áâì II.
. . ¤®¢áª¨©
áâ¨âãâ «¥ªâà®ä¨§¨ª¨ à ,
ª â¥à¨¡ãà£, 620016, ®áá¨ï, E-mail:
[email protected]
c .. ¤®¢áª¨©, 2001
1
।¨á«®¢¨¥ §« £ ¥¬ë© ¨¦¥ ¬ â¥à¨ « ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© áãé¥á⢥® à áè¨à¥ë© ª®á¯¥ªâ «¥ªæ¨©, ç¨â ¥¬ëå ¢â®à®¬ 䨧¨ç¥áª®¬ ä ªã«ìâ¥â¥ à «ì᪮£® ®á㤠àá⢥®£® ¨¢¥àá¨â¥â , ç¨ ï á 1991 £®¤ . ᮢ ï § ¤ ç ªãàá | ¯®§ ª®¬¨âì áâ㤥⮢ { ⥮à¥â¨ª®¢ á ®á®¢ ¬¨ ᮢ६¥®© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¨ 䨧¨ª¨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ. ®áª®«ìªã á¯¥æ¨ «¨§ æ¨ï áâ㤥⮢ ¢ à á¢ï§ , £« ¢ë¬ ®¡à §®¬, á 䨧¨ª®© ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï, ¯¥à¥¤ ¢â®à®¬ áâ®ï« ¥¯à®áâ ï § ¤ ç ¨§«®¦¥¨ï ¬ â¥à¨ « ¢ ¤®áâ â®ç® ª®¬¯ ªâ®¬ ¨ í«¥¬¥â ஬ ¢¨¤¥. â® ¦¥ ¢à¥¬ï, § ¤ 祩 ªãàá ï¥âáï ¨§«®¦¥¨¥ ¡®à ᢥ¤¥¨©, ª®â®àë¥ ¥®¡å®¤¨¬® § âì, ¢ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï, ª ¦¤®¬ã £à ¬®â®¬ã ⥮à¥â¨ªã, ¤ ¦¥ ¥ à ¡®â î饬㠢 ¤ ®© ®¡« áâ¨. ¨§¢¥á⮬ á¬ëá«¥, ¤ ë© ªãàá § ¢¥àè ¥â ®¡é¨© 横« ¯à¥¯®¤ ¢ ¨ï ⥮à¥â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ¢ ⮢ ï ⥮à¨ï ¯®«ï ï¥âáï, ᥣ®¤ï訩 ¤¥ì, ¨¡®«¥¥ ä㤠¬¥â «ì®© ⥮ਥ© ¬ â¥à¨¨. ¯®á«¥¤¨¥ ¤¥áï⨫¥â¨ï ¢ í⮩ ®¡« á⨠¤®á⨣ãâ ¢¯¥ç â«ïî騩 ¯à®£à¥áá, ª®â®àë© á¢ï§ á ¯®áâ஥¨¥¬ ⮣®, çâ® §ë¢ ¥âáï \áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«ìî" ç áâ¨æ ¨ ¨å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©. â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬ â¥à¨ « ¥é¥ ¥ ®ç¥ì è¨à®ª® ¨§¢¥á⥠§ ¯à¥¤¥« ¬¨ á®®¡é¥á⢠«î¤¥©, ¥¯®á।á⢥® à ¡®â îé¨å ¢ 䨧¨ª¥ ç câ¨æ. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¨¤¥¨ ¨ ¬¥â®¤ë ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï 諨 ®ç¥ì è¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¢ ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï, ¨ ¡¥§ § ¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯à¨æ¨¯®¢, âà㤮 íä䥪⨢® à ¡®â âì ¢ í⮩ ®¡« áâ¨, ª § «®áì ¡ë ¤®áâ â®ç® ¤ «¥ª®© ®â ªà㣠¨â¥à¥á®¢ ⥮ਨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ. ¬¥¥âáï ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讥 ª®«¨ç¥á⢮ áâ ¤ àâëå ã祡¨ª®¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï à §®£® ã஢ï [1] { [12]. ᮡ¥®áâìî ¡®«ìè¨á⢠¨§ ¨å (ªà®¬¥, ¯®¦ «ã©, ¤®¢®«ì® áâ àëå ª¨£ [5, 6]) ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮥 ¤¥¤ãªâ¨¢®¥ ¨§«®¦¥¨¥ ¯à¥¤¬¥â ¢ à ¬ª å ¨¤¥®«®£¨¨, ¨¡®«¥¥ ¡«¨§ª®© ¢â®à ¬. ⫨稥 ¤ ®£® ªãàá á®á⮨⠢ ⮬, çâ® §¤¥áì ¯à¨ïâ ᪮॥ ¨¤ãªâ¨¢ë© ¬¥â®¤, ª®£¤ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥, § ç áâãî, ¢®¯à®áë ¨§« £ îâáï à §«¨ç묨 ᯮᮡ ¬¨. â® ¢¥¤¥â ª ¥¨§¡¥¦ë¬ ¯®¢â®à ¬, ¥ª®â®à®¬ã à §®¡®î ¢ ®¡®§ 票ïå ¨ â.¯. ¤ ª® ¢â®à㠯।áâ ¢«ï¥âáï, çâ® â ª®© ¯®¤å®¤ ¡®«¥¥ ¯®«¥§¥ á â®çª¨ §à¥¨ï § ª®¬á⢠á à §®®¡à §¨¥¬ ¨¤¥© ¨ ¬¥â®¤®¢, ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ¯à¨ à¥è¥¨¨¨ ॠ«ìëå § ¤ ç. «ï ¯®¨¬ ¨ï ¡®«ì襩 ç á⨠ªãàá âॡã¥âáï § ¨¥ ®á®¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ¥ª®â®àë¥ ã¦ë¥ ¯®¤å®¤ë, ¥ ¨§« £ î騥áï ¢ âà ¤¨æ¨®ëå ªãàá å ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨, ¡ã¤ãâ ®¡á㦤¥ë ¯® 室㠤¥« . ਠ¯¨á ¨¨ ¤ ëå «¥ªæ¨© ¢â®à ¢ ¨¡®«ì襩 á⥯¥¨ ®¯¨à «áï ª¨£¨ [1, 8], ® ¤®¢®«ì® ¬®£® ¬ â¥à¨ « ¢§ïâ® ¨ ¨§ ¤àã£¨å ¨áâ®ç¨ª®¢, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ æ¨â¨à®¢ âìáï ¯® 室㠨§«®¦¥¨ï. à拉 á«ãç ¥¢, ¬ë áâ à ¥¬áï ¯à®¢®¤¨âì «®£¨¨ á ¨§¢¥áâ묨 § ¤ ç ¬¨ ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï ¨«¨ ¯à¨¢®¤¨âì ¯à¨¬¥àë à¥è¥¨ï ª®ªà¥âëå § ¤ ç ¨§ í⮩ ®¡« áâ¨, ¡®«¥¥ ¡«¨§ª®© á«ãè ⥫ï¬. ਠí⮬ á«¥¤ã¥â ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® ¨ ᮢ६¥ ï ⥮à¨ï í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ § ¨¬á⢮¢ « ¬®£¨¥ ¨¤¥¨ ¨ ¬¥â®¤ë ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï, ¨ ®¤®© ¨§ § ¤ ç ¤ ®£® ªãàá ï¥âáï ¤¥¬®áâà æ¨ï í⮣® ¥¤¨á⢠⥮à¥â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ¥ª®â®à®© ¥®¡ëç®áâìî ªãàá , á¢ï§ ®© á ®â¬¥ç¥ë¬¨ ¢ëè¥ ¥£® ®á®¡¥®áâﬨ, ï¥âáï ¤®¢®«ì® ¡®«ì讥 ç¨á«® «¨â¥à âãàëå ááë«®ª. ਠí⮬ ¨¬¥«®áì ¢ ¢¨¤ã, çâ® «¨ç¨¥ ááë«®ª ¯®§¢®«ï¥â ç¨â ⥫î, ¯à¨ ¦¥« ¨¨, ¯¥à¥©â¨ ª ¡®«¥¥ 㣫㡫¥®¬ã à áᬮâ२î â¥å ¨«¨ ¨ëå ¢®¯à®á®¢, ⥬ ¡®«¥¥ çâ® ç⥨¥ ¤ ëå «¥ªæ¨© ¥ ¬®¦¥â, ª®¥ç®, § ¬¥¨âì ¨§ãç¥¨ï ¡®«¥¥ ä㤠¬¥â «ìëå ã祡¨ª®¢.
2
«¥¤ã¥â, ª®¥ç®, ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® í⨠«¥ªæ¨¨ ïîâáï ¨§«®¦¥¨¥¬ ¬ â¥à¨ « ¥ á¯¥æ¨ «¨á⮬ ¨ ¤«ï ¥ á¯¥æ¨ «¨á⮢! ¥âà «ì®© ¨¤¥¥© ªãàá ï¥âáï ¨§«®¦¥¨¥ ®á®¢ ª «¨¡à®¢®çëå ⥮਩ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ ¨ ®á®¢ \áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨". ¬¥â®¤¨ç¥áª®¬ ¯« ¥ ¤®áâ â®ç® ¯®¤à®¡® ¨§« £ ¥âáï ¤¨ £à ¬¬ ï â¥å¨ª ¥©¬ , § 票¥ ª®â®à®© ¢ë室¨â ¤ «¥ª® § ¯à¥¤¥«ë ⥮ਨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ [13], â ª¦¥ ä®à¬ «¨§¬ äãªæ¨® «ì®£® (ª®â¨ã «ì®£®) ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ª®â®àë© â ª¦¥ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ¢ ¤àã£¨å ®¡« áâïå ⥮à¥â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ [14, 15]. ë ᮧ â¥«ì® ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï í⨬ 㦥 ¤®áâ â®ç® âà ¤¨æ¨®ë¬ ¬ â¥à¨ «®¬, á®áâ ¢«ïî騬 ®á®¢ã ᮢ६¥®£® ¯®¨¬ ¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ. í⮬ á¬ëá«¥, ¨§« £ ¥¬ë© ¬ â¥à¨ « ¥ ®¢, ¢á¥ í⨠१ã«ìâ âë ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ¯à¨¬¥à® ª á¥à¥¤¨¥ 70-å £®¤®¢. ë ᮧ â¥«ì® ®áâ ¢«ï¥¬ § à ¬ª ¬¨ ¨§«®¦¥¨ï ¡®«¥¥ ᮢ६¥ë¥, ® ¨ ¡®«¥¥ ᯥªã«ïâ¨¢ë¥ ¢®¯à®áë, â ª¨¥, ᪠¦¥¬, ª ª á㯥àᨬ¬¥âà¨ï. ¥¬ ¡®«¥¥ ¥ ¨§« £ îâáï ¢¥é¨, ¢ë室ï騥 § à ¬ª¨ ᮡá⢥® ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï, â ª¨¥ ª ª áâàãë ¨ á㯥àáâàãë. ®¡á⢥® 䨧¨ª¥ ç áâ¨æ â ª¦¥ 㤥«ï¥âáï ¤®¢®«ì® ¬ «® ¬¥áâ , ¯à¨¢®¤ïâáï «¨èì ®â¤¥«ìë¥ ¯à¨¬¥àë à áç¥â â¥å ¨«¨ ¨ëå ¯à®á⥩è¨å íä䥪⮢, á 楫ìî ¨««îáâà 樨 ¯à¨¬¥¥¨ï ®¡é¨å ¯à¨æ¨¯®¢ ⥮ਨ. ®à®è¥¥ ¨§«®¦¥¨¥ ª®ªà¥âëå ¢®¯à®á®¢ ᮢ६¥®© 䨧¨ª¨ ç áâ¨æ ¬®¦® ©â¨ ¢ [16] { [17]. §¡¨¥¨¥ ªãàá ¤¢¥ ç á⨠®á¨â ç¨áâ® â¥å¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à. ¯¥à¢®© ç á⨠à áᬠâਢ ¥âáï « £à ¦¥¢ ä®à¬ «¨§¬, ᨬ¬¥âਨ, ª ®¨ç¥áª®¥ ª¢ ⮢ ¨¥ ¨ ®á®¢ë ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¨. â®à ï ç áâì ¯®á¢ïé¥ äãªæ¨® «ìë¬ ¬¥â®¤ ¬, ª¢ ⮢ ¨î ª «¨¡à®¢®çëå ¯®«¥©, ¬®¤¥«ï¬ ®¡ê¥¤¨¥®£® ®¯¨á ¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ, â ª¦¥ ¡®«¥¥ ¤¥â «ì®¬ã à áᬮâ२î ⥮ਨ ¯¥à¥®à¬¨à®¢®ª ¨ ¥¯¥àâãࡠ⨢ëå ¬¥â®¤®¢. .. ¤®¢áª¨©,
ª â¥à¨¡ãà£, 2000 £.
3
.
á ¥â «ãç襣® á।á⢠¤«ï ®¯¨á ¨ï í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ, 祬 ª¢ ⮢ ï ⥮àï ¯®«ï. ¢ ⮢®¥ ¯®«¥ { íâ® á ¬¡«ì ¡¥áª®¥ç®£® ç¨á« ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å £ ମ¨ç¥áª¨å ®á樫«ïâ®à®¢. ®§¡ã¦¤¥¨ï íâ¨å ®á樫«ïâ®à®¢ ®â®¦¤¥á⢫ïîâáï á ç áâ¨æ ¬¨... ᥠíâ® ®ç¥ì ¢ ¤ãå¥ XIX á⮫¥â¨ï, ª®£¤ «î¤¨ ¯ëâ «¨áì áâநâì ¬¥å ¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¢á¥å ¥¨©. ¥ ¢¨¦ã ¢ í⮬ ¨ç¥£® ¯«®å®£®, ¯®áª®«ìªã «î¡ ï ¥âਢ¨ «ì ï ¨¤¥ï ¢ ®¯à¥¤¥«¥®¬ á¬ëá«¥ ¢¥à . ãá®à ¯à®è«®£® ç áâ® ®ª §ë¢ ¥âáï ᮪஢¨é¥¬ áâ®ï饣® (¨ ®¡®à®â). ®íâ®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ ᬥ«® ¯à¨¡¥£ âì ª à §«¨çë¬ «®£¨ï¬ ¯à¨ ®¡á㦤¥¨¨ è¨å ®á®¢ëå ¯à®¡«¥¬.
..®«ïª®¢. \ «¨¡à®¢®çë¥ ¯®«ï ¨ áâàãë", 1987
[24]
4
®¤¥à¦ ¨¥ 1
7
®à¬ã«¨à®¢ª ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ®á®¢¥ ¨â¥£à «®¢ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬. 7 ¥®à¨ï ¢®§¬ã饨©. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 ãªæ¨® «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 ¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠äãªæ¨® «ìëå ¨â¥£à «®¢. : : : : : : : : : : : : : : 21
2
: 27 ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï ᪠«ïàëå ¯®«¥©. : : : : : : : : : : : : ãªæ¨® «ì®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ãªæ¨¨ ਠ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯®«¥©. : : : : : : : ¥®à¨ï '4 . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï á¢ï§ëå ¤¨ £à ¬¬. : : : : : : : : : : : : ¯¥à â®à ᮡá⢥®© í¥à£¨¨ ¨ ¢¥àè¨ë¥ äãªæ¨¨. : : : : : : : : : : ¥®à¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨©. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¥à¬¨®ë ¨ äãªæ¨® «ìë¥ ¬¥â®¤ë. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ய £ â®àë ¨ ª «¨¡à®¢®çë¥ ãá«®¢¨ï ¢ ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¥.
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
27 31 34 40 43 50 52 57 69 75
3
:
77 ¥ ¡¥«¥¢ë ª «¨¡à®¢®çë¥ ¯®«ï ¨ ¬¥â®¤ ¤¤¥¥¢ {®¯®¢ . : : : : : : : : : 77 ¥©¬ ®¢áª¨¥ ¤¨ £à ¬¬ë ¢ ¥ ¡¥«¥¢®© ⥮ਨ. : : : : : : : : : : : : : : : : 83
4
91 ¯®â ®¥ àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ ¨ ⥮६ ®«¤áâ®ã . «¨¡à®¢®çë¥ ¯®«ï ¨ íä䥪⠨££á . : : : : : : : : : : : ®«ï £ - ¨««á ¨ ᯮ⠮¥ àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ. ®¤¥«ì ©¡¥à£ - « ¬ . : : : : : : : : : : : : : : : : :
5
á室¨¬®á⨠¢ ⥮ਨ '4 . : : : : : : : §¬¥à ï ॣã«ïਧ æ¨ï ⥮ਨ '4 . ¥à¥®à¬¨à®¢ª ⥮ਨ '4 . : : : : : : ¥®à¬ «¨§ 樮 ï £à㯯 . : : : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
91 97 100 105
115
115 119 124 129 5
6
ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ᢮¡®¤ ⥮਩ £ {¨««á . : : : : : : : : : : : : : : : : 136 \¥£ã騥" ª®áâ âë á¢ï§¨ ¨ \¢¥«¨ª®¥ ®¡ê¥¤¨¥¨¥." : : : : : : : : : : : : 142
6
149 ¥®à¨ï ¯®«ï à¥è¥âª¥. : : : : : : : : : : : : : : : : : ää¥ªâ¨¢ë© ¯®â¥æ¨ « ¨ ¯¥â«¥¢®¥ à §«®¦¥¨¥. : : áâ â®ë ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥. : : : : : : : : : : : áâ â®ë ¨ ¥áâ ¡¨«ìë© ¢ ªã㬠¢ ⥮ਨ ¯®«ï. :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
149 160 165 175
« ¢ 1
®à¬ã«¨à®¢ª ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ®á®¢¥ ¨â¥£à «®¢ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬. ®à®è® ¨§¢¥áâ®, çâ® ª¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª ¢®§¨ª« , ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ®¤®¢à¥¬¥®, ¢ ¤¢ãå íª¢¨¢ «¥âëå ä®à¬ã«¨à®¢ª å { ¢ ¢¨¤¥ ¬ âà¨ç®© ¬¥å ¨ª¨ ¥©§¥¡¥à£ ¨ ¢®«®¢®© ¬¥å ¨ª¨, ®á®¢ ®© ãà ¢¥¨¨ ।¨£¥à . ãé¥áâ¢ã¥â ¥é¥ ®¤ ä®à¬ ¯®áâ஥¨ï ª¢ ⮢®© ⥮ਨ, ¯à¥¤«®¦¥ ï áãé¥á⢥® ¯®§¦¥ ¥©¬ ®¬ [37], ª ªà ⪮¬ã ¨§«®¦¥¨î ¨§«®¦¥¨î ª®â®à®© ¬ë ¨ ¯¥à¥å®¤¨¬. §ã¬¥¥âáï, ¢á¥ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨, ¯® áã⨠¤¥« , ⮦¤¥áâ¢¥ë ¨ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¨§ á®®¡à ¦¥¨© 㤮¡á⢠¯à¨ à¥è¥¨¨ à §ëå ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç. ª®æ¥¯â㠫쮬 ¯« ¥, ®¨ ¢ë¤¥«ïî⠮⤥«ìë¥ áâ®à®ë ª¢ ⮢®© ⥮ਨ, ¯®§¢®«ïï ¥áª®«ìª® ¯® à §®¬ã ¯à®¢®¤¨âì ¯®áâ஥¨¥ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. í⮬ ¯« ¥, ä®à¬ã«¨à®¢ª ¥©¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ®á®¡¥® ¨§ï鮩 ¨ 㤮¡®© ¤«ï ¯®á«¥¤ãîé¨å ®¡®¡é¥¨©. ãáâì § ¤ ¢®«®¢ ï äãªæ¨ï ç áâ¨æë (qi ; ti) ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ti , £¤¥ qi ®¡®§ ç ¥â ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ª®®à¤¨ âãî § ¢¨á¨¬®áâì. 㤥¬, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, à áᬠâਢ âì ¯®ª ®¤®¬¥à®¥ ¤¢¨¦¥¨¥. ®£¤ , ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ « ¢¥ 4 ç á⨠I, ¬®¦® § ¯¨á âì § 票¥ ¢®«®¢®© äãªæ¨¨ ¢ ¡®«¥¥ ¯®§¤¨© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ tf ¢ 7
8
¨á. 1-1
á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
(qf ; tf ) =
Z
dqiK(qf tf ; qiti ) (qi ti )
(1.1)
£¤¥ K(qf tf ; qiti ) ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯à®¯ £ â®à (äãªæ¨ï ਠãà ¢¥¨ï ।¨£¥à ). ᮮ⢥âá⢨¨ á® áâ ¤ à⮩ ¨â¥à¯à¥â 樥© (qf ; tf ) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬¯«¨âã¤ã ¢¥à®ïâ®á⨠⮣®, çâ® ç áâ¨æ 室¨âáï ¢ â®çª¥ ¯à®áâà á⢠qf ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ tf . ®®â¢¥âá⢥®, ¯à®¯ £ â®à K(qf tf ; qiti ) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬¯«¨âã¤ã ¢¥à®ïâ®á⨠¯¥à¥å®¤ ç áâ¨æë ¨§ ç «ì®© â®çª¨ qi ¢ ¬®¬¥â ti ¢ ª®¥çãî â®çªã qf ¢ ¬®¬¥â tf . ¥à®ïâ®áâì ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯¥à¥å®¤ ¥áâì: P (qf tf ; qiti ) = jK(qf tf ; qiti )j2
(1.2)
§¤¥«¨¬ ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥¨ ¬¥¦¤ã ¬®¬¥â ¬¨ ti ¨ tf ¤¢ ¯à®¬¥¦ã⪠, à §¤¥«¥ë¥ ¬®¬¥â®¬ t. ®¢â®à®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ (1.1) ¤ ¥â: (qf ; tf ) = â ª çâ®:
Z
Z
dqi dqK(qf tf ; qt)K(qt; qiti ) (qi ti )
Z
K(qf tf ; qiti) = dqK(qf tf ; qt)K(qt; qiti)
(1.3) (1.4)
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯¥à¥å®¤ qi ti ! qf tf ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¯¥à¥å®¤ ç¥à¥§ ¢á¥ ¢®§¬®¦ë¥ ¯à®¬¥¦ãâ®çë¥ â®çª¨ (á®áâ®ï¨ï), ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.1-1. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¬®¦® ¯à¨¢¥á⨠¨§¢¥áâë© íªá¯¥à¨¬¥â á ¤¨äà ªæ¨¥© í«¥ªâà®®¢ ¤¢ãå 饫ïå, à ᯮ«®¦¥ëå ¢ â®çª å 2A ¨ 2B (¨á.1-2). í⮬ á«ãç ¥ «®£ (1.4) ¨¬¥¥â ¢¨¤: K(3; 1) = K(3; 2A)K(2A; 1) + K(3; 2B)K(2B; 1)
(1.5)
á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨â¥á¨¢®á⨠íªà ¥, à ᯮ«®¦¥®¬ ¢ â®çª¥ 3 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§: P(3; 1) = jK(3; 1)j2 (1.6) £¤¥, á ®ç¥¢¨¤®áâìî, ¯à¨áãâáâ¢ãîâ ¨â¥àä¥à¥æ¨®ë¥ ¢ª« ¤ë. ®¦® £®¢®à¨âì, çâ® í«¥ªâà® ¢ â ª®¬ íªá¯¥à¨¬¥â¥ ¯à®«¥â ¥â ¯® ®¡®¨¬ ¯ãâï¬ (âà ¥ªâ®à¨ï¬) ®¤®¢à¥¬¥® (¥á«¨ ¬ë ¥ ॣ¨áâà¨à㥬 ¥£® ¢ ®¤®© ¨§ 饫¥©, ® ⮣¤ ¨ ¨â¥àä¥à¥æ¨® ï ª à⨠¨á祧 ¥â!).
9
¨á. 1-2
¢¥¤¥¬ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®à ®¯¥à â®à ª®®à¤¨ âë ¢ ¤¨à ª®¢áª¨å ®¡®§ 票ïå: q^jq >= qjq > (1.7) ®£¤ ¢®«®¢ ï äãªæ¨ï 襩 ç áâ¨æë ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ª ª: (qt) =< qj t >S (1.8) £¤¥ j t >S { ¢¥ªâ®à á®áâ®ï¨ï ç áâ¨æë ¢ è।¨£¥à®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨, á¢ï§ ë© á ¥§ ¢¨áï騬 ®â ¢à¥¬¥¨ ¢¥ªâ®à®¬ á®áâ®ï¨ï ¢ £¥©§¥¡¥à£®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ j >H ª ª: j t >S = e;iHt=~ j >H (1.9) ¯à¥¤¥«¨¬ § ¢¨áï騩 ®â ¢à¥¬¥¨ ¢¥ªâ®à jqt >= eiHt=~ jq > (1.10) ®£¤ ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì (1.8) ª ª: (qt) =< qtj >H (1.11) ᥠíâ® ¯à®áâë¥ ¨ ¨§¢¥áâë¥ ¢¥é¨ ¨§ ®á®¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨. ®«ì§ãïáì ãá«®¢¨¥¬ ¯®«®âë á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ (1.7), (1.10) ¬®¦¥¬ ⥯¥àì ¯¨á âì:
Z
< qf tf j >H = dqi < qf tf jqiti >< qiti j >H çâ®, á ãç¥â®¬ (1.11), ᢮¤¨âáï ª:
Z
(qf tf ) = dqi < qf tf jqiti > (qi ti ) à ¢¨¢ ï (1.13) á (1.1) ¢¨¤¨¬, çâ® ¯à®¯ £ â®à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥: K(qf tf ; qiti ) =< qf tf jqiti >
(1.12) (1.13) (1.14)
çâ®, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¢ ¥áª®«ìª® ¨®© ä®à¬¥, 㦥 ¢ë¯¨áë¢ «®áì ¬¨ ¢ « ¢¥ 4 ç á⨠I. ®®â®è¥¨¥¬ (1.14) ¬ë ¡ã¤¥¬ ¤ «¥¥ è¨à®ª® ¯®«ì§®¢ âìáï. §¤¥«¨¬ ¢à¥¬¥®© ¨â¥à¢ « ¬¥¦¤ã ¬®¬¥â ¬¨ ti ¨ tf (n+1) à ¢ëå ç á⥩ ¤«¨â¥«ì®áâìî . ®£¤ à á¯à®áâà ¥¨¥ ç áâ¨æë ¨§ qiti ¢ qf tf ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì
10
¨á. 1-3
ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.1-3, çâ® á ¬®£®ªà âë¬ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ (1.4), ¯®§¢®«ï¥â § ¯¨á âì ¬¯«¨âã¤ã ¯¥à¥å®¤ (¯à®¯ £ â®à) ¢ ¢¨¤¥: < qf tf jqiti >=
Z Z
::: dq1dq2:::dqn < qf tf jqntn >< qntn jqn;1tn;1 > ::: < q1t1jqiti > (1.15) £¤¥ ¬®£®ªà âë© ¨â¥£à « ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¢®§¬®¦ë¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬, ᮥ¤¨ïî騬 ç «ìãî â®çªã qi á ª®¥ç®© qf . ¯à¥¤¥«¥ n ! 1 ¨«¨ ! 0 ¢ëà ¦¥¨¥ (1.15) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯à®¯ £ â®à ª ª 䥩¬ ®¢áª¨© ¨â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ (ª®â¨ã «ìë© ¨«¨ äãªæ¨® «ìë© ¨â¥£à «). ¦¥ í⮬ ã஢¥ ¢¨¤® ®á®¢®¥ ®â«¨ç¨¥ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ®â ª« áá¨ç¥áª®©. « áá¨ç¥áª ï ç áâ¨æ à á¯à®áâà ï¥âáï ¨§ ç «ì®© â®çª¨ ¢ ª®¥çãî, ¤¢¨£ ïáì ¯® ¥¤¨á⢥®© âà ¥ªâ®à¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¯à¨æ¨¯®¬ ¨¬¥ì襣® ¤¥©á⢨ï, ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ \à ¡®â ¥â" ª®â¨ã㬠¢á¥å ¬ë᫨¬ëå âà ¥ªâ®à¨©, ᮥ¤¨ïîé¨å í⨠â®çª¨! ¥âà㤮 à ááç¨â âì ¯à®¯ £ â®à ¬ «®¬ ᥣ¬¥â¥ âà ¥ªâ®à¨¨. § (1.10) ¨¬¥¥¬: < qj +1tj +1jqj tj >=< qj +1je;iH =~ jqj >=< qj +1j1 ; ~i H + O( 2)jqj >= = (q ; q ) ; i < q jH jq >= (1.16) j +1
j
j +1
j
~ i Z dp i = 2~ exp ~ p(qj +1 ; qj ) ; ~ < qj +1jH jqj >
£¤¥ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ®ç¥¢¨¤ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ -äãªæ¨¨ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ãàì¥. ®¡é¥¬ á«ãç ¥, £ ¬¨«ì⮨ H ï¥âáï ¥ª®â®à®© äãªæ¨¥© q ¨ p. áᬮâਬ ¨¡®«¥¥ ç áâ® ¢áâà¥ç î騩áï ¯à ªâ¨ª¥ á«ãç © ¤¢¨¦¥¨ï ç áâ¨æë ¢ ¯®â¥æ¨ «ì®¬ ¯®«¥, ª®£¤ , ¢ ®ç¥¢¨¤ëå ®¡®§ 票ïå, ¨¬¥¥¬: p2 + V (q) (1.17) H = 2m ®£¤ ¤«ï ç«¥ ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨ ¬®¦® ¯¨á âì: p2 jq >= Z dp0 Z dp < q jp0 >< p0j p2 jp >< pjq > (1.18) < qj +1j 2m j j +1 j 2m â ª çâ® ¨á¯®«ì§ãï ip0q 1 j +1 0 < qj +1jp >= p exp ~ 2~
11
¨á. 1-4
¯®«ã稬:
p2 jq >= Z < qj +1j 2m j
j < pjqj >= p 1 exp ; ipq ~ 2~
Z dpdp0 i 0 qj +1 ; pqj ) p2 (p ; p0) = exp (p 2~ ~ p2 Z dp i 2m
(1.19) 2~ exp ~ p(qj +1 ; qj ) 2m ¡à ⨬ ¢¨¬ ¨¥, çâ® ¢ «¥¢®© ç á⨠í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï p ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ®¯¥à â®à®¬, ¢ ¯à ¢®© í⮠㦥 ç¨á«®! «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¥âà㤮 ¯®«ãç¨âì: < qj +1jV (q)jqj >= V qj +12+ qj < qj +1jqj >= V qj +12+ qj (qj +1 ; qj ) = Z dp i = 2 exp p(q ; q ) V (qj )(1.20) ~ ~ j +1 j =
£¤¥ qj = 21 (qj +1 + qj ). ¡ê¥¤¨ïï (1.19) ¨ (1.20), ¨¬¥¥¬: Z dp i < qj +1jH jqj >= 2~ exp ~ p(qj +1 ; qj ) H(p; q) (1.21) â ª çâ® (1.17) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: Z dpj i < qj +1 tj +1jqj tj >= 2 exp [p (q ; q ) ; H(p ; q )] (1.22) j j ~ ~ j j +1 j £¤¥ pj { ¨¬¯ã«ìá ¢ â®çª¥ ¬¥¦¤ã tj ¨ tj +1 (¬¥¦¤ã qj ¨ qj +1). ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ᥣ¬¥âë âà ¥ªâ®à¨¨ ¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à®áâà á⢥ ¯®ª § ë ¨á.1-4. ëà ¦¥¨¥ (1.22) ¨ § ¤ ¥â ¯à®¯ £ â®à ¬ «®¬ ᥣ¬¥â¥ ®¤®£® ¨§ ¯ã⥩ (®â१ª¥ âà ¥ªâ®à¨¨). ®«ë© ¯à®¯ £ â®à ¯®«ãç ¥âáï ¯®¤áâ ®¢ª®© (1.22) ¢ (1.15), â ª çâ®: ( X ) ZY n n n dp Y i i < qf tf jqiti >= nlim !1 j =1 dqj i=0 2~ exp ~ l=0 [pl (ql+1 ; ql ) ; H(pl ; ql )] (1.23)
£¤¥ q0 = qi ¨ qn+1 = qf . ªâ¨ç¥áª¨ §¤¥áì á⮨⠡¥áª®¥ç®ªà âë© ¨â¥£à «. ¡ëç® (1.23) § ¯¨áë¢ îâ ¢ á«¥¤ãî饬 ᨬ¢®«¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥: Z Dq(t)Dp(t) i Z tf < qf tf jqiti >= (1.24) 2~ exp ~ ti dt [pq_ ; H(p; q)]
12
£¤¥ q(ti ) = qi ¨ q(tf ) = qf . â § ¯¨áì, ä®à¬ «ì® ¢¢®¤ïé ï ¬¥à㠨⥣à¨à®¢ ¨ï ¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ (q(t); p(t)) ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ç áâ¨æë, ¥ ¨¬¥¥â ¨ª ª®£® ¨®£® á¬ëá« , ªà®¬¥ ¢¢¥¤¥¨ï ª®¬¯ ªâ®© ä®à¬ë § ¯¨á¨ (1.23). ¨âã æ¨ï §¤¥áì ¢¯®«¥ «®£¨ç ®¯à¥¤¥«¥¨î ®¡ë箣® ¨â¥£à « ç¥à¥§ ¯à¥¤¥« ਬ ®¢ëå á㬬. ¡®§ 票¥ (1.24) ¢¢®¤¨â ¯®ï⨥ äãªæ¨® «ì®£® (ª®â¨ã «ì®£®) ¨â¥£à « ¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ (¯ãâï¬) ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. ਠí⮬ ¢å®¤ï騥 ¢ (1.24) ¯¥à¥¬¥ë¥ p(t) ¨ q(t) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© c-ç¨á«®¢ë¥ äãªæ¨¨. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à®¯ £ â®à ¢ ¢¨¤¥ ª®â¨ã «ì®£® ¨â¥£à « ¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ (1.24) ï¥âáï ᮢ¥à襮 ®¡é¨¬ ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® £ ¬¨«ì⮨ H(p; q). á«ãç ¥ £ ¬¨«ì⮨ ¢¨¤ (1.17) ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¤ «ì¥©è¨¥ ã¯à®é¥¨ï ¨ ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î ¯à®¯ £ â®à ¢ ¢¨¤¥ ª®â¨ã «ì®£® ¨â¥£à « ¯® ¢á¥¬ ¯ãâï¬ ¢ ®¡ë箬 ª®®à¤¨ ⮬ ¯à®áâà á⢥. «ï í⮣® § ¯¨è¥¬ ) ZY n n 2 Yn dpi ( i X p l < qf tf jqiti >= nlim !1 j =1 dqj i=0 2~ exp ~ l=0 pl (ql+1 ; ql ) ; 2m ; V (ql ) (1.25) â¥£à «ë ¯® pj §¤¥áì «¥£ª® ¢ëç¨á«ïîâáï á ¯®¬®éìî áâ ¤ àâëå ä®à¬ã«, ª®â®àë¥ ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥ë çãâì ¨¦¥. १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬: #) ( X n " m q ; q 2 n m n+12 Z Y i l +1 l < qf tf jqiti >= nlim ; V (ql ) dqj exp ~ !1 2i~ j =1 l=0 2 (1.26) â ª çâ® ¢ ¥¯à¥à뢮¬ ¯à¥¤¥«¥ ¬®¦® § ¯¨á âì: Z tf h m Z i < qf tf jqiti >= N Dq(t) exp ~i dt 2 q_2 ; V (q) = ti Z i i Z tf Z dtL(q; q)_ = N Dq(t) exp S (1.27) = N Dq(t) exp ~ ti
~
£¤¥ L = T ; V { ª« áá¨ç¥áª ï äãªæ¨ï £à ¦ à áᬠâਢ ¥¬®© ç áâ¨æë, S = R tf dtL(q; q)_ { ª« áá¨ç¥áª®¥ ¤¥©á⢨¥, à ááç¨â ®¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© âà ¥ªâ®à¨¨ ti q(t), ᮥ¤¨ïî饩 ç «ìãî â®çªã q(ti ) á ª®¥ç®© q(tf ). ®â¨ã «ìë© ¨â¥£à « (1.27) ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¬ë᫨¬ë¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬, ᮥ¤¨ïî騬 ç «ìãî â®çªã á ª®¥ç®©. ¢¥¤¥ë© §¤¥áì ¬®¦¨â¥«ì N ä®à¬ «ì® à á室¨âáï ¢ ¯à¥¤¥«¥ n ! 1, ® íâ® ¥áãé¥á⢥®, ¯®áª®«ìªã, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¤ «¥¥, ® ¢á¥£¤ ᮪à é ¥âáï ¯à¨ à áᬮâ२¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ®à¬¨à®¢ ëå ¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤ . ¬¥ç ⥫ìë© à¥§ã«ìâ â (1.27) ¯®§¢®«ï¥â, ¢ ç áâ®áâ¨, ª ç¥á⢥® ¯®ïâì 䨧¨ç¥áª®¥ ¯à®¨á宦¤¥¨¥ ª« áá¨ç¥áª®£® ¯à¨æ¨¯ ¨¬¥ì襣® ¤¥©á⢨ï. á ¬®¬ ¤¥«¥, ª« áá¨ç¥áª¨© ¯à¥¤¥« ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ~ ! 0. ®£¤ ¢ 䥩¬ ®¢áª®¬ ¨â¥£à «¥ (1.27) ¢®§¨ª ¥â ª®â¨ã㬠¢ª« ¤®¢ ¡ëáâà® ®á樫«¨àãîé¨å ¬®¦¨â¥«¥© exp(iS=~), ª®â®àë¥ ¢ á।¥¬ \£ áïâ" ¤à㣠¤à㣠. \릨¢ ¥â" ¯à¨ í⮬ ⮫쪮 ¢ª« ¤ ¨¡®«¥¥ ¬¥¤«¥® ¬¥ïî饣®áï ¬®¦¨â¥«ï, ¢ ª®â®à®¬ á⮨â Smin , çâ® ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ª« ¤ã ¥¤¨á⢥®© âà ¥ªâ®à¨¨, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ¯à¨æ¨¯®¬ ¨¬¥ì襣® ¤¥©áâ¢¨ï ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ ¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ìîâ® .
âáâ㯫¥¨¥: ¯®«¥§ë¥ ¨â¥£à «ë.
ਢ¥¤¥¬ ¥ª®â®àë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ®¡ëçëå ¨â¥£à «®¢, ç áâ® ¢áâà¥ç îé¨åáï ¯à¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¢ëç¨á«¥¨ïå, á¢ï§ ëå á äãªæ¨® «ìë¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬. 祬 á® ¢á¥¬ ¨§¢¥á⮣®
13
Z1
¨â¥£à « ã áá® { ãáá :
dxe; x2 =
q
;1 â®â १ã«ìâ â ¯®«ãç ¥âáï áà §ã, ¥á«¨ § ¬¥â¨âì, çâ® ¥£® ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª: Z1 Z1 dx dye; (x2 +y2 ) = ;1 ;1 çâ®, ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¢ ¯«®áª®á⨠(x;y), ᢮¤¨âáï ª: Z 2 Z 1 Z1 2 ; r d drre = d(r2 )e; r2 = 0
0
0
(1.28) (1.29) (1.30)
®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â (1.28). áᬮâਬ ⥯¥àì ¨â¥£à « ®â ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë: Z1 Z1 dxe;ax2 +bx+c eq(x) (1.31) ;1 ;1 £¤¥ ¯®« £ ¥¬ a > 0. ®£¤ ¨¬¥¥¬ q0 (x) = ;2ax + b; q00 (x) = ;2a; q000 (x) = 0:::, ¨ ¬ë «¥£ª® 室¨¬ x | § 票¥ x, ¯à¨ ª®â®à®¬ q(x) ¬¨¨¬ «ì : 2 x = 2ba q(x) = 4ba + c (1.32) ¥¯¥àì «¥£ª® ¯à¥¤áâ ¢¨âì q(x) ¢ ¢¨¤¥ (¢ë¤¥«ïï ¯®«ë© ª¢ ¤à â): q(x) = q(x) ; a(x ; x)2 (1.33) ®£¤ : Z1 Z1 q dxeq(x) = eq(x) dxe;a(x;x)2 = eq(x) (1.34) ;1 ;1 â ª çâ® ®ª®ç â¥«ì® ¨¬¥¥¬: 2 q Z1 Z1 (1.35) dxe;ax2 +bx+c eq(x) = exp 4ba + c a ;1 ;1 â ä®à¬ã« ¨ ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¯à¨ ¯®«ã票¨ (1.26), (1.25). ਢ¥¤¥¬ ¥é¥ ®¡®¡é¥¨¥ (1.35) á«ãç © n ¯¥à¥¬¥ëå ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï [8]: Z1 Z1 dx1 ::: dxn exp i[(x1 ; a)2 + (x2 ; x1 )2 + ::: + (b ; xn )2 ] = ;1 ;1 h n n i1=2 h i i 2 = i n exp ( b ; a ) (1.36) (n + 1) n+1 çâ® ¯à¨£®¤¨âáï ¬ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬.
¢ëà ¦¥¨¨ (1.27), ä ªâ¨ç¥áª¨, ᮤ¥à¦¨âáï ¢áï ª¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª ç áâ¨æë, ®® è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç [37]. ®á¬®âਬ, ª ª ¨§ ¥£® ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ®¡ë箥 ãà ¢¥¨¥ ।¨£¥à . ¯¨è¥¬ ®á®¢®¥ á®®â®è¥¨¥ (1.1) ¢ ¢¨¤¥, á¢ï§ë¢ î饬 ¢®«®¢ãî äãªæ¨î ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t2 á ¥¥ § 票¥¬ ¢ ¬®¬¥â t1: (x2 ; t2) =
Z1
;1
dx1K(x2t2 ; x1t1) (x1 t1)
(1.37)
ãáâì ¬®¬¥âë t2 ¨ t1 ®ç¥ì ¡«¨§ª¨, â ª çâ® t2 = t1 + ", £¤¥ " ! 0. ®£¤ ¯à®¯ £ â®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ª« ¤®¬ ⮫쪮 ®¤®£® ¬ «®£® ᥣ¬¥â âà ¥ªâ®à¨¨ ¨, ¯®«ì§ãïáì (1.26), ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì (1.37) ¢ ¢¨¤¥: Z 1 i m(x ; y)2 i x + y exp ; ~ "V 2 ; t (y; t)dy (1.38) (x; t + ") = A exp ~ 2" ;1
14
;
£¤¥ A = 2im~" 1=2. §-§ «¨ç¨ï ¯¥à¢®© íªá¯®¥âë, áãé¥áâ¢¥ë© ¢ª« ¤ ¢ ¨â¥£à « ¤ îâ ⮫쪮 § 票ï y ¡«¨§ª¨¥ ª x. ¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®© y = x + ¨ ¯¥à¥¯¨è¥¬ (1.38) ¢ ¢¨¤¥: Z 1 im2 i" (1.39) (x; t + ") = A exp 2~" exp ; ~ V x + 2 ; t (x + ; t)d ;1 ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ®á®¢®© ¢ª« ¤ âãâ ¤ îâ ¬ «ë¥ § 票ï , à §«®¦¨¬ ®¡¥ ç á⨠(1.39) ¢ àï¤: Z 1 im2 i" 2 (x; t) + " @@t = A exp 2~" 1 ; ~ V (x; t) (x; t) + @@x + 12 2 @@x2 d ;1 (1.40) ç⥬ ⥯¥àì, çâ® 2 eim =2~"d = 1
(1.41)
eim2 =2~" d = 0 Z 1 ;1 2 ~" A eim =2~" 2 d = im ;1
(1.42)
A A
®£¤ (1.40) ᢮¤¨âáï ª:
Z1
Z 1;1
(1.43)
~" @ 2 (1.44) (x; t) + " @@t = ; i"~ V ; ; 2im @x2 â® à ¢¥á⢮ 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï (¯à¨ " ! 0), ¥á«¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î ।¨£¥à ¤«ï ®¤®¬¥à®£® ¤¢¨¦¥¨ï: ~2 @ 2 + V (x; t) i~ @@t = ; 2m (1.45) @x2
¥®à¨ï ¢®§¬ã饨©. ãáâì ¯®â¥æ¨ « V (x) ï¥âáï ¬ «ë¬ ¢®§¬ã饨¥¬. ®ç¥¥ £®¢®àï, ¯ãáâì ¬ « (¯® áà ¢¥¨î á ~) ¨â¥£à « ¯® ¢à¥¬¥¨ ®â V (x; t). ®£¤ ¬®¦® ¯¨á âì à §«®¦¥¨¥: Z tf Z tf 2 Z tf exp ; ~i dtV (x; t) 1 ; ~i dtV (x; t) ; 2!1~2 dtV (x; t) + ::: (1.46) ti ti ti ᯮ«ì§ãï â ª®¥ à §«®¦¥¨¥ ¢ (1.27), ¯®«ã稬 à §«®¦¥¨¥ ¯à®¯ £ â®à K(xf tf ; xiti ) ¢ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饨©: K = K0 + K1 + K2 + ::: (1.47) «¥ ã«¥¢®£® ¯®à浪 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¯ £ â®à ᢮¡®¤®© ç áâ¨æë: i Z 1 Z K0 = N Dx exp ~ dt 2 mx_ 2 (1.48)
15
⮡ë á®áç¨â âì ¥£® ¢ ¬ ¢¨¤¥, ¢¥à¥¬áï ª ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ (1.23) ¨ § ¯¨è¥¬ (1.48) ¢ ¢¨¤¥ ¯à¥¤¥« ¤«ï ¬®£®ªà ⮣® ¨â¥£à « : # " X n n m n+12 Z 1 Y im 2 (1.49) dxj exp 2~ (xl+1 ; xl ) K0 = nlim !1 2i~ ;1 j =1 l=0
¡®§ ç ï áâ®ï騩 §¤¥áì ¬®£®ªà âë© ¨â¥£à « ª ª I, ¢ëç¨á«ï¥¬ ¥£® á ¯®¬®éìî (1.36) ¨ ¯®«ãç ¥¬: i2~ n=2 im 1 2 exp 2~(n + 1) (xf ; xi) (1.50) I = (n + 1)1=2 m ®« £ ï (n+1) = tf ; ti , ¯®«ãç ¥¬ ¨§ (1.49) ¯à®¯ £ â®à ᢮¡®¤®© ç áâ¨æë ¢ ¢¨¤¥: m 1=2 im(xf ; xi)2 exp 2~(t ; t ) (1.51) K0 (xf tf ; xiti) = (tf ; ti ) i~(t ; t ) f i f i £¤¥ ¬ë ¥é¥ ¤®¡ ¢¨«¨ ¬®¦¨â¥«ì (tf ; ti ), ®¡¥á¯¥ç¨¢ î騩 ¢ë¯®«¥¨¥ ¯à¨æ¨¯ ¯à¨ç¨®áâ¨. ¡®¡é¥¨¥ í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï á«ãç © ¤¢¨¦¥¨ï ᢮¡®¤®© ç áâ¨æë ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¢¯®«¥ ®ç¥¢¨¤®: ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯à®¯ £ â®à ᢮¤¨âáï ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ¯à®¯ £ â®à®¢ ᢮¡®¤®£® à á¯à®áâà ¥¨ï (1.51) ¯® ¢á¥¬ â६ ª®®à¤¨ âë¬ ®áï¬ x; y; z. « ¢¥ 4 ç á⨠I ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨, çâ® ¯à®¯ £ â®à ç áâ¨æë 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î, ।áâ ¢«ïî饬ã ᮡ®© ãà ¢¥¨¥ ।¨£¥à á { ¨áâ®ç¨ª®¬ ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨: @ i~ @t ; H(xf ) K(xf tf ; xiti ) = i~(tf ; ti )(xf ; xi ) (1.52) f «ï á«ãç ï ®¤®¬¥à®£® ᢮¡®¤®£® ¤¢¨¦¥¨ï H(xf ) = ; 2~m2 @x@ 22f . ®®â¢¥âá⢥®, ᢮¡®¤ë© ¯à®¯ £ â®à 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î: " # 2 @2 @ ~ i~ @t ; 2m @x2 K0 (xf tf ; xiti) = i~(tf ; ti )(xf ; xi ) (1.53) f f í⮬, ªáâ â¨, ¬®¦® ã¡¥¤¨âìáï ¥¯®á।á⢥®© ¯®¤áâ ®¢ª®© (1.51) ¢ ¢ ¤ ®¥ ãà ¢¥¨¥.
᫨ ¢ (1.51) ¨ (1.53) ᤥ« âì § ¬¥ã t ! ;it ¨ 2~m ! D, â® ãà ¢¥¨¥ (1.53) ¯¥à¥©¤¥â ¢: @ @ 2 K (x t ; x t ) = (t ; t )(x ; x ) ; D (1.54) f i f i @tf @x2f 0 f f i i â ª çâ® K0 (xf tf ; xi ti ) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© äãªæ¨î ਠãà ¢¥¨ï ¤¨ää㧨¨ [32] á ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¤¨ää㧨¨ D. ਠí⮬ ¢á¥ ¬¨¬®á⨠¨§ (1.51) ¨á祧 îâ ¨ íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ®¯¨áë¢ ¥â ¤¨ää㧨î ç áâ¨æ ¨§ â®ç¥ç®£® ¨áâ®ç¨ª . ªâ¨ç¥áª¨, ª®â¨ã «ìë¥ ¨â¥£à «ë ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ¢®§¨ª«¨ ¢¯¥à¢ë¥ ¢ ⥮ਨ ¤¨ää㧨®ëå ¯à®æ¥áᮢ, £¤¥ ®¨ §ë¢ îâáï ¨â¥£à « ¬¨ ¨¥à . á祧®¢¥¨¥ ®á樫«ï権 ¢ (1.51) (§ ¬¥ ¨å ¡ëáâà® § âãå î騥 íªá¯®¥âë ⥮ਨ ¤¨ää㧨¨) ç१¢ëç ©® 㤮¡® á â®çª¨ §à¥¨ï ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢, ¢ ç áâ®á⨠áãé¥á⢥® ®¡«¥£ç îâáï ¢ëç¨á«¥¨ï ª®â¨ã«ìëå ¨â¥£à «®¢ ¬¥â®¤®¬ ®â¥- à«®. ®®¡é¥, ä®à¬ «ìë© ¯¥à¥å®¤ ª ¬¨¬®¬ã ¢à¥¬¥¨ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ à §«¨çëå § ¤ ç ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ¨ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¨¦¥ ¬ë ¥é¥ ¥ à § á í⨬ á⮫ª¥¬áï. ¥à¥å®¤ ª ¬¨¬®¬ã ¢à¥¬¥¨ ¨¬¥¥â ¥é¥ ®¤¨ ᯥªâ, ¤ ¦¥ ¡®«¥¥ £«ã¡®ª¨© á â®çª¨ §à¥¨ï 䨧¨ª¨. ¢®¢¥á ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï¬¥å ¨ª 楫¨ª®¬ ®á®¢ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ª ®¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á , ª®£¤ ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ [35]: = Z1 e; H (1.55)
16
£¤¥ H { £ ¬¨«ì⮨ á¨á⥬ë, Z { áâ â¨áâ¨ç¥áª ï á㬬 , = T1 { ®¡à â ï ⥬¯¥à âãà . ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® @ (1.56) @ = ;H ® (1.56) ( §ë¢ ¥¬®¥ ¨®£¤ ãà ¢¥¨¥¬ «®å ) ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ®¡ë箣® ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à : i~ @@t = H (1.57) ¯®á«¥ ä®à¬ «ì®© § ¬¥ë ! , t ! ;i~ . ®í⮬㠬®¦® ᪠§ âì, çâ® ¢áï à ¢®¢¥á ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª íâ® â ¦¥ ª¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª ¢ \¬¨¬®¬ ¢à¥¬¥¨". ëç¨á«¥¨¥ à ¢®¢¥á®© ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠á¨áâ¥¬ë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ ¬®¦® ¢¥á⨠à¥è ï ãà ¢¥¨¥ (1.56) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¯à¨ í⮬ ä®à¬ «¨§¬ ¯à®¯ £ â®à®¢ (äãªæ¨© ਠ) ¢ ¬¨¬®¬ (\¬ æ㡠஢᪮¬") ¢à¥¬¥¨ [13]. ਠí⮬ ¬®¦® ¯®«ì§®¢ âìáï ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ íâ¨å ¯à®¯ £ â®à®¢ ¢ ¢¨¤¥ 䥩¬ ®¢áª¨å ¨â¥£à «®¢ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ (¨â¥£à «®¢ ¨¥à ), ®á®¢¥ 祣® ¬®¦® à §¢¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ®¡é¨© ¯®¤å®¤ ª à¥è¥¨î § ¤ ç áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ [38].
¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¢ëç¨á«¥¨î K1 { ¯®¯à ¢ª¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® ¯®â¥æ¨ «ã V (x). § (1.26) ¨ (1.46) ¨¬¥¥¬:
8 n 9 Z n n+1 X < X m 2 im (x ; x )2 = dx :::dx V (x ; t ) exp K1 = ; ~i nlim 1 n i i j +1 j ; !1 2i~ : 2~ i=1
j =0
(1.58) £¤¥ ¬ë § ¬¥¨«¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® t á㬬¨à®¢ ¨¥¬ ¯® ti . ®áª®«ìªã V §¤¥áì § ¢¨á¨â ®â xi, à §®¡ì¥¬ á㬬㠯®¤ íªá¯®¥â®© ¤¢¥: ®¤ã ®â j = 0 ¤® j = i ; 1 ¨ ¢â®àãî ®â j = i ¤® j = n. 뤥«¨¬ â ª¦¥ ¨â¥£à « ¯® xi. १ã«ìâ ⥠(1.58) ¯¥à¥¯¨è¥âáï ª ª:
8
39
2
n Z n < m n;2i+1 Z = X ; i im X 25 4 K1 = nlim dx (x ; x ) dx :::dx exp i j +1 j i +1 n !1 ~ i=1 : 2i~ ; 2~ j =i
8 2 i;1 39 < m 2i Z = X im V (xi; ti ) : 2i~ dx1:::dxi;1 exp 4 2~ (xj +1 ; xj )2 5; j =0
(1.59) «¥ë ¢ 䨣ãàëåP᪮¡ª å à ¢ë R R R K0(xf tf ; xt) ¨ K0(xt; xiti) ᮮ⢥âá⢥®, â ª çâ® ¯®á«¥ § ¬¥ë i dxi dx dt ¢ëà ¦¥¨¥ (1.59) ᢮¤¨âáï ª: Z tf Z 1 K = ;i dt dxK (x t ; xt)V (x; t)K (xt; x t ) (1.60) 1
~ ti
0 f f
;1
0
ii
ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® K0 (xf tf ; xt) = 0 ¤«ï t > tf , K0 (xt; xiti ) = 0 ¤«ï t < ti, ¢ëà ¦¥¨¥ (1.60) ¬®¦® § ¯¨á âì ª ª: Z1 Z1 i dt dxK0(xf tf ; xt)V (x; t)K0 (xt; xiti) (1.61) K1 = ; ~ ;1
;1
çâ® ¨ ¤ ¥â ®ª®ç ⥫ìë© ¢¨¤ ¯®¯à ¢ª¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ª ¯à®¯ £ â®àã (äãªæ¨¨ ਠ) 襩 ç áâ¨æë. ®¢¥à襮 «®£¨ç®, ¯ã⥬ ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª¨å ¢ëç¨á«¥¨©, ¬®¦® ©â¨ ¨ ¯®¯à ¢ªã ¢â®à®£® ¯®à浪 : i 2 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 dt dt dx dx K (x t ; x t )V (x t ) K (x t ; x t ) = ; 2 f f
ii
~
;1
1
;1
2
;1
1
;1
2 0
f f 22
2 2
17
K0 (x2t2 ; x1t1)V (x1t1 )K0 (x1 t1; xiti )
(1.62)
âàãªâãà ç«¥®¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ áâ ®¢¨âáï ⥯¥àì ®ç¥¢¨¤®©. १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饨© ¤«ï ¯à®¯ £ â®à ¢ ¢¨¤¥: Z K(x t ; x t ) = K (x t ; x t ) ; i dt dx K (x t ; xt)V (x ; t )K (x t ; x t ) ; f f ii
0
f f
ii
1
1 0
f f
1 1
0
1 1
ii
~ Z 1 ; ~2 dt1dt2 dx1dx2K0 (xf tf ; x2t2 )V (x2 t2)K0 (x2 t2; x1t1 )V (x1 t1 )K0 (x1t1 ; xiti ) + :::
(1.63)
çâ® ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á «®£¨çë¬ à §«®¦¥¨¥¬, ¢ë¯¨á ë¬ ¢ëè¥ ¢ « ¢¥ 4 ç á⨠I. ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (1.62) ®âáãâáâ¢ã¥â ¬®¦¨â¥«ì 1=2!, ¨¬¥î騩áï ¢ à §«®¦¥¨¨ (1.46). ¥«® §¤¥áì ¢ ⮬, çâ® ¤¢ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á V ¢ à §ë¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ ¥à §«¨ç¨¬ë ¨ ¬®¦® ¯¨á âì: 1 Z 1 dt0 Z 1 dt00V (t0 )V (t00 ) = 2! ;1 ;1 Z1 Z1 = dt0 dt00[(t0 ; t00)V (t0)V (t00) + (t00 ; t0 )V (t0 )V (t00 ) = ;1
;1
=
Z1
;1
dt1
Z1
;1
dt2V (t1 )V (t2)(t1 ; t2)
(1.64)
® í⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨¥ ¢ ¯®¯à ¢ª¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®à浪 Kn ®âáãâáâ¢ã¥â ¬®¦¨â¥«ì 1=n!. á®, çâ® ¢ à §«®¦¥¨¨ (1.63) ᮤ¥à¦¨âáï ¯à®á⥩è ï ¤¨ £à ¬¬ ï â¥å¨ª : ª ¦¤ë© ç«¥ àï¤ ¬®¦® «¥£ª® ¨§®¡à §¨âì ¤¨ £à ¬¬®©, ¥á«¨ ᮯ®áâ ¢¨âì ᯫ®èãî «¨¨î ¯à®¯ £ â®àã ç áâ¨æë, ¢®«¨áâ묨 «¨¨ï¬¨ ¨§®¡à §¨âì ¤¥©á⢨¥ ¯®â¥æ¨ « ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å â®çª å ¯à®áâà á⢠¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ (¯® ª®â®àë¬ ¢¥¤¥âáï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥). ®¤áâ ®¢ª à §«®¦¥¨ï (1.63) ¢ (1.1) ¤ ¥â: (xf tf ) = iZ Z
Z
Z
dxi K(xf tf ; xiti ) (xi ti ) =
= dxi K0(xf tf ; xiti ) (xi ti) ;
Z
; ~ dt dx dxiK0 (xf tf ; xt)V (x; t)K0(xt; xiti ) (xi ti ) + :::
(1.65)
ª« ¤ ¥¢ë¯¨á ëå §¤¥áì ç«¥®¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ ᢮¤¨âáï, ®ç¥¢¨¤®, ª § ¬¥¥ ¯®á«¥¤¥£® ¯à®¯ £ â®à K0 ¯®«ë¬ ¯à®¯ £ â®à®¬ K. ®®â¢¥âá⢥®, ¯®«ãç ¥¬ â®ç®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¢®«®¢®© äãªæ¨¨: Z Z Z i dt dxK (x t ; xt)V (x; t) (xt) (1.66) (x t ) = dx K (x t ; x t ) (x t ) ; f f
i 0 f f
ii
ii
~
0 f f
ª®â®à®¥, ª®¥ç®, ¢¯®«¥ íª¢¨¢ «¥â® ãà ¢¥¨î ।¨£¥à ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥. ।¯®« £ ï, çâ® ¯à¨ ti ! ;1 ¢®«®¢ ï äãªæ¨ï ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ᢮¡®¤®£® ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à (¯«®áª®© ¢®«®©!) ¨ ®¡®§ ç ï ¥£® ª ª '(xt), ¬®¦®
18
¯¥à¥¯¨á âì (1.66) ¢ ¢¨¤¥:
Z Z i (xf tf ) = '(xf tf ) ; ~ dt dxK0(xf tf ; xt)V (x; t) (xt)
(1.67)
¯®áª®«ìªã ¯«®áª ï ¢®« ¢ ¯à®æ¥áᥠ᢮¡®¤®£® à á¯à®áâà ¥¨ï ®áâ ¥âáï ¯«®áª®© ¢®«®©. ਠà¥è¥¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç ç á⮠㤮¡¥¥ ¯®«ì§®¢ âìáï ¨¬¯ã«ìáë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬. ãáâì K(p1t1 ; p0t0 ) { ¬¯«¨â㤠¢¥à®ïâ®á⨠⮣®, çâ® ç áâ¨æ , ®¡« ¤ ¢è ï ¨¬¯ã«ìᮬ p0 ¢ ¬®¬¥â t0 , ¡ã¤¥â § ॣ¨áâà¨à®¢ ¢ ¡®«¥¥ ¯®§¤¨© ¬®¬¥â t1 á ¨¬¯ã«ìᮬ p1. â ¬¯«¨â㤠¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬: Z Z (1.68) K(p t ; p t ) = dx dx exp ; i p x K(x t ; x t ) exp i p x 11
00
0
1
~
1 1
1 1
00
~
0 0
£¤¥ ᢮¡®¤ë© ¯à®¯ £ â®à K(x1 t1 ; x0t0 ) ¤«ï ç áâ¨æë, ¤¢¨¦ã饩áï ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨¬¥¥â (¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á § ¬¥ç ¨¥¬ ¯®á«¥ (1.51)) ¢¨¤:
m
3=2
im(x1 ; x0)2
K0 (x1 t1 ; x0t0) = (t1 ; t0 ) i~(t ; t ) exp 2~(t ; t ) (1.69) 1 0 1 0 ®£¤ ¨¬¥¥¬: m 3=2 Z Z i K(p1t1 ; p0t0 ) = (t1 ; t0) i~(t ; t ) dx0 dx1 exp ~ (p0 x0 ; p1x1 ) 1 0 im(x ; x )2 exp 2~(t0 ; t 1) (1.70) 1
0
¢¥¤¥¬ ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï: x = x0 ; x1 X = x0 + x1 p = p0 ; p1 P = p0 + p1 (1.71) â ª çâ® 2(p0x0 ; p1 x1 ) = Px + pX. ª®¡¨ í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯¥à¥¬¥ëå à ¢¥ (1=2)3 = 1=8. ®®â¢¥âá⢥®, (1.70) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ª ª: i Z i 3=2 1 Z i 2 d X exp pX d x exp K(p1 t1 ; p0t0 ) = (t1 ; t0 ) i 8 2~ 2~ Px e x (1.72) £¤¥ = 2~(tm1 ;t0 ) . ¥à¢ë© ¨â¥£à « §¤¥áì à ¢¥ 8(2~)3 (p) = 8(2~)3 (p0 ; p1), â ª çâ®: i 3=2 Z 2 3 dx exp 2~ px + i x (1.73) K(p1t1 ; p0t0 ) = (2~) (t1 ; t0 )(p0 ; p1) i ¨ ¨á¯®«ì§ãï (1.35) ¯®«ãç ¥¬ iP2(t1 ; t0) 3 K(p1 t1; p0t0) = (2~) (t1 ; t0 )(p0 ; p1) exp ; 8m~ (1.74) £¤¥ -äãªæ¨ï ¢ëà ¦ ¥â § ª® á®åà ¥¨ï ¨¬¯ã«ìá . ç¨âë¢ ï ⥯¥àì, çâ® P2 = 4p20, ¯®«ãç ¥¬ ®ª®ç ⥫ì®: ip2(t ; t ) 1 0 3 K(p1 t1; p0t0) = (2~) (t1 ; t0 )(p0 ; p1) exp ; 2m (1.75) ~
19
ª®¥æ, ¢ëç¨á«¨¬ ¥é¥ ¨ äãàì¥-®¡à § ¯à®¯ £ â®à ¯® ¢à¥¬¥ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬:
Z Z K(p1 E1; p0E0) = dt0 dt1 exp ~i E1t1 K(p1 t1; p0t0 ) exp ; ~i E0 t0 = ip2 i Z Z 1 exp (E t ; E t ) = (2~)3 (p0 ; p1) dt0 dt1( ) exp ; 2m (1.76) ~ ~ 11 00
£¤¥ ¢¢¥«¨ = t1 ; t0. áᬠâਢ ï ¨ t0 ª ª ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ¯®«ã稬: K(p1 E1; p0E0
i
Z1
p0 ; p1) dt0 exp ~ (E1 ; E0)t0 i Z 1;1 p2
) = (2~)3 (
;1
d ( ) exp ~ (E1 ; 2m1 )
(1.77)
¥à¢ë© ¨â¥£à « §¤¥áì ¤ ¥â (2~)(E1 ; E0 ), ¢â®à®©, ¨§-§ «¨ç¨ï ( ), á«¥¤ã¥â ¯®¨¬ âì ª ª 1 : lim !+0
Z1 0
d ei(E1 ;p21 =2m+i) =~ =
i~
(1.79)
E1 ; 2pm1 + i 2
®í⮬㠮ª®ç â¥«ì® ¨¬¥¥¬: K(p1E1; p0E0) = (2~)4 (p0 ; p1)(E0 ; E1 )
i~
E1 ; 2pm1 + i 2
(1.80)
çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© äãàì¥-®¡à § § ¯ §¤ë¢ î饩 äãªæ¨¨ ਠ᢮¡®¤®© ç áâ¨æë, ¯à¨ç¥¬ -äãªæ¨¨ ¢ëà ¦ îâ § ª®ë á®åà ¥¨ï ¨¬¯ã«ìá ¨ í¥à£¨¨. ¬¥â¨¬, çâ® ¯®«îá í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï, ä ªâ¨ç¥áª¨, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¥© ç áâ¨æë, ç⮠ï¥âáï ¯à®ï¢«¥¨¥¬ ®¡é¥£® ᢮©á⢠äãªæ¨© ਠ[13]: ¨å ¯®«îá ®¯à¥¤¥«ïîâ í¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ (ª¢ §¨ç áâ¨æ).
᫨ ¢¢¥á⨠¥é¥ ¨ äãàì¥-®¡à § ¯®â¥æ¨ « , § ¯¨á ¢ V (x; t) ¢ ¢¨¤¥: V (x; t) =
Z d! Z d3q i(qx;!t)V (q!) 2 (2)3 e
(1.81)
â® àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饨© (1.63) ¯®à®¦¤ ¥â áâ ¤ àâãî ¤¨ £à ¬¬ãî ¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ â¥å¨ªã ¤«ï äãªæ¨¨ ਠç áâ¨æë ¢® ¢¥è¥¬ ¯®«¥ [13]. 1 ãàì¥-®¡à §
(t) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à ¢¥á⢠: (t) = ! lim+0
Z 1 d!
e ;1 2
;i!t
i ! + i
(1.78)
¢ á¯à ¢¥¤«¨¢®á⨠ª®â®à®£® ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, ¯à®¢®¤ï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢¤®«ì ¢¥é¥á⢥®© ®á¨ ¨ § ¬ëª ï ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢ ¢¥à奩 ¨«¨ ¨¦¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠! ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â § ª t.
20
ãªæ¨® «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥. ¯¨áì äãªæ¨¨ ਠ(¯à®¯ £ â®à ) ç áâ¨æë ¢ ¢¨¤¥ 䥩¬ ®¢áª®£® ¨â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ Z tf h m Z i < qf tf jqiti >= N Dq(t) exp ~i dt 2 q_2 ; V (q) = Z ti i Z tf dtL(q; q)_ (1.82) = N Dq(t) exp ~ ti
¢¢®¤¨â ¢ è¥ à áᬮâ२¥ ¯®ï⨥ äãªæ¨® «ì®£® ¨â¥£à « : ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ §¤¥áì ¢¥¤¥âáï ¯® ¢á¥¬ äãªæ¨ï¬ (âà ¥ªâ®à¨ï¬) q(t), á¢ï§ë¢ î騬 ç «ìãî ¨ ª®¥çãî â®çª¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®æ¥¤ãà ¢ëç¨á«¥¨ï (1.82) ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¢á¥¬ã ¬®¦¥áâ¢ã äãªæ¨© q(t) ¥ª®â®à®¥ ª®ªà¥â®¥ (ª®¬¯«¥ªá®¥) ç¨á«® { ¬¯«¨âã¤ã ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®£® ¯¥à¥å®¤ , áâ®ïéãî ¢ «¥¢®© ç áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, (1.82) ï¥âáï ª®ªà¥â®© ॠ«¨§ 権 ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¯®ïâ¨ï äãªæ¨® « { ®â®¡à ¦¥¨ï ¬®¦¥á⢠äãªæ¨© ¢ ¬®¦¥á⢮ ç¨á¥«:
ãªæ¨® «: äãªæ¨ï
ãªæ¨ï: ç¨á«®
) ç¨á«®
®â«¨ç¨¥ ®â í⮣® ®¡ëç ï äãªæ¨ï § ¤ ¥â ®â®¡à ¦¥¨ï ®¤®£® ¬®¦¥á⢠ç¨á¥« ¢ ¤à㣮¥ ¬®¦¥á⢮ ç¨á¥«:
) ç¨á«®
ç áâ®áâ¨, äãªæ¨® « ¥ ¥áâì ¯à®áâ® äãªæ¨ï ®â äãªæ¨¨ (íâ® ®¯ïâì ¯à®áâ® äãªæ¨ï!). ¡ëç® ¤«ï äãªæ¨® « F ®â äãªæ¨¨ f(x) ¨á¯®«ì§ã¥âáï ®¡®§ 票¥ R F[f(x)]. ¨¯¨çë© ¯à¨¬¥à äãªæ¨® « { ®¯à¥¤¥«¥ë© ¨â¥£à «: F[f(x)] = ab dxf(x). ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¯®ï⨥ äãªæ¨® «ì®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï. ® «®£¨¨ á ®¡ëçë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬, äãªæ¨® «ì ï (¨«¨ ª ª ¥¥ ¥é¥ §ë¢ îâ { ¢ ਠ樮 ï) ¯à®¨§¢®¤ ï äãªæ¨® « F[f(x)] ¯® äãªæ¨¨ f(y) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: F [f(x)] = lim F [f(x) + "(x ; y)] ; F [f(x)] : (1.83) "!0 f(y) " ¯à¨¬¥à, ¤«ï F[f(x)] ¢ ¢¨¤¥ ®¯à¥¤¥«¥®£® ¨â¥£à « : Z F[f(x)] = lim 1 dx[f(x) + "(x ; y)] ; Z dxf(x) = Z dx(x ; y) = 1 (1.84) "!0 " f(y) ª ç¥á⢥ ¥é¥ ®¤®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ äãªæ¨® «: Fx [f] =
Z
dyf(y)G(x; y)
(1.85)
£¤¥ ¯¥à¥¬¥ ï x, ®â ª®â®à®© § ¢¨á¨â «¥¢ ï ç áâì, à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¯ à ¬¥âà. ®£¤ ¨¬¥¥¬: Fx[f] = lim 1 Z dyfG(x; y)[f(y) + "(y ; z)]g ; Z dyG(x; y)f(y) = f(z) "!0 " Z = dyG(x; y)(y ; z) = G(x; z) (1.86)
21
¨á. 1-5
ਢ¥¤¥ëå ä®à¬ã« ¤®áâ â®ç® ¤«ï ¯®¨¬ ¨ï ¢á¥å ¢ëà ¦¥¨©, á¢ï§ ëå á äãªæ¨® «ìë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬, ª®â®àë¥ ¡ã¤ã⠯ਢ®¤¨âìáï ¨¦¥.
¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠äãªæ¨® «ìëå ¨â¥£à «®¢. â ª, ¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤ ª¢ ⮢®© ç áâ¨æë ¨§ ç «ì®© â®çª¨ qiti ¢ ª®¥çãî qf tf à ¢ : Z tf h m Z q(tf )=qf i < qf tf jqiti >= N Dq(t) exp ~i dt 2 q_2 ; V (q) = q(ti )=qi Z q(tf )=qf ti i Z tf dtL(q; q)_ (1.87) =N Dq(t) exp ~ ti
q(ti )=qi
©¬¥¬áï ¢ë¢®¤®¬ ¥ª®â®àëå ä®à¬ «ìëå á®®â®è¥¨©, ª®â®àë¥ ®ª ¦ãâáï ®ç¥ì ¯®«¥§ë¬¨ ¯à¨ ®¡®¡é¥¨¨ á«ãç © ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ®¡ ¢¨¬ ª äãªæ¨¨ £à ¦ 襩 ª¢ ⮢®© ç áâ¨æë ¤®¯®«¨â¥«ìë© ç«¥: L ! L + ~J(t)q(t) (1.88) £¤¥ J(t) { ¥ª®â®à ï ¯à®¨§¢®«ì ï äãªæ¨ï ¢à¥¬¥¨, ª®â®àãî ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì \¨áâ®ç¨ª®¬". 㤥¬ áç¨â âì, çâ® J(t) ®â«¨ç ®â ã«ï ¥ª®â®à®¬ ¨â¥à¢ «¥ ¢à¥¬¥ ¬¥¦¤ã ¬®¬¥â ¬¨ t ¨ t0 (t < t0 ), ¢ë¤¥«¥®¬ ¨á.1-5. áᬮâਬ ¥é¥ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ T , ¯à¥¤è¥áâ¢ãî騩 t, â ª¦¥ ¬®¬¥â T 0, ¡®«¥¥ ¯®§¤¨©, 祬 t0 . ®£¤ ¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤ á¨á⥬ë, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饩 á ¨áâ®ç¨ª®¬, ¬¥¦¤ã ¯à®¨§¢®«ì묨 á®áâ®ï¨ï¬¨ (â®çª ¬¨) ¢ í⨠¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ ¥áâì: ) ( Z T0 Z i dtL(q; q)_ + ~Jq (1.89) < Q0T 0 jQT >J = N Dq(t) exp ~ T
¤à㣮© áâ®à®ë, ¯®«ì§ãïáì (1.4) ¬®¦¥¬ ¯¨á âì: < Q0T 0 jQT >J =
Z
dq0
Z
dq < Q0 T 0jq0t0 >< q0t0 jqt >J < qtjQT >
(1.90)
£¤¥, ¢¢¨¤ã 襣® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï ® ¢¨¤¥ J(t), ®â ¨áâ®ç¨ª § ¢¨á¨â ⮫쪮 \¯à®¬¥¦ãâ®çë©" ¯à®¯ £ â®à. ᯮ«ì§ãï (1.10) ¨¬¥¥¬: i i 0 0 0 0 0 < Q T jq t >=< Q j exp ; HT 0 exp Ht0 jq0 >= ~
~
22
=
X m
'm (Q0 )'m (q0 ) exp i Em (t ; T 0 )
(1.91)
~
£¤¥ f'm (q)g { ¯®«ë© ¡®à ᮡá⢥ëå äãªæ¨© £ ¬¨«ì⮨ (®¯¥à â®à í¥à£¨¨). «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬: i X < qtjQT >= ' (q)' (Q) exp ; E (t ; T) (1.92) n
n
~ n
n
®¤áâ ¢«ïï (1.91) ¨ (1.92) ¢ (1.90) ¨ § ¬¥ïï ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥¨¨ T 0 ! T 0 e;i ¨ T ! Te;i (\¯®¢®à 稢 ï" ®áì ¢à¥¬¥¨ ¯à®¨§¢®«ìë© ã£®« < =2 ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®áâ¨, ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.1-5), ¯¥à¥©¤¥¬ ª ¯à¥¤¥«ã T 0 ! 1 ¨ T ! ;1. ®£¤ § áç¥â ä ªâ®à \§ âãå ¨ï" ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ¬¯«¨â㤥 ¯¥à¥å®¤ (1.90) ¯à®¨á室¨â ã¨ç⮦¥¨¥ ¢ª« ¤®¢ ®â ¢á¥å á®áâ®ï¨© á En > 0; Em > 0, ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¢ª« ¤ ®â E0 = 0, â.¥. ¢ª« ¤ ⮫쪮 ®â ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï (ã஢ï) 襩 ç áâ¨æë ¢ ¯®«¥ V (q) 2 . ®£¤ ¯®«ãç ¥¬: i 0 0 J 0 0 lim lim < Q T jQT > = ' (Q)' (Q ) exp ; E (T ; T ) T 0 !1e;i T !;1e;i
¨«¨
Z
0
Z
0
~
0
dq0 dq'0 (q0 t0 ) < q0 t0 jqt >J '0(qt) (1.93)
Z
Z
dq0 dq'0 (q0 t0) < q0 t0jqt >J '0 (qt) = < Q0T 0 jQT >J = T 0 !1 lime;i T !;1 lime;i (1.94) '0 (Q)'0(Q0 ) exp ; ~i E0 (T 0 ; T) ¥¢ ï ç áâì §¤¥áì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬¯«¨âã¤ã ¯¥à¥å®¤ (¢ ¯à¨áãâá⢨¥ ¨áâ®ç¨ª ), ãá।¥ãî ¯® ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î (\¢ ªãã¬ã") á¨á⥬ë. ¥¯¥àì ¬®¦® áç¨â âì, çâ® ¨ t0 ! 1, t ! ;1 ¨ ¢¢¥á⨠¤«ï 襩 ãá।¥®© ¬¯«¨âã¤ë ¯¥à¥å®¤ (1.94) ®¡®§ 票¥ < 0; 1j0; ;1 >J , ¯®¤à §ã¬¥¢ ï, çâ® ® ®¯¨áë¢ ¥â ¯¥à¥å®¤ \¢ ªã㬠- ¢ ªãã¬" § ¡¥áª®¥çë© ¨â¥à¢ « ¢à¥¬¥¨. ¬¥ â¥«ì ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(1.94) ¥áâì ¯à®áâ® ç¨á«®. ®í⮬㠬®¦¥¬ ¯¨á âì: < 0; 1j0; ;1 >J T 0 !1 lime;i T !;1 lime;i < Q0T 0 jQT >J Z[J] (1.95) £¤¥ ¢¢¥«¨ äãªæ¨® « ¨áâ®ç¨ª : Z[J] = T 0 !1 lime;i T !;1 lime;i N
Z
( Z T0 i
DQ(t) exp ~
T
)
_ + ~JQ] [L(Q; Q)
(1.96)
¬¥â¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¢¬¥á⮠⮣®, ç⮡ë \¯®¢®à 稢 âì" ¢à¥¬¥ãî ®áì ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®áâ¨, ¤«ï ¢ë¤¥«¥¨ï ¢ª« ¤ ®¤®£® ⮫쪮 ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ¬®¦® 2 íâ¨å à áá㦤¥¨ïå ¢ ¦®, ç⮠ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï í¥à£¨¨ ¢á¥£¤ ¬®¦® 㯮à冷ç¨âì: E0 < E1 < E2 < ::: < En < :::, â ª çâ® ®¯¨á ï ¯à®æ¥¤ãà ¢á¥£¤ ¢ë¤¥«ï¥â ¢ª« ¤ á®áâ®ï¨ï á ¨¬¥ì襩 í¥à£¨¥©, ª®â®àãî ¬®¦® ¢á¥£¤ ¯®«®¦¨âì à ¢®© ã«î (® ¬®¦® ¨ á®åà ¨âì ¢ ¬ ¢¨¤¥, ª ª ¤ îéãî ¨¬¥¥¥ ã¡ë¢ î騩 ¢ª« ¤). ஬¥ ⮣®, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ¯à®æ¥¤ãॠ¬®¦®, ¢ ª®æ¥ à áá㦤¥¨©, ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤¥«ã ! +0, çâ®¡ë ¥ á¬ãé âìáï ®â ¯®ïâ¨ï \ª®¬¯«¥ªá®£®" ¢à¥¬¥¨.
23
¤®¯¨á âì ¬ «¥ìªãî ®âà¨æ ⥫ìãî ¬¨¬ãî ¤®¡ ¢ªã ª £ ¬¨«ì⮨ ã 襩 á¨á⥬ë (1.17), ª®â®àãî 㤮¡® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ; 12 i"q2 (" ! +0). ®£¤ ¢á¥ ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï í¥à£¨¨ ¯à¨®¡à¥âãâ ¬ «ë¥ ¬¨¬ë¥ ¤®¡ ¢ª¨, çâ® ¯à¨¢¥¤¥â ¢ ¯à¥¤¥«¥ T 0 ! 1; T ! ;1 ª ⮬㠦¥ íä䥪âã íªá¯®¥æ¨ «ì®£® ¯®¤ ¢«¥¨ï ¢ª« ¤®¢ ®â En > 0 3. äãªæ¨¨ £à ¦ L íâ® íª¢¨¢ «¥â® ¤®¡ ¢«¥¨î + 12 i"q2 . ®£¤ ¬®¦® ¯¨á âì: i Z 1 Z 1 2 dt L(q; q)_ + ~Jq + 2 i"q " ! +0 (1.97) Z[J] = N Dq(t) exp ~ ;1 ª §ë¢ ¥âáï, çâ® â ª ®¯à¥¤¥«¥ë© äãªæ¨® « Z[J] ®¡« ¤ ¥â æ¥«ë¬ à冷¬ ¯®«¥§ëå ¨ ¨â¥à¥áëå ᢮©áâ¢. áᬮâਬ ¢¬¥áâ® ¬¯«¨âã¤ë ¯¥à¥å®¤ < qf tf jqiti > ¬ âà¨çë© í«¥¬¥â ®¯¥à â®à ª®®à¤¨ âë < qf tf jq^(tn1 )jqiti >, £¤¥ tf > tn1 > ti. ® ¨§¢¥áâë¬ ¬ ®¡é¨¬ ¯à ¢¨« ¬ ¬®¦¥¬ ¯¨á âì:
Z
< qf tf jq^(tn1)jqiti >= dq1:::dqn < qf tf jqntn >< qntn jqn;1tn;1 > ::: ::: < qn1tn1jq^(tn1)jqn1;1tn1;1 > ::: < q1t1 jqiti >
(1.98)
祢¨¤®, çâ® < qn1tn1jq^(tn1 )jqn1;1tn1;1 >= q(tn1) < qn1tn1jqn1;1tn1;1 >
(1.99)
£¤¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠q(tn1) 㦥 ¥ ®¯¥à â®à, c-ç¨á«® (ᮡá⢥®¥ § 票¥). «¥¥ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®¢â®à¨âì ¢á¥ à áá㦤¥¨ï, ¯à®¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â (1.15) ª (1.24) ¨ § ¯¨á âì (1.98) ¢ ¢¨¤¥ 䥩¬ ®¢áª®£® ¨â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬:
i Z tf Z DqDp < qf tf jq^(t1 )jqiti >= q(t1 ) exp dt[pq_ ; H(p; q)]
(1.100) 2~ ~ ti ãáâì ⥯¥àì 㦮 ©â¨ ¬ âà¨çë© í«¥¬¥â < qf tf jq^(tn1 )^q(tn2)jqiti >.
᫨ tn1 > tn2, â® ¬®¦® § ¯¨á âì:
Z
< qf tf jq^(tn1)^q(tn2)jqiti >= dq1:::dqn < qf tf jqntn >< qntn jqn;1tn;1 > ::: ::: < qn1tn1jq^(tn1)jqn1;1tn1;1 > ::: < qn2tn2 jq^(tn2)jqn2;1tn2;1 > ::: < q1t1 jqiti > (1.101) çâ® ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¤ ¥â ¨â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ¢¨¤ : i Z tf Z DqDp < qf tf jq^(t1 )^q(t2 )jqiti >= 2~ q(t1 )q(t2 ) exp ~ dt[pq_ ; H(p; q)] (1.102) ti ¤¥áì ¨¬¥«®áì ¢ ¢¨¤ã, çâ® t1 > t2 .
᫨ à áᬮâà¥âì ⥯¥àì á«ãç © t2 > t1, â® ¬ âà¨çë¥ í«¥¬¥âë ª®®à¤¨ âë ¢ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ t1 ¨ t2 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(1.98) ¯®¬¥ïîâáï ¬¥áâ ¬¨ ¨ íâ® ¢ëà ¦¥¨¥, á ¨¬ ¨ ¨â¥£à « ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(1.102), ᢥ¤¥âáï ª < qf tf jq^(t2 )^q(t1 )jqiti >. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¨â¥£à « ¯® 3 §ã¬¥¥âáï, ¢¢¥¤¥¨¥ §¤¥áì ª®®à¤¨ ⮩ § ¢¨á¨¬®á⨠1 q2 ᮢ¥à襮 ¥áãé¥á⢥® ¤«ï 2 íâ¨å à áá㦤¥¨©. ¤®¡á⢮ ¢¢¥¤¥¨ï ¨¬¥® â ª®© § ¢¨á¨¬®á⨠áâ ¥â ïá® çãâì ¯®§¦¥.
24
âà ¥ªâ®à¨ï¬, áâ®ï騩 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(1.102) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬ âà¨çë© í«¥¬¥â ®â åà®®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®¯¥à â®à®¢ < qf tf jT [^ q(t1 )^q(t2 )]jqiti >, £¤¥ ®¯¥à â®à T-㯮àï¤®ç¥¨ï ¤¢ãå ®¯¥à â®à®¢ ®¯à¥¤¥«¥ ª ª: )B(t ) ¯à¨ t > t 1 2 1 2 T[A(t1)B(t2 )] = A(t (1.103) B(t2 )A(t1 ) ¯à¨ t2 > t1 ®¡é¥¬ á«ãç ¥, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬: i Z tf Z DqDp dt[pq_ ; H(p; q)] < qf tf jT[^q(t1)^q(t2 ):::^q(tn )]jqiti >= 2~ q(t1 )q(t2 ):::q(tn) exp ~ ti (1.104) çâ® ¤ ¥â ®¡é¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï á।¥£® ®â åà®®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®¯¥à â®à®¢ ç¥à¥§ äãªæ¨® «ìë© ¨â¥£à «. «ï á«ãç ï, ª®£¤ £ ¬¨«ì⮨ § ¤ ç¨ § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ (1.17), ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¤ «ì¥©è¨¥ ã¯à®é¥¨ï ¨ § ¯¨á âì: Z tf Z < q t jT[^q(t )^q(t ):::q(t )]jq t >= N Dqq(t )q(t ):::q(t ) exp i dtL f f
1
2
n
ii
1
2
n
~ ti
(1.105) § ®¯à¥¤¥«¥¨ï äãªæ¨® « Z[J] (1.97) «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¥£® äãªæ¨® «ì ï (¢ ਠ樮 ï) ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® ¨áâ®ç¨ªã J ¨¬¥¥â ¢¨¤: Z[J] = iN Z Dq(t)q(t ) exp i Z 1 dt L(q; q)_ + ~Jq + 1 i"q2 (1.106) 1 J(t1) ~ ;1 2 ®¡é¥¬ á«ãç ¥: nZ[J] = in N Z Dq(t)q(t ):::q(t ) exp i Z 1 dt L(q; q)_ + ~Jq + 1 i"q2 1 n J(t1):::J(tn) ~ ;1 2 (1.107) ®« £ ï §¤¥áì J = 0, ¯®«ã稬: nZ[J] j = in N Z Dq(t)q(t ):::q(t ) exp i Z 1 dt L(q; q)_ + 1 i"q2 1 n J(t1 ):::J(tn) J =0 ~ ;1 2 (1.108) ᯮ¬¨ ï ⥯¥àì, çâ® ç«¥ 2i "q2 ¯®§¢®«ï¥â ¢ë¤¥«¨âì ¨§ ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª¨å á।¨å ¢ª« ¤ ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï, ¨ ¨á¯®«ì§ãï (1.105), ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¦¥¨î ¤«ï \¢ ªã㬮£®" á।¥£® ®â åà®®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®¯¥à â®à®¢: nZ[J] j in < 0; 1jT [^q(t ):::^q(t )]j0; ;1 > (1.109) 1 n J(t ):::J(t ) J =0 1
n
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®£®ªà ⮥ äãªæ¨® «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ Z[J] ¯® ¨áâ®ç¨ªã J \£¥¥à¨àã¥â" á।¨¥ ®â T -¯à®¨§¢¥¤¥¨© ª¢ ⮢ëå ®¯¥à â®à®¢, ¯à¨ç¥¬ ¢á¯®¬®£ ⥫ìë© ¨áâ®ç¨ª, ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢, ¯à®áâ® ¯®« £ ¥âáï à ¢ë¬ ã«î. ®í⮬ã äãªæ¨® « Z[J] ¬®¦® §ë¢ âì ¯à®¨§¢®¤ï騬 äãªæ¨® «®¬ ¤«ï íâ¨å á।¨å. ®¤® ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ â ª¨å á।¨å ¢ ¢¨¤¥ äãªæ¨® «ìëå ¨â¥£à «®¢ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬. ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¨¬¥® ¢ ªãã¬ë¥ á।¨¥ T-¯à®¨§¢¥¤¥¨© ¯®«¥¢ëå ®¯¥à â®à®¢ ®¯à¥¤¥«ïîâ ¡®à äãªæ¨© ਠ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¥à¥å®¤ ®â ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ª ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ᢮¤¨âáï ª ®¡®¡é¥¨î á«ãç ©
25
á¨á⥬ë á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë, ª®£¤ ®¯¥à â®àë ª®®à¤¨ â § ¬¥ïîâáï ¯®«¥¢ë¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨ ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ¯à®áâà á⢠{ ¢à¥¬¥¨. ®í⮬ã áâ ®¢¨âáï ïáë¬, çâ® à áᬮâà¥ãî ä®à¬ã«¨à®¢ªã ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ®á®¢¥ ¨â¥£à «®¢ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬, ¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¥¯®á।á⢥®£® ¯®áâ஥¨ï ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ä®à¬ «¨§¬ äãªæ¨® «ìëå ¨â¥£à «®¢ ¯® ¯®«¥¢ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. ¬¥® íâ® ¨ ¡ã¤¥â 襩 § ¤ 祩 ¢ á«¥¤ãîé¨å £« ¢ å.
26
« ¢ 2
:
ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï ᪠«ïàëå ¯®«¥©. ¥à¥©¤¥¬ ª ®¡á㦤¥¨î äãªæ¨® «ì®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¢ ਠâ ⥮ਨ ᢮¡®¤®£® ᪠«ïண® ¯®«ï '(x), ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饣® á ¨áâ®ç¨ª®¬ J(x). ¥¯®á।á⢥® ®¡®¡é ï à áá㦤¥¨ï, ¯à®¢¥¤¥ë¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 « ¢¥, ¬®¦¥¬ ¢¢¥á⨠¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® «: Z Z i 2 4 Z[J] = D'(x ) exp i d x[L(') + J(x)'(x) + 2 "' (x)] < 0; 1j0; ;1 >J (2.1) ¯à®¯®à樮 «ìë© ¬¯«¨â㤥 ¯¥à¥å®¤ ¢ ªã㬠{ ¢ ªãã¬. ¤¥áì L(') { « £à ¦¨ «¥© { ®à¤® , ¨ ¬ë ¯¥à¥è«¨ ®â ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ç áâ¨æë ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ¯® ¢á¥¬ ¢®§¬®¦ë¬ ª®ä¨£ãà æ¨ï¬ ¯®«ï1¢ ¯à®áâà á⢥ 1 ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¯®«ï à áᬠâਢ ¥âáï ⮫쪮 ®¤ ¯®«¥¢ ï ª®ä¨£ãà æ¨ï ¢ ¯à®áâà á⢥ { ¢à¥¬¥¨, ¨¬¥® â , ª®â®à ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨ï¬ £à ¦ (¯à¨æ¨¯ã ¨¬¥ì襣® ¤¥©á⢨ï). ⫨稥 ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ ⮬, çâ® ¢ ¥© \à ¡®â îâ" ¢á¥ ¬ë᫨¬ë¥ ª®ä¨£ãà 樨, ® ª ¦¤ ï ¨§ ¨å ¢å®¤¨â ¢ ⥮à¨î á \¢¥á®¬" expfiS g, £¤¥ S { ª« áá¨ç¥áª®¥ ¤¥©á⢨¥.
27
28
:
{ ¢à¥¬¥¨: Dq(t) ! D'(x ). ¬ëá« â ª®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¤®áâ â®ç® ¯à®áâ. §¡¨¢ ¥¬ ¯à®áâà á⢮ { ¢à¥¬ï ¬ «¥ìª¨¥ ç¥âëà¥å¬¥àë¥ ªã¡¨ª¨ ®¡ê¥¬®¬ 4 , ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ª®â®àëå § ¬¥ï¥¬ ¯®«¥ ª®áâ âã (á।¥¥ § 票¥ ¢ãâਠªã¡¨ª ): ' '(xi ; yj ; zk ; tl ). ந§¢®¤ë¥ ¯®«ï ¢ëà ¦ ¥¬ ç¥à¥§ ª®¥çë¥ à §®áâ¨: 1 ['(x + ; y ; z ; t ) ; '(x ; y ; z ; t )] @' j (2.2) i;j;k;l j k l i j k l @xi i ¨ â. ¤. ¬¥ïï ¡®à (i; j; k; l) ®¤¨¬ ¨¤¥ªá®¬ n, 㬥àãî騬 ï祩ª¨ (ªã¡¨ª¨), § ¯¨è¥¬: L('n; @ 'n ) = Ln (2.3) 4
᫨ «î¡®© ¨§ ¨¤¥ªá®¢ (i; j; k; l) ¯à¨¨¬ ¥â N, â® ¨¤¥ªá n ¯à¨¨¬ ¥â N § 票© ¨ ¤¥©á⢨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª: S=
Z
d4xL =
N4 X n=1
4 Ln
(2.4)
®£¤ ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « Z[J] ¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤:
8 N4 9 <X4 = i 2) Z[J] = Nlim d' exp i ( L + ' J + "' !1 n=1 n : n=1 n n n 2 n ; Z Y N4
(2.5)
çâ® ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â á¬ëá« ä®à¬ «ì®£® ¢ëà ¦¥¨ï (2.1), ¢¢®¤ï ¢ ⥮à¨î ¯®ï⨥ äãªæ¨® «ì®£® ¨â¥£à « ¯® ¯®«ï¬ (¢¬¥áâ® âà ¥ªâ®à¨© ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨). ëç¨á«¨¬ Z[J] ¤«ï ᢮¡®¤®£® ¯®«ï, ª®£¤ L ! L0 = 21 (@ '@ ' ; m2 '2) (2.6) { « £à ¦¨ «¥© { ®à¤® . ®£¤ : Z 1 Z 2 2 4 (2.7) Z0 [J] = D' exp i d x 2 (@ '@ ' ; (m ; i")' + 'J) «ì¥©è¨¥ à áç¥âë ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¨ ¥ ¢ëç¨á«ïï äãªæ¨® «ìë© ¨â¥£à « ¢ ¬ ¢¨¤¥. ®á¯®«ì§ã¥¬áï ®ç¥¢¨¤ë¬ ⮦¤¥á⢮¬ @ ('@ ') = @ '@ ' + '@ @ ' ¨ § ¯¨è¥¬: Z Z Z d4x@ '@ ' = d4x@ ('@ ') ; d4x'2' (2.8) ®£¤ ¯¥à¢ë© ç«¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¯à¥®¡à §ã¥âáï ¯® ⥮६¥ ãáá ¢ ¯®¢¥àå®áâë© ¨â¥£à «, ª®â®àë© ¬®¦® áç¨â âì à ¢ë¬ ã«î ¯à¨ ¢ë¡®à¥ í⮩ ¯®¢¥àå®á⨠¡¥áª®¥ç®á⨠(£¤¥ ¯®« £ ¥¬ ' ! 0). ®£¤ :
Z
d4x@
'@ ' = ;
Z
d4x'2'
¨ ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ª ª: Z 1 Z 4 2 Z0 [J] = D' exp ;i d x 2 '(2 + m ; i")' ; 'J
(2.9) (2.10)
:
29
®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¯®«¥ ' ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥¨¨ ï¥âáï ¯à®¨§¢®«ìë¬ (¯¥à¥¬¥ ï ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï!) ¨ ¢®¢á¥ ¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î «¥© { ®à¤® . ¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®© ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï: '(x) ! '0 (x) + '(x) (2.11) ¨ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï á®®â®è¥¨¥¬ (ª®â®à®¥ ¢ë¢®¤¨âáï «®£¨ç® (2.9)):
Z
®£¤ ¨¬¥¥¬:
Z
d4x'
0
[2 + m2 ; i"]' =
Z
d4x'(2 + m2 ; i")'0
(2.12)
Z d4x 21 '(2 + m2 ; i")' ; 'J ! d4x 12 '(2 + m2 ; i")'+ + '(2 + m2 ; i")'0 + 12 '0 (2 + m2 ; i")'0 ; 'J ; '0 J
(2.13)
¢®â ⥯¥àì ¯®âॡ㥬, çâ®¡ë ¯®«¥ '0 (x) 㤮¢«¥â¢®àï«® ãà ¢¥¨î «¥© { ®à¤® á ¨áâ®ç¨ª®¬ ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨: (2 + m2 ; i")'0 (x) = J(x) (2.14) ®£¤ ¨â¥à¥áãî騩 á ¨â¥£à « ᢮¤¨âáï ª: Z 1 d4x 2 '(2 + m2 ; i")' ; 12 '0 J (2.15) ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (2.14) ¨¬¥¥â ¢¨¤:
Z
'0 (x) = ; d4yF (x ; y)J(y)
(2.16)
£¤¥ F (x ; y) { 䥩¬ ®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à ᪠«ïண® ¯®«ï, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãà ¢¥¨î (㦥 ¢áâà¥ç ¢è¥¬ãáï ¬ ¢ « ¢¥ 4 ç á⨠I): (2 + m2 ; i")F (x) = ;(x) (2.17) ®¤áâ ¢«ïï (2.16) ¢ (2.15) ¢¨¤¨¬, çâ® ¯®ª § ⥫ì íªá¯®¥âë ¢ (2.10) à ¢¥: 1 Z Z 1 4 2 4 4 (2.18) ; i 2 d x'(2 + m ; i")' + 2 d xd yJ(x)F (x ; y)J(y) ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬ 2 : Z Z Z Z0 [J] = exp ; 2i dxdyJ(x)F (x ; y)J(y) D' exp ; 2i dx'(2 + m2 ; i")' (2.19) ® ¨â¥£à « ¯® D' ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®áâ® ç¨á«® (® ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¬ë᫨¬ë¬ ª®ä¨£ãà æ¨ï¬ ¯®«ï ')! ¡®§ 稬 íâ® ç¨á«® N . ®£¤ ®ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬: Z Z0 [J] = N exp ; 2i dxdyJ(x)F (x ; y)J(y) (2.20) 2 «¥¥,
¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¢áî¤ã ¯¨è¥¬ dx ¢¬¥áâ® d4 x ¨ â.¯.
30
:
¨á. 2-1
¨á. 2-2
¥«¨ç¨ N ®á®¡®© ஫¨ ¥ ¨£à ¥â, íâ® ¯à®áâ® ®à¬¨à®¢®çë© ¬®¦¨â¥«ì. §«®¦¥¨¥ ãàì¥ ¤«ï F (x) ¨¬¥¥â ¢¨¤: F (x) =
Z d4 k
e;ikx (2)4 k2 ; m2 + i"
(2.21)
à¨áãâá⢨¥ i" ! i0+ ¢ § ¬¥ ⥫¥ ¤¨ªâã¥â ¢ë¡®à ¯ã⨠¨â¥£à¨à®¢ ¨ï p ¯® k0, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á 䥩¬ ®¢áª¨¬ ¯à ¢¨«®¬ ®¡å®¤ ¯®«îᮢ ¯à¨ k0 = k2 + m2 . ®«îá à ᯮ« £ îâáï ¢ â®çª å, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ãà ¢¥¨¥¬: k02 = k2 + m2 ; i", â.¥. ¯à¨ p k0 = k2 + m2 i = E i (2.22) ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.2-1. ¯à¥¤¥«¥ ! 0(" ! 0) í⨠¯®«îá ᤢ¨£ îâáï ¤¥©á⢨⥫ìãî ®áì ¨ ¯ãâì ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯à®å®¤¨â ª ª ¯®ª § ® ¨á.2-2. ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® â ª®© ¯®¤å®¤ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â \¯®¢®à®âã" ¢à¥¬¥®© ®á¨ ¬ «ë© 㣮« ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠¢à¥¬¥¨. â® ¯®§¢®«ï¥â ¬ ¯à ¢¨«ì® ®¡¥á¯¥ç¨âì £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ¬¯«¨âã¤ë ¯¥à¥å®¤ ¢ ªã㬠{ ¢ ªãã¬. ® íâ® ¦¥ ¬®¦® ®¡¥á¯¥ç¨âì, ®áãé¥á⢨¢ â ª®© ¯®¢®à®â ¨ ª®¥çë© ã£®« à ¢ë© ;=2, â ª çâ® t ! ;it(! ;i1).
᫨ ¢¢¥á⨠®¡®§ 票¥ x4 = it = ix0
(2.23)
â® ¤ ë© ¯à¥¤¥« ᮮ⢥âáâ¢ã¥â x4 ! 1. ª®¥ ¯à®áâà á⢮ { ¢à¥¬ï (á ¬¨¬ë¬ ¢à¥¬¥¥¬) ï¥âáï ¥¢ª«¨¤®¢ë¬, ¨¢ ਠâë© ¨â¥à¢ « (à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï
31
:
¡«¨§ª¨¬¨ â®çª ¬¨) ¢ ¥¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤: ds2 = ;(dx0)2 ; (dx)2 ; (dy)2 ; (dz)2 = ;
4 X
=1
(dx )2
(2.24)
¨¬¯ã«ìᮬ ¯à®áâà á⢥ ¬®¦®, ᮮ⢥âá⢥®, ¢¢¥á⨠k4 = ;ik0 (2.25) â ª çâ® k2 = ;(k12 + k22 + k32 + k42 ) = ;kE2 d4kE = d3kdk4 = ;id4 k (2.26) £¤¥ ¨¤¥ªá E ®¡®§ ç ¥â ¥¢ª«¨¤®¢® ¨¬¯ã«ìᮥ ¯à®áâà á⢮. ਠí⮬ 䥩¬ ®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤: Z d4kE e;ikx (2.27) F (x) = ;i (2)4 k2 + m2 E ¬¥â¨¬, çâ® íâ® ¢ëà ¦¥¨¥3 , á â®ç®áâìî ¤® ;i, ᮢ¯ ¤ ¥â á ª®à५ï樮®© äãªæ¨¥© àè⥩ { ¥à¨ª¥ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ [14, 15, 35], ¥á«¨ áç¨â âì, çâ® m2 T ; Tc , £¤¥ Tc { ⥬¯¥à âãà ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ II த (¤«ï ¯à®áâ®âë ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã ®¡« áâì ⥬¯¥à âãà T > Tc ). ¤¥áì ¬ë ¢¯¥à¢ë¥ áâ «ª¨¢ ¥¬áï á £«ã¡®ª®© á¢ï§ìî ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¨ ᮢ६¥®© ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© (áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª®©) [14, 15]. § (2.7), á ãç¥â®¬ d4 x = ;id4xE ¨ (@ ')2 = ;(@E ')2 ¯®«ãç ¥¬ ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ ¢¨¤¥: Z 1 Z 4 2 2 2 Z0E [J] = D' exp ; d xE 2 [(@E ') + m ' ] ; 'J (2.28) çâ®, ¯® áã⨠¤¥« , ᮢ¯ ¤ ¥â á® áâ â¨áâ¨ç¥áª®© á㬬®© £ ãáᮢ®© ¬®¤¥«¨ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ (â.¥. ⥮ਨ ¤ ã [35] ¡¥§ ãç¥â ç«¥®¢ '4 ¨ ¢ëè¥) ¤«ï ᪠«ïண® ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ', ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饣® á ¢¥è¨¬ ¯®«¥¬ J [14, 15].
ãªæ¨® «ì®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥. ¥à¥©¤¥¬ ª ®¡á㦤¥¨î äãªæ¨® «ì®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï á ä®à¬ «ì®© â®çª¨ §à¥¨ï. 祬 á å®à®è® ¨§¢¥á⮩ ¬ ä®à¬ã«ë ¤«ï ¨â¥£à « ã áá® { ãáá (1.28): r Z1 1 ax2 ; dxe 2 = 2 (2.29) a ;1
«¥¥ ¯à¥¤¥«ë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢á¥£¤ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬ ®â ;1 ¤® 1 ¨ ¥ ¢ë¯¨áë¢ ¥¬. ®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ n èâ㪠⠪¨å ¨â¥£à «®¢: Z X 2 ! (2)n=2 1 dx1dx2:::dxn exp ; 2 anxn = Qn 1=2 (2.30) n i=1 ai 3 ¤¥áì ¥â ¯à®¡«¥¬ë
p
®¡å®¤ ¯®«îᮢ { ®¨ «¥¦ â ¬¨¬®© ®á¨ ¢ â®çª å k4 = i kE2 + m2 .
32
:
ãáâì A { ¤¨ £® «ì ï ¬ âà¨æ á í«¥¬¥â ¬¨ a1; a2 ; :::; an, x { n-¬¥àë© ¢¥ªâ®à (á⮫¡¥æ) á ª®¬¯®¥â ¬¨ x1; x2; :::; xn. ®£¤ ¯®ª § ⥫ì íªá¯®¥âë ¢ (2.30) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï: X (x; Ax) = an x2n (2.31) ¤¥â¥à¬¨ â ¬ âà¨æë A ¥áâì:
n
DetA = a1a2 :::an = ®£¤ (2.30) § ¯¨è¥âáï ª ª:
Z
n Y i=1
ai
dnxe; 21 (x;Ax) = (2)n=2(DetA);1=2
(2.32) (2.33)
®áª®«ìªã íâ® à ¢¥á⢮ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï «î¡®© ¤¨ £® «ì®© ¬ âà¨æë, ®® â ª¦¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ¤«ï «î¡®© ¤¥©á⢨⥫쮩 ᨬ¬¥âà¨ç®© ¬ âà¨æë, ¯®áª®«ìªã ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â «¨¥©®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥, ¯à¨¢®¤ï饥 â ªãî ¬ âà¨æã ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã. ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¬¥à㠨⥣à¨à®¢ ¨ï ª ª: [dx] = (2);n=2dnx (2.34) ®£¤ (2.33) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
Z
[dx]e; 21 (x;Ax) = (DetA);1=2
(2.35)
â® á®®â®è¥¨¥ «¥£ª® ®¡®¡é ¥âáï á«ãç ©, ª®£¤ ¢ íªá¯®¥â¥ á⮨⠪¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ®¡é¥£® ¢¨¤ : Q(x) = 21 (x; Ax) + (b; x) + c (2.36) ®¦® ¤¥©á⢮¢ âì ª ª ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ (1.35). ®à¬ (2.36) ¤®á⨣ ¥â ¬¨¨¬ã¬ ¯à¨ x = ;A;1 b ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥: (2.37) Q(x) = Q(x) + 12 [x ; x; A(x ; x)] ®£¤ áà §ã ¨¬¥¥¬ «®£ (1.35) ¢ ¢¨¤¥: 1 1 Z ; 1 [dx] exp ; 2 [(x; Ax) + (b; x) + c = exp 2 (b; A b ; c) (DetA);1=2 (2.38) £¤¥ A;1 ®¡®§ ç ¥â ®¡à âãî ¬ âà¨æã. áᬮâਬ ⥯¥àì á«ãç © íନ⮢ëå ¬ âà¨æ. ®§¢¥¤¥¬ (2.29) ¢ ª¢ ¤à â ¨ § ¯¨è¥¬: Z (2.39) dxdye; 21 a(x2 +y2 ) = 2 a ¢¥¤¥¬ z = x + iy ¨ z = x ; iy, â ª çâ® (¢ëç¨á«ïï 类¡¨ ¯¥à¥å®¤ ®â x; y ª z; z ) ¨¬¥¥¬ dxdy = ; 12 idz dz, ¯®á«¥ 祣® (2.39) § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª: Z dz dz ;az z = 1 e (2.40) 1 = 2 1 = 2 (2i) (2i) a
:
33
¡®¡é¨¬ íâã ä®à¬ã«ã, «®£¨ç® ¯¥à¥å®¤ã ®â (2.30) ª (2.35), ¢¢¥¤ï ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ãî íନ⮢㠬 âà¨æã A ¨ ¬¥à㠨⥣à¨à®¢ ¨ï [dz] = (2);n=2dnz (2.41) ®£¤ ¯®«ã稬: Z [dz ][dz]e;(z;Az) = (DetA);1 (2.42) ᥠ¢ë¯¨á ë¥ ä®à¬ã«ë ¢¯®«¥ áâண¨¥, ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯àאַ¥ ®¡®¡é¥¨¥ \®¤®¬¥àëå" ¨â¥£à «®¢ á«ãç © ª®¥ç®¬¥à®£® ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠. ஢¥¤¥¬ ⥯¥àì ä®à¬ «ì®¥ ®¡®¡é¥¨¥ á«ãç © ¡¥áª®¥ç®¬¥à®£® äãªæ¨® «ì®£® ¯à®áâà á⢠. ãáâì à¥çì ¨¤¥â ® ¯à®áâà á⢥ ¤¥©á⢨⥫ìëå äãªæ¨© '(x ). ®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨å ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥:
Z
('; ') = d4x['(x)]2
(2.43)
¡®¡é¥¨¥ ¢ëà ¦¥¨ï (2.35) ¥áâì: 1Z Z D'(x) exp ; 2 dx'(x)A'(x) = (DetA);1=2 £¤¥ A { ¥ª®â®àë© ®¯¥à â®à, ¤¥©áâ¢ãî騩 äãªæ¨¨ '(x):
(2.44)
A'(x) =
(2.45)
Z
dyA(x; y)'(y)
¥£® ¤¥â¥à¬¨ â ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, ¥áâ¥á⢥®, ª ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ᮡá⢥ëå § 票©. ¥à ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï D'(x) = [d'(x)]. ᥠíâ® á«¥¤ã¥â ¯®¨¬ âì, ª ª ®¡ëç®, ¢ ¢¨¤¥ ¯à¥¤¥«ì®£® ¢ëà ¦¥¨ï ⨯ (2.5). ëà ¦¥¨¥ (2.44) ®¡ëç® §ë¢ îâ £ ãáá®¢ë¬ äãªæ¨® «ìë¬ ¨â¥£à «®¬.
᫨ '(x) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®¬¯«¥ªáãî äãªæ¨î (¯®«¥), â® ¢®§¨ª ¥â ¥áâ¥á⢥®¥ ®¡®¡é¥¨¥ (2.42): 1Z Z D' (x)D'(x) exp ; 2 dx' (x)A'(x) = (DetA);1 (2.46) £¤¥ A { íନ⮢ ®¯¥à â®à. ¡®¡é¥¨¥ (2.38) ¤«ï á«ãç ï ¢¥é¥á⢥ëå ¯®«¥© '(x) ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 Z Z Z Z D'(x) exp ; 2 dx dy'(x)A(x; y)'(y) + dxB(x)'(x) + c = 1 Z Z ; 1 = exp 2 dx dyB(x)A (x; y)B(y) ; c (DetA);1=2 (2.47)
£¤¥ A;1 (x; y) ®¡®§ ç ¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ®¡à âë© ®¯¥à â®à. «ï ª®¬¯«¥ªáëå ¯®«¥© ¢®§¨ª ¥â ᮢ¥à襮 «®£¨ç®¥ ¢ëà ¦¥¨¥, ®â«¨ç î饥áï ®â (2.47) «¨ç¨¥¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ' ¨ ', â ª¦¥ § ¬¥®© (DetA);1=2 (DetA);1 . ¥à¥¬áï ⥯¥àì ª à áᬮâà¥¨î ®¡é¥£® ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ¯à®¨§¢®¤ï饣® äãªæ¨® « ¯®«ï «¥© { ®à¤® (2.10): Z 1 Z 4 2 Z0 [J] = D' exp ;i d x 2 '(2 + m ; i")' ; 'J (2.48)
34
:
â®ï騩 §¤¥áì äãªæ¨® «ìë© ¨â¥£à « ¨¬¥¥â, ª ª à §, £ ãáᮢ ¢¨¤ (2.47), ¯à¨ç¥¬ A(x; y) = i(2 + m2 ; i")(x ; y), B(x) = ;iJ(x), c = 0. ®£¤ ¨§ (2.47) ¯®«ãç ¥¬:
i Z
Z0 [J] = exp 2
dxdyJ(x)(2 + m2 ; i");1 J(y)
[iDet(2 + m2 ; i")];1=2
(2.49)
®§¨ªè¨© §¤¥áì ¤¥â¥à¬¨ â ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì, á ¯®¬®éìî (2.44), ª ª: [iDet(2 + m2 ; i")];1=2
iZ
Z
= D'(x) exp ; 2
dx'(x)(2 + m2 ; i")'(x)
(2.50)
®¡à âë© ®¯¥à â®à:
(2 + m2 ; i");1 = ;F (x ; y) (2.51) çâ® á«¥¤ã¥â ¥¯®á।á⢥® ¨§ (2.17). ®£¤ ¢ëà ¦¥¨¥ (2.49) ᢮¤¨âáï ª:
iZ
Z0 [J] = exp ; 2
dxdyJ(x)F (x ; y)J(y)
Z
iZ
D' exp ; 2
dx'(2 + m2 ; i")'
(2.52) ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á (2.19). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯àאַ¥ ¢ëç¨á«¥¨¥ ¯® ¯à ¢¨« ¬ äãªæ¨® «ì®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¤ ¥â ¨§¢¥áâë© ¬ ®â¢¥â ¤«ï ¯à®¨§¢®¤ï饣® äãªæ¨® « , ¯®«ãç¥ë© ¢ëè¥ ¥áª®«ìª® \®¡å®¤ë¬" ¯ã⥬. ®«ãç¥ë¥ ¢ëè¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï £ ãáᮢëå äãªæ¨® «ìëå ¨â¥£à «®¢ ¡ã¤ãâ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¨¦¥.
ãªæ¨¨ ਠ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ. ®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® Z0 [J] ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤ï騬 äãªæ¨® «®¬ ¤«ï äãªæ¨© ਠ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ. «ï í⮣® à §«®¦¨¬ (2.20) ¢ àï¤: Z Z0 [J] = N 1 ; 2i dxdyJ(x)F (x ; y)J(y)+ i 2 Z 2 1 + 2! 2 dxdyJ(x)F (x ; y)J(y) + i 3 Z 3 ) 1 (2.53) dxdyJ(x)F (x ; y)J(y) + ::: + 3! 2 ¢®¤ï äãàì¥ - ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¨áâ®ç¨ª : J(x) =
Z
d4pJ(p)e;ipx
¨ ¨á¯®«ì§ãï (2.21) «¥£ª® ¯®«ãç ¥¬: Z Z ;k)J(k) ; 2i d4xd4yJ(x)F (x ; y)J(y) = ; 2i (2)4 d4 k kJ( 2 ; m2 + i"
(2.54)
(2.55)
:
35
¨á. 2-3
¨á. 2-4
®¯®áâ ¢¨¬ «¨â¨ç¥áª¨¬ ¢ëà ¦¥¨ï¬ £à ä¨ç¥áª¨¥ í«¥¬¥âë, ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.2-3. ®£¤ ¢ëà ¦¥¨î (2.55) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¨ £à ¬¬ , ¯®ª § ï ¨á.24. १ã«ìâ â¥, à §«®¦¥¨¥ ¯à®¨§¢®¤ï饣® äãªæ¨® « ( ¬¯«¨âã¤ë ¯¥à¥å®¤ ¢ ªã㬠{ ¢ ªãã¬) (2.53) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¤¨ £à ¬¬ ¬¨, ¯®ª § 묨 ¨á.2-54. ¨¤¨¬, çâ® íâ®â àï¤ ®¯¨áë¢ ¥â à á¯à®áâà ¥¨¥ 1, 2, 3 ¨ â. ¤. \ç áâ¨æ" ¬¥¦¤ã ¨áâ®ç¨ª ¬¨, â ª çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ¬®£®ç áâ¨ç®© ⥮ਥ©. ¦¥ ®âáî¤ ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® Z0 [J] ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤ï騬 äãªæ¨® «®¬ ¤«ï äãªæ¨© ਠà áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ ¯®«ï.
®ïᨬ ä®à¬ «ìãî áâ®à®ã ¤¥« . áᬮâਬ, ¯à¨¬¥à, à §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤ ¥ª®â®à®© äãªæ¨¨ F (y1 ; :::;yk ) ®â k ¯¥à¥¬¥ëå y1 ;:::; yk : 1 X k k X X 1 F fyg F (y1 ; :::;yk ) = ::: (2.56) n! Tn (i1 ;:::;in )yi1 :::yin
£¤¥
n=0 i1=0 in=0 @ n F fyg j Tn = @y y=0 1 :::@yn
(2.57) ¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ¯à¥¤¥«ã, ª®£¤ ¯¥à¥¬¥ë¥ ®¡à §ãîâ ª®â¨ãã¬: i ! x; yi (i = R Pª ¨âã¨â¨¢®¬ã 1;:::;k) ! y(x); i ! dx ¨ ¯®«ã稬 á⥯¥®¥ à §«®¦¥¨¥ ¤«ï äãªæ¨® « : 1 Z X (2.58) F [y ] = dx1 :::dxn n1! Tn (x1 ; :::;xn )y(x1 ):::y(xn ) n=0 £¤¥ (2.59) Tn (x1 ;:::; xn ) = y(x ) ::: y(x ) F [y]jy=0 n 1 í⮬ á«ãç ¥ ® ¢¥«¨ç¨¥ F [y] ¨ £®¢®àïâ ª ª ® ¯à®¨§¢®¤ï饬 äãªæ¨® «¥ ¤«ï äãªæ¨© Tn(x1 ; :::xn).
è ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « Z[J] ¤® ¥é¥ ®â®à¬¨à®¢ âì. , ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ¯à®¯®à樮 «¥ ¬¯«¨â㤥 ¯¥à¥å®¤ ¢ ªã㬠- ¢ ªã㬠¢ ¯à¨áãâá⢨¨ ¨áâ®ç¨ª J.
áâ¥á⢥®© ®à¬¨à®¢ª®© ï¥âáï ãá«®¢¨¥ Z[J = 0] = 1. ®£¤ ¬®¦¥¬ ¯¨á âì à ¢¥á⢮: Z[J] =< 0; 1j0; ;1 >J (2.60) 4 ®à¬¨à®¢®çë© ¬®¦¨â¥«ì N
§¤¥áì ®¯ãé¥.
36
:
¨á. 2-5
â ª çâ® ãá«®¢¨¥ Z[0] = 1 ¢ë¯®«ï¥âáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. ®í⮬ã (2.10) ¨ (2.20) á«¥¤ã¥â ¯¥à¥¯¨á âì ª ª: R D' exp ;i R d4x 1 '(2 + m2 ; i")' ; 'J R D' exp ;i R d24x 1 '(2 + m2 ; i")' (2.61) Z0 [J] = 2 Z Z0 [J] = exp ; 2i dxdyJ(x)F (x ; y)J(y) (2.62) ⨠®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ®ç¥¢¨¤®, 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î Z[J = 0] = 1, çâ® ¨ ®¯à ¢¤ë¢ ¥â ®â¡à áë¢ ¨¥ ¥áãé¥á⢥®£® ®à¬¨à®¢®ç®£® ¬®¦¨â¥«ï N . ãªæ¨® « Z0 [J], ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ¢ëà ¦¥¨¥¬ (2.62), ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (2.59), ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤ï騬 äãªæ¨® «®¬ ¤«ï äãªæ¨©: n Z0 [J] (x1; :::; xn) = i1n J(x ):::J(x jJ =0 (2.63) 1 n) ᯮ¬¨ ï (1.109), ¯®¨¬ ¥¬, çâ®: nZ0 [J] j = in < 0jT '(x ):::'(x )j0 > (2.64) 1 n J(x1):::J(xn) J =0 â ª çâ® (x1 ; :::; xn) =< 0jT'(x1):::'(xn)j0 > (2.65) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢ ªã㬮¥ á।¥¥ ®â åà®®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¯®«¥¢ëå ®¯¥à â®à®¢, â.¥. ï¥âáï n-â®ç¥ç®© (¯® ç¨á«ã ª®®à¤¨ â) äãªæ¨¥© ਠ¤«ï à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ. â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á à áᬮâà¥ë¬ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ äãªæ¨© ਠ¢ ®¯¥à â®à®¬ ä®à¬ «¨§¬¥ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¬®¦® ⥯¥àì § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: 1 in Z X Z0 [J] = n! dx1:::dxnJ(x1 ):::J(xn) (x1 ; :::; xn) (2.66) n=0
:
37
çâ® ¨ ®§ ç ¥â, çâ® Z0 [J] ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤ï騬 äãªæ¨® «®¬ ¤«ï äãªæ¨© ਠ(x1; :::; xn). ¬¥® íâ® à §«®¦¥¨¥ ¨ ¯®ª § ® £à ä¨ç¥áª¨ ¨á.2-5. ©¬¥¬áï ¢ëç¨á«¥¨¥¬ ¥ª®â®àëå ¯à®á⥩è¨å n-â®ç¥çëå äãªæ¨© ਠ. ¯®¬¨¬, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ᮠ᢮¡®¤®© ⥮ਥ© ᪠«ïண® ¯®«ï. 祬 á 2â®ç¥ç®© äãªæ¨¨: 2 Z0 [J] j (x; y) = ; J(x)J(y) (2.67) J =0
ëç¨á«¥¨ï ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¥¯®á।á⢥®, ¨á¯®«ì§ãï ¯à¨¢¥¤¥®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ äãªæ¨® «ì®© ¯à®¨§¢®¤®©. ¬¥¥¬: 1 Z0 [J] = 1 exp ; i Z dx dx J(x ) (x ; x )J(x ) = 1 2 1 F 1 2 2 i J(x) i J(x) 2 Z Z i (2.68) = ; dx1F (x ; x1)J(x1 ) exp ; 2 dx1dx2J(x1 )F (x1 ; x2 )J(x2) 1 1 Z [J] = i (x ; y) exp ; i Z J J + 0 F F 2 i Z Z i J(x) i J(y) Z + dx1F (x ; x1)J(x1 ) dx1F (y ; x1 ) exp ; 2 JF J
(2.69)
£¤¥ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ᮪à é¥ãî § ¯¨áì íªá¯®¥âë. ®« £ ï ⥯¥àì J = 0, ¯®«ãç ¥¬: 1 1 Z [J]j = i (x ; y) (2.70) F i J(x) i J(y) 0 J =0 ¨«¨ (x; y) = iF (x ; y) (2.71) á®, çâ® 2-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï ਠ, ä ªâ¨ç¥áª¨, ᮢ¯ ¤ ¥â á 䥩¬ ®¢áª¨¬ ¯à®¯ £ â®à®¬ ᪠«ïன ç áâ¨æë (®¤®ç áâ¨ç ï äãªæ¨ï ਠ᢮¡®¤®© ᪠«ïன ç áâ¨æë). ® à áᬮâਬ ¥é¥ à § ¥¥ 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«. ஢¥¤¥¬ á ç « ¢ëç¨á«¥¨ï ¢ ®¯¥à â®à®®¬ ¯®¤å®¤¥. ® ®¯à¥¤¥«¥¨î åà®®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¨¬¥¥¬: (x; y) =< 0jT'(x)'(y)j0 >= =< 0j(x0 ; y0 )'(x)'(y) + (y0 ; x0 )'(y)'(x)j0 > (2.72) ¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ §¤¥áì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬¯«¨âã¤ã ¢¥à®ïâ®á⨠஦¤¥¨ï ç áâ¨æë ¢ â®çª¥ y ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ y0 ¨ ¥¥ ¯®á«¥¤ãî饣® ã¨ç⮦¥¨ï ¢ â®çª¥ x ¢ ¬®¬¥â x0 . â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¤ ¥â ¬¯«¨âã¤ã ¢¥à®ïâ®á⨠஦¤¥¨ï ç áâ¨æë ¢ â®çª¥ x ¢ ¬®¬¥â x0 ¨ ¥¥ ã¨ç⮦¥¨ï ¢ â®çª¥ y ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ y0 . ⨠¯à®æ¥ááë £à ä¨ç¥áª¨ ¯à®¨««îáâà¨à®¢ ë ¨á.2-6. 㬬 íâ¨å ¬¯«¨â㤠¨ ¤ ¥â 䥩¬ ®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à. ë § ¥¬, çâ® ¢ ®¯¥à â®à®¬ ¯®¤å®¤¥ ¯®«¥ ' ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ç«¥®¢ á ¯®«®¦¨â¥«ì묨 ¨ ®âà¨æ ⥫ì묨 ç áâ®â ¬¨ (á¬. « ¢ã 3 ç á⨠I): '(x) = '(+) (x) + '(;) (x) (2.73) £¤¥ Z d3 k 1 ;ikx (2.74) '(+) (x) = (2) 3 p2! ak e
k
38
:
¨á. 2-6
p
'(;) (x) =
Z d3k 1 p + ikx (2)3 2!k ak e
(2.75)
£¤¥ !k = k2 + m2 , a+k ; ak { ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯¥à â®àë ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï. ãç¥â®¬ á¬ëá« íâ¨å ®¯¥à â®à®¢, ¢ ¢ ªã㬮¬ á।¥¬ (2.72) ®áâ îâáï ⮫쪮 ç«¥ë ¢¨¤ '(+) '(;) : (x; y) = (x0 ; y0 ) < 0j'(+) (x)'(;) (y)j0 > +(y0 ; x0 ) < 0j'(+) (y)'(;) (x)j0 > (2.76) ®¤áâ ¢«ïï áî¤ (2.74) ¨ (2.75) ¯®«ãç ¥¬: Z d3kd3k0 ;i(kx;k0y0 ) + (y0 ; x0 )e;i(ky;k0x) ] < 0ja a+ j0 > (x; y) = (2) k k0 6 ! ! 0 [(x0 ; y0 )e kk (2.77) â ª çâ®, ¯¥à¥áâ ¢«ïï ®¯¥à â®àë ¢ ¢ ªã㬮¬ á।¥¬ á ¯®¬®éìî ª®¬¬ãâ 樮ëå á®®â®è¥¨© (â ª, çâ®¡ë ¢ë¤¥«¨âì ®¡à é î騩áï ¢ ã«ì ¢ª« ¤ ®â ¨å ®à¬ «ì®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¨ ¥ã«¥¢®© ¢ª« ¤ ®â -äãªæ¨¨), ¯®«ãç ¥¬: Z d3k ;ik(x;y) + (y0 ; x0)eik(x;y) ] (x; y) = (2) (2.78) 3 ! [(x0 ; y0 )e k ¡¥¤¨¬áï, çâ® íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á iF (x ; y), £¤¥ F (x ; y) § ¤ ¥âáï (2.21). ëà ¦¥¨¥ (2.21) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª: Z d3kdk0 Z d4k e;ikx e;ikx F (x) = (2) = 2 4 k2 ; m2 + i" 4 (2) k0 ; (k2 + m2 ) + i" = Z 3kdk0 e;ikx 1 1 = d(2) ; (2.79) 4 2! k k0 ; !k + i k0 + !k ; i â¥£à « ¯® k0 âãâ, ª ª ¢á¥£¤ , ¬®¦® «¥£ª® ¢ëç¨á«¨âì ª®âãàë¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬. ¯®ª § ⥫¥ íªá¯®¥âë á⮨â e;ik0 x0 , â ª çâ® ¯à¨ x0 > 0 § ¬ëª ¥¬ ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢ ¨¦¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠k0, ¨ ¨â¥£à « ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ª« ¤®¬ ®â ¯®«îá ¯à¨ k0 = !k ; i. ਠx0 < 0 § ¬ª¥¬ ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢ ¢¥à奩 ¯®ã¯«®áª®á⨠¨ ¢á¥ ®¯à¥¤¥«¨âáï ¢ª« ¤®¬ ¯®«îá ¯à¨ k0 = ;!k +i. ®£¤ , ¯® ⥮६¥ ®è¨, ¨¬¥¥¬: Z d2k eikx F (x) = (2)3 2! [(x0)(;i)e;i!k x0 ; (;x0 )iei!k x0 ] (2.80) k
:
39
®á«¥ § ¬¥ë ¢® ¢â®à®¬ ¨â¥£à «¥ k ! ;k ¨ ¯¥à¥®¡®§ 票ï x ! x ; y, ¯®«ãç ¥¬: Z d3k ;ik(x;y) + (y0 ; x0)eik(x;y)] (2.81) F (x ; y) = ;i (2) 3 ! [(x0 ; y0 )e k ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ;i (x; y) ¨§ (2.78). ª¨¬ ®¡à §®¬, 2-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï ਠ, ¢®§¨ªè ï ¢ äãªæ¨® «ì®¬ ¯®¤å®¤¥, ¤¥©á⢨⥫ì®, ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¤®ç áâ¨çë¬ ¯à®¯ £ â®à®¬ ®¯¥à â®à®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ⥮ਨ ¯®«ï. ® çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© 1-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï? 祢¨¤®, çâ® ¨§ (2.68) ¨¬¥¥¬: 0 [J] (x) =< 0jT'(x)j0 >=< 0j'(x)j0 >= 1i Z jJ =0 = J(x) iZ Z = ; dx1F (x ; x1)J(x1 ) exp ; 2 dx1dx2J(x1)F (x1 ; x2)J(x2 ) jJ =0 = 0 (2.82) { ¢ ªã㬮¥ á।¥¥ á ¬®£® ¯®«ï à ¢® ã«î! ©¤¥¬ ⥯¥àì 3-â®ç¥çãî äãªæ¨î. ¨ää¥à¥æ¨àãï ¥é¥ à § (2.69), ¯®«ã稬: 1 1 1 Z [J] = i J(x1 ) i J(x2) i J(x3 ) 0 Z Z = ;iF (x2 ; x3 ) dxF (x1 ; x)J(x)exp ; 2i JF J ; iZ Z ;iF (x2 ; x1 ) dxF (x3 ; x)J(x)exp ; 2 JF J ; iZ Z ;iF (x3 ; x1 ) dxF (x2 ; x)J(x)exp ; 2 JF J ; iZ Z Z Z ; dxF (x2 ; x)J(x) dxF (x3 ; x)J(x) dxF (x1 ; x)J(x)exp ; 2 JF J (2.83) çâ® ¯à¨ J = 0, á ®ç¥¢¨¤®áâìî, ¤ ¥â ã«ì. ª¨¬ ®¡à §®¬: (x1 ; x2; x3) =< 0jT '(x1)'(x2 )'(x3)j0 >= 0 (2.84) «®£¨çë¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¤ îâ: 1 ::: 1 Z [J] = i J(x1) i J(x4) 0 Z = ;F (x2 ; x3 )F (x1 ; x4)exp ; 2i JF J ; Z ;F (x2 ; x1 )F (x3 ; x4)exp ; 2i JF J ; Z ;F (x3 ; x1)F (x2 ; x4 )exp ; 2i JF J + ::: (2.85) £¤¥ ¬®£®â®ç¨¥¬ ®¡®§ ç¥ë ç«¥ë, ®¡à é î騥áï ¢ ã«ì ¯à¨ J = 0. ®®â¢¥âá⢥®, ¯®«ãç ¥¬: (x1; x2; x3; x4) = F (x2 ; x3 )F (x1 ; x4 ) + +F (x2 ; x1)F (x3 ; x4) + F (x3 ; x1 )F (x2 ; x4) (2.86)
40
:
¨á. 2-7
çâ® £à ä¨ç¥áª¨ ¨§®¡à ¦ ¥âáï ¤¨ £à ¬¬ ¬¨, ¯®ª § 묨 ¨á.2-7 ¨ ¤ ¥â ¬¯«¨âã¤ã à á¯à®áâà ¥¨ï ¤¢ãå ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ. ¤¥áì ç¥âëॠ¯à®áâà á⢥® { ¢à¥¬¥ë¥ â®çª¨ ¯à®á⮠ᮥ¤¨¥ë ¢á¥¬¨ ¢®§¬®¦ë¬¨ ᯮᮡ ¬¨ «¨¨ï¬¨ ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ. ¥à¥å®¤ï ª n-â®ç¥çë¬ äãªæ¨ï¬, ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¤«ï ¥ç¥âëå n ¢á¥ ®¨ ¯à®áâ® à ¢ë ã«î: (x1 ; x2; :::; x2n+1) = 0 (2.87) «ï ç¥âëå n ª ¦¤ ï n-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï ä ªâ®à¨§ã¥âáï á㬬㠯ந§¢¥¤¥¨© 2-â®ç¥çëå äãªæ¨© (¯® ¢á¥¬ \ᯠਢ ¨ï¬", â.¥. ¯® ¢á¥¢®§¬®¦ë¬ ¯¥à¥áâ ®¢ª ¬, ¢å®¤ïé¨å ¢ ¨å ¯®¯ à® ª®®à¤¨ â): (x1; x2; :::; x2n) = £¤¥
X P
(xp1 ; xp2)::: (xp2k;1; xp2k )
(2.88)
(x1 ; x2) = iF (x ; y) (2.89) ⮠᢮¤¨âáï ª ¨§¢¥á⮩ ¬ ⥮६¥ ¨ª , ª®â®à ï ⥯¥àì ¬¨ ¤®ª § ¨ ¢ äãªæ¨® «ì®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï.
ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯®«¥©. ® á¨å ¯®à à¥çì è« ® ⥮ਨ ᢮¡®¤®£® (¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饣® ¯®«ï). ª ¢á¥ íâ® ®¡®¡é¨âì ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî騥 ¯®«ï? áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¯à¨¬¥à â ª®© ⥮ਨ, § ¤ ¢ « £à ¦¨ ᪠«ïண® ¯®«ï ¢ ¢¨¤¥: 2 L = 21 @ '@ ' ; m2 '2 ; 4!g '4 = L0 + Lint (2.90) £¤¥ g { ¥ª®â®à ï ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. â® â ª §ë¢ ¥¬ ï ⥮à¨ï g'4 . £à ¦¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤«ï ¥¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤: (2.91) Lint = ; 4!g '4
:
41
à ¢¥¨ï £à ¦ ¤«ï â ª®© ⥮ਨ 㦥 ¥«¨¥©ë (¢ ¨å 䨣ãà¨àã¥â á« £ ¥¬®¥ g'3 ), çâ® ¨ ®âà ¦ ¥â «¨ç¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (á ¬®¤¥©á⢨ï). ®¡é¥¬ á«ãç ¥ « £à ¦¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¥ª®â®àãî äãªæ¨î V ('). ¯à¨æ¨¯¥, ¬®¦® à áᬠâਢ âì ¤ ¦¥ ¥¯®«¨®¬¨ «ìë¥ äãªæ¨¨, ®¤ ª® ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï ¯à®á⥩訬¨ ¬®¤¥«ï¬¨.
âáâ㯫¥¨¥ ® à §¬¥à®áâïå ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. R ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¤¥©á⢨¥ S = d4 xL ¡¥§à §¬¥à® (~ = 1). ®®â¢¥âá⢥®, à §¬¥à®áâì
« £à ¦¨ [L] = l;4 , £¤¥ l { ¥ª®â®à ï ¤«¨ . §¬¥à®áâì í¥à£¨¨ (¬ ááë): [E ] = [m] = l;1 . § ¢¨¤ « £à ¦¨ (2.90) ¯®ïâ®, çâ® ['] = l;1 . ®£¤ ¨§ (2.91) ïá®, çâ® ¢ ⥮ਨ g'4 ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï g ¡¥§à §¬¥à . â® ®ç¥ì ¢ ¦®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮! « £®¤ àï ¥¬ã ¤ ï ⥮à¨ï ï¥âáï ¯¥à¥®à¬¨à㥬®©. âã¨â¨¢®, íâ® ¬®¦® ¯®ïâì ¨§ á«¥¤ãîé¨å í«¥¬¥â àëå á®®¡à ¦¥¨©. áᬮâਬ ¡®«¥¥ ®¡é¨© á⥯¥®© « £à ¦¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï: Lint = gk '4+k k > 0 (2.92) k ®£¤ à §¬¥à®áâì ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª®áâ âë ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï [gk ] = l . ® à §«®¦¥¨¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ¢á¥£¤ ¤® áâநâì ¯® ¡¥§à §¬¥à®¬ã ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã. ¤ ®¬ á«ãç ¥ â ª¨¬ ¯ à ¬¥â஬ ¡ã¤¥â ¢¥«¨ç¨ : gk l;k gk mk gk E k (2.93) à áâãé ï á à®á⮬ í¥à£¨¨ E (¨«¨ ¬ «ëå à ááâ®ï¨ïå). â® ¯«®å® ¨, ª ª ®ª §ë¢ ¥âáï, ï¥âáï ®âà ¦¥¨¥¬ ¥¯¥à¥®à¬¨à㥬®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ⥮ਨ. àã¡® ¬®¦® ᪠§ âì, çâ® ¡¥§à §¬¥à®áâì ª®áâ âë ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬ë¬ (® ¥ ¤®áâ â®çë¬!) ãá«®¢¨¥¬ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®á⨠¢ «î¡®© ⥮ਨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ. ®ç¥¥, ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¡ë« ¡ë ¡¥§à §¬¥à®© ¨«¨ à §¬¥à®áâì ¥¥ ¡ë« ¡ë ®âà¨æ ⥫쮩 á⥯¥ìî ¤«¨ë: g l;a ;a > 0. ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥, ¡¥§à §¬¥àë© ¯ à ¬¥âà ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© gE ;a ¡ã¤¥â ¢¯®«¥ ¡¥§®¡¨¤ë¬ ¯à¨ ¢ë᮪¨å í¥à£¨ïå. í⮩ â®çª¨ §à¥¨ï £®¤¨âáï ¨ ⥮à¨ï g'3 , ® á ¥© ¤à㣨¥ ¯à®¡«¥¬ë { ®âáãâáâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì ï ®¯à¥¤¥«¥®áâì í¥à£¨¨ (¥â ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï). ®í⮬ã, ⥮à¨ï g'4 ï¥âáï, ¯® áã⨠¤¥« , ¥¤¨á⢥®© \à §ã¬®©" ⥮ਥ© ᪠«ïண® ¯®«ï ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ { ¢à¥¬¥¨5 . «ï ᯨ®à®£® ¯®«ï (s = 1=2) ¬®¦® à áá㦤 âì â ª¦¥. ¨à ª®¢áª¨© « £à ¦¨ L i @ ; m , â ª çâ® [ ] = [ ] = l;3=2 . ®®â¢¥âá⢥®, ¥á«¨ à áᬮâà¥âì ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï ᮠ᪠«ïàë¬ ¢¨¤ (¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª ¢ë): Lint g ' (2.94) ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï g ¡¥§à §¬¥à ¨ ⥮à¨ï ¯¥à¥®à¬¨à㥬 . ¥á«¨ ¢§ïâì ç¥âëà¥åä¥à¬¨®®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ (¥à¬¨) ¢¨¤ : Lint G (2.95) ; 2 2 â® ª®áâ â á¢ï§¨ G à §¬¥à : [G] = [m ] = l . ª ï ⥮à¨ï ¨¬¥¥â \¯«®å®¥" ¯®¢¥¤¥¨¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å í¥à£¨ïå ¨ ï¥âáï ¥¯¥à¥®à¬¨à㥬®©. ᮢ६¥®© ⥮ਨ ¯à¨ïâ® à áᬠâਢ âì ⮫쪮 ¯¥à¥®à¬¨àã¥¬ë¥ â¥®à¨¨. ¥§à §¬¥à®áâì ª®áâ âë á¢ï§¨ ï¥âáï £àã¡ë¬ ªà¨â¥à¨¥¬ ®â¡®à ¢®§¬®¦ëå « £à ¦¨ ®¢ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï.
®à¬¨à®¢ ë© ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï ⥮ਨ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ®¯à¥¤¥«¨¬ â ª¦¥ ª ª ¨ ¤«ï ¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饩 ⥮ਨ (áà.(2.1), (2.61)): R D' exp ;iS + i R dxJ' R D'eiS Z[J] = (2.96) R £¤¥ S = d4xL { ¤¥©á⢨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ, á ãç¥â®¬ ¢ª« ¤ ®â « £à ¦¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ਠLint = 0 (2.96), ¥áâ¥á⢥®, ᢮¤¨âáï ª à áᬮâà¥ë¬ ¢ëè¥ ¢ëà ¦¥¨ï¬ ¤«ï ᢮¡®¤®© ⥮ਨ. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ S = S0 + Sint, £¤¥ R Sint = d4xLint. 5 ®«¥¥ ¯®¤à®¡® í⨠¢®¯à®áë, ¢ª«îç ï § ¢¨á¨¬®áâì ®â à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠, ¡ã¤ãâ ®¡á㦤 âìáï ¯®§¤¥¥.
42
:
¥¯®á।á⢥® ¯à®¢®¤ï äãªæ¨® «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥, ¨¬¥¥¬: R ; + i R dxJ' '(x) 1 Z = D' exp iS R D'eiS (2.97) i J(x)
R
;
R
1 2Z = D' exp iS R+ i dxJ' '(x)'(y) (2.98) i2 J(x)J(y) D'eiS ¨ â. ¤. ®« £ ï ¢ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨ïå J = 0 £¥¥à¨à㥬 ¢á¥ £à¨®¢áª¨¥ äãªæ¨¨ ⥮ਨ: R D' exp (iS) '(x)'(y) R D'eiS (2.99) < 0jT '(x)'(y)j0 >=
R D' exp (iS) '(x )'(x )'(x )'(x ) R D1'eiS 2 3 4 < 0jT '(x1)'(x2 )'(x3 )'(x4)j0 >=
(2.100)
¨ â. ¤. ¨¤¨¬, çâ® äãªæ¨¨ ਠ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© äãªæ¨® «ìë¥ \á।¨¥" ®â ¯à®¨§¢¥¤¥¨© ç¥â®£® ç¨á« ¯®«¥©, ¯à¨ç¥¬ \ãá।¥¨¥" ¯à®¢®¤¨âáï á \¢¥á®¬" eiS .
᫨ ¢ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨ïå § ¯¨á âì S = S0 + Sint ¨ ¯à®¢¥áâ¨ à §«®¦¥¨¥ íªá¯®¥â ¢ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ Sint , â.¥., ä ªâ¨ç¥áª¨ ¢ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饨© ¯® á⥯¥ï¬ ª®áâ âë ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, â® ¯®«ì§ãïáì ¤®ª § ®© ¢ëè¥ â¥®à¥¬®© ¨ª , ¬®¦® ¯®áâநâì ¤¨ £à ¬¬ãî â¥å¨ªã ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï «î¡ëå äãªæ¨© ਠ, à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ ¯®«ï, «®£¨ç® ⮬ã, ª ª íâ® ¤¥« «®áì ¢ ®¯¥à â®à®¬ ¯®¤å®¤¥. ®§¨ª î騥 ¯à¨ í⮬ \á।¨¥" ®â ¯ àëå ¯à®¨§¢¥¤¥¨© ¯®«¥© ¢ à §ëå â®çª å ¡ã¤ãâ \ãá।ïâìáï" c eiS0 . ⨠\á।¨¥" «¥£ª® ¢ëç¨á«ïîâáï (£ ãáá®¢ë ¨â¥£à «ë!) ¨, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ᢮¤ïâáï ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ᢮¡®¤ë¬ äãªæ¨ï¬ ਠ. ë, ®¤ ª®, ¯®©¤¥¬ ¥áª®«ìª® ¨ë¬, ¡®«¥¥ ä®à¬ «ìë¬, ¯ã⥬, ®á®¢ ë¬ à áᬮâ२¨ ®¡é¨å á®®â®è¥¨© ¤«ï ¯à®¨§¢®¤ï饣® äãªæ¨® « ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饩 ⥮ਨ (2.96). ¬¥â¨¬, çâ® 1 ei R dxJ' = '(x)ei R dxJ' (2.101) i J(x)
®áª®«ìªã J ¨ ' §¤¥áì ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ (äãªæ¨® «ìë¥) ¯¥à¥¬¥ë¥, «®£¨ç®¥ à ¢¥á⢮ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ ®â ': R R V 1i J(x) ei dxJ' = V ('(x)) ei dxJ' (2.102) çâ® «¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥âáï à §«®¦¥¨¥¬ V (') ¢ àï¤ í©«®à . ®£¤ ¨¬¥¥¬:
R
R
R
;1
R
e;i dxV (') ei dxJ' = e;i dxV i J (x) ei dxJ' (2.103) ®í⮬ã, ¨á¯®«ì§ãï ¢ ª ç¥á⢥ V (') « £à ¦¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï Lint('), ¬®¦® § ¯¨á âì ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ⥮ਨ á® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ¢ ¢¨¤¥: Z R 1 1 2 2 Z[J] = N D'ei dx[ 2 @'@ '; 2 (m ;i")' +Lint (')+J'] = =N
Z
D'ei
R dxLint(') iR dx[ 1 @'@';(m2;i")'2+J'] 2 e = R ; i dxLint 1 = Ne
i J (x)
Z0 [J]
(2.104)
43
:
¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï (2.20):
i Z Z Z[J] = N exp i dxLint 1i J(x) exp ; 2 dxdyJ(x)F (x ; y)J(y) (2.105) ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ã稫¨ ®¡é¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®¤ï饣® äãªæ¨® « ⥮ਨ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬, ª®â®à®¥ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ ® ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨.
¥®à¨ï '4 . â ª ¢¥à¥¬áï ª à áᬮâ२î ⥮ਨ á « £à ¦¨ ®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï: Lint = ; 4!g '4 ®à¬¨à®¢ ë© ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï í⮩ ⥮ਨ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
hR
i
R
(2.106)
exp i dz Lint 1i J(z) exp ; 2i dxdyJ(x)F (x ; y)J(y) i R Z[J] = n h R o exp i dz Lint 1i J(z) exp ; 2i dxdyJ(x)F (x ; y)J(y) jJ =0
(2.107) ¥®à¨ï ¢®§¬ã饨© áâநâáï à §«®¦¥¨¥¬ í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï ¢ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ ª®áâ âë á¢ï§¨ g. 믨襬 ¯¥à¢ë¥ ç«¥ë à §«®¦¥¨ï ¤«ï ç¨á«¨â¥«ï:
"
Z ig 1 ; 4! dz 1i J(z)
4
+ O(g2 )
#
iZ
exp ; 2
dxdyJ(x)F (x ; y)J(y)
¨ää¥à¥æ¨àãï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®«ãç ¥¬: 1 exp ; i Z dxdyJ(x) (x ; y)J(y) = F i J(z) 2 i Z Z = ; dxF (z ; x)J(x) exp ; 2 dxdyJ(x)F (x ; y)J(y)
(
= iF (0) +
Z
(2.108)
(2.109)
1 2 i Z exp ; dxdyJ(x) (x ; y)J(y) = F i J(z) ) 2 2 iZ
dxF (z ; x)J(x)
exp ; 2
dxdyJ(x)F (x ; y)J(y)
1 3 i Z i J(z) exp ; 2 dxdyJ(x)F (x ; y)J(y) =
(2.110)
44
:
¨á. 2-8
(
Z
= 3[;iF (0)] dxF (z ; x)J(x) ;
Z
Z
3)
dxF (z ; x)J(x)
exp ; 2i dxdyJ(x)F (x ; y)J(y)
(
= ;3[F (0)]2 + 6iF (0)
(2.111)
1 4 i Z i J(z) exp ; 2 dxdyJ(x)F (x ; y)J(y)) = Z 2 Z 4 dxF (z ; x)J(x) +
Z
dxF (z ; x)J(x)
exp ; 2i dxdyJ(x)F (x ; y)J(y)
(2.112)
⨬ ¢ëà ¦¥¨ï¬ ¬®¦® ᮯ®áâ ¢¨âì ¤¨ £à ¬¬ë. 㤥¬ ¨§®¡à ¦ âì äãªæ¨î F (x ; y) (¯à®¯ £ â®à) ᯫ®è®© «¨¨¥©, ᮥ¤¨ïî饩 â®çª¨ x ¨ y. ¥«¨ç¨ã F (0) = F (x ; x) ¡ã¤¥¬ ¨§®¡à ¦ âì § ¬ªã⮩ ¯¥â«¥©, á¢ï§ ®© á â®çª®© x. ®£¤ ¢ëà ¦¥¨¥ (2.112) £à ä¨ç¥áª¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï, ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.2-8. நá宦¤¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥â®¢ 3, 6, 1 ¬®¦® ¯®ïâì ¨§ á®®¡à ¦¥¨© ᨬ¬¥âਨ. ¯à¨¬¥à, ª®íää¨æ¨¥â 3 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â६ ᯮᮡ ¬ ᮥ¤¨¨âì ¤¢¥ ¯ àë «¨¨© ¢ ¤¨ £à ¬¬ã á ¤¢ã¬ï ¯¥â«ï¬¨. «®£¨ç®, ¢® ¢â®à®¬ á« £ ¥¬®¬ ¨¬¥¥âáï 6 ᯮᮡ®¢ ᮥ¤¨¨âì ¤¢¥ «¨¨¨, â ª çâ®¡ë ¯®«ã稫 áì ¨§®¡à ¦¥ ï ¨á.2-8 ¤¨ £à ¬¬ . ⨠ª®íää¨æ¨¥âë §ë¢ îâáï ä ªâ®à ¬¨ ᨬ¬¥âਨ, ¬ë ¥é¥ ®¡á㤨¬ ®¡é¨© «£®à¨â¬ ¨å ¯®«ãç¥¨ï ¨¦¥. ¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢ë© ç«¥ ¢ (2.112) ¨ ¨á.2-8 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⨯¨çë© ¢ ªãã¬ë© ¢ª« ¤ (£à 䨪) ¡¥§ ¢¥è¨å «¨¨©. áᬮâਬ ⥯¥àì § ¬¥ ⥫ì (2.107). «ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ¯à®áâ® ¯®«®¦¨âì J = 0 ¢ (2.112), çâ® ¨áª«îç ¥â ¢â®à®© ¨ âà¥â¨© ç«¥ë ¨á.2-8. ª¨¬ ®¡à §®¬, á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¯®à浪 g, ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à 䨪 ¬¨ ¨á.2-9, £¤¥ ¢â®à®¥ à ¢¥á⢮ ¯®«ã祮 à §«®¦¥¨¥¬ § ¬¥ ⥫ï á ⮩ ¦¥
:
45
¨á. 2-9
â®ç®áâìî. ਠí⮬ ¢ ªãã¬ë© £à 䨪 ¨§ § ¬¥ ⥫ï \¯®¤ï«áï ¢¥àå" ¨ ¢ â®ç®á⨠᮪à ⨫áï á ¢ ªãã¬ë¬ £à 䨪®¬ ç¨á«¨â¥«ï. í⮬ ¯à®ï¢«ï¥âáï 㦥 ¢áâà¥ç ¢è¥¥áï ¢ëè¥ ®¡é¥¥ ¯à ¢¨«® ᮪à é¥¨ï ¢ ªãã¬ëå £à 䨪®¢, ª®â®à®¥ ¢ë¯®«ï¥âáï ¨ ¤«ï ®à¬¨à®¢ ëå ¯à®¨§¢®¤ïé¨å äãªæ¨® «®¢ ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï.
2-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï.
¢ãåâ®ç¥ç ï äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: 2 (x1; x2) = J(x Z[J] jJ =0 (2.113) 1)J(x2 ) § ¨á.2-9 ïá®, çâ® ¢ª« ¤ ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£® äãªæ¨® « Z[J] ¢ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï (x1; x2) à ¢¥ ¯à®áâ® iF (x1 ; x2 ), â.¥. ᢮¡®¤®¬ã ¯à®¯ £ â®àã. ¨ £à ¬¬ ¨á.2-9 á ç¥âëàì¬ï \墮áâ ¬¨" ᮤ¥à¦¨â ç¥âëॠ¬®¦¨â¥«ï J ¨ ¥ ¤ ¥â (J = 0) ¢ª« ¤ ¢ 2-â®ç¥çãî äãªæ¨î. ª« ¤ ®â ¤¨ £à ¬¬ë á ¯¥â«¥© ¢ Z[J] à ¢¥: g (0) Z dxdy (z ; x)J(x) (z ; y)J(y) exp ; i Z J J (2.114) F F F 4 F 2 ¨ää¥à¥æ¨àãï íâ® ¢ëà ¦¥¨ï ¤¢ à § , ¯®«ãç ¥¬: 1 (:::) = ; ig (0)2 Z dydz (z ; x ) (z ; y)J(y) exp ; i Z J J + ::: F 1 F F i J(x1) 4 F 2 (2.115) 1 1 (:::) = ; g (0) Z dz (z ; x ) (z ; x ) exp ; i Z J J + ::: F 1 F 2 F i J(x2 ) i J(x1) 2 F 2 (2.116) £¤¥ ®¯ãé¥ë ç«¥ë, ®¡à é î騥áï ¢ ã«ì ¯à¨ J ! 0. ¨â®£¥, ¨¬¥¥¬: Z (x1 ; x2) = iF (x1 ; x2) ; 2g F (0) dzF (z ; x1)F (z ; x2 ) + O(g2 ) (2.117)
46
:
¨á. 2-10
çâ® ¨§®¡à ¦¥® ¤¨ £à ¬¬ ¬¨ ¨á.2-10 «ï ᢮¡®¤®© ç áâ¨æë ¨¬¥¥¬: Z d4k e;ikx (2.118) (x) = iF (x) = i (2) 4 k2 ; m2 + i" ¨ äãàì¥-®¡à § ᢮¡®¤®£® ¯à®¯ £ â®à ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨ k2 = m2 , çâ® ¤ ¥â ᯥªâà ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ç áâ¨æë. ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯à¨ «¨ç¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¬ áá ç áâ¨æë áâ ®¢¨âáï ®â«¨ç®© ®â m. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢â®à®© ç«¥ ¨á.2-10 ¬®¦® § ¯¨á âì ª ª: Z g ; 2 F (0) dzF (x1 ; z)F (x2 ; z) = Z 4pd4 qdz e;ip(x1 ;z) e;iq(x2 ;z) = ; g2 F (0) d (2) 8 p2 ; m2 + i" q2 ; m2 + i" =
Z d4pd4q e;ip(x1 ;x2) g = ; 2 F (0) (2)4 (p2 ; m2 + i")2 (p + q) = Z d4p e;ip(x1;x2) = ; g2 F (0) (2) 4 (p2 ; m2 + i")2 â ª çâ® (2.117) ᢮¤¨âáï ª: (x1 ; x2) = i
Z d4p e;ip(x1;x2) i F (0) (2)4 p2 ; m2 + i" 1 + 2 g p2 ; m2 + i"
(2.119)
(2.120)
ਠg 1 ç«¥ ¢ 䨣ãàëå ᪮¡ª å ¢ (2.120) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì (á ⮩ ¦¥ â®ç®áâìî) ª ª: g (0) ;1 F (2.121) 1 ; i 2 p2 ; m 2 + i"
®®â¢¥âá⢥®:
Z d4p (x1; x2) = i
e;ip(x1 ;x2 ) (2)4 p2 ; m2 ; 2i gF (0) + i"
(2.122)
¨¤¨¬, ç⮠⥯¥àì äãàì¥-®¡à § (x1; x2) ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨: (2.123) p2 = m2 + 2i gF (0) m2 + m2 = m2r £¤¥ m2 = ; 2i gF (0) (2.124) ¢¥«¨ç¨ mr ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© 䨧¨ç¥áªãî (¨«¨ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ãî) ¬ ááã ç áâ¨æë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¨§¬¥ï¥â ¬ ááã. ᮦ «¥¨î, ¢¥«¨ç¨
:
47
2 m ¡ëâì Rà ááç¨â , ä®à¬ «ì® ® ¡¥áª®¥ç , ¯®áª®«ìªã F (0) R d4 k ¥ R¬®¦¥â 3 dkk =k2 dkk, ¨ íâ®â ¨â¥£à « ª¢ ¤à â¨ç® à á室¨âáï ¢¥à奬 ¯à¥k2 ¤¥«¥. ⮠ᮢ ¯à¨¬¥à ⨯¨ç®© \ã«ìâà 䨮«¥â®¢®©" à á室¨¬®á⨠¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¨âã æ¨ï §¤¥áì â ª ï ¦¥, ª ª ¨ ¢ ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¥. ¨§¨ç¥áª ï ¯à¨ç¨ à á室¨¬®á⨠{ â®ç¥çë© å à ªâ¥à ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï («®ª «ì ï ⥮à¨ï ¯®«ï). ¬ ¥¨§¢¥áâ®, áãé¥áâ¢ã¥â { «¨ ª ª®© - ¨¡ã¤ì \ॠ«¨áâ¨ç¥áª¨©" ¬¥å ¨§¬ \®¡à¥§ ¨ï" â ª¨å à á室¨¬®á⥩. ¯à¨¬¥à, ¢ ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï, ¢ «®£¨çëå á¨âã æ¨ïå, ¢¥à娩 ¯à¥¤¥« ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ®¡ëç® 1=a, £¤¥ a { ¥ª®â®à ï \¬¨¨¬ «ì ï" ¤«¨ ¯®à浪 á।¥£® ¬¥¦ ⮬®£® à ááâ®ï¨ï ¨«¨ ¯®áâ®ï®© à¥è¥âª¨. «®£ â ª®© ¤«¨ë ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¥ ¨§¢¥áâ¥, ¡®«¥¥ ⮣®, ¥£® ¢¢¥¤¥¨¥ ( ¯à¨¬¥à ¯ã⥬ ¢¢¥¤¥¨ï à¥è¥â®ç®© áâàãªâãàë ¯à®áâà á⢠- ¢à¥¬¥¨ ¬ «ëå à ááâ®ï¨ïå)  àãè ¥â ५ï⨢¨áâáªãî ¨¢ ਠâ®áâì ⥮ਨ. ஡«¥¬ à¥è ¥âáï ¤«ï ¯¥à¥®à¬¨à㥬ëå ⥮਩, ª®£¤ 㤠¥âáï ¢á¥ â ª¨¥ à á室¨¬®á⨠\§ £ âì" ¢ ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯ à ¬¥â஢, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ¨§ íªá¯¥à¨¬¥â (¬ áá , ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨ â. ¯.). «ï ¯¥à¥®à¬¨à㥬®© ⥮ਨ g'4 ¬ë ¥é¥ ¢¥à¥¬áï ª ®¡á㦤¥¨î íâ¨å ¢®¯à®á®¢.
4-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï. ¬¥¥¬:
4 (x1 ; x2; x3; x4) = J(x )J(x Z[J] jJ =0 1 2 )J(x3 )J(x4) «¥ ¯®à浪 g0 ¡ë« à áᬮâॠ¢ëè¥, ¨§ (2.86) ¨¬¥¥¬:
(x1; x2; x3; x4) = F (x2 ; x3 )F (x1 ; x4 ) + +F (x2 ; x1)F (x3 ; x4) + F (x3 ; x1 )F (x2 ; x4)
(2.125)
(2.126)
çâ® ¯®ª § ® £à ä¨ç¥áª¨ ¨á.2-7 ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᢮¡®¤®¬ã à á¯à®áâà ¥¨î ¤¢ãå ç áâ¨æ ¡¥§ ¢á类£® à áá¥ï¨ï. áᬮâਬ ¢ª« ¤ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® g. § ¢¨¤ ¯à®¨§¢®¤ï饣® äãªæ¨® « , ¯à¨¢¥¤¥®£® ¨á.2-9, ïá®, çâ® ®¤¨ ¢ª« ¤ â ª®£® ⨯ , á¢ï§ ë© á ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬ ¯¥â«¥¢®£® £à 䨪 ¢ Z[J] ¨§®¡à ¦ ¥âáï ¨á.2-11 ¨ à ¢¥: g 4 4 J(x 1)J(x2 )J(x3 )J(x4) Z Z Z Z F (0) dx dy dzF (x ; z)F (y ; z)J(y)J(x) exp ; 2i JF J jJ =0 = Z = ; ig2 F (0) dz[F (z ; x1 )F (z ; x2)F (x3 ; x4) + +F (z ; x1 )F (z ; x3)F (x2 ; x4) + F (z ; x1 )F (z ; x4)F (x2 ; x3) + +F (z ; x2 )F (z ; x3)F (x1 ; x4) + F (z ; x2 )F (z ; x4)F (x1 ; x2) + +F (z ; x3)F (z ; x4 )F (x1 ; x2)] (2.127) çâ® £à ä¨ç¥áª¨ ¯®ª § ® ¤¨ £à ¬¬®© ¨á.2-12, § ¬¥ïî饩 è¥áâì á« £ ¥¬ëå ¤ ®£® ¢ëà ¦¥¨ï. à㣮© ¢ª« ¤ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® g ¯®«ãç ¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨-
48
:
¨á. 2-11
¨á. 2-12
஢ ¨¥¬ \ç¥âëà¥å墮á⮣®" £à 䨪 ¢ Z[J], çâ® ¤ ¥â: 4 ; ig 4! J(x1):::J(x4)
(Z
4
iZ
dxF (z ; x)J(x) exp ; 2
Z
JF J
)
jJ =0 =
= ;ig dzF (x1 ; z)F (x2 ; z)F (x3 ; z)F (x4 ; z) (2.128) çâ® £à ä¨ç¥áª¨ ¬®¦® ¨§®¡à §¨âì ¯à®áâ® â®çª®© á ç¥âëàì¬ï \墮áâ ¬¨", £¤¥ â®çª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â í«¥¬¥â àãî (\§ âà ¢®çãî") ¢¥àè¨ã ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®« ï 4-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï, á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¯®à浪 g, ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à 䨪 ¬¨ ¨á.2-13. ¤¥áì ¯¥à¢ë© ç«¥ ¯®à浪 g0, ª ª ¬ë 㦥 ®â¬¥ç «¨, ¥ ¤ ¥â ¢ª« ¤ ¢ à áá¥ï¨¥, ¢â®à®© ç«¥ ®¯¨áë¢ ¥â á ¬®¤¥©á⢨¥ ®¤®© ¨§ ç áâ¨æ, ᮡá⢥® à áá¥ï¨¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ⮫쪮 âà¥â쨬 á« £ ¥¬ë¬.
¨á. 2-13
:
49
¨á. 2-14
¨á. 2-15
¨á«¥ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¨á.2-13, ¨ ¢ ¤àã£¨å ¯®¤®¡ëå á«ãç ïå, ¬®¦® ¯®ïâì ¨§ ª®¬¡¨ â®àëå á®®¡à ¦¥¨©. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî ¤¨ £à ¬¬ã ¯®à浪 gn ¤«ï 4-â®ç¥ç®© äãªæ¨¨. ᮤ¥à¦¨â n ¢¥àè¨ { ¨á.2-14. 4-â®ç¥ç®© äãªæ¨¨ ¨¬¥¥âáï 4 ¢¥è¨å \墮áâ " { ¨á.2-15 (¯à¥¤¤¨ £à ¬¬ ). ¥¯¥àì 㦮 ¢á¥¬¨ ᯮᮡ ¬¨ ᮥ¤¨¨âì í⨠\墮áâë" á n ¢¥àè¨ ¬¨, ¯® ¯à ¢¨« ¬ á®áâ ¢«¥¨ï ¤¨ £à ¬¬. ¯à¨¬¥à, ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® g áãé¥áâ¢ã¥â âਠ⮯®«®£¨ç¥áª¨ à §«¨çëå ⨯ 䥩¬ ®¢áª¨å ¤¨ £à ¬¬, ¯®ª § ë¥ ¨á.2-16. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¤¨ £à ¬¬ã ¨á.2-16( ) 㦮 á ç « ᮥ¤¨¨âì x1 ¯à¥¤¤¨ £à ¬¬¥ ¨á.2-15 á ®¤¨¬ ¨§ ª®æ®¢ ¢¥àè¨ë. ãé¥áâ¢ã¥â 4 ᯮᮡ í⮠ᤥ« âì. ®á«¥ í⮣® ®áâ ¥âáï 3 ᯮᮡ ᮥ¤¨¨âì x2 á ®¤¨¬ ¨§ ®áâ ¢è¨åáï ª®æ®¢ ¨ â. ¤. ᥣ®, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥âáï 4! = 24 ᯮᮡ ¯®«ãç¨âì íâã ¤¨ £à ¬¬ã ¨§ ¯à¥¤¤¨ £à ¬¬ë, ®âáî¤ ¨ ¢®§¨ª ¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ª®íää¨æ¨¥â ¨á.2-13. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¤¨ £à ¬¬ã ¨á.2-16(¡), ᮥ¤¨¨¬ x1 ¥¯®á।á⢥® á ®¤¨¬ ¨§ ¢¥è¨å ª®æ®¢ x2 ; x3; x4, çâ® ¤ áâ ®¤ã «¨¨î. ãé¥áâ¢ã¥â 3 ᯮᮡ í⮠ᤥ« âì. «¥¥ ¢ë¡¥à¥¬ ®¤¨ ¨å ª®æ®¢ ¢¥àè¨ë ¨ ᮥ¤¨¨¬ ¥£® á ®¤®© ¨§ ¤¢ãå ®áâ ¢è¨åáï ¢¥è¨å â®ç¥ª. â® ¬®¦® ᤥ« âì 4 2 ᯮᮡ ¬¨. «¥¥ ᮥ¤¨¨¬ ®¤¨ ¨§ âà¥å ®áâ ¢è¨åáï ª®æ®¢ ¯ãªâ¨à®© ¢¥àè¨ë á ¯®á«¥¤¥© ®á⠢襩áï â®çª®©. «ï í⮣® ¨¬¥¥âáï 3 ᯮᮡ . ª®¥æ, ᮥ¤¨¨¬ ®á⠢訥áï ¤¢ ª®æ ¤àã£ á ¤à㣮¬. ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥âáï ªà â®áâì 3 4 2 3 = 12 6, çâ® ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª®íää¨æ¨¥âã ¯¥à¥¤ í⮩ ¤¨ £à ¬¬®© ¨á.2-13. ®ïâ®, çâ® ªà â®áâì ¤¨ £à ¬¬ë ¨á.2-16(¢) à ¢ 3 3 = 9, ® íâ (¢ ªã㬠ï) ¤¨ £à ¬¬ ¥ 䨣ãà¨àã¥â ¨á.2-13, ᮪à é ïáì á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¢ª« ¤®¬ ®â § ¬¥ â¥«ï ®à¬¨à®¢ ®£® äãªæ¨® « Z[J]. ¨â®£¥ ¬®¦¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騥 ¯à ¢¨« ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨ ¤«ï ⥮ਨ g'4 (¢ ª®®à¤¨ ⮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨): ¢®¡®¤®¬ã ¯à®¯ £ â®àã F (x ; y) ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ᯫ®è ï «¨¨ï, ᮥ¤¨ïîé ï â®çª¨ x ¨ y.
«¥¬¥â à ï ¢¥àè¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨§®¡à ¦ ¥âáï â®çª®©, ᮥ¤¨¥®© á
¨á. 2-16
50
:
ç¥âëàì¬ï ᯫ®è묨 «¨¨ï¬¨, ¥© ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬®¦¨â¥«ì ;ig, ¯® ª®®à¤¨ â ¬ ¢¥àè¨ ¢¥¤¥âáï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥. ¦¤ ï ¤¨ £à ¬¬ 㬮¦ ¥âáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ä ªâ®à ᨬ¬¥âਨ S=4!, £¤¥ S { ç¨á«® ᯮᮡ®¢ ¯®áâநâì ¤ ãî ¤¨ £à ¬¬ã ¨§ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯à¥¤¤¨ £à ¬¬ë.
ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï á¢ï§ëå ¤¨ £à ¬¬. ®¦® ¢¢¥á⨠¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « W[J], ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤ï騬 äãªæ¨® «®¬ ⮫쪮 ¤«ï á¢ï§ëå ¤¨ £à ¬¬ ¥©¬ , â.¥. ¤«ï ¤¨ £à ¬¬ ¥ à ᯠ¤ îé¨åáï ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¡«®ª¨6. ¢ï§ë¥ ¤¨ £à ¬¬ë ¢ ¦ë, ¯®áª®«ìªã ⮫쪮 ®¨ ¤ îâ ¢ª« ¤ ¢ ¥âਢ¨ «ìãî ç áâì S-¬ âà¨æë (à áá¥ï¨¥). ãªæ¨® « W [J] ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: W [J] = ;i ln Z[J] (2.129) â ª çâ® Z[J] = exp (iW[J]) (2.130) ®ª ¦¥¬, ¯à¨¬¥à¥ 2-â®ç¥ç®© ¨ 4-â®ç¥ç®© äãªæ¨©, çâ® W [J] ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® \£¥¥à¨àã¥â" ⮫쪮 á¢ï§ë¥ ¤¨ £à ¬¬ë. ¬¥¥¬: 2W i Z Z ; i 2Z = (2.131) 2 J(x1 )J(x2) Z J(x1) J(x2 ) Z J(x1 )J(x2) ਠJ = 0 ¨¬¥¥¬: Z[J] (2.132) J(x) jJ =0 = 0 Z[0] = 1 â ª çâ® ¯®«ãç ¥¬: 2W 2Z j (2.133) J =0 = ;i J(x1)J(x2 ) J(x1 )J(x2 ) jJ =0 = ;i (x1 ; x2) ¨¤¨¬, çâ® W ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯à®¯ £ â®à ¢® ¢á¥å ¯®à浪 å ¯® g. ¥à¥©¤¥¬ ª 4-â®ç¥ç®© äãªæ¨¨. த¨ää¥à¥æ¨à㥬 (2.131) ¥é¥ ¤¢ à § ¨ ¯®«®¦¨¬ J = 0. ®£¤ ¨¬¥¥¬: 4W J(x1)J(x2 )J(x3 )J(x4) = 1 2Z 2Z 1 2Z 2Z = i Z 2 J(x)J(x + + 1 2 ) J(x3 )J(x4) Z 2 J(x1)J(x3 ) J(x2 )J(x4) 2Z 2Z 1 4Z + Z12 J(x)J(x ; jJ =0 = 1 4 ) J(x2 )J(x3) Z 2 J(x1 )J(x2)J(x3 )J(x4 ) = i[ (x1; x2) (x3; x4) + (x1; x3) (x2; x4) + (x1; x4) (x2 ; x3) ; (x1 ; x2; x3; x4)] (2.134) 6 ਬ¥à
¥á¢ï§®© ¤¨ £à ¬¬ë ¯®ª § ¨á.2-16(¡).
:
51
¨á. 2-17
¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¥ ᮤ¥à¦¨â ¥á¢ï§ëå ¤¨ £à ¬¬. ®¤áâ ¢«ïï (2.117) ¨ ¢ëà ¦¥¨ï á ¨á.2.128 ¢ (2.134), á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¯®à浪 g ¨¬¥¥¬ ¨á.2-17. ¨¤¨¬, çâ® ¢ª« ¤ ¢ íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤ îâ ⮫쪮 á¢ï§ë¥ ¤¨ £à ¬¬ë. áᬮâਬ ⥯¥àì ªà ⪮ n-â®ç¥ç¥ãî äãªæ¨î: n Z[J] jJ =0 (x1; :::; xn) = i1n J(x ):::J(x 1 n)
(2.135)
¥¯à¨¢®¤¨¬ ï (á¢ï§ ï) n-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï '(x1; :::; xn) ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ ª ª: n W[J] '(x1; :::; xn) = i1n J(x ):::J(x (2.136) ) jJ =0 1
n
á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ ¨á.2-13 ¨ (2.135) á«¥¤ãîâ ¢ëà ¦¥¨ï, ¯®ª § ë¥ ¨á.2-18. § (2.134) á«¥¤ã¥â:
52
:
¨á. 2-18
¨á. 2-19
i'(x1; :::; x4) = (x1; :::; x4) ; (x1; x2) (x3; x4) ; (x1 ; x3) (x2; x4) ; (x1 ; x4) (x2; x3) (2.137) ®áª®«ìªã (x1; x2) = i'(x1 ; x2), ¨¬¥¥¬: X (x1; :::; x4) = i'(x1 ; :::; x4) ; '(xi1; xi2)'(xi3; xi4) (2.138) p
£¤¥ á㬬 ¨¤¥â ¯® ¢á¥¬ ¢®§¬®¦ë¬ à §¡¨¥¨ï¬ ¨¤¥ªá®¢ (1; :::; 4) ¯ àë (i1; i2); (i3; i4). ª¨¬ ®¡à §®¬, 4-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï à ᯠ¤ ¥âáï \¥¯à¨¢®¤¨¬ãî" (¨«¨ \á¢ï§ãî") ç áâì ¨ ¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ç áâ¨, ª ª ¯®ª § ® ¨á.2-19. ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® g ¨¬¥¥¬ £à 䨪¨, ¯®ª § ë¥ ¨á.2-20. á«ãç ¥ n-â®ç¥çëå äãªæ¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¡®¡é¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¯®ª § ë© ¨á.2-21.
¯¥à â®à ᮡá⢥®© í¥à£¨¨ ¨ ¢¥àè¨ë¥ äãªæ¨¨. த®«¦¨¬ ®¡á㦤¥¨¥ ®¡é¥© áâàãªâãàë ãà ¢¥¨© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ äãªæ¨® «ì®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥, ®£à ¨ç¨¢ ïáì, ¢ ®á®¢®¬, ⥮ਥ© g'4 . ï ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « Z[J], ¬®¦¥¬ ©â¨ n-â®ç¥çë¥ äãªæ¨¨ (x1; :::; xn) (äãªæ¨¨ ਠGn(x1 ; :::; xn)): n Z[J] (x1 ; :::; xn) = G( n)(x1; :::; xn) = i1n J(x ):::J(x jJ =0 (2.139) 1 n) ⨠äãªæ¨¨ ᮤ¥à¦ â ª ª á¢ï§ë¥ (¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥), â ª ¨ ¥á¢ï§ë¥ (¯à¨¢®¤¨¬ë¥) ç áâ¨, ª ª íâ® ¯®ª § ®, ¯à¨¬¥à, ¤«ï G(4) ¨á.2-22. à®æ¥ááë à áá¥ï¨ï ®¯à¥-
¨á. 2-20
:
53
¨á. 2-21
¨á. 2-22
¤¥«ïîâáï ⮫쪮 á¢ï§ë¬¨ ¤¨ £à ¬¬ ¬¨, ª®â®àë¥ £¥¥à¨àãîâáï äãªæ¨® «®¬ W = ;i ln Z, â ª çâ® á¢ï§ë¥ äãªæ¨¨ ਠ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ª: n W[J] '(x1; :::; xn) = G(cn)(x1; :::; xn) = in1;1 J(x ):::J(x jJ =0 (2.140) 1 n) ®£¤ ¨§ ¢á¥å £à 䨪®¢, ¯®ª § ëå ¨á.2-22, ®áâ ¥âáï ⮫쪮 âà¥â¨©, ª®â®àë© ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â G(4) c ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® g. ¢ï§ ï 2-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï ਠ, á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ g3 , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £à 䨪 ¬¨, ¯®ª § 묨 ¨á.2-23. ®« ï á㬬 â ª¨å ¤¨ £à ¬¬ ¤ ¥â \®¤¥âë©" ¯à®¯ £ â®à G(2) c (x; y), ª®â®àë© ®¡ëç® ¨§®¡à ¦ îâ \¦¨à®©" «¨¨¥©. ®¦® ¯à®¢¥á⨠®¡ëçãî ¯à®æ¥¤ãà㠢뤥«¥¨ï ®¤®ç áâ¨ç® ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå (1) ¤¨ £à ¬¬ (¥à §à¥§ ¥¬ëå ¯® «¨¨¨ ®¤®© ç áâ¨æë), ¨ ¢¢¥á⨠¨å á㬬ã, ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.2-24. â á㬬 ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥¯à¨¢®¤¨¬ãî ᮡá⢥® { í¥à£¥â¨ç¥áªãî ç áâì. ®«ë© (®¤¥âë©) ¯à®¯ £ â®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮣¤ ãà ¢¥¨¥¬ ©á® : 1 1 1 G(2) c (p) = G0(p) + G0(p) i (p)G0 (p) + G0(p) i (p)G0(p) i (p)G0(p) + ::: = 1 1 1 = G0 1 + i G0 + i G0 i G0 + ::: =
¨á. 2-23
54
:
¨á. 2-24
¨á. 2-25
¨«¨ £¤¥ ã竨, çâ®
;1 ;1 = G0 1 ; 1i G0 = G;0 1(p) ; 1i (p) (2.141) i G(2) c (p) = p2 ; m2 ; (p)
(2.142)
G0(p) = p2 ;i m2
(2.143)
¤¨ £à ¬¬®¬ ¢¨¤¥ ãà ¢¥¨¥ ©á® ¯®ª § ® ¨á.2-25. ¯à¥¤¥«ïï 䨧¨ç¥áªãî ¬ ááã ç áâ¨æë mphys ¯®«îᮬ ¯®«®£® ¯à®¯ £ â®à 7 : i G(2) (2.144) c = p2 ; m2 phys ¯®«ãç ¥¬: m2phys = m2 + (p2 = m2phys ) (2.145) § (2.141) ¨¬¥¥¬: 1 ;1 ;1 [G(2) (2.146) c (p)] = G0 (p) ; i (p)
â ª çâ® ¢¥«¨ç¨ , ®¡à â ï 2-â®ç¥ç®© äãªæ¨¨, ᮤ¥à¦¨â ªà®¬¥ ®¡à ⮣® \£®«®£®" ¯à®¯ £ â®à ⮫쪮 1-¤¨ £à ¬¬ë. ®¦® ä®à¬ «ì® ®¯à¥¤¥«¨âì 2â®ç¥çãî ¢¥àè¨ãî äãªæ¨î ;(2) (p) á®®â®è¥¨¥¬: (2) G(2) c (p); (p) = i
(2.147)
7 ¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà ᢮¡®¤® à á¯à®áâà ïî饩áï \®¤¥â®©" ç áâ¨æë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ p2 = m2phys.
:
55
çâ®, ᮣ« á® (2.146), ᢮¤¨âáï ª: ;(2)(p) = p2 ; m2 ; (p)
(2.148)
ªâ¨ç¥áª¨, ¥âਢ¨ «ì ï ç áâì í⮩ ¢¥«¨ç¨ë ᢮¤¨âáï ¯à®áâ® ª (p), ® â ª®¥ ®¡®§ 票¥ 㤮¡® ¢ à ¬ª å ¥ª®â®à®© ¥¤¨®© ®¬¥ª« âãàë, ¢¢®¤ï饩 ®¡é¥¥ ¯®ï⨥ ¢¥àè¨ëå äãªæ¨©8 . ®¦® ¢¢¥á⨠¯®ï⨥ ¯à®¨§¢®¤ï饣® äãªæ¨® « ¤«ï n-â®ç¥çëå 1¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¢¥àè¨ ;n . ®¡®§ ç ¥âáï ;['] ¨ §ë¢ ¥âáï â ª¦¥ íää¥ªâ¨¢ë¬ ¤¥©á⢨¥¬. ¯à¥¤¥«ï¥âáï íâ®â äãªæ¨® « á ¯®¬®éìî â ª §ë¢ ¥¬®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥¦ ¤à äãªæ¨® « W [J]:
Z
W[J] = ;['] + dxJ(x)'(x) âáî¤ áà §ã ¦¥ á«¥¤ã¥â: W[J] = '(x) J(x) ®£¤ ¤«ï ¯à®¯ £ â®à ¯®«ãç ¥¬:
(2.149)
;['] '(x) = ;J(x)
(2.150)
2W [J] = ; '(x) G(x; y) = ; J(x)J(y) J(y)
(2.151)
¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¢¥«¨ç¨ã ;(x; y) ª ª: 2;['] = ; J(x) ;(x; y) = '(x)'(y) '(y) â ¢¥«¨ç¨ ï¥âáï ®¡à ⮩ ª ¯à®¯ £ â®àã:
Z
(2.152)
Z
2 W [J] 2;['] = dxG(x; z);(z; y) = ; dz J(x)J(z) '(z)'(y) Z '(x) J(z) '(x) = dz J(z) '(y) = '(y) = (x ; y)
(2.153)
த¨ää¥à¥æ¨à㥬 ®¡¥ ç á⨠(2.153) ¯® J (x00 ), § ¬¥¨¢ y z, ¨ á ãç¥â®¬ á®®â®è¥¨ï: Z Z = dz00 '(z00 ) = ; dz00 G(x00 ; z) (2.154) J (x00 ) J (x00 ) '(z00 ) '(z00 ) ®£¤ ¯®«ã稬: Z 3 2 ; ; dz J (x)J (W 00 x )J (z) '(z)'(z0 ) Z Z 2 3 ; 00 00 ; dz dz00 J (x)W (2.155) J (z) G(x ; z ) '(z)'(z0 )'(z00 ) = 0 8 ¤®¡® ¨áª«îç¨âì ¬¨¬ãî ¥¤¨¨æã ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï G(2) c (p), â ª çâ®¡ë ¯à ¢ ï ç áâì (2.147) à ¢ï« áì ¯à®áâ® 1. ®®â¢¥âá⢥® ¨ ¢ ãà ¢¥¨¨ ©á® 1i ! . ª¨¥ ®¡®§ 票ï ç é¥ ¢á¥£® ¨ ¢áâà¥ç îâáï ¢ «¨â¥à âãà¥.
56
:
¨á. 2-26
¨á. 2-27
â ª çâ®:
Z +
Z
3 0 dz J (x)J (W x00)J (z) ;(z; z ) +
3 dzdz00 G(x;z)G(x00 ; z00 ) '(z)'(z;0 )'(z00 )
(2.156)
¬®¦ ï ®¡¥ ç á⨠¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠G(x0 ; z0 ) ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯® z0 , á ãç¥â®¬ (2.153), ¯®«ãç ¥¬: Z 3 W 3 ; 0 dz00 G(x;z)G(x0 ; z0 )G(x00 ; z00 ) = ; dzdz (2.157) J (x)J (x0 )J (x00 ) '(z)'(z0 )'(z00 ) ª¨¬ ®¡à §®¬, á¢ï§ ï 3-â®ç¥ç ï äãªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© 1-¥¯à¨¢®¤¨¬ãî 3-â®ç¥çãî ¢¥àè¨ãî äãªæ¨î, ã ª®â®à®© ¢¥è¨¬¨ «¨¨ï¬¨ ïîâáï â®çë¥ ¯à®¯ £ â®àë. ®®â¢¥âá⢥®, ¢¥«¨ç¨ '(z)'(3z;0 )'(z00 ) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«ãî âனãî ¢¥àè¨ã. à ä¨ç¥áª¨ ¢á¥ íâ® ¨§®¡à ¦¥® ¨á.2-26. à ¢¥¨¥ (2.157) ¬®¦® ®¡à â¨âì á ¯®¬®éìî (2.153), â ª çâ®: Z 3 3 ; = ; dxdx0 dx00 ;(x;y);(x0 ; y0 );(x00; y00 ) J (x)J(xW0)J (x00 ) (2.158) '(y)'(y0 )'(y00 ) ¯à ¢®© ç á⨠¯à®¨á室¨â \®¡àã¡ ¨¥" ¢¥è¨å \墮á⮢" ã (2.157). ¨ää¥à¥æ¨àãï (2.157) ¥é¥ à §, ¯®«ãç ¥¬ 4-â®ç¥çãî äãªæ¨î, ¯à¥¤áâ ¢«¥ãî £à 䨪 ¬¨ ¨á.2-27, £¤¥ ¢®§¨ª îâ \ç¥âëà¥å墮áâ ï" ¥¯à¨¢®¤¨¬ àè¨ ¨ âਠ®¤®ç áâ¨ç® ¯à¨¢®¤¨¬ëå ¢ª« ¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â६ ªà®áá-ª « ¬ à áá¥ï¨ï.
¥à¬®¤¨ ¬¨ç¥áª ï «®£¨ï.
ãé¥áâ¢ã¥â £«ã¡®ª ï «®£¨ï ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨, ª®â®à ï ¢ëà ¦ ¥âáï á«¥¤ãî饩 â ¡«¨æ¥©.
:
57
¢ ⮢ ï ⥮à¨ï ¯®«ï â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª Z - ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « Z - áâ â¨áâ¨ç¥áª ï á㬬 F iW ; T Z=e R Z=e W [J] = ;['] + J' F { ᢮¡®¤ ï í¥à£¨ï á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥ ¬ë à áᬮâਬ ª®ªà¥âë© ¯à¨¬¥à ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¬¥â®¤®¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ¯à¨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤ å II த .
¥®à¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨©. ⢫¥ç¥¬áï ª®à®âª®¥ ¢à¥¬ï ®â § ¤ ç ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¨ à áᬮâਬ ®¤¨ ¨§ á ¬ëå ïàª¨å ¯à¨¬¥à®¢ ¯à¨¬¥¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬¥â®¤®¢ ¢ § ¤ ç å áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ¥çì ¯®©¤¥â ® ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨ïå ¢¡«¨§¨ â®çª¨ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ II த . ⠯஡«¥¬ ¢ â¥ç¥¨¥ ¤«¨â¥«ì®£® ¢à¥¬¥¨ ¥ ¯®¤¤ ¢ « áì à¥è¥¨î. ãâì ¥¥ ¨§¢¥áâ { ¢ ¤®áâ â®ç® 㧪®© (ªà¨â¨ç¥áª®©) ®¡« á⨠⥬¯¥à âãà ¢¡«¨§¨ ⥬¯¥à âãàë ¯¥à¥å®¤ Tc ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë, ®¯¨áë¢ î騥 ®á®¡¥®á⨠䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ â®çª¥ ¯¥à¥å®¤ ¥ ®¯¨áë¢ îâáï ®¡é¥© ⥮ਥ© ¤ ã [35]. à¨ç¨ í⮣® â ª¦¥ å®à®è® ¨§¢¥áâ { ¢¡«¨§¨ â®çª¨ ¯¥à¥å®¤ ¢ á¨á⥬¥ à §¢¨¢ îâáï ¬®éë¥ ä«ãªâã 樨 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 , ª®â®àë¥ á¨«ì® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ¬¥¦¤ã ᮡ®© [14, 35]. ãé¥áâ¢¥ë© ¯à®£à¥áá ⥮ਨ ¡ë« á¢ï§ á ¢®§¨ª®¢¥¨¥¬ ¢ ¦®© ª®æ¥¯æ¨¨ ¬ áèâ ¡®© ¨¢ ਠâ®á⨠¨«¨ áªí©«¨£ [14, 39]. ¤ ª® ®¡®á®¢ ¨¥ í⮩ ª®æ¥¯æ¨¨ ¨ à áç¥â ¢¥«¨ç¨ë ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ ¯®âॡ®¢ «¨ à §¢¨â¨ï ¬¥â®¤®¢, 楫¨ª®¬ ®á®¢ ëå ¯¯ à ⥠ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï, çâ® ¨ ¯à¨¢¥«® ª ᮧ¤ ¨î ᮢ६¥®© ä«ãªâã 樮®© ⥮ਨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ [14, 15, 39]. ®áâ â®ç® ¯®¤à®¡®¥ ¨§«®¦¥¨¥ í⮩ ⥮ਨ ¯®âॡ®¢ «® ¡ë ®â¤¥«ì®£® ªãàá «¥ªæ¨©. ¤¥áì ¬ë ¤ ¤¨¬ ¯à¥¤¥«ì® ᦠ⮥ ¨§«®¦¥¨¥ «¨èì ®á®¢ëå ¨¤¥© ¨ àï¤ à¥§ã«ìâ ⮢, å®à®è® ¨««îáâà¨àãîé¨å ¥ à § 㯮¬¨ ¢èãîáï £«ã¡®ªãî «®£¨î § ¤ ç ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ਠí⮬ ¡ã¤ãâ ®¯ã᪠âìáï ¬®£¨¥ áãé¥áâ¢¥ë¥ ¤¥â «¨ ¢ëç¨á«¥¨©. ¯¨è¥¬ äãªæ¨® « ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ⥮ਨ ¤ ã ¢ áâ ¤ à⮬ ¢¨¤¥ [14, 15, 39]9:
8 0 n 129 > > n < 1 F [ (r)] = dd r 1 X (r )2 + 2 + 1 g @X 2A = j > T 8 j =1 j > : 2 j=1 j ; Z
(2.159)
£¤¥ T { ⥬¯¥à âãà , ¯ à ¬¥âà = T ;TcTc § ¤ ¥â ¡«¨§®áâì á¨áâ¥¬ë ª â®çª¥ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ . ë ®£à ¨ç¨¬áï à áᬮâ२¥¬ ⮫쪮 ®¡« á⨠⥬¯¥à âãà T > Tc (ᨬ¬¥âà¨ç ï ä § ). à ¬¥âà ¯®à浪 j ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© n-ª®¬¯®¥âë© ¢¥ªâ®à ¢ ¥ª®â®à®¬ \¨§®â®¯¨ç¥áª®¬" ¯à®áâà á⢥ á à §¬¥à®áâìî n. ëà ¦¥¨¥ (2.159) ï¥âáï ¢¥áì¬ ®¡é¨¬. ªâ¨ç¥áª¨ à¥çì ¨¤¥â ® O(n)-ᨬ¬¥âà¨ç®© (¨§®âய®©) ¬®¤¥«¨ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ , ®¯¨áë¢ î饩 æ¥«ë© àï¤ à¥ «ìëå á¨á⥬. «ãç © n = 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬®¤¥«¨ §¨£ , n = 2 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â XY -¬®¤¥«¨ 9 à §ã ¢¥¤¥¬ à áᬮâ२¥ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¯à®¨§¢®«ì® à §¬¥à®á⨠d, ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã áãé¥á⢥ãî § ¢¨á¨¬®áâì ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ®â à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠[35, 14].
58
:
(ᢥàå⥪ãç¥áâì, ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâì), n = 3 ®¯¨áë¢ ¥â ¨§®âà®¯ë© £¥©§¥¡¥à£®¢áª¨© ä¥à஬ £¥â¨ª ¨ â. ¤. [14, 39]. à ¬ª å ⥮ਨ ¤ ã, ¯à¥¥¡à¥£ î饩 ä«ãªâã æ¨ï¬¨ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 (⥮à¨ï á ¬®á®£« ᮢ ®£® ¨«¨ \¬®«¥ªã«ïண®" ¯®«ï), ¢¥«¨ç¨ = 0 ¯à¨ T > Tc [35]. ¤ ª® ¨ ¯à¨ T > Tc ¢ á¨á⥬¥ ¬®£ãâ ä«ãªâã 樮® ¢®§¨ª âì ®¡« á⨠á (r) 6= 0. ¥à®ïâ®áâì â ª¨å ä«ãªâã 権 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï [14, 35] ª ª: P [ (r)] = Z1 exp ; T1 F[ (r)] (2.160) £¤¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª ï á㬬 Z ®¯à¥¤¥«ï¥âáï äãªæ¨® «ìë¬ ¨â¥£à «®¬: 1 Z Z = D (r) exp ; T F[ (r)] (2.161) ¢®¡®¤ ï í¥à£¨ï á¨áâ¥¬ë ¢ 楫®¬ ¯à¨ í⮬ à ¢ : F = ;T lnZ
(2.162)
®à५ï樮 ï äãªæ¨ï ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: Z Gjl (r; r0) = Z ;1 D (r) j (r) l (r0) exp ; T1 F[ (r)] < j (r) l (r0 ) > (2.163) «®£¨ï á à áᬮâ२¥¬ ¯à¥¤ë¤ãé¨å à §¤¥«®¢ ®ç¥¢¨¤ { ⥮à¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© íª¢¨¢ «¥â ¥¢ª«¨¤®¢®© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ n-ª®¬¯®¥â®£® ᪠«ïண® ¯®«ï ¢ d-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. ëà ¦¥¨¥ (2.163) ï¥âáï ¯à®áâ® ¯à®¯ £ â®à®¬ (äãªæ¨© ਠ, 2-â®ç¥ç®© äãªæ¨¥©) â ª®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¯à®á⥩襬 ¢ ਠ⥠£ ãáᮢ®© ¬®¤¥«¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ¬ë 㦥 áâ «ª¨¢ «¨áì á â ª®© ⥮ਥ© ¢ á¢ï§¨ á (2.28). ¥®à¨ï ¢®§¬ã饨© ¯® ª®áâ ⥠¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ä«ãªâã 権 g áâநâáï ¢¯®«¥ «®£¨ç® ⮬ã, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« ® ¢ëè¥ ¤«ï ⥮ਨ g'4 á ®¤®ª®¬¯®¥âë¬ áª «ïàë¬ ¯®«¥¬. ¢®¡®¤ ï äãªæ¨ï ਠᮢ¯ ¤ ¥â á ª®à५ïâ®à®¬ àè⥩ { ¥à¨ª¥ (áà.(2.27)): G0jl = p2+jl (2.164) ®à५ï樮 ï äãªæ¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä«ãªâã 権 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ©á® : G;1(p) = G;0 1 (p) ; (p) (2.165) £¤¥ ᮡá⢥® { í¥à£¥â¨ç¥áª ï ç áâì (p) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï £à 䨪 ¬¨ ¨á.2-28. ¥àè¨ ï ç áâì (¯®« ï \ç¥âëà¥å墮á⪠") ®¯à¥¤¥«ï¥â 4-â®ç¥çë© ª®à५ïâ®à < i (r1) j (r2) l (r3) m (r4) > ¨ â. ¤. ¥âਢ¨ «ì ï 䨧¨ª ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© á¢ï§ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ ä«ãªâã 権. áᬮâਬ ¯¥à¢ë¥ ¯®¯à ¢ª¨ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ª \§ âà ¢®ç®¬ã" ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¬ã ª®áâ ⮩ g. ¨á.2-29 ¨§®¡à ¦¥ë £à 䨪¨ g2, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â६ ªà®áá { ª « ¬ ¤¢ãåç áâ¨ç®£® à áá¥ï¨ï, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ â६ï á㬬 à묨 ¨¬¯ã«ìá ¬¨10: 10 â५ª¨ «¨¨ïå ®¯à¥¤¥«ïîâ ¯à ¢«¥¨ï ¢å®¤ïé¨å ¨
¢ë室ïé¨å ¨¬¯ã«ìᮢ.
:
59
¨á. 2-28
¨á. 2-29
1. p1 + p2 2. p1 ; p3 3. p1 ; p4
áâ¥á⢥®, ¨¬¥¥âáï ®¡é¨© § ª® á®åà ¥¨ï: p1 + p2 = p3 + p4 (2.166) § ¤ ç¥ á n-ª®¬¯®¥âë¬ ¯®«¥¬ 㤮¡® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ᨬ¬¥âਧ®¢ ®© (¯® \¨§®â®¯¨ç¥áª¨¬" ¨¤¥ªá ¬) § ¯¨áìî \§ âà ¢®ç®£®" ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï: = g(ij kl + ik jl + il jk ) gIijkl (2.167) ®£¤ ç«¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ (2.159) Iijkl i j k l , £¤¥ ¯® ¯®¢â®àïî騬áï ¨¤¥ªá ¬ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï á㬬¨à®¢ ¨¥ ®â 1 ¤® n. «ï 宦¤¥¨ï ¯®«®© ¢¥àè¨ë ¤¢ãåç áâ¨ç®£® à áá¥ï¨ï 㦮 ¯à®á㬬¨à®¢ âì ¢á¥ £à 䨪¨ ⨯ ¯®ª § ëå ¨á.2-30.
áâ¥á⢥®, çâ® ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ íâ § ¤ ç ¥ à¥è ¥âáï. ¤ ª®, ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¥ª®â®àãî ⮯®«®£¨ç¥áªãî ª« áá¨ä¨ª æ¨î ¤¨ £à ¬¬, ª®â®à ï ¯®§¢®«ï¥â áä®à¬ã«¨à®¢ âì ®¡éãî á¨á⥬ã, â ª §ë¢ ¥¬ëå \¯ થâëå", ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®«ãî ¢¥àè¨ã ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï11. á®, çâ® ¯®«ãî ¢¥àè¨ã ; ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥: ; = R + ;1 + ;2 + ;3 (2.168) £¤¥ ¡«®ª¨ ;1; ;2; ;3 ¯®áâà®¥ë ¨§ ¤¨ £à ¬¬, ª®â®àë¥ ¬®¦® à §à¥§ âì ¯® ¤¢ã¬ «¨¨ï¬ ¢ ª « å 1,2,3, ¡«®ª R á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¤¨ £à ¬¬, ª®â®àë¥ ¥«ì§ï à §à¥§ âì ¨ ¯® ®¤®¬ã ¨§ íâ¨å ª «®¢. ®£¤ ¤«ï ¡«®ª®¢ ;1; ;2; ;3 ¬®¦® á®áâ ¢¨âì £à ä¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï, ¯®ª § ë¥ ¨á.2-31. íâ¨å ãà ¢¥¨ïå ¢ë¤¥«¥ë ¡«®ª¨: Ii = R +
X j 6=i
;j
(2.169)
¥à §à¥§ ¥¬ë¥ ¯® ¤¢ã¬ «¨¨ï¬ ¢ ª «¥ i. âàãªâãà ¤¨ £à ¬¬, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¡«®ª R ïá ¨§ ¤¨ £à ¬¬, ¯®ª § ëå ¨á.2-32. 11 ..ïâ«®¢, ..㤠ª®¢, ..¥à-
àâ¨à®áï. 32, 767 (1957).
60
:
¨á. 2-30
¨á. 2-31
¨á. 2-32
:
61
®«ãç¥ ï á¨á⥬ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ®ç¥ì á«®¦ . ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ áãé¥áâ¢ã¥â á¨âã æ¨ï, ª®£¤ ® à¥è ¥âáï ¤®áâ â®ç® ¯à®áâ®. ¥çì ¨¤¥â ® â ª §ë¢ ¥¬®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ \£« ¢ëå «®£ à¨ä¬®¢". â®¡ë ¯®ïâì ®á®¢ãî ¨¤¥î, ®æ¥¨¬ ¢¥«¨ç¨ã ¤¨ £à ¬¬ë 1 ¨á.2-2912. «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥ íâ®â £à 䨪 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥£à «®¬: Z ddp 1 2 (2.170) g (n + 8) (2)d p2 + (p + k)1 2 + நá宦¤¥¨¥ ¬®¦¨â¥«ï n + 8 á¢ï§ ® á ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¤¢ãå ä ªâ®à®¢ (2.167), áâ®ïé¨å ¢ ¢¥àè¨ å: IijmnImnkl + Iikmn Imnjl + Iilmn Imnjk = (n + 8)(ij kl + ik jl + il jk ) (2.171) áᬮâਬ ⥯¥àì èã ⥮à¨î ¢ ç¥âëà¥x¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ d = 4. ®£¤ ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãîéãî ®æ¥ªã ¨â¥£à « : Z Z dpp3 Z dp ln p d4 p p2 1+ (p + k)1 2 + p 4 p p p Max(k; ) Max(k; ) Max(k; ) (2.172) £¤¥ ¢¢¥«¨ ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï 1a . ¤¥áì, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï, ¥â ¯à®¡«¥¬ á «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© à á室¨¬®áâìî ¢¥à奬 ¯à¥¤¥«¥ { à §«®¦¥¨¥ ¤ ã (2.159) ¯à¨¬¥¨¬® ⮫쪮 ¬ áèâ ¡ å ¤«¨ë, áãé¥á⢥® ¯à¥¢ëè îé¨å ¬¥¦ ⮬®¥ à ááâ®ï¨¥, ä«ãªâã 権 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 á ¬¥ì訬¨ ¤«¨ ¬¨ ¢®« ¯à®áâ® ¥â. ¥«¨ç¨ a ¨£à ¥â ஫ì \¬¨¨¬ «ì®© ¤«¨ë", ®âáãâáâ¢ãî饩 ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ä ªâ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© à á室¨¬®á⨠(2.172) ®ç¥ì ¢ ¦¥. â®â «®£ à¨ä¬ ¢¥«¨ª ¢ ¨â¥à¥áãî饩 p á ®¡« á⨠¯ à ¬¥â஢, ¢¡«¨§¨ â®çª¨ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ , ª®£¤ à¥çì ¨¤¥â ® k; . ãé¥á⢥ \¨äà ªà á ï" à á室¨¬®áâì ¯à¨ ¨«¨ k áâ६ïé¨åáï ª ã«î! á ¬®¬ ¤¥«¥, á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¯® g, ¬ë ⥯¥àì ¨¬¥¥¬: p + ::: ;(k) g ; g2 (n + 8) ln Max(k; (2.173) ) ¨¤¨¬, çâ® ¯¥à¢ ï ¯®¯à ¢ª ª ¢¥à訥 ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯à¨ ! 0, k ! 0 ¬®¦¥â áãé¥á⢥® ¯à¥¢ëè âì § âà ¢®çãî ª®áâ âã g { ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ä«ãªâã 権 à áâ¥â ¯® ¬¥à¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï á¨áâ¥¬ë ª â®çª¥ ¯¥à¥å®¤ . í⮬ ¨ ¥áâì ¯à®¡«¥¬ ! 㦮 á㬬¨à®¢ âì ¢á¥ áãé¥áâ¢¥ë¥ ¯®¯à ¢ª¨, íâ® ¥ ¯à®á⮠ᤥ« âì. «ï ¯à®áâà á⢠d = 3 § ¤ ç ¢®®¡é¥ ª ¦¥âáï ¡¥§ ¤¥¦®©, ®¤ ª® ¤«ï d = 4, ¡« £®¤ àï ®â®á¨â¥«ì® á« ¡®© «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© à á室¨¬®áâ¨, ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠®¯à¥¤¥«¥ë© ®â¡®à £à 䨪®¢, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 㯮¬ïã⮬㠯ਡ«¨¦¥¨î \£« ¢ëå «®£ à¨ä¬®¢". ¥«® ¢ ⮬, çâ® «®£ à¨ä¬ ã á ¯®ï¢«ï¥âáï ®â ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬ ¢ ¯¥â«¥¢®¬ £à 䨪¥. ®í⮬㠢 ¢ëáè¨å ¯®à浪 å ¡ã¤ãâ ¢®§¨ª âì «®£ à¨ä¬ë ¢ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®© á⥯¥¨, ¯à¨ç¥¬ íâ á⥯¥ì à ¢ ç¨á«ã ¯¥â¥«ì ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 £à 䨪¥. ¯à¨¬¥à, «®£¨ç ï ®æ¥ª £à 䨪®¢ 2 ¨ 3 ¨á.2-30 ¤ ¥â ¤«ï ¨å ¢¥«¨ç¨ã g3 ln2 Max(k;p ) , ¤«ï £à 䨪 4 ¯®«ãç ¥¬ g4 ln3 Max(k;p ) . ⮦¥ ¢à¥¬ï ®æ¥ª £à 䨪 6 ¤ ¥â g4 ln Max(k;p ) , ¤«ï £à 䨪 7 ¨¬¥¥¬ g5 ln Max(k;p ) , çâ® § ¢¥¤®¬® ¬¥ìè¥ ¢ª« ¤®¢ 2,3,4 ¢ ᨫ㠯।¯®«®¦¥¨ï á« ¡®á⨠¨á室®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï g 1. ®í⮬㠬®¦® ®£à ¨ç¨âìáï 12 ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë, ¯® ¡®«ì襩 ç áâ¨, ®¯ã᪠¥¬ ¥áãé¥áâ¢¥ë¥ ç¨á«¥ë¥ ¬®¦¨â¥«¨ ⨯ ä ªâ®à®¢ ᨬ¬¥âਨ ¨ â. ¯.
62
:
¨á. 2-33
\£« ¢ë¬¨ «®£ à¨ä¬ ¬¨", â.¥. ®â¡¨à âì ⮫쪮 ⥠£à 䨪¨, ã ª®â®àëå á⥯¥ì «®£ à¨ä¬ ⮫쪮 ¥¤¨¨æã ¬¥ìè¥ á⥯¥¨ ª®áâ âë á¢ï§¨ g, ¨á.2-30 íâ® £à 䨪¨ 2,3,4. å ⮯®«®£¨ï ïá { ®¨ ᮤ¥à¦ â ¬ ªá¨¬ «ì® à áâ î饥 ç¨á«® ¯¥â¥«ì ⨯ ¨á.2-29. ¬¥® â ª®© ¡®à £à 䨪®¢ ç é¥ ¢á¥£® §ë¢ îâ \¯ થ⮬". \ થâ" ãç¨âë¢ ¥â ¢á¥ ¯®¯à ¢ª¨ ª ¢¥à訥 gn lnn , ® ¯à¥¥¡à¥£ ¥â ¢á¥¬¨ ¢ª« ¤ ¬¨ gn+k lnn . ¥¬ ¡®«¥¥ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì ¢ª« ¤ ¬¨ ¡¥§ «®£ à¨ä¬®¢. ç áâ®áâ¨, ¢¢¥¤¥ë© ¢ëè¥ ¡«®ª R ᢮¤¨âáï ⮣¤ «¨èì ª ¯¥à¢®¬ã 童㠨á.2-32, â.¥. ¯à®áâ® ª § âà ¢®ç®¬ã ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î g. â ª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ \¯ થâë¥" ãà ¢¥¨ï ¨á.2-31 㤠¥âáï à¥è¨âì. à®æ¥¤ãà à¥è¥¨ï, ®¤ ª®, ¤®¢®«ì® á«®¦ ¨ ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¥© ®áâ ¢«¨¢ âìáï. ¥«® ¢ ⮬, çâ® ¯à ¢¨«ìë© ®â¢¥â ¤«ï ¯®«®© ¢¥àè¨ë ¯®«ãç ¥âáï ¨ ¯à¨ ¡®«¥¥ \ ¨¢®¬" à áᬮâ२¨, ª®â®àë¬ ¬ë ¨ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï. áᬮâਬ ¯à®áâãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì £à 䨪®¢, ¯®ª § ãî ¨á.2-33. â® ®¡ëç ï ¯à®£à¥áá¨ï, ª®â®à ï «¥£ª® á㬬¨àã¥âáï (¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¤¢ã¬¥à®£® \¯ થâ "): p + g3(n + 8)2 ln2 p + ::: ;(k) = g ; g2 (n + 8) ln Max(k; ) Max(k; ) g = (2.174) 1 + g(n + 8) ln Max(k;p ) ¥è¥¨¥ \¯ થâëå" ãà ¢¥¨© ¤ ¥â â®ç® â ª®© ¦¥ ®â¢¥â (¥á«¨ ¢¥è¨¥ ¨¬¯ã«ìáë ¢¥àè¨ë ®¤®£® ¯®à浪 )13 . ¥«® ¢ ⮬, çâ® \¯ થâë¥" ãà ¢¥¨ï ¤«ï â ª®© ¢¥àè¨ë ᢮¤ïâáï ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢¨¤ : d;(s) = ;(n + 8);2 (s) (2.175) ds á £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ;(s) ! g ¯à¨ s ! 0, ¨ ¢¢¥¤¥ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï ¯¥à¥¬¥ ï: p s = ln Max(k; (2.176) ) ⥣à¨à®¢ ¨¥ (2.175) ⮣¤ ¤ ¥â: ;(k) = 1 + g(ng + 8)s (2.177) ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á (2.174). ªâ¨ç¥áª¨, íâ®â १ã«ìâ â ¢¯®«¥ «®£¨ç¥ ¢ëà ¦¥¨ï¬ ¤«ï 䨧¨ç¥áª®£® § àï¤ , ¯®«ãç¥ë¬ ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I ¯à¨ ¨§ã票¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¨ ¨ ¢¥¤ãé¨å ª ¯à®¡«¥¬¥ \¬®áª®¢áª®£® 13 ®¢¯ ¤¥¨¥ á ¯à ¢¨«ìë¬ ®â¢¥â®¬ §¤¥áì ï¥âáï ¤®¢®«ì® á«ãç ©ë¬ ¨, ª®¥ç® ¦¥, ¥ ®â¬¥ï¥â ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¡®«¥¥ áâண®£® à¥è¥¨ï, ¢¯¥à¢ë¥ ¢ë¯®«¥®£® ¢ æ¨â¨à®¢ ¢è¥©áï ¢ëè¥ à ¡®â¥ ïâ«®¢ , 㤠ª®¢ ¨ ¥à- àâ¨à®áï .
:
63
ã«ï"14. áᬮâਬ á«ãç © k = 0 (¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ä«ãªâã 権 á ¯à¥¤¥«ì® ¤«¨ë¬¨ ¢®« ¬¨). ®£¤ (2.174) ᢮¤¨âáï ª: g 1 ;(k = 0) = ! ¯à¨ ! 0 (2.178) 1 + g(n + 8) ln p (n + 8) ln p ¨¤¨¬, çâ® ¯à¨ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ª â®çª¥ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ § ¢¨á¨¬®áâì ®â \§ âà ¢®ç®©" ª®áâ âë á¢ï§¨ g ¯à®¯ ¤ ¥â, á ¬® íä䥪⨢®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ áâ६¨âáï ª ã«î (⨯¨çë© \ã«ì-§ àï¤"!) 15 . ® §¤¥áì íâ® ¥ ¢ë§ë¢ ¥â ¯à®¡«¥¬, ª ª ¢ ५ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ ¯®«ï, ®¡®à®â, ¯®«®áâìî ¯à®ïáï¥â á¨âã æ¨î. á ¬®¬ ¤¥«¥, १ã«ìâ â (2.178) ®§ ç ¥â íä䥪⨢®¥ ®á« ¡«¥¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ä«ãªâã 権 ¯® ¬¥à¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ª â®çª¥ ¯¥à¥å®¤ . ®¦® ¥¯®á।á⢥® à ááç¨â âì ¢«¨ï¨¥ â ª®£® á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢á¥ ä¨§¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë, ¨¬¥î騥 ®á®¡¥®áâì ¢ â®çª¥ ¯¥à¥å®¤ ¨ ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ®® ¯à¨¢®¤¨â ⮫쪮 ª ¥§ ç¨â¥«ìë¬ («®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨¬) ⥬¯¥à âãàë¬ ¯®¯à ¢ª ¬ ª ªà¨â¨ç¥áª®¬ã ¯®¢¥¤¥¨î, á«¥¤ãî饬㠨§ ⥮ਨ ¤ ã. ⨠«®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨¥ ¯®¯à ¢ª¨ ¥ ¬¥ïîâ á⥯¥¨ ⥬¯¥à âãàëå ®á®¡¥®á⥩, â.¥. ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë. ®í⮬㠤«ï d = 4 ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë ¯à®áâ® à ¢ë ªà¨â¨ç¥áª¨¬ ¨¤¥ªá ¬ ⥮ਨ ¤ ã!
âáâ㯫¥¨¥: ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢.
⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騩 áâ ¤ àâë© ¡®à å à ªâ¥à¨á⨪ á¨áâ¥¬ë ¨ ¨å ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ᨣã«ïà®á⨠íâ¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ â®çª¥ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯ à ¬¥âà = T ;TcTc ! 0. à ¬¥âà ¯®à浪 : ' j j T ! Tc ; 0 (2.179) 1 (2.180) ' h T = Tc £¤¥ h { ¢¥è¥¥ ¯®«¥, ᮯà殮®¥ ¯ à ¬¥âàã ¯®à浪 . ®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì: ; j j; 0 T T!!TcT+ ;0 0 (2.181) c ®à५ï樮 ï äãªæ¨ï ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 (d { à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠): ;r=) (2.182) G(r) exp( rd;(2;) £¤¥ ª®à५ï樮 ï ¤«¨ : ; T ! T + 0 j j; 0 T !cT ; 0 (2.183) á ¬®© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¥:
c
G(r) d;(21 ;) (2.184) r (2.185) G(p) k21; «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¢¢®¤¨âáï ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨¤¥ªá ⥯«®¥¬ª®á⨠: + C ( ;h = 0) = A [ ; ; 1] + B + T ! Tc + 0 (2.186) ; C ( ; h = 0) = A 0 [j j; 0 ; 1] + B ; T ! Tc ; 0 (2.187) 14 ¥§ã«ìâ â ⨯ (2.174) ¢¯¥à¢ë¥ ¡ë« ¯®«ãç¥ ¨§ \¯ થâëå" ãà ¢¥¨© â ª¦¥ ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠¢ ⥮ਨ ५ï⨢¨áâ᪮£® ᪠«ïண® ¯®«ï g'4 . ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨© ¥¨© ¯à¨ d = 4 ® ¡ë« ¨á¯®«ì§®¢ áãé¥á⢥® ¯®§¦¥ àª¨ë¬ ¨ ¬¥«ì¨æª¨¬. 15 ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¢ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ¨¬¥¥¬ g > 0, â ª çâ® ¨ª ª¨å ¯à®¡«¥¬, ⨯ \«®¦ëå" ¯®«îᮢ §¤¥áì ¥ ¢®§¨ª ¥â.
64
:
¯à¨ í⮬ = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ®á®¡¥®áâ¨. ¯®¬¨¬, çâ® §¤¥áì ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ⮫쪮 ᨬ¬¥âà¨çãî ä §ã (T > Tc ), ¢ ª®â®à®© á।¥¥ § 票¥ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ' = 0. ¡®¡é¥¨¥ á«ãç © T < Tc ¯à®¢®¤¨âáï ¡¥§ ®á®¡ëå ¯à®¡«¥¬.
¦® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯®«ãç¥ë¥ ¢ à ¬ª å ⥮ਨ ¤ ã (¨«¨ ¬¥â®¤ ¬®«¥ªã«ïண® ¯®«ï) áâ ¤ àâë¥ § ç¥¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ [35]: = 21 = 1 = 0 = 0 = 12 = 3 (2.188)
㤮¢«¥â¢®àïîâ áâ ¤ àâë¬ áª¥©«¨£®¢ë¬ á®®â®è¥¨ï¬ [14, 35] = 2 ; = 2 ; d = 21 (d ; 2 + )
(2.189) (2.190) (2.191)
¥á«¨ ¢ ¨å ¯®«®¦¨âì à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠d = 4. í⮬ á¬ëá«¥ ¬®¦® ᪠§ âì, ç⮠⥮à¨ï ¤ ã ¤ ¥â ¯à ¢¨«ì®¥ ®¯¨á ¨¥ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ¤«ï à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠d = 4. â® ¦¥ ã⢥ত¥¨¥ ®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¨ ¤«ï ¢á¥å d > 4 { ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® ¯®¯à ¢ª¨ ⨯ (2.170) ¥ ¯à¨¢®¤ïâ ¨ ª ª ª¨¬ à á室¨¬®áâï¬ ¤«ï d > 4, ¯®â®¬ã ¬ «ë ¢ ᨫ㠯।¯®«®¦¥¨ï g 1. §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠d = 4 §ë¢ ¥âáï ¢¥à奩 ªà¨â¨ç¥áª®© à §¬¥à®áâìî ⥮ਨ. «ï 䨧¨ç¥áª¨ ¨â¥à¥á®£® á«ãç ï d = 3 ¥ 㤠¥âáï ¯à®¢¥á⨠®â¡®à ¤®¬¨¨àãîé¨å ¤¨ £à ¬¬ ¢ àï¤ã ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©, ¢á¥ ¤¨ £à ¬¬ë ®ª §ë¢ îâáï ®¤®£® ¯®à浪 . í⮬ ¨ ¡ë« ®á®¢ ï âà㤮áâì ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨©. ¨«ìá® ¯à¥¤«®¦¨« ®à¨£¨ «ìë© ¬¥â®¤ à áç¥â ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢, ®á®¢ ë© â¥®à¨¨ ¢®§¬ãé¥¨ï ¯® ¨áªãáá⢥® ®¯à¥¤¥«¥®¬ã ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã " = 4 ; d { ®âª«®¥¨î ®â ¢¥à奩 ªà¨â¨ç¥áª®© à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠d = 4, ¯à¨ ª®â®à®© ¨¤¥ªáë ᮢ¯ ¤ îâ á ¯à¥¤áª §ë¢ ¥¬ë¬¨ ⥮ਥ© á।¥£® ¯®«ï (" { à §«®¦¥¨¥). ¤¥ï ¢¢¥¤¥¨ï \¤à®¡®©" à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠¤®¢®«ì® ¯à®áâ . ® ¢á¥å 䥩¬ ®¢áª¨å ¨â¥£à « å ¢ëè¥ ä¨£ãà¨à®¢ «® ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ®¡ê¥¬ã d-¬¥à®£® ¨¬¯ã«ìᮣ® ¯à®áâà á⢠, í«¥¬¥â ®¡ê¥¬ ª®â®à®£® ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å, ¤«ï ¯®¤¨â¥£à «ì®© äãªæ¨¨, § ¢¨áï饩 ⮫쪮 ®â ¬®¤ã«ï ¨¬¯ã«ìá , § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: dd p = d pd;1 dp
(2.192)
£¤¥ d { ¯®¢¥àå®áâì ¥¤¨¨ç®© d-¬¥à®© áä¥àë: d=2
d = 2; d ; 2
(2.193)
£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ ® ®¡ë箥 ®¡®§ 票¥ ;-äãªæ¨¨. í⮬ ¢ëà ¦¥¨¨ 㦥 ¬®¦® áç¨â âì d ¯à®¨§¢®«ìë¬ (¥æ¥«ë¬) ¢¥é¥áâ¢¥ë¬ ¯ à ¬¥â஬. ®£¤ ¬®¦® § ¯¨á âì: Z dd p
d Z dppd;1::: = K Z dppd;1::: ::: = (2.194) d (2)d (2)d
:
£¤¥ ¢¢¥¤¥® áâ ¤ à⮥ ®¡®§ 票¥:
65
;1 Kd = 2;(d;1);d=2 ; 2d (2.195) ç áâ®á⨠K4 = (82);1 . ëè¥, ¯à¨ ®æ¥ª¥ (2.172) íâ ª®áâ â ¯à®áâ® ®¯ã᪠« áì. «ìè¥ ¬ë â ª¦¥ ¥ ¡ã¤¥¬ ¥¥ ¢ë¯¨áë¢ âì. ஢¥¤¥¬ ⥯¥àì ᮢ ®æ¥ªã ¢ª« ¤ ¤¨ £à ¬¬ë 1 á ¨á.2-29, ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã ¯à®áâà á⢮ á d = 4 ; ". ¬¥áâ® (2.172) ¨¬¥¥¬: Z Z d;1 1 g2 (n + 8) dpp dppd;5 g2 (n + 8)Kd 4 p p p Max(k; ) Max(k; ) (2.196) 1 1 2 2 d ; 4 g (n + 8) d ; 4 p jMax(k;p ) g (n + 8) " Max(k; p );" ; ;"
ᥠ¨§¬¥¥¨¥ ¯® áà ¢¥¨î á® á«ãç ¥¬ d = 4 á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢¬¥áâ® «®£ à¨ä¬ (2.172) ¢®§¨ª ¥â \«®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï ¯¥à¥¬¥ ï": p s = 1" Max(k; );" ; ;" (2.197) ¯¥à¥å®¤ïé ï ¢ â®â ¦¥ «®£ à¨ä¬ ¢ ¯à¥¤¥«¥ " ! 0. ®í⮬㠬ë ᮢ , ¯à¨ à¥è¥¨¨ \¯ થâëå" ãà ¢¥¨©, ¬®¦¥¬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ \£« ¢ëå «®£ à¨ä¬®¢", ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¢¥àè¨ë (2.175) á®åà ï¥â ᢮© ¢¨¤.
£® à¥è¥¨¥ (2.177) ¤«ï á«ãç ï k = 0 ¢ ¯à®áâà á⢥ d = 4 ; " § ¯¨áë¢ ¥âáï ⥯¥àì ª ª: g ;(k = 0) = ! 1 1 + g(n + 8) " [ ;"=2 ; ;" ] "=2 (2.198) ! (n + 8)1 1 = (n" + 8) ¯à¨ ! 0 " "=2 ¨¤¨¬, çâ® íä䥪⨢®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ä«ãªâã 権 ®ª §ë¢ ¥âáï ¬ «ë¬ ¯® ¢¢¥¤¥®¬ã ¬¨ ¨áªãáá⢥®¬ã ¯ à ¬¥âàã " = 4 ; d. à ¢¥¨¥ (2.175) ¬®¦® â ª¦¥ à áᬠâਢ âì ª ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âàã ®¡à¥§ ¨ï , ¢å®¤ï饬㠢 ¯¥à¥¬¥ãî s (2.197), (2.176): ds = ;(1+")d. â® ãà ¢¥¨¥ ⮣¤ ®¯¨áë¢ ¥â ¯¥à¥®à¬¨à®¢ªã ¢¥àè¨ë ; ¯à¨ ¨ä¨¨â¥§¨¬ «ì®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï ! 0 = + d. ® áã⨠¤¥« íâ® ¥áâì ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ८ଠ- £à㯯ë (£àã¯¯ë ¯¥à¥®à¬¨à®¢®ª) ¥««- ¨ ®ã, 㦥 ¨§¢¥á⮥ ¬ ¨§ ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¨. ¤¥®«®£¨ï ८ଠ- £à㯯ë ï¥âáï ®á®¢®© ᮢ६¥®© ⥮ਨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ [14, 15, 40]. ¥à¥©¤¥¬ ª á奬 â¨ç¥áª®¬ã ®¯¨á ¨î à áç¥â ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢. áᬮâਬ ª®à५ï樮ãî äãªæ¨î ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 (äãªæ¨î ਠ) G(p ). ¬¥¥¬, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î: G(p = 0 ) = ( ) ; (2.199) ; 2+ G(p = 0) p (2.200) £à ¨ç¨¬áï ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¨¬¥® ¨¤¥ªá®¢ ¨ , ¯®áª®«ìªã ®áâ «ìë¥ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì, ¯®«ì§ãïáì áªí©«¨£®¢ë¬¨ á®®â®è¥¨ï¬¨ ⨯ (2.191) [14, 39].
66
:
¨á. 2-34
¨á. 2-35
à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ ¬®¦® ¤®ª § âì ¤¢ ⮦¤¥á⢠®à¤ : @ G;1 (p = 0) = 2p ; 2 Z dd p0 p0 G2 (p0 0); (ppp0p0 ) (2.201) jl jlmm @p jl (2)d mm @ G;1(p = 0) = ; Z dd p0 G2 (p0 0); (ppp0p0 ) (2.202) jl jlmm @ jl (2)d mm ¢¥¤ï \âà¥ã£®«ìãî" ¢¥àè¨ã Tjl = @ @ G;jl1(p = 0) ¬®¦® ¢â®à®¥ ¨§ íâ¨å ⮦¤¥á⢠¨§®¡à §¨âì £à ä¨ç¥áª¨, ª ª ¯®ª § ® ¨á.2-34. ⮠⮦¤¥á⢮ ¬®¦® ¢ë¢¥á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬ £à 䨪®¢ ¤«ï ¤«ï ᮡá⢥® - í¥à£¥â¨ç¥áª®© ç á⨠(®¡à ⮣® ¯à®¯ £ â®à ), ª ª íâ® ¯®ª § ® á奬 â¨ç¥áª¨ ¨á.2-35. ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ®¡à ⮣® ᢮¡®¤®£® ¯à®¯ £ â®à (2.164) (¨á.2-35( )) ¤ ¥â ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥, ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯à®á⥩襣® ¢ª« ¤ ¢ ᮡá⢥® - í¥à£¥â¨ç¥áªãî ç áâì (¨á.2-35( )) ¤ ¥â ¢ª« ¤ë ¨§è¥£® ¯®à浪 ¤«ï ¢¥àè¨ë á ¤¢ã¬ï ᮥ¤¨¥ë¬¨ \墮áâ ¬¨", â.¥. ¨§è¨© ¢ª« ¤ ¢® ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥. ®«ë© àï¤ \¯à®¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ëå" £à 䨪®¢ ᮡ¨à ¥âáï ¢ ¯®«ãî ¢¥àè¨ã. ®¦¤¥á⢮ (2.201) ¢ë¢®¤¨âáï «®£¨ç®, ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬ ¯® p . ®¤áâ ¢¨¬ ¢ (2.201) \¯ થ⮥" à¥è¥¨¥ ¤«ï ;(ppp0p0 ). ë ¥£® ¥ 室¨«¨, ® ¤®áâ â®ç® ᪠§ âì, çâ® ®® (¯®¤®¡® ¢ë¯¨á ®¬ã ¢ëè¥ à¥è¥¨î ¤«ï ;(k)) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¬®¤ã«¥© jpj ¨ jp0j, â ª çâ® ¨â¥£à « ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(2.201) ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¯® ¯®«ï஬ã 㣫ã. ®í⮬㠨¬¥¥¬ ¯à®áâ®: @G;1(p = 0) = 2p (2.203) @p â ª çâ® (2.204) G(p = 0) p12 çâ® ¤ ¥â § 票¥ ¨¤¥ªá = 0. ®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥯¥àì ⮦¤¥á⢮¬ (2.202). \¯ થ⮬" ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯¥à¥á㬬¨à®¢ âì £à 䨪¨ â ª, çâ® í⮠⮦¤¥á⢮ ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï \âà¥ã£®«ì®©" ¢¥àè¨ë, ¯®ª § ®¥ ¨á.2-36. ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥ëå íâ® ãà ¢¥¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:
Tjl (s) = jl ;
Zs 0
dt;jlmn (t)Tmn (t)
(2.205)
:
67
¨á. 2-36
ᯮ«ì§ãï Tjl = T jl ¨ (2.167) ¯®«ãç ¥¬: Ijlmn mn = (n + 2)jl ¨ (2.205) ᢮¤¨âáï ª: Zs T (s) = 1 ; (n + 2) dt;(t)T (t) 0
(2.206) (2.207)
¨ää¥à¥æ¨àãï ¯® s, ᢮¤¨¬ íâ® ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã: dT (s) = ;(n + 2);(s)T (s) (2.208) ds á £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ T (s = 0) = 1. âáî¤ å®¤¨¬:
T (s) = exp ;(n + 2)
Zs 0
dt;(t)
(2.209)
ᯮ«ì§ãï §¤¥áì (2.177), ¯®«ãç ¥¬ ®ª®ç ⥫ì®: n+2
T (s) = [1 + g(n + 8)s]; n+8
(2.210)
®£¤ ¨¬¥¥¬:
+2 @ G;1(p = 0 ) = @ ;1 ( ) = [1 + g(n + 8)s]; nn+8 @ @ ⥣à¨àãï á âॡ㥬®© â®ç®áâìî, ¯®«ãç ¥¬:
( ) 1 1 + g(n + 8) 1" [ ;"=2 ; ;"]
nn+8+2
+8 ) ! ;(1+ "2 nn+2
(2.211) (2.212)
¯à¨ ! 0. ®®â¢¥âá⢥®, ¤«ï ªà¨â¨ç¥áª®£® ¨¤¥ªá ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠室¨¬: + 2 " + ::: (2.213)
= 1 + nn + 82 â® ¢ëà ¦¥¨¥, â ª¦¥ ª ª ¨ ¯®«ãç¥ë© ¢ëè¥ à¥§ã«ìâ â = 0, á¯à ¢¥¤«¨¢ë á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® ", ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯¥à¢ë¥ ç«¥ë "-à §«®¦¥¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢. ®áâ â®ç® £à®¬®§¤ª¨© áç¥â ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¯®¯à ¢ª¨ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢. ¬¥ç ⥫ìë¬ à¥§ã«ìâ ⮬ ᮢ६¥®© ⥮ਨ, á«¥¤ãî騬 ¨§ íâ¨å ä®à¬ã«, ï¥âáï ã⢥ত¥¨¥ ®¡ 㨢¥àá «ì®á⨠ªà¨â¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï { ¢¥«¨ç¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ ¢ á ¬ëå à §«¨çëå 䨧¨ç¥áª¨å á¨á⥬ å ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 à §¬¥à®áâìî ¯à®áâà á⢠(á¨á⥬ë), ¢ ª®â®à®¬ ¨§ãç ¥âáï ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤, ¨ ç¨á«®¬ ª®¬¯®¥â n ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 (â.¥., ä ªâ¨ç¥áª¨, ⨯®¬ ᨬ¬¥âਨ, àãè ¥¬®© ¯à¨ ä §®¢®¬ ¯¥à¥å®¤¥).
68
:
¨á. 2-37
à §«®¦¥¨¨ (2.159), ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¯à¨áãâáâ¢ãîâ ¨ ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨¥ á⥯¥¨ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 . ®§¨ª ¥â ¢®¯à®á ®¡ ¨å ஫¨ ¢ ªà¨â¨ç¥áª®¬ ¯®¢¥¤¥¨¨. ®ç¥¬ã ¬ë ®£à ¨ç¨«¨áì ⮫쪮 g 4 ? ãáâì ¨¬¥¥âáï ¢ª« ¤ 6. 祬ã íâ® ¯à¨¢¥¤¥â? áᬮâਬ ¯à®á⥩èãî ¯®¯à ¢ªã ª í⮬㠢ª« ¤ã, ¨§®¡à ¦ ¥¬ãî ¤¨ £à ¬¬®© ¨á.2-37. ® ¯®à浪㠢¥«¨ç¨ë ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥£à «®¬: Z Z Z Z p21p22 2 2 p d3 p1 p d3p2 p2p2 (p12 + p2 ) 2 p dp1 p dp2 p2p2 (p 2 + p2 ) ln p 1 2 1 2 1 2 1 2 (2.214) «ï d > 3 ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯®¯à ¢ª ¯à®áâ® á室¨âáï ( ¨¦¥¬ ¯à¥¤¥«¥, ¯à¨ ! 0), â ª çâ® ¤«ï d = 4 ; " ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ⨯ 6 ï¥âáï ¥áãé¥á⢥ë¬. «®£¨ç® ¤¥«® ®¡á⮨⠨ á ç«¥ ¬¨ à §«®¦¥¨ï ¤ ã á ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨¬¨ á⥯¥ï¬¨ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 . ਢ¥¤¥¬ ¢ § ª«î票¥ § ç¥¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ "2 ¢ ⥮ਨ á n { ª®¬¯®¥âë¬ ¯ à ¬¥â஬ ¯®à浪 [14, 15]: + 2 " + n + 2 n2 + 22n + 52 "2 + :::
= 1 + nn + (2.215) 8 2 n + 8 (n + 8)2 4 2 " + n + 2 n2 + 23n + 60 "2 + ::: (2.216) 2 = 1 + nn + + 8 2 n + 8 (n + 8)2 4 2 "2 + n + 2 6(3n + 14) ; 1 "3 + ::: = 2(nn + (2.217) + 8)2 2(n + 8)2 (n + 8)2 4 = 3 + " + 12 ; (nn++8)2 2 "2 + ::: (2.218) 2)(2n + 1) "2 + ::: (2.219) = 12 ; n +3 8 2" + (n +2(n + 8) = 4n ;+ n8 2" + ::: (2.220)
â¥à¥á® áà ¢¨âì § ç¥¨ï ¨¤¥ªá®¢, ¯®«ãç¥ë¥ ¯® í⨬ ä®à¬ã« ¬ ¤«ï d = 3 (" = 1) ¨ n = 1 (¨§¨£®¢áª¨© á«ãç ©), ¢ áà ¢¥¨¨ á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ (¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãàë¥ à §«®¦¥¨ï) ¤«ï âà¥å¬¥à®© ¬®¤¥«¨ §¨£ . ¯à¨¢®¤¨¬®© â ¡«¨æ¥ ¤ ë â ª¦¥ § ç¥¨ï ¨¤¥ªá®¢ ⥮ਨ á।¥£® ¯®«ï ( ¤ ã). ¨¤®, çâ® " { à §«®¦¥¨¥ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¥¯«®å®¥ ᮣ« ᨥ á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥®£® «¨§ 16. ®¢à¥¬¥ë¥ ¬¥â®¤ë à áç¥â , áãé¥á⢥® ã«ãçè î騥 १ã«ìâ âë ¯à®á⥩襣® " { à §«®¦¥¨ï § áç¥â ãç¥â ¢ª« ¤®¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢, ¤ îâ § 票ï 16 à㣮© ¤®áâ â®ç® íää¥ªâ¨¢ë© ¬¥â®¤ à áç¥â ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ªá®¢ ¬®¦¥â ¡ëâì ®á®¢ ¨å à §«®¦¥¨¨ ¢ àï¤ ¯® ®¡à âë¬ á⥯¥ï¬ ç¨á« ª®¬¯®¥â ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 1=n [14, 15], ¯®áª®«ìªã ¯à¨ n ! 1, ª ª ¬®¦® ¯®ª § âì, ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë â ª¦¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ á ¬®á®£« ᮢ ®£® ¯®«ï (⥮ਥ© ¤ ã). ¥â®¤ ¢ëç¨á«¥¨© ®á®¢ ®â¡®à¥ £à 䨪®¢ á § ¬ªãâ묨 ¯¥â«ï¬¨, ¯®áª®«ìªã ª ¦¤ ï ¯¥â«ï ¤ ¥â ¢ª« ¤ n.
:
¡«¨æ 2.1
à¨â¨ç¥áª¨¥ ¨¤¥ªáë ¤«ï ¬®¤¥«¨ á
¤¥ªá ¨«ìá® ¨á«¥ë© áç¥â ¤ ã 0:626 0:642 0:5 0:037 0:055 0
1:244 1:250 1 0:077 0:125 0 0:340 0:312 0:5 4:460 5:15 3
69
n = 1 (§¨£).
¨¤¥ªá®¢, ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ î騥 á १ã«ìâ â ¬¨ ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢ ¨ íªá¯¥à¨¬¥â [40].
¥à¬¨®ë ¨ äãªæ¨® «ìë¥ ¬¥â®¤ë. ¡®¡é¥¨¥ äãªæ¨® «ìëå ¬¥â®¤®¢ ä¥à¬¨¥¢áª¨¥ ¯®«ï ¢áâà¥ç ¥â ®¯à¥¤¥«¥ë¥ § âà㤥¨ï. à áᬠâਢ ¢è¨åáï ¢ëè¥ äãªæ¨® «ìëå ¨â¥£à « å ¤«ï ¡®§¥ { ¯®«¥© ¢¥«®áì ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ¢á¥¬ ¢®§¬®¦ë¬ ª« áá¨ç¥áª¨¬ (c-ç¨á«®¢ë¬) ¯®«¥¢ë¬ ª®ä¨£ãà æ¨ï¬. «ï ä¥à¬¨¥¢áª¨å ¯®«¥© ¯®ï⨥ ª« áá¨ç¥áª®£® ¯à¥¤¥« ®âáãâáâ¢ã¥â ¨ ¥ïá®, ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤, ® ª ª¨å ¢®§¬®¦ëå ¯®«¥¢ëå ª®ä¨£ãà æ¨ïå âãâ ¬®¦¥â ¢®®¡é¥ ¨¤â¨ à¥çì. ¥à¥å®¤ ª ª« áá¨ç¥áª®¬ã ¯à¥¤¥«ã á¢ï§ , ª ª ¨§¢¥áâ®, á ¯à¥¤¥«®¬ ~ ! 0. ਠí⮬ ¥âਢ¨ «ìë¥ ¯à ¢ë¥ ç á⨠ª®¬¬ãâ â®à®¢ ¢á¥å ¡®§¥¢áª¨å ¯®«¥¢ëå ®¯¥à â®à®¢, à áᬮâà¥ëå ¢ « ¢¥ 2, ®¡à é îâáï ¢ ã«ì, á ¬¨ ®¯¥à â®àë ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ c-ç¨á« . «ï ä¥à¬¨¥¢áª¨å ¯®«¥©, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ â ¬ ¦¥, ª¢ ⮢ ¨¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï á ¯®¬®éìî ⨪®¬¬ãâ â®à®¢, â ª çâ® ¯à¨ ~ ! 0 ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï ä¥à¬¨¥¢áª¨å ¯®«¥© ¯à®áâ® ¥ª®â®àë¥ â¨ª®¬¬ãâ¨àãî騥 ¢¥«¨ç¨ë, á¬ëá« ª®â®àëå, á â®çª¨ §à¥¨ï \§¤à ¢®£® á¬ëá« " ¥ ¢¯®«¥ ïá¥. ¤ ª® ¨¬¥® í⮬ ¯ã⨠¨ «¥¦¨â à¥è¥¨¥ ¯à®¡«¥¬ë. ª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ¡ë«¨ ¢¢¥¤¥ë ¢ ¬ ⥬ ⨪㠢 á¥à¥¤¨¥ XIX ¢¥ª à áᬠ®¬ ¨ §ë¢ îâáï £à áᬠ®¢ë¬¨ ¯¥à¥¬¥ë¬¨. ãªæ¨® «ì ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¤«ï ä¥à¬¨¥¢áª¨å, ®á®¢ ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ £à áᬠ®¢ëå ¯¥à¥¬¥ëå, ¡ë« ¤ ¥à¥§¨ë¬, ª®â®àë© ¢¯¥à¢ë¥ ¢¢¥« ¯®ï⨥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® í⨬ ¯¥à¥¬¥ë¬ [41]. áᬮâਬ á ç « ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï. ¥¥à â®àë Ci n-¬¥à®© £à áᬠ®¢®© «£¥¡àë 㤮¢«¥â¢®àïîâ ⨪®¬¬ãâ æ¨®ë¬ á®®â®è¥¨ï¬: fCi; Cj g CiCj + Cj Ci = 0 (2.221) £¤¥ i = 1; 2; :::;n. ç áâ®áâ¨: Ci2 = 0 (2.222) ®í⮬ã à §«®¦¥¨¥ ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ f(Ci ) ¢ àï¤ ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ç«¥®¢. ¯à¨¬¥à, ¤«ï ®¤®¬¥à®© «£¥¡àë ¨¬¥¥¬: f(C) = a + bC (2.223) £¤¥ a ¨ b { ®¡ëçë¥ ç¨á« . ¢ ¤à â¨çë© ¨ á«¥¤ãî騥 ç«¥ë à §«®¦¥¨ï à ¢ë ã«î.
70
:
«ï ®¡é¥£® n-¬¥à®£® á«ãç ï «®£ (2.223) ¨¬¥¥â ¢¨¤: (2) (n) f (C ) = P0 + Pi(1) (2.224) 1 Ci1 + Pi1i2 Ci1 Ci2 + ::: + Pi1:::in Ci1 :::Cin £¤¥ ª ¦¤ë© ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï ¯à¨¨¬ ¥â § ç¥¨ï ®â 1 ¤® n. §«®¦¥¨¥ ®¡àë¢ ¥âáï ¡« £®¤ àï (2.221).
áᬮâਬ ¯®ï⨥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¯® £à áᬠ®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. ãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ ⨯ â ª®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï | «¥¢®¥ ¨ ¯à ¢®¥. ¥¢ ï ¯à®¨§¢®¤ ï ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï C1C2 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª: @ L (C C ) = C ; C (2.225) @Ci 1 2 i1 2 i2 1 à ¢ ï ¯à®¨§¢®¤ ï, ᮮ⢥âá⢥®, à ¢ : @ R (C C ) = C ; C (2.226) @Ci 1 2 i2 1 i1 2 ®âॡ㥬 â ª¦¥ ¢ë¯®«¥¨ï à ¢¥áâ¢: @ (2.227) @Ci ; Cj = ij @ @ (2.228) @Ci ; @Cj = 0 ç áâ®áâ¨, ¤«ï ®¤®¬¥à®© «£¥¡àë: d (2.229) dC ; C = 1 ¨ ¢á¥£¤ @ 2 (2.230) @C = 0 i
ᥠí⨠ᮮâ®è¥¨ï ¨¬¥îâ ¤®¢®«ì® ¥áâ¥áâ¢¥ë© ¢¨¤. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® £à áᬠ®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬, ¯à®â¨¢, ¢¢®¤¨âáï ¤®áâ â®ç® ä®à¬ «ìë¬ ®¡à §®¬. ç áâ®áâ¨, íâã ®¯¥à æ¨î ¥«ì§ï ¢¢¥á⨠ª ª ®¡à âãî ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨î.
¥ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì, ⥬ ¥ ¬¥¥¥, â ª, çâ®¡ë ® ®¡« ¤ « ¥ª®â®à묨 ®¡é¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨, ¨âã¨â¨¢® ¯à¨áã騬¨ ®¡ë箬㠮¯à¥¤¥«¥¨î ¨â¥£à « . ¯à¨¬¥à, ¬®¦® ¯®âॡ®¢ âì, çâ®¡ë ¨â¥£à « ¡ë« ¨¢ ਠ⥠¯à¨ ᤢ¨£¥ ¯¥à¥¬¥®© ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ª®áâ âã:
Z
dCf(C) =
Z
dCf(C + )
(2.231)
â® ¢á¥£¤ â ª á ®¡ëçë¬ ¨â¥£à «®¬ ¢ ¡¥áª®¥çëå ¯à¥¤¥« å, ® ¤® ïá® ¯®¨¬ âì, çâ® R¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¨ç¥£® ®¡é¥£® á ®¡ëçë¬ ¨â¥£à «®¬ ¥â (ªà®¬¥ ®¡®§ 票ï ), ¥â âãâ ¨ ¨ª ª¨å ¯à¥¤¥«®¢ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. ᯮ«ì§ãï ï¢ë© ¢¨¤ f(C) (2.223), ¯®«ãç ¥¬:
Z
dC(a + bC) =
Z
dC[a + b(C + )]
Z
dCbC =
Z
â ª çâ® dCb(C + )
(2.232)
:
®âªã¤ á«¥¤ã¥â:
Z
¨«¨, ¢¢¨¤ã ¯à®¨§¢®«ì®á⨠b ,
dCb = 0
71
(2.233)
Z
dC = 0 (2.234) ¤¥áì { ¤à㣮© í«¥¬¥â «£¥¡àë à áᬠ, ¥ § ¢¨áï騩 ®â C ¨ ⨪®¬¬ãâ¨àãR î騩 á C. áâ î騩áï ¥é¥ ¨â¥£à « dCC ¬®¦® ¯à®áâ® ¤®®¯à¥¤¥«¨âì ãá«®¢¨¥¬:
Z
dCC = 1
(2.235)
á«®¢¨ï (2.234) ¨ (2.235) ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¯¥à æ¨î ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï.
áâ¥á⢥®, çâ® â ª ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¥ ¨¬¥¥â ¨ª ª®£® ®¡ë箣® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® á¬ëá« . ®«¥¥ ⮣®, ¢ á«ãç ¥ ®¤®¬¥à®© «£¥¡àë à áᬠ¬ë df = b, ® ¨ R dCf(C) = b, â ª çâ® ®¯¥à æ¨ï ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¤¥©áâ¢ã¥â ¨¬¥¥¬ dC äãªæ¨î â ª ¦¥, ª ª ¨ ®¯¥à æ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï! n-¬¥à®¬ á«ãç ¥ ¯®« £ ¥¬:
Z
Z
dCi = 0
dCiCi = 1
(2.236)
ãáâì ⥯¥àì ¨ { ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ £à áᬠ®¢ë ¯¥à¥¬¥ë¥, â ª çâ®:
Z
d =
Z
®áª®«ìªã 2 = 2 = 0, ¨¬¥¥¬: â ª çâ® ¯®«ãç ¥¬:
Z
dde; =
Z
Z
d = 0
d =
Z
d = 1
e; = 1 ;
Z
(2.237) (2.238)
Z
dd ; dd = 0 + dd = 1
(2.239)
©¤¥¬ ⥯¥àì ®¡®¡é¥¨¥ í⮩ ä®à¬ã«ë á«ãç © ¡®«ì襣® ç¨á« ¨§¬¥à¥¨©. áᬮâਬ ¤¢ã¬¥àë© á«ãç ©, ¢¢®¤ï, ¤«ï 㤮¡á⢠, ®¡®§ 票ï: = 1 = 1 (2.240) 2 2 ®ª § ⥫ì íªá¯®¥âë (â®ç¥¥ T ) ¨¬¥¥â ¢¨¤: = 11 + 22 (2.241) «¥¤®¢ ⥫ì®: ( )2 = (11 + 22 )(11 + 22 ) = = 1 122 + 22 11 = 211 22 (2.242) £¤¥ ã竨, çâ® 12 = 22 = 12 22 = 0. ®«¥¥ ¢ë᮪¨¥ á⥯¥¨ à ¢ë ã«î ¨ ¬ë, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥¬: e; = 1 ; (1 1 + 22) + 112 2 (2.243)
72
:
ਬ¥ïï ¢¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ ¯à ¢¨« ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ¢¨¤¨¬, çâ®:
Z
dde; =
Z
d1d2d1d2112 2 = 1
(2.244)
ª ª ¨ ¢ ®¤®¬¥à®¬ á«ãç ¥. ஢¥¤¥¬ ⥯¥àì § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï: = M
= N
(2.245)
£¤¥ M ¨ N { ¬ âà¨æë 2 2, ¨ ®¢ë¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ £à áᬠ®¢ë ¯¥à¥¬¥ë¥. ®£¤ ¨¬¥¥¬: 1 2 = (M11 1 + M12 2)(M21 1 + M22 2 ) = = (M11 M22 ; M12 M21) 1 2 = (DetM) 1 2
(2.246)
£¤¥ ã竨 ⨪®¬¬ãâ ⨢®áâì £à áᬠ®¢ëå ¯¥à¥¬¥ëå. ⮡ë á®åà ¨âì ¯à ¢¨« ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï Z Z d1d212 = d 1d 2 1 2 (2.247) 㦮 ¯®âॡ®¢ âì:
d1d2 = (DetM);1 d 1d 2 (2.248) çâ® ®â«¨ç ¥âáï ®â ®¡ë箣® ¯à ¢¨« § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå á⥯¥ìî ¤¥â¥à¬¨ â . ç¨âë¢ ï = N M = N M T = ; M T N = M T N (2.249) § ¯¨è¥¬ (2.244) ¢ ¢¨¤¥: (DetMN);1
Z
d d e; M T N = 1
(2.250)
®áª®«ìªã DetMN = DetM T N, ®âáî¤ á«¥¤ã¥â ®¡é¨© १ã«ìâ â:
Z
d d e; A = DetA
(2.251)
çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© £ ãáᮢ ¨â¥£à « ¯® £à áᬠ®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. â®¡ë ®¯¨áë¢ âì ä¥à¬¨¥¢áª¨¥ ¯®«ï ᮢ¥à訬 ⥯¥àì ¯¥à¥å®¤ ª ¡¥áª®¥ç®¬¥à®© £à áᬠ®¢®© «£¥¡à¥, £¥¥à â®àë ª®â®à®© ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì C(x):
Z
fC(x); C(y)g = 0
(2.252)
@ L;R C(x) = (x ; y) @C(y)
(2.253)
dC(x) = 0
Z
dC(x)C(x) = 1
(2.254)
१ã«ìâ ⥠ã á ¢®§¨ª îâ äãªæ¨® «ìë¥ ¨â¥£à «ë ¯® £à áᬠ®¢ë¬ (ä¥à¬¨¥¢áª¨¬) ¯®«ï¬. £à ¦¨ ¨à ª , ª ª ¨§¢¥áâ®, ¨¬¥¥â ¢¨¤: L = i @ ; m (2.255)
73
:
®£¤ ®à¬¨à®¢ ë© ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï ᢮¡®¤®£® ¯®«ï ¨à ª ¨¬¥¥â ¢¨¤: Z Z Z0 [; ] = N1 D D exp i dx[ (x)(i @ ; m) (x) + (x) (x) + (x)(x)] (2.256) £¤¥ ®à¬¨à®¢®çë© ¬®¦¨â¥«ì
Z
Z
N = D D exp i dx (x)(i @ ; m) (x)
(2.257)
¤¥áì ¬ë ¢¢¥«¨ £à áᬠ®¢ ¨áâ®ç¨ª (x) ¤«ï ¯®«ï (x) ¨ (x) ¤«ï ¯®«ï (x). «ï ᮪à é¥¨ï § ¯¨á¨ 㤮¡® ¢¢¥á⨠®¡®§ 票¥ S ;1 = i @ ; m ®£¤ :
(2.258)
Z Z 1 Z0 [; ] = N D D exp i dx( S ;1 + + )
(2.259)
áᬮâਬ ª¢ ¤à â¨çãî ä®à¬ã: Q( ; ) = S ;1 + +
(2.260)
©¤¥¬ § 票¥ , ª®â®à®¥ ¥¥ \¬¨¨¬¨§¨àã¥â" ¨§ ãá«®¢¨ï: @ L Q = S ;1 + = 0 @ R Q = S ;1 + = 0 (2.261) @ @ çâ® ¤ ¥â: m = ;S (2.262) m = ;S £¤¥ ¯à¥¤¯®«®¦¨«¨ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ®¯¥à â®à , ®¡à ⮣® S ;1 . \¬¨¨¬ã¬¥" ¨¬¥¥¬: Q = Qm = Q( m ; m ) = ;S (2.263) ®£¤ èã ª¢ ¤à â¨çãî ä®à¬ã ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: Q = Qm + ( ; m )S ;1 ( ; m ) (2.264) ®®â¢¥âá⢥®:
Z0 [; ] = N1
Z
Z
D D exp i dx[Qm + ( ; m )S ;1 ( ;
m )] =
Z Z = N1 exp ;i dx dy(x)S(x ; y)(y) Det(;iS ;1 )
(2.265)
£¤¥ ¯à¨ ¯®«ã票¨ ¯®á«¥¤¥£® ¢ëà ¦¥¨ï ¬ë ¢ë¥á«¨ ¬®¦¨â¥«ì eiQm § § ª ¨â¥£à « , ¯®áª®«ìªã Qm ¥ § ¢¨á¨â ®â ¨ , ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ®ç¥¢¨¤ë¬ äãªæ¨® «ìë¬ ®¡®¡é¥¨¥¬ (2.251):
Z
D D e; A = DetA
(2.266)
74
:
«®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® N = Det(iS ;1 ), â ª çâ® ®ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬ ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ᢮¡®¤®£® ¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï ¢ ¢¨¤¥:
Z
Z
Z0 [; ] = exp ;i dx dy(x)S(x ; y)(y)
(2.267)
¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ®¯¥à â®à S ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® áãé¥áâ¢ã¥â. ¨¬¥¥â ¢¨¤: S(x) = (i @ + m)F (x) (2.268) £¤¥ F (x) { å®à®è® ¨§¢¥áâë© ¬ 䥩¬ ®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à ᪠«ïண® ¯®«ï. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨á¯®«ì§ãï (2.258) ¨¬¥¥¬: S ;1 S = (i @ ; m)(i @ + m)F (x) = (;2 ; m2 )F (x) = (x) (2.269) ¥¯¥àì ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ᢮¡®¤ë© ¯à®¯ £ â®à ¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï ª ª: 2 Z0 [; ] j (x; y) = ; (x) ==0 = (y) ;i Z dx Z dy(x)S(x ; y)(y) j = ; (x) (2.270) ==0 = iS(x ; y) (y) £¤¥ ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ exp(;S) = 1 ; S. 㬬¨à㥬 ⥯¥àì ä®à¬ã«ë, ®â®áï騥áï ª ᢮¡®¤ë¬ ᪠«ï஬㠨 ᯨ®à®¬ã ¯®«ï¬. «ï ᪠«ïண® ¯®«ï ¨¬¥¥¬: L0 = 21 @ '@ ' ; 12 m2 '2 = ; 12 '(2 + m2 )' (2.271) ë 諨 ¢ëè¥ (x; y) = iF (x ; y) (2.272) £¤¥ F { 䥩¬ ®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãà ¢¥¨î: (2 + m2 )F (x ; y) = ;(x ; y) (2.273) «ï ᯨ®à®£® (¤¨à ª®¢áª®£®) ¯®«ï ¨¬¥¥¬: L0 = i @ ; m = S ;1 (2.274) (x; y) = iS(x ; y) (2.275) ®¡®¨å á«ãç ïå ¢¨¤¨¬, çâ® ¯à®¯ £ â®à ¥áâì ®¯¥à â®à, ®¡à âë© ª®íää¨æ¨¥â㠯ਠª¢ ¤à â¨ç®¬ ç«¥¥ ¢ « £à ¦¨ ¥. ®¦® ¢®®¡é¥ ¯à¨ïâì íâ® ¢ ª ç¥á⢥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¯ £ â®à ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®«ï. ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ä¥à¬¨ { ¯®«¥© ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ ¢¯®«¥ «®£¨ç® ¡®§¥¢áª®¬ã á«ãç î: Z 1 1 Z[; ] = exp i dxLint i ; i Z0 [; ] (2.276) âáî¤ ¬®¦® ¢ë¢¥á⨠¢á¥ ¯à ¢¨« ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨ ¤«ï ä¥à¬¨¥¢áª¨å ¯®«¥©, ¢¯®«¥ «®£¨ç® ⮬ã, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« ® ¢ëè¥ ¢ ᪠«ï஬ á«ãç ¥.
¤¨á⢥®© áãé¥á⢥®© ®á®¡¥®áâìî, á¢ï§ ®© á £à áᬠ®¢®© ¯à¨à®¤®© ä¥à¬¨¥¢áª¨å ¯®«¥©, ï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬®áâì ᮯ®áâ ¢«¥¨ï ¤®¯®«¨â¥«ì®£® ¬®¦¨â¥«ï
:
75
(-1), ª ¦¤®© ä¥à¬¨®®© ¯¥â«¥17. ë ¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¯®¤à®¡® ä®à¬ã«¨à®¢ªã ¤¨ £à ¬¬ëå ¯à ¢¨« ¢ ¬®¤¥«ïå ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ®¤¨å ⮫쪮 ä¥à¬¨®®¢, ¯®áª®«ìªã ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨ª®¢áª®£® ¢á¥ ®¨, ª ᮦ «¥¨î, ïîâáï ¥¯¥à¥®à¬¨à㥬묨.
ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¬®¤¥«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© ä¥à¬¨®®¢, ª®â®à ï ॠ«ì® ¯à¨¬¥ï¥âáï ¤«ï ®¯¨á ¨ï ¯à®æ¥áᮢ á í«¥¬¥â à묨 ç áâ¨æ ¬¨, ¯à¨¢¥¤¥¬ â ª §ë¢ ¥¬®¥ 4-ä¥à¬¨®®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¥à¬¨. ® ¬®¦¥â ¡ëâì ãá¯¥è® ¨á¯®«ì§®¢ ® ¤«ï ®¯¨á ¨ï ¨§ª®í¥à£¥â¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨﫥¯â®®¢. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 « £à ¦¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï(¤«ï ¤¢ãå ¯¥à¢ëå ¯®ª®«¥¨© «¥¯â®®¢) § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬 áâ ¤ à⮬ ¢¨¤¥ [27]: (2.277) Lint = pG jw+ jw 2 £¤¥ jw { ®¯¥à â®à á« ¡®£® ⮪ «¥¯â®®¢: jw = e ; e + ; jw+ = e ; e + ; (2.278) £¤¥ ; = 1 (1 ; 5 ) (1 + ) (2.279) 2 ¨¦¨¥ ¨¤¥ªáë ¯®«¥¢ëå ®¯¥à â®à®¢ ®¡®§ ç îâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ç áâ¨æë (í«¥ªâà® e, ¬î® , í«¥ªâà®®¥ ¥©âਮ e , ¬î®®¥ ¥©âਮ ). § ¯à®á⥩襣® à §¬¥à®£® «¨§ ïá®, çâ® íâ®â « £à ¦¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥¯¥à¥®à¬¨à㥬®© ⥮ਨ { ª®áâ â á¢ï§¨ G ï¥âáï à §¬¥à®© ¢¥«¨ç¨®©, á à §¬¥à®áâìî ª¢ ¤à â ¤«¨ë ¨«¨ ®¡à ⮣® ª¢ ¤à â ¬ ááë.
¥ ç¨á«¥®¥ § 票¥, å®à®è® ¨§¢¥á⮥ ¨§ ®¡à ¡®âª¨ ¤ ëå ¯® ¨§ª®í¥à£¥â¨ç¥áª¨¬ ¯à®æ¥áá ¬ (®¯¨áë¢ ¥¬ë¬ ¯¥à¢ë¬ ¯®à浪®¬ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ¯® G) á «¥¯â® ¬¨, â ª¨¬, ª ª à ᯠ¤ ¬î® , à ¢®: 3 G = 1:0 10;5 m~ c = 1:43 10;49 erg cm3 (2.280) p £¤¥ mp { ¬ áá ¯à®â® , ¢¢¥¤¥ ï §¤¥áì ¯à®áâ® ª ª à §¬¥àë© ¯ à ¬¥âà.
¥ ¯®ï¢«¥¨¥ ¢ (2.280) ¢¯®«¥ ¯à®¨§¢®«ì®, ¬ë ¥é¥ 㢨¤¨¬, ª ª â ª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¢®§¨ª ¥â, ª ª íä䥪⨢®¥, ¢ ¨§ª®í¥à£¥â¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤¥«¥ ᮢ६¥®© ⥮ਨ í«¥ªâ஬ £¨âëå ¨ á« ¡ëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©. ¢¨¤ã ¥¯¥à¥®à¬¨à㥬®á⨠⥮ਨ ¯®«ï á (2.277), íâ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¥«ì§ï à áᬠâਢ âì ¢ ª ç¥á⢥ ä㤠¬¥â «ì®£®, ¡¥áá¬ëá«¥® ¢ë¯¨áë¢ âì ¨ ¯®¯à ¢ª¨ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©.
ய £ â®àë ¨ ª «¨¡à®¢®çë¥ ãá«®¢¨ï ¢ ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¥. á«ãç ¥ ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¨ ¬ ªá¢¥««®¢áª®£® ¯®«ï, ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¨¬¥¥â ¢¨¤:
Z
Z
Z[J] = DA exp i dx(L + J A )
(2.281)
£¤¥ J { ¢¥è¨© ⮪®¢ë© ¨áâ®ç¨ª, 1 F F L = ; 16
(2.282)
17 ¥âà㤮 ¯®ª § âì [8], çâ® ¯à®¨á宦¤¥¨¥ í⮣® ¬®¦¨â¥«ï á¢ï§ ® á äãªæ¨® «ìë¬ ®¡®¡2 饨¥¬ (2.227), ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤: (x)2(y) = ; (y) (x) .
76
:
믮«¨¢ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® dx ¯® ç áâï¬ ¨ ®â¡à®á¨¢ ¯®¢¥àå®áâë¥ ç«¥ë ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì íâ®â « £à ¦¨ ¢ ¢¨¤¥: (2.283) L = 21 A [g 2 ; @ @ ]A £à ¦¨ í«¥ªâ஬ £¨â®£® ¯®«ï ¨¢ ਠ⥠®â®á¨â¥«ì® £à ¤¨¥âëå (ª «¨¡à®¢®çëå) ¯à¥®¡à §®¢ ¨© A ! A + @ . ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¨â¥£à « ¢ (2.281) ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ A , ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¯® ⥬, ª®â®àë¥ á¢ï§ ë ¤àã£ á ¤à㣮¬ ª «¨¡à®¢®çë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬. 祢¨¤®, çâ® íâ® ¯à¨¢¥¤¥â ª ¡¥áª®¥ç®¬ã ¢ª« ¤ã ¢ Z ¨ ¢ äãªæ¨¨ ਠ. á®, ç⮠㦮 䨪á¨à®¢ âì ¥ª®â®àãî ç áâãî ª «¨¡à®¢ªã â ª, çâ®¡ë ¨â¥£à « ¯® A ¥ ¡à «áï ¯® ¯®«ï¬, á¢ï§ ë¬ ¤àã£ á ¤à㣮¬ ª «¨¡à®¢®çë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬. ¤¥áì ¬ë áâ «ª¨¢ ¥¬áï á ¯à®¡«¥¬®©, ª®â®à ï áâ ®¢¨âáï ®á®¡¥® ®áâன ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª § ¤ ç¥ ª¢ ⮢ ¨ï ¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®çëå ¯®«¥©. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢ à ¬ª å äãªæ¨® «ì®£® ¯®¤å®¤ ª ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï í⠯஡«¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® à¥è¥ . ª íâ® ¤¥« ¥âáï ¡ã¤¥â ¤®áâ â®ç® ¯®¤à®¡® ¯®ª § ® ¢ á«¥¤ãî饩 £« ¢¥, ¯®ª ®£à ¨ç¨¬áï ¥áª®«ìª¨¬¨ § ¬¥ç ¨ï¬¨ â¥å¨ç¥áª®£® å à ªâ¥à .
᫨ «®¦¨âì ¢¥ªâ®à - ¯®â¥æ¨ « ãá«®¢¨¥ ®à¥æ @ A = 0, â® « £à ¦¨ (2.283) ¯¥à¥©¤¥â ¢: L = 21 A g 2A (2.284) ¯¥à â®à, ®¡à âë© ¯® ®â®è¥¨î ª g 2 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¯ £ â®à ¥©¬ (á¬. ¯à¨¬¥à « ¢ã 4 ç á⨠I): DF (x; y) = ;g F (x; y; m = 0) (2.285) ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨, ¢®§¨ª î騩 ¨§ (2.284) ®¯¥à â®à ;g k2 ¨¬¥¥â ®¡à âë© ®¯¥à â®à ¢¨¤ ;g k12 , â ª ç⮠䥩¬ ®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à í«¥ªâ஬ £¨â®£® ¯®«ï ¢ ª «¨¡à®¢ª¥ ®à¥æ ¨¬¥¥â ¢¨¤: (2.286) DF (k) = ; gk2 ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ª « £à ¦¨ ã ¬®¦® ¤®¡ ¢¨âì ç«¥, 䨪á¨àãî騩 ª «¨¡à®¢ªã á ¯à®¨§¢®«ìë¬ ª®íää¨æ¨¥â®¬ : 1 1 1 1 2 L = ; 16 F F ; 2 (@ A ) = 2 A g 2 + ; 1 @ @ A (2.287) ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ª¢ ¤à ⥠¯®«ï ¨¬¥¥¬ ¢¨¤: (2.288) ; k2 g + 1 ; 1 kk ®¡à âë© ¥¬ã ®¯¥à â®à ¤ ¥â ¯à®¯ £ â®à ¢¨¤ : 1 k k D (k) = ; k2 g + ( ; 1) k2 (2.289) ਠ! 1 ¯®«ãç ¥¬ ®âáî¤ ä¥©¬ ®¢áª¨© ¯à®¯ £ â®à (ª «¨¡à®¢ª ®à¥æ ¥©¬ ). ਠ! 0 ¯®«ãç ¥¬ ¯à®¯ £ â®à ¢ ª «¨¡à®¢ª¥ ¤ ã.
« ¢ 3
:
¥ ¡¥«¥¢ë ª «¨¡à®¢®çë¥ ¯®«ï ¨ ¬¥â®¤ ¤¤¥¥¢ {®¯®¢ . ¥à¥©¤¥¬ ª ¯®áâ஥¨î ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®çëå ¯®«¥©. ¤ ç ª¢ ⮢ ¨ï ¯®«¥© £ - ¨««á ¤®«£®¥ ¢à¥¬ï ®áâ ¢ « áì ¥à¥è¥®© ¨§-§ âà㤮á⥩, á¢ï§ ëå á ¥®¡å®¤¨¬®áâìî ª®à४⮣® ãç¥â ª «¨¡à®¢®ç®© ¨¢ ਠâ®áâ¨. ç áâ®áâ¨, ¥ 㤠¢ «®áì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯à®¢¥á⨠ª¢ ⮢ ¨¥ ¢ à ¬ª å ª ®¨ç¥áª®£® (®¯¥à â®à®£®) ¯®¤å®¤ ª ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï, ¥á¬®âàï ¥£® ãᯥ讥 ¯à¨¬¥¥¨¥ ª ¡¥«¥¢®© ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¥. ®«®¥ à¥è¥¨¥ í⮩ ¯à®¡«¥¬ë ¡ë«® ¤®á⨣ãâ® ¤¤¥¥¢ë¬ ¨ ®¯®¢ë¬ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ äãªæ¨® «ìëå ¬¥â®¤®¢. ¯®á«¥¤ãî饬 ¨§«®¦¥¨¨ ¢ í⮩ £« ¢¥ ¬ë á«¥¤ã¥¬, ¢ ®á®¢®¬, ª¨£¥ [11].
¢à¨áâ¨ç¥áª®¥ à áᬮâ२¥ ®á®¢®© ¨¤¥¨.
ëè¥ ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¢¥«¨ç¨ ®¡ëçë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«¥®£® ¯à®¨§¢®¤ï饣® äãªæ¨® « Z ¢ ª «¨¡à®¢®ç®© ⥮ਨ (¤ ¦¥ ¢ í«¥ªâத¨ ¬¨ª¥), ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ï¥âáï ¡¥áª®¥ç®©, ¯®áª®«ìªã ¢ ¥¬ 䨣ãà¨àã¥â ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ¢á¥¬ 77
78
:
¨á. 3-1
¯®«ï¬ A , ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¯® ⥬, ª®â®àë¥ á¢ï§ ë ¤àã£ á ¤à㣮¬ ª «¨¡à®¢®ç묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨, ®áâ ¢«ïî騬¨ ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¨¢ ਠâë¬. ०¤¥ 祬 ¯à¨áâ㯠âì ª ¢ëç¨á«¥¨ï¬, ª®â®àë¥ ¯®§¢®«ïâ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ®â¤¥«¨âì ¡¥áª®¥çë© \®¡ê¥¬ë©" ¬®¦¨â¥«ì ¨§ (¡¥áª®¥ç®¬¥à®£®) äãªæ¨® «ì®£® ¨â¥£à « ¯® ª «¨¡à®¢®ç®¬ã ¯®«î, à áᬮâਬ, ¤«ï ¨««îáâà 樨 ®á®¢®© ¨¤¥¨ ¬¥â®¤ , ®¡ëçë© ¤¢ã¬¥àë© ¨â¥£à « ¢¨¤ : W=
Z
Z
dx dyeiS (x;y) =
Z
dreiS (r)
(3.1)
£¤¥ r = (r; ) § ¤ ¥â ¯®«ïàë¥ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ ¯«®áª®áâ¨. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ( «®£ ¤¥©á⢨ï!) äãªæ¨ï S(r) ¨¢ ਠ⠮â®á¨â¥«ì® ¢à 饨© ¢ ¤¢ã¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥: S(r) = S(r ) (3.2) ¯à¨ r = (r; ) ! r = (r; + ). â® ®§ ç ¥â, çâ® S(r) ¯®áâ®ï ®ªà㦮áâïå (\®à¡¨â å") ¢ ¯«®áª®á⨠(x; y), ¯®ª § ëå ¨á.3-1( ).
᫨ ¢ í⮬ âਢ¨ «ì®¬ ¯à¨¬¥à¥ ¬ë å®â¨¬ ãç¨âë¢ âì ¢ª« ¤ ¢ ¨â¥£à « ⮫쪮 ®â ¥íª¢¨¢ «¥âëå § 票© S(r), ⮠㦮 ¢ë¤¥«¨âì \®¡ê¥¬ë© ¬®¦¨â¥«ì", ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¨R ⥣à¨à®¢ ¨î ¯® 㣫®¢®© ¯¥à¥¬¥®©1 d = 2. ⮡ë ᤥ« âì íâ® ä®à¬ «ìë¬ ¯ã⥬, à áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ¯à¨¥¬, ª®â®àë© ¤ «¥¥ ¡ã¤¥â ®¡®¡é¥ ¡®«¥¥ á«®¦ë¥ á«ãç ¨. ®¤áâ ¢¨¬ ¢ è ¨â¥£à « 1, § ¯¨á ãî ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥2: 1= ®£¤ ¨¬¥¥¬: £¤¥
W=
Z
d
Z
Z
d ( ; )
dreiS (r)( ; ) =
Z
(3.3)
Z
W = dr( ; ')eiS (r)
d W
(3.4) (3.5)
¢ëç¨á«ï¥âáï ¤«ï ¤ ®£® § 票ï 㣫 = . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë á ç « ¢ëç¨á«ï¥¬ W ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ § 票¨ 㣫 = (á¢ï§ì!), § ⥬ ¨â¥£à¨à㥬 ¯® ¢ª« ¤ ¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¢á¥¬ § ç¥¨ï¬ (á¬. ¨á.3-1( )). ᯮ«ì§ãï ¨¢ ਠâ®áâì äãªæ¨¨ S (3.2), ¨¬¥¥¬: W = W 0 (3.6) 1 ⥣à¨à®¢ ¨¥ ¯® 㣫®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ¢ ¯à¥¤¥« å ®â 0 ¤® 2, ᮮ⢥âá⢥® ¯à¥¤¥«ë  ¥ ¢ë¯¨áë¢ ¥¬. 2 ¤¥áì ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® ¯®¯ ¤ ¥â ¢ ¨â¥à¢ « (0; 2).
:
79
«¥¤®¢ ⥫ì®, \®¡ê¥¬" ®à¡¨âë ¬®¦® ¢ë¤¥«¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¬®¦¨â¥«ï: W=
Z
Z
d W = W d = 2W
(3.7)
®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®¦® ¢ë¡à âì ¡®«¥¥ á«®¦ãî á¢ï§ì, 祬 = , ª®â®àãî ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥¬ ¥ª®â®à®© ªà¨¢®© g(r) = 0, ¯¥à¥á¥ª î饩 ª ¦¤ãî ®à¡¨âã ⮫쪮 ®¤¨ à §, ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.3-1(¡), â ª çâ® ãà ¢¥¨¥ g(r ) = 0 ¤®«¦® ¨¬¥âì ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï ¤ ®£® § 票ï r. áᬠâਢ ï â ªãî á¢ï§ì ®¡é¥£® ¢¨¤ , ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢¬¥áâ® ¯à®á⮣® ãà ¢¥¨ï (3.3), \¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¥¤¨¨æë" ¢¨¤ : Z 1 = g (r) d [g(r )] (3.8) ç¥ £®¢®àï, ®¯à¥¤¥«¨¬ äãªæ¨î g (r) ª ª: [g (r)];1 =
Z
d [g(r )]
(3.9)
ᯮ«ì§ãï ®¡é¥¥ ¯à ¢¨«®:
Z
¯®«ãç ¥¬:
Z 1 (z) = 1 j dx[f(x)] = dz df=dx df=dx z=0 g (r) = @g(@r ) jg=0
(3.10) (3.11)
¯à¨ç¥¬ g (r) ¨¢ ਠ⠮â®á¨â¥«ì® ¤¢ã¬¥àëå ¢à 饨©: [g (r 0 )] =
Z
d [g(r + 0 )] =
Z
d 00[g(r 00 )] = [g (r)];1
(3.12)
®£¤ , ¯®¢â®àïï à áá㦤¥¨ï, «®£¨çë¥ ¯¥à¥å®¤ã ®â (3.4) ª (3.7), ¬®¦® ᮢ ¢ë¤¥«¨âì ¨§ ¨â¥£à « \®¡ê¥¬ë© ¬®¦¨â¥«ì" 2: W=
Z
d
Z
drg (r)[g(r )]eiS (r) =
Z
d W
Z
£¤¥
W = dreiS (r)g (r)[g(r )]
(3.13) (3.14)
¤¥áì-â® ¨ ᮤ¥à¦¨âáï ¢áï ¥âਢ¨ «ì ï ç áâì ¨â¥£à « . \¡ê¥¬ë©" ¬®¦¨â¥«ì à ¢¥, ª ª ¬ë ¯®¨¬ ¥¬, ¯à®áâ® 2, ç⮠ï¥âáï ä®à¬ «ìë¬ á«¥¤á⢨¥¬ ¨¢ ਠâ®á⨠W ®â®á¨â¥«ì® ¢à 饨©:
Z
W 0 = dreiS (r)g (r)[g(r 0 )] =
Z
dr0eiS (r0 ) g (r0 ) = W
(3.15)
£¤¥ ¢¢¥¤¥ ¯¥à¥¬¥ ï r0 = (r; 0) ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ⥬, çâ® S(r), g (r) ¨ ¬¥à ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï dr ¨¢ ਠâë ®â®á¨â¥«ì® ¢à 饨©. ª¨¬ ®¡à §®¬ \à¥æ¥¯â" ¢ë¤¥«¥¨ï \®¡ê¥¬®£®" ¬®¦¨â¥«ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¯®¤ ¨â¥£à « ¢¢®¤¨âáï ®£à ¨ç¨¢ îé ï -äãªæ¨ï, ª®â®à ï 㬮¦ ¥âáï g , ®¯à¥¤¥«¥ãî ãá«®¢¨¥¬ (3.9).
80
:
뤥«¥¨¥ ®¡ê¥¬®£® ¬®¦¨â¥«ï ¢ äãªæ¨® «ì®¬ ¨â¥£à «¥.
¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâà¥¨î ¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®çëå ⥮਩. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠à áᬮâਬ á«ãç © ¯®«¥© £ - ¨««á á ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯®© SU(2). £à ¦¨ â ª®© ⥮ਨ ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 F a F a a = 1; 2; 3 L = ; 16 (3.16) £¤¥ a = @ Aa ; @ Aa + g"abc Ab Ac F (3.17) ¤¥áì g { ï£-¬¨««á®¢áª ï ª®áâ â á¢ï§¨. ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ®¯à¥¤¥«¨¬, ª ª ®¡ëç®, ¢ ¢¨¤¥: ~= Z[J]
Z
Z
DA~ exp i dx[L(x) + J~ A~ (x)]
¥©á⢨¥ ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï: A~ ! A~ £¤¥
(3.18) (3.19)
(3.20) A~ ~ 2 = U() A~ ~ 2 + ig1 U ;1 ()@ U() U ;1() U() = exp i~(x) ~ 2 (3.21) { ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ᯨ®à®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï £à㯯ë SU(2). ¡«¨§¨ ¥¤¨¨ç®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï U() ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥: (3.22) U() = 1 + i~ ~ 2 + O(2 ) ¥«¨ç¨ë ~(x) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯ à ¬¥âàë £à㯯ë, § ¢¨áï騥 ®â â®çª¨ ¯à®áâà á⢠- ¢à¥¬¥¨, ~ { ¬ âà¨æë 㫨 ¢ ¨§®â®¯¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥. ¥©á⢨¥ 襩 ⥮ਨ ¯®áâ®ï® (¨¢ ਠâ®) ®à¡¨â¥ ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯ë, á®áâ®ï饩 ¨§ ¢á¥å A~ , ¯®«ãç¥ëå ¨§ ¥ª®â®à®© 䨪á¨à®¢ ®© ª®ä¨£ãà 樨 A~ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ U(), ¯à®¡¥£ î騬 ¯® ¢á¥¬ í«¥¬¥â ¬ £à㯯ë SU(2). ਠ¯à ¢¨«ì®¬ ª¢ ⮢ ¨¨ äãªæ¨® «ì®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¤®«¦® ®áãé¥á⢫ïâìáï ¯® \£¨¯¥à¯®¢¥àå®áâ¨" ¢ äãªæ¨® «ì®¬ ¯à®áâà á⢥, ª®â®à ï ¯¥à¥á¥ª ¥â ª ¦¤ãî ®à¡¨âã «¨èì ®¤¨ à §. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¬ë § ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ í⮩ £¨¯¥à¯®¢¥àå®á⨠¢ ¢¨¤¥: fa (A~ ) = 0 a = 1; 2; 3 (3.23) â® ãà ¢¥¨¥
fa (A~ ) = 0 (3.24) ¤®«¦® ¨¬¥âì ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ~ ¯à¨ ¤ ®© ¯®«¥¢®© ª®ä¨£ãà 樨 A~ . â® ãá«®¢¨¥ 䨪á¨àã¥â ¢ë¡®à ª «¨¡à®¢ª¨.
81
:
¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âà ¬ ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯ë: [d~] =
Y3
a=1
da
(3.25)
᫨ ¬ë ᮢ¥àè ¥¬ ¤¢ ª «¨¡à®¢®çëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ~ ¨ ~0 , ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¬ âà¨æ ¨¬¥¥â ¢¨¤ U()U(0 ) ¨ ¯ à ¬¥âàë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á㬬¨àãîâáï: ~ + ~0 . ®í⮬㠮¯à¥¤¥«¥ ï ᮣ« á® (3.25) ¬¥à ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ï¥âáï ¨¢ ਠ⮩ ®â®á¨â¥«ì® ª «¨¡à®¢®çëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©, ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ã£«ë ¯à®¡¥£ î⠯ਠ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¢á¥ ¬ë᫨¬ë¥ § ç¥¨ï ¨ ᤢ¨£ ª®áâ âã 0 ¨ç¥£® ¥ ¬¥ï¥â. ¨¬¢®«¨ç¥áª¨ íâ® § ¯¨áë¢ îâ ª ª d(~~0 ) = d~00 = d~. ¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®áâ㯨âì ª ª ¨ ¢ëè¥ (¯à¨ à áᬮâ२¨ ®¡ë箣® ¨â¥£à « ), ¨ ¢¢¥á⨠f [A~ ]:
Z
;f 1[A~ ] = [d~(x)][fa(A~ )] âáî¤ ¨¬¥¥¬:
f [A~ ] = DetMf { ¤¥â¥à¬¨ â ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ , £¤¥ a (Mf )ab = f b
(3.26) (3.27) (3.28)
®¤à®¡¥¥ í⨠¢ëª« ¤ª¨ ¢ë£«ï¤ïâ â ª. ஢®¤ï ®¡ëçãî ¤¨áªà¥â¨§ æ¨î ¯à®áâà á⢠¨ ¯®á«¥¤ãî騩 ¯à¥¤¥«ìë© ¯¥à¥å®¤, ¬®¦¥¬ ¯¨á âì: Z YY YYZ ;2 (x);3 (x)) = ; 1 ~ f [A ] = da (x)[fa(x)] = dfa (x)[fa(x)] @@ ((f1 ((xx));f 1 2 (x);f3 (x)) x a x a h i h a(x) i Y = Det @a (x) = Det @fb (x) f =0 fb (x) f =0 (3.29) x
¯®á«¥¤¥¬ à ¢¥á⢥ (¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¥¯à¥à뢮¬ã x) ¢®§¨ª ¥â äãªæ¨® «ìë© ¤¥â¥à¬¨a (x) â (类¡¨ ) ¬ âà¨æë á ¥¯à¥àë¢ë¬¨ ¨¤¥ªá ¬¨ fb (y) , ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ᮡá⢥ëå § 票© í⮩ ¬ âà¨æë. âà¨æ Mf á¢ï§ á ¡¥áª®¥ç® ¬ «ë¬¨ ª «¨¡à®¢®ç묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ äãªæ¨¨ fa [A~ ]:
Z a (x) (y) + O(2 ) = f[A~ (x)] = fa [A~ (x)] + dy f b b (y) Z = fa [A~ (x)] + dy[Mf (x; y)]abb (y) + O(2 )
(3.30)
®£¤ ¨§ âॡ®¢ ¨ï ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (3.24) fa (A~ ) = 0 ®â®á¨â¥«ì® ~ á«¥¤ã¥â, çâ® DetMf ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. ®ªà¥âë© ¢¨¤ Mf , ¥áâ¥á⢥®, § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ⮣® ¨«¨ ¨®£® ãá«®¢¨ï ª «¨¡à®¢ª¨ (¢¨¤ äãªæ¨¨ fa ), ï¢ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï á«ãç ï ª «¨¡à®¢ª¨ ®à¥æ ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥ë ¨¦¥. ¥â¥à¬¨ â ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ f [A~ ] ª «¨¡à®¢®ç® ¨¢ ਠâ¥. á ¬®¬ ¤¥«¥, § ¯¨è¥¬ ;f 1 [A~ ] =
Z
[d~0 (x)][fa(A~ )0 ]
(3.31)
82
:
®£¤ ;f 1 [A~ ] =
Z
0 [d~0 (x)][fa(A~ )] =
=
Z
Z
0 [d~(x)~0 (x)][fa(A~ )] =
[d~00 (x)][fa(A~00 )] = ;f 1 [A~ ]
(3.32)
çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. â® ¢¯®«¥ «®£¨ç® (3.12).
®¤áâ ¢¨¬ ⥯¥àì ¢®§¨ª î饥 ¨§ (3.26) \¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¥¤¨¨æë"
Z
1 = [d~(x)]f [A~ ][fa (A~ )]
(3.33)
¢ (3.18). ®£¤ , ®¡®§ ç ï ¤«ï ¥¤¨®®¡à §¨ï ¬¥à㠨⥣à¨à®¢ ¨ï ¯® ¯®«ï¬ £ ¨««á ª ª [dA~ (x)], ¯®«ãç ¥¬:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
[dA~ (x)] exp i dxL(x) =
= [d~(x)] [dA~ (x)]f [A~ ][fa(A~ )] exp i dxL(x) =
Z
= [d(x)] [dA~ (x)]f [A~ (x)][fa(A~ )] exp i dxL(x)
(3.34)
ਠ¯®«ã票¨ ¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠R ¬ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ¨¢ ਠâ®áâìî ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï f [A~ ] ¨ exp i dxL(x) ®â®á¨â¥«ì® ª «¨¡à®¢®çëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© A~ ! Q A~ . ®£¤ ¢¨¤¨¬, çâ® ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ~(x) ¨ R [d~(x)] = x d~(x) ¤ ¥â ¯à®áâ® ¡¥áª®¥çë© \®¡ê¥¬" ®à¡¨âë, ª®â®àë© ¬ë ¨ å®â¥«¨ ¢ë¤¥«¨âì! ®í⮬ã, ®¯ã᪠ï íâ®â ¥ã¦ë© ¬®¦¨â¥«ì, ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï A~ ¬®¦® § ¯¨á âì ª ª:
Z
Z
~ = [dA~ ]f [A~ ][fa (A~ )] exp i dx[L(x) + J~ A~ ] = Z[J]
Z
Z
= [dA~ ](DetMf )[fa (A~ )] exp i dx[L(x) + J~ A~ ]
(3.35)
í⮬ áãâì â ª §ë¢ ¥¬®£® § âæ ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ , ¬ë ãáâà 塞 ¢á¥ «¨è¨¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ¢¢®¤ï ¢ äãªæ¨® «ìãî ¬¥àã ¬®¦¨â¥«ì DetMf [f(A~ )].
¡¥«¥¢ ª «¨¡à®¢®ç ï ⥮à¨ï ().
áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¯à¨¬¥à { ª¢ ⮢ãî í«¥ªâத¨ ¬¨ªã. í⮬ á«ãç ¥ ª «¨¡à®¢®ç®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª: A = A (x) ; g1 @ (x) (3.36) í⮬ á«ãç ¥, ¯à¨ «î¡®¬ ¢ë¡®à¥ ª «¨¡à®¢®ç®£® ãá«®¢¨ï (3.23), «¨¥©®£® ¯® ¯®«î A (x), ¬ âà¨æ Mf (3.28) ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯®«ï A (x). ®í⮬㠤¥â¥à¬¨ â ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ¥ áãé¥á⢥ á 䨧¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï, ¥£® ¬®¦® ¢ë¥á⨠§
83
:
§ ª äãªæ¨® «ì®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® A (x) ¨ ¯à®áâ® ®¯ãáâ¨âì3. ®£¤ ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:
Z
Z
Z[J] = [dA][f(A )] exp i dx[L(x) + J (x)A (x)]
(3.37)
£¤¥ [f(A )] 䨪á¨àã¥â ª®ªà¥âãî ª «¨¡à®¢ªã, ¯®á«¥ 祣® ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ®¡ë箩 ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ .
¥©¬ ®¢áª¨¥ ¤¨ £à ¬¬ë ¢ ¥ ¡¥«¥¢®© ⥮ਨ. ¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¯®¤à®¡®¬ã à áᬮâà¥¨î ¯®áâ஥¨ï ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨ ¤«ï ¥ ¡¥«¥¢®© ⥮ਨ. ¥à¥¯¨è¥¬ ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « (3.35) ¢ ¢¨¤¥:
Z
Z
~ = [dA~ ] exp iSeff + i dxJ~ A~ Z[J]
(3.38)
£¤¥ ¬ë ¯à®áâ® ¯¥à¥¯¨á «¨ ¬®¦¨â¥«ì DetMf [fa (A~ )] ¢ ¢¨¤¥ exp ln(DetMf [fa (A~ )]), ¢¥«¨ç¨ã ;i ln(DetMf [fa (A~ )]) ¢ª«î稫¨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ íä䥪⨢®£® ¤¥©á⢨ï Seff .
áâ¥á⢥®, çâ® «¨ç¨¥ â ª®£® ç«¥ ¢ íä䥪⨢®¬ ¤¥©á⢨¨ ãá«®¦ï¥â § ¤ çã ¯®áâ஥¨ï ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨. 㦮 á ç « ¯®¯ëâ âìáï ¯à¥¤áâ ¢¨âì íâ®â ¢ª« ¤ ¢ ¡®«¥¥ ¥áâ¥á⢥®¬ ¢¨¤¥.
\ãå¨" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ .
¥«¨ç¨ã DetMf ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ íªá¯®¥âë, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ä®à¬ã«®©: DetMf = exp[Sp ln Mf ]
(3.39)
®ª § ⥫ìá⢮ (3.39) âਢ¨ «ì®. ¢¥á⢮ ln DetMf = Sp ln Mf ®ç¥¢¨¤® ¤«ï «î¡®© ¬ âà¨æë: DetMf ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢á¥å ᮡá⢥ëå § 票© Mf , ln DetMf ¤ ¥â ⮣¤ á㬬㠫®£ à¨ä¬®¢ ¢á¥å ᮡá⢥ëå § 票© Mf , â.¥. ª ª à § Sp ln Mf . ।áâ ¢«ïï ¬ âà¨æã Mf ¢ ¢¨¤¥:
Mf = 1 + L ¨ à §« £ ï «®£ à¨ä¬ ¢ àï¤, ¬®¦® ¯¨á âì: exp[Sp lnMf ] = exp SpL + 21 SpL2 + ::: + n1 SpLn + ::: = Z Z Z = exp dxLaa(x; x) + 12 dx dyLab (x; y)Lba (y; x) + :::
(3.40)
(3.41)
3 â®çª¨ §à¥¨ï ¯®á«¥¤ãî饣® ¨§«®¦¥¨ï ¬®¦® ᪠§ âì, çâ® ¢ \¤ãå¨" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ á ¯®«¥¬ A , ¯®â®¬ã ¥ áãé¥á⢥ë.
84
:
¨á. 3-2
®í⮬㠤¥â¥à¬¨ â ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯¥â«¥¢®£® à §«®¦¥¨ï4, ¯®ª § ®£® ¨á.3-2, £¤¥ ᯫ®èë¥ «¨¨¨ ®¡®§ ç î⠯ய £ â®àë ¥ª®â®àëå 䨪⨢ëå ç áâ¨æ (\¤ã客" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ), ®¡à §ãîé¨å ¨§®â®¯¨ç¥áª¨© âਯ«¥â ª®¬¯«¥ªáëå ᪠«ïàëå (¡¥áᯨ®¢ëå) ¯®«¥© ~c(x). ⨠¯®«ï ¨ ¨å ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬®¦® ®¯¨á âì ¯à®¨§¢®¤ï騬 äãªæ¨® «®¬:
(Z
Z
DetMf = [d~c][d~c+] exp i dxdy
X ab
)
c+a (x)[Mf (x; y)]ab cb (y)
(3.42)
¤¥áì ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® £à áᬠ®¢ë¬ ~c(x);~c+ (x), ¨ ç¥ (¤«ï c-ç¨á«®¢ëå ¯®«¥©) ¬ë ¯®«ã稫¨ ¡ë (DetMf );1 ! ®í⮬ã ᪠«ïàë¥ ¯®«ï ~c(x);~c+ (x) ¯®¤ç¨ïîâáï áâ â¨á⨪¥ ¥à¬¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, \¤ãå¨" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ïîâáï ä¥à¬¨® ¬¨ ᮠᯨ®¬ 0! ¨ª ª®£® ¯à®â¨¢®à¥ç¨ï á ⥮६®© ® á¢ï§¨ ᯨ ¨ áâ â¨á⨪¨ âãâ, ª®¥ç® ¦¥, ¥â, ¯®áª®«ìªã í⨠\¤ãå¨" ïîâáï ç¨á⮠䨪⨢묨 ç áâ¨æ ¬¨, ª®â®àë¥ ¢¢®¤ïâáï ¢ ⥮à¨î ¤«ï \㤮¡á⢠§ ¯¨á¨". ®áª®«ìªã ¨å ¢ª« ¤ ¢ ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ᢮¤¨âáï ª ¯¥â«¥¢®¬ã àï¤ã (3.41), ¢ ⥮ਨ ¥ ¢®§¨ª ¥â ¤¨ £à ¬¬ á ¢¥è¨¬¨ «¨¨ï¬¨ \¤ã客".
«¥ë 䨪á¨àãî騥 ª «¨¡à®¢ªã.
®¯ëâ ¥¬áï ⥯¥àì ¯à¥¢à â¨âì ¢ íªá¯®¥âã ç«¥ [fa (A~ )]. «ï í⮣® á ç « ®¡®¡é¨¬ ãá«®¢¨¥, 䨪á¨àãî饥 ª «¨¡à®¢ªã, ¯¥à¥¯¨á ¢ ¥£® ¢ ¢¨¤¥: fa [A~ ] = Ba (x) (3.43) £¤¥ Ba (x) { ¯à®¨§¢®«ì ï äãªæ¨ï ¯à®áâà á⢥® - ¢à¥¬¥®© â®çª¨, ¥ § ¢¨áï~ . ®®â¢¥âá⢥®, ®¯à¥¤¥«¨¬ f ãá«®¢¨¥¬: é ï ®â ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï A
Z
f [A~ ] [d~(x)][fa(A~ ) ; Ba (x)] = 1
(3.44)
祢¨¤®, çâ® ¢¢¨¤ã ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠Ba (x) ®â A~ íâ® â ¦¥ á ¬ ï äãªæ¨ï f , çâ® ¨ ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢ (3.26)5, § ¢¨á¨¬®á⨠®â Ba (x) âãâ, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¥â! ®í⮬㠯ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « (3.35) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: Z Z 1 B~ 2 (x)] ~ = [dA~ ][dB](DetM ~ ~ ~ ~ Z[J] )[f ( A ) ; B ] exp i dx[ L (x) ; J A ; f a a 2 (3.45) £¤¥ ¬ë ¥é¥ ¢ª«î稫¨ ¢ ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ª®áâ âã ¢¨¤ : Z Z ~ exp ; i dxB~ 2(x) [dB] (3.46) 2 4 â® à §«®¦¥¨¥ «®£¨ç® ¯¥â«¥¢®¬ã à §«®¦¥¨î ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ¢ ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï [13] 5 â® ¯à®áâ® «®£ (3.6) ¢ á«ãç ¥ ®¡ë箣® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï.
:
85
£¤¥ { ¯à®¨§¢®«ìë© ¯®áâ®ïë© ª®íää¨æ¨¥â, ¨¬¥ã¥¬ë©, ®¡ëç®, ª «¨¡à®¢®çë¬ ¯ à ¬¥â஬. १ã«ìâ â¥, ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « (3.45) ®â«¨ç ¥âáï ®â (3.35) ¥áãé¥áâ¢¥ë© ¯®áâ®ïë© ¬®¦¨â¥«ì, ª®â®àë© ¬®¦® ¢ª«îç¨âì ¢ ®à¬¨à®¢ªã. ® ⥯¥àì, á ¯®¬®éìî -äãªæ¨¨, ¢å®¤ï饩 ¢ (3.45), ¬®¦® áïâì ¨â¥~ £à¨à®¢ ¨¥ ¯® [dB(x)]. ¨â®£¥, ãç¨âë¢ ï ¥é¥ ¨ (3.42), ¯®«ãç ¥¬:
Z
~ = [dA~ ][d~c][d~c+] exp(iSeff [J]) ~ Z[J]
(3.47)
~ = S[J] ~ + Sfix + Sghost Seff [J]
(3.48)
dxffa [A~ (x)]g2
(3.49)
£¤¥:
~ = R dx[L(x) + J~ A~ ] { ®¡ë箥 ¤¥©á⢨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ, £¤¥ S[J] 1Z Sfix = ; 2
{ â ª §ë¢ ¥¬ë© ç«¥, 䨪á¨àãî騩 ª «¨¡à®¢ªã, ¨ Sghost =
Z
dxdy
X ab
c+a (x)[Mf (x; y)]ab cb(y)
(3.50)
{ ¤¥©á⢨¥ \¤ã客".
«¨¡à®¢ª ®à¥æ .
«®à¥æ¥¢áª®© ª «¨¡à®¢ª¥ ¨¬¥¥¬: fa (A~ ) @ Aa = 0 a = 1; 2; 3 ਠ¨ä¨¨â¥§¨¬ «ìëå ª «¨¡à®¢®çëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå U() = 1 + i~(x) ~ 2 + O(2 ) 1 a a abc b c Aa = A (x) + " (x)A (x) ; g @ (x) ®¤áâ ¢«ïï (3.53) ¢ (3.51) ¨¬¥¥¬: 1 a abc b c ~ ~ fa (A ) = fa (A ) + @ " (x)A (x) ; g @ (x) = Z ~ = fa (A ) + dy[Mf (x; y)]ab b (y)
(3.51) (3.52) (3.53)
(3.54)
£¤¥ ¢ ¯®á«¥¤¥¬ à ¢¥á⢥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (3.30). ®£¤ ¢¨¤¨¬, çâ® ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ [Mf (x; y)]ab = ; g1 @ [ ab@ ; g"abc Ac ](x ; y) (3.55) ®¤áâ ¢«ïï ¢á¥ íâ® ¢ (3.49) ¨ (3.50), ¯®«ãç ¥¬: Z Sfix = ; 21 dx(@ A )2 (3.56)
86
:
Z X Sghost = g1 dx c+a (x)@ [ab @ ; g"abc Ac ]cb(x)
(3.57)
ab
¨¤¨¬, çâ® ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ \¤ãå¨" ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ á ª «¨¡à®¢®çë¬ ¯®«¥¬ A~ , çâ® ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢â®àë¬ ç«¥®¬ ¢ ª¢ ¤à âëå ᪮¡ª å ¢ (3.57). «®£¨ç®¬ ¢ëà ¦¥¨¨ ¢ â ª®© ç«¥ ¯à®áâ® ®âáãâá⢮¢ « 6 . ¢¥¤¥¬ ¥é¥ £à áᬠ®¢ë ¨áâ®ç¨ª¨ a+ ; a ¤«ï \¤ã客ëå" ¯®«¥© ca ; c+a , § ¯¨è¥¬ ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ ¢ ¢¨¤¥:
Z
Z
~ ~; ~+ ] = [dA~ d~cd~c+ ] exp i dx[L(x); Z[J;
; 21 (@ Aa )2 + c+a @ (ab @ ; g"abc Ac )cb + Ja Aa + a+ ca + a ca+ ]
(3.58)
£¤¥ ¬ë ¥é¥ ¯¥à¥®¯à¥¤¥«¨«¨, ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬, ¯®«ï ca ; c+a , ¢ª«î稢 ¢ ¨å ¬®¦¨â¥«ì 1=g.
§«®¦¥¨¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©.
¯¨è¥¬ ⥯¥àì ¤¥©á⢨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ ¢ ¢¨¤¥: Seff = S0 + SI (3.59) £¤¥ Z 1 1 a a 2 a 2 + 2 a a a + a a a + S0 = dx ; 16 (@ A ; @ A ) ; 2 (@ A ) + ca @ ca + J A + c + c (3.60) ç«¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ᮤ¥à¦ 騩 á⥯¥¨ ¯®«¥© ¢ëè¥ ¢â®à®©, ¨¬¥¥â ¢¨¤: Z 1 SI = dx ; 2 (@ Aa ; @ Aa )g"abc Ab Ac + 14 g2 "abc"adc Ab Ac Ad Ae ; ;igca+ @ "abcAc cb (3.61) ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¬®¦® ⥯¥àì § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: #) ( " ~ c0[~; ~+ ] ~ ~; ~+ ] = exp iSI ; ; ZA0 [J]Z (3.62) Z[J; i J~ i~ i~+ £¤¥ Z 1 Z 1 0 a a 2 a 2 a a ~ ~ ZA [J] = [dA] exp i dx ; 16 (@ A ; @ A ) ; 2 (@ A ) + J A (3.63) Z 0 [~; ~+ ] =
Z
Z ;i
dx[ca+ @ 2 ca ; a+ ca ; a ca+ ]
(3.64) âáî¤ ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ ¢ë¢®¤¨âáï à §«®¦¥¨¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©. ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¯®¤à®¡® ¯à®¢®¤¨âì íâ®â ¢ë¢®¤, ®£à ¨ç¨¬áï ᢮¤ª®© ®á®¢ëå ¯à ¢¨« ¯®áâ஥¨ï ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨. ¥¤®áâ î騥 ¯®¤à®¡®á⨠¬®¦® ©â¨ ¢ 楫®¬ à拉 ª¨£, ¯à¨¬¥à ¢ [8, 9, 10, 11, 12]. c
[d~c+ ][d~c] exp
6 ¥ ¡¥«¥¢®¬ á«ãç ¥ â ª¦¥ ¬®¦® ¢ë¡à âì á¯¥æ¨ «ìãî, â.. ªá¨ «ìãî ª «¨¡à®¢ªã, ¢ ª®â®à®© \¤ãå¨" 㤠¥âáï ¯®«®áâìî ¨áª«îç¨âì [11], ®¤ ª® \¯« ⮩" § í⮠ï¥âáï ¢¥áì¬ £à®¬®§¤ª¨© ¢¨¤ ¯à®¯ £ â®à ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï.
87
:
ய £ â®àë.
â®¡ë ©â¨ ¯à®¯ £ â®à ¯®«ï A~ , ¯¥à¥¯¨è¥¬ ZA0 ¢ ¢¨¤¥: Z 1 Z ; 1 2 b a a a 0 ~ ~ = ZA [J] = [dA ] exp i dx 2 A g @ ; @ @ ab A + J A Z 1 Z Ab + J a Aa = [dA~ ] exp i dx 2 Aa Kab (3.65) £¤¥ (3.66) Kab = g @ 2 ; 1 ; 1 @ @ ab ⥣à¨à®¢ ¨¥ [dA~ ] ¬®¦® ¢ë¯®«¨âì, ¯®«ì§ãïáì ¨§¢¥á⮩ ¬ ä®à¬ã«®© ¤«ï £ ãáᮢ ¨â¥£à « (2.47), ª®â®à ï, ¢ ç áâ®áâ¨, ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ â ª®¬ ¢¨¤¥: 1 Z [d'] exp ; 2 < 'K' > + < J' > (DetK);1=2 exp < JK ;1 J > (3.67) £¤¥ 㣫®¢ë¬¨ ᪮¡ª ¬¨ ®¡®§ ç¥ë ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨â¥£à «ë. ਬ¥¥¨¥ í⮩ ä®à¬ã«ë ª (3.65) ¤ ¥â: Z b ~ = exp ; i dxdyJa (x)G ZA0 [J] (x ; y)J (3.68) ab 2 £¤¥ Z d4k k k 1 k k ; ik ( x ; y ) ab ; g ; k2 ; k2 k2 + i" (3.69) Gab (x ; y) = (2)4 e ¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ®
Z
(x ; y)Gbc (y ; z) = g c (x ; z) dyKab a â ª çâ® G ¥áâì ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®¡à âë© ®¯¥à â®à ¤«ï K. «®£¨ç® 室¨¬:
Z 0 [~; ~+ ] = exp £¤¥:
c
Z ;i
dxdya+ (x)Gab(x ; y)a (y)
(3.70)
(3.71)
Z d4k e;ik(x;y) Gab (x ; y) = ; (2) (3.72) 4 k2 + i" ab â® ¯àאַ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮬ã, çâ® \¤ãå" ï¥âáï ᪠«ïன ç áâ¨æ¥© á ã«¥¢®© ¬ áᮩ (® ¯®¤ç¨ïî饩áï áâ â¨á⨪¥ ¥à¬¨). ¨â®£¥ ¨¬¥¥¬: 1. ய £ â®à ¡¥§¬ áᮢëå ¢¥ªâ®àëå ¡®§®®¢: 1 k k ab i (k) = ;iab g ; (1 ; ) k2 k2 + i" (3.73) ®¡®§ ç ¥¬ë© £à 䨪 å ¢®«¨á⮩ «¨¨¥©. 2. ய £ â®à \¤ã客" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ : iab(k) = ;iab k2 +1 i" (3.74) ®¡®§ ç ¥¬ë© ¯ãªâ¨à®¬ á® áâ५ª®© (\¤ãå" ®â«¨ç ¥âáï ®â \ ⨤ãå "!).
88
:
¨á. 3-3
¥àè¨ë í«¥¬¥â àëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©.
¥ ¡¥«¥¢ëå ⥮à¨ïå ¨¬¥¥âáï á ¬®¤¥©á⢨¥ ª «¨¡à®¢®çëå ¯®«¥© ¤¢ãå ⨯®¢, çâ® § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: " (k1)" (k2)" (k3 );abc (3.75) (k1 ; k2; k3) " (k1 )" (k2)" (k3)" (k4);abcd (3.76) (k1; k2; k3; k4) £¤¥ ¢ë¯¨á ë â ª¦¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥ªâ®à ¯®«ïਧ 樨. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¯à ¢¨« ¥©¬ ¢ë⥪ îâ ¥¯®á।á⢥® ¨§ (3.61). ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¯¥à¢ë© ç«¥ ¢ (3.61) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ª ª: 1 Aa (k )Ab (k )Ac ;abc (k ; k ; k ) (3.77) 1 2 1 2 3 3! ¥àè¨ ;abc ¤®«¦ ¡ëâì ¯®«®áâìî â¨á¨¬¬¥âà¨ç ¯à¨ ¯¥à¥áâ ®¢ª¥ ¯®«¥© A. âàãªâãà , á¢ï§ ï á ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯®© SU(2) 㦥 䨪á¨à®¢ : abc ;abc (3.78) (k1; k2; k3) = " ;(k1 ; k2; k3) «®à¥æ¥¢ã áâàãªâãàã í⮩ äãªæ¨¨ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. § (3.61) ïá®, çâ® ; (k1; k2; k3) á®á⮨⠨§ ç«¥®¢ ¢¨¤ k2g . ®çãî ª®¬¡¨ æ¨î íâ¨å ç«¥®¢ ¬®¦® ãáâ ®¢¨âì ¨§ âॡ®¢ ¨ï â¨á¨¬¬¥âਨ ;(k1; k2; k3) ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ ¨¤¥ªá®¢: ; , 1; 2 ¨ â. ¤., á ãç¥â®¬ ¯®«®© â¨á¨¬¬¥âਨ ⥧®à "abc . ª¨¬ ®¡à §®¬ ©¤¥¬: abc i;abc (3.79) = ig" [(k1 ; k2) g + (k2 ; k3) g + (k3 ; k1) g ] £¤¥ k1 + k2 + k3 = 0. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 £à 䨪 ¤«ï \âன®©" ¢¥àè¨ë ¯®ª § ¨á.3-3. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦® ©â¨ ¢¥àè¨ã \ç¥â¢¥à®£®" ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¢â®à®¬ã á« £ ¥¬®¬ã ¢ (3.61): 2 abe cde i;abcd = ig [" " (g g ; gg ) + +"ace "bde (g g ; g g ) + "ade "cbe (g g ; g g )] (3.80) çâ® ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à 䨪®¬ ¨á.3-4. ¤¥áì k1 + k2 + k3 + k4 = 0. «ï ¢¥àè¨ë, á¢ï§ë¢ î饩 \¤ãå¨" ¨ ª «¨¡à®¢®çë¥ ¯®«ï á ¢¥ªâ®à®¬ ¯®«ïਧ 樨 " (q) ¨¬¥¥¬: abc i;abc (3.81) = g" k1 £¤¥ k1 = k2 + q. â ¢¥àè¨ ¨§®¡à ¦¥ ¨á.3-5, ® â¨á¨¬¬¥âà¨ç ¯® ¨§®á¯¨®¢ë¬ ¨¤¥ªá ¬. ¯®¬¨¬, çâ® \¤ã客ë¥" «¨¨¨ ¢å®¤ïâ ¢ ¤¨ £à ¬¬ë ⮫쪮 ¢ ¢¨¤¥ ¯¥â¥«ì. àï¤ã á ª ¦¤®© ¤¨ £à ¬¬®©, ᮤ¥à¦ 饩 § ¬ªãâãî ¯¥â«î ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï, áãé¥áâ¢ã¥â íª¢¨¢ «¥â ï ¥© ¤¨ £à ¬¬ á § ¬ªã⮩ \¤ã客®©"
:
89
¨á. 3-4
¨á. 3-5
«¨¨¥© ¢ ⮬ ¦¥ ¬¥áâ¥. ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ®¡ëçëå ä¥à¬¨®ëå ¯®«¥©, ª ¦¤ ï \¤ã客 ï" ¯¥â«ï ¤®«¦ 㬮¦ âìáï ¤®¯®«¨â¥«ì® (;1). â ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯ à ¬¥âà § ¢¨á¨â ⮫쪮 ¯à®¯ £ â®à ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï (3.69), ¥£® § 票¥ ¯®¤¡¨à ¥âáï ¨§ á®®¡à ¦¥¨© 㤮¡á⢠¯à¨ à¥è¥¨¨ ª®ªà¥âëå § ¤ ç. ¯à¨¬¥à = 1 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª «¨¡à®¢ª¥ â'®®äâ - ¥©¬ , = 0 ®â¢¥ç ¥â ª «¨¡à®¢ª¥ ¤ ã. ¢¥¤¥¨¥ ä¥à¬¨®®¢ ¢ ç¨áâãî ⥮à¨î £ - ¨««á , à áᬮâà¥ãî ¢ëè¥, ¥ ¢ë§ë¢ ¥â âà㤮á⥩: ¤®áâ â®ç® ¤®¡ ¢¨âì ª « £à ¦¨ ã ª «¨¡à®¢®ç® - ¨¢ ਠâë¥ ç«¥ë ⨯ : Lf = (i D ; m) (3.82) £¤¥ D = @ ; igT a Aa (3.83) a ¤¥áì T { £¥¥à â®à ª «¨¡à®¢®ç®© £àã¯¯ë ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ï¥âáï SU(2) ¤ã¡«¥â®¬, â® T a = a =2. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢®§¨ª î ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ¯à ¢¨« ¥©¬ ¤«ï ä¥à¬¨®®¢ (á £à㯯®¢ë¬¨ ¨¤¥ªá ¬¨ n; m; :::): 1. ¥à¬¨®ë© ¯à®¯ £ â®à ¨¬¥¥â áâ ¤ àâë© ¢¨¤: imn (k) = nm k ;1m + i" (3.84) ¨ ¨§®¡à ¦ ¥âáï ᯫ®è®© «¨¨¥©. 2. ¥àè¨ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î ä¥à¬¨® á ª «¨¡à®¢®çë¬ ¯®«¥¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤: a i; (3.85) nm = ig(T )nm à ä¨ç¥áª¨ íâ® ¯®ª § ® ¨á.3-6. âàãªâãà ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨, ®¯¨á ï ¢ëè¥ á®åà ï¥âáï ¨ ¤«ï ¤àã£¨å ª «¨¡à®¢®çëå £à㯯, â ª¨å, ª ª ¨¡®«¥¥ ¢ ¦ ï, á ¯à ªâ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï, £à㯯 SU(3) 梥⮢®© ᨬ¬¥âਨ ª¢ મ¢. §¨æ ⮫쪮 ¢ à §¬¥à®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ¨ ¢ ¢¨¤¥ ¬ âà¨æ £¥¥à â®à®¢ £à㯯ë. áâ®ï饬㠬®¬¥âã ¬ë 㦥 ¤®áâ â®ç® ¯®§ ª®¬¨«¨áì á ®á®¢ ¬¨ ᮢ६¥®© ⥮ਨ ª¢ ⮢ëå ª «¨¡à®¢®çëå ¯®«¥©, «¥¦ 騬¨ ¢ ®á®¢¥ áâ ¤ à⮩
90
:
¨á. 3-6
¬®¤¥«¨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ. ®à ¯¥à¥©â¨ ª ®¡á㦤¥¨î ª®ªà¥âëå ¬®¤¥«¥© ¨å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ® ®áâ «¨áì ¥é¥ ¨ ¥ª®â®àë¥ ¯à®¡«¥¬ë ª®æ¥¯â㠫쮣® å à ªâ¥à , ª®â®àë¥ ¬ë ®¡á㦤 «¨ ¢ ç «¥ 襣® ªãàá . ç áâ®áâ¨, ¯®ª ¥ ïá®, ª ª ¡ëâì á ¯à®¡«¥¬®© ¡¥§¬ áᮢ®á⨠¯®«¥© £ - ¨««á , 室ï饩áï, ª § «®áì-¡ë, ¢ à §¨â¥«ì®¬ ª®âà á⥠á íªá¯¥à¨¬¥â®¬, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ãî饬 ® ⮬, çâ® ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¤ «ì®¤¥©áâ¢ãî騬 ¯®«¥¬ ¢ à¨à®¤¥ (ªà®¬¥ £à ¢¨â 樮®£®) ï¥âáï ( ¡¥«¥¢®) í«¥ªâ஬ £¨â®¥ ¯®«¥. á«¥¤ãî饩 £« ¢¥ ¬ë 㢨¤¨¬, ª ª í⠯஡«¥¬ à¥è ¥âáï ¢ ¥¤¨®© ⥮ਨ á« ¡®£® ¨ í«¥ªâ஬ £¨â®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ª ®¡á㦤¥¨î ª®â®à®© ¬ë ¨ ¯¥à¥å®¤¨¬. ¬¥ç ⥫ì®, çâ® à¥è¥¨¥ í⮩ ¯à®¡«¥¬ë ®ª §ë¢ ¥âáï ®á®¢ ë¬ ¨¤¥ïå ¨ ¬¥â®¤ å, § ¨¬á⢮¢ ëå ª¢ ⮢®© ⥮ਥ© ¯®«ï ¨§ ᮢ६¥®© ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï.
« ¢ 4
-
¯®â ®¥ àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ ¨ ⥮६ ®«¤áâ®ã . ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, áãé¥áâ¢¥ë© ¯à®£à¥áá ¢ ᮢ६¥®© ⥮ਨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ ¡ë« ¤®á⨣ãâ ¡« £®¤ àï ¨á¯®«ì§®¢ ¨î àï¤ ª®æ¥¯æ¨© ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï. ¨¡®«¥¥ ¢ ¦ë¬ ®ª § «®áì ¢¢¥¤¥¨¥ ¢ ª¢ ⮢ãî ⥮à¨î ¯®«ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ® ¢®§¬®¦®áâ¨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢, ª®£¤ ᨬ¬¥âà¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ®ª §ë¢ ¥âáï ¡®«¥¥ ¨§ª®©, 祬 ᨬ¬¥âà¨ï « £à ¦¨ . í⮬ ¯ã⨠㤠«®áì à¥è¨âì 㯮¬¨ ¢èãîáï ¯à®¡«¥¬ã £¥¥à 樨 ¬ áá ª «¨¡à®¢®çëå ¡®§®®¢ ¡¥§ àãè¥¨ï «®ª «ì®© ª «¨¡à®¢®ç®© ¨¢ ਠâ®á⨠¨ ¯à¨©â¨ ª ç१¢ëç ©® ¡®£ ⮩ ¨ ¥âਢ¨ «ì®© ª à⨥, «¥¦ 饩 ¢ ®á®¢¥ áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨. ®«¥¥ ⮣®, ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ® á¥à¨¨ ¢®§¬®¦ëå ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ «¥¦¨â ¢ ®á®¢¥ ᮢ६¥®© ª®á¬®«®£¨¨ ¨ 䨧¨ª¨ ¢¥é¥á⢠¢ íªáâ६ «ìëå ãá«®¢¨ïå ¢ë᮪¨å ¯«®â®á⥩ ¨ ⥬¯¥à âãà. ¤¥áì ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï «¨èì à áᬮâ२¥¬ àï¤ ®á®¢ëå ¨¤¥©, áë£à ¢è¨å à¥è îéãî à®«ì ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ¥¤¨®© ⥮ਨ á« ¡ëå ¨ í«¥ªâ஬ £¨âëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©1. 祬 ®¯ïâì á ¯à®á⥩襣® ¯à¨¬¥à ᪠«ïண® ¢¥é¥á⢥®£® ¯®«ï '(x) á 1 §«®¦¥¨¥
¢ í⮩ £« ¢¥, ¢ ®á®¢®¬, á«¥¤ã¥â [34].
91
92
-
¨á. 4-1
á ¬®¤¥©á⢨¥¬. áᬮâਬ « £à ¦¨ ¢¨¤ : (4.1) L = 12 (@ ')2 ; V (') = 21 (@t ')2 ; 12 (r')2 ; V (') £¤¥ V (') { ¥ª®â®à ï äãªæ¨ï ¨¢ ਠ⮢ ¯®«ï. ¥à¢ë© ç«¥ ¢® ¢â®à®¬ ¢ëà ¦¥¨¨ ¬®¦® âà ªâ®¢ âì ª ª ¯«®â®áâì ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨ ¯®«ï, ®áâ «ìë¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯«®â®áâì ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨. § (4.1) ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï: @2 ' = ; @V@'(') ¨«¨ @t2 ' ; r2' = ; @V@'(') (4.2)
à ªâ¥à à¥è¥¨© ãà ¢¥¨© ¯®«ï áãé¥á⢥® § ¢¨á¨â ®â ¢¨¤ \¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨" á ¬®¤¥©á⢨ï V ('). áᬮâਬ á ç « á«ãç ©, ®â¢¥ç î騩 \®¡ë箩", âà ¤¨æ¨®®© ⥮ਨ ¯®«ï, à áᬠâਢ ¢è¥©áï ¢ëè¥. ãáâì V (') ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¯®ª § ë© ¨á.4-1( ). ®£¤ á¨á⥬ ¨¬¥¥â á®áâ®ï¨¥ \ãá⮩稢®£® à ¢®¢¥á¨ï" ' = 0, ¢®ªà㣠ª®â®à®£® ¯®«¥ ¬®¦¥â ᮢ¥àè âì \¬ «ë¥ ª®«¥¡ ¨ï". ¡«¨§¨ ¯®«®¦¥¨ï à ¢®¢¥á¨ï ¬®¦® ¢á¥£¤ ¯¨á âì: 2 V (') 2 '2 (4.3) £¤¥ 2 = @@'2 V2 '=0 , â ª çâ® (4.2) ᢮¤¨âáï ª: @2 ' + 2 ' = 0 (4.4) â.¥. ª ãà ¢¥¨î «¥© - ®à¤® .
᫨ ¨áª âì ¥£® à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ ¯«®áª®© ¢®«ë ' eikx, â® ¨§ (4.4) áà §ã á«¥¤ã¥â ®¡ëçë© § ª® ¤¨á¯¥àᨨ ५ï⨢¨áâ᪮© ç áâ¨æë á ¬ áᮩ : k02 = k2 + 2 . «¥¤ãî騥 ç«¥ë à §«®¦¥¨ï V (') ¯à¨¢®¤ïâ ª ¥«¨¥©ë¬ ç«¥ ¬ ¢ ¯®«¥¢ëå ãà ¢¥¨ïå. ¨ ®¯¨áë¢ îâ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¯«®áª¨å ¢®« ¨«¨ à áá¥ï¨¥ ç áâ¨æ. £à ¨ç¨¬áï V (') = 21 2'2 + 14 '4 (4.5) 㡨ç¥áª¨© ç«¥ ¥ ¢¢®¤¨¬, çâ®¡ë ªà¨¢ ï V (') ¡ë« ᨬ¬¥âà¨ç®© ®â®á¨â¥«ì® ' ! ;', ⮣¤ ¢á¥£¤ ¥áâì ¬¨¨¬ã¬ V (') ¯à¨ ' = 0. £à ¨ç¥¨¥ ç«¥®¬ '4
-
93
¨¬¥¥â ¯à¨æ¨¯¨ «ì®¥ § 票¥, ⮣¤ ª®áâ â á¢ï§¨ > 0 ¡¥§à §¬¥à , ⥮à¨ï ¯¥à¥®à¬¨à㥬 . ®¡é¥¬, í⮠㦥 å®à®è® ¨§¢¥áâ ï ¬ ⥮à¨ï '4 . áᬮâਬ ⥯¥àì á«ãç © 2 < 0. â® ¥áª®«ìª® áâà ®, ¯®áª®«ìªã, á ¨¢®© â®çª¨ §à¥¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬¨¬®© ¬ áᥠç áâ¨æ. ® 㦮 ¯à®¢¥á⨠¡®«¥¥ ªªãà ⮥ à áᬮâ२¥. ¥¯¥àì ' = 0 ¥ ï¥âáï ¡®«¥¥ ¯®«®¦¥¨¥¬ ãá⮩稢®£® à ¢®¢¥á¨ï, ¯®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¯®ª § ë© ¨á.4-1(¡)2. ¨¤¨¬, çâ® ¢®§¨ª îâ ¤¢ ¯®«®¦¥¨ï ãá⮩稢®£® à ¢®¢¥á¨ï á¨á⥬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥:
r
2 (4.6) ' = = j j §«®¦¥¨¥ V (') ¢ â®çª å (4.6), á â®ç®áâìî ¤® ª¢ ¤à â¨çëå ç«¥®¢, ¤ ¥â: 2 2 2 2 V (') = 4 ; 2 (' ; )2 = 4 ; 2 (')2 (4.7) £¤¥ ' = ' ; , ¯à¨ç¥¬ ;2 (')2 > 0 ¢ ᨫã 2 < 0. âáî¤ ¢¨¤®, çâ® ãà ¢¥¨ï ¯®«ï (4.2) ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì à¥è¥¨ï ¤«ï ' ¢ ¢¨¤¥ ¯«®áª¨å ¢®« á ¢®«®¢ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ k, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î (§ ª®ã ¤¨á¯¥àᨨ) k2 = 2jj2, â ª p çâ® í⨬ ¢®« ¬ ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢮¢ âì ç áâ¨æë á ¯®«®¦¨â¥«ì®© ¬ áᮩ m = 2jj2. ªâ¨ç¥áª¨, ¬ë ¨¬¥¥¬ §¤¥áì ¤¥«® á ä §®¢ë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¨á⥬ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®¤® ¨§ ¤¢ãå ¯®«®¦¥¨© à ¢®¢¥á¨ï ¨á.4-1(¡), ¯®«¥ ᮢ¥àè ¥â ¬ «ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¢¡«¨§¨ í⮣® ®¢®£® ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï.
ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ª®«¥¡ ¨ï á¨á⥬ë, ¨¬¥î饩 ¤¢ â ª¨å ¬¨¨¬ã¬ ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨, ¥ ®£à ¨ç¨¢ îâáï ®¡« áâìî ¢¡«¨§¨ ®¤®£® ¨§ ¯®«®¦¥¨© à ¢®¢¥á¨ï. ¥¦¤ã ¤¢ã¬ï â ª¨¬¨ ®¡« áâﬨ ¢®§¬®¦¥ â㥫ìë© ¯¥à¥å®¤. ਠí⮬ ¯à®¨á室¨â à á饯«¥¨¥ á®áâ®ï¨ï ¤¢ { ᨬ¬¥âà¨ç®¥ ¨ â¨á¬¬¥âà¨ç®¥ ®â®á¨â¥«ì® ¤¢ãå ¯®«®¦¥¨© à ¢®¢¥á¨ï, ¨ ᨬ¬¥âà¨ç®¥ á®áâ®ï¨¥ ï¥âáï ®á®¢ë¬ [29]. ®í⮬㠢 ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ᨬ¬¥âà¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ¯®«®áâìî ®â¢¥ç ¥â ᨬ¬¥âਨ äãªæ¨¨ £à ¦ (¢ 襬 á«ãç ¥ { ç¥â®© ¯® '.). ¢ ⮢ ï ⥮à¨ï ¯®«ï ®ª §ë¢ ¥âáï, ¢ í⮬ á¬ëá«¥, ¡«¨¦¥ ª ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¥. ¥«® ¢ ⮬, çâ® ¢¥à®ïâ®áâì â㥫쮣® ¯¥à¥å®¤ ¯ ¤ ¥â ¯à¨ 㢥«¨ç¥¨¨ ç¨á« á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë, ¯à¨ ¡¥áª®¥ç®¬ ¨å ç¨á«¥ ®¡à é ¥âáï R ¢ ã«ì. á ¬®¬ ¤¥«¥, à áᬮâਬ ¯®«¥ ¢ ª®¥ç®¬ ®¡ê¥¬¥ . ®£¤ äãªæ¨ï £à ¦ L = d3 xL L , â ª ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ª¨¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï '_ 2 , ¯®â¥æ¨ «ì ï V ('). ª¨¬ ®¡à §®¬, à áᬠâਢ ¥¬ ï § ¤ ç íª¢¨¢ «¥â § ¤ ç¥ ® â㥫¨à®¢ ¨¨ ç áâ¨æë á ¬ áᮩ M ç¥à¥§ ¯®â¥æ¨ «ìë© ¡ àì¥à è¨à¨®© p jxj ¨ ¢ëá®â®© V m2 2 . ¥à®ïâ®áâì â ª®£® â㥫쮣® ¯¥à¥å®¤ [29] ¯®à浪 exp(; 2M Vjxj) exp(; m2 ) ! 0 ¯à¨
! 1. ®£¤ , ¤«ï £«ï¤®áâ¨, £®¢®àïâ, çâ® ¯®«¥, ¢ ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© \áâàãã" ¨«¨ \¢¥à¥¢ªã" ¡¥áª®¥ç®© ¤«¨ë, «¥¦ éãî ¢ ¯à ¢®© ¨«¨ «¥¢®© ¤®«¨¥ ¯®â¥æ¨ « ¨á.4-1(¡) ¨ ¢ëâïãâãî ¢¤®«ì í⮩ ¤®«¨ë (¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ¯«®áª®á⨠à¨á㪠).
áâ¥á⢥®, çâ® â ª®© ®¡ê¥ªâ ¥ ¬®¦¥â â㥫¨à®¢ âì ¬¥¦¤ã ¤®«¨ ¬¨ ¯®â¥æ¨ «ì®£® ५ì¥ä .
⥮ਨ ¯®«ï ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ §ë¢ ¥âáï ¢ ªã㬮¬. ë ¤®«¦ë § ¤ âì ®¯à¥¤¥«¥®¥ ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ á¨á⥬ë { ®¤¨ ®¯à¥¤¥«¥ë© ¢ ªãã¬. ® çâ® ¨¬¥¥âáï ¢â®à®© ¢ ªãã¬, 䨧¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥âë© ¯¥à¢®¬ã, 㦥 ¥ ¨£à ¥â ஫¨. ®í⮬㠤¢ã¬ ¬¨¨¬ã¬ ¬ V (') ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¤¢ à §«¨çëå ¨ ®à⮣® «ìëå ¤à㣠¤àã£ã ¢ ªã㬠, ¤¢ ®à⮣® «ìëå ¯à®áâà á⢠á®áâ®ï¨©, ¤¢ à §ëå ¬¨à . ¡ëç ï âà ¤¨æ¨® ï ⥮à¨ï ¯®«ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯®â¥æ¨ «ã V ('), ¯®ª § ®¬ã ¨á.4-1( ), áâநâáï, ª ª ¬ë § ¥¬, á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ®«¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯® ®á樫«ïâ®à ¬, ®¯¨áë¢ ¥¬ë ®¯¥à â®à ¬¨ ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï a+ ¨ a, ¯à¨ç¥¬ ¢ ªã㬮¬ §ë¢ ¥âáï á®áâ®ï¨¥ ¡¥§ ç áâ¨æ aj0 >= 0, â ª çâ® < 0j'j0 >= 0 (4.8) 2 ãâ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®« ï «®£¨ï á ⥮ਥ© ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ ¤ ã, ¢ ª®â®à®© 2 T ; Tc , â ª çâ® 2 < 0 ¯à¨ T < Tc , â.¥. ¨¦¥ ⥬¯¥à âãàë ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ .
94
-
á«ãç ¥ ¯®â¥æ¨ « V ('), ¯®ª § ®£® ¨á.4-1(¡), ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯® ®¯¥à â®à ¬ ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¥ á ¬® ¯®«¥ ', ¥£® ®âª«®¥¨¥ ®â ¯®«®¦¥¨ï à ¢®¢¥á¨ï ' = ' ; . í⮬ á«ãç ¥: < 0j'j0 >=
(4.9)
â.¥. ¢ ªã㬮¥ á।¥¥ ¯®«¥¢®£® ®¯¥à â®à ®â«¨ç® ®â ã«ï { ¢ á¨á⥬¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¡®§¥-ª®¤¥á â3 ç áâ¨æ, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯®«î '. áå®¤ë© « £à ¦¨ (4.1), (4.5) ᨬ¬¥âà¨ç¥ ®â®á¨â¥«ì® ' ! ;'. ¤ ª® ¯à¨ 2 < 0 ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ã ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î (¢ ªãã¬ã), ¢ëà ¦¥¨¥¬ í⮩ ¥á¨¬¬¥âਨ ï¥âáï (4.9). ®§¡ã¦¤¥¨ï ¤ í⨬ ¢ ªã㬮¬ â ª¦¥ 㦥 ¥ ®¡« ¤ îâ ᨬ¬¥âਥ© ¨á室®£® « £à ¦¨ , ¯®áª®«ìªã ªà¨¢ ï V (') á ¨á.4-1(¡) ¥á¨¬¬¥âà¨ç ®â®á¨â¥«ì® â®çª¨ ' = . ந§®è«® â®, çâ® ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï §ë¢ ¥âáï ¥¨¥¬ ᯮ⠮£® àã襨ï ᨬ¬¥âਨ, ¢ ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï å®à®è® ¨§¢¥áâ® ª ª ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤ ¢ á®áâ®ï¨¥ á ¯®¨¦¥®© ᨬ¬¥âਥ©.
¥å ¨§¬ £¥¥à 樨 ¬ ááë.
ãé¥á⢮¢ ¨¥ ã ᪠«ïண® ¯®«ï ®â«¨ç®£® ®â ã«ï ¢ ªã㬮£® á।¥£® ¬®¦¥â ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¯à¨¢®¤¨âì ª ¯®ï¢«¥¨î ¬ ááë ã ¨á室® ¡¥§¬ áᮢëå ç áâ¨æ, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å á í⨬ ¯®«¥¬. áᬮâਬ, ¯à¨¬¥à, ¤¨à ª®¢áª®¥ ¯®«¥, ®¯¨áë¢ î饥 ᢮¡®¤ë© ¡¥§¬ áá®¢ë¥ ä¥à¬¨®ë ᯨ 1/2. £à ¦¨ â ª®£® ¯®«ï ¨¬¥¥â ¢¨¤: L = i L @^ L + i R @^ R (4.10) £¤¥ @^ = @ ¨ ¬ë ¢¢¥«¨ \«¥¢ë¥" ¨ \¯à ¢ë¥" ª®¬¯®¥âë ¡¨á¯¨®à : 1 1 (4.11) L = 2 (1 + 5 ) R = 2 (1 ; 5 ) L+ R= ¥¯¥àì ¢¢¥¤¥¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¯®«¥© L ; R á 訬 ᪠«ïàë¬ ¯®«¥¬ ', àãè î騬 ᨬ¬¥âà¨î. «ï í⮣® ¤®¡ ¢¨¬ ª « £à ¦¨ ã (4.10) ç«¥ ¢¨¤ : Lint = ;{ [ L R + R L ]' (4.12) £¤¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ ª¢ ¤à âëå ᪮¡ª å ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¥¤¨áâ¢¥ë© áª «ïà, ª®â®àë© ¬®¦® á®áâ ¢¨âì ¨§ L ¨ R , { { ¡¥§à §¬¥à ï ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (¡« £®¤ àï 祬ã íâ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ï¥âáï ¯¥à¥®à¬¨à㥬ë¬). ¬¥¨¬ ⥯¥àì ¢ (4.12) ¯®«¥ ' ¥£® ¢ ªãã¬ë¬ á।¨¬ , íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¬ë ¥ à áᬠâਢ ¥¬ ¯à®æ¥áᮢ á ஦¤¥¨¥¬ ç áâ¨æ ¯®«ï '. ®£¤ ¨¬¥¥¬: Lint = ;{ ( L R + R L ) = ;{ (4.13) â ª çâ® á㬬 (4.10) ¨ (4.13) ¤ ¥â:
L = i @^ ; m
(4.14)
ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¨à ª®¢áª®¬ã « £à ¦¨ ã ¤«ï ä¥à¬¨®®¢ á ¬ áᮩ: m = { 3 ᯮ¬¨â¥ ¡®£®«î¡®¢áª¨© ¯®¤å®¤ ª
⥮ਨ ¥¨¤¥ «ì®£® ¡®§¥-£ § !
(4.15)
-
95
¨á. 4-2
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ¬®¤¥«¥© ç áâ¨æ ¬®¦® ¨á室¨âì ¨§ ª àâ¨ë ¯¥à¢¨ç® ¡¥§¬ áᮢëå \«¥¢ëå" ¨ \¯à ¢ëå" ä¥à¬¨®®¢, ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª®â®àëå á ¯®«¥¬ ', ¯à¥â¥à¯¥¢ î騬 ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤, ¯à¥¢à é ¥â \«¥¢ë¥" ç áâ¨æë ¢ \¯à ¢ë¥" ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ¢®§¨ª®¢¥¨î ¬ ááë. ëè¥ ¬ë à áᬮâ५¨ ¯à®á⥩訩 ¯à¨¬¥à « £à ¦¨ á ¤¨áªà¥â®© ᨬ¬¥âਥ© ®â®á¨â¥«ì® § ¬¥ë ' ! ;'. áᬮâਬ ⥯¥àì á«ãç © àãè¥¨ï ¥¯à¥à뢮© ᨬ¬¥âਨ. «ï í⮣® ¢¢¥¤¥¬ ª®¬¯«¥ªá®¥ ᪠«ï஥ ¯®«¥ ', çâ®, ®ç¥¢¨¤®, íª¢¨¢ «¥â® ¤¢ã¬ ¢¥é¥áâ¢¥ë¬ ¯®«ï¬ '1 ; '2, á¢ï§ ë¬ á®®â®è¥¨¥¬ (áà. « ¢ã 2 ç á⨠I): (4.16) '(x) = p1 ['1(x) + i'2 (x)] 2 £à ¦¨ í⮣® ¯®«ï § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥: L = 21 (@ '1 )2 + 12 (@ '2)2 ; V ('2 ; '2 ) = (@ ')(@ ' ) ; V ('1 ; '2) (4.17) 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¯®â¥æ¨ « V ('2 ; '2) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¬®¤ã«ï ', â.¥. ®â 2 = '21 + '22 = 2' ', â ª çâ® V = V (). â® ®§ ç ¥â, çâ® ¬ë âॡ㥬 ¤®¯®«¨â¥«ì®© (\¢ãâ॥©") ᨬ¬¥âਨ ⥮ਨ ®â®á¨â¥«ì® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¨§¢¥á⮩ ¬ £à㯯ë U(1): ' ! ei ' (4.18) ¨«¨, ç⮠⮦¥ á ¬®¥, ¨¢ ਠâ®á⨠« £à ¦¨ ®â®á¨â¥«ì® ¯®¢®à®â ¢ \¨§®â®¯¨ç¥áª®©" ¯«®áª®áâ¨: '1 ! '1 cos ; '2 sin '2 ! '1 sin + '2 cos (4.19) ë ¢¨¤¥«¨ (á¬. « ¢ã 2 ç á⨠I), çâ® á â ª®© ᨬ¬¥âਥ© á¢ï§ ® á®åà ¥¨¥ ¥ª®â®à®£® § àï¤ (í«¥ªâà¨ç¥áª®£®, ¡ ਮ®£® ¨ â.¯.). ਠí⮬ ¯®«ï ' ¨ ' ¨¬¥îâ § àï¤ë à §®£® § ª . áᬮâਬ ⥯¥àì ¯®â¥æ¨ « V (), ¯®ª § ë© ¨á.4-2. ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â, ¯à¨¬¥à, V () = 21 22 + 14 4 (4.20) ¯à¨ 2 < 0. ¯¨áë¢ ï ¯®«¥ ¢ ¢¨¤¥ (¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¬®¤ã«ì - ä § ): '(x) = p1 (x)ei#(x) (4.21) 2
96
-
£¤¥ (x) q j2¨j #(x) { ¢¥é¥áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨, ¢¨¤¨¬, çâ® V () ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ã¬ ¯à¨ = = , â.¥. ¯à¨ § 票ïå ¯®«ï: ' = p1 ei (4.22) 2 á ¯à®¨§¢®«ìë¬ ! ¤¥áì ¨¬¥¥âáï ¡¥áª®¥ç®ªà ⮥ ¢ë஦¤¥¨¥ ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï á¨áâ¥¬ë ¯® § ç¥¨ï¬ . ¦¤®¥ § 票¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᢮¥¬ã ¢ ªãã¬ã (®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î) á ®¤®© ¨ ⮩ ¦¥ (¬¨¨¬ «ì®©) í¥à£¨¥© V (). ᥠí⨠¢ ªãã¬ë 䨧¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥âë, ® ¢ë¡à âì ¤® ⮫쪮 ®¤¨ ®¯à¥¤¥«¥ë© ¢ ªãã¬, ¯à¨¬¥à ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 = 0, ¨ ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ ®¤® ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¯à®áâà á⢮ á®áâ®ï¨©, ¢ ª®â®à®¬ 㦥 ¥â ᨬ¬¥âਨ (4.18),(4.19). ®á¬®âਬ, ª ª¨¬ ç áâ¨æ ¬ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⥯¥àì « £à ¦¨ (4.17). ᯮ«ì§ãï (4.21), ¯¥à¥¯¨è¥¬ « £à ¦¨ ª ª: 2 L = 21 (@ )2 ; V () + 2 (@ #)2 (4.23)
᫨ ®£à ¨ç¨âìáï ¢ (4.23) «¨èì ª¢ ¤à â¨ç묨 ç«¥ ¬¨ ¯® ¯®«î, â® á«¥¤ã¥â à §«®¦¨âì V () ¢¡«¨§¨ = ¯® á⥯¥ï¬ 0 = ; , ¢ âà¥â쥬 ç«¥¥ (4.23) § ¬¥¨âì . ®£¤ ¯®«ãç ¥¬ « £à ¦¨ ᢮¡®¤ëå ç áâ¨æ ¢ ¢¨¤¥: 2 2 L = Const + 21 (@ 0 )2 ; m2 02 + 2 (@ #)2 (4.24) £¤¥ m2 = 2j2j. âáî¤ ¥¬¥¤«¥® á«¥¤ãîâ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï: (@2 + m2 )0 = 0 @2 # = 0 (4.25) ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ã稫¨ ¤¢ ¥©âà «ìëå (¢¥é¥á⢥ëå) ¯®«ï 0 ¨ #, ¯à¨ç¥¬ ¯¥à¢®¬ã ®â¢¥ç îâ ç áâ¨æë á ¬ áᮩ m, ¢â®à®¬ã { ¡¥§¬ áá®¢ë¥ ç áâ¨æë. (4.25) ®¯ãé¥ë ç«¥ë ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢, ®¯¨áë¢ î騥 ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ íâ¨å ç áâ¨æ. ®ï¢«¥¨¥ ¡¥§¬ áᮢëå ç áâ¨æ ¯à¨ ᯮ⠮¬ àã襨¨ ¥¯à¥à뢮© ᨬ¬¥âਨ ⥮ਨ á®áâ ¢«ï¥â ᮤ¥à¦ ¨¥ â¥®à¥¬ë ®«¤áâ®ã , á ¬¨ â ª¨¥ ç áâ¨æë §ë¢ îâáï £®¤«áâ® ¬¨4 . ¥ á®áâ ¢«ï¥â âà㤠¯à®¢¥á⨠®¡®¡é¥¨¥ â¥®à¥¬ë ®«¤áâ®ã á«ãç © ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ᨬ¬¥â਩. ãáâì ¯®«¥ '(x) ¨¬¥¥â n ª®¬¯®¥â. ®£¤ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï £à㯯ë ᨬ¬¥âਨ ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: = S0 (4.26) £¤¥ ¨ 0 { á⮫¡æë ¨§ n ª®¬¯®¥â ('1 ; ::::'n), S - ¬ âà¨æ nn. ãáâì ¯®â¥æ¨ « V () § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â 2 = '21 + ::: + '2n ¨ ¤àã£¨å ¨¢ ਠ⮢ ¥â. ®£¤ : L = 21 (@ )2 ; V () (4.27) 4 ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï á¨âã æ¨ï «®£¨ç . ¯à¨¬¥à ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤ ¢ ä¥à஬ £¨â®¥ á®áâ®ï¨¥ àãè ¥â ¥¯à¥àë¢ãî ᨬ¬¥âà¨î £àã¯¯ë ¢à 饨© { ®¡¬¥ë© £ ¬¨«ì⮨ ¥©§¥¡¥à£ ¨¢ ਠ⥠®â®á¨â¥«ì® ¢à 饨© (¢ ¥£® ¢å®¤ïâ ᪠«ïàë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ᯨ®¢ 㧫 å à¥è¥âª¨), ⮣¤ ª ª ¢ ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨ ¢®§¨ª ¥â ¢ë¤¥«¥®¥ ¯à ¢«¥¨¥ { ¢¥ªâ®à ᯮ⠮© ¬ £¨ç¥®á⨠(ᨬ¬¥âà¨ï ¯®¨¦ ¥âáï). «®£®¬ £®«¤áâ®®¢ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ïîâáï ªãáâ¨ç¥áª¨¥ ᯨ®¢ë¥ ¢®«ë.
97
-
í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ᮢ ¬®¦¥¬ ¯¥à¥©â¨ ª \¯®«ïàë¬" ª®®à¤¨ â ¬ ¤«ï ¯®«ï , ª®£¤ ¯®«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬®¤ã«¥¬ (x) ¨ n ; 1 \㣫®¢ë¬¨" ¯¥à¥¬¥ë¬¨ i(x)(i = 1; 2; :::;n ; 1). £à ¦¨ ¢ íâ¨å ¯¥à¥¬¥ëå ¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤:
X
2 n;1
L = 12 (@ )2 + 2
i;k=1
ik ( i )@ i @ k ; V ()
(4.28)
ãáâì V () ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ã¬ ¯à¨ = , â.¥. < 0jj0 >= . £«®¢ë¥ ª®¬¯®¥âë i ¬®¦® 䨪á¨à®¢ âì ãá«®¢¨¥¬ < 0j ij0 >= 0 (¢ë¡®à ¢ ªã㬠) ¨ ⥬, çâ® ik ¯à¨ i = 0 ¨¬¥¥â ¢¨¤ ik (0) = ik . ®£¤ , ¢¢®¤ï ®¯ïâì 0 = ; , ¨¬¥¥¬: 2 X L = Const + 21 (@ 0 )2 ; m2 02 + 12 2 (@ i)2 i=1
n;1
(4.29)
¨¤¨¬, çâ® ç áâ¨æë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯®«ï¬ i ¨¬¥îâ ã«¥¢ë¥ ¬ ááë, â ª çâ® ¢ § ¤ ç¥ ¢®§¨ª ¥â n ; 1 £®«¤áâ®®¢. â® ¡®«¥¥ ®¡é¨© ¢ ਠâ â¥®à¥¬ë ®«¤áâ®ã .
«¨¡à®¢®çë¥ ¯®«ï ¨ íä䥪⠨££á . § «®áì ¡ë ¯®ï¢«¥¨¥ £®«¤áâ®ã®¢áª¨å ç áâ¨æ á ã«¥¢®© ¬ áᮩ ᮧ¤ ¥â ¬ «¨èì ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ âà㤮áâ¨, ¯®áª®«ìªã ®á®¢®© 襩 § ¤ 祩 ï¥âáï à¥è¥¨¥ ¯à®¡«¥¬, á¢ï§ ëå á «¨ç¨¥¬ ã«¥¢®© ¬ ááë ã ª «¨¡à®¢®çëå ¡®§®®¢. ¤ ª® íâ® ¥ â ª! ®¡®à®â, ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ®á®¢®© ¨¤¥¨ ª «¨¡à®¢®çëå ⥮਩ á ª®æ¥¯æ¨¥© ᯮ⠮£® àã襨ï ᨬ¬¥âਨ ¯®§¢®«ï¥â ¯à¨©â¨ ª ¥áâ¥á⢥®© áâà ⥣¨¨ ¯®áâ஥¨ï ॠ«¨áâ¨ç¥áª¨å ⥮਩ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ. áᬮâਬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ᪠«ïண® ¯®«ï ', àãè î饣® ᨬ¬¥âà¨î, á ª «¨¡à®¢®çë¬ ¯®«¥¬ A ¢ ¥£® ¯à®á⥩襬 ¡¥«¥¢®¬ (¬ ªá¢¥««®¢áª®¬) ¢ ਠâ¥. £à ¦¨ , ¨¢ ਠâë© ®â®á¨â¥«ì® «®ª «ì®© £à㯯ë U(1), ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 F F ; V ('; ' ) L = [(@ ; ieA )'(@ + ieA )' ] ; 16 (4.30) £¤¥ F = @ A ; @ A , V ('; ' ) = 2' ' + (' ')2 2 < 0 (4.31) ¢¥¤¥¬ ®¯ïâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¯®«ï ' ç¥à¥§ \à ¤¨ «ì®¥" ¨ \㣫®¢®¥" ¢¥é¥áâ¢¥ë¥ ¯®«ï: '(x) = p1 (x)ei#(x) (4.32) 2 ® ⥯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ à áᬮâà¥âì (4.32) ª ª «®ª «ì®¥ ª «¨¡à®¢®ç®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ £à㯯ë U(1): '(x) = eie (x) '0 (x) (4.33) £¤¥ (4.34) (x) = 1e #(x) '0 (x) = p1 (x) 2
98
-
®£¤ ª®¢ ਠâ ï ¯à®¨§¢®¤ ï, ¢å®¤ïé ï ¢ (4.30) ¯à¥®¡à §ã¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: D ' = (@ ; ieA )eie '0 = eie (@ + ie@ ; ieA )'0 = eie (@ ; ieA0 )'0 (4.35) £¤¥ A0 = A ; @ (4.36) ¨«¨, á ãç¥â®¬ (4.33), (4.34): (@ ; ieA )' = p1 ei# (@ ; ieA0 ) (4.37) 2 £¤¥ (4.38) A0 = A ; 1e @ # १ã«ìâ â¥, è « £à ¦¨ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤: 1 F F = L = 12 [(@ ; ieA0 )][(@ + ieA0 )] ; V (2 ) ; 16 2 1 F F = 12 (@ )2 + e2 2 A02 ; V (2 ) ; 16 (4.39)
¨¤¨¬, çâ® \㣫®¢ ï" ª®¬¯®¥â # ¯®«ï ' ¨á祧« ¨§ « £à ¦¨ ( á ¥© ¨ ¢®§¬®¦®áâì ¯®ï¢«¥¨ï £®«¤áâ® !), ® \®âª «¨¡à®¢ « áì" ¢ ¯¥à¥®¯à¥¤¥«¥ë© ¢¥ªâ®à - ¯®â¥æ¨ «. §«®¦¨¬ ⥯¥àì (4.39) ¯® á⥯¥ï¬ ®âª«®¥¨ï 0 = ; ®â ¢ ªã㬮£® á।¥£® , á®åà ïï ⮫쪮 ª¢ ¤à â¨çë¥ ç«¥ë. ®£¤ ¯®«ãç ¥¬: 2 1 F F + 1 e22 A0 2 + Const L = 21 (@ 0 )2 ; m2 02 ; 16 (4.40) 2 £¤¥ m2 = 2j2j. â®â « £à ¦¨ ®¯¨áë¢ ¥â ¤¢ ᢮¡®¤ëå ¯®«ï { ¯®«¥ 0 ç áâ¨æ á ¬ áᮩ m ¨ ¢¥ªâ®à®¥ ¯®«¥ A0 á ¬ áᮩ: mA = e (4.41) 楫¨ª®¬ ®¡ãá«®¢«¥®© «¨ç¨¥¬ ¥ã«¥¢®£® ¢ ªã㬮£® á।¥£® ᪠«ïண® ¯®«ï. à ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¤«ï íâ¨å ¯®«¥© ¨¬¥îâ ¢¨¤: @2 0 + m2 0 = 0 @ F = m2A A0 (4.42) â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ §¤¥áì ¨¬¥¥â ¢¨¤ ãà ¢¥¨ï ப . â ª, ¢ ¨á室®¬ « £à ¦¨ ¥ ã á ¡ë«® ¤¢ã媮¬¯®¥â®¥ ¯®«¥ ' ¨ ¢¥ªâ®à®¥ ¬ ªá¢¥««®¢áª®¥ (¡¥§¬ áᮢ®¥) ¯®«¥ A . ਠ2 > 0, á®åà ïï ⮫쪮 ª¢ ¤à â¨çë¥ ¯® ¯®«ï¬ ç«¥ë, ¬ë ¯®«ã稫¨-¡ë « £à ¦¨ ¤¢ãå ᢮¡®¤ëå ¯®«¥©, ®¤® ¨§ ª®â®àëå ®¯¨áë¢ ¥â § àï¦¥ë¥ ç áâ¨æë ᯨ 0, ¤à㣮¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ä®â®ã á ã«¥¢®© ¬ áᮩ ¯®ª®ï ¨ ¤¢ã¬ï ¯®«ïਧ㥬®áâﬨ, â.¥. ¢á¥£® 4 ⨯ ç áâ¨æ. ਠ2 < 0 ç¨á«® ç áâ¨æ ®áâ ¥âáï ⥬ ¦¥ (á®åà ¥¨¥ ç¨á« á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë), ® ®¨ ¯à¨ï«¨ ¤à㣮© å à ªâ¥à { ⥯¥àì ¥áâì ®¤® ¥§ à殮®¥ ᪠«ï஥ ¯®«¥ ᯨ 0 ¨ âਠ¥§ ¢¨á¨¬ë ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à®£® ¡®§® ᮠᯨ®¬ 1. á室® ã á ¡ë« áª «ïண® ¯®«ï, ¯®á«¥ ¯¥à¥áâனª¨ á¨áâ¥¬ë ¯®«¥© ¢®§¨ª« \ᮢᥬ ¤à㣠ï" ⥮à¨ï. ¦®, ®¤ ª® ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ¢á¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¡ë«¨ â®ç묨, â ª
-
99
çâ® ¨á室 ï ª «¨¡à®¢®ç ï ¨¢ ਠâ®áâì ⥮ਨ á®åà ¨« áì (¨ ¡ë« ¨á¯®«ì§®¢ ), ¥á¬®âàï ¢®§¨ª®¢¥¨¥ ¬ ááë ã ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï! «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, á®åà ï¥âáï ¨ ᢮©á⢮ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®áâ¨. ®§¨ª®¢¥¨¥ ¬ ááë ã ¢¥ªâ®à®£® ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï § áç¥â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ᮠ᪠«ïàë¬ ¯®«¥¬, àãè î騬 ᨬ¬¥âà¨î ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï, §ë¢ ¥âáï íä䥪⮬ ¨££á , ¯®«¥ ' ®¡ëç® §ë¢ îâ 娣£á®¢áª¨¬ ¯®«¥¬ ( ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ᪠«ïàë¥ ç áâ¨æë { 娣£á®¢áª¨¬¨ ¡®§® ¬¨.).
âáâ㯫¥¨¥: ⥮à¨ï ¨§¡ã࣠- ¤ ã.
®ª ¦¥¬, çâ® à áᬮâ८¥ ¥¨¥ ï¥âáï â®çë¬ «®£®¬ ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ¢ ᢥàå¯à®¢®¤ï饥 á®áâ®ï¨¥, ®¯¨áë¢ ¥¬®£® ⥮ਥ© ¨§¡ã࣠- ¤ ã, ᮧ¤ ®© § ¤®«£® ¤® ®âªàëâ¨ï 䥮¬¥ ¨££á . áᬮâਬ áâ â¨ç¥áª¨© á«ãç © ¬®¤¥«¨ ¨££á , ª®£¤ @0 ' = 0, @0 A = 0. «¥ªâ஬ £¨â®¥ ¯®«¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ ªã«®®¢áª®© ª «¨¡à®¢ª¥: A = ( = 0; A), r A = 0. ®£¤ « £à ¦¨ (4.30) § ¯¨è¥âáï ª ª: 1 (r A)2 L = ; 21 (r ; ieA)'(r + ieA)' ; 21 m2 j'j2 ; 41 j'j4 ; 16 (4.43) ®£¤ 1 (r A)2 + 1 j(r ; ieA)'j2 + 1 m2 j'j2 + 1 j'j4 F = ;L = 16 (4.44) 2 2 4 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©, ¢ â®ç®áâ¨, ¯«®â®áâì ᢮¡®¤®© í¥à£¨¨ ¢ ⥮ਨ ¨§¡ã࣠¤ ã [42], ¥á«¨, ª®¥ç®, ¯®«®¦¨âì m2 = a(T ; Tc ), £¤¥ Tc { ⥬¯¥à âãà ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯¥à¥å®¤ 5. í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ m2 > 0 ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å T > Tc ¨ m2 < 0 ¯à¨ T < Tc . ®¡« á⨠T < Tc ¬¨¨¬ã¬ F ¤®á⨣ ¥âáï ¯à¨ 2 (4.45) j'j2 = ; 2m > 0 çâ® ®¯à¥¤¥«ï¥â à ¢®¢¥á®¥ § 票¥ ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 , ïî饣®áï â®çë¬ «®£®¬ à áᬠâਢ ¢è¥£®áï ¢ëè¥ ¢ ªã㬮£® á।¥£® 娣£á®¢áª®£® ¯®«ï (®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥ ¯®«¥¢®© á¨á⥬ë, T = 0.). ¢®¡®¤ ï í¥à£¨ï ¨§¡ã࣠- ¤ ã ¨¢ ਠ⠮â®á¨â¥«ì® ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï: (4.46) ' ! ei(x) ' A ! A + 1e r(x) ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 á®åà ïî騩áï ⮪ ¨¬¥¥â ¢¨¤: (4.47) j = ; ie2 (' r' ; 'r') ; e2j'j2A ਠT < Tc ¨ ®¤®à®¤®¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¯ à ¬¥âॠ¯®à浪 ' ¢ª« ¤ ¢ (4.47) ¤ ¥â ⮫쪮 ¢â®à®© ç«¥: 2 2 j = 2e m A (4.48) 5 ® áà ¢¥¨î á® áâ ¤ àâ묨 ®¡®§ 票ﬨ [42], ¬ë áç¨â ¥¬ à ¢®© 1 ¬ ááã í«¥ªâà® ¨ ᪮à®áâì ᢥâ . ®«¥¥ ¢ ¦®, çâ® ¢ ⥮ਨ ¨§¡ã࣠- ¤ ã, ¯® áà ¢¥¨î á (4.44) e ! 2e, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á § à冷¬ ªã¯¥à®¢áª¨å ¯ à, ® §¤¥áì ¬ íâ® ¥áãé¥á⢥®.
100
-
çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ãà ¢¥¨¥ ®¤® .
᫨ ãç¥áâì ¥é¥ ãà ¢¥¨ï ªá¢¥«« r A = 4j, r A = 0 ¨ ¢ëç¨á«¨âì à®â®à ®â ®¡¥¨å ç á⥩ (4.48), â® ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥, ¤«ï ¬ £¨â®£® ¯®«ï ¢ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª¥:
r2 B = k2B
k2 = 8e m
2 2
(4.49)
®¯¨áë¢ î饥 íä䥪⠥©áá¥à { ¢ëâ «ª¨¢ ¨¥ ¬ £¨â®£® ¯®«ï ¨§ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª . ®«¥ íªá¯®¥æ¨ «ì® ᯠ¤ ¥â ¢ãâਠᢥàå¯à®¢®¤¨ª ¤«¨¥ k;1 (£«ã¡¨ ¯à®¨ª®¢¥¨ï) [42]. ª®¥æ, ¨§ (4.49) ¢ë⥪ ¥â r2A = k2A, «®£®¬ 祣® ¢ «®à¥æ - ª®¢ ਠ⮩ ä®à¬¥ ï¥âáï ãà ¢¥¨¥ 2A = ;k2 A { \ä®â®" ¢ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª¥ ¯à¨®¡à¥â ¥â \¬ ááã" k, çâ® íª¢¨¢ «¥â® íä䥪âã ¨££á . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¤¥«ì ¨££á ï¥âáï ५ï⨢¨áâ᪨¬ «®£®¬ ⥮ਨ ¨§¡ã࣠- ¤ ã, 娣£á®¢áª¨© ¢ ªã㬠«®£¨ç¥, ¯® áã⨠¤¥« , ®á®¢®¬ã á®áâ®ï¨î ᢥàå¯à®¢®¤¨ª .
®«ï £ - ¨««á ¨ ᯮ⠮¥ àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ. ¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâà¥¨î ¬¥å ¨§¬ ¨££á ¢ ¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®çëå ⥮à¨ïå. ¯®¬¨¬ á ç « ®á®¢ë¥ ä ªâë, ®â®áï騥áï ª ¯®«ï¬ £ - ¨««á , ¯à¨¬¥à¥ å®à®è® ¨§¢¥á⮩ ¬ £à㯯ë SU(2). § ¨¬®¤¥©á⢨¥ ᪠«ïண® ¯®«ï ' á £ - ¨««á®¢áª¨¬ ¯®«¥¬ A~ (áâ५ª ®¡®§ ç ¥â ¢¥ªâ®à ¢ ¨§®â®¯¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥) ®¯¨áë¢ ¥âáï ¯¥à¥å®¤®¬ ®â ®¡ë箩 ¯à®¨§¢®¤®© @ ' ª ª®¢ ਠ⮩ ¯à®¨§¢®¤®© ¢¨¤ : D ' = (@ ; igT~ A~ )' (4.50) £¤¥ T~ { £¥¥à â®à ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯ë, ¤«ï SU(2) ¨¬¥¥¬ T~ = 21 ~ . ¯®¬¨¬, ª ª¨¥ ãá«®¢¨ï ª« ¤ë¢ îâáï ¯®«¥ A~ ¨§ âॡ®¢ ¨ï ¨¢ ਠâ®á⨠« £à ¦¨ ®â®á¨â¥«ì® «®ª «ìëå ª «¨¡à®¢®çëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©.
᫨ ¯®«¥ ' ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª ª®¬ã - «¨¡® ¨§®â®¯¨ç¥áª®¬ã ¬ã«ì⨯«¥âã, â® ¥£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯à¨ ¢à 饨¨ ¢ ¨§®¯à®áâà á⢥ ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: ' = S'0
(4.51)
£¤¥ ®¯¥à â®à S § ¢¨á¨â ®â âà¥å ¯ à ¬¥â஢ (㣫®¢) ¢¥ªâ®à ¯®¢®à®â ~!(x). ®£¤ ¤«ï ª®¢ ਠ⮩ ¯à®¨§¢®¤®© ¨¬¥¥¬: D ' = S@ '0 + (@ S)'0 ; igT~ A~ S'0 = = S(@ + S ;1 @ S ; igS ;1 T~ A~ S)'0 (4.52) «ï ⮣®, ç⮡ë íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨ï«® ¢¨¤: D ' = S(@ ; igT~ A~ 0 )'0
(4.53)
-
101
¥®¡å®¤¨¬® ¯®âॡ®¢ âì: ਠ¬ «ëå ~! ¨¬¥¥¬: ®£¤ :
T~ A~ 0 = S ;1 (T~ A~ )S + gi S ;1 @ S
(4.54)
S = 1 + iT~ ~!
(4.55)
S ;1 (T~ A~ )S = (1 ; iT~ ~!)T~ A~ (1 + iT~ ~!) = = T~ A~ ; i[T~ ~!; T~ A~ ] = T~ A + [~! A~ ] T~
(4.56)
£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ [T1; T2] = iT3 { ª®¬¬ãâ 樮®¥ á®®â®è¥¨¥ ¤«ï £¥¥à â®à®¢ £à㯯ë SU(2). ãç¥â®¬ S ;1 @ S = iT~ @ ~! (4.54) ¨ (4.55) ¤ îâ ®¡é¥¥ ¯à ¢¨«® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï: A~ 0 = A~ + [~! A~ ] ; g1 @ ~! (4.57)
â ª çâ® ¯®¬¨¬® £à ¤¨¥â®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯®«¥ £ - ¨««á ¥é¥ ¨ ¯®¢®à 稢 ¥âáï ¢ ¨§®¯à®áâà á⢥. ¥§®à ¯®«¥© £ - ¨««á ¨¬¥¥â ¢¨¤: F~ = @ A~ ; @ A~ + g[A~ A~ ] (4.58) ¨á¯®«ì§ãï (4.57) ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯à¨ ¢à 饨ïå ¢ ¨§®¯à®áâà á⢥ F~ ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ª ¨§®¢¥ªâ®à: 0 = F~ + [~! F~ ] F~ (4.59) £à ¦¨ ¯®«ï £ - ¨««á ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 F~ F~ LY M = ; 16 (4.60) ç⮠ï¥âáï ¨¢ ਠ⮬ ¯® ®â®è¥¨î ª ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬ «®ª «ì®© ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯ë. ãáâì ⥯¥àì à¥çì ¨¤¥â ® ï£ - ¬¨««á®¢áª®¬ ¯®«¥, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饬 ᮠ᪠«ïàë¬ å¨££á®¢áª¨¬ ¯®«¥, àãè î騬 ᨬ¬¥âà¨î. ãáâì íâ® ¯®«¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¨§®á¯¨®à, â.¥. ¨¬¥¥â ¤¢¥ ª®¬¯«¥ªáëå (4 ¢¥é¥á⢥ëå) ª®¬¯®¥âë: =
' 1
'2 ¯à¥®¡à §ãî騥áï ¯à¨ ¢à 饨ïå ¢ ¨§®¯à®áâà á⢥ ª ª: = S 0
S = e 2i g~ !~ (x)
(4.61) (4.62)
ਠ¬ «ëå ~! ¨¬¥¥¬ S = 1 + ig~!~ =2. £à ¦¨ á¨áâ¥¬ë ¯®«¥© ¨ A~ ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 F~ F~ L = (D )(D ) ; V ( ) ; 16
(4.63)
102
-
£¤¥
D = @ ; ig ~ 2 A~
(4.64)
V ( ) = 2 + ( )2 ®£¤ ¤«ï 2 < 0 (4.31) ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ã¬ ¯à¨: = 21 2
2 = j j 2
(4.65) (4.66)
ªã㬮¥ á®áâ®ï¨¥ ¡¥áª®¥ç®ªà â® ¢ë஦¤¥®, ® ¬ë ¤®«¦ë ¢ë¡à âì ®¤¨ ®¯à¥¤¥«¥ë© ¢ ªã㬠( àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ!), ¯à¨¬¥à ¯®«®¦¨¢: 0 1 (4.67) < 0j j0 >= p 2 £¤¥ { ¢¥é¥á⢥®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì®¥ ç¨á«®. ¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª \¯®«ïàë¬" ª®®à¤¨ â ¬: # ~ #~(x) 0 # i (x) = e 2 (x) = cos 2 + i sin 2 (~n ~ ) 0 (x) (4.68) £¤¥ 0 1 0 (x) = p (x) #~ = ~n # (4.69) 2 ¨ ~n { ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨, ¢®ªà㣠ª®â®à®© ᮢ¥àè ¥âáï ¯®¢®à®â ¢ ¨§®¯à®áâà á⢥.
।áâ ¢«¥¨¥ (4.68) ®§ ç ¥â ¯ à ¬¥âਧ æ¨î ¨§®á¯¨®à = ''12 ¯à¨ ¯®¬®é¨ ç¥âëà¥å ¢¥é¥á⢥ëå äãªæ¨©: ; #; ; ', £¤¥ #; ; ' { ¯®«ïàë¥ ã£«ë, ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯à ¢«¥¨¥ ¢¥ªâ®à ~n ¢ ¨§®¯à®áâà á⢥: i sin # cos ei' = p1 ;cos (4.70) # ;2 i sin # cos 2 2 2 ¯à¨ç¥¬ = 2 =2, < 0jj0 >= , < 0j#j0 >=< 0jj0 >=< 0j'j0 >= 0.
¬¥â¨¬, çâ® (4.68) ⮦¤¥á⢥® á (4.62), ¥á«¨ ¯®«®¦¨âì ~! = #=g. £à ¦¨ ¨¢ ਠ⥠®â®á¨â¥«ì® â ª¨å ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 F~ 0 F~ 0 L = 21 (D0 )(D0 ) ; V () ; 16 (4.71) 0 ᤥ« § ¬¥ A~ ! A~ 0 ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ª «¨¡à®¢®ç®¬ã ¯à¥£¤¥ ¢ D0 ¨ F~ ®¡à §®¢ ¨î. ¨¤¨¬, ç⮠⮫쪮 ®¤ ¨§ ç¥âëà¥å ª®¬¯®¥â ¯®«ï , ¨¬¥® , ®áâ « áì ¢ « £à ¦¨ ¥, ®áâ «ìë¥ ¯®£«®â¨«¨áì 0 ª «¨¡à®¢®çë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬! ç¨âë¢ ï ä®à¬ã ᯨ®à 0 = p12 , ¯¥à¥¯¨è¥¬ « £à ¦¨ ¢ ¢¨¤¥ (èâà¨å ¤ A~ ®¯ã᪠¥¬): 1 F~ F~ L = 12 (@ )2 + g2 2 A~ 2 ; V () ; 16
(4.72)
V () = 21 22 + 14 4
(4.73)
2
£¤¥
-
103
ਠ¬ «ëå ®âª«®¥¨ïå ®â ¢ ªã㬠, à §« £ ï ®¯ïâì V () ¯® á⥯¥ï¬ 0 = ; ¨ á®åà ïï ¢ « £à ¦¨ ¥ ⮫쪮 ª¢ ¤à â¨çë¥ ç«¥ë, ¯®«ã稬: 2 1 F~ 0 F~ 0 + 1 g2 2 A~ 2 L = Const + 21 (@ 0 )2 ; m2 02 ; 16 (4.74) 2 0 = @ A ~ ; @ A~ . ®«ãç¥ë© « £à ¦¨ ®¯¨áë¢ ¥â ç¥âëॠ£¤¥ m2 = 2j2j ¨ F~
᢮¡®¤ëå ¯®«ï { ¢¥é¥á⢥®¥ ᪠«ï஥ ¯®«¥ ¨ âਯ«¥â ¢¥ªâ®àëå ¯®«¥© A~ . ¥à¢®¬ã ®â¢¥ç îâ ç áâ¨æë á ¬ áᮩ m, ¢¥ªâ®àë¬ ¯®«ï¬ { ç áâ¨æë á ¬ áᮩ: mA = g
(4.75)
ª¨¬ ®¡à §®¬, àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ ®¯ïâì ¯à¨¢¥«® ª ¯®ï¢«¥¨î ¬ ááë ã ç áâ¨æ ¢¥ªâ®à®£® (ª «¨¡à®¢®ç®£®) ¯®«ï A~ . «¨¡à®¢®ç ï ¨¢ ਠâ®áâì ⥮ਨ ¯à¨ í⮬, ®ç¥¢¨¤®, á®åà ¨« áì! ¡é¥¥ ç¨á«® á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë ¥ ¨§¬¥¨«®áì: ¢¬¥áâ® âà¥å \¨á祧ã¢è¨å" ª®¬¯®¥â ¯®«ï (£®«¤áâ®®¢) ¯®ï¢¨«¨áì ¯à®¤®«ì® ¯®«ïਧ®¢ ë¥ ª®¬¯®¥âë ¯®«ï A~ . à áᬮâ८© ¬®¤¥«¨ ¬ áá㠯ਮ¡à¥«¨ ¢á¥ ª®¬¯®¥âë ¯®«ï £ - ¨««á , ¨ ¯à®¤®«ìë¥ ¨ ¯®¯¥à¥çë¥.
᫨ ¬ë å®â¨¬ ¯®áâநâì ®¡ê¥¤¨¥ãî ⥮à¨î á« ¡®£® ¨ í«¥ªâ஬ £¨â®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, 㦮 ®¡¥á¯¥ç¨âì ¬ áᨢ®áâì ¢¥ªâ®àëå ¡®§®®¢ { ¯¥à¥®á稪®¢ á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (ª®à®âª®¤¥©á⢨¥!), ® í«¥ªâ஬ £¨â®¥ ¯®«¥ á®åà ¨âì ¡¥§¬ áᮢë¬. â® ¬®¦® ®¡¥á¯¥ç¨âì, à áᬮâॢ ¥ª®â®à®¥ ®¡®¡é¥¨¥ ⮫쪮 çâ® à áᬮâ८© SU(2)-¬®¤¥«¨. «ï í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® ¨¢ ਠâ à áᬮâ८£® ¢ëè¥ áª «ïண® ¯®«ï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ®¡« ¤ ¥â ¥ª®â®à®© ¤®¯®«¨â¥«ì®© ᨬ¬¥âਥ©, ªà®¬¥ ¨á¯®«ì§®¢ ®© ¬¨ ᨬ¬¥âਨ SU(2). á ¬®¬ f¤¥«¥, ¯®«¥ ¬®¦® ¥é¥ 㬮¦¨âì ¯à®¨§¢®«ìë© ä §®¢ë© ¬®¦¨â¥«ì ⨯ ei 2 (x), ¨ç¥£® ®â í⮣® ¥ ¨§¬¥¨âáï. â® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ £à㯯ë U(1), â ª çâ® ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ® ᨬ¬¥âਨ SU(2) U(1). «¨ç¨¥ ¤®¯®«¨â¥«ì®© ¡¥«¥¢®© ᨬ¬¥âਨ U(1) ®§ ç ¥â, çâ® ç áâ¨æ ¬ ¯®«ï ¬®¦® ¯à¨¯¨á âì, ªà®¬¥ ¨§®á¯¨ , ¥é¥ ¨ ¥ª®â®àë© \£¨¯¥à§ àï¤", ª®â®à®¬ã 㦮 ᮯ®áâ ¢¨âì ¥é¥ ®¤® ( ¡¥«¥¢®) ª «¨¡à®¢®ç®¥ ¯®«¥, ª®â®à®¥ ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì B . १ã«ìâ â¥, ¯®« ï ᨬ¬¥âà¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨¢ ਠâ®á⨠®â®á¨â¥«ì® «®ª «ì®£® ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢¨¤ : = S 0 £¤¥
~ (x) S = exp ig~! (x) 2 + if 2 « £à ¦¨ ⥮ਨ ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 F~ F~ ; 1 G G L = (D )(D ) ; V () ; 16 16 £¤¥ D = @ ; ig ~ 2 A~ ; i f2 B G = @ B ; @ B
(4.76) (4.77) (4.78) (4.79) (4.80)
104
-
«ì¥©è¨© «¨§, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¯®¢â®àï¥â ¯à¥¤ë¤ã饥 à áᬮâ२¥, â ª çâ® ¤¥â «¨ ®¯ã᪠¥¬. ª §ë¢ ¥âáï 㤮¡ë¬ ¢¬¥áâ® ¯®«¥© A1 ; A2 ; A3 ¨ B ¢¢¥á⨠᫥¤ãî騥 ¨å «¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨: (4.81) W = p1 (A1 + iA2 ) 2 Z = cos A3 ; sin B A = sin A3 + cos B £¤¥
cos = gg~
sin = fg~
A3 = cos Z + sin A B = ; sin Z + cos A
p
g~ = g2 + f 2
tg = fg
(4.82) (4.83)
®£¤ è « £à ¦¨ (4.78) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ç¥à¥§ í⨠®¢ë¥ ¯®«ï ª ª: 1 F~ 2 ; 1 G2 L = 12 (@ )2 ; V () + 2 [g2W W + g~2 Z2 ] ; 16 (4.84) 16 ¤¥áì ¢ ¦®, çâ® ¯®«¥ A ¨§ (4.82) ¥ ¢®è«® ¢ ª¢ ¤à âë¥ áª®¡ª¨, â ª çâ® ¯®á«¥ ¢®§¨ª®¢¥¨ï ¥ã«¥¢®£® ¢ ªã㬮£® á।¥£® ¯®«ï (ᯮ⠮£® àã襨ï ᨬ¬¥âਨ) íâ® ¯®«¥ ®áâ ¥âáï ¡¥§¬ áá®¢ë¬ ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ®â®¦¤¥á⢫¥® á ®¡ëçë¬ í«¥ªâ஬ £¨âë¬ ¯®«¥¬. ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¯®«ï W ¨ Z ¯à¨®¡à¥â îâ ¬ ááã: mW mW = g mZ = g~ = cos (4.85) â® áà §ã ¦¥ ¢¨¤® ¨§ § ¯¨á¨ « £à ¦¨ (4.84) á â®ç®áâìî ¤® ª¢ ¤à â¨çëå ¯® 0 = ; , W ¨ Z ç«¥®¢: L = 12 (@ 0 )2 ; 12 m2 02 ; 81 (@ W ; @ W )(@ W ; @ W ) + 1 (@ Z ; @ Z )2 + g~2 2 Z 2 ; +g2 2 W W ; 16 1 (@ A ; @ A )2 + Const ; 16 (4.86) £¤¥ m2 = 2j2j. ®«¥ W (4.81) ï¥âáï ª®¬¯«¥ªáë¬, â.¥. § à殮ë¬, ¯®«ï A ¨ Z (4.82) ¢¥é¥á⢥ë (¥©âà «ìë). § ®¯à¥¤¥«¥¨ï F~ (4.58) ¨ (4.81), (4.82) á«¥¤ã¥â: p1 (F 1 + iF 2) = D W ; D W (4.87) 2 £¤¥ D = @ ; igA3 = @ ; ig sin A ; ig cos Z (4.88)
᫨ ®â®¦¤¥á⢨âì ¯®«¥ A á í«¥ªâ஬ £¨âë¬ ¯®«¥¬, â® ¨§ (4.88) á«¥¤ã¥â á«¥¤ãîé ï á¢ï§ì ï£ - ¬¨««á®¢áª®© ª®áâ âë á¢ï§¨ g á í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬ § à冷¬: e = g sin (4.89) ¦ë¬ ᢮©á⢮¬ à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ ï¥âáï ¥¥ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®áâì. ¥à¥®à¬¨à㥬®áâì ¨¬¥¥â \¤¢®©ãî ¯à®ç®áâì": ® ®¡¥á¯¥ç¥ ¢®-¯¥à¢ëå,
105
-
¡¥§¬ áᮢ®áâìî ä®â® ¨, ¢®-¢â®àëå, ¥£® ¥©âà «ì®áâìî.
᫨ ®âª § âìáï ®â ®¤®£® ¨§ íâ¨å ᢮©áâ¢, ¯¥à¥®à¬¨à㥬®áâì á®åà ï¥âáï, â.¥. ¯¥à¥®à¬¨à㥬®© ï¥âáï, ¯à¨¬¥à, ⥮à¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ä¥à¬¨®®¢ á ¬ áá¨¢ë¬ ¢¥ªâ®àë¬ ¥©âà «ìë¬ ¯®«¥¬. ®í⮬㠬®¦® ¥ ¡®ïâìáï, çâ® ä®â® ®ª ¦¥âáï ¨¬¥î騬 ®ç¥ì ¬ «ãî, ¥ã«®¢¨¬ãî ¤® á¨å ¯®à ¬ ááã. ¥®à¨ï áãé¥á⢥® ¥ ¯®áâà ¤ ¥â. ¥à¥®à¬¨à㥬®© ï¥âáï ¨ ⥮à¨ï ¯®«¥© £ - ¨««á , á®áâ®ïé¨å ¨§ ¤¢ãå § à殮ëå ¨ ®¤®£® ¥©âà «ì®£® ¡¥§¬ áᮢëå ¯®«¥©, ¢ª«îç ï ¨ ¨å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ á ä¥à¬¨® ¬¨. « £®¤ àï 䥮¬¥ã ¨££á § àï¦¥ë¥ ¯®«ï £ - ¨««á ¬®£ãâ áâ âì ¬ áᨢ묨, ¤ «¥¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì ¨å á ¯à®¬¥¦ãâ®ç묨 W -¡®§® ¬¨ { ¯¥à¥®á稪 ¬¨ á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, Z-¡®§®ë á «®£¨ç묨 ¥©âà «ì묨 ç áâ¨æ ¬¨. «¥ªâ஬ £¨â®¥ ¯®«¥ A ®áâ ¥âáï ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ ¡¥§¬ áᮢë¬. ®§¨ª ¥â ¢®¯à®á { ®áâ ¥âáï-«¨ ⥮à¨ï ¯¥à¥®à¬¨à㥬®© ¯®á«¥ ¤¥©á⢨ï íä䥪⠨££á ? ®¦® ®¦¨¤ âì, çâ® ®áâ ¥âáï, ¯®áª®«ìªã ¢á¥ á®áâ ¢«ïî騥 ¨á室®£® « £à ¦¨ ¯¥à¥®à¬¨à㥬ë, ¤ «ìè¥ ¬ë ¨ç¥£® ®á®¡¥®£® ¥ ¤¥« «¨, ªà®¬¥ ¢¯®«¥ ¤®¯ãá⨬ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨ ¯¥à¥®¡®§ 票©. â® ®¦¨¤ ¨¥ ®¯à ¢¤ë¢ ¥âáï ¨ ¯à¨ ¡®«¥¥ áâண®¬ à áᬮâ२¨.
®¤¥«ì ©¡¥à£ - « ¬ . ¥à¥©¤¥¬ ª ®¯¨á ¨î ¥¤¨®© áå¥¬ë ®¯¨á ¨ï á« ¡ëå ¨ í«¥ªâ஬ £¨âëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ, ¯à¥¤«®¦¥®© ©¡¥à£®¬ ¨ « ¬®¬. â® ¥¤¨á⢥ ï ॠ«¨áâ¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ, ª®â®àãî ¬ë ¤®áâ â®ç® ¯®¤à®¡® à áᬮâਬ ¢ 襬 ªãàá¥. áâ®ï饥 ¢à¥¬ï íâ ¬®¤¥«ì ¯à¥ªà á® ¯®¤â¢¥à¦¤¥ íªá¯¥à¨¬¥â®¬ ¨ «¥¦¨â ¢ ®á®¢¥ áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨. ᮢ ï ¨¤¥ï ⥮ਨ í«¥ªâà®á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® á« ¡ë¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯¥à¥®áïâáï ª «¨¡à®¢®ç묨 ¡®§® ¬¨ (W ; Z), ª®â®àë¥ ¨§ ç «ì® ï¢«ïîâáï ¡¥§¬ áᮢ묨, ª®¥çãî ¬ ááã (®¡¥á¯¥ç¨¢ îéãî ª®à®âª®¤¥©á⢨¥) ¯à¨®¡à¥â îâ ¢ १ã«ìâ ⥠¤¥©áâ¢¨ï ¬¥å ¨§¬ ¨££á . «¥ªâ஬ £¨â®¥ ¯®«¥, ¥áâ¥á⢥®, ®áâ ¥âáï ¯à¨ í⮬ ¡¥§¬ áᮢë¬. ç áâ¨, ª á î饩áï á ¬¨å ª «¨¡à®¢®çëå ¯®«¥©, â ª ï ¬®¤¥«ì ®¯¨á ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 à §¤¥«¥. ® 㦮 ¥é¥ ¢ª«îç¨âì ¢ ⥮à¨î «¥¯â®ë { í«¥ªâà® ¨ ¥©âਮ6, ª®â®àë¥ ¨á室® â ª¦¥ ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì ¡¥§¬ áᮢ묨. ¥å ¨§¬ ¨££á (ᯮ⠮¥ àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ) ¤®«¦® ®¡¥á¯¥ç¨âì ¢®§¨ª®¢¥¨¥ ¬ ááë ã í«¥ªâà® , ® ¥ ã ¥©âਮ7. 祬 ᮠᯨ®àëå ¯®«¥©. £à ¦¨ ¨à ª : L = i @ ; m (4.90) ¯à¨ m = 0 ¯à¥¢à é ¥âáï ¯à®áâ® ¢ i @ . ¢¥¤¥¬, ª ª ®¡ëç®, ¤«ï ¡¥§¬ áᮢëå ä¥à¬¨®®¢: 1 1 = L+ R (4.91) L = 2 (1 + 5 ) R = 2 (1 ; 5 ) £¤¥ 5 = i 0 1 2 3 . ®£¤ i @ = i R @ R + i L @ L (4.92) 6 ®á«¥¤ãî騥 ¯®ª®«¥¨ï «¥¯â®®¢ ®¯¨áë¢ îâáï â®ç® â ª¦¥. 7 ¤¥áì ¬ë ¯à¥¥¡à¥£ ¥¬ ¢®§¬®¦ë¬ «¨ç¨¥¬ ã ¥©âਮ ¬ «®© ¬ ááë
¯®ª®ï.
106
-
¯®áª®«ìªã 5 ⨪®¬¬ãâ¨àã¥â á . «¥ªâà® (¬î® ¨ -«¥¯â®) ®¡« ¤ îâ ª ª L, â ª ¨ R ª®¬¯®¥â ¬¨, ®¤ ª® ᮣ« á® ¤¢ã媮¬¯®¥â®© ⥮ਨ ¥©âਮ e (, ) ®¡« ¤ îâ ⮫쪮 L-ª®¬¯®¥â ¬¨. ®£¤ ¨áå®¤ë© « £à ¦¨ «¥¯â®®¢ ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: L = ieR @ eR + ieL @ eL + ie @ e + (e ! ) + (e ! ) (4.93) £¤¥ ä¥à¬¨®ë¥ ¯®«ï ®¡®§ ç¥ë ᨬ¢®« ¬¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ. ª« ¤ ¢ëáè¨å ¯®ª®«¥¨© ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¥ ¢ë¯¨áë¢ ¥¬. ८¡à §®¢ ¨ï ª «¨¡à®¢®ç®© £àã¯¯ë ¤®«¦ë § âà £¨¢ âì ç áâ¨æë á ®¤¨ ª®¢ë¬¨ ¯à®áâà á⢥® - ¢à¥¬¥ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨, â.¥. ¥¤¨á⢥ ï ¢®§¬®¦®áâì á®á⮨⠢ ⮬, çâ®¡ë ¯¥à¥¬¥è¨¢ âì eL ¨ e . ¢¥¤¥¬ ⮣¤ ¨§®á¯¨®à: e (4.94) L = eL ¨ ¯à¨¯¨è¥¬ í⮬㠤㡫¥âã ¥ ¡¥«¥¢ § àï¤ (\á« ¡ë©" ¨§®á¯¨) IW = 1=2, ᮮ⢥âá⢥® ¤¢ã¬ ª®¬¯®¥â ¬. ¥©âਮ e ᮮ⢥âáâ¢ã¥â âà¥âìï ª®¬¯®¥â IW3 = +1=2, \í«¥ªâà®ã" eL ᮮ⢥âáâ¢ã¥â IW3 = ;1=2. áâ ¥âáï ¥é¥ (4.95) R = eR ª®â®àë© áç¨â ¥âáï ¨§®á¨£«¥â®¬: IW = 0. ¬¥¥¬ ⮣¤ « £à ¦¨ : L = i R @ R + i L @ L (4.96) ª®â®àë© ¨¢ ਠ⥠®â®á¨â¥«ì® ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨§®£à㯯ë SU(2): i
L ! e; 2 ~ ~ L
¨«¨ ¯®¤à®¡¥¥:
R! R
0 1 ~ 0 e 1 e ~ ; i 2 @ eL A ! e 0 01 @ eL A
(4.97)
(4.98) eR eR «¥ªâà¨ç¥áª¨© § àï¤ Q ¨ âà¥âìï ª®¬¯®¥â á« ¡®£® ¨§®á¯¨ IW3 ¤«ï «¥¢ëå ¨ ¯à ¢ëå ¯®«¥© á¢ï§ ë á«¥¤ãî騬¨ ®ç¥¢¨¤ë¬¨ á®®â®è¥¨ï¬¨: L: Q = IW3 ; 21 R: Q = IW3 ; 1 (4.99)
᫨ ᤥ« âì íâã ᨬ¬¥âà¨î «®ª «ì®© ª «¨¡à®¢®ç®© ᨬ¬¥âਥ©, â.¥. áç¨â âì, çâ® ~ = ~ (x), ¢®§¨ªãâ, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, âਠ¡¥§¬ áᮢëå ª «¨¡à®¢®çëå ï£ ¬¨««á®¢áª¨å ¯®«ï. ® ä®â® ¥ ¡ã¤¥â ¢å®¤¨âì ¢ ¨å ç¨á«®, ¯®áª®«ìªã ¯à ¢ë© í«¥ªâà® eR , ïî騩áï ¨§®á¨£«¥â®¬, ¥ ¡ã¤¥â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢮¢ âì á í⨬¨ ¯®«ï¬¨, ⮣¤ ª ª á ä®â®®¬ ®, ¥áâ¥á⢥®, ¤®«¦¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢮¢ âì. ãâ ¬®¦® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥬ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮¬, çâ® SU(2) ¥ ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì®© ᨬ¬¥âਥ© à áᬠâਢ ¥¬®£® « £à ¦¨ . á ¬®¬ ¤¥«¥ ¬®¦® ¥é¥ ¯®¤¢¥à£ãâì eR ¯à®á⮬㠯८¡à §®¢ ¨î U(1): eR ! ei eR (4.100)
-
107
® íâ® ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 ®¡é¥¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¤«ï ¢á¥å ¯®«¥©. 묨 á«®¢ ¬¨ e ¨ eL â ª¦¥ ¤®«¦ë ¯à¨®¡à¥á⨠®¤¨ ª®¢ë© ä §®¢ë© ¬®¦¨â¥«ì. ਠí⮬ ä § ¤«ï ¨å ¥ ®¡ï§ ᮢ¯ ¤ âì á ä §®© ¤«ï R-«¥¯â® . ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬®¦® § ¯¨á âì: 0 1 0 ein 0 0 1 0 1 @ eLe A ! @ 0 ein 0 A @ eLe A (4.101) eR eR 0 0 ei £¤¥ n { ¥ª®â®à®¥ ç¨á«®, ª®â®à®¥ ¥é¥ 㦮 ®¯à¥¤¥«¨âì. â U(1)-ᨬ¬¥âà¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª áãé¥á⢮¢ ¨î ¥ª®â®à®£® á®åà ïî饣®áï § àï¤ , ¯à¨ç¥¬ eR ®¡« ¤ ¥â ®¤¨¬ § 票¥¬ í⮣® § àï¤ , e ¨ eL { ¤à㣨¬. 祢¨¤®, çâ® íâ® ¥ í«¥ªâà¨ç¥áª¨© § àï¤ Q, ¯®áª®«ìªã e ¨ eL ®¡« ¤ îâ à §«¨ç묨 § àï¤ ¬¨ Q. ®®â¢¥âá⢥®, ª «¨¡à®¢®ç®¥ ¯®«¥, ®â¢¥ç î饥 í⮩ U(1) ᨬ¬¥âਨ, íâ® ¢®¢á¥ ¥ í«¥ªâ஬ £¨â®¥ ¯®«¥. ©¡¥à£ ¯à¥¤«®¦¨« áç¨â âì, çâ® íâ ᨬ¬¥âà¨ï ᮮ⢥âá⢥â á®åà ¥¨î \á« ¡®£® £¨¯¥à§ àï¤ " YW , ®¯à¥¤¥«ï¥¬®£® á®®â®è¥¨¥¬8: Q = IW3 + Y2W (4.102) à ¢¨¢ ï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ á (4.99) ¢¨¤¨¬, çâ® ¤«ï «¥¢ëå ¨ ¯à ¢ëå «¥¯â®®¢ 㦮 ¢¢¥áâ¨: L: YW = ;1 R: YW = ;2 (4.103) ®í⮬㠢 (4.101) 㦮 ¯®«®¦¨âì n = 1=2, â ª çâ® ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á £¨¯¥à§ à冷¢ë¬ ª «¨¡à®¢®çë¬ ¯®«¥¬ ¤«ï «¥¢ëå ¯®«¥© ¢ ¤¢ à § ¬¥ìè¥ á®®â¢¥âáâ¢ãî饩 ª®áâ âë ¤«ï ¯à ¢ëå ¯®«¥©. १ã«ìâ â¥, ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ £à㯯ë U(1) ¯à¨®¡à¥â ¥â ®ª®ç ⥫ìë© ¢¨¤: 0 1 0 ei =2 0 0 1 0 1 e e @ eL A ! @ 0 ei =2 0 A @ eL A (4.104) eR eR 0 0 ei ª¨¬ ®¡à §®¬, « £à ¦¨ (4.93), (4.96) ¨¢ ਠ⥠®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï £à㯯 SU(2) U(1). ¥®à¨î £ - ¨««á á â ª®© ᨬ¬¥âਥ© ¬ë 㦥 à áᬮâ५¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 à §¤¥«¥. ਠí⮬ ¬ë ¢¢¥«¨ ç¥âëॠª «¨¡à®¢®çëå ¯®«ï: ¨§®âਯ«¥â ¯®«¥© A~ ¨ ¨§®á¨£«¥â B , ¤«ï ¨å YW = 0. ¥¯â®ë¥ ¯®«ï L ¨ R ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ á ¯®«ï¬¨ A~ , B ¨ 娣£á®¢áª¨¬ ¯®«¥¬ . áᬮâਬ á ç « ¯®¤à®¡¥© íâ® ¯®á«¥¤¥¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¢ª« ¤ ¢ « £à ¦¨ § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥ «®£¨ç®¬ (4.12), 㦥 ®¡á㦤 ¢è¥¬áï ¢ëè¥ ¢ á¢ï§¨ á ¬¥å ¨§¬®¬ £¥¥à 樨 ¬ ááë ä¥à¬¨®®¢: p LM = ; 2a( L R + R L ) (4.105) £¤¥ a { ¡¥§à §¬¥à ï ª®áâ â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® (¯¥à¥®à¬¨à㥬®£®!) ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ¨££á®¢áª®¥ ¯®«¥ § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥ ¨§®á¯¨®à : '+ = '0 = ('; ; '0 ) (4.106) 8 â® ¢ëà ¦¥¨¥ § ¯¨á ® ¯® «®£¨¨ á ä®à¬ã«®© ¥««- | ¨è¨¤¦¨¬ë ¤«ï £¨¯¥à§ àï¤ â¥®à¨¨ ¤à®®¢ [27]
108
-
ª®¬¯®¥âë ª®â®à®£® ᮮ⢥âáâ¢ãî⠯஥ªæ¨ï¬ á« ¡®£® ¨§®á¯¨ IW3 = 1=2. § (4.102) ¢¨¤®, çâ® ®® ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬¨ ª¢ ⮢묨 ç¨á« ¬¨: IW = 1=2
YW = 1
(4.107)
¡ ¯®«ï '+ ¨ '0 ïîâáï ª®¬¯«¥ªá묨, â ª çâ® ¬®¦® § ¯¨á âì: =
'+ '0
=
p12 ('3 + i'4 ) p12 ('1 + i'2 )
!
(4.108)
£¤¥ '1 ; :::; '4 { ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ¯®«ï. ®¢ ਠâ ï ¯à®¨§¢®¤ ï, ®¯¨áë¢ îé ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ 娣£á®¢áª®£® ¯®«ï á ª «¨¡à®¢®ç묨 ¯®«ï¬¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤: D = (@ ; 2i g~ A~ ; 2i fB ) (4.109) ¨â®£¥, ç áâì « £à ¦¨ , ᮤ¥à¦ é ï ¯®«¥ , à ¢ : p L = (D ) (D ) ; 2 ; ( )4 ; 2a( L R + R L ) (4.110) ®¤à®¡¥¥ (¢ ª®¬¯®¥â å) ç áâì í⮣® « £à ¦¨ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î 娣£á®¢áª®£® ¯®«ï á «¥¯â® ¬¨, ¨¬¥¥â ¢¨¤: p (4.111) ; 2a(e eR '+ + eL eR '0 + eR e '; + eR eL '0 ) «¥¥, ¨¬¥¥¬: = ('+ ) '+ + ('0 ) '0 = 21 ('21 + '22 + '23 + '24 ) (4.112) ਠ2 < 0 ¯à®¨á室¨â ¡®§¥ - ª®¤¥á æ¨ï 娣£á®¢áª®£® ¯®«ï ¨ ¬¨¨¬ã¬ã í¥à£¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â: 2 (4.113) < 0j('')j0 >= 2 = ; 롥६ ¢ ªã㬠⠪, ç⮡ë: < 0j'1j0 >= â.¥.
< 0j'2j0 >=< 0j'3j0 >=< 0j'4j0 >= 0
(4.114)
(4.115) < 0j j0 >= p1 0 2 ®£¤ ç«¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ ¨§è¥¬ ¯®à浪¥ (¯® ¢®§¡ã¦¤¥¨ï¬) ¨¬¥¥â ¢¨¤: p LM = 2a( L R + R L ) = a(eL eR + eR eL ) (4.116) â ª çâ® á 娣£á®¢áª¨¬ ª®¤¥á ⮬ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ⮫쪮 í«¥ªâà®ë. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¬ë ¤®¡¨«¨áì ⮣®, 祣® å®â¥«¨ { í«¥ªâà® ¯à¨®¡à¥â ¥â ¬ ááã: me = a (4.117) ¥©âਮ ®áâ ¥âáï ¡¥§¬ áᮢë¬!
-
109
¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª à áᬮâà¥¨î ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï «¥¯â®®¢ á ª «¨¡à®¢®ç묨 ¯®«ï¬¨, ª®â®à®¥ ãç¨âë¢ ¥âáï ¯¥à¥å®¤®¬ ª ª®¢ ਠ⮩ ¯à®¨§¢®¤®©: D = (@ ; igT~ A~ ; if Y2 B ) (4.118) £¤¥ Y { á« ¡ë© £¨¯¥à§ àï¤ ¯®«ï , g ¨ f { ª®áâ âë ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. «ï L ¨¬¥¥¬ T~ = 21 ~ , Y = ;1, ¤«ï R ᮮ⢥âá⢥® T~ = 0 ¨ Y = ;2. ®£¤ , á¢ï§ ï á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ á ª «¨¡à®¢®ç묨 ¯®«ï¬¨ ç áâì « £à ¦¨ «¥¯â®®£® ¯®«ï ¨¬¥¥â ¢¨¤: (4.119) L = i L @ ; ig ~ 2 A~ + i f2 B L + i R (@ + ifB ) R 室ï騥 áî¤ ª «¨¡à®¢®çë¥ ¯®«ï, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ (4.81), (4.82), (4.83), ¬®¦® à §¤¥«¨âì âਠ⨯ ¯®«¥©: ¯®«¥ § à殮ëå â殮«ëå ¬¥§®®¢ W , ¯®«¥ ¥©âà «ìëå â殮«ëå ¬¥§®®¢ Z ¨ í«¥ªâ஬ £¨â®¥ ¯®«¥ A . 믨襬 ®â¤¥«ì® ç á⨠« £à ¦¨ LW , LZ , LA , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î á í⨬¨ ¯®«ï¬¨: LW = 2g L ( 1A1 + 2 A2 ) L = pg (eW eL + eL W e) (4.120) 2 â® « £à ¦¨ á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï «¥¯â®®¢ § áç¥â ®¡¬¥ W - ¬¥§® ¬¨ (â.. § àï¦¥ë¥ â®ª¨). ஬¥ ⮣®, ¨¬¥îâáï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á ¯®«ï¬¨ A3 ¨ B , ¨§ (4.119) ®¨ ¨¬¥îâ ¢¨¤: 1 (4.121) 2 L (g 3 A3 ; fB ) L ; f R B R ¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï (4.82), (4.83), g~ 2 [e(cos A3 ; sin B )e ; eL (cos A3 + sin B )eL ; 2 sin eR B eR ] (4.122) â ª çâ®, ¢ëà ¦ ï A3 ¨ B ç¥à¥§ Z ¨ A ᮣ« á® (4.82), ¯®«ãç ¥¬: (4.123) LZ = 2g~ (e Z e ; cos 2 eL Z eL ; 2 sin2 eR Z eR ) { á« ¡®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ § áç¥â ®¡¬¥ ¥©âà «ì묨 Z - ¡®§® ¬¨ (â.. ¥©âà «ìë¥ â®ª¨), â ª¦¥ LA = ;g sin (eL A eL + eR A eR ) (4.124) { í«¥ªâ஬ £¨â®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥. ¬¥â¨¬, çâ® (4.124) ¥é¥ à § ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥â ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï í«¥ªâà¨ç¥áª®£® § àï¤ (4.89). ª¨¬ ®¡à §®¬, à áᬠâਢ ¥¬ ï ¬®¤¥«ì ¤ ¥â ¥¤¨®¥ ®¯¨á ¨¥ á« ¡®£® ¨ í«¥ªâ஬ £¨â®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¯®«ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 W ¨ Z { ¬¥§® ¬, â ª¦¥ ¨ ®¡ë箥 í«¥ªâ஬ £¨â®¥ ¯®«¥ ¢®§¨ª îâ ¨§ ä㤠¬¥â «ì®£® âॡ®¢ ¨ï ¨¢ ਠâ®á⨠⥮ਨ ®â®á¨â¥«ì® «®ª «ìëå ª «¨¡à®¢®çëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© £à㯯ë SU(2) U(1). ¯¥à¢ë¥ £®¤ë ¯®á«¥ ¯®áâ஥¨ï ¬®¤¥«¨ ©¡¥à£ - « ¬ ¯à®æ¥ááë á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï § áç¥â ¥©âà «ìëå ⮪®¢ (4.123) ¥ ¡ë«¨ ¨§¢¥áâë, çâ® à áᬠâਢ «®áì ª ª á¥àì¥§ë© ¥¤®áâ ⮪ à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨. å ®âªàë⨥ ¢ CERN ¢ 1973 £®¤ã ¯®á«ã¦¨«® ¯¥à¢ë¬ á¥àì¥§ë¬ ¯®¤â¢¥à¦¤¥¨¥¬ ¨¬¥® í⮩ ⥮ਨ í«¥ªâà®á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. à®á⥩訩 ¯à®æ¥áá á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï
110
-
¨á. 4-3
{ à ᯠ¤ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¤¨ £à ¬¬®©, ¯®ª § ®© ¨á.4-3.
᫨ ¬ áá W - ¬¥§® áãé¥á⢥® ¡®«ìè¥ ¬ ááë , â® ¥£® ¯à®¯ £ â®à ¯à®áâ® ¯à®¯®à樮 «¥ m12W , ¨ à áᬠâਢ ¥¬ ï ¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤ íª¢¨¢ «¥â ¬¯«¨â㤥, ¯®«ã祮© ¨§ 䥮¬¥®«®£¨ç¥áª®£® (¥¯¥à®à¬¨à㥬®£®) ç¥âëà¥åä¥à¬¨®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¥à¬¨ (2.95), (2.277), ¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤: g2 (e )( ) 2m2W L e
(4.125)
à ¢¨¢ ï á (2.277), ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ª®áâ âë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¥à¬¨: 2 pG = 8mg 2 (4.126) 2 W ¥«¨ç¨ G å®à®è® ¨§¢¥áâ ¨§ íªá¯¥à¨¬¥â ¨ ¤ ¥âáï (2.280). ¨¤¨¬, çâ® ¥¥ ¬ « ï ¢¥«¨ç¨ (\á« ¡®áâì" á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï), ä ªâ¨ç¥áª¨, á¢ï§ á «¨ç¨¥¬ ¢ § ¬¥ ⥫¥ (4.125) ¡®«ì让 ¬ ááë ¯à®¬¥¦ãâ®ç®£® ¡®§® , á ¬®¬ ¤¥«¥, ä㤠¬¥â «ì®© ª®áâ ⮩ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ï¥âáï g e ! ᯮ«ì§ãï (4.89)) ¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ¨§¢¥áâë¥ § 票ï e ¨ G, ¬®¦®, á ¯®¬®éìî (4.85) ¨ (4.126) ©â¨ á«¥¤ãî騥 ®æ¥ª¨ ¬ áá ¯à®¬¥¦ãâ®çëå ¡®§®®¢: mW = 74GeV mZ = cos (4.127) mW = 25=4 sine G1=2 = 37GeV sin sin 2 â ª çâ® mW > 37GeV ¨ mZ > 74GeV . ᯮ«ì§ãï (4.85) ¨ (4.127) ¬®¦¥¬ ¯¨á âì: = mgW = 37GeV (4.128) e = 122GeV ®£¤ ¨§ (4.117) ¨¬¥¥¬: a = me 5 10;6 (4.129)
â ª çâ® ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï «¥¯â®®¢ á 娣£á®¢áª¨¬ ¯®«¥¬ ®ç¥ì ¬ « . ªá¯¥à¨¬¥â «ì®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¯à®æ¥áᮢ á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯®á।á⢮¬ ¥©âà «ìëå ⮪®¢ ¤ «®, ª ç «ã 80-å £®¤®¢, á«¥¤ãîéãî ®æ¥ªã \㣫 " : sin 0:47 (4.130)
-
111
®£¤ ¨§ (4.127) ¨¬¥¥¬:
mW 78:6GeV mZ 89:3GeV (4.131) à¨ã¬ä®¬ ⥮ਨ áâ «® ®âªàë⨥ ¢ 1983 £®¤ã W ¨ Z - ¡®§®®¢ ¢ ¯àï¬ëå íªá¯¥à¨¬¥â å ¢ CERN á ¬ áá ¬¨ mW 80GeV , mZ 92GeV . â¥å ¯®à ⥮à¨ï í«¥ªâà®á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯®«ã稫 ¬®¦¥á⢮ íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¯®¤â¢¥à¦¤¥¨© ¨ ï¥âáï ᥩç á ®¡é¥¯à¨§ ®© á奬®© ¨å ®¯¨á ¨ï. ᮢ®© ¥à¥è¥®© ¯à®¡«¥¬®©, ¢ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï, ï¥âáï ®âáãâá⢨¥ ¯àאַ£® íªá¯¥à¨¬¥â «ì®£® ¯®¤â¢¥à¦¤¥¨ï áãé¥á⢮¢ ¨ï 娣£á®¢áª¨å ç áâ¨æ. ᮦ «¥¨î, ¬®¤¥«ì ©¡¥à£ - « ¬ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¯®§¢®«ï¥â ¤ âì ¤¥¦ãî ®æ¥ªã ¨å ¬ ááë. ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ « ¢¥ 1 ç á⨠I, ®á¥ìî 2000 £®¤ ¢ CERN ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ¤®¢®«ì® ã¡¥¤¨â¥«ìë¥ ¤ ë¥ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ 娣£á®¢áª¨å ç áâ¨æ á ¬ áᮩ ¯®à浪 115 GeV. ®¤â¢¥à¦¤¥¨¥ í⮣® १ã«ìâ â áë£à «® ¡ë à¥è îéãî à®«ì ¢ § ¢¥à襨¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ì®© ¯à®¢¥àª¨ \áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨" 9.
â ¤ àâ ï ¬®¤¥«ì.
\â ¤ àâ ï ¬®¤¥«ì" í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ᮥ¤¨¥¨¥ ⥮ਨ í«¥ªâà®á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ©¡¥à£ - « ¬ ¨ 㦥 ¡¥£«® ®¡á㦤 ¢è¥©áï ¢ëè¥ ª¢ ⮢®© å஬®¤¨ ¬¨ª¨. ®« ï ª «¨¡à®¢®ç ï ᨬ¬¥âà¨ï ⥮ਨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯àï¬ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ £à㯯 梥⮢®© ᨬ¬¥âਨ, á« ¡®£® ¨§®á¯¨ ¨ á« ¡®£® £¨¯¥à§ àï¤ : SU(3) SU(2) U(1).
᫨ ®£à ¨ç¨âìáï ¨¡®«¥¥ ¢ ¦ë¬ ¯¥à¢ë¬ ¯®ª®«¥¨¥¬ ä¥à¬¨®®¢, â® ä¥à¬¨®ë© ᥪâ®à ¬®¤¥«¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï: L = ee ; eR ; QL = ud ; uR ; dR (4.132) L L £¤¥ u ¨ d ®¡®§ ç îâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª¢ ન ( - ¨¤¥ªá 梥â ). ®¢ ਠâ ï ¯à®¨§¢®¤ ï, ®¯à¥¤¥«ïîé ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ä¥à¬¨®®¢ á ¯®«ï¬¨ £ - ¨««á , ¨¬¥¥â ¢¨¤: i a D = @ ; ig1 Y2 B ; ig2 2 Wi ; ig3 2 Ga (4.133) £¤¥ a { £¥¥à â®àë 梥⮢®© £à㯯ë SU(3) (á¬. « ¢ã 2 ç á⨠I), Ga { ¢¥ªâ®àë¥ ¯®«ï £«î®®¢. ¨££á®¢áª ï ç áâì ⥮ਨ ®¯¨á ¢ëè¥. «î®ë ®áâ îâáï ¡¥§¬ áᮢ묨, ® ®¨ ¥ ¡«î¤ îâáï ¢ ᢮¡®¤®¬ á®áâ®ï¨¨ ¨§-§ ¥¨ï ª®ä ©¬¥â , çâ® ¥é¥ ¡ã¤¥â ®¡á㦤 âìáï ¨¦¥. ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì, â ª®© ⥮ਨ ¤®áâ â®ç® ¤«ï ®¯¨á ¨ï ¢á¥£® ®ªà㦠î饣® á ¬¨à . ᥣ®¤ï訩 ¤¥ì ¢á¥ ¥¥ ¯à¥¤áª § ¨ï ᮣ« áãîâáï á ¨¬¥î騬¨áï íªá¯¥à¨¬¥â ¬¨ 10. ®¯ë⪨ ॠ«ì®£® ®¡ê¥¤¨¥¨ï ¢á¥å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© ¢ à ¬ª å ¥¤¨®© ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯ë, ¢ª«îç î饩 ᨬ¬¥âà¨î áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨ SU(3) SU(2) U(1) ¢ ª ç¥á⢥ ¯®¤£àã¯¯ë §ë¢ îâáï ⥮à¨ï¬¨ \¢¥«¨ª®£® ®¡ê¥¤¨¥¨ï" (GUT). å ¬ë ªà ⪮ ®¡á㤨¬ ¢ á«¥¤ãî饩 « ¢¥.
9 ᮦ «¥¨î, à㪮¢®¤á⢮ CERN ¯à¨ï«® à¥è¥¨¥ ® ¯à¥ªà 饨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å íªá¯¥à¨¬¥â®¢ ¢ á¢ï§¨ á ¯« ¬¨ áâந⥫ìá⢠®¢®£® ã᪮à¨â¥«ï ⮩ ¦¥ ¯«®é ¤ª¥. â® à¥è¥¨¥, ®¡ãá«®¢«¥®¥, ¢ ®á®¢®¬, ä¨ á®¢ë¬¨ á®®¡à ¦¥¨ï¬¨, ¯à¨¢¥«® ª ⮬ã, çâ® ®ª®ç ⥫ì ï ïá®áâì á ¢ ¤ ®¬ ¢®¯à®á¥ ¬®¦¥â ¢®§¨ªãâì ⮫쪮 ç¥à¥§ ¥áª®«ìª® «¥â, ¯®á«¥ § ¢¥à襨ï áâந⥫ìá⢠¨ § ¯ã᪠®¢ëå íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ãáâ ®¢®ª ¢ . 10 à ⪨© ®¡§®à íªá¯¥à¨¬¥â «ì®£® á®áâ®ï¨ï áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨ ¬®¦® ©â¨ ¢ áâ âì¥: M.K.Gaillard, P.D.Grannis, F.J. Sciulli. Rev.Mod.Phys. 71, S96 (1999), § 票¥ í⮩ ⥮ਨ ¢ \¯®¢á¥¤¥¢®©" ¦¨§¨ å®à®è® ®¯¨á ® ¢ áâ âì¥: R.N.Cahn. Rev.Mod.Phys. 68, 951 (1996).
112
-
¨á. 4-4
§®¢ë¥ ¯¥à¥å®¤ë ¢ ⥮ਨ ¯®«ï ¯à¨ ª®¥çëå ⥬¯¥à âãà å.
§ ª«î票¥ ®áâ ®¢¨¬áï ¥é¥ ®¤®¬, ç१¢ëç ©® ¨â¥à¥á®¬, ¯à ¢«¥¨¨ ᮢ६¥®© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¢ ®á®¢¥ ⥮ਨ í«¥ªâà®á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï «¥¦¨â ¥¨¥ ᯮ⠮£® àã襨ï ᨬ¬¥âਨ ¨ ¬¥å ¨§¬ ¨££á . ëè¥ ã¦¥ ®â¬¥ç «®áì, çâ® í⮠¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⨯¨çë© ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤, ⨯ ¯à®¨á室ï饣® ¢ ᢥàå¯à®¢®¤¨ª å. § ⥮ਨ ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï ¬ë å®à®è® § ¥¬, çâ® ¢á类¥ àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ ¨á祧 ¥â ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë᮪®© ⥬¯¥à âãॠT > Tc , ª®£¤ á¨á⥬ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ᨬ¬¥âà¨çãî ä §ã. ª®¥ ¦¥ ¥¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¢ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¬®¤¥«ïå ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¯¥à¢ë¥ íâ® ¡ë«® ïá® ¯à®¤¥¬®áâà¨à®¢ ® ¢ à ¡®â å ¨à¦¨æ ¨ ¨¤¥ [43]. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 «¨§ ¬®¦® ¯à®¢¥áâ¨, ¨á¯®«ì§ãï áâ ¤ àâãî (¬ æ㡠஢áªãî) ä®à¬ã«¨à®¢ªã ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¯à¨ ª®¥çëå ⥬¯¥à âãà å [13]. ¥ ¨¬¥ï ¢®§¬®¦®á⨠®¡á㦤 âì í⨠¨â¥à¥áë¥ ¢®¯à®áë ¢ à ¬ª å ¤ ®£® ªãàá , ¬ë 㯮¬ï¥¬ ⮫쪮 á ¬ë¥ ®á®¢ë¥ ¢ë¢®¤ë. ªã㬮¥ á।¥¥ 娣£á®¢áª®£® ¯®«ï, ¨£à î饥 à®«ì ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å T > Tc , £¤¥ r 2 (4.134) Tc 3j j (0) 102 ; 103GeV ਠT < Tc ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¢¥¤¥â á¥¡ï ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ ®¡ëçë¬ ®¡à §®¬: 2 2(T ) = j j ; (T) (4.135) £¤¥ (T ), ¥ª®â®à ï ¢®§à áâ îé ï äãªæ¨ï ⥬¯¥à âãàë. १ã«ìâ ⥠¢®§¨ª ¥â ¯®¢¥¤¥¨¥ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 , ¯®ª § ®¥ ¨á.4-4( ). ® ¬ ááë ç áâ¨æ, ¢®§¨ª î騥 ¯à¨ ᯮ⠮¬ àã襨¨ ᨬ¬¥âਨ, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ëè¥, ¯à®¯®à樮 «ìë ¢ ªã㬮¬ã á।¥¬ã ¯à¨ T = 0. ®®â¢¥âá⢥®, ¯à¨ à®á⥠⥬¯¥à âãàë ¬ ááë ª «¨¡à®¢®çëå ¡®§®®¢, «¥¯â®®¢ ¨ ¤à㣨å ç áâ¨æ 㬥ìè îâáï ¨ ¯à¨ T = Tc ®¡à é îâáï ¢ ã«ì, ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.4-4(¡). ¦¥ ã஢¥ â ª®£® ¯à®á⥩襣® ®¡á㦤¥¨ï ïá®, çâ® ¨á祧®¢¥¨¥ ¬ áá ç áâ¨æ ¨ ¢®§¨ª®¢¥¨¥ ¬®éëå ¤ «ì®¤¥©áâ¢ãîé¨å ᨫ ¬®¦¥â ¨£à âì ®£à®¬ãî à®«ì ¢ § ¤ ç å ª®á¬®«®£¨¨, ¯®áª®«ìªã ¢ ¯¥à¢ë¥ ¬£®¢¥¨ï ¯®á«¥ \¡®«ì讣® ¢§àë¢ " ⥬¯¥à âãà ᥫ¥®© ¡ë« ®ç¥ì ¢ë᮪ . ⨠¢ë¢®¤ë ¯®¢«¥ª«¨ ¡ã஥ à §¢¨â¨¥ ®¢ëå ¯®¤å®¤®¢ ¢ ª®á¬®«®£¨¨ [43, 44]. «®£¨çë¥ íä䥪âë ¬®£ãâ ¨£à âì áãé¥á⢥ãî à®«ì ¨ ¢ íªá¯¥à¨¬¥â å ¯® á⮫ª®¢¥¨î ®ç¥ì â殮«ëå 拉à, ª®£¤ à §¢¨¢ îâáï â ª¦¥ ®ç¥ì ¢ë᮪¨¥ ⥬¯¥à âãàë.
-
113
áâ®ï饥 ¢à¥¬ï «¨§ ⥬¯¥à âãàëå íä䥪⮢ ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¯à¥¢à ⨫áï ¢ ¥®¡å®¤¨¬ãî á®áâ ¢«ïîéãî ç áâì ⥮ਨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ, çâ® ¡®«¥¥, 祬 çâ® - «¨¡® ¤à㣮¥ ¯®¤ç¥àª¨¢ ¥â ¥¤¨á⢮ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¨ ᮢ६¥®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨.
114
-
« ¢ 5
á室¨¬®á⨠¢ ⥮ਨ '4. ®ï⨥ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®á⨠¨£à ¥â ¢ ᮢ६¥®© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ᮢ¥à襮 ä㤠¬¥â «ìãî ஫ì. ®«ìª® ¯¥à¥®à¬¨àã¥¬ë¥ â¥®à¨¨ áç¨â îâáï ¨¬¥î騬¨ 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«. ë 㦥 ¯à®¢¥«¨ ¤®áâ â®ç® ªà ⪮¥ ®¡á㦤¥¨¥ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®á⨠¯à¨¬¥à¥ ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I. ¥©ç á ¬ë ¢¥à¥¬áï ª ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡®¬ã ®¡á㦤¥¨î. ®á®¢®¬, ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¯à®á⥩èãî ᪠«ïàãî ⥮à¨î ¯®«ï g'4 , ª®â®à ï ¤®¢®«ì® ¯®¤à®¡® à áᬠâਢ « áì ¢ëè¥ ¢ « ¢¥ 2. ë 㦥 ¢áâà¥ç «¨áì â ¬ á ⨯¨ç묨 à á室¨¬®áâﬨ ⨯ (2.124). ¥à¥©¤¥¬ ª ¡®«¥¥ á¥à쥧®¬ã ¨å «¨§ã. ®«ì§ãïáì ¯à ¢¨« ¬¨ ¤¨ £à ¬¬®© â¥å¨ª¨ ¢ë¯¨è¥¬ ®¯ïâì ¯¥à¢ãî ¯®¯à ¢ªã ª ᮡá⢥® - í¥à£¥â¨ç¥áª®© ç áâ¨, ¨§®¡à ¦ ¥¬ãî £à 䨪®¬ ¨á.5-1. ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 = ;ig 1 Z d4 q 1 i 2 (2)4 q2 ; m2
(5.1)
£¤¥ ãçâ¥ ä ªâ®à ᨬ¬¥âਨ 1=2. ç¨á«¨â¥«¥ ¯®¤¨â¥£à «ì®£® ¢ëà ¦¥¨ï á⮨â
¨á. 5-1
115
116
¨á. 5-2
ç¥â¢¥àâ ï, ¢ § ¬¥ ⥫¥ { ¢â®à ï á⥯¥ì q, ᮮ⢥âá⢥® ¨â¥£à « ª¢ ¤à â¨ç® à á室¨âáï ¯à¨ ¡®«ìè¨å q ( ¢¥à奬 ¯à¥¤¥«¥), ¨¬¥¥¬ \ã«ìâà 䨮«¥â®¢ãî" à á室¨¬®áâì. â ¤¨ £à ¬¬ g. à㣠ï ⨯¨ç ï à á室¨¬®áâì ¢®§¨ª ¥â ¢ ¯®à浪¥ g2 ®â ¤¨ £à ¬¬ë, ¯®ª § ®© ¨á.5-2, £¤¥ p1 + p2 = q ¨ p1 + p2 + p3 + p4 = 0. ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¥áâì: Z d4p 1 1 ; g2 (2) (5.2) 4 p2 ; m2 (p ; q)2 ; m2 ¤¥áì ¨¬¥¥âáï ç¥â¢¥àâ ï á⥯¥ì p, ª ª ¢ ç¨á«¨â¥«¥, â ª ¨ ¢ § ¬¥ ⥫¥, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© à á室¨¬®áâ¨1. ®á¬®âਬ ª ª ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì á⥯¥ì à á室¨¬®á⨠¯à®¨§¢®«ì®£® £à 䨪 . ®¤®¡ë© «¨§ 㦥 ¯à®¢®¤¨«áï ¬¨ ¤«ï ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I. ® §¤¥áì ¬ë 㤥«¨¬ ¥¬ã ¡®«ì襥 ¢¨¬ ¨¥. 祢¨¤®, çâ® ¢ ¯à®¨§¢®«ì®© ¤¨ £à ¬¬¥ ª ¦¤ë© ¯à®¯ £ â®à ¤ ¥â ¢ª« ¤ ¢ § ¬¥ â¥«ì ¯®¤¨â¥£à «ì®£® ¢ëà ¦¥¨ï p2 (¯à¨ ¡®«ìè¨å p ¬ áᮩ m ¬®¦® ¯à®áâ® ¯à¥¥¡à¥çì!), ª ¦¤ ï ¢¥àè¨ ¤ ¥â ¢ª« ¤ ¢ ç¨á«¨â¥«ì p4 , â ª¦¥ -äãªæ¨î, ¢ëà ¦ îéãî § ª® á®åà ¥¨ï ¨¬¯ã«ìá ¢ í⮩ ¢¥à訥. ¨á«® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ¯® ª®â®àë¬ ¢¥¤¥âáï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥, à ¢® ç¨á«ã § ¬ªãâëå ¯¥â¥«ì ¢ ¤¨ £à ¬¬¥. à áᬮâà¥ëå ¯à¨¬¥à å íâ® ç¨á«® à ¢® 1 (®¤®¯¥â«¥¢ë¥ ¤¨ £à ¬¬ë). áᬮâਬ ¤¨ £à ¬¬ã ¯®à浪 gn, â.¥. á n ¢¥àè¨ ¬¨. ãáâì ã ¥¥ ¨¬¥¥âáï E ¢¥è¨å «¨¨©, I ¢ãâà¥¨å ¨ L ¯¥â¥«ì. «ï ®¡é®á⨠à áᬮâਬ ¯à®áâà á⢮ - ¢à¥¬ï á à §¬¥à®áâìî d { ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢¥àè¨ë ¤ îâ ¢ª« ¤ ¢ ç¨á«¨â¥«ì, à ¢ë© pd . ¯à¥¤¥«¨¬ ãá«®¢ãî á⥯¥ì à á室¨¬®á⨠D ¤ ®© ¤¨ £à ¬¬ë ª ª: D = dL ; 2I (5.3) «ï à áᬮâà¥ëå ¢ëè¥ ¤¨ £à ¬¬ ¨¬¥¥¬, ª ª 㦥 ®â¬¥ç¥®, D = 2 ¨ D = 0. ®¦® ⥯¥àì ¢ëà §¨âì D ç¥à¥§ E ¨ n, ¨áª«î稢 I ¨ L. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨¬¥¥âáï ¢á¥£® I ¢ãâà¥¨å ¨¬¯ã«ìᮢ. ª ¦¤®© ¨§ n ¢¥àè¨ á®åà ï¥âáï ¨¬¯ã«ìá, ®¤ ª® ¨¬¥¥âáï ¥é¥ ¨ ¯®«ë© § ª® á®åà ¥¨ï ¨¬¯ã«ìá ¢ ¯à®æ¥áᥠà áá¥ï¨ï, ®¯¨áë¢ ¥¬®£® ¤ ®© ¤¨ £à ¬¬®© (¨¬¯ã«ìáë ¢¥è¨å «¨¨© 䨪á¨à®¢ ë). १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥âáï ¢á¥£® n ; 1 á®®â®è¥¨© ¬¥¦¤ã ¨¬¯ã«ìá ¬¨ (¯® ª®â®àë¬ ¢¥¤¥âáï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥). ª¨¬ ®¡à §®¬ ®áâ ¥âáï ¢á¥£® I ; n + 1 ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. ® íâ® ç¨á«® à ¢® L: L= I ;n+1 (5.4) ⥮ਨ '4 ¢ ª ¦¤ãî ¢¥àè¨ã ¢å®¤¨â ç¥âëॠ«¨¨¨, â ª çâ® ¢á¥£® ¨¬¥¥âáï 4n «¨¨©, ç áâì ¨å ¨å ¢ãâ२¥, ç áâì { ¢¥è¨¥. ਠ¯®¤áç¥â¥ ç¨á« «¨¨© 1 ªâ¨ç¥áª¨, ¬ë 㦥 ¤®¢®«ì® ¯®¤à®¡® à áᬠâਢ «¨ â ª¨¥ ¤¨ £à ¬¬ë ¯à¨ ®¡á㦤¥¨¨ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å¥¨© ¢ ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, £¤¥ ¯à®¡«¥¬ à á室¨¬®á⨠à¥è « áì ¢¢¥¤¥¨¥¬ ¥áâ¥á⢥®£® ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï , ¯®à浪 ®¡à ⮩ ¯®áâ®ï®© à¥è¥âª¨.
117
¢ãâ२¥ «¨¨¨ ãç¨âë¢ îâáï ¤¢ ¦¤ë, ¯®áª®«ìªã ®¨ á¢ï§ë¢ îâ ¤¢¥ ¢¥àè¨ë. ®£¤ ¨¬¥¥¬: 4n = E + 2I (5.5) § (5.3), (5.4), (5.5) ¥¬¥¤«¥® ¯®«ãç ¥¬: (5.6) D = d ; d2 ; 1 E + n(d ; 4) ç áâ®áâ¨, ¤«ï d = 4 ¨¬¥¥¬: D = 4;E (5.7) ®âªã¤ , ¢ ç áâ®áâ¨, ¯®«ãç îâáï ¯à ¢¨«ìë¥ à¥§ã«ìâ âë ¤«ï à áᬮâà¥ëå ¢ëè¥ ¯à®á⥩è¨å ¤¨ £à ¬¬. § (5.7) ¢¨¤®, çâ® á⥯¥ì à á室¨¬®á⨠㬥ìè ¥âáï á à®á⮬ ç¨á« ¢¥è¨å «¨¨© (¨ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¥£®!) 2 . ¥à¥¬áï, ®¤ ª®, ª ®¡á㦤¥¨î ®¡é¥© ä®à¬ã«ë (5.6) ¨ à áᬮâਬ ¯®á«¥¤¥¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥¨¨.
᫨ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ n ¡®«ìè¥ ã«ï, â® á¨âã æ¨ï ¡¥§ ¤¥¦ { á⥯¥ì à á室¨¬®á⨠D à áâ¥â á à®á⮬ n, â ª çâ® ¯®« ï ⥮à¨ï, ¯à®á㬬¨à®¢ ï ¯® ¢á¥¬ n ¡ã¤¥â ᮤ¥à¦ âì ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ç«¥®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨â à á室¨¬®áâì ¡®«¥¥ ¢ë᮪®© á⥯¥¨, 祬 ¯à¥¤ë¤ã騩. â® ®§ ç ¥â ¥¯¥à¥®à¬¨à㥬®áâì ⥮ਨ. ⥮ਨ '4 ¯à¨ d = 4 á⥯¥ì à á室¨¬®á⨠§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â E ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯®à浪 ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©, â ª çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ª®¥ç®¥ ç¨á«® ⨯®¢ à á室¨¬®á⥩ ¨ ¬®¦® ¤¥ïâìáï, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¡¥áª®¥çë¥ ¢ª« ¤ë ¬®¦® ¨áª«îç¨âì á ¯®¬®éìî ª®¥ç®£® ç¨á« (¡¥áª®¥çëå) ¯¥à¥®à¬¨à®¢®ª ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ (¯¥à¥®à¬¨à㥬 ï ⥮à¨ï). ®¥ç®¥ ç¨á«® ⨯®¢ à á室¨¬®á⥩ { ¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®áâ¨. ®«¥§® à áᬮâà¥âì «®£¨çë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï á«ãç ï ⥮ਨ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬ 'r . ®®â®è¥¨ï (5.3) ¨ (5.4) ⮣¤ ¥ ¬¥ïîâáï, à ¢¥á⢮ (5.5) ¯¥à¥å®¤¨â ¢: rn = E + 2I (5.8) â ª çâ® (5.6) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: h i D = d ; 2d ; 1 E + n 2r (d ; 2) ; d (5.9) âáî¤ ¤«ï d = 4 ¨¬¥¥¬: D = 4 ; E + n(r ; 4) (5.10) «ï ⥮ਨ '6 ¨¬¥¥¬ D = 4 ; E + 2n { ® ¥¯¥à¥®à¬¨à㥬 . ¤à㣮© áâ®à®ë, ¤«ï ⥮ਨ '3 ¨¬¥¥¬ D = 4 ; E ; n { á⥯¥ì à á室¨¬®á⨠D ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ n, â ª çâ® ¯à¨ § ¤ ®¬ E áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® à á室ïé¨åáï ¤¨ £à ¬¬ { á㯥௥८ନà㥬 ï ⥮à¨ï 3. ⬥⨬, çâ® ¤«ï d = 2 ¨¬¥¥¬ D = 2 ; 2n ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â r. ¥à¥¬áï, ®¤ ª®, ª (5.7) ¨ ®¡á㤨¬ ¢®¯à®á ® á室¨¬®á⨠¨«¨ à á室¨¬®á⨠£à 䨪®¢ á E > 4. ⥮ਨ '4 ç¨á«® E ¢á¥£¤ ç¥â®. áᬮâਬ, ¤«ï ¯à¨¬¥à , £à 䨪¨, ¯®ª § ë¥ ¨á.5-3. ¤¥áì E = 6, â ª çâ® ¯® ªà¨â¥à¨î (5.7) ®¨ ¤®«¦ë, ¢à®¤¥ - ¡ë, á室¨âìáï. â® ¢¥à® ¤«ï £à 䨪 ¨á.5-3( ), ® § ¢¥¤®¬® ¥¢¥à® ¤«ï 2 ®¦¥â ¯®ª § âìáï, çâ® ¢®®¡é¥ ¢á¥ ¤¨ £à ¬¬ë á ç¨á«®¬ ¢¥è¨å ª®æ®¢, ¡®«ì訬 4, á室ïâáï. ¯à¨¬¥à, ¤«ï E = 6 ¨¬¥¥¬ D = ;2. â®, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬, ¥¢¥à®. 3 â ⥮à¨ï, ®¤ ª®, ¥å®à®è , ¯®áª®«ìªã ¢ ¥© ®âáãâáâ¢ã¥â ãá⮩稢®¥ ®á®¢®¥ á®áâ®ï¨¥.
118
¨á. 5-3
(¡) ¨ (¢), ¯®áª®«ìªã ®¨ ᮤ¥à¦ â \áªàëâë¥" à á室¨¬®á⨠®â 㦥 à áᬮâà¥ëå ¬¨ ¯¥â¥«ì. ¬¥® ¯®íâ®¬ã ¬ë ¨ §¢ «¨ D ãá«®¢®© á⥯¥ìî à á室¨¬®áâ¨. ãé¥á⢥®, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ®¡à ⮥ ã⢥ত¥¨¥: ¤¨ £à ¬¬ ¥©¬ á室¨âáï, ¥á«¨ ¥¥ á⥯¥ì à á室¨¬®á⨠D, â ª¦¥ á⥯¥¨ à á室¨¬®á⨠¢á¥å ¥¥ ¯®¤£à 䮢 ®âà¨æ ⥫ìë (⥮६ ©¡¥à£ ). ¢¥ à áᬮâà¥ë¥ ¢ëè¥ à á室ï騥áï ¤¨ £à ¬¬ë ¨á.5-1 ¨ ¨á.5-2, §ë¢ îâáï ¯à¨¬¨â¨¢® à á室ï騬¨áï ¤¨ £à ¬¬ ¬¨. ¬¨ ¨áç¥à¯ë¢ îâáï ¢á¥ ¯à¨¬¨â¨¢® à á室ï騥áï ¤¨ £à ¬¬ë ⥮ਨ '4 (⨯ë à á室¨¬®á⥩).
«¨§ à §¬¥à®á⥩.
R
஢¥¤¥¬ «¨§ à §¬¥à®á⥩ ¢ d-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. ¥©á⢨¥ S = dd xL ¡¥§à §¬¥à®. âáî¤ «¥£ª® 室¨¬: [L] = L;d [L] = d (5.11) £¤¥ L { ¤«¨ , { ¨¬¯ã«ìá. § ç«¥ @ '@ ' ¢ L, á ãç¥â®¬ [@ ] = L;1 , ¨¬¥¥¬: ['] = L1; d2 = d2 ;1 (5.12) áᬮâਬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ g'r .
᫨ ¢¢¥á⨠ª®áâ âë á¢ï§¨ ª ª ; à §¬¥à®áâì [g] = L; = , â®, ®ç¥¢¨¤®, ¨¬¥¥¬ ; + r 1 ; 2d = ;d, â ª çâ® íâ à §¬¥à®áâì à ¢ : (5.13) = d + r ; rd 2 ®í⮬ã à §¬¥à®áâì ª®áâ âë á¢ï§¨ ¢ à §ëå ⥮à¨ïå ¥áâì: g'4 : = 4 ; d [g] = 4;d 0 ¤«ï d 4 g'3 : = 3 ; 2d [g] = 3; d2 0 ¤«ï d 6 g'6 : = 6 ; 2d [g] = 6;2d 0 ¤«ï d 3 (5.14) ᪫îç ï r ¨§ à ¢¥á⢠(5.9), (5.13), ¯®«ãç ¥¬: d (5.15) D = d ; 2 ; 1 E ; n ç áâ®áâ¨, ¤«ï d = 4 ¨¬¥¥¬ D = 4 ; E ; n. âáî¤ ïá®, çâ® ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®á⨠⥮ਨ ï¥âáï ãá«®¢¨¥ 0. ëè¥, ¤«ï ¯à®áâ®âë, ¬ë ¢á¥ ¢à¥¬ï £®¢®à¨«¨ ® ¡¥§à §¬¥à®á⨠ª®áâ âë á¢ï§¨ ( = 0), ª ª ® ¥®¡å®¤¨¬®¬ ãá«®¢¨¨ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®áâ¨. (5.14) 㪠§ ®, ª®£¤ íâ® ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï ¯à®á⥩è¨å ¬®¤¥«¥© ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ¨¤¨¬, çâ® §¤¥áì áãé¥áâ¢ã¥â â ª¦¥ ¨ ¢¥áì¬ áãé¥á⢥ ï § ¢¨á¨¬®áâì ®â à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠.
119
§ ª«î票¥, ¯à¨¢¥¤¥¬ â ¡«¨æã \ª ®¨ç¥áª¨å" à §¬¥à®á⥩ à §«¨çëå ¬®£®â®ç¥çëå äãªæ¨© ਠ¨ ¢¥àè¨ëå ç á⥩ [8]: ®«¥¢ ï äãªæ¨ï §¬¥à®áâì ¢ ¥¤¨¨æ å §¬¥à®áâì ¯à¨ d = 4 d ;1 ' 1 2 ; d ; 1 G(n)(x1; :::; xn) n n ; ; 2 G(n) (p1; :::; pn) ;nd + n d2 ; 1; = ;n d2 + 1 ;3n ;d ; n 2d + 1 4 ; 3n G (n)(p1 ; :::; pn;1) ;(2)(x ; y) 6 ;2d++d1 ;(n) (x1; :::xn) n 3n ; 2 ; ;(n)(p1 ; :::; pn) ;dn + n d2 +;1 = n 1 ; d2 ;n ; (n)(p1 ; :::; pn;1) d + n 1 ; 2d 4;n ¤¥áì, ¢ ¤®¯®«¥¨¥ ª 㦥 ¨§¢¥áâë¬ ¬ ¬®£®â®ç¥çë¬ äãªæ¨ï¬ ¨ ¢¥àè¨ ¬ ¢¢¥¤¥ë G (n) ¨ ; (n), ®¯à¥¤¥«¥ë¥ à ¢¥á⢠¬¨: G(n)(p1 ; :::; pn) = G (n)(p1 ; :::; pn;1)(p1 + ::: + pn ) ;(n) (p1; :::; pn) = ; (n)(p1 ; :::; pn;1)(p1 + ::: + pn ) (5.16) £¤¥ ¢ë¤¥«¥ , ¢ ¬ ¢¨¤¥, -äãªæ¨ï ¯®«®£® § ª® á®åà ¥¨ï ¨¬¯ã«ìá (¨¬¥îé ï, ¢ ¥¤¨¨æ å , à §¬¥à®áâì ;d).
§¬¥à ï ॣã«ïਧ æ¨ï ⥮ਨ '4. «ï ⮣®, çâ®¡ë ¯à®¢¥á⨠«¨§ à á室¨¬®á⥩ 䥩¬ ®¢áª¨å £à 䨪®¢, ¥®¡å®¤¨¬® á ç « ãç¨âìáï í⨠à á室¨¬®á⨠ª®à४⮠¢ë¤¥«ïâì. â® ¤®á⨣ ¥âáï ⥬ ¨«¨ ¨ë¬ ¬¥â®¤®¬ ॣã«ïਧ 樨 䥩¬ ®¢áª¨å ¨â¥£à «®¢. ëè¥ ( ¯à¨¬¥à ¯à¨ ®¡á㦤¥¨¨ à á室¨¬®á⥩ ¢ )4 ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¯à®á⥩訩 ¬¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨, ®á®¢ ë© ¢¢¥¤¥¨¨ ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï ¢¥à奬 ¯à¥¤¥«¥. â®â ¬¥â®¤  àãè ¥â ५ï⨢¨áâáªãî ¨¢ ਠâ®áâì, ¯®áª®«ìªã ® íª¢¨¢ «¥â¥ ¢¢¥¤¥¨î \¬¨¨¬ «ì®© ¤«¨ë". ãé¥áâ¢ã¥â ¡®«¥¥ ᮢ६¥ë© ¨ í«¥£ âë© ¯®¤å®¤, §ë¢ ¥¬ë© à §¬¥à®© ॣã«ïਧ 樥© (â'®®äâ ¨ ¥«ì⬠), ª ¨§«®¦¥¨î ª®â®à®£® ¬ë ᥩç á ¨ ¯¥à¥å®¤¨¬. ¤¥ï í⮣® ¬¥â®¤ , ¡«¨§ª ï, ¯® áãé¥áâ¢ã, ª ¬¥â®¤¨ª¥ à áᬮâà¥¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ¢ ¯à®áâà á⢥ á à §¬¥à®áâìî d = 4 ; " (¨«ìá®), á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë à áᬠâਢ âì ¨â¥£à «ë, ᮤ¥à¦ 騥 à á室¨¬®áâ¨, ª ª ¨â¥£à «ë ¢ ¯à®áâà á⢥ á ¯à®¨§¢®«ì®© d < 4, § ⥬ ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤¥«ã d ! 4. ª §ë¢ ¥âáï, ç⮠ᨣã«ïà®á⨠à áᬮâà¥ëå ¢ëè¥ ®¤®¯¥â«¥¢ëå £à 䨪®¢ ïîâáï ¯à®áâ묨 ¯®«îá ¬¨ ¯® ¯¥à¥¬¥®© " = d ; 4. ¡®¡é¨¬ á ç « « £à ¦¨ ç¥âëà¥å¬¥à®© ⥮ਨ: 2 L = 21 @ '@ ' ; m2 '2 ; 4!g '4 (5.17) 4 « ¢
8, ç á⨠I.
120
á«ãç © d ¨§¬¥à¥¨©. ®áª®«ìªã ¯®«¥ ' ¨¬¥¥â à §¬¥à®áâì d2 ; 1, « £à ¦¨ L { à §¬¥à®áâì d, ª®áâ â á¢ï§¨ g ¡¥§à §¬¥à ¯à¨ d = 4 ¨ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ® ®áâ ¢ « áì ¡¥§à §¬¥à®© ¢ d ¨§¬¥à¥¨ïå, ¥¥ ¥®¡å®¤¨¬® 㬮¦¨âì 4;d , £¤¥ { ¯à®¨§¢®«ìë© ¯ à ¬¥âà à §¬¥à®á⨠¬ ááë (¨¬¯ã«ìá )5 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤ «¥¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ⥮à¨î á « £à ¦¨ ®¬: 2 (5.18) L = 21 @ '@ ' ; m2 '2 ; 4!1 g4;d '4 ëç¨á«¨¬ ¯à®á⥩èãî ¯®¯à ¢ªã ª ᮡá⢥® - í¥à£¥â¨ç¥áª®© ç áâ¨, ¨§®¡à ¦¥ãî £à 䨪®¬ ¨á.5-1. «®£¨ç® (5.1) ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥£à «®¬: 1 g4;d Z dd p 1 (5.19) d 2 2 (2) p ; m2 â® ¨â¥£à « 㦮 ¢ëç¨á«¨âì ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ d.
⥣à¨à®¢ ¨¥ ¢ d-¨§¬¥à¥¨ïå.
¡®â ¥¬ ¢ d-¬¥à®¬ \¯à®áâà á⢥ ¨ª®¢áª®£®" á ®¤¨¬ ¢à¥¬¥ë¬ ¨ d ; 1 ¯à®áâà á⢥묨 ¨§¬¥à¥¨ï¬¨ (d 4). á ¨â¥à¥áãîâ ¨â¥£à «ë ¢¨¤ : Z Id (q) = dd p (p2 + 2pq1 ; m2 ) (5.20) £¤¥ p = (p0 ; r). ¢¥¤¥¬ ¯®«ïàë¥ ª®®à¤¨ âë (p0 ;r; '; 1 ;2 ; :::;d;3 ), â ª çâ®: dd p = dp0 rd;2 drd' sin 1 sin2 2 d2 ::: sind;3 d;3 dd;3 = dY ;3 = dp0 rd;2 drd' sink k dk (;1 < p0 < 1; 0 < r < 1; 0 < ' < 2; 0 < k < ) (5.21) ®£¤ :
k=1
Id (q) = 2
Z1
drrd;2
Z Qd;3 sink k dk k=1
(p2 + 2pq ; m2 )
(5.22)
n);(m) d(sin )2n;1 (cos )2m;1 = 21 ;( ;(n + m) ¨ ¯®«®¦¨¬ ¢ ¥© m = 1=2. ®£¤ , á ãç¥â®¬ ;(1=2) = p , ¨¬¥¥¬:
(5.23)
®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥯¥àì ä®à¬ã«®©:
Z =2
;1
0
0
Z 0
â ª çâ®:
d;1
; k+1 ;2 ; k+2
p ; d(sin )k =
Z
Z
2
(5.24)
1 d;2 dr 2 Id (q) = 2;d;1 (5.25) dp0 (p2 ; r2r; 2pq ; m2 ) ; 2 0 ;1 á⠢訥áï ¨â¥£à «ë ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì, ¨á¯®«ì§ãï ५ï⨢¨áâáªãî ¨¢ ਠâ®áâì (5.25) [8]. ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬: ; ; ; 2d 1 d= 2 Id (q) = i (5.26) ;( ) [;q2 ; m2 ] ;d=2
ᯮ«ì§ãï (5.26), ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï (5.19):
ig m2 42 2; 2 ; 1 ; d ; 32 2 m2 2 d
5 ந§¢®«ì®áâì ¯ à ¬¥âà
(5.27)
®ç¥¢¨¤ ¢¢¨¤ã ¯®á«¥¤ãî饣® ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ d ! 4
121
;-äãªæ¨ï ¨¬¥¥â ¯®«îá ¢ ã«¥ ¨ ¢ ®âà¨æ ⥫ìëå 楫ëå â®çª å. ¨¤¨¬, çâ® à á室¨¬®áâì (5.27) ¯à®ï¢«ï¥âáï ª ª ¯à®á⮩ ¯®«îá ¯à¨ d ! 4. ®¦® ¯®ª § âì, çâ®: n 1 ( ; 1) ;(;n + ") = n! " + 1 (n + 1) + O(") (5.28) £¤¥ 1 (z) = d ln;(z)=dz = ;0 (z)=;(z) { «®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï ¯à®¨§¢®¤ ï ;-äãªæ¨¨, ¤«ï ª®â®à®© ¨¬¥¥¬: 1(n+1) = 1+ 12 +:::+ n1 ; , £¤¥ = ; 1 (1) = 0:577 { ¯®áâ®ï ï ©«¥à . ®« £ ï " = 4 ; d ¯®«ãç ¥¬: d ; 1 ; 2 = ; ;1 + 2" = ; 2" ; 1 + + O(") (5.29) १ã«ìâ â¥, ¨á¯®«ì§ãï a" = 1 + " ln a + :::, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 à §«®¦¥¨¥ (5.27) ¢¡«¨§¨ d = 4: " 42 2 2 ; ; 1 +
+ O(") 1 + 2 ln m2 = ; igm 322 " igm2 + igm2 1 ; + ln 42 + O(") = = 16 2" 322 m2 igm2 + ®¥ç®¥ ¢ëà ¦¥¨¥. = 16 (5.30) 2" ®¥çë© ¢ª« ¤ ¥ ¨£à ¥â âã⠮ᮡ¥® ¢ ¦®© ஫¨, § ¬¥â¨¬, ¢á¥ ¦¥, çâ® ® § ¢¨á¨â ®â ¯à®¨§¢®«ì®£® ä ªâ®à . « ¢®¥, çâ® ¬ 㤠«®áì ª®à४⮠¢ë¤¥«¨âì à á室¨¬®áâì, ¯à¨ " > 0 íâ®â ¢ª« ¤ ª®¥ç¥ ¨ á ¨¬ ¬®¦® à ¡®â âì ®¡ëçë¬ ®¡à §®¬. ëç¨á«¨¬ ⥯¥àì 4-â®ç¥çãî äãªæ¨î, á â®ç®áâìî ¤® ç«¥®¢ g2 . «®£¨ç® (5.2) ¤«ï ¢ª« ¤ ¤¨ £à ¬¬ë ¨á.5-2 ¨¬¥¥¬: Z ddp 1 (5.31) ; 21 g2(2 )4;d (2) d p2 ; m2 ¬¥ ⥫¨ ¢ ¯®¤¨â¥£à «ì®¬ ¢ëà ¦¥¨¨ ¬®¦® ®¡ê¥¤¨¨âì á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ¥©¬ : 1 =Z 1 dz (5.32) ab 0 [az + b(1 ; z)]2 â ä®à¬ã« ¢ë¢®¤¨âáï ¨§: 1 = 1 1 ; 1 = 1 Z b dx (5.33) ab b ; a a b b ; a a x2 ¥á«¨ ¯®«®¦¨âì x = az+b(1 ; z), ¯à¨ç¥¬ a ¨ b á«¥¤ã¥â áç¨â âì ª®¬¯«¥ªá묨, çâ®¡ë ¨áª«îç¨âì ᨣã«ïà®áâì ¯à¨ a = b. ¬¥¥¬ ⥯¥àì: Z1 1 1 dz = (5.34) p2 ; m2 (p ; q)2 ; m2 0 [p2 ; m2 ; 2pq(1 ; z) + q2 (1 ; z)]2 ®¢¥àè ï § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå p0 = p;q(1;z) ¢¨¤¨¬, çâ® § ¬¥ â¥«ì ¯®¤¨â¥£à «ì®£® ¢ëà ¦¥¨ï ï¥âáï ª¢ ¤à ⮬ ®â p02 ; m2 + q2 z(1 ; z). ¤ ª® dd p0 = dd p, â ª çâ® ¯®á«¥ ¯¥à¥®¡®§ 票ï p0 ! p (5.31) ¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤: Z 1 Z dd p 1 ; 21 g2 (2)4;d dz (2) (5.35) d 2 2 [p ; m + q2 z(1 ; z)]2 0
122
ᯮ«ì§ãï (5.26) ¨¬¥¥¬ ®âáî¤ :
ig2 (2)4;d 1 d=2 ;(2 ; d=2) Z 1 dz[q2z(1 ; z) ; m2 ]d=2;2 = 2 4 ;(2) 0 Z 1 q2z(1 ; z) ; m2 d2 ;2 2 ig d 2 2 ; d= 2 = 322 ( ) ; 2; 2 dz 42 0 ¯à¥¤¥«¥ d ! 4 ¨§ (5.28) ¨¬¥¥¬: ; 2 ; 2d = 2" ; + O(") â ª çâ®, á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ a" 1 + " ln a, (5.36) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤:
(5.36)
(5.37)
ig2 " 2 ; + O(") 1 ; " Z 1 ln q2 z(1 ; z) ; m2 = 322 " 2 0 42 Z 1 2 " 2 " 2z(1 ; z) ; m2 ig ig q = 162 " ; 322 + ln (5.38) 42 0 í⮬ ¢ëà ¦¥¨¨ £« ¢ë© (à á室ï騩áï) ç«¥ § ¢¨á¨â ®â , ª®¥ç ï ç áâì ®â ª¢ ¤à â á㬬 ண® ¨¬¯ã«ìá (p1 + p2 )2 = q2 = s (¯¥à¥¬¥®© ¤¥«áâ ¬ ). ¯à¥¤¥«¨¬ äãªæ¨î:
Z1
sz(1 ; z) ; m2
(5.39) 42 ®£¤ ¨â®£®¢®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¢ª« ¤ ¤¨ £à ¬¬ë ¨á.5-2 ¨¬¥¥â ¢¨¤: ig2 " + ig2 " [ + F(s; m; )] = ; ig2 " + ®¥ç®¥ ¢ëà ¦¥¨¥. ; 16 (5.40) 2" 322 162" â ª, ¬ë ¯®«ã稫¨ ¢ ¬ ¢¨¤¥ ¯®¯à ¢ª¨ ¨§è¥£® ¯®à浪 ª 2-å ¨ 4-â®ç¥ç®© äãªæ¨ï¬ ¢ ⥮ਨ '4 . 믨襬 ⥯¥àì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 1-¢¥àè¨ë ;(2) (p) ¨ ;(4)(pi ). ëà ¦¥¨¥ (5.30) ᢮¤¨âáï ᮣ« á® (5.1) ª 1i , â ª çâ® ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® g ¨¬¥¥¬: gm2 + ®¥ç®¥ ¢ëà ¦¥¨¥. (p) = ; 16 (5.41) 2" F (s; m; ) =
0
dz ln
®®â¢¥âá⢥®, ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ;(2)(p) = G;1(p)G(p)G;1(p) = p2 ; m2 ; (p) ¨¬¥¥¬: ;(2)(p) = G;1(p) = p2 ; m2 1 ; 16g 2" (5.42) 祢¨¤®, çâ® ¯à¨ " ! 4 íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ à á室¨âáï. «¥¥, 4-â®ç¥ç ï ¢¥àè¨ ;(4) (p1 ; :::; p4) ¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¢ëà ¦ ¥âáï ª ª: ;(4)(p1 ; p2; p3; p4) = G;1(p1 )G;1(p2 )G(4)(p1 ; p2; p3; p4)G;1(p3 )G;1(p4 )
(5.43)
¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï á㬬®© ¤¨ £à ¬¬, ¯®ª § ëå ¨á.5-4, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ãç¥âã ¢á¥å ªà®áᨣ ª «®¢, ¢ª« ¤ ª®â®àëå ¯®«ãç ¥âáï ¨§ (5.40) ¨ ¥é¥ ¤¢ãå «®£¨çëå
123
¨á. 5-4
ç«¥®¢, ¯®«ãç ¥¬ëå ¨§ (5.40) § ¬¥®© ¬ ¤¥«áâ ¬®¢áª®© ¯¥à¥¬¥®© s t ¨ u (á¬. « ¢ã 5 ç á⨠I): s = (p1 + p2)2
t = (p1 + p3)2
u = (p1 + p4)2
(5.44)
¥©á⢨¥ äãªæ¨© G;1(pi ) ᢮¤¨âáï ¢ (5.43) ª \®¡àã¡ ¨î" ¢¥è¨å ª®æ®¢. ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬: 2 " ig2 " ;(4) (pi) = ;ig" ; 3ig m; ) + F (t; m; ) + F(u; m; )] = 162" + 322 [3 + F(s; 3g = ;ig" 1 + 162" + ®¥ç®¥ ¢ëà ¦¥¨¥.(5.45)
ᮢ®© ¢ª« ¤ §¤¥áì â ª¦¥ ¡¥áª®¥ç¥ ¯à¨ " ! 0. â®¡ë ¢¥àè¨ë ;(2) ¨ ;(4) ¨¬¥«¨ 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«, ®¨ ¤®«¦ë ¡ëâì ª®¥çë. «ï í⮣® ¨ 㦮 ¯à®¢®¤¨âì ¯¥à¥®à¬¨à®¢ªã!
¥â«¥¢®¥ à §«®¦¥¨¥. ¬¥â¨¬, çâ® ¢ è¨å ¢ëç¨á«¥¨ïå à áᬠâਢ «¨áì ¤¨ £à ¬¬ë á ®¤¨ ª®¢ë¬ ç¨á«®¬ ¯¥â¥«ì: ®® ¡ë«® à ¢® 1 (®¤®¯¥â«¥¢®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥). ãé¥áâ¢ãîâ á®®¡à ¦¥¨ï, ¨§ ª®â®àëå ¢¨¤®, çâ® à §«®¦¥¨¥ ¯® ç¨á«ã ¯¥â¥«ì, ¢ ¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥, ¤ ¦¥ ¡®«¥¥ ¨â¥à¥á®, 祬 ®¡ë箥 à §«®¦¥¨¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ¯® á⥯¥ï¬ g. §«®¦¥¨¥ ¯® ç¨á«ã ¯¥â¥«ì L íª¢¨¢ «¥â® à §«®¦¥¨î ¯® á⥯¥ï¬ ¯®áâ®ï®© « ª ~. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢®ááâ ¢«¨¢ ï ¢¥§¤¥ ~, ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì ¯à®¨§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ⥮ਨ ¢ ¢¨¤¥:
Z [J (x)] =
Z
i Z
D' exp ~
dx[L(x) + ~J (x)'(x)]
(5.46)
¢®¤ï L = L0 + Lint , ¬®¦¥¬ ¯¨á âì: £¤¥
n h io Z [J ] = exp i Lint 1i J Z0 [J ] ~
Z Z
(5.47)
Z0 [J ] = N exp ; 12 i~ dx dyJ (x)F (x ; y)J (y) (5.48) § (5.47) á«¥¤ã¥â, çâ® ª ¦¤ ï ¢¥àè¨ ¤ ¥â ¬®¦¨â¥«ì ~;1 ¢ ¯à®¨§¢®«ìë© £à 䨪 n-£® ¯®à浪 ®¡ë箩 ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©, ¨§ (5.48) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ í⮬ ª ¦¤ë© ¯à®¯ £ â®à ¤ ¥â ¬®¦¨â¥«ì ~. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤ ë© £à 䨪 ᮤ¥à¦¨â ¬®¦¨â¥«ì ~I ;n = ~L;1 (£¤¥ ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¢ë¢¥¤¥®¥ ¢ëè¥ á®®â®è¥¨¥ (5.4): L = I ; n +1, £¤¥ I { ç¨á«® ¢ãâà¥¨å «¨¨© ¤ ®© ¤¨ £à ¬¬ë). ®í⮬ã à §«®¦¥¨¥ ¯® ç¨á«ã ¯¥â¥«ì ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ï¢«ï¥âáï à §«®¦¥¨¥¬ ¯® á⥯¥ï¬ ~, â.¥. à §«®¦¥¨¥¬ \¢ ®ªà¥áâ®áâ¨" ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ.
124
¥à¥®à¬¨à®¢ª ⥮ਨ '4. è 楫ì ⥯¥àì { ᤥ« âì 䨧¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë ª®¥ç묨! ®¤®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ªã ¥á«®¦® ¢ë¯®«¨âì ¢ ¬ ¢¨¤¥. ®áª®«ìªã ¯®á«¥ ॣã«ïਧ 樨 ¢á¥ ¢¥«¨ç¨ë ã á ª®¥çë, â® ¬®¦® ¤¥©á⢮¢ âì ¯àï¬ë¬ ¯ã⥬. § ®¯à¥¤¥«¥¨ï 䨧¨ç¥áª®© ¬ ááë ç áâ¨æë ïá®, çâ® ®¡à âë© ¯à®¯ £ â®à ¤®«¦¥ ¨¬¥âì ¢¨¤: G;1(p) = ;(2)(p) = p2 ; m21 ¨«¨ m21 = ;;(2)(0) = ;G;1(0) (5.49) £¤¥ 䨧¨ç¥áª ï ¬ áá m1 ª®¥ç . ¥à¢® ç «ì ï (\§ âà ¢®ç ï") ¬ áá m, ¢å®¤ïé ï ¢ « £à ¦¨ ¥ ¨¬¥¥â ¥¯®á।á⢥®£® 䨧¨ç¥áª®£® á¬ëá« ¨, ¢ ¯à¥¤¥«¥ d ! 4 ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ ¡¥áª®¥ç®©. â® ¬ áá , ª®â®à®© ç áâ¨æ ®¡« ¤ « -¡ë ¢ ®âáãâá⢨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, â ª çâ® íâ® ¥ ¡«î¤ ¥¬ ï ¢¥«¨ç¨ , ⮫쪮 m1 ¨¬¥¥â 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¨ ¤®«¦ ¡ëâì ª®¥ç . § (5.42) ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨ï (5.49) ¨¬¥¥¬: m21 = m2 1 ; 16g 2" (5.50) ® ¢® ¢â®à®¬ á« £ ¥¬®¬ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï ¬®¦®, á ⮩ ¦¥ â®ç®áâìî g, § ¬¥¨âì m m1 , çâ® ¤ ¥â: g m2 m21 = m2 ; 16" (5.51) 1 ®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬: (5.52) m2 = m21 1 + 16g 2" ®â â ª®© ¤®«¦ ¡ëâì \§ âà ¢®ç ï" ¬ áá , çâ®¡ë ¢ ®¤®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ 䨧¨ç¥áª ï ¬ áá à ¢ï« áì 䨪á¨à®¢ ®¬ã § 票î m1 . ¨¤¨¬, çâ® ¯à¨ " ! 0 ¢¥«¨ç¨ m à á室¨âáï, ® ª®¥ç®áâì m1 ®¡¥á¯¥ç¥ ! «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦® à áᬮâà¥âì ¨ ¢¥àè¨ã ;(4). ¥à¥¯¨è¥¬ (5.45) ¢ ¢¨¤¥: 2 " " 6 i;(4) (pi ) = g" + g32 ; 3 ; F (s; m; ) ; F (t; m; ) ; F (u; m; ) (5.53) 2 " ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ãî (ª®¥çãî!) ª®áâ âã á¢ï§¨ g1 á®®â®è¥¨¥¬: g1 = i;(4)(pi = 0) (5.54) â.¥. ç¥à¥§ ¢¥àè¨ã ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ç áâ¨æ á ã«¥¢ë¬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨. ®£¤ ¨§ (5.53) ¯®«ãç ¥¬: 2 " 6 g " g1 = g + 322 " ; 3 ; 3F(0; m; ) (5.55) ç¨â ï g1 䨪á¨à®¢ ®© ª®¥ç®© ¢¥«¨ç¨®©, áà §ã ¢¨¤¨¬, çâ® \§ âà ¢®çãî" ª®áâ âã á¢ï§¨ g 㦮 ᤥ« âì ¡¥áª®¥ç®© (¯à¨ " ! 0). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯¥à¥áâà ¨¢ ï ¢ëà ¦¥¨¥ (5.55) á ¯®¬®éìî § ¬¥ g g1 ¨ m m1 â ¬ £¤¥ íâ® âॡã¥âáï (çâ® ¢á¥£¤ ¬®¦® ᤥ« âì á â®ç®áâìî ¤® ¨â¥à¥áãîé¨å á ç«¥®¢ g2 ), ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï g ç¥à¥§ g1, «®£¨ç®¥ (5.52): 2 ;2" 2 3g ; " 1 g = g1 ; 322 " ; ; F(0; m1; ) (5.56)
125
¨á. 5-5
®£¤ ¬®¦® ¢ëà §¨âì ;(4) (5.53) ç¥à¥§ g1 â ª: 2 ;" 1 [F(s; m ; ) + F (t; m ; ) + F (u; m ; ) ; 3F (0; m ; )] (5.57) i;(4) (pi ) = g1 ; g32 1 1 1 1 2
âáî¤ ¥¯®á।á⢥® á«¥¤ã¥â (5.54), ¯®áª®«ìªã ¯à¨ p1 = p2 = p3 = p4 = 0 ¨¬¥¥¬ s = t = u = 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, 䨧¨ç¥áª ï (¯¥à¥®à¬¨à®¢ ï) ª®áâ â á¢ï§¨ g1 ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¥«¨ç¨®© i;(4) ¢ â®çª¥, £¤¥ ¢á¥ ¢¥è¨¥ ¨¬¯ã«ìáë à ¢ë ã«î6. ¥¯¥àì ¢á¥ ã á áâ «® ª®¥çë¬! ë ¯®«®áâìî ¯à®¢¥«¨ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ªã ¢ ®¤®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨. ª ¢á¥ íâ® ¢ë£«ï¤¨â ¢ ¤¢ã寥⫥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨? í⮬ á«ãç ¥ ¤® à áᬮâà¥âì ¤¨ £à ¬¬ë, ¯®ª § ë¥ ¨á.5-5. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 «¨§ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢¥«¨ç¨ G;1 (p) = ;(2) (p) ¯à¨®¡à¥â ¥â ¤®¯®«¨â¥«ìãî à á室¨¬®áâì ®â ¤¨ £à ¬¬ë ¨á.5-5(¡). â à á室¨¬®áâì ¥ ãáâà ï¥âáï ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª®© ¬ ááë ¨ ª®áâ âë á¢ï§¨. ¯®£«®é ¥âáï ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢ë¬ ä ªâ®à®¬, ª®â®àë© ¢¢®¤¨âáï ¤®®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ®© 2-â®ç¥ç®© äãªæ¨¨ á®®â®è¥¨¥¬: (2) G;r 1 = ;(2) (5.58) r = Z' (g1; m1 ; ); (p; m1) 1=2 ¤¥áì ¢¥«¨ç¨ ;(2) r ï¥âáï ª®¥ç®©, ä ªâ®à Z' { ¡¥áª®¥ç¥. ¥«¨ç¨ Z' §ë¢ ¥âáï ª®áâ ⮩ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨ ¢®«®¢®© äãªæ¨¨. «ï Z' ¬®¦® ¯¨á âì à §«®¦¥¨¥ ¢ àï¤ ¯® ç¨á«ã ¯¥â¥«ì, ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
Z' = 1 + g1Z1 + g12 Z2 + ::: = 1 + g12 Z2 + :::
(5.59)
¯®áª®«ìªã ®¤®¯¥â«¥¢®© ¢ª« ¤ ®âáãâáâ¢ã¥â. ¥à¥®à¬¨à®¢ª ¢®«®¢®© äãªæ¨¨ ( ¬¯«¨âã¤ë ¯®«ï) ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ᮢ¥à襮 ¯à®¨§¢®«ì®©. «ï ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 㦮 ¯®âॡ®¢ âì, çâ®¡ë ¢ ¥ª®â®à®© â®çª¥, ᪠¦¥¬ p2 = 0, ¢ë¯®«ï«®áì ãá«®¢¨¥: @ G;1 (p) 2 = @ ;(2) 2 = 1 (5.60) p =0 @p2 r p =0 @p2 r ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â G;r 1(p) = p2 + :::. ë¡®à â®çª¨ p2 = 0 ¤®áâ â®ç® ¯à®¨§¢®«¥. á室¨¬®áâì Z' ®§ ç ¥â, çâ® ¢ ¤¢ã寥⫥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ à ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢¥«¨ç¨ m1 ¡¥áª®¥ç (¢ ¯à¥¤¥«¥ " ! 0). ¤ ª® ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ï G;r 1(p) = ;(2) r ¤ ¥â ª®¥ç®¥ § 票¥ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ®© ¬ ááë mr : m2r = Z' m21
(5.61)
6 â®, ¢¯à®ç¥¬, ¥ ¥¤¨áâ¢¥ë© á¯®á®¡ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯¥à®à¬¨à®¢ ®© ª®áâ âë á¢ï§¨. ®£¤ g1 ®¯à¥¤¥«ïîâ ç¥à¥§ i;(4) ¢ â ª §ë¢ ¥¬®© ᨬ¬¥âà¨ç®© â®çª¥ p2i = m2 ; pipj = ;m2 =3 (i 6= j ), ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â s = t = u = 4m2 =3.
126
¨á. 5-6
ç¥ £®¢®àï, à á室¨¬®á⨠Z' ¨ m21 ᮪à é îâáï. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¨§¬¥ï¥âáï ¨ § 票¥ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ®© ª®áâ âë á¢ï§¨. «ï ;(4) r ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á®®â®è¥¨¥, «®£¨ç®¥ (5.58): 2 (4) ;(4) (5.62) r = Z' ; (p; m1 ; ) ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¢ ï ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ï ª®áâ â á¢ï§¨ gr , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï á®®â®è¥¨¥¬, «®£¨çë¬ (5.49), ¨¬¥¥â ¢¨¤: 2 i;(4) gr = Z'2 g1 (5.63) r (pi = 0) = gr = Z' g1 ªâ®à Z' ï¥âáï äãªæ¨¥© ¯¥à¥¬¥®© g" , ¢ë¯¨áë¢ ï íâã § ¢¨á¨¬®áâì , ¯®«ãç ¥¬ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ãî n-ç áâ¨çãî ¢¥àè¨ãî äãªæ¨î ¢ ¢¨¤¥: ;(rn)(pi ; gr ; mr ; ) = Z'n=2(g" );(n)(pi ; g; m) (5.64) ¨«¨ ;(n)(pi ; g; m) = Z';n=2 (g" );(rn)(pi ; gr ; mr ; ) (5.65) ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨ ¢ ¤¢ã寥⫥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ⥮à¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ᤥ« ª®¥ç®©. ®åà ï¥âáï - «¨ íâ® ¢ ¦¥©è¥¥ ᢮©á⢮ ¢® ¢á¥å ¯®à浪 å? â® ¢®¯à®á ¤®ª § ⥫ìá⢠¯¥à¥®à¬¨à㥬®áâ¨. ® ¤®áâ â®ç® £à®¬®§¤ª®, ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¢¥¤¥® ¢® ¢á¥å ¯®à浪 å ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ( ©á®). ®¤à®¡® á ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®á⨠¢ à §ëå ¬®¤¥«ïå ⥮ਨ ¯®«ï ¬®¦® ¯®§ ª®¬¨âìáï ¢ ª¨£¥ [4]. ⬥⨬ ⮫쪮, çâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®á⨠¢ ⥮ਨ '4 á«®¦¥¥, 祬 «®£¨ç®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤«ï , ª®â®à®¥ ®¡«¥£ç ¥âáï ¡« £®¤ àï ª «¨¡à®¢®ç®© ¨¢ ਠâ®á⨠(⮦¤¥á⢮ ®à¤ ).
®âàç«¥ë.
ãé¥áâ¢ã¥â «ìâ¥à ⨢ ï â®çª §à¥¨ï ¯¥à¥®à¬¨à®¢ªã, ª®â®à ï áâ « ¢¥áì¬ à á¯à®áâà ¥ , ®á®¡¥® ¯®á«¥ ¯®ï¢«¥¨ï ª¨£¨ [4]. á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë à áᬠâਢ âì ¯ à ¬¥âàë m ¨ g ¢ ¨á室®¬ « £à ¦¨ ¥ áà §ã ¢ ª ç¥á⢥ 䨧¨ç¥áª¨å ¬ ááë ¨ § àï¤ (ª®áâ âë á¢ï§¨). § ⮣® ä ªâ , çâ® íâ®â « £à ¦¨ ¥ ¤ ¥â ª®¥çëå äãªæ¨© ਠ, ¢ë⥪ ¥â âॡ®¢ ¨¥, çâ® ¢ « £à ¦¨ 㦮 ¢¢¥á⨠¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ç«¥ë, ᮪à é î騥 à á室¨¬®áâ¨. å §ë¢ îâ ª®âàç«¥ë. ¥à¥®à¬¨à㥬 ï ⥮à¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ᤥ« ª®¥ç®© ¢¢¥¤¥¨¥¬ ª®¥ç®£® ç¨á« ª®âàç«¥®¢. áᬮâਬ ªà ⪮, ª ª íâ® ¤¥« ¥âáï. áᬮâਬ ®¯ïâì ¯¥à¥®à¬¨à®¢ªã ¬ ááë ¢ ®¤®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî á®®â®è¥¨ï¬¨ (5.49) { (5.52).
¥ ¬®¦® ®¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ¤®¯¥â«¥¢ ï ¯®¯à ¢ª ª ᢮¡®¤®¬ã ¯à®¯ £ â®àã ¯®ª § ¨á. 5-6 ¨ à á室¨âáï ¯à¨ " ! 0. ®¡ ¢¨¬ ª ¨á室®¬ã « £à ¦¨ ã L ç«¥ ¢¨¤ : gm2 '2 ; 1 m2 '2 (5.66) L1 = ; 32 2" 2
127
¨á. 5-7
¨á. 5-8
£® ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥, ª®â®à®¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨§®¡à ¦ âì ¤¨ £à ¬¬ å \ªà¥á⨪®¬": igm2 = ;im2 = ; 16 (5.67) 2" ®£¤ , á â®ç®áâìî g, ¯®«ë© ®¡à âë© ¯à®¯ £ â®à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï £à 䨪 ¬¨ ¨á.5-7 ¨ à ¢¥: 21 igm2 ;(2)(p) = iG(p);1 = i 1i (p2 ; m2 ) ; igm + ®¥ç ï ç áâì + 162" = 162 " = p2 ; m2 (5.68) £¤¥ ®¯ãá⨫¨ ª®¥çë© ¢ª« ¤ (¨«¨ ¢ª«î稫¨ ¥£® ¢ m2 ). ¤¥áì m2 áç¨â ¥âáï ª®¥ç®© ¢¥«¨ç¨®©, 䨧¨ç¥áª®© ¬ áᮩ, ª®â®à ï ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© à ¢ ;;(2) (0). £à ¦¨ ¨¬¥¥â ⥯¥àì ¢¨¤ L + L1, £¤¥ L1 { à á室ï騩áï ª®âàç«¥.
¬ëá« à áᬮâà¥¨ï ¬ áᮢ®£® ç«¥ ¢ « £à ¦¨ ¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¤®¯®«¨â¥«ì®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯à®áâ. áᬮâਬ ᢮¡®¤ãî ⥮à¨î: (5.69) L = 21 (@')(@ ') ; 12 m2 ' ¨ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ® ®¯¨áë¢ ¥â ¡¥§¬ áᮢ®¥ ¯®«¥ (¯¥à¢ë© ç«¥ ¢ « £à ¦¨ ¥) á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ ¢â®àë¬ ç«¥®¬. à ¢¨« ¥©¬ ¯®ª § ë ¨á.5-8. ®«ë© ¯à®¯ £ â®à ⮣¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £à 䨪 ¬¨, ¯®ª § 묨 ¨á.5-9. १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ¯à®£à¥áá¨î: G(p) = pi2 + pi2 (;im2 ) pi2 + pi2 (;im2 ) pi2 (;im2 ) pi2 + ::: = p2 ;i m2 (5.70) â.¥. ï¥âáï ®¡ëçë¬ ¯à®¯ £ â®à®¬ ¬ áᨢ®£® ¯®«ï. â® ¨ ¡ë«® ¨á¯®«ì§®¢ ® ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¬ áᮢ®£® ª®âàç«¥ ¢ « £à ¦¨ ¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¢®§¬ã饨ï.
«®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦® à áᬮâà¥âì ;(4) . § (5.45) ¢¨¤®, çâ® ¢¥«¨ç¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï £à 䨪 ¬ g2 , ¯®ª § ë¬ ¨á.5-10, à á室¨âáï ¯à¨ " ! 0. ®£¤ ¬®¦® ¤®¡ ¢¨âì ª « £à ¦¨ ã ª®âàç«¥ ¢¨¤ :
;(4),
¨á. 5-9
128
¨á. 5-10
¨á. 5-11
2 " " 4 = Bg '4 L2 = 4!1 3g ' (5.71) 2 16 " 4! â ª çâ® ¨¬¥¥¬ ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥, ¯®ª § ®¥ ¨á.5-11. १ã«ìâ ⥠;(4) áâ ®¢¨âáï ª®¥ç®©, ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á. 5-12. ª®¥æ, à á室¨¬®áâì ;(2) ¢ ¤¢ã寥⫥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨, ª ç¥á⢥® ®¯¨á ï ¢ëè¥, ¨ ¯à¨¢®¤¨¢è ï ª ¥®¡å®¤¨¬®á⨠㬮¦¥¨ï ¢¥«¨ç¨ ;(n) Z'n=2, íª¢¨¢ «¥â ¤®¡ ¢«¥¨î ª « £à ¦¨ ã ª®âàç«¥ ¢¨¤ : L3 = A2 (@ ')2 (5.72) £¤¥ 1 + A = Z' . â ª, ª®¥çë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï äãªæ¨© ਠ¨ ¢¥àè¨ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì, ¤®¡ ¢«ïï ª « £à ¦¨ ã: L = 21 @ '@ ' ; 21 m2 '2 ; 4!1 g4;d '4 (5.73) ª®âàç«¥ë LCT : LCT = A2 @ '@ ' ; 12 m2 '2 ; 4!1 Bg4;d '4 (5.74) ®«ë© « £à ¦¨ , ª®â®àë© ¯à¨ïâ® §ë¢ âì \£®«ë¬" « £à ¦¨ ®¬ LB , à ¢¥: LB = L + LCT = 1 1 + A 2 2 2 (5.75) = 2 @ '@ ' ; 2 (m + m )' ; 4!1 (1 + B)g4;d '4
¨á. 5-12
129
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®¡ ¢«¥¨¥ ª®âàç«¥®¢ íª¢¨¢ «¥â® 㬮¦¥¨î ¢¥«¨ç¨ ', m ¨ g ¥ª®â®àë¥ ¯¥à¥®à¬¨à®¢®çë¥ ¬®¦¨â¥«¨ Z (¬ã«ì⨯«¨ª ⨢ ï ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª ). ¨¬¥®, ¥á«¨ ¢¢¥á⨠¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î \£®«ë¥" ¢¥«¨ç¨ë: p 'B = Z' 'r Z' = 1 + A 2 2 mB = Zm mr Zm2 = m 1 ++ m A 1 + B " (5.76) gB = Zg gr Zg = (1 + A) 2 â® \£®«ë©" « £à ¦¨ (5.75) ¯à¨¬¥â ¢¨¤: LB = 12 @ 'B @ ' ; 12 m2B '2B ; 4!1 gB '4B (5.77) ¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì ¥â © § ¢¨á¨¬®á⨠®â . ¥«¨ç¨ë A,B ¨ m2 ¯®¤à §ã¬¥¢ îâáï ¯®¤®¡à 묨 â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë äãªæ¨¨ ਠ⥮ਨ ¡ë«¨ ª®¥çë (¯à¨ " ! 0). ï§ëª¥ ª®âàç«¥®¢ ⥮à¨ï ï¥âáï ¯¥à®à¬¨à㥬®©, ¥á«¨ ª®âàç«¥ë, ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï ᮪à 饨ï à á室¨¬®á⥩ ¢ ª ¦¤®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©, ¨¬¥îâ â®â ¦¥ ¢¨¤, çâ® ¨ ç«¥ë, ¢å®¤ï騥 ¢ ¨áå®¤ë© « £à ¦¨ .
᫨ íâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, â® \£®«ë¥" ¢¥«¨ç¨ë ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë ¯à¨ ¯®¬®é¨ (¡¥áª®¥çëå!) ¯¥à¥®à¬¨à®¢®çëå ¬®¦¨â¥«¥©, ª ª í⮠ᤥ« ® ¢ëè¥. ਠí⮬ \£®«ë©" « £à ¦¨ ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ¢¨¤, çâ® ¨ ¨á室ë©. £à ¦¨ LB ¯à¨¢®¤¨â ª ª®¥ç®© ⥮ਨ, ¨áå®¤ë© L { ¥â. â® ®§ ç ¥â, çâ® \§ ¯àïâ ¢" ¢á¥ à á室¨¬®á⨠¢ 'B , mB ¨ gB ¬®¦® ᤥ« âì ⥮à¨î ª®¥ç®© { à á室¨¬®á⨠¯®£«®é îâáï ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª®©. ᥠ\£®«ë¥" ¢¥«¨ç¨ë à á室ïâáï ¯à¨ " ! 0 7, ⮣¤ ª ª ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¯à¨¨¬ î⠯ਠ" ! 0 ª®¥çë¥, ® ¯à®¨§¢®«ìë¥, § 票ï. å á«¥¤ã¥â ®â®¦¤¥á⢨âì á 䨧¨ç¥áª¨¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ ⥮ਨ. à ¢¥¨¥ (5.65) ®ç¥¢¨¤® ¨ ¨§ ¯®¤å®¤ , ®á®¢ ®£® ª®âàç«¥ å. § (5.76) ¨ (5.77) ïá®, çâ® ¢§ï¢ (5.77) ¢ ª ç¥á⢥ ¨á室®£® « £à ¦¨ , ¬ë ¤®«¦ë ¢® ¢á¥å ä®à¬ã« å ¤«ï äãªæ¨© ਠ§ ¬¥¨âì m ! mB , g ! gB , ' ! 'B . ® ⥯¥àì ¬®¦® (¨ 㦮!) ¢ëà §¨âì \£®«ë¥" ¯ à ¬¥âàë ç¥à¥§ 䨧¨ç¥áª¨¥ mr , gr ¨ 'r ᮣ« á® ä®à¬ã« ¬ (5.76). ®£¤ ¯®«ã稬: ;(Bn) (pi; gB ; mB ) = Z';n=2 ;(rn)(pi ; gr ; mr ; ) (5.78) çâ® íª¢¨¢ «¥â® (5.65) (¨¤¥ªá B ⥯¥àì ¬®¦® ã¡à âì). âáãâá⢨¥ © § ¢¨á¨¬®á⨠«¥¢®© ç á⨠í⮣® ãà ¢¥¨ï ®â ®ç¥¢¨¤ ¨§ ä®à¬ë « £à ¦¨ (5.77), £¤¥ ¥¥ â ª¦¥ ¥â.
¥®à¬ «¨§ 樮 ï £à㯯 . « ¢¥ 8 ç á⨠I ¬ë 㦥 ªà ⪮ ®¡á㦤 «¨ £à㯯㠯¥à¥®à¬¨à®¢®ª (८ଠ£à㯯ã) ¢ . ¥â®¤ ८ଠ- £àã¯¯ë ¨£à ¥â ®£à®¬ãî à®«ì ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï [4, 8, 10] ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥ [14, 15], â ª¦¥, ª ª ¨ ¢ ¥ª®â®àëå 7 à¨
ª®¥çëå " ¯à®¡«¥¬ë à á室¨¬®á⥩ ¥â ¢®®¡é¥.
130
¤àã£¨å ®¡« áâïå ⥮à¥â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ®í⮬㠧¤¥áì ¬ë ¯à®¢¥¤¥¬ ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡®¥ ¥£® ®¡á㦤¥¨¥. ¤® § ¬¥â¨âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â æ¥«ë© àï¤ (ä ªâ¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥âëå) ä®à¬ã«¨à®¢®ª í⮣® ¬¥â®¤ . ¯à¨¬¥à ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ८ଠ- £à㯯ë á¢ï§ë¢ «¨áì á ¯¥à¥å®¤®¬ ®â ®¤®£® § ç¥¨ï ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï à á室ïé¨åáï ¨â¥£à «®¢ ª ¤à㣮¬ã, ¢ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï [14] ä®à¬ã«¨à®¢ª ¨«ìá® , á¢ï§ ï á ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ¯® ®¡« áâï¬ ¨¬¯ã«ìᮣ® ¯à®áâà á⢠, á ¯¥à¥å®¤®¬ ª ãç¥â㠢ᥠ¡®«¥¥ ¤«¨®¢®«®¢ëå ä«ãªâã 権 ¨ â. ¯. ¤¥áì ¬ë ¯à¨¤¥à¦¨¢ ¥¬áï ¨¡®«¥¥ ç á⮠㯮âॡ«ï¥¬®£® ¢ ᮢ६¥®© «¨â¥à âãॠ¯® ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï (å®âï ¨ ¥áª®«ìª® ä®à¬ «ì®£®) ¯®¤å®¤ , ®á®¢ ®£® ¬¥â®¤¥ à §¬¥à®© ॣã«ïਧ 樨 [8]. à ¬ª å ⥮ਨ à §¬¥à®© ॣã«ïਧ 樨 ¬ë ¢¢¥«¨ ¢ ⥮à¨î ¯à®¨§¢®«ìë© ¯ à ¬¥âà à §¬¥à®á⨠¬ ááë. ¢¨á¨¬®áâì ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ®© 1-äãªæ¨¨ ®â ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, ᮣ« á® (5.64), ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 -§ ¢¨á¨¬®áâìî ¯¥à¥®à¬¨à®¢®ç®£® ¬®¦¨â¥«ï Z' . 묨 á«®¢ ¬¨ (áà.(5.65), (5.78)) ¥¯¥à¥®à¬¨à®¢ ï (\£®« ï") äãªæ¨ï ;(n) ¥ § ¢¨á¨â ®â : ;(n)(pi ; g; m) = Z';n=2 (g" );(rn)(pi ; gr ; mr ; ) (5.79) ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¢ ਠ⠮â®á¨â¥«ì® £àã¯¯ë ¯à¥®¡à §®¢ ¨©: ! es ¨«¨ = es 0 â.¥. s = ln (5.80) 0 ⨠¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¨ ®¡à §ãîâ ८ଠ«¨§ 樮ãî £à㯯ã (८ଠ- £à㯯ã, £à㯯㠯¥à¥®à¬¨à®¢®ª). ¢®¤ï ¡¥§à §¬¥àë© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ®¯¥à â®à @@ , ¯®«ã稬: @ ;(n) = 0 @ (5.81) ¨«¨, ãç¨âë¢ ï (5.79):
@ [Z ;n=2(g" );(n) (p ; g ; m ; )] = 0 @ ' r i r r
(5.82)
£¤¥ gr ¨ mr § ¢¨áïâ ®â . ஢®¤ï ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¨ 㬮¦ ï १ã«ìâ â Z'n=2, ¯®«ãç ¥¬: @ p @ @g @ @m @ r r ;n @ ln Z' + @ + @ @g + @ @m ;(rn) = 0 (5.83) r r ¤ «ì¥©è¥¬, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¡ã¤¥¬ ¢¥§¤¥ ¯¨á âì g ¢¬¥áâ® gr ¨ m ¢¬¥áâ® mr , ¯®¤à §ã¬¥¢ ï, çâ® ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ⮫쪮 á ¯¥à¥®à¬¨à®¢ 묨 ¢¥«¨ç¨ ¬¨. ®®¡é¥, ¢ (5.83) ¢å®¤ïâ ⮫쪮 ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï, ª®¥çë¥ ¯à¨ " ! 0. ¯à¥¤¥«¨¬ á«¥¤ãî騥 äãªæ¨¨: m m (g) = @m @ p @
(g) = @ ln Z' @g (g) = @ (5.84)
131
®£¤ ãà ¢¥¨¥ (5.83) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤: @ @ ; n (g) + m (g) @ ;(n) = 0 @ + (g) @g (5.85) m @m â® ®á®¢®¥ ãà ¢¥¨¥ ८ଠ«¨§ 樮®© £à㯯ë, §ë¢ ¥¬®¥ ¨®£¤ ãà ¢¥¨¥¬ «« - ¨¬ §¨ª . ® ¢ëà ¦ ¥â ¨¢ ਠâ®áâì ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ®© äãªæ¨¨ ;(n) ®â®á¨â¥«ì® § ¬¥ë ¯ à ¬¥âà ॣã«ïਧ 樨 . ¯¨è¥¬ ⥯¥àì «®£¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥, ¢ëà ¦ î饥 ¨¢ ਠâ®áâì äãªæ¨¨ ;(n) ®â®á¨â¥«ì® ¨§¬¥¥¨ï ¬ áèâ ¡ ¨¬¯ã«ìᮢ (¬ ááë). ãáâì ¯à®¨§¢®¤¨âáï § ¬¥ pi ! tpi , m ! tm, ! t. ãªæ¨ï ;(n) ¨¬¥¥â ¬ áᮢãî à §¬¥à®áâì D, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî ᮣ« á® ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ëè¥ â ¡«¨æ¥ à §¬¥à®á⥩, á«¥¤ãî騬 ¢ëà ¦¥¨¥¬: d D = d + n 1 ; 2 = 4 ; n + " n2 ; 1 (5.86)
£¤¥ d = 4 ; ". ®£¤ ¨¬¥¥¬:
;(n) (tpi ; tm; t) = tD ;(n) (pi ; m; )
(5.87)
çâ® ¯®á«¥ ¯à®áâëå § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå tm ! m; ~ m ! m=t; ~ m~ ! m ¨ t ! ~; ! ~=t; ~ ! ; m~ ! m, ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ª ª: ;(n) (tpi ; m; ) = tD ;(n)(pi ; m=t; =t)
(5.88)
ãªæ¨ï ;(n) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¤®à®¤ãî äãªæ¨î ᢮¨å ¯¥à¥¬¥ëå á® á⥯¥ìî ®¤®à®¤®á⨠D.
¤®à®¤ë¥ äãªæ¨¨. ¥®à¥¬ ©«¥à .
¯®¬¨¬ ®á®¢ë¥ ä ªâë ®¡ ®¤®à®¤ëå äãªæ¨ïå. ãªæ¨ï u = f (x1 ; x2 ;:::; xm ) §ë¢ ¥âáï ®¤®à®¤®© äãªæ¨¥© á⥯¥¨ p, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå t ¢ë¯®«ï¥âáï: u = f (tx1; :::;txm ) = tp f (x1 ;:::;xm ) (5.89) «ï ®¤®à®¤ëå äãªæ¨© ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ ©«¥à : @u + ::: + x @u = pu x1 @x (5.90) m @x m 1 á ¬®¬ ¤¥«¥, à áᬮâਬ u = f (tx01; :::;tx0m ), £¤¥ (x01 ;:::;x0m ) ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª ¨§ ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï äãªæ¨¨. ®£¤ ¨¬¥¥¬: du j = @u x0 + ::: + @u x0 (5.91) dt t=1 @x1 1 @xm m ¤à㣮© áâ®à®ë du = ptp;1 f (x0; :::;x0 ) â ª çâ® m 1 dt du j = pf (x0; :::;x0 ) = pu (5.92) m 1 dt t=1
à ¢¥¨¥ (5.91) á (5.92) ¨ ¤ ¥â (5.90).
§ (5.88), ¯® ⥮६¥ ©«¥à , ¯®«ãç ¥¬: @ @ @ t @t + m @m + @ ; D ;(n)(tpi ; g; m; ) = 0
(5.93)
132
᪫îç ï @ ;@(n) ¨§ (5.85) ¨ (5.93), ¯®«ãç ¥¬ ¤àã£ãî § ¯¨áì ãà ¢¥¨ï «« ¨¬ §¨ª : @ @ @ ;t @t + @g ; n (g) + m( m (g) ; 1) @m + D ;(n) (tpi ; g; m; ) = 0 (5.94) ª®â®à ï ¥¯®á।á⢥® ¢ëà ¦ ¥â १ã«ìâ â ¨§¬¥¥¨ï ¬ áèâ ¡ ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ ;(n) ¢ t à §. ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ (g) = (g) = m (g) = 0, â® íâ®â १ã«ìâ â ¯à®áâ® ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«ïâìáï ª ®¨ç¥áª®© à §¬¥à®áâìî D, ª ª ¨ á«¥¤®¢ «® ¡ë ®¦¨¤ âì, ¨áå®¤ï ¨§ \ ¨¢®£®" à §¬¥à®£® «¨§ . ¥®¡å®¤¨¬®áâì à áᬮâà¥¨ï ¯¥à¥®à¬¨à®¢®ª ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®â«¨çëå ®â ã«ï äãªæ¨© (g); (g); m (g), á¢ï§ á «¨ç¨¥¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ª®â®à®¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥¨î ®¬ «ìëå à §¬¥à®á⥩. ©¤¥¬ ⥯¥àì à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (5.94). â® ãà ¢¥¨¥ ¢ëà ¦ ¥â â®â ä ªâ, çâ® ¨§¬¥¥¨¥ ¢¥«¨ç¨ë t ¬®¦¥â ¡ëâì ᪮¬¯¥á¨à®¢ ® § áç¥â ¨§¬¥¥¨ï ¢¥«¨ç¨ m ¨ g ¨ ®¡é¥£® ¬®¦¨â¥«ï. ।¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ äãªæ¨¨ g(t), m(t) ¨ f(t), â ª¨¥, çâ®: ;(n)(tp; m; g; ) = f(t);(n) (p; m(t); g(t); ) (5.95) ¨ää¥à¥æ¨àãï ¯® t, ¯®«ãç ¥¬: @ ;(n)(tp; m; g; ) = df(t) ;(n) (p; m(t); g(t); ) + f(t) @m @;(n) + @g @;(n) (5.96) @t dt @t @t @t @g ¨«¨, á ãç¥â®¬ (5.95): @ ;(n)(tp; m; g; ) = t df(t) + f(t)t @m @ + f(t)t @g @ ;(n)(p; m(t); g(t); ) = t @t @m @t @g dtdf(t) @t@m @ + tf(t) @g @ 1 ;(n)(tp; m; g; ) = t dt + tf(t) @t @m @t @g f(t) (5.97) çâ®, ¯®á«¥ ¯¥à¥®á «¥¢®© ç á⨠¯à ¢®, ᢮¤¨âáï ª: @ t df(t) @m @ @g @ (5.98) ;t @t + f(t) dt + t @t @m + t @t @g ;(n)(tp; m; g; ) = 0 à ¢¨¬ ⥯¥àì ãà ¢¥¨ï (5.94) ¨ (5.98). à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ @=@g ¯®«ãç ¥¬ â ª §ë¢ ¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥««- { ®ã: t @g(t) (5.99) @t = (g) ¥«¨ç¨ g(t) §ë¢ ¥âáï \¡¥£ã饩" ª®áâ ⮩ á¢ï§¨, äãªæ¨ï (g) §ë¢ ¥âáï äãªæ¨¥© ¥««- { ®ã. â® ãà ¢¥¨¥ ¨£à ¥â ä㤠¬¥â «ìãî à®«ì ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ï äãªæ¨î (g) ¬®¦® ©â¨ g(t). á®¡ë© ¨â¥à¥á, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᨬ¯â®â¨ª g(t) ¯à¨ t ! 1. ª ç¥á⢥ ç «ì®£® ãá«®¢¨ï ¤«ï (5.99) ¨¬¥¥¬ ãá«®¢¨¥ g(1) = g. à ¢¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ @=@m ¢ (5.94) ¨ (5.98) ¤ ¥â: (5.100) t @m @t = m[ m (g) ; 1]
133
¨á. 5-13
¨§ áà ¢¥¨ï ®áâ ¢è¨åáï ç«¥®¢ á«¥¤ã¥â: t df(t) = D ; n (g) f(t) dt ®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¬®¦® ¯à®¨â¥£à¨à®¢ âì ¨ ¯®«ãç¨âì: Z t n (g(t)) D f(t) = t exp ; dt t 0
;
(5.101)
(5.102)
¯®¤áâ ¢«ïï ª®â®à®¥ ¢ (5.95) ¨ ãç¨âë¢ ï D = 4 ; n + " n2 ; 1 , ¢ ¯à¥¤¥«¥ " ! 0 ¯®«ãç ¥¬: Zt (n) ;(n)(tp; m; g; ) = t4;n exp ;n dt (g(t)) (5.103) t ; (p; m(t); g(t); ) 0 â® ¨ ¥áâì à¥è¥¨¥ (5.94), ¢ëà ¦¥®¥ ç¥à¥§ \¡¥£ãéãî" ª®áâ âã á¢ï§¨ g(t) ¨ \¡¥£ãéãî" ¬ ááã m(t). ªá¯®¥æ¨ «ìë© ç«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ®¬ «ìãî à §¬¥à®áâì. ª¨¬ ®¡à §®¬, 䨧¨ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å ®¯à¥¤¥«ï¥âáï äãªæ¨ï¬¨ g(t) ¨ m(t). ®®â®è¥¨ï ⨯ (5.103), ¢ ¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥, ¯®§¢®«ïîâ «¨§¨à®¢ âì á¨âã æ¨î ¨ ¢¥ ®¡« á⨠¯à¨¬¥¨¬®á⨠⥮ਨ ¢®§¬ã饨©. ¯à¥¤¥«¥ ®ç¥ì ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¬ áá ¬¨ ç áâ¨æ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì. ®í⮬ã, ®¡ëç® ¢¥áì «¨§ ¯à®¢®¤¨âáï ⮫쪮 á ãà ¢¥¨¥¬ ¥««- { ®ã (5.99). áᬮâਬ å à ªâ¥àë¥ ¢®§¬®¦®áâ¨, ª®â®àë¥ âãâ ¢®§¨ª îâ. á ¡ã¤¥â ¨â¥à¥á®¢ âì ¯®¢¥¤¥¨¥ g(t) ¯à¨ t ! 1. à ¢¥¨¥ ¥««- { ®ã ¨¬¥¥â ¢¨¤: t @g(t) (5.104) @t = (g) ®§¬®¦ë¥ ¢ ਠâë ª ç¥á⢥®£® ¯®¢¥¤¥¨ï äãªæ¨¨ (g), ª®â®àë¥ ¨áç¥à¯ë¢ îâ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢á¥ ¢®§¬®¦®á⨠¯®ª § ë ¨á.5-13. á«®¢¨¥ (g = 0) = 0 ¢ë¯®«ï¥âáï ¢á¥£¤ , í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⥮ਨ ¡¥§ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ¥®à¨ï ¢®§¬ã饨© ¯®§¢®«ï¥â, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¨¦¥, ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®¢¥¤¥¨¥ (g) ¢¡«¨§¨ g = 0, ®® ª¢ ¤à â¨ç® ¯® g. ¯à¨æ¨¯¥ ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì ¨ 㫨 (g) ¯à¨ ª®¥çëå g, ¬ ¤®áâ â®ç® à áᬮâà¥âì «¨èì ®¤¨ { ¯à¨ g = g0, çâ®¡ë ¯®ïâì ª ª ª¨¬ á«¥¤áâ¢¨ï¬ ¯à¨¢¥¤¥â ¥£® áãé¥á⢮¢ ¨¥. áᬮâਬ á ç « (g), ¯®ª § ãî ¨á.5-13( ). 㫨 í⮩ äãªæ¨¨ ¯à¨ g = 0 ¨ g = g0 §ë¢ îâáï 䨪á¨à®¢ 묨 â®çª ¬¨. ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à¨ t ! 1 ¨ ç «ìëå § 票ïå g ¢¡«¨§¨ g0
134
¢¥«¨ç¨ g(t), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ¨§ (5.104), áâ६¨âáï ª g0 . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨ ç «ì®¬ g < g0 ¨¬¥¥¬ (g) > 0, â ª çâ® g à áâ¥â á à®á⮬ t ¨ áâ६¨âáï ª g0 (£¤¥ à®áâ ®áâ ¢«¨¢ ¥âáï). «®£¨ç®, ¯à¨ ç «ì®¬ g > g0 ¨¬¥¥¬ (g) < 0 ¨ g ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ t, â.¥. â ª¦¥ áâ६¨âáï ª g0, ¤¢¨£ ïáì ¢ ®âà¨æ ⥫쮬 ¯à ¢«¥¨¨. ª¨¬ ®¡à §®¬ g(1) = g0 { ¨¬¥¥¬ ã«ìâà 䨮«¥â®¢® ãá⮩稢ãî 䨪á¨à®¢ ãî â®çªã { 䨪á¨à®¢ ®¥ § 票¥ ª®áâ âë á¢ï§¨ (§ àï¤ ) ¯à¨ ®ç¥ì ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å. ਠ¬ «ëå ç «ìëå § 票ïå g ¢ ¯à¥¤¥«¥ t ! 0 ¢á¥£¤ ¨¬¥¥¬ g = 0 { ¨äà ªà á® ãá⮩稢ãî 䨪á¨à®¢ ãî â®çªã (\¬®áª®¢áª¨© ã«ì").
᫨ ã«ï äãªæ¨¨ ¥««- { ®ã ¯à¨ ª®¥çëå g ¥â, ãà ¢¥¨¥ (5.104) ¤ ¥â ¥¯à¥àë¢ë© à®áâ g ¯à¨ t ! 1, 䨪á¨à®¢ ®£® § ç¥¨ï § àï¤ ¥ ¢®§¨ª ¥â.
᫨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å § 票ïå à£ã¬¥â (g) g ¨ > 1, ⮠⥮à¨ï áâ ®¢¨âáï ¢ãâ॥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®© { ¥¨§¡¥¦® ¢®§¨ª ¥â à á室¨¬®áâì g ¯à¨ ª®¥çëå § 票ïå t. ਠ1 ¨¬¥¥¬ ¬®®â®ë© à®áâ g ¯à¨ t ! 1 { ⥮à¨ï ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ , ® ¯à¨ t ! 1 ¨¬¥¥¬ ¯¥à¥å®¤ ¢ ®¡« áâì \ᨫ쮩 á¢ï§¨". ¥¯¥àì à áᬮâਬ (g), ¯®ª § ãî ¨á.5-13(¡). ®¢ ¨¬¥¥¬ ¤¢¥ 䨪á¨à®¢ ë¥ â®çª¨, ®¤ ª® § ª (g) ⥯¥àì ¤à㣮©, â ª çâ® g = g0 ï¥âáï ¨äà ªà á® ãá⮩稢®© 䨪á¨à®¢ ®© â®çª®© (t ! 0), g = 0 { ã«ìâà 䨮«¥â®¢® ãá⮩稢®© 䨪á¨à®¢ ®© â®çª®© (t ! 1). ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ g ! 0 ¯à¨ t ! 1 ¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ 㬥ìè ¥âáï ¯® ¬¥à¥ à®áâ í¥à£¨¨ (¨¬¯ã«ìá ), ®¡à é ïáì ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¢ ã«ì. ⮠¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ᢮¡®¤®©. ਠ®âáãâá⢨¨ ã«ï äãªæ¨¨ (g) ¯à¨ ª®¥çëå § 票ïå g §¤¥áì ¢®§¨ª î⠯஡«¥¬ë ¢ ®¡« á⨠¬ «ëå ¨¬¯ã«ìᮢ (¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨©) { ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ à áâ¥â ¨ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¥ä¨§¨ç¥áªãî à á室¨¬®áâì. «î¡®¬ á«ãç ¥, §¤¥áì ¯à®¨á室¨â ¯¥à¥å®¤ ª \ᨫ쮩 á¢ï§¨" ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå (ª®ä ©¬¥â ?). §«®¦¥ë¥ ¢®§¬®¦®á⨠¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¨áç¥à¯ë¢ îâ ¢ ਠâë ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ¢ «î¡®© ¬®¤¥«¨ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ª ç¥á⢥ ª®ªà¥â®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ ⥮à¨î g'4 (g > 0). áᬮâਬ १ã«ìâ â ®¤®¯¥â«¥¢®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï (5.55) ¤«ï ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ®© ª®áâ âë á¢ï§¨. ¯ãáª ï ¥áãé¥áâ¢¥ë¥ ª®¥çë¥ ¯®¯à ¢ª¨ ¬®¦¥¬ ¯¨á âì: 3g g1 = g" 1 + 16 (5.105) 2" âáî¤ ¨¬¥¥¬: 2 1 " + 3g " = "g (5.106) @g @ 162 ਠª®¥çëå " âã⠢ᥠª®¥ç® ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ (á ⮩ ¦¥ â®ç®áâìî) ¯¥à¥¯¨á âì (5.106) ª ª: 2 1 " 3g1 " @g = "g (5.107) 1 + @ 162 ¯®â®¬ ¯à®áâ® ®¯ãáâ¨âì ¨¤¥ªá 1, áç¨â ï, çâ® à ¡®â ¥¬ á ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ®© (䨧¨ç¥áª®©) ª®áâ ⮩ á¢ï§¨. ®£¤ ¨§ (5.107), ¯à¨ " ! 0, ¯®«ãç ¥¬ äãªæ¨î ¥«« { ®ã: @g = 3g2 (g) = @ (5.108) 162
@ = t @ , ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (5.107) ¢ ¢¨¤¥: ¢®¤ï s = ln t = ln 0 , â ª çâ® @ @s @g = 3g2 (5.109) @s 162
135
âáî¤ ¨ ¡¥§ ¢á类£® áç¥â ¢¨¤®, çâ® \¡¥£ãé ï" ª®áâ â á¢ï§¨ ⥮ਨ '4 ¢®§à áâ ¥â á à®á⮬ s, â.¥. á à®á⮬ ¨¬¯ã«ìá , â ª ç⮠⥮à¨ï ¥ ï¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤®©. ãªæ¨ï ¥««- { ®ã g2 . «¥¬¥â ஥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ãà ¢¥¨ï (5.109) á ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ g(s = 0) = g0 ¤ ¥â: g0 = 1 ; 1632 g0 s g0 g0 = = 3 3 1 ; 162 g0 ln t 1 ; 162 g0 ln 0 g=
(5.110)
à®á⮬ t (¨«¨ ) ª®áâ â á¢ï§¨ à áâ¥â ¨, ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢, ¬ë â «ª¨¢ ¥¬áï ¥ä¨§¨ç¥áªãî ᨣã«ïà®áâì (\«®¦ë©" ¯®«îá) 1 = 1632 g0 ln( 0 ), ç⮠ᮮ⢥â 162 áâ¢ã¥â = 0 exp 3g0 . ¨âã æ¨ï §¤¥áì ¢¯®«¥ «®£¨ç 㦥 ¢áâà¥ç ¢è¥©áï ¬ ¢ ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I. â® ¦¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ¯®¤à®¡® à áᬠâਢ «®áì ¬¨ ¢ëè¥ ¢ « ¢¥ 2 ¯à¨ ®¡á㦤¥¨¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨©. §ã¬¥¥âáï ¯®«ãç¥ë¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨¨ ¥««- { ®ã 楫¨ª®¬ ®á®¢ ® ®¤®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¨ ä®à¬ «ì® á¯à ¢¥¤«¨¢® ⮫쪮 ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå § 票ïå ª®áâ âë á¢ï§¨ g. ®¯à®á ® ¯®¢¥¤¥¨¨ í⮩ äãªæ¨¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å § 票ïå ª®áâ âë á¢ï§¨, á ¨¬ ¨ ¢®¯à®á ® ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®á⨠⥮ਨ g'4 , ¢ § ç¨â¥«ì®© ¬¥à¥, ®áâ ¥âáï ®âªàëâë¬. à拉 à ¡®â, ¤«ï g ! 1 ¡ë«® ¯®«ã祮 ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ (g), ¥áãé¥á⢥® ®â«¨ç î饥áï ®â १ã«ìâ ⮢ ®¤®¯¥â«¥¢®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï, çâ® ®§ ç «®-¡ë ¢ãâà¥îî ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì ⥮ਨ, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á® áâ ன â®çª®© §à¥¨ï ¤ ã, ®¡á㦤 ¢è¥©áï ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I. ⬥⨬, ¢¯à®ç¥¬, ¥¤ ¢îî à ¡®âã8 , ¢ ª®â®à®© ¡ë«® ¯®«ã祮 ¯®¢¥¤¥¨¥ (g) g0:96, ª®â®à®¥, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ ᮠᤥ« 묨 ¢ëè¥ § ¬¥ç ¨ï¬¨ ®§ ç ¥â, çâ® íâ ¯à®á⥩è ï ¬®¤¥«ì ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ï¥âáï ¢ãâ॥ ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®©. ¬¥â¨¬, ç⮠⥮à¨î g'4 \«¥£ª® ᤥ« âì" ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤®©, ¥á«¨ áç¨â âì, çâ® g < 0. ®£¤ , ®ç¥¢¨¤®, ᬥ¨âáï § ª ¯¥à¥¤ «®£ à¨ä¬®¬ ¢ § ¬¥ ⥫¥ (5.110) ¨ íä䥪⨢ ï ª®áâ â á¢ï§¨ ¡ã¤¥â ¯ ¤ âì á à®á⮬ t ¨ . ¤ ª® â ª ï ⥮à¨ï ¥ãá⮩稢 , ã ¥¥ ¥â ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï (¯®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï ¯®«ï ¬®¦¥â ¡ëâì ᪮«ì 㣮¤® ¡®«ì让 ®âà¨æ ⥫쮩 ¢¥«¨ç¨®©), ¯®í⮬㠢 ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ® , ®¡ëç®, ¥ à áᬠâਢ ¥âáï. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨© ¢ ਠâ â ª®© ¬®¤¥«¨, ᢮¤ï騩áï ª ®¡®¡é¥®¬ã äãªæ¨® «ã ¤ ã (2.159) á ç¨á«®¬ ª®¬¯®¥â ¯®«ï n = 0 (!), ®¯¨áë¢ ¥â, ª ª ®ª §ë¢ ¥âáï, ¤¢¨¦¥¨¥ í«¥ªâà® ¢ á«ãç ©®¬ ¯®«¥ ¯à¨¬¥á¥© á â®ç¥çë¬ ¯®â¥æ¨ «®¬ V , å ®â¨ç¥áª¨ à §¡à®á ëå ¢ ¯à®áâà á⢥ á® á।¥© ¯«®â®áâìî , ¥á«¨ ¢ (2.159) áç¨â âì g = ;V 2 ¨ = ;E , £¤¥ E { í¥à£¨ï í«¥ªâà® . â § ¤ ç â¥á® á¢ï§ á ¥é¥ ¥ ¤® ª®æ à¥è¥®© ¯à®¡«¥¬®© «®ª «¨§ 樨 í«¥ªâà®®¢ ¢ ¥ã¯®à冷ç¥ëå á¨á⥬ å (®¤¨¬ ¨§ ®á®¢ëå ¬¥å ¨§¬®¢ ¯¥à¥å®¤ ¬¥â «« { ¤¨í«¥ªâਪ). ç áâ®áâ¨, ¢®§¨ª î騥 §¤¥áì ¯à®¡«¥¬ë ®ª §ë¢ îâáï â¥á® á¢ï§ 묨 á ¯à®¡«¥¬®© ®¯¨á ¨ï ¨äà ªà ᮩ ®¡« á⨠ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤ëå ¬®¤¥«¥© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï (ª®ä ©¬¥â). ¥ ¨¬¥ï ¢®§¬®¦®á⨠¯®¤à®¡® ®¡á㦤 âì íâã § ¤ çã ¢ ¤ ëå «¥ªæ¨ïå, á®è«¥¬áï ⮫쪮 ¨¬¥î騥áï ®¡§®àë9 .
8 ..ãá«®¢. ¨áì¬ 71, 315 (2000) 9 .. ¤®¢áª¨©. 133, 223 (1981), ..ãá«®¢. 168,
503 (1998)
136
¨á. 5-14
¨á. 5-15
ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ᢮¡®¤ ⥮਩ £ { ¨««á . ¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâ२î ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠ª «¨¡à®¢®çëå ⥮਩. ¨âã æ¨ï ¢ ¡ë« à áᬮâॠ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I, £¤¥ ¡ë«® ¯®ª § ®, ç⮠⥮à¨ï ¥ ï¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤®©, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®¡«¥¬¥ \ã«ï § àï¤ " ¨ ¯ ⮫®£¨ç¥áª®¬ã ¯®¢¥¤¥¨î ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å (í¥à£¨ïå). ¬¥ç ⥫ì®, çâ® ¢ ¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®çëå ⥮à¨ïå ¯®«®¦¥¨¥ ᮢᥬ ¤à㣮¥. ¬¥®, ¢ ¨å ॠ«¨§ã¥âáï ¯®¢¥¤¥¨¥, §¢ ®¥ ¢ëè¥ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤ë¬. âªàë⨥ í⮣® ¥¨ï à®áᮬ ¨ ¨«ì祪®¬ ¢ ç «¥ 70-å £®¤®¢ ®âªàë«® ¯ãâì ª ¯®áâ஥¨î ª¢ ⮢®© å஬®¤¨ ¬¨ª¨ ¨ ®¡¥á¯¥ç¨«® ¢®§¬®¦®áâì ¯à®¢¥¤¥¨ï ¤¥¦ëå à áç¥â®¢ - íä䥪⮢ ¯à¨ ¢ë᮪¨å í¥à£¨ïå ¯® ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©. ¤¥áì ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï ⥬, çâ® ¯à¨¢¥¤¥¬ ®á®¢ë¥ १ã«ìâ âë ¤«ï á«ãç ï SU(3) ª «¨¡à®¢®ç®© ⥮ਨ (), â ª¦¥ ª ç¥á⢥ãî ¨â¥à¯à¥â æ¨î á ¬®£® ¥¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ᢮¡®¤ë, ®âáë« ï ç¨â â¥«ï § ¤¥â «ï¬¨ ¢ëç¨á«¥¨© ª ¨¬¥î騬áï ã祡¨ª ¬ [8, 9, 11]. «î箬 ª 宦¤¥¨î ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ï¥âáï ᮢ äãªæ¨ï ¥««- { ®ã (g). ¤«ï ¥¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I à áᬠâਢ «áï ¯à®á⥩訩 ®¤®¯¥â«¥¢®© £à 䨪 ¯®«ïਧ 樨 ¢ ªã㬠(ä¥à¬¨® ï ¯¥â«ï). ®¤®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¢®§¨ª îâ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ¢®§¬®¦®áâ¨, á¢ï§ ë¥ á ¥ ¡¥«¥¢ë¬ å à ªâ¥à®¬ ⥮ਨ (á ¬®¤¥©á⢨¥ ¯®«¥© £ -¨««á ¨ ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãç¥â \¤ã客" ¤¤¥¥¢ - ®¯®¢ ). í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ¤®«¦ë à ááç¨â âì ¢ª« ¤ ¢ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ªã § àï¤ ®â ¯à®á⥩襣® ¯¥â«¥¢®£® £à 䨪 £«î® - £«î®®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¯®ª § ®£® ¨á.5-14, ®â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï £«î®®¢ á \¤ãå ¬¨", ¯®ª § ®£® ¨á.5-15 ¨ «®£¨ç®£® ¢ª« ¤ ®â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï £«î®®¢ á ª¢ ઠ¬¨ ¨á.5-16. १ã«ìâ ⥠¤®¢®«ì® £à®¬®§¤ª¨å à áç¥â®¢ [8], ¤«ï ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ®© ¢ ®¤®¯¥â«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ª®áâ âë á¢ï§¨ ¯®«ãç ¥¬ «®£ ¢ëà ¦¥¨ï (5.105) ¢ ¢¨¤¥: g2 2n f "= 2 g1 = g 1 + 4" ;11 + 3 (5.111) £¤¥ nf { ç¨á«® ª¢ મ¢ëå \ ஬ ⮢" (ç¨á«® ⨯®¢ ª¢ મ¢). ; «®£¨ç ï ®¤®¯¥â«¥¢ ï ¯®¯à ¢ª ®â í«¥ªâà®®¢ ¢ ¨¬¥¥â ¢¨¤ 4e"2 ; 34 . ª ä¥à¬¨®®£®
137
¨á. 5-16
¢ª« ¤ §¤¥áì â®â ¦¥, çâ® ¨ ¢ . ¤ ª® á㬬 àë© ¢ª« ¤ ¯à®æ¥áᮢ ¨á.5-14 ¨ ¨á.5-15 ¨¬¥¥â ¤à㣮© § ª!. ®®â¢¥âá⢥® ¯à¨ nf < 16 ®¡é¨© § ª ¯®«ïਧ 樮®© ¯®¯à ¢ª¨ ¢ (5.111) ¯à®â¨¢®¯®«®¦¥ â ª®¢®¬ã ¢ (\ â¨íªà ¨à®¢ª "). ¨§¨ç¥áª ï ¯à¨à®¤ â ª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ¡ã¤¥â ®¡êïᥠ¨¦¥, ᥩç á, ¤¥©áâ¢ãï «®£¨ç® ¯¥à¥å®¤ã ®â (5.105) ª (5.108), ¯®«ãç ¥¬ ¢ ¯¥à¥¤¥«¥ " ! 0: @g = g3 (;33 + 2n ) (g) = @ f 122
(5.112)
ਠnf < 16 ¨§ (5.112) á«¥¤ã¥â, çâ® (g) < 0 ¨ ª®áâ â á¢ï§¨ g ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ ¬ áèâ ¡ ¨¬¯ã«ìᮢ (¬ áá), ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ª ç¥á⢥®© ª à⨮©, ®¡á㦤 ¢è¥©áï ¢ëè¥. «¥¤®¢ â¥«ì® â ª ï ⥮à¨ï ï¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤®©. à¨à®¤¥, ª ª ¨§¢¥áâ®, nf = 6. ®«ã稬 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï \¡¥£ã饩" ª®áâ âë á¢ï§¨. ¢®¤ï ®¯ïâì s = ln t = @ = t @ , ¨¬¥¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¥««- { ®ã: ln 0 , @ @s ¥à¥¯¨è¥¬ íâ® ª ª:
@g = ;g3 @s
£¤¥
; 2nf = 33 12
d ;2 ds (g ) = 2 ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® à¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤: 1 1 g2 = g02 + 2s ¨«¨ 2 2 g2 = 1 + g2g0 2s = 1 + 2gg02 ln t 0
0
(5.113) (5.114) (5.115) (5.116)
¢®¤ï t = Q= ¨ ®¯à¥¤¥«ïï g0 ¯à¨ Q = , ¯®«ãç ¥¬ १ã«ìâ â, æ¨â¨à®¢ ¢è¨©áï ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I: g2 () g2 (Q2) = (5.117) 1 + g212(2 ) (33 ; 2nf ) ln Q22
®«ìª® ¢ ¬¨à¥, £¤¥ nf > 16 § ª ¢ § ¬¥ ⥫¥ (5.117) ¡ë« ¡ë â ª¨¬ ¦¥, ª ª ¢ ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¥. ॠ«ì®¬ ¬¨à¥ íää¥ªâ¨¢ë© § àï¤ ¥ à áâ¥â, ¯ ¤ ¥â á à®á⮬ Q2 ¨ áâ ®¢¨âáï ¬ «ë¬ ¬ «ëå à ááâ®ï¨ïå! â® ¨ ¥áâì ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ᢮¡®¤ . ਠ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå Q2 ( ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå ¬¥¦¤ã ª¢ ઠ¬¨) íä䥪⨢ ï ª®áâ â á¢ï§¨ ®¡®à®â áâ ®¢¨âáï ¡®«ì让, çâ® íªá¯¥à¨¬¥â «ì® ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ¥¨¨ ª®ä ©¬¥â (\¨äà ªà á ï âîàì¬ ").
138
¨á. 5-17
«ï § 票ï Q2 , ¯à¨ ª®â®à®¬ ¢®§¨ª ¥â \«®¦ë©" ¯®«îá ¢ (5.117), ¢¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票¥ 2QCD : 12 2 2 QCD = exp ; (33 ; 2n )g2 (2 ) (5.118) ®£¤ (5.117) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:
g2 (Q2 ) =
f
12 (33 ; 2nf ) ln Q22
(5.119)
ਠQ2 2QCD íä䥪⨢ ï ª®áâ â á¢ï§¨ ¬ « ¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ª¢ મ¢ ¨ £«î®®¢ ( ¬ «ëå à ááâ®ï¨ïå ¨«¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å) ¬®¦® ®¯¨áë¢ âì ¯® ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©, «®£¨ç® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î í«¥ªâà®®¢ ¨ ä®â®®¢ ¢ ( ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå ¨«¨ ¬ «ëå ¨¬¯ã«ìá å). ਠQ2 2QCD â ª®¥ ®¯¨á ¨¥ áâ ®¢¨âáï ¥¢®§¬®¦ë¬, ª¢ ન ¨ £«î®ë ®¡ê¥¤¨ïîâáï ¢ á¨«ì® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî騥 ª« áâ¥àë { ¤à®ë. ªá¯¥à¨¬¥â «ì®¥ § 票¥ «¥¦¨â ¢ ¨â¥à¢ «¥ ®â 0.1 ¤® 0.5 GeV . ®£¤ ¤«ï íªá¯¥à¨¬¥â®¢, ¯à®¢®¤¨¬ëå ¯à¨ Q2 (30GeV )2 ¨§ (5.119) ¯®«ãç ¥¬ g2 0:1, â ª ç⮠⥮à¨ï ¢®§¬ã饨ï  ¯à¨¬¥¨¬ , ª ª ¨ ¢ . ¯à¥¤¥«¥ ¡®«ìè¨å Q2 ¢á¥¬¨ ¬ áá ¬¨ ª¢ મ¢ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì, ®¤ ª® ¢ ⥮à¨î ¢á¥ à ¢® ¢å®¤¨â ¬ áá®¢ë© ¬ áèâ ¡ 2 , ¢®§¨ªè¨© ¢ ¯à®æ¥áᥠ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨. ®¤ç¥àª¥¬, ç⮠⥮à¥â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â (5.119) ¯®«®áâìî ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï íªá¯¥à¨¬¥â¥! ¨á.5-17 ¯à¨¢®¤¨âáï ¯®¤¡®àª íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ ëå ¤«ï íä䥪⨢®© ª®áâ âë á¢ï§¨ , ª ª äãªæ¨¨ å à ªâ¥à®£® ¬ áèâ ¡ í¥à£¨¨ - ¨¬¯ã«ìá ¢ à §«¨çëå ¯à®æ¥áá å à áá¥ï¨ï, ¨§ãç ¢è¨åáï à §«¨çëå íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ãáâ ®¢ª å10 . ¨¤¨¬ ¢¯¥ç â«ïî饥 ᮣ« ᨥ ⥮ਨ ¨ íªá¯¥à¨¬¥â .
â¨íªà ¨à®¢ª { ¯ à ¬ £¥â¨§¬ ï£ - ¬¨««á®¢áª®£® ¢ ªã㬠.
ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ᢮¡®¤ á¢ï§ á ᢮©á⢮¬ â¨íªà ¨à®¢ª¨ § àï¤ ¢ ï£ ¬¨««á®¢áª®¬ ¢ ªã㬥. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® í⮠¥¨¥ ¨¬¥¥â ¤®¢®«ì® ¯à®á⮥ 䨧¨ç¥áª®¥ ®¡êïᥨ¥, ®á®¢ ®¥ ¨§¢¥áâëå «®£¨ïå á ⥮ਥ© ⢥म£® ⥫ . ®á«¥¤ãî饥 ¨§«®¦¥¨¥, ¢ 10 M.Schmelling. ArXiv: hep-ex/9701002.
139
®á®¢®¬, á«¥¤ã¥â à ¡®â¥11 . â¨íªà ¨à®¢ª § àï¤ ®§ ç ¥â, çâ® ¢ ªã㬠¤¥©áâ¢ã¥â ª ª ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª ï á। á ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© ¯®áâ®ï®© < 1. ਠí⮬ ¢ ªã㬠ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ®â«¨ç ¥âáï ®â ®¡ë箩 ¯®«ïਧ㥬®© áà¥¤ë ¢ ®¤®¬ ®ç¥ì ¢ ¦®¬ ¯ãªâ¥ { ® ५ï⨢¨áâ᪨ ¨¢ ਠâ¥. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¥£® ¬ £¨â ï ¯à®¨æ ¥¬®áâì á¢ï§ á ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© ¯à®¨æ ¥¬®áâìî á®®â®è¥¨¥¬: = 1 (5.120) ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ¢ª« ¤¥ ¢ ¤¥©á⢨¥ ®â í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï E~ D~ / Foi F oi , ;1 ï¥âáï ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¯à¨ ¢ª« ¤¥ ¬ £¨â®£® ¯®«ï B~ H~ / ;1 Fij F ij . 㬬 íâ¨å ¢ª« ¤®¢ ï¥âáï ५ï⨢¨áâ᪨ ¨¢ ਠ⮩ ⮫쪮 ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ãá«®¢¨ï = ;1 . â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¯®§¢®«ï¥â á¢ï§ âì í«¥ªâà¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠á।ë á ¥¥ ¬ £¨â묨 ᢮©á⢠¬¨, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¤¢ãå ⨯®¢: 1. ¨ ¬ £¥â¨§¬ ¤ ã ( < 1). àï¦¥ë¥ ç áâ¨æë ¢ á।¥ ¢ ®â¢¥â ¢¥è¥¥ ¬ £¨â®¥ ¯®«¥ ᮧ¤ îâ ⮪, ª®â®àë© á ¬ ¨¤ãæ¨àã¥â ¬ £¨â®¥ ¯®«¥, ¯à ¢«¥®¥ ¯à®â¨¢®¯®«®¦® ¢¥è¥¬ã ¯®«î. 2. à ¬ £¥â¨§¬ 㫨 ( > 1).
᫨ ç áâ¨æë ®¡« ¤ îâ ¬ £¨â묨 ¬®¬¥â ¬¨, â® ®¨ áâ६ïâáï ¢ëáâநâìáï ¢¤®«ì ¢¥è¥£® ¯®«ï. ®£¤ ᢮©á⢮ â¨íªà ¨à®¢ª¨ ï£ - ¬¨««á®¢áª®£® ¢ ªã㬠¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ ª ª ãá«®¢¨¥ > 1, â.¥. ª ª ¥£® ¯ à ¬ £¥â¨§¬12. ª®¥ç®¬ ¨â®£¥, ¢á¥ ¤¥«® §¤¥áì ¢ ⮬, çâ® ¥ ¡¥«¥¢ë ª «¨¡à®¢®çë¥ ¯®«ï ¯®¤ç¨ïîâáï áâ â¨á⨪¥ ®§¥, â ª¦¥, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¡¥«¥¢ëå ä®â®®¢ á ¬¨ ®¡« ¤ îâ § à冷¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ª «¨¡à®¢®ç®© ᨬ¬¥âਨ. ®¤ç¥àª¥¬, çâ® â¥à¬¨®«®£¨ï ⥮ਨ í«¥ªâ஬ £¥â¨§¬ (§ ¥¨¬¥¨¥¬ «ãç襣®) ¨á¯®«ì§ã¥âáï §¤¥áì ⮫쪮 ¯® «®£¨¨ á U (1) ª «¨¡à®¢®ç®© ⥮ਥ© (). ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠¬ë, ª®¥ç® ¦¥, ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã § àï¤ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 SU (3) ª «¨¡à®¢®ç®© ᨬ¬¥âਨ, â.¥. æ¢¥â®¢ë¥ § àï¤ë. ®¤ í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬¨ ¨ ¬ £¨â묨 ᢮©á⢠¬¨ ¬ë ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬ æ¢¥â®¢ë¥ í«¥ªâà¨ç¥áª¨¥ ¨ ¬ £¨âë¥ á¢®©á⢠(¯®«ï). ®£¤ ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® ¯®«ï £ - ¨««á ¢ (£«î®ë) ®¡« ¤ îâ § à冷¬ ¨ ¬ £¨âë¬ ¬®¬¥â®¬, ¨¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã, çâ® ®¨ ®¡« ¤ îâ æ¢¥â®¢ë¬ § à冷¬ ¨ æ¢¥â®¢ë¬ ¬ £¨âë¬ ¬®¬¥â®¬. ¤¥«¥ ¦¥ £«î®ë í«¥ªâà¨ç¥áª¨ ¥©âà «ìë. ®à®è® ¨§¢¥áâë© à¥§ã«ìâ â ⥮ਨ ¬¥â ««®¢ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¤«ï ¨¤¥ «ì®£® £ § í«¥ªâà®®¢ ¤¨ ¬ £¥â¨§¬ ¤ ã, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¯¥à¥ªàë¢ ¥âáï ¯ à ¬ £¥â¨§¬®¬ 㫨, â ª çâ® ¯®«ë© ®âª«¨ª ï¥âáï ¯ à ¬ £¨âë¬ [35]. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢ ⥮ਨ ¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®çëå ¯®«¥© á¨âã æ¨ï «®£¨ç ¨ á¢ï§ á ¯ à ¬ £¨âë¬ ®âª«¨ª®¬ ᯨ®¢ ï£ - ¬¨««á®¢áª¨å ¯®«¥©. â ¤ àâë© ª« áá¨ç¥áª¨© « £à ¦¨ ¥ ¡¥«¥¢®© ª «¨¡à®¢®ç®© ⥮ਨ ¨¬¥¥¬ ¢¨¤: L = ; 161 Ga Ga + (i D ; m) + y (;D D ; 2 ) + ¤à㣨¥ ¢ª« ¤ë, (5.121) £¤¥ ⥧®à ¯à殮®á⥩ ¯®«¥© ®¯à¥¤¥«¥ ª ª Ga @ Aa ; @ Aa ; gf abcAb Ac , f abc { áâàãªâãàë¥ ª®áâ âë ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯ë, ª®¢ ਠâ ï ¯à®¨§¢®¤ ï D = @ + igAa T a, T a { £¥¥à â®àë £à㯯ë ( ¯à¨¬¥à ¬ âà¨æë 㫨 2 ¤«ï ä㤠¬¥â «ì®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï SU (2), ¨«¨ ¬ âà¨æë ¥««- { ®ã 2 ¤«ï ä㤠¬¥â «ì®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï SU (3)). ®¤ \¤à㣨¬¨ ¢ª« ¤ ¬¨" ¯®¤à §ã¬¥¢ îâáï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ïîª ¢áª®£® ⨯ ¨ á ¬®¤¥©á⢨¥ ᪠«ïàëå ¯®«¥©, ¢ ¦®, çâ® ®¨ ¥ § ¢¨áï⠮⠪ «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï. ¤®¡® ¯¥à¥®¯à¥¤¥«¨âì gA ! A, â ª ç⮡ë ï£ - ¬¨««á®¢áª ï ª®áâ â g ¢å®¤¨« ⮫쪮 ¢ \᢮¡®¤ë©" « £à ¦¨ ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï: L = ; 1612 g2 Ga Ga + (i D ; m) + y (;D D ; 2 ) + ¤à㣨¥ ¢ª« ¤ë, (5.122)
£¤¥ ⥯¥àì Ga @ Aa ; @ Aa ; f abcAb Ac and D = @ + iAa T a ¨ g ®áâ «®áì ⮫쪮 ¢ ¢¨¤¥ ª®íää¨æ¨¥â ¢ ¯¥à¢®¬ á« £ ¥¬®¬. ⮡ë à ááç¨â âì ¬ £¨âãî ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ¢ ªã㬠㦮 § âì ¨§¬¥¥¨¥ ¯«®â®á⨠¥£® í¥à£¨¨ ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï. ®¦¥â ¯®ª § âìáï, çâ® ¢á¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 11 F.Wilczek. Asymptotic Freedom. ArXiv: hep-th/9609099. 12 ¡ëç ï ¯®«ïਧ㥬 ï á।ë, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â í⮣®, ¬®¦¥â ®¤®¢à¥¬¥® ®¡« ¤ âì ᢮©á⢠¬¨ ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© íªà ¨à®¢ª¨ ( > 1) ¨ ¯ à ¬ £¥â¨§¬ ( > 1). ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ¥ª®â®à ï ¨áâ®à¨ç¥áª ï ¨à®¨ï á®á⮨⠢ ⮬, ç⮠䨧¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥, ¯à¨¢®¤ï饥 ª ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ᢮¡®¤¥, ¡ë«®, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¨§¢¥áâ® ¤ ã, ª®â®àë© ¢¥á ä㤠¬¥â «ìë© ¢ª« ¤ ¢ ª¢ ⮢ãî ⥮à¨î ¬ £¥â¨§¬ , ®, ¢ ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¯®¤¢¥à£ « ᮬ¥¨î ®á®¢ë ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï, ¨§-§ ¯ ⮫®£¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ ®¡« á⨠¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìᮢ.
140
⮫쪮 ¯¥à¢ë¬ ç«¥®¬ (5.122): 8g1 2 B 2. ® íâ® ¯à®áâ® ª« áá¨ç¥áª¨© ¢ª« ¤ ¢ í¥à£¨î, ªà®¬¥ í⮣® ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ 㦮 à áᬮâà¥âì ¨§¬¥¥¨¥ ã«¥¢®© í¥à£¨¨ ¢á¥¢®§¬®¦ëå ¯®«¥©, ¢å®¤ïé¨å ¢ (5.122), ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ¢¥è¥£® ¬ £¨â®£® ¯®«ï. ã⠢ᥠ«®£¨ç® ⥮ਨ ¬¥â ««®¢, £¤¥ à®«ì ¢ ªã㬠¨£à ¥â § ¯®«¥ ï áä¥à ¥à¬¨. ०¤¥ 祬 ¯¥à¥å®¤¨âì ª ï¢ë¬ ¢ëç¨á«¥¨ï¬, ¢ë¯¨è¥¬ ¯à ¢¨«ìë© ®â¢¥â, ¤ ¡ë ¯à® «¨§¨à®¢ âì ¥£® á¬ëá« ¨ á«¥¤á⢨ï. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢ª« ¤ ã«¥¢ëå ª®«¥¡ ¨© E , ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¯«®â®áâì í¥à£¨¨ ¢ ªã㬠¢® ¢¥è¥¬ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ B ¨¬¥¥â ¢¨¤13 : 2 (5.123) E + E = 8g21(2 ) B 2 ; 81 B 2 ln( B ) + ª®¥çë¥ ¢ª« ¤ë, £¤¥ ¡ë«® ®¯à¥¤¥«¥® ¢ëè¥ ¢ (5.113): ; 2nf = 33 12 (5.124) ®¯ãé¥ë¥ ç«¥ë ª®¥çë ¢ ¯à¥¤¥«¥ g ! 0 ¨ ! 1. ¤¥áì ¬ë ¢¢¥«¨ ®¡ëçë© ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï , â.¥. ®â¡à®á¨«¨ ¢ª« ¤ ¢á¥å ª®«¥¡ ¨© á ¢®«®¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨, ¯à¥¢ëè î騬¨ . நá宦¤¥¨¥ ®¡®§ 票ï g2 (2 ) ᪮஠áâ ¥â ïáë¬. ।áâ ¢¨¬ ᥡ¥, çâ® ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï ¢ (5.124) § ¬¥ï¥âáï ¬¥ì襥 § 票¥ 0 . ®£¤ ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® ¢á¥ ¬®¤ë ª®«¥¡ ¨© á ¢®«®¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ ¢ ¨â¥à¢ «¥ ¬¥¦¤ã 0 ¨ ¤ îâ ¢ª« ¤ ¢ ¨§¬¥¥¨¥ í¥à£¨¨ ¢ ªã㬠¢ª« ¤ ¢¨¤ : 2 1 B2; (E + E ) = ; 81 B 2 ln( 0 2 ) = ( 1 ; 1) 8g (5.125) 2 £¤¥ ¢® ¢â®à®¬ à ¢¥á⢥ ¢¢¥¤¥ ¢ª« ¤ ¢ ¬ £¨âãî ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ¢ ªã㬠®â 㪠§ ëå ¬®¤, çâ® ¨ ï¥âáï, ¯® áã⨠¤¥« , ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬. âáî¤ , ¯à¨ ¬ «ëå g, ¬ë ¨¬¥¥¬: 2 ; 1 = g2 ln( 02 ); (5.126) £¤¥  ¢ë¯¨á ¢ª« ¤ ¢ ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ®â ¬®¤ á í¥à£¨ï¬¨ (¨¬¯ã«ìá ¬¨), «¥¦ 騬¨ ¢ ¨â¥à¢ «¥ ¬¥¦¤ã 0 ¨ . § ¢ëà ¦¥¨ï (5.124) ïá®, çâ® §¤¥áì, ª ª ¨ ¢ ⥮ਨ ¬¥â ««®¢, ¨¬¥¥âáï ¤¢ ¢ª« ¤ { ¯¥à¢ë© á¢ï§ á ⥤¥æ¨¥© ᯨ®¢ëå ¬®¬¥â®¢ ®à¨¥â¨à®¢ âìáï ¯® ¯®«î (¯ à ¬ £¥â¨§¬), ¢â®à®© { á ®à¡¨â «ìë¬ ¤¢¨¦¥¨¥¬ § à殮ëå ç áâ¨æ (¤¨ ¬ £¥â¨§¬). «ï í«¥ªâà®®£® £ § ¯ à ¬ £¨âë© ®âª«¨ª ¢ âà¨ à § ᨫ쥥 ¤¨ ¬ £¨â®£® [35]. ¥§ã«ìâ â (5.126) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢ á¨âã æ¨ï «®£¨ç ¨ > 1, çâ®, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â¨íªà ¨à®¢ª¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® § àï¤ . ਠ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¯à ¢¨«ì®£® § ª ¤® ãç¨âë¢ âì, çâ® ç áâ¨æë ᮠᯨ®¬ 1 ¨¬¥îâ (£«î®ë) ⮫쪮 ¤¢¥ á⥯¥¨ ᢮¡®¤ë (¯®«ïਧ 樨), â ª¦¥ ¨ â®, çâ® ¢ª« ¤ ä¥à¬¨®®¢ (ª¢ મ¢) ¢ í¥à£¨î ¢ ªã㬠¨¬¥¥â ®âà¨æ ⥫ìë© § ª (« ¢ 3 ç á⨠I), çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª 㬥ìè¥¨î ¯ à ¬ £¨â®£® íä䥪â . ç áâ®áâ¨, ¢ , £¤¥ ¡¥«¥¢® í«¥ªâ஬ £¨â®¥ ¯®«¥ ¥ ®¡« ¤ ¥â á ¬®¤¥©á⢨¥¬, ¢¥áì à áᬠâਢ ¥¬ë© íä䥪⠮¡ãá«®¢«¥ ä¥à¬¨® ¬¨, ¬ë ¨ ¨¬¥¥¬ ®¡ëçãî íªà ¨à®¢ªã § àï¤ ¢ ªã㬮¬. ª®¢ë á«¥¤á⢨ï (5.123) ¤«ï ¡«î¤ ¥¬ëå ¢¥«¨ç¨? 㦮, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, ¨§¡ ¢¨âìáï ®â ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï . «ï í⮣® ®¯à¥¤¥«¨¬ íä䥪⨢ãî ª®áâ âã á¢ï§¨ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¯à ¢ ï ç áâì (5.123) ¥ § ¢¨á¥« ®â . «ï í⮣® 㦮, çâ®¡ë ¢ë¯®«ï«®áì ãá«®¢¨¥: 1 ; ln( 2 ) ; Const g2 ( (5.127) 2) B çâ® íª¢¨¢ «¥â® (5.115).
é¥ «ãçè¥ § ¯¨á âì íâ® ãá«®¢¨¥ ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®© ä®à¬¥: 1 d (5.128) d(ln2 ) ( g2 (2 ) ) = ; çâ® ¥áâì ⮦¥ á ¬®¥, çâ® ¨ ãà ¢¥¨¥ ¥««- { ®ã (5.114). âáî¤ ¢¨¤®, çâ® íä䥪⨢ ï ª®áâ â á¢ï§¨ 㬥ìè ¥âáï á à®á⮬ ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï , áâ६ïáì ª ã«î ª ª ®¡à â ï á⥯¥ì «®£ à¨ä¬ ¯à¨ ! 1, ¯®ª ¢ ⥮ਨ ¥ ᫨誮¬ ¬®£® ª¢ મ¢, â.¥. ¯®ª > 0. â® ¨ ¥áâì ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ᢮¡®¤ . ¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮬㠢뢮¤ã (5.123). à ¬ £¨âë© ¢ª« ¤ ¢ ®â ᯨ®¢ëå ¯à®¥ªæ¨© s ¥á«®¦® à ááç¨â âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ãáâì í«¥ªâà¨ç¥áª¨© 13 ¬¥â¨¬, çâ® ¢ 襩 á¨á⥬¥ ¥¤¨¨æ [B ] = [L;2 ] = [2 ], ªà®¬¥ ⮣® ¬ë ¢¥§¤¥ ¯®«ì§ã¥¬áï £ ãáᮢ®© á¨á⥬®© ¥¤¨¨æ í«¥ªâத¨ ¬¨ª¨.
141
§ àï¤ à ¢¥ 1, £¨à®¬ £¨â®¥ ®â®è¥¨¥ gm . ®áª®«ìªã á ¨â¥à¥áã¥â ¢ª« ¤ ¬®¤ á ®ç¥ì ¡®«ì訬¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨, â® ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï ¬®£® ¡®«ìè¥ ¬ áá ¢á¥å ç áâ¨æ, ª®â®àë¥ ¯®í⮬㠬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¡¥§¬ áá®¢ë¥ (¨£®à¨àãï ¢®§¨ª î騥 ¯à¨ í⮬ ¨äà ªà áë¥ à á室¨¬®áâ¨, ª®â®àë¥ ¬®¦® ãáâà ¨âì, ®¡à¥§ ï ¢á¥ ¢áâà¥ç î騥áï ¤ «¥¥ ¨â¥£à «ë ¯® ¨¬¯ã«ìá ¬ ¨¦¥¬ ¯à¥¤¥«¥ B ). ª«î票¥ ¬ £¨â®£® ¯®«ï ¯à¨¢®¤¨â ª ᤢ¨£ã í¥à£¨¨ ५ï⨢¨áâ᪮© ç áâ¨æë ¢¨¤ [1]: E 2 = k12 + k22 + k32 ! E 2 gm Bs. ®í⮬ã, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¨§¬¥¥¨¥ í¥à£¨¨ ã«¥¢ëå ª®«¥¡ ¨© ¥áâì: Z 3 p p p (5.129) E = (2dk)3 12 ( k2 + gm sB + k2 ; gm sB ; 2 k2 ) : ஢®¤ï §¤¥áì à §«®¦¥¨¥ ¤® ç«¥®¢ ª¢ ¤à â¨çëå ¯® B ¨ ¢ë¯®«ïï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® 㣫 ¬, 室¨¬: Z 2 dk2 2 2 2 1 E = ;B 2 (gm s)2 1 2 (5.130) 16 0 k2 = ;B (gm s) 162 ln B : â® ¤ ¥â ¯ à ¬ £¨âë© ¢ª« ¤ ¢ (5.123). ®ç®¥ § 票¥ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¢ª« ¤¥ ¢ (5.123) á¢ï§ ® á á £à㯯®¢ë¬¨ ª®áâ â ¬¨ SU (3) ¨ ¬ë ¥£® ¥ ¢ë¢®¤¨¬. ¨ ¬ £¨âë© ¢ª« ¤ ¢ ¢ëç¨á«ï¥âáï á«®¦¥¥. ®§ì¬¥¬ ¢¥ªâ®à - ¯®â¥æ¨ « ¬ £¨â®£® ¯®«ï ¢ ª «¨¡à®¢ª¥ ¤ ã: Ay = Bx. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ «¥© { ®à¤® , ®¯à¥¤¥«ïî饥 ®à¡¨â «ì®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ५ï⨢¨áâ᪮© ç áâ¨æë ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥, ¥áâì: 2 2 [E 2 + @ 2 + ( @ ; iBx)2 + @ 2 ] = 0 ; (5.131) @x @y @z ¥£® à¥è¥¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤: (5.132) = ei(k2 y+k3 z) n (x ; kB2 ) 1 2 2 á ᮡá⢥묨 § 票ﬨ En = k3 + B (n + 2p). ¤¥áì n ®¡ëç ï ¢®«®¢ ï äãªæ¨ï £ ମ¨ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à á 横«®âà®®© ç áâ®â®© B [29]. ஢¨ í¥à£¨¨ å à ªâ¥à¨§ãîâáï æ¥«ë¬ ç¨á«®¬ n ¨ ¨¬¯ã«ìᮬ k3 , ® ¢ë஦¤¥ë ¯® k2 , ª ª ¢ ®¡ë箩 § ¤ ç¥ ®¡ ã஢ïå ¤ ã ¢ ¬ £¨â®¬ ¯®«¥ [29].
᫨ à áᬮâà¥âì á®áâ®ï¨ï ¢ ªã¡¥ á® áâ®à®®© L, â® ª®®à¤¨ â æ¥âà ®á樫«ïâ®à k2 =B ¤®«¦ 㤮¢«¥â¢®àïâì ¥à ¢¥áâ¢ã 0 k2 =B L, çâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ ¨â¥à¢ «¥ k3 ¨¬¥¥âáï k2 k3 =(2)2 = 4B2 k3 á®áâ®ï¨© ¤«ï 䨪á¨à®¢ ®£® § 票ï n (¤«ï ¥¤¨¨ç®£® ®¡ê¥¬ L3 = 1). ®£¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢ª« ¤ ¢ í¥à£¨î ã«¥¢ëå ª®«¥¡ ¨© ¥áâì: r [ B2 ; 21 ] Z 1 [ B2 ; 21 ] X X 1 1 B 1 E0 = (2)2 dk3 (2 ; k32 ; B (n + 2 )) 2 k32 + B (n + 2 ) f (n + 12 ): (5.133) n=0 ;1 n=0 â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤®¢®«ì® £à®¬®§¤ª®¥ ¢¢¨¤ã «¨ç¨ï áã¬¬ë ¯® n. «ï è¨å 楫¥© ¤®áâ â®ç® ãç¥áâì ¯¥à¢ë© ¥âਢ¨ «ìë© ¢ª« ¤ ¢ ä®à¬ã«¥ á㬬¨à®¢ ¨ï ©«¥à { ª«®à¥ : Z p+1 p X 1 (g0 (p + 1) ; g0 (0)) + ::: dng(n) ; 24 (5.134) g(n + 21 ) = 0 n=0
¯®áª®«ìªã á«¥¤ãî騥 ¥¥ ç«¥ë ¯à¨¢®¤ïâ ª ¢ª« ¤ ¬ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¯® B=2 . ਬ¥ïï (5.134) ª (5.133), ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® ¨â¥£à «ìë© ç«¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â B , áãé¥áâ¢¥ë© ¢ª« ¤ ¢®§¨ª ¥â ®â ¯à®¨§¢®¤®© ¢ ã«¥: Z 1 f 0 (0) = 1 B 2 dk p B B2 1 2 (5.135) 24 24 42 pB 3 2 k32 = 2 962 ln B : â® ¤ ¥â ¤¨ ¬ £¨âãî ç áâì (5.123), ª®â®à ï ®ª §ë¢ ¥âáï ¬¥ìè¥ ¯ à ¬ £¨â®£® ¢ª« ¤ (5.130), ¤«ï «î¡ëå à §ã¬ëå § 票© gm ¨ s.
ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, ®âªàë⨥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ᢮¡®¤ë ¢ ¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®çëå ⥮à¨ï áë£à «® ॢ®«î樮ãî à®«ì ¢ ᮢ६¥®© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¨ ¯à¥¢à ⨫® ¢ \à¥á¯¥ªâ ¡¥«ìãî" ⥮à¨î, «¥¦ éãî ¢ ®á®¢¥ \áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨". ¯®á«¥¤¨¥ ç¥â¢¥àâì ¢¥ª ⥮à¨ï ¯à®è« ¢á¥áâ®à®îî ¯à®¢¥àªã ¨, ¢ ®¡« á⨠¥¥ ¯à¨¬¥¨¬®áâ¨, ¢á¥£¤ ¯®¤â¢¥à¦¤ « áì íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨. ë ¥ ¡ã¤¥¬ §¤¥áì ®¡á㦤 âì ¢á¥ í⨠ãᯥå¨, ®£à ¨ç¨¢è¨áì ¥ª®â®à묨
142
¤®¯®«¨â¥«ì묨 áá뫪 ¬¨. ®£¨¥ ᯥªâë ¯®¤à®¡® ®¯¨á ë ¢ 㦥 ¥ à § æ¨â¨à®¢ ¢è¥©áï ª¨£¥ [11]. ®¢®«ì® ¤¥â «ì®¥ ¨§«®¦¥¨¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¯¯ à â ¢ á⨫¥, ¡«¨§ª®¬ ª 訬 «¥ªæ¨ï¬, ¬®¦® ©â¨ ¢ [45]. § ¥à¥è¥ëå ¤® ª®æ ¯à®¡«¥¬ ®â¬¥â¨¬ ¯à®¡«¥¬ã ®¯¨á ¨ï ª®ä ©¬¥â , çâ® â¥á® á¢ï§ ® á ¥®¡å®¤¨¬®áâìî ®¯¨á ¨ï ¥¯¥àâãࡠ⨢ëå íä䥪⮢ ¢ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ï (¬ «ëå ¨¬¯ã«ìá å, ¢ ®¡« áâ¨). ë ªà ⪮ ®¡á㤨¬ íâ®â ¢®¯à®á ¢ á«¥¤ãî饩 « ¢¥. á ¬®¥ ¯®á«¥¤¥¥ ¢à¥¬ï ¬®é®¥ à §¢¨â¨¥ ¯®«ã稫® ¨§ã票¥ ª¢ ઠ- £«î®®£® ¢¥é¥á⢠¢ íªáâ६ «ìëå ãá«®¢¨ïå ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà ¨ ¯«®â®á⥩, çâ® ¢¥áì¬ áãé¥á⢥® ¤«ï § ¤ ç áâà®ä¨§¨ª¨ ¨ ª®á¬®«®£¨¨, â ª¦¥ ª ª ¨ ¤«ï íªá¯¥à¨¬¥â®¢ ¯® á⮫ª®¢¥¨î â殮«ëå 拉à 㦥 à ¡®â îé¨å ¨«¨ áâà®ïé¨åáï ã᪮à¨â¥«ïå. ¤¥áì ¯à®ï¢«ï¥âáï æ¥«ë© àï¤ § ¬¥ç ⥫ìëå «®£¨© á 䨧¨ª®© ª®¤¥á¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï, ¢ ç áâ®áâ¨, ¡®«ì让 ¨â¥à¥á ¢ë§ë¢ ¥â ⥮à¥â¨ç¥áª®¥ ¨§ã票¥ â ª §ë¢ ¥¬®© 梥⮢®© ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâ¨, ¢®§¨ª î饩 ¢ ª¢ ઠ{ £«î®®¬ ¢¥é¥á⢥ ¢ë᮪®© ¯«®â®á⨠§ áç¥â ªã¯¥à®¢áª®£® ᯠਢ ¨ï ª¢ મ¢, ¢ë§¢ ®£® ¯à¨â殮¨¥¬ § áç¥â ®¡¬¥ £«î® ¬¨. ®áâ â®ç® ¤¥â «ì®¥ ¨ ïá® ¯¨á ®¥ ¨§«®¦¥¨¥ íâ¨å ¯à®¡«¥¬ ¬®¦® ©â¨ ¢ [46, 47]. â¥à¥áãî騥áï í«¥¬¥â àë¬ ®¡§®à®¬ ãᯥ客 ᮢ६¥®© ¬®£ãâ ®£à ¨ç¨âìáï ç⥨¥¬ ¯®¯ã«ïண® ¬¨¨ - ®¡§®à 14.
\¥£ã騥" ª®áâ âë á¢ï§¨ ¨ \¢¥«¨ª®¥ ®¡ê¥¤¨¥¨¥." áᬠâਢ ¢è ïáï ¬¨ ¢ « ¢¥ 4 SU(2) U(1) ᨬ¬¥âà¨ç ï ®¡ê¥¤¨¥ ï ⥮à¨ï í«¥ªâà®á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï 室¨âáï, ª ª ¨ SU(3) ¨¢ ਠâ ï ¢® ¢¯¥ç â«ïî饬 ᮣ« ᨨ á íªá¯¥à¨¬¥â®¬. ® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® - «¨ ® ®¡ê¥¤¨ï¥â í«¥ªâ஬ £¨â®¥ ¨ á« ¡®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï? ªâ¨ç¥áª¨, SU(2) U(1) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¤¢ãå ¥á¢ï§ ëå ¬®¦¥á⢠ª «¨¡à®¢®çëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©: £à㯯ë SU(2) á« ¡®£® ¨§®á¯¨ á ª®áâ ⮩ á¢ï§¨ g ¨ £à㯯ë U(1) á« ¡®£® £¨¯¥à§ àï¤ á ª®áâ ⮩ á¢ï§¨ f. â®è¥¨¥ íâ¨å ª®áâ â á¢ï§¨, ¢¢¥¤¥®¥ ¢ (4.83) ª ª: tg = fg (5.136)
ä ªâ¨ç¥áª¨ ¤®«¦® ®¯à¥¤¥«ïâìáï ¨§ íªá¯¥à¨¬¥â .
᫨, ®¤ ª®, £à㯯ë SU(2) ¨ U(1) à áᬮâà¥âì ¢ ª ç¥á⢥ ¯®¤£à㯯 ¥ª®â®à®© ¡®«¥¥ è¨à®ª®© ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯ë G SU(2) U(1); (5.137) â® ª®áâ âë g ¨ f ¬®£ãâ ¡ëâì á¢ï§ ë ¬¥¦¤ã ᮡ®© £à㯯®¢ë¬¨ á®®â®è¥¨ï¬¨, ª®â®àë¥ ¨ ®¯à¥¤¥«ïâ 㣮« ©¡¥à£ . ਠí⮬, ç áâì ®¢ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© £à㯯ë G á¢ï§ë¢ ¥â à ¥¥ ¥á¢ï§ ë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠£à㯯 SU(2) ¨ U(1).
áâ¥á⢥® ¯®¯ëâ âìáï ®¡ê¥¤¨¨âì í«¥ªâà®á« ¡ãî ᨬ¬¥âà¨î SU(2) ¨ U(1) á 梥⮢®© 14 F.Wilczek. QCD
Made Simple. Phys.Today 53, No.8, 22 (2000)
143
ª «¨¡à®¢®ç®© SU(3) ᨬ¬¥âਥ© : G SU(3) SU(2) U(1)
(5.138)
®£¤ ª «¨¡à®¢®çë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï £à㯯ë G ¡ã¤ãâ á¢ï§ë¢ âì í«¥ªâà®á« ¡ë¥ ª®áâ âë g ¨ f á à áᬠâਢ ¢è¥©áï ¢ëè¥ ª®áâ ⮩ á¢ï§¨ . १ã«ìâ ⥠¢á¥ ¨§¢¥áâë¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¡ã¤ãâ ®¯¨áë¢ âìáï ¥¤¨®© ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯®© á ¥¤¨®© ª®áâ ⮩ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï gG , ¢á¥ ¡«î¤ ¥¬ë¥ ª®áâ âë ¨§¢¥áâëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© ¡ã¤ãâ ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ïâìáï áâàãªâãன £à㯯ë G. ®¤®¡ë¥ ¬®¤¥«¨ §ë¢ îâáï ⥮à¨ï¬¨ \¢¥«¨ª®£® ®¡ê¥¤¨¥¨ï" (GUT). ª¨å ¬®¤¥«¥© ¯à¥¤«®¦¥® ¥ª®â®à®¥ ª®«¨ç¥á⢮, ¨¦¥ ¬ë ªà ⪮ ®¡á㤨¬ ¨å ®á®¡¥®áâ¨. ᮢ ¨¥ ¤«ï â ª®£® ®¯¨á ¨ï ¬®¦® ãᬮâà¥âì ¨ ¨áå®¤ï ¨§ ॠ«ì®£® ¯®¢¥¤¥¨ï \¡¥£ãé¨å" ª®áâ â á¢ï§¨ ¤«ï ¨§¢¥áâëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©. 㤥¬ ®¡®§ ç âì ¨å g1 (Q),g2(Q) ¨ g3 (Q) ᮮ⢥âá⢥® ª «¨¡à®¢®çë¬ £à㯯 ¬ U(1),SU(2) ¨ SU(3). ® ¨§¡¥¦ ¨¨ ¯ãâ ¨æë, ¢¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 áâ ¤ àâë¥ ®¡®§ 票ï, á¢ï§ë¢ î騥 gi (i = 1; 2; 3) á ®¡®§ 票ﬨ ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¨¬¨áï ¬¨ ¢ëè¥: SU(3) : SU(2) : U(1) :
g2 (Q) = 4g32 (Q) g(Q) = g2(Q) f(Q) = C1 g1(Q)
(5.139)
¤¥áì ¢¢¥¤¥ (¥ ®ç¥ì áãé¥áâ¢¥ë© ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£®) ª®íää¨æ¨¥â C, ª®â®àë© ®¡ëç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥ª®â®à묨 £à㯯®¢ë¬¨ ª®áâ â ¬¨ £à㯯ë G. ç áâ®áâ¨, ⮣¤ ¨ 㣮« ¨§ (5.136) áâ ®¢¨âáï äãªæ¨¥© Q: tg (Q) = C1 gg1(Q) (Q)
(5.140)
2
2
¨á.5-18 ¯®ª § ® ¯®¢¥¤¥¨¥ \¡¥£ãé¨å" ª®áâ â áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨ i = 4gi ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â log10(=GeV ), ¯®«ã祮¥ ¨áå®¤ï ¨å íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ ëå ¨ ®¤®¯¥â«¥¢ëå ä®à¬ã«, à áᬠâਢ ¢è¨åáï ¢ëè¥ ¯à¨¬¥à¥ ¨ . ¨¤¨¬, çâ® ª®áâ â g3 ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ ¨¬¯ã«ìá ( ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ᢮¡®¤ ), ⮣¤ ª ª ª®áâ âë ⥮ਨ í«¥ªâà®á« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï g1 ¨ g2 ¢®§à áâ îâ. ਠí⮬ ïá® ¢¨¤ ⥤¥æ¨ï ª á¡«¨¦¥¨î ¢¥«¨ç¨ íä䥪⨢ëå ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ ®¡« á⨠Q 1015GeV . ®¦® ®¦¨¤ âì, çâ® ¢ ¨á⨮© ⥮ਨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ ¯à¨ ¥ª®â®à®¬ ¡®«ì讬 § 票¨ Q MX ( ¬ «ëå à ááâ®ï¨ïå!) ¢á¥ âਠª®áâ âë ᫨¢ îâáï ¢ ®¤ã ª®áâ âã ⥮ਨ \¢¥«¨ª®£®" ®¡ê¥¤¨¥¨ï15: gi(Q) = gG (Q)
¯à¨
Q MX
(5.141)
ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ª «¨¡à®¢®ç®© £à㯯¥ G. ਠQ < MX ª®áâ âë gi(Q) à §¤¥«ïîâáï ¨, ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢, ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ 䥮¬¥®«®£¨ç¥áª¨¥ ª®áâ âë gi , ®¯¨áë¢ î騥 ¡«î¤ ¥¬ë¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ë¥è¥¬ ã஢¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¢®§¬®¦®á⥩ ¯à¨ Q 10 GeV . ®¤®¡®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯®«ãç ¥âáï ¢ ¥ª®â®àëå ¬®¤¥«ïå, ®¡®¡é îé¨å áâ ¤ àâãî ¬®¤¥«ì á ãç¥â®¬ á㯥àᨬ¬¥âਨ (ᨬ¬¥âਨ, ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ª®â®à®© ¯¥à¥¢®¤ïâ ä¥à¬¨®ë ¢ ¡®§®ë ¨ ®¡®à®â). ਬ¥à ¯®¢¥¤¥¨ï \¡¥£ãé¨å" ª®áâ â
144
¨á. 5-18
¨á. 5-19
145
á¢ï§¨, ¯®«ãç î饣®áï ¢ ¯®¤®¡ëå ¬®¤¥«ïå, ¯®ª § ¨á.5-19. ®§¬®¦®áâì ¯®«ãç¨âì â ª®¥ ¯®¢¥¤¥¨ï íä䥪⨢ëå ª®áâ â á¢ï§¨ áç¨â ¥âáï ᨫìë¬ à£ã¬¥â®¬ ¢ ¯®«ì§ã ⥮਩ á á㯥àᨬ¬¥âਥ©. ¬¥â¨¬, ®¤ ª®, çâ® á㯥àᨬ¬¥âà¨ï ¢ à¨à®¤¥ § ¢¥¤®¬® á¨«ì® àãè¥ ¨ ¯®ª ¥â íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ᢨ¤¥â¥«ìá⢠¢ ¯®«ì§ã ¥¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï. ç áâ®áâ¨, ¯®ª ¥¨§¢¥áâ® áãé¥áâ¢ãîâ - «¨ ç áâ¨æë { á㯥௠àâ¥àë ¨§¢¥áâëå ç áâ¨æ. ।¯®« £ ï áãé¥á⢮¢ ¨¥ £à㯯ë \¢¥«¨ª®£® ®¡ê¥¤¨¥¨ï" G ¨ ¨á¯®«ì§ãï 䥮¬¥®«®£¨ç¥áª¨¥ § ç¥¨ï ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¯à¨ Q mW ¬®¦® ®æ¥¨âì ¬ ááã MX ¡®«¥¥ ªªãà â®. «ï ª®áâ âë g3, ¨á¯®«ì§ãï (5.113) { (5.117), ¬®¦¥¬ ¯¨á âì: 1 1 Q (5.142) g32 () = g32 (Q) + 2b3 ln £¤¥ ¢¢¥«¨ 2 1 (5.143) b3 = (4)2 3 nf ; 11 ; ®â«¨ç îéãîáï ®â ¨á¯®«ì§®¢ ®© ¢ëè¥ ¢¥«¨ç¨ë § ª®¬ ¨ ¯®áâ®ïë¬ ¬®¦¨â¥«¥¬. ਠQ = MX ¨¬¥¥¬ g3 = gG , â ª çâ® ¨§ (5.142) ¯®«ãç ¥¬: 1 = 1 + 2b ln MX £¤¥ i = 3 (5.144) i 2 gi () gG2 â® ¦¥ á®®â®è¥¨¥ ¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì ¨ ª ª®áâ â ¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï g1, g2 £à㯯 SU(2) ¨ U(1), ¯à¨ç¥¬: 4 1 b1 = (4)2 3 ng 22 1 (5.145) b2 = (4)2 ; 3 + b1 1 (;11) + b b3 = (4) (5.146) 1 2 £¤¥ ng { ç¨á«® ⨯®¢ ä¥à¬¨®®¢ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ £à㯯ë SU(N) ¨¬¥¥¬: 11 4 1 bN = (4)2 ; 4 N + 3 ng (5.147) £¤¥ ¯¥à¢ë© ç«¥ á¢ï§ á ¢ª« ¤®¬ ¯¥â«¨ ª «¨¡à®¢®çëå ¡®§®®¢, ¢â®à®© á ¯¥â«ï¬¨ ä¥à¬¨®®¢. ᪫îç ï ng ¨ gG ¨§ âà¥å ãà ¢¥¨© ⨯ (5.146) ¨ ¨á¯®«ì§ãï (5.147), á®áâ ¢¨¬ á«¥¤ãîéãî «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î: C 2 + 1 ; 1 ; C 2 = 2[C 2b ; b ; (1 + C 2)b ] ln MX (5.148) 1 2 3 g12 g22 g32 £¤¥ gi2 = gi2 (). ¥¢ ï áâ®à® âãâ ¯®¤®¡à â ª, çâ®¡ë ¥¥ ¬®¦® ¡ë«® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ e2 ¨ g32 . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨¬¥¥¬: C2 + 1 = 1 + 1 = 1 (5.149) g12 g22 f 2 g2 e2
15 í⮩ ®¡« á⨠㣮« ©¡¥à£ , ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ ¢ (5.140), ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £à㯯®¢ë¬ ª®íää¨æ¨¥â®¬ C .
146
£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (5.140) ¨ ¨§¢¥áâë¥ ä®à¬ã«ë í«¥ªâà®á« ¡®© ⥮ਨ e = g sin = f cos . ®¤áâ ¢«ïï ª®íää¨æ¨¥âë bi ¨§ (5.146) ¢ (5.148), ¯®«ã稬: 1 1 + C2 2 ln MX = 22(13(4) (5.150) + 3C 2) e2 ; g32 ਠ10 GeV ¨¬¥¥¬ e2 10;2 ¨ g32 0:1. ®« £ ï16 C 2 = 5=3 ¯®«ãç ¥¬ MX 5 1014 GeV (5.151) ⠮楪 , ª ª ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, ¥ ®ç¥ì çã¢áâ¢¨â¥«ì ª ¢ë¡®àã ¨ ª â®ç®¬ã § 票î C. áá MX ®ç¥ì ¢¥«¨ª , ® ¥ á⮫쪮, çâ®¡ë ¤® ¡ë«® ãç¨âë¢ âì £à ¢¨â æ¨î17. ¨¨¬ «ì ï £à㯯 , 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î G SU(3) SU(2) U(1) (5.152) { íâ® £à㯯 SU(5). ¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ®á®¢ ¯à®á⥩è ï ¬®¤¥«ì GUT (¦®à¤¦¨ { «íè®ã). ª¨¥ ª «¨¡à®¢®çë¥ ¡®§®ë ¢®§¨ª îâ ¢ í⮩ ⥮ਨ? ®¡é¥¬ á«ãç ¥ SU(N)-ᨬ¬¥âà¨ç®© ª «¨¡à®¢®ç®© ⥮ਨ ¨¬¥¥âáï N 2 ; 1 ª «¨¡à®¢®çëå ¡®§®®¢. ®®â¢¥âá⢥®, ¤«ï SU(5) ¨¬¥¥¬: 24 = (8; 1)«î®ë + [(1; 3) + (1; 1)]W;Z; + [(3; 2) + (3; 2)]X;Y (5.153) ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢ ⥮ਨ ¢®§¨ª îâ ᢥàåâ殮«ë¥ ¡®§®ë X ¨ Y . ¨ ®¡« ¤ îâ 梥⮬ ¨ ïîâáï ¯®á।¨ª ¬¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©, ¯¥à¥¢®¤ïé¨å ª¢ ન ¢ «¥¯â®ë: (u; d)L ! e+L + (Y ; X) (5.154) çâ®, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯à¨¢®¤¨â ª ¥¨§¡¥¦®á⨠à ᯠ¤ ¯à®â® 18. ਠQ MX;Y ᨫ쮥 梥⮢®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ᬥ訢 ¥âáï á í«¥ªâà®á« ¡ë¬ ¨ ç¥âª®¥ à §¤¥«¥¨¥ ç áâ¨æ 梥âë¥ ª¢ ન ¨ ¡¥á梥âë¥ «¥¯â®ë ¯à®¯ ¤ ¥â. ¥à¬¨®ë ¢ SU(5) ¬®¤¥«¨ à §¬¥é îâáï ¯® ä㤠¬¥â «ìë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬ 5 ¨ 10. ¬ ¢¨¤¥, ¤«ï «¥¢ëå á®áâ®ï¨© ¨¬¥¥¬: 5 = (1; 2) + (3; 1) = (e ; e; )L + dL 10 = (1; 1) + (3; 1) + (3; 2) = e+L + u+L + (u; d)L (5.155) ¥®à¥â¨ç¥áª¨¥ ®æ¥ª¨ ¢à¥¬¥¨ ¦¨§¨ ¯à®â® ¤ îâ: 4 X (5.156) p M m5p 16 â® á«¥¤ã¥â ¨§ (5.140) ¨ sin2 0:2. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨§ (5.140) ¨¬¥¥¬: sin2 =
g12 (Q) g12 (Q)+C 2 g22 (Q) .
᫨ ¢§ïâì C 2 = 5=3, â® ¯à¨ Q = MX , â.¥. ¯à¨ g1 = g2 , ¯®«ã稬 sin2 = 3=8. ® ¯à¨ Q ¢¥«¨ç¨ sin2 㦥 ¤àã£ ï ¨§-§ g1 6= g2 :. 17 ç¥â £à ¢¨â 樨 áâ ®¢¨âáï ¢ ¦ë¬ ¯à¨ GM 2 j ~ Mc2 , çâ® ¤ ¥â ¯« ª®¢áªãî ¬ ááã r r= Mc
1=2
MP c2 ~Gc5 1:2 1019 GeV . 18 ᯠ¤ ¯à®â® ¥ áâ®«ì ¥®¦¨¤ , ª ª ¬®¦¥â ¯®ª § âìáï. ®åà ¥¨¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® § àï¤ á¢ï§ ® á áãé¥á⢮¢ ¨¥¬ ¡¥§¬ áᮢ®£® ä®â® , ®, ¢¥¤ì, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥§¬ áᮢëå ç áâ¨æ, ®â¢¥âá⢥ëå § á®åà ¥¨¥ ¡ ਮ®£® § àï¤ (á¬. « ¢ã 2 ç á⨠I).
147
¨¤®, çâ® ¥£® ç¨á«¥®¥ § 票¥ ®ç¥ì çã¢áâ¢¨â¥«ì® ª â®ç®¬ã § 票î MX . ® «¥¦¨â ¢ ¨â¥à¢ «¥ 1030 ; 1032 «¥â! ®¢à¥¬¥ ï íªá¯¥à¨¬¥â «ì ï £à ¨æ : p > 1032 «¥â. â®, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ¯®§¢®«ï¥â ®â¡à®á¨âì ¯à®á⥩èãî SU(5) ¬®¤¥«ì \¢¥«¨ª®£® ®¡ê¥¤¨¥¨ï". ¤ ª® áãé¥áâ¢ãîâ ¡®«¥¥ á«®¦ë¥ ¬®¤¥«¨ GUT, ¢ ª®â®àëå ¢à¥¬ï ¦¨§¨ ¯à®â® áãé¥á⢥® ¡®«ìè¥. ᮦ «¥¨î, ¢ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ¥ ¢¨¤® íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¢®§¬®¦®á⥩ ¯®¨áª à ᯠ¤®¢ ¯à®â® á® ¢à¥¬¥¥¬ ¦¨§¨, áãé¥á⢥® ¯à¥¢ëè î騬 1032 «¥â. í⮬ á¬ëá«¥, â ª¦¥ ¢¢¨¤ã ®£à®¬®£® ¬ áèâ ¡ ¬ ááë MX , ¢á¥ GUT ¬®¤¥«¨, ¤® ¥ª®â®à®© á⥯¥¨, ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© \¨£àã" ⥮à¥â¨ª®¢. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ç¨á⮠⥮à¥â¨ç¥áª¨¥ á®®¡à ¦¥¨ï § áâ ¢«ïîâ ¢¥á⨠ªâ¨¢ë¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¢ í⮬ ¯à ¢«¥¨¨ [48].
148
« ¢ 6
¥®à¨ï ¯®«ï à¥è¥âª¥. ᥠ¯à¥¤ë¤ã饥 à áᬮâ२¥ ⥮ਨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯®«¥© ¡ë«® ®á®¢ ® ⮬ ¨«¨ ¨®¬ ¢ ਠ⥠⥮ਨ ¢®§¬ã饨©. ® áã⨠¤¥« , íâ® ¥¤¨áâ¢¥ë© ã¨¢¥àá «ìë© ¬¥â®¤ «¨§ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç. ⮦¥ ¢à¥¬ï ïá®, çâ® ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï áãé¥áâ¢ã¥â æ¥«ë© àï¤ ¯à®¡«¥¬, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮥 à¥è¥¨¥ ª®â®àëå ¥¢®§¬®¦® ¡¥§ à §¢¨â¨ï ¬¥â®¤®¢, ¥ ¨á¯®«ì§ãîé¨å ⥮à¨î ¢®§¬ã饨©. ç áâ®áâ¨, â ª¨¥ § ¤ ç¨ ¢®§¨ª î⠯ਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï, £¤¥ ¢ë室 § à ¬ª¨ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ¥®¡å®¤¨¬ ¯à¨ ¯®¯ëâª å ¢®ááâ ®¢«¥¨ï ¢¨¤ äãªæ¨¨ ¥«« - { ®ã. § 䨧¨ç¥áª¨å ¯à®¡«¥¬ §¤¥áì ®á®¢®© ï¥âáï, ª®¥ç®, ¯à®¡«¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮣® ®¯¨á ¨ï ¥¨ï ª®ä ©¬¥â ª¢ મ¢. ®áâ â®ç® ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¨ª ª®£® 㨢¥àá «ì®£® ¬¥â®¤ ¢ë室 § à ¬ª¨ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ¯à®áâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ¬¥á⥠á ⥬, ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï à §¢¨â àï¤ ¯®¤å®¤®¢, ª®â®àë¥ ¯®§¢®«ïî⠯஠«¨§¨à®¢ âì ¥ª®â®àë¥ ¥¯¥àâãà¡ â¨¢ë¥ íä䥪âë. á¢ï§¨ á í⨬ ¢ ⥮ਨ ¢®§¨ª àï¤ ¢ ¦ëå ª®æ¥¯æ¨©, § 票¥ ª®â®àëå ¢ë室¨â § à ¬ª¨ ᮡá⢥® ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. í⮩ « ¢¥ ¬ë ®áâ ®¢¨¬áï à拉 â ª¨å § ¤ ç, ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã ¯à®¨««îáâà¨à®¢ âì, £« ¢ë¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥® íâã ª®æ¥¯âã «ìãî áâ®à®ã ¤¥« . ç¥ì ¢ ¦®¥ ¯à ¢«¥¨¥ ᮢ६¥®© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ á¢ï§ ® á à áᬮâ२¥¬ ª «¨¡à®¢®çëå ¯®«¥© à¥è¥âª¥. ® ¡ë«® ¯à¥¤«®¦¥® ¢ ç «¥ 70-å 149
150
£®¤®¢ ¨«ìá®®¬ ¨, ¯® áã⨠¤¥« , ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¬¥â®¤®¬, ¯®§¢®«ïî騬 ¤®áâ â®ç® ¯®«® à¥è¨âì ¯à®¡«¥¬ã ª®ä ©¬¥â . í⮬ ¯®¤å®¤¥ ¢¬¥áâ® ®¡ë箣® ¯à®áâà á⢥® { ¢à¥¬¥®£® ª®â¨ã㬠¢¢®¤¨âáï ¤¨áªà¥â®¥ ¯à®áâà á⢮ - ¢à¥¬ï1. ਠí⮬ ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ®â¯ ¤ ¥â ¯à®¡«¥¬ ¯®«¥¢ëå à á室¨¬®á⥩, ¯®áª®«ìªã ¢®§¨ª ¥â ¥áâ¥á⢥®¥ ¨å ®¡à¥§ ¨¥ { ¤«¨ ¢®« ¢ à¥è¥âª¥ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¬¥ìè¥ ã¤¢®¥®© ¯®áâ®ï®© à¥è¥âª¨ a, ᮮ⢥âá⢥® ®¡« áâì ¨§¬¥¥¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ®£à ¨ç¥ ¢¥«¨ç¨®© a (å®à®è® ¨§¢¥áâ ï ¨§ ⥮ਨ ⢥म£® ⥫ §® ਫ«îí ). â ª®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ª¢ ⮢ ï ⥮à¨ï ¯®«ï ¢® ¬®£®¬ «®£¨ç áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¥ à¥è¥â®çëå á¨á⥬, £¤¥ áãé¥áâ¢ãîâ å®à®è® à §à ¡®â ë¥ ¬¥â®¤ë, ¯®§¢®«ïî騥, ¨®£¤ , à¥è âì § ¤ ç¨ ¨ ¥ ¯® ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©. ç áâ®áâ¨, ¢ à¥è¥â®çëå ¬®¤¥«ïå ¬®¦® íä䥪⨢® ¨á¯®«ì§®¢ âì ç¨á«¥ë¥ à áç¥âë ¬¥â®¤®¬ ®â¥ - à«®. 襬 ¨§«®¦¥¨¨ ¬ë, ¢ ®á®¢®¬, á«¥¤ã¥¬ ª¨£¥ [11], ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡®¥ à áᬮâ२¥ à¥è¥â®çëå ¬®¤¥«¥© ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¬®¦® ©â¨ ¢ [49] ¨ ¢ å®à®è¥¬ ®¡§®à¥ [50]. ¨¦¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ⮫쪮 ¥¢ª«¨¤®¢ã ä®à¬ã«¨à®¢ªã ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï à¥è¥âª¥, å®âï áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ¬¥â®¤ë «¨§ ¬®¤¥«¥© á ï¢ë¬ ¢ë¤¥«¥¨¥¬ ¢à¥¬¥ëå § ¢¨á¨¬®á⥩. 㤥¬ à áᬠâਢ âì ⮫쪮 ¯à®áâãî ªã¡¨ç¥áªãî à¥è¥âªã á ¯®áâ®ï®© a ç¥âëà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. §«ë à¥è¥âª¨ ¡ã¤¥¬ ¯ à ¬¥âਧ®¢ âì 4-¢¥ªâ®à®¬ n. ®£¤ ç¥âëà¥å¬¥à®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ § ¬¥ï¥âáï á㬬¨à®¢ ¨¥¬: Z X d4 x::: ! a4 ::: (6.1) n
ª «ïàë¥ ¯®«ï.
áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 á«ãç © ᪠«ïண® ¯®«ï (x). ¥©á⢨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ⥮ਨ ¢ ¥¯à¥à뢮¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨¬¥¥â ¢¨¤: Z 1 4 2 S( ) = d x 2 (@ ) + V ( ) (6.2) £¤¥ (6.3) V ( ) = 21 m2 2 + 4 4 ª «ï஥ ¯®«¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¢ ª ¦¤®¬ 㧫¥ à¥è¥âª¨ n: (x) = n (6.4) ந§¢®¤ ï ¯®«ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à¥è¥âª¥ ª ª: @ (x) ! a1 ( n+^ ; n) (6.5) £¤¥ ^ { 4-¢¥ªâ®à ¤«¨ë a ¢ ¯à ¢«¥¨¨ . «ï ¤¥©á⢨ï à¥è¥âª¥ ᮮ⢥âá⢥® ¨¬¥¥¬: m2 ) 4 X ( a2 X 2 4 2 4 S( ) = (6.6) 2 =1( n+^ ; n) + a 2 n + 4 n n 1 ª ¥ à § 㪠§ë¢ «®áì ¢ëè¥, ¢¢¥¤¥¨¥ à¥è¥âª¨ àãè ¥â ५ï⨢¨áâáªãî ¨¢ ਠâ®áâì ⥮ਨ, ® ¤«ï § ¤ ç, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ §¤¥áì ®¡á㦤 âìáï, íâ® ¥ â ª 㦠¨ ¢ ¦® { ®á®¢®© ¨â¥à¥á ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â, ¯à¨¬¥à, ¯®¢¥¤¥¨¥ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå, ª®£¤ ® à¥è¥âª¥ ¬®¦® ¯à®áâ® \§ ¡ëâì".
151
¨á. 6-1
®«¥§® ¯¥à¥©â¨ ¢ ¨¬¯ã«ìᮥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ᯥªâà ¢®§¡ã¦¤¥¨© ᢮¡®¤®© ⥮ਨ ( = 0). ®á¯®«ì§ã¥¬áï à §«®¦¥¨¥¬ ãàì¥: Z d4k (6.7) n = (2)4 eikn (k) ®áª®«ìªã à áᬠâਢ âì ¤«¨ë ¢®« ¬¥ìè¥ ã¤¢®¥®© ¯®áâ®ï®© à¥è¥âª¨ a ¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« , ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢ (6.7) ¯à®¢®¤¨âáï ¯® §®¥ ਫ«îí ®¡à ⮩ à¥è¥âª¨, â.¥. ; a k a ¤«ï ª ¦¤®£® = 1; :::; 4 (6.8) ¤¥áì k k ^. ®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ (6.7) ¢ (6.6) ç«¥ë, ¯®«ãç î騥áï ¨§ \ª¨¥â¨ç¥áª®©" í¥à£¨¨, § ¯¨èãâáï ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: X Z d4k Z d4k0 i(k+k0)n iak iak0 ; 1) = a4 e (e ; 1)(e 4 4 (2) (2) Z nd4k Z d4k ak iak ; iak = (2)4 (e ; 1)(e ; 1) = 4 (2)4 sin2 2 (6.9) â ª çâ® ¤¥©á⢨¥ ᢮¡®¤®© ⥮ਨ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤: ) Z d4k (X 4 ak 1 2 2 (6.10) S0 ( ) = 2 (2)4 2 sin 2 + m (;k) (k) a ª¨¬ ®¡à §®¬ ª ¦¤ ï ¬®¤ ¤ ¥â ¢ ¤¥©á⢨¥ ¢ª« ¤ ¢¨¤ : X 4 2 ak 2 S(k) = m + a2 sin 2 (6.11) ¢¬¥áâ® áâ ¤ à⮣® m2 + k2 . ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ®¡ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨ï ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ¥¯à¥àë¢ë© ¯à¥¤¥«, ¯®áª®«ìªã ®¨ ᮢ¯ ¤ î⠯ਠ¬ «ëå k, ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ¢á¥ ¡« £®¯®«ãç®. ®«ãç¥ë© ᯥªâà ¯®ª § ¨á.6-1( ). ¥®à¨ï á à¥è¥â®çë¬ ¤¥©á⢨¥¬ (6.6) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®ª¢ ⮢ á ¯®¬®éìî ä®à¬ «¨§¬ äãªæ¨® «ì®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ¢ à ¬ª å ª®â®à®£® ¢ ªã㬮¥ á।¥¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©2: ZY 1 [d n]( n1 n2::: nl)e;S [ ] (6.12) < 0j n1 n2::: nlj0 >= Z n 2
¥¢ª«¨¤®¢®© ⥮ਨ ¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« ¯¨á âì § ª T -㯮à冷票ï!
152
£¤¥
Z=
ZY n
[d n]e;S [ ]
(6.13)
⮠⨯¨ç ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª ¯®«ï (¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ) n à¥è¥âª¥! ¥«¨ç¨ S[ ] { ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ä«ãªâã 樮 ï ᢮¡®¤ ï í¥à£¨ï. ëà ¦¥¨¥ (6.12) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®à५ï樮ãî í⮣® ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 , § ¤ ®£® à §ëå 㧫 å. ®«¥§® áà ¢¨âì í⨠¢ëà ¦¥¨ï á (2.159), (2.161) ¨ (2.163), ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¨¬¨áï ¢ëè¥ ¯à¨ à áᬮâ२¨ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨©. ஢¥¤¥¬ §¤¥áì § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®© (¨§¬¥¨¬ ¬ áèâ ¡ ¯®«¥©):
p
0n = n ®£¤ à¥è¥â®ç®¥ ¤¥©á⢨¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤: S( ) = 1 S 0 ( 0 ) £¤¥: m2 ) X ( a2 X 0 1 0 0 2 4 0 2 0 4 S( ) = 2 ( n+ ; n ) + a 2 n + 4 n n
(6.14) (6.15) (6.16)
â ª çâ® ª®áâ â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï áâ « ®¡é¨¬ ¬®¦¨â¥«¥¬ ¤«ï ¢á¥£® ¤¥©á⢨ï. ®£¤ (6.12) ¨ (6.13) ¯¥à¥¯¨áë¢ îâáï ¢ ¢¨¤¥: ZY < 0j 0n1 0n2::: 0nlj0 >= Z10 [d 0n]( 0n1 0n2::: 0nl) exp ; 1 S[ ] (6.17) n Z=
᫨ §¤¥áì § ¬¥¨âì
ZY n
[d 0n] exp f;S 0 [ 0]g
(6.18)
1 1 ! = T
(6.19) £¤¥ T { ⥬¯¥à âãà , â® à §«®¦¥¨¥ ᨫ쮩 á¢ï§¨ ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï, ª®â®à®¥ 㦮 ¢¥á⨠¯® ®¡à âë¬ á⥯¥ï¬ ª®áâ âë á¢ï§¨ , ®ª §ë¢ ¥âáï íª¢¨¢ «¥âë¬ ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âã஬ã à §«®¦¥¨î áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. â® ®âªàë¢ ¥â ¤®¢®«ì® è¨à®ª¨¥ ¢®§¬®¦®á⨠¤«ï ¨§ã票ï â ª¨å à §«®¦¥¨©, ¯®áª®«ìªã ¬¥â®¤ ¢ë᮪®â¥¬¯¥à âãàëå à §«®¦¥¨© ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª à¥è¥â®çë¬ ¬®¤¥«ï¬ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨ à §à ¡®â ¤®¢®«ì® å®à®è® ¨ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ç¨á«¥®¬ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨, ¯à¨¬¥à, ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨© [51, 52].
¥à¬¨®ë¥ ¯®«ï.
¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâ२î ä¥à¬¨®®¢. à®æ¥¤ãà , «®£¨ç ï ⮩, ª®â®à ï ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¢ á«ãç ¥ ᪠«ïàëå ¯®«¥©, ¯à¨¢®¤¨â ª ¥¢ª«¨¤®¢ã à¥è¥â®ç®¬ã ¤¥©áâ¢¨î ¤«ï á¨á⥬ë ᢮¡®¤ëå ä¥à¬¨®®¢ á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ : S0 ( ) =
4 X ( a3 X
n
4 2 =1 n ( n+^ ; n;^ ) + ma n n
)
(6.20)
153
£¤¥ -¬ âà¨æë ¥¢ª«¨¤®¢®© ⥮ਨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ª®¬¬ãâ æ¨®ë¬ á®®â®è¥¨ï¬:
f ; g = 2
(6.21)
¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¤¥©á⢨¥ (6.20) § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
(X ) Z d4 k sin ak S0 ( ) = (2)4 (;k) i a + m (k)
(6.22)
® áà ¢¥¨î á ¥¯à¥àë¢ë¬ á«ãç ¥¬ ¯à®¨á室¨â § ¬¥ k ! a1 sin ak . «®£¨ç® ⮬ã, ª ª ¢ ®¡ë箩 (¥¢ª«¨¤®¢®©) ⥮ਨ ¨à ª k + m ¤ ¥â ᯥªâà k2 + m2 , ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ ᯥªâà ¢®§¡ã¦¤¥¨© ¢¨¤ : S(k) = sina2ak + m2 2
(6.23)
¯®ª § ë© ¨á.6-1(¡). ¨¤¨¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢ §®¥ ਫ«îí ¨¬¥¥âáï ¤¢ ®¤¨ ª®¢ëå ¬¨¨¬ã¬ . ¤¨ ¨§ ¨å, ¯à¨ k = 0, ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à ¢¨«ì®¬ã ¥¯à¥à뢮¬ã ¯à¥¤¥«ã. àã£ ï ¬®¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¬¨¨¬ã¬ã ¯à¨ k a , ®¡« ¤ ¥â ¯à¨ a ! 0 ¡¥áª®¥çë¬ ¨¬¯ã«ìᮬ, ¯à¨ ª®¥çëå a ¬®¦¥â ¡ëâì ¢®§¡ã¦¤¥ . ®®â¢¥âá⢥®, âॡã¥âáï ¥ª®â®à ï ¬®¤¨ä¨ª æ¨ï ⥮ਨ, ¥ ¢«¨ïîé ï ¥¯à¥àë¢ë© ¯à¥¤¥«, ® ãáâà ïîé ï ¢ª« ¤ ¢â®à®£® ¬¨¨¬ã¬ . ¨«ìá® ¯à¥¤«®¦¨« ¤®¡ ¢¨âì ª à¥è¥â®ç®¬ã « £à ¦¨ ã á«¥¤ãî騩 ¢ª« ¤: 1( L = 2a (6.24) n n+^ + n;^ ; 2 n ) â ª çâ® ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¤¥©á⢨¥ ᢮¡®¤ëå ä¥à¬¨®®¢ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤:
X ( a3 X
2 n [(1 + ) n+^ + (1 ; ) n;^ ; 2 n ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¨¬¥¥¬: S0 ( ) =
n
] + ma4
n n
(X ) Z d4k X sin ak cos ak ; 1 S0 ( ) = (2)4 (;k) i a + m ; (k) a
)
(6.25)
(6.26)
â® ¤¥©á⢨¥ ®¡« ¤ ¥â ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® ¥¦¥« ⥫ìë© ¬¨¨¬ã¬ ¯®¤¨¬ ¥âáï ¥ã«¥¢ë¥ í¥à£¨¨, ⮣¤ ª ª ¯®¢¥¤¥¨¥ ⥮ਨ ¯à¨ ¬ «ëå k ¥ ¨§¬¥ï¥âáï. ®®â¢¥âá⢥®, ¢ ¥¯à¥à뢮¬ ¯à¥¤¥«¥ ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¢ª« ¤ \¯à ¢¨«ì®£®" ¬¨¨¬ã¬ ¯à¨ k = 0.
®ª «ì ï ª «¨¡à®¢®ç ï ¨¢ ਠâ®áâì.
®áâந¬ ⥯¥àì à¥è¥â®çãî ª «¨¡à®¢®çãî ⥮à¨î. «ï ª®ªà¥â®á⨠¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã SU(3)-ᨬ¬¥âà¨çãî . ®ª «ì®¥ (§ ¢¨áï饥 ®â 㧫 !) ª «¨¡à®¢®ç®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥: n = n +n (6.27) n ! n n
154
¨á. 6-2
£¤¥
i
(6.28) n = exp i 2 ni ¤¥áì i (i = 1; 2; :::; 8) { ¬ âà¨æë ¥««- (£¥¥à â®àë £à㯯ë SU(3)). ¢¥¤¥¬ ⥯¥àì â ª §ë¢ ¥¬ãî ॡ¥àãî ¯¥à¥¬¥ãî, § ¤ ãî à¥è¥â®ç®© á¢ï§¨, ᮥ¤¨ïî饩 á®á¥¤¨¥ 㧫ë: i U(n + ^; n) = exp iga 2 Ain (6.29) £¤¥ Ain { à¥è¥â®ç®¥ ¯®«¥ £«î®®¢, g { ï£-¬¨««á®¢áª ï ª®áâ â á¢ï§¨. ª® ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï í⮩ ¬ âà¨æë ®¯à¥¤¥«¨¬ ª ª: U(n + ^; n) ! n+^ U(n + ^; n)+n (6.30) § (6.27) ¨ (6.30) á«¥¤ã¥â, çâ® ª®¬¡¨ æ¨ï n U(n; n + ^) m+^ ï¥âáï ª «¨¡à®¢®ç® ¨¢ ਠ⮩. âáî¤ ïá®, ª ª 㦮 ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ âì ¤¥©á⢨¥ (6.25), çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ª¢ મ¢ãî ç áâì SU(3)-ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¤¥©á⢨ï : SQCD = S(q) + S(A) (6.31) S(q) =
X ( a3 X
2 n[(1 + )U(n; n + ^) n+^ + + (1 ; )U(n; n ; ^) n;^ + 2 n] ; ma4 n n (6.32) ¥¯à¥à뢮¬ ¯à¥¤¥«¥ a ! 0 à §«®¦¥¨¥ ¢ëà ¦¥¨ï (6.32) ¢ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ a ¤ ¥â ®¡ë箥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ä¥à¬¨®®£® ¤¥©á⢨ï, ¢ ª®â®à®¬ ¢®§¨ª îâ ª®¢ ਠâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ª «¨¡à®¢®ç®© ⥮ਨ. ª ¤®«¦® ¢ë£«ï¤¥âì à¥è¥â®ç®¥ ¤¥©á⢨¥ ¤«ï á ¬®£® ª «¨¡à®¢®ç®£® (£«î®®£®) ¯®«ï? á®, çâ® ®® ¤®«¦® áâநâìáï ¨§ ॡ¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå. à®á⥩è ï ª «¨¡à®¢®ç® ¨¢ ਠâ ï ª®¬¡¨ æ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï í«¥¬¥â ஬ ª¢ ¤à ⨪¥ (£à ¨, ¨«¨, ª ª ¥¥ ¥é¥ §ë¢ îâ, ¯« ª¥â¥) à¥è¥âª¨, ¯®ª § ®¬ ¨á.6-2. ®áâ ¢¨¬ ¬ âà¨ç®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ॡ¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå, ¢§ïâëå ¢¤®«ì á¢ï§¥© ¯« ª¥â¥ p: Up = U(n; n + ^)U(n + ^; n + ^ + ^)U(n + ^ + ^; n + ^)U(n + ^; n) (6.33) â ª®¬¡¨ æ¨ï, ®ç¥¢¨¤®, ï¥âáï ¨¢ ਠ⮩ ®â®á¨â¥«ì® ¯à¥®¡à §®¢ ¨© (6.30). ¢¥¤¥¬ ¤¥©á⢨¥ ª «¨¡à®¢®ç®£® ¯®«ï ¢ ¢¨¤¥ á«¥¤ãî饩 áã¬¬ë ¯® ¢á¥¬ ¯« ª¥â ¬ à¥è¥âª¥: X (6.34) S(A) = ; 2g12 SpUp p n
155
¤¥áì è¯ãà ®â ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¡¥à¥âáï ¯® ¨¤¥ªá ¬ ¬ âà¨æ SU(3).
᫨ ¢ íªá¯®¥â å, ¢å®¤ïé¨å ¢ (6.33), (6.34), ¯à®¢¥áâ¨ à §«®¦¥¨¥ ¯® á⥯¥ï¬ a ¨ ®â¡à®á¨âì ç«¥ë O(a3 ), ¢ëà ¦¥¨¥ (6.34) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: 1 X Spfexp(ia2 F )g (6.35) S(A) = ; 16g n 2 p £¤¥ Fn = @ An ; @ An ; ig[An ; An ] (6.36) £¤¥ ¢¢¥¤¥® ®¡®§ 票¥: @ An a1 (An+^ ; An ) (6.37) ¯à¨ç¥¬ An = Ai i =2 { £«î®®¥ ¯®«¥ ¢ 㧫¥ n. âáî¤ áà §ã ¦¥ ¢®§¨ª ¥â ¯à ¢¨«ìë© ¥¯à¥àë¢ë© ¯à¥¤¥«: 1 X 1 ; a4 F i F i + ::: ! 1 Z d4 xF i F i S(A) = ; 16g (6.38) 2 2 16 p £¤¥, ¢ ¯à®æ¥áᥠ¢ë¢®¤ , ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ᢮©á⢠Spi = 0 ¨ Sp(i j ) = 2 ij .
à¨â¥à¨© ª®ä ©¬¥â . ¥â«ï ¨«ìá® .
â®¡ë ¢¢¥á⨠ªà¨â¥à¨© ª®ä ©¬¥â (㤥ঠ¨ï) ª¢ મ¢ ¢ , ¬®¦® ©â¨ í¥à£¨î á¨á⥬ë, á®áâ®ï饩 ¨§ ª¢ ઠ, 室ï饣®áï ¢ â®çª¥ x = (t; 0) ¨ ⨪¢ ઠ, 室ï饣®áï ¢ â®çª¥ x = (t; R). á«ãç ¥ ®âáãâá⢨ï 㤥ঠ¨ï, á ®ç¥¢¨¤®áâìî, ¨¬¥¥¬: E(R) ! 2m ¯à¨ R ! 1 (6.39) £¤¥ m { ¬ áá ª¢ ઠ. «¨ç¨¥ 㤥ঠ¨ï ®§ ç ¥â, çâ® ¬¥¦ª¢ મ¢ë© ¯®â¥æ¨ « ¡¥§£à ¨ç® à áâ¥â: E(R) ! 1 ¯à¨ R ! 1 (6.40) 㤥¬ ®¡®§ ç âì ä¥à¬¨®®¥ ¯®«¥ ª¢ મ¢ q(x) ¨ ¢¢¥¤¥¬ ª «¨¡à®¢®ç® ¨¢ ਠâë© qq-®¯¥à â®à ¢¨¤ : ;[x; x0; C] = q(x0)U(x0 ; x; C)q(x) (6.41) £¤¥ U(x0; x; C) { 㯮à冷祮¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ॡ¥àëå ¯¥à¥¬¥ëå ¢¤®«ì ¥ª®â®à®£® ¯ã⨠(âà ¥ªâ®à¨¨) C, á¢ï§ë¢ î饣® â®çª¨ x ¨ x0 à¥è¥âª¥3. áᬮâਬ ª «¨¡à®¢®ç® ¨¢ ਠâë© ª®à५ïâ®à, ®¯¨áë¢ î騩 ¯¥à¥ªàë⨥ qq á®áâ®ï¨ï ¢ ¬®¬¥â (¥¢ª«¨¤®¢ !) ¢à¥¬¥¨ t = 0 ¨ qq á®áâ®ï¨ï ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = T :
(T; R) =< 0j;+ [(0; 0); (0; R); C];[(T; 0); (T; R); C]j0 > (6.42) \áâ ¢«ïï" ¬¥¦¤ã ®¯¥à â®à ¬¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¥¤¨¨æë (ãá«®¢¨¥ ¯®«®âë!) ç¥à¥§ á㬬㠯® ¯®«®© á¨á⥬¥ ᮡá⢥ëå á®áâ®ï¨© í¥à£¨¨ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë, ¯®«ãç ¥¬ (áà. ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ «®£¨ç®£® ¯à¨¥¬ ¢ « ¢¥ 1): X
(T; R) = j < 0j;+ [(0; 0); (0; R); C]j0 > j2e;En T (6.43) n
3 ¥¯à¥à뢮¬ ¯à¥¤¥«¥: U (x0;x) = P exp
¢¤®«ì ¯ã⨠C .
n R x0 i i o ig dy A (y) , £¤¥ P { ®¯¥à â®à 㯮à冷票ï x
2
156
¨á. 6-3
¨¤¨¬, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å T ®á®¢®© ¢ª« ¤ ¤ ¥â á« £ ¥¬®¥ á ¨¬¥ì訬 En. â® ¨¬¥ì襥 ᮡá⢥®¥ § 票¥ í¥à£¨¨ ®ç¥¢¨¤® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ qq á¨á⥬ë, ¢ ª®â®à®© ª¢ ઠ¨ ⨪¢ ઠ室ïâáï à ááâ®ï¨¨ R ¤à㣠®â ¤à㣠: lim (T; R) e;E (R)T (6.44) T !1 â¥à¬¨ å ª¢ મ¢ëå ¯®«¥© ¨¬¥¥¬:
(T; R) =< 0jq(0; R)U[(0; R); (0; 0); C]q(0; 0)q(T; 0)U[(T; 0); (T; R); C]q(T; R)j0 > (6.45)
᫨ à áᬮâà¥âì ª¢ ન ª ª ®ç¥ì â殮«ë¥ (ª« áá¨ç¥áª¨¥, c-ç¨á«®¢ë¥) ¢¥è¨¥ ¨áâ®ç¨ª¨ ¨ à áᬮâà¥âì ¯ãâì C ¢ ¢¨¤¥ § ¬ªã⮣® ¯àאַ㣮«ì¨ª , ¯®ª § ®£® ¨á.6-3, ¢ëà ¦¥¨¥ (6.45) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª:
(T; R) e;2mT W(C) e;E (R)T (6.46) £¤¥ W(C) =< 0jSpU[x; x0; C]j0 > (6.47) ®¯à¥¤¥«ï¥â â ª §ë¢ ¥¬ãî ¯¥â«î ¨«ìá® . ¬¥® ¯®¢¥¤¥¨¥ ª®à५ïâ®à W (C) ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â «¨ç¨¥ ¨«¨ ®âáãâá⢨¥ ª®ä ©¬¥â . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ (6.46) ïá®, çâ®: lim W(C) expf;T[E(R) ; 2m]g (6.48) T !1 ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¨¦¥, ¢ ¯à¥¤¥«¥ ᨫ쮩 á¢ï§¨ (g ! 1) ¢ à¥è¥â®ç®© ⥮ਨ ¢ à¥è¥â®ç®© ⥮ਨ ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¢¨«ìá®®¢áª ï ¯¥â«ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â § ª®ã ¯«®é ¤¨, â ª çâ® ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® ª®âãà C ¨¬¥¥¬: W(C) expf;KA(C)g (6.49) £¤¥ K { ¥ª®â®à ï ª®áâ â , A(C) { ¯«®é ¤ì, ®å¢ âë¢ ¥¬ ï à¥è¥âª¥ ª®âã஬ C (â.¥. ¬¨¨¬ «ì ï ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®áâ¨, £à ¨æ¥© ª®â®à®© ï¥âáï C). ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¯àאַ㣮«ì®£® ª®âãà ¨á.6-3, ¨¬¥¥¬: A(C) = T R (6.50) ® ⮣¤ ¨§ (6.48), (6.49) ¨ (6.50) ¯®«ãç ¥¬: T[E(R) ; 2m] KT R ¨«¨ E(R) ; 2m KR (6.51) â.¥. «¨¥©® à áâã騩 á R ¯®â¥æ¨ « ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ á¨á⥬¥ qq, çâ®, ®ç¥¢¨¤®, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª®ä ©¬¥âã. ®íää¨æ¨¥â R §ë¢ ¥âáï ª®íää¨æ¨¥â®¬ â殮¨ï áâàãë (ᨫ®© ª®ä ©¬¥â ). §¢ ¨¥ íâ® á¢ï§ ® á ⥬, çâ® ¤«ï ¢®§¨ª®¢¥¨ï «¨¥©® à áâã饣® ¯®â¥æ¨ « £«î®®¥ ¯®«¥ ¬¥¦¤ã ª¢ ઠ¬¨ ¤®«¦®
157
ᮡà âìáï ¢ âà㡪ã { \áâàãã". â áâàã ¢ëâ¢ ¥âáï á«¥¤®¬ § ª¢ ઠ¬¨ ¨ ¥ ¯®§¢®«ï¥â ¨¬ à §®©â¨áì ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ à ááâ®ï¨ï.
ª® ¯«®é ¤¨ ¢ à §«®¦¥¨¨ ᨫ쮩 á¢ï§¨.
®ª ¦¥¬, á奬 â¨ç¥áª¨, ª ª ¯®«ãç¨âì § ª® ¯«®é ¤¨ ¯à¥¤¥«¥ ᨫ쮩 á¢ï§¨. ®áª®«ìªã ॡ¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¥¯®á।á⢥® á¢ï§ ë á ª «¨¡à®¢®ç묨 ¯®«ï¬¨, ¢ à¥è¥â®ç®© ª «¨¡à®¢®ç®© ⥮ਨ ¨å ¬®¦® ¢ë¡à âì ¢ ª ç¥á⢥ ®á®¢ëå ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë. â® ¯®§¢®«ï¥â § ¯¨á âì (6.47) ¢ ¢¨¤¥ \äãªæ¨® «ì®£®" ¨â¥£à « 4 :
(
£¤¥
Y X W(C) = Z1 dU(n; n + ^)SpU(x; x; C) exp ; 2g12 SpUp m; p (
)
(6.52)
)
Y X (6.53) Z = Z1 dU(n; n + ^) exp ; 2g12 SpUp m; p ⬥⨬, çâ® §¤¥áì ¥ 㦮 ¤®¡ ¢«ïâì ª ¤¥©áâ¢¨î ¨ª ª¨å ç«¥®¢ 䨪á¨àãîé¨å ª «¨¡à®¢ªã, ¯®áª®«ìªã ॡ¥à ï ¯¥à¥¬¥ ï ¨§¬¥ï¥âáï ¢ ®£à ¨ç¥®© ®¡« áâ¨. ®®â¢¥âá⢥®, ®¡ê¥¬ ¯à®áâà á⢠âà ¥ªâ®à¨©, ¯®à®¦¤ ¥¬ëå ª «¨¡à®¢®ç묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨, ª®¥ç¥. ®í⮬ã, ¤® ¯¥à¥å®¤ ª ¥¯à¥à뢮¬ã ¯à¥¤¥«ã ¥ ¢®§¨ª ¥â ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¢¢®¤¨âì ç«¥ë 䨪á 樨 ª «¨¡à®¢ª¨. ¥¡¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ëè¥, ïîâáï í«¥¬¥â ¬¨ £à㯯ë SU(3). ¨â àë¥ ¬ âà¨æë £à㯯ë SU(3) ¯ à ¬¥âਧãîâáï ¢®á¥¬ìî ®¡®¡é¥ë¬¨ 㣫 ¬¨ ©«¥à , â ª çâ® ¬®¦® § ¯¨á âì £à㯯®¢ë¥ ¨â¥£à «ë ¢ (6.52), (6.53) ¢ ¬ ¢¨¤¥, ¢ëà §¨¢ ¨å ç¥à¥§ í⨠㣫ë. ë í⮣® ¤¥« âì ¥ ¡ã¤¥¬, «¨èì ¯à¨¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï ®à⮣® «ì®á⨠[11]: Z
Z
dU(n; n + ^)[U(n; n + ^)]ij = 0 dU(n; n + ^)[U(n; n + ^)]ij [U + (n; n + ^)]kl = 31 il jk Z dU(n; n + ^)[U(n; n + ^)]ij [U(n; n + ^)]kl = 0
(6.54) (6.55)
á«®¢¨ï (6.55) ®§ ç îâ, çâ® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨ ¨â¥£à «®¢, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å (6.52), ⮫쪮 ¢ª« ¤ë ®â ॡ¥à (á¢ï§¥©) à¥è¥âª¨, ¯à®å®¤¨¬ëå ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ëå ¯à ¢«¥¨ïå ¤ î⠥㫥¢®© ¢ª« ¤. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¨¬¥îâáï ¤¢ á®á¥¤¨å ¯« ª¥â ®¤¨ ª®¢®© ®à¨¥â 樨, â® ¯®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ¯¥à¥¬¥®©, ®¯à¥¤¥«¥®© ¨å ®¡é¥¬ ॡà¥, ®¨ \᫨¢ îâáï" ¢ ®¤¨ ¯àאַ㣮«ì¨ª, ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.64. ¯à¥¤¥«¥ ᨫ쮩 á¢ï§¨ ¢¥«¨ç¨ g12 à áᬠâਢ ¥âáï ¢ ª ç¥á⢥ ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà . ®í⮬ã íªá¯®¥âã ¢ (6.52) ¬®¦® à §«®¦¨âì ¢ àï¤:
"
YZ X 1 W(C) = Z dU(n; n + ^)SpU(x; x; C) 1 ; 2g12 SpUp + n; p
4
à¥è¥âª¥ íâ® ¯à®áâ® ¬®£®ªà âë© ¨â¥£à «!
158
¨á. 6-4
2 X X
+ 2!1 2g12
p p0
3 SpUp SpUp0 + :::5
(6.56)
«ï ¯à®áâ®âë à áᬮâਬ ®¯ïâì ¯àאַ㣮«ìë© ª®âãà C. ®£« á® ä®à¬ã« ¬ (6.55) ¢ í⮬ à §«®¦¥¨¨ ®â«¨ç¥ ®â ã«ï ¨â¥£à « ⮫쪮 ®â â ª®£® ç«¥ ¢ à §«®¦¥¨¨ íªá¯®¥âë ¯® g12 , ¤«ï ª®â®à®£® ¯« ª¥âë 楫¨ª®¬ § ¯®«ïîâ ¯®¢¥àå®áâì, âïãâãî ¤ ë© ª®âãà. ®«ìª® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ª ¦¤®¥ ॡ஠¢ £à㯯®¢®¬ ¨â¥£à «¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¤¢ ¦¤ë (¨«¨ ¨ ®¤®£® à § ), ¯à¨ç¥¬ ®¤¨ à § ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì®¬, ¤à㣮© à § ¢ ®âà¨æ ⥫쮬 ¯à ¢«¥¨¨, â ª çâ® ¢á¥ £à㯯®¢ë¥ ¨â¥£à «ë ¯® ॡ¥àë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ ®ª §ë¢ îâáï ®â«¨ç묨 ®â ã«ï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥¨áç¥Np § î騩 ¢ª« ¤ ¢ W(C) ¨¨§è¥£® ¯®à浪 ¤ ¥â ç«¥, ¯à®¯®à樮 «ìë© g12 , £¤¥ Np { ¬¨¨¬ «ì®¥ ç¨á«® ¯« ª¥â®¢, ¥®¡å®¤¨¬ëå ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë § ¯®«¨âì ¯®¢¥àå®áâì, ®£à ¨ç¥ãî ª®âã஬ C:
1 Np
W(C) g2 (6.57) ⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ª®ã ¯«®é ¤¨, ¯®áª®«ìªã ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®áâ¨, ®£à ¨ç¥®© ª®âã஬ C, à ¢ : A(C) = a2Np (6.58) «¥¤®¢ â¥«ì® W(C) (g2 );A(C )=a2 = expf;(TR ln g2)=a2 g (6.59) à ¢¨¢ ï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ á (6.49) ¨ (6.51), ¯®«ãç ¥¬ «¨¥©® à áâã騩 ¯®â¥æ¨ « ¢¨¤ : E(R) = KR £¤¥ K = a12 ln g2 (6.60) ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â g2 (a) eKa2 . ®¦® â ª¦¥ à áᬮâà¥âì à §«®¦¥¨¥ á« ¡®© á¢ï§¨ ¤«ï ¢¨«ìá®®¢áª®© ¯¥â«¨, ¯¥à¥å®¤ï ª ¥¯à¥à뢮¬ã ¯à¥¤¥«ã ¨ § ¬¥ïï ¤¥©á⢨¥ £ ãáᮢ᪨¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬. í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï ¯¥â«¨ ¯®«ãç ¥âáï § ª® ¯¥à¨¬¥âà , ª®â®àë©, ª ª ®ª §ë¢ ¥âáï, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ªã«®®¢áª®¬ã ¯®â¥æ¨ «ã E(R) R1 . § ç ¥â { «¨ ¢á¥ íâ®, çâ® ¬ë ¤®ª § «¨ ᢮©á⢮ ª®ä ©¬¥â ? ¥â, ¥ ®§ ç ¥â! ¯à¨¬¥à, ¢á¥ è¨ à áá㦤¥¨ï ¬®¦® ¯®¢â®à¨âì ¨ ¤«ï ¡¥«¥¢®© U(1) ⥮ਨ, ¬ë ¨£¤¥ ¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ᢮©á⢮ ¥ ¡¥«¥¢®á⨠SU(3). ¥¦¨¬ë ᨫ쮩 ¨ á« ¡®© á¢ï§¨ ¬®£ãâ ¡ëâì à §¤¥«¥ë ®¤¨¬ ¨«¨ ¥áª®«ìª¨¬¨ ä §®¢ë¬¨ ¯¥à¥å®¤ ¬¨, ¯à®¨á室ï騬¨ ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ª®áâ âë á¢ï§¨ g. ¡é¥£® ¤®ª § ⥫ìá⢠®âáãâá⢨ï â ª¨å ¯¥à¥å®¤®¢ ¢ ¥â. ¤ ª® ¯à®¡«¥¬ ¢á¥áâ®à®¥ ¨áá«¥¤®¢ « áì ç¨á«¥®, ¬¥â®¤ ¬¨ ®â¥ - à«®. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¢ëç¨á«¥¨ï ¯®ª § «¨, çâ® ¢ ä §®¢ë¥ ¯¥à¥å®¤ë, ¢ ®¡« á⨠¯à®¬¥¦ãâ®çëå § 票© g, ®âáãâáâ¢ãîâ.
159
¨á. 6-5
¢¨á¨¬®áâì g2 (a) eKa2 ¨§ (6.60) (®¡« áâì ᨫ쮩 á¢ï§¨) ¥¯à¥à뢮 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®¡« á⨠᫠¡®© á¢ï§¨ ¢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ g2 (a) ln a1;1 , á¯à ¢¥¤«¨¢ãî ¯à¨ a ! 0. ®â¥æ¨ « ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ª¢ મ¢, á«¥¤ãî騩 ¨§ íâ¨å à áç¥â®¢ å®à®è® ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï á㯥௮§¨æ¨¥© ªã«®®¢áª®£® ¯®â¥æ¨ « , ¤®¬¨¨àãî饣® ¬ «ëå à ááâ®ï¨ïå ¨ «¨¥©® à áâã饣® ¯®â¥æ¨ « , ®¯à¥¤¥«ïî饣® ᢮©á⢮ ª®ä ©¬¥â ¡®«ìè¨å à ááâ®ï¨ïå: V (R) = RC + KR. ¨¯¨çë© à¥§ã«ìâ â â ª¨å ¢ëç¨á«¥¨© ¯®ª § ¨á.6-5 [55], £¤¥ ¯à¨¢®¤¨âáï ¯®â¥æ¨ «, ¤¥©áâ¢ãî騩 ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï áâ â¨ç¥áª¨¬¨ ª¢ ઠ¬¨, ¢ëç¨á«¥ë© à¥è¥âª¥ 324 , á ॡ஬ a = 0:055fm. ¯«®è®© «¨¨¥© ¯®ª § ¯®¤£®ª ª á㯥௮§¨æ¨¨ ªã«®®¢áª®£® ¨ «¨¥©®£® ¯®â¥æ¨ «®¢. á® ¢¨¤®, çâ® «¨¥©ë© à®áâ V (R) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ááâ®ï¨ïå R > 0:25fm. ¬¥ìè¨å à ááâ®ï¨ïå ¤®¬¨¨àã¥â ¯¥àâãࡠ⨢ ï ¤¨ ¬¨ª ( ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ᢮¡®¤ ). ¨¯¨ç®¥ § 票¥ ª®íää¨æ¨¥â â殮¨ï áâàãë, á«¥¤ãî饥 ¨§ íâ¨å à áç¥â®¢ K 0:2GeV 2 1:0GeV fm;1 14 â®! ä䥪⨢® íâ® ¤®ª §ë¢ ¥â ᢮©á⢮ ª®ä ©¬¥â ¢ , «¥¦ 饥 ¢ ®á®¢¥ áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨. ®¤à®¡®á⨠®â¥ - à«® à áç¥â®¢ ¢ à¥è¥â®çëå ⥮à¨ï ¯®«ï å®à®è® ®¯¨á ë ¢ ®¡§®à å [53, 54]. ¬ ¦¥ ¬®¦® ©â¨ ¨ ®¯¨á ¨¥ ¤àã£¨å ¯à¨¬¥¥¨© à¥è¥â®çëå ¬®¤¥«¥©, ¢ ç áâ®áâ¨, à ¨¥ ¯®¯ë⪨ à áç¥â ¬ áá ॠ«ìëå ¤à®®¢, à áᬠâਢ ¥¬ëå ª ª á¢ï§ ë¥ á®áâ®ï¨ï ª¢ મ¢ ¨ £«î®®¢. ®¢à¥¬¥®¥ á®áâ®ï¨¥ ¢®¯à®á á «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¬®¤¥«ï¬¨ ª®ä ©¬¥â ¬®¦® ¨§ãç¨âì ¯® ®¡§®àã [55]. áá«¥¤®¢ ¨¥ à¥è¥â®çëå ¬®¤¥«¥© ï¥âáï ᥩç á ®¤¨¬ ¨§ ¨¡®«¥¥ ¢ ¦ëå ¨ ªâ¨¢® à §¢¨¢ îé¨åáï ¯à ¢«¥¨© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¥ ¨¬¥ï ¢®§¬®¦®á⨠¤«ï ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡®£® ®¯¨á ¨ï ᮢ६¥ëå ¤®á⨦¥¨© í⮣® ¯à ¢«¥¨ï, ¯à¨¢¥¤¥¬ «¨èì, ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à , १ã«ìâ âë ®â¥ - à«® à áç¥â®¢ ᯥªâà «¥£ª¨å ¤à®®¢, ¯®ª § ë¥ ¨á.6-65, ¨ ¤¥¬®áâà¨àãî騥 ®ç¥ì ¯à¨«¨ç®¥ ᮣ« ᨥ á íªá¯¥à¨¬¥â®¬. ¢®©á⢮ ª®ä ©¬¥â ¥ ï¥âáï ¡á®«îâë¬, ¯à¨ ¥ª®â®à®© ¤®áâ â®ç® ¢ë᮪®© ⥬¯¥à âãॠTc (⥬¯¥à âãॠ¤¥ª®ä ©¬¥â ), ¨«¨ ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë᮪®© ¥£® ¯«®â®áâ¨, ¤®«¦¥ ¯à®¨á室¨âì ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤ ¨§ ä §ë ¤à®®© ¬ â¥à¨¨ ¢ ä §ã ª¢ ઠ{ £«î®®© ¯« §¬ë [47]. ¨§¨ç¥áª ï ¯à¨ç¨ í⮣® ¤®áâ â®ç® ïá . 5 S.Aoki et al. ArXiv: hep-lat/9904012
160
1.8 1.6
m (GeV)
Ω
Ξ
1.4
Σ 1.2
φ N
1.0
K*
0.8 0.6
K
Ξ*
Λ
Σ* ∆
GF11 infinite volume K−input CP−PACS K−input CP−PACS φ−input
0.4
¨á. 6-6
᫨ { å à ªâ¥àë© ¬ áèâ ¡ ¨¬¯ã«ìᮢ, å à ªâ¥à¨§ãî騩 ¯¥à¥å®¤ ª ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤®¬ã ¯®¢¥¤¥¨î, â® ¯à¨ T ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬ë© ¨¬¯ã«ìá ¢ ¯à®æ¥áá å ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¡ã¤¥â (¯®ç⨠¢á¥£¤ ) 㤮¢«¥â¢®àïâì ¥à ¢¥áâ¢ã Q2 2. ®®â¢¥âá⢥®, ¡ã¤¥â ¯à¨¬¥¨¬ ⥮à¨ï ¢®§¬ã饨©. ® ¢ ¯¥àâãࡠ⨢®¬ ¯®¤å®¤¥ ª ª¢ ન ¨ £«î®ë ïîâáï 䨧¨ç¥áª¨¬¨ á®áâ®ï¨ï¬¨ ⥮ਨ. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯à¨ T ¬ë ¨¬¥¥¬ ¯®ç⨠¨¤¥ «ìë© £ § ª¢ મ¢ ¨ £«î®®¢ (ª¢ ઠ{ £«î®ãî ¯« §¬ã). 票¥ â ª®£® ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ®ç¥ì ¢¥«¨ª® ¤«ï à¥è¥¨ï àï¤ § ¤ ç áâà®ä¨§¨ª¨ ¥©âà®ëå §¢¥§¤ ¨ ª®á¬®«®£¨¨. ªá¯¥à¨¬¥â «ì® í⮠¥¨¥ ¬®¦¥â ¡«î¤ âìáï ¯à¨ á⮫ª®¢¥¨ïå â殮«ëå 拉à, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯¥à¢ë¥ 㪠§ ¨ï ¥£® ¡«î¤¥¨¥ ¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ¢ íªá¯¥à¨¬¥â å ¢ CERN ¢ 2000 £®¤ã. ¥«¨ç¨ã Tc ¢ëç¨á«ï«¨ ¬¥â®¤®¬ ®â¥ - à«® ¢ à¥è¥â®ç®© . ¨¯¨çë¥ § 票ï, ¯®«ãç î饥áï ¢ â ª¨å à áç¥â å, ᢮¤ïâáï ª Tc , «¥¦ 饩 ¢ ¨â¥à¢ «¥ 0.15-0.20 MeV . ¥â «ìë© ®¡§®à ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ ¢ ¬®¦® ©â¨ ¢ [56].
ää¥ªâ¨¢ë© ¯®â¥æ¨ « ¨ ¯¥â«¥¢®¥ à §«®¦¥¨¥. ®ï⨥ íä䥪⨢®£® ¯®â¥æ¨ « ï¥âáï ¢¥áì¬ ¯®«¥§ë¬ ¯à¨ à áᬮâ२¨ ⥮਩ ᮠᯮ⠮ àã襮© ᨬ¬¥âਥ©. ® ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì à áᬠâਢ âì í⨠⥮ਨ ¯® áãé¥áâ¢ã â ª ¦¥, ª ª ⥮ਨ á ¥ àã襮© ᨬ¬¥âਥ©, ¨ ¢ëç¨á«ïâì ª¢ â®¢ë¥ ¯®¯à ¢ª¨ ª ª« áá¨ç¥áª®© ª à⨥ ᯮ⠮£® àã襨ï ᨬ¬¥âਨ, à áᬮâ८© ¢ëè¥. ¯ïâì à áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 á«ãç © ᪠«ïண® ¯®«ï:
L = 21 (@ ')2 ; V (')
2 V (') = m2 '2 + 4!g '4
S['] =
Z
d4xL
(6.61)
161
£à ¦¨ ¨¢ ਠ⥠®â®á¨â¥«ì® ' ! ;', ®¤ ª® ¢ á«ãç ¥ ᯮ⠮£® àã襨ï ᨬ¬¥âਨ â ª¨¬ ᢮©á⢮¬ ¥ ®¡« ¤ ¥â à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï dV j (6.62) d' '='0 = 0; £¤¥ '0 6= 0. â® ¢¨¤® 㦥 ¨§ ¯à®¢¥¤¥®£® ¢ëè¥ ª« áá¨ç¥áª®£® «¨§ . ¢ â®¢ë¥ ¯®¯à ¢ª¨, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ¢®§¨ª îâ ¨§ ¯¥â«¥¢®£® à §«®¦¥¨ï, à á室¨¬®áâ¨, ª®â®àë¥ ®¨ ᮤ¥à¦ â, ¤¥« îâ ¥®¡å®¤¨¬®© ¯¥à¥®à¬¨à®¢ªã. á«®¢¨ï ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨ ä®à¬ã«¨à®¢ «¨áì ¢ëè¥ ¢ â¥à¬¨ å 1-äãªæ¨© ;(n). ந§¢®¤ï騬 äãªæ¨® «®¬ ¤«ï äãªæ¨© ;(n)(x1 ; :::; xn) ï¥âáï íä䥪⨢®¥ ¤¥©á⢨¥ ;('), ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¢ (2.149). ¬ëá« í⮣® §¢ ¨ï ¯à®ïá¨âáï ¨¦¥. ந§¢®¤ï騩 äãªæ¨® « ¤«ï á¢ï§ëå ¤¨ £à ¬¬ W[J] ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮣ« á® (2.130) ª ª: eiW [J ] =< 0j0 >J (6.63) ®£¤ ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ 'c (¢ ¯à¨áãâá⢨¥ ¨áâ®ç¨ª J) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ (2.150): < 0j'(x)j0 >J 'c (x) = W[J] (6.64) J(x) = < 0j0 >J ªã㬮¥ á।¥¥ § 票¥ < ' > ¥áâì, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î: < ' >= Jlim ' (6.65) !0 c ®£« á® (2.149) íä䥪⨢®¥ ¤¥©á⢨¥ ;['c] à ¢®:
Z
;('c ) = W [J] ; dxJ(x)'c (x)
(6.66)
¨, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (2.150), ®® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î: ;['c] (6.67) 'c (x) = ;J(x) ਠJ(x) ! 0 ¢¥«¨ç¨ 'c ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ª®áâ âã, à ¢ãî < ' >, â ª çâ® ¢ ªã㬮¥ á।¥¥ ®â ' ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï: d;['c] j = 0 (6.68) d'c <'> ¡ë箥 à §«®¦¥¨¥ äãªæ¨® « ;['c ] ¯® á⥯¥ï¬ 'c § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥: 1 Z X ;['c ] = n!1 dx1:::dxn;(n) (x1; :::; xn)'c (x1 ):::'c(xn) (6.69) n=0 ¨«¨, çâ® íª¢¨¢ «¥â®, ¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨: 1 1Z X ;['c ] = n! dp1:::dpn(p1 + ::: + pn );(n)(p1 ; :::; pn)'c (p1 ):::'c(pn) (6.70) n=0 «ìâ¥à â¨¢ë¬ ï¢«ï¥âáï à §«®¦¥¨¥ ;['c] ¯® ¯®«î 'c ¨ ¥£® ¯à®¨§¢®¤ë¬ ¢¨¤ : Z ;['c ] = dx f;U('c (x))g + 12 (@ 'c )2Z('c (x)) (6.71)
162
í⮬ á«ãç ¥, äãªæ¨ï (¥ äãªæ¨® «!) U('c ) §ë¢ ¥âáï íää¥ªâ¨¢ë¬ ¯®â¥æ¨ «®¬. ¨¦¥ ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤¥«¥ ® ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®â¥æ¨ «®¬ V ('). á«ãç ¥, ª®£¤ 'c (x) =< ' >= ' = const, ¢á¥ ç«¥ë ¯®á«¥¤¥£® à §«®¦¥¨ï, § ¨áª«î票¥¬ ¯¥à¢®£®, ®¡à é îâáï ¢ ã«ì, â ª çâ®: ;['] = ; U(') (6.72) £¤¥ { ¯®«ë© ®¡ê¥¬, § ¨¬ ¥¬ë© ¯®«¥¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ { ¢à¥¬¥¨. à ¢¨¢ ï (6.70) ¨ (6.71), ¨¬¥¥¬: 1 X U(') = ; 'n ;(n)(pi = 0) (6.73) n=0
á«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨, ª« ¤ë¢ ¥¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ;(2) (pi = 0) ¨ ;(4) (pi = 0) ¬®£ãâ ¡ëâì ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ ë ¢ â¥à¬¨ å ¯®â¥æ¨ « U: d2U('c ) j = m2 (6.74) d2'c <'> d4U('c ) j = g (6.75) d4'c <'> ஬¥ ⮣®, ãá«®¢¨¥ (6.68) ¤«ï ¢ ªã㬮£® á।¥£® ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤: dU('c) j = 0 (6.76) d'c <'> 楫ìî ¨§ã票ï ᢮©á⢠⥮ਨ ᮠᯮâ ë¬ àã襨¥¬ ᨬ¬¥âਨ, 㤮¡® ®¯à¥¤¥«¨âì ®¢®¥ ¯®«¥ '0 : '0 = '; < ' > (6.77) ¢ ªã㬮¥ á।¥¥ ®â ª®â®à®£® à ¢® ã«î. ¬¥â¨¬, çâ® ¯®áª®«ìªã ¢á¥ à á室¨¬®á⨠⥮ਨ ¯®£«®é¥ë ª®âàç«¥ ¬¨ ¤® ⮣®, ª ª ¡ë«¨ «®¦¥ë ãá«®¢¨ï ®à¬¨à®¢ª¨ (6.74), (6.75), ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¢ ⥮ਨ ᮠᯮâ ë¬ àã襨¥¬ ᨬ¬¥âਨ ¥ ᮤ¥à¦ âáï ®¢ë¥ à á室¨¬®áâ¨, ᢥàå â¥å, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâáï ¢ ⥮ਨ á ¥ àã襮© ᨬ¬¥âਥ©, â ª çâ® áâàãªâãà à á室¨¬®á⥩ ¢ ¯¥à¥®à¬¨à㥬®© ⥮ਨ ¯®«ï ¥ § âà £¨¢ ¥âáï ᯮâ ë¬ àã襨¥¬ ᨬ¬¥âਨ. ©¬¥¬áï ¢ëç¨á«¥¨¥¬ íä䥪⨢®£® ¯®â¥æ¨ « . ᯮ«ì§ã¥¬ (6.66) ¨ 祬 á ¢ëç¨á«¥¨ï äãªæ¨® « W[J] ¬¥â®¤®¬ ¯¥à¥¢ « . ¯®¬¨¬, çâ® â ª®¥ ¬¥â®¤ ¯¥à¥¢ « , ¯à¨¬¥à¥ ®¡ë箣® ¨â¥£à « ¢¨¤ : I=
Z1
;1
dxe;f (x)
ãáâì äãªæ¨ï f(x) ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ã¬ ¢ ¥ª®â®à®© â®çª¥ x0 . ®£¤ ¨¬¥¥¬: f(x) = f(x0 ) + 21 (x ; x0)2 f 00 (x0 ) + ::: â ª çâ® ¬®¦® ¯¨á âì: I e;f (x0 )
Z1
;1
00 dxe; 12 (x;x0 )f (x0 )
(6.78) (6.79) (6.80)
163
¨ § ¤ ç ᢥ« áì ª ¨§¢¥á⮬㠬 £ ãáá®¢ã ¨â¥£à «ã, ª®â®àë© ã¦¥ «¥£ª® áç¨â ¥âáï. ®ááâ ¢«¨¢ ï ¯®áâ®ïãî « ª ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ äãªæ¨® « W[J], ¨¬¥¥¬: e £¤¥
i
~ W [J ]
S['; J] =
Z
Z
D'e ~i S [';J ]
(6.81)
d4x[L(') + ~'(x)J(x)]
(6.82)
=
§ (6.61) ¨ (6.62) á«¥¤ã¥â à ¢¥á⢮: S['; J] j = ~J(x) (6.83) '(x) '0 ਠJ ! 0 í⮠᢮¤¨âáï ª ãá«®¢¨î íªáâ६ «ì®á⨠¤¥©á⢨ï. §«®¦¨¬ ¤¥©á⢨¥ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠'0: Z S j + S['; J] = S['0 ; J] + dx['(x) ; '0] '(x) '0 Z Z 1 2S j ['(y) ; ' ] + ::: = + dx dy 2 ['(x) ; '0 ] '(x)'(y) '0 0 Z Z Z 2 S j ['(y) ; ' ] + ::: = S['0 ] + ~ dx['(x) ; '0 ]J(x) + 21 dx dy['(x) ; '0 ] '(x)'(y) ' 0 (6.84) £¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (6.83). 믮«ïï äãªæ¨® «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥, ¬®¦® ã¡¥¤¨âìáï, çâ®: 2S j = ;[2 + V 00(' )](x ; y) (6.85) 0 '(x)'(y) '0
᫨ ¯®«®¦¨âì '0 = ' ; '0 , â® à §«®¦¥¨¥ (6.84) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤: Z Z 1 0 S['; J] = S['0 ; J] + ~ dx' (x)J(x) ; 2 dx'0(x)[2 + V 00 ('0 )]'0(x) + ::: (6.86) ®¤áâ ®¢ª í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï ¢ (6.81) ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¬¥â®¤ ¯¥à¥¢ « ¤ ¥â (¯¨è¥¬ §¤¥áì ¢¬¥áâ® '0 ¯à®áâ® '): i i i1Z Z 00 exp ~ W = exp ~ S['0 ; J] D' exp ; ~ 2 dx'[2 + V ('0 )]' (6.87) £¤¥ ®¯ãé¥ ¢ª« ¤ ¢â®à®£® ç«¥ ¨§ (6.86), ¯®áª®«ìªã ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ¯¥à¥å®¤ ª ¯à¥¤¥«ã J ! 0. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¯¥â«¥¢®¥ à §«®¦¥¨¥ (íª¢¨¢ «¥â®¥, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, à §«®¦¥¨î ¯® ~), § ¬¥¨¬ ' ! ~1=2 ', ¨áª«îç ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ~ ¨§ ¢â®à®© íªá¯®¥âë ¢ (6.87). ¥à¥©¤¥¬ ¢ ¨â¥£à «¥ ¢ í⮩ íªá¯®¥â¥ ª ¥¢ª«¨¤®¢ã ¯à®áâà áâ¢ã, â ª çâ® ¨á祧¥â ¥é¥ ¨ ¬¨¬ ï ¥¤¨¨æ i. ¥¯¥àì ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨ äãªæ¨® «ì®£® ¨â¥£à « ¨á¯®«ì§ã¥¬ ®¡ëçãî ä®à¬ã«ã £ ãáᮢ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¨ ¯®«ã稬: i i exp W = exp S[' ; J] (Det[2 + V 00(' )]);1=2 (6.88) ~
~
0
0
164
ᯮ«ì§ãï á®®â®è¥¨¥ DetA = exp Sp ln A, ¯®«ãç ¥¬: Z (6.89) W [J] = S['0 ] + ~ dx'0(x)J(x) + i2~ Sp ln[2 + V 00 ('0 )] â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤ ¥â W[J] á ãç¥â®¬ ®¤®¯¥â«¥¢®© ª¢ ⮢®© ¯®¯à ¢ª¨, ç«¥ë O(~2 ) ®¯ãé¥ë. ¥¯¥àì ¬®¦® ¯®¤áâ ¢¨âì (6.89) ¢ (6.66). ® á ç « ¢ëà §¨¬ S['c ] ç¥à¥§ S['0 ]. ®« £ ï '0 = 'c ; '1, ¨¬¥¥¬: Z S j + ::: S['0 ] = S['c ; '1] = S['c ] ; dx'1 (x) '(x) 'c Z = S['c ] ; ~ dx'1(x)J(x) + ::: (6.90) ®£¤ ¯®¤áâ ®¢ª (6.89) ¨ (6.90) ¢ (6.66) ¢ ¯à¥¤¥«¥ J ! 0 ¤ ¥â: ;['c ] = S['c ] + i2~ Sp ln[2 + V 00('0 )] (6.91) { íä䥪⨢®¥ ¤¥©á⢨¥ á ãç¥â®¬ ®¤®¯¥â«¥¢®© ª¢ ⮢®© ¯®¯à ¢ª¨. ãáâì ⥯¥àì 'c (x) = ' = const. ®£¤ ;['] ®¯à¥¤¥«ï¥âáï (6.72), ¨§ (6.61) á«¥¤ã¥â S['] = ; V ('). ®®â¢¥âá⢥®, ¨§ (6.91) ¯®«ãç ¥¬ íää¥ªâ¨¢ë© ¯®â¥æ¨ « ¢¨¤ : U(') = V (') ; i2~ ;1Sp ln[2 + V 00 (')] (6.92) âáî¤ ¢¨¤¨¬, çâ® ¯à¨ ~ ! 0 (¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤¥«¥) íää¥ªâ¨¢ë© ¯®â¥æ¨ « ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ª« áá¨ç¥áª¨¬ ¯®â¥æ¨ «®¬ V ('), íä䥪⨢®¥ ¤¥©á⢨¥ (6.91) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ª« áá¨ç¥áª®¥ (6.61). ®áª®«ìªã è¯ãà ®¯¥à â®à ᢮¤¨âáï ª á㬬¥ (¨â¥£à «ã) ¯® ¢á¥¬ ᮡáâ¢¥ë¬ § 票ï¬, ¬®¦® (¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¥¢ª«¨¤®¢ã ¨¬¯ã«ìᮬ㠯à®áâà áâ¢ã) ¯¥à¥¯¨á âì (6.92) ¢ ¢¨¤¥: Z d4 kE 2 00 U(') = V (') + ~2 (2) 4 ln[kE + V (')] = Z d4 kE 2 + m2 + 1 g'2 ln k (6.93) = V (') + ~2 (2) E 4 2
ëà ¦¥¨ï â ª®£® ⨯ ¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¨§ãç¥¨ï ¢®¯à®á ® ᯮ⠮¬ àã襨¨ ᨬ¬¥âਨ á ãç¥â®¬ ª¢ ⮢ëå ¯®¯à ¢®ª. ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¥¬áï ¬¨ ¢ëè¥ ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¯à¨ m2 > 0 ¢ ªã㬠¡ë« ¥¢ë஦¤¥ë¬, ¯à¨ m2 < 0 ¢®§¨ª «® ¢ë஦¤¥¨¥ ¨ ᯮ⠮¥ àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ (ä §®¢ë© ¯¥à¥å®¤). â® ¡ã¤¥â á ãç¥â®¬ ª¢ ⮢ëå ¯®¯à ¢®ª, ¢ ç áâ®á⨠¯à¨ m2 = 0? § ®¤®¯¥â«¥¢®£® ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï íä䥪⨢®£® ¯®â¥æ¨ « á«¥¤ã¥â ¢®§¨ª®¢¥¨¥ ¥âਢ¨ «ì®£® ¬¨¨¬ã¬ ¯à¨ ' 6= 0 ¨ ¯à¨ m2 = 0 { ¯à®¨á室¨â ᯮ⠮¥ àã襨¥, ¨¤ãæ¨à®¢ ®¥ ª¢ ⮢묨 ¯®¯à ¢ª ¬¨. ᮦ «¥¨î, ®¤®¯¥â«¥¢®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¥¤®áâ â®ç® ¤«ï ¯®«®£® ¨áá«¥¤®¢ ¨ï í⮩ § ¤ ç¨ [8, 11]. ®«¥¥ ¯®¤à®¡® á ä®à¬ «¨§¬®¬ íä䥪⨢®£® ¯®â¥æ¨ « , ¥£® á¢ï§ìî á £à㯯®© ¯¥à¥®à¬¨à®¢®ª ¨ ¤à㣨¬¨ ᯥªâ ¬¨ ⥮ਨ ¬®¦® ¯®§ ª®¬¨âìáï ¯® ®¡§®àã [57].
áᬮâ८¥ ¢ëè¥ ¯¥â«¥¢®¥ à §«®¦¥¨¥, ïî饥áï, ä ªâ¨ç¥áª¨, à §«®¦¥¨¥¬ ¯® á⥯¥ï¬ ~, ¥ ¯® á⥯¥ï¬ ª®áâ âë á¢ï§¨ g, ¯à¥â¥¤ã¥â ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ¢ë室 § à ¬ª¨ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©. ¤ ª® íâ® ¥ ᮢᥬ â ª! ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ g á ¬ ¯® ᥡ¥ ¥áãé¥á⢥ . à®é¥ ¢á¥£® íâ® ¯®ïâì, ¥á«¨ ¯¥à¥©â¨ ª '0 = g'. ®£¤ « £à ¦¨ ⥮ਨ '4 ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥¯¨á ª ª: (6.94) L = g12 12 @'0 @ '0 ; 12 m2 '02 ; '04
165
ª¨¬ ®¡à §®¬ g ¢®®¡é¥ ¥ ¯®ï¢«ï¥âáï ¢ ª« áá¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨ïå ¤¢¨¦¥¨ï ¨, ª § «®áì ¡ë, ¥¥ § 票¥ ¥áãé¥á⢥®. â®, ª®¥ç®, ¥ â ª ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¨ ¤¥«® âãâ, ª ª à §, ¢ ¯®ï¢«¥¨¨ ~. ¥«® ¢ ⮬, çâ® ¢ ª¢ ⮢®¬ á«ãç ¥ ¢á¥£¤ 䨣ãà¨àã¥â ®â®è¥¨¥: 1 L = 1 1 @ '0 @ '0 + ::: (6.95) ~ g2 ~ 2 ¨ áãé¥áâ¢¥ë¬ ¯ à ¬¥â஬ ï¥âáï g2 ~. ®í⮬ã, ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ (¬ «ë¥ ~), ä ªâ¨ç¥áª¨, â¥á® á¢ï§ ® á ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ á« ¡®© á¢ï§¨ (¬ «ë¥ g).
áâ â®ë ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥. ¥âਢ¨ «ìë¥ ¥¯¥àâãà¡ â¨¢ë¥ íä䥪âë ¢ ª¢ ⮢®© ¬®£ãâ ¢®§¨ª âì ¤ ¦¥ ¯à¨ ¬ «ëå § 票ïå ª®áâ âë á¢ï§¨, ª®£¤ , ª § «®áì ¡ë ¨ª ª¨å ᮬ¥¨© ¢ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠⥮ਨ ¢®§¬ã饨© ¡ëâì ¥ ¬®¦¥â. ¤ ª® íâ® ¥ ¢á¥£¤ â ª! ¦¥ ¢ ®¡« á⨠¬ «ëå § 票© ª®áâ âë á¢ï§¨ ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì ¥¨ï, ¤«ï ®¯¨á ¨ï ª®â®àëå ⥮à¨ï ¢®§¬ã饨© ᮢ¥à襮 ¥ ¤¥ª¢ â 6 . ਬ¥à®¬ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ®¯¨á ¨¥ íä䥪⮢ ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®£® â㥫¨à®¢ ¨ï. 祬 á ®¡ë箩 ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨. áᬮâਬ ç áâ¨æã ¥¤¨¨ç®© ¬ ááë, ¤¢¨¦ãéãîáï ¢ ®¤®¬¥à®¬ ¯®â¥æ¨ «¥: H = 21 p2 ; V (x) (6.96) ¨¦¥ ¬ë ¯®«ã稬 ¨§¢¥áâë¥ à¥§ã«ìâ âë ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨, ® ¤®áâ â®ç® ¥®¡ëçë¬ á¯®á®¡®¬, ª®â®àë© ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ 㤮¡® ®¡®¡é¨âì á«ãç © ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï.
¢ª«¨¤®¢ë ¨â¥£à «ë ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬.
áᬮâਬ ¥¢ª«¨¤®¢ã (¬¨¬®¥ ¢à¥¬ï!) ¢¥àá¨î 䥩¬ ®¢áª®£® ¨â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬: Z ; HT= ~ < xf je jxi >= N [dx]e;S=~ (6.97) ¤¥áì jxi > ¨ jxf > { ᮡáâ¢¥ë¥ á®áâ®ï¨ï ®¯¥à â®à ª®®à¤¨ âë ç áâ¨æë, H { ¥¥ £ ¬¨«ì⮨ . ¥à㠨⥣à¨à®¢ ¨ï, ®¡®§ ç ¢èãîáï ¢ëè¥ ª ª Dx, ⥯¥àì ®¡®§ ç ¥¬ [dx], ¢¥«¨ç¨ã T áç¨â ¥¬ ¯®«®¦¨â¥«ì®©. ¢¥¤¥¬, ª ª ®¡ëç®, ¯®«ë© ¡®à ᮡá⢥ëå á®áâ®ï¨© £ ¬¨«ì⮨ : H jn >= Enjn > ¨ § ¯¨è¥¬:
< xf je;HT=~ jxi >=
X n
e;En T=~ < xf jn >< njxi >
(6.98) (6.99)
®£¤ ¢ ¯à¥¤¥«¥ T ! 1 §¤¥áì ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¢ª« ¤ ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï. 6 ¯®á«¥¤ãî饬 ¨§«®¦¥¨¨ ¬ë á«¥¤ã¥¬, ¢ ®á®¢®¬, «¥ªæ¨ï¬ ®ã«¬í [58], ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡® á í⨬¨ ¯à®¡«¥¬ ¬¨ ¬®¦® ¯®§ ª®¬¨âìáï ¯® ¯à¥ªà ᮩ ª¨£¥ [59]
166
¯à ¢®© ç á⨠(6.97) á⮨⠥¢ª«¨¤®¢® ¤¥©á⢨¥:
Z T=2 " 1 dx 2 # S= dt 2 dt + V
(6.100)
;T=2
⥣à¨à®¢ ¨¥ [dx] ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬, ¯®¤ç¨¥ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬: x(;T=2) = xi , x(T=2) = xf . ®¤à®¡¥¥, ¥á«¨ x(t) { ¤ ï äãªæ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï â ª¨¬ ãá«®¢¨ï¬, â® ¯à®¨§¢®«ì ï äãªæ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ⥬ ¦¥ ãá«®¢¨ï¬, ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ ¢¨¤¥: x(t) = x(t) +
X n
cn xn(t)
(6.101)
£¤¥ xn(t) ®¡à §ãîâ ¯®«ãî á¨á⥬㠮à⮮ନ஢ ëå äãªæ¨©, ®¡à é îé¨åáï ¢ ã«ì £à ¨æ å:
Z T=2
;T=2
xn(T=2) = 0
dtxn(t)xm (t) = nm
(6.102)
®£¤ ¬¥àã [dx] ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª: [dx] =
Y n
(2~);1=2dcn
(6.103)
祢¨¤®, çâ® â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë \¯¥à¥¡¥à¥¬" ¢á¥ âà ¥ªâ®à¨¨, ®â 䥩¬ ®¢áª®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤ ®¥ ®â«¨ç ¥âáï ⮫쪮 ®à¬¨à®¢®çë¬ ¬®¦¨â¥«¥¬. à ¢ãî ç áâì (6.97) ¥âà㤮 á®áç¨â âì ¢ ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ (¬ «ë¥ ~!). ᮢ®© ¢ª« ¤ ¢ ¤¥©á⢨¥ ¤ îâ ⮣¤ â®çª¨ ¢¡«¨§¨ íªáâ६ «ì®© âà ¥ªâ®à¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¨§: S = ; d2 x + V 0(x) = 0 (6.104) x dt2 { ¥¢ª«¨¤®¢ ãà ¢¥¨ï ìîâ® . 롥६ xn ¢ ¢¨¤¥ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ¢â®à®© ¢ ਠ樮®© ¯à®¨§¢®¤®© ¤¥©á⢨ï S x: 2 (6.105) ; ddtx2n + V 00 (x)xn = n xn 뢮¤ (6.105) ᢮¤¨âáï ª á«¥¤ãî饬ã. «®£¨ç® à áᬮâ२î, ¯à®¢¥¤¥®¬ã ¢ á ¬®¬ ç «¥ « ¢ë 2 ç á⨠I, ¯¥à¢ ï ¢ ਠæ¨ï ¤¥©á⢨ï, ¯à¨ ¢ àì¨à®¢ ¨¨ âà ¥ªâ®à¨¨ x ! x + a, ¢ ¤ ®© § ¤ ç¥ á¢®¤¨âáï ª: Z T=2 d2 x 0 (6.106) S = ;a dt ;m dt2 + V (x) dt = 0 ¯à¨ x = x ;T=2 ®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â § ª® ìîâ® (6.104).
᫨ §¤¥áì ᮢ ¯à®¢ àì¨à®¢ âì x ! x + a, â® ¯®«ã稬:
2 S = ;a
Z T=2 d2 (x + a) ;T=2
dt
dt2
+ V (x + a) = ;a
Z T=2
;T=2
dt[;x ; a + V 0 (x) + V 00 (x)a] = = ;a
Z T=2
;T=2
dt[;a + V 00 (x)] (6.107)
167
¨á. 6-7
£¤¥ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯®á«¥¤¥¬ã à ¢¥áâ¢ã ¨á¯®«ì§®¢ «¨ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï (6.104). ®£¤ ãá«®¢¨¥ 2 S > 0 (¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ a) ¤ ¥â 2 ; m ddt2a + V 00 (x)a > 0 (6.108) çâ® íª¢¨¢ «¥â® (6.105).
®£¤ , ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¬ «ëå ~, ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ (6.101) ¢ (6.100), ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï ª¢ ¤à â¨ç묨 ®âª«®¥¨ï¬¨ âà ¥ªâ®à¨© ®â ª« áá¨ç¥áª®© x, â ª çâ® ¨â¥£à «ë ¯® cn áâ ®¢ïâáï £ ãáᮢ묨, ¨ ¬ë 室¨¬: < xf je;HT=~ jxi >= N e;S (x)=~
Y n
;n 1=2[1 + O(~)] =
= N e;S (x)=~ Det(;@ 2 + V 00(x)) ;1=2 [1 + O(~)] t
(6.109)
᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥áª®«ìª® áâ 樮 àëå â®ç¥ª ¤¥©á⢨ï, â® ¨å ¢ª« ¤ë 㦮 ¯à®á㬬¨à®¢ âì. ¬¥â¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¥¢ª«¨¤®¢® ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï (6.104) íª¢¨¢ «¥â® ®¡ë箬ã ìîâ®®¢áª®¬ã ãà ¢¥¨î ¤«ï ç áâ¨æë ¥¤¨¨ç®© ¬ ááë, ¤¢¨¦ã饩áï ¢ ¯®â¥æ¨ «¥ ¬¨ãá V ! «ï â ª®£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥¬ ¨â¥£à « ¤¢¨¦¥¨ï:
x 2 ; V (x) (6.110) E = 12 d dt áᬮâਬ ¯®â¥æ¨ « V , ¨§®¡à ¦¥ë© ¨á.6-7( ). ãáâì xi = xf = 0. ¢¥àâ¨à®¢ ë© ¯®â¥æ¨ « ¨§®¡à ¦¥ ¨á.6-7(¡). 祢¨¤®, çâ® ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ª« áá¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ¢ í⮬ ¯®â¥æ¨ «¥, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬, ¨¬¥¥â ¢¨¤: x = 0 (6.111) { ç áâ¨æ ¯®ª®¨âáï ¢¥à訥. «ï í⮣® à¥è¥¨ï ¨¬¥¥¬ S = 0. ®£¤ ¨§ (6.109) ¨¬¥¥¬: < 0je;HT=~ j0 >= N [Det(;@t2 + !2 )];1=2[1 + O(~)] (6.112) £¤¥ 㫨 ®¡®§ ç îâ ¯¥à¥å®¤ ¨§ ç « ª®®à¤¨ â ¢ ç «® ª®®à¤¨ â, !2 = V 00(0) { ª¢ ¤à â ç áâ®âë ¬ «ëå ª®«¥¡ ¨© ¢¡«¨§¨ ¬¨¨¬ã¬ ¯®â¥æ¨ « V . ®¦® ¯®ª § âì [58], çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å T : ;1=2 ;!T=2 N [Det(@t2 + !2 )];1=2 = !~ e (6.113)
168
¨á. 6-8
®£¤ ¨§ (6.112) ¨ à áá㦤¥¨© ¢®ªà㣠(6.99) áà §ã ¢¨¤¨¬, çâ® í¥à£¨ï ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥, ¥áâì: (6.114) E0 = 12 ~![1 + O(~)] â.¥. í¥à£¨ï ®á樫«ïâ®à , ᮢ¥àè î饣® ã«¥¢ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¢¡«¨§¨ ¬¨¨¬ã¬ V . ¥à®ïâ®áâì ç áâ¨æ¥ ¯à¥¡ë¢ âì ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â, ª®£¤ ® 室¨âáï ¢ ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨, à ¢ :
1=2 j < x = 0jn = 0 > j2 = !~ [1 + O(~)]
(6.115)
â® ¢á¥¬ ¨§¢¥áâë¥ à¥§ã«ìâ âë ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨. ®¡á⢥® £®¢®àï, ¨§ â ª®£® ᮮ⢥âá⢨ï áà §ã ïá á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì (6.113). ¨§¨ª ¤¥« ⮦¥ ¢¯®«¥ ïá { ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¬ «ëå ~ ç áâ¨æ 室¨âáï ¢ ®á®¢®¬ á®áâ®ï¨¨ £ ମ¨ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à , ¢¡«¨§¨ ç « á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â.
¢ãåêï¬ë© ¯®â¥æ¨ « ¨ ¨áâ â®ë. áᬮâਬ ⥯¥àì ¡®«¥¥ ¨â¥à¥áë© ¯à¨¬¥à { ¤¢ãåêï¬ë© ¯®â¥æ¨ «, ¨§®¡à ¦¥ë© ¨á.6-8(a). í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ V (x) = V (;x), ¯à¨ç¥¬ ¬¨¨¬ã¬ë ¯®â¥æ¨ « à ᯮ«®¦¥ë ¢ â®çª å x = a. ¢¥¤¥¬ â ª¦¥ !2 = V 00(a) { ª¢ ¤à â ç áâ®âë ª «áá¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨© ç áâ¨æë ¢¡«¨§¨ ¬¨¨¬ã¬®¢. ááç¨â ¥¬ á«¥¤ãî騥 ¬¯«¨âã¤ë ¯¥à¥å®¤ : < ;aje;HT=~ j ; a >=< aje;HT=~ ja > < aje;HT=~ j ; a >=< ;aje;HT=~ ja >
(6.116) (6.117)
¯¯à®ªá¨¬¨àãï ¨â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ª¢ §¨ª« áᨪ®©, ¢ ¤ãå¥ ¯à®¢¥¤¥®£® ⮫쪮 çâ® à áᬮâ२ï ç áâ¨æë ¢ ®¤®© ﬥ. ª ç¥á⢥ ¯¥à¢®£® è £ 㦮 ®¯ïâì ©â¨ à¥è¥¨ï ª« áá¨ç¥áª¨å ¥¢ª«¨¤®¢ëå ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï (6.104), 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ã¦ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬. ãé¥áâ¢ã¥â ¤¢ ®ç¥¢¨¤ëå à¥è¥¨ï { ª®£¤ ç áâ¨æ ¢á¥ ¢à¥¬ï ¯à¥¡ë¢ ¥â ¢¥à訥 ¯à ¢®£® ¨«¨ «¥¢®£® 宫¬ ¨á.68(b). ¤ ª® ¥áâì ¨ ¡®«¥¥ ¨â¥à¥á®¥ à¥è¥¨¥ { ª®£¤ ç áâ¨æ áâ àâã¥â á ®¤®© ¨§ ¢¥àè¨ ( ¯à¨¬¥à «¥¢®©) ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ;T=2, § ⥬ ¯¥à¥ª âë¢ ¥âáï ¯à ¢ãî ¢¥àè¨ã ª ¬®¬¥âã +T=2 (T ! 1). í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á à¥è¥¨ï¬¨
169
¨á. 6-9
ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï á E = 0 (¯®áª®«ìªã E = 0 ¢ ç «ì®¬ á®áâ®ï¨¨ x = a). ®®â¢¥âá⢥® (á¬. (6.110)): dx = p2V ; (6.118) dt ¨ à¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤: Zx 1 (6.119) t = t1 + dx0 p 2V 0 £¤¥ t1 { ª®áâ ⠨⥣à¨à®¢ ¨ï (¢à¥¬ï, ¯à¨ ª®â®à®¬ x = 0). â® à¥è¥¨¥, ®ç¥¢¨¤®, ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¯®ª § ë© ¨á.6-9. ª®¥ à¥è¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ¨áâ â®®¬7 , æ¥âà¨à®¢ ë¬ ¢ â®çª¥ t1 . ¥àª «ì® ᨬ¬¥âà¨ç®¥ à¥è¥¨¥ ¬®¦® §¢ âì ⨨áâ â®®¬. ¦® ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ¨áâ â® ®¡« ¤ ¥â ª®¥çë¬ ¤¥©á⢨¥¬: Z T=2 " 1 dx 2 # Z T=2 dx 2 Z a p S0 = dt 2 dt + V = (6.120) dt dt = dx 2V ;T=2 ;T=2 ;a £¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (6.118). ਠ¡®«ìè¨å t ¨¬¥¥¬ x ! a, â ª çâ® (6.118) ¬®¦® ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì ª ª: dx = p!2(x ; a)2 = !(a ; x) (6.121) dt â ª çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å t: (a ; x) e;!t (6.122) 1 { ¨áâ â® \«®ª «¨§®¢ ¢® ¢à¥¬¥¨" ( ¢à¥¬¥ å ! ), çâ® ¨ ¯®ïáï¥â ¯à®¨á宦¤¥¨¥ §¢ ¨ï. á®, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å T ¥ ⮫쪮 ¨áâ â® ¨ ⨨áâ ⮠ïîâáï à¥è¥¨ï¬¨ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï, ® ¯à¨¡«¨¦¥ë¬¨ à¥è¥¨ï¬¨ ïîâáï â ª¦¥ ¨ 楯®çª¨ ¨§ å®à®è® à §¤¥«¥ëå ¨áâ â®®¢ ¨ ⨨áâ â®®¢. ਬ¥à â ª®© ª®ä¨£ãà 樨 ¯®ª § ¨á.6-10, £¤¥ ¨¬¥¥âáï n ®¡ê¥ªâ®¢ (¨áâ â®®¢ ¨«¨ ⨨áâ â®®¢), æ¥âà¨à®¢ ëå ¢ â®çª å t1; :::; tn: T > t > t > ::: > t > ; T (6.123) n 2 1 2 2 ®®â¢¥âá⢥®, ¢ ¨â¥£à «¥ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ¥®¡å®¤¨¬® ¯à®á㬬¨à®¢ âì ¢ª« ¤ë ®â ¢á¥å â ª¨å ª®ä¨£ãà 権.
7 நá宦¤¥¨¥ í⮣® §¢ ¨ï á¢ï§ ® á ®ç¥¢¨¤®© «®£¨¥© á ᮫¨â®®¬, ® ¯®¤ç¥àª¨¢ ¥â, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® à¥è¥¨¨ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï.
170
¨á. 6-10
¥à¥©¤¥¬ ª áç¥âã! «ï n å®à®è® ®â¤¥«¥ëå ®¡ê¥ªâ®¢, ®ç¥¢¨¤®, ¨¬¥¥¬ ¢ª« ¤ ¢ ¤¥©á⢨¥ S = nS0 , çâ® ¤ ¥â ¢ äãªæ¨® «ì®¬ ¨â¥£à «¥ ¢ª« ¤ exp(;nS0 ). ¥â¥à¬¨ â á®áç¨â âì á«®¦¥¥. áᬮâਬ ®¯¥à â®à ¢à¥¬¥®© í¢®«î樨 e;HT ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ®¯¥à â®à®¢, á¢ï§ ëå á í¢®«î樥© ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨, £¤¥ æ¥âà¨à®¢ ë ¨áâ â®ë ¨ ⨨áâ â®ë.
᫨ ¡ë ¨å ¥ ¡ë«®, â® ¢á¥© ¢à¥¬¥®© ®á¨ ¬ë ¨¬¥«¨ ¡ë V 00 = !2 ¨ ¯®«ã稫¨ ¡ë â®â ¦¥ १ã«ìâ â, çâ® ¨ ¢ëè¥, ¤«ï ®¤®ï¬®£® ¯®â¥æ¨ « (6.113): ! 1=2 ;!T=2 (6.124) ~ e â¥à¢ «ë, ª®â®àëå à ᯮ«®¦¥ë ¨áâ â®ë ¨ ⨨áâ â®ë ¢®áïâ ¯®¯à ¢ªã, ª®â®àãî § ¯¨è¥¬ ª ª: ! 1=2 ;!T=2 n e K (6.125) ~ £¤¥ K ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨§ ãá«®¢¨ï, ç⮡ë íâ ä®à¬ã« ¤ ¢ « ¯à ¢¨«ìë© ®â¢¥â ¤«ï á«ãç ï ®¤®£® ¨áâ â® . ®§¦¥ ¬ë ©¤¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¥ ¢ëà ¦¥¨¥. ¯®ª § ¬¥â¨¬, ¤«ï ãç¥â ¢á¥å ¢®§¬®¦ëå ¢ª« ¤®¢ ¢ ¨â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ 㦮 ¯à®¨â¥£à¨à®¢ âì ¯® ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¯®«®¦¥¨ï¬ æ¥â஢: Z T=2 Z t1 Z tn;1 n dt1 dt2::: dtn = Tn! (6.126) ;T=2 ;T=2 ;T=2 㦮 ¥é¥ ãç¥áâì, çâ® ã á ¥â ¯®«®© ᢮¡®¤ë ¤«ï à ááâ ®¢ª¨ ¨áâ â®®¢ ¨ ⨨áâ â®®¢. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¬ë áâ àâ㥬 á ;a, ¯¥à¢ë© ®¡ê¥ªâ, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¯®¢áâà¥ç âìáï, ¤®«¦¥ ¡ëâì ¨áâ â®®¬, á«¥¤ãî騩 { ⨨áâ â®®¬ ¨ â.¤.
᫨ ¯à¨ í⮬ ¬ë ¢®§¢à é ¥¬áï ¢ ;a, â® n ¤®«¦® ¡ëâì ç¥âë¬, ®¡®à®â, ¥á«¨ ¬ë å®â¨¬ ¯¥à¥©â¨ ¢ +a, n ¤®«¦® ¡ëâì ¥ç¥âë¬. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬: 1=2 X (Ke;S0 =~ T)n [1 + O(~)]; (6.127) < ;aje;HT=~ j ; a >= !~ e;!T=2 n! ¥âë¥ n ⮣¤ ª ª < aje;HT=~ j; a > ¤ ¥âáï â ª¨¬ ¦¥ ¢ëà ¦¥¨¥¬, ® á á㬬®© ¯® ¥ç¥âë¬ n. ã¬¬ë ¢¯®«¥ âਢ¨ «ìë ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬: 1=2 1 ;S0 =~ T ) exp(;Ke;S0 =~ T)] (6.128) < aje;HT=~ j ; a >= !~ 2 [exp(Ke
ᯮ¬¨ ï (6.99) < xf je;HT=~ jxi >=
X n
e;En T=~ < xf jn >< njxi >;
¯®¨¬ ¥¬, çâ® ¤¢ ¨¨§è¨å ã஢ï á¨áâ¥¬ë ®¡« ¤ îâ í¥à£¨ï¬¨: E = 21 ~! ~Ke;S0 =~
᫨ ®¡®§ ç¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á®áâ®ï¨ï j+ > ¨ j; >, ¢¨¤¨¬, çâ®:
171
(6.129)
(6.130)
;1=2 j < +ja > j2 = j < ;ja > j2 =< aj; >< ;j;a >= ; < aj+ >< +j;a >= 21 !~
(6.131) â® å®à®è® ¨§¢¥áâë¥ à¥§ã«ìâ âë ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ [29]: ¯à®¨á室¨â à á饯«¥¨¥ ãà®¢ï ¢ ¤¢ãåêאַ¬ ¯®â¥æ¨ «¥ § áç¥â â㥫¨à®¢ ¨ï (áï⨥ ¢ë஦¤¥¨ï ¬¥¦¤ã ã஢ﬨ ¢ ¤¢ãå ¬¨¨¬ã¬ å). §®áâì í¥à£¨© ¯à¨ í⮬ e;S0 =~ . ¨¦¥¥ á®áâ®ï¨¥ j; > { ç¥â ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¢®«®¢ëå äãªæ¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ¥, «®ª «¨§®¢ ®© ¢ ª ¦¤®© ¨§ אַª (¯¥à¢®¥ ¢®§¡ã¦¤¥®¥ á®áâ®ï¨¥ j; > { ¥ç¥â ï ª®¬¡¨ æ¨ï). ¥¯¥àì § ©¬¥¬áï à áç¥â®¬ ä ªâ®à K. «ï í⮣® 㦮 ¨§ãç¨âì ᢮©á⢠à¥è¥¨© ãà ¢¥¨ï (6.105): 2 (6.132) ; ddtx2n + V 00 (x)xn = n xn £¤¥ x ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¤®¨áâ â®®¥ à¥è¥¨¥. ®áª®«ìªã ¨¬¥¥âáï ¨¢ ਠâ®áâì ®â®á¨â¥«ì® ᤢ¨£ ¯® ¢à¥¬¥¨ (æ¥âà ¨áâ â® ¬®¦¥â ¡ëâì à ᯮ«®¦¥ ¢ ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¥ ®á¨ ¢à¥¬¥¨), íâ® ãà ¢¥¨¥ ®¡ï§ â¥«ì® ®¡« ¤ ¥â ᮡá⢥®© äãªæ¨¥© á ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ à ¢ë¬ ã«î (ã«¥¢ ï âà á«ï樮 ï ¬®¤ ). ¢ë© ¢¨¤ í⮩ äãªæ¨¨: x x1 = S0;1=2 d (6.133) dt ®à¬¨à®¢®çë© ä ªâ®à §¤¥áì ¢®§¨ª ¥â ¨§ (6.120):
Z dx 2 dt dt = S0
(6.134)
áãé¥á⢮¢ ¨¨ ã«¥¢®© ¬®¤ë «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. áâ â® x(t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î (6.104) 2 (6.135) ; ddt2x + V 0 (x) = 0 ® x(t + T ), £¤¥ T ¯à®¨§¢®«ì®, ¥áâì ᮢ à¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï: 2 ; d x(dtt 2+ T ) + V 0 (x(t + T )) = 0 (6.136) ¨ää¥à¥æ¨àãï íâ® ãà ¢¥¨¥ ¯® T , ¯®«ãç ¥¬ 2 ; ddtx21 + V 00 (x)x1 = 0 (6.137) çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â è¥ ã⢥ত¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® (6.133).
172
ãé¥á⢮¢ ¨¥ ã«¥¢®© ¬®¤ë á 1 = 0, ª § «®áì ¡ë, ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®¡«¥¬¥.
᫨ ¬ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì £ ãáᮢ ¨â¥£à « ¢¡«¨§¨ íªáâ६ «ì®© âà ¥ªâ®à¨¨ (¨áâ â® ) â ª, ª ª íâ® ®¯¨á ® ¢ á¢ï§¨ á (6.101), (6.103) ¨ (6.109), â® ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¯® c1 ¬ë ¯®«ã稬 à á室¨¬®áâì! ªâ¨ç¥áª¨, ®¤ ª®, ¬ë 㦥 ¯à®¤¥« «¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥, ª®£¤ ¨â¥£à¨à®¢ «¨ ¯® æ¥âà ¬ ¨áâ â®®¢ ( ⨨áâ â®®¢) ¢ (6.126). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§¬¥¥¨¥ x(t) ¯à¨ ¥¡®«ì讬 ᤢ¨£¥ æ¥âà ¨áâ â® t1 à ¢®: dx dx = dt dt1 (6.138)
⮦¥ ¢à¥¬ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¨§¬¥¥¨¥ § áç¥â ¨§¬¥¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â à §«®¦¥¨ï c1 ¢ (6.101) ¥áâì: dx = x1dc1 (6.139) ; p d x ®£¤ ,p§ ¯¨áë¢ ï ¢ (6.138) dt dt1 = S0 x1 dt1, ¨ áà ¢¨¢ ï íâ® á (6.139), ¯®«ãç ¥¬ dc1 = S0 dt1, ¨«¨: S0 1=2 ; 1 = 2 (2~) dc1 = 2~ dt1 (6.140) £¤¥ ~ ¢¢¥¤¥ ¤«ï ®¡¥§à §¬¥à¨¢ ¨ï ®à¬¨à®¢®ç®£® ¬®¦¨â¥«ï. ®í⮬㠯ਠ¢ëç¨á«¥¨¨ ¤¥â¥à¬¨ â , á¢ï§ ®£® á £ ãáᮢ᪨¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬, ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ ⨯ (6.109) ¥ 㦮; ¢ª«îç âì ã«¥¢®¥ ᮡá⢥®¥ § 票¥, ® § ⮠㦮 ¢ª«îç¨âì ¢ K ¬®¦¨â¥«ì 2S0~ 1=2. ®í⮬ã, ®¤®¨áâ â®ë© ¢ª« ¤ ¢ ¬ âà¨çë© í«¥¬¥â ¯¥à¥å®¤ ¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬:
S0 1=2 < aje;HT=~ j ; a >1inst= N T 2 e;S0 =~ [Det0 (;@t2 + V 00(x))];1=2 (6.141) ~ £¤¥ èâà¨å ¤ § ª®¬ ¤¥â¥à¬¨ â ®§ ç ¥â, çâ® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨ í⮣® ¤¥â¥à¬¨ â ®¯ã᪠¥âáï ã«¥¢®¥ ᮡá⢥®¥ § 票¥. à ¢¨¢ ï (6.141) á ®¤®¨áâ â®ë¬ ¢ª« ¤®¬ ¢ (6.127), 室¨¬: S 1=2 Det(;@2 + !2) 1=2 0 2 t 00 K = 20~ Det (;@t + V (x))
(6.142)
â® § ¢¥àè ¥â è à áç¥â! ¤¥« ¥¬ ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï ¯® ¯®¢®¤ã ¯à®¤¥« ëå ¢ëç¨á«¥¨©: 1. ®¦® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë ᮢ¯ ¤ îâ á® áâ ¤ àâ묨 ¢ë¢®¤ ¬¨ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ [29]. 2. ë ¯®« £ «¨, çâ® ¢á¥ n > 0 (ªà®¬¥ 1 = 0). â® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® â ª, ¯®áª®«ìªã ¨¨§è¥¥ á®áâ®ï¨¥ x1, ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥âì ¨§ ¥£® £® ¢¨¤ , ¥ ¨¬¥¥â ã«¥©, ª ª ¨ ¤®«¦® ¡ëâì ã ®¤®¬¥à®£® ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à . â® ïá® ¨§ ⮣®, çâ® à áᬮâà¥ë© ¨áâ ⮠ï¥âáï ¬®®â®® ¢®§à áâ î饩 ( ⨨áâ â® { ã¡ë¢ î饩) äãªæ¨¥© t, ⮣¤ ¥£® ¯à®¨§¢®¤ ï x1 ddtx ¥ ¨¬¥¥â ã«¥©. 3. ®íää¨æ¨¥â K ¯à®¯®à樮 «¥ ~;1=2 , çâ® á¢ï§ ® á ¢ª« ¤®¬ ã«¥¢®© ¬®¤ë. â®, á ¬®¬ ¤¥«¥, ®¡é¥¥ ¯à ¢¨«® { ª ¦¤ ï ã«¥¢ ï ¬®¤ ( ¨å ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ ¥áª®«ìª®!) ¤ ¥â ¬®¦¨â¥«ì ~;1=2.
173
¨á. 6-11
«®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦® ¯à® «¨§¨à®¢ âì ¨ § ¤ çã ® ç áâ¨æ¥ ¢ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¬ ¯®â¥æ¨ «¥, ¯®ª § ®¬ ¨á.6-11. ⫨稥 ®â ¯à¥¤ë¤ã饣® á«ãç ï á®á⮨⠢ ⮬, ç⮠⥯¥àì ®âáãâáâ¢ã¥â ãá«®¢¨¥ ç¥à¥¤®¢ ¨ï ¨áâ â®®¢ ¨ ⨨áâ â®®¢, çâ® á¢ï§ ® á áãé¥á⢮¢ ¨¥¬ ¬®¦¥áâ¢ íª¢¨¢ «¥âëå ¬¨¨¬ã¬®¢¯®â¥æ¨ « . ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¯®«®¥ ç¨á«® ¨áâ â®®¢ ¬¨ãá ¯®«®¥ ç¨á«® ⨨áâ â®®¢ ¤®«¦®, ¢ í⮬ á«ãç ¥, à ¢ïâìáï ¨§¬¥¥¨î x ¬¥¦¤ã ç «ì®© ¨ ª®¥ç®© ª®®à¤¨ â ¬¨. ®£¤ , ¢¬¥áâ® (6.128), ¬®¦® ¯¨á âì: 1 X 1 1=2 ;!T=2 X 1 (Ke;S0 =~ T )n+n < j+ je;HT=~ jj; >= ! e (6.143) n;n ;j+ +j; n ! n! ~ n=0 n =0
£¤¥ n { ç¨á«® ¨áâ â®®¢, n { ç¨á«® ⨨áâ â®®¢. ᯮ«ì§ã¥¬ ⥯¥àì: Z 2 d ei(a;b) ab = 0 2 çâ®¡ë ¯¥à¥¯¨á âì (6.143) ª ª:
(6.144)
Z
1=2 ;!T=2 2 d < j+ je;HT=~ jj; >= ! exp[2KTK cos e;S0 =~ T )] (6.145) e ~ 0 2 í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ¨¬¥¥¬ ª®â¨ã㬠ᮡá⢥ëå § 票© í¥à£¨¨ ç áâ¨æë (§®ã!), ¯ à ¬¥âਧ®¢ ëå \㣫®¬" : E () = 21 ~! + 2Ke;S0 =~ cos (6.146) âà¨çë¥ í«¥¬¥âë: 1=4 ;1=2 ij (2) e (6.147) < jj >= ! ~ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®©, ¯® áã⨠¤¥« , ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¡«®å®¢áªãî ¢®«ã. áâ â®ë ¨ ¬¥â áâ ¡¨«ìë¥ á®áâ®ï¨ï.
áᬮâਬ ¯®â¥æ¨ «, ¨§®¡à ¦¥ë© ¨á.6-12(a).
᫨ ¡ë ¡ë«® ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì â㥫¨à®¢ ¨¥¬, â® áãé¥á⢮¢ «® ¡ë á¢ï§ ®¥ á®áâ®ï¨¥ ¢¡«¨§¨ ç « ª®®à¤¨ â. ¥à¥¢¥àãâë© ¯®â¥æ¨ « ¯®ª § ¨á.6-12(b). « áá¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¨¬¥î⠮祢¨¤®¥ à¥è¥¨¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ç áâ¨æ¥, áâ àâãî饩 ¢¥à訥 宫¬ ¯à¨ x = 0, ª®â®à ï § ⥬ ®âà ¦ ¥âáï ®â ª« áá¨ç¥áª®© â®çª¨ ¯®¢®à®â ¨ ¢®§¢à é ¥âáï ®¡à â® ¢¥àè¨ã, ª ª ¯®ª § ® ¨á.6-13. ®áç¨â ¥¬
174
¨á. 6-12
¨á. 6-13
¬ âà¨çë© í«¥¬¥â ¯¥à¥å®¤ ¨§ x = 0 ¢ x = 0, á㬬¨àãï ¯® ¢á¥¬ á®áâ®ï騬 ¨§ 㤠«¥ëå ¤à㣠®â ¤à㣠¨áâ â®®¢ ¨á.6-13. ãâ, ¢à®¤¥ ¡ë, ¤® ¤¥« âì ¢á¥ ª ª ¨ ¢ëè¥ (á ®ç¥¢¨¤ë¬ ¯¥à¥®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ S0 , !2 ¨ â.¯.), ®¤ ª® ¡¥§ ®£à ¨ç¥¨© ç¥â®áâì ç¨á« ¨áâ â®®¢. ®£¤ ¯à¨ á㬬¨à®¢ ¨¨ \ ¡¨à ¥âáï" ¯®« ï íªá¯®¥â : 1=2 ;!T=2 e exp[KTe;S0 =~ ] (6.148) < 0je;HT=~ j0 >= !~ ¨ ᮡá⢥®¥ § 票¥ í¥à£¨¨ ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ¥áâì: E0 = 21 ~! + ~Ke;S0 =~
(6.149)
® íâ® ¥¢¥à®! ªâ¨ç¥áª¨, ¢ í⮩ á¨âã 樨 ¥áâì â㥫¨à®¢ ¨¥ ¨ ¢®§¨ª ¥â ¥áâ ¡¨«ì®¥ á®áâ®ï¨¥! § ¢¨¤ ¨áâ â® ¨á.6-13 ïá®, ç⮠ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï x1 ddtx ¨¬¥¥â ã«ì ¨ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì äãªæ¨¥©, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¨¨§è¥© í¥à£¨¨. ® ¥¥ â® í¥à£¨ï à ¢ ã«î, íâ® § ç¨â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¥é¥ á®áâ®ï¨¥ á 0 < 0 ¨ ᮡá⢥®© äãªæ¨¥©, ¥ ¨¬¥î饩 ã«¥©. ®í⮬ã ä ªâ®à K, ¢ ª®â®àë© ¢å®¤¨â ª®à¥ì ¨§ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ᮡá⢥ëå § 票©, ¥áâì ¬¨¬ ï ¢¥«¨ç¨ . ®í⮬ã, á ¬®¬ ¤¥«¥, â ª¨¬ ᯮᮡ®¬ ¯®«ãç ¥âáï: ImE0 = ;2 ~jK je;S0 =~
(6.150)
çâ® ®â¢¥ç ¥â è¨à¨¥ ã஢ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¬¥â áâ ¡¨«ì®¬ã á®áâ®ï¨î.
175
¨á. 6-14
áâ â®ë ¨ ¥áâ ¡¨«ìë© ¢ ªã㬠¢ ⥮ਨ ¯®«ï. áᬮâਬ ⥯¥àì ᪠«ïàãî ⥮à¨î ¯®«ï á ¥¢ª«¨¤®¢ë¬ ¤¥©á⢨¥¬: Z S = d4x 12 (@ )2 + U( ) (6.151) £¤¥ ¯®â¥æ¨ « U( ) ¯®ª § ¨á.6-14: ¨¬¥¥âáï ¤¢ ¥íª¢¨¢ «¥âëå ¬¨¨¬ã¬ + ¨ ;, ¯à¨ç¥¬ ; { ¡á®«îâë© ¬¨¨¬ã¬. 롥६ ç «® ®âáç¥â í¥à£¨¨ â ª, ç⮡ë U( + ) = 0. ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¬¨¨¬ã¬ ¯à¨ = + ¨£à ¥â ஫ì \«®¦®£®" (¬¥â áâ ¡¨«ì®£®) ¢ ªã㬠. ¯¨á ¨¥ à ᯠ¤ â ª®£® \«®¦®£®" ¢ ªã㬠¢® ¬®£®¬ «®£¨ç® ®¯¨á ¨î ¯à®æ¥áá § தë襮¡à §®¢ ¨ï ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥ ( ¯à¨¬¥à, ¯à¨ ªà¨áâ ««¨§ 樨 ¯¥à¥áë饮£® à áâ¢®à ¨«¨ ¢áª¨¯ ¨¨ ¯¥à¥£à¥â®© ¦¨¤ª®áâ¨). ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï íâ § ¤ ç ¨â¥à¥á á â®çª¨ §à¥¨ï ¯à¨¬¥¥¨© ª § ¤ ç ¬ ª®á¬®«®£¨¨ [43]. ⮠᪠§ «, çâ® è ¢ ªã㬠ï¥âáï ãá⮩稢ë¬, ¥ ¬¥â áâ ¡¨«ìë¬? è § ¤ ç á®á⮨⠢ à áç¥â¥ ¢¥«¨ç¨ë V; { ¢¥à®ïâ®á⨠à ᯠ¤ ¬¥â áâ ¡¨«ì®£® ¢ ªã㬠¢ ¥¤¨¨æ㠢६¥¨ ¨ ¢ à áç¥â¥ ¥¤¨¨çë© ®¡ê¥¬. ०¤¥ ¢á¥£®, 㦮 ©â¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¨áâ â® , ª ª à¥è¥¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï: @ @ = U 0 ( ) (6.152) 㤮¢«¥â¢®àïî饥 £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬: lim (x; x4) = + (6.153) x4 !1
¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® ¤«ï ®¡¥á¯¥ç¥¨ï ª®¥ç®á⨠¤¥©áâ¢¨ï ¨áâ ⮥ ¤®«¦® â ª¦¥ ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥: lim (x; x4) = + (6.154) jxj!1
᫨ ¨áâ â® ©¤¥, â® ¢ ¢¥¤ã饬 ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¯® ~ ¨¬¥¥¬: ; ;S0 (6.155) V = Ke £¤¥ S0 = S( ), ¯à¥¤íªá¯®¥â K ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¤¥â¥à¬¨ ⮬.
176
¨á. 6-15
ਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ = + ¥¨â¥à¥á®, ¤«ï ¥£® 2 S2 ¥ ¨¬¥¥â ®âà¨æ ⥫ìëå ᮡá⢥ëå § 票©, â ª çâ® ¢ª« ¤ ¢ à ᯠ¤ ¢ ªã㬠¥ ¢®§¨ª ¥â. à ¢¥¨ï (6.152) { (6.154) ¨¢ ਠâë ®â®á¨â¥«ì® ¯à¥®¡à §®¢ ¨© £à㯯ë ç¥âëà¥å¬¥àëå ¢à 饨© O(4). ®« £ ¥¬, çâ® ¨áâ ⮠⮦¥ O(4) ¨¢ ਠâ¥8 , â ª ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ï¥âáï äãªæ¨¥© ⮫쪮 ®â à ¤¨ãá - ¢¥ªâ®à r. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (6.152) ᢮¤¨âáï ª: d2 + 3 d = U 0 ( ) (6.156) dr2 r dr ¨§ (6.153) ¨ (6.154) á«¥¤ã¥â: lim (r) = + (6.157) r!1 祢¨¤® â ª¦¥, ç⮠㦮 ¯®âॡ®¢ âì: d j = 0; (6.158) dr r=0 ¨ ç¥ ¡ã¤¥â ᨣã«ïà® ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. à ¢¥¨¥ (6.156) ¬®¦® ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì, ª ª ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï (áç¨â ï r ¢à¥¬¥¥¬!) ç áâ¨æë, ¤¢¨¦ã饩áï ¢ ¯®â¥æ¨ «¥ ¬¨ãá U, ¯®ª § ®¬ ¨á.615, ¨ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ § ¢¨áï饩 ®â ¢à¥¬¥¨ ᨫë â२ï ( r1 ᪮à®áâì). áâ¨æ áâ àâã¥â ¨§ á®áâ®ï¨ï ¯®ª®ï (áà.(6.158)) ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ r = 0 ¨, ¯à¨ ¤«¥¦ 饬 ¢ë¡®à¥ ç «ì®© ¯®§¨æ¨¨, ®áâ ¢«¨¢ ¥âáï ¯à¨ r ! 1 ¢ â®çª¥ + { â ª®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨áâ â®ã. 祢¨¤®, çâ® íâ® à¥è¥¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â: áâ¨æ , ®â¯ãé¥ ï ¯à ¢¥¥ 0 ¥ ¤®¥¤¥â ¤® + , ¤«ï í⮣® ¥© ¥ å¢ â¨â í¥à£¨¨ ¨§-§ â२ï.
᫨ ¬ë ¯à ¢¨«ì® ¢ë¡¥à¥¬ ç «ìãî â®çªã «¥¢¥¥ 0, ® ¯à ¢¥¥ ; , ¬ë ¬®¦¥¬ ¤®¡¨âìáï, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å r ç áâ¨æ ¯®¤®©¤¥â ª + ¨ â ¬ ®áâ ®¢¨âáï. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤«ï ¢¡«¨§¨ ; ¬ë ¬®¦¥¬ «¨¥ ਧ®¢ âì ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¨ § ¯¨á âì ¥£® ¢ ¢¨¤¥: d2 3 d 2 (6.159) dr2 + r dr ; ( ; ; ) = 0 £¤¥ 2 = U 00( ; ). â® ãà ¢¥¨¥ ¤®áâ â®ç® «¥£ª® à¥è ¥âáï [58], ¨ à¥è¥¨¥ ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ãî äãªæ¨î ¥áᥫï. ®£¤ ¢¨¤®, çâ® ¥á«¨ ¬ë ¢ë¡¥à¥¬ (0) ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª® ª ; , ¬ë ¬®¦¥¬ ¤®¡¨âìáï, çâ® ¨ ¯à¨ ¡®«ìè¨å
8 â® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ¬®¦® áâண® ®¡®á®¢ âì { áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨çë© ¨áâ â® ®¡« ¤ ¥â ¨¬¥ì訬 ¤¥©á⢨¥¬.
177
r ç áâ¨æ ®áâ ¥âáï ᪮«ì - 㣮¤® ¡«¨§ª® ª ; . ® ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å r ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì â२¥¬, ¯®áª®«ìªã ®® 1=r. ® ¥á«¨ âà¥¨ï ¥â, â® ç áâ¨æ ¯¥à¥ª â¨âáï ç¥à¥§ £®àªã á ¢¥à訮© ¢ + . â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ 襩 § ¤ ç¥ ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®¬¥¦ãâ®ç ï â®çª (¬¥¦¤ã ; ¨ 0), áâ àâãï á ª®â®à®© ç áâ¨æ ¯à¨ r ! 1 ®áâ ®¢¨âáï ¢ + . ãáâì U+ ( ) { ¥ª®â®à ï ç¥â ï äãªæ¨ï : á ¬¨¨¬ã¬®¬ ¢ â®çª å a: ¯à¥¤¥«¨¬
U+ ( ) = U+ (; )
(6.160)
U+0 (a) = 0
(6.161)
2 = U+00 (a) (6.162) ®¡ ¢¨¬ ª U+ ¬ «¥ìªãî ¤®¡ ¢ªã, àãè îéãî ᨬ¬¥âà¨î ¬¨¨¬ã¬®¢: U = U+ + "( ; a)=2a
">0
(6.163)
â® ¯à®áâ® ª®ªà¥â¨§¨àã¥â ¢¨¤ 襣® ¯®â¥æ¨ « . ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® " ¨¬¥¥¬: = a
(6.164)
¥«¨ç¨ " ®¯à¥¤¥«ï¥â à §®áâì í¥à£¨© ¬¥¦¤ã ¨áâ¨ë¬ ¨ \«®¦ë¬" ¢ ªã㬮¬. 롥६ ç «ìãî ¯®§¨æ¨î ç áâ¨æë (0) ®ç¥ì ¡«¨§ª® ª ; . ®£¤ ç áâ¨æ ®áâ ¥âáï ¢¡«¨§¨ ; ¤® ª ª®£®-â® ¡®«ì讣® ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ r = R, ¯®á«¥ í⮣® ® ¡ëáâà® ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ¤®«¨ã ¨ ¬¥¤«¥® ¯à¨¡«¨¦ ¥âáï ª + ¯à¨ r ! 1. ª¨¬ ®¡à §®¬ è ¨áâ â® ¢ë£«ï¤¨â ª ª ¡®«ì让 ç¥âëà¥å¬¥àë© áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨çë© \¯ã§ëàì" à ¤¨ãá R á ⮪®© á⥪®©, à §¤¥«ïî騩 \«®¦ë©" ¢ ªã㬠+ (¢¥ ¯ã§ëàï) ¨ ¨áâ¨ë© ¢ ªã㬠; (¢ãâਠ¯ã§ëàï). ®®â¢¥âá⢥®, è ¯ã§ëàì (¨áâ â®) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© § தëè ®¢®£® (¨á⨮£®) ¢ ªã㬠¢ãâਠ¬¥â áâ ¡¨«ì®£® (\«®¦®£®") ¢ ªã㬠. «ï r R ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì â२¥¬, â ª¦¥ " { § ¢¨áï騬 ç«¥®¬ ¢ U. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤: d2 = U 0 ( ) (6.165) + dr2 çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª« áá¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ç áâ¨æë ¢ ¤¢ãåêאַ¬ ¯®â¥æ¨ «¥, ª®â®à®¥ ¯®¤à®¡® «¨§¨à®¢ «®áì ¢ëè¥. ® ¨¬¥¥â ᢮¨¬ à¥è¥¨¥¬ ¨§¢¥áâë© ã¦¥ ¬ ¯à®á⥩訩 ®¤®¬¥àë© ¨áâ â® ¨á.6-9 (ª®â®àë© ®¯¨áë¢ ¥â ¯¥à¥å®¤ ¨§ ;a ¢ +a ¯à¨ à®á⥠r ç¥à¥§ ¬®¬¥â \¢à¥¬¥¨" R). ª®¢® ¯à¨¡«¨¦¥®¥ ®¯¨á ¨¥ ¨áâ â® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ¯®«¥¢®© § ¤ ç¥. ® ¬ë ¥é¥ ¥ ®¯à¥¤¥«¨«¨ R. ¥©á⢨¥ ¨áâ ⮥ ¨¬¥¥â ¢¨¤: # Z 1 " 1 d 2 S = 22 drr3 2 dr + U( ) (6.166) 0 â®â ¨â¥£à « à §¡¨¢ ¥âáï âਠ®¡« á⨠¨â¥£à¨à®¢ ¨ï: ¢¥ ¯ã§ëàï, ¢¡«¨§¨ ¥£® ¯®¢¥àå®á⨠¨ ¢ãâà¨. à㦨 ¬®¦® áç¨â âì = + ¨ U = 0, â ª çâ® íâ®â ¢ª« ¤ ¢ ¨â¥£à « ¯à®áâ® à ¢¥ ã«î (çâ®, ªáâ â¨, ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ª®¥ç®áâì ¤¥©á⢨ï
178
¨áâ ⮥). ãâਠ¯ã§ëàï ¨¬¥¥¬ = ; , U = ;", â ª ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢ª« ¤ ¢ ¨â¥£à « ¥áâì: (6.167) ; 21 2R4 " ¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¯ã§ëàï, â.¥. ¯à¨ r R, ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì ç«¥®¬ " ¢ U, â ª çâ® ¨â¥£à « ᢮¤¨âáï ª: # Z " 1 d 2 22R3 dr 2 dr + U+ = 22R3 S1 (6.168) £¤¥ Za p (6.169) S1 = d 2U+ ;a
{ ¤¥©á⢨¥ ®¤®¬¥à®£® ¨áâ â® (6.120). ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬: S = ; 21 2 R4" + 22 R3S1 ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì R ¨§ ãá«®¢¨ï íªáâ६ «ì®á⨠¤¥©á⢨ï: dS = ;22 R3" + 62 R2S = 0 1 dR çâ® ¤ ¥â: R = 3S" 1 ®£¤ ¨¬¥¥¬9:
2 4 S0 = 272"3S1
(6.170) (6.171) (6.172) (6.173)
¥«¨ç¨ã à ¤¨ãá ¯ã§ëàï (6.172) ¬®¦® ©â¨ ®á®¢¥ í«¥¬¥â àëå í¥à£¥â¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥¨©, ¯à¨¬¥ï¥¬ëå ¢ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å § தë襩 { ¢ë¨£àëè í¥à£¨¨ ¢ ®¡ê¥¬¥ ¯ã§ëàï ¤®«¦¥ ᪮¬¯¥á¨à®¢ âì ¯à®¨£àëè, á¢ï§ ë© á ¯®¢¥àå®á⮩ í¥à£¨¥© á⥮ª: 3 4 3 2 (6.174) 3 R " = 4R çâ® ¨ ¤ ¥â R = " £¤¥ { ¯®¢¥àå®áâ ï í¥à£¨ï á⥪¨. 襬 á«ãç ¥ = S1 .
¨â®£¥, ¤«ï ¢¥à®ïâ®á⨠à ᯠ¤ \«®¦®£®" ¢ ªã㬠¯®«ãç ¥¬: ; exp(;S ) 0 V
(6.175)
¥â¥à¬¨ âë ¨ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª .
।íªá¯®¥æ¨ «ìë© ¬®¦¨â¥«ì ¢ (6.175) á«¥¤ã¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ⥬ ¦¥ ᯮᮡ®¬, çâ® ¨ ¢ à áᬮâ८© ¢ëè¥ ª¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®© § ¤ ç¥. ® âãâ ¥áâì ¢ ¦ë¥ ®â«¨ç¨ï ¨ ¢®¯à®áë: 1. ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ áãé¥á⢮¢ « ⮫쪮 ®¤ ã«¥¢ ï âà á«ï樮 ï ¬®¤ , §¤¥áì ¨å ç¥âëà¥. 9 è¥ à áᬮâ२¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¬ «ëå " ¨ ¢ ¯à¥¤¥«¥, ª®£¤ à ¤¨ãá ¯ã§ëàï ¬®£® ¡®«ìè¥ â®«é¨ë ¥£® á⥪¨: R ;1 , ç⮠᢮¤¨âáï ª ãá«®¢¨î 3S1 ".
179
2. ¬ ¡ë«® ¢¥áì¬ áãé¥á⢥®, çâ® áãé¥á⢮¢ «® ⮫쪮 ®¤® ®âà¨æ ⥫쮥 ᮡá⢥®¥ § 票¥, ¯à¨¢®¤¨¢è¥¥ ª ¢®§¨ª®¢¥¨î ¬¨¬®£® ¢ª« ¤ . ª «¨ íâ® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥? 3. ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï áãé¥áâ¢ãîâ ã«ìâà 䨮«¥â®¢ë¥ à á室¨¬®á⨠¨ 㦮 ¯à®¢®¤¨âì ¯¥à¥®à¬¨à®¢ªã. ª®¢ ¨å à®«ì §¤¥áì? áᬮâਬ á ç « ¢®¯à®á ® ã«¥¢ëå ¬®¤ å. à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥ ¨¬¥¥âáï ç¥âëॠ¯à ¢«¥¨ï âà á«ï権 ¨áâ â® (® ¬®¦¥â ¡ëâì à ᯮ«®¦¥ ¢ «î¡®© â®çª¥ ç¥âëà¥å¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠), ᮮ⢥âá⢥® áãé¥áâ¢ã¥â ç¥âëॠᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ®¯¥à â®à , á¢ï§ ®£® á® ¢â®à®© ¢ ਠ樮®© ¯à®¨§¢®¤®© ¤¥©á⢨ï, á ã«¥¢ë¬¨ ᮡá⢥묨 § 票ﬨ. ⨠äãªæ¨¨ @ . á«®¢¨¥ ¨å ®à¬¨à®¢ª¨ ᢮¤¨âáï ª:
Z
Z d4 x@ @ = 41 d4 x@ @ = S0
(6.176)
; १ã«ìâ ⥠¢ ¯à¥¤íªá¯®¥â¥ (6.175) ¢®§¨ª ¥â ç¥âëॠ¬®¦¨â¥«ï 2S0 1=2 ¢¬¥áâ® ®¤®£®.
®ª § ⥫ìá⢮ ¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠¢ (6.176) ᢮¤¨âáï ª á«¥¤ãî饬ã. áᬮâਬ (x) = (x=). ®£¤ ¤¥©á⢨¥: Z Z S ( ) = 12 2 d4 x(@ )2 + 4 d4 xU ( ) (6.177) ®áª®«ìªã ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï, ¤®«¦® ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥ áâ 樮 à®á⨠¤¥©á⢨ï (6.177) ¯à¨ = 1. â® ¤ ¥â:
Z
¨«¨
d4 x(@ )2 = ;4 S0 = 41
Z
Z
d4 xU ( )
d4 x(@ )2 > 0
(6.178) (6.179)
â ª, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¯à¥¤íªá¯®¥æ¨ «ìë© ä ªâ®à ¢ ¢¨¤¥: 2 Det0 [;@ @ + U 00 ( )] ;1=2 S 0 K = 42 Det[;@ @ + U 00( )] ; (6.180) + ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨, çâ® á ®âà¨æ ⥫ì묨 ᮡá⢥묨 § 票ﬨ ¨ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª®© ¯à®¡«¥¬ ¥ ¢®§¨ª ¥â. â® ª á ¥âáï ®âà¨æ ⥫ìëå ᮡá⢥ëå § 票©, â® íâ® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® â ª. ®ïâ®, çâ® 2 S2 ( ¨áâ ⮥) ¨¬¥¥â å®âï ¡ë ®¤® ®âà¨æ ⥫쮥 ᮡá⢥®¥ § 票¥. ®¦® áâண® ¯®ª § âì, çâ® ¡®«¥¥ ®¤®£® ®âà¨æ ⥫쮣® ᮡá⢥®£® § ç¥¨ï ¢ í⮩ § ¤ ç¥ ¥ ¢®§¨ª ¥â [58]. ®í⮬ã (6.175) ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¤ ¥â ¢¥à®ïâ®áâì à ᯠ¤ . ஡«¥¬ã ¯à®¢¥¤¥¨ï ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨ (6.175) ¬ë ¯®¤à®¡® ®¡á㦤 âì ¥ ¡ã¤¥¬. ¯à¨æ¨¯¥, ¤®áâ â®ç® ïá®, çâ® ¢ ⥮à¨ïå á ¯¥à¥®à¬¨àã¥¬ë¬ U ('), ¢á¥ ¢ëà ¦¥¨ï, ¢ª«îç ï (6.180), ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ç¥à¥§ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¨ ᤥ« âì, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®¥ç묨. ¥ª®â®àë¥ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ¯®¤à®¡®á⨠¬®¦® ©â¨ ¢ [58].
ã§ëàì, à áè¨àïî騩áï ¢ ॠ«ì®¬ ¯à®áâà á⢥ { ¢à¥¬¥¨ ¨ª®¢áª®£®, ¬®¦® ¯®«ãç¨âì «¨â¨ç¥áª¨¬ ¯à®¤®«¦¥¨¥¬ ¨áâ â® :
q
= jxj2 ; x20 ) (x0; x) = (r
(6.181)
180
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¬ «ëå " ¨¬¥¥¬ ⮪ãî á⥪㠯ਠr = R, à §¤¥«ïîéãî ¤¢ ¢ ªã㬠, ¯à¨ à áè¨à¥¨¨ ¯ã§ëàì 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î:
jxj2 ; x20 R2
(6.182)
¥«¨ç¨ R ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ¯ à ¬¥âà ¬¨ ⥮ਨ ¨ ï¥âáï ¥ª®â®à®© ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© ¤«¨®©. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (6.182) ®§ ç ¥â, çâ® à áè¨àïîé ïáï ¯®¢¥àå®áâì ¯ã§ëàï «¥â¨â ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ᮠ᪮à®áâìî ᢥâ (v 1)! ਠí⮬ á⥪ ¯¥à¥®á¨â í¥à£¨î (¢ à áç¥â¥ ¥¤¨¨æã ¯«®é ¤¨) p1S;1 v2 . ¬®¬¥âã, ª®£¤ à ¤¨ãá ¯ã§ëàï ¤®á⨣ ¥â jxj, í¥à£¨ï á⥪¨ áâ ®¢¨âáï à ¢®©:
p jxj S21 Ewall = 4 1;v 2
§ (6.182) «¥£ª® ©â¨, çâ®:
(6.183)
s
jxj = 1 ; R2 v = ddt jxj2 ®£¤ í¥à£¨ï á⥪¨ ¥áâì:
(6.184)
Ewall = 4jxRj S1 = 4"3jxj 3
3
(6.185)
â ª çâ® ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢áï í¥à£¨ï, ¢ë᢮¡®¦¤ îé ïáï ¯à¨ à ᯠ¤¥ \«®¦®£®" ¢ ªã㬠¨¤¥â ã᪮२¥ á⥪¨. ¨ª ª¨å ç áâ¨æ ¯à¨ í⮬ ¥ ஦¤ ¥âáï, á ®¡¥¨å áâ®à® á⥪¨ ¯à¥¡ë¢ ¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢ ªãã¬. ª¨¬ ®¡à §®¬, \ ¡«î¤ ⥫ì" ¨ª®£¤ ¥ 㧠¥â, çâ® ¥£® «¥â¥« â ª ï á⥪ , ¢ í⮬ á«ãç ¥ ® ⮦¥ \à ᯠ¤¥âáï" § ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®¥ ¢à¥¬ï. ਬ¥àë ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï à áᬮâ८£® ä®à¬ «¨§¬ ª § ¤ ç ¬ ५ï⨢¨áâ᪮© ª®á¬®«®£¨¨ ¬®¦® ©â¨ ¢ ª¨£¥ [43]. ®æ¥¯æ¨ï ¨áâ â®®¢ ¨£à ¥â ¡®«ìèãî à®«ì ¢® ¬®£¨å § ¤ ç å ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à , 㯮¬ï¥¬ ᮢ ⥮à¨î g'4 á g < 0 ¨ á ç¨á«®¬ ª®¬¯®¥â ¯®«ï n = 0, ®¯¨áë¢ îéãî, ª ª ®â¬¥ç «®áì ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 « ¢¥, ¤¢¨¦¥¨¥ í«¥ªâà® ¢ á«ãç ©®¬ ¯®«¥ ¯à¨¬¥á¥©. í⮩ ⥮ਨ á ¥ãá⮩稢ë¬, á â®çª¨ §à¥¨ï ⥮ਨ ¯®«ï, ®á®¢ë¬ á®áâ®ï¨¥¬ áãé¥áâ¢ãîâ ¨áâ â®ë¥ à¥è¥¨ï, ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«ïîâ ¢¨¤ â ª®© ¢ ¦¥©è¥© å à ªâ¥à¨á⨪¨ í«¥ªâà®®© á¨á⥬ë, ª ª ¯«®â®áâì í«¥ªâà®ëå á®áâ®ï¨© ¢ ®¡« á⨠⠪ §ë¢ ¥¬®£® ¥¥ \墮áâ ", ¢ë§¢ ®£® «®ª «¨§ 樥© í«¥ªâà®®¢ ä«ãªâã æ¨ï¬¨ á«ãç ©®£® ¯®â¥æ¨ « 10. ᮡ®¥ § 票¥ ¨¬¥îâ ¥âਢ¨ «ìë¥ ¨áâ â®ë¥ à¥è¥¨ï ¢ ¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®çëå ⥮à¨ïå, £¤¥ ®¨ â¥á® á¢ï§ ë á ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ª «¨¡à®¢®çëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨ á«®¦®© áâàãªâãன ï£ - ¬¨««á®¢áª®£® ¢ ªã㬠[24, 58, 59]. á ¥â ¢®§¬®¦®á⨠®¡á㦤 âì §¤¥áì í⨠¢ ¦¥©è¨¥ ᯥªâë ⥮ਨ ¨ ¨å § 票¥ ¤«ï 䨧¨ª¨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ (). ®¤à®¡®¥ ¨§«®¦¥¨¥ ⥮ਨ ¬®¦® ©â¨ ¢ ª¨£¥ [59], ®¡§®à ¯à¨¬¥¥¨© ª § ¤ ç ¬ ¤ ¢ [60]. 10 .. ¤®¢áª¨©. 133,
223 (1981), ..ãá«®¢. 168, 503 (1998)
¨¡«¨®£à ä¨ï [1] ..¥à¥áâ¥æª¨©.
..¨äè¨æ. ..¨â ¥¢áª¨©. ¢ ⮢ ï í«¥ªâத¨ ¬¨ª . \ 㪠", , 1980 [2] ..娥§¥à, ..¥à¥áâ¥æª¨©. ¢ ⮢ ï í«¥ªâத¨ ¬¨ª . \ 㪠", , 1969 [3] ..®£®«î¡®¢, ..¨àª®¢. ¢ â®¢ë¥ ¯®«ï. \ 㪠", , 1980 [4] ..®£®«î¡®¢, ..¨àª®¢. ¢¥¤¥¨¥ ¢ ⥮à¨î ª¢ ⮢ ëå ¯®«¥©. \ 㪠", , 1976 [5] .¢¥¡¥à, .¥â¥, .®ä¬ . ¥§®ë ¨ ¯®«ï, â.1, , , 1957 [6] .¢¥¡¥à. ¢¥¤¥¨¥ ¢ ५ï⨢¨áâáªãî ª¢ ⮢ãî ⥮à¨î ¯®«ï. , , 1963 [7] .ì¥àª¥, .५«. ¥«ï⨢¨áâáª ï ª¢ ⮢ ï ⥮à¨ï ¯®«ï, â.1,2. \ 㪠", , 1978 [8] . ©¤¥à. ¢ ⮢ ï ⥮à¨ï ¯®«ï. \¨à", , 1987 [9] . ¬®. ¥®à¨ï ¯®«ï. \¨à", 1984 [10] .横á®, .î¡¥à. ¢ ⮢ ï ⥮à¨ï ¯®«ï, â.1,2. \¨à", , 1981 [11] .¥£, .¨. «¨¡à®¢®çë¥ â¥®à¨¨ ¢ 䨧¨ª¥ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ. \¨à", , 1987 [12] .ã £. ¢ ન, «¥¯â®ë ¨ ª «¨¡à®¢®çë¥ ¯®«ï. \¨à", , 1985 [13] ..¡à¨ª®á®¢, ..®à쪮¢, .
.§ï«®è¨áª¨©. ¥â®¤ë ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥. ¨§¬ ⣨§, , 1963 [14] . . ®¢à¥¬¥ ï ⥮à¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥¨©. \¨à", , 1980 [15] D.Amit. Field Theory, the Renormalization Group and Critical Phenomena. McGraw - Hill, NY, 1978 [16] ..ªãì. ¨§¨ª í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ. \ 㪠", , 1988 [17] .®ââäਤ, .¥©áª®¯ä. ®æ¥¯æ¨¨ 䨧¨ª¨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ. \¨à", , 1988 [18] .¥«§¥, . àâ¨. ¢ ન ¨ «¥¯â®ë. \¨à", , 1987 [19] .¥àª¨á. ¢¥¤¥¨¥ ¢ 䨧¨ªã ¢ë᮪¨å í¥à£¨©. \¥à£® ⮬¨§¤ â", , 1991 181
182
[20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44]
.¥©. ®¢à¥¬¥ ï 䨧¨ª í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ. \¨à", , 1990 ..ªãì. 168, 625 (1998) ..¥«ì¤®¢¨ç. 86, 303 (1965) .. å ஢, ..®ää¥, ..ªãì. 117, 227 (1975) ..®«ïª®¢. «¨¡à®¢®çë¥ ¯®«ï ¨ áâàãë. ¨¬. .. ¤ ã, 1995 .. ¤ ã,
..¨äè¨æ. ¥®à¨ï ¯®«ï. \ 㪠", , 1973 .. ¤ ã,
..¨äè¨æ. ¥å ¨ª . \ 㪠", , 1973
..¨äè¨æ, ..¨â ¥¢áª¨©. ¥«ï⨢¨áâáª ï ª¢ ⮢ ï ⥮à¨ï. áâì 2. \ 㪠", , 1971 «¥¬¥â àë¥ ç áâ¨æë ¨ ª®¬¯¥á¨àãî騥 ¯®«ï. ®¤ ।. ..¢ ¥ª®. \¨à", , 1964 .. ¤ ã,
..¨äè¨æ. ¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª . \ 㪠", , 1974 ¨«ìá ®à ¨ à §¢¨â¨¥ 䨧¨ª¨. ®¤ ।. . 㫨. , , 1958 .¥©¬ . ¢ ⮢ ï í«¥ªâத¨ ¬¨ª . \¨à", , 1964 ..« ¤¨¬¨à®¢. à ¢¥¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. \ 㪠", , 1967 ¦.ìî. «¨â¨ç¥áª ï ⥮à¨ï S-¬ âà¨æë. \¨à", , 1968 ..¥à¥áâ¥æª¨©. ஡«¥¬ë 䨧¨ª¨ í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ. \ 㪠", , 1979 .. ¤ ã,
..¨äè¨æ. â â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª . áâì 1. \ 㪠", , 1976
.¨â¥ªª¥à, . âá®. ãàá ᮢ६¥®£® «¨§ , â.1. ¨§¬ ⣨§, , 1963 .¥©¬ , .¨¡á. ¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª ¨ ¨â¥£à «ë ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬. \¨à", , 1968 .¥©¬ . â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ¨ª . \¨à", , 1975 .. â è¨áª¨©, ..®ªà®¢áª¨©. «ãªâã 樮 ï ⥮à¨ï ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢. \ 㪠", , 1982 .. ᨫ쥢. ¢ ⮢®¯®«¥¢ ï ८ଣà㯯 ¢ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ¨ ¢ áâ®å áâ¨ç¥áª®© ¤¨ ¬¨ª¥. , ¡, 1998 ..¥à¥§¨. ¥â®¤ ¢â®à¨ç®£® ª¢ ⮢ ¨ï. \ 㪠", , 1965
..¨äè¨æ, ..¨â ¥¢áª¨©. â â¨áâ¨ç¥áª ï 䨧¨ª . áâì 2. \ 㪠", , 1978 ..¨¤¥. ¨§¨ª í«¥¬¥â àëå ç áâ¨æ ¨ ¨ä«ï樮 ï ª®á¬®«®£¨ï. \ 㪠", , 1990 ..®«£®¢, ..¥«ì¤®¢¨ç, .. ¦¨. ®á¬®«®£¨ï à ¥© ᥫ¥®©. , , 1988
183
[45] A.V.Smilga. Lectures on the Foundations of QCD. ArXiv: hep-ph/9901412 [46] K.Rajagopal, F.Wilczek. The Condensed Matter Physics of QCD. ArXiv: hepph/0011333 [47] F.Wilczek. QCD in Extreme Conditions. ArXiv: hep-ph/0003183 [48] F.Wilczek. The Future of Particle Physics as a Natural Science. ArXiv: hepph/9702371 [49] .னæ. ¢ ન, £«î®ë ¨ à¥è¥âª¨. \¨à", , 1987 [50] J.B.Kogut. Rev.Mod.Phys. 51, 659 (1979) [51] .¨è¥à. à¨à®¤ ªà¨â¨ç¥áª®£® á®áâ®ï¨ï. \¨à", , 1968 [52] .⥫¨. §®¢ë¥ ¯¥à¥å®¤ë ¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï. \¨à", , 1973 [53] .. § ª®¢. ª. \ªá¯¥à¨¬¥â ¤¨á¯«¥¥", \ 㪠", , 1989 [54] .. ª¥¥ª®. 143, 161 (1984) [55] ..¨¬®®¢. ®ä ©¬¥â. 166, 337 (1966) [56] H.Meyer-Ortmanns. Rev.Mod.Phys. 68, 473 (1996) [57] J.Illiopoulos, C.Itzykson, A.Martin. Rev.Mod.Phys. 47, 165 (1975) [58] S.Coleman. The Uses of Instantons. In \The Whys of Subnuclear Physics", Ed. by A.Zichichi. Plenum Press, NY, 1979 [59] . ¤¦ à ¬ . ®«¨â®ë ¨ ¨áâ â®ë ¢ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. \¨à", , 1985 [60] T.Schafer, E.V.Shuryak. Rev.Mod.Phys. 70, 323 (1998)
