÷óåòïóóéêóëáñ úáïþîáñ íîïçïðòåäíåîáñ ûëïìá íïóëï÷óëéê ãåîò îåðòåòù÷îïçï íáåíáéþåóëïçï ïâòáúï÷áîéñ
ó. á. âÅÌÑÅ×
úÁÄ...
32 downloads
217 Views
249KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
÷óåòïóóéêóëáñ úáïþîáñ íîïçïðòåäíåîáñ ûëïìá íïóëï÷óëéê ãåîò îåðòåòù÷îïçï íáåíáéþåóëïçï ïâòáúï÷áîéñ
ó. á. âÅÌÑÅ×
úÁÄÁÞÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ íÅÔÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÄÌÑ ÕÞÁÝÉÈÓÑ úÁÏÞÎÏÊ ÛËÏÌÙ àÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÒÉ ÷úíû É íãîíï
íÏÓË×Á éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íãîíï 2009
õäë 51 (023) ââë 22.1 â43
÷ × ÅÄ Å Î É Å
âÅÌÑÅ× ó. á.
â43
úÁÄÁÞÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ: ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÄÌÑ ÕÞÁÝÉÈÓÑ úÁÏÞÎÏÊ ÛËÏÌÙ àÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÒÉ ÷úíû É íãîíï. | í: íãîíï, 2009. | 28 Ó. ÷ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÙ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ; ÏÓÏÂÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÕÄÅÌÅÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÀ Ó×ÏÊÓÔ× Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ × ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ. ÷ÓÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÙ ÒÉÍÅÒÁÍÉ É ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍÉ.
ââë 22.1
âÅÌÑÅ× óÅÒÇÅÊ áÎÁÔÏÌØÅ×ÉÞ
úÁÄÁÞÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ òÅÄÁËÔÏÒ
ä. ç. íÕÈÉÎ
ÅÈ. ÒÅÄÁËÔÏÒ
ä. å. ýÅÒÂÁËÏ×
ðÏÄÉÓÁÎÏ × ÅÞÁÔØ 20/V 2009 ÇÏÄÁ. æÏÒÍÁÔ 60 × 84 1=16. æÉÚ. ÅÞ. Ì. 1;75. âÕÍÁÇÁ ÏÆÓÅÔÎÁÑ. ðÅÞÁÔØ ÏÆÓÅÔÎÁÑ. çÁÒÎÉÔÕÒÁ Computer Modern. ÉÒÁÖ 3000 ÜËÚ. úÁËÁÚ . éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÅÎÔÒÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ 119002, íÏÓË×Á, âÏÌØÛÏÊ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., 11. ÅÌ. (499) 241 74 83. ïÔÅÞÁÔÁÎÏ × ïïï ÉÏÇÒÁÆÉÑ óáòíá\. "
© íãîíï, 2009.
äÏÒÏÇÉÅ ÒÅÂÑÔÁ, ÜÔÁ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ: ÚÁÄÁÞÁÍ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ. ðÒÉ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÉ ÛËÏÌØÎÉËÕ ÂÙ×ÁÅÔ ÎÕÖÎÏ ÒÏÑ×ÉÔØ Ó×ÏÉ ÏÚÎÁÎÉÑ ÓÒÁÚÕ × ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÒÉÞ£Í ÎÅ ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ×ÏÓÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÆÁËÔÏ×, ÎÏ ÇÌÕÂÏËÏ, ÁËÔÉ×ÎÏ É Ô×ÏÒÞÅÓËÉ. úÁÄÁÞÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ËÁË ÂÙ ÎÅÂÏÌØÛÕÀ ÍÏÄÅÌØ ÂÕÄÕÝÅÊ ÓÅÒØ£ÚÎÏÊ ÎÁÕÞÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ. ÷ ÎÉÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÉ£ÍÏ×, ÅÎÎÙÈ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÌÉÞÎÏÓÔÉ, ÎÏ É × ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÎÁÕÞÎÏÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ.
§1.
ë × Á Ä Ò Á Ô É Þ Î ÁÑ Æ Õ Î Ë É Ñ × Ú Á Ä ÁÞ Á È Ó ÁÒÁÍÅÔÒ ÏÍ
òÅÛÅÎÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÉÚÕÞÅÎÉÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÅÔÙÒÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÁÒÁÂÏÌÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÅÔ ×ÌÉÑÔØ ÁÒÁÍÅÔÒ. üÔÏ | ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ, ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ, ÁÂÓ ÉÓÓÁ ×ÅÒÛÉÎÙ ÁÒÁÂÏÌÙ É ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÁÂÏÌÙ × ÔÏÞËÅ. äÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ É ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ
÷ÌÉÑÎÉÅ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÎÁ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ É ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ× Ë ÒÅÇÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÀ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ËÏÒÎÅÊ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÂÏÌØÛÅ ÎÕÌÑ, ÔÏ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÒÎÑ; ÅÓÌÉ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ | ËÏÒÅÎØ ÏÄÉÎ; × ÓÌÕÞÁÅ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÁ ËÏÒÎÅÊ ÎÅÔ. ð Ò É Í Å Ò 1. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÔÒÏÊËÁ ÞÉÓÅÌ (x; y ; z ), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ x + y + z = x2 + 4y 2 É x + 2y + 3z = a. ò Å Û Å Î É Å. ÷ÙÒÁÚÉÍ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ z = x2 + 4y 2 − x − y É ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÇÏ ×Ï ×ÔÏÒÏÅ.
x + 2y + 3(x2 + 4y 2 − x − y ) = a:
åÓÌÉ ÔÅÅÒØ ÂÕÄÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÁÒÁ ÞÉÓÅÌ (x; y ), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÜÔÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, ÔÏ ÂÕÄÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z , ÔÁË ËÁË z ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ Ï x É y . ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ËÁË Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ x: 3x2 − 2x + (12y 2 − y − a) = 0:
õÓÌÏ×ÉÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÇÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ï x ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÕÌÀ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÁ: 1 − 3(12y 2 − y − a) = 0. üÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÏ ËÁË Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ y : 36y 2 − − 3y − 1 − 3a = 0. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ y ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ: 9 + 4 · 36(1 + 3a) = 0. ïÔÓÀÄÁ a = −17=48. ï Ô × Å Ô: a = −17=48.
ð Ò É Í Å Ò 2. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ax2 + + (2 − a)x + 3 − 2a 6 0 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x? 4
ò Å Û Å Î É Å. ðÒÉ a = 0 ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍ É ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2x + 3 6 0. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ x; ÏÜÔÏÍÕ a = 0 ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. ðÒÉ a < 0 ÄÁÎÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ. çÒÁÆÉË ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á | ÁÒÁÂÏÌÁ, ×ÅÔ×É ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ×ÎÉÚ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ x0 , ÞÔÏ ÒÉ x > x0 ÁÒÁÂÏÌÁ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ (ÉÌÉ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x | ÜÔÏ ÓÌÕÞÁÊ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÁ), ÔÏ ÅÓÔØ ÄÁÎÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÒÉ ÏÄÎÏÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÍ x. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÓÅ a < 0 ÎÅ ÏÄÈÏÄÑÔ. åÓÌÉ ÖÅ a > 0, ÔÏ ×ÅÔ×É ÁÒÁÂÏÌÙ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ××ÅÒÈ É ÄÁÎÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÏÄÎÏÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÍ x ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ D = 0. (ðÒÉ ÜÔÏÍ x ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï.) éÍÅÅÍ
D = (2 − a)2 − 4a(3 − 2a) = 9a2 − 16a + 4 = 0;
ÏÔËÕÄÁ a = ÏÔ×ÅÔÏÍ.
√
8±2
ï Ô × Å Ô:
7
9
8±2 9
. ïÂÁ ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ É ÏÔÏÍÕ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
√
7
.
ð Ò É Í Å Ò 3. îÁÊÄÉÔÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁ ( 3y + 2 + xy = 0; x(y + 1 − a) + y (2a − 3) + a + 3 = 0
ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ò Å Û Å Î É Å. ðÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y (3 + x) = −2. ðÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÁÒÁ (−3; y ) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ y ÎÅ ÍÏÖÅÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅÍ. óÌÅ2
ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ y ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: y = − x + 3 É ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ÅÇÏ ×Ï ×ÔÏÒÏÅ: 2 2 x − x + 3 + 1 − a − x + 3 (2a − 3) + a + 3 = 0;
x(−2 + (1 − a)(x + 3)) − 2(2a − 3) + (a + 3)(x + 3) = 0;
(1 − a)x2 + ((a + 3) − 2 + 3(1 − a))x − 2(2a − 3) + 3(a + 3) = 0; (1 − a)x2 + 2(2 − a)x + 15 − a = 0:
(1)
üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ ×ÔÏÒÏÊ ÒÉ a = 1 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2x + 14 = = 0, ÔÏ ÅÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ É ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ x = −7. ÁË ËÁË y ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ Ï x ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, ÔÏ É ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. éÔÁË, a = 1 ÏÄÈÏÄÉÔ. 5
ðÒÉ a 6= 1 ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍ É ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ: (2 − a)2 − (1 − a)(15 − a) = 0 ⇔ a = 11=12:
÷ÁÖÎÏ ÏÎÉÍÁÔØ, ÞÔÏ a = 1 É a = 11=12 ÅÝ£ ÎÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÔ×ÅÔ ÚÁÄÁÞÉ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ Ä×Á ÒÅÛÅÎÉÑ, ÏÄÎÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÒÅÍÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÏ −3. ÷ÙÑÓÎÉÍ, ÒÉ ËÁËÏÍ a ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ x = −3. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÄÓÔÁ×ÉÍ x = −3 × (1): 9(1 − a) − 6(2 − a) + 15 − a = 0 ⇔ a = 3:
ðÒÉ a = 3 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ x = −3, ÏÄÎÁËÏ ÎÁÌÉÞÉÅ ÄÒÕÇÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ. ðÒÉ a = 3 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ x2 + x − 6 = 0. ëÏÒÎÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x = −3 É x = 2. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ, ÔÁË ËÁË ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ (−3; y ), Á ×ÔÏÒÏÊ ËÏÒÅÎØ ÄÁ£Ô ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (2; −2=5) ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ï Ô × Å Ô: a = 1, a = 11=12, a = 3. õ Ò Á Ö Î Å Î É Ñ 1. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ sin a + os a f (x) = (sin a)x2 + 2x os a + 2
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. 2. îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ a ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 2x2 + y 2 + ax − ay − xy + a2 = 1. 3. îÁÊÄÉÔÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁ ( 3 axy + x − y + 2 = 0; x + 2y + xy + 1 = 0 ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. 4. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ b, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 + ax + b = 0. 2 5. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ a, b, , d ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a os 2x = b sin x + + sin x + d Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ? 6. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ ×ÓÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 16x2 + axy − y > x − 16y 2 − 64 1
×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÁÒ ÞÉÓÅÌ (x; y ) ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ | x | = | y |. 6
÷ÅÒÛÉÎÁ ÁÒÁÂÏÌÙ
ð Ò É Í Å Ò 4. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ x, y É a ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ ( x + y = 2a − 1; x2 + y 2 = a2 + 2a − 3: ðÒÉ ËÁËÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ a ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xy ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ? ò Å Û Å Î É Å. óÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÏÔÄÅÌØÎÏ x É y , ×ÅÄØ × ÚÁÄÁÞÅ ÒÅÞØ ÉÄ£Ô Ï ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ! óÒÁÚÕ ÎÁÊÄ£Í
xy = 2 ((x + y )2 − (x2 + y 2 )) = 2 ((2a − 1)2 − (a2 + 2a − 3)) = 2 a2 − 3a + 2: 1
1
3
ÁË ËÁË ×ÅÔ×É ÁÒÁÂÏÌÙ f (a) = 2 a2 − 3a + 2 ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ××ÅÒÈ, ÔÏ Ó×Ï£ 3
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÎÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ × ×ÅÒÛÉÎÅ a0 = ÒÉ a = 1 ÓÉÓÔÅÍÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ ( x + y = 1; x2 + y 2 = 0
3
2 · 3=2
= 1. ïÄÎÁËÏ
É ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ. ëÏÎÅÞÎÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÔ ÓÍÙÓÌÁ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ ÒÅÛÅÎÉÊ. üÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÏÚÎÉËÌÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÍÙ ÎÅ ÎÁÛÌÉ, ÒÉ ËÁËÉÈ x ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÏÏÂÝÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. üÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ a É ÓÏÓÔÁ×ÑÔ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f (a). äÌÑ ÉÈ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ×ÙÒÁÚÉÍ y ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y = 2a − 1 − x É ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ×Ï ×ÔÏÒÏÅ:
x2 + (2a − 1 − x)2 = a2 + 2a − 3;
2x2 − 2(2a − 1)x + (2a − 1)2 − a2 − 2a + 3 = 0; 2x2 − 2(2a − 1)x + 3a2 − 6a + 4 = 0:
ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ = (2a − 1)2 − 2(3a2 − 6a + 4) > 0; h i 1 1 2a2 + 8a + 7 6 0 ⇔ a ∈ 2 − √ ; 2 + √ :
D 4
2
2
7
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎË ÉÑ f (a) = 2 a2 − 3a + 2 ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÔÏÌØËÏ ÒÉ a ∈ i h 1 1 1 ∈ 2 − √ ; 2 + √ . ÁË ËÁË a0 = 1 < 2 − √ , ÔÏ ÎÁ Ó×ÏÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅ3
2
2
2
ÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÑ f (a) ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ É ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ 1
a=2− √ . 2
1
ï Ô × Å Ô: 2 − √ . 2
ð Ò É Í Å Ò 5. îÁÊÄÉÔÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ y = | −2x2 + x + a | ÎÁ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ 0 6 x 6 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ. ò Å Û Å Î É Å. ÷ÅÒÛÉÎÁ ÁÒÁÂÏÌÙ f (x) = −2x2 + x + a ÉÍÅÅÔ ÁÂÓ ÉÓÓÕ
x0 = 41 . ðÏÜÔÏÍÕ f (x) ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÉÌÉ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ) × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÏÞÅË: 0, 1=4 ÉÌÉ 1 (× ÔÏÞËÅ ÍÉÎÉÍÕÍÁ x = x0 ÉÌÉ ÎÁ ËÏÎ ÁÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÒÏÍÅÖÕÔËÁ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ | f (x) | ÍÏÖÅÔ ÒÁ×ÎÏ ÂÙÔØ 1 1 1 ÔÏÌØËÏ | f (0) |, f ÉÌÉ | f (1) |. éÍÅÅÍ | f (0) | = | a |, f = a + , 4 4 8
1 | f (1) | = | a − 1 |: ÷ÙÑÓÎÉÍ, ÒÉ ËÁËÉÈ a ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a + 8 >
> | a − 1 |.
1 1 2 a + 8 > | a − 1 | ⇔ a + 8 > (a − 1)2 ⇔ 1 2 ⇔ a+ − (a − 1)2 > 0 ⇔ 8 1 1 ⇔ a+ 8 −a+1 a+ 8 +a−1 >0 ⇔ ⇔ 2a −
7 8
7
> 0 ⇔ a > 16 :
1 1 ðÒÉ ÔÁËÉÈ a, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅ ÔÏÌØËÏ a + 8 > | a − 1 |, ÎÏ ÔÁËÖÅ a + 8 > 1 7 ÎÅ ÔÏÌØËÏ | a − 1 | > a − , ÎÏ É | a − 1 | > | a |. ðÒÉ a < 0 > | a |. ðÒÉ a < 16 8 7
ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Á ÒÉ 0 6 a < 16 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ | a − 1 | = | a | ÔÏÌØËÏ 1
ÒÉ a = 2 . (÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÏÌÅÚÎÏ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÇÒÁÆÉËÉ 1 y = | a |, y = | a − 1 | É y = a + 8 × ÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ.) éÔÁË, a + 1 ; a > 7 ; 8 16 F (a) = max f (x) = | a − 1 |; a 6 7 : [0;1℄ 16
8
ðÒÉ ÜÔÏÍ min F (a) = F 7
ï Ô × Å Ô: a = 16 .
7 16
7
9
= 1 − 16 = 16 .
ð Ò É Í Å Ò 6. îÁÊÄÉÔÅ ÔÏÞËÕ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÓÉÓÔÅÍÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ( y − 2x > 0; −x2 + 2ax − a2 + a + 1 − y > 0: ò Å Û Å Î É Å. ÷ÔÏÒÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÉÓÔÅÍÙ y 6 −x2 + 2ax − a2 + a + 1 ÚÁÄÁ£Ô ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ ÏÄ ÁÒÁÂÏÌÏÊ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÏÞËÁ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÓÉÓÔÅÍÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÓÁÍÏÊ ÁÒÁÂÏÌÅ, É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
y = −x2 + 2ax − a2 + a + 1 = a + 1 − (x − a)2:
÷ÅÒÛÉÎÁ ÜÔÏÊ ÁÒÁÂÏÌÙ ÉÍÅÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (x0 ; y0 ) = (a; a + 1) É ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÅÒÅÍÅÝÁÅÔÓÑ Ï ÒÑÍÏÊ y = x + 1. íÏÖÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØÓÑ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ. åÓÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ ÁÒÁÂÏÌÙ ÌÅÖÉÔ × ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ y > 2x, ÔÏ ÔÏÞËÏÊ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ É ÂÕÄÅÔ ÓÁÍÁ ÜÔÁ ×ÅÒÛÉÎÁ. îÁÊÄ£Í ÒÉ ËÁËÏÍ a ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÁËÏÊ ÓÌÕÞÁÊ.
y0 > 2x0
⇔
a + 1 > 2a
⇔
a 6 1:
éÔÁË, ÒÉ a 6 1 ÉÓËÏÍÁÑ ÔÏÞËÁ ÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎÁ (a; a + 1). åÓÌÉ ÖÅ a > 1, ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÅ ÌÅÖÉÔ × ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ y > 2x. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÏÞËÏÊ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ ÂÕÄÅÔ ÔÏÞËÁ, ÁÂÓ ÉÓÓÁ ËÏÔÏÒÏÊ | ÍÅÎØÛÉÊ ËÏÒÅÎØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ −x2 + 2ax − a2 + a + 1 = 2x;
x2 + 2(1 − a)x + a2 − a − 1 = 0:
åÇÏ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ D=4 = (1 − a)2 − a2 + a + 1 = 2 − a ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ ÒÉ a 6 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ a > 2 ÁÒÁÂÏÌÁ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÒÑÍÏÊ y = 2x (ÌÅÖÉÔ ÎÉÖŠţ) É ÓÉÓÔÅÍÁ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ðÒÉ 1 < a 6 2 ÍÅÎØÛÉÊ √ ËÏÒÅÎØ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ √ x = a − 1 − 2 − a. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÒÄÉÎÁÔÁ ÒÁ×ÎÁ y = 2(a − 1 − 2 − a). ïÂÒÁÔÉÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÁÊ a = 2 | ÜÔÏ ÓÌÕÞÁÊ ËÁÓÁÎÉÑ ÁÒÁÂÏÌÙ É ÒÑÍÏÊ y = 2x. ðÒÉ ÔÁËÏÍ a ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ | ÏÎÏ É ÂÕÄÅÔ ÔÏÞËÏÊ (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ: (1; 2)) Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ. 9
ï Ô × Å Ô: ðÒÉ a 6 1: (a; a + 1); √ √ ÒÉ 1 < a 6 2: a − 1 − 2 − a; 2(a − 1 − 2 − a) ; ÒÉ a > 2 ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÔ. õ Ò Á Ö Î Å Î É Ñ ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ a ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ y = ax2 + √ + 4x 24 − 2a − a2 ÍÅÎØÛÅ 4? 8. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ x, y É a ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ ( x + y = a − 1; xy = a2 − 7a + 14: 7.
ðÒÉ ËÁËÉÈ a ÓÕÍÍÁ x2 + y 2 ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ? 9. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÅÒÛÉÎÙ ÁÒÁÂÏÌ y = = x2 − 2ax É y = x2 − (a + 3)x + 1 ÌÅÖÁÔ Ï ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ ÒÑÍÏÊ y = 2x. ÅÏÒÅÍÁ ÷ÉÅÔÁ
ÅÏÒÅÍÁ ÷ÉÅÔÁ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ × ÔÅÈ ÚÁÄÁÞÁÈ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÞØ ÉÄ£Ô Ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÈ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÔÁËÉÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ËÏÒÎÅÊ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÞÅÒÅÚ ÓÕÍÍÕ É ÒÏÉ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ð Ò É Í Å Ò 7. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÍ√ ÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 + x a2 − 4a − a − 2 = 0 ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.
ò Å Û Å Î É Å. ÷ ÜÔÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ D = a2 − 4a + 4(a + 2) = a2 + 8 > 0. ïÄÎÁËÏ ÏÛÉÂÏÞÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÄÕÍÁÔØ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ ÒÉ ÌÀÂÏÍ a. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÎÏ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ ÒÉ ÌÀÂÏÍ, ÎÏ ÒÉ Ì À Â Ï Í Ä Ï Õ Ó Ô É Í Ï Í ÚÎÁÞÅÎÉÉ a, ÔÏ ÅÓÔØ ÒÉ a2 − 4a > 0 ⇔ a ∈ (−∞; 0℄ ∪ ∪ [4; +∞). éÍÅÎÎÏ ÒÉ ÜÔÉÈ a ÍÏÖÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÓÕÍÍÕ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ËÏÒÎÅÊ: p x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = ( a2 − 4a)2 + 2(a + 2) = a2 − 2a + 4:
þÔÏÂÙ ÔÅÅÒØ ÎÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÏÊ ÖÅ ÏÛÉÂËÉ, ÞÔÏ É × ÒÉÍÅÒÅ 4, ÂÕÄÅÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÆÕÎË ÉÀ f (a) = a2 − 2a + 4 ÔÏÌØËÏ ÒÉ a ∈ (−∞; 0℄ ∪ [4; +∞). ÷ÅÒÛÉÎÁ ÁÒÁÂÏÌÙ f (a) ÉÍÅÅÔ ÁÂÓ ÉÓÓÕ a0 = 1, ÞÔÏ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ 10
ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ f (a). úÎÁÞÉÔ, f (a) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÌÉÂÏ ÒÉ a = 0, ÌÉÂÏ ÒÉ a = 4. ÁË ËÁË f (0) = 4 É f (4) = 12, ÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏ 4. ï Ô × Å Ô: óÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ËÏÒÎÅÊ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 4 ÒÉ a = 0. ð Ò É Í Å Ò 8. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x2 + ax − 1 < 0 ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ ÄÌÉÎÙ 5? ò Å Û Å Î É Å. ÁË ËÁË ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ D = a2 + 4 Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÓÔÏÑÝÅÊ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ×ÓÅÇÄÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÔÏ ÜÔÁ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÒÎÑ x1 É x2 ÒÉ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a. îÁÊÄ£Í ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. p p | x1 − x2 | = (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 : √ ðÒÉÍÅÎÑÑ ÔÅÅÒØ ÔÅÏÒÅÍÕ ÷ÉÅÔÁ, ÏÌÕÞÁÅÍ | x1 − x2 | = a2 + 4. óÌÅÄÏ√ √ ×ÁÔÅÌØÎÏ, a2 + 4 = 5, ÏÔËÕÄÁ | a | = 21. √ ï Ô × Å Ô: ± 21. òÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË
íÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÀ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ËÏÒÎÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÇÕÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØÓÑ Ä×Å ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÒÁÚÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. åÓÌÉ ËÏÒÎÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ Ñ×ÎÏ, ÔÏ É ÏÔ×ÅÞÁÔØ ÎÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ×ÏÒÏÓÙ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ. åÓÌÉ ÖÅ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÁÒÁÂÏÌÙ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ, ÔÏ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ ÚÁÄÁÞÉ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÁËÏÊ: ðÒÉ ËÁËÉÈ a ×ÓÅ ËÏÒÎÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÂÏÌØÛÅ 1) Ó×ÏÄÉÔÓÑ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, Ë ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ. éÈ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÒÕÄÏ£ÍËÏ É ÞÒÅ×ÁÔÏ ÏÛÉÂËÁÍÉ. ÷ ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ÒÉ£Í, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÎÉÖÅ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÑÓÎÉÔØ, × ËÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÉÌÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. éÎÏÇÄÁ ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅ ÒÉÍÅÎÑÔØ ËÁËÉÅ-ÌÉÂÏ ÔÅÏÒÅÍÙ ÉÌÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á, Á Ñ×ÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÓÅ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ É ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÄÌÑ ÎÉÈ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÄÁÎÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒÙ. ð Ò É Í Å Ò 9. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 − 3(a + 1)x + 12a − 4 = 0 ÂÏÌØÛÅ 3? 11
ò Å Û Å Î É Å. ëÏÒÎÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x1 = 4, x2 = 3a − 1. ÁË ËÁË x1 > 3 É ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÏÌÖÅÎ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÜÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÔÏ ÎÕÖÎÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x2 = = 3a − 1 6 3, ÏÔËÕÄÁ a 6 4=3.
x1
1
x2
x
x1
1
x2
x
ï Ô × Å Ô: a 6 4=3.
ð Ò É Í Å Ò 10. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÉÓÔÅÍÅ (
| x2 + 7x + 6 | + x2 − 5x + 6 − 12| x | = 0; x2 − 2(a + 2)x + a(a + 4) = 0:
ðÒÉ a 6= 1 ÎÁÊÄ£Í ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ D = 13a2 − 20a + 8. ÅÅÒØ ÏÎÑÔÎÏ, 4 ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ D = 13a2 − 20a + 8 > 0; 4 √ 2a − 13a2 − 20a + 8 < 1; x1 = 2(a − 1) √ 2 x2 = 2a + 13a − 20a + 8 > 1 2(a − 1) 1
:
ò Å Û Å Î É Å. òÅÛÅÎÉÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÏÌØËÏ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ. ïÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÏÔ×ÅÔÏÍ x ∈ [−6; −1℄ ÉÌÉ x = 2 ÉÌÉ x = 3. (ðÏÌÕÞÉÔÅ ÜÔÏÔ ÏÔ×ÅÔ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ.) ëÏÒÎÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÔÏÖÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ Ñ×ÎÏ x1 = a, x2 = a + 4. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ËÏÒÎÑÍÉ ÒÁ×ÎÏ 4: x2 − x1 = 4. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ x1 = 2 ÉÌÉ x1 = 3, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÓÉÓÔÅÍÅ. åÓÌÉ ÖÅ x1 ∈ [−6; −1℄, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÒÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ: x2 ∈ [−6; −1℄ ÉÌÉ x2 = 2 ÉÌÉ x2 = 3, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ −6 6 a 6 −1; −6 6 a + 4 6 −1; a + 4 = 2; a + 4 = 3: òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÄÁ£Ô ÏÔ×ÅÔ.
ï Ô × Å Ô: a ∈ [−6; −5℄ ÉÌÉ a = −2 ÉÌÉ a = −1. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÂÙ×ÁÅÔ ÎÕÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÚÁÉÍÎÏÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÔÒÅÈÞÌÅÎÁ É ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÄÒÕÇÉÈ ÞÉÓÅÌ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÍÏÇÁÀÔ ÎÅÓÌÏÖÎÙÅ ÔÅÏÒÅÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÎÉÖÅ. ð Ò É Í Å Ò 11. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÞÉÓÌÏ 1 ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ ÍÅÖÄÕ ËÏÒÎÑÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (a − 1)x2 − 2ax + 2 − 3a = 0?
ò Å Û Å Î É Å. ðÒÉ a = 1 ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍ É ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ −2x − 1 = 0. ñÓÎÏ, ÞÔÏ a = 1 ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÏÔ×ÅÔ. 12
òÉÓ. 1.
ÓÏÒÑÖÅÎÏ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÒÕÄÎÏÓÔÑÍÉ. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÕÒÏÝÅÎÉÅ ÄÁ£Ô ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ a − 1 > 0, ÔÏ ×ÅÔ×É ÁÒÁÂÏÌÙ f (x) = (a − 1)x2 − − 2ax + 2 − 3a ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ××ÅÒÈ É ÞÉÓÌÏ 1 ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏ ÍÅÖÄÕ Å£ ËÏÒÎÑÍÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ f (1) < 0 (ÒÉÓ. 1). åÓÌÉ ÖÅ a − 1 < 0, ÔÏ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ × ÚÁÄÁÞÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÍÅÓÔÏ ÒÉ f (1) > 0. éÔÁË, ÕÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ: ( a − 1 > 0; f (1) < 0; ( a − 1 < 0; f (1) > 0:
üÔÕ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (a − 1)f (1) < < 0. ÷ ÉÔÏÇÅ ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (a − 1)(−4a + 1) < 0; 1 ∪ (1; +∞) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔ×ÅÔÏÍ Ë ÚÁÄÁÞÅ. ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ a ∈ −∞; 4 1 ï Ô × Å Ô: a ∈ −∞; 4 ∪ (1; +∞)
13
åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÒÅÛ£ÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÏÉÓËÁ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÏ p ÌÅÖÉÔ ÍÅÖÄÕ ËÏÒÎÑÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = Ax2 + Bx + C . ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÄÁ£Ô ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ.
1 a2 − 2 (a2 + 1) > 0; a2 + 2a + 3 > 0;
Å Ï Ò Å Í Á 1. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÞÉÓÌÏ p ÎÁÈÏÄÉÌÏÓØ ÍÅÖÄÕ ËÏÒÎÑÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = Ax2 + Bx + C , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á Af (p) < 0. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÄÁ×ÁÔØ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, Á ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÔÏÌØËÏ ÎÁÇÌÑÄÎÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÔÏÉÔ ÏÂÒÁÔÉÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÚÄÅÓØ ÎÅ ÏÎÁÄÏÂÉÌÉÓØ: ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙ. òÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÅÄÕÔ ÎÁÓ Ë ÏÂÏÂÝÅÎÉÀ É ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÅÝ£ ÏÄÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. ð Ò É Í Å Ò 12. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
2
3 a2 − 2a + 2 > 0; −1 6 − a 6 1: 2
a
+1
å£ ÒÅÛÅÎÉÅ a ∈ (−∞; −1℄ ∪ [1; +∞).
ï Ô × Å Ô: a 6 −1 ÉÌÉ a > 1. ïÂÅÝÁÎÎÏÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ | ÚÁÄÁÞÁ: ÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ×ÓÅ ËÏÒÎÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = Ax2 + Bx + C ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [p; q ℄? çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 2; ÓÉÔÕÁ ÉÀ ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ: A > 0; D > 0; f (p) > 0; f (q ) > 0; p 6 x 6 q 0
1 (a2 + 1) sin2 x + 2a2 sin x + = 0 2
ÉÍÅÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ. ò Å Û Å Î É Å. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÚÁÍÅÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t = sin x ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
ÉÌÉ
A < 0; D > 0; f (p) 6 0; f (q ) 6 0; p 6 x 6 q: 0
(a2 + 1)t2 + 2at + = 0: 2
ðÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÓÉÓÔÅÍ ÍÏÖÎÏ ÓÏÂÒÁÔØ × ÏÄÎÕ ÓÉÓÔÅÍÕ. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ × ×ÉÄÅ ÔÅÏÒÅÍÙ.
÷ÏÒÏÓ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÔÁË: ÒÉ ËÁËÉÈ a ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [−1; 1℄? ÁË ËÁË ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ
f (x) = Ax2 + Bx + C ÎÁÈÏÄÉÌÉÓØ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [p; q ℄, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁ-
1
Å Ï Ò Å Í Á 2. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ËÏÒÎÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ
f (t) = (a2 + 1)t2 + 2at + 2 1
ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÔÏ ÄÌÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ
p
q
x
p
q
x
D > 0, f (−1) > 0, f (1) > 0. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ | ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔØ ×ÅÒ-
a ÛÉÎÙ t0 = − 2 ÁÒÁÂÏÌÙ ÏÔÒÅÚËÕ [−1; 1℄. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÍ ÓÉa +1 ÓÔÅÍÕ 14
òÉÓ. 2. 15
ð Ò É Í Å Ò 14. îÁÊÔÉ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
ÔÏÞÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ D > 0; Af (p) > 0; Af (q ) > 0; p 6 x0 6 q:
óÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÎÑÔÎÁ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÏÄÏÂÎÙÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÎÁ ×ÓÅ ÓÌÕÞÁÉ ÖÉÚÎÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÕÖÎÏ ÕÑÓÎÉÔØ ÓÏÓÏ ÉÈ ÎÁÇÌÑÄÎÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÌÕÞÅÎÉÑ. (îÁ ËÏÎËÕÒÓÎÏÍ ÜËÚÁÍÅÎÅ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÜÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ, ÎÕÖÎÏ ÉÍÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ!) 1. îÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ËÁÒÔÉÎËÕ, ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÁ. (óÔÒÏÇÏÓÔØ ÎÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ ÎÅ×ÁÖÎÁ. óÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ | ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ.) 2. ÷ÙÉÓÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ (ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ) ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÍ ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÁÒÁÂÏÌÙ: ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ D, ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ A, ÚÎÁÞÅÎÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ B × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÞËÁÈ f (p) É ×ÅÒÛÉÎÁ ÁÒÁÂÏÌÙ x0 = − . (îÅ ×ÓÅÇÄÁ 2A ÎÕÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ: ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ × ÔÏÞËÁÈ ÉÎÏÇÄÁ (ËÁË × ÔÅÏÒÅÍÅ 1) ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÉÓÙ×ÁÀÔ ÓÉÔÕÁ ÉÀ.) 3. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ×ÙÉÓÁÎÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍÉ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍÉ ÄÌÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ×ÏÒÏÓ ÚÁÄÁÞÉ. (ÁË, × ÒÉÍÅÒÅ 12 ÛËÏÌØÎÉËÉ ÞÁÓÔÏ ÒÏÕÓËÁÀÔ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÅÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÅ: p 6 x0 6 q .) ð Ò É Í Å Ò 13. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×p ÎÅÎÉÅ 2(x2 − x − 2a2 + 2a + 2) = x + 1 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÒÎÑ ÒÁÚÎÙÈ ÚÎÁËÏ×.
ò Å Û Å Î É Å. õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ x > −1, ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ×ÏÚ×ÅÓÔÉ × Ë×ÁÄÒÁÔ: 2(x2 − x − 2a2 + 2a + 2) = (x + 1)2 . ðÏÓÌÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÔÁË: ÒÉ ËÁËÉÈ a ËÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 − 4x − 4a2 + 4a + 3 = 0 ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ï ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ ÔÏÞËÉ 0, ÒÉÞ£Í ÏÎÉ ÏÂÁ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ −1? ðÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÓÉÓÔÅÍÅ: ( ( −4a2 + 4a + 3 < 0; f (0) < 0; ⇔ f (−1) > 0; −4a2 + 4a + 8 > 0: òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÄÁ£Ô ÏÔ×ÅÔ. h i 1 3 ï Ô × Å Ô: a ∈ −1; 2 ∪ 2 ; 2 . 16
p 2 − | x |( tg2 (sin x) − 2a tg(sin x) − a) 6 0
ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. îÁÊÔÉ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ.
ò Å Û Å Î É Å. ðÏÄËÏÒÅÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÁ£Ô ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ: | x | 6 2 . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ x = ±2 ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (ÒÉ ÜÔÉÈ x ÎÅ ÏÒÅÄẠ̊Πtg(sin x)). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁÄÉËÁÌ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ ÄÌÑ | x | < 2 , É ÎÁ ÎÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÓÏËÒÁÔÉÔØ. óÄÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ t = tg(sin x), ÇÄÅ | t | > tg 1. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ | t0 | > tg 1 ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−2 ; 2 ) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ tg(sin x) = t0 ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. îÁÊÄ£Í ×ÓÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁ (
t2 − 2at − a 6 0; | t | > tg 1
ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. åÓÌÉ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (t) = t2 − 2at − a ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ, ÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. D = a2 + a = a(a + 1) = 0, ÔÏ ÅÓÔØ a = 0 ÉÌÉ a = −1, ÔÏ ÒÅÛÅåÓÌÉ 4
ÎÉÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÅÓÔØ ÔÏÞËÁ t = a. ÁË ËÁË ÒÉ a = 0 ÉÍÅÅÍ t=0∈ = (−∞; − tg 1℄ ∪ [ tg 1; +∞), ÔÏ ÏÄÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ a = −1. ïÔÓÀÄÁ
tg(sin x) = −1, sin x = − 4 + n, n ∈ Z. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÏÌØËÏ ÒÉ n = 0. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ sin x = − 4 , x = (−1)k+1 ar sin 4 + k . îÅÓÌÏÖÎÏ ÓÏÏÂÒÁÚÉÔØ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ (−2 ; 2 ) ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÏÒÎÉ − ar sin 4 , ± + ar sin 4 É 2 − ar sin 4 .
åÓÌÉ D > 0, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÕÖÉÔ ÏÔÒÅÚÏË [t1 ; t2 ℄, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÌÖÅÎ ÉÍÅÔØ ÏÄÎÕ ÏÂÝÕÀ ÔÏÞËÕ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ (−∞; − tg 1℄ ∪ [ tg 1; +∞). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, t1 = − tg 1 ÉÌÉ t2 =
t1 − tg 1
t2
t1
t
tg 1
− tg 1
t2
t
tg 1
òÉÓ. 3. 17
= tg 1 (ÒÉÓ. 3). úÎÁÞÉÔ, ÉÓËÏÍÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÍÙ ÎÁÊÄ£Í, ÒÅÛÉ× ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ: f (− tg 1) = 0; f ( tg 1) = 0; ÉÌÉ f ( tg 1) > 0; f (− tg 1) > 0; − tg 1 < t0 < tg 1 − tg 1 < t0 < tg 1:
éÍÅÅÍ
2
tg 1 a = − ; 2 tg 1 − 1 2
tg 1
a < 2 tg 1 + 1 ; − tg 1 < a < tg 1
ÉÌÉ
2
tg 1 a = ; 2 tg 1 + 1 2
tg 1
a < − 2 tg 1 − 1 ; − tg 1 < a < tg 1:
îÅÓÌÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÔÏÌØËÏ ×ÔÏÒÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ. îÁÊÄÅÎÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ a ÏÔ×ÅÞÁÅÔ t = tg 1. éÍÅÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ tg(sin x) = = tg 1, sin x = 1 + k . ÏÇÄÁ sin x = 1, x = 2 + 2n. éÎÔÅÒ×ÁÌÕ (−2 ; 2 ) 3 ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÏÒÎÉ 2 É − 2 . ï Ô × Å Ô: ÅÓÌÉ a = −1, ÔÏ x = − ar sin , ÉÌÉ x = ± + ar sin , ÉÌÉ 4 4 2
tg 1 3 x = 2 − ar sin 4 ; ÅÓÌÉ a = 2 tg 1 + 1 , ÔÏ x = 2 ÉÌÉ x = − 2 . ðÒÉ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ a ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÂÏ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÌÉÂÏ ÉÍÅÅÔ ÉÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ. õ Ò Á Ö Î Å Î É Ñ ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ËÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (a − 1)x2 − − 2(a + 2)x + a = 0 ÒÁÚÌÉÞÎÙ É ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ (−1; 2)? 2 11. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (a − 1)x − 2ax + + 2 − 3a = 0 ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ x > 1? (ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ×ÓÅ ÌÉ ÓÌÕÞÁÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ, ÍÅÎØÛÅÇÏ 1, ×Ù ÒÁÚÏÂÒÁÌÉ?) 12. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (a − 1)x2 − − (a + 1)x + a = 0 ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ 0 < x < 3? 13. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ( 10.
| x2 − 5x + 4 | − 9x2 − 5x + 4 + 10x| x | = 0; x2 − 2(a − 1)x + a(a − 2) = 0:
18
14.
îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï p p tg2 ( os 4 2 − x2 ) − 4a tg( os 4 2 − x2 ) + 2 + 2a 6 0
ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. îÁÊÄÉÔÅ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ. 15. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï sin6 x + 6 + os x + a sin x os x > 0 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ×ÓÅÈ x?
§2.
í Å Ô Ï Ä Ù Ï É Ó Ë Á Î Å Ï Â ÈÏ Ä É Í Ù È Õ Ó ÌÏ × É Ê
äÌÑ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÍÅÔÏÄÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÓÅÊÞÁÓ ÏÊÄ£Ô ÒÅÞØ, ÒÁÚÂÅÒ£Í ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ. ð Ò É Í Å Ò 15. òÅÛÉÔÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ p p √ x2 − x + 2 − x − x2 = x − 1:
ò Å Û Å Î É Å. ðÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÞÁÓÔÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × Ë×ÁÄÒÁÔ | ÛÁÇ ÍÁÌÏÒÉÑÔÎÙÊ É, Ï ×ÓÅÊ ×ÉÄÉÍÏÓÔÉ, ÂÅÓÅÒÓÅËÔÉ×ÎÙÊ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ïäú ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ. 2 x − x > 0; 2 − x − x2 > 0; x > 0;
⇔
x = 0 ÉÌÉ x = 1:
ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÅÅÒØ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÅÛÁÔØ É ÎÅ ÎÕÖÎÏ! óÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÎÅÇÏ x = 0 É x = 1, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÄÅÌÁÔØ ÒÏ×ÅÒËÕ. ðÏÄÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ x = 1. ï Ô × Å Ô: x = 1. ðÏÄÈÏÄ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÚÁÄÁÞ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ, ÓÒÅÄÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÉÓËÏÍÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. ðÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÒÏ×ÅÒËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ËÁËÉÅ ÉÍÅÎÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÓÏÓÔÁ×ÑÔ ÏÔ×ÅÔ. ÁË, × ÒÁÚÏÂÒÁÎÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ x ∈ {0; 1} | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ, Á x = 1 | ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÂÙÔØ ÏÔ×ÅÔÏÍ. ä×ÕÍÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ É ÍÅÔÏÄ ×ÙÇÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ. ÷ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÄÏÚÒÅ×ÁÅÍÙÈ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÎÏÇÏÓÔÕÅÎÞÁÔÙÍ. íÅÔÏÄ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ
úÁÄÁÞÉ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÉÍÅΣΠÍÅÔÏÄ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÔÁË: ÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ? ðÒÉ ÜÔÏÍ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ × ÚÁÄÁÞÅ, ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ. îÁÒÉÍÅÒ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Þ£ÔÎÙÍÉ Ï 20
ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ (ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÒÉÍÅÒ | ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï y = f (x), ÇÄÅ f (x) | Þ£ÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ), ÉÌÉ ÖÅ ÎÁÒÑÄÕ Ó ÒÅÛÅÎÉÅÍ (x; y ) ÉÍÅÀÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (y ; x). âÏÌÅÅ ÏÂÝ Ï, ÅÓÌÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÔÏÞËÉ A Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÓÉÓÔÅÍÙ), ÔÏ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ A′ , ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÔÏÞËÅ A, ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÓÌÏ×ÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, ÅÓÌÉ ÔÏÞËÉ A É A′ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ É ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÓÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. ïÂÒÁÔÉÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ, ÔÁË ËÁË ÎÁ ÏÓÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÍÏÇÕÔ ÌÅÖÁÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÔÏÞËÉ. ð Ò É Í Å Ò 16. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÓÉÓÔÅÍÁ ( (| x | + 1)a = y + os x; sin2 x + y 2 = 1 ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ? ò Å Û Å Î É Å. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÒÅÛÅÎÉÅÍ (x0 ; y0 ) ÄÁÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (−x0 ; y0 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ x0 = −x0 , ÔÏ ÅÓÔØ x0 = 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÓÌÏ×ÉÅ x = 0 | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ: ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ (0; y0 ) ÉÌÉ ÎÅ ÉÍÅÔØ ÒÅÛÅÎÉÊ ×Ï×ÓÅ. ïÄÎÁËÏ, Å Ó Ì É ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÔÏ ÏÎÏ Í Ï Ö Å Ô ÉÍÅÔØ ×ÉÄ Ô Ï Ì Ø Ë Ï (0; y0 ). ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ x = 0 × ÓÉÓÔÅÍÕ ( a = y + 1; y 2 = 1: ïÔÓÀÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ a = 0 É a = 2. úÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï, ÞÔÏÂÙ a ÒÉÎÉÍÁÌÏ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ïÄÎÁËÏ ÉÈ ÎÕÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ. ðÒÉ a = 0 ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ( y + os x = 0; sin2 x + y 2 = 1: ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ y = − os x ×Ï ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÁ£Ô ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ sin2 x + + os2 x = 1, ÒÅÛÅÎÉÅÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. 21
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ a = 0 ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÔ, É a = 0 ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. ðÒÉ a = 2 ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ( 2(| x | + 1) = y + os x; sin2 x + y 2 = 1 éÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ | y | 6 1. ÏÇÄÁ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ | y + os x | 6 | y | + | os x | 6 1 + 1 = 2, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÏÚÍÏÖÅÎ ÔÏÌØËÏ ÓÌÕÞÁÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. éÔÁË, y = 1 É os x = 1, ÔÏÇÄÁ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x = 0. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ x × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ os x = 1; ÚÎÁÞÉÔ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, É a = 2 ÏÄÈÏÄÉÔ. ï Ô × Å Ô: a = 2. ð Ò É Í Å Ò 17. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÓÉÓÔÅÍÁ ( x2 − (2a + 1)x + a2 − 3 = y; y 2 − (2a + 1)y + a2 − 3 = x ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (x; y )? ò Å Û Å Î É Å. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (x0 ; y0 ), ÔÏ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ É ÒÅÛÅÎÉÅ (y0 ; x0 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x0 = y0 . ðÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 − (2a + 1)x + a2 − 3 = x ÉÌÉ x2 − 2(a + 1)x + a2 − 3 = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏÌÖÎÏ ÉÍÅÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ, 1 D = (a + 1) 4
2 − (a2 − 3) = 2a + 4 = 0;
ÏÔËÕÄÁ a = −2. ðÒÉ ÜÔÏÍ a ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ( x2 + 3x + 1 = y; y 2 + 3y + 1 = x: ÷ÙÞÉÔÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÞÌÅÎÎÏ, ÏÌÕÞÁÅÍ: (x − y )(x + y + 4) = 0. 1) x = y . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ x2 + 2x + 1 = 0, ÏÔËÕÄÁ x = −1 = y . 2) y = −x − 4. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÏÔ y × ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÉÍÅÅÍ x2 + 4x + + 5 = 0. õ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÒÎÅÊ ÎÅÔ. ï Ô × Å Ô: a = −2. 22
ð Ò É Í Å Ò 18. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÓÉÓÔÅÍÁ 2(a + 2y ) − y 2 = (x − 2)2 + z 2 ; (xy + 4) sin(x + y ) + os(x − y ) = 1; (a − 2) 2 − xyz √ (a tg2 z + x + y ) = 0 1 − 2xy
ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ? ò Å Û Å Î É Å. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÎÅ ÔÁË ÌÅÇËÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÓËÒÙÔÕÀ ÓÉÍÍÅÔÒÉÀ ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ ÄÏÇÁÄÁÔØÓÑ ÅÒÅÉÓÁÔØ ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ × ×ÉÄÅ 2(a + 2) = (x − 2)2 + (y − 2)2 + z 2 ;
ÔÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÀ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏÝÅ: ÅÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (x0 ; y0 ; z0 ), ÔÏ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (y0 ; x0 ; z0 ). úÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï x0 = y0 . ðÒÉ x = y ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (x2 + 4) sin 2x = 0, ÏÔËÕÄÁ x = 1 n = 2 , ÇÄÅ n ∈ Z. ÒÅÔØÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÁ£Ô ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ xy < 2 , ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ xy =
2 n2
1
< 2 , ÔÏ ÅÓÔØ n = 0 É x = y = 0. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÉ x É y × ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÉÍÅÅÍ z 2 = 2(a − 2). üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÏÌØËÏ ÒÉ a = 2. éÍÅÎÎÏ ÜÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ a É Ñ×ÌÑ4
ÅÔÓÑ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ù Í Õ Ó Ì Ï × É Å Í × ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÅ. ðÒÉ a = 2 ÉÚ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ 2 tg2 z + x + y = 0, ÔÏ ÅÓÔØ x + y 6 0. äÁÌÅÅ, ÏÄÓÔÁ×ÉÍ a = 2 × ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ. éÍÅÅÍ x2 + y 2 + z 2 = 2(x + y ), ÔÏ ÅÓÔØ x + y > 0. óÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ x + y = 0 É x2 + y 2 + z 2 = 0, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ËÒÏÍÅ x = y = z = 0. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÏ×ÅÒËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÒÏÊËÁ (0; 0; 0) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ËÁÖÄÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ. ï Ô × Å Ô: a = 2. õ Ò Á Ö Î Å Î É Ñ 16.
îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁ ( √ √ (2 − 3)x + (2 + 3)x − 5 = a − 2y + y 2 ; : x2 + (2 − a − a2)y 2 = 0
ÉÍÅÅÔ ÔÁËÏÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÞÔÏ 0 6 y 6 2.
23
17.
îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ a É b, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁ ( xy − 1 xy + 1 = a;
x2 + y 2 = b
ÉÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ (x > 0). 18. íÎÏÖÅÓÔ×Ï M ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÞÅË (a; b) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (20a + 21b + 63)x4 + (3b − 4a + 9)x2 + | b2 − 4 | + b2 − 4 = 0
ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË, ËÏÔÏÒÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M , ÍÏÖÎÏ ×ÉÓÁÔØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, É ÎÁÊÄÉÔÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÅÎÔÒÁ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. íÅÔÏÄ ×ÙÇÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ
ÉÉÞÎÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÒÉÍÅÎÉÍ ÍÅÔÏÄ ×ÙÇÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ, ÔÁËÏ×Á: ÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÓÉÓÔÅÍÁ) ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ? ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÒÏÓÔÁ: ÅÓÌÉ ÞÔÏ-ÔÏ (ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÓÉÓÔÅÍÁ) ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÏ Ò É × Ó Å È ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÚÎÁÞÉÔ, ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÄÏÌÖÎÏ ÉÍÅÔØ ÍÅÓÔÏ É Ò É Î Å Ë Ï Ô Ï Ò Ù È, ×ÙÇÏÄÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÓËÕÓÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ ËÁË ÒÁÚ É ÓÏÓÔÏÉÔ × ×ÙÂÏÒÅ ×ÙÇÏÄÎÙÈ ÔÏÞÅË. ðÒÏÂÌÅÍÁ ÏÓÌÏÖÎÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÏÞËÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÂÏÌÅÅ ×ÙÇÏÄÎÙÍÉ, ÞÅÍ ÄÒÕÇÉÅ. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÒÉÍÅÒ | ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÚÁÄÁÞÁ. ð Ò É Í Å Ò 19. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
a sin2 x + a2 os2 x = 1
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ? ò Å Û Å Î É Å. ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏÌÖÎÏ ÉÍÅÔØ ÍÅÓÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ x, ÔÏ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï, ÞÔÏÂÙ ÏÎÏ ÂÙÌÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ É ÒÉ x = 0. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = 0, ÏÌÕÞÁÅÍ a = −1 É a = 1. ÷ÁÖÎÏ ÏÎÉÍÁÔØ, ÞÔÏ ÒÉ ÜÔÉÈ a ÍÏÖÎÏ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÏÌØËÏ ÒÉ x = 0 É ÎÉ ÒÉ ËÁËÉÈ ÄÒÕÇÉÈ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ a ÔÒÅÂÕÀÔ ÒÏ×ÅÒËÉ. ðÒÏ×ÅÒËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÄÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ a = 1. 24
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ÓÒÁÚÕ ÏÄÓÔÁ×ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ×ÙÇÏÄÎÕÀ ÔÏÞËÕ
x = 2 , ÔÏ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï Å ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÏÓÔÁ×ÉÌÏ ÂÙ ÔÏÌØËÏ a = 1 É ÒÏ×ÅÒËÁ ÂÙÌÁ ÂÙ ×Ä×ÏÅ ËÏÒÏÞÅ. ï Ô × Å Ô: a = 1.
ð Ò É Í Å Ò 20. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï √ 2 log2+a2 (4 − 7 + 2x) = log2+a2 x2 (4 − 3x)
×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a. ò Å Û Å Î É Å. ðÒÉ ×ÙÇÏÄÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ a = 0 ÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ √ √ 2 log2 (4 − 7 + 2x) = log2 (4 − 3x) ⇒ (4 − 7 + 2x)2 = 4 − 3x √ √ 23 − 8 7 + 2x + 2x = 4 − 3x ⇒ 8 7 + 2x = 19 + 5x:
÷ÏÚ×ÏÄÑ × Ë×ÁÄÒÁÔ, ÉÍÅÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 25x2 + 62x − 87 = 0, ËÏÒÎÉ ËÏÔÏ87
ÒÏÇÏ x1 = 1 (ÔÁË ËÁË ÓÕÍÍÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ) É x2 = − 25 . îÁÊÄÅÎÎÙÅ x ÎÕÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ; ÉÓËÏÍÙÅ x ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ. ðÒÉ x = 1 ÉÍÅÅÍ 2 log2+a2 1 = log2+a2 1, 0 = 0. üÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ a. 87
ðÒÉ x = − 25 ÉÍÅÅÍ 2 log2+a2
19 5
= log2+a2 ( 87 )2 25
361 25
;
log2+a2
19 5
= log2+a2 ( 87 )2 25
19 5
:
ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ a 6= 0, ÔÏ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÅÒÎÏ. ï Ô × Å Ô: x = 1. ð Ò É Í Å Ò 21. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ b ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ( (x2 + 1)a + (b2 + 1)y = 2; a + by + x2 y = 1: ò Å Û Å Î É Å. åÓÌÉ ÜÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÉ ÌÀÂÏÍ b, ÔÏ É ÒÉ
b = 0. ðÒÉ ÔÁËÏÍ b: (
(x2 + 1)a = 1; a + x2 y = 1;
⇔
(
x = 0; a = 1;
ÉÌÉ
(
a = 0; x2 y = 1:
éÔÁË, ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÌÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ b Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï, ÞÔÏÂÙ a ∈ {0; 1}. 25
ðÒÉ a = 0 ÉÍÅÅÍ (
| ðÒÉ a = 3 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ t2 + t = 0. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ t = 0 É t = −1. ïÄÎÁËÏ, ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ sin x = 0 É sin x = −1 ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÔÒ£È ËÏÒÎÅÊ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2 ℄. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, a = 3 ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ.
(b2 + 1)y = 1; by + x2 y = 1:
ÁË ËÁË ÒÅÛÅÎÉÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y = 0 ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ×ÔÏÒÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, ÔÏ a = 0 ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. ðÒÉ a = 1 ÓÉÓÔÅÍÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ ( x2 + (b2 + 1)y = 1; by + x2 y = 0 É ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (0; 0) ÒÉ ÌÀÂÏÍ b. ï Ô × Å Ô: a = 1. îÁËÏÎÅ , × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÚÁÄÁÞÅ ÍÙ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÉÒÕÅÍ ÒÁÂÏÔÕ ×ÓÅÈ ÍÅÔÏÄÏ×, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÈ × ÜÔÏÊ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ. ð Ò É Í Å Ò 22. îÁÊÄÉÔÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
sin2 x + (a − 2)2 sin x + a(a − 2)(a − 3) = 0
1 − (a − 2)2 + a(a − 2)(a − 3) = 0:
üÔÏ ËÕÂÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÅÇËÏ ÒÅÛÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÔÉÔØ1 , ÞÔÏ 12 − (a − 2)2 = (3 − a)(a − 1):
(2)
ÉÍÅÅÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2 ℄ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ËÏÒÎÑ. ò Å Û Å Î É Å. ðÏÓÌÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÊ ÚÁÍÅÎÙ t = sin x ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ (3) t2 + (a − 2)2 t + a(a − 2)(a − 3) ≡ f (t) = 0;
ÇÄÅ −1 6 t 6 1. 1) ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÔ É Õ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. 2) åÓÌÉ (3) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÒÅÎØ t = t0, ÔÏ (2) ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ËÏÒÎÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2 ℄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ sin x = t0 ÉÍÅÅÔ ÎÁ ÜÔÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ËÏÒÎÑ. îÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2 ℄ ÔÏÌØËÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ t0 = 0 ÓÉÎÕÓ ÒÉÎÉÍÁÅÔ × ÔÒ£È ÔÏÞËÁÈ. äÌÑ ÏÉÓËÁ ÔÅÈ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ t0 = 0, ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÇÏ × (3). ðÏÌÕÞÉÍ f (0) = a(a − 2)(a − 3) = 0, ÏÔËÕÄÁ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï, ÞÔÏÂÙ a ÂÙÌÏ ÒÁ×ÎÏ 0 ÉÌÉ 2 ÉÌÉ 3. | ðÒÉ a = 0 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ t2 + 4t = 0. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ t = 0, Á ×ÔÏÒÏÊ ËÏÒÅÎØ t = −4 ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÉÎÕÓ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, a = 0 ÏÄÈÏÄÉÔ. | ðÒÉ a = 2 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ t2 = 0 É ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÒÅÎØ t = 0. úÎÁÞÉÔ, a = 2 ÔÏÖÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. 26
3) åÓÌÉ ÖÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÒÎÑ t1 É t2 , ÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ (ÎÁÒÉÍÅÒ, t1 ) ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÒÁ×ÅÎ 1 ÉÌÉ −1, Á ×ÔÏÒÏÊ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ (−1; 1). éÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ ÄÁÓÔ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ sin x = 1 (ÉÌÉ −1) É ÅÝ£ Ä×Á ËÏÒÎÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ sin x = t2 ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; 2 ). ÷ÓÅÇÏ ÔÒÉ. Á) úÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ t1 = 1, Á t2 ∈ (−1; 1), ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ÷ÉÅÔÁ t1 + t2 = −(a − 2)2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, t2 = −(a − 2)2 − t1 = −(a − 2)2 − 1 < −1 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a. Â) ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ t = −1 × (3) ÄÁ£Ô Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï Å ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ a:
éÍÅÅÍ (3 − a)(a − 1) + a(a − 2)(a − 3) = 0; (a − 3)(a2 − 3a + 1) = 0:
√ 1 ïÔÓÀÄÁ a = 3, a = 2 (3 ± 5).
| ðÒÉ a = 3 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ t2 + t = 0 É ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ t = 0 É t = −1. üÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÕÖÅ ÒÁÚÏÂÒÁÎ É ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. √ 1 | ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ a = 2 (3 ± 5) × (3) ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÚÁÍÅÔÎÙÍ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÍ ÔÒÕÄÎÏÓÔÑÍ. õËÁÖÅÍ Ä×Á ÓÏÓÏÂÁ ÏÂÈÏÄÁ ÜÔÉÈ ÔÒÕÄÎÏÓÔÅÊ.
√ 1 ð Å Ò × Ù Ê Ó Ï Ó Ï Â (Ô Å Ï Ò Å Í Á ÷ É Å Ô Á). þÉÓÌÁ a = 2 (3 ± 5)
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ a2 − 3a + 1 = 0 (×ÅÄØ ÉÍÅÎÎÏ ÉÚ ÎÅÇÏ ÏÎÉ É ÎÁÊÄÅÎÙ), ÉÌÉ a2 − 3a = −1. ÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3) ÒÁ×ÎÏ
t1 · t2 = a(a − 2)(a − 3) = (a − 2)(a2 − 3a) = 2 − a:
1 åÓÌÉ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÔÏ ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÚÁÔÒÁÔÙ ÎÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ.
27
ÁË ËÁË t1 = −1, ÔÏ t2 = a − 2. t2 ∈ (−1; 1) ⇔ 1 < a < 3. ÁË ËÁË, ÏÞÅ×ÉÄ√ √ 1 1 ÎÏ, 2 (3 − 5) < 1, Á 1 < 2 (3 + 5) < 3, ÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ √ 1 ÔÏÌØËÏ a = (3 + 5). 2 ÷ Ô Ï Ò Ï Ê Ó Ï Ó Ï Â (Ò Á Ó Ï Ì Ï Ö Å Î É Å Ë Ï Ò Î Å Ê). ÒÅÂÕÅÔÓÑ √ 1 ÎÁÊÔÉ, ÒÉ ËÁËÏÍ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a = 2 (3 ± 5) Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÔÒ£ÈÞÌÅÎ f (t) ÉÍÅÅÔ ËÒÏÍÅ ËÏÒÎÑ t1 = −1 ×ÔÏÒÏÊ ËÏÒÅÎØ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1). ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÅÒÛÉÎÁ 1
ÁÒÁÂÏÌÙ t0 = (t1 + t2 ) ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ (−1; 0). (ÁË ËÁË ÁÂ2 Ó ÉÓÓÁ ×ÅÒÛÉÎÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅÒÅÄÉÎÏÊ ÏÔÒÅÚËÁ [t1 ; t2 ℄.) ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ÷ÉÅÔÁ
t0 = 2 (t1 + t2 ) = − 2 (a − 2)2 . 1
1
√ √ 1 1 √ 1 | åÓÌÉ a = (3 − 5), ÔÏ t0 = − ( 5 + 1)2 < −1, ÔÏ ÅÓÔØ a = (3 − 5) 2 8 2 ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. √ 1 √ 1 | åÓÌÉ a = 2 (3 + 5), ÔÏ t0 = − 8 ( 5 − 1)2 . õÂÅÄÉÔÅÓØ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØ√ 1 ÎÏ, ÞÔÏ t0 ∈ (−1; 0). éÔÁË, a = (3 + 5) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ. 2 √ 1 ï Ô × Å Ô: a = 0; a = 2; a = 2 (3 + 5).
õ Ò Á Ö Î Å Î É Ñ 19.
îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ √ √ log2 a2 x3 − 5a2 x2 + 6 − x = log2+a2 (3 − x − 1)
ÒÉ ÌÀÂÏÍ a. 20. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ b, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ a ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÒÁ (y ; z ), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÓÉÓÔÅÍÅ ( 2(1 + | y |)b + (a2 − 2a + 2)z = 3; yz (z + a + 1) = 2b2 − 3b + 1: 21. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ x ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ y ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ÔÁËÏÅ z , ÞÔÏ | y3 + 1 | 4
os(2x − y + z ) = | y 3 − 1 | os 3 − 2x + 2 sin x ?
ðÒÉ ËÁËÉÈ a É b ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï | 2x2 + ax + b | > 9 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [−1; 5℄? 22.