Аналитическая геометрия: Учебно-методическое пособие по курсу высшей математики для вечернего факультета

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Л. Е. Михайлов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие по курсу высшей математики для вечернего факультета

Москва 2009

УДК 514.742.4 (07) ББК 22.151я7 М 69 Михайлов Л.Е. Аналитическая геометрия: Учебно-методическое пособие по курсу высшей математики для вечернего факультета. – М.: МИФИ, 2009. 80 c. Пособие написано на основе опыта чтения лекций и ведения семинаров на вечернем факультете МИФИ. Содержит материал по следующим темам: Системы линейных уравнений, матрицы и определители, векторная алгебр и произведения векторов, прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве, кривые второго порядка. Приведены решения типичных задач. Подобраны задачи для упражнений. Предназначено для студентов вечернего факультета, может быть использовано преподавателями при проведении занятий по аналитической геометрии. Рекомендовано редсоветом МИФИ в качестве учебного пособия. Рецензенты: д. ф.-м. н., проф. А. И. Прилепко, к. ф.-м. н., доц. Д.С. Ткаченко

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2009

ISBN 978-5-7262-1111-4

41

42

ПРЕДИСЛОВИЕ Основной целью изучения аналитической геометрии является овладение векторным языком, достаточно широко используемым при изучении специальных дисциплин. Это пособие является, по сути, самоучителем. Каждый из его девяти разделов соответствует одной лекции и одному весьма насыщенному занятию в аудитории. Чтобы усвоить содержание раздела, необходимо приложить определенные усилия и затратить время, соответствующее времени занятий в аудитории и времени выполнения домашнего задания. А может быть даже чуть больше! Это уже зависит от способностей учащегося и степени усвоения им материала школьного курса математики. После проработки первого раздела студентами должны быть усвоены методы нахождения решений систем линейных уравнений с использованием матриц и определителей. Третий и четвертый разделы курса содержат изложение основ векторного языка, на котором излагается материал последующих разделов. Не освоив векторный язык, понять материал последующих разделов будет нереально. Разделы курса, посвященные прямым и плоскостям, ориентированы на активное овладение векторным языком. Нужно научиться думать на языке векторов, ведь именно это является показателем настоящего владения языком. Решение задач, предложенных для самостоятельного решения, является обязательным. Приобретение навыков в решении задач возможно только путѐм активных усилий и поисков. Для решения каждой задачи нужно осознанно выбрать то или иное теоретическое соотношение, а также подобрать наиболее эффективную методику вычислений. Процесс этот содержит элементы творчества. Именно решение задач делает освоение теории активным и интересным, а не сухим и скучным, как это бывает при тупой зубрѐжке.

43

1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1.1. Матрицы и определители второго и третьего порядка Прямоугольная таблица из чисел, содержащая n строк и m столбцов называется матрицей. Для обозначения матрицы используют круглые скобки или сдвоенные чѐрточки. Например, a11 a12 a13 b11 b12 b13 a21 a22 a23 =А или b21 b22 b23 = В. (1.1) a31 a32 a33 b31 b32 b33 Возможно также обозначение C {cij }, i 1,2n, j 1,2m , где i – номер строки, j – номер столбца матрицы, cij – элемент матрицы. Если п = т – матрица квадратная, то п т – матрица прямоугольная. Квадратная матрица второго порядка имеет вид a11 a12 A . (1.2) a21 a22 Определитель матрицы второго порядка det A – это число, равное произведению элементов матрицы, принадлежащих главной диагонали матрицы минус произведение элементов, принадлежащих побочной диагонали. a11 a12 det A a11a22 a12 a21 . (1.3) a21 a22 Для обозначения определителя используются одинарные чѐрточки. Для того чтобы определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или столбцов) были пропорциональны. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из пропорций a11 a12 a a21 и 11 эквивалентна a11a22 a12a21 . (1.4) a 21 a 22 a12 a22 44

1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Теорема Крамера Система уравнений имеет вид, a11 x a12 y a21 x a22 y

h1 , h2 ,

(1.5)

где х и у – неизвестные, а коэффициенты aij и свободные члены h1 и h2 – заданные числа. Решением системы является пара чисел x0 , y0 , подстановка которых в уравнения системы (1.5) обращает эти уравнения в тождества. Умножив первое уравнение на а22, а второе на –а12 и сложив полученные выражения, получим (1.6) a11a22 a12a21 x h1a22 h2a12 . Аналогично, умножая уравнения системы на a21 и а11 и складывая полученные выражения, будем иметь, (1.7) a11a22 a12a21 y a11h2 a21h1 . Введем следующие обозначения: a11 a12 h1 a12 a11 h1 , x , y . (1.8) a21 a22 h2 a22 a21 h2 В новых обозначениях выражения (1.6) и (1.7) будут иметь вид y (1.9) x y. x и Определитель принято называть определителем системы. Из соотношений (1.9) просто получаются формулы Крамера

x

x

и

y

y

.

(1.10)

Могут представиться два случая: 1) определитель системы отличен от нуля. 2) определитель равен нулю. В случае 0 решение системы существует и единственно, так как система уравнений (1.9) является следствием системы (1.5). Формулы (1.10) позволяют легко найти значения х0 и у0. Рассмотрим случай = 0. Здесь имеют место два подслучая: 45

а) хотя бы один из определителей х или у отличен от нуля, б) оба определителя х и у равны нулю. В подслучае а) хотя бы одно из равенств (1.10) не имеет смысла, и система (1.9), а вместе с ней и система (1.5) не имеет решений. В подслучае б) система (1.5) имеет бесконечно много решений. 0 заключаем (см. В самом деле, из равенства x y (1.4)) что a11 a12 h1 . (1.11) a21 a22 h2 Это означает, что второе уравнение системы (1.5) является следствием первого и может быть отброшено. Но линейное уравнение вида a11x a12 y h1 имеет бесконечно много решений, так как, задав значение х, из уравнения можно найти соответствующее значение у, и таких пар чисел существует бесконечно много. Приведенные выше утверждения составляют содержание теоремы Крамера, которую можно сформулировать так: Если определитель системы (1.5) отличен от нуля, то существует и притом единственное решение этой системы, определяемое формулами Крамера (1.10). Если определитель системы (1.5) = 0, то система либо вовсе не имеет решений (если хотя бы один из определителей х или у отличен от нуля), либо имеет бесконечно много решений (в случае = х = у = 0). Замечание. В случае, когда h1 = 0 и h2 = 0 система называется однородной. Однородная система всегда имеет тривиальное решение x 0, y 0 . Если определитель системы отличен от нуля, система имеет только тривиальное решение. Если же = 0, то однородная система имеет бесконечно много решений Таким образом, однородная система уравнений имеет нетривиальные решения в том и только в том случае, если еѐ определитель равен нулю. Уравнения системы (1.5) являются уравнениями прямых на плоскости. Числа х0 и у0, определяемые по формулам Крамера 46

(1.10), при 0 являются координатами точки пересечения этих прямых. В случае однородной системы уравнений точка пересечения прямых совпадает с началом координат ( x0 0, y0 0 ). 0 прямые, описываемые системой (1.5) В случае x y сливаются в одну, и все точки этой прямой образуют бесконечное множество решений системы. Это утверждение справедливо для однородной и неоднородной систем. Если же при 0 , x 0 или y 0 , то прямые, описываемые системой (1.5), параллельны (система не имеет решений). В случае однородной системы это невозможно, так как обе прямые проходят через начало координат. 1.3. Определители третьего порядка Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка a11 a12 a13 A a21 a22 a23 . a31 a32 a33

(1.12)

Определителем третьего порядка det A называется число, равное алгебраической сумме произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы: det A a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (1.13) a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32. Диагональ матрицы, образованная элементами a11, a22 , a33 , называется главной диагональю, а диагональ, образованная элементами a13, a22 , a31 , называется побочной диагональю. Для упрощения вычислений по формуле (1.13) построим вспомогательную матрицу, добавив к матрице (1.12) первый и второй столбцы. a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 . (1.14) a31 a32 a33 a31 a32 47

Легко видеть, что в формуле (1.13) элементы определителя, стоящие в произведениях, перед которыми стоит знак «плюс», расположены на главной диагонали и двух параллельных ей диагоналях матрицы (1.14), а произведения, перед которыми стоит знак минус, содержат элементы, принадлежащие побочной диагонали и двум параллельным ей диагоналям. Следует отметить, что обычно для вычисления определителей используются более рациональные соотношения, получаемые на основании исследования свойств определителей. 1.4. Свойства определителей Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы определителя поменять местами, т.е. a11 a12 a13 a11 a21 a31 a21 a22 a23 a12 a22 a32 . (1.15) a31 a32 a33 a13 a23 a33 Доказать это свойство можно вычислением определителей по формуле (1.13). Эта операция называется транспонированием. Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому последующие свойства будут формулироваться как для строк, так и для столбцов. Свойство 2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильна умножению его на число –1. Доказывается свойство вычислением по формуле (1.13). Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк определитель не изменится, а согласно свойству 2 изменит знак, т.е. 2 0 0. Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число. Иными словами, общий множитель всех элементов строки (или столбца) определителя можно вынести за знак определителя. 48

Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что число войдѐт в каждое произведение формулы (1.13), так как элементы определителя, входящие в произведения, выбираются «по одному из каждой стоки и каждого столбца матрицы». Свойство 5. Ели все элементы некоторой строки (или столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из предыдущего (при 0 ). Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. В самом деле, в силу свойства 4 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно свойству 3. Свойство 7. Если каждый элемент k-го столбца определителя является суммой двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из которых в k-ом столбце содержит первые слагаемые упомянутых сумм, а в k-ом столбце второго стоят вторые слагаемые, остальные же столбцы определителей совпадают со столбцами исходного определителя. Аналогичное утверждение справедливо для строк определителя. Например, a11 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 . a31 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33 Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что в каждое произведение формулы (1.13) войдет элемент k-го столбца, состоящий из двух слагаемых, вследствие чего каждое произведение распадется на два произведения. Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число , то величина определителя не изменится. Аналогичное утверждение справедливо и для строк определителя. В самом деле, полученный определитель можно разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исход49

ным, а второй равен нулю согласно свойству 6 как содержащий два пропорциональных столбца. Например, a11

a12

a12

a13

a11

a12

a13

a12

a12

a13

a21

a22

a22

a23

a21

a22

a23

a22

a22

a31

a32

a32

a33

a31

a32

a33

a32

a32

a23 . a33

Используя преобразования, не изменяющие величину определителя (согласно свойству 8), можно существенно упростить его вычисление. Полезным оказывается приведение определителя к треугольной форме, в которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. В этом случае вычисление определителя по формуле (1.13) упрощается, так как все еѐ слагаемые, кроме первого, равного произведению элементов главной диагонали, оказываются равными нулю. Числовой пример позволит пояснить суть метода. Пример 1.1. Вычислить определитель, приведя его к треугольной форме: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 0 1 2 0 1 2 2. 3 2 3 0 4 6 0 0 2 Решение. Чтобы получить нули в первом столбце определителя, из второй строки вычитаем удвоенную первую, и записываем результаты во второй строке. Затем из третьей строки вычитаем утроенную первую, и записываем результаты в третьей строке. Первая строка не изменяется. Чтобы получить нуль на месте элемента а32, из третьей строки второго определителя вычитаем его вторую строку, умноженную на 4, и записываем результаты в третьей строке третьего определителя. Первая и вторая строки переносятся из второго определителя в третий без изменений. В результате величина определителя оказалась равна произведению элементов главной диагонали третьего определителя, который приведен к треугольной форме. Аналогичными свойствами обладает определитель, в котором нулю равны все элементы, расположенные выше главной диагонали. 50

Нами рассмотрен простой пример. В более сложных случаях приходится применять некоторые другие преобразования, в частности переставлять столбцы и строки, выносить общие множители элементов строк или столбцов. В частности, это бывает необходимо, чтобы переместить в верхний левый угол матрицы самое простое число. Для формулирования ещѐ одного свойства нам потребуется ввести понятия алгебраического дополнения и минора. 1.5. Алгебраические дополнения и миноры Вернемся к вычислению определителя третьего порядка по формуле (1.13): a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 (1.16) a31 a32 a33 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 Сгруппируем члены правой части выражения (1.16), содержащие элементы первой строки определителя, и вынесем эти элементы за скобки: a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31 (1.17) a13 a21a32 a22a31 a11A11 a12 A12 a13A13. Выражения в скобках будем называть алгебраическими дополнениями элементов первой строки определителя и обозначать большими буквами с теми же индексами. Выражение (1.17) называется разложением определителя по элементам первой стоки. Аналогичным образом можно получить разложения определителя по элементам других строк, а так же по элементам столбцов определителя. Введем теперь понятие минора. Минором данного элемента определителя п-го порядка называется определитель (п – 1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием сроки и столбца, на пересечении которых стоит элемент. 51

Минор принято обозначать большой буквой M ij с теми же индексами, что и у элемента. Например, в определителе 3-го порядка: a22 a23 элементу a11 соответствует M 11 , a32 a33 a11 a31

элементу a22 соответствует M 22

a13 . a33

Легко убедиться в том, что алгебраические дополнения и миноры связаны соотношением Aij

1i

j

M ij .

(1.18)

Это «правило определения знаков» для определителя 3-го порядка удобно представить следующей матрицей: .

(1.19)

Разложение определителя по элементам первой строки теперь можно записать следующим образом: a11 a12 a13 a a a a23 a a22 a21 a22 a23 a11 22 a12 21 a13 21 . (1.20) a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33 Аналогичным образом можно вычислить определитель, записывая его разложение по любой строке или столбцу. Теперь можно сформулировать последнее свойство определителя. Свойство 9. Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя. Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю. Докажем последнее утверждение на примере определителя 3-го порядка: a a23 a a23 a a22 a21 22 a22 21 a23 21 a32 a33 a31 a33 a31 a32 52

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a31

a32

a33

0.

(1.21)

Здесь в первой строке записаны произведения элементов второй строки определителя на алгебраические дополнения элементов первой строки. Это выражение равно определителю 3-го порядка, который равен нулю, как содержащий две одинаковые строки. Утверждения свойства 9 справедливы и для столбцов. Кроме того, на основе свойства 9 возможно вычисление определителя способом, который называется «разложением определителя по элементам строки или столбца». 1.6. Система трех линейных уравнений Рассмотрим систему уравнений следующего вида: a11 x a12 y a13 z

h1 ,

a21 x a22 y a23 z

h2 ,

a31 x a32 y a33 z

h3 ,

(1.22)

где х, у и z – неизвестные, аij, hi – заданные числа. Упорядоченная тройка чисел х0, у0, z0 называется решением системы (1.22), если подстановка этих чисел в систему обращает все три уравнения в тождества. Теорема Крамера остается справедливой и для систем третьего и более высоких порядков (доказательство см. в пособии [1]). Формулы Крамера для системы (1.22) приобретают вид, x

x

,

y

y

, z

z

(1.23)

,

где a11

a12

a13

a21

a22

a23 ,

a31

a32

a33

x

53

h

a12

a13

h2

a22

a23

h3

a32

a33

y

a11

h1

a13

a21

h

a23 ,

a31

h3

a33

z

a11

a12

h1

a21

a22

h2 .

a31

a32

h3

Если определитель системы уравнений (1.22) 0 , то существует единственное решение системы, определяемое формулами Крамера (1.23). Проверка существования решения системы (1.22) осуществляется подстановкой полученных решений в уравнения системы. Каждое из уравнений системы (1.22) является уравнением плоскости в пространстве, а три числа x0 , y0 и z0 , являющиеся решением системы, суть координаты точки пересечения этих плоскостей. 1.7. Однородная система двух линейных уравнений Рассмотрим однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными, a11 x a12 y a13 z 0, (1.24) a21 x a22 y a23 z 0. Если все три определителя второго порядка, которые можно составить из коэффициентов при неизвестных, равны нулю: a11 a13 a12 a13 a11 a12 0, 0, 0, (1.25) a21 a23 a22 a23 a21 a22 то коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы будут пропорциональны, то есть a11 a12 a13 . (1.26) a21 a22 a23 Следовательно, второе уравнение является следствием первого, и его можно отбросить. Система (1.23) в этом случае имеет бесконечно много решений, так как координаты всех точек, принадлежащих плоскости, описываемой первым уравнением, являются решениями системы. Рассмотрим теперь случай, когда один из определителей (1.24) отличен от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что 54

a11

a12

a21

a22

0.

(1.27)

Тогда систему (1.24) можно записать иначе, a11 x a12 y a13 z , a21 x a22 y a23 z.

(1.28)

Решение системы представится в соответствии с формулами (1.10) в таком виде: a13 a12 a11 a13 a a22 a a23 x z 23 , y z 21 . (1.29) a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22 Если принять, что

z

t , решение системы можно запи-

a11 a12 a21 a22

сать в симметричной форме: a12 a13 x t, y a22 a23

a11 a13 t, a21 a23

z

a11

a12

a21 a22

t . (1.30)

Формулы (1.29) представляют уравнение прямой, по которой пересекаются две плоскости системы (1.23). Координаты всех точек этой прямой являются решениями системы (1.23), то есть система имеет бесконечно много решений. 1.8. Однородная система трех линейных уравнений Очевидно, что система a11 x a12 y a13 z 0, a21 x a22 y a23 z 0, a31 x a32 y a33 z 0

(1.31)

всегда имеет тривиальное решение: x0 0, y0 0, z0 0 (проверяется подстановкой в уравнения). Когда определитель системы 55

0 тривиальное решение является единственным (в силу формул (1.23)). Докажем, что при 0 система (1.30) имеет бесконечно много решений. Если все миноры второго порядка в определителе a11 a12 a13 a21 a22 a23 (1.32) a31 a32 a33 равны нулю, то соответствующие коэффициенты в уравнениях системы (1.31) пропорциональны. Значит, второе и третье уравнения системы являются следствиями первого и могут быть отброшены, а оставшееся единственное уравнение имеет бесконечно много решений (как отмечалось в предыдущем пункте). Осталось рассмотреть случай, когда хотя бы один минор второго порядка в определителе (1.32) отличен от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что a11 a12 0. a21 a22 Тогда, как установлено в п.1.7, система первых двух уравнений будет иметь бесконечное множество решений, определяемых формулами (1.30). Подставим эти решения в третье уравнение и убедимся, что оно обращается в тождество, a31 x a32 y a33 z

a31

=

a12

a13

a22

a23

a32

a11

a12

a13

a21

a22

a23 t

a31

a32

a33

a11

a13

a21

a23

t

a33

a11

a12

a21

a22

t

0,

так как определитель системы равен нулю по условию. Тем самым доказано, что однородная система уравнений (1.31) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда еѐ определитель равен нулю. 56

1.9. Неоднородная система трех линейных уравнений с определителем, равным нулю Вернемся к системе уравнений (1.22). Здесь возможны два случая: а) хотя бы один из определителей х, у или z отличен от нуля; б) все три определителя х, у и z равны нулю. В случае а) невозможно хотя бы одно из решений (1.23), следовательно, система уравнений (1.22) не имеет решений. В случае б) если система (1.22) имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений. Докажем это. Пусть система имеет решение х0, у0, z0. Тогда справедливы тождества a11 x0 a12 y0 a13 z0 h1 , a21 x0 a22 y0 a23 z0 h2 , (1.32) a31 x0 a32 y0 a33 z0 h3 . Вычитая из уравнений системы (1.22) тождества (1.32), получим систему уравнений a11 x x0 a12 y y0 a13 z z0 0, a21 x x0 a22 y y0 a23 z z0 0, (1.33) a31 x x0 a32 y y0 a33 z z0 0, эквивалентную системе (1.22). Но система (1.33) является однородной системой трех линейных уравнений относительно неизвестных (х – х0), (у – у0), (z –z0) с определителем = 0. Согласно п. 1.8. система (1.33), а вместе с ней и эквивалентная ей система (1.22) имеют бесконечно много решений. 1.10. Метод исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений (метод Гаусса) Вернемся к рассмотрению системы линейных уравнений (1.22): a11 x a12 y a13 z h1 , a21 x a22 y a23 z h2 , a31 x a32 y a33 z h3 . 57

Мы можем менять уравнения местами, умножать уравнения на произвольные числа, кроме нуля, а также складывать и вычитать уравнения. Видоизмененная система уравнений, полученная в результате проведения перечисленных преобразований, будет эквивалентна исходной. Матрица, составленная из коэффициентов системы аij дополненная столбцом свободных членов hi, называется расширенной матрицей. Она имеет вид, a11 a12 a13 h1 a21 a22 a23 h2 . (1.34) a31 a32 a33 h3 Применяя названные выше преобразования, можно привести матрицу (1.34) к треугольной форме. Восстановленная по этой матрице система уравнений будет эквивалентна исходной системе. Продолжая преобразования матрицы, можно привести еѐ к диагональной форме, в которой останутся отличные от нуля элементы главной диагонали и столбца свободных членов. Подставив в диагональную матрицу переменные x, y и z , получим решение системы. Рассмотрим на примерах случаи единственного решения, бесконечного множества решений и несовместной системы. x y z 1, Пример 1.2. Решить систему 2 x y 2 z 1, x y 3 z 2. Решение. Проведем необходимые преобразования с расширенной матрицей:

1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 2

1 0 0

1 1 1 0 0 2

1 1 1

1 1 1 0 1 0 0 0 1

1 1 1

2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1

2

1 1

.

2

Для приведения матрицы к треугольной форме мы вычли из второй строки удвоенную первую, а из третьей строки первую строку. Далее умножили вторую строку на –1, а третью строку на 1/2. Для 58

приведения матрицы к диагональной форме мы вычли из первой

x строки вторую и третью. Решение системы

1 , 2

y 1, получается z 1 2

после подстановки в последнюю матрицу переменных x, y и z . Пример 1.3. Решить систему

x

y z 1,

x

y 2 z 1,

x

y 3z 1.

Решение. Расширенную матрицу системы (1.37) приведем к треугольной форме и упростим, используя вычитание строк: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 0 1 1 3 1 0 0 2 0 0 0 0 0 Нулевая строка в третьей матрице может быть отброшена. Система уравнений, восстановленная по последней матрице, имеет x y 1, вид: z 0. Геометрической интерпретацией решения системы является прямая с уравнением y 1 x , лежащая на плоскости z 0 . Множество точек этой прямой образует бесконечное множество решений системы уравнений (1.36). x y z 1, Пример 1.4. Решить систему x y 2 z 1, x y 3z 2. Решение. Преобразования расширенной матрицы системы уравнений, аналогичные преобразованиям, поделанным при решении предыдущего примера, приводят нас к абсурдному результату: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 . 1 1 3 1 0 0 2 1 0 0 0 1 59

Восстанавливая систему уравнений по третьей матрице, на основании последней строки мы получим результат: 0 1 ! Такой или подобный результат свидетельствует о том, что рассматриваемая система уравнений несовместна и решений не имеет. Однозначный ответ на вопрос о совместности системы линейных уравнений дает теорема Кронекера–Капелли, формулируемая следующим образом: Если система линейных уравнений совместна, то ранг еѐ основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Это условие необходимое. Если же ранг расширенной матрицы не равен рангу основной матрицы, то система уравнений несовместна. Рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора матрицы. Ранг матрицы совпадает с числом линейно независимых строк матрицы Эти вопросы и понятия рассматриваются в соответствующих разделах линейной алгебры во втором семестре. Задачи для самостоятельного решения по пособию [2]: № 1207(1, 3), 1210 (1, 2), 1213, 1217, 1236, 1239, 1242, 1246, 1250.

Вопросы для повторения 1. Матрица, элемент матрицы aij, индексы i и j. 2. Матрица 2-го порядка, детерминант (определитель) матрицы 2-го порядка. 3. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, решение системы. Теорема Крамера для системы уравнений 2-го порядка (доказать). 4. Определенные, неопределенные и несовместные системы линейных неоднородных уравнений 2-го порядка. Дайте геометрическую интерпретацию. 5. Система однородных линейных уравнений 2-го порядка. Тривиальное нулевое решение системы. Существование ненулевых решений системы. Дайте геометрическую интерпретацию. 6. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. 7. Матрица 3-го порядка. Дайте определение детерминанта (определителя) матрицы. Вычисление детерминанта по определению. 60

8. Свойства 1–6 детерминанта. 9. Свойство 7 детерминанта (доказать). 10. Свойство 8 детерминанта (доказать). 11. Алгебраическое дополнение элемента определителя и минор элемента. Связь алгебраического дополнения и минора. 12. Свойство 9 детерминанта (доказать). Разложения определителя по элементам строк или столбцов. 13. Система трех неоднородных линейных уравнений. Решение системы. Теорема Крамера для системы уравнений 3-го порядка. 14. Определенная, неопределенная и несовместная системы уравнений 3-го порядка. Дайте геометрическую интерпретацию. 15. Система однородных линейных уравнений 3-го порядка. Тривиальное нулевое решение системы, существование ненулевых решений системы. Дайте геометрическую интерпретацию. 16. Нахождение решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 2.1. Декартовы координаты Направленные отрезки на оси. Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью. Выберем также единицу масштаба (рис. 2.1).

1

Отрезок AB на оси называется направРис. 2.1 ленным если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом. Величиной направленного отрезка АВ называется число, равное длине отрезка, взятое со знаком плюс, если направление отрезка и оси совпадают, и со знаком минус в противном случае. Если точки начала и конца отрезка совпадают, то отрезок «нулевой». Условием равенства двух направленных отрезков на оси является равенство их величин. Линейными операциями над направленными отрезками будем называть операции сложения таких отрезков и умножения направленного отрезка на вещественное число. 61

Для определения суммы направленных отрезков AB и CD совместим начало С второго отрезка с концом В первого отрезка. Полученный при этом отрезок AD называется суммой направленных отрезков. AB CD AD . (2.1) Теорема 2.1. Величина сумы направленных отрезков на оси равна сумме величин слагаемых. При любом расположении точек А, В, С и D на оси величины направленных отрезков удовлетворяют соотношению (2.2) AB CD AD . Рис. 2.2 наглядно иллюстрирует утверждение теоремы.

Произведением направленного отрезка AB на число

называется направлен-

ный отрезок, обозначаемый правленный так же, как AB при противоположно направленный при 0. Рис. 2.2

AB , на-

0 и

Величина направленного отрезка AB равна AB . Декартовы координаты на прямой. Эти координаты вводятся указанием направления на оси, выбором единицы измерения и точки О начала отсчѐта. Декартовой координатой х1 точки М1 будем называть величину направленного отрезка OM 1 (рис. 2.3). Пусть M1 x1 и M 2 x2 – две точки на оси. Установим выражение величины Рис. 2.3

M1M 2 направленного отрезка M1M 2 через координаты х1 и х2 его начала и конца. Теорема 2.2. Величина M1M 2 направленного отрезка M1M 2 равна x2

x1 , т.е.

M1M 2 x2 x1 . (2.3) Доказательство. Рассмотрим на оси три точки О, М1 и М2. Согласно теореме 2.1 справедливо равенство 62

(2.4) OM1 M1M 2 OM2 . Так как OM1 x1 а OM2 x2 , то из соотношения (2.4) следует соотношение (2.3). Теорема доказана. Следствие. Расстояние между точками M1 M 2 определяется по формуле M1 M 2 x2 x1 . (2.5) Декартовы координаты на плоскости образуют две взаимно перпендикулярные оси с общим началом отсчета и общей масштабной единицей. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат. Проекции точки М на оси Ох и Оу обозначим Мх и Му (рис. 2.4). Декартовыми прямоугольными координатами х и у точки М будем называть величины направленных отрезков ОМх и ОМу. Оси координат разбивают плоскость на четыре квадранта. В первом квадранте x 0 и y 0 , во втором x 0 , y 0 и Рис. 2.4 так далее при обходе начала координат в направлении против часовой стрелки. Декартовы координаты в пространстве. Вводятся аналогично декартовым координатам на плоскости. Три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом О и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве (рис. 2.5). Оси абсцисс и ординат здесь те же самые Ох и Оу. Третья ось Oz называется осью аппликат. Система координат называется правой, если из конца оси Оz кратчайший поворот от оси Ох к оси Оу виден происходящим в направлении против часовой стрелки. Рис. 2.5 Декартовыми прямоугольными координатами х, у, z точки М будем называть величины направленных отрезков ОМх, ОМу и ОМz. 63

Через каждую пару осей можно провести координатные плоскости xOy, xOz и yOz , которые разбивают пространство на восемь октантов. Нумерация октантов проводится в направлении против часовой стрелки. Первые четыре октанта расположены над плоскостью xOy , остальные под ней. 2.2 Полярные координаты Точку начала отсчета О совместим с точкой О декартовой системы координат на плоскости, полярную ось Ох совместим с осью абсцисс декартовой системы и выберем единицу масштаба (рис. 2.6). Полярными координатами точки М называются два числа и , первое из которых (полярный радиус ) равно расстоянию от точки М до полюса О, а второе (полярный угол ) – угол, на который нужно повернуть полярную ось до совмещения с радиусом ОМ. Рис. 2.6 (2.6) 0 , 0 2 . Положительное направление отсчѐта угла – против часовой стрелки. Связь между декартовыми и полярными координатами точки устанавливают следующие соотношения: (2.7) x cos , y sin . 2.3. Цилиндрические координаты На плоскости хОу трехмерной декартовой системы координат введѐм полярные координаты. Ось Oz сохраним. Цилиндрическими координатами точки М называются три числа , и z, смысл которых понятен из предыдущего (рис. 2.7). Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами точки устанавливают следующие соотношения: x cos , y sin , z z. (2.7*) 64

Рис 2.7

2.4 Сферические координаты Совместим начало отсчѐта О сферической системы координат с началом отсчета трехмерной декартовой системы (рис. 2.8). Здесь – расстояние от точки М до начала координат, – угол между отрезком OM и положительным направлением оси Oz , – полярный угол: 0 + ,0 2 , Рис. 2.8 0 . (2.8) По аналогии с географическими координатами именуют долготой, а – широтой. Однако в отличие от географических координат, = 0 на северном полюсе и = на южном. Связь между декартовыми и сферическими координатами точки устанавливают следующие соотношения: x sin cos , y sin sin , z cos . (2.9) Задачи для самостоятельного решения [2]: № 47, 49, 54(2), 55, 72, 93, 738.

Вопросы для повторения 1. Ось. Направленный отрезок на оси. Величина и длина направленного отрезка. Линейные операции над направленными отрезками. Теорема о величине суммы направленных отрезков. 65

2. Декартовы координаты на оси, на плоскости и в трехмерном пространстве. 3. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. Их связь с декартовыми координатами.

3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 3.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть направленный отрезок. Будем обозначать вектор либо как направленный отрезок AB , где точки А и В обозначают начало и конец вектора, либо малыми   латинскими буквами со стрелкой а , b . Для обозначения длины вектора будем использовать символ мо  дуля: например, a – это длина вектора а . Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, или на параллельных прямых.. Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Мы не различаем два равных вектора, имеющих различные точки приложения. В соответствии с этим вектора в аналитической геометрии считаются свободными. Линейными операциями над векторами принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на вещественное число.    Определение 3.1. Суммой а + b двух b   векторов называется вектор c , идущий из a   начала вектора а в конец вектора b , при   условии, что начало вектора b совмещено c  с концом вектора а (рис. 3.1). Для операции сложения векторов спраРис. 3.1 ведливы четыре аксиомы: 66

    1) а + b = b + а (переместительное свойство);       2) ( а + b ) + c = а +( b + c ) (сочетательное свойство);     3) существует нулевой вектор 0 , такой, что а + 0 = а ;  4) для каждого вектора а существует противоположный ему     вектор а , такой, что а + а = 0 .   Определение 3.2 Разностью а – b двух векторов называется





     показать, что d a b , где b – вектор, противоположный  вектору b . В самом деле,

вектор d , который в сумме с вектором b дает вектор a . Можно

  d b

  a b

 b





 a

 b

 b

 a 0

 a.

Если привести вектора a и b к общему началу и построить па раллелограмм на этих векторах, то вектор c совпадет с диагональю



параллелограмма, проходящей через общее начало, а вектор d совпадет с другой его диагональю. Ина-





че говоря, разность векторов a и b , приведенных к общему началу, есть



вектор d , направленный из конца вы-



читаемого вектора b в конец умень шаемого вектора a . Рис. 3.2 наглядно Рис. 3.2 иллюстрирует последние утверждения.   Определение 3.3. Произведением a вектора a на число   a , и направленазывается вектор b имеющий длину, равную  ние, совпадающее с направлением вектора a в случае 0 и противоположное в случае 0. Эта операция обладает следующими свойствами:     a b a b; 5)    a a a; 6)   a a. 7) Вектор единичной длины называется ортом и обозначается    символом e ( ea – это орт вектора a ). 67

 Очевидно что, a

  a ea , откуда следует, что   a e  . a

(3.1)

3.2. Линейная зависимость векторов

   Линейной комбинацией векторов a1, a2 ,, an будем называть выражение вида    (3.2) 1 a1 2 a2  n an , где

– произвольные числа.    Определение 3.4. Векторы a1, a2 ,, an называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа 1, 2, …, п, из которых хотя бы одно отлично от нуля, с которыми линейная комбинация обращается в нуль, т.е.    (3.3) 1 a1 2 a2  n a 0.    Определение 3.5. Векторы a1, a2 ,, an называются линейно независимыми если равенство нулю их линейной комбинации возможно только при равенстве нулю всех чисел 1, 2 ,, n .    Теорема 3.1. Если векторы a1, a2 ,, an линейно зависимы, то любой из них может быть представлен линейной комбинацией остальных. Доказательство. Пусть в линейной комбинации    (3.4) 1 a1 2 a2  n a 0, 1,

2 ,,

n

0 . Разделим все члены выражения (3.4) на 1 и перенесѐм  вправо от знака равенства все члены выражения, кроме a1 :  2  3  n  a1 a2 a3  an . (3.5) 1

1

Введем обозначения

1

2

2

1

,

3

1

получим

 a1

2

 a2

3

68

3

,,

1

 a3 

n

n

n

. Тогда

1

 an .

(3.6)

Теорема доказана, а поскольку выбор 1 0 был сделан произвольно, утверждение теоремы будет справедливо для любого значения п.    Следствие 1. Если в системе векторов a1, a2 ,, an один из векторов можно представить линейной комбинацией остальных, то система векторов линейно зависимая.  Доказательство. Пусть вектор a1 представлен линейной ком бинацией остальных векторов (см. выражение (3.6)). Перенесем a1 направо. Получим линейную комбинацию     (3.7) 1 a1 2 a2 3 a3  n a 0, в которой заведомо один коэффициент отличен от нуля 1 1. Следствие 1 доказано.    Следствие 2. Если в системе векторов a1, a2 ,, an ни один из векторов нельзя представить линейной комбинацией остальных, то система векторов линейно независимая. Следствие 2 легко доказать методом «от противного». Провести это доказательство предоставляется читателю. Простейшим случаем линейной зависимости векторов является пропорциональность:   (3.8) a2 a1 .   Очевидно, что векторы a1 и a2 коллинеарны. На основании следствия 2 можно утверждать, что любые два неколлинеарные вектора на плоскости линейно независимы (так как связать два неколлинеарные вектора на плоскости соотношением типа (3.8) невозможно). Определение 3.6. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Три вектора в пространстве линейно независимы, если среди них нет коллинеарных и нулевых векторов. В соответствии со следствием 2 теоремы 3.1 это следует из того очевидного факта,     что в системе векторов a1, a2 , a3 вектор a3 , не параллельный плос  кости, в которой лежат вектора a1 и a2 невозможно представить линейной комбинацией этих векторов. 69

Теорема 3.2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.    Доказательство. 1. Необходимость. Пусть три вектора a , b и c линейно зависимы. Докажем их компланарность. По определению линейной зависимости в линейной комбинации    (3.9) a b c 0 хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть 0 . Тогда из соотношения (3.9) следует    (3.10) c a b,

 . Следовательно, вектор c принадлежит плос  b , так как получен их кости, в которой лежат векторы a и сложением. Компланарность векторов доказана. 2. Достаточность. Доказательство линейной зависимости компланарных векторов вытекает непосредственно из следствия 1 теоремы 3.1. Оговаривается при этом отсутствие в тройке векторов    a , b и c коллинеарных и нулевых, так как в этом случае линейная зависимость векторов оказалась бы их тривиальным следствием.    Следствие 1. Три некомпланарные вектора a , b и c трехмерного пространства линейно независимы.  Доказательство. Интуитивно ясно, что вектор c , не парал  лельный плоскости, содержащей векторы a и b , не может быть представлен линейной комбинацией двух остальных, т.е. это – частный случай следствия 2 теоремы 3.1. Теорема 3.3. Любые четыре вектора трехмерного пространства линейно зависимы. Для доказательства теоремы в соответствии со следствием 1 теоремы 3.1 достаточно убедиться в том, что в системе векторов     a, b , c , d любой из векторов может быть представлен линейной комбинацией остальных. Приведем эти векторы к общему началу.    a, b и Построив параллелепипед на векторах c можно погде

,

70

 добрать значения коэффициентов , и так, чтобы вектор d оказался диагональю параллелепипеда. Тогда очевидно, что     d a b c. Аналогичное представление можно получить для любого вектора из четырех. Теорема доказана. При этом из рассмотрения исключаются тривиальные случаи наличия среди четырех векторов компланарных, коллинеарных и нулевых.    Определение 3.7. Три линейно независимых вектора a , b и c об разуют базис трехмерного пространства, если любой вектор d может быть представлен линейной комбинацией этих векторов. Любая тройка некомпланарных векторов образует базис трехмерного пространства.  В соответствии с этим определением для любого вектора d найдутся такие вещественные числа , и , что будет справедливо равенство     d a b c. (3.11)  Принято называть равенство (3.11) разложением вектора d по     базису a , b , c а числа , и координатами вектора d относительно данного базиса.     Теорема 3.4. Разложение вектора d по базису a , b , c единственное. Доказательство проведем методом «от противного». Допустим,



что существует второе разложение вектора d     d a b c. (3.12) Вычтем второе разложение из первого. Получим в итоге    a b c 0. (3.13) Из линейной независимости базисных векторов следует что, коэффициенты разложения, представленные круглыми скобками, обращаются в нуль, то есть: 0, 0, 0. (3.14) Единственность разложения доказана. 71

  Теорема 3.5. При сложении двух векторов d1 и d 2 их коорди   наты относительно любого базиса a , b , c складываются. При ум ножении вектора d1 на число все его координаты умножаются на это число. Доказательство. Пусть         d1 d2 1 a 1 b 1 c, 2 a 2 b 2 c. Тогда в силу свойств 1–7 линейных операций будут справедливы соотношения:      (3.15) d1 d 2 1 2 a 1 2 b 1 2 c,     (3.16) d1 1 a 1 b 1 c . Теорема доказана.

3.3. Вектор в декартовой прямоугольной системе координат  Определим проекцию вектора a M1M 2 на ось Ox . Проекции точек М1 и М2 на ось Ох – точки М1х и М2х. Это точки пересечения с осью Ох плоскостей 1 и 2 , проведенных через точки М1 и М2

перпендикулярно оси Ох (рис. 3.3). Проекцией вектора ПрOx M 1M 2 на ось Ох называется величина отрезка М1хМ2х: ПрOx M1M 2 X x2 x1 . (3.17) Здесь х1 и х2 – координаты точек начала и конца отрезка М1хМ2х.

Рис. 3.3

72

С другой стороны, если перенести вектор М1М2 (оставляя его параллельным исходному положению) до совмещения точек M 1 и

M 1x то проекцию вектора M 1 M 2 можно представить так: ПрOx M 1M 2

M 1M 2 cos .

(3.18)

 Проекция вектора a

M1M 2 на ось Ох  ПрOx a X x2 x1

 a cos . (3.19)  Аналогично представляются проекции вектора a на оси Оу и Оz:   ПрOy a Y y2 y1 a cos , (3.20)   ПрOz a Z z2 z1 a cos . (3.21)

В трехмерном пространстве принято использовать базис из трех    взаимно ортогональных векторов единичной длины i , j и k , которые являются ортами осей декартовой прямо-угольной системы координат. Такой базис называется ортонормированным.     Вектор a может быть разложен по базису i , j , k , то есть     a X i Y j Z k. (3.22) Коэффициенты разложения Х, Y, Z, опрелены однозначно, так  как равны проекциям вектора a на оси координат. Если совмес тить начало вектора a с началом координат (рис. 3.4), то вектор   a OA . Проекции вектора a на оси координат равны величинам отрезков OAx , OAy , OAz . Рис. 3.4

В соответствии с правилами сложения векторов OA OAx OAy

OAz .

(3.23)

С учетом соотношений (3.19), (3.20) и (3.21) можно записать:     a x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k 73

      (3.24) a i cos j cos k cos a ea ,      где ea – орт вектора a . Разложение орта по базису i , j , k имеет вид     (3.25) ea i cos j cos k cos . В соответствии с теоремой Пифагора для трехмерного случая  ea 1 cos2 cos2 cos2 , (3.26)

а также  a

X2 Y2

Z2

x2

x1

2

y2

y1

2

z2

z1 2 .

(3.27)

Принято называть cos , cos и cos направляющими косину сами вектора a , , и – углы между вектором и осями Ox, Oy и Oz .

cos cos cos

X X2 Y2 Y

Z2

X2 Y2 Z

Z2

X2 Y2

Z2

, ,

(3.28)

.

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 752, 757, 763, 781, 784, 785.

Вопросы для повторения 1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Системы аксиом для операций сложения векторов и умножения вектора на число. 2. Линейная зависимость векторов – определение. Теорема о линейной зависимости векторов и еѐ следствия. 3. Базис трехмерного пространства – определение. Разложение вектора по базису и координаты вектора относительно базиса. Теорема о единственности разложения вектора по базису. Теорема о преобразованиях координат вектора при сложении векторов и умножении вектора на число. 74

4. Ортонормированный базис в трехмерном пространстве. Орты декартовых осей координат. Правая и левая системы ортов и осей координат. 5. Проекции вектора на оси декартовой системы координат. Направляющие косинусы вектора. Орт вектора и его представление через направляющие косинусы.

4. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ Определение 4.1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:     a b a b cos (4.1) (скалярное произведение принято обозначать круглыми скобками). Используя представление проекции вектора на другой вектор, можно записать         a b a b cos a Пр a b b Прb a . (4.2) Теорема 4.1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Доказательство. Если оба вектора ненулевые, то доказательство необходимости и достаточности утверждения теоремы следует из того факта, что необходимым и достаточным условием равенства нулю cos является условие 2 k , то есть (4.3) cos 2 k 0. Скалярное произведение имеет следующие свойства:     b a ; 1) a b     a b a b , где 2) − число;        a c b c ; 3) a b c       4) a a 0 , если a 0 , a a 0 , если a 0 . Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, вынося за скобки числовые множители. 75

  Теорема 4.2. Проекция вектора b на вектор a равна скаляр  ному произведению вектора b на орт вектор a . Доказательство. Из соотношения (4.2) следует, что    a b   a   Прa b ea b . (4.4)   b a a   Теорема 4.2. Если вектора a и b представлены в виде разло   жений по базису i , j , k :         a X1 i Y1 j Z1 k , b X 2 i Y2 j Z 2 k , (4.5) то скалярное произведение этих векторов равно следующему выражению:   (a b ) X1 X 2 Y1 Y2 Z1 Z 2 . (4.6) Доказательство. Перемножив векторные многочлены (4.5), получим:           a b X1 X 2 i i X 1Y2 i j X 1Z 2 i k Y1 X 2 j i         Y1Y2 j j Y1Z 2 j k Z1 X 2 k i Z1Y2 k j (4.7)   Z1Z 2 k k X 1 X 2 Y1Y2 Z1Z 2 , поскольку       (i i ) ( j j ) (k k ) 1, (4.8)    а остальные скалярные произведения ортов i , j , k , ввиду их ортогональности, обращаются в нули. Следствие 1.    Прab b ea X 2 cos 1 Y2 cos 1 Z 2 cos 1. (4.9)  Здесь орт вектора a     ea i cos 1 j cos 1 k cos 1. (4.10) Следствие 2.   a b X 1 X 2 Y1Y2 Z1Z 2 cos . (4.11)   a b X 12 Y12 Z12 X 22 Y22 Z 22  Определение 4.2. Векторным произведением вектора a на      вектор b называется вектор c , обозначаемый символом c [a b ] 76

(векторное произведение обозначают квадратным скобками) и удовлетворяющий трем требованиям:    1) вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b ,  2) длина вектора c равна произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними:    c a b sin , (4.12)    3) упорядоченная тройка векторов a , b , c является правой. Определение 4.3. Упорядоченная тройка некомпланарных век   торов a , b , c является правой, если, после приведения векторов к  общему началу, вектор c располагается так, что из его конца   кратчайший поворот от a к b виден происходящим в направлении против часовой стрелки. (В противном случае тройка векторов считается левой.)    Это утверждение справедливо для тройки векторов i , j , k и для системы декартовых координат в пространстве. Векторное произведение имеет следующие алгебраические свойства:     1) [a b ] [b a ] (антиперестановочность);     [a b ] , 2) [{ a} b ]       3) [{ b} c ] [a c ] [b c ] ,   4) a a 0 . Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.   Доказательство. Если a 0 и b 0 , то доказательство необходимости и достаточности утверждения теоремы следует из (4.12) и того факта, что условие sin 0 при 0 также является необходимым и достаточным.   Теорема 4.4. Модуль векторного произведения [ a b ] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к об  щему началу векторах a и b . 77

Доказательство. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними. Доказательство теоремы следует из формулы (4.12). Теорема 4.5. Если векторы представлены разложениями по ба   зису i , j , k :         (4.13) a X1 i Y1 j Z1 k , b X 2 i Y2 j Z 2 k , то их векторное произведение имеет вид:    i j k   a b X 1 Y1 Z1 . (4.14) X 2 Y2 Z 2 Доказательство. получим, что     a b X1 X 2 i i   Y1Y2 j j Y1Z 2  i Y1Z 2 Y2 Z1  Y i 1 Y2

Перемножив векторные многочлены (4.13),

      X1Y2 i j X1Z 2 i k Y1 X 2 j i         j k Z1 X 2 k i Z1Y2 k j Z1Z 2 k k   j Z1 X 2 Z 2 X1 k X1Y2 X 2Y1 Z1  X1 Z1  X1 Y1 j k . Z2 X 2 Z2 X 2 Y2

(4.15)

Третья строка выражения (4.15) получена с учетом того, что              i i 0, i j k , i k j, j i k , j j 0, (4.16)            j k i, k i j, k j i , k k 0. (Знак минус в этих произведениях получается вследствие нару шения порядка в тройке ортов i j k .) Очевидно, что выражение (4.15) есть разложение определителя (4.14) по элементам первой строки. Теорема доказана.     a X1i Y1 j Z1k Следствие. Если два вектора и     b X 2i Y2 j Z 2 k коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е.

78

X1 Y1 Z1 (4.17) . X 2 Y2 Z 2 Доказательство. Поскольку векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, из соотношения (4.15) следует, что

Y1Z2

Y2 Z1, Z1 X 2

Z2 X1,

X1Y2

X 2Y1 .

(4.18)

Из первого равенства после деления на произведение Y2Z2 получим пропорцию

Y1 Y2

Z1 . Аналогичным образом из второго раZ2

Z1 X 1 . Следствие доказано. Z2 X 2 В пропорции (4.17) возможно появление нулей в знаменателе. В соответствии с (4.18) это означает, что соответствующий числитель тоже равен нулю.    Для последующих выкладок нам удобно считать, что [a b ] d .     Следствие 1. Если e d −орт вектора d , а S | [a b ] | − пло-

венства получаем пропорцию

щадь параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, приведенных к общему началу, то      d | [a b ] | ed S ed . (4.19)   Определение 4.4. Если векторное произведение [ a b ] умно    жить скалярно на вектор c , то число ( [a b ] c ) называется сме   шанным произведением векторов a , b и c .    Теорема 4.6. Смешанное произведение ( [a b ] c ) равно объѐму параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу    векторах a , b и c , взятому со знаком плюс, если тройка векторов   правая, и со знаком минус, если тройка ab c левая. Если же перемножаемые векторы компланарны, то их смешанное произведение ровно нулю (рис. 4.1). Доказательство. Тривиальный случай коллинеарности векторов   a и b исключим, так как векторное произведение коллинеарных 79

векторов равно нулю. Тогда, используя выражение (4.19), можно произвести следующее преобразование         h V . (4.20) ( [a b ] c ) = d c S ed c S Прd c S (Знак + берем в случае, если тройка векторов правая.)

 d

 c  Ïð d c

h  e d

 b

 a Рис. 4.1

    Если же вектора a , b и c компланарны, то вектор c лежит в    плоскости векторов a и b , следовательно, h Прd c 0 и V S h 0 . Теорема доказана. Следствие 1. Справедливо равенство

   a b c

   a b c

V

   a b c

(4.21) Объѐм параллелепипеда не зависит от того, какая пара векторов из тройки перемножается векторно. Знак произведения не изменяется, так как сохраняется порядок векторов и ориентация тройки векторов. Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Теорема 4.7. Если три вектора представлены разложениями    по базису i , j , k :             a i X1 j Y1 k Z1, b i X 2 j Y2 k Z 2 , c i X 3 j Y3 k Z3 , то их смешанное произведение равно следующему определителю: 80

X1

   a b c

Y1

Z1

X 2 Y2

Z2 .

X 3 Y3

Z3

(4.22)

Доказательство. Из формулы (4.15) следует, что:   a b

Y i 1 Y2

Z1 Z2

 X1 j X2

Z1 Z2

X Y k 1 1. X 2 Y2



Умножив скалярно этот вектор на вектор c , получим,    a b c

X3

Y1

Z1

Y2

Z2

Y3

X1

Z1

X2

Z2

Z3

X1

Y1

X 2 Y2

.

(4.23)

Полученное выражение (4.23) есть разложение определителя (4.22) по элементам третьей строки. Теорема доказана. Задачи для самостоятельного решения [2]: № 795, 800, 803, 812, 818, 820, 829, 834, 840, 847, 851, 858, 875, 877.

Вопросы для повторения 1. Скалярное произведение, определение. Геометрические и алгебраические свойства. 2. Скалярное произведение в декартовых координатах, (доказать). 3. Угол между векторами, условия перпендикулярности векторов. 4. Проекция одного вектора на другой или на произвольную ось. 5. Определение векторного произведения. Тройка векторов. Геометрические и алгебраические свойства векторного произведения. 6. Векторное произведение в декартовых координатах (доказать). 7. Условия коллинеарности векторов (доказать) 8. Смешанное произведение трех векторов. Геометрическая интерпретация (доказать). Условие компланарности трех векторов. 9. Смешанное произведение трех векторов в декартовых координатах (доказать).

81

   a b c

X1

Y1

Z1

X 2 Y2

Z2 .

X 3 Y3

Z3

(4.22)

Доказательство. Из формулы (4.15) следует, что:   a b

Y i 1 Y2

Z1 Z2

 X1 j X2

Z1 Z2

X Y k 1 1. X 2 Y2



Умножив скалярно этот вектор на вектор c , получим,    a b c

X3

Y1

Z1

Y2

Z2

Y3

X1

Z1

X2

Z2

Z3

X1

Y1

X 2 Y2

.

(4.23)

Полученное выражение (4.23) есть разложение определителя (4.22) по элементам третьей строки. Теорема доказана. Задачи для самостоятельного решения [2]: № 795, 800, 803, 812, 818, 820, 829, 834, 840, 847, 851, 858, 875, 877.

Вопросы для повторения 10. Скалярное произведение, определение. Геометрические и алгебраические свойства. 11. Скалярное произведение в декартовых координатах, (доказать). 12. Угол между векторами, условия перпендикулярности векторов. 13. Проекция одного вектора на другой или на произвольную ось. 14. Определение векторного произведения. Тройка векторов. Геометрические и алгебраические свойства векторного произведения. 15. Векторное произведение в декартовых координатах (доказать). 16. Условия коллинеарности векторов (доказать) 17. Смешанное произведение трех векторов. Геометрическая интерпретация (доказать). Условие компланарности трех векторов. 18. Смешанное произведение 3-х векторов в декартовых координатах (доказать).

82

5. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ 5.1. Общее уравнение прямой Определение 5.1. Уравнение (5.1) F x, y 0 называется уравнением линии на плоскости относительно заданной системы координат, если ему удовлетворяют координаты точек, принадлежащих некоторой линии L, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой линии. Определение 5.2. Линия называется алгебраической, если в некоторой прямоугольной системе координат F(x,y) есть полином некоторой степени. Алгебраическая линия называется линией n-го порядка если F(x,y) − полином степени n. Теорема 5.1. Если линия в некоторой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени п, то и в другой прямоугольной системе координат степень уравнения будет равна п. Без доказательства. В трехмерном пространстве определения 5.1 и 5.2 и утверждение теоремы 5.1 можно повторить, заменив слово «линия» словом «поверхность». Теорема 5.2. Если на плоскости фиксирована прямоугольная система координат Оху, то любая прямая L, принадлежащая плоскости, определяется в этой системе координат уравнением первой степени. Доказательство. При специальном выборе системы координат, если ось Ох совпадает с прямой, уравнение прямой у = 0 совпадает с уравнением оси Ох. В соответствии с утверждением теоремы 5.1 в любой другой прямоугольной системе координат степень уравнения сохранится. Пусть уравнение прямой имеет вид: A x B y C 0, A B 0. (5.1)

83

Пусть задана точка М0(х0, у0), координаты которой удовлетворяют уравнению (5.2) A x0 B y0 C 0 . Вычитая (5.2) из (5.1), получаем (5.3) A x x0 B y y0 0 . Дадим векторное истолкование уравнения (5.3).  Пусть А и В − координаты некоторого вектора n A, B , а (х – х0) и (у – у0) − компоненты вектоx x0 , y y0 , начало ра M 0 M которого совпадает с точкой M 0 x0 , y0 , а конец совпадает с произвольной точкой M x, y , принадлежащей прямой (рис. 5.1). Очевидно, что скалярное произведение  n M 0 M A x x0 B y

Рис. 5.1

y0

0

 является условием ортогональности векторов n и M 0 M .  Вектор n A, B называется нормальным вектором прямой. Уравнение (5.3) есть уравнение прямой, проходящей через точ ку M 0 x0 , y0 перпендикулярно вектору n . Уравнение (5.3) эквивалентно уравнению (5.1), которое называется общим уравнением прямой. При условии A B 0 рассмотрим неполные уравнения прямой. 1) C 0 . Уравнение A x B y 0 определяет прямую, проходящую через начало координат. 2) A 0 . Уравнение B y C 0 определяет уравнение прямой, параллельной оси Ox . 3) B 0 . Уравнение A x C 0 определяет уравнение прямой, параллельной оси Oy . 4) А = 0, С = 0. Уравнение B y 0 определяет уравнение оси Ох. 84

5) В = 0, С = 0. Уравнение A x 0 определяет уравнение оси Оу. Из уравнения (5.1) можно получить уравнение прямой в отрезках: x y (5.4) 1. a b В самом деле, уравнение x y (5.5) 1 C C A B получено из уравнения (5.1) с помощью элементарных алгебраичеC C ских преобразований. Обозначив a , получим урав,b A B нение (5.4). Чтобы найти координаты точки пересечения прямой с осью Ox , решим систему уравнений, состоящую из уравнения (5.4) и уравнения оси Ox . x y x 1, (5.6) 1 x a. a b a y 0 Аналогично можно получить, что y b координата точки пересечения с осью Oy . Определение 5.3. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором прямой. Пример 5.1. Составить уравнение прямой L, проходящей через  точку M1 x1, y1 параллельно вектору q l , m . Решение. Рассмотрим вектор M1M

Рис. 5.2

x

x1 , y

y1 , начало ко-

торого совпадает с точкой M1 , а конец − в произвольной точке M x, y (рис. 5.2). Чтобы точка M лежала на прямой

L , вектор M 1 M должен быть парал85



лелен вектору q . Условие параллельности векторов состоит в пропорциональности сходственных координат, из чего следует x x1 y y1 . (5.7) l m (Нуль в знаменателе в этой пропорции означает, что соответствующий числитель тоже обращается в нуль.) Это уравнение называется каноническим уравнением прямой. Приравняв выражение (5.7) параметру t , получим параметрические уравнения прямой: x x1 l t , (5.8) y y1 m t.    Если принять что, t − время, а v i l j m вектор скорости, то уравнения (5.8) определяют две проекции уравнения движения точки на координатные оси. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 x1, y1 и M 2 x2 , y2 , получим из уравнения (5.7), приняв, что направляющий вектор  q M1M 2 x2 x1 y2 y1 , (5.9) и подставив выражение (5.9) в (5.7): x x y y1 . (5.10) x2 x1 y2 y1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом k получим, приняв, что угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона на правляющего вектора q (рис. 5.3):

m . (5.11) l Умножив выражение (5.7) на число m и подставив в него (5.11), получим: m y y1 x x1 k x x1 . (5.12) l Если принять обозначение y1 k x1 b , уравнение примет вид k

tg

86

Рис. 5.2

(5.13) y k x b. Здесь y b координата точки пересечения прямой L с осью Oy, в чем легко убедиться, подставив в (5.13) уравнение оси Oy − x = 0. Косинус угла между прямыми, а также условия перпендикулярности и параллельности прямых очевидным образом связаны с соответствующими соотношениями между векторами: нормаль  ным − n , и направляющим − q .   n1 n2 A1 A2 B1 B2 cos , (5.14)   n1 n2 A12 B12 A22 B22   q1 q2 l1 l2 m1 m2 cos . (5.15)   2 q1 q2 l1 m12 l22 m22 Условия перпендикулярности двух прямых: (5.16) A1 A2 B1 B2 l1 l2 m1 m2 0 . Условия параллельности прямых: A1 B1 l m1 , или 1 (5.17) l2 m2 A2 B2 (ноль в знаменателях этих пропорций означает, что соответствующие числители тоже обращаются в ноль). В случае двух прямых с угловым коэффициентом 2 1, (5.18) tg 2 tg 1 k2 k1 tg tg 2 . 1 1 tg 1 tg 2 1 k1k2 Условие параллельности k2 k1 , (5.19) условие перпендикулярности 1 k2 . (5.20) k1 Чтобы получить нормальное уравнение прямой из начала координат опустим перпендикуляр на прямую L (рис. 5.4). Пусть Р − точка пересечения перпендикуляра с прямой L, длина отрезка  OP p , орт нормали en cos , sin . Чтобы точка M x, y ле87

жала на прямой, необходимо и достаточно, чтобы проекция вектора x, y на нормаль равнялась р:  Прn OM en OM x cos y sin p. Уравнение x cos y sin p 0 есть нормальное уравнение прямой. Пусть d − расстояние от точки M 0 x0 , y0 до прямой. Отклонение точки от прямой d , если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и d , если точка и начало координат лежат по одну сторону от прямой. PQ OQ p (5.23) Рис. 5.2 x0 cos y 0 sin p. Здесь  OQ Прn OM0 en OM0 x0 cos y0 sin . OM

(5.21) (5.22)

(5.24)

Очевидно, что общее уравнение прямой Ax By C 0 и нормальное уравнение прямой x cos y sin p 0 определяют одну и ту же прямую. Следовательно, существует такое число , что (5.25) A cos , B sin , C p, p 0 . cos2

sin 2

1

2

A2

B2

1

. (5.26) A B2 Из третьего равенства выражения (5.25) следует, что знак противоположен знаку С. Число называется нормирующим множителем. Для получения нормального уравнения прямой достаточно умножить общее уравнение на нормирующий множитель . Определение 5.3. Множество прямых, принадлежащих плоскости , пересекающихся в точке S0, называется пучком прямых. 88

2

Теорема 5.3. Уравнение (5.27) A1x B1 y C1 A2 x B2 y C2 0 есть уравнение пучка прямых, пересекающихся в точке S, если и не обращаются в нуль одновременно, а уравнения (5.28) A1x B1 y C 0 и A2 x B2 y C 0 суть уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S0. Любая прямая, проходящая через точку S0, определяется уравнением (5.27) при некоторых значениях чисел и . Доказательство. Преобразуем уравнение к следующему виду:

A1

A2 x

B1

B2 y

C1

C2

0.

(5.29)

Это уравнение прямой, если выражения в скобках не равны нулю одновременно. Предположим противное: пусть обе первые скобки равны нулю. Тогда A1 из , A1 A2 0 следует A2 из

B1

B2

B1 B2

0 следует

.

В итоге A1 B1 . (5.30) A2 B2 Это условие параллельности прямых (5.28) противоречит условиям теоремы. Тем самым доказано, что уравнение (5.27) всегда определяет некоторую прямую. Эта прямая проходит через точку S0 x0 , y0 , так как подстановка еѐ координат обращает в нуль каждое из уравнений (5.28), а следовательно, и уравнение (5.27). A1x0 B1 y0 C1 A2 x0 B2 y0 C2 0 . (5.31) Покажем, что любая прямая, принадлежащая пучку определяется уравнением (5.27) при некоторых значениях чисел и . Фиксируем точку M1 x1, y1 , отличную от точки S0 x0 , y0 . Эти две точки определяют прямую, принадлежащую пучку, единственным образом. 89

Подставив координаты точки M1 в уравнение (5.27), получим уравнение относительно неизвестных и : (5.32) A1x1 B1 y1 C1 A2 x1 B2 y1 C2 0 . В этом уравнении круглые скобки не могут обратиться в нуль одновременно, так как точка M1 не может принадлежать двум различным прямым, так как не совпадает с точкой S 0 (5.28). Пусть A1x1 B1 y1 C1 0 , Тогда A2 x1 B2 y1 C2 . (5.33) A1x1 B1 y1 C1 Из (5.33) значения и определяются с точностью до произвольного общего множителя. Можно представить уравнение пучка прямых в другом виде, разделив (5.27) на

0 и положив

:

(5.34) A1x B1 y C1 A2 x B2 y C2 0 . Уравнение (5.34) не эквивалентно (5.27), так как не позволяет получить прямую A2 x B2 y C2 0 . Случай 0 предоставляется рассмотреть читателю. 5.4. Примеры решения типовых задач Пример 5.1. Дана прямая A1x B1 y C1 0 и точка M 0 x0 , y0 . Составить уравнение прямой, походящей через данную точку параллельно заданной прямой.  Решение. Нормальный вектор прямой n1 A1, B1 , он же будет нормальным вектором искомой прямой. Чтобы «свободная точка» M x, y принадлежала искомой пряx x0 , y y0 должен быть перпендикулямой, вектор M 0 M  рен вектору n1 . Условие перпендикулярности векторов 90

 n1 M 0 M A1 x x0 B1 y y0 0 есть искомое уравнение. Раскрыв скобки и введя обозначение C2 A1x0 B1 y0 запишем найденное уравнение в общем виде

A1x B1 y C2

0.

Пример 5.2. Дана прямая A1x B1 y C1 0 и точка M 0 x0 , y0 . Составить уравнение прямой, походящей через данную точку перпендикулярно заданной прямой.  Решение. Нормальный вектор прямой n1 A1, B1 будет направляющим вектором для искомой прямой. Чтобы «свободная точка» M x, y принадлежала искомой пряx x0 , y y0 должен быть параллелен векмой, вектор M 0 M  тору n1 . Условие параллельности векторов

x

x0

y

y0

(5.35) A1 B1 есть искомое уравнение в каноническом виде. Умножив (5.35) на произведение A1 B1 0 и введя обозначение C3 B1x0 A1 y0 запишем искомое уравнение в общем виде (5.36) B1x A1 y C3 0 . Условия A1 0 или B1 0 означают, что соответствующие числители обращаются в нуль. Заметим, что в случае перпендикулярности прямых коэффициенты при переменных x и y меняются местами, а у одного из них меняется знак. Пример 5.3. Заданы уравнение пучка прямых A1x B1 y C1 A2 x B2 y C2 0 , (5.37) и прямая L3

A3 x B3 y C3 0 . Составить уравнение прямой, принадлежащей пучку, параллельной прямой L3 . Решение. Преобразуем уравнение (5.37) A1 A2 x B1 B2 y C1 C2 0 , 91

 Нормальный вектор n A1 A2 , B1 B2 параллелен векто ру n3 A3 , B3 . Условие параллельности векторов A1 A2 B1 B2 A3 B3 содержит единственную неизвестную величину . Определив подставив его в уравнение (5.37), получим искомое уравнение.

и

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 213, 223, 234, 236, 248, 261, 271, 292, 310, 312, 313, 315, 323, 334, 337, 349, 354.

Вопросы для повторения 1. Общее уравнение прямой линии на плоскости. Векторное истолкование уравнения прямой. Нормальный вектор прямой. Уравнения прямых частного положения. Уравнение прямой «в отрезках». Геометрическая интерпретация. Основные задачи, решаемые с помощью уравнений этих типов. 2. Направляющий вектор прямой. Каноническое и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Основные задачи, решаемые с помощью уравнений этих типов. 3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. 4. Нормальное уравнение прямой. Нормирующий множитель. Отклонение точки от прямой. Основные задачи для нормального уравнения прямой. 5. Определение пучка прямых. Уравнение пучка прямых. Основные задачи для уравнения пучка.

6. ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 6.1. Общее уравнение плоскости Теорема 6.1. Если в пространстве выбрана некоторая прямоугольная система координат, то уравнение первой степени относительно переменных x, y, z A x B y C z D 0 (6.1) 92

определяет в этой системе координат некоторую плоскость (при условии, что коэффициенты А, В, С не обращаются в нуль одновременно). Найдется точка M 0 x0 . y0 , z0 , координаты которой удовлетворяют уравнению (6.1): (6.2) A x0 B y0 C z0 D 0 . Вычитая уравнение (6.2) из (6.1), получим уравнение, эквивалентное исходному уравнению. (6.3) A x x0 B y y0 C z z0 0 . Это уравнение есть условие ортогональности нормального век тора n A, B, C и вектора M 0M

x x0 , y

y0 , z z0 ,

начало которого в фиксированной точке M 0 x0 , y0 , z0 , а конец в свободной точке М с произвольными координатами x, y и z (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Вектор M 0 M может изменять длину и вращаться вокруг векто ра n , оставаясь перпендикулярным к нему. Свободная точка M x, y, z , являющаяся концом вектора, будет при этом перемещаться по плоскости, проходящей через точку M 0 x0 , y0 , z0 пер пендикулярно вектору n . Следовательно, уравнение (6.3) есть уравнение плоскости с  нормальным вектором n , проходящей через фиксированную точку M 0 . Теорема доказана. Уравнение (6.1), эквивалентное уравнению (6.3), называется общим уравнением плоскости. 93

Рассмотрим неполные уравнения плоскости при условии A B C 0: 1) D 0 . Уравнение A x B y C z 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. 2) A 0 . Уравнение B y C z D 0 определяет плоскость,  параллельную оси Ox , так как еѐ нормальный вектор n 0, B, C перпендикулярен оси Ox . 3) A 0, B 0 . Уравнение C z D 0 определяет плоскость, перпендикулярную оси Oz , так как еѐ нормальный вектор  n 0, 0, C параллелен оси Oz . Остальные неполные уравнения плоскости рассматриваются аналогично. Уравнение плоскости «в отрезках» легко получить из уравнения (6.1), если перенести свободный член D направо от знака равенства, разделить на него левую часть уравнения и сделать очевидные алгебраические преобразования: x y z (6.4) 1. D D D A B C D D D Введем обозначения a, b, c , уравнение (6.4) A B C примет вид x y z (6.5) 1 . a b c Здесь числа a, b и c равны координатам точек пересечения плоскости с осями координат (рис. 6.2). Уравнение (6.5) имеет смысл при условиях D 0 и A B C 0 . Убедиться в этом можно, решив систему уравнений, состоящую из уравнения плоскости (6.5) и уравнений осей координат, например оси Ox : 94

Рис. 6.2

x a

y x b c y 0 z 0

1 x a

1

x

a.

(6.6)

Доказательства для точек b и с проводятся аналогично. Угол между плоскостями и условия параллельности и перпендикулярности плоскостей очевидным образом связаны с соответствующими условиями для их нормальных векторов Пусть заданы уравнения двух плоскостей 1 : A1 x B1 y C1 z D1 0, (6.7) 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0. Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. В данном случае это вектора   n1 A1, B1, C1 и n2 A2 , B2 , C2 . Косинус угла между векторами можно найти исходя из определения скалярного произведения     n1 n2 n1 n2 cos   n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 cos . (6.8)   n1 n2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 Условие ортогональности плоскостей следует из условия ортогональности их нормальных векторов, то есть равенства нулю их скалярного произведения:   (6.9) n1 n2 0 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 . Условия параллельности плоскостей следуют из условия коллинеарности их нормальных векторов: A1 B1 C1 . (6.10) A2 B2 C2 Пример 6.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Решение. Пусть заданы точки M1 x1, y1, z1 , M 2 x2 , y2 , z2 , M 3 x3 , y3 , z3 , не принадлежащие одной прямой. Тогда вектора 95

M1M 2

x2

x1; y2

y1; z2

z1 ,

M1M 3

x3

x1; y3

y1; z3

z1

не будут коллинеарными. Пусть точка M x, y, z «свободная точка» с произвольными координатами x, y, z , а вектор M1M x x1; y y1; z z1 – «свободный» вектор. Чтобы точка М (х, у, z) принадлежала плос-

кости, определяемой векторами M1M 2 и M 1M 3 необходимо и достаточно, чтобы все три вектора были компланарны, а их смешанное произведение равнялось нулю: x x1 y y1 z z1 M1M M1M 2 M1M 3 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 . (6.11) x3 x1 y3 y1 z3 z1 Уравнение (6.11) есть уравнение искомой плоскости. 6.2. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости Рассмотрим плоскость (рис 6.3). Из начала координат проведем нормаль к этой плоскости. Точку пересечения нормали с плоскостью обозначим Р. Величину отрезка ОР обозначим р. Орт нор мали OP обозначим en :  en cos ; cos ; cos . Чтобы свободная точка M x, y, z принадлежала плоскости , необходимо и достаточно чтобы проекция радиуса-

Рис. 6.3

x, y, z точки М на нормаль OP вектора OM x 0, y 0, z 0 равнялась числу р.  Прn OM OM en x cos y cos z cos p. (6.12) Нормальное уравнение плоскости получим, если в (6.12) перенесем влево от знака равенства число р: 96

(6.13) x cos y cos z cos p 0 Отклонение точки от плоскости. Пусть число d PQ − расстояние от точки M 0 x0 , y0 , z0 до плоскости. Отклонение точки от плоскости d , если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и d , если точка и начало координат лежат по одну сторону от плоскости: PQ OQ p x0 cos y0 cos z0 cos p . (6.14) Здесь  OQ Прn OM0 en OM0 x0 cos y0 cos z0 cos . (6.15) Нормальное уравнение плоскости (6.13) x cos y cos z cos p 0 и общее уравнение плоскости (6.1) A x B y C z D 0 определяют одну и ту же плоскость, следовательно, существует такое число , что (6.16) A cos , B cos , C cos , D p, cos 2

cos 2

cos 2

1 1

2

A2

B2 C 2

.

(6.17)

A2 B 2 C 2 Из четвертого равенства выражения (6.16) следует, что знак противоположен знаку D. Число называется нормирующим множителем. Для получения нормального уравнения плоскости достаточно умножить общее уравнение на нормирующий множитель . Отклонение точки от плоскости получим, подставив координаты точки M 0 x0 , y0 в уравнение (6.14).

6.3. Уравнение пучка плоскостей Определение 6.1. Множество плоскостей, пересекающихся по одной прямой L, называется пучком плоскостей. 97

Теорема 6.2. Уравнение A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0 (6.18) есть уравнение пучка плоскостей, если и не обращаются в нуль одновременно, а уравнения (6.19) A1x B1 y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0 суть уравнения двух плоскостей, пересекающихся по прямой L. Любая плоскость, проходящая через прямую L, определяется уравнением (6.19) при некоторых значениях чисел и . Доказательство. Преобразуем уравнение к виду A1 A2 x B1 B2 y (6.20) C1 C2 z D1 D2 0. Это – уравнение плоскости, если выражения в скобках не равны нулю одновременно. Предположим противное. Тогда A1 из , A1 A2 0 следует A2 из

B1

B2

0

следует

B1 B2

,

из

D1

D2

0

следует

D1 D2

.

В итоге A1 B1 D1 . (6.21) A2 B2 D2 Это – условие параллельности плоскостей (6.19), что противоречит условиям теоремы. Тем самым доказано, что уравнение (6.18) всегда определяет некоторую плоскость. Покажем, что любая плоскость, принадлежащая пучку определяется уравнением (6.18) при некоторых значениях чисел и . Фиксируем точку M1 x1, y1, z1 , не принадлежащую прямой L. Точ-

ка M1 и прямая L определяют плоскость, принадлежащую пучку, единственным образом. Подставив координаты точки M1 в уравнение (6.18), получим уравнение относительно неизвестных и : 98

A1x1 B1 y1 C1z1 D1 A2 x1 B2 y1 C2 z1 D2 0 . В этом уравнении выражения в круглых скобках не могут обратиться в нуль одновременно, так как точка M1 не может принадлежать двум различным плоскостям (6.19). Пусть A1x1 B1 y1 C1z1 D1 0 , тогда A2 x1 B2 y1 C2 z1 D2 . (6.22) A1x1 B1 y1 C1z1 D Из (6.22) значения и определяются с точностью до произвольного общего множителя. Можно представить уравнение пучка плоскостей в другом виде, разделив (6.18) на

и положив

A1x B1 y C1z

D1

:

A2 x B2 y C2 z

D2

0.

(6.23)

6.4. Примеры решения типовых задач Пример 6.2. Дана плоскость A1x B1 y C1z D1 0 и точка M 0 x0 , y0 , z0 . Составить уравнение плоскости, походящей через данную точку параллельно заданной плоскости. Решение. Нормальный вектор заданной плоскости  n1 A1, B1, C1 , он же будет нормальным вектором искомой плоскости. Чтобы «свободная точка» M x, y, z принадлежала искомой плоскости, вектор M 0 M

x x0 , y y0 , z z0 должен быть  перпендикулярен вектору n1 . Условие перпендикулярности векторов  n1 M 0 M A1 x x0 B1 y y0 C1 z z1 0 (6.24) есть искомое уравнение. Раскрыв скобки и введя обозначение D2 A1x0 B1 y0 C1z0 запишем найденное уравнение в общем

виде A1x B1 y C2 z

D2

0. 99

Пример 6.3. Задано уравнение пучка плоскостей A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0 , (6.25) и плоскость 3 A3 x B3 y C3 z D3 0 . Составить уравнение плоскости, принадлежащей пучку, параллельной плоскости 3 . Решение. Преобразуем уравнение (6.25): A1 A2 x B1 B2 y C1 C2 z D1 D2 0 . Это – уравнение искомой плоскости. Его нормальный вектор, имеющий вид  n A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 ,  параллелен вектору n3 A3 , B3 , C3 . Условие параллельности векторов A1 A2 B1 B2 C1 C2 A3 B3 C3 содержит единственную неизвестную величину . Определив число и подставив его в уравнение (6.25), получим уравнение искомой плоскости. Связка плоскостей есть множество плоскостей, имеющих одну общую точку M 0 x0 , y0 , z0 . Уравнение связки плоскостей имеет вид A x x0 B y y0 C z z0 0 . В этом уравнении фиксированы координаты точки М0, а коэффициенты A, B, C произвольные числа, не обращающиеся в нуль одновременно. Задачи для самостоятельного решения [2]: № 913, 919, 920, 927, 931, 942, 946, 952, 961, 964, 973.

Вопросы для повторения 1. Общее уравнение плоскости. Векторное истолкование уравнения плоскости. Нормальный вектор плоскости. Уравнения плоскостей частного положения. Уравнение плоскости «в отрезках». Геометрическая интерпретация. Основные задачи, решаемые с помощью уравнений этих типов. 2. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. 100

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум заданным векторам. 4. Нормальное уравнение плоскости. Нормирующий множитель. Отклонение точки от плоскости. Основные задачи для нормального уравнения плоскости. 5. Определение пучка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей. Основные задачи для уравнения пучка.

7. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. A1 x B1 y C1 z D1 0, (7.1) A2 x B2 y C2 z D2 0. Часто удобнее канонический вид уравнения прямой.  Определение 7.1. Любой ненулевой вектор q l , m, n , параллельный данной прямой будем называть направляющим вектором прямой. Пример 7.1. Составить уравнение прямой L, проходящей через  точку M1 x1, y1, z1 параллельно вектору q l , m, n . Решение. Рассмотрим вектор M1M

x

x1 , y

y1 , z

z1 ,

начало которого совпадает с точкой M1 , а конец − в произвольной точке M x, y, z (рис. 7.1). Чтобы точка М лежала на прямой L,

Рис. 7.1

вектор M 1M должен быть параллелен  вектору q . Условие параллельности векторов состоит в пропорциональности сходственных координат, из чего следует x x1 y y1 z z1 . (7.2) l m n 101

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве. Приравняв выражение (7.2) параметру t , получим параметрические уравнения прямой. x x1 l t , y y1 m t , (7.3) z z1 n t. Эти уравнения имеют наглядное физическое истолкование. Если     принять, что t − время, а v i l j m k n – вектор скорости, то уравнения (7.3) − это три проекции уравнения движения точки на координатные оси. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Зададим точки M1 x1, y1, z1 и M 2 x2 , y2 , z2 и примем, что направляющий вектор  q M1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 . (7.4) Из уравнения (7.2), подставив в него выражение (7.4), получим x x1 y y1 z z1 . (7.5) x2 x1 y2 y1 z2 z1 Чтобы привести к каноническому виду уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей, нужно найти направляющий вектор прямой и точку, лежащую на прямой. Длина вектора − произвольная, точка, лежащая на прямой, − любая. Пусть прямая есть линия пересечения плоскостей A1 x B1 y C1 z D1

0,

(7.6) A2 x B2 y C2 z D2 0.  Направляющий вектор прямой q ортогонален каждому из нор  мальных векторов плоскостей n1 A1, B1, C1 и n2 A2 , B2 , C2 .  Поэтому определим вектор q , как векторное произведение нормальных векторов

102

 q

 i A1

 j B1

 k C1

A2

B2

C2

B1

C1

 B1 i B2

 A1 j A2

C1 C2

C1 C2

 A k 1 A2

B1 . B2

(7.7)

 Компоненты вектора q будут иметь вид l

B2 C2

 ; m

C1

A1

C2

A2

 ; n

A1

B1

A2

B2

.

(7.8)

Для определения координат точки, лежащей на прямой, добавим в систему уравнений (7.6) уравнение третьей плоскости. Удобно добавить одну из координатных плоскостей x 0, y 0 или z 0 . Чтобы получающаяся система уравнений второго порядка имела единственное решение, еѐ главный определитель не должен обращаться в нуль. Это накладывает ограничения на выбор координатной плоскости. Пусть z 0 . Пусть в полученной системе уравнений A1 x B1 y D1 0, (7.9) A2 x B2 y D2 0. главный определитель

A1

B1

A2

B2

0 . Тогда координаты иско-

мой точки определяются по формулам Крамера D1 B1 A1 D1 D2 B2 A2 D2 x0 ; y0 ; z0 A1 B1 A1 B1 A2 B2 A2 B2

0.

(7.10)

Искомое каноническое уравнение запишем в следующем виде

x x0 B1 C1 B2 C 2

y y0 C1 A1 C 2 A2

z 0 A1 B1 A2 B2

(7.11)

Угол между прямыми, а также условия перпендикулярности и параллельности прямых очевидным образом связаны с соответ103

ствующими соотношениями между их направляющими векторами  q.   q1 q2 l1 l2 m1 m2 n1 n2 cos . (7.12)   2 q1 q2 l1 m12 n12 l22 m22 n22 Условие перпендикулярности двух прямых:   (7.13) q1 q2 l1 l2 m1 m2 n1 n2 0 . Условия параллельности прямых: l1 m1 n1 (7.14) l2 m2 n2 (ноль в знаменателе в этой пропорции означает, что соответствующий числитель тоже обращается в ноль.) Угол между плоскостью (7.15) Ax By Cz D 0 и прямой x x1 y y1 z z1 (7.16) l m n определяется как дополнительный к углу между нормальным век тором плоскости n A, B, C и направляющим вектором прямой  q l , m, n . Если угол между векторами обозначить , а угол между прямой и плоскостью , то . Следовательно: 2   n q A l B m C n cos sin . (7.17)   2 n q A B 2 C 2 l 2 m2 n2   Условие перпендикулярности векторов n и q   n q A l B m C n 0 (7.18) соответствует параллельности прямой и плоскости, а условие па  раллельности векторов n и q A B C (7.19) l m n означает перпендикулярность прямой и плоскости. Для того чтобы прямая (7.16) принадлежала плоскости (7.15), должны быть выполнены два условия: 1) условие параллельности прямой и плоскости 104

(7.20) A l B m C n 0; 2) координаты точки M1 x1, y1, z1 , принадлежащей прямой, должны обращать уравнение плоскости в тождество (7.21) A x1 B y1 C z1 D 0 . Для того чтобы две прямые x x1 y y1 z z1 (7.22) l1 m1 n1 и x x2 y y2 z z21 (7.23) l2 m2 n2 принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три вектора   q1 l1, m1, n1 , q2 l2 , m2 , n2 , M1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 были компланарны. Приравняв нулю смешанное произведение этих векторов, получим условие принадлежности двух прямых к одной плоскости: x2 x1 y2 y1 z2 z1   M1M 2 q1 q2 l1 m1 n1 0. (7.24)

l2

m2

n2

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 983, 985, 991, 1003, 1005, 1007, 1009, 1012, 1018, 1024, 1029, 1030.

Вопросы для повторения 1. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Направляющий вектор прямой. Векторное истолкование канонического уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой в пространстве. 2. Представление прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостей, каноническим уравнением. 3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

105

8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Пример 8.1. Найти точку пересечения прямой

x x1 l

y

y1

z

z1

m

(8.1)

n

и плоскости

Ax Dy Cz D

0.

(8.2) Решение. Приравняем выражение (8.1) к параметру t и выразим через него x, y и z :

x

x1

y

l

y1 m

x

x1

y

y1

z

z1

z

z1

n l t, m t, n t.

t,

(8.3)

(8.4)

Подставим x, y и z из (8.4) в уравнение плоскости (8.5) A x1 l t B y1 m t C z1 n t D 0 . Координаты точки пересечения прямой и плоскости получим, подставив значение t 0 , найденное из (8.5), в уравнения (8.4): x0 x1 l t0 , y0 y1 m t0 , z0 z1 n t0 .

(8.6)

Пример 8.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 2 x2 , y2 , z2 и прямую

x x1 y y1 z z1 . (8.7) l m n Решение. Положение искомой плоскости определяют два векто ра: направляющий вектор прямой q l , m, n и вектор M1M 2

x2

x1 , y2

y1 , z2

z1 ,

точка начала которого M1 x1, y1, z1 принадлежит прямой. Введем в рассмотрение «свободный вектор» 106

M1M

x

x1 , y

z1 ,

y1 , z

конечная точка которого M x, y, z − произвольная точка пространства. Чтобы эта точка принадлежала искомой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три рассматриваемые вектора были компланарны, а их смешанное произведение равнялось нулю. Исходя из этого запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме: x x1 y y1 z z  M1M M1M 2 q x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 . (8.8) l m n Частным случаем рассмотренной задачи является задача о плоскости, проходящей через две параллельные прямые. В этом случае точка M 2 x2 , y2 , z2 берется со второй прямой x

x1

y

l1 x

x2

y1

z

m1 y

y2

z1 n1

z

,

(8.9)

z21

(8.10) l1 m1 n1 и ход решения повторяется. Пример 8.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно второй. x x1 y y1 z z1 , (8.11) l1 m1 n1 x x2 y y2 z z21 . (8.12) l2 m2 n2 Решение. Ориентацию в пространстве искомой плоскости определяют направляющие вектора прямых   q1 l1, m1, n1 и q2 l2 , m2 , n2 . Введем в рассмотрение «свободный вектор» M1M

x

x1 , y

y1 , z

z1 ,

конечная точка которого M x, y, z − произвольная точка пространства, а начальная точка M1 x1, y1, z1 взята с первой прямой. 107

Из условия компланарности рассматриваемых векторов запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме. x x1 y y1 z z1   M1M q1 q2 l1 m1 n1 0. (8.13) l2 m2 n2 Пример 8.4. Составить уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых x x1 y y1 z z1 (8.14) , l1 m1 n1 x x2 l2

y

y2 m2

z z21 . n2

(8.15)

 Решение. Направляющий вектор q3 l3 , m3 , n3 искомой прямой вычисляем как векторное произведение направляющих векторов   заданных прямых q1 l1, m1, n1 и q2 l2 , m2 , n2 .    Так как по условиям задачи q3 перпендикулярен q1 и q2 , то    q3 q1 q2    i j k  m1 n1  l1 n1  l1 m1 l1 m1 n1 i j k . (8.16) m2 n2 l2 n2 l2 m2 l2 m2 n2   Из условия компланарности векторов q1 , q3 и свободного вектора

M1M

x

x1 , y

z1 , начальная точка которого

y1 , z

M1 x1, y1, z1 взята с первой прямой, запишем в матричной форме уравнение плоскости, проходящей через первую прямую парал лельно вектору q3 :   M1M q1 q3

x

x1

y

y1

z

z1

l1

m1

n1

l3

m3

n3

0.

(8.17)

  Аналогично, из условия компланарности векторов q2 , q3 и свободного вектора 108

M 2M

x

x2 , y

y2 , z

z2 ,

начальная точка которого M 2 x2 , y2 , z2 взята со второй прямой, запишем в матричной форме уравнение плоскости, проходящей  через вторую прямую параллельно вектору q3 :   M 2 M q1 q3

x

x1

y

y1

z

z1

l2

m2

n2

l3

m3

n3

0.

(8.18)

Линия пересечения этих плоскостей и есть искомый общий перпендикуляр. Чтобы получить искомый общий перпендикуляр в каноническом виде, можно найти точку M 0 x0 , y0 , z0 , в которой пересекается вторая прямая с плоскостью (8.17) (способ нахождения этой точки рассмотрен в примере 8.1), и записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M 0 с направляющим векто ром q3 : x x0 y y0 z z0 . (8.19) l3 m3 n3 Пример 8.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 3 x3 , y3 , z3 и пересекающейся с каждой из скрещивающихся прямых x x1 y y1 z z1 (8.20) l1 m1 n1 и x x2 y y2 z z2 . (8.21) l2 m2 n2 Решение. Через точку M 3 и каждую из прямых можно провести плоскость (пример 8.2). Линия пересечения этих плоскостей и есть искомая прямая. Задачи для самостоятельного решения [2]: № 1039, 1044, 1050, 1052, 1066, 1071, 1072, 1078, 1083.

109

9. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 9.1. Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная. Если фокусы совпадают, то эллипс превращается в окружность. Ось Ох проведем через точки F1 и F2 , начало координат поместим в среднюю точку отрезка F1F2 (рис. 9.1). Расстояние между фокусами примем за 2c , Обозначим через r1 и r2 длины отрезков F1M и F2 M . Пусть r1 r2 2a , Рис. 9.1 тогда при a c r1

x c

2

y 2 , r2

x c

2

y2 .

(9.1)

В соответствии с определением эллипса: x c

2

y2

x c

2

y2

2a .

(9.2)

Это уже уравнение эллипса. С помощью стандартного приѐма уничтожения радикалов оно приводится к каноническому виду x2

y2

a2

b2

1,

где b2 a2 c2 . Графическое изображение эллипса представлено на рис. 9.2. Величины а и b называются большой и малой полуосями эллипса. Координаты точек пересечения эллипса b с осями координат x a и y легко получить, подставив в уравнение (9.3) уравнения осей координат y 0 и x 110

(9.3)

Рис. 9.2

0.

9.2. Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная. Обозначим через r1 и r2 длины отрезков F1M и F2 M . Пусть r1 r2

2a , тогда будет a c .

Систему координат выберем так же, как при выводе уравнения эллипса (см. рис. 9.1). Согласно определению гиперболы, еѐ уравнение будет иметь следующий вид:

x c

2

y2

x c

2

y2

2a .

(9.4)

С помощью стандартного приѐма уничтожения радикалов оно приводится к каноническому виду:

x2

y2

a2

b2

1,

(9.5)

где b 2 c 2 a 2 . Гипербола пересекает ось Ох в точках x a и x a , в чем легко убедиться, подставив в уравнение гиперболы (9.5) уравнение оси Ox – y

0 . Получим уравнение

x2 a2

1 , решения которого

имеют вид x a и x a. Асимптотами гиперболы являются прямые с уравнениями b (9.6) Y x. a Чтобы убедиться в этом, получим из уравнения (9.5) явное выражение для y : b 2 (9.7) y x a2 a и рассмотрим поведение разности Y y при x . Тогда

111

b lim x ax

x2

b x2 lim ax x

a2

a2

b lim ax

x2

a2

x2

a2

(9.8)

0.

a2 1 2 x

x1 Утверждение (9.6) доказано.

9.3. Парабола Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние r от некоторой точки F , именуемой фокусом, равно расстоянию d до некоторой прямой, именуемой директрисой. Для вывода уравнения параболы точку F поместим на оси Ox p на расстоянии, равном вправо от 2 начала координат, а директрису проведем параллельно оси Оу на таком же расстоянии влево от начала координат (рис. 9.3.) Рис. 9.3 В соответствии с определением параболы r

d,

r

x

2

p 2

y2 , d

x

p

2.

(9.9)

Подставив r и d в равенство r = d и возведя во вторую степень левую и правую части равенства, получим:

x2

p x

p2

y2

y2

2p x .

x2

p x

p2

. (9.10) 4 4 После упрощений в выражении (9.10) получим каноническое уравнение параболы: 112

(9.11)

9.4. Уравнения кривых второго порядка Общее определение кривых второго порядка. С помощью представлений о директрисах можно сформулировать единое определение кривых второго порядка. Для этого необходимо ввести понятие эксцентриситета кривой второго порядка. Пусть 2с – расстояние между фокусами эллипса, а 2а – длина c главной оси, тогда e – эксцентриситет эллипса. Для гипербоa лы эксцентриситет определяется аналогично. Для эллипса: c a 2 b2 b2 1 1. (9.12) a a a2 Директрисы эллипса перпендикулярны его главной оси и расположены по обе стороны от центра на расстоянии a e a (так как e 1 ). Для гиперболы: c

a2

b2 , e

c a2 b b2 1 1. (9.13) a a a Директрисы гиперболы перпендикулярны еѐ главной оси и расположены по обе стороны от центра на расстоянии a e a (так как e 1 ). Эксцентриситет окружности равен нулю. Эксцентриситет параболы равен единице. Определение. Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение е расстояния r до точки F (фокуса) к расстоянию d до директрисы есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e 1 ), гиперболу (при e 1 ) или параболу (при e 1 ). Полярное уравнение кривых второго порядка. Если – угол между осью Ох и отрезком FM (рис. 9.4), а р – расстояние от фокуса кривой до директрисы, то c

a2

b2 , e

113

d r d r

p r cos , r e, p r cos p e r e cos .

Откуда следует, что p e (9.14) . 1 e cos Уравнение (9.14) справедливо для параболы, эллипса и «своей» ветви гиперболы (если фокус и директриса расположены по одну сторону от центра кривой). Для другой ветви гиперболы справедливо уравнение p e . (9.15) r 1 e cos Приведение кривых второго порядка к каноническому виду. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид: r 1 e cos

p e, r

a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 0 . (9.16) Для приведения уравнения (9.16) к каноническому виду нужно, чтобы коэффициенты a12, a13, a23 приняли нулевые значения. Этого можно добиться за счѐт переноса начала координат и поворота системы координат. При переносе начала координат в точку O1 x0 , y0 соотношения между старыми и новыми координатами имеют вид x x0 ~ x, (9.17) y y ~ y, 0

при повороте осей на угол x x cos y sin , (9.18) y x sin y cos . x, ~ y и x, y Смысл обозначений ~ очевиден из соотношений (9.17) и Рис. 9.4 (9.18). Подставив (9.17) в уравнение (9.16), получим: 114

a22

a11 ~ x 2 2~ x x0 x02 2a12 ~ y 2 2~ y y0 y02 2a13 x0

~ x~ y ~ x y0 x0 ~ y x0 y0 ~ x 2a23 y0 ~ y a33

0.

Перегруппируем члены уравнения: ~ x 2 a11 2 ~ x~ y a12 ~ y 2 a22 2 ~ x a11 x0 a12 y0 a13 2~ y a12 x0 a22 y0 a23 a11 x02 a22 y02 2a12 x0 y0 2a13 x0

2a23 y0

a33

(9.19)

0.

Выберем x0 и y0 так, чтобы коэффициенты при ~ x и ~y обратились в нуль. Для этого решим следующую систему уравнений: a11 x0 a12 y0 a13 0, (9.20) a12 x0 a22 y0 a23 0. Решение системы существует только в случае a11 a12 0, a12 a22 поэтому начинать следует с вычисления значения ( 0 для эллипса, 0 для гиперболы, 0 для параболы). Последнее обстоятельство заставляет начинать преобразование уравнения параболы с поворота осей координат. Из выражения (9.19) очевидно, что коэффициенты при старших степенях х и у при переносе начала координат не изменяются. Последние шесть членов выражения (9.19) перегруппируем следующим образом: x0 a11x0 a12 y0 a13 y0 a12x0 a22 y0 a23 (9.21) a x a y a a~ . 13 0

23 0

33

33

Содержимое круглых скобок в соответствии с (9.20) обращается в нуль, а три оставшиеся члена выражения позволяют найти новое значение свободного члена a~33 преобразованного уравнения кривой. В итоге, уравнение (9.16) приобретает следующий вид: a ~ x 2 2a ~ x ~ y a ~ y 2 a~ 0. (9.22) 11

12

22

115

33

Кривая, описываемая этим уравнением симметрична относительно центра, так как выполняется условие f x, y f x, y . Очевидно, что центр симметрии кривой это точка O x0 , y0 . Поворот системы координат вокруг центра симметрии кривой позволяет избавиться от перекрестного члена уравнения (9.22). Подставив в уравнение (9.22) соотношения (9.18) и перегруппировав члены полученного выражения, из условия обращения в нуль коэффициента при перекрестном члене, получим соотношение a12 sin 2

a22

a11 sin

cos

a12 cos2

0.

Разделив его на cos 2 , получим квадратное уравнение для tg : a12 tg2

a22

a11 tg

Это уравнение имеет два решения: tg

0.

a12 1

и tg

2

(9.23)

, причѐм

2. Существуют три инварианта для уравнения (9.16), значения которых не изменяются при преобразованиях декартовой системы координат: I1 a11 a22 a~11 a~22 a11 a22 ; a11 a12 a~11 a~12 2 I2 a11a22 a12 a11a22 ; (9.24) a12 a22 a~12 a~22 a11 a12 a13 a~11 a~12 0 a11 a12 ~ I 3 a12 a22 a23 a~12 a~22 0 a33 , a12 a22 ~ a a a 0 0 a 2

13

23

1

33

33

0 для эллипса, I 2 0 для гиперболы, I 2 0 для параболы. Используя инварианты, уравнение (9.22) можно записать так:   I3 a11~ x 2 2a12x y a22~ y2 0. (9.25) I2 Решая примеры, убедимся, что использование инвариантов существенно упрощает приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду I2

116

9.5. Примеры решения типовых задач Пример 9.1. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка 8 x 2 4 xy 5 y 2 16 x 4 y 28 . Решение. В этом уравнении а11 = 8, а12 = 2, а22 = 5, а13 = 8, а23 = 2, а33 = 28. Подставив значения коэффициентов в инвариант I 2 , убедимся, что 8 2 36 0 , 2 5 то есть мы имеем дело с эллипсом. Подставив значения коэффициентов в уравнения (9.20) и решив систему 8 x 2 y 8 0, 2 x 5 y 2 0, I2

найдем координаты центра симметрии эллипса: x0 1, y0 0 . Подставив эти числа в уравнения (9.21), найдем новое значение свободного члена a~33 8 1 2 0 28 36 . После переноса начала координат в центр симметрии эллипса его уравнение приобретает следующий вид: 8 ~ x2 4 ~ x ~ y 5 ~ y 2 36 0 . (9.26) Перекрестный член в этом уравнении уничтожается за счет поворота осей координат. Тангенс угла поворота определяем из уравнения (9.23): 3 2 tg2 5 8 tg 2 0, tg2 tg 1 0, 2 3 9 16 3 5 1 tg , tg , tg 1 2, tg 2 , 4 16 4 4 2 1 1 1 tg 2 cos , sin . 2 2 1 4 5 5 1 tg 1 tg Коэффициенты a11 и a22 найдем, используя инварианты: 117

I1

a11

I2

a22

a11a22

a11 2 a12

a22 36

8 5 13,

a22

a11 13 a11 ,

a112

13 a11 , 13a11

36

13 169 144 13 5 , a11 9, a22 13 9 2 4 2 2 13 5 (Если a11 , то a11 4, a22 13 4 9 .) 2 2 В итоге уравнение эллипса примет следующий вид: a11

9 x2

4 y2

0, 4.

36

или x2 4

y2 9

1.

(9.27)

Рис. 9.5

Пример 9.2. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка 4 x 2 4 x y y 2 2 x 14 y 7 0 . Решение. Значения коэффициентов уравнения: a11 4, a12 2, a22 1, a13 1, a23 7, a33 7.

(9.28)

Подставив эти значения в инвариант I 2 , убедимся, что I2

4

2

2

1

0,

то есть мы имеем дело с параболой. Преобразования начнем с поворота осей координат. Тангенс угла поворота определяем из уравнения (9.23): 3 2 tg2 1 4 tg 2 0, tg2 tg 1 0, 2 3 9 16 3 5 1 tg , tg , tg 1 2, tg 2 , 4 16 4 4 2 118

1

cos

1 1 4

2

1 tg

1 , sin 5

tg

2 5

2

1 tg

(последние формулы справедливы для

). , 2 2 Подставим в уравнение (9.28) значения х и у: x 2 y , x x cos y sin 5 2 x y y x sin y cos 5 и получим 4 2 4 x 4x y 4 y 2 2 x 2 2 y 2 3x y 5 5 1 2 14 4x 2 4x y y 2 x 2y 2x y 5 5 5

7 0.

Перегруппируем члены уравнения: x2

4 5

8 5

4 5

16 12 5 5

xy

2 28 5 5 После упрощений получим: x

10

5 y2

5

y2

30 5

x

y

7 1

y

4 5

y2

4 5

14 5

0, 5 y 2

6

x

1 5 1

2

16 5

8 5

1 5

7 0.

6 5

x

6 5

0,

. 5 5 5 В итоге получено уравнение параболы, ось симметрии которой arctg2 , а вершина находится в точке повернута на угол O

1 5

,

1 5

.

119

Вопросы для повторения 1. Определения эллипса, гиперболы и параболы. 2. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. 3. Общее определение кривых 2-го порядка с использованием понятий директрисы и эксцентриситета кривой. 4. Полярные уравнения кривых 2-го порядка. 5. Упрощение общего уравнения кривой 2-го порядка при переносе начала декартовой системы координат в центр симметрии кривой. 6. Упрощение общего уравнения кривой 2-го порядка при повороте осей координат. 7. Инварианты преобразований координат и их использование при приведении общего уравнения кривых 2-го порядка к каноническому виду.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Ильин В. А., Позняк Э. Г Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2001, 2002. 2. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. – СПб: Мифрил, 2001. 3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – Феникс, 1997.

120

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ................................................................................. 3 1. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители ..... 4 2. Системы координат ................................................................ 21 3. Векторная алгебра .................................................................. 26 4. Произведения векторов .......................................................... 35 5. Прямая линия на плоскости ................................................... 42 6. Плоскость в трехмерном пространстве .................................. 51 7. Прямая линия в трехмерном пространстве ............................ 60 8. Примеры решения основных задач на прямую и плоскость ............................................................................. 65 9. Кривые второго порядка ......................................................... 69 Рекомендуемая литература ........................................................ 79

Редактор Е. Н. Кочубей

Подписано в печать . Формат 60х84 1/16 Печ. л. 5,0. Уч.-изд. л. 5,0. Тираж экз. Изд. № 00-1. Закз № Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Типография МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш.,31