Математика тонкого мира

Франц Герман

Franz Hermann mann

Посвящаю моим родителям, Герману Гюго Петровичу и Герман Лидии Францевне

Франц Герман Franz Hermann

Математика Тонкого Мира

2007 1

Франц Герман

Franz Hermann

Содержание

От автора (быль о Модельере)

стр. 3

Часть I. Пространство

стр. 7

Часть II. Число

стр. 40

Часть III. Вытягивание

стр. 68

Часть IV. Группа

стр. 83

Приложение 1. Тор

стр. 106

Приложение 2. Цепочки производных натурального ряда чисел

стр. 117

Приложение 3. Геометрическое моделирование характеристик элементарных частиц

стр. 143

Приложение 4. Числовые коды слов

стр. 162

Приложение 5. Циклический изоморфизм подгрупп

стр. 169

Приложение 6. Диаграммы. Ряды. Квадраты

стр. 188

Приложение 7. Футбол и «золотое сечение»

стр. 199

Литература

стр. 201

2

Франц Герман

Franz Hermann

От автора ( Быль о Модельере ) «...А всё-таки говори: есть бог или нет? Только серьёзно! Мне надо теперь серьёзно - Нет, нету бога. - Алёшка, есть бог? - Есть бог. - Иван, а бессмертие есть, ну там какоенибудь, ну хоть маленькое, малюсенькое? - Нет и бессмертия. - Никакого? - Никакого. - То есть совершеннейший нуль или нечто? Может быть, нечто какое-нибудь есть? Всё же ведь не ничто! - Совершенный нуль. - Алёшка, есть бессмертие? - Есть. - А бог и бессмертие? - И бог и бессмертие. В боге и бессмертие...» ( Ф. М. Достоевский «Братья Карамазовы» )

«Когда я стал углубляться в изучение Фарадея, я заметил, что его метод понимания явлений также математичен, хотя и не представлен в условной форме математических символов» ( Дж. Максвелл )

Жил-был Модельер. Жил тихо, старался никому не мешать. Политикой не интересовался, на выборы не ходил, в демонстрациях не участвовал. Вообще старался быть незаметным. Пять дней в неделю занимался Модельер разработкой математических моделей, а в субботу наступал праздник. Каждую субботу Модельер встречался в своём родном математическом клубе «Пифагор» с юными друзьями и обсуждал с ними различные проблемы любимой науки. Воскресные дни Модельер посвящал математическому творчеству, любимым книгам, хорошему детективу или фильму и встречам с друзьями. Модельер верил в летающие тарелки, в Бога и в Чёрта и, конечно же, в чудо и в то, что чудеса иногда свершаются. В общем, всё было нормально и подкатывало Модельеру уже под пятьдесят. И вдруг – произошло чудо. Почти случайным образом попала в руки Модельера книга Роберта Монро «Далёкие путешествия». Как известно, это вторая из книг Монро. Потом у Модельера появилась третья книга и, наконец, первая. Именно в таком порядке Модельер и читал первый раз эти книги. Нет, не читал, он их заглатывал, позабыв обо всём на свете. Фантастический восторг переполнял душу Модельера – впереди было БЕССМЕРТИЕ, была БЕСКОНЕЧНОСТЬ ЖИЗНИ! Когда-то давно, когда Модельер был маленьким одиннадцатилетним мальчиком однажды ночью явилась ему мысль, что когда-нибудь он вырастет и станет взрослым, 3

Франц Герман

Franz Hermann

потом состаритсмя, а потом ... умрёт! И его не будет уже никогда. Именно никогда! Не очень долго, а НИКОГДА! Но жизнь продолжалась. Модельер становился старше, но время от времени, особенно почему-то по ночам, являлось ему это страшное слово – «НИКОГДА». Оно пугало, заставляло каменеть сердце, обволакивало душу холодным оцепенением и принуждало разум к действию. Что-то надо делать. Не может быть, чтобы это страшное «НИКОГДА» было так неотвратимо. Надо успеть сделать как можно больше, пока не настало это «НИКОГДА». С двадцати лет Модельер стал вести свои творческие планы. Такой план составлялся на год, в день рождения, а через год подводился итог и составлялся новый план. И всё равно страшное «НИКОГДА» маячило где-то впереди. И вдруг – Роберт Монро! Модельер не успел ещё закончить читать последнюю книгу, как снова возникла потребность ещё раз их перечитать, но уже в нужном порядке. Теперь Модельер читал не торопясь, надо было всё обдумать. Что же получалось. Исчезло это страшное «НИКОГДА», но вместе с этим исчезло и ещё нечто. И это нечто не такое и малое. Исчез Бог!, а вместе с ним и Чёрт, который, может быть, был человеку более близок со своими искушениями и соблазном, со своим вездесущим противостоянием Богу. Да, есть Творец, но это не Бог. Три качества определяли для Модельера Бога. Бог – как высший разум, Бог – как создатель и, наконец, Бог – как спаситель. Да, Творец – это Высший Разум, Творец – это Создатель, но никак не Спаситель. Так получалось по Монро. Т. е., каждый человек сам по себе. Религия умерла. Нет великих заповедей, нет святых канонов, и Библию Моисею наговорил какой-то прохиндей из высших сфер, но не Бог. А как же наука? Ведь институт Монро существует уже более четверти века. Почему молчит официальная наука? Почему молчит Церковь понятно – Монро развеял тысячелетний миф о Боге (Забегая вперёт надо сказать, что впоследствии Творец и Бог для Модельера соединились в единое сущее. К Богу надо обращаться за помощью, за советом, просить о спасении. И тогда Бог предстанет для Вас и как Спаситель). Но наука? Может быть, опыты Монро противоречат нашей сегодняшней науке? И тогда Модельер взялся читать книги Монро в третий раз. Но уже не как простой смертный, а как учёный. Жил в Англии в девятнадцатом веке удивительный естествоиспытатель и экспериментатор Майкл Фарадей. Почти вся его творческая жизнь была подчинена исследованию «божественного» тогда явления, которое называется электричеством. Результатом этого исследования явился трёхтомный труд «Экспериментальные исследования по электричеству». В работах Фарадея не было ни одной математической формулы, там были только описания экспериментов. Примерно в это же время жил ещё один гениальный математик и физик, тоже англичанин, Джеймс Максвелл. И именно Максвелл, изучая книги Фарадея, увидел в них законы, которые можно представить в математическом виде, и тем самым заложил фундамент новой науки. Благодаря чему электричество давно уже находится на службе у человека, определяя собой весь существующий сегодня прогресс науки и техники, коренным образом изменив весь человеческий многовековой уклад жизни. Читая книги Монро в третий раз, Модельер вдруг увидел в Монро нового Фарадея. Книги Роберта Монро не являются художественными, они также не являются книгами эзотерического или паранормального характера. Книги Монро – это книги естествоиспытателя, экспериментатора. Просто явление, которое исследует Монро, является нетрадиционным для современной науки. Пусть читатель не подумает, что Модельер возомнил себя новым Максвеллом, создателем новой физики. Книги Роберта Монро по-прежнему ждут своего Максвелла. 4

Франц Герман

Franz Hermann

Но кое-что, что можно описать математическим языком современной науки, Модельеру удалось увидеть в книгах Роберта Монро. Кроме того, книги Роберта Монро послужили своеобразным катализатором для самостоятельных исследований. Об этом и пойдёт речь ниже. Книга, которую вы держите в руках, носит название «Математика тонкого мира». В ней рассказывается о математических исследованиях и математических гипотезах, которые, по мнению автора, могут иметь отношение к тонкому миру. Автор (он же Модельер) имеет уверенность, что когда-нибудь будет создана единая физическая теория тонкого тела (ТТТ). И будут созданы и построены лаборатории и целые исследовательские центры, где учёными-экспериментаторами будут люди, владеющие «искусством» Роберта Монро выходить из физического тела. Это будут люди-приборы. И этому искусству будут учить школьников и студентов. И хочется верить, что время это не за горами. Книга состоит из четырёх частей и семи приложений. Первая часть называется «Пространство». Здесь рассказывается, на основе опытов Монро, в какую геометрию наш Творец одел окружающее нас пространство. Откуда в нём появился «винт». Как строить модели такого пространства и как геометрия этого пространства может быть связана с самим человеком. Вторая часть называется «Число». Более десяти лет автор хранил в тайне историю одного события из собственной жизни, связанную с числом. Но Роберт Монро и другие исследователи тонкого мира сняли все запреты, и об этом можно теперь рассказать. В третьей части рассказывается о математических объектах, которые имеют свойство вытягивания, сохраняя при этом энергию формы и энергию содержания. По мнению автора, такие объекты могли бы быть элементарными математическими моделями тел тонкого мира. Также вводится понятие принципа неопределённости состояния для элементарной модели тонкого тела и выводится уравнение такого состояния. Эта часть книги называется «Вытягивание». Термин «вытягивание», заменивший понятие движения, один из главных, который пронизывает все книги Монро. В четвёртой части, которая называется «Группа», показывается возможная связь между объектами, описанными в первых трёх частях, на основании математического аппарата теории групп. В книгах Монро есть объекты, которые по мнению автора, могут рассматриваться как группы. Вообще автор придерживается того мнения, что всякая новая как математическая, так и физическая теория не может в своём построении обойтись без теории групп, самой фундаментальной из всех теорий, т. к. для её построения требуется всего четыре аксиомы. И, кроме того, теория групп является одним из главных математических аппаратов, который используется в теории элементарных частиц и кварков – теории, стоящей на границе тонкого мира. Приложения написаны в основном для профессионалов, которые могут заинтересоваться некоторыми вопросами дифференциальной теории чисел, математическим моделированием характеристик элементарных частиц на фундаменте объектов вытягивания и некоторыми свойствами циклического изоморфизма групп. Книга, бесспорно, носит математический характер и читать её будет не легко, но никаких специальных знаний, кроме математики школьной программы, от читателя не потребуется. Все новые математические объекты и понятия вводятся автором по мере необходимости на элементарном уровне и на протяжении всей книги автор старался держаться в рамках научнопопулярного изложения. Насколько ему это удалось судить Вам, дорогой читатель. Большую роль в деле создания этой работы сыграли удивительные книги Тихоплавов В. Ю. и Т. С, благодаря которым автор впервые узнал об исследованиях 5

Франц Герман

Franz Hermann

Друнвало Мельхиседека – исследователя тонкого мира, академика Г. И. Шипова, создателя единой теории вакуума, Эмануэля Сведенборга и ещё о многом другом. Многое, о чём вы прочтёте в этой книге, может показаться дьявольской мистификацией, но сопоставив все невероятные случаи, вы так или иначе придёте к выводу, что выдумать всё это просто невозможно. Подводя итог сказанному, автор хочет отметить, что главной целью в написании этой книги явилась идея бросить вызов современным учёным-ортодоксам, и в первую очередь физикам, чтобы пробудить дополнительный интерес к опытам Роберта Монро и других исследователей тонкого мира. Как известно, под лежачий камень вода не течёт и, наверно, пришла пора начинать раскачивать монументальную глыбу официальной науки. Модельер.

6

Франц Герман

Franz Hermann

Часть I Пространство «...если бог есть и если он действительно создал землю, то, как нам совершенно известно, создал он её по эвклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трёх измерениях пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы, и даже из замечательнейших, которые сомневаются в том, чтобы вся вселенная или, ещё обширнее – всё бытие было создано лишь по эвклидовой геометрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые, по Эвклиду, ни за что не могут сойтись на земле, может быть, и сошлись бы где-нибудь в бесконечности.» (Ф. М. Достоевский «Братья Карамазовы»)

Творцами не рождаются, творцами становятся. Именно такой вывод сделал автор, изучая книги Роберта Монро. Более того, как сказано у Монро: «Одна из целей сводится к тому, чтобы стать творцом...» [1, стр. 137]. В каждом из нас заложена частица нашего Творца - мы наделены разумом. И каждому из нас присуще в той или иной мере творчество. По сути мы уже являемся творцами на своём уровне. Мы творцы своей судьбы в этой школе жизни. Кому-то из нас повезло больше, кому-то меньше в зависимости от того, к какой группе Сознаний (Разумников) мы принадлежим, какой группой посланы в земную жизнь для дальнейшего совершенствования. Роберту Монро повезло – его группа Разумников включает десятки, а может быть, и сотни Сознаний, которые могут быть учителями, советниками и ангелами хранителями на протяжении всей земной жизни. Каждый из нас в какой-то мере является творцом своих детей и их судеб. Настоящие учителя и педагоги являются творцами судеб своих учеников. Вожди всех мастей, порой, бывают творцами судеб целых народов. Возвращаясь из этой жизни в высшие сферы, мы становимся творцами более высокого уровня и всё время держим ответ перед творцами высшего ранга. Проводя дальше такую аналогию ничто не мешает нам пофантазировать и представить, пусть даже на нашем примитивном уровне, жизнь нашего Творца. Итак, наш Творец – наш Отец родной вступил на очередной этап своего развития в творчестве. Ему предстоит держать экзамен перед советом высших творцов. Может быть именно такой и подобные ему экзамены народные предания и называют «Страшным Судом», где с тебя спросят, как и что ты творил в предыдущем своём воплощении. Я уверен, что такой «суд», такой совет творцов обязательно существует. Иначе был бы хаос и не было бы никакого разумного прогресса. Итак, наш Творец успешно выдержал экзамен, вступил в следующий сан творчества и получил разрешение на дальнейшую деятельность. И, наверное, вместе с таким разрешением он получил и материал для творчества. Высший совет творцов должен не только вершить свой суд, но и являться хранителем исходного материала для будущих творений. Что же может быть таким материалом? Таким материалом 7

Франц Герман

Franz Hermann

может быть только метапространство, заполненное метаэнергией. Такое метапространство не имеет ещё никакой геометрии – это нечто первичное, что пока нам не дано понять. И получил наш Творец в своё распоряжение для будущего творчества элементарный кубик одиннадцатиразмерного пространства (я позже сделаю попытку объяснить, почему именно 11-размерного), заполненного метаэнергией. А, может быть, наш Творец и сам попросил именно такой кубик, именно кубик 11-ти измерений. Может быть у него была мечта, творить именно в одиннадцати измерениях. Как творит Tворец? Конечно же, силой и фантазией своей мысли. Я сказал бы – силой своего мысленного взгляда. Безусловно, нам не дано понять высшее творчество, да ещё и в 11-ти измерениях, но над пространством двух измерений, т. е. над плоскостью, мы можем поупражняться в мысленном творчестве. Представим себе, что у нас есть плоскость из того 11-размерного гиперкубика. Пока исходный материал, т. е. метапространство, находится в ведении совета творцов, оно ещё девственно, как я уже отметил, оно не наделено ещё никакой геометрией. А когда вырезали из него элементарный кубик, то в этом кубике, в этом пространстве появилась элементарная геометрия, т. е. евклидова, с которой мы все хорошо знакомы со школьной скамьи. Рассмотрим элементарную плоскость с евклидовой геометрией. Назовём её плоскостью П. Конечно же элементарная геометрия не интересна для нашего Творца. Поэтому ему предстоит скроить (построить) свою геометрию, так сказать костюм, в который надо одеть полученное пространство. И сделать это надо как-то ловко. «Главное, чтобы костюмчик сидел» - пели чародеи из одноимённого фильма. Поэтому наш Творец взял материал – модельную плоскость К и стал снимать мерку с имеющейся плоскости П. На Рис. 1.1 мысленный взгляд Творца обозначен точкой Т. Элементарная плоскость имеет евклидову геометрию. Что же характеризует такую плоскость? Конечно же, две параллельные прямые, которые, как известно, никогда не пересекаются.

K A

Т B

E C D П Рис. 1.1

8

Франц Герман

Franz Hermann

Итак, взгляд нашего Творца скользит вдоль двух параллельных прямых, текущие точки которых обозначим буквами C и D, а их проекции на модельную плоскость К – соответственно буквами В и Е. Текущие точки убегают всё дальше и дальше от пересечения плоскостей П и К. А их образы всё ближе и ближе приближаются друг к другу и, наконец сливаются в точку А. Но какая же точка на плоскости П будет праобразом точки А? На плоскости П нет такой точки. И Творец решает дополнить плоскость П ещё одной точкой, праобразом точки А. И называет эту точку несобственной (или бесконечно удалённой) точкой плоскости П. Когда наш Творец рассматривал параллельные прямые на плоскости П, он не выбирал направления. Поэтому логично допустить, что Творец наделил каждую прямую плоскости П несобственной точкой. Причём, не важно, в какую бы сторону мы ни двигались по прямой, мы обязательно придём к несобственной точке. И любые параллельные прямые обязательно будут пересекаться в несобственной точке. Таким образом, все прямые плоскости П оказались замкнутыми. Все несобственные точки лежат на одной прямой, которая называется несобственной (или бесконечно удалённой) прямой плоскости П. Геометрия, в которую наш Творец одел полученный гиперкуб, называется проективной и, потому мы должны сейчас поговорить о том, что такое проективная геометрия и почему мы решили, что именно эта геометрия имеет отношение к окружающему нас пространству. От всех прочих геометрий, проективная геометрия отличается уже тем, что у неё нет единого создателя, чьим именем можно было бы назвать эту геометрию. Существует множество различных геометрий. Евклидова геометрия (которую преподают в школе), псевдоевклидова, Лобачевского, Римана, есть Галилеева геометрия, есть Архимедова геометрия, есть геометрия Вайценбека-Вейля и прочие. Создателями, вернее сказать открывателями, проективной геометрии были художник и математик Альбрехт Дюрер, французские военные инженеры и математики Жерар Дезарг и Виктор Понселе, физики Блез Паскаль и Юлиус Плюккер, гениальный швейцарский геометр самоучка Якоб Штейнер, немецкий астроном и математик Август Мёбиус и многие другие. Можно сказать, проективная геометрия от Бога. Выдающийся английский математик-логик Бертран Рассел пришёл к выводу, отталкиваясь только от логических рассуждений, что понимание проективной геометрии в человеке заложено с рождения. По его заключению из всех геометрий априорность присуща лишь проективной геометрии [32, стр. 113]. Другой, не менее выдающийся английский математик, Артур Кэли вообще доказал, что все возможные геометрии являются частными случаями проективной геометрии. Физиологи, рассматривая вопросы восприятия и смешения человеком цветовых гамм доказали, что происходит это по законам проективной геометри. Проективная геометрия имеет и ещё ряд особенностей, которые не присущи никакой другой геометрии. В этой геометрии есть принцип двойственности, так сказать, два равных начала. Поэтому все фундаментальные теоремы проективной геометрии носят двойственный характер. Достаточно в формулировке теоремы заменить слово «точка» на слово «прямая» и наоборот и мы снова получаем верную теорему. В проективной геометрии нет точки с координатами (0:0:0). Невозможно построить аксиоматику проективной плоскости. В данном случае при таком построении обязательно должна присутствовать хотя бы одна точка, расположенная в пространстве с большей размерностью, чем плоскость. Координатная система (репер) проективной геометрии размерности n всегда имеет своё начало, находящееся в пространстве n+1 размерности. В этой размерности могут находиться

9

Франц Герман

Franz Hermann

только точки, являющиеся началами реперов. Божественное начало. Например для n = 1, т. е. для проективной прямой Р, начало репера О всегда лежит в плоскости (Рис. 1.2). О

Р Рис. 1.2 Как уже было сказано, в проективной геометрии существуют несобственные объекты: точки, прямые, плоскости и т. д.. Сферические объекты в проективной геометрии заложены с «рождения» (с аксиоматики), их надо только открывать, в то время, как для других геометрий их надо выдумывать. В связи с этим, проективную геометрию уместно было бы назвать геометрией сфер (не путайте со сферической геометрией). В проективной геометрии есть «винт» или кручение, тоже заложенное с «рождения», ничего подобного в других геометриях нет. Что такое «винт» мы потом увидим. Возможно, этот элементарный «винт» и является той основой кручения, которое присуще первичному вакууму. Как не удивительно, но мы все в повседневной жизни сталкиваемся с окружающими нас явлениями, которые наделены характерными чертами объектов проективной геометрии (вспомним вывод, к которому пришёл Бертран Рассел). Чтобы лучше понять, что же представляет из себя проективная геометрия, мы должны познакомиться в первую очередь с геометрическими моделями проективной плоскости. Впервые такую модель, которая теперь считается классической, предложил выдающийся немецкий математик Феликс Клейн. А О А

а N*

а

N Рис. 1.3

10

M* M

Франц Герман

Franz Hermann

Представим себе, что наш лист бумаги является проективной плоскостью, модель которой мы и хотим построить. Поставим на нашу плоскость полусферу и обозначим центр экваториальной окружности точкой О. Рассмотрим на нашей плоскости некоторую прямую а. Как известно, всякая прямая определяется двумя произвольными точками, поэтому мы отметим на прямой две точки М и N. Соединим данные точки с точкой О. Очевидно, что отрезки прямых ОМ и ОN «проткнут» полусферу в некоторых точках, которые мы соответственно обозначим М* и N*. Точки М* и N* будем называть образами точек прямой М и N. Очевидно, что такое отображение всегда однозначно. Т. е. всякой точке прямой а соответствует единственная точка полусферы. Однако мы помним, что кроме обычных точек на всякой проективной прямой существует и бесконечно удалённая точка. Пусть точка N движется по нашей прямой. В каком бы направлении мы не двигались, мы всё равно придём в бесконечно удалённую точку. Глядя на Рис. 1.3 можно понять, что образом бесконечно удалённой точки будет некоторая точка А, которая будет находиться на экваториальной окружности. Причём надо считать, что диаметрально противоположные точки А – это одна и таже точка, являющаяся образом бесконечно удалённой точки прямой а, а вся полусфера будет образом (моделью) нашей проективной плоскости. Очевидно, что образом прямой а будет полуокружность АN*М*А большого круга данной полусферы. А экваториальная окружность, на которой расположены точки А – это ни что иное, как образ бесконечно удалённой прямой нашей проективной плоскости. Надо помнить, что в данной модели каждые две диаметрально противоположные точки экваториальной окружности – суть одна точка. Мы помним, что всякая прямая проективной плоскости замкнута и, выйдя из точки N в каком-то одном из двух направлений, мы должны вернуться в эту же точку с противоположной стороны. Рассмотрим движение точки N на построенной модели. Пусть наше движение началось в направлении точки М. На модели же мы вышли из точки N*, прошли точку М*, двигаясь по полуокружности большого круга с внешней стороны полусферы, и, наконец, пришли в точку А. В это же мгновение мы должны оказаться (перескочить) в диаметрально противоположной точке А и продолжить своё движение по той же полуокружности, но уже с внутренней стороны полусферы. Мы пройдём под точкой N* , далее – под точкой М* и снова придём в ту же точку А (на рисунке – это дальняя от нас точка А), но только с внутренней стороны полусферы. В то же мгновение мы оказываемся в диаметрально противоположной точке А (ближней к нам на рисунке) и продолжаем свой путь уже по внешней части полусферы до точки N*. Наш путь завершён и он действительно замкнут. Мы уже упоминали, что в повседневной жизни мы сталкиваемся с образами объектов проективной геометрии. Что же это за образы? Представьте себе, что вы стоите на железнодорожном полотне и смотрите вдаль, куда убегают рельсы. Разумом вы понимаете, что рельсы никогда не сойдутся, но ваше зрение говорит об обратном, что где-то там на линии горизонта как раз и находится та самая бесконечно удалённая точка, в которой пересекаются параллельные прямые. Второй пример. Вы стоите на палубе корабля в открытом море. Кругом только вода, но отчётливо видна линия горизонта. Поворачиваясь вокруг себя вы замечаете, что линия горизонта замкнута. Здесь линия горизонта является образом бесконечно удалённой прямой проективной плоскости. На модели Клейна линия горизонта – это экваториальная окружность, а вы находитесь в этот момент в точке О. Аналогично образ бесконечно удалённой прямой можно увидеть и в открытой степи, где ничто не заслоняет линию горизонта.

11

Франц Герман

Franz Hermann

Но при чём же здесь Роберт Монро, спросите вы. Ещё немного терпения, дорогой Читатель, и мы обратимся к удивительным опытам Роберта Монро. Но прежде мы должны познакомиться ещё с одной моделью проективной плоскости. Модель Феликса Клейна – это геометрическая модель проективной плоскости. Отталкиваясь от модели Клейна, можно построить топологическую модель проективной плоскости. Топологические объекты отличаюся от геометрических тем, что их можно растягивать и сжимать, но при этом избегать складок и разрывов поверхностей. Можно разрезать и вновь склеивать точки разреза. Сначала покажем, что наша модельная полусфера однозначно проектируется на плоский круг или, в общем случае, на плоский эллипс. Очевидно, что такую проекцию мы должны осуществлять из точки, расположенной выше плоскости экваториального круга нашей полусферы (Рис. 1.4). Теперь представим себе, что полученный эллипс сделан из какого-то податливого материала, который можно растягивать и сжимать и при этом этот материал сохраняет вновь приобретённую форму. Не трудно представить, что в этом случае мы можем наш эллипс превратить сначала в круг, а затем – в квадрат (Рис. 1.5). S А О А M*

N*

M

Рис. 1.4

Рис. 1.5 Таким образом, мы дошли в наших превращениях до квадрата, но это ещё не топологическая модель проективной плоскости. Чтобы получить такую модель надо отождествить (а в топологии – это также называется «склеить»)

12

Франц Герман

Franz Hermann

центральносимметричные точки сторон квадрата (в модели Клейна – это диаметрально противоположные точки экваториальной окружности).

A ≡ A*

B ≡ B*

B* ≡ B

A* ≡ A Рис. 1.6

На Рис. 1.6 показана топологическая модель проективной плоскости, в соответствии со всеми правилами топологических обозначений. Согласно этим обозначениям сторона квадрата AB должна быть склеена (отождествена) со стороной квадрата A* B * так, чтобы направления, указанные стрелочками, совпали. Кроме этого и сторона квадрата BA* должна быть склеена со стороной B * A , в соответствии с указанными направлениями. Понятно, что сделать такую модель физически без самопересечений (например из листа бумаги) не удастся, но неполная модель проективной плоскости возможна. Каждый из заинтересованных, может построить такую модель и самостоятельно её исследовать. Для этого необходимо взять лист бумаги в виде квадрата. Нарисовать на нём крест, потом вырезать его и склеить по топологическим правилам, как показано на Рис. 1.7.

A ≡ A*

B ≡ B*

D ≡ D*

C* ≡ C

C ≡ C*

D* ≡ D

B* ≡ B

A* ≡ A

Рис. 1.7

13

Франц Герман

Franz Hermann

Очевидно, что часть модели проективной плоскости, закрашеная в сиреневый цвет не будет участвовать в наших исследованиях, но, тем не менее, многие интересные свойства (например исследования замкнутых маршрутов) можно изучать. Как видим, модель подсказывает нам, что на проективной плоскости невозможно ввести ориентацию «верх-низ», а также «правое-левое». И вот, наконец, наступил момент, когда пришло время обратиться к тексту описания одного из опытов Роберта Монро. «... Осторожно протянул руку вниз, к своей физической голове, но почему-то коснулся ноги! Сначала я подумал, что меня отнесло в сторону, и ощупал пальцы ног. Давным-давно мне на ногу упало бревно, и с тех пор на ногте большого пальца левой ноги остался заметный нарост, но мне не удалось его обнаружить. Наощупь переместился к правой ноге, и вдруг почувствовал этот нарост на большом пальце правой ноги! Похоже, всё перевёрнуто, как в зеркале. ... Откуда это зеркальное отражение? ... Летая в полутьме, я мог закружиться и что-то перепутать. И всё же нарост на ногте, без сомнений, оказался на правой, а не на левой ноге» [2, стр. 192-193]. Далее, рассуждая о проведённых опытах, Роберт Монро делает такой вывод: «... существует вероятность того, что Второе Тело центрально симметрично по отношению к физическому» [2, стр. 198]. Как видим, здесь не только перепутано «верх-низ», но также перепутано и «правое-левое». Именно так строится топологическая модель проективной плоскости, показанная на Pис. 6. Конечно же, если в действительно проективная геометрия заложена в структуре нашего пространства, то все его (пространства) проявления будут во много раз сложнее, чем наша примитивная модель. Вернёмся ещё раз к нашей модели, показанной на Pис. 1.7. Мы можем вырезать из неё прямоугольник CDC * D * и склеить его так, как это показано на Рис. 1.8. Т. е. мы можем натурально взять полоску бумаги и перекрутив одну из её сторон (например C * D * ) на 180 градусов, склеить со стороной CD .

C* ≡ C

D ≡ D* В

М*

А

М

D* ≡ D

C ≡ C* Рис. 1.8

Не трудно догадаться, что в этом случае мы получим фигуру, которая в математике называется лист Мёбиуса. Из этого можем сделать заключение, что частью проективной плоскости является некий объект, топологическим образом которого будет лист Мёбиуса. Более того такой объект является просто неотемлемой частью проективной плоскости, её сутью. Математики доказали, что модель проективной плоскости является топологической склейкой листа Мёбиуса и круга [31, стр. 286 287]. Таким образом, многие характерные черты проективной плоскости определяются характерными свойствами листа Мёбиуса. Проделаем такой мысленный эксперимент. Предположим, что мы находимся на поверхности прямоугольника CDC * D * , который в свою очередь является проективной плоскостью, в точке А (красный кружок) с внешней стороны листа, и нам необходимо перебраться в точку В (синий кружок), которая находится на обратной стороне листа 14

Франц Герман

Franz Hermann

(после склейки листа Мёбиуса понятия внешняя и обратная сторона листа теряют смысл, т. к. лист Мёбиуса является односторонней поверхностью). Мы чувствует, что точка В где-то рядом, но проткнуть пространство (лист бумаги) не можем. Ни края DC * , ни края CD * не существует, т. к. к ним уже приклеен край круга (мы находимся на проективной плоскости). Как же попасть в точку В? Вопреки здравому смыслу мы должны удаляться от точки В, чтобы к ней же и придти. Наш маршрут движения обозначен на Рис. 8 буквами АММ*В. Помним, что точка М и точка М* - это одна и таже точка. А теперь вспомним один из случаев, происшедший с Робертом Монро во время одного из удивительных его путешествий. «... во время одного внетелесного переживания я стремительно возвращался сквозь пустоту к своему физическому телу, и всё, казалось, было в порядке. И тут я совершенно неожиданно наткнулся на крепкую стену из какого-то непроницаемого материала. Я ничуть не ушибся, но испытал сильное потрясение. Материал был твёрдым и крепким. Мне показалось, что стена сложена из гигантстких стальных плит, которые немного накладываются друг на друга и соединяются сварными швами. Каждая плита была чуть изогнута, словно представляла собой сегмент сферы. Я попытался проникнуть сквозь стену, но не смог. Я безуспешно поднимался, опускался, смещался вправо и влево. При этом мне было совершенно понятно, что физическое тело находится там, за этой преградой. Целый час я царапал и ощупывал эту стену, бился в неё – и начал молиться. Я произнёс все молитвы, какие только знал, а потом сочинил новые. В каждое слово я вкладывал столько чувств, что эти молитвы стали самой чистосердечной речью в моей жизни. Я был невероятно испуган. Ничего не менялось: распластавшись, я по-прежнему прижимался к стене и не мог преодолеть её, вернуться в физическое тело. Мной овладела паника. Я скрёб стену ногтями, кричал и рыдал. Всё было тщётно, и тогда я успокоился – только из-за полного эмоционального истощения. Я понял, что пропал, и улёгся, вцепившись в прохладную твёрдую стену... Вперёд, вверх, вниз вправо, влево – эти направления поисков не принесли пользы. Оставался только один путь, хотя я прекрасно понимал, что он не может быть верным. Хуже не будет, попытка не пытка, и я решил её предпринять. Уже через несколько секунд я был в своём физическом теле: потрёпанный, но целый и невредимый. Куда я направился? Легко догадаться: прочь от преграды, в противоположную сторону, туда, откуда я возвращался» [2, стр. 134]. Не правда ли, сходную ситуацию смоделировали и мы, путешествуя по проективной плоскости из точки А в точку В. Нам кажется, что, вышеприведённый опыт Монро, можно рассматривать как ещё один аргумент в пользу того, что в основу пространства, где возможно существование тонкого тела, положена проективная геометрия. Продолжим дальнейшее знакомство с проективной геометрией. Рассмотрим две параллельные плоскости проективного пространства. Рассуждая аналогично, как мы это делали, когда рассматривали параллельные прямые, можно придти к выводу, что параллельные плоскости в проективном пространстве пересекаются по бесконечно удалённой прямой. Представим себе, что наши параллельные плоскости роасположены вертикально, перпендикулярно плоскости нашего письменного стола на расстоянии d друг от друга. Построим модели левой и правой проективных плоскостей в виде полусфер Клейна, расположенных между данными плоскостями и имеющих 15

Франц Герман

Franz Hermann

одинаковый диаметр d. Тогда общая модель двух параллельных проективных плоскостей будет представлять собой сферу, а экваториальная окружность, параллельная данным плоскостям будет являться образом бесконечно удалённой прямой, по которой пересекаются наши плоскости. Мы будем называть объект проективного пространства, состоящий из двух «параллельных» проективных плоскостей проективной сферой, а модель такого объекта – моделью проективной сферы.

А

А*

А**

Рис. 1.9 На Pис. 1.9 показана модель проективной сферы, но мы умышленно раздвинули и развернули полусферы, чтобы удобнее можно было представлять, что происходит, когда мы попадаем в точку экваториальной окружности. На Pис. 1.9 точки А, А* и А** суть одна точка. Интересная особенность этой модели в том, что когда мы приходим в точку А по внешней стороне левой полусферы у нас появляется выбор: куда мы должны перескочить. Либо это будет диаметрально противоположная точка А*, и тогда мы продолжим свой путь по внутренней части левой полусферы. Либо это будет диаметрально противоположная точка А**. В этом случае мы продолжим дальнейшее движение уже по внутренней части правой полусферы. Короче говоря, в точке А есть некий переключатель, который и отвечает за выбор маршрута. Эти рассуждения навели нас на мысль использовать модель проективной сферы в качестве примитивной модели головного мозга человека. Ведь известно, что часть нейронов головного мозга (а может быть и все) действительно снабжены неким «переключателем». Принимая во внимание вышеизложенное, автор решил разработать собственную методику подготовки и проведения опытов с тонким телом. Как известно, руководит действиями нашего сознания левое полушарие, а правое отвечает за подсознательную деятельность, а также деятельность головного мозга во время сна, когда левое полушарие неактивно. Задача состояла в том, чтобы сохранить активную работу левого полушария, а правое полушарие в это время попытаться представить разворачивающимся (спроектированным) на некую проективную плоскость в проективном пространстве тонкого мира. Каким образом точки полусферы проектируются на плоскость было показано на Рис. 1.3. Ниже я привожу выписку из моего дневника о двух, на мой взгляд, удачных опытах внетелесных переживаний (ВТП). 16

Франц Герман

Franz Hermann

31 Мая 2003 года, около 22 часов. Пошёл спать и решил вызвать у себя ВТП. Сначала лежал на спине, вытянув руки вдоль тела. Пытался расслабиться. Ничего не получалось, мешали звуки, доносившиеся из другой комнаты. Я лежал и мысленно повторял: «всё что увижу останется у меня в памяти и будет контролироваться моим сознанием». Ничего не происходило. Стал звать кого-нибудь на помощь (мысленно), чтобы помогли выйти из физического тела – безрезультатно. Тогда я решил представить мой мозг в виде модели проективной сферы. Перевернулся на левый бок и стал представлять, что правое моё полушарие проектируется на правую проективную плоскость (разворачивается). При этом думал, что левое полушарие остаётся в свёрнутом положении, т. е. в виде полусферы, и сохраняет сознание. И вдруг увидел, что перед внутренним взором с правой стороны раскрылось пространство – серотуманная дымка прочерченная тонкими вертикальными голубыми неоновыми нитями. В мозгу, как будто действительно, что-то раскрылось. В правом ухе появился рокот, а всё моё сознание охватил какой-то невысказанный восторг. И вдруг всё начало меркнуть. Я пытался удержать видение, но тщётно. Полежал, ещё раз попробовал, но ничего не получилось. Потом заснул. 1 Июня 2003 года, 4 часа 37 минут. Проснулся и решил повторить всё, что проделывал накануне. Лёг на левый бок. Снова стал мысленно представлять, как разворачивается (проектируется) на плоскость моё правое полушарие. И вдруг снова появилось ощущение раскрываемого пространства. Серая дымка, голубые вертикальные нити неонового свечения. Был ли шум в правом ухе не запомнил. Всё очень быстро схлопнулось. Потом пытался повторить и через некоторое время снова удалось вызвать эту же картинку. Так повторялось несколько раз. На третий или четвёртый раз удалось вызвать эту картинку очень быстро. Ощущение прорыва в пространство правого полушария было устойчивым. И вдруг по телу пошла дрожь. Может быть, Монро именно это состояние и называл вибрациями. Дрожь всё усиливалась и я явно почувствовал, что наступает момент ВТП – просто появилась отчётливая уверенность. Я вспомнил описания Монро про движение правой рукой. Дрожь была сильной. Я начал двигать правой рукой назад в сторону второй кровати (лежал на левом боку). Нащупал щель между кроватями. Кровати стоят очень плотно. Легко стал опускать руку между кроватями. Потом вспомнил, что можно попробовать просунуть руку через кровать. Т. е. не вытаскивать её назад, а прямо через кровать вернуть руку в исходное положение. И это удалось. Я действительно почувствовал, как рука прошла сквозь кожанную обшивку, потом ещё через какое-то препятствие, потом было лёгкое прикосновение - проникновение через одеяло и я вернул руку на место. Восторг был столь сильным, что я тут же прекратил эксперимент. Дрожь не прекращалась. Я попробовал физической рукой дотянуться до щели между кроватями. Это оказалось сделать не очень просто из моего положения, не говоря уж о том, чтобы засунуть руку в щель между кроватями. Сел на кровати. Всё тело было покрыто гусиной кожей. Встал пошёл в гостинную, посмотрел на часы – 4.37. Вышел на балкон, выкурил пол-сигареты. Потом вернулся и сел делать эту запись. Пишу и при каждом воспоминании этого события тело мгновенно покрывается гусиной кожей от макушки до пят.

17

Франц Герман

Franz Hermann

На этом можно было бы поставить точку и сразу перейти к заключению первой части. Но автор считает, что картина будет не полной, если не познакомить читателя ещё с одной моделью проективной плоскости. Именно эта модель даёт очень много интересных, на наш взгляд, гипотез и предположений. Но прежде чем мы построим третью модель проективной плоскости, нам необходимо понять, что же представляет собой сам лист Мёбиуса с точки зрения классической геометрии. Известно, что развернуть на плоскость можно только два геометрических тела: цилиндр и конус. Другими словами, из куска бумажного листа можно натурально склеить цилиндр и конус.

Рис. 1.10 Но, я думаю, что все знают, что и лист Мёбиуса можно склеить из полоски бумаги. Так что же представляет собой на самом деле лист Мёбиуса? Не буду томить читателя. Лист Мёбиуса представляет собой фигуру, состоящую из четырёх полуконусов плавно переходящих друг в друга. Покажем как строится такая фигура. Мы будем называть её полным листом Мёбиуса или К-мёбиусом. Рассмотрим странный волчёк, состоящий из двух конусов. Верхний конус имеет образующую длиной l и угол при вершине в 60 градусов. Нижний конус имеет 3 образующую длиной l и угол при вершине в 30 градусов. 2

B

A

F C

E

D Рис. 1.11 18

Франц Герман

Franz Hermann

Представим себе, что наши конусы рассечены плоскостью рисунка на две равные половинки (точки A, B, C, D, E, F лежат в плоскости рисунка). Проделаем следующие преобразования над каждой из половинок конусов. Верхнюю (расположенная над плоскостью рисунка) половинку конуса ABC повернём на 60 градусов против часовой стрелки вокруг центра треугольника ABC. Нижнюю половинку этого же конуса повернём тоже на 60 градусов вокруг того же центра, но по часовой стрелке. Мы будем обозначать точки, показанные на Рис. 1.11, буквами без звёздочек для верхних полуконусов и буквами со звёздочками для нижних полуконусов. В это же время верхнюю половинку конуса DEF повернём на 30 градусов по часовой стрелке вокруг точки D и двинем вверх так, чтобы точки D и A совпали. А нижнюю половинку этого же конуса повернём на 30 градусов против часовой стрелке вокруг точки D* и тоже двинем вверх до совмещения точек D и D*. Таким образом мы получили фигуру, которую назвали К-мёбиусом.

E ≡ F*

B ≡ A*

C ≡ B* F

E*

A ≡ C * ≡ D ≡ D* Рис. 1.12 Вглядитесь внимательно в фигуру на Рис. 1.12 и вы поймёте, что она действительно односторонняя. Если разрезать эту фигуру, например, вдоль прямой AE , то её можно гладко развернуть на плоскость, так как всякий правильный конус, а следовательно и полуконус, разрезанный вдоль образующей, разворачивается на плоскость. А именно из таких полуконусов и состоит наша фигура. Покажем развёртку фигуры, изображённой на Рис. 1.12. Как видим из Рис. 1.13, в развёртку К-мёбиуса можно вписать прямоугольник. Это и есть максимально возможный по длине и ширине прямоугольник, из которого можно склеить традиционный лист Мёбиуса. Если взять прямоугольник, у которого отношение длины к ширине будет больше чем у показанного на Рис. 1.12, то возможно из него тоже получится лист Мёбиуса, но тогда его К-мёбиус будет состоять уже не из правильных полуконусов.

19

Франц Герман

Franz Hermann

ω

Рис. 1.13 А для правильного К-мёбиуса отношение длины к ширине можно точно вычислить по такой формуле.

π L Cosϖ + 2 Sinω = = 3,9465... , где ω = 2− 3 H Sinω − 2 − 3 Cosω 2

(

)

(1.1)

Для построения модели проективной плоскости нам понадобится как раз не совсем правильный К-мёбиус. Но если бы мы не показали, что представляет собой правильный К-мёбиус, то было бы не понятно, откуда взялся неправильный К-мёбиус. Развёртка нужного нам К-мёбиуса показана на Рис. 1.14.

2 3

1

1

4 2 Рис. 1.14 20

Франц Герман

Franz Hermann

С точки зрения топологии вовсе необязательно, чтобы К-мёбиус состоял из идеально правильных полуконусов. Идеальный же прямоугольник всё равно вписывается в такую развёртку. Теперь вернёмся к построению модели проективной плоскости. Мы уже говорили, что модель проективной плоскости можно представить в виде круга, к краю которого приклеен своим краем лист Мёбиуса. Для построения нашей модели мы возьмём вместо листа Мёбиуса К-мёбиус. Это не изменяет сути дела, так как с точки зрения топологии лист Мёбиуса и К-мёбиус – одна и та же фигура. На Рис. 1.14 синими линиями показан край К-мёбиуса. Строить нашу модель мы будем поэтапно. Сначала разрежем развёртку, показанную на Рис. 1.14 на 4 части по линиям 1 - 4, 4 - 3 и 3 - 1. Затем возьмём круг и к его краю приклеем 4 части разрезанного К-мёбиуса.

1

1 2 3

4

1

4

3

Рис. 1.15 Не забывайте, что в топологии можно растягивать и сжимать фигуры, но при этом не допускать разрывов и складок. Теперь мысленно представим, что на нашем круге стоит прозрачная полусфера меньшего диаметра, чем круг и касается нашего круга в точке 1 (Прозрачная полусфера придумана нами только для удобства построения. Для самой же модели она вовсе не нужна).

1 2 4

3

1

4

Рис. 1.16

21

3

Франц Герман

Franz Hermann

Далее мы берём полуконус 2, 1, 4 за вершину 1 и накладываем его на прозрачную полусферу так, чтобы вершина 1 полуконуса и точка 1 на окружности совпали (Рис. 1.16). Теперь проделаем точно такую же операцию с полуконусом 3, 1, 2 и склеим их между собой по линии 2 - 1 (на Рис. 1.17 эта линия выделена красным цветом).

2 3

4

1

4

3

Рис. 1.17 Прозрачная полусфера нам больше не нужна с этой стороны плоскости рисунка. Теперь мы помещаем её точно так же, но с обратной стороны рисунка. Затем берём полуконус 1, 3, 4 и, обернув его вкруг прозрачной полусферы, совмещаем точки 3 (Рис. 1.18). 2

3

4

1

4

Рис. 1.18 Аналогичные действия проделаем и с полуконусом 1, 4, 3. Прозрачная полусфера нам больше не нужна, а линии 3 - 4 надо склеить (Рис. 1.19).

2 3

4

1 Рис. 1.19 То, что мы видим на Рис. 1.19 это ещё не модель проективной плоскости. Чтобы эта фигура стала моделью проективной плоскости, надо отождествить между собой (конечно мысленно) точки дуг 1 - 4 и также точки дуг 1 - 3. Т.е. считать, что у нас 22

Франц Герман

Franz Hermann

только одна дуга 1 - 4 и одна дуга 1 - 3. Вот теперь мы получили модель проективной плоскости. Какие же преимущества имеет эта модель перед другими? Во-первых, на этой модели можно увидеть все составные части проективной плоскости – два конуса, представленные четырьмя полуконусами и круг. Во-вторых – эту модель можно рассматривать как самопересекающийся полиэдр (Понятие полиэдр – является обобщением понятия многогранник). В-третьих – бесконечно удалённые точки в этой модели превращаются в обычные и образуют видимую замкнутую кривую (о равноправии бесконечно удалённых и обычных точек см. [55, стр. 247-248]). Вчетвёртых – данную модель можно рассматривать в качестве примера модели свёрнутой проективной плоскости. Современная теоретическая физика всё больше приходит к убеждению, что физическое простраство намного сложнее, чем мы можем его себе представить. Что размерность этого пространства-времени должна быть равна, как минимум, 11-ти, чтобы удовлетворить многим трудным положениям, сложившимся на сегодняшний день в физике. Мы с вами можем воспринимать только четырёхмерный континуум, а остальные 7 пространственно-временных измерений свёрнуты и мы не можем их обнаружить в нашей обычной жизни [3], [4]. Если физики говорят о свёрнутых пространствах, то должны существовать и свёрнутые плоскости. Но вернёмся к нашей модели проективной плоскости. Так где же на ней можно увидеть бесконечно удалённые точки?

2

3

4

1 Рис. 1.20 Проведём в плоскости круга произвольную кривую из точки 1 к точке 2 (на Рис. 1.20 эта кривая показана зелёным цветом). Единственные требования к этой кривой: она не должна иметь петель и касаться края круга и сомой себя при загибах. Тогда замкнутая кривая, образованная красной дугой 1 - 2 и зелёной кривой 2 - 1, будет состоять из бесконечно удалённых точек. Доказательство данного положения не входит в рамки данной книги, да и рассмотрение самих бесконечно удалённых точек на этой модели – это совсем другая тема для разговора. Мы будем рассматривать эту модель как полиэдр. Напомним читателю известную формулу Эйлера, дающую одну из топологических характеристик – число χ , носящее имя Эйлера.

В+Г −Р = χ ,

(1.2)

здесь В - число вершин, Г - число граней (замкнутых простых циклов), Р - число рёбер. Известно, что для классических многогранников χ = 2 , для тора (бублика) и листа Мёбиуса - χ = 0 , для проективной плоскости - χ = 1 . Убедимся, что наша модель проективной плоскости как раз и отвечает этому числу. 23

Франц Герман

Franz Hermann

Смотрим на Рис. 1.20. Имеем: четыре вершины (1, 2, 3, 4), В=4; пять граней (четыре полуконуса и круг), Г=5; восемь рёбер ( 1-3, 3-2, 2-4, 4-1, образующие границу круга и 1-2, 1-3, 1-4 и 3-4, принадлежащие конусам, Р=8. При этом мы должны помнить, что рёбра 1-4, принадлежащие разным полуконусам отождественны, как одно ребро. Аналогично – и рёбра 1-3). Т. е. В+Г-Р=1. Для чего вообще понадобилось нам рассматривать эту модель? Покажем цепочку рассуждений, которыми руководствовался автор. Исходным пунктом послужили опыты Робеота Монро, дающие представление о геометрии пространства тонкого мира. Не имея возможности (пока во всяком случае) проводить физические эксперименты, мы можем исследовать математические модели. Одна из таких моделей дала нам возможность рассматривать геометрические особенности проективной плоскости в виде элементов самопересекающегося полиэдра. Возникает искушение, если не построить, то хотя бы сделать черновой набросок для модели всего Мироздания. Мы же с Вами, уже по определению нашего существования, являемся творцами. Так кто же запретит нам творить? Давайте будить нашу научную фантазию. Вообще, разумно и логично предположить, что именно этих шагов (шагов творчества) и ждёт от нас наш Творец. Трудно представить себе, что Творец с интересом смотрит на нас, когда мы пытаемся разгадать тайны природы. Гораздо больший интерес мог бы возникнуть у Творца, если бы он видел в нас таких же творцов, в чём-то, может быть, и соперничающих с ним самим. Всё больше и больше в последнее время появляеся учёных и исследователей, которые утверждают, что наше сознание в силах создавать объективную действительность. А представьте себе, что однажды будет построена модель Мироздания, которая овладеет коллективным сознанием человечества. Это уже будет нешуточное соперничество нашему Творцу, так как коллективное сознание, по некоторым утверждениям, способно создать целую Вселенную. Тем, кто интересуется астрономией, известно, что современный взгляд этой науки утверждает о существовании ячеистой структуры глобального мироздания. Будто бы системы галактик в объёмной картине Вселенной образуют нечто вроде сот, некоторую пространственную решётку. Отталкиваясь от этой мысли, мы можем начать построение модели тонкого мира исходя из предположения, что и в его основе лежит какая-то пространственная решётка. Ячейкой такой решётки может быть куб. Именно кубиками можно полностью выложить трёхмерное пространство. Известно, что существует только пять правильных многогранников, так называемых Платоновых тел: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр. Но упаковать пространство можно только кубами. Куб – это та фигура, с элементами которой мы сталкиваемся ежедневно на протяжении всей нашей цивилизованной жизни. Дома, дороги, окна, двери, столы, стулья и т. д.. Все эти предметы имеют в основе своей конструкции элементы куба (прямые углы). Наше сознание мысленно уже готово воспринимать и легко представляет себе такую воображаемую пространственную решётку. Но представьте себе, что мы выехали на природу, например в лес. И всё становится по другому. Мир становится интересней и загадочней. В нём нет зажатости города. Живая природа развивается и живёт по каким-то своим законам. Там правит бал «золотая» пропорция (известное трансцендентное число ϕ = 1.618033... , которым пронизана вся наука, творчество и даже спорт (см. Приложение 7)). Куда же исчезает кубическая решётка, что происходит с пространством? Как оказалось, существует ещё один геометрический объект, которым можно упаковать всё пространство. Этот полиэдр является полуправильным в отличии от куба 24

Франц Герман

Franz Hermann

и носит название ромбический додекаэдр. Состоит он из двенадцати одинаковых ромбов, потому и называется додекаэдром. Как осуществляется построение такого додекаэдра? Я думаю, что лучшее описание, как это сделать, даёт выдающийся польский математик Гуго Штейнгауз. Ему слово. «Кубы (в пространственной решётке. Авт.) берутся поочерёдно белыми и чёрными и располагаются как бы в пространственно-шахматном порядке, после чего чёрные кубы убираются. В каждую из образовавшихся пустот вставляем шесть пирамид с общей вершиной в центре выброшенного куба. Если представить себе, что к белому кубу присоединены все прилегающие пирамиды, то получим двенадцатигранник с одинаковыми ромбическими гранями...».[5, стр. 95].

Рис. 1.21 На Рис. 1.21 мы показали вершины ромбического додекаэдра в виде маленьких кружочков. Необходимо помнить, что мы поставили цель построить пространственно – временную модель, т. е. в нашей решётке необходимо выделить какие-то элементы, которые бы отвечали за пространственные и временные характеристики мироздания. Наши решётки как раз и построены из двух элементов: вершин и рёбер. Мы - творцы и пока нас ничто не ограничивает считать например, что вершины-кружки отвечают за время, а рёбра-отрезки – за пространство. Если говорить о кубе и ромбическом додекаэдре, как о полиэдрах, которые лежат в основе пространственных решёток, то надо помнить, что в формуле Эйлера в данном случае надо понятие грань заменить понятием элементарного цикла. Сути такая замена не меняет, но, исходя из логических соображений, мы понимаем, что никаких граней в решётках быть не может. Как мы знаем, куб имеет 3 пары параллельных плоскостей, образованных элементарными циклами-гранями. Добавим к этому временную характеристику вершин и получим элементарную ячейку решётки четырёхмерного пространственновременного континуума. Это самый простой, будем говорить, примитивный способ введения понятия размерности пространства. Теперь таким же образом мы рассмотрим и ромбический додекаэдр. Здесь мы имеем шесть пар параллельных плоскостей. Добавим к ним временную координату – получим элементарную ячейку решётки семимерного пространственно-временного континуума. Итого, в сумме имеем одиннадцатимерный мир в основе модели мироздания. Заметим, что временные характеристики (вершины) кубической решётки отличаются от временных характеристик ромбического додекаэдра. У куба в вершине всегда сходятся три ребра, а у ромбического додекаэдра есть вершины, где сходятся и четыре ребра. В связи с эти можно рассуждать и таким образом. Одна из временных характеристик у этих решёток общая. На языке диаграмм теории множеств это выглядит так:

25

Франц Герман

Franz Hermann mann

6

+ 1 +

1

+

3

Рис. 1.22 В итоге всё равно получаем 11. Как же уживаются обе решётки вместе? Можно предположить, что они вместе и не живут. Одна решётка сменяет другую, через какой-то квант времени. Мироздание всё время пульсирует, дышит. Может быть именно этот процесс физики называют кипением вакуума? Можно выдвинуть и такую гипотезу в рамках нашей модели. Решётки – это и есть сам Творец! Он присутствует всегда, везде и во всём! Творец 11-тимерен. Любое созданное им существо должно понимать пространственно-временной континуум только меньшего числа измерений. Но как утверждает один из исследователей трансерфинга В. Зеланд [6, стр. 88], в основе всех законов Мироздания лежит фундаментальный закон равновесия. Все остальные законы вторичны. Это относится и к созидательному творчеству сознания. Следовательно, лишив своих «детей» во время творения понимания «высших» измерений, тем самым творец должен был наделить их чем-то другим. Например, каким-то чувством. Мы с вами имеем разум от творца и, кроме того ещё пять чувств. Возможно, к ним (чувствам) надо присоединить ещё и интуицию. И тогда в сумме получится 7, а в нашем распоряжении действительно остаётся понимание только лишь четырёхмерного пространства-времени. Но вернёмся к нашим решёткам.

Рис. 1.23 Из Рис. 1.23 и описанного выше построения видим, что объём ромбического додекаэдра ровно в два раза больше объёма, вписанного в него куба. Т. е. объём элементарной ячейки мироздания можно представить либо одним ромбическим додекаэдром с длиной ребра a , либо двумя кубиками с длиной ребра b , где

b 3 = 2a .

26

(1.3)

Франц Герман

Franz Hermann

Обозначим через V p - объём ромбического додекаэдра, через Vk - объём куба. Теперь мы можем ввести понятие характеристической формулы (х-формулы) в виде: Vk V p Vk . Эту формулу надо понимать не как произведение трёх объёмов, а просто как запись характеристики элементарной ячейки решёток. Другими словами, если некий объёкт характеризуется двумя элементами А и одним элементом B, то мы вправе записать для него х-формулу: ABA. Если мы внимательно всмотримся и вдумаемся в окружающий нас мир предметов и явлений, то можем заметить, что для многих из них справедливы х-формулы. Например все математические и физические законы, C можно записать в виде 2A=(B+C+B). Т. е. можем выражаемые формулой A = B + 2 сказать, что закон 2A характеризуется х-формулой BCB. Оперируя х-формулами можно находить некоторую аналогию между предметами и явлениями, которые, на первый взгляд, ничего общего между собой не имеют. Отметим, что модель проективной плоскости характеризуется своей хформулой: K o K p K o , что говорит о том, что модель проективной плоскости состоит из двух конусов и одного круга. Более того, и для листа Мёбиуса существует х-формула. Чтобы склеить бумажный лист Мёбиуса, необходимо взять полоску прямоугольной формы длиной L и шириной B, а после склейки листа Мёбиуса мы получаем объёкт длиной 2L и шириной B, т. к. лист Мёбиуса является односторонней поверхностью. Таким образом мы получаем х-формулу для листа Мёбиуса - LBL. Для любого полиэдра также можем записать х-формулу - BPB, т. к. всякое ребро связывает строго две вершины. Как видим, х-формулы вовсе не случайны в наших исследованиях. Продолжим рассмотрение решёток и попытаемся сделать некую привязку нашей модели к окружающей нас действительности. Оказывается, что в природе встречаются кристаллы, являющиеся точнейшей копией элементарных ячеек наших решёток. Например кристаллы флёорита и каменной соли имеют форму куба, а кристаллы граната и одного из видов алмаза имеют форму ромбического додекаэдра [7, стр. 28], [8, стр. 44]. Кстати отметим, что и куб и ромбический додекаэдр имеют много общего с точки зрения симметрии. У каждого из них имеется три взаимноперпендикулярных поворотных оси 4-го порядка и четыре оси 6-го порядка [7, стр. 29]. И куб и ромбический додекаэдр можно рассечь плоскостью так, что в сечении будет плоская квадратная решётка. А можно провести сечение таким образом, что получится плоская шестиугольная (составленная из правильных шестиугольников) решётка. Как видим из Рис. 23, в ромбический додекаэдре можно целиком вписать куб. Но оказывается и в кубе можно построить ромбы, являющиеся гранями ромбического додекаэдра (Рис. 1.24). Причём, в одном кубе такие ромбы можно построить 6-тью различными способами. Следовательно в двух кубах будет 12 ромбов. Напомним, что по объёму один ромбический додекаэдр как раз равен двум кубам. Вершины ромба, расположенные на концах его большей диагонали, принадлежат серединам двух противоположных рёбер куба, а две другие вершины ромба находятся в центрах противоположных граней куба.

27

Франц Герман

Franz Hermann

Рис. 1.24 Отдельно необходимо обратить внимание на саму грань ромбического додекаэдра.

109,5°

Рис. 1.25 Угол заключённый между жирно выделенными рёбрами является валентным углом H-O-H в структуре льда [9, стр. 112]. Кстати, HOH - х-формула воды.

H

109,5°

H

O O Рис. 1.26 Молекула воды (Рис. 1.26) является самой маленькой из всех трёхатомных молекул. Вода является самой популярной и самой таинственной жидкостью на земле. До сих пор неразгадана структура жидкой воды, несмотря на то, что структура льда и водяной пар изучены учёными досконально. Почему вода течёт, ведь спектральный анализ показывает, что водородные связи неразорваны. Кроме всего прочего продолжают появляться всё новые загадки воды. Японский исследователь М. Эмото доказал, что вода умеет не только по-своему реагировать на позитивную и негативную информацию, но и каким-то образом её сохранять [10, стр. 5]. Известно также, что вода может принимать свойства некоторых веществ, растворённых в ней, и сохранять эти свойства довольно длительный период, даже если само это вещество будет из воды удалено [34, стр. 201-205]. Всё живое на земле и жизнь самого человека непосредственно зависят от свойств воды. Взгляните, например, на график температурной зависимости теплоёмкости воды (Рис. 1.27). 28

Франц Герман

Franz Hermann

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

3

1 36,6°C Рис. 1.27

Разделив температурную шкалу в отношении

1

, мы получим температуру 3 36,6°C, что является оптимальной температурой человеческого тела. Заметим, что трансцендентное число 3 присутствует и в формуле (1.1) для листа Мёбиуса и в формуле (1.3). Надо отметить, что число 3 является одним из священных египетских чисел [56, стр. 326-327]. Кроме того, число 3 является главной пропорцией «цветка жизни» [56, стр. 57] (Рис. 1.28). С CD = 3 AB

В

А D

Рис. 1.28 Кроме того, диагональ d и сторона а куба связаны соотношением d = а 3 . Ромбический додекаэдр имеет три различные диагонали (Рис. 1.29). Существует формула, показывающая зависимость большей диагонали d от двух других и стороны:

d=

a 2 + 3 ⋅ c 2 + b2 3

29

.

Франц Герман

Franz Hermann

Как видим, число 3 присутствует и здесь. Вообще диагонали и сторона ромбического додекаэдра связаны между собой очень красивыми формулами.

5a 2 = 4b 2 − 3c 2 5b 2 = 4a 2 + 3d 2 5c 2 = 4d 2 − 3a 2 5d 2 = 4c 2 + 3b 2 Напомним, что классическая Пифагорова тройка чисел это 5 2 = 4 2 + 3 2 .

a b d

c

Рис. 1.29 До сих пор необяснены чудотворные свойства талой воды. «Давно замечено, что вблизи тающих родников растительность альпийских лугов всегда пышнее, а у кромки тающего льда в арктических морях бурно цветёт жизнь. Полив такой водой улучшает урожайность сельскохозяйственных структур, ускоряет прорастание семян. При употреблении талой воды устойчиво повышаются привесы в животноводстве, ускоряется развитие циплят. Известно, с какой жадностью животные пьют весной талую воду, а птицы буквально купаются в первых лужицах подтаявшего снега» [13, стр. 9]. Исследователи воды делают предположение, что валентный угол в молекуле талой воды равен 108 градусам (Рис. 1.30), что непосредственно связывает воду с «золотой» пропорцией, о которой мы уже упоминали ранее.

b a

108°

Рис. 1.30

30

a

Франц Герман

Franz Hermann

b =ϕ . a Как замечено, талая вода «... в отличие от обычной, по своей структуре очень похожа на жидкость, содержащуюся в клетках растительных и живых организмов. ...При питье талой воды происходит подпитка организма самым гармоничным из всех веществ на Земле. Она улучшает обмен веществ и усиливает кровообращение, снижает количество холестерина в крови и успокаивает боли в сердце, повышает адаптационные возможности организма и способствует продлению жизни. Глоток чистейшей талой воды тонизирует лучше пастеризованного сока, в ней есть заряд энергии, бодрости и лёгкости. ... Талая вода освежает и молодит кожу, которая перестаёт нуждаться в кремах и лосьонах» [13, стр. 9]. Рассмотрим теперь х-формулы листа Мёбиуса и воды. Эти формулы можно 2L - для листа использовать для получения реальных числовых констант в виде η1 = B 2H Мёбиуса и η 2 = - для воды. Здесь H и O - атомные веса водорода и кислорода. O Тогда получаем η1 η 2 ≈ 1 , с абсолютной точностью ∆ = 0,005 . Но надо помнить при этом, что формула (1.1) даёт идеальное отношение длины к ширине. Так что для не совсем правильного К-мёбиуса эта погрешность может ещё уменьшиться. В пользу этого говорит то, что мы строили идеальный К-мёбиус, но с учётом того, что точка E ∉ BC (см. Рис. 1.12). Почему мы обратили внимание на произведение этих отношений, которое очень близко к 1? Забегая вперёд скажем что, вся вторая часть посвящена исследованию натурального ряда чисел, который, как известно, начинается с 1. А по мнению автора натуральный ряд чисел – это ещё одна сторона Божественной сущности, заложенной в Мироздании. Теперь мы можем сформулировать ещё одну гипотезу в рамках нашего моделирования:

Здесь

Вода является тем веществом, которое чувствительно не только к тонкому миру, но и к самим пространственным решёткам. И, может быть, свежая талая вода «помнит» ещё своё состояние, когда она была льдом и «чувствовала» структуру пространственной решётки, «чувствовала» своё непосредственное прикосновение к Богу?! В одной из газетных статей [61, стр. 25], посвящённой космическим полётам, я читал, что иногда, пролетая над океаном, в эфире космической связи (в наушниках космонавтов) вдруг явно слышались голоса посторонних людей, плач ребёнка, лай собаки... Может быть этот загадочный феномен как раз и можно объяснить такой гипотезой и необычными свойствами самой воды. А существует и такое предположение, что вода является разумным существом!? Известный исследователь свойств времени и аномальных явлений Вадим Чернобров приводит в своей книге любопытную цитату: «13 августа 1849 года, по сообщению «Таймс» (по другим данным – 14 августа), после исключительно сильного раската грома полутонная глыба неправильной формы, 20 футов (порядка 6 м) в окружности свалилась в местечке Орд (Россшир), исследование показало, что глыба была абсолютно прозрачной и состояла из ромбовидных кристаллов длиной 1 – 3 дюйма (2 – 8 см)» [14, стр. 583]. Глыба была ледяной, но что такое ромбические кристаллы в сообщении не расшифровывалось. Может быть речь идёт именно о ромбических додекаэдрах? 31

Франц Герман

Franz Hermann

Как вы, наверное, уже заметили одним из главных объектов (если не самым главным) нашего исследования является лист Мёбиуса. Но если, действительно, листу Мёбиуса отведена столь важная роль в фундаменте тонкого мира, то логично предположить, что и в классической физике он каким-то образом должен был бы о себе дать знать. Есть такая очень перспективная область физики, как теория хаоса или теория самоорганизации. «Изучение общих закономерностей самоорганизации имеет принципиальное значение, так как позволит понять образование Вселенной и зарождение жизни на Земле, приведёт к созданию искусственных самоорганизующихся систем с высоким интеллектом, позволит управлять эволюционными процессами в природе и технике» [11, стр. 3]. Одним из ключевых объектов этой науки является так называемый странный аттрактор. Наглядно он представляется в виде хитрозакрученной пространственной линии (Рис. 1.31).

Рис. 1.31 Не надо иметь большого воображения, чтобы сразу отметить, что это и есть лист Мёбиуса Ещё один пример из квантовой механики. Представим себе электрон, движущийся по окружности. Оказывается, совершив полный оборот, частица не возвращается в исходное положение. Для этого ей надо пробежать по окружности ещё один полный оборот. Т. е. всего повернуться на 720° [3, стр. 41].

Рис. 1.32 Именно так ведёт себя точка, двигаясь по осевой линии листа Мёбиуса (Рис. 1.33). Всякая же прямая проективной плоскости – суть осевая линия листа Мёбиуса.

Рис. 1.33 И третий пример из области теории вакуума, на которую возлагают надежды исследователи тонкого мира, так как при помощи этой теории появляется возможность объяснить многие явления паранормального характера. Торсионные поля, являющиеся 32

Франц Герман

Franz Hermann

неотемлемой частью теории вакуума, порождаются любым вращающимся телом. Как утверждают теоретики, фронт волны торсионного поля имеет коническу форму [12, 33]. Более того, по словам Е. М. Акимова – одного из исследователей торсионных полей: «...сама форма предмета возмущает вакуум...» [12]. Т. е. коническая форма должна порождать торсионное поле. Такое свойство поверхностей названо эффектом форм [33, стр. 50]. Выше мы показали, что в сути листа Мёбиуса как раз и лежат конические формы. Другими словами, если в основе пространства тонкого мира лежит проективная геометрия, то само пространство должно быть генератором торсионного поля. А в четырёхмерном пространстве можно построить модель проективной плоскости как раз в виде конуса с донышком в виде листа мёбиуса. Причём такая модель не будет иметь самопересечений [31, стр. 288]. В связи с тем, что мы коснулись теории вакуума, необходимо отметить следующее. Для построения теории вакуума используется геометрия ВайценбекаВейля, которая обладает кручением. Елементарное понятие кручения даёт академик Шипов. «Пусть мы имеем бумажную ленту...Закрепим один конец ленты, а другой будем поворачивать. В результате получим скрученную ленту. Устремим ширину ленты к нулю, тогда в пределе мы получим скрученную линию. Единичный вектор, присоединённый к какой-нибудь точке этой линии, будет вращаться по мере передвижения вектора вдоль линии» [33, стр. 52, рис. 19].

Рис. 1.34 Не требуется большой фантазии, чтобы понять, что осевая линия листа Мёбиуса – это и есть линия с кручением. Следовательно проективная геометрия – это геометрия с кручением. Известно, что на проективной плоскости невозможно построить метрику (правило для измерения расстояний и углов). Но, вводя разнообразные инварианты (некоторые ограничения для проективных преобразований), различные метрики всётаки удаётся построить. В общих чертах построение метрики сводится к тому, что одна точка на проективной прямой фиксируется, а другая движется. После вывода формулы для метрики геометры прибегают к такой хитрости. В силу принципа двойственности вместо двух точек и прямой, на которой они находятся, рассматривают две прямые и точку их пересечения и объясняют полученную метрику, как угол поворота одной прямой к другой вокруг их точки пересечения [49, стр. 110-132]. Но будем корректными. Что же мы имели до применения принципа двойственности? Здесь вопрос решается однозначно: движущаяся точка крутится на прямой, относительно точки фиксируемой. Т. е. мы вновь приходим к тому, что проективная геометрия наделена кручением. Снова обратимся к теории вакуума. «Замечательным свойством пространства Вайценбека-Вейля оказывается равноправие бесконечно удалённой точки со всеми остальными точками пространства. Отсюда следует важный для физики вывод – рождение каких-либо объектов из вакуума является существенно нелокальным процессом, поскольку в нём участвуют бесконечно удалённые точки пространства» [33, стр. 54]. А ранее мы отмечали, что это свойство, равноправия точек, как раз и присуще проективной геометрии. Однако отметим, что теория вакуума работает в 10 мерном пространстве-времени, а мы строим нашу модель 33

Франц Герман

Franz Hermann mann

в 11-тиметрии. Я думаю, что в этом нет противоречия. Одиннадцатое измерение это Божественный план (основания проективных реперов). Из всего вышесказанного, можно заключить, заключить, что теория вакуума удивительным образом подтверждает существование первозданного геометрического фона, отвечающего ключевым свойствам проективной геометрии. По мнению известного французского математика А. Пуанкаре «можно было бы сказать, что метрическая геометрия есть изучение твёрдых тел, а проективная геометрия – изучение света» [60, стр. 49]. Я уверен, что рассмотрение геометрии Вайценбека-Вейля с позиций проективной геометрии может быть полезным для теории вакуума. И, наконец, в математическом мире существует убеждение, что лист Мёбиуса изобрёл человек. Спешу опровергнуть это мнение. Однажды мой племянник привёз мне с моря обломок морской ракушки и я с великим удивлением понял, что держу в руке природный лист Мёбиуса без всяких натяжек (Рис. 1.35). А это значит, что лист Мёбиуса – это не изобретение, а открытие человека. Лист Мёбиуса существует в природе.

Рис. 1.35 Но вернёмся к пространственным решёткам. В нашей модели в построении решёток участвуют два элемента: рёбра и вершины (кружки). Рис. 1.36 Мы помним, что объём одного ромбического додекаэдра равен двум объёмам, вписанного в него куба. Как же происходит процесс перестройки одной решётки в другую? Рассмотрим элементарную ячейку пространства, представленную двумя решётками равных по объёму полиэдров (Рис. 1.37).

Рис. 1.37 34

Франц Герман

Franz Hermann

Как видим из рисунка, ромбическая ячейка имеет 14 вершин и 24 ребра, которые образуют 12 ромбов (или, условно говоря, граней). Кубическая решётка состоит из 12 вершин и 20 рёбер, которые в свою очередь образуют 10 квадратов (внутренний квадрат не считается. Формула Эйлера не учитывает внутренние грани. Возможно исследование полиэдров, с учётом всех внутренних граней, могло бы быть темой самостоятельного исследования). Итак, в какой-то момент ромбическая решётка распадается и из её элементов строится кубическая решётка. Но при этом остаются незадействованные при построении 2 вершины и 4 ребра. Возможно эти элементы остаются в свободном виде, но интереснее будет предположить, что вместе с кубической решёткой возникают еще какие-то полиэдрические структуры. Например свёрнутые полиэдры в виде моделиполиэдра проективной плоскости. Мы помним, что такой полиэдр имеет 4 вершины и 8 рёбер. Т. е. из двух «остатков» после перестройки решёток можно построить одну «проективную плоскость» в соответствии с её третьей моделью. Кроме того и лист Мёбиуса может содержать 2 вершины и 4 ребра. Тогда по формуле Эйлера рёбра и вершины должны образовывать 2 грани (число Эйлера для листа Мёбиуса χ = 0 ). Но точно с такими же характеристиками может быть и другой полиэдр, который называется тором. В принципе листы Мёбиуса уже заложены в структуре проективной плоскости, но они могут нам понадобиться в чистом виде в качестве генераторов торсионных полей. А вот для чего может понадобиться тор? «Тор – первая форма, которая исходит из завершённой модели Творения, и он является абсолютно уникальной среди всех существующих форм. ... Форма тора управляет многими аспектами нашей жизни. Например, у человеческого сердца есть семь мышц, которые образуют тор, и он накачивает кровь в семи участках... В нашем теле воплощены все знания. Тор в буквальном смысле находится вокруг всех форм жизни, всех атомов и всех космических тел, таких, как планеты, звёзды, галактики и так далее. Это изначальная форма существовпания» [56, стр. 171-172]. Пространственно-временной континуум, который нам понятен и торы, образованные вместе с этой решёткой могут отвечать за геометрию нашего мега- и микромира. Мы не будем здесь нагружать читателя математическими и физическими особенностями мира с тороидальной геометрией, но всех заинтересованных отсылаем к Приложению 1 – «Тор». Здесь читатель может познакомиться с тороидальностью орбит планет, с тороидальным взглядом на коллапс звёзд и чёрных дыр, с математическими предпосылками для создания машины времени, с оригинальными теоремами о торах и даже с гипотезой о существовании закона всемирного отталкивания. На этом мы закончим исследование решётчатой модели Мироздания и рассмотрим математическую сторону проблемы о связи макро и тонкого миров. Уже много лет новосибирские учёные разрабатывают очень перспективную на сегодняшний день теорию физических структур. В рамках этой теории «...показано, что многие законы физики можно рассматривать как проявление в реальном мире унарных (построенных на одном множестве – Авт.) или бинарных (на двух множествах – Авт.) структур различного ранга. Это относится ко второму закону Ньютона, к закону Ома для электрических цепей, к законам термодинамики и т. д. Оказывается, с позиции теории структур можно взглянуть и на пространственно-временные отношения. Классическое пространство-время обычно понимается как совокупность равноправных геометрических точек, следовательно, ему должны соответствовать унарные структуры» [4, стр. 49]. Далее там же показано, как строится соответствие между структурой ранга (3,3) и теорией спиноров (позже мы ещё поговорим о спинорах), которыми описываются элементарные частицы спина 1/2 в 4-мерном пространстве-времени [4, стр. 52-54]. А

35

Франц Герман

Franz Hermann

частицы спина 1/2 - это как раз те частицы, движение которых по окружности можно рассматривать как движение точки по осевой линии листа Мёбиуса. Оказывается, что именно отталкиваясь от структуры ранга (3,3), можно построить интересные геометрические преобразования, связывающие особым способом точки проективной плоскости с точками евклидовой плоскости. Мы не будем здесь показывать все математические выкладки, а познакомим читателя только с самими преобразованиями. Рассмотрим произвольную точку P проективной плоскости с кооридинатами x, y, z. В проективной геометрии это записывается так: P(tx:ty:tz). Множитель t - любое действительное (или комплексное) число не равное нулю. Т. е. какое бы число t мы не взяли, для данных координат мы будем иметь одну и ту же точку. Следующее преобразование «расслаивает» данную точку на две точки Px и P y

(

)

(

)

проективной плоскости следующим образом: Px tx1 : tx 2 : tx 3 , Py ty1 : ty 2 : ty 3 , где

x1 = x ; y1 = y ; x 2 = y 2 = Cos( z ) ; x 3 = y 3 = Sin( z ) . И второе преобразование ставит в соответствие каждой из точек Px и P y по три координаты точек евклидовой плоскости X i и Yi соответственно:

{

}

X i = t ⋅ x1i m (− 1) x 2 i ± (i − 2) x 3 i , i

{

}

Yi = t ⋅ y1i ± (2 − i ) y 2 i m (− 1) y 3 i , i

где x ij = x i : y ij = y i i ∈ (1,2,3 ) . Почему же эти преобразования нам интересны. Во-первых, как уже говорилось, они построены на основании структуры ранга (3,3), как и спиноры четырёхмерного пространства-времени. А спиноры нам ещё понадобятся. Во-вторых, независимо от координат x, y, z в результате мы получаем точки Ai X i ,Yi , которые на евклидовой плоскости всегда (!) определяют «золотой» тругольник (Рис. 1.38).

(

)

A2

h

A1

A3 Рис. 1.38

Здесь A1 A2 = A2 A3 , A1 A3 = h - высота треугольника. Почему такой треугольник называется «золотым»? Если обозначить через p его полупериметр, то p = ϕ - «золотая» пропорция. А ранее мы уже отмечали фундаментальную роль h «золотой» пропорции для живой природы. 36

Франц Герман

Franz Hermann

Координаты x и y отвечают за координаты середины высоты, полученного треугольника, координата z задаёт поворот этого треугольника вокруг середины высоты, а коэффициент t отвечает за масштаб треугольника: h=2t. И в-третьих, мы не случайно обозначили коэффициент через букву t. Для проективной геометрии t - любое действительное число неравное нулю. Если связать t со временем, то можно сказать, что на координаты время не оказывает значения. При t равном нулю возможно и произошол акт творения. Нам не дано знать, что было в точке ноль. Кроме того прошлое существует, следовательно отрицательные значения t нас тоже не должны пугать. И, наконец, в полученном треугольнике величина t проявляет себя уже как масштабная единица – налицо связь пространства и времени. Что в свою очередь подтверждает возможность исследования пространственно-временных отношений с позиции теории структур. Можно и координаты точек евклидовой плоскости рассматривать с точки зрения проективной геометрии. Тогда каждой точке A(X, Y, Z) в евклидовом пространстве ставится точка P x1 : x 2 : x 3 : x 4 проективного пространства. Для удобства и не в ущерб общности можно положить t = 1. Здесь имеем:

(

)

x x1 x ,Y = 2 , Z= 3. x4 x4 x4 Тогда, например, дифференциал точки X будет иметь вид: X=

dX =

(1.4)

x 4 dx1 − x1 dx 4 . x 42

Исследователи торсионных полей, утверждают, что электромагнитное поле порождает торсионное поле и есть эксперименты, подтверждающие этот факт. Однако, из уравнений Максвелла, которые описывают электромагнитное поле, это никак не видно. Может быть следует уравнения Максвелла переписать с учётом преобразований (1.4), и рассмативать, вновь появившиеся дополнительные члены уравнений, как ответственные за торсионные поля? Возможно, на стыке макрофизического и тонкого мира как раз и проявляются особенности геометрии пространства. И это удалось почувствовать в своих опытах Роберту Монро. В качестве связи физического и тонкого тела можно предложить такую довольно примитивную абстрактную аналогию. Возьмите три одинаковых достаточно длинных бумажных полоски. Сложите их одна на одну и перекрутив на пол оборота склейте концы, так как это мы делаем, когда хотим получить лист Мёбиуса. Мы получим две фигуры. Их можно разъеденить. И тогда мы увидим, что одна из них представляет собой лист Мёбиуса, а вторая – двусторонняя замкнутая полоса, которая называется дважды скрученным цилиндром. Этой второй фигуре мы и сопоставим наше физическое тело. А в качестве тонкого тела будем рассматривать лист Мёбиуса. Как видим, в исходном положени тонкое тело целиком спрятано под оболочкой физического тела, но его можно оттуда достать. Оба тела в этом последнем состоянии оказываются свободными, но сцепленными и освободить тонкое тело можно лишь при условии, что физическое тело будет разрушено. В заключение вернёмся ещё раз к модели проективной плоскости. Вернее к той её части, которая является листом Мёбиуса. Как известно, лист Мёбиуса может быть двух типов: лево и право закрученным. Причём закрученность эта жёсткая, т. е. никаким образом не удастся правый лист Мёбиуса вывернуть так, чтобы он стал левым и наоборот. Если предположить, что в 37

Франц Герман

Franz Hermann

основе нашего мироздания действительно лежит проективная геометрия (автор в этом не сомневается), то «винт», привнесённый в неё листом Мёбиуса, должен каким-то образом проявляться в окружающем нас мире, вносить некую асимметричность. (Кстати, в отличие от куба ромбический додекаэдр имеет винт. Это легко можно заметить, если построить бумажные модели этих фигур и раскрасить в три цвета так, чтобы соседние грани не были раскрашены в один цвет. Симметрия куба будет идеально изоморфна (неизменна) относительно любого из трёх цветов, а для ромбического додекаэдра такого изоморфизма не существует). В биологии, например, мы видим наличие спиралей в строении многих организмов, причём, закрученных строго в одну сторону.

рис. 1.39 В химии проявление «винта», возможно, связано со свойством строго определённой либо левовращающей, либо правовращающей поляризацией веществ, входящих в живые организмы. Вместе оба эти свойства никогда не наблюдаются. Существует некий запрет. Это свойство было открыто Пастером в 1848 году. В физике «винт» тоже существует и проявляется в опыте Ву в виде асимметричного выхода числа электронов во время β - распада. И ещё хотелось бы сказать об одной проблеме. Роберт Монро существование тонкого тела вплотную связывает с явлениями электромагнетизма (См. третью часть настоящего исследования «Вытягивание»). Электричество и магнетизм неотделимы друг от друга. Возможно, это явление также связано с фундаментальными свойствами проективной геометрии, например, с принципом двойственности. Тогда, отталкиваясь от этого предположения, можно попытаться объяснить почему не найден до сих пор Монополь Дирака. Существует элементарная частица электричества – электрон, а элементарную частицу магнетизма (Монополь Дирака) обнаружить не удаётся. Если явление электромагнетизма связано с геометрическим принципом двойственности, то Монополь Дирака следует искать не в виде элементарной частицы, а в виде бесконечно большой элементарной (элементарно тонкой) замкнутой нити, т. к. проективные прямые являются замкнутыми, а всякой проективной прямой согласно принципу двойственности соответствует в проективном пространстве точка (электрон).

электрон

Монополь Дирака Рис. 1.40 38

Франц Герман

Franz Hermann

В этом случае обнаружить Монополь Дирака целиком просто нельзя, но, возможно, частично в каких-то экспериментах он себя и показывает. Мы можем пофантазировать и представить себе, что когда-нибудь физики научатся исследовать «свёрнутые» области пространства. В этом случае Монополь Дирака может объявиться в полном, так сказать, виде, представ перед исследователями, например, в форме тора. Мы обошли вниманием в нашем рассмотрении моделей проективной плоскости и проективной сферы механизм перескока из одной точки экваториальной окружности в диаметрально ей противоположную. Оказывается с математической точки зрения такой механизм перескока вполне реализуем. Для этого необходимо, чтобы наша экваториальная окружность находилась в плоскости некоторого спинорного пространства. Плоский или двумерный спинор s(ξ ,η ) обладает тем свойством, что когда вся система совершает полный оборот на 360 градусов наш спинор меняет свои координаты на противоположные: s( −ξ ,−η ) . Другими словами – переходит в диаметрально противоположную точку. Остаётся только предположить, что наш Творец, являясь, безусловно, математиком, заложил в наше мироздание ещё и квант вращения на полный оборот, который в повседневной нашей жизни незаметен, но который призван осуществлять механизм перескока (не квант ли это торсионного поля?). На эти соображения меня навёл рассказ одной моей знакомой, которая активно интересовалась опытами Роберта Монро. Возвращаясь однажды из ночных полётов, в момент вхождения в физическое тело, где-то на границе сна и бодрствования, она явно ощутила, как её мозг сделал вдруг полный оборот вперёд, вокруг мысленной оси, проходящей через виски.

39

Франц Герман

Franz Hermann

Часть II Число «Яркая, вечно изменчивая полнота красок, случайностей, не поддающаяся нашему чувству разнообразия, живая природа, в сущности, построена на мере и на числе. Она согласована в своих тончайших проявлениях и, по существу, является частью единого стройного целого, единой структуры организованности» (В. И. Вернадский) «Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть» (Откровение Иоанна Богослова «13:18»)

Число является одним из первичных объектов математики. Существует несколько различных точек зрения, отвечающих на вопрос, что такое число. Платоновский подход к этому вопросу говорит, что «математические понятия объективно существуют как особые сущности между миром идей и миром материальных вещей» [15, стр. 8]. Многие выдающиеся математики такие как Дедекинд, Кантор, Эрмит придерживались платоновской точки зрения. Кантор «приписывал числам самостоятельное существование в царстве идей. Эрмит утверждал, что числа – не произвольные создания нашего ума, а существуют вне нас с такой же необходимостью, как и предметы объективной реальности, мы их встречаем или открываем и изучаем так же, как физики, химики или зоологи исследуют свои объекты» [15, стр. 9]. А Пифагор, как известно, обожествлял числа: «... число есть сущность всех вещей, и организация Вселенной в её определениях представляет собой вообще симметрическую систему чисел и их отношений» [16, стр. 16]. « Бог – учили пифагорейцы, - положил числа в основу порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и создаёт всё в космосе, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях... Блаженство есть знание совершенства чисел души» [17, стр. 129]. Мы не будем здесь заниматься рассмотрением различных филосовских взглядов на число. В этом вопросе автор придерживается мнения Пифагора и Платона. Мы постараемся заглянуть в этот удивительный мир чисел и посмотреть на него, как на некий фундамент плана Божественного творения. Можно не принимать такую точку зрения. Творец, мол, вовсе не нуждается ни в каком плане творения и число здесь не при чём. «Между тем числа выступают на самых «горячих» точках науки: то при изучении распределения планет в Солнечной Системе, то при объяснении сущности кода наследственности, то при выводе фундаментальных инвариантов в теоретической физике, то при объяснении периодической природы музыкального ряда и ряда Менделеева» [16, стр. 16-17], то при рассмотрении закономерностей в живой природе. Уже из самых древних источников, дошедших до нашего времени, видно, что человечество с незапамятных времён пользовалось понятием числа. Правда сначала это были непозиционные системы числовых обозначений. «Крупным шагом вперёд, 40

Франц Герман

Franz Hermann

оказавшим колоссальное влияние на всё развитие математики, было создание позиционных систем счисления» [18, стр. 52]. Было ли в этом Божественное провидение? Может быть, если бы наука пошла другим путём, то человечество уже сейчас могло бы запросто путешествовать к звёздам? Известный социолог, бизнесмен и исследователь творчества братьев Стругацких С. Б. Переслегин отмечает. «Понятно, что выиграло человечество, перейдя к позиционной записи числа. Гораздо труднее определить, что при этом было потеряно. И довольно трудно поверить в то, что за прогресс в информатике, за создание виртуальной реальности человечество, по всей видимости, заплатило отказом от звёзд» [19, стр. 530]. Действительно, поверить трудно. Первые позиционные системы записи чисел появились в Вавилоне [18], правда не сохранилось никаких исторических сведений, как это произошло и было ли в этом Божественное провидение. В Библии мы тоже не находим на это ответа, хотя косвенные доказательства имеются. Известный израильский математик Элиягу Рипс математически доказал [20], что в Библии, в Ветхом Завете зашифрована история человечества. Частичные фрагменты этой тайнописи уже расшифрованы при помощи компьютерных программ. Но возможно ли было создание компьютеров без позиционной записи чисел? Верится с трудом. А коль библейская тайнопись существует, то, стало быть, Бог знал, что человечество пойдёт по «позиционному» развитию понятия числа. А, может быть, не только знал, но и направлял. Мы ещё вернёмся в нашем исследовании к вопросу о позиционной записи чисел. А теперь приоткроем дверь и войдём в удивительный и загадочный мир чисел, Вселенную чисел. Основную аксиому нашего исследования, мы сформулируем чуть позже. Главным объектом нашего исследования будет натуральный ряд чисел N. В последнее время всё больше и больше появляется книг посвящённых паранормальным явлениям. Если раньше люди, сталкивающиеся с такими явлениями, старались об этом не распространяться, чтобы не прослыть сумасшедшими или, по крайней мере, людьми со странностями, то сейчас страхи отступили. Я бы сказал, начинается эра всемирного откровения. Одними из первых таких откровений для меня стали книги Роберта Монро. Преуспевающий бизнесмен, руководитель крупных фирм не побоялся негативного общественного мнения, не побоялся разрушить свою карьеру и был понят. Никаких прямых размышлений о числе и его природе в книгах Монро нет. Есть только маленький эпизод, когда в «разговоре» с одним из разведчиков Роберта Монро разумник из высших сфер говорит: «Они (прародители человечества. Авт.) осознали, что такое число, поняли, что из одного может получиться многое» [1, стр. 77]. Это признание и послужило последней каплей в принятии решения о написании этой части настоящей книги. А великий Эйлер не случайно писал: «Всякий человек может быть уверен, что он включён в план мироздания во веки веков и что всё, что с ним происходит, теснейшим образом связано с его насущными нуждами ...» [27, стр. 192]. Я по образованию – геометр и теорией чисел никогда не занимался, если бы не один фантастический, прямо мистический случай, который во многом определил дальнейшую мою жизнь, и о котором теперь уже можно рассказать с уверенностью, что не попадёшь в разряд умалишённых. Итак, всё по порядку. Кончался день 20 апреля 1992 года. Я собирался ложиться спать. Как всегда, положил на тумбочку около кровати чистый лист бумаги, карандаш и поставил будильник. Многолетняя практика теоретических исследований приучила меня всегда иметь ночью под рукой лист бумаги, карандаш и возможность быстро включить свет. Как 41

Франц Герман

Franz Hermann

известно, именно ночью зачастую приходят в голову решения задач, над которыми тщётно бился многие месяцы, а порой и годы. Со мной это случалось десятки раз, потому и выработалась такая привычка. Я уже практически заснул, как вдруг отчётливо услышал голос. Я лежал на правом боку и было ощущение, что кто-то низко склонился к левому моему уху и отчётливо, ясно и громко произнёс: «Необходимо исследовать число 666». Голос был мужской, очень низкий, с оттяжкой на бас. Я мгновенно проснулся и зажёг свет. Естественно, никого не было. Я не испугался и не удивился. Взял карандаш и записал услышанную фразу на бумагу, поставил число и время. Будильник показывал ровно 12 часов ночи. Потом снова лёг и мгновенно заснул. На следующий день, придя с работы, я вспомнил ночное происшествие. Листок с записанной фразой я оставил на своём домашнем рабочем столе. Перечитав услышанную фразу несколько раз, я немного растерялся. Написанное не было решением или подсказкой к решению тех задач, над которыми я в то время работал. Не заметил я в этом и какой-то новой оригинальной проблемы. У меня уже были случаи, когда новые задачи «приходили» в ночное время. Что за число 666 я, кончно же, знал, хотя к тому времени Библию не читал и даже в руках не держал, да у меня её и не было. И что значит «исследовать число»? Так, не придя ни к какому решению, я вернулся к своим текущим занятиям. Листок с записанной фразой я не выбросил. Это тоже многолетняя привычка – хранить черновики до полной, так сказать, ясности. Через несколько дней я случайно встретился с другом, с которым частенько обсуждаю свои текущие математические проблемы, и рассказал ему про ночной случай. Друг высказал предположение, что я на ночь читаю Библию и очень удивился моему недоумению - «причём здесь Библия?». Ещё через несколько дней он принёс мне Библию и показал то место из «Откровений», которое вынесено в эпиграф к этой части. По сути дела то, что сказано в Библии и то, что я услышал ночью – одно и тоже. Конечно же, бывают удивительные совпадения. Бывают случаи, когда совершаются открытия и делаются изобретения людьми, живущими на противоположных сторонах Земли. Конечно, было бы интересно узнать сколько ещё людей услышали эту фразу во сне, но как это сделать? И я решил предпринять попытку в исследовании числа 666, не предполагая, что эта работа захватит меня так, что все остальные дела уйдут на второй план, а в результате получится целый труд, который я потом назову «Дифференциальной теорией чисел». Но пока до этого было очень далеко. Первое, что я сделал, я дал «имя» числу 666 и обозначил его буквой Z. Мне почему-то не понравилось упоминание какого-то зверя в связи с этим числом. Итак,

Z = 666. И всё-таки, с чего начинать исследования. Библия выделяет это число и связывает его каким-то образом с людьми. Поэтому я решил попытаться представить число Z в нашей действительности. Когда, например, на дню наступает число Z? Я представил число Z в часах и минутах, разделив его на 60. Получилось 11 часов 6 минут. Таким образом, если вести отсчёт от ноля часов, время Z в сутки наступает дважды, в 11 часов 6 минут и в 22 часа 12 минут (Рис. 2.1). Отвлечёмся на время от повествования и вернёмся в наше время. Известный экстрасенс Г. П. Грабовой рекомендует заниматься концентрацими во время, очень близкое ко второму времени Z . Например, «чтобы менять реальность в обобщённом плане» надо. «... сосредоточиться на указательном пальце правой руки с 22 ч. 02 мин. До 22 ч. 04 мин» [22, стр. 7]. Переводить в вертикальную плоскостную структуру информационную линию управления можно «путём концентрации внимания на 42

Франц Герман

Franz Hermann

указательном пальце правой руки с 22 ч. 00 мин. до 22 ч. 17 мин.» [22, стр. 11]. «Технология концентрации – это когда человек не прослеживает рассмотренные геометрические связи, а решает проблемы через концентрацию, например, на мизинце правой руки с 22 ч. 00 мин. до 22 ч. 03 мин.» [22, стр. 15]. Метод управления ситуацией достигается концентрацией «внимания на кистях рук и стопах ног с 22 ч. 00 мин. до 22 ч. 05 мин» [22, стр. 20]. Диагностической процедурой является индикация правого мизинца «с 22 ч. 00 мин. до 22 ч. 17 мин.» [22, стр. 22]. Исследованием поиска связей между различными структурами, например сердцем и печенью надо заниматься « 22 ч. 00 мин. до 22 ч. 07» [22, стр. 24], а чтобы преобразовать ситуацию, чтобы она была нормирова надо проводить концентрацию «на указательных пальцах рук с 22 ч. 03 мин. до 22 ч. 04 мин» [22, стр. 25]. Чтобы канонизировать необходимую информацию надо «проводить концентрацию на указательных пальцах рук больших пальцах рук и ног с 22 ч. 17 мин. до 22 ч. 27 мин.» [22, стр. 33]. «Чтобы войти в промежуточном варианте в область информации, есть определённый тоже тренинг: с 22 ч. 17 мин. до 22 ч. 22 мин. Концентрация на указательном пальце правой руки» [22, стр. 38]. Чтобы «найти систему концентрации внимания на подкорке» надо концентрироваться на указа тельных пальцах рук «с 22 ч. 45 мин до 22 ч. 47 мин.» [22, стр. 39]. Чтобы найти информативную дугу нужно «концентрировать внимание с 22 ч. 00 мин. до 22 ч. 17 мин на мизинцах рук» [22, стр. 43]. « Когда вы хотите понять, как преобразовать импульс, идущий в сторону дуги, надо сосредоточиться на этом расстоянии. Прислушиваться к себе с 22 ч. 17 мин. до 22 ч. 20 мин.» [22, стр. 44]. Для управления структурой желудочно-кишечного тракта надо концентрироваться «с 22 ч. 05 мин. до 22 ч. 10 мин. на указательных пальцах рук» [22, стр. 45].

Рис. 2.1 Понять о чём идёт речь в этом учении по тем цитатам, что я выписал просто невозможно. Я хотел лишь показать, что Г. П. Грабовой для своих концентраций выбирает время очень близкое к времени Z. К сожалению, он не объясняет, почему выбрано именно это время. Хочется верить, что это не случайно. Но вернёмся к исследованию числа Z. Следующим шагом я решил узнать, что представляет собой число Z в часах и днях. Т. е. я разделил число Z на 24 и получил: 27 дней 18 часов. Далее решил выяснить, когда же наступало это время Z , беря за точку отсчёта начало 1992 года. 1. 2. 3. 4.

28 января в 18 ч. 00 мин. 25 февраля в 12 ч. 00 мин. 24 марта в 6 ч. 00 мин. (надо помнить, что 1992 год был високосный). 21 апреля в 0 ч. 00 мин.

43

Франц Герман

Franz Hermann

Т. е. именно в это время я и услышал голос. Начиналась какая-то мистика. Я подсчитал сколько полных дней прошло с начала года до знамения (я стал называть этот случай – час знамения). Оказалось 111 дня. Т. е. умножив число 111 на 6 получалось число Z. С другой стороны, прибавив к числу 1992 число 6 получим утроенное число Z. Почти каждый вечер я играл с числами и находил удивительные закономерности, связанные с числом Z. Забегая вперёд скажу, что период с 1998 г. по 2001 г. был насыщен пристальным вниманием к числу Z. Почти в каждом номере немецкого журнала «2000. KOSMOS ERDE MENSCH» появлялась статья, связанная с числом Z. Но надо сказать, не в обиду этому интересному журналу, всё выглядело както уж по-детски. Никто даже не заметил, что число 1998 = 3 × 666. Почему-то все ждали 1999 года. Самым «крутым» достижением в поисках числовых закономерностей в этих статьях, было выражение: 36

∑n = Z . n =1

Мой трактат к тому времени был давно завершён. Я закончил над ним работать в октябре 1993 года. Я упаковал его в папочку и спрятал подальше. Честно сказать я и сам был удивлён для чего я всё это делал. Кроме всяких числовых закономерностей в нем были различные кабалистические знаки, связанные с числом Z, превращения чисел путём отражения в зеркалах, связь числа Z с магическими квадратами, вводились системы счисления с отрицательным основанием (например, Z −11 = Z ) и многое другое. Всё это походило на теоретическое пособие для какой-нибудь секты «сатанистов». Поэтому я свой трактат никому не показывал и никому о нём не говорил. Где-то в конце 1998 года я работал над небольшой лекцией под названием «Математика в живой природе» (меня попросили выступить перед школьниками – победителями математических олимпиад Саксонии). В этой лекции много места отводилось «золотому» сечению. Помню, зачем-то мне понадобилось узнать, в каких угловых пропорциях с точностью до градуса надо разрезать круг, чтобы получить «золотое» сечение. Наилучшее приближение давало отношение 222 : 138. Т. е. 222 ≈ϕ , 138

где ϕ = 1,6180339... - «золотое» сечение, а 222° + 138° = 360°- полный круг. И тут я вспомнил, что что-то подобное я уже где-то видел. Так начался второй виток в исследовании числа Z. Одно из самых красивых числовых выражений, связанных с числом Z, которое удалось мне найти, имеет вид: 2 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 112 + 13 2 + 17 2 = Z ,

(2.1)

т. е. сумма квадратов семи последовательных простых чисел равна Z. Для интереса покажу ещё одно выражение из того трактата о числе Z, правда, не относящееся к дальнейшим исследованиям: 17 3 − 13 3 − 113 − 7 3 − 5 3 − 3 3 − 2 3 = Z + 6 ⋅ 6 ⋅ 6 .

44

Франц Герман

Franz Hermann

Как видим, в левой части стоят всё те же семь последовательных простых чисел. Но вернёмся к выражению (2.1). Это выражение можно представить геометрически следующим образом (Рис. 2.2).

11

13

7

α ≈ 138°

5

2

17

3

Z

Рис. 2.2 Вновь встретилось число 138. Далее в тексте было отмечено, 360 – 138 = 222, а 3 ⋅ 222 = Z . Дальше исследования начали развиваться таким образом. Я решил применить метод Пифагора - найти сумму всех делителей числа Z, включая 1 и не включая само это число. Получил число 816. Я назвал это число производным числом от числа Z. Затем я вычислил разность 816 и Z, получил число 150. Когда я вычислил производное число от числа 150, то получил число 222. Это меня несколько удивило. И уже совсем я был изумлён, когда выяснилось, что производным числом от числа 138 является число 150. Как-то всё завязывалось. Потом я ввёл следующие обозначения. Производное число порядка k от натурального числа n обозначалось как ∂ k n . Т. е. ∂ 2 138 = 222 . Далее выяснилось, что 138 + ∂ 5 138 = Z . Я уже не удивлялся.

Поиграв с числами таким образом ещё несколько дней и получив множество красивых числовых выражений для чисел 138 и Z, я пришёл к мысли, а почему бы не исследовать весь натуральный ряд таким образом. По сути дела, с этого момента и начинается создание исследования, которое позднее я назвал «Дифференциальная теория чисел», а число Z явилось просто своеобразным ключом, которым была открыта дверь в удивительный мир чисел.

45

Франц Герман

Franz Hermann

К этому времени я уже переоткрыл формулу (которую ранее не знал), для вычисления производного числа n, которое можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел. Т. е. если n = k1 ⋅ k 2 , где k1 , k 2 = 1 , то

(

)

∂n = k 1 ∂k 2 + k 2 ∂k 1 + ∂k 1 ∂k 2 (2.2) Запись k1 , k 2 = 1 является общепринятой в теории чисел и говорит о том, что числа k1 и k 2 не имеют никаких общих делителей кроме единицы. Также я ввёл ещё «свёрнутое» выражение для формулы (2.2):

(

)

⎛k ∂n = ⎜⎜ 1 ⎝ ∂k 1

k2 ⎞ ⎟, ∂k 2 ⎟⎠

(2.3)

направления сторон треугольника ∆ символически указывают какие элементы надо между собой перемножать. Я это сделал, чтобы не было путаницы с традиционным обозначением матриц. Всё это позволяло быстро вычислять производные числа. Я вычислял не только первые производные, а выичслял всю цепочку производных для данного числа. Для цепочек производных было введено обозначение: n ⇒ n1 ⇒ n2 . Это значит, что ∂n = n1 , а ∂n1 = n2 и ∂ 2 n = n2 . Цепочки производных первых 1000 натуральных чисел приведены в Приложении 2 «Цепочки производных чисел». Строя цепочки, возникла необходимость ввести понятие «собственного» и «несобственного» натурального числа. Что это значит. Если число n не является производным числом ни какого числа в цепочках, всех чисел меньших числа n , то такое число я назвал собственным. В противном случае – число называется несобственным. Пример цепочек. 1 ⇒1 2 ⇒1 3 ⇒1 4 ⇒3⇒1 5 ⇒1 6 ⇒6⇒6⇒... 7 ⇒1 8 ⇒7⇒1 9 ⇒4⇒3⇒1 10⇒8⇒7⇒1 11⇒1 12⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 13⇒1 14⇒10⇒8⇒7⇒1 15⇒9⇒4⇒3⇒1 16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1

Рис. 2.3 Если число, впервые появлялось среди производных чисел и чисел натурального ряда, то оно окрашивалось в красный цвет. Все дальнейшие его появления окрашивались в синий цвет. Т. о. собственные числа в натуральном ряде всегда имеют красный цвет, а несобственные – синий. Так называемые «совершенные» числа, для которых ∂ k n = n , оставались чёрными. С древних времён для таких чисел известна формула: 46

Франц Герман

Franz Hermann

(

)

n = 2 p −1 2 p − 1 ,

(2.4)

где p - простое число. Я строил цепочки производных, раскрашивал собственные и несобственные числа. Всё было нормально. Длина цепочек всё время колебалась. Но слишком длинных цепочек не было. И вдруг разразился скандал. Цепочка производных росла и не хотела обрываться. Более того, наступил момент, когда я вообще не смог вычислить очередную производную. Не хватало числовых позиций в калькуляторе (я работал кустарным образом). Тогда я решил написать простенькую программку и построить все цепочки заново. Заодно и проверить, не было ли раньше сделано ошибок. Компьютер повторил все результаты, а на том же самом числе программа «свалилась», после вычисления 108 производного числа. Собственным числом этой цепочки производных оказалось число 138 ...! Последним производным числом было число ∂ 108 138 = 1677601896 . По сравнению со всеми предыдущими числами цепочка числа

138 была как взрыв в размеренной «жизни» натурального ряда (см. Приложение 2). Это число было почему-то особенным и я дал ему имя: f = 138. Я не стал переделывать программу и решил ввести понятие «суперчисел». А критерием для определения таких чисел стала моя компьютерная программа. Если не удавалось вычислить всю цепочку производных какого-то числа и программа «сваливалась», то такое число заносилось в разряд суперчисел. Возникло искушение проверить цепочку числа Z. Но ничего особенного я там не заметил. Цепочка не длинная, более того, и само число Z оказалось к тому же несобственным. Я понял, что число Z уже сыграло свою роль. Я предположил, что за числом f начнётся активное появление суперчисел. Но ничего подобного не произошло. Натуральный ряд продолжал свою размеренную «жизнь». Был небольшой скачок на числе 180, но цепочка «умерла» на 51 производном числе. Правда некоторая особенность была: ∂ 5 180 − 180 = Z . Число Z вновь напомнило о себе. Программа свалилась на числе 2f. Компьютер вычислил всего 38 производных, но величина чисел нарастала так стремительно, что дальнейшее вычисление производного числа было уже компьютеру не под силу. ∂ 38 (2 f ) = 1642613196 .

Неужели натуральный ряд квантован? И вновь натуральный ряд вёл себя спокойно. Я ожидал, что «взрыв» будет на числе 3f. Но этого не произошло. Число 3f оказалось несобственным. Дважды ряд слегка «вспыхивал» красным на числе 318 и 480, но цепочки «умирали». Очередной взрыв произошёл на числе 4f. Значение чисел в цепочках росло стремительно и компьютеру удалось вычислить только 41 производное число. ∂ 41 (4 f ) = 2083037964 . Здесь опять число Z некоторым образом напомнило о себе. ∂ (4 f ) = 888 = Z + ∂ 2 f .

Очередная «вспышка» натурального ряда произошла довольно скоро, на числе 564. Это число не относилось к числам вида k f, где k - натуральное число. Таким образом, появилось некоторое разнообразие среди «суперчисел». Однако, при внимательном рассмотрени цепочки числа 564, выяснилось, что начиная с шестого производного числа все последующие числа – это цепочка числа 28 f. Т. е. «суперчисло» было, но сценарий его развития был связан с числом 28 f: ∂ 6 564 = ∂ (28 ⋅ f ) . 47

Франц Герман

Franz Hermann

Я думаю, что нет смысла продолжать дальнейшее описание жизни натурального ряда, т. к. у читателя под рукой есть Приложение 2, но хотелось бы взглянуть на натуральный ряд не с «количественной» стороны, имея в виду значения чисел, а с качественной – как выглядит натуральный ряд со своими цепочками производных в некотором абстрактном виде. Т. о. Появилось понятие «спектра» натурального рада чисел. Что такое спектр натурального ряда. Вспомните как выглядит интервал натурального ряда от 1 до 16 со своими производными (Рис. 2.3). Здесь сам натуральный ряд располагался вертикально, а цепочки производных чисел – горизонтально. Чтобы представить спектр этого участка, надо всю картинку (Рис. 2.3) повернуть на 90 градусов против часовой стрелки и собственные числа заменить красными кружочками, а несобственные – синими. Кружочки совершенных чисел окрашивались в жёлтый цвет (Рис. 2.4).

Рис. 2.4 Для представления наглядной картинки было разработана компьютерная программа. Спектр натурального ряда выводился на экран компьютера. Здесь каждый кружок был представлен одним пикселем (точкой на экране) соответствующего цвета. Порядок наибольшего производного числа равнялся 80. Если во время вычисления очередного производного числа в цепочке совершенного числа было получено максимальное, по возможностям программы, число, а порядок производного был меньше 80, то вся цепочка до 80-го порядка окрашивалась в красный цвет. Таким образом выделялись «супер спектральные линии», т. е. цепочки производных для суперчисел. В Приложении 2 показан спектр натурального ряда на интервале от 1 до 4830 числа. Весь интервал, исходя из возможностей компьютерной техники, разбивался на 5 частей, по 966 чисел в каждой части. Голубым цветом показана дополнительная сетка, делящая весь интервал на части по 138 чисел. Для выявления суперчисел было исследовано 14490 чисел натурального ряда. Среди них оказалось всего 193 суперчисла. Как видим, суперчисла встречаются довольно редко. Среди них чисел типа k f было всего 10. Но среди оставшихся было 97 суперчисел, цепочки которых представляли собой цепочки чисел типа k f, отличные от тех десяти чисел, которые уже были в данном спектре. Какую-нибудь общую закономерность для остальных 86 суперчисел обнаружить пока не удалось. Т. о. влияние чисел k f на спектр натурального ряда довольно велико и очевидно. По крайней мере, мы это видим на данном интервале натурального ряда. Для интереса приведём сравнительное распределение первых 193 суперчисел и первых 193 простых чисел на соответствующих интервалах натурального ряда чисел (Рис. 2.5).

48

Франц Герман

Franz Hermann mann

18000

1200

16500

1100

15000

1000

13500

900

12000

800

10500

700

9000

600

7500

500

6000

400

4500

300

3000

200

1500

100

0

0 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Рис. 2.5 Голубыми кружочками показаны суперчисла, розовыми – простые числа. Как видим, и те и другие не плохо располагаются вдоль соответствующих «ассимптотных» прямых. На левой вертикальной оси графика приведён интервал для суперчисел, на правой оси – для простых чисел. Надо подчеркнуть, что обнаружить особенность числа f стало возможным благодаря введению понятия собственных и несобственных чисел. Без этого определения число суперчисел во много раз было бы большим и особенность числа f не была бы столь очевидной. Мне не известно, проводились ли подобные исследования или нет, но уверен, что без определения понятия собственного числа исследование цепочек ни у кого не вызвало бы интереса, т. к. в этом случае на роль суперчисел претендовали бы многие числа, а число f просто было бы среди них первым. Т. о., все числа в цепочке числа f были бы сами суперчислами. Если посмотреть на спектр натурального ряда (Приложение 2), то в данном случае все длинные синие спектральные линии соответствовали бы множеству суперчисел. Но оставим на время число f. Пришла пора сформулировать основную аксиому настоящего исследования.

Аксиома: Натуральный ряд чисел является абсолютом для любого разума в Мироздании. Т. е. различные воплощения разума во Вселенной не важно, что лежит в основе их существования и в скольки измерениях их бытие протекает, имеют одинаковое понятие о натуральном ряде чисел. И как следствие этой аксиомы выдвигается

Гипотеза: Натуральный ряд чисел содержит в себе числовые модели всех фундаментальных законов Мироздания, включая и модель сотворения самого разума. Руководствуясь этой гипотезой, мы и продолжим исследования натурального ряда чисел (в дальнейшем: ряда N). Те из читателей, кто уже сталкивался в своём образовании или самообразовании с высшей математикой, знают, что одним из важнейших разделов этой науки является 49

Франц Герман

Franz Hermann

математический анализ. Т. е. дифференциальное и интегральное исчисление. Пусть неискушённый читатель не пугается. Мы не будем сдесь вдаваться в тонкости высшей математики, а приведём всего лишь несколько формул из математического анализа и дифференциальной теории чисел (ДТЧ), между которыми уже по внешнему виду можно провести аналогию. Если даны две функции u = u( x ) и v = v ( x ) , то дифференциал их произведения вычисляется по формуле: d (u ⋅ v ) = u ⋅ dv + v ⋅ du

(

(2.5)

)

Вспомним формулу (2.1): ∂n = ∂ k1 ⋅ k 2 = k1 ⋅ ∂k 2 + k 2 ⋅ ∂k1 + ∂k1 ⋅ ∂k 2 . Как известно, математический анализ оперирует бесконечно малыми величинами, а бесконечно малые второго полрядка просто опускаются. В противном же случае формула (2.5) имела бы вид: d (u ⋅ v ) = u ⋅ dv + v ⋅ du + du ⋅ dv . Т. е. налицо полная аналогия этих формул. И это не единственное совпадение. Дифференциал отношения двух функций u и v вычисляется по формуле:

⎛ u ⎞ u ⋅ dv − v ⋅ du d⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠

(2.6)

В ДТЧ тоже есть формула очень похожая на формулу (2.6). Если n =

x и y

⎛ x ⎞ y ⋅ ∂x − x ⋅ ∂y то ∂ ⎜⎜ ⎟⎟ = . Сходство последней формулы и формулы (2.6) y ( y + ∂y ) ⎝ y⎠ очевидно. Справедливость последней формулы читатель может проверить самостоятельно. При этом надо помнить, что ДТЧ работает с числами ряда N. Вспомним, что существуют совершенные числа, для которых ∂ k n = n . И в

(n, y ) = 1 ,

x

математическом анализе есть функция e , для которой выражение

dk

(dx )

k

dk

(dx )

k

(e ) = e x

x

. Здесь

не имеет принципиального отличия от выраженя ∂ k . Это просто

принятая форма записи. Среди натуральных чисел существуют числа, которые называются дружественные. Они характерны тем, что ∂n1 = n2 , а ∂n2 = n1 . Например, 220⇒284⇒220⇒.... Это не единственный пример [см. 23, стр. 45]. И в математическом анализе есть функции, которые связаны формулами дифференцирования, аналогичными формулам дружественных чисел. Речь идёт о так называемых гиперболическом синусе sh(x) и гиперболическом косинусе ch(x), для d d sh( x ) = ch( x ) и ch( x ) = sh( x ) . Т.е. мы опять имеем аналогию. Кроме которых dx dx d x = 1 , но и ∂p = 1 , где p- простое число. того надо помнить, что dx

50

Франц Герман

Franz Hermann

xk

Отметим также, что для функции специальная формула дифференцирования:

в математическом анализе есть

d k x = k ⋅ x k −1 . И в ДТЧ для чисел p k dx

также есть своя формула:

( )

∂ pk =

(

)

1 pk − 1 . p−1

(2.7)

Глядя на все эти аналогии, можно предположить, что в ряде N заложена числовая модель фундаментального раздела математики, который называется математическим анализом. Для будущих исследователей этих аналогий мы покажем несколько теорем ДТЧ.

Теорема 1: Если x + ∂x = y + ∂y и ( x , n ) = 1; ( y , n ) = 1 , то справедлива формула: n ⋅ x + ∂ (n ⋅ x ) = n ⋅ y + ∂ (n ⋅ y ) ,

(2.8)

здесь x, y, n принадлежат N.

Теорема 2: ⎛ x⎞ ⎛ y⎞ Если x + ∂x = y + ∂y и ⎜ x , ⎟ = 1; ⎜ y , ⎟ = 1 , то справедлива формула: ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ x ⎛ x⎞ y ⎛ y⎞ + ∂⎜ ⎟ = + ∂⎜ ⎟ , n ⎝ n⎠ n ⎝ n⎠

(2.9)

Теорема 3: Если ∂x = y − x и (x,n) = 1, то справедлива формула: ∂ (n ⋅ x ) = n ⋅ ( y − x ) + y ⋅ ∂n

(2.10)

Теорема 4: Если x + y = ∂x + ∂y и (x,n) = 1, (y,n) = 1, то справедлива формула: ∂ ( x ⋅ n ) + ∂ ( y ⋅ n ) = (n + 2 ⋅ ∂n ) ⋅ ( x + y )

Теорема 5: Если

корнями

приведённого

квадратного

(2.11)

урвнения

x2 + b ⋅ x + c = 0

являются простые числа, то ∂c = 1 − b . Здесь b и c принадлежат ряду N. Доказательства этих теорем просты и мы их здесь не приводим, оставляя это в качестве упражнения для заинтересованных читателей. Продолжим исследование ряда N и разобьём всё множество чисел на четыре подмножества следующим образом.

51

Франц Герман

Franz Hermann

Подмножество всех чётных чисел обозначим через S. Очевидно, что фундаментальным числом данного подмножества будет простое число 2. Грубо говоря, чётные натуральные числа – это половина всех чисел ряда N. Числа множества S будем обозначать через s i , где i - порядковый номер числа в множестве S. Все нечётные числа разделим на три подмножества следующим образом. Подмножество U объединяет в себе числа ui ≡ 1 mod 6 . Такая запись чисел читается так: число ui сравнимо с числом 1 по модулю 6. Это значит, что число ui − 1 делится на число 6 без остатка. Т. о. можем записать: ui = 6i − 5 , где i ∈ N . Следующее множество обозначим буквой V, а числа этого множества объединяются свойством: v i ≡ 3 mod 6 или v i = 6i − 3 Фундаментальным числом этого множества будет простое число 3, т. к. каждое число множества V делится на 3. Третье множество обозначим через W, где w i ≡ 5 mod 6 или w i = 6i − 1 . Все четыре подмножества S, U, V и W исчерпывают все числа ряда N. Каждое из этих подмножеств характеризуется каким-то своим уникальным свойством. Про множества S и V мы уже сказали. А множества U и W содержат все простые числа, кроме чисел 2 и 3. Сформулируем три теоремы о произведении нечётных чисел множеств U и W. Эти теоремы нам вскорости понадобятся.

Теорема 1: Если даны два числа ui и u j , то их произведением будет число uk ∈ U . Теорема 2: Если даны два числа ui и w j , то их произведением будет число w k ∈ W . Теорема 3: Если даны два числа w i и w j , то их произведением будет число uk ∈ U . Доказательства этих теорем просты, поэтому мы покажем здесь доказательство только первой теоремы, а доказательство двух других теорем оставляем читателю.

Доказательство: Рассмотрим ряд чисел множества U: U:

1 , 7 , 13 , 19 , ... un = 6n − 5 .

Рассмотрим два числа ui и u j этого множества и вычислим их произведение. ui ⋅ u j = (6i − 5 )(6 j − 5 ) = 36ij − 30 j − 30i + 25 = 6(6ij − 5 j − 5i + 5 ) − 5 .

Выражение в скобках в правой части равенства – это какое-то натуральное число n. Т. о., имеем: ui ⋅ u j = 6n − 5 ∈ U . Что и требовалось доказать. Аналогично доказываются и две другие теоремы. С. Варкентин (Дрезден) предложил оригинальный метод доказательства сразу всех трёх теорем. По методу Варкентина надо расположить все числа множеств U и W на оси целых чисел следующим образом (Рис. 2.7). 52

Франц Герман

− wi

Franz Hermann

0 − 11

−5

1

7

13

uj

Рис. 2.7 Общая формула для чисел множества W имеет вид: w i = 6n − 1 . Слева от нуля располагаются числа множества W, а справа – множества U. Т. к., говоря о произведении, нас интересует в данном случае только его численное значение, а не знак, то будем считать числа множества W отрицательными. Тогда по правилу умножения целых чисел автоматически получаем доказательства сразу всех трёх теорем о произведении нечётных чисел. Чем интересен для нас метод Варкентина? Этот метод хорош тем, что он не даёт жёсткой привязки множеств U и W к полуосям целых чисел. Действительно, мы свой выбор сделали совершенно произвольно, расположив числа множества W слева от нуля, а числа множества U - справа. А теперь поменяем местами числа этих множеств. Пусть слева от нуля будут лежать числа множества U, а справа числа множества W. Получаем противоречие теоремам о произведении нечётных чисел. Что же получается? Метод Варкентина не приемлен в данном случае? Чтобы сохранить универсальность метода, надо рассматривать числа множеств U и W, расположенными на полуосях целых мнимых чисел. Каждое целое мнимое число записывается в виде: ni, где i ⋅ i = −1 . В данном случае метод Варкентина вновь работает. Подведём некоторый итог. Зная теоремы о произведении нечётных чисел и метот Варкентина, можно сказать, что в свойствах чисел натурального ряда заложена возможность существования, как целых так и комплексных чисел. Немного отвлечёмся от нашего повествования и дадим волю своей фантазии. Мы разбили множество чисел ряда N на четыре подмножества. Подмножество S явно выделено. Это подмножество чётных чисел. Остальные три – это подмножества нечётных чисел. Может быть в этом можно усмотреть идею необходимости существования четырёхмерного континуума, ставя в соответствие множеству S временные характеристики Мироздания, а множествам U, V и W - пространственные? Прошу обратить внимание читателя на такую сторону вопроса. Три пространственные размерности нашего мира только с точки зрения абстрактной геометрии являются равноправными. В повседневной же нашей жизни мы очень ощутимо отличаем различия в направлениях движения «вверх-вниз» от направления движения «западвосток» или от направления движения «север-юг». И не только мы с вами понимаем эти различия в направлениях, но и вся живая природа тоже руководствуется в своём развити этими различиями. Читателю не составит труда в этом убедиться (закон всемирного тяготения, движение солнца по небосводу, изменение климатических зон и многое другое). Выше мы только что убедились, что и множества U, V и W, несмотря на общий характер названия, ямеют свои принципиальные отличия. Т. о. Можно предположить, что размерность нашего макромира заложена в натуральном ряде чисел. Поставим в соответствие множеству N число 1, а подмножествам S, U, V и W 1 1 1 1 1 1 1 1 числа , , , , соответственно. Т. о., можем записать: + + + = 1 . 2 6 6 6 2 6 6 6 Забегая вперёд, скажем, что отталкиваясь именно от таких дробей появляется возможность построения «Геометрического моделирования характеристик элементарных частиц и кварков» (См. Приложение 3). 53

Франц Герман

Franz Hermann mann

А сейчас я хочу познакомить читателя с периодическим законом наших дней рождения. Вообще, говорить об этой периодичности, как о законе ещё рано. Если этот закон и существует, то носит он статистический характер. А всякий статистический закон проверяется статистическими данными. Я не располагаю такими данными, но, по крайней мере для меня, закон этот выполняется пока на все 100 процентов. Кроме того периодичность этих событий связана с числами множеств U, V и W. И поэтому рассказать об этом очень хочется. А, может быть, и закон всё-таки существует? Возможно читатель читатель задавался уже вопросом, через сколько лет день рождения вновь совпадает со своим первоначальным днём рождения. Имеется в виду не только число, но и день недели. Всё зависит от того в каком году по отношению к високосному вы родились (Рис. 2.8). Поясним на примере самого автора. Я родился в среду 21 июля 1954 года. Предыдущий високосный был 1952 год. Следовательно, для меня соответствует Предыдущий диаграмма «Високосный год + 2», показанная на Рис. 8 голубым цветом. Нижняя шкала – это годы, начиная от года рождения (начало координат). Вертикальная шкала показывает условные подъёмы и спады. Для меня день рождения в среду, 21 июля вновь наступил через 11 лет. Следующая среда-мой день рождения был среду, в 17 лет. лет. Потом в 22, потом в 28. Чтобы рассматривать дальнейший ход моей жизни, надо каждое число нижней шкалы увеличить на 28. Т. е. 28 лет - это глобальный цикл периодичности «истинных» дней рождения. Всего мы имеем четыре разновидности таких циклов, в зависимости от високосного года. Все диаграммы этих циклов показаны на Рис. 2.8. 5 4 3 2 1 0

Високосный год 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

5 4 3 2 1 0

Високосный год + 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

5 4 3 2 1 0

Високосный год + 2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

5 4 3 2 1 0

Високосный год + 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Рис. 2.8 Почему я сказал, что для меня предполагаемый закон выполняется на 100 процентов. Все самые яркие и переломные моменты моей жизни начинались строго в самом начале внутренних (локальных) циклов. На подъёме. Судите сами. Начало рождения, естественно, должно быть на подъёме. Иначе, не было бы и самой жизни. Следующий подъём начался у меня в 11 лет. Несмотря на то, что прошло много лет с того времени, я очень хорошо помню, что это был настоящий подъём. Вопервых, сразу после моего 11-летнего дня рождения я тонул. Но меня спасли. Возможно, если бы не было подъёма, то и откачать бы меня не смогли. Во-вторых, в 54

Франц Герман

Franz Hermann

это время началось увлечение научной фантастикой. Вообще я вдруг ощутил вкус к чтению книг. В-третьих, появилось активное творчество. Я строил различные реактивные двигатели, «гиперболоиды инженеров Гариных», всевозможные летательные и самоходные устройства. Организовал дома настоящую лабораторию алхимика. И многе друге. Всё это взрывалось и приносило немалые разрушения, пожары и ранения. Именно в это время началось активное изучение жизни муравьёв. И именно в это время был впервые задан вопрос о смерти и бессмертии. В 17 лет, сразу после моего дня рождения, я поступил в университет. В 22 года началась первая моя трудовая деятельность в конструктоском бюро. В 28 лет, через месяц после дня рождения я поступил на заочное отделение в другой университет (я остро ощутил вдруг нехватку в математических знаниях) и перешёл на работу в вычислительный цент. В 39 лет я вообще круто изменил мою жизнь и переехал на постоянное место жительства в другую страну. В 45 лет я начал заниматься (впервые в жизни) математическим моделированием и был приглашён на работу в филиал известного американского концерна «Дженерал атомикс» в качестве математика-модельера. В 50 лет я открыл для себя этот закон и начал писать настоящую книгу. Резонно задать вопрос, а женитьба, рождение сыновей? Разве это не яркие моменты в жизни? У меня это все тоже происходило на подёъме циклов, но уже ближе к верхнему пику. Моя мама умерла на спаде одного из своих циклов. Отец умер во время верхнего пика. Достоевский и Высоцкий умерли сразу после верхнего пика. Пушкин был убит на верхнем пике. Как уже было сказано, я не располагаю статистикой, но всё-таки было бы интересно проверить. Поэкспериментируйте с собственными датами и датами ваших родных и близких. Может быть периодический закон дней рождений справедлив не только для меня. Выпишем все нечётные числа начал подёмов для всех четырёх вариантов первого цикла, т. е. для первых 28-ми лет. Получим числа: 5, 11, 17, 23. Т. е. все эти числа принадлежат подмножеству W. Все нечётные числа на локальных подъёмах второго цикла, т. е. на этапе 28 – 56 лет: 33, 39, 45, 51 – числа подмножества V. На третьем цикле, в интервале 56 – 84 года имеем: 61, 67, 73, 79 – числа из подмножества U. Затем сменяемость нечётных чисел по подмножествам вновь повторяется. Обратите внимание, в первом и третьем случае – это были простые числа. На этом можно закончить разговор о днях рождения, но прежде я хочу рассказать один случай, который произошёл со мной в канун 2002 года. Я люблю и коллекционирую различные головоломки. Правда делаю это не с большим усердием. Я не покупаю все подряд, встретившиеся мне головоломки, а только особо мне понравившиеся, оригинальные.

55

Франц Герман

Franz Hermann

Рис. 2.9 Так вот в канун нового 2002 года я купил кубик – календарь. На каждой его грани был показан календарь одного из 6-ти месяцев будущего года. Кубик можно было так «вывернуть», что видимые 6 календариков исчезали, а другие 6 появлялись. Таким образом, все 12 месяцев присутствовали в кубике. Дома, играя с кубиком, я обнаружил ошибку в календаре. В июле месяце было два 20-х числа, а 21-го не было. Не было моего дня рождения (Рис. 2.9). На следующий день я снова зашёл в тот магазинчик, перебрал все кубики, но календарей с ошибками больше не было. Я верю, что такое событие не случайно, но что оно собой символезирует я так и не понял. Наступал год «Лошади». Именно в год лошади я и родился. Кроме того, этот год (2002) приходился на пик седьмого моего локального цикла (кстати, июль тоже седьмой месяц). Правда тогда я об этом не знал. И в этом же 2002 году я впервые узнал о существовании тонкого тела и тонкого мира и познакомился с удивительными экспериментами Роберта Монро. Может быть, это событие символизировало для меня нечто такое, что можно было бы назвать ещё одной точкой отсчёта в моей жизни? Пытливый читатель уже обратил наверное внимание на тот факт, что мы уже так долго говорим о числах, но по сути дела до сих пор ещё ничего не сказали о простых числах. А ведь это ни что иное, как кирпичики мироздания натурального ряда чисел. Но всему своё время. И это время настало. Известный специалист по теории чисел Д. Цагер сказал: «При взгляде на простые числа возникает ощущение, будто стоишь перед непостижимой тайной творения» [24, стр. 11]. Я отношусь к тем математикам, которые верят, что ряд простых чисел имеет какой-то очень скрытый порядок и общая формула или закон простых чисел существует, но, видимо, постичь это не так просто. Исследуя число f = 138, я заглянул в его «генетику», т. е. обратил внимание на те простые числа, из которых получается первое суперчисло: 2 ⋅ 3 ⋅ 23 = 138 . Так впервые в моём поле зрения появилось число 23. Как выяснилось впоследствии, число 23 встречается во многих областях человеческой деятельности и на самых ключевых местах. Надо просто внимательно оглядеться вокруг себя. Приведём несколько примеров. В математике число 23 можно встретить в проективной геометрии. Это одно из гармонических чисел. Из теории графов известно, что существует 23 дерева с восьмью вершинами. В теории цветных графов, среди 6-ти известных чисел Рамсея, есть и число 23.

56

Франц Герман

Franz Hermann

Известно, что куб имеет 23 элемента симметрии: 1 центр симметрии, 9 плоскостей симметри и 13 осей вращения симметрии. Существует 23 ⋅ 10 = 230 пространственных групп. А всего существует 23 ⋅ 12 = 276 кристаллографических групп [30, стр. 29]. В сакральной геометрии древо жизни и плод жизни вместе имеют 23 ключевых узла [56]. Физика не так щедра на появление целых чисел в своих законах. Несколько десятилетий в физике выделялось целое число обратное числу постоянной тонкой структуры. Число это 137 . Но с появлением более точных приборов выяснилось, что это число имеет и дробную часть, значение которой увеличивается по мере роста точности измерительных приборов. Однако можно с уверенностью сказать, что целым пределом этой константы будет число 23 ⋅ 6 = 138 . В теории вакуума максимальное квантовое число при квантовании Солнечной Системы равно 23 ⋅ 6 = 138 [33, стр. 79,80]. В теории элементарных частиц масса мюона равна 23 ⋅ 9 = 207 . В химии можно отметить тот факт, что существует только 23 ⋅ 4 = 92 устойчивых элемента, существующих в природе. Из биологии мы знаем, что человек имеет 23 ⋅ 2 = 46 хромосом. Человеческое тело состоит из 1014 клеток, «...необходимо ровно 46 митотических делений клеток, чтобы в человеческом теле был достигнут уровень 1014 клеток [56, стр. 231]». Друнвало Мельхиседек считает такое совпадение не случайным. В обычной человеческой ДНК работает только 23 кодона (20 программных и 3, «включающих» эти программы) [56, стр. 449]. Также можно отметить и такой факт, что в клетке E.coli имеется три разновидности рРНК, различаемые числами Сведберга (S). Одно из них – 23S [25, стр. 48]. «Квант воды» - минимальный кластер содержет ∫ 23 молекулы [54, стр. 141]. А 1

1 23 - это число окружностей в «цветке жизни» [см. 56]. Если Друнвало 3 ∫1 Мельхиседек знал бы дифференциальную теорию чисел, то, думается, он не прошёл бы мимо этого факта (Смысл значка ∫ будет раскрыт в Приложении 4). Истина не лежит

число

1

на поверхности. Возможно, это одна из аксиом Господа Бога. Я не занимался специальным поиском числа 23 . Оно само как-то лезло мне на глаза. В ряде простых чисел имеем: (1 + 2 + 3 ) ⋅ (5 + 7 + 11) = 138 В скобках стоят 6 первых простых чисел и сумма чисел во второй скобке равна 23. Кстати, если таким образом рассмотреть 8 первых простых чисел, то мы получим: 5 (1 + 2 + 3 + 5) ⋅ (7 + 11 + 13 + 17 ) = 528 = ∂ 138 . А сейчас займёмся поиском чисел, позиционный вид которых, соответствует симметричной х – формуле. В двоичной системе счисления имеется только 2 таких числа: 010 и 101. В переводе на привычную нам десятичную систему счисления – это число 2 и число 5. В троичной системе счисления имеем уже 6 таких чисел: 010, 020, 101, 121, 202, 212. В переводе на десятичную систему счисления – это числа: 3, 6 = 2 ⋅ 3 , 10 = 2 ⋅ 5 , 16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 , 20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 , и 23. Я специально выписал все «генетические» разложения, полученных чисел, чтобы можно было наблюдать появление простых чисел. Известно, что числа 2 и 3 являются основными для симметрии неживой природы. Имеется в виду такая наука, как кристаллофизика (кристаллография). Число 5 является фундаментальным для живой природы, начиная с 57

Франц Герман

Franz Hermann

самых простейших организмов (имеется в виду заметное преимущество поворотной симметрии 5-го порядка). И сам генетический код имеет универсальную структуру для всего живого, одной из симметрий которой, является симметрия пятого порядка [16, стр. 226]. Можно предположить, что и число 23 ответственно за что-то важное в нашем Мироздании. Числа 2, 3 и 5 уже включены в работу по сотворению нашего мира. Ничего другого не остаётся, как предположить, что число 23 каким-то образом связано с самим Разумом. Я проверил х – формулы для всех чисел до 14-ричной системы счисления включительно. Возникнув в троичной системе счисления, число 23 уже больше не исчезает и его генетика присутствует хотя бы в одном из чисел с х - формулой. О других же простых числах, которые появляются после числа 23, этого сказать нельзя. В нашей родной десятиричной системе счисления числовая х – формула, где имеется «генетика» числа 23, представлена пятью числами 161 = 7 ⋅ 23 , 414 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 23 , 575 = 5 ⋅ 5 ⋅ 23 , 828 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 23 и 989 = 43 ⋅ 23 . Для интереса покажем формулу, которая даёт число K всех числовых х – формул в системе счисления с основанием q . K = q (q − 1)

(2.12)

Исследуя цепочки чисел натурального ряда, я обратил внимание на очень редкое, а, может быть, и уникальное явление. Первое производное число от числа 120 ровно в два раза больше самого числа: 240. Я проверил, есть ли ещё такие числа. Оказалось, что среди первых ста тысяч чисел натурального ряда таким свойством обладают только два числа: 120 и 672. Число 672 - несобственное. Оно является первым ∂Z . Кроме того, и здесь не обошлось без числа производным числом от числа 2 f = 138 . Разность чисел 672 и 120 равна числу 4 f . Обратим внимание читателя ещё на одно число, которое будем обозначать греческой буквой дельта δ . Число это равно среднему арифметическому от чисел f и f + ∂f ∂f , т. е. δ = = 144 . Это число довольно популярно среди людей занимающихся 2 нумерологией. Его можно встретить и в Библии. Иоанн Богослов и прямо и косвенно упоминает это число несколько раз в своих откровениях. Например, он пишет об измерении Ангелом стены Иерусалима: «И стену его измерил во сто сорок четыре локтя, мерою человеческою, какова мера и Ангела» (Глава 21, 17). В музыкальной грамоте имеется 144 уровня «измерений в каждой октаве» [56, стр. 62]. Число 144 является уникальным числом в известном ряду Фибоначчи, т. к. это единственный квадрат и порядковый номер этого числа равен двенадцати: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... Имеет число 144 отношение и к простым числам. Как оказалось, наименьший магический квадрат, который можно составить из последовательных нечётных простых чисел имеет порядок равный двенадцати, т. е. содержет 144 простых последовательных чисел начиная с единицы. Факт этот настолько уникален и удивителен, что я решил его здесь показать (см. Приложение 6). Каким же образом число 144 проявлет себя в наших исследованиях. Во первых, как я уже сказал, это число является средним арифметическим чисел f и ∂f . Во вторых, число 144 является первым трёхзначным числом среди всех производных чисел. Оно появляется в цепочке числа тридцать. Ну и наконец, это число связано с числовым кодом Божественной Троицы. Что это значит? Что такое Божественная Троица знают 58

Франц Герман

Franz Hermann

все. Менее известен тот факт, что существует и Чёртова троица. Число 666 ещё называют числом чёрной магии, а числовым кодом Лица этой последней Троицы будет число 222, т. к. 666 = 222 + 222 + 222. Магическим же числом белой магии всегда считалось число 777, и число Божественной или Белой Троицы будет число 259. Именно это число является производным числом от числа 144. Более подробно о Троице мы будем говорить в четвёртой части нашего исследования. Вернёмся немного назад и поговорим о метрике числового пространства на множествах U, V и W. В первой части мы упоминали, что такое метрика. Тогда нам хватило словесного описания. Что такое метрика на языке математики. Это некий закон (формула) по которому можно вычислять расстояния S на плоскости или в пространстве. Для евклидовой плоскости таким законом является теорема Пифагора.

Y S

y x Х

Рис. 2.10

S 2 = x2 + y2 Очевидно, что в евклидовом пространстве трёх измерений будем иметь: S = x 2 + y 2 + z 2 . В общем виде без привязки к какой-то конкретной геометрии метрику можно записать в таком виде: 2

S 2 = x 2 + y 2 + z 2 + Axy + Bxz + Cyz Мы не знаем какова геометрия нашего числового пространства, поэтому метрику запишем в общем виде:

R 2 = un2 + v k2 + w m2 + Aun v k + Bun w m + Cv k w m .

(2.13)

Как оказалось метрика (2.13) в некоторых случаях ведёт себя очень интересно. Например, при n = k = m = i и А = В = С = -1, получаем:

( )

2

ui2 + v i2 + w i2 − ui v i − ui w i − v i w i = 2 3 , где

(

)

ui v i + ui w i + v i w i = 6i ui + w i + v i − 9 + 23 . Обратите внимание на появление чисел констант. Но это ещё не всё.

(

3 и 23, в виде независимых от i

)

u22i + v 22i + w 22i − 4 ui2 + v i2 + w i2 + ui + v i + w i = δ ⋅ i −

1 f. 2

Для вывода этих выражений я использовал формулы: ui = 6i − 5 , v i = 6i − 3 , w i = 6i − 1 , u2 i = 2ui + 5 , v 2 i = 2v i + 3 , w 2 i = 2w i + 1 . 59

Франц Герман

Franz Hermann

Существует много интересных и неожиданных теорем, связанных с простыми числами в различных системах счисления. Я покажу здесь одну из них, ранее не встречавшуюся мне в литературе.

Теорема: Если в q -ичной системе счисления p −1

число, то

∑a i =1

i

=

( p − 1) ⋅ (q − 1) .

(

)

1 = 0,0...0 a1a 2 ...a p−1 , где p - простое p

2

(

)

Здесь a1a 2 ...a p−1 - означает период от деления. Доказательство не велико и не сложно и я его здесь приведу, т. к. не имею ссылок ни на какую литературу.

Доказательство: Т. к. в периоде находится p-1 цифра a i , то при делении столбиком получаем p-1 остаток. Причём остатки будут пробегать числовые значения от 1 до p-1 числа, но в перепутанном порядке. Обозначим эти числа через b1 ...b p−1 в порядке их появления. Каждое из этих чисел, чтобы продолжить процесс деления столбиком, увеличивается в q раз. Таким образом мы имеем сумму остатков: 1 + ( p − 1) q ⋅ p ⋅ ( p − 1) ⋅ ( p − 1) ⋅ q = 2 2

С другой стороны сумма остатков равна:

(a

1

)

p −1

p −1

i =1

i =1

+ a 2 + ... + a p−1 ⋅ p + ∑ bi = p ⋅ ∑ a i +

p ⋅ ( p − 1) . 2

Приравняв выражения правых частей обеих равенств и сделав элементарные упрощения, получаем: p −1 ( p − 1) ⋅ (q − 1) (2.14) ai = ∑ 2 i =1 Что и требовалось доказать. Пример: 1/23 = 0,0(4347826086956521739130). Сложив все цифры в скобочках получим число 99. Отметим любопытный факт, что ∂ 2 99 = 23 . Этот же результат мы бы получили, если бы воспользовались формулой (2.14). Теорема эта справедлива не для всех простых чисел, но, как видим, для числа 23 она выполняется. Отметим, что натуральный логарифм числа 23 даёт наилучшее приближение к 8 23

e = 0,14159... вообще даёт точное 10 десятичное разложение числа π до 6-го знака после запятой, где e = 2,718281... основание натуральных логарифмов. числу π

среди всех чисел ln(n ) . А число

60

Франц Герман

Franz Hermann

Коснувшись немного двух фундаментальных трансцендентных чисел π и e , нельзя не отметить связь числа f = 138 с третьим, уже известным нам, трансцендентным числом ϕ . Мы уже встречались с этим числом в первой части настоящего исследования. В данном случае мы покажем связь «золотого вурфа» с числами ∂f , ∂2 f и ∂4 f . Сначала необходимо дать определение «золотому вурфу» - ω . Рассмотрим отрезок, разделённый на три части.

A

B

C

D

Pис. 2.11 Составим такое отношение (В математике его называют сложным отношением или двойным. Это термин проективной геометрии. Дополнительно скажу, что именно благодаря сложному отношению возможно аналитически увидеть кручение в проективной геометрии, о чём мы говорили в первой части. И, кроме того, именно сложное отношение порождает уникальную группу, о которой мы будем говорить в четвёртой части и в Приложениях 1 и 5. Сложное отношение это единственный инвариант проективной геометрии.):

W =

( AC ) ⋅ ( BD ) . ( BC ) ⋅ ( AD )

Если длины наших отрезков соответственно равны: AB = ϕ 2 , BC = ϕ , CD = 1 , то

ω = 1,30901... . Это число и называется «золотой вурф». «Золотой вурф» связан с числом ϕ простой формулой 2ω = ϕ 2 (2.15) Если число ϕ наиболее ярко проявляет себя в растительном мире, то «золотой вурф» мы встречаем чаще в животном мире. И прежде всего это касается непосредственно самого человека. Человек в своём строении имеет некоторые части тела, состоящии из трёх частей. Например, бедро-голень-стопа, плечо-предплечьекисть. Каждый палец состоит из трёх фаланг. Учёные провели исследования и оказалось, что строение человека в своих относительных размерах очень точно описывается «золотым вурфом» [57]. Рассмотрим например палец (мой средний палец на левой руке). Длина самой большой фаланги АВ = 55 [мм], длина средней фаланги ВС = 35 [мм] и длина маленькой – CD = 22 [мм]. 90 ⋅ 57 ω= = 1,30867... 35 ⋅ 112 Как оказалось, если AB = ∂ 4 f , BC = ∂ 2 f , а CD = ∂f , то ω = 1,3082... - очень близок к идеальному «золотому вурфу». К сожалению, я не исследовал цепочки производных в других числах на выявление в них числовых отношений, близких к «зотому вурфу». Возможно это могло бы быть темой отдельного исследования. 61

Франц Герман

Franz Hermann

Простые числа несомненно являются крепким орешком в натуральном ряде чисел, но время от времени они всё-таки начинают раскрывать свои тайны. Так например А. С. Карпенко показал удивительную связь простых чисел с классической и неформальными логиками [24]. Ниже я покажу ещё одно, интересное на мой взгляд, свойство некоторых простых чисел. Речь пойдёт о математическом объекте, который я назвал упаковкой и, который ранее в литературе мне не встречался. Начнём всё с определений.

Определение 1:

Замкнутым клеточным полем порядка K будем называть геометрическое кольцо, разделённое на K частей, каждая из которых имеет свой порядковый номер в соответствии с данным направлением обхода.

Пример 1

K =5 5

1

2

4 3 Рис. 2.12

Определение 2:

Упаковкой порядка K будем называть клеточное поле порядка K, каждая клетка которого содержит одно и только одно из чисел от 1 до K.

Пример 2

K =5 5

1 1

2

Ось симметрии

3

4 4

5

2

3 Рис. 2.13

Определение 3:

Алгоритмом упаковки порядка K будем называть некоторую функцию f = f ( k , n) , где k пробегает значения k = {1, 2, ..., K}, а n ∈ N = {1,2,..., ∞} , причём для данной упаковки n = const. 62

Франц Герман

Franz Hermann

Определение 4:

Расстоянием X k будем называть значение функции f(k,n), для конкретных k и n. Причём X k для данной упаковки равно числу клеток поля между числом k и числом k + 1 , двигаясь в направлении обхода.

Пример 3:

Для упаковки примера 2 и алгоритма упаковки X k = k 2 + 2 при k=3

будем иметь X 3 = 11 . Это означает, что мы дожны пропустить 11 клеток после клетки, где стоит число 3, двигаясь по замкнутому полю в направлении обхода, и в следующей, после этого, клетке поставить число 4.

Определение 5:

Генератором поиска упаковок (ГПУ) будем называть компьютерную программу для поиска упаковки в соответствии с данным алгоритмом упаковки.

Поиск упаковок проводился среди первых 10000 чисел натурального ряда для каждого n = {1,2,...,100}, по алгоритму Xk = k2 + n .

(2.16)

Число 1 всегда занимало клетку с порядковым номером 1. Причём расстояние X k между последним числом k и числом 1 также должно было соответствовать выбранному алгоритму. Результаты работы ГПУ для данных алгоритмов сведены в Таблицу 1. Таблица 1

n K 1 23 5 2 47 3 59 4 71 5 83 6 5 7 107 8 17 9 131 10 11 11 5 12 167 13 179 14 191 15 29 16 5 17

18 19 20

227 239 251

n K 263 21 22 5, 11, 55 41 23 23 24 311 25 17 26 5 27 347 28 359 29 53 30 383 31 5 32 11 33 419 34 431 35 443 36 5 37

38 38 40

467 479 491

n K 503 41 5 42 17 43 11 44 29 45 563 46 47 5, 23, 115 587 48 599 49 47 50 89 51 5 52 647 53 659 54 11 55 683 56 5 57

58 59 60

101 719 17 Рис. 2.14 63

n K 743 61 5 62 59 63 41 64 113 65 11 66 5 67 827 68 839 69 23 70 863 71 5 72 887 73 29 74 911 75 71 76 5, 11, 17, 55, 77 85, 187, 935 947 78 137 79 971 80

n K 983 81 5 82 53 83 1019 84 1031 85 149 86 5 87 11 88 83 89 1091 90 1103 91 5 92 23 93 17 94 1151 95 1163 96 97 5, 47, 235

98 99 100

1187 11 173

Франц Герман

Franz Hermann

Глядя на Таблицу 1, можно сформулировать несколько гипотез.

Гипотеза 1: Для любого n ∈ N и данного алгоритма упаковки, существует минимальная упаковка порядка K, где K - простое число, причём K ∈ W Гипотеза 2: Для любой минимальной упаковки порядка K существует зеркальная ось K +1 симметрии, проходящая через клетку с числом , относительно 2 которой, сумма чисел в «зеркальных» клетках постоянна и равна K + 1 (см. Пример 2). Гипотеза 3: Если числу n1 соответствует минимальная упаковка порядка K 1 , то для любого n2 ≡ n1 mod K 1 , также существует упаковка порядка K 1 . Гипотеза 4: Если числу n1 соответствует минимальная упаковка порядка K 1 и числу n2 соответствует минимальная упаковка порядка K 2 , то для любого n ≡ n1 mod K 1 ≡ n2 mod K 2 , существует упаковка порядка K 1 ⋅ K 2 . Всё вышеизложенное касается чисел K ∈ W . Хочу надеяться, что и для чисел подмножества U также существуют алгоритмы и соответствующие им упаковки. В пользу такого предположения можно привести пример, что для алгоритма X k = k 4 существуют как минимум две упаковки, порядок которых равен K 1 = 7 и K 2 = 103 , принадлежащие к подмножеству U. Первая проблема, которая может оказать помощь в этом вопросе, – это создание более гибкого и мощного ГПУ. Думаю, что, при наличии интереса, здесь можно было бы разработать новый раздел в теории чисел - теорию упаковок. И, может быть, на множестве упаковок удалось бы построить и бинарную операцию вроде сложения или умножения двух упаковок. Особо хочу отметить, что ряд упаковок начинается с упаковки, порядок которой равен 23 при натуральном числе n = 1 . Мы переходим к последней и, может быть, самой таинственной и мистической части нашего разговора о числе. С самых древних времён человек был уверен, что в самом его имени заложено нечто, что определяет не только его характер, вид деятельности, но всю дальнейшую судьбу. Древние евреи обозначали одними и теми же символами и буквы и цифры. По сути дела, алфавит можно рассматривать, как часть натурального ряда. Надо только каждой букве поставить в соответствие её порядковый номер в алфавите. Представьте себе, что в нашем мозгу заложен некий механизм, который как раз и переводит буквы в числа. Из букв складываются слова. Из слов – предложения. И всё это имеет свои числовые значения на фоне фундаментального ряда натуральных чисел. Для дальнейшего разговора нам понадобятся два алфавита: кирилица и латиница (Рис. 2.15).

64

Франц Герман

1 -А 2 -Б 3 -В 4 -Г 5 -Д 6 -Е 7 -Ё 8 -Ж 9 -З 10 – И 11 – Й 12 – К 13 – Л

Franz Hermann

14 – М 15 – Н 16 – О 17 – П 18 – Р 19 – С 20 – Т 21 – У 22 – Ф 23 – Х 24 – Ц 25 – Ч 26 – Ш

27 – Щ 28 – Ъ 29 – Ы 30 – Ь 31 – Э 32 – Ю 33 – Я

1 -A 2 -B 3 -C 4 -D 5 -E 6 -F 7 -G 8 -H 9 -I 10 – J 11 – K 12 – L 13 – M

14 – N 15 - O 16 - P 17 - Q 18 - R 19 - S 20 - T 21 - U 22 - V 23 - W 24 - X 25 - Y 26 - Z

Рис. 2.15 Исследовать числовые коды имён я начал с себя. Т. е. вычислил сумму порядковых номеров букв в своём имени и фамили. F + r + a + n + z + H + e + r + m + a + n + n = 138

Результат не на шутку меня потряс. Это что же, ещё одно знамение? Мы ведь не выбираем свою фамилию, мы её наследуем. Имя тоже не выбираем. Его дают нам родители либо по своему вкусу, либо следуя фамильным традициям (моё имя досталось мне от деда). Кстати, есть два варианта в немецкой транскрипции моей фамилии. Во втором варианте фамилия пишется с двумя „r“. Этот вариант очень распространён в Германии. Примерно как в России фамилия Иванов. Но я не выбирал написания моей фамилии, когда в 1993 году переехал жить в Германию. Более того, в то время я и не помышлял ни о какой «Математике тонкого мира». Фамилию я унаследовал. Мой отец родился в Немецкой Республике Поволжья и свидетельства о рождени выдавались там, естественно, на немецком языке и фамилия была написана с одной „r“ – довольно редкая транскрипция для фамилии. В этом можно убедиться, взяв любой телефонный справочник (имя же Hermann, с одной „r“, наоборот наиболее распространено в Германии). Получалось, что вся жизнь была уже как-то предрешена и ничего случайного не происходит в этом мире. Или – это всё-таки какое-то чудовищное совпадение? А тут ещё вспомнилось, что я мог раз пятнадцать умереть ещё в молодости. Дважды тонул в 11 и в 15 лет, и в обеих случаях спасения присутствовал элемент чуда. В детстве отравился ядовитыми грибами, но откачали. В 12-летнем возрасте чуть не убило током от самодельного гиперболоида «инженера Гарина». Падал под поезд и со скалы, с высоты примерно четвёртого этажа, допивался до белой горячки и хотел выброситься с пятого этажа. Дважды чуть не убило на токарных станках и один раз на прессовом. В пятилетнем возрасте ночью остановилось сердце, спасла бабушка, почему-то проснувшаяся в эту минуту. Однажды чудом чуть не завалило в пещере. Переворачивался в кузове вместе с грузовым автомобилем, а однажды фантастическим образом увернулся от удара вилами. Чудом чуть не убили трубой в групповой драке – удар пришёлся на сантиметр выше левого виска. А сколько было взрывов самодельных боеголовок и ракетных двигателей даже и не сосчитать. И вообще, я родился мёртвым, запутанным в родовой пузырь (наверно, про таких говорят: родился в рубашке), спустя два дня как отошли воды, но каким-то образом вернули к жизни. 65

Франц Герман

Franz Hermann

Возможно, что-то уже подзабылось, но, думаю, что и этого достаточно для одной судьбы. Видимо, кому-то там на верху очень надо было, чтобы мой Ангел Хранитель работал на полную катушку и бдил за мной в оба глаза. Под рукой была книга «Математика XIX века» и я решил просмотреть числовые коды математиков того времени, чьи имена и фамилии писались буквами латинского алфавита. В этот период, примерно с середины XVIII и до середины XX века, попало около трёхсот математиков, чьё творчество оказало существенное влияние на развитие математической науки. Числовой код имени 138 носило несколько человек, но зато какие это были люди. Судите сами, их имена говорят сами за себя. L + e + o + n + h + a + r + d + E + u + l + e + r = 138

J + o + s + e + p + h + L + a + g + r + a + n + g + e = 138 J + a + m + e + s + M + a + x + w + e + l + l = 138

H + e + r + m + a + n + n + W + e + y + l = 138 О каждом из них мы ещё поговорим на этих страницах в своё время. Я не хочу, чтобы у читателя возникло убеждение, что я таким вот грубым образом пытаюсь пристроиться в этот «золотой» ряд. Я просто убеждён, если исходить из предположения, что ничего случайного в этом мире не происходит, то, возможно, и в жизни этих математиков были какие-то явные или тайные знамения, что подталкивало их к изучению математики тонкого мира. А то, что они посвящали своё творчество этому изучению нет никаких сомнений.

e iπ + 1 = 0 .

(2.17)

Соотношение (2.17) – это знаменитая формула Эйлера. Известный популяризатор математики Мартин Гарднер [26, стр. 126] пишет как об этом соотношени отзываются Э. Каснер и Дж. Р. Ньюмен в своей книге «Математика и воображение» : «Мы лишь воспроизводим его, не вдаваясь в детальное изучение. Для исследования этого соотношения нужны объединённые усилия математиков, учёныхестественников и философов». В приведённой формуле объединены пять фундаментальных величин. Два трасцендентных числа e и π , без которых невозможно было бы становление современной математики. Ноль – начало всего. Не побоюсь этого слова – Божественное начало. Единица – начало натурального ряда. Того ряда, который мы и пытаемся здесь изучать. И, наконец, мнимая единица: i = − 1 . Это вообще что-то потустороннее. Соотношение (2.17) не из нашего мира. Однажды, начиная свою лекцию и написав на доске соотношение (2.17), математик Гарвардского университета Бенджамин Пирс так обратился к своим студентам: «Джентльмены, я уверен, что написанная формула абсолютно пародоксальна. Мы не в состоянии её понять и не знаем, что она означает, однако мы её доказали и поэтому считаем, что она должна быть верной». Мы ещё ни один раз будем говорить об Эйлере, Лагранже, Максвелле и Вейле. Многое в их творчестве было направлено на исследования тонкого мира. Так что же, и сам переезд в Германию был спланирован Свыше? Но ведь первая подсказка всё-таки была в России, когда я о переезде в Германию даже и не помышлял? А что говорит код моего имени в русской транскрипции, т. е. на русском языке?

66

Франц Герман

Franz Hermann

Ф + р + а + н + ц + Г + е + р + м + а + н = 138 . Это уже был шок! Я искал ошибку в сложении без конца складывая значения букв. Складывал и с начала, и с конца десятки раз. И даже, когда писал эти строчки, то отвлёкся от компьютера и ещё раз все сложил, наверное, уже в сотый раз. Число 138 не исчезало. Мистика принимала математический облик. После открытия числового кода имени я стал играть со словами. Но об этом я расскажу в Приложении 4, а сейчас приведу только лишь один пример. Рассмотрим два слова «Любовь» и «Космос», обозначив их соответственно буквами Л и К. Как оказалось, оба эти слова в русском языке имеют одинаковый числовой код, равный 96.

К = Л. Может быть, эта формула и символизирует главную суть познания Мироздания?

Бог – есть Любовь Это ни в коей мере не говорит о том, что русский язык является избранным. Я уверен, что и из слов других языков можно составить интересные символические формулы. А то, что эти формулы выглядят по разному, только подчёркивает индивидуальность и самобытность каждого языка, свою особенность.

67

Франц Герман

Franz Hermann

Часть III Вытягивание «Быть может, заинтересовавшиеся этой темой физики, химики, нейрологи и другие учёные смогут разработать достоверные теории, объясняющие подобные действия. Если же достаточное число людей приложит усилия к самостоятельной опытной проверке этого явления, то совсем не исключено, что возникнет совершенно новая наука.» (Р. Монро [2, стр. 252]) «Я поднял руки, перешёл в «вытянутое» положение и без труда взмыл ввысь» (Р. Монро [2, стр. 107])

Современная физика практически уже вплотную подошла к границе, разделяющей наш и тонкий мир. В первую очередь это касается той области физики, которая изучает мир элементарных частиц. В фундаменте этой физики лежит квантовая механика, ставшая уже классической наукой. Сами создатели квантовой механики отмечали тот факт, что для дальнейшего понимания явлений микромира необходимо учитывать присутствие самого человека, его сознания, как одну из сил, влияющих на картину микромира. В частности В. Гейзенберг говорил: «Понятие объективной реальности ... таким образом испарилось, превратилось в прозрачную ясность математики, описыващей не столько поведение элементарных частиц, сколько уровень наших знаний об этом поведении» [28]. Однако понятие сознания, как действующей силы, очень трудно проникает сегодня в физическую науку. В своей книге [29, стр. 161] известный физик-теоретик Е. Вигнер отмечает: «По не совсем ясным причинам на явление сознания в научных дискуссиях наложено табу. Тем не менее, как видно из проведённого фон Нейманом блестящего анализа квантомеханического измерения, даже сами законы квантовой механики со всеми их следствиями нельзя сформулировать без обращения к понятию сознания». До сих пор вопрос о природе элементарных частиц остаётся открытым. Что же такое элементарная частица? То она представляется мельчайшим объектом нашего макромира, то вдруг, как только человек пытается наладить с ней контакт, становится волной и теряет свои макрохарактеристики... Кроме того, некоторые элементарные частицы обладают свойствами, которые на наш взгляд можно считать неким фантомом. Однако без этих свойств физика элементарных частиц в настоящий момент обойтись не может. Одним из таких свойств является спин – собственное вращение частицы. Я позволю себе привести здесь довольно длинную цитату из книги Пола Девиса об удивительных проявлениях спина. Но она (цитата) во многом показательна и, я думаю, что читатель простит меня за столь длинное отступление. «Привлекательно изобразить частицу со спином, например электрон, в виде крохотного шарика, вращающегося вокруг собственной оси, подобно Земле, совершающей суточное вращение. Чтобы такая «картинка» имела смысл, спин должен быть ориентирован в некотором направлении. Если это направление можно установить путём соответствующего измерения, то это означает, что у нас есть способ однозначного определения направления даже на квантовом уровне. Такие измерения 68

Франц Герман

Franz Hermann

действительно можно провести, но при этом возникает совершенно необычная ситуация. Предположим, что экспериментатор включает прибор и сначала выбирает направление, чтобы измерить относительно него ориентацию спина частицы. На практике в качестве такого направления обычно принимают направление магнитного или электрического поля. Экспериментатор хочет определить угол между спином частицы и направлением поля. Проведя измерение, он с удивлением обнаруживает, что спин ориентирован строго по направлению поля. Эксперимент повторяется многократно, но результат всегда один и тот же: спин всегда ориентирован вдоль выбранного направления. Подозревая неладное, экспериментатор принимается менять направление внешнего поля, но спин частицы неизменно следует за его направлением. И как ни пытается экспериментатор обнаружить спин, направленный под углом к исходному направлению, у него ничего не получается. Экспериментатор в замешательстве: частица как бы читает его мысли, поскольку всегда указывает направление, которое он произвольно выбирает для отсчёта. Отчаявшись, экспериментатор прибегает к дьявольской хитрости – задаёт два различных исходных направления, А и В, и измеряет угол между направлением спина и каждым из них. Поскольку спин частицы, по мнению экспериментатора, не может быть одновременно ориентированным в двух различных направлениях, по крайней мере в одном случае спин образует с одним из них некоторый угол. Исходя из этого, экспериментатор производит первое измерение. То, что спин ориентирован вдоль направления А, не вызывает у него удивления. Второе измерение он проводит сразу же вслед за первым, чтобы спин не успел переориентироваться. Направление В было выбрано так, что составляло угол 25° с направлением А, и экспериментатор, только что с удовольствием установивший, что спин ориентирован вдоль оси А, естественно, ожидает, что спин будет направлен под углом 25° к оси В. Однако он с изумлением обнаруживает, что природа перехитрила его: частица каким-то образом упредила его, и её спин, словно по волшебству, оказался ориентированным вдоль оси В! В ярости экспериментатор принимается вновь измерять угол между направлением спина и осью А и видит, что спин, как и прежде, ориентирован вдоль оси А!» [3, стр. 39-40]. Не правда ли, впечатляет? Позже я дам свою точку зрения на это явление. Физики же давно смирились с таким странным проявлением спина. А что такое кварки – вообще не понятно. Даже косвенное их присутствие до сих пор никому не удалось обнаружить. Физики просто договорились, что кварки существуют, потому, что при помощи кварков очень удобно классифицировать элементарные частицы и некоторые их свойства. Время от времени, правда, появляются экспериментаторы, пытающиеся поймать или как-то зафиксировать свободный кварк, но может ли вообще кварк находиться в свободном состоянии? Этого пока тоже никто не знает. В своё время Джеймс Максвелл, тот самый, который заложил фундамент теоретической физики и подарил человечеству возможность понять, исследовать и во многом подчинить себе электричество и электро-магнитное поле (и тот самый – James Maxwell = 138), придумал гипотетическое существо, которое потом стали называть Демоном Максвелла. Этот демон был наделён таким свойством, что мог видеть любой атом или мельчайшую частичу, которую простой человек никак не воспринимал. Может быть, в этом было великое пророчество Максвелла о существовании разума вне физического тела и, вообще, о возможности существования тонкого мира, который, как показывают опыты Роберта Монро, во многом может быть не только связан с явлениями электромагнетизма, но может быть даже и является его порождением.

69

Франц Герман

Franz Hermann

В этой части нашего исследования мы попытаемся рассмотреть некоторые математические объекты, которые, как нам кажется, могли бы претендовать на роль элементарной, примитивной математической модели простейшего представителя тонкого мира. Но прежде обратимся к первоисточникам и посмотрим, как проводит исследования тонкого тела сам Роберт Монро. «Лучшим доказательством существования какого-либо явления может служить его воспроизводимость при повторяющихся наблюдениях. Только такие обоснованные и тщательно анализируемые эксперименты ... позволили мне прийти к безоговорочному заключению о существовании Второго Тела (тонкого тела. Авт.). Я совершенно убеждён в том, что оно есть у каждого человека» [2, стр. 186]. В течение первых 12 лет исследований Роберт Монро проделал около 600 экспериментов с тонким телом и постарался исследовать это явление со всех, доступных ему, сторон. Так было установлено, что на тонкое тело влияет земное притяжение, тонкое тело каким-то образом связано с электромагнетизмом, оно обладает энергией, его возможно наблюдать визувльно, а также обладает свойством вытягиваться и принимать внешний вид по желанию того, кто владеет этим телом. «Решил попробовать подняться, взлетел над диваном, перенёсся на середину комнаты и очень плавно, как падающее перо, опустился вниз. Коснулся пола, голова и плечи упёрлись в ковёр, а бёдра и стопы продолжали висеть в воздухе под небольшим углом. Мне показалось, будто голова тяжелее прочих частей тела, более подвластна силе тяготения, хотя всё моё тело тянуло вниз. Судя по всему, какой-то, пусть и очень небольшой, вес у меня всё же остаётся» [2, стр. 186]. В следующем эпизоде Роберт Монро рассказывает, о том, что тонкое тело в определённых условиях можно визуально наблюдать. «Пошевелил сложенными на груди руками, поднял их вверх (лежал на спине). Чувствовал, что руки вытянуты, и был очень удивлён ..., когда увидел свои ладони по-прежнему лежащими на груди. Посмотрел вверх – туда, где, по моим ощущениям, они должны были быть. Разглядел мерцающие очертания локтей и ладоней именно в этом месте! Снова перевёл взгляд на скрещенные руки, затем нашёл глазами светящиеся тени вытянутых: сквозь них виднелись книжные полки. Они казались яркими, сияющими очертаниями и двигались, когда я шевелил ими и чувствовал это. Подвигал пальцами – светящиеся пальцы тоже пришли в движение, я его ощущал. Сложил ладони вместе, и то же самое сделали светящиеся руки. Я почувствовал, как ладони соприкоснулись: ощущения ничуть не отличались от обычных, физических, я не заметил никакой разницы» [2, стр. 187]. Впервые читая эти строки, я невольно вспомнил похожий эпизод из бессмертного романа М. А. Булгакова «Мастер и Маргарита»: «И тут знойный воздух сгустился перед ним, и соткался из этого воздуха прозрачный гражданин престранного вида. ...«Этого не может быть!..»...Но это, увы, было, и длинный, сквозь которого было видно, гражданин, не каксаясь земли, качался перед ним и вправо и влево». Возможно, гению Булгакова даны были на интуитивном уровне знания о существовании тонкого мира. Но продолжим описание Монро этого эксперимента. «Я видел свои руки, сложенными на груди, и одновременно – светящиеся очертания ладоней и рук намного выше. Попытался подвигать физическими руками, но не получилось. Попробовал шевелить светящимися контурами, и они полностью подчинились моей воле. Сосредоточил внимание на ощущениях в физических руках, но не смог ничего выявить. Опять прижал друг к другу призрачные ладони – совершенно привычное чувство. Потёр светящимися 70

Франц Герман

Franz Hermann

пальцами прадплечье другой нематериальной руки: самые обычные ощущения прикосновения к плоти. Протянул одну призрачную руку к полочке у кровати – и ничего не почувствовал, рука прошла насквозь!» [2, стр. 187]. Надо отдать должное Роберту Монро. Я думаю, что не у каждого человека, доведись ему пребывать в тонком теле, хватило бы мужества, терпения и здравого рассудка для трезвого анализа всего происходящего. Роберт Монро действительно был прирождённым экспериментатором. «Вновь обратил внимание на странную «резиновую» гибкость этого иного тела. Я мог стоять посреди комнаты и дотянуться рукой до стены футах в восьми от себя. Сначала рука оставалась вдалеке от стены, но я продолжал тянуться и неожиданно упёрся ладонью в её поверхность. Волевых усилий оказалось достаточно для того, чтобы длина руки увеличилась в два раза, хотя я не почувствовал никаких изменений. Перестал прилагать усилия – рука укоротилась и стала обычной... Думаю, что, если старательно удерживать сознание на какой-либо форме всего тела, можно принять любой выбранный облик...» [2, стр. 190]. Чтобы выяснить вопрос о том как выглядит со стороны тонкое тело, Роберт Монро проделал однажды такой эксперимент. Как-то вечером он вновь вышел из физического тела и, находясь в тонком теле, решил навестить свою знакомую, которая проживала в восьми милях от дома Монро. Через некоторое время он действительно попал в гостиную своей знакомой, где она в тот момент как раз и находилась. На другой день, встретив свою знакомую, Роберт Монро спросил её не было ли чего-нибудь необычного накануне вечером. И услышал рассказ, как всё это выглядело со стороны. « - После ужина я сидела с газетой в гостиной. Что-то заставило меня поднять взгляд, и я увидела, как в другом конце комнаты что-то болтается и шевелится в воздухе... Что-то вроде куска тонкого, как паутина, серого шифона... Я видела сквозь него стену и стул, а потом эта штука двинулась ко мне. Я перепугалась, но подумала, что это можешь быть ты, и даже спросила: «Боб, это ты?» Но та штуковина просто висела в воздухе и слабо шевелилась. Я снова спросила, ты ли это, а потом потребовала, чтобы ты отправлялся домой и не пугал меня. Эта штука отдалилась в угол и быстро исчезла» [2, стр. 191]. Разумно предположить, что в результате вытягивания форма первоначального тонкого тела изменилась, а Роберт Монро, в тот момент, когда он оказался в гостиной своей знакомой, не прикладывал волевых усилий к тому, чтобы придать своему телу обычный привычный вид. Поэтому и очертания тела, появившегося в гостинной не имели какой-то определённой формы. Исследуя взаимодействия тонкого тела и электричества Роберт Монро проделал эксперимент с заряженной «клеткой Фарадея», представлявшей собой медную сетку под напряжением постоянного тока около 50-ти киловольт. Роберт Монро пишет, что пытаясь проникнуть сквозь «клетку Фарадея» «... запутался в огромном мешке из гибких проводов. Когда я толкал его, стенки мешка прогибались, но мне всё равно не удавалось пройти их насквозь. Я возился, как зверёк в силке, и наконец просто вернулся в физическое тело. Размышляя об этом, с достаточной очевидностью понял, что это были не провода, а структура самого электрического поля, повторяющая сетку клетки, но более гибкая. Не исключено, что этот принцип может стать основой «ловушек для приведений» [2, стр. 194]. Резюмируя этот эксперимент Робер Монро пишет: «Обнаружилось, что во Втором Теле выйти за пределы заряженных границ клетки просто невозможно; как только я отключил ток, это удалось без всякого труда» [2, стр. 302].

71

Франц Герман

Franz Hermann

В одном из своих экспериментов Роберт Монро решил навестить своего знакомого, который жил в соседнем городке, в пяти милях от дома Роберта Монро. Выйдя из физического тела, Роберт Монро мысленно «нацелился» на своего знакомого. Дело в том, как утверждает Роберт Монро, что для того, чтобы найти и встретиться с каким-нибудь человеком, находясь в тонком теле, надо думать не о месте, где, возможно, в данный момент находится этот человек, а о самом этом человеке. К удивлению Роберта Монро, он оказался почему-то в деловой части того городка, где жил его знакомый. Роберт Монро медленно двигался на некоторой высоте вдоль главной улицы. Во время своего движения он подмечал некоторые особенности из происходящего на этой улице. В частности он отметил, что около раскрытых дверей автомастерской стояла белая машина без задних колёс. Решив, что он не достиг своей цели и не встретился со своим знакомым, Роберт Монро вернулся в физическое тело. Но чтобы, хоть какую-то пользу извлечь из проделанного эксперимента, он решил прямо сейчас съездить в соседний городок и убедиться, что именно там он был несколько минут назад. Проехав пять миль, он действительно нашёл автомастерскую с раскрытыми настеж дверями, перед которыми стояла белая машина без задних колёс. Далее Роберт Монро решил оценить высоту, на которой он совершал свой полёт и «очень поразился. Точно на той высоте проходили провода высокого напряжения». Из этого следовало предположение, что «электромагнитные поля действительно притягивают» тонкое тело. Позже Роберт Монро вместе со своим знакомым выяснил, что он был в общем-то почти у цели и двигался прямо по пятам за своим знакомым, который в это же время шёл чуть впереди по этой же улице. Анализируя эти и подобные эксперименты Роберт Монро делает предположение: «Второе Тело действует благодаря энергии; вполне вероятно, что эта энергия является и основой мыслительного процесса. Неизвестно, откуда берётся эта сила – вырабатывается самими живыми существами или извлекается из какого-то неисчерпаемого силового поля. В любом случае, она обладает примечательными характерными особенностями (например, явно связана с электричеством и магнетизмом). Её можно считать третьей составляющей некой троицы, допускающей взаимные переходы из одной формы в другую. Электричество относится к магнетизму так же, как магнетизм к этой Силе Х, а Сила Х, в свою очередь, связана такими же отношениями с электричеством. По этой причине я и использую выдуманное далеко не мной понятие «третья сила». Не исключено, что представления о Троице зародились у наших богословов в те далёкие эпохи, когда об этом было известно, но впоследствии эти знания исказились. Учитывая взаимосвязь «третьей силы» с электричеством и магнетизмом, можно предположить, что проявление одной части троицы вызывает вторичные признаки остальных её граней. Это означает, напрмер, что в процессе мышления мы задействуем именно «третью силу», но она отчасти проявляется в электромагнитных показателях. Это позволяет надеяться, что действие «третьей силы» может отмечаться и измеряться уже существующими приборами, хотя вплоть до настоящего времени серьёзных и последовательных попыток провести такие измерения ещё не предпринимались» [2, стр. 301-302]. Во время некоторых своих экспериментов Роберт Монро явно ощущал неожиданные рывки назад. Это дало ему предположение, что физическое и тонкое тело каким-то образом связаны между собой неким «шнуром», что и подтвердилось в очередном поразительном эксперименте Роберта Монро. «Выбрался из физического тела вращением вокруг своей оси и задержался в комнате, оставаясь в нескольких футах от тела. Обернулся назад, пытаясь разглядеть «шнур», но ничего не увидел – то ли слишком темно, то ли его вообще 72

Франц Герман

Franz Hermann

нет. Повертел головой, прислушиваясь к своим ощущениям в надежде почувствовать что-нибудь, отходящее от лба, макушки или затылка. Сунув руку за голову, мимоходом коснулся чего-то непонятного и нащупал это обеими руками. Чем бы это ни было, оно, насколько мне удалось определить, выходило не из головы, а из точки в спине, прямо между лопатками. Мне удалось дотянуться до этой точки: ощущения были такими, словно я ощупываю разветвлённые корни дерева, отходящие от утолщённого ствола. Эти корни протягивались довольно обширно: расходились вниз до середины туловища, вверх до основания шеи и в стороны – вплоть до плеч. Протянув руку ещё дальше, я убедился, что они действительно образуют «шнур», если так можно назвать кабель толщиной в пару дюймов. Он свободно провисал за спиной, и я тщательно ощупал его: тёплый, как тело, и, судя по всему, состоит из сотен (или тысяч) плотно прилегающих друг к другу волокообразных нитей; нити не перекручиваются, не завиваются спиралями. «Шнур» был гибким, мне показалось, что он лишён кожного покрова. Удовлетворившись знанием того, что он существует, я бросил это занятие и отправился в путь» [2, стр. 195-196]. Не правда ли, впечатляет. К сожалению, Роберт Монро не привёл на страницах своих книг другие отчёты о таких экспериментах. Однако отмечает, что подтверждение существованию связи между физическим и тонким телом «неоднократно, на протяжении долгих эпох встречалось в эзотерической литературе. Смысл этой связи пока непонятен. Остаётся лишь умозрительно полагать, что через этот «шнур» Второе Тело и переносящееся в него сознание продолжают управлять физическим организмом. Кажется вполне вероятным, что эта связь обеспечивает и обмен сигналами между физическим и Вторым Телом, поскольку источником призыва к возвращению часто становится затруднённое кровообращение в затекающей руке или тихий стук в дверь комнаты. Если эта связь не ограничевается расстояниями и сохраняется на бесконечном удалении от тела, то «шнур», подобно самому Второму Телу, должет состоять из невероятно эластичной субстанции» [2, стр. 198-199]. Тем не менее, было бы любопытно узнать, в каких местах этот «шнур» прикрепляется к физическому телу и что представляет собой «шнур» во время далёгих путешествий в вытянутом состоянии. Можно предположить, что коль Роберт Монро мог его осязать, то сам «шнур» тоже является частью тонкого мира. Может быть это пучок силовых линий электромагнитного поля, порождаемого физическим телом? Любопытно также, что происходит со «шнуром», когда человек возвращается в физическое тело? Возможно он сжимается до очень малых размеров. И где та область нашего физического тела и, что это за область, в которой этот «шнур» хранится в сжатом состоянии? Хотелось бы надеяться, что на все эти вопросы уже можеть дать ответ классическая биология и медицина. Ко всему этому надо отметить, что тонкое тело, как и физическое, обладает некоторыми аналогами органов чувств для восприятия окружающей нас действительности. По опытам Роберта Монро можно судить, что находясь в тонком теле человек может отличать состояние покоя от состояния движения (вытягивания). Работает «вестибулярный аппарат». Так же Робетр Монро констатирует, что «во Втором Состоянии все формы восприятия основаны на некой электромагнитной силе (прямое получение или излучение магнитных полей), то есть механизм их работы отличается от принципов действия физических аналогов» [2, стр. 276]. А теперь попробуем, на основе всего вышеизложенного, подыскать некий математический объект, который мог бы нам послужить в качестве примитипвной модели тонкого тела. Попробуем представить себе сечение «шнура», который

73

Франц Герман

Franz Hermann

связывает физическое и тонкое тело. По описаниям Монро, этот «шнур» напоминает кабель, диаметром около 2-х дюймов (Рис. 3.1).

Рис. 3.1 Чёрными кружками мы показали здесь сечение тех нитей, из которых состоит сам «шнур». Помните, Роберт Монро говорил, что этих нитей в «шнуре» может быть несколько сотен, а может быть, и тысяч. Картинка на Рис. 3.1 наводит на мысль, что простейшую плоскую модель тонкого тела надо строить отталкиваясь от пространственной решётки. Нам представляется очевидным, что тонкое тело должно быть первичным по отношению к физическому телу. А сама пространственная решётка может рассматриваться вообще как некий первичный объект по отношению ко всему тому, что существует в Мироздании. Примем как аксиому, что пространственная решётка – это первый объект, созданный нашим Творцом после того, как он получил в своё распоряжение кусочек 11-мерного пространства-времени. В качестве второй аксиомы примем положение, что вся энергия (метаэнергия) сосредоточена в узлах пространственной решётки (Рис. 3.2).

Рис. 3.2 Забегая вперёд скажем, что в дальнейшем мы будем обозначать кружками только те узлы пространственной решётки, которые нужны будут нам для вычисления энергии нашего моделируемого тонкого тела. На Рис. 3.2 показана квадратная решётка. Напомним, что такую решётку можно получить проведя соответствующие сечения, как на кубической решётке, так и на решётке построенной из ромбических додекаэдров. Я считаю, что здесь необходимо сделать небольшое историческое отступление. Случилось так (хотя теперь я считаю, что все, что со мной или с кем-нибудь из вас когда-либо случалось – это далеко не случайность, просто мы не научились ещё обращать внимание на большенство тех событий, которые ежедневно с нами происходят, и задавать себе вопрос: как может повлиять это, пусть маленькое и почти незаметное, событие на нашу судьбу?), что весной 1995 года я открыл и доказал формулу для вычисления площади многоугольника, вершины которого расположены 74

Франц Герман

Franz Hermann

точно в междоузлиях целочисленной решётки. Точки междоузлий, в данном случае, находятся на пересечении диагоналей квадратиков нашей решётки Возможно, что формула эта уже была открыта ранее, но, в известной мне математической литературе, я её не встречал. S = B+

Г , 2

(3.1)

здесь В число узлов целочисленной решётки, расположенных внутри данного многоугольника, а Г - число узлов, расположенных на границе данного многоугольника (Пример: Рис. 3.3).

Рис. 3.3 Здесь В равно 5, Г равно 3, по формуле (3.1) получаем S = 6,5 квадратных единиц целочисленной решётки. Не трудно убедиться, разбив данный многоугольник на составляющие его прямоугольники и прямоугольные тругольники, что это действительно так. Сначала я счёл, что формула (3.1) – это всего лишь частный случай известной формулы Пика для вычисления площади многоугольника, вершины которого расположены в узлах целочисленной решётки (Пример: Рис. 3.4).

S = B* +

Г* −1 2

(3.2)

Очевидно, что В и В * и Г и Г * , для формул (3.1) и (3.2) не могут быть одновременно равны друг другу.

Рис. 3.4 Многоугольник, показанный на Рис. 3.4, можно получить из многоугольника, показанного на Рис. 3.3, элементарным смещением на любой из векторов (± 12 ,± 12 ) , 75

Франц Герман

Franz Hermann

причём знаки перед коэффициентами смещения здесь несогласованы. Теперь, чтобы вычислить площадь этого многоугольника, надо воспользоваться формулой (3.2). Здесь B * = 3 , Г * = 9 . Очевидно, получаем тот же результат: S = 6,5 . В течение почти 8-ми лет я время от времени возвращался к этим формулам, пытаясь найти зависимость или формулу преобразования для величин В и В * и Г и Г * . В конце концов я сделал вывод, что это совершенно разные формулы, хотя и очень похожие. Надо заметить, что каждая из этих формул по своей сути является хформулой. Я не привожу здесь доказательства этих формул, а заинтересованного читателя отсылаю к соответствующей литературе: [35], [36]. Познакомившись с доказательством формулы (3.2), легко доказать и формулу (3.1). Теперь попытаемся взглянуть на эти формулы глазами физика. Мы имеем некую (первозданную) решётку, в узлах которой сосредоточена какая-то метаэнергия. С точки зрения физики площадь многоугольника можно рассматривать, как энергию, которая в нём содержется. Как только мы строим на этой решётке какой-то многоугольник, вершины которого расположены в междоузлиях (или в узлах) нашей решётки, метаэнергия решётки превращается для нашего многоугольника в два вида конкретной энергии: энергия формы - Е ф = Г и энергия содержания - Е с = В . Тогда единицу в формуле (3.2) надо представлять, как единицу метаэнергии решётки: е 0 . И формулы (3.1) и (3.2) можно переписать следующим образом.

Е = Ес +

Е = Е с* +

Еф

,

2 Е ф* 2

(3.3)

− е0 .

(4)

Введём обозначения: ∆Е с = Е с* − Е с , ∆Е ф = Е ф* − Е ф . Тогда из формул (3.3) и (3.4) получаем такое выражение:

е 0 = ∆Е с +

∆Е ф

(3.5)

2

Формула (3.5) показывает связь единицы метаэнергии решётки с энергией формы и содержания. Выражение (3.5) можно назвать уравнением неопределённости энергии тонкого тела. Если между величинами формул (3.1) и (3.2) (или (3.3) и (3.4)) существует полная неопределённость, как об этом было сказано выше, то зависимость между величинами ∆Е с и ∆Е ф всё-таки установить удаётся. ∆Е с может принимать значения

{ 0, − 1, − 2, − 3, ..., − n } ,

в соответствии с чем, величина

{ 1, 2, 3, ..., n + 1 } . Откуда можно записать:

∆Е с ⋅ ∆Е ф

∆Е ф

2

принимает значения:

= − n ⋅ (n + 1) . Исползуя последнее 2 выражение и формулу (3.5), можно составить квадратное уравнение энергетического состояния для модели простейшего тонкого тела. Ψ 2 − e0 Ψ − n ⋅ (n + 1) = 0 . 76

(3.6)

Франц Герман

Franz Hermann

Корнями уравнения (3.6) будут величины ∆Е с и

∆Е ф

, а сомо уравнение (3.6) 2 напрямую зависит от значения чисел натурального ряда, дополненного нулём. Кроме того можно отметить, связь уравнения (3.6) с известной формулой n ⋅ (n + 1) = 2 ⋅ σ , где n - размерность пространства, а σ - число законов сохранения [38, стр. 150]. Как мы уже могли убедиться, формулы (3.3) и (3.4) совершенно равноправны и ни одной из них невозможно отдать предпочтение. В соответствии с этим можем сказать, что наше моделируемое тонкое тело всё время вибрирует на пространственной решётке. Т. е. вершины данного многоугольника находятся то в узлах, то в междоузлиях пространственной решётки. В пользу такого предположения говорят все опыты Роберта Монро, где подчёркивается, что выход из физического в тонкое тело обязательно сопровождается вибрациями, которые в свою очередь каким-то образом связаны с электромагнетизмом или порождают электромагнитные эффекты. И только благодаря этим вибрациям можно находиться в тонком теле. Как только вибрации прекращаются, происходит возврат в физическое тело. Начиная строить нашу модель, мы исходили из того, что тонкое тело является первичным по отношению к физическому и, отталкиваясь от пространственной решётки, как от самого первичного объекта, созданного Творцом, мы взяли в качестве модели элементарного тонкого тела многоугольник. Кроме этого, такой многоугольник обладает ещё одним интересным свойством, свойством вытягивания. При этом он изменяет свою форму, но сохраняет энергетическое состояние (площадь). Именно это мы теперь и покажем. Рассмотрим многоугольник, вершины которого расположены точно в междоузлиях целочисленной решётки (Рис. 3.5).

Рис. 3.5 Перестроим данный многоугольник следующим образом (Рис. 3.6).

Рис. 3.6 По тому, какую площадь занимает многоугольник на Рис. 3.6 по сравнению с многоугольником на Рис. 3.5, можно судить о вытягивании. При этом ни энергия 77

Франц Герман

Franz Hermann

формы, ни энергия содержания не изменились. Но продолжим наше вытягивание (Рис. 3.7).

Рис. 3.7 Очевидно, что продолжая этот процесс, можно вытянуть наш многоугольник на любое желаемое расстояние, не нарушая энергию формы и энергию содержания. Кроме того, мы можем его ещё и переориентировать, при этом оставляя неподвижной, например, нижнюю левую вершину нашего многоугольника (Рис. 3.8).

Рис. 3.8 Очевидно, что такое вытягивание не однозначно. Читатель сам может в этом убедиться, выполнив несколько построений многоугольников на целочисленной решётке. При этом необходимо следить, чтобы число узлов, расположенных на границе многоугольника, и число узлов, расположенных внутри многоугольника, всегда оставалось постоянным. Рассмотрим минимальный по площади многоугольник, который можно построить на целочисленной решётке. Очевидно, таким многоугольником может быть только треугольник (Рис. 3.9).

Рис. 3.9

78

Франц Герман

Franz Hermann

Еф

1 [кв. ед.], которая определяется 2 2 только энергей формы. Но такого быть не может, т. к. по нашему предположению решётка - первичный объект, созданный Творцом и ничего меньше, чем клетка (по выражению Н. А. Козырева: «пустая» точка [59, стр. 339]) нашей решётки, быть не может. Чтобы выйти из этого противоречия надо ограничить применение формул (3.3) и (3.4) (чего делать не хотелось бы) или придумать какое-то объяснение этому факту. Рассмотрим несколько минимальных треугольников на нашей решётке, расположенных так, как это показано на Рис. 3.10. «Энергия» такого треугольника Е =

=

Рис. 3.10 А теперь уберём нашу решётку и всю картинку развернём на 45 градусов по часовой стрелке (Рис. 3.11).

Рис. 3.11 Предоставим слово создателю теории вакуума академику Г. И. Шипову. «На основе анализа экспериментальных данных А. Акимовым была предложена фитонная модель первичного физического вакуума. Фитоны представляют собой скомпенсированные право-левые первичные вихри, заполняющие весь первичный вакуум. Спонтанно или под внешним воздействием (курсив мой – Авт.) фитоны распадаются на право или лево ориентируемые первичные спины, вызывая спиновую поляризацию вакуума. Решение уравнений первичного вакуума, показывает, что в природе существуют объекты, у которых нет ни массы, ни зарада, а есть только спин» [33, стр. 16], (Рис. 3.12).

Рис. 3.12 79

Франц Герман

Franz Hermann mann

По сути дела, энергетическая структура, представленная на Рис. 3.11 и фитонная структура первичного вакуума, показанная на Рис. 3.12 (Рис. 3.12 взят из книги академика Г. И. Шипова [33, стр. 16]), принципиально одинаковы. И если вспомнить, что в теории вакуума определяется такое явление, как эффект форм, о котором мы упоминали в первой части нашего исследования, а минимальный треугольник можно рассматривать, как плоское сечение соответствующего конуса (Рис. 3.13), то можно сказать, что в нашей модели минимальная энергия формы - ни что иное, как елементарная вихревая метаэнергия, а под «внешним воздействием» можно понимать, первый акт творения, в результате которого появляется пространственная решётка. Кроме того эффект форм говорит о том, что тут же возникает торсионное поле, а если «такое поле появляется, то оно накрывает сразу всё пространство. Оно как бы сразу есть везде и всегда» [33, стр. 49]. Можно сделать предположение, что первичное торсионное поле и пространственная решётка не могут существовать друг без друга и составляют единое целое, например, как электромагнетизм.

Рис. 3.13 Один из главных объектов, который рассматривается в теории вакуума - это элементарная частица нейтрино (и антинейтрино). Эта частица уникальна тем, что она движется со скоростью света, не имеет ни массы, ни заряда, а имеет только спин, 1 1 который равен . Но ведь и энергия формы минимального треугольника равна . 2 2 Может быть этот факт - не случайное совпадение? Я специально заговорил теперь об элементарных частицах. Вспомните описание эксперимента по вычислению ориентации спина элементарной частицы. Каким бы ни было выбрано направление внешнего поля – ориентация спина элементарной частицы всегда с ним совпадает. Этот факт до сих пор остаётся без объяснения и современная наука давно с ним смирилась. По сути дела, этот факт можно рассматривать как один из фундаментальных законов квантовой механики. На основании всего вышеизложенного, можно высказать предположение (гипотезу), что спин является неотемлемой характеристикой самого пространства (пространственной решётки). А т. к. пространственная решётка изотропна (одинакова по всем направлениям), то и проявление спина обнаруживается в любом направлении, какое бы ни было выбрано в проводимом эксперименте. На основании теории многоугольников, расположенных на целочисленной решётке, и внешней идентичности формулы (3.1) и формулы Гелл-Мана и Нишиджимы (3.7), мне удалось разработать геометрическую модель характеристик некоторых элементарных частиц и кварков. Здесь я покажу только картинку, как выглядит в рамках такого моделирования элементарная частица нейтрон (Рис. 3.14), а всю работу заинтересованный читатель найдёт в Приложении 3 «Геометрическое моделирование характеристик элементарных частиц». Q=I+

Y , 2

80

(3.7)

Франц Герман

Franz Hermann

здесь Q - электрический заряд элементарной частицы, I - проекция изоспина, Y гиперзаряд (Сумма барионного заряда и странности. Странность – одна из характеристик элементарных частиц, см., например, [8]).

Рис. 3.14 В 1931 году известный немецкий математик и физик теоретик Герман Вейль (да, тот самый: помните мы упоминали, что в теории вакуума используется геометрия Вайценбека-Вейля, а так же Hermann Weyl = 138) открыл «закон совпадения больших чисел». Для вычисления безразмерной величины мегамира Вейль взял четыре фундаметальных константы: G - гравитационную постоянную, H - постоянную Хаббла для расширения Вселенной, ρ - усреднённую плотность массы (энергии) вещества во Вселенной и c - скорость света. Для вычисления безразмерной величины микромира Вейль использовал: m - массу элементарной частицы («имеющаяся здесь неопределённость в несколько порядков несущественна...» [37, стр. 378]), e - заряд электрона, h - постоянную Планка, а также c - скорость света. Вычислив безразмерные величины для мегамира и микромира, Вейль обнаружил, что они практически совпадают и равны ~ 10 40 . Как отмечает Г. Е. Горелик - известный исследователь вопросов, связанных с размерностью пространства, «это эмпирическое соотношение до сих пор ещё не включено подлинным образом в физическую теорию, однако стало исходным пунктом для столь различных направлений, как гипотеза изменяемости гравитационной константы и антропный принцип. Первое направление ассоциируется с проблемой постоянства физических констант вообще. Второе направление неожиданным образом образом, на новой основе и в совершенно новой форме, привело к возрождению антропоцентрического взгляда на Вселенную» [37, стр. 378]. Возникает искушение: а нельзя ли каким-нибудь образом использовать это огромное число для оценки величины ячейки (стороны квадратика l 0 ) самой пространственной решётки? Самой маленькой гипотетической частицей современной физической теории является фридмон – частица, которая может заключать в себе целую Вселенную. Теоретические рассчёты показывают, что радиус фридмона равен ~ 10 −33 сантиметра [39, стр. 171-177]. Это значение наиболее, чем другие величины микромира, близко к обратной величине Вейля и мы можем предположить, что 81

Франц Герман

Franz Hermann

l 0 = 1см ⋅ 10 −40 .

(3.8)

Выше было показано, что число Вейля может быть связано с антропным принципом. Напомним вкратце, что такое антропный принцип. Антропный принцип говорит о том, что Вселенная является очень жёсткой системой со всеми её константами. И жёсткость эта обусловлена тем, что только в такой системе может жить человек. Короче, Вселенная создана для человека. Человек тоже имеет различные константы, связанные с его телом, его биологией и физиологией, которые не меняются на протяжении жизни всего человечества. Можно предположить, что одной из таких констант может быть, например, 3

объём тела новорожденного младенца V0 [см ]. Естественно, точно такой же объём имеет и тонкое тело новорожденного. Кроме того, как утверждает Роберт Монро, тонкое тело может принимать любую форму. Таким образом мы можем представить себе куб с объёмом V0 и, используя соотношение (3.8), оценить число узлов пространственной решётки, содержащихся в объёме тела новорожденного. Отметим здесь, что при вычислении энергии квадратного (имеется в виду сечение куба) поля по формуле (3.3), участвует только энергия содержания (Рис. 3.15). Это позволяет вычислять и объёмы кубических тел, т. е. знать число узлов решётки, расположенных внутри.

Рис. 3.15 Может быть из этого значения в совокупности с другими константами человека вновь можно получить число Вейля? По крайней мере, я убеждён в том, что если прав антропный принцип, то человеческие константы должны быть каким-то образом связаны с константами мега и микромира. Я не исключаю, что кроме констант, относящихся к человеку, как к биологическому и мыслящему существу, существуют и константы, связанные со всем человечеством. В заключение хочу отметить, что пространственного аналога для форомул (3.1) и (3.2) не существует. Т. е. невозможно по количеству узлов пространственной решётки, расположенных на гранях, рёбрах и внутри самого данного многогранника, вычислить его объём. Хотя с введением некоторых вспомогательных решёток сделать это всё-таки удаётся. Все заинтересованные этим вопросом, в качестве отправной точки, могут обратиться к книге М. Гарднера [40, стр. 66-68].

82

Франц Герман

Franz Hermann

Часть IV Группа «Человек есть тайна. Её надо разгадать, и если будешь её разгадывать всю жизнь, то не говори, что потерял время. Я занимаюсь этой тайной, ибо хочу быть человеком.» (Ф. М. Достоевский) «... все достижения теории групп не отвечают на один вопрос: почему теория групп описывает природу?» (Я.Смородинский)

Уже была закончена третья часть, а я всё никак не мог решить, включать в наше исследование разговор о группах или нет. Дело в том, что понятие группы выходит за рамки элементарной математики, а я собирался написать книгу, доступную читателю, знания которого не превышают объёма средней школы. Но потом, снова перечитав уже написанное, понял, что без групп просто не обойтись. Они нужны и для первой, и для второй, и третьей части настоящего повествования. Более того, благодаря своей универсальности, группа является здесь необходимым обобщением и разговор об исследованиях Роберта Монро, как мне кажется, без групп был бы не полным. Ну и наконец, для понимания понятия группы требуется всего четыре аксиомы, для введения которых практически не требуется никаких дополнительных знаний, а все специальные вопросы, касающиеся теории групп, заинтересованный читатель и профессионалы найдут в Приложении 5. Кроме того, и в первой, и во второй, и в третьей части мы уже предпринимали вылазки за рамки школьной программы. Так что, отступать некуда. Теория групп, как математический аппарат, играет одну из самых ключевых ролей в современной науке и давно уже спустилась на землю с заоблачных вершин абстрактной математики. Но начнём мы с некоторого исторического отступления, без которого нам не обойтись.

Рис. 4.1 Для меня 1996 год был очень удачным и интересным. А в некоторых моментах, так просто звёздным (В тот год я написал первое и наверное последнее небольшое 83

Франц Герман

Franz Hermann

исследование, посвящённое творчеству Ф. М. Достоевского [42]). В том году отмечалась 175-ая годовщина со дня рождения Фёдора Михайловича Достоевского. Без всякого преувеличения можно сказать, что центральным событием этой даты для достоевсковедов всего мира были дни Достоевского в Дрездене, где одним из главных мероприятий стал международный симпозиум, посвящённый творчеству писателя (Материалы симпозиума [41]). На симпозиум съехались учёные и исследователи жизни и творчества Достоевского со всего мира. Организатором этого праздника был Немецко-Русский Институт Культуры (ДРКИ) в Дрездене (Рис. 4.1). Мне повезло. Я не только был участником симпозиума, но и входил в оргбюро. Во второй день симпозиума, 9 ноября, который проходил в одном из отелей Дрездена, после утреннего заседания, я не остался обедать в отеле, а решил пройтись по улицам. Буквально отойдя метров двадцать пять - тридцать от отеля, я обратил внимание на одиноко стоящего молодого человека около стены одного из домов на «Прагер штрассе». Перед этим человеком был маленький столик, а на нём лежали какие-то брошюрки. Я подошёл и взял в руки одну из брошюрок. Как ни удивительно, она оказалась на русском языке. Цена была просто мизерной и я купил эту брошюру. Вторая брошюра была на немецком языке и стоила также не дорого, но мелочи у меня больше не было, а у продавца не было сдачи с крупной купюры. Я собрался уже уходить, и тогда этот молодой человек просто подарил мне вторую брошюру, сказав при этом, что это последние экземпляры и ему пора уходить. На улице было довольно холодно и видно было, что он изрядно продрог. Авторы брошюр были разные, но назывались они одинаково и очень коротко: «666». Число 666 по-прежнему напоминало о себе. Из этих брошюр я впервые тогда узнал о существовании Троицы от лукавого и, вообще, впервые задумался о феномене Троицы. Здесь число 666 можно рассматривать, как некий катализатор. Не будь этого числа на обложках брошюр, не известно, когда бы я столкнулся ещё с вопросами Троицы. Как оказалось, вопросы Троицы волнуют умы людей многие столетия. Не раз этому вопросу были посвящены Вселенские соборы. Было много написано исследований и попыток объяснений – почему Бог (и его противник) триедины. Как это всё можно понять. Почему Бог един, но в то же время выступает в трёх Лицах: Отец, Сын и Святой Дух? И как проявляются взаимодействия этих трёх Лиц. Одним из исследователей вопроса Троицы был выдающийся российский учёный, известный конструктор космической техники, академик Б. В. Раушенбах. «Размышления о триединости вызвали целый поток недоумений, сомнений и ересей. Человеческий ум всегда стремится понять высказываемое утверждение. «Понять» означает включить это утверждение в совокупность истин, подтверждаемых повседневной человеческой практикой, в конечном счёте согласовать его с рациональной формальной логикой. Кажущаяся несогласованность догмата с формальной логикой толкала многих на еретические построения» [43, стр. 118]. Академик Раушенбах решил привлечь математику для решения этого не простого вопроса. Он не задавался целью дать математическое доказательство Троице (да это и невозможно?), а найти или построить математический объект, который обладал бы всеми аналогичными характеристиками Троицы и, в то же время, не противоречил бы формальной логике. «Метод, который здесь будет использован, сводится, ..., к доказательству изоморфности (обладания одинаковой логической структурой) Троицы и некоторого математического объекта» [43, стр. 122]. Но прежде необходимо чётко сформултровать логические свойства Троицы. «1. Триединость. Это свойство ... говорит о том, что единый Бог и Троица одно и то же. 2. Единосущность. Здесь утверждается, что три Лица Троицы имеют одинаковую Друг с Другом сущность... 84

Франц Герман

Franz Hermann

3. Нераздельность. ... По учению Церкви, Ипостаси всегда выступают вместе, и совершенно исключено, чтобы какое-то Лицо действовало отдельно от других... 4. Соприсносущность. ... По учению Церкви, Отец, Сын и Св. Дух существуют совместно и всегда, т. е. обладают свойством соприсносущности. 5. Специфичность. ... Суть этого свойства сводится к тому, что, несмотря на единосущность, три Лица не сводимы друг к другу, а каждое обладает своей спецификой... 6. Взаимодействие. ... Свойство взаимодействия стоит несколько отдельно, отличаясь от всех других, поскольку первые пять свойств обладают качеством определённости и «статичности». Они чётко говорят о состоянии, в то время как последнее отражает факт существования некоторого «процесса». Шестое свойство нельзя назвать чисто логическим и потому, что оно отражает жизнь Бога в Себе. Неизбежная неопределённость термина «взаимодействие» не препятствует, однако, тому, чтобы понимать, в каком направлении следует анализировать логику троичности» [43, стр. 122-124]. Как показал академик Раушенбах, таким математическим объектом может быть «самый обычный вектор с его тремя ортогональными составляющими». И действительно, вектор обладает всеми свойствами Троицы. Первое свойство очевидно, т. к. «сам вектор, с одной стороны и три его составляющие – с другой – одно и то же. Второе свойство так же почти очевидно, т. к. и сам вектор и каждая из его составляющих тоже являются векторами. Третье свойство: нераздельность. «Каждая составляющая вектора связана с ним абсолютно, поскольку является его векторной проекцией на соответствующую ось. Но тогда они столь же абсолютно связаны и друг с другом, что и является нераздельностью». Все три составляющие вектора существуют одновременно. Именно это характеризует четвёртое свойство Троицы – соприсущность. Свойство специфичности определяется тем, что каждый составляющий вектор «работает» только в своём направлении и не может заменить другой составляющий вектор. Шестое свойство – взаимодействие, как отмечает академик Раушенбах, сводится к тому, что вектора суммируются по правилам векторной алгебры. Таким образом, в математике существует объект, который можно назвать математической Троицей. Вообще, я считаю, что в этом нет ничего удивительного, так как и весь Мир, созданный Богом, (наука убеждается в этом почти ежедневно) носит математический план творения. Резонно спросить, а существуют ли и другие математические объекты со свойствами Троицы? И, может быть, изучая такие объекты, мы сможем лучше понимать Бога? Занимаясь теорией групп, я обнаружил, что всеми свойствами Троицы, может быть даже в более ярком своём проявлении, обладают группы, связанные между собой фундаментальным свойством этой теории - простейшим циклическим изоморфизмом. Основы теории циклического изоморфизма заинтересованный читатель найдёт в Приложении 5. Далее мы поступим следующим образом. Сначала познакомимся, что же представляет собой группа. Рассмотрим различные примеры групп и простейшего циклического изоморфизма, а затем исследуем тексты описания экспериментов Роберта Монро и попытаемся увидеть, где и как в этих опытах проявляют себя группы и какие выводы можно из этого сделать. Понятие группы связано с понятием множества. По числу элементов, различают конечные и бесконечные множества. Различные элементы образуют различные множества. Например, действительные числа образуют множество действительных чисел.

85

Франц Герман

Franz Hermann

Говорят, что на множестве определена бинарная операция, если каждой паре элементов из данного множества можно однозначно сопоставить элемент этого же множества. Например, для множества действительных чисел можно выбрать, в качестве бинарной операции, сложение двух чисел по всем правилам арифметики. Складываея два действительных числа, мы вновь получаем действительное число. Группой G называется множество элементов, на котором определена бинарная операция « o » и выполняются следующие аксиомы: 1. Для любых двух элементов

gi

и gj

из множества G справедливо

gi o g j = gk ∈ G . 2. Существует нейтральный элемент g 0 ∈ G такой, что для любого элемента g i ∈ G справедливо g i o g 0 = g0 o g i = g i . 3. Для любого элемента g i ∈ G существует обратный элемент g i* ∈ G такой, что g i o g i* = g i* o g i = g 0 . 4. Для данной бинарной операции gi o g j o gk = gi o g j o gk .

(

) (

)

справедлив

ассоциативный

закон:

Вот и всё. Проверяя выполнимость этих аксиом для любых множеств можно определить, является данное множество группой или нет. Не трудно проверить, что множество действительных чисел с бинарной операцией сложения образуют группу. Здесь в качестве нейтрального (его ещё называют единичным) элемента будет число ноль. Порядком группы называют число его элементов. Очевидно, что порядок группы действительных чисел будет бесконечным. Группа называется абелевой или коммутативной если для любых двух её элементов справедливо g i o g j = g j o g i . Известно, что от перемены двух слагаемых в арифметике действительных чисел сумма не меняется. Следовательно, группа действительных чисел будет коммутативной, т. е. абелевой. n Если ( g i ) = g i o g i o ... o g i = g 0 , где g i ≠ g 0 , то число n называют степенью элемента g i .Группа называется циклической, если существует хотя бы один элемент этой группы, степень которого равна порядку самой группы. Если множество G 1 является подмножеством множества G: G 1 ∈ G , и для G 1 выполняются все аксиомы теории групп, с сохранением групповой операции на множестве G и нейтрального элемента, то множество G 1 называется подгруппой группы G. Обозначается это точно также, как и для множеств: G 1 ∈ G . Очевидно, что подгруппа является тоже группой. Нейтральный элемент всякой группы является также её подгруппой и подгруппой любой подгруппы. Из теоремы Ж. Лагранжа (да, того самого: Joseph Lagrange = 138) известно, что порядок подгруппы является делителем порядка группы. Можно сказать более жёстко. Если натуральное число k является делителем натурального числа n, то существует группа порядка n, содержащая подгруппу порядка k. Не правда ли, очень похоже на натуральные числа. Известный английский математик Артур Кэли предложил очень удобный способ представлять абстрактные конечные группы в виде таблицы. В большинстве

86

Франц Герман

Franz Hermann

математической литературы такие таблицы называются таблицами Кэли. Таблица Кэли для группы третьего порядка показана на Рис. 4.2.

g0

g1

g2

g0

g0

g1

g2

g1

g1

g2

g0

g2

g2

g0

g1

Рис. 4.2 Таблица Кэли, по сути дела, является аналогом традиционной таблицы Пифагора (таблицы умножения), где результат действия g i o g j находится на пересечении строки g i и столбца g j . Например, g1 o g 2 = g0 . Групповые законы изучаются абстрактной теорией групп. Здесь элементом группы является абстрактное алгебраическое понятие, не связаное с какими-то конкретными математическими объектами. Для тех, кто заинтересуется этой теорией могу рекомендовать, давно ставшую уже классической, книгу выдающегося российского математика О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп». Книга переведена на многие языки и не одно поколение математиков выросло на этой книге. Мы же будем знакомиться в основном с приложениями теории групп. «Группа – такое же фундаментальное математическое понятие, как число, множество, функция» [45, стр. 85] – в первую очередь интересна тем, что позволяет исследовать симметрию различных объектов. Как отмечает Герман Вейль, интуитивные понятия группы берут свои истоки от самых давних времён истории человечества, и связаны, в первую очередь, с симметрией различных орнаментов древних мастеров [44, стр. 15]. Изучая симметрию различных объектов, удобно использовать в качестве элементов группы различные подстановки. Теорию подстановок разработал в восемнадцатом веке всё тот же Жозеф Лагранж задолго до того, как в обиходе математиков появился термин «группа». Подстановка представляет собой двурядный кортеж элементов, например: ⎛ 1 2 3⎞ ⎟⎟ . Здесь показана подстановка третьего порядка, в качестве элементов которой ⎜⎜ ⎝ 2 31⎠ испльзованы натуральные числа, которые, с таким же успехом, можно было бы заменить, например, латинскими или какими-то другими буквами или знаками. Верхний ряд для подстановок одного и того же порядка, как правило, остаётся неизменным, а нижний ряд является всевозможными перестановками из данных элементов. Отсюда следует вывод, что число различных подстановок равно числу перестановок их элементов. А число перестановок из n элементов равно n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n (читается: «эн факториал»). Покажем все подстановки третьего порядка.

⎛12 3⎞ ⎛12 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 23⎞ ⎛ 1 23⎞ ⎟⎟ , g1 = ⎜⎜ ⎟⎟ , g 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , g 3 = ⎜⎜ ⎟⎟ , g 4 = ⎜⎜ ⎟⎟ , g 5 = ⎜⎜ ⎟⎟ . g 0 = ⎜⎜ ⎝12 3⎠ ⎝13 2⎠ ⎝ 321⎠ ⎝ 21 3⎠ ⎝ 231⎠ ⎝ 31 2⎠

87

Франц Герман

Franz Hermann

Подстановку g 0 называют тождественной подстановкой. Правило перемножения подстановок показано на следующем примере:

⎛ 1 2 3 ⎞⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎟⎟ = g 5 . ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ g1 o g 2 = ⎜⎜ ⎝ 1 3 2 ⎠⎝ 3 2 1 ⎠ ⎝ 3 1 2 ⎠ Элементу 1, верхнего ряда первой подстановки, соответствует элемент 1 из нижнего ряда. Следовательно во второй подстановке в верхнем ряду надо рассматривать элемент 1. Ему соответствует во втором ряду элемент 3. Поэтому в третьей подстановке под элементом 1 надо поставить элемент 3. Схематично это выглядит следующим образом (Рис. 4.3):

1

1

1

1

3

3

Рис. 4.3 Не трудно доказать, что подстановки третьего порядка образуют некоммутативную (т. к. произведение подстановок некоммутативно) группу шестого порядка. Мы неоднократно будем обращаться к этой интересной группе, поэтому покажем здесь её таблицу Кэли (Рис. 4.4).

g0

g1

g2

g3

g4

g5

g0

g0

g1

g2

g3

g4

g5

g1

g1

g0

g5

g4

g3

g2

g2

g2

g4

g0

g5

g1

g3

g3

g3

g5

g4

g0

g2

g1

g4

g4

g2

g3

g1

g5

g0

g5

g5

g3

g1

g2

g0

g4

Рис. 4.4 Каким же образом группа помогает исследовать симметрию различных объектов. Рассмотрим элементарный пример из геометрии. Самой популярной фигурой планиметрии является треугольник. А простейшим треугольником – является равносторонний (Рис. 4.5). Этот реугольник обладает двумя видами симметрии: поворотной (вокруг центра треугольника) и зеркальной (осевой, относительно высот треугольника). Мы будем проделывать с треугольником некоторые действия (поворачивать его вокруг центра или зеркально отражать относительно его высот), таким образом, чтобы в результате наших действий внешний вид треугольника

88

Франц Герман

Franz Hermann

оставался неизменным. Такие действия называются преобразованиями симметрии. А теперь покажем, как за всем этим увидеть группу.

2

3

1 Рис. 4.5

Сопоставим исходное положение треугольника с подстановкой g0 . Повернём наш треугольник по часовой стрелке вокруг его центра на 120 градусов. Получим тот же треугольник, но обозначение его вершин изменится (Рис. 4.6).

1

2

3 Рис. 4.6

На место вершины 1 пришла вершина 3, на место вершины 2 – вершина 1 и на место вершины 3 – вершина 2. Треугольник совместился сам с собой. Не трудно заметить, что такому преобразованию соответствует подстановка g 5 . Верхний её ряд показывает исходное состояние треугольника (Рис. 4.5), а нижний ряд подстановки – новое обозначение вершин (Рис. 4.6). Если мы повернём наш треугольник ещё на 120 градусов по часовой стрелке, а затем ещё один раз и опять же на 120 градусов, то, очевидно, придём к исходному состоянию треугольника (Рис. 4.5). На языке групповых элементов эти действия выглядят таким образом:

g5 o g5 o g5 = g0 . Проверить этот результат можно используя таблицу Кэли, но я рекомендовал бы читателю не полениться и проделать данные действия, используя соответствующие подстановки. Полученное выше выражение можно записать следующим образом: ( g5 )3 = g0 . А из этого можно заключить, что степень элемента g5 равна 3. Поворот треугольника на 240 градусов описывается подстановкой g4 . Легко убедиться, что степень и этого элемента тоже равна 3. Эти же подстановки будут описывать и вращения против часовой стрелки. Очевидно, что данный треугольник можно вращать на любые углы, кратные 120 градусам. 89

Франц Герман

Franz Hermann

Посмотрим, как обстоят дела с зеркальной симметрией нашего треугольника. Проделаем зеркальное отражение вершин треугольника относительно оси, проходящей через вершину 2 (см. Рис. 4.5 ). В результате такого действия вершина 2 останется на своём месте, а вершины 1 и 3 поменяются местами (Рис. 4.7).

2

1

3 Рис. 4.7

Такому обозначению вершин соответствует подстановка g 2 . Не трудно убедиться, что любые подстановки третьего порядка и их произведения, соответствуют какой-нибудь симметрии равностороннего треугольника. Таким образом, можно сказать, что все симметрии данного треугольника образуют группу 6-го порядка. Представим себе, что у нас есть возможность рассматривать наш треугольник в трёхмерном пространстве. Тогда зеркальную симметрию относительно какой-нибудь из трёх осей можно заменить на поворотную симметрию вокруг этой же оси на 180 градусов. Пусть наш треугольник вписан в большую окружность, расположенную в плоскости нашего рисунка, некоторой сферы (Рис. 4.8).

Рис. 4.8 Сам треугольник на Рис. 4.8 не показан. По сути дела, он нам и не нужен. А нужны только его вершины. Маленький чёрный шарик может занимать одно из трёх положений, соответствующих вершинам нашего треугольника. На Рис. 4.8 показаны три оси вращений, расположенные в плоскости нашего рисунка. Кроме того будем считать, что через центр сферы проходит ещё одна ось, расположенная перпендикулярно к плоскости рисунка. Тогда, с учётом замены преобразований осевой симметрии на преобразование вращения на 180 градусов, вокруг соответствующей оси, можно сказать, что данная группа шестого порядка описывает некоторые элементарные (скачкообразные) вращения маленького чёрного шарика по поверхности сферы. Представим себе, что данная сфера является орбиталью электрона, который на Рис. 4.8 изображён чёрным маленьким шариком, а в центре сферы расположено 90

Франц Герман

Franz Hermann

атомное ядро. Тогда, в свете всего вышеизложенного, мы получаем примитивную модель использования теории групп в квантовой механике. На самом деле там всё обстоит гораздо сложнее и группа вращений трёхмерного пространства, используемая в квантовой механике, имеет бесконечный порядок и описывает не только симметрию состояний электронов, но и симметрию осей вращения. Но одной группы для описания состояния электронов недостаточно и надо ещё использовать и группу подстановок, которая описывает различные конфигурации электронов в атоме, и многое другое... Одним из пионеров, кто начал использовать математический аппарат теории групп в квантовой механике, был Герман Вейль. В 1928 году квантовая механика только-только начинала переживать своё становление, а в мире уже появилась монография Вейля «Теория групп и квантовая механика» [44], в которой, в частности, говорилось, «что теория групп имеет фундаментальное значение для квантовой теории; она вскрывает существенные черты, которые не являются следствием ни специальной формы динамических законов, ни специальных предположений о действующих силах» [44, стр. 15]. Дальнейшее развитие этих идей во многом обязано работам гениального математика двадцатого столетия Джона фон Неймана и его ученика и друга Юджина Вигнера, за что последний был удостоен Нобелевской премии по физике за 1963 год [46, стр. 80]. Применение теории групп оказалось настолько плодотворным, что и теория элементарных частиц и кварков строилась с применением групповых методов. А один из предсказателей существования кварков, американский физик теоретик ГеллМанн был удолстоен в 1969 году Нобелевской премии за развитие методов групповой унитарной симметрии [46, стр. 358]. Я сделал это историческое отступление, чтобы напомнить читателю, что элементарные частицы и кварки являются, по нашему мнению, теми объектами, которые наиболее близко стоят к тонкому миру и изучаются методами традиционной науки. Кроме того, теория групп является идеальным математическим аппаратом для изучения симметрии того или иного объекта. А понятие симметрии в наше время становится очень важным для понимания окружающего нас мира и той гармонии, которая в нём заложена. Достаточно напомнить, что изучение симметрии позволило установить изоморфизм, например, между такими, казалось бы совершенно далёкими друг от друга объектами, как симметрия структуры ДНК и симметрия икосаэдра – пятого платонового тела [16, стр. 226]. Но вернёмся к некоммутативной группе шестого порядка. Я специально подчеркнул тот факт, что данная группа является некоммутативной. Дело в том, что всего существует две группы шестого порядка. Вторая группа является коммутативной и циклической, но нам она здесь не понадобится. Кстати, отметим, что для любого натурального числа n всегда существует циклическая группа порядка n. Отметим также, что доказано, что любую конечную группу можно построить, используя в качестве элементов различные подстановки (это положение называется теоремой Кэли [47, стр. 52] (помните, что перемножать можно подстановки только одинакового порядка)). Порой, бывает очень не просто распознать в каком-то множестве группу, из-за того, что групповая операция представлят собой столь необычное бинарное правило, что просто диву даёшься. Практически вся первая часть нашего исследования была посвящена проективной геометрии, которая, как следует из опытов Роберта Монро, является основой пространства тонкого мира. Единственным и фундаметальным инвариантом проективной геометрии является сложное отношение четырёх точек на прямой. Об этом отношении мы упоминали во второй части нашего исследования. Более подробно

91

Франц Герман

Franz Hermann

и в элементарном изложении об этом можно прочитать, например, в литературе [48], [49]. Имея обозначения и координаты четырёх точек на прямой и зная формулу для вычисления, можно найти числовое значение сложного отношения. Вообще говоря, сложное отношение – это какое-то число. Изменяя обозначения точек, в формуле для вычисления сложного отношения, можно получить шесть различных результатов: λ , λ 1 1+ λ 1 − (1 + λ ) , − , , − и − . Как выяснилось, эти алгебраические 1+ λ λ λ 1+ λ выражения образуют уже знакомую нам некоммутативную группу шестого порядка. Я предлагаю читателю, прежде чем продолжить дальнейшее чтение, попытаться самостоятельно найти групповую операцию. Да, и какой элемент группы здесь будет нейтральным сразу усмотреть тоже не очень-то просто. Покажем соответствие между данными выражениями и теми обозначениями, которые используются в таблице Кэли для данной группы.

g 0 = λ , g1 = − (1 + λ ) , g 2 = −

λ 1+ λ

, g3 =

1

λ

, g4 = −

1+ λ

λ

, g5 = −

1 . 1+ λ

А теперь, на конкретном примере дадим описание групповой операции для последней группы. Пусть нам надо выполнить действие g 2 o g 3 = g 5 (см таблицу Кэли, Рис. 4.4). Мы должны поступить следующим образом. Алгебраическое выражение элемента g 3 надо подставить на место λ в выражении элемента g 2 , затем проделать алгебраические выкладки, чтобы упростить полученное выражение и тогда мы должны получить элемент g5 . Выполним предписанную операцию. 1

1

⋅λ g3 1 λ λ − =− =− =− = g5 . 1 1 + g3 1+ λ 1+ λ 1+

λ

Итак, мы познакомились с четырьмя группами: абстрактной некоммутативной группой шестого порядка; группой подстановок третьего порядка; группой симметрий равностороннего треугольника и группой числовых выражений для сложного отношения четырёх точек на проективной прямой. Элементами первой из этих групп являются символы g i , элементами второй – подстановки третьего порядка, элементами третьей – симметрии равностороннего треугольника и элементами четвёртой – алгебраические выражения для числовых значений сложного отношения. Групповые операции во всех четырёх случаях тоже будут различны. В первом случае, в качестве групповой операции, мы имеем абстрактную бинарную операцию, обозначаемую значком « o » и определяемую соответствующей таблицей Кэли. Во втором – умножение подстановок. В третьем – композицию преобразований симметрии и в четвёртом случае - групповая операция задаётся описательно. Объединяет все эти группы общая таблица Кэли. Такие группы называются изоморфными. Группы интересны ещё и тем, что элементами конечной группы могут быть бесконечные множества. 92

Франц Герман

Franz Hermann

Вспомним множества U и W, которые мы рассматривали во второй части. Множество U содержет все нечётные числа вида ui = 6i − 5 , а множество W содержет нечётные числа w i = 6i − 1 . Множества U и W можно рассматривать как элементы группы второго порядка. В качестве нейтрального элемента здесь выступает множество U. Какова же будет групповая операция? Покажем действие групповой операции на примере. Пусть нам надо вычислить U o W . Для этого надо взять любое число ui ∈ U и любое число из множества w j ∈ W и вычислить их произведение. По Теореме 2 (см. вторую часть) получаем: ui ⋅ w j = w k ∈ W . На основании этого записываем: U o W = W . Результаты всевозможных произведений множеств U и W рассматривались в Теоремах 1, 2 и 3 во второй части. Под произведением множеств мы подразумеваем здесь бинарную операцию « o ». Таблица Кэли такой группы имеет вид (Рис. 4.9).

U

W

U

U

W

W

W

U

Рис. 4.9 Очевидно, что данная группа будет изоморфна абстрактной группе второго порядка (Рис. 4.10).

g0

g1

g0

g0

g1

g1

g1

g0

Рис. 4.10 Существует единственная таблица Кэли для двух элементов, поэтому все группы второго порядка будут изоморфны между собой. Группа второго порядка (Рис. 4.10) является подгруппой некоммутативной группы шестого порядка (Рис. 4.4). Во второй части было рассмотрено ещё одно множество нечётных чисел, множество V. Оказывается, все три множества U, W и V образуют группу третьего порядка. Но в качестве нейтрального элемента здесь будет выступать множество W. А групповую операцию в общем виде можно представить таким образом:

gi + g j + 1 ,

(4.1)

где в качестве чисел g i и g j могут быть числа соответствующих множеств U, W и V. Например, найдём произведение V o U . Берём любое число из множества V (напомним, что числами множества V являются числа v i = 6i − 3 ) и любое число из множества U. Пусть это будут числа 3 и 7, соответственно. Тогда согласно групповой операции получаем число 3+7+1=11. Число 11 принадлежит множеству W, поэтому записываем V o U = W . Доказательство равенств v i + u j + 1 = w k , v i + w j + 1 = v k , w i + u j + 1 = uk ,

v i + v j + 1 = uk , w i + w j + 1 = w k , ui + u j + 1 = v k мы предоставляем читателю. 93

Франц Герман

Franz Hermann

Также как и для групп второго порядка, для групп третьего порядка существует единственная таблица Кэли (Рис. 4.2). Группа третьего порядка также является подгруппой для группы Рис. 4.4. Здесь эту подгруппу образуют элементы g0 , g4 и g5 . Множество чётных чисел можно разбить на три подмножества следующим образом: P = { 2, 8, 14, ..., 2(3i − 2 ) } , Q = { 4, 10, 16, ..., 2(3i − 1) } и R = { 6, 12, 18, ..., 6i }, где i ∈ N . Тогда все множества U, V, W, P, Q и R образуют коммутативную группу шестого порядка с нейтральным элементом W и групповой операцией (4.1). Построение таблицы Кэли для этой группы мы оставляем чистателю. Обозначим всё множество нечётных чисел через T, а множество чётных – через S. Оба эти множества могут образовывать группу второго порядка, причём, в зависимости от групповой операции, в одном случае в качестве нейтрального элемента будет выступать множество S, а в другом – множество T. Групповыми операциями в данных случаях будут: g i + g j и g i ⋅ g j + 2 , соответственно. Но вернёмся к некоммутативной группе G шестого порядка (Рис. 4.4). Из таблицы Кэли видим, что данная группа имеет три подгруппы второго порядка: G1 = { g 0 , g1 } , G 2 = { g 0 , g 2 } , G 3 = { g 0 , g 3 } . Как было уже сказано, все эти подгруппы изоморфны между собой. Именно подгруппы G1 , G2 и G 3 образуют простейший циклический изоморфизм. Подробнее об этом можно прочитать в Приложении 5, здесь же мы просто покажем на примере, что такое циклический изоморфизм трёх подгрупп. Рассмотрим преобразование подгруппы G1 в подгруппу G2 :

g 3 o G1 o g 3 = G 2 .

(4.2)

Это значит, что подставив на место G1 в выражении (4.2) любой элемент g i ∈ G1 , мы получим изоморфный ему элемент g i из подгруппы G2 . Схематично это можно изобразить так (Рис. 4.11).

g3

G1

G2

Рис. 4.11 Справедливы также и такие преобразования:

g1 o G 2 o g1 = G 3 ,

(4.3)

g 2 o G 3 o g 2 = G1 .

(4.4)

А все преобразования вместе можно показать на схеме (Рис. 4.12 ).

G2 g3 G1

g1 g2

G3

Рис. 4.12 Нам представляется, что именно простейший циклический изоморфизм является ещё одним представителем математической троицы. 94

Франц Герман

Franz Hermann

Рассмотрим ещё один раз все свойства Троицы, как мы это показали выше, только уже не с векторных позиций, а с позиций теории групп и циклического изоморфизма. Первое свойство: триединость. С одной стороны некоммутативной группой минимального порядка, имеющей три изоморфных подгруппы второго порядка является единственная группа шестого порядка. С другой стороны, прямое произведение трёх изоморфных подгрупп второго порядка, связанных циклическим изоморфизмом, определяют единственно возможную группу минимального порядка, группу G. Второе свойство: единосущность. Очевидно, т. к. и сама группа и три её подгруппы (тоже являющиеся группами) построены на элементах одного множества. Третье свойство: нераздельность. И сама группа и три её подгруппы имеют общий нейтральный элемент. Кроме того три подгруппы связаны между собой циклическим изоморфизмом. Четвёртое свойство: соприсущность. Как и в случае с векторами, все три подгруппы существуют одновременно. Пятое свойство: специфичность. Это очевидно, так как в группе не может быть двух одинаковых элементов, а, значит, никакой из элементов не может подменить другой. И наконец, шестое свйство: взаимодействие. Существует групповая операция и, кроме того, циклический изоморфизм наглядно демонстрирует факт взаимодействия трёх подгрупп. Мы надеемся, что убедили читателя в том, что простейший циклический изомофизм является математическим объектом, обладающим свойствами Троицы. Циклический изоморфизм является фундаментальным свойством абстрактной теории групп. Мы затронули только простейший вид циклического изоморфизма. На самом деле, как это уже видно из примеров в Приложении 5, проявление циклического изоморфизма может быть очень сложным. Проводя обратную аналогию, можно предположить, что, может быть, и наше представление о Боге, как о Троице, тоже является примитивным. Может быть наше представление обусловлено трхмёрностью нашего пространства, а где-то там, в других измерениях Бог может представляться значительно более многогранной Сущностью. Завершая разговор о циклическом изоморфизме, хочу отметить одну прикладную его сторону. В математике существуют такие объекты, как матрицы Клиффорда, названные так в честь английского математика, который их изобрёл. Долгое время эти матрицы были просто математической игрушкой, пока Вольфганг Паули – один из создателей квантовой механики – не обратил внимание на то, что при помощи этих матриц очень удобно описывать спин (собственное вращение) элементарных частиц. С этого времени матрицы Клиффорда прочно вошли в теоретическую физику и теперь их чаще называют не матрицами Клиффорда, а матрицами Паули. Как оказалось, при рассмотрении точного представления циклического изоморфизма матричными группами (теория представлений – раздел общей теории групп), матрицы Клиффорда являются решениями уравнений циклического изоморфизма (Приложение 5). И теперь можно говорить, что матрицы Клиффорда – это не изобретение, а удивительное открытие английского математика. Как нам кажется, физики-теоретики должны серьёзнейшим образом обратить внимание на свойство циклического изоморфизма. Заканчивая экскурс в теорию групп, скажем несколько слов о симметрической группе и группах Ли. Симметрической группой n-го порядка называется группа подстановок n-го порядка. Рассмотрим группу подстановок при n = ∞ . Под значком « ∞ » будем подразумевать здесь некоторое предельно большое натуральное число. 95

Франц Герман

Franz Hermann

Будем считать также, что в любой подстановке число 1 всегда переходит в число m, где m является первым числом, от которого начинается цепочка производных, и ∂ k n < n , при k ≤ n . Тогда каждую цепочку производных чисел (см. часть II и Приложение 2) можно рассматривать как одну из подстановок симметрической группы порядка n = ∞ . Например, цепочке числа m =12: 12⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 будет соответствовать подстановка: ⎛ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 k ∞ ⎞ ⎜⎜ ... ... ⎟⎟ . ⎝ 12 2 1 3 5 6 7 8 4 10 11 16 13 14 9 15 17 k ∞ ⎠ До сих пор мы рассматривали дискретные конечные группы, несмотря на то, что элементами этих групп, порой, были бесконечные множества. Одним из главных представителей непрерывных групп бесконечного порядка являются группы Ли, названные так в честь норвежского математика Софуса Ли, который первым стал заниматься их исследованиями. В своё время выдающийся немецкий математик Феликс Клейн предложил классифицировать все геометрии по группе их преобразований, имея в виду, что каждое геометрическое преобразование определяет некоторую геометрию. За исходную группу преобразований были взяты геометрические преобразования проективной геометрии, а все другие геометрии строились, как частный случай этой геометрии на основе вносимых изменений в проектиные преобразования [49]. Геометрические преобразования представляют собой совокупность функций * x i = f ( x i ) , которые ставят в соответствие координатам x i , некоторой произвольной точки, новые координаты x i* , при этом могут быть введены ещё некоторые условия, характерные для данного конкретного преобразования. Вообще говоря, такие преобразования определяются действительными (или комплексными) числами, а действительные числа являются непрерывным бесконечным множеством, т. к. действительные числа можно рассматривать с любой, наперёд заданной, точностью (имеется в виду количество знаков после запятой в десятичном представлении действительных чисел). Поэтому и группы Ли названы непрерывными. Элементами группы здесь выступают конкретные геометрические преобразование, а групповой операцией является композиция двух преобразований. В результате такой композиции снова получается преобразование такого же вида. Нейтральным элементом является тождественноe преобразования, в результате которого с координатами точек ничего не происходит. Кроме того, для каждого преобразования, существует и обратное преобразование, которое возвращает геометрический объект в исходное положение. Любопытное замечание по поводу групп даёт А. Пуанкаре: «Предмет геометрии составляет изучение лишь частной «группы» перемещений, но общее понятие группы существует раньше в нашем уме (dans notre esprit), по крайней мере в виде возможности. Оно присуще нам не как форма нашего восприятия, а как форма нашей способности суждений» [60, стр.66]. Очевидно, что для непрерывных групп бесконечного порядка невозможно построить таблицу Кэли. Именно группы Ли навели меня на идею рассматривать некоторые объекты, описываемые Робертом Монро в своих опытах, с групповых позиций. Практически вся перовая книга Роберта Монро [2] посвящена иследованию тонкого тела и путешествиям тонкого тела в нашей физитческой реальности. Монро проделал сотни экспериментов и пришёл к выводу, что тонкое тело не предназначено для обитания в нашем мире. Вы можете «побывать в различных уголках земного шара, летать над ним и погружаться в глубины Земли. Вы можете улететь далеко в космос, поиграть Луной и всей Солнечной Системой. Эти занятия вызывают чудечсные 96

Франц Герман

Franz Hermann

ощущения, от них захватывает дух, но даже такая экзотика вскоре может наскучить» [50, стр. 26]. Все путешествия Роберта Монро захватывающе интересные, но с какого то момента это надоедает, т. к. другие люди, находясь в своём физическом теле, не воспринимают тонкое тело и практически отсутствует общение. Конечно, можно общаться с тонкими телами людей, которые находятся в настоящий момент во сне, но после просыпания, как отмечает Роберт Монро, люди практически не в состоянии вспомнить, что с ними происходило во сне. Да и встречи такие могут происходить только стихийно, т. к. в состоянии сна тонкое тело человека не остаётся в нашей физической реальности, а совершает путешествия по тем мирам, для которых и предназначено его существование. В конце я ещё скажу несколько слов о снах и путешествиях во сне. Во второй своей книге [1] Роберт Монро рассказывает о многочисленных контактах с некоторыми разумными существами («Разумниками») в виде общений на уровне сознаний. При этом используется некий приём, названный «посылом», посредством которого происходит обмен информацией. А из третьей книги Монро [50] мы узнаём, кто были на самом деле эти «разумники», которых Монро называет в своих книгах странными именами «АА» и «ВВ». А теперь слово самому Роберту Монро. «...Там, вдали, находилась ослепляющая живая фигура невообразимых размеров... вначале она показалась мне выпрямившимся высоким человеком с разведёнными в стороны руками... но уже через мгновение все выглядело совсем иначе... на месте человека был сверкающий шар с неразличимыми краями, за ним ещё один, точно такой же, а позади третий... непрерывная череда сияющих шаров, уходящая в беспредельность, куда не дотягивалось восприятие... от каждого исходили бесчисленные лучи, одни огромного диаметра, другие не шире булавки, совершенно одинаковой тлщины по всей длине... я не мог разглядеть, куда они уходят, но некоторые проходили так близко, что я без труда мог бы до них дотронуться... прикоснуться... (Хочешь попробовать? Мы поможем). Я заколебался, но ощутил сердечную поддержку оберегающей меня как защитный экран фигуры Разумника... Я осторожно потянулся к одному из самых тоненьких лучей неподалёку, нерешительно коснулся его... в тот же миг всё то, что я считал собой, сотрясло мощными толчком – и я понял... уже в тот миг понимания я знал, что забуду об этом, просто не смогу вспомнить, потому что ещё не в состоянии вместить в себя эту истину... однако я никогда уже не буду прежним, хотя в памяти останется лишь то, что это действительно случилось, сохранится только неописуемое счастье понимания, что такое было... и отголоски события будут раздаваться во мне целую вечность, сколько бы ни длилась моя вечность... я почувствовал, как меня мягко отводят от луча, ...» [21, стр. 212-213]. Так Роберт Монро описывает своё первое знакомство с тем миром, где обитают Сознания всех разумных существ, созданных нашим Творцом. То ли в силу своей профессиональной деятельности (математика-модельера), то ли в силу математического мышления и математической фантазии, порой очень необузданной, я, зачастую, многие предметы и явления пытаюсь представить в виде математических объектов. Читая эти строки, я вдруг ясно понял, что речь идёт о группе. Группе, построенной на множестве Сознаний («лучи», исходящие из шаров). Нейтральным елементом такой группы является Сознание Творца. Причём, любой человек (разумник) наделён множеством сознаний, каждое из которых имеет уникальное воплощение либо в нашей, либо в какой-то другой действительности. И все эти сознания объединены в подгруппы («шары», из которых выходят лучи). Как отмечает Роберт Монро: «... другие виды того же сознания одновременно действуют в 97

Франц Герман

Franz Hermann

совершенно иных мирах и реальностях» [21, стр. 307]. Это станет более понятным из последующих описаний путешествий Роберта Монро. В одно из таких путешествий Роберту Монро удалось побывать в сообществе «своих» сознаний, я бы сказал: - в своей подгруппе. «Хотя мне почти не удалось воспринять что-то иное, кроме пронизывающего меня невероятного сопереживания и любви, у меня возникло явственное впечатление того, что там было множество счастливых существ. Кроме того там был даже приток новоприбывших.... Самым странным стало то, что это место показалось мне новым домом, как если бы я давным-давно был знаком со всеми его обитателями. Впрочем, это было не просто понимание, а нечто большее: я чувствовал себя так, словно являюсь частью этих существ, а они – частью меня» [50, стр. 43]. Как мы уже видели, элементы даже кончных групп могут представлять собой бесконечные множества. Кроме того подгруппы в свою очередь могут содержать собственные погруппы. Группы тем и хороши, что их «внутренний мир» может быть невообразимо разнообразным. Попробуйте представить себе, что вы, ваше сознание является элементом некоторой подгруппы. «Судя по всему, спектр сознания бесконечен. Он уводит за пределы пространства-времени, в иные энергетические миры. Кроме того, он опускается «вниз», к животной и растительной жизни, а затем, вероятно, переходит на субатомный уровень. Привычное человеческое сознание представляет собой лишь крошечный фрагмент бескрайнего непрерывного спектра» [50, стр. 107-108]. Вы чувствуете себя индивидуальностью и в то же время ощущаете родство с другими элементами - сознаниями. Кроме того вы можете знакомитеся и общаться с элементами других подгрупп, входящих в вашу подгруппу, у вас ведь общая групповая операция. Попробуйте сравнить такие свои ощущения с описаниями Монро. Сознание каждого человека, воплощённого в наш мир Роберт Монро называет «Я-«Здесь»». Кроме того он пишет, что существует некоторое сознание, которое он называет «Я-«Там»». Возможно, что сознания Я-«Здесь» и сознания Я-«Там», всех наших земных жизней и образуют некоторую подгруппу. Вернёмся к описаниям Монро. «Рядом стояла женщина – красивая, неопределённого возраста. Очень знакомая. Её лицо и глаза лучились от радости. - Я ждала тебя. Я знала, что ты появишся, когда мы соберёмся как одно целое.... На границе света и темноты виднелись лица, сотни лиц, и все они были обращены ко мне... Я замер на месте, не понимая, что происходит, чего от меня ждут. Потом на поверхность поднялась какая-то иная частица меня, и я облегчённо расслабился. Другая сторона меня начала говорить: - Я даже не подозревал, что нас так много. Это один из редких случаев, когда мы собираемся как одно целое. Как все мы уже знаем, нам позволяет собираться определённая система представлений (выделено Р. Монро), а это значит, что мы где-то на внешнем краю территории систем представлений. Таким образом, у нас уже есть кое-какие Истины – например, то, что мы здесь и способны быть здесь. То, что для существования не обязательно иметь материальное тело... Но самой величайшей Истиной, общей для всех нас, является любовь.

98

Франц Герман

Franz Hermann

Я-«Там» - то «Я», которое есть у каждого из нас и хранит знания обо всех предшествующих жизнях, - потянулось вверх. Я оторвался от пола и медленно проплыл над целым океаном обращённых ко мне лиц...» [50, стр. 142-143]. А теперь попробуем перевести прочитанное на язык теории групп. В данном эпизоде все элементы-сознания были представлены человеческим обличием (тонкое тело может принимать любой облик по желанию и я здесь усматриваю аналогию с теорией представлений групп). Говорится также о групповой операции, которой может быть «любовь», и которая может проявляться как обмен «посылами» информации между двумя сознаниями. В результате чего появляется (активизируется) новый элемент (аналогия с композицией преобразований групп Ли). И, наконец, для каждого Я-«Здесь» существует элемент Я-«Там», дополняющий нас до целого, до Бога, до нейтрального элемента. Т. о. элемент Я-«Там» можно рассматривать как обратный. А взаимодействие с нейтральным элементом, в результате чего исходный элемент остаётся без изменения, можно объяснить тем, что познавая Бога – мы познаём себя. Как видим, почти все аксиомы групп налицо. Невыясненым для меня остаётся вопрос об ассоциативности групповой операции и здесь я предлагаю читателю самостоятельно подумать и пофантозировать на эту тему. Во второй своей книге Монро много пишет об общении с двуми другими своими Я, называя их условно «АА» и «ВВ». Я думаю, что если бы Роберт Монро увидел во всём этом нечто напоминающее группу, то он непременно именовал бы себя «СС» и проверил аксиому ассоциативности. Ведь для этого достаточно трёх элементов группы. Возможно, я плохо проанализировал описания этих общений и необходимые сведения содержатся в текстах. Остаётся только пожалеть о том, что Роберт Монро не получил высшего математического образования. В следующем эпизоде Роберт Монро вновь рассказывает о пребывании в своей «подгруппе», но каждый элемент представляется теперь неким лучом (вспомните описание группы в виде шаров и лучей). «Итак... кто я? За барьером были сотни, тысячи образований, напоминающих колеблющиеся разноцветные лучи. Я неуверенно потянулся к ближайшему и коснулся его. В голове раздался глубокий мужской голос. - Чудесно! Любопытство окупается, Роберт? Я резко отстранился, но успел услышать, как голос посмеивается. В этот миг ко мне приблизился другой яркий, переливающийся луч розовато-лилового цвета. Раздавшийся голос оказался женским! - А ты что думал? Ты не только мужчина, Бобби! Это было только начало, всё повторялось вновь вновь, и мне становилось легче. Теперь я понимал, что каждый луч «света» был одним из многих меня, одной из индивидуальностей Я-«Там», которые прошли иные жизни. В моём Я«Там» хранились соответствующие сведения о каждой личности, все данные вплоть до мельчайших подробностей. Я понимаю неточность такого описания, так как каждая личность оставалась осознающим, мыслящим существом со своим сознанием, разумом и памятью. Общение с ними было очень простым, ведь всякий раз я встречался с самим собой! И всё же их было так много, что я едва ли успел пройтись по самому верхнему слою лучей» [50, стр. 154-155]. «Да, теперь я знаю, кто я, кем я был с самого начала, всегда ... беспокойная частица Целого, ... парадокс единства и неразрывности одной частицы. Я помню 99

Франц Герман

Franz Hermann

Целое ... Я и есть Целое ... я частица, но во мне есть вся полнота Целого» [50, стр. 213]. Процитировать все эксперименты Роберта Монро просто невозможно, да в этом и нет такой необходимости. Заинтересованный читатель сам может узнать обо всём этом непосредственно из книг Монро. Я попытался здесь лишь прокоментировать некоторые эпизоды и взглянуть на происходящее глазами математика. Роберт Монро неоднократно упоминал, что в снах человек тоже выходит из физического тела и совершает путешествия по тонкому миру или миру других физических реальностей. Многие из учеников Роберта Монро, пройдя курс обучения в институте Монро, сообщали своему учителю, что продолжают свои внетелесные путешествия прямо во сне, без всяких дополнительных инструкций и методов для выхода из физического тела. Примерно треть своей жизни мы проводим во сне, но к сожалению мало что помним из этих путешествий. Было бы просто непростительно невоспользоваться таким случаем и не попытаться проделать самостоятельные опыты. Путешествия во сне отличаются тем, что вы не в силах самостоятельно выбирать путешествия в иные реальности. Видимо, сон - это некоторая программа обучения, которая задумана, возможно, групповым сознанием вашей подгруппы, а может быть, и самим Творцом. Такое предположение выссказывает Роберт Монро. К сожалению, в повседневной нашей жизни мы не помним путешествия, которые совершали во сне. Запоминаются только очень яркие сны. Но можно научиться запоминать ночные путешествия. Я стопроцентно гарантирую вам, что после запоминания ваших снов, жизнь ваша получит дополнительный стимул к познанию тонкого мира и окрасится новыми удивительными, порой острыми и захватывающими переживаниями, которые будут практически неотличимы от настоящей действительности по своей правдоподобности. Я всё это пережил на собственном опыте и продолжаю свои путешествия и по сей день. Научиться запоминать сны можно очень просто. Нужна только настойчивость, искреннее желание и немного терпения. Я, по своей натуре, человек нетерпеливый и мне всего всегда хочется добиться поскорее. Поэтому я сделал для себя некую выжимку из тех рекомендаций и инструкций, которые дают известные исследователи сознания и тонкого мира, такие как Роберт Монро, Вадим Зеланд и Джон Кехо [21]. Инструкция очень проста и действенна, и я ей пользуюсь и по сей день, и всем рекомендую ей восползоваться. Возможно, что некоторые из вас будут даже разочарованы её простотой. Каждый день, перед самым сном, уже лёжа в постели, я мысленно повторяю одну и ту же короткую фразу. Повторяю несколько раз, искренне сосредоточившись на этой фразе и стараясь только её держать в мыслях. При этом засыпаю очень быстро, не повторив этой фразы и десятка раз. Отмечу побочный эффект, который регулярно стал проявляться перед засыпанием. Не знаю чем он вызван, то ли прямыми опытами по выходу из физического дела, то ли активизацией запоминания сновидений, то ли просто усталостью от ежедневной многочасовой работы с компьютером. По крайней мере, никаких неудобств или дискомфорта этот эффект не вызывает. Проявляется он в том, что перед самым засыпанием я вижу внутренним взором на фоне полной черноты ярко светящееся белое пятно, которое проходит на уровне верхних век или слеванаправо или справа-налево. Итак, мысленно повторяйте: «Всё, что я увижу во сне контролируется моим сознанием и сохраняется в моей памяти».

100

Франц Герман

Franz Hermann

Вот и всё. Проделайте это. Уверяю вас, вы не будете разочарованы. Сны стали настолько яркими и интересными, что я стал их записывать и хочу процетировать здесь некоторые из них.

Сон первый. Медленно лечу над снежной пустыней на высоте двух-трёх метров. Вернее сказать движется мой взгляд. У меня даже вопроса не возникает как я перемещаюсь и есть ли у меня физическое тело. Подо мной снежная пустыня, вернее сказать, торосы. Беспорядочные нагромождения кусков льда, покрытые снегом. Хочу поглядеть вдаль и взгляд устремляется к горизонту. Никакого ощущения, что я повернул голову не было. Вижу горизонт. Ярко, ярко голубое небо вдалеке сходится с белым покровом. Никаких мыслей не возникает, да я и не задаюсь вопросом, где это может быть. Не чувствую ни холода, ни тепла. Только вокруг всё сверкает ослепительной бриллиантовой красотой. Кажется, что могу рассмотреть каждую снежинку. Решаю поискать солнце, и взгляд начинает скользить по небосводу вверх. Опять нет никакого ощущения поворота головы. И вдруг прямо надо мной высоко в небе (Небо ярко голубое, но не вижу ни солнца ни облачка) вижу нечто. От чего дух захватывает так, что словами передать это невозможно. То что висит надо мной является, очевидно, инженерным сооружением округлой формы. Скорее даже не круг, а многоугольник. Но поверхность не гладкая и на ней наворочено много всякой непонятной техники. Сама поверхность изрезана какими-то линиями или коридорами. Есть какие-то выпуклости и отверстия. Всё это отливает различными оттенками серо-стальных и гранитных цветов. И ощущение такое, что штука эта висит очень высоко и она огромна. Здесь появляется мысль, что надо все это показать сыну Георгу и я начинаю стремительно нестись над торосами. Двигаюсь просто с фантастической скоростью, следуя рельефу местности. Взгляд опять устремлён вертикально вниз. Я несусь и почему-то не возникает мысль, что могу во что-то врезаться, так как не смотрю вперёд. (Все свои очущения по поводу взгляда, холода, отсутствия звуков, скорости я восстановил уже после того как проснулся). И тут меня осеняет мысль, что зря я так несусь. Гошки здесь нет и быть не может. В этот момент я проснулся. Вернее просыпания не было. Мгновенно включилось сознание и я открыл глаза. Потом уже весь сон прокрутил в памяти ещё раз. И по сей день не покидает меня ощущение, что это был не сон, а путешествие моего сознания. Сон второй. Вдруг возник бледно желтоватый прямоугольник на фоне сплошной черноты. На нём угадывались какие-то тени. Напрягаю взгляд, чтобы рассмотреть, что там в этом прямоугольнике и он начинает медленно на меня надвигаться. Постепено начинаю различать, что вижу в этом прямоугольнике какую-то улицу, людей, яркий солнечный день. Но всё это застывшее, как на остановившемся кадре телевизора, а вернее на экране в кинотатре. Прямоугольник всё надвигался на меня, но это не вызывало ни страха, ни удивления. Я мог уже рассмотреть конкретные детали картинки и не было никакого ощущения, что сплю. «Экран» приблизился вплотную и вдруг прошёл как бы сквозь меня. И в это мгновение всё пришло в движение. Люди начали двигаться, а я ощутил тепло солнечного дня. Стою я на незнакомой улице (это я уже понял потом, когда проснулся), передо мной дощатый забор и я читаю на нём какие-то объявления и афиши. Но текстов не запомнил или забыл. Потом развернулся и пошёл по улице. Улица была довольно узкая. Попадались прохожие, но транспорта не было. Свернул в какой-то проулок. Потом ещё куда-то завернул и вошёл во двор небольшого дома двух или трёхэтажного с одним подъездом. Был он выкрашен в жёлтый цвет, и весь дом был какой-то обветшалый и обшарпаный, но каменный. Вход в подъезд был поднят примерно на метр от земли и от него вниз шло деревянное крыльцо с перилами, покрытое коричневой краской, которая почти вся облупилась. Я медленно приближался 101

Франц Герман

Franz Hermann

к крыльцу. Вдруг из подъезда вышел мужик с половинкой скобы в руке. У меня возникло ощущение, что такими скобами сплавщики сцепляют брёвна. Мужик спустился с крыльца и прямо перед крыльцом стал пытаться вывернуть здоровенный булыжник из земли или из брусчатки, не помню. Я подошёл поближе и остановился. Мужик посмотрел на меня и у нас произошёл с ним короткий диалог. Мужик: ищешь кого или чё? Я: работу ищу. (В тот момент я действительно знал, что мне нужна хоть какая-нибудь работа). Мужик Ты чё приезжий? Какая сейчас работа. Я: Да нет, местный я. Шарахаюсь по всему городу, вдруг... Мужик: бесполезно это... И мужик снова принялся за булыжник. Я пошёл дальше. Двор оказался проходным. И я вышел снова на небольшую улочку. Немного впереди оказалась небольшая площадь. Народу было совсем мало. Транспорта тоже никакого. Я встал в тень под навес какого-то магазинчика. Слева от него было небольшое здание с дверью прямо на площадь. Я знал, что это выход из кинотеатра и я должен был дождаться окончания сеанса. Скоро народ стал выходить из дверей. Людей было не много, но я ни к кому не подошёл и на меня никто не обратил внимания. Я стоял на виду и ни от кого не прятался и не за кем не следил. Потом я прошёл через площадь (её и площадью-то назвать невозможно. Метров 20 в поперечнике. И вообще, было ощущение захолустного городка). Потом я зашёл в довольно заросший и заброшеный сквер. Я почему-то знал, что мне надо пересечь сквер по диагонали прямо через кусты. В углу перелезть через небольшой металлический ажурный заборчик и выйти на улицу. Именно так я и сделал. Спрыгнул с забора и медленно побрёл по улице. На душе было пакостно и тоскливо. Шёл медленно, читал все попадавшиеся вывески и объявления. И тут вдруг включилось какое-то второе сознание и я отчётливо понял, что попал в какую-то другую жизнь и мне никогда не вернуться назад и не быть вновь тем, кем я был всегда. В тот момент я пережил неописуемый ужас и тотчас же проснулся. Сон и пережитый ужас ещё несколько минут не отпускали меня. А заснуть в ту ночь так и не смог, просто боялся.

Сон третий. Стою на каком-то перроне вместе с Тамарой (моей супругой). В общем это и перроном-то назвать нельзя, какой-то деревенский полустанок. Рядом с нами ещё стоят люди и взрослые и дети. В этот момент по противоположной линии проходит товарняк. И что-то с ним не так. Причём, какой был локомотив (паровоз или тепловоз) я не видел. Сон включился, когда локомотив уже прошёл. Тамара тоже заметила, что что-то не так, потому, что мы с ней недоумённо переглянулись. У меня ещё не успела офрмиться мысль, а Тамара шутя так говорит: «из одного музея в другой перегоняют». И дествительно, вагоны были на редкость старые. Как в кино из пятидесятых годов. День опять приснился летний, жаркий, солнечный. В это время снова пошёл товарняк, но уже по нашей стороне. И опять я не помню какой был локомотив. И снова были вагоны какие-то древние. Прямо за полустанком начинался поворот и из щелей последнего вагона прямо на землю посыпалось зерно. И просыпалось довольно много. Я потихоньку пошёл в сторону просыпанного зерна. Наклонился, взял горсть. Зерно было какое-то полуочищенное, попадались колоски. И снова я почувствовал, что что-то не так. Зёрнышки были какие-то мелкие, колосок какой-то тоненький. Я взял несколько зёрен в рот. Пожевал. Вроде вкус знакомый. В это время вижу как из кустов напротив полустанка вышла явно деревенская женщина. В каком-то светлом сарафане, и что-то было у неё в руках. Она стала наискосок переходить железнодорожное полотно и, не глядя в мою сторону, почти про себя сказала: «Да, за такие дела во время войны сразу бы расстреляли». 102

Франц Герман

Franz Hermann

«Это точно» - встрял я с разговором. Женщина повернулась, осмотрела меня с ног до головы и говорит: «Да тебя ещё в помине тогда не было. Что ты о войне-то знаешь? Хорошо, если из школьного учебника что-то запомнил...». «Почему, я уже был. Только вот такой маленький». И показал, какой я был маленький большим и указательным пальцем. Она снова посмотрела на меня. Она уже поднялась на полустанок и остановилась рядом с Тамарой. «Городские, пшеницы никогда не видели» - она заметила, что я рассматриваю зерно на ладони. «Видели» - говорю я. А сам вспоминаю, как работал на току в колхозе, когда был абитуриентом после поступления в университет. «Только, зерно какое-то не такое». «Зерно как зерно, вы что с Луны свалились?». Тут какие-то нехорошие предчувствия полезли в мою душу и я вдруг бухнул. «А когда вторая мировая война кончилась?». Женщина посмотрела на меня с удивлением и говорит: «Да я-то знаю, сам-то знаешь?». «В сорок пятом, третьего сентября» - говорю я. Женщина как-то укоризненно хмыкнула: «Третьего сентября...тото и оно, двенадцатого ноября война закончилась». Как обухом по голове. Тут к нам стали подходить ещё люди, стоявшие на перроне. Разгорелся спор. Все стоявшие на перроне в один голос утверждают, что война кончилась второго сентября, а не третьего и уж конечно не 12 ноября. А женщина смотрит на всех каким-то ошалевшим взглядом. Тут из кустов показалась местная ребятня и тоже стали переходить железную дорогу. «Эй пацаны, идите-ка сюда – крикнула женщина – кто из вас знает, когда вторая мировая война закончилась?». Мальчишки как-то замялись, переглянулись, а потом как-то вразнобой сказали: «12 ноября 1945 года». Тут начался какойто всеобщий спор. До меня краем уха донеслось из детского разговора: «...а Маркс у Вас был?» - «был» - «с бородой?» - «.. с бородой...». А между тем женщина говорила: «Да откуда Вы. На вас и одежда-то какая-то не такая. Подарите, что-нибудь на память. Ведь уедите, мне ж никто не поверит, что пришельцев из другой жизни видела». Тамара толкает меня в бок: «Подари часы». Я снял с руки часы, протягиваю женщине, а про себя вдруг думаю. Вот так часы прямо прибор какой-то. А часы и впрямь были какие-то навороченные. И заводная головка не сбоку, а прямо сверху, на стекле, в виде шестигранника. Потом вдруг обратил внимание на то, что ребятишки, которые стояли на перроне, все держат в руках ветки кустов. «Вы зачем это?...» - спросил я. «Да они ведь не такие, как у нас...» Я присмотрелся, и, действительно. Ветки все были шипастые, причём шип был не в виде иглы, а закрученный, как коготь. Потом проснулся. Долго сидел на кровати, вспоминал сон. И вдруг вспомнил деталь, на которую во сне не обратил внимания. Все местные ребятишки были в пионерских галстуках. И нам с Тамарой было лет по 20-25.

Сон четвёртый. Сижу на кухне в какой-то незнакомой квартире на четвёртом этаже и смотрю в окно. И наблюдаю нечто необычное. Из дома напротив, немного наискосок, из окна 103

Франц Герман

Franz Hermann

третьего этажа бьёт лазерный луч оранжевого цвета. Луч необычный. Даже не луч а пучок параллельных лучей. Причём, все лучи дискретные, т. е. не сплошной луч, а как бы пунктирная линия. И бьёт этот луч прямёхонько в головы прохожих. Но никто на это не обращает внимания, а может быть никто и не видит кроме меня. А под тем окном есть какие-то строения, вроде сараев. И если залезть на крышу этого сарая, то можно в аккурат заглянуть в то самое окно. И я решил это осуществить. Не помню как лез, а вижу что окно прямо передо мной и я нагнувшись к нему крадусь. Но луча уже никакого нет. Подобрался к окну, глянул в него, а оно фанерой заколочено и на фанере какая-то мазня. Ничего разобрать невозможно. Вроде как акварель потекла. Я стал всматриваться в эту мазню и вдруг вижу, что на ней начинает проступать прямо какаято дьявольская рожа с рогами и страшными тёмными глазами. И я не могу оторваться от этого взгляда, а у самого ужас аж по спинному мозгу растекается. И думаю – не пересмотреть тебе меня взлядом, не отведу глаз. Несколько мгновений шла борьба взглядов и вдруг лопнула фанера. Натурально, как мыльный пузырь. Вижу за окном подоконник и пустая комната. Серая, небелённая и без обоев. Голый бетон. А в стене напротив проём. Довольно большой и без дверей. За ним другая комната. И вцентре этой комнаты, прямо напротив меня стоит высокий мужик. В дорогом домашнем халате до пят. Подпоясанный, тёмно красного цвета, руки в карманах. Лицо красивое и, как говорят, породистое, чуть вытянутое, но не узкое. Волосы слегка вьющиеся, зачёсаны назад без пробора, рыжеватого оттенка. Смотрит на меня внимательнейшим строгим взглядом, а на лице едва заметная, почти ускользающая ироническая улыбка. Возраст за 50. Но видно, что мужик в силе. И вдруг из под подоконника появляется отвратительная старушечья рожа с наганом в руке и начинает его на меня наводить. И понимаю я, что на отход времени нет, надо прыгать. Слева от меня – водосточная труба. И я понимаю, что не выдержит она меня, сломается. Но падение всё-таки смягчит и прыгнул. Труба начала разваливаться, а я по ней скользить. И последняя мысль которая у меня промелькнула: всё-таки удачно приземлился. Здесь проснулся. Я падал во сне много раз. И из окон и со скал. И всегда просыпался в момент отрыва, когда понимал, что сорвался и падение неминуемо. А этот сон был исключением. Я помню само падение среди обломков водосточной трубы.

Сон пятый. Нахожусь на какой-то площадке. Красивейшее место. Какой город не знаю. Вижу аллеи, клумбы. Как-то всё просторно. Фантастическое освещение. Много гуляющих каких-то беззаботных красиво одетых людей. Прямо за моей спиной куда-то вверх полукругом уходит лестница. Вечер, тепло. Небо тёмносинее с какими-то сиреневыми отливами. В общем красота, мир и покой. А по небу движутся, вернее плывут камни, глыбы и целые скалы. Плывут они ровными рядами параллельно земле. При этом некоторые из них ещё имеют и собственное вращение. Вроде как кувыркаются. Некоторые люди поднимают головы и смотрят на небо. Причём, я понимаю, что они видят этот парад камней (иначе не назовёшь), но никого это не пугает. И тут на небе моё внимание привлекает какая-то точка. Я смотрю на эту точку как завороженный. И вдруг понимаю, что это тоже камень, целая скала. Но движется она не в общем потоке, а поперёк и через несколько секунд грянется на землю и именно на меня. В каком-то паническом страхе бросился я вверх по лестнице. Мне обязательно надо туда подняться. А спиной чувствую надвигающуюся махину. Рву все жилы и уже в последнем отчаянном прыжке достигаю верхней площадки, а там прямо на полу лежит компьютерная клавиатура и я успеваю стукнуть по какой-то клавише. При этом мысль: где-то произошёл координатный сбой, такой красивый мир смоделировал, а он угодил в кольцо Сатурна. И на этом проснулся. Можно научиться управлять событиями сновидений и я тоже имею такой небольшой опыт. Всю необходимую подготовку я проделывал по инструкциям и 104

Франц Герман

Franz Hermann

советам, описанным в книгах В. Зеланда [6], [51]. Это тоже не сложно и даже забавно и смешно. Т. к. в этом случае события сна выполняют все ваши пожелания, а в голову при этом лезут почему-то всякие озорные мысли. Я расскажу, какой забавный сон мне удалось таким образом пережить. Вадим Зеланд советует, чтобы управлять сновидением, надо научиться «просыпаться» во сне, не нарушая происходящих событий. И, если это произойдёт и вы поняли, что сон продолжается, а ваше сознание активно, то всё, что вы в данный момент пожелаете, будет тут же реализовано на ваших глазах. Вы просто станете волшебником и сможете творить настоящие чудеса. Чтобы научиться активизировать своё сознание во сне надо привыкнуть проверять и контролировать себя: во сне происходят эти события или в нашей реальности. Как этого можно добиться. Для этого надо выбрать какой-нибудь предмет из постоянного обихода или вашего окружения, который будет выполнять роль своеобразного катализатора, и всякий раз, когда этот предмет будет попадать в поле зрения вашей повседневной жизни, необходимо самым нешуточным образом проверять, сон это или явь. Расскажу, как это делал я. В качестве такого катализатора я выбрал воду. И всякий раз, когда я видел воду, я тщательно проверял, во сне ли я или я бодрствую. Иду по улице, вижу: фонтан, вода. Начинаю осматривать себя, окружающую действительность... Если бы такая ситуация случилась во сне, то явно можно было бы увидеть какое-нибудь несответствие и понять, что это сон. Я старался реагировать таким образом на любую воду. Умываюсь – вода. Завариваю чай – вода. Идёт дождь – вода. Выхожу на набережную реки – вода. Необходимо было, чтобы в сознании выработалась устойчивая привычка реагировать на воду таким образом. Несколько раз, просыпаясь утром, я помнил, что видел воду, но сознание во сне не «просыпалось». «Проснуться» во сне мне удалось на десятый день. Вот как это было. Приснился мне Доктор (Доктор – это прозвище одного моего однокласника). В жизни я его не встречал уже лет 12, а во сне и подавно никогда не видел. Находимся мы с ним в какой-то небольшой комнате. Утро. Доктор по пояс голый, в одних брюках, что-то рассказывает мне о своей новой службе. Ходит по комнате туда-сюда. Подходит к небольшому столу, берёт стеклянный кувшин и начинает наливать из него воду в миску. Я отчётливо вижу струю воды и вдруг в голове очень ясно вспыхивает мысль: «Ах, так это сон! Ну тогда у тебя начнут сейчас сваливаться штаны!». И ... ничего не происходит. Скорее всего, я думал, что всё произойдёт мгновенно. Но ситуации в действительности развиваются медленнее, чем происходит наше мышление. В следующее мгновение декорация сна вдруг изменилась. На какую-то долю секунды я увидел вдруг нос корабля, плывущего по реке или по морю, и снова оказался в комнате с Доктором. Подсознательно я вдруг ощутил, что это каюта, а прежде думал, что это комната в квартире. Я стою спиной к иллюминатору, Доктор ставит кувшин на стол и в этот момент я вижу, как на нём сами расстёгиваются брюки и начинают ползти вниз. Показались трусы в сине-зелёный цветочик. Доктор чертыхнулся, подхватил брюки, снова их застегнул и пошёл в умывальник. Пересёк каюту, открыл дверь в умывальник и тут брюки снова начали сваливаться. Доктор опять их поймал и зашёл в умывальник. Что он там делал я не видел. Через несколько секунд Доктор вышел из умывальника и брюки снова расстегнулись и поползли вниз. В этот момент я проснулся. Вернее сказать, я просто открыл глаза и оказался у себя в спальне, а проснулся я давно, ещё во сне. И действительно, сна не было ни в одном глазу. Настроение было потрясающе восторженным. Я, действительно, чувствовал себя волшебником.

105

Франц Герман

Franz Hermann

Приложение 1

Тор Явление тора Я - обыкновенный человек, т.е. человек, не наделённый никакими паранормальными и контактёрскими способностями, но вокруг меня всегда были люди, у которых хотя бы по разу такие случаи в жизни происходили. Отец увидел однажды вещий сон, между мамой и тётей Катей (маминой сестрой) однажды произошла телепатическая связь на огромном расстоянии (Красноярск – Грозный), у родной моей сестры Виктории был контакт сначала с каким-то шаровым объектом (возможно это была шаровая молния), потом на кухне у неё произошёл полтергейст (если бы это произошло не со столь близким мне человеком – не поверил бы, всё как в сказках), двоюродная сестра – дипломированный астролог, двоюродного брата моей жены кто-то похищал, а после возвращения он внезапно умер в 40-летнем возрасте без видимой причины. С родным же братом моей жены случилось аж три фантастических случая: однажды он телепартировал прямёхонько с чердака во двор дома, в другой раз его водило, он всю ночь не мог сойти с замкнутого маршрута, а в третий раз и вовсе какаято чертовщина. Со мной же ничего подобного не происходило, но однажды я видел НЛО. Это было настолько потрясающее зрелище, что я стал после этого интересоваться подобными событиями. Но ни об одном похожем случае больше никогда не читал и не слышал. Вот об этом случае я и хочу рассказать поподробнее. Именно тогда и появился интерес к тору. К сожалению я не помню точной даты. Случилось это поздней осенью в 1972 году. Был морозный ясный (абсолютно безоблачный) вечер и уже давно стемнело. Мы с друзьями играли в футбол (мы играли тогда в футбол круглый год и летом, и зимой) в самом центре города Красноярска (это место я обозначил на карте красным кружком (Рис. П1.1). Вдруг Юра, мой друг, с которым мы играли в футбол, говорит мне: «смотри, знамение». Я посмотрел на небо и остолбенел.

Рис. П1.1 106

Франц Герман

Franz Hermann

По небу плыл почти строго на север огромный тор. Был он бледно голубого цвета не прозрачный, идеальной формы (Рис. П1.2).

Рис. П1.2 Движение не сопровождалось ни звуковыми, ни световыми эффектами. Ощушение было такое, что он шёл не очень высоко, что потом и пдтвердили другие очевидцы. Маршрут его я обозначил на карте синей стрелкой. Я увидел его примерно в том месте, где на стрелке стоит синий кружок. Тор проплыл вдоль крыши краевой библиотеки и вдруг начал исчезать. Выглядело это так будто он просачивается в какуюто невидимую нам щель в пространстве, в тоже время он был объёмный, и поэтому тут же возникло ощущение, что он не просачивается в щель, а уходит за угол, которого тоже не видно. При этом скорость его не изменилась. Он медленно уплыл, а мы, не сговариваясь, кинулись на проспект Мира, казалось, что из другой точки мы снова его увидим. На проспекте всё замерло, множество людей таращилось на небо, но там больше уже ничего не произошло. Маленькие ребятишки из нашего же двора рассказали мне потом, что заметили они этот объект с четвёртого этажа, где они грелись в подъезде, когда тор летел над Енисеем. Основываясь на этих свидетельствах я заключил (может быть ошибочно), что летел он довольно низко. Всё увиденное меня просто потрясло, а исчезновение тора было ошеломляющим.

Тор и физика Именно в тот год у меня началось увлечение теорией относительности. И именно тогда я впервые начал задумываться о физической реальности. Когда читаешь популярные, да и не только популярные, книги по теории относительности, зачастую, в качестве модели пространства-времени (П-В) рассматривают сферу. Говорят о расширении П-В, как о расширяющейся сфере. Горизонт событий гравитационного коллапса - опять же сфера Шварцшильда. А за горизонтом событий происходит «выворачивание» П-В наизнанку, т.е. П-В превращается в В-П (здесь теорию коллапса можно рассматривать в качестве прототипа теории машины времени (МВ), т. к. до «выворачивания», до коллапса можно путешествовать взад и вперёд только по пространству, а после, наверно, можно путешествовать туда-сюда по времени?). Где же логика в такой модели? Ведь сфера характеризуется только одним параметром – радиусом, а П-В двумя: пространством и временем. Что же происходит при выворачивании наизнанку? Где зацепка для

107

Франц Герман

Franz Hermann

математика, чтобы описать такое выворачивание на языке уравнений и формул. Не слишком ли примитивно пытаемся мы построить модель Вселенной? Давайте пофантазируем. Следующей по сложности замкнутой фигурой в топологии трёх измерений идёт тор. Вот тор характеризуется как раз двумя параметрами, двумя радиусами (тор, как тело вращения окружности с радиусом r2 вокруг оси Z-Z на расстоянии r1 от центра окружности до данной оси (Рис. П1.3).

Z

O

α

r2

r1

ϕ Z Рис. П1.3 Идём дальше. Астрономы доказали, что объём Вселенной вычисляется по формуле V = 2π 2 R 3 . И точно по такой же формуле вычисляется объём простейшего тора, у которого r1 = r2 = R . Правда, справедливости ради, надо заметить, что в случае со Вселенной речь идёт о радиусе кривизны, а для тора – это геометрический радиус. Но надо помнить, что мы вовсе не собираемся всю Вселенную засунуть в тор, а только лишь пытаемся набросать штрихи модели Вселенной в первом, так сказать, приближении. Кстати, у такого тора центр симметрии просто сам просится на роль сингулярности в нашей математической модели (а спирали галактик не от тора ли?). Далее. Как быть с выворачиванием тора, т.е. нашего моделируемого П-В наизнанку? Замкнутые кривые, расположенные на торе и не стягивающиеся в точку, я называю тороидами. Различают два класса тороид. Тороиды продольного типа, которые стягиваются к дырке тора и тороиды поперечного типа, которые охватывают сам обруч тора. Топологи доказали, что при выворачивании тора наизнанку тороиды продольного и поперечного типа меняются местами. Вот в этом и есть зацепка для математика, чтобы выворачивание наизнанку описать на языке формул. Тор красиво характеризуется спиралевидными тороидами продольного и поперечного типов (Рис. 4). Соответствующие уравнениея таких тороид имеют вид:

v ⎛ ⎛ϕ ⎞r ⎛ ϕ ⎞⎞r ρ = ⎜⎜ 1 + Cos⎜ ⎟ ⎟⎟e + Sin⎜ ⎟ k , ω ω ⎝

⎝

⎠⎠

⎝

⎠

r

v

r

ρ = (1 + Cos (ω ⋅ ϕ ))e + Sin(ω ⋅ ϕ )k ,

r ϕ v r где e = i ⋅ Cos(ϕ ) + j ⋅ Sin(ϕ ) , ω - число витков тороиды, = α (или ω ⋅ ϕ = α ) (Рис.

ω

П1.3). Как видим, чтобы описать выворачивание тора наизнанку необходимо в 1 уравнении тороиды продольного типа параметр ω заменить на обратный и

ω

наоборот. На Рис. П1.4 число витков ω равно четырём. 108

Франц Герман

Franz Hermann

Рис. П1.4 Какой же математический аппарат необходимо привлечь для такой операции? Мне представляется, что таким аппаратом должен быть аппарат теории групп, так как одна из аксиом теории групп говорит о необходимости существования для каждого элемента ему обратного. Кроме того вопросы П-В являются самыми фундаментальными в вопросах познания и для решения таких вопросов необходимо привлекать и самые фундаментальные математические теории. А одной из самых фундаментальных, бесспорно, является теория групп, т.к. для её построения требуется всего лишь 4 аксиомы! С точки зрения коллапса, П-В должно быть симметрично, следовательно, мы должны рассматривать три размерности пространства и три размерности времени. Ну что ж, самое время взглянуть на одну из групп шестого порядка. Таких групп всего две. Мы будем рассматривать некоммутативную группу. Таблица Кэли этой группы имеет такой вид (Рис. П1.5): Как оказалось, эта группа имеет уникальное алгебраическое представление. Насколько мне известно, ни одна из групп более высоких порядков не имеет подобного представления.

x1 = ω ; x 2 = −

1+ω

ω

; x3 = −

1 ω 1 ; t1 = ; t 2 = − ; t 3 = −(1 + ω ) . 1+ω ω 1+ω

Как видим, в рамках данного представления, каждый элемент группы имеет себе обратный элемент, не только в групповом смысле, но и в алгебраическом. Какая же групповая операция соответствует данному представлению? Введём обозначение для нашей групповой операции – « o ». x1

x2

x3

t1

t2

t3

x1

x1

x2

x3

t1

t2

t3

x2

x2

x3

x1

t2

t3

t1

x3

x3

x1

x2

t3

t1

t2

t1

t1

t3

t2

x1

x3

x2

t2

t2

t1

t3

x2

x1

x3

t3

t3

t2

t1

x3

x2

x1

Рис. П1.5

109

Франц Герман

Franz Hermann

Пример действия групповой операции:

x3 o t 2 = −

− 1 x3 1 = − 1+ω1 = = t 1 . 1 − 1+ ω ω 1 + x3

Как видим, надо элемент x 3 подставить в элемент t 2 на место параметра ω и выполнить алгебраические преобразования. В четвёртой части мы уже встречались с такой группой, только групповая операция там была обратной по сравнению с данной, поэтому и таблица Кэли на Рис. П1.5 является транспонированной (столбцы и строки поменялись местами) по сравнению с той, которая была в четвёртой части. Данное представление хорошо ещё и тем, что даёт большие возможности для параметра ω . Это может быть и число, и матрица (или тензор), и функция и ещё Бог знает что. Сделаем ещё один шаг в наших математических фантазиях – вычислим производные функций представления по параметру ω , получим:

dt dx1 = − 3 = 1; dω dω

dx 2 dt 1 =− 1 = ; dω dω ω

dx 3 dt 1 =− 2 = . dω dω (1 + ω ) 2

Здесь мы имеем ещё две обратимости: так сказать обратимость по направлению (производные меняют знак) и пространственно-временную обратимость, т. к. производной пространственной характеристики x i ставится в соответствие производная временной характеристики

t j . Кстати, пространственно-временную

обратимость имеют и сами функции представления, но обратимость эта другого 1 характера, здесь x i = . ti И, наконец, в рамках нашего представления, каждый элемент группы можно выразить через отношение двух других по таким правилам:

xi =

tj xk

=

tk , xj

ti =

xj tk

=

xk . tj

С точки зрения физики, такие отношения можно рассматривать как характеристики плотности, давления, скорости или ускорения или ещё чего-либо. Отметим, что подобные выражения рассматривал в своё время известный астрофизик Н. А. Козырев, изучая причинно-следственные отношения и вводя понятия: «ход времени» [59, стр. 338] и «плотность времени» [59, стр. 368]. Кроме того: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ dx 3 ⎨ ⎪ dω ⎪ ⎪ ⎩

⎧ dt 3 = − x1 t 1 ⎪ ⎪ dω 1 ⎪ dt 1 x 3 t 3 = + . ⎨ ω d x x t 1 1 2 ⎪ x3 dt 2 ⎪ = − ⎪ dω t3 ⎩

dx 1 = x3t3 dω xt 1 =− 1 1 − , t3 t3 x2 dx 2 t = 1 dω x1

110

Франц Герман

Franz Hermann

Не правда ли, эти формулы напоминают известные из курса дифференциальной геометрии формулы Френе [58, стр. 171]: ⎧ dt ⎪ ds = kn ⎪⎪ dn = ℵb − kt , ⎨ ⎪ ds ⎪ db = −ℵn ⎪⎩ ds

где k – кривизна кривой, ℵ - кручение кривой. Вот так отталкиваясь от тора и его выворачивания наизнанку можно обнаружить удивительные математические закономерности. Но прежде чем окончательно обуздать нашу математико-физическую фантазию сделаем ещё два таких предположения (гипотезы). На первую гипотезу меня натолкнул тот факт, что орбита луны представляет собой сложную замкнутую кривую, расположенную ... на поверхности тора [52, стр. 64]. Правда тор здесь геометрически не идеальный, но с точки зрения топологии – это стопроцентный тор. Как известно, орбиты планет имеют не эллипсовидную природу, хотя и очень на неё похожую. Я предполагаю, что орбитами планет могут быть тороиды. Установление этого факта имело бы жирный плюс в пользу тороидальности метрики всего нашего пространства и, в конечном счёте, для тороидальной модели МВ. В своё время (лет 20 тому назад) я нашёл точные решения дифференциальных уравнений (П1.1) для геодезических линий на простейшем (единичном) торе. А орбиты планет – это ни что иное как геодезические линии нашего П-В. 2 ⎧ d 2θ ⎛ dϕ ⎞ 2 ⎟ =0 ⎪⎪ 2 − Sin θ ⋅ Sin 2θ ⋅ ⎜ dt ⎠ dt ⎝ ⎨ d 2ϕ dθ dϕ ⎪ + 4Ctgθ ⋅ =0 2 ⎪⎩ dt dt dt

(П1.1)

Уравнения геодезических линий на торе (решение системы (1)) в сферических координатах имеют такой вид:

ϕ=

1 ⋅ a − (1 + Ctg 2θ ) 2 + b . 2

Как работать с таким уравнением. Необходимо взять координаты (ϕ , θ ) трёх конкретных близкорасположенных точек орбиты какой-нибудь планеты. Координаты крайних точек подставить в данное уравнение и из решения системы, двух полученных уравнений, вычислить константы a и b , характеризующие данный кусок геодезической линии. Если координаты промежуточной точки будут удовлетворять нашему уравнению геодезической линии, с учётом найденных констант, то данный кусок орбиты можно считать куском тороиды и т. д.. К сожалению, я не располагаю точными астрономическими данными и не имею знакомств среди астрономов, которых бы заинтересовала такая идея. На вторую гипотезу меня навела известная загадка о том, почему орбиты всех планет, включая астероиды, в нашей Солнечной Системе лежат практически в одной 111

Франц Герман

Franz Hermann

плоскости. На эту загадку обращал внимание В. И. Вернадский, считая это явление не случайностью, а проявлением некоего «стройного космического механизма» [53, стр. 193], который имеет не маловажную роль для существования жизни в нашей Солнечной Системе. Можно предположить, что наряду с законом всемирного притяжения существует и закон всемирного отталкивания. Поле отталкивания создаётся за счёт вращения массивного тела, только, в отличие от силы притяжения, сила отталкивания направлена не от центра, вращающегося тела, а от оси его вращения и ей перпендикулярна (Рис. П1.6). Фронт волны отталкивания

FO FO

Рис. П1.6 В крупномасштабной картине Солнечной Системы силовые линии (фронт волны) могут выглядеть в разрезе плоскости Рис. П1.7 в виде сечений торов. Чёрный кружок в середине символизирует Солнце. Возможно, сила отталкивания намного слабее силы притяжения и, практически, никак не проявляет себя на поверхности Земли, но в крупномасштабной картине её действие уже становится заметным.

Рис. П1.7 Можем предположить, что величина этой силы зависит не только от массы и расстояния, отталкивающихся тел, но также и от силы вращения этих тел. На Рис. П1.8 показана схема действия сил притяжения FП и отталкивания FO на планету, плоскость орбиты которой показана прямой Р-Р, а сама планета изображена синим кружком. В этом случае результирующая сила (синяя стрелка) всегда будет 112

Франц Герман

Franz Hermann

направлена в сторону плоскости, которая показана на Рис. П1.8 горизонтальной пунктирной прямой.

P FO

FП

P Рис. П1.8 Именно в этой плоскости и должны в конечном итоге расположиться орбиты всех планет. Можно предположить, что процесс «укладывания» орбит планет нашей Солнечной Системы ещё не завершён. Наиболее массивные планеты, практически уже имеют орбиты, лежащие в одной плоскости. А орбиты самых маленьких планет наиболее отклонены от общей плоскости. Что мы и имеем в действительности. Плоскость орбиты Меркурия имеет отклонение примерно 7 градусов, а плоскость орбиты Плутона отклонена примерно на 17 градусов. Кстати, Плутон и меньше Меркурия, и дальше от Солнца. Можно выссказать и такое предположение, что длина волны сил притяжения и длина волны сил отталкивания различны, но накладываясь друг на друга, создают участки стабильности, что, в свою очередь, определяет существующие радиусы орбит. В первой части мы высказывали предположение, что электромагнитные силы своей двойственностью обязаны в какой-то мере закону двойственности проективной геометрии. Тогда именно в силу такой двойственности, можно предположить и существование закона всемирного отталкивания. Причём в действии этих сил также усматривается классическая двойственность проективной геометрии. В одном случае направление действия силы определяется центром (точкой) массивного тела, в другом – осью (приямой) вращения этого же тела. Порой, в физике возникают ситуации, когда общепринятые факты начинают опровергаться новыми опытными данными. Но в результате чего это происходит пока не ясно. Об одной из таких проблем рассказывает Друнвало Мельхиседек. «Это одна из больших проблем в науке – когда вы считаете, что решили проблему, а затем двигаетесь дальше, применяя эту информацию для дальнейших построений. Сейчас науке приходится иметь дело с проблемой такого рода, например, для тел, падающих в вакууме. Всегда считалось, что они падают с одинаковой скоростью, и многое в нашей большой науке основывается на этом фундаментальном «законе». Уже доказано, что 113

Франц Герман

Franz Hermann

это не так, но наука продолжает применять его. Вращающийся шар падает намного быстрее, чем не вращающийся. Когда-нибудь настанет день для научного обоснования этого феномена» [56, стр. 180]. Представим себе, что закон всемирного отталкивания всё-таки существует. Тогда вышеописанный феномен сразу получает объяснение. Действительно, рассмотрим векторную диаграмму сил падающего вращающегося шара (Рис. П1.9). Т. к. шар вращается, то возникают силы отталкивания, направленные перпендикулярно к оси вращения. Но гравитационные силы искривляют поле сил отталкивания и силы отталкивания будут уже иметь не перпендикулярное направление к оси вращения, а будут отклонены в сторону сил притяжения. Таким образом, возникает дополнительная результирующая сила (синяя стрелка), направленная в сторону сил притяжения и шар падает быстрее. Если бы он не вращался, то этой дополнительной силы не возникло бы.

FO

FO

FП

Рис. П1.9

Тор и геометрия В заключение хочу познакомить Вас с двумя теоремами, связанными с тором, которые, как мне кажется, могут быть полезными для каких-то конкретных рассчётов и построений.

Теорема 1 (о сечении тора сферой) Если тор ( r1 , r2 ) и сфера ( R = r12 + r22 ) имеют общий центр симметрии О, то сфера рассекает тор на две равновеликие части (Рис. П1.10). Разрез тора показан чёрным цветом, разрез сферы – синим. Доказать, что V1 = V2 , где V1 - объём тела, образованного вращением дуг тора ( ∪ ABC ) и сферы ( ∪ CDA ), а V2 - объём тела, образованного вращением дуг тора ( ∪ AEC ) и сферы ( ∪ CDA ) вокруг вертикальной оси.

Доказательство: Объём V1 можно вычислить как разность объёмов образованных вращением дуги ∪ ABC и дуги ∪ CDA . r2

V1 = 2π ∫ 0

(r

2 2

)

2

r2

(

)

− y + r1 dy − 2π ∫ r12 + r22 − y 2 dy = 2

0

114

Франц Герман

Franz Hermann

r2

r2

= 2π ∫ 2r1 0

⎛y 2 r2 y⎞ r − y dy = 4πr1 ⎜⎜ r2 − y 2 + 2 Arc sin ⎟⎟ = π 2 r1 r22 . r2 ⎠ 0 2 ⎝2 2 2

2

1 Известно, что объём тора равен V = 2π 2 r1 r22 , следовательно, V1 = V , а отсюда 2 заключаем, что V1 = V2 . Что и требовалось доказать.

Y

А R В

V1

D

V2

E

r2

Х

r1

О

С

Рис. П1.10

Теорема 2 (об объёме неправильного тора) Объём тела (неправильного тора), образованного вращением сегмента круга вокруг оси, проходящей через центр этого круга и параллельно хорде данного сегмента, есть величина постоянная, независящая от радиуса круга данного сегмента и равная объёму шара, диаметром равным длине хорды данного сегмента (Рис. П1.11).

А r2

В

С

Рис. П1.11 115

r1

Франц Герман

Franz Hermann

Доказательство: Пусть дан сегмент АВС некоторого круга. Длина хорды, стягивающая дугу ∪ ABC равна 2r2 (в принятых ранее обозначениях). Тогда искомый объём данного тела вращения можно элементарно найти, как разность объёмов шарового слоя толщиной 2r2 с одинаковыми радиусами оснований r1 и цилиндра, высотой 2r2 и радиусом основания r1 . V =

πr2 3

(3r

2 1

)

+ 3r12 + 4r22 − 2πr12 r2 =

4 3 πr2 3

А эта величина, как раз и соответствует объёму шара с радиусом r2 . Что и требовалось доказать. В заключение хотелось бы высказать такое предположение. Известно, что у человека, который находится зеркале Козырева, усиливаются парaнормальные способности (телепатия), и потому к этим зеркалам проявляется в настоящее время повышенный интерес. С геометрической точки зрения зеркало Козырева, в данном случае, – это цилиндр, а человек должен располагаться вдоль осевой линии данного цилиндра. Можно предположить, что такой цилиндр является частью «глобального тора» (тороидальных силовых линий информационного поля Вселенной) и именно поэтому происходит связь (настройка) с информационным полем, в результате чего усиливаются паранормальные способности.

Рис. П1.12

116

Франц Герман

Franz Hermann

Приложение 2

Цепочки производных натурального ряда чисел n ⇒ ∂n ⇒ ∂ 2 n ⇒ ... ⇒ ∂ k n ⇒ ... ⇒ 1 1 ⇒1 2 ⇒1 3 ⇒1 4 ⇒3⇒1 5 ⇒1 6 ⇒6⇒ ... ⇒ 7 ⇒1 8 ⇒7⇒1 9 ⇒4⇒3⇒1 10⇒8⇒7⇒1 11⇒1 12⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 13⇒1 14⇒10⇒8⇒7⇒1 15⇒9⇒4⇒3⇒1 16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 17⇒1 18⇒21⇒11⇒1 19⇒1 20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 21⇒11⇒1 22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 23⇒1 24⇒36⇒55⇒17⇒1 25⇒6⇒6⇒ ... ⇒ 26⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 27⇒13⇒1 28⇒28⇒ ... ⇒ 29⇒1 30⇒42⇒54⇒66⇒78⇒90⇒144⇒259⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 31⇒1 32⇒31⇒1 33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 34⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 35⇒13⇒1 36⇒55⇒17⇒1 37⇒1 38⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 39⇒17⇒1 40⇒50⇒43⇒1 117

Франц Герман

Franz Hermann

41⇒1 42⇒54⇒66⇒78⇒90⇒144⇒259⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 43⇒1 44⇒40⇒50⇒43⇒1 45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 46⇒26⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 47⇒1 48⇒76⇒64⇒63⇒41⇒1 49⇒8⇒7⇒1 50⇒43⇒1 51⇒21⇒11⇒1 52⇒46⇒26⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 53⇒1 54⇒66⇒78⇒90⇒144⇒259⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 55⇒17⇒1 56⇒64⇒63⇒41⇒1 57⇒23⇒1 58⇒32⇒31⇒1 59⇒1 60⇒108⇒172⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 61⇒1 62⇒34⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 63⇒41⇒1 64⇒63⇒41⇒1 65⇒19⇒1 66⇒78⇒90⇒144⇒259⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 67⇒1 68⇒58⇒32⇒31⇒1 69⇒27⇒13⇒1 70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 71⇒1 72⇒123⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 73⇒1 74⇒40⇒50⇒43⇒1 75⇒49⇒8⇒7⇒1 76⇒64⇒63⇒41⇒1 77⇒19⇒1 78⇒90⇒144⇒259⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 79⇒1 80⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 81⇒40⇒50⇒43⇒1 82⇒44⇒40⇒50⇒43⇒1 83⇒1 84⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 85⇒23⇒1 86⇒46⇒26⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 88⇒92⇒76⇒64⇒63⇒41⇒1 118

Франц Герман

Franz Hermann

89⇒1 90⇒144⇒259⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 91⇒21⇒11⇒1 92⇒76⇒64⇒63⇒41⇒1 93⇒35⇒13⇒1 94 ⇒50⇒43⇒1 95 ⇒25⇒6⇒6⇒ ... ⇒ 96 ⇒156⇒236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 97 ⇒1 98 ⇒73⇒1 99 ⇒57⇒23⇒1 100⇒117⇒65⇒19⇒1 101⇒1 102⇒114⇒126⇒186⇒198⇒270⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒ ⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 103⇒1 104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 107⇒1 108⇒172⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 109⇒1 110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 111⇒41⇒1 112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 113⇒1 114⇒126⇒186⇒198⇒270⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒ ⇒4⇒3⇒1 115⇒29⇒1 116⇒94⇒50⇒43⇒1 117⇒65⇒19⇒1 118⇒62⇒34⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 119⇒25⇒6⇒6⇒ ... ⇒ 120⇒240⇒504⇒1056⇒1968⇒3240⇒7650⇒14112⇒32571⇒27333⇒12161⇒1 121⇒12⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 122⇒64⇒63⇒41⇒1 123⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 124⇒100⇒117⇒65⇒19⇒1 125⇒31⇒1 126⇒186⇒198⇒270⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 127⇒1 128⇒127⇒1 129⇒47⇒1 130⇒122⇒64⇒63⇒41⇒1 131⇒1 132⇒204⇒300⇒568⇒512⇒511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 133⇒27⇒13⇒1 134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 119

Франц Герман

Franz Hermann

135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 137⇒1 138⇒150⇒222⇒234⇒312⇒528⇒960⇒2088⇒3762⇒5598⇒6570⇒10746⇒ ⇒13254⇒13830⇒19434⇒20886⇒21606⇒25098⇒26742⇒26754⇒40446⇒ ⇒63234⇒77406⇒110754⇒171486⇒253458⇒295740⇒647748⇒1077612⇒ ⇒1467588⇒1956812⇒2109796⇒1889486⇒953914⇒668966⇒353578⇒ ⇒176792⇒254128⇒308832⇒502104⇒753216⇒1240176⇒2422288⇒ ⇒2697920⇒3727264⇒3655076⇒2760844⇒2100740⇒2310856⇒2455544⇒ ⇒3212776⇒3751064⇒3282196⇒2723020⇒3035684⇒2299240⇒2988440⇒ ⇒5297320⇒8325080⇒11222920⇒15359480⇒19199440⇒28875608⇒ ⇒25266172⇒19406148⇒26552604⇒40541052⇒54202884⇒72270540⇒ ⇒147793668⇒228408732⇒348957876⇒508132204⇒404465636⇒ ⇒303708376⇒290504024⇒312058216⇒294959384⇒290622016⇒ ⇒286081174⇒151737434⇒75868720⇒108199856⇒101437396⇒76247552⇒ ⇒76099654⇒42387146⇒21679318⇒12752594⇒7279382⇒3660794⇒ ⇒1855066⇒927536⇒932464⇒1013592⇒1546008⇒2425752⇒5084088⇒ ⇒8436192⇒13709064⇒20563656⇒33082104⇒57142536⇒99483384⇒ ⇒245978376⇒487384824⇒745600776⇒1118401224⇒1677601896⇒ 139⇒1 140⇒196⇒203⇒37⇒1 141⇒51⇒21⇒11⇒1 142⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 143⇒25⇒6⇒6⇒ ... ⇒ 144⇒259⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 145⇒35⇒13⇒1 146⇒76⇒64⇒63⇒41⇒1 147⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 148⇒118⇒62⇒34⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 149⇒1 150⇒222⇒ ... цепочка числа 138 151⇒1 152⇒148⇒118⇒62⇒34⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 155⇒37⇒1 156⇒236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 157⇒1 158⇒82⇒44⇒40⇒50⇒43⇒1 159⇒57⇒23⇒1 160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 161⇒31⇒1 162⇒201⇒71⇒1 163⇒1 164⇒130⇒122⇒64⇒63⇒41⇒1 165⇒123⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 166⇒86⇒46⇒26⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 167⇒1 120

Франц Герман

Franz Hermann

168⇒312⇒528⇒960⇒ ... цепочка числа 138 169⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 171⇒89⇒1 172⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 173⇒1 174⇒186⇒198⇒270⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 175⇒73⇒1 176⇒196⇒203⇒37⇒1 177⇒63⇒41⇒1 178⇒92⇒76⇒64⇒63⇒41⇒1 179⇒1 180⇒366⇒378⇒582⇒594⇒846⇒1026⇒1374⇒1386⇒2358⇒2790⇒4698⇒ ⇒6192⇒11540⇒12736⇒12664⇒11096⇒11104⇒10820⇒11944⇒10466⇒ ⇒5236⇒6860⇒9940⇒14252⇒14308⇒15218⇒10894⇒6746⇒3376⇒3196⇒ ⇒2852⇒2524⇒1900⇒2440⇒3140⇒3496⇒3704⇒3256⇒3584⇒4600⇒6560 ⇒9316⇒8072⇒7078⇒3542⇒3370⇒2714⇒1606⇒1058⇒601⇒1 181⇒1 182⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 183⇒65⇒19⇒1 184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 185⇒43⇒1 186⇒198⇒270⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 187⇒29⇒1 188⇒148⇒118⇒62⇒34⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 189⇒131⇒1 190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 191⇒1 192⇒316⇒224⇒280⇒440⇒640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒ ⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 193⇒1 194⇒100⇒117⇒65⇒19⇒1 195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 196⇒203⇒37⇒1 197⇒1 198⇒270⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 199⇒1 200⇒265⇒59⇒1 201⇒71⇒1 202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 203⇒37⇒1 204⇒300⇒568⇒512⇒511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 205⇒47⇒1 206⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 207⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 208⇒226⇒116⇒94⇒50⇒43⇒1 209⇒31⇒1 210⇒366⇒378⇒582⇒594⇒... цепочка числа 180 121

Франц Герман

Franz Hermann

211⇒1 212⇒166⇒86⇒46⇒26⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 213⇒75⇒49⇒8⇒7⇒1 214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 215⇒49⇒8⇒7⇒1 216⇒384⇒636⇒1196⇒1156⇒993⇒335⇒73⇒1 217⇒39⇒17⇒1 218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 219⇒77⇒19⇒1 220⇒284⇒220⇒ 221⇒31⇒1 222⇒234⇒312⇒528⇒960⇒2088⇒3762⇒5598⇒6570⇒... цепочка числа 138 223⇒1 224⇒280⇒440⇒640⇒890⇒730⇒602⇒... цепочка числа 192 225⇒178⇒92⇒76⇒64⇒63⇒41⇒1 226⇒116⇒94⇒50⇒43⇒1 227⇒1 228⇒332⇒256⇒255⇒177⇒63⇒41⇒1 229⇒1 230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 231⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 232⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 233⇒1 234⇒312⇒528⇒960⇒2088⇒3762⇒5598⇒ ... цепочка числа 138 235⇒53⇒1 236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 237⇒83⇒1 238⇒194⇒100⇒117⇒65⇒19⇒1 239⇒1 240⇒504⇒1056⇒1968⇒3240⇒7650⇒14112⇒32571⇒27333⇒12161⇒1 241⇒1 242⇒157⇒1 243⇒121⇒12⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 244⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 245⇒97⇒1 246⇒258⇒270⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 247⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 248⇒232⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 249⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 250⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 251⇒1 252⇒476⇒532⇒588⇒1008⇒2216⇒1954⇒980⇒1414⇒1034⇒694⇒350⇒394⇒ ⇒200⇒265⇒59⇒1 253⇒35⇒13⇒1 254⇒130⇒122⇒64⇒63⇒41⇒1 255⇒177⇒63⇒41⇒1 256⇒255⇒177⇒63⇒41⇒1 257⇒1 122

Франц Герман

Franz Hermann

258⇒270⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 259⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 260⇒328⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 261⇒129⇒47⇒1 262⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 263⇒1 264⇒456⇒744⇒1176⇒2244⇒3804⇒5100⇒10524⇒14060⇒17860⇒22460⇒ ⇒24748⇒20612⇒15466⇒11894⇒6946⇒3998⇒2002⇒2030⇒2290⇒ ⇒1850⇒1684⇒1270⇒1034⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 265⇒59⇒1 266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 267⇒93⇒35⇒13⇒1 268⇒208⇒226⇒116⇒94⇒50⇒43⇒1 269⇒1 270⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 271⇒1 272⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 273⇒175⇒73⇒1 274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 275⇒97⇒1 276⇒396⇒696⇒1104⇒1872⇒3770⇒3790⇒3050⇒2716⇒2772⇒5964⇒10164⇒ ⇒19628⇒19684⇒22876⇒26404⇒30044⇒33796⇒38780⇒54628⇒54684⇒ ⇒111300⇒263676⇒465668⇒465724⇒465780⇒1026060⇒2325540⇒ ⇒5335260⇒11738916⇒23117724⇒45956820⇒121129260⇒266485716⇒ ⇒558454764⇒1092873236⇒1470806764⇒1471882804⇒1642613196⇒ 277⇒1 278⇒142⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 279⇒137⇒1 280⇒440⇒640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒... цепочка числа 192 281⇒1 282⇒294⇒390⇒618⇒630⇒1242⇒1638⇒2730⇒5334⇒6954⇒7926⇒7938⇒ ⇒12753⇒7267⇒785⇒163⇒1 283⇒1 284⇒220⇒284⇒220⇒ 285⇒195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 287⇒49⇒8⇒7⇒1 288⇒531⇒249⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 289⇒18⇒21⇒11⇒1 290⇒250⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 291⇒101⇒1 292⇒226⇒116⇒94⇒50⇒43⇒1 293⇒1 294⇒390⇒618⇒630⇒1242⇒1638⇒2730⇒5334⇒6954⇒7926⇒7938⇒ ⇒12753⇒7267⇒785⇒163⇒1 295⇒65⇒19⇒1 296⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 297⇒183⇒65⇒19⇒1 123

Франц Герман

Franz Hermann

298⇒152⇒148⇒118⇒62⇒34⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 299⇒37⇒1 300⇒568⇒512⇒511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 301⇒51⇒21⇒11⇒1 302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 303⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 304⇒316⇒244⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 305⇒67⇒1 306⇒396⇒696⇒1104⇒1872⇒3770⇒3790⇒ ... цепочка числа 276 307⇒1 308⇒364⇒420⇒924⇒1764⇒4323⇒1825⇒469⇒75⇒49⇒8⇒7⇒1 309⇒107⇒1 310⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 311⇒1 312⇒528⇒960⇒2088⇒3762⇒5598⇒ ... цепочка числа 138 313⇒1 314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 315⇒309⇒107⇒1 316⇒224⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 317⇒1 318⇒330⇒534⇒546⇒798⇒1122⇒1470⇒2634⇒2646⇒4194⇒4932⇒7626⇒ ⇒8502⇒9978⇒9990⇒17370⇒28026⇒35136⇒67226⇒33616⇒37808⇒ ⇒40312⇒35288⇒37072⇒45264⇒79728⇒146448⇒281166⇒281178⇒ ⇒363942⇒424638⇒526338⇒722961⇒321329⇒1 319⇒41⇒1 320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 321⇒111⇒41⇒1 322⇒254⇒130⇒122⇒64⇒63⇒41⇒1 323⇒37⇒1 324⇒523⇒1 325⇒109⇒1 326⇒166⇒86⇒46⇒26⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 327⇒113⇒1 328⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 329⇒55⇒17⇒1 330⇒534⇒546⇒798⇒1122⇒1470⇒2634⇒2646⇒... цепочка числа 318 331⇒1 332⇒256⇒255⇒177⇒63⇒41⇒1 333⇒161⇒31⇒1 334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 335⇒73⇒1 336⇒656⇒646⇒434⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 337⇒1 338⇒211⇒1 339⇒117⇒65⇒19⇒1 340⇒416⇒466⇒236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 341⇒43⇒1 342⇒438⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 124

Франц Герман

Franz Hermann

343⇒57⇒23⇒1 344⇒316⇒224⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 345⇒231⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 346⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 347⇒1 348⇒492⇒684⇒1136⇒1096⇒974⇒490⇒536⇒484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒ ⇒50⇒43⇒1 349⇒1 350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 351⇒209⇒31⇒1 352⇒404⇒310⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 353⇒1 354⇒366⇒378⇒582⇒594⇒... цепочка числа 180 355⇒77⇒19⇒1 356⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 357⇒219⇒77⇒19⇒1 358⇒182⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 359⇒1 360⇒810⇒1368⇒2532⇒3404⇒2980⇒3320⇒4240⇒5804⇒4360⇒5540⇒6136⇒ ⇒6464⇒6490⇒5194⇒4040⇒5140⇒5696⇒5734⇒3194⇒1600⇒2337⇒ ⇒1023⇒513⇒287⇒49⇒8⇒7⇒1 361⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 362⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 363⇒169⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 364⇒420⇒924⇒1764⇒4323⇒1825⇒469⇒75⇒49⇒8⇒7⇒1 365⇒79⇒1 366⇒378⇒582⇒594⇒... цепочка числа 180 367⇒1 368⇒376⇒344⇒316⇒224⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 369⇒177⇒63⇒41⇒1 370⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 371⇒61⇒1 372⇒524⇒400⇒561⇒303⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 373⇒1 374⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 375⇒249⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 376⇒344⇒316⇒224⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 377⇒43⇒1 378⇒582⇒594⇒... цепочка числа 180 379⇒1 380⇒460⇒548⇒418⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 381⇒131⇒1 382⇒194⇒100⇒117⇒65⇒19⇒1 383⇒1 384⇒636⇒1196⇒1156⇒993⇒335⇒73⇒1 385⇒191⇒1 386⇒196⇒203⇒37⇒1 387⇒185⇒43⇒1 125

Франц Герман

Franz Hermann

388⇒298⇒152⇒148⇒118⇒62⇒34⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 389⇒1 390⇒618⇒630⇒1242⇒1638⇒2730⇒5334⇒6954⇒7926⇒7938⇒12753⇒7267⇒ ⇒785⇒163⇒1 391⇒41⇒1 392⇒463⇒1 393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 394⇒200⇒265⇒59⇒1 395⇒85⇒23⇒1 396⇒696⇒1104⇒1872⇒3770⇒3790⇒ ... цепочка числа 276 397⇒1 398⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 399⇒241⇒1 400⇒561⇒303⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 401⇒1 402⇒414⇒522⇒648⇒1167⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 403⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 404⇒310⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 405⇒321⇒111⇒41⇒1 406⇒314⇒ 407⇒49⇒8⇒7⇒1 408⇒672⇒1344⇒2720⇒4084⇒3070⇒2474⇒1240⇒1640⇒2140⇒2396⇒1804⇒ ⇒1724⇒1300⇒1738⇒1142⇒574⇒434⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒40⇒ ⇒50⇒43⇒1 409⇒1 410⇒346⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 411⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 412⇒316⇒224⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 413⇒67⇒1 414⇒522⇒648⇒1167⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 415⇒89⇒1 416⇒466⇒236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 417⇒143⇒25⇒6⇒6⇒ ... ⇒ 418⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 419⇒1 420⇒924⇒1764⇒4323⇒1825⇒469⇒75⇒49⇒8⇒7⇒1 421⇒1 422⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 423⇒201⇒71⇒1 424⇒386⇒196⇒203⇒37⇒1 425⇒133⇒27⇒13⇒1 426⇒438⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 427⇒69⇒27⇒13⇒1 428⇒328⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 429⇒243⇒121⇒12⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 430⇒362⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 431⇒1 432⇒808⇒722⇒421⇒1 126

Франц Герман

Franz Hermann

433⇒1 434⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 435⇒285⇒195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 436⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 437⇒43⇒1 438⇒450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 439⇒1 440⇒640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 441⇒300⇒568⇒512⇒511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 443⇒1 444⇒620⇒724⇒550⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒ ⇒40⇒50⇒43⇒1 445⇒95⇒25⇒6⇒6⇒ ... ⇒ 446⇒226⇒116⇒94⇒50⇒43⇒1 447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 448⇒568⇒512⇒511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 449⇒1 450⇒759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 451⇒53⇒1 452⇒346⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 453⇒155⇒37⇒1 454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 455⇒217⇒39⇒17⇒1 456⇒744⇒1176⇒2244⇒3804⇒ ... цепочка числа 264 457⇒1 458⇒232⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 459⇒261⇒129⇒47⇒1 460⇒548⇒418⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 461⇒1 462⇒690⇒1038⇒1050⇒1926⇒2286⇒2706⇒3342⇒3354⇒4038⇒4050⇒7203⇒ ⇒4001⇒1 463⇒1 464⇒466⇒236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 465⇒303⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 466⇒236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 467⇒1 468⇒806⇒538⇒272⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 469⇒75⇒49⇒8⇒7⇒1 470⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 471⇒161⇒31⇒1 472⇒428⇒328⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 473⇒55⇒17⇒1 474⇒486⇒606⇒618⇒630⇒1242⇒1638⇒ ... цепочка числа 282 475⇒145⇒35⇒13⇒1 476⇒532⇒588⇒1008⇒2216⇒1954⇒980⇒1414⇒1034⇒694⇒350⇒394⇒ ⇒200⇒265⇒59⇒1 477⇒225⇒178⇒92⇒76⇒64⇒63⇒41⇒1 127

Франц Герман

Franz Hermann

478⇒242⇒157⇒1 479⇒1 480⇒1032⇒1608⇒2472⇒3768⇒5712⇒12144⇒23568⇒37440⇒101244⇒ ⇒180996⇒241356⇒321836⇒251044⇒188290⇒168830⇒135082⇒88478⇒ ⇒59698⇒34622⇒24754⇒12380⇒13660⇒15068⇒11308⇒10364⇒7780⇒ ⇒8600⇒11860⇒13088⇒12742⇒7274⇒3640⇒6440⇒10840⇒13640⇒ ⇒20920⇒26240⇒38020⇒41864⇒36646⇒19298⇒9652⇒8268⇒12900⇒ ⇒25292⇒18976⇒18446⇒10498⇒5882⇒3514⇒2534⇒1834⇒1334⇒826⇒ ⇒614⇒310⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 481⇒51⇒21⇒11⇒1 482⇒244⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 483⇒285⇒195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 485⇒103⇒1 486⇒606⇒618⇒630⇒1242⇒1638⇒ ... цепочка числа 282 487⇒1 488⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 489⇒167⇒1 490⇒536⇒484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 491⇒1 492⇒684⇒1136⇒1096⇒974⇒490⇒536⇒484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒ ⇒50⇒43⇒1 493⇒47⇒1 494⇒346⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 495⇒441⇒300⇒568⇒512⇒511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 496⇒496⇒ ... ⇒ 497⇒79⇒1 498⇒510⇒786⇒798⇒1122⇒1470⇒2634⇒2646⇒... цепочка числа 318 499⇒1 500⇒592⇒586⇒296⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 501⇒171⇒89⇒1 502⇒254⇒130⇒122⇒64⇒63⇒41⇒1 503⇒1 504⇒1056⇒1968⇒3240⇒7650⇒14112⇒32571⇒27333⇒12161⇒1 505⇒107⇒1 506⇒358⇒182⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 507⇒225⇒178⇒92⇒76⇒64⇒63⇒41⇒1 508⇒388⇒298⇒152⇒148⇒118⇒62⇒34⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 509⇒1 510⇒786⇒798⇒1122⇒1470⇒2634⇒2646⇒... цепочка числа 318 511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 512⇒511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 513⇒287⇒49⇒8⇒7⇒1 514⇒260⇒328⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 515⇒109⇒1 516⇒716⇒544⇒590⇒490⇒536⇒484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 517⇒59⇒1 518⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 128

Франц Герман

Franz Hermann

519⇒177⇒63⇒41⇒1 520⇒740⇒856⇒764⇒580⇒680⇒940⇒1076⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 521⇒1 522⇒648⇒1167⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 523⇒1 524⇒400⇒561⇒303⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 525⇒467⇒1 526⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 527⇒49⇒8⇒7⇒1 528⇒960⇒2088⇒3762⇒5598⇒6570⇒10746⇒13254⇒ ... цепочка числа 138 529⇒24⇒36⇒55⇒17⇒1 530⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 531⇒249⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 532⇒588⇒1008⇒2216⇒1954⇒980⇒1414⇒1034⇒694⇒350⇒394⇒ ⇒200⇒265⇒59⇒1 533⇒55⇒17⇒1 534⇒546⇒798⇒1122⇒1470⇒2634⇒2646⇒... цепочка числа 318 535⇒113⇒1 536⇒484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 537⇒183⇒65⇒19⇒1 538⇒272⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 539⇒145⇒35⇒13⇒1 540⇒1140⇒2220⇒4164⇒5580⇒11892⇒15884⇒16120⇒24200⇒37645⇒ ⇒7535⇒2401⇒400⇒561⇒303⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 541⇒1 542⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 543⇒185⇒43⇒1 544⇒590⇒490⇒536⇒484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 545⇒115⇒29⇒1 546⇒798⇒1122⇒1470⇒2634⇒2646⇒... цепочка числа 318 547⇒1 548⇒418⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 549⇒257⇒1 550⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 551⇒49⇒8⇒7⇒1 552⇒888⇒1392⇒2328⇒3552⇒6024⇒9096⇒13704⇒20616⇒30984⇒46536⇒ ⇒86904⇒165816⇒367704⇒628356⇒837836⇒628384⇒630356⇒491884⇒ ⇒368920⇒499400⇒772840⇒978650⇒975652⇒744248⇒696712⇒628628⇒ ⇒857836⇒857892⇒1472268⇒2688756⇒4481484⇒7861812⇒13263180⇒ ⇒31056564⇒68937036⇒114895284⇒203960652⇒339934644⇒701117004⇒ ⇒1249822644⇒2083037964⇒ 553⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 555⇒357⇒219⇒77⇒19⇒1 556⇒424⇒386⇒196⇒203⇒37⇒1 557⇒1 129

Франц Герман

Franz Hermann

558⇒690⇒1038⇒1050⇒1926⇒2286⇒2706⇒3342⇒3354⇒4038⇒4050⇒7203⇒ ⇒4001⇒1 559⇒57⇒23⇒1 560⇒928⇒962⇒634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒ ⇒40⇒50⇒43⇒1 561⇒303⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 562⇒284⇒220⇒284⇒ ... 563⇒1 564⇒780⇒1572⇒2124⇒3336⇒5064⇒7656⇒13944⇒26376⇒49464⇒88536⇒ ⇒187944⇒295896⇒443904⇒812340⇒1652304⇒2767056⇒4803888⇒ ⇒7914048⇒13495104⇒30725280⇒79741440⇒196505388⇒300216656⇒ ⇒285162916⇒237325596⇒325831908⇒434442572⇒325831936⇒ ⇒347001764⇒260735800⇒434766560⇒592369816⇒518323604⇒ ⇒399201004⇒340495100⇒465552268⇒349164208⇒327341476⇒ ⇒386858780⇒660449188⇒660449244⇒1275089956⇒1326589544⇒ ⇒1591234456⇒1869454184⇒1907347936⇒2136597368⇒1927982632⇒ ⇒1687830008⇒1476851272⇒1549164728⇒1355519152⇒1472824128⇒ ⇒ ... ... цепочка числа 28х138 565⇒ 566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 567⇒401⇒1 568⇒512⇒511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 569⇒1 570⇒870⇒1290⇒1878⇒1890⇒3870⇒6426⇒10854⇒ ⇒13830⇒ ... цепочка числа 138 571⇒1 572⇒604⇒460⇒548⇒418⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 573⇒195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 574⇒434⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒40⇒50⇒43⇒1 575⇒169⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 576⇒1075⇒289⇒18⇒21⇒11⇒1 577⇒1 578⇒343⇒57⇒23⇒1 579⇒197⇒1 580⇒680⇒940⇒1076⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 581⇒91⇒21⇒11⇒1 582⇒594⇒... цепочка числа 180 583⇒65⇒19⇒1 584⇒526⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 585⇒507⇒225⇒178⇒92⇒76⇒64⇒63⇒41⇒1 586⇒296⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 587⇒1 588⇒1008⇒2216⇒1954⇒980⇒1414⇒1034⇒694⇒350⇒394⇒ ⇒200⇒265⇒59⇒1 589⇒51⇒21⇒11⇒1 590⇒490⇒536⇒484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 591⇒201⇒71⇒1 130

Франц Герман

Franz Hermann

592⇒586⇒296⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 593⇒1 594⇒846⇒1026⇒ ... цепочка числа 180 595⇒269⇒1 596⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 597⇒203⇒37⇒1 598⇒410⇒346⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 599⇒1 600⇒1260⇒3108⇒5404⇒5460⇒13356⇒25956⇒49756⇒49812⇒83244⇒ ⇒138964⇒144326⇒127978⇒67322⇒36250⇒34040⇒48040⇒60140⇒ ⇒71572⇒58208⇒64264⇒60836⇒47692⇒35776⇒42456⇒69144⇒110376⇒ ⇒244824⇒373356⇒594884⇒446170⇒356954⇒219706⇒118874⇒88720⇒ ⇒117740⇒174916⇒174972⇒291844⇒302666⇒256438⇒217322⇒185014⇒ ⇒92510⇒95626⇒49274⇒25894⇒17198⇒8602⇒6950⇒6070⇒4874⇒ ⇒2440⇒ ... ⇒601⇒1 ... цепочка числа 180 601⇒1 602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 603⇒282⇒1 604⇒460⇒548⇒418⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 605⇒193⇒1 606⇒618⇒630⇒1242⇒1638⇒ ... цепочка числа 282 607⇒1 608⇒652⇒496⇒ ... ⇒ 609⇒351⇒209⇒31⇒1 610⇒506⇒358⇒182⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 611⇒61⇒1 612⇒1026⇒ ... цепочка числа 180 613⇒1 614⇒310⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 615⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 616⇒824⇒736⇒776⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 617⇒1 618⇒630⇒1242⇒1638⇒2730⇒5334⇒6954⇒7926⇒... цепочка числа 282 619⇒1 620⇒724⇒550⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 621⇒339⇒117⇒65⇒19⇒1 622⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 623⇒97⇒1 624⇒1112⇒988⇒972⇒1576⇒1394⇒874⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒ ⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 625⇒156⇒236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 626⇒316⇒244⇒190⇒170⇒154⇒134⇒⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 627⇒333⇒161⇒31⇒1 628⇒478⇒242⇒157⇒1 629⇒55⇒17⇒1 630⇒1242⇒1638⇒2730⇒5334⇒6954⇒7926⇒7938⇒... цепочка числа 282 631⇒1 632⇒568⇒512⇒511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 131

Франц Герман

Franz Hermann

633⇒215⇒49⇒8⇒7⇒1 634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒ ⇒40⇒50⇒43⇒1 635⇒133⇒27⇒13⇒1 636⇒1196⇒1156⇒993⇒335⇒73⇒1 637⇒161⇒31⇒1 638⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 639⇒297⇒183⇒65⇒19⇒1 640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 641⇒1 642⇒654⇒666⇒816⇒1416⇒2184⇒4536⇒9984⇒18632⇒13978⇒7802⇒ ⇒4294⇒2546⇒1534⇒986⇒634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒ ⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 643⇒1 644⇒700⇒1036⇒1092⇒2044⇒2100⇒4844⇒4900⇒7469⇒1939⇒285⇒195⇒ ⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 645⇒411⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 646⇒434⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 647⇒1 648⇒1167⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 649⇒71⇒1 650⇒652⇒496⇒ ... ⇒ 651⇒373⇒1 652⇒496⇒ ... ⇒ 653⇒1 654⇒666⇒816⇒1416⇒2184⇒4536⇒9984⇒18632⇒13978⇒7802⇒ ⇒4294⇒2546⇒1534⇒986⇒634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒ ⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 655⇒137⇒1 656⇒646⇒434⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 657⇒305⇒67⇒1 658⇒494⇒346⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 659⇒1 660⇒1356⇒1836⇒3204⇒4986⇒5856⇒9768⇒17592⇒26448⇒47952⇒94586⇒ ⇒47296⇒46684⇒42524⇒31900⇒46220⇒50884⇒38170⇒36998⇒22810⇒ ⇒18266⇒9136⇒8596⇒8652⇒14644⇒14700⇒34776⇒80424⇒137586⇒ ⇒149838⇒194898⇒230478⇒236082⇒371310⇒519906⇒535038⇒688002⇒ ⇒884670⇒1298658⇒1325598⇒1325610⇒2762838⇒3684330⇒7008534⇒ ⇒9646650⇒20210814⇒26948298⇒34511478⇒34511490⇒62694450⇒ ⇒144750606⇒255162306⇒342150270⇒696170370⇒1249384830⇒ ⇒1750467234⇒1750950654⇒1767059586⇒2062619514⇒ ⇒... цепочка числа 6х138 661⇒1 662⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 663⇒345⇒231⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 664⇒596⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 665⇒295⇒65⇒19⇒1 666⇒816⇒1416⇒2184⇒4536⇒9984⇒18632⇒13978⇒7802⇒ 132

Франц Герман

Franz Hermann

⇒4294⇒2546⇒1534⇒986⇒634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒ ⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 667⇒53⇒1 668⇒508⇒388⇒298⇒152⇒148⇒118⇒62⇒34⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 669⇒227⇒1 670⇒554⇒280⇒440⇒640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒ ⇒64⇒63⇒41⇒1 671⇒73⇒1 672⇒1344⇒2720⇒4084⇒3070⇒2474⇒1240⇒ ... цепочка числа 408 673⇒1 674⇒340⇒416⇒466⇒236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 675⇒565⇒119⇒25⇒6⇒ ... ⇒ 676⇒605⇒193⇒1 677⇒1 678⇒690⇒1038⇒1050⇒1926⇒2286⇒2706⇒3342⇒3354⇒4038⇒4050⇒ ⇒7203⇒4001⇒1 679⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 680⇒940⇒1076⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 681⇒231⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 682⇒470⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 683⇒1 684⇒1136⇒1096⇒974⇒490⇒536⇒484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 685⇒143⇒25⇒6⇒ ... ⇒ 686⇒514⇒260⇒328⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 687⇒233⇒1 688⇒676⇒605⇒193⇒1 689⇒67⇒1 690⇒1038⇒1050⇒1926⇒2286⇒2706⇒3342⇒3354⇒4038⇒4050⇒7203⇒ ⇒4001⇒1 691⇒1 692⇒526⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 693⇒555⇒357⇒219⇒77⇒19⇒1 694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 695⇒145⇒35⇒13⇒1 696⇒1104⇒1872⇒3770⇒3790⇒ ... цепочка числа 276 697⇒59⇒1 698⇒352⇒404⇒310⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 699⇒237⇒83⇒1 700⇒1036⇒1092⇒2044⇒2100⇒4844⇒4900⇒7469⇒1939⇒285⇒195⇒ ⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 701⇒1 702⇒978⇒990⇒1818⇒2160⇒5280⇒12864⇒21680⇒28912⇒31848⇒47832⇒ ⇒71808⇒148512⇒359520⇒946848⇒1895712⇒4539360⇒12180336⇒ ⇒23781648⇒44267568⇒76111632⇒139130668⇒104348008⇒92030552⇒ ⇒80526748⇒62286692⇒55099864⇒51042536⇒47249404⇒35492780⇒ ⇒39042100⇒45679474⇒22839740⇒36962884⇒38008124⇒53126668⇒ ⇒54930988⇒60686612⇒62153644⇒62153700⇒155583364⇒259304164⇒ 133

Франц Герман

Franz Hermann

⇒266871836⇒327310564⇒327768476⇒327768532⇒396478124⇒ ⇒397718356⇒398447980⇒557827508⇒557827564⇒583593332⇒ ⇒645414448⇒787922384⇒739137616⇒953968304⇒894345316⇒ ⇒774937460⇒1009670092⇒763542524⇒617043844⇒462782890⇒ ⇒370226330⇒300597094⇒254298266⇒127318438⇒78349850⇒67380964⇒ ⇒67381020⇒170849700⇒455276892⇒785095332⇒1353047388⇒ ⇒ ... цепочка числа 23х138 703⇒57⇒23⇒1 704⇒820⇒944⇒916⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 705⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 706⇒356⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 707⇒109⇒1 708⇒972⇒1576⇒1394⇒874⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒ ⇒50⇒43⇒1 709⇒1 710⇒586⇒296⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 711⇒329⇒55⇒17⇒1 712⇒638⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 713⇒55⇒17⇒1 714⇒1014⇒1182⇒1194⇒1206⇒1446⇒1458⇒1821⇒611⇒61⇒1 715⇒293⇒1 716⇒544⇒590⇒490⇒536⇒484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 717⇒243⇒121⇒12⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 718⇒362⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 719⇒1 720⇒1698⇒1710⇒2970⇒5670⇒11754⇒13752⇒23688⇒51192⇒94008⇒ ⇒141072⇒223488⇒427526⇒272098⇒147194⇒73600⇒116120⇒145240⇒ ⇒181640⇒250360⇒365240⇒494440⇒646040⇒857320⇒1071740⇒ ⇒1235572⇒1093104⇒1966472⇒1735828⇒1311104⇒1301116⇒987044⇒ ⇒840796⇒789140⇒1134124⇒951316⇒812684⇒620860⇒719780⇒ ⇒958540⇒1237892⇒1046908⇒808932⇒1078604⇒808960⇒1156640⇒ ⇒1576300⇒2157836⇒1646524⇒1635524⇒1486924⇒1127324⇒1024924⇒ ⇒789476⇒592114⇒302954⇒151480⇒238760⇒314200⇒416780⇒665140⇒ ⇒931532⇒1165108⇒1165164⇒2522772⇒5218668⇒11903892⇒25427052⇒ ⇒53825940⇒132775020⇒331001748⇒760541292⇒1492916628⇒ ⇒ ... цепочка числа 184254х138 721⇒111⇒41⇒1 722⇒421⇒1 723⇒245⇒97⇒1 724⇒550⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 725⇒205⇒47⇒1 726⇒870⇒1290⇒1878⇒1890⇒3870⇒6426⇒10854⇒ ⇒13830⇒ ... цепочка числа 138 727⇒1 728⇒952⇒1208⇒1072⇒1036⇒1092⇒2044⇒2100⇒4844⇒4900⇒7469⇒1939⇒ ⇒285⇒195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 729⇒364⇒420⇒924⇒1764⇒3423⇒1825⇒469⇒75⇒49⇒8⇒7⇒1 730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 134

Франц Герман

Franz Hermann

731⇒61⇒1 732⇒1004⇒760⇒1040⇒1564⇒1460⇒1648⇒1576⇒1394⇒874⇒566⇒286⇒ ⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 733⇒1 734⇒370⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 735⇒633⇒215⇒49⇒8⇒7⇒1 736⇒776⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 737⇒79⇒1 738⇒900⇒1921⇒131⇒1 739⇒1 740⇒856⇒764⇒580⇒680⇒940⇒1076⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 741⇒379⇒1 742⇒554⇒280⇒440⇒640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒ ⇒64⇒63⇒41⇒1 743⇒1 744⇒1176⇒2244⇒3804⇒ ... цепочка числа 264 745⇒155⇒37⇒1 746⇒376⇒344⇒316⇒224⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 747⇒345⇒231⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 748⇒764⇒580⇒680⇒940⇒1076⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 749⇒115⇒29⇒1 750⇒1122⇒1470⇒2634⇒2646⇒... цепочка числа 318 751⇒1 752⇒736⇒776⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 753⇒255⇒177⇒63⇒41⇒1 754⇒506⇒358⇒182⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 755⇒157⇒1 756⇒1484⇒1540⇒2492⇒2548⇒3038⇒2434⇒1220⇒1384⇒1226⇒616⇒824⇒ ⇒736⇒776⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 757⇒1 758⇒382⇒194⇒100⇒117⇒65⇒19⇒1 759⇒393⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 760⇒1040⇒1564⇒1460⇒1648⇒1576⇒1394⇒874⇒566⇒286⇒ ⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 761⇒1 762⇒774⇒942⇒954⇒1152⇒2163⇒1165⇒239⇒1 764⇒580⇒680⇒940⇒1076⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 765⇒639⇒297⇒183⇒65⇒19⇒1 766⇒386⇒196⇒203⇒37⇒1 767⇒73⇒1 768⇒1276⇒1244⇒940⇒1076⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 769⇒1 770⇒958⇒482⇒244⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 771⇒261⇒129⇒47⇒1 135

Франц Герман

Franz Hermann

772⇒586⇒296⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 773⇒1 774⇒942⇒954⇒1152⇒2163⇒1165⇒239⇒1 775⇒217⇒39⇒17⇒1 776⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 777⇒439⇒1 778⇒392⇒463⇒1 779⇒61⇒1 780⇒1572⇒2124⇒3336⇒5064⇒7656⇒13944⇒ ... цепочка числа 28х138 781⇒83⇒1 782⇒ 514⇒260⇒328⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 783⇒417⇒143⇒25⇒6 ... ⇒ 784⇒983⇒1 785⇒163⇒1 786⇒798⇒1122⇒1470⇒2634⇒2646⇒... цепочка числа 318 787⇒1 788⇒598⇒410⇒346⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 789⇒267⇒93⇒35⇒13⇒1 790⇒650⇒652⇒496⇒ ... ⇒ 791⇒121⇒12⇒16⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 792⇒1548⇒2456⇒2164⇒1630⇒1322⇒664⇒596⇒454⇒230⇒202⇒104⇒ ⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 793⇒75⇒49⇒8⇒7⇒1 794⇒400⇒561⇒303⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 795⇒501⇒171⇒89⇒1 796⇒604⇒460⇒548⇒418⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 797⇒1 798⇒1122⇒1470⇒2634⇒2646⇒... цепочка числа 318 799⇒65⇒19⇒1 800⇒1153⇒1 801⇒369⇒177⇒63⇒41⇒1 802⇒404⇒310⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 803⇒85⇒23⇒1 804⇒1100⇒1504⇒1520⇒2200⇒3380⇒4306⇒2156⇒2632⇒3128⇒3352⇒ ⇒2948⇒2764⇒2080⇒3212⇒3004⇒2260⇒2528⇒2512⇒2386⇒1196⇒ ⇒1156⇒993⇒335⇒73⇒1 805⇒347⇒1 806⇒538⇒272⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 807⇒273⇒175⇒73⇒1 808⇒722⇒421⇒1 809⇒1 810⇒1368⇒2532⇒3404⇒2980⇒3320⇒4240⇒... цепочка числа 360 811⇒1 812⇒868⇒924⇒1764⇒3423⇒1825⇒469⇒75⇒49⇒8⇒7⇒1 813⇒275⇒97⇒1 814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 815⇒169⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 136

Франц Герман

Franz Hermann

816⇒1416⇒2184⇒4536⇒9984⇒18632⇒13978⇒7802⇒ ⇒4294⇒2546⇒1534⇒986⇒634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒ ⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 817⇒63⇒41⇒1 818⇒412⇒316⇒224⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 819⇒637⇒161⇒31⇒1 820⇒944⇒916⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 821⇒1 822⇒834⇒846⇒1026⇒1374⇒1386⇒2358⇒2790⇒ ... цепочка числа 180 823⇒1 824⇒736⇒776⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 825⇒663⇒345⇒231⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 826⇒614⇒310⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 827⇒1 828⇒1356⇒1836⇒3204⇒4986⇒5856⇒9768⇒... цепочка числа 660 829⇒1 830⇒682⇒470⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 831⇒281⇒1 832⇒946⇒638⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒ ⇒50⇒43⇒1 833⇒193⇒1 834⇒846⇒1026⇒1374⇒1386⇒2358⇒2790⇒ ... цепочка числа 180 835⇒173⇒1 836⇒844⇒640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒ ⇒64⇒63⇒41⇒1 837⇒443⇒1 838⇒422⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 839⇒1 840⇒2040⇒4440⇒9240⇒25320⇒51000⇒117480⇒271320⇒765480⇒ ⇒1531320⇒3721800⇒7817640⇒15635640⇒32899560⇒65799480⇒ ⇒139098120⇒349027320⇒699333000⇒1597611000⇒3386943780⇒ ⇒6974223708⇒581185313⇒1193887⇒1 841⇒30⇒42⇒54⇒66⇒78⇒90⇒144⇒259⇒45⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 842⇒424⇒386⇒196⇒203⇒37⇒1 843⇒285⇒195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 844⇒640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 845⇒253⇒35⇒13⇒1 846⇒1026⇒1374⇒1386⇒2358⇒2790⇒4698⇒ ... цепочка числа 180 847⇒217⇒39⇒17⇒1 848⇒826⇒614⇒310⇒266⇒214⇒110⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 849⇒287⇒49⇒8⇒7⇒1 850⇒824⇒736⇒776⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 851⇒61⇒1 852⇒1164⇒1580⇒1780⇒2000⇒2836⇒2134⇒1394⇒874⇒566⇒286⇒218⇒ ⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 853⇒1 854⇒634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒ ⇒40⇒50⇒43⇒1 137

Франц Герман

Franz Hermann

855⇒705⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 856⇒764⇒580⇒680⇒940⇒1076⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 857⇒1 858⇒1158⇒1170⇒2106⇒2976⇒5088⇒8520⇒17400⇒38400⇒88452⇒ ⇒196924⇒228004⇒255836⇒255892⇒339948⇒708372⇒1392748⇒ ⇒1392804⇒2631580⇒3684548⇒3684604⇒4502876⇒4502932⇒ ⇒4630444⇒5343604⇒5343660⇒13185396⇒26489484⇒54204276⇒ ⇒91794444⇒159862836⇒267246924⇒448180404⇒751570764⇒ ⇒1364852916⇒2941349292⇒5570458740⇒14496055820⇒ ⇒15954961924⇒16296246044⇒14628216868⇒ 859⇒1 860⇒988⇒972⇒1576⇒1394⇒874⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒ ⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 861⇒483⇒285⇒195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 862⇒434⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 863⇒1 864⇒1656⇒3024⇒6896⇒6496⇒8624⇒12580⇒16148⇒14764⇒11080⇒ ⇒13840⇒17812⇒14304⇒23496⇒41304⇒62016⇒120864⇒196656⇒ ⇒343488⇒565832⇒495118⇒316322⇒158164⇒118630⇒94922⇒52150⇒ ⇒59450⇒57730⇒51134⇒27754⇒13880⇒17440⇒24140⇒30292⇒22726⇒ ⇒14498⇒9262⇒5930⇒4762⇒2384⇒2266⇒1478⇒742⇒554⇒280⇒440⇒ ⇒640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 865⇒179⇒1 866⇒436⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 867⇒361⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 868⇒924⇒1764⇒3423⇒1825⇒469⇒75⇒49⇒8⇒7⇒1 869⇒91⇒21⇒11⇒1 870⇒1290⇒1878⇒1890⇒3870⇒6426⇒10854⇒13830⇒ ... цепочка числа 138 871⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 872⇒778⇒392⇒463⇒1 873⇒401⇒1 874⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 875⇒373⇒1 876⇒1196⇒1156⇒993⇒335⇒73⇒1 877⇒1 878⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 879⇒297⇒183⇒65⇒19⇒1 880⇒1352⇒1393⇒207⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 881⇒1 882⇒1341⇒609⇒351⇒209⇒31⇒1 883⇒1 884⇒880⇒1352⇒1393⇒207⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 885⇒555⇒357⇒219⇒77⇒19⇒1 886⇒446⇒226⇒116⇒94⇒50⇒43⇒1 887⇒1 888⇒1392⇒2328⇒3552⇒6024⇒9096⇒13704⇒ ... цепочка числа 552 889⇒135⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 138

Франц Герман

Franz Hermann

890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 891⇒561⇒303⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 892⇒676⇒605⇒193⇒1 893⇒67⇒1 894⇒906⇒918⇒1242⇒1638⇒2730⇒5334⇒6954⇒7926⇒7938⇒12753⇒7267⇒ ⇒785⇒163⇒1 895⇒185⇒43⇒1 896⇒1144⇒1376⇒1396⇒1054⇒674⇒340⇒416⇒466⇒236⇒184⇒176⇒196⇒ ⇒203⇒37⇒1 897⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 898⇒452⇒346⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 899⇒61⇒1 900⇒1921⇒131⇒1 901⇒71⇒1 902⇒610⇒506⇒358⇒182⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 903⇒505⇒107⇒1 904⇒806⇒538⇒272⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 905⇒187⇒29⇒1 906⇒918⇒1242⇒1638⇒2730⇒5334⇒6954⇒7926⇒7938⇒12753⇒7267⇒ ⇒785⇒163⇒1 907⇒1 908⇒688⇒676⇒605⇒193⇒1 909⇒417⇒143⇒25⇒6⇒...⇒ 910⇒1106⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒ ⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 911⇒1 912⇒1568⇒2023⇒433⇒1 913⇒95⇒25⇒6⇒...⇒ 914⇒460⇒548⇒418⇒302⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 915⇒573⇒195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 916⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 917⇒139⇒1 918⇒1242⇒1638⇒2730⇒5334⇒6954⇒7926⇒7938⇒12753⇒7267⇒ ⇒785⇒163⇒1 919⇒1 920⇒1240⇒1640⇒2140⇒2396⇒1804⇒1724⇒1300⇒1738⇒1142⇒574⇒434⇒ ⇒334⇒170⇒154⇒134⇒70⇒40⇒50⇒43⇒1 921⇒311⇒1 922⇒464⇒466⇒236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 923⇒85⇒23⇒1 924⇒1764⇒4323⇒1825⇒469⇒75⇒49⇒8⇒7⇒1 925⇒253⇒35⇒13⇒1 926⇒466⇒236⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 927⇒425⇒133⇒27⇒13⇒1 928⇒962⇒634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒ ⇒40⇒50⇒43⇒1 929⇒1 930⇒1374⇒1386⇒2358⇒2790⇒ ... цепочка числа 180 139

Франц Герман

Franz Hermann

931⇒209⇒31⇒1 932⇒706⇒356⇒274⇒140⇒196⇒203⇒37⇒1 933⇒315⇒309⇒107⇒1 934⇒470⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 935⇒361⇒20⇒22⇒14⇒10⇒8⇒7⇒1 936⇒1794⇒2238⇒2250⇒3834⇒4806⇒5994⇒7800⇒18240⇒42720⇒93360⇒ ⇒196800⇒464616⇒845784⇒1583136⇒3134304⇒5779692⇒8927364⇒ ⇒11903180⇒13093540⇒14562452⇒10952044⇒8477100⇒18096720⇒ ⇒38003856⇒69989232⇒111494688⇒181179120⇒382534800⇒ ⇒850005360⇒2077798320⇒1141972160⇒2032239424⇒2068844576⇒ ⇒2061564448⇒... цепочка числа 13х138 937⇒1 938⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 939⇒317⇒1 940⇒1076⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒ ⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 941⇒1 942⇒954⇒1152⇒2163⇒1165⇒239⇒1 943⇒65⇒19⇒1 944⇒916⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 945⇒975⇒761⇒1 946⇒638⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 947⇒1 948⇒1292⇒1228⇒928⇒962⇒634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒ ⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 949⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 950⇒910⇒1106⇒814⇒554⇒280⇒440⇒640⇒890⇒730⇒602⇒454⇒230⇒ ⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 951⇒321⇒111⇒41⇒1 952⇒1208⇒1072⇒1036⇒1092⇒2044⇒2100⇒4844⇒4900⇒7469⇒1939⇒ ⇒285⇒195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 953⇒1 954⇒1152⇒2163⇒1165⇒239⇒1 955⇒197⇒1 956⇒724⇒550⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 957⇒483⇒285⇒195⇒141⇒51⇒21⇒11⇒1 958⇒482⇒244⇒190⇒170⇒154⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 959⇒145⇒35⇒13⇒1 960⇒2088⇒3762⇒5598⇒6570⇒10746⇒13254⇒ ... цепочка числа 138 961⇒32⇒31⇒1 962⇒634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒ ⇒40⇒50⇒43⇒1 963⇒441⇒300⇒568⇒512⇒511⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 964⇒730⇒602⇒454⇒230⇒202⇒104⇒106⇒56⇒64⇒63⇒41⇒1 965⇒199⇒1 966⇒1338⇒1350⇒2370⇒3390⇒4818⇒5838⇒7602⇒9870⇒17778⇒17790⇒ ⇒24978⇒27438⇒30882⇒30894⇒34386⇒40782⇒52530⇒82254⇒82266⇒ ⇒82278⇒121770⇒241110⇒450090⇒750870⇒1295226⇒1572678⇒ 140

Франц Герман

Franz Hermann

⇒1919538⇒2760984⇒4964136⇒8773463⇒16294056⇒26949144⇒ ⇒44734056⇒72988344⇒181027656⇒321827544⇒605739096⇒ ⇒1034804484⇒ 967⇒1 968⇒1027⇒93⇒35⇒13⇒1 969⇒471⇒161⇒31⇒1 970⇒794⇒400⇒561⇒303⇒105⇒87⇒33⇒15⇒9⇒4⇒3⇒1 971⇒1 972⇒1576⇒1394⇒874⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒ ⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 973⇒147⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 974⇒490⇒536⇒484⇒447⇒153⇒81⇒40⇒50⇒43⇒1 975⇒761⇒1 976⇒946⇒638⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒ ⇒40⇒50⇒43⇒1 977⇒1 978⇒990⇒1818⇒2160⇒5280⇒12864⇒21680⇒... цепочка числа 23х138 979⇒101⇒1 980⇒1414⇒1034⇒694⇒350⇒394⇒200⇒265⇒59⇒1 981⇒449⇒1 982⇒494⇒346⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1 983⇒1 984⇒1536⇒2556⇒3996⇒6644⇒6124⇒4600⇒6560⇒9316⇒8072⇒7078⇒ ⇒3542⇒3370⇒2714⇒1606⇒1058⇒601⇒1 985⇒203⇒37⇒1 986⇒634⇒320⇒442⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒ ⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 987⇒549⇒257⇒1 988⇒972⇒1576⇒1394⇒874⇒566⇒286⇒218⇒112⇒136⇒134⇒ ⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 989⇒67⇒1 990⇒1818⇒2160⇒5280⇒12864⇒21680⇒... цепочка числа 23х138 991⇒1 992⇒1024⇒1023⇒513⇒287⇒49⇒8⇒7⇒1 993⇒335⇒73⇒1 994⇒734⇒370⇒314⇒160⇒218⇒112⇒136⇒134⇒70⇒74⇒40⇒50⇒43⇒1 995⇒205⇒47⇒1 996⇒1356⇒1836⇒3204⇒4986⇒5856⇒ ... цепочка числа 6х138 997⇒1 998⇒502⇒254⇒130⇒122⇒64⇒63⇒41⇒1 999⇒521⇒1 1000⇒1340⇒1516⇒1144⇒1376⇒1396⇒1054⇒674⇒340⇒416⇒466⇒236⇒ ⇒184⇒176⇒196⇒203⇒37⇒1

141

Франц Герман

Franz Hermann

На Рис. П2.1 показан «спектр» натурального ряда на участке от 1 до 4830 числа. Каждая горизонтальная часть спектра содержет 966 числа. Светлоголубым цветом выделена масштабная сетка с интервалом 138.

Рис. П2.1

142

Франц Герман

Franz Hermann

Приложение 3

Геометрическое моделлирование характеристик элементарных частиц и кварков 1. Общие положения Целью данной работы является попытка построить наглядные геометрические модели, связанные с характеристиками некоторых классов элементарных частиц. Модели, по возможности, непротиворечивые и не выходящие за рамки существующей теории. В основу построения таких моделей была положена внешняя схожесть формулы Гелл-Манна и Нишиджимы, связывающая характеристики элементарных частиц: электрический заряд Q, проекцию изоспина I и гиперзаряд Y Q=I+

и формулы для вычисления целочисленной решётке

площади

Y , 2

многоугольника,

F=K+

G , 2

(П3.1) расположенного

на

(П3.2)

Здесь K - число узлов (точек) решётки, имеющихся внутри многоугольника, и G - число узлов решётки, расположенных на сторонах (на границе) многоугольника. Формулу (П3.2) не надо путать с формулой Пика: F=K+

G −1 2

Это разные формулы, хотя и очень похожие по своей сути. Для вычисления площади по формуле Пика многоугольник должен располагаться на целочисленной решётке таким образом, чтобы его вершины находились обязательно в узлах данной решётки. Формула же (П3.2) позволяет находить площадь в тех случаях, когда вершины многоугольника расположены точно в междоузлиях данной решётки (Рис П3.1). Для решётки с квадратной ячейкой точкой междоузлия будет точка пересечения диагоналей ячейки.

Пример: F = 7+

Рис. П3.1

143

3 = 8,5 2

Франц Герман

Franz Hermann

Формулу (П3.1) сами физики называют абсурдной, т.к. она связывает, казалось бы, совершенно различные величины. Но она всегда даёт правильный результат для мезонов, барионов и кварков. С точки зрения физики формула (П3.2), на первый взгляд, также абсурдна, т.к. в правой её части стоят нульмерные величины (точки), а в левой части – двумерная величина (площадь). Чтобы осуществить задуманное моделирование, необходимо привести величины I и Y в соответствие с величинами K и G. По своей сути точки K не отличаются от точек G . Чтобы построить соответствие с I и Y, предположим, что каждая точка (K или G) является носителем некоторого заряда. Причём заряды могут быть как положительные, так и отрицательные. Для мезонов и барионов величина Y - всегда целое число, в то время как I может быть дробным. Здесь мы вводим для величин I и Y общее 1 . масштабирование, приняв за наименьшее абсолютное значение величину 2 Напомним, что это только математическая модель. Расшифруем это положение более подробно. Если элементарная частица имеет проекцию изоспина равную, 1, то мы 1 1 представляем это в нашей модели как + . Если I = 0, то для нашей модели это 2 2 1 1 выглядит как − (примем как аксиому). 2 2 Немного по-другому обстоит дело с гиперзарядом. Как известно, Y = B + S, где B - барионный заряд, S - странность. В нашей модели мы масштабируем (квантуем) каждую из этих величин в отдельности. Т.е. , если B = 1, S = 0, то мы представляем это 1 1 1 1 как + и − . 2 2 2 2 Позволим себе небольшое отступление и немного пофантазируем. Предположим, что на более низком уровне барионный заряд и странность являются по сути чем-то одним (каким-то зарядом) и только под воздействием каких-то сил объединяются или уничтожаются на более высоком уровне, где мы и начинаем их различать как барионный заряд и странность. В пользу такого предположения можно привести тот факт, что барионный заряд и странность никогда не бывают одного знака. Итак, значение проекции изоспина I мы поставили в соответствие внутренним точкам нашего моделируемого многоугольника, а значение гиперзаряда Y - точкам многоугольника, расположенным на его границе (на сторонах). Теперь нам каким-то образом надо построить целочисленную решётку, «оживив» её таким образом, чтобы точки решётки стали носителями «зарядов» I и Y. Здесь на помощь нам приходят геометрические образы супермультиплетов, где объединены элементарные частицы, имеющие одинаковый спин и барионный заряд. В этих моделях величина I и величина Y располагаются на ортогональных осях. Представим, что наше моделируемое изопространство содержит взаимно ортогональные плоскости – носители «зарядов» I и Y. Причём знаки «зарядов» чередуются по плоскостям, и плоскости расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (Рис. П3.2).

144

Франц Герман

Franz Hermann

+Y

+I -Y

-I +Y

+I

Рис. П3.2 Рассмотрим плоскость, являющуюся ортогональным сечением данных плоскостей I и Y. На этом сечении мы увидим решётку, образованную проекциями плоскостей ± I и ± Y .

+I -I +I

-Y -I +I

+Y

-Y

+Y

+Y

Рис. П3.3 Но это ещё не та решётка, которая необходима нам для дальнейшего моделирования, т.к. узлы её лежат на пересечении прямых I и Y, и такому узлу можно приписать как «заряд» I, так и «заряд» Y. Необходимую нам решётку мы расположим под углом 45° к решётке, показанной на Рис. П3.3.

+Y +I -Y Pис. П3.4 145

-I

Франц Герман

Franz Hermann

Основная решётка, необходимая нам для моделирования, показана сплошными линиями, а решётка «зарядов» (силовых линий) – пунктирными. Как видим из Рис. П3.4, каждый узел основной решётки теперь является носителем определённого заряда.

2. Моделирование характеристик элементарных частиц Теперь мы можем приступить к построению геометрических моделей характеристик некоторых элементарных частиц. Построим модель нейтрона. 1 n : I = − ; Y = B + S = 1 + 0; 2

В нашей модели величины I и Y будут выглядеть таким образом: 1 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ I = − ; Y = ⎜ + + ⎟ + ⎜ + − ⎟. 2 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠

Т.о. нейтрон, представленный в виде многоугольника, будет иметь одну 1 внутреннюю точку с зарядом − и четыре точки на сторонах многоугольника: три 2 1 1 точки с зарядом + и одну точку с зарядом − . Условимся считать, что каждый узел 2 2 1 1 решётки несёт заряд либо + либо − и, в зависимости от того, какой проекции 2 2 плоскости он принадлежит, это будет заряд либо I, либо Y. Очевидно, что таким образом можно построить несколько различных моделей (Pис. П3.5). Забегая вперёд, скажем, что модели элементарных частиц несколько «стабилизируются» после того, как мы рассмотрим модели кварков и введём общее правило для построения полной модели элементарной частицы и кварков, из которых она состоит. Такую модель условно назовём тенью элементарной частицы на срез моделируемого изопространства.

Рис. П3.5 Модель протона выглядит точно так же, за исключением того, что внутренняя точка в 1 модели многоугольника протона должна носить заряд + . Т.е. модель протона 2 146

Франц Герман

Franz Hermann

сдвинута относительно модели нейтрона на одну силовую плоскость вдоль плоскостей Y. Построим модель ∑ − гиперона ∑ − : I = −1; B = 1; S = −1.

В нашей модели «квантование» характеристик ∑ − гиперона примет такой вид: 1 1 1 1 1 1 I=− − ; B=+ + ; S=− − . 2 2 2 2 2 2

Т.е. многоугольник ∑

−

имеет две внутренние точки и четыре точки на границе.

Рис. П3.6 Очевидно, что получить модель ∑ + гиперона можно сдвигом модели ∑ − гиперона вдоль плоскостей Y на один силовой уровень (плоскость I ), так чтобы 1 внутренние точки получили заряд + каждая. Также совершенно очевидно, что данная 2 модель не однозначна. Модели двух следующих частиц ∑ 0 гиперона и Λ0 гиперона с точки зрения наших построений совершенно одинаковы, т.к. все характеристики I , B , S у этих частиц одинаковы: I = 0, B = 1, S = −1. Для нашей модели эти характеристики будут иметь такой вид: 1 1 1 1 1 1 I=+ − ; B=+ + ; S=− − . 2 2 2 2 2 2

Рис. П3.7 147

Франц Герман

Franz Hermann

Как видим, модели гиперонов ∑ − и ∑ + отличаются от моделей гиперонов ∑ 0 и Λ0 разворотом на 90°.

В этом семействе барионов рассмотрим модели ещё двух гиперонов Ξ − и Ξ 0 . Они отличаются друг от друга только знаком заряда

I . Для

Ξ−

имеем:

1 Ξ − : I = − ; B = 1; S = −2. Для построения модели имеем такое представление: 2 1 1 1 1 1 1 1 I=− ; B=+ + ; S=− − − − . 2 2 2 2 2 2 2

Будем строить многоугольник, который имеет 6 точек на границе и одну точку внутри.

Рис. П3.8 Очевидно, что переход от модели гиперона Ξ − к модели гиперона

Ξ0

осуществляется сдвигом вдоль плоскостей Y , как и в предыдущих случаях. Рассмотрим ещё одно семейство из 8-ми частиц, называемых мезонами и объединённых также в супермультиплет. Построим модели первых двух мезонов K 0 и K + . Между собой, с нашей точки зрения, они различаются только знаком заряда I . 1 Для K 0 : I = − ; B = 0; S = 1. Для построения модели запишем: 2 1 1 1 1 1 I=− ; B=− + ; S=+ + . 2 2 2 2 2

Рис. П3.9 148

Франц Герман

Franz Hermann

Сдвинув модель K 0 мезона на один силовой уровень вдоль плоскостей Y , получим модель K + мезона. Заметим также, что модели K 0 мезона и нейтрона n пока совершенно неразличимы, а также модели K + мезона и протона p . Но мы помним, что представленные модели не единственны. Рассмотрим модели π − и π + мезонов. Для π − :

I = −1; B = 0; S = 0, т.е.

имеем такое представление для модели: 1 1 1 1 1 1 I=− − ; B=− + ; S=− + . 2 2 2 2 2 2

Рис. П3.10 Модель π + мезона получается из модели π − мезона традиционным сдвигом. Заметим, что модели π − и ∑ − также пока неразличимы. Это можно сказать и о моделях частиц π + и ∑ + . Для мезонов

π0

и η0

значения

I,

B

и

S

одинаковы и равны:

I = 0; B = 0; S = 0, т.е. получаем: 1 1 1 1 1 1 I=+ − ; B=+ − ; S=+ − . 2 2 2 2 2 2

Не прибегая к построению, можно заключить, что модели этих мезонов можно представить так же, как и модели гиперонов ∑ 0 и Λ0 (Рис. П3.7). В этом супермультиплете нам осталось рассмотреть ещё две модели для мезонов 0

K− и K .

1 Для K − имеем: I = − ; B = 0; S = −1. Для нашего моделирования получаем: 2 1 1 1 1 1 I=− ; B=+ − ; S=− − . 2 2 2 2 2

149

Франц Герман

Franz Hermann

Рис. П3.11 0

Переход к модели K мезона осуществляется опять же сдвигом вдоль плоскостей Y . Заметим, что K − является античастицей K + мезона. Чтобы перейти от одной модели к другой в этом случае, необходимо совершить сначала сдвиг вдоль плоскостей Y на один уровень, а затем произвести поворот вокруг внутренней точки многоугольника на 180°. Рассмотрим еще один супермультиплет, состоящий из 10-ти барионов, называемых резонансами. Так же, как и в предыдущих случаях, будем рассматривать пары барионов, различающиеся для нас только знаком заряда I . 3 Первая такая пара барионов ∆− и ∆+ + . Для ∆− имеем: I = − ; B = 1; S = 0. 2 Представление для модели имеет вид: 1 1 1 1 1 1 1 I=− − − ; B=+ + ; S=+ − . 2 2 2 2 2 2 2

Т.е., мы имеем для построения модели три внутренних точки, принадлежащих отрицательным уровням, и четыре точки на границе. Три из них с положительным зарядом и одна с отрицательным. Таких моделей мы ещё не строили. Покажем один из возможных вариантов.

Рис. П3.12 Сдвинув эту модель на один уровень вдоль плоскостей Y , получим модель бариона ∆+ + .

150

Франц Герман

Franz Hermann

Рассмотрим вторую пару этого мультиплета: ∆0 и ∆+ . Для ∆0 : 1 I = − ; B = 1; S = 0. 2

Сразу можем сказать, что модель этого бариона внешне выглядит так же,как и модель нейтрона (рис. П3.5). А модель бариона ∆+ внешне совпадает с моделью протона. Следующая пара барионов Y *− и Y *+ имеет такие характеристики: для Y *− : I = −1; B = 1; S = −1 , для Y *+ : I = +1; B = 1; S = −1. Очевидно, что модели их будут идентичны моделям соответственно гиперонов ∑ и ∑ + . Это же можно сказать и о моделях барионов Y *0 , Ξ *− и Ξ *0 . Их модели будут −

одинаковы с моделями гиперонов ∑ 0 , Ξ − и Ξ 0 соответственно. Осталось рассмотреть последний десятый барион этого супермультиплета – гиперон Ω − . Для него имеем:

I = 0; B = 1; S = −3. Получаем такие модельные характеристики:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I =+ − ; B=+ + ; S=− − − − − − . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Одна из возможных моделей для этого гиперона будет иметь такой вид:

Рис. П3.13

3. Моделирование характеристик кварков

151

Франц Герман

Franz Hermann

Теперь приступим к моделированию кварков. Заметим сразу, что барионный 1 заряд кварков – дробное число и принимает значения ± . Значения проекций 3 изотопического спина остаются в прежних пределах, т.е. наименьшая абсолютная 1 величина I равна . Общемасштабным наименьшим значением в данном случае 2 1 является число . Именно до этой величины мы и будем «квантовать» характеристики 6 кварков I , B и S . Рассмотрим пару кварков d и U , отличающихся знаком проекции изоспина. Для кварка d имеем такие значения характеристик: 1 1 I = − ; B = ; S = 0. 2 3

Или в представлениях новой масштабной величины получаем:

1 1 1 1 1 1 1 I =− − − ; B=+ + ; S=+ − . 6 6 6 6 6 6 6 Построим одну из возможных моделей кварка d , где будем иметь три внутренние точки и четыре точки на границе моделируемого многоугольника.

Рис. П3.14 Заметим, что модель кварка d подобна модели бариона ∆− . Но мы не должны забывать, что масштаб решётки кварков в три раза меньше масштаба 1 элементарных частиц, т.к. в первом случае масштабное число , а во втором 6 Сдвинув вдоль плоскостей Y модель кварка d на один силовой получим модель кварка U . Рассмотрим кварк 1 s : I = 0; B = ; S = −1 . 3

В модельно-масштабных величинах имеем: 152

решётки 1 . 2 уровень,

Франц Герман

Franz Hermann

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I =+ − ; B=+ + ; S=− − − − − − . 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Можем построить такую модель.

Рис. П3.15 Заметим, что модель кварка s подобна модели гиперона Ω − . Рассмотрим модели оставшихся трёх антикварков. Начнём с рассмотрения модели антикварка s

1 : I = 0; B = − ; S = 1 . 3

В величинах для моделирования это выглядит так:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I =+ − ; B=− − ; S=+ + + + + + . 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Т.к. модели кварка s и антикварка s имеют по две разнозарядные внутренние точки, то, повернув модель s кварка на 180° вокруг одной из его внутренних точек, мы получим модель антикварка s . Рассмотрим антикварк d

1 1 : I = ; B = − ; S = 0. 2 3

Для моделирования получаем:

1 1 1 1 1 1 1 I =+ + + ; B=− − ; S=+ − . 6 6 6 6 6 6 6 Т.о., чтобы перейти от модели кварка d к модели антикварка d , необходимо выполнить композицию преобразований: поворот на 180° вокруг внутренней точки и 153

Франц Герман

Franz Hermann

сдвиг вдоль плоскостей Y на один силовой уровень. Аналогично осуществляются взаимные переходы от модели к модели для кварка U и атикварка U .

4. Построение общей модели Теперь переходим к самой интересной части нашего моделирования, а именно, к объединению двух моделей: элементарных частиц и кварков в единое целое. Самое главное здесь – это то, что наши целочисленные решётки со своими силовыми линиями «безболезненно» накладываются друг на друга. Другими словами, уменьшив масштаб решётки, на которой моделировались элементарные частицы, втрое, мы получим решётку для моделирования кварков. Из теории элеменнтарных частиц известно, что свободных кварков не существует (по крайней мере их никто ещё не обнаружил). Поэтому мы ставим для нашего моделирования задачу построить модель элементарной частицы таким образом, чтобы на её площади можно было разместить соответствующие для этой частицы модели кварков. Причём таким образом, чтобы модели кварков друг друга не перекрывали и не высовывались за границы моделей элементарных частиц. Однако, мы допускаем, что касание моделей кварков сторонами или вершинами возможно. Во всяком случае, это не нарушает самих моделей кварков. На первый взгляд кажется, что задача очень проста, но мы убедимся сейчас, что это далеко не так. Чтобы не возникало противоречия с удвоением всех характеристик Q , I ,Y элементарной частицы при объединении двух моделей (эл. частицы и кварков), будем считать, что первый этап нашего моделирования определяет лишь подходящую форму (контур) элементарной частицы, а все зарядные характеристики, т.е. Q , I ,Y вносят в модель данной частицы её кварки. Начнём с самых простых моделей Ω − гиперона и ∆− бариона, т.к. модели этих частиц и модели кварков, их «населяющих», подобны. Для Ω − можно построить такую модель (помним, что Ω − состоит из трёх кварков s .

Рис. П3.16 154

Франц Герман

Franz Hermann

Как видим из Рис. П3.16, такая модель возможна. Здесь не нарушен ни один силовой уровень. Кроме этого надо заметить, что это не единственная модель гиперона с его кварками. Не нарушая хромодинамики, мы раскрасим наши кварки в соответствующие цвета. Красными точками показаны узлы решётки, соответствущие модели, представленной на Рис. П3.13, а чёрные соответствуют модели кварка – Рис. П3.15. Если красные точки совпадают с чёрными, то мы оставляем их в красном цвете. Напомним, что величины зарядовых характеристик элементарной частицы определяются суммой соответствующих характеристик её кварков. Не вызывает затруднений и построение модели ∆− бариона, который состоит из трёх кварков d .

Рис. П3.17 Заметим, что это не единственное построение модели бариона ∆− . Можно изменить внешнюю модель элементарной частицы и соответственно настраивать под неё модели входящих в неё кварков. Сдвигая данную модель вдоль плоскостей Y на один силовой уровень, получаем модель бариона ∆+ + , который содержет три кварка U . Далее будем рассматривать модели элементарных частиц, идя в обратном порядке к началу нашего исследования. На Рис. П3.11 была представлена модель K − мезона. Этот мезон состоит из кварка s и антикварка U .

Рис. П3.18

155

Франц Герман

Franz Hermann

В соответствии с правилами хромодинамики, цвет частицы должен быть нейтральным, поэтому, если у нас кварк s имеет жёлтый цвет, то антикварк U должен иметь цвет фиолетовый. Мы думаем, что построение моделей мезонов K + , а также K 0 и K

0

не

вызывает затруднений. Рассмотрим модель π − мезона (Рис. П3.10). Он состоит из кварка d и антикварка U .

Рис. П3.19 В данной модели кварк d имеет синий цвет, следовательно антикварк U должен иметь цвет оранжевый. Согласно теории хромодинамики, каждый из кварков может принимать три различных цвета: синий, красный, жёлтый. Тогда антикварки будут иметь цвета: оранжевый, зелёный, фиолетовый соответственно. Мы не должны также забывать, что на рис. 19 показана всего лишь одна из возможных моделей. Аналогично строится и модель π + мезона. Рассмотрим модель π 0 мезона. Мы говорили,что внешняя его модель (оболочка) схожа с моделью ∑ 0 гиперона (Рис. П3.7). π 0 мезон может состоять из любого кварка и антикварка, точно также, как и мезон η 0 . Покажем модель π 0 мезона, состоящего из d и d кварков.

Рис. П3.20 Не трудно будет построить и модель η 0 мезона, состоящего из s и s кварков. Модели могут различаться и внешним видом, и внутренним расположением кварков, а также и внешним видом моделей самих кварков. 156

Франц Герман

Franz Hermann

Рассмотрим модель Ξ − гиперона (Рис. П3.8). Этот гиперон состоит из двух кварков s и одного кварка d . Здесь кварки s имеют синий и красный цвета, а кварк d жёлтый.

Рис. П3.21 Ранее мы упоминали, что внешне модель Ξ − гиперона схожа с моделью частицы Ξ *− бариона, относящегося к группе резонансов. Такой барион состоит также из двух

s кварков и одного кварка d . Покажем возможную его модель, отличную от модели, показанной на Рис. П3.21.

Рис. П3.22 Аналогично строятся модели частиц Ξ 0 и Ξ *0 . А можно эти модели получить, используя сдвиг соответствующих моделей частиц Ξ − и Ξ *− . Теперь рассмотрим модели частиц ∑ 0 и Λ0 гиперонов. Внешний вид модели представлен на Рис. П3.7. Несмотря на то, что это разные частицы, состоят они каждая из трёх одинаковых кварков: d , U и s . Покажем возможные модели этих частиц, а также частицы резонанса Y *0 .

157

Франц Герман

Franz Hermann

Рис. П3.23 На Рис. П3.23 кварк d показан красным цветом, кварк U - синим, а кварк s жёлтым. Заметим такую особенность нашего моделирования. Если модели частиц двигать вдоль плоскостей Y , то кварки d и U будут всё время меняться местами, в то время как кварк s будет оставаться стабильным. Рассмотрим очередную частицу ∑ − гиперон. Она состоит из двух кварков d и одного кварка s . Внешняя часть модели ∑ − гиперона показана на Рис. П3.6. Сразу скажем, что в модель, показанную на Рис. П3.6, эти три кварка упаковать нам не удалось, поэтому мы изменили «оболочку» модели. Также покажем одну из возможных моделей и бариона Y *− .

Рис. П3.24 На данных моделях кварк s - жёлтый, а кварки d - синий и красный. Очевидно, что смещаясь вдоль плоскостей Y на один уровень, мы получим модели гиперонов ∑ + и Y *+ . Можно построить, например, модель гиперона ∑ − , где кварки d совершенно не имеют точек касания.

158

Франц Герман

Franz Hermann

Рис. П3.25 Теперь приступим к последней части нашего исследования – моделированию нейтрона и протона. Как известно, нейтрон состоит из трёх кварков: два d кварка и один U кварк. Соответственно, протон имеет два U кварка и один d . Заметим, что поиск модели нейтрона доставил нам немало хлопот, но в конечном итоге такая модель была построена. В ту «оболочку» нейтрона, что показана на Рис. П3.5 «упаковать» данные три кварка просто невозможно. Нам удалось построить модель нейтрона и модели кварков, удовлетворяющие всем необходимым условиям.

Рис. П3.26 В модели нейтрона кварк U показан синим, а кварки d - красным и жёлтым. Традиционным сдвигом получаем модель протона. Как видим из Рис. П3.26, кварк U как бы зажат между кварками d . В модели протона, естественно, будет обратная картина. Мы помним, что среди частиц резонансов существует ∆0 барион, который по всем модельным характеристикам совпадает с нейтроном. Поэтому нам необходимо построить модель, отличную от той, которая показана на Рис. П3.26, но отвечающую всем необходимым требованиям нашего моделирования и теории. Барион ∆0 состоит также из двух кварков d и одного кварка U . Такая модель существует.

159

Франц Герман

Franz Hermann

Рис. П3.27 Здесь кварки d имеют жёлтый и красный цвет, а кварк U - синий. Можно пофантазировать и предположить, что одинаковые кварки, как и одноимённые электрические заряды, отталкиваются, например, кварки d и d (или U и U ), а разноимённые – притягиваются. Тогда модель нейтрона будет устойчивее модели ∆0 бариона. А если предположить, что связка U - d - U крепче чем d - U - d связка, то протон окажется более жизнестойким, чем нейтрон. Кварк s можно считать нейтральным по отношению к другим кваркам и себе подобным. И в заключение нашей работы мы решили ввести некую модельную характеристику элементарных частиц. Мы назвали её плотностью элементарной частицы. Вычисляется такая плотность по следующей формуле: Jt =

где

∑S

k

∑S

k

St

(П3.3)

,

- суммарная площадь моделей кварков, входящих в данную модель

элементарной частицы, а S t - площадь модели самой частицы. Для вычисления плотности J t , теперь уже на самых законных математических основаниях, будем использовать формулу (П3.2). Определим площади моделей кварков. S d = SU = 3 +

4 = 5; 2

Ss = 2 +

8 =6. 2

Очевидно, что площадь модели антикварка равна площади модели соответствующего кварка. Вычислим плотности построенных моделей элементарных частиц.

J Ω− =

3Ss 3⋅6 = 0,333... = 8⎞ SΩ− ⎛ 9⎜ 2 + ⎟ 2⎠ ⎝

160

Франц Герман

Franz Hermann

Появление коэффициента 9 при вычислении площади S Ω − объясняется тем, что решётка для моделирования элементарных частиц в три раза крупнее решётки для моделирования кварков. 4⎞ ⎛ S ∆− = 9⎜ 3 + ⎟ = 45 ; 2⎠ ⎝

J ∆− =

4⎞ ⎛ S K − = 9⎜ 1 + ⎟ = 27 ; 2⎠ ⎝

JK− =

4⎞ ⎛ Sπ − = 9⎜ 2 + ⎟ = 36 ; 2⎠ ⎝

Jπ − =

Sπ 0 = Sη 0 = Sπ − = 36 ;

Jη 0 =

6⎞ ⎛ S Ξ − = 9⎜ 1 + ⎟ = 36 ; 2⎠ ⎝

J Ξ− =

2 S s + Sd = 0,472... 36

4⎞ ⎛ S Λ0 = S Σ 0 = 9⎜ 2 + ⎟ = 36 ; 2⎠ ⎝

J Σ0 =

S s + S d + SU = 0,444... 36

S Σ− = S Σ0 ;

J Σ − = J Σ0 ;

4⎞ ⎛ S n = S ∆0 = 9⎜ 1 + ⎟ = 27 2⎠ ⎝

J n = J ∆0

3 Sd = 0,333... 45 S s + SU

27 S d + SU

36 Ss + Ss

36

= 0,407...

= 0,277...

= 0,333...

2 S d + SU = 0,555... 27

И в качестве последнего замечания отметим, что подобный процесс моделирования, как нам кажется, возможно осуществить при помощи компьютера. Это позволило бы отыскать все возможные «кварковые упаковки» и разновидности моделей элементарных частиц. А может быть, позволило бы и смоделировать реакции взаимных превращений и распадов элементарных частиц.

161

Франц Герман

Franz Hermann

Приложение 4

Числовые коды слов Уравнение «Смерти». 22-го июня 2005 года я проснулся в 7 часов 05 минут. Лежал и думал, над каким Приложением сегодня буду работать. Оставалось доработать шестое Приложение и надо было начинать работу над четвёртым Приложением. Я решил поиграть со словами, а потом уж как судьба повернёт. Откуда-то появилась мысль, может быть я вообще зря затеял эту игру? Непосредственного отношения к моему исследованию это не имеет. Просто игра. Я давно уже играю в эту игру и втянулся. Что-то в этом для меня было. Построить, например формулу «Любви». Подумаешь Калиостро, из одноимённого фильма. Почему бы и мне тоже не построить какую-нибудь формулу, тем более механизм построения числовых формул для слов и целых выражений у меня давно разработан. А что дают эти формулы? Да, ничего! Или всё-таки, что-то есть. Может быть это своего рода некоторое исскуство? Ведь математика сродни и музыке, и поэзии. Тем более, что в построении таких формул может принять участие каждый. Не нравится кому-то моя формула «Любви», строй собственную. Если числовой код имени и фамилии имеет немаловажное значение (по крайней мере для меня), то почему бы не предположить, что и числовые значения слов и выражений тоже имеют отношения к нашей жизни. Ведь где-то сказано: «сначала было слово». Если Слово Божье могло творить и созидать, то почему бы не предположить, что и наше слово может кое-что, если не многое. У меня, например, есть знакомая, которая управляет ветром, произнося волшебное слово «айлахумба» с ударением на «у» и представляя, что в это время из твоей макушки раскручивается в небо сиреневая воронка. При этом надо думать, что ветер перестанет дуть тебе в лицо. Что-то напоминает шаманское. Честно скажу, что у меня ничего не получалось. Но я как-то с самого начала не очень верил, что у меня получится. Может быть кому-то будет легче творить словом, если оно будет облечено в вид математической формулы. Ведь сам вид математических формул предполагает, что за этим что-то кроется, какое-то действие. Фомула гипнотезирует. Так я лежал и думал. Потом решил, что оттягивать не надо и прямо сейчас пойду и выведу формулу и уравнение «Смерти». Почему именно «Смерти» - не знаю, как-то вдруг пришло в голову. Встал, натянул спортивные штаны и даже не умываясь отправился в кабинет. Сел в кресло у письменного стола, взял чистый лист бумаги, написал вверху «Смерть» ≡ C (сам не знаю, почему я выбрал именно такое обозначение) и посчитал числовой код слова «смерть». Оказалось - простое число 107 (с+м+е+р+т+ь = 19+14+6+18+20+30 = 107). Простое число всегда осложняет вывод вормул, т. к. простые числа не имеют цепочек производных чисел. Это означало, что придётся использовать цепочки других чисел. Я развернулся и покатился (кресло на колёсиках) к компьютеру, чтобы всегда иметь под рукой Приложение 2, которое очень облегчает построение формул. Я включил компьютер, нашёл нужный текст и снова поехал к письменному столу. Надо отметить одну особенность (старую привычку) в моей работе. Ненужный лист бумаги (черновик) или, прочитанную газету, я бросаю на пол. Потом, через несколько дней я всё это собираю, ещё раз просматриваю – не выбрасил ли что-то нужное – и только потом выбрасываю окончательно. Своего рода «Papierkorb», как в компьютере. Подъезжая к письменному столу, мой взгляд неожиданно упал на брошенную на пол газету. Это был «Дипломатический курьер» № 3 (77) 2005 года. Газета валялась на 162

Франц Герман

Franz Hermann

полу уже несколько дней. Помню, я вырезал из неё статью о полёте Юрия Гагарина и больше в ней, со слов моей жены, ничего интересного не было. Прямо по верху страницы 6 «аршинными» буквами было написано: «В начале было Cлово». Я понимал, что это просто совпадение, но в тот момент, что-то во мне высветилось. Чтото вроде озарения. Как раз словами такое состояние и не передать. И я решил: Приложение 4 будет. К этому времени были уже написаны почти все Приложения. Приложение 6 было почти завершено, но всё то время, что я работал над Приложениями, что-то мешало начать работу над Приложением 4. Нужен был какой-то толчёк и он произошёл. Я вернулся к столу и продолжил начатую работу уже в рамках Приложения 4. Не хотелось начинать со слова «смерть», но я решил ничего не переделывать. В этом даже была некоторая символика. Ведь, как доказал Роберт Монро, СМЕРТИ НЕТ! Умирая в физическом теле, мы переходим в тонкий мир. С этой точки зрения смерть является не концом, а началом. Теперь необходимо определить, что я называю формулой и уравнением. В данном случае, если число C удаётся выразить через его производные и первообразные числа в виде некоторой числовой зависимости F, то записать это можно двумя способами: C =F

(П4.1)

C -F=0

(П4.2)

Выражение (П4.1) я называю формулой, а выражение (П4.2) – уравнением. Нам не нужна формула «смерти». Смерти нет и мы строим её уравнение, чтобы эту «смерть» возвести в ранг нуля. Проще говоря, уничтожить. Для каждого числового значения можно построить бесконечно много как формул, так и уравнений. Каждый может построить свою формулу или своё уравнение. Я покажу, как это сделал я. Сначала я должен познакомить вас с обозначениями для первообразных чисел. Натуральное число n я называю первообразным для числа k, если ∂n = k . Обозначается это так: n = ∫ k , по аналогии с интегралом. У числа k может m

быть несколько первообразных чисел, поэтому каждое из них имеет свой порядковый номер по мере его появления в ряду цепочек производных чисел. Например: 57 = ∫ 23 , 1

p

85 = ∫ 23 . Кроме того я ввёл ещё и такое обозначение: n = ∫ k = ∫ k − ∫ k . Для m

2

p

m

2

предыдущего примера можно записать:

∫ 23 = 28 . Для суммы выражений ∫ k p

1

будем использовать символ замкнутого интеграла, т. е.

∫k+∫k = ∫k. p

f

∫3

m

и

∫k

m

Например,

p ,m

= f , где f = 138. Теперь можно продолжить наши построения.

1, 2

Глядя на цепочки производных (Приложение 2), я подметил: 104⇒106 и 214⇒110⇒106. А 214 это 2 C . Отсюда можем записать:

163

Франц Герман

Franz Hermann

( )

( )⎞⎟⎟ = 0

1⎛ C − ⎜⎜ ∂ 2C + ∫ ∂ 2 2C 2⎝ 2

⎠

(П4.3)

Мы построили одно из уравнений «смерти». Надо помнить, что запись n⇒k это одно и тоже, что запись ∂n = k . Предыдущее уравнение можно было бы записать и таким образом:

C−

( )

1 ∂ 2 2C = 0 ∫ 2 2, 3

(П4.4)

Г. П. Грабовой утверждает, что можно жить вечно в физическом теле, не стариться и не болеть. И такие люди уже есть среди нас. О некоторых из них можно прочитать в книге В. Ю. и Т. С. Тихоплавов [54]. Так давайте не умирать и саму «смерть» мы уже свели к нулю. Верьте в силу слова и всё получится. А коллективное сознание может и впрямь такое уравнение сделать действенным. Коль речь зашла о вечной жизни, то можем построить и формулу «Вечной жизни». Итак, «Вечная жизнь» ≡ ВЖ = 155. Поступая примерно таким же образом, как и в предыдущем случае находим:

ВЖ = 2∂ (ВЖ ) + ∫ ∂ (2∂ (ВЖ ))

(П4.5)

2

Вы можете строить формулы и уравнения «вплетая» в них числовые коды ваших имён. Например, числовой код моего имени совпадает с первым суперчислом f = 138. Можно построить такую формулу: ВЖ = 2∂ (ВЖ ) + f − ∫ 1

f 6

(П4.6)

Формулы и уравнения, где используются числовые коды ваших имён, я называю специальными (или персональными), а все остальные – универсальными. Т. о. формула (П4.6) является специальной формулой. Если кому-то не нравятся эти уравнения и формулы, то может построить собственные. Можно даже организовать соревнования и турниры и посостязаться, чьё уравнение или чья формула выглядит более красиво, более симметрично или более эстетично. Напоминаю, что построить подобные уравнения и формулы можно множеством способов, всё зависит от вашего вкуса.

Зубная боль и презумпция невиновности Конечно же все знают, что такое презумпция невиновности. Для меня же это понятие распространяется практически на все человеческие взаимоотношения. Видимо, в силу моего доверчивого характера, я считаю всех людей исключительно правдивыми, а уличённый во лжи сам разрушает презумпцию невиновности и восстановить прежний статус такому человеку в моих глазах будет уже очень трудно. Презумпцию невиновности я распространяю и на отношения человека к собственной профессии. Если ты учитель, то должен любить детей и искренне стремиться передать им максимум своих знаний и привить максимум необходимых навыков. Если ты врачь, то 164

Франц Герман

Franz Hermann

должен любить своих пациентов и приложить максимум усилий, чтобы сделать их здоровыми. В общем прописные истины. По наследству от отца мне достались отличные зубы. Имеется в виду, конечно же, генетическое наследие. Он прожил 74 года и ни разу не обратился к зубному врачу и не потерял ни одного зуба. А детство было у него очень тяжёлое. Вернее сказать детства-то и не было. Оказаться 11-летним мальчишкой в Сибири, без родителей и знания русского языка – это очень не просто. Но несмотря ни на что с зубами проблем не было. У меня не хватает одного зуба. В его корнях почему-то образовалась киста и зуб пришлось удалить вместе с кистой. А все остальные были целёхоньки. Но однажды один зубной врач уговорил меня пройти профилактический осмотр. Это случилось уже в Германии. Врач был молодой, симпатичный и женского пола. И я решил, что профилактика не помешает. Рентгеновский снимок показал (об этом мне сказал врач), что в нескольких зубах есть какие-то внутренние трещинки. Чтобы избавиться от этих трещин надо сделать в зубе дырку, чтобы через неё добраться до этих трещин, а потом уже всё запломбировать. Таким образом появилось у меня три пломбы, которые в ближайшие пол-года вывалились. Презумпция невиновности врача была нарушена и я на новые испытания не пошёл. Один из зубов начал разрушаться быстрее остальных и в конце концов, что-то там окончательно развалилось и на меня обрушилась страшная зубная боль. Где-то я слышал, что зубную боль сравнивают с почечной коликой, когда камень отделяется от почки и медленно ползёт в сторону мочевого пузыря, царапая при этом мочеточник. Мне довелось испытать и эту боль. Могу заверить, обе эти боли стоят друг друга. Просто хочется лезть на стену. Я пробовал держать во рту дым от сигарет (к тому времени курить я уже бросил). Пробовал глушить боль алкоголем. Ничего не помогало. В аптеке я купил таблетки от зубной боли. Это оказались очень хорошие таблетки. Через пять минут боль исчезала напроч и отсутствовала 10 часов. Потом действие таблетки кончалось и боль мгновенно включалась. Не постепенно, а именно мгновенно. Я жил на таблетках дней десять. Потом опять встал перед выбором или снова сдаваться на растерзание врачам, или вновь покупать таблетки. Я понимал, что вечно так продолжаться не может и надо принимать какое-то радикальное решение. И тут я вспомнил об экстрасенсе Грабовом. У меня в Берлине есть друг, известный оперный певец, бас-баритон Сергей Мастюгин (в прошлом солист Новосибирской оперы). Всё было нормально, но однажды пришла беда. У него случился рак мочевого пузыря. И одновременно с этим (или как следствие этого) ещё и острый гастрит. Ему сделали операцию, но врачи никакой гарантии не дали, что рак уничтожен. Образ жизни у моего друга изменился полностью. Он впал в тяжелейшую дипрессию. Забросил пение, музыку, философию и литературу (по первому образованию он филолог). Стал читать книги только о раке. Я не знал как помочь другу. Однажды по телефону я рассказал ему о Грабовом. Нашёл в его книге числовые коды рака мочевого пузыря и гастрита и рассказал, как надо медитироавть (концентрироваться) на числах. Прошёл примерно месяц, раздаётся телефонный звонок и я слышу радостный голос моего друга. Он прошёл обследование и ни рака, ни гастрита у него не обнаружили. Прошла дипрессия и человек снова вернулся к творческой жизни. Я не хочу навязывать вам своё мнение. Я просто констатирую факты. То ли помогли врачи, то ли помогли числовые коды Грабового, то ли он сам помог себе. А, может быть, все вместе. Итак, я вспомнил о Г. П. Грабовом. В книге действительно оказалась цепочка цифр под заголовком «острая зубная боль». Я начал медитировать с цифрами. Хватило меня не на долго. Боль мешала сосредоточиться. Наконец я не выдержал и пошёл в аптеку. Я не хочу, чтобы вы восприняли этот случай, как камень в «огород» Г. П. 165

Франц Герман

Franz Hermann

Грабового. Просто боль не дала мне возможности нормально концентрироваться на цифрах. Ещё одну неделю я провёл на таблетках. Боль по прежнему продолжала резко включаться. Болело левое ухо, болел левый глаз, болела вся левая половина головы. Помните у Булгакова: «... ужасная болезнь гемикрания, при которой болит полголовы. От неё нет средств, нет никакого спасения.». Я понимал, как было худо Понтию Пилату. И тут сквозь боль появилась идея: надо построить уравнение «зубной боли»! Я сел за стол и довольно быстро построил четыре уравнения. Три универсальных, одно специальное. Вот они:

⎞ 1⎛ z − ⎜⎜ ∂z + 3 ∫ ∂z ⎟⎟ = 0 , 2⎝ 1 ⎠

(П4.7)

z + ∂ 3 z + 2∂ 4 z − ∫ z = 0 ,

(П4.8)

1

(

)

(П4.9)

= 0,

(П4.10)

∂ ∂z + ∂ 3 z − 2∂ 3 z = 0 , z−

f

∫6

1, 2

здесь z – «зубная боль» = 142. Далее я решил, что аккуратненько перепишу эти уравнения на отдельный маленький листочек, наклею его на какую-нибудь ненужную старую чип-карточку и буду носить с собой. И тут я заметил, что никакой зубной боли нет и в помине. Зуб остался, дырка в нём есть, но он не болит. Хотите верте, хотите – нет. Но есть этому случаю более десятка свидетелей. Зуб не болит и по сей день. Правда я не хочу испытывать судьбу и держу зуб в щадящем режиме. Чтобы на него не действовали резкие перепады температур и не кусаю на этом зубе орехи.

Кому мешает дождь? К дождю можно относиться по разному. Кто-то любит дождь, кто-то не любит, а кто-то просто равнодушен к дождю. Я очень люблю дождь и, особенно, грозы. Детство и юность, да и в зрелые годы почти всё лето я проводил в лесу, там где начинается тайга, на восточном берегу красивейшей (это не только моё, но и мнение международного опроса журналистов) в мире реки Енисей. Лето в Сибири, как правило, жаркое, И когда случались дожди и грозы, и если я в это время находился в лесу, то обязательно раздевался до трусов (а иногда и до нага) и шёл под дождь. Вода упругая и прохладная. Под ногами лужи с огромными пузырями. А в верху всё грохочет и полыхает. Потом всё резко кончается и каждая клеточка твоего тела чувствует пьянящую свежесть озонового воздуха. У меня сидячая работа за столом или за компьютером и я стараюсь использовать всякий возможный случай, чтобы выйти из здания и прогуляться 15-20 минут по лесу. Наша фирма находится на окраине леса и там есть уже несколько моих тропинок. Но случается дождь, а в зимний период на юге Саксонии это не редкость. Я люблю и не боюсь дождя, но промокнуть среди рабочего дня, как-то не с руки. И тогда я построил уравнения «дождя» ≡ D = 64. 166

Франц Герман

Franz Hermann

D − ∂D − ∂ 3 D = 0 ,

(П4.11)

2

∫ D − ∫ (∂D − ∂ D ) = 0 ,

(П4.12)

D⎞ ⎛ D − ∂⎜ f − ⎟ = 0 . 4⎠ ⎝

(П4.13)

2

1

1

Я поступил так, как хотел поступить с «зубной болью». Карточку с написанными на ней уравнениями дождя я всегда ношу при себе и, поверьте, дождь ни разу не нарушил моих прогулок. И даже если он начинал накрапывать, то я всегда был уверен, что он тут же прекратится. И так оно и было. Игра игрой, но мне всё больше и больше кажется, что здесь всё не так просто.

Удивительные совпадения Здесь я хочу показать несколько примеров интересных совпадений. Конечно же, существует множество слов, которые имеют одинаковый числовой код. Но, порой, оказывается, что и по смыслу эти слова имеют интересные связи. Мы уже видели такой пример со словами «Любовь» и «Космос». А вот так выглядит формула «Любви». Обозначим «Любовь» ≡ Л = 96.

(

)

Л = ∫ 3 ∂2Л − ∂3Л ,

(П4.14)

1

Л = ∂5Л −

2∂ f , 3

(П4.15)

Л=

∂4 f ∫1 2 ,

(П4.16)

Л=

∂6 f , 10

(П4.17)

Л = 2∂ (2 f ) − ∂ 2 (2 f ) ,

(П4.18)

Одинаковый числовой код, равный 91 имеют слова «Сознание» и «Созидание», поэтому для них можно принять общее обозначение, например, S. А общая формула «Сознания» имеет такой красивый вид:

S + ∂S + ∂ 2 S =

∫ ∫ (∂S + ∂

2

)

S + ∂3S .

(П4.19)

1 1

Аналогично имеем и для слов «Вода» и «Лёд». Здесь числовой код равен 25. Обозначив код этих слов буквой «В», получаем: 167

Франц Герман

Franz Hermann

∂f . (П4.20) ∂B А бывают и такие совпадения. Числовой код слова «Здоровье» ≡ G равен 103. Существует такая формула «Здоровья»: B=

G=

(

)

1 ∂f + ∂ 2 (2G ) . 2

(П4.21)

Числовой код слова «Молодость» ≡ J равен 149 и для него существует своя формула. J=

(

)

1 ∂f + ∂ 2 (2 J ) . 2

(П4.22)

Как это ни удивительно, но формулы (П4.21) и (П4.22) идентичны.

Формулы «Добра» и «Зла» и другие В заключениe покажем формулу «Красоты» ≡ К, и формулы «Добра» ≡ Д и «Зла»

Z. K = ∂K + ∫ 2∂K .

(П4.23)

1

Д = 2∂ Д +

1 Д. 9 ∫1

(П4.24)

Z = 2∂ 2 Z + ∂ 3 Z .

(П4.25)

∂n(Д + Z) = ∂k (Д + Z),

(П4.26)

Кроме того:

при любых n и k больших 2. Не говорит ли формула (П4.26) о том, что сумма «добра» и «зла» всегда есть величина постоянная.

2 Д = 3Z .

(П4.27)

А судя по формуле (П4.27) можно сделать вывод, что «добра» больше чем «зла», по крайней мере, на фоне русского языка. Приглашаю вас поиграть в эту игру. Может быть она поможет вам понять красоту, гармонию и, возможно, силу числовых формул, за которыми сокрыты наши слова. «В начале было Слово».

168

Франц Герман

Franz Hermann

Приложение 5

Циклический изоморфизм подгрупп Общая теория В данной работе рассматривается свойство изоморфных подгрупп некоторой абстрактной группы G, которое мы называем циклическим изоморфизмом. А также приводится пример матричного представления такого циклического изоморфизма.

Определение: Если для k изоморфных подгрупп A1 , A2 , ..., Ak некоторой группы G существуют преобразования: a1 A2 a1−1 = A3 , a 2 A3 a 2−1 = A4 , ..., a k −1 Ak a k−−11 = A1 , a k A1 a k−1 = A2 , где a i - изоморфные элементы соответствующих подгрупп преобразование будем называть циклическим изоморфизмом.

Ai ,

то

такое

Приступим к поискам циклического изоморфизма среди подгрупп 2-го порядка. Таблица Кэли для таких групп имеет вид (Рис. П5.1).

a0

a1

a0

a0

a1

a1

a1

a0

Рис. П5.1 Предположем, что мы имеем три подгруппы второго порядка (группы второго порядка всегда изоморфны), обладающие свойством циклического изоморфизма.: A:{ e, a }, B:{ e, b }, C:{ e, c }, , где e - нейтральный элемент. Каждый элемент в такой группе является обратным самому себе, поэтому можем записать:

aCa = B, cBc = A, bAb = C .

(П5.1)

Циклический изоморфизм удобно изображать в виде диагрвммы (Рис. П5.2).

A c B

b a

C

Рис. П5.2 Из равенств (П5.1) легко получить обратные проебразования: 169

Франц Герман

Franz Hermann

aBa = C, cAc = B, bCb = A.

A c

b

B

C

a Рис. П5.3

Очевидно, что обе диаграммы можно объединить.

A c

b

B

C

a Рис. П5.4

Как видим, простейший циклический изоморфизм симметричен или, вернее сказать, по своему коммутативен, т. е. aBa = bAb, cAc = aCa, bCb = cBc. Из равенств рассмотренного циклического изоморфизма можно получить два таких выражения:

ab = bc = ca = d, ba = cb = ac = f. Не трудно заметить, что элементы e, a, b, c, d, f образуют некоммутативную группу шестого порядка, изоморфную группе подстановок 3-го порядка. Таблица Кэли такой группы показана на Рис. П5.5.

e

a

b

c

d

f

e

e

a

b

c

d

f

a

a

e

d

f

b

c

b

b

f

e

d

c

a

c

c

d

f

e

a

b

d

d

c

a

b

f

e

f

f

b

c

a

e

d

Рис. П5.5 Для симметрической группы подстановок третьего порядка будем иметь такие соответствия: 170

Франц Герман

Franz Hermann

⎛12 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛12 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎟⎟ , a = ⎜⎜ ⎟⎟ , b = ⎜⎜ ⎟⎟ , c = ⎜⎜ ⎟⎟ , d = ⎜⎜ ⎟⎟ , f = ⎜⎜ ⎟⎟ . e = ⎜⎜ ⎝12 3⎠ ⎝ 2 1 3⎠ ⎝13 2⎠ ⎝ 3 21⎠ ⎝ 3 1 2⎠ ⎝ 2 31⎠ Всякая группа, изоморфная группе подстановок 3-го порядка имеет три подгруппы, обладающие элементарным циклическим изоморфизмом. Данный изоморфизм мы назвали элементарным, т. к. он построен для подгрупп минимального порядка. Перейдём к рассмотрению циклического изоморфизма для групп 3-го порядка. Таблица Кэли для таких групп имеет вид:

a0

a1

a2

a0

a0

a1

a2

a1

a1

a2

a0

a2

a2

a0

a1

Рис. П5.6 Пусть имеем три изоморфных подгруппы с элементами a i , bi , c i и нейтральным элементом е, для которых справедлив циклический изоморфизм. Зная тавлицу Кэли и определение циклического изоморфизма, можем записать: a 1 Ba 2 = C или a1 bi a 2 = c i , а отсюда получаем:

a 2 bi a 1 = a 1 c i a 2 .

(П5.2)

Из равенства (П5.2) замечаем, что т. к. в левой и правой части сопряжённые элементы принадлежат одной и той же группе, а bi и c i - элементы других разных групп, то на основании определения циклического изоморфизма заключаем, что для существования циклического изоморфизма для подгрупп 3-го порядка необходимо, как минимум, четырёх изоморфных подгрупп. Ниже мы вернёмся ещё к циклическому изоморфизму для подгрупп 3-го порядка. Для циклического изоморфизма справедлива следующая

Теорема: Если среди подгрупп некоторой конечной группы G существуют хотя бы две изоморфные взаимнопростые подгруппы А и В, и существует хотя бы один элемент a i , некоммутативный с подгруппой В (т. е. a i B ≠ Ba i ), то между подгрупп этого порядка существует циклический изоморфизм. Доказательство: Пусть некоторая группа G имеет две изомофные подгруппы А и В, и существует элемент a i ∈ A , такой, что a i B ≠ Ba i . Здесь под некоммутативностью элемента a i и подгруппы В имеется в виду, что a i B и Ba i образуют разные подгруппы в группе G. 171

Франц Герман

Franz Hermann

Очевидно, что элементы a i Ba i−1 также образуют подгруппу, причём в силу неравенства a i B ≠ Ba i - это будет подгруппа, отличная от подгрупп А и В, но изоморфная им. Обозначим её C = a i Ba i−1 . Рассмотрим элементы bi Cbi−1 , где bi - элемент соответственно изоморфный элементу a i . В силу изоморфизма подгрупп А, В и С, элементы bi Cbi−1 вновь образуют подгруппу, изоморфную данным. Т. к. группа G конечная, то она имеет конечное число подгрупп. Продолжая наши построения подобным образом, мы в конце концов получим элементы уже существующей подгруппы. Т. е. получаем, согласно определения, циклический изоморфизм прдгрупп А, В, С, .... Что и требовалось доказать. Циклический изоморфизм может быть довольно сложным. Мы убедимся в этом уже при рассмотрении подгрупп группы подстановок 4-го порядка. Среди подгрупп данной группы можно выделить три изоморфных подгруппы четвёртого порядка А, В, С. Причём существует элемент a i такой, что a i B ≠ Ba i . Следовательно, в силу вышеизложенной теоремы, данные подгруппы связаны циклическим изоморфизмом. В этом не трудно убедиться.

⎧ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛ 1 2 34⎞ ⎛ 1 2 3 4 ⎞⎫ ⎟⎟, a 2 = ⎜⎜ ⎟⎟, a 3 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ , A : ⎨e , a1 = ⎜⎜ ⎝ 2 3 41⎠ ⎝ 4 1 2 3⎠ ⎝ 3 4 1 2 ⎠⎭ ⎩ ⎧ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛ 1 2 34⎞ ⎛ 1 2 3 4 ⎞⎫ ⎟⎟, b2 = ⎜⎜ ⎟⎟, b3 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ , B : ⎨e , b1 = ⎜⎜ 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎩ ⎧ ⎛12 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4 ⎞⎫ ⎟⎟, c 2 = ⎜⎜ ⎟⎟, c 3 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ , здесь e = ⎜⎜ ⎟⎟ . C : ⎨e , c 1 = ⎜⎜ 3 4 2 1 4 3 1 2 2 1 4 3 1 2 3 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ Таблица Кэли для таких групп имеет вид:

a0

a1

a2

a3

a0

a0

a1

a2

a3

a1

a1

a3

a0

a2

a2

a2

a0

a3

a1

a3

a3

a2

a1

a0

Рис. П5.7 Элементом, отвечающим требованиям теоремы о циклическом изоморфизме, является элемент a 1 и, сответственно, - a 2 , т. к. a 2 = a1−1 . Получаем такой циклический изоморфизм:

a1 Ba 1−1 = C , b1 Cb1−1 = A , c1 Ac1−1 = B . 172

(П5.3)

Франц Герман

Franz Hermann

A c1

B

b1 a1

C

Рис. П5.8 Из равенств (П5.3) легко получить обратные преобразования циклического изоморфизма.

a 2 Ca 2−1 = B , c 2 Bc 2−1 = A , b2 Ab2−1 = C .

A c2

B

b2

a2 Рис. П5.9

C

Элемент a 3 не отвечает условиям нашей теоремы, поэтому для построения циклического изоморфизма не годится. Кроме данных подгрупп этой группы существует ещё четыре подгруппы третьего порядка, отвечающие условиям нашей теоремы. Таблицу Кэли для таких групп мы показали на Рис. П5.6. Ранее мы говорили, что для существования циклического изоморфизма среди подгрупп 3-го порядка необходимо как раз не менее четырёх изоморфных подгрупп. Введём соответствующие обозначения и покажем диаграммы циклического изоморфизма для этих подгрупп.

⎧ ⎧ ⎛12 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4 ⎞⎫ ⎛ 1 2 3 4 ⎞⎫ ⎟⎟, a 2 = ⎜⎜ ⎟⎟, b2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ , B : ⎨e , b1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ , A : ⎨e , a1 = ⎜⎜ 1 4 2 3 3 2 4 1 1 3 4 2 4 2 1 3 ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎭ ⎩ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4 ⎞⎫ ⎛ 1 2 3 4 ⎞⎫ ⎟⎟, c 2 = ⎜⎜ ⎟⎟, d 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ , D : ⎨e , d 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ . C : ⎨e , c 1 = ⎜⎜ ⎝ 4 1 3 2⎠ ⎝ 2 3 1 4⎠ ⎝ 2 4 3 1 ⎠⎭ ⎝ 3 1 2 4 ⎠⎭ ⎩ ⎩

A c1

B

A c2

b1 a1

C

B

Рис. П5.10

173

b2 a2

C

Франц Герман

Franz Hermann

B

B

c1

D

c2

d1

D

C

b1

A

d1

c1

d2

a1

D

c2 a2

C

A

D

A

b1

b2

d1

D

C

b2

A

C

d2

a1

D

B

d2

B

a2

Рис. П5.11 В данном случае равенство (П5.2) принимает вид: a 2 Ba 1 = a 1Ca 2 = D .

Среди элементов симметрической группы 4-го порядка осталось ещё 6 элементов, каждый из которых в совокупности с нейтральным элементом образует подгруппу второго порядка. Причём, оставшиеся элементы отвечают требованиям теоремы о циклическом изоморфизме. Следовательно, между оставшихся подгрупп существует циклический изоморфизм. Введём обозначения:

⎛12 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛12 3 4⎞ ⎛12 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎟⎟ , b = ⎜⎜ ⎟⎟ , c = ⎜⎜ ⎟⎟ , d = ⎜⎜ ⎟⎟ , f = ⎜⎜ ⎟⎟ , h = ⎜⎜ ⎟⎟ . a = ⎜⎜ ⎝12 4 3⎠ ⎝ 2 1 3 4⎠ ⎝14 3 2⎠ ⎝13 2 4⎠ ⎝ 4 2 31⎠ ⎝ 3 2 1 4⎠ Подгруппы второго порядка, содержащие данные элементы, обозначим соответственно: A, B, C, D, F и H, тогда

A c D

B h

d a

C D

F c

d b

H B Рис. П5.12 174

A h

b f

C F

f a

H

Франц Герман

Franz Hermann

Как видим из данных примеров, циклический изоморфизм довольно разнообразен. Теперь займёмся построением группы, подгруппы которой образовывали бы циклический изоморфизм, имеющий четырёхугольную диаграмму Рис. П5.13.

d

A

B

c

a

D

C

b

Рис. П5.13 Простейшие равенства циклического изоморфизма будут иметь вид: aBa = C, bCb = D, cDc = A, dAd = B. Перепишем эти равенства, введя обозначения, как принято в опренделении циклического изоморфизма:

a1 A2 a1 = A3 , a 2 A3 a 2 = A4 , a 3 A4 a 3 = A1 , a 4 A1 a 4 = A2 .

(П5.4)

Т. к. мы хотим построить простейшую из возможных групп, то будем считать, что все подгруппы A1 , A2 , A3 и A4 второго порядка. Из равенств (П5.4) получаем дополнительные соотношения: a 3 a 4 = a 2 a1 = a1 a 3 = a 5 , a 4 a 3 = a1 a 2 = a 3 a1 = a 6 , a1 a 4 = a 4 a 2 = a 2 a 3 = a 7 , a 4 a1 = a 2 a 4 = a 3 a 2 = a 8 . И, кроме этого, необходимо ввести ещё один элемент, определяемый равенством: a1 a 8 = a 9 . Получаем группу 10-го порядка, имеющую такую таблицу Кэли (Рис. П5.15). Из теории абстрактных групп известно, что групп 10-го порядка существует только две. Одна из них Абелева, другая нет. Мы построили не Абелеву группу, представляющую собой прямое произведение двух групп, второго и пятого порядков. Также известно, что такая группа имеет одну подгруппу 5-го порядка и пять подгрупп 2-го порядка. Действительно, кроме данных нами подгрупп 2-го порядка A1 , A2 , A3 и A4 , мы имеем ещё одну подгруппу A9 : {a 0 , a 9 }, а элементы a 0 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 образуют подгруппу 5-го порядка. Т. к. элемент a 9 отвечает требованиям нашей теоремы, то кроме заданного циклического изоморфизма мы получаем ещё четыре подобных. A2

a1

a4 A1

A3 A1

a9

a2 a2

a3

A4

A9

A3 A1

a2

a1 a 4

a3

A2

A2

a9

Рис. П5.14

175

A9

A1

a1

a9

A4

A3

a3

A4 A2

a9

a2

a1 a 3 a4

A9

A9

A4

a4

A3

Франц Герман

Franz Hermann

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a0

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a1

a1

a0

a6

a5

a7

a3

a2

a4

a9

a8

a2

a2

a5

a0

a7

a8

a1

a9

a3

a4

a6

a3

a3

a6

a8

a0

a5

a4

a1

a9

a2

a7

a4

a4

a8

a7

a6

a0

a9

a3

a2

a1

a5

a5

a5

a2

a9

a1

a3

a7

a0

a8

a6

a4

a6

a6

a3

a1

a4

a9

a0

a8

a5

a7

a2

a7

a7

a9

a4

a2

a1

a8

a5

a6

a0

a3

a8

a8

a4

a3

a9

a2

a6

a7

a0

a5

a1

a9

a9

a7

a5

a8

a6

a2

a4

a1

a3

a0

Рис. П5.15 Данный циклический изоморфизм интересен тем, что для каждой отдельной из пяти полученных четырёхгранных диаграмм не существует обратных диаграмм. Все пять подгрупп можно объединить одной диаграммой (Рис. П5.16) a4

A1

a9

a3

a2

a3 A9

A2

a4

a1

a9

A3 a2

a1 A4

Рис. П5.16 О существовании пятой подгруппы A9 можно было сделать заключение и из анализа равенств (П5.4). На этом мы закончим исследование общих вопросов и приступим к построению матричного представления циклического изоморфизма.

176

Франц Герман

Franz Hermann

Матричное представление Следует заметить, что однотипным (изоморфным) циклическим изоморфизмом могут быть связаны подгруппы не обязательно изоморфных групп, поэтому мы будем строить матричное представление именно циклического изоморфизма, а не матричное представление абстрактных групп. Построим циклический изоморфизм для матричных групп 4-го порядка, состоящих из матриц 2-го порядка. Таблица Кэли таких групп показана на Рис. П5.7. Рассмотрим частный случай раенств (П5.3).

a1 b3 a1−1 = c 3 , b1 c 3 b1−1 = a 3 , c1 a 3 c1−1 = b3 .

(П5.5)

Cопоставим каждому элементу, искомых групп, некоторую матрицу второго порядка. A+ , a 2 = a 1−1 =

a 0 = E , a1 = где Е – единичная матрица,

A+ ,

A− , a 3 = A ,

A− - сопряжённые корни квадратные из матрицы

А, причём A = E , A+ A− = A− A+ = Е. Сделаем аналогичные сопоставления и для элементов других двух групп. 2

b0 = E , b1 =

B+ , b2 = b1−1 =

B − , b3 = B ,

c 0 = E , c1 = C + , c 2 = c1−1 = C − , c 3 = C . Тогда на основании равенств (П5.5) получаем следующую стстему матричных уравнений представления циклического изоморфизма.

⎧ A+ B A− = C ⎪ ⎨ B+ C B− = A . ⎪ C A C =B − ⎩ +

(П5.6)

Мы должны помнить, что буквами А, В, С теперь обозначаются матрицы, а не группы. Так как наши матрицы А, В, С обладают одними и теми же свойствами, то мы введём для них общее обозначение Х, где

Х Х = Е,

X+

X+ =

X−

X− = X ,

X+

X− =

X−

X+ = E

(П5.7)

Рассмортим в развёрнутом виде условия (П5.7).

⎛x XX = ⎜⎜ 11 ⎝ x 21

x12 ⎞⎛ x 11 ⎟⎜ x 22 ⎟⎠⎜⎝ x 21

x 12 ⎞ ⎛ x112 + x12 x 21 x12 ( x11 + x 22 )⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎟ = E = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . 2 ⎟ x 22 ⎠ ⎝ x 21 ( x11 + x 22 ) x 22 + x12 x 21 ⎠ ⎝ 0 1⎠

Отсюда получаем:

177

Франц Герман

Franz Hermann

⎧ x112 + x12 x 21 = 1 ⎪ 2 ⎪ x 22 + x12 x 21 = 1 . ⎨ ( ) x x x + = 0 22 ⎪ 12 11 ⎪⎩ x 21 ( x11 + x 22 ) = 0

(П5.8)

Кроме этого, из det ( X ) ⋅ det ( X ) = 1 , следует det ( X ) = ±1 . Для нахождения матриц X + и X − воспользуемся формулой (П5.9), которая не сложно выводится и её вывод мы здесь опускаем. X± =

⎛ x11 ± det ( X ) ⎜ ⎜ x 21 ( ) x 11 + x 22 ± 2 det X ⎝

⎞ ⎟, x 22 ± det ( X ) ⎟⎠

±1

x 12

(П5.9)

при x 11 + x 22 ± 2 det ( X ) ≠ 0 . Рассмотрим произведение сопряжённых корней из матрицы Х. X+

=

X− =

(X + E

det ( X )

)

x 11 + x 22 + 2 det ( X )

(

)

− X 2 − E det ( X )

( x11 + x 22 )2 − 4 det ( X )

=

(

− X − E det ( X )

⋅

)

x 11 + x 22 − 2 det ( X )

E (det ( X ) − 1)

( x11 + x 22 )2 − 4 det( X )

=

= E.

Отсюда получаем:

det ( X ) − 1

( x11 + x 22 )2 − 4 det( X )

= 1.

(П5.10)

Ранее мы отмечали, что det ( X ) = ±1 , но заметим, что при det ( X ) = 1 равенство (П5.10) становится противоречивым, следовательно det ( X ) = −1 . Тогда, с учётом (П5.10), получаем такую систему уравнений.

⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩

x112 + x12 x 21 = 1 2 + x12 x 21 = 1 x 22 x12 ( x11 + x 22 ) = 0 x 21 ( x11 + x 22 ) = 0

.

(П5.11)

( x11 + x 22 )2 + 4 = −2

Теперь можем приступить к поиску простейших решений системы уравнений (П5.11), которые бы удовлетворяли решениям системы (П5.6). 2 Рассмотрим случай, когда x 12 = x 21 = 0 , тогда x112 = x 22 = 1 . Помним, что det ( X ) = −1 . Т.о. получаем такие решения:

178

Франц Герман

Franz Hermann

1)

⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ x 12 = x 21 = 0 , x11 = 1 , x 22 = −1 или X = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠

2)

⎛ − 1 0⎞ ⎟⎟ . x 12 = x 21 = 0 , x11 = −1 , x 22 = 1 или X = ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠

Очевидно, эти решения удовлетворяют системе (П5.11). Рассмотрим второй простейший случай, когда x 11 = x 22 = 0 , Т. к. det ( X ) = −1 , то x 12 x 21 = 1 . Получаем такие простейшие решения: 3)

⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ x 11 = x 22 = 0 , x12 = 1 , x 21 = 1 или X = ⎜⎜ ⎝ 1 0⎠

4)

⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ . x 11 = x 22 = 0 , x12 = −1 , x 21 = −1 или X = ⎜⎜ ⎝−1 0 ⎠

Решения 1) – 4) все удовлетворяют матрицам А, В, С. Рассмотрим всевозможные пары решений 1) – 4), может быть, какая-то пара из них удовлетворяет системе уравнений (П5.6). ⎛1 0 ⎞ ⎛ − 1 0⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . Вычислим по Рассмотрим решения 1) и 2), пусть A = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ 0 1⎠ формуле (П5.9) сопряжённые квадратные корни

A+ =

1 ⎛1 + i ⎜⎜ 2i ⎝ 0

0 ⎞ ⎟, − 1 + i ⎟⎠

A− =

A+ и

A− .

− 1 ⎛1 − i ⎜⎜ − 2i ⎝ 0

0 ⎞ ⎟. − 1 − i ⎟⎠

Подставим полученные матрицы в первое уравнение системы (П5.6).

A+ B A− =

=

1 ⎛1 + i ⎜⎜ 2i ⎝ 0

0 ⎞⎛ − 1 0 ⎞ − 1 ⎟ ⎟⎜ − 1 + i ⎟⎠⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ − 2i

⎛1 − i ⎜⎜ ⎝ 0

0 ⎞ ⎟= − 1 − i ⎟⎠

− 1 ⎛ − 2 0⎞ − 1 ⎛ − 2 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ ⎟⎟ = B . ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ 4 ⎝ 0 2⎠ − 2 ⎝ 0 2⎠ ⎝ 0 1⎠

Заметим, что мы взяли 4 = −2 , т. к. это условие пятого уравнения системы (П5.11) при x 11 + x 22 = 0 , т. е., в нашем случае, a 11 + a 22 = 0 . Т. о. получаем B ≡ C , что противоречит первому уравнению системы (П5.6). Поменяв местами матрицы А и В, также приходим к противоречию. Решения 3) и 4) также не удовлетворяют первому уравнению системы (П5.6).

179

Франц Герман

Franz Hermann

⎛1 0 ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . Находим Рассмотрим решения 1) и 3). Пусть A = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ 1 0⎠ сопряжённые корни квадратные из матрицы А, подставляем полученные выражения в первое уравнение системы (П5.6) и получаем в результате новую матрицу ⎛0 − i⎞ ⎟⎟ . C = ⎜⎜ ⎝i 0 ⎠ Не трудно проверить, что матрица С удовлетворяет и системе уравнений (П5.11). Проверим, удовлетворяет ли матрица С второму уравнению системы (П5.6). 1 ⎛ i 1⎞ −1 ⎛− i 1 ⎞ ⎟⎟ , ⎟⎟ и подставляем во второе ⎜⎜ ⎜⎜ Находим B+ = B− = 2i ⎝ 1 i ⎠ − 2i ⎝ 1 − i ⎠ уравнение системы (П5.6). B+ C B− =

1 ⎛ i 1 ⎞⎛ 0 − i ⎞ ⎛ − i ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ 2 ⎜⎝ 1 i ⎟⎠⎜⎝ i 0 ⎟⎠⎜⎝ 1

1 ⎞ 1 ⎛2 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎟ = A. ⎟=⎜ ⎟= ⎜ − i ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 0 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 − 1 ⎟⎠

Аналогично убеждаемся, что матрицы А, В, С удовлетворяют и третьему уравнению системы (П5.6). Таким образом, мы получаем первое представление циклического изоморфизма для трёх групп четвёртого порядка, порождаемое матрицами:

1)

⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ 0 − 1 ⎠ ⎝

⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ 1 0 ⎠ ⎝

⎛0 − i⎞ ⎟⎟ . C = ⎜⎜ i 0 ⎠ ⎝

Как видим, матрицы А, В, С ни что иное, как известные матрицы КлиффордаПаули. Проводя аналогичные действия, получаем и другие простейшие решения системы уравнений циклического изоморфизма.

2)

⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝ 1 0⎠

⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠

⎛ 0 i⎞ ⎟⎟ . C = ⎜⎜ ⎝ − i 0⎠

3)

⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠

⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎝−1 0 ⎠

⎛ 0 i⎞ ⎟⎟ . C = ⎜⎜ ⎝ − i 0⎠

4)

⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝−1 0 ⎠

⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠

⎛0 − i⎞ ⎟⎟ . C = ⎜⎜ ⎝i 0 ⎠

5)

⎛−1 0 ⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠

⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎝ 1 0⎠

⎛ 0 i⎞ ⎟⎟ . C = ⎜⎜ ⎝ − i 0⎠

6)

⎛−1 0 ⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠

⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎝−1 0 ⎠

⎛0 − i⎞ ⎟⎟ . C = ⎜⎜ ⎝i 0 ⎠

180

Франц Герман

Franz Hermann

⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝ 1 0⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝−1 0 ⎠

7) 8)

⎛−1 B = ⎜⎜ ⎝ 0 ⎛−1 B = ⎜⎜ ⎝ 0

⎛0 − i⎞ ⎟⎟ . C = ⎜⎜ ⎝i 0 ⎠ ⎛ 0 i⎞ ⎟⎟ . C = ⎜⎜ ⎝ − i 0⎠

0⎞ ⎟, 1 ⎟⎠ 0⎞ ⎟, 1 ⎟⎠

Для всех матриц этих решений справедливо общее свойство: AB = − iC , BC = − iA , CA = − iB .

(П5.12)

Параллельно заметим, что матрицы наших решений, в совокупности с ⎛ i 0⎞ ⎛− i 0 ⎞ ⎟⎟ и ⎜⎜ ⎟⎟ , образуют известную группу кватернионов. Здесь матрицами ⎜⎜ ⎝0 i ⎠ ⎝ 0 − i⎠ ⎛ i 0⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛0 − i⎞ ⎟⎟ - нейтральный элемент группы, a1 = ⎜⎜ ⎟⎟ , a 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , a 3 = ⎜⎜ ⎟⎟ , a 0 = ⎜⎜ ⎝0 i ⎠ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ 1 0⎠ ⎝i 0 ⎠

⎛ 0 i⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ − 1 0⎞ ⎛− i 0 ⎞ ⎟⎟ , a 5 = ⎜⎜ ⎟⎟ , a 6 = ⎜⎜ ⎟⎟ , a 7 = ⎜⎜ ⎟⎟ . В качестве групповой a 4 = ⎜⎜ ⎝ − i 0⎠ ⎝−1 0 ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 − i⎠ операции « o » между элементами выполняется действие: a i o a j = − ia i a j . Таблица Кэли такой группы имеет вид: a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a0

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a1

a1

a7

a3

a5

a2

a4

a0

a6

a2

a2

a4

a7

a1

a6

a0

a3

a5

a3

a3

a2

a6

a7

a0

a1

a5

a4

a4

a4

a5

a1

a0

a7

a6

a2

a3

a5

a5

a3

a0

a6

a1

a7

a4

a2

a6

a6

a0

a4

a2

a5

a3

a7

a1

a7

a7

a6

a4

a3

a2

a1

a0

a5

Рис. П5.17 На этом мы оставим поиск других решений систем уравнений (П5.11) и (П5.6) и покажем в общем виде, как строятся группы, порождаемые матрицами Паули, которые обладают свойством циклического изоморфизма.

181

Франц Герман

Franz Hermann

Группы матриц Паули Введём обозначения для матриц Паули, принятые в большинстве известной нам литературы.

⎛1 0 ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛0 − i⎞ ⎟⎟ , S 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , S 3 = ⎜⎜ ⎟⎟ . S 1 = ⎜⎜ i 0 0 − 1 1 0 ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎛ 1 0⎞ ⎟⎟ , det ( S ) = −1 . Пусть Пусть S – любая из матриц Паули. Тогда S S = Е = ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠ 1

1

S +n и S −n - два сопряжённых корня n-ой степени из матрицы S, причём такие, что S тогда

множество

матриц

1 n +

1 n −

S = S G

=

1 n −

1 n +

S = Е,

(П5.13)

n −1 n −1 1 2 2 1 ⎧ ⎫ n n n n n n E , S , S ,..., S , S , S ,..., S , S ⎨ + + + − − − ⎬ ⎩ ⎭

образует

циклическую группу 2n-го порядка. Убедимся, что G – циклическая группа. Любые два элемента из множества G коммутативны, т. к. каждый из взятых 1

1

элементов представляет собой целую степень элемента S +n или элемента S −n , с учётом (П5.13). Проверим аксиомы группы. 1. На множестве G в качестве групповой операции используется операция умножения матриц, для которой справедлив ассоциативный закон. 2. Е – нейтральный элемент. k

k

3. Для каждого элемента из G имеется ему обратный: S +n S −n = Е. 4. Покажем, что для любых двух элементов из G их произведение является тоже элементом из G. 1). Рассмотрим произведение S

k n +

m n + k+m n +

S

а). Пусть k + m ≤ n , тогда S

= S

k+m n +

, где k < n , m < n .

∈ G. k+m

б). Пусть k + m > n . Представим S + n в следующем виде: k+m n +

=S

k+m>n

и

S а

S

т.

к.

2 n− (k + m ) n −

=S

k+m n +

k +m−n n +

S=S

k < n,

k +m−n n +

S

k +m−n n −

m < n,

∈G .

182

S

то

2 n− (k + m ) n −

=S

2 n− (k + m ) n −

,

2n − (k + m ) < n .

Следовательно

Франц Герман

Franz Hermann

2). Рассмотрим произведение S

k n + k n +

а). Пусть k > m , тогда S

m n − m n −

S , где k < n , m < n . k −m

S

m

k −m

m

S +n S −n = S + n ∈ G.

= S+ n k

m

б). Пусть k = m , тогда очевидно, что S +n S −n = Е. 3). Рассмотрим произведение S

k n +

S (или S

k

k

k n −

S ). n− k

k

n− k

S +n S = S +n S −n S − n = S − n ∈ G. 1

1

Теперь покажем, что элемент S +n (или S −n ) является образующим элементом группы G. Очевидно, что все элементы слева от S (см. запись множества G), кроме Е, n

⎛ 1⎞ являются степенями элемента S от 1 до n-1. ⎜⎜ S +n ⎟⎟ = S . ⎝ ⎠ 1 n +

⎛ n1 ⎞ Рассмотрим ⎜⎜ S + ⎟⎟ ⎝ ⎠

n+1

.

⎛ n1 ⎞ ⎜ S+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

n+1

1 n +

=S S = S

n −1 n −

S

1 n −

1 n +

S = S

n −1 n −

.

n −1

Элемент S − n - первый из элементов, расположенных справа от элемента S (см. запись ⎛ n1 ⎞ множества G). ⎜⎜ S + ⎟⎟ ⎝ ⎠

n+ 2

= S

n− 2 n −

, и т. д..

⎛ n1 ⎞ Рассмотрим элемент ⎜⎜ S + ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ n1 ⎞ ⎜ S+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2 n −1

⎛ n1 ⎞ = ⎜⎜ S + ⎟⎟ ⎝ ⎠

2 n −1

.

n + ( n −1 )

= S S

n −1 n +

2n

= S

1 n −

S

n −1 n −

S

n −1 n +

1 n −

= S ,

1 1 ⎛ 1⎞ тогда ⎜⎜ S +n ⎟⎟ = S −n S +n = Е. ⎝ ⎠ Т. о., мы доказали, что множество G является циклической группой 2n-го порядка. Группы G в дальнейшем будем называть группами матриц Паули. Покажем, что группы матриц Паули 2n-го порядка (n – чётное) обладают циклическим изоморфизмом. Напомним, что S 1 S 2 = − i S 3 , S 2 S 3 = − i S 1 , S 3 S 1 = − i S 2 .

183

Франц Герман

Franz Hermann

Группу, порождаемую матрицей S k , будем обозначать G k . Т. о., мы имеем три группы матриц Паули: G 1 , G 2 , G 3 . Запишем в общем виде выражения для сопряжённых корней квадратных из матрицы S k .

S +k =

1

(S

)

−1

(S

)

+ iE ,

S −k =

S +1 S ±2 S −1 =

S ±3 ,

(П5.14)

S +2 S ±3 S −2 =

S ±1 ,

(П5.15)

S +3 S ±1 S −3 =

S ±2 ,

(П5.16)

2i

k

− 2i

k

− iE .

Не трудно убедиться, что

( )

( )

1

1

Докажем, что S +1 S ±2 n S −1 = S ±3 n . Преобразуем равенство (П5.14) следующим образом:

( ) (S ) ...(S )

S +1 S ±2 S −1 =

( )

где сомножитель S ±2

1 n

1 n

S +1 S ±2

1 2 n ±

1 2 n ±

S −1 ,

n раз. Правую часть, полученного выражения, 2

используется

можно представить в таком виде: n

⎛ ⎜⎜ S +1 S ±2 ⎝

( )

1 n

⎞⎛ S −1 ⎟⎟⎜⎜ S +1 S ±2 ⎠⎝

( )

n 2

⎛

∏ ⎜⎜⎝ Отсюда заключаем, что

1 n

⎞ ⎛ S −1 ⎟⎟...⎜⎜ S +1 S ±2 ⎠ ⎝

( )

( )

n 2

1 2 n ±

⎞ S −1 ⎟⎟ = ⎠

S ±3 = ∏ S ±3

( )

1 n

( )

( )

S +1 S

2 ⎞ ⎛ S −1 ⎟⎟ = ∏ ⎜⎜ S +1 S ±2 ⎠ ⎝

1 n

S +1 S ±2

S −1 = S ±3

1 n

( )

1 n

( )

( )

1

Аналогично доказывается, что S +2 S S −2 = S ±1 n и Используя последние равенства не сложно доказать, что

( ) (S ) (S )

S +2 S +3

m n

m 3 n ± 1 ±

m n

( ) = (S ) = (S )

m n

,

m 1 n ±

,

m n

.

S −1 = S ±3 S −2 S −3

184

2 ±

⎞ S −1 ⎟⎟ , но ⎠

.

.

1 3 n ±

S +1 S ±2

1 n

( )

S +3 S ±1

1 n

( )

S −3 = S ±2

1 n

.

Франц Герман

Franz Hermann

Т. о., мы доказали, что для групп G 1 , G 2 , G 3 справедлив циклический изоморфизм:

S +1 G 2 S −1 = G 3 , S +2 G 3 S −2 = G 1 , S +3 G 1 S −3 = G 2 . В заключение приведём пример конкретных групп матриц Паули 12-го порядка, для которых справедлив циклический изоморфизм. Предварительно покажем вывод формулы для нахождения кубических корней из квадратных матриц 2-го порядка. Эта формула понадобится нам в дальнейшем. a12 ⎞ x12 ⎞ ⎛a ⎛x ⎟⎟ ⎟⎟ A = ⎜⎜ 11 X = ⎜⎜ 11 Пусть и такая, что X3 = A и ⎝ a 21 a 22 ⎠ ⎝ x 21 x 22 ⎠ det ( X ) = x11 x 22 − x 12 x 21 = 3 det ( A) .

Развернув равенство X 3 = A , получаем такую систему уравнений:

⎧ x113 + x12 x 21 x11 + x12 x 21 ( x11 + x 22 ) = a11 ⎪ 2 ⎪ x11 x12 + x12 x 21 + x12 x 22 ( x11 + x 22 ) = a12 ⎨ 2 2 ⎪ x 22 x 21 + x12 x 21 + x 21 x11 ( x11 + x 22 ) = a 21 3 ⎪⎩ x 22 + x12 x 21 x 22 + x12 x 21 ( x11 + x 22 ) = a 22

(П5.17 ) (П5.18) (П5.19) (П5.20)

Сделаем преобразования уравнения (П5.17).

(

)

x 113 + x12 x 21 (2 x 11 + x 22 ) = x 113 + x 11 x 22 − 3 det ( A) (2 x 11 + x 22 ) = a11 . 2 x 113 + 2 x 112 x 22 − 2 x 11 3 det ( A) + x 11 x 22 − x 22 3 det ( A) =

(

)

2 = x11 x 112 + 2 x 11 x 22 + x 22 − 3 det ( A)( x 11 + x 22 ) − x11 3 det ( A) =

(

)

= x11 ( x 11 + x 22 ) − 3 det ( A) − ( x 11 + x 22 )3 det ( A) = a 11 2

Аналогично находим:

(

)

a 22 = x 22 ( x 11 + x 22 ) − 3 det ( A) − ( x 11 + x 22 )3 det ( A) . 2

Два последних равенства перепишем таким образом:

x11 =

a11 + 3 det ( A)( x11 + x 22 )

( x11 + x 22 )2 − 3 det( A)

, x 22 =

a 22 + 3 det ( A)( x11 + x 22 )

( x11 + x 22 )2 − 3 det( A)

Сложим левые и правые части полученных выражений:

185

.

Франц Герман

Franz Hermann

x 11 + x 22 =

a11 + a 22 + 23 det ( A)( x11 + x 22 )

( x11 + x 22 )2 − 3 det( A)

, или

( x11 + x 22 )3 − 3 det( A)( x11 + x 22 ) = a11 + a 22 + 23 det( A)( x11 + x 22 ) . Обозначив x 11 + x 22 = t , получаем характеристическое уравнение: t 3 − 3t 3 det ( A) − (a 11 + a 22 ) = 0 .

(П5.21)

Решив это уравнение, можно найти t , и далее x 11 и x 22 , где

x11 =

a11 + t ⋅ 3 det ( A) t 2 − 3 det ( A)

a 22 + t ⋅ 3 det ( A)

, x 22 =

t 2 − 3 det ( A)

.

Из уравнений (П5.18) и (П5.19) находим:

a12

x12 =

t − 3 det ( A) 2

, x 21 =

a 21

t − 3 det ( A) 2

.

Получаем общую формулу: 3

A=

(A + t ⋅ det ( A)

1 t − 2

3

3

det ( A)E

)

(П5.22)

Характеристическое уравнение (П5.21) для матриц Паули имеет вид:

t 3 + 3t = 0 . Откуда: t 1 = 0 , t 2 = i 3 , t 3 = − i 3 . И формула (П5.22) будет выглядеть таким образом: Sk =

3

(

)

1 S k + tE . t +1 2

На основании последней формулы получаем: 3

Sk = Sk ,

3

S +k = −

(

) ( ),

1 k S − i 3 E = S +k 2

( )

Ранее мы показали, что S +k

1 2

(S ) (S ) = (S ) k +

1 2

k +

1 3

5 k 6 +

=

1 2i

=−

(S

186

3

S −k = −

(

) ( )

1 k S + i 3 E = S −k 2

)

+ iE , тогда

(S 2i

1 2

k

1 3

k

)(

)

− i 3 E S k + iE =

1 3

Франц Герман

=−

Franz Hermann

(E − i 2i

1 2

)

3 S k + iS k + 3 E = −

( )

Мы помним также, что S

(S )

1 k 6 −

=−

( )

( )

S = S k

1 k 6 −

(i (1 − 3 )S + (1 + 3 )E )S 2i

1 2

5 k 6 +

k

1

k

(i (1 − 3 )S + (1 + 3 )E ) . 2i

1 2

k

, т. е.

=−

((1 + 3 )S 2i

1 2

k

(

) )

+ i 1− 3 E .

Но S −k 6 - это как раз и есть образующий элемент для группы G k 12-го порядка. Вычисляя различные степени этого элемента, можно найти все элементы группы G k . При вычислении матриц мы должны помнить, что 4 = −2 (или − 4 = −2i ), т. к. это условие последнего уравнения системы (П5.11).

187

Франц Герман

Franz Hermann mann

Приложение 6

Диаграммы, ряды, квадраты. Диаграммы Приложение 2 даёт возможность конкретно познакомиться с цепочками производных чисел и самостоятельно начать поиски закономерностей чисел натурального ряда. Однако Приложение 2, не позволяет увидеть некоторые качественные стороны глобальной картины, т. к. цепочки даны только для первых 1000 чисел. Данное приложение в некоторой степени дополняет Приложение 2. Я не даю какого-либо анализа, приведённых здесь диаграмм, но сами картины этих диаграмм ярко говорят о том, что натуральный ряд таит в себе многие числовые закономерности. На диаграмме, показанной на Рис. 1, по горизонтальной оси откладываются числа натурального ряда от 1 до 30000, а по вертикальной оси числовые значения первых производных чисел. 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

0

3000

6000

9000

12000

15000

18000

21000

24000

27000

30000

Рисс. П6.1 Ри Как видим, на фоне числового хаоса явно видны скопления чисел, практически идеально выстроившиеся вдоль некоторых прямых. Масштаб вертикальной оси слишком велик и мы не можем наблюдать числовую картину вблизи горизонтальной оси. На Рис. П6.2 как раз и показана такая диаграмма. По вертикальной оси рассматривается интервал производных чисел от 1 до 360. Как видим, в «основе» этой диаграммы лежит нелинейноая картина распределения первых производных чисел. Числа, которые лежат на кривой, показанной синим цветом, находятся, практически в гордом одиночестве, в «числовом» вакууме.

188

Франц Герман

Franz Hermann

( )

Что же это за числа? Все они объединены фукцией F (n ) : ∂ n 2 = n + 1 , где n простое число. Т. е. каждому натуральному числу n 2 , взятому на горизонтальной оси, соответствует производное число n + 1 , отложенное на вертикальной оси. Есть во всём этом и некоторый символический смысл. Если рассмотреть квадратное уравнение n 2 = n + 1 , то его решением будет ни что иное, как число ϕ «золотое сечение», о котором мы уже упоминали. 360 320 280 240 200 160 120 80 40 0 0

3000

6000

9000

12000

15000

18000

21000

24000

27000

30000

Рис. П6.2

( )

Красная кривая соответствует функции F n 2 : 2(n + 1) , где n также является простым числом, но ни одно производное число не лежит на этой кривой. Числа лежат где-то очень близко. А далее, как видим, производные числа выстраиваются в последовательности, которые на диаграмме выглядят, как прямые, составленные из кружков. Красная кривая является вроде огибающей линии для этих прямых. «Плотность» некоторых таких прямых столь высока, что они выглядят на диаграмме Рис. 1 в виде ярковыраженных тёмных прямых линий. Чёрная толстая прямая в самом низу (Рис. П6.2) – это производные простых чисел, т. к. ∂n = 1 , где n - простое число. Максимально возможная картина первых производных чисел, которую мне удалось построить из двух диаграмм, показана на Рис. П6.3. По мере увеличения n происходит всё большее разряжение в верхних «слоях» диаграммы, что напоминает собой процесс закипания жидкости. Но картина может оказаться обманчивой при более масштабном рассмотрении.

189

Франц Герман

Franz Hermann

100000 90000 80000

70000 60000 50000 40000 30000

20000 10000 0 0

3000

6000

9000

12000 15000 18000 21000 24000 27000 30000

30000

32000

34000

36000

38000

40000

42000

44000

46000

48000

Рис. П6.3 Тот, кто уже успел вниматель ельно но поизучать длинные цепочки некоторых собственных чисел по Приложению 2, мог заметить, что развитие этих цепочек, как правило, не поступательное. Последовательность производных чисел не возрастающая. Иногда подёмы сменяются спадом, а потом снова происходит возрастание. Я покажу динамику развития цепочки производных чисел на примере числа 138. Диаграммы строились, следующим образом. Первым фиксированным числом на горизонтальной оси отмечалось число 138, соответствующее ему число на вертикальной оси имело значение 150 – первое производное число от числа 138. Затем на горизонтальной оси выделялось число 150, а на вертикальной – число 222 – первое производное число от числа 150, и т. д.. Все отмеченные точки соединялись плавной кривой. На участке первых 50000 чисел натурального ряда картина имела такой вид (Рис. П6.4). 7,E+04 6,E+04 6,E+04 5,E+04 4,E+04 4,E+04 3,E+04 2,E+04 1,E+04 7,E+03 0,E+00 0,E+00

dN

5,E+03

1,E+04

2,E+04

2,E+04

3,E+04

3,E+04

4,E+04

4,E+04

5,E+04

5,E+04

Рис. П6.4 Как видим, развитие цепочки производных идёт по возрастающей. На одних участках подъём пологий, на других – имеет скачкообразный характер. На участке от 1 до 500000 чисел. Мы видим уже другую картину (Рис. П6.5).

190

Франц Герман

Franz Hermann

9,E+05 8,E+05 7,E+05 6,E+05 5,E+05 5,E+05 4,E+05 3,E+05 2,E+05 9,E+04 0,E+00 0,E+00

dN

5,E+04

1,E+05

2,E+05

2,E+05

3,E+05

3,E+05

Линия возврата

4,E+05

4,E+05

5,E+05

5,E+05

Новый подъём Рис. П6.5

На первый взгляд, на Рис. П6.5 происходит что-то непонятное. На самом деле всё ясно. Где-то в будущем произошёл первый спад и кривая цепочек производных вернулась почти точно к некоторому исходному пункту (см. линию возврата), а затем вновь устремилась в числовое будущее. Увеличим рассматриваемый участок ещё в 10 раз (Рис. П6.6). 9,E+06 8,E+06 7,E+06 6,E+06 5,E+06 5,E+06 4,E+06 3,E+06 2,E+06 9,E+05 0,E+00 0,E+00

dN

5,E+05

1,E+06

2,E+06

2,E+06

3,E+06

3,E+06

4,E+06

4,E+06

5,E+06

5,E+06

Рис. П6.6 Теперь мы видим, как развивались события, показанные на диаграмме Рис. П6.5. Кроме этого, мы видим ещё два числовых «завихрения». Но это не всё, вновь из будущего приходит линия возврата. Увеличим рассматриваемый участок ещё в 10 раз (Рис. П6.7). 7,E+07 6,E+07 6,E+07 5,E+07 4,E+07 4,E+07 3,E+07 2,E+07 1,E+07 7,E+06 0,E+00 0,E+00

dN

5,E+06

1,E+07

Последняя точка

2,E+07

2,E+07

3,E+07

Рис. П6.7 191

3,E+07

4,E+07

4,E+07

5,E+07

5,E+07

Франц Герман

Franz Hermann

На диаграмме Рис. П6.7 мы видим последнюю точку в наших построениях. На самом деле на этом цепочка производных не обрывается. А глобальная последняя петля показана на диаграмме Рис. П6.8. 5,E+08 5,E+08 4,E+08 4,E+08 3,E+08 3,E+08 2,E+08 2,E+08 1,E+08 5,E+07 0,E+00

dN

0,E+00 5,E+07 1,E+08 2,E+08 2,E+08 3,E+08 3,E+08 4,E+08 4,E+08 5,E+08 5,E+08 6,E+08

Рис. П6.8 Кстати, участок диаграммы на Рис. П6.8, выделенный кружком – это тоже петля (см. Рис. П6.9). 3,2E+08 3,0E+08 2,8E+08 2,6E+08 2,4E+08

dN

2,2E+08 2,0E+08 1,8E+08 1,6E+08 1,4E+08 1,2E+08 2,8E+08

2,9E+08

3,0E+08

3,1E+08

3,2E+08

Рис. П6.9 Можно предположить, что «вихревое» развитие цепочек производных чисел является не случайных, а определяет некоторый числовой закон эволюции, где дальнейший подъём возможен только после некоторого возврата назад. Мы только чуть-чуть коснулись вопросов крупномасштабной Вселенной натуральных чисел. Я уверен, что в этой числовой Вселенной сокрыто ещё очень много законов, которые ждут своих Ньютонов и Эйнштейнов.

Ряд Во второй части нашего исследования мы упоминали об известном ряде Фибоначчи {Fn } в связи с проявлением в нашем поле зрения числа 144. Этот ряд интересен ещё и тем, что его члены обладают множеством любопытных свойств. Мы не будем здесь рассматривать ряд Фибоначчи. Существует очень много литературы по этому ряду и читатель без труда сможет её найти. Я хочу познакомить вас здесь с 192

Франц Герман

Franz Hermann

другим рядом, назовём его {H n }, который ранее не встречался, в известной мне литературе. Поначалу этот ряд привлёк моё внимание тем, что среди его членов H 11 =138, а H 12 =150. Т. е. известное нам число 138 вместе с первым своим производным числом 150. Но начав исследование этого ряда, я обнаружил, что и его члены обладают множеством интересных свойств. 2 Как строится этот ряд. Я заметил, что на интервале между числами k 2 и (k + 1) существует только единственное число, которое нацело делит число (k + 1)2 − k 2 = 2k + 1 . Из таких чисел и состоит ряд {H n }.

{H n }: 3, 5, 14, 18, 33, 39, 60, 68, 95, 105, 138, 150, 189, ... Ряд {H n } можно определить и другим способом. Рассмотрим два таких очевидных ряда:

{X k } : 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, ... {Yk } :

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 23, ...

Тогда H k = X k Yk . Общая формула для членов нашего ряда имеет вид:

Hn

n ( 2n + 1)(2n + 1 − (− 1) ) = .

(П6.1)

4

Кроме этого для чётных H k и нечётных H k членов нашего ряда существуют свои общие формулы, соответственно: Hk =

Hk =

k (2k + 1) , 2

(П6.2)

(k + 1)(2k + 1) .

(П6.3)

2

Для формулы (П6.2) k=2n, а для формулы (П6.3) k=2n-1. Покажем формулу для суммы k первых членов ряда {H n }.

Sk

2 k ( k + 1)(4(k + 1) − 1 − 3(− 1) ) = .

12

(П6.4)

Каждый член нашего ряда, в зависимости от чётности, связан либо рядом квадратов, либо с рядом кубов натуральных чисел.

1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + (2k ) Hk = , 2 3

193

(П6.5)

Франц Герман

Franz Hermann

Hk =

(

)

3 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 . k

(П6.6)

Существуют различные рекурентные формулы.

H k +1 = H k + k + 1 ,

(П6.7)

H k +1 = H k + 3(k + 1) .

(П6.8)

Покажем рекурентные формулы для чётных членов нашего ряда.

H k + n = H k + 2kn + H n ,

(П6.9)

H k − n = H k − 2n(r − n ) − H n ,

(П6.10)

)

(

H k+n =

k+n Hk − Hn , k−n

H k+n =

k+n H k + kn . k

)

(

(П6.11)

(П6.12)

Из (П6.11) и (П6.12) можно получить такую красивую формулу:

n H k − k H n = kn(k − n ) .

(П6.13)

Для нечётных членов нашего ряда мне известны такае рекурентные формулы.

H k + n = H n + k (2n + 1) + H k ,

(П6.14)

H k − n = H n − k (2n − 1) − 3n + H k ,

(П6.15)

H k − n = H k − 2n(k − n ) − n − H n ,

(П6.16)

H k − n = H k − 2n(k − n ) + k + 1 − H n .

(П6.17)

Для разности нечётных членов имеем такую рекурентную формулу:

H k − H n = H k − n + (k − n )(2n + 1) .

(П6.18)

Для разности чётного и нечётного членов ряда получаем такую формулу: Hk − Hn =

k−n 1 H k+n + H k . k + n+1 k

194

(П6.19)

Франц Герман

Franz Hermann

За чётностью и нечётностью членов ряда надо следить очень внимательно, т. е. например, формулу (П6.19) и формулу (П6.12) объединять нельзя, т. к. в формуле (П6.12) n – чётное, а в (П6.19) – нечётное. Покажем ещё одну рекурентную формулу, связывающую два нечётных члена ряда. H k + n = H k + n(2k + n ) +

3 n, 2

(П6.20)

здесь n – чётное, а k – нечётное. Наверняка существует и множество других рекурентных формул. Все они выводятся очень легко и мы на этом останавливаться не будем и перейдём к рассмотрению других свойств ряда {H n }.

Свойство 1.

(H k + H k + n ) − (H k + m + H k + n− m ) = 2m (n − m ) ,

(П6.21)

при n > m. Здесь все члены ряда должны быть согласованы по чётности, т. е. либо все чётные, либо все нечётные.

Свойство 2.

)(

)

(П6.22)

)(

)

(П6.23)

)(

)

(П6.24)

)(

)

(П6.25)

(H

k

+ H k + n − H k + m + H k + n − m = 2m (n − m ) + m .

(H

k

+ H k + n − H k + m + H k + n − m = 2m (n − m ) − m .

(H

k

+ H k + n − H k + n − m + H k + m = (n − m )(2m + 1) .

(H

k

+ H k + n − H k + n − m + H k + m = (n − m )(2m − 1) .

(H

k+m

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

Свойство 6.

)

(

+ H k + n+ m − H k + H k + n

(H

k + n+ m

− Hk

)

)=

2(2m + 1) . 2m + 2n + 1

(П6.26)

2(2m + 1) . 2m − 2n + 1

(П6.27)

Свойство 7.

(H

k+m

)

(

+ H k + n+ m − H k + H k + n

(H

k+m

− H k+n

)

195

)=

Франц Герман

Franz Hermann

Свойство 8.

(H

k+m

)(

− H k + H k + n+ m − H k + n

(H

k+n

− H k+m

)

)=

2(2m − 1) . 2n − 2m + 1

(П6.28)

2(2m − 1) . 2n + 2m − 1

(П6.29)

Свойство 9.

(H

k+m

)(

− H k + H k + n+ m − H k + n

(H

k + n+ m

− Hk

)

)=

Для нашего ряда справедливы и такие формулы: H k ⋅ H k +1 =

H k ⋅ H k +1

3⎞ k (k + 2 ) ⎛ ⎜ H k + H k +1 − ⎟ , 2 2⎠ ⎝

2 ( k + 1) ⎛ H =

2

⎜ ⎝

k

(П6.30)

1⎞ + H k +1 − ⎟ . 2⎠

(П6.31)

Все, вышеприведённые, свойства доказываются с использованием рекурентных формул. Как оказалось, всякое чётно-чётное n –угольное число связано с определённым чётным числом нашего ряда следующей формулой:

α 2nk = 2{( H k − k )(n − 2 ) + k },

(П6.32)

здесь k - чётное. Рассмотрим пример для 5-угольных чисел. Первое чётно-чётное пятиугольное число это α 45 =22. Покажем его на рисунке.

Рис. П6.10 При n = 5 и k = 2, по формуле (П6.32), получаем: α 45 = 2(( H 2 -k)(n –2)+2) = 22. Не трудно показать, что всякое чётное n –угольное и всякое нечётное n – угольное число можно выразить через соответствующий член нашего ряда:

(

k ⎛ k (k + 2) (2k + 1) 1 − (− 1) ⎜ α = (n − 2)⎜ H k − − 2 4 ⎝ n k

196

)⎞⎟ + k . ⎟ ⎠

(П6.33)

Франц Герман

Franz Hermann

Произведение последовательных нечётного и чётного членов ряда можно представить такой формулой: H k −1 ⋅ H k =

(

)

1 3 2 H 2 k 2 −1 = k 1 2 + 3 2 + 5 2 + ... + (2k − 1) . 4 4

(П6.34)

Существуют также формулы для рекурентного понижения степени члена ряда. Здесь k - чётное. H k2 =

1 H 2 + kH k , 4 2 k −1

H k2−1 =

(м5)

1 H 2k 2 − k 3 . 4

(П6.36)

Я уверен, что этими формулами не исчерпываются все свойства и наверняка существуют интересные приложения этого ряда.

Магический квадрат из первых 144 последовательных простых чисел

1

823

821

809

811

797

19

29

313

31

23

37

89

83

211

79

641

631

619

709

617

53

43

739

97

227

103

107

193

557

719

727

607

139

757

281

223

653

499

197

109

113

563

479

173

761

587

157

367

379

521

383

241

467

257

263

269

167

601

599

349

359

353

647

389

331

317

311

409

307

293

449

503

523

233

337

547

397

421

17

401

271

431

433

229

491

373

487

461

251

443

463

137

439

457

283

509

199

73

541

347

191

181

569

577

571

163

593

661

101

643

239

691

701

127

131

179

613

277

151

659

673

677

683

71

67

61

47

59

743

733

41

827

3

7

5

13

11

787

769

773

419

149

751

Обозначим через S константу данного магического квадрата, тогда S = 5414. Как оказалось эта константа имеет связь с числом 23. 197

Франц Герман

Franz Hermann

(

)

1 ⎛S⎞ Прежде всего ∂ 3 ⎜ ⎟ = 23 . И кроме того, если = 0,0 a 1 a 2 ...a 22 (см. Часть II, 23 ⎝2⎠ 22 ⎛S⎞ стр. 58), то ∑ a i = ∂ ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ i =1 Говоря о квадратах, можно отметить тот факт, что число 23 появляется и в классических играх. Известно, что из костяшек домино можно составить магический квадрат с максимально возможной суммой по строкам, столбцам и диагоналям равной 23 (Максимально возможный квадрат 6-го порядка). Шахматная доска – это тоже квадрат. Одна из классических задач на шахматной доске заключается в расстановке восьми ферзей таким образом, чтобы они не били друг друга. Всего решений этой задачи со всеми поворотами и отражениями 92 = 23 ⋅ 4 . Кстати, история возникновения этих игр уходит в такую древность, что кажется сами Боги когда в них играли.

198

Франц Герман

Franz Hermann

Приложение 7

Футбол и «золотое сечение». Удивительно то, что число ϕ можно встретить почти в любой области человеческой деятельности. В науке, в архитектуре, в живописи и даже в спорте. Рассмотрим пример, который, я думаю, будет интересен всем, кто любит футбол. Футбол можно смело назвать спортом номер один двадцатого века. Тот, кто играет (или играл) в футбол почти всегда чувствует, что бывает так, когда одно футбольное поле по своим размерам более удобно чем другое. Как вы наверное знаете, точного стандарта для размеров футбольного поля не существует. В этом можно убедиться, взяв в руки любой учебник по футболу. И, как оказывается, наиболее удобным футбольным полем будет именно «золотой прямоугольник». Из учебника по футболу мы имеем:

М 1 : 1000 L d P P C

B

l

2R H

R

b Рис. П7.1 Обозначим через l ширину футбольных ворот. Пусть b - ширина вратарской площадки. Тогда 3b = d - ширина штрафной площади, 2b + l = B - длина вратарской площадки, B 2d + l = C - длина штрафной площади, = R - радиус центрального круга, 2b = P 2 расстояние пенальти. Но размеры футбольных ворот имеют точный стандарт.

199

Франц Герман

Franz Hermann

h = 2,44 м

l = 7,32 м Рис. П7.2 Чтобы вычислить величины b, d , B , C и R надо знать число P . Обозначим через S площадь ворот, т.е. S = h ⋅ l . Как оказалось:

P = ϕ 2 ⋅ S = 11 м 6 см

(П7.1)

Всем известно, что пенальти – это штрафной 11-метровый удар. (П7.1) - это главная формула футбольного поля. Теперь не трудно вычислить все другие размеры. Кроме того, выяснилось, что H = ϕ ⋅ C , т.е. H ≈ 65,4 м . Тогда самая «удобная» длина поля будет L = ϕ ⋅ H ≈ 105,8 м . В учебнике по футболу мы находим: H ≈ 45 ÷ 90 м , L ≈ 90 ÷ 120 м . Вычисленные нами размеры для L и H лежат почти точно в середине указанных в учебнике размеров. Во второй части мы познакомились с таким понятием, как «золотой вурф» ω . Помним, что «Золотой вурф» связан с числом ϕ простой формулой 2ω = ϕ 2

С учётом этого, главную формулу футбольного поля можем переписать таким образом:

P = 2ω ⋅ S .

200

Франц Герман

Franz Hermann

Литература 1. Р. Монро. «Далёкие путешествия». «София», Киев, 2002 2. Р. Монро. «Путешествия вне тела» «София», Киев, 2002 3. П. Девис. «Суперсила», «Мир», М., 1989 4. Ю. С. Владимиров. «Пространство-время. Скрытые и явные размерности», «Наука», М., 1989 5. Г. Штейнгауз. «Математический калейдоскоп», «Наука», М., 1981 6. В. Зеланд. «Трансерфинг реальности», Т. 1. «Весь», СПб., 2004 7. «Узоры симметрии». Сб. Ст. под ред. М. Сенешаль и Дж.Флека, «Мир», М., 1980 8. Л. В. Тарасов. «Этот удивительно симметричный мир», «Просвещение», М., 1982 9. В. В. Синюков «Вода известная и неизвестная», «Знание», М., 1987 10. Журнал «Raum & Zeit» № 107 11. А. Л. Санин «Структуры и хаос – проблемы физики», «Знание», Л., 1985 12. Журнал «Техника молодёжи», № 5, 1993 13. Журнал «Наука и Жизнь», № 10, 2004. 14. В. Чернобров. «Путешествия во времени. Миф или реальность», «Армада-пресс», М., 2001 15. И. С. Кузнецова. «Гносеологические проблемы математического знания» «Издательство Ленинградског университета», Л., 1984 16. Ю. А. Урманцев. «Симметрия природы и природа симметрии», «Мысль», М., 1974 17. Б. Л. Ван дер Верден. «Пробуждающаяся наука», «Мир», М., 1959 18. «Хрестоматия по истории математики», под ред. А. П. Юшкевича, «Просвещение», М., 1976 19. «Миры братьев Стругацких», Т. 5, «Астрель», М., 2003 20. М. Дрознин. «Библейский код», «ВАГРИУС», М., 2000 21. Дж. Кехо. «Подсознание может всё!», ООО «Попурри», Минск, 2004 201

Франц Герман

Franz Hermann

22. Г. П. Грабовой. «Унифицированная система знаний», Издатель А. В. Калашников, М., 2004 23. О. Оре. «Приглашение в теорию чисел», «Наука», М., 1980 24. А. С. Карпенко. «Логики Лукасевича и простые числа», «Наука», М., 2000 25. Л. Страйер. «Биохимия», Т. 3, «Мир», М., 1985 26. М. Гарднер. «Математические досуги», «Мир», М., 1972 27. Л. Эйлер. Т. 3, «Наука», СПб., 2002 28. W. Heisenberg. «Daedalus», 87, 1958 29. Е. Вигнер. «Этюды о симметрии», «Мир», М., 1971 30. Р. Рихтмайер. «Принципы современной математической физики», Т. 2, «Мир», М., 1984 31. Н. А. Глаголев. «Проективная геометрия», «Высшая школа», М., 1963 32. М. Клайн «Математика. Утрата определённости», «Мир», М., 1984 33. Г. И. Шипов «Теория физического вакуума», ООО «Кирилица-1», М., 2002 34. Н. Н. Непомнящий. «Самые невероятные случаи», «Астрель», М., 2003 35. M. Köcher, A. Krieg «Ebene Geometrie», «Springer-Verlag», Berlin Heidelberg 1993 36. В. В. Прасолов «Задачи по планиметрии» Т. 2., «Наука», М., 1986 37. Г. Вейль «Математическое мышление», «Наука», М., 1989 38. Г. Е. Горелик «Почему пространство трёхмерно», «Наука», М., 1982 39. Ю. Г. Чирков. «Охота за кварками», «Молодая гвардия», М., 1985 40. М. Гарднер «Математические новеллы», «Мир», М., 1974 41. «Das Prophetische in Dostojewskijs „Dämonen“», VDG, Weimar, 1998 42. Журнал «Вопросы литературы», № 5, 1997 43. Б. В. Раушенбах «Пристрастие», «Аграф», М., 2000 44. Г. Вейль. «Теория групп и квантовая механика», «Наука», М., 1986 45. А. С. Сонин. «Постижение совершенства», «Знание», М., 1987

202

Франц Герман

Franz Hermann

46. В. Чолаков «Учёные и открытия», «Мир», М., 1987 47. П. С. Александров «Введение в теорию групп», «Наука», М., 1980 48. Н. М. Бескин. «Деление отрезка в данном отношении», «Наука», М., 1973 49. Р. Н. Щербаков, Л.Ф. Пичурин «От проективной геометрии к неевклидовой» 50. Р. Монро. «Окончательное путешествие» «София», Киев, 2002 51. В. Зеланд. «Трансерфинг реальности», Т. 2, Т. 3. «Весь», СПб., 2004 52. А. В. Бялко. «Наша планета Земля», «Наука», М., 1983 53. Сборник «Прометей №15. В. И. Вернадский», «Молодая гвардия», М., 1988 54. В. Ю. Тихоплав, Т. С. Тихоплав. «Гармония хаоса», ИД «Весь», СПб., 2003 55. Н. В. Ефимов. «Высшая геометрия», «Наука», М., 1971 56. Д. Мельхиседек. «Древняя тайна цветка жизни», Т.1, Т.2, «София», М., 2003 57. «Система. Симметрия. Гармония». Под ред. В. С. Тюхтина, Ю. А. Урманцева, «Мысль», М., 1988 58. П. К. Рашевский. «Курс дифференциальной геометрии», Гос. Изд. технико-теоретической литературы, М., 1956. 59. Н. А. Козырев. «Избранные труды», Изд. ЛГУ, Л., 1991 60. А. Пуанкаре «О науке», «Наука», М., 1990 61. «Совершенно секретно», № 2, 2003

Координаты автора:

Franz Hermann Lindenauer Str. 23 01640 Cоswig Bundesrepublik Deutschland Tel./Fax:

(+49) (0)3523 7 41 17

Электронная почта:

[email protected] [email protected] HTU

UTH

HTU

UTH

203