Математико-статистические методы в менеджменте

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

Методическое пособие Математико-статистические методы в менеджменте Для студентов отделения «Менеджмент» по курсу

Ростов-на-Дону 2000

2

Печатается по решению кафедры Экономической кибернетики Экономического факультета РГУ

Протокол № 5 от 2.02.99г.

Автор-составитель: доцент Шаль А.В.

3 Содержание Введение

4

1. Измерение и типы шкал

5

2. Ранжирование

7

3. Метод непосредственной оценки

10

4. Метод последовательных сравнений

12

5. Метод парных сравнений

16

6. Анализ согласованности ответов экспертов

19

Заключение

26

Список использованных источников

27

4 Введение Применение математических моделей является одним из ведущих факторов повышения научного уровня управления. Однако качественная новизна

и

сложность

современных

технико-экономических

проблем

зачастую не позволяет осуществить полную математическую формализацию таких задач. Для их решения могут быть использованы экспертные методы, позволяющие применять вероятностные, статистические и логические приёмы для анализа мнений руководителей и специалистов, а также для принятия решений на всех уровнях управления. Метод экспертных оценок – это совокупность специальных логических приёмов и математических методов обработки эмпирической информации, получаемой от экспертов. Экспертные

методы

применяются

в

ситуациях,

когда

выбор,

обоснование и оценка последствий решений не могут быть выполнены на основе точных расчётов. Такие ситуации в настоящее время возникают повсеместно при разработке современных проблем управления, как на уровне фирмы, так и на региональном и национальном уровнях. В учебном пособии изложены основные логические и математические подходы и процедуры, используемые для получения и измерения экспертной информации.

5

1. ИЗМЕРЕНИЕ И ТИПЫ ШКАЛ Количественные методы могут быть применены после того, как эмпирические данные переведены на язык чисел. Началом применения математических методов в социологии является измерение. Цель измерения – получить числовую модель. При измерении устанавливается соответствие между свойствами объекта

и

сопоставляемых

им

чисел.

Набор

свойств

объекта

и

сопоставляемых им чисел называется шкалой. Теоретически существует бесконечное число типов шкал. Шкалы различают по уровню измерений – от самых слабых к самым сильным. Выделяют 4 уровня (типа) шкал: номинальная, порядковая, интервальная и шкала отношений. 1)

Номинальная

или

неупорядоченная

шкала.

Это

шкала

наименований, составленная из перечня характеристик объекта или явления. Здесь числа играют роль «ярлыков», их можно заменить любыми буквами или символами. Такие шкалы выполняют функцию классификации. Например: шкала вопросов для изучения мотивов текучести кадров. Укажите, каковы мотивы вашего увольнения: -

работа не по специальности;

-

неудовлетворение профессией;

-

отсутствие перспективы роста;

-

низкая заработная плата;

-

прочие мотивы.

На основе такой шкалы могут быть произведены следующие расчёты: найти частоты распределения в абсолютных числах или в процентах; определить модальную величину, или моду, выявляющую по каким-либо

6 признакам группу с наибольшей численностью. Мода – это наиболее часто встречающееся в данном ряду распределения значение признака. 2)

Порядковая шкала упорядочивает проявления изучаемых свойств

от наибольшего к наименьшему и наоборот. В отличие от шкалы наименований здесь в перечне признаки упорядочены относительно друг друга, т.е. проранжированы. Чаще всего такая шкала имеет вид: -

максимально положительное значение;

-

положительное значение;

- нейтральное значение; - отрицательное значение; - максимально отрицательное значение. Каждому пункту может быть приписано число, последовательность этих чисел должна быть упорядочена по возрастанию или убыванию. В этом случае мы получаем ранговую шкалу. Ранги определяют относительную интенсивность качества, но не абсолютную величину её. Преимущество такой шкалы в том, что она устанавливает порядок по степени нарастания (убывания) свойства, а недостаток – не является метрической. Например. Шкала ветров Бофорта: штиль, лёгкий ветер (2), свежий, крепкий (7), шторм (10). Числа фиксируют не абсолютную интенсивность свойства (силы ветра), а лишь отношения последовательности между пунктами. Эти числа нельзя складывать, но можно сравнивать (больше, меньше). Другой пример – система балльных оценок. Она не позволяет сделать выводы, что знания студента, получившего «пять» настолько больше знаний того, кто получил «четыре», насколько знания последнего больше знаний получившего «три». А знания студента, получившего «четыре» в два раза больше знаний студента, получившего «два».

7 Использование порядковых шкал позволяет различать объекты в тех случаях, когда фактор (критерий) не задан в явном виде. Мы не знаем признака сравнения, но можем полностью или частично упорядочить объекты на основе системы предпочтений, которой обладает эксперт. 3)

Интервальная шкала обладает следующим свойством: равенство

интервалов чисел отвечает равенству эмпирических интервалов, т.е. интервалов между интенсивностями свойств у рассматриваемых пар объектов. Для этих шкал определено начало отсчёта и единица измерения. Все температурные шкалы (Цельсия, Фаренгейта, Кельвина, Реомюра), а также календарные шкалы являются интервальными. Даты одного и того же события в разных календарях связаны между собой линейным законом. Интервальная или метрическая шкала образуется на основе ранговой путём присвоения баллов её делениям. Каждой позиции ранговой шкалы приписывают числа. Например, 5-балльные, 10-балльные шкалы, от –1 до +1 (-1, -0.5, 0, 0.5, 1). Для

обработки

информации,

полученной

от

экспертов,

по

интервальной шкале используют все статистические методы: средние, средневзвешенные, линейные отклонения, среднеквадратические отклонения и т.д. 4) Шкалы отношений – числа, приписываемые свойствам объекта, удовлетворяют всем арифметическим аксиомам. Такие шкалы используют для измерения «физических» величин – времени (стаж, возраст), счёта (заработная плата, доход, премия). В этих шкалах определён абсолютный нуль – начало отсчёта. 2 РАНЖИРОВАНИЕ При решении многих практических задач часто возникает ситуация, когда явления не поддаются непосредственному измерению. В этом случае используется ранжирование. Ранжирование - это расположение явлений

8 (факторов, альтернатив) в порядке возрастания (убывания) какого-либо присущего им свойства. Ранжирование позволяет выбрать из исследуемой совокупности

явлений

наиболее

существенное.

Ранжирование

может

применяться в следующих ситуациях: 1) Когда явления имеют различную природу и вследствие этого

несоизмеримы, т.е. нет эталона сравнения. 2) Когда необходимо упорядочить какие-либо явления (объекты) во

времени

или

пространстве,

т.е.

интересует

не

сравнение

степени

выраженности какого-либо качества, а лишь взаимное пространственное или временное расположение. 3) Когда нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо

измеримым качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение. 4) Когда какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящее

время не может быть измерено по каким-либо причинам. Процедура ранжирования состоит в следующем. Эксперт должен расположить объекты (альтернативы, характеристики) в порядке, который представляется ему наиболее рациональным и приписать каждому из них числа натурального ряда - ранги. При этом ранг 1 получает наиболее

предпочтительная

альтернатива,

а

ранг

N

-

наименее

предпочтительная. В результате ранжирования получаем порядковую шкалу, которая должна удовлетворять условию равенства числа рангов (N) числу ранжируемых объектов (n). Если нескольким объектам присваивается одинаковый ранг, то число рангов не равно числу объектов. В таких случаях приписываются стандартизированные ранги.

9 Значение стандартизированного ранга представляет собой среднее суммы мест, которые поделили между собой объекты с одинаковыми рангами. Пусть, например, десяти объектам (факторам, признакам) присвоены следующие ранги: Таблица 1 Первоначальные ранги i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

3

2

1

2

4

4

5

6

7

4

Объектам 2 и 4, поделившим между собой второе и третье место, приписывается стандартизированный ранг S1= (2+3)/2=2,5 , объектам 5, 6 и 10, поделившим 5, 6 и 7 места, присваивается стандартизированный ранг S2=(5+6+7)/3=6. В результате получаем следующую нормальную ранжировку: Таблица 2 Стандартизированные ранги i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

4

2,5

1

2,5

6

6

8

9

10

6

Сумма рангов будет равна сумме чисел натурального ряда: n

Sn = ∑xi = i =1

n(n +1) 2

(1)

Когда ранжирование производится несколькими (m) экспертами, то сначала для каждого объекта подсчитывают сумму рангов Sij , полученную от

10 всех экспертов, а затем устанавливают результирующий ранг, исходя из величины S ij :

n

m

Sij = ∑∑ xij

(2)

i =1 j =1

Наивысший (первый) ранг присваивают объекту, получившему наименьшую сумму рангов, и наоборот, остальные упорядочивают. 3 МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОЙ ОЦЕНКИ В некоторых случаях оказывается удобнее для выбора наиболее предпочтительного фактора сначала произвести оценку, а затем их ранжировать. Пусть m экспертов оценили по шкале от 0 до 100 десять инновационных проектов с точки зрения их важности для достижения определенной цели. Таблица 3 Инновационные

а

б

в

г

д

е

ж

з

и

к

Оценки

40

30

80

90

20

100

60

70

50

10

Ранги

7

8

3

2

9

1

5

4

6

10

проекты

Для того, чтобы проранжировать эти оценки, приписываем каждому из инновационных проектов числа натурального ряда таким образом, чтобы ранг 1 был приписан максимальной оценке, а ранг k - минимальной. В ряде случаев суммарные оценки рангов нормируются и на их основе получают усредненную оценку. Нормирование любой меры означает, что представляющее ее число для всего множества в целом принимается равным

11 единице. Нормирование позволяет установить более тесную связь между оценками, приписанными экспертами отдельным объектам. Оценки по всем объектам суммируются, а затем каждая из них делится на полученную сумму. Нормированные оценки могут быть вновь проранжированы. В случаях, когда группа, состоящая из нескольких экспертов, оценивают ряд факторов, причем у каждого из экспертов имеется своя шкала предпочтений,

для

нахождения

усредненной

оценки

может

быть

рекомендована следующая методика. 1) Составляется

матрица

«эксперты-факторы»,

в

которой

проставляются полученные от каждого эксперта оценки факторов по шкале от 0 до 10. 2) Рассчитывается относительная значимость (Wij) всех факторов в

отдельности для каждого эксперта. С этой целью оценки, полученные от каждого эксперта, суммируются, а затем нормируются. Представим, что три эксперта оценили шесть факторов. Результаты представлены в таблице 4. Таблица 4 Первоначальные оценки 1

2

3

4

5

6

Σ

1

9

10

5

3

1

7

35

2

10

8

4

1

2

5

30

3

8

9

6

2

3

5

33

Факторы Эксперты

Пронормируем полученные оценки: W11 =9/35

W21=10/30

W31=8/33

W12 =10/35

W22=8/30

W32=9/33

12 W13 =5/35

W23 =4/30

W33=6/33

W14 =3/35

W24 =1/30

W34=2/33

W15 =1/35

W25 =2/30

W35=3/33

W16 =7/35

W26 =5/30

W36=5/33

3) Вычисляется усредненная оценка, данная всеми экспертами каждому

фактору. Для этого нормированные оценки, полученные в предыдущем шаге, суммируются

(по

вертикали),

а

затем

рассчитывается

средняя

арифметическая для каждого фактора: W1 = W2 = W3 = W4 = W5 = W6 =

(9/35 + 10/30 + 8/33) / 3 = 0,277 (10/35 + 8/30 + 9/33) / 3 = 0,274 (5/35 + 4/30 + 6/33) / 3 = 0,155 (3/35 + 1/30 + 2/33) / 3 = 0,059 (1/35 + 2/30 + 3/33) / 3 = 0,061 (7/35 + 5/30 + 5/33) / 3 = 0,172. Найденные усредненные оценки могут быть вновь проранжированы.

Наивысший – первый – ранг получает фактор с максимальным значением усредненной оценки (W1 = 0,277), следующий – второй – ранг получает фактор с оценкой W2 = 0,274 и т. д. по степени убывания оценки.

4 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СРАВНЕНИЙ Общим недостатком показателей, получаемых на основе суммирования баллов, является то, что недостаток качества по одному из них можно компенсировать за счет других, получая один и тот же результат при различной значимости факторов. Поэтому для повышения надежности оценок

важное

значение

имеет

выявление

связей

и

установление

зависимостей между всеми значимыми факторами. Установление таких

13 зависимостей возможно методом последовательных сравнений (У. Черчмен, Р. Акоф). Процедура состоит в следующем. Эксперту предоставляется перечень факторов (критериев, альтернатив, результатов), которые необходимо оценить по их относительной важности и он производит ранжирование. Наиболее важному фактору приписывается оценка (вес V1) = 1, а остальным оценки (Vi) между 0 и 1 в порядке относительной важности. Затем эксперт устанавливает, является фактор с оценкой 1 более важным, чем комбинация остальных факторов. Если да, то он увеличивает n

оценку V1, чтобы она была больше, чем сумма всех остальных, т.е. V1 > ∑ Vi . i=2

Если нет, то он корректирует оценку V1 (если необходимо), чтобы она n

была

меньше

суммы

всех

остальных,

т.е.

V1 < ∑ Vi . i =2

Далее определяется, является ли второй фактор с оценкой V2 более важным, чем все остальные. И так далее до n-1 фактора. Таким образом, процедура состоит в систематической проверке оценок на базе их последовательного сравнения. Рассмотрим условный пример. Предположим, некоторый процесс может иметь пять результатов, которые необходимо взвесить по их значимости. Процедура взвешивания будет следующей. Упорядочим пять результатов по их относительной значимости. Пусть О1 – наиболее важный результат, О2 – следующий по важности результат, далее идут О3, О4 и О5. Присвоим

вес

1,0

наиболее

важному

результату,

остальным

результатам присвоим некоторые другие веса по убыванию от единицы до нуля. Например эксперт приписал результатам О1, О2, О3, О4 и О5 веса 1,0; 0,9; 0,7; 0,4; 0,2 соответственно.

14 Обозначим

эти величины символами υ1, υ2, υ3, υ4 и υ5 и будем

рассматривать их как первые оценки «истинных» значений О1, О2, О3, О4 и О5. Проведем сравнение О1 с суммой остальных результатов, т.е. выясним, что является для эксперта более важным – «получить» результат О1 или сумму результатов О2, О3, О4 и О5. Предположим, он утверждает, что О1 предпочтительнее этой суммы. Тогда значение оценки υ1 надо изменить так, чтобы выполнялось неравенство: υ1 > υ2 + υ3 + υ4 + υ5 Примем υ1 = 3,5, первоначальные значения оценок остальных результатов не изменяются, т.е. υ2 = 0,9; υ3 =0,7; υ4 = 0,4 и υ5 =0,2. Сравним теперь О2 с суммой О3, О4 и О5. Предположим, что сумма результатов равна по значимости О2. В соответствии с этим изменим первоначальные оценки: υ1 = 3,5; υ2 = 1,3; υ3 =0,7; υ4 = 0,4 и υ5 =0,2. Продолжим сравнение: О3 с суммой О4 и О5. Пусть, по мнению эксперта, сумма результатов предпочтительнее О3 . Изменим

оценки

следующим образом: υ1 = 3,5; υ2 = 1,3; υ3 =0,5; υ4 = 0,4 и υ5 =0,2. Если эти оценки не противоречат мнениям экспертов, можно их пронормировать. Для этого разделим каждую из них на сумму всех оценок (5,9). υ1/ = 3,5 / 5,9 = 0,59 υ2/ = 1,3 / 5,9 = 0,22 υ3/ = 0,5 / 5,9 = 0,08 υ4/ = 0,4 / 5,9 = 0,07 υ5/ = 0,2 / 5,9 = 0,04 итого:

1,00

15

Общая процедура метода следующая: 1) Упорядочить

результаты

в

соответствии

с

их

значимостью

(относительной важностью) с точки зрения эксперта. Пусть О1 представляет наиболее важный результат, О2 – следующий по степени важности и т. д., а Оm – наименее важный. 2) Приписать вес 1,00 результату О1 (т.е.υ1 = 1,00) и другие веса всем

остальным результатам. 3) Сравнить О1 с О2 + О3 + ... + Оm :

- если О1 предпочтительнее, надо изменить (в случае необходимости) значение υ1 так, чтобы υ1 > υ2 + υ3 + … + υm. При этой корректировке, так же как и при всех остальных, следует стремиться к тому, чтобы веса набора (υ2, υ3 и т.д.) остались без изменений. Далее следует перейти к шагу 4. -

если О1 и О2 + О3 + ... + Om, то изменить (в случае необходимости) значение υ1, так чтобы выполнялось равенство υ1 = υ2 + υ3 + … + υm и затем перейти к шагу 4 - если результат О1 менее предпочтителен, чем О2 + О3 + ... + + Om,

то изменить значение υ1 так, чтобы выполнялось неравенство υ1 < υ2 + υ3 + … + υm. Далее сравнить О1 с О2 + О3 + ... + Om-1 и повторять до тех пор, пока О1 будет или предпочтительнее, или равноценен всем остальным результатам. 4) Сравнить О2 с О3 + ... + Om и выполнить весь шаг 3. 5) Продолжить шаг 4 до тех пор, пока не будет выполнено сравнение

Om-2 с Om-1 + Om . 6) Преобразовать каждое полученное значение υi в нормированное υi′, m

разделив соответствующие веса на равна 1,00.

∑V i =1

i

. В итоге ∑i=1m υi ′ должна быть

16 Если число результатов больше семи, метод становится громоздким. В этом случае применяется процедура разбиения на подмножества, к каждому из которых применяется эта процедура.

5 МЕТОД ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ Трудности использования ранжирования, непосредственной оценки и метода последовательных сравнений при выявлении предпочтений для большого числа объектов (факторов, альтернатив) можно уменьшить, если предложить экспертам произвести сравнение этих объектов попарно, с тем чтобы установить в каждой паре наиболее важный (значимый). Для этого составляют матрицы парных сравнений, в которых все объекты (1,2,...,n) записываются в одном и том же порядке дважды: в верхней строке и в первом столбце (смотри таблицу 5). Таблица 5 Матрица А: парных сравнений 1 -

2

3

....

j

n

X12

X13

X1j

X1n

2

X21

-

X23

X2j

X2n

....

....

....

....

....

.…

I

Xi1

Xi2

Xi3

Xij

Xin

N

Xn1

Xn2

Xn3

Xnj

-

Каждый эксперт должен проставить на пересечении строки и столбца для двух сравниваемых факторов оценку хij. Если фактор i более предпочтителен чем j, то оценка равна 1 или 0 соответственно. На главной

17 диагонали матрицы проставляются нули или прочерки. Каждая пара факторов может сравниваться единожды или дважды (например, сначала х12, а затем х21). Существуют различные варианты частичного парного сравнения. Например, сравниваться могут заранее сгруппированные пары факторов. В этом случае каждый фактор сопоставляется только с каким-либо другим. Метод парных сравнений может быть использован для установления суммарных рангов факторов. Составляется матрица парных сравнений, затем она просматривается слева направо. Если фактор, стоящий в левом столбце предпочтительнее, чем фактор, помещенный в верхней строке, то в верхнюю часть клетки, на пересечении строки и столбца, ставится 1, а нижнюю - 0. Если же предпочтительнее фактор, находящийся в верхней строке, то ставится 0 в верхнюю часть клетки, а 1 - в нижнюю. Затем, в зависимости от числа предпочтений, каждому фактору присваивается определенный ранг (см. таблицу). Предположим, для принятия решения существенными являются четыре фактора: А, В, С, D. Эксперту предлагается сравнить попарно эти факторы и оценить их значимость. Результаты сравнения приведены в таблице 6. Фактор С получает наивысший ранг - 1, фактор D - 2, фактор А - 3, В - 4. Таблица 6 Пример парного сравнения Факторы

А

A

-

B

C

1

0 0

B

0

1

D 0 1

0

Ранг

1

3

0

4

1 0

1

Σ

1

18 C

1

1

-

0 D

1

0 1

некоторых

3

1

2

2

0 0

0

В

1

-

0

1

случаях

сначала

производится

предварительное

ранжирование, а затем с помощью метода парных сравнений - уточнение их предпочтительности. Так как обычно участвуют несколько экспертов, то сначала каждый из них

заполняет

матрицу

А,

а

затем

полученные

индивидуальные

предпочтения усредняются с учетом мнений всех экспертов. На основе результатов этого суммирования строится вторая матрица (Р), показывающая процентное отношение случаев, когда фактор i оказался предпочтительнее j, в общем числе полученных оценок. Элементы матрицы Р обладают тем свойством, что pij = xij / m, где m число экспертов и pij + pji = 1. После получения обобщений матрицы предпочтений Р, элементы которой Pij представляют относительное число предпочтений, полученных от всех экспертов, по каждому фактору перед каждым другим фактором, можно произвести их шкалирование. Таблица 7 Матрица P : доля случаев, когда фактор i предпочтительнее фактора j J ФАКТОРЫ I

1

2

...

J

...

N

СУММА РЯДА

19 J

1

2

...

J

...

N

СУММА

ФАКТОРЫ

РЯДА

I 1

-

Pi2

Pij

P1n

P1

2

P21

-

P2j

P2n

P2

Pi1

Pi2

Pij

Pin

Pi

Pn1

Pn2

Pnj

-

Pn

... I ... N

6 АНАЛИЗ СОГЛАСОВАННОСТИ ОТВЕТОВ ЭКСПЕРТОВ Групповая оценка может считаться достаточно надежной только при условии

хорошей

согласованности

ответов

экспертов.

Поэтому

статистическая обработка должна включать в себя оценку степени согласованности мнений экспертов и выявление причин неоднородности. Для анализа согласованности оценок экспертов и разброса применяют такие статистические характеристики, как средние и меры разброса. Существует два основных метода измерения разброса. Первый метод состоит в вычислении расстояния между двумя упорядоченными исходами событий. Такие показатели называют вариационным размахом. Во втором методе вычисляются средние расстояния результатов отдельных наблюдений от некоторого центрального значения. Эти показатели называют средними отклонениями. Вариационный

размах

(амплитуда

колебаний)

вычисляется

разность между максимальным и минимальным значением признака:

как

20 R = Xmax – Xmin

(3)

Недостатком этого показателя является то, что в нем не находят отражение варьирование признака у основной массы членов ряда. Хорошими характеристиками разброса оценок являются средние отклонения.

Среднее

абсолютное

(среднее

линейное)

отклонение

представляет собой среднюю величину отклонений вариант ряда в ту или другую сторону от средней арифметической:

θ =

∑

x− x f

∑

f

θ =

;

∑ x−x ∑m

(4)

Чаще используют не среднее абсолютное отклонение, а среднее квадратическое

отклонение

и

дисперсию.

Среднее

квадратическое

отклонение вычисляется по формуле:

σ =

∑

x−x

2

(5)

m

где х – варианты (оценки); х – средняя арифметическая; m – число оценок. Для того, чтобы судить о степени колеблемости признака, необходимо сравнить среднее абсолютное и среднее квадратическое отклонение со средней арифметической. Этот показатель называется коэффициентом вариации

и

характеризует

вариабельность

признака.

Используются

следующие формулы:

υa = θ / х ⋅ 100% ;

υ = σ / х ⋅ 100%.

(6)

21

Меры рассеяния являются важными характеристиками распределения оценок, полученных от экспертов. Связь считается более тесной в том случае, когда каждому значению одного признака соответствуют близкие друг другу, тесно расположенные около своей средней величины другие значения признака. Связь менее тесная, если эти значения сильно отклоняются от своей средней, т.е. сильно варьируют. Тип, форма и плотность связи обычно выявляются коэффициент

с

помощью

таких

корреляции,

статистических

корреляционное

характеристик,

отношение,

как

коэффициент

регрессии и некоторых других. Статистический анализ предполагает: - оценку степени согласованности по каждому признаку в отдельности и по всему набору в целом; - в случае существенных расхождений в ответах, выделение подгрупп экспертов с «близким» мнением; -

выявление

причин

разброса

и

осуществление

мероприятий,

позволяющих повысить достоверность оценок экспертов. Для оценки согласованности данные опроса удобно представлять в виде таблицы вариационных рядов ответов. fij - число ответов о присвоении iго места j-му признаку. Если все эксперты дали ответы по всем признакам, то k

итоги строк будут равны

∑f i =1

ij

.

Оценка степени согласованности ответов - задача обратная оценке уровня вариации (степени разногласия). Если обозначить некоторый показатель вариации j - го признака через µj, то мера согласованности по этому признаку будет 1-µj. На основании таблицы 8 величина коэффициента вариации для i-го признака µj вычисляется по формуле:

22

µj =

k (∑ f ij ) 2 − ∑ f ij2 j

j

k −1(∑ f ) 2 ij

,

(7)

j

где µj - коэффициент качественной вариации j -го признака k - число градаций (число мест, количество заполненных клеток в таблице) j -го признака.

Таблица 8 Вариационные ряды ответов Число мнений о ранге

Признаки

Общее число ответов

1

2

...

i

...

k

х1

f12

f22

…

fi2

…

fk2

х2

…

…

…

…

…

…

... хj

f1j

f2j

…

fij

…

fkj

Σi=1kfij

... хn

f1n

fn2

…

fin

…

fkn

∑i=1kfin

Величина µj меняется в пределах [ 0; 1 ].

Σi=1kfi2

23 Для проверки согласованности оценок экспертов могут использоваться методы ранговой корреляции, которые были предложены К. Спирмэном и М. Кендаллом. Коэффициент

ранговой

корреляции

Спирмэна

основан

на

рассмотрении разности рангов значений d. Связь между рангами двух упорядоченных рядов свойств X и Y можно оценить с помощью коэффициентов: aij = xj - xi и bij = yj - yi, где xi и yi - ранги признаков X и Y для j-го объекта. Тогда формула коэффициента ранговой корреляции может быть выведена из формулы линейного коэффициента корреляции и представлена в виде: n

ρ = 1−

6∑ ( x i − y i ) 2 i =1

n( n − 1) 2

n

= 1−

6∑ d i

2

i =1 2

(8)

n(n − 1)

где d - разность между рангами данной пары сопоставляемых рядов; n - число сопоставляемых пар. Величина ρ может принимать значения от

-1 до +1. В случае

наименьшей зависимости ρ=0. Но величина ρ не может судить о тесноте связи между двумя рядами оценок, полученных от двух экспертов. Для расчета коэффициента ранговой корреляции составляется таблица: Таблица 9 Альтернативы

Ранги

Ранги

(факторы)

эксперта 1

эксперта 2

d

d2

24 А

x1

y1

x1 - y 1

(х1 –у1)2

Б

x2

y2

x2 - y 2

(х1 -у2)2

В

…

…

…

…

Г

…

…

…

…

Д Е И Σd2 Коэффициент ранговой корреляции Кендалла имеет более сложную процедуру вычисления. Коэффициент ранговой корреляции он может быть проверен на значимость (существенность). Если приходится сопоставлять попарно большое число признаков, то такая процедура становится громоздкой. В таких случаях используются специальные критерии, позволяющие оценить согласованность оценок экспертов по ряду факторов. Пусть имеется ряд объектов (факторов) 1,2,...,n, в разной степени обладающих одним и тем же качеством X и проранжированных в отношении этого качества m экспертами. Результаты заносятся в таблицу - матрицу взаимосвязей. Можно найти ранговую корреляцию между оценками каждой пары экспертов, но при большом числе экспертов такой расчет становится трудоемким. Таблица 10

25 Матрица взаимосвязей Факторы 1

2

...

I

...

N

1

X11

x12

...

X1I

...

x1n

2

X21

x22

X2I

x2n

Xj1

xj2

Xji

xjn

Xm1

xm2

Xmi

xmn

Эксперты

... J ... M

Поэтому

в

этих

случаях

согласованность

мнений

экспертов

оценивается с помощью коэффициента конкордации W, т.е. общего коэффициента ранговой корреляции для группы, состоящей из m экспертов. Для расчета коэффициента конкордации сначала находится сумма m

рангов по каждому фактору, полученная от всех экспертов

∑x j =1

ij

, а затем -

разность между этой суммой и средней суммой рангов по формуле m

ψ i = ∑ xij = T j =1

n

m

где T = (∑∑ aij ) / n , i =1 j =1

(9)

aij - среднее значение для суммарных рангов ряда, aij = - 1/2 m (n + 1). Далее рассчитывается сумма квадратов разностей (отклонений) S по формуле

26

n

m

i =1

j =1

S = ∑ (∑ − 1 / 2m( n + 1)) 2

(10)

Величина S имеет максимальное значение в случае, когда все эксперты дают одинаковые оценки. Можно показать, что S max = 1/2 nm2 (n2 -1) Коэффициент

конкордации

W

(11)

рассматривается

как

отношение

фактически полученной величины S к ее максимальному значению для данной группы экспертов m и числа факторов n, т.е. 0 < W < 1.

W = S / S max ,

(12)

Коэффициент конкордации обычно рассчитывается по формуле, предложенной Кендаллом: W =

12 S

(13)

m2 (n3 -n) n

n

m

2

S = ∑ (∑ xij ) − i =1

j =1

m

(∑∑ xij ) 2 i =1 j =1

n

(14)

Заключение Основное преимущество методов экспертных оценок – возможность их применения в условиях повышенного риска и неопределенности. Эта неопределенность чаще всего является следствием вероятного характера исследуемых явлений, невозможности точного предсказания окончательных исходов многих процессов и т.д. Привлечение экспертов для принятия решений позволяет снизить уровень неопределенности и

27 повысить достоверность решений. В общем случае предполагается, что мнение группы экспертов надежнее, чем мнение отдельного индивидуума. Главное преимущество групповой оценки заключается в уменьшении различий во мнениях, в возможности получения в какой-то степени обобщенного и более представительного мнения. Специфика и разнообразие решаемых при участии экспертов проблем существенно ограничивает возможности создания единых универсальных правил и моделей экспертизы. Однако можно ориентировочно наметить следующие основные этапы проведения экспертизы: - формулирование цели экспертизы и разработка процедуры опроса; - формирование группы специалистов-аналитиков; - отбор и формирование группы экспертов; - проведение опроса; - анализ и обработка информации, полученной от экспертов; - синтез объективной (статистической) информации и информации, полученной от экспертов, с целью приведения их в форму, удобную для принятия решения. Последовательность и содержание этих этапов будут изменяться в зависимости от реальных условий и ограничений при проведении экспертизы. Математико-статистические методы экспертных оценок получают все более широкое применение в практике принятия решений. Однако существует ряд проблем и задач, требующих дальнейших теоретических исследований и практической проверки. Можно указать на необходимость совершенствования системы отбора экспертов, повышения надежности характеристик группового мнения, разработки методов проверки обоснованности оценок и ряд других. Список использованных источников 1. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Экспертные оценки. – М.: Наука, 1973. 2. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Математико-статистические методы экспертных оценок. – М.: Статистика, 1974. 3. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. – М.: Наука, 1974. 4. Айвазян