Способы преобразования проекций: Методические указания и варианты заданий

Л.Д. Письменко

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

Ульяновск 2001

Министерство образования РФ Ульяновский государственный технический университет Л.Д. Письменко

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ Методические указания и варианты заданий к расчетно-графической работе «Метрические задачи» для студентов факультета информационных систем и технологий направления 552800 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»

Ульяновск 2001

УДК 515.2 (076.8) ББК 22.151.3я7 П35 Рецензент канд. техн. наук, доцент В.И. Котельникова Редактор канд. техн. наук, профессор В.Ф. Гурьянихин Одобрено секцией университета

методических

пособий

научно-методического

совета

Л.Д. Письменко П35 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ: МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ. – Ульяновск: УлГТУ, 2001. – 20 с.

Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины «Инженерная графика», на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и предназначены для инженерной подготовки студентов направления 552800 «Вычислительные машины, комплексы, системы, сети». В указаниях приведены варианты заданий и изложена методика выполнения задания, требования, предъявляемые к оформлению чертежей и образцы их выполнения. Методические указания также могут быть использованы студентами направлений 654200 и 650900. Работа подготовлена на кафедре «Технология машиностроения».

УДК 515.2 (076.8) ББК 22.151.3я7

 Письменко Л.Д., 2001  Оформление: УлГТУ, 2001

3 СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. ЦЕЛЬ И СОДЕРЖАНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ . . . 4 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СПОСОБОМ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СПОСОБОМ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4. ПОРЯДОК

ВЫПОЛНЕНИЯ

И

ОФОРМЛЕНИЯ

РАСЧЕТНО-

ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

Варианты заданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Пример выполнения РГР «Задачи метрические» способом замены плоскостей проекций . . . . . . . . . . . . . 18

ПРИЛОЖЕНИЕ 3.

Пример выполнения РГР «Задачи метрические» способом плоскопараллельного перемещения . . . . . . . . 19

ПРИЛОЖЕНИЕ 4.

Обозначения и символы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4

ВВЕДЕНИЕ При решении ряда задач методами начертательной геометрии сложность графических построений, а следовательно, и точность получаемого ответа часто зависит не от условия задачи, а от расположения заданных геометрических элементов относительно плоскостей проекций. Решение многих задач начертательной геометрии значительно упрощается, если заданные геометрические элементы занимают в пространстве частное положение. Начертательная геометрия располагает способами, с помощью которых можно перейти от общих положений заданных геометрических образов к частным. Эти способы называются способами преобразования проекций, которые заключаются в последовательной замене плоскостей проекций и во вращении геометрических образов вокруг определенной оси. Методические указания содержат варианты индивидуальных заданий для выполнения расчетно-графической работы (РГР) «Задачи метрические» и раскрывают методику решения задач с использованием различных способов преобразования. Способы преобразования проекций широко используют для решения позиционных и метрических задач. Их применяют для построения дополнительных видов, «косых сечений», наклонных разрезов, сложных ломаных разрезов при изучении дисциплины «Инженерная графика».

1. ЦЕЛЬ, ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ Цель работы − закрепить знания теоретического материала, относящегося к преобразованиям проекционного чертежа геометрических фигур, главным образом способами плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций. Основными задачами работы являются: - обучить студентов применению теоретических положений, на которых основаны приемы решения задач способами преобразования проекций; - привить студентам умения и навыки использования способов преобразования проекций для нахождения истинного вида сечений поверхностей и построения разверток; - научить студентов навыкам решения элементарных задач на преобразование; - подготовить студентов к усвоению теоретических положений наиболее сложных тем учебной дисциплины «Инженерная графика».

5 Содержание работы: графическая часть работы выполняется на двух листах формата А3. На первом листе решают три задачи способом замены плоскостей проекций: 1. Определение угла наклона плоскости треугольника ABC к плоскости проекций П1 или фронтальной плоскости проекций П2 ; 2. Определение расстояния от вершины пирамиды S до плоскости основания – треугольника ABC ; 3. Определение натуральной величины основания пирамиды – треугольника ABC. На втором листе решают те же задачи первого листа, но с использованием способа плоскопараллельного перемещения. Варианты заданий приведены в приложении 1. Номер варианта задания РГР, выполняемого студентом, должен соответствовать его порядковому номеру в групповом журнале. Примеры выполнения чертежей РГР приводятся в приложениях 2 и 3. Перед выполнением РГР необходимо изучить правила обозначения геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей, поверхностей) в пространстве и на чертеже, применяя для этого буквы латинского и греческого алфавитов (приложение 4).

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СПОСОБОМ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что одну из плоскостей проекций системы П1 или П2 (или последовательно обе) заменяют новой плоскостью, перпендикулярной к оставшейся. Положение заданных геометрических элементов в пространстве при этом не изменяется. Новую систему плоскостей проекций выбирают так, чтобы заданные элементы (точки, линии, плоские фигуры) заняли положение, удобное для решения задачи. Рассмотрим методику применения способа замены плоскостей проекций для решения задач. Задача 1. Определить угол наклона плоскости треугольника ABC к плоскости проекций П1 или П2 ( рис. 1). Для определения угла наклона плоскости треугольника ABC к плоскости проекций П1 или П2 необходимо преобразовать исходный чертеж так, чтобы заданная плоскость заняла проецирующее положение в новой системе плоскостей проекций. Если нужно определить угол наклона α° треугольника ABC к плоскости П1, то плоскость проекций П1 оставляют неизменной, а заменяют плоскость П2 на плоскость П3, одновременно перпендикулярную к плоскости П1 и плоскости треугольника ABC. Если необходимо определить угол наклона β° треугольника ABC к плоскости П2, то оставляют неизменной плоскость проекций П2, а заме-

6 няют плоскость П1 на плоскость П3, одновременно перпендикулярную к плоскости П2 и плоскости треугольника ABC. Построение. Заменой фронтальной плоскости проекций П2 преобразуем чертеж так, чтобы основание пирамиды ABC заняло проецирующее положение по отношению к новой плоскости проекций П3. Для этого: 1. Через вершину C проводят горизонталь треугольника ABC.

Рис. 1. Определение угла наклона α° плоскости треугольника ABC к плоскости П1

2. Заменяют плоскость П2 на новую плоскость проекций П3, перпендикулярную как плоскости П1, так и плоскости треугольника ABC. На чертеже новую ось проекций Х1 проводят перпендикулярно к горизонтальной проеции горизонтали h’. 3. Строят проекции вершин треугольника ABC на плоскость П3. Для этого через точки A ’, B ’, С ’ проводят линии связи, перпендикулярные к но-

7 вой оси Х1. Откладывают на них отрезки, равные расстоянию от заменяемых проекций точек A ’’, B ’’, C ’’ до предыдущей оси Х. Проекция треугольника AВС вырождается на плоскости П3 в отрезок прямой линии (A ’’’ B ’’’ C ’’’), так как треугольник ABC ⊥ П3. 4. Искомый угол наклона αo плоскости треугольника ABC к плоскости П1 определяется углом наклона вырожденной проекции (A ’’’ B ’’’ C ’’’) к оси Х1. Задача 2. Определить расстояние от вершины пирамиды S до плоскости основания треугольника ABC ( рис. 2).

К'

Рис. 2. Определение высоты пирамиды SABC

Для решения этой задачи необходимо преобразовать чертеж так, чтобы треугольник ABC (основание пирамиды) занял проецирующее положение в новой системе плоскостей проекций.

8 Расстояние m от точки S до основания пирамиды определяется величиной перпендикуляра, опущенного из точки S на плоскость треугольника ABC. На новой плоскости проекций П3 это расстояние спроецируется в свою натуральную величину m’’’. Построение. При решении предыдущей задачи чертеж был преобразован так, что плоскость треугольника ABC стала проецирующей по отношению к новой плоскости проекций П3. Для построения необходимо выполнить следующие действия: 1. Строят проекцию вершины пирамиды S на плоскость П3. Для этого из точки S ’ проводят линию связи, перпендикулярную к новой оси Х1 и откладывают от новой оси отрезок, равный расстоянию от заменяемой проекции точки S ’’ до оси Х. 2. Из точки S опускают перпендикуляр m на плоскость основания − треугольник ABC. Находят точку встречи его с плоскостью треугольника ABC. На чертеже проекция перпендикуляра m ’’’ перпендикулярна вырожденной проекции (A’’’ B ’’’ C ’’’) треугольника ABC. Проекция точки встречи K ’’’ определяется как пересечение перпендикуляра m’’’ с A’’’ B ’’’ C ’’’. Отрезок S’’’K’’’ определяет расстояние от вершины S до плоскости основания пирамиды. На плоскость П3 он проецируется без искажения. 3. Строят проекции отрезка SK на плоскостях П1 и П2, зная, что S ’K ’ ⊥ h’, K ’’’KХ1 = K ’’KХ . Задача 3. Определить натуральную величину основания пирамиды – треугольника ABC ( рис. 3). Для определения натуральной величины основания пирамиды необходимо последовательно провести еще одну замену плоскостей проекций, расположив новую плоскость П4 параллельно треугольнику ABC. На плоскость П4 треугольник спроецируется в свою натуральную величину. Построение. 1. Заменяют плоскость П1 на новую плоскость проекций П4, перпендикулярную плоскости П3 и одновременно параллельную плоскости треугольника ABC. На чертеже ось Х2 проводят параллельно вырожденной проекции треугольника ABC – отрезку (A ’’’B ’’’C ’’’). 2. Через точки A ’’’, B ’’’, С ’’’ проводят линии связи, перпендикулярные к новой оси Х2 и откладывают на них отрезки, равные расстоянию от заменяемых проекций точек A ’, B ’, C ’ до предыдущей оси Х1. Эти отрезки отмечены на чертеже «крестиками». 3. На новую плоскость проекций П4 треугольник ABC проецируется в свою натуральную величину, так как он параллелен этой плоскости. Компоновка и выполнение листа 1 с задачами 1, 2, 3 приведены в приложении 2.

9

Рис. 3. Определение натуральной величины треугольника ABC

10

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СПОСОБОМ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ Сущность способа плоскопараллельного перемещения заключает в том, что все точки геометрического образа перемещают во взаимно параллельных плоскостях. Плоскости-носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций. Траектория – произвольная линия. При всяком перемещении точки в плоскости, параллельной плоскости проекций П1 ее фронтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси Х (рис. 4).

Рис. 4. Определение угла наклона α° плоскости треугольника АВС к плоскости П 1

В случае перемещения точки в плоскости, параллельной П2, ее горизонтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси Х (см. рис. 6). Проследим на конкретных примерах решения задач 1, 2, 3 (см. рис. 5) с использованием способа плоскопараллельного перемещения. Задача 1. Определить угол наклона плоскости треугольника ABC к плоскости П1 (или П2) (см. рис. 4). Чтобы определить угол наклона плоскости треугольника ABC к горизонтальной плоскости проекций, необходимо переместить пирамиду SABC плос-

11 копараллельным движением относительно плоскости П1 так, чтобы основание пирамиды заняло положение фронтально-проецирующей плоскости (α1′′). Угол наклона вырожденной проекции треугольника ABC на плоскость П2 к оси Х определит искомый угол αо. Если необходимо определить угол наклона β ° основания пирамиды к плоскости П2, то пирамиду перемещают плоскопараллельным движением относительно фронтальной плоскости проекций так, чтобы треугольник ABC занял положение горизонтально−проецирующей плоскости. Построение. 1. Строят горизонталь треугольника ABC и перемещают ее относительно плоскости П1 в положение, перпендикулярное к плоскости П2. На чертеже горизонтальная проекция горизонтали h1 ’ перпендикулярна оси Х. 2. Перемещают треугольник ABC относительно плоскости П1 в новое положение - треугольник A1 ’B1 ’C1 ’, когда его горизонталь будет перпендикулярна плоскости П2. На чертеже (см. рис. 4) величина горизонтальной проекции не изменится, т.е. A1 ’B1 ’C1 ’ = A ’B ’C ’. Фронтальные проекции точек A, B, С – точки A’’, B’’, С’’ перемещают по прямым, параллельным оси Х. По линиям связи строят фронтальную проекцию основания пирамиды (А1’’В1’’С1’’). На плоскости П2 основание вырождается в отрезок прямой линии A1 ’’B1 ’’C1 ’’. Угол наклона вырожденной проекции (А1’’В1’’С1’’) треугольника ABC к оси Х определяет искомый угол αо. Задача 2. Определить расстояние от вершины пирамиды до основания – треугольника ABC ( рис. 5). Для решения этой задачи необходимо преобразовать чертеж так, чтобы треугольник ABC – основание пирамиды занял проецирующее положение. В положении, когда основание пирамиды перпендикулярно плоскости П2, отрезок перпендикуляра, опущенного из точки S1’’ на плоскость α1’’ (A1 B1 C1), определит искомую высоту пирамиды m1’’. Построение. 1. С помощью циркуля засечками A1’S1’ = A’S’ и C1’S1’= C’S’ строят горизонтальную проекцию вершины пирамиды – точку S1’ и находят ее фронтальную проекцию S1’’. 2. Из точки S1 опускают перпендикуляр m1’’ на плоскость треугольника A1’’B1’’C1’’ и находят точку встречи перпендикуляра m1’’ с плоскостью. На чертеже m1’’ ⊥ α1’’ и m1’ ⊥ h1’. Отрезок S1’’K1’’ определяет высоту пирамиды. Отрезок S1’’K1’’ необходимо вернуть в исходное положение. Задача 3. Определить натуральную величину основания пирамиды (рис. 6). Чтобы определить натуральную величину основания пирамиды, необхо-

12 димо двумя последовательно проведенными перемещениями переместить его в новое положение, параллельное плоскости П1, тогда на эту плоскость оно спроецируется без искажения. Построение. 1. Располагают вырожденную фронтальную проекцию треугольника A2 B2 C2 - отрезок A2’’ B2’’ C2’’ параллельно оси Х. При этом не изменится величина его фронтальной проекции A2’’ B2’’ C2’’ = A1’’ B1’’ C1’’. 2. Горизонтальную проекцию вершин треугольника A1’B1’С1’ перемещают в новое положение A2’B2’С2’ по прямым, параллельным оси Х. По линиям связи строят горизонтальную проекцию треугольника A2’B2C2’ представляющую натуральную величину основания пирамиды. Компоновка и выполнение листа 2 с задачами 1, 2, 3 приведены в приложении 3.

К 1''

Рис. 5. Определение расстояния от вершины S до основания пирамиды ABC

Рис. 6. Определение натуральной величины основания пирамиды

13

14

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ Выполнению РГР должно предшествовать изучение способов преобразования проекций в соответствии с учебной литературой [1…4], конспекта лекций и настоящих методических указаний. Каждый чертеж следует выполнять на листе формата А3 в ниже приведенной последовательности (см. приложения 2 и 3). 1. На листе чертежной бумаги оформляют тонкими линиями рабочее поле чертежа, наносят внешнюю и внутреннюю рамки, вычерчивают основную надпись чертежа, дополнительную графу и таблицу с координатами точек по индивидуальному заданию. 2. Выполняют в тонких линиях карандашом Т(Н) или 2Т(2Н) все построения и надписи. На этом этапе обязательно представляют чертеж (в тонких линиях) преподавателю для проверки и получения дальнейших рекомендаций. 3. Убирают лишние линии, отмечают точки окружностями диаметром 1,5…2 мм с помощью циркуля-балеринки. Обводят линии видимого контура толщиной 0,8…1 мм. Толщина линий связи, размерных и выносных линий должна быть в пределах 0,25 … 0,3 мм. 4. Обозначают проекции точек, линий и плоскостей буквами латинского и греческого алфавитов по ГОСТ 2.304-81 размером h = 5мм по упрощенной сетке. 5. Заполняют основную надпись и дополнительную графу чертежа, подписывают лист, указывают дату разработки чертежа. 6. Защищают чертеж перед преподавателем в соответствии с графиком выполнения РГР. Оценка РГР учитывает знания студента и качество графического оформления. Чертеж, принятый преподавателем, сохраняется до конца семестра, а затем включается в подшивку семестровых РГР.

15

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. С какой целью производится преобразование чертежа? 2. В чем состоит сущность преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций? 3. Какое положение относительно заданной системы плоскостей проекций занимает вновь вводимая плоскость проекций? 4. На каком расстоянии от новой оси проекций находится новая проекция точки? 5. Сколько новых плоскостей проекций нужно ввести, чтобы в новой системе плоскостей проекций: а) прямая уровня заняла проецирующее положение; б) прямая общего положения заняла положение линии уровня; в) прямая общего положения заняла проецирующее положение; г) проецирующая плоскость заняла положение плоскости уровня; д) плоскость общего положения заняла положение плоскости уровня? 6. В чем состоит сущность преобразования чертежа плоскопараллельным перемещением? 7. Как ведут себя на чертеже проекции геометрической фигуры при ее плоскопараллельном перемещении относительно: а) горизонтальной плоскости проекций П1; б) фронтальной плоскости проекций П2? 8. Сколько плоскопараллельных перемещений и в какой последовательности необходимо выполнить, чтобы перевести плоскость общего положения в плоскость уровня?

16

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие / Под ред. Ю.Б.Иванова, 23-е изд., перераб. М.: Наука. 1988. 272 с. 2. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1983. 240 с. 3. ГОСТ 2.301-68 … 2. 320-82. Единая система конструкторской документации. Общие правила выполнения чертежей. М.: Госкомитет СССР по стандартам, 1984. 240 с. 4. Позиционные и метрические задачи по инженерной графике / Сост. Мартыненко В.А. Ульяновск: УлГТУ, 1995. 44 с.

17

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Варианты заданий Номер варианта

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

1.

55

15

0

60

65

30

25

10

60

0

45

20

Определить угол наклона к плоскости проекций к пл. П1

2.

0

65

60

60

5

65

70

50

20

5

25

10

----- " -----

3.

10

10

0

5

65

30

40

10

60

65

45

20

----- " -----

4.

15

0

15

10

30

65

45

60

10

70

20

45

----- " -----

5.

75

20

20

45

75

35

0

15

10

70

25

75

----- " -----

6.

65

15

20

40

25

60

0

5

20

60

60

25

к пл. П2

7.

5

60

60

65

65

0

75

20

45

10

10

20

----- " -----

8.

5

15

20

30

25

60

70

5

20

10

60

25

----- " -----

9.

0

20

20

30

75

35

75

15

10

5

25

75

----- " -----

10.

10

60

55

70

0

60

80

45

15

15

20

5

----- " -----

11.

70

65

60

40

5

55

0

50

10

65

25

0

к пл. П1

12.

75

55

60

15

60

0

5

15

45

70

5

20

----- " -----

13.

5

50

65

35

55

5

75

10

50

10

0

25

----- " -----

14.

75

20

20

45

35

75

0

10

15

70

75

25

----- " -----

15.

10

60

50

40

0

55

80

45

10

15

20

0

----- " -----

16.

70

60

55

10

0

60

0

45

15

65

20

5

к пл. П2

17.

10

10

10

35

20

50

75

0

10

15

55

20

----- " -----

18.

60

5

10

65

35

60

30

65

5

5

25

40

----- " -----

19.

0

20

20

30

35

75

75

10

15

5

75

25

----- " -----

20.

70

15

15

45

55

25

5

15

5

65

25

60

----- " -----

21.

75

10

10

45

65

25

0

5

0

70

15

65

к пл. П1

22.

15

5

10

10

25

50

45

65

5

70

25

40

----- " -----

23.

5

15

15

30

25

55

70

5

15

10

60

25

----- " -----

24.

65

10

15

40

20

55

0

0

15

60

55

25

----- " -----

25.

10

5

5

5

55

35

40

0

65

65

35

25

----- " -----

26.

55

10

5

60

60

35

25

5

65

0

40

25

к пл. П2

27.

75

50

65

45

55

5

5

15

60

70

5

25

----- " -----

28.

5

10

20

30

20

60

70

0

20

10

55

25

----- " -----

29.

70

20

15

45

60

25

5

20

5

65

25

60

----- " -----

30.

60

0

15

65

65

30

30

10

60

5

45

20

----- " -----

31.

5

70

65

65

10

70

75

55

25

10

30

15

к пл. П1

32.

15

15

5

10

70

35

45

15

65

70

50

25

----- " -----

Координаты точек A B

S

C

18

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Выполнение РГР способом замены плоскостей проекций

α IV

α III α II

19 ПРИЛОЖЕНИЕ 3

α2II

(плоскопараллельное перемещение)

Выполнение РГР способом плоскопараллельного перемещения

αI

(замена плоскостей проекций)

20

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Обозначение A, B, … , 1, 2, … a, b, … , l, m, …

h f [AB] α, β, … , σ, … ∠ ABC, ∠ αo, …

Обозначения и символы Содержание Точки Линии, произвольно расположенные в пространстве Линии уровня: горизонталь фронталь Отрезок прямой, ограниченный точками A и B Поверхности (в том числе плоскости) Угол с вершиной в точке B

Угловая величина (градусная мера) угла ABC, угла ϕ Обозначение прямого угла Расстояния между геометрическими фигурами между точками A и B AB между точкой A и поверхностью α Aα между линиями a и b ab Горизонтальная плоскость проекций П1 Фронтальная плоскость проекций П2 Профильная и другие дополнительные плоскости П3 , П4 , … проекций Оси проекций: X – ось абсцисс, Y - ось ординат, X, Y, Z Z - ось аппликат Проекции точек: горизонтальные A ‘, B ‘, … , 1’ , 2’, … фронтальные A’’, B ‘’,… , 1 ‘’, 2’’,… Проекции линий: горизонтальные а ‘, b ‘, … , l ‘, … фронтальные а ‘’, b ‘’, … , l ‘’, … Проекции поверхностей (в том числе плоскостей ): горизонтальные α’, β’ , … , σ’, … фронтальные α’’, β’’, … , σ’’, … Следы плоскостей (поверхностей): горизонтальные hoα фронтальные f oα Следы прямых линий: горизонтальный след прямой l Hl фронтальный след прямой l Fl ABC, ϕo, …