Интегрируемые модели для уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи

Тюменцев Владимир Александрович

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ПРОСТРАНСТВЕ ДЕ СИТТЕРА 01.04.02 — теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук доцент, Клишевич Владимир Владимирович

Омск — 2006

Работа выполнена в Омском государственном университете Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Клишевич Владимир Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Багров Владислав Гаврилович кандидат физико-математических наук, Михеев Виталий Викторович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: ГОУ ВПО Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина

Защита состоится 27 декабря 2006 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета К 212.179.02 в Омском государственном университете по адресу: 644077, г. Омск, Омский государственный университет, ул. Нефтезаводская 11, каб.210. С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Омского государственного университета.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Вершинин Г.А.

Содержание Введение

4

1 Уравнение Дирака в римановом пространстве 1.1 Понятие риманова пространства . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Понятие оператора симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Определение уравнения Дирака в римановом пространстве 1.4 Операторы симметрии уравнения Дирака . . . . . . . . . . 1.5 Векторное поле Киллинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Векторное поле Яно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Тензорное поле Яно-Киллинга . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Тетрадный формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Плоское пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Пространство де Ситтера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

7 7 8 9 10 10 11 12 13 14 14 15

2 Методы интегрирования уравнения Дирака 2.1 Метод полного разделения переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Метод некоммутативного интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 18 20

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

3 Алгебра операторов симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры 3.1 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве 3.2 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера 3.3 Оператор Дирака и его операторы симметрии в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Структура алгебры симметрии уравнения Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 О некоммутативном интегрировании с помощью подалгебр . . . . . . . . . . . 3.6 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Точно интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера 4.1 Постановка задачи. Алгоритм некоммутативного интегрирования . . . . . . . 4.2 Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве . . . . . . . . . . 4.2.1 Выбор подалгебры и построение λ- представления . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Точное решение уравнения Дирака в модели с киллинговыми симметриями (массивный случай) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией (безмассовый случай) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Интегрирование уравнения Дирака в пространстве де Ситтера . . . . . . . . . 4.3.1 Выбор подалгебры и построение λ- представления . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией 4.4 Анализ решений и спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Одна модель асимптотически плоского пространства . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 К вопросу о склейке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Заключение.

21 21 21 23 24 26 27

28 28 29 29 29 30 31 31 31 34 36 37 38 40

2

Приложение A. Матрицы Дирака.

41

Приложение B. Разложения матриц вида e(−Gt) γ b i e(Gt)

43

Приложение C. Алгебра операторов симметрии.

45

Приложение D. Операторы симметрии уравнения Дирака в 4-сферической системе координат

57

Приложение E. Случай уравнения (126) с условием j12 = j22

59

Библиография

60

3

Введение В современных исследованиях по математической и теоретической физике выделяют следующие две основные задачи из многих других не менее важных: получение точных решений уравнений математической физики и разработка и применение наиболее общих или эффективных методов для их точного решения. К настоящему времени уже есть множество точных результатов по многим уравнениям квантовой физики, таких, как уравнение Шредингера, Рариты-Швингера, Дирака и др., и еще больше задач до сих пор не решены даже приближенно. Это связано с тем, в частности, что уравнения со временем распространяются на более широкие классы задач и становятся тем самым сложнее. Так открытие уравнения Дирака для релятивистской частицы спина 1/2 в плоском пространстве позволило открыть новые частицы и их античастицы, предсказать новые эффекты, такие, как рождение частиц из вакуума в сильных электромагнитных полях и т.д. Теория уравнения Дирака для плоского пространства хорошо изучена: указаны пределы применимости этого уравнения, построены модели взаимодействия частиц спина 1/2 с электромагнитным полем, развит формализм уравнения Дирака с точки зрения теории групп и т.д., этим вопросам посвящено множество книг и монографий, некоторые из них [38, 41, 42, 43, 57, 63]. Затем уравнение Дирака и другие волновые уравнения были естественно обобщены на случай искривленных пространств. Прекрасное изложение теории и данных экспериментальных наблюдений можно найти, например, в [35, 56, 66] Вопросы получения точного решения физического уравнения напрямую связаны с понятием его интегрируемости. Настоящая работа посвящена вопросам интегрирования уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера. Традиционно точные решения дифференциальных уравнений математической физики получали методом разделения переменных. В основе метода разделения переменных лежит теория В.Н. Шаповалова [71], С. Бененти, М. Франкавиглия [3],[4] согласно которой провести процедуру разделения можно только при наличии у дифференциального уравнения коммутативной алгебры симметрии. По-видимому, провести корректно процедуру разделения переменных в уравнении Дирака возможно только в так называемых Штеккелевых пространствах. В этом направлении большая работа проделана группой В.Г. Багрова [6],[7]. Отметим, что для разделения переменных в уравнении Дирака нет общепринятого определения. Существуют разные подходы, которые в Штеккелевых пространствах дают, по-видимому, одинаковый результат. Ситуация с процедурой разделения в матричных уравнениях осложняется тем, что существуют примеры гравитационных полей Штеккелева типа, в которых нельзя последовательно провести процедуру разделения переменных в уравнении Дирака, в то время как для уравнения Клейна-Гордона такая процедура возможна [22]. В.Н. Шаповаловым доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях разделения переменных в скалярном уравнении второго порядка [72]. Для уравнения Дирака в настоящее время известны только необходимые условия о разделении переменных. Решением уравнения Дирака в рамках метода разделения переменных занимались многие исследователи. Достаточно полно изучен класс пространств, где уравнение Дирака допускает разделение переменных, и получены соответствующие точные решения в работах В.Г. Багрова, В.В. Обухова, В.Н. Шаповалова, А.В. Шаповалова и др. [37],[34]. Отметим также значительный вклад математиков Е. Калнинса, B. Миллера [21] и Р. Рудигера [27]. На основе полученных результатов была проведена систематизация практически всех известных решений уравнения Дирака с внешними полями и найдены обширные классы новых точных решений и новых полей. Таким образом, нахождение новых внешних полей, или римановых пространств, на фоне выполненных исследований представляется в значительной мере исчерпанным. Поэтому приобретает интерес получение точных решений в данном уравнении методами, отличны-

4

ми от метода разделения переменных. Это особенно важно в таких разделах теоретической физики, как квантовая электродинамика и квантовая теория поля, при учете поправок ряда теории возмущений, где значение точных решений физических уравнений трудно переоценить. В данной работе мы строим новый класс точных решений уравнения Дирака в 4-мерном пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. В случае произвольного риманова пространства общая теория уравнения Дирака сформулирована в работах Х. Тетрода [31], В.А. Фока [13] и Х. Вейля [32], дальнейшее развитие теория получила в работах В.Н. Шаповалова [70], Б. Картера, Р.Ж. МакЛенагана и П.Х. Спиндела [8],[25]. Определение уравнения Дирака в пространстве де Ситтера в рамках теории групп было дано К.Ц. Ханнабусом [17]. Нахождению решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера посвящено множество работ и монографий. В основном все они базируются на методе разделения переменных. В работе Г.В. Шишкина [29] методом разделения переменных построен класс точных решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера. В основе этой статьи лежит критерий разделяемости переменных в уравнении Дирака для диагональных метрик, доказанный в работе [1]. Одно точное решение уравнения Дирака в связи с задачей о термоэмиссии спиновых частиц в пространстве де Ситтера построено в [26]. Наш подход принципиально отличается от метода разделения переменных. Мы используем теорию некоммутативного интегрирования, развитую в работе А.В. Шаповалова и И.В. Широкова [67]. В этом методе за основу берется некоммутативная алгебра симметрии. При некоторых дополнительных условиях на алгебру дифференциальное уравнение (систему) в частных производных можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое, как правило, интегрируется в квадратурах. Интересно, что для уравнения Дирака в пространстве де Ситтера такие некоммутативные алгебры существуют и их довольно много, в то время как коммутативных алгебр, необходимых для разделения переменных, нет (а в плоском пространстве такие коммутативные алгебры существуют). Отсутствие коммутативных алгебр служит причиной того, что во многих работах по точным решениям уравнения Дирака в пространстве де Ситтера приводят только узкие классы решений. Без наличия полного коммутативного набора операторов симметрии невозможно построить полный базис решений с помощью метода разделения переменных. Это, конечно, не снижает роли частных решений, которые могут иметь важный физический смысл. В процессе работы по нахождению решений уравнения Дирака мы установили, что в алгебре операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака существует одна специальная алгебраическая структура. Эта структура представляет собой ассоциативную алгебру, которая не является алгеброй Ли. В нашем случае коммутаторы операторов симметрии выражаются через себя полиномиально, более точно [Li , Lj ] =

n X

kl Cij Lk Ll +

k,l=1

n X

k Cij Lk .

(1)

k=1

В литературе такие объекты называются W -алгебрами [16, 11]. Некоторая классификация W -алгебр дана в работе [2], полной классификации, по-видимому, не существует. Поскольку в правой части (1) стоит полином второго порядка, мы называем такую алгебру квадратичной. Рассмотренная нами W -алгебра содержит линейные подалгебры Ли. Расширение нашей линейной алгебры до квадратичной в некотором смысле единственно. С помощью линейных подалгебр Ли нам удалось провести процедуру интегрирования уравнения Дирака в полном объеме и даже найти спектр массивной частицы. Для проведения процедуры интегрирования уравнения Дирака мы используем только один оператор из расширения. Остальные операторы из расширения непригодны, из-за наличия функциональных соотношений между ними. Интересно, что рассмотренная нами квадратичная алгебра является 5

общей для уравнения Дирака как в плоском пространстве, так и в пространстве де Ситтера. Это приводит к тому, что можно построить решения уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера с общей переменной. В нашем случае эта переменная представляет собой обобщенный интервал в плоском пространстве. По-видимому, на это впервые обратил внимание Котаеску в работах [9],[10] в случае пространственного интервала. Мы используем этот факт для построения решений уравнения Дирака в плоском пространстве по известному решению в пространстве де Ситтера. Краткое содержание работы. В первой главе даны общие определения теории уравнения Дирака в римановом пространстве и его операторов симметрий, которые условно делятся на киллинговые (лоренцевы) и спинорные. Киллинговые (лоренцевы) симметрии строятся по векторному полю Киллинга, спинорные симметрии строятся по спинорным полям, к которым относятся поля Яно и Яно-Киллинга. Во второй главе изложены основные положения метода разделения переменных и метода некоммутативного интегрирования. Проведено сравнение этих двух методов. В третьей главе найдены поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. По этим полям, а также по полям Киллинга построены операторы симметрии и показано, что эти операторы в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера совпадают (эквивалентны). Соответственно алгебры симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера эквивалентны. Построенная алгебра является квадратичной, но содержит линейные подалгебры, которые удовлетворяют условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости. В четвертой главе построены интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера, найдены точные решения – волновые функции, проведен анализ спектра де частицы и приведена одна точно решаемая модель с граничным условием склейки плоского пространства и пространства де Ситтера. В заключении подведены итоги и сформулированы выводы диссертации. Основные положения диссертации, выносимые на защиту, следующие: 1. Нахождение полного числа решений уравнений на поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера. 2. Изучение алгебры операторов симметрии уравнения Дирака в этих пространствах. Исследование вопроса построения интегрируемых моделей уравнения Дирака в этих пространствах в рамках метода некоммутативного интегрирования; выделение подалгебр Ли, удовлетворяющих условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости, из общей 11-мерной квадратичной алгебры симметрии. 3. Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера методом некоммутативного интегрирования, нахождение нового класса точных решений. 4. Подход к построению точных решений уравнения Дирака в одной модели асимптотически плоского пространства, которое склеено из пространства де Ситтера и плоского пространства.

6

1

Уравнение Дирака в римановом пространстве

1.1

Понятие риманова пространства

Отличие римановых пространств от евклидовых начинается с отличия геометрии. Евклидово пространство является частным случаем риманова, когда равны нулю все символы Кристоффеля. Вводится риманово пространство с помощью двух специальных конструкций: линейной связности и римановой метрики. Приведем ниже определение метрики. Определение 1 Пусть M – открытое множество из пространства Rn . Рассмотрим на множестве {M } поле симметричного тензора gij (M ) = gij (x1 , ..., xn ), где x1 , ..., xn – координаты точки M . Подчиним поле gij следующему требованию: квадратичная дифференциальная форма gij dxi dxj (2) (квадратичная форма от дифференциалов координат) в каждой точке множества 1) невырождена; 2) имеет постоянную сигнатуру (нормальный вид квадратичной формы (2) не зависит от выбора точки из множества {M }). Форму (2) обозначают через ds2 : ds2 = gij dxi dxj

(3)

и называют линейным элементом. При этом говорят, что форма (3) определяет в открытом множестве {M } риманову метрику. Поясним, что под этим понимается. Рассмотрим в области {M } гладкую кривую L, определяемую параметрическими уравнениями xi = xi (t), t0 ≤ t ≤ t1 , (i = 1, ..., n). (4) Длину кривой L определим посредством соотношения Zt1 r s=

gij

dxi dxj dt. dt dt

(5)

t0

Таким образом, при помощи линейного элемента (3) в области {M } можно вычислять длины кривых. Это и означает, что форма (3) определяет метрику в области {M }. Впервые такой способ введения метрики был предложен Риманом в 1854 г. Множество {M } точек из пространства Rn , в котором введена риманова метрика, называется n – мерным римановым пространством и обозначается символом V n . Тензор gij , определяющий риманову метрику, называется метрическим тензором риманова пространства. В римановых пространствах можно построить содержательную геометрию. Эти пространства находят широкое применение в механике и физике. Наиболее подробное изложение теории римановых многообразий приводится, например, в [64].

7

1.2

Понятие оператора симметрии

В современных исследованиях по математической и теоретической физике все возрастающую роль играет принцип симметрии. Это связано прежде всего с тем, что основные физические законы, уравнения движения, различные математические модели обладают явной или скрытой, геометрической или негеометрической, локальной или нелокальной симметриями. Все основные уравнения математической физики – Ньютона, Лапласа, Даламбера, Эйлера – Лагранжа, Ламе, Гамильтона – Якоби, Максвелла, Шредингера и т.д. – обладают высокой симметрией. Именно это свойство выделяет их из множества других дифференциальных уравнений, рассматриваемых в математике. В этом параграфе будут даны общие понятия симметрийного анализа основных уравнений квантовой физики и вместе с тем будут изложены доступным языком основные идеи и принципы теоретико-алгебраического подхода к анализу дифференциальных уравнений. Одним из основных уравнений релятивистской квантовой физики является уравнение Дирака, которое записывается в виде:   LΨ = γ k Pk − m Ψ = 0. (6) здесь γ = γ(x) – зависящие от x матрицы Дирака, Pk – оператор обобщенного импульса (см. главу 1.3), а также по повторяющимся индексам идет суммирование γ k Pk = γ 1 P1 + γ 2 P2 + γ 3 P3 + γ 4 P4 . Сформулируем задачу исследования симметрии уравнения (6). Основным понятием, которое будем использовать при изучении алгебраических свойств этого уравнения и вопросов его интегрируемости (как и других уравнений математической физики), является понятие оператора симметрии. В широком смысле оператором симметрии считается произвольный (линейный, нелинейный, дифференциальный, интегральный и т.д.) оператор Q, переводящий решения уравнения (6) в решения, т.е. удовлетворяющий условию L(QΨ) = 0

(7)

для каждого Ψ, принадлежащего множеству решений уравнения (6). Однако если исходить из определения (7), то представляется невозможным найти все неэквивалентные операторы симметрии заданного уравнения, т.к. наряду с Q условиям (7) удовлетворяют также Q2 , Q3 , ..., т.е число операторов симметрии для каждого дифференциального уравнения, вообще говоря, бесконечно. Поэтому на практике обычно предполагается, что операторы Q принадлежат некоторому сравнительно узкому классу <(например, классу линейных дифференциальных операторов, включающих производные не выше n-го порядка), а затем находят все возможные (с точностью до эквивалентности) операторы симметрии Q ∈ <. При этом особый интерес представляют операторы симметрии, принадлежащие классу линейных дифференциальных операторов первого порядка, которые могут рассматриваться как производные Ли, или генераторы непрерывных групп преобразований. Именно симметрия такого типа и будет рассматриваться в настоящем параграфе. Перейдем к определениям. Рассмотрим только такие решения уравнения (6), которые определены на некотором открытом множестве ℵ четырехмерного многообразия R4 , состоящего из точек с координатами (x1 , x2 , x3 , x4 ), и аналитичны относительно вещественных переменных x1 , x2 , x3 , x4 . Множество всех таких решений образует комплексное векторное пространство, которое мы будем обозначать символом z0 . Действительно, если Ψ1 , Ψ2 ∈ z0 и α1 , α2 ∈ C, то, очевидно, α1 Ψ1 + α2 Ψ2 ∈ z0 . Фиксируя ℵ (например, предполагая, что ℵ совпадает с R4 ), будем называть z0 пространством решений уравнения Дирака. Обозначим символом z векторное пространство всех комплексно-значных функций, которые определены на ℵ и являются вещественно-аналитическими, а символом L – линейный дифференциальный оператор, определенный на z: L = γ k Pk − m. 8

(8)

Тогда LΨ ∈ z, если Ψ ∈ z. При этом z0 является таким подпространством векторного пространства z, которое совпадает с нуль-пространством (ядром) оператора L (8). Пусть <1 – множество (класс) дифференциальных операторов первого порядка, определенных на z. Понятие оператора симметрии в классе <1 может быть сформулировано следующим образом. Определение 2 Линейный дифференциальный оператор первого порядка Q = Aµ Pµ + B,

Aµ , B ∈ z,

(9)

называется оператором симметрии уравнения Дирака в классе <1 , если αQ ∈ z,

[Q, L] = αQ L,

(10)

где [Q, L] = QL − LQ – коммутатор операторов Q и L. Нетрудно убедиться, что так определенные операторы симметрии удовлетворяют условию (7) для любого Ψ ∈ z0 . Действительно, согласно (10) LQψ = (Q − αQ )LΨ = 0, если Ψ ∈ z. Справедливо и обратное утверждение: если оператор Q (9) удовлетворяет (7) для произвольного Ψ ∈ z0 , то для него выполняется также соотношение (10) с некоторой функцией αQ ∈ z.

1.3

Определение уравнения Дирака в римановом пространстве

Общая теория уравнения Дирака в произвольном римановом пространстве развита в работах [13, 14, 15, 18, 19, 20, 31, 32]. Рассмотрим свободное уравнение Дирака в некоторой системе координат четырехмерного риманова пространства DΨ = γ k Pk Ψ = mΨ,

(11)

здесь D – стандартный оператор Дирака, m – действительная константа, Pk = i (∇k + Γk ) - обобщенный импульс, ∇k – оператор ковариантной производной по координате xk . При действии на спинор оператор переходит в обычную частную производную ∇k = ∂xk , Γk – спинорная связность, на которую наложено условие: [Pk , γ i ] = 0, и Sp(Γi ) = 0,

(12)

здесь и далее квадратные скобки обозначают коммутатор двух операторов [A, B] = AB − BA. В литературе связность, определенную формулами (12), обычно называют коэффициентами Фока-Иваненко [41],[55]. В работе [47] доказана эквивалентность условий (12) и Pk γ i = 0, и Sp(Γi ) = 0 в важном для нас случае размерности пространства n = 4 и для спинорной связности используется явная формула: 1 Γk = − γi;k γ i . 4

(13)

Символ a;k означает ковариантную производную по координате xk относительно метрики, под символом a,k или ∂xk мы понимаем обычную частную производную по переменной xk , по повторяющимся индексам, если не оговорено, подразумевается суммирование. Матрицы Дирака в римановом пространстве определяются как произвольное, но фиксированное решение системы b4 , γ i γ j + γ j γ i = 2g ij E

(14)

b4 – единичная 4 × 4 матрица, g ij –метрический тензор. Для построения матриц γ k где E используется метод тетрад. 9

1.4

Операторы симметрии уравнения Дирака

Общий вид операторов симметрии для уравнения (11) получен в работе В.Н. Шаповалова [70] и независимо в работах Б. Картера, Р.Ж. МакЛенагана и П.Х. Спиндела [8, 25]. Оператор симметрии первого порядка для уравнения Дирака представляет собой линейную комбинацию трех независимых операторов следующего вида: b4 ξ k Pk − i γ kl ξk;l , = E 4 ? i kj kj L = γ bj f Pk + γj f˜;k , 3 3i k J = 2γγ lk fk Pl + γf;k . 4

Y

(15) (16) (17)

?

Здесь γ kl = 12 [γ k , γ l ], γ = − 4!1 eklij γ k γ l γ i γ j , γ bj = − 3!1 ejkli γ k γ l γ i , f˜ij = 12 eijkl f kl – дуальный p тензор к f ij , eijkl = | det(gmn )|εijkl – полностью антисимметричный тензор (ε1234 = 1). Векторное поле ξ k в операторе (15) определяется из уравнения ξi;k + ξk;i = 0

(18)

и называется векторным полем Киллинга. Тензорное поле в операторе (16) подчиняется условиям fij + fji = 0, fij;k = eijkl g l (fij;k + fik;j = 0),

(19)

g l – некоторый вектор и называется тензорным полем Яно-Киллинга. На векторное поле в операторе (17) имеется формула: 1 k fi;j = gij f;k , fi = η,i , 4

(20)

здесь η – скаляр, это векторное поле называется векторным полем Яно. При вычислении ковариантных производных от вектора и тензора используются стандартные формулы [52]: m fij;k = fij,k − Γm ik fmj − Γjk fim , ∂fi k fi;j = fi,j − Γkij fk = ∂x j − Γij fk , ∂f k m k f m, i f;jk = fjk + Γ mj f = ∂xj − Γmj 

Γkij = 12 g km

∂gmi ∂xj

+

∂gmj ∂xi

−

∂gij ∂xm

(21)

.

Формулы (15)–(17) получены в работах [70, 8, 25]. По определению, операторы (15)-(17) коммутируют с оператором Дирака (11). Операторы (15) мы называем киллиговыми операторами симметрии для уравнения Дирака (11). Следуя работе [6], мы называем операторы (16) и (17) спинорными операторами симметрии уравнения Дирака (11).

1.5

Векторное поле Киллинга

Вектор Киллинга ξi (x) описывает бесконечно малые трансляции, сохраняющие длину. Он удовлетворяет уравнению Киллинга (18) [54]. Уравнение (18) суть необходимое и достаточное условие, налагаемое на векторное поле ξi (x), гарантирующее сохранение всех длин при смещении εξ. Уравнение (18) выражено в ковариантной форме. Поэтому достаточно установить его в избранной системе координат, чтобы оно было справедливо в любой системе

10

µ координат. С помощью (18) легко показать, что ξ;ν = 0. В избранной системе векторное поле имеет компоненты ξ µ = δkµ . Следовательно, ковариантная производная этого векторного поля имеет компоненты α ξµ;ν = gµα ξ;ν = 1/2(gµK,ν − gνK,µ )

(22)

Отсюда видно, что компонента ξµ;ν антисимметрична по индексам µ и ν, как это утверждается в уравнении Киллинга (18).

1.6

Векторное поле Яно

Для получения операторов симметрии вида (17) необходимо решать уравнение на векторное поле Яно (20). Свойства векторного поля Яно изучались в работе [48]. Рассмотрим некоторые очевидные свойства этого поля, приведенные в этой работе. Свойство 1. fi;j = fj;i . Следует из формулы (20). Свойство 2. fi,j = fj,i . Следует из свойства 1 в следствие симметричности символов Кристоффеля Свойство 3. Если все компоненты вектора Яно не зависят от координат xj , то компонента fj суть константа. Следует из свойства 2. Свойство 4. Если компонента вектора Яно fj суть константа, то все остальные компоненты не зависят от координаты xj . Следует из свойства 2. k. Свойство 5. Поднимем индекс i в формуле (20), получим формулу f;ji = 1/4gji f;k Поскольку матрица gji постоянная и диагональная, то сразу имеем f;ji = 0, i 6= j. Свойство 6. Положив в предыдущей формуле i = j = 1, 2, 3, 4, получим f;11 = f;22 = 3 4 f;3 = f;4 = Θ. С учетом последнего свойства уравнение (20) может быть переписано в виде fi;j = Θgij ,

(23)

а с использованием свойства 2 уравнению (20) можно придать следующий вид: n fi;j + fj;i = 2Θgij , Θ = 1/4f;n .

(24)

По терминологии [79], векторное поле, удовлетворяющее уравнению (24), называется конформно-киллинговым, а по терминологии монографии [45] – обобщенным векторным полем Киллинга. В той же монографии [45] стр. 72 указаны условия совместности этих уравнений в общем случае. Эти условия представляют собой соотношения на компоненты поля и их производные до определенного порядка. Покажем, что в нашей ситуации эти условия представляют собой соотношения на компоненты поля. Свойство 7.(необходимое условие существования векторного поля Яно). n Сворачивая по индексам i, j формулу Риччи fi;j;k − fi;k;j = fn Rijk и подставляя в нее формулу (20), предварительно ковариантно дифференцированную, получим следующую формулу: fi;j;k = −1/3gij fn Rkn ,

(25)

подстановка которой снова в формулу Риччи приводит к соотношению: n fn (gij Rkn − gik Rjn + 3Rijk ) = 0.

(26)

i = Γi i i n i n Тензор Римана определяется формулой: Rjkl jl,k − Γjk,l + Γnk Γjl − Γnl Γjk , а тензор Риччи n . Формулу (26) нетрудно обобщить – сверткой по первому и третьему индексам: Rjk = Rjnk

11

на произвольную размерность многообразия. Для этого следует использовать уравнение на вектор Яно в n – мерном пространстве, оно имеет вид: k fi;j = 1/ngij f;k /

(27)

Так что формула (26) выглядит теперь следующим образом: n fn (gij Rkn − gik Rjn + (n − 1)Rijk ) = 0.

(28)

Для пространств постоянной кривизны при подстановке в (28) Rijkl =

R R (gik gjl − gil gjk ), Rjl = gjl n(n − 1) n

(29)

формула (28) выполняется тождественно, что говорит о том, что в пространствах постоянной кривизны нет препятствий для существования подобного рода полей, а значит, и для подобного рода спинорных операторов.

1.7

Тензорное поле Яно-Киллинга

Для получения операторов симметрии вида (16) необходимо решать уравнение на векторное поле Яно (19). Свойства тензорного поля Яно-Киллинга изучались в работе [48]. Рассмотрим некоторые очевидные свойства этого поля, приведенные в этой работе. Свойство 1. fij;k = fjk;i = fki;j , т.е. индексы можно циклировать. Следует из формулы (19). Свойство 2. fij;k = 0 при совпадении любых двух индексов. Следует из формулы (19). Свойство 3. fij;k = fij;k + fjk;i + fki;j = fij,k + fjk,i + fki,j . Следует из антисимметрии этого тензора и симметрии символов Кристоффеля по нижним индексам. Свойство 4(необходимое условие существования тензорного поля Яно-Киллинга). Рассмотрим два уравнения на поле Яно-Киллинга: a) fij;j = 0, b) fji;i = 0. Уравнение a) продифференцируем по координате xi , уравнение b) – по координате xj и сложим их. После приведения подобных, с использованием свойств 2 и уравнений (19), получим следующее выражение: n n Rjji fin + Riij fjn = 0,

(30)

которое должно выполняться для всех индексов i 6= j. Свойство 5(необходимое условие существования тензорного поля Яно-Киллинга). Рассмотрим три уравнения на поле Яно-Киллинга: a) fij;k + fik;j = 0 (все индексы различны), b) fij;i = 0, c) fik;i = 0. Уравнение a) продифференцируем по координате xi , уравнение b) – по координате xk , уравнение c) – по координате xj и вычтем из первого уравнения второе и третье. После приведения подобных, с использованием свойства 2 и уравнений (19), получим следующее выражение: n n n n (Rkij + Rjik )fin − Riik fjn − Riij fkn = 0,

(31)

которое должно выполняться для всех различных индексов i, j, k. Отметим, что формула (30) есть частный случай формулы (31), если положить k = j. Обе формулы удовлетворяются тождественно для пространств постоянной кривизны.

12

1.8

Тетрадный формализм

Зададим базис из четырех контравариантных векторов ei(a) , индекс a – нумерует вектор (тетрадный индекс), а индекс i – компоненты вектора. Определим также ковариантные векторы соотношением e(a)i = gik ek(a) ,

(32) (b)

gik – метрический тензор. По аналогии введем векторы с верхним тетрадным индексом ek . Введенные векторы связаны с векторами ei(a) соотношениями (b)

(b)

(a)

ei(a) ei = δ(a) , ei(a) ej

= δji .

По определению ei(a) e(b)i = η(a)(b) ,

(33)

здесь η(a)(b) – постоянная симметричная матрица. Введем в рассмотрение обратную матрицу η (a)(b) : (b)

η (a)(b) η(a)(c) = δ(c) . Нетрудно показать, что справедливы следующие тождества: (a)

η(a)(b) ei

= e(b)i , (b)

η (a)(b) e(a)i = ei . Имеем соотношение (a)

e(a)i ej

= gij .

Положим γ i (x) = ei(a) γ ba , где γ bi – постоянные матрицы Дирака (со шляпками) в стандартном представлении. Вид этих матриц приведен в приложении А. Саму тетраду мы находим из уравнений ei(a) ej(b) gij = ηab , где ηab – матрица Минковского. Для определения явного вида оператора Дирака и его симметрий представим эти операторы в удобном для вычисления виде. Для этого подставим представления тензоров и матриц Дирака в тетрадном формализме в формулы (11),(15)-(17). Тогда в конечном виде эти операторы выглядят так : i D = iek(a) γ ba ∂k − ek(a) e(b)j;k ej(c) γ ba γ bb γ bc , 4  i k Y = iξ k ∂k − ξ e(a)j;k ej(b) + ξk;l ek(a) el(b) γ ba γ bb , 4 ? ? i i kj a L = ie(a)j f kj γ ba ∂k − e(a)j e(b)k;i ek(c) f ij γ ba γ bb γ bc + e(a)j f˜;k γ b , 4 3 i J = ielkmn e(a)m e(b)n fl γ bab ∂k − elkmn e(a)m e(b)n e(c)l;i ei(d) fk γ bab γ bc γ bd − 4 3i n a b c d γ b γ bγ bγ b . − eijkl ei(a) ej(b) ek(c) el(d) f;n 4

13

(34) (35) (36)

(37)

1.9

Плоское пространство

Плоское четырехмерное пространство – время, объединяющее физическое трехмерное пространство и время, введено немецким ученым Г. Минковским (H.Minkowski) в 1907-1908 гг. Точки в пространстве – времени Минковского соответствуют "событиям"специальной теории относительности. Положение события в этом пространстве задается четырьмя координатами – тремя пространственными и одной временной. Геометрические свойства в пространстве – времени Минковского определяются выражением для квадрата расстояния 2 2 2 2 между двумя событиями s2 = x1 − x2 − x3 − x4 . Геометрия пространства-времени Минковского позволяет наглядно интерпретировать кинематические эффекты общей теории относительности (изменение длин и скорости течения времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета в другую и т.д.) и лежит в основе современного математического аппарата теории относительности. Мы будем рассматривать случай произвольной сигнатуры и запишем линейный элемент плоского пространства в виде: 2

2

2

2

ds2 = ε1 dx1 + ε2 dx2 + ε3 dx3 + ε4 dx4 , εi = ±1.

1.10

(38)

Пространство де Ситтера

Пространство де Ситтера занимает особое место в теоретической физике. С точки зрения симметрии это пространство максимально симметрично, оно обладает 10-мерной группой движений, так же как и плоское пространство. Пространство де Ситтера является частным однородным и изотропным решением уравнений Эйнштейна общей теории относительности, в правой части которых на месте тензора энергии-импульса стоит космологическая постоянная [39]. В космологии пространство де Ситтера играет важную роль в двух случаях. Во-первых, если космологическая постоянная положительная, то модели Фридмана будут асимптотически стремиться к пространству де Ситтера при t → ∞. Таким образом, пространство де Ситтера может приближенно описывать будущее нашей Вселенной. Во-вторых, согласно сценарию раздувающейся Вселенной, наше пространство-время могло приближенно совпадать с пространством де Ситтера (или его частью) и испытывать экспоненциальное расширение в течение некоторого времени в прошлом на очень раннем этапе своей эволюции. Одно из объяснений высокой степени наблюдаемой крупномасштабной однородности и изотропии видимой части Вселенной связано с тем, что в некотором интервале времени в прошлом Вселенная находилась в максимально симметричном де Ситтеровском состоянии [65]. Наличие кривизны и нетривиальных глобальных свойств обусловливает при этом ряд новых особенностей при квантовании полей в пространстве де Ситтера. Это пространство также используется в некоторых космологических моделях. Риманово пространство постоянной кривизны характеризуется условием Rijkl = K(gik gjl − gil gjk ),

(39)

где K = const (риманова кривизна пространства). В любом пространстве постоянной кривизны можно выбрать систему координат так, чтобы метрическая форма ds2 = gik dxi dxk имела вид [77]: −2

2

ds = (A1 + · · · + An )

n X

2

εi (dxi ) ,

(40)

i=1

где каждое εi равно +1 или −1 в соответствии с сигнатурой пространства, а Ai = εi (a(xi )2 + 2bi xi +ci ), по i нет суммирования, причем постоянные коэффициенты ai , bi , ci удовлетворяют 14

условиям 4

X

εi (aci − bi 2 ) = K.

(41)

i

Интервал (40) задает пространство де Ситтера. Каноническая форма интервала ds2 =

n n 1 X KX i 2 εi (xi )2 . ε (dx ) , Θ = 1 + i Θ2 4

(42)

i=1

i=1

Из формулы (42) становится очевидна связь пространства де Ситтера с плоским пространством, т.е., положив в (42) K = 0 метрика переходит в плоскую. Таким образом, плоское пространство есть предельный случай пространства (42). В дальнейшем мы будем рассматривать 4-мерное пространство, т.е. n = 4. Также, если специально не оговорено, везде по повторяющимся индексам идет суммирование, например ai bi = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 . Четырехмерное пространство де Ситтера проще всего представить как гиперболоид[39] (здесь рассматривается сигнатура Минковского): z02 − z12 − z22 − z32 − z42 = α2

(43)

в пятимерном пространстве Минковского с метрикой ds2 = dz02 − dz12 − dz22 − dz32 − dz42 . Из формулы (43) ясно, что группой симметрии пространства де Ситтера является десятипараметрическая группа SO(1,4) однородных "преобразований Лоренца"в пятимерном пространстве, известная как группа де Ситтера. Точно так же, как группа Пуанкаре играет центральную роль при квантовании полей в пространстве Минковского, группа де Ситтера важна при квантовании полей в пространстве де Ситтера. Наиболее часто используемая система координат (t, χ, θ, φ) вводится соотношениями:  z0 = α sh(t/α),      z1 = α ch(t/α) cos(χ), z2 = α ch(t/α) sin(χ) cos(θ), (44)   z = α ch(t/α) sin(χ) sin(θ) cos(φ),    3 z4 = α ch(t/α) sin(χ) sin(θ) sin(φ), а соответствующий элемент длины принимает вид ds2 = dt2 − α2 ch2 (t/α)[dχ2 + +sin2 (χ)(dθ2 + sin2 (θ)dφ2 )].

(45)

Если −∞ < t < ∞, 0 ≤ χ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π, то эти координаты покрывают все многообразие де Ситтера. Метрика (45) отвечает (замкнутому) проcтранству РобертсонаУокера с K = +1.

1.11

Резюме

В данной главе представлен краткий обзор теории уравнения Дирака в искривленном пространстве, описывающего движение и волновую функцию частицы со спином 1/2. Дано представление об уравнении Дирака в плоском пространстве, приводится обобщение уравнения Дирака на риманово пространство. Основными понятиями теории являются понятие 15

риманова пространства, оператора симметрии. Так, для оператора Дирака существуют 3 типа линейно-независимых операторов симметрии: оператор Киллинга, 2 спинорных оператора – Яно и Яно-Киллинга. Для построения оператора Дирака и его симметрий в какомлибо римановом пространстве с заданной метрикой нужно найти решения уравнений на векторные поля Киллинга и Яно, тензорное поле Яно-Киллинга, а также определить тетраду в этом пространстве, а затем подставить тетраду и поля в соответствующие операторы и найти их явный вид.

16

2 2.1

Методы интегрирования уравнения Дирака Метод полного разделения переменных.

В этом подразделе будут даны основные понятия метода полного разделения переменных (ПРП) и приведены несколько определений разделения переменных в уравнении Дирака [6]. Определение 3 Риманово пространство называется штеккелевым, если приведённое ниже уравнение Гамильтона-Якоби ∂S ∂S 2 g ij ∂x i ∂xj = m

(46)

допускает полное разделение переменных, а именно полный интеграл этого уравнения в некоторой системе координат имеет вид S=

3 P

φi (ui , λ),

(47)

i=1

где φi (ui , λ) – некоторая функция от координаты ui и параметров разделения λ. В штеккелевых пространствах существует полный набор типа (n.n0 ) коммутирующих относительно скобки Пуассона интегралов движения. В полный набор входят n векторных полей Киллинга {ξνi (x)} и 4 − n тензорных полей Киллинга {aij µ (x)}. Греческие буквы ν, µ нумеруют поля, n0 = n − rank(gij ξνi ξµj ). Векторное поле Киллинга определяют из уравнений (18), симметричный тензор aij определяют из условий aij;k + ajk;i + aki;j = 0.

(48)

Величины, входящие в полный набор, должны удовлетворять специальным алгебраическим условиям вида: p i 1) aik ν ξµk = Cνµ ξp , ij pq i j j ij 2) aik ν aµk = Cν aµ + Cνµ g + Cνµ ξp ξq .

(49)

p pq В формулах (49) величины Cν , Cνµ , Cνµ , Cνµ в общем случае могут быть функциями. Рассмотренные нами спинорные поля (20),(19) тесно связаны с тензором Киллинга aij .

Определение 4 Риманово пространство, в которое введен полный набор типа (n.n0 ), называется штеккелевым пространством типа (n.n0 ). Обозначение: V (n.n0 ). В работе [70] показано, что существует 7 различных типов штеккелевых пространств: (3, 00 ), (3, 10 ), (2, 00 ), (2, 10 ), (1, 00 ), (1, 10 ), (0, 00 ). Согласно общей теории, зная полный набор, можно указать систему координат, которая называется привилегированной и в которой можно провести процедуру разделения переменных [71],[72]. Канонический вид метрик штеккелевых пространств найден в работах группы В.Г. Багрова [36]. В качестве основного определения разделения переменных в уравнении Дирака возьмем следующее (встречаются принципиально различные формулировки) Определение 5 Говорят, что уравнение Дирака (11) допускает полное разделение переменных, если существует система координат {xi }, в которой фундаментальная матрица решений имеет вид 4 Ψ = S(x)Ω, Ω = Φ1 (x1 , λ)Φ2 (x2 , λ)Φ3 (x3 , λ)Φ

4 (x , λ), ∂ ∂Ω [Φi , Φj ] = 0, det S(x) 6= 0, det ∂λ Ω 6= 0 ∂xj

17

(50)

Необходимые и достаточные условия полного разделения переменных (сокращенно ПРП) в уравнении Дирака (11) неизвестны на данный момент, однако известно, что если уравнение (11) допускает разделение переменных, то вместе с оператором Дирака D существует четыре независимых линейных дифференциально матричных операторов первого порядка, коммутирующие между собой (см. [74]). Таким образом, необходимым условием разделения переменных в уравнении Дирака в рамках определения 5 является существование тройки взаимно коммутирующих операторов первого порядка. В этом случае задача нахождения решения уравнения (11) сводится к задаче на собственные значения: DΨ = mΨ, X 1 Ψ = λΨ, X 2 Ψ = µΨ, X 3 Ψ = νΨ,

(51) (52)

здесь λ, µ, ν — константы, существенные параметры разделения. Приведенные результаты доказаны в классической работе В.Н. Шаповалова [74]. В работах группы Багрова В.Г. [6],[7] для всех канонических метрик Штеккелевых пространств уравнение Дирака проинтегрировано в смысле определения 5. В работах [5], [37] дано более широкое определение разделения переменных в уравнении Дирака. Определение 6 Говорят, что уравнение Дирака (11) допускает ПРП, если существует привелегированная система координат {xi }, в которой фундаментальную матрицу решений квадрированного уравнения Дирака: (γ k (x)Pk − m)(γ n (x)Pn + m)Φ = 0

(53)

можно представить в виде (50). В работе доказано, что если уравнение Дирака допускает ПРП в рамках определения 5, то соответствующее риманово пространство называется штеккелевым. Отметим, что достаточные условия разделения переменных применительно к определению 5 неизвестны. Кроме того, в работе [74] доказано, что если уравнение Дирака допускает разделение переменных в рамках определения 5, то существует коммутативная тройка операторов симметрии для уравнения Дирака, однако обратное неверно: при наличии коммутативной тройки не всегда возможно разделение переменных, решая систему (51),(52), примеры таких случаев приведены в [22]

2.2

Метод некоммутативного интегрирования

Данный метод предложен в работе [67]. Применение данного метода к решению уравнения Клейна-Гордона и Дирака в римановых пространствах нештеккелева типа содержится в статьях [62], [67],[68]. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка: H(x, ∂x)Ψ(x) = 0.

(54)

Определение 7 Будем говорить, что система (54) интегрируема, если построение базиса его решений может быть сведено к квадратурам и интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения.

18

Пусть уравнение (54) допускает (в общем случае некоммутативную) алгебру симметрий Λ. Алгебра Λ порождается операторами Xi — линейными дифференциальными операторами 1-го порядка: [Xi , H] = 0, [Xi , Xj ] = clij Xl , i, j, l = 1, ..., dim Λ.

(55)

Как показано А.В. Шаповаловым и И.В. Широковым [67], необходимым и достаточным условием интегрируемости уравнения (54) в смысле определения 7 является выполнение равенства dim Λ + ind Λ = 2(n − 1),

(56)

где n — размерность пространства, ind Λ — индекс алгебры Λ, для его вычисления используется формула ind Λ = dim Λ − sup rank f (cγαβ Xγ ),

(57)

f ∈Λ?

здесь Λ? – означает дуальное пространство для Λ, линейный функционал f (ковектор) действует на векторы по формуле f (Xk ) = fk ∈ K – числовое поле, над которым задана алгебра симметрии. В важном для нас случае размерности пространства n = 4 формула (56) переписывается в виде dim Λ + ind Λ = 6.

(58)

В случае выполнения условия (58) точное решение уравнения (54) находится из системы уравнений Xi ΨJ (x, λ) = `i (J, λ, ∂λ )ΨJ (x, λ),

(59)

где `i — дифференциальные операторы первого порядка, задающие λ — представление алгебры Λ. Определение 8 Пусть алгебра Λ со структурными константами clij реализована дифференциальными операторами `i первого порядка: [`i , `j ] = −ckij `k .

(60)

Операторы `i действуют в пространстве функций от 21 (dim Λ+ind Λ) переменных λ ∈ C s и зависят от r = ind L параметров J ∈ C r : `i =

s X

aαi (λ, J)∂λα + bi (λ, J),

(61)

α=1

где aαi (λ, J), bi (λ, J) – функции от (λ, J), причем Kp (`) ≡ ωp · 1, p = 1, ..., r.

(62)

Здесь Kp (`) – операторы Казимира алгебры Λ, ωp (J) – функции от J, причем det(∂ωp /∂Jp ) 6= 0. Такое представление алгебры Λ называется λ-представлением.

19

Это представление есть результат квантования линейной скобки Пуассона на коалгебре Λ∗ в канонических координатах Дарбу [76]. Для решения уравнения (54) нужно решить систему Xi (x, ∂x )ΨJ (x, λ) = `i (λ, J, ∂λ )ΨJ (x, λ).

(63)

Эта система решается методом характеристик. Ее решение в общем случае имеет следующий вид: ΨJ (x, λ) = R(x, λ, J)φJ (u1 , ..., um0 ),

(64)

где R(x, λ, J) – функция, определяемая системой (63), φJ (u1 , ..., um0 ) – произвольная функция переменных (u) и параметров (J), uα = uα (x, λ, J) – характеристики системы (63), т.е. [Yi − `i , uα ] = 0, α = 1, ..., m0 . Подставив (64) в исходное уравнение (54) получим редуцированное уравнение (65) на функцию φJ (u) с независимыми переменными u = u1 , ..., um0 H(u, ∂u , λ)φJ (u) = 0

(65)

m0 = m − 21 (dim L + ind L) = 4 − 3 = 1. Т.е. получается обыкновенное дифференциальное уравнение на функцию φJ (u).

2.3

Резюме

Для решения уравнения Дирака как дифференциального уравнения в частных производных рассматриваются два метода интегрирования: метод разделения переменных и метод некоммутативного интегрирования. Для интегрирования дифференциального уравнения методом ПРП используется коммутативная алгебра операторов симметрии. Для интегрирования уравнения Дирака в методе разделения переменных доказаны только необходимые условия. В методе некоммутативного интегрирования имеется теорема о необходимых и достаточных условиях для интегрирования уравнения Дирака. Для проведения процедуры интегрирования используются некоммутативная алгебра Ли операторов симметрий и метод характеристик. В нашем случае будет показано, что уравнение Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера можно проинтегрировать методом некоммутативного интегрирования, причем в некотором смысле одновременно.

20

3

Алгебра операторов симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры

Результаты данной главы опубликованы в работах [49],[50],[61], [59].

3.1

Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве

Решения уравнений на поля Яно(20) и Яно-Киллинга(19) в плоском пространстве изучали в работе [49], они имеют вид: fi = α xi εi + bi , k l

fij = εijkl a x + rij ,

(66) (67)

Везде α, bi , ak , rij – произвольные постоянные (rij = −rji ), в формуле (66) по индексу i суммирования нет.

3.2

Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера

Впервые векторные поля Яно в пространстве де Ситтера были получены в работе А.В. Аминовой [33] Уравнение на векторное поле Яно в римановом пространстве имеет вид : 1 k , gij f;k 4 где fk – вектор Яно. Решение уравнения (68) ищем в виде fi;j =

(68)

fi = ti (x1 , x2 , x3 , x4 )/Θ2 . На функции ti (x1 , x2 , x3 , x4 ) получаются дифференциальные уравнения. Всего их решений - пять векторов Яно. В работе [50] приведено одно решение для данного вида де Ситтеровской метрики, но они были получены и ранее в [33]. В данной работе найдены еще четыре. Они приведены ниже (верхний индекс в скобке нумерует векторы Яно, нижний индекс – компоненты вектора):   (1) 1 2 − K ε x2 2 −  f (2) = 2 K ε x4 x1 /Θ2 ,  f = (−4 + K ε x   1 2 1 1 1     2 2 (2)   4 3 2   f2 = 2 K x2 x4 ε2 /Θ2 , K ε4 x − K ε3 x )/Θ ,   (1) (2) f2 = 2 K x1 ε2 x2 /Θ2 , f3 = 2 K ε3 x4 x3 /Θ2 ,     (1) (2) 1 3 2 12 22      f3 = 2 K x ε3 x /Θ ,  f4 = (−4 − K ε1 x − K ε2 x +   2 2  (1)  1 4 2 K ε4 x4 − K ε3 x3 )/Θ2 ,  f4 = 2 K x ε4 x /Θ  (69) (4) (3) 2 x1 /Θ2 , 3 ε x1 /Θ2 ,   f = 2 K x f = 2 K ε x   1 1 1 1     (3)   f (4) = 2 K x2 x3 ε /Θ2 , 12 22  2  2  f2 = (−4 − K ε1 x + K ε2 x −  2 2 2 2 (4) K ε3 x3 − K ε4 x4 )/Θ2 f3 = (−4 − K ε1 x1 − K ε2 x2 +     2 2 (3)   f3 = 2 K ε3 x2 x3 /Θ2 , K ε3 x3 − K ε4 x4 )/Θ2 ,        (3)  (4) f4 = 2 K x4 x3 ε4 /Θ2 . f4 = 2 K x4 x2 ε4 /Θ2 , Анализ полученных дифференциальных уравнений показывает, что больше нет других линейно–независимых решений, т.е. нет других векторных полей Яно. Также все пять полей Яно можно представить в форме записи (общее решение):
(0) (j) (70) fi = αfi + βj fi = Kaijk xj xk + αδij xj + βi /Θ2 , 21

где в данном выражении есть пять произвольных констант α, β1 , β2 , β3 , β4 - const, aijk = aijk (β1 , β2 , β3 , β4 ), aijk = aikj , коэффициенты этой матрицы легко найти, сравнив общий вид с найденными решениями. Поле Яно-Киллинга в римановом пространстве задается условиями fij + fji = 0, fij;k = eijkl · g l , (71) p где g l – некоторый вектор; eijkl = | det(gij )| · εijkl , здесь εijkl – абсолютно антисимметричный тензор. Решение уравнения (71) ищем в виде fij = tij (x1 , x2 , x3 , x4 )/Θ3 . На функции tij (x1 , x2 , x3 , x4 ) получаются дифференциальные уравнения. Решая данную систему уравнений, получим все тензоры Яно-Киллинга - десять тензоров. В работе [50] приведено четыре решения уравнения (19) в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. В данной работе найдены еще шесть. Они приведены ниже (верхний индекс в скобке нумерует тензоры Яно-Киллинга, нижние индексы - компоненты тензора):   (1) (2) 3 ε x1 /Θ3 ,   f = −2 K x   f12 = 2 K x2 x4 ε2 /Θ3 , 1 12     (1) (2)     f13 = 2 K ε3 x4 x3 /Θ3 ,  f13 = 2 K ε1 x2 x1 /Θ3 ,      (1) (2)   42 32    f14 = 0,  f14 = (4 − K ε3 x + K ε4 x − 2 2 2 2 (1) (72) K ε2 x2 + K ε1 x1 )/Θ3 , f23 = (4 + K ε3 x3 − K ε1 x1 +     2 2 (2) 2 4 3   K ε2 x − K ε4 x )/Θ ,  f23 = 0,       (1)  (2) 4 3 3   f24 = 2 K x x ε4 /Θ , f24 = 2 K x1 ε2 x2 /Θ3 ,       (1)  f = −2 K x4 x2 ε /Θ3 ,  f (2) = 2 K x1 ε x3 /Θ3 , 4 3 34 34   2 2 (3) (4) 2 x3 ε /Θ3 ,   f = 2 K x f12 = (4 − K ε3 x3 + K ε2 x2 +   2 12     2 2 2 2 (3)    K ε1 x1 − K ε4 x4 )/Θ3 , f13 = (4 + K ε3 x3 − K ε4 x4 −        (4) 2 2  2 3 3   K ε2 x2 + K ε1 x1 )/Θ3 ,    f13 = 2 K ε3 x x /Θ , (3) (4) 4 3 3 4 2 f14 = 2 K x x ε4 /Θ , f14 = 2 K x x ε4 /Θ3 ,     (3) (4)   f23 = −2 K x1 ε3 x3 /Θ3 ,  f23 = 2 K x1 ε2 x2 /Θ3 ,      (3) (4)     f24 = 0, f24 = −2 K x1 ε4 x4 /Θ3 ,        f (3) = −2 K x1 ε x4 /Θ3 ,  f (4) = 0, 4 34 34   (5) (6) 4 1 3      f12 = −2 K ε1 x x /Θ ,  f12 = 0,   (5) (6)     f13 = 0 f13 = 2 K ε1 x4 x1 /Θ3 ,       (5) (6)   2 1 3 3 1 3    f14 = 2 K ε1 x x /Θ ,  f14 = −2 K x ε1 x /Θ , (5) (6) 4 3 3 2 4 3 f23 = 2 K ε3 x x /Θ , f23 = 2 K x x ε2 /Θ ,     2 2 (5) (6) 3 1    f24 = (4 − K ε3 x − K ε1 x +  f24 = −2 K x2 x3 ε2 /Θ3 ,     2 2   (6) 2 2  K ε4 x4 + K ε2 x2 )/Θ3 ,  f34 = (−4 − K ε3 x3 + K ε1 x1 −       2 2  f (5) = 2 K ε x2 x3 /Θ3 ,  K ε4 x4 + K ε2 x2 )/Θ3 . 3 34

(73)

(74)

Анализ полученных дифференциальных уравнений показывает, что больше нет других линейно - независимых решений, т.е. нет других тензорных полей Яно-Киллинга. Также все 10 тензорных полей Яно-Киллинга можно представить в форме записи (общее решение):
fij = Kaijkl xk xl + εijkl ak xl + βij /Θ3 , (75) где в выражении есть десять произвольных констант ak , βij - const, aijkl = aijkl (ak , βij ) aijkl = aijlk , aijkl + ajikl = 0, βij + βji = 0, коэффициенты матрицы aijkl легко найти, сравнив 22

общий вид с найденными решениями. Результаты этого параграфа согласуются с работой [30], в которой приводятся обобщения тензорных полей Яно-Киллинга на произвольное число измерений в пространстве де Ситтера.

3.3

Оператор Дирака и его операторы симметрии в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера

Интервал в плоском пространстве запишем в виде: 2

2

2

2

ds2 = ε1 dx1 + ε2 dx2 + ε3 dx3 + ε4 dx4 , εi = ±1. Для плоского пространства тетрада выбрана в форме ei(a) =

q

ηaa gaa

(76) δai , где метрика Мин-

ковского η = diag(+1, −1, −1, −1), g = diag(ε1 , ε2 , ε3 , ε4 ) – метрика плоского пространства произвольной сигнатуры, δij – символ Кронекера. Спинорная связность в плоском пространстве равна нулю, оператор Дирака имеет стандартный вид: γ b2 γ b3 γ b4 ib γ1 (77) D = √ ∂x1 − √ ∂x2 − √ ∂x3 − √ ∂x4 . ε1 ε2 ε3 ε4 √ При вычислениях использовалось правило −1 = i. Для обозначения оператора Дирака в плоском пространстве мы будем использовать также символ DF . Спинорный оператор симметрии (16) распадается на десять независимых операторов, из которых мы приведем только 4, они имеют вид: ?

?

?

?

i x2 γ b1 x1 γ b2 i x3 γ b1 x1 γ b3 L1 = ( √ +√ ) ∂x 3 + (− √ −√ )∂ 2 + ε1 ε3 ε2 ε3 ε1 ε2 ε3 ε2 x ?

(78)

?

x3 γ b2 x2 γ b3 iγ b4 +(− √ +√ ) ∂x 1 − √ √ √ , ε2 ε1 ε3 ε1 ε1 ε2 ε3 ?

?

?

?

i x4 γ b1 x1 γ b2 x1 γ b4 i x2 γ b1 +√ ) ∂x 4 + (− √ −√ )∂ 2 + L2 = ( √ ε1 ε4 ε2 ε4 ε1 ε2 ε4 ε2 x ?

(79)

?

x4 γ b2 iγ b3 x2 γ b4 +(− √ +√ ) ∂x 1 + √ √ √ , ε2 ε1 ε4 ε1 ε1 ε2 ε4 ?

?

?

?

i x3 γ b1 x1 γ b3 i x4 γ b1 x1 γ b4 +√ ) ∂x 4 + (− √ −√ )∂ 3 + L3 = ( √ ε1 ε4 ε3 ε4 ε1 ε3 ε4 ε3 x ?

(80)

?

x4 γ b3 x3 γ b4 iγ b2 +(− √ +√ ) ∂x 1 − √ √ √ , ε3 ε1 ε4 ε1 ε1 ε3 ε4 ?

?

?

?

x3 γ b2 x2 γ b3 x4 γ b2 x2 γ b4 +√ ) ∂x 4 + ( √ −√ )∂ 3 + L4 = (− √ ε2 ε4 ε3 ε4 ε2 ε3 ε4 ε3 x ?

?

x4 γ b3 x3 γ b4 γ b1 +(− √ +√ ) ∂x 2 + √ √ √ ε3 ε2 ε4 ε2 ε2 ε3 ε4

23

(81)

Спинорный оператор симметрии (17) распадается на 5 независимых операторов, из которых мы приведем только один, он имеет вид: √ √ √ √ √ √ J0 = (2 i ε2 ε1 ε3 x3 γ b 12 − 2 ε3 ε2 ε1 x1 γ b 23 − 2 i ε3 ε1 ε2 x2 γ b 13 ) ∂x4 √ √ √ √ √ √ 4 12 2 14 1 + (−2 i ε2 ε1 ε4 x γ b + 2 i ε4 ε1 ε2 x γ b + 2 ε4 ε2 ε1 x γ b 24 ) ∂x3 √ √ √ √ √ √ + (−2 ε4 ε3 ε1 x1 γ b 34 − 2 i ε4 ε1 ε3 x3 γ b 14 + 2 i ε3 ε1 ε4 x4 γ b 13 ) ∂x2 √ √ √ √ √ √ 3 24 4 23 2 34 b + 2 ε3 ε2 ε4 x γ b + 2 ε4 ε3 ε2 x γ b ) ∂x1 + (−2 ε4 ε2 ε3 x γ √ √ √ √ b. + 3 i ε1 ε2 ε3 ε4 γ

(82)

Линейный элемент пространства де Ситтера запишем в виде: 2

2

2

2

ds2 = (ε1 dx1 + ε2 dx2 + ε3 dx3 + ε4 dx4 )/Θ2 .

(83)


Здесь Θ = 1 + K4 · ε1 x21 + ε2 x22 + ε3 x23 + ε4 x24 , K - const (каноническая форма). Ортогональq ная тетрада выбрана в виде ei(a) = Θ1 ηεaa δai , где метрика Минковского η = diag(+1, −1, a −1, −1). Спинорная связность в пространстве де Ситтера отлична от нуля, оператор Дирака имеет вид:  1  iγ b γ b2 γ b3 γ b4 √ √ √ D=Θ √ ε1 ∂x1 − ε2 ∂x2 − ε3 ∂x3 − ε4 ∂x4 − (84)
√ √ √ √ b 1 − ε2 x2 γ b 2 − ε3 x3 γ b 3 − ε4 x4 γ b4 . − 34K i ε1 x1 γ Для обозначения оператора Дирака в пространстве де Ситтера мы используем также символ DS . Операторы симметрии вида (16) и (17), построенные по этим полям, совпадают с операторами cимметрии для плоского пространства. Они имеют вид (78)-(81), (82).

3.4

Структура алгебры симметрии уравнения Дирака

Алгебра операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака задается операторами (15), (16) и (17). В случае плоского пространства она фигурирует во многих монографиях и учебниках. Как правило, ее получают прямым вычислением (см., например, [63, 69]). Построение этой алгебры с помощью полей на многообразии имеет определенные преимущества, поскольку мы извлекаем дополнительную информацию геометрического характера (поля (19), (20) определяют первые интегралы второго порядка для уравнений геодезических [70]). Мы приведем коммутаторы для операторов (78)-(81), (82). Помимо спинорных операторов, для уравнение Дирака в обоих пространствах существуют симметрии вида (15). Для их построений необходимы решения уравнений Киллинга, которые хорошо известны как в плоском пространстве, так и в пространстве де Ситтера. Общее колличество киллинговых симметрий в обоих случаях равно десяти (оба пространства являются пространством максимальной подвижности). Векторы Киллинга, необходимые для построения операторов (15), указаны в монографии [45, стр.72] как для плоского пространства, так и для пространства де Ситтера. Построение симметрий с помощью полей Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера с помощью тетрад, указанных в данном параграфе для плоского пространства и пространства де Ситтера, привело к следующему

24

результату: 6 из 10 операторов имеют одинаковый вид: 1 b 12 , √ √ γ 2 ε1 ε2 1 b 13 , Y2 = i ε1 x3 ∂x 1 − i ε3 x1 ∂x 3 + √ √ γ 2 ε3 ε1 1 Y3 = i ε1 x4 ∂x 1 − i ε4 x1 ∂x 4 + √ √ γ b 14 2 ε4 ε1 i Y4 = i ε2 x3 ∂x 2 − i ε3 x2 ∂x 3 + √ √ γ b 23 , 2 ε3 ε2 i Y5 = i ε2 x4 ∂x 2 − i ε4 x2 ∂x 4 + √ √ γ b 24 , 2 ε4 ε2 i Y6 = i ε3 x4 ∂x 3 − i ε4 x3 ∂x 4 + √ √ γ b 34 . 2 ε4 ε3 Y1 = i ε1 x2 ∂x 1 − i x1 ε2 ∂x 2 +

(85) (86) (87) (88) (89) (90)

Подчеркнем, что эти операторы коммутируют как с оператором Дирака (77) в плоском пространстве, так и с оператором Дирака (84) в пространстве де Ситтера. Наша ближайшая цель состоит в изучении структуры алгебры операторов (78)-(81), (82) и (85)-(90). Чтобы отличить алгебру симметрии в плоском пространстве от алгебры симметрии в пространстве де Ситтера, мы первую из них обозначим символом ΛF , а вторую – символом ΛS . Результат, который мы получили, можно записать равенством ΛF = ΛS . Причем равенство нужно понимать не просто как изоморфизм алгебр, а в смысле одинаковой реализации элементов этих алгебр. В тех случаях, когда у нас нет необходимости различать эти алгебры, мы будем пользоваться единым символом Λ. Совпадение операторов симметрии для уравнения Дирака в разных пространствах можно объяснить удачным выбором тетрад. Разный выбор тетрад приведет к несовпадению этих операторов, однако в этом случае существует невырожденная матрица S, которая осуществляет эквивалентность типа S −1 ΛF S = ΛS . В этом смысле мы понимаем стандартную эквивалентность этих алгебр. Теперь приведем коммутационные соотношения: полную сводку произведений матриц Дирака для четырехмерного пространства можно найти в монографии [44]. [L4 , Y6 ] = 0 [L4 , Y3 ] = ε4 L1 [L3 , Y6 ] = 0 [L3 , Y3 ] = 0 [L2 , Y6 ] = ε4 L1 [L2 , Y3 ] = 0 [L1 , Y6 ] = −ε3 L2 [L1 , Y3 ] = −ε1 L4

[L4 , Y5 ] = 0 [L4 , Y2 ] = −ε3 L2 [L3 , Y5 ] = ε4 L1 [L3 , Y2 ] = 0 [L2 , Y5 ] = 0 [L2 , Y2 ] = ε1 L4 [L1 , Y5 ] = −ε2 L3 [L1 , Y2 ] = 0

[L4 , Y4 ] = 0 [L4 , Y1 ] = −ε2 L3 [L3 , Y4 ] = ε2 L2 [L3 , Y1 ] = −ε3 L4 [L2 , Y4 ] = ε2 L3 [L2 , Y1 ] = 0 [L1 , Y4 ] = 0 [L1 , Y1 ] = 0.

(91)

[Y5 , Y6 ] = −ε4 Y4 [Y3 , Y6 ] = −ε4 Y2 [Y2 , Y6 ] = −ε3 Y3 [Y2 , Y3 ] = −ε1 Y6 [Y1 , Y4 ] = ε2 Y2

[Y4 , Y6 ] = −ε3 Y5 [Y3 , Y5 ] = −ε4 Y1 [Y2 , Y5 ] = 0 [Y1 , Y6 ] = 0 [Y1 , Y3 ] = −ε1 Y5

[Y4 , Y5 ] = −ε2 Y6 [Y3 , Y4 ] = 0 [Y2 , Y4 ] = −ε3 Y1 [Y1 , Y5 ] = ε2 Y3 [Y1 , Y2 ] = −ε1 Y4 .

(92)

[J0 , Yi ] = 0,

i = 1, ..., 6.

25

(93)

[L1 , L2 ] = ε1 ε2 ε3 ε4 J0 Y1 + i ε1 ε2 Y6 [L1 , L3 ] = ε1 ε2 ε3 ε4 J0 Y2 − i ε1 ε3 Y5 [L1 , L4 ] = ε1 ε2 ε3 ε4 J0 Y4 + i ε2 ε3 Y3 [L2 , L3 ] = ε1 ε2 ε3 ε4 J0 Y3 + i ε1 ε4 Y4 [L2 , L4 ] = ε1 ε2 ε3 ε4 J0 Y5 − i ε2 ε4 Y2 [L3 , L4 ] = ε1 ε2 ε3 ε4 J0 Y6 + i ε3 ε4 Y1 . [J0 , [J0 , [J0 , [J0 ,

L1 ] = −4 ε4 (ε2 ε1 L2 Y1 + ε1 ε3 L3 Y2 + ε2 ε3 L4 Y4 ) L2 ] = 4 ε3 (−ε1 ε4 L3 Y3 + ε2 ε1 L1 Y1 − ε4 ε2 L4 Y5 ) L3 ] = 4 ε2 (−ε3 ε4 L4 Y6 + ε3 ε1 L1 Y2 + ε1 ε4 L2 Y3 ) L4 ] = 4 ε1 (ε2 ε3 L1 Y4 + ε2 ε4 L2 Y5 + ε3 ε4 L3 Y6 ).

(94)

(95)

Из приведенных соотношений видно, что рассмотренная нами алгебра Λ (91)-(95) не является алгеброй в обычном смысле слова, а является так называемой квадратичной алгеброй [58]. Оба оператора Дирака (77) и (84) по отдельности принадлежат центру алгебры Λ. Добавление к алгебре Λ обоих операторов приводит к тому, что алгебра становится без центра. Это связано с тем, что операторы Дирака (77) и (84) не коммутируют, хотя и порождают оператор первого порядка. Лемма 1 Для операторов Дирака в плоском пространстве (77) и в пространстве де Ситтера (84) существуют 11-мерные подалгебры операторов симметрии ΛF и ΛK , причем эти подалгебры стандартно эквивалентны, т.е. ΛF = ΛK . Доказательство проводится прямым вычислением. Построенные операторы симметрии в плоском пространстве с тетрадой для метрики (76) и полями Яно и ЯноКиллинга (66),(67) имеют вид (78)-(82). Операторы симметрии в пространстве де Ситтера с тетрадой для метрики (83) и полем Яно fi = αδij xj /Θ2 и 4 полями Яно-Киллинга fij = εijkl ak xl /Θ3 из (70),(75), полученные прямым вычислением совпадают с операторами (78)-(82) в плоском пространстве. Кроме того, в плоском пространстве и пространстве де Ситтера есть по 6 совпадающих операторов Килллинга (85)-(90). Следовательно, явный вид этой подалгебры Λ = ΛF = ΛK = {Y1 , ..., Y6 , J0 , L1 , ..., L4 }. Эти операторы не зависят от кривизны K пространства де Ситтера.

3.5

О некоммутативном интегрировании с помощью подалгебр

Лемма 2 В алгебре Λ существуют 4 подалгебры Ли Λi , для которых выполнены условия некоммутативного интегрирования dim Λi + ind Λi = 6.

(96)

Доказательство. Сводится к поиску всех линейных подалгебр в алгебре Λ и проверке условия (96). Эти подалгебры следующие Λ1 = {Y1 , Y2 , Y4 , J0 }, Λ3 = {Y2 , Y3 , Y6 , J0 },

Λ2 = {Y1 , Y3 , Y5 , J0 }, Λ4 = {Y4 , Y5 , Y6 , J0 }.

(97)

Элементы в подалгебрах Λi функционально независимы. Например, проверим условие (58) для подалгебры Λ1 = {Y1 , Y2 , Y4 , J0 }, размерность алгебры dim Λ1 = 4. Переобозначим элементы алгебры следующим образом: 26

Λ1 = {X 1 , X 2 , X 3 , X 4 }. Ненулевые структурные константы алгебры Ли имеют вид: c312 = −ε1 , c213 = ε2 , c123 = −ε3 . Следовательно, индекс алгебры Λ1 равен 

0 −f1 f2  f1 0 −f3 −rank   −f2 f3 0 0 0 0

ind Λ1 = dim Λ1 −  0 0  =4−2=2 0  0

(98)

и условие (58) выполнено. Отметим, что в алгебре Λ существуют еще 4 подалгебры с условием (96). В них входят операторы из квадратичного расширения. Эти подалгебры следующие: Λ5 = {Y1 , Y2 , Y4 , L1 }, Λ6 = {Y1 , Y3 , Y5 , L2 }, (99) Λ7 = {Y2 , Y3 , Y6 , L3 }, Λ8 = {Y4 , Y5 , Y6 , L4 }. В алгебрах Λ5 – Λ8 существуют функциональные соотношения вида L21 = ε3 Y12 + ε2 Y22 + ε1 Y42 + 41 , L23 = ε4 Y22 + ε3 Y32 + ε1 Y62 + 14 ,

L22 = ε4 Y12 + ε2 Y32 + ε1 Y52 + 41 , L24 = ε4 Y42 + ε3 Y52 + ε2 Y62 + 41 ,

(100)

и, строго говоря, мы не можем использовать такие алгебры для интегрирования. Подалгебры Λ5 – Λ8 можно использовать для построения класса решений, однако условие полноты базиса решений будет нарушено. Заметим также, что подалгебры, например, Λ1 и Λ5 имеют одинаковые структурные константы, но в Λ1 нет функционального соотношения.

3.6

Резюме

В плоском пространстве и в пространстве де Ситтера найдено полное число полей Яно и Яно-Киллинга: по 5 векторов Яно и по 10 векторов Яно-Киллинга. Как следствие определения операторов симметрии, всего в обоих пространствах по 25 операторов симметрии уравнения Дирака. Для операторов Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера существует общая 11-мерная подалгебра операторов симметрий, операторы которой не зависят от кривизны. Эта общая алгебра является квадратичной, т.к. есть коммутаторы, которые выражаются через произведение 2-х операторов. Однако в этой подалгебре есть 8 4-мерных подалгебр Ли. Эти 8 подалгебр удовлетворяют теореме о некоммутативном интегрировании. 4 из них имеют функциональные соотношения между элементами, поэтому их нельзя применять для некоммутативного интегрирования, т.к. решения уравнения Дирака уже не будут обладать полнотой. Таким образом? оставшиеся 4 подалгебры Ли и будут составлять интегрируемые модели движения.

27

4

Точно интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера

Результаты данной главы опубликованы в работах [23, 51, 61].

4.1

Постановка задачи. Алгоритм некоммутативного интегрирования

Суть процедуры некоммутативного интегрирования уравнения Дирака состоит в следующей схеме: 1. Берем подалгебру, удовлетворяющую условию теоремы о некоммутативной интегрируемости: в нашем случае это подалгебра Λ(2) = {Y1 , Y3 , Y5 , J0 } = {X1 , X2 , X3 , X4 }. 2. Находим λ – представление {`1 , `2 , `3 , `4 } этой подалгебры (элементы являются линейными дифференциальными операторами 1-го порядка) из условия [`i , `j ] = −ckij `k ,

(101)

где ckij – структурные константы подалгебры Λ(2) , и проверяем условия невырожденности для оператора Казимира: Kp (`) ≡ ωp · 1, det(∂ωp /∂Jp ) 6= 0, где константа ωp = f (J1 ...Js ) - в общем случае функция параметров Js s = (ind Λ + dim Λ)/2 3. Интегрирование уравнения Дирака сводится к решению системы Xi (x, ∂x )ΨJ (x, λ) = `i (λ, J, ∂λ )ΨJ (x, λ), i = 1, .., 4, DΨJ (x, λ) = mΨJ (x, λ).

(102) (103)

4. Сначала решаем систему (102) методом характеристик. Решение этой системы имеет вид: ΨJ (x, λ) = R(x, λ, J) F (u(x, λ, J)).

(104)

Здесь R(x, λ, J) – некоторая функция от координат и параметров λ, J, F (u(x, λ, J)) – спинор, зависящий только от одной переменной - функции u(x, λ, J). 5. Подставляем решение (104) в уравнение Дирака (103) и получаем ОДУ на неизвестный спинор F (u(x, λ, J)). 6. Общее решение Ψ(x) уравнения Дирака определяется через решение (104) посредством формального разложения Z Ψ(x) =

c(λ)ΨJ (x, λ)dµ(λ).

(105)

λ

Согласно пункту 1 алгоритма делаем вывод: из-за идентичности подалгебр операторов симметрии (78)-(81), (82) и (85)-(90) в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера λ – представления подалгебр (97) в обоих пространствах будут совпадать. Будут различны операторы симметрии, используемых подалгебр.

28

4.2 4.2.1

Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве Выбор подалгебры и построение λ- представления

Лемма 3 Занумеруем элементы каждой подалгебры Λi из (97) в таком порядке Λi = {X1 , X2 , X3 , X4 } (например, в Λ4 : X1 = Y1 , X2 = Y3 , X3 = Y5 , X4 = J0 ). Тогда каждая из данных 4-х подалгебр (97) сводится к алгебре Ли с коммутационными соотношениями:  1 2  3 1  2 3 3 2 1 X X X  1, X 4 = X  2, X 4 = X  ,3X 4 = X , (106) X ,X = 0 X ,X = 0 X ,X = 0 с помощью домножения каждого оператора на определенный коэффициент. Подалгебра {X1 , X2 , X3 } есть алгебра so(3). Этой алгебре соответствует λ – предствление:  `1 = ∂λ    `2 = i(cos(λ)∂λ + J1 sin(λ)) (107) `  3 = i(sin(λ)∂λ − J1 cos(λ))   `4 = J2 . Как следствие данной леммы, у данных четырех подалгебр в (97) будет одинаковое λ – предствление, и т.к. данные подалгебры являются общими для плоского пространства и пространства де Ситтера, то и λ – представление будет общим для обоих пространств. 4.2.2

Точное решение уравнения Дирака в модели с киллинговыми симметриями (массивный случай)

Рассмотрим подалгебру Λ4 = {Y4 , Y5 , Y6 , X4 }. Решение первых трех уравнений системы (102) дается методом характеристик, оно имеет вид:
ΨJ (x, λ) = exp J1 [ln(r3 + ρ2 ) − ln(v)] ×   √ 2 √ 3 23 i ln(i ε2 x + ε3 x )b γ × exp 2 √ 4  i ε4 x b A × (108) exp 2     ρ 1 b × F (r3 , x1 ). exp B √ arctan √ 2 r3 r3 √ √ 2 2 2 Здесь введены обозначения: r3 = ε2 x2 + ε3 x3 + ε4 x4 , ρ = v − i ε4 x4 , v = exp(iλ)(i ε2 x2 + √ 3 b=γ b = (b ε3 x ). Матрицы A b24 − ib γ 34 , B γ 24 − ib γ 34 )r3 + γ b24 + ib γ 34 . В качестве четвертого оператора возьмем киллингов оператор X4 = ∂x1 . Тогда решение четвертого уравнения системы (102) представляется в виде F (r3 , x1 ) = exp(J2 x1 )f (r3 )

(109)

После подстановки общего решения (108) с учетом (109) в уравнение Дирака (103), получим обыкновенное дифференциальное уравнение на спинор f (r3 ) = fJ1 J2 (r3 ): 

i[(1 + r3 )b γ 2 − (1 − r3 )b γ3]

d + dr3

i [(1 + 2J1 + r3 )b γ 2 − (1 + 2J1 − r3 )b γ3] + 2r3  iJ2 1 b − m fJ1 J2 (r3 ) = 0. √ γ ε1 29

(110)

Построим точное решение дифференциального уравнения (110). Для этого подставим в него явный вид гамма-матриц Дирака, использованных в статье [51]. Спинор задается в виде:   Z1 (r3 )  Z2 (r3 )   fJ1 J2 (r3 ) =  (111)  Z3 (r3 )  . Z4 (r3 ) После подстановки спинора в дифференциальное уравнение (110), получаем обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на компоненты спинора Z1 (r3 ), Z3 (r3 ). Эти уравнения сводятся к уравнениям на функцию Бесселя, решения принимают вид: √ √ [AJ|J1 | (κ r3 ) + BY|J1 | (κ r3 )], √ √ −1/2J1 −1/2 Z3 (r3 ) = r3 [CJ|J1 | (κ r3 ) + DY|J1 | (κ r3 )], −1/2J1 −1/2

Z1 (r3 ) = r3

p κ = m2 + ε1 J22 , A, B, C, D – константы интегрирования. Компоненты Z2 (r3 ), Z4 (r3 ) выражаются через них по формулам: √ ε1 (Z3 (r3 ) + 2 r3 drd3 Z3 (r3 )) Z2 (r3 ) = , √ J2 + i m ε1 √ ε1 (Z1 (r3 ) + 2 r3 drd3 Z1 (r3 )) . Z4 (r3 ) = √ J2 − i m ε1

(112) (113)

(114)

При наложении различных физических условий в решениях следует оставить только функции Бесселя 1-го рода. Отметим, что структура решений согласуется с известным случаем, приведенным в классической монографии [38, стр.112]. 4.2.3

Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией (безмассовый случай)

В качестве четвертого оператора возьмем спинорный оператор J0 . Для интегрирования перейдем в 4-мерную сферическую систему координат:  1 √ √ x = 1/ ε1 √r cos(φ1 ),   √  2 x = 1/ ε2 √r sin(φ1 ) cos(φ2 ), √ (115) x3 = 1/ ε3 √ r sin(φ1 ) sin(φ2 ) cos(φ3 ),   √  4 x = 1/ ε4 r sin(φ1 ) sin(φ2 ) sin(φ3 ). Решение первой тройки системы (103): ΨJ (φ1 , φ2 , φ3 , r, λ) = (e(−2 i φ2 ) + ρ2 )(−J1 ) (1 + ρ2 )J1 e−i φ2 J1 × 24 23 34 e(1/2 γb φ3 ) e1/2 φ2 γb e(bγ arctan(ρ)) RJ (φ1 , r), (1 − cos(v)) e(−i φ2 ) , v = λ − φ3 . sin(v) Тогда четвертое уравнение системы (102) редуцируется к виду:  1 34 1 12 1 ∂ − ∂φ1 RJ (φ1 , r) + − i γ b j2 − i γ b − (1 + 2 J1 ) γ b 13 + 2 2 2  1 i (1 + 2 J1 ) cos(φ1 ) γ b 23 cos(φ ) 1  +2 −  RJ (φ1 , r) = 0. sin(φ1 ) sin(φ1 )

(116)

где сделаны такие обозначения: ρ =

30

(117)

Решение этого уравнения имеет вид: RJ (φ1 , r) = Tj1 j2 (φ1 )Fj1 j2 (r) подробно разбирается в параграфе 4.3 на стр. (32) и (32) При вычислениях сделаны замены: J2 1/2 + J1 = j1 , √ √ √ √ = j2 . ε1 ε2 ε3 ε4 После подстановки решения уравнения (117) в (116) имеем общее решение системы (102) в случае когда четвертый оператор является спинорным, построенным по векторному полю Яно. При проведении редукции ограничимся безмассовым случаем. После подстановки (116) в уравнение Дирака (103) при m = 0 получим обыкновенное дифференциальное уравнение на спинор:
d 4r fj2 (r) + 3 + j2 γ (118) b1234 fj2 (r) = 0. dr Это уравнение интегрируется в элементарных функциях. Спинор понимаем в виде столбца с компонентами:   Z1 (r)  Z2 (r)   fj2 (r) =  (119)  Z3 (r)  . Z4 (r) После подстановки спинора в дифференциальное уравнение (118), получаем обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на компоненты спинора, которые интегрируются в элементарных функциях:   A r i/4 j2 + B r −i/4 j2 1  C r i/4 j2 + D r −i/4 j2   fj2 (r) = 3/4  (120)  A r i/4 j2 − B r −i/4 j2  . r C r i/4 j2 − D r −i/4 j2

4.3 4.3.1

Интегрирование уравнения Дирака в пространстве де Ситтера Выбор подалгебры и построение λ- представления

Согласно лемме 2 и замечанию в конце параграфа 4.2.1 выбор λ – представления совпадает с плоским (107). 4.3.2

Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией

В случае пространства де Ситтера мы используем в качестве четвертого оператора спинорный оператор J0 . Интегрирование производится в 4-мерной сферической системе координат, как и для плоского пространства. Случай а. Пространство де Ситтера, безмассовый случай. Решение системы (102) совпадает с ранее полученным решением для плоского пространства со спинорной симметрией (116), (??). После подстановки общего решения в уравнение Дирака в пространстве де Ситтера получаем обыкновенное дифференциальное уравнение на спинор:   d 3rK 1234 4r fj2 (r) + 3 − + j2 γ b fj2 (r) = 0. (121) dr 2Θ 2

2

2

2

Здесь Θ = 1 + K/4(ε1 x1 + ε2 x2 + ε3 x3 + ε4 x4 ) – множитель, который входит в метрику 2 2 2 2 де Ситтера, r = ε1 x1 + ε2 x2 + ε3 x3 + ε4 x4 .

31

Данное дифференциальное уравнение переходит в уравнение (118) для плоского пространства при K → 0. Это уравнение также интегрируется в элементарных функциях. Точное решение представлено в следующем разделе. Построим точные решения. После подстановки спинора в форме (127) в дифференциальное уравнение (121) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на компоненты спинора, которые также интегрируются в элементарных функциях:  A r i/4 j2 + B r −i/4 j2  C r i/4 j2 + D r −i/4 j2     A r i/4 j2 − B r −i/4 j2  . C r i/4 j2 − D r −i/4 j2  fj2 (r) =

Θ3/2 r3/4

(122)

Видно, что решение в пространстве де Ситтера переходит в решение для плоского пространства при K → 0. Случай б. Пространство де Ситтера, массивный случай. Вообще говоря, параметры j1 и j2 могут быть произвольными комплексными числами, однако из физических соображений следует наложить некоторые естественные ограничения, которые обычно возникают при построении решения. Нетрудно указать смысл параметров j1 и j2 . Параметр j1 входит в алгебру вращения so, поэтому он связан с моментом импульса частицы. Параметр j2 есть собственное число оператора J0 (т.к. 4-е уравнение имеет вид J0 Ψ = j2 Ψ), он должен быть связан с энергией или массой частицы. Результаты раздела 4.2.2 подтверждают наши предположения. Вычисления проведем в 4-мерной обобщенной сферической системе координат. Первые три уравнения системы (102) относятся к уравнениям типа Лаппо-Данилевского [53]. Решение строим методом характеристик. Уравнение (117) распадается в систему на компоненты спинора. Общее решение системы (102) имеет вид Ψj1 j2 (φ1 , φ2 , φ3 , r; λ) = Φj1 j2 (φ1 , φ2 , φ3 ; λ)Fj1 j2 (r),   Φj1 j2 (φ1 , φ2 , φ3 ; λ) = exp j1 ln[cos2 (v/2) + sin2 (v/2)e−2iφ2 ]
exp γ b34 φ3 /2 + ij1 φ3

exp γ b23 φ2 /2 exp arctan(ρ)b γ 34 Tj1 j2 (φ1 ),

(123)

(124)

где ρ = tan(v/2)e−iφ2 , v = λ − φ3 , Tj1 j2 (φ1 ) – матрица p размерности 4 × 4. Мы используем сокращенные обозначения Tj1 j2 (φ1 ) = (tT1 , tT2 , tT3 , tT4 )/ sin(φ1 ): t1 = [Q1 , −iJ+ csc(φ1 )Q2 − i cot(φ1 )Q1 , −Q1 , iJ+ csc(φ1 )Q2 + i cot(φ1 )Q1 ], t2 = [P1 , −iJ+ csc(φ1 )P2 − i cot(φ1 )P1 , −P1 , iJ+ csc(φ1 )P2 + i cot(φ1 )P1 ], t3 = [Q2 , iJ− csc(φ1 )Q1 + i cot(φ1 )Q2 , Q2 , iJ− csc(φ1 )Q1 + i cot(φ1 )Q2 ], t4 = [P2 , iJ− csc(φ1 )P1 + i cot(φ1 )P2 , P2 , iJ− csc(φ1 )P1 + i cot(φ1 )P2 ]. Q1 = Qjj21 (cos(φ1 )), Q2 = Qjj21 −1 (cos(φ1 )), P1 = Pjj12 (cos(φ1 )), P2 = Pjj12 −1 (cos(φ1 )), ±j2 . J± = jj11 ∓j 2

(125)

Здесь Pµν и Qνµ – функции Лежандра 1-го и 2-го рода. Подставим общее решение (123) в уравнение Дирака (84), получим обыкновенное дифференциальное уравнение (более точно, мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений) на неизвестный спинор Fj1 j2 (r):   ∗ 1 +(j 2 + j 2 )b d 2j j γ b γ Θ 3 Θ − 2 1 2 1 2  Fj1 j2 (r) = 0. Θ Fj1 j2 (r) −  m + j2 γ b1 + (126) dr r 2 r j12 − j22 32

2

2

2

2

Здесь Θ = 1 + K4 r2 , r2 = ε1 x1 + ε2 x2 + ε3 x3 + ε4 x4 . Мы называем уравнение (126) "интервальным"(т.к. здесь переменная r – является корнем из интервала, а не модуля радиусвектора) уравнением Дирака в пространстве де Ситтера. В следующем разделе построим точное решение уравнения (126). Замечание. Вырожденный случай j12 − j22 = 0 нужно рассматривать отдельно. Если 2 j1 − j22 = 0, то решение системы (102),(103) отличается от вида (123). В работе [29] для параметров разделения a, b возникает аналогичное условие a2 = b2 , однако автор рассматривает только случай a = b. Отметим, что при j12 − j22 = 0 найденный класс решений не является полным. Построим точные решения. Спинор из уравнения (126) представим в виде   f1 (r)  f2 (r)   Fj1 j2 (r) =  (127)  f3 (r)  . f4 (r) Дифференциальные уравнения на компоненты f1 , . . . , f4 сводятся к уравнениям на гипергеометрическую функцию. Приводим окончательные результаты. Случай j22 − j12 6= 0, K 6= 0. 1 a = j2 + , 2 m b = a− √ , K 3/2+a−b   Θ f1 (r) = C1 r−a F1 + C2 ra F2 , r  Θ3/2+a−b  C3 r−a F1 + C4 ra F2 , f2 (r) = √ r    K j2 + j1 3/2+a−b 1−b −a f3 (r) = i Θ C1 r F1 − Θ F3 + 2 j2 − j1 1−a   2 a−b+1 a 4a + (2a − b)Kr F2 + Θ F4 , + C2 r (a − b)Kr2 (2a − b)(a + 1) √    K j2 + j1 3/2+a−b 1−b −a f4 (r) = i Θ C3 r F1 − Θ F3 + 2 j2 − j1 1−a   a−b+1 4a + (2a − b)Kr2 + C4 ra F + Θ F , 2 4 (a − b)Kr2 (2a − b)(a + 1)

(129) (130) (131)

(132)

(133)



F1 = F2 = F3 = F4 =

 K 2 r , 2 F1 [1 − b, a − b], [1 − a], − 4   K 2 r , 2 F1 [a − b + 1, 2a − b], [1 + a], − 4   K 2 r , 2 F1 [a − b + 1, 2 − b], [2 − a], − 4   K 2 r . 2 F1 [a − b + 2, 2a − b + 1], [2 + a], − 4

(128)

(134) (135) (136) (137)

Здесь 2 F1 – гипергеометрическая функция, C1 , . . . , C4 – константы, которые, вообще говоря, зависят от K. На границе круга сходимости − K4 r2 = 1 наши решения не определены, но при 1 + K4 r2 = 0 метрика сингулярна. 33

Случай j22 − j12 6= 0, K = 0. Случай K = 0 соответствует плоскому пространству. Беря предел K → 0, получим базис в плоском пространстве.  1 C1 Jj2 −1/2 (m0 r) + C2 Yj2 −1/2 (m0 r) , r  1 f2 (r) = C3 Jj2 −1/2 (m0 r) + C4 Yj2 −1/2 (m0 r) , r  j2 + j1 1  f3 (r) = −i C1 Jj2 +1/2 (m0 r) + C2 Yj2 +1/2 (m0 r) , j2 − j1 r  j2 + j1 1  f4 (r) = −i C3 Jj2 +1/2 (m0 r) + C4 Yj2 +1/2 (m0 r) . j2 − j1 r

f1 (r) =

(138) (139) (140) (141)

Здесь Jν , Yν – функции Бесселя 1-го и 2-го рода соответственно. Эти результаты обобщают результаты работы [51] и согласуются с ними в пределе нулевой массы m0 → 0.

4.4

Анализ решений и спектр

Сначала заметим, что мы должны заменить энергию m → im, т.к. оператор Дирака (84) нужно домножить на мнимую единиуцу (например, как легко видеть в сигнатуре εi = +, −, −, −, в (84) появляется общий множитель i). Вычисления не зависят от сигнатуры. Сделаем общие замечания относительно найденных решений. Из условия однозначности спинора после замены φ3 → φ3 + 2π следует, что параметр j1 должен быть полуцелым числом. Таким образом, 1 j1 = l + , 2

l ∈ Z.

(142)

Что касается параметра j2 , то такого утверждения сделать нельзя. Параметр j2 непрерывный, и для него имеются некоторые ограничения. При r → 0 ограниченные решения возможны, если   m 1 √ = ±j2 − n + , n = 1, 2, 3, . . . , (143) 2 −K 3 |j2 | > . (144) 2 Из формулы (143) видно, что спектр является комплексным при K > 0. И легко видеть, что замена K на −K, т.е. переход к отрицательной кривизне (пространство анти де Ситтера) приводит к действительному спектру, при этом радиальная часть будет вещественной. В дальнейших формулах K – кривизна пространства анти де Ситтера. Так как m(K) → m0 при K → 0, то для согласования с результатами в плоском пространстве мы положим m0 j2 = √ . Пусть m0 > 0. Учтем также, что функция извлечения корня двузначна, тогда мы K должны рассматривать четыре случая:   √ 1 m = m0 ± K n + , n = 1, 2, 3, . . . , (145) 2   √ 1 m = −m0 ± K n + , n = 1, 2, 3, . . . . (146) 2 В плоском пространстве спектр уравнения Дирака непрерывный – это хорошо известно. В пространстве анти де Ситтера на непрерывный спектр накладывается осцилляторная добавка, которая зависит от кривизны. В точке ветвления K = 0 получаем, как и должно быть, дважды вырожденный спектр для положительной энергии и дважды вырожденный 34

спектр для отрицательной энергии. В пространстве анти де Ситтера энергия частицы отличается от энергии той же частицы в плоском пространстве на дискретную величину. Возможно уменьшение или увеличение энергии дискретными порциями. Образно говоря, если K 6= 0, то частица меняет энергию ступенчато, отдавая кванты энергии один за другим во внешнее пространство. Хотя возможен и другой сценарий. Изменение спектра может произойти, если меняется K (например, если кривизна является случайной величиной). В какие формы переходит энергия частицы? Если частица заряженная, то мы можем ожидать радиационных переходов с излучением или поглощением фотонов. Минимальный квант энергии, который излучает или поглощает частица, имеет порядок √ ε0 = hc K, (147) где h – постоянная Планка, c – скорость света. Параметр λ =

1 √ K

(148)

имеет смысл характерной длины волны излучения. Если частица нейтральная, то мы полагаем, что возможно излучение гравитонов. Основания в пользу такого предположения состоят в том, что энергия кванта (147) содержит параметр самого пространства. Отметим, что в плоском пространстве все эти процессы запрещены законом сохранения энергии и импульса, однако в искривленном пространстве эти процессы возможны. Наши решения имеют хорошее поведение на бесконечности. При r → ∞ асимптотика спинора (127) в случае спектра (145)-(146) для частицы (j2 > 0) и античастицы (j2 < 0) имеет вид:   −|j2 |/2−3/2   0 r   r−|j2 |/2−3/2   0   . (149) Fj1 j2 (r) ∼    r−|j2 |/2−3/2  , Fj1 j2 (r) ∼  0 r−|j2 |/2−3/2 0 Очевидно, радиальный спинор квадратично интегрируем. Что касается матрицы угловой части Φj1 j2 (φ1 , φ2 , φ3 ; λ) из (123), то она имеет особые точки ветвления. Однако в случае одновременно целых или полуцелых значений параметров j1 и j2 особенности исчезают. Таким образом, параметр j2 тоже является полуцелым: 1 j2 = k + , 2

k∈Z

(150)

при дополнительном условии k 6= l. Из (150) следует m20 . (k + 1/2)2

(151)

m20 c2 1 . 2 h (k + 1/2)2

(152)

K = или в размерных единицах K =

Мы интерпретируем (151) следующим образом. Квантование движения частицы возможно только при квантовании кривизны пространства анти де Ситтера. Комбинируя формулы для j2 , получим следующую формулу для спектра частицы в пространстве де Ситтера:   2n + 1 , n = 1, 2, 3, . . . ; k ∈ Z (153) m = ±m0 1 ± 2k + 1 35

При K < 0 параметр m становится комплексным и уравнение Дирака не имеет действительного спектра. Действительная часть m непрерывная, мнимая часть дискретная. Все наши выводы имеют достаточно общий характер и не зависят от сигнатуры пространства. Слагаемое с кривизной в формулах для спектра √ (145), (146) начинает играть скольконибудь заметную роль при значениях кривизны K ' 1/λK ∼ 1012 m−1 , в этом случае это слагаемое сравнимо с энергией покоя электрона. В реальных условиях кривизны нашего пространства очень малы даже в пределах микромира. На качественном уровне можно утверждать, что обсуждаемые эффекты проявляются в окрестности черных дыр, в белых карликах, нейтронных звездах√(эти объекты создают сильное гравитационное поле с большой кривизной пространства K >> 1012 ), геометрия гравитационного поля которых хотя и далека от де Ситтеровской, но все же обладает сферической симметрией. В монографии [56] указывается на то, что могут существовать локальные области со сферической де Ситтеровой симметрией [56].

4.5

Одна модель асимптотически плоского пространства

Построенный базис решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера очень удобен при постановке граничных задач, где используется интервал r. В качестве одного приложения рассмотрим следующую модель асимптотически плоского пространства-времени. Зададим метрику следующим образом: ( 2 2 2 2 (ε1 dx1 + ε2 dx2 + ε3 dx3 + ε4 dx4 )/Θ2 , r 6 r0 , domain I . (154) ds2 = 2 2 2 2 ε1 dx1 + ε2 dx2 + ε3 dx3 + ε4 dx4 , r > r0 , domain II Мы интерпретируем метрику (154) как гравитационную яму. Аналогично можно рассмотреть гравитационный барьер. Используя наши результаты, можно построить решение уравнения Дирака в метрике (154).

ds2 |

|| 2

ds2 =

εi dxi Θ2

2

ds2 = εi dxi

-

0

r0

r

В областях I и II оператор Дирака разный, однако алгебра симметрии для уравнения Дирака одинакова, операторы из этой алгебры суть (78)-(82), (85)-(90). В областях I и II решение уравнения Дирака имеет вид (123), причем угловая часть Φj1 j2 (φ1 , φ2 , φ3 ; λ) одинакова и ее можно не рассматривать. В области I радиальный спинор Fj1 j2 (r; K) имеет компоненты (130)-(133). В области II радиальный спинор Fj1 j2 (r) имеет компоненты (138)(141). Сделаем сшивку радиальных спиноров в точке r0 . Для этого нужно рассмотреть систему Fj1 j2 (r; K)|r=r0 = Fj1 j2 (r)|r=r0 , (155) d d dr Fj1 j2 (r; K)|r=r0 = dr Fj1 j2 (r)|r=r0 . Система (110) на компоненты спинора, вообще говоря, переопределена, однако, при частных значениях параметров j1 , j2 может иметь решение. При выполнении системы (110) мы будем иметь аналитическое решение уравнения Дирака в метрике (154). 36

4.5.1

К вопросу о склейке.

Определяя склеенное пространство с помощью схемы рис. предыдущего пункта, мы формально определили такое «обобщенное» пространство с помощью разрывной метрики следующего вида  gij =

p εi /Θ2 , 0 < r < r0 ≤ 2/ |K| εi , r0 ≤ r.

 или gij =

εi , εi /Θ2 ,

0 < r

(156)

p Здесь Θ = 1 + K/4r2 , K < 0, а значит, r – ограничено числом 2/ |K|, случай K < 0. Предлагается следующая реализация, этого разрыва. Рассмотрим диагональную метрику такого общего вида gii = εi f (r)2 . (157) Соответственно для 1-й и 2-й метрики ниже приведены графики функции f (r)

f (r)

f (r) BB

BB 1 + Kr02 /4

t

1 + Kr02 /4

1

1 P  r0 ≤ √2

0

P 

r

|K|

0

рис. 1

r0

√2

|K|

r

рис. 2

Далее возьмем сигнатуру Минковского εi = +, −, −, − Оператор Дирака в данной cигнатуре имеет вид
D= γ b1 dx 1 + γ b2 dx 2 + γ b3 dx 3 + γ b4 dx 4 /f(r)
(158) 2 + 3 −x2 γ b2 − x3 γ b3 − x4 γ b4 + x1 γ b1 df(r) dr /f(r) , 2

2

2

2

где r = x1 − x2 − x3 − x4 . Некоммутативная редукция уравнения Дирака в метрике (157) приводит к уравнению на радиальную волновую функцию:    J2 J1 γ b234 (J2 2 + J1 2 ) γ b1234 dF(r) + mf(r)/2 dr = − 2 2 J1 2 − J2 2 J1 2 − !J2 ! (159) r d f(r) 1 √ J2 γ b1 + + 3 − dr − r F(r). r f(r) 2 Для безмассовой частицы m = 0 решения этого уравнения получаются легко (пропадает огромное выражение при массе m, и эта система интегрируется как одно уравнение) ! ! d r dr f(r) 1 √ J2 γ b1 dF(r) +3 − − r F(r) (160) dr = r f(r) 2 37

и 4-спинор получается в виде  A  B     C  D  1

r(1/2 J2 γb −3/4) F(r) = f(r)(3/2)

(161)

Теперь в качестве функции f (r) мы можем взять разрывную метрику склеенных пространств и просто сшить волновую функцию для безмассовой частицы. Для массивной частицы задача усложняется. Предлагается в качестве функции f (r) взять непрерывную бесконечно дифференцируемую функцию, которая в пределе вела бы себя как данная разрывная функция двух склеенных пространств. На рисунке приведен пример поведения такой гладкой функции по отношению к разрывной:

f (r)

f (r)

BB

B 1 + Kr02 /4

t

1 + Kr02 /4t

1

1 P 

0

r0 ≤ √2

|K|

P 

r

0

рис. 3

r0

√2 |K|

r

рис. 4

Таким образом, нужно построить гладкую функцию f (r), которая ведет себя в пределе некоторых параметров как приведенные разрывные метрики, и проинтегрировать уравнение Дирака, а затем перейти к предельному переходу – к "ступенчатым"метрикам. Примеры таких функций известны, так непрерывный потенциал Вудса-Саксона в пределе ведет себя как прямоугольная потенциальная яма. Или, можно взять функцию правой метрики f (r) из (157) в формуле (156) в виде f (r) = (1 − θ(r02 − r2 )) + θ(r02 − r2 )/Θ2 , где  0, r02 < r2 2 2 θ(r0 − r ) = 1, r02 ≥ r2

4.6

(162) (163)

Резюме

Построены интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера. В каждом отдельном случае получение точного решения сводилось к интегрированию 5 диффернциально-матричных уравнений 1-го порядка вместе с уравнением Дирака. Также для всех моделей λ – представление оказалось одинаковым. В плоском пространстве найдены точные решения с помощью чисто киллинговой подалгебры для массивного случая в полном согласовании с известными результатами и для безмассового случая 38

с помощью подалгебры, включающей спинорную симметрию Яно. В последнем случае выявлена 4-сферическая симметрия решения и радиальная часть волновой функции зависит от 4-го интервала. В пространстве де Ситтера найдены точные решения подалгебры для массивного случая с помощью подалгебры, включающей спинорную симметрию Яно. Решение искали в 4-сферической системе координат, и волновая функция поделилась на сферическую и радиальную части, последняя является функцией 4-го интервала. Накладывая ограничения на волновую функцию, обычные для квантово-механической задачи, определяем спектр и значения параметров j1 и j2 . Выявлен физический смысл параметров j1 и j2 : j1 связан с проекциями момента импульса и принимает полуцелые значения, j2 имеет смысл либо энергии, либо массы. Кроме того, получено условие квантования на кривизну в случае отрицательной кривизны (пространство анти де Ситтера) и построена одна модель с граничными условиями сшивки плоского пространства и пространства де Ситтера.

39

Заключение Вопрос построения точно интегрируемых моделей движения- один из самых важных в квантовой физике. Несмотря на то что многие физические модели не поддаются аналитическому решению, исследуют ассимптотику, применяют теорию возмущений и другие приближенные методы, все же нахождение точных решений всегда будет актуально. В данной работе исследовались способы построния точных решений для плоского пространства и пространства де Ситтера. Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации: 1. Построены все решения на поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры; показано, что число решений одинаково и равно 25. 2. По найденным полям Яно и Яно-Киллинга построены алгебры операторов симметрии первого порядка уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры; показано, что число операторов симметрии в обоих пространствах совпадает и равно 25. Среди этих 25 операторов 11 операторов симметрии совпадают для обоих пространств и не зависят от кривизны, другие 14 в пространстве де Ситтера зависят от кривизны явно. В общем случае, вся алгебра операторов симметрии уравнения Дирака является квадратичной. В данной алгебре выделены подалгебры Ли. 3. Найдено 8 алгебр Ли в общей алгебре операторов симметрии уравнения Дирака, которые удовлетворяют теореме о некоммутативном интегрировании. Обнаружено внутреннее свойство некоторых подалгебр, что в них содержатся функциональные соотношения отличные от коммутаторов. Так в 4-х из 8 упомянутых подалгебрах есть функционые соотношения, и из-за их наличия становится невозможным проведение процедуры некоммутативного интегрирования уравнения Дирака с помощью этих подалгебр. Утверждение об отсутствии функциональных соотношений определено как критерий проведения процедуры некоммутативного интегрирования. Перечислены все такие подалгебры 4. Приведен класс моделей движения частицы со спином 1/2 в гравитационных полях Минковского и де Ситтера произвольной сигнатуры. Построен 1-й класс интегрируемых моделей включающих только Киллинговы операторы. В пространстве Минковского найдены для таких систем точные решения, которые согласуются с известными результатами в литературе. Построен 2-й класс интегрируемых моделей, включающий Киллинговы симметрии и негеометрическую симметрию Яно, называемую спинорной. Симетрии Киллинга и Яно найдены общими и для плоского пространства, и для пространства де Ситтера, поэтому интегрирование проводится одинаково. Получены точные решения. Особенностью 2-го класса движений является то, что инвариантной переменной является интервал и как следствие, данная система имеет 4-сферическую симметрию. Показано, что энергетический спектр электрона не зависит от сигнатуры. Найдены характерные оценки для кривизны пространства, в котором возможно взаимодействие с гравитационным полем. Построена модель сшивки плоского пространства и пространства де Ситтера с граничными условиями в виде светового конуса.

40

Приложение A. γ - матрицы Дирака Матрицы Паули: 1

σ =



0 1 1 0



2



, σ =

0 −i i 0



3



, σ =

1 0 0 −1

 (164)

Представление Дирака: γ b1 =



1 0 0 −1



; γ bi =



0 σi −σi 0



матрицы является 2 × 2 матрицей:   0 0 0 0 0 0  1 0 0  0 0 1 ; γ b2 =    0 −1 0 0 −1 0 0 0 −1 −1 0 0   0 0 0 −i 0 0 1    0 0 i 0  0 0 0 γ b3 =  b4 =   0 i 0 0 ; γ  −1 0 0 −i 0 0 0 0 1 0

Здесь каждая компонента  1  0 γ b1 =   0 0 

 1 0  ; 0  0  0 −1  ; 0  0

γ bi γ bj + γ bj γ bi = 2 η ij , где η ij = diag(+, −, −, −) – метрика пространства Минковского.    0 0 0 1 0 0 0    0 0 1 0 0 0 i  b1 γ γ b1 γ b2 =  b3 =   0 1 0 0 ; γ  0 −i 0 1 0 0 0 i 0 0    −i 0 0 0 0 1 1    0 i 0 0 0 0 −1  b2 γ b3 =  γ b1 γ b4 =   1 0 0 0 ; γ  0 0 −i 0 −1 0 0 0 0 0    0 −i 0 0 1 1 0    −i 0 0 −1 0 0 0  b3 γ b4 =  γ b2 γ b4 =   0 0 0 1 ; γ  0 0 0 0 0 −i 0 0 −1 0

 −i 0  ; 0  0  0 0  ; 0  i  0 0  ; −i  0



 0 0 i 0  0 0 0 i  1  bi γ bk γ bj γ bl = −b γ1γ b2 γ b3 γ b4 =  γ b = − εijkl γ  i 0 0 0 ; 4! 0 i 0 0 ? 1 bk γ bj γ bl . γ bi = − εijkl γ 3!

41

(165)

Последние матрицы имеют вид  0 0 ?  0 0 γ b1 = −b γ2γ b3 γ b4 = −   i 0 0 i  0 1 ?  −1 0 γ b3 = −b γ1γ b2 γ b4 = −   0 0 0 0

  −i 0 0 ?   0 −i  −i ; γ b2 = γ b1 γ b3 γ b4 =   0 0 0  0 0 0   0 0 −i ?  0 0  0 ; γ b4 = γ b1 γ b2 γ b3 = −    0 −1 0 1 0 0

 −i 0 0 0 0 0  ; 0 0 i  0 i 0  0 0 0 i 0 0  . 0 i 0  0 0 −i

?i

Матрицы γ b определяются так ?i

?

 

γ b = η ij γ bi 

?1

?2

?3

?4

γ b = −b γ2γ b3 γ b4 , γ b = −b γ1γ b3 γ b4 , γ b = +b γ1γ b2 γ b4 , γ b = −b γ1γ b2 γ b3 .

42

(166)

Приложение B. Разложения матриц вида e(−Gt) γ b i e(Gt) . . Пусть G – матрица, независящая от t. Вычислим матрицы вида Ai (t) = e(−Gt) γ b i e(Gt)

(167)

Для вычисления «экспонент» от произведения двух и более матриц Дирака используем преобразование e(−G t) γ b iγ b j e(G t) = e(−G t) γ b i e(G t) e(−G t) γ b j e(G t) = Ai Aj

(168)

Аналогично, для произведения 3-х и более матриц Дирака. Матрицы Ai (t) ищем в виде разложения по 16 постоянным матрицам Дирака: ?

b4 + bi (t)b Ai (t) = ai (t)E γ + cik (t)b γ k + dik (t)γ b k + eikm (t)b γ km

(169)

Здесь по индексам k, m – суммирование, ai (t), bi (t), cik (t), dik (t), eikm (t) – коэффициенты разложения, зависящие от t. Дифференцируя обе части формулы (169), получим дифференциальное уравнение на коэффициенты разложения de(−Gt) γ b i e(Gt) = [Ai (t), G] = dt ? b4 + b˙ i (t)b γ km b k + e˙ ikm (t)b γ k + d˙ik (t)γ = a˙ i (t)E γ + c˙ik (t)b

(170)

Приравнивая коэффициенты при базисных матрицах в формуле (170), получим систему дифференциальных уравнений с начальными условиями Ai (0) = γ b i . Далее решаем эту систему и находим коэффициенты разложения в формуле (169). Приведем пример. Найдем матрицу e(−Gt) γ b i e(Gt) для случая G = f1 γ b 12 +f2 γ b 14 +f3 γ b 24 , t = 1. dAi (t) Вычисляем разность [Ai (t), G] = , где Ai (t) берем в виде (169): dt (2f2 c11 − 2f3 c12 )b γ 4 + (2f1 c11 + 2f3 c14 )b γ 2 + (2f1 c12 + 2f2 c14 )b γ 1+ (...)b γ 134 + (...)b γ 234 + ... + (...)b γ 1234 + (...)b γ 12 + ... + (...)b γ 34 = b4 + b˙ i (t)b = a˙ i (t)E γ + c˙ik (t)b γk +

? d˙ik (t)γ bk

(171)

γ km + e˙ ikm (t)b

и приравниванием выражения при соответствующих матрицах в левой и правой части уравнения (171) γ b4 : γ b3 : γ b2 : γ b1 : γ b 134 : γ b 234 : ... γ b 1234 : γ b 12 :

c˙i4 = (2f2 c11 − 2f3 c12 ) c˙i3 = 0 c˙i2 = (2f1 c11 + 2f3 c14 ) c˙i1 = (2f1 c12 + 2f2 c14 ) d˙i2 = (...), d˙i = (...), 3

b˙ 1 = (...), = (...).

43

(172)

Решаем эту систему с учетом начальных условий ai (0) = 0, bi (0) = 0, dim (0) = 0, eikm (0) = 0, и эти коээфиициенты имеют вид ai (t) = 0, bi (t) = 0, dim (t) = 0, eikm (t) = 0. Таким образом, матрица (167) для случая G = f1 γ b 12 + f2 γ b 14 + f3 γ b 24 имеет вид Ai (t) = cik (t)b γ k + ci2 (t)b γ 2 + ci3 (t)b γ 3 + ci4 (t)b γ4

(173)

Начальные условия для коэффициентов ci1 (0), ci2 (0), ci3 (0), ci4 (0) для разных i (см. формулу (167)) различны A1 (t) = e(−Gt) γ b 1 e(Gt) : c11 (0) = 1, c12 (0) = 0, c13 (0) = 0, c14 (0) = 0, A2 (t) = e(−Gt) γ b 2 e(Gt) : c21 (0) = 0, c22 (0) = 1, c23 (0) = 0, c24 (0) = 0, 3 (−Gt) A (t) = e γ b 3 e(Gt) : c31 (0) = 0, c32 (0) = 0, c33 (0) = 1, c44 (0) = 0 A4 (t) = e(−Gt) γ b 4 e(Gt) : c41 (0) = 0, c42 (0) = 0, c43 (0) = 0, c44 (0) = 1

(174)

Находим коээфициенты cik (t), ⇒, cik (1). Как видно расчет в каждом конкретном случае приводит к составлению системы обыкновенных дифференциальных уравнений и ее решению. Но есть второй способ разложения матриц без составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений, он расчетный и применяется для вычисления на компьютере, этот способ изложен в конце приложения. Теперь приведем матрицы (167) для случая G = f1 γ b 12 + f2 γ b 14 + f3 γ b 24 , t = 1 при конкретных значениях параметров f1 , f2 , f3 . (x1 + x2 − 1) 12 (1 + x1 + x2 ) √ γ b + 1/2 √ x1 + x2 x1 + x2 1 4 14 1 4 24 4 (b 14 + γ 24 )/2 x γ b e =1+ x γ b + x γ b 2 2  √   arctg(ρ/ r3 )  exp −1/2 (r3 − 1) γ b 14 + (1 + r3 )b γ 24 = √ r3 b 14 r3 − ρ γ b 14 + ρ γ b 24 + ρ γ b 24 r3 − 2 r3 1 ργ p =− √ 2 ρ2 + r 3 r 3 e1/2 γb

ex

12

ln(x1 +x2 )

3 (b γ 13 +b γ 23 )/2

= 1/2

=1+

1 3 13 1 3 23 x γ b + x γ b 2 2

44

(175)

Приложение C. Алгебра операторов симметрии уравнения Дирака. Операторы симметрии уравнения Дирака в пространстве де Ситтера приведены ниже. Операторы симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве являются частным случаем данных операторов при K = 0. В основном тексте диссертации приведены операторы симметрии Li , Yi , J0 . Здесь приводятся остальные операторы (всего 25 линейно-независимых операторов симметрии) Операторы симметрии Киллинга U1 = + −

1 1 2 2 2 2 i (4 − ε3 K x3 + K x1 ε1 − K ε2 x2 − ε4 x4 K) ∂x 1 + i ε1 x1 K x2 ∂x 2 4 2

1 1 12 √ 1 √ i ε1 x1 K x4 ∂x 4 + i ε1 x1 K x3 ∂x 3 − γ b ε1 K x2 ε2 2 2 4 1 13 √ 1 14 √ √ √ γ b ε1 K x3 ε3 − γ b ε1 K x4 ε4 4 4

U2 =

1 1 1 i ε4 K x4 x1 ∂x 1 + i ε4 x2 K x4 ∂x 2 + i ε4 K x4 x3 ∂x 3 2 2 2

1 14 √ 1 √ 2 2 2 2 − i (ε3 K x3 + K x1 ε1 − 4 − ε4 x4 K + K ε2 x2 ) ∂x 4 + γ b K ε1 x1 ε4 4 4 +

1 1 2 2 2 2 i ε2 K x2 x1 ∂x 1 − i (ε3 K x3 + K x1 ε1 − 4 − K ε2 x2 + ε4 x4 K) ∂x 2 2 4

1 1 1 12 √ √ + i ε2 K x2 x3 ∂x 3 + i ε2 x4 K x2 ∂x 4 + γ b ε1 K x1 ε2 2 2 4

(178)

1 23 √ 1 24 √ √ √ iγ b b ε3 K x3 ε2 − i γ ε4 K x4 ε2 4 4

1 1 U4 = i ε3 x3 K x1 ∂x 1 + i ε3 x2 x3 K ∂x 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 + i (−K x ε1 + 4 + ε3 K x3 − ε4 x4 K − K ε2 x2 ) ∂x 3 + i ε3 x4 x3 K ∂x 4 4 2 +

(177)

1 34 √ 1 24 √ √ √ ε4 x2 K ε2 + i γ ε3 x3 K ε4 iγ b b 4 4

U3 =

−

(176)

1 13 √ 1 23 √ 1 34 √ √ √ √ γ b ε1 K x1 ε3 + i γ b ε2 K x2 ε3 − i γ b ε3 x4 K ε4 4 4 4

45

(179)

Операторы симметрии Яно-Киллинга   1 1 1 √ 4 2 124 4 3 134 b 123 iK x x γ b iK x x γ b i K x4 ε4 x2 γ   2 2 2 − M1 = − √ √  ∂x 4 + − ε3 ε2 ε3   1 1 √ 1 1 2 2 32 42 K i K x1 ε1 i ε2 K x2 i K x i ε x 4 i   134 + 4 √ − 4 −√ − 4 √ + 4 √ b γ ε2 ε3 ε3 ε2 ε3 ε2 ε2 ε3   1 1 1 ! 3 134 2 124 √ ix K x γ b i x1 K x γ b b 234 1 x1 ε1 K x2 γ   ∂x 3 + − 2 − 2 − √ √  ∂x 1 + 2 ε3 ε2 ε3 1 √ b 123 x3 i K x4 ε4 γ 2 ε2   1 1 √ 1 1 2 2 2 i ε4 x4 K i K x1 ε1 i ε3 K x3 i K x2 2 i  124  + 4 √ − 4 − 4 √ −√ + 4 √ b γ ε3 ε2 ε3 ε2 ε2 ε3 ε3 ε2 1 x1 + 2

√

ε1 K γ b 234 x3 ε2

√ b4 1 x1 ε1 K γ − √ √ 2 ε2 ε3

! ∂x 2

(180)

1 124 2 1 134 3 1 √ iγ b x K iγ b x K i K x4 ε4 γ b1 4 4 2 + + − √ √ √ √ ε3 ε2 ε2 ε3

   1 1 1 2 1 123 3 123 iK x x γ b ix K x γ b 1 x4 K x2 γ b 234 b 234 1 x4 K x3 γ   + − 2 M2 = − 2 √ √ √ √  ∂x 2 +   ∂x 3 + ε4 2 ε1 2 ε1 ε4   1 1 √ 1 1 2 2 2 2 i ε2 K x2 i ε4 K x4 i K x1 i ε3 K x3 i  123 4 − 4 − 4 √ + 4 √ −√ b  √ γ ε4 ε1 ε1 ε4 ε4 ε1 ε4 ε1 

1 1 √ √ ! i K x2 ε2 x4 γ b 134 i K ε3 x3 x4 γ b 124 − 2 + 2 ∂x 1 + ε1 ε1 ! √ 2 2 2 2 1 ε3 K x3 1 ε2 K x2 1 ε1 K x1 1 1 x4 K − √ − + +√ + γ b 234 √ √ 4 ε1 ε4 4 ε1 ε4 4 ε4 ε1 ε4 4 ε1 1 1 1 1 √ √ ! i K x2 ε2 γ b 134 x1 i K ε3 x3 γ b 124 x1 ix K γ b 123 2 2 4 + − ∂x 4 + √ ε4 ε4 ε4 √ √ 2 3 3 2 4 234 b b 1 K x ε2 γ 1 ε3 K x γ 1 x Kγ b + − − √ √ √ √ √ 2 ε1 ε4 2 ε1 ε4 4 ε1

46

(181)

1 1 √ √ b 134 b 123 i K x2 ε2 x3 γ i K ε4 x4 x3 γ 2 2 M3 = + ε1 ε1   1 1 1 1 √ ! 2 2 2 2 3 1 4 2 i ε3 K x iK x i ε4 x K i K ε2 x i  4  −√ − 4 √ + 4 √ + 4 √ + − b 124 ∂x 1 + γ ε1 ε3 ε1 ε3 ε3 ε1 ε3 ε1 1 1 √ √ i K x2 ε2 γ i K ε4 x4 γ b 134 x1 b 123 x1 2 2 − − ε3 ε3 ! ! √ 2 2 2 2 1 K ε2 x2 1 ε1 K x1 1 ε4 x4 K 1 K x3 1 234 + − + − − √ γ b ∂x 3 √ √ √ 4 ε3 ε1 4 ε3 4 ε3 ε1 4 ε1 ε3 ε1   1 4 1 124 iK x x γ b 1 x4 K x3 γ b 234  + − 2 − √ √  ∂x 4 ε3 2 ε1   1 1 1 1 i x K x2 γ b 124 1 x2 x3 K γ ix K γ b 124 4 K √ε γ 2 234 x b b 1 4   2 4 − + + − √ √ √ √ √  ∂x 2 − ε3 2 ε1 2 ε1 ε3 ε3 √ b 4 1 x3 K γ 1 K x2 ε2 γ b 234 + + √ √ √ 2 ε3 ε1 4 ε1

(182)

1 3 √ 1 4 √ i x K ε4 x2 γ b 123 i x K ε3 x2 γ b 124 2 2 − M4 = ε1 ε1   1 1 √ 1 1 ! 12 22 32 2K i K x i ε K x i ε K x i ε x 2 3 4 4  i  + √ + 4 √ + 4 − 4 √ − 4 √ b 134 ∂x 1 γ ε2 ε1 ε2 ε1 ε2 ε1 ε2 ε1   1 3 √ 1 1 4 134 ix x K γ b i x K ε3 γ b 124 x1 1 x4 K x2 γ b 234 2 2 + + − ∂ 4 √ √  x ε2 2 ε1 ε2 1 4 √ i x K ε4 γ b 123 x1 2 − ε √ 2 2 2 1 ε1 K x1 1 1 ε3 K x3 1 + − − √ + + √ 4 ε2 ε2 ε1 4 ε2 ε1 4   1 1 i x K x3 γ b 134 1 x2 x3 K γ b 234 2 + − √ √  ∂x 3 − ε2 2 ε1 √ b4 1 γ 1 K ε3 x3 γ b 234 K x2 + − √ √ √ 2 ε2 ε1 4 ε1

47

(183) ! ! 2 2 ε4 x4 K 1 K x2 − γ b 234 ∂x 2 √ √ ε2 ε1 4 ε1 1 13 1 √ iγ b 4x K b3 1 x4 K ε4 γ 4 √ + √ √ ε2 2 ε1 ε2

M5 = 

1 √ b 124 i K x3 ε3 x2 γ 2 ε4

 1 42 1 1 √ 1 12 ε 32 22 ix K i K x i i ε K x ε K x 3 1 2 i   134 + − 4 √ −√ + 4 √ − 4 + 4 √ b γ ε2 ε2 ε4 ε2 ε4 ε4 ε2 ε4 ! √ b 234 1 K ε1 x1 x2 γ ∂x 4 + − 2 ε4   1 1 √ 1 1 2 2 2 2 2 4 3 1 iK x i ε4 x K i ε3 K x i ε1 K x i  123 4 + 4 + √ − 4 − 4 b √ √ γ  √ ε4 ε2 ε2 ε4 ε2 ε4 ε2 ε4 1 √ i K x3 ε3 γ b 124 x4 2 − ε2  1 2 i x K x3 γ b 123 2 + − √ ε4  1 i K x2 x1 γ b 123 2 − + √ ε4

! √ b 234 x4 1 K ε1 x1 γ + ∂x 2 2 ε2  1 i K x4 x3 γ b 134  2 √  ∂x 3 ε2  1 1 1 4 √ b 1 1 K x1 √ε γ ix x K γ b 134 i K ε3 x3 γ 3 1b  2 2 + √ √ √ √ √  ∂x 1 + ε2 ε2 ε4 2 ε4 ε2

(184)

1 134 4 1 123 2 iγ b x K iγ b x K 4 + 4 √ − √ ε4 ε2 1 √ i K x2 ε2 x3 γ134 M6 = − 2 ε4   1 1 √ 1 42 1 2 2 12 ε i K ε2 x2 i ε3 K x3 ix K i K x 1 i   124 + − 4 √ + 4 + 4 √ +√ − 4 √ b γ ε3 ε4 ε4 ε3 ε3 ε4 ε3 ε4   1 2 1 ! 3 123 2 124 √ ix K x γ b i K x4 x γ b b 234 1 K x1 ε1 x3 γ   − ∂x 4 +  2 + 2 √ √  ∂x 2 + 2 ε4 ε4 ε3 1 √ b 134 x4 1 K x1 √ε γ i K x2 ε2 γ 234 x4 1b 2 + ε3 2 ε3   1 1 1 1 √ ! 2 3 12 ε 22 42 K i K x i K x i K ε x i ε x 1 2 4  i  + √ + 4 √ − 4 − 4 + 4 b 123 ∂x 3 √ √ γ ε3 ε4 ε4 ε3 ε4 ε3 ε4 ε3   1 1 1 1 √ 4 1 124 3 123 iK x x γ b ix K x γ b i K x2 ε2 γ b 1 1 x1 √ε K γ b2 1 2  2 2 + + − √ √ √ √ √ √  ∂x 1 − ε3 ε4 ε3 ε4 2 ε3 ε4 1 124 4 1 12 3 iγ b x K iγ b 3x K − 4 √ − 4 √ ε3 ε4 48

(185)

Операторы симметрии Яно √ √ √ √ √ √ N1 = ε1 x1 K (− ε4 ε2 x3 ε3 γ b 24 + ε3 ε2 x4 ε4 γ b 23 + ε3 ε4 x2 ε2 γ b 34 ) ∂x 1 + 1√ √ √ √ b 13 i − ε1 (3/2) K ε4 x1 x3 ε3 γ ( ε3 ε1 (3/2) x1 K ε4 x4 γ b 14 i + ε3 ε4 ε1 4θ2 γ b 34 ) 2 ∂x 2 + 1√ √ √ √ b 12 i + ε1 (3/2) K ε4 x1 γ (− ε2 ε1 (3/2) x1 K ε4 x4 γ b 14 x2 ε2 i − ε4 ε2 ε1 4θ2 γ b 24 ) 2 ∂x 3 + 1√ √ √ √ b 12 x3 ε3 i + b 13 x2 ε2 i) ( ε2 ε1 (3/2) x1 K γ ε2 ε3 ε1 4θ2 γ b 23 − ε3 ε1 (3/2) x1 K γ 2√ √ √ √ √ √ ∂x 4 + ε4 ε2 ε1 ε3 x3 K γ b 24 − ε3 ε2 ε1 ε4 x4 K γ b 23 − ε3 ε4 ε1 ε2 x2 K γ b 34 3 √ √ √ − i ε4 ε2 ε1 (3/2) x1 K ε3 γ b 1234 2 2 2 2 2 4θ2 := −K x1 ε1 + K ε2 x2 + ε3 K x3 + ε4 x4 K + 4

(186)

1√ √ √ √ 2 b 24 + (− ε3 ε2 (3/2) ε4 K x2 − 2 ε3 ε2 ε4 N2 = (− ε2 ε4 (3/2) x4 K ε3 x3 γ 2 1√ √ 1 1√ √ √ 2 2 2 − ε3 ε2 ε4 K x1 ε1 + ε3 ε2 ε4 2 x4 K − ε3 (3/2) ε2 ε4 K x3 )b γ 23 2 2 2 √ √ √ b 34 )∂x 1 + (− ε3 ε2 ε4 γ b 23 K x4 x1 ε1 + ε3 ε4 (3/2) x4 K x2 ε2 γ √ √ √ √ 4 3 12 2 + ε4 ε1 ε2 K x x ε3 γ b i − ε4 ε3 ε1 x K x4 ε2 γ b 13 i)∂x 4 + ( 1 1 √ √ √ 2 2 ε2 ε4 (3/2) x4 K γ b 24 x1 ε1 + ( i ε4 ε1 ε2 (3/2) x2 K + i ε4 ε1 (3/2) ε2 x1 K 2 2 1 1 √ √ √ √ √ √ 2 2 + i ε4 ε1 ε2 ε3 K x3 + 2 i ε4 ε1 ε2 − i ε4 2 ε1 ε2 x4 K)b γ 12 2 2 √ √ + K x4 ε1 ε4 (3/2) x2 ε2 γ b 14 i)∂x 3 + (−K x4 ε1 ε4 (3/2) γ b 14 ε3 x3 i + ( 1 1 1 √ √ √ √ 2 2 2 − i ε4 ε3 (3/2) ε1 x3 K − i ε4 ε3 ε1 (3/2) x1 K + i ε4 2 ε3 ε1 x4 K 2 2 2 1 √ √ √ √ √ 2 − 2 i ε4 ε3 ε1 − i ε4 ε3 ε1 K ε2 x2 )b γ 13 − ε3 ε4 (3/2) x4 K γ b 34 x1 ε1 )∂x 2 2 3 √ √ √ √ √ − i ε3 ε1 ε4 (3/2) x4 K ε2 γ b 1234 − ε4 ε1 ε2 ε3 x3 K γ b 12 i 2 √ √ √ √ + ε4 ε3 ε1 ε2 x2 K γ b 13 i + ε3 ε2 ε4 ε1 x1 K γ b 23

(187)

1 √ √ √ 2 N3 = (K ε3 ε2 (3/2) x2 x4 ε4 γ b 23 − K ε2 (3/2) ε4 x2 x3 ε3 γ b 24 + (− ε2 ε4 (3/2) ε3 x4 K 2 1 1 √ √ √ √ √ √ 2 2 + ε2 2 ε4 ε3 K x2 − 2 ε2 ε4 ε3 − ε2 ε4 ε3 K x1 ε1 2 2 1 √ √ 2 34 (3/2) 3 γ )∂x 1 + (−K ε3 ε2 (3/2) x2 γ K x )b b 23 ε1 x1 + ( − ε2 ε4 ε3 2 1 1 √ √ √ √ √ 2 2 i ε3 (3/2) ε2 ε1 K x3 + 2 i ε3 ε2 ε1 + i ε3 ε2 ε1 ε4 x4 K 2 2 1 √ 1 √ √ √ 2 2 − i ε3 ε2 2 ε1 K x2 + i ε3 ε2 ε1 (3/2) x1 K)b γ 13 + K ε2 (3/2) ε1 x2 ε3 x3 γ b 12 i 2 2 (188) √ √ √ √ )∂x 4 + (K ε2 (3/2) ε4 x2 γ b 24 ε1 x1 − K ε2 (3/2) ε1 x2 γ b 12 ε4 x4 i + (−2 i ε4 ε2 ε1 1 √ 1 √ 1 √ √ √ 2 2 2 − i ε4 ε2 ε1 ε3 K x3 + i ε4 ε2 2 ε1 K x2 − i ε4 ε2 ε1 (3/2) x1 K 2 2 2 1 √ √ √ 2 − i ε4 (3/2) ε2 ε1 x4 K)b γ 14 )∂x 3 + (− ε4 ε2 ε1 γ b 14 K x2 x3 ε3 i 2 √ √ √ √ − ε2 ε4 ε3 γ b 34 K x2 x1 ε1 + ε4 ε3 ε1 x2 K x4 ε2 γ b 13 i)∂x 2 3 √ √ √ √ √ − ε3 ε2 ε1 ε4 K x4 γ b 13 i − i ε4 ε3 ε2 (3/2) x2 ε1 K γ b 1234 2 √ √ √ √ + ε2 ε4 ε3 ε1 x1 K γ b 34 + ε4 ε2 ε1 ε3 x3 K γ b 14 i

49

1√ √ 1 1√ √ 2 2 2 N4 = ((− ε4 ε2 ε3 2 K x3 + ε4 (3/2) ε2 ε3 x4 K + ε4 ε2 (3/2) ε3 K x2 2 2 2 1√ √ √ √ √ 2 + ε4 ε2 ε3 K x1 ε1 + 2 ε4 ε2 ε3 )b γ 24 + K ε3 (3/2) ε2 x3 x4 ε4 γ b 23 2 1 √ √ √ √ 2 + ε3 (3/2) ε4 x3 K ε2 x2 γ b 34 )∂x 1 + ((2 i ε4 ε3 ε1 + i ε4 ε3 ε1 (3/2) x1 K 2 1 √ 1 √ 1 √ √ √ 2 2 2 + i ε4 ε3 ε1 K ε2 x2 − i ε4 ε3 2 ε1 K x3 + i ε4 (3/2) ε3 ε1 x4 K)b γ 14 2 2 2 √ √ b 13 i)∂x 2 + ( b 34 x1 ε1 + ε1 ε3 (3/2) x3 K ε4 x4 γ − ε (3/2) ε4 x3 K γ √ 3 √ √ √ 14 2 3 4 3 ε4 ε2 ε1 γ b K x x ε3 i − ε4 ε1 ε2 K x x ε3 γ b 12 i √ √ √ b 13 ε2 x2 i + ε4 ε2 ε3 x3 K x1 ε1 γ b 24 )∂x 3 + (− ε1 ε3 (3/2) x3 K γ 1 1 √ √ √ √ 2 2 − K ε3 (3/2) ε2 x3 γ b 23 x1 ε1 + (− i ε2 (3/2) ε1 ε3 K x2 + i ε2 ε1 ε3 2 K x3 2 2 1 √ 1 √ √ √ √ 2 2 − i ε2 ε1 (3/2) ε3 x1 K − 2 i ε2 ε1 ε3 − i ε2 ε1 ε3 ε4 x4 K)b γ 12 )∂x 4 2 2 3 √ √ √ √ √ b 1234 + ε2 ε1 ε3 γ b 12 ε4 x4 K i − i ε4 ε2 ε3 (3/2) x3 ε1 K γ 2 √ √ √ √ − ε4 ε2 ε3 γ b 24 ε1 K x1 − ε4 ε3 ε1 γ b 14 ε2 x2 K i

(189)

Коммутационные соотношения Y4 , ε1 − Y3 [Y1 , Y5 ] = , ε2

[Y1 , Y2 ] =

[Y1 , U8 ] = 0,

[Y1 , Y3 ] =

Y5 , ε1

[Y1 , Y6 ] = 0, [Y1 , U9 ] =

− U7 , ε1

− Y2 , ε2 U9 [Y1 , U7 ] = , ε2

[Y1 , Y4 ] =

[Y1 , U10 ] = 0,

L4 , ε1 − L3 − M3 − M5 [Y1 , L4 ] = , [Y1 , M1 ] = , [Y1 , M2 ] = , ε2 ε2 ε1 M2 M1 , [Y1 , M4 ] = 0, [Y1 , M5 ] = , [Y1 , M3 ] = ε1 ε2 N3 [Y1 , M6 ] = 0, [Y1 , J0 ] = 0, [Y1 , N1 ] = , ε2 − N1 , [Y1 , N4 ] = 0, [Y1 , N2 ] = 0, [Y1 , N3 ] = ε1 Y6 Y1 [Y2 , Y3 ] = , [Y2 , Y4 ] = , [Y2 , Y5 ] = 0, ε1 ε3 − Y3 U10 [Y2 , Y6 ] = , [Y2 , U7 ] = , [Y2 , U8 ] = 0, ε3 ε3 − U7 [Y2 , U9 ] = 0, [Y2 , U10 ] = , [Y2 , L1 ] = 0, ε1 − L4 L2 [Y2 , L2 ] = , [Y2 , L3 ] = 0, [Y2 , L4 ] = , ε1 ε3 M4 − M6 [Y2 , M1 ] = , [Y2 , M2 ] = , [Y2 , M3 ] = 0, ε3 ε1 [Y1 , L1 ] = 0,

[Y1 , L2 ] = 0,

50

[Y1 , L3 ] =

(190)

[Y2 , M4 ] =

− M1 , ε1

[Y2 , J0 ] = 0, [Y2 , N3 ] = 0, Y1 , ε4 − U7 [Y3 , U8 ] = , ε1 L4 [Y3 , L1 ] = , ε1 − L1 [Y3 , L4 ] = , ε4 [Y3 , Y5 ] =

[Y3 , M1 ] = 0, [Y3 , M4 ] =

− M5 , ε1

[Y3 , J0 ] = 0, [Y3 , N3 ] = 0, − Y5 , ε3 U10 [Y4 , U9 ] = , ε3 L3 , [Y4 , L2 ] = ε2

[Y4 , Y6 ] =

[Y4 , M1 ] = 0, M3 , ε2 M6 [Y4 , M5 ] = , ε2

[Y2 , M5 ] = 0, N4 , ε3 − N1 [Y2 , N4 ] = , ε1 Y2 [Y3 , Y6 ] = , ε4 [Y2 , N1 ] =

[Y2 , M6 ] =

M2 , ε3

[Y2 , N2 ] = 0, [Y3 , Y4 ] = 0, [Y3 , U7 ] =

U8 , ε4

[Y3 , U9 ] = 0,

[Y3 , U10 ] = 0,

[Y3 , L2 ] = 0,

[Y3 , L3 ] = 0,

[Y3 , M2 ] = 0, M4 , ε4 N2 [Y3 , N1 ] = , ε4

[Y3 , M5 ] =

[Y3 , N4 ] = 0, [Y4 , U7 ] = 0, − U9 , ε2 − L2 [Y4 , L3 ] = , ε3 [Y4 , U10 ] =

[Y4 , M2 ] = 0,

− M6 , ε1 M3 [Y3 , M6 ] = , ε4 − N1 [Y3 , N2 ] = , ε1 Y6 [Y4 , Y5 ] = , ε2 [Y3 , M3 ] =

[Y4 , U8 ] = 0, [Y4 , L1 ] = 0, [Y4 , L4 ] = 0, [Y4 , M3 ] =

− M4 , ε3

[Y4 , M4 ] =

[Y4 , M6 ] =

− M5 , ε3

51

[Y4 , J0 ] = 0,

(191)

[Y4 , N1 ] = 0, [Y4 , N4 ] =

− N3 , ε2

[Y5 , U7 ] = 0, [Y5 , U9 ] =

U8 , ε4

[Y5 , L2 ] = 0, − M6 , ε2 − M2 [Y5 , M4 ] = , ε2

[Y5 , M1 ] =

[Y5 , M5 ] = 0, [Y5 , N1 ] = 0, [Y5 , N4 ] = 0, − U10 [Y6 , U8 ] = , ε3 L2 , [Y6 , L1 ] = ε3 [Y6 , L4 ] = 0,

[Y4 , N2 ] = 0,

[Y4 , N3 ] =

N4 , ε3

[Y5 , L1 ] =

− L3 , ε2

Y4 , ε4 − U9 , [Y5 , U8 ] = ε2 [Y5 , Y6 ] =

[Y5 , U10 ] = 0, L1 , ε4 M4 [Y5 , M2 ] = , ε4

[Y5 , L3 ] =

M1 , ε4 − N3 [Y5 , N2 ] = , ε2 [Y6 , U7 ] = 0, [Y5 , M6 ] =

[Y6 , U9 ] = 0, − L1 , ε4 M5 [Y6 , M1 ] = , ε3

[Y6 , L2 ] =

− M2 , [Y6 , M4 ] = 0, ε3 [Y6 , M6 ] = 0, [Y6 , J0 ] = 0, [Y6 , M3 ] =

52

[Y5 , L4 ] = 0, [Y5 , M3 ] = 0, (192) [Y5 , J0 ] = 0, [Y5 , N3 ] =

N2 , ε4

[Y6 , U10 ] =

U8 , ε4

[Y6 , L3 ] = 0, M3 , ε4 − M1 [Y6 , M5 ] = , ε4 [Y6 , N1 ] = 0,

[Y6 , M2 ] =

− N4 , [Y6 , N3 ] = 0, ε3 [U7 , U8 ] = K ε1 ε4 Y3 , [U7 , U9 ] = K ε2 ε1 Y1 , [U7 , L1 ] = M1 , [U7 , L2 ] = M5 , [U7 , L4 ] = 0, [U7 , M1 ] = ε1 K L1 , [U7 , M3 ] = 0, [U7 , M4 ] = 0, [U7 , M6 ] = ε1 K L3 , [U7 , J0 ] = N1 , [U7 , N2 ] = 0, [U7 , N3 ] = 0, [U8 , U9 ] = − K ε2 ε4 Y5 , [U8 , U10 ] = − K ε3 ε4 Y6 , [U8 , L2 ] = M4 , [U8 , L3 ] = M3 , [U8 , M1 ] = ε4 K L4 , [U8 , M2 ] = 0, [U8 , M4 ] = ε4 K L2 , [U8 , M5 ] = 0, [U8 , J0 ] = N2 , [U8 , N1 ] = 0, [U8 , N3 ] = 0, [U8 , N4 ] = 0, [U9 , L1 ] = −M3 , [U9 , L2 ] = M2 , [U9 , L4 ] = M6 , [U9 , M1 ] = 0, [U9 , M3 ] = −K ε2 L1 , [U9 , M4 ] = 0, [U9 , M6 ] = K ε2 L4 , [U9 , J0 ] = N3 , [U9 , N2 ] = 0, [U9 , N3 ] = K ε2 J0 , [U10 , L1 ] = M4 , [U10 , L2 ] = 0, [U10 , L4 ] = −M5 , [U10 , M1 ] = 0, [U10 , M3 ] = 0, [U10 , M4 ] = K ε3 L1 , [U10 , M6 ] = 0, [U10 , J0 ] = N4 , [U10 , N2 ] = 0, [U10 , N3 ] = 0,

[Y6 , N2 ] =

N2 , ε4 [U7 , U10 ] = K ε1 ε3 Y2 , [U7 , L3 ] = M6 , [U7 , M2 ] = 0, [U7 , M5 ] = ε1 K L2 , [U7 , N1 ] = K ε1 J0 , [U7 , N4 ] = 0, [U8 , L1 ] = 0, [U8 , L4 ] = M1 , [U8 , M3 ] = ε4 K L3 , [Y6 , N4 ] =

[U8 , M6 ] = 0, [U8 , N2 ] = K ε4 J0 , [U9 , U10 ] = K ε2 ε3 Y4 , [U9 , L3 ] = 0, [U9 , M2 ] = K ε2 L2 , [U9 , M5 ] = 0, [U9 , N1 ] = 0, [U9 , N4 ] = 0, [U10 , L3 ] = M2 , [U10 , M2 ] = K ε3 L3 , [U10 , M5 ] = −K ε3 L4 , [U10 , N1 ] = 0, [U10 , N4 ] = K ε3 J0

Y1 J0 Y6 Y2 J0 Y5 + , [L1 , L3 ] = − , ε4 ε1 ε2 ε3 ε1 ε2 ε4 ε1 ε2 ε3 ε3 ε1 Y3 Y4 N2 U7 Y4 J0 + , [L1 , M1 ] = − − , L4 ] = ε4 ε1 ε2 ε3 ε3 ε2 ε4 ε3 ε2 ε1 ε2 ε3 ε1 Y3 N2 U7 J0 Y2 N2 U9 M2 ] = + , [L1 , M3 ] = − + , 2 ε2 ε1 ε4 ε3 ε2 ε3 ε1 ε4 ε1 ε2 ε3 ε4 ε1 ε3 ε2 U10 Y5 N2 U9 J0 Y1 N2 − , [L1 , M5 ] = − − , M4 ] = − ε1 ε2 ε3 ε4 ε1 ε2 ε3 ε3 ε4 ε2 ε1 ε1 ε3 ε4 ε2 2 Y6 N2 U10 J0 M6 ] = − − , ε2 ε1 ε4 ε3 ε2 ε4 ε1 ε3 2

(193)

[L1 , L2 ] = [L1 , [L1 , [L1 , [L1 ,

[L1 , J0 ] = −4 ε4 (ε2 ε1 Y1 L2 + ε1 ε3 Y2 L3 + ε2 ε3 Y4 L4 ), [L1 , N1 ] = 4 Y1 M5 ε4 ε1 ε2 − 4 Y2 M6 ε3 ε1 ε4 − 8 Y5 M4 ε4 ε1 ε2 +8 ε4 ε1 U9 L2 − 8 M2 ε4 ε1 , [L1 , N2 ] = (−4 ε4 ε2 ε3 Y4 M1 − 4 ε4 ε2 ε1 Y1 M4 − 4 ε4 ε3 ε1 Y2 M3 = 0), [L1 , N3 ] = −4 ε2 ε4 M5 − 4 ε4 ε2 ε1 Y1 M2 − 4 ε2 ε4 ε3 Y4 M6

53

(194)

(195)

Y3 J0 Y4 Y5 J0 Y2 + , [L2 , L4 ] = − , ε4 ε1 ε2 ε3 ε4 ε1 ε4 ε1 ε2 ε3 ε4 ε2 Y6 J0 Y1 [L3 , L4 ] = + , ε4 ε1 ε2 ε3 ε3 ε4 [−L1 , −J0 ] = 4 ε4 (−ε2 ε1 Y1 L2 − ε1 ε3 Y2 L3 − ε2 ε3 Y4 L4 ),

[L2 , L3 ] =

(196) (197) (198)

[−L2 , −J0 ] = −4 ε3 (ε1 ε4 Y3 L3 − ε2 ε1 Y1 L1 + ε4 ε2 Y5 L4 ),

(199)

[−L3 , −J0 ] = −4 ε2 (ε3 ε4 Y6 L4 − ε3 ε1 Y2 L1 − ε1 ε4 Y3 L2 ),

(200)

[−L4 , −J0 ] = −4 ε1 (−ε2 ε3 Y4 L1 − ε2 ε4 Y5 L2 − ε3 ε4 Y6 L3 )

(201)

[N1 , N2 ] = 4 U9 N4 ε4 ε1 − 4 U10 N3 ε4 ε1 + 4 Y4 J0 K ε1 ε2 ε3 ε4 ,

(202)

[N1 , N3 ] = −4 U8 N4 ε2 ε1 + 4 U10 N2 ε2 ε1 + 4 Y6 J0 ε4 ε2 ε3 ε1 K,

(203)

[N1 , N4 ] = 4 U8 N3 ε3 ε1 − 4 U9 N2 ε3 ε1 − 4 Y5 J0 ε2 ε1 ε4 ε3 K

(204)

[N2 , N3 ] = 4 U7 N4 ε2 ε4 − 4 U10 N1 ε2 ε4 + 4 Y2 J0 ε1 ε2 ε4 K ε3 ,

(205)

[N2 , N4 ] = −4 U7 N3 ε4 ε3 + 4 U9 N1 ε4 ε3 − 4 Y1 J0 ε4 ε3 ε1 ε2 K,

(206)

[N3 , N4 ] = 4 U7 N2 ε2 ε3 − 4 U8 N1 ε2 ε3 + 4 Y3 J0 ε2 ε3 ε4 ε1 K

(207)

[J0 , N1 ] = 4 Y4 N2 ε1 ε3 ε2 − 4 Y5 N4 ε1 ε2 ε4 + 4 Y6 N3 ε3 ε1 ε4 ,

(208)

[J0 , N2 ] = −4 Y1 N4 ε4 ε2 ε1 + 4 Y2 N3 ε4 ε1 ε3 − 4 Y4 N1 ε2 ε4 ε3 ,

(209)

[J0 , N3 ] = −4 Y2 N2 ε2 ε1 ε3 + 4 Y3 N4 ε4 ε2 ε1 − 4 Y6 N1 ε3 ε4 ε2 ,

(210)

[J0 , N4 ] = 4 Y1 N2 ε2 ε3 ε1 − 4 Y3 N3 ε4 ε3 ε1 + 4 Y5 N1 ε3 ε2 ε4

(211)

U10 N4 J0 K U9 N3 + − , ε2 2 ε3 ε4 ε1 ε3 2 ε2 ε4 ε1 ε2 ε3 ε4 ε1 K Y1 U10 N2 [M1 , M3 ] = + 2 , ε3 ε3 ε1 ε2 ε4 U9 N2 U9 N1 Y2 K Y6 K [M1 , M4 ] = − + , [M1 , M5 ] = − + , ε2 ε4 ε1 ε2 2 ε3 ε2 ε1 ε2 2 ε3 ε4 U10 N1 Y5 K + 2 [M1 , M6 ] = ε3 ε3 ε4 ε2 ε1 [M1 , M2 ] =

(212) (213) (214) (215)

[−M1 , −J0 ] = −4 U9 L2 ε4 ε1 − 4 ε4 ε1 U10 L3 + 4 ε4 ε1 M2 ,

(216)

[−M2 , −J0 ] = −4 U7 L1 ε2 ε3 − 4 ε2 ε3 U8 L4 + 4 ε2 ε3 M1 ,

(217)

[−M1 , −N1 ] = −4 ε1 ε4 U10 M6 − 4 ε1 ε4 U9 M5 − 4 ε1 ε4 ε2 ε3 K Y4 L4

(218)

Вся алгебра операторов симметрии Λ = {Y1 , ..., U1 , ..., U4 , L1 , ..., L4 , M1 , ..., M6 , J0 , N1 , ..., N4 } является квадратичной

54

Алгебра Λ — найдены такие функциональные соотношения между операторами, причем некоторые сгруппированы как системы:  3 M1 + 2 ε1 Y1 M3 − 2 ε1 Y2 M4 − 2 U1 L1 = 0     3 M2 − 2 ε2 Y1 M5 + 2 ε2 Y5 M4 − 2 U3 L2 = 0    3 M3 − 2 ε2 Y1 M1 + 2 ε2 Y4 M4 + 2 U3 L1 = 0 (219) 3 M4 + 2 ε3 Y2 M1 − 2 ε3 Y4 M3 − 2 U4 L1 = 0      3 M5 + 2 ε3 Y6 M1 − 2 ε3 Y4 M6 + 2 U4 L4 = 0   3 M6 − 2 ε1 Y2 M2 − 2 ε1 Y3 M3 − 2 U1 L3 = 0  −3 ε1 ε2 ε4 K L2 + 2 ε1 ε2 U2 M4 + 2 ε1 ε4 U3 M2 + 2 ε2 ε4 U1 M5 = 0    −3 ε1 ε2 ε3 K L1 + 2 ε1 ε2 U4 M4 + 2 ε2 ε3 U1 M1 − 2 ε1 ε3 U3 M3 = 0 −3 ε1 ε3 ε4 K L3 + 2 ε1 ε3 U2 M3 + 2 ε1 ε4 U4 M2 + 2 ε3 ε4 U1 M6 = 0    −3 ε2 ε3 ε4 K L4 + 2 ε3 ε4 U3 M6 + 2 ε2 ε3 U2 M1 − 2 ε2 ε4 U4 M5 = 0

(220)

 6 ε3 ε2 (− L4 + Y1 L3 ε1 ) ε4 K + M2 N2 + 6 ε4 ε3 U9 M6 − M3 N4 + 2 M4 N3 = 0,    6 (− L2 + Y6 L1 ε3 ) ε2 ε1 ε4 K + 6 ε2 ε1 U8 M4 + 2 M6 N2 + M3 N1 + M1 N3 = 0,  −6 ε3 ε2 ε1 (ε4 Y6 L2 + L1 ) K + M2 N1 + 2 M6 N4 + 6 ε2 ε1 U1 0 M4 − M5 N3 = 0,   −6 ε3 ( L3 + Y5 L1 ε2 ) ε1 ε4 K + M1 N4 − 2 M5 N2 − M4 N1 + 6 ε3 ε1 U8 M3 = 0

(221)

 L3 − 2 ε2 Y1 L4 + 2 ε2 Y4 L2 − 2 ε2 Y5 L1 = 0    L1 − 2 ε4 Y6 L2 + 2 ε4 Y5 L3 − 2 ε4 Y3 L4 = 0 L + 2 ε3 Y6 L1 − 2 ε3 Y4 L3 + 2 ε3 Y2 L4 = 0    2 L4 + 2 ε1 Y1 L3 − 2 ε1 Y2 L2 + 2 ε1 Y3 L1 = 0

(222)

 ε2 ε3 ε1 L1 2 − ε1 ε2 Y1 2 − ε1 ε3 Y2 2 − ε2 ε3 Y4 2 − 1/4 = 0,    ε2 ε1 ε4 L2 2 − ε2 ε1 Y1 2 − ε1 ε4 Y3 2 − ε2 ε4 Y5 2 − 1/4 = 0  ε4 ε1 ε3 L3 2 − ε1 ε3 Y2 2 − ε4 ε1 Y3 2 − ε4 ε3 Y6 2 − 1/4 = 0,   ε2 ε3 ε4 L4 2 − ε2 ε3 Y4 2 − ε2 ε4 Y5 2 − ε3 ε4 Y6 2 − 1/4 = 0

(223)

J0 2 /(ε4 ε1 ε3 ε2 ) + 4 Y1 2 ε2 ε1 + 4 Y2 2
ε3 ε1 + 4 Y3 2 ε4 ε1 + +4 Y4 2 ε3 ε2 + 4 Y5 2 ε2 ε4 + 4 Y6 2 ε3 ε4 + 3/2 = 0

(224)

2 ε1 ε2 ε3 ε4 K J0 − ε2 ε3 ε4 U1 N1 − ε1 ε2 ε3 U2 N2 − ε1 ε2 ε4 U4 N4 − ε1 ε3 ε4 U3 N3 = 0

(225)

 2 2 ε4 ε2 M5 2 + ε4 2 ε2 2 K Y5 2 + ε2 U8 2 + ε4 U9 2 + ε2 ε4 K/4 = 0,     ε3 2 ε2 2 M1 2 + ε3 2 ε2 2 K Y4 2 + ε3 U9 2 + ε3 U10 2 + ε3 ε2 K/4 = 0,    ε3 2 ε4 2 M6 2 + ε3 2 ε4 2 K Y6 2 + ε3 U8 2 + ε4 U10 2 + ε3 ε4 K/4 = 0, ε3 2 ε1 2 M3 2 + ε3 2 ε1 2 K Y2 2 + ε1 U7 2 + ε3 U10 2 + ε3 ε1 K/4 = 0,      ε 2 ε 2 M 2 + ε4 2 ε1 2 K Y3 2 + ε4 U7 2 + ε1 U8 2 + ε4 ε1 K/4 = 0,   42 12 22 ε2 ε1 M4 + ε2 2 ε1 2 K Y1 2 + ε2 U7 2 + ε1 U9 2 + ε2 ε1 K/4 = 0

(226)

где K – кривизна пространства де Ситтера. В алгебре Λ выделим две квадратичные подалгебры:Λ(1) = {Y1 , ..., Y6 , L1 , ..., L4 , J0 } — с такими функциогальными соотношениями (222), (223), (224), Λ(2) = {Y1 , ..., Y6 , U1 , ..., U4 , J0 , N1 , ..., N4 } — (224), (225). Соотношения (219), (220), (221) принадлежат всей алгебре

55

4-х мерные подалгебры Λ(a) = {Y1 , U1 , U3 , M4 }, Λ(b) = {Y2 , U1 , U4 , M3 }, Λ(c) = {Y3 , U1 , U2 , M2 }, Λ(d) = {Y4 , U3 , U4 , M1 }, Λ(e) = {Y5 , U2 , U3 , M5 }, Λ(f ) = {Y6 , U2 , U4 , M6 } с соотношениями между элементами подалгебр (226). Эти подалгебры удовлетворяют условию теоремы о некоммутативном интегрировании, но из-за наличия соотношений типа (226) их нельзя применять для проведения процедуры некоммутативного интегрирования, т.к. полученное решение будет являться лишь частным решением. Т.к. в рассматриваемых алгебрах есть соотношения (226) то для средуцированного решения будет нарушаться условие полноты. 4-х мерные подалгебры Λ(α1 ) = {Y1 , U1 , U3 , N2 }, Λ(α2 ) = {Y1 , U1 , U3 , N4 }, Λ(β1 ) = {Y2 , U1 , U4 , N2 }, Λ(β2 ) = {Y2 , U1 , U4 , N3 }, Λ(γ1 ) = {Y3 , U1 , U2 , N3 }, Λ(γ2 ) = {Y3 , U1 , U2 , N4 }, Λ(ψ1 ) = {Y4 , U3 , U4 , N1 }, Λ(ψ2 ) = {Y4 , U3 , U4 , N2 }, Λ(ρ1 ) = {Y5 , U2 , U3 , N1 }, Λ(ρ2 ) = {Y5 , U2 , U3 , N4 }, Λ(φ1 ) = {Y6 , U2 , U4 , N1 }, Λ(φ2 ) = {Y6 , U2 , U4 , N3 } в себе не содержат соотношений. Они также удовлетворяют условию теоремы о некоммутативном интегрировании и их можно использовать для проведения редукции.

56

Приложение D. Операторы симметрии уравнения Дирака в 4сферической системе координат В главах (4.2.3),(4.3) уравнение Дирака интегрируется в 4-сферической системе координат. Приведем здесь необходимые вычисления пересчета операторов симметрии и уравнения Дирака для данной СК.  1 2     X , X = X 3 X 3, X 1 = X 2 X 2, X 3 = X 1 [T1 , T2 ] = T3 [T3 , T1 ] = T2 [T2 , T3 ] = T1

(227)

T1 = −X3 , T2 = X2 , T3 = X1 T1 = X2 , T2 = X1 , T3 = −X3

(228)

С помощью этих циклических замен мы можем менять местами операторы симметрии в системе уравнений для некоммутативной редукции r cos(φ1 ) √ ε1 r sin(φ1 ) cos(φ2 ) x2 = f2 (r, φ1 , φ2 , φ3 ) = √ ε2 r sin(φ1 ) sin(φ2 ) cos(φ3 ) x3 = f3 (r, φ1 , φ2 , φ3 ) = √ ε3 r sin(φ1 ) sin(φ2 ) sin(φ3 ) x4 = f4 (r, φ1 , φ2 , φ3 ) = √ ε4 √ ε1 sin(φ1 ) ∂φ1 √ dx 1 = cos(φ1 ) ε1 ∂r − r √ √ cos(φ2 ) ε2 cos(φ1 ) ∂φ1 ε2 sin(φ2 ) ∂φ2 √ dx 2 = cos(φ2 ) ε2 sin(φ1 ) ∂r + − r √ r sin(φ1 ) sin(φ2 ) cos(φ3 ) ε3 cos(φ1 ) ∂φ1 √ dx 3 = sin(φ1 ) sin(φ2 ) cos(φ3 ) ε3 ∂r + r √ √ ε3 sin(φ3 ) ∂φ3 cos(φ2 ) cos(φ3 ) ε3 ∂φ2 + − sin(φ1 ) r √y1 sin(φ1 ) sin(φ2 ) ε4 sin(φ2 ) sin(φ3 ) cos(φ1 ) ∂φ1 √ dx 4 = ε4 sin(y2 ) sin(φ2 ) sin(φ3 ) dy 1 + √ √ r cos(φ2 ) ε4 sin(φ3 ) ∂φ2 cos(φ3 ) ε4 dy 4 + + sin(φ1 ) r r sin(φ1 ) sin(φ2 ) cos(φ2 ) sin(φ3 ) ∂φ3 1 23 X1 = − cos(φ3 ) ∂φ2 + γ b sin(φ2 ) 2 cos(φ2 ) cos(φ3 ) ∂φ3 1 24 X2 = + sin(φ3 ) ∂φ2 − γ b sin(φ2 ) 2 1 34 X3 = ∂φ3 − γ b 2 x1 = f1 (r, φ1 , φ2 , φ3 ) =

57

(229)

2 i cos(y2 ) γ b23 cos(φ2 ) sin(φ3 ) 2 i cos(φ1 ) sin(y3 ) γ b34 + 2 sin(φ3 ) γ b13 + sin(φ1 ) sin(φ1 ) 24 cos(y ) cos(φ ) 2 i cos(φ ) γ b 1 3 3 )∂φ2 + (−2 γ b12 − 2 cos(φ3 ) γ b14 + sin(φ1 ) 2 i cos(φ1 ) γ b24 sin(φ3 ) 2 cos(φ2 ) γ b13 cos(φ3 ) 2 cos(φ2 ) γ b14 sin(φ3 ) − + + sin(φ1 ) sin(φ2 ) sin(φ2 ) sin(φ2 ) 2 i cos(φ1 ) γ b23 cos(φ3 ) − )∂φ3 sin(φ1 ) sin(φ2 ) + (2 i cos(φ3 ) sin(φ2 ) γ b24 − 2 i sin(φ3 ) sin(φ2 ) γ b23 − 2 i cos(φ2 ) γ b34 ) ∂φ1 + 3 γ b1234 1 4 3 b sin(φ1 ) i γ b sin(φ2 ) sin(φ3 ) cos(φ1 ) γ b sin(φ2 ) cos(φ3 ) cos(y2 ) γ − − D = θ (− r r r γ b2 cos(y3 ) cos(φ1 ) 3 − )∂φ1 + (−b γ sin(φ1 ) sin(φ2 ) cos(φ3 ) r 4 2 −γ b sin(φ1 ) sin(φ2 ) sin(φ3 ) − γ b cos(φ2 ) sin(φ1 ) + γ b1 cos(φ1 ) i)∂r b3 cos(y3 ) cos(φ3 ) γ γ b4 cos(φ2 ) sin(φ3 ) γ b2 sin(φ2 ) − + (− + ) ∂φ2 sin(φ1 ) y1 sin(φ1 ) r r sin(φ1 ) γ b3 sin(φ3 ) γ b4 cos(y4 ) +( − ) ∂φ3 − 3/4 K r(cos(φ1 ) γ b1 i r sin(φ1 ) sin(φ2 ) r sin(φ1 ) sin(φ2 ) − sin(φ1 ) cos(φ2 ) γ b2 − sin(φ1 ) sin(φ2 ) cos(y4 ) γ b3 − sin(φ1 ) sin(φ2 ) sin(φ3 ) γ b4 ) J0 = (−

58

(230)

Приложение E. Случай уравнения (126) с условием j12 = j22 θ

d F(r) i = dr

− (1 + i)/4 (b γ3 − γ b12 + γ b13 i + γ b2 i) ρ −

(231)

(1 + i)/4 (b γ 24 − γ b34 i − γ b124 i − γ b134 ) ζ cos(φ1 ) 1 ! i (−3 r2 K + 6 θ) 1 4 14 1234 4 + i (−b γ + γ234 i − γ b i+γ b ) m− 2 r −

(232)

(233)

1 ! i J1 θ (b γ 124 i + γ b134 − γ b34 − γ b24 i) ρ θ J γ 123 b 1 + F(r) + 2 r r

(234)

Матрица этой системы обыконовенных дифференциальных уравнений             

1 4 θ J1 − 3 r2 K + 6 θ −i m , 0, ,0 4 θr θ −i m ζ 1 4 θ J1 + 3 r2 K − 6 θ −i m ρ m , , , θ cos(φ1 ) 4 θr θ θ −i m 1 4 θ J1 + 3 r2 K − 6 θ , 0, ,0 θ 4 θr m m ζ r + 2 i J1 θ ρ cos(φ1 ) 1 4 θ J1 − 3 r2 K + 6 θ mρ ,− , ,− θ θ θ cos(φ1 ) r 4 θr −

            

Z sin(φ1 )(2 J01 +1) sin(φ1 )(2 J01 +1) ρ := sin(φ1 ) dφ dφ − dφ1 1 1 cos(φ1 )2 cos(φ1 ) Z sin(φ1 )(2 J01 +1) + cos(φ1 ) dφ1 = const1 cos(φ1 )2 Z ζ := −sin(φ1 )2 sin(φ1 )(2 J01 ) + sin(φ1 )(2 J01 +1) dφ1 cos(φ1 ) (2 J01 + 1) Z sin(φ1 )(2 J01 +1) + cos(φ1 ) dφ1 = const2 cos(φ1 ). cos(φ1 )2 Z

(235)

Z

59

(236) (237) (238) (239)

Список литературы [1] Andrushkevich I.E., Shishkin G.V. Criteria Of separability Of the variables in the Diracequation in gravitational fields// Theor. Math. Phys. – 1987. – vol. 70 (2) – p. 204 – 214 [2] Bajnok Z., Nogradi D. Geometry of W-algebras from the affine Lie algebra point of view // J. Phys. A: Math. Gen. – 2001. – vol. 34 (23) – p. 4811 – 4829 [3] Benenti S. Lecture Notes in Mathematics // Berlin: Springer. – 1980 [4] Benenti S., Francaviglia M. General Relativity and Gravitation // Plenum Press. – 1979. – vol 1. – p. 393 [5] Bagrov V.G., Obuchov V.V. New method of integration for the Dirac equation on curved spaceнtime // J. Math. Phys. – 1992. – vol. 33, №6. – p. 2279 – 2289 [6] Bagrov V.G., Shapovalov A.V., Yevseyevich A.A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces // Class. Quantum Grav. – 1990. – №7. – p. 517 – 531 [7] Bagrov V.G., Shapovalov A.V., Yevseyevich A.A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces: II External gauge fields // Class. Quantum Grav. – 1991. – №8. – p. 163 – 173 [8] Carter B., McLenaghan R.G. Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in curved space-time // Phys. Rev. – 1979. – vol. 19. – p. 1093 – 1097 [9] Cotaescu I. I. The Dirac particle on central backgrounds and the anti-de Sitter oscillator// Mod. Phys. Lett. A. – 1998. – vol. 13. – p. 2923 [10] Cotaescu I.I. The normalized energy eigenspinors of the Dirac field on anti-de Sitter spacetime // Phys. Rev. D. – 1999. – vol. 60. – p. 124006 [11] de Boer J., Harmsze F., Tjin T. Nonlinear finite W symmetries and applications in elementary system(Preprint hep-th/9503161) // Phys. Rev. – 1996. – vol. 272. – p. 139 [12] Dirac P.A.M. Proc. Roy. Soc. London A. – 1928. – 117 610 and 118 351 [13] Fock V.A. Z. Phys. – 1929. – 57 261 [14] Fock V., Iwanenko D. Uber eine mogliche geometrische Deutung der relativistischen Quantentheorie // Zeitschrift fur Physik. – 1929. – Band 54, Heft 11/12. – S. 798 – 802 [15] Fock V., Iwanenko D. Geometrie quantique lineaire et deplacement parallele // Comptes Rendus des Seances de L’Academie des Sciences. – 1929. – vol. 188, №23. – p. 1470 – 1472 [16] Gelfand I. M., Dikii L.A. Fractional powers of operators and Hamiltonian systems // Funkt. Anal. Pril. – 1976. – vol. 10, №4. – p. 13 – 29 (in Russian; English translation: Funct. Anal. Appl. – vol. 10. – p. 259 – 273) [17] Hannabuss K.C. The Dirac equation in de Sitter space // J. Phys. A:Gen. Phys. – 1969. vol. 2. – p. 274 – 277 [18] Iwanenko D. Uber eine Verallgemeinerung der Geometrie, welche in der Quantenmechanik nutzlich sein kann // Comptes Rendus de L’Academie des Sciences de L’URSS. – 1929. – №4. p. 73 – 78

60

[19] Iwanenko D. Deux remarques sur l’equation de Dirac // Comptes Rendus des Seances de L’Academie des Sciences. – 1929. – vol. 188. – p. 616 – 618 [20] Iwanenko D. Bemerkung uber quantenmechanische Geschwindiqkeit // Zeitschrift fur Physik. – 1929. – Band 55, Heft 2. – p. 141 – 144 [21] Kalnins E., Miller W., Williams G. Matrix operator symmetries of the Dirac equation and separation of variables // J. Math. Phys. – 1986. – vol. 27, №7. – p. 1893 – 1899 [22] Klishevich V V. Exact solution of Dirac and Klein-Gordon-Fock equations in a curved space admitting a second Dirac operator. // Class. Quantum Grav. – 2001. – vol. 18, №17. – p. 3735-3752 [23] Klishevich V.V., Tyumentsev A.V. On the solution of the Dirac equation in the de Sitter space // Class. Quantum Grav. – 2005. – vol. 22, №17. – p. 4263 – 4277 [24] McLenaghan R.G., Spindel P.H. Bull. Soc. Math. Belgique. XXXl. – 1979. – 65 [25] McLenaghan R. G., Spindel P. H. Phys. Rev. – 1979. – vol. 20. – p. 409 [26] Otchik V.S. On the Hawking radiation of spin-1/2 particles in the de Sitter spacetime // Class. Quantum Grav. – 1985. – vol. 2. – p. 539-543 [27] Rudiger R. Separable systems for the Dirac equation in curved space–time // J. Math. Phys. – 1984. – №25. – p. 649 [28] Shishkin G. V., Villalba V. M. Dirac equation in external vector field: New exact solutions // J. Math. Phys. – 1989. – vol. 30. – p. 2373 – 2381. [29] Shishkin G.V. Some exact solutions of the Dirac equation in gravitational fields // Class. Quantum Grav. – 1991. – vol. 8. – p. 175 – 185 [30] Stepanov S. E. The Killing-Yano tensor // Theor. Math. Phys. – 2003. – vol. 134. №3. p. 333 – 338 [31] Tetrode H.. Z. Phys. – 1928. – 50 336 [32] Weyl H. . Z. Phys. – 1929. – 56 330 [33] Аминова А.В. Конциркулярные векторные поля и групповые симметрии в мирах постоянной кривизны // Гравитация и теория относительности. – 1978. – № 14 - 15. – С.4 – 16 [34] Багров В.Г., Гитман Д.М., Задорожный В. Н., Сухомлин Н. Б., Шаповалов В. Н. Новые точные решения уравнения Дирака // Физика. – 1978. – №2. – с. 250 – 269 [35] Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И. М., Халилов В. Р., Шаповалов В. Н. Точные решения релятивистских волновых уравнений // Новосибирск: Наука. – 1982 [36] Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В. Н., Шаповалов А. В. Полное разделение переменных в свободном уравнении Гамильтона-Якоби // ТМФ. – 1993. – т. 97, №2. – с. 250 – 269 [37] Багров В.Г., Обухов В.В. Проблема полного разделения переменных в квадрированном уравнении Дирака // Известия вузов. Математика. – 1994. – №2. – с. 11 – 14

61

[38] Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика // М.: Наука. – 1989. – т. lV [39] Биррел Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени // М.: Мир. – 1984 [40] Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая механика // М.: Наука. – 1978 [41] Гальцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр // М.: Изд-во МГУ. – 1986 [42] Гриб А.А., Мамаев С.Г. Мостепаненко В. М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях // М.: Энергоатомиздат. – 1988 [43] Дирак П. Принципы квантовой механики // М.: Наука. – 1979 [44] Желнорович В.А. Теория спиноров и ее применение в физике и механике // М.: Наука. – 1982 [45] Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике // М.: Наука. – 1983 [46] Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля // М.:Мир. – 1984. – т. 1,2 [47] Клишевич В.В. К вопросу о выборе спиновой связности при изучении уравнения Дирака в римановом пространстве // Вестник Омского университета. Физика. – 1998. – №4. – c. 19 – 21 [48] Клишевич В.В. К вопросу о существовании спинорных операторов симметрии для уравнения Дирака // Известия вузов. Физика. – 2000. – т. 43. – №10. – с. 87 – 91 [49] Клишевич В.В., Тюменцев В.А. Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера // Вестник Омского университета. – 2000. – №3. – с. 20 – 21 [50] Клишевич В.В, Тюменцев В.А. Об алгебре симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. – 2001. – №8. – с. 52 – 58 [51] Клишевич В.В., Тюменцев В.А. Некоммутативное интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. – 2003. – №9. – с. 49 – 53 [52] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля // М.: Наука. – 1988. – т. 2 [53] Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: ГИТТЛ. – 1957 [54] Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация // М.: Мир. – 1977. – т. 1,2,3 [55] Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности // М.: Наука. – 1969 [56] Новиков И.Д. Фролов В.П. Физика черных дыр // М.: Наука. – 1986 [57] Райдер Л. Квантовая теория поля // М.: Мир. – 1987 [58] Склянин Е.К. Об одной алгебре порождаемой квадратичными соотношенями // УМН. 1985. – т 40, №2. – с. 214 – 220

62

[59] Тюменцев В.А. Некоммутативное интегрирование в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера уравнения Дирака // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции «Под знакомσ». Омск. – 2003. – с. 17 [60] Тюменцев В.А. О решениях уравнений Яно и Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры// Вестник Омского университета. – 2003. – №3. – с. 24 – 26 [61] Тюменцев В.А. Полнота алгебры операторов симметрии уравнения Дирака в пространстве де Ситтера и функциональные соотношения между операторами // Математические структуры и моделирование. – 2004. – №6. – с. 1 – 7 [62] Федосеев В.Г., Шаповалов А.В., Широков И.В. О некоммутативном интегрировании уравнения Дирака в римановом пространстве с группой движений // Известия вузов. Физика. – 1991. – №9. – с. 43 – 46 [63] Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики // М.: Наука. – 1990 [64] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симплектические пространства // М.: Мир. – 1964 [65] Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени// М.: Мир. – 1977 [66] Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр // М.:Мир. – 1986.- т. 1,2. [67] Шаповалов А.В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений // ТМФ. – 1995. – т. 104, №2. - с. 195 – 213 [68] Шаповалов А.В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование уравнений КлейнаГордона и Дирака в римановых пространствах с группой движений // Известия вузов. Физика. – 1991. – №5. – с. 33 – 38 [69] Шаповалов В.Н. Вычисление алгебры симметрии уравнения Дирака // Известия вузов. Физика. – 1968. – №4. – с. 146 – 148 [70] Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения Дирака-Фока // Известия вузов. Физика. – 1975. – №6. – c. 57 – 63 [71] Шаповалов В.Н. Пространства Штеккеля // Сибирский математический журнал. – 1979. – т. 20, №5. – c. 1117 – 1130 [72] Шаповалов В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка // Дифференциальные уравнения. – 1980. – т. 16, №10. – c. 1864 – 1874 [73] Шаповалов В.Н. ЭЧАЯ. – 1976. – т. 7, №3. – с. 687 – 725 [74] Шаповалов В.Н., Экле Г. Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака // Элиста:Калмыцкий университет. – 1972 [75] Шаповалов В.Н., Багров В.Г., Экле Г.Г. Полные наборы и разделение переменных в уравнении Дирака// Депонировано ВИНИТИ 20.02.1975, № 405 - 75 Деп. с17. {Рефераты: Известия вузов. Физика. 1975. т. 18, №4. с. 158. } РЖ Физика 12Б189,75. [76] Широков И.В. Координаты Дарбу на К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // ТМФ. – 2000. – т. 123, № 3. – с. 407 63

[77] Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований // М.: ИЛ. – 1947 [78] Экле Г.Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака// Известия вузов. Физика. – 1972. – №2. – с. 84 – 89 [79] Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. // М.: ИЛ. – 1957.

64