Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2

Алгебра и логика, 42, N 6 (2003), 692—711

УДК 512.552

ОБОБЩЕНИЕ ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ КВАНТИЗАЦИИ ГРУППЫ GL2 (k)∗) А. Н. КОРЮКИН § 1. Квантовая группа Mp,q (2) Цель этой статьи — дать некоторое обобщение 2-параметрической квантизации Mp,q (2) группы GL2 (k) (над произвольным полем k). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 (см. также [3, IV.10]). Алгебра Mp,q (2), где p, q ∈ ∈ k\{0}, порождается своими элементами a11 , a12 , a21 , a22 и элементом d−1 с определяющими соотношениями a11 a22 − qa12 a21 = −q −1 a21 a12 + a22 a11 , qa12 a21 − pa21 a12 = 0, −q −1 a11 a12 + a12 a11 = 0, a21 a22 − qa22 a21 = 0,

(1)

a22 a12 − p−1 a12 a22 = 0, −pa21 a11 + a11 a21 = 0, а элемент d задается по формуле d = a11 a22 − qa12 a21 .

(2)

Коумножение на элементах ai,j (для i, j = 1, 2) задается по формулам ∆(ai,j ) =

X

ai,k ⊗ ak,j .

(3)

k=1,2

Элементы ai,j из последней формулы будем называть матричными коединицами. Из (3) прямым вычислением легко вывести ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке CONACyT, проект N 32130-E, и

Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 01-01-0063a. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003

Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2 (k)

693

ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Элемент d из формулы (2) — групповой, т. е. ∆(d) = d ⊗ d, ε(d) = 1 (здесь ε — коединица коалгебры Mp,q (2)). Обозначим через C подпространство пространства Mp,q (2), порожденное всеми матричными коединицами ai,j . Из формулы (3) вытекает ЗАМЕЧАНИЕ 1.3. Подпространство C является подкоалгеброй коалгебры Mp,q (2). Далее, используя соотношения (1), несложно проверить, что антипод S в алгебре Хопфа Mp,q (2) вычисляется (для матричных коединиц) по следующим формулам (приведенным в компактной матричной форме):       −1 a −1 a a11 a12 a −p a −q 12 12  = d−1 ·  22  =  22  · d−1 . (4) S a21 a22 −pa21 a11 −qa21 a11

(Поскольку в алгебре Хопфа групповые элементы обратимы, то в Mp,q (2) существует элемент d−1 .) Из (4) получаем d · S(C) ⊆ C, S(C) · d ⊆ C.

(5)

Включения (5) дают нам право рассматривать линейные отображения π, τ : C → C такие, что π(h) = d · S(h), τ (h) = S(h) · d для h ∈ C. Итак, в алгебре Хопфа Mp,q (2) имеем     a11 a12 a22 −p−1 a12 = , π a21 a22 −pa21 a11     a11 a12 a22 −q −1 a12 = . τ a21 a22 −qa21 a11

(6)

(7)

(8)

ЗАМЕЧАНИЕ 1.4. Отображения π, τ : C → C, определяемые по формулам (7) и (8), биективны. В § 2 изучаются алгебры Хопфа, для которых справедливы утверждения из замечаний 1.2–1.4.

694

А. Н. Корюкин § 2. (∗, π, τ )-алгебры Хопфа Везде далее C — произвольная нетривиальная (отличная от нуля)

коалгебра над произвольным полем k с коумножением ∆ : C → C ⊗ C и коединицей ε : C → k. Замечания из § 1 объясняют интерес к следующему объекту. Пару (H, x) назовем (∗, π, τ )-алгеброй Хопфа, если H — алгебра Хопфа с антиподом S, обладающая следующими свойствами: 1) C — подкоалгебра коалгебры H; 2) x — групповой элемент из H; 3) π, τ : C → C — линейные биективные отображения такие, что S(h) = x · π(h) = τ (h) · x

(9)

для h ∈ C. Теперь из замечаний 1.2–1.4 вытекает ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Для произвольных p, q ∈ k\{0} пара (Mp,q (2), d−1 ) является (∗, π, τ )-алгеброй Хопфа, где C — подкоалгебра коалгебры Mp,q (2), порожденная матричными коединицами, d — элемент, определяемый по формуле (2). Как обычно, линейное отображение f : K → K назовем антигомоморфизмом произвольной коалгебры K, если ∆(f (h)) =

X

f (h(2) ) ⊗ f (h(1) ),

(10)

(h)

где

P

h(1) ⊗ h(2) — каноническая запись Свидлера элемента ∆(h), и отоб-

(h)

ражение π сохраняет коединицу ε коалгебры K, т. е. ε(π(h)) = ε(h)

(11)

для h ∈ K. Будем говорить, что антигомоморфизм f коалгебры K является антиизоморфизмом, если он является биективным отображением. ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Для любой (∗, π, τ )-алгебры Хопфа (H, x) отображения π и τ являются антиизоморфизмами коалгебры C.

Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2 (k)

695

Действительно, для биективных отображений π, τ выполняется формула (10), так как антипод S есть антигомоморфизм коалгебры H, и элемент d — групповой. Отображение π сохраняет коединицу ε коалгебры C, поскольку ε(h) = ε(S(h)) = ε(x · πh) = ε(x)ε(πh) = ε(πh) для h ∈ C. Аналогично, отображение τ сохраняет коединицу. ЗАМЕЧАНИЕ 2.3. Имеют место равенства πτ (h) = τ π(h) = S 2 (h) для произвольного h ∈ C в любой (∗, π, τ )-алгебре Хопфа (H, x). В самом деле, используя формулы (9), для h ∈ C имеем S 2 (h) = S(τ h · x) = S(x) · S(τ h) = S(x) · x · πτ (h) = πτ (h), S 2 (h) = S(x · πh) = S(πh) · S(x) = τ π(h) · x · S(x) = τ π(h), поскольку антипод S является антигомоморфизмом алгебры H и S(x) = = x−1 . Для произвольной (∗, π, τ )-алгебры Хорфа (H, x) обозначим через π J, Jτ

: C → H линейные отображения такие, что π J(h)

=

X

πh(1) · h(2) , Jτ (h) =

X

h(1) · τ h(2)

(12)

(h)

(h)

для h ∈ C. Пусть M — подмножество произвольной коалгебры K. Тогда через M + обозначается множество всех элементов из M , которые аннулируются коединицей коалгебры K. Биалгебру B, в которой C является подкоалгеброй и выполняются соотношения π J(C

+

) = 0, Jτ (C + ) = 0,

πJ

= Jτ ,

(13)

назовем (π, τ )-биалгеброй. Если при этом B является алгеброй Хопфа, то назовем ее (π, τ )-алгеброй Хопфа. ЛЕММА 2.4. Если (H, x) — произвольная (∗, π, τ )-алгебра Хопфа, то H будет (π, τ )-алгеброй Хопфа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для h ∈ C воспользуемся следующими (акP P сиоматическими) свойствами антипода: S(h(1) ) · h(2) = 1H · ε(h), h(1) · (h)

(h)

696

А. Н. Корюкин

·S(h(2) ) = 1H · ε(h). Умножим обе части первого из этих равенств на x−1 (он существует, так как групповые элементы в алгебре Хопфа обратимы) слева, а обе части второго — на x−1 справа. Из формул (6) получаем π J(h)

= x−1 · ε(h), Jτ (h) = x−1 · ε(h) для h ∈ C. Отсюда следует требуемое.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.5. Прямое вычисление показывает, что определяющие соотношения (1) алгебры Mp,q (2) можно записать в следующем виде: Jτ (a11 ) = Jτ (a22 ),

π J(a22 )

Jτ (a12 ) = 0, Jτ (a21 ) = 0,

− Jτ (a11 ) = 0,

π J(a12 )

= 0,

π J(a21 )

= 0.

Согласно замечанию 2.1 и лемме 2.4, Mp,q (2) является (π, τ )-биалгеброй (для отображений π, τ , определяемых по формулам (7) и (8), требуемые соотношения вытекают из (13). В § 3 исследуются соотношения (13).

§ 3. Коидеал π I(C + ) + Iτ (C + ) + (π I − Iτ )(C) и групповой элемент d В дальнейшем π, τ : C → C — произвольные антиизоморфизмы коалгебры C; π I, Iτ : C → C ⊗ C — линейные отображения такие, что π I(h)

=

X

π(h(1) ) ⊗ h(2) , Iτ (h) =

(h)

X

h(1) ⊗ τ (h(2) )

(14)

(h)

для h ∈ C. ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Для произвольной коалгебры C выполняются следующие утверждения: 1) подпространство

π I(C)

является правым коидеалом коалгебры

C ⊗2 , т. е. ∆(π I(C)) ⊆ π I(C) ⊗ C ⊗2 ; 2) подпространство Iτ (C) является левым коидеалом коалгебры C ⊗2 , т. е. ∆(Iτ (C)) ⊆ C ⊗2 ⊗ Iτ (C). В самом деле, для h ∈ C имеем   X X ∆(π I(h)) = ∆  ∆(πh(1) ) · ∆(h(2) ) = πh(1) ⊗ h(2)  = (h)

(h)

Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2 (k) X

(πh(2) ⊗ πh(1) ) · (h(3) ⊗ h(4) ) =

(h)

X

697

πh(2) · h3 ⊗ πh(1) · h(4) ∈ π I(C) ⊗ C ⊗2 .

(h)

Аналогично проверяется и утверждение 2. ЗАМЕЧАНИЕ 3.2. Для произвольных антиизоморфизмов π, τ отображения π I, Iτ сохраняют коединицу ε коалгебры C, т. е. ε(π I(h)) = ε(h), ε(Iτ (h)) = ε(h) для h ∈ C. В самом деле, ε(π I(h)) =

P

ε(πh1 ) · ε(h2 ) = ε(π(h)) = ε(h),

(h)

поскольку π, как антиизоморфизм коалгебры C, сохраняет ее коединицу. Аналогично проверяется, что Iτ сохраняет коединицу ε. ЗАМЕЧАНИЕ 3.3. Для I ∈ {π I, Iτ } выполняется равенство I(C + ) = (C ⊗2 )+ ∩ I(C). В самом деле, I(C + ) ⊆ I(C). При этом I(C + ) ⊆ (C ⊗2 )+ , так как по замечанию 3.2 отображение I сохраняет коединицу ε коалгебры C. Осталось показать обратное включение (C ⊗2 )+ ∩ I(C) ⊆ I(C + ). Пусть h ∈ C и I(h) ∈ (C ⊗2 )+ . Согласно замечанию 3.2, ε(h) = ε(I(h)) = 0. Таким образом, h ∈ C + . ЛЕММА 3.4. Пространство I(C + ), где I ∈ {π I, Iτ }, является коидеалом коалгебры C ⊗2 , т. е. на пространстве C ⊗2 /I(C + ) индуцируется структура коалгебры. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно замечанию 3.1, (I(C))⊥ является левым идеалом алгебры (C ⊗2 )∗ . Значит, (I(C))⊥ является подалгеброй алгебры (C ⊗2 )∗ . Согласно замечанию 3.3, (I(C + ))⊥ = ((C ⊗2 )+ ∩ I(C))⊥ = = ((C ⊗2 )+ )⊥ + (I(C))⊥ = ε · k + (I(C))⊥ = 1 · k + (I(C))⊥ . Следовательно, (I(C + ))⊥ является подалгеброй с единицей алгебры (C ⊗2 )∗ . Таким образом, I(C + ) — коидеал коалгебры C ⊗2 , что и требовалось доказать. ЛЕММА 3.5. Для C 6= 0, пространство I(C)/I(C + ), где I = π I или I = Iτ , одномерно и порождается своим единственным групповым элементом, который совпадает с I(h) + I(C + ) для h ∈ C такого, что ε(h) = 1.

698

А. Н. Корюкин ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим V = I(C)/I(C + ). Пространство V

одномерно (согласно условию C 6= 0 и замечанию 3.2) и является односторонним коидеалом коалгебры C ⊗2 /I(C + ) (по замечанию 3.1 и лемме 3.4). Тогда оно порождается своим единственным групповым элементом d. Как элемент пространства V , он представим в виде I(h) + I(C + ) для некоторого h ∈ C. Так как ε(d) = 1, а отображение I сохраняет коединицу (по замечанию 3.2), то ε(h) = 1. Поскольку V одномерно, то I(h)+I(C + ) будет совпадать с d для любого h ∈ C. Лемма доказана. Обозначим через K подпространство π I(C + ) + Iτ (C + ) + (π I − Iτ )(C) пространства C ⊗2 . ЛЕММА 3.6. На фактор-пространстве C ⊗2 /K индуцируется структура коалгебры. Ее подпространства π I(C) + K, Iτ (C) + K совпадают. При C 6= 0 это подпространство одномерно и порождается своим единственным групповым элементом π I(h) + K = Iτ (h) + K для h ∈ C такого, что ε(h) = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 3.5 пространство M =

π I(C

+)

+

+Iτ (C + ) является коидеалом. Обозначим через dl единственный групповой элемент подпространства π I(C)/(M ∩ π I(C)) пространства C ⊗2 /M , а через dr — единственный групповой элемент подпространства Iτ (C)/(M ∩ ∩Iτ (C)). Пространство K/M имеет размерность не более единицы и порождается элементом dl − dr . Поскольку dl , dr — групповые элементы, то пространство (dl − dr ) · k является коидеалом. Значит, пространство K также коидеал. Теперь требуемое вытекает из леммы 3.5.

§ 4. (π, τ )-алгебры Хопфа Для произвольных (∗, π, τ )-алгебр Хопфа (H, x), (K, y) морфизм f : H → K алгебр Хопфа назовем морфизмом (∗, π, τ )-алгебр Хопфа, если f действует тождественно на C и f (x) = y. Произвольную (∗, π, τ )-алгебру Хопфа (H, x) назовем свободной, если для любой (∗, π, τ )-алгебры Хопфа (K, y) существует единственный морфизм (∗, π, τ )-алгебр Хопфа H → K.

Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2 (k)

699

Для произвольных (π, τ )-биалгебр B, K морфизм биалгебр f : H → → K назовем морфизмом (π, τ )-биалгебр, если f действует тождественно на C. Если при этом B, K являются алгебрами Хопфа, а f — морфизмом алгебр Хопфа, то f назовем морфизмом (π, τ )-алгебр Хопфа. Будем говорить, что (π, τ )-биалгебра B является свободной, если для любой (π, τ )-биалгебры K существует единственный морфизм (π, τ )биалгебр B → K. Если H является (π, τ )-алгеброй Хопфа такой, что для любой (π, τ )алгебры Хопфа K существует единственный морфизм (π, τ )-алгебр Хопфа H → K, то будем говорить о свободной (π, τ )-алгебре Хопфа. Напомним, что для произвольных коалгебры A и алгебры B пространство Hom(A, B) является (ассоциативной) алгеброй с умножением (f ∗ g)(h) =

X

f h(1) · gh(2)

(h)

для f, g ∈ Hom(A, B), h ∈ C (см. [4, § 1.4]). Если алгебра B имеет единицу 1B , то отображение i : A → B такое, что i(h) = 1B · ε(h) для h ∈ A, является единицей алгебры Hom(A, B). Очевидным следствием леммы 3.6 является ЛЕММА 4.1. В любой (π, τ )-биалгебре B однозначно определен ее групповой элемент dB , для которого выполняются равенства X (h)

πh(1) · h(2) = dB · ε(h),

X

h(1) · τ h(2) = dB · ε(h)

(15)

(h)

при h ∈ C. ЛЕММА 4.2. Для любой (π, τ )-алгебры Хопфа H однозначно определяется групповой элемент x ∈ H такой, что пара (H, x) является (∗, π, τ )-алгеброй Хопфа, а именно, x = d−1 H , где dH — групповой элемент алгебры Хопфа H такой, как в лемме 4.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть dH — групповой элемент из H, существование которого утверждается в лемме 4.1, f, g ∈ Hom(C, H) такие, что −1 f (h) = d−1 H · πh и g(h) = τ h · dH для h ∈ C. Умножая первое из равенств

700

А. Н. Корюкин

−1 (15) на d−1 H слева, второе — на dH справа, получаем равенства

X

f h(1) · h(2) = 1 · ε(h),

(h)

X

h(1) · gh(2) = 1 · ε(h).

(h)

Их можно переписать в терминах алгебры Hom(C, H), а именно: f ∗ ϕ = 1, ϕ ∗ g = 1, где ϕ : C → H — каноническое отображение. По определению антипода S его ограничение S|C является элементом алгебры Hom(C, H), обратным к ϕ. Следовательно, f = S|C = g, т. е. в H для x = d−1 H выполняются формулы (9), и пара (H, d−1 H ) является (∗, π, τ )-алгеброй Хопфа. Так как коалгебра C нетривиальна (отлична от нуля), формулы (9) однозначно определяют групповой элемент x. Лемма доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 4.3. Любой морфизм (∗, π, τ )-алгебр Хопфа является морфизмом (π, τ )-алгебр Хопфа. Для произвольной (π, τ )-алгебры Хопфа H, (∗, π, τ )-алгебру Хопфа из леммы 4.2 обозначим через P (H). ЗАМЕЧАНИЕ 4.4. Любой морфизм (π, τ )-алгебр Хопфа f : A → B является морфизмом (∗, π, τ )-алгебр Хопфа (из P (A) в P (B)). В самом деле, обозначим через dA , dB групповые элементы алгебр Хопфа A, B соответственно. Для h ∈ C в силу леммы 4.1 имеем f (dA ) = −1 = f (Jτ (h)) = Jτ (f (h)) = Jτ (h) = dB . Значит, f (d−1 A ) = dB , т. е. f является

морфизмом (∗, π, τ )-алгебр Хопфа. В качестве следствия лемм 2.4, 4.2 и замечаний 4.3, 4.4 получается ЛЕММА 4.5. Если H — свободная (π, τ )-алгебра Хопфа, то P (H) будет свободной (∗, π, τ )-алгеброй Хопфа. Наоборот, если (H, x) — свободная (∗, π, τ )-алгебра Хопфа, то H будет свободной (π, τ )-алгеброй Хопфа.

§ 5. Алгебра Хопфа H(π, τ ) Для произвольного пространства V обозначим через T (V ) тензорную алгебру с единицей. Эта алгебра градуирована аддитивной полугруппой P ⊗n целых неотрицательных чисел T (V ) = V . Если V является коалгебn>0

рой, то T (V ) естественным образом наделено структурой биалгебры.

Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2 (k)

701

В данном параграфе π, τ есть антиизоморфизмы коалгебры C такие, что πτ = τ π. Обозначим через g гомоморфизм алгебры T (C), ограничение которого на C совпадает с τ · π −1 . ЗАМЕЧАНИЕ 5.1. Отображение g является автоморфизмом биалгебры T (C), поскольку τ · π −1 является автоморфизмом коалгебры C. Обозначим через π b, τb, π e, τe : T (C) → T (C) линейные отображения,

сохраняющие единицу и такие, что

π b(c) = π(c), τb(c) = τ (c), π e(c) = π −1 (c), τe(c) = τ −1 (c), π b(a · b) = g −n π bb · π ba, τb(a · b) = τbb · g m τba,

π e(a · b) = π eb · g m π ea, τe(a · b) = g −n τeb · τea,

(16) (17)

для c ∈ C и однородных элементов a, b степеней n, m > 0 соответственно. Нетрудно проверить, что эти отображения определены корректно. ЗАМЕЧАНИЕ 5.2. Отображение g коммутирует с отображениями π b, τb, π e, τe.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.3. Отображения π b и τb (a также π e и τe) взаимно

обратны.

Действительно, обозначим через M множество всех элементов алгебры T (C) таких, что π eπ b(h) = h. Так как отображения π e, π b линейны и

однородны, то M является однородным пространством. Для произвольных однородных элементов a, b степеней n, m > 0 соответственно с помощью замечания 5.2 получаем π eπ b(ab) = π e(g −n π bb · π ba) = π eπ ba · g n π eg −n π bb = ab.

Значит, M является алгеброй. Из определений очевидно, что M содержит единицу и все элементы из C. Значит, M = T (C), т. е. π eπ b(h) = h для

h ∈ T (C). Аналогично доказывается, что равенство π bπ e(h) = h выполня-

ется для h ∈ T (C). Таким образом, отображения π b, π e взаимно обратны. Аналогично рассматриваются отображения τb, τe.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.4. Для c ∈ C в T (C) выполняются равенства

gπ(c) = πg(c), gτ (c) = τ g(c), g π I(c) = π Ig(c), gIτ (c) = Iτ g(c), π bIτ (c) = π I(πc), τbπ I(c) = Iτ (τ c), π bπ I(c) = Iτ (g −1 πc), τbIτ (c) = π I(gτ c),

702

А. Н. Корюкин π eIτ (c) = π I(gπ −1 c), τeπ I(c) = Iτ (g −1 τ −1 c), π eπ I(c) = Iτ (π −1 c), τeIτ (c) = π I(τ −1 c).

В качестве следствия получаем

ЗАМЕЧАНИЕ 5.5. Подпространство V = {π I(c) − Iτ (h) | c, h ∈ ∈ c; ε(c − h) = 0} тензорной алгебры T (C) устойчиво относительно отображений π b, τb, π e, τe, g, т. е. f (V ) = V для f ∈ {b π , τb, π e, τe, g}. P Обозначим через B(π, τ ) = Bn (π, τ ) градуированную факторn>0

алгебру алгебры T (C) по однородному идеалу, порожденному простран-

ством V из замечания 5.4. Согласно лемме 3.6 пространство V является коидеалом. Значит, на B(π, τ ) индуцируется структура биалгебры. При этом C ⊆ T (C) индуцирует C ⊆ B(π, τ ). ЗАМЕЧАНИЕ 5.6. Алгебра B(π, τ ) является свободной (π, τ )-биалгеброй. Пусть d — групповой элемент биалгебры B(π, τ ), существующий в силу леммы 4.1. По 5.5 однородные линейные отображения π b, τb, π e, τe, g :

T (C) → T (C) индуцируют однородные линейные отображения на B(π, τ ) (будем обозначать их теми же буквами). Согласно замечаниям 5.1, 5.5 отображение g : B(π, τ ) → B(π, τ ) будет автоморфизмом биалгебры. С

учетом замечаний 5.3, 5.5 отображения π b, τb, π e, τe, g : B(π, τ ) → B(π, τ ) би-

ективны.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.7. Для n > 0 в биалгебре B(π, τ ) выполняются ра-

венства f (dn ) = dn для f ∈ {b π , τb, π e, τe, g}.

Действительно, пусть ψ : T (C) → B(π, τ ) — канонический гомомор-

физм биалгебр. Для h ∈ C такого, что ε(h) = 1, по определению элемента d имеем d = ψ(Iτ (h)). Отсюда согласно замечанию 5.5 и поскольку отображение π сохраняет коединицу, π b(d) = ψ(π I(πh)) = d · ε(πh) = d · ε(h) = d. Аналогично доказываются все остальные равенства при n = 1. Из них с

помощью формул (16), (17) и поскольку g является гомоморфизмом алгебры, получаем требуемое. ЛЕММА 5.8. В алгебре B(π, τ ) для c ∈ C выполняется равенство π(c) · d = d · τ (c).

Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2 (k)

703

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через ϕ : C → B(π, τ ) каноническое отображение. В биалгебре B(π, τ ) для h ∈ C выполняется раP πh(1) · h(2) = d · ε(h). С его помощью легко показать, что венство h

((π ∗ ϕ) ∗ τ )(h) = d · τ (h) в B(π, τ ) для h ∈ C (здесь через ∗ обозначается умножение в алгебре Hom(C, B(π, τ ))). Аналогично можно показать,

что (π ∗ (ϕ ∗ τ ))(h) = π(h) · d для h ∈ C. Отсюда, учитывая, что алгебра Hom(C, B(π, τ )) ассоциативна, получаем требуемое. ЗАМЕЧАНИЕ 5.9. Для b ∈ B(π, τ ) выполняется равенство b · d = = d · g(b). В самом деле, согласно лемме 5.8 в B(π, τ ) для произвольного c ∈ C выполняется равенство c · d = d · g(c). Алгебра B(π, τ ) порождается элементами из C. Значит, вышеуказанное равенство выполняется для произвольного b ∈ B(π, τ ). ЗАМЕЧАНИЕ 5.10. В биалгебре B(π, τ ) для произвольного однородного элемента h степени n > 0 выполняются равенства X (h)

π bh(1) · h(2) = dn · ε(h),

X (h)

h(1) · τbh(2) = dn · ε(h).

Воспользуемся индукцией по n > 0. При n = 0 требуемое очевидно, а при n = 1 следует из леммы 4.1. Индукционный шаг легко проверяется (прямым вычислением) с учетом замечаний 5.4, 5.9. ЗАМЕЧАНИЕ 5.11. Для n > 1 в алгебре B(π, τ ) левый и правый аннуляторы элемента dn совпадают. Действительно, пусть для некоторого элемента b алгебры B(π, τ ) выполняется равенство dn · b = 0. С помощью замечаний 5.7 и 5.9 получаем 0 = g n (dn ·b) = dn ·g n (b) = b·dn . Аналогично можно показать, что равенство b · dn = 0 влечет dn · b = 0. Для n > 1 обозначим через Ann(dn ) левый аннулятор элемента dn в алгебре B(π, τ ). Согласно замечанию 5.10 это пространство является также правым аннулятором элемента dn . Обозначим через Ann объединение возрастающей цепочки пространств Ann(dn ), n > 1. ЗАМЕЧАНИЕ 5.12. При n > 1 подпространства Ann(dn ), Ann алгебры B(π, τ ) устойчивы относительно отображений π b, τb, π e, τe, g, т. е.

704

А. Н. Корюкин

f (Ann(dn )) = Ann(dn ), f (Ann) = Ann для f ∈ {b π , τb, π e, τe, g}.

Действительно, рассмотрим n > 1 и однородный элемент h из B(π, τ )

степени m > 0 такой, что h · dn = 0. С помощью замечания 5.7 получаем 0=π b(h · dn ) = g −m π b dn · π b h = dn · π bh. Поскольку пространство Ann(dn ) од-

нородно, то π b(Ann(dn )) ⊆ Ann(dn ). Аналогично доказываются включения

f (Ann(dn )) ⊆ Ann(dn ) для f ∈ {b τ, π e, τe, g}. Из этих включений вытекает

устойчивость пространства Ann(dn ) относительно отображений g, π b, τb, π e, τe. Поэтому пространство Ann устойчиво относительно этих отображений.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.13. Для произвольного n > 1 пространства Ann(dn ),

Ann являются однородными биидеалами биалгебры B(π, τ ). В самом деле, эти пространства однородны, поскольку элемент d однороден. Пусть n > 1 и h ∈ Ann(dn ). По определению h · dn = 0. Следовательно, 0 = ε(h · dn ) = ε(h) · ε(d)n = ε(h) и 0 = ∆(h · dn ) = ∆(h) · (dn ⊗ dn ), а это возможно только в случае ∆(h) ∈ Ann(dn )⊗B(π, τ )+B(π, τ )⊗Ann(dn ). Таким образом, в силу выбора элемента h пространство Ann(dn ) является коидеалом коалгебры B(π, τ ). Из замечания 5.11 легко получить, что Ann(dn ) является идеалом, а значит, биидеалом. Следовательно, Ann также является биидеалом. Градуированную фактор-биалгебру B(π, τ )/Ann обозначим через B(π, τ ). Можно считать, что d — ее элемент. В силу замечания 5.12 отображения g, π b, τb, π e, τe : B(π, τ ) → B(π, τ ) индуцируются на B(π, τ ). Инду-

цированные отображения будем обозначать теми же буквами. Пусть C — образ коалгебры C при каноническом отображении C → B(π, τ ). Через

π, τ : C → C обозначим ограничение отображений π b, τb : B(π, τ ) → B(π, τ ).

ЗАМЕЧАНИЕ 5.14. C является подкоалгеброй коалгебры B(π, τ ) а

отображения π, τ : C → C — антиизоморфизмами коалгебры C.

В самом деле, по построению C является подкоалгеброй коалгебры B(π, τ ), и ядро канонического отображения C ⊆ B(π, τ ) → B(π, τ ) совпадает с C ∩ Ann. В силу замечания 5.13 пространство C ∩ Ann является коидеалом. Тогда C — подкоалгебра коалгебры B(π, τ ). Согласно замечаниям 5.3, 5.5, 5.12 эндоморфизмы π b, π e (а также τb, τe) пространства

B(π, τ ) взаимно обратны, т. е. отображения π b, τb биективны. Следователь-

Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2 (k)

705

но, их ограничения π, τ : C → C также биективны. При этом отображения π, τ : C → C являются антигомоморфизмами коалгебры C, а индуцированные отображения π, τ : C → C — антиизоморфизмами коалгебры C. По построению алгебра B(π, τ ) является (π, τ )-биалгеброй, и из замечания 5.14 вытекает ЛЕММА 5.15. Алгебра B(π, τ ) является (π, τ )-биалгеброй. Из определения алгебры B(π, τ ) следует, что ее элемент d не имеет делителей нуля. Отсюда и из замечания 5.9 следует ЛЕММА 5.16. В алгебре B(π, τ ) для элемента d выполняются условия Оре, а значит, существует алгебра H(π, τ ), которая является расширением алгебры B(π, τ ) посредством элемента d−1 . Обозначим через B x (π, τ ) свободное расширение (в классе ассоциативных алгебр с единицей) алгебры B(π, τ ) некоторым элементом x. Полагая элемент x групповым, получаем структуру биалгебры на B x (π, τ ). ЗАМЕЧАНИЕ 5.17. Алгебра H(π, τ ) совпадает с фактор-алгеброй алгебры B(π, τ ) по идеалу, порожденному элементами xd − 1, dx − 1. ЗАМЕЧАНИЕ 5.18. Алгебра H(π, τ ) является биалгеброй. В самом деле, x, d — групповые элементы, поэтому одномерные подпространства (xd − 1) · k, (dx − 1) · k биалгебры B x (π, τ ) будут коидеалами. Значит, по замечанию 5.17 на H(π, τ ) индуцируется структура биалгебры. Введем градуировку алгебры B x (π, τ ) (аддитивной группой целых чисел), полагая элементы из C однородными степени 1, а элемент x — однородным степени −2. Теперь по формулам (16), (17) можно продолжить отображения π b, τb, π e, τe на алгебру B x (π, τ ), полагая, что все эти отображе-

ния действуют на x тождественно. Продолжим также автоморфизм g (до

автоморфизма алгебры B x (π, τ )), полагая g(x) = x.

По замечанию 5.7 имеем π b(xd − 1) = dx − 1, π b(dx − 1) = xd − 1. С

учетом замечания 5.17 получаем, что отображение π b индуцируется на ал-

гебру H(π, τ ). Аналогично, отображения τb, π e, τe индуцируются на алгебру

H(π, τ ). Поскольку автоморфизм g сохраняет элементы xd − 1 и dx − 1, то он тоже индуцируется на алгебру H(π, τ ).

706

А. Н. Корюкин Обозначим через S эндоморфизм линейного пространства H(π, τ )

такой, что S(h) = xn · π b(h)

(18)

для любых целого числа n и однородного элемента h из H(π, τ ) степени n. ЗАМЕЧАНИЕ 5.19. Отображение S является антиизоморфизмом алгебры H(π, τ ). В самом деле, рассмотрим однородные элементы a, b алгебры H(π, τ ) степеней n, m соответственно. Умножив обе части первой из формул (16) на элемент xn+m , получим S(ab) = xn+m ·b π (a·b) = xn+m ·g −n π bb·b π a. Согласно замечанию 5.9 в алгебре H(π, τ ) для любого элемента h выполняется равенство x·g −1 (h) = h·x. Следовательно, S(ab) = xm ·b π b·xn ·b π a = S(b)·S(a).

ЛЕММА 5.20. Алгебра H(π, τ ) является свободной (π, τ )-алгеброй Хопфа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно замечанию 5.18, алгебра H(π, τ ) является биалгеброй, при этом B(π, τ ) ⊆ H(π, τ ). Значит, согласно лемме 5.15 алгебра H(π, τ ) является (π, τ )-биалгеброй, и поэтому в ней для h ∈ C выполняются равенства X

πh(1) · h(2) = d · ε(h),

(h)

X

h(1) · τ h(2) = d · ε(h).

(19)

(h)

С учетом замечания 5.8 в алгебре H(π, τ ) имеем x · πc = τ c · x для c ∈ C. Следовательно, умножая первое из равенств (19) на элемент x слева, а второе — на элемент x справа, для h ∈ C в алгебре H(π, τ ) получаем X (h)

Sh(1) · h(2) = 1 · ε(h),

X

h(1) · Sh(2) = 1 · ε(h)

(20)

(h)

(здесь S : H(π, τ ) → H(π, τ ) — отображение, определяемое по формуле (18)). Обе формулы из (20) выполняются также и для элемента x. Действительно, он является групповым, т. е. ∆(x) = x ⊗ x, ε(x) = 1. Значит, для x формулы (20) выглядит следующим образом: S(x) · x = 1, x · S(x) = 1. По формуле (18) имеем S(x) = x−2 · π b(x) = x−2 · x = x−1 .

Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2 (k)

707

Тогда обе формулы (20) выполняются для произвольного h ∈ ∈ H(π, τ ), поскольку алгебра H(π, τ ) порождается элементами из C, x, и так как S, согласно замечанию 5.19, является ее антигомоморфизмом. Отсюда и по замечанию 5.19 получаем: отображение S является антиподом биалгебры H(π, τ ), а сама биалгебра H(π, τ ) является алгеброй Хопфа. Таким образом, она, как (π, τ )-биалгебра, является (π, τ )-алгеброй Хопфа. Пусть K — произвольная (π, τ )-алгебра Хопфа. Учитывая замечание 5.6, получаем, что существует гомоморфизм биалгебр f : B(π, τ ) → K, индуцированный каноническим гомоморфизмом C → C. Продолжим f до гомоморфизма биалгебр g : B x (π, τ ) → K, полагая g(x) = f (d)−1 . В силу замечания 5.17 гомоморфизм g : B x (π, τ ) → K индуцирует гомоморфизм g : H(π, τ ) → K. Нетрудно понять, что это гомоморфизм (π, τ )-алгебр Хопфа. Из леммы 5.16 следует, что гомоморфизм (π, τ )-алгебр Хопфа H(π, τ ) → K определяется единственным образом. Значит, (π, τ )-алгебра Хопфа H(π, τ ) является свободной. Лемма доказана.

§ 6. Основные результаты ТЕОРЕМА 6.1. Для произвольных p, q ∈ k\{0} квантовая группа Mp,q (2) является свободной (π, τ )-алгеброй Хопфа, где C — подкоалгебра коалгебры Mp,q (2), порожденная матричными коединицами, и отображения π, τ есть биективные линейные эндоморфизмы пространства C, вычисляемые по формулам (10), (11). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это следует из леммы 5.20, так как по построению алгебра Хопфа Mp,q (2) совпадает с H(π, τ ), где π, τ — отображения, определяемые по формулам (7), (8). ТЕОРЕМА 6.2. Пусть C — произвольная коалгебра, π, τ — биективные линейные эндоморфизмы пространства C, H — произвольная (π, τ )-алгебра Хопфа. Тогда отображения π, τ являются антиизоморфизмами коалгебры C и коммутируют.

708

А. Н. Корюкин ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 4.2 найдется групповой элемент xH

алгебры Хопфа такой, что пара (H, xH ) является (∗, π, τ )-алгеброй Хопфа. Значит, в силу замечания 2.2 отображения π, τ являются антиизоморфизмами коалгебры C и коммутируют согласно замечанию 2.3. ТЕОРЕМА 6.3. Для любых антиизоморфизмов π, τ коалгебры C (C 6= 0) таких, что πτ = τ π, выполняются следующие утверждения: 1) существует свободная (π, τ )-биалгебра ( )B(π, τ ); P 2) подпространство πc(1) · c(2) c ∈ C свободной (π, τ )-биалгеб (c) ры одномерно и содержит единственный групповой элемент d; 3) множество Ann элементов свободной (π, τ )-биалгебры, аннули-

рующих некоторую степень элемента d, образует биидеал, а факторалгебра B(π, τ ) по этому идеалу является биалгеброй; 4) пространство C ∩ Ann является наименьшим коидеалом коалгебры C, для которого существует свободная (π, τ )-алгебра Хопфа (здесь π, τ — антиизоморфизмы коалгебры C = C/(C ∩ Ann), индуцированные отображениями π, τ ); 5) для элемента d алгебры B(π, τ ) выполняются условия Оре, и свободная (π, τ )-алгебра Хопфа является расширением биалгебры B(π, τ ) посредством элемента d−1 ; 6) свободная (π, τ )-алгебра Хопфа является фактор-алгеброй тензорной алгебры T (D) по ее идеалу F , порожденному элементами π I(h)x

− ε(h), Iτ (h)x − ε(h), xπ I(h) − ε(h), xIτ (h) − ε(h),

(21)

h ∈ C (здесь D = C ⊕ x · k — коалгебра, в которой x является групповым элементом; отображения π I, Iτ вычисляются по формулам (14)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Следует из замечания 5.6, поскольку алгебра B(π, τ ) всегда существует. 2) Следует из леммы 4.1. 3) Следует из замечания 5.13. 4) Пусть H — свободная (π, τ )-алгебра Хопфа, ϕ : C → H — канонический гомоморфизм. Поскольку групповые элементы в алгебре Хопфа

Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2 (k)

709

обратимы, а элемент d алгебры Хопфа H — групповой, то выполняется включение C ∩ Ann ⊆ ker(ϕ). Кроме того, C ∩ Ann является ядром канонического гомоморфизма C → H(π, τ ), а H(π, τ ), по лемме 5.20, является свободной (π, τ )-алгеброй Хопфа. 5) Следует из лемм 5.16 и 5.20. 6) По лемме 5.20 свободная (π, τ )-алгебра Хопфа — это H(π, τ ). Обозначим через K идеал тензорной алгебры T (D), порожденный пространством {π (c) − Iτ (h) | c, h ∈ C, ε(c − h) = 0}. Легко понять, что K ⊆ F . Алгебра T (D)/K совпадает с B(π, τ ). В ней соотношения (21) превращаются в xd − 1 = 0 и dx − 1 = 0, а по замечанию 5.17 получаем требуемое. Теорема доказана. ВОПРОС. Верно ли, что для любых антиизоморфизмов π, τ произвольной коалгебры C таких, что πτ = τ π, выполняются следующие утверждения: 1) каноническое отображение C → H(π, τ ) инъективно (т. е. групповой элемент d биалгебры B(π, τ ) не имеет в C делителей нуля); 2) каноническое отображение B(π, τ ) → H(π, τ ) инъективно (т. е. групповой элемент d биалгебры B(π, τ ) не имеет делителей нуля)? В заключение приведем два примера свободных (π, τ )-алгебр Хопфа, которые строятся на основе коалгебры Mk∗ (2), дуальной к алгебре матриц Mk (2). ПРИМЕР 1 (уникальная алгебра Хопфа). Прямое вычисление показывает, что отображения π, τ , определяемые по формулам         a11 a12 a a a a a −a21  =  22 12  , τ  11 12  =  11 , π a21 a22 a21 a11 a21 a22 −a12 a22

являются коммутирующими антиизоморфизмами коалгебры Mk∗ (2). В этом случае соотношения свободной (π, τ )-биалгебры выглядят следующим образом: a22 a11 + a12 a21 = a21 a12 + a11 a22 = a211 − a212 = −a221 + a222 , a22 a12 + a12 a22 = 0, a21 a11 + a11 a21 = 0, −a11 a21 + a12 a22 = 0, a21 a11 − a22 a12 = 0.

(22)

710

А. Н. Корюкин

Ее групповой элемент d, существующий в силу леммы 4.1, определяется по формуле (22). Факторизуя свободную (π, τ )-биалгебру по аннуляторам всех степеней элемента d и затем расширяя ее элементом d−1 , получаем уникальную алгебру Хопфа H(π, τ ). ПРИМЕР 2 (двупараметрическое семейство, p, q — параметры). Непосредственная проверка показывает, что отображения π, τ , определяемые по формулам     a11 a12 a22 + pa21 −a12 − pa11 + pa22 + p2 a21 = , π a21 a22 −a21 a11 − pa21 

τ

a11 a21



  2 a12 a + qa21 −a12 − qa11 + qa22 + q a21  =  22 , a22 −a21 a11 − qa21

являются коммутирующими антиизоморфизмами коалгебры Mk∗ (2). В этом случае соотношения свободной (π, τ )-биалгебры выглядят следующим образом: a11 a22 + qa11 a21 − a12 a21 = −a21 a12 − qa21 a11 + qa21 a22 + q 2 a221 +a22 a11 − qa22 a21 = a22 a11 + pa21 a11 − a12 a21 − pa11 a21

(23)

+pa22 a21 + p2 a221 = −a21 a12 + a11 a22 − pa21 a22 , −a11 a12 − qa211 + qa11 a22 + q 2 a11 a21 + a12 a11 − qa12 a21 = 0, a21 a22 + qa221 − a22 a21 = 0, a22 a12 + pa21 a12 − a12 a22 − pa11 a22 + pa222 + p2 a21 a22 = 0, −a21 a11 + a11 a21 − pa221 = 0. Ее групповой элемент d, существующий по лемме 4.1, вычисляется по формуле (23). Факторизуя свободную (π, τ )-биалгебру по аннуляторам всех степеней элемента d и затем расширяя ее элементом d−1 , получаем двупараметрическое семейство алгебр Хопфа H(π, τ ).

ЛИТЕРАТУРА 1. S. L. Woronowicz, Compact matrix pseudogroups, Commun. Math. Phys., 111 (1987), 613—665.

Обобщение двупараметрической квантизации группы GL2 (k)

711

2. S. L. Woronowicz, Tannaka–Krein duality for compact matrix pseudogroups. Twisted SU (N ) group, Invent. Math., 93, N 1 (1998), 35—76. 3. C. Kassel, Quantum Groups (Grad. Texts Math., 155), New York, SpringerVerlag, 1995. 4. S. Montgomery, Hopf Algebras and Their Actions on Rings (CBMS Reg. Conf. Ser. Math., 82), Am. Math. Soc., Providence, RI, 1993.

Адрес автора: КОРЮКИН Анатолий Николаевич, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: [email protected]

Поступило 13 декабря 2001 г.