Группы преобразований в математической физике

Н.Х.Ибрагимов ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ Книга отражает современное развитие теоретико-групповых методов применительно к задачам математической физики. Она включает теорию инвариантов групп преобразований в римановых пространствах и групповой анализ уравнений Эйнштейна. Изучаются алгебро-геометрические аспекты принципа Гюйгенса и законов сохранения. Излагаются основы теории формальных групп преобразований Ли—Беклунда, инвариантных дифференциальных многообразий и проводится групповая классификация нелинейных дифференциальных уравнений. Рассчитана на математиков, физиков и механиков, интересующихся вопросами качественного анализа дифференциальных уравнений. Содержание Предисловие 6 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Вводная глава. Группы и дифференциальные уравнения 7 § 1 Непрерывные группы 7 1.1. Топологические группы 7 1.2. Группы Ли 7 1.3. Локальные группы 10 1.4. Локальные группы Ли 11 § 2. Алгебры Ли 12 2.1. Определения 12 2.2. Алгебры Ли и локальные группы Ли 15 2.3. Внутренние автоморфизмы 16 2.4. Теорема Леви — Мальцева 18 § 3. Группы преобразований 19 3.1. Локальные группы преобразований 19 3.2. Уравнение Ли 20 3.3. Инварианты 22 3.4. Инвариантные многообразия 23 § 4. Инвариантные дифференциальные уравнения 2Ь 4.1. Продолжение точечных преобразований 2Ь 4.2. Определяющее уравнение 28 4.3. Инвариантные и частично инвариантные решения 30 4.4. Метод инвариантных мажорант 32 § 5. Примеры 38 Глава 1. Движения в римановых пространствах 48 § 6. Общая группа движений 48 6.1. Локальные римановы многообразия 48 6.2. Произвольные движения в Vn 51 6.3. Дефект группы движений в Vn 54

6.4. Инвариантное семейство пространств § 7. Примеры движений 7.1. Изометрии 7.2. Конформные движения 7.3. Движения с δ = 2 7.4. Неконформные движения с δ =1 7.5. Движения с заданными инвариантами § 8. Римановы пространства с нетривиальной конформной группой 8.1. Конформные пространства 8.2. Пространства постоянной кривизны 8.3. Конформно-плоские пространства 8.4. Пространства с определенной метрикой 8.5. Лоренцевы пространства § 9. Групповой анализ уравнений Эйнштейна 9.1. Гармонические координаты 9.2. Группа, допускаемая уравнениями Эйнштейна 9.3. Разложение Ли — Вессио 9.4. Точные решения § 10. Конформно-инвариантные уравнения второго порядка 10.1. Предварительные рассмотрения 10.2. Линейные уравнения в Sn 10.3. Полулинейные уравнения в Sn 10.4. Уравнения с группой изометрий максимального порядка 10.5. Волновое уравнение в лоренцевых пространствах Глава 2. Принцип Гюйгенса с групповой точки зрения §11. Общие рассмотрения и история вопроса 11.1. Проблема Адамара 11.2. Критерий Адамара 11.3. Теорема Матиссона — Асгейрссона 11.4. Необходимые условия Гюнтера и Макленагана 11.5. Преобразование Лагнеза — Штельмахера 11.6. Современное состояние и обобщения проблемы Адамара § 12. Волновое уравнение в V4 12.1. Вычисление геодезического расстояния в метрике плоской волны 12.2. Конформная инвариантность и принцип Гюйгенса 12.3. Решение задачи Коши 12.4. Случай тривиальной конформной группы § 13. Принцип Гюйгенса в Sn+1 13.1. Предварительный анализ решения 13.2. Преобразование Фурье функции Бесселя J0(a|µ|) 13.3. Метод спуска. Представление решения для произвольных п 13.4. Обсуждение принципа Гюйгенса

55 58 58 59 61 64 65 67 67 70 72 74 75 78 78 82 83 85 90 90 93 95 98 99 102 102 102 103 104 107 109 112 114 114 118 121 126 127 127 131 132 135

13.5. Нарушение связи принципа Гюйгенса с конформной инвариантностью ЧАСТЬ ВТОРАЯ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Глава 3. Введение в теорию групп Ли-Беклунда § 14. Касательные преобразования Ли и теорема Беклунда 14.1. Контактные преобразования 14.2. Касательные преобразования конечного порядка 14.3. Преобразование Бианки — Ли 14.4. Преобразования Беклунда. Примеры 14.5. Понятие касательных преобразований бесконечного порядка § 15. Формальные группы 15.1. Уравнение Ли для формальных однопараметрических групп 15.2. Инварианты и инвариантные многообразия § 16. Однопараметрические группы преобразований Ли — Беклунда 16.1. Определение и инфинитезимальный критерий 16.2. Операторы Ли — Беклунда. Канонический оператор 16.3. Примеры § 17. Инвариантные дифференциальные многообразия 17.1. Критерий инвариантности 17.2. Примеры решения определяющего уравнения 17.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения 17.4. Теорема об изоморфизме 17.5. Линеаризация преобразованиями Ли — Беклунда Глава 4. Уравнения с бесконечной группой Ли — Беклунда § 18. Характерные примеры 18.1. Уравнение теплопроводности 18.2. Уравнение Кортевега — де Фриза 18.3. Уравнение пятого порядка 18.4. Волновое уравнение § 19. Эволюционные уравнения 19.1. Алгебра AF 19.2. Формула Фаа де Бруно 19.3. Алгебра LF 19.4. Преобразования эквивалентности § 20. Анализ эволюционных уравнений второго и третьего порядка 20.1. m=2 20.2. m=3 20.3. Две системы нелинейных уравнений § 21. Уравнение F (х, у, z, p, q, r, s, t) = 0 21.1. Анализ общего случая 21.2. Классификация уравнений s=F(z) 21.3. Система двух нелинейных уравнений

137

139 139 139 143 147 149 154 155 155 160 162 162 167 169 171 171 174 176 179 181 184 184 184 188 192 194 194 194 199 201 206 209 209 214 218 219 219 222 225

Глава 5. Законы сохранения 227 § 22. Основные теоремы 227 22.1. Тождество Нётер 227 22.2. Теорема Нётер 228 22.3. Инвариантность на экстремалях 229 22.4. Действие присоединенной алгебры 230 22.5. Интегралы эволюционных уравнений 232 § 23. Примеры 234 23.1. Движение в пространстве де Ситтера 234 2 236 23.2. Уравнение utt+∆ u = 0 23.3. Нестационарное околозвуковое течение газа 236 23.4. Короткие волны 239 § 24. Группа Лоренца 240 24.1. Законы сохранения в релятивистской механике 240 24.2. Нелинейное волновое уравнение 242 24.3. Уравнение Дирака 244 § 25. Группа Галилея 247 25.1. Свободное движение частицы 247 25.2. Идеальный газ 249 25.3. Несжимаемая жидкость 256 25.4. Течение мелкой воды 259 25.5. Базис законов сохранения для уравнения КдФ 260 Добавление 262 Литература 267 Предметный указатель 279 Предметный указатель — Галилея 247 Автоморфные уравнения 30, 183 — движений изометрических 39, 58 Алгебра Ли 12 — — конформных 59 — — группы Ли 15 — — — нетривиальная 68 — — — преобразований 21 — — — тривиальная 68 — Ли-Беклунда эволюционного — — общая 52, 54 уравнения 1, 95 —, допускаемая дифференциальным Ассоциативная алгебра формальных уравнением 29 операторов 201 — контактных преобразований 139, Базис законов сохранения 231 141 — инвариантов 22 — Ли 10 Вектор Рунге — Ленца 256 — Лоренца 241 Волновое уравнение 101, 105, 193. — Паули 246 Гармонические координаты 79 — преобразований 20 Геодезическое расстояние 104, 115 — — Ли — Беклунда 164 — — в метрике плоской волны 118 — Фока 175 Группа внутренних автоморфизмов Движение в римановом пространстве 16

52 — изометрическое 49, 58 Дефект группы движений 55 — многообразия 25 — частично инвариантного решения 30 Дифференциальные инварианты 28 —многообразия 172 —— Параметры Бельтрами 51 — переменные 162, 194 — функции 1 94 Закон сохранения 228 Инвариант группы преобразований 22, 160 — Коттона 94 — Лапласа 1 58 — универсальный 23 Инвариантная мажорантна 34 Инвариантное многообразие 24, 161 Инвариантное многообразие дифференциальное 172 — решение 30 — — неособое 31 — — особое 89 — семейство пространств 56 Интеграл Бернулли 258 — Лагранжа — Коши 252 — эволюционного уравнения 232 Касательная структура 163 Касательное векторное поле однопараметрической группы 20 — — — формальной группы 158 — преобразование 139 — — бесконечного порядка 154 — — конечного порядка 143 — — Ли 139 — пространство 9, 23 Ковариантное дифференцирование 50 Контактное преобразование 139, 141 Конформно-инвариантное уравнение 92, 100, 245 Конформные пространства 61, 67

Критерий Адамара 104 — инвариантности многообразия 24, 161 — — — дифференциального 172 — Картана 15 Локальная группа 10 — — Ли 11 Лоренцево пространство 49, 75 Мажорантная задача 33 Матрицы Дирака 344 Метод спуска 133 Метрика плоской волны 78 — Шварцшильда 85 Метрический тензор 49 Необходимые условия Гюнтера 107 — — Макленагана 108 — — нетривиальности алгебры Ли — Беклунда 205, 210, 214 Оператор Ли —Беклунда 166 — — канонический 168 — Нётер 227 — рекурренции 186, 190 — Эйлера—Лагранжа 227 Определяющее уравнение 29, 173 Оптимальная система подгрупп 17 Орбита 20 Полярные координаты 45 Представление Лакса 201 Преобразование Беклунда 149, 151, 206 — Бианки—Ли 149 — Галилея 42, 248 — Лагнеза—Штельмахера 111 — Лапласа 152 — Лежандра 141 — Ли —Беклунда 155, 164, 206 — Миуры 154 — Фурье 122 — — функции Бесселя 131 — Хопфа —Коула 154, 181 Принцип Гюйгенса 103 Присоединенная алгебра 17, 231 — группа 17 Проблема Адамара 103

— Беклунда 149 Продолжение точечных преобразований 26 Производная Ли 54, 73 Пространство де Ситтера 234 — конформно-плоское 73 — Минковского 240 — плоское 51 — постоянной кривизны 70 — риманово 48 — — гиперболического типа 49 — с нетривиальной конформной группой 68 Радикал 14 Разложение Леви 18 — Ли —Вессио 30, 83 Разрешающая система 29, 84 Ранг многообразия 25 — частично инвариантного решения 30 Сепаранта 194 Символы Кристоффеля 50 Слабый лагранжиан 230 Тензор 10 — Баха 120 — Вейля 51 — Римана —Кристоффеля 51 — Риччи 51 Теорема Беклунда 147 — Леви— Мальцева 18, 19 — Ли 21, 158 — Матиссона —Асгейрссона 105 — Нётер 228 — об изоморфизме 179, 182 — Тресса 28 Тождество Бельтрами 105 — Нётер 227 — Якоби 12 Уравнение Бонне 222 — Бюргерса 153, 182 — Дирака 344 — Киллинга 59

— — обобщенное 59 — Кортевега—де Фриза 41, 151, 260 — — модифицированное 152, 216 — Ли — Беклунда 166, 173 — Лиувилля 153, 222 — минимальных поверхностей 221 — Монжа — Ампера 219 — околозвукового течения газа 40, 236, 238 — поперечного колебания пластинок 236 —теплопроводности 181, 184 — Шредингера для атома водорода 175 — — нелинейное 152, 219 — эволюционное с нетривиальной алгеброй 195 — Эйлера — Лагранжа 229 — Эйлера — Пуассона — Дарбу 110 Уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости 256 — — мелкой воды 46, 259 — — политропического газа 44, 249 — коротких волн 239 — резонансного взаимодействия волн 218 — Эйнштейна 82 Формальная однопараметрическая группа 156 Формула продолжения 27, 166, 168 — Пуассона 122 — Тедоне 136 — Фаз де Бруно 200 Характеристический коноид 103, 104 — конус 105 Частично инвариантное решение 30 Эквивалентные операторы Ли — Беклунда 168 — уравнения второго порядка 93 — эволюционные уравнения 206 Элементарное действие 228