О строении некоторых групп с конечным H- фробениусовым элементом

Алгебра и логика, 43, N 2 (2004), 220—228

УДК 512.544

О СТРОЕНИИ НЕКОТОРЫХ ГРУПП С КОНЕЧНЫМ H-ФРОБЕНИУСОВЫМ ЭЛЕМЕНТОМ∗) А. М. ПОПОВ

В 1986 г. А. И. Созутов поставил ВОПРОС 10.61 [1]. Пусть G — группа, H — ее собственная подгруппа, a ∈ H, a2 6= 1 и для всякого g ∈ G \ H подгруппа ha, ag i является группой Фробениуса с дополнением, содержащим a. Будет ли подгруппой объединение всех ядер фробениусовых подгрупп группы G с дополнением hai? Особенно интересен случай, когда элемент a с любым своим сопряженным элементом порождают конечную подгруппу. Для случая |a| = 4 показано [2], что это действительно так (полное доказательство приведено в [3]). В данной работе дается положительный ответ на вопрос 10.61 во всех случаях, кроме |a| = 3, 5. В соответствии с [4] элемент a группы G называется конечным, если он с каждым своим сопряженным элементом порождает в G конечную подгруппу, и H-фробениусовым, если все подгруппы вида Lg = ha, ag i (где g ∈ G \ H, а H — собственная подгруппа) являются группами Фробениуса. Основным результатом статьи является следующая ТЕОРЕМА. Пусть G — группа, H — ее собственная подгруппа, a — конечный H-фробениусовый элемент из H порядка, большего 2. Если |a| = 6 3, 5, то объединение F всех ядер фробениусовых подгрупп группы G с дополнением, содержащим элемент a, является периодической нормальной в G подгруппой и G = F H. ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 03-01-00356. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

О строении некоторых групп

221

Для доказательства потребуется ряд предложений и лемм. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 [5, предлож. 4.2]. Пусть G — группа с конечной инволюцией i. Если CG (i) = hii, то G = F λhii, где F — периодическая абелева подгруппа из G, инволюция i инвертирует F . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 [4, теор. 1]. Пусть G — бесконечная группа, H — ее собственная подгруппа, a — элемент из H порядка, большего 2, и для всех элементов ag , где g ∈ G \ H, подгруппа ha, ag i является группой Фробениуса с неинвариантным множителем hai. Тогда G = F λNG (hai) и F λhai — группа Фробениуса с неинвариантным множителем hai и ядром F . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 [6, лемма 1]. Пусть G — локально конечная группа регулярных автоморфизмов абелевой группы, Ω1 (G) = T — подгруппа в G, порожденная всеми элементами простых порядков. Тогда T — группа одного из следующих типов: 1) T — локально циклическая группа; 2) T изоморфна SL2 (3) или SL2 (5); 3) T = C × S, где C — группа типа 1, S — группа типа 2, а π(C) ∩ ∩π(S) = ∅. ЛЕММА 1. Пусть 1 6= b ∈ hai, тогда NG (hbi) ≤ H. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g ∈ NG (hbi) \ H, тогда Lg = ha, ag i ≤ ≤ CG (hbi) и, значит, Lg не является группой Фробениуса, получаем противоречие. 2 ЛЕММА 2. Если b ∈ hai, |b| = p — простое число, большее 5, то заключение теоремы справедливо. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g ∈ G \ H, Lg = ha, ag i. Подгруппа Lg является группой Фробениуса вида Lg = Fg λHg , где Fg — ядро, Hg — неинвариантный множитель. В силу свойств групп Фробениуса и предложения 3 дополнение Hg содержит единственную циклическую подгруппу порядка p. Отсюда hbi ⊳ Hg . Если hbg i = hbi, то получим противоречие с тем, что Lg — группа Фробениуса. Следовательно, bg ∈ Tg , где Tg — неинвариантный множитель группы Фробениуса Lg , отличный от Hg , и в силу

222

А. М. Попов

предложения 3, подгруппы hbi и hbg i сопряжены в Lg с помощью элемента c ∈ Fg . Отсюда, g = rc, где r ∈ NG (hbi). Из того, что g ∈ G \ H, и по лемме 1 получаем c 6∈ H. Таким образом, Fg 6< H. В силу свойств групп Фробениуса и предложения 3 подгруппа hb, bg i является фробениусовой группой вида hb, bg i = Kg λhbi, где Kg — ядро, hbi — неинвариантный множитель. Из предложения 2 получаем G = = F λNG (hbi), где F λhbi — группа Фробениуса. Обозначим через Mv множество v-вещественных элементов (т. е. элементов из ядер групп Фробениуса hv, v g i с дополнением hvi), не содержащихся в H. Пусть g ∈ Ma . Так как ha, ag i — группа Фробениуса с неинвариантным множителем hai, то и hb, bg i — группа Фробениуса с неинвариантным множителем hbi. Отсюда, Ma ⊆ Mb . Поскольку G = F λNG (hbi), выполняется и Mb ⊆ Ma . Значит, Ma = Mb . Рассмотрим подгруппу G1 = F λhai и пересечение H1 = G1 ∩ H. Как показано выше, G1 6≤ H, т. е. H1 6= G1 . Для тройки (G1 , H1 , a) выполняются все условия теоремы, и для любого g ∈ G1 \ H1 подгруппа ha, ag i является группой Фробениуса с циклическим неинвариантным множителем hai. В силу предложения 2 имеем G1 = F1 λNG (hai), причем F1 λhai — группа Фробениуса. Так как Ma = Mb , то F1 = F . 2 ЛЕММА 3. Если в подгруппе hai содержится элемент b порядка 9, 15 или 25, то заключение теоремы справедливо. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g ∈ G \ H и Lg = ha, ag i. По условию теоремы Lg является группой Фробениуса с неинвариантным множителем Hg . Пусть b ∈ hai и |b| = 15. В силу предложения 3 или Hg = Pg × hci, или Hg = Rg × hdi, где Pg ≃ SL2 (3), |c| = 5 и Rg ≃ SL2 (5), |d| = 3. Тогда либо hc, cg i, либо hd, dg i будет фробениусовой подгруппой с циклическим дополнением, и в силу предложения 2 получаем требуемое. Следовательно, по предложению 3, Hg является циклической подгруппой и снова, учитывая предложение 2, получаем требуемое. Теперь пусть b ∈ hai и |b| = 9. Если Hg содержит подгруппу, изоморфную SL2 (3) или SL2 (5), то, по предложению 3, b будет индуцировать автоморфизм порядка 9, что невозможно, так как ни SL2 (3), ни SL2 (5)

О строении некоторых групп

223

не допускают такого автоморфизма. Следовательно, Hg является циклической подгруппой. Рассмотрим элемент c = b3 порядка 3. В силу предложения 3 подгруппа hc, cg i является группой Фробениуса с циклическим неивариантным множителем hci. Применяя предложение 2 и повторяя рассуждения из леммы 2, получаем требуемое. Аналогичные рассуждения используются и для случая |b| = 25. 2 ЛЕММА 4. Если |a| делится на 4, то заключение теоремы справедливо. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g ∈ G \ H, Lg = ha, ag i. Подгруппа Lg является группой Фробениуса вида Lg = Fg λHg , где Fg — ядро, Hg — неинвариантный множитель, содержащий элемент a, i — инволюция из hai. В силу свойств групп Фробениуса ig ∈ Tg , где Tg — неинвариантный множитель группы Фробениуса Lg , отличный от Hg . Известно, что Tg = Hgc , где c ∈ Fg . Легко показать, что g = rc, где r ∈ NG (hii). Так как g ∈ G \ H и в силу леммы 1, получаем c 6∈ H, таким образом, Fg 6< H. Пусть b ∈ hai и |b| = 4. В силу свойств групп Фробениуса подгруппа hb, bg i является группой Фробениуса и c ∈ hb, bg i. Применяя к элементу b теорему из [3], получим, что F1 = M ∪ {1} является нормальной в G подгруппой и G = F1 H. Очевидно, что Ma ⊆ Mb . В силу показанного выше Mb ⊆ Ma . Таким образом, Ma = Mb , откуда F1 = F . 2 Обобщая леммы 2—4, получаем ЗАМЕЧАНИЕ 1. Теорему достаточно доказать для случаев |a| = = 6, 10. ЛЕММА 5. Пусть i — инволюция, b — элемент порядка p = 3, 5 произвольной группы G, a = ib, Lg = ha, ag i = Fg λHg — конечная группа Фробениуса с ядром Fg и дополнением Hg . Тогда i = ap — единственная инволюция в Hg , i инвертирует Fg и либо Hg = hai, либо Hg ≃ SL2 (3), либо Hg ≃ SL2 (5). При этом hai и hag i сопряжены в Lg . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуемое следует из известных результатов о строении конечных групп Фробениуса и предложения 3. 2

224

А. М. Попов Из леммы 5 вытекает СЛЕДСТВИЕ. В Lg существуют элемент c ∈ Fg \ H такой, что

hagc i

⊆ H, и элемент t = chg такой, что hg ∈ Hg и hagt i = hai. Пусть далее G — группа, H — ее собственная подгруппа, a = ib,

где b — элемент порядка p = 3, 5 из H, i — инволюция из H. Обозначим: R = CG (i), M = {c ∈ G \ H | ci = c−1 } и Mj = {c ∈ G \ H | cj = c−1 } для любого j ∈ iG . ЛЕММА 6 [3]. Пусть для любого g ∈ G\H элемент ig −1 ig отличен от единицы и имеет конечный нечетный порядок. Тогда 1) R ≤ H, G \ H = MR = RM и iM = Mi = iG \ H; 2) для любого g ∈ G \ H пересечение H ∩ g −1 Hg ∩ iG пусто; 3) если r ∈ R и c, rc ∈ M, то r = 1; 4) если Mj = M для любого j ∈ iG ∩ H, то либо H = R, либо hiG ∩ Hi = M = T λhii, где T = {t ∈ M | tM = M} и M ∩ R = hii. Пусть G, H, a = ib удовлетворяют условиям теоремы. Кроме того, положим X = B G\H , Y = AG\H , где A, B — множества порождающих элементов из hai, hbi соответственно, и M = hiH i. ЛЕММА 7. Имеют место следующие утверждения: 1) для каждого элемента g ∈ G \ H подгруппа hi, ag i является группой Фробениуса с дополнением hag i; 2) для любого элемента g ∈ G \ H порядок элемента iig конечен и нечетен, ag ∈ / H и ig ∈ / H, NG (hai) ≤ R ≤ H, Ma = Mi = M и G\H = RM; 3) для каждой инволюции j ∈ iH выполняются равенства jX = Y и jY = X; 4) a ∈ / M и M = T λhii, где T — множество всех элементов t ∈ M, обладающих свойством tX = X, tY = Y. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) В силу условия теоремы для каждого g ∈ ∈ G \ H подгруппа Lg = ha, ag i есть конечная группа Фробениуса, причем ее неинвариантный множитель Hg содержит единственную инволюцию i = = ap (лемма 5). Отсюда, hi, ag i также является группой Фробениуса, и из леммы 5 легко следует, что hag i — ее неинвариантный множитель.

О строении некоторых групп

225

2) Так как a — конечный элемент, i ∈ hai, то для любого g ∈ G порядок элемента iig конечен. По доказанному выше подгруппа hi, ag i (g ∈ G \ H) является группой Фробениуса с дополнением hag i. Отсюда, i ∈ / hag i и hi, ig i — также фробениусова группа. Поэтому для любого g ∈ G \ H элемент iig имеет конечный нечетный порядок. Применяя лемму 6, получаем остальные утверждения п. 2. 3) Поскольку H ≤ NG (X) и H ≤ NG (Y ), утверждение достаточно доказать для j = i. Если y ∈ Y, то, по утверждению 1 леммы, L = hi, yi = = Fy λhyi — группа Фробениуса и, по определению множества Y , hyi = hag i. Переходя к фактор-группе по ядру Fy , получим, что iy — элемент порядка p, откуда iY = X. Аналогично показывается, что iX = Y. 4) Очевидно, a ∈ / M . По предыдущему утверждению для произвольной инволюции j ∈ iH выполняются равенства jX = Y и jY = X, значит, M · (X ∪ Y ) = X ∪ Y. Понятно, что множество T всех элементов t ∈ M, для которых tX = X и tY = Y , есть подгруппа. Произведение любых двух инволюций из iH содержится в T , поэтому |M : T | = 2, T ⊳ M и M = T λhii. 2 ЛЕММА 8. Подгруппа M = hiH i является группой Фробениуса с периодическим абелевым ядром T и неинвариантным множителем hii. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 7 для нормальной в H подгруппы M = hiH i выполняется равенство M Y = Y , при этом a ∈ / M и aH ∩ M = ∅. Напомним, что a = ib, где b — элемент порядка p = 3, 5, i — инволюция из H. Пусть g ∈ G \ H и L = hi, bg i. Так как L ≤ Lg = ha, ag i, то по условию теоремы L является группой Фробениуса вида L = F λhibg i с ядром F и неинвариантным множителем hibg i порядка 6 или 10. Если M ∩ R = hii, то, ввиду конечности i в H, по предложению 1 имеем M = T λhii, где T — периодическая абелева группа без инволюций, инвертируемая инволюцией i. Тогда M = T λhii — группа Фробениуса, и получаем требуемое. Пусть теперь R1 = R ∩ M 6= hii, 1 6= r ∈ R ∩ T, а c ∈ M. По лемме 7, имеем bc, rbc ∈ Y , и L1 = hi, rbci — группа Фробениуса с циклическим дополнением порядка 6 или 10. C другой стороны, K = hi, bci также явля-

226

А. М. Попов

ется группой Фробениуса (лемма 7). Следовательно, irbc = ic ∈ L1 , откуда c ∈ L1 и rb ∈ L1 , причем |rb| = 3, 5. Рассмотрим подгруппу L0 = ha, rbci. Так как rbc ∈ Y, то L0 — группа Фробениуса и rb ∈ L1 ≤ L0 . Поскольку b ∈ L0 , то и r ∈ L0 , причем r лежит в неинвариантном множителе. В силу предложения 3 неинвариантный множитель L0 может быть изоморфен SL2 (3) или SL2 (5). Если он изоморфен SL2 (3), то r не может быть элементом четного порядка, так как в неинвариантном множителе содержится инволюция i, а r ∈ T. Следовательно, |r| = 3 и r сопряжен с элементом b, что невозможно, так как bY 6= Y. Если неинвариантный множитель подгруппы L0 изоморфен SL2 (5), то, по тем же соображениям, элемент r не может быть четного порядка, значит, |r| равен 3 или 5. Пусть X состоит из элементов порядка 3. В этом случае Y ∩ L0 6= ∅, а кроме того, rY ∩ L0 = Y ∩ L0 . Последнее, однако, невозможно, так как фактор-группа SL2 (5)/hii изоморфна знакопеременной группе A5 , в которой нет элементов, действующих на группе аналогично элементу r. Таким образом, r = 1, и, по предложению 1, T λhii — группа Фробениуса, где T — периодическая абелева группа, инвертируемая элементом i. 2 Из леммы 8 и леммы Фраттини вытекает, что H = T λR. ЛЕММА 9. Подгруппы T λhbi и T λhai есть группы Фробениуса с периодическим абелевым ядром T и неинвариантными множителями hbi и hai. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 1 6= r ∈ CG (b) ∩ T, а c ∈ M. По лемме 7, bc, rbc ∈ Y. Рассмотрим подгруппу L0 = ha, rbci. Так как rbc ∈ Y, то L0 — группа Фробениуса и rb, c ∈ L0 . В силу выбора элемента r имеем равенства rX = X и rY = Y. Применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям из леммы 8, приходим к выводу, что r является инволюцией. Последнее невозможно, так как r ∈ T. Отсюда, r = 1, а T λhbi — группа Фробениуса. Поэтому и по лемме 8 подгруппа T λhai также является группой Фробениуса. 2

О строении некоторых групп

227

ЛЕММА 10. Подгруппа L = hiG i есть группа Фробениуса с периодическим абелевым ядром F = T ∪M и неинвариантным множителем hii. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку образ инволюции i является единственной инволюцией в фактор-группе H/T и по лемме 9, для любого h ∈ H подгруппа T λhibh i сопряжена в H с подгруппой T λhai и является группой Фробениуса с ядром T и неинвариантным множителем hibh i. Для определенности будем считать, что |b| = 3 (аналогичные рассуждения справедливы и в случае, когда |b| = 5). Циклическая подгруппа hibh i (h ∈ H), порожденная элементом порядка 6, сопряжена с hai. Пусть X1 = B G , Y1 = AG где A, B — множества порождающих hai, hbi соответственно. Уже показано, что iX1 = Y1 и iY1 = X1 . Для любой инволюции j ∈ iG имеем jX1 = Y1 и jY1 = X1 , откуда hiG i обладает подгруппой F индекса 2 и hiG i = F λhii, где F — подгруппа из hiG i такая, что f X1 = X1 и f Y1 = Y1 для любого f ∈ F . Если hiG i ∩ R = hii, то, по предложению 1, hiG i = F λhii, где F — периодическая абелева группа, инвертируемая инволюцией i. В этом случае hiG i — группа Фробениуса, и получаем требуемое. Если R1 = R∩M 6= hii, то, повторяя рассуждения леммы 8, приходим к противоречию. 2 Из леммы 10 и леммы Фраттини следует, что G = F λCG (i), а так как

CG (i) = R ≤ H, то G = RH. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА 1. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 10-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО АН СССР, 1986. 2. А. М. Попов, Группы с конечными H-фробениусовыми элементами, Тез. докл. IV Межд. алгебр. конф., посвящ. 60-летию проф. Ю. И. Мерзлякова, Новосибирск, 2000, 145—146. 3. А. М. Попов, Об одном признаке непростоты групп с инволюциями, Алгебра и логика, 42, N 2 (2003), 227—236.

228

А. М. Попов 4. А. И. Созутов, О группах с классом фробениусово-абелевых элементов, Алгебра и логика, 34, N 5 (1995), 531—549. 5. В. П. Шунков, Mp -группы, М., Наука, 1990. 6. А. И. Созутов, О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса, Сиб. матем. ж., 35, N 4 (1994), 893—901.

Поступило 28 февраля 2002 г. Адрес автора: ПОПОВ Алексей Михайлович, ул. Софьи Ковалевской, д. 2, кв. 21, г. Красноярск, 660074, РОССИЯ. Тел.: (3912) 44-76-60. e-mail: [email protected]