Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2007. Том 48, № 6
УДК 517.54:517.813.52
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА НА МНОЖЕСТВАХ АЛЬФОРСА ГРУПП КАРНО С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев Аннотация. Доказана обратная теорема о следах функций из пространств Соболева Wpl , заданных на группе Карно, на регулярных замкнутых подмножествах, называемых d-множествами Альфорса (прямая теорема о следах получена в другой работе авторов). Теорема обобщает результаты А. Йонссона и Х. Валлина для функций классов Соболева в евклидовом пространстве. В качестве следствия приводится теорема о граничных значениях функций из пространств Соболева, заданных в области с гладкой границей на двухступенчатой группе Карно. Рассматривается пример применения полученных теорем к разрешимости краевой задачи для одного уравнения с частными производными. Ключевые слова: группа Карно, пространство Соболева, теорема вложения, след функции, продолжение функций, теорема Уитни.
Введение Интенсивное развитие теории субэллиптических уравнений стимулирует развитие теории пространств Соболева в неголономной геометрии. В частности, вопросы корректной постановки и разрешимости краевых задач для субэллиптических уравнений приводят к задаче описания следов пространств Соболева на группах Карно. Основная цель настоящей работы — доказать следующее утверждение. Теорема 0.1. Пусть F — d-множество Альфорса с d-мерой µ на группе Карно G хаусдорфовой размерности Q, 0 < d < Q. Пусть 1 < p < ∞, l > 0 целое и β = l − (Q − d)/p > 0 нецелое. Тогда β Wpl (G) F = Bp,µ (F ). Операторы следа и продолжения линейные и ограниченные. Один из первых результатов, связанных с описанием следов функций классов Соболева на группах Карно, получен в работе Дерриджи [1]. В [2] Даниелли, Гарофало и Нхеу изучают следы функций из пространства Wp1 (), 1 < p < ∞, где — область в пространстве Карно — Каратеодори, на множествах Альфорса. Они доказывают теоремы о следах и продолжении, а также приводят примеры множеств Альфорса на группах Карно, определяя Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта № 06–01–00735) и Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (код проекта НШ–8526.2006.1).
c 2007 Водопьянов С. К., Пупышев И. М.
1202
С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев
соответствующую меру Альфорса. Так, множеством Альфорса будет граница области класса C 2 двухступенчатой группы Карно, если рассмотреть на ней определенную специальным образом периметрическую меру. В качестве следствия в [2] получена теорема о граничных значениях функций из пространства Соболева Wp1 (), где — ограниченная область класса C 2 двухступенчатой группы Карно. В работе [3] доказано, что это утверждение верно и для областей класса C 1,1 . В работе [4] доказана теорема о следах функций из пространств Соболева Wpl (G) (1 < p < ∞, l > 0 целое) и бесселевых потенциалов Lα p , α > 0, определенных на всей группе Карно G, на d-множествах Альфорса. В ней утверждается ограниченность оператора следа tr : Wpl (G) → Bpβ (F ), где Bpβ (F ) — обобщенное пространство Бесова на множестве Альфорса F . В данной работе мы доказываем обратимость этой характеристики для функций из пространств Соболева в теореме 2.2 о продолжении функций с множества Альфорса на всю группу Карно. Мы продолжаем исследования, начатые в работах [4–7]. Основные результаты работы сформулированы в [8]. Из теоремы 2.2 и теоремы о следах в [4] непосредственно следует обратимая характеристика следов функций из пространства Wpl (G) (теорема 0.1). В качестве следствия из теоремы 0.1 и теоремы о продолжении функций классов Соболева, определенных в областях с гладкими границами, за границу области (см. [7]) мы получаем теорему 3.1 о граничных значениях функций из пространств Соболева Wpl () в ограниченной области с границей класса C 2 на двухступенчатой группе Карно. Приводится пример применения доказанных теорем о следах к вопросам разрешимости краевой задачи для одного уравнения с частными производными. Настоящей работе предшествует длинная история развития теорем вложения разных размерностей в евклидовых пространствах. Не претендуя на полноту, укажем здесь работы [9–16], в которых отражены основные этапы теории и история вопроса. 1. Обозначения и предварительные сведения Определение группы Карно можно найти в [17]. Мы приведем основные обозначения, используемые в работе (более подробно см. [4, 6]). Группой Карно называется связная односвязная группа Ли G с нильпотентной и градуированной алгеброй Ли g = V1 ⊕· · ·⊕Vm . Пусть N — топологическая размерность группы G и X1 , X2 , . . . , XN — левоинвариантные векторные поля на G, образующие базис алгебры Ли g. Если Xi ∈ Vdi , то число di называется N P степенью поля Xi . Хаусдорфова размерность группы G равна Q = di . i=1
Если I = (i1 , . . . , iN ) — мультииндекс, то через X I мы обозначаем дифiN ференциальный оператор X I = X1i1 . . . XN , где |I| = i1 + · · · + iN , а d(I) = d1 i1 + · · · + dN iN — однородный порядок оператора. Однородная норма ρ — это гладкая на G \ {0} функция, удовлетворяющая аксиомам квазинормы, в частности, обобщенному неравенству треугольника: ρ(xy) ≤ κ(ρ(x) + ρ(y)), где κ ≥ 1. Мы будем обозначать через B(x, r) = {y : ρ(y −1 x) < r} и B(x, r) = {y : ρ(y −1 x) ≤ r} соответственно открытый и замкнутый шары в норме ρ. N P Экспоненциальное отображение x = exp xi Xi будет диффеоморфизмом i=1
Следы функций из пространства Соболева
1203
алгебры g на группу G, посредством которого объекты, определенные на алгебре, переносятся на группу. С его помощью на группе G определяются координатные функции ηi (x) = xi , i = 1, . . . , N, для которых справедлива оценка iN |ηi (x)| ≤ ρ(x)di . Выражение η I = η1i1 . . . ηN будем называть мономом однородной степени d(I), а линейную комбинацию таких мономов — многочленом соответствующей однородной степени. Очевидно, |η I (x)| ≤ ρ(x)d(I) . Экспоненциальное отображение позволяет перенести стандартную N-мерную меру Лебега с алгебры g на группу G (см. [17]). Полученная мера, которую будем обозначать через mes(·) или dx, будет биинвариантной мерой Хаара. Для любых x ∈ G и r > 0 справедливо равенство mes B(x, r) = mes B(x, r) = rQ . Пространство Lp (G) или Lp () ( ⊂ G — область) определяется стандартным образом, и норму в этом пространстве будем обозначать через k · kLp (G) или k · kp (соответственно k · kLp () или k · kp, ). Определим пространство Соболева функций, заданных на всей группе Карно G или в области ⊂ G. Определение 1.1. Пусть функции f и g локально суммируемы в области ⊂ G. Функция g называется обобщенной производной X J f функции f в области , если для любой функции ϕ класса C0∞ () выполняется равенство Z Z g(x)ϕ(x) dx = f (x)(X J )∗ ϕ(x) dx,
jN где для оператора X J = X1j1 . . . XN мы обозначили символом (X J )∗ сопряженj ный ему оператор (X J )∗ = (−1)|J| XNN . . . X1j1 .
Определение 1.2. Пусть 1 ≤ p ≤ ∞, а l > 0 — целое число. Функция f , заданная в области ⊂ G, принадлежит пространству Соболева Wpl (), если для всех d(J) ≤ l вP существуют обобщенные производные X J f и конечна норма kf kWpl () = kX J f kLp () . d(J)≤l
Если = G, то получаем пространство Соболева Wpl (G) функций, определенных на всей группе Карно G. Мы изучаем следы функций из пространств Wpl (G) на замкнутых множествах с некоторыми условиями регулярности, называемых d-множествами Альфорса. Определение 1.3. Пусть 0 < d < Q. Замкнутое множество F называется d-множеством Альфорса, если существует такая мера µ, заданная на F , что для некоторого r0 > 0 имеем µ(B(x, r)) ≤ C1 rd , x ∈ G, r ≤ r0 ,
µ(B(x, r)) ≥ C2 rd , x ∈ F, r ≤ r0 ,
(1.1)
где C1 и C2 — константы. Константу r0 можно взять сколь угодно большой, в зависимости от этого лишь изменятся константы C1 и C2 . Кроме того, замкнутый шар в определении можно заменить открытым. Простым примером d-множеств Альфорса на группах Карно являются гиперплоскости ηi (x) = C (здесь d = Q − di ). Нетривиальные примеры приведены в работе [2]. Там доказано, что (Q − 1)-множеством Альфорса будет граница любой ограниченной области класса C 2 на двухступенчатой группе Карно. В [4] доказана следующая лемма об интегрировании по d-мере Альфорса.
1204
С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев
Лемма 1.1. Пусть µ — d-мера Альфорса. Тогда Z ρ(x−1 t)−γ dµ(t) ≤ Cad−γ , d > γ, a ≤ r0 ; ρ(x−1 t)≤a
Z
ρ(x−1 t)−γ dµ(t) ≤ Cad−γ ,
d < γ, b ≤ r0 .
a<ρ(x−1 t)≤b
Здесь C — константа, зависящая только от C1 в (1.1), γ и d. Определение 1.4. Пусть F — d-множество Альфорса, µ — d-мера на нем, 1 ≤ p < ∞ и k < β < k +1, где k ≥ 0 целое. Набор функций {fJ }, d(J) ≤ k, опреβ (F ), деленных µ-п. в., принадлежит обобщенному пространству Бесова Bp,µ если конечна норма 1/p ZZ X |rJ (x, y)|p dµ(x)dµ(y) k{fJ }kBp,µ kfJ kp,µ + , β (F ) = ρ(y −1 x)d+(β−d(J))p d(J)≤k
где rJ (x, y) = fJ (x) − PJ (x, y), а X X PJ (x, y) = d(J)+d(L)≤k d(K)=d(L), |K|≤|L|
ρ(y −1 x)<1
βLK
η L (y −1 x) , γKJS fS (y) L! d(S)=d(J)+d(K) y ∈ F, x ∈ G, (1.2) X
— многочлен тейлоровского типа, построенный по набору {fJ } (см. [6]). Здесь βLK и γKJS — константы, зависящие от характеристик группы G. При J = 0 обозначим η L (y −1 x) X X P (x, y) = P0 (x, y) = βLK fK (y) , y ∈ F, x ∈ G, L! d(L)≤k d(K)=d(L), |K|≤|L|
и r(x, y) = r0 (x, y) = f0 (x) − P (x, y) = f (x) − P (x, y). Далее через C, C1 , C2 и т. д. будем обозначать, вообще говоря, различные константы, зависящие от Q, d, меры µ, геометрических и алгебраических характеристик группы G и показателей дифференцируемости и суммируемости рассматриваемых функциональных пространств. 2. Теорема о продолжении В работе [4] доказана следующая теорема о следах функций классов Соболева на группах Карно. Теорема 2.1 (о следах). Пусть 1 < p < ∞, l > 0 — целое число, 0 < d < Q, β = l − (Q − d)/p, k < β < k + 1, где k ≥ 0 — целое число, и пусть µ — d-мера на множестве Альфорса F . Тогда для всех f ∈ Wpl (G) k{X J f |F }d(J)≤k kBp,µ β (F ) ≤ Ckf kWpl (G) , где производные X J f определены µ-п. в. для d(J) ≤ k, а константа C зависит только от l, β, µ, d, p, Q и геометрических и алгебраических характеристик группы G. Мы покажем, что данная характеристика следов обратима. Это вытекает из следующей теоремы о продолжении функций классов Соболева.
Следы функций из пространства Соболева
1205
Теорема 2.2 (о продолжении). Пусть 1 ≤ p < ∞, пусть l, β, d и k такие же, как в теореме 2.1. Пусть F — d-множество Альфорса с d-мерой µ. Тогда β существует линейный оператор E : Bp,µ (F ) → Wpl (G) такой, что для любого β набора функций f = {fJ }d(J)≤k ∈ Bp,µ (F ) 1) kEf kWpl (G) ≤ Ckf kBp,µ β (F ) , где C зависит только от l, β, µ, d, p, Q и характеристик группы G; 2) Ef — продолжение f в том смысле, что функции X J (Ef ) совпадают µ-п. в. с fJ для d(J) ≤ k. 2.1. Декомпозиция Уитни и оператор продолжения. Для построения оператора продолжения E нам понадобятся декомпозиция Уитни и связанное с ней разбиение единицы. Лемма 2.1. Для открытого множества c F с непустой границей существует набор шаровSBi = B(xi , ri ) со следующими свойствами. 1. c F = Bi . i
2. Существует такое целое число N0 , что в каждой точке x ∈ c F пересекаются не более N0 шаров Bi . 3. Существуют такие константы K1 и K2 , 2κ2 < K1 < K2 , K2 > 2, что K1 ri ≤ d(xi , F ) ≤ K2 ri , где d(xi , F ) = inf ρ(y −1 xi ) — расстояние от точки xi до y∈F
множества F . 4. Существует такая константа K3 , что для любых шаров Bi и Bj таких, что Bi ∩ Bj 6= ∅, верно K13 ri ≤ rj ≤ K3 ri . r 5. Существует такая константа K4 > 1, что B xi , Kri4 ∩ B xj , Kj4 = ∅ для любых i 6= j. 6. Существует разбиение единицы {ϕi }, где ϕi ∈ C ∞ и supp ϕi ⊂ Bi , такое, P d(J) что ϕi (x) = 1 и |X J ϕi (x)| ≤ CJ /ri при x ∈ c F . i
Лемма 2.1 доказана в [6] (см. также лемму 5 в статье [18]). Оператор продолжения определим следующей формулой: P R ϕi (x)ci P (x, t) dµ(t), x ∈ c F ; 0 0 −1 i ρ(t xi )≤Ari E f (x) = E {fJ }d(J)≤k = f0 (x), x ∈ F.
(2.1)
Здесь ci = 1/µ(B(xi , Ari )), а A = κ(K2 + 1) выбрано так, что для xi существует точка pi ∈ F такая, что B(pi , ri ) ⊂ B(xi , Ari ). (Действительно, из свойства 3 разбиения Уитни следует, что существует точка pi ∈ F такая, что ρ x−1 p ≤ i i −1 −1 −1 K2 ri . Если ρ p−1 x ≤ r , то ρ x x ≤ κ ρ(p x + ρ x p ≤ κ(K i i 2 + i i i i 1)ri = Ari , т. е. B(pi , ri ) ⊂ B(xi , Ari ).) Из (1.1) следует, что µ(B(xi , Ari )) ≥ µ(B(pi , ri )) ≥ C2 rid , если ri ≤ r0 . Тогда ci ≤ C2−1 ri−d ,
r i ≤ r0 .
(2.2)
Суммирование в (2.1) фактически ведется только по тем i, для которых x ∈ Bi , т. е. для каждого x сумма содержит не более N0 слагаемых. Рассмотрим функцию ϕ класса C ∞ такую, что |X J ϕ| ≤ C для всех J и ϕ(x) = 1 при d(x, F ) ≤ 2M − 1, ϕ(x) = 0 при d(x, F ) ≥ 2M , где M — некоторое целое число. Тогда оператор продолжения в теореме 2.2 определяется формулой Ef (x) = ϕ(x)E 0 f (x).
1206
С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев
Далее будем обозначать E 0 f через f , так что Ef (x) = ϕ(x)f (x). 2.2. Леммы. В [6] доказана следующая лемма о многочленах тейлоровского типа, которую мы используем при получении оценок. Лемма 2.2. Пусть F ⊂ G — замкнутое множество, {fJ }d(J)≤k — набор функций, заданных на F , а P (x, t), PJ (x, t) и rJ (x, t) — функции, определенные равенством (1.2). Справедливы следующие соотношения: 1) X J P (x, t) = PJ (x, t), Px ∈ G, t ∈ F ; 2) X S PJ (x, t) = γSJM PM (x, t), x ∈ G, t ∈ F ; d(M )=d(J)+d(S) P P P 3) PJ (x, t) − PJ (x, s) = βLK γKJS rS (t, s) d(J)+d(L)≤k d(K)=d(L), |K|≤|L|
×
η L (t−1 x) , L!
d(S)=d(J)+d(K)
x ∈ G, t, s ∈ F .
Лемма 2.3. Пусть ZZ
|rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s),
JU (xi , xν ) = ρ(t−1 xi )≤A1 ri , ρ(s−1 xν )≤A1 rν
где A1 = (κA + κ2 )K3 + κ2 + 1, {Bi = B(xi , ri )} — набор шаров из леммы 2.1, и пусть функция f = E 0 {fJ } задана формулой (2.1). Пусть x ∈ BI , d(x, F ) ≤ 2M . Тогда для любого N X (d(U )−d(J))p−d −d |X J f (x)|p ≤ C rI rN JU (xI , xN ) Z d(U )≤k X (d(U )−d(J))p−d +C rI |fU (t)|p dµ(t). d(J)≤d(U )≤k
В частности, |X J f (x)|p ≤ C
ρ(t−1 xI )≤A1 rI
(d(U )−d(J))p−d −d rN JU (xI , xN )
P
rI
при d(J) > k.
d(U )≤k
Доказательство. Ограниченность расстояния d(x, F ) требуется для того, чтобы не заботиться о выборе константы r0 , которую в этом случае можно считать сколь угодно большой. Из (2.1) и утверждения 1 леммы 2.2 следует, что X X J f (x) = AJ (x) + CJ 0 ,J 00 BJ 0 (x), где J 0 6=0, J 0 +J 00 =J
AJ (x) =
X
Z ϕi (x) ci
i
BJ 0 (x) =
X
ρ(t−1 xi )≤Ari 0
X J ϕi (x) ci
i
Так как
P
PJ (x, t) dµ(t), Z PJ 00 (x, t) dµ(t).
ρ(t−1 xi )≤Ari
0
X J ϕi (x) ≡ 0, то
i
BJ 0 (x) =
X i
0
X J ϕi (x) ci
Z
ρ(t−1 xi )≤Ari
(PJ 00 (x, t) − PJ 00 (x, s)) dµ(t).
(2.3)
Следы функций из пространства Соболева
1207
Применим неравенство Г¨ельдера и используем свойство 6 разбиения Уитни: 1/p Z X J0 p 0 00 00 |BJ (x)| ≤ C |X ϕi (x)| ci |PJ (x, t) − PJ (x, s)| dµ(t) i
ρ(t−1 xi )≤Ari
1−1/p X −d(J 0 ) 1/p ≤C ri ci dµ(t)
Z
×
i
ρ(t−1 xi )≤Ari
1/p |PJ 00 (x, t) − PJ 00 (x, s)|p dµ(t) .
Z
× ρ(t−1 xi )≤Ari
В сумме по i не более N0 слагаемых, для каждого из которых ri ≥ rI /K3 , и, −d(J 0 ) −d(J 0 ) следовательно, ri ≤ CrI , ci ≤ C2−1 ri−d ≤ CrI−d , ρ(t−1 xI ) ≤ κ ρ(t−1 xi ) + −1 ρ xi xI ≤ κ(Ari +κ(ri +rI )) = (κA+κ2 )ri +κ2 rI ≤ ((κA+κ2 )K3 +κ2 )rI < A1 rI , где A1 = (κA + κ2 )K3 + κ2 + 1. Используя утверждение 3 леммы 2.2, получаем Z −d(J 0 )p−d p p |BJ 0 (x)| ≤ CrI |PJ 00 (x, t) − PJ 00 (x, s)| dµ(t) ρ(t−1 xI )≤A1 rI
≤C
X
X
−d(J 0 )p−d
X
βLK γKJS rI
d(J 00 )+d(L)≤k d(K)=d(L), d(S)=d(J)+d(K) |K|≤|L|
Z
p
×
L
|rS (t, s)| |η (t
−1
x)| dµ(t) p
ρ(t−1 xI )≤A1 rI
≤C
−d(J 0 )p+d(L)p−d rI
X L,K,S
|rS (t, s)| dµ(t) .
Z
p
ρ(t−1 xI )≤A1 rI d(L)p
Здесь |η L (t−1 x)|p ≤ Cρ(t−1 x)d(L)p ≤ CrI , так как ρ(t−1 x) ≤ κ(ρ(x−1 xI ) + ρ(t−1 xI )) ≤ κ(A1 + 1)rI . Далее, учитывая то, что d(J 0 ) = d(J) − d(J 00 ) = d(J) − (d(S) − d(K)) = d(J) − d(S) + d(L), −d − d(J 0 )p + d(L)p = −d − d(J)p + d(S)p и d(S) = d(J 00 ) + d(K) = d(J 00 ) + d(L) ≤ k, поменяем порядок суммирования: Z X X X (d(S)−d(J))p−d p p |BJ 0 (x)| ≤ C |rS (t, s)| dµ(t) rI 1 J 0 6=0
J 0 ,L,K
d(S)≤k ρ(t−1 x )≤A r 1 I I
X
≤C
(d(U )−d(J))p−d
Z
|rU (t, s)|p dµ(t).
rI
d(U )≤k
ρ(t−1 xI )≤A1 rI
Интегрируя обе части неравенства по шару B(xN , A1 rN ) относительно меры dµ(s), получим Z X |BJ 0 (x)|p dµ(s) J 0 6=0
ρ(s−1 xN )≤A1 rN
≤C
X d(U )≤k
(d(U )−d(J))p−d
ZZ
rI
ρ(t−1 xI )≤A1 rI , ρ(s−1 xN )≤A1 rN
|rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s).
1208
С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев
d Разделим обе части неравенства на µ(B(xN , A1 rN )) ≥ CrN (это выполняется согласно (1.1) и (2.2)). Получим ZZ X X (d(U )−d(J))p−d −d p |BJ 0 (x)| ≤ C rI rN |rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s). J 0 6=0
d(U )≤k
ρ(t−1 xI )≤A1 rI , ρ(s−1 xN )≤A1 rN
(2.4) Оценим AJ (x). Заметим, что PJ ≡ 0 при d(J) > k (поскольку P — многочлен однородной степени k), следовательно, и AJ = 0 в этом случае. Пусть d(J) ≤ k. Тогда, применяя неравенство Г¨ельдера, из определения многочлена PJ (см. (1.2)) получаем Z X X X X |AJ (x)| ≤ C ci |η L (t−1 x)| i
d(J)+d(L)≤k d(K)=d(L), d(S)=d(J)+d(K)ρ(t−1 x )≤Ar i i |K|≤|L|
× |fS (t)| dµ(t) ≤ C
X X i
≤C
X X i
d(L) ci ri
L,K,S
L,K,S
|fS (t)| dµ(t)
ρ(t−1 xi )≤Ari
1/p |fS (t)| dµ(t)
Z
X
d(J)≤d(S)≤k
i
1−1/p dµ(t)
Z
p
ρ(t−1 xi )≤Ari
X
≤C
Z
d(L)
ci ri
ρ(t−1 xi )≤Ari
1/p d(S)−d(J) ci ri
1/p X |fS (t)| dµ(t) 1.
Z
p
L,K
ρ(t−1 xi )≤Ari d(L)
Здесь мы использовали то, что |η L (t−1 x)| ≤ Cρ(t−1 x)d(L) ≤ Cri (так как ρ(t−1 x) ≤ κ(ρ(t−1 xi )+ρ(x−1 xi )) ≤ κ(A+1)ri ), а также то, что d(S) = d(J)+d(L). Далее, сумма по i содержит не более N0 слагаемых, в каждом из которых ci ≤ d(S)−d(J) d(S)−d(J) CrI−d , ri ≤ CrI , и ρ(t−1 xI ) ≤ A1 rI . Таким образом, 1/p Z X −d/p+d(U )−d(J) p |AJ (x)| ≤ C rI |fU (t)| dµ(t) , d(J)≤d(U )≤k p
|AJ (x)| ≤ C
ρ(t−1 xI )≤A1 rI
Z
−d+(d(U )−d(J))p rI
X d(J)≤d(U )≤k
|fU (t)|p dµ(t).
ρ(t−1 xI )≤A1 rI
Отсюда и из (2.4) следует, что p X X |X J f (x)|p ≤ C |AJ (x)| + |BJ 0 (x)| ≤ C |AJ (x)|p + |BJ 0 (x)|p J0
≤C
X
J0 (d(U )−d(J))p−d −d rI rN JU (xI , xN )
d(U )≤k
+C
X d(J)≤d(U )≤k
−d+(d(U )−d(J))p rI
Z
|fU (t)|p dµ(t),
ρ(t−1 xI )≤A1 rI
причем вторая сумма равна 0, если d(J) > k. Лемма доказана. Обозначим hI = 2−I , где I целое, и пусть I = {x : hI+1 ≤ d(x, F ) < hI }. Если i и I таковы, что Bi ∩ I 6= ∅, то справедливо соотношение κ 1 hI ≤ ri ≤ hI . (2.5) 2κ(K2 + 1) K1 − κ
Следы функций из пространства Соболева
1209
Действительно, для x ∈ Bi ∩ I имеем K1 ri ≤ d(xi , F ) ≤ K2 ri . Тогда d(x, F ) ≤ −1 κ d(xi , F ) + ρ xi x ≤ κ(K2 + 1)ri . С другой стороны, K1 ri ≤ d(xi , F ) ≤ κ d(x, F ) + ρ x−1 ≤ κ(d(x, F ) + ri ). Следовательно, (K1 − κ)ri ≤ κd(x, F ) i x и d(x, F ) ≥ K1κ−κ ri . Поскольку x ∈ I , то K1κ−κ ri ≤ d(x, F ) ≤ κ(K2 + 1)ri , hI /2 ≤ d(x, F ) ≤ hI , т. е. K1κ−κ ri ≤ hI и hI /2 ≤ κ(K2 + 1)ri , откуда следует (2.5). Лемма 2.4. Пусть a > 0, h(t) ≥ 0 — функция на F , hI = 2−I . Пусть Z g(x) = h(t) dµ(t), ρ(t−1 xi )≤ari
если x ∈ Bi ∩ I , ρ(x−1 xi ) = min ρ(x−1 xj ). Тогда для x0 ∈ G, 0 < r ≤ ∞ j:x∈Bj имеем Z Z Q g(x) dx ≤ ChI h(t) dµ(t). x∈I , ρ(x−1 x0 )≤r
ρ(t−1 x0 )≤κ2 r+
В частности, при r = +∞ Z
g(x) dx ≤ ChQ I
(κ2 +a)κ K1 −κ hI
Z h(t) dµ(t).
x∈I
Константа C зависит только от a, Q и характеристик группы G. Доказательство. Обозначим I = {i : Bi ∩ I ∩ B(x0 , r) 6= ∅}. Тогда, используя (2.5), получаем Z Z X Z g(x) dx ≤ C h(t) dµ(t) dx i∈I B ∩ i I
x∈I , ρ(x−1 x0 )≤r
≤C
X Z i∈I B ∩ i I
поскольку
R Bi ∩I
ρ(t−1 xi )≤ari
Z dx
h(t) dµ(t) ≤ C
hI ρ(t−1 xi )≤ Kaκ 1 −κ
X i∈I
hQ I
Z h(t) dµ(t), (2.6)
hI ρ(t−1 xi )≤ Kaκ 1 −κ
dx ≤ mes Bi ≤ CriQ ≤ ChQ I .
Докажем, что существует целое m, зависящее только от a, Q и характеристик группы G, такое, что произвольная точка x ∈ G содержится не более чем в m замкнутых шарах B xi , Kaκ h , i ∈ I. I −κ 1 Пусть это не так и для каждого m существуют точка x ∈ G и i1 , . . . , im ∈ I такие, что ρ(x−1 xi1 ) ≤ Kaκ hI , . . . , ρ(x−1 xim ) ≤ Kaκ hI . Согласно свойству 5 1 −κ 1 −κ разбиения Уитни шары B(xij , rij /K4 ) попарно не пересекаются. Из (2.5) сле rij hI I дует, что 2κK4h(K ≤ , т. е. шары B = B x , = B(xij , C 0 hI ) i i j j +1) K 2κK (K +1) 2 4 4 2 также попарно не пересекаются. Поскольку xi1 , . . . , xim ∈ B x, Kaκ hI , то 1 −κ m S 1 B ij ⊂ B(x, C 00 hI ), где C 00 = κ Kaκ + 2κK4 (K . Действительно, пусть 1 −κ 2 +1) j=1
I y ∈ B ij , т. е. ρ(y −1 xij ) ≤ 2κK4h(K . Тогда ρ(y −1 x) ≤ κ(ρ(y −1 xij )+ρ(x−1 xij )) ≤ 2 +1) m P I κ Kaκ hI + 2κK4h(K = C 00 hI . Отсюда следует, что m(C 0 hI )Q = mes B ij = 1 −κ 2 +1)
j=1
1210 mes
С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев m S
j=1
Q B ij ≤ mes B(x, C 00 hI ) = (C 00 hI )Q . Таким образом, mhQ I ≤ ChI , т. е.
m ≤ C. Получили противоречие, потому что m произвольно, а C не должно зависеть от m. −1 При этом в интеграле по t в (2.6) ρ(t−1 x0 ) ≤ κ ρ x−1 xi ) ≤ 0 xi + ρ(t 2 2 2 a κ hI ≤ κ2 r + Kκ1 −κ hI + Kκ1 −κ hI = κ2 r + (κK1+a)κ κ κ(ri + r) + Kaκ −κ hI . Мы ис1 −κ пользовали соотношение(2.5) и то, что Bi ∩ B(x0 , r) 6= ∅. Подставляя в (2.6), получим Z Z Q h(t) dµ(t). g(x) dx ≤ ChI x∈I , ρ(x−1 x0 )≤r
ρ(t−1 x0 )≤κ2 r+
(κ2 +a)κ K1 −κ hI
Лемма доказана. Лемма 2.5. Обозначим JUa (xi , xν ) =
|rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s), т. е.
RR ρ(t−1 xi )≤ari , ρ(s−1 xν )≤arν
JU ≡ JUA1 . Пусть F , µ, p и набор функций {fJ } удовлетворяют условиям леммы 2.3. Если g(x) = JUa (xi , xi ) для x ∈ Bi ∩ I , где ρ(x−1 xi ) = min ρ(x−1 xj ), j: x∈Bj то Z ZZ |rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s) g(x) dx ≤ ChQ I 2
x∈I
2κ a ρ(s−1 t)≤ K −κ hI 1
Доказательство. Имеем Z Z p g(x) = |rU (t, s)| dµ(s) dµ(t) ρ(t−1 xi )≤ari
Z
ρ(s−1 xi )≤ari
|rU (t, s)| dµ(s) dµ(t) =
Z
p
≤ ρ(t−1 xi )≤ari
Z h(t) dµ(t), ρ(t−1 xi )≤ari
2κ2 a hI ρ(s−1 t)≤ K 1 −κ
для x ∈ Bi ∩ I , ρ(x−1 xi ) = min ρ(x−1 xj ). Мы использовали то, что в интеj:x∈Bj
2
a грале по dµ(s) согласно (2.5) ρ(s−1 t) ≤ κ(ρ(s−1 xi ) + ρ(t−1 xi )) ≤ 2κari ≤ K2κ1 −κ hI . Применяя лемму 2.4 с r = +∞, получаем Z Z ZZ Q g(x) dx ≤ ChQ h(t) dµ(t) = Ch |rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s). I I 2
x∈I
2κ a ρ(s−1 t)≤ K −κ hI 1
Лемма доказана. Предложение 2.1. Пусть F — d-множество Альфорса, µ — d-мера на нем, 1 ≤ p < ∞ и k < β < k + 1, где k ≥ 0 целое. Набор функций {fJ }, d(J) ≤ k, β определенных µ-п. в., принадлежит обобщенному пространству Бесова Bp,µ (F ) тогда и только тогда, когда конечна норма ZZ 1/p X |rJ (x, y)|p dµ(x)dµ(y) k{fJ }k∗B β (F ) = kfJ kp,µ + , p,µ ρ(y −1 x)d+(β−d(J))p d(J)≤k
ρ(y −1 x)
Следы функций из пространства Соболева где 1 < a < r0 произвольно. Норма k{fJ }k∗B β
p,µ (F )
Доказательство. Действительно, ZZ ZZ |rJ (x, y)|p dµ(x)dµ(y) = ρ(y −1 x)d+(β−d(J))p 1≤ρ(y −1 x)
× fJ (x) −
1211
эквивалентна k{fJ }kBp,µ β (F ) .
ρ(y −1 x)−d−(β−d(J))p
1≤ρ(y −1 x)
X
X
d(J)+d(L)≤k d(K)=d(L), |K|≤|L|
Z ≤C
|fJ (x)|p
X
βLK
η L (y −1 x) p dµ(x)dµ(y) γKJS fS (y) L!
d(S)=d(J)+d(K)
dµ(y) dµ(x) ρ(y −1 x)d+(β−d(J))p
Z
1≤ρ(y −1 x)
X Z
+C
p
|η L (y −1 x)|p dµ(x) dµ(y) ρ(y −1 x)d+(β−d(J))p
Z
|fS (y)|
L,K,S
1≤ρ(y −1 x)
X ≤ C kfJ kpp,µ + kfS kpp,µ ≤ Ck{fJ }kBp,µ β (F ) . L,K,S
Здесь интегралы в квадратных скобках не больше C по лемме 1.1, поскольку в первом из них (β − d(J))p ≥ 0, а во втором (β − d(J) − d(L))p ≥ 0. Предложение доказано. 2.3. Доказательство теоремы о продолжении. Требуется доказать следующие утверждения: 1) имеет место оценка kX J (Ef )kp ≤ Ckf kBp,µ β (F ) ,
d(J) ≤ l;
2) X J (Ef ) совпадают с fJ µ-п. в. для всех d(J) ≤ k. Для доказательства (2.7) достаточно показать, что Z |X J f (x)|p dx ≤ Ckf kp β , d(J) ≤ l, Bp,µ (F )
(2.7)
(2.8)
d(x,F )<2M
где M — фиксированное целое число в определении оператора продолжения. Действительно, P CJ1 ,J2 X J1 ϕX J2 f, d(x, F ) < 2M ; J J J +J =J 1 2 X (Ef )(x) = X (ϕf ) = 0, d(x, F ) ≥ 2M . Поскольку производные X JR1 ϕ ограничены, из (2.8) будет следовать (2.7). Рассмотрим интеграл |X J f (x)|p dx, где I = {x : hI+1 ≤ d(x, F ) < hI }, I
hI = 2−I , I ≥ −M . По лемме 2.3 с I = N = i для x ∈ Bi ∩ I получаем (используя также (2.5)) X (d(U )−d(J))p−2d |X J f (x)|p ≤ C ri JU (xi , xi ) d(U )≤k
+C
X d(J)≤d(U )≤k
(d(U )−d(J))p−d
Z
ri
ρ(t−1 xi )≤A1 ri
|fU (t)|p dµ(t)
1212
С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев (d(U )−d(J))p−2d
X
≤C
hI
JU (xi , xi )
d(U )≤k
Z
(d(U )−d(J))p−d
X
+C
|fU (t)|p dµ(t).
hI
d(J)≤d(U )≤k
ρ(t−1 xi )≤A1 ri
Тогда Z
J
∞ Z X
p
|X f (x)| dx =
I=−M
d(x,F )<2M
∞ X
≤C
|X J f (x)|p dx
I
(d(U )−d(J))p−2d
X
I=−M d(U )≤k
+C
Z gU (x) dx
hI
I
∞ X
(d(U )−d(J))p−d hI
X
I=−M d(J)≤d(U )≤k
Z g˜U (x) dx,
(2.9)
I
где Z
|fU (t)|p dµ(t)
gU (x) = JU (xi , xi ), g˜U (x) = ρ(t−1 xi )≤A1 ri
для x ∈ Bi ∩ I , ρ(x−1 xi ) = min ρ(x−1 xj ). j:x∈Bj
Оценим первую сумму в правой части (2.9). По лемме 2.5 Z ZZ gU (x) dx ≤ ChQ |rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s), I ρ(s−1 t)≤A2 hI
I
где A2 =
2
2κ A1 K1 −κ .
Поскольку d(J) ≤ l, то (d(U ) − d(J))p − 2d + Q ≥ −lp − 2d + Q + (d(U )−d(J))p−2d+Q
−(β−d(U ))p−d
d(U )p = −(β − d(U ))p − d. Если I ≥ 0, то hI ≤ hI ,а (d(U )−d(J))p−2d+Q (l−d(J))p −(β−d(U ))p−d если −M ≤ I ≤ −1, то получим hI = hI hI ≤ −(β−d(U ))p−d ChI , где C = 2M lp . Поэтому ∞ X X (d(U )−d(J))p−2d Z hI gU (x) dx I=−M d(U )≤k
I ∞ X
≤C
−(β−d(U ))p−d
X
I=−M d(U )≤k ∞ X
X
=C
=C
∞ X
≤C
X
∞ X
!
X
|rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s)
I=−M
∞ X
ZZ
−(β−d(U ))p−d hI
−(β−d(U ))p−d
ZZ
hK
∞ X
|rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s)
A2 hK+1 <ρ(s−1 t)≤A2 hK
d(U )≤k K=−M
≤C
ZZ
K=I A2 hK+1 <ρ(s−1 t)≤A2 hK K X
d(U )≤k K=−M
|rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s)
ρ(s−1 t)≤A2 hI
−(β−d(U ))p−d
hI
d(U )≤k I=−M
X
ZZ
hI
|rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s)
A2 hK+1 <ρ(s−1 t)≤A2 hK
ZZ
d(U )≤k K=−MA h −1 t)≤A h 2 K+1 <ρ(s 2 K
|rU (t, s)|p −1 ρ(s t)(β−d(U ))p+d
dµ(t)dµ(s)
Следы функций из пространства Соболева 1213 ZZ X |rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s) ≤ Ckf kp β . =C Bp,µ (F ) ρ(s−1 t)(β−d(U ))p+d d(U )≤kρ(s−1 t)≤A 2M 2
Здесь мы использовали то, что ν X
h−γ = I
I=m0
ν X I=m0
2(I−ν)γ = h−γ ν
−(β−d(U ))p−d
hI
I=−M
ν−m X0 I=0
I=m0
K P
В нашем случае
ν X
2Iγ = 2νγ
h−γ ν 1 − 2−γ = c(γ)h−γ γ > 0. (2.10) ν ,
2−Iγ ≤
−(β−d(U ))p−d
≤
hK 1−2−(β−d(U ))p−d
−(β−d(U ))p−d
≤ ChK
.
Перейдем к оценке второй суммы в правой части (2.9). По лемме 2.4 с r = +∞ имеем Z Z g˜U (x) dx ≤ ChQ |fU (t)|p dµ(t). I I
Поэтому ∞ X
(d(U )−d(J))p−d
X
Z g˜U (x) dx
hI
I=−M d(J)≤d(U )≤k
I
∞ X
≤C
(d(U )−d(J))p−d+Q hI
X
Z
|fU (t)|p dµ(t)
I=−M d(J)≤d(U )≤k
Z
X
≤C
X
|fU (t)|p dµ(t) = C
d(J)≤d(U )≤k
kfU kpp,µ ≤ Ckf kp β
Bp,µ (F )
,
d(J)≤d(U )≤k
поскольку (d(U ) − d(J))p − d + Q > 0, и ∞ X
(d(U )−d(J))p−d+Q
hI
(d(U )−d(J))p−d+Q
≤ Ch−M
≤ C.
I=−M
Тем самым мы доказали (2.8), а следовательно, и (2.7). Для доказательства теоремы осталось показать, что X J f (x) = fJ (x) µ-п. в. Рассмотрим |X J f (x) − PJ (x, t0 )|p , где t0 ∈ F , x ∈ Bi . Сохраняя обозначения, используемые при доказательстве леммы 2.3, из (2.3) заключаем, что X |X J f (x) − PJ (x, t0 )|p ≤ C |AJ (x) − PJ (x, t0 )|p + |BJ 0 (x)|p , J0
причем для суммы
P
|BJ 0 (x)|p справедлива оценка (2.4) с I = N = i. Оценим
J0
|AJ (x)−PJ (x, t0 )|p , используя конечность суммы в (2.3) и применяя неравенство Г¨ельдера: p Z X p |AJ (x) − PJ (x, t0 )| = ϕν (x)cν (PJ (x, t) − PJ (x, t0 )) dµ(t) ν
≤C
X
|ϕν (x)|p cpν
ν
ρ(t−1 xν )≤Arν
|PJ (x, t) − PJ (x, t0 )|p dµ(t)
Z ρ(t−1 xν )≤Arν
≤C
X ν
p
Z
ρ(t−1 xν )≤Arν
Z
|ϕν (x)| cν ρ(t−1 xν )≤Arν
|PJ (x, t) − PJ (x, t0 )|p dµ(t)
p−1 dµ(t)
1214
С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев Z ≤ Cri−d |PJ (x, t) − PJ (x, t0 )|p dµ(t), ρ(t−1 xi )≤A1 ri
поскольку в сумме по ν конечное число слагаемых, для каждого из которых cν ≤ Crν−d ≤ Cri−d и ρ(t−1 xi ) ≤ A1 ri . По лемме 2.2 выводим, что |PJ (x, t) − PJ (x, t0 )|p X X = d(J)+d(L)≤k
≤C
X
η L (t−1 x) p γKJS rS (t, t0 ) L!
X
βLK
d(S)=d(J)+d(K)
d(K)=d(L), |K|≤|L|
X
|rS (t, t0 )|p ρ(t−1 x)d(L)p ≤ C
L,K,S
ρ(t−1 x)(d(U )−d(J))p |rU (t, t0 )|p .
d(J)≤d(U )≤k
Поскольку ρ(t−1 x) ≤ κ(ρ(t−1 xi ) + ρ(x−1 xi )) ≤ κ(A1 + 1)ri , то Z X (d(U )−d(J))p−d |AJ (x) − PJ (x, t0 )|p ≤ C ri d(J)≤d(U )≤k
|X J f (x) − PJ (x, t0 )|p ≤ C
ρ(t−1 xi )≤A1 ri
|rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s)
ri
d(U )≤k
ρ(t−1 xi )≤A1 ri , ρ(s−1 xi )≤A1 ri
Z
(d(U )−d(J))p−d
X
+C
ZZ
(d(U )−d(J))p−2d
X
|rU (t, t0 )|p dµ(t),
|rU (t, t0 )|p dµ(t),
ri
d(J)≤d(U )≤k
ρ(t−1 xi )≤A1 ri
если x ∈ Bi . Пусть r > 0. Обозначим через Ir наименьшее целое число такое, что hIr +1 ≤ r. Заметим, что если ρ t−1 0 x ≤ r, то и d(x, F ) ≤ r, т. е. x ∈ I для hI+1 ≤ r. Используя неравенство (2.5), получаем Z Z ∞ X J p |X f (x) − PJ (x, t0 )| dx = |X J f (x) − PJ (x, t0 )|p dx I=Ir
ρ(t−1 0 x)≤r
≤C
∞ X X
x∈I , ρ(t−1 0 x)≤r
(d(U )−d(J))p−2d
I=Ir d(U )≤k
+C
∞ X
Z
hI
gU (x) dx
x∈I , ρ(t−1 0 x)≤r (d(U )−d(J))p−d
X
I=Ir d(J)≤d(U )≤k
где gU (x) = JU (xi , xi ), g˜U (x) =
Z g˜U (x) dx,
hI
R
(2.11)
x∈I , ρ(t−1 0 x)≤r
|rU (t, t0 )|p dµ(t) для x ∈ Bi ∩ I ,
ρ(t−1 xi )≤A1 ri
ρ(x−1 xi ) = min ρ(x−1 xj ). В интеграле JU (xi , xi ) в первой сумме ρ(t−1 s) ≤ j:x∈Bj
κ(ρ(t−1 xi ) + ρ(s−1 xi )) ≤ 2κA1 ri ≤ A2 hI , поэтому Z Z gU (x) ≤ h(t) dµ(t), h(t) = ρ(t−1 xi )≤A1 ri
ρ(t−1 s)≤A2 hI
|rU (t, s)|p dµ(s).
Следы функций из пространства Соболева Применяя лемму 2.4, получаем Z gU (x) dx ≤ ChQ I
Z h(t) dµ(t)
(κ2 +A1 )κ ρ(t−1 t0 )≤κ2 r+ K −κ hI 1
x∈I , ρ(t−1 0 x)≤r
Z
ChQ I
=
2 ρ(t−1 0 t)≤κ r+
(κ2 +A1 )κ hI K1 −κ
|rU (t, s)| dµ(s) dµ(t).
Z
p
ρ(t−1 s)≤A2 hI
Во второй сумме с помощью леммы 2.4 выводим Z Z g˜U (x) dx ≤ ChQ I 2 ρ(t−1 0 t)≤κ r+
x∈I , ρ(t−1 0 x)≤r
|rU (t, t0 )|p dµ(t).
(κ2 +A1 )κ hI K1 −κ
2
1 )κ Так как hI+1 ≤ r, то κ2 r + (κK+A hI ≤ A6 r, где A6 = κ2 + 1 −κ образом, из (2.11) получаем Z |X J f (x) − PJ (x, t0 )|p dx
ρ(t−1 0 x)≤r ∞ X
≤C
1215
X
ρ(t−1 0 t)≤A6 r
∞ X
ρ(t−1 s)≤A2 hI
hI
I=Ir d(J)≤d(U )≤k
rQ−d+(β−d(J))p
+C
−d−(β−d(U ))p
hI
|rU (t, s)|p dµ(s) dµ(t)
Z
× ρ(t−1 0 t)≤A6 r ∞ X X
∞ X
I=Ir
d(U )≤k
Z
|rU (t, t0 )|p dµ(t)
ρ(t−1 0 t)≤A6 r
X
≤C
Z
Q+(d(U )−d(J))p−d
X
Таким
|rU (t, s)|p dµ(s) dµ(t)
Z
hI
I=Ir d(U )≤k
+C
Z
Q+(d(U )−d(J))p−2d
2κ(κ2 +A1 ) K1 −κ .
ρ(t−1 s)≤A2 hI
Z
Q+(d(U )−d(J))p−d
hI
d(J)≤d(U )≤k I=Ir
|rU (t, t0 )|p dµ(t),
(2.12)
ρ(t−1 0 t)≤A6 r Q+(d(U )−d(J))p−2d
≤ так как из того, что hI ≤ 2r и Q−d+(β−d(U ))p > 0, следует hI Q−d+(β−d(J))p −d−(β−d(U ))p Cr hI . Рассмотрим первую сумму в правой части (2.12). Имеем ! Z Z ∞ ∞ X X −d−(β−d(U ))p p hI |rU (t, s)| dµ(s) dµ(t) I=Ir
=
ρ(t−1 0 t)≤A6 r
∞ X K=Ir
Z ρ(t−1 0 t)≤A6 r
Z ≤C ρ(t−1 0 t)≤A6 r
K=I A2 hK+1 <ρ(t−1 s)≤A2 hK
K X −d−(β−d(U ))p |rU (t, s)|p dµ(s) dµ(t) hI
Z
I=Ir
A2 hK+1 <ρ(t−1 s)≤A2 hK
∞ X K=Ir
−d−(β−d(U ))p hK
Z
A2 hK+1 <ρ(t−1 s)≤A2 hK
|rU (t, s)| dµ(s) dµ(t) p
1216
С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев ∞ X
Z ≤C ρ(t−1 0 t)≤A6 r
K=Ir
|rU (t, s)|p dµ(s) dµ(t) ρ(t−1 s)d+(β−d(U ))p
Z
A2 hK+1 <ρ(t−1 s)≤A2 hK
|rU (t, s)|p −1 ρ(t s)d+(β−d(U ))p
ZZ ≤C ρ(t−1 0 t)≤A6 r, ρ(t−1 s)≤A2 hIr
dµ(t)dµ(s)
|rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s). ρ(t−1 s)d+(β−d(U ))p
ZZ ≤C ρ(t−1 0 t)≤A6 r, ρ(t−1 s)≤2A2 r
Здесь мы использовали неравенство (2.10) и то, что hIr ≤ 2r. Рассмотрим теперь вторую сумму в (2.12). Поскольку Q − d + (d(U ) − d(J))p > 0, имеем Z ∞ X Q+(d(U )−d(J))p−d hI |rU (t, t0 )|p dµ(t) I=Ir
≤ ≤ Cr
Q
ρ(t−1 0 t)≤A6 r Q+(d(U )−d(J))p−d ChIr
r
−d−(β−d(U ))p
Z
|rU (t, t0 )|p dµ(t)
r ρ(t−1 0 t)≤A6Z
r
(β−d(J))p
|rU (t, t0 )|p dµ(t)
ρ(t−1 Z 6r 0 t)≤A
≤ CrQ r(β−d(J))p
ρ(t−1 0 t)≤A6 r
Таким образом, из (2.12) получаем Z 1 |X J f (x) − PJ (x, t0 )|p dx rQ ZZ ρ(t−1 0 x)≤r X (β−d(J))p−d ≤C r d(U )≤k
+C
|rU (t, t0 )|p −1 d+(β−d(U ))p ρ(t0 t)
dµ(t).
|rU (t, s)|p dµ(t)dµ(s) ρ(t−1 s)d+(β−d(U ))p
ρ(t−1 0 t)≤A6 r, ρ(t−1 s)≤2A2 r
X
r
(β−d(J))p
d(J)≤d(U )≤k
Обозначим
Z
ρ(t−1 0 t)≤A6 r
|rU (t, t0 )|p −1 d+(β−d(U ))p ρ(t0 t)
|rU (t, s)|p dµ(s) ρ(t−1 s)d+(β−d(U ))p −1 ρ(t s)≤2A2 r R и заметим, что g ∈ L1 (µ), поскольку |g(t)| dµ(t) ≤ Ckf kp β
dµ(t). (2.13)
Z
g(t) =
Bp,µ (F )
< ∞. Так как
для достаточно регулярных мер µ для g ∈ L1 (µ) верно Z 1 g(t) dµ(t) → g(t0 ) µ(B(t0 , r)) B(t0 ,r) −d
µ-п. в. при r → 0 и r ≤ Cµ(B(t0 , r))−1 , для первой суммы в правой части (2.13) справедлива оценка ZZ Z |rU (t, s)|p |rU (t0 , s)|p r−d dµ(t)dµ(s) ≤ C d+(β−d(U ))p dµ(s). ρ(t−1 s)d+(β−d(U ))p ρ t−1 0 s −1 ρ(t−1 0 t)≤A6 r, ρ(t−1 s)≤2A2 r
ρ(t0 s)≤2A2 r
Следы функций из пространства Соболева Тогда из (2.13) получаем Z 1 |X J f (x) − PJ (x, t0 )|p dx rQ Z ρ(t−1 0 x)≤r X (β−d(J))p r ≤C d(U )≤k
X
+C
ρ(t−1 0 s)≤2A2 r
d(J)≤d(U )≤k
|rU (t0 , s)|p d+(β−d(U ))p dµ(s) ρ t−1 0 s
|rU (t, t0 )|p dµ(t) = O(r(β−d(J))p ) → 0 −1 d+(β−d(U ))p ρ t0 t
Z
r(β−d(J))p
1217
ρ(t−1 0 t)≤A6 r
при r → 0 для µ-п. в. t0 , поскольку оба интеграла конечны для µ-п. в. t0 (иначе = ∞), и β − d(J) > 0. мы получили бы kf kp β Bp,µ (F ) Так как η L t−1 x X X X 0 PJ (x, t0 ) = fJ (t0 ) + βLK γKJS fS (t0 ) , L! d(S)=d(J)+d(K)
d(J)+d(L)≤k, d(K)=d(L), d(L)>0 |K|≤|L|
то 1 rQ
Z
|PJ (x, t0 ) − fJ (t0 )|p dx X Z p 1 βLK γKJS L −1 ≤ Q fS (t0 ) η t0 x dx r L!
ρ(t−1 0 x)≤r
ρ(t−1 0 x)≤r
≤C
X L,K,S
≤C
X
L,K,S
1 rQ
Z ρ(t−1 0 x)≤r
|fS (t0 )|p rd(L)p
L,K,S
d(L)p |fS (t0 )|p ρ(t−1 dx 0 x)
Z
1 rQ
dx ≤ C
X
|fS (t0 )|p rp = O(rp )
L,K,S
ρ(t−1 0 x)≤r
при r → 0 для µ-п. в. t0 , поскольку d(L) > 0 и |fS (t0 )| < ∞ для µ-п. в. t0 . Таким образом, Z Z 1 1 J p |X f (x) − f (t )| dx ≤ C |X J f (x) − PJ (x, t0 )|p dx J 0 rQ rQ ρ(t−1 0 x)≤r
ρ(t−1 0 x)≤r
Z
1 + Q r
|PJ (x, t0 ) − fJ (t0 )| dx → 0 p
ρ(t−1 0 x)≤r
при r → 0 для µ-п. в. t0 , что доказывает наше утверждение. Теорема доказана. Из теорем 2.1 и 2.2 вытекает утверждение теоремы 0.1. 3. Граничные значения функций классов Wpl (²) Определение 3.1. Пусть ⊂ G — открытое связное множество на группе Карно G, и пусть ε, δ > 0. Говорят, что — (ε, δ)-область, если для любых точек x, y ∈ таких, что ρ(y −1 x) < δ, существует кривая γ ⊂ , соединяющая точки x и y, такая, что выполняются следующие соотношения ((ε, δ)-условия): l(γ) ≤
ρ(y −1 x) , ε
d(z, ∂) ≥
ερ(z −1 x) ρ(z −1 y) , z ∈ γ. ρ(y −1 x)
1218
С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев
Здесь l(γ) — длина кривой γ, а d(z, ∂) = inf ρ(z −1 t). t∈∂
Пусть G — двухступенчатая группа Карно с алгеброй Ли g = V1 ⊕ V2 и ⊂ G — ограниченная область класса C 2 . Из результатов работы [19] следует, что является (ε, δ)-областью. В статье [2] (см. теоремы 6.6 и 7.1) доказано, что граница ∂ такой области является (Q − 1)-множеством Альфорса, в качестве меры µ рассматривается периметрическая мера. Из свойств d-мер Альфорса [4] следует, что эта мера эквивалентна субримановой (Q − 1)-мерной мере Хаусдорфа. В работе [7] доказано, что для любой ограниченной (ε, δ)-области на двухступенчатой группе Карно G существует линейный ограниченный оператор продолжения ext : Wpl () → Wpl (G). Это аналог известной теоремы о продолжении Джонса [20]. Ее доказательство использует неравенство Пуанкаре для функций из пространств Соболева Wpl (), которое вытекает из интегральных представлений типа Соболева, полученных на двухступенчатых группах Карно в работах [21, 22]. Из этих фактов и теоремы 0.1 получается следующий результат. Теорема 3.1. Пусть ⊂ G — ограниченная область класса C 2 на двухступенчатой группе Карно G, µ — субриманова (Q − 1)-мерная мера Хаусдорфа на l−1/p ∂. Пусть 1 < p < ∞ и l > 0 целое. Тогда Wpl () ∂ = Bp,µ (∂). Операторы следа и продолжения линейные и ограниченные. Операторы следа и продолжения являются композициями операторов в следующей диаграмме: ext
tr
l−1/p Wpl () −→ Wpl (G) −→ Bp,µ (∂),
E
rest
l−1/p Bp,µ (∂) −→ Wpl (G) −→ Wpl (),
где rest — оператор сужения. В разд. 4 нам понадобится следующая эквивалентная нормировка для пространств Соболева. Предложение 3.1. Пусть ⊂ G — ограниченная область класса C 2 на двухступенчатой группе Карно G, µ — субриманова (Q − 1)-мерная мера Хаусдорфа на ∂. Тогда выражение 1/p X 1/p X Z kuk = |X J u(x)|p dµ(x) + kX J ukpp, (3.1) d(J)≤l ∂
d(J)=l
задает эквивалентную норму в пространстве Wpl (). Доказательство. Из интегральных представлений [21, 22] следует, что P (1) норма kukW l () = kukp, + kX J ukp, эквивалентна стандартной норме p
d(J)=l
k kWpl () в пространстве Соболева. Поэтому достаточно доказать эквивалент(1)
ность норм k kW l () и (3.1). p
f l (), где W f l () — Рассмотрим тождественный оператор i : Wpl () → W p p l пространство с нормой (3.1), а пространство Wp () рассматривается с нормой (1)
k kW l () . Этот оператор ограничен в силу теоремы 3.1. Действительно, p
X Z
1/p X 1/p (1) |X u(x)| dµ(x) + kX J ukpp, ≤ kukWpl () ≤ CkukW l () J
p
p
d(J)≤l ∂
d(J)=l
Следы функций из пространства Соболева
1219
для всех u ∈ Wpl (). Далее, он взаимно однозначен. Действительно, пусть kukW fl () = 0. Тогда p
X J u ≡ 0 п. в. в для всех d(J) = l и функция u — многочлен однородной степени не выше l − 1. Поскольку X J u = 0 п. в. на ∂ для всех d(J) ≤ l − 1, то u ≡ 0. fpl (), тогда u ∈ Llp (), Докажем сюръективность оператора i. Пусть u ∈ W P J где kukLlp () = kX ukp, . Из результатов работ [21, 22] следует, что для d(J)=l
функции u выполняется неравенство Пуанкаре: ku − Pk kp, ≤ kukLlp () , где Pk — многочлен однородной степени не выше l − 1. Тем самым kukp, < ∞ и u ∈ Wpl (). Таким образом, i — ограниченный взаимно однозначный сюръективный линейный оператор. По теореме Банаха об обратном операторе существует ограниченный обратный оператор i−1 . Отсюда вытекает эквивалентность норм. Предложение доказано. 4. Краевая задача для одного уравнения с частными производными В книге С. Л. Соболева [23] описан вариационный метод решения краевых задач для эллиптических уравнений. Одним из приведенных в книге примеров является полигармоническое уравнение порядка 2l: l u = 0, где — оператор Лапласа в Rn . Мы рассмотрим аналогичную задачу на двухступенчатой группе Карно, ограничиваясь поиском слабого решения. Пусть — ограниченная область класса C 2 на двухступенчатой группе Карно G. Рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения: X CJ (X J )∗ X J u = 0, x ∈ ; (4.1) d(J)=l
X J u|∂ = ϕJ ,
d(J) ≤ l − 1.
(4.2)
l−1/2
Здесь {ϕJ } ∈ B2 (∂), а CJ > 0. В случае евклидова пространства при подходящем выборе коэффициентов CJ оператор уравнения совпадает с оператором l . Мы будем искать решение задачи (4.1), (4.2) в классе W2l (). Определение 4.1. Функция u ∈ W2l () называется слабым решением задачи (4.1), (4.2), если она удовлетворяет условиям (4.2) и для любой функции ◦
h ∈ W l2 () X
D(u, h) =
d(J)=l
Z CJ
X J uX J h dx = 0.
Если слабое решение u достаточно гладкое, то по формуле интегрирования ◦ R P по частям получаем CJ (X J )∗ X J uh dx = 0 для всех h ∈ W l2 (). Из d(J)=l
основной леммы вариационного исчисления следует, что u является решением задачи (4.1), (4.2) в обычном смысле. Теорема 4.1. Существует единственное слабое решение задачи (4.1), (4.2) в классе W2l (). Этим решением является функция, на которой достигается минимум функционала D(u) = D(u, u) среди всех функций u ∈ W2l (), удовлетворяющих условиям (4.2).
1220
С. К. Водопьянов, И. М. Пупышев
Доказательство. Сначала докажем, что задача минимизации функционала D(u) на множестве W2l ({ϕJ }) функций u ∈ W2l (), удовлетворяющих условиям (4.2), имеет решение, и притом единственное. В силу теоремы 3.1 множество W2l ({ϕJ }) непусто. Так как 0 ≤ D(u) < ∞ для всех u ∈ W2l (), существует d = inf D(u) ≥ 0. u∈W2l ({ϕJ })
Выберем минимизирующую последовательность {uk }, uk ∈ W2l ({ϕJ }), такую, что d = lim D(uk ). k→∞
Аналогично рассуждениям С. Л. Соболева для полигармонического уравнения [23] доказывается, что для произвольного ε > 0 существует номер N (ε) такой, что D(uk − uj ) < ε для любых k, j > N (ε). Отсюда следует, что последовательность {uk } фундаментальна в W2l (), если задать в этом пространстве эквивалентную норму формулой (3.1). Действительно, в этом случае интегралы по ∂ в (3.1) равны нулю, и kuk − uj kW2l () = (D(uk − uj ))1/2 . В силу полноты W2l () существует предел lim uk = u0 . k→∞
Покажем, что функция u0 удовлетворяет условиям (4.2). Из сходимости uk → u0 в W2l () и (3.1) для d(J) ≤ l − 1 получаем Z 1/2 J J J J 2 kX uk − X u0 k2,∂ = |X uk − X u0 | dµ(x) ≤ Ckuk − u0 kW2l () → 0 ∂ J
при k → ∞. Так как X uk |∂ = ϕJ , то kϕJ − X J u0 k2,∂ ≤ Ckuk − u0 kW2l () → 0 при k → ∞. Поскольку левая часть неравенства не зависит от k, то она равна 0, и X J u0 |∂ = ϕJ для всех d(J) ≤ l − 1. Равенство D(u0 ) = d и единственность функции u0 доказываются аналогично рассуждениям в [23]. Итак, мы нашли решение вариационной задачи. Полученная функция u0 будет слабым решением задачи (4.1), (4.2). Действительно, ввиду того, что на функции u0 достигается минимум функ◦
ционала D(u) среди всех функций u ∈ W2l ({ϕJ }), для всех h ∈ W l2 () и t ∈ R выполняется D(u0 ) ≤ D(u0 + th). Из необходимого условия экстремума слеd D(u0 + th)|t=0 = 0. Но D(u0 + th) = D(u0 ) + 2tD(u0 , h) + t2 D(h) и дует dt d dt D(u0 + th)|t=0 = 2D(u0 , h) = 0. Так как u0 удовлетворяет условиям (4.2), то она является слабым решением задачи (4.1), (4.2). Теорема доказана. ЛИТЕРАТУРА 1. Derridj M. Sur un th´ eor` eme de traces // Ann. Inst. Fourier. 1972. V. 22, N 2. P. 73–83. 2. Danielli D., Garofalo N., Nhieu D.-M. Non-doubling Ahlfors measures, perimeter measures, and the characterization of the trace spaces of Sobolev functions in Carnot–Carath´ eodory spaces. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006. (Memoirs Amer. Math. Soc.; V. 182). 3. Capogna L., Garofalo N. Ahlfors regularity in Carnot–Carath´ eodory spaces // J. Geom. Anal.. 2006. V. 16, N 4. P. 455–497. 4. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. Следы бесселевых потенциалов на регулярных подмножествах групп Карно // Мат. тр.. 2007. Т. 10, № 2. С. 1–43. 5. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. Теоремы типа Уитни о продолжении функций на группах Карно // Докл. РАН. 2006. Т. 406, № 5. С. 586–590. 6. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. Теоремы типа Уитни о продолжении функций на группах Карно // Сиб. мат. журн.. 2006. Т. 47, № 4. С. 731–752. 7. Пупышев И. М. Продолжение функций классов Соболева за границу области на группах Карно // Мат. тр.. 2007. Т. 10, № 1. С. 1–26. 8. Водопьянов С. К., Пупышев И. М. Следы пространств Соболева на множествах Альфорса групп Карно // Докл. РАН. 2006. Т. 411, № 2. С. 151–156.
Следы функций из пространства Соболева
1221
9. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения // Докл. АН СССР. 1959. Т. 126. С. 1163–1165. 10. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1961. Т. 60. С. 42–81. 11. Бесов О. В. Поведение дифференцируемых функций на негладкой поверхности // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1972. Т. 117. С. 3–10. 12. Бесов О. В. О следах на негладкой поверхности классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1972. Т. 117. С. 11–21. 13. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, Физматлит, 1996. 14. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. 15. Johnsson A., Wallin H. Function spaces on subsets of Rn // Math. Reports. 1984. V. 2. P. 1–221. 16. Whitney H. Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc.. 1934. V. 36. P. 63–89. 17. Folland G. B., Stein E. M. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1982. 18. Водопьянов С. К., Грешнов А. В. О продолжении функций ограниченной средней осцилляции на пространствах однородного типа с внутренней метрикой // Сиб. мат. журн.. 1996. Т. 36, № 5. С. 1015–1048. 19. Monti R., Morbidelli D. Regular domains in homogeneous groups // Trans. Amer. Math. Soc. 2005. V. 357, N 8. P. 2975–3011. 20. Jones P. W. Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev spaces // Acta Math.. 1981. V. 147. P. 71–88. 21. Саженкова Е. А. Интегральные представления на двуступенчатых группах Карно // Междунар. конф. «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию академика С. М. Никольского. М., 23–29 мая 2005 г.: Тез. докл. М.: Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН, 2005. С. 196. 22. Плотникова Е. А. Интегральные представления и обобщенное неравенство Пуанкаре на группах Карно // Сиб. мат. журн. (В печати). 23. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. Статья поступила 30 мая 2006 г., окончательный вариант — 12 февраля 2007 г. Водопьянов Сергей Константинович, Пупышев Илья Михайлович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 [email protected], [email protected]
