Весовая оценка промежуточного оператора на конусе неотрицательных функций

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1

УДК 517.51

ВЕСОВАЯ ОЦЕНКА ПРОМЕЖУТОЧНОГО ОПЕРАТОРА НА КОНУСЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Р. Ойнаров Аннотация: Рассматривается интегральный оператор Zx Kβ f (x) =

K β (x, t)f (t) dt,

x > 0, 0 ≤ β ≤ 1, K ≡ K1 .

0

При некотором ограничении на положительную непрерывную функцию K(x, s) получены необходимые и достаточные условия на весовые функции u, v и ρ, при которых справедливо неравенство kuKβ f kq ≤ C(kρf kp + kvKf kr ), f ≥ 0, когда 1 < p, q, r < ∞, q ≥ max{p, r}. Библиогр. 8.

1. Пусть R+ = (0, +∞), µ и λ — неотрицательные борелевские меры на R+ , u, v и ρ — весовые функции на R+ , т. е. неотрицательные локально интегрируемые на R+ функции. Пусть K — интегральный оператор вида Zx Kf (x) =

K(x, t)f (t) dt,

x > 0,

(1)

0

с непрерывным при 0 < s ≤ x < +∞ ядром K(x, t), удовлетворяющим условиям: (а) K(x, s) > 0 при x > s; (б) существует постоянная d ≥ 1 такая, что 1 (K(x, t) + K(t, s)) ≤ K(x, s) ≤ d(K(x, t) + K(t, s)) (2) d для всех x, t, s таких, что 0 < s < t < x < ∞. Оператор вида (1) с условием (б) был введен в работе [1], а различные его свойства исследованы в работах [2, 3]. Класс операторов вида (1) с условиями (а) и (б) включает в себя почти все известные операторы дробного интегрирования, в частности, оператор Римана — Лиувилля 1 Rα f (x) = Γ(α)

Zx

(x − s)α−1 f (s) ds,

α ≥ 1,

0

где Γ(·) — гамма-функция. Введем «промежуточный» оператор вида Zx Kβ f (x) = 0

c 2002 Ойнаров Р.

K β (x, t)f (t) dt,

(3)

162

Р. Ойнаров

где 0 ≤ β ≤ 1, который при β = 1 сводится к оператору (1), а при β = 0 — к оператору интегрирования Zx K0 f (x) =

f (s) ds. 0

Рассмотрим неравенство kKβ f kq,µ ≤ C(kρf kp + kKf kr,λ ),

f ≥ 0,

(4)

где 1 < p, q, r < ∞, k · kp — обычная норма пространства Lp (R+ ), ∞  q1 Z kgkq,µ =  |g(x)|q dµ(x) . 0

В случае, когда в (4) dµ(x) = uq (x) dx, dλ(x) = v r (x) dx, K ≡ Rn , β = m = n − k, 0 ≤ k ≤ n − 1, имеем неравенство kuRm f kq ≤ C(kρf kp + kvRn f kr ),

f ≥ 0,

m−1 n−1 ,

(5)

которое эквивалентно весовой оценке промежуточных производных kuy (k) kq ≤ C(kρy (n) kp + kvykr )

(6)

на классе функции M = {y : y (n) ≥ 0, y (i) (0) = 0, i = 0, 1, . . . , n − 1}. Оценка вида (6) используется в различных задачах математического анализа, и проблема заключается в нахождении необходимых и достаточных условий на весовые функции u, v и ρ таких, что справедливо (6) для всех функций y, для которых конечна правая часть (6). При n = 1, p = r решение этой задачи дано в работах [4–6], а в общем случае вопрос остается открытым. Неравенство (4) в случае, когда dµ(x) = uq (x) dx, dλ(x) = v r (x) dx, 1 < p = r ≤ q < ∞, исследовано в [7] при β = 0, a при β = 1 и 0 < β < 1 основные результаты анонсированы соответственно в [1, 8]. 1 1 −p0 Пусть ρ−1 ≡ ρ1 ∈ Lloc (·)χ[t,z) (·), где p0 (R+ ), p + p0 = 1, и для функции ρ χ[t,z) (·) — характеристическая функция интервала [t, z) ⊂ R+ , правая часть (4) конечна. Тогда из (2) и (4) вытекают следующие необходимые условия на µ и λ: +∞ Z

µ([t, +∞)) ≡

Z dµ(x) < ∞,

t

K

βq

Z∞ (x, t) dµ(x) ≡ t

[t,+∞)

Z∞

+∞ Z

dλ(x) < ∞, t

K βq (x, t) dµ(x) < ∞,

K r (x, t) dλ(x) < ∞

∀t > 0,

t

которые далее будем считать выполненными. В R+ определим функции ϕ(·) и ϕβ (·):   z − 10  ∞  r1 −1 p Z Z 0 ϕ(z) =  inf  ρ−p ds +  K r (x, t) dλ(x)  , 0
t

t

Весовая оценка промежуточного оператора на конусе

163

ϕβ (z) = [ inf (Φβ (t, z) + Ψβ (t, z))]−1 , 0
где 

Zτ

Φβ (t, z) = inf  t<τ
− 10

∞  r1  Z 0 0 K βp (z, s)ρ−p (s) ds +K −β (z, τ ) K r (x, z) dλ(x) , p

t

z

 z  r1  r1 ∞ Z Z Ψβ (t, z) =  K (1−β)r (x, t) dλ(x) + K 1−β (z, t)  dλ(x) . t

z

Положим ∞  q1 Z A1 (z, β) = ϕ(z)  K βq (x, z) dµ(x) ,

∞  q1 Z A2 (z, β) = ϕβ (z)  dµ(x) ,

z

z

Ai ≡ Ai (β) = sup Ai (z, β), i = 1, 2,

Aβ = max{A1 (β), A2 (β)}.

z>0

Заметим, что при β = 0 в силу (2) ϕ0 (z) ≈ ϕ(z) для любых z > 0 и поэтому A0 ≈ A1 (0) ≈ A2 (0). Здесь и далее A << C означает A ≤ αC с некоторой постоянной α > 0, а запись A ≈ C утверждает наличие двусторонней оценки A << C << A. Для удобства примем также соглашения Zz

Z f (x) dµ(x) ≡

f (x) dµ(x). t

[t,z)

2. Основной целью настоящей статьи является доказательство следующей теоремы. Теорема 1. Пусть 1 < p, q, r < ∞, max{p, r} ≤ q, 0 ≤ β ≤ 1, функция K(x, s) непрерывна при 0 < s ≤ x и удовлетворяет условиям (а) и (б). Тогда неравенство (4) выполнено тогда и только тогда, когда Aβ < ∞, причем Aβ ≈ C, где C — константа в (4), наименьшая из возможных. Доказательство. В ходе доказательства без напоминания будут использованы почти неубывание по первому аргументу (dK(x, s) ≥ K(t, s) при x > t > s > 0) и почти невозрастание по второму аргументу (dK(x, s) ≥ K(x, t) при x > t > s > 0) функции K(x, s), вытекающие из левого неравенства (2). 0

Необходимость. Полагая f (·) = ρ−p (·)χ[t,z) (·), имеем 

Z∞

kKβ f kq,µ >> 

 q1 K βq (x, z) dµ(x)

z

kKf kr,λ

Zz

 0

ρ−p (s) ds,

Zz

kρf kp = 

t

t

∞  r1 z Z Z 0 <<  K r (x, t) dλ(x) ρ−p (s) ds. t

t

 p1 0

ρ−p (s) ds ,

164

Р. Ойнаров

Подставив последние оценки в (4) и заметив, что после сокращения обеих частей Rz 0 полученного неравенства на ρ−p (s) ds левая часть его не зависит от t, 0 < t < t

z, получим

∞  q1 Z  K βq (x, z) dµ(x) << Cϕ−1 (z) ∀z > 0. z

Следовательно, A1 (β) << C < ∞. Если β 6= 0, то введем еще функцию 0

0

f (·) = χ[t,τ ) (·)K β(p −1) (z, ·)ρ−p (·),

0 < t < τ < z.

Тогда 

 q1

Z∞

kKβ f kq,µ >> 

Zτ

dµ(x)

0

(7)

t

z



0

K βp (z, s)ρ−p (s) ds,

Zτ

kρf kp = 

 p1 0

0

K βp (z, s)ρ−p (s) ds ,

(8)

t

kKf kr,λ

 z  r1 τ Z Z 0 0 r(1−β)   << K (x, t) dλ(x) K βp (z, s)ρ−p (s) ds t

t

 ∞ τ r  r1 Z Z 0 0 +   (K(x, z) + K(z, s))K β(p −1) (z, s)ρ−p (s) ds dλ(x) z

t

 z ∞  r1  r1 Z Z <<  K r(1−β) (x, t) dλ(x) + K −β (z, τ )  K r (x, z) dλ(x) t

z

∞  r1  τ Z Z 0 0 + K 1−β (z, τ )  dλ(x)  K βp (z, s)ρ−p (s) ds. (9) z

t

Подставляя (7), (8) и (9) в (4) и сокращая обе части полученного неравенства Rτ 0 0 на K βp (z, s)ρ−p (s) ds, а затем учитывая, что левая часть этого неравенства t

не зависит от τ , t < τ < z, и от t, 0 < t < z, получим ∞  q1 Z  dµ(x) << Cϕ−1 (z) ∀z > 0. β z

Отсюда следует, что A2 (β) << C < ∞. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть Aβ < ∞ и для функции f ≥ 0 конечна правая часть (4). Далее рассмотрим два случая: β = 0 и 0 < β ≤ 1. Случай β = 0. В этом случае A0 ≈ A1 (0) ≈ A2 (0) и Zx K0 f (x) =

f (s) ds. 0

Весовая оценка промежуточного оператора на конусе

165

Следовательно, мы должны показать, что из A1 = A1 (0) < ∞ вытекает kK0 f kq,µ ≤ C(kρf kp + kKf kr,λ )

(10)

и C << A1 , где C — константа в (10), наименьшая из возможных. В силу непрерывности и монотонности функции K0 f (x) на R+ существует последовательность точек {xk }k∈Z0 ⊂ R+ , Z0 ⊂ Z, таких, что k−1

2

Zxk f (s) ds ∀k ∈ Z0 ,

= K0 f (xk−1 ) =

R+ =

[

[xk , xk+1 ),

k∈Z0

xk−1

[xi , xi+1 ) ∩ [xj , xj+1 ) = ∅ при i 6= j и K0 f (x) ≤ 2k+1 при xk ≤ x ≤ xk+1 , k ∈ Z0 . Тогда xk+1 xZk+1 X Z X q (k+1)q = |K0 f (x)| dµ(x) ≤ 2 dµ(x).

kK0 f kqq,µ

k∈Z0 x k

k∈Z0

(11)

xk

Из A1 = A1 (0) < ∞ следует, что для любого k ∈ Z0  r1 q  x − 10  ∞ p Z Z∞ Zk 0 K r (x, xk−1 ) dλ(x)  . ρ−p ds +  dµ(x) ≤ Aq1 ϕ−q (xk ) ≤ Aq1  xk

xk−1

xk−1

Поэтому из (11) имеем Zxk

 X

kK0 f kqq,µ ≤ Aq1

2q(k+1) 

k∈Z0

 << Aq1 

 X

2q(k−1) 

k∈Z0

− 10  ρ−p ds

+

xk−1

Zxk

Z∞

p

0

 r1 q K r (x, xk−1 ) dλ(x) 

xk−1

− q0 0

ρ−p ds

+

X

2q(k−2) 

k∈Z0

xk−1

Z∞



p

 rq  K r (x, xk−1 ) dλ(x) 

xk−1

= Aq1 (I1 + I2 ). (12) Учитывая, что q ≥ p и q ≥ r ≥ 1, получим − q0 q  x  x  pq  x p Zk Zk Zk X X 0   I1 = f (s) ds  ρ−p ds ≤ |ρf |p ds k∈Z0

xk−1

k∈Z0

xk−1

xk−1

 pq xk Z X  ≤ |ρf |p ds ≤ kρf kqp , 

k∈Z0x

k−1

 I2 =

X

Z∞

 k∈Z0



 rq

K(x, xk−1 )f (s) ds dλ(x)

 xk−1

r

xZk−1 xk−2

 ≤

xi XX Z

k∈Z0 i≥kx i−1



xZk−1

r

 rq

K(x, xk−1 )f (s) ds dλ(x)

 xk−2

(13)

166

Р. Ойнаров  xk−1 r  rq  xi Z X Z X  K(x, s)f (s) ds dλ(x) <<  i x k≤i i−1

xk−2

  r  rq xk−1 xi X Z X Z  ≤ K(x, s)f (s) ds dλ(x) ≤ kKf kqr,λ . (14) i x i−1

k≤ix k−2

Из (12)–(14) следует (10) с оценкой C << A1 . Случай 0 < β ≤ 1. Из условии (2) вытекает, что
K β (x, s) ≤ dβ K β (x, t) + K β (t, s) , 0 < s < t < x.

(15)

Положим D = dβ + 1 и для любого k ∈ Z определим xk = sup{x > 0 : Kβ f (x) ≤ Dk }. Очевидно, что xk ≤ xk+1 и в силу непрерывности функции Kβ f (x) будет Dk = Kβ f (xk ), если xk < ∞. Пусть Zβ = {k : Dk = Kβ f (xk ), k ∈ Z}. Тогда [xi , xi+1 ) ∩ [xj , xj+1 ) = ∅ при i 6= j, i ∈ Zβ , j ∈ Zβ и [ R+ = [xk , xk+1 ), Kβ f (x) ≤ Dk+1 при xk ≤ x ≤ xk+1 , k ∈ Zβ . (16) k∈Zβ

Для k ∈ Zβ в силу (15) имеем D

k−1

k

β

=D −d D

k−1

Zxk

β

K (xk , s)f (s) ds − d

=

β

0

Zxk ≤

xZk−1

K β (xk−1 , s) ds

0

β

β

xZk−1

β

K (xk , s)f (s) ds + d K (xk , xk−1 ) xk−1

f (s) ds 0

Zxk <<

K β (xk , s)f (s) ds + K β (xk , xk−1 )K0 f (xk−1 ). (17)

xk−1

Из (16) следует kKβ f kqq,µ

=

xk+1 X Z

xZk+1 X
q q(k+1) Kβ f (x) dµ(x) ≤ D dµ(x)

k∈Zβ x k

k∈Zβ

=

X

+

k∈Z0β

X

Dq(k+1)

k∈Z00 β

xk xZk+1

dµ(x) = I 0 + I 00 ,

(18)

xk

где Z00β = Z − Z0β и k ∈ Z0β , если Φβ (xk−1 , xk ) ≤ Ψβ (xk−1 , xk ). Используя (17), оценим I 0 и I 00 по отдельности: I0 =

X k∈Z0β

Dq(k+1)

xZk+1

dµ(x) << xk

X k∈Z0β

Dq(k−2)

xZk+1

dµ(x) xk

(19)

Весовая оценка промежуточного оператора на конусе 

xZk−1

X  <<  k∈Z0β

X

+

K

q β

xZk+1

dµ(x)

 K (xk−1 , s)f (s) ds xk

xk−2

βq

167

q

xZk+1

(xk−1 , xk−2 )(K0 f (xk−2 ))

k∈Z0β

dµ(x) = I10 + I20 . (20)

xk

Из условия A2 = A2 (β) < +∞ и из (19) выводим, что для k ∈ Z0β Z∞

q q dµ(x) ≤ Aq2 ϕ−q β (xk ) << A2 (Ψβ (xk−1 , xk )) .

xk

Поэтому  q xZk−1 X
q   I10 << Aq2 K β (xk−1 , s)f (s) ds Ψβ (xk−1 , xk )  k∈Z0β

xk−2

 << Aq2

X  

k∈Z0β

q 

xZk−1

  K β (xk−1 , s)f (s) ds 

xk−2

Zxk

 rq  K r(1−β) (x1 , xk−1 ) dλ(x)

xk−1

q

 ∞  rq xZk−1 Z X   + Aq2 K β (xk−1 , s)f (s) ds K q(1−β) (xk , xk−1 )  dλ(x)  

k∈Z0β

xk−2

xk

=

0 Aq2 (I11

0 + I12 ). (21)

Так как q ≥ r ≥ 1, имеем  0 I11 =

X

Zxk

 k∈Z0β

 K r(1−β) (x, xk−1 )

xk−1

r

xZk−1

K β (xk−1 , s)f (s) ds dλ(x)

xk−2

 << 

xk X Z

xZk−1



r

 rq

K(x, s)f (s) ds dλ(x) ≤ kKf kqr,λ ,

 k∈Z0βxk−1

xk−2

 rq  r Z∞ xZk−1   K β (xk−1 , s)K (1−β) (xk , xk−1 )f (s) ds dλ(x) 

0 I12 =

X k∈Z0β

 rq

xk

xk−2

 xk−1 r  rq xi+1 Z X X Z  <<  K(x, s)f (s) ds dλ(x) 

k∈Zβ i≥k x i

xk−2

  xk−1 r  rq xi+1 Z X Z X  = K(x, s)f (s) ds dλ(x) i

xi

k≤i

xk−2

(22)

168

Р. Ойнаров  r  rq  xk−1 xi+1 X Z X Z  K(x, s)f (s) ds dλ(x) ≤ kKf kqr,λ . (23) <<  i

k≤i x k−2

xi

Из (21)–(23) следует, что I10 << Aq2 kKf kqr,λ . Переходим к оценке I20

=

X

K

βq

(24)

I20 : q

xZk+1

dµ(x) ≤

(xk−1 , xk−2 )(K0 f (xk−2 ))

k∈Z0β

Z∞

xk

где X

dµ0 (s) =

K βq (xk−1 , xk−2 )

k∈Z0β

|K0 f (s)|q dµ0 (s),

(25)

0 xZk+1

dµ(x)δxk−2 (s) ds,

(26)

xk

δxk−2 (s) — дельта-функция Дирaка в точке xk−2 ∈ R+ . Как мы уже показали, имеет место оценка в виде (10) Z∞

bq (kρf kp + kKf kr,λ )q , |K0 f (s)|q dµ0 (s) << A 0

(27)

0

где 

 q1

Z∞

dµ0 (s) ϕ(z).

b0 = sup  A z>0

z

В силу (26) Z∞

X

dµ0 (s) = z

K

βq

xZk+1

(xk−1 , xk−2 )

xk−2 ≥z

dµ(x) xk

xZk+1

X

<<

K

βq

Z∞ (x, xk−2 ) dµ(x) <<

xk−2 ≥z x k

K βq (x, z) dµ(x).

z

Значит, 

Z∞

b0 << sup ϕ(z)  A z>0

 K βq (x, z) dµ(x) = A1 (β) ≡ A1

z

и из (25), (27) следует, что I20 << Aq1 (kρf kp + kKf kr,λ )q .

(28)

Из (20), (24) и (28) имеем I 0 << Aqβ (kρf kp + kKf kr,λ )q .

(29)

Теперь оценим I 00 . Ввиду (17) I 00 = D2q

X k∈Z00 β

Dq(k−1)



xZk+1

dµ(x) << xk

X  

k∈Z00 β

Zxk xk−1

q  K β (xk , s)f (s) ds

Весовая оценка промежуточного оператора на конусе xZk+1

×

dµ(x) +

X

K

βq

xZk+1

(xk , xk−1 )

k∈Z00 β

xk

169

dµ(x)(K0 f (xk−2 ))q = I100 + I200 . (30)

xk

Выражение I200 оценивается точно так же, как и I20 , т. е. I200 << Aq1 (kρf kp + kKf kr,λ )q .

(31)

Так как Φβ (xk−1 , xk ) > Ψβ (xk−1 , xk ) при k ∈ Z00β , поступая так же, как при оценке I10 , имеем  q Zxk X   I100 << Aq2 K β (xk , s)f (s) ds (Φβ (xk−1 , xk ))q .  k∈Z00 β

xk−1

Выберем τ = τk ∈ (xk−1 , xk ) так, чтобы Zτk

Zxk

β

K (xk , s)f (s) ds = xk−1

K β (xk , s)f (s) ds.

τk

Тогда − 10

Zτk

 Φβ (xk−1 , xk ) ≤ 

p

K

βp0

(xk , s)ρ

−p0

(s) ds

xk−1

 + K −β (xk , τk ) 

Z∞

 r1 K r (x, xk ) dλ(x)

xk

и  I100 << Aq2

X

K −βq (xk , τk ) 

k∈Z00 β

+

X  

k∈Z00 β

 << Aq2

X

Z∞

 k∈Z00 β

K β (xk , s)f (s) ds 

Zτk

X X

Z∞

 rq K r (x, xk ) dλ(x)

xk

q  β

− q0 p

Zτk K

  K (x, s)f (s) ds 

βp0

(xk , s)ρ

−p0

 (s) ds

xk−1

xk−1

  pq x r  rq Zk Zτk X   K r (x, xk )  f (s) ds dλ(x) + Aq2 |ρf |p ds 

xk

 << Aq2 

q 

τk

 Aq2

Zxk

k∈Z00 β

τk x Zi+1

i≥k x k∈Z00 β i

xk−1

 pq x r  τk Z Zk X   K(x, s)f (s) ds dλ(x) + Aq2  |ρf |p ds  q r



k∈Z00 β xk−1

τk

  r  rq x xk i+1 Z Z X X   << Aq2  K(x, s)f (s) ds dλ(x)  i

xi

k≤ix k−1

170

Р. Ойнаров  pq Zxk X   + Aq2  | ρf |p ds << Aq2 (kρf kp + kKf kr )q . 

k x k−1

Отсюда и из (31), (30) следует, что I 00 << Aqβ (kρf kp + kKf kr )q . Это неравенство вместе с (29) и (18) приводит к соотношению kKβ f kq,µ << Aβ (kρf kp + kKf kr )q . Следовательно, и в случае 0 < β ≤ 1 доказана справедливость (4) с оценкой Aβ >> C. Теорема 1 доказана. Так как функции Ai (z, β), i = 1, 2, суть произведения двух локально ограниченных функций, конечность Aβ зависит от поведения функции Ai (z, β) на концах интервала R+ . Поэтому справедлива Теорема 10 . Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда неравенство (4) выполнено тогда и только тогда, когда lim Ai (z, β) < ∞,

i = 1, 2,

(32)

lim Ai (z, β) < ∞,

i = 1, 2.

(33)

z→0

z→∞

3. В качестве примера рассмотрим неравенство
kRm f kq,µ ≤ C kf kp,γ + kRn f kr,λ ,

f ≥ 0,

(34)

где m = n−k, n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n−1, dµ(x) = xµq dx, dγ(x) = xγp dx, dλ(x) = xλr dx, µ, γ, λ ∈ R, которое эквивалентно неравенству ky (k) kq,µ ≤ C(ky (n) kp,γ + kykr,λ ),

y ∈ M.

(35)

Утверждение. Пусть 1 < p, q, r < ∞, q ≥ max{p, r}, m = n − k, n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n − 1. Тогда неравенство (34) (соответственно (35)) выполнено для всех функций f ≥ 0, f 6≡ 0 (y ∈ M , y 6≡ 0), для которых конечна правая часть (34) ((35)), тогда и только тогда, когда µ + m − 1 + 1/q < 0,

λ + n − 1 + 1/r < 0,

(36)

max{γ − 1 + 1/p, λ + n − 1 + 1/r} ≥ µ + m − 1 + 1/q ≥ min{γ − 1 + 1/p, λ + n − 1 + 1/r} при γ < 1 − 1/p, λ + n − 1 + 1/r ≤ µ + m − 1 + 1/q

при γ ≥ 1 − 1/p.

(37) (38)

Доказательство. Условие (36) эквивалентно существованию хотя бы одной функции f ≥ 0, f 6≡ 0, для которой имеет место (34). Функции ϕ и ϕβ ≡ ϕm имеют вид  z − 10  ∞  r1 −1 p Z Z 0 ϕ(z) = inf  x−γp dx +  xλr (x − t)r(n−1) dx  , 0
t

t

Весовая оценка промежуточного оператора на конусе

171

ϕm (z) = [ inf (Φm (t, z) + Ψk (t, z))]−1 , 0
где Φm (t, z) = inf g(t, τ, z), t<τ
 τ ∞  r1 − 10 p Z Z 0 0 g(t, τ, z)=  x−γp (z − x)p (m−1) dx +(z−τ )−m+1  xλr (x − z)r(n−1) dx , t

z

 r1 ∞  z  r1 Z Z Ψk (t, z) =  xλr (x − t)rk dx + (z − t)k  xλr dx . z

t

Произведем необходимые оценки функции ϕ и ϕm . Учитывая, что ϕ1 ≈ ϕ, в основном оцениваем функцию ϕm . Оценим снизу функцию ϕ−1 m (z) :  z − 10  ∞  r1  p Z Z 0 Φm (t, z) ≥ z −m+1  x−γp dx +  xλr (x − z)r(n−1) dx , t

z

 z  r1   r1  ∞ Z Z Ψk (t, z) = z −m+1  xrλ z r(m−1) (x−t)rk dx +  xrλ [z m−1 (z−t)k ]r dx  t

z

 z  r1  ∞  r1  Z Z ≥ z −m+1  xrλ (x − t)r(n−1) dx +  xrλ (z − t)r(n−1) dx . t

z

Следовательно, −m+1 −1 ϕ−1 ϕ (z). m (z) >> z

Если γ <

1 p0 ,

(39)

то ϕ−1 (z) >> max{z

γ− p10

1

, z λ+n−1+ r }.

(40)

1 p0

При γ ≥ рассмотрим два случая: z < 1 и z > 1. В случае z < 1 1 ϕ−1 (z) >> z λ+n−1+ r . Пусть γ >

1 p0

и z > 1. Тогда

ϕ−1 (z) >> inf (t 0
В случае γ =

(41)

γ− p10

1

+ tλ+n−1+ r ) ≥

inf (t

0
γ− p10

1

+ tλ+n−1+ r ) >> 1.

(42)

1 p0

и z > 1 имеем   z − 10  p Z   dx  −1 λ+n−1+ r1  ϕ (z) >> min inf t , inf 1
− p10

= min{1, | ln z|

− p10

} = | ln z|

. (43)

Оценим сверху функцию ϕ−1 m (z):       1 1 1 1 1 −1 z, z + Ψk z, z << g z, z, z + z −m+λ+n+ r ϕm (z) ≤ Φm 3 3 3 2 << z −m+1 max{z

γ− p10

1

, z λ+n−1+ r }. (44)

172

Р. Ойнаров 1 p0

Из (39), (40) и (44) следует, что при γ <

1

ϕm (z) ≈ z m−1 min{z p0 Если γ ≥

1 p0

−γ

1

, z −(λ+n−1+ r ) }.

(45)

и z < 1, то из (39), (41) и (44) получим 1

ϕm (z) ≈ z m−(λ+n+ r ) .

(46)

А в случае z > 1 из (39), (42) и (43) следует, что при γ > 1/p0 ,

ϕm (z) << z m−1 ϕm (z) << z m−1 | ln z|

1 p0

(47)

при γ = 1/p0 .

(48)

На основании теоремы 10 неравенство (34) выполнено тогда и только тогда, когда lim Ai (z, m) < ∞, i = 1, 2, (49) z→0

lim Ai (z, m) < ∞,

z→∞

i = 1, 2,

(50)

где ∞  q1 Z 1 A1 (z, m) = ϕ(z)  x(µ−1)q (x − z)µq dx ≈ ϕ(z)z µ+m+ q −1 , z

∞  q1 Z 1 A2 (z, m) = ϕm (z)  xµq dx ≈ ϕm (z)z µ+ q . z

Из (36), (47) и (48) следует, что при γ ≥ p10 условие (50) всегда имеет место, а из (46) вытекает, что (49) выполнено тогда и только тогда, когда λ − µ ≤ 1q − 1r − k. Если γ < p10 , то ввиду (36), (45) условия (49), (50) эквивалентны соответственно правому и левому неравенствам (37). Утверждение доказано. 4. Рассмотрим неравенство
kKβ∗ gkqµ ≤ C kρgkp + kK ∗ gkr,λ , где

Z∞

∗

K(x, s)g(x) dx,

K g(s) =

Kβ∗ g(s)

s

Z∞ =

g ≥ 0,

(51)

K β (x, s)g(x) dx,

s

0 ≤ β ≤ 1, функция K(x, s) непрерывна при x ≥ s > 0 и удовлетворяет условиям (а) и (б). Предположим, что весовая функция ρ и неотрицательные борелевские меры µ, λ удовлетворяют условиям ρ−1 ∈ Lloc p0 (R+ ),

Zt

Zt dµ(s) < ∞,

0

Zt

0

Zt dλ(s) < ∞,

0

K βq (t, s) dµ(s) < ∞,

0

K r (t, s) dλ(s) < ∞

∀t > 0.

Весовая оценка промежуточного оператора на конусе

173

Положим  t − 10  t  r1 −1 p Z Z 0 ϕ∗ (z) =  inf  ρ−p ds +  K r (t, s) dλ(s)  , 

z
z

ϕ∗β (z)

0

= [ inf (Φβ (z, t) + Ψβ (z, t))]−1 , z
где  t − 10  z  r1  p Z Z 0 0 Φ∗β (z, t) = inf  ρ−p (x)K βp (x, z) dx + K −β (τ, z) K r (z, s) dλ(s) , z<τ
τ

0

 t  r1  z  r1 Z Z Ψ∗β (z, t) =  K (1−β)r (x, z) dλ(x) + K 1−β (t, z)  dλ(s) , z

0

 z  q1 Z A∗1 (z, β) = ϕ∗ (z)  K βq (z, s) dµ(s) ,

 z  q1 Z A∗2 (z, β) = ϕ∗β (z)  dµ(s) , 0

0

A∗β

=

max{sup A∗i (z, β), z>0

i = 1, 2}.

Аналогично теореме 1 доказывается Теорема 2. Пусть 1 < p, q, r < ∞, q ≥ max{p, r}, 0 ≤ β ≤ 1. Пусть также функция K(x, s) непрерывна при 0 ≤ s ≤ x и удовлетворяет условиям (а) и (б). Тогда неравенство (51) выполнено в том и только в том случае, когда A∗β < ∞, причем A∗β ≈ C, где C — константа в (51), наименьшая из возможных. ЛИТЕРАТУРА 1. Ойнаров Р. Весовые неравенства для одного класса интегральных операторов // Докл. АН СССР. 1991. Т. 319, № 5. С. 1076–1076. 2. Ойнаров Р. Двусторонние оценки норм некоторых классов интегральных операторов // Тр. МИ РАН.. 1993. Т. 204. С. 240–250. 3. Stepanov V. D. Weighted norm inequalities for integral operators and related topics // Nonlinear analysis, function spaces and applications: Proc. Spring School held in Prague, May 23-28, 1994.. Prague, 1994. V. 5. P. 139–175. 4. Ойнаров Р., Отелбаев М. Критерии дискретности спектра общего оператора Штурма — Лиувилля и теоремы вложения, связанные с ними // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 4. С. 584–591. 5. Oinarov R. On weighted norm inequalities with three weights // J. London Math. Soc.. 1993. V. 48, N 1. P. 137–151. 6. Ойнаров Р. Об одном трехвесовом неравенстве // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат.. 1992. № 1. С. 47–51. 7. Ойнаров Р. Об одном трехвесовом обобщении неравенства Харди // Мат. заметки. 1993. Т. 54, № 2. С. 56–62. 8. Ойнаров Р., Чагиров А. А. Трехвесовое неравенство с интегральным оператором // Докл. НАН РК. 1993. № 2. С. 13–16. Статья поступила 12 октября 2000 г. Ойнаров Рыскул Институт математики МОиН Республики Казахстан ул. Пушкина, 125, Алматы 480100, Казахстан [email protected]