Темы курсовых работ и самостоятельных научных исследований по геометрии для студентов I-II курсов: Учебно-методическое пособие

kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet

temy kursowyh rabot i samostoqtelxnyh nau~nyh issledowanij po geometrii dlq studentow I { II kursow

u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE

kAZANX | 2002

pe~ataetsq po re{eni` u~ebno-metodi~eskoj komissii mehaniko-matemati~eskogo fakulxteta kgu

sOSTAWITELI: D-R FIZ.-MAT. NAUK {APUKOW b.n., D-R FIZ.-MAT. NAUK {URYGIN w.w., KAND. FIZ.-MAT. NAUK iGUDESMAN k.b., KAND. FIZ.-MAT. NAUK mALAHALXCEW m.a., KAND. FIZ.-MAT. NAUK fOMIN w.e., KAND. FIZ.MAT. NAUK {USTOWA e.p. nAU^NYJ REDAKTOR: KAND. FIZ.-MAT. NAUK iGUDESMAN k.b. rECENZENT: KAND. FIZ.-MAT. NAUK pODKOWYRIN a.s. pRAKTIKA POKAZYWAET, ^TO STUDENTY MLADIH KURSOW MEHMATA OBY^NO ISPYTYWA@T OPREDELENNYE ZATRUDNENIQ S WYBOROM TEM KURSOWYH RABOT. dLQ TOGO, ^TOBY OBLEG^ITX IM \TU ZADA^U I NAPISANO NASTOQ]EE POSOBIE. oNO PODGOTOWLENO PREPODAWATELQMI KAFEDRY GEOMETRII kAZANSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA I SODERVIT IROKIJ DIAPAZON TEM PO ANALITI^ESKOJ I DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII, NA^ALAM TOPOLOGII, ... pOSOBIE PREDNAZNA^ENO W OSNOWNOM DLQ STUDENTOW I { II KURSOW PO SPECIALXNOSTI MATEMATIKA .

tEMY KURSOWYH RABOT OB_EDINENY PO NAU^NYM RUKOWODITELQM I RAZDELAM. |TO POZWOLQET NESKOLXKIM STUDENTAM RABOTATX PO ODNOJ TEMATIKE, A RUKOWODITELX IMEET WOZMOVNOSTX PRO^ESTX PO \TOJ TEMATIKE WWODNU@ LEKCI@. wYPOLNENIE KURSOWOJ RABOTY PO GEOMETRII PREDPOLAGAET IZU^ENIE REKOMENDUEMOJ LITERATURY I SAMOSTOQTELXNU@ RABOTU PO DANNOJ TEME. oFORMLENIE TITULXNOGO LISTA KURSOWOJ RABOTY OSU]ESTWLQETSQ SOGLASNO PRIWEDENNOMU OBRAZCU. w KONCE KURSOWOJ RABOTY PRIWODITSQ SPISOK ISPOLXZOWANNOJ LITERATURY S UKAZANIEM AWTORA, NAZWANIQ KNIGI ILI STATXI, MESTA IZDANIQ, IZDATELXSTWA I GODA IZDANIQ. pODGOTOWLENNAQ KURSOWAQ RABOTA SDAETSQ NAU^NOMU RUKOWODITEL@. oCENKA S ROSPISX@ PREPODAWATELQ, OSU]ESTWLQWEGO PROWERKU, ZAPISYWAETSQ NA TITULXNYJ LIST KURSOWOJ RABOTY, W WEDOMOSTX GRUPPY I W ZA^ETNU@ KNIVKU STUDENTA. pRIWEDENNYE NIVE TEMY KURSOWYH RABOT I KONKRETNYE ZADANIQ MOGUT BYTX IZMENENY PO VELANI@ STUDENTA I S SOGLASIQ NAU^NOGO RUKOWODITELQ. pLAN KURSOWOJ RABOTY OBSUVDAETSQ S RUKOWODITELEM. rUKOWODITELX TAKVE OPREDELQET KONKRETNOE ZADANIE DLQ SAMOSTOQTELXNOJ RABOTY PO WYBRANNOJ TEME.

2

kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet

kAFEDRA GEOMETRII kURSOWAQ RABOTA gruppa affinnyh preobrazowanij ploskosti

wYPOLNIL STUDENT II KURSA 514 GRUPPY iWANOW i.i. nAU^NYJ RUKOWODITELX PROF. pETROW p.p.

kAZANX | 2002

1

tEMY, PREDLOVENNYE iGUDESMANOM k.b.

1.1 fRAKTALXNAQ GEOMETRIQ kOGDA-TO BOLXINSTWU L@DEJ KAZALOSX, ^TO GEOMETRIQ W PRIRODE OGRANI^IWAETSQ TAKIMI PROSTYMI FIGURAMI, KAK LINIQ, KRUG, KONI^ESKOE SE^ENIE, MNOGOUGOLXNIK, SFERA, KWADRATI^NAQ POWERHNOSTX, A TAKVE IH KOMBINACIQMI. oDNAKO MNOGIE PRIRODNYE SISTEMY NASTOLXKO SLOVNY I NEREGULQRNY, ^TO ISPOLXZOWANIE TOLXKO ZNAKOMYH OB_EKTOW KLASSI^ESKOJ GEOMETRII DLQ IH MODELIROWANIQ PREDSTAWLQETSQ BEZNADEVNYM. kAK, K PRIMERU, POSTROITX MODELX GORNOGO HREBTA ILI BEREGOWOJ LINII W TERMINAH GEOMETRII? kAK OPISATX TO MNOGOOBRAZIE BIOLOGI^ESKIH KONFIGURACIJ, KOTOROE MY NABL@DAEM W MIRE RASTENIJ I VIWOTNYH? pREDSTAWXTE SEBE WS@ SLOVNOSTX SISTEMY KROWOOBRA]ENIQ, SOSTOQ]EJ IZ MNOVESTWA KAPILLQROW I SOSUDOW I DOSTAWLQ@]EJ KROWX K KAVDOJ KLETO^KE ^ELOWE^ESKOGO TELA. pREDSTAWXTE, KAK HITROUMNO USTROENY LEGKIE I PO^KI, NAPOMINA@]IE PO STRUKTURE DEREWXQ S WETWISTOJ KRONOJ. zASLUVIWAET WNIMANIQ TOT FAKT, ^TO POQWLENIE FRAKTALOW (E]E NE POLU^IWIH \TOGO IMENI) W MATEMATI^ESKOJ LITERATURE OKOLO STA LET NAZAD BYLO WSTRE^ENO S PRISKORBNOJ NEPRIQZNX@, KAK \TO BYWALO W ISTORII RAZWITIQ MNOGIH DRUGIH MATEMATI^ESKIH IDEJ. oDIN IZWESTNYJ MATEMATIK, {ARLX |RMIT, DAVE OKRESTIL IH MONSTRAMI. pO KRAJNEJ MERE, OB]EE MNENIE PRIZNALO IH PATOLOGIEJ, PREDSTAWLQ@]EJ INTERES TOLXKO DLQ ISSLEDOWATELEJ, ZLOUPOTREBLQ@]IH MATEMATI^ESKIMI PRI^UDAMI, A NE DLQ NASTOQ]IH U^ENYH. w REZULXTATE USILIJ bENUA mANDELXBROTA TAKOE OTNOENIE IZMENILOSX, I FRAKTALXNAQ GEOMETRIQ STALA UWAVAEMOJ PRIKLADNOJ NAUKOJ. mANDELXBROT WWEL W UPOTREBLENIE TERMIN FRAKTAL, OSNOWYWAQSX NA TE4

ORII FRAKTALXNOJ (DROBNOJ) RAZMERNOSTI hAUSDORFA, PREDLOVENNOJ W 1919 GODU. zA MNOGO LET DO POQWLENIQ EGO PERWOJ KNIGI PO FRAKTALXNOJ GEOMETRII, mANDELXBROT PRISTUPIL K ISSLEDOWANI@ POQWLENIQ MONSTROW I DRUGIH PATOLOGIJ W PRIRODE. oN OTYSKAL NIU DLQ IMEWIH DURNU@ REPUTACI@ MNOVESTW kANTORA, KRIWYH pEANO, FUNKCIJ wEJERTRASSA I IH MNOGO^ISLENNYH RAZNOWIDNOSTEJ, KOTORYE S^ITALISX NONSENSOM. oN I EGO U^ENIKI OTKRYLI MNOGO NOWYH FRAKTALOW, NAPRIMER, FRAKTALXNOE BROUNOWSKOE DWIVENIE DLQ MODELIROWANIQ GORNOGO I LESNOGO LANDAFTOW, FLUKTUACIJ UROWNQ REK I BIENIQ SERDCA. s WYHODOM W SWET EGO KNIG PRILOVENIQ FRAKTALXNOJ GEOMETRII STALI POQWLQTXSQ KAK GRIBY POSLE DOVDQ. |TO KOSNULOSX KAK MNOGIH PRIKLADNYH NAUK, TAK I ^ISTOJ MATEMATIKI. dAVE KINOINDUSTRIQ NE OSTALASX W STORONE. mILLIONY L@DEJ L@BOWALISX GORNYM LANDAFTOM W FILXME zWEZDNOE PERESELENIE II: GNEW HANA, SKONSTRUIROWANNYM S POMO]X@ FRAKTALOW.

tEMA 1. mNOVESTWA DROBNOJ RAZMERNOSTI rAZDELIM OTREZOK PRQMOJ NA N RAWNYH ^ASTEJ. tOGDA KAVDU@ ^ASTX MOVNO S^ITATX KOPIEJ WSEGO OTREZKA, UMENXENNOJ W 1=r RAZ. o^EWIDNO r I N SWQZANY SOOTNOENIEM Nr = 1 (RIS. 1). eSLI KWADRAT RAZBITX NA N RAWNYH KWADRATOW (S PLO]ADX@, W 1=r2 RAZ MENXE PLO]ADI ISHODNOGO), TO SOOTNOENIE ZAPIETSQ KAK Nr2 = 1. eSLI KUB RAZBITX NA N RAWNYH KUBOW (S OB_EMOM, W 1=r3 RAZ MENXE OB_EMA ISHODNOGO), TO SOOTNOENIE ZAPIETSQ KAK Nr3 = 1. zAMETIM, ^TO RAZMERNOSTX d OB_EKTA, BUDX TO ODNOMERNYJ OTREZOK, DWUMERNYJ KWADRAT ILI TREHMERNYJ KUB, POQWLQETSQ KAK STEPENX r W SOOTNOENII MEVDU N , ^ISLOM RAWNYH PODOB_EKTOW, I KO\FFICIENTOM PODOBIQ r. a IMENNO: Nrd = 1 : 5

N = 3 r = 1=3 d = 1 N = 9 r = 1=3 d = 2

N = 27 r = 1=3 d = 3

rIS. 1. sWQZX RAZMERNOSTI I KO\FFICIENTA PODOBIQ K0

K1

K2

K3

rIS. 2. tRIADNAQ KRIWAQ kOHA mNOVESTWA, POSTROENNYE NA RIS. 1, OBLADA@T CELOJ RAZMERNOSTX@. zADADIMSQ WOPROSOM, WOZMOVNO LI TAKOE POSTROENIE, PRI KOTOROM POKAZATELX d NE QWLQETSQ CELYM. oTWET, KAK MY UBEDIMSQ | REITELXNOE DA! tAKOE MNOVESTWO NAZYWAETSQ SAMOPODOBNYM FRAKTALOM. wELI^INU d NAZYWA@T FRAKTALXNOJ (DROBNOJ) RAZMERNOSTX@ ILI RAZMERNOSTX@ PODOBIQ. rASSMOTRIM TRIADNU@ KRIWU@ kOHA. eE POSTROENIE NA^INAETSQ S 6

rIS. 3. pOSTROENIE KOWRA sERPINSKOGO OTREZKA EDINI^NOJ DLINY K0. uBEREM SREDN@@ ^ASTX I DOBAWIM DWA NOWYH OTREZKA TAKOJ VE DLINY, KAK POKAZANO NA RIS. 2. nAZOWEM POLU^ENNOE MNOVESTWO K1. pOWTORIM DANNU@ PROCEDURU MNOGOKRATNO, NA KAVDOM AGE ZAMENQQ SREDN@@ TRETX DWUMQ NOWYMI OTREZKAMI. oBOZNA^IM ^EREZ Kn FIGURU, POLU^IWU@SQ POSLE n-GO AGA. mOVNO DOKAZATX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fKng1n=1 SHODITSQ K NEKOTOROJ PREDELXNOJ KRIWOJ K , KOTORAQ I NAZYWAETSQ TRIADNOJ KRIWOJ kOHA. eSLI WZQTX KOPI@ K , UMENXENNU@ W TRI RAZA (r = 1=3), TO WSE MNOVESTWO K MOVNO SOSTAWITX IZ N = 4 TAKIH KOPIJ. sLEDOWATELXNO, OTNOENIE SAMOPODOBIQ WYPOLNQETSQ PRI UKAZANNYH N I r, A RAZMERNOSTX FRAKTALA BUDET: ln4 d = ln3 1 2618 :

1) oPREDELITE RAZMERNOSTX PODOBIQ KOWRA sERPINSKOGO, KOTORYJ STROITSQ, KAK UKAZANO NA RIS. 3. dOKAVITE, ^TO SUMMA PLO]ADEJ TREUGOLXNIKOW, WYKINUTYH PRI POSTROENII KOWRA sERPINSKOGO, RAWNQETSQ PLO]ADI ISHODNOGO TREUGOLXNIKA. pUSTX  > 0. pOSTROJTE MNOVESTWO, RAZMERNOSTX PODOBIQ KOTOROGO RAWNA . 2) pUSTX N (") | MINIMALXNOE ^ISLO AROW RADIUSA ", NEOBHODI7

MYH DLQ POKRYTIQ KOMPAKTNOGO MNOVESTWA A
Rn. pREDEL (ESLI ON SU]ESTWUET) ln N (")  ; lim "!0 ln "

OPREDELQET RAZMERNOSTX mINKOWSKOGO MNOVESTWA A. iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, SOSTAWXTE PROGRAMMU DLQ WY^ISLENIQ RAZMERNOSTI mINKOWSKOGO. 3) pO KNIGE 61] RAZBERITE OPREDELENIE RAZMERNOSTI hAUSDORFA I WOSSTANOWITE PROPU]ENNYE DETALI. kAK SWQZANY MEVDU SOBOJ RAZMERNOSTI PODOBIQ, mINKOWSKOGO I hAUSDORFA? kAKIE IZ NIH INWARIANTNY OTNOSITELXNO AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ?

tEMA 2. L-SISTEMY pONQTIE L-SISTEM, TESNO SWQZANNOE S SAMOPODOBNYMI FRAKTALAMI, POQWILOSX TOLXKO W 1968 GODU BLAGODARQ aRISTRIDU lINDENMAJERU. s IH POMO]X@ MOVNO STROITX MNOGIE IZWESTNYE SAMOPODOBNYE FRAKTALY. dLQ GRAFI^ESKOJ REALIZACII L-SISTEM W KA^ESTWE PODSISTEMY WYWODA ISPOLXZUETSQ TAK NAZYWAEMAQ TERTL-GRAFIKA (turtle | ^EREPAKA). pRI \TOM TO^KA (^EREPAKA) DWIVETSQ PO \KRANU DISKRETNYMI AGAMI, PRO^ER^IWAQ SWOJ SLED. w NAEM RASPORQVENII IMEETSQ TRI PARAMETRA (x y ), GDE (x y) | KOORDINATY ^EREPAKI,  | NAPRAWLENIE, W KOTOROM ONA SMOTRIT. ~EREPAKA OBU^ENA INTERPRETIROWATX I WYPOLNQTX POSLEDOWATELXNOSTX KOMAND, ZADAWAEMYH KODOWYM SLOWOM. kODOWOE SLOWO PREDSTAWLQET SOBOJ REZULXTAT RABOTY L-SISTEMY I W PROSTEJEM SLU^AE MOVET WKL@^ATX W SEBQ SLEDU@]IE BUKWY: F { PEREMESTITXSQ WPERED NA ODIN AG, PRORISOWYWAQ SLED. + { UWELI^ITX UGOL  NA WELI^INU . - { UMENXITX UGOL  NA WELI^INU . 8

rIS. 4. pOSTROENIE SNEVINKI kOHA rAZMER AGA I WELI^INA PRIRA]ENIQ PO UGLU  OSTA@TSQ NEIZMENNYMI DLQ WSEH PEREME]ENIJ ^EREPAKI. fORMALXNO, DETERMINIROWANNAQ L-SISTEMA SOSTOIT IZ ALFAWITA, SLOWA INICIALIZACII, NAZYWAEMOGO AKSIOMOJ ILI INICIATOROM, I NABORA POROVDA@]IH PRAWIL, UKAZYWA@]IH, KAK SLEDUET PREOBRAZOWYWATX SLOWO PRI PEREHODE OT UROWNQ K UROWN@ (OT ITERACII K ITERACII). L-SISTEMA, SOOTWETSTWU@]AQ SNEVINKE kOHA (RIS. 4), ZADAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:  = =3.

aKSIOMA: F++F++F (RAWNOSTORONNIJ TREUGOLXNIK). pOROVDA@]EE PRAWILO: newf = F-F++F-F. nA PERWOM AGE KAVDAQ BUKWA F W SLOWE-INICIATORE F++F++F ZAMENQETSQ NA F-F++F-F: F-F++F-F++F-F++F-F++F-F++F-F.

pOWTORQQ \TOT PROCESS, NA WTOROM AGE POLU^IM: 9

rIS. 5. pOSTROENIE SNEVINKI kOHA WNUTRX I NARUVU F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++ F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-FF-F++F-F

I T. D. 1) iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, REALIZOWATX NA KOMPX@TERE L-SISTEMY, REZULXTATOM RABOTY KOTORYH BYLI BY SLEDU@]IE MNOVESTWA: SNEVINKA kOHA, KRIWAQ pEANO I DR. 2) dOPOLNITX ALFAWIT L-SISTEM SLEDU@]IMI BUKWAMI b { PEREMESTITXSQ WPERED NA ODIN AG, NE PRORISOWYWAQ SLED.  { OTKRYTX WETWX. ] { ZAKRYTX WETWX. iSPOLXZUQ NOWYE BUKWY, POSTROITX NA KOMPX@TERE RAZRYWNYE I WETWQ]IESQ MNOVESTWA. pREDLOVITX SOBSTWENNYE WARIANTY DOPOLNENIQ ALFAWITA. 3) tEM ILI INYM SPOSOBOM WNESTI \LEMENT SLU^AJNOSTI W L-SISTEMY. nAPRIMER, PRI POSTROENII SNEVINKI kOHA NAPRAWLENIE WNUTRX ILI NARUVU WYBIRAETSQ SLU^AJNYM OBRAZOM (RIS. 5), ILI SLU^AJNOJ QWLQETSQ DLINA PRO^ER^IWAEMOGO OTREZKA I T. P. 10

C0 C1 C2 C3 rIS. 6. pOSTROENIE KANTOROWA MNOVESTWA 4) rAZRABOTAJTE PODHODY K REENI@ OBRATNOJ ZADA^I: PO ZADANNOMU IZOBRAVENI@ ILI DOSTATO^NO DLINNOMU SLOWU WOSSTANOWITX AKSIOMU, POROVDA@]EE PRAWILO I UGOL . rEENIE OBRATNOJ ZADA^I IMEET BOLXOE ZNA^ENIE DLQ TAKOJ OBLASTI PRIKLADNYH ISSLEDOWANIJ, KAK SVATIE IZOBRAVENIJ, IROKO ISPOLXZU@]EESQ PRI PEREDA^E IZOBRAVENIJ W REALXNOM WREMENI.

tEMA 3. kANTOROWO MNOVESTWO kLASSI^ESKOE MNOVESTWO kANTORA, ILI PYLX kANTORA, NAZWANO PO IMENI gEORGA kANTORA, KOTORYJ OPISAL EGO W 1883 GODU. fRAKTALXNYE SWOJSTWA PYLI kANTORA IME@T OGROMNOE ZNA^ENIE, OSOBENNO U^ITYWAQ TOT FAKT, ^TO MNOGIE IZWESTNYE FRAKTALY QWLQ@TSQ BLIZKIMI RODSTWENNIKAMI \TOGO MNOVESTWA. pOSTROENIE KLASSI^ESKOJ PYLI kANTORA NA^INAETSQ S WYBRASYWANIQ SREDNEJ TRETI (NE WKL@^AQ KONCY) EDINI^NOGO OTREZKA. nA SLEDU@]EM I WSEH OSTALXNYH AGAH MY WYKIDYWAEM SREDN@@ TRETX (NE WKL@^AQ KONCY) WSEH OTREZKOW TEKU]EGO UROWNQ. tAKIM OBRAZOM, MY POLU^AEM (RIS. 6) POSLEDOWATELXNOSTX MNOVESTW:

C0 = 0 1] 11

C1 = 0 31 ]   32  1] C2 = 0 19 ]   92  13 ]   23  97 ]   89  1] . ..

T1

pREDELXNOE MNOVESTWO C = Cn NAZYWAETSQ KLASSI^ESKIM KANTOROn=0 WYM MNOVESTWOM. 1) uDIWITELXNO, NO FAKT, ^TO SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE C NA OTREZOK 0 1], PRI TOM, ^TO LEBEGOWA MERA (DLINA) KANTOROWA MNOVESTWA RAWNA NUL@. pOSTROJTE \TO OTOBRAVENIE, QWLQETSQ LI ONO BIEKCIEJ? 2) pROWERXTE, ^TO TO^KA POPADAET W KLASSI^ESKOE MNOVESTWO kANTORA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA W NEKOTOROM EE TROI^NOM PREDSTAWLENII OTSUTSTWU@T EDINICY. pUSTX 0 <  < 1. pOSTROJTE MNOVESTWO TIPA KANTOROWA, RAZMERNOSTX PODOBIQ KOTOROGO RAWNA . dLQ KAKIH  \TO WOZMOVNO? 3) iNOGDA KANTOROWYM MNOVESTWOM NAZYWA@T L@BOE KOMPAKTNOE, SOWERENNOE I WPOLNE RAZRYWNOE MNOVESTWO. dOKAVITE, ^TO C UDOWLETWORQET \TIM SWOJSTWAM. sOHRANQ@TSQ LI ONI PRI GOMEOMORFIZME? pROILL@STRIRUJTE NA PRIMERE, ^TO RAZMERNOSTX PODOBIQ NE QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM INWARIANTOM. 4) oPREDELIM SUMMU KANTOROWYH MNOVESTW: C + C = fz : z = x + y GDE x y 2 Cg : dOKAVITE, ^TO C + C = 0 2]. tEMA 4. sISTEMY ITERIROWANNYH FUNKCIJ oBRATIMSQ K ODNOMU IZ NAIBOLEE GLUBOKIH DOSTIVENIJ W POSTROENII FRAKTALOW | SISTEMAM ITERIROWANNYH FUNKCIJ (sif). mATEMATI^ESKIE ASPEKTY BYLI RAZRABOTANY dVONOM hAT^INSONOM W 1981 G., 12

A SAM METOD STAL IROKO IZWESTEN BLAGODARQ mAJKLU bARNSLI I DRUGIM. pODHOD NA OSNOWE sif PREDOSTAWLQET HOROU@ TEORETI^ESKU@ BAZU DLQ MATEMATI^ESKOGO ISSLEDOWANIQ MNOGIH KLASSI^ESKIH FRAKTALOW, A TAKVE IH OBOB]ENIJ. pUSTX (X d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. pREOBRAZOWANIE T : X ! X NAZYWAETSQ SVIMA@]IM OTOBRAVENIEM (ILI SVATIEM), ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO s < 1, ^TO d(T (x) T (y))  sd(x y) x y 2 X :

w OB]EM SLU^AE, DLQ TOGO ^TOBY POSTROITX sif, WWEDEM W RASSMOTRENIE SOWOKUPNOSTX SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ T1 T2 : : : Tm DEJSTWU@]IH NA Rn. |TI m OTOBRAVENIJ ISPOLXZU@T DLQ POSTROENIQ ODNOGO SVIMA@]EGO OTOBRAVENIQ T W PROSTRANSTWE K WSEH NEPUSTYH KOMPAKTOW IZ Rn. pREOBRAZOWANIE hAT^INSONA T : K ! K OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

T(E ) = T1(E )  T2(E )      Tm (E ) E 2 K : tAKIM OBRAZOM, sif NAZYWA@T SOWOKUPNOSTX WWEDENNYH WYE OTOBRAVENIJ WMESTE S ITERACIONNOJ SHEMOJ: E0 = KOMPAKTNOE MNOVESTWO (PROIZWOLXNOE)  E1 = T(E0) E2 = T(E1) ..

oSNOWNAQ ZADA^A TEORII sif | WYQSNITX, KOGDA sif POROVDAET PREDELXNOE MNOVESTWO E : E = nlim !1 En  13

rIS. 7. rANDOMIZIROWANNYJ KOWER sERPINSKOGO W SMYSLE SHODIMOSTI W METRIKE hAUSDORFA. eSLI PREDEL SU]ESTWUET, TO MNOVESTWO E NAZYWA@T ATTRAKTOROM sif. pRI^EM ATTRAKTOR ^ASTO (NO NE WSEGDA!) OKAZYWAETSQ FRAKTALXNYM MNOVESTWOM. 1) pOSTROJTE sif DLQ KANTOROWA MNOVESTWA (RIS. 6 NA S. 11), TRIADNOJ KRIWOJ kOHA (RIS. 2 NA S. 6) I KOWRA sERPINSKOGO (RIS. 3 NA S. 7). wY^ISLITE RAZMERNOSTI PODOBIQ \TIH MNOVESTW. kAK SWQZANA RAZMERNOSTX PODOBIQ S KO\FFICIENTAMI SVATIJ? 2) dETERMINIROWANNYJ ALGORITM POSTROENIQ sif SOSTOIT W NEPOSREDSTWENNOM PRIMENENII SOWOKUPNOSTI SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ K PROIZWOLXNOMU KOMPAKTNOMU MNOVESTWU (WOZMOVNO DAVE K EDINSTWENNOJ TO^KE). iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, ZAPROGRAMMIROWATX DETERMINIROWANNYJ ALGORITM DLQ sif I POSTROITX RAZLI^NYE FRAKTALXNYE MNOVESTWA. 3) tEM ILI INYM SPOSOBOM WWEDITE \LEMENT SLU^AJNOSTI W sif. nAPRIMER, W SLU^AE KOWRA sERPINSKOGO, PRI POSTROENII KOTOROGO OBY^NO UDALQETSQ SREDNQQ IZ ^ETYREH TREUGOLXNYH OBLASTEJ (RIS. 3 NA S. 7), 14

MY MOVEM SLU^AJNO UDALQTX L@BOJ IZ ^ETYREH TREUGOLXNIKOW (RIS. 7) I T. P. 4) rANDOMIZIROWANNYJ ALGORITM POSTROENIQ sif ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM. pUSTX T1 T2 : : : Tm | SOWOKUPNOSTX SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ. zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNU@ TO^KU X0, ZATEM, SLU^AJNYM OBRAZOM, IZ DANNYH SVIMA@]IH OTBRAVENIJ WYBEREM ODNO I PRIMENIM K X0, POLU^ENNU@ TO^KU OBOZNA^IM X1. pOWTORQQ OPISANNU@ PROCEDURU SNOWA I SNOWA, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK X0 X1 X2 : : : NA PLOSKOSTI. oTBROSIM NESKOLXKO NA^ALXNYH TO^EK POSLEDOWATELXNOSTI. oKAZYWAETSQ, RASSTOQNIE OT L@BOJ IZ OSTAWIHSQ TO^EK DO ATTRAKTORA ISHODNOJ sif TEM MENXE, ^EM BOLXE NA^ALXNYH TO^EK MY OTBROSILI. iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, ZAPROGRAMMIROWATX RANDOMIZIROWANNYJ ALGORITM DLQ sif I POSTROITX RAZLI^NYE FRAKTALXNYE MNOVESTWA. 5) pUSTX C 2 K. sGU]A@]IM PREOBRAZOWANIEM, ILI PROSTO SGU]ENIEM, NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE TC : K ! K TC (E ) = C E 2 K 

mNOVESTWO C MY BUDEM NAZYWATX PODMNOVESTWOM SGU]ENIQ. pUSTX W NAEM RASPORQVENII IMEETSQ sif, ZADANNAQ SVIMA@]IMI OTOBRAVENIQMI Ti  i = 1 m. dOBAWIM K NIM SGU]ENIE TC . pOLU^ENNU@ sif BUDEM NAZYWATX SISTEMOJ ITERIROWANNYH FUNKCIJ SO SGU]ENIM (ssif). w ^EM PREIMU]ESTWO KOMPX@TERNOJ REALIZACII ssif PO SRAWNENI@ S sif? iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, POSTROITX ssif. 6) rAZRABOTAJTE PODHODY K REENI@ OBRATNOJ ZADA^I: PO ZADANNOMU IZOBRAVENI@ WOSSTANOWITX sif. pOLU^ENNYE REZULXTATY PRIMENITE K IZOBRAVENI@ NA RIS. 8. 15

rIS. 8. pAPOROTNIK 7) pREDPOLOVIM, ^TO SVATIQ Ti QWLQ@TSQ PREOBRAZOWANIQMI PODOBIQ S KO\FFICIENTAMI si I, KROME TOGO, WYPOLNENO USLOWIE OTKRYTOGO MNOVESTWA, T. E. SU]ESTWUET OTKRYTOE MNOVESTWO V
Rn, TAKOE, ^TO T(V )
V I Ti (V ) \ Tj (V ) = PRI i 6= j . dOKAZATX, ^TO HAUSDORFOWA RAZMERNOSTX ATTRAKTORA sif RAWNA t, GDE t OPREDELQETSQ IZ URAWNENIQ m X i=1

sti = 1 :

tEMA 5. dISKRETNYE DINAMI^ESKIE SISTEMY pROSTEJAQ DISKRETNAQ DINAMI^ESKAQ SISTEMA SOSTOIT IZ NA^ALXNOJ TO^KI x0 I ITERIRUEMOJ FUNKCII f : x0 = NA^ALXNAQ TO^KA x1 = f (x0) x2 = f (x1) ..

16

pOSLEDOWATELXNOSTX fxng1n=0 = ff (n)(x0)g1n=0 NAZYWA@T ORBITOJ TO^KI x0. bUDEM POLAGATX x0 DEJSTWITELXNYM ^ISLOM, A FUNKCI@ f \LEMENTARNOJ, NAPRIMER: x2 + c  cx(1 ; x)  cos x. oPREDELIM NEPODWIVNU@ TO^KU OTOBRAVENIQ f KAK TO^KU x, UDOWLETWORQ@]U@ USLOWI@ f (x) = x. nEPODWIVNAQ TO^KA NAZYWAETSQ PRITQGIWA@]EJ W TOM SLU^AE, ESLI ORBITY WSEH TO^EK IZ NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI (WOZMOVNO, O^ENX MALOJ) SHODQTSQ K NEJ. nEPODWIVNAQ TO^KA NAZYWAETSQ OTTALKIWA@]EJ, ESLI ORBITY WSEH DOSTATO^NO BLIZKIH K NEJ TO^EK UDALQ@TSQ OT NEE. oRBITA NAZYWAETSQ PERIODI^ESKOJ S PERIODOM p, ESLI xn+p = xn DLQ n = 1 2 : : :. 1) pROWEDITE KOMPX@TERNOE ISSLEDOWANIE DINAMIKI ITERIROWANIQ FUNKCIJ S MODULEM. sRAWNITE DINAMIKU DLQ PRIWEDENNYH NIVE SLU^AEW: a) y = ;jxj + 1  b) y = ;4jx ; 1=2j + 2  c) y = ;2jx ; 1=2j + 1  d) y = ;jx ; 1=2j + 1=2  e) y = ;8jx ; 1=2j + 4  f ) y = ;4jxj + 2 :

2) iSSLEDUJTE NEPODWIVNYE TO^KI FUNKCII f (x) = x2 + c PRI RAZLI^NYH c. kAKIE IZ NIH QWLQ@TSQ PRITQGIWA@]IMI, A KAKIE OTTALKIWA@]IMI? pRI KAKIH ZNA^ENIQH x0 I c ORBITA TO^KI x0 OGRANI^ENA? 3) rASSMOTRIM FUNKCI@ f (x) = x2 + c PRI ;3=4 < c < 1=4. u NEE SU]ESTWUET DWE NEPODWIVNYE TO^KI | OTTALKIWA@]AQ I | PRITQGIWA@]AQ. pO MERE TOGO KAK c UBYWAET I STANOWITSQ MENXE ;3=4 PRITQGIWA@]AQ NEPODWIVNAQ TO^KA STANOWITSQ OTTALKIWA@]EJ. w TO VE WREMQ FUNKCIQ f 2 DOSTAWLQET PARU PRITQGIWA@]IH NEPODWIVNYH TO^EK, KOTORYE PRIWODQT K POQWLENI@ CIKLA S PERIODOM 2 DLQ 17

f . gOWORQT, ^TO SISTEMA PRETERPEWAET BIFURKACI@ UDWOENIQ PERIODA, KOGDA c PROHODIT ^EREZ ZNA^ENIE ;3=4. iSPOLXZUQ KOMPX@TER, NAJDITE DRUGIE ZNA^ENIQ c, PRI KOTORYH PROISHODIT UDWOENIE PERIODA. nA OSNOWANII POLU^ENNYH DANNYH WY^ISLITE KONSTANTU fEJGENBAUMA. 4) pOKAVITE, ^TO TO^KI BIFURKACII DLQ FUNKCIJ 1 ; x2 I x2 + c SOWPADA@T. mOVNO LI TO VE SAMOE SKAZATX O FUNKCII c sin(x), ILI O cx(1 ; x)? dLQ KAVDOJ IZ UKAZANNYH FUNKCIJ WY^ISLITE KONSTANTU fEJGENBAUMA.

tEMA 6. hAOS w 1979 GODU |DWARD lORENC IZ mASSA^USETSKOGO TEHNOLOGI^ESKOGO INSTITUTA OPUBLIKOWAL STATX@ pREDSKAZUEMOSTX: MOVET LI WZMAH KRYLYEK BABO^KI W bRAZILII PRIWESTI K OBRAZOWANI@ TORNADO W tEHASE? . w \TOM NAZWANII OBRAZNO WYRAVENA OSNOWOPOLAGA@]AQ ^ERTA HAOSA | SU]ESTWENNAQ ZAWISIMOSTX OT NA^ALXNYH USLOWIJ. iNYMI SLOWAMI, MOGUT LI NEZNA^ITELXNYE IZMENENIQ NA^ALXNYH USLOWIJ PRIWESTI K SU]ESTWENNYM IZMENENIQM OKON^ATELXNOGO REZULXTATA? rASSMOTRIM METRI^ESKOE PROSTRANSTWO (X d). bUDEM NAZYWATX OTOBRAVENIE f : X ! X HAOTI^ESKIM, ESLI WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ: 1. f OBLADAET SU]ESTWENNOJ ZAWISIMOSTX@ OT NA^ALXNYH USLOWIJ. 2. f TRANZITIWNO. 3. pERIODI^ESKIE TO^KI f PLOTNY W X . sTROGAQ FORMULIROWKA PERWOGO USLOWIQ TAKOWA. pUSTX x 2 X , A U | OTKRYTOE MNOVESTWO, SODERVA]EE x. oTOBRAVENIE f OBLADAET SU]ESTWENNOJ ZAWISIMOSTX@ OT NA^ALXNYH USLOWIJ, ESLI DLQ NEKOTOROGO > 0 SU]ESTWU@T TAKOE CELOE ^ISLO n > 0 I TAKAQ TO^KA y 2 U , ^TO 18

d(f (n) (x) f (n)(y)) > . oTOBRAVENIE f NAZYWAETSQ TRANZITIWNYM, ESLI DLQ L@BOJ PARY U V NEPUSTYH OTKRYTYH MNOVESTW SU]ESTWUET CELOE NEOTRICATELXNOE n, TAKOE, ^TO f (n)(U ) \ V 6= . nAKONEC, SWOJSTWO PLOTNOSTI PERIODI^ESKIH TO^EK OZNA^AET, ^TO W L@BOJ OKRESTNOSTI L@BOJ TO^KI IZ X SU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODNA PERIODI^ESKAQ TO^KA. 1) dOKAVITE, ^TO KWADRATI^NAQ FUNKCIQ f (z ) = z 2 HAOTI^NA NA OKRUVNOSTI S 1
C . pRIWEDITE DRUGIE PRIMERY HAOTI^NYH FUNKCIJ. 2) fUNKCIQ ( 3x  x  1=2 f (x) = 3 ; 3x  x > 1=2 INOGDA NAZYWAETSQ TENTOOBRAZNYM OTOBRAVENIEM. rASSMOTRIM EGO DINAMIKU PRI ITERIROWANII. pUSTX x0 | NA^ALXNAQ TO^KA, I PUSTX xn = f (xn;1) ILI, ^TO RAWNOSILXNO, xn = f (n) (x0). oBOZNA^IM ^EREZ  MNOVESTWO NA^ALXNYH TO^EK, KOTORYM SOOTWETSTWU@T OGRANI^ENNYE ORBITY fxn g1n=0. dOKAVITE, ^TO  SOWPADAET S KLASSI^ESKIM KANTOROWYM MNOVESTWOM C . qWLQETSQ LI TENTOOBRAZNOE OTOBRAVENIE HAOTI^NYM NA C ? 3) pUSTX C | KLASSI^ESKOE KANTOROWO MNOVESTWO. nAPOMNIM, ^TO KAVDOMU x 2 C SOOTWETSTWUET EDINSTWENNOE TROI^NOE PREDSTAWLENIE x = 0 x1 x2x3 : : : (PO OSNOWANI@ 3) 

W KOTOROM KAVDAQ CIFRA xi LIBO 0, LIBO 2. dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ B (x) = 0 x2 x3x4 : : :

HAOTI^NA NA C . 4) sIMWOLXNOE PROSTRANSTWO  NA N \LEMENTAH OPREDELQETSQ KAK 19

rIS. 9. mNOVESTWO v@LIA DLQ z 2 ; 0 7382 + 0 0827i MNOVESTWO WSEH POSLEDOWATELXNOSTEJ

1 2 3 : : : 

eSLI

n 2 f1 : : : N g :

= 1 2 3 : : : I  = 123 : : : 

TO RASSTOQNIE MEVDU NIMI OPREDELQETSQ KAK d(   ) =

1 j ;  j X n n

n : ( N + 1) n=1 dOKAVITE, ^TO SIMWOLXNOE PROSTRANSTWO ( d) ESTX METRI^ESKOE PROSTRANSTWO, A OPERATOR OBRATNOGO SDWIGA

B ( 1 2 3 : : :) = 2 3 4 : : :

HAOTI^EN. tEMA 7. kOMPLEKSNAQ DINAMIKA wEROQTNO, NELXZQ PRIWESTI PRIMER TAKOGO KOMPX@TERNOGO \KSPERIMENTA, KOTORYJ WPE^ATLENIEM OT REZULXTATOW PREWOSHODIL BY TO ^UWSTWO UDIWLENIQ I WOSHI]ENIQ, KOTOROE WYZYWAET GRAFI^ESKOE POSTROENIE MNOVESTW v@LIA (RIS. 9) I MNOVESTWA mANDELXBROTA NA PLOSKOSTI (RIS. 10). 20

rIS. 10. mNOVESTWO mANDELXBROTA DLQ z 2 + c mNOVESTWO v@LIA FUNKCII f , OBOZNA^AEMOE J (f ), OPREDELQETSQ KAK J (f ) = @ fz 2 C : f (n) (z ) ! 1 PRI n ! 1g : tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO v@LIA FUNKCII f ESTX GRANICA MNOVESTWA TO^EK z , STREMQ]IHSQ K BESKONE^NOSTI PRI ITERIROWANII f (z ). mNOVESTWO NAZWANO W ^ESTX FRANCUZSKOGO MATEMATIKA gASTONA v@LIA (1893 { 1975), KOTORYJ ODNOWREMENNO S pXEROM fATU (1878 { 1929) W 1917 {1919 GG. NAPISAL OSNOWOPOLAGA@]IE STATXI PO ITERIROWANI@ FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. mNOVESTWO mANDELXBROTA M DLQ POLINOMA f (z ) = z 2 +c OPREDELQETSQ KAK MNOVESTWO WSEH c 2 C , DLQ KOTORYH ORBITA TO^KI 0 OGRANI^ENA, TO ESTX M = fc 2 C : ffc(n) (0)g1n=0 OGRANI^ENAg: 1) ~TO QWLQETSQ MNOVESTWOM v@LIA DLQ f (z ) = z 2? iSPOLXZUQ PAKET 21

rIS. 11. pERIODY OBRAMLENIJ PROGRAMM Mathematica 4.0, POLU^ITE IZOBRAVENIQ MNOVESTW v@LIA DLQ f (z ) = z 2 + c. 2) iSPOLXZUJTE KOMPX@TER DLQ POLU^ENIQ IZOBRAVENIJ MNOVESTW v@LIA DLQ KAKOGO-NIBUDX POLINOMA OT z . 3) rASSMOTRITE KWADRATI^NYE OTOBRAVENIQ ALGEBRY DUALXNYH ^ISEL W SEBQ. kAKIE MNOVESTWA v@LIA ONI POROVDA@T? iSPOLXZUQ KOMPX@TER, POLU^ITE IZOBRAVENIQ \TIH MNOVESTW. 4) iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, POSTROJTE MNOVESTWO mANDELXBROTA I PRIBLIVENNO OPREDELITE CENTR (ZNA^ENIE c) KAKOGOLIBO \LEMENTA OBRAMLENIQ, NAPRIMER ODNOJ IZ OKRUVNOSTEJ, KASA@]IHSQ GLAWNOJ KARDIOIDY. zATEM WY^ISLITE OPREDELENNYJ U^ASTOK ORBITY ffc(n)(0)g I POSTARAJTESX PO EE ASIMPTOTI^ESKOMU POWEDENI@ 22

OPREDELITX PERIOD. pRODELAJTE \TO DLQ NESKOLXKIH OKRUVNOSTEJ, OTME^ENNYH NA RIS. 11. 5) iSPOLXZUJTE KOMPX@TER DLQ POLU^ENIQ IZOBRAVENIQ MNOVESTWA mANDELXBROTA DLQ f (z ) = z 3 + c. pOKAVITE, ^TO ESLI jcj > 2, TO ORBITA z STREMITSQ K 1.

tEMA 8. pROBLEMA k\LI w 1879 GODU S\R aRTUR k\LI POSTAWIL ZADA^U ITERIROWANIQ KOMPLEKSNYH FUNKCIJ. pROBLEMA k\LI ZAKL@^AETSQ W ISSLEDOWANII SHODIMOSTI KLASSI^ESKOGO ALGORITMA nX@TONA NAHOVDENIQ KUBI^ESKIH KORNEJ, NO PRI USLOWII, ^TO WE]ESTWENNYE ^ISLA ZAMENQ@TSQ NA KOMPLEKSNYE. dLQ f (z ) = z 3 ; 1 NULI RAWNY KUBI^ESKIM KORNQM IZ 1, I ITERACII nX@TONA PRINIMA@T WID:

3 z n zn+1 = zn ; 3z;2 1 : n 1 iME@TSQ TRI KUBI^ESKIH KORNQ IZ 1, A IMENNO ! 1 = 1 !2 = ; 2 + p p i 23  !3 = ; 12 ; i 23 . oBLASTX PRITQVENIQ DLQ KORNQ !j ESTX MNOVESTWO

A(!j ) = fz0 2 C : nlim !1 zn = !j g : k\LI POSTAWIL ZADA^U OPISANIQ OBLASTEJ A(!1) A(!2) A(!3). 1) iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, POSTROJTE GRAFI^ESKOE IZOBRAVENIE OBLASTEJ PRITQVENIQ KUBI^ESKIH KORNEJ IZ EDINICY, RASKRASIW KAVDU@ OBLASTX W SWOJ CWET. 2) dLQ SHEMY ITERIROWANIQ 2 z n zn+1 = zn ; 2z; 1  n SOOTWETSTWU@]EJ PRIMENENI@ METODA nX@TONA K f (z ) = z 2 ;1, POKAVITE, ^TO ESLI z0 LEVIT W PRAWOJ POLUPLOSKOSTI, TO zn ! +1 PRI n ! 1, 23

A ESLI z0 LEVIT W LEWOJ POLUPLOSKOSTI, TO zn ! ;1 PRI n ! 1. eSLI VE z0 LEVIT NA MNIMOJ OSI, TO PROCESS ITERIROWANIQ NE SHODITSQ. 3) iSPOLXZUQ KOMPX@TER, POSTROJTE GRAFI^ESKOE IZOBRAVENIE OBLASTI PRITQVENIQ A(1) DLQ FUNKCIJ a) f (z ) = z 4 ; 1  b) f (z ) = z 3 ; z  c) f (z ) = z 3 ; z 2 + z ; 1 :

rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 28], 52], 58], 61], 63].

1.2 nAGLQDNAQ KOMPX@TERNAQ GEOMETRIQ W TEORII ^ISEL w TAKOJ SLOVNOJ TEORII, KAKOJ QWLQETSQ TEORIQ ^ISEL, INOGDA TRUDNO DAVE SFORMULIROWATX PRAWDOPODOBNU@ GIPOTEZU. sOWREMENNYE WY^ISLITELXNYE SREDSTWA POZWOLQ@T PRAWILXNO WYBRATX GIPOTEZU W REZULXTATE OBRABOTKI BOLXOGO \KSPERIMENTALXNOGO MATERIALA I EGO IZOBRAVENIQ W NAGLQDNOM WIDE. mNOGOE ZAWISIT OT SPOSOBA IZOBRAVENIQ INFORMACII. nUVNO TAK UDA^NO ZAKODIROWATX EE NAGLQDNYMI OBRAZAMI, ^TOBY WOZNIKA@]IE NA \KRANE KOMPX@TERA KARTINY POMOGALI ISSLEDOWATEL@ UGADYWATX PRAWILXNOE NAPRAWLENIE ISSLEDOWANIQ. rASSMOTRIM ZADA^U O PREDSTAWLENII NATURALXNYH ^ISEL n 1 W WIDE SUMM n = nr1 + nr2 +    nrs  (1) GDE WSE ^ISLA ni , 1  i  s, | NEOTRICATELXNYE CELYE. fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE ZNA^ENIQ r 2 I s 1. w TAKOM SLU^AE WSE NATURALXNYE ^ISLA RAZBIWA@TSQ NA DWA KLASSA. k ODNOMU KLASSU OTNOSQTSQ WSE TE NATURALXNYE ^ISLA, KOTORYE PREDSTAWLQ@TSQ W WIDE (1), A KO WTOROMU KLASSU | ^ISLA, KOTORYE NELXZQ PRI DANNYH PARAMETRAH r I s PREDSTAWITX W WIDE (1). wOZNIKAET OB]AQ ZADA^A (OBOB]ENNAQ 24

PROBLEMA wARINGA): KAK OPISATX KAVDYJ IZ UKAZANNYH WYE KLASSOW? wOZXMEM BESKONE^NU@ LENTU I RAZMETIM EE NA ODINAKOWYE KWADRATIKI, W KOTORYE POSLEDOWATELXNO WPIEM NATURALXNYE ^ISLA. fIKSIRUEM CELOE ^ISLO d I RAZOBXEM \TU BESKONE^NU@ LENTU NA KUSKI DLINY d. |TO ^ISLO NAZOWEM MODULEM IZOBRAVENIQ. pERWYJ OTREZOK DLINY d UKLADYWAEM NA PERWU@ STROKU \KRANA, WTOROJ OTREZOK LENTY | NA WTORU@ STROKU I T. D. tOGDA \KRAN ZAPOLNITSQ NATURALXNYMI ^ISLAMI OT 1 DO NEKOTOROGO N , OPREDELQEMOGO RAZMEROM \KRANA. oTME^AQ ^ERNYM NEPREDSTAWIMYE W WIDE (1) ^ISLA (PRI ZADANNYH r s d), A BELYM | PREDSTAWIMYE, MY POLU^AEM NA \KRANE KOMPX@TERA NEKOTORYJ PQTNISTYJ ^ERNO-BELYJ KOWER, SOSTOQ]IJ IZ ^ERNYH I BELYH KWADRATIKOW. fIKSIRUEM r = 2 I NA^NEM UWELI^IWATX PARAMETR s = 1 2 3 : : : . wELI^INU d FIKSIRUEM. iTAK, MY IZU^AEM WOPROS O PREDSTAWIMOSTI ^ISEL W WIDE: A) KWADRATA NEKOTOROGO ^ISLA, B) SUMMY DWUH KWADRATOW, W) SUMMY TREH KWADRATOW I T.D. pOSMOTRIM NA HARAKTER IZMENENIQ KARTINY NA \KRANE (RIS. 12). sNA^ALA (PRI s = 1) PO^TI WESX \KRAN | ^ERNYJ. kOE-GDE WIDNY BELYE KWADRATIKI. wIDNO, NASKOLXKO MALO ^ISEL, QWLQ@]IHSQ KWADRATAMI. pRI UWELI^ENII s \KRAN NA^INAET BELETX . nAKONEC, PRI s = 4 WESX \KRAN WSPYHIWAET BELYM CWETOM. ~ERNYE KWADRATIKI IS^EZLI. pRI s = 5 KARTINA UVE NE MENQETSQ: \KRAN OSTAETSQ BELYM. kOMPX@TERNAQ GIPOTEZA: SUMMY ^ETYREH KWADRATOW DOSTATO^NO, ^TOBY PREDSTAWITX W WIDE (1) L@BOE NATURALXNOE ^ISLO. oKAZYWAETSQ, MY UWIDELI NA \KRANE IZWESTNU@ TEOREMU lAGRANVA, DOKAZANNU@ IM W 1740 G. tEOREMA lAGRANVA. l@BOE NATURALXNOE ^ISLO PREDSTAWIMO W WIDE SUMMY ^ETYREH KWADRATOW. 25

rIS. 12. pREDSTAWIMOSTX ^ISEL W WIDE SUMMY KWADRATOW 1) nAPIITE PROGRAMMU, KOTORAQ PO ZADANNYM r s I d STROIT ^ERNOBELYJ KOWER, PODOBNYJ IZOBRAVENNYM NA RIS.12. 2) wARXIRUQ PARAMETRY, NAJDITE ZAKONOMERNOSTI W IZOBRAVENIQH I PREDLOVITE GIPOTEZY, OB_QSNQ@]IE \TI ZAKONOMERNOSTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 54].

26

rIS. 13. pARABOLI^ESKAQ KA^ALKA 2

tEMY, PREDLOVENNYE mALAHALXCEWYM m.a.

2.1 oSOBENNOSTI GLADKIH OTOBRAVENIJ tEORIQ OSOBENNOSTEJ DIFFERENCIRUEMYH OTOBRAVENIJ POQWILASX KAK SAMOSTOQTELXNAQ MATEMATI^ESKAQ DISCIPLINA W 60H{70H GODAH PROLOGO WEKA I POLU^ILA IROKU@ IZWESTNOSTX POD NAZWANIEM TEORIQ KATASTROF , TAK KAK POZWOLILA OPISATX SKA^KOOBRAZNYE IZMENENIQ I KA^ESTWENNYE PEREHODY W POWEDENII FIZI^ESKIH SISTEM, W ^ASTNOSTI, POTER@ USTOJ^IWOSTI. rASSMOTRIM PROSTOJ PRIMER FIZI^ESKOJ SISTEMY: PARABOLI^ESKU@ KA^ALKU, KOTORU@ LEGKO SDELATX SAMOSTOQTELXNO. iZ PLOTNOGO KARTONA WYREVEM DWA ODINAKOWYH KUSKA PARABOLY I SKREPIM MEVDU SOBOJ (SM. RIS. 13). pRIKREPIM K PARABOLI^ESKOJ KA^ALKE GRUZIK (NAPRIMER, S POMO]X@ MAGNITA). kA^ALKA NAKLONITSQ I ZAJMET NEKOTOROE POLOVENIE RAWNOWESIQ. eSLI MY EE TOLKNEM, TO ONA LIBO ZAJMET NOWOE POLOVENIE RAWNO27

WESIQ, LIBO WERNETSQ W ISHODNOE. wOZNIKA@T SLEDU@]IE WOPROSY: 1) SKOLXKO WSEGO POLOVENIJ RAWNOWESIQ IMEET PARABOLI^ESKAQ KA^ALKA PRI RAZLI^NYH POLOVENIQH GRUZIKA? 2) KAK BUDET IZMENQTXSQ POLOVENIE RAWNOWESIQ, ESLI NEPRERYWNO MENQTX POLOVENIE GRUZIKA? pARABOLI^ESKAQ KA^ALKA IMEET ODIN WNUTRENNIJ PARAMETR  (UGOL MEVDU OSX@ PARABOLY I PLOSKOSTX@ STOLA), I DWA UPRAWLQ@]IH PARAMETRA (a b), ZADA@]IH POLOVENIE GRUZIKA. pRI FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH UPRAWLQ@]IH PARAMETROW (a b), POLOVENIQ RAWNOWESIQ SISTEMY SOOTWETSTWU@T KRITI^ESKIM TO^KAM POTENCIALXNOJ \NERGII V(a
b)(). tAKIM OBRAZOM, MY POLU^AEM DWUHPARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO FUNKCIJ V(a
b)(), I ZADA^A SOSTOIT W OPISANII DEFORMACII MNOVESTWA KRITI^ESKIH TO^EK  = fxjV(0a
b)(x) = 0g FUNKCIJ SEMEJSTWA PRI IZMENENII PARAMETROW (a b). oKAZYWAETSQ, ^TO K ZADA^E OPISANIQ DEFORMACII MNOVESTWA KRITI^ESKIH TO^EK FUNKCIJ IZ n-PARAMETRI^ESKOGO SEMEJSTWA PRI IZMENENII PARAMETROW SEMEJSTWA SWODITSQ CELYJ KLASS PROBLEM, NA^INAQ OT OPISANIQ ZAWISIMOSTI REENIJ ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ OT KO\FFICIENTOW I LOKALXNOGO WIDA OGIBA@]EJ SEMEJSTWA KRIWYH, I ZAKAN^IWAQ TEORIQMI OSTOJ^IWOSTI SUDOW I FAZOWYH PEREHODOW MEVDU RAZLI^NYMI SOSTOQNIQMI WE]ESTWA.

tEMA 1. kA^ALKI wO WWEDENII OPISANA PARABOLI^ESKAQ KA^ALKA. tAKIM VE OBRAZOM MOVNO SDELATX \LLIPTI^ESKU@ I GIPERBOLI^ESKU@ KA^ALKI. 1) sDELATX MODELI \LLIPTI^ESKOJ, GIPERBOLI^ESKOJ I PARABOLI^ESKOJ KA^ALOK. pROWESTI \KSPERIMENT PO OPREDELENI@ POLOVENIJ RAWNOWESIQ PRI RAZLI^NYH POLOVENIQH CENTRA TQVESTI. 2) sKOLXKO POLOVENIJ RAWNOWESIQ MOVET IMETX KA^ALKA PRI RAZLI^28

NYH POLOVENIQH CENTRA TQVESTI? 3) kAK WEDUT SEBQ POLOVENIQ RAWNOWESIQ PRI IZMENENII CENTRA TQVESTI KA^ALKI? rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gL. 1 39], gL. 1.

tEMA 2. pARALLELI PLOSKIH KRIWYH pARALLELX@ PLOSKOJ KRIWOJ ; NAZYWAETSQ KRIWAQ ;0, POLU^ENNAQ SDWIGOM TO^EK KRIWOJ ; WDOLX EE NORMALEJ NA POSTOQNNOE RASSTOQNIE. 1) nAJTI PARALLELI DLQ KRIWYH WTOROGO PORQDKA. 2) nAJTI OSOBYE TO^KI POLU^ENNYH PARALLELEJ I OPREDELITX IH TIP. 3) nAPISATX PROGRAMMU POSTROENIQ PARALLELEJ KRIWOJ NA QZYKE Mathematica (ILI NA L@BOM QZYKE PROGRAMMIROWANIQ). rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gLAWY 5, 7.

tEMA 3. wIDIMYE KONTURY POWERHNOSTEJ iZOBRAZITX WIDIMYJ KONTUR POWERHNOSTI | TAKAQ ZADA^A STOIT NE TOLXKO PERED HUDOVNIKAMI, NO I PERED KONSTRUKTORAMI, DIZAJNERAMI, SOZDATELQMI KOMPX@TERNYH IGR. oSOBENNO AKTUALXNO REENIE \TOJ ZADA^I DLQ RAZRABOTKI SISTEM AWTOMATIZIROWANNOGO PROEKTIROWANIQ. oKAZYWAETSQ, ^TO DAVE ESLI POWERHNOSTX GLADKAQ, EE WIDIMYJ KONTUR MOVET SODERVATX OSOBYE TO^KI, KOTORYE NEOBHODIMO U^ITYWATX PRI POSTROENII \TOGO KONTURA. 1) wYQSNITX, IME@TSQ LI OSOBYE TO^KI NA WIDIMOM KONTURE A) POWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA B) POWERHNOSTI WRA]ENIQ W) POWERHNOSTI, ZADANNOJ URAWNENIEM x3 + yx + z = 0 (SBORKI uITNI) (RISUNOK 14)? 29

rIS. 14. sBORKA uITNI 2) eSLI SMOTRETX NA TOR SWERHU, TO WIDIMYJ KONTUR PREDSTAWLQET SOBOJ KOLXCO (RIS. 15 (A)), ESLI SBOKU | TO ZAKRUGLENNYJ PRQMOUGOLXNIK (RIS. 15 (B)). kAK PROISHODIT DEFORMACIQ NESWQZNOJ KRIWOJ (RIS. 15 (A)) W SWQZNU@ KRIWU@ (RIS. 15 (B)), ESLI POWORA^IWATX NAPRAWLENIE, WDOLX KOTOROGO MY SMOTRIM, IZ WERTIKALXNOGO POLOVENIQ W GORIZONTALXNOE? rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gL. 5, P. 7 8], P. 12.

tEMA 4. kAUSTIKI SISTEMY LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA kAK IZWESTNO, ESLI W ODIN IZ FOKUSOW \LLIPSA POMESTITX ISTO^NIK SWETA S , TO OTRAVENNYE LU^I SOBERUTSQ W DRUGOM FOKUSE (TAM BUDET NABL@DATXSQ QRKO SWETQ]AQSQ TO^KA). rASPOLOVIM TEPERX ISTO^NIK S 30

(B) (A)

rIS. 15. wIDIMYE KONTURY TORA W DRUGOJ TO^KE. tOGDA MY BUDEM NABL@DATX QRKO SWETQ]U@SQ LINI@ | KAUSTIKU (W PEREWODE S GRE^ESKOGO, KAUSTIKA ZNA^IT VGU^AQ ). |TA LINIQ ESTX OGIBA@]AQ SEMEJSTWA OTRAVENNYH LU^EJ. 1) nAJTI KAUSTIKI LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA (PRI RAZLI^NYH RASPOLOVENIQH ISTO^NIKA S ). oPISATX RASPOLOVENIE OSOBYH TO^EK KAUSTIKI. 2) nAPISATX PROGRAMMU NAHOVDENIQ KAUSTIKI LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA. 3) oPISATX IZMENENIE KAUSTIKI LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA, PRI DWIVENII ISTO^NIKA S . rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gL. 5, 7 7], P. 8.

tEMA 5. oTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA pUSTX  : a b] ! R2 ESTX GLADKAQ REGULQRNAQ KRIWAQ, TO ESTX KASATELXNYJ WEKTOR d=dt NE OBRA]AETSQ W NULX. fIKSIRUEM t0 2 a b] I WOZXMEM SISTEMU PRQMOUGOLXNYH KOORDINAT NA PLOSKOSTI, OSI KOTOROJ 31

SUTX KASATELXNAQ I NORMALX K KRIWOJ  W TO^KE t0. tOGDA W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI KRIWAQ  QWLQETSQ GRAFIKOM NEKOTOROJ FUNKCII y = f (x), PRI^EM f (0) = 0, f 0 (0) = 0. oTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA ESTX OTOBRAVENIE  : a b] ! Rk , SOPOSTAWLQ@]EE TO^KE t0 NABOR PROIZWODNYH (f 00 (0) : : :  f (k+2)(0)) FUNKCII y = f (x) W TO^KE x = 0. 1) nAJTI OTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA DLQ KRIWYH WTOROGO PORQDKA, DLQ SPIRALI, DLQ LEMNISKATY bERNULLI. 2) wYPOLNITX UPRAVNENIE 9.4 IZ 18]. 3) pOSTROITX OBOB]ENIE OTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA DLQ POWERHNOSTI, WZQW ZA OSI KOORDINAT W TO^KE POWERHNOSTI GLAWNYE NAPRAWLENIQ I NORMALX. iSSLEDOWATX EGO SWOJSTWA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gLAWA 9.

tEMA 6. fUNKCII KWADRATA RASSTOQNIQ NA PLOSKIH I PROSTRANSTWENNYH KRIWYH rASSMOTRIM GLADKU@ KRIWU@  W Rn, ZADANNU@ PARAMETRI^ESKIM URAWNENIEM ~r = ~r(t), t 2 a b]. dLQ L@BOJ TO^KI S RADIUS-WEKTOROM ~u OPREDELENA FUNKCIQ F (t ~u) = jj~r(t) ; ~ujj2. zNA^IT, DLQ KAVDOJ KRIWOJ  OPREDELENO n-PARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO FUNKCIJ F (t u1 : : :  un ), GDE

~u = (u1 : : :  un). 1) nAJTI GEOMETRI^ESKIJ SMYSL KRITI^ESKIH TO^EK FUNKCIJ SEMEJSTWA F (t ~u) DLQ n = 2 3. 2) nAJTI BIFURKACIONNOE MNOVESTWO SEMEJSTWA F (t ~u) DLQ n = 2 3. 3) wYPOLNITX UPRAVNENIQ 7.4, 7.6 IZ 18]. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gLAWA 7.

tEMA 7. oSOBENNOSTI SETI LINIJ KRIWIZNY iZWESTNO, ^TO ESLI W TO^KE p POWERHNOSTI 
R3 GLAWNYE KRIWIZNY 32

RAZLI^NY, TO W \TOJ TO^KE ESTX DWA ORTOGONALXNYH GLAWNYH NAPRAWLENIQ. eSLI VE GLAWNYE KRIWIZNY W TO^KE p SOWPADA@T (W \TOM SLU^AE TO^KA p NAZYWAETSQ OMBILI^ESKOJ), TO L@BOE NAPRAWLENIE QWLQETSQ GLAWNYM. pUSTX p | OMBILI^ESKAQ TO^KA. w OB]EJ SITUACII, W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI U (p) NET DRUGIH OMBILI^ESKIH TO^EK, PO\TOMU W OBLASTI U (p) n fpg OPREDELENA SETX LINIJ KRIWIZNY, TO ESTX DWA ODNOPARAMETRI^ESKIH SEMEJSTWA LINIJ, KASA@]IHSQ GLAWNYH NAPRAWLENIJ. nADO WYQSNITX KAK WYGLQDIT \TA SETX W MALOJ OKRESTNOSTI OMBILI^ESKOJ TO^KI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 34], P. 85 24].

tEMA 8. oSOBENNOSTI SETI ASIMPTOTI^ESKIH LINIJ iZWESTNO, ^TO ESLI W TO^KE p POWERHNOSTI 
R3 POLNAQ KRIWIZNA Kp() OTRICATELXNA, TO W \TOJ TO^KE ESTX DWA ASIMPTOTI^ESKIH NAPRAWLENIQ. tAKIM OBRAZOM, W OBLASTI , GDE KRIWIZNA OTRICATELXNA, IMEETSQ SETX ASIMPTOTI^ESKIH LINIJ. nADO WYQSNITX KAK WYGLQDIT \TA SETX W MALOJ OKRESTNOSTI GRANICY OBLASTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 34], P. 85.

tEMA 9. oSOBENNOSTI GAUSSOWA OTOBRAVENIQ pUSTX 
R3 | POWERHNOSTX, ZADANNAQ PARAMETRIZACIEJ ~r = ~r(u v), (u v) 2 
R2. pUSTX ~n = ~n(u v) ESTX EDINI^NAQ NORMALX K POWERHNOSTI  W TO^KE ~r(u v). oTOBRAVENIE (u v) ! ~n(u v) IZ OBLASTI  W DWUMERNU@ SFERU S 2 NAZYWAETSQ GAUSSOWYM OTOBRAVENIEM. eSLI WWESTI NA SFERE KOORDINATY (  ), TO GAUSSOWO OTOBRAVENIE W KOORDINATAH MOVNO ZAPISATX KAK OTOBRAVENIE F PLOSKOSTI W PLOSKOSTX, = (u v), = (u v). 33

1) dOKAZATX, ^TO MATRICA qKOBI DF OTOBRAVENIQ F NEWYROVDENA W TO^KE (u0 v0 ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA KRIWIZNA POWERHNOSTI  W \TOJ TO^KE NE RAWNA NUL@. 2) sOGLASNO TEOREME uITNI (SM. 18]), ESLI MATRICA DF W TO^KE (u0 v0) WYROVDENA (TO^KA NAZYWAETSQ OSOBOJ), NO OTLI^NA OT NULEWOJ MATRICY, TO S POMO]X@ ZAMENY KOORDINAT OTOBRAVENIE F MOVNO PRIWESTI K ODNOMU IZ DWUH WIDOW: A) (u v) ! (u2 v), B) (u v) ! (u3 + uv v). nAJTI USLOWIQ W TERMINAH GEOMETRII POWERHNOSTI , POZWOLQ@]IE

OPREDELITX K KAKOMU IZ DWUH WIDOW PRIWODITSQ GAUSSOWO OTOBRAVENIE W OKRESTNOSTI OSOBOJ TO^KI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 8], P. 2 34], P. 77.

2.2 aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ IZU^AET ALGEBRAI^ESKIE MNOGOOBRAZIQ, TO ESTX KRIWYE I POWERHNOSTI (W TOM ^ISLE MNOGOMERNYE), ZADANNYE SISTEMAMI POLINOMIALXNYH URAWNENIJ: 8 1 > < p1 (x  : : :. xn ) = 0 .. > : 1 n pm (x  : : :  x ) = 0

GDE pa(x1 : : :  xn), a = 1 : : :  m, SUTX POLINOMY OT PEREMENNYH x1, . . . , xn S KO\FFICIENTAMI W NEKOTOROM POLE k. pROSTEJIMI PRIMERAMI ALGEBRAI^ESKIH MNOGOOBRAZIJ SLUVAT KRIWYE WTOROGO PORQDKA. uVE W \TOM SLU^AE WIDNO, ^TO POLE k IGRAET SU]ESTWENNU@ ROLX: ALGEBRAI^ESKAQ KRIWAQ, ZADANNAQ URAWNENIEM x2 + y2 = 0, ESTX ODNA TO^KA, ESLI k | POLE WE]ESTWENNYH ^ISEL, PARA PERESEKA@]IHSQ PRQMYH, ESLI k ESTX POLE KOMPLEKSNYH ^ISEL, I MNOVESTWO IZ 9 TO^EK, ESLI k ESTX POLE OSTATKOW PRI DELENII NA 5. 34

aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ TESNO SWQZANA S DRUGIMI RAZDELAMI MATEMATIKI: MATEMATI^ESKIM ANALIZOM, DIFFERENCIALXNYMI URAWNENIQMI, TEORIEJ ^ISEL. nAPRIMER, OSNOWNAQ ZADA^A TEORII DIAFANTOWYH URAWNENIJ SOSTOIT W NAHOVDENII CELO^ISLENNYH REENIJ URAWNENIQ WIDA a0xn + a1xn;1 + : : : + an = 0, GDE a0, a1, . . . , an SUTX CELYE ^ISLA, TO ESTX NAHOVDENIQ ALGEBRAI^ESKOGO MNOGOOBRAZIQ, ZADANNOGO \TIM URAWNENIEM, NAD POLEM RACIONALXNYH ^ISEL. w ^ASTNOSTI, ZNAMENITAQ TEOREMA fERMA UTWERVDAET, ^TO, PRI n 3, ALGEBRAI^ESKAQ KRIWAQ xn + yn = 1 NE SODERVIT RACIONALXNYH TO^EK, I W DOKAZATELXSTWE TEOREMY fERMA SU]ESTWENNO ISPOLXZU@TSQ METODY ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII.

tEMA 1. kRIWYE WTOROGO PORQDKA NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI w KURSE ANALITI^ESKOJ GEOMETRII DOKAZYWAETSQ, ^TO KRIWAQ WTOROGO PORQDKA ESTX ODNA IZ SLEDU@]IH KRIWYH: 1) \LLIPS, 2) GIPERBOLA, 3) PARABOLA, 4) PARA PRQMYH (PERESEKA@]IHSQ, PARALLELXNYH, ILI SOWPADA@]IH). w DANNOJ RABOTE PREDPOLAGAETSQ DOKAZATX SOOTWETSTWU@]U@ KLASSIFIKACIONNU@ TEOREMU DLQ KRIWYH WTOROGO PORQDKA NA AFFINNOJ PLOSKOSTI NAD PROIZWOLXNYM POLEM. 1) pUSTX k | PROIZWOLXNOE POLE, HARAKTERISTIKA KOTOROGO OTLI^NA OT DWUH. dOKAZATX, ^TO NEPUSTAQ NEWYROVDENNAQ KRIWAQ WTOROGO PORQDKA NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI NAD k PROEKTIWNO \KWIWALENTNA KRIWOJ

xz = y2. 2) sFORMULIROWATX I DOKAZATX KLASSIFIKACIONNU@ TEOREMU DLQ KRI-

WYH WTOROGO PORQDKA NA AFFINNOJ PLOSKOSTI NAD PROIZWOLXNYM POLEM k.

rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 45], gL. 1, P. 1. 35

tEMA 2. rACIONALXNYE KRIWYE aLGEBRAI^ESKAQ KRIWAQ ;, ZADANNAQ URAWNENIEM p(x y) = 0, NAZYWAETSQ RACIONALXNOJ, ESLI SU]ESTWU@T RACIONALXNYE FUNKCII r(t) = a(t)=b(t), q(t) = c(t)=d(t), GDE a(t), b(t), c(t), d(t) | POLINOMY, TAKIE, ^TO x = r(t), y = q(t) ESTX PARAMETRIZACIQ KRIWOJ ;, TO ESTX p(r(t) q(t)) = 0 DLQ L@BOGO t. 1) pOSTROITX RACIONALXNU@ PARAMETRIZACI@ KRIWOJ WTOROGO PORQDKA. 2) pOSTROITX RACIONALXNU@ PARAMETRIZACI@ KRIWOJ y2 = x2 + x3. 3) nAJTI WSE RACIONALXNYE REENIQ URAWNENIQ x2 + y2 = p, GDE p | PROSTOE ^ISLO. 4) nAJTI WSE RACIONALXNYE REENIQ URAWNENIQ y2 = x2 + x3. 5) pUSTX RACIONALXNAQ KRIWAQ ZADANA URAWNENIEM g(x y) = 0, I y(x) | FUNKCIQ, ZADANNAQ NEQWNO \TIM URAWNENIEM. dOKAZATX, ^TO INTEGRAL g(x y(x))dx, WYRAVAETSQ ^EREZ \LEMENTARNYE FUNKCII. rASSMOTRETX W KA^ESTWE PRIMERA KRIWYE WTOROGO PORQDKA. 6) dOKAZATX, ^TO KRIWAQ y2 = x(x ; 1)(x ; 2) NE DOPUSKAET RACIONALXNOJ PARAMETRIZACII. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 45], gL.I, P. 1,2 55], gL.I, P. 1.

tEMA 3. sTRUKTURA GRUPPY NA KUBIKE pUSTX ; | KUBIKA NA KOMPLEKSNOJ PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, ZADANNAQ URAWNENIEM y2z = x(x ; z )(x ; 2z ) (RISUNOK 16). zAFIKSIRUEM TO^KU O NA ;. dLQ L@BYH TO^EK A B 2 ; OBOZNA^IM ^EREZ R TRETX@ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMOJ AB I ;. pROWEDEM PRQMU@ OR, ONA PERESE^ET ; E]E W ODNOJ TO^KE, OBOZNA^IM EE C . pOLOVIM A + B = C . oKAZYWAETSQ, \TA OPERACIQ ZADAET NA ; STRUKTURU ABELEWOJ GRUPPY, IZOMORFNOJ PROIZWEDENI@ GRUPP S 1 S 1 , GDE S 1 ESTX FAKTOR-GRUPPA R=Z , TOPOLOGI^ESKI 36

rIS. 16. kUBI^ESKAQ KRIWAQ y2z = x(x ; z )(x ; 2z ) USTROENNAQ KAK OKRUVNOSTX. tAKIM OBRAZOM, ; S TOPOLOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ ESTX TOR. pRI WYPOLNENII DANNOJ KURSOWOJ RABOTY PREDPOLAGAETSQ RAZOBRATXSQ W DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA (WESXMA NEPROSTOM), IZLOVENNOM W 45], gL. 1, 2, I REITX UPRAVNENIQ K \TOJ GLAWE.

2.3 |LEMENTY TEORII GRAFOW kONE^NYJ GRAF ESTX FIGURA, SOSTOQ]AQ IZ KONE^NOGO ^ISLA TO^EK (WERIN), SOEDINENNYH NEPERESEKA@]IMISQ KRIWYMI (DUGAMI). s POMO]X@ TEORII GRAFOW MOVNO REITX SAMYE RAZNOOBRAZNYE ZADA^I, NA37

^INAQ OT DETSKIH GOLOWOLOMOK, W KOTORYH TREBUETSQ WYQSNITX MOVNO LI NARISOWATX DANNU@ FIGURU, NE OTRYWAQ KARANDAA OT BUMAGI, I KON^AQ SLOVNEJIMI ZADA^AMI, WOZNIKA@]IMI W TEORII OPTIMIZACII. |LEMENTY TEORII GRAFOW ISPOLXZU@TSQ I PRI REENII OLIMPIADNYH ZADA^ (SM. 19]). nAPRIMER, RASSMOTRIM ZADA^U: DOKAZATX, ^TO ^ISLO L@DEJ, KOGDA-LIBO VIWIH NA zEMLE I SDELAWIH NE^ETNOE ^ISLO RUKOPOVATIJ, ^ETNO . zADA^A LEGKO REAETSQ S POMO]X@ SLEDU@]EGO RASSUVDENIQ. pOSTROIM GRAF, WERINY KOTOROGO | L@DI, KOGDA-LIBO VIWIE NA zEMLE, A DUGI | RUKOPOVATIQ. w TEORII GRAFOW DOKAZYWAETSQ TEOREMA O TOM, ^TO ^ISLO WERIN GRAFA, IZ KOTORYH WYHODIT NE^ETNOE ^ISLO DUG, QWLQETSQ ^ETNYM. iZ \TOJ TEOREMY NEMEDLENNO SLEDUET TREBUEMOE UTWERVDENIE.

tEMA 1. |JLEROWA HARAKTERISTIKA GRAFA rAZOBRATX PARAGRAF 4 KNIGI 17] I REITX ZADA^I W \TOM PARAGRAFE.

tEMA 2. iNDEKS PERESE^ENIQ gRAF NAZYWAETSQ WLOVIMYM W PLOSKOSTX, ESLI EGO MOVNO NARISOWATX NA PLOSKOSTI BEZ SAMOPERESE^ENIJ. uZNATX, DOPUSKAET LI GRAF WLOVENIE W PLOSKOSTX WESXMA SLOVNO, I TUT NA POMO]X PRIHODQT TOPOLOGI^ESKIE INWARIANTY. w NASTOQ]EJ KURSOWOJ RABOTE PREDPOLAGAETSQ IZU^ITX SWOJSTWA ODNOGO IZ OSNOWNYH TOPOLOGI^ESKIH INWARIANTOW | INDEKSA PERESE^ENIQ, S POMO]X@ KOTOROGO MOVNO REITX DANNU@ ZADA^U. rAZOBRATX PARAGRAF 5 KNIGI 17] I REITX ZADA^I W \TOM PARAGRAFE.

tEMA 3. pRIMENENIE TEORII GRAFOW K REENI@ OLIMPIADNYH ZADA^. rEITX ZADA^I IZ GLAW "gRAFY-1", "gRAFY-2" KNIGI 19]. 38

2.4 tOPOLOGI^ESKIE INWARIANTY POWERHNOSTEJ eWKLIDOWA GEOMETRIQ IZU^AET SWOJSTWA FIGUR, NE MENQ@]IHSQ PRI DWIVENIQH EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, TO ESTX PRI PREOBRAZOWANIQH PROSTRANSTWA, SOHRANQ@]IH RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI. mNOVESTWO POWERHNOSTEJ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA BESKONE^NO, W NEGO WHODQT, NAPRIMER, WYPUKLYE I NEWYPUKLYE MNOGOGRANNIKI, SFERY, KONUSY, CILINDRY, \LLIPSOIDY, GIPERBOLOIDY, PARABOLOIDY. s TO^KI ZRENIQ EWKLIDOWOJ GEOMETRII WSE \TI POWERHNOSTI RAZLI^NY, TO ESTX MY NE MOVEM SOWMESTITX \TI POWERHNOSTI KAK TWERDYE TELA S POMO]X@ DWIVENIQ. oDNAKO, ESLI PREDPOLOVITX, ^TO ONI SDELANY IZ REZINY, TO OKAZYWAETSQ, ^TO TETRA\DR, SFERA I DODEKA\DR | ODNA I TA VE POWERHNOSTX. s DRUGOJ STORONY, SFERA I TOR (BUBLIK) | \TO RAZNYE POWERHNOSTI. sWOJSTWA POWERHNOSTEJ, NE MENQ@]IESQ PRI NEPRERYWNOJ DEFORMACII, NAZYWA@TSQ TOPOLOGI^ESKIMI INWARIANTAMI. w NASTOQ]EE WREMQ IZWESTEN CELYJ RQD TOPOLOGI^ESKIH INWARIANTOW, S POMO]X@ KOTORYH, W ^ASTNOSTI, UDALOSX POSTROITX TOPOLOGI^ESKU@ KLASSIFIKACI@ ZAMKNUTYH POWERHNOSTEJ.

tEMA 1. oRIENTIRUEMYE I NEORIENTIRUEMYE POWERHNOSTI 1) rEITX ZADA^I IZ P. 10 KNIGI 17]. 2) dOKAZATX, ^TO SFERA ESTX ORIENTIRUEMAQ POWERHNOSTX, A PROEKTIWNAQ PLOSKOSTX | NEORIENTIRUEMAQ POWERHNOSTX. 3) pOSTROITX W QWNOM WIDE WLOVENIE BUTYLKI kLEJNA I PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI W ^ETYREHMERNOE PROSTRANSTWO. 4) pOSTROITX W QWNOM WIDE POGRUVENIE BUTYLKI kLEJNA I PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI W TREHMERNOE PROSTRANSTWO I NARISOWATX SOOTWETSTWU@]IE POWERHNOSTI S POMO]X@ KOMPX@TERA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 17], P. 10 31], gL. 4, P. 5. 39

tEMA 2. |JLEROWA HARAKTERISTIKA POWERHNOSTI I WEKTORNYE POLQ wOZXMEM NA POWERHNOSTI KONE^NOE MNOVESTWO TO^EK, I SOEDINIM IH DUGAMI TAK, ^TO WSQ POWERHNOSTX RAZBIWAETSQ NA KRIWOLINEJNYE TREUGOLXNIKI. ~ISLO V ; E + F , GDE V | ^ISLO TO^EK, E | ^ISLO DUG, F | ^ISLO TREUGOLXNIKOW, NE ZAWISIT OT RAZBIENIQ I NAZYWAETSQ \JLEROWOJ HARAKTERISTIKOJ POWERHNOSTI. 1) nAJTI \JLEROWU HARAKTERISTIKU SFERY, PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, TORA, BUTYLKI kLEJNA. 2) rEITX ZADA^I IZ P. 11 KNIGI 17]. 3) rEITX ZADA^I IZ P. 14 KNIGI 17]. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 17], P. 11, P. 14.

tEMA 3. tOPOLOGI^ESKAQ KLASSIFIKACIQ ZAMKNUTYH POWERHNOSTEJ 1) rAZOBRATX DOKAZATELXSTWA KLASSIFIKACIONNOJ TEOREMY DLQ POWERHNOSTEJ (17], P.12 31]). 2) rEITX ZADA^I IZ P. 12, P. 13 KNIGI 17]. 3) sOSTAWITX PROGRAMMU, KOTORAQ OPREDELQET TIP POWERHNOSTI, ESLI DANA EE RAZWERTKA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 17], P. 12, P. 13 31] gL. 4, 5.

2.5 sIMPLEKTI^ESKAQ GEOMETRIQ wEKTORNOE PROSTRANSTWO V , NA KOTOROM ZADANA SIMPLEKTI^ESKAQ FORMA, TO ESTX KOSOSIMMETRI^ESKAQ NEWYROVDENNAQ BILINEJNAQ FORMA !, NAZYWAETSQ SIMPLEKTI^ESKIM PROSTRANSTWOM. pRIMEROM SIMPLEKTI^ESKOJ FORMY SLUVIT KOSOE PROIZWEDENIE NA PLOSKOSTI. sIMPLEKTI^ESKOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ ANALOGOM EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, ESLI 40

RASSMATRIWATX SKALQRNOE PROIZWEDENIE (v w) = !(v w), NO, KONE^NO, SIMPLEKTI^ESKAQ GEOMETRIQ SOWERENNO NEPOHOVA NA EWKLIDOWU (K PRIMERU, L@BOJ WEKTOR ORTOGONALEN SAM SEBE). 1) dOKAZATX, ^TO RAZMERNOSTX SIMPLEKTI^ESKOGO PROSTRANSTWA ^ETNA. 2) sIMPLEKTI^ESKOE PREOBRAZOWANIE ESTX LINEJNOE OTOBRAVENIE A : V ! V TAKOE, ^TO !(Av Aw) = !(v w) DLQ L@BYH v w 2 V . A) dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO SIMPLEKTI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ S OPERACIEJ KOMPOZICII ESTX GRUPPA. B) dOKAZATX, ^TO OPREDELITELX MATRICY SIMPLEKTI^ESKOGO PREOBRAZOWANIQ RAWEN EDINICE. 3) pODPROSTRANSTWO W SIMPLEKTI^ESKOGO PROSTRANSTWA V NAZYWAETSQ IZOTROPNYM, ESLI !(w1 w2) = 0 DLQ L@BYH DWUH WEKTOROW w1 w2 2 W . iZOTROPNOE PODPROSTRANSTWO MAKSIMALXNOJ RAZMERNOSTI NAZYWAETSQ LAGRANVEWYM. A) dOKAZATX, ^TO ESLI W | LAGRANVEWO PODPROSTRANSTWO SIMPLEKTI^ESKOGO PROSTRANSTWA V , TO dim V = 2 dim W . B) dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH DWUH LAGRANVEWYH PODPROSTRANSTW SU]ESTWUET SIMPLEKTI^ESKOE PREOBRAZOWANIE, PEREWODQ]EE ODNO W DRUGOE. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 27] (x13), 53] (gLAWA 1, P. 2).

2.6 pROSTRANSTWA gALILEQ I mINKOWSKOGO pRINCIP OTNOSITELXNOSTI gALILEQ GLASIT, ^TO SU]ESTWU@T SISTEMY KOORDINAT (NAZYWAEMYE INERCIALXNYMI), KOTORYE OBLADA@T SLEDU@]IMI DWUMQ SWOJSTWAMI: 1) WSE ZAKONY PRIRODY WO WSE MOMENTY WREMENI ODINAKOWY WO WSEH INERCIALXNYH SISTEMAH KOORDINAT 2) WSE SISTEMY KOORDINAT, DWIVU]IESQ OTNOSITELXNO INERCIALXNOJ SISTEMY KOORDINAT RAWNOMERNO I PRQMOLINEJNO, INERCIALXNY. |TOT PRINCIP OPRE41

DELQET GEOMETRI^ESKIE SWOJSTWA PROSTRANSTWA-WREMENI NX@TONOWOJ MEHANIKI, NAZYWAEMOGO GALILEEWYM PROSTRANSTWOM. gEOMETRIQ PROSTRANSTWA-WREMENI NAKLADYWAET DOSTATO^NO VESTKIE OGRANI^ENIQ NA URAWNENIQ DWIVENIQ MATERIALXNYH TO^EK I TWERDYH TEL. |KSPERIMENT POKAZYWAET, ^TO DWIVENIE S OKOLOSWETOWYMI SKOROSTQMI NE MOVET BYTX OPISANO W RAMKAH NX@TONOWOJ MEHANIKI. dLQ OPISANIQ TAKOGO DWIVENIQ PRIMENQETSQ SPECIALXNAQ TEORIQ OTNOSITELXNOSTI |JNTEJNA, A GEOMETRIQ PROSTRANSTWA-WREMENI QWLQETSQ GEOMETRIEJ mINKOWSKOGO. cELX@ DANNOJ KURSOWOJ RABOTY QWLQETSQ IZU^ENIE GEOMETRI^ESKIH SWOJSTW PROSTRANSTW gALILEQ I mINKOWSKOGO, I IH FIZI^ESKIH PRILOVENIJ. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 6], 27].

2.7 tREHMERNAQ SFERA I WRA]ENIQ TREHMERNOGO EWKLIDOWA

PROSTRANSTWA

wRA]ENIEM n-MERNOGO ORIENTIROWANNOGO EWKLIDOWA WEKTORNOGO PROSTRANSTWA En NAZYWAETSQ IZOMETRIQ A : En ! En , SOHRANQ@]AQ ORIENTACI@. mNOVESTWO WRA]ENIJ En S OPERACIEJ KOMPOZICII OBRAZUET GRUPPU, OBOZNA^AEMU@ SO(n). iZU^ENIE GRUPP SO(n) PRI RAZNYH n PREDSTAWLQET INTERES NE TOLXKO S TO^KI ZRENIQ EWKLIDOWOJ GEOMETRII, NO I MEHANIKI. nAPRIMER, SWOJSTWA GRUPPY SO(3) ISPOLXZU@TSQ PRI OPISANII WRA]ENIQ TWERDOGO TELA WOKRUG NEPODWIVNOJ TO^KI. l@BOJ \LEMENT GRUPPY SO(2) WRA]ENIJ PLOSKOSTI ZADAETSQ UGLOM POWOROTA, PO\TOMU SO(2) ODNOMERNA I S TOPOLOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ PREDSTAWLQET SOBOJ OKRUVNOSTX. gRUPPA SO(3) USTROENA ZNA^ITELXNO SLOVNEE, NO OKAZYWAETSQ, ^TO ONA TESNO SWQZANA S TREHMERNOJ SFEROJ S 3 | POWERHNOSTX@, ZADAWAEMOJ URAWNENIEM x21 + x22 + x23 + x24 = 1 W 42

^ETYREHMERNOM PROSTRANSTWE. pRI WYPOLNENII DANNOJ KURSOWOJ PREDPOLAGAETSQ DOKAZATX, ^TO NA TREHMERNOJ SFERE S 3 SU]ESTWUET OPERACIQ UMNOVENIQ, PREWRA]A@]AQ S 3 W GRUPPU, I SU]ESTWUET S@R_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM  : S 3 ! SO(3), QDRO KOTOROGO ESTX GRUPPA Z2 = f;1 1g. tAKVE PREDPOLAGAETSQ NAJTI INTERPRETACI@ KRIWYH I POWERHNOSTEJ, RASPOLOVENNYH NA TREHMERNOJ SFERE, S POMO]X@ WRA]ENIJ TREHMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 27] (x11).

2.8 gRUPPY ZAMO]ENIJ s DREWNEJIH WREMEN ARHITEKTORY UKRAA@T ZDANIQ POWTORQ@]IMISQ UZORAMI | ORNAMENTAMI. iH MOVNO WIDETX WS@DU | NA NARUVNYH STENAH DOMOW, WO WNUTRENNIH POME]ENIQH: NA POLU, NA POTOLKE, NA STENAH. oRNAMENTAMI UKRAA@T POSUDU I ODEVDU, POWTORQ@]IESQ MOTIWY ^ASTO ISPOLXZU@TSQ W VIWOPISI (WPE^ATLQ@]IJ PRIMER | GRAW@RY |ERA). kAVETSQ, ^TO RAZNOOBRAZIE ORNAMENTOW BESKONE^NO, NO \TO NE SOWSEM TAK. dOPUSTIM, MASTER-PARKET^IK, SOZDA@]IJ ORNAMENT, ZAPOLNQET DANNYJ U^ASTOK PLOSKOSTI, STANDARTNYMI PLITKAMI, S ODNOJ STORONY KOTORYH NANESEN UZOR. oKAZYWAETSQ, ^TO SU]ESTWUET TOLXKO PQTX RAZLI^NYH SPOSOBOW ZAMOSTITX PLOSKOSTX PLITKAMI (DWA IZ NIH IZOBRAVENY NA RISUNKE 17). sTROGOE MATEMATI^ESKOE DOKAZATELXSTWO \TOGO FAKTA OPIRAETSQ NA TEORI@ DISKRETNYH GRUPP IZOMETRI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI (14], gL. 1). tEORIQ DISKRETNYH GRUPP PREOBRAZOWANIJ ISKL@^ITELXNO SODERVATELXNA S MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ I IMEET MNOGO^ISLENNYE PRILOVENIQ KAK W SAMOJ MATEMATIKE (NAPRIMER, L@BAQ ZAMKNUTAQ POWERHNOSTX ESTX FAKTOR-PROSTRANSTWO PLOSKOSTI PO DEJSTWI@ DISKRETNOJ GRUPPY PREOBRAZOWANIJ ), TAK I W 43

FIZIKE (NAPRIMER, PRI OPISANII KRISTALLOW). rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 14]. 1) rAZOBRATX DOKAZATELXSTWO UTWERVDENIQ O TOM, ^TO SU]ESTWUET TOLXKO PQTX ZAMO]ENIJ PLOSKOSTI ODNOSTORONNIMI PLITKAMI, PRIWEDENNOE W 14] (gLAWA I, P. 1.7), I WOSSTANOWITX PROPU]ENNYE DETALI. 2) nAJTI WSE ZAMO]ENIQ PLOSKOSTI DWUSTORONNIMI PLITKAMI. 3) nAJTI WSE ZAMO]ENIQ DWUMERNOJ SFERY. 4) nAJTI ZAMO]ENIQ TORA I BUTYLKI kLEJNA. 5) dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET BESKONE^NOE ^ISLO TIPOW ZAMO]ENIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO.

2.9 pRIWEDENIE KRIWOJ I POWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA K KA-

NONI^ESKOMU WIDU S POMO]X@ KOMPX@TERA

w KURSE ANALITI^ESKOJ GEOMETRII REAETSQ ZADA^A O PRIWEDENII OB]EGO URAWNENIQ KRIWOJ (POWERHNOSTI) WTOROGO PORQDKA K KANONI^ESKOMU WIDU I NAHOVDENIQ KANONI^ESKOJ SISTEMY KOORDINAT DLQ \TOJ KRIWOJ (POWERHNOSTI). oDNAKO, PRI REENII \TOJ ZADA^I PRIHODITSQ PRODELYWATX TRUDOEMKIE WY^ISLENIQ, OSOBENNO DLQ POWERHNOSTI. pO\TOMU, POLEZNO NAPISATX PROGRAMMU, REA@]U@ DANNU@ ZADA^U. nAPISATX PROGRAMMU, RABOTA@]U@ SLEDU@]IM OBRAZOM. pOLXZOWATELX WWODIT KO\FFICIENTY OB]EGO URAWNENIQ KRIWOJ (POWERHNOSTI) WTOROGO PORQDKA. pROGRAMMA WYWODIT 1) KANONI^ESKOE URAWNENIE 2) FORMULY PREOBRAZOWANIQ IZ ISHODNOJ SISTEMY KOORDINAT W KANONI^ESKU@ SISTEMU KOORDINAT 3) RISUNOK KRIWOJ (POWERHNOSTI) W ISHODNOJ SISTEME KOORDINAT.

44

rIS. 17. zAMO]ENIQ PLOSKOSTI

45

2.10 pOSTROENIE ZAME^ATELXNYH KRIWYH S POMO]X@ PAKETA Mathematica cELX@ DANNOJ KURSOWOJ QWLQETSQ POSTROENIE ZAME^ATELXNYH KRIWYH, OPISANNYH W KNIGE 48], I ISSLEDOWANIE IH SWOJSTW S POMO]X@ PAKETA Mathematica.

rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48].

3

tEMY, PREDLOVENNYE fOMINYM w.e.

3.1 pLOSKIE KRIWYE pLOSKIE KRIWYE | ODIN IZ OB_EKTOW, PRI IZU^ENII KOTORYH ISPOLXZU@TSQ REZULXTATY, POLU^ENNYE W LEKCIONNYH KURSAH PO ANALITI^ESKOJ I DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRIQM. oDNI IZ \TIH KRIWYH INTERESNY W TEORETI^ESKOM OTNOENII, DRUGIE NAHODQT PRAKTI^ESKOE PRIMENENIE, TRETXI OBLADA@T ORIGINALXNYMI OSOBENNOSTQMI FORMY, ^ETW
tEMA 1. uLITKA pASKALQ, E< SWOJSTWA I PRIMENENIE rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VI, x2.

tEMA 2. sPIRALX aRHIMEDA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, xx1, 2. 46

tEMA 3. lOGARIFMI^ESKAQ SPIRALX rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x4.

tEMA 4. cEPNAQ LINIQ rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x5.

tEMA 5. tRAKTRISA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x6.

tEMA 6. cIKLOIDA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x11, 16].

tEMA 7. pOGONNAQ KRIWAQ rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x14.

tEMA 8. |WOLXWENTA OKRUVNOSTI rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x13.

tEMA 9. |PICIKLOIDY I GIPOCIKLOIDY rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x3, PP. 1-3.

tEMA 10. kRIWYE {TURMA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x12.

47

3.2 kWATERNIONY I DRUGIE GIPERKOMPLEKSNYE ^ISLA e]< W KOLXNOM KURSE ALGEBRY MY OBNARUVILI, KAKIE UDOBSTWA I PREIMU]ESTWA PREDSTAWLQET PEREHOD OT WE]ESTWENNYH ^ISEL K KOMPLEKSNYM. kWATERNIONY PREDSTAWLQ@T SOBOJ OBOB]ENIE PONQTIQ KOMPLEKSNOGO ^ISLA I NAHODQT IROKOE PRIMENENIE W ALGEBRE I GEOMETRII. kURSOWAQ RABOTA NA \TU TEMU BUDET PREDSTAWLQTX IZ SEBQ OZNAKOMLENIE SO SWOJSTWAMI KWATERNIONOW, IH PRIMENENIEM W GEOMETRII TR
3.3 gEOMETRIQ PSEWDOEWKLIDOWOJ PLOSKOSTI pSEWDOEWKLIDOWA PLOSKOSTX OTLI^AETSQ OT EWKLIDOWOJ TEM, ^TO KWADRAT DLINY WEKTORA MOVET BYTX OTRICATELXNYM ILI RAWNYM NUL@, HOTQ SAM WEKTOR NENULEWOJ. pRIMEROM TAKOGO PROSTRANSTWA, PRAWDA, NE DWUMERNOGO, A ^ETYR
3.4 lINEJNAQ ALGEBRA I \LEMENTARNAQ GEOMETRIQ pREDLAGAEMYE DLQ SAMOSTOQTELXNOGO IZU^ENIQ TEMY KURSOWOJ RABOTY PREDSTAWLQ@T SOBOJ OTDELXNYE PARAGRAFY KNIGI vANA dXEDONNE "lINEJNAQ ALGEBRA I \LEMENTARNAQ GEOMETRIQ". aWTOR KNIGI, ODIN IZ OSNOWATELEJ ZNAMENITOJ GRUPPY MATEMATIKOW n.bURBAKI, POLNOSTX@ PORWAL S TRADICIONNYM IZLOVENIEM GEOMETRII W SREDNEJ KOLE I 48

PRINORAWLIWAETSQ ISKL@^ITELXNO K PROGRAMMAM UNIWERSITETOW I POLITEHNI^ESKIH INSTITUTOW. tO, ^TO K \TIM PROGRAMMAM OTNOENIQ NE IMEET, BYLO IZ_QTO IZ TEKSTA I DAVE IZ UPRAVNENIJ. w \TOJ KNIGE WY NE WSTRETITE NI ^ERTEVEJ, NI ZADA^ NA TREUGOLXNIKI, NA POSTROENIE "CIRKULEM I LINEJKOJ". nAPROTIW, AWTOR STARAETSQ KAK MOVNO RANXE WWESTI PONQTIQ, KOTORYE BUDUT OSNOWNYMI NA PERWOM KURSE wuzA: LINEJNOE I POLILINEJNOE OTOBRAVENIQ, SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ OPERATORA, GRUPPA ILI KOLXCO OPERATOROW. bOLEE GLUBOKIE REZULXTATY OTNESENY W UPRAVNENIQ. rEENIE NEKOTORYH IZ \TIH UPRAVNENIJ BUDET SOSTAWLQTX SAMOSTOQTELXNU@ ^ASTX KURSOWOJ RABOTY.

tEMA 1. lINEJNYE OTOBRAVENIQ WEKTORNYH PROSTRANSTW. pOLNAQ LINEJNAQ GRUPPA WEKTORNOGO PROSTRANSTWA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], PP. 3.2.1, 3.2.3-3.2.10, 4.1.13, 4.1.14 A, S. 62, UPR. 2-4, 9, 10.

tEMA 2. pROEKTIROWANIQ I INWOL@CII WEKTORNOGO PROSTRANSTWA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], PP. 3.2.2, 3.2.11, S. 62, UPR. 1, 5,

14.

tEMA 3. pOLILINEJNYE OTOBRAVENIQ WEKTORNYH PROSTRANSTW rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], PP. 3.2.12- 3.2.16, S. 63, UPR. 6-8.

tEMA 4. aFFINNYE OTOBRAVENIQ WEKTORNYH PROSTRANSTW rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], PP. 3.2.17-3.2.20, S. 64, UPR. 11-13.

49

WA

tEMA 5. pRQMYE I GIPERPLOSKOSTI WEKTORNOGO PROSTRANST-

rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], PP. 3.3.1, 3.3.2, 3.3.5, 3.3.6, 3.3.8, 3.3.9, 4.1.15, 4.1.16, S. 71, UPR. 1-5.

tEMA 6. mATRICY I \NDOMORFIZMY WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. pODGRUPPY POLNOJ LINEJNOJ GRUPPY WEKTORNOJ PLOSKOSTI rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], GLAWA 4, x1, S. 88, UPR. 1-4, 6(a).

tEMA 7. oPREDELITELI \NDOMORFIZMOW WEKTORNOJ PLOSKOSTI rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], S. 103, UPR. 1, 3-5, 10.

3.5 dOPOLNITELXNYE GLAWY DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII

tEMA 1. sFERI^ESKOE OTOBRAVENIE POWERHNOSTI I TRETXQ KWADRATI^NAQ FORMA POWERHNOSTI sFERI^ESKOE OTOBRAVENIE KAVDOJ TO^KE POWERHNOSTI STAWIT W SOOTWETSTWIE TO^KU NA SFERE S RADIUS-WEKTOROM, RAWNYM ORTU NORMALI POWERHNOSTI. |TO OTOBRAVENIE POROVDAET NEKOTORYE OB_EKTY (OPERATOR wEJNGARTENA, TRETX@ KWADRATI^NU@ FORMU), KOTORYE HARAKTERIZU@T SWOJSTWA SAMOJ POWERHNOSTI. sAMOSTOQTELXNAQ ^ASTX KURSOWOJ RABOTY BUDET PREDSTAWLQTX REENIE ZADA^ NA DANNU@ TEMU IZ ZADA^NIKOW PO DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 33], 35], S. 151, ZAD. 19 43], 50], ZAD. 838, 839 51].

50

tEMA 2. kRIWYE bERTRANA dWE PROSTRANSTWENNYE KRIWYE NAZYWA@TSQ KRIWYMI bERTRANA, ESLI ONI IME@T OB]IE GLAWNYE NORMALI. iZU^ENIE SWOJSTW TAKIH KRIWYH I REENIE ZADA^ BUDET SOSTAWLQTX SODERVANIE KURSOWOJ RABOTY. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 33], xx57-60 35], S. 71-72, ZAD. 8-10.

tEMA 3. pOWERHNOSTI WRA]ENIQ I IH OBOB]ENIQ oGIBA@]AQ ODNOPARAMETRI^ESKOGO SEMEJSTWA SFER NAZYWAETSQ KANALOWOJ POWERHNOSTX@. eSLI CENTRY SFER LEVAT NA PRQMOJ, TO POLU^AEM POWERHNOSTX WRA]ENIQ, A ESLI RADIUSY SFER POSTOQNNY, TO | KANALOWU@ POWERHNOSTX. iZU^ENIE SWOJSTW TAKIH POWERHNOSTEJ I REENIE ZADA^ BUDET SOSTAWLQTX SODERVANIE KURSOWOJ RABOTY. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 33], 34] xx30-33 35], S. 107, ZAD. 15, S. 151, ZAD. 23.

tEMA 4. aSIMPTOTY PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ aSIMPTOTY PLOSKOJ I PROSTRANSTWENNOJ KRIWYH | ODNA IZ HARAKTERISTIK FORMY KRIWOJ. mETODY NAHOVDENIQ ASIMPTOT I REENIE ZADA^ SOSTAWLQ@T SODERVANIE KURSOWOJ RABOTY. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 33], 35], S. 28, ZAD. 5, 6.

tEMA 5. pOWERHNOSTI PERENOSA eSLI W PROSTRANSTWE DANY DWE KRIWYE L1 L2, PERESEKA@]IESQ W TO^KE M0, I TO^KA M0 WMESTE S KRIWOJ L1 PARALLELXNO PERENOSITSQ WDOLX KRIWOJ L2, TO PRI TAKOM DWIVENII KRIWAQ L1 OPISYWAET POWERHNOSTX, NAZYWAEMU@ POWERHNOSTX@ PERENOSA. iZU^ENIE SWOJSTW TAKIH POWERHNOSTEJ I REENIE ZADA^ BUDUT SOSTAWLQTX SODERVANIE KURSOWOJ RABOTY. 51

rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 34] x68 35], S. 88, ZAD. 7, 8, S. 106, ZAD. 2, S. 124, ZAD.14, S. 148, ZAD. 8.

tEMA 6. tRIORTOGONALXNYE SISTEMY POWERHNOSTEJ eSLI W TR
tEMY, PREDLOVENNYE {APUKOWYM b.n.

4.1 gRUPPY PREOBRAZOWANIJ mNOVESTWO G NAZYWAETSQ GRUPPOJ, ESLI DLQ L@BOJ PARY EGO \LEMENTOW OPREDELENA OPERACIQ GRUPPOWOGO UMNOVENIQ c = ab 2 G, UDOWLETWORQ@]AQ SLEDU@]IM USLOWIQM: 1) ASSOCIATIWNOSTX: (ab)c = a(bc) DLQ L@BYH a b c 2 G 2) SU]ESTWOWANIE EDINI^NOGO \LEMENTA GRUPPY e 2 G: ae = ea = a DLQ L@BOGO a 2 G 3) DLQ L@BOGO a 2 G SU]ESTWUET OBRATNYJ \LEMENT a;1 2 G : aa;1 =

a;1a = e. gRUPPY G I G0 NAZYWA@TSQ IZOMORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE ' : G ! G0 , TAKOE, ^TO '(ab) = '(a)'(b). oSOBOE ZNA^ENIE W MATEMATIKE I EE PRILOVENIQH IME@T GRUPPY, \LEMENTY KOTORYH | PREOBRAZOWANIQ NEKOTOROGO MNOVESTWA M , T.E. EGO BIEKTIWNYE OTOBRAVENIQ NA SEBQ f : M ! M . nAPRIMER, ESLI M | EWKLIDOWA PLOSKOSTX, TO EE PREOBRAZOWANIQMI QWLQ@TSQ PERENOSY, 52

WRA]ENIQ WOKRUG ZADANNOJ TO^KI, DWIVENIQ, SIMMETRII OTNOSITELXNO ZADANNOJ PRQMOJ I T.P. eSLI NA PLOSKOSTI WYBRANA NEKOTORAQ SISTEMA KOORDINAT, TO PREOBRAZOWANIQ MOVNO ZAPISATX ANALITI^ESKI: KOORDINATY PREOBRAZOWANNOJ TO^KI QWLQ@TSQ NEKOTORYMI FUNKCIQMI OT KOORDINAT ISHODNOJ TO^KI x0 = f 1(x y) y0 = f 2 (x y):

wID \TIH FUNKCIJ ZAWISIT KAK OT RASSMATRIWAEMOGO PREOBRAZOWANIQ, TAK I OT WIDA WYBRANNYH KOORDINAT. nAPRIMER, WRA]ENIQ PLOSKOSTI W PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH IME@T WID

x0 = x cos ; y sin y0 = x sin + y cos zDESX NA^ALO KOORDINAT | CENTR WRA]ENIQ,  | ORIENTIROWANNYJ UGOL POWOROTA. tO VE PREOBRAZOWANIE W POLQRNYH KOORDINATAH (r ) IMEET DRUGOJ WID: r0 = r 0 =  + . eSLI G | GRUPPA PREOBRAZOWANIJ MNOVESTWA M , TO UMNOVENIE W NEJ OPREDELQETSQ FORMULOJ g  f (A) = g(f (A)) A 2 M . tOGDA USLOWIE ASSOCIATIWNOSTI WYPOLNENO AWTOMATI^ESKI, EDINICEJ SLUVIT TOVDESTWENNOE PREOBRAZOWANIE IdM , A \LEMENTOM, OBRATNYM K PREOBRAZOWANI@ f QWLQETSQ OBRATNOE K NEMU PREOBRAZOWANIE f ;1 : f  f ;1 = f ;1  f = IdM . nAPRIMER, DWIVENIQ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI W PRQMOUGOLXNYH KOORDI-

NATAH IME@T WID

x0 = x cos ; y sin + a1 y0 = x sin + y cos + a2 nETRUDNO PODS^ITATX, ^TO PROIZWEDENIEM DWUH DWIVENIJ S PARAMETRAMI (a1 a2 ) I (b1 b2  ) QWLQETSQ DWIVENIE S PARAMETRAMI c1 = a1cos ; a2sin + b1 c2 = a1sin + a2cos + b2  =  + : |TI FORMULY, PO SU]ESTWU, OPREDELQ@T ZAKON UMNOVENIQ W \TOJ GRUPPE. 53

tE SWOJSTWA FIGUR, KOTORYE NE IZMENQ@TSQ PRI PREOBRAZOWANIQH DANNOJ GRUPPY G, NAZYWA@TSQ INWARIANTNYMI. oNI OBRAZU@T GEOMETRI@ DANNOJ GRUPPY. eSLI PODMNOVESTWO N
M PRI DEJSTWII GRUPPY PREOBRAZUETSQ W SEBQ, ONO NAZYWAETSQ INWARIANTNYM. eSLI FUNKCIQ I (A1 : : : Ak ), ZADANNAQ NA MNOVESTWE M , NE IZMENQET SWOIH ZNA^ENIJ PRI PREOBRAZOWANIQH GRUPPY, ONA NAZYWAETSQ INWARIANTOM \TOJ GRUPPY. nAPRIMER, SWOJSTWO PARALLELXNOSTI PARY PRQMYH NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI QWLQETSQ INWARIANTNYM PRI PREOBRAZOWANIQH GRUPPY DWIVENIJ, A RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI ESTX INWARIANT \TOJ GRUPPY. oKRUVNOSTI S CENTROM W NEKOTOROJ TO^KE QWLQ@TSQ INWARIANTNYMI PODMNOVESTWAMI OTNOSITELXNO GRUPPY WRA]ENIJ WOKRUG \TOJ TO^KI. oTYSKANIE INWARIANTNYH SWOJSTW, INWARIANTNYH PODMNOVESTW I INWARIANTOW DANNOJ GRUPPY QWLQETSQ UWLEKATELXNOJ I WAVNOJ ZADA^EJ. sLEDU@]IE ZADANIQ SWQZANY S IZU^ENIEM SWOJSTW NEKOTORYH GRUPP PREOBRAZOWANIJ PLOSKOSTI.

tEMA 1. gRUPPA AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ PLOSKOSTI pREOBRAZOWANIE PLOSKOSTI M NAZYWAETSQ AFFINNYM, ESLI WSQKIE TRI KOLLINEARNYE TO^KI, T.E. TO^KI, PRINADLEVA]IE ODNOJ PRQMOJ, PEREHODQT W KOLLINEARNYE TO^KI. |TO RAWNOSILXNO TOMU, ^TO NEKOLLINEARNYE TO^KI PREOBRAZU@TSQ TAKVE W NEKOLLINEARNYE. dOKAZATX, ^TO: 1) wSQKOE AFFINNOE PREOBRAZOWANIE IMEET WID r0 = Ar + a, GDE A | NEOSOBENNYJ LINEJNYJ OPERATOR, a | WEKTOR, I, SLEDOWATELXNO, ONO OPREDELQETSQ PAROJ (A a). w DEKARTOWYH KOORDINATAH PREOBRAZOWANIE ZADAETSQ LINEJNYMI FUNKCIQMI x0 = a11x + a12y + a1 y0 = a21x + a22y + a2  = det(aij ) 6= 0: 54

2) aFFINNOE PREOBRAZOWANIE ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ ZADANIEM PARY REPEROW PLOSKOSTI. 3) aFFINNYE PREOBRAZOWANIQ OBRAZU@T GRUPPU  Aff ! (M ). |TA GRUPPA IZOMORFNA GRUPPE (3 3)-MATRIC WIDA A a . zAPISATX ZAKON 0 1

UMNOVENIQ PREOBRAZOWANIJ I OBRATNOE PREOBRAZOWANIE W TERMINAH PAR (A a). 4) aFFINNYE PREOBRAZOWANIQ SOHRANQ@T PARALLELXNOSTX PRQMYH. 5) oTNOENIE TREH KOLLINEARNYH TO^EK  = (AB C ), OPREDELQEMOE ;! ;;! RAWENSTWOM ; AC = CB , QWLQETSQ INWARIANTOM GRUPPY Aff (M ). 6) l@BYE DWA TREUGOLXNIKA NA PLOSKOSTI AFFINNO-\KWIWALENTNY. dLQ TOGO, ^TOBY BYLI AFFINNO-\KWIWALENTNY DWA 4-UGOLXNIKA, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY BYLI RAWNY OTNOENIQ, W KOTORYH DELQTSQ IH DIAGONALI.

tEMA 2. pODGRUPPY AFFINNOJ GRUPPY pUSTX G | GRUPPA. pODMNOVESTWO H
G NAZYWAETSQ PODGRUPPOJ, ESLI ONO QWLQETSQ GRUPPOJ OTNOSITELXNO TOJ VE OPERACII UMNOVENIQ. pODGRUPPA NAZYWAETSQ NORMALXNYM DELITELEM, ESLI ONA UDOWLETWORQET USLOWI@ aHa;1 = H . nAPRIMER, ESLI G | GRUPPA DWIVENIJ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI, TO PODMNOVESTWO WRA]ENIJ S CENTROM W L@BOJ FIKSIROWANNOJ TO^KE QWLQETSQ PODGRUPPOJ. pODGRUPPU, I DAVE NORMALXNYJ DELITELX, OBRAZUET TAKVE PODMNOVESTWO PARALLELXNYH PERENOSOW: x0 = x + a1 y0 = y + a2.

pODGRUPPY PREOBRAZOWANIJ ^ASTO WOZNIKA@T W GEOMETRII ESTESTWENNYM OBRAZOM. nAPRIMER, ESLI ZADANO PODMNOVESTWO F
M , TO SOWOKUPNOSTX H
G TEH PREOBRAZOWANIJ GRUPPY G, KOTORYE PREOBRAZU@T EGO W SEBQ, OBRAZU@T PODGRUPPU, NAZYWAEMU@ GRUPPOJ SIMMETRIJ MNOVESTWA F . tAK, RASSMATRIWAQ DWIVENIQ NA PLOSKOSTI, MOVNO GOWORITX 55

O GRUPPE SIMMETRIJ KWADRATA. eSLI VE I | NEKOTORAQ FUNKCIQ NA M , TO PODGRUPPU W G OBRAZU@T TE PREOBRAZOWANIQ, KOTORYE OSTAWLQ@T \TU FUNKCI@ INWARIANTNOJ. sLEDU@]IE ZADA^I SWQZANY S RASSMOTRENIEM RAZLI^NYH PODGRUPP AFFINNOJ GRUPPY PREOBRAZOWANIJ NA PLOSKOSTI. 1) pOKAVITE, ^TO MNOVESTWO PARALLELXNYH PERENOSOW r0 = r + a PLOSKOSTI OBRAZU@T PODGRUPPU I, BOLEE TOGO, NORMALXNYJ DELITELX GRUPPY Aff (M ) AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ. |TA PODGRUPPA IZOMORFNA GRUPPE WEKTOROW PLOSKOSTI S OPERACIEJ SLOVENIQ c = a + b (WEKTORNAQ GRUPPA). 2) pOKAZATX, ^TO PODMNOVESTWO Aff0(M ) GRUPPY AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ, OSTAWLQ@]IH NEPODWIVNOJ FIKSIROWANNU@ TO^KU, ESTX PODGRUPPA (CENTROAFFINNAQ GRUPPA). oNA IZOMORFNA GRUPPE GL(2) LINEJNYH OPERATOROW 2-MERNOGO WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. 3) pOKAZATX, ^TO AFFINNAQ GRUPPA S ESTESTWENNYM OBRAZOM OPREDELENNOJ TOPOLOGIEJ 2-SWQZNA. pOKAZATX, ^TO SWQZNAQ KOMPONENTA EDINICY ESTX PODGRUPPA Aff + (M ) TAKIH AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ, KOTORYE SOHRANQ@T ORIENTACI@ FIGUR. 4) pUSTX NA PLOSKOSTI ZADANA NEKOTORAQ OSX l. rASSMOTRIM PREOBRAZOWANIQ, KOTORYE KAVDU@ TO^KU \TOJ OSI OSTAWLQ@T NEPODWIVNOJ, A ESLI TO^KA A EJ NE PRINADLEVIT, TO ONA PREOBRAZUETSQ W TO^KU A0 = f (A) ;! TAKU@, ^TO ; AA0 jjl. tAKOE PREOBRAZOWANIE NAZYWAETSQ SDWIGOM WDOLX OSI l. pOKAZATX, ^TO SDWIG QWLQETSQ AFFINNYM PREOBRAZOWANIEM. oBRAZU@T LI SDWIGI S DANNOJ OSX@ PODGRUPPU AFFINNOJ GRUPPY?

tEMA 3. oDNOPARAMETRI^ESKIE PODGRUPPY AFFINNOJ GRUPPY mNOVESTWO PREOBRAZOWANIJ AFFINNOJ GRUPPY r0 = Ar+a NA PLOSKOS56

TI ZAWISIT OT ESTI PARAMETROW: ^ETYRE IZ NIH OPREDELQ@T MATRICU LINEJNOGO OPERATORA I DWA | WEKTOR PERENOSA a. pRI \TOM TOVDESTWENNOE PREOBRAZOWANIE (EDINICA GRUPPY) SOOTWETSTWUET ZNA^ENIQM A = E , a = 0. pOLOVIW A = A(t), a = a(t), t 2 R, POLU^IM ODNOPARAMETRI^ESKOE MNOVESTWO PREOBRAZOWANIJ. eSLI \TO MNOVESTWO ESTX GRUPPA, TO ONA NAZYWAETSQ ODNOPARAMETRI^ESKOJ. wOPROS: pRI KAKIH USLOWIQH ODNOPARAMETRI^ESKOE MNOVESTWO PREOBRAZOWANIJ OBRAZUET GRUPPU? pUSTX r(x y) | PROIZWOLXNAQ TO^KA PLOSKOSTI. dEJSTWUQ NA NEE PREOBRAZOWANIQMI ODNOPARAMETRI^ESKOJ GRUPPY, POLU^IM KRIWU@ r(t) = A(t)r + a(t) | ORBITU \TOJ TO^KI. mOVNO S^ITATX, ^TO NA^ALXNAQ TO^KA ORBITY SOOTWETSTWUET ZNA^ENI@ PARAMETRA t = 0. kASATELXNYJ WEKTOR ORBITY, WY^ISLENNYJ W NA^ALXNOJ TO^KE, IMEET WID ddtr jt=0 = V r + v,



!

v11 v21 GDE V = 2 2 | (2 2)-MATRICA, v = (v1 v2 ) | WEKTOR. v1 v2 1) pOKAZATX, ^TO PARA (V v) ODNOZNA^NO OPREDELQET ODNOPARAMETRI^ESKU@ GRUPPU PRI ;1 < t < 1. 2) zAPISATX KANONI^ESKIE WIDY MATRICY V NAD POLEM WE]ESTWENNYH ^ISEL R, ISPOLXZUQ PREOBRAZOWANIQ V 0 = TV T ;1 . 3) iNTEGRIRUQ URAWNENIQ dx dy = v11 x + v21y + v1 v12x + v22y + v2  DLQ \TIH KANONI^ESKIH WIDOW I RASSMATRIWAQ RAZLI^NYE SLU^AI, POLU^ITX KLASSIFIKACI@ ODNOPARAMETRI^ESKIH PODGRUPP. 3) nAJTI PREOBRAZOWANIQ \TIH PODGRUPP I SOOTWETSTWU@]IE ORBITY. 4) nAJTI, W ^ASTNOSTI, ODNOPARAMETRI^ESKIE PODGRUPPY GRUPPY DWIVENIJ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI. 57

tEMA 4. gRUPPA DWIVENIJ PLOSKOSTI I IH KLASSIFIKACIQ dWIVENIEM (ILI IZOMETRIEJ) NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIE A0 = f (A), KOTOROE SOHRANQET RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI: d(A0 B 0 ) = d(AB ). |TO RAWNOSILXNO INWARIANTNOSTI SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW. pRIMERAMI DWIVENIJ QWLQ@TSQ PERENOSY, WRA]ENIQ, SIMMETRII OTNOSITELXNO PRQMYH. dOKAZATX SLEDU@]IE SWOJSTWA DWIVENIJ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI: 1) wSQKOE DWIVENIE PREOBRAZUET PRQMYE W PRQMYE I, SLEDOWATELXNO, QWLQETSQ AFFINNYM PREOBRAZOWANIEM. 2) dWIVENIE ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ PAROJ ORTONORMIROWANNYH REPEROW. 3) sOWOKUPNOSTX WSEH DWIVENIJ Iso(M )
Aff (M ) OBRAZUET PODGRUPPU AFFINNOJ GRUPPY. 4) gRUPPA DWIVENIJ SOSTOIT IZ DWUH KOMPONENT SWQZNOSTI. pRI \TOM DWIVENIQ, SOHRANQ@]IE ORIENTACI@ FIGUR, OBRAZU@T PODGRUPPU, SOSTOQ]U@ IZ SOBSTWENNYH DWIVENIJ Iso+(M ), SWQZNU@ KOMPONENTU EDINICY. 5) sIMMETRIQ OTNOSITELXNO PRQMOJ ESTX DWIVENIE NESOBSTWENNOE. pROIZWEDENIE DWUH SIMMETRIJ ESTX LIBO PERENOS, LIBO WRA]ENIE. pROIZWOLXNOE DWIVENIE RAZLAGAETSQ W PROIZWEDENIE NE BOLEE, ^EM TREH SIMMETRIJ. 6) dATX KLASSIFIKACI@ DWIVENIJ PLOSKOSTI, RASSMATRIWAQ NEPODWIVNYE TO^KI. 7) pUSTX G
Aff (M ) | PODMNOVESTWO AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ PLOSKOSTI, SOHRANQ@]IH PSEWDOSKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW. pOKAZATX, ^TO \TO PODGRUPPA (GRUPPA PSEWDOEWKLIDOWYH DWIVENIJ). nAJTI EE PREOBRAZOWANIQ W PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH. pOKAZATX, ^TO ONA SOSTOIT IZ ^ETYREH SWQZNYH KOMPONENT I WYQSNITX IH GEOMETRI^ESKIJ 58

SMYSL.

tEMA 5. gRUPPA SIMMETRIJ FIGURY pUSTX M | EWKLIDOWA PLOSKOSTX I F
M | NEKOTOROE PODMNOVESTWO EE TO^EK (FIGURA). sOWOKUPNOSTX DWIVENIJ G
Iso(M ) PLOSKOSTI, PREOBRAZU@]IH FIGURU W SEBQ, OBRAZU@T PODGRUPPU, KOTORAQ NAZYWAETSQ GRUPPOJ SIMMETRIJ \TOJ FIGURY. pREOBRAZOWANIQMI \TOJ GRUPPY MOGUT BYTX SIMMETRII OTNOSITELXNO PRQMOJ (OSI SIMMETRII), CENTRALXNAQ SIMMETRIQ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ TO^KI (CENTRA SIMMETRII), PERENOSY, WRA]ENIQ. cENTRY SIMMETRIJ, OSI SIMMETRIJ NAZYWA@TSQ \LEMENTAMI SIMMETRII. 1) nAJTI GRUPPU SIMMETRIJ I \LEMENTY SIMMETRII NEKOTORYH GEOMETRI^ESKIH FIGUR: TREUGOLXNIKOW, 4-UGOLXNIKOW, PRQMOJ, KONI^ESKIH SE^ENIJ, POLOSY, OGRANI^ENNOJ PAROJ PARALLELXNYH PRQMYH I DR. 2) nAJTI GRUPPU SIMMETRIJ PRAWILXNOGO n-UGOLXNIKA. rASSMOTRETX SLU^AI, KOGDA n ^ETNO ILI NE^ETNO. 3) dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO n KONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA G = f1 a a2 : : :  an;1g, an = 1 IZOMORFNA GRUPPE WRA]ENIJ PRAWILXNOGO nUGOLXNIKA. 4) fIGURA F NA PLOSKOSTI NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ, ESLI MNOVESTWO RASSTOQNIJ d(A B ) MEVDU EE TO^KAMI OGRANI^ENO SWERHU. ~ISLO D(F ) = sup fd(A B ) : A B 2 F g NAZYWAETSQ DIAMETROM FIGURY. dOKAZATX, ^TO ESLI FIGURA OGRANI^ENA, TO ONA IMEET NE BOLEE ODNOGO CENTRA SIMMETRII. 5) mOVNO TAKVE ISKATX GRUPPY SIMMETRIJ FIGUR SREDI AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ. tOGDA G | PODGRUPPA AFFINNOJ GRUPPY. nAJTI GRUPPY AFFINNYH SIMMETRIJ PERE^ISLENNYH WYE FIGUR. 59

tEMA 6. rAZLOVENIE AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ pUSTX NA PLOSKOSTI ZADANA NEKOTORAQ PRQMAQ l I NEPARALLELXNYJ EJ WEKTOR p. rASSMOTRIM AFFINNYE PREOBRAZOWANIQ, KOTORYE KAVDU@ TO^KU \TOJ PRQMOJ OSTAWLQ@T NEPODWIVNOJ, A ESLI TO^KA A EJ NE PRI;! NADLEVIT, TO ONA PREOBRAZUETSQ W TO^KU A0 = f (A) TAKU@, ^TO ; AA0jjp ;! 0B = k; I A;;! AB , GDE k > 0, A B | TO^KA PERESE^ENIQ PRQMOJ AA0 c l. tAKOE PREOBRAZOWANIE NAZYWAETSQ KOSYM SVATIEM c OSX@ l I KO\FFICIENTOM k. eSLI WEKTOR p ORTOGONALEN PRQMOJ l, TO GOWORQT O PRQMOM SVATII. 1) dOKAZATX, ^TO KOSOE SVATIE QWLQETSQ AFFINNYM PREOBRAZOWANIEM. 2) pOKAZATX, ^TO KOSOE SVATIE ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ ZADANIEM OSI I PARY SOOTWETSTWU@]IH TO^EK. 3) uSTANOWITX SWQZX MEVDU KOSYM SVATIEM I PARALLELXNYM PROEKTIROWANIEM ODNOJ PLOSKOSTI PROSTRANSTWA NA DRUGU@. 4) nAJTI PREOBRAZOWANIE SVATIQ W DEKARTOWYH KOORDINATAH. kAK PREOBRAZU@TSQ RAZLI^NYE FIGURY PRI \TOM PREOBRAZOWANII? 5) dOKAZATX, ^TO WSQKOE AFFINNOE PREOBRAZOWANIE PLOSKOSTI MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ DWIVENIQ I DWUH NEZAWISIMYH SVATIJ. 6) iSPOLXZUQ \TOT REZULXTAT, NAJTI GRANICY OTNOENIJ DLIN OTREZKOW AB I A0B 0 PRI AFFINNOM PREOBRAZOWANII, T.E. 0B 0 j j A k1  jAB j  k2 :

tEMA 7. gRUPPA PROEKTIWNYH PREOBRAZOWANIJ pUSTX V | 3-MERNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO. pROEKTIWNOJ PLOSKOSTX@  NAZYWAETSQ MNOVESTWO ODNOMERNYH PODPROSTRANSTW \TOGO 60

PROSTRANSTWA. tAKIM OBRAZOM, TO^KA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI OPREDELQETSQ NENULEWYM WEKTOROM x 2 V, ZADANNYM S TO^NOSTX@ DO MNOVITELQ. pRI \TOM DWUMERNOMU PODPROSTRANSTWU W V SOOTWETSTWUET PROEKTIWNAQ PRQMAQ l
. wSQKIJ NEOSOBENNYJ LINEJNYJ OPERATOR A PROSTRANSTWA V OPREDELQET PREOBRAZOWANIE x0 = Ax PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, KOTOROE NAZYWAETSQ PROEKTIWNYM PREOBRAZOWANIEM. |TOT OPERATOR TAKVE OPREDELEN S TO^NOSTX@ DO NENULEWOGO MNOVITELQ. w ^ASTNOSTI, TOVDESTWENNOE PREOBRAZOWANIE OPREDELENO OPERATORAMI E . pROEKTIWNAQ GEOMETRIQ IZU^AET TE SWOJSTWA FIGUR F
, KOTORYE INWARIANTNY PRI PROEKTIWNYH PREOBRAZOWANIQH. eSLI ZADATX W V BAZIS, TO KOORDINATY (x1 x2  x3) WEKTORA x, OPREDELENNYE S TO^NOSTX@ DO NENULEWOGO MNOVITELQ, NAZYWA@TSQ ODNORODNYMI KOORDINATAMI SOOTWETSTWU@]EJ TO^KI. w \TIH KOORDINATAH PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE IMEET WID x0i = Aij xj , GDE det(Aij ) 6= 0,

i j = 1 2 3. 1) rASSMOTRETX GEOMETRI^ESKIE MODELI PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI. pOKAZATX, ^TO OTNOSITELXNO ESTESTWENNOJ TOPOLOGII ONA KOMPAKTNA. 2) pOKAZATX, ^TO PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ PAROJ SOOTWETSTWU@]IH PROEKTIWNYH REPEROW | ^ETWEROK TO^EK, NIKAKIE TRI IZ KOTORYH NE KOLLINEARNY. 3) dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO PG() WSEH PROEKTIWNYH PREOBRAZOWANIJ PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI OBRAZUET GRUPPU. 4) pUSTX x = 1a + 1b, y = 2a + 2b | DWE TO^KI PROEKTIWNOJ PRQMOJ. dOKAZATX, ^TO DWOJNOE OTNOENIE ^ETYREH TO^EK \TOJ PRQMOJ ab
x) (ab xy) = ((ab
y) ESTX PROEKTIWNYJ INWARIANT. 5) dOKAZATX, ^TO PODGRUPPA PROEKTIWNOJ GRUPPY, OSTAWLQ@]AQ INWARIANTNOJ ZADANNU@ PRQMU@ l
 (NESOBSTWENNAQ PRQMAQ), IZOMORF61

rIS. 18. nEOSOBAQ I OSOBAQ GOMOLOGII NA GRUPPE AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ. kAKOW GEOMETRI^ESKIJ SMYSL AFFINNOGO INWARIANTA (AB C ) | OTNOENIQ TREH KOLLINEARNYH TO^EK? 6) kAK IZMENQ@TSQ KO\FFICIENTY PRQMOJ 1x1 + 2x2 + 3x3 = 0 PRI PROEKTIWNYH PREOBRAZOWANIQH? dATX OBOSNOWANIE PRINCIPA DWOJSTWENNOSTI W PROEKTIWNOJ GEOMETRII.

tEMA 8. gOMOLOGII pROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE f PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI  NAZYWAETSQ GOMOLOGIEJ, ESLI ONO IMEET PRQMU@ l INWARIANTNYH TO^EK. tOGDA ONO IMEET TAKVE PU^OK INWARIANTNYH PRQMYH S CENTROM S . pRQMAQ l NAZYWAETSQ OSX@ GOMOLOGII, A TO^KA S | CENTROM GOMOLOGII. 1) pOKAZATX, ^TO WSQKOE PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE PLOSKOSTI IMEET PO KRAJNEJ MERE ODNU INWARIANTNU@ TO^KU I ODNU INWARIANTNU@ PRQMU@. 2) rASSMOTRETX DWA TIPA GOMOLOGIJ (RIS. 18) W ZAWISIMOSTI OT TOGO, PRINADLEVIT EE CENTR OSI (OSOBAQ GOMOLOGIQ) ILI NE PRINADLEVIT (NEOSOBAQ GOMOLOGIQ). kAK PROISHODIT PREOBRAZOWANIE TO^EK W \TIH SLU^AQH? 62

3) dOKAZATX, ^TO GOMOLOGIQ ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOEJ OSX@, CENTROM I PAROJ SOOTWETSTWU@]IH TO^EK A A0 = f (A), NE LEVA]IH NA OSI. 4) pUSTX NA PLOSKOSTI ZADANA PRQMAQ. pRIMEM EE ZA NESOBSTWENNU@ PRQMU@ AFFINNOJ PODGRUPPY. rASSMOTRETX GOMOLOGII, OSX KOTORYH QWLQETSQ SOBSTWENNOJ ILI NESOBSTWENNOJ PRQMOJ, A CENTR | SOBSTWENNOJ ILI NESOBSTWENNOJ TO^KOJ. kAKIE AFFINNYE PREOBRAZOWANIQ MY POLU^IM? 5) nEOSOBAQ GOMOLOGIQ NAZYWAETSQ GARMONI^ESKOJ, ESLI (SB AA0 ) = ;1, GDE B | TO^KA PERESE^ENIQ PRQMOJ AA0 S OSX@. dOKAZATX, ^TO GARMONI^ESKAQ GOMOLOGIQ f | INWOL@TIWNOE PREOBRAZOWANIE: f 2 = Id. oBRATNO, WSQKOE INWOL@TIWNOE PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ GOMOLOGIEJ. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 4], 9], 10], 32], 56].

4.2 nEEWKLIDOWY GEOMETRII nEEWKLIDOWY GEOMETRII IME@T DLINNU@ I POU^ITELXNU@ ISTORI@, KOTORAQ NA^INAETSQ S nA^AL eWKLIDA I EGO PQTOGO POSTULATA O PARALLELXNYH. w \TOJ ISTORII OSOBOE MESTO ZANIMAET OTKRYTIE n.i.lOBA^EWSKIM (1826 G.) NOWOJ GEOMETRII, OTLI^NOJ OT EWKLIDOWOJ. oNO STALO NA^ALOM RADIKALXNOGO IZMENENIQ PREDSTAWLENIJ O PROSTRANSTWE, IZMENILOSX I PONIMANIE TOGO, ^TO TAKOE GEOMETRIQ. sOMNENIQ W NEPROTIWORE^IWOSTI GEOMETRII lOBA^EWSKOGO RASSEQLISX LIX POSLE TOGO, KAK BYLI POSTROENY EE MODELI, INTERPRETACII. wSKORE BYL NAJDEN I GRUPPOWOJ PODHOD K PONQTI@ GEOMETRII. s \TOJ TO^KI ZRENIQ GEOMETRIJ MNOGO I IH SODERVANIE SOSTAWLQ@T TE SWOJSTWA FIGUR, KOTORYE INWARIANTNY OTNOSITELXNO ZADANNOJ GRUPPY PREOBRAZOWANIJ. pREOBRAZOWANIQ SOOTWETSTWU@]IH GRUPP IGRA@T W \TIH GEO63

rIS. 19. sFERI^ESKIE PRQMYE METRIQH TU VE ROLX, ^TO I DWIVENIQ W EWKLIDOWOJ GEOMETRII. w SLEDU@]IH NIVE ZADANIQH PREDLAGAETSQ POZNAKOMITXSQ SO SFERI^ESKOJ GEOMETRIEJ, GEOMETRIEJ lOBA^EWSKOGO, S IH MODELQMI, A TAKVE REITX NEKOTORYE ZADA^I.

tEMA 1. sFERI^ESKAQ GEOMETRIQ gEOMETRIQ NA SFERE S 2 EWKLIDOWA PROSTRANSTWA ZNA^ITELXNO OTLI^AETSQ PO SWOIM SWOJSTWAM OT GEOMETRII EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI. pRQMYMI ZDESX QWLQ@TSQ BOLXIE OKRUVNOSTI | SE^ENIQ SFERY DIAMETRALXNYMI PLOSKOSTQMI. iH DUGI, NE PREWYA@]IE POLOWINU OKRUVNOSTI | ANALOGI OTREZKOW PRQMOJ, REALIZU@T KRAT^AJIE RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI SFERY. kAVDAQ PRQMAQ RAZDELQET SFERU NA DWE POLUSFERY | ANALOGI POLUPLOSKOSTEJ. oDNAKO, OTLI^IE OT EWKLIDOWOJ GEOMETRII PROQWLQETSQ UVE W TOM, ^TO L@BYE DWE SFERI^ESKIE PRQMYE PERESEKA@TSQ, PRI^EM W DWUH DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYH (POLQRNYH) TO^KAH A I A (RIS. 19). tAKIM OBRAZOM, EWKLIDOW POSTULAT O PARALLELXNYH ZDESX NE IMEET MESTA. 64

bOLEE TOGO, ^EREZ POLQRNYE TO^KI MOVNO PROWESTI MNOVESTWO SFERI^ESKIH PRQMYH. pO\TOMU MOVNO RASSMATRIWATX DWUUGOLXNIKI S WERINAMI A I A. tREUGOLXNIK ABC OPREDELQETSQ KAK PERESE^ENIE TREH POLUSFER. rAWNYJ EMU TREUGOLXNIK AB C  NAZYWAETSQ POLQRNYM. kAK NA SFERE OPREDELITX RAWENSTWO FIGUR? dLQ \TOGO NADO SNA^ALA OPREDELITX PONQTIE DWIVENIQ W \TOJ GEOMETRII. sFERI^ESKAQ GEOMETRIQ IZDAWNA BYLA TESNO SWQZANA S ASTRONOMIEJ, KARTOGRAFIEJ. mETODY IZOBRAVENIQ NEBESNOJ SFERY ILI POWERHNOSTI ZEMNOGO ARA NA PLOSKOJ KARTE | ZADA^A, NAD KOTOROJ LOMALI GOLOWU KRUPNEJIE MATEMATIKI. sFERI^ESKAQ GEOMETRIQ NALA PRILOVENIQ WO MNOGIH OBLASTQH MATEMATIKI, W ^ASTNOSTI, W TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. 1) dOKAZATX, ^TO SUMMA WNUTRENNIH UGLOW SFERI^ESKOGO TREUGOLXNIKA BOLXE . rAZNOSTX =  +  +  ;  NAZYWAETSQ SFERI^ESKIM IZBYTKOM TREUGOLXNIKA. 2) dOKAZATX, ^TO PLO]ADX SFERI^ESKOGO TREUGOLXNIKA PROPORCIONALXNA EGO SFERI^ESKOMU IZBYTKU: S = R2 , GDE R | RADIUS SFERY. oTS@DA WYWOD | NA SFERE NET PODOBNYH NERAWNYH TREUGOLXNIKOW I PODOBNYH NERAWNYH FIGUR WOOB]E. 3) wYWESTI FORMULY SFERI^ESKOJ TRIGONOMETRII SNA^ALA DLQ PRQMOUGOLXNYH TREUGOLXNIKOW, A ZATEM DLQ TREUGOLXNIKOW OB]EGO WIDA. pOLU^ITX ANALOGI TEOREM SINUSOW I KOSINUSOW. 4) rASSMOTRETX RAZLI^NYE SPOSOBY WWEDENIQ KRIWOLINEJNYH KOORDINAT NA SFERE. 5) oTOVDESTWLQQ DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYE TO^KI SFERY x I ;x, MY POLU^IM PROEKTIWNU@ PLOSKOSTX, NA KOTOROJ L@BYE DWE PRQMYE PERESEKA@TSQ LIX W ODNOJ TO^KE. nA \TOJ PLOSKOSTI ESTX METRIKA, OPREDELQEMAQ METRIKOJ SFERY. tAK WOZNIKAET \LLIPTI^ESKAQ GEO65

rIS. 20. sTEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ METRIQ. lOKALXNO ONA SOWPADAET SO SFERI^ESKOJ, NO PRI GLOBALXNOM RASSMOTRENII IMEET RQD SU]ESTWENNYH OTLI^IJ. 6) wYQSNITX PROEKTIWNYJ SMYSL RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI I UGLA MEVDU PRQMYMI NA \LLIPTI^ESKOJ PLOSKOSTI, ISPOLXZUQ SLOVNOE OTNOENIE ^ETWERKI TO^EK I, SOOTWETSTWENNO, ^ETWERKI PRQMYH.

tEMA 2. sTEREOGRAFI^ESKOE OTOBRAVENIE SFERY sTEREOGRAFI^ESKOE OTOBRAVENIE SFERY S 2 EWKLIDOWA PROSTRANSTWA NA PLOSKOSTX | \TO CENTRALXNOE PROEKTIROWANIE SFERY IZ KAKOJ-LIBO EE TO^KI (POL@SA) NA ZADANNU@ PLOSKOSTX (RIS. 20). oNO OBLADAET ZAME^ATELXNYM SWOJSTWOM KONFORMNOSTI, T.E. SOHRANQET UGLY. |TO DAET WOZMOVNOSTX PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY PLOSKOSTI RASSMATRIWATX KAK KOORDINATY NA SFERE. tAK WOZNIKA@T STEREOGRAFI^ESKIE KOORDINATY. sTEREOGRAFI^ESKOE OTOBRAVENIE IROKO PRIMENQETSQ W ASTRONOMII, KARTOGRAFII, W TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. pREDLAGAETSQ RASSMOTRETX SLEDU@]IE WOPROSY. 1) nAJTI FORMULY STEREOGRAFI^ESKOGO OTOBRAVENIQ. 66

2) dOKAZATX, ^TO ONO QWLQETSQ GOMEOMORFNYM OTOBRAVENIEM OBLASTI SFERY S 2 n N , GDE N | POL@S, NA PLOSKOSTX. 3) dOKAZATX, ^TO ONO QWLQETSQ KONFORMNYM OTOBRAVENIEM. pRI \TOM OKRUVNOSTI NA SFERE OTOBRAVA@TSQ W OKRUVNOSTI ILI PRQMYE PLOSKOSTI. 4) pRIMEM PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY PLOSKOSTI ZA KOORDINATY SOOTWETSTWU@]EJ TO^KI SFERY. kAKOWY TOGDA BUDUT KOORDINATNYE LINII NA SFERE? 5) pOPOLNIW PLOSKOSTX BESKONE^NO UDALENNOJ TO^KOJ, SOOTWETSTWU@]EJ POL@SU, POLU^IM KONFORMNU@ PLOSKOSTX ILI, ^TO TO VE SAMOE, KOMPLEKSNU@ PROEKTIWNU@ PRQMU@. pOKAZATX, ^TO SFERA GOMEOMORFNA \TOJ PRQMOJ.

tEMA 3. dWIVENIQ SFERY W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE dWIVENIQ SFERY | \TO PREOBRAZOWANIQ, SOHRANQ@]IE EE METRIKU. |TI PREOBRAZOWANIQ ZADA@TSQ ORTOGONALXNYMI PREOBRAZOWANIQMI PROSTRANSTWA r0 = Ar. oNI PREOBRAZU@T SFERU W SEBQ. mATRICY \TIH PREOBRAZOWANIJ ORTOGONALXNY I W PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH UDOWLETWORQ@T USLOWI@ AtA = E . eSLI RASSMOTRETX STEREOGRAFI^ESKOE OTOBRAVENIE SFERY NA PLOSKOSTX, TO ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIQM SOOTWETSTWU@T NEKOTORYE PREOBRAZOWANIQ KONFORMNOJ PLOSKOSTI. pOLAGAQ z = x + iy, IH MOVNO ZAPISATX KAK PREOBRAZOWANIQ z 0 = f (z z ) KOMPLEKSNOJ PROEKTIWNOJ PRQMOJ. 1) dOKAZATX, ^TO ORTOGONALXNYE PREOBRAZOWANIQ OBRAZU@T GRUPPU, ZAWISQ]U@ OT TREH PARAMETROW. oNA NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJ GRUPPOJ O(3). 2) dOKAZATX, ^TO ORTOGONALXNAQ GRUPPA SOSTOIT IZ DWUH SWQZNYH KOMPONENT. pRI \TOM PREOBRAZOWANIQ, SOHRANQ@]IE ORIENTACI@ SFERY, 67

OBRAZU@T PODGRUPPU SO(3), SOSTOQ]U@ IZ WRA]ENIJ | SWQZNU@ KOMPONENTU EDINICY. 3) dOKAZATX, ^TO PRI STEREOGRAFI^ESKOM OTOBRAVENII ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIQM SOOTWETSTWU@T ANALITI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ KONFORMNOJ PLOSKOSTI z 0 = f (z ) ILI z 0 = f (z ), IME@]IE WID z 0 = az + b ILI z 0 = az + b  ;bz + a ;bz + a GDE a b | KOMPLEKSNYE KO\FFICIENTY, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ aa + bb = 1. 4) nAJTI TE PREOBRAZOWANIQ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO, KOTORYE SO-

OTWETSTWU@T WRA]ENIQM SFERY WOKRUG ZADANNOJ OSI ILI SIMMETRII OTNOSITELXNO DIAMETRALXNOJ PLOSKOSTI.

tEMA 4. pSEWDOEWKLIDOWY PROSTRANSTWA I SPECIALXNAQ TEORIQ OTNOSITELXNOSTI pSEWDOEWKLIDOWO PROSTRANSTWO OTLI^AETSQ OT EWKLIDOWA LIX TEM, ^TO SKALQRNYJ KWADRAT WEKTORA a2 QWLQETSQ HOTQ I NEWYROVDENNOJ, NO NEOPREDELENNOJ KWADRATI^NOJ FORMOJ. nAPRIMER, W TREHMERNOM PSEWDOEWKLIDOWOM PROSTRANSTWE E13 W KANONI^ESKOM BAZISE a2 = x2 + y2 ; z 2 . tEM NE MENEE, PO SWOIM METRI^ESKIM SWOJSTWAM \TO PROSTRANSTWO SU]ESTWENNO OTLI^AETSQ OT EWKLIDOWA. 4-MERNOE PSEWDOEWKLIDOWO PROSTRANSTWO SIGNATURY (+++;), NAZYWAEMOE PROSTRANSTWOM mINKOWSKOGO, LEVIT W OSNOWE SPECIALXNOJ TEORII OTNOSITELXNOSTI |JNTEJNA | RELQTIWISTSKOJ MEHANIKI. pREDLAGAETSQ, NAPRIMER, RASSMOTRETX SLEDU@]IE WOPROSY. 1) iZOTROPNYE NAPRAWLENIQ PROSTRANSTWA, IZOTROPNYJ KONUS. tRI TIPA PRQMYH I PLOSKOSTEJ. 2) gRUPPA PSEWDOEWKLIDOWYH DWIVENIJ (GRUPPA pUANKARE). dOKAZATX, ^TO ONA SOSTOIT IZ ^ETYREH KOMPONENT SWQZNOSTI. 68

3) kAK OPREDELITX WEKTORNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW W 3-MERNOM PSEWDOEWKLIDOWOM PROSTRANSTWE I KAKOWY EGO SWOJSTWA? 4) rEENIE METRI^ESKIH ZADA^ ANALITI^ESKOJ GEOMETRII NA PSEWDOEWKLIDOWOJ PLOSKOSTI I W PSEWDOEWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. 5) pREOBRAZOWANIQ lORENCA. |FFEKTY SOKRA]ENIQ DLINY I ZAMEDLENIQ WREMENI W SPECIALXNOJ TEORII OTNOSITELXNOSTI.

tEMA 5. sFERY PSEWDOEWKLIDOWA PROSTRANSTWA pUSTX E13 | TREHMERNOE PSEWDOEWKLIDOWO PROSTRANSTWO SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM (a b). wYBEREM PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY. tOGDA SKALQRNYJ KWADRAT RADIUS-WEKTORA TO^KI PRIMET KANONI^ESKIJ WID r2 = x2 + y2 ; z 2. pO\TOMU URAWNENIQ SFER S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT ZAPIUTSQ W WIDE r2 = R2. tAKIM OBRAZOM, SFERY MOGUT BYTX DWUH TIPOW | WE]ESTWENNOGO I MNIMOGO RADIUSA. rASSMOTRIM SFERU MNIMOGO RADIUSA x2 + y2 ; z 2 = ;R2:

oNA IZOBRAVAETSQ W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE DWUPOLOSTNYM GIPERBOLOIDOM. dALEE, OTOVDESTWIM EE DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYE TO^KI ILI, ^TO TO VE SAMOE, RASSMOTRIM LIX WERHN@@ POLOSTX \TOJ SFERY S 2, NALOVIW USLOWIE z R. kAK I DLQ OBY^NOJ SFERY, ROLX PRQMYH ZDESX IGRA@T BOLXIE OKRUVNOSTI | SE^ENIQ SFERY DIAMETRALXNYMI PLOSKOSTQMI (RIS. 21). nA ^EM OSNOWYWAETSQ \TO UTWERVDENIE? oKAZYWAETSQ, SFERA S 2 QWLQETSQ MODELX@ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO. ~TOBY UBEDITXSQ W \TOM, PREDLAGAETSQ RASSMOTRETX SLEDU@]IE WOPROSY. 1) nAJTI PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ SFERY, WYBRAW W KA^ESTWE PARAMETROW SFERI^ESKIE KOORDINATY. 69

rIS. 21. sFERA PSEWDOEWKLIDOWA PROSTRANSTWA 2) dOKAZATX, ^TO SUMMA WNUTRENNIH UGLOW SFERI^ESKOGO TREUGOLXNIKA MENXE . |TO RAWNOSILXNO WYPOLNENI@ POSTULATA O PARALLELXNYH W FORME lOBA^EWSKOGO. wELI^INA =  ; ( +  +  ) NAZYWAETSQ DEFEKTOM TREUGOLXNIKA. 3) pOKAZATX, ^TO PLO]ADX TREUGOLXNIKA PROPORCIONALXNA EGO DEFEKTU: S = R2 . 4) wY^ISLITX W SFERI^ESKIH KOORDINATAH METRIKU SFERY I POKAZATX, ^TO EE GAUSSOWA KRIWIZNA POSTOQNNA I OTRICATELXNA: K = ; R12 .

tEMA 6. dWIVENIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO rASSMOTRIM MODELX PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO NA SFERE S 2 MNIMOGO RADIUSA PSEWDOEWKLIDOWA PROSTRANSTWA E13. tOGDA DWIVENIQ \TOJ PLOSKOSTI PREDSTAWLQ@TSQ PSEWDOORTOGONALXNYMI PREOBRAZOWANIQMI PRO70

STRANSTWA E13, T.E. LINEJNYMI OPERATORAMI, SOHRANQ@]IMI SKALQRNOE PROIZWEDENIE: (Aa Ab) = (a b). mATRICY \TIH OPERATOROW UDOWLETWORQ@T USLOWI@ AtgA = g, GDE g | MATRICA METRI^ESKOGO TENZORA. w PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH ONA IMEET KANONI^ESKIJ WID g = diag(++ ;). pREDLAGAETSQ RASSMOTRETX SLEDU@]IE WOPROSY. 1) pOKAZATX, ^TO PSEWDOORTOGONALXNYE OPERATORY OBRAZU@T GRUPPU | PSEWDOORTOGONALXNU@ GRUPPU O(2 1). |TA GRUPPA ZAWISIT OT TREH PARAMETROW. 2) dOKAZATX, ^TO GRUPPA O(2 1) SOSTOIT IZ ^ETYREH SWQZNYH KOMPONENT. pRIWESTI PRIMERY PREOBRAZOWANIJ, PRINADLEVA]IH \TIM KOMPONENTAM. 3) wYDELITX PODGRUPPU G
O(2 1) PREOBRAZOWANIJ, PEREWODQ]IH SFERY MNIMOGO RADIUSA W SEBQ. iMENNO \TI PREOBRAZOWANIQ QWLQ@TSQ DWIVENIQMI PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO. 4) pOKAZATX, ^TO GRUPPA G DWUSWQZNA. pRI \TOM PREOBRAZOWANIQ, PRINADLEVA]IE KOMPONENTE EDINICY, SOHRANQ@T ORIENTACI@ FIGUR. |TO SOBSTWENNYE DWIVENIQ. 5) nAJTI ODNOPARAMETRI^ESKIE PODGRUPPY GRUPPY DWIVENIJ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO I IH ORBITY.

NA

tEMA 7. pLOSKOSTX lOBA^EWSKOGO. mODELX bELXTRAMI-kLEJ-

pRI AKSIOMATI^ESKOM POSTROENII GEOMETRII lOBA^EWSKOGO SOHRANQ@TSQ WSE AKSIOMY EWKLIDOWOJ GEOMETRII, KROME AKSIOMY O PARALLELXNYH, KOTORAQ ZAMENQETSQ EE OTRICANIEM. lOGI^ESKAQ NEPROTIWORE^IWOSTX POLU^ENNOJ TEORII DOKAZYWAETSQ NAHOVDENIEM EE MODELI W RAMKAH DRUGOJ TEORII. dLQ GEOMETRII lOBA^EWSKOGO TAKOJ MODELX@ QWLQETSQ, NAPRIMER, MODELX bELXTRAMI-kLEJNA, KOTORAQ POLU^AETSQ CEN71

rIS. 22. mODELX bELXTRAMI-kLEJNA TRALXNYM PROEKTIROWANIEM SFERY MNIMOGO RADIUSA S 2 PSEWDOEWKLIDOWA PROSTRANSTWA NA KASATELXNU@ EWKLIDOWU PLOSKOSTX SFERY. tOGDA S 2 OTOBRAVAETSQ NA OTKRYTYJ KRUG B 2 : x2 + y2 < R2 \TOJ PLOSKOSTI (RIS. 22). 1) zAPISATX UKAZANNOE OTOBRAVENIE f : S 2 ! B 2 W KOORDINATAH I POKAZATX, ^TO \TO GOMEOMORFIZM. 2) pOKAZATX, ^TO OBRAZAMI SFERI^ESKIH PRQMYH QWLQ@TSQ HORDY KRUGA B 2. 3) pROANALIZIROWATX WZAIMNOE RASPOLOVENIE DWUH PRQMYH. kAK, W ^ASTNOSTI, IZOBRAVA@TSQ PARALLELXNYE I ORTOGONALXNYE PRQMYE NA \TOJ MODELI? 4) nAJTI RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI I WYQSNITX EGO PROEKTIWNYJ SMYSL. 5) kAK REALIZU@TSQ DWIVENIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO NA \TOJ MO72

DELI? 6) pOKAZATX, ^TO NA MODELI bELXTRAMI-kLEJNA WYPOLNQ@TSQ WSE AKSIOMY PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO.

tEMA 8. pARALLELIZM W PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO OBLADAET ZAME^ATELXNYM SWOJSTWOM: W NEJ SU]ESTWUET WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU OSTRYMI UGLAMI I OTREZKAMI. |TO SOOTWETSTWIE OPREDELQETSQ FUNKCIEJ lOBA^EWSKOGO  = (x). wSLEDSTWIE \TOGO W GEOMETRII lOBA^EWSKOGO ZADANNYJ OTREZOK MOVNO POSTROITX ^ISTO GEOMETRI^ESKIMI SREDSTWAMI, NE ZADAWAQ \TALONA DLINY. wEDX MOVNO VE WSEGDA POSTROITX, NAPRIMER, PRQMOJ UGOL! ~TOBY PONQTX, W ^EM TUT DELO, NADO RAZOBRATXSQ W SWOJSTWAH PARALLELXNYH PRQMYH. 1) kAK OPREDELQ@TSQ PARALLELXNYE PRQMYE W PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO? kAKOWY IH SWOJSTWA? 2) oPUSTIM PERPENDIKULQR IZ KAKOJ-LIBO TO^KI ODNOJ PARALLELI NA DRUGU@ (RIS. 23). tOGDA PERWAQ IZ NIH OBRAZUET OSTRYJ UGOL S \TIM PERPENDIKULQROM. oN NAZYWAETSQ UGLOM PARALLELXNOSTI W DANNOJ TO^KE I ZAWISIT OT WYBORA \TOJ TO^KI. fUNKCIQ lOBA^EWSKOGO DAET ZAWISIMOSTX MEVDU \TIM UGLOM I DLINOJ PERPENDIKULQRA. kAKOWY EE SWOJSTWA? 3) nAJTI ANALITI^ESKOE WYRAVENIE FUNKCII lOBA^EWSKOGO. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 10], 22], 31], 36], 47], 57].

73

rIS. 23. uGOL PARALLELXNOSTI 5

tEMY, PREDLOVENNYE {URYGINYM w.w.

5.1 gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ NA EWKLIDOWOJ PLOSKOS-

TI

sLEDU@]IE TEMY PREDPOLAGA@T IZU^ENIE GEOMETRI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ PLOSKOSTI METODAMI ANALITI^ESKOJ GEOMETRII I IH PRIMENENIE PRI REENII KONKRETNYH ZADA^. w ^ASTNOSTI, NEKOTORYE SOWOKUPNOSTI PREOBRAZOWANIJ OKAZYWA@TSQ ZAMKNUTYMI OTNOSITELXNO KOMPOZICII PREOBRAZOWANIJ I WZQTIQ OBRATNOGO PREOBRAZOWANIQ, DRUGIMI SLOWAMI, OBRAZU@T GRUPPU. w TAKIH SLU^AQH WOZNIKA@T WOPROSY IZU^ENIQ SWOJSTW, INWARIANTNYH OTNOSITELXNO PREOBRAZOWANIJ DANNOJ GRUPPY.

tEMA 1. sIMMETRII OTNOSITELXNO PRQMOJ I WRA]ENIQ rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1, gLAWA III 59], 1]. 74

pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 318, 319, 320, 335, 336, 358, 374, 540.

tEMA 2. sKOLXZQ]IE SIMMETRII sKOLXZQ]EJ SIMMETRIEJ NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIE PLOSKOSTI, PREDSTAWLQ@]EE SOBOJ KOMPOZICI@ SIMMETRII OTNOSITELXNO NEKOTOROJ PRQMOJ ` I PARALLELXNOGO PERENOSA NA WEKTOR, PARALLELXNYJ PRQMOJ `. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1, gLAWA III 59], 1]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 348, 349, 353, 354, 355, 356.

tEMA 3. gRUPPA GOMOTETIJ I PARALLELXNYH PERENOSOW sOWOKUPNOSTX GOMOTETIJ PLOSKOSTI SO WSEWOZMOVNYMI CENTRAMI I KO\FFICIENTAMI I PARALLELXNYH PERENOSOW NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR QWLQETSQ PRIMEROM GRUPPY PREOBRAZOWANIJ. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1, gLAWA III 20], 59], 1]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 388, 389, 390, 392, 402.

tEMA 4. aFFINNYE PREOBRAZOWANIQ PLOSKOSTI aFFINNYM PREOBRAZOWANIEM PLOSKOSTI NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIE, USTANAWLIWA@]EE SOOTWETSTWIE MEVDU TO^KAMI, IME@]IMI ODINAKOWYE KOORDINATY OTNOSITELXNO DWUH SISTEM KOORDINAT, OPREDELQEMYH PROIZWOLXNYMI AFFINNYMI REPERAMI (O e1 e2) I (O0 e01 e02). k ^ISLU AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ OTNOSQTSQ WSE DWIVENIQ PLOSKOSTI, PODOBIQ, A TAKVE RASTQVENIQ I SVATIQ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ PRQMOJ. sWOJSTWA GEOMETRI^ESKIH FIGUR, KOTORYE SOHRANQ@TSQ PRI AFFINNYH PREOBRAZOWANIQH, SOSTAWLQ@T SODERVANIE AFFINNOJ GEOMETRII PLOSKOSTI. w AFFINNOJ GEOMETRII STANOWQTSQ BESSMYSLENNYMI TAKIE PONQTIQ OBY^NOJ (EWKLIDOWOJ) GEOMETRII PLOSKOSTI, KAK RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI I WELI^INA UGLA MEVDU WEKTORAMI. 75

rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1, gLAWA III. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 434, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446,

451, 457, 458, 464, 465, 470.

tEMA 5. pRIMENENIE AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ W GEOMETRII KRIWYH WTOROGO PORQDKA nEKOTORYE ZADA^I STANOWQTSQ PROSTYMI POSLE PRIMENENIQ AFFINNOGO PREOBRAZOWANIQ. nAPRIMER, PREOBRAZUQ \LLIPS x2=a2 + y2=b2 = 1 W OKRUVNOSTX, MOVNO LEGKO WY^ISLITX EGO PLO]ADX. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1, gLAWA III. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 13] 864, 866, 869, 878,887, 888, 892, 893, 896, 902, 903, 904, 909.

tEMA 6. iNWERSIQ iNWERSIQ PREDSTAWLQET SOBOJ SIMMETRI@ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ OKRUVNOSTI !. tO^NEE, ESLI O | CENTR OKRUVNOSTI !, A R | EE RADIUS, TO INWERSIQ OTNOSITELXNO OKRUVNOSTI ! OTNOSIT TO^KE M TO^KU M 0 ;;! ;;! ;;! TAKU@, ^TO ;;! OM 0 OM I jOM 0j  jOM j = R2. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], x33 1], gL. V. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 1], gL. V, ZADA^I 242, 245, 246, 247, 248, 250, 251, 252, 253.

tEMA 7. gRUPPY PREOBRAZOWANIJ PLOSKOSTI rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1., gLAWA III. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 483, 486, 489, 490, 491, 493.

5.2 pROEKTIWNAQ PLOSKOSTX pROEKTIWNAQ PLOSKOSTX POLU^AETSQ IZ OBY^NOJ (AFFINNOJ) PLOSKOSTI DOBAWLENIEM DOPOLNITELXNYH TO^EK, S^ITA@]IHSQ TO^KAMI PERESE^E76

NIQ PU^KOW PARALLELXNYH PRQMYH I OBRAZU@]IH NA PLOSKOSTI DOPOLNITELXNU@ PRQMU@ (NAZYWAEMU@ BESKONE^NO UDALENNOJ). pROEKTIWNAQ GEOMETRIQ PLOSKOSTI IZU^AET SWOJSTWA FIGUR NA PLOSKOSTI, SOHRANQ@]IESQ PRI PROEKTIWNYH PREOBRAZOWANIQH, KOTORYE WKL@^A@T W SEBQ AFFINNYE PREOBRAZOWANIQ, A TAKVE PREOBRAZOWANIQ, PRI KOTORYH BESKONE^NO UDALENNAQ PRQMAQ MOVET PEREJTI W OBY^NU@ PRQMU@. pARABOLA y = x2 NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI DOPOLNQETSQ E]E ODNOJ TO^KOJ, W KOTOROJ SHODQTSQ DWE WETWI PARABOLY (\TO BESKONE^NO UDALENNAQ TO^KA OSI Oy), I MOVET BYTX OTOBRAVENA PROEKTIWNYM PREOBRAZOWANIEM NA OKRUVNOSTX. pRI \TOM OBNARUVIWAETSQ, ^TO U PARABOLY I OKRUVNOSTI MNOGO OB]IH GEOMETRI^ESKIH SWOJSTW. gIPERBOLA PRIOBRETAET NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI PARU DOPOLNITELXNYH TO^EK I TAKVE OKAZYWAETSQ FIGUROJ, KOTORAQ PROEKTIWNYM PREOBRAZOWANIEM MOVET BYTX PEREWEDENA W OKRUVNOSTX (A, ZNA^IT, I W PARABOLU). sLEDU@]IE TEMY PREDPOLAGA@T IZU^ENIE NEKOTORYH \LEMENTOW PROEKTIWNOJ GEOMETRII PLOSKOSTI I PRIMENENIE METODOW PROEKTIWNOJ GEOMETRII PRI REENII KONKRETNYH ZADA^ OBY^NOJ (EWKLIDOWOJ, AFFINNOJ) GEOMETRII.

tEMA 1. pROEKTIWNYE KOORDINATY I PROEKTIWNYE PREOBRAZOWANIQ rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 3, gLAWY I, II 37], lEKCII

25, 26, 28.

pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 13], 948, 949, 953, 955, 958, 959, 960, 961,

975, 977, 1005, 1007, 1013, 1018, 1022, 1025, 1029 49], 1141, 1142, 1146, 1147, 1150, 1179, 1180, 1182, 1188, 1189, 1190, 1199, 1201, 1203. 77

tEMA 2. tEOREMY dEZARGA, pAPPA I DRUGIE TEOREMY PROEKTIWNOJ GEOMETRII tEOREMA dEZARGA UTWERVDAET, ^TO ESLI PRQMYE AA0, BB 0 I CC 0 , PROHODQ]IE ^EREZ WERINY TREUGOLXNIKOW ABC I A0B 0 C 0 PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE S , TO TO^KI U , V I W PERESE^ENIQ SOOTWETSTWU@]IH STORON (AB I A0 B 0 , BC I B 0 C 0, CA I C 0A0 ) LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ. |TA TEOREMA QWLQETSQ TEOREMOJ PROEKTIWNOJ GEOMETRII, NA EWKLIDOWOJ (AFFINNOJ) PLOSKOSTI WOZNIKAET NESKOLXKO WARIANTOW \TOJ TEOREMY, POSKOLXKU L@BAQ IZ TO^EK A, A0, B , B 0 , C , C 0 , S , U , V , W MOVET OKAZATXSQ BESKONE^NO UDALENNOJ. nAPRIMER, ESLI BESKONE^NO UDALENNOJ QWLQETSQ TO^KA U , ^TO \KWIWALENTNO TOMU, ^TO STORONY TREUGOLXNIKOW AB I A0B 0 PARALLELXNY, TO IZ TEOREMY dEZARGA SLEDUET, ^TO PRQMAQ V W PARALLELXNA \TIM STORONAM (U | OB]AQ TO^KA \TIH TREH PRQMYH). tEOREMA pAPPA UTWERVDAET, ^TO ESLI TO^KI A, B I C LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ `, A TO^KI A0 , B 0 I C 0 LEVAT NA DRUGOJ PRQMOJ `0, TO TO^KI U , V I W , QWLQ@]IESQ TO^KAMI PERESE^ENIQ, SOOTWETSTWENNO, PRQMYH AB 0 I A0 B , BC 0 I B 0 C , CA0 I C 0 A, LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ. kAK I W SLU^AE TEOREMY dEZARGA NA EWKLIDOWOJ (AFFINNOJ) PLOSKOSTI WOZNIKAET NESKOLXKO WARIANTOW TEOREMY pAPPA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 3, gLAWY I, II 37], lEKCIQ 28 1], 14], 15].

pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 1132, 1133, 1134, 1136, 1137, 1138 13],

978.

tEMA 3. pRINCIP DWOJSTWENNOSTI DLQ PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI pRINCIP DWOJSTWENNOSTI DLQ PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM: ESLI W KAKOJ-NIBUDX TEOREME PROEKTIWNOJ GEOMETRII, W 78

FORMULIROWKE KOTOROJ U^ASTWU@T TOLXKO PRQMYE I TO^KI, WS@DU ZAMENITX SLOWO PRQMAQ NA SLOWO TO^KA, SLOWO TO^KA NA SLOWO PRQMAQ, A SLOWA PROHODIT ^EREZ I LEVIT NA POMENQTX MESTAMI, TO POLU^ITSQ NOWAQ (NAZYWAEMAQ DWOJSTWENNOJ K PERWOJ) TEOREMA. pRIMEROM MOVET SLUVITX DWOJSTWENNAQ TEOREMA dEZARGA (SM. PREDYDU]U@ TEMU), KOTORAQ OKAZYWAETSQ OBRATNOJ TEOREMOJ K TEOREME dEZARGA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 3, gLAWY I, II 37], lEKCIQ 28 15].

pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 13], 979, 980, 987, 988, 990.

tEMA 4. |LLIPS, GIPERBOLA I PARABOLA NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI nA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI WSE \LLIPSY, GIPERBOLY I PARABOLY \KWIWALENTNY MEVDU SOBOJ, \TO POZWOLQET PRI REENII ZADA^, PRIMENQQ PODHODQ]EE PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE, PREOBRAZOWYWATX KAKU@-LIBO IZ \TIH KRIWYH W L@BU@ DRUGU@. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 3, gLAWY I, II 37], lEKCII 25, 26, 28 5].

pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 1203, 1204, 1205, 1208, 1209, 1210,

1211, 1212, 1214, 1215, 1242, 1243, 1244, 1246, 1247, 1249, 1250 13], 1044, 1048, 1051, 1052, 1058.

5.3 gEOMETRIQ MNOGOMERNYH AFFINNYH I EWKLIDOWYH PRO-

STRANSTW

tEMA 1. gEOMETRIQ AFFINNOGO PROSTRANSTWA RAZMERNOSTI n aFFINNOE PROSTRANSTWO RAZMERNOSTI n PREDSTAWLQET SOBOJ MNOVESTWO An, KAVDAQ PARA TO^EK A B KOTOROGO OPREDELQET NEKOTORYJ WEKTOR 79

;AB ;! IZ n-MERNOGO WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. gEOMETRI^ESKOE TREHMER-

NOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ PRIMEROM AFFINNOGO PROSTRANSTWA. pRI \TOM K AFFINNOJ GEOMETRII \TOGO PROSTRANSTWA OTNOSQTSQ WSE FAKTY I SOOTNOENIQ OBY^NOJ GEOMETRII, W KOTORYH NE ISPOLXZUETSQ PONQTIE SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW (A WMESTE S NIM I PONQTIQ MODULQ WEKTORA I WELI^INY UGLA MEVDU WEKTORAMI). pRIMEROM AFFINNOGO PROSTRANSTWA RAZMERNOSTI n QWLQETSQ KOORDINATNOE PROSTRANSTWO Rn, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ STROKI (x1 x2 : : :  xn ) WE]ESTWENNYH ^ISEL (KOORDINAT ) DLINY n. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 2, gLAWA IV, 23], 14]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 318, 319, 320, 335, 336, 358, 374, 540 41] 1874, 1879, 1880, 1881, 1886, 1887, 1888, 1890, 1891, 1892, 1893, 1895, 1896, 1899 29], 6.3, 6.4, 6.17.

tEMA 2. gEOMETRIQ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA RAZMERNOSTI n eWKLIDOWO n-MERNOE PROSTRANSTWO En QWLQETSQ NEPOSREDSTWENNYM OBOB]ENIEM GEOMETRI^ESKOGO TREHMERNOGO PROSTRANSTWA. oNO OPREDELQETSQ KAK AFFINNOE PROSTRANSTWO RAZMERNOSTI n, NA KOTOROM WWEDENA OPERACIQ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW (a b), OBLADA@]AQ OBY^NYMI SWOJSTWAMI. w En MOVNO IZMERQTX RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI, PRQMYMI I MNOGOMERNYMI PLOSKOSTQMI, A TAKVE UGLY MEVDU WEKTORAMI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 2., gLAWA IV., 23], 14]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 984, 985, 986, 987, 988, 989, 990, 991, 992 41] 1393, 1394, 1395, 1396, 1397, 1398, 1405, 1898 29], 6.8, 6.9, 6.10, 6.11, 6.12, 6.13, 6.14.

80

tEMA 3. wYPUKLYE FIGURY W n-MERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE fIGURA F W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE En NAZYWAETSQ WYPUKLOJ, ESLI WMESTE S KAVDOJ PAROJ SWOIH TO^EK A B 2 F \TA FIGURA SODERVIT WESX OTREZOK AB ], SOEDINQ@]IJ \TI TO^KI. pREDPOLAGAETSQ IZU^ITX SWOJSTWA WYPUKLYH FIGUR I, W ^ASTNOSTI, WYPUKLYH MNOGOGRANNIKOW. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 2, gLAWA VI, 14]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 1057, 1058, 1059, 1060, 1062, 1063, 1065, 1066, 1067, 1068, 1069 41], 984, 985, 987, 988, 989, 990, 991, 992.

tEMA 4. pRAWILXNYE I POLUPRAWILXNYE MNOGOGRANNIKI W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH mNOGOGRANNIK P W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE En NAZYWAETSQ PRAWILXNYM, ESLI DLQ L@BYH DWUH POSLEDOWATELXNOSTEJ F0
F1
F2
Fn = P I F00
F10
F20
Fn0 = P , SOSTOQ]IH IZ k-MERNYH GRANEJ Fk I Fk0 MNOGOGRANNIKA P , \TOT MNOGOGRANNIK MOVNO TAKIM OBRAZOM NALOVITX NA SEBQ, ^TO GRANX Fk SOWPADET S GRANX@ Fk0 . wYPUKLYJ MNOGOGRANNIK P W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE E3 NAZYWAETSQ POLUPRAWILXNYM, ESLI WSE EGO GRANI QWLQ@TSQ PRAWILXNYMI MNOGOUGOLXNIKAMI (RAZLI^NYH TIPOW) I WSE MNOGOGRANNYE UGLY KONGRU\NTNY. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 2, gLAWA VI, 14]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 1074, 1075, 1076, 1077, 1078, 1079, 1080, 1081, 1082, 1086, 1087, 1088 14], 12.5.2, 12.5.3, 12.5.4, 12.5.5, 12.6 41], 1393, 1394, 1395, 1396, 1397, 1398, 1405, 1898.

tEMA 5. gEOMETRIQ SFER W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH w RAMKAH \TOJ TEMY MOGUT BYTX RASSMOTRENY RAZLI^NYE ASPEKTY GEOMETRII OKRUVNOSTEJ NA PLOSKOSTI, DWUMERNYH SFER W TREHMERNOM 81

PROSTRANSTWE I SFER Sn RAZMERNOSTI n W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE En+1, W TOM ^ISLE: STEPENX TO^KI OTNOSITELXNO SFERY, RADIKALXNYE PLOSKOSTI, PU^KI SFER I OKRUVNOSTEJ, POL@SY I POLQRNYE PLOSKOSTI OTNOSITELXNO SFERY, WPISANNYE I OPISANNYE SFERY MNOGOGRANNIKOW. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 46], gLAWA 6, 2], kNIGA 8, gLAWA 3, 14], gLAWA 10, 1]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 2], 679, 680, 682, 683, 684, 687, 688, 689, 690, 700, 701, 703, 709, 711, 748.

tEMA 6. iNWERSIQ OTNOSITELXNO SFERY I STEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ iNWERSIQ OTNOSITELXNO SFERY RADIUSA R S CENTROM W TO^KE O OT;;! ;;! ;;! NOSIT TO^KE M TO^KU M 0 , TAKU@, ^TO ;;! OM 0 OM I jOM 0j  jOM j = R2. sTEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ USTANAWLIWAET WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU TO^KAMI SFERY Sn I GIPERPLOSKOSTI En W En+1, KOTORYE LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ FIKSIROWANNU@ TO^KU N 2 Sn . oBY^NO W KA^ESTWE GIPERPLOSKOSTI En BERETSQ LIBO ;! DIAMETRALXNAQ PLOSKOSTX, ORTOGONALXNAQ WEKTORU ; ON , LIBO KASATELX! NAQ PLOSKOSTX, ORTOGONALXNAQ WEKTORU ;; ON I PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU S 2 Sn, DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNU@ TO^KE N . rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 46], gLAWA 11, 2], dOPOLNENIQ KO WTOROJ ^ASTI, gLAWA 1, 14], gLAWA 10. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 2], 748, 750, 755, 756, 757, 758, 767, 769, 771, 774, 775, 776, 777,780, 783, 787.

tEMA 7. kWATERNIONY I IH PRIMENENIE W GEOMETRII kWATERNIONY QWLQ@TSQ OBOB]ENIEM KOMPLEKSNYH ^ISEL I PREDSTAWLQ@T SOBOJ WEKTORY x1 + x2i + x3j + x4k ^ETYREHMERNOGO PROSTRANSTWA 82

H, KOTORYE MOVNO PEREMNOVATX, POLXZUQSX SLEDU@]EJ TABLICEJ UMNOVENIQ: i2 = j2 = k2 = ;1, ij = ;ji = k, jk = ;kj = i, ki = ;ik = j. s POMO]X@ KWATERNIONOW MOVNO PREDSTAWLQTX WRA]ENIQ TREHMERNOGO I ^ETYREHMERNOGO EWKLIDOWYH PROSTRANSTW. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 14], gLAWA 8, x8.8, 25], 62]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 14] 62].

tEMA 8. gEOMETRIQ TREHMERNOJ SFERY S

3

tREHMERNAQ SFERA S3 MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK MNOVESTWO KWATERNIONOW (SM. PREDYDU]U@ TEMU) EDINI^NOGO MODULQ: (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 +(x4)2 = 1. pRI \TOM TO^KI SFERY S3 MOVNO PEREMNOVATX PO PRAWILU UMNOVENIQ KWATERNIONOW, W REZULXTATE ^EGO NA SFERE S3 WOZNIKAET STRUKTURA GRUPPY, OPREDELQ@]AQ SPECIFIKU EE GEOMETRII, NAPRIMER, NA \TOJ SFERE WOZNIKAET PONQTIE PARALLELXNYH OKRUVNOSTEJ RADIUSA 1.

rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 14], gLAWA 8, x8.8, 15], gLAWA 18, x18.8. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 14] 15].

5.4 tOPOLOGIQ tOPOLOGI^ESKIMI SWOJSTWAMI FIGUR NAZYWA@TSQ SWOJSTWA, SOHRANQ@]IESQ PRI NEPRERYWNYH PREOBRAZOWANIQH. tAK POWERHNOSTX KUBA (ILI TETRA\DRA) S TOPOLOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ NEOTLI^IMA OT SFERY, NO SFERA I TOR (POWERHNOSTX BUBLIKA) | \TO RAZNYE POWERHNOSTI. w OB]EM SLU^AE MNOVESTWA, NA KOTORYH IMEETSQ STRUKTURA (OTKRYTYE PODMNOVESTWA), POZWOLQ@]AQ RASSMATRIWATX NEPRERYWNYE PREOBRAZOWANIQ, NAZYWA@TSQ TOPOLOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI.

83

tEMA 1. dWUMERNYE MNOGOOBRAZIQ dWUMERNOE MNOGOOBRAZIE | \TO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, KAVDAQ TO^KA KOTOROGO IMEET OKRESTNOSTX, KOTORU@ MOVNO WZAIMNO ODNOZNA^NO I WZAIMNO NEPRERYWNO OTOBRAZITX NA KRUG BEZ GRANICY. pRIMERAMI DWUMERNYH MNOGOOBRAZIJ QWLQ@TSQ SFERA, TOR, LIST mEBIUSA, BUTYLKA kLEJNA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 26], gLAWY 5, 11 17], ~ASTX II 30], gLAWA 1. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 26], 17], 30], ZADA^I W SOOTWETSTWU@]IH RAZDELAH.

tEMA 3. kRIWYE pEANO nEPRERYWNOJ KRIWOJ W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE X NAZYWAETSQ NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE  : 0 1] ! X OTREZKA 0 1]
R W \TO PROSTRANSTWO. nEPRERYWNAQ KRIWAQ NA PLOSKOSTI R2 ZADAETSQ DWUMQ NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI x = x(t), y = y(t). oKAZYWAETSQ, SU]ESTWU@T NEPRERYWNYE KRIWYE NA PLOSKOSTI, PROHODQ]IE ^EREZ WSE TO^KI KWADRATA 0  x  1, 0  y  1. tAKIE KRIWYE NAZYWA@TSQ KRIWYMI pEANO. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 26], gLAWA 12 17], x7, 8. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 26], 17], ZADA^I W SOOTWETSTWU@]IH RAZDELAH.

tEMA 3. fUNDAMENTALXNAQ GRUPPA PROSTRANSTWA pETLEJ W TO^KE x TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X NAZYWAETSQ NEPRERYWNAQ KRIWAQ  : 0 1] ! X , NA^ALOM I KONCOM KOTOROJ QWLQETSQ TO^KA x. pROIZWEDENIEM 1  2 DWUH PETELX W TO^KE x NAZYWAETSQ PETLQ 84

 : 0 1] ! X , KOTORAQ PREDSTAWLQET SOBOJ POSLEDOWATELXNOE PROHOVDENIE SNA^ALA TRAEKTORII PERWOJ PETLI, A ZATEM TRAEKTORII WTOROJ:  (t) = 1(2t) PRI t 2 0 0 5],  (t) = 1(2t ; 1) PRI t 2 0 5 1]. eSLI RASSMATRIWATX PETLI S TO^NOSTX@ DO NEPRERYWNOJ DEFORMACII, TO OPERACIQ  PREWRA]AET MNOVESTWO KLASSOW \KWIWALENTNYH PETELX W GRUPPU, NAZYWAEMU@ FUNDAMENTALXNOJ GRUPPOJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA. fUNDAMENTALXNYE GRUPPY POZWOLQ@T RAZLI^ATX NE\KWIWALENTNYE (NEGOMEOMORFNYE) TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA. tAK FUNDAMENTALXNAQ GRUPPA SFERY SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA, POSKOLXKU L@BAQ PETLQ MOVET BYTX PRODEFORMIROWANA W POSTOQNNU@ PETL@  (t) = x PRI L@BOM t 2 0 1], A NA TORE PETLQ, OBHODQ]AQ OTWERSTIE, NE MOVET BYTX PRODEFORMIROWANA W POSTOQNNU@, I PO\TOMU FUNDAMENTALXNAQ GRUPPA TORA NE TRIWIALXNA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 26], gLAWY 12{15 17], x21, 30], gLAWA II. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 26], 17], 30], ZADA^I W SOOTWETSTWU@]IH RAZDELAH.

tEMA 4. sWQZNYE I LINEJNO SWQZNYE PROSTRANSTWA tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X NAZYWAETSQ SWQZNYM, ESLI EGO NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE DWUH NEPUSTYH NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH PODMNOVESTW X1  X2. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X NAZYWAETSQ LINEJNO SWQZNYM, ESLI WSQKIE DWE EGO TO^KI MOVNO SOEDINITX NEPRERYWNOJ KRIWOJ, TO ESTX DLQ L@BYH DWUH TO^EK x y 2 X NAJDETSQ NEPRERYWNAQ KRIWAQ  : 0 1] ! X S NA^ALOM  (0) = x I KONCOM  (1) = y. eSLI PROSTRANSTWO NE QWLQETSQ SWQZNYM, TO TO^KI x1 2 X1 I x2 2 X2 NELXZQ SOEDINITX NEPRERYWNOJ KRIWOJ. oKAZYWAETSQ IME@TSQ SWQZNYE PROSTRANSTWA, NE QWLQ@]IESQ LINEJNO SWQZNYMI. 85

rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 26], gLAWY 9, 12 30], gLAWA II. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 26], 30], ZADA^I W SOOTWETSTWU@]IH RAZDELAH.

5.5 nEEWKLIDOWY GEOMETRII

tEMA 1. gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO. aKSIOMATI^ESKIJ PODHOD K POSTROENI@ gEOMETRIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO MOVET BYTX POSTROENA NA OSNOWE ZAMENY PQTOGO POSTULATA eWKLIDA, PREDPOLAGA@]EGO, ^TO ^EREZ TO^KU, NE LEVA]U@ NA PRQMOJ, MOVNO PROWESTI NE BOLEE ODNOJ PRQMOJ, NE PERESEKA@]EJ DANNU@, NA PROTIWOPOLOVNU@ AKSIOMU, SOGLASNO KOTOROJ ^EREZ TO^KU, NE LEVA]U@ NA PRQMOJ, MOVNO PROWESTI BOLEE ODNOJ PRQMOJ, NE PERESEKA@]EJ DANNU@. iSPOLXZUQ \TU NOWU@ AKSIOMU WMESTO PQTOGO POSTULATA eWKLIDA, MOVNO WMESTO TEOREM EWKLIDOWOJ GEOMETRII POLU^ATX TEOREMY GEOMETRII lOBA^EWSKOGO, KOTORAQ SU]ESTWENNO OTLI^AETSQ OT GEOMETRII eWKLIDA. nAPRIMER, W GEOMETRII lOBA^EWSKOGO SU]ESTWUET PRAWILXNYJ PQTIUGOLXNIK, U KOTOROGO WSE UGLY PRQMYE, I SU]ESTWUET PRAWILXNYJ PQTIUGOLXNIK, U KOTOROGO WSE UGLY RAWNY =3, NO NE SU]ESTWUET PRAWILXNOGO ^ETYREHUGOLXNIKA, U KOTOROGO WSE UGLY PRQMYE (TO ESTX NE SU]ESTWUET KWADRATA). rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 57] 64], gLAWA 5. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 64], 57], 49].

tEMA 2. pSEWDOEWKLIDOWO PROSTRANSTWO. mODELX GEOMETRII lOBA^EWSKOGO NA SFERE PSEWDOEWKLIDOWA PROSTRANSTWA pSEWDOEWKLIDOWYM PROSTRANSTWOM TIPA (n 1) NAZYWAETSQ AFFINNOE PROSTRANSTWO En1 (RAZMERNOSTI n +1) SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM WEK86

TOROW, IME@]IM W KANONI^ESKOM BAZISE SLEDU@]IJ WID: (x y) = x1y1 + : : : + xn yn ; xn+1yn+1. tAKOE SKALQRNOE PROIZWEDENIE NAZYWA@T TAKVE PSEWDOEWKLIDOWYM. sFEROJ MNIMOGO RADIUSA W PROSTRANSTWE E21 NAZYWAETSQ MNOVESTWO TO^EK, ZADAWAEMOE URAWNENIEM WIDA (r ; r0)2 = ;R2 . s TO^KI ZRENIQ AFFINNOJ GEOMETRII \TA SFERA PREDSTAWLQET SOBOJ DWUPOLOSTNYJ GIPERBOLOID. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 38], lEKCII 12 A,B,W 12], rAZDEL 4, x22 47], gLAWA 3, x1, 2 20], x6 40], 27]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 40], 20], 49]. tEMA 3. gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO. mODELX k\LI-kLEJNA gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO REALIZUETSQ NA OBLASTI PROEKTIWNOGO PROSTRANSTWA Pn, OGRANI^ENNOJ GIPERPOWERHNOSTX@ WTOROGO PORQDKA !, IME@]EJ URAWNENIE (x1)2 + : : : + (xn)2 ; (xn+1)2 = 0. dWIVENIQMI PROSTRANSTWA lOBA^EWSKOGO Hn (\TO PROSTRANSTWO NAZYWA@T TAKVE GIPERBOLI^ESKIM PROSTRANSTWOM) QWLQ@TSQ PROEKTIWNYE PREOBRAZOWANIQ PROSTRANSTWA Pn, PEREWODQ]IE W SEBQ GIPERPOWERHNOSTX !. w ^ASTNOSTI, GEOMETRIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO REALIZUETSQ WNUTRI OKRUVNOSTI x2 + y2 = 1 NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI. pRQMYMI W \TOJ GEOMETRII QWLQ@TSQ HORDY OKRUVNOSTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 4, x22 47], gLAWA 3, x1, 2 40].

pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 40], 49].

tEMA 4. gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO. mODELX pUANKARE gEOMETRIQ PROSTRANSTWA lOBA^EWSKOGO W MODELI pUANKARE WOZNIKAET W OBLASTI, OGRANI^ENNOJ SFEROJ Sn;1 EWKLIDOWA PROSTRANSTWA En. pRI \TOM PRQMYMI W MODELI pUANKARE OKAZYWA@TSQ DUGI OKRUVNOSTEJ, PERESEKA@]EJ SFERU Sn;1 POD PRQMYM UGLOM. 87

w ^ASTNOSTI, GEOMETRIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO REALIZUETSQ WNUTRI OKRUVNOSTI x2 + y2 = 1 NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI. wMESTO OBLASTEJ, OGRANI^ENNYH SFEROJ Sn;1 ILI OKRUVNOSTX@ DLQ POSTROENIQ GEOMETRII lOBA^EWSKOGO MOVNO TAKVE BRATX, SOOTWETSTWENNO, POLUPROSTRANSTWO, OGRANI^ENNOE GIPERPLOSKOSTX@, I POLUPLOSKOSTX, OGRANI^ENNU@ PRQMOJ. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 40], 15], 47], gLAWA 3, x8. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 40], 49], 15].

tEMA 4. gEOMETRIQ NA SFERE I \LLIPTI^ESKAQ GEOMETRIQ eSLI W PROEKTIWNOM PROSTRANSTWE Pn ZADATX MNIMU@ GIPERPOWERHNOSTX WTOROGO PORQDKA ! S URAWNENIEM (x1)2 + : : : + (xn)2 + (xn+1)2 = 0 I W KA^ESTWE DOPUSTIMYH PREOBRAZOWANIJ WZQTX PROEKTIWNYE PREOBRAZOWANIQ PROSTRANSTWA Pn, PEREWODQ]IE W SEBQ GIPERPOWERHNOSTX !, TO PROEKTIWNOE PROSTRANSTWO PREWRATITSQ W \LLIPTI^ESKOE PROSTRANSTWO. pOSKOLXKU PROEKTIWNOE PROSTRANSTWO MOVNO POLU^ITX IZ SFERY Sn OTOVDESTWLENIEM PROTIWOPOLOVNYH TO^EK (PRI \TOM OTOBRAVENIE p : Sn ! Pn QWLQETSQ DWULISTNYM NAKRYTIEM), A LINEJNYE PREOBRAZOWANIQ, SOHRANQ@]IE KWADRATI^NU@ FORMU (x1)2 + : : : + (xn)2 + (xn+1)2, QWLQ@TSQ WRA]ENIQMI SFERY, TO GEOMETRIQ \LLIPTI^ESKOGO PROSTRANSTWA W MALOM SOWPADAET S GEOMETRIEJ SFERY. nA \LLIPTI^ESKOJ PLOSKOSTI L@BYE DWE RAZLI^NYE PRQMYE IME@T ROWNO ODNU OB]U@ TO^KU (PARA DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYH TO^EK, PO KOTORYM PERESEKA@TSQ BOLXIE OKRUVNOSTI SFERY). rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 4, x22 47], gLAWA 2, x1, 2 40] 15].

pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 40], 49], 15]. 88

6

tEMY, PREDLOVENNYE {USTOWOJ e.p.

6.1 pROEKTIWNAQ GEOMETRIQ. mETODY IZOBRAVENIJ. pROEKTIWNAQ GEOMETRIQ WOZNIKLA W SWQZI S ZADA^EJ IZOBRAVENIQ TEL NA PLOSKOSTI. zADA^A \TA ESTESTWENNYM OBRAZOM WOZNIKAET W STEREOMETRII EE ZNA^ENIE DLQ VIWOPISI I ARHITEKTURY O^EWIDNO. pRI PROEKTIROWANII TEL NA PLOSKOSTX (PRI IZOBRAVENII \TIH TEL NA PLOSKOSTI) MNOGOE W NIH ISKAVAETSQ: MENQ@TSQ DLINY OTREZKOW, WELI^INY UGLOW I T.D. oDNAKO IME@TSQ I TAKIE SWOJSTWA, KOTORYE ODINAKOWY DLQ TELA I EGO IZOBRAVENIQ NA PLOSKOSTI. nAHOVDENIE TAKOGO RODA SWOJSTW I SOSTAWLQET OSNOWNU@ ZADA^U PROEKTIWNOJ GEOMETRII. bAZIRUQSX NA NIH, MY MOVEM OBLEG^ITX POSTROENIE IZOBRAVENIQ TELA NA PLOSKOSTI. pROEKTIWNYM PREOBRAZOWANIEM MNOVESTWA TO^EK PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI NAZYWAETSQ TAKOE WZAIMNO ODNOZNA^NOE PREOBRAZOWANIE, PRI KOTOROM L@BYE TRI TO^KI, LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ, PEREHODQT W TO^KI, TAKVE LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ, PRINADLEVA]EJ \TOJ PLOSKOSTI. nETOVDESTWENNOE PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE NAZYWAETSQ GOMOLOGIEJ, ESLI ONO IMEET PRQMU@, SOSTOQ]U@ IZ INWARIANTNYH TO^EK (TEH TO^EK, KOTORYE PEREHODQT SAMI W SEBQ), I, KROME TOGO, E]E ODNU INWARIANTNU@ TO^KU. wOT NEKOTORYE IZ TEM KURSOWYH PO \TOMU RAZDELU:

tEMA 1. sPOSOBY POSTROENIQ OBRAZA I PROOBRAZA TO^KI ZADANNOJ GOMOLOGII zDESX PREDPOLAGAETSQ POLU^ITX PORQDOK PRAKTI^ESKIH DEJSTWIJ DLQ POSTROENIQ NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI OBRAZA (PROOBRAZA) TO^KI, ESLI GOMOLOGIQ ZADANA OSX@, CENTROM I PAROJ SOOTWETSTWENNYH TO^EK (ILI TREMQ PARAMI SOOTWETSTWENNYH TO^EK). 89

tEMA 2. oTOBRAVENIQ PRQMYH PRI ZADANNOJ GOMOLOGII zDESX PREDPOLAGAETSQ POSTROITX OBRAZY I PROOBRAZY RAZLI^NYH PRQMYH, ESLI GOMOLOGIQ ZADANA OSX@, CENTROM I PAROJ SOOTWETSTWENNYH TO^EK (ILI TREMQ PARAMI SOOTWETSTWENNYH TO^EK). oPISATX PORQDOK POSTROENIQ. pUSTX ZADANA GOMOLOGIQ f I DWE PRQMYE p I q (p 6= q). nA PRQMOJ p NAJTI TO^KU, PROOBRAZ (OBRAZ) KOTOROJ LEVIT NA PRQMOJ q (p 6= f (q)).

tEMA 3. tEOREMA dEZARGA I EE PRIMENENIQ DLQ POSTROENIJ NA PLOSKOSTI tEOREMA dEZARGA. eSLI PRQMYE, PROHODQ]IE ^EREZ SOOTWETSTWU@-

]IE WERINY DWUH TREUGOLXNIKOW, PROHODQT ^EREZ ODNU TO^KU (DEZARGOW CENTR), TO SOOTWETSTWU@]IE STORONY \TIH TREUGOLXNIKOW PERESEKA@TSQ W TO^KAH, LEVA]IH NA ODNOJ PRQMOJ. 1) w EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI PROTIWOPOLOVNYE WERINY ODNOGO PARALLELOGRAMMA RASPOLOVENY SOOTWETSTWENNO NA PROTIWOPOLOVNYH STORONAH (ILI IH PRODOLVENIQH) WTOROGO. dOKAZATX, ^TO OBA PARALLELOGRAMMA IME@T OB]IJ CENTR SIMMETRII. 2) w EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI DANY TREUGOLXNIK I TRI PARALLELOGRAMMA, DLQ KAVDOGO IZ KOTORYH ODNA STORONA TREUGOLXNIKA SLUVIT DIAGONALX@, A DWE DRUGIE { SMEVNYMI STORONAMI. dOKAZATX, ^TO WTORYE DIAGONALI \TIH PARALLELOGRAMMOW PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE. 3) w EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI W ^ETYREHUGOLXNIK WPISANA TRAPECIQ, PARALLELXNYE STORONY KOTOROJ PARALLELXNY EGO DIAGONALI. dOKAZATX, ^TO NEPARALLELXNYE STORONY TRAPECII PERESEKA@TSQ NA DRUGOJ DIAGONALI. 4) iSPOLXZUQ TEOREMU dEZARGA, DOKAVITE, ^TO MEDIANY TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE. 90

5) nA ^ERTEVE OGRANI^ENNYH RAZMEROW ZADANY DWE PARY PRQMYH: p I q PERESEKA@]IESQ W TO^KE A I u I v PERESEKA@]IESQ W TO^KE B: tO^KI A I B NE UME]A@TSQ NA LISTE BUMAGI (NEDOSTUPNY). pOSTROITX DOSTUPNU@ ^ASTX PRQMOJ (AB ): tAKOGO TIPA ZADA^I WOZNIKA@T, NAPRIMER, PRI POSTROENII SE^ENIJ MNOGOGRANNIKOW. w SLEDU@]IH KURSOWYH RABOTAH PREDPOLAGAETSQ POSTROENIE IZOBRAVENIJ PROSTRANSTWENNYH FIGUR I IH SE^ENIJ, S ISPOLXZOWANIEM SWOJSTW PARALLELXNOGO PROEKTIROWANIQ I TEOREMY dEZARGA O PARE SOOTWETSTWENNYH TREUGOLXNIKOW.

tEMA 4. pOSTROENIE RAZLI^NYH SE^ENIJ PIRAMID I TO^EK WSTRE^I PRQMOJ S GRANQMI I SE^ENIQMI tEMA 5. pOSTROENIE RAZLI^NYH SE^ENIJ PARALLELEPIPEDA I TO^EK WSTRE^I PRQMOJ S GRANQMI I SE^ENIQMI tEMA 6. pOSTROENIE RAZLI^NYH SE^ENIJ PRAWILXNOJ ESTIUGOLXNOJ PRIZMY I TO^EK WSTRE^I PRQMOJ S GRANQMI I SE^ENIQMI

wO WSEH WYE PERE^ISLENNYH TEMAH OB_EKTY ZADANY W WIDE GEOMETRI^ESKOGO MESTA TO^EK. rEENIQ ZADA^ NE TREBU@T KAKIH-LIBO WY^ISLENIJ, A OSNOWYWA@TSQ NA IZWESTNYH OPREDELENIQH I TEOREMAH PROEKTIWNOJ GEOMETRII. zAMETIM, ^TO REZULXTATY RABOT MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY PRI PREPODAWANII MATEMATIKI W KOLE, A TAKVE DLQ ORGANIZACII KRUVKOW I FAKULXTATIWOW. w SLEDU@]IH KURSOWYH RABOTAH RASSMATRIWAEMYE OB_EKTY ZADANY SWOIMI KOORDINATAMI ILI URAWNENIQMI. rEENIE ZADA^I WYPOLNQETSQ S POMO]X@ SOOTWETSTWU@]IH ANALITI^ESKIH WY^ISLENIJ I ZATEM DELA@TSQ SOOTWETSTWU@]IE RISUNKI. nAPRIMER: 91

tEMA 7. oSOBENNOSTI RASPOLOVENIQ TO^EK I PRQMYH NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI zDESX RASSMATRIWA@TSQ WOPROSY SLEDU@]EGO TIPA: 1) kAKOWA OSOBENNOSTX RASPOLOVENIQ TO^KI NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI OTNOSITELXNO NEKOTOROGO PROEKTIWNOGO REPERA, ESLI ODNA IZ KOORDINAT TO^KI W \TOM REPERE NULEWAQ? 2) kAKOWA OSOBENNOSTX RASPOLOVENIQ PRQMOJ (AB ) OTNOSITELXNOGO NEKOTOROGO REPERA NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, ESLI W \TOM REPERE PERWYE PARY KOORDINAT TO^EK A I B PROPORCIONALXNY? sFORMULIRUJTE I REITE DWOJSTWENNU@ ZADA^U. 3) pOSTROITX TO^KU (PRQMU@) PO EE KOORDINATAM W RAZLI^NYH REPERAH NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI.

tEMA 8. pREOBRAZOWANIE KOORDINAT TO^KI PRI GOMOLOGII tREBUETSQ POLU^ITX FORMULY PROEKTIWNOGO PREOBRAZOWANIQ, QWLQ@]EGOSQ GOMOLOGIEJ NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 13], 3].

6.2 aFFINNYE PREOBRAZOWANIQ NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE. tEMY KURSOWYH RABOT \TOGO RAZDELA POSWQ]ENY AFFINNYM PREOBRAZOWANIQM (NAPRIMER, SDWIGAM, SVATIQM, WRA]ENIQM, SIMMETRIQM, PARALLELXNYM PERENOSAM) RAZLI^NYH FIGUR NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE. nAPOMNIM, ^TO WSQKOE AFFINNOE PREOBRAZOWANIE, ZAPISANNOE W DEKARTOWYH KOORDINATAH, IMEET WID x0 = Ax + a, GDE x I x0 | RADIUS-WEKTORY SOOTWETSTWU@]IH TO^EK, A | LINEJNYJ OPERATOR, a | WEKTOR. 92

tEMA 1. sWQZX AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ W TREHMERNOM PSEWDOEWKLIDOWOM PROSTRANSTWE I OKRUVNOSTEJ NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI mEVDU TO^KAMI TREHMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA I ORIENTIROWANNYMI OKRUVNOSTQMI EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE. nADO WYQSNITX, KAKIM PREOBRAZOWANIQM BUDUT PODWERGATXSQ OKRUVNOSTI W EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI, ESLI RASSMOTRETX AFFINNYE PREOBRAZOWANIQ NEKOTORYH TIPOW W TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. i NAOBOROT, KAKOE AFFINNOE PREOBRAZOWANIE WOZNIKAET W TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE, ESLI OKRUVNOSTI NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI PODWERGA@TSQ NEKOTOROMU PREOBRAZOWANI@ (NAPRIMER, PREOBRAZOWANIQM lAGERRA 60]).

tEMA 2. nEPODWIVNYE TO^KI I INWARIANTNYE NAPRAWLENIQ AFFINNOGO PREOBRAZOWANIQ tO^KA x0 OSTAETSQ NEPODWIVNOJ PRI AFFINNOM PREOBRAZOWANII, ESLI x0 = Ax0 + a, T.E. (E ; A)x0 = a. sLEDOWATELXNO, OTYSKANIE TAKIH TO^EK SWODITSQ K SISTEME LINEJNYH NEODNORODNYH URAWNENIJ. pREDPOLAGAETSQ RASSMOTRETX RAZLI^NYE SLU^AI I KONKRETNYE PRIMERY. eSLI OPERATOR A OBLADAET SOBSTWENNYM WEKTOROM: Ax = x, TO \TOT WEKTOR ZADAET INWARIANTNOE NAPRAWLENIE NA PLOSKOSTI ILI W PROSTRANSTWE. pRQMYE, IME@]IE \TO NAPRAWLENIE, PREOBRAZU@TSQ W SEBQ ILI W PARALLELXNYE PRQMYE. iSSLEDOWATX WOPROS: PRI KAKIH USLOWIQH SU]ESTWU@T INWARIANTNYE NAPRAWLENIQ, SKOLXKO IH MOVET BYTX? rASSMOTRETX PRIMERY.

tEMA 3. sIMMETRII OTNOSITELXNO PRQMOJ tEMA 4. gOMOTETII NA PLOSKOSTI 93

w SLEDU@]IH KURSOWYH RABOTAH PREDPOLAGAETSQ REITX ZADA^U TAKOGO TIPA: NA AFFINNOJ (ILI EWKLIDOWOJ) PLOSKOSTI ILI W AFFINNOM (ILI EWKLIDOWOM) PROSTRANSTWE ZADANA NEKOTORAQ GEOMETRI^ESKAQ FIGURA. nAJTI AFFINNYE PREOBRAZOWANIQ, OTOBRAVA@]EE TO^KI \TOJ FIGURY W TO^KI DRUGOJ ZADANNOJ FIGURY (W ^ASTNOSTI, OSTAWLQ@]IE DANNU@ FIGURU NEPODWIVNOJ). iZU^ITX \TO PREOBRAZOWANIE, WYQSNIW EGO GEOMETRI^ESKIE SWOJSTWA. rASSMOTRETX W KA^ESTWE FIGUR NEKOTORYE KRIWYE ILI POWERHNOSTI. nAPRIMER:

tEMA 5. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE PARABOLU W SEBQ tEMA 6. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE \LLIPS W SEBQ tEMA 7. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE GIPERBOLU W SEBQ tEMA 8. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE CILINDR W SEBQ tEMA 9. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE KONUS W SEBQ tEMA 10. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE \LLIPSOID W SEBQ tEMA 11. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE PARABOLOID W SEBQ tEMA 12. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE GIPERBOLOID W SEBQ rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 13], 60].

6.3 gEOMETRIQ KRISTALLOW. gEOMETRI^ESKI PRAWILXNAQ WNENQQ FORMA KRISTALLOW, OBRAZU@]IHSQ W PRIRODNYH ILI LABORATORNYH USLOWIQH, NATOLKNULA U^ENYH NA MYSLX, ^TO KRISTALLY OBRAZU@TSQ POSREDSTWOM REGULQRNOGO POWTORENIQ W PROSTRANSTWE ODNOGO I TOGO VE STRUKTURNOGO \LEMENTA, TAK SKAZATX, KIRPI^IKA. pRI ROSTE KRISTALLA W IDEALXNYH USLOWIQH FORMA 94

EGO W TE^ENIE WSEGO ROSTA OSTAETSQ NEIZMENNOJ, KAK ESLI BY K RASTU]EMU KRISTALLU NEPRERYWNO PRISOEDINQLISX BY \LEMENTARNYE KIRPI^IKI. tAKIMI \LEMENTARNYMI KIRPI^IKAMI QWLQ@TSQ ATOMY ILI GRUPPY ATOMOW. kRISTALLY SOSTOQT IZ ATOMNYH RQDOW, PERIODI^ESKI POWTORQ@]IHSQ W PROSTRANSTWE I OBRAZU@]IH KRISTALLI^ESKU@ REETKU. tO^E^NU@ GRUPPU SIMMETRII KRISTALLI^ESKOJ REETKI MOVNO OPREDELITX KAK SOWOKUPNOSTX OPERACIJ SIMMETRII, T.E. PREOBRAZOWANIJ, OSU]ESTWLENNYH OTNOSITELXNO KAKOJ-NIBUDX TO^KI REETKI, W REZULXTATE KOTORYH REETKA SOWME]AETSQ SAMA S SOBOJ. sU]ESTWU@T PQTX TIPOW DWUMERNYH REETOK I ^ETYRNADCATX PROSTRANSTWENNYH. ~ETYRNADCATX REETOK bRAWE OBY^NO PODRAZDELQ@TSQ NA SEMX SISTEM, W SOOTWETSTWII S SEMX@ RAZLI^NYMI TIPAMI \LEMENTARNYH Q^EEK. sLEDU@]IE TEMY PREDPOLAGA@T IZU^ENIE TO^E^NOJ GRUPPY SIMMETRII KRISTALLI^ESKOJ REETKI I ISSLEDOWANIE NEKOTORYH FIZI^ESKIH SWOJSTW KRISTALLOW, OPISYWAEMYH \TOJ REETKOJ. pRIWEDENNYE NIVE ZADA^I REA@TSQ METODAMI ANALITI^ESKOJ GEOMETRII. wOT NEKOTORYE IZ NIH:

tEMA 1. sIMMETRII MONOKLINNOJ S CENTRIROWANNYMI OSNOWANIQMI PROSTRANSTWENNOJ REETKI bRAWE tEMA 2. sIMMETRII ROMBI^ESKOJ S CENTRIROWANNYMI OSNOWANIQMI PROSTRANSTWENNOJ REETKI bRAWE tEMA 3. sIMMETRII KUBI^ESKOJ PRIMITIWNOJ Q^EJKI bRAWE tEMA 4. sIMMETRII MONOKLINNOJ PRIMITIWNOJ Q^EJKI bRAWE 95

tEMA 5. sIMMETRII ROMBI^ESKOJ GRANECENTRIROWANNOJ PROSTRANSTWENNOJ REETKI bRAWE tEMA 6. sIMMETRII ROMBI^ESKOJ OB_EMNOCENTRIROWANNOJ PROSTRANSTWENNOJ REETKI bRAWE tEMA 7. sIMMETRII DWUMERNYH KRISTALLI^ESKIH REETOK rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 20], 13].

6.4 dIFFERENCIALXNAQ GEOMETRIQ. lINEJ^ATAQ GEOMETRIQ W AFFINNOM PROSTRANSTWE. sLEDU@]IE TEMY KURSOWYH RABOT PREDPOLAGA@T IZU^ENIE RAZLI^NYH PREOBRAZOWANIJ SETEJ, LINIJ I OBLASTEJ NA POWERHNOSTQH EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, A TAKVE NAHOVDENIE SOOTWETSTWU@]IH \TIM PREOBRAZOWANIQM AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, W KOTOROM NAHODITSQ DANNAQ POWERHNOSTX. wOT NEKOTORYE TEMY TAKOGO TIPA:

tEMA 1. sWQZX PREOBRAZOWANIJ NA SFERE I W AFFINNOM PROSTRANSTWE tEMA 2. sWQZX PREOBRAZOWANIJ NA KONUSE I W AFFINNOM PROSTRANSTWE tO^KE I WEKTORU, ZADANNYM NA NEKOTOROJ POWERHNOSTI (KOTORU@ BUDEM NAZYWATX INDIKATRISOJ) AFFINNOGO PROSTRANSTWA, MOVNO WZAIMNO ODNOZNA^NO POSTAWITX W SOOTWETSTWIE ORIENTIROWANNU@ PRQMU@ W AFFINNOM PROSTRANSTWE. a IMENNO, TO^KE NA INDIKATRISE S RADIUSWEKTOROM ~r I WEKTORU ~v KASATELXNOMU K INDIKATRISE W \TOJ TO^KE, STAWITSQ W SOOTWETSTWIE ORIENTIROWANNAQ PRQMAQ, PROHODQ]AQ ^EREZ KONEC WEKTORA ~v W NAPRAWLENII WEKTORA ~r: tOGDA TEKU]EJ TO^KE M 96

NA INTEGRALXNOJ LINII WEKTORNOGO POLQ ~v , ZADANNOGO NA INDIKATRISE, I WEKTORU ~vM SOOTWETSTWUET SEMEJSTWO ORIENTIROWANNYH PRQMYH W AFFINNOM PROSTRANSTWE (ZDESX ~vM - WEKTOR WEKTORNOGO POLQ ~v WY^ISLENNYJ W TO^KE M ). eSLI INTEGRALXNAQ LINIQ { NEPRERYWNAQ KRIWAQ, TO \TO SEMEJSTWO ORIENTIROWANNYH PRQMYH BUDET LEVATX NA NEKOTOROJ LINEJ^ATOJ POWERHNOSTI (KAK BY OBRAZOWYWATX \TU POWERHNOSTX). pREDPOLAGAETSQ IZU^ITX SWOJSTWA \TOJ LINEJ^ATOJ POWERHNOSTI. i NAOBOROT, RASSMOTREW LINEJ^ATU@ POWERHNOSTX OPREDELENNOGO WIDA, POLU^ITX SOOTWETSTWU@]EE WEKTORNOE POLE NA POWERHNOSTI I IZU^ITX EGO SWOJSTWA. wOT NEKOTORYE IZ TEM \TOGO RAZDELA:

RE

tEMA 3. lINEJ^ATYE POWERHNOSTI I WEKTORNYE POLQ NA SFE-

tEMA 4. lINEJ^ATYE POWERHNOSTI I WEKTORNYE POLQ NA \LLIPTI^ESKOM PARABOLOIDE tEMA 5. lINEJ^ATYE POWERHNOSTI I WEKTORNYE POLQ NA GIPERBOLI^ESKOM PARABOLOIDE tEMA 6. cILINDRY I WEKTORNYE POLQ NA SFERE tEMA 7. oDNOPOLOSTNYE GIPERBOLOIDY I WEKTORNYE POLQ NA SFERE tEMA 8. oDNOPOLOSTNYE GIPERBOLOIDY I WEKTORNYE POLQ NA PARABOLOIDE tEMA 9. oDNOPOLOSTNYE GIPERBOLOIDY I WEKTORNYE POLQ NA DWUPOLOSTNOM GIPERBOLOIDE dRUGIE TEMY KURSOWYH RABOT PO \TOMU RAZDELU: PUSTX TO^KA DWIVETSQ PO NEKOTOROMU NAPERED ZADANNOMU ZAKONU PO NEKOTOROJ DANNOJ PO97

WERHNOSTI. nAJTI LINEJ^ATU@ POWERHNOSTX, SOOTWETSTWU@]U@ TAKOMU DWIVENI@ TO^KI. iZU^ITX SWOJSTWA \TOJ POWERHNOSTI. wOT NEKOTORYE IZ TEM TAKOGO TIPA:

tEMA 10. dWIVENIE TO^KI PO SFERE I SOOTWETSTWU@]AQ EE DWIVENI@ LINEJ^ATAQ POWERHNOSTX W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE w RAMKAH \TOJ TEMY MOVET BYTX RASSMOTRENA, NAPRIMER, ZADA^A: PUSTX TO^KA DWIVETSQ PO SFERE TAK, ^TO ONA ODNOWREMENNO RAWNOMERNO PEREME]AETSQ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ PRQMOJ l EWKLIDOWA PROSTRANSTWA. t.E., \TA TO^KA, WRA]AQSX WOKRUG PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ CENTR SFERY I PARALLELXNOJ l TO PRIBLIVAETSQ K NEJ, TO UDALQETSQ OT NEE, PRI \TOM OSTAWAQSX NA SFERE. iZU^ITX SWOJSTWA SOOTWETSTWU@]EJ LINEJ^ATOJ POWERHNOSTI W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE.

tEMA 11. dWIVENIE TO^KI PO DWUPOLOSTNOMU GIPERBOLOIDU I SOOTWETSTWU@]AQ EE DWIVENI@ LINEJ^ATAQ POWERHNOSTX W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE w RAMKAH \TOJ TEMY MOVET BYTX RASSMOTRENA, NAPRIMER, ZADA^A: PUSTX TO^KA DWIVETSQ PO DWUPOLOSTNOMU GIPERBOLOIDU TAK, ^TO ONA ODNOWREMENNO RAWNOMERNO PEREME]AETSQ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ PRQMOJ l EWKLIDOWA PROSTRANSTWA. t.E., \TA TO^KA, WRA]AQSX WOKRUG PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ CENTR ODNOPOLOSTNOGO GIPERBOLOIDA I PARALLELXNOJ l, TO PRIBLIVAETSQ K NEJ, TO UDALQETSQ OT NEE, PRI \TOM OSTAWAQSX NA DWUPOLOSTNOM GIPERBOLOIDE. iZU^ITX SWOJSTWA SOOTWETSTWU@]EJ LINEJ^ATOJ POWERHNOSTI W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. k KAVDOJ TEME \TOGO RAZDELA MOGUT BYTX SDELANY SOOTWETSTWU@]IE RISUNKI, WYPOLNENNYE S POMO]X@ KOMPX@TERA, A TAKVE SOSTAWLE98

NY PROGRAMMY DLQ WY^ISLENIJ NEOBHODIMYH PRI IZU^ENII WNUTRENNEJ GEOMETRII SOOTWETSTWU@]EJ LINEJ^ATOJ POWERHNOSTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 34], 50].

lITERATURA 1] aDAMAR v. |LEMENTARNAQ GEOMETRIQ. ~ASTX I. pLANIMETRIQ. { m.: u^PEDGIZ, { 1948. 2] aDAMAR v. |LEMENTARNAQ GEOMETRIQ. ~ASTX II. sTEREOMETRIQ. { m.: u^PEDGIZ, { 1958. 3] aLEKSANDROWA e.w. pOSOBIE K REENI@ ZADA^ PO RAZDELU mETODY IZOBRAVENIJ. { u^EBNOE POSOBIE. { 1998. 4] aLEKSANDROW p.s. lEKCII PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII. { m.: nAUKA. { 1968. 5] aLEKSANDROW p.s. kURS ANALITI^ESKOJ GEOMETRII I LINEJNOJ ALGEBRY. { m.: nAUKA. { 1979. 6] aRNOLXD w.i. mATEMATI^ESKIE METODY KLASSI^ESKOJ MEHANIKI. { m.: nAUKA. { 1974. 7] aRNOLXD w.i. tEORETI^ESKAQ ARIFMETIKA. { m.: nAUKA. { 1978. 8] aRNOLXD w.i. tEORIQ KATASTROF. { m.: nAUKA. { 1990. 9] aTANASQN l.s., bAZYLEW w.t. gEOMETRIQ. ~ASTX I. { m. { 1986. 10] aTANASQN l.s., bAZYLEW w.t. gEOMETRIQ. ~ASTX II. { m. { 1987. 11] bAZYLEW w.t., dUNI^EW k.i., iWANICKAQ w.p. gEOMETRIQ I. { m.: pROSWE]ENIE. { 1974. 99

12] bAZYLEW w.t., dUNI^EW k.i. gEOMETRIQ II. { m.: pROSWE]ENIE. { 1975. 13] bAHWALOW s.w., mODENOW p.s., pARHOMENKO a.s. sBORNIK ZADA^ PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII. { m.: nAUKA. { 1964. 14] bERVE m. gEOMETRIQ. t. 1. { m.: mIR. { 1984. 15] bERVE m. gEOMETRIQ. t. 2. { m.: mIR. { 1984. 16] bERMAN C. cIKLOIDA. { m.: nAUKA. { 1968. 17] bOLTQNSKIJ w.g., eFREMOWI^ w.a. nAGLQDNAQ TOPOLOGIQ. { m.: nAUKA. { 1982. 18] bRUS dV., dVIBLIN p. kRIWYE I OSOBENNOSTI. { m.: mIR. { 1988. 19] gENKIN s.a., iTENBERG i.w., fOMIN d.w. lENINGRADSKIE MATEMATI^ESKIE KRUVKI. { kIROW: asa. { 1994. 20] dUBROWIN b.a., nOWIKOW s.p., fOMENKO a.t. sOWREMENNAQ GEOMETRIQ. mETODY I PRILOVENIQ. { m.: nAUKA. { 1979. 21] dX
26] kOSNEWSKI ~. nA^ALXNYJ KURS ALGEBRAI^ESKOJ TOPOLOGII. { m.: mIR. { 1983. 27] kOSTRIKIN a.i., mANIN `.i. lINEJNAQ ALGEBRA I GEOMETRIQ. { m.: nAUKA. { 1986. 28] kRONNOWER r.m. fRAKTALY I HAOS W DINAMI^ESKIH SISTEMAH. oSNOWY TEORII. { m.: pOSTMARKET. { 2000. 29] mALAHALXCEW m.a., fOMIN w.e., {APUKOW b.n., {URYGIN w.w. zADA^I PO TENZORNOMU ANALIZU I RIMANOWOJ GEOMETRII. { kAZANX: u^EBNOE POSOBIE. { iZD.-WO kAZANSK. UN-TA. { 1993. 30] mASSI u., sTOLLINGS dV. aLGEBRAI^ESKAQ TOPOLOGIQ. wWEDENIE. { m.: mIR. { 1977. 31] mI]ENKO a.s., fOMENKO a.t. kURS DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII I TOPOLOGII. { m.: iZD. mgu. { 1980. 32] mODENOW p.s., pARHOMENKO a.s. gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ. { m. { 1961. 33] nORDEN a.p. kRATKIJ KURS DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. { m. { 1958. 34] nORDEN a.p. tEORIQ POWERHNOSTEJ. { m.: gOSTEHIZDAT. { 1956. 35] pOGORELOW a.w. lEKCII PO DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. { hARXKOW { 1956. 36] pODRAN w.e. mODELI PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO. { nOWGOROD: u^EBNOE POSOBIE. { 1998. 37] pOSTNIKOW m.m. aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ (lEKCII PO GEOMETRII. sEMESTR I). { m.: nAUKA. { 1979. 101

38] pOSTNIKOW m.m. lINEJNAQ ALGEBRA (lEKCII PO GEOMETRII. sEMESTR II). { m.: nAUKA. { 1986. 39] pOSTON t., sT@ART i. tEORIQ KATASTROF I EE PRILOVENIQ. { m.: mIR. { 1980. 40] pRASOLOW w.w. gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO. { m.: mcnmo. { 2000. 41] pROSKURQKOW i.w. sBORNIK ZADA^ PO LINEJNOJ ALGEBRE. { m.: nAUKA. { 1967. 42] rAEWSKIJ p.k. rIMANOWA GEOMETRIQ I TENZORNYJ ANALIZ. { m. { 1953. 43] rAEWSKIJ p.k. kURS DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. { m. { 1956. 44] rv mATEMATIKA { 1971. { N 7. { REFERAT 7a10. 45] rID m. aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ DLQ WSEH. { m.: mIR. { 1991. 46] rOZENFELXD b.a. mNOGOMERNYE PROSTRANSTWA. { m.: nAUKA. { 1966. 47] rOZENFELXD b.a. nEEWKLIDOWY PROSTRANSTWA. { m.: nAUKA. { 1969. 48] sAWELOW a.a. pLOSKIE KRIWYE. { m.: gOSTEHIZDAT. { 1960. 49] sBORNIK ZADA^ PO GEOMETRII. pOD RED. bAZYLEWA w.t. { m.: pROSWE]ENIE. { 1980. 50] sBORNIK ZADA^ PO DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. pOD RED. fEDENKO a.s. { m.: nAUKA. { 1979. 51] tORP dV. nA^ALXNYE GLAWY DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. { m.: mIR. { 1982. 52] fEDER e. fRAKTALY. { m.: mIR. { 1991. 102

53] fOMENKO a.t. sIMPLEKTI^ESKAQ GEOMETRIQ. { m.: iZD. mgu. { 1980. 54] fOMENKO a.t. nAGLQDNAQ GEOMETRIQ I TOPOLOGIQ: mATEMATI^ESKIE OBRAZY W REALXNOM MIRE. 2-E IZD. { m.: iZD. mgu, iZD. ~ERO . { 1998. 55] {AFAREWI^ i.r. oSNOWY ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII. t. 1,2. { m.: nAUKA. { 1988. 56] {IROKOW p.a., {IROKOW a.p. aFFINNAQ DIFFERENCIALXNAQ GEOMETRIQ. { m. { 1959. 57] {IROKOW p.a. kRATKIJ O^ERK OSNOW GEOMETRII lOBA^EWSKOGO. { m.: nAUKA. { 1983. 58] {REDER m. fRAKTALY, HAOS, STEPENNYE ZAKONY. { iVEWSK.: iZD. uDMURT. UN-TA. { 2000. 59] qGLOM i.m. gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ. tOM I. { m.: gittl. { 1955. 60] qGLOM i.m. gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ. tOM II. { m.: gittl. { 1956. 61] Falconer K.J. The Geometry of Fractal Sets. { Cambridge Univ. Press. { 1985. 62] Koecher M., Remmert R. Hamilton's quaternions. In H.-D. Ebbinghaus et al. Numbers. { Springer. { 1988. 63] Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. { New York.: W.H. Freeman and Company. { 1977. 64] Wylie C.R. Foundation of geometry. { McGraw-Hill. { 1964. 103

sODERVANIE 1 tEMY, PREDLOVENNYE iGUDESMANOM k.b. 4 1.1 fRAKTALXNAQ GEOMETRIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 nAGLQDNAQ KOMPX@TERNAQ GEOMETRIQ W TEORII ^ISEL . . 24 2 tEMY, PREDLOVENNYE mALAHALXCEWYM m.a. 2.1 oSOBENNOSTI GLADKIH OTOBRAVENIJ . . . . . . . . . . . . 2.2 aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 |LEMENTY TEORII GRAFOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 tOPOLOGI^ESKIE INWARIANTY POWERHNOSTEJ . . . . . . . . 2.5 sIMPLEKTI^ESKAQ GEOMETRIQ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 pROSTRANSTWA gALILEQ I mINKOWSKOGO . . . . . . . . . . 2.7 tREHMERNAQ SFERA I WRA]ENIQ TREHMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 gRUPPY ZAMO]ENIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 pRIWEDENIE KRIWOJ I POWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA K KANONI^ESKOMU WIDU S POMO]X@ KOMPX@TERA . . . . . . . . 2.10 pOSTROENIE ZAME^ATELXNYH KRIWYH S POMO]X@ PAKETA

27

3 tEMY, PREDLOVENNYE fOMINYM w.e. 3.1 pLOSKIE KRIWYE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 kWATERNIONY I DRUGIE GIPERKOMPLEKSNYE ^ISLA . . . . 3.3 gEOMETRIQ PSEWDOEWKLIDOWOJ PLOSKOSTI . . . . . . . . . 3.4 lINEJNAQ ALGEBRA I \LEMENTARNAQ GEOMETRIQ . . . . . . 3.5 dOPOLNITELXNYE GLAWY DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII

46

Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

27 34 37 39 40 41

42 43 44 46 46 48 48 48 50

4 tEMY, PREDLOVENNYE {APUKOWYM b.n. 52 4.1 gRUPPY PREOBRAZOWANIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 104

4.2 nEEWKLIDOWY GEOMETRII . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 tEMY, PREDLOVENNYE {URYGINYM w.w. 5.1 gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI 5.2 pROEKTIWNAQ PLOSKOSTX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 gEOMETRIQ MNOGOMERNYH AFFINNYH I EWKLIDOWYH PROSTRANSTW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 tOPOLOGIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 nEEWKLIDOWY GEOMETRII . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

74 74 76

79 83 86

6 tEMY, PREDLOVENNYE {USTOWOJ e.p. 89 6.1 pROEKTIWNAQ GEOMETRIQ. mETODY IZOBRAVENIJ. . . . . . 89 6.2 aFFINNYE PREOBRAZOWANIQ NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE. 92 6.3 gEOMETRIQ KRISTALLOW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.4 dIFFERENCIALXNAQ GEOMETRIQ. lINEJ^ATAQ GEOMETRIQ W AFFINNOM PROSTRANSTWE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

105