5.05 × 106 ñì−2 ñ−1 ,

(1.2.8)

÷òî íàõîäèòñÿ â õîðîøåì ñîãëàñèè ñ âåëè÷èíîé ïîëíîãî ïîòîêà (1.2.6). Òàêèì îáðàçîì, áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ïîëíûé ïîòîê ýëåêòðîííûõ íåéòðèíî, èçëó÷àåìûõ Ñîëíöåì, ðàâíÿåòñÿ ñóììàðíîìó ïîòîêó âñåõ íåéòðèíî, çàðåãèñòðèðîâàííîìó íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Ïðîáëåìà äåôèöèòà ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî òàêæå èçó÷àëàñü â õîäå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà Ñóïåð-Êàìèîêàíäå [24].  äàííîì ýêñïåðèìåíòå íàáëþäàëèñü ýëåêòðîííûå è ìþîííûå íåéòðèíî ïðè ïîìîùè ðåãèñòðàöèè ÷åðåíêîâñêîãî èçëó÷åíèÿ â äåòåêòîðå, ðàáî÷èì âåùåñòâîì êîòîðîãî ÿâëÿëàñü âîäà (ïîðÿäêà 50 êò). Òàêèì îáðàçîì, íåéòðèíî ðåãèñòðèðîâàëèñü ñ ïîìîùüþ ïðîöåññà (1.2.3).  òå÷åíèè 1496 äíåé ðàáîòû áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî áîëüøîå ÷èñëî íåéòðèíî (22400 ± 800). Èñõîäÿ èç äàííûõ ýêñïåðèìåíòà Ñóïåð-Êàìèîêàíäå áûëî ïîëó÷åíî, ÷òî 6 −2 −1 (ΦES ñ ν )S−K ≈ 2.35 × 10 ñì

(1.2.9)

Ýòà âåëè÷èíà õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ýêñïåðèìåíòà ÑÍÎ (1.2.4). Äàííûå âñåõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî èçó÷åíèþ ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî ìîãóò áûòü îïèñàíû, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñîëíå÷íûå ýëåêòðîííûå íåéòðèíî ïåðåõîäÿò â ìþîííûå èëè τ -ëåïòîííûå íåéòðèíî è âåðîÿòíîñòü νe îñòàòüñÿ â ïðåæíåì ñîñòîÿíèè õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè ∆m2sol è tg2 θsol . Íàèëó÷øåå ñîâïàäåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ è òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ ïîëó÷àåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà äàííûå ïàðàìåòðû ïðèíèìàþò ñëåäóþùåå çíà÷åíèå

∆m2sol = 5 × 10−5 ýÂ2 ,

tg2 θsol = 0.34.

(1.2.10)

Çíà÷åíèÿ ∆m2sol è tg2 θsol â ôîðìóëå (1.2.10) ñîîòâåòñòâóþò áîëüøîìó óãëó ñìåøèâàíèÿ (LMA, Large Mixing Angle).

12

1.3 Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå àòìîñôåðíûõ íåéòðèíî Àòìîñôåðíûå íåéòðèíî ðîæäàþòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì ïðè ðàñïàäàõ çàðÿæåííûõ ïèîíîâ è ñëåäóþùèõ çà íèìè ðàñïàäîâ ìþîíîâ

π → µ + νµ ,

µ → e + νµ + νe .

(1.3.1)

Ïèîíû â ñâîþ î÷åðåäü ðîæäàþòñÿ â ïðîöåññàõ âçàèìîäåéñòâèÿ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé â àòìîñôåðå. Îäíèì èç îñíîâíûõ öåíòðîâ ïî èçó÷åíèþ àòìîñôåðíûõ íåéòðèíî ÿâëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíò Ñóïåð-Êàìèîêàíäå [2527] , óïîìèíàâøèéñÿ â ðàçäåëå 1.2 â ñâÿçè ñ èññëåäîâàíèåì ïðîáëåìû ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî. Ïðè îòíîñèòåëüíî ìàëûõ ýíåðãèÿõ (. 1 ÃýÂ) ïðàêòè÷åñêè âñå ìþîíû ðàñïàäàþòñÿ â àòìîñôåðå. Êðîìå òîãî, èç ôîðìóëû (1.3.1) ñëåäóåò, ÷òî îòíîøåíèå ìþîííûõ íåéòðèíî ê ýëåêòðîííûì Rµ/e ðàâíî 21 . Îòíîøåíèå (Rµ/e )measured , èçìåðåííîå â õîäå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà ÑóïåðÊàìèîêàíäå, çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ïðåäñêàçàííîãî (Rµ/e )predicted . Íàïðèìåð, â îáëàñòè ýíåðãèé E > 1.33 Ãý îòíîøåíèå èçìåðåííîé âåëè÷èíû ê ïðåäñêàçàííîé ñîñòàâëÿåò

(Rµ/e )measured ≈ 0.658. (Rµ/e )predicted

Òàêèì îáðàçîì, äàííàÿ àíîìàëèÿ â òå÷åíèè äîëãîãî âðåìåíè ðàññìàòðèâàëàñü â êà÷åñòâå îáîñíîâàíèÿ ðåàëüíîñòè íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé.  õîäå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà Ñóïåð-Êàìèîêàíäå áûë íå òîëüêî ïîäòâåðæäåí ôàêò óìåíüøåíèÿ ÷èñëà ìþîííûõ íåéòðèíî, íî òàêæå áûëî èçó÷åíî óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ìþîííûõ è ýëåêòðîííûõ íåéòðèíî [26]. Áûëî íàéäåíî, ÷òî ýëåêòðîííûå íåéòðèíî ðàñïðåäåëåíû ñèììåòðè÷íî â çàâèñèìîñòè îò çåíèòíîãî óãëà, òîãäà êàê ñèììåòðèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìþîííûõ íåéòðèíî ïî çåíèòíîìó óãëó îêàçàëàñü ÿâíî íàðóøåííîé. Ñëåäîâàòåëüíî, 1 Ïðè

ýíåðãèÿõ, áîëüøèõ ÷åì 1 ÃýÂ, äàííîå îòíîøåíèå áîëüøå, ÷åì 2.

13

÷èñëî ìþîííûõ íåéòðèíî ñèëüíî çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êîé èõ ðîæäåíèÿ â àòìîñôåðå è äåòåêòîðîì. Íàèëó÷øåå òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå äàííûõ ýêñïåðèìåíòà Ñóïåð-Êàìèîêàíäå ñîñòîèò â ïðåäïîëîæåíèè î òîì, ÷òî ìþîííîå íåéòðèíî ïðåâðàùàåòñÿ â τ -ëåïòîííîå â ðåçóëüòàòå íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé. Âåëè÷èíû ïàðàìåòðîâ îñöèëëÿöèé ïðè ýòîì èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ

∆m2atm = 2.5 × 10−3 ýÂ2 ,

sin2 2θatm = 1.

1.4 Ðåàêòîðíûå ýêñïåðèìåíòû Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî ñ âåëè÷èíîé ∆m2 â äèàïàçîíå îñöèëëÿöèé àòìîñôåðíûõ íåéòðèíî (ñì., ðàçäåë 1.3) èññëåäîâàëèñü â ýêñïåðèìåíòå K2K [28].  äàííîì ýêñïåðèìåíòå íåéòðèíî, ðîæäàþùèåñÿ ãëàâíûì îáðàçîì ïðè ðàñïàäàõ ïèîíîâ, ðåãèñòðèðîâàëèñü äåòåêòîðîì Ñóïåð-Êàìèîêàíäå. Ïèîíû ðîæäàëèñü â óñêîðèòåëå KEK (E ∼ 12 ÃýÂ), êîòîðûé íàõîäèëñÿ íà ðàññòîÿíèè ïðèìåðíî 250 êì îò äåòåêòîðà Ñóïåð-Êàìèîêàíäå. Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ íåéòðèíî ñîñòàâëÿëà ïîðÿäêà 1.3 ÃýÂ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû êîíòðîëèðîâàòü ôëåéâîðíûé ñîñòàâ ïó÷êà íåéòðèíî íåïîñðåäñòâåííî íà âûõîäå èç óñêîðèòåëÿ, áûëè ñîîðóæåíû äâà äîïîëíèòåëüíûõ äåòåêòîðà íà ðàññòîÿíèè ïðèìåðíî 300 ì. Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ÷èñëî è ñïåêòð ìþîííûõ íåéòðèíî, çàðåãèñòðèðîâàííûõ äåòåêòîðîì Ñóïåð-Êàìèîêàíäå, ñðàâíèâàëèñü ñ èçìåðåíèÿìè äâóõ áëèçëåæàùèõ äåòåêòîðîâ â ïðåäïîëîæåíèè îá îòñóòñòâèè îñöèëëÿöèé. Ïåðâûå ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà K2K áûëè íåäàâíî îïóáëèêîâàíû [28]. Îáùåå ÷èñëî ìþîííûõ íåéòðèíî, çàðåãèñòðèðîâàííûõ äåòåêòîðîì ÑóïåðÊàìèîêàíäå îêàçàëîñü ðàâíûì ≈ 56, òîãäà êàê îæèäàåìîå ÷èñëî ñîñòàâëÿåò ≈ 80. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííûå äëèííîáàçîâîãî óñêîðèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà K2K óêàçûâàþò íà ôàêò èñ÷åçíîâåíèÿ ìþîííûõ íåéòðèíî. Âåëè÷è-

14

íû ïàðàìåòðîâ îñöèëëÿöèé â äàííîì ñëó÷àå ðàâíû

∆m2K2K = 2.8 × 10−3 ýÂ2 ,

sin2 2θK2K = 1.

Ñðåäè äëèííîáàçîâûõ ðåàêòîðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî èçó÷åíèþ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî ñëåäóåò îòìåòèòü ýêñïåðèìåíòû ØÓÇ (CHOOZ) [29] è Ïàëî Âåðäå [30]. Öåëü äàííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû èññëåäîâàòü èñ÷åçíîâåíèå ýëåêòðîííûõ àíòèíåéòðèíî. Íåñìîòðÿ íà òîò ôàêò, ÷òî â ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõ íå îáíàðóæåíî óêàçàíèé íà îñöèëëÿöèè íåéòðèíî, èõ ðåçóëüòàòû âàæíû äëÿ èçó÷åíèÿ ñìåøèâàíèÿ íåéòðèíî. Íå âäàâàÿñü â òåõíè÷åñêèå äåòàëè ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòîâ, ïðèâåäåì çäåñü ëèøü âåëè÷èíû ïàðàìåòðîâ îñöèëëÿöèé

∆m2 = 2.5 × 10−3 ýÂ2 ,

sin2 2θ . 1.5 × 10−1 .

Åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî ïîëó÷åíî ñîâñåì íåäàâíî â õîäå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà ÊàìËÝÍÄ (KamLAND) [31].  äàííîì ýêñïåðèìåíòå ðåãèñòðèðîâàëèñü ýëåêòðîííûå àíòèíåéòðèíî îò ÿäåðíûõ ðåàêòîðîâ â ßïîíèè è Êîðåå ïðè ïîìîùè ïðîöåññà

ν¯e + p → e+ + n. Ýíåðãåòè÷åñêèé ïîðîã äàííîãî ïðîöåññà ñîñòàâëÿåò ≈ 1.8 ÌýÂ. Äåòåêòîð ðåãèñòðèðîâàë àíòèíåéòðèíî îò 26 ðåàêòîðîâ ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèÿõ 138 − 214 êì.  òå÷åíèè 145 äíåé ïðîâåäåíèÿ äàííîãî ýêñïåðèìåíòà áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî 54 ýëåêòðîííûõ àíòèíåéòðèíî â ïðîòèâîïîëîæíîñòü ïðèìåðíî 87 îæèäàåìûì. Òàêæå áûë èçó÷åí ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð àíòèíåéòðèíî. Ñëåäóåò ïðèâåñòè âåëè÷èíû ïàðàìåòðîâ îñöèëëÿöèé ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè àíàëèçå ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà ÊàìËÝÍÄ

∆m2KamLAND = 6.9 × 10−5 ýÂ2 ,

sin2 2θKamLAND = 1.

15

Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà ÊàìËÝÍÄ ïîçâîëÿþò èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ ïàðàìåòðû îñöèëëÿöèé íåéòðèíî, ñîîòâåòñòâóþùèå ìàëîìó óãëó ñìåøèâàíèÿ è âàêóóìíûì îñöèëëÿöèÿì. Òàêèì îáðàçîì, åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ðåøåíèåì ïðîáëåìû ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî, êîòîðîå ñîãëàñóåòñÿ ñ äàííûìè ýêñïåðèìåíòà ÊàìËÝÍÄ, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå LMA ÌÑÂ1 .

1.5 Ñîâðåìåííûå êèíåìàòè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ íà ¾ìàññû¿ ôëåéâîðíûõ íåéòðèíî  ýòîì ðàçäåëå ïðèâåäåíû ñîâðåìåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà ìàññû ýëåêòðîííîãî, ìþîííîãî è τ -ëåïòîííîãî íåéòðèíî.  ðàçäåëå 1.6 (ñì. íèæå) îòìå÷åíî, ÷òî ôëåéâîðíûå íåéòðèíî ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèåé ìàññîâûõ ñîñòîÿíèé. Ñëåäîâàòåëüíî ìîæíî ãîâîðèòü ëèøü îá ýôôåêòèâíîé ìàññå ñîîòâåòñòâóþùåãî ôëåéâîðíîãî íåéòðèíî.

1.5.1 Ýêñïåðèìåíòû ïî èçó÷åíèþ β -ðàñïàäà è èçìåðåíèå ìàññû íåéòðèíî Ñòàíäàðòíûé ìåòîä èçìåðåíèÿ àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ ìàññû íåéòðèíî ñîñòîèò â äåòàëüíîì èññëåäîâàíèè âûñîêîýíåðãåòè÷åñêîãî äèàïàçîíà ñïåêòðà

β ýëåêòðîíîâ, îáðàçóþùèõñÿ ïðè ðàäèîàêòèâíîì ðàñïàäå òðèòèÿ 3

H →3 He + e− + ν¯e .

Äàííûé ðàñïàä èìååò ìàëîå ýíåðãîâûäåëåíèå (E ≈ 18.6 êýÂ), à ïåðèîä ïîëóðàñïàäà òðèòèÿ ñîñòàâëÿåò T1/2 ≈ 12.3 ëåò. Âåäóùèìè íàó÷íûìè öåíòðàìè ïî èçó÷åíèþ β -ðàñïàäà ÿâëÿþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå ãðóïïû â Òðîèöêå [32] è Ìàéíöå [16]. Òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ìàññû íåéòðèíî â äàííûõ ýêñïåðèìåíòàõ ñîñòàâëÿåò ïîðÿäêà 2 − 3 ýÂ. 1 Ýôôåêò

Ìèõååâà-Ñìèðíîâà-Âîëüôåíøòåéíà, ñì. íèæå.

16

 ýêñïåðèìåíòå [16] èñïîëüçîâàëñÿ ìîëåêóëÿðíûé òðèòèé, ñêîíäåíñèðîâàííûé íà ãðàôèòîâîé îñíîâå. Ñïåêòð ýëåêòðîíîâ èçìåðÿëñÿ ïðè ïîìîùè èíòåãðàëüíîãî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ñïåêòðîìåòðà, êîòîðûé ñîâìåùàåò âûñîêóþ ñâåòîñèëó ñ âûñîêèì ðàçðåøåíèåì.  ðåçóëüòàòå ïðîâåäåíèÿ äàííîãî ýêñïåðèìåíòà ïîëó÷åíî ñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå íà ìàññó íåéòðèíî

m1 < 2.2 ýÂ.

(1.5.1)

Íàïîìíèì, ÷òî, íàïðèìåð, ýëåêòðîííîå íåéòðèíî íå ÿâëÿåòñÿ ìàññîâûì ñîñòîÿíèåì. Ñëåäîâàòåëüíî, â ôîðìóëå (1.5.1) ïðèâåäåíî îãðàíè÷åíèå íà ìàññó ñàìîãî ëåãêîãî ìàññîâîãî ñîñòîÿíèÿ (ñì. òàêæå ðàçäåë 1.6).  Òðîèöêîì ýêñïåðèìåíòå òàêæå èñïîëüçîâàëñÿ èíòåãðàëüíûé ýëåêòðîñòàòè÷åñêèé ñïåêòðîìåòð, ðàçðåøåíèå êîòîðîãî ñîñòàâëÿëî 3.5 − 4 ýÂ.  ýòîì ýêñïåðèìåíòå ïîëó÷åíî îãðàíè÷åíèå íà ìàññó íåéòðèíî, êîòîðîå ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòîì (1.5.1) è ñîñòàâëÿåò

m1 < 2.2 ýÂ. Î÷åíü âàæíûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîïðîñ î òîì, ÿâëÿåòñÿ ëè ìàññèâíîå íåéòðèíî äèðàêîâñêîé èëè ìàéîðàíîâñêîé ÷àñòèöåé. Ýêñïåðèìåíòû ïî èññëåäîâàíèþ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî íå ìîãóò ïðîëèòü ñâåò íà ýòó ôóíäàìåíòàëüíóþ ïðîáëåìó. Ïðèðîäà íåéòðèíî ìîæåò áûòü ðàçãàäàíà â ýêñïåðèìåíòàõ ïî ïîèñêó áåçíåéòðèííîãî äâîéíîãî β -ðàñïàäà. Áåçíåéòðèííûé äâîéíîé β -ðàñïàä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåàêöèþ òèïà

(A, Z) → (A, Z + 2) + e− + e− ,

(1.5.2)

ãäå (A, Z) - ÿäðî ñ çàðÿäîì Z è ìàññîâûì ÷èñëîì A. Ðåàêöèè âèäà (1.5.2) èçó÷àëèñü âî ìíîãèõ ýêñïåðèìåíòàõ, âåäóùèìè èç êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ êîëëàáîðàöèè Ãåéäåëüáåðã-Ìîñêâà [33] è IGEX [34].  ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõ èçó÷àëñÿ ðàñïàä ÿäåð ãåðìàíèÿ

76

Ge. Â ðåçóëüòàòå ïî-

17

ëó÷åíû ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà ïåðèîä ïîëóðàñïàäà

T1/2 ≥ 1.9 × 1025 ëåò,

Ãåéäåëüáåðã-Ìîñêâà,

T1/2 ≥ 1.57 × 1025 ëåò,

IGEX.

Èñõîäÿ èç ïîëó÷åííûõ ïåðèîäîâ ïîëóðàñïàäà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ýôôåêòèâíàÿ ìàññà íåéòðèíî, êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåò

|m| ≤ (0.35 − 1.24) ýÂ. Íåñìîòðÿ íà íåäàâíèå ñîîáùåíèÿ ãðóïïû Ãåéäåëüáåðã-Ìîñêâà î òîì, ÷òî èìè áûëî îáíàðóæåíî óêàçàíèå íà áåçíåéòðèííûé äâîéíîé β -ðàñïàä, äàííûé ðåçóëüòàò áûë ïîäâåðíóò æåñòêîé êðèòèêå â ðàáîòàõ [35, 36]. Íåñìîòðÿ íà êðèòèêó, èññëåäîâàòåëÿì èç ãðóïïû Ãåéäåëüáåðã-Ìîñêâà â ïîñëåäíåå âðåìÿ óäàëîñü çíà÷èòåëüíî ïîâûñèòü òî÷íîñòü ñâîèõ èçìåðåíèé [37].

1.5.2 Îãðàíè÷åíèå íà ìàññû ìþîííîãî è τ -ëåïòîííîãî íåéòðèíî Íàèáîëåå ñîâðåìåííûå äàííûå î ìàññàõ ìþîííîãî è τ -ëåïòîííîãî íåéòðèíî ïðèâåäåíû â îáçîðå [38]. Ðåçóëüòàòû, èñïîëüçîâàííûå â íàñòîÿùåì ðàçäåëå âçÿòû èç ýòîãî îáçîðà. Âåðõíÿÿ ãðàíèöà ìàññû ìþîííîãî íåéòðèíî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà íà îñíîâå äàííûõ î íóêëåîñèíòåçå â ðàííåé Âñåëåííîé, à òàêæå èç óñêîðèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Êîñìîëîãè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ íà ìàññó ìþîííîãî íåéòðèíî îñíîâûâàþòñÿ íà àíàëèçå òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ íèæå òî÷êè ôàçîâîãî ïåðåõîäà ÊÕÄ äëÿ ïðàâî-ïîëÿðèçîâàííûõ äèðàêîâñêèõ íåéòðèíî. Êîñìîëîãè÷åñêîå îãðàíè÷åíèå ñîñòàâëÿåò mνµ < 0.15÷0.48 ÌýÂ.  óñêîðèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ èññëåäóþòñÿ ðàñïàäû çàðÿæåííûõ ïèîíîâ âèäà

π + → µ+ + νµ . Ïîäîáíûå ýêñïåðèìåíòû äàþò îãðàíè÷åíèå íà ìàññó ìþîííîãî íåéòðèíî ïîðÿäêà mνµ < 0.17 ÷ 0.65 ÌýÂ.

18

Îãðàíè÷åíèÿ íà ìàññó τ -ëåïòîííîãî íåéòðèíî òàêæå ìîæíî óñëîâíî ðàçäåëèòü íà êîñìîëîãè÷åñêèå è óñêîðèòåëüíûå. Êîñìîëîãè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ ñîñòàâëÿþò mντ < 0.19 ÷ 1 ÌýÂ.  óñêîðèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ èññëåäîâàëèñü ðåàêöèè âèäà

τ − → 2π − π + ντ , τ − → π − π + π − π 0 ντ , τ − → 3π − 2π + ντ , τ − → 2π − π + 2π 0 ντ . Ñîîòâåòñòâóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà ìàññó ñîñòàâëÿþò ïîðÿäêà mντ < 28 ÷

70 ÌýÂ. Èç îöåíîê, ïðèâåäåííûõ â ðàçäåëàõ 1.5.1 è 1.5.2, âèäíî, ÷òî äëÿ ýëåêòðîííîãî, ìþîííîãî è τ -ëåïòîííîãî íåéòðèíî ìàññîâûå ñëàãàåìûå â ëàãðàíæèàíå ìàëû.

1.6 Îñíîâû ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé òåîðèè ìàññû è ñìåøèâàíèÿ íåéòðèíî  ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ 1.2-1.4 áûëè âûäâèíóòû äîñòàòî÷íî âåñêèå äîâîäû â ïîëüçó ñóùåñòâîâàíèÿ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî. Èññëåäîâàíèå îñöèëëÿöèé íåéòðèíî îñíîâûâàåòñÿ íà ñîãëàñóþùèõñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì ïðåäïîëîæåíèÿõ î òîì, ÷òî

• Âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ äðóãèìè ÷àñòèöàìè îïèñûâàåòñÿ â ðàìêàõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé.

• Ñóùåñòâóþò òðè ôëåéâîðíûõ ïîêîëåíèÿ íåéòðèíî.  ðàìêàõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé âñå òðè ïîêîëåíèÿ íåéòðèíî ÿâëÿþòñÿ áåçìàññîâûìè ÷àñòèöàìè, è âñå òðè ëåïòîííûõ

19

÷èñëà ïî îòäåëüíîñòè ñîõðàíÿþòñÿ. Ãèïîòåçà ñìåøèâàíèÿ íåéòðèíî îñíîâûâàåòñÿ íà òîì, ÷òî ïîëíûé ëàãðàíæèàí, îïèñûâàþùèé íåéòðèííûå ïîëÿ, ñîäåðæèò ìàññîâûå ñëàãàåìûå, îòâåòñòâåííûå çà íåñîõðàíåíèå ôëåéâîðíûõ ëåïòîííûõ ÷èñåë. Ñóùåñòâóþò äâà îñíîâíûõ âèäà ìàññîâûõ ÷ëåíîâ: 1. Äèðàêîâñêèé ìàññîâûé ÷ëåí

−LD = ν¯R M D νL + h.c., ãäå M D - êîìïëåêñíàÿ íåäèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. 2. Ìàéîðàíîâñêèé ìàññîâûé ÷ëåí c

−LM = (νL ) M M νL + h.c., ãäå M M - ñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöà. Çàìåòèì, ÷òî â äàííûõ îïðåäåëåíèÿõ ν - ýòî ñòîëáåö, ñîäåðæàùèé ôëåéâîðíûå íåéòðèíî, ò.å. ÷àñòèöû, êîòîðûå ó÷àñòâóþò â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ôëåéâîðíûå ñîñòîÿíèÿ ñâÿçàíû ñ ìàññîâûìè ν (m) , ò.å. ñîñòîÿíèÿìè íåéòðèíî ñ îïðåäåëåííîé ìàññîé, ïîñðåäñòâîì óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (m)

νl

=

X

Uli νi .

(1.6.1)

i

Ëàãðàíæèàí, çàïèñàííûé â òåðìèíàõ ìàññîâûõ ñîñòîÿíèé èìååò äèàãîíàëüíûé âèä.

1.7 Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî Íà ïðèìåðå äâóõ ïîêîëåíèé íåéòðèíî êðàòêî ðàññìîòðèì ÿâëåíèå îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â âàêóóìå. Óðàâíåíèå âðåìåííîé ýâîëþöèè ìàññîâûõ íåéòðèíî èìååò âèä

∂ν (m) i (t) = Hν (m) (t), ∂t

(1.7.1)

20

ãäå ãàìèëüòîíèàí èìååò äèàãîíàëüíûé âèä H = diag(E1 , E2 ). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ìàëîñòü ìàññ íåéòðèíî ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ýíåðãèÿìè, íàõîäèì, ÷òî ãàìèëüòîíèàí ïðåäñòàâèì â âèäå

µ ¶ m21 + m22 ∆m2 H = |p| + − σ3 , 4|p| 4|p| (m)

ãäå m1 è m2 - ìàññû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîñòîÿíèÿì ν1

(1.7.2) (m)

è ν2 , p - èìïóëüñ

íåéòðèíî, ∆m2 = m22 − m21 .  ñëó÷àå äâóõ ïîêîëåíèé íåéòðèíî ìàòðèöà U â ôîðìóëå (1.6.1) ìîæåò áûòü ïàðàìåòðèçîâàíà ïðè ïîìîùè îäíîãî óãëà θvac

à U=

cos θvac

!

sin θvac

− sin θvac cos θvac

(1.7.3)

.

Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (1.7.1)-(1.7.3) ïîëó÷àåì äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ôëåéâîðíûõ íåéòðèíî, íàïðèìåð νe → νµ , ñëåäóþùåå âûðàæåíèå

µ 2

2

Pνe →νµ (x) = |hνµ |νe (x)i| = sin 2θvac sin

2

¶ ∆m2 x . 4E

(1.7.4)

Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî νe îñòàíåòñÿ â ïðåæíåì ñîñòîÿíèè ïîëó÷àåòñÿ íà îñíîâå âûðàæåíèÿ (1.7.4) è èìååò âèä

Pνe →νe (x) = 1 − Pνe →νµ (x). Ðàññìîòðèì òåïåðü êàê íàëè÷èå âåùåñòâà ñêàæåòñÿ íà ïðîöåññå îñöèëëÿöèé. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî çäåñü ìû áóäåì èññëåäîâàòü ñëó÷àé îäíîðîäíîé, íåïîäâèæíîé è íåïîëÿðèçîâàííîé ñðåäû. Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, íåéòðèíî âçàèìîäåéñòâóåò ñ ÷àñòèöàìè âåùåñòâà ïîñðåäñòâîì ñëàáûõ òîêîâ. Ëàãðàíæèàí òàêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ èìååò ôîðìó

4GF L = − √ jµ(mat) j (ν)µ , 2 ãäå j (mat)µ è j (ν)µ - ñëàáûå òîêè ÷àñòèö âåùåñòâà è íåéòðèíî.

(1.7.5)

21

Îòáðàñûâàÿ â âûðàæåíèè (1.7.5) ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå ñêîðîñòè è ïîëÿðèçàöèè âåùåñòâà, ïîëó÷àåì ýôôåêòèâíûé ãàìèëüòîíèàí, îïèñûâàþùèé âðåìåííóþ ýâîëþöèþ äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû, êîòîðûé èìååò âèä

∆m2 = 4E

à ! − cos 2θeff sin 2θeff

, (1.7.6) sin 2θeff cos 2θeff ãäå ýôôåêòèâíûé óãîë ñìåøèâàíèÿ äàåòñÿ ôîðìóëîé ∆m2 sin 2θvac √ tg 2θeff = . (1.7.7) ∆m2 cos 2θvac − 2 2GF ne E Çàìåòèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â ñëó÷àå ôîðìóë (1.7.6) è (1.7.7) àíàHeff

ëîãè÷íà ñîîòíîøåíèþ (1.7.4), åñëè ïðîèçâåñòè çàìåíó θvac → θeff . Ñëåäîâàòåëüíî, ýôôåêòèâíûé óãîë ñìåøèâàíèÿ äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ π/4 ïðè óñëî-

√

âèè, ÷òî ∆m2 cos 2θvac = 2 2GF ne E .  ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ìîæåò äîñòèãàòü åäèíè÷íîãî çíà÷åíèÿ äàæå â ñëó÷àå ìàëîãî âàêóóìíîãî óãëà ñìåøèâàíèÿ, ò.å. èìååò ìåñòî ðåçîíàíñíîå óñèëåíèå îñöèëëÿöèé íåéòðèíî (ýôôåêò Ìèõååâà-Ñìèðíîâà-Âîëüôåíøòåéíà). Äàííîå ÿâëåíèå áûëî ïðåäñêàçàíî Ìèõååâûì è Ñìèðíîâûì [39] íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ ôîðìóëû Âîëüôåíøòåéíà [40] äëÿ ýôôåêòèâíîãî óãëà ñìåøèâàíèÿ â âåùåñòâå. Íàëè÷èå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ òàêæå áóäåò âëèÿòü íà ïðîöåññ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî.  ñëó÷àå, åñëè íåéòðèíî îáëàäàåò íåíóëåâîé ìàññîé, ó íåãî íåèçáåæíî ïîÿâëÿåòñÿ ìàãíèòíûé ìîìåíò (ñì. íèæå), êîòîðûé, â îòëè÷èå îò ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà, èìååò àíîìàëüíóþ ïðèðîäó è öåëèêîì îáóñëîâëåí âçàèìîäåéñòâèåì ñ âàêóóìîì ýëåêòðîñëàáîé ìîäåëè, ò.å. ðàäèàöèîííûìè ïîïðàâêàìè. Ðàññìîòðèì ñïèí-ôëåéâîðíûå îñöèëëÿöèè íåéòðèíî, ò.å., íàïðèìåð, ïåðåõîäû âèäà νe− ↔ νµ+ , ãäå ñîñòîÿíèÿ, îòìå÷åííûå çíàêàìè ¾−¿ è ¾+¿ ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûì ñïèðàëüíîñòÿì. Ýôôåêòèâíûé ãàìèëüòîíèàí ïðèíèìàåò ôîðìó (ñì., íàïðèìåð ðàáîòû [4143])



Heff

 ∆m2 cos 2θvac + Vνe µB  − =  4E , ∆m2  µB 4E

22

ãäå Vνe - ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîííîãî íåéòðèíî ñî ñðåäîé, µ ïåðåõîäíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò, B - íàïðÿæåííîñòü ïîïåðå÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðè ñïèí-ôëåéâîðíûõ îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî òàêæå âîçìîæíî èõ ðåçîíàíñíîå óñèëåíèå. Ïðèíöèïèàëüíî äàííûé ýôôåêò âî ìíîãèõ îòíîøåíèÿõ àíàëîãè÷åí ýôôåêòó Ìèõååâà-Ñìèðíîâà-Âîëüôåíøòåéíà (ÌÑÂ), è ïîýòîìó â äàííîé ðàáîòå íå ïðèâîäèòñÿ åãî ïîäðîáíîãî îïèñàíèÿ. Îòìåòèì ëèøü, ÷òî ìåõàíèçì ðåçîíàíñíîãî óñèëåíèÿ ñïèí-ôëåéâîðíûõ îñöèëëÿöèé áûë ðàçðàáîòàí â ñòàòüÿõ [4447], ãäå ìîæíî òàêæå íàéòè íåêîòîðûå åãî âîçìîæíûå ïðèëîæåíèÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåìû ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ñïèíôëåéâîðíûõ îñöèëëÿöèé òðåáóþòñÿ íàïðÿæåííîñòè ñîëíå÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîðÿäêà 100 êÃñ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî áîëüøîé âåëè÷èíîé. Ìàëîâåðîÿòíî, ÷òî ìàãíèòíûå ïîëÿ òàêîé íàïðÿæåííîñòè ìîãóò âîçíèêàòü äàæå â êîíâåêòèâíîé çîíå Ñîëíöà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïèí-ôëåéâîðíûå îñöèëëÿöèè ÿâëÿþòñÿ âòîðîñòåïåííûì ìåõàíèçìîì ïðè êîíâåðñèè ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî. Îäíàêî äàííûé ìåõàíèçì íå ñëåäóåò ñîâñåì èñêëþ÷àòü èç ïîëÿ çðåíèÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ïðîáëåìû ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî. Êàê ïîêàçàíî â íåäàâíî îïóáëèêîâàííûõ ðàáîòàõ (ñì., íàïðèìåð [48, 49]), ñïèí-ôëåéâîðíûå îñöèëëÿöèè ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî îáåñïå÷èâàþò îãðàíè÷åíèÿ íà ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî è íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ Ñîëíöà.

1.8 Ýëåêòðîìàãíèòíûå õàðàêòåðèñòèêè íåéòðèíî  ðàìêàõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé íåéòðèíî ÿâëÿåòñÿ áåçìàññîâîé ÷àñòèöåé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå åãî ñòàòè÷åñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå õàðàêòåðèñòèêè, òàêèå êàê çàðÿä è ìàãíèòíûé ìîìåíò, ðàâíû íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, íåíóëåâîé ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî - ýòî ïðÿìîå óêàçàíèå íà òåîðèþ çà ïðåäåëàìè ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Ñàìûé ïðîñòîé ñïîñîá ïîëó÷èòü ìàãíèòíûé ìîìåíò ñîñòîèò âî ââåäåíèè

23

â òåîðèþ SU(2)-ñèíãëåòíîãî ïðàâîãî íåéòðèíî. Îäíàêî, ìàãíèòíûé ìîìåíò â ïîäîáíîé òåîðèè ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñîñòàâëÿåò ∼ eGF mν . Ïîñêîëüêó ìàññà ýëåêòðîííîãî íåéòðèíî íå ìîæåò ïðåâûøàòü 10 ýÂ, òî ìàãíèòíûé ìîìåíò îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå, ÷åì 10−18 µB . Ìàãíèòíûé ìîìåíò â ìèíèìàëüíî ðàñøèðåííîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ðàññìàòðèâàëñÿ â ðàáîòàõ [5055].  ñòàòüÿõ [5052] âïåðâûå áûëî ïîëó÷åíî âûðàæåíèå äëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî â ñëó÷àå ëåãêîé ÷àñòèöû, ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ìàññà çàðÿæåííîãî ëåïòîíà âî ìíîãî ðàç ìåíüøå ìàññû W -áîçîíà. Äàííûé ðåçóëüòàò ìíîãîêðàòíî ïîäòâåðæäàëñÿ â äðóãèõ èññëåäîâàíèÿõ (ñì., íàïðèìåð, ðàçäåë 2.3.2). Ñëåäóþùèì øàãîì â èññëåäîâàíèè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî áûëî ïðèìåíåíèå Rξ -êàëèáðîâêè ïðè ðàñ÷åòå ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì. Îäíàêî â ñòàòüå [54] âêëàäû íåñêîëüêèõ äèàãðàìì áûëè âû÷èñëåíû ñ îøèáêàìè. Ýòè íåäî÷åòû áûëè èñïðàâëåíû â ðàáîòå [55] (ñì. òàêæå ðàçäåë 2.3.2 äèññåðòàöèè). Èäåÿ î òîì, ÷òî íåéòðèíî ìîæåò îáëàäàòü áîëüøèì ìàãíèòíûì ìîìåíòîì (ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäñêàçàíèåì ìèíèìàëüíî ðàñøèðåííîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè) áûëà ïðåäëîæåíà â ðàáîòå [56]. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ñïîñîáû ïîëó÷èòü áîëüøèå çíà÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà: íåéòðèíî

• Ðàñøèðåíèå ãðóïïû ñèììåòðèé ýëåêòðîñëàáîé ìîäåëè. • Èñïîëüçîâàíèå äîïîëíèòåëüíîé ãðóïïû SU(2), ãåíåðàòîðû êîòîðîé êîììóòèðóþò ñ ãåíåðàòîðàìè êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû SU(2)L . Ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ñèììåòðèÿ SU(2)H [5759], â êîòîðîé νeL è

νµL îáðàçóþò äóáëåò. Ìàãíèòíûé ìîìåíò â ýòîì ñëó÷àå ñâÿçûâàåò νe è νµ , ò. å. ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîäíûì.  ïðåäåëå íåíàðóøåííîé SU(2)H ñèììåòðèè ìàññà ýëåêòðîíà äîëæíà áûòü ðàâíîé ìàññå ìþîíà. Ñëåäîâàòåëüíî äàííàÿ ñèììåòðèÿ äîëæíà áûòü íàðóøåííîé.

• Ìîæíî èñïîëüçîâàòü äèñêðåòíûå ñèììåòðèè ñî ñïåöèàëüíî ïîäîáðàííûìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè [42].

24

• Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ íàéòè äèñêðåòíóþ íåàáåëåâó ñèììåòðèþ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ÷ëåí ñ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì, à ìàññîâîå ñëàãàåìîå  íåò. Ñóùåñòâóþò ìíîãî÷èñëåííûå íåàáåëåâû ñèììåòðèè, óäîâëåòâîðÿþùèå äàííîìó óñëîâèþ [60]. Èçó÷åíèþ äðóãîé âàæíîé ýëåêòðîìàãíèòíîé õàðàêòåðèñòèêè íåéòðèíî, åå ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ïîñâÿùåíî ìíîæåñòâî èññëåäîâàíèé (ñì., íàïðèìåð, ñòàòüè [54, 61, 62]). Îäíàêî â äàííûõ ðàáîòàõ íå ó÷èòûâàëàñü íåíóëåâàÿ ìàññà íåéòðèíî, ò.å. âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäèëèñü â ðàìêàõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Íóëåâîé çàðÿä íåéòðèíî ñîîòâåòñòâóåò íåíàðóøåííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè. Ýòî ñëåäóåò èç òîæäåñòâ Óîðäà, âûâåäåííûõ â ðàáîòàõ [54, 62].  òåîðèè ñ íàðóøåííîé C- è P-èíâàðèàíòíîñòüþ íàðÿäó ñ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì è ìàãíèòíûì ìîìåíòîì ÷àñòèöà ìîæåò îáëàäàòü åùå îäíèì ñòàòè÷åñêèì ýëåêòðîìàãíèòíûì ìîìåíòîì. Êàê ïðàâèëî åãî âûðàæàþò â âèäå àíàïîëüíîãî ìîìåíòà. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî äàæå áåçìàññîâàÿ ÷àñòèöà ìîæåò îáëàäàòü àíàïîëüíûì ìîìåíòîì. Èç íåäàâíèõ ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ èññëåäîâàíèþ äàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé õàðàêòåðèñòèêè, ñëåäóåò óïîìÿíóòü ñòàòüè [6365]. Íàðÿäó ñî ñòàòè÷åñêèìè ýëåêòðîìàãíèòíûìè ìîìåíòàìè, íåéòðèíî, ÿâëÿÿñü ôåðìèîíîì ñî ñïèíîì 1/2, ìîæåò îáëàäàòü ÷åòûðüìÿ ýëåêòðîìàãíèòíûìè ôîðìôàêòîðàìè [66]. Ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè íà ÷åòûðå ôîðìôàêòîðà èññëåäîâàëîñü â ñòàòüÿõ [67,68] íà îñíîâå îáùèõ ïðèíöèïîâ, òàêèõ êàê ëîðåíö- è CP-èíâàðèàíòíîñòü, ñîõðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà, à òàêæå óñëîâèå ýðìèòîâîñòè îïåðàòîðà ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà. Íåìàëîâàæíîé âåëè÷èíîé, õàðàêòåðèçóþùåé ýëåêòðîìàãíèòíûå ñâîéñòâà ÷àñòèöû, ÿâëÿåòñÿ åå çàðÿäîâûé ðàäèóñ. Ðÿä íåäàâíî îïóáëèêîâàííûõ ñòàòåé ïîñâÿùåí âû÷èñëåíèþ çàðÿäîâîãî ðàäèóñà íåéòðèíî [69, 70]. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ñâîéñòâà íåéòðèíî (ðàñ÷åò ìàññîâîãî îïåðàòîðà, ìàã-

25

íèòíîãî è àíàïîëüíîãî ìîìåíòîâ) â ïðèñóòñòâèè âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñðåäû ðàññìàòðèâàëèñü â ñåðèè ðàáîò [53,7175]. Çàìåòèì, ÷òî íàëè÷èå ó íåéòðèíî íåíóëåâîé ìàññû âëå÷åò çà ñîáîé íå òîëüêî âîçíèêíîâåíèå íåòðèâèàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñâîéñòâ ñàìîãî íåéòðèíî, íî òàêæå ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííûì ïîïðàâêàì â ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññàõ ñ ó÷àñòèåì íåéòðèíî, íàïðèìåð â β -ðàñïàäå íåéòðîíà âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå (ñì. ðàáîòó [76]).

1.9 Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñâîéñòâ íåéòðèíî â ïðèñóòñòâèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, à òàêæå îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â âåùåñòâå è ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ ðàçëè÷íîé êîíôèãóðàöèè.  êà÷åñòâå âîçìîæíûõ ïðèëîæåíèé ðåçóëüòàòîâ äàííûõ èññëåäîâàíèé ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàçëè÷íûå àñòðîôèçè÷åñêèå è êîñìîëîãè÷åñêèå ñðåäû, òàêèå êàê âåùåñòâî ðàííåé Âñåëåííîé, ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå êîñìè÷åñêîãî ìèêðîâîëíîâîãî èçëó÷åíèÿ è ò.ä.  ãëàâå 2 ðàññìîòðåíû ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû ìàññèâíîãî äèðàêîâñêîãî íåéòðèíî â ìèíèìàëüíî ðàñøèðåííîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ñ SU(2)-ñèíãëåòíûì ïðàâûì íåéòðèíî. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè âû÷èñëåíû âêëàäû îäíîïåòëåâûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â ýëåêòðîìàãíèòíóþ âåðøèííóþ ôóíêöèþ íåéòðèíî Λµ (q) â îáùåé Rξ êàëèáðîâêå. Èçó÷åíî ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè ìàññèâíîãî íåéòðèíî íà ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû. Èññëåäîâàíû ðàñõîäèìîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè íåéòðèíî. Ïîëó÷åíû çàìêíóòûå èíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ çàðÿäîâîãî, ìàãíèòíîãî è àíàïîëüíîãî ôîðìôàêòîðîâ, òî÷íî ó÷èòûâàþùèõ ìàññîâûå ïàðàìåòðû çàðÿæåííîãî ëåïòîíà, íåéòðèíî, è êàëèáðîâî÷íûå ïàðàìåòðû W - è Z -áîçîíîâ. Âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäèëèñü ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè êâàäðàòà èìïóëü-

26

ñà âíåøíåãî ôîòîíà. Èçó÷åíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà. Âûâåäåíû çàìêíóòûå èíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ñòàòè÷åñêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ õàðàêòåðèñòèê ìàññèâíîãî íåéòðèíî, ò.å. ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ìàãíèòíîãî è àíàïîëüíîãî ìîìåíòîâ. Èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü äàííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñâîéñòâ íåéòðèíî îò ìàññ âñåõ ÷àñòèö è îò êàëèáðîâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ. Ãëàâà 3 ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî â ïðîèçâîëüíûõ âíåøíèõ ïîëÿõ.  äàííîé ãëàâå ðàññìîòðåíà ýâîëþöèÿ ñïèíà íåéòðèíî â ðàìêàõ ôèçè÷åñêîé ìîäåëè, äîïóñêàþùåé íîâûå, áîëåå îáùèå òèïû âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî. Âûâåäåíî óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî íàïðÿìóþ èç ëàãðàíæèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî, êîòîðûé âêëþ÷àåò â ñåáÿ íå òîëüêî âåêòîðíîå è àêñèàëüíî-âåêòîðíîå âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, íî òàêæå ñêàëÿðíîå, ïñåâäîñêàëÿðíîå, òåíçîðíîå è ïñåâäîòåíçîðíîå âçàèìîäåéñòâèÿ.  ãëàâå 4 ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå ðåëàêñàöèè ñïèíà íåéòðèíî â âåùåñòâå ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè.  êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ÿâëåíèÿ èçó÷åíà ðåëàêñàöèÿ ñïèíà íåéòðèíî â âåùåñòâå ðàííåé Âñåëåííîé. Ïîëó÷åíî êîñìîëîãè÷åñêîå îãðàíè÷åíèå íà ìàññó ìþîííîãî íåéòðèíî. Ãëàâà 5 ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ ðàçëè÷íîé êîíôèãóðàöèè. Íà îñíîâå ïðåäëîæåííîãî â ãëàâå 3 ïîäõîäà äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî â ïðîèçâîëüíûõ âíåøíèõ ïîëÿõ ðàññìîòðåíû îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ïðèñóòñòâèè ïîëÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Äåòàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàíî óñëîâèå ðåçîíàíñíîãî óñèëåíèÿ îñöèëëÿöèé è ðàçðàáîòàí ïîäõîä ê êà÷åñòâåííîìó èññëåäîâàíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè íåéòðèíî âáëèçè òî÷êè ðåçîíàíñà. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî â ïåðåìåííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ ìîæåò âîçíèêàòü ÿâëåíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Äëÿ

27

äâóõ òèïîâ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé (àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû è ïîñòîÿííîãî âî âðåìåíè ïîïåðå÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùåéñÿ â ïðîñòðàíñòâå àìïëèòóäîé) íàéäåíû âåðîÿòíîñòè íåéòðèííûõ ïåðåõîäîâ è îáíàðóæåíî, ÷òî àìïëèòóäû âåðîÿòíîñòåé âîçðàñòàþò ñî âðåìåíåì ïðè îïðåäåëåííîì ïîäáîðå ïàðàìåòðîâ âíåøíèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé. Òàêæå îáñóæäàþòñÿ íåêîòîðûå âîçìîæíûå ïðèëîæåíèÿ ÿâëåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Ïîñëå çàêëþ÷åíèÿ (ãëàâà 6) ïðåäñòàâëåí íàáîð ïðàâèë Ôåéíìàíà (ïðèëîæåíèå A) è õàðàêòåðíûõ ôåéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ (ïðèëîæåíèå B), êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü â ãëàâå 2 ïðè èññëåäîâàíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ôîðìôàêòîðîâ ìàññèâíîãî íåéòðèíî.

Ãëàâà 2 Ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû ìàññèâíîãî íåéòðèíî Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî â ãëàâå 1, ïîñëåäíèå ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ïî èññëåäîâàíèþ àñòðîôèçè÷åñêèõ è íàçåìíûõ ïîòîêîâ íåéòðèíî ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì ÷òî íåéòðèíî îáëàäàåò íåíóëåâîé ìàññîé ïîêîÿ, è ÷òî ñóùåñòâóåò ñìåøèâàíèå ìåæäó ðàçëè÷íûìè ïîêîëåíèÿìè íåéòðèíî [77]. Ýòè ñâîéñòâà íåéòðèíî, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿåòñÿ îòëè÷èòåëüíûìè ÷åðòàìè ôèçèêè çà ïðåäåëàìè ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Èññëåäîâàíèå ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ê ñâîéñòâàì íåéòðèíî îáåñïå÷èâàåò âàæíóþ èíôîðìàöèþ î ïàðàìåòðàõ è ñòðóêòóðå ïðåäïîëàãàåìîé ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå òàêèõ õàðàêòåðèñòèê íåéòðèíî, êàê åå ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä è ìàãíèòíûé ìîìåíò, ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñïîñîáîâ ïðîâåðêè ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåòè÷åñêîé ìîäåëè.  ýòîé ñâÿçè íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî èçó÷åíèå çàâèñèìîñòè äàííûõ âåëè÷èí îò ìàññû íåéòðèíî è îò êàëèáðîâêè ïðåäñòàâëÿåò îñîáåííûé èíòåðåñ. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä è ìàãíèòíûé ìîìåíò ÿâëÿþòñÿ ñàìûìè âàæíûìè ñòàòè÷åñêèìè ýëåêòðîìàãíèòíûìè ñâîéñòâàìè ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ íåéòðèíî è, â ÷àñòíîñòè, åå ðàçëîæåíèå íà ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû ïðè íåíóëåâîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà â ðàìêàõ ðàçëè÷íûõ êà28

29

ëèáðîâî÷íûõ òåîðèé îáñóæäàëàñü â ðàáîòàõ [67, 68]. Âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ íåéòðèíî â ïðåäåëå ìàëîé ìàññû íåéòðèíî ðàññìàòðèâàëàñü â ñòàòüå [50]. Çàðÿä íåéòðèíî â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè âû÷èñëÿëñÿ â ðàáîòàõ [61, 7880] ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçíîîáðàçíûõ êàëèáðîâîê, òàêèõ êàê óíèòàðíàÿ, ëèíåéíàÿ Rξ , à òàêæå êàëèáðîâêà 'ò Õîôòà-Ôåéíìàíà. Âêëàäû ðàçëè÷íûõ äèàãðàìì â ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ðàññìàòðèâàëèñü ðàíåå â ñòàòüÿõ [5053]. Íóëåâîå çíà÷åíèå çàðÿäà áåçìàññîâîãî íåéòðèíî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì íåíàðóøåííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùèå òîæäåñòâà Óîðäà áûëè âûâåäåíû â ðàáîòàõ [54, 62] ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ôîíîâîãî ïîëÿ. Âû÷èñëåíèå ðàçëè÷íûõ äèàãðàìì â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè â ìîäåëè ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé, äàþùèõ âêëàäû â çàðÿä è ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî, ïðèâåäåíî â íåäàâíåé ñòàòüå [54].  ýòîé ðàáîòå èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä ôîíîâîãî ïîëÿ, à òàêæå ëèíåéíàÿ Rξ -êàëèáðîâêà. Îäíàêî, âî âñåõ ïðåäûäóùèõ ðàáîòàõ ïî èçó÷åíèþ çàðÿäà íåéòðèíî, âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäèëèñü â ïðåäïîëîæåíèè íóëåâîé ìàññû íåéòðèíî. ×òî êàñàåòñÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî, èçó÷åíèå äàííîé âåëè÷èíû ïðîèçâîäèëîñü â ïåðâîì íåíóëåâîì ïîðÿäêå ðàçëîæåíèÿ ïî ìàññå íåéòðèíî, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîëüêî â ñëó÷àå íåéòðèíî ñ ìàññîé ãîðàçäî ìåíüøå ìàññû ñîîòâåòñòâóþùåãî çàðÿæåííîãî ëåïòîíà: mν` ¿ m` . Êðîìå òîãî, çàâèñèìîñòü âêëàäîâ íåñêîëüêèõ îäíîïåòëåâûõ äèàãðàìì â çàðÿä è ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà, ïîëó÷åííàÿ â ðàáîòå [54], ÿâëÿåòñÿ íåâåðíîé.  ýòîé ãëàâå ðàññìîòðåíû ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû ìàññèâíîãî äèðàêîâñêîãî íåéòðèíî â ìèíèìàëüíî ðàñøèðåííîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ñ SU(2)-ñèíãëåòíûì ïðàâûì íåéòðèíî [55]. Èñïîëüçóÿ ðàçìåðíóþ ðåãóëÿðèçàöèþ, â ðàçäåëå 2.1 âû÷èñëåíû âêëàäû îäíîïåòëåâûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â ýëåêòðîìàãíèòíóþ âåðøèííóþ ôóíêöèþ íåéòðèíî Λµ (q) â îáùåé Rξ -êàëèáðîâêå. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ïðîòèâîïîëîæíîñòü ïðåäûäóùèì èññëåäîâàíèÿì â ýòîé îáëàñòè, â äàííîé ðàáîòå ÿâíî ó÷èòûâàåòñÿ

30

íåíóëåâàÿ ìàññà íåéòðèíî. Ïðåèìóùåñòâà ïðîèçâîëüíîé Rξ -êàëèáðîâêè ïî ñðàâíåíèþ, íàïðèìåð, ñ óíèòàðíîé êàëèáðîâêîé, îòìå÷åíû â ñòàòüå [81]. Íåñìîòðÿ íà òîò ôàêò, ÷òî â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå ÷èñëî ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ìèíèìàëüíî, â ýòîé êàëèáðîâêå âîçíèêàþò íåîäíîçíà÷íîñòè ïðè âûäåëåíèè êîíå÷íîé ÷àñòè ìàòðèöû ðàññåÿíèÿ. Ïîäîáíûå òðóäíîñòè àâòîìàòè÷åñêè óñòðàíÿþòñÿ â Rξ -êàëèáðîâêå. Çàìåòèì, ÷òî ïðåèìóùåñòâà Rξ êàëèáðîâêè ñòàíîâÿòñÿ ñóùåñòâåííûìè ïðè ïðîâåäåíèè ðàñ÷åòîâ â ðàìêàõ íåàáåëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé.  ðàçäåëå 2.1.1 èçó÷åíà ñòðóêòóðà ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè íåéòðèíî. Ðàçëîæåíèå âåðøèííîé ôóíêöèè ôåðìèîíà íà ÷åòûðå ôîðìôàêòîðà, ïðåäñòàâëåííîå, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [67,68], ïðîèçâîäèëîñü ñ èñïîëüçîâàíèåì îáùèõ ïðèíöèïîâ, òàêèõ êàê ëîðåíö- è CP-èíâàðèàíòíîñòü, ñîõðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà, à òàêæå óñëîâèå ýðìèòîâîñòè îïåðàòîðà ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà.  íàñòîÿùåé ðàáîòå èññëåäóåòñÿ äàííîå ðàçëîæåíèå è ïîäòâåðæäàåòñÿ åãî ñïðàâåäëèâîñòü ñ ïîìîùüþ ïðÿìîãî ðàñ÷åòà äëÿ ñëó÷àÿ ìàññèâíîãî íåéòðèíî â ðàìêàõ ìèíèìàëüíî ðàñøèðåííîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè äîïîëíåííîé SU(2)-ñèíãëåòíûì ïðàâûì íåéòðèíî.  ðàçäåëå 2.1.2 ïîêàçàíî, ÷òî ïðè îïðåäåëåííîì âûáîðå êàëèáðîâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ ìàññèâíîãî íåéòðèíî ñòàíîâèòñÿ êîíå÷íîé, ò.å. âûðàæåíèÿ äëÿ âñåõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ôîðìôàêòîðîâ íå ñîäåðæàò óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé.  ðàçäåëå 2.2 ïðèâåäåíû âêëàäû âñåõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî, ïðè÷åì çíà÷åíèå èìïóëüñà âíåøíåãî ôîòîíà ïðè ýòîì íå ôèêñèðîâàëîñü. Äàííûå âêëàäû òî÷íî ó÷èòûâàþò çíà÷åíèÿ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a = (m` /MW )2 è íåéòðèíî b = (mν /MW )2 . Çíà÷åíèå êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà â ïîëó÷åííûõ ôîðìóëàõ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûì. Ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 2.2 â ðàçäåëå 2.2.1 èçó÷àþòñÿ âêëàäû ðàçëè÷íûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî è

31

àíàëèçèðóåòñÿ èõ çàâèñèìîñòü îò ìàññû íåéòðèíî è îò ïàðàìåòðà, ôèêñèðóþùåãî êàëèáðîâêó. Íåñìîòðÿ íà òîò î÷åâèäíûé ôàêò, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî íå çàâèñèò îò âûáîðà êàëèáðîâêè è ðàâåí íóëþ, íà äàííûé ìîìåíò ýòî íå áûëî ïðîäåìîíñòðèðîâàíî ïðÿìûì ðàñ÷åòîì â ñëó÷àå ìàññèâíîãî íåéòðèíî. Ïðèâåäåíû âûðàæåíèÿ âêëàäîâ, ñîäåðæàùèõ ïðàâèëüíóþ çàâèñèìîñòü îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà, íåñêîëüêèõ îäíîïåòëåâûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â çàðÿä íåéòðèíî, êîòîðûå áûëè ðàíåå âû÷èñëåíû ñ îøèáêàìè â ñòàòüå [54]. Íà îñíîâå âêëàäîâ â ýëåêòðîìàãíèòíóþ âåðøèííóþ ôóíêöèþ îò îäíîïåòëåâûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì, ïðåäñòàâëåííûõ â ðàçäåëå 2.1, â ðàçäåëå 2.3 ïðèâåäåíû âêëàäû âñåõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â ìàãíèòíûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî, ïðè÷åì çíà÷åíèå èìïóëüñà âíåøíåãî ôîòîíà ïðè ýòîì íå ôèêñèðîâàëîñü. Äàííûå âêëàäû òî÷íî ó÷èòûâàþò çíà÷åíèÿ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a è íåéòðèíî b. Çíà÷åíèå êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà â ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèÿõ òàêæå áûëî ïðîèçâîëüíûì.  ðàçäåëå 2.3.1 áûëà èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà ìàññèâíîãî íåéòðèíî îò êâàäðàòà èìïóëüñà âíåøíåãî ôîòîíà ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàçäåëà 2.3, â ðàçäåëå 2.3.2 ðàññìîòðåí ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî. Äëÿ êàæäîãî èç âêëàäîâ â ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî ïîëó÷åíû èíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ, òî÷íî ó÷èòûâàþùèå çàâèñèìîñòü îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà, à òàêæå îò ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ íåéòðèíî b è çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a. Äëÿ êàæäîé èç äèàãðàìì âûïîëíåíî èíòåãðèðîâàíèå ïî ôåéíìàíîâñêèì ïàðàìåòðàì è ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäîâ â ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî â ïåðâîì íåíóëåâîì è ñëåäóþùèì çà íèì ïîðÿäêàõ â ðàçëîæåíèè ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b, ïðè÷åì çàâèñèìîñòü îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà îñòàâàëàñü ïðîèçâîëüíîé. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñóììà âñåõ âêëàäîâ íå çàâèñèò îò âûáîðà êàëèáðîâêè. Îäíàêî, âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäîâ îò íåñêîëüêèõ äèàãðàìì â ïåðâîì ïîðÿä-

32

êå ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷åííûå â äàííîé ðàáîòå, íå ñîãëàñóþòñÿ ñ ïðåäñòàâëåííûìè ðàíåå â ñòàòüå [54]. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â íàñòîÿùåé ðàáîòå, ïîçâîëÿþò âîñïðîèçâåñòè ïðàâèëüíîå âûðàæåíèå â ëþáîé êàëèáðîâêå, âêëþ÷àÿ óíèòàðíóþ, äëÿ êîòîðîé âû÷èñëåíèÿ, âûïîëíåííûå â ñòàòüå [54], äàþò íåâåðíûé ðåçóëüòàò. Âûðàæåíèÿ äëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ìàññèâíîãî íåéòðèíî äàþò âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ìîìåíòà îò ìàññ âñåõ ÷àñòèö.  ÷àñòíîñòè, â ðàçäåëå 2.3.2 ðàññìîòðåíû ñëåäóþùèå äèàïàçîíû ìàññ: mν ¿ m` ¿ MW , m` ¿ mν ¿ MW è m` ¿ MW ¿ mν , êîòîðûå îõâàòûâàþò ïðàêòè÷åñêè âñå ýêñïåðèìåíòàëüíî äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ìàññ íåéòðèíî, çàðÿæåííîãî ëåïòîíà è W -áîçîíà.  ðàçäåëå 2.4 ïðèâåäåíû âêëàäû âñåõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî, ïðè÷åì çíà÷åíèå èìïóëüñà âíåøíåãî ôîòîíà ïðè ýòîì íå ôèêñèðîâàëîñü. Äàííûå âêëàäû òî÷íî ó÷èòûâàþò çíà÷åíèÿ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a è íåéòðèíî

b. Çíà÷åíèå êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà â ïîëó÷åííûõ ôîðìóëàõ òàêæå áûëî ïðîèçâîëüíûì. Ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 2.4, â ðàçäåëå 2.4.1 ïîëó÷åíû âêëàäû ðàçëè÷íûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â àíàïîëüíûé ìîìåíò ìàññèâíîãî íåéòðèíî íà îñíîâå âûðàæåíèÿ äëÿ àíàïîëüíîãî ôîðìôàêòîðà ïðè íóëåâîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà. Ïîêàçàíî, ÷òî òàêæå, êàê è â ñëó÷àå áåçìàññîâîé ÷àñòèöû, àíàïîëüíûé ìîìåíò ìàññèâíîãî íåéòðèíî ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäÿùåéñÿ âåëè÷èíîé è çàâèñèò îò âûáîðà êàëèáðîâêè. Ðåçóëüòàòû äàííîé ãëàâû ñîäåðæàòñÿ â íàøåé ðàáîòå [55]

2.1 Âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ íåéòðèíî Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà, óñðåäíåííûé ïî ñîñòîÿíèÿì íåéòðèíî, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â ôîðìå

hν(p0 )|JµEM |ν(p)i = u¯(p0 )Λµ (q)u(p),

33

â êîòîðîì ñàìûì îáùèì âûðàæåíèåì äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè Λµ (q) ÿâëÿåòñÿ

Λµ (q) = fQ (q 2 )γµ + fM (q 2 )iσµν q ν − fE (q 2 )σµν q ν γ5 + fA (q 2 )(q 2 γµ − qµ 6 q)γ5 . (2.1.1) Çäåñü fQ (q 2 ), fM (q 2 ), fE (q 2 ) è fA (q 2 ) - çàðÿäîâûé, äèïîëüíûå ìàãíèòíûé è ýëåêòðè÷åñêèé, è àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîðû íåéòðèíî, qµ = p0µ − pµ ,

σµν = (i/2)[γµ , γν ], γ5 = −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . Ìû òàêæå äëÿ ñâåðòêè ñ γ -ìàòðèöàìè èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèå 6 q = qµ γ µ . Çíà÷åíèÿ äàííûõ ôîðìôàêòîðîâ ïðè q 2 = 0 îïðåäåëÿþò ñòàòè÷åñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå ñâîéñòâà íåéòðèíî.  ñëó÷àå äèðàêîâñêîãî íåéòðèíî, êîòîðûé áóäåò îáñóæäàòüñÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå, ïðåäïîëîæåíèå î CPèíâàðèàíòíîñòè âìåñòå ñ ýðìèòîâîñòüþ îïåðàòîðà ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà

JµEM ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî äèïîëüíûé ýëåêòðè÷åñêèé ôîðìôàêòîð ðàâåí íóëþ. Ïðè íóëåâîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà òîëüêî fQ (0) è fM (0), êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì è ìàãíèòíûì ìîìåíòîì, äàþò âêëàä â ãàìèëüòîíèàí Hint ∼ JµEM Aµ , îïèñûâàþùèé âçàèìîäåéñòâèå ôåðìèîíà ñ âíåøíèì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì Aµ . Ñóùåñòâóåò ïðèíöèïèàëüíîå ðàçëè÷èå ìåæäó âûðàæåíèÿìè äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé ôóíêöèè íåéòðèíî â ñëó÷àÿõ ìàññèâíîãî è áåçìàññîâîãî íåéòðèíî. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ áåçìàññîâàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà, òîãäà èç ñîîòíîøåíèÿ (2.1.1) ñëåäóåò, ÷òî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà ìîæåò áûòü çàïèñàí ñ ïîìîùüþ òîëüêî îäíîãî ôîðìôàêòîðà (ñì., íàïðèìåð, ðàáîòó [63]),

u¯(p0 )Λµ (q)u(p) = fD (q 2 )¯ u(p0 )γµ (1 + γ5 )u(p). Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî çàðÿäîâûé è àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîðû ñâÿçàíû ñ ôóíêöèåé fD (q 2 ) ñ ïîìîùüþ î÷åâèäíûõ ñîîòíîøåíèé,

fQ (q 2 ) = fD (q 2 ),

fA (q 2 ) = fD (q 2 )/q 2 .

34

Îäíàêî â ñëó÷àå ìàññèâíîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû íå ñóùåñòâóåò òàêîé ïðîñòîé ñâÿçè ìåæäó çàðÿäîâûì è àíàïîëüíûì ôîðìôàêòîðàìè, ò.ê. íåëüçÿ ïðåíåáðåãàòü ìàòðè÷íûì ñëàãàåìûì âèäà qµ 6 qγ5 â ÷ëåíå, ïðîïîðöèîíàëüíîì àíàïîëüíîìó ôîðìôàêòîðó. Áîëåå òîãî, ïðè ïðÿìîì âû÷èñëåíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ôîðìôàêòîðîâ íåéòðèíî áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî êðîìå îáû÷íûõ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà è ìàãíèòíîãî ìîìåíòà, êàæäàÿ èç ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì äàåò íåíóëåâîé âêëàä â äîïîëíèòåëüíûé ÷ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé ìàòðèöå γµ γ5 . Ýòè âêëàäû íå ðàâíû íóëþ äàæå ïðè q 2 = 0. Îäíàêî, èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó, ðàçâèòóþ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà íåéòðèíî, â ðàçäåëå 2.1.1 ïîëó÷åíî, ÷òî ñóììà äàííûõ âêëàäîâ îò âñåõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â äîïîëíèòåëüíûé ¾ôîðìôàêòîð¿ ðàâíà íóëþ ïðè q 2 = 0. Ðàâåíñòâî íóëþ ðàññìàòðèâàåìîãî ¾ôîðìôàêòîðà¿ ïðè

q 2 6= 0 â îñîáîé êàëèáðîâêå òàêæå äîêàçàíî â äàííîé ðàáîòå. Íèæå ïðèâåäåíî âû÷èñëåíèå îäíîïåòëåâûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà è ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ìàññèâíîãî íåéòðèíî â ðàìêàõ ìèíèìàëüíî ðàñøèðåííîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ñ SU(2)-ñèíãëåòíûì ïðàâûì íåéòðèíî â îáùåé Rξ -êàëèáðîâêå. Äàííûå äèàãðàììû ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà òèïà: òðåóãîëüíûå [ñì., Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f)] è γ −Z ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêèå äèàãðàììû [ñì., Ðèñ. 2.2(a)-2.2(h)]. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëà Ôåéíìàíà, ïðèâåäåííûå â ïðèëîæåíèè A, ìîæíî íàéòè âêëàäû â âåðøèííóþ ôóíêöèþ íåéòðèíî Λµ (q). Ïðèìåíÿÿ ðàçìåðíóþ ðåãóëÿðèçàöèþ, âêëàäû òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì [Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f)] ìîãóò áûòü çàïèñàíû êàê

Λ(1) µ

eg 2 =i 2

Z

¸ · dN k kκkλ κλ × g − (1 − α) 2 2 (2π)N k − αMW γκL (6 p0 − 6 k + m` )γµ (6 p − 6 k + m` )γλL 2 ] , (2.1.2) [(p0 − k)2 − m2` ][(p − k)2 − m2` ][k 2 − MW

35

γ

` ν

`

ν

` ν

W

ν

`

(b)

γ

γ χ

W ν

`

ν

W

(d)

γ

γ χ

χ ` (e)

ν

ν

ν

`

(c)

W

ν

χ

(a)

χ

ν

γ

W ` (f)

Ðèñ. 2.1: (a)-(f) òðåóãîëüíûå äèàãðàììû.

ν

36 2 Z eg dN k (2) × Λµ = i 2 2MW (2π)N (mν PL − m` PR )(6 p0 − 6 k + m` )γµ (6 p − 6 k + m` )(m` PL − mν PR ) , (2.1.3) 2 ] [(p0 − k)2 − m2` ][(p − k)2 − m2` ][k 2 − αMW

Λ(3) µ

eg 2 =i 2 2MW

Λ(4) µ

eg 2 =i 2

Λ(5)+(6) µ

Z

dN k (2k − p − p0 )µ × N (2π) (mν PL − m` PR )(6 k + m` )(m` PL − mν PR ) 2 ][(p − k)2 − αM 2 ][k 2 − m2 ] , (2.1.4) [(p0 − k)2 − αMW W `

· ¸ 0 κ 0 dN k L (p − k) (p − k) β γκ (6 k + m` )γλL δβκ − (1 − α) 0 × 2 N 2 (2π) (p − k) − αMW · ¸ λ (p − k) (p − k) γ δγλ − (1 − α) × 2 (p − k)2 − αMW δµβ (2p0 − p − k)γ + g βγ (2k − p − p0 )µ + δµγ (2p − p0 − k)β , (2.1.5) 2 ][(p − k)2 − M 2 ][k 2 − m2 ] [(p0 − k)2 − MW W ` Z

Z

γβL (6 k − m` )(m` PL − mν PR ) dN k n 2 ][(p − k)2 − αM 2 ][k 2 − m2 ] × (2π)N [(p0 − k)2 − MW W ` ¸ · 0 β 0 (p − k) (p − k)µ − δµβ − (1 − α) 0 2 (p − k)2 − αMW (mν PL − m` PR )(6 k − m` )γβL 2 ][(p − k)2 − M 2 ][k 2 − m2 ] × [(p0 − k)2 − αMW W ` ¸o · β (p − k) (p − k) µ δµβ − (1 − α) , (2.1.6) 2 (p − k)2 − αMW

eg 2 =i 2

ãäå mν , MW è m` - ìàññû íåéòðèíî, W -áîçîíà è çàðÿæåííîãî ëåïòîíà, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé íèæíþþ êîìïîíåíòó èçîäóáëåòà ïî îòíîøåíèþ ê íåéòðèíî, e - çàðÿä ïðîòîíà, g - êîíñòàíòà ñâÿçè â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, θW - óãîë Âàéíáåðãà, α = 1/ξ - êàëèáðîâî÷íûé ïàðàìåòð W -áîçîíà, PL,R =

(1 ± γ5 )/2 - ïðîåêöèîííûå îïåðàòîðû. Âêëàäû γ −Z äèàãðàìì [Ðèñ. 2.2(a)-2.2(h)] â âåðøèííóþ ôóíêöèþ Λµ (q) äàþòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè

37

W γ

W Z

γ

Z

W

χ

(a)

(b)

χ

W

γ

Z

γ

Z

(c)

(d)

c, ª

c, ⊕

γ

Z

γ

Z

c, ª

c, ⊕

(e)

(f)

χ

f

γ

Z

γ

Z

χ

f

(g)

(h)

Ðèñ. 2.2: (a)-(h) γ − Z äèàãðàììû; f îáîçíà÷àåò ýëåêòðîí, ìþîí, τ -ëåïòîí, à òàêæå u,

c, t, d, s è b êâàðêè.

38

Λ(j) µ (q)

1 g = Π(j) µν (q) 2 2 cos θW q − MZ2

½ g

να

qν qα − (1 − αZ ) 2 q − αZ MZ2

¾ γαL ,

j = 7, . . . , 14, (2.1.7) ãäå

Z

dN k 1 Π(7) (q) = −ieg cos θ W µν 2 ][k 2 − M 2 ] × (2π)N [(k − q)2 − MW W · ¸· ¸ (k − q)γ (k − q)α kβ kλ gγα − (1 − α) gβλ − (1 − α) 2 × 2 2 (k − q)2 − αMW k − αMW £ ¤ (k + q)γ δµβ + (q − 2k)µ g βγ + (k − 2q)β δµγ × £ ¤ (k + q)α δνλ + (q − 2k)ν g αλ + (k − 2q)λ δνα , (2.1.8) sin2 θW 2 M Π(8) (q) = −2ieg µν cos θW W

Z

dN k 1 2 ][k 2 − M 2 ] × (2π)N [(k − q)2 − αMW W¸ · kµ kν gµν − (1 − α) 2 , (2.1.9) 2 k − αMW Z cos2 θW − sin2 θW dN k gµν (9) Πµν (q) = ieg (2.1.10) 2 , cos θW (2π)N k 2 − αMW Z

Π(10) µν (q)

= −ieg cos θW

dN k δµα δνβ + δµβ δνα − 2g αβ gµν × 2 ] (2π)N [k 2 − MW · ¸ kα kβ gαβ − (1 − α) 2 , (2.1.11) 2 k − αMW Z

Π(11)+(12) (q) = 2ieg cos θW µν

dN k × (2π)N kµ (k − q)ν 2 ][k 2 − αM 2 ] , (2.1.12) [(k − q)2 − αMW W

sin2 θW − cos2 θW (13) Πµν (q) = ieg 2 cos θW

Z

dN k (2k − q)µ (2k − q)ν × (2π)N 1 2 ][k 2 − αM 2 ] , (2.1.13) [(k − q)2 − αMW W

39

Z X ieg dN k 1 (14) Πµν (q) = Qf × 2 cos θW (2π)N [(k − q)2 − m2f ][k 2 − m2f ] f · ½ ¾ ¸ 1 1 Tr γµ (6 k + mf )γν ± − 2Qf sin2 θW ± γ5 (6 k − 6 q + mf ) . (2.1.14) 2 2 Çäåñü MZ è αZ îáîçíà÷àþò ìàññó è êàëèáðîâî÷íûé ïàðàìåòð Z -áîçîíà.  âûðàæåíèè (2.1.14) çíàêè ¾−¿ è ¾+¿ ñòàâÿòñÿ â ñëó÷àå ¾âåðõíèõ¿ (u, c è t êâàðêè) è ¾íèæíèõ¿ (ýëåêòðîí, ìþîí, τ -ëåïòîí à òàêæå d, s è b êâàðêè) êîìïîíåíò èçîäóáëåòà, mf è Qf - ìàññà è ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä (â åäèíèöàõ

e) ôåðìèîíà â ïåòëå.  äàëüíåéøåì áóäåò óäîáíî ðàçëîæèòü êàæäûé èç âêëàäîâ γ − Z äèàãðàìì ïðè ïðîèçâîëüíîì q 2 è ÿâíî âûäåëèòü ïîïåðå÷íóþ ÷àñòü

µ (j) 2 Π(j) µν (q) = A (α, q ) gµν

qµ qν − 2 q

¶ + B (j) (α, q 2 )gµν , j = 7, . . . , 14. (2.1.15)

Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (2.1.8)-(2.1.14) äëÿ âêëàäîâ γ −Z äèàãðàìì â ôîðìå ôåéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ, à òàêæå ôîðìóëó (2.1.15), ìîæíî âû÷èñëèòü ôóíêöèè A(j) (α, q 2 ) è B (j) (α, q 2 ), j = 7, . . . , 14, â ÿâíîì âèäå

¶ h µ 14 2 eF τ ω − + α + 1 + α − A(7) (α, q 2 ) = 2MW cos3 θW sin θW MZ2 G 3 6 2 Z 1 2τ dx(1 − x2 )2 {ln(1 − ζ − x(1 − α)) − ln(1 − ζ)} + Z 01 Z 1 2 dx(5x2 − 5x − 1) ln(1 − ζ) − 2 dx(4x2 − 3)× 0

0

{(1 − ζ − x(1 − α)) ln(1 − ζ − x(1 − α)) − (1 − ζ) ln(1 − ζ)} + Z τ 1 dx{2(1 − ζ − x(1 − α)) ln(1 − ζ − x(1 − α))− 2 0 i (1 − ζ) ln(1 − ζ) − (α − ζ) ln(α − ζ)} , (2.1.16)

40 2 eF τ × A(8) (α, q 2 ) = −4MW cos θW sin3 θW MZ2 G Z 1 dx x2 {ln(1 − ζ − x(1 − α)) − ln(α − ζ)} , (2.1.17) 0

A(9) (α, q 2 ) = 0,

(2.1.18)

A(10) (α, q 2 ) = 0,

(2.1.19)

2 eF τ × A(11)+(12) (α, q 2 ) = 2MW cos3 θW sin θW MZ2 G Z 1 i hω +2 dx x(1 − x) ln(α − ζ) , (2.1.20) 3 0 2 eF τ × (sin2 θW − cos2 θW ) cos θW sin θW MZ2 G A(13) (α, q 2 ) = MW h ω Z 1 i 2 − − dx(2x − 1) ln(α − ζ) , (2.1.21) 3 0 2 eF τ × A(14) (α, q 2 ) = 8MW cos θW sin θW MZ2 G µ ¶ µ ¶ hω X 28 2 1 −3 − sin θW + Qf ± − 2Qf sin2 θW × 6 3 2 f ¾ ½ Z 1 ¢2 ¢ i 1 ³ mf ´2 + dx x(1 − x) ln (1−( M/mf ζ , (2.1.22) ln 6 M 0

¶ h µτ 12 + 3α(1 + α) 2 eF ω B (7) (α, q 2 ) = 2MW cos3 θW sin θW MZ2 G − + 2 2 τ 3 (2 + α(1 + α)) − (25 + 3α)− 4 24Z Z 1

3τ Z

1

3τ 0

1

2

dx(2x − 1) ln(1 − ζ) − 9 0

dx(1 − ζ) ln(1 − ζ)− 0

dx x2 {(1 − ζ − x(1 − α)) ln(1 − ζ − x(1 − α)) − (1 − ζ) ln(1 − ζ)} − Z 9 1 © dx (1 − ζ − x(1 − α))2 ln(1 − ζ − x(1 − α))− 2 0 ªi 2 (1 − ζ) ln(1 − ζ) , (2.1.23)

41 (8)

2

B (α, q ) =

Z

2 2MW

eF θW MZ2 G

0

1 0

h

3+α 1−α cos θW sin −ω − − 2 2 Z 1 2 dx ln(1 − ζ − x(1 − α))+ 3

dx {(1 − ζ − x(1 − α)) ln(1 − ζ − x(1 − α)) − (α − ζ) ln(α − ζ)} + Z 1 i 2 2τ dx x {ln(1 − ζ − x(1 − α)) − ln(α − ζ)} , (2.1.24) 0

2 eF × B (9) (α, q 2 ) = 2MW (cos2 θW − sin2 θW ) cos θW sin θW MZ2 G

[α(ω − 1) + α ln α] , (2.1.25) 2 eF × B (10) (α, q 2 ) = 6MW cos3 θW sin θW MZ2 G ¸ · 3 + α2 1 5α2 α2 ln α − − + , (2.1.26) ω 2 4 12 2 h ³ τ τ´ (11)+(12) 2 2 3 2 e B (α, q ) = 2MW cos θW sin θW MZ GF ω α − −α+ + 2 6 Z 1 Z 1 i dx(α − ζ) ln(α − ζ) − 2τ dx x(1 − x) ln(α − ζ) , (2.1.27) 0

0

2 eF × B (13) (α, q 2 ) = 2MW (sin2 θW − cos2 θW ) cos θW sin θW MZ2 G Z 1 h τ α(ω − 1) + + dx(α − ζ) ln(α − ζ)+ 6 0 Z i τ 1 2 dx(2x − 1) ln(α − ζ) , (2.1.28) 2 0

B (14) (α, q 2 ) = 0,

(2.1.29)

ãäå

µ 2 ¶ G 1 λ F eF = √ , ω = − − ln(4π 2 ) + C − ln G , 2 ε MW 4π 2 2 2 è GF - êîíñòàíòà Ôåðìè, ζ = τ x(1 − x), τ = q 2 /MW . Ïðè âûâîäå ñîîòíîøåíèé (2.1.16)-(2.1.29) ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâàìè àëãåáðû γ -ìàòðèö â ïðîñòðàíñòâå N èçìåðåíèé è âûðàæåíèÿìè äëÿ õàðàêòåðíûõ ôåéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ, ïðåäñòàâëåííûõ â ïðèëîæåíèè B.

42

2.1.1 Ñòðóêòóðà ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè ìàññèâíîãî íåéòðèíî Ïðè âû÷èñëåíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî êðîìå ÷åòûðåõ õîðîøî èçâåñòíûõ ôîðìôàêòîðîâ â âûðàæåíèè (2.1.1), ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûé ÷ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé ìàòðèöå γµ γ5 . Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùèé ¾ôîðìôàêòîð¿ êàê f5 (q 2 ).  ýòîì ðàçäåëå èññëåäóåòñÿ ôóíêöèÿ f5 (q 2 ) è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îíà íóëþ. Ïðåæäå âñåãî, äàâàéòå ðàññìîòðèì çíà÷åíèå ϕ = f5 (q 2 = 0). Âêëàäû òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì â ¾çàðÿä¿ ϕ èìåþò âèä:

½ Z 1 α eGF 1−α 2 √ MW ω + 1 + ϕ (a, b, α) = + dz(1 − z) ln D− 2 12 4π 2 2 0 · ¸ Z Z 1 1 b 1 1 3 2 2 1 dz(1 − z) (a − bz ) − dz(1 − z)(a − bz ) + − D 2 0 Dα D 0 Z 1 1 dz(1 − z)(a − b + 6bz(1 − z)) [ln Dα − ln D] + 2 0 ¾ Z 1 3 dz(1 − z) [Dα ln Dα − D ln D] , (2.1.30) (1)

0

µ ¶ ½ Z 1 ω a − b 1 eG F 2 √ MW + + dz(1 − z) ln Dα − ϕ(2) (a, b, α) = 2 2 2 2 4π 2 0 ¾ Z 1 1 1 dz(1 − z)(a2 − abz 2 + b2 z 2 − ab) , (2.1.31) 2 0 Dα ¶ µ Z 1 eG a − b ω F 2 √ MW ϕ(3) (a, b, α) = dz z ln Dα , (2.1.32) − − 2 2 2 4π 2 0 ½ eG 3 F 2 √ MW ϕ(4) (a, b, α) = − ω (1 + α) − 1− 4 4π 2 2 Z 1 Z 1 1 3 dz z ln D + b dz z 2 (1 − z) − D 0 0 Z 1 Z z 9 dz dy [(Dα + y(1 − α)) ln(Dα + y(1 − α)) − D ln D] − 2 0 0

43

¸ 1 1 b2 dz dy(1 − z)2 (z(1 − z) − 2y) − − Dα + y(1 − α)) D 0 0 ¾ Z Z z b 1 dz dy(7 − 18z + 11z 2 ) [ln(Dα + y(1 − α)) − ln D] , (2.1.33) 2 0 0 Z

1

Z

·

z

½Z 1 Z z eG 1 F 2 √ MW ϕ(5)+(6) (a, b, α) = − dz dy(a − bz) Dα + y(1 − α) 4π 2 2 0 0 ¾ Z Z z a−b 1 dz dy [ln(Dα + y(1 − α)) − ln Dα ] . (2.1.34) 2 0 0 ãäå µ ¶2 µ ¶2 m` mν a= , b= , MW MW è Dα = a + (α − a)z − bz(1 − z), D = Dα=1 = a + (1 − a)z − bz(1 − z).  ñîîòíîøåíèÿõ (2.1.30)-(2.1.34) ìàññîâûå ïàðàìåòðû a è b, à òàêæå êàëèáðîâî÷íûé ïàðàìåòð α ñ÷èòàëèñü ïðîèçâîëüíûìè. Èíòåãðàëû â âûðàæåíèÿõ (2.1.30)-(2.1.34) áûëè âû÷èñëåíû, îäíàêî ðåçóëüòàòû, âûðàæåííûå â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ, îêàçàëèñü äîâîëüíî ãðîìîçäêèìè. Ïîýòîìó, ðàçëîæèì ïîäûíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ â ðÿä ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b, âûäåëèì ïåðâûå äâà ÷ëåíà ïîëó÷èâøåãîñÿ ðÿäà, à çàòåì âûïîëíèì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ôåéíìàíîâñêèì ïàðàìåòðàì. Çàìåòèì, ÷òî âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäèëèñü ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìàññîâîì ïàðàìåòðå çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a è êàëèáðîâî÷íîì ïàðàìåòðå α.  ýòîì ñëó÷àå ñóììà âêëàäîâ òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì â ¾çàðÿä¿ ϕ ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê 6

ϕ

(prop.vert.)

X (i) eGF (i) 2 √ MW {ϕ¯0 (a, α)+bϕ¯1 (a, α)+O(b2 )}. (2.1.35) (a, b, α) = 4π 2 2 i=1

Âêëàäû γ − Z äèàãðàìì â ¾çàðÿä¿ ϕ ñîâïàäàþò ñî âêëàäàìè â ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî Q(γ−Z) è, ñëåäîâàòåëüíî, äàþòñÿ ñîîòíîøåíèåì (2.2.25) (äåòàëè âû÷èñëåíèÿ çàðÿäà íåéòðèíî ïîäðîáíî îáñóæäàþòñÿ â ðàçäåëå 2.2.1). (i)

(i)

Ôóíêöèè ϕ ¯0 (a, α) è ϕ¯1 (a, α) áûëè âû÷èñëåíû è áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî (i)

ñóììà âñåõ âêëàäîâ â ϕ ¯0 (a, α) ñîêðàùàåòñÿ ñî âêëàäàìè γ − Z äèàãðàìì.

44

Ýòîò ðåçóëüòàò ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ áåçìàññîâîé ÷àñòèöû. Òàêèì îáðàçîì, ¾çàðÿä¿ ϕ áåçìàññîâîãî íåéòðèíî ðàâåí íóëþ. Çàòåì, ñóììèðóÿ âêëà(i)

äû â ϕ ¯1 (a, α), íàõîäèì, ÷òî çíà÷åíèå ¾çàðÿäà¿ ϕ òàêæå ðàâíÿåòñÿ íóëþ â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå ðàçëîæåíèÿ ïî ïàðàìåòðó b. Òåïåðü äàâàéòå ðàññìîòðèì çíà÷åíèÿ ¾ôîðìôàêòîðà¿ f5 (q 2 ) ïðè íåíóëåâîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà.  ïîñëåäóþùèõ ðàñ÷åòàõ íåîáõîäèìî çàôèêñèðîâàòü âûáîð êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà äëÿ òîãî, ÷òîáû íåñêîëüêî óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Ïîëîæèì αZ = ∞ è α = 1, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò óíèòàðíîé êàëèáðîâêå äëÿ Z -áîçîíà è êàëèáðîâêå 'ò Õîôòà-Ôåéíìàíà äëÿ W -áîçîíà. Çàìåòèì, ÷òî ìàññîâûå ïàðàìåòðû a è b ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîëüíûìè âî âñåõ ôîðìóëàõ, ò.å. ìû íå îãðàíè÷èâàåìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àÿ èëè ëåãêîãî çàðÿæåííîãî ëåïòîíà èëè, êàê ýòî äîâîëüíî ÷àñòî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ëåãêîãî íåéòðèíî. Èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä ôóíêöèé B (j) (α, q 2 ) [ñì. âûðàæåíèå (2.1.15), à òàêæå ôîðìóëû (2.1.23)-(2.1.29)], ïîëó÷àåì, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ B(q 2 ) â ðàçëîæåíèè γ − Z äèàãðàìì èìååò ôîðìó: 2

B(q ) =

14 X

B (j) (α = 1, q 2 ) =

j=7 2 cos θW sin θW MZ2 2MW

GF √ (−2ω + gc (τ ) cos2 θW + gs (τ ) sin2 θW ), 2 4π 2

ãäå

Z Z 1 7 7τ 1 gc (τ ) = − τ − 9 dx(6x2 − 6x + 1) ln(1 − ζ), dx ln(1 − ζ) − 6 2 0 Z 1 0 Z 1 τ τ gs (τ ) = − dx ln(1 − ζ) + dx(6x2 − 6x + 1) ln(1 − ζ), 6 2 0 0 Çàìåòèì, ÷òî gs (0) = gc (0) = 0. ×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî gs (τ ) = gc (τ ) ïðè ëþáîì çíà÷åíèè τ , ðàññìîòðèì ðàçíîñòü ýòèõ ôóíêöèé: g(τ ) = gs (τ )−gc (τ ). Ôóíêöèÿ g(τ ) ìîæåò áûòü çàïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì

4 g(τ ) = τ + 8 3

Z

Z

1

1

dx ln(1 − ζ) + 4τ 0

0

dx(6x2 − 6x + 1) ln(1 − ζ).

45

Ðàçëàãàÿ ln(1 − ζ) â ôîðìàëüíûé ðÿä

ln(1 − ζ) = −

∞ X τk

k

k=0

xk (1 − x)k ,

è âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ïàðàìåòðó x ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû

Z

1

dx xl (1 − x)s =

0

(l + 1)!(s + 1)! , (l + s + 2)!

(2.1.36)

ïîëó÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ g(τ ) ðàâíà íóëþ ïðè ëþáîì çíà÷åíèè τ . Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå äëÿ B(q 2 ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ôîðìå 2 B(q 2 ) = 2MW cos θW sin θW MZ2

GF √ (−2ω + gs (τ )). 4π 2 2

Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî äîêàçàòü îòñóòñòâèå ìíîæèòåëåé âèäà cos2 θW è sin2 θW â âûðàæåíèè äëÿ ôóíêöèè B(α, q 2 ) ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α. Òàêèì îáðàçîì, âêëàäû γ − Z äèàãðàìì èìåþò âèä: (γ−Z)

f5

(q 2 ) = −

4MZ2

g B(q 2 ). 2 cos θW

Îáñóäèì òåïåðü âêëàäû òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì, èçîáðàæåííûõ íà Ðèñ. 2.1(a)2.1(f) â ¾ôîðìôàêòîð¿ f5 (q 2 ) ïðè ïðîèçâîëüíîì q 2 : 6 X

eGF 2 √ MW × 2 4π 2 i=1 ½ Z 1 Z z Z 1 Z z 0 −ω+ dz dy ln(D − τ y(z − y)) − 3 dz dy ln(D − τ y(z − y))+ 0 0 0 0 Z 1 Z z Z 1 Z z ³ 1´ a−b 0 dz dy ln(D − τ y(z − y)) − dz dy ln(D − τ y(z − y))+ + 2 2 0 0 0 µ ¶Z 1 Z z 0 a−b 1 × 1+ dz dy 0 2 D − τ y(z − y) 0 0 ¶¸ · µ 1 2 z(1 − z) + y(z − y) + − (a − b(1 − z) ) + τ 2 (prop.vert.) 2 f5 (q )

=

(i)

f5 (q 2 ) =

46

Z

Z

1

z

dz 0

0

· ³ 1 1 1 2 dy a − bz + τ 3y(z − y) − z − z 2 + D − τ y(z − y) 4 2 ¸¾ ´ 1 2 (a − b)z + (a − b)y(z − y) , 4

1 y− 2 (2.1.37)

ãäå D0 = 1 + (a − 1)z − bz(1 − z). Âûðàæåíèå (2.1.37) ìîæåò áûòü ïðîàíàëèçèðîâàíî àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì êàê è ôóíêöèÿ g(τ ). Íàïðèìåð, ïðèâåäåì âû÷èñëåíèå îäíîãî èç èíòåãðàëîâ â ñîîòíîøåíèè (2.1.37):

Z

Z

1

I(τ ) =

z

dz 0

dy(a − bz 2 )

0

1 . D − τ y(z − y)

(2.1.38)

Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ôîðìóëå (2.1.38) ñíîâà äîëæíî áûòü ðàçëîæåíî â ôîðìàëüíûé ðÿä:

1 1 X ³ τ ´k k y (z − y)k . = D − τ y(z − y) D D ∞

k=0

Çàòåì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.1.36), âû÷èñëÿåì èíòåãðàë ïî ïåðåìåííîé y . Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñëåäóåò ïðåîáðàçîâàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâà

Z

0

1

zl 1 k−l−1 dz k+1 (a − bz 2 ) = + D k k

Z

1 0

zl dz k , D

k ≥ 1,

l ≥ 0,

êîòîðîå ìîæåò áûòü äîêàçàíî ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè I(τ ):

I(τ ) =

∞ X τk k=1

∞

X k + 2 (k!)2 (k!)2 − τk k (2k + 1)! k (2k + 1)! k=1

Z

1 0

z 2k+1 dz k . D

(2.1.39)

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå â ôîðìóëå (2.1.39) íå çàâèñèò íè îò ìàññîâîãî ïàðàìåòðà íåéòðèíî, íè îò ìàññîâîãî ïàðàìåòðà çàðÿæåííîãî ëåïòîíà. Èìåííî ýòî ñëàãàåìîå ñîêðàùàåòñÿ ñî âêëàäàìè γ − Z äèàãðàìì. Ïîñëåäóþùèé àíàëèç îñòàâøèõñÿ âêëàäîâ òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì ìîæåò áûòü ïðîâåäåí àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, êàê è äëÿ ñëó÷àÿ ôóíêöèè I(τ ).  êîíå÷íîì èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî (γ−Z)

f5 (q 2 ) = f5

(prop.vert.)

(q 2 ) + f5

(q 2 ) = 0

47

äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ q 2 è ïðîèçâîëüíûõ âåëè÷èí ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a, è íåéòðèíî b.

2.1.2 Èññëåäîâàíèå ðàñõîäèìîñòåé â ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè íåéòðèíî  äàííîì ðàçäåëå ðàññìîòðèì ðàñõîäÿùèåñÿ ÷àñòè âñåõ ôîðìôàêòîðîâ, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó (2.1.1). Ñóììà âêëàäîâ ðàñõîäÿùèõñÿ ÷àñòåé òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì (2.1.2)-(2.1.6) â ýëåêòðîìàãíèòíóþ âåðøèííóþ ôóíêöèþ ìàññèâíîãî íåéòðèíî èìååò âèä

Λ(div.prop.vert.) (q) = − µ

eGF 3+α L 2 √ MW ω γµ . 2 4π 2 2

(2.1.40)

Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (2.1.40) íå çàâèñèò îò èìïóëüñà âíåøíåãî ôîòîíà

qµ .  äàëüíåéøåì äëÿ àíàëèçà ðàñõîäÿùèõñÿ âêëàäîâ γ−Z äèàãðàìì (2.1.8)(2.1.14) óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (2.1.7) è (2.1.15). Èñïîëüçóÿ äàííûå ôîðìóëû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ñóììû âêëàäîâ

γ −Z äèàãðàìì â ýëåêòðîìàãíèòíóþ âåðøèííóþ ôóíêöèþ ìàññèâíîãî íåéòðèíî

· A(α, q 2 ) + B(α, q 2 ) g αZ B(α, q 2 ) = γµ + 2 γµ γ5 + 4 cos θW q 2 − MZ2 q − αZ MZ2 ½ ¾ ¸ A(α, q 2 ) 1 B(α, q 2 ) 2 (q γµ − qµ 6 q)γ5 . (2.1.41) + (1 − αZ ) 2 q 2 − MZ2 q2 q − αZ MZ2

Λ(γ−Z) (q) µ

Ðàñõîäÿùèåñÿ ÷àñòè ôóíêöèé A(α, q 2 ) è B(α, q 2 ) èìåþò âèä 2 eF τ ω× Adiv (α, q 2 ) = 2MW cos θW sin θW MZ2 G ¾ ¶ ½µ 151 37 sin2 θW , (2.1.42) cos2 θW − α− 6 18 2 eF ω B div (α, q 2 ) = −2MW cos θW sin θW MZ2 G

3+α . 2

(2.1.43)

48

Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2.1.40)-(2.1.43) ïîëó÷àåì, ÷òî âñå ôîðìôàêòîðû, êðîìå ìàãíèòíîãî, ñîäåðæàò ðàñõîäèìîñòè è çàâèñÿò îò âûáîðà êàëèáðîâêè (êàê îò α, òàê è îò αZ ). Íåñìîòðÿ íà ýòîò ôàêò, ìîæíî âûáðàòü êàëèáðîâî÷íûå ïàðàìåòðû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëíîå âûðàæåíèå äëÿ Λµ (q), âêëþ÷àþùåå â ñåáÿ âêëàäû òðåóãîëüíûõ [Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f)] è γ − Z [Ðèñ. 2.2(a)2.2(h)] äèàãðàìì, íå ñîäåðæàëî óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé. Äåéñòâèòåëüíî, ôèêñèðóÿ êàëèáðîâî÷íûå ïàðàìåòðû ñëåäóþùèì îáðàçîì

1 α = (138 + 151 tg2 θW ), αZ = +∞, 9 ìû ïðèõîäèì ê òîìó, ÷òî âñå ÷ëåíû â Λµ (q), ñîäåðæàùèå ïîëþñ 1/ε, âçàèìíî ñîêðàùàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, â äàííîé êàëèáðîâêå ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ ìàññèâíîãî íåéòðèíî ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ïðè ïðîèçâîëüíîé âåëè÷èíå èìïóëüñà âíåøíåãî ôîòîíà

qµ . Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî äëÿ ñëó÷àÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà â ðàìêàõ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè.  êíèãå [82] ïðèâåäåíî âûðàæåíèå âåðøèíîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè â ïðîèçâîëüíîé êàëèáðîâêå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (240 ) íà ñòð. 358 èç äàííîé êíèãè, íàõîäèì, ÷òî âñå ôîðìôàêòîðû â âåðøèííîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè ïðè dl = 3, ãäå dl - êàëèáðîâî÷íûé ïàðàìåòð ôîòîíà.

2.2 Çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî  ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà äëÿ ðàçëè÷íûõ âêëàäîâ â âåðøèííóþ ôóíêöèþ íåéòðèíî Λµ (q), âûäåëèì â ôîðìóëàõ (2.1.2)(2.1.14) êîýôôèöèåíòû, ïðîïîðöèîíàëüíûå ìàòðèöå γµ , êîòîðûå, èñõîäÿ èç ðàçëîæåíèÿ äàííîãî â ñîîòíîøåíèè (2.1.1), ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè âêëàäàìè â çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð fQ (q 2 ).

49

Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì âêëàäû îäíîïåòëåâûõ òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì [ñì. Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f)] â çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî. Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå òîæäåñòâî

u¯(p0 )(p0µ + pµ )u(p) = u¯(p0 )(2mν γµ − iσµν q ν )u(p), è ïðîèçâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî èìïóëüñàì âèðòóàëüíûõ ÷àñòèö, èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì ðàçìåðíóþ ðåãóëÿðèçàöèþ (äåòàëè äàííîé ïðîöåäóðû ïðèâåäåíû â ïðèëîæåíèè B), íàõîäèì òî÷íûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäîâ ðàññìàòðèâàåìûõ äèàãðàìì â çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî, âûðàæåííûõ ÷åðåç îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû: 6

(prop.vert.) 2 (q ) fQ

ãäå (1) f¯Q (q 2 )

X (i) eGF 2 √ MW = f¯Q (q 2 ), 2 4π 2 i=1

Z 1 Z z α 1−α =ω +1+ + dz dy ln D1 − 2 12 0 0 Z 1 Z z ¡ ¢ 1 dz dy a + b(1 − z)2 + τ (1 − z + y(z − y)) + D1 0 0 Z Z z ¡ 1 1 dz dy bz 2 (a + b(1 − z)2 ) + aτ y(z − y)+ 2 0 0

bτ (2zy(z − y)(1 − z) + 5y(z − y) − z 2 (1 − z))+ · ¸ ¢ 1 1 τ 2 y(z − y)(1 − z + yz − y 2 ) − − D1 (α) D1 Z Z z 1 1 dz dy (a + b + 6bz(1 − z) + τ (1 − 3z + 6y(z − y))) × 2 0 0 [ln D1 (α) − ln D1 ] , (2.2.1) ¶ µ Z 1 Z z 1 a + b ω (2) f¯Q (q 2 ) = + + dz dy ln D1 (α) − 2 2 2 0 0 Z 1 Z z ¡ 1 dz dy a2 + abz 2 + b2 z 2 − 4abz + ab+ 2 0 0 ¢ (a + b)τ y(z − y)

1 , (2.2.2) D1 (α)

50 (3) f¯Q (q 2 )

¶ µ Z 1 Z z ω a+b dz dy ln D2 (α) + = − − 2 2 0 0 Z 1 Z z ¡ ¢ b dz dy 3az − az 2 − 2a + bz(1 − z) 0

0

1 , (2.2.3) D2 (α)

Z 1 Z z 3 = −ω (1 + α) − 1 − 3 dz dy ln D2 + 4 0 0 Z 1 Z z ¡ ¢ 1 dz dy 3bz(1 − z) − τ (z − y(z − y)) − D2 0 0 Z Z z 9 1 dz dy [(D2 (α) + y(1 − α)) ln(D2 (α) + y(1 − α)) − D2 ln D2 ] − 2 0 0 Z 1 Z z ¡ dy 2b2 (1 − z)2 (z(1 − z) − y)− dz

(4) f¯Q (q 2 )

0

0

bτ (y(z − y)(5z − 3z 2 − 3y) + z(1 − z)2 − y(2 − y − y 2 ))− · ¸ ¢ 1 1 τ 2 y(z − y)(1 − z + yz + y + y 2 ) − + D2 (α) + y(1 − α)) D2 Z z Z ¡ ¢ 1 1 dz dy 3b(1 − z 2 ) + τ (4 − 6(z − y) + 11y(z − y)) × 2 0 0 [ln(D2 (α) + y(1 − α)) − ln D2 ] − Z Z z ¡ ¢ bτ 1 dz dy bz(1 − 3z + z 2 + z 3 ) − τ y(z − y)(z + z 2 − 2y) × 2 0 0 · ¸ 1 1 2 + − + D2 D2 (α) D2 (α) + y(1 − α) Z Z z ¡ ¢ τ 1 dz dy b(9 − 13z + 4z 2 ) − 2τ y(z − y) × 4 0 0 [ln D2 + ln D2 (α) − 2 ln(D2 (α) + y(1 − α))] + Z Z z £ 3τ 1 dz dy D2 ln D2 + D2 (α) ln D2 (α)− 4 0 0

¤ 2(D2 (α) + y(1 − α)) ln(D2 (α) + y(1 − α)) , (2.2.4)

Z (5)+(6) 2 f¯Q (q )

Z

1

=

z

dz 0

dy(a − bz) 0

1 − D2 (α) + y(1 − α)

51

Z

1

b 0

· ¸ ¡ ¢ 1 1 dz dy(1−z) (1−z)(a−bz)−τ y(z−y) − − D2 (α) + y(1 − α) D2 (α) 0 Z Z z 1 1 dz dy(a + 5b − 6bz) [ln(D2 (α) + y(1 − α)) − ln D2 (α)] , (2.2.5) 2 0 0 Z

z

ãäå

D1 (α) = α + (a − α)z − bz(1 − z) − τ y(z − y), D1 = D1 (α = 1) = 1 + (a − 1)z − bz(1 − z) − τ y(z − y), D2 (α) = a + (α − a)z − bz(1 − z) − τ y(z − y), D2 = D2 (α = 1) = a + (1 − a)z − bz(1 − z) − τ y(z − y). Çàìåòèì, ÷òî â âûðàæåíèÿõ (2.2.1)-(2.2.5) òî÷íî ó÷èòûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a, íåéòðèíî b, çíà÷åíèå êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûì. Âñå âû÷èñëåíèÿ áûëè âûïîëíåíû ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè q 2 . Âêëàäû γ − Z äèàãðàìì, ïîêàçàííûõ íà Ðèñ. 2.2(a)-2.2(h), â çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ (2.1.41) è èìåþò ñëåäóþùèé âèä (j) fQ (q 2 )

g A(j) (α, q 2 ) + B (j) (α, q 2 ) = , 4 cos θW q 2 − MZ2

j = 7, . . . , 14.

(2.2.6)

Èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä ôóíêöèé A(j) (α, q 2 ) [ôîðìóëû (2.1.16)-(2.1.22)], è

B (j) (α, q 2 ) [ôîðìóëû (2.1.23)-(2.1.29)], à òàêæå ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (2.2.6) ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäîâ γ − Z äèàãðàìì ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α è q 2 6= 0. Îäíàêî, ââèäó ãðîìîçäêîñòè äàííûõ ôîðìóë çäåñü îíè ïðèâîäèòüñÿ íå áóäóò.

2.2.1 Èññëåäîâàíèå çàðÿäîâîãî ôîðìôàêòîðà ïðè íóëåâîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà Ïðè íóëåâîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà ñóììà âêëàäîâ â çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð îïðåäåëÿåò ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî: fQ (0) = Q. Öåëü äàííîãî ðàç-

52

äåëà - íàéòè ïîëíîå âûðàæåíèå äëÿ çàðÿäà ìàññèâíîãî íåéòðèíî

Q=

6 X

(i)

Q (a, b, α) +

i=1

14 X

Q(j) (a, b, α),

j=7

è èçó÷èòü çàâèñèìîñòü âêëàäîâ ðàçëè÷íûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì, ïîêàçàííûõ íà Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f) è 2.2(a)-2.2(h), îò ìàññîâûõ a è b, è êàëèáðîâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ α è αZ . Åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî çàâèñèìîñòü îò êàëèáðîâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ ñóììû âñåõ âêëàäîâ äîëæíà âûïàäàòü. Àíàëîãè÷íî, ìû äîëæíû ïîëó÷èòü, ÷òî çàðÿä Q = 0, ò.ê. â èñõîäíîì ëàãðàíæèàíå òåîðèè íåéòðèíî ÿâëÿåòñÿ íåéòðàëüíîé ÷àñòèöåé. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå ïîëíîãî íàáîðà äèàãðàìì, äàþùèõ âêëàä â çàðÿä íåéòðèíî â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè, ïîçâîëèò óñòðàíèòü îøèáêè â ðàñ÷åòàõ ðÿäà äèàãðàìì, ñäåëàííûõ â [54], à òàêæå óáåäèòñÿ â ïðàâèëüíîñòè ïðèìåíÿåìîé íàìè ìåòîäèêè ðàñ÷åòîâ.  ïåðâóþ î÷åðåäü ðàññìîòðèì âêëàäû îäíîïåòëåâûõ òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì [ñì. Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f)] â çàðÿä íåéòðèíî. Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (2.2.1)(2.2.5), êîòîðûå îïðåäåëÿþò âêëàäû òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì â çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ

a è b, êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α, à òàêæå ïðè ëþáîì q 2 , íàõîäèì âêëàäû ðàçëè÷íûõ äèàãðàìì â ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî, ïîëîæèâ äëÿ ýòîãî

q 2 = 0:

½ Z 1 α 1−α eGF 2 √ MW ω + 1 + + dz(1 − z) ln D− Q (a, b, α) = 2 12 4π 2 2 0 · ¸ Z Z 1 b 1 1 1 3 2 2 1 dz(1 − z) (a + bz ) − dz(1 − z)(a + bz ) + − D 2 0 Dα D 0 Z 1 1 dz(1 − z)(a + b + 6bz(1 − z)) [ln Dα − ln D] + 2 0 ¾ Z 1 3 dz(1 − z) [Dα ln Dα − D ln D] , (2.2.7) (1)

0

½ Z 1 ´ eGF a + b³ω 1 2 √ MW Q (a, b, α) = + + dz(1 − z) ln Dα − 2 2 2 4π 2 2 0 (2)

53

1 2

Z 0

1

¾ 1 dz(1 − z)(a2 + abz 2 + b2 z 2 − 4abz + ab) , (2.2.8) Dα

½ Z 1 ´ eGF a + b³ ω 2 √ MW Q (a, b, α) = dz z ln Dα + − − 2 2 4π 2 2 0 ¾ Z 1 1 2 , (2.2.9) b dz z(3az − az − 2a + bz(1 − z)) Dα 0 (3)

½ eGF 3 2 √ MW − ω (1 + α) − 1− Q (a, b, α) = 4 4π 2 2 Z 1 Z 1 1 dz z ln D + 3b dz z 2 (1 − z) − 3 D 0 Z 1 Z z 0 9 dz dy [(Dα + y(1 − α)) ln(Dα + y(1 − α)) − D ln D] − 2 0 · ¸ Z 1 Z0 z 1 1 dz dy(1 − z)2 (z(1 − z) − y) 2b2 − + Dα + y(1 − α)) D 0 0 ¾ Z 1 Z z 3 b dz dy(1 − z 2 ) [ln(Dα + y(1 − α)) − ln D] , (2.2.10) 2 0 0 (4)

½Z 1 Z z 1 eG F 2 √ MW dz dy(a − bz) − Q(5)+(6) (a, b, α) = D + y(1 − α) 4π 2 2 α 0 0 · ¸ Z 1 Z z 1 1 b dz dy(1 − z)2 (a − bz) − − D + y(1 − α) D α α 0 0 ¾ Z 1 Z z 1 dz dy(a + 5b − 6bz) [ln(Dα + y(1 − α)) − ln Dα ] . (2.2.11) 2 0 0 Èíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ âêëàäîâ òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì â çàðÿä íåéòðèíî òî÷íî ó÷èòûâàþò ìàññîâûå ïàðàìåòðû çàðÿæåííîãî ëåïòîíà è íåéòðèíî a è b, à òàêæå çàâèñèìîñòü îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α. Èíòåãðàëû â ôîðìóëàõ (2.2.7)-(2.2.11) áûëè âû÷èñëåíû, îäíàêî ðåçóëüòàòû, âûðàæåííûå ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, îêàçàëèñü äîâîëüíî ãðîìîçäêèìè. Ïîýòîìó, ÿâíî âûïîëíèì èíòåãðèðîâàíèå â ïåðâûõ äâóõ ïîðÿäêàõ ðàçëîæåíèÿ ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b ïðè ïðîèçâîëüíûõ

54

çíà÷åíèÿõ ìàññîâîãî ïàðàìåòðà çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a è êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α.  ýòîì ñëó÷àå ñóììà âêëàäîâ òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì â çàðÿä íåéòðèíî ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå

Q(prop.vert.) (a, b, α) =

eGF 2 √ MW × 4π 2 2 6 X (i) (i) {q0 (a, α) + bq1 (a, α) + O(b2 )}. (2.2.12) i=1

(i)

Äëÿ q0 (a, α) ïîëó÷àåì (1)

q0 (a, α) = ω

¡ α 1 − − 3a2 + 4a2 α ln a − 5a2 α + 2α3 + 2 2 2 4(1 − a) (α − a)

3a3 − 3a3 ln a − 2α3 ln α + α2 a ln α + 2a2 α3 − 3a3 α2 + αa4 + 6a2 α2 + 6aα − 3α2 − 4α3 a − 2a3 α + 4α3 a ln α − 2a4 α ln a − 2α3 a2 ln α+ ¢ 4αa3 ln a − 6a2 α2 ln a + α2 a3 ln α − 2α2 a2 ln α + 3a3 α2 ln a , (2.2.13) a (2) q0 (a, α) = ω + 4 ¡ 2 ¢ a 2 2 2 2α ln α + 4aα − 4aα ln α − α + 2a ln a − 3a , (2.2.14) 8(α − a)2 a (3) q0 (a, α) = −ω − 4 ¡ 2 ¢ a 2 2 2 2α ln α + 4aα − 4aα ln α − α + 2a ln a − 3a , (2.2.15) 8(α − a)2 ¡ 2 1 3 (4) α a − 4a2 − q0 (a, α) = −ω (1 + α) − 2 4 8(1 − a) (α − a)(1 − α) 6α3 ln α − 6a3 ln a − 11a2 α + 5α3 + 5a3 + 5a2 α3 − 5a3 α2 + 10a2 α2 + 10aα − 6α2 − 10α3 a − 6α3 a2 ln α − 12a2 α2 ln a+ ¢ 12a2 α ln a + 12α3 a ln α + 6a3 α2 ln a + α − a , (2.2.16) (5)+(6)

q0

(a, α) =

¡ a 2aα ln α + a2 α − α3 − a2 α2 + 2 4(α − a) (1 − a)(1 − α)

55

4aα ln a − aα + α2 + α3 a − 3α2 ln α + a2 α2 ln a + 2a2 α ln a+ ¢ 4α2 a ln α − α2 a2 ln α − 4aα2 ln a − 2a2 α ln α − 3a2 ln a . (2.2.17) (i)

Åñëè êàæäûé èç êîýôôèöèåíòîâ q0 (a, α) ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíî, òî îí çàâèñèò îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α. Êðîìå òîãî, êàæäûé èç êîýô(6)

(5)

ôèöèåíòîâ, çà èñêëþ÷åíèåì q0 (a, α) è q0 (a, α), ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ. Çàìåòèì, ÷òî èç ðàçëîæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ôîðìóëå (2.2.12), ñëåäóåò, ÷òî ñóììà

6 X

(i)

q0 (a, α)

i=1

îïðåäåëÿåò âêëàä òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì â çàðÿä â ñëó÷àå áåçìàññîâîãî íåéòðèíî. Ñëåäóåò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî äâå äèàãðàììû, ñîîòâåòñòâóþùèå Ðèñ. 2.1(e) è 2.1(f), ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ ïðè ëþáîì çíà÷åíèè êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α. Äàííûé ôàêò ìîæåò áûòü ëåãêî óñòàíîâëåí ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû (2.1.6). Äåéñòâèòåëüíî, ýòè ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû èìåþò èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè ðàâíûé −1, è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ [83]. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòâåòñòâóþùèå âêëàäû â ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä äîëæíû áûòü êîíå÷íûìè êàê ýòî è îòðàæåíî â ñîîòíîøåíèÿõ (2.2.11) è (2.2.17). Òåïåðü î÷åâèäíî, ÷òî íàøè ðåçóëüòàòû íå ñîãëàñóþòñÿ ñ ðàñ÷åòàìè èç ñòàòüè [54], â êîòîðîé áûëî âû÷èñëåíî çíà÷åíèå çàðÿäà áåçìàññîâîãî íåéòðèíî è ýòè äâå äèàãðàììû ñîäåðæàò óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè. Ñëåäóþùèé ïîðÿäîê ðàçëîæåíèÿ âêëàäîâ òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì â çàðÿä íåéòðèíî ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ïðè ïîìîùè ðàçëîæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèé â ôîðìóëàõ (2.2.7)(2.2.11). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ÷ëåíû ïðîïîðöèîíàëüíûå b, à çàòåì âûïîëíèòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ôåéíìàíîâñêèì ïàðàìåòðàì. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîò ôàêò, ÷òî ôóíêöèè D è Dα òàêæå çàâèñÿò îò b, íàõî-

56

äèì, ÷òî

6 X

(i)

q1 (a, α) = 0.

i=1

Ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî âêëàäû γ − Z äèàãðàìì íå çàâèñÿò îò ìàññû íåéòðèíî, ïîëó÷àåì, ÷òî ñëàãàåìîå â ðàçëîæåíèè çàðÿäà íåéòðèíî, ïðîïîðöèîíàëüíîå ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b, ðàâíî íóëþ. Òåïåðü äàâàéòå ðàññìîòðèì âêëàäû γ − Z äèàãðàìì â ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî. Ñîîòâåòñòâóþùèå ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû èçîáðàæå(j)

íû íà Ðèñ. 2.2(a)-2.2(h). Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå (2.1.15) ôóíêöèé Πµν (q), à òàêæå ÿâíûé âèä ôóíêöèé A(j) (α, q 2 ) [ôîðìóëû (2.1.16)-(2.1.22)], íàõîäèì, ÷òî êàæäàÿ èç ôóíêöèé A(j) (α, q 2 ) ðàâíà íóëþ ïðè q 2 = 0,

A(j) (α, q 2 = 0) = 0. Òàêèì îáðàçîì, òîëüêî ñëàãàåìûå ïðîïîðöèîíàëüíûå B (j) (0) ñîîòâåòñòâóþò âêëàäàì γ − Z äèàãðàìì â ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî: (γ−Z)

Q

14 X g B (j) (α, 0). (α) = Q (α) = − 2 4MZ cos θW j=7 j=7 14 X

(j)

Èç ôîðìóë (2.1.8)-(2.1.14) [ñì. òàêæå ñîîòíîøåíèå (2.2.6)] äëÿ êàæäîãî âêëàäà Q(j) (α), j = 7, . . . , 14, ïîëó÷àåì

Q(7) (α) =

Q(8) (α) =

eGF 2 √ MW cos2 θW × 4π½2 ·2 ¸ ¾ 3 5α 5α2 3α3 ln α ω 3 + α(1 + α) − 1 − − − , (2.2.18) 4 8 8 4 (1 − α) eGF 2 √ MW sin2 θW × 2 4π 2 ¾ ½ α ´ ln α 3+α 5+α α³ − − 1+ , (2.2.19) ω 4 8 2 2 (1 − α)

Q(9) (α) =

eGF 1 2 √ MW (cos2 θW − sin2 θW ) {−ωα + α − α ln α} , 2 4π 2 2

(2.2.20)

57

Q(10) (α) =

eGF 2 √ MW cos2 θW × 2 4π 2 ½ ¾ 2 3 3 5α 3 − ω(3 + α2 ) + + − α2 ln α , (2.2.21) 4 8 8 4

eGF 1 2 √ MW cos2 θW {−ωα + α − α ln α} , 2 4π 2 2 1 eGF 2 √ MW (sin2 θW − cos2 θW ) {−ωα + α − α ln α} , Q(13) (α) = 2 4π 2 2 Q(11)+(12) (α) =

Q(14) (α) = 0.

(2.2.22) (2.2.23) (2.2.24)

Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî êàæäûé èç âêëàäîâ Q(j) (α) îêàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìûì îò ìàññû çàðÿæåííîãî ëåïòîíà m` è îò ìàññû íåéòðèíî mν .  äàííûõ âêëàäàõ íåò òàêæå çàâèñèìîñòè îò ìàññ âèðòóàëüíûõ ôåðìèîíîâ mf , êîòîðûå ïðèñóòñòâóþò â γ − Z äèàãðàììàõ. Ïîäîáíàÿ çàâèñèìîñòü èñ÷åçàåò áëàãîäàðÿ ñâîéñòâàì àëãåáðû γ ìàòðèö â ïðîñòðàíñòâå N èçìåðåíèé, îïðåäåëåííûì â ïðèëîæåíèè A. Çàâèñèìîñòü îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà αZ ñîêðàùàåòñÿ â êàæäîì èç âêëàäîâ. Çàìåòèì, ÷òî äàííàÿ çàâèñèìîñòü èñ÷åçàåò ïðè ïðîèçâîëüíîì q 2 åùå äî òîãî, êàê èíòåãðèðîâàíèÿ â ñîîòíîøåíèÿõ (2.1.8)-(2.1.14) áûëè âûïîëíåíû. Îêîí÷àòåëüíî äëÿ ñóììû âñåõ âêëàäîâ

γ − Z äèàãðàìì â ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî èìååì: Q(γ−Z) (α) =

eGF 2 √ MW × 2 4π 2 ½

¾ 3+α 5+α α ln α ³ α´ . (2.2.25) ω− − 1+ 4 8 2(1 − α) 2

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ðàñõîäÿùèåñÿ ÷àñòè ôîðìóë (2.2.13)-(2.2.16) è (2.2.25). Åñëè ñëîæèòü âñå êîýôôèöèåíòû â äàííûõ ñëàãàåìûõ, òî ïîëó÷àòñÿ íóëåâîé ðåçóëüòàò, ò.å. ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ìàññèâíîãî íåéòðèíî ðàâåí íóëþ ïðè ëþáîì ÷èñëå èçìåðåíèé N . Àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà áåçìàññîâîãî íåéòðèíî áûëî îáíàðóæåíî ñ ðàáîòå [61]. Òåïåðü ìîæíî çàâåðøèòü èññëåäîâàíèå çàðÿäà íåéòðèíî â íóëåâîì ïîðÿäêå ðàçëîæåíèÿ ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b, ñëîæèâ äëÿ ýòîé

58

öåëè âêëàäû òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì èç ôîðìóë (2.2.12)-(2.2.17), 6

(prop.vert.)

Q

X (i) eGF 2 √ MW (a, 0, α) = q0 (a, α), 4π 2 2 i=1

(2.2.26)

ñ Q(γ−Z) (α) èç ñîîòíîøåíèÿ (2.2.25). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî ðàâåí íóëþ â íóëåâîì ïîðÿäêå ðàçëîæåíèÿ ïî ìàññå íåéòðèíî â ñîãëàñèè ñ êîíå÷íûìè ðåçóëüòàòàìè ñòàòåé [54, 61].

2.2.2 Âû÷èñëåíèå â êàëèáðîâêå 'ò Õîôòà-Ôåéíìàíà  êàëèáðîâêå 'ò Õîôòà-Ôåéíìàíà âîçìîæíî ÿâíûì îáðàçîì ïîêàçàòü, ÷òî ñóììà âêëàäîâ îäíîïåòëåâûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî ðàâíà íóëþ.  ýòîé êàëèáðîâêå êàëèáðîâî÷íûé ïàðàìåòð

W -áîçîíà α ðàâåí åäèíèöå (α = 1). Ñóììèðóÿ âêëàäû âñåõ äèàãðàìì (2.2.7)-(2.2.11) è (2.2.25), ïîëó÷àåì òî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ çàðÿäà íåéòðèíî ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà

a è íåéòðèíî b:

½ Z 1 1 eGF 2 √ MW dz[a(−(a + 2) + z(a + 4))+ Q(a, b, α = 1) = 2 0 4π 2 2 1 ab(−1 + z + z 2 − z 3 ) + 2bz 2 (1 − 2z) + b2 z 2 (1 − z)] + D¶ ¾ µ Z 1 Z 1 a+b 1 dz(1 − 4z) ln D + + dz(1 − 2z) ln D . (2.2.27) 2 2 0 0

×òîáû ïðîàíàëèçèðîâàòü âûðàæåíèå (2.2.27), èñïîëüçóåì ôîðìóëû

Z

Z

1

1

dz ln D = −1 + Z

0 1

0

dz(a − bz 2 )

1 , D

(2.2.28)

Z 1 1 1 1 dz z ln D = − + dz z(a − bz 2 ) , (2.2.29) 4 2 0 D 0 êîòîðûå ìîãóò áûòü âûâåäåíû ïðè ïîìîùè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ïîäñòàâëÿÿ ôîðìóëû (2.2.28) è (2.2.29) â âûðàæåíèå (2.2.27) ïîëó÷àåì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ðàâåí íóëþ ïðè ïðîèçâîëüíîé ìàññå íåéòðèíî â ðàññìàòðèâàåìîé êàëèáðîâêå.

59

2.3 Ìàãíèòíûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî Ñëåäóÿ îáùåìó ðàçëîæåíèþ ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè íåéòðèíî Λµ (q), ïðåäñòàâëåííîìó â ñîîòíîøåíèè (2.1.1), ìàãíèòíûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî fM (q 2 ) ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì â ñëàãàåìîì, ïðîïîðöèîíàëüíîì iσµν q ν .  äàííîì ðàçäåëå áóäåò îïðåäåëåí fM (q 2 ) ïðè íåíóëåâîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà â ïðîèçâîëüíîé Rξ -êàëèáðîâêå, à òàêæå ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a è íåéòðèíî

b. Çàìåòèì, ÷òî ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû, èçîáðàæåííûå íà Ðèñ. 2.2(a)2.2(h), íå äàþò âêëàäîâ â ìàãíèòíûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî ïðè q 2 6= 0. Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿ ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà íåéòðèíî èìååò âèä 6

X (i) eGF √ mν fM (q ) = f¯M (q 2 ), 2 4π 2 i=1 2

(i) ãäå êîýôôèöèåíòû f¯M (q 2 ) - âêëàäû ñîîòâåòñòâóþùèõ äèàãðàìì â ìàãíèò-

íûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî, ïîêàçàííûå íà Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2.1.2)-(2.1.6), äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ èìååì ñîîòâåòñòâóþùèå âûðàæåíèÿ

Z

(1) f¯M (q 2 )

1 2

Z

1

Z

1

=

z

dz Z0 z

dy(2 − 3z + z 2 )

0

1 − D1

·

1 1 dz dy(az 2 − bz 2 (1 − z) − ty(z − y)(2 − z)) − D1 (α) D1 0 0 Z 1 Z z 1 dz dy(2 − 3z) [ln D1 (α) − ln D1 ] , 2 0 0 Z 1 Z z 1 1 (2) f¯M (q 2 ) = dz dyz(a + az − b(1 − z)) , 2 0 D1 (α) 0 Z 1 Z z 1 1 (3) f¯M (q 2 ) = dz dy(2a − 3az + az 2 − bz(1 − z)) , 2 0 D2 (α) 0

(4) f¯M (q 2 )

1 = 2

Z

Z

1

z

dz 0

dyz(1 + 2z) 0

1 + D2

¸ + (2.3.1) (2.3.2) (2.3.3)

60

1 2

Z

Z

1

z

dy(b(1 − z)2 (z(1 − z) − 2y) − ty(z − y)(2y − 3z + z 2 ) − 2ty)× 0 0 · ¸ 1 1 − + D2 (α) + y(1 − α) D2 Z Z z 1 1 dz dy(−2 + 9z − 4z 2 − 6y) [ln (D2 (α) + y(1 − α)) − ln D2 ] − 2 0 Z 1 0 Z z t dz dy(bz(1 − 3z + z 2 + z 3 ) − ty(z − y)(2 − z − z 2 ))× 4 0 0 · ¸ 1 2 1 + − + D2 D2 (α) D2 (α) + y(1 − α) Z Z z t 1 dz dy(8 − 13z + 3z 2 )× 8 0 0 dz

[ln D2 + ln D2 (α) − 2 ln (D2 (α) + y(1 − α))] , (2.3.4) Z

Z

1

z

1 + D2 (α) + y(1 − α) 0 0 · ¸ Z Z z 1 1 1 1 2 dz dy((a−bz)(1−z) +ty(z−y)(1−z)) + − 2 0 D2 (α) + y(1 − α) D2 (α) 0 Z z Z 1 1 dz dy(2 − 3z) [ln (D2 (α) + y(1 − α)) − ln D2 (α)] , (2.3.5) 2 0 0 ãäå (5)+(6) 2 (q ) f¯M

=

dz

dyy

D1 (α) = α + (a − α)z − bz(1 − z) + ty(z − y), D1 = D1 (α = 1) = 1 + (a − 1)z − bz(1 − z) + ty(z − y), D2 (α) = a + (α − a)z − bz(1 − z) + ty(z − y), D2 = D2 (α = 1) = a + (1 − a)z − bz(1 − z) + ty(z − y), 2 è t = −q 2 /MW .

2.3.1 Èññëåäîâàíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà  ýòîì ðàçäåëå îáñóæäàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå èíòåãðàëîâ, êîòîðûå âîçíèêàþò âî âêëàäàõ òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì â fM (q 2 ) ïðè áîëü-

61

øèõ ïîëîæèòåëüíûõ t. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñëåäóþùèé èíòåãðàë ïðè

t → +∞:

Z

z

J(t) = t 0

y dy = D2 (α)

Z

z

dy 0

y , (y − y2 )(y1 − y)

(2.3.6)

ãäå

D Dα + · · · , y2 = − + ··· . zt zt Âûïîëíÿÿ ýëåìåíòàðíûå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì, ÷òî y1 = z +

J(t) → ln t − ln D.

(2.3.7)

(2.3.8)

 ôîðìóëàõ (2.3.6)-(2.3.8) áûëè îòáðîøåíû ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå

1/t è (ln t)/t, êîòîðûå èñ÷åçàþùå ìàëû ïðè áîëüøèõ ïîëîæèòåëüíûõ t. Îñòàâøèåñÿ èíòåãðàëû îöåíèâàþòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.  êîíå÷íîì èòîãå íàõîäèì, ÷òî

f¯M (t) =

6 X

(i) f¯M (t) → 0, ïðè t → +∞.

i=1

Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà ïðè áîëüøèõ îòðèöàòåëüíûõ q 2 , îïèñàííîå â íàñòîÿùåé ðàáîòå, ñîãëàñóåòñÿ ñ îáùåé òåîðåìîé Âàéíáåðãà [84]. Îäíàêî ñëó÷àé ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà ìàññèâíîãî íåéòðèíî ðàíåå íèêîãäà íå îáñóæäàëñÿ. Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ïðè âûâîäå ñîîòíîøåíèé (2.3.6)-(2.3.8) ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî α < ∞. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, ÷òî f¯M (t) → 0 ïðè t → +∞, ñïðàâåäëèâ â ëþáîé êàëèáðîâêå, êðîìå óíèòàðíîé. Çíà÷åíèå f¯M (t → +∞) ìîæåò íå áûòü ðàâíûì íóëþ, åñëè ñíà÷àëà ïîëîæèòü α = ∞, à çàòåì ïåðåéòè ê ïðåäåëó

t → +∞. Àíàëèç àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ìàãíèòíûõ ôîðìôàêòîðîâ â ðàìêàõ ìîäåëè Âàéíáåðãà-Ñàëàìà â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå ïðåäñòàâëåí, íàïðèìåð, â ñòàòüå [81]. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ÿâíûõ âûðàæåíèé äëÿ ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà ìàññèâíîãî íåéòðèíî ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà

α íà Ðèñ. 2.3 ïîêàçàíî ïîâåäåíèå ôóíêöèè f¯M (t) â ðàçëè÷íûõ êàëèáðîâêàõ

62

Ðèñ. 2.3: Ìàãíèòíûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî êàê ôóíêöèÿ t ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà. Ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò α = 100, ñïëîøíàÿ  êàëèáðîâêå 'ò Õîôòà-Ôåéíìàíà (α = 1), à øòðèõ-ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ 

α = 0.1.

äëÿ øèðîêîãî äèàïàçîíà çíà÷åíèé t: 0 ≤ t ≤ 5 × 10−4 . Èç Ðèñ. 2.3 âèäíî, ÷òî ìàãíèòíûé ôîðìôàêòîð ñòàíîâèòñÿ êàëèáðîâî÷íî íåçàâèñèìûì ïðè

t = 0, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ôîòîíó íà ìàññîé îáîëî÷êå. Çíà÷åíèå fM (t = 0) ðàâíÿåòñÿ ìàãíèòíîìó ìîìåíòó íåéòðèíî, êàëèáðîâî÷íàÿ íåçàâèñèìîñòü êîòîðîãî áóäåò îáñóæäàòüñÿ íèæå áîëåå ïîäðîáíî.

2.3.2 Ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî Êàê ýòî áûëî óæå îòìå÷åíî â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ìàãíèòíûé ìîìåíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà ïðè íóëåâîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà

µ(a, b, α) = fM (q 2 = 0), êîòîðîå çàâèñèò îò äâóõ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ a è b. Çàìåòèì, ÷òî âêëàäû îòäåëüíûõ äèàãðàìì â ìàãíèòíûé ìîìåíò ìîãóò ñîäåðæàòü çàâèñèìîñòü îò ïàðàìåòðà, ôèêñèðóþùåãî êàëèáðîâêó α. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî íåîáõîäèìî ïîëî-

63

æèòü q 2 = 0 â îáùèõ âûðàæåíèÿõ (2.3.1)-(2.3.5) äëÿ ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà. Î÷åâèäíî, ÷òî ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû, èçîáðàæåííûå íà Ðèñ. 2.2(a)2.2(h) íå äàþò âêëàäîâ â ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî. Òàêèì îáðàçîì, òî÷íîå çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì

µ(a, b, α) =

6 X

µ(i) (a, b, α),

(2.3.9)

i=1

ãäå µ(i) (a, b, α) - âêëàäû òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì [ñì. Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f)] â ìàãíèòíûé ìîìåíò. Ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà íåéòðèíî. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2.1.2)-(2.1.6), äëÿ êàæäîãî èç âêëàäîâ â ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî ïîëó÷àåì

½Z 1 1 eGF √ mν dz z(1 − z 2 ) − µ (a, b, α) = D 4π 2 2 0 · ¸ Z 1 1 1 1 3 dz(1 − z) (a − bz) − − 2 0 Dα D ¾ Z 1 1 dz(1 − z)(1 − 3z) [ln Dα − ln D] , (2.3.10) 2 0 (1)

eGF 1 √ mν µ (a, b, α) = 4π 2 2 2

Z

1

(2)

dz(1 − z)× 0

(−3az + az 2 + 2a − bz(1 − z)) eGF 1 √ mν µ(3) (a, b, α) = 4π 2 2 2

Z

1 0

1 , (2.3.11) Dα

dz z(−3az + az 2 + 2a − bz(1 − z))

1 , (2.3.12) Dα

½ Z 1 1 eGF 1 √ mν dz z 2 (1 + 2z) + µ (a, b, α) = 2 0 D 4π 2 2 · ¸ Z 1 Z z b 1 1 2 dz dy(1 − z) (z(1 − z) − 2y) − + 2 0 Dα + y(1 − α)) D 0 (4)

64

1 2

Z

Z

1

z

dz 0

0

¾ dy(−2 + 9z − 4z 2 − 6y) [ln(Dα + y(1 − α)) − ln D] , (2.3.13)

½Z 1 Z z 1 eG F √ mν µ(5)+(6) (a, b, α) = dz dy y + Dα + y(1 − α) 4π 2 2 0 0 · ¸ Z Z z 1 1 1 1 dz dy(1 − z)2 (a − bz) − + 2 0 Dα + y(1 − α) Dα 0 ¾ Z Z z 1 1 dz dy(2 − 3z) [ln(Dα + y(1 − α)) − ln Dα ] . (2.3.14) 2 0 0 Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äàííûå ôîðìóëû òî÷íî ó÷èòûâàþò çàâèñèìîñòü îò ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà è íåéòðèíî a è b, à òàêæå îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîäîëæèòü àíàëèòè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ, ðàçëîæèì âêëàäû â ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî (2.3.10)-(2.3.14) ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b è ðàññìîòðèì äâà ïåðâûõ ñëàãàåìûõ. Çàòåì èç ñîîòíîøåíèÿ (2.3.9) ïîëó÷àåì, ÷òî 6

X (i) eGF (i) √ mν {¯ µ0 (a, α) + b¯ µ1 (a, α) + O(b2 )}. µ(a, b, α) = 4π 2 2 i=1

(2.3.15)

(i)

Äëÿ êàæäîãî èç êîýôôèöèåíòîâ µ ¯0 (a, α) áûëè íàéäåíû òî÷íûå âûðàæåíèÿ ÷åðåç àëãåáðàè÷åñêèå ôóíêöèè, îäíàêî äàííûå ôîðìóëû ñíîâà îêàçàëèñü äîâîëüíî ãðîìîçäêèìè. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì áîëåå êîìïàêòíûå âûðà(i)

æåíèÿ äëÿ µ ¯0 (a, α), êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïðè ðàçëîæåíèè ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a. Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ ÷ëåíû (i)

âïëîòü äî âòîðîãî ïîðÿäêà ïî a, íàõîäèì äëÿ êîýôôèöèåíòîâ µ ¯0 (a, α) ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ (1)

µ ¯0 (a, α) = (2)

2 10 − 3α + 6 ln a − 6 ln α + a + O(a2 ), 3 6α

µ ¯0 (a, α) = −

5 + 3 ln a − 3 ln α a + O(a2 ), 3α

(2.3.16) (2.3.17)

65 (3)

µ ¯0 (a, α) = (4) µ ¯0 (a, α)

(5)+(6)

µ ¯0

5a + O(a2 ), 12α

(2.3.18)

2 − 7α − 3α ln α + 5α2 = − 6(1 − α)2 9 − 12α + ln α + 5α ln α + 3α2 a + O(a2 ), (2.3.19) 2 12(1 − α)

(a, α) =

1 − α + α ln α − 2(1 − α)2 5 − 16α − α ln α + 11α2 − 5α2 ln α a + O(a2 ). (2.3.20) 2 12α(1 − α)

Ôîðìóëû (2.3.16)-(2.3.20) âìåñòå ñ ñîîòíîøåíèåì (2.3.15) äàþò çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà â ïðåäåëå b → 0, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ëåãêîãî íåéòðèíî. (i)

Ìîæíî ñðàâíèòü äàííûå âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ µ ¯0 (a, α) ñ ðåçóëü(4)

òàòàìè ñòàòüè [54]. Ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåé ðàáîòû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ µ0 (a, α), (5)

(6)

µ0 (a, α) è µ0 (a, α) íå ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè âûøå óïîìÿíóòîé ñòàòüè. Ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû, ñîîòâåòñòâóþùèå âêëàäàì äëÿ i = 5 è

6, ñîäåðæàò íåôèçè÷åñêèé çàðÿæåííûé ñêàëÿðíûé áîçîí. Äàííàÿ ÷àñòèöà äîëæíà èñ÷åçàòü â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå, â êîòîðîé êàëèáðîâî÷íûé ïàðàìåòð α ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, âêëàäû ýòèõ äèàãðàìì â ìàãíèòíûé ìîìåíò äîëæíû ðàâíÿòüñÿ íóëþ â ïðåäåëå α → ∞. Èìåííî ýòî è ñëåäóåò èç ôîðìóëû (2.3.20). Îäíàêî, àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà èç ñòàòüè [54] âîîáùå íå çàâèñèò îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà. Åùå îäèí àðãóìåíò â ïîëüçó íàøèõ ðåçóëüòàòîâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åí, åñëè ðàññìîòðåòü çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ñòàòüè [54], íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü âåðíîå çíà÷åíèå äëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî â äàííîé êàëèáðîâêå.  óíèòàðíîé êàëèáðîâêå òîëüêî äâå äèàãðàììû, ïîêàçàííûå íà Ðèñ. 2.1(a) è 2.1(d), äàþò âêëàäû â ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî. Ðåçóëüòàòû äëÿ ýòèõ

66

äâóõ âêëàäîâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîðìóë èç [54], èìåþò âèä

¾ ½ eGF 2 a √ mν = − + O(a2 ) , (2.3.21) 2 3 2 4π 2 ¾ ½ eG 7 F (4) √ mν µ0 = + O(a2 ) . (2.3.22) 2 12 4π 2 Ñóììà ëèäèðóþùèõ ñëàãàåìûõ â ôîðìóëàõ (2.3.21) è (2.3.22) îòëè÷àåò(1) µ0

ñÿ îò õîðîøî èçâåñòíîãî ðåçóëüòàòà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî (ñì., íàïðèìåð, ðàáîòó [50])

3eGF mν √ . (2.3.23) 8π 2 2 Ýòîò ôàêò óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âêëàäû òðåõ äèàãðàìì, ïîêàçàííûõ íà µ=

Ðèñ. 2.1(d), 2.1(e) è 2.1(f), áûëè âû÷èñëåíû â [54] ñ íåïðàâèëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α. Çàìåòèì, ÷òî âû÷èñëåíèÿ âûïîëíåííûå â ñòàòüå [54] äàþò âåðíûé ðåçóëüòàò òîëüêî â êàëèáðîâêå 'ò ÕîôòàÔåéíìàíà. Ðàññìîòðèì òåïåðü çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî â íóëåâîì ïîðÿäêå ðàçëîæåíèÿ ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b, ó÷èòûâàÿ ïðè ýòîì âñå âêëàäû. Íàéäåíî, ÷òî ñóììà êîýôôèöèåíòîâ (2.3.16)-(2.3.20) íå çàâèñèò îò êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α. Ïðÿìîé ðàñ÷åò ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî â ïðåäåëå b → 0 äàåò

3 eGF √ mν (2 − 7a + 6a2 − 2a2 ln a − a3 ), 3 2 4π 2 4(1 − a) ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ îêîí÷àòåëüíûì ðåçóëüòàòîì ñòàòüè [54]. µ0 (a, α) =

(2.3.24)

Ðàññìàòðèâàÿ ñëåäóþùèé ïîðÿäîê ðàçëîæåíèÿ ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b, îáíàðóæèâàåì, ÷òî ñóììà ñîîòâåòñòâóþùèõ âêëàäîâ (2.3.10)(2.3.14) â êîýôôèöèåíò µ ¯1 (a, α) èìååò ôîðìó

µ ¯1 (a, α) =

6 X i=1

(i)

µ ¯1 (a, α) =

1 × 12(1 − a)5

(5 − 26a + 6a ln a − 36a2 − 60a2 ln a + 58a3 − 18a3 ln a − a4 ). (2.3.25)

67

Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (2.3.24) è (2.3.25) ÿâíî ïîêàçàíî, ÷òî â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè, à òàêæå â ïåðâîì ïîðÿäêå ðàçëîæåíèÿ ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b, ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî ÿâëÿåòñÿ êàëèáðîâî÷íî íåçàâèñèìîé âåëè÷èíîé. Íåäàâíèå äàííûå ýêñïåðèìåíòîâ â ÖÅÐÍå íà óñêîðèòåëå ËÝÏ (LEP) ñâèäåòåëüñòâóþò â ïîëüçó òîãî, ÷èñëî ëåãêèõ íåéòðèíî, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ Z -áîçîíîì, ðàâíî òðåì. Ëþáîå äîïîëíèòåëüíîå íåéòðèíî äîëæíî áûòü òÿæåëåå ÷åì 80 Ãý (ñì., íàïðèìåð, ðàáîòó [85]). Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (2.3.10)-(2.3.14) äàþò âîçìîæíîñòü ðàññìîòðåòü ñëó÷àé î÷åíü òÿæåëîãî íåéòðèíî, ò.ê. ìàññîâûå ïàðàìåòðû a è b ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîëüíûìè â ýòèõ ôîðìóëàõ. Ïóñòü ìàññà íåéòðèíî mν áóäåò ãîðàçäî áîëüøå ìàññû çàðÿæåííîãî ëåïòîíà m` (ýòîò ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò b À a). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó a → 0 â ôîðìóëàõ (2.3.24)-(2.3.25), ñîõðàíÿÿ ïðè ýòîì çíà÷åíèå b ïîñòîÿííûì, äëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî ïîëó÷àåì

½ ¾ 3eGF 5 √ mν 1 + b + · · · . µ= 18 8π 2 2

(2.3.26)

Èñïîëüçóÿ îáùèå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäîâ â ìàãíèòíûé ìîìåíò (2.3.10)(2.3.14), ìîæíî ïîëó÷èòü âåëè÷èíó ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ ìàññû íåéòðèíî, äàæå â ñëó÷àå, êîãäà íåéòðèíî ãîðàçäî òÿæåëåå, ÷åì W -áîçîí. ×òîáû èññëåäîâàòü äàííóþ ñèòóàöèþ, íåîáõîäèìî çàôèêñèðîâàòü êàëèáðîâî÷íûé ïàðàìåòð α â ñîîòíîøåíèÿõ (2.3.10)-(2.3.14) äëÿ íåêîòîðîãî óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèé.  ïîñëåäóþùèõ âûêëàäêàõ ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî α = 1. Òàêîé âûáîð êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà ñîîòâåòñòâóåò êàëèáðîâêå 'ò Õîôòà-Ôåéíìàíà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñóììû âñåõ âêëàäîâ â ìàãíèòíûé ìîìåíò

Z

1

µ ¯ = δ` 0

1 1 dz − (1 − 2δW + 3δ` ) D 2

Z

1

dz z 0

1 + D

(1 + 2δW

1 + δ` ) 2

Z

1 0

dz z 2

1 , (2.3.27) D

68

â êîòîðîì ìû ïåðåîïðåäåëèëè ìàññîâûå ïàðàìåòðû è ââåëè äâå íîâûõ âåëè÷èíû, δW = 1/b = (MW /mν )2 , è δ` = a/b = (m` /mν )2 , D = z 2 − z(1 −

δW + δ` ) + δ` . Ñëó÷àé ñâåðõìàññèâíîãî íåéòðèíî ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèÿì íîâûõ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ â äèàïàçîíå: δ` ¿ δW ¿ 1. Ìîæíî äîêàçàòü ïðè ïîìîùè ïðÿìûõ âû÷èñëåíèé, ÷òî

lim δW In = 0,

δW →0

lim δ` In = 0,

δ` →0

ãäå

Z

1

äëÿ n = 0, 1 è 2,

(2.3.28)

1 . (2.3.29) D 0 Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2.3.28) è (2.3.29), íàõîäèì, ÷òî ôóíêöèÿ µ ¯ â ñîîòíîIn =

dz z n

øåíèè (2.3.27) ðàâíà 1/2, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò âåëè÷èíå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà

eGF √ mν . (2.3.30) 8π 2 2 Ôîðìóëà (2.3.30) äàåò ìàãíèòíûé ìîìåíò ñâåðõìàññèâíîãî íåéòðèíî, ñ ìàñµ=

ñîé ãîðàçäî áîëüøåé, ÷åì ìàññà W -áîçîíà.  êîíöå äàííîãî ðàçäåëà ñðàâíèì âû÷èñëåíèÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî â óíèòàðíîé è Rξ -êàëèáðîâêàõ. Âû÷èñëåíèÿ, âûïîëíåííûå â ýòèõ äâóõ êàëèáðîâêàõ, êàê ýòî áûëî îòìå÷åíî â ðàáîòå [81], ôîðìàëüíî ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó, ò.å. äâå ôåéíìàíîâñêèå àìïëèòóäû ñòàíîâÿòñÿ ðàâíûìè, åñëè ê ïðåäåëó α → ∞ ïåðåõîäÿò äî âû÷èñëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ôåéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ. Äèàãðàììû, êîòîðûå îïèñûâàþò ïðîöåññû ñ ó÷àñòèåì íåôèçè÷åñêèõ ñêàëÿðíûõ áîçîíîâ äîëæíû èñ÷åçàòü â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå. Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåäóðà ïåðåõîäà ê ïðåäåëó α → ∞ è èíòåãðèðîâàíèå ïî âèðòóàëüíûì èìïóëüñàì äîëæíû áûòü êîììóòèðóþùèìè.  íàñòîÿùåé ðàáîòå äàííîå óòâåðæäåíèå ïðîâåðåíî íà ïðèìåðå ïðÿìîãî ðàñ÷åòà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ìàññèâíîãî íåéòðèíî. Äåéñòâèòåëüíî, íà îñíîâå èëè òî÷íûõ ôîðìóë (2.3.10)-(2.3.14) èëè ðàçëîæåíèé, ïðåäñòàâëåííûõ â ñîîòíîøåíèÿõ (2.3.16)-(2.3.20), íàõîäèì, ÷òî âêëàäû äèàãðàìì, èçîáðàæåííûõ íà Ðèñ. 2.1(b), 2.1(c), 2.1(e) è 2.1(f), êîòîðûå âêëþ÷àþò â ñåáÿ ñêàëÿðíûé áîçîí, ðàíû íóëþ â ïðåäåëå α → ∞.

69

2.4 Àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî  ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàçäåëà 2.1 äëÿ ðàçëè÷íûõ âêëàäîâ â âåðøèííóþ ôóíêöèþ íåéòðèíî Λµ (q), âûäåëèì â ôîðìóëàõ (2.1.2)-(2.1.14) êîýôôèöèåíòû, ïðîïîðöèîíàëüíûå (q 2 γµ − 6 qqµ )γ5 , êîòîðûå, èñõîäÿ èç ðàçëîæåíèÿ äàííîãî â ñîîòíîøåíèè (2.1.1), ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè âêëàäàìè â àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîð fA (q 2 ). Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûäåëåíèè ðàññìàòðèâàåìûõ ñëàãàåìûõ âî âêëàäàõ êàæäîé èç äèàãðàìì, èçîáðàæåííûõ íà Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f) è 2.2(a)-2.2(h), íåèçáåæíî âîçíèêàþò äîïîëíèòåëüíûå ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå ìàòðèöå γµ γ5 . Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìî ïðîâåðÿòü, ÷òîáû ïîäîáíûé äîïîëíèòåëüíûé ¾ôîðìôàêòîð¿ èìåë íóëåâîå çíà÷åíèå äàæå ïðè q 2 6= 0. Äàííàÿ ïðîáëåìà áûëà çàòðîíóòà â ðàçäåëå 2.1.2. Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì âêëàäû îäíîïåòëåâûõ òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì [ñì. Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f)] â àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî. Ïðîèçâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî èìïóëüñàì âèðòóàëüíûõ ÷àñòèö, èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì ðàçìåðíóþ ðåãóëÿðèçàöèþ (äåòàëè äàííîé ïðîöåäóðû ïðåäñòàâëåíû â ïðèëîæåíèè B), íàõîäèì òî÷íûå âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäîâ ðàññìàòðèâàåìûõ äèàãðàìì â àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî, âûðàæåííûõ ÷åðåç îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû: 6

eGF X ¯(i) 2 √ fA (q ), fA (q ) = 4π 2 2 i=1 2

(2.4.1)

ãäå

Z Z z 1 1 1 dz dy((2 − z − z 2 ) + 4y(z − y)) − =− 2 0 D1 0 Z 1 Z z 1 dz dy((a + b(1 − z))z 2 − 4y(z − y)(a − b) − 2τ y(z − y)(2 − z))× 4 0 · 0 ¸ Z Z z 1 1 1 1 − − dz dy(2 − 3z) [ln D1 (α) − ln D1 ] , (2.4.2) D1 (α) D1 4 0 0

(1) f¯A (q 2 )

70

a−b =− 4

Z

Z

1

z

1 dy(z(1 − z) + 4y(z − y)) , (2.4.3) D1 (α) 0 0 Z z Z 1 a−b 1 (3) 2 ¯ dz dy(z − 2y)2 fA (q ) = , (2.4.4) 4 D (α) 2 0 0 Z 1 Z z 1 1 (4) 2 f¯A (q ) = − dz dy(z(3 − 2z) + 8y(z − y)) − 4 D2 0 Z 1 Z z 0 ¡ 1 dz dy bz(1 − z 2 )(3 − z) − 4b(1 − z)(z − y(1 + z))(z − y)− 4 0 0 · ¸ ¢ 1 1 3 2 2 2 τ (4y − 4y z − 2y + yz − 4y + yz)(z − y) − + D2 (α) + y(1 − α) D2 Z Z z 1 1 dz dy(6 − 3z − 4z 2 + 12y + 16y(z − y))× 4 0 0 (2) f¯A (q 2 )

1 4

Z 0

dz

[ln (D2 (α) + y(1 − α)) − ln D2 ] − Z z 1 ¡ ¢ dz dy b(1 − z 2 ) + τ (z + 2y(z − y)) × 0

[ln D2 + ln D2 (α) − 2 ln (D2 (α) + y(1 − α))] + Z Z z £ 3 1 dz dy D2 ln D2 + D2 (α) ln D2 (α)− 4 0 0

¤ 2 (D2 (α) + y(1 − α)) ln (D2 (α) + y(1 − α)) , (2.4.5)

Z Z z 1 1 1 =− dz dy y + 2 0 D2 (α) + y(1 − α) 0 Z z Z ¡ 1 1 dz dy a((1 + z)2 − 4y(1 + z − y)) − b(z(1 + z)2 − 2y((1 + z)2 − 2y))+ 4 0 0 · ¸ ¢ 1 1 τ y(z − y)(1 + z − 2y) − − D2 (α) + y(1 − α) D2 (α) Z Z z 1 1 dz dy(2 + 3z − 6y) [ln (D2 (α) + y(1 − α)) − ln D2 (α)] . (2.4.6) 4 0 0 Çàìåòèì, ÷òî â âûðàæåíèÿõ (2.4.2)-(2.4.6) òî÷íî ó÷èòûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ (5)+(6) 2 f¯A (q )

ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a, íåéòðèíî b, çíà÷åíèå êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà α òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûì. Âñå âû÷èñëåíèÿ áûëè âûïîëíåíû ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè q 2 .

71

Âêëàäû γ −Z äèàãðàìì, ïîêàçàííûõ íà Ðèñ. 2.2(a)-2.2(h), â àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ (2.1.41) è èìåþò ñëåäóþùèé âèä (j) fA (q 2 )

g 1 = 4 cos θW q 2 − MZ2

½

A(j) (α, q 2 ) B (j) (α, q 2 ) + (1 − αZ ) 2 q2 q − αZ MZ2

¾ ,

j = 7, . . . , 14. (2.4.7) Èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä ôóíêöèé A(j) (α, q 2 ) [ôîðìóëû (2.1.16)-(2.1.22)], è

B (j) (α, q 2 ) [ôîðìóëû (2.1.23)-(2.1.29)], à òàêæå ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (2.4.7) ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäîâ γ − Z äèàãðàìì ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ êàëèáðîâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ, α è αZ è q 2 6= 0. Îäíàêî, ââèäó ãðîìîçäêîñòè äàííûõ ôîðìóë çäåñü îíè ïðèâîäèòüñÿ íå áóäóò.

2.4.1 Àíàïîëüíûé ìîìåíò  äàííîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì àíàïîëüíûé ìîìåíò ìàññèâíîãî íåéòðèíî. Íàìè áûëè ïîëó÷åíû âêëàäû òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì [ôîðìóëû (2.4.2)(2.4.6)], è γ−Z äèàãðàìì [ôîðìóëà (2.4.7)], â àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîð íåéòðèíî ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè q 2 . Ïîñêîëüêó àíàïîëüíûé ìîìåíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòàòè÷åñêóþ ýëåêòðîìàãíèòíóþ õàðàêòåðèñòèêó íåéòðèíî, òî çíà÷åíèå q 2 â ðàññìàòðèâàåìûõ ôîðìóëàõ ñëåäóåò ïîëîæèòü ðàâíûì íóëþ. Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûäåëåíèè ñëàãàåìûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ àíàïîëüíîìó ìîìåíòó, íåîáõîäèìî ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ïðîáëåìó, çàòðîíóòóþ â ðàçäåëå 2.1.1 íàñòîÿùåé ðàáîòû, ò.å. íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òîáû ñóììà äîïîëíèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ìàòðèöå γµ γ5 áûëà ðàâíà íóëþ.  ñëó÷àå áåçìàññîâîãî íåéòðèíî âåëè÷èíà àíàïîëüíîãî ìîìåíòà ñâÿçàíà ñ çàðÿäîâûì ðàäèóñîì ïîñðåäñòâîì ñîîòíîøåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, ðàáîòó [63])

1 aν = hrν2 i. 6

72

 ñëó÷àå æå ìàññèâíîé ÷àñòèöû ýòà ïðîñòàÿ çàâèñèìîñòü íàðóøàåòñÿ â ñèëó ïðè÷èí, îïèñàííûõ â ðàçäåëå 2.1.  âûðàæåíèå äëÿ àíàïîëüíîãî ìîìåíòà äàþò âêëàäû êàê òðåóãîëüíûå äèàãðàììû, ïîêàçàííûå íà Ðèñ. 2.1(a)-2.1(f), òàê è γ − Z äèàãðàììû, èçîáðàæåííûå íà Ðèñ. 2.2(a)-2.2(h). Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå âûðàæåíèå äëÿ àíàïîëüíîãî ìîìåíòà èìååò ôîðìó

aν =

eGF √ 4π 2 2

( 6 X i=1

a ¯(i) (a, b, α) +

14 X

) a ¯(j) (a, α) .

j=7

Âêëàäû òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì a ¯(i) (a, b, α) ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå

Z 1 1 1 dz(2 + 3z − 6z 2 + z 3 ) − a ¯ (a, b, α) = − 6 0 D · ¸ Z 1 1 1 1 3 dz(1 − z) (a + 2b + 3bz) − + 12 0 Dα D Z 1 1 dz(1 − z)(1 − 4z + 3z 2 ) [ln Dα − ln D] , (2.4.8) 4 0 Z a−b 1 1 (2) a ¯ (a, b, α) = − dz(2 − 3z + z 3 ) , (2.4.9) 12 0 Dα Z 1 1 a − b a ¯(3) (a, b, α) = dz z 3 , (2.4.10) 12 0 Dα (1)

Z 1 1 1 a ¯ (a, b, α) = − dz z 2 (9 − 2z) − 12 0 D Z 1 Z z ¡ ¢ b dz dy z(1 − z 2 )(3 − z) − 4(1 − z)(z − y(1 + z))(z − y) × 4 0 0 · ¸ 1 1 − + Dα + y(1 − α) D Z Z z 1 1 dz dy(6 − 3z − 4z 2 + 12y + 16y(z − y))× 4 0 0 (4)

b 4

Z

[ln (Dα + y(1 − α)) − ln D] −

Z

1

z

dz 0

0

dy(1 − z 2 ) [ln D + ln Dα − 2 ln (Dα + y(1 − α))] +

73

3 4

(5)+(6)

a ¯

Z

Z

1

z

dz 0

£ dy D ln D + Dα ln Dα −

0

¤ 2 (Dα + y(1 − α)) ln (Dα + y(1 − α)) , (2.4.11)

Z Z z 1 1 1 dz dy y + (a, b, α) = − 2 0 Dα + y(1 − α) 0 Z Z z ¡ 1 1 dz dy a((1 + z)2 − 4y(1 + z − y))− 4 0 0 · ¸ ¢ 1 1 2 2 b(z(1 + z) − 2y((1 + z) − 2y)) − − Dα + y(1 − α) Dα Z Z z 1 1 dz dy(2 + 3z − 6y) [ln (Dα + y(1 − α)) − ln Dα ] . (2.4.12) 4 0 0

Çàìåòèì, ÷òî òàêæå, êàê è â ñëó÷àå áåçìàññîâîãî íåéòðèíî, âêëàäû òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì â àíàïîëüíûé ìîìåíò ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü âêëàäû γ −Z äèàãðàìì â àíàïîëüíûé ìîìåíò óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (2.4.7), ïîëîæèâ ïðè ýòîì q 2 = 0. Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèÿ äëÿ

a(j) (α) =

eGF (j) √ a ¯ (α), 4π 2 2

ïðèíèìàþò ñëåäóþùóþ ôîðìó

¯ (j) 2 ¯ A (α, q ) 1 g ¯ a(j) (α) = 2 Q(j) − 2 ¯2 , 2 MZ 4MZ cos θW q q →0

j = 7, . . . , 14, (2.4.13)

â êîòîðûõ âêëàäû â çàðÿä äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (2.2.18)-(2.2.24). Ïðè âûâîäå ñîîòíîøåíèÿ (2.4.13) ìû ïîëîæèëè αZ = +∞. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.4.13) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ a ¯(j) (α)

¸ ³ · 3 a ¯(7) (α) = cos2 θW cos2 θW ω 3 + α(1 + α) − 4 · ¸ 14 5α 5α2 3α3 ln α ´ 1 ³ − − − ω − +α − 1− 8 8 4 (1 − α) 2 3 ½

74

¡ 1 11 − 54α + 54α2 − 2α3 − 9α4 − 3 18(1 − α)

´¾ ¢ 18α2 ln α − 12α3 ln α + 18α4 ln α , (2.4.14)

³ ´ ln α ¶ 3 + α 5 + α α α − − 1+ − a ¯(8) (α) = sin2 θW cos2 θW ω 4 8 2 2 (1 − α) ¾ ¢ ¡ 1 2 3 11 − 18α + 9α − 2α + 6 ln α , (2.4.15) 18(1 − α)3 1 a ¯(9) (α) = (cos2 θW − sin2 θW ) cos2 θW {−ωα + α − α ln α} , (2.4.16) 2 ½ ¾ 2 3 5α 3 3 − α2 ln α , (2.4.17) a ¯(10) (α) = cos4 θW − ω(3 + α2 ) + + 4 8 8 4 ½ 1 (11)+(12) 2 a ¯ (α) = cos θW cos2 θW (−ωα + α − α ln α) − 2 ¾ 1 (ω + ln α) , (2.4.18) 3 ½

a ¯(13) (α) = (sin2 θW

µ

½ 1 cos2 θW (−ωα + α − α ln α) + − cos2 θW ) 2 ¾ 1 (ω + ln α) , (2.4.19) 6

¶ ½ µ 28 a ¯(14) (α) = − ω −1 − sin2 θW + 9 µ ¶ ³ ´ ¾ 1X 1 mf 2 2 Qf ± − 2Qf sin θW ln . (2.4.20) 3 2 M f

Âûðàæåíèÿ (2.4.14)-(2.4.20) ÿâëÿþòñÿ ðàñõîäÿùèìèñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îêîí÷àòåëüíûé âèä äàííûõ ôîðìóë çàâèñèò îò ìåòîäà ðåãóëÿðèçàöèè ôåéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ (2.1.8)-(2.1.14). Ýòèì îáñòîÿòåëüñòâîì ìîæåò áûòü îáúÿñíåíî íåêîòîðîå ðàçëè÷èå ìåæäó ñîîòíîøåíèÿìè (2.4.14)-(2.4.20) è ñîîòâåòñòâóþùèìè âêëàäàìè â çàðÿäîâûé ðàäèóñ, êîòîðûå áûëè ïîëó÷åíû â ñòàòüå [69].

Ãëàâà 3 Ýâîëþöèÿ ñïèíà íåéòðèíî â ïðîèçâîëüíûõ âíåøíèõ ïîëÿõ  ðàçëè÷íûõ ðàñøèðåíèÿõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ïðåäñêàçûâàþòñÿ íîâûå òèïû âçàèìîäåéñòâèé äëÿ ìàññèâíîãî íåéòðèíî. Ïðîáëåìå ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåéòðèíî â ñðåäå â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ òèïîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ôåðìèîíàìè âåùåñòâà óäåëÿåòñÿ áîëüøîå âíèìàíèå (ñì., íàïðèìåð, ñòàòüè [86, 87]).  ðàáîòàõ [8892] áûë ðàçâèò ðåëÿòèâèñòêè èíâàðèàíòíûé ôîðìàëèçì äëÿ îïèñàíèÿ ñïèíîâûõ è ñïèí-ôëåéâîðíûõ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî, ó÷àñòâóþùåãî â âåêòîðíûõ è àêñèàëüíî-âåêòîðíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ (â ðàìêàõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè) ñ äâèæóùåéñÿ ñðåäîé ïîä âîçäåéñòâèåì ïðîèçâîëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.  ÷àñòíîñòè, èñïîëüçóÿ îáùèå ïðåäïîëîæåíèÿ, òàêèå êàê ðåëÿòèâèñòñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü è ëèíåéíîñòü ïî âåêòîðó ñïèíà íåéòðèíî S µ , à òàêæå ïî õàðàêòåðèñòèêàì âåùåñòâà (òîêè è ïîëÿðèçàöèè ôåðìèîíîâ), áûëî âûâåäåíî óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî. Äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåíÿëîñü äëÿ îïèñàíèÿ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ è âåùåñòâå ñ ó÷åòîì âåêòîðíûõ è àêñèàëüíîâåêòîðíûõ âçàèìîäåéñòâèé ñ ôåðìèîíàìè âåùåñòâà, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëàáûì âçàèìîäåéñòâèÿì â ðàìêàõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå òåîðèè ñïèíîâûõ è ôëåéâîðíûõ îñöèëëÿöèé â ðàçëè÷íûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ è äâèæóùèõñÿ ïîëÿðèçîâàííûõ ñðåäàõ 75

76

ñîäåðæèòñÿ â [93]. Çàìåòèì, ÷òî êâàçèêëàññè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ðåëàêñàöèè ñïèíà íåéòðèíî â ñòîõàñòè÷åñêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ òàêæå ïðèìåíÿëñÿ â ñòàòüå [94]. Îäíàêî, ïðîáëåìà íàõîæäåíèÿ óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî, ó÷èòûâàþùåãî íîâûå, áîëåå îáùèå òèïû âçàèìîäåéñòâèé íåéòðèíî íà ñåãîäíÿøíèé äåíü îñòàåòñÿ îòêðûòîé.  äàííîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ýâîëþöèþ ñïèíà íåéòðèíî, âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñ âåùåñòâîì â ðàìêàõ ôèçè÷åñêîé ìîäåëè, äîïóñêàþùåé íîâûå, áîëåå îáùèå òèïû âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî. Öåëü ýòîãî ðàçäåëà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âûâåñòè óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî íàïðÿìóþ èç ëàãðàíæèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî. Ðåçóëüòàòû äàííîé ãëàâû îïóáëèêîâàíû â íàøåé ñòàòüå [95]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëàãðàíæèàí âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî âêëþ÷àåò â ñåáÿ íå òîëüêî âåêòîðíîå è àêñèàëüíî-âåêòîðíîå âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, íî òàêæå ñêàëÿðíîå, ïñåâäîñêàëÿðíîå, òåíçîðíîå è ïñåâäîòåíçîðíîå âçàèìîäåéñòâèÿ (íå ó÷èòûâàþùèå ïðîèçâîäíûå îò âîëíîâîé ôóíêöèè íåéòðèíî). Âûâîä óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî, ïðåäñòàâëåííûé â íàñòîÿùåé ðàáîòå, îñíîâûâàåòñÿ íà îáùåì óðàâíåíèè ýâîëþöèè ñïèíà â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè. Äàííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò äåòàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàòü âëèÿíèå ðàçëè÷íûõ âíåøíèõ ïîëåé íà ýâîëþöèþ ñïèíà íåéòðèíî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûâåñòè êâàçèêëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî, íåîáõîäèìî çàïèñàòü êâàíòîâîå óðàâíåíèå â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè, êîòîðîå îïèñûâàåò ýâîëþöèþ ñïèíà ôåðìèîíà, èìåþùåãî ýíåðãèþ Eν , èìïóëüñ p è ìàññó mν (ñì., íàïðèìåð, ñòàòüþ [96])

˙ = i[H, O]− . O

(3.0.1)

Îïåðàòîð ñïèíà îïðåäåëÿåòñÿ êàê

O = ρ3 Σ + ρ1

p p(pΣ) − ρ3 , Eν Eν (Eν + mν )

(3.0.2)

77

ãäå ρ1 = −γ 5 , ρ3 = γ 0 , Σ = γ 0 γ 5 γ . Çàìåòèì, ÷òî â äàííîé ôîðìóëå ìû ïîëîæèëè ~ = c = 1. Ãàìèëüòîíèàí H â óðàâíåíèè (3.0.1) îïèñûâàåò ïîâåäåíèå ÷åòûðåõêîìïîíåíòíîé âîëíîâîé ôóíêöèè íåéòðèíî ν(x). Ëàãðàíæèàí L, ó÷èòûâàþùèé îáùèå òèïû âçàèìîäåéñòâèé íåéòðèíî ñ âíåøíèìè ïîëÿìè (áåç ïðîèçâîäíûõ îò âîëíîâîé ôóíêöèè íåéòðèíî), ìîæåò áûòü çàïèñàí â ñëåäóþùåé ôîðìå:

− L = gs s(x)¯ ν ν + gp π(x)¯ ν γ 5 ν + gv V µ (x)¯ ν γµ ν+ gt0 µν gt µν µ 5 ga A (x)¯ ν γµ γ ν + T (x)¯ ν σµν ν + Π (x)¯ ν σµν γ5 ν, (3.0.3) 2 2 ãäå s, π , V µ = (V 0 , V), Aµ = (A0 , A), Tµν = (a, b), Πµν = (c, d) - ñêàëÿðíîå, ïñåâäîñêàëÿðíîå, âåêòîðíîå, àêñèàëüíî-âåêòîðíîå, òåíçîðíîå è ïñåâäîòåíçîðíîå ïîëÿ, à gi (i = s, p, v , a, t, t0 ) - ñîîòâåòñòâóþùèå êîíñòàíòû ñâÿçè,

σµν = (i/2)(γµ γν − γν γµ ). Èñïîëüçóÿ ëàãðàíæèàí â ôîðìå (3.0.3) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ãàìèëüòîíèàíà H:

H = gs sρ3 − igp πρ2 + gv (V 0 − (αV)) − ga (ρ1 A0 − (ΣA))− gt (ρ3 (Σb) + ρ2 (Σa)) − igt0 (ρ3 (Σc) − ρ2 (Σd)), (3.0.4) ãäå α = γ 0 γ , ρ2 = iρ1 ρ3 . Òàêèì îáðàçîì, èç óðàâíåíèÿ (3.0.1) ñëåäóåò, ÷òî

½ ¾ dO p(pΣ) p p + 2igp π ρ1 Σ − ρ3 − ρ1 = −2gs s − dt Eν Eν Eν (Eν + mν ) ½ ¾ p(pV) − 2gv ρ2 V − Eν (Eν + mν ) ½ µ ¶ µ ¶¾ p(pΣ) p(A[p × Σ]) 2ga A0 ρ2 Σ − − ρ3 A × Σ + + Eν (Eν + mν ) Eν (Eν + mν ) ½ p p(Σ[p × b]) 2gt [Σ × b] + ρ2 (Σb) + + Eν Eν (Eν + mν ) µ ¾ ¶ p(pa) p ρ1 a − − ρ3 (Σa) + Eν (Eν + mν ) Eν

78

½ 2igt0

p(Σ[p × c]) p [Σ × c] + ρ2 (Σc) + − Eν Eν (Eν + mν ) µ ¶ ¾ p(pd) p ρ1 d − + ρ3 (Σd) . (3.0.5) Eν (Eν + mν ) Eν

Ïðè âûâîäå äàííîãî óðàâíåíèÿ ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî âñå âíåøíèå ïîëÿ ÿâëÿëèñü íåçàâèñèìûìè îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå, ïî-âèäèìîìó, íå èìååò êëàññè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè èç-çà øðåäèíãåðîâñêîãî äðîæàíèÿ (zitterbe-

wegung ) [97]. Äëÿ òîãî, ÷òîáû óñòðàíèòü äàííîå ÿâëåíèå, íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ÷åòíóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (3.0.5) ñîãëàñíî ïðàâèëó, ñôîðìóëèðîâàííîìó â ñòàòüå [96]:

n o o 1 n˙ ˙ O = O, H0 , + 2Eν

(3.0.6)

ãäå H0 = αp + ρ3 mν . Âûïîëíÿÿ àíòèêîììóòàöèè â ñîîòíîøåíèè (3.0.6) ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

½

¶ A0 mν 1 [O × p] − [O × A] − = 2ga (Ap)[O × p] + Eν Eν Eν (Eν + mν ) ¶ µ 1 1 [O × [a × p]] + 2gt [O × b] − (pb)[O × p] + Eν (Eν + mν ) Eν µ ¶ 1 1 0 2igt [O × c] − [O × [d × p]] . (3.0.7) (pc)[O × p] − Eν (Eν + mν ) Eν

dO dt

¾

µ

Äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà Fˆ â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè (~ → 0) ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå [96]

dFˆ = dt

(

dFˆ dt

) .

Èìåííî ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü êâàçèêëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî, ìû çàìåíÿåì

½

dO dt

¾

−→

dO . dt

79

â óðàâíåíèè (3.0.7). Çàòåì, óñðåäíÿÿ èññëåäóåìîå óðàâíåíèå ïî ñòàöèîíàðíîé âîëíîâîé ôóíêöèè íåéòðèíî è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ

hOi = ζν ,

hpi = βEν ,

ãäå β - ñêîðîñòü íåéòðèíî, ìû ïîëó÷àåì ðåëÿòèâèñòêè èíâàðèàíòíîå óðàâíåíèå äëÿ âåêòîðà ñïèíà íåéòðèíî ζν â ôîðìå

½ ¾ dζν mν Eν 0 = 2ga A [ζν × β] − [ζν × A] − (Aβ)[ζν × β] + dt Eν Eν + mν ½ ¾ Eν 2gt [ζν × b] − (βb)[ζν × β] + [ζν × [a × β]] + Eν + mν ¾ ½ Eν 0 2igt [ζν × c] − (βc)[ζν × β] − [ζν × [d × β]] . (3.0.8) Eν + mν Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî â ñîãëàñèè ñ ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû [87] íè ñêàëÿðíîå, íè ïñåâäîñêàëÿðíîå, íè âåêòîðíîå âçàèìîäåéñòâèÿ íå äàþò âêëàäîâ â ýâîëþöèþ ñïèíà íåéòðèíî. Ðåëÿòèâèñòêè èíâàðèàíòíàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ (3.0.8) â ÿâíîì âèäå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ÷åòûðåõìåðíîãî âåêòîðà S µ , êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ òðåõìåðíûì âåêòîðîì ζν ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ:

µ

Sµ =

¶ (ζν hpi) hpi(ζν hpi) , ζν + . mν mν (mν + Eν )

(3.0.9)

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ðåëÿòèâèñòêè èíâàðèàíòíóþ ôîðìó äëÿ óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî S µ , ó÷èòûâàþùåãî îáùèå âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ âíåøíèìè ïîëÿìè

dS µ ˜ µν Sν − uµ Π ˜ λρ uλ Sρ ) + 2ga Gµν Sν , = 2gt (T µν Sν − uµ T λρ uλ Sρ ) + 2igt0 (Π dτ (3.0.10) ˜ µν = (1/2)εµναβ Παβ . Òåíçîð ãäå Gµν = εµναβ Aα uβ , uµ = (Eν /mν )(1, β), Π Gµν ìîæåò áûòü îïèñàí ñ ïîìîùüþ äâóõ âåêòîðîâ Gµν = (−P, M), êîòîðûå

80

ïðåäñòàâëÿþòñÿ â ôîðìå,

M = γ(A0 β − A),

(3.0.11)

P = −γ[β × A], ãäå γ = Eν /mν . Ïðîèçâîäíàÿ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.0.10) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñîáñòâåííîìó âðåìåíè íåéòðèíî τ = (mν /Eν )t, ãäå t - âðåìÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî (3.0.10) ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ â ëþáîé òåîðåòè÷åñêîé ìîäåëè, â êîòîðîé íåéòðèíî èìååò âûøåóïîìÿíóòûå òèïû âçàèìîäåéñòâèé. Òåïåðü äàâàéòå îáñóäèì ñëó÷àé âçàèìîäåéñòâèé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, êîòîðûå íåñîìíåííî ÿâëÿþòñÿ îäíèìè èç âîçìîæíûõ ïðèëîæåíèé ðàññìàòðèâàåìîãî ïîäõîäà. Òàêæå ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåùåñòâî ñîñòîèò èç ýëåêòðîíîâ, ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, êîíñòàíòû ñâÿçè, âõîäÿùèå â

√

ëàãðàíæèàí (3.0.3) èìåþò âèä: gi = 0 (äëÿ i = s, p, t0 ), gv = ga = GF / 2,

gt = µ, ãäå GF - êîíñòàíòà Ôåðìè, à µ - ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî. Âåêòîðíîå è àêñèàëüíî-âåêòîðíîå ïîëÿ ìîãóò áûòü âûðàæåíû â ôîðìå (ñì., íàïðèìåð, ñòàòüþ [42])

Aµ = V µ =

X

(1)

(2)

jfµ qf + λµf qf ,

(3.0.12)

f =e,p,n

ãäå (1)

(f )

qf = (I3L − 2Q(f ) sin2 θW + δef ),  1, f = e; δef = 0, f = n, p;

(2)

(f )

qf = −(I3L + δef ),

(3.0.13)

(f )

à I3L - âåëè÷èíà òðåòüåé êîìïîíåíòû èçîñïèíà ôåðìèîíà f , Q(f ) - çíà÷åíèå åãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, θW - óãîë Âàéíáåðãà.  ñëó÷àå ñòàíäàðòíîé ìîäåëè òåíçîðíîå ïîëå ñîîòâåòñòâóåò ýëåêòðîìàãíèòíîìó âçàèìîäåéñòâèþ

Tµν = Fµν = (E, B),

(3.0.14)

81

ãäå E è B - âåêòîðû íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ñîîòâåòñòâåííî. Ñóììèðîâàíèå â ñîîòíîøåíèè (3.0.12) âûïîëíÿåòñÿ ïî ýëåêòðîíàì, ïðîòîíàì è íåéòðîíàì ñðåäû. Âûðàæåíèå (3.0.12) äëÿ âíåøµ

íåãî ïîëÿ Aµ çàâèñèò (ñì. òàêæå [8992]) îò ôåðìèîííûõ òîêîâ jf , è ïîµ

ëÿðèçàöèé λf , êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïëîòíîñòè nf , ñêîðîñòè ñèñòåì îòñ÷åòà vf , â êîòîðûõ ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü êàæäîãî èç òèïîâ ôåðìèîíîâ f = e, p, n, ðàâíà íóëþ, à òàêæå ÷åðåç âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè

ζf : jfµ = (nf , nf vf ),  λµf



 = nf (ζf vf ), nf ζf

q

1 − vf2 +

nf vf (ζf vf )  q . 1 + 1 − vf2

(3.0.15) (3.0.16)

Äåòàëè ïðîöåäóðû óñðåäíåíèÿ ïî ôåðìèîíàì ñðåäû òàêæå îáñóæäàëèñü â ñòàòüå [89]. Êîâàðèàíòíîå óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî âî âíåøíèõ ïîëÿõ, îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëàìè (3.0.10)-(3.0.15), ïîçâîëÿåò îïèñàòü ïðåöåññèþ ñïèíà íåéòðèíî â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ è ïîëÿðèçîâàííîé ñðåäû, ïðè÷åì ìàññà íåéòðèíî ó÷èòûâàåòñÿ òî÷íî1 . Íà îñíîâå óðàâíåíèÿ (3.0.10) (ñì. òàêæå (3.0.8)), ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå äëÿ òðåõìåðíîãî âåêòîðà ñïèíà íåéòðèíî ζν ,

2µ dζν = [ζν × B0 ] + dt γ ãäå

1Â

√

2GF [ζν × M0 ], γ

¶ E ν (Aβ) − A, M0 = γβ A0 − Eν + mν ½ ¾ Eν B0 = γ B + [E × β] − β(βB) , Eν + mν

(3.0.17)

µ

äàííîì ïîäõîäå íèãäå íå èñïîëüçîâàëîñü ïðåäïîëîæåíèå Eν À mν .

(3.0.18)

82

ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíàìè, îïðåäåëåííûìè â ñèñòåìå ïîêîÿ íåéòðèíî. Âûâåäåííûå óðàâíåíèÿ (3.0.17)-(3.0.18) âîñïðîèçâîäÿò àíàëîãè÷íûå óðàâíåíèÿ äëÿ íåéòðèíî, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â ïëàçìå èç ýëåêòðîíîâ, êîòîðûå áûëè ïîëó÷åíû â ñòàòüå [89] íà îñíîâå îáîáùåíèÿ óðàâíåíèÿ Áàðãìàíà-ÌèøåëÿÒåëåãäè. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â ïîäõîäå, ðàçðàáîòàííîì â íàñòîÿùåé ðàáîòå, íà íà÷àëüíîì ýòàïå áûë èñïîëüçîâàí ðåëÿòèâèñòêè èíâàðèàíòíûé ëà-

ãðàíæèàí âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî äëÿ âûâîäà ðåëÿòèâèñòêè èíâàðèàíòíîãî óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ê ïðîáëåìå ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî â ïðèñóòñòâèè âåùåñòâà èç ôåðìèîíîâ ìîæíî ïîäîéòè ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåòîäà êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèé [98]. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî èñïîëüçóÿ êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ìîæíî âûâåñòè àíàëîã óðàâíåíèé (3.0.17)-(3.0.18) äëÿ îñîáûõ ñëó÷àåâ íå äâèæóùåéñÿ (vf = 0) è íåïîëÿðèçîâàííîé (ζf = 0) ñðåäû ïðè ðàññìîòðåíèè óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîãî íåéòðèíî. Îäíàêî, íàø ïîäõîä, êàê ýòî óæå áûëî îòìå÷åíî ðàíåå, ñïðàâåäëèâ äëÿ ñëó÷àåâ ïðîèçâîëüíîé ñêîðîñòè íåéòðèíî, à òàêæå ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ è ïîëÿðèçîâàííîé ñðåäû. Òåïåðü äàâàéòå äåòàëüíî îáñóäèì òå ïðèáëèæåíèÿ, êîòîðûå áûëè ñäåëàíû ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî. Ïðåæäå âñåãî, ìû ïðåíåáðåãëè çàâèñèìîñòüþ îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò âî âñåõ âíåøíèõ ïîëÿõ. ×òîáû ïðîàíàëèçèðîâàòü àäåêâàòíîñòü äàííîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàññìîòðèì ïðîòèâîïîëîæíóþ ñèòóàöèþ. Äëÿ ïðîñòîòû, áóäåì èññëåäîâàòü âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî â ðàìêàõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, à òàêæå íå äâèæóùóþñÿ è íå ïîëÿðèçîâàííóþ ñðåäó. Òîãäà ãàìèëüòîíèàí (3.0.4) ïðèíèìàåò ôîðìó,

GF H = √ neff (1 + γ5 ), 2

ãäå

neff =

X

(3.0.19)

(1)

n f qf ,

f =e,p,n

ýôôåêòèâíàÿ ïëîòíîñòü ñðåäû, êîòîðàÿ, êàê ýòî òåïåðü ïðåäïîëàãàåòñÿ, çà-

83

âèñèò îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçó÷èòü ïîïðàâêè ê óðàâíåíèþ (3.0.8), ìû äîëæíû ïðèíÿòü âî âíèìàíèå êîììóòàöèîííîå ñîîòíîøåíèå: [neff , p]− = i~∇neff .  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ê ïðèíÿòîìó ðàíåå ñîãëàøåíèþ, òåïåðü ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ~ 6= 1. Òàêèì îáðàçîì, óäåðæèâàÿ ïîïðàâêè ïåðâîãî ïîðÿäêà â ðàçëîæåíèè ïî ~ ìû ïîëó÷àåì àíàëîã óðàâíåíèÿ (3.0.8),

√

2GF n neff [ζν × β]− ~ · µ ¶¸ ~ Eν [[β × ∇neff ] × ζν ] + (∇neff β) (βζν ) − 1 − 2(Eν + mν ) Eν + mν o i~ [∇neff × hρ3 Σi] , (3.0.20) 2E

dζν = dt

ãäå ñðåäíåå â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì èìååò âèä

Z

hρ3 Σi =

d3 xν † (x)ρ3 Σν(x).

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ íåéòðèíî (Eν À mν ) äîïîëíèòåëüíûå êâàíòîâûå ñëàãàåìûå (∼ ~) ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óñëîâèå:

¯ ¯ ~ ¯¯ ∇neff ¯¯ ¿ 1. (3.0.21) Eν ¯ neff ¯ Äàííîå îãðàíè÷åíèå ïîäðàçóìåâàåò î÷åíü ìåäëåííîå èçìåíåíèå ýôôåêòèâíîé ïëîòíîñòè íà ðàññòîÿíèÿõ, ïîðÿäêà øèðèíû âîëíîâîãî ïàêåòà íåéòðèíî L = ~/Eν . Äàâàéòå ðàññìîòðèì âòîðîå ïðèáëèæåíèå, ñäåëàííîå ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (3.0.8), êîòîðîå ïîçâîëèëî ïðîèçâîäèòü âû÷èñëåíèÿ â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðåäåëå. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðåíåáðå÷ü øðåäèíãåðîâñêèì äðîæàíèåì, äîëæíî áûòü óäîâëåòâîðåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå [96]

~ ¯¯ ˙ ¯¯ ¯hOi¯ ¿ 1. 2Eν

(3.0.22)

84

Ïðèìåíèòåëüíî ê ñëó÷àþ âçàèìîäåéñòâèé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ýòî îãðàíè÷åíèå ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå

GF neff ¿ 1. Eν

(3.0.23)

 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âåùåñòâî ñíîâà ñ÷èòàëîñü íåïîäâèæíûì è íåïîëÿðèçîâàííûì. Äàííîå óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî êâàíòîâûå ýôôåêòû íå ñóùåñòâåííû ïðè ðàññåÿíèè íåéòðèíî íà ÷àñòèöàõ ñðåäû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàññìîòðèì òîëüêî ýëåêòðîííóþ êîìïîíåíòó âåùåñòâà (ýëåêòðîííóþ ïëàçìó), òî îãðàíè÷åíèå (3.0.23) ìîæåò áûòü âûðàæåíî â ñëåäóþùåé ôîðìå:

√ L2 ¿ λ σ,

(3.0.24)

ãäå σ - ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ íåéòðèíî íà ýëåêòðîíàõ, λ ∼ 1/(ne σ) - ñðåäíÿÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà íåéòðèíî â äàííîé ñðåäå, à ne - ïëîòíîñòü ýëåêòðîíîâ. Åñëè óñëîâèå (3.0.24) âûïîëíåíî, òî õàðàêòåðíûå ðàçìåðû (λ è σ ), ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîöåññó ðàññåÿíèÿ, ãîðàçäî áîëüøå õàðàêòåðíîé øèðèíû âîëíîâîãî ïàêåòà íåéòðèíî L.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàññåÿíèå íåéòðèíî íà ýëåêòðîíàõ ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü â ðàìêàõ ñóùåñòâåííî êâàíòîâîãî ïîäõîäà.  çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî â äàííîé ãëàâå áûëî ïîëó÷åíî êâàçèêëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî â ñëó÷àå, êîãäà íåéòðèíî âçàèìîäåéñòâóåò ñ âíåøíèìè ïîëÿìè ïîñðåäñòâîì ñàìûõ îáùèõ òèïîâ âçàèìîäåéñòâèé (áåç ó÷åòà ïðîèçâîäíûõ îò âîëíîâîé ôóíêöèè íåéòðèíî), ïðè÷åì íà íà÷àëüíîì ýòàïå ìû èñïîëüçîâàëè ëèøü ëàãðàíæèàí âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî, ñîäåðæàùèé ñêàëÿðíîå, ïñåâäîñêàëÿðíîå, âåêòîðíîå, àêñèàëüíî-âåêòîðíîå, òåíçîðíîå è ïñåâäîòåíçîðíîå ñëàãàåìûå. Ïðåèìóùåñòâî ïðåäëîæåííîãî íîâîãî ìåòîäà âûâîäà óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ â ëþáîé òåîðåòè÷åñêîé ìîäåëè, â êîòîðîé ïðåäñêàçûâàþòñÿ âûøåóïîìÿíóòûå âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî. Êðîìå òîãî, èñïîëüçóåìûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü

85

îãðàíè÷åíèÿ íà õàðàêòåðèñòèêè ñðåäû è íåéòðèíî, ïðè êîòîðûõ ñïðàâåäëèâ êâàçèêëàññè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî äëÿ âçàèìîäåéñòâèé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè â ñëó÷àå äâèæóùåéñÿ è ïîëÿðèçîâàííîé ñðåäû.

Ãëàâà 4 Ðåëàêñàöèÿ ñïèíà íåéòðèíî â âåùåñòâå ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè Íà îñíîâå ôîðìàëèçìà äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî â ïðîèçâîëüíûõ âíåøíèõ ïîëÿõ, ðàçðàáîòàííîãî â ãëàâå 3, ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ âåùåñòâîì ïîñðåäñòâîì ñëàáûõ òîêîâ â ðàìêàõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû (ñì. (3.0.12)(3.0.18)) áûëè òàêæå ïîëó÷åíû â ðàçäåëå 3. Çàìåòèì, ÷òî ïîäõîä, ðàçðàáîòàííûé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ïîçâîëÿåò ðàññìîòðåòü ïðåöåññèþ ñïèíà äàæå áåç âîçäåéñòâèÿ âíåøíèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé, à òîëüêî çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ âåùåñòâîì. Îòìåòèì, ÷òî âïåðâûå ïðåöåññèÿ ñïèíà íåéòðèíî çà ñ÷åò ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé ñ ÷àñòèöàìè âíåøíåé îáñóæäàëàñü â ðàáîòàõ [89, 92] Äàííàÿ ñèòóàöèÿ ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ, íàïðèìåð, äëÿ íåéòðèíî, îïèñûâàåìîãî â ðàìêàõ ìèíèìàëüíî ðàñøèðåííîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Îöåíêà âåëè÷èíû ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èñõîäÿ èç ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 2.3.2 (ñì. ôîðìóëó (2.3.23), à òàêæå ðàáîòó [50]) è ñîñòàâëÿåò

³m ´ ν µB . µ = 3 × 10 1 ýÂ Ñëåäîâàòåëüíî, âëèÿíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé íà äèíàìèêó ñïèíà íåé−19

òðèíî ÿâëÿåòñÿ êðàéíå ñëàáûì. Òàêèì îáðàçîì, â íåêîòîðûõ ñèòóàöèÿõ ïðåöåññèÿ ñïèíà ìîæåò ïðîèñõîäèòü äàæå áåç ó÷åòà âëèÿíèÿ âíåøíèõ ýëåê86

87

òðîìàãíèòíûõ ïîëåé. Ðàññìîòðèì ýâîëþöèþ ñïèíà íåéòðèíî íà îñíîâå óðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íîãî óðàâíåíèÿì (3.0.17)-(3.0.18), êîòîðîå îïèñûâàåò ïðåöåññèþ ñïèíà ïðè âçàèìîäåéñòâèè íåéòðèíî ñ äâèæóùèìñÿ è ïîëÿðèçîâàííûì âåùåñòâîì. Äàííûé ïîäõîä áûë ðàçâèò â ðàáîòàõ [89,92] è [99].  ÷àñòíîñòè, èñïîëüçóÿ îáùèå ïðåäïîëîæåíèÿ, òàêèå êàê ðåëÿòèâèñòñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü è ëèíåéíîñòü ïî âåêòîðó ñïèíà íåéòðèíî S µ , à òàêæå ïî õàðàêòåðèñòèêàì âåùåñòâà (òîêè è ïîëÿðèçàöèè ôåðìèîíîâ), áûëî âûâåäåíî óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî. Õîòÿ äàííîå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â ÿâíî êîâàðèàíòíîì âèäå äëÿ ÷åòûðåõìåðíîãî âåêòîðà ñïèíà S µ ñ èñïîëüçîâàíèåì òåíçîðà Gµν , â íàñòîÿùåì ðàçäåëå óäîáíî ïðåäñòàâèòü åãî êàê óðàâíåíèå äëÿ òðåõìåðíîãî âåêòîðà ñïèíà íåéòðèíî ζν

dζν 2 2 = [ζν × M00 ] − [ζν × P00 ] , dt γ γ ãäå

µ ¶ (βg) 0 = γβ g − − g, 1 + γ −1 ¶ µ (βf ) + f. P00 = −γβ f 0 − 1 + γ −1

M00

(4.0.1)

(4.0.2)

×åòûðåõìåðíûå âåêòîðû g µ = (g 0 , g) è f µ = (f 0 , f ) ñâÿçàíû ñ ÷åòûðåõµ

µ

ìåðíûìè âåêòîðàìè òîêà jf , è ïîëÿðèçàöèè λf , ÷àñòèö ñðåäû ïîñðåäñòâîì ñîîòíîøåíèé

X g = (ρf jfµ + ωf λµf ), µ

f

X µ f = (ξf jfµ + κf λµf ),

(4.0.3)

f

ãäå ρf , ωf , ξf è κf - êîíñòàíòû, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ êîíêðåòíûì òèïîì âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñî ñðåäîé. Ñóììèðîâàíèå â ôîðìóëàõ (4.0.3) âûïîëíÿåòñÿ ïî âñåì òèïàì ôåðìèîíîâ ñðåäû.

88

Îñíîâûâàÿñü íà ñîîòíîøåíèÿõ (4.0.1)-(4.0.3), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ñïèðàëüíîñòè íåéòðèíî h = (βζν )/β , êîòîðîå èìååò âèä

¢ dh 2¡ = − (g[n × ζν ]) + (f [n × ζν ]) , dt γ ãäå n - åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè ñêîðîñòè íåéòðèíî.

(4.0.4)

Áóäåì ðåøàòü óðàâíåíèÿ (4.0.1)-(4.0.4) ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ èòåðàöèé. Ïðåäñòàâëÿåì ôîðìàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.0.1) â èíòåãðàëüíîé ôîðìå

Z 2 t 0 ζν (t) = dt ([ζν (t0 ) × M00 (t0 )] − [ζν (t0 ) × P00 (t0 )]) γ 0 â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (4.0.4). Àíàëîãè÷íûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðàëüíîé ÷àñòèöû ïðèìåíÿëñÿ â ðàáîòå [94] ïðè ðàññìîòðåíèè ðåëàêñàöèè ñïèíà â ñòîõàñòè÷åñêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ. Ïîñëå íåñëîæíûõ, íî äîâîëüíî äëèííûõ âû÷èñëåíèé, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ

µ ¶2 · Z t ©¡ ¢ ¡ ¢ 2 dh dt0 [ g⊥ (t)f⊥ (t0 ) + f⊥ (t)g⊥ (t0 ) ]h(t0 )+ (t) = − dt γ 0 £¡ ¢ 0 0 ¡ ¢ ¤ª 0 γ g⊥ (t)ζν⊥ (t ) [βf (t ) − fk (t0 )] + f⊥ (t)ζν⊥ (t0 ) [βg 0 (t0 ) − gk (t0 )] + Z t ©¡ ¢ ¡ ¢ ª dt0 g⊥ (t)g⊥ (t0 ) h(t0 ) + γ g⊥ (t)ζν⊥ (t0 ) [βg 0 (t0 ) − gk (t0 )] + ¸ Z 0t ©¡ ¢ 0 ¡ ¢ 0 0 ª 0 0 0 0 dt f⊥ (t)f⊥ (t ) h(t ) + γ f⊥ (t)ζν⊥ (t ) [βf (t ) − fk (t )] , (4.0.5) 0

ãäå ñèìâîëû k è ⊥ îáîçíà÷àþò ïðîäîëüíóþ è ïîïåðå÷íóþ ñîñòàâëÿþùèþ âåêòîðà ïî îòíîøåíèþ ê ñêîðîñòè íåéòðèíî. Ïåðåéäåì òåïåðü ê èññëåäîâàíèþ óñðåäíåííûõ õàðàêòåðèñòèê, êîòîðûå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïîñðåäñòâîì ñèìâîëà h. . . i. Ïîä óñðåäíåííîé âåëè÷èíîé ìû áóäåì ïîíèìàòü ñðåäíåå ïî àíñàìáëþ ÷àñòèö èëè ñðåäíåå ïî âðåìåíè îäíîé ÷àñòèöû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñïèðàëüíîñòü ÷àñòèöû â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (4.0.5) ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî ïîñòîÿííîé íà ïðîòÿæåíèè êîðîòêîãî âðåìåíè ðåëàêñàöèè õàðàêòåðèñòèê âåùåñòâà. Òàêèì

89

îáðàçîì, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü êîððåëÿöèè õàðàêòåðèñòèê ñðåäû òîëüêî ìåæäó ñîáîé. Äàëåå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ãèïîòåçó ñòîõàñòè÷åñêîãî èçîòðîïíîãî âåùåñòâà, ò.å. êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè êîìïîíåíò ñêîðîñòè è ïîëÿðèçàöèè ÷àñòèö ñðåäû èìåþò âèä

¡ ¢ 1 hvf i (t)vf 0 j (t0 )i = δij δf f 0 h vf (t)vf (t0 ) i, 3 ¡ ¢ 1 hζf i (t)ζf 0 j (t0 )i = δij δf f 0 h ζf (t)ζf (t0 ) i. 3

(4.0.6)

Çàìåòèì, ÷òî â ñîîòíîøåíèÿõ (4.0.6) ìû ïðåíåáðåãëè ÷ëåíàìè ïîðÿäêà αem , ãäå αem - ïîñòîÿííàÿ òîíêîé ñòðóêòóðû (ñì., íàïðèìåð, êíèãó [100]). Óñðåäíÿÿ óðàâíåíèå (4.0.5) ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë (4.0.6), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ñïèðàëüíîñòè íåéòðèíî â èçîòðîïíîé ñòîõàñòè÷åñêîé ñðåäå

µ ¶2 Z t ©¡ ¢ ¡ ¢ 2 hdh(t)i dt0 h g⊥ (r, t)g⊥ (r0 , t0 ) i + h f⊥ (r, t)f⊥ (r0 , t0 ) i+ =− dt γ 0 ¡ ¢ ¡ ¢ª h g⊥ (r, t)f⊥ (r0 , t0 ) i + h f⊥ (r, t)g⊥ (r0 , t0 ) i hh(t0 )i. (4.0.7)  ôîðìóëå (4.0.7) ìû ÿâíî óêàçàëè çàâèñèìîñòü ïîïåðå÷íûõ ïîëåé g⊥ è f⊥ , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ äâóìåðíûìè âåêòîðàìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñêîðîñòè íåéòðèíî, îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò r è r0 , ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëîæåíèþ íåéòðèíî â ìîìåíòû âðåìåíè t è t0 . Óðàâíåíèå (4.0.7) ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ïðè èçó÷åíèè ðåëàêñàöèè ñïèíà íåéòðèíî, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ â âåùåñòâå ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè (ñêîðîñòü è ïîëÿðèçàöèÿ ñðåäû). Ñóùåñòâåííûì óñëîâèåì ïðè âûâîäå äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿëîñü óñëîâèå ýëåêòðîíåéòðàëüíîñòè íåéòðèíî, à òàêæå ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå âíåøíèõ ïîëåé ðàâíî íóëþ. Óðàâíåíèå (4.0.7) ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî ê áîëåå óäîáíîìó äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé âèäó [101]. Êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïîëåé ìàòåðèè

90

îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî â òå÷åíèå âðåìåíè êîððåëÿöèè. Ïðåäïîëàãàÿ îäíîðîäíîñòü ñèñòåìû ïî âðåìåíè, à èìåííî, òî, ÷òî êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ìîãóò çàâèñåòü òîëüêî îò (t−t0 ), ïîëó÷àåì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò ñëåäóþùóþ ôîðìó

dhhi = −λhhi, dt

(4.0.8)

ãäå

µ ¶2 Z ∞ ©¡ ¢ ¡ ¢ 2 λ= dt0 h g⊥ (r, t)g⊥ (0, 0) i + h f⊥ (r, t)f⊥ (0, 0) i+ γ 0 ¡ ¢ ¡ ¢ª h g⊥ (r, t)f⊥ (0, 0) i + h f⊥ (r, t)g⊥ (0, 0) i , (4.0.9)

è r = r(t) - ïîëîæåíèå ÷àñòèöû â ìîìåíò âðåìåíè t.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî r = βt. Ýòî ÿâëÿåòñÿ õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì äëÿ íåéòðàëüíîé ÷àñòèöû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü ïðÿìîé ëèíèè íà ðàññòîÿíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå äëèíå êîððåëÿöèè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ óðàâíåíèé (4.0.8)-(4.0.9) ðàññìîòðèì ñëó÷àé âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ âåùåñòâîì, ñîñòîÿùåì èç óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö, ò. å. ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî vf2 ∼ 1. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (3.0.15), ÷åòûðåõìåðíûé âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì

λµf = (ζf vf )jfµ = (ζf vf )(nf , nf vf ).

(4.0.10)

 äàëüíåéøåì áóäåò óäîáíî ïåðåéòè îò êîððåëÿöèé ìåæäó ôóíêöèÿìè g è

f â óðàâíåíèÿõ (4.0.8)-(4.0.9) ê êîððåëÿöèîííûì ôóíêöèÿì ¡ ¢ ¡ ¢ h vf (r, t)vf (0, 0) i, è h ζf (r, t)ζf (0, 0) i. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (4.0.6) è (4.0.10), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà λ â ôîðìå

8 λ≈ 3

µ

mν Eν 21

(ωf + κf )

9

¶2 X

Z 0

f ∞

Z n n2f (ρf + ξf )2

∞

¡ ¢ dth vf (r, t)vf (0, 0) i+

0

¡ ¢ £ ¡ ¢2 ¤o dth ζf (r, t)ζf (0, 0) i 4h vf (r, t)vf (0, 0) i + 1 . (4.0.11)

91

Ïðè âûâîäå ôîðìóëû (4.0.11) ìû ïðèáëèæåííî ñ÷èòàëè, ÷òî ïëîòíîñòü ñðåäû ïîñòîÿííà âî âðåìåíè è íå çàâèñèò îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò,

nf (r, t) = nf . Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (4.0.8) è (4.0.11) ñïðàâåäëèâû äëÿ øèðîêîãî êëàññà âçàèìîäåéñòâèé íåéòðèíî ñ âíåøíèìè ïîëÿìè, îïèñàííûõ â ðàçäåëå 3. Äëÿ òîãî, ÷òîáû çàôèêñèðîâàòü òèï âçàèìîäåéñòâèÿ, à òàêæå îõàðàêòåðèçîâàòü ñîñòàâ âåùåñòâà, íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû

ρf , ξf , ωf è κf . Äàâàéòå ðàññìîòðèì ìþîííîå íåéòðèíî, ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîé ïëàçìå èç ýëåêòðîíîâ è ïîçèòðîíîâ, ïðè÷åì âçàèìîäåéñòâèå ñ ÷àñòèöàìè ñðåäû îñóùåñòâëÿåòñÿ â ðàìêàõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ïîñðåäñòâîì íåéòðàëüíûõ òîêîâ.  ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû ρf ,

ξf , ωf è κf èìåþò ñëåäóþùóþ ôîðìó GF ρe− = −ρe+ = − √ (1 − 4 sin2 θW ); 2 2 GF ωe− = −ωe+ = √ ; 2 2

ξf = 0,

ïðè f = e± ;

κf = 0,

ïðè f = e± .

(4.0.12)

 äàëüíåéøèõ îöåíêàõ äëÿ ïðîñòîòû ìû ïðåíåáðåæåì ñïèíîâûìè êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè ÷àñòèö ñðåäû â ôîðìóëå (4.0.11). Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (4.0.12) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà

λ â ñëåäóþùåì âèäå XZ ∞ ¡ ¢ 1 m2ν 2 2 2 2 dth v (r, t)v (0, 0) i. λ≈ G (1 − 4 sin θ ) n W f f e 3 Eν2 F 0 ±

(4.0.13)

f =e

Çàìåòèì, ÷òî â ôîðìóëå (4.0.13) ìû ïîëîæèëè ne− = ne+ = ne , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ýëåêòðîíåéòðàëüíîé ïëàçìû. Êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè â ôîðìóëå (4.0.13) ìîæíî ïðèáëèçèòåëüíî îöåíèòü êàê

¡ ¢ h vf (r, t)vf (0, 0) i ≈ exp(−t/l), ïðè f = e± , ãäå l ∼ 1/(nσ) - äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ôåðìèîíà â ïëàçìå.

(4.0.14)

92

Ñîîòíîøåíèå (4.0.13) ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ñïèðàëüíîñòè íåéòðèíî â ðàííåé Âñåëåííîé. Ðàññìîòðèì ðàííþþ Âñåëåííóþ íà ñòàäèè, ñîîòâåòñòâóþùåé òåìïåðàòóðå T , ïðèìåðíî ðàâíîé 1.3 × 1011 Ê. Ïðè òàêîé òåìïåðàòóðå ïðîöåíòíîå ñîäåðæàíèå ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ â ðàííåé Âñåëåííîé ÷ðåçâû÷àéíî ìàëî [102]. Íàïîìíèì, ÷òî ìàññà ìþîíà ñîñòàâëÿåò ïîðÿäêà 100 ÌýÂ. Ñëåäîâàòåëüíî ïðàêòè÷åñêè âñå ìþîíû ðàñïàäàþòñÿ ê äàííîìó ìîìåíòó ýâîëþöèè Âñåëåííîé. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïëàçìà ðàííåé Âñåëåííîé ñîñòîèò ãëàâíûì îáðàçîì èç ôîòîíîâ, ýëåêòðîíîâ è ïîçèòðîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè, ïðè÷åì ýëåêòðîíû è ïîçèòðîíû íåîáõîäèìî ñ÷èòàòü ðåëÿòèâèñòñêèìè ÷àñòèöàìè. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíû λ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äàííàÿ õàðàêòåðèñòèêà îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü ðîæäåíèÿ ïðàâî-ïîëÿðèçîâàííûõ íåéòðèíî â ðàííåé Âñåëåííîé ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ âåùåñòâîì ïîñðåäñòâîì ñëàáûõ òîêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü ðîæäåíèÿ ïðàâûõ íåéòðèíî äîëæíà áûòü ìåíüøå, ÷åì ñêîðîñòü ðàñøèðåíèÿ Âñåëåííîé, ò.å. äàííûé ïðîöåññ íå äîëæåí íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè ñ äðóãèìè ïðîöåññàìè. Òàêèì îáðàçîì, äîëæíî óäîâëåòâîðÿòüñÿ íåðàâåíñòâî [102]: λ < H , ãäå H - ïàðàìåòð Õàááëà. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (4.0.13) è (4.0.14) äëÿ ñëó÷àÿ ïëàçìû ñîñòîÿùåé èç ýëåêòðîíîâ è ïîçèòðîíîâ ïðè òåìïåðàòóðå 1.3 × 1011 Ê ïîëó÷àåì îöåíêó âåëè÷èíû ìàññû ìþîííîãî íåéòðèíî

mνµ < 56 êýÂ.

(4.0.15)

Îöåíêà (4.0.15) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áîëåå æåñòêîå êîñìîëîãè÷åñêîå îãðàíè÷åíèå íà ìàññó íåéòðèíî. Íàïîìíèì, ÷òî ìàññà ìþîííîãî íåéòðèíî íà ñåãîäíÿøíèé äåíü îãðàíè÷åíà âåëè÷èíîé 115 ÷ 1000 êý (ñì. ðàáîòû [38,103], à òàêæå ðàçäåë 1.5.2 äèññåòòàöèè).

Ãëàâà 5 Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ ðàçëè÷íîé êîíôèãóðàöèè Ñ òåõ ïîð, êàê â 1958 ã. áûëà òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàíà âîçìîæíîñòü íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé [8], ïðåäïðèíèìàëèñü ìíîãî÷èñëåííûå ïîïûòêè îáíàðóæèòü ýòî ÿâëåíèå. Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà äîñòèãíóòûå óñïåõè â îáúÿñíåíèè ïðîáëåìû ñîëíå÷íûõ è àòìîñôåðíûõ íåéòðèíî (ñì., íàïðèìåð, ñòàòüþ [77], ïîñâÿùåííóþ ñîâðåìåííîìó ñòàòóñó âîïðîñà î ñìåøèâàíèè è îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî), íà äàííûé ìîìåíò íå ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîãî îêîí÷àòåëüíîãî ìåõàíèçìà äëÿ îïèñàíèÿ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ñâîéñòâà íåéòðèíî è, â ÷àñòíîñòè, âçàèìîäåéñòâèå íåéòðèíî ñ ýëåêòðîìàãíèòíûìè ïîëÿìè ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ãëàâíûõ ïðîáëåì ôèçèêè íåéòðèíî. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî òåì, ÷òî íàðÿäó ñ âîçìîæíîñòüþ ñóùåñòâîâàíèÿ íåíóëåâîé ìàññû, íåòðèâèàëüíûå ýëåêòðîìàãíèòíûå ñâîéñòâà íåéòðèíî (ò.å. îòëè÷èå îò íóëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ôîðìôàêòîðîâ) ÿâèëèñü áû ÿâíûì óêàçàíèåì íà íåîáõîäèìîñòü âûõîäà çà ðàìêè ñòàíäàðòíîé òåîðèè ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé Âàéíáåðãà-Ñàëàìà-Ãëåøîó.  áîëüøèíñòâå âûïîëíåííûõ ðàíåå èññëåäîâàíèé âëèÿíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé íà íåéòðèíî è âîçíèêàþùèõ ïðè ýòîì íåéòðèííûõ îñöèëëÿöè-

93

94

ÿõ (ñì., íàïðèìåð, ðàáîòû [41,4347,104108]) ðàññìàòðèâàëñÿ êîíêðåòíûé ñëó÷àé ïîñòîÿííîãî âî âðåìåíè ïîïåðå÷íîãî îòíîñèòåëüíî äâèæåíèÿ íåéòðèíî ìàãíèòíîãî ïîëÿ B⊥ .  íåäàâíî âûïîëíåííûõ ðàáîòàõ [53, 88] (ñì. òàêæå [91,93]) íà îñíîâå îáîáùåíèÿ óðàâíåíèÿ Áàðãìàííà-Ìèøåëÿ-Òåëåãäè íà ñëó÷àé äâèæåíèÿ íåéòðèíî â êëàññè÷åñêîì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå ïîëó÷åí íîâûé ýôôåêòèâíûé ãàìèëüòîíèàí, âõîäÿùèé â øðåäèíãåðîâñêîå óðàâíåíèå ýâîëþöèè íåéòðèíî, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ïåðåõîäû ñ èçìåíåíèåì ñïèðàëüíîñòè νi− ↔ νj+ ìåæäó íåéòðèííûìè ñîñòîÿíèÿìè, ïðèíàäëåæàùèìè êàê îäèíàêîâûì, òàê è ðàçëè÷íûì ïîêîëåíèÿì. Èñïîëüçîâàíèå íîâîãî ãàìèëüòîíèàíà ïîçâîëèëî âïåðâûå ðàññìîòðåòü ïåðåõîäû íåéòðèíî νi− ↔ νj+ è ïðåäñêàçàòü âîçìîæíîñòü ðåçîíàíñíîãî óñèëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé â ïîëå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèè è â êîíôèãóðàöèÿõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé, ñîäåðæàùèõ ïðîäîëüíîå îòíîñèòåëüíî äâèæåíèÿ íåéòðèíî ìàãíèòíîå ïîëå

Bk . Èçâåñòíî, ÷òî íàðÿäó ñ ýôôåêòîì Ìèõååâà-Ñìèðíîâà-Âîëüôåíøòåéíà [39, 40] (à òàêæå àíàëîãîì äàííîãî ýôôåêòà äëÿ ñëó÷àÿ ñïèí-ôëåéâîðíûõ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî [44,106]) ìîæåò ñóùåñòâîâàòü è äðóãîé ìåõàíèçì óñèëåíèÿ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî, â îñíîâå êîòîðîãî ëåæèò ÿâëåíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà [109117]. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî óïîìÿíóòûå ìåõàíèçìû óñèëåíèÿ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé ðàäèêàëüíî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà.  ñëó÷àå ýôôåêòà ÌÑ óâåëè÷åíèå àìïëèòóäû íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé äîñòèãàåòñÿ çà ñ÷åò îïðåäåëåííîãî âûáîðà ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèõ íåéòðèíî è âíåøíèå óñëîâèÿ, íàïðèìåð, ïëîòíîñòü ñðåäû. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äàííûå ïàðàìåòðû ñ÷èòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, ñëàáî ìåíÿþùèìèñÿ âäîëü ïóòè íåéòðèíî. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ýôôåêòèâíûé óãîë ñìåøèâàíèÿ áûë áëèçîê ê π/4 äàæå ïðè ìàëîì óãëå ñìåøèâàíèÿ â âàêóóìå.  ñëó÷àå æå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà

95

ýôôåêòèâíûé óãîë ñìåøèâàíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ, â îáùåì ñëó÷àå, áîëüøîé âåëè÷èíîé. Îäíàêî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òàêèå âíåøíèå ïàðàìåòðû, êàê, íàïðèìåð, ïëîòíîñòü ñðåäû, ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþòñÿ âäîëü ïóòè íåéòðèíî. Óâåëè÷åíèå âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà íåéòðèíî èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå äîñòèãàåòñÿ çà ñ÷åò îñîáûõ ôàçîâûõ ñîîòíîøåíèé.  îäíîé èç ïåðâûõ ðàáîò [118], ïîñâÿùåííûõ èññëåäîâàíèþ ÿâëåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà â ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, èçó÷àëèñü îñöèëëÿöèè ìåæäó íåéòðîíîì è àíòèíåéòðîíîì â ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùåìñÿ ìàãíèòíîì ïîëå. Ñôîðìóëèðîâàííûé â ñòàòüå [118] ïîäõîä ê ðàññìîòðåíèþ âîçíèêíîâåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà, à òàêæå ìåòîä íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû èñïîëüçîâàëèñü ïðè èçó÷åíèè äàííîãî ÿâëåíèÿ â íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèÿõ (ñì., íàïðèìåð, [109]). Âîçíèêíîâåíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà â îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî â ñëó÷àå ìåíÿþùåéñÿ ïëîòíîñòè ñðåäû íåîäíîêðàòíî îáñóæäàëîñü â ëèòåðàòóðå.  ïåðâóþ î÷åðåäü íåîáõîäèìî îòìåòèòü ðàáîòó [109], â êîòîðîé ïðåäñòàâëåíî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè ïó÷êà íåéòðèíî ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç âåùåñòâî, ïëîòíîñòü êîòîðîãî ìåíÿåòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó.  ðàáîòå [110] áûëî ïðîâåäåíî ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîõîæäåíèÿ ïó÷êà íåéòðèíî ÷åðåç Çåìëþ, ïðè÷åì ïëîòíîñòü âåùåñòâà Çåìëè ñ÷èòàëàñü ïåðåìåííîé. Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåéòðèíî â ñðåäå ñ ïåðåìåííîé ïëîòíîñòüþ áûëî íàéäåíî â ðàáîòå [111]. Îäíàêî ýôôåêòèâíûé óãîë ñìåøèâàíèÿ è ýôôåêòèâíàÿ äëèíà îñöèëëÿöèé ñ÷èòàëèñü ìàëî îòëè÷àþùèìèñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé â âàêóóìå. Ñëåäóåò òàêæå óïîìÿíóòü ðàáîòó [112], â êîòîðîé èçó÷àëèñü ïåðåõîäû ìåæäó íåéòðèííûìè ñîñòîÿíèÿìè ïðè ó÷åòå êàê ýôôåêòà ÌÑÂ, òàê è ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà, à òàêæå áûëè ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå àñòðîôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ. Îñîáîãî âíèìàíèÿ çàñëóæèâàåò ñëó÷àé, êîãäà ïëîòíîñòü ñðåäû ñêà÷êîì

96

ìåíÿåòñÿ îò îäíîãî ïîñòîÿííîãî çíà÷åíèÿ äî äðóãîãî, ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü âåùåñòâà Çåìëè ìîæåò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíà òàêîé ôóíêöèåé.  íåäàâíî îïóáëèêîâàííûõ ðàáîòàõ [113,114] îáñóæäàåòñÿ èìåííî òàêîé ñëó÷àé.  ýòèõ ñòàòüÿõ íàéäåíî òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè ñèñòåìû íåéòðèíî äëÿ ïîäîáíîãî ïðîôèëÿ ïëîòíîñòè. Ïîëó÷åíî, ÷òî äàæå ïîëóòîðà ïåðèîäîâ èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè ñðåäû äîñòàòî÷íî äëÿ äîñòèæåíèÿ çíà÷èòåëüíûõ âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà íåéòðèíî èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàòû äàííûõ èññëåäîâàíèé îêàçûâàþòñÿ êðàéíå âàæíûìè ïðè èçó÷åíèè ïðîõîæäåíèÿ ñîëíå÷íûõ è àòìîñôåðíûõ íåéòðèíî ÷åðåç âåùåñòâî Çåìëè.  ýòîé ñâÿçè ñëåäóåò òàêæå îòìåòèòü ðàáîòû ïîñëåäíåãî âðåìåíè, â êîòîðûõ àíàëèçèðóþòñÿ íîâûå âîçìîæíîñòè èçó÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè âåùåñòâà â Çåìëå ìåòîäîì íåéòðèííîé òîìîãðàôèè (ñì. [115117] è öèòèðóåìóþ òàì ëèòåðàòóðó). Íà îñíîâå ïðåäëîæåííîãî â ãëàâå 3 ïîäõîäà äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî â ïðîèçâîëüíûõ âíåøíèõ ïîëÿõ, ìîæíî ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûé ãàìèëüòîíèàí, îïðåäåëÿþùèé ýâîëþöèþ ñïèíà íåéòðèíî â ïðîèçâîëüíîì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå (ñì. òàêæå ðàáîòû [53, 88, 91, 93]). Èñïîëüçóÿ äàííûé ãàìèëüòîíèàí, â ðàçäåëå 5.1 ðàññìîòðåíû îñöèëëÿöèè íåéòðèíî

νi− ↔ νj+ â ïðèñóòñòâèè ïîëÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Äåòàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàíî óñëîâèå ðåçîíàíñíîãî óñèëåíèÿ îñöèëëÿöèé è ðàçðàáîòàí ïîäõîä ê êà÷åñòâåííîìó èññëåäîâàíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè íåéòðèíî âáëèçè òî÷êè ðåçîíàíñà, êîòîðûé ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ïðè ðàññìîòðåíèè íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé â ïîëÿõ ðàçëè÷íîé êîíôèãóðàöèè.  ðàçäåëå 5.2 ïîêàçàíî, ÷òî ïðè îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî â ïåðåìåííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ ìîæåò âîçíèêàòü ÿâëåíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Äëÿ äâóõ òèïîâ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé (àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû [ðàçäåë 5.2.1] è ïîñòîÿííîãî âî âðåìåíè ïîïåðå÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùåéñÿ â ïðîñòðàí-

97

ñòâå àìïëèòóäîé [ðàçäåë 5.2.2]) íàéäåíû âåðîÿòíîñòè íåéòðèííûõ ïåðåõîäîâ νi ↔ νj è ïîêàçàíî, ÷òî àìïëèòóäû âåðîÿòíîñòåé âîçðàñòàþò ñî âðåìåíåì ïðè îïðåäåëåííîì ïîäáîðå ïàðàìåòðîâ âíåøíèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé. Íåêîòîðûå âîçìîæíûå ïðèëîæåíèÿ ÿâëåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà îáñóæäàþòñÿ â ðàçäåëå 5.2.3. Ðåçóëüòàòû äàííîé ãëàâû îïóáëèêîâàíû â íàøèõ ñòàòüÿõ [119122].

5.1 Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ïîëå ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû  äàííîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè â ïîëå ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Ñôîðìóëèðîâàí ìåòîä íàõîæäåíèÿ è êà÷åñòâåííîãî èññëåäîâàíèÿ ðåøåíèÿ âáëèçè òî÷êè ðåçîíàíñà. Ýòîò ìåòîä îñîáåííî ïîëåçåí â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, îïèñûâàþùåå ïåðåõîäû ìåæäó äâóìÿ ñîñòîÿíèÿìè íåéòðèíî, íåâîçìîæíî. Ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ïðè èçó÷åíèè íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ ðàçëè÷íîé êîíôèãóðàöèè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó èç äâóõ íåéòðèíî ν = (νj+ , νi− ) ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì ñîñòîÿíèÿì ñïèðàëüíîñòè. Ýâîëþöèÿ ν ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ñ ÷àñòîòîé ω ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ:

∂ν = Hν, (5.1.1) ∂t ãäå ãàìèëüòîíèàí H ïðåäñòàâèì â âèäå [53, 88, 91, 93]: µ ¶ ∆m2 Θ Veff µ(σB(0) ) − , (5.1.2) H = (nσ) − 4E 2 γ çäåñü n - åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè ñêîðîñòè íåéòðèíî β , σ = i

(σ1 , σ2 , σ3 ) - ìàòðèöû Ïàóëè, Veff - ðàçíîñòü ýôôåêòèâíûõ ïîòåíöèàëîâ âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñî ñðåäîé, Θ - ôóíêöèÿ âàêóóìíîãî óãëà ñìåøèâàíèÿ (ÿâíûé âèä Θ äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïåðåõîäîâ νi− ↔ νj+ ìîæíî íàéòè,

98

íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [43, 107, 108]), B(0) - íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñèñòåìå ïîêîÿ íåéòðèíî, γ = (1 − β)−1/2 . Èñïîëüçóåòñÿ ñèñòåìà åäèíèö, â êîòîðîé c = ~ = 1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç e3 - åäèíè÷íûé âåêòîð ïàðàëëåëüíûé n è ÷åðåç φ óãîë ìåæäó e3 è íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé, ïîëó÷àåì, ÷òî â ñèñòåìå ïîêîÿ ÷àñòèöû âîçíèêàåò ìàãíèòíîå ïîëå:

·

B(0)

¸ sin φ = γ (cos φ − β)B1 e1 + (1 − β cos φ)B2 e2 − B1 e3 , γ

(5.1.3)

e1,2,3 - åäèíè÷íûå ïåðïåíäèêóëÿðíûå âåêòîðû. Äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ñ ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèåé èìååì:

B1 = cos α cos ψ,

B2 = sin α cos ψ,

(5.1.4)

ãäå ψ = ωt(1 − (β/β0 ) cos φ) - ôàçà âîëíû, β0 - ñêîðîñòü âîëíû (êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ ìîæåò áûòü ìåíüøå åäèíèöû β0 ≤ 1), α - óãîë, îïðåäåëÿþùèé îðèåíòàöèþ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè âîëíû. Èñïîëüçóÿ (5.1.3) è (5.1.4) è ïðîâîäÿ ðàçëîæåíèå ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó 1/γ ¿ 1 ìû íà îñíîâå îáùåãî âûðàæåíèÿ (5.1.2) ïîëó÷àåì äëÿ ãàìèëüòîíèàíà:

H = −˜ ρσ3 − A cos ψ(σ1 cos α − σ2 sin α),

(5.1.5)

ãäå A = −µB(1 − β cos φ), ρ˜ = Veff /2 − (∆m2 Θ)/4E . Äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ óäîáíî ââåñòè îïåðàòîð ýâîëþöèè V (t), êîòîðûé îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå íåéòðèíî ν(t) â ìîìåíò âðåìåíè t ïî íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ ν(0): ν(t) = V (t)ν(0). Äëÿ V (t) èç (5.1.1) è (5.1.5) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:

V˙ (t) = i[˜ ρσ3 + A cos ψ(σ1 cos α − σ2 sin α)]V (t), Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïåðåéòè îò îïåðàòîðà V (t) ê íîâîìó îïåðàòîðó

³ α´ ³ α´ V (t) exp iσ3 , U (t) = exp −iσ3 2 2

(5.1.6)

99

òî äëÿ U (t) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:

U˙ (t) = i[˜ ρσ3 + Aσ1 cos ψ]U (t).

(5.1.7)

Ñëåäîâàòåëüíî, îðèåíòàöèÿ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè íå îêàçûâàåò âëèÿíèÿ íà äèíàìèêó íåéòðèííûõ ïåðåõîäîâ νi− ↔ νj+ . Ïóñòü â óðàâíåíèè (5.1.7) âûïîëíåíî óñëîâèå: (5.1.8)

ρ˜ = 0,

÷òî ñîîòâåòñòâóåò íàëè÷èþ ðåçîíàíñà â íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèÿõ. Òîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.1.7) èìååò âèä: (5.1.9)

U1 (t) = exp(iσ1 f (t)),

˙ sin ψt ˙ . Äëÿ âåðîÿòíîñòè íåéòðèííûõ ïåðåõîäîâ â ýòîì ãäå f (t) = (A/ψ) ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì:

µ 2

2

Pij (t) = |hνj+ |V (t)|νi− i| = sin 2f (t) = sin

2

¶ A ˙ , sin ψt ˙ ψ

(5.1.10)

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà áóäåò äîñòèãàòü åäèíèöû ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ:

¯ ¯ ¯A¯ π ¯ ¯≥ . (5.1.11) ¯ ψ˙ ¯ 2 Ïîëó÷åííîå óñëîâèå (5.1.11) ìîæåò ñëóæèòü îãðàíè÷åíèåì íà õàðàêòåðèñòèêè íåéòðèíî (µ, β ) è ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû (ω , B , φ, β0 ).  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè íåîáõîäèìîñòè âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (5.1.11) äëÿ äîñòèæåíèÿ ðåçîíàíñà (Pij (t) = 1) ïðèâåäåì ¯ ¯ ãðàôèêè çàâèñèìîñòè Pij (t) äëÿ ðàçëè÷íûõ

¯

¯

çíà÷åíèé âåëè÷èíû ξ = ¯A/ψ˙ ¯ (Ðèñ. 5.1 ñîîòâåòñòâóåò âåëè÷èíå ξ < π/2, à Ðèñ. 5.2  ξ ≥ π/2). Èç ýòèõ ãðàôèêîâ âèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ìîæåò äîñòèãàòü åäèíèöû òîëüêî ïðè âûïîëíåíèè äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ (5.1.11). Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ξ ≥ π/2 íåäîïóñòèìî ââåäåíèå òàêîãî îñíîâîïîëàãàþùåãî ïîíÿòèÿ, êàê ýôôåêòèâíàÿ äëèíà îñöèëëÿöèé, òàê êàê îòñóòñòâóåò

100

Pij (t) 0.8 0.6 0.4 0.2 0

t

˙ =1< Ðèñ. 5.1: Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà Pij îò âðåìåíè t äëÿ ñëó÷àÿ |A/ψ| ˙ = 0. π/2. Íóëè ôóíêöèè Pij îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿ sin ψt

Pij (t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0

t

˙ = 6.2 > Ðèñ. 5.2: Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà Pij îò âðåìåíè t äëÿ ñëó÷àÿ |A/ψ| ˙ = πn, ãäå n = 0, 1. π/2. Íóëè ôóíêöèè Pij îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿ 6.2 sin ψt

101

ñòðîãàÿ ïåðèîäè÷íîñòü â ÷åðåäîâàíèè ìàêñèìàëüíûõ è ìèíèìàëüíûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà. Èññëåäóåì òåïåðü áîëåå äåòàëüíî óñëîâèå (5.1.8). Ïóñòü ρ˜ À A, òîãäà èç (5.1.7) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:

U˙ = i˜ ρσ3 U,

(5.1.12)

ðåøåíèå êîòîðîãî â ýòîì ïðåäåëå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå:

U = exp(iσ3 ρ˜t). Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â ýòîì ñëó÷àå ðàâíà íóëþ:

¯ ¯2 Pij = ¯hνj+ | exp(iσ3 ρ˜t)|νi− i¯ = 0. Ïîêàæåì, ÷òî (5.1.8) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ðåçîíàíñíîãî óñèëåíèÿ îñöèëëÿöèé νi− ↔ νj+ . Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà èìååò ìåñòî ìàëîå îòêëîíåíèå îò óñëîâèÿ (5.1.8). Ïóñòü ρ˜ = ε, ãäå ε - ìàëàÿ âåëè÷èíà. Ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå (5.1.7) â âèäå:

U˙ = i(εσ3 + H1 )U,

H1 = Aσ1 cos ψ.

(5.1.13)

Ðåøåíèå (5.1.13) áóäåì èñêàòü â ôîðìå:

U = U1 F. Òàê êàê U1 [ñì. (5.1.9)] óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

U˙ 1 = iH1 U1 ,

(5.1.14)

òî äëÿ ìàòðèöû F ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

F˙ = iεHε F,

Hε = σ3 cos 2f (t) + σ2 sin 2f (t).

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.1.15) èùåì â âèäå ðÿäà

F =

∞ X k=0

εk F (k) ,

(5.1.15)

102

ãäå F (0) = ˆ 1 - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Äëÿ F (k) ìîæíî ïîëó÷èòü ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå:

Zt F (k+1) (t) = i

Hε (t0 )F (k) (τ )dt0 ,

(5.1.16)

0

èç êîòîðîãî ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ F (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà ε2 ):

F (t) = ˆ1 + iε(σ2 γ(t) + σ3 δ(t)) + ε2 (−A(t) + iσ1 B(t)) + O(ε3 ), ãäå

Zt

Zt sin 2f (t0 )dt0 ,

γ(t) = −

[δ(t0 ) cos 2f (t0 ) − γ(t0 ) sin 2f (t0 )]dt0 ,

A(t) =

0

0

Zt

Zt cos 2f (t0 )dt0 ,

δ(t) =

[γ(t0 ) cos 2f (t0 ) + δ(t0 ) sin 2f (t0 )]dt0 .

B(t) =

0

0

Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà νi− ↔ νj+ â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

Pij = sin2 f + ε2 [2 sin f (B cos f − A sin f ) + (γ cos f − δ sin f )2 ] + O(ε4 ). (5.1.17) Ïóñòü áóäåò âûïîëíåíî óñëîâèå (5.1.11). Ðàññìîòðèì çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè â òî÷êàõ ìàêñèìóìà: f (t) = π/2 + πk , k ∈ Z. Òîãäà ñîîòíîøåíèå (5.1.17) ïðèíèìàåò âèä:

Pijmax = 1 + ε2 (δ 2 − 2A). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â òî÷êàõ f (t) = π/2 + πk âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãîå íåðàâåíñòâî



Zt

δ 2 − 2A = − 

2 sin 2f (t0 )dt0  < 0.

0

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

Pijmax (ε

6= 0) < 1. Òàêèì îáðàçîì ìû ïîêàçàëè, ÷òî

ìàëîå îòêëîíåíèå îò óñëîâèÿ ðåçîíàíñà (5.1.8) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âåðîÿòíîñòü Pij (t) íèêîãäà íå äîñòèãíåò åäèíèöû. Íà Ðèñ. 5.3 ïðèâåäåí ïðèìåðíûé âèä çàâèñèìîñòè Pijmax îò ρ˜ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (5.1.11).

103

Pijmax 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 −|A|

0 ρ˜

|A|

Ðèñ. 5.3: Çàâèñèìîñòü ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà îò ïàðàìåòðà ρ˜ ïðè |˜ ρ| ¿ |A| è |˜ ρ| À |A|.

 çàêëþ÷åíèè äàííîãî ðàçäåëà îáñóäèì áîëåå ïîäðîáíî âîçíèêíîâåíèå äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ (5.1.11). Êàê èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [44,106]), â ñëó÷àå îñöèëëÿöèé â ïîñòîÿííîì ïîïåðå÷íîì ìàãíèòíîì ïîëå ðåçîíàíñíîå óñëîâèå õàðàêòåðèçóåòñÿ îäíèì ñîîòíîøåíèåì [àíàëîã ôîðìóëû (5.1.8)].  íàøåì ñëó÷àå ïîÿâëåíèå óñëîâèÿ (5.1.11) îáóñëîâëåíî ñïåöèôè÷åñêîé êîíôèãóðàöèåé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ýâîëþöèþ ñïèíà ìû îïèñûâàëè â ðàìêàõ ïîäõîäà [53, 88, 91, 93], îñíîâàííîãî íà èñïîëüçîâàíèè óðàâíåíèÿ òèïà Áàðãìàííà-Ìèøåëÿ-Òåëåãäè [123].  ýòîì ïîäõîäå êâàíòîâûé îïåðàòîð ýâîëþöèè V (t) ïðèîáðåòàåò ñìûñë ìàòðèöû ýâîëþöèè ñïèí-òåíçîðà S = (σζν ), ãäå ζν - âåêòîð ñïèíà ÷àñòèöû.  ïðèñóòñòâèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñïèí ÷àñòèöû íà÷èíàåò ïðåöåññèðîâàòü âîêðóã îïðåäåëåííîãî âåêòîðà l, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî çàäàåòñÿ êîíôèãóðàöèåé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ðåçîíàíñíîå óñèëåíèå ñïèíîâûõ îñöèëëÿöèé áóäåò íàáëþäàòüñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåêòîð l íàïðàâëåí ïðàêòè÷åñêè ïåðïåíäèêóëÿðíî ê äâèæåíèþ íåéòðèíî. Òàêèì îáðàçîì, ïîëàãàÿ ρ˜ = 0 ìû çàäàåì áëàãîïðèÿòíóþ îðèåíòàöèþ âåêòîðà l. Îäíàêî, â ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå âåêòîð íà-

104

ïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B êîëåáëåòñÿ â ïëîñêîñòè. Òîãäà, åñëè B ïàðàëëåëåí îñè e1 , âåêòîð ñïèíà ζν âðàùàåòñÿ â îäíó ñòîðîíó, à êîãäà

B ñòàíîâèòñÿ àíòèïàðàëëåëüíûì îñè e1 , ζν âðàùàåòñÿ â äðóãóþ ñòîðîíó. Ñëåäîâàòåëüíî, â äàííîì ñëó÷àå âåêòîð ñïèíà áóäåò êîëåáàòüñÿ âîêðóã íàïðàâëåíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî äâèæåíèþ íåéòðèíî. Äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ýôôåêòèâíûõ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé íåîáõîäèìî, ÷òîáû àìïëèòóäà ýòèõ êîëåáàíèé áûëà áîëüøå èëè ðàâíà π . Äåòàëüíûé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ââåñòè îãðàíè÷åíèå íà àìïëèòóäó ìàãíèòíîãî ïîëÿ, êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ óñëîâèåì (5.1.11).

5.2 Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ ïðè îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî â ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùèõñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ  ýòîì ðàçäåëå âïåðâûå ðàññìîòðåíà âîçìîæíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà â íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèÿõ â íåîäíîðîäíîì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå [120122]. Ðàññìîòðåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ñ òî÷êè çðåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èçó÷åíèÿ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé ñîçäàòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå çàäàííîé êîíôèãóðàöèè íåèçìåðèìî ïðîùå, ÷åì àíàëîãè÷íûé ïðîôèëü ïëîòíîñòè. Ðàññìîòðåí ñëó÷àé àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû è ìàãíèòíîãî ïîëÿ òèïà ïîëÿ ïëîñêîãî îíäóëÿòîðà, ò.å. ïîñòîÿííîãî âî âðåìåíè ïîïåðå÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, àìïëèòóäà êîòîðîãî èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì îò îäíîãî ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ äî äðóãîãî. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè îïðåäåëåííîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèõ íåéòðèíî, ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå è ñðåäó, â ñëó÷àÿõ àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû è ìàãíèòíîãî ïîëÿ òèïà ïîëÿ ïëîñêîãî îíäóëÿòîðà, âîçíèêàåò ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ. Ïîëó÷åíà îöåíêà äëÿ âîçìîæíîñòè âîçíèêíîâåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà â êîñìè÷åñêîì ìèêðîâîëíîâîì èçëó÷åíèè. Òàêæå ïðåäëîæåíà

105

ñõåìà âîçìîæíîãî ýêñïåðèìåíòà ïî èçó÷åíèþ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé â ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ.

5.2.1 Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ïîëå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ â ïîëå àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû.  îñíîâå íàøåãî îáñóæäåíèÿ áóäåò ëåæàòü ýâîëþöèÿ ñèñòåìû èç äâóõ íåéòðèíî ν = (νj+ , νi− ), ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì ñîñòîÿíèÿì ñïèðàëüíîñòè, ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ÷àñòîòû ω ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé. Çàìåòèì, ÷òî ñîñòîÿíèÿ

(νj+ , νi− ) ìîãóò, â ïðèíöèïå, ïðèíàäëåæàòü ê ðàçëè÷íûì ïîêîëåíèÿì íåéòðèíî (ïðè i 6= j ). Ìû îáîçíà÷èì ïîñðåäñòâîì e3 îñü, êîòîðàÿ ïàðàëëåëüíà íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ íåéòðèíî, à ïîñðåäñòâîì φ - óãîë ìåæäó e3 è íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè äàííîé ñèñòåìû íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ðåëÿòèâèñòêè-èíâàðèàíòíûé ïîäõîä, ðàçâèòûé â ðàáîòàõ [53, 88, 91, 93]. Äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ν ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà:

∂ν = Hν. (5.2.1) ∂t Âûðàæåíèå äëÿ ãàìèëüòîíèàíà H âûâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî ðàáîòàì [53, 88, p 119] íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó 1 − β 2 ¿ 1 (β - ñêîðîñòü i

íåéòðèíî) è èìååò âèä

H = −˜ ρσ3 − A(t)(σ1 cos ψ − σ2 sin ψ),

(5.2.2)

ãäå A(t) = −µB(t)(1 − β cos φ), ρ˜ = Veff /2 − (∆m2 Θ)/4E , E - ýíåðãèÿ íåéòðèíî, ∆m2 - ðàçíîñòü êâàäðàòîâ ìàññ ñîñòîÿíèé νj è νi , ψ = gωt(1 −

(β/β0 ) cos φ) - ôàçà âîëíû, çàâèñÿùàÿ îò åå ñêîðîñòè β0 â ñðåäå (β0 ≤ 1), âåëè÷èíû g = ±1 ñîîòâåòñòâóþò äâóì ñîñòîÿíèÿì ïîëÿðèçàöèè âîëíû,

σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) - ìàòðèöû Ïàóëè, B(t) - àìïëèòóäà âîëíû, êîòîðàÿ â íàøåì ñëó÷àå çàâèñèò îò âðåìåíè, Veff - ðàçíîñòü ýôôåêòèâíûõ ïîòåíöèàëîâ

106

âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñî ñðåäîé, µ - ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî, Θ ôóíêöèÿ âàêóóìíîãî óãëà ñìåøèâàíèÿ θvac (ÿâíûé âèä Θ äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïåðåõîäîâ νi− ↔ νj+ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [43,107,108]). Èñïîëüçóåòñÿ ñèñòåìà åäèíèö, â êîòîðîé c = ~ = 1. Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.2.1) ïðè ïðîèçâîëüíîì âèäå ôóíêöèè B(t) íàòàëêèâàåòñÿ íà ñåðüåçíûå ìàòåìàòè÷åñêèå òðóäíîñòè. Ïîýòîìó âûÿñíèì óñëîâèÿ âîçíèêíîâåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà â òîì ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ B(t) ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû

B (ñëó÷àé àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû): B(t) = B(1 + hf (t)),

(5.2.3)

ãäå h - ìàëàÿ (|h| ¿ 1) ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, çíàê êîòîðîé áóäåò çàôèêñèðîâàí íèæå, f (t) - ïðîèçâîëüíàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè. Äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ óäîáíî ââåñòè îïåðàòîð ýâîëþöèè V (t), êîòîðûé îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå íåéòðèíî ν(t) â ìîìåíò âðåìåíè t ïî íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ ν(0): ν(t) = V (t)ν(0). Èñõîäÿ èç âèäà ãàìèëüòîíèàíà (5.2.2) è çàâèñèìîñòè àìïëèòóäû ïîëÿ îò âðåìåíè (5.2.3), äëÿ V (t) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:

V˙ (t) = i[˜ ρσ3 + (A + εf (t))(σ1 cos ψ − σ2 sin ψ)]V (t),

(5.2.4)

ãäå ε = Ah, A = −µB(1 − β cos φ). Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.2.4) â âèäå:

V (t) = Ue3 (t)Ul (t)F (t),

(5.2.5)

˙ ãäå Ue3 (t) = exp(iσ3 ψt/2) - îïåðàòîð âðàùåíèÿ âîêðóã îñè e3 , à Ul (t) = ˙ . Âåçäå èñïîëüexp(iσlt) - îïåðàòîð âðàùåíèÿ âîêðóã îñè l = (A, 0, ρ˜ − ψ/2) çóþòñÿ áàçèñíûå âåêòîðû e1,2,3 , ïðè÷åì e3 - åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè ñêîðîñòè íåéòðèíî. Çàìåòèì, ÷òî U0 (t) = Ue3 (t)Ul (t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.2.4) ïðè ε = 0 (ñì. [53, 88]). Äëÿ íåèçâåñòíîãî îïåðàòîðà F (t) íà îñíîâå (5.2.4) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

F˙ (t) = iεHε (t)F (t),

(5.2.6)

107

ãäå (5.2.7)

Hε (t) = (σy(t))f (t), y1 = 1 − 2n23 sin2 Ωt,

y2 = n3 sin 2Ωt,

y3 = 2n1 n3 sin2 Ωt,

à n = n1 e1 + n2 e2 + n3 e3 = l/Ω - åäèíè÷íûé âåêòîð, Ω = |l|. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (5.2.6) ïðèìåíèì ìåòîä, èçëîæåííûé â ðàáîòå [119] (ñì. òàêæå ðàçäåë 5.1). Èñïîëüçóÿ ìàëîñòü ïàðàìåòðà ε, áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.2.6) â ôîðìå: ∞ X

F =

εk F (k) ,

(5.2.8)

k=0

ãäå F (0) = ˆ 1 - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Äëÿ îïåðàòîðîâ F (k) ïîëó÷àåì ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå:

Zt F (k+1) (t) = i

Hε (t0 )F (k) (t0 )dt0 .

(5.2.9)

0

Îïóñêàÿ âû÷èñëèòåëüíûå äåòàëè, íàõîäèì íà îñíîâàíèè ôîðìóë (5.2.8) è (5.2.9) âûðàæåíèå äëÿ F (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà ε):

F (t) = ˆ1 + iε(σx(t)) + O(ε2 ), ãäå

(5.2.10)

Zt y(t0 )f (t0 )dt0 .

x(t) =

(5.2.11)

0

Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íûé ïîäõîä ïðè îïèñàíèè îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â ñðåäå ñ íåïðåðûâíî ìåíÿþùåéñÿ ïëîòíîñòüþ îáñóæäàëñÿ â ðàáîòå [124]. Äëÿ âåðîÿòíîñòè íåéòðèííûõ ïåðåõîäîâ νi− ↔ νj+ èñõîäÿ èç ôîðìóë (5.2.5)-(5.2.11) ìû ïîëó÷àåì

P (t) = |hνj+ |Ue3 (t)Ul (t)F (t)|νi− i|2 = n21 sin2 Ωt + 2εn1 sin Ωt(x1 (t) cos Ωt + n3 x2 (t) sin Ωt). (5.2.12)

108

Äëÿ ïðîâåäåíèÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ êîíêðåòèçèðóåì ÿâíûé âèä ôóíêöèè f (t). Êàê îòìå÷àëîñü â ðàáîòå [113], ìåæäó ïðîöåññîì îñöèëëÿöèé íåéòðèíî è ìåõàíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè óñòàíîâëåíû îïðåäåëåííûå àíàëîãèè. Èñõîäÿ èç ýòîãî ôàêòà, âûáåðåì ôóíêöèþ f (t) òàêîé æå, êàê è â àíàëîãè÷íîé çàäà÷å î ïàðàìåòðè÷åñêîì ðåçîíàíñå â ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ [125], ò.å. f (t) = sin 2Ωt. Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà Ω ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ¾ñîáñòâåííóþ¿ ÷àñòîòó äâóõóðîâíåâîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Êàê ìû óâèäèì íèæå, ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ ïðîÿâëÿåòñÿ èìåííî ïðè òàêîì âûáîðå ôóíêöèè f (t), ò.å. êîãäà ÷àñòîòà èçìåíåíèÿ f (t) ðàâíà óäâîåííîé ¾ñîáñòâåííîé¿ ÷àñòîòå. Íàéäåì âåðîÿòíîñòü íåéòðèííûõ ïåðåõîäîâ äëÿ äàííîãî êîíêðåòíîãî âûáîðà f (t). Ýëåìåíòàðíîå âû÷èñëåíèå â ýòîì ñëó÷àå äàåò

· P (t) =

n21

+

εn1 n23 t

εn1 + Ω

µ

n23 1− 2

¶

¸ sin 2Ωt sin2 Ωt.

(5.2.13)

Âûáåðåì çíàê ε òàê, ÷òîáû n1 ε > 0 (ñëåäîâàòåëüíî, çíàê h îïðåäåëèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ: n1 Ah > 0). Òîãäà èç ôîðìóëû (5.2.13) âèäíî, ÷òî ñðåäè ñëàãàåìûõ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ïîÿâëÿåòñÿ ÷ëåí, ëèíåéíî ðàñòóùèé ñî âðåìåíåì, êîòîðûé ïðèâîäèò ê ðîñòó çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà. Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü èñòîëêîâàí êàê ïðîÿâëåíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Çàìåòèì, ÷òî èç ñîîòíîøåíèÿ (5.2.13) ôîðìàëüíî ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ âðåìåíè íàáëþäåíèÿ t âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà

P (t) ìîæåò ïðåâûñèòü åäèíèöó.  ñâÿçè ñ ýòèì íàïîìíèì, ÷òî ïðè èçó÷åíèè ÿâëåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà â ìåõàíèêå àíàëîãîì âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ÿâëÿåòñÿ àìïëèòóäà êîëåáàíèé. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî îäíèì èç îñíîâíûõ êðèòåðèåâ ïðèìåíèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîäõîäà â ìåõàíèêå ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå ñðàâíèòåëüíî ìàëûõ àìïëèòóä êîëåáàíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäÿ èç ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ, ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî, òàêæå êàê è â ñëó÷àå ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, ñîîòíî-

109

øåíèå (5.2.13) áóäåò çàâåäîìî ñïðàâåäëèâî, åñëè ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèõ, äîïóñòèì, ïîðÿäêà 10%, óâåëè÷åíèé âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà. Ê ñîæàëåíèþ, êà÷åñòâåííîå îïèñàíèå ÿâëåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà, ïðåäëîæåííîå â äàííîé ðàáîòå, íå ïîçâîëÿåò èçó÷èòü òî÷íîå ïîâåäåíèå âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà âáëèçè åäèíè÷íîãî çíà÷åíèÿ. Îäíàêî ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå, ïðîâåäåííîå â ðàáîòå [109] äëÿ ñëó÷àÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà, âîçíèêàþùåãî ïðè âçàèìîäåéñòâèè íåéòðèíî ñî ñðåäîé ñ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùåéñÿ ïëîòíîñòüþ, ïîêàçàëî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàåòñÿ ê åäèíèöå, òàê ÷òî óñëîâèå P (t) ≤ 1 âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ. Îöåíèì õàðàêòåðíîå âðåìÿ, çà êîòîðîå íåéòðèíî ìîæåò ïåðåéòè èç îäíîãî òèïà â äðóãîé ñ âåðîÿòíîñòüþ 10%. Èç ñîîòíîøåíèÿ (5.2.13) ïîëó÷àåì:

t∼

1 . 10εn1

(5.2.14)

Çäåñü ìû ñ÷èòàëè, ÷òî n23 ∼ 1. Îáîñíîâàíèå òàêîãî âûáîðà ïàðàìåòðîâ áóäåò äàíî íèæå. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåì âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà â ñëó÷àå, êîãäà äîïîëíèòåëüíîå âîçáóæäåíèå îòñóòñòâóåò (h = 0):

µ

2

P (t)|h=0 = sin 2θeff sin

2

πt Leff

¶

,

(5.2.15)

ãäå Leff = π/Ω - ýôôåêòèâíàÿ äëèíà îñöèëëÿöèé,

l12 = Pmax |h=0 , l12 + l32 ìàêñèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â îòñóòñòâèè äîïîëíèòåëüíîãî âîçsin2 2θeff =

áóæäåíèÿ. Ïðè èçó÷åíèè ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà îñîáî èíòåðåñåí ñëó÷àé, êîãäà Pmax |h=0 ¿ 1, ò.å. êîãäà ïåðåõîäû ìåæäó äâóìÿ ñîñòîÿíèÿìè íåéòðèíî ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóþò, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò n23 ∼ 1. Âûáèðàÿ êîíêðåòíûé ñëó÷àé:

|l1 | = 0.1|l3 |,

(5.2.16)

110

ïîëó÷àåì, ÷òî Pmax |h=0 ≈ 0.01, ò.å. ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âðåìåíè íàáëþäåíèÿ âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà íå ñìîæåò ïðåâûñèòü 10−2 .  ñëó÷àå íàëè÷èÿ äîïîëíèòåëüíîãî âîçáóæäåíèÿ (h 6= 0) ïðèñóòñòâèå ñëàãàåìîãî, ïðîïîðöèîíàëüíîãî t, â âûðàæåíèè äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ïîçâîëÿåò äîñòè÷ü çíà÷åíèé, ïðåâûøàþùèõ 10−2 . Îöåíèì çíà÷åíèÿ xc = tc äëÿ ñëó÷àÿ (5.2.16). Âûáèðàÿ |h| = 0.1, ïîëó÷àåì:

10 . (5.2.17) |µB(1 − β cos φ)| Çàìåòèì, ÷òî äëÿ âûáîðà ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèõ âíåøíåå ýëåêòðîìàãxc ∼

íèòíîå ïîëå, ñðåäó è íåéòðèíî, ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîîòíîøåíèþ (5.2.16), ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïåðâûì è òðåòüèì ñëàãàåìûìè ïî ñðàâíåíèþ ñî âòîðûì â ôîðìóëå (5.2.13). Äåéñòâèòåëüíî:

n21 ≈ 0.01, |εn1 n23 tc | ≈ 0.1, ¯ ¯ µ ¶ 2 ¯ ¯ εn1 n 3 −4 ¯ ¯ 1 − sin 2Ωt c ¯ ≈ 4 × 10 . ¯ Ω 2 Òàêèì îáðàçîì, óâåëè÷åíèå âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ïðîèñõîäèò èìåííî çà ñ÷åò ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà.

5.2.2 Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ïîëå ïëîñêîãî îíäóëÿòîðà Ðàññìîòðèì òåïåðü îñöèëëÿöèè íåéòðèíî ν â ìàãíèòíîì ïîëå òèïà ïîëÿ ïëîñêîãî îíäóëÿòîðà. Äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè

ν èäåíòè÷íî óðàâíåíèþ (5.2.1). Âûðàæåíèå äëÿ ãàìèëüòîíèàíà H ìîæåò áûòü ôîðìàëüíî ïîëó÷åíî èç ñîîòíîøåíèÿ (5.2.2) çàìåíîé: A(t) → µB(t),

ω = 0, è èìååò ñëåäóþùèé âèä: H = −˜ ρσ3 − µB(t)σ1 .

(5.2.18)

111

Êàê óæå îòìå÷àëîñü, àìïëèòóäà ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñëó÷àå ïëîñêîãî îíäóëÿòîðà ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé:

 B1 , 0 ≤ t < T1 , B(t) = B , T ≤ t < T + T , 2 1 1 2

(5.2.19)

B(t + T ) = B(t),

(5.2.20)

T = T1 + T 2 ,

ãäå B1,2 - ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû. Î÷åâèäíî, ÷òî ãàìèëüòîíèàí H(t) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ òåì æå ïåðèîäîì T : H(t + T ) = H(t). Ïðè÷åì åñëè t ∈ [0, T1 ), òî H(t) = H1 , à åñëè t ∈ [T1 , T ), òî H(t) = H2 , ãäå

H1,2 - ïîñòîÿííûå îïåðàòîðû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç U1,2 îïåðàòîðû ýâîëþöèè äëÿ èíòåðâàëîâ [0, T1 ) è [T1 , T ), ñîîòâåòñòâåííî. Èñõîäÿ èç âûøå ñêàçàííîãî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî

Ua = exp(−iHa Ta ),

a = 1, 2.

(5.2.21)

Òîãäà îïåðàòîð ýâîëþöèè çà îäèí ïåðèîä èìååò âèä: (5.2.22)

UT = U2 U1 . Ââåäåì åäèíè÷íûå âåêòîðû:

1 (Ea , 0, −˜ ρ) = (sin 2θa , 0, − cos 2θa ), a = 1, 2, (5.2.23) ωa p ãäå Ea = −µBa , ωa = ρ˜2 + Ea2 , θa - ýôôåêòèâíûé óãîë ñìåøèâàíèÿ, ó÷èna =

òûâàþùèé âëèÿíèå ñðåäû è ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (5.2.19)(5.2.23), ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé âèä îïåðàòîðà ýâîëþöèè çà îäèí ïåðèîä:

UT = Y − i(σX) = exp(−i(σnX )Φ),

(5.2.24)

ãäå

Y = c1 c2 − (n1 n2 )s1 s2 ,

X = s1 c2 n1 + s2 c1 n2 − (n1 × n2 )s1 s2 ,

Φ = arccos Y = arcsin X,

nX = X/X,

X = |X|.

(5.2.25)

112

Çäåñü ìû òàêæå èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèÿ:

sa = sin φa ,

ca = cos φa ,

φ a = ω a Ta ,

a = 1, 2.

(5.2.26)

Çàìåòèì, ÷òî Y 2 + X2 = 1, êàê ñëåäñòâèå óíèòàðíîñòè UT . Çàïèøåì âåêòîð

X â êîìïîíåíòàõ: µ µ ¶¶ s1 c2 E1 s2 c1 E2 s1 s2 s1 c2 s2 c1 X= + , ρ˜ (E2 − E1 ), −˜ ρ + . ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2

(5.2.27)

Îïåðàòîð ýâîëþöèè çà n ïåðèîäîâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åí âîçâåäåíèåì UT â

n-óþ ñòåïåíü: UnT = exp(−i(σnX )nΦ).

(5.2.28)

Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ νi− â ñîñòîÿíèå νj+ çà âðåìÿ t îïðåäåëÿåòñÿ ÿâíûì âèäîì îïåðàòîðà ýâîëþöèè:

P (t) = |hνj+ |U (t)|νi− i|2 .

(5.2.29)

Ðàññìîòðèì òîò ñëó÷àé, êîãäà t = nT . Òîãäà èç îáùåãî âûðàæåíèÿ (5.2.29) ñ ó÷åòîì (5.2.24)-(5.2.26) è (5.2.28) äëÿ P (t = nT ) ïîëó÷àåì ôîðìóëó:

µ ¶ 2 2 t X + X X12 + X22 sin2 (nΦ) = 2 1 2 2 2 sin2 Φ P (nT ) = 2 . (5.2.30) 2 2 X1 + X2 + X3 X1 + X2 + X3 T

Âûðàæåíèå (5.2.30) î÷åíü ïîõîæå íà ôîðìóëó äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ïðè îñöèëëÿöèÿõ â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Îäíàêî èìååòñÿ âàæíîå ïðèíöèïèàëüíîå ðàçëè÷èå: â ñëó÷àå ïîñòîÿííîãî ïîëÿ ìíîæèòåëü ïåðåä ñèíóñîì íå ïðåâîñõîäèò sin2 (2θa ), êîòîðûé, âîîáùå ãîâîðÿ, ÿâëÿåòñÿ ìàëîé âåëè÷èíîé.  ñëó÷àå, êîãäà B1 6= B2 , ìîæíî òàê ïîäîáðàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàìåòðû, ÷òî ìíîæèòåëü ïåðåä ñèíóñîì îáðàùàåòñÿ â åäèíèöó. Ýòî è åñòü ïðîÿâëåíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèâ:

µ X32 = ρ˜2

s1 c2 s2 c1 + ω1 ω2

¶2 = 0,

(5.2.31)

ìû äîáüåìñÿ òîãî, ÷òî â íåêîòîðûå ìîìåíòû âðåìåíè (ñì. íèæå) âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ìîæåò äîñòèãàòü åäèíè÷íîãî çíà÷åíèÿ.

113

Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà

(µBa )2 = Ea2 ¿ ρ˜2 ,

(5.2.32)

ò.å. ìû èçó÷àåì ñëó÷àé, êîãäà ìàãíèòíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëàáûì, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëåííûé èíòåðåñ äëÿ âîçìîæíîãî ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî. Òîãäà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòíîøåíèÿ (5.2.32) ïîëó÷àåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ρ˜ 6= 0 è ôîðìóëà (5.2.31) ýêâèâàëåíòíà óñëîâèþ

φ1 + φ2 = πk,

k ∈ N.

(5.2.33)

Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω ñðåäíþþ ÷àñòîòó îñöèëëÿöèé:

ω 1 T1 + ω 2 T2 . (5.2.34) T Òîãäà ðåçîíàíñíîå óñëîâèå (5.2.33) ïåðåéäåò â 2Ω ωB = , (5.2.35) k ãäå ωB = 2π/T - ÷àñòîòà èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ôîðìóëà Ω=

(5.2.35) âûðàæàåò õîðîøî èçâåñòíîå ñâîéñòâî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà: îí âîçíèêàåò â ñëó÷àå, êîãäà óäâîåííàÿ ¾ñîáñòâåííàÿ¿ ÷àñòîòà 2Ω êðàòíà ÷àñòîòå èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû ωB [125]. Îáñóäèì áîëåå ïîäðîáíî âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà (5.2.30). Ïðè âûïîëíåíèè ðåçîíàíñíîãî óñëîâèÿ (5.2.33) êâàäðàò ìîäóëÿ âåêòîðà X çàïèøåòñÿ â ôîðìå

1 2 2 (s1 E1 + s22 E22 + 2s1 E1 s2 E2 (−1)k ). (5.2.36) 2 ρ˜ Àíàëîãè÷íî ðàáîòå [113] ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî π (5.2.37) φa = + πka , a = 1, 2, 2 ãäå ka ∈ Z, ïðè÷åì âûïîëíåíî äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå, ñëåäóþùåå èç X2res =

(5.2.33): k1 + k2 ≥ 0. Ó÷èòûâàÿ (5.2.32) è (5.2.37), ïîëó÷àåì èç (5.2.36), ÷òî

|X|res

¯ ¯ ¯ E1 − E2 ¯ ¯ ¿ 1. = ¯¯ ρ˜ ¯

(5.2.38)

114

Èç ôîðìóë (5.2.38) è (5.2.2) ñëåäóåò, ÷òî Φres ≈ |X|res . Äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ïðè âûïîëíåíèè ðåçîíàíñíîãî óñëîâèÿ (5.2.33) ïîëó÷àåì:

µ

P (t = nT ) = sin2

(E1 − E2 ) n ρ˜

¶

= sin2 (2n(θ1 − θ2 )).

(5.2.39)

Çäåñü ìû ñ÷èòàëè, ÷òî θa ¿ 1, ïîýòîìó sin 2θa ≈ 2θa . Çàìåòèì, ÷òî |˜ ρ| =

πk/T , ïîýòîìó âûðàæåíèå (5.2.39) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: ¶ µ (E − E ) 1 2 P (t = nT ) = sin2 t . πk

(5.2.40)

Èç ôîðìóëû (5.2.40) âèäíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå óñèëåíèå îñöèëëÿöèé äîñòèãàåòñÿ ïðè k = 1. Ýòîò ðåçóëüòàò òàêæå õîðîøî èçâåñòåí èç òåîðèè ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà â ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ [125], ÷òî åùå ðàç ïîä÷åðêèâàåò êîððåêòíîñòü ïîñòðîåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ àíàëîãèé.

5.2.3 Âîçìîæíûå ïðèìåíåíèÿ ÿâëåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà ïðè îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî  çàêëþ÷åíèå äàííîãî ðàçäåëà îáñóäèì âîçìîæíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà â íåêîòîðûõ ïåðåìåííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ. Ïðèâåäåì îöåíêó âåëè÷èíû xc , ò.å. õàðàêòåðíîãî ðàññòîÿíèÿ, ïðîõîäÿ êîòîðîå íåéòðèíî ìîæåò ïåðåéòè èç îäíîãî òèïà â äðóãîé ñ âåðîÿòíîñòüþ

10%, äëÿ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â ïîëå êîñìè÷åñêîãî ìèêðîâîëíîâîãî èçëó÷åíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîñìè÷åñêîå ìèêðîâîëíîâîå èçëó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííûì, ò.å. ïðèìåíåíèå ïîäõîäà, ðàçâèòîãî â ïåðâîì ðàçäåëå îáîñíîâàííî. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (5.2.17), íàèáîëåå ðåàëèñòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ xc ïîëó÷àþòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà íåéòðèíî äâèæåòñÿ íàâñòðå÷ó ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå, ò.å. êîãäà φ = π . Àìïëèòóäà B ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ýòîì ñëó÷àå ìîæåò äîñòèãàòü âåëè÷èíû 10−6 Ãñ [88]. Ïîëàãàÿ µ ≈ 10−10 µB , ïîëó÷àåì äëÿ õàðàêòåðíîé äëèíû ïóòè, ïðîõîäÿ êîòîðûé íåéòðèíî ïåðåéäåò èç îäíîãî òèïà â äðóãîé ñ âåðîÿòíîñòüþ 10%, çíà÷åíèå xc ∼ 1020 ì, ÷òî ñðàâíèìî ñ ðàçìåðîì Ãàëàêòèêè RG ≈ 3 × 1020 ì.

115

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïåðåõîä íåéòðèíî èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå, îáóñëîâëåííûé ïàðàìåòðè÷åñêèì ðåçîíàíñîì, ñòàíîâèòñÿ çàìåòíûì. Îáñóäèì òåïåðü âîçìîæíûé ýêñïåðèìåíò ïî èçó÷åíèþ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé â ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ, â êîòîðîì íàáëþäàëîñü áû 10% óìåíüøåíèå ïåðâîíà÷àëüíîãî ïîòîêà íåéòðèíî. Äàííûé ýêñïåðèìåíò ñîñòîÿë áû â ïðîïóñêàíèè ïîòîêà íåéòðèíî ÷åðåç öåïî÷êó ñîëåíîèäîâ ñ ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûì ïîñòîÿííûì âî âðåìåíè ìàãíèòíûì ïîëåì. Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû âòîðîãî ðàçäåëà íàñòîÿùåé ãëàâû, ãäå áûëè èçó÷åíû îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ìàãíèòíîì ïîëå òèïà ïîëÿ ïëîñêîãî îíäóëÿòîðà. Ðàññìîòðèì ïåðåõîäû ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè, ïðèíàäëåæàùèìè ê ðàçëè÷íûì ïîêîëåíèÿì, íàïðèìåð, νe− ↔ νµ+ .  ýòîé ñèòóàöèè ýôôåêòàìè âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ ÷àñòèöàìè ñðåäû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ò.å. |˜ ρ| ≈ (∆m2 Θ)/4E , ÷òî ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì äëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èçó÷åíèÿ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â çåìíûõ óñëîâèÿõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî T1 = T2 = D. Òîãäà èç ñîîòíîøåíèÿ (5.2.35) ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ D:

2πkE . (5.2.41) ∆m2 Θ Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, äëÿ äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî óñèëåíèÿ îñD=

öèëëÿöèé íåîáõîäèìî ïîëîæèòü k = 1. Ñ÷èòàÿ ∆m2 = 10−2 ýÂ2 , E =

104 ýÂ, θvac = 0, ïîëó÷àåì, ÷òî D ≈ 1 ì. Ïîëàãàÿ äàëåå B1 = −B2 = B , ïîëó÷àåì, ÷òî ôîðìóëà (5.2.39) ïðèìåò âèä:

P (nT ) = sin2 (4nθ), ãäå

(5.2.42)

µ

¶−1 ∆m2 2θ = µB . 4E Äëÿ çíà÷åíèé µ = 10−10 µB , B = 107 Ãñ ïîëó÷àåì, ÷òî 2θ ≈ 2.3 × 10−5 . Îòñþäà ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà:

P (nT ) ≈ sin2 (4.6 × 10−5 n).

(5.2.43)

116

Èç ôîðìóëû (5.2.43) âèäíî, ÷òî ïðè n ≈ 7000 âåðîÿòíîñòü äîñòèãíåò òðåáóåìîãî çíà÷åíèÿ. Èç ïðèâåäåííûõ îöåíîê ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïîäîáíûé ýêñïåðèìåíò ïî èçó÷åíèþ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé â ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ íà ñåãîäíÿøíèé äåíü, ïî-âèäèìîìó, ïðàêòè÷åñêè íå îñóùåñòâèì1 . Îäíàêî ïîëó÷åííûé õàðàêòåðíûé ðàçìåð ïðåäïîëàãàåìîé ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè L = 2nD ≈ 14 êì âñåëÿåò íàäåæäó íà òî, ÷òî ðàçâèòèå ýêñïåðèìåíòàëüíîé òåõíèêè ïîçâîëèò â áóäóùåì ïðèáëèçèòüñÿ ê îñóùåñòâëåíèþ ïîäîáíîãî ýêñïåðèìåíòà.

1 Ïîñòîÿííûå

ìàãíèòíûå ïîëÿ, èñïîëüçóåìûå â óñêîðèòåëüíîé òåõíèêå, íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ìîãóò

äîñòèãàòü âåëè÷èíû ïîðÿäêà 105 Ãñ.

Ãëàâà 6 Çàêëþ÷åíèå Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñâîéñòâ íåéòðèíî, ðàçðàáîòêå ïîäõîäîâ ê îïèñàíèþ îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â ðàçëè÷íûõ âíåøíèõ ïîëÿõ, à òàêæå ðàññìîòðåíèþ ïðèëîæåíèé ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ â àñòðîôèçèêå è êîñìîëîãèè. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû, èçëîæåííîé â äèññåðòàöèè, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè âû÷èñëåíû âêëàäû îäíîïåòëåâûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â ýëåêòðîìàãíèòíóþ âåðøèííóþ ôóíêöèþ íåéòðèíî Λµ (q) â îáùåé Rξ -êàëèáðîâêå â ìèíèìàëüíî ðàñøèðåííîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ñ SU(2)-ñèíãëåòíûì ïðàâûì íåéòðèíî. Ïðè âû÷èñëåíèè âêëàäîâ âñåõ äèàãðàìì òî÷íî ó÷èòûâàëàñü íåíóëåâàÿ ìàññà íåéòðèíî. Èçó÷åíà ñòðóêòóðà ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè íåéòðèíî. Èññëåäîâàíî ðàçëîæåíèå âåðøèííîé ôóíêöèè ôåðìèîíà íà ôîðìôàêòîðû è ïîäòâåðæäåíà åãî ñïðàâåäëèâîñòü ñ ïîìîùüþ ïðÿìîãî ðàñ÷åòà äëÿ ñëó÷àÿ ìàññèâíîãî íåéòðèíî â ðàìêàõ ìèíèìàëüíî ðàñøèðåííîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, äîïîëíåííîé SU(2)ñèíãëåòíûì ïðàâûì íåéòðèíî. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè îïðåäåëåííîì âûáîðå êàëèáðîâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ ìàññèâíîãî íåéòðèíî ñòàíîâèòñÿ êîíå÷íîé, ò.å. âûðàæåíèÿ äëÿ âñåõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ôîðìôàêòîðîâ íå ñîäåðæàò óëüòðàôèîëåòî117

118

âûõ ðàñõîäèìîñòåé. 2. Âû÷èñëåíû âêëàäû âñåõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â çàðÿäîâûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî, ïðè÷åì çíà÷åíèå êâàäðàòà èìïóëüñà âíåøíåãî ôîòîíà ïðè ýòîì íå ôèêñèðîâàëîñü. Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ òî÷íî ó÷èòûâàþò çàâèñèìîñòü îò ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a è íåéòðèíî b. Çíà÷åíèÿ êàëèáðîâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ W - è Z áîçîíîâ â äàííûõ ôîðìóëàõ òàêæå áûëè ïðîèçâîëüíûìè. Íà îñíîâå âûðàæåíèÿ äëÿ çàðÿäîâîãî ôîðìôàêòîðà ïîëó÷åíû âêëàäû ðàçëè÷íûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ìàññèâíîãî íåéòðèíî. Ñ ïîìîùüþ ïðÿìûõ âû÷èñëåíèé ïîêàçàíî, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåéòðèíî íå çàâèñèò îò âûáîðà êàëèáðîâêè è ðàâåí íóëþ â íóëåâîì è ïåðâîì ïîðÿäêàõ ðàçëîæåíèÿ ñóììû âêëàäîâ âñåõ îäíîïåòëåâûõ äèàãðàìì ïî ìàññîâîìó ïàðàìåòðó íåéòðèíî b. Êðîìå òîãî, ÿâíûì îáðàçîì ïðîäåìîíñòðèðîâàíî, ÷òî â êàëèáðîâêå 'ò Õîôòà-Ôåéíìàíà çàðÿä íåéòðèíî ðàâåí íóëþ ïðè ïðîèçâîëüíîé ìàññå íåéòðèíî. Ïîëó÷åííûé íóëåâîé ðåçóëüòàò äëÿ çàðÿäà ìàññèâíîãî íåéòðèíî, â ÷àñòíîñòè, ïîäòâåðæäàåò ïðàâèëüíîñòü ðàçâèâàåìîé â ðàáîòå ìåòîäèêè ðàñ÷åòà ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â ñëó÷àå ìàññèâíîãî íåéòðèíî. 3. Ïîëó÷åíû âêëàäû âñåõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â ìàãíèòíûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî, ïðè÷åì çíà÷åíèå êâàäðàòà èìïóëüñà âíåøíåãî ôîòîíà ïðè ýòîì íå ôèêñèðîâàëîñü. Äàííûå âêëàäû òî÷íî ó÷èòûâàþò çíà÷åíèÿ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a è íåéòðèíî b. Çíà÷åíèå êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà W -áîçîíà â äàííûõ ôîðìóëàõ òàêæå áûëî ïðîèçâîëüíûì. Èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà ìàññèâíîãî íåéòðèíî îò êâàäðàòà èìïóëüñà âíåøíåãî ôîòîíà ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ êàëèáðîâî÷íîãî ïàðàìåòðà. Íà îñíîâå âûðàæåíèÿ äëÿ ìàãíèòíîãî ôîðìôàêòîðà íàéäåíû âêëàäû îäíîïåòëåâûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â ìàãíèòíûé ìîìåíò ìàññèâ-

119

íîãî íåéòðèíî. Ïðè ïîìîùè ïðÿìîãî ðàñ÷åòà ïîêàçàíî, ÷òî ñóììà âêëàäîâ âñåõ äèàãðàìì íå çàâèñèò îò âûáîðà êàëèáðîâêè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äàþò âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî îò ìàññ âñåõ ÷àñòèö.  ÷àñòíîñòè, ðàññìîòðåíû ñëåäóþùèå äèàïàçîíû ìàññ: mν ¿ m` ¿ MW , m` ¿ mν ¿ MW è

m` ¿ MW ¿ mν , êîòîðûå îõâàòûâàþò ïðàêòè÷åñêè âñå ýêñïåðèìåíòàëüíî äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ìàññ íåéòðèíî, çàðÿæåííîãî ëåïòîíà è

W -áîçîíà. 4. Âû÷èñëåíû âêëàäû âñåõ îäíîïåòëåâûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â àíàïîëüíûé ôîðìôàêòîð ìàññèâíîãî íåéòðèíî, ïðè÷åì çíà÷åíèå êâàäðàòà èìïóëüñà âíåøíåãî ôîòîíà ïðè ýòîì íå ôèêñèðîâàëîñü. Äàííûå âêëàäû òî÷íî ó÷èòûâàþò çíà÷åíèÿ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ çàðÿæåííîãî ëåïòîíà a è íåéòðèíî b. Çíà÷åíèÿ êàëèáðîâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ W - è

Z -áîçîíîâ â äàííûõ ôîðìóëàõ òàêæå áûëè ïðîèçâîëüíûìè. Ïîëó÷åíû âêëàäû ðàçëè÷íûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â àíàïîëüíûé ìîìåíò ìàññèâíîãî íåéòðèíî íà îñíîâå âûðàæåíèÿ äëÿ àíàïîëüíîãî ôîðìôàêòîðà ïðè íóëåâîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà. Ïîêàçàíî, ÷òî àíàïîëüíûé ìîìåíò ìàññèâíîãî íåéòðèíî ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäÿùåéñÿ âåëè÷èíîé è çàâèñèò îò âûáîðà êàëèáðîâêè. 5. Èçó÷åíà ýâîëþöèÿ ñïèíà íåéòðèíî â ïðîèçâîëüíûõ âíåøíèõ ïîëÿõ. Ðàññìîòðåíà ýâîëþöèÿ ñïèíà íåéòðèíî, âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñ âåùåñòâîì â ðàìêàõ ôèçè÷åñêîé ìîäåëè, äîïóñêàþùåé íîâûå, áîëåå îáùèå òèïû âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî. Âûâåäåíî êâàçèêëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñïèíà íåéòðèíî íàïðÿìóþ èç ëàãðàíæèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî, êîòîðûé âêëþ÷àåò â ñåáÿ íå òîëüêî âåêòîðíîå è àêñèàëüíî-âåêòîðíîå âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, íî òàêæå ñêàëÿðíîå, ïñåâäîñêàëÿðíîå, òåíçîðíîå è ïñåâäîòåíçîðíîå âçàèìîäåéñòâèÿ.

120

6. Èññëåäîâàíà ðåëàêñàöèÿ ñïèíà íåéòðèíî â âåùåñòâå ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, òàêèìè êàê ïëîòíîñòü, ñêîðîñòü è ïîëÿðèçàöèÿ ñðåäû.  êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ÿâëåíèÿ èçó÷åíà ðåëàêñàöèÿ ñïèíà íåéòðèíî â âåùåñòâå ðàííåé Âñåëåííîé. Ïîëó÷åíî êîñìîëîãè÷åñêîå îãðàíè÷åíèå íà ìàññó ìþîííîãî íåéòðèíî. 7. Èçó÷åíû îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ ðàçëè÷íîé êîíôèãóðàöèè. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ãàìèëüòîíèàíà, îïðåäåëÿþùåãî ýâîëþöèþ ñïèíà íåéòðèíî â ïðîèçâîëüíîì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå, ðàññìîòðåíû îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ïðèñóòñòâèè ïîëÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Äåòàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàíî óñëîâèå ðåçîíàíñíîãî óñèëåíèÿ îñöèëëÿöèé è ðàçðàáîòàí ïîäõîä ê êà÷åñòâåííîìó èññëåäîâàíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè íåéòðèíî âáëèçè òî÷êè ðåçîíàíñà, êîòîðûé ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ïðè ðàññìîòðåíèè íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé â ïîëÿõ ðàçëè÷íîé êîíôèãóðàöèè. 8. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî â ïåðåìåííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ ìîæåò âîçíèêàòü ÿâëåíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Äëÿ äâóõ òèïîâ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé (àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû è ïîñòîÿííîãî âî âðåìåíè ïîïåðå÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùåéñÿ â ïðîñòðàíñòâå àìïëèòóäîé) íàéäåíû âåðîÿòíîñòè íåéòðèííûõ ïåðåõîäîâ è ïîêàçàíî, ÷òî àìïëèòóäû âåðîÿòíîñòåé âîçðàñòàþò ñî âðåìåíåì ïðè îïðåäåëåííîì ïîäáîðå ïàðàìåòðîâ âíåøíèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé. Ïðåäëîæåíû íåêîòîðûå âîçìîæíûå ïðèëîæåíèÿ ÿâëåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, âîøåäøèå â äèññåðòàöèþ, ñîäåðæàòñÿ â ïóáëèêàöèÿõ [55,95,99,119122,126] è äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõ êîíôåðåíöèÿõ: 1) Les Recontres de Physique de la Vallee d'Aoste, ¾Results and Perspectives in Particle Physics¿(La Thuile, Italy, 2001 è 2002); 2) 9th Lomonosov Conference

121

on Elementary Particle Physics (Moscow, 1999); 3) 3rd International Workshop on ¾New Worlds in Astroparticle Physics¿(Faro, Portugal, 2000).

Áëàãîäàðíîñòè  çàêëþ÷åíèå õî÷ó ïîáëàãîäàðèòü ìîåãî íàó÷íîãî ðóêîâîäèòåëÿ  äîêòîðà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðà Àëåêñàíäðà Èâàíîâè÷à Ñòóäåíèêèíà çà ïîìîùü è ïîääåðæêó, îêàçàííûå ìíå â òå÷åíèå 6 ëåò ñîâìåñòíîé ðàáîòû. Õîòåë áû âûðàçèòü áëàãîäàðíîñòü Àíàòîëèþ Âèêòîðîâè÷ó Áîðèñîâó, Àíäðåþ Åâãåíèåâè÷ó Ëîáàíîâó, Ëüâó Áîðèñîâè÷ó Îêóíþ è Êîíñòàíòèíó Âèêòîðîâè÷ó Ñïåïàíüÿíöó çà èíòåðåñ ê ðàáîòå è ïîëåçíûå äèñêóññèè ïî òåìå ïðîâåäåííûõ èññëåäîâàíèé. Ãëóáîêî ïðèçíàòåëåí âñåì ñîòðóäíèêàì êàôåäðû òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ çà âíèìàíèå ê ðàáîòå è äîáðîæåëàòåëüíîå îòíîøåíèå.

122

Ïðèëîæåíèå A Ïðàâèëà Ôåéíìàíà  ýòîì ïðèëîæåíèè ïðåäñòàâëåí ïîëíûé ïåðå÷åíü ïðàâèë Ôeéíìàíà [127], íåîáõîäèìûõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé ôóíêöèè íåéòðèíî.  Rξ êàëèáðîâêå ïðîïàãàòîðû âåêòîðíûõ W - è Z -áîçîíîâ, ñêàëÿðíîãî áîçîíà χ, à òàêæå çàðÿæåííûõ äóõîâûõ ïîëåé c è c¯, èìåþò ñëåäóþùóþ ôîðìó

· ¸ k k 1 µ ν (W ) Dµν (k) = 2 2 + i² gµν − (1 − α) k 2 − αM 2 + i² , k − MW W · ¸ 1 k k µ ν (Z) Dµν (k) = 2 gµν − (1 − αZ ) 2 , k − MZ2 + i² k − αZ MZ2 + i² 1 2 − k 2 − i² , αMW 1 D(c) (k) = D(¯c) (k) = 2 − k 2 − i² . αMW D(χ) (k) =

Ïðîïàãàòîð ôåðìèîíîâ èìååò ñòàíäàðòíóþ ôîðìó

S(k) =

6 k + mn , m2n − k 2 − i²

ãäå n îáîçíà÷àåò òèï ôåðìèîíà. Âñå âåðøèíû ìîãóò áûòü ïîäðàçäåëåíû íà íåñêîëüêî êëàññîâ. Íèæå ïåðå÷èñëåíû ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììû è ïðàâèëà Ôåéíìàíà äëÿ êàæäîãî èç ýòè êëàññîâ.

123

124

Aα

Zα

k

k Wβ−

p

Wγ+

q

(a) g cos θW {(k − p)γ g αβ + α βγ

(p − q) g

β γα

+ (q − k) g

}

Wβ−

p

q

Wγ+

e{(k − p)γ g αβ + (p − q) g + (q − k)β g γα } (b)

α βγ

Ðèñ. A.1: (a)-(b) âåðøèíû, ñîäåðæàùèå òðè âåêòîðíûõ áîçîíà.

χ−

Wα+

χ−

Zβ

Wα+

(a) ig sin2 θW MZ gαβ

(b) −ieMW gαβ

χ+

Wα− (c) −ig sin2 θW MZ gαβ

Aβ

χ+

Zβ

Aβ

Wα− (d) ieMW gαβ

Ðèñ. A.2: (a)-(d) âåðøèíû, ñîäåðæàùèå äâà âåêòîðíûõ áîçîíà è îäèí ñêàëÿðíûé áîçîí.

125

Wα+

Aδ

Wβ−

Zγ

(a)

eg cos θW × {g g + g αδ g βγ − 2g αβ g γδ } αγ βδ

Ðèñ. A.3: (a) âåðøèíà, ñîäåðæàùàÿ ÷åòûðå âåêòîðíûõ áîçîíà.

Zα

ª, p c¯

Zα

⊕, p

ª

+

c

−

c¯

⊕ c+

−

(a) −g cos θW pα

(b) g cos θW pα

Aα

Aα

ª, p

⊕, p

ª

c¯ +

c− (c) −epα

⊕ c+

c¯ − (d) epα

Ðèñ. A.4: (a)-(d) âåðøèíû, ñîäåðæàùèå îäèí ñêàëÿðíûé áîçîí è äâà çàðÿæåííûõ äóõîâûõ ïîëÿ.

126

Wα+

Wα−

ψ¯I

ψ¯i

ψi

ψI

√ (a) (g/ 2)γαL

√ (b) (g/ 2)γαL

Aα

ψ¯n

ψn (c) eQn γαL , n = i, I

Zα

ψ¯I

Zα

ψI

(d) (g/2 cos θW )γα × ¢ ¡1 2 1 2 − 2QI sin θW + 2 γ5

ψ¯i

ψi

(e) −(g/2 cos θW )γα × ¢ ¡1 2 1 2 +2Qi sin θW + 2 γ5

Ðèñ. A.5: (a)-(e) âåðøèíû, ñîäåðæàùèå îäèí âåêòîðíûé áîçîí è äâà ôåðìèîíà.

Aα

Zα

χ− (a)

χ+

−(g/2 cos θW )× cos 2θW (p − q)α

χ+

χ− (b) −e(p − q)α

Ðèñ. A.6: (a)-(b) âåðøèíû, ñîäåðæàùèå îäèí âåêòîðíûé áîçîí è äâà ñêàëÿðíûõ áîçîíà.

127

χ+

χ−

Aα

Zβ

(a)

eg gαβ × cos 2θW / cos θW

Ðèñ. A.7: (a) âåðøèíà, ñîäåðæàùàÿ äâà âåêòîðíûõ áîçîíà è äâà ñêàëÿðíûõ áîçîíà.

χ−

χ+

ψ¯I

ψi

√ −i(g/ 2MW )× (mi PR − mI PL ) (a)

ψ¯i

ψI

√ −i(g/ 2MW )× (mI PR − mi PL )

(b)

Ðèñ. A.8: (a)-(b) âåðøèíû, ñîäåðæàùèå îäèí ñêàëÿðíûé áîçîí è äâà ôåðìèîíà.

Âñå èìïóëüñû ÷àñòèö, ñâÿçàííûå ñ âåðøèíàìè ñ÷èòàþòñÿ âòåêàþùèìè â âåðøèíó; Qi,I - ýëåêòðîìàãíèòíûå çàðÿäû ôåðìèîííûõ ïîëåé ψi,I â åäèíèöàõ e; ψi,I - òðè ïîêîëåíèÿ ëåïòîíîâ è êâàðêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèå îáû÷íûì ¾âåðõíèì¿(âñå òèïû íåéòðèíî, à òàêæå u, c è t êâàðêè; I3 = +1/2) è ¾íèæíèì¿(âñå òèïû ëåïòîíîâ, à òàêæå d, s è b êâàðêè; I3 = −1/2) êîìïîíåíòàì èçîäóáëåòà, I3 - òðåòüÿ êîìïîíåíòà èçîñïèíà. Ñòðåëêà íà ëèíèÿõ îáîçíà÷àåò íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ îïðåäåëåííîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà: çàðÿäà äëÿ

W ± , χ± , ôåðìèîííîãî ÷èñëà äëÿ ψ è äóõîâîãî ÷èñëà äëÿ c, c¯. Ñèìâîëû ⊕ èëè ª ó ëèíèé çàðÿæåííûõ äóõîâûõ ïîëåé óêàçûâàþò íà çíàê çàðÿäà, ïåðåíîñèìîãî âäîëü ëèíèè.

Ïðèëîæåíèå B Ôåéíìàíîâñêèå èíòåãðàëû Ïðè âû÷èñëåíèè ôåéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ ïî âèðòóàëüíûì èìïóëüñàì áûëà èñïîëüçîâàíà ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ ñî ñëåäóþùèìè åñòåñòâåííûìè ñâîéñòâàìè àëãåáðû γ -ìàòðèö:

{γµ , γ5 } = 0,

{γµ , γν } = 2gµν ,

g µν gµν = N,

ãäå N = 4 − 2ε - ÷èñëî èçìåðåíèé. Ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ ôåéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

1 (2π)4

Z

1 d4 k → (2π)N

Z

λ2ε N d k≡ (2π)N

Z

Z∞ k N −1 dk,

dΩ Ω(N )

0

ãäå Ω(N ) = 2π N/2 /Γ(N/2) - ïëîùàäü åäèíè÷íîé ñôåðû â N èçìåðåíèÿõ. Çàâèñèìîñòü îò ïðîèçâîëüíîãî ïîëîæèòåëüíîãî ïàðàìåòðà λ, êîòîðûé èìååò ðàçìåðíîñòü ìàññû, ââåäåíà èç ñîîáðàæåíèé ñîõðàíåíèÿ îáùåé ðàçìåðíîñòè. Îáùàÿ òåõíèêà âû÷èñëåíèÿ ðàçíîîáðàçíûõ ôåéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ â ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè îïèñàíà, íàïðèìåð, â êíèãå [82]. Îäíàêî, ñòîèò ïðèâåñòè íåêîòîðûå òèïè÷íûå èíòåãðàëû, ñ êîòîðûìè ñòàëêèâàþòñÿ ïðè ðàñ÷åòàõ ýëåêòðîìàãíèòíîé âåðøèííîé ôóíêöèè: (0) FL

i = 2 π

Z

µ 2 2 ¶ε 1 λi Γ(L − 2 + ε) 1 d k 2 = − , (k + X)L π Γ(L) X L−2+ε N

128

129

·

(0) F1

µ ¶ ¸ µ ¶ 1 1 πX πX (0) =X − ln − 2 − C + 1 , F2 = − + ln − 2 + C, ε λ ε λ 1 1 1 (0) (0) (0) F3 = − , F 4 = − 2 , F5 = − , 2X 6X 12X 3

µ 2 2 ¶ε Z 2 i k λi Γ(L − 3 + ε) ε − 2 = 2 dN k 2 , = π (k + X)L π Γ(L) X L−3+ε · µ ¸ µ ¶ ¶ 1 πX 1 πX 1 1 (1) = 2X − ln − 2 − C + , F3 = − + ln − 2 + C + , ε λ 2 ε λ 2 1 1 (1) (1) F4 = − , F5 = − , 3X 12X 2 (1) FL

(1)

F2

µ 2 2 ¶ε Z 2 2 i Γ(L − 4 + ε) (ε − 2)(ε − 3) (k ) λi = 2 dN k 2 =− , L π (k + X) π Γ(L) X L−4+ε · µ ¶ ¸ µ ¶ 1 πX 1 1 πX 5 (2) = 3X − ln − 2 − C + , F4 = − + ln − 2 + C + , ε λ 6 ε λ 6 1 (2) F5 = − , 4X

(2) FL (2)

F3

ãäå C ≈ 0.5772157 - ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà.

Ëèòåðàòóðà [1] Ïîíòåêîðâî Á. Ì. Ìåçîíèé è àíòèìåçîíèé // ÆÝÒÔ.  1957.  Ò. 33.  Ñ. 549551. [2] Wu C. S. et al. Experimental test of parity conservation in beta decay //

Phys. Rev.  1957.  Vol. 105.  Pp. 14131414. [3] Landau L. D. On the conservation laws for weak interactions // Nucl.

Phys.  1957.  Vol. 3.  Pp. 127131. [4] Lee T. D., Yang C. N. Parity nonconcervation and a two component theory of the neutrino // Phys. Rev.  1957.  Vol. 105.  Pp. 1671 1675. [5] Salam A. On parity conservation and neutrino mass // Nuovo Cim.  1957.  Vol. 5.  Pp. 299301. [6] Îêóíü Ë. Á. Ëåïòîíû è êâàðêè.  2-å èçä.  Ìîñêâà: Íàóêà, 1990.  345 ñ. [7] Reines F., Cowan C. Free anti-neutrino absorption cross-section. 1: Measurement of the free anti-neutrino absorption cross-section by protons // Phys. Rev.  1959.  Vol. 113.  P. 273. [8] Ïîíòåêîðâî Á. Ì. Îáðàòíûå β -ïðîöåññû è íåñîõðàíåíèå ëåïòîííîãî çàðÿäà // ÆÝÒÔ.  1958.  Ò. 34.  Ñ. 247. [9] Ïîíòåêîðâî Á. Ì. Íåéòðèííûå îïûòû è âîïðîñ î ñîõðàíåíèè ëåïòîííîãî çàðÿäà // ÆÝÒÔ.  1967.  Ò. 53.  Ñ. 17171725. 130

131

[10] Gribov V. N., Pontecorvo B. Neutrino astronomy and lepton charge //

Phys. Lett. B.  1969.  Vol. 28.  P. 493. [11] Bilenky S. M., Pontecorvo B. Quark-lepton analogy and neutrino oscillations // Phys. Lett. B.  1976.  Vol. 61.  P. 493. [12] Áèëåíüêèé Ñ. Ì., Ïîíòåêîðâî Á. Ì. Àíàëîãèÿ ìåæäó ëåïòîíàìè è êâàðêàìè è ëåïòîííûé çàðÿä // ßÔ.  1976.  Ò. 24.  Ñ. 603608. [13] Bilenky S. M., Pontecorvo B. Again on neutrino oscillations // Lett.

Nuovo Cim.  1976.  Vol. 17.  P. 569. [14] Maki Z., Nakagava M., Sakata S. Remarks on the unied model of elementary particles // Prog. Theor. Phys.  1962.  Vol. 28.  P. 870. [15] Bahcall J. N., Davis Jr. R. The evolution of neutrino astronomy.  1999.  astro-ph/9911486. [16] Alberico W. M., Bilenky S. M. Neutrino oscillations, masses and mixing.  2003.  hep-ph/0306239. [17] Alberico W. M., Bilenky S. M. Astrophysical neutrinos: 20th century and beyond.  2000.  hep-ph/0009044. [18] Bahcall J. N. Neutrino Astrophysics.  Cambridge University Press, 1989. [19] Abdurashitov J. N. et al. Measurement of the solar neutrino capture rate with gallium metal // Phys. Rev. C.  1999.  Vol. 60.  P. 055801. [20] Hampel W. et al. GALLEX solar neutrino observations: Results for GALLEX IV // Phys. Lett. B.  1999.  Vol. 447.  Pp. 127133. [21] Ahmad Q. R. et al. Direct evidence for neutrino avor transformation from neutral current interactions in the Sudbury Neutrino Observatory //

Phys. Rev. Lett.  2002.  Vol. 89.  P. 011301.  nucl-ex/0204008.

132

[22] Ahmad Q. R. et al. Measuremant of day and night energy spectra at SNO and constraints on neutrino mixing parameters // Phys. Rev. Lett.  2002.  Vol. 89.  P. 011302.  nucl-ex/0204009. [23] Bahcall J. N., Pinsonneault M. H., Basu S. Solar models: Current epoch and time dependences, neutrinos and helioseimological properties //

Astrophys. J.  2001.  Vol. 555.  Pp. 9901012. [24] Fukuda S. et al. Solar 8 B and hep neutrino measurements from 1258 days of Super-Kamiokande data // Phys. Rev. Lett.  2001.  Vol. 86.  Pp. 56515655. [25] Fukuda Y. et al. Evidence for oscillations of atmospheric neutrinos //

Phys. Rev. Lett.  1998.  Vol. 81.  Pp. 15621567. [26] Fukuda Y. et al. Measurement of the ux and zenith-angle distribution of upward through-going muons by Super-Kamiokande // Phys. Rev. Lett.  1999.  Vol. 82.  Pp. 26442648. [27] Fukuda Y. et al. Tau neutrinos favored over sterile neutrinos in atmospheric muon neutrino oscillations // Phys. Rev. Lett.  2000.  Vol. 85.  Pp. 39994003. [28] Ahn M. H. et al. Indications of neutrino oscillation in a 250-km longbaseline experiment // Phys. Rev. Lett.  2003.  Vol. 90.  P. 041801.  hep-ex/0212007. [29] Apollonio M. et al. Limits on neutrino oscillations from the CHOOZ experiment // Phys. Lett. B.  1999.  Vol. 466.  Pp. 415430. [30] Boehm F. et al. Results from the Palo Verde neutrino oscillation experiment // Phys. Rev. D.  2000.  Vol. 62.  P. 072002.

133

[31] Eguchi K. et al. First results from KamLAND: Evidence for reactor anti-neutrino disappearance // Phys. Rev. Lett.  2003.  Vol. 90.  P. 021802.  hep-ex/0212021. [32] Lobashev V. M. et al. Direct search for neutrino mass and anomaly in the tritium beta-spectrum: Status of 'Troitsk Neutrino Mass' experiment //

Nucl. Phys. Proc. Suppl.  2001.  Vol. 91.  Pp. 280286. [33] Klapdor-Kleingrothaus H. V. et al. Latest results from the HeidelbergMoscow double-beta-decay experiment // Eur. Phys. J. A.  2001.  Vol. 12.  Pp. 147154. [34] Aalseth C. E. et al. The IGEX Ge-76 neutrinoless double-beta decay experiment: Prospects for next generation experiments // Phys. Rev. D.  2002.  Vol. 65.  P. 092007.  hep-ex/0202026. [35] Feruglio F., Strumia A., Vissani F. Neutrino oscillations and signals in beta and 0nu 2beta experiments // Nucl. Phys. B.  2002.  Vol. 637.  Pp. 345377.  hep-ph/0201291. [36] Aalseth C. E. et al. Comment on 'Evidence for neutrinoless double beta decay' // Mod. Phys. Lett. A.  2002.  Vol. 17.  Pp. 14751478.  hep-ex/0202018. [37] Klapdor-Kleingrothaus H. V. et al. Search for neutrinoless double beta decay with enriched 76ge in Gran Sasso 1990-2003 // Phys. Lett. B.  2004.  Vol. 586.  Pp. 198212.  hep-ph/0404088. [38] Hagiwara K. et al. Review of particle physics // Phys. Rev. D.  2002.  Vol. 66.  P. 010001. [39] Ìèõååâ Ñ. Ï., Ñìèðíîâ À. Þ. Ðåçîíàíñíîå óñèëåíèå îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â âåùåñòâå è ñïåêòðîñêîïèÿ ñîëíå÷íûõ íåéòðèíî // ßÔ.  1985.  Ò. 42.  Ñ. 14411448.

134

[40] Wolfenstein L. Neutrino oscillations in matter // Phys. Rev. D.  1978.  Vol. 17.  Pp. 23692374. [41] Âîëîøèí Ì. Á., Âûñîöêèé Ì. È., Îêóíü Ë. Á. Îá ýëåêòðîìàãíòíûõ ñâîéñòâàõ íåéòðèíî è âîçìîæíûõ ïîëóãîäîâûõ âàðèàöèÿõ ïîòîêà íåéòðèíî îò Ñîëíöà // ßÔ.  1986.  Ò. 44.  Ñ. 677680. [42] Pal P. B. Particle physics confronts the solar neutrino problem // Int. J.

Mod. Phys. A.  1992.  Vol. 7, no. 22.  Pp. 53875459. [43] Ëèõà÷åâ Ã. Ã., Ñòóäåíèêèí À. È. Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ìàãíèòíîì ïîëå Ñîëíöà, ñâåðõíîâûõ è íåéòðîííûõ çâåçä // ÆÝÒÔ.  1995.  Ò. 108.  Ñ. 769782. [44] Akhmedov E. Resonant amplication of neutrino spin rotation in matter and the solar-neutrino problem // Phys. Lett. B.  1988.  Vol. 213.  Pp. 6468. [45] Vidal J., Wudka J. Non-dynamical contributions to left-right transitions in the solar neutrino problem // Phys. Lett. B.  1990.  Vol. 249.  Pp. 473477. [46] Smirnov A. Y. The geometrical phase in neutrino spin precession and the solar neutrino problem // Phys. Lett B.  1991.  Vol. 260.  Pp. 161 164. [47] Akhmedov E. K., Petcov S. T., Smirnov A. Y. Neutrinos with mixing in twisting magnetic elds // Phys. Rev. D.  1993.  Vol. 48.  Pp. 2167 2181. [48] Akhmedov E. K., Pulido J. Solar neutrino oscillations and bounds on neutrino magnetic moment and solar magnetic eld // Phys. Lett. B.  2003.  Vol. 553.  Pp. 717.

135

[49] Couvidat S., Turck-Chieze S., Kosovichev A. G. New solar seismic models and the neutrino puzzle.  2002.  astro-ph/0203107. [50] Lee B. W., Shrock R. E. Natural suppression of symmetry violation in gauge theories: Muon- and electron-lepton-number nonconcervation //

Phys. Rev. D.  1977.  Vol. 16, no. 5.  Pp. 14441473. [51] Fujikawa K., Shrock R. E. Magnetic moment of a massive neutrino and neutrino-spin rotation // Phys. Rev. Lett.  1980.  Vol. 45.  Pp. 963 966. [52] Shrock R. E. Electromagnetic properties and decays of Dirac and Majorana neutrinos in a general class of gauge theories // Nucl. Phys.

B.  1982.  Vol. 206.  Pp. 359379. [53] Egorov A. M., Lobanov A. E., Studenikin A. I. Electromagnetic neurtino properties and neutrino oscillations in electromagnetic elds // New Worlds in Astroparticle Physics / Ed. by A. M. Mourao, M. Pimento, P. M. S
a.  Singapore: World Scientic, 1999.  P. 153.  hepph/9902447. [54] Charge and magnetic moment of the neutrino in the background eld method and in the linear RξL gauge / L. G. Cabral-Rosetti, J. Bernab
eu, J. Vidal, A. Zepeda // Eur. Phys. J. C.  2000.  Vol. 12.  Pp. 633 642.  hep-ph/9907249. [55] Dvornikov M., Studenikin A. Electric charge and magnetic moment of a massive neutrino // Phys. Rev. D.  2004.  Vol. 69, no. 7.  P. 073001.  hep-ph/0305206. [56] Âîëîøèí Ì. Á. Î ñîâìåñòíîñòè ìàëîé ìàññû è áîëüøîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî // ßÔ.  1988.  Ò. 48.  Ñ. 804810.

136

[57] Leurer M., Marcus N. A model for a large neutrino magnetic transition moment and naturally small mass // Phys. Lett. B.  1990.  Vol. 237.  Pp. 8187. [58] Babu K. S., Mohapatra R. N. Model for large transition magnetic moment of the electron neutrino // Phys. Rev. Lett.  1989.  Vol. 63.  Pp. 228 231. [59] Babu K. S., Mohapatra R. N. Large transition magnetic moment of the neutrino from horizontal symmetry // Phys. Rev. D.  1990.  Vol. 42.  Pp. 37783793. [60] Chang D., Keung W. Y., Senjanovi
c G. Neutrino transitional magnetic moment and non-Abelian discrete symmetry // Phys. Rev. D.  1990.  Vol. 42.  Pp. 15991603. [61] Lucio Mart
inez J. L., Rosado A., Zepeda A. Neurtino charge in the linear

Rξ gauge // Phys. Rev. D.  1984.  Vol. 29, no. 7.  Pp. 15391541. [62] Denner A., Weiglein G., Dittmaier S. Application of the background-eld method to the electroweak standard model // Nucl. Phys. B.  1995.  Vol. 440.  Pp. 95128. [63] Rosado A. Physical electroweak anapole moment for the neutrino // Phys.

Rev. D.  2000.  Vol. 61.  P. 013001. [64] Dubovik V., Kuznetsov V. The toroid moment of majorana neutrino //

Int. J. Mod. Phys. A.  1998.  Vol. 13.  Pp. 52575278.  hepph/9606258. [65] Bukina E. N., Dubovik V. M., Kuznetsov V. E. The third electromagnetic characteristic of neutrino: appearance, estimations, and applications //

ßÔ.  1998.  Ò. 61.  Ñ. 11291134.

137

[66] Radescu E. On the electromagnetic properties of majorana fermions //

Phys. Rev. D.  1985.  Vol. 32.  Pp. 12661268. [67] Kim J. E. Neutrino magnetic moment // Phys. Rev. D.  1976.  Vol. 14.  Pp. 30003002. [68] B
eg M. A. B., Marciano W. J., Ruderman M. Properties of neutrinos in a class of gauge theories // Phys. Rev. D.  1978.  Vol. 17.  Pp. 1395 1401. [69] Lucio J. L., Rosado A., Zepeda A. Characteristic size for the neutrino //

Phys. Rev. D.  1985.  Vol. 31, no. 5.  Pp. 10911096. [70] Charge radius of the neutrino / J. Bernab
eu, L. G. Cabral-Rosetti, J. Papavassiliou, J. Vidal // Phys. Rev. D.  2000.  Vol. 62.  P. 113012.  hep-ph/0008114. [71] Ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ê ìàññå íåéòðèíî âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå / À. Â. Áîðèñîâ, Â. ×. Æóêîâñêèé, À. Â. Êóðèëèí, À. È. Òåðíîâ // ßÔ.  1985.  Ò. 41.  Ñ. 743748. [72] Áîðèñîâ À. Â., Æóêîâñêèé Â. ×., Òåðíîâ À. È. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ñâîéñòâà ìàññèâíîãî äèðàêîâñêîãî íåéòðèíî âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå // Èçâ. âóçîâ. Ôèçèêà.  1988.   3.  Ñ. 6470. [73] Áîðèñîâ À. Â., Æóêîâñêèé Â. ×., Òåðíîâ À. È. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ñâîéñòâà ìàññèâíûõ íåéòðèíî // ÄÀÍ ÑÑÑÐ.  1989.  Ò. 308.  Ñ. 841849. [74] Æóêîâñêèé Â. ×., Øîíèÿ Ò. Ë., Ýìèíîâ Ï. À. Ñäâèã ýíåðãèè è àìîìàëüíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ïðè êîíå÷íîé òåìïåðàòóðå è ïëîòíîñòè // ÆÝÒÔ.  1993.  Ò. 104.  Ñ. 32693279.

138

[75] Òåðíîâ À. È. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ñâîéñòâà ìàññèâíûõ íåéòðèíî: Äèñ. . . êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê / ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà.  Ì., 1988. [76] Òåðíîâ È. Ì., Ðîäèîíîâ Â. Í., Äîðîôååâ Î. Ô. Âëèÿíèå ñèëüíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà áýòà-ðàñïàä // Ý×Àß.  1989.   1.  Ñ. 5196. [77] Bilenky S. M. et al. Absolute values of neutrino masses: status and prospects // Phys. Rep.  2003.  Vol. 379.  Pp. 69148.  hepph/0211462. [78] Bardeen W., Gastmans R., Lautrup B. Static quantities in Weinberg's model of weak and electromagnetic interactions // Nucl. Phys. B.  1972.  Vol. 46.  Pp. 319331. [79] Marciano W. J., Sirlin A. Radiative corrections to neutrino-induced neutral-current phenomena in the SU(2)L × U(1) theory // Phys. Rev.

D.  1980.  Vol. 22.  Pp. 26952717. [80] Sakakibara S. Radiative corrections to the neutral-current interactions in the Weinberg-Salam model // Phys. Rev. D.  1981.  Vol. 24.  Pp. 11491168. [81] Fujikawa K., Lee B. W., Sanda A. I. Generalized renormalizable gauge formulation of spontaneously broken gauge theories // Phys. Rev. D.  1972.  Vol. 6, no. 10.  Pp. 29232943. [82] Áîãîëþáîâ Í. Í., Øèðêîâ Ä. Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ êâàíòîâàííûõ ïîëåé.  4-å èçä.  Ìîñêâà: Íàóêà, 1984.  597 ñ. [83] Weinberg S. The quantum theory of elds.  Second edition.  Cambridge University Press, 1996.  P. 500. [84] Èöèêñîí Ê., Çþáåð Æ.-Á. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ.  Ìîñêâà: Ìèð, 1984.  Ò. 2.  Ñ. 4749.

139

[85] Acciarri M. et al. Search for heavy isosinglet neutrinos in e+ e− annihilation at 130 <

√

s < 189 GeV // Phys. Lett. B.  1999.  Vol.

461.  Pp. 397404.  hep-ex/9909006. [86] Neutrino

conversions

in

a

polarized

medium

/

H.

Nunokava,

V. B. Semikoz, A. Y. Smirnov, J. W. F. Valle // Nucl. Phys. B.  1997.  Vol. 501.  Pp. 1740.  hep-ph/9701420. [87] Bergmann S., Grossman Y., Nardi E. Neutrino propagation in matter with general interactions // Phys. Rev. D. 

1999. 

Vol. 60. 

P. 093008.  hep-ph/9903517. [88] Egorov A., Lobanov A., Studenikin A. Neutrino oscillations in electromagnetic elds // Phys. Lett. B.  2000.  Vol. 491.  Pp. 137 142.  hep-ph/9910476. [89] Lobanov A. E., Studenikin A. I. Neutrino oscillations in moving and polarized matter under the inuence of electromagnetic elds // Phys.

Lett. B.  2001.  Vol. 515.  Pp. 9498.  hep-ph/0106101. [90] Grigoriev A., Lobanov A., Studenikin A. Eect of matter motion and polarization in neutrino avour oscillations // Phys. Lett. B.  2002.  Vol. 535.  Pp. 187192.  hep-ph/0202276. [91] Studenikin A. Relativistic treatment of neutrino oscillations in moving matter // Electroweak Interactions and Unied Theories / Ed. by J. Tr an Thanh Van.  Moriond Particle Physics Meetings.  Vietnam: THE GIOI Publishers, 2002.  Pp. 317322.  hep-ph/0205200. [92] Lobanov A., Studenikin A. Spin light of neutrino in matter and electromagnetic elds // Phys. Lett. B.  2003.  Vol. 564.  Pp. 27 34.  hep-ph/0212393.

140

[93] Ñòóäåíèêèí À. È. Íåéòðèíî â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ è äâèæóùèõñÿ ñðåäàõ // ßÔ.  2004.  Ò. 67,  5.  Ñ. 10141024. [94] Loeb A., Stodolsky L. Relativistic spin relaxation in stochastic electromagnetic elds // Phys. Rev. D.  1989.  Vol. 40, no. 10.  Pp. 35203524. [95] Dvornikov M., Studenikin A. Neurtino spin evolution in presence of general external elds // J. High Energy Phys.  2002.  Vol. 09.  P. 016.  hep-ph/0202113. [96] Òåðíîâ È. Ì. Óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñïèíà ðåëÿòèâèñòñêîãî ýëåêòðîíà â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè // ÆÝÒÔ.  1990.  Ò. 98.  Ñ. 1169.  odinger E. Uber die kraftefreie bewegung in der relativistischen [97] Schr quantenmechanik // Sitzungsb. Preuß. Akad. Wiss. Phys. Math.  1930.  Vol. 24.  P. 418. [98] Semikoz V. Neutrino spin kinetics in a medium with magnetic eld //

Phys. Rev. D.  1993.  Vol. 48.  Pp. 52645273. [99] Covariant treatment of neutrino spin (avour) conversion in matter under the inuence of electromagnetic elds / M. S. Dvornikov, A. M. Egorov, A. E. Lobanov, A. I. Studenikin // Particle Physics at the Start of the New Millennium / Ed. by A. Studenikin.  Singapore: World Scientic, 1999.  P. 178.  hep-ph/0103015. [100] Ëèôøèö Å. Ì., Ïèòàåñêèé Ë. Ï. Ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà.  2-å èçä.  Ìîñêâà: Ôèç.-ìàò. ëèò., 2002.  Ò. 10 èç Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà.  Ñ. 256264.

141

[101] Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Ñòàòèñòè÷ñêàÿ ôèçèêà.  2-å èçä.  Ìîñêâà: Ôèç.-ìàò. ëèò., 2002.  Ò. 5 èç Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà.  Ñ. 403413. [102] Dolgov A. D. Neutrinos in cosmology // Phys. Rep.  2002.  Vol. 370.  Pp. 333535.  hep-ph/0202122. [103] Bilenky S. M., Giunti C., Grimus W. Phenomenology of neutrino oscillations.  1998.  hep-ph/9812360. [104] Cisneros R. Eect of magnetic moment on solar neutrino observations //

Astrophys. Space Sci.  1971.  Vol. 10.  P. 87. [105] Schechter J., Valle J. W. F. Majorana neutrinos and magnetic elds //

Phys. Rev. D.  1981.  Vol. 24, no. 7.  Pp. 18831889.  Erratum 1982.Vol. 25No. 1. [106] Lim C., Marciano W. J. Resonant spin-avor precession of solar and supernova neutrinos // Phys. Rev. D.  1988.  Vol. 37.  Pp. 1368 1373. [107] Egorov A., Likhachev G., Studenikin A. Neutrino spin and avour conversion and oscillations in magnetic eld // Les Recontres de Physique de la Vall
ee d'Aoste / Ed. by M. Greco.  Vol. 2 of Frascaty Physics

Series.  Italy: INFN Laboratori Nazionale di Frascati, 1995.  Pp. 55 72.  astro-ph/9506013. [108] Likhachev G. G., Studenikin A. I. Neutrino oscillations in twisting magnetic elds // Grav. & Cosm.  1995.  Vol. 1.  Pp. 2224. [109] Åðìèëîâà Â. Ê., Öàðåâ Â. À., ×å÷èí Â. À. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óñèëåíèå îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â âåùåñòâå // Êð. ñîîáù. ïî ôèçèêå.  1986.  Ò. 5.  Ñ. 2627.

142

[110] Åðìèëîâà Â. Ê., Öàðåâ Â. À., ×å÷èí Â. À. Óñèëåíèå îñöèëëÿöèé íåéòðèíî â âåùåñòâå Çåìëè // Ïèñüìà â ÆÝÒÔ.  1986.  Ò. 43.  Ñ. 353355. [111] Àõìåäîâ Å. Õ. Îá îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî â íåîäíîðîäíîé ñðåäå //

ßÔ.  1988.  Ò. 47.  Ñ. 475478. [112] Krastev P. I., Smirnov A. Y. Parametric eects in neutrino oscillations //

Phys. Lett. B.  1989.  Vol. 226.  Pp. 341346. [113] Akhmedov E. Parametric resonance of neutrino oscillations and passage of solar and atmospheric neutrinos through the earth // Nucl. Phys. B.  1999.  Vol. 538.  Pp. 2551.  hep-ph/9805272. [114] Petcov S. Diractive-like (or parametric-resonance-like?) enhancement of the earth (day-night) eect for solar neutrinos crossing the earth core // Phys. Lett. B.  1998.  Vol. 434.  P. 321.  hep-ph/9805262, Erratum 1998.Vol. 444P. 584. [115] Ohlsson T., Snellman H. Neutrino oscillations with three avors in matter: Applications to neutrinos traversing the earth // Phys. Lett. B.  2000.  Vol. 474.  Pp. 153162.  hep-ph/9912295, Erratum 2000. Vol. 480P. 419. [116] Ohlsson T., Winter W. Reconstruction of the earth's matter density prole using a single neutrino baseline // Phys. Lett. B.  2001.  Vol. 512.  Pp. 357364.  hep-ph/0105293. [117] Ioannisian A., Smirnov A. Matter eects of thin layers: Detecting oil by oscillations of solar neutrinos.  2002.  hep-ph/0201012. [118] Pusch G. D. Neutron oscillations in a periodically varying magnetic eld // Nuovo Cim. A.  1983.  Vol. 74, no. 2.  Pp. 149157.

143

[119] Äâîðíèêîâ Ì. Ñ., Ñòóäåíèêèí À. È. Îñöèëëÿöèè íåéòðèíî â ïîëå ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû // ßÔ.  2001.  Ò. 64,  9.  Ñ. 17051708. [120] Dvornikov M., Studenikin A. Parametric resonance of neutrino oscillations in electromagnetic wave // Proceedings of the 3rd International Workshop on 'New Worlds in Astroparticle Physics' / Ed. by A. M. Mourao, M. Pimento, P. M. S
a, J. M. Velhinho.  Singapore: World Scientic, 2000.  P. 126.  hep-ph/0102099. [121] Dvornikov M. S., Studenikin A. I. Parametric resonance amplication of neutrino oscillations in electromagnetic wave with varying amplitude and 'castle wall' magnetic eld // Les Recontres de Physique de la Vall
ee d'Aoste / Ed. by M. Greco.  Vol. 22 of Frascaty Physics Series.  Italy: INFN Laboratori Nazionale di Frascati, 2001.  P. 93.  hep-ph/0107109. [122] Äâîðíèêîâ Ì. Ñ., Ñòóäåíèêèí À. È. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ ïðè îñöèëëÿöèÿõ íåéòðèíî â ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùèõñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ // ßÔ.  2004.  Ò. 67,  4.  Ñ. 741747. [123] Áåðåñòåöêèé Â. Á., Ëèôøèö Å. Ì., Ïèòàåâñêèé Ë. Ï. Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà.  3-å èçä.  Ìîñêâà: Íàóêà, 1989.  Ò. 4 èç Òåîðå-

òè÷åñêàÿ ôèçèêà.  723 ñ. [124] Fishbane P. M., Gasiorowicz S. G. Equations for neutrino propagation in matter // Phys. Rev. D.  2001.  Vol. 64.  P. 113017.  hepph/0012230. [125] Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Ìåõàíèêà.  2-å èçä.  Ìîñêâà: Íàóêà, 1965.  Ò. 1 èç Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà.  203 ñ. [126] Dvornikov M., Studenikin A. Neutrino spin evolution in general external elds // Les Recontres de Physique de la Vall
ee d'Aoste / Ed. by

144

M. Greco.  Vol. 27 of Frascaty Physics Series.  Italy: INFN Laboratori Nazionale di Frascati, 2002.  P. 171. [127] Aoki K. et al. Electroweak theory: Framework of on-shell renormalization and study of higher-order eects // Progr. Theor. Phys. Suppl.  1982.  Vol. 73.  P. 1.