Обыкновенные дифференциальные уравнения

В.И.Арнольд ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Отличается от имеющихся учебных руководств по обыкновенным дифференциальным уравнениям большей, чем это обычно принято, связью с приложениями, в особенности с механикой, и более геометрическим, бескоординатным изложением. В соответствии с этим в книге мало выкладок, но много понятий, необычных для курса дифференциальных уравнений (фазовые потоки, однопараметрические группы, диффеоморфизмы, касательные пространства и расслоения) и примеров из механики (например, исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс). Для третьего издания книга значительно переработана и дополнена. Для студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов и вузов с расширенной программой по математике, но будет интересна и специалистам в области математики и ее приложении. Оглавление Предисловие к третьему изданию. 5 Предисловие к первому изданию 8 Некоторые постоянно употребляемые обозначения 10 Глава 1. Основные понятия 11 § 1. Фазовые пространства 11 § 2. Векторные поля на прямой 30 § 3. Линейные уравнения 40 § 4. Фазовые потоки 48 § 5. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и на поля направлений 55 § 6. Симметрии 63 Глава 2. Основные теоремы 73 § 7. Теоремы о выпрямлении 73 § 8. Применения к уравнениям выше первого порядка 85 § 9. фазовые кривые автономной системы 95 § 10. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы 99 § 11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с частными 105 производными § 12. Консервативная система с одной степенью свободы 112 Глава 3. Линейные системы 124 § 13. Линейные задачи 124 § 14. Показательная функция 126 § 15. Свойства экспоненты 132 § 16. Определитель экспоненты 137 § 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты—случай 140 вещественных и различных собственных чисел § 18. Комплексификация и овеществление 143

§ 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством § 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения § 21. Классификация особых точек линейных систем § 22. Типологическая классификация особых точек § 23. Устойчивость положений равновесия § 24. Случай чисто мнимых собственных чисел § 25. Случай кратных собственных чисел § 26. О квазимногочленах § 27. Линейные неавтономные уравнения § 28. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами §29. Вариация постоянных Глава 4. Доказательства основных теорем § 30. Сжатые отображения § 31. Доказательство теорем существования и непрерывно и зависимости от начальных условий § 32. Теорема о дифференцируемости Глава 5. Дифференциальные уравнения на многообразиях § 33. Дифференцируемые многообразия § 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии § 35. Фазовый поток, заданный векторным полем § 36. Индексы особых точек векторного поля Программа экзамена Образцы экзаменационных задач Предметный Указатель

146 150 158 161 170 174 179 186 196 208 214 216 216 217 225 233 233 241 247 250 262 263 268

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автоколебания 39, 121 Гиперповерхность 106 Алгебра Ли 102 — начальная 106 Атласы 234, 235 Гипотеза Пуанкаре 240 Аттрактор 40 Гладкость 14 База расслоения 243 — многообразия .233 Вариации 77, 226 Голономия 25 —постоянных 44, 214 Гомеоморфизм 167 Вектор, касательный в точке 57, 242 Гомоморфизм 14, 167 — скорости фазовой 53 Градуирование 68 Веса переменных 67 Граница множества 82 Возмущения малые 44, 77, 80, 121, Группа абстрактная 48 195, 214 —диффеоморфизмов 51 Выпрямление поля векторного 84, — квазиоднородных растяжений 67 246 — коммутативная (абелева) 50 — — направлений 73 — контактная 112 Геодезическая 264 — однопараметрическая 50

— преобразований 48 ——линейных 52, 125 — симметрии 63 — стационарная 97 Движения медленные 266 Действие группы 49 Диаграмма Ламерея 25 — Ньютона 66 Дивергенция 203 Диффеоморфизм 51 — контактный 112 — многообразия 240 Диффеоморфизм сопрягающий 62 Дифференцируемость 14 — многообразия 233 Диффузия 267 Зависимость линейная рациональная 176, 186, 199 Задача Кеплера 115 — Коши 106 — Штурма — Лиувилля 207, 265 Закон тяготения 90 — локальной эволюции 54 Зонтик сложенный 266 Изометрия 48 Инволюция 266 Индекс кривой 250 — особой точки 253 Интеграл первый 102 — —, зависящий от времени 104 ——локальный 103 Канал звуковой 264 Карты 234 Квазимногочлены 131, 186 Квота отлова 21 Колебания вынужденные 39, 47. 192 —главные (собственные) 185 — релаксационные 268 —слабо нелинейные 195 Коммутатор 101 Компакт 82

Комплексификация 143 —линейного уравнения 150 Координаты аффинные 233 — локальные 242 — однородные 233 —тангенциальные 95 Кривая двойственная 95 — дискриминантная 94 —интегральная 14,23 — Лиссажу 186 — логистическая 20 — Михайлова 193 — параметризованная 240 Кривая фазовая 23, 51 — — замкнутая 97 Лемма Адамара 116 — Морса 116 Лестница Ламерея 25 Линеаризация 41, 124 Линии асимптотические 267 — геодезические 264 — параболические 267 —уровня энергии 113 Лист Мебиуса 67, 244 Ломаные Эйлера 136, 224 Маятник 27, 78. 85, 113, 120, 141, 155, 195, 201, 208 Метод комплексных амплитуд 191 — малого параметра 80 Мираж 264 Многообразия аналитические 234 —дифференцируемые (гладкие) 234 — ориентированные 235 — связные 238 — топологические 234 Множитель интегрирующий 70 Модель Лотка — Вольтерра 24, 36, 265 Монодромия 25, 42, 264 Мультипликатор 42, 47 Норма 128, 219 — оператора 127

Образ вектора 55 — векторного поля 58 — фазового потока 62 Овеществление 143 Оператор диагональный 130 —комплексно сопряженный 145 — Лапласа 71 —пильпотептный 130 — производящий 134 Определитель 137 — Вандермонда 201 — Вронского 199 Орбита 49 Отображение дифференцируемое (гладкое) 55, 238 — за период 209 — касательное 75 —локально эквивалентное 75 — невырожденное 75 — Пикара 218 — Пуанкаре 25 — сжатое 216 — Уитни (сборка) 57 Оценка априорная 117 Параллелизация 244 Плоскость двойственная 95 Плоскость контактная 93 Поворот гиперболический 52 —эллиптический 154 Подмногообразия 240 Подмножество инвариантное 151 — компактное 237 — открытое 237 Поле векторное 16 — — на многообразии 241 — — фазовой скорости 53 — направлений 16, 94 — — квазиодпородное эйлерово 68 — — контактных плоскостей 93 — — эйлерово 63, 66 Положение равновесия 16 Последовательность возвратная 182

— Коши 128 — Фибоначчи 142 Постоянная Липшица 31 Поток фазовый 51 — — уравнения 54 Преобразование Лежандра 95 — множества 48 Приближения Пикара 217 — последовательное 217 Признак Вейерштрасса 128 Проблема Рауса—Гурвица 173 Продолжение решений 81, 88, 117 Произведение прямое 32 Производная Ли 100 — отображения 56 — по направлению вектора 99 — — — поля 100 Пространство аффинное 10 — евклидово 10 — касательное 56, 242 —координатное 10 — линейное 10 — матричное 127 — нормированное 128 — полное 127 — проективное 60, 233 — расслоения 243 — расслоенное 241 — струй 93 — фазовое 1 I — — расширенное 23 Процессы эволюционные II Прямая проективная 66 Равновесие безразличное 26 — устойчивое 170 Размерность многообразия 238 Распределение Гиббса 265 Расслоение касательное 241 — векторное 241 Режим автоколебательный 26, 123 — колебательный 35

— стационарный 21 Резонанс 193 — параметрический 212 Решение уравнения 15 — — общее 157 — — периодическое 47 — — n-го порядка 85 Свойство групповое 50, 132 Седло 34 Сечение расслоения 243 Симметрия векторного поля 63 Система механическая консервативная 112 —решений фундаментальная 119 — уравнений автономная 95 — — в вариациях 225 — — Гамильтона каноническая 89, 103 — — неавтономная 96 — — Ньютона 89 Скобки Пуассона 101 След оператора 138 Слой расслоения 243 Спираль логарифмическая 148 Степень отображения 259 Структура дифференцируемая 57 — контактная 93 — линейная 57 — многообразия 234 Сфера Милнера 240 Теорема единственности 30, 76, 87, 223 — Клеро 264 —Лиувилля 71, 202 — о выпрямлении 73, 229 — — дифференцируемости 76, 88, 226, 230 — — неявной функции 75 — —продолжении 81, 88, 117 Теорема сравнения 205 — существования 30, 76, 87, 223 — Штурма 204

— Эйлера 66, 68 Теория бифуркаций 39 — возмущений 80 — катастроф 39 Траектории 51 Узел 34 — сложенный 268 Уравнение автономное 16, 23, 79 — Бесселя 200 — в вариациях 77, 226 — Ван-дср-Поля 123 — вековое 141 — взрыва 19 — Гамильтона — Якоби 112 — гипергеометрическое Гаусса 201 —дифференциальное 15 — квазилинейное 108 — квазиоднородное 67 Уравнение Клеро 92, 94 — Лапласа 71 —линеаризованное 125 — лилейное неоднородное 43, 47, 189 214 — — —с частными производными 107 — —однородное 40, 126. 133, 146, 179, 196, 200, 208 — — —с частными производными 105 — — с периодическими коэффициентами 41, 47, 208 — логистическое 20 — Лотка — Вольтерра 24, 36, 265 — малых колебаний 27, 78, 85, 113, 120, 141, 155, 184 — Матье 200, 211 — неавтономное 196 — нелинейное 124, 162, 170, 195 — — с частными производными 110 — неразрешенное относительно производной 91, 266 — Ньютона 69, 75, 89, 117

Уравнение — однородное 65 — размножения 18 — — с конкуренцией 20 — разностное 87 — с разделяющимися переменными 34 — теплопроводности 69 —характеристик 105, 109, 111 — эволюционное 16 — n-ro порядка 85, 189, 200 Условие Липшица 31, 220 — начальное 15, 87 — устойчивости 209 Устойчивость асимптотическая 171, 209, 265 — по Ляпунову 170, 209, 265 — сильная 210 Усы седла 169 Ферми-частица 265 Фокус 149 — сложенный 266 Форма дифференциальная 17, 35 — нормальная жорданова 163 — симметричная 36 — уравнения, неразрешенного относительно производной 266 Формула Барроу 30 — Кардано 71 — Лиувилля 130

— Ньютона 16 — Ньютона — Лейбница 221 — Тейлора 130 — Эйлера 134 Функторы 144 Функция влияния 45 — Гамильтона 103 — гармоническая 72 Функция Грина 45 — Дирака 44 — квазиоднородная 68 — Ляпунова 163 — однородная 66 — последования 25 — собственная 207 Характеристика амплитудно-фазовая 194 — эйлерова 260 Характеристики уравнения 105, 109, 111 Хвост ласточкин 267 Цикл 25, 265 — невырожденный 38 — предельный 26 — устойчивый 38 Цунами 264 Частота собственная 185 Эквивалентность потоков 62, 160 Энергия 113, 184