О группе с H-фробениусовым элементом четного порядка

Алгебра и логика, 44, № 1 (2005), 70—80

УДК 512.544

О ГРУППЕ С H-ФРОБЕНИУСОВЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ЧЁТНОГО ПОРЯДКА∗) А. М. ПОПОВ, А. И. СОЗУТОВ

Группа G = F λH называется [1] группой Фробениуса (фробениусовой группой) с дополнением H и ядром F , если F и H — такие собственные подгруппы группы G, что 1) H ∩ H g = 1 для любого элемента g ∈ G \ H, T S 2) F = (G \ H # )x = G \ (H \ {1})x . x∈G

x∈G

Если G и H удовлетворяют условию 1 определения группы Фробениуса, то они составляют [1] пару Фробениуса (G, H); подгруппа H в этом случае называется [2] обособленной в G. Элемент a группы G называется H-фробениусовым [3], если все подгруппы вида Lg = ha, ag i, где g ∈ G \ H, а H — собственная подгруппа, являются группами Фробениуса с дополнениями, содержащими элемент a. Если при этом дополнения всех таких групп Фробениуса Lg совпадают с hai, элемент a называется циклически H-фробениусовым. Группы с H-фробениусовыми и циклически H-фробениусовыми элементами изучались в работах различных авторов. Конечные группы с такими элементами рассматривались, напр., в [4, 5]. Однако для конечных групп такие исследования не получили широкого распространения. Существование элементов указанных типов в бесконечных группах позволило в некоторых случаях дать описание этих групп. Так, в [6—9] был полу∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект № 03-01-00356, и Красноярского краевого фонда науки, проект № 11F0202C.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

О группе с H-фробениусовым элементом чётного порядка

71

чен ряд признаков непростоты групп, обладающих (почти) циклически H-фробениусовыми элементами. Как известно, дополнение фробениусовой группы, порожденной двумя элементами, может не быть циклическим [10, 11]. В связи с этим был поставлен вопрос о строении группы, обладающей H-фробениусовым элементом [12, вопр. 10.61]. Для решения этой задачи сначала было установлено [13] строение группы, содержащей H-фробениусов элемент порядка 4, который с каждым своим сопряжённым элементом порождает конечную подгруппу (такие элементы называются конечными). Затем было показано [14]: если конечный H-фробениусов элемент в группе G имеет порядок, отличный от 2, 3 и 5, то G = F H, где F — периодическая нормальная в G подгруппа, совпадающая с обьединением ядер всех фробениусовых подгрупп вида ha, ag i. В последнее время активно изучались группы с фробениусовыми элементами. В частности, в [15] доказана конечность группы Фробениуса, порожденной двумя элементами порядка, не превосходящего 4. Опираясь на этот результат, был найден ответ на [12, вопр. 10.61] для элемента порядка 4 (без предположения о конечности элемента) [16]. Заметим, что в силу [15, следствие 1] и [13, теор.] наиболее важным в этом случае было изучение подгрупп ha, ah i (h ∈ H) (потенциально бесконечных) и нормального замыкания haH i. Основным результатом настоящей работы является ТЕОРЕМА. Если группа G содержит H-фробениусовый элемент a чётного порядка, большего 2, то G = F λCG (i), где i — инволюция из hai, F — абелева периодическая подгруппа. Из теоремы вытекает положительный ответ на интересующий нас вопрос для случая, когда порядок элемента a чётен. СЛЕДСТВИЕ. Пусть G — группа, H — её собственная подгруппа, a ∈ H, |a| = 2n > 2 и для всякого g ∈ G \ H подгруппа ha, ag i является фробениусовой группой с дополнением, содержащим a. Тогда обьединение всех ядер фробениусовых подгрупп группы G с дополнением hai является

72

А. М. Попов, А. И. Созутов

нормальной подгруппой F в G и G = F H. Заметим: в условиях нашей теоремы подгруппы Lg = ha, ag i, где g ∈ G \ H, могут быть и бесконечными. В [17] доказано, что в периодической группе Фробениуса дополнение не обязательно является локально конечной группой, а его фактор-группа по локально конечному радикалу может оказаться, например, изоморфной свободной бернсайдовой группе или одному из монстров Ольшанского. Если в качестве группы G взять такую группу Фробениуса с дополнением H чётного периода и элемент a чётного порядка выбрать за пределами локально конечного радикала H, то тройка (G, H, a) будет удовлетворять всем условиям теоремы, при этом все подгруппы Lg будут бесконечными. Для доказательства теоремы понадобятся следующие результаты. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 [2]. Пусть G = F λH, подгруппа H локально конечна и обособлена в G, а подгруппа F локально нильпотентна. Группа G является фробениусовой с ядром F и дополнением H тогда и только тогда, когда F — π(H)-полная группа. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 [3, теор. 1]. Если a — циклически H-фробениусовый элемент группы G, |a| > 2, то G = F λNG (hai) и G = F λhai — группа Фробениуса. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 [18, предлож. 4.2]. Если i — конечная инволюция группы G, CG (i) = hii, то G = F λhii, где F — периодическая абелева подгруппа, инвертируемая инволюцией i. ЛЕММА 1. Пусть a — элемент порядка 4 произвольной группы G, Lg = ha, ag i = Fg λHg — конечная группа Фробениуса с ядром Fg и дополнением Hg . Тогда 1) инволюция i = a2 единственна в Hg и i инвертирует Fg ; 2) если a−1 ∈ / aLg , то либо Hg = hai, либо Hg = hbiλhai, где hbi — циклическая нормальная подгруппа нечётного порядка, инвертируемая элементом a; 3) если a−1 ∈ aLg , то Hg = hbi · hai, где |b| делится на 4, ba = b−1 и hai ∩ hbi = hii. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуемое легко следует из хорошо извест-

О группе с H-фробениусовым элементом чётного порядка

73

ных результатов о строении конечных групп Фробениуса (см., напр., [10, 11]). 2 Для произвольной группы G, её собственной подгруппы H, элемента a чётного порядка из H и инволюции i из hai положим R = CG (i), M = = {c ∈ G \ H | ci = c−1 }. ЛЕММА 2 [13]. Если для каждого элемента g ∈ G \ H элемент ig −1 ig

отличен от единицы и имеет конечный нечётный порядок, то

1) R ≤ H, G \ H = MR = RM и iM = Mi = iG \ H; 2) для любого g ∈ G \ H пересечение H ∩ g −1 Hg ∩ iG пусто; 3) пусть t, rt ∈ M ∪ (iG \ H) и r ∈ R; тогда r ∈ hii, причем r = 1, если t, rt ∈ M, и r = i, если t ∈ M, rt ∈ iG . Пусть, наконец, G, H и a удовлетворяют условиям теоремы, i — инволюция из hai. ЛЕММА 3. Если 1 6= b ∈ hai, то NG (hbi) ≤ H. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g ∈ NG (hbi) \ H, тогда Lg = ha, ag i ≤ ≤ CG (hbi) и Lg не является группой Фробениуса, получаем противоречие. 2 ЛЕММА 4. Для каждого элемента g ∈ G \ H ядро Fg группы Фробениуса Lg = ha, ag i есть периодическая абелева группа и Hg = Hc для некоторого элемента c ∈ Fg \ H. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условиям теоремы для любого элемента g ∈ G \ H подгруппа Lg = ha, ag i является группой Фробениуса и, поскольку порядок элемента a чётен, её ядро Fg — абелева группа. Неинвариантный множитель Hg в Lg может оказаться бесконечной периодической группой (см. соответствующий пример в [17]). Однако инволюция i в Hg единственна и поэтому Hg ≤ R = CG (i) ≤ H (лемма 2). Поскольку Lg — группа Фробениуса, существует элемент c ∈ Fg такой, что ag ∈ Hgc , а так как ig ∈ hag i, то ig = ic . Отсюда gc−1 ∈ R ≤ H, Rg = Rc, Hg = Hc и c ∈ / H. Пусть теперь c — произвольный элемент из Fg \H. По условиям теоремы Lc = ha, ac i — группа Фробениуса и из Lc ≤ Lg заключаем, что её ядро Fc совпадает с подгруппой Fg ∩ Lc , а дополнение Hc является циклической

74

А. М. Попов, А. И. Созутов

группой hai. Ввиду [19, следствие 7.2.1] подгруппа Fc конечно порождена, а по основной теореме о конечно порожденных абелевых группах [20, теор. 8.1.2] Fc является прямым произведением конечного числа циклических групп. По предложению 1, Fc — 2-полная группа, следовательно, каждый прямой сомножитель в Fc конечен, и Fc — конечная группа. При этом c ∈ hi, ic i ≤ Fc и |c| < ∞. Таким образом, множество Fg \ H состоит из элементов конечного порядка. Поскольку Fg — абелева, а c = bd ∈ Fg \ H для любых b ∈ H ∩ Fg и d ∈ Fg \ H, то Fg — периодическая группа. 2 Для произвольного элемента v ∈ G обозначим через Mv множество элементов из G\H, содержащихся в ядрах фробениусовых подгрупп hv, v g i с дополнением hvi. ЛЕММА 5. Пусть 1 6= r ∈ hai, g ∈ G \ H, L = hi, rg i. Тогда L — конечная группа Фробениуса с абелевым ядром F 6≤ H и дополнением hirg i, порядок элемента iig конечен и нечётен, Mr = Mi = M, g = rc, где r ∈ R, c ∈ F \ H, c ∈ hi, ig i. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку L ≤ Lg = ha, ag i, по лемме 4 и в силу свойств (локально) конечных групп Фробениуса [10, 11], L является конечной группой Фробениуса с циклическим дополнением hrg i или hirg i и абелевым ядром F = L ∩ Fg . Остальные части утверждения также являются простыми следствиями свойств конечных групп Фробениуса и лемм 1—4. 2 Из конечности и нечётности порядков элементов вида iig (лемма 5) следует справедливость леммы 2 для тройки (G, H, i), которая будет часто использоваться в дальнейшем. Выделим последнее свойство заключения леммы 5. Оно, как правило, используется для расщепления произведения g = rc, поскольку благодаря ему подгруппа hi, gi содержит также элементы c и r. Из лемм 2—5 следует, что существует только одна подгруппа Hj , сопряжённая с H и содержащая элемент j ∈ iG . Очевидно, что условия теоремы выполняются для любой тройки (G, Hj , s), где j ∈ iG ∩hsi, s ∈ aG ; тем самым для тройки (G, Hj , s) справедливы все доказываемые в работе леммы.

О группе с H-фробениусовым элементом чётного порядка

75

Введем некоторые обозначения. Класс сопряжённых элементов группы G с представителем g −1 будет обозначаться g −G . Если порядок элемента a делится на 4, зафиксируем один из элементов порядка 4 группы hai и обозначим его через x. Положим в этом случае X + = xG \ H, X − = x−G \ H и X = X + ∪ X − . Понятно, что в случае x−1 ∈ xG справедливо X + = X − = X; если же x−1 ∈ / xG , то X + ∩ X − = ∅. Когда порядок элемента a не делится на 4, то он делится на простое число p 6= 2 и группа hai содержит единственные подгруппы hxi и hixi порядков p и 2p, соответственно. В этом случае через X + обозначается множество всех элементов из G \ H, сопряжённых в G с неединичными элементами из hxi, а через X − — с элементами порядка 2p из hixi. ЛЕММА 6. Если j ∈ iH , то jX + = X − , jX − = X + и CG (j) ∩ iG = = {j}. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Лемму достаточно доказать для j = i. Если y ∈ X + , то, по лемме 5, L = hi, yi = Fy λhyi — группа Фробениуса с неинвариантным множителем hiyi порядка 4 (случай |x| = 4) или 2p (случай |x| = p). Поэтому iy ∈ L ∩ X − . Аналогично, iy принадлежит L ∩ X + при y ∈ X −. Далее, пусть j — произвольная инволюция из iG ∩ R, и c ∈ M. Ввиду леммы 5, xc ∈ X + и по доказанному выше jxc ∈ X − . Пусть jxc ∈ hag i, где g — подходящий элемент из G \ H. По условию теоремы Lg = ha, ag i — группа Фробениуса, одним из дополнений которой является подгруппа Hg = Lg ∩ R. Поскольку i, x, jxc ∈ Lg , ijxc = ic ∈ Lg , то c ∈ Lg , j ∈ Hg и j = i. 2 ЛЕММА 7. В случае H = R заключение теоремы верно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L = hiG i. Если |x| = 4, положим Y = xG ∪ x−G , а если |x| = p, то пусть Y — объединение классов v G , где v пробегает множества порождающих элементов подгрупп hxi и hixi. Понятно, что множество Y инвариантно в G и Y \ H = X + ∪ X − . Ввиду леммы 6 имеем iY = Y , значит, это справедливо для любой инволюции j ∈ iG . Тогда LY = Y . Поскольку для z ∈ hai равенство zY = Y выполня-

76

А. М. Попов, А. И. Созутов

ется только при z = 1, i, то L ∩ hai = hii. Инволюция i очевидно конечна в L (лемма 5), и если R ∩ L = hii, то, по предложению 3, L = F λhii, где F = {1} ∪ M — периодическая абелева группа без инволюций, инвертируемая инволюцией i. По аргументу Фраттини (см. [20, 17.1.8]) G = F λCG (i), и, по лемме 2, G = F H. В общем случае достаточно показать, что F = {1} ∪ M является подгруппой. Пусть b, d ∈ M — произвольные элементы, bd ∈ / F . Тогда по леммам 2, 5 верно bd = rc, где c ∈ M, r ∈ R1 = R ∩ L, при этом r 6= 1, i и xc ∈ X + . Выше доказано, что rxc ∈ Y \ H, а по условию Lc = hx, rxci вкладывается в подходящую группу Фробениуса Lg = ha, ag i с периодическим абелевым ядром Fg (лемма 4) и дополнением Hg = Lg ∩ R, содержащим элемент x и единственную инволюцию i. Расщепляя произведение rxc (лемма 5), получаем, что x, r, c ∈ Lg , x, r ∈ Hg , |r| > 2, c ∈ Fg , |rc| > 2 и rc содержится в некотором неинвариантном множителе группы Lg . Поэтому некоторая инволюция t ∈ iG \ H перестановочна с элементом rc. По определению множества M, j = bi и k = id — инволюции из iG , инвертирующие элемент rc. С другой стороны, по леммам 5, 6 хотя бы один из элементов tj, tk имеет конечный нечётный порядок. Поэтому инволюции j, k, t сопряжены в NG (hrci), что противоречит соотношениям (rc)j = (rc)k = (rc)−1 , (rc)t = rc и неравенству |rc| > 2. Значит, bd ∈ F и множество F является подгруппой. 2 В последующих леммах предполагается, что R 6= H. ЛЕММА 8. Для каждой инволюции j ∈ iH справедливо Mj = M. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть b ∈ Mj — произвольный элемент. Последовательно применяя леммы 5 и 6 получаем b = rc, где r ∈ R = CG (i), c ∈ M, rcj = bj ∈ iG \ H, xc ∈ X + , xcj ∈ X − , и поскольку i ∈ / Hrcj , то iε xcj ∈ / Hrcj для подходящего ε ∈ {0, 1}. В случае |x| = p можно считать, что ε = 0, поскольку ycj ∈ / Hrcj для некоторого элемента y порядка p из hai. По лемме 5, hrcj, iε xcji является группой Фробениуса, iε xr−1 — элементом либо порядка 4, либо 2p из некоторой сопряжённой с hai подгруппы hsi ≤ R, при этом i ∈ hiε xr−1 i. По лемме 5, iε xr−1 c ∈ X + ∪ X − . Поэтому L = hiε xr−1 c, ai содержится в группе Фробениуса вида Lg = ha, ag i с

О группе с H-фробениусовым элементом чётного порядка

77

ядром Fg . ε xr −1 c

Из ii

= ic ∈ L следует c, r ∈ Lg и либо r = 1, либо r ∈ / Fg и

cr ∈ / Fg . Если r 6= 1, то cr централизует некоторую инволюцию k ∈ iG \ H и b = (cr)r

−1

∈ CG (t), t = rkr−1 ∈ iG \ H. По лемме 5, |tj| = 2k + 1, а

инволюции t и j сопряжены в подгруппе ht, ji. Поскольку bt = b, а bj = b−1 , получаем противоречие. Следовательно, r = 1, b = c ∈ M и Mj ⊆ M. Аналогично, M ⊆ Mj и Mj = M. 2 ЛЕММА 9. M = hiH i = T λhii, где T = {t ∈ M | tM = M}, CT (i) = 1 и для любой инволюции s ∈ iG \ H множество T s содержится в iG . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из лемм 5, 8 iM = iG \ H = jM и ijM = M, откуда M = T λhii, T · M = M. Пусть r ∈ T ∩ R — произвольный элемент, тогда rM = M, rc, c ∈ M и, по лемме 2, r = 1. Следовательно, R ∩ T = 1 и инволюция i действует на T регулярно. Пусть t ∈ T , s — некоторая инволюция из iG \ H; докажем, что ts ∈ iG . В силу леммы 5, s = bi, где b ∈ M. Поскольку tb ∈ M, tbi ∈ Mi и по лемме 2, its = itbi ∈ M, следовательно, ts = iits ∈ iM и ts ∈ iG \ H. 2 Положим D=

\

s∈iG \H



(Hs ∩ T ) = 

\

g∈G



Hg

\

T.

ЛЕММА 10. Если D 6= 1, то D — периодическая абелева нормальная в G подгруппа, инвертируемая инволюцией i. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть s ∈ iG \ H и t ∈ D. По лемме 9, ts ∈ iG , откуда ts = t−1 . Поскольку ts ∈ Hs , то t ∈ Ms = hHs ∩ iG i, при этом Ms = Ts λhsi и t ∈ Ts , т. е. D=

\

s∈iG

Ts =

\

T g.

g∈G

Отсюда D нормальна в G, инвертируется инволюцией i и потому абелева. В силу леммы 5 подгруппа Ls = hs, ai = Fs λhai является конечной группой Фробениуса с ядром Fs и неинвариантным множителем hai. Рассмотрим группу V = D · Ls = (D · Fs )λhai.

78

А. М. Попов, А. И. Созутов Для любого элемента g ∈ V \H подгруппа Lg = ha, ag i является груп-

пой Фробениуса с периодическим абелевым ядром Fg и дополнением Hg , при этом, по лемме 5, Fg 6≤ D. Любой элемент из D инвертируется инволюцией i, поэтому Hg ∩D = 1. Значит, Hg D/D является дополнением Фробениуса в фактор-группе Lg /(D ∩ Lg ), вложимой в фактор-группу группы Ls = Fs λhai. Учитывая свойства конечных групп Фробениуса [10, 11], заключаем, что Hg = hai — циклическая группа. Поскольку это справедливо для любого элемента g ∈ V \H, то a — циклически (H ∩V )-фробениусовый элемент группы V . Так как NV (hai) = hai, то, в силу предложения 2, V = D · Ls = F λhai является группой Фробениуса с ядром F и дополнением hai. Поскольку порядок элемента a чётен, подгруппа F абелева и очевидно совпадает с подгруппой D · Fs . Пусть d — элемент бесконечного порядка из F , и b ∈ M ∩ F . Тогда из абелевости F следует, что bd — элемент бесконечного порядка из M, последнее противоречит лемме 4. Следовательно, D — периодическая группа. 2 ЛЕММА 11. T — периодическая абелева нормальная в G подгруппа, инвертируемая инволюцией i. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть t — произвольный элемент из T \ D. По определению D найдется такая инволюция s ∈ iG \ H, что t ∈ / Hs . В силу леммы 9, ts ∈ iG , при этом ts ∈ / Hs и по лемме 5 элемент t = ts · s имеет конечный нечётный порядок. Из леммы 10 заключаем, что группа T является периодической. Поскольку T ∩ R = 1 (см. лемму 6) и по предложению 3, T абелева и инволюция i инвертирует T . Пусть t ∈ T , b ∈ M — произвольные элементы. По лемме 9, c = = t−1 b−1 ∈ M, таким образом, bt = c−1 = ci = t−i b−i = tb, b ∈ CG (T ) и M ⊆ CG (T ). В силу леммы 2, T нормальна в H = T λR и G \ H = RM, поэтому T нормальна в G. 2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы. На основании леммы 11 перейдем к фактор-группе G = G/T . Понятно, что для тройки (G, H, a) выполняются условия теоремы, при этом H = CG (i). Применяя лемму 7, получаем G = F λCG (a), F — периодическая абелева инвертируемая инволюцией i

О группе с H-фробениусовым элементом чётного порядка

79

подгруппа. Ее прообраз F в G также является нормальной периодической абелевой подгруппой, инвертируемой инволюцией i, и G = F λCG (i). 2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следствия. Достаточно показать, что подгруппа F из утверждения теоремы совпадает с обьединением S всех ядер фробениусовых подгрупп группы G с дополнением hai. Поскольку i ∈ hai, то S ⊆ F . Из теоремы и элементарных свойств групп Фробениуса вытекает, что a — циклически A-фробениусовый элемент группы G1 = F λhai с A = G1 ∩ H = hai. В силу предложения 2, G1 = F1 λhai — группа Фробениуса c ядром F1 и дополнением hai. Значит, S = F1 = F . 2

ЛИТЕРАТУРА 1. А. И. Созутов, В. П. Шунков, Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы, Матем. сб., 100, № 4 (1976), 495—506. 2. Ю. М. Горчаков, О бесконечных группах Фробениуса, Алгебра и логика, 4, № 1 (1965), 15—29. 3. А. И. Созутов, О группах с классом фробениусово-абелевых элементов, Алгебра и логика, 34, № 5 (1995), 531—549. 4. B. Fischer, Frobenius automorphismen endlicher Gruppen, Math. Ann., 163, N 4 (1966), 273—298. 5. M. Aschbacher, A characterisation of certain Frobenius groups, Ill. J. Math., 18, N 3 (1974), 418—426. 6. В. П. Шунков, Об одном признаке непростоты групп, Алгебра и логика, 14, № 5 (1975), 491—522. 7. А. И. Созутов, О группах с фробениусовыми парами сопряжённых элементов, Алгебра и логика, 16, № 2 (1977), 204—212. 8. А. И. Созутов, В. П. Шунков, О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами, Алгебра и логика, 16, № 6 (1977), 711—735. 9. А. И. Созутов, В. П. Шунков, О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами. II, Алгебра и логика, 18, № 2 (1979), 206—223. 10. В. М. Бусаркин, Ю. М. Горчаков, Конечные расщепляемые группы, М., Наука, 1968. 11. А. И. Старостин, О группах Фробениуса, Укр. матем. ж., 23, № 5 (1971), 629—639.

80

А. М. Попов, А. И. Созутов 12. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2002. 13. А. М. Попов, Об одном признаке непростоты групп с инволюциями, Алгебра и логика, 42, № 2 (2003), 227—236. 14. А. М. Попов, О строении некоторых групп с конечным H-фробениусовым элементом, Алгебра и логика, 43, № 2 (2004), 220—228. 15. А. Х. Журтов, В. Д. Мазуров, О группах Фробениуса, порожденных квадратичными элементами, Алгебра и логика, 42, № 3 (2003), 271—292. 16. A. M. Popov, On groups with Frobenius elements, in: Proc. Intern. Conf. „Algebra and its Applications“, Krasnoyarsk, 2002, to appear. 17. А. И. Созутов, О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса, Сиб. матем. ж., 35, № 4 (1994), 893—901. 18. В. П. Шунков, Мp-группы, М., Наука, 1990. 19. М. Холл, Теория групп, М., ИЛ, 1962. 20. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1977.

Поступило 5 декабря 2003 г. Окончательный вариант 26 марта 2004 г. Адреса авторов: ПОПОВ Алексей Михайлович, ул. Софьи Ковалевской, д. 2, кв. 21, г. Красноярск, 660074, РОССИЯ. Тел.: (3912) 46-02-15. e-mail: [email protected] СОЗУТОВ Анатолий Ильич, пр. Свободный, 82, КрасГАСА, г. Красноярск, 660041, РОССИЯ. Тел.: (3912) 49-83-69. e-mail: [email protected]