kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
iGUDESMAN k b .
.
zada~i po analiti~eskoj geometrii. ~astx 1. u^EBNOE POSOBIE K...
23 downloads
184 Views
378KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
iGUDESMAN k b .
.
zada~i po analiti~eskoj geometrii. ~astx 1. u^EBNOE POSOBIE K KURSU aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ
kAZANX
| 2003
pE^ATAETSQ PO REENI@ U^EBNO METODI^ESKOJ KOMISSII MEHANIKO MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu -
iGUDESMAN k.b. zADA^I PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII ~ASTX .
kAZANX
, 2003. 63
1.
S
.
rECENZENT DOKTOR FIZ MAT NAUK {URYGIN w w :
-
.-
.
.
.
u^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW KURSA MEHANIKO MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu I
-
pREDISLOWIE
w NASTOQ]EM pOSOBII PODOBRANY I METODI^ESKI RASPREDELENY ZADA^I PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII w NA^ALE KAVDOGO PARAGRAFA PRIWEDENY FORMULY OPREDELENIQ I DRUGIE KRATKIE POQSNENIQ TEORII NEOBHODIMYE DLQ REENIQ POSLE DU@]IH ZADA^ w KONCE KAVDOGO PARAGRAFA PRIWEDENY POSLE ^ERTY ZADA^I DLQ POWTORENIQ |TA OSOBENNOSTX POMOVET PREPODAWATEL@ W PODBORE ZA DA^ DLQ RABOTY W KLASSE I DLQ DOMANIH ZADANIJ ILI DLQ POWTORE NIJ PERED KONTROLXNYMI RABOTAMI "
"
.
,
,
-
.
(
.
)
-
-
.
3
1
wEKTORY NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE
wEKTOROM NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNAQ PARA TO^EK T E PARA TO^EK WZQTYH W OPREDELENNOM PORQDKE pERWAQ TO^KA NAZYWAETSQ NA^ALOM WEKTORA WTORAQ EGO KONCOM eSLI OBE TO^KI SOWPADA@T TO WEKTOR NAZYWAETSQ NULEWYM ;! mODULEM WEKTORA AB NE RAWNOGO NUL@ NAZYWAETSQ DLINA OTREZKA AB mODULX NULX WEKTORA RAWEN NUL@ PO OPREDELENI@ eSLI MODULX WEKTORA RAWEN TO WEKTOR NAZYWAETSQ EDINI^NYM ;;! dWA NENULEWYH WEKTORA ;! AB I CD NAZYWA@TSQ RAWNYMI ESLI ONI KOLLINEARNY NAPRAWLENY W ODNU STORONU I IH MODULI RAWNY sUMMOJ a b WEKTOROW a I b NAZYWAETSQ WEKTOR KOTORYJ STROIT SQ TAK OT PROIZWOLXNOJ TO^KI O OTKLADYWA@T WEKTOR a OT KONCA OTLOVENNOGO WEKTORA a OTKLADYWA@T WEKTOR b tO^KA O BUDET NA ^ALOM WEKTORA a b A KONEC WEKTORA b KONCOM WEKTORA a b wEKTOROM ;a PROTIWOPOLOVNYM WEKTORU a 6 0 NAZYWAETSQ WEK TOR KOLLINEARNYJ WEKTORU a IME@]IJ TOT VE MODULX I NAPRAW LENNYJ W STORONU PROTIWOPOLOVNU@ a eSLI a 0 TO ;a 0 sWOJSTWA SLOVENIQ a b c a b c ASSOCIATIWNOSTX ,
.
.
,
.
,
.
,
.
,
.
-
.
1,
.
,
,
.
+
,
-
:
,
.
+
-
,
+
,
=
,
.
,
-
,
-
,
.
=
,
=
.
:
+ (
+
) = (
+
) +
(
)
a 0 a a ;a 0 a b b a KOMMUTATIWNOSTX pROIZWEDENIEM a ^ISLA 6 NA WEKTOR a 6 0 NAZYWAETSQ WEK TOR KOLLINEARNYJ WEKTORU a MODULX KOTOROGO RAWEN j j jaj I KO TORYJ NAPRAWLEN W TU VE STORONU ^TO I WEKTOR a ESLI > I W PROTIWOPOLOVNU@ STORONU ESLI < eSLI ILI a 0 TO a 0 +
=
+ ( +
) =
=
+
(
).
= 0
,
=
,
-
,
,
=
-
,
0.
.
4
= 0
0,
=
,
sWOJSTWA UMNOVENIQ WEKTORA NA ^ISLO a a a a a b a b a a a: :
1
=
( (
(
) = (
+
+
)
) =
+
=
+
)
zada~i
;;! 1. wEKTORY ;! AC a I BD b SLUVAT DIAGONALQMI PARALLELO ;! ;;! GRAMMA ABCD wYRAZITX ^EREZ WEKTORY a I b WEKTORY ;! AB BC CD I ;! DA QWLQ@]IESQ STORONAMI \TOGO PARALLELOGRAMMA 2. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENA MEDIANA AD wYRAZITX WEKTOR ;! ;! ;! AD ^EREZ WEKTORY AB I AC 3. tO^KI E I P SLUVAT SEREDINAMI STORON AB I CD ^ETYREH ; ; ! ; ; ! ;! UGOLXNIKA ABCD dOKAZATX ^TO EP B C +2 AD : wYWESTI OTS@DA TEOREMU O SREDNEJ LINII TRAPECII 4. dOKAZATX ^TO SUMMA WEKTOROW IDU]IH IZ CENTRA PRAWILXNOGO MNOGOUGOLXNIKA K EGO WERINAM RAWNA 5. w TREUGOLXNIKE NAJTI TAKU@ TO^KU ^TOBY SUMMA WEKTOROW IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WERINAM TREUGOLXNIKA BYLA RAWNA ;! 6. iZ TO^KI O WYHODQT DWA WEKTORA ;! OA a OB b nAJTI ;! KAKOJ NIBUDX WEKTOR ; OM IDU]IJ PO BISSEKTRISE UGLA AOB 7. nA TREH NEKOMPLANARNYH WEKTORAH ;! ;! ;;! AB p AD q AA0 r POSTROEN PARALLELEPIPED ABCDA0B 0 C 0 D0 wYRAZITX ^EREZ p q I r WEKTORY SOWPADA@]IE S REBRAMI DIAGONALX@ PARALLELEPIPEDA I DIAGONALQMI GRANEJ \TOGO PARALLELEPIPEDA DLQ KOTORYH WERINA A0 SLUVIT NA^ALOM ;! ;! 8. dAN TETRA\DR OABC pOLAGAQ ;! OA a OB b OC ;! ;! c WYRAZITX ^EREZ a b I c WEKTORY ;;! M N P Q I RS GDE M P =
=
-
.
,
.
.
.
-
.
,
=
.
,
,
,
0.
,
,
,
=
-
0.
=
,
.
.
=
=
=
.
,
,
,
.
.
=
= ,
5
=
I R SEREDINY REBER OA OB I OC A N Q I S SOOTWETSTWENNO PROTIWOPOLOVNYH REBER |
,
|
SEREDINY
.
||||||||||||||{
9. tO^KI K I L SLUVAT SEREDINAMI STORON BC I CD PARALLELO ;! ;! GRAMMA ABCD pOLAGAQ ; AK k I AL l WYRAZITX ^EREZ WEKTORY ;;! k I l WEKTORY ;! BC I CD 10. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENY MEDIANY AD BE I CF ;! ;! nAJTI SUMMU WEKTOROW ;! AD BE CF ;! 11. wEKTORY ;! AB p I AF q SLUVAT DWUMQ SMEVNYMI STO RONAMI PRAWILXNOGO ESTIUGOLXNIKA ABCDEF wYRAZITX ^EREZ p ;;! ;;! ;! I q WEKTORY ;! BC CD DE EF IDU]IE PO STORONAM \TOGO ESTI UGOLXNIKA 12. dOKAZATX ^TO WEKTOR IDU]IJ IZ PROIZWOLXNOJ TO^KI PLOS KOSTI W CENTR PRAWILXNOGO MNOGOUGOLXNIKA ESTX SREDNEE ARIFMETI ^ESKOE WEKTOROW IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WERINAM MNOGOUGOLXNIKA 13. w PARALLELOGRAMME NAJTI TAKU@ TO^KU ^TOBY SUMMA WEK TOROW IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WERINAM PARALLELOGRAMMA BYLA RAWNA 0 14. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENA BISSEKTRISA AD UGLA A ;! ;! wYRAZITX WEKTOR ;! AD ^EREZ WEKTORY AB I AC 15. w TETRA\DRE ABCD DANY REBRA WYHODQ]IE IZ WERINY A ;! ;! ;! AB b AC c AD d: wYRAZITX ^EREZ \TI WEKTORY OSTALXNYE REBRA TETRA\DRA MEDIANU ;;! ;! DM GRANI BCD I WEKTOR AQ GDE Q CENTR TQVESTI GRANI BCD 16. w ^ETYREHUGOLXNIKE ABCD PLOSKOM ILI PROSTRANSTWEN ;! ;;! ;! NOM POLOVIM ;! AB m BC n CD p DA q: nAJTI WEKTOR ;! EF SOEDINQ@]IJ SEREDINY DIAGONALEJ AC I BD ;! ;! 17. nA WEKTORAH ;! OA OB I OC POSTROEN PARALLELEPIPED dOKA ZATX ^TO DIAGONALX OD PROHODIT ^EREZ CENTR TQVESTI E TREUGOLX -
.
=
=
,
.
.
+
+
=
.
=
-
.
-
.
,
,
-
,
-
,
.
,
-
,
,
.
.
.
,
=
=
:
=
,
,
)
=
=
|
.
(
-
=
,
=
.
,
.
,
-
-
6
NIKA ABC 2
.
rADIUS-WEKTOR
;;!
rADIUSOM-WEKTOROM r TO^KI M NAZYWAETSQ WEKTOR OM GDE O FIKSIROWANNAQ TO^KA ,
|
.
zada~i
18. dANY RADIUSY WEKTORY r1 r2 r3 TREH POSLEDOWATELXNYH WERIN A B I C PARALLELOGRAMMA nAJTI RADIUS WEKTOR ^ETWERTOJ WERINY D 19. zNAQ RADIUSY WEKTORY r1 r2 r3 WERIN TREUGOLXNIKA NAJTI RADIUS WEKTOR TO^KI PERESE^ENIQ EGO MEDIAN 20. dANY TRI POSLEDOWATELXNYE WERINY TRAPECII A r1 B r2 I C r3 nAJTI RADIUSY WEKTORY r4 ^ETWERTOJ WERINY D r0 TO^ KI PERESE^ENIQ DIAGONALEJ I r00 TO^KI PERESE^ENIQ BOKOWYH STORON ZNAQ ^TO OSNOWANIE AD W RAZ BOLXE OSNOWANIQ BC 21. dOKAZATX ^TO PRQMYE SOEDINQ@]IE SEREDINY PROTIWOPO LOVNYH REBER TETRA\DRA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE I DELQTSQ W NEJ POPOLAM dOKAZATX ^TO W \TOJ VE TO^KE PERESEKA@TSQ I PRQMYE SOEDINQ@]IE WERINY TETRA\DRA S CENTRAMI TQVESTI PROTIWOPO LOVNYH GRANEJ -
.
-
.
-
,
-
.
(
(
).
-
:
)
,
(
)
,
,
.
,
,
-
,
.
,
,
-
.
||||||||||||||{
22. zNAQ RADIUSY WEKTORY r1 r2 r3 TREH POSLEDOWATELXNYH WER IN PARALLELOGRAMMA NAJTI RADIUS WEKTOR r TO^KI PERESE^ENIQ DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA 23. zNAQ RADIUSY WEKTORY rA rB rD I rA ^ETYREH WERIN PARALLELEPIPEDA ABCDA0B 0 C 0 D0 NAJTI RADIUSY WEKTORY ^ETYREH OSTALXNYH EGO WERIN ;! ;! 24. rADIUSY WEKTORY ;! OA r1 OB r2 I OC r3 SLUVAT -
-
,
-
.
-
0
,
-
.
-
=
=
7
=
REBRAMI PARALLELEPIPEDA nAJTI RADIUS WEKTOR TO^KI PERESE^ENIQ DIAGONALI PARALLELEPIPEDA WYHODQ]EJ IZ WERINY O S PLOSKOS TX@ PROHODQ]EJ ^EREZ WERINY A B I C .
-
,
,
,
3
-
.
kOORDINATY WEKTOROW
lINEJNOJ KOMBINACIEJ WEKTOROW a1 a2 : : : ak S KO\FFICIENTAMI 1 2 : : : k NAZYWAETSQ WEKTOR 1a
1+
2a
2 + ::: +
ka
k:
lINEJNAQ KOMBINACIQ WSE KO\FFICIENTY KOTOROJ RAWNY NUL@ 1 2 ::: k NAZYWAETSQ TRIWIALXNOJ wEKTORY a1 a2 : : : ak NAZYWA@TSQ LINEJNO ZAWISIMYMI ESLI SU]ESTWUET NETRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ \TIH WEKTOROW RAW NAQ NUL@ 1a 2a : : : ka 1 2 k 0: eSLI VE RAWNA NUL@ TOLXKO TRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ WEK TOROW a1 a2 : : : ak \TI WEKTORY NAZYWA@TSQ LINEJNO NEZAWISIMYMI uPORQDO^ENNAQ PARA e1 e2 NEKOLLINEARNYH WEKTOROW NAZYWAETSQ BAZISOM NA PLOSKOSTI kOORDINATAMI WEKTORA a PO OTNOENI@ K BAZISU e1 e2 NAZY WA@TSQ ^ISLA X Y TAKIE ^TO a X e1 Y e2: dWA WEKTORA a fX Y g b fX 0 Y 0g RAWNY TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA RAWNY IH SOOTWETSTWU@]IE KOORDINATY X X 0 Y ,
=
=
:
= 0,
=
.
,
-
:
+
+
+
=
-
,
.
.
-
,
,
=
=
+
=
,
:
=
=
Y 0:
nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM KOLLINEARNOSTI DWUH WEK TOROW a fX Y g 6 0 b fX 0 Y 0g 6 0 QWLQETSQ PROPORCIONALX NOSTX IH SOOTWETSTWU@]IH KOORDINAT X 0 X Y 0 Y:
-
=
=
=
= :
8
=
=
-
eSLI a fX Y g b fX 0 Y 0g TO a b fX X 0 Y Y 0g a ; b fX ; X 0 Y ; Y 0g a f X Y g: uPORQDO^ENNAQ TROJKA e1 e2 e3 NEKOMPLANARNYH WEKTOROW NAZY WAETSQ BAZISOM W PROSTRANSTWE rAWENSTWO KOLLINEARNOSTX PROIZWEDENIE WEKTORA NA ^ISLO SUM MA WEKTOROW W PROSTRANSTWE OPREDELQ@TSQ ANALOGI^NO PLOSKOSTI S TOJ LIX RAZNICEJ ^TO W PROSTRANSTWE WEKTOR IMEET NE DWE A TRI KOORDINATY a fX Y Z g =
=
,
+
=
+
+
=
=
-
.
,
,
,
-
,
,
,
=
.
Z
e3 e1
e2
a
a
Y
e2
Y X
e1
X
rIS nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM KOMPLANARNOSTI TREH WEK TOROW a fX Y Z g b fX 0 Y 0 Z 0 g c fX 00 Y 00 Z 00 g QWLQETSQ RAWENSTWO . 1.
-
=
=
=
X Y Z X0 Y 0 Z0 X 00 Y 00 Z 00
:
= 0
zada~i
25. dANY TRI WEKTORA a f g b f; g c f ; g: nAJTI WEKTORY a b ; c a b c 26. pREDSTAWITX WEKTOR c KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTOROW a I b W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW =
1) 2
+ 3
2
5 2)
4
=
+ 24
+ 14 .
:
9
3
1
=
5
2
a f ; g b f g c f ; g a f g b f; g c f g a f; g b f g c f ; g: 27. uSTANOWITX W KAKIH IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW TROJKI WEK TOROW a b I c BUDUT LINEJNO ZAWISIMY I W TOM SLU^AE KOGDA \TO WOZMOVNO PREDSTAWITX WEKTOR c KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTO ROW a I b a f g b f; g c f; ; g a f g b f; g c f; g a f ; g b f; ; g c f g 28. dAN PARALLELOGRAMM ABCD tO^KI E I F DELQT STORONU AB NA TRI RAWNYE ^ASTI A TO^KI K L I M STORONU BC NA ^ETYRE ;! ;;! RAWNYE ^ASTI pRINIMAQ ZA BAZIS WEKTORY ; DE e1 I F M e2 ;! NAJTI KOORDINATY WEKTORA ; AK 1)
=
4
2)
=
5
3)
=
2
=
4
6
=
2
=
3
5
=
1
7
3
0
=
19
4
7
=
9
8 3
,
-
,
,
,
-
:
1)
=
5
2
1
=
1
4
2
=
1
2)
=
6
4
2
=
9
6
3
=
3
3)
=
6
18
12
=
8
24
16
1
6
6
3
=
8
7
3 .
.
,
.
=
=
,
.
||||||||||||||{
29. dANY TRI WEKTORA a f g b f g c f g: pODOBRATX ^ISLA I TAK ^TOBY TRI WEKTORA a b I c SOSTAWILI TREUGOLXNIK ESLI NA^ALO WEKTORA b SOWMESTITX S KONCOM WEKTORA a A NA^ALO WEKTORA c S KONCOM WEKTORA b 30. dANY TRI WEKTORA a f g b f g c f; ; g: nAJTI WEKTORY a ; b c a b c 31. pREDSTAWITX WEKTOR d KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTOROW a b I c W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW a f g b f g c f ; g d f ; g a f ; g b f ; g c f; g d f ; g a f g b f ; g c f g d f g 32. pOKAZATX ^TO KAKOWY BY NI BYLI TRI WEKTORA a b I c I TRI ^ISLA WEKTORY a ; b b ; c c ; a KOMPLANARNY 33. dANY ^ETYRE WEKTORA a f g b f ; ; g c =
5
3
=
2
0
=
4
2
,
,
,
.
=
6
1
1
5
1) 3
7
2
2
+
=
2) 5
3
0
+6
4
=
+ 4 .
:
1)
=
2
2)
=
5
3)
=
3
3
1
2
5
=
0
=
6
=
5
0
2
7
0
3
7
=
3
4
=
1
=
2
6
12
4
0
0
=
4
12
1
=
25
6
=
0
3
22
20
16
18 .
,
,
.
=
10
1
5
3
=
6
4
2
=
f ; g d f; ; g: pODOBRATX ^ISLA I TAK ^TOBY WEKTORY a b c I d OBRAZOWYWALI ZAMKNUTU@ LOMANU@ LINI@ ESLI NA^ALO KAVDOGO POSLEDU@]EGO WEKTORA SOWMESTITX S KONCOM PREDYDU]EGO 34. dOKAZATX ^TO STORONY AB I DC ^ETYREHUGOLXNIKA ABCD PARALLELXNY TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA OTREZOK MN SOEDINQ@ ]IJ SEREDINY IH STORON PROHODIT ^EREZ TO^KU O PERESE^ENIQ DIA GONALEJ 0
5
7
=
20
27
35
,
,
.
,
,
,
-
,
-
.
4
aFFINNYE SISTEMY KOORDINAT NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE
aFFINNYM REPEROM NA PLOSKOSTI NAZYWAETSQ NABOR fO e1 e2g SOSTOQ]IJ IZ TO^KI O I WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2g NA PLOSKOSTI kOORDINATAMI TO^KI A OTNOSITELXNO REPERA fO e1 e2g NAZYWA @TSQ KOORDINATY fX Y g EE RADIUSA WEKTORA rA OTNOSITELXNO WEK TORNOGO BAZISA fe1 e2g NA PLOSKOSTI tAKIM OBRAZOM rA X e1 Y e2: ~TOBY OTLI^ATX W KOORDINAT NOJ ZAPISI TO^KI OT WEKTOROW KOORDINATY TO^EK BUDEM ZAKL@^ATX W KRUGLYE SKOBKI A X Y eSLI A X Y B X 0 Y 0 TO ;! AB fX 0 ; X Y 0 ; Y g: aFFINNYM REPEROM W PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ NABOR fO e1 e2 e3g SOSTOQ]IJ IZ TO^KI O I WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2 e3g PROSTRANSTWA kOORDINATAMI TO^KI A OTNOSITELXNO REPERA fO e1 e2 e3g NA ZYWA@TSQ KOORDINATY fX Y Z g EE RADIUSA WEKTORA rA OTNOSITELX NO WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2 e3g PROSTRANSTWA eSLI A X Y Z B X 0 Y 0 Z 0 TO ;! AB fX 0 ;X Y 0 ;Y Z 0 ;Z g: ,
.
-
-
-
.
,
=
+
-
,
:
(
(
)
).
(
),
=
,
.
-
-
-
.
(
)
(
),
11
=
zada~i
35. dAN PRAWILXNYJ ESTIUGOLXNIK ABCDEF nAJTI KOORDI NATY EGO WERIN PRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT WERINU A ZA PO LOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ABSCISS NAPRAWLENIE STORONY AB ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT NAPRAWLENIE DIAGO NALI AE A ZA EDINICU MASTABA PO OBEIM OSQM STORONU ESTI UGOLXNIKA 36. w TRAPECII ABCD NIVNEE OSNOWANIE AB W TRI RAZA BOLXE EE WERHNEGO OSNOWANIQ CD pRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT TO^KU A ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ABSCISS NAPRAWLENIE OSNOWA NIQ AB ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT NAPRAWLENIE BOKOWOJ STORONY AD A STORONY AB I AD ZA EDINI^NYE OTREZKI NA \TIH OSQH NAJTI KOORDINATY WERIN TRAPECII A TAKVE KOOR DINATY TO^KI O PERESE^ENIQ EE DIAGONALEJ I KOORDINATY TO^KI S PERESE^ENIQ EE BOKOWYH STORON 37. dANY DWE WERINY PARALLELOGRAMMA A ; B ; nAJTI DWE DRUGIE EGO WERINY PRI USLOWII ^TO DIAGONALI PARAL LELOGRAMMA PARALLELXNY OSQM KOORDINAT 38. dANA TO^KA M x y z nAJTI EE PROEKCI@ NA OSX Ox NA PLOSKOSTX Oyz 39. dAN PARALLELOGRAMM ABCD tO^KI E I F DELQT STORONU AB NA TRI RAWNYE ^ASTI A TO^KI K L I M STORONU BC NA ^ETY RE RAWNYE ^ASTI pRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT TO^KU E ZA BAZIS ;! ;;! WEKTORY ; EK e1 I ED e2 NAJTI KOORDINATY TO^KI M .
-
,
,
|
,
|
,
-
|
-
.
.
,
|
-
,
|
,
|
,
,
-
.
(
1
3),
(2
,
1).
-
.
(
).
: 1)
2)
.
.
,
-
.
=
,
=
,
.
||||||||||||||{
40. w RAWNOBO^NOJ TRAPECII BOLXEE EE OSNOWANIE AB WY SOTA RAWNA A UGOL PRI OSNOWANII RAWEN pRINIMAQ ZA OSX AB SCISS PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT BOLXEE OSNOWANIE TRAPE CII A ZA OSX ORDINAT PERPENDIKULQR W EGO SEREDINE I WYBIRAQ = 8,
3,
45 .
-
,
|
12
ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT TO NAPRAWLENIE \TOGO PERPENDIKULQRA KOTOROE IDET WNUTRX TRAPECII NAJTI KOORDINATY WERIN TRAPECII TO^KI M PERESE^ENIQ EE DIAGONALEJ I TO^KI S PERESE^ENIQ EE BOKOWYH STORON 41. dANY TRI WERINY PARALLELOGRAMMA A ; B C nAJTI ^ETWERTU@ EGO WERINU 42. tRI REBRA PARALLELEPIPEDA WYHODQ]IH IZ ODNOJ WERINY PRINQTY ZA EDINI^NYE WEKTORY OSEJ KOORDINAT nAJTI W \TOJ SIS TEME KOORDINATY WSEH EGO WERIN 43. dANA TO^KA M x y z nAJTI KOORDINATY TO^KI SIMMET RI^NOJ S TO^KOJ M OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT OTNOSI TELXNO PLOSKOSTI Oxy OTNOSITELXNO OSI Oz ,
,
,
.
(
(4
0).
2
1),
(1
3),
.
,
,
.
-
.
(
).
,
: 1)
2)
3)
5
-
.
pROSTOE OTNO ENIE TREH TO^EK NA PRQMOJ
pROSTYM OTNOENIEM TREH TO^EK ABC LEVA]IH NA PRQMOJ I TA KIH ^TO B 6 C NAZYWAETSQ SLEDU@]EE ^ISLO ;! AC : ABC ;! CB |TO ^ISLO ABC NAZYWA@T TAKVE OTNOENIEM W KOTOROM TO^KA C DELIT NAPRAWLENNYJ OTREZOK AB eSLI TO^KA C DELIT OTREZOK AB W OTNOENII TO rC rA rB W KOORDINATAH NA PLOSKOSTI XC XA XB YC YA YB W PROSTRANSTWE XC XA XB YC YA YB ZC ZA ZB : ,
,
=
,
:
(
(
-
) =
)
(
,
)
.
,
=
=
=
+
1 +
+
1 +
+
=
1 +
=
+
1 +
13
+
1 +
=
+
1 +
zada~i
44. dOKAZATX ^TO W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW TO^KI A B C NAHODQTSQ NA ODNOJ PRQMOJ I NAJTI PROSTOE OTNOENIE ,
,
ABC A B; C A B C; A B;; C 45. dANY DWE TO^KI A I B ; nAJTI TO^KI PERESE^ENIQ PRQMOJ AB S OSQMI KOORDINAT 46. dANY SEREDINY STORON TREUGOLXNIKA M1 M2 ; M3 nAJTI EGO WERINY 47. dANY DWE TO^KI A ; B ; nAJTI TO^KI C I D DELQ]IE OTREZOK AB NA TRI RAWNYE ^ASTI 48. dANY DWE WERINY TREUGOLXNIKA A ; ; I B ; nAJTI TRETX@ WERINU C ZNAQ ^TO SEREDINA STORONY AC LEVIT NA OSI Oy A SEREDINA STORONY BC NA PLOSKOSTI Oxz :
1)
(2
1)
(
2)
(1
6)
(5
3)
(0
0)
(
2
5)
10)
3
(0
(
3)
3
3)
(1
(3
2)
1).
4)
(2
1).
.
(2
(2
1).
4)
(
3
0)
.
(
4
2)
(8
7).
,
.
:
,
(
4
1
2)
(3
5
16).
,
,
|
.
49. dOKAZATX ^TO PRQMYE SOEDINQ@]IE SEREDINY PROTIWOPO LOVNYH REBER TETRA\DRA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE I DELQTSQ W NEJ POPOLAM dOKAZATX ^TO W \TOJ VE TO^KE PERESEKA@TSQ PRQMYE SOEDINQ@]IE WERINY TETRA\DRA S CENTRAMI TQVESTI PROTIWOPO LOVNYH GRANEJ nAJTI OTNOENIE W KOTOROM \TA TO^KA DELIT OT REZKI UKAZANNYH PRQMYH 50. tEOREMA mENELAQ nA STORONAH AB BC I CA TREUGOLXNIKA ABC DANY TO^KI C0 A0 I B0 TAKIE ^TO BCA0 1 CAB0 2 I ABC0 3 dOKAZATX ^TO TO^KI A0 B0 I C0 LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA 1 2 3 ; ,
,
-
,
.
,
,
-
.
,
-
.
(
).
,
,
(
) =
,
.
(
,
) =
, (
) =
,
,
=
1.
||||||||||||||{
51. nAJTI KOORDINATY TO^KI M DELQ]EJ OTREZOK M1M2 OGRA NI^ENNYJ TO^KAMI M1 I M2 ; W OTNOENII ,
(2
3)
(
14
5
,
1),
:
-
1 ; 21 ; 3 52. oDIN IZ KONCOW OTREZKA AB NAHODITSQ W TO^KE A EGO SEREDINOJ SLUVIT TO^KA M ; nAJTI DRUGOJ KONEC OTREZKA 53. dANY DWE SMEVNYE WERINY PARALLELOGRAMMA A ; ; I B I TO^KA PERESE^ENIQ EGO DIAGONALEJ M nAJTI DWE DRUGIE WERINY PARALLELOGRAMMA 54. oPREDELITX KOORDINATY KONCOW A I B OTREZKA KOTORYJ TO^ KAMI C D RAZDELEN NA TRI RAWNYE ^ASTI 55. nAJTI OTNOENIE W KOTOROM KAVDAQ IZ PLOSKOSTEJ KOORDI NAT DELIT OTREZOK AB A ; I B ; 56. w KAKOM OTNOENII PLOSKOSTX PROWEDENNAQ ^EREZ KONCY TREH REBER PARALLELEPIPEDA ISHODQ]IH IZ ODNOJ TO^KI DELIT DIAGONALX ISHODQ]U@ IZ \TOJ VE TO^KI 1)
= 2 2)
=
3)
=
4 4)
=
.
(2
(1
2).
.
(
(2
3),
6)
(3
4
7)
1).
.
,
(2
2)
(1
5)
-
.
,
:
-
(2
1
7)
(4
5
2).
,
,
,
,
?
6
rASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI
eSLI BAZISNYE WEKTORY fe1 e2g NA PLOSKOSTI SOOTWETSTWENNO fe1 e2 e3g W PROSTRANSTWE POPARNO ORTOGONALXNY A MODULI IH RAWNY TO SISTEMA KOORDINAT NAZYWAETSQ PRQMOUGOLXNOJ w \TOM SLU^AE BAZISNYE WEKTORY OBY^NO OBOZNA^A@T TAK fi jg SOOTWET SWENNO fi j kg w PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT RASSTOQNIE d MEVDU DWUMQ TO^KAMI M1 x1 y1 I M2 x2 y2 NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ PO FOR MULE d x2 ; x1 2 y2 ; y1 2 W PROSTRANSTWE (
)
,
,
1,
.
:
,
(
-
).
(
)
(
)
-
q
=
d
q
=
(
)
x2 ; x1 2
(
)
+ (
)
y2 ; y1 2
+ (
)
15
+ (
z2 ; z1 2 : )
zada~i
57. nAJTI RASSTOQNIE d MEVDU TO^KAMI A I B W KAVDOM IZ SLEDU@]IH SLU^AEW A B A ; B A B; A B 58. nA OSQH KOORDINAT NAJTI TO^KI KAVDAQ IZ KOTORYH RAWNO UDALENA OT TO^EK I 59. nAJTI CENTR OKRUVNOSTI PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU A ; I KASA@]EJSQ OSI Ox W TO^KE B 60. nA OSI Oy NAJTI TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT DWUH TO^EK A IB ; 61. nA^ALO WEKTORA NAHODITSQ W TO^KE A ; dLINA WEK TORA RAWNA nAJTI KONEC \TOGO WEKTORA ZNAQ ^TO PERWYE DWE EGO KOORDINATY RAWNY SOOTWETSTWENNO x y :
1)
(4
3)
(7
2)
(3
1)
(
7)
2
4)
3)
(12
4)
(3
1)
5)
(0
(4
4)
6).
,
(1
1)
(3
-
7).
,
(
(2
4
2)
0).
,
(3
1
0)
(
2
4
1).
(2
11.
,
= 7,
1
5).
-
,
= 6.
||||||||||||||{
62. nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT KAVDOJ IZ SLEDU@ ]IH TO^EK A B;; C; D 63. nA OSI Oy NAJTI TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT TO^KI ; ; I OT NA^ALA KOORDINAT 64. nAJTI CENTR I RADIUS OKRUVNOSTI PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU A ; I KASA@]EJSQ OBEIH OSEJ KOORDINAT 65. nAJTI W PLOSKOSTI Oxz TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT TREH TO^EK A B; C ; 66. dANY ^ETYRE TO^KI A B C D ; nAJTI CENTR I RADIUS SFERY PROHODQ]EJ ^EREZ \TI TO^KI -
: 1)
(11
4) 2)
(
3
4) 3)
(
11
0) 4)
,
(5 (
12).
8
4)
.
,
(2
1)
.
,
(1
1
1)
(
1
1
0)
(3
1
1).
(1
(1
2
1).
2
3)
(5
,
.
16
2
3)
(2
5
3)
7
sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW
sKALQRNYM PROIZWEDENIEM ab ^ASTO ISPOLXZU@TSQ OBOZNA^ENIQ a b ILI a b DWUH WEKTOROW a 6 0 I b 6 0 NAZYWAETSQ ^ISLO RAWNOE PROIZWEDENI@ MODULEJ \TIH WEKTOROW NA KOSINUS UGLA MEVDU NIMI (
)
(
=
=
,
:
ab jaj jbj ' : eSLI a 0 ILI b 0 TO ab 0 PO OPREDELENI@ sKALQRNOE PROIZWEDENIE ab RAWNO NUL@ TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA a?b ILI a 0 ILI b 0 sWOJSTWA SKALQRNOGO UMNOVENIQ ab ba KOMMUTATIWNOSTX ab ab a b c ac bc DISTRIBUTIWNOSTX aa a2 jaj2 PRI^EM aa TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA a 0 =
=
=
cos
,
=
.
,
=
=
.
:
=
(
(
(
)
) = (
+
)
=
)
=
+
=
(
)
0
= 0
,
=
.
zada~i
67. nAJTI SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b W KAVDOM IZ SLEDU@]IH SLU^AEW jaj jbj 6 a b jaj jbj 6 a b a?b jaj jbj a "" b jaj jbj a "# b 68. w RAWNOBEDRENNOM TREUGOLXNIKE ABC MEDIANY AA1 I BB1 PROWEDENNYE K BOKOWYM RAWNYM STORONAM CB I CA PERESEKA@TSQ POD PRQMYM UGLOM nAJTI UGLY \TOGO TREUGOLXNIKA 69. dOKAZATX ^TO WEKTORY p a bc ; b ac I c PERPENDIKU LQRNY DRUG DRUGU :
1)
= 8
= 5
(
) = 60
2)
= 1
= 1
(
) = 135
3)
4)
= 3
= 6
5)
= 3
= 1
.
,
(
)
,
.
,
.
=
.
17
(
)
(
)
-
)
70. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENY MEDIANY AD BE I CF ;! ;! ;! ;! ;! wY^ISLITX ;! BC AD CA BE AB CF 71. w PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE ABC OPU]EN PERPENDIKULQR ;;! ;! CH NA GIPOTENUZU AB wYRAZITX WEKTOR CH ^EREZ WEKTORY a CB I b ;! CA 72. dOKAZATX ^TO ESLI W TETRA\DRE ABCD DWA REBRA PERPEN DIKULQRNY SOOTWETSWENNO SWOIM PROTIWOPOLOVNYM TO I OSTALXNYE DWA REBRA WZAIMNO PERPENDIKULQRNY 73. dOKAZATX ^TO SUMMA KWADRATOW STORON ^ETYREHUGOLXNIKA A1A2A3A4 RAWNA SUMME KWADRATOW EGO DIAGONALEJ I U^ETWERENNOGO KWADRATA RASSTOQNIQ MEVDU SEREDINAMI DIAGONALEJ .
(
) + (
) + (
).
.
=
=
.
,
-
,
-
.
,
.
||||||||||||||{
74. w TREUGOLXNIKE ABC DANY DLINY EGO STORON BC CA ;! AB nAJTI SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW ;! BA I BC 75. kAKOJ UGOL OBRAZU@T EDINI^NYE WEKTORY s I t ESLI IZWESTNO ^TO WEKTORY p s t I q s ; t WZAIMNO PERPENDIKULQRNY 76. dAN RAWNOSTORONNIJ TREUGOLXNIK ABC U KOTOROGO DLINY ;! ;! STORON RAWNY pOLAGAQ ;! BC a CA b AB c WY^ISLITX WYRAVENIE ab bc ca 77. dAN PRQMOUGOLXNIK ABCD I TO^KA M KOTORAQ MOVET LE VATX KAK W PLOSKOSTI PRQMOUGOLXNIKA TAK I WNE EE pOKAZATX ^TO SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW IDU]IH OT TO^KI M K DWUM NESMEVNYM WERINAM PRQMOUGOLXNIKA RAWNO SKALQRNOMU PROIZWE DENI@ WEKTOROW IDU]IH OT TOJ VE TO^KI K DWUM DRUGIM WERINAM ; ;! ;;! ;M;! ;;! M A M C B M D = 5
6
= 7.
=
.
,
=
+ 2
= 5
4
,
-
.
,
1.
=
+
+
=
=
,
.
(
,
1)
-
).
,
:
,
,
-
,
(
) = (
)
SUMMA KWADRATOW WEKTOROW ODNOJ PARY RAWNA SUMME KWADRATOW ;!2 ;;!2 ;;!2 ;;!2 DRUGOJ PARY ; MA MC MB MD 78. w TREUGOLXNIKE ABC TO^KA D DELIT STORONU AB W OTNOE ;;! NII ;! AD DB wYRAZITX DLINU OTREZKA CD ^EREZ TRI STORONY
2)
(
+
=
+
).
-
:
=
.
18
TREUGOLXNIKA I ^ISLO 79. dOKAZATX ^TO PRI L@BOM RASPOLOVENII TO^EK ABCD NA ;! PLOSKOSTI ILI W PROSTRANSTWE IMEET MESTO RAWENSTWO ;! BC AD ;! ;;! ;! ;;! CA BD AB CD .
,
(
(
)+(
)+
) = 0.
80. w RAWNOBEDRENNOM TREUGOLXNIKE UGOL PROTIW OSNOWANIQ RAWEN 6 nAJTI UGLOL MEVDU MEDIANAMI \TOGO TREUGOLXNIKA PROWEDENNY MI K BOKOWYM STORONAM 81. tO^KA M RASPOLOVENA WNUTRI WYPUKLOGO n UGOLXNIKA P A1A2 : : : An dOKAZATX ^TO NAJDETSQ TAKAQ STORONA AiAi+1 \TOGO n UGOLXNIKA ^TO OSNOWANIE PERPENDIKULQRA OPU]ENNOGO IZ TO^KI M NA Ai Ai+1 QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ OTREZKA AiAi+1 .
,
-
.
-
.
=
,
-
,
,
.
8
sKALQRNOE PROIZWEDENIE W KOORDINATAH
sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a fX Y g I b fX 0 Y 0 g W PRO IZWOLXNOJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ PO FORMULE =
=
-
:
ab g11XX 0 g12 XY 0 Y X 0 g22Y Y 0 eiej i j SKALQRNOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTO =
GDE gij ROW w PROSTRANSTWE =
+
(
+
) +
= 1 2 |
-
.
:
ab g11XX 0 g12 XY 0 Y X 0 =
+
(
+
) +
g13 XZ 0 ZX 0 (
+
)+
g22Y Y 0 g23 Y Z 0 ZY 0 g33ZZ 0 eiej i j SKALQRNOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTO +
(
+
) +
GDE gij ROW w PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT \TI FORMULY PRINIMA@T WID ab XX 0 Y Y 0 =
= 1 3 |
-
.
:
=
+
19
NA PLOSKOSTI I
ab XX 0 Y Y 0 ZZ 0 =
+
+
W PROSTRANSTWE
.
zada~i
82. pOSTROITX AFFINNU@ SISTEMU KOORDINAT ESLI 1) 2) 3) 4)
g11 g11 g11 g11
= 4 = 1 = 4 = 4
g12 g12 12 g12 g12 ; = 0
=
= 8
=
8
g22 g22 g22 g22
,
= 1 = 1 = 25
:
= 25
83. oPREDELITX DLINU WEKTORA a f ; g ESLI g11 =
g22
8
56
10 ,
g12
= 4
=
= 25.
84. oPREDELITX EDINI^NYJ WEKTOR b PERPENDIKULQRNYJ K WEK TORU a f ; g ESLI g11 g12 g22 85. dLINY EDINI^NYH WEKTOROW AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT p SUTX SOOTWETSTWENNO je1j je2j A UGOL MEVDU NIMI ! 5 oTNOSITELXNO \TOJ SISTEMY KOORDINAT DANY DWA WEKTORA a 6 f g b f g nAJTI UGOL OT PERWOGO WEKTORA DO WTOROGO 86. oTNOSITELXNO AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT DAN TREUGOLX NIK ABC S WERINAMI W TO^KAH A B C DLINY p p AC BC oPREDELITX STORON KOTOROGO SUTX AB DLINY EDINI^NYH WEKTOROW \TOJ SISTEMY KOORDINAT I UGOL MEVDU NIMI 87. wY^ISLITX SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b ZADAN NYH SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLE DU@]IH SLU^AEW a f g b f; g a f ; g b f g a f ; g b f g: 88. oPREDELITX UGOL MEVDU DWUMQ WEKTORAMI a I b ZADANNY ,
=
7
8 ,
= 4
= 8
= 2
=
-
= 25.
3,
=
.
1
=
2
=
2
2 .
.
-
(1
=
52
1)
= 4
(5
3)
=
(3
5),
28.
.
,
-
-
:
1)
=
5
2
=
3
2)
=
6
8
=
12
3)
=
3
5
=
7
6
9
4
,
20
-
MI SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLEDU @]IH SLU^AEW a f g b f ; g a f g b f g: 89. w PRAWILXNOM TETRA\DRE ABCD NAJTI UGOL MEVDU MEDI ANAMI BB1 I CC1 GRANEJ ABC I ACD
-
:
1)
=
8
4
1
=
2
2)
=
2
5
4
=
6
2 1
0
3
-
.
||||||||||||||{
90. oPREDELITX DLINU WEKTORA a f ; g ESLI g11 =
g22
8
7
8 ,
= 4
g12
=
= 25.
91. dANY DLINY EDINI^NYH WEKTOROW REPERA je1j je2j I UGOL MEVDU NIMI ! 3 oPREDELITX g11 g12 g22 I RASSTOQNIE d MEVDU TO^KAMI A ; B ; 92. dLINY EDINI^NYH WEKTOROW AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT SUTX SOOTWETSTWENNO je1j je2j uGOL MEVDU NIMI ! 3 oTNOSITELXNO \TOJ SISTEMY KOORDINAT WERINY TREUGOLXNIKA ABC IME@T KOORDINATY A B C oPREDELITX DLINY STORON AB I AC \TOGO TREUGOLXNIKA I UGOL A MEVDU NIMI 93. oTNOSITELXNO AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT DAN PRQMOUGOLX NYJ TREUGOLXNIK ABC S WERINAMI W TO^KAH A B C PRQMYM UGLOM PRI WERINE C I KATETAMI CA CB oPREDELITX DLINY STORON A0 B 0 I A0C 0 TREUGOLXNIKA A0B 0 C 0 I UGOL MEVDU NIMI ESLI WERINY \TOGO TREUGOLXNIKA IME@T KOORDINATY = 2
=
(1
= 3
.
2)
(
3
4).
= 4
(1
3)
= 2.
(1
0)
=
(2
.
1).
.
-
(1
(3
2),
0),
= 2
(0
1),
= 3.
,
A0 B 0 C 0 (1
1)
(2
2)
(2
4).
94. oPREDELITX UGOL MEVDU DWUMQ WEKTORAMI a I b ZADANNY MI SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLEDU @]IH SLU^AEW a f g b f g a f ; g b f g a f g b f ; g a f ; g b f; g: ,
-
:
1)
=
4
2)
=
6
3)
=
2
4)
=
2
3
8
5
6
=
1 7
=
12
9
=
3
7
=
3
9
21
95. wY^ISLITX SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b ZADAN NYH SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLE DU@]IH SLU^AEW a f g b f; g a f ; g b f ; g a f g b f ; g: 96. nAJTI ^ISLENNU@ WELI^INU PROEKCII WEKTORA f g NA OSX PARALLELXNU@ WEKTORU f ; g 97. w TREUGOLXNIKE ABC DLINY STORON CA I CB RAWNY SOOT WETSTWENNO I A UGOL PRI WERINE C RAWEN 6 nAJTI UGOL ' MEVDU MEDIANAMI AA1 I BB1 nAJTI DLINU MEDIANY CC1 ,
-
:
1)
=
3
5
2)
=
3
0
3)
=
2
5
7
=
6
1
2
6
1
=
2
4
0
=
3
2
4
8
,
2
2
4
1
1 .
,
, 4
6,
. 1)
. 2)
9
-
.
pOWOROT WEKTORA NA ORIENTIROWANNOJ PLOSKOSTI
pUSTX fO i jg ORTONORMIROWANNYJ REPER NA PLOSKOSTI wEKTOR e ' POLU^A@]IJSQ POWOROTOM WEKTORA i NA UGOL ' IMEET SLEDU@ ]IJ WID e ' i ' j ': y iSPOLXZUQ \TOT WEKTOR PROIZWOLXNYJ a WEKTOR a fX Y g MOVNO PREDSTAWITX ' W WIDE x a jaje ' rIS GDE ' UGOL NA KOTORYJ NUVNO POWERNUTX WEKTOR i ^TOBY EGO NAPRAWLENIE SOWPALO S NAPRAWLENIEM WEKTORA a pRI \TOM
(
|
.
),
,
-
:
(
) =
cos
+
sin
,
=
:
=
(
)
. 2.
|
,
,
.
X jaj =
cos
' Y
=
jaj ': sin
rASSMOTRIM WEKTOR b fX 0 Y 0g POLU^ENNYJ POWOROTOM WEKTORA =
,
22
a NA UGOL tOGDA b jaje ' W KOORDINATAH X0 X ;Y .
=
8 > > <
(
+
=
Y0
> > :
),
cos
X
=
sin
sin
Y +
cos
:
w ^ASTNOM SLU^AE WEKTOR POLU^ENNYJ POWOROTOM WEKTORA a NA UGOL 2 BUDEM OBOZNA^ATX a W KOORDINATAH a f;Y X g ,
,
,
],
] =
.
zada~i
98. dANY DWE TO^KI A I B nAJTI KONEC WEKTORA ;! AC POLU^A@]EGOSQ IZ WEKTORA ;! AB POWOROTOM NA UGOL 56 99. dANY DWE SOSEDNIE WERINY KWADRATA A ; I B nAJTI DWE DRUGIE WERINY 100. oSNOWANIEM RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA SLUVIT OTREZOK AC A ; C ; nAJTI KOORDINATY WERINY B \TOGO 5 TREUGOLXNIKA ZNAQ ^TO UGLY PRI EGO OSNOWANII RAWNY 6 101. oPREDELITX KOORDINATY k OJ WERINY PRAWILXNOGO n UGOLXNIKA ESLI DANY KOORDINATY PERWOJ WERINY A1 x1 y1 I KOORDINATY CENTRA S x0 y0 102. sOSTAWITX URAWNENIQ TRAEKTORII OPISYWAEMOJ TO^KOJ M LEVA]EJ NA OKRUVNOSTI ! RADIUSA R KATQ]EJSQ BEZ SKOLXVENIQ PO DANNOJ PRQMOJ ` CIKLOIDA 103. kRUG RADIUSA r KATITSQ PO KRUGU RADIUSA R OSTAWAQSX WNUTRI NEGO nAPISATX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ LINII OPISY WAEMOJ TO^KOJ KATQ]EGOSQ KRUGA GIPOCIKLOIDA 104. pO OKRUVNOSTI ! ZADANNOJ URAWNENIEM x2 y2 R2 KATIT SQ BEZ SKOLXVENIQ PRQMAQ ` NA^ALXNOE POLOVENIE KOTOROJ x R sOSTAWITX URAWNENIQ TRAEKTORII OPISYWAEMOJ TO^KOJ M LEVA]EJ NA ` PRINIMAQ ZA NA^ALXNOE EE POLOVENIE TO^KU M0 R \WOLX WENTA OKRUVNOSTI (2
1)
(5
5).
,
.
(
3
2)
(2
4).
.
:
(
4
2)
(4
,
4).
,
arctg
.
-
-
,
(
(
)
).
,
,
,
(
).
,
.
,
(
-
).
,
+
=
,
,
-
=
,
,
,
(
).
||||||||||||||{
23
.
0). (
-
105. dANY DWE PROTIWOPOLOVNYE WERINY KWADRATA A ; I B ; nAJTI DWE DRUGIE WERINY 106. dANY DWE WERINY RAWNOSTORONNEGO TREUGOLXNIKA A B nAJTI EGO TRETX@ WERINU ! ; ;;A! ; ;;A! IME@T DLINY a a a I OB 107. wEKTORY ;A;; A A A 0 1 1 2 2 3 1 2 3 RAZU@T UGLY !1 !2 !3 S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI Ox ;;! oPREDELITX KOORDINATY WEKTORA ; A0 A3 ! ;;;! ;;;;! 108. wEKTORY ;A;; 0 A1 A1 A2 : : : An;1 An IME@T DLINY d1 d2 : : : dn I OBRAZU@T UGLY 1 2 : : : n S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI Ox oPREDELITX KOORDINATY TO^KI An ESLI A0 x0 y0 109. kRUG RADIUSA r KATITSQ PO KRUGU RADIUSA R OSTAWAQSX WNE EGO nAJTI PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ LINII OPISYWAEMOJ TO^ KOJ KATQ]EGOSQ KRUGA \PICIKLOIDA PRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT CENTR NEPODWIVNOGO KRUGA A ZA PARAMETR UGOL t MEVDU POLOVITELX NYM NAPRAWLENIEM OSI ABSCISS I S RADIUSOM NEPODWIVNOGO KRUGA IDU]IM W TO^KU KASANIQ PODWIVNOGO KRUGA S NEPODWIVNYM w NA ^ALXNOM POLOVENII PODWIVNAQ OKRUVNOSTX KASALASX NEPODWIVNOJ W TO^KE A PERESE^ENIQ POSLEDNEJ S OSX@ ABSCISS (
(5
4).
3
2)
.
(2
(6
3).
1)
.
-
.
.
.
,
(
).
,
.
,
(
-
),
,
-
,
.
-
.
10
kOSOE PROIZWEDENIE WEKTOROW NA PLOSKOSTI
kOSYM PROIZWEDENIEM WEKTOROW a I b NA ORIENTIROWANNOJ PLOSKOSTI NAZYWAETSQ SLEDU@]EE ^ISLO :
< a b > a b jajjbj =
]
=
sin
GDE UGOL OT WEKTORA a DO WEKTORA b tAKIM OBRAZOM j< a b >j PLO]ADX PARALLELOGRAMMA POSTROENNOGO NA WEKTORAH a I b |
|
.
,
,
.
24
sWOJSTWA KOSOGO PROIZWEDENIQ < a b > ; < b a > KOSOSIMMETRI^NOSTX < a b > < a b > < a b c > < a c > < b c > DISTRIBUTIWNOSTX : kOSOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a fX Y g I b fX 0 Y 0g W PRO IZWOLXNOJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ PO FORMULE X Y < a b > "12 0 0 :
=
(
=
(
+
(
)
)
)
=
+
(
)
=
=
-
:
=
X Y
GDE "12 < e1 e2 > KOSOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTOROW w PRQ MOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT =
|
.
-
X Y X0 Y 0
< a b >
=
iMEET MESTO SLEDU@]AQ FORMULA DLQ PLO]ADI TREUGOLXNIKA ABC NA PLOSKOSTI ;! ;! XB ; XA YB ; YA S4ABC j < AB AC > j XC ; XA YC ; YA :
=
1
=
2
1
2
zada~i
110. wY^ISLITX PLO]ADX TREUGOLXNIKA WERINAMI KOTOROGO SLUVAT TO^KI A B I C 111. wY^ISLITX PLO]ADX PQTIUGOLXNIKA WERINAMI KOTOROGO SLUVAT TO^KI A ; B ; C D I E ; 112. nAJTI RASSTOQNIE OT TO^KI DO PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI I 113. dWE WERINY TREUGOLXNIKA NAHODQTSQ W TO^KAH I ; TRETXQ WERINA NA OSI Ox zNAQ ^TO PLO]ADX TREUGOLX NIKA RAWNA NAJTI TRETX@ WERINU ,
(4
2)
(9
4)
(7
6).
,
(
2
0)
(0
1)
(2
0)
(3
(2, 0)
(1, 1)
2)
(
1
,
(5, 4).
(5
(
2
2),
3).
|
.
10,
,
.
||||||||||||||{
25
1)
-
114. wY^ISLITX PLO]ADX TREUGOLXNIKA ABC W KAVDOM IZ SLE DU@]IH SLU^AEW
-
:
1) 2) 3)
A B C A; B ; A B C : (2
(
1)
2
(5
(3
4)
4)
(1
(0
4)
(11
3)
0)
6)
(1
(0
7)
3)
115. nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ PROHO DQ]EJ ^EREZ TO^KI I 116. pLO]ADX TREUGOLXNIKA S DWE EGO WERINY SUTX TO^KI A I B ; CENTR TQVESTI \TOGO TREUGOLXNIKA LEVIT NA OSI Ox oPREDELITX KOORDINATY TRETXEJ WERINY C ,
(1, 5)
-
(2, 4).
= 3,
(3
1)
(1
3),
.
11
.
pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT NA PLOSKOSTI
pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT NA PLOS M ' KOSTI OPREDELQETSQ TO^KOJ O POL@S ISHODQ]IM IZ NEE LU^OM Ox POLQRNAQ O x OSX MASTABNYM OTREZKOM e I NAPRAW rIS LENIEM OTS^ETA UGLOW pOLQRNYMI KOORDINATAMI TO^KI M NE SOWPADA@]EJ S POL@SOM NAZYWA@TSQ RASSTOQNIE POLQRNYJ RADIUS OT TO^KI M DO POL@SA O I UGOL ' POLQRNYJ UGOL OT POLQRNOJ OSI Ox DO LU^A OM eSLI POL@S O PRINQTX ZA NA^ALO DEKARTOWOJ PRQMOUGOLXNOJ SIS TEMY KOORDINAT NAPRAWLENIE POLQRNOJ OSI ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI Ox TO MEVDU DEKARTOWYMI KOORDINATAMI x I y TO^KI I EE POLQRNYMI KOORDINATAMI I ' IME@T MESTO SLEDU@]IE SOOTNOENIQ p2 2 x y x ' ' px x+y y ' ' px y+y : -
(
),
(
),
-
. 3.
.
,
:
,
(
(
)
)
.
-
,
|
,
:
8 > > < > > :
=
=
cos
sin
8 > > > > > > > <
cos
=
> > > > > > > : sin
=
26
+
=
2
2
2
2
zada~i
117. dAN PRAWILXNYJ ESTIUGOLXNIK STORONA KOTOROGO RAWNA a wZQW ZA POL@S ODNU IZ EGO WERIN A ZA POLQRNU@ OSX STORONU ^EREZ NEE PROHODQ]U@ OPREDELITX POLQRNYE KOORDINATY OSTALXNYH PQTI WERIN 118. wY^ISLITX RASSTOQNIE MEVDU DWUMQ DANNYMI TO^KAMI A 12 I B 512 C 5 I D 65 E 1118 I F 49 : 119. wY^ISLITX PLO]ADX TREUGOLXNIKA ODNA IZ WERIN KOTORO GO POME]AETSQ W POL@SE A DWE DRUGIE IME@T POLQRNYE KOORDINATY ,
.
,
|
,
,
.
:
1)
(2
2)
(4
3)
(3
)
(1
)
)
(6
)
)
(4
)
,
-
,
(4
9 )
(1
5 ). 18
120. nAJTI POLQRNYE KOORDINATY TO^KI M ZNAQ EE DEKARTOWY KOORDINATY x y ; 121. nAPISATX W POLQRNYH KOORDINATAH URAWNENIE PRQMOJ PER PENDIKULQRNOJ K POLQRNOJ OSI I OTSEKA@]EJ NA NEJ OTREZOK OA a 122. dANY TO^KA O I PRQMAQ NAHODQ]AQSQ OT TO^KI O NA RAS STOQNII OA a wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ DANNU@ PRQMU@ W PEREMENNOJ TO^KE B nA \TOM LU^E PO OBE STORONY OT TO^KI B OTKLADYWA@TSQ OTREZKI BM1 BM2 b nAPISATX W POLQRNYH KOORDINATAH URAWNENIE LINII KONHOIDA nIKOMEDA OPI SYWAEMOJ TO^KAMI M1 I M2 PRI WRA]ENII LU^A PRINIMAQ ZA POL@S TO^KU O A ZA POLQRNU@ OSX PERPENDIKULQR OA OPU]ENNYJ IZ TO^KI O NA DANNU@ PRQMU@ 123. nA OKRUVNOSTI RADIUSA a DANA TO^KA O wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ OKRUVNOSTX W PEREMENNOJ TO^KE A nA \TOM LU^E PO OBE STORONY OT TO^KI A OTKLADYWA@TSQ OTREZKI AM1 AM2 a lINIQ OPISYWAEMAQ TO^KAMI M1 I M2 NAZYWAET SQ KARDIOIDOJ nAPISATX URAWNENIE \TOJ LINII W POLQRNYH KOORDI ,
= 8
=
6.
,
-
=
,
=
.
-
.
,
.
=
=
.
(
),
,
-
,
,
,
.
.
,
=
= 2 .
.
,
,
.
-
-
27
NATAH PRINIMAQ ZA POL@S TO^KU O A ZA POLQRNU@ OSX PROHODQ]IJ ^EREZ NEE DIAMETR OK ,
,
.
||||||||||||||{
124. oTNOSITELXNO POLQRNOJ SISTEMY KOORDINAT DANA TO^KA A 23 nAJTI TO^KU B SIMMETRI^NU@ TO^KE A OTNOSITELXNO POL@SA TO^KU C SIMMETRI^NU@ TO^KE A OTNOSITELXNO POLQRNOJ OSI 125. nAJTI PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY TO^EK KOTORYE DANY p SWOIMI POLQRNYMI KOORDINATAMI A 3 B 34 C 2 D ; 6 PRI^EM OSX ABSCISS SOWPADAET S POLQRNOJ OSX@ A NA^ALO KOORDINAT S POL@SOM 126. nAPISATX URAWNENIE OKRUVNOSTI RADIUSA a W POLQRNYH KO ORDINATAH PRINQW ZA POL@S TO^KU O NA OKRUVNOSTI A ZA POLQRNU@ OSX PROHODQ]IJ ^EREZ NEE DIAMETR OA 127. dANY TO^KA O I PRQMAQ NAHODQ]AQSQ OT TO^KI O NA RAS STOQNII OA a wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ PRQMU@ W PEREMENNOJ TO^KE B nA \TOM LU^E PO OBE STORONY OT TO^ KI B OTKLADYWA@TSQ RAWNYE OTREZKI BM1 BM2 AB nAPISATX URAWNENIE LINII STROFOIDA OPISYWAEMOJ TO^KAMI M1 I M2 PRI WRA]ENII LU^A W POLQRNYH KOORDINATAH PRINIMAQ ZA POL@S TO^KU O A ZA POLQRNU@ OSX PERPENDIKULQR OA OPU]ENNYJ IZ TO^KI O NA DANNU@ PRQMU@ 128. nA OKRUVNOSTI RADIUSA a WZQTA TO^KA O I ^EREZ TO^KU K DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNU@ O K OKRUVNOSTI PROWEDENA KASA TELXNAQ wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ OKRUVNOSTX I KASATELXNU@ SOOTWETSTWENNO W TO^KAH A I B nA \TOM LU^E OT TO^ KI O OTKLADYWAETSQ OTREZOK OM RAWNYJ OTREZKU AB LU^A ZAKL@ ^ENNOMU MEVDU OKRUVNOSTX@ I KASATELXNOJ lINIQ OPISYWAEMAQ TO^KOJ M PRI WRA]ENII LU^A NAZYWAETSQ CISSOIDOJ dIOKLESA nA (5
).
:
1)
,
2)
,
.
,
:
(3
(2
)
(
2
)
(5
),
)
,
|
.
-
,
,
.
,
=
-
.
,
.
-
=
(
=
.
),
,
,
,
,
,
.
,
,
.
-
,
.
-
,
,
.
,
-
,
.
28
-
PISATX EE URAWNENIE W POLQRNYH KOORDINATAH PRINIMAQ ZA POL@S TO^KU O I ZA POLQRNU@ OSX DIAMETR OK 129. nA OKRUVNOSTI RADIUSA a WZQTA TO^KA O ~EREZ TO^KU K DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNU@ O K OKRUVNOSTI PROWEDENA KASA TELXNAQ wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ PRQMAQ PERESEKA@]AQ OKRUV NOSTX I KASATELXNU@ SOOTWETSTWENNO W TO^KAH A I B iZ TO^KI A PROWODITSQ PRQMAQ PARALLELXNAQ KASATELXNOJ A IZ TO^KI B PRQ MAQ PARALLELXNAQ DIAMETRU OK nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK PERESE^ENIQ \TIH PRQMYH WERZXERA mARII aNXEZI PRINIMAQ ZA NA ^ALO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT TO^KU O A ZA OSX ABSCISS DIAMETR OK 130. wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ S POSTOQNNOJ UGLOWOJ SKO ROSTX@ ! pO \TOMU LU^U DWIVETSQ TO^KA M S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ v sOSTAWITX URAWNENIE LINII OPISYWAEMOJ TO^KOJ M W POLQRNYH KOORDINATAH ESLI W NA^ALXNYJ MOMENT DWIVENIQ LU^ SOWPADAET S POLQRNOJ OSX@ A TO^KA M S TO^KOJ O lINIQ OPISYWAEMAQ TO^ KOJ M NAZYWAETSQ SPIRALX@ aRHIMEDA ,
.
.
,
-
.
,
-
.
,
,
,
|
-
.
(
),
-
,
.
-
.
.
,
,
,
,
|
.
,
12
,
-
.
pRQMAQ LINIQ NA AFFINNOJ PLOSKOSTI
oB]IM URAWNENIEM PRQMOJ NA AFFINNOJ PLOSKOSTI NAZYWAETSQ URAW NENIE WIDA Ax By C PRI \TOM WEKTOR f;B Ag PARALLELEN PRQMOJ uRAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU x1 y1 PARALLELXNO WEKTORU fl mg MOVET BYTX ZAPISANO TAK -
:
+
+
= 0
.
,
(
,
:
x ; x1 y ; y1 l m 29
= 0
)
ILI
y ; y1 m POSLEDNEE URAWNENIE NAZYWAETSQ KANONI^ESKIM URAWNENIEM PRQMOJ eSLI ZADANY PROIZWOLXNAQ TO^KA x1 y1 I PROIZWOLXNYJ WEKTOR fl mg 6 0 TO PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ PROHODQ]EJ x ; x1 l
=
.
(
=
)
,
,
^EREZ DANNU@ TO^KU PARALLELXNO DANNOMU WEKTORU BUDUT ,
x y
= =
:
x1 lt y1 mt : +
+
uRAWNENIE PRQMOJ NE PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KOORDINAT I PE RESEKA@]EJ OSI KOORDINAT W TO^KAH a I b MOVET BYTX ZA PISANO W WIDE URAWNENIE PRQMOJ W OTREZKAH ,
-
(
0)
(0
(
)
-
):
x y a b +
:
= 1
eSLI PRQMAQ ZADANA SWOIM OB]IM URAWNENIEM TO DLQ KOORDINAT WSEH TO^EK LEVA]IH PO ODNU STORONU OT NEE ,
,
,
Ax By C > +
+
0
A DLQ KOORDINAT x y WSEH TO^EK LEVA]IH PO DRUGU@ STORONU OT NEE ,
,
Ax By C < : +
+
0
zada~i
131. sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMYH PROHODQ]IH ^EREZ TO^KU ; PARALLELXNO OSQM KOORDINAT 132. dAN TREUGOLXNIK ABC A ; B C ; nAPISATX URAWNENIE MEDIANY \TOGO TREUGOLXNIKA PROWEDENNOJ IZ WERINY A 133. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ OTSEKA@]EJ NA OSQH KOORDI NAT OTREZKI I ,
(3
2)
.
:
(
2
3)
(4
1)
(6
5).
,
.
,
3
5.
30
-
134. nAPISATX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU PARALLELXNO WEKTORU f g 135. nAPISATX W PARAMETRI^ESKOJ FORME URAWNENIQ SLEDU@]IH PRQMYH ,
(3, -5)
:
-4, 2 .
x y x; y; y ;x
1) 3 2) 3)
x y ; x y
+6
+ 5 = 0
4)
2
4 = 0
5)
+ 5
6) 2
=
3
= 2
=
3
+ 3
= 0
:
136. zAPISATX W WIDE Ax By C URAWNENIQ SLEDU@]IH PRQMYH x t y ; t x t y ; t: 137. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA @T PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU PERESE^ENIQ x y; x y; x;y x; y x; y ; x y; +
: 1)
=
= 1
3
+
2)
= 0
= 2 + 5
= 4
7
,
-
,
:
1)
+
2)
3)
4)
9)
+3
8 = 0
+5 = 0
2
2
+ 3 = 0
+ 4 = 0
2
x y x y; x; y x y; x p x;y +
+ 3
1 = 0
= 0
+ 9
+ 4
8 = 0
x y x y; x; y x y x p x ; y
+5 = 0
5
7) 7 8)
2
2
5) 2 6)
3 = 0
2
+3
4
+6
2
62 = 0
+ 2 = 0
3 = 0
+ 10 = 0
10
7 = 0
= 0
8
+3
2
+ 3 = 0 3
+ 2 = 0
3
= 0
:
138. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA @T PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU PERESE^ENIQ x t y ; t x t y ;t x t y ; ; t x ; t y t x ; t y t x ; t y ; t: 139. dANY SEREDINY M1 M2 ; I M3 STORON TREUGOLXNIKA sOSTAWITX URAWNENIQ STORON ,
-
,
:
1)
= 3 +
= 2
2)
= 5 + 4
=
3)
= 4
= 2 + 6
8
2
= 3
2
(2
= 1 =
3)
.
=
(
2
4 + 4
1
.
31
2)
2
= 7 + = 8 (4
3
5)
140. dANY URAWNENIQ DWUH STORON PARALLELOGRAMMA x ; y ; x; y I TO^KA PERESE^ENIQ EGO DIAGONALEJ M ; nAPI SATX URAWNENIE DWUH DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA 141. w KAKOM OTNOENII PRQMAQ x ; y DELIT OTREZOK NA^ALO KOTOROGO NAHODITSX W TO^KE A KONEC W TO^KE 142. dOKAZATX ^TO PRQMAQ x ; y ; PERESEKAET OTREZOK PRQMOJ x ; y ; ZAKL@^ENNYJ MEVDU OSQMI KOORDINAT 143. oPREDELITX POLOVENIE PRQMOJ x ; y OTNOSITELXNO TREUGOLXNIKA WERINY KOTOROGO A B ; C 1 =
0
2
= 0
(3
,
1).
-
.
2
+ 5 = 0
(-5, 4),
,
3
2
5
,
|
(2, 1)?
5 = 0
6 = 0,
.
7
,
(3
1)
(
+5 = 0 2
4)
(1
0).
||||||||||||||{
144. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KO ORDINAT I ^EREZ TO^KU 145. sOSTAWITX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ OTSEKA@ ]EJ NA OSQH Ox I Oy OTREZKI I 146. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA @T PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU PERESE^ENIQ x y x ; t y ; t x; y; x t y ; ;t x; y x t y ; t x y; x ; t y ; t x y x t y ;t x y; x ; t y ; t: 147. ~EREZ TO^KU PROWESTI PRQMU@ PARALLELXNU@ PRQMOJ x; y 148. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU ; PARALLELXNO PRQMOJ x y 149. zNAQ URAWNENIQ DWUH STORON PARALLELOGRAMMA x ; y I x y I ODNU IZ EGO WERIN C ; SOSTAWITX URAWNENIQ ,
-
(-1, -8).
,
3
-
-5.
,
-
,
:
1) 3
+ 4
+ 5 = 0
=
2) 2
5
7 = 0
= 2 +
=
9
3) 6
3
+ 5 = 0
= 5 +
=
3 + 2
4) 2
+ 5
=
=
9 + 5
5) 3
+ 9
+ 5 = 0
6) 4
+ 5
6 = 0
38 = 0
3 + 4
2 + 2
= 2 + 3
=
=
= 6
6 + 5
(7, 4)
3
2
= 1
3
4
,
+ 4 = 0.
,
(
8
1)
+
+ 7 = 0.
3
2
+5
+6 = 0
(4
32
1)
= 0
DWUH DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA 150. dANY WERINY TREUGOLXNIKA A ; B ; I C ~EREZ KAVDU@ IZ NIH PROWESTI PRQMU@ PARALLELXNU@ PROTIWOLE VA]EJ STORONE 151. sOSTAWITX URAWNENIQ STORON PARALLELOGRAMMA ABCD ZNAQ ^TO EGO DIAGONALI PERESEKA@TSQ W TO^KE M A STORONY AB BC CD I DA PROHODQT SOOTWETSTWENNO ^EREZ TO^KI P Q R S ; 152. w PARALLELOGRAMME ABCD DANY URAWNENIQ STORON AB x y; I AD x ; y ; I TO^KA E ; 136 SEREDINA STORONY BC nAJTI URAWNENIQ DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA 153. dANY DWE TO^KI A ; I B I PRQMAQ x ; y dOKAZATX ^TO DANNAQ PRQMAQ PERESEKAET PRODOLVENIE OTREZKA AB ZA TO^KU B 154. oPREDELITX POLOVENIE TO^EK A B ; C ; D OTNOSITELXNO TREUGOLXNIKA URAWNENIQ STORON KOTOROGO x;y x y; x y .
:
(
1
2)
(3
1)
(0
4).
,
-
.
,
(1
6),
(3
(5
9)
(
5
,
0)
(6
6)
4).
:
3
+4
12 = 0
: 5
12
6 = 0
(
2
) |
.
.
(
3
1)
(5
4)
2
= 0.
,
.
(3
(3
2)
2
(7
6)
(
1
1)
,
+2 = 0
13
1)
+
4 = 0
2
+
= 0.
uRAWNENIE PU^KA PRQMYH
sOWOKUPNOSTX PRQMYH PROHODQ]IH ^EREZ ODNU TO^KU M x0 y0 NA ZYWAETSQ PU^KOM PRQMYH tO^KA M x0 y0 PRI \TOM NAZYWAETSQ CENTROM PU^KA o^EWIDNO PU^OK PRQMYH S CENTROM M x0 y0 ZA DAETSQ URAWNENIEM ,
(
.
.
(
(
(
) +
B y ; y0 (
-
)
-
)
,
A x ; x0
),
:
) = 0
pUSTX DANY DWE PERESEKA@]IESQ RAZLI^NYE PRQMYE `1 I `2 ZA DANNYE SOOTWETSTWENNO URAWNENIQMI A1x B1y C1 I A2x B2y C2 l@BAQ PRQMAQ PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU PERESE^ENIQ (
,
+
,
= 0.
)
+
,
33
,
+
= 0
-
+
DWUH DANNYH PRQMYH MOVET BYTX OPREDELENA URAWNENIEM WIDA
:
A1x B1 y C1
(
+
+
) +
A2x B2y C2 (
+
+
:
) = 0
PRI NEKOTORYH I NE RAWNYH NUL@ ODNOWREMENNO pOSLEDNEE URAW NENIE NAZYWA@T URAWNENIEM PU^KA PRQMYH eSLI PRQMYE `1 I `2 ZADANNYE SOOTWETSTWENNO URAWNENIQMI A1x B1y C1 I A2x B2 y C2 PARALLELXNY NO NE SOWPADA@T TO WSQKAQ PRQMAQ IME@]AQ URAWNENIE ,
.
-
.
,
+
= 0
,
+
+
,
= 0
+
(
),
,
A1x B1 y C1
(
+
+
) +
A2x B2y C2 (
+
+
:
) = 0
PRI NEKOTORYH I PARALLELXNA `1 I `2 wS@ SOWOKUPNOSTX PRQMYH PRI \TOM TAKVE NAZYWA@T PU^KOM NESOBSTWENNYM PRQMYH ,
.
(
)
.
zada~i
155. oPREDELITX WZAIMNOE RASPOLOVENIE PRQMYH W KAVDOJ IZ SLEDU@]IH TROEK PRQMYH x y; x; y x;y x; y x; y x; y x y; x; y x y; y y x;y x; y x; y x y x;y x; y; x y x y; x;y : 156. nAPISATX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU PE RESE^ENIQ PRQMYH x ; y I x y; I ^EREZ TO^KU A ; 157. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x ; y x y; PROWESTI PRQMYE PARALLELXNYE OSQM KOORDINAT 158. tEOREMA ~EWY nA STORONAH AB BC I CA TREUGOLXNIKA ABC DANY TO^KI C0 A0 I B0 TAKIE ^TO BCA0 1 CAB0 2 :
1) 2
+
3 = 0
3
2
+ 5 = 0
5
2
4
+ 7 = 0
3
2)
2
+3 = 0
3)
+4
5 = 0
4)
2
5 = 0
5)
+ 7 = 0
6) 2
+ 3
+ 5 = 0
7) 3
+ 2
+ 6 = 0
2
2
+ 7 = 0
+ 6
+ 4 = 0
= 0
+ 1 = 0
9
6
+ 3 = 0
+ 2 = 0
+ 3 = 0
+ 2 = 0
5 = 0
4
4
3
4
5
+ 1 = 0
12 = 0
+ 3 = 0
,
: 7
(2
+ 3 = 0
3
-
+ 5
4 = 0,
1).
2
0
,
6
+3 = 0
5
+
2 =
.
(
).
,
,
,
34
(
) =
, (
) =
I ABC0 3 dOKAZATX ^TO PRQMYE AA0 BB0 I CC0 PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA 1 2 3 (
) =
.
,
,
,
= 1.
||||||||||||||{
159. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KO ORDINAT I TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x y ; x; y 160. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x; y x; y PROWESTI PRQMU@ PARALLELXNU@ PRQMOJ x ; y 161. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI PE RESE^ENIQ PAR PRQMYH x ; y x y ; Ix y x; y ,
-
2
+
3 = 0
3
0
,
5
7
4
+2 = 0
2
+ 2 = 0.
5
2
+ 4 = 0.
,
2
3
7
14
= 0
+4 =
-
+ 4
2 = 0
+ 2
= 0
+ 4 = 0.
pRQMAQ W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT
dLQ PRQMOJ ` IME@]EJ URAWNENIE Ax By C W PRQMOUGOLX NOJ SISTEME KOORDINAT WEKTOR N fA B g QWLQETSQ NORMALXNYM WEKTOROM A WEKTOR a f;B Ag NAPRAWLQ@]IM WEKTOROM eSLI PRQMYE `1 I `2 ZADANY SOOTWETSTWENNO URAWNENIQMI A1x B1y C1 I A2x B2y C2 TO KOSINUS UGLA MEVDU NIMI RAWEN ' A2 1A2 2 B12B2 2 : ,
+
,
,
+
-
=
=
.
,
+
= 0
= 0
+
+
,
+
= 0,
+
q
q
A1 B1 A2 B2 rASSTOQNIE d OT TO^KI M x0 y0 DO PRQMOJ ZADANNOJ OTNOSITELX NO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT URAWNENIEM Ax By C cos
=
+
(
+
)
,
+
+
-
= 0
OPREDELQETSQ PO FORMULE
d jAxp0 2By0 2 C j : A B +
=
+
+
pUSTX UGOL OT POLOVITELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI Ox DO LU ^A OP PROHODQ]EGO ^EREZ NA^ALO KOORDINAT PERPENDIKULQRNOGO K PRQMOJ AB I PERESEKA@]EGO \TU PRQMU@ A p RASSTOQNIE OT NA ^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ AB tOGDA URAWNENIE PRQMOJ AB MOVET |
-
,
,
,
.
35
|
-
BYTX ZAPISANO W WIDE
:
x
cos
y +
sin
;p
= 0
:
|TO URAWNENIE NAZYWAETSQ NORMALXNYM URAWNENIEM PRQMOJ
.
zada~i
162. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU PERPENDIKULQRNO K PRQMOJ x ; y 163. dANY WERINY TREUGOLXNIKA A B ; I C ; ; sOSTAWITX URAWNENIE WYSOTY OPU]ENNOJ IZ WERINY A NA STORONU ,
4)
3
2
(7,
+ 4 = 0.
:
(4
6)
(
4
0)
(
1
4).
,
BC
.
164. nAJTI PROEKCI@ TO^KI NA PRQMU@ x ; y ; 165. nAJTI TO^KU SIMMETRI^NU@ TO^KE M ; OTNOSITELXNO PRQMOJ x ; y 166. oPREDELITX UGLY MEVDU DWUMQ PRQMYMI ESLI IZWESTNY IH UGLOWYE KO\FFICIENTY k1 31 k2 ; 21 167. sOSTAWITX URAWNENIE BISSEKTRISY UGLA 6 A TREUGOLXNIKA ABC S WERINAMI A B ; I C 168. nAJTI RASSTOQNIQ OT TO^EK DO PRQMOJ x y 169. sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMYH PARALLELXNYH PRQMOJ x ; p y I OTSTOQ]IH OT NEE NA RASSTOQNII 170. nAJTI RASSTOQNIE OT TO^KI M DO PRQMOJ ` ZADANNOJ URAWNENIEM x ; y ; W NEKOTOROJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT ESLI IZWESTNY g11 g12 g22 171. dOKAZATX ^TO WYSOTY TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE PRINADLEVAT ODNOMU PU^KU PRQMYH (-5, 6)
7
,
2
3
(
2
13
105 = 0.
9)
+ 18 = 0.
,
=
(3
1),
=
(0
.
3)
(7
4).
(3, 1), (2, -4), (5, -1), (0, -3), (0,
0)
3
+ 4
= 0.
,
2
7
+ 4 = 0
53.
(2
2
3
1)
5 = 0
= 4,
,
,
= 8,
= 25.
,
(
).
||||||||||||||{
172. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH BUDUT ,
36
WZAIMNO PERPENDIKULQRNY x; y x y;
:
x y; x; y x y x; y x y; x y x;y x y x y; : 173. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x ; y 1)
2
+ 3 = 0
2
+
5 = 0
2) 2
+ 3
6 = 0
2
3
+ 4 = 0
3) 3
+ 7
+ 4 = 0
7
3
+ 2 = 0
4) 5
+ 6
8 = 0
6
+ 5
+ 2 = 0
5)
= 0
6)
+ 3 = 0
+
= 0
2 = 0
x y; PROWESTI PRQMU@ PERPENDIKULQRNU@ K PRQMOJ x y 174. nA PRQMOJ x ; y NAJTI TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT 3
,
= 0
2
3
+1 = 0
+4
+7
2 = 0
= 0.
,
DWUH TO^EK I 175. dANY DWE WERINY TREUGOLXNIKA A ; B ; I TO^ KA H PERESE^ENIQ EGO WYSOT wY^ISLITX KOORDINATY TRETXEJ WERINY C 176. ~EREZ TO^KU PROWESTI PRQMYE NAKLONENNYE K PRQMOJ x y; POD UGLOM 177. oPREDELITX RASSTOQNIQ OT TO^EK I DO PRQMOJ x;y 178. dOKAZATX ^TO PRQMYE x ; y x; y PARALLELXNY I NAJTI RASSTOQNIE I MEVDU NIMI 179. cENTR SIMMETRII KWADRATA NAHODITSQ W TO^KE URAW NENIE ODNOJ IZ EGO STORON x y ; sOSTAWITX URAWNENIQ TREH DRUGIH STORON (-3, 1)
(5, 4).
(
(1
2)
6
2)
(2
2)
-
.
.
(3, 1)
2
+ 3
1 = 0
,
45 .
(1, 0)
3
(-1, 2)
+ 4 = 0.
,
3
7
+ 2 = 0
,
3
7
+ 3 = 0
.
(-1, 0)
+3
-
5 = 0.
.
15
oKRUVNOSTX
uRAWNENIE OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE C a b I RADIUSOM r OT NOSITELXNO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT IMEET WID (
)
-
:
(
x;a 2 )
+ (
y ; b 2 r2 :
37
)
=
|TO URAWNENIE NAZYWAETSQ NORMALXNYM URAWNENIEM OKRUVNOSTI uRAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI W TO^KE M0 x0 y0 IMEET WID x ; x0 x0 ; a y ; y0 y0 ; b : .
(
)
:
(
)(
) + (
)(
) = 0
zada~i
180. oPREDELITX KOORDINATY CENTRA S I RADIUS r KAVDOJ IZ SLEDU@]IH OKRUVNOSTEJ x2 y2 ; x x2 y2 x ; y x2 y2 ; x y; x2 y2 x ; y ; 181. sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI I ESLI EE CENTR LEVIT NA PRQMOJ x ; y 182. sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI KASA@]EJSQ DWUH PRQ MYH x y ; x;y I PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KOORDINAT 183. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI x2 y2 ; x y W NA^ALE KOORDINAT 184. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax By C KASAETSQ OKRUVNOSTI x2 y2 R2 185. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNYH K OKRUVNOSTI x ; 2 y 2 PARALLELXNYH PRQMOJ x ; y :
1)
+
6
2)
+
+6
3)
+
4) 3
= 0 8
10
+ 3
= 0
+ 24
+ 6
56 = 0
4
1 = 0.
,
(2, 1)
(3, 4),
2
+ 1 = 0.
,
2
+
1 = 0
2
-
+ 2 = 0
.
+
2
+ 6
= 0
.
+
+
= 0
+
=
?
(
(
+ 2)
= 25,
3
4
1)
+
= 0.
||||||||||||||{
186. pRIWESTI K NORMALXNOMU WIDU URAWNENIQ OKRUVNOSTEJ x2 y2 ; x y x2 y2 x ; y ; x2 y2 ; x y 187. oKRUVNOSTX PROHODIT ^EREZ TO^KI I
:
1) 2)
3) 3
+ +
+ 3
2
+ 4
+
= 0
5
2
3 = 0
+ 7
+ 1 = 0.
(1, 4), (-7, 4)
38
(2, -5).
y
x ; ae =
x
d1
M x y (
r1 F1 ;c (
O
F2 c (
a e
)
r2
0)
=
d2 x
0)
rIS
. 4.
nAJTI EE CENTR RADIUS I URAWNENIE 188. sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI KASA@]EJSQ PRQMOJ x y I PRQMOJ x ; y W TO^KE 189. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI x2 y2 Ax By W NA^ALE KOORDINAT 190. oPREDELITX DLINU OTREZKA KASATELXNOJ PROWEDENNOJ IZ TO^KI K OKRUVNOSTI x2 y2 ; x ,
.
,
2
= 0
2
+ 1 = 0
+
(-1, 0).
+
+
= 0
+
.
,
(7, 1)
16
+
6
= 0.
|LLIPS
|LLIPS ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK SUMMA RASSTOQNIJ KOTORYH OT DWUH POSTOQNNYH TO^EK FOKUSOW \LLIPSA ESTX WELI^INA POSTO QNNAQ RAWNAQ a rASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI F2F1 c RIS pROSTEJEE URAWNENIE \LLIPSA MY POLU^IM WYBRAW PRQMU@ SO EDINQ@]U@ FOKUSY ZA OSX ABSCISS I POMESTIW NA^ALO KOORDINAT W ,
|
,
-
2 .
= 2
,
,
39
(
.4). ,
-
SEREDINE MEVDU NIMI tOGDA URAWNENIE \LLIPSA PRIMET WID .
x2 y 2 a2 b2 +
= 1
:
GDE b2 a2 ; c2 pRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT OSI KOORDINAT SOWPADA@T S OSQMI SIMMETRII \LLIPSA A NA^ALO KOORDINAT S CENTROM SIMMET RII tO^KI PERESE^ENIQ \LLIPSA S EGO OSQMI A1 I A2 B1 I B2 NAZY WA@TSQ WERINAMI \LLIPSA oTREZKI ZAKL@^ENNYE MEVDU WERINAMI NAZYWA@TSQ OSQMI \L LIPSA BOLXAQ FOKALXNAQ OSX A2A1 a I MALAQ OSX B2 B1 b ~ISLO =
.
,
-
.
(
,
)
-
.
,
:
,
(
)
-
= 2
= 2 .
e ac < NAZYWAETSQ \KSCENTRISITETOM \LLIPSA rASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI M x y \LLIPSA DO FOKUSOW NAZYWA@TSQ EE FOKALXNYMI RADIUSAMI-WEKTORAMI r1 I r2 MY IMEEM =
1
.
(
)
r2 a ; ex :
r1 a ex =
:
+
=
pRQMYE OPREDELQEMYE URAWNENIQMI ,
x ae =
NAZYWA@TSQ DIREKTRISAMI \LLIPSA oTNOENIE RASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI \LLIPSA DO FOKUSA r1 ILI r2 K RASSTOQNI@ TOJ VE TO^KI DO SOOTWETSTWU@]EJ DIREKTRISY d1 ILI d2 RAWNO \KSCENTRISITETU .
(
)
(
)
:
r1 d1
=
r2 d2
=
e:
sEREDINY PARALLELXNYH HORD \LLIPSA LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ NAZYWAEMOJ DIAMETROM \LLIPSA SOPRQVENNYM \TIM HORDAM eSLI ,
,
40
.
UGLOWOJ KO\FFICIENT HORD \LLIPSA TO URAWNENIE SOPRQVENNOGO IM DIAMETRA IMEET WID k
|
,
:
x ky a2 b2 +
= 0
:
dWA DIAMETRA IZ KOTORYH KAVDYJ DELIT POPOLAM HORDY PARAL LELXNYE DRUGOMU NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI eSLI k1 k2 IH UG LOWYE KO\FFICIENTY TO ,
,
.
,
-
|
-
,
2 b r1r2 ; a2 : kASATELXNAQ K \LLIPSU W EGO TO^KE M0 x0 y0 OPREDELQETSQ URAW =
(
NENIEM
:
xx0 yy0 a2 b2 +
= 1
)
-
:
zada~i
191. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE \LLIPSA ESLI POLUOSI EGO SOOTWETSTWENNO RAWNY I RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO I BOLXAQ OSX RAWNA BOLXAQ OSX RAWNA I \KSCENTRISITET e 1312 y 192. oPREDELITX FOKUSY \LLIPSA x25 169 193. dAN \LLIPS 36x 20y nAPISATX URAWNENIQ EGO DIREKTRIS 194. oPREDELITX \KSCENTRISITET \LLIPSA ZNAQ ^TO MALAQ OSX EGO WIDNA IZ FOKUSA POD PRQMYM UGLOM RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO RASSTOQNI@ MEVDU WERINAMI MALOJ I BOLXOJ OSEJ RASSTOQNIE MEVDU DIREKTRISAMI W ^ETYRE RAZA BOLXE RASSTOQ NIQ MEVDU FOKUSAMI y x 195. nA \LLIPSE 100 NAJTI TO^KU RASSTOQNIE KOTOROJ 36 OT PRAWOGO FOKUSA W ^ETYRE RAZA BOLXE RASSTOQNIQ EE OT LEWOGO FOKUSA ,
1)
5
2)
8
3)
4
10
26
.
=
2
2
+
2
:
+
2
= 1.
= 1.
.
,
,
1)
:
2)
3)
-
.
2
+
2
= 1
.
41
,
SOPRQVENNYJ 196. oPREDELITX DIAMETR \LLIPSA x25 16y HORDAM IME@]IM UGLOWOJ KO\FFICIENT k 32 197. sOSTAWITX URAWNENIE TAKOJ HORDY \LLIPSA x25 16y KOTORAQ TO^KOJ M DELITSQ POPOLAM 198. dOKAZATX ^TO STORONY PRQMOUGOLXNIKA WPISANNOGO W \L LIPS PARALLELXNY EGO OSQM W 199. nAPISATX URAWNENIE KASATELXNOJ K \LLIPSU 32x 18y TO^KE M 200. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNYH K \LLIPSU x25 16y PROHODQ]IH ^EREZ TO^KU N 201. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax By C KASAETSQ \LLIPSA xa yb 202. nAJTI OB]IE KASATELXNYE K SLEDU@]IM DWUM \LLIPSAM y x I x4 y5 5 4 203. dOKAZATX ^TO OTREZKI KASATELXNYH K \LLIPSU xa yb ZAKL@^ENNYE MEVDU KASATELXNYMI PROWEDENNYMI W WERINAH BOLX OJ OSI WIDNY IZ FOKUSOW POD PRQMYM UGLOM 204. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO PROEKCIJ KAKOGO LIBO FOKUSA \LLIPSA NA KASATELXNYE K \TOMU \LLIPSU 205. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW OKRUVNOSTEJ KASA@ ]IHSQ DANNOJ OKRUVNOSTI I PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU LEVA ]U@ WNUTRI \TOJ OKRUVNOSTI 2
,
2
+
=
= 1,
.
2
(2
1)
2
+
= 1,
.
,
,
-
.
2
(4
2
+
= 1
3).
2
(10
2
+
= 1,
4).
+
+
2 2 +
= 0
2 2 = 1?
:
2
+
2
= 1
2
2
+
= 1.
2 2 = 1,
2 2 +
,
,
-
,
.
-
.
,
-
,
-
.
||||||||||||||{
206. oPREDELITX FOKUSY \LLIPSA 25x y16 207. oPREDELITX \KSCENTRISITET \LLIPSA ESLI OTREZOK MEVDU FOKUSAMI WIDEN IZ WERIN MALOJ OSI POD UGLOM 2
+
2
= 1. ,
1)
:
60
RASSTOQNIE MEVDU DWUMQ WERINAMI \LLIPSA RAZLI^NYH OSEJ W DWA RAZA BOLXE RASSTOQNIQ MEVDU FOKUSAMI
2)
42
RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI ESTX SREDNEE ARIFMETI^ESKOE DLIN OSEJ 208. pRQMYE x SLUVAT DIREKTRISAMI \LLIPSA MALAQ OSX KOTOROGO RAWNA nAJTI URAWNENIE \TOGO \LLIPSA 209. ~EREZ FOKUS F c \LLIPSA xa yb PROWEDENA HORDA PERPENDIKULQRNAQ K BOLXOJ OSI nAJTI DLINU \TOJ HORDY 210. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ SEREDINY y x HORD x ; y x;y; \LLIPSA 100 64 211. oPREDELITX KASATELXNYE K \LLIPSU x16 y9 PARALLELX NYE PRQMOJ x y ; PROWEDEN 212. dOKAZATX ^TO KASATELXNYE K \LLIPSU xa yb NYE W KONCAH ODNOGO I TOGO VE DIAMETRA PARALLELXNY MEVDU SOBOJ I OBRATNO ESLI DWE KASATELXNYE K \LLIPSU PARALLELXNY TO TO^KI I KASANIQ LEVAT NA ODNOM I TOM VE DIAMETRE 213. dOKAZATX ^TO PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ L@BOJ KASATELX NOJ \LLIPSA OT DWUH EGO FOKUSOW ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ RAWNAQ KWADRATU MALOJ POLUOSI 214. dOKAZATX ^TO KASATELXNYE K \LLIPSU xa yb OTSEKA@T NA DWUH KASATELXNYH PROWEDENNYH W KONCAH BOLXOJ OSI OTREZKI PROIZWEDENIE KOTORYH ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ RAWNAQ b2 215. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax 3)
.
=
8
,
8.
.
(
2 2 +
0)
2 2 = 1
,
.
.
,
2
+ 7 = 0
2
2
1 = 0
2
+
+
+
2
2
= 1.
= 1,
-
2 2 = 1,
-
1 = 0.
2 2 +
,
,
,
,
,
.
,
-
,
.
2 2 +
,
,
2 2 = 1
,
,
,
.
+
By C +
= 0:
PERESEKAET \LLIPS xa yb NE PERESEKAET \TOT \LLIPS 216. nAJTI PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ OT FOKUSA DANNOGO \LLIPSA DO L@BYH DWUH PARALLELXNYH KASATELXNYH K \TOMU \LLIPSU
1) 2)
2 2 +
2 2 = 1? ?
.
43
y
x ; ae =
F1 ;c (
x
a e
F2 c
O
0)
=
(
x
0)
rIS
. 5.
17
gIPERBOLA
gIPERBOLA ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK DLQ KOTORYH ABSOL@T NAQ WELI^INA RAZNOSTI RASSTOQNIJ OT DWUH POSTOQNNYH TO^EK FOKUSOW GIPERBOLY ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ RAWNAQ a rASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI F2F1 c RIS pROSTEJEE URAWNENIE GIPERBOLY MY POLU^IM WYBRAW PRQMU@ SOEDINQ@]U@ FOKUSY ZA OSX ABSCISS I POMESTIW NA^ALO KOORDINAT W SEREDINE MEVDU NIMI tOGDA URAWNENIE GIPERBOLY PRIMET WID x2 ; y2 a2 b2 GDE b2 c2 ; a2 pRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT OSI KOORDINAT SOWPADA@T S OSQMI SIMMETRII GIPERBOLY A NA^ALO KOORDINAT S CENTROM SIMMETRII gIPERBOLA IMEET DWE DEJSTWITELXNYE WERINY TO^KI PERESE^E ,
-
|
,
= 2
(
2 .
. 5).
,
,
,
.
:
= 1
=
.
,
|
.
|
44
-
NIQ GIPERBOLY S OSX@ Ox OTREZOK ZAKL@^ENNYJ MEVDU NIMI NAZY WAETSQ DEJSTWITELXNOJ WE]ESTWENNOJ OSX@ GIPERBOLY sO WTOROJ OSX@ GIPERBOLA PERESEKAETSQ W DWUH MNIMYH TO^KAH ib uSLOW NO DEJSTWITELXNYJ OTREZOK b NAZYWAETSQ MNIMOJ OSX@ GIPERBOLY ~ISLO
,
-
(
)
.
(0
,
).
-
2
.
e ac > NAZYWAETSQ \KSCENTRISITETOM GIPERBOLY rASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI M x y GIPERBOLY DO FOKUSOW NAZYWA @TSQ EE FOKALXNYMI RADIUSAMI-WEKTORAMI r1 I r2 DLQ LEWOJ WETWI =
1
.
(
)
-
GIPERBOLY MY IMEEM
:
r1 ;a ; ex
r2 a ; ex
r1 a ex
r2 ;a ex :
=
=
DLQ PRAWOJ WETWI
:
=
+
=
+
pRQMYE OPREDELQEMYE URAWNENIQMI ,
x ae =
NAZYWA@TSQ DIREKTRISAMI GIPERBOLY oTNOENIE RASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI GIPERBOLY DO FOKUSA r1 ILI r2 K RASSTOQNI@ TOJ VE TO^KI DO SOOTWETSTWU@]EJ DIREKTRISY d1 ILI d2 RAWNO \KSCENTRISITETU .
(
)
(
)
:
r1 d1
=
r2 d2
=
e:
sEREDINY PARALLELXNYH HORD GIPERBOLY LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ NAZYWAEMOJ DIAMETROM GIPERBOLY SOPRQVENNYM \TIM HORDAM eS LI k UGLOWOJ KO\FFICIENT HORD GIPERBOLY TO URAWNENIE SOPRQ VENNOGO IM DIAMETRA IMEET WID ,
.
|
,
:
x ;ky a2 b2 45
= 0
:
,
-
dWA DIAMETRA IZ KOTORYH KAVDYJ DELIT POPOLAM HORDY PARAL LELXNYE DRUGOMU NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI eSLI k1 k2 IH UG LOWYE KO\FFICIENTY TO ,
,
.
,
-
|
-
,
k1 k2
=
b2 : a2
kASATELXNAQ K GIPERBOLE W EGO TO^KE M0 x0 y0 OPREDELQETSQ URAWNENIEM xx0 ; yy0 : a2 b2 aSIMPTOTY GIPERBOLY OPREDELQ@TSQ URAWNENIQMI y ab x : dWE GIPERBOLY 2 y2 x2 ; y2 x I a2 ; b2 ; a2 b2 NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI (
)
:
= 1
:
=
= 1
=
1
.
zada~i
217. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE GIPERBOLY ESLI DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA I \KSCENTRISITET e 1213 DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA I UGOL MEVDU ASIMPTOTOJ I OSX@ ABSCISS OPREDELQETSQ USLOWIEM 34 218. dANY URAWNENIQ ASIMPTOT GIPERBOLY y 125 x I KOORD NATY TO^KI M LEVA]EJ NA GIPERBOLE sOSTAWITX URAWNENIE GIPERBOLY y 219. oPREDELITX FOKUSY GIPERBOLY 25x ; 144 220. dOKAZATX ^TO DIREKTRISA GIPERBOLY PROHODIT ^EREZ OSNO WANIE PERPENDIKULQRA OPU]ENNOGO IZ SOOTWETSTWU@]EGO FOKUSA NA ASIMPTOTU GIPERBOLY wY^ISLITX DLINU \TOGO PERPENDIKULQRA 221. sOSTAWITX URAWNENIE TAKOJ HORDY GIPERBOLY x9 ; y4 KOTORAQ TO^KOJ M DELITSQ POPOLAM ,
1)
48
2)
16
=
tg
=
:
.
-
=
(24
5),
.
.
2
2
= 1.
,
-
,
.
.
2
(5
1)
.
46
2
= 1,
222. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K GIPERBOLE x5 ; y4 W TO^KE M ; 223. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K GIPERBOLE x9 ; y36 ESLI KASATELXNAQ PARALLELXNA PRQMOJ x ; y ; PERPENDIKULQRNA K PRQMOJ x y 224. oPREDELITX PROIZWEDENIE RASSTOQNIQ OT FOKUSOW GIPERBOLY x ;y DO KASATELXNOJ a b 225. dOKAZATX ^TO PROIZWEDENIE OTREZKOW OTSEKAEMYH KASATELX NOJ K GIPERBOLE NA EE ASIMPTOTAH S^ITAQ OT CENTRA RAWNO KWAD RATU POLOWINY RASSTOQNIQ MEVDU FOKUSAMI 226. dOKAZATX ^TO TO^KA GIPERBOLY SLUVIT SEREDINOJ OTREZKA KASATELXNOI K \TOJ GIPERBOLE ZAKL@^ENNOGO MEVDU ASIMPTOTAMI 2
2
(5
= 1
4).
2
2
= 1,
:
1)
3
17 = 0
2)
2 2
2
2 2 = 1
+ 5
+ 11 = 0.
.
,
,
-
(
),
-
.
,
,
.
||||||||||||||{
227. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE GIPERBOLY ESLI DEJSTWITELXNAQ POLUOSX a I MNIMAQ b RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO I DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA ,
1) 2)
= 5
:
= 3
10
8.
x ;y 228. oPREDELITX FOKUSY GIPERBOLY 225 64 229. sOSTAWITX URAWNENIE GIPERBOLY IME@]EJ OB]IE FOKUSY S \LLIPSOM 49x 24y PRI USLOWII ^TO \KSCENTRISITET EE e 45 tREBUETSQ 230. dANA GIPERBOLA x9 ; 16y WY^ISLITX KOORDINATY FOKUSOW WY^ISLITX \KSCENTRISITET NAPISATX URAWNENIQ ASIMPTOT I DIREKTRIS NAPISATX URAWNE NIE SOPRQVENII GIPERBOLY I WY^ISLITX EE \KSCENTRISITET 231. nAJTI WERINY KWADRATA WPISANNOGO W GIPERBOLU xa ; yb I ISSLEDOWATX W KAKIE GIPERBOLY WOZMOVNO WPISATX KWADRAT 232. nAJTI NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE KASANIQ PRQMOJ 2
2
= 1.
,
2
2
+
= 1
,
2
2
1)
= 1.
=
.
:
2)
3)
4)
-
.
,
1,
,
2 2
2 2 =
.
47
S GIPERBOLOJ xa ; yb 233. dANY FOKUSY GIPERBOLY F1 F2 ; ; I URAWNENIE KASATELXNOJ x y ; oPREDELITX POLUOSI 234. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW OKRUVNOSTEJ KASA@ ]IHSQ DANNOJ OKRUVNOSTI I PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU LEVA ]U@ WNE \TOJ OKRUVNOSTI 235. nAJTI PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ OT FOKUSA DANNOJ GIPERBO LY DO L@BYH DWUH PARALLELXNYH KASATELXNYH K \TOJ GIPERBOLE 236. nAJTI PLO]ADX TREUGOLXNIKA OBRAZOWANNOGO ASIMPTOTAMI GIPERBOLY xa ; yb I PROIZWOLXNOJ KASATELXNOJ K \TOJ GIPERBOLE
Ax By C +
+
2 2 = 1.
2 2
= 0
(4
3
+ 4
2)
(
1
5 = 0.
10)
.
,
-
,
-
.
-
,
.
,
2 2
18
2 2 = 1
.
pARABOLA
pARABOLA ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK RAWNOUDALENNYH OT PO STOQNNOJ TO^KI FOKUSA PARABOLY I POSTOQNNOJ PRQMOJ DIREKTRISY PARABOLY RIS eSLI ZA OSX ABSCISS PRINQTX PERPENDIKULQR OPU]ENNYJ IZ FOKU SA NA DIREKTRISU A NA^ALO KOORDINAT POMESTITX POSREDINE MEVDU FOKUSOM I DIREKTRISOJ TO URAWNENIE PARABOLY BUDET ,
|
-
|
(
|
. 6).
,
-
,
,
:
y2
px
= 2
GDE PARAMETR p ESTX RASSTOQNIE FOKUSA OT DIREKTRISY pARABOLA IMEET ODNU OSX SIMMETRII KOTORAQ SOWPADAET PRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT S OSX@ Ox eDINSTWENNAQ WERINA PARABOLY SOWPADAET S NA^ALOM KOORDINAT dIREKTRISA PARABOLY OPREDELQETSQ URAWNENIEM .
,
,
,
.
.
:
x ;p : =
2
rASSTOQNIE r L@BOJ TO^KI M x y PARABOLY DO FOKUSA OPREDE (
48
)
-
x ; 2p =
y M x y (
O F 2p (
rIS LQETSQ FORMULOJ
r
)
x
0)
. 6.
=
p x:
2
+
sEREDINY PARALLELXNYH HORD PARABOLY LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ NAZYWAEMOJ DIAMETROM PARABOLY SOPRQVENNYM \TIM HORDAM wSE DIAMETRY PARABOLY PARALLELXNY EE OSI SIMMETRII I OPREDELQ@TSQ URAWNENIEM ,
,
.
y kp =
GDE k UGLOWOJ KO\FFICIENT SOPRQVENNYH EMU HORD kASATELXNAQ K PARABOLE W TO^KE M0 x0 y0 OPREDELQETSQ URAWNE NIEM |
.
(
)
-
y0y p x x0 : =
(
+
)
zada~i
237. oPREDELITX KOORDINATY FOKUSA PARABOLY y2 49
= 4
x
.
238. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE PARABOLY ESLI RASSTO QNIE FOKUSA OT WERINY RAWNO 239. nA PARABOLE y2 x NAJTI TO^KU FOKALXNYJ RADIUS WEKTOR KOTOROJ RAWEN 240. ~EREZ FOKUS PARABOLY y2 px PROWEDENA HORDA PERPENDI KULQRNAQ K EE OSI oPREDELITX DLINU \TOJ HORDY 241. nAJTI TAKU@ HORDU PARABOLY y2 x KOTORAQ TO^KOJ DELITSQ POPOLAM 242. nAJTI NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE KASANIQ PRQMOJ Ax By C I PARABOLY y2 px 243. oPREDELITX GEOMETRI^ESKOE MESTO OSNOWANIJ PERPENDIKU LQROW OPU]ENNYH IZ FOKUSA PARABOLY y2 px NA KASATELXNYE 244. nAJTI KRAT^AJEE RASSTOQNIE PARABOLY y2 x OT PRQMOJ ,
-
3.
= 6
,
-
20.
= 2
,
.
-
.
= 4
,
(3
1)
.
+
+
= 0
= 2
.
-
,
= 2
.
= 4
x
4
+ 3
y
+ 46 = 0.
245. mOSTOWAQ ARKA IMEET FORMU PARABOLY oPREDELITX PARA METR \TOJ PARABOLY ZNAQ ^TO PROLET ARKI RAWEN M A WYSOTA M 246. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW KRUGOW PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU I KASA@]IHSQ DANNOJ PRQMOJ .
,
6
-
,
24
,
.
,
.
||||||||||||||{
247. oPREDELQTX KOORDINATY FOKUSA PARABOLY x2 y 248. oPREDELITX KOORDINATY FOKUSA PARABOLY y2 ; x 249. sOSTAWITX URAWNENIE DIREKTRISY PARABOLY y2 x 250. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K PARABOLE y2 x W TO^KE M 251. dANO URAWNENIE KASATELXNOJ x ; y K PARABOLE y2 px sOSTAWITX URAWNENIE PARABOLY 252. dOKAZATX ^TO L@BAQ KASATELXNAQ PARABOLY PERESEKAET DI REKTRISU I FOKALXNU@ HORDU PERPENDIKULQRNU@ K OSI W TO^KAH = 4 . =
8
.
= 6
.
= 4
(9
6).
3
= 2
.
+ 9 = 0
.
,
-
,
,
50
,
RAWNOUDALENNYH OT FOKUSA 253. kAMENX BROENNYJ POD OSTRYM UGLOM K GORIZONTU OPISAL DUGU PARABOLY I UPAL NA RASSTOQNII M OT NA^ALXNOGO POLOVE NIQ oPREDELITX PARAMETR PARABOLI^ESKOJ TRAEKTORII ZNAQ ^TO NAIBOLXAQ WYSOTA DOSTIGNUTAQ KAMNEM RAWNA M 254. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW KRUGOW KASA@]IHSQ OSI ORDINAT I KRUGA x2 y2 .
,
,
16
-
.
,
,
,
12
,
.
,
+
19
= 1.
pREOBRAZOWANIQ AFFINNYH KOORDINAT NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE
oB]EE PREOBRAZOWANIE ODNOJ AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT NA PLOS KOSTI W DRUGU@ OPREDELQETSQ PO FORMULAM
-
:
x y
a1x0 b1y0 c1 a2x0 b2y0 c2
= =
+
+
+
+
;;! GDE RIS a1 a2 KOORDINATY WEKTORA ; O0 E10 b1 b2 KOORDINATY ;;! WEKTORA ; O0 E20 c1 c2 KOORDINATY TO^KI O0 OTNOSITELXNO SISTEMY KOORDINAT Oxy x y KOORDINATY PROIZWOLXNOJ TO^KI M PLOSKOS TI OTNOSITELXNO SISTEMY Oxy I x0 y0 KOORDINATY TOJ VE TO^KI M OTNOSITELXNO SISTEMY O0x0 y0 w SLU^AE PARALLELXNOGO PERENOSA FORMULY IME@T WID (
.7)
|
,
,
|
|
,
|
-
.
:
x y
x0 c1 y0 c2 :
=
+
=
+
fORMULY PREOBRAZOWANIQ POWOROTA ODNOJ PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT Oxy W DRUGU@ PRQMOUGOLXNU@ SISTEMU O0x0 y0 IME@T WID x x0 ; y 0
:
=
y
=
cos
x0
sin
sin
y0
51
+
cos
y0
x0
y E20
E10
O0 E2 O
x
E1
rIS GDE UGOL OT POLOVITELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI Ox DO POLOVI TELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI Ox0 sISTEMY Oxy I O0x0 y0 W \TOM SLU^AE NAZYWA@TSQ SISTEMAMI ODNOGO KLASSA eSLI VE NOWAQ SISTEMA KOOR DINAT O0x0y0 POLU^AETSQ IZ STAROJ SISTEMY Oxy POWOROTOM NA UGOL I POSLEDU@]EJ SIMMETRIEJ OTNOSITELXNO Ox0 TO FORMULY PRE OBRAZOWANIQ BUDUT . 7.
|
-
.
.
-
,
-
:
x y
= =
x0 x0
cos sin
y0 ; y0 +
sin cos
:
w \TOM SLU^AE SISTEMY Oxy I O0x0y0 NAZYWA@TSQ SISTEMAMI RAZNYH KLASSOW eSLI NAM DANY DWE SISTEMY KOORDINAT W PROSTRANSTWE Oxyz I ;;;! ;;;! ;;;! O0x0 y0z 0 PRI^EM O0 E10 fa1 a2 a3g O0 E20 fb1 b2 b3g O0 E30 fc1 c2 c3g O0 d1 d2 d3 TO KOORDINATY x y z TO^KI M OTNOSI TELXNO SISTEMY Oxyz ^EREZ KOORDINATY x0 y0 z 0 TOJ VE TO^KI OTNO .
,
=
,
(
,
),
=
,
=
-
52
SITELXNO SISTEMY O0x0y0z 0 WYRAVA@TSQ FORMULAMI
:
x y z
= = =
a1x0 b1y0 c1z 0 d1 a2x0 b2y0 c2z 0 d2 a3x0 b3y0 c3z 0 d3 : +
+
+
+
+
+
+
+
+
zada~i
255. nAJTI NOWYE KOORDINATY TO^EK A B ; C W SISTEME POLU^ENNOJ PERENOSOM DANNOJ AFFINNOJ ESLI ZA NOWOE NA^ALO KOORDINAT PRINIMAETSQ TO^KA O0 ; 256. nAJTI FORMULY PREOBRAZOWANIQ AFFINNOJ SISTEMY KOORDI NAT NA PLOSKOSTI W KAVDOM IZ SLEDU@]IH SLU^AEW ESLI DANY STARYE KOORDINATY NOWYH EDINI^NYH WEKTOROW I STARYE KOORDINATY NOWO GO NA^ALA KOORDINAT;;;! ; ;; ! 0 0 O E1 f g O0 E20 f g O0 ; ;;! ;;;! O0 E10 f g O0 E20 f g O0 ; ;;! ;;;! O0 E10 f g O0 E20 f; g O0 ; ;;! ;;;! O0 E10 fa g O0 E20 f bg O0 ; ;;! ;;;! O0 E10 f ag O0 E20 fb g O0 : 257. dANY DWE SISTEMY KOORDINAT Oxy I O0x0 y0 pO OTNOENI@ K PERWOJ SISTEME NA^ALO WTOROJ NAHODITSQ W TO^KE O0 A EDINI^NYE WEKTORY WTOROJ SISTEMY SUTX e01f g e02f g e03f g NAPISATX WYRAVENIQ KOORDINAT TO^EK OTNOSITELXNO PERWOJ SIS TEMY ^EREZ IH KOORDINATY WO WTOROJ SISTEME WYRAZITX KOORDINATY TO^EK OTNOSITELXNO WTOROJ SISTEMY ^EREZ IH KOORDINATY W PERWOJ SISTEME NAJTI KOORDINATY NA^ALA O I EDINI^NYH WEKTOROW e1 e2 e3 PERWOJ SISTEMY OTNOSITELXNO WTOROJ 258. nAJTI URAWNENIE GIPERBOLY W SISTEME KOORDINAT KOORDI NATNYMI OSQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ ASIMPTOTY (2
3)
(
,
5
4)
(0
2)
,
(7
1).
-
,
-
:
1)
=
2
5
=
7
9
(3
1)
2)
=
5
0
=
0
4
(3
5)
3)
=
0
2
=
(0
2)
4)
=
0
=
(0
0)
5)
=
(0
0)
0
=
7
0
0
0
..
(2
2
1
1
4
1 ,
1
0
3),
4
4 ,
0
1)
-
2)
3)
.
,
.
53
-
259. nA^ALO I WEKTORY BAZISA NOWOGO REPERA NA PLOSKOSTI ZA DANY SWOIMI KOORDINATAMI OTNOSITELXNO PERWONA^ALXNOGO REPERA O0 ; e01 f g e02 f g kAKOE URAWNENIE W NOWOJ SISTEME KOORDINAT BUDET IMETX PRQ MAQ ` x ; y kAKOE URAWNENIE OTNOSITELXNO PERWONA^ALXNOJ SISTEMY KOOR DINAT IMEET KOORDINATNAQ OSX O0y0 kAKIE KOORDINATY IME@T TO^KI O I A ; W NOWOJ SISTEME KOORDINAT 260. wEKTORY e1 e2 : : : en I x ZADANY SWOIMI KORDINATAMI W NE KOTOROM BAZISE pOKAZATX ^TO WEKTORY e1 e2 : : : en SAMI OBRAZU@T BAZIS I NAJTI KOORDINATY WEKTORA x W \TOM BAZISE e1 f g e2 f g e3 f g x f g 261. dOKAZATX ^TO KAVDAQ IZ DWUH SISTEM WEKTOROW QWLQETSQ BAZISOM I NAJTI SWQZX KOORDINAT ODNOGO I TOGO VE WEKTORA W \TIH DWUH BAZISAH e1 f g e2 f g e3 f g e01 f g e02 f g e03 f ; g 262. pO OTNOENI@ K KOSOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT ! 3 DANA TO^KA M ; nAJTI KOORDINATY \TOJ VE TO^KI PRINQW ZA NOWYE OSI KOORDINAT BISSEKTRISY PREVNIH KOORDINATNYH UGLOW 263. kOORDINATY RQDA TO^EK UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ x2 y2 x ; y kAKOMU URAWNENI@ BUDUT UDOWLETWORQTX KOORDINATY TEH VE TO^EK ESLI PREVNQQ SISTEMA KOORDINAT ZAMENENA NOWOJ A IMENNO NA^ALO KOORDINAT PERENESENO W TO^KU O0 ; A NAPRAWLENIE OSEJ NE IZMENILOSX -
:
(1
1),
=
2
3 ,
=
1
2 .
1)
-
: 2
3
+ 5 = 0?
2)
-
?
3)
(0
0)
(
2
1)
?
-
.
,
,
=
:
1
1
2
=
1
2
3
1
2
1
=
6
9
=
1
1
1
14 .
,
,
:
3
1
4
=
=
5
2
1
=
=
1
1
2
3
3
=
3
7
1
6 .
(
(
1
=
4).
=
)
,
.
+
+ 2
10
+ 22
= 0.
,
,
|
(
1
5),
?
||||||||||||||{
264. w AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT ZADANA TO^KA M eE KOORNATY POSLE PERENOSA SOOTWETSTWENNO RAWNY I nAJTI STARYE KOORDINATY NOWOGO NA^ALA O0 I NOWYK EDINI^NYH TO^EK E10 E20 E 0 (2
-4
54
7.
5).
I NOWYE KOORDINATY STAROGO NA^ALA O I STARYH EDINI^NYH TO^EK E1 E2 E
.
265. dANY DWE SISTEMY KOORDINAT Oxy I O0x0 y0 kOORDINATY x I y PROIZWOLXNOJ TO^KI OTNOSITELXNO PERWOJ SISTEMY WYRAVA@TSQ ^EREZ EE KOORDINATY x0 I y0 OTNOSITELXNO WTOROJ SISTEMY SLEDU@ ]IMI FORMULAMI .
-
:
x
x0 ; y 0
= 2
5
+3
y ;x0
=
y0 ; :
+ 2
2
nAJTI KOORDINATY NA^ALA WTOROJ SISTEMY I EDINI^NYH WEKTOROW EE OSEJ OTNOSITELXNO PERWOJ SISTEMY 266. kOORDINATY x y z TO^EK W SISTEME Oxyz WYRAVA@TSQ ^EREZ KOORDINATY x0 y0 z 0 \TIH TO^EK W SISTEME O0x0y0z 0 SOOTNOE NIQMI .
-
x ; x0 ; y0 ; z 0 ; y ;y0 ; z 0 z x0 =
2
1
=
=
y0 z 0
+3
+
+1
WYRAZITX KOORDINATY x0 y0 z 0 ^EREZ KOORDINATY x y z NAJTI KOORDINATY NA^ALA O0 I EDINI^NYH WEKTOROW e01 e02 e03 WTOROJ SISTEMY OTNOSITELXNO PERWOJ NAJTI KOORDINATY NA^ALA O I EDINI^NYH WEKTOROW e1 e2 e3 WTOROJ SISTEMY OTNOSITELXNO PERWOJ 267. wEKTORY e1 e2 : : : en I x ZADANY SWOIMI KORDINATAMI W NE KOTOROM BAZISE pOKAZATX ^TO WEKTORY e1 e2 : : : en SAMI OBRAZU@T BAZIS I NAJTI KOORDINATY WEKTORA x W \TOM BAZISE e1 f ; g e2 f ; g e3 f ; g x f ; g 268. dOKAZATX ^TO KAVDAQ IZ DWUH SISTEM WEKTOROW QWLQETSQ BAZISOM I NAJTI SWQZX KOORDINAT ODNOGO I TOGO VE WEKTORA W \TIH DWUH BAZISAH e1 f g e2 f g e3 f g e4 f g e01 f g e02 f; ; ; ; g e03 f g e4 f; ; ; ; g 1)
2)
,
3)
,
.
-
.
,
,
=
:
3
2
5
=
1
1
1
1
1
=
6
2
=
2
1
3
7 .
,
,
:
=
=
1
2
3
2
=
2
5
4
3
1
=
=
1
1
2
=
0
3
3
4
55
1
2
3
1
=
4 .
1
=
2
1
3
1
5
2
1
4
269. dAN ROMB STORONA KOTOROGO a oSI KOORDINAT SNA ^ALA SOWPADALI S DWUMQ STORONAMI UGOL MEVDU KOTORYMI ! 23 I ZATEM S EGO DIAGONALQMI oPREDELITX KOORDINATY WERIN ROM BA OTNOSITELXNO WTOROJ SISTEMY I DATX SOOTWETSTWU@]IE FORMULY PREOBRAZOWANIQ KOORDINAT 270. kOORDINATY NEKOTORYH TO^EK UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ xy x ; y ; kAKOMU URAWNENI@ BUDUT UDOWLETWORQTX KOOR DINATY TEH VE TO^EK POSLE TOGO KAK NA^ALO KOORDINAT BUDET PERE NESENO W TO^KU O0 ; ,
= 2.
,
.
-
=
,
-
.
+3
2
6 = 0.
-
,
(2
-
3)?
56
otwety ;! ;;! ;! ;! ;! 1. AB a;2 b BC a+2 b CD b;2 a DA ; a+2 b : 2. AD ; ;!+;! ;! AB AC : 5. tO^KA PERESE^ENIQ MEDIAN TREUGOLXNIKA 6. ; OM 2 ;;! ;;! ; ;0! 0 B0 0 D0 0 C0 b : 7. ;;! a A p A q A p q A B p; jaj jbj ;;! ;! ;;! k r ;A;0! D q ; r A0 C p q ; r: 9. BC 4l;23 k CD 2l;4 3 : ;;! ;;! ;! ;p ; q: 10. : 11. ;! BC p q CD ;q DE ;p ;;EF !j;! ;! ; ;!j ;! AB AC j+ AC j AB : 13. tO^KA PERESE^ENIQ DIAGONALEJ 14. AD ;!j+j;! j; AB AC j ;;! ;;! ;;! ;! 15. ;! BC c ; b CD d ; c DB b ; d DM b+2 c ; d AQ b+c+d : 16. ;! EF m2+p ; n+2 q : 18. r1 r3 ; r2 : 19. r r +r3 +r : 3 20. r4 r1 r3 ; r2 r0 r 1++r r00 r 1;;r : 22. r r +2 r : 23. rC rB rD ;rA rB rB ;rA rA rC rB rD rA ; rA rD rD ; rA rA : 24. r r +r3 +r : 25. f; g f g: 26. c a ; b c a ; b c ; 23 a: 27. wEKTORY a b I c LINEJNO NEZAWISIMY WEKTORY a b I c LINEJNO ZA WISIMY c 21 a 23 b WEKTORY a b I c LINEJNO ZAWISIMY NO WEKTOR c NE MOVET BYTX PREDSTAWLEN KAK LINEJNAQ KOMBINACIQ WEK TOROW a I b TAK KAK \TI POSLEDNIE KOLLINEARNY MEVDU SOBOJ A ;! WEKTOR c IM NE KOLLINEAREN 28. ; AK f 78 137 g: 29. ; : 30. f ; g f g: 31. d a b ; c d a b d pa ; c 33. p : p p 35. A B 23 23 D E F ; 12 23 : 36. A B 31 D O 14 34 S 32 : 37. C D ILI C ; ; D ; ; : 38. x y z 39. M 109 29 40. A ; B D; M 125 S : 41. D ; 42. : 43. ;x ;y ;z x y ;z ;x ;y z 44. ; 12 ; 14 45. 115 I ; 46. ; ; ; 47. C ; D ; =
=
=
=
=
.
+
=
=
=
=
0
=
=
+
+
=
=
=
=
=
=
+
=
1)
(
)
0
2)
1
=
=
=
2
= 2
1
=
0
0
3
3)
3
=
=
+
1)
3
1
=
3
+
1
=
0
=
=
+
+
+
=
=
.
=
=
=
+
=
=
+
30
3
1
3
2
0
0
21 2)
=
2
0
=
0
1)
2)
+
=
-
3)
,
-
,
,
.
3
1)
2)
=
5
(0
(0
(2
(0
0)
=
0)
(1
(
3 2)
3)
(1
0)
1
).
0
(
4
5),
(4
(0
1
3)
(7
5)
0), (1
1
1)
1) 1 2)
(
3
57
)
3).
=
0
(
0), (0
(0
=
5
(
)
)
(5
0), 2) (0 1
3),
1
3),
).
(0
0), (0
1) (
3)
=
+
3
3)
3),
0
=
(0
1) (
0), (1
0), (1
).
3
0
2
(0
(
1)
0),
2).
3)
1)
4
1)
=
(1
(0
(
4
30
.
1)
(
1), (1
39
)
) 3) (
11).
19
(
(
(1
1), (1
(
(0
0)
4)
1
22
+ 4
7) (
(0
3
= 2
=
),
0
1),
) 2)
.
1)
(
0)
(4
4).
48. C ; ; 49. 51. ; 83 53 ; 223 13 ; 14 52 52. B ; 53. C D ; 54. A ; B p p 55. 1 27 2 15 3 ; 12 56. 21 57. 60. 116 61. B1 58. I 143 59. M p B2 ; 62. 63. ; 64. M1 ; r1 M2 ;p r2 65. 65 ; 67 66. R ; 2 67. ; : 68. 45 70. 2 ;! a b+b a 73. 74. 75. 3 76. ; 32 78. CD2 71. ;CH c 2 1 2 1 2 DLINY STORON TREUGOLXNI 1+ a 1+ b ; (1+)pc GDE a b c 9 3;10 82. ! KA 80. je2j ! 26 2 je1j je2j ! 54 je1j je2j ! 3 je1j 4 1 ; 45 je1j je2j : 83. jaj 84. b1 5 ; 5 b2 ; 54 15 85. 53 86. je1j je2j 6 e1 e2 23 p87. 89. 88. 13 3 123;4 p 90. jaj 91. g11 g22 g12 d : 92. AB A0 C 0 A0 54 AC 6 A 3 93. A0B 0 95. 94. 96. p p 99. D ; C 97. ; p1311p28 98. C ; 3 2 3 25 ; ILI D0 ; ; C 0 ; 100. B1 25 73 B2 ; 52 ; 133 101. x0 2 (k;1) ; y ; y 2 (k;1) y 2 (k;1) y ; x1 ; x0 1 0 0 x1 ; x0 1 n n n 2 (k;1) 102. Rt ; R t R ; R t 103. R ; r t y0 n r R;r r t R ; r t r R;r r t 104. R t Rt t R t ; p p Rt t 105. C D ; ; 106. C1 ; C2 p p ; 107. fa1 !1 a2 !2 a3 !3 a1 !1 a2 !2 a3 !3 g 108. x0 d1 1 : : : dn n y0 d1 1 : : : dn n 109. R r t ; r Rr+r t R r t ; r Rr+r t 27 110. 111. 112. 57 113. ; 114. p p 2 115. 116. ILI 117. a a 6 p p a 3 a 2 a 23 118. AB (4
(
5
2).
).
(0
=
(14
(9
3.
7).
(10
=
0)
=
1).
= 1
(5
1) 20
2
=
2
2
3) 0
4) 18
).
5)
1)
=
.
1),
= 3.
.
0.
.
=
.
1)
3) cos
-
=
= 2
=
= 1
= 2
= 5
= 5
= 78.
2)
=
4) cos
n
= 2
11),
(1
3
cos
2.
5
10).
8).
|
= arccos
= 1
(0
(9
(3
3
,
1)
34 3) 13 4)
(0
0
) 4)
0).
-19.
2
= 1
(0
(
.
+
.
(3
1) 5 2)
10).
= 5.
5) 3) (
4).
137 2) 5 3) 11 4) 13.
5),
2)
(4
.
(2
1)
) 2) (9
9)
.
.
0
5
1) (
=
o
=
=
o
n
.
=
-3 2) 0 3)1.
.
1) cos
= 30.
6
=
cos
(
=
2)90
3)
).
cos
(
cos
3
) sin
).
2
(4
2
3).
sin
.
sin
).
3) 13.
3
)
(
(
cos
((
+
) cos
3
2. )
(5
(
).
=
.
(
+
+
+
(2
1)
58
+
3
0)
(
2).
=
sin
8
(
+
sin
(4 +
sin
+
+
+
sin
0).
(
3)
+
) sin
+
sin
2+2
+
+
9)
) cos
sin
cos (
(32
2)
cos
(0
+(
((
cos
cos
7)
) sin
(4
cos
5
3.
).
cos ).
5).
.
.
=
cos
(
+(
+
+
(
)
).
2
(
12,5.
(
sin
cos
7.
(2
3)
5
3).
2
sin
=
244
=
) sin
+
1)
1) 31 2) 6 3) 0.
1).
(
=
1
4)180 .
.
) =
cos
= 3
=
(
(
= 90 .
(
(4
) cos
2)
.
.
1
) cos
= 1
= 9
3)135
=
(
=
= 4
4
1)45
= 2
).
1) 4 2)
0)
(
3
)
3 2) CD=10 3) EF=5.
119. S 122. r 125. A 127. r 130. r 133. x y ; 65
120. 54 ; 35 121. r cosa a 5 4 a 124. B C cosp b 123. r 3 3 p 3 3 3 B ; C D 2 ; 2 126. r a 2a sin 129. x a a 2 y a cos a 128. r cos v y 132. x y ; ! 131. x ; y; 134. x ; t y ; t 135. x ; t t x t y t x t y ; t x y t x t y ; x t y ; t 136. x y ; x y; 137. PERESEKA@TSQ W TO^KE PARALLELX NY SOWPADA@T PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARALLELXNY SOWPADA@T PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARALLELXNY SOWPADA@T 138. PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARAL LELXNY SOWPADA@T 139. x ; y x;y 140. x ; y ; x; y; 141. 89 143. dANNAQ PRQ MAQ PERESEKAET STORONY CB I BA A TAKVE PRODOLVENIE STORNY CA ZA TO^KU A 144. x ; y 145. x t y ; t 146. SOWPADA@T PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARALLELX NY PERESEKA@TSQ W TO^KE PARALLELXNY SOWPADA@T 147. x; y ; 148. tAKOJ PRQMOJ NE SU]ESTWUET TAK KAK DAN NAQ TO^KA LEVIT NA DANNOJ PRQMOJ 149. x; y ; x y; 150. x ; y x y; x;y ; 151. x y ; x;y; x y; x;y 152. x y x; y 154. tO^KA A LEVIT NA WTOROJ STORONE NA EE PRODOLVENII ZA TRETX@ WERINU tO^KA B LEVIT W OBLASTI OGRANI ^ENNOJ PERWOJ STORONOJ I PRODOLVENIQMI WTOROJ I TRETXEJ STORON SOOTWETSWENNO ZA TRETX@ I WTORU@ WERINY tO^KA C LEVIT W OB LASTI OGRANI^ENNOJ TRETXEJ STORONOJ I PRODOLVENIQMI PERWOJ I WTOROJ STORON SOOTWETSWENNO ZA WTORU@ I PERWU@ WERINY tO^KA D LEVIT W OBLASTI OGRANI^ENNOJ PRODOLVENIQMI PERWOJ I WTOROJ = 1.
= 10
=
.
(1
3)
=
7
1
1)
(0
.
1).
5)
=
.
1)
(5
(
=
.
2)
).
+
.
3 = 0
+3
5)
+5
arcsin
=
.
(5
).
= 2
cos
.
2
tg
=
=
=
= 2 (cos
(
=
5
arccos
15 = 0.
2) =
=
=
3 6)
34 = 0.
3)
+ 2 = 0.
= 3
= 4 + 2
= 2
4
5
=
3)
= 3
=
7)
9)
.
3
(1
(
(
5
4
1)
3
7 = 0
2
5
+ 9
+
.
2
= 2
1 = 0,
2) 2)
-
0) 5)
10) 8)
10) 2)
= 0
10 = 0.
=
+ 5 4)
(15
.
tg
11 = 0.
1)
3
1)
3)
+ 7
2 .
4)
6)
= 2
5+2 .
=
=
cos
-
+ 3
=
0
.
-
,
.
1)
8
(
(4
2
2 5
4
+16 = 0 5 +2
=
5 .
3) 3)
-
6)
13 = 0.
6 = 0
12
4
6) 5)
.
,
.
3
= 3 + 3
2)
4)
3
= 0.
+3
3
1 = 0 2
23 = 0 2
7 = 0 2
7 = 0.
+ 14 = 0.
9
-
+5
3 = 0.
+2
3 = 0
+ 12
+ 20 = 0,
+ 36 = 0.
,
,
-
.
-
,
.
,
59
STORON ZA TRETX@ WERINU 155. TRI PRQMYE PROHODQT ^EREZ OD NU TO^KU TRI PRQMYE PARALLELXNY MEVDU SOBOJ TRI PRQMYE PROHODQT ^EREZ ODNU TO^KU TRI PRQMYE PARALLELXNY MEVDU SO BOJ TRI PRQMYE PARALLELXNY MEVDU SOBOJ PRQMYE OBRAZU@T TREUGOLXNIK PERWYE DWE PRQMYE PARALLELXNY TRQTXQ IH PERESE KAET 156. x y; 157. x ; y; 159. x ; y 160. x ; y 161. x ; y 162. x y ; 163. x ; y 164. 165. M 0 166. I 167. x y ; 168. 135 115 125 169. x ; y x; y; 170. p1258 172. 173. x ; y ; 174. 2918 5447 175. C 176. x y ; x; y 177. p710 p110 178. p158 179. x;y x;y ; x y 180. S r S; r S ; r S ; 32 r 43 p 181. x2 y2 ; x ; y 182. x2 y2 x y 183. x ; y 184. A2 B 2 R2 ; C 2 185. x ; y x; y; 186. x; 2 y 2; x 12 2 y ; 25 2; 192 p x ; 13 2 y 67 2 ; 4136 187. S ; ; r 2;5 x 12 2 y 188. x 98 2 y ; 14 2 ; 645 4 p y y x x 189. Ax By 190. 191. 25 16 25 9 p y x 192. 193.p x 194. A e 22 169 p25 10 1 195. ; 15 3 7 B e 196. x y 5 W e 2 2 2 197. x y ; 199. x y ; 200. y x; y; 201. A2a2 B 2b2 ; C 2 202. x y 204. oKRUVNOSTX 205. |LLIPS 206. 207. e 21 e e 45 208. x36 y16 209. 2ab 210. x y sqrt 172 211. x y 215. A2a2 B 2b2 ;C 2 > A2a2 B 2b2 ;C 2 < x ; y 216. b2 GDE b MENXAQ POLUOSX \LLIPSA 217. 576 100 y y x ; x ; 218. 432 219. F1 ; F2 64 36 75 .
1)
-
2)
3)
4)
-
5)
6)
7)
.
25
5
2
2
91
3
3
2
3
= 0.
)
+ (
)
+
2
)
=
32
16
)
5
2
2)
2
+
5 = 0.
,
|
2
= 1.
+
+ 4
1)
(
= 1.
+
2
1
)
2
4
+ (
2
+
3
=
60
= 0
41.
=
+ 1)
= 0.
2
9.
2
+
)
+ 25 1)
= 1
=
= 0.
= 4 2)
3 = 0.
0).
1)
.
8
=
2)
+ 25
13
0)
=
= 0.
+
1)
(
3
)
= 1 2)
0 2)
= 1.
.
= 0.
+14 = 0
24
2
= 3
10)
1)
.
2
0)
= 0.
.
+
(3
24 = 0.
+
2
3
)
2
1)
+ (3
).
3
4).
.
+ ) +(
=
(
.
.
(
12).
.
2
(2
(
3
(
1)
89 = 0.
=
+2
0.
2.
100 = 0.
3)
+4
5 = 0 2) (
= 0
(0
=
+ 25
+2)
1), 3),
.
= 0.
)
= 1.
)
0.
).
= 15 4)
4
=
= 0.
2
+
)
+ (
+
3)
+
1) +(
2
+7 = 0.
12)
+ 5 = 0.
1) (
(2, -7).
+ 2 = 0.
(5
+
0.
.
(
+3
+ 20 = 0.
4 = 0.
0.
3 = 0
(
=
19 = 0.
49
49 = 0.
=
5
3
6
36 = 0.
(
2
= 5 3)
+
(
2
32
8
+ 12
+
7
16 = 0
4)
4
-
9 = 0
+ 30 = 0.
135 .
26
+9 = 0
(
19
3
45
+
32
= 0.
+ 57 = 0
5), 6).
3)
38
26
2
5
21 = 0.
= 0.
3).
7
4
+ 29
+ 3
(2
2)
,
0.
2
2
(13
= 1
0).
220. b 221. x ; y ; 222. x y ; 223. p x;y x; y 224. b2 227. 25x ; y9 x ;y 228. F1 F2 ; 229. x16 ; y9 16 9 y 34 x x 95 230. F1 F2 ; e 35 y x e 54 231. pbab;a pbab;a ZADA^Ap IMEET REE 16 ; 9 NIE ESLI b > a 232. a2A2 ; b2B 2 C 2 233. a 2p2695 b p125 234. gIPERBOLA 235. b2 GDE b DLINA MNIMOJ POLUOSI 236. ab 237. 238. y2 x 239. I 240. p 241. y x ; 242. B 2 p AC 243. kASATELXNYE K PARABOLE I EE WERINE 244. 245. 246. pARABOLA IME@]AQ DANNU@ TO^KU FOKUSOM I DANNU@ PRQMU@ DIREKTRISOJ 247. 248. 249. x ; 23 250. x ; y 251. y2 x 253. 83 254. dWE PARABOLY y2 x 255. 256. .
20
3
3
2)
1)
2
2
91
5 = 0. 2) 5
2
2
9
2
= 1.
(5
= 1
(
=
5
0.
+
9 = 0.
(0
0)
,
=
17)
.
(
.
.
,
(1, 0).
2.
-
.
=
=
=
=
2
2 .
,
3
:
.
.
12.
.
.
(18, -12).
.
2, 0).
4)
2 )
(18, 12)
= 2
.
= 1.
.
.
5.
= 1
=
|
= 12
= 2
2
=
2
=
1)
2
2
2
3)
2
0.
1)
17).
=
2
=
.
(0
0) 2)
1
(0, 1).
+ 9 = 0.
+1.
= 4
(-
.
.
(-5, 4), (-12, 5), (-7, 3).
1)
x x0 y 0 y x 0 y 0 x x0 y y0 x ; y 0 y x0 x ax0 y by0 x by0 y ax0 257. x x0 z 0 y x0 y0 z 0 z x0 y0 x0 ;x y ; z O ; 47 ; e1 y0 41 x ; 41 y 21 z ; 74 z 0 x ; y z ; f; 41 g e2 f ; 14 ; g e3 f; 21 g 258. x0 y0 259. x0 ; y0 x;y ; O0 ; A0 ; 260. f g 261. x ; x0 ;p y0 ; z 0 y x0 y0 z 0 z x0 y0 z 0 262. x0 3 2 3 y0 25 263. x02 y02 264. O0 ; E10 ; E20 ; O ; E1 ; E2 ; 265. O0 ; e01 f ; g e02 f; g 266. x0 ; 21 x 1 y ; 1 y0 1 x 1 y 1 z ; 1 z 0 ; 1 x; 5 y ; 1 z 1 O0 ; e01 2 2 4 4 2 4 4 4 2 4 f; g e02 f; ; g e03 f; ; g O ; 21 ; 41 14 e1 g f; 12 14 ; 14 g e2 f 12 41 ; 45 g e3 f 12 ; 21 g 267. f 268. x1 x01 x03 ; x04 x2 ; x01 x02 ; x03 x04 x3 x01 ; x02 x03 ; p p x04 x4 x01 ; x02 x03 ; x04 269. ; ; x x0 ; py 3 y x0 py 3 270. x0y0 = 2
=
+ 7
7
= 2
4
+ 3
= 2
+
= 5
+ 2, 4)
+2
= 4
1
3
4
+ 12
(3
=
2
0
1
=
2
+2
2
=
2)
2)
+
2)
=
(6
2
=
1
3
=
=
= 2
=
=
+
=
+
.
0
(
6
5
1
3
(
+
1
0)
=
+
+ 1.
5)
(
+ 20
(
5
+
10)
=
8
1)
(
1 3)
(
1
+
0)
=
=
4.
(
6
=
0
3).
+
1)
=
)
=
1, 1, 1 .
=
(0
13).
+9
2)
.
= 0.
61
3
+ 2)
0
2
+
= 1.
2 .
0
+1
(
2)
1
(1
=
1)
+
=
1
.
(4
= 9
.
=
+ 5, 3)
2 .
=
1)
1
+
1
41
=
+ 3 2)
10 3)
71
= 4
=
+4
=
=
(7
+ 3
3 = 0, 3)
27
.
= 5
, 5)
+1
+ 5 = 0, 2) 2
+ 8
(6
+
1
1, 2, 3 .
4
+4
=
= 3
=
1) 5
+ 1, 2)
=
+
=
+ 9
3)
2
(0
+2
3)
=
lITERATURA 1]
bAHWALOW s w mODENOW p s pARHOMENKO a s sBORNIK ZADA^ PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII m nAUKA .
.,
.
.,
.
.
2]
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1964.
{URYGIN w w wEKTORNAQ ALGEBRA I EE PRIMENENIE W ANALITI^ESKOJ GEOMETRII PLOSKOSTI u^EBNOE POSOBIE K KURSU ANALITI ^ESKOJ GEOMETRII kAZANSK UN T S .
.
.
.
5]
.
cUBERBILLER o n zADA^I I UPRAVNENIQ PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII m nAUKA .
4]
. 1964.
pROSKURQKOW i w sBORNIK ZADA^ PO LINEJNOJ ALGEBRE m nAUKA S 1967. 384
3]
.
.
.
-
-
. 2001. 50
.
{URYGIN w w wEKTORNAQ ALGEBRA I EE PRIMENENIE W ANALITI^ESKOJ GEOMETRII PROSTRANSTWA u^EBNOE POSOBIE K KURSU ANA LITI^ESKOJ GEOMETRII kAZANSK UN T S .
.
.
.
.
62
-
-
. 2002. 72
.
sODERVANIE
1 wEKTORY NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE
4
2 rADIUS-WEKTOR
7
3 kOORDINATY WEKTOROW
8
4 aFFINNYE SISTEMY KOORDINAT NA PLOSKOSTI I W PRO-
STRANSTWE 5 pROSTOE OTNOENIE TREH TO^EK NA PRQMOJ 6 rASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI 7 sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW 8 sKALQRNOE PROIZWEDENIE W KOORDINATAH 9 pOWOROT WEKTORA NA ORIENTIROWANNOJ PLOSKOSTI 10 kOSOE PROIZWEDENIE WEKTOROW NA PLOSKOSTI 11 pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT NA PLOSKOSTI 12 pRQMAQ LINIQ NA AFFINNOJ PLOSKOSTI 13 uRAWNENIE PU^KA PRQMYH 14 pRQMAQ W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT 15 oKRUVNOSTX 16 |LLIPS 17 gIPERBOLA 63
11 13 15 17 19 22 24 26 29 33 35 37 39 44
18 pARABOLA
48
19 pREOBRAZOWANIQ AFFINNYH KOORDINAT NA PLOSKOSTI I
W PROSTRANSTWE
64
51
