Современная математика. Фундаментальные направления. Том 2 (2003). С. 57–69 УДК 517.95+517.958
О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО ВЯЗКИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ c 2003 г.
В. Г. ЗВЯГИН
АННОТАЦИЯ. В статье рассмотрены постановки начально-краевых и начальных задач, возникающих в ряде моделей движения нелинейно вязкой или вязкоупругой несжимаемой жидкости и приведены теоремы существования для этих задач. В частности, описаны постановки начально-краевых задач, возникающих в регуляризованной модели движения вязкоупругой жидкости с определяющим соотношением Джеффриса. Сформулированы теоремы существования слабых и сильных решений этих задач в ограниченных областях. Рассмотрена начальная задача для нелинейно вязкой жидкости во всем пространстве. Указаны оценки на правую часть и начальные условия, при которых существуют локальные и глобальные решения этой задачи. Описана модифицированная модель Литвинова для ламинарных и турбулентных течений нелинейно вязкой жидкости с памятью. Сформулирована теорема существования слабых решений начально-краевой задачи, возникшей в этой модели.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Начально-краевые задачи в математических моделях вязкоупругих жидкостей . . . . . 2. Нелинейно вязкая жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. О модификации модели Литвинова для ламинарного и турбулентного потоков с памятью Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57 58 62 64 69
ВВЕДЕНИЕ Хорошо известно, что движение несжимаемой жидкости может быть описано системой уравнений в форме Коши ∂v ∂v ρ + vi = − grad p + Div σ + ρϕ, (t, x) ∈ (0, T ) × Ω, (0.1) ∂t ∂xi где v(t, x) = (v1 (t, x), . . . , vn (t, x)) — вектор скорости частицы в точке x из области Ω ⊂ Rn в момент времени t; σ — дивиатор тензора напряжения, ρ — плотность жидкости; p = p(t, x) — давление жидкости в точке x в момент времени t; ϕ — вектор-функция внешних сил, действующих на жидкость. Здесь и далее мы пользуемся общепринятым обозначением суммирования по повторяющемуся индексу. Особенность уравнения (0.1) состоит в том, что σ явно не выражена через переменные (v, p) системы (0.1). Для того чтобы избежать связанных с этим трудностей, сделаем следующее. Обозначим через E = (Eij ) тензор скорости деформации с компонентами ∂vj 1 ∂vi Eij = Eij (v) = + , i, j = 1, 2, . . . , n, 2 ∂xj ∂xi и далее будем считать, что верна гипотеза Стокса: тензор напряжения σ полностью определяется тензором скорости деформации, т. е. σ может быть некоторым образом выражен через E. Тип рассматриваемой жидкости определяется выбором соотношения между σ и E. В литературе это соотношение называется определяющим отношением. c
2003 МАИ
57
58
В. Г. ЗВЯГИН
Наиболее известна модель с определяющим отношением σ = 2µ0 E, где µ0 > 0 постоянна. Такая жидкость называется ньютоновской. Уравнения движения такой жидкости называются уравнениями Навье—Стокса. Данная модель описывает большинство возникающих на практике жидкостей, движущихся с достаточно малой скоростью. Конечно, существуют несжимаемые жидкости с другими определяющими отношениями. Существует большое число вязкоупругих жидкостей с определяющими отношениями, предложенными Максвеллом, Кельвином, Фойгтом, Джеффрисом, Олдройтом и др. Эти отношения представляют собой некоторые комбинации отношений Ньютона (σ = 2µ0 E) и закона Гука (σ = 2µd), где d — тензор деформации. Тем не менее в большинстве математических моделей, соответствующих этим определяющим отношениям, разрешимость начально-краевой задачи либо не доказана, либо доказана при дополнительных ограничениях. Ниже, в первом разделе, с этой точки зрения будет рассмотрена модель Джеффриса—Олдройта. Кроме того, существуют нелинейно вязкие жидкости, например жидкости Рейнера—Ривлина. Для такого рода жидкости σ = φ1 (I2 , I3 )E + φ2 (I2 , I3 )E 2 . Здесь E 2 — квадрат матрицы (тензора) E, I2 = T r(E 2 ), I3 = det E. Одним из первых исследователей математических моделей Рейнера—Ривлина, был В. Г. Литвинов [5]. Здесь, так же как и для уравнений Навье—Стокса, возникает вопрос о разрешимости задачи Коши для произвольного интервала времени. Во втором разделе будет рассмотрена более общая модель (по сравнению с моделью Рейнера—Ривлина), а также будут сформулированы условия существования решений соответствующей задачи Коши. Разумеется, существуют также модели, совмещающие свойства нелинейно вязких и вязкоупругих жидкостей. Одна из таких моделей рассматривается в третьем разделе. Это вариант модели Литвинова [8], описывающей ламинарные и турбулентные потоки в случае движения жидкости «с памятью». 1.
НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ
ЗАДАЧИ
В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ
Рассмотрим определяющее отношение вида d −1 d σ = 2ν 1 + κν E, λ, ν, κ > 0, 1+λ dt dt где ∂vj 1 ∂vi E = (Eij ), Eij = Eij (v) = + , i, j = 1, 2, . . . , n. 2 ∂xj ∂xi
(1.1)
Уравнение (1.1) содержит полную производную d/dt, вычисляемую вдоль траекторий движения. Эти траектории определяются полем скоростей v(t, x). Данное определяющее отношение было предложено Джеффрисом и затем подробно изучено Олдройтом [6]. Начально-краевая задача, моделирующая движение жидкости с определяющим отношением (1.1), имеет вид ρ
∂v ∂v + vi ∂t ∂xi
Zt
− µ0 Div E(v) − µ1 Div
e−
t−s λ
E(v)(s, z(s; t, x)) ds = − grad p + ρϕ,
(1.2)
0
div v = 0, (t, x) ∈ (0, T ) × Ω, Zτ z(τ ; t, x) = x + v(s, z(s; t, x)) ds, τ ∈ [0, T ], (t, x) ∈ (0, T ) × Ω,
(1.3)
t
v(0, x) = v 0 (x),
x ∈ Ω,
v |(0,T )×Γ = 0.
(1.4)
Здесь µ0 , λ — положительные константы, µ1 — произвольная константа, Ω есть некоторая ограниченная область в Rn (2 6 n 6 4) с границей Γ.
ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ
59
Пусть V = v ∈ W21 (Ω)n : v Γ = 0, div v = 0 есть гильбертово пространство вектор-функций v = (v1 , ..., vn ); обозначим замыкание V по норме L2 (Ω)n через H, а сопряженное к V пространство — через V ∗ . Определение. Слабым решением задачи (1.2)–(1.4) при заданных φ ∈ L2 (0, T ; H) и v 0 ∈ H называется функция v ∈ L2 (0, T ; V ), такая, что при всех h ∈ V и почти всех t ∈ (0, T ) выполняется соотношение Zt d − t−s e λ E(v)(s, z(s; t, x)) ds, E(h) − ρ (v(t), h)L2 (Ω)n + µ0 (E(v(t)), E(h))L2 (Ω)n + µ1 dt L2 (Ω)n 0 (1.5) ∂hi = (ρϕ(t), h)L2 (Ω)n , −ρ vi (t)vj (t), ∂xj L2 (Ω)n где z(τ ; t, x) — функция, удовлетворяющая уравнению (1.3), и v(0) = v 0 .
(1.6)
Для изучения вопроса о существовании слабых решений задачи (1.2)–(1.4) применим операторный подход. Для этого введем функциональные пространства E = L2 (0, T ; V ),
E1∗ = L1 (0, T ; V ∗ ).
Через C 1 D(Ω) обозначим множество всех биективных отображений z : Ω → Ω, совпадающих на Γ с тождественным, имеющих непрерывные частные производные первого порядка и таких, что ∂z det = 1. ∂x Будем считать, что это множество наделено нормой пространства C(Ω)n . Рассмотрим также множество CG = C [0, T ] × [0, T ] ; C 1 D Ω . n Заметим, что CG ⊂ C [0, T ] × [0, T ] ; C Ω . Поэтому множество CG можно рассматривать как метрическое пространство с метрикой, индуцируемой нормой пространства n C [0, T ] × [0, T ] ; C Ω . Обозначим через (f, v) действие функционала f ∈ V ∗ на функцию v ∈ V . Введем следующие операторы: 1) A : V → V ∗ , (A (v) , h) = µ0 (ε (v) , ε (h))L2 (Ω) , v, h ∈ V ; 2) K : V → V ∗ , (K (v) , h) =
n X i,j=1
∂hi ρ vi vj , , ∂xj L2 (Ω)
v, h ∈ V ;
3) для v ∈ E и z ∈ CG функционал C (v, z) на V может быть при каждом фиксированном t ∈ (0, T ) задан формулой t Z t−s (C (v, z) (t) , h) = µ1 e− λ ε (v) (s, z (s; t, x)) ds, ε (h) . 0
L2 (Ω)n
Отождествим H и H ∗ . Тогда, учитывая вложения V ⊆ H ≡ H ∗ ⊆ V ∗, действие элемента v ∈ E на h ∈ V для почти всех t ∈ [0, T ] можно определить равенством (v (t) , h) = (v (t) , h)L2 (Ω)n . Таким образом, имеем представление d d (v (t) , h)L2 (Ω)n = (v (t) , h) = v 0 (t) , h , dt dt
60
В. Г. ЗВЯГИН
где v 0 (t) рассматривается как локально интегрируемая функция со значениями в V ∗ . В наших обозначениях уравнение (1.5) эквивалентно операторному уравнению ρv 0 + A(v) − K(v) + C(v, z) = f.
(1.7)
∗ ).
Заметим, что если v ∈ E, то K(v) ∈ L1 (0, T ; V Следовательно, соотношение (1.7) можно рассматривать как равенство элементов в пространстве L1 (0, T ; V ∗ ); при этом для решения v имеем v 0 ∈ L1 (0, T ; V ∗ ). Таким образом, задача существования слабых решений принимает вид ρv 0 + A(v) − K(v) + C(v, z) = f,
(1.8)
Zτ v(s, z(s; t, x)) ds,
z(τ ; t, x) = x +
τ ∈ [0, T ],
(t, x) ∈ (0, T ) × Ω,
(1.9)
t
v(0) = v 0 .
(1.10)
Для ее разрешимости необходима разрешимость уравнения (1.9). Однако существование решения уравнения (1.9) при фиксированном v доказано только в случае v ∈ L1 (0, T ; C(Ω)); данное решение единственно, если v ∈ L1 (0, T ; C 1 (Ω)) и v |(0,T )×Γ = 0. В связи с этим ниже будем рассматривать не саму задачу (1.8)–(1.10), а некоторую ее регуляризацию. Как было отмечено в [9], следует сгладить поле скоростей в каждый момент времени t посредством усреднения по переменной x и определить траектории z(τ ; t, x) для сглаженного поля скоростей. Выберем сглаживающий оператор Sδ : H → C 1 (Ω) ∩ V , δ > 0, такой, что Sδ (v) → v в H при δ → 0 и отображение Sδ : L2 (0, T ; H) → L2 (0, T ; C 1 (Ω) ∩ V ), порождаемое этим оператором, непрерывно. Заменяя уравнение (1.9) в системе (1.8)–(1.10) на уравнение Zτ z(τ ; t, x) = x + Sδ v(s, z(s; t, x)) ds, τ ∈ [0, T ], (t, x) ∈ (0, T ) × Ω, (1.11) t
получаем регуляризованную задачу (1.8), (1.10), (1.11). Рассмотрим вопрос о существовании слабых решений регуляризованной задачи. Для каждой функции v ∈ L2 (0, T ; V ) уравнение (1.11) имеет единственное решение Zδ (v) в классе CG, а именно z(τ ; t, x) = Zδ (v)(τ ; t, x). Подставляя Zδ (v) вместо z в уравнение (1.8), приходим к задаче ρv 0 + A(v) − K(v) + C(v, Zδ (v)) = f, 0
v(0) = v .
(1.12) (1.13)
Определение. Слабым решением регуляризованной задачи (1.8), (1.10), (1.11) при заданных f ∈ L1 (0, T ; V ∗ ) и v 0 ∈ H называется функция v ∈ L2 (0, T ; V ), такая, что v 0 ∈ L1 (0, T ; V ∗ ) и выполняются равенства (1.12), (1.13). Следующий результат был получен Дмитриенко и Звягиным [4]. Теорема 1.1. Если 2 6 n 6 4, то регуляризованная задача (1.8), (1.10), (1.11) имеет по меньшей мере одно слабое решение для каждой функции f ∈ L1 (0, T ; H ∗ ) + L2 (0, T ; V ∗ ) и любого элемента v 0 ∈ H. Приведем схему доказательства теоремы 1.1. Как мы видели выше, регуляризованная задача (1.8), (1.10), (1.11) может быть записана в операторном виде (1.12), (1.13). Таким образом, мы должны рассматривать операторы A, K, C, действующие из пространства W1 = {v : v ∈ E, v 0 ∈ E1∗ } в пространство E1∗ . В этом случае операторы A, K, C уже не обладают свойствами, позволяющими применить какие-либо известные методы исследования разрешимости задачи (1.12), (1.13). Поэтому поступим следующим образом. Изменим уравнение (1.12) так, чтобы все слагаемые в нем принадлежали L2 (0, T ; V ∗ ). Для этого введем оператор ui uj ∂hi ∗ Kε : V → V , (Kε (u), h) = ρ , . 1 + ε|u|2 ∂xj L2 (Ω)n
ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ
61
Предположим, что f = f1 + f2 , где f1 ∈ L1 (0, T ; H ∗ ) и f2 ∈ L2 (0, T ; V ∗ ). Аппроксимируем функцию f1 ∈ L1 (0, T ; H ∗ ) функциями f1,ε ∈ L2 (0, T ; H ∗ ) так, что f1,ε → f1 в L1 (0, T ; H ∗ ) при ε → 0. Положим fε = f1,ε + f2 . Рассмотрим начальную задачу для аппроксимирующего уравнения ρv 0 + A(v) − Kε (v) + C(v, Zδ (v)) = fε ,
(1.14)
v(0) = v 0 .
(1.15)
Теорема 1.2. Для любых ε > 0, fε ∈ E ∗ и v 0 ∈ H задача (1.14), (1.15) имеет по меньшей мере одно решение v ∈ L2 (0, T ; V ), такое, что v 0 ∈ L2 (0, T ; V ∗ ). Доказательство теоремы 1.2 основано на следующем соображении. Положим W = {v : v ∈ E, v 0 ∈ E ∗ }. Определим отображения L, G, Kε : W → E ∗ × H при помощи равенств L(v) = (ρv 0 + A(v), v|t=0 ),
G(v) = (C(v, Zδ (v)), 0),
Kε = (Kε , 0).
Тогда задача (1.14), (1.15) будет эквивалентна операторному уравнению L(v) = Kε − G(v) + (fε , v 0 ). Разрешимость данного уравнения устанавливается методами теории топологической степени. Один из вариантов указанной теории описан в [3]. Для доказательства теоремы 1.1 при любых εl > 0, таких, что εl → 0, мы построим последовательность решений vεl задачи (1.14), (1.15). Имеет место следующее утверждение. Теорема 1.3. Произвольное решение v ∈ W задачи (1.14), (1.15) при ε > 0 удовлетворяет оценке kvk2W1 6 C (1 + kf1,ε kL1 (0,T ;H ∗ ) + kf2 kE ∗ + kv 0 kH )2 с константой C, не зависящей от ε. Далее, наличие априорной оценки для решений задачи (1.14), (1.15) позволяет выбрать подпоследовательность vεl , такую, что ее предел v ∗ в смысле обобщенных функций является решением задачи (1.12), (1.13). Рассмотрим также сильные решения регуляризованной задачи (1.2), (1.11), (1.4), т. е. решения, которые вместе со своими производными принадлежат L2 (QT ), где QT = Ω × [0, T ]. Следующий результат также получен Дмитриенко и Звягиным. Теорема 1.4. Пусть v 0 ∈ V , ϕ ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)n ) и n = 2, 3. Пусть T > 0 — произвольная константа в случае n = 2 и T < T0 в случае n = 3, где T0 — некоторая константа, зависящая от начальных данных задачи. Тогда задача (1.2), (1.11), (1.4) имеет по меньшей мере одно сильное решение (v, p) ∈ W21,2 (QT ) × P , где Z p(t, x) dx = 0 для почти всех t ∈ (0, T ) . P = p : p ∈ W20,1 (QT ), Ω
В заключение отметим еще раз, что исследование как слабых, так и сильных решений начальнокраевой задачи для уравнений движения (1.2) связано с определенными трудностями, а именно: поле скоростей, определяемое решением задачи, не позволяет восстановить траектории движения частиц или траектории не обладают гладкостью, необходимой для корректной модели. В связи с этим в работах [1, 7] полная производная d/dt в соотношении (1.1) заменялась частной производной ∂/∂t. В результате мы больше не нуждаемся в информации о траекториях движения частиц. Но, как отмечается в [6, с. 786], замена полной производной на частную производную в уравнении (1.1) часто оказывается невозможной с физической точки зрения и приводит к моделям, описывающим простейшие потоки.
62
В. Г. ЗВЯГИН
2.
НЕЛИНЕЙНО
ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
Предположим, что тензор напряжения удовлетворяет следующим условиям. 1) σ = 2µ0 E + T (E),
(2.1)
где µ0 есть некоторая положительная константа, T есть (n×n)-матричнозначная функция (n× n)-матричного аргумента. 2) T (ξ) есть функция класса C 3 матричного аргумента ξ = (ξij ). Для любых индексов k1 , l1 , k2 , l2 , k3 , l3 = 1, . . . , n выполняется условие Липшица
3
∂ (T (ξ) − T (η))
∂ξk l ∂ξk l ∂ξk l 6 L(kξk + kηk)kξ − ηk. 1 1 2 2 3 3
(2.2)
Здесь ξ и η — две произвольные матрицы, k · k обозначает евклидову норму в пространстве матриц Rn×n , L — неубывающая скалярная функция. 3) Для любых индексов k, l = 1, . . . , n имеет место соотношение ∂T (0) = 0. ∂ξkl
(2.3)
Как отмечалось во введении, несжимаемую жидкость Рейнера—Ривлина в R3 можно рассматривать как пример, для которого все условия 1)–3) выполнены. Пусть для простоты плотность ρ равна единице. Условие несжимаемости имеет вид (2.4)
div u = 0. Rn .
Рассмотрим случай, когда жидкость «течет» во всем пространстве В этом случае u = u(t, x), n f0 = f0 (t, x), где t ∈ [0, T ] ⊂ R, x ∈ R . Используя (2.1), получаем следующее уравнение движения жидкости: n
∂u(t, x) X ∂u(t, x) + ui (t, x) − Div T (E(u(t, x))) − µ0 ∆u(t, x) + ∇p(t, x) = f0 (t, x). ∂t ∂xi
(2.5)
i=1
К уравнениям (2.4) и (2.5) добавим начальное условие: u t=0 = a,
(2.6)
где a = a(x) — некоторая известная функция. Теперь в пространстве L2 (Rn , Rn ) можно рассмотреть оператор B0 = I − ∆ с областью определения D(B0 ) = H 2 (Rn , Rn ). Это самосопряженный оператор, порождающий шкалу пространств m/2 Соболева H m (Rn , Rn ), m ∈ R+ . А именно: H m = D(B0 ) и скалярное произведение в H m задается формулой m/2
(u, v)m = (B0
m/2
u, B0
v)L2 (Rn ,Rn ) .
Рассмотрим подпространства Hσm = { u ∈ H m (Rn , Rn ) | div u = 0} гильбертова пространства H m , где div понимается в смысле обобщенных функций. Теперь перепишем систему (2.4)–(2.6) в операторном виде. Вначале определим формально некоторые операторы. Ниже будет ясно, из каких функциональных пространств берутся функции u, v, f0 . e следующим образом: Определим дифференциальный оператор A e (A(u)v) j =
n X ∂T ij ∂Ekl (v) (E(u)) . ∂ξkl ∂xi
(2.7)
i,k,l=1
Пусть e A(u)v = −P A(u)v + v − µ0 ∆v,
(2.8)
ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ
63
где P — проектор Лере. Введем билинейный оператор F (u, v) = −P
n X i=1
ui
∂v ∂xi
(2.9)
и положим Fe(u) = F (u, u) + u.
(2.10)
f = P (f0 ).
(2.11)
Наконец, обозначим Рассмотрим систему du(t) + A(u(t))u(t) = Fe(u(t)) + f (t), dt u(0) = a,
(2.12) (2.13)
где u : [0, T ] → Hσm1 , m1 > 0 — некоторое число. Покажем, что система (2.12)–(2.13) соответствует системе (2.4)–(2.6). Предположим, что давление задается функцией p : [0, T ] → H m2 (Rn , R). Применяя оператор P к обеим частям (2.5) и замечая, что P grad p = 0, получим n X du ∂u +P ui − P Div T (E(u)) − µ0 ∆u = f. dt ∂xi
(2.14)
i=1
Прибавляя u к обеим частям (2.14) и пользуясь тем, что P ∆u = ∆P u = ∆u, получаем n X du ∂u + u − µ0 ∆u − P Div T (E(u)) = u − P ui + f. dt ∂xi
(2.15)
i=1
Заметим, что (Div T (E(u)))j =
n X ∂T ij (E(u))
∂xi
i=1
=
n X n X ∂T ij (E(u)) ∂Ekl (u) e = (A(u)u) j. ∂ξkl ∂xi
(2.16)
i=1 k,l=1
Сравнивая (2.7)–(2.11), (2.16) и (2.15), получаем (2.12). Задачу (2.12)–(2.13) будем сокращенно называть задачей (NV). Пусть n = 2, 3. Следующие результаты получены Воротниковым [2]. Теорема 2.1. Пусть выполнены условия 1)–3). Предположим, что a ∈ Hσ3 ,
f ∈ C([0, T ], Hσ1 ) ∩ L1 ([0, T ], Hσ3 ).
Тогда существует константа K1 , не зависящая от T и такая, что при условии kak3 + kf kL1 ([0,T ],Hσ3 ) 6 K1
(2.17)
существует единственное решение u задачи (NV) в классе C 1 ([0, T ], Hσ1 ) ∩ C([0, T ], Hσ3 ).
(2.18)
Теорема 2.2. При выполнении условий предыдущей теоремы решение непрерывно зависит от начальных данных. А именно, если пары (ai , fi ) удовлетворяют условию (2.17), i = 0, 1, 2, . . . , ai −→ a0 в Hσ3 и fi −→ f0 в C([0, T ], Hσ1 ) и в L1 ([0, T ], Hσ3 ), то ui −→ u0 в C 1 ([0, T ], Hσ1 ) и в i→∞
i→∞
i→∞
C([0, T ], Hσ3 ), где ui , i = 0, 1, 2, . . . , — соответствующие решения задачи (NV) с данными (ai , fi ). Теорема 2.1 является глобальной (по t) теоремой существования. При этом очевидно, что если f ∈ C([0, T ], Hσ1 ) ∩ L1 ([0, T ], Hσ3 ) для каждого T ∈ R+ и kak3 + kf kL1 ([0,∞],Hσ3 ) 6 K1 , то решение существует на всем интервале [0, +∞). Однако при более слабых предположениях имеет место локальное существование решений задачи (NV).
64
В. Г. ЗВЯГИН
Предложение 2.1. Пусть выполнены условия 1)–3). Тогда существует положительная константа K2 , такая, что справедливо следующее утверждение. Пусть a ∈ Hσ3 , f ∈ C([0, T ], Hσ1 ) ∩ L1 ([0, T ], Hσ3 ), kak3 < K2 . Тогда найдется t0 > 0, такое, что решение u задачи (NV) существует и единственно в классе C 1 ([0, t0 ], Hσ1 ) ∩ C([0, t0 ], Hσ3 ),
(2.19)
где t0 6 T зависит только от kak3 , kf kL1 ([0,T ],Hσ3 ) и kf kC([0,T ],Hσ1 ) . Предложение 2.2. Пусть выполнены условия предложения 2.1. Тогда существует положительная константа K3 , такая, что если a ∈ Hσ4 , f ∈ C([0, T ], Hσ2 ) ∩ L1 ([0, T ], Hσ4 ), kak3 < K3 , то найдется t0 > 0, такое, что решение u задачи (NV) существует и единственно в классе C 1 ([0, t0 ], Hσ2 ) ∩ C([0, t0 ], Hσ4 ),
(2.20)
где t0 6 T зависит только от kak3 , kf kL1 ([0,T ],Hσ3 ) и kf kC([0,T ],Hσ1 ) (т. е. можно взять то же t0 , что и в предложении 2.1). Заметим, что аналогичный результат справедлив и при выполнении условий теоремы 2.1. 3.
О
МОДИФИКАЦИИ МОДЕЛИ
ЛИТВИНОВА
ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО И ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКОВ С ПАМЯТЬЮ
В данном разделе мы рассмотрим некоторые модификации уравнений Олдройта, объединяющие подходы работ [1, 8]. Изучается начально-краевая задача со смешанными краевыми условиями — наиболее интересная с физической точки зрения задача. Предполагается, что на одной части границы скорость жидкости равна нулю, а на другой части границы заданы поверхностные силы. Литвинов [8] рассмотрел определяющее отношение σij = 2 [ϕ1 (U (v)) + ϕ2 (I(v), U (Av))] Eij (v), где I(v) =
n P
(3.1)
(Eij (v))2 есть второй инвариант тензора скоростей деформации, A есть оператор
i,j=1
усреднения. Это соотношение содержит функцию U (v), характеризующую течение в области Ω. Если U (v) < a для некоторой положительной константы a, то течение ламинарное, если же U (v) > a, то турбулентное. Уровень a определяет границу, за которой течение становится турбулентным. Другое нелинейное соотношение между σ и E, учитывающее предысторию течения жидкости, было предложено в [1]: ∂ ∂ σ = ϕ(I2 (v))E + κ (ψ(I2 (v))E) , (3.2) 1+λ ∂t ∂t где I2 (v) = (I(v))1/2 . Находя из данного уравнения σ и используя естественные начальные условия, получаем Zt κ 1 κ − t−τ ϕ(I2 (v)) − 2 ψ(I2 (v)) E dτ. σ = ψ(I2 (v))E + e λ λ λ λ 0
Введем обозначение µ(I2 (v)) =
κ 1 ϕ(I2 (v)) − 2 ψ(I2 (v)). λ λ
Тогда κ σ = ψ(I2 (v))E + λ
Zt
e−
t−τ λ
µ(I2 (v))E dτ.
0
Первое слагаемое указывает на прямую зависимости σ от E, тогда как второе слагаемое указывает на косвенную зависимость через «память» потока. В силу такого вида зависимости σ от E, определяющее отношение (3.2) естественно представить в виде ∂ ∂ κ 1+λ σ = 1+λ ψ(I2 (v))E + λµ(I2 (v))E. ∂t ∂t λ
ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ
65
Объединяя описанный выше подход с соотношениями (3.1), получим определяющее отношение в виде ∂ ∂ 1+λ σ = 1+λ 2 ϕ1 U (v) + ϕ2 I(v), UA (v) E(u) + λµ I2 (u) E. ∂t ∂t Предполагая, что в начальный момент времени жидкость удовлетворяет соотношениям (3.1), мы можем выразить из этого уравнения σ: Zt t−τ σ = 2 ϕ1 (U (v)) + ϕ2 (I(v), UA (v)) E(v) + e− λ µ(I2 (v(τ )))E(v(τ )) dτ. 0
Определяющее отношение можно переписать в более общем виде Zt σ = 2 ϕ1 (U (v)) + ϕ2 (I(v), UA (v)) E(v) + L(t, τ )µ(I2 (v(τ )))E(v(τ )) dτ.
(3.3)
0
Свойства функций, входящих в данное соотношение, будут описаны ниже. Учитывая определяющее отношение (3.3), мы можем описать течение жидкости при помощи уравнения ∂v ∂v ρ + vi = − grad p + Div σ + ϕ, (t, x) ∈ (0, T ) × Ω. ∂t ∂xi Жидкость несжимаема, следовательно, (t, x) ∈ (0, T ) × Ω.
div v = 0,
Предположим, что Ω разбивается на открытые непересекающиеся подобласти Ωi , i = 1, . . . , m, такие, что m [ Ω= Ωi , Ωi ∩ Ωj = ∅ при i 6= j. i=1
Пусть граница Γ области Ω липшицева и Γ1 , Γ2 — непустые подмножества Γ, такие, что Γ = Γ1 ∪Γ2 , Γ1 ∩Γ2 = ∅. Для каждого i = 1, 2, . . . , m предположим, что (n−1)-мерная мера пересечения Ωi ∩Γ1 положительна. Пусть жидкость прилипает к Γ1 : v (0,T )×Γ1 = 0, а на Γ2 задана сила, действующая на поверхности жидкости: (−pE + σ) · ν (0,T )×Γ2 = Φ, где ν — внешняя единичная нормаль к Γ2 , E — единичный тензор с компонентами δij . Функции U (v) и UA (v) определяются следующим образом. Пусть Z U (v)(x) = ki I(v) dy при x ∈ Ωi , Ωi
где ki — это некоторые положительные константы, i = 1, 2, . . . , m. Обозначим через P оператор непрерывного продолжения на (−δ, T ) × Ω функций, заданных на (0, T ) × Ω, где δ > 0. Далее мы сформулируем условия, которым удовлетворяет оператор P . Выберем функцию ω ∈ C ∞ (R+ ), такую, что ω(y) > 0 при y ∈ R+ , ω(y) = 0 при y ∈ [δ, ∞). Положим !−1 ( Zδ hω(τ ) при τ > 0, h= ω(τ ) dτ , ρδ (τ ) = 0 при τ < 0. 0
Используя оператор усреднения по t ZT ρδ (t − τ )P v(τ, x) dτ,
Y (v)(t, x) = −δ
66
В. Г. ЗВЯГИН
определим оператор UA (v) = U (Y (v)). Течение жидкости в области Ω полностью описывается следующей начально-краевой задачей. Уравнение движения: ∂v ∂v + vi = − grad p + Div σ + ϕ, (t, x) ∈ (0, T ) × Ω, (3.4) ρ ∂t ∂xi определяющее отношение: Zt σ = 2 ϕ1 (U (v)) + ϕ2 (I(v), UA (v)) E(v) + L(t, τ )µ(I2 (v(τ )))E(v(τ )) dτ,
(3.5)
0
уравнение несжимаемости: (t, x) ∈ (0, T ) × Ω,
div v = 0,
(3.6)
краевое условие на Γ1 : v (0,T )×Γ1 = 0,
(3.7)
(−pE + σ) · ν (0,T )×Γ2 = Φ
(3.8)
краевое условие на Γ2 : и начальное условие: v(0, x) = v 0 (x), x ∈ Ω. (3.9) Решение задачи (3.4)–(3.9) — это вектор-функция v и скалярная функция p, определенные на [0, T ] × Ω и удовлетворяющие (3.4)–(3.9). Предположим, что 1) функция ϕ1 (y) удовлетворяет следующим условиям: ϕ1 (y) непрерывна на R+ и ϕ1 (y) > 0, ∀y ∈ R+ ;
(3.10)
ϕ1 (y1 ) > ϕ1 (y2 ), если y1 > y2 ;
(3.11)
a2 y > ϕ1 (y) > a1 y
y ∈ (a, +∞),
при
(3.12)
где a, a1 , a2 — положительные константы; 2) функция ϕ2 (y1 , y2 ) удовлетворяет условиям ϕ2 (y1 , y2 ) непрерывна на R2+ ; a4 > ϕ2 (y1 , y2 ) > a3
для всех
(y1 , y2 ) ∈ R+ × [0, a],
для всех
a6 y2 > ϕ2 (y1 , y2 ) > a5 y2
(y1 , y2 ) ∈ R+ × (a, ∞);
ϕ2 (y1 , y) > ϕ2 (y2 , y), если y1 > y2 ,
(3.13) (3.14) (3.15)
где a3 , a4 , a5 , a6 — положительные константы; 3) матричнозначная функция µ(τ ) непрерывно дифференцируема на R+ и удовлетворяет условиям 0 6 µ(τ ) 6 M для всех τ ∈ R+ ; 0
|µ(τ )| + |τ µ (τ )| 6 M для всех τ ∈ R+ ,
(3.16) (3.17)
где M — положительная константа; 4) выполнено условие: функция L(t, τ ) существенно ограничена на Td = {(t, τ ) : t ∈ [0, T ], t > τ > 0} . Следуя [8], введем множество V = v ∈ W21 (Ω)n : v |Γ1 = 0,
div v = 0 .
Множество V есть гильбертово пространство со скалярным произведением Z (v, u)V = Eij (u) · Eij (v) dx, Ω
(3.18)
ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ
67
а соответствующая норма имеет вид 1/2 I(v) dx .
Z kvk = Ω
Из неравенства Корна и того факта, что (n − 1)-мерная мера Ωi ∩ Γ1 положительна, следует, что данная норма в пространстве V эквивалентна норме, индуцированной пространством W21 (Ω)n . Сужения функций из V на Ωi образуют пространство, которое будем обозначать через Vi . Норма в Vi определяется следующим образом: Z 1/2 9v9i = I(v) dx . Ωi
Пусть H есть замыкание V по норме пространства L2 (Ω)n , S есть множество ступенчатых функций, постоянных на каждой Ωi , i = 1, . . . , m, и V ∗ есть пространство, сопряженное к V . Обозначим через (f, v) действие функционала f ∈ V ∗ на функцию v ∈ V . Введем основные функциональные пространства, которые понадобятся нам ниже: E ∗ = L2 ((0, T ), V ∗ ),
E = L2 ((0, T ), V ),
E2 = L4 ((0, T ), V ), E2∗ = L4/3 ((0, T ), V ∗ ), W = v : v ∈ E2 , v 0 ∈ E2∗ . Пространство W банахово; известно, что W ⊂ C([0, T ], H). Обозначим через hf, vi действие функционала f ∈ E ∗ на функцию v ∈ E, а через hf, vi2 — действие функционала f ∈ E2∗ на функцию v ∈ E2 . Введем операторы, действующие в функциональных пространствах, при помощи следующих равенств: для u, h ∈ V и s ∈ S Z ∗ N1 : V → V , (N1 (u), h) = 2 ϕ1 (U (u))Eij (u)Eij (h) dx; Ω ∗
N2 : V × S → V ,
Z (N2 (u, s), h) = 2
ϕ2 (I(u), s)Eij (u)Eij (h) dx; Ω
Z
K : V → V ∗,
(K(u), h) = ρ
uj
∂ui hi dx; ∂xj
Ω
B : V → V ∗,
Z (B(u), h) =
µ(I2 (u(x)))Eij (u(x))Eij (h(x)) dx. Ω
Пусть QT = (0, T ) × Ω и ∗
C:E→E ,
Zt L(t, τ )B(u(τ )) dτ.
C(u) = 0
Отметим, что из вложений E2 ⊂ E и Предположим, что n = 2 или n = 3 и
E∗
⊂
E2∗ ,
Φ ∈ L4/3 ((0, T ) × Γ2 , Rn ),
вытекает, что C : E2 → E2∗ . ϕ ∈ L4/3 ((0, T ) × Ω, Rn ).
Данные функции определяют функционалы f , F ∈ L4/3 ((0, T ), V ∗ ) на V посредством равенств Z Z (F, h) = Φ · h dx, (f, h) = ϕ · h dx Γ2
Ω
для h ∈ V . Эти определения корректны, так как h ∈ W21 (Ω)n ⊂ L4 (Γ2 )n и h ∈ L4 (Ω)n для n = 2, 3.
68
В. Г. ЗВЯГИН
Пусть v и p — классическое решение задачи (3.4)–(3.9). Очевидно, v ∈ L4 ((0, T ), V ). Умножим уравнение (3.4) скалярно в L2 (Ω)n на h ∈ V . Получим ∂v ∂v ρ ,h + ρ vi ,h = (− grad p, h)L2 (Ω)n + (Div σ, h)L2 (Ω)n + (ϕ, h)L2 (Ω)n . ∂t ∂xi L2 (Ω)n L2 (Ω)n Пользуясь формулой Грина, условиями (3.4)–(3.9) и приведенными выше определениями соответствующих операторов, преобразуем последнее уравнение к виду ρ
∂v ,h ∂t
Zt
+ N1 (v) + N2 (v, UA (v)), h + (K(v), h) + L2 (Ω)n
L(t, τ )B(v(τ )) dτ, h = (F + f, h).
0
Учитывая вложение V ⊂ V
∗,
определим действие v ∈ L4 ((0, T ), V
∗)
(3.19) на элемент h равенством
(v, h) = (v, h)L2 (Ω)n . Тогда
∂v ,h ∂t
= L2 (Ω)n
d d (v, h)L2 (Ω)n = (v, h) = (v 0 , h), dt dt
где v 0 рассматривается как локально интегрируемая функция со значениями в V ∗ . Уравнение (3.19) перепишется в виде 0
Zt
ρ(v , h) + N1 (v) + N2 (v, UA (v)), h + (K(v), h) +
L(t, τ )B(v(τ )) dτ, h = (F + f, h),
∀h ∈ V,
0
(3.20) или в операторном виде Zt
0
L(t, τ )B(v(τ )) dτ = F + f.
ρv + N1 (v) + N2 (v, UA (v)) + K(v) +
(3.21)
0
Определение. Вектор-функция v, удовлетворяющая условиям v ∈ L4 ((0, T ), V ),
v 0 ∈ L4/3 ((0, T ), V ∗ ),
(3.22)
v(0) = v 0
(3.23)
и уравнению (3.21), называется слабым решением задачи (3.4)–(3.9). Из условия (3.22) вытекает, что v ∈ W ⊂ C([0, T ], H). Следовательно, условие (3.23) имеет смысл для v 0 ∈ H. Как было показано выше, если v, p есть классическое решение задачи (3.4)–(3.9), то v есть слабое решение, а именно решение задачи (3.21)–(3.23). Пусть k — положительное число. Подставим v(t) = ekt v(t) в уравнение (3.21) и умножим это уравнение на e−kt . Получим эквивалентное операторное уравнение Zt −kt + L(t, τ )e−kt B(ekτ v(τ )) dτ = F + f , ρv + ρkv + N1 (e v) + N2 (e v, UA (e v)) + K(e v) e 0
kt
kt
kt
kt
0
где F = e−kt F , f = e−kt f . Для упрощения записи введем следующие обозначения: N 1 (u) = e−kt N1 (ekt u),
N 2 (u, s) = e−kt N2 (ekt u, s),
−kt
B(u(t)) = e
kt
B(e u(t)),
Zt 0
K(u) = e
где
s ∈ S,
kt
K(e u), (3.24)
−(t−τ )k
L(t, τ )e
C(u) =
−kt
B(u(τ )) dτ.
ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ
69
Перепишем операторное уравнение в виде ρv 0 + ρkv + N 1 (v) + N 2 (v, UA (ekt v)) + K(v) + C(v) = F + f .
(3.25)
Тогда существование слабого решения эквивалентно существованию решения v ∈ W операторного уравнения (3.25), при этом решение должно удовлетворять начальному условию v(0) = v 0 .
(3.26)
Следующий результат был получен Дмитриенко, Киране и Звягиным. Теорема 3.1. Предположим, что условия (3.10)–(3.18) выполнены. Тогда для достаточно больших k задача (3.25), (3.26) имеет по меньшей мере одно решение из W . Отсюда вытекает слабая разрешимость задачи (3.4)–(3.9). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Агранович Ю. А., Соболевский П. Е. Движение нелинейно-вязкой жидкости// Докл. АН СССР. — 1990. — 314, № 3. — C. 521–525 2. Воротников Д. А. О движении нелинейно-вязкой жидкости в Rn // Вестник ВГУ, cер. Физ., Мат. — 2002. — № 1. — С. 102–120 3. Звягин В. Г., Дмитриенко В. Т. Гомотопическая классификация одного класса непрерывных отображений// Мат. заметки. — 1982. — 31, № 5. — С. 801–812 4. Звягин В. Г., Дмитриенко В. Т. О слабых решениях начально-краевой задачи для уравнения движения вязкоупругой жидкости// Докл. РАН. — 2001. — 380, № 3. — C. 308–311 5. Литвинов В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. — М.: Наука, 1982. — 376 с. 6. Олдройт Дж. Г. Неньютоновские течения жидкостей и твердых тел// Реология: Теория и приложения. — М.: ИЛ, 1962. — С. 757–793 7. Agranovich Yu. Ya., Sobolevskii P. E. Motion of nonlinear visco-elastic fluid// Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. — 1998. — 32, № 6. — C. 755–760 8. Litvinov W. G. Some models and problems for laminar and turbulent flows of viscous and nonlinear viscous fluids// J. Math. Phys. Sci. — 1996. — 30, № 3. — C. 101–157 9. Litvinov W. G. General nonlocal model describing the laminar and turbulent flows of viscous and nonlinear viscous fluids and its investigation// Math. Nachr. — 2000. — 220. — C. 79–110
Виктор Григорьевич Звягин Воронежский государственный университет, математический факультет, Россия, 394006, Воронеж E-mail:
[email protected]
