Элементы теории симметрии. Часть I

1 ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÏÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÏÅÄÀÃÎÃÈ×ÅÑÊÈÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ èì. Ñ.Ì.ÊÈÐÎÂÀ

À.À. ÊÈÐÑÀÍÎÂ

ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÑÈÌÌÅÒÐÈÈ I

ÏÑÊÎÂ 2000

2 ÁÁÊ 22.311 Ê435 Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû àëãåáðû è ãåîìåòðèè, ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà. Íàó÷íûé ðåäàêòîð: Çàâ. êàôåäðîé àëãåáðû è ãåîìåòðèè, êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíò È.Í. Ìåäâåäåâà Ðåöåíçåíòû: Çàâ. êàôåäðîé òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè Ïñêîâñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà, äîêòîð òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Þ.Ã. Áàðèíîâ. Êàôåäðà àëãåáðû è ãåîìåòðèè ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà Êèðñàíîâ À.À. Ê 435 Ýëåìåíòû òåîðèè ñèììåòðèè. ×àñòü I. Ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ïñêîâ, 2000. - 272 ñ. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïåöèàëüíûé êóðñ ëåêöèé ïî âûáîðó.  ïåðâîé ÷àñòè ïîñîáèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà, êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè, òåíçîðíàÿ àëãåáðà, ãðóïïû, ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï, àëãåáðû Ëè, ïðåäñòàâëåíèÿ ãïóïï SO(2), SO(3), SU(n), SU(2) è SU(3). Ó÷åáíîå ïîñîáèå ðàññ÷èòàíî íà ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ è àñïèðàíòîâ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ ïåäàãîãè÷åñêèõ âóçîâ. Ìîæåò áûòü ïîëåçíûì ñòóäåíòàì òåõíè÷åñêèõ âóçîâ ïðè áîëåå ãëóáîêîì èçó÷åíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè. Ê 435

ISBN 5-87854-130-0

© Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.Ì.Êèðîâà (ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà), 2000

3

Ñîäåðæàíèå Ïðåäèñëîâèå .................................................................................... 7 Ãëàâà I. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà §1.1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî .................................................................. 9 §1.2. Ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. ................................................ 11 §1.3. Ýëåìåíòàðíûå ñëåäñòâèÿ èç àêñèîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ................................................................................. 15 §1.4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü .................................................................. 17 §1.5. Êîíå÷íîìåðíûå è áåñêîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà. Áàçèñ .......................................................................................... 17 §1.6. Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ ........................................... 21 §1.7. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êîìïëåêñíûìè è äåéñòâèòåëüíûìè ïðîñòðàíñòâàìè ............................................................................ 22 §1.8. Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ......................................................... 24 §1.9. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå .............................................................. 24 §1.10. Êîìïëåêñíûå åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà ...................................... 30 1.10.1. Îáùèå îïðåäåëåíèÿ ......................................................... 30 1.10.2. Èçîìîðôèçì êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ ..................................................................... 33 1.10.3. Àíòèèçîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâ ....................................... 34 1.10.4. Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ............................................. 34 §1.11. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû .................................................................... 35 §1.12. Äåéñòâèÿ íàä îïåðàòîðàìè .......................................................... 38 §1.13. Ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð ............................................................... 41 § 1.14. Óíèòàðíûé îïåðàòîð ................................................................... 44 § 1.15. Ýðìèòîâ îïåðàòîð ........................................................................ 45 § 1.16. Ïðîåêòèðóþùèé îïåðàòîð .......................................................... 46 §1.17. Ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð â êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ............................................................ 47 Ãëàâà II. Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè §2.1. Äóàëüíûå ïðîñòðàíñòâà ............................................................... 49 §2.2. Äóàëüíûå áàçèñû .......................................................................... 54 §2.3. Äóàëüíûå îïåðàòîðû .................................................................... 55

4 §2.4. §2.5. §2.6. §2.7. §2.8. §2.9.

Îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïðîñòðàíñòâ ............................................. 56 Ïðèâîäèìûå îïåðàòîðû ............................................................... 58 Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ .......................... 61 Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ ......................................... 65 Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ .......................................... 69 ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâ ....................... 71

§3.1. §3.2. §3.3. §3.4. §3.5. §3.6. §3.7. §3.8. §3.9. §3.10.

Ãëàâà III. Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì Îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ òåíçîðà ...................................................... 73 Çàäàíèå òåíçîðà êîîðäèíàòàìè ................................................... 76 Èíäóöèðîâàííûé îïåðàòîð ......................................................... 78 Òåíçîð êàê çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ............................................... 82 Òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà ................................................. 84 Óìíîæåíèå è ñâ¸ðòûâàíèå òåíçîðîâ ........................................... 85 Ñèììåòðè÷åñêèå è àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû ...................... 87 Áèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû .......................................................... 91 Àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû ..................................................... 91 Îïåðàòîðû ñèììåòðèçàöèè .......................................................... 92

§4.1. §4.2. §4.3. §4.4. §4.5. §4.6. §4.7. §4.8. §4.9. §4.10. §4.11.

Ãëàâà IV. Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà Îïðåäåëåíèå ãðóïï ....................................................................... 93 Ãðóïïû â ìàòðè÷íîé ôîðìå ......................................................... 96 Äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå ãðóïïû ............................................ 97 Ãîìîìîðôèçì, èçîìîðôèçì è àâòîìîðôèçì ãðóïï .................. 101 Ïðèìåðû ãðóïï ........................................................................... 103 Ãðóïïû Ëè ................................................................................... 110 Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï ....................................................... 114 Ñîïðÿæåííûå ýëåìåíòû è êëàññû .............................................. 115 Ïðèìåðû êëàññîâ ........................................................................ 116 Êëàññû ïðîèçâåäåíèÿ ãðóïï ....................................................... 119 Òåîðåìà î ïåðå÷èñëåíèè ãðóïï .................................................. 120

Ãëàâà V. Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï § 5.1. Îïðåäåëåíèå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû ........................................... 121 § 5.2. Ìàòðè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ .......................................................... 122 § 5.3. Ïðèìåðû ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï ................................................... 123 § 5.4. Ñóììà ïðåäñòàâëåíèé .................................................................. 130 § 5.5. Ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé ...................................................... 131 § 5.6. Ýêâèâàëåíòíîñòü ïðåäñòàâëåíèé ................................................. 132

5 § 5.7. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèé .................................................... 133 § 5.8. Íåýêâèâàëåíòíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ..................... 135 §5.9. Ëåììû Øóðà ............................................................................... 136 § 5.10. Õàðàêòåðû ïðåäñòàâëåíèé ......................................................... 144 § 5.11. Ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ................................................... 145 §5.12. Ïðèâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé ñ ïîìîùüþ .......................................... õàðàêòåðîâ ãðóïï ........................................................................ 146 §5.13. Êðèòåðèé íåïðèâîäèìîñòè ........................................................ 148 §5.14. ×èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå ............................... 149 §5.15. Âòîðîå ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ õàðàêòåðîâ ãðóïï ........................................................................ 152 §5.16. Ïîñòðîåíèå òàáëèöû õàðàêòåðîâ .............................................. 153 §5.17. Îðòîãîíàëüíîñòü áàçèñíûõ ôóíêöèé íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ............................................................................. 154 §6.1. §6.2. §6.3. §6.4. §6.5. §6.6. §6.7. §6.8. §6.9. §6.10.

Ãëàâà VI. Àëãåáðû Ëè Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îáùèå ñâîéñòâà ........................................ 158 Èçîìîðôèçì àëãåáð Ëè .............................................................. 159 Ñâîéñòâà êîììóòàòîðîâ àëãåáðû Ëè ........................................ 159 Çàäàíèå àëãåáðû Ëè ñ ïîìîùüþ îáðàçóþùèõ è ñîîòíîøåíèé ............................................................................ 160 Ïîäàëãåáðû Ëè ........................................................................... 161 Ïðèìåðû àëãåáð Ëè .................................................................... 162 Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå ............................................... 173 Ãðóïïû Ëè è àëãåáðû Ëè ........................................................... 178 Ïîäãðóïïû è ïîäàëãåáðû .......................................................... 178 Ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáð Ëè ........................................................... 180

Ãëàâà VII. Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3) §7.1. Îáùèå çàìå÷àíèÿ ........................................................................ 185 §7.2. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ............................................... 187 §7.3. Ãðóïïà SO(2) ............................................................................... 192 7.3.1. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ..................................... 192 7.3.2. Õàðàêòåð ........................................................................ 194 7.3.3. Ïðèìåðû áàçèñíûõ âåêòîðîâ ....................................... 194 7.3.4. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû .................................. 196

6 §7.4. Ãðóïïà SO(3) ............................................................................... 198 7.4.1. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû .................................. 199 7.4.2. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ..................................... 201 7.4.3. Õàðàêòåðû ..................................................................... 207 7.4.4. Ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé ....................................... 208 §7.5. Îïåðàòîð Êàçèìèðà .................................................................... 215 §8.1. §8.2. §8.3. §8.4. §8.5. §8.6.

Ãëàâà VIII. Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ Óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ......................................................... 217 Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ................................................... 219 Ñîïðÿæåííûå è êîíòðàãðåäèåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ .............. 222 Ãåíåðàòîðû ãðóïïû SU(n) è å¸ îñíîâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ........... 223 Ñïèíîðû âûñøèõ ðàíãîâ ........................................................... 226 Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ................................................... 230

Ãëàâà IX. Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3) §9.1. Ãðóïïà SU(2) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ ............................................... 237 9.1.1. Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU(2) ....................................... 237 9.1.2. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ãðóïïû SU(2) .......... 241 9.1.3. Ïðèìåðû ñïèíîðîâ íèçøèõ ðàíãîâ ............................. 242 §9.2. Ãðóïïà SU(3) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ .............................................. 245 9.2.1. Ãåíåðàòîðû ãðóïïû SU(3) ............................................ 245 9.2.2. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU(3) .............. 249 9.2.3 Ñïèíîðû íèçøèõ ðàíãîâ .............................................. 255 9.2.4. Ïîäãðóïïû SU(2) .......................................................... 260 Ëèòåðàòóðà .................................................................................. 265 Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ............................................................... 267

7

Ïðåäèñëîâèå Ïðåäëàãàåìîå ó÷åáíîå ïîñîáèå îõâàòûâàåò ìàòåðèàë, íåîáõîäèìûé ïðè èçó÷åíèè âîïðîñîâ ñèììåòðèè â òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå, îñîáåííî êâàíòîâîé ìåõàíèêè è òåîðèè ïîñòðîåíèÿ óíèòàðíîé ñèììåòðèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Âñå îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, òàêèå êàê: ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, áàçèñ, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, îïåðàòîð, òåíçîð, äóàëüíûå ïðîñòðàíñòâà, êîììóòàòîð è ò.ä. ââîäÿòñÿ òàê, êàê ýòî ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü è èñïîëüçîâàòü â òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå, ÷òî ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü èõ ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî ñòóäåíòàì è àñïèðàíòàì ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ ïåäàãîãè÷åñêèõ âóçîâ, íî ìîæåò áûòü ïîëåçíûì ñòóäåíòàì òåõíè÷åñêèõ âóçîâ ïðè áîëåå ãëóáîêîì èçó÷åíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè è êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ïåðâàÿ ãëàâà ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïîñâÿùåíà òåîðèè ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ è ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ. Âî âòîðîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè, èìåþùèå íåêîòîðîþ àíàëîãèþ ñ îïåðàöèÿìè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè è ñîñòàâëÿþùèå îñíîâó òåíçîðíîé àëãåáðû è òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé. Òðåòüÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà òåíçîðíîé àëãåáðå íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Èñõîäÿ èç òðåáîâàíèé ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé òåíçîð îïðåäåëÿåòñÿ, â îòëè÷èå îò îáùåïðèíÿòûõ ñïîñîáîâ, êàê âåêòîð íåêîòîðîãî êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Äëÿ áîëåå ïîëíîãî ïîíèìàíèÿ ïîíÿòèÿ òåíçîðà ïðèâîäÿòñÿ åãî òèïîâûå îïðåäåëåíèÿ: òåíçîð êàê çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ, òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìàòðèâàþòñÿ àëãåáðàè÷åñèå äåéñòâèÿ íàä òåíçîðàìè.  ÷åòâ¸ðòîé ãëàâå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ãðóïïû è ðàññìàòðèâàþòñÿ èõ ñâîéñòâà, ïðèâåäåíà êëàññèôèêàöèÿ ãðóïï Ëè. Ïÿòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà îáúåäèíåíèþ ïîíÿòèé ãðóïïû è âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ðàññìàòðèâàåòñÿ âçàèìîñâÿçü ìåæäó ýëåìåíòàìè ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé è ïðåîáðàçîâàíèÿìè âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Øåñòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà àëãåáðàì Ëè, êîòîðûå òàê æå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñ ïîçèöèé òðåáîâàíèé ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ðàññìàò-

8 ðèâàþòñÿ âîïðîñû âçàèìîñâÿçè àëãåáð Ëè ñ ãðóïïàìè Ëè, ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáð Ëè.  ñåäüìîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3), ïðèâîäÿòñÿ èõ õàðàêòåðû è èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû, ââîäèòñÿ ïîíÿòèå îïåðàòîðà Êàçèìèðà. Âîñüìàÿ è äåâÿòàÿ ãëàâû ïîñâÿùåíû ïîñòðîåíèþ ïðåäñòàâëåíèé ñïåöèàëüíûõ óíèòàðíûõ ãðóïï SU(n), SU(2) è SU(3), èìåþùèõ èñêëþ÷èòåëüíîå çíà÷åíèå â òåîðèè ñïèíà è òåîðèè êëàññèôèêàöèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Âûðàæàþ èñêðåííþþ ïðèçíàòåëüíîñòü çàâåäóþùåé êàôåäðîé àëãåáðû è ãåîìåòðèè, êàíäèäàòó ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíòó Èðèíå Íèêîëàåâíå Ìåäâåäåâîé, çàâåäóþùåìó êàôåäðîé òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè Ïñêîâñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà, äîêòîðó òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðó Þðèþ Ãðèãîðüåâè÷ó Áàðèíîâó, êàíäèäàòó ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíòó êàôåäðû àëãåáðû è ãåîìåòðèè Âëàäèìèðó Àëåêñàíäðîâè÷ó Ìàòâååâó êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ, äîáðûå ñîâåòû è ïîääåðæêà êîòîðûõ îêàçàëè áîëüøóþ ïîìîùü â ðàáîòå íàä ðóêîïèñüþ. Ìíå õî÷åòñÿ òàêæå îòìåòèòü ðåøàþùåå âëèÿíèå íà õàðàêòåð è íàïðàâëåííîñòü ïðåäëàãàåìîãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äîêòîðà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðà êàôåäðû ôèçèêè Ïñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïåäàãîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Ñ.Ì.Êèðîâà Ãåðìàíà Àðîíîâè÷à Ðîçìàíà. Âûðàæàþ, òàêæå, ñâîþ ïðèçíàòåëüíîñòü ãåíåðàëüíîìó äèðåêòîðó ÇÀÎ «Òåëåêîì» Âèêòîðó Ìèõàéëîâè÷ó Ñîëîâü¸âó çà ôèíàíñîâóþ ïîääåðæêó èçäàíèÿ ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ. Àâòîð. Ïñêîâ, 2000 ã.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

9

Ãëàâà I Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà Äàííàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ïîíÿòèþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ãäå â êà÷åñòâå åãî ýëåìåíòîâ ðàññìàòðèâàþòñÿ èíâàðèàíòíûå âåêòîðû ëþáîé ïðèðîäû. Êîíêðåòèçèðóÿ ïðèðîäó âåêòîðà (ñì.§1.2.) ìû áóäåì ïîëó÷àòü êîíêðåòíûå ïðèìåðû ëèíåéíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ (âåêòîðîâ) ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ìû ââîäèì â íåãî ìåòðèêó, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àåì ñîîòâåòñòâóþùåå (äåéñòâèòåëüíîå èëè êîìïëåêñíîå) åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðåâ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ìû ïåðåõîäèì ê ñàìîìó âàæíîìó ïîíÿòèþ âñåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ - ïîíÿòèþ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà (ïðåîáðàçîâàíèÿ), îïðåäåëèì äåéñòâèÿ íàä îïåðàòîðàìè â çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå è ðàññìîòðèì íàèáîëå âàæíûå äëÿ äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèé âèäû îïåðàòîðîâ: ñîïðÿæ¸ííûå, óíèòàðíûå è ýðìèòîâû.

§1.1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Íàì ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü íåêîòîðûå ìíîæåñòâà îáúåêòîâ, äëÿ êîòîðûõ óñòàíîâëåíû òàê íàçûâàåìûå ëèíåéíûå îïåðàöèè: ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî. Ïðèìåðîì òàêîãî ìíîæåñòâà ìîæåò ñëóæèòü ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ. Âñêîðå îêàçàëîñü, ÷òî ìíîãèå äðóãèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìíîæåñòâà ïîä÷èíÿþòñÿ ëèíåéíûì îïåðàöèÿì. Òàê, ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå, ìíîæåñòâî ðåøåíèé ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ íàä íåêîòîðûì ïîëåì óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì îïåðàöèÿì. Ïðè ýòîì íè ñàìè îáúåêòû íå ïîõîæè íà ñâîáîäíûå âåêòîðû, íè ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ýòèìè îáúåêòàìè íå ïîõîæè íà ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè. Îäíàêî, âî âñåõ ïðèâåä¸ííûõ ïðèìåðàõ åñòü íå÷òî îáùåå, ïîçâîëÿþùåå èçó÷àòü ëèíåéíûå îïåðàöèè àáñòðàêòíî, îòâëåêàÿñü îò êîíêðåòíîé ïðèðîäû îáúåêòîâ.

10

Ãëàâà ïåðâàÿ

Ïðåæäå âñåãî, âî âñåõ ïðèâåä¸ííûõ ïðèìåðàõ ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ýëåìåíòàìè äàííîãî ìíîæåñòâà äàþò â ðåçóëüòàòå ýëåìåíòû òîãî æå ìíîæåñòâà: ñêëàäûâàÿ ýëåìåíòû ìíîæåñòâà èëè óìíîæàÿ èõ íà ÷èñëî, ìû âíîâü ïîëó÷àåì ýëåìåíòû òîãî æå ìíîæåñòâà. Ëèíåéíûå îïåðàöèè, ðàçëè÷íûå äëÿ ðàçíûõ ìíîæåñòâ, èìåþò ðÿä îáùèõ ñâîéñòâ, ÷òî ïîçâîëÿåò èçó÷àòü ëèíåéíûå îïåðàöèè âîîáùå. Èçó÷àÿ ìíîæåñòâà ñ äàííûìè â íèõ ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè, èõ îáúåäèíÿþò ïîíÿòèåì ëèíåéíîãî (âåêòîðíîãî) ïðîñòðàíñòâà. Íàçâàíèå ïðîñòðàíñòâà “âåêòîðíîå” ïðîèñòåêàåò èç òîãî, ÷òî ýòî ïîíÿòèå áûëî âíà÷àëå âûäåëåíî ïðè èçó÷åíèè ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïåðâûé ïðèìåð ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñ âíóòðåííèì çàêîíîì ãåîìåòðè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è âíåøíèì çàêîíîì óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî.  ñèëó ýòîãî ýëåìåíòû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ ïðèíÿòî íàçûâàòü âåêòîðàìè, à ñàìè ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ÷àñòî íàçûâàþò âåêòîðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè. Îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà îáîáùàåò îïðåäåëåíèå ñîâîêóïíîñòè âñåõ âåêòîðîâ. Îáîáùåíèå ïðîèçâîäèòñÿ, âî-ïåðâûõ, ïóò¸ì îòâëå÷åíèÿ îò êîíêðåòíîé ïðèðîäû ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà ñ ñîõðàíåíèåì ñâîéñòâ äåéñòâèé íàä íèìè, âî-âòîðûõ, ïóò¸ì îòâëå÷åíèÿ îò êîíêðåòíîé ïðèðîäû äîïóñòèìûõ ìíîæèòåëåé. Ïóñòü èìååòñÿ ìíîæåñòâî

L , ñîñòîÿùåå èç êàêèõ óãîäíî ýëåìåíòîâ a ,b ,...; x , y ,... Âìåñòå ñ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà L áóäåì ðàññìàòðèâàòü äåéñòâèòåëüíûå è êîìïëåêñíûå ÷èñëà (ïîëå) K.

α ,β , γ ,... , îáðàçóþùèå ìíîæåñòâî

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ìíîæåñòâå è óìíîæåíèÿ, åñëè:

L îïðåäåëåíû äåéñòâèÿ ñëîæåíèÿ

1) êàæäûì äâóì ýëåìåíòàì

a è b èç L ñîïîñòàâëåí íåêîòîðûé

ýëåìåíò òîãî æå ìíîæåñòâà

L , íàçûâàåìûé èõ ñóììîé. Ñóììà ýëåìåíòîâ a è b îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç a + b ; 2) êàæäîìó ÷èñëó α è êàæäîìó ýëåìåíòó a èç L ñîïîñòàâëåí íåêîòîðûé ýëåìåíò èç òîãî æå ìíîæåñòâà L , íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì α íà a èëè a íà α , êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì êàê αa èëè aα . Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíûì (âåêòîðíûì) ïðîñòðàíñòâîì L íàä ïîëåì K , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî L ðàññìàòðèâàåìîå âìåñòå ñ çàäàííûìè â

í¸ì äåéñòâèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì àêñèîìàì:

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

11

Àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà: 1. Äëÿ ëþáûõ a è b èç

L

a+b=b+a, òî åñòü îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ èç (êîììóòàòèâíûì) ñâîéñòâîì. 2. Äëÿ ëþáûõ

(1)

L îáëàäàåò ïåðåñòàíîâî÷íûì

a , b è c èç L

(a + b ) + c = a + (b + c ) ,

(2)

òî åñòü îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ èç L îáëàäàåò ñî÷åòàòåëüíûì (àññîöèàòèâíûì) ñâîéñòâîì è ïîçâîëÿåò ïèñàòü ñóììó ýëåìåíòîâ áåç ñêîáîê.

L ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò θ , ÷òî (3) a+θ=a äëÿ ëþáîãî a èç L . Ýëåìåíò θ íàçûâàåòñÿ íóëåâûì. 4. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x èç L ñóùåñòâóåò ýëåìåíò y èç L òàêîé, ÷òî (4) x + y = θ. Ýëåìåíò y ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì äëÿ ýëåìåíòà x è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç − x . Äëÿ ëþáûõ a è b èç L è ëþáûõ ÷èñåë α è β 3. Â

1⋅ a = a 6. α(β a ) = (αβ)a 5.

(α + β )a = αa + βa 8. α(a + b ) = αa + αb 7.

(5) (6) (7) (8)

§1.2. Ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. 1. 2.1 Ïðîñòðàíñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ. Ïóñòü ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà L ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû. Äâà ýëåìåíòà èç òàêîãî ìíîæåñòâà ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè êîëëèíåàðíûå, èìåþò ðàâíûå äëèíû è íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó. Òàêèì îáðàçîì, ìû ãîâîðèì î ñâîáîäíûõ âåêòîðàõ, òî÷êà ïðèëîæåíèÿ êîòîðûõ ìîæåò âûáèðàòüñÿ ïðîèçâîëüíî.

12

Ãëàâà ïåðâàÿ

Äîïóñòèìûå çàìåíû âåêòîðà çàêëþ÷àþòñÿ â åãî ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñàõ ê íîâûì òî÷êàì ïðèëîæåíèÿ. Ñîáëþäåíèå ïåðâûõ òð¸õ óñëîâèé §1.1. ïðè ýòîì î÷åâèäíî. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ âûïîëíÿåòñÿ ïî ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà, à óìíîæåíèå íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî α åñòü ðàñòÿæåíèå âåêòîðà â α ðàç, ñ ó÷¸òîì íàïðàâëåíèÿ. Îáå îïåðàöèè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äîïóñòèìûõ çàìåí.  ñàìîì äåëå, åñëè a = a ′ , b = b′ ,

a ′, b′ , ïîëó÷àåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , òåì ñàìûì, âåêòîð a ′ + b′ ïîëó÷àåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âåêòîðó a + b , òî åñòü a + b = a ′ + b′ . Ñ ïîìîùüþ ïîäîáíîãî ðàññóæäåíèÿ ìû ìîæåì äîêàçàòü, ÷òî αa ′ = αa . òî ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà âåêòîðàõ

Âåêòîðû ñ óêàçàííûì îïðåäåëåíèåì ëèíåéíûõ îïåðàöèé îáðàçóþò äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.  êà÷åñòâå íóëåâîãî ýëåìåíòà âûñòóïàåò íóëü-âåêòîð – âåêòîð íóëåâîé äëèíû.  êà÷åñòâå âåêòîðà y

ïðîòèâîïîëîæíîãî âåêòîðó x ïðèìåì âåêòîð y = − x , òî åñòü âåêòîð òîé æå äëèíû, íî ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ. Òðåáîâàíèÿ àêñèîì (1) ÷ (8) ïðè ýòîì áóäóò ñîáëþäåíû. 1.2.2. Íóëåâîå ïðîñòðàíñòâî.

L ñîñòîèò èç îäíîãî åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà θ , òàêîãî, ÷òî θ + θ = θ , à αθ = θ . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ âñå Ïóñòü

âîñåìü àêñèîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç åäèíñòâåííîãî íóëåâîãî ýëåìåíòà.  çàâèñèìîñòè îò òîãî, ê êàêîìó ïîëþ ïðèíàäëåæàò ÷èñëà α , ìû áóäåì ïîëó÷àòü íóëåâûå ïðîñòðàíñòâà íàä ñîîòâåòñòâóþùèì ïîëåì, òàê êàê ïîëå âõîäèò â îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. 1.2.3. Êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü òåïåðü ýëåìåíòàìè L ÿâëÿþòñÿ âñåâîçìîæíûå óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïî n ÷èñåë, íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûõ, â êàæäîì íàáîðå. Óïîðÿäî÷åííîñòü íàáîðà îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëà â íàáîðå çàíóìåðîâàíû. Èìåÿ â âèäó, ÷òî ýëåìåíò x èç

L åñòü íàáîð ÷èñåë x1 , x 2 ,..., x n , áóäåì åãî çàïèñûâàòü â âèäå x = {x1 , x 2 ,..., x n }. Ñ÷èòàÿ x ïðîèçâîëüíûì, ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ïðîèçâîëüíûé íàáîð

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

13

y = {y1 , y 2 ,..., y n }. Ýëåìåíòû x è y áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè, åñëè x1 = y1 , x 2 = y 2 ,..., x n = y n . Ïóñòü

x + y = {x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., xn + y n },

(1.2.1)

αx = {αx1 , αx 2 ,..., αxn }.

(1.2.2)

Îïðåäåëèì íóëåâîé ýëåìåíò êàê

θ = {0,0 ,...,0}, à ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò êàê − x = {− x1 ,− x2 ,...,− xn }.

(1.2.3) (1.2.4)

Ïðè îãîâîð¸ííûõ âûøå óñëîâèÿõ áóäóò âûïîëíåíû âñå âîñåìü àêñèîì è ìíîæåñòâî

L áóäåò ÿâëÿòüñÿ äåéñòâèòåëüíûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êàê R (n ) . 1.2.4. Ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö. Ïóñòü ïðÿìîóãîëüíàÿ òàáëèöà m × n ÷èñåë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé m × n ìàòðèöó, äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîòîðîé èñïîëüçóþò âåðòèêàëüíûå äâîéíûå ëèíèè èëè êðóãëûå ñêîáêè.

 a11 a12   a21 a22 a= ... ...   a m1 a m 2

... a1n   ... a2 n  = (aik ). ... ...   ... amn 

(1.2.5)

L - ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ m × n ìàòðèö. Äâå ìàòðèöû áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè ýëåìåíòàìè èç L â òîì è òîëüêî òîì ñëóÏóñòü

÷àå, êîãäà â ýòèõ ìàòðèöàõ ñîîòâåòñòâóþùèå ìåñòà çàíÿòû îäèíàêîâûìè ÷èñëàìè. Îïðåäåëèì ëèíåéíûå îïåðàöèè â

ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû èç ÷èñëî, òî ïîëîæèì

L . Åñëè a = (aik ) , b = (bik ) -

L , à α - ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî äåéñòâèòåëüíîå

14

Ãëàâà ïåðâàÿ

a + b = (aik ) + (bik ),  αa = (αaik ). 

(1.2.6)

Åñëè â êà÷åñòâå íóëåâîãî ýëåìåíòà ìû âîçüì¸ì m × n - ìàòðèöó ñîñòîÿùóþ èç îäíèõ òîëüêî íóëåé, à ìàòðèöó ïðîòèâîïîëîæíóþ ìàòðèöå a îïðåäåëèì êàê

(− aik ) , òî, î÷åâèäíî, áóäóò âûïîëíåíû

âñå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûå ìàòðèöû.

L , ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâ-

Çàìå÷àíèå: Åñëè ïîëîæèòü m = 1 (ïðè äàííîì n ), ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó-ñòðîêó èç n ÷èñåë. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî òàêèõ ìàòðèö ñîâïàäàåò ñ êîîðäèíàòíûì ïðîñòðàíñòâîì

R(n ) .

Åñëè ïîëîæèòü n = 1 (ïðè äàííîì m ), ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó-ñòîëáåö èç m ÷èñåë. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî òàêèõ ìàòðèö áóäåò ñîâïàäàòü ñ

R(m ) . Ñàìî ïðîñòðàíñòâî m × n - ìàòðèö îáðàçóåò êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî R (mn ) , òàê êàê íè÷òî íå ìåøàåò íàì óñòàíîâèòü äëÿ âñåõ ýëåêîîðäèíàòíûì ïðîñòðàíñòâîì

ìåíòîâ ìàòðèö îáùóþ íóìåðàöèþ è âûïèñàòü èõ â îäíó ñòðîêó. 1.2.5. Ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Âîçüì¸ì íà ÷èñëîâîé îñè ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê

τ1 ≤ τ ≤ τ 2 è îáî-

çíà÷èì ÷åðåç

L ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà ýòîì îòðåçêå è ïðèíèìàþùèõ íà í¸ì äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Îáîçíà÷èì x èç L êàê x = ψ (τ ) . Ñ÷èòàÿ x ïðîèçâîëüíûì, ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ïðîèç-

âîëüíûé ýëåìåíò èç

L y = ϕ (τ ) . Ýëåìåíòû x è y áóäåì ñ÷èòàòü ðàâ-

íûìè â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ψ (τ ) ≡ ϕ (τ ), òî åñòü êîãäà ψ (τ ) è ϕ (τ ) ñîâïàäàþò â ëþáîé òî÷êå ëèíåéíûå îïåðàöèè êàê

x + y = ψ (τ ) + ϕ (τ ) ,

τ îòðåçêà τ1 ≤ τ ≤ τ 2 . Îïðåäåëèì

αx = αψ (τ ) ,

ãäå α - ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.

(1.2.7)

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

15

Ïîëàãàÿ â êà÷åñòâå íóëåâîãî ýëåìåíòà ôóíêöèþ ðàâíóþ íóëþ âî

[τ1 , τ 2 ], à äëÿ ýëåìåíòà x = ψ (τ ) â êà÷åñòâå ïðîòèâîïîëîæíîãî âîçüì¸ì ýëåìåíò − ψ (τ ) . Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ íåïðåðûâíûõ íà [τ1 , τ 2 ] ôóíêöèé ñ ëèíåéíûìè îïåðàâñåõ òî÷êàõ îòðåçêà

öèÿìè (1.2.7) îáðàçóåò äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Çàìåòèì, ÷òî åñëè âñå

ψ (τ ) ≤ 1 , òî òàêîå ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ

ôóíêöèé íå îáðàçóåò ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, òàê êàê â îáùåì ñëó÷àå èç òîãî, ÷òî

ψ (τ ) ≤ 1 è ϕ (τ ) ≤ 1 , íå ñëåäóåò, ÷òî ψ (τ ) + ϕ (τ ) ≤ 1 .

1.2.6. Ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ. Ñîâîêóïíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ

α 0 + α1t + ... + α n −1t n −1 ñòåïåíè < n

ñ êîýôôèöèåíòàìè èç K ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé n - ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî.  êà÷åñòâå îñíîâíûõ îïåðàöèé áåðóòñÿ îáû÷íîå ñëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ è óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ÷èñëî. Çàìå÷àíèå: ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n íå îáðàçóåò ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, òàê êàê ñóììà äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n ìîæåò îêàçàòüñÿ ìíîãî÷ëåíîì áîëåå íèçêîé ñòåïåíè. Íàïðèìåð:

(t

n

) (

)

+ t + − t n + t = 2t .

§1.3. Ýëåìåíòàðíûå ñëåäñòâèÿ èç àêñèîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Íåçàâèñèìî îò ÷àñòíûõ îñîáåííîñòåé êîíêðåòíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ïðåäëîæåíèÿ: 1.  êàæäîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå èìååòñÿ òîëüêî îäèí íóëåâîé ýëåìåíò (âåêòîð). Ïóñòü θ1 è θ 2 íóëåâûå ýëåìåíòû, òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ àêñèîìàìè 1 è 3 ìû ìîæåì íàïèñàòü

θ 2 = θ2 + θ1 = θ1 + θ2 = θ1 . 2. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïðîòèâîïîëîæ-

íûé ýëåìåíò (âåêòîð).

16

Ãëàâà ïåðâàÿ

Ïîëàãàÿ ëó÷èì:

x + y1 = θ è x + y 2 = θ , íà îñíîâàíèè àêñèîì 1 ÷ 4 ïî-

y 2 = y2 + θ = y 2 + (x + y1 ) = ( y 2 + x ) + y1 =

= (x + y 2 ) + y1 = θ + y1 = y1 , òî åñòü

y1 = y 2 .

3. Ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî âåêòîðà x íà ÷èñëî 0 ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó θ . Ïóñòü y - âåêòîð ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîðó x , òîãäà ñ ïîìîùüþ

àêñèîì 2 ÷ 5 è 7 ïîëó÷èì:

0 ⋅ x = 0 ⋅ x + θ = 0 ⋅ x + (x + y ) = (0 + 1) ⋅ x + y = x + y = θ . 4. Ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî âåêòîðà x íà ÷èñëî –1 ðàâíî âåêòîðó, ïðîòèâîïîëîæíîìó x . Ïîêàæåì, ÷òî x + (− 1) ⋅ x = θ . Èñïîëüçóÿ ñëåäñòâèå 3 è àêñèîìû 5 è 7 ïîëó÷èì:

x + (− 1) ⋅ x = (1 − 1) ⋅ x = 0 ⋅ x = θ , òî åñòü (− 1) ⋅ x = − x .

5. Ïðîèçâåäåíèå íóëåâîãî âåêòîðà θ íà ëþáîå ÷èñëî α ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x èñïîëüçóÿ àêñèîìó 6 è ñëåäñòâèå 3, ïîëó÷èì:

αθ = α(0 ⋅ x ) = (α ⋅ 0 ) ⋅ x = 0 ⋅ x = θ .

6. Äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ åäèíñòâåííàÿ. Ïóñòü ëó÷èì:

a è b ñóùåñòâóåò ðàçíîñòü, è ïðè ýòîì

x = b + (− 1)a . Èñïîëüçóÿ àêñèîìû 2,3,5,7 è ñâîéñòâî 3 ïî-

x + a = b + (− 1) ⋅ a + a = b + (− 1 + 1) ⋅ a = b + 0 ⋅ a = b ,

òî åñòü x = b − a . Åñëè âåêòîð

x åñòü ðàçíîñòü b − a , òî åãî âñåãäà ìîæíî ïðåäñòà-

âèòü â âèäå x = b + (− 1) ⋅ a . Èç ðàâåíñòâà x + a = b ñ ïîìîùüþ àêñèîì 2,3,5,7 è ñâîéñòâà 3 ïîëó÷èì:

x = x + θ = x + (1 − 1) ⋅ a = x + a + (− 1) ⋅ a = b + (− 1) ⋅ a .

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

17

§1.4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì äàíî êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ ëèíåéíîãî

a ,b , c ,..., q è ïðîèçâîëüíûé íàáîð ÷èñåë α ,β , γ ,..., χ . Îïðåäåëåíèå 1. Âñÿêèé ýëåìåíò x ïðîñòðàíñòâà L , ïðåäñòàâèìûé

ïðîñòðàíñòâà â âèäå

x = αa + β b + γc + ... + χq

(1.4.1)

íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ

a , b , c ,..., q .

Îïðåäåëåíèå 2. Ñèñòåìà âåêòîðîâ a , b , c ,..., q íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ (1.4.1) ðàâíàÿ íóëåâîìó âåêòîðó θ , ãäå ñðåäè ÷èñåë

α ,β , γ ,..., χ õîòÿ áû îäíî îòëè÷íî îò íóëÿ.

Îïðåäåëåíèå 3. Ñèñòåìà âåêòîðîâ íåçàâèñèìîé, åñëè ðàâåíñòâî

a , b , c ,..., q íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî

αa + βb + γc + ... + χq = θ âîçìîæíî òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå, åñëè

α = β = γ = ... = χ = 0 . Ïðèâåä¸ì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ââåä¸ííûõ ïîíÿòèé, äîêàçàòåëüñòâà êîòîðûõ ìîæíî íàéòè â ñîîòâåòñòâóþùåé ëèòåðàòóðå. 1. Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî âåêòîðà, ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòîò âåêòîð íóëåâîé. 2. Åñëè ÷àñòü ñèñòåìû ëèíåéíî çàâèñèìà, òî âñÿ ñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà. 3. Åñëè âñÿ ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî íåçàâèñèìà è ëþáàÿ å¸ ÷àñòü. 4. Äëÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñóùåñòâîâàíèÿ âåêòîðà, êîòîðûé ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå âåêòîðû ýòîé ñèñòåìû. §1.5. Êîíå÷íîìåðíûå è áåñêîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà. Áàçèñ Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ n - ìåðíûì, åñëè â í¸ì èìååòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ êîìáèíàöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç n âåêòîðîâ, à âñÿêàÿ êîìáèíàöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç áîëüøåãî ÷èñëà âåêòîðîâ, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé.

18

Ãëàâà ïåðâàÿ

×èñëî n íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà – ýòî íàèáîëüøåå ÷èñëî åãî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ.  ïðîñòðàíñòâå ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ñóùåñòâóþò òðè ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðà, à ëþáûå ÷åòûðå âåêòîðà ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ. Âñå n - ìåðíûå ïðîñòðàíñòâà (n = 0 ,1,2 ,...) îáðàçóþò êëàññ êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì, åñëè äëÿ ëþ-

áîãî öåëîãî ÷èñëà N > 0 â í¸ì íàéä¸òñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç N âåêòîðîâ. Ïðèìåð 1.5.1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà äàííîì îòðåçêå ôóíêöèé (ñì. §1.2., ï.5) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì. Ðàññìîòðèì ñòåïåííûå ôóíêöèè 1, τ , τ

,..., τ N . Îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òàê êàê ëþáàÿ èõ êîìáèíàöèÿ åñòü ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè íå âûøå N 2

α 0 + α1τ + α 2 τ 2 + ... + α N τ N = P (τ ) .

Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ êîýôôèöèåíòàìè èìååò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî êîðíåé, ïîýòîìó êîãäà

P (τ ) ≡ 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà,

α0 = α1 = ... = α N = 0 .

Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ýëåìåíòû

1, τ , τ 2 ,..., τ N íåçàâèñèìû è òàê êàê íà ÷èñëî N íåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé ðàññìàòðèâàåìîå ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íîìåðíî. Ñèñòåìà âåêòîðîâ

e1 , e2 ,..., en â ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåòñÿ áàçè-

ñîì, åñëè: 1) âåêòîðû

e1 , e2 ,..., en ëèíåéíî íåçàâèñèìû;

2) ëþáîé âåêòîð

x èç L åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ e1 , e2 ,..., en ,

òî åñòü

x = x1e1 + x 2 e2 + ... + x n en . Ðàâåíñòâî (1.5.1) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì âåêòîðà

(1.5.1)

x ïî áàçèñó

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

19

e1 , e2 ,..., en ; ÷èñëîâûå êîýôôèöèåíòû x1 , x 2 ,..., x n íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà x â ýòîì áàçèñå.

Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ïðîèçâîëå â âûáîðå áàçèñà è âûâåäåì ïðàâèëî ïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó. Ôèêñèðóåì íåêîòîðûé áàçèñ

e1 , e2 ,..., en è ïóñòü e1′ , e2′ ,..., en′ íå-

êîòîðûé íîâûé áàçèñ. Ñîãëàñíî (1.5.1) êàæäûé èç âåêòîðîâ íîâîãî áàçèñà ìîæåò áûòü ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì ñòàðîãî áàçèñà ÷àÿ êîýôôèöèåíòû ýòèõ ðàçëîæåíèé áóêâîé èíäåêñàìè, ìû ìîæåì çàïèñàòü:

e1′ , e2′ ,..., en′

e1 , e2 ,..., en . Îáîçíà-

A ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè

e1′ = A11′ e1 + A12′ e2 + ... + A1n′ en ,   e2′ = A21′ e1 + A22′ e2 + ... + A2n′ en ,   en′ = An1′ e1 + An2′ e2 + ... + Ann′ en ,

(1.5.2)

èëè â ñîêðàù¸ííîé çàïèñè

ei′ = Aii′ ei .

(1.5.3)

Ðàâåíñòâî (1.5.2) ãîâîðèò î òîì, ÷òî âåêòîðû

e1′ , e2′ ,..., en′ íîâîãî

áàçèñà ìîãóò áûòü âûáðàíû ïðîèçâîëüíî ïðè óñëîâèè ñîáëþäåíèÿ ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè. Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ

e1′ , e2′ ,..., en′

ðàâíîñèëüíà ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñòðîê ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.2):

 A11′  1 A A =  2′ ...   A1  n′

A12′ ... A22′ ... ... ... An2′ ...

A1n′   A2n′  , ...   Ann′ 

(1.5.4)

òî åñòü, ñîîòâåòñòâóþùèé îïðåäåëèòåëü äîëæåí áûòü îòëè÷åí îò íóëÿ:

det Aii′ ≠ 0 .

(1.5.5)

20

Ãëàâà ïåðâàÿ Ýòî è åñòü åäèíñòâåííîå óñëîâèå, íàëîæåííîå íà ïðåîáðàçîâàíèå

âåêòîðîâ áàçèñà (1.5.2). Â îñòàëüíîì êîýôôèöèåíòû

Aii′ , ïðîèçâîëüíû.

Óñëîâèå (1.5.5) äîïóñêàåò îáðàòíóþ ìàòðèöó, ýëåìåíòû êîòîðîé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç

Aii′ :

 A1′  11′ A A−1 =  2 ...  ′  A1  n

A12′ ... A22′ ... ... ... An2′ ...

A1n ′   A2n ′  . ...   Ann ′ 

(1.5.6)

Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûðàçèòü âåêòîðû ñòàðîãî áàçèñà ðåç âåêòîðû íîâîãî áàçèñà

e1 , e2 ,..., en ֌-

e1′ , e2′ ,..., en′ , ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ

ìàòðèöåé îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.6);

ei = Aii′ ei′ .

(1.5.7)

Ïðè ïåðåõîäå ê íîâîìó áàçèñó ñòðàíñòâà

e1′ , e2′ ,..., en′ êàæäûé âåêòîð x ïðî-

L ïîëó÷àåò íîâûå êîîðäèíàòû x1′ , x 2′ ,..., x n′ â îòëè÷èå îò 1

2

n

ñòàðûõ êîîðäèíàò x , x ,..., x . Ñàì âåêòîð x ïðè ýòîì îñòà¸òñÿ íåèçìåííûì, èçìåíåíèå êîîðäèíàò îáóñëîâëåíî èçìåíåíèåì áàçèñà. Ðàññìîòðèì, êàê áóäóò âûðàæàòüñÿ íîâûå êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x ÷åðåç ñòàðûå êîîðäèíàòû è îáðàòíî.  ñîîòâåòñòâèè ñ (1.5.1) êîîðäèíàòû âåêòîðà x â ñòàðîì è íîâîì áàçèñå áóäóò:

x = x i ei ,

(1.5.8)

x = x i′ ei′ .

(1.5.9)

Ïîäñòàâèì â (1.5.8) âìåñòî

ei åãî çíà÷åíèÿ èç (1.5.7), òîãäà ïîëó-

÷èì

x = x i Aii′ ei′ .

(1.5.10)

Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ (1.5.9), ìû âûðàçèì êîîðäèíà-

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà òû

21

x â íîâîì áàçèñå x i′ = Aii′ x i .

(1.5.11)

Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ïðè ïîìîùè îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàçèì ñòàðûå êîîðäèíàòû âåêòîðà x , ÷åðåç íîâûå êîîðäèíàòû:

x i = Aii′ x i′ .

(1.5.12)

Ñðàâíèì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ áàçèñà 1

2

e1 , e2 ,..., en

n

(1.5.3) è êîîðäèíàò èíâàðèàíòíîãî âåêòîðà x , x ,..., x (1.5.10). Ìû âèäèì, ÷òî ìàòðèöû ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé ðàçëè÷íû, ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.10) åñòü òðàíñïîíèðîâàííàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.3). Äåéñòâèòåëüíî, ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.11) èìååò âèä

(A )

−1 T

 A11′  2′ A = 1 ...  ′  An  1

A21′ ... A22 ′ ... .. ... A2n ′ ...

An1′   An2 ′  , ...   Ann ′ 

(1.5.13)

òî åñòü ïîëó÷àåòñÿ òðàíñïîíèðîâàíèåì (ïîâîðîòîì íà 1800 âîêðóã ãëàâíîé äèàãîíàëè) ìàòðèöû (1.5.6), à ýòà ïîñëåäíÿÿ ìàòðèöà – âçàèìíî îáðàòíàÿ ñ ìàòðèöåé (1.5.4) ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.3). Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ áàçèñà è êîîðäèíàò èíâàðèàíòíîãî âåêòîðà ïðè ïåðåõîäå îò ñòàðîãî áàçèñà ê íîâîìó

ei′ = Aii′ ei ,

(1.5.14)

x i′ = Aii′ x i

(1.5.15)

ÿâëÿþòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè äëÿ òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ, êîòîðîå ìû ðàññìîòðèì â ãëàâå III.

§1.6. Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ Ðàññìîòðèì äâà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâà L è L′ ìåæäó êîòîðûìè óñòàíîâëåíî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, òî åñòü: 1) êàæäîìó âåêòîðó a èç

L ñîîòâåòñòâóåò âåêòîð a ′ èç L′ ;

22

Ãëàâà ïåðâàÿ

L èìåþò ðàçíûå îáðàçû èç L′ ; 3) îáðàçû ýëåìåíòîâ èç L çàïîëíÿþò âñ¸ ïðîñòðàíñòâî L′ . Ïðîñòðàíñòâà L è L′ íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî èçîìîðôíûìè, åñëè ìåæ2) ðàçíûå âåêòîðû èç

äó íèìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ñ ñîáëþäåíèåì ñëåäóþùèõ óñëîâèé:

(a + b )′ = a ′ + b′ ,

(1.6.1)

(αa )′ = αa ′ .

(1.6.2)

Âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì

(1.6.1) è (1.6.2), íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì èçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ L è L′ . Ïðè ëèíåéíîì èçîìîðôèçìå îáðàç ñóììû ðàâåí ñóììå îáðàçîâ, à îáðàç ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îáðàçà íà ýòî æå ÷èñëî. Àëãåáðàè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ëèíåéíî èçîìîðôíûõ ïðîñòðàíñòâ òîæäåñòâåííû. Òåîðåìà 1.6.1. Äëÿ êàæäîãî n âñå äåéñòâèòåëüíûå (êîìïëåêñíûå) n -ìåðíûå ïðîñòðàíñòâà ëèíåéíî èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé. Òåîðåìà 1.6.2. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî èçîìîðôíîå n -ìåðíîìó, ñàìî ÿâëÿåòñÿ n -ìåðíûì. Ñëåäñòâèå 1.. Êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà ðàçíûõ ðàçìåðíîñòåé íå èçîìîðôíû. Ñëåäñòâèå 2. Áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íåèçîìîðôíî íèêàêîìó êîíå÷íîìåðíîìó.

§1.7. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êîìïëåêñíûìè è äåéñòâèòåëüíûìè ïðîñòðàíñòâàìè Ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäíîé ïðÿìîé, îáðàçóþò îäíîìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî, òàê êàê, óìíîæàÿ íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ïðîèçâîëüíûé íåíóëåâîé âåêòîð, åãî ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ëþáîé äðóãîé êîëëèíåàðíûé åìó âåêòîð. Ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ðàñïîëîæåííûõ íà ïëîñêîñòè îáðàçóåò äâóìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî. Îäíàêî, çäåñü ìû íå ìîæåì ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ ïðåîáðàçîâûâàòü ôèêñèðîâàííûé âåêòîð â ëþáîé äðóãîé, òàê êàê çàïàñ äåéñòâèòåëüíûõ ìíîæèòåëåé ìàë, ïî

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

23

ñðàâíåíèþ ñ ðàçíîîáðàçèåì âåêòîðîâ, âõîäÿùèõ â ýòî ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì äâà âåêòîðà ìîãóò îêàçàòüñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè.  äàííîé ñèòóàöèè ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìïëåêñíûìè ìíîæèòåëÿìè. Óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìîæíî îïðåäåëèòü òàê, ÷òî ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè ïðåîáðàçóåòñÿ â îäíîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî. Ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ðåøåíà, åñëè îïðåäåëèòü ïðîèçâåäåíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî âåêòîðà íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü a - ïðîèçâîëüíûé âåêòîð íà ïëîñêîñòè îòëîæåííûé èç íà-

α = ρ(cos ϕ + i sin ϕ ) - êîìïëåêñíûé ìíîæèòåëü. Ïîâåðí¸ì âåêòîð a âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò íà óãîë ϕ è óìíîæèì íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ρ . Ïîëó÷åííûé âåêòîð îáîçíà÷èì ÷å÷àëà êîîðäèíàò. Ïóñòü äàëåå

ðåç b è ïîëîæèì αa = b . Ñêëàäûâàòü âåêòîðû áóäåì ïî ïðåæíåìó ïî ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà. Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âñå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñîáëþäåíû. Ýòî îáåñïå÷èâàåòñÿ òåì, ÷òî ñàìè êîìïëåêñíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ âåêòîðàìè íà ïëîñêîñòè è ÷òî ñëîæåíèå âåêòîðîâ è óìíîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà α íà âåêòîð a îïðåäåëåíû òàê æå, êàê îáû÷íî îïðåäåëÿþò ñëîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è óìíîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà α íà âåêòîð a . Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñîáëþäåíû, òàê êàê îíè ñïðàâåäëèâû äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òåïåðü îäèí íåíóëåâîé âåêòîð îáðàçóåò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó, à ëþáûå äâà âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìû (óìíîæåíèå âêëþ÷àåò ïîâîðîò). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ îäíîìåðíûì. Ìû ïîêàçàëè, ÷òî îäíîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî è äâóìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ìîæíî ïîñòðîèòü èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, à èìåííî, èç âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè, ïðè÷¸ì ñëîæåíèå âåêòîðîâ áóäåò îïðåäåëåíî îäèíàêîâî â îáåèõ ñëó÷àÿõ. Óìíîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî-ðàçíîìó, âñëåäñòâèå ðàçëè÷èÿ ìíîæèòåëåé. Íà îñíîâàíèè ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà, ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 1.7.1. Êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñòè

C (n ) ðàçìåðíî-

n ìîæíî âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàçèòü íà äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî R (2n ) òàê, ÷òî ñîáëþäàþòñÿ óñëîâèÿ

24

Ãëàâà ïåðâàÿ

(a + b )′ = a ′ + b′ ,

(1.7.1)

à äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ìíîæèòåëåé λ áóäóò ñîáëþäåíû óñëîâèÿ

(λa )′ = λa ′ , ãäå øòðèõîì îòìå÷åí îáðàç â

(1.7.2)

R(2n ) ýëåìåíòà èç C (n ) .

§1.8. Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî

~ L , à L -íå-

êîòîðîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç

L. ~ Ìíîæåñòâî L â ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñò-

ðàíñòâîì (ïîäïðîñòðàíñòâîì), åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

~ ~ x , y èç L èõ ñóììà x + y òàêæå ïðèíàäëåæèò L ; ~ ~ 2) äëÿ ëþáîãî x ∈ L è ëþáîãî ÷èñëà α , αx ∈ L . ~ Ïóñòü L ïîäïðîñòðàíñòâî â L . Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ èõ íà ÷èñëà, çàäàííûå â L , áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðèìåíè~ òåëüíî ëèøü ê òåì ýëåìåíòàì, êîòîðûå âõîäÿò â L . Òîãäà ñïðàâåäëèâû 1) äëÿ ëþáûõ

ñëåäóþùèå òåîðåìû:

Òåîðåìà 1.8.1. Â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

L êàæäîå ëèíåéíîå ïîä~ ïðîñòðàíñòâî L ñàìî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. Òåîðåìà 1.8.2. Ïåðåñå÷åíèå ëþáîé ñîâîêóïíîñòè ïîäïðîñòðàíñòâ äàí-

íîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà

L ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì. ~ Â ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî L âõîäèò íóëåâîé âåêòîð θ . §1.9. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå

Ïóñòü

L - äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ââåä¸ì â ïðî-

ñòðàíñòâå L îïåðàöèþ ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ âåêòîðîâ. Ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé ïàðå âåêòî-

x , y èç L äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ (x , y ) è íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà x íà âåêòîð y .

ðîâ

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

25

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì): 1.

(x , y ) = (y , x ).

(1.9.1)

2. (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z ) . 3.

(1.9.2)

(αx , y ) = α(x , y ) .

(1.9.3)

4. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííî: òî åñòü åñëè

(x , y ) = 0

ïðè ôèêñèðîâàííîì x è ëþáîì y èç L , òî x = θ . Çäåñü ìû ïîëàãàåì, ÷òî x , y , z - ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà

L.

Èòàê, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äåííàÿ, áèëèíåéíàÿ ôîðìà. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå

(x , y ) = g (x , y ) .

(x , y ) åñòü ñèììåòðè÷íàÿ, íåâûðîæ-

L ââåäåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (1.9.4)

Ïðåäïîëàãàÿ ïðîñòðàíñòâî n -ìåðíûì, âîçüì¸ì â í¸ì ïðîèçâîëüíûé áàçèñ

e1 , e2 ,..., en . Åñëè ïîëîæèòü n

n

i =1

k =1

x = ∑ x i ei , y = ∑ y k ek ,

(1.9.5)

òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàïèøåòñÿ â êîîðäèíàòàõ òàê

(x , y ) = g (x , y ) = ∑ x i ei ∑ y k ek = ∑∑ (ei , ek )x i x k

=

= ∑∑ g ik x i x k .

Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî Ýéíøòåéíà ïåðåïèøåì ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî òàê

(x , y ) = g (x , y ) = g ik x i x k .

Êîýôôèöèåíòû

(1.9.6)

g ik áèëèíåéíîé ôîðìû g (x , y ) â äàííîì áàçèñå

e1 , e2 ,..., en , ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ýòîé ôîðìû íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ, òî åñòü èõ ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè

(ei , ek ) = g ik ,

ãäå

(1.9.7)

g ik = g ki . Ðàâåíñòâà (1.9.7) ñîñòàâëÿþò òàáëèöó óìíîæåíèÿ áàçèñ-

26

Ãëàâà ïåðâàÿ

íûõ âåêòîðîâ. Åñëè ïðàâûå ÷àñòè òàáëèöû (1.9.7) çàäàíû, òî òåì ñàìûì îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîé ïàðû âåêòîðîâ x , y ñîãëàñíî (1.9.6). Âåêòîðû x , y íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè

(x , y ) = 0 èëè g ik x i y k

= 0.

Íîðìîé (äëèíîé) âåêòîðà

x =

(1.9.8)

x èç L íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîå ÷èñëî

(x , x ) .

(1.9.9)

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (x , y ) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, íî îíî ìîæåò íå áûòü ïîëîæèòåëüíûì, òàê ÷òî íîðìà âåêòîðà ìîæåò îêàçàòüñÿ ìíèìîé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàäèêàë â ôîðìóëå (1.9.9) ìîæåò áûòü íåîòðèöàòåëüíûì äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, ëèáî ìíèìûì ÷èñëîì ñ

(

ïîëîæèòåëüíûì ìíîæèòåëåì ïðè i i = + Èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû ñëåäóåò, ÷òî

)

−1 .

αx = α ⋅ x äëÿ ëþáîãî

(1.9.10)

x ∈ L è ëþáîãî α .  ÷àñòíîñòè,

− x = x , θ = 0.

(1.9.11)

Íåíóëåâûå âåêòîðû, íîðìà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ, íàçûâàþòñÿ èçîòðîïíûìè. Èçîòðîïíûå âåêòîðû ñóùåñòâóþò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà

(x , x ) íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííîé.

Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà

x = (x, y ) íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêîé ôîðìîé 2

ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà. Çàäàíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è çàäàíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíîçíà÷íû, ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâà ñ çàäàííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàþò òàêæå ïðîñòðàíñòâàìè ñ êâàäðàòè÷íîé ìåòðèêîé. Ìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà äëÿ n - ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà èìååò âèä

x = (x, y ) = g ik x i y k . 2

(1.9.12)

Åñëè â n - ìåðíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíà ðàç è íàâñåãäà ôèêñèðîâàííàÿ áèëèíåéíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ âåêòîðíûõ àðãóìåíòîâ x è y , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ñèììåòðèè è íåâûðîæäåííîñòè,

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

27

òî òàêîå n - ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ñòðàíñòâîì. Ïðèìåð 1.9.1. Ïóñòü

n - ìåðíûì åâêëèäîâûì ïðî-

R ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå

÷åì n − 1 . Îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êàê 1

(P(t ), Q(t )) = ∫ P(t )Q(t )dt . −1

n −1

2

Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âåêòîðû 1, t , t ,..., t îáðàçóþò áàçèñ, îðòîãîíàëèçèðóåì åãî, èñïîëüçóÿ àëãîðèòì îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàììà-Øìèäòà. Ïîëîæèì

e1 = 1 è ïðîâåä¸ì ïëîñêîñòü ÷åðåç âåêòîðû e1 è t . Íàé-

ä¸ì â ýòîé ïëîñêîñòè âåêòîð

e2 îðòîãîíàëüíûé ê âåêòîðó e1 . Âåêòîð

e2 áóäåì èñêàòü â âèäå e2 = f 2 + αe1 , ãäå f 2 = t , à α âûáèðàåòñÿ òàê,

(e2 , e1 ) = 0 . (e2 , e1 ) = ( f 2 + αe1 , e1 ) = ( f 2 , e1 ) + α (e1 , e1 ) = 0 ,

÷òîáû ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îòêóäà ïîëó÷àåì

α =−

( f 2 , e1 ) . (e1 , e1 )

Ðàññóæäàÿ ïîäîáíûì îáðàçîì, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå è îòëè÷íûå îò íóëÿ âåêòîðû äà âåêòîð

e1 , e2 ,..., ek −1 , òîã-

ek ìîæåò áûòü íàéäåí â âèäå

ek = f k + λ1e1 + ... + λk −1ek −1 , à êîýôôèöèåíòû

λi = −

(1.9.13)

λi íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ

( f k , ei ) . (ei , ei )

Âåðí¸ìñÿ ê îïðåäåëåíèþ âåêòîðà

(1.9.14)

e2 .

28

Ãëàâà ïåðâàÿ 1

1

(e2 , e1 ) = (t + α ⋅1,1) = ∫ (t + α )dt = 1 t 2 + αt = 2α = 0 , 2 −1 −1 îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî Âåêòîð

α = 0 è e2 = t .

e3 áóäåì èñêàòü â âèäå: e3 = t 2 + βt + γ ⋅1 .

Òîãäà

∫ (t ⋅ t )dt 1

β =−

( f 3 , e2 ) = − −1 1 (e2 , e2 )

2

∫ (t ⋅ t )dt

−1

∫ (t ⋅1)dt

=−

0 = 0, 2 3

1

γ =−

( f 3 , e1 ) = − −1 1 (e1 , e1 )

2

∫ (1⋅1)dt

2 1 =−3 =− . 2 3

−1

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

e3 = t 2 −

1 . 3

Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì (ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî), ìû ïîëó÷èì, ÷òî

6 3 3 e4 = t 3 − t è e5 = t 4 − t 2 + . 5 7 35 Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ïðèâîäèò íàñ ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåêòîðîâ (ìíîãî÷ëåíîâ)

1 3 1, t , t 2 − , t 3 − t ,... 3 5

(1.9.15)

Îêàçàëîñü, ÷òî ìíîãî÷ëåíû (1.9.15) ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëîâûõ ìíîæèòåëåé ñîâïàäàþò ñ ìíîãî÷ëåíàìè, ââåäåíûìè â 1875 ãîäó ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ëåæàíäðîì, â ñâÿçè ñ çàäà÷àìè òåîðèè ïîòåíöèàëà.

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

29

Îáùàÿ ôîðìóëà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà áûëà íàéäåíà Ðîäðèãîì.

(

)

n 1 dn 2 Pn (t ) = n t −1 . n 2 n! dt

(1.9.16)

Åñëè âåêòîðû îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà (1.9.15) çàìåíèòü íà âåêòîðû

ek′ =

ek , ek

(1.9.17)

ìû ïîëó÷èì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ìû íà÷í¸ì íå ñ ïåðâîãî âåêòîðà, à ñ äðóãîãî, ìû ïîëó÷èì äðóãóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ. Çàìå÷àíèå. Áèëèíåéíûå ôîðìû íà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé â àíàëèçå ÷àñòî çàäàþòñÿ âûðàæåíèåì b

(P(t ), Q(t )) = ∫ G(t )P(t )Q(t )dt ,

(1.9.18)

a

ãäå

G (t ) ôèêñèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ îò t ∈ (a, b ) , íàçûâàåìàÿ âåñîì áèëè-

íåéíîé ôîðìû.  ÷àñòíîñòè, â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå Åñëè ïîëîæèòü

G (t ) =

òîãîíàëèçàöèè áàçèñà 1, t , t n ( − 2 ) n! Tn (t ) = (2n )!

2

1 1− t 2

G (t ) = 1 .

, (a , b ) = (− 1,1) , òî â ðåçóëüòàòå îð-

,..., t n −1 ìû ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà:

1− t 2

(

dn 1− t 2 dt n

)

n−

1 2

= cos(n arccos t ) . (1.9.19)

Íîðìèðîâêà:

0 ïðè m ≠ n, π Tm (t )Tn (t )  ∫−1 1 − t 2 dt =  2 ïðè m = n ≠ 0,  π ïðè m = n = 0. 1

(1.9.20)

30

Ãëàâà ïåðâàÿ Åñëè ïîëîæèòü

G (t ) = e − t , (a,b ) = (− ∞, ∞ ) , òî â ðåçóëüòàòå îð2

òîãîíàëèçàöèè áàçèñà

1, t , t 2 ,..., t n −1 ìû ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåíû Ýðìèòà:

( )

d n −t 2 e . dt n

(1.9.21)

0 ïðè m ≠ n, −t 2 ( ) ( ) = e H t H t dt  n m n ∫ −∞ 2 n! π ïðè m = n.

(1.9.22)

H n (t ) = (− 1) e t n

2

Íîðìèðîâêà: ∞

§1.10. Êîìïëåêñíûå åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà 1.10.1. Îáùèå îïðåäåëåíèÿ Êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿÿñü åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì äåéñòâèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, èãðàåò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü ïðè èçó÷åíèè ïðèëîæåíèé òåîðèè ãðóïï â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.  ñèëó ýòîé âàæíîñòè ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ñâîéñòâà êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïóñòü íàì çàäàíî ìíîæåñòâî C , ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ x, y ,... íàçûâàåìûõ âåêòîðàìè è íàäåë¸ííîå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. Âåêòîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ àêñèîìàìè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà 1 è 2:

x + y = y + x;

(x + y ) + z = x + (y + z ) .

2. Ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð θ , ÷òî äëÿ âñåõ âåêòîðîâ x , x + θ = x . Ïðè ëþáûõ x , y ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð z òàêîé, ÷òî

x+z= y. 3. Âåêòîðû ìîæíî óìíîæàòü íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà (â ýòîì ñîñòîèò îòëè÷èå êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ îò äåéñòâèòåëüíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ), ïðè÷¸ì óìíîæåíèå íà ÷èñëà îáëàäàþò îáû÷íûìè àëãåáðàè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè:

α (x + y ) = αx + αy ;

(α + β )x = αx + βx ;

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

(αβ)x = α(βx );

31

1⋅ x = x .

4. Âåêòîðû ìîæíî ñêàëÿðíî óìíîæàòü äðóã íà äðóãà. Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì êîìïëåêñíûå ïðîñòðàíñòâà, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ â äåéñòâèòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå. Îáîçíà÷èì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ x , y â êîìïëåêñíîì

(x y ) . Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ

ïðîñòðàíñòâå ÷åðåç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë

α,β è ëþáûõ âåêòîðîâ x , y , z

(αx + βy z ) = α(x z ) + β (y z ), (z αx + βy ) = α(z x ) + β(z y ), ãäå

(1.10.1) (1.10.2)

α è β - ìíîæèòåëè, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ñ α è β . Ïîëîæèì, òàê æå, ÷òî âñåãäà

(x x ) ≥ 0 ,

(1.10.3)

à ïðè x = θ

(x x ) = 0 .

Íîðìà âåêòîðà

x=

(x x ) .

(1.10.4)

x îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (1.10.5)

Êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì, åñëè ñóùåñòâóåò ñèñòåìà èç n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ

e1 , e2 ,..., en , ÷åðåç êîòîðûå ìîæíî ëèíåéíî âûðàçèòü êàæäûé âåêòîð x = x 1e1 + x 2 e2 + ... + x n en . Êîìïëåêñíûå ÷èñëà áàçèñå

(1.10.6)

x i íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà x â

e1 , e2 ,..., en . ×èñëî n íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ êîìïëåêñíîãî åâ-

êëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå ìû áóäåì â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àòü

÷åðåç C (n ) .  ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå íûì ïðîñòðàíñòâîì.

C (n ) íàçûâàþò åù¸ óíèòàð-

32

Ãëàâà ïåðâàÿ

(x + y x + y ). (x + y x + y ) = (x x ) + (x y ) + (y x ) + (y y ) . (1.10.7) Çäåñü â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.10.3) ÷ëåíû (x x ) è (y y ) äåéñòâèòåëüíû, Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå

à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíîé äîëæíà áûòü è ñóììà

(x y ) + (y x ).

Ðàññìàòðèâàÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî

(ix y ) + (y ix ) = −i(x y ) + i(y x ) ,

ïîëó÷èì ïðàâèëî, çàìåíÿþùåå êîììóòàòèâíûé çàêîí óìíîæåíèÿ

(x y ) = (y x ).

(1.10.8)

Èç ïðèâåä¸ííûõ âûøå ñâîéñòâ 1 – 4 ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî Êîøè

(x y ) ≤ x ⋅ y .

(1.10.9)

Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëà (1.10.6) ïîçâîëÿåò ñîïîñòàâèòü êàæäîìó âåê-

(

1

2

n

)

òîðó x ñèñòåìó èç n êîìïëåêñíûõ ÷èñåë x , x ,..., x . Ïðè ýòîì íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð è åñòü ýòà ñèñòåìà ÷èñåë! Åñëè ìû âîçüì¸ì äðóãîé áàçèñ

e1′ , e2′ ,..., en′ , òî ïîëó÷èì äëÿ òîãî æå ñàìîãî âåêòîðà x n

äðóãîå ðàçëîæåíèå

x = ∑ x i′ei′ . Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî çíà÷åi =1

íèÿ êîîðäèíàò âåêòîðà çàâèñÿò êàê îò çíà÷åíèÿ ñàìîãî âåêòîðà, òàê è îò âûáîðà

(x

áàçèñà.

Ñîâîêóïíîñòü

âñåõ

ñèñòåì

(x , x 1

2

,..., x n ) ,

, x 2′ ,..., x n′ ) ,…, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåâîçìîæíûì áàçèñàì, ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåòñÿ âåêòîðîì x (è õàðàêòåðèçóåò åãî). Ýòó ñîâîêóïíîñòü è 1′

ñëåäóåò îòîæäåñòâèòü ñ âåêòîðîì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â

C (n ) , êàê è â äåéñòâèòåëüíîì åâêëèäîâîì

ïðîñòðàíñòâå, ñóùåñòâóþò îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû åñòü òàêèå, ÷òî

e1 , e2 ,..., en , òî

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

(e e ) = δ i

k

ik

33

,

(1.10.9)

ãäå

0 (i ≠ k ), δ ik =  1 (i = k ).

(1.10.10)

 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûìè áàçèñàìè, è âñå êîîðäèíàòû áåðóòñÿ îòíîñèòåëüíî òàêèõ áàçèñîâ. Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî Ýéíøòåéíà, çàìåòèì, ÷òî åñëè

x = x i ei , òî

x i = (ei x ) è äëÿ ôèêñèðîâàííîãî áàçèñà e1 , e2 ,..., en èìååì: x + y = (x i + y i )ei ; λx = λx i ei ;

(x y ) = ∑ x y n

i

i

.

(1.10.11)

i =1

1.10.2. Èçîìîðôèçì êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ Ïóñòü íàì çàäàíû äâà êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâà C è C ′ , è ñîîòâåòñòâèå (îòîáðàæåíèå)

ϕ , ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó âåêòîðó x ïðîñòðàíñòâà C âåêòîð x ′ ïðîñòðàíñòâà C ′ , êîòîðîå ìû áóäåì çàïèñûâàòü êàê

ϕ : C → C′ .

(1.10.12) Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ, ïðè êîòîðîì êàæäûé âåêòîð x ′ ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó, è òîëüêî îäíîìó, âåêòîðó x . Åñëè ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

ϕ(x + y ) = ϕ(x ) + ϕ( y ),  ϕ(λx ) = λϕ(x ),  (ϕ(x )ϕ(y ))C′ = (x y )C ,  òî ϕ íàçûâàþò èçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ ÷àå íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè. Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå

(1.10.13)

C ,C ′ , êîòîðûå â ýòîì ñëó-

ϕ −1 : Ñ′ → Ñ , ñîïîñòàâëÿþùåå âåêòîðó x ′

34

Ãëàâà ïåðâàÿ

åãî ïðîîáðàç

x , òî åñòü òîò åäèíñòâåííûé âåêòîð x , äëÿ êîòîðîãî

ϕ(x ) = x ′ , îáëàäàåò, î÷åâèäíî, òåìè æå ñâîéñòâàìè (1.10.13) è ÿâëÿåòñÿ C ′, C . Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâàõ C è C ′ çàäàíû áàçèñû è òåì ñàìûì êîîð-

èçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ äèíàòû

x i è x ′i . Òîãäà èçîìîðôèçì ìîæåò áûòü çàäàí óðàâíåíèÿìè âèäà

x ′i = Aij x j .

(1.10.14)

1.10.3. Àíòèèçîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâ

Åñëè âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå (1.10.12) óäîâëåòâîðÿåò âìåñòî (1.10.13) óñëîâèÿì

ϕ(x + y ) = ϕ(x ) + ϕ( y ),  ϕ(λx ) = λ ϕ(x ),  (ϕ(x )ϕ(y ))C′ = (x y )C ,  òî

(1.10.15)

ϕ íàçûâàåòñÿ àíòèèçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ C ,C ′ . Îáðàòíîå îòî-

áðàæåíèå

ϕ −1 òàê æå îêàçûâàåòñÿ àíòèèçîìîðôèçìîì.

Åñëè â C è C ′ çàäàíû áàçèñû, òî àíòèèçîìîðôèçì ìîæåò áûòü çàäàí óðàâíåíèåì âèäà

x ′i = Aij x j .

(1.10.16)

Ïîäïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî C ñîñòîèò èç âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà C ′ . Òîãäà C íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì C ′ , åñëè ñëîæåíèå, óìíîæåíèå, óìíîæåíèå íà ÷èñëà è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â C îïðåäåëåíû òàê æå, êàê â C ′ .

1.10.4. Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ â

C (∞ ) , C (∞ )

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

35

e1 , e2 ,..., en ,... ,

(1.10.17)

òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà

x ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå

∞

x = ∑ x i ei ,

(1.10.18)

i =1

ãäå ñóììèðîâàíèå ðÿäà (àíàëîã (1.10.6)) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ∞

lim x − ∑ x i ei = 0 . n →∞

(1.10.19)

i =1

2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ

lim xm − xn = 0 ,

m ,n → ∞

òî ñóùåñòâóåò âåêòîð

xn òàêîâà, ÷òî (1.10.20)

x0 , ê êîòîðîìó xn ñõîäèòñÿ (àíàëîã êðèòåðèÿ ñõî-

äèìîñòè Êîøè):

lim x n − x0 = 0 . n →∞

(1.10.21)

Ïðîñòðàíñòâî C (∞ ) , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì 1 è 2, ïåðå÷èñëåííûì âûøå, íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Âñå ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà èçîìîðôíû äðóã äðóãó.

§1.11. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû Ðàññìîòðåâ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L , ïåðåéä¸ì òåïåðü ê ñàìîìó âàæíîìó ïîíÿòèþ âñåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ – ïîíÿòèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ (îòîáðàæåíèÿ).

L â C (n ) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî (çàêîí, îòîáðàæåíèå), ïî êîòîðîìó êàæäîìó âåêòîðó x ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé âåêòîð Lx (îáðàç x ), ïðè÷¸ì L(x + y ) = Lx + Ly , (1.11.1à) Ëèíåéíûì îïåðàòîðîì

L(λx ) = λL(x ) .

(1.11.1á)

36

Ãëàâà ïåðâàÿ Ôèêñèðóåì áàçèñ

e1 , e2 ,..., en è îïèøåì äåéñòâèÿ îïåðàòîðà L â

êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü

Lei = Lij e j , (i = 1,2 ,..., n ) . Òîãäà äëÿ êàæäîãî x

(1.11.2)

Lx = L x i ei = x i Lei = x i Lij e j ,

(1.11.3)

( )

òàê ÷òî, ïîëàãàÿ

Lx = y , à y = y j e j çàïèøåì

y j = Lij x i .

(1.11.4)

Lij íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé îïåðàòîðà L â áàçèñå

Ìàòðèöà

e1 , e2 ,..., en . Ïðèìåðû. 1.11.1. Ïóñòü

R(3) òð¸õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, L - îïåðàòîð ïðîåê-

òèðóþùèé âåêòîðû

R(3) íà ïëîñêîñòü XY . Ïóñòü e1 , e2 , e3 - åäèíè÷-

íûå âåêòîðû íàïðàâëåííûå ïî îñÿì êîîðäèíàò

Le1 = e1 ,

Le2 = e2 ,

òî åñòü ìàòðèöà îïåðàòîðà

X , Y , Z , òîãäà

Le3 = 0 ,

L â äàííîì áàçèñå e1 , e2 , e3 èìååò âèä

 1 0 0    0 1 0 .  0 0 0   1.11.2. Ïóñòü ï.6),

R ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ n − 1 (ñì. §1.2

L - îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ Âûáåðåì â

R áàçèñ

d , LP (t ) = P ′(t ) . dt

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

37

t2 t n −1 e1 = 1 , e2 = t , e3 = , …, en = . 2 (n − 1)! Òîãäà

′  t2  Le1 = 0 , Le2 = t ′ = 1 = e1 , Le3 =   = t = e2 , …, 2 ′  t n−1  t n −2  = Len =  = en −1 ,  (n − 1)!  (n − 2)! òî åñòü ìàòðèöà îïåðàòîðà

0  0 .  0 0 

1 0 . 0 0

L â äàííîì áàçèñå èìååò âèä

0 ... 0   1 .. 0  . . ..  0 ... 1  0 ... 0 

Çàìå÷àíèå. Íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî îïåðàòîð

L è ìàòðèöà Lij - ýòî îäíî è òî æå.

Åñëè ìû èçó÷àåì ðàçíûå îïåðàòîðû è ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè â îäíîì è òîì æå ôèêñèðîâàííîì áàçèñå, ìû ìîæåì ïðåíåáðå÷ü ðàçëè÷èÿìè ìåæäó îïåðàòîðîì è åãî ìàòðèöåé, òàê êàê îäíî îïðåäåëÿåò äðóãîå.  äðóãîì áàçèñå òîò æå ñàìûé îïåðàòîð

L áóäåò èçîáðàæàòüñÿ äðóãîé ìàòðèöåé.

Òàê êàê âñå ñèñòåìû êîîðäèíàò ðàâíîïðàâíû, íàáîð ÷èñåë ðàêòåðèçóåò íå îïåðàòîð

Lij õà-

L , à ñîâîêóïíîñòü îïåðàòîðà è âûáðàííîãî

áàçèñà. Ëèøü ñèñòåìà èç âñåõ ìàòðèö

Lij , Li′j ,... îïåðàòîðà L âî âñåâîç-

ìîæíûõ áàçèñàõ ìîæåò áûòü îòîæäåñòâëåíà ñ îïåðàòîðîì L . Íàñòîÿùèìè îáúåêòàìè òåîðèè ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû è îïåðàòîðû, à íå êîîðäèíàòû è ìàòðèöû, ïðèçâàííûå îïèñûâàòü âåêòîðû è îïåðàòîðû â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå.

38

Ãëàâà ïåðâàÿ

§1.12. Äåéñòâèÿ íàä îïåðàòîðàìè L è M - îïåðàòîðû â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå C (n ) .

Ïóñòü

L è M â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå C (n ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð L + M , ïåðåâîäÿùèé êàæäûé âåêòîð x â âåêòîð Lx + Mx . Â ëþáîì áàçèñå ìàòðèöà îïåðàòîðà L + M èìååò âèä Ñóììîé îïåðàòîðîâ

(L + M )ij

= Lij + M i j .

(1.12.1)

L íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî λ åñòü îïåðàòîð, ïåðåâîäÿùèé âåêòîð x â âåêòîð λLx , à åãî ìàòðèöà åñòü Ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðà

(λL )ij

= λLij .

(1.12.2)

Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ îïåðàòîðîâ

L è M â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå C (n ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð LM , ïåðåâîäÿùèé êàæäûé âåêòîð x â âåê-

L(Mx ), òî åñòü ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ ñíà÷àëà îïåðàòîðà M , à çàòåì îïåðàòîðà L . òîð

Ïóñòü

Mei = M ik ek ;

Lek = Lkj e j ,

(1.12.3)

òîãäà

LMei = LM ik ek = Lkj M ik e j èëè

(LM )ij

= Lkj M ik .

(1.12.4)

Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ìàòðèöà ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ LM åñòü îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö L è M â óêàçàííîì âûøå ïîðÿäêå. Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðû, êàê è ìàòðèöû, â îáùåì ñëó÷àå

íå «êîììóòèðóþò» LM ≠ ML , òî åñòü, ïîðÿäîê óìíîæåíèÿ âëèÿåò íà ðåçóëüòàò. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â âûïîëíåíèè îáû÷íûõ çàêîíîâ óìíîæåíèÿ (êðîìå êîììóòàòèâíîãî!):

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

39

(LM )N = L(MN ),  (λL ) ⋅ M = L ⋅ (λM ) = λ ⋅ (LM ),  L(M + N ) = LM + LN ,   (M + N )L = ML + NL. Òîæäåñòâåííûé (åäèíè÷íûé) îïåðàòîð

(1.12.4)

E (n ) ïåðåâîäèò êàæäûé

âåêòîð

x â òîò æå ñàìûé âåêòîð: E (n )x = x .

(1.12.5) Ìàòðèöà òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ëþáîì áàçèñå åñòü

0 (i ≠ j ), j E (n )i = δij =  1 (i = j ). Ïóñòü èìååòñÿ îïåðàòîð

(1.12.6)

L â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå C (n ) è ïóñòü

Lx = x ′ , ãäå x ′ åñòü ïðåîáðàçîâàííûé âåêòîð x . Òîãäà, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü «îáðàòíûé» îïåðàòîð

L−1 ñîîòíîøåíèåì

x = L−1 x ′ .

(1.12.7)

Îáðàòíûé îïåðàòîð

−1

L èìååò î÷åâèäíûå ñâîéñòâà

L L = LL = E (n ) . −1

−1

(1.12.8)

−1

Ìàòðèöà L ýòî ïðîñòî ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöå L . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ ñóùåñòâóåò, à ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà

L , à èìåííî, ïðåîáðàçîâàíèå äîëL , ýòî îç-

æíî áûòü âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Ïðèìåíèòåëüíî ê ìàòðèöå íà÷àåò, ÷òî å¸ äåòåðìèíàíò äîëæåí áûòü îòëè÷íûì îò íóëÿ. Åñëè

LM = E (n ) , òî L è M íàçûâàþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè −1

îïåðàòîðàìè: M = L , à L = M ðàòîðîâ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè

Lkj (L−1 )i = (L−1 )k Lki = δ ij . k

j

−1

. Ìàòðèöû âçàèìíî îáðàòíûõ îïå(1.12.9)

Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîð, îáðàòíûé ïðîèçâåäåíèþ îïåðàòîðîâ äà¸òñÿ âûðàæåíèåì

LM ,

40

Ãëàâà ïåðâàÿ

(LM )−1 = M −1 L−1 ,

(1.12.10) â êîòîðîì ïåðâîíà÷àëüíûé ïîðÿäîê óìíîæåíèÿ èçìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå. Îáðàòíûé îïåðàòîð ïî îïðåäåëåíèþ

(LM )−1 LM = E (n ) . Óìíîæèì îáå ÷àñòè òîæ−1 M −1 , òîãäà (LM ) LMM −1 = E (n )M −1 , èëè

óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó äåñòâà ñïðàâà íà

(LM )−1 L = M −1 . Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ñïðàâà íà −1 −1 L−1 , òîãäà (LM ) LL−1 = M −1 L−1 , èëè (LM ) = M −1 L−1 . Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ñðàâíèòü ñ îïåðàöèåé íàäåâàíèÿ íîñêîâ è áîòèíîê. Ïðè îïåðàöèè îáóâàíèÿ ìû ñíà÷àëà íàäåâàåì íîñêè è ïîòîì áîòèíêè, ïðè îïåðàöèè ðàçóâàíèÿ áîòèíêè ñíèìàþò âíà÷àëå, à íîñêè ïîòîì.

T â C (n ) ïåðåâîäèò âåêòîð x â âåêòîð x ′ , à ~ x-â ~ x ′ , òî åñòü Tx = x ′ , à T~ x=~ x ′ . Åñëè ïðè ýòîì èìååòñÿ ~ äðóãîé îïåðàòîð S , ïåðåâîäÿùèé x â x , òî åñòü Sx = ~ x , ðåçîííî çàäàòü âîïðîñ: êàêîé âèä èìååò îïåðàòîð S ′ , ïåðåâîäÿùèé x ′ â ~ x ′ , òî ~ ~ åñòü S ′x ′ = x ′ ? Òàê êàê âåêòîðû x ′ è x ′ íàçûâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàííûÏóñòü íåêîòîðûé îïåðàòîð

T ), îïåðàòîð S ′ ìîæíî íàçâàòü òðàíñôîðìèðîâàííûì îïåðàòîðîì. ×òîáû âûðàçèòü S ′ ÷åðåç èñõîäíûå îïåðàòîðû, çàìåòèì, ÷òî ~ x ′ = T~ x = TSx = TST −1 x′ , òî åñòü

ìè (òî åñòü òðàíñôîðìèðîâàííûìè îïåðàòîðîì

S ′ = TST −1 .

(1.12.11)

 ïðèìåðå ñ îáóâàíèåì è ðàçóâàíèåì, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü T êàê îïåðàöèþ íàäåâàíèÿ íîñêà, à S - êàê îïåðàöèþ åãî øòîïêè. Åñëè íîñîê óæå íà íîãå, òî åãî íàäî ñíà÷àëà ñíÿòü, îïåðàöèÿ T òîïàòü

(S ) è, íàêîíåö, ñíîâà íàäåòü åãî (T ) .

−1

, çàòåì çàø-

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

41

§1.13. Ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð 1. Ñâÿçü ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ñ áèëèíåéíûìè ôîðìàìè â Âñÿêîìó îïåðàòîðó áèëèíåéíàÿ ôîðìà

C (n ) .

L îòâå÷àåò â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå C (n )

L(x; y ), çàäàííàÿ ôîðìóëîé

L(x; y ) ≡ (Lx y ).

Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ

L(x; y ) ≡ (Lx y ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

îïðåäåëÿþùèì áèëèíåéíóþ ôîðìó:

(L(x + y ) z ) = (Lx + Ly z ) = (Lx z )+ (Ly z ), (Lλx y ) = (λLx y ) = λ (Lx y ) , (z L(x + y )) = (z Lx + Ly ) = (z Lx )+ (z Ly ), (x Lµy ) = (x µLy ) = µ (x Ly ) .

Ïîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü ñèðóÿ â

L(x; y ) áèëèíåéíàÿ ôîðìà â C (n ) . Ôèê-

C (n ) áàçèñ e1 ,..., en è ïîëàãàÿ x = x i ei , à y = y k ek çàïèøåì

L(x; y ) â âèäå L(x; y ) = L11 x1 y 1 + L12 x1 y 2 + ... + L1n x1 y n + + L12 x 2 y 1 + L22 x 2 y 2 + ... + Ln2 x 2 y n + .................................................

(1.13.1)

+ L1n x n y 1 + L2n x n y 2 + ... + Lnn x n y n . Ïðåäñòàâèì (1.13.1) â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïåðåïèñàâ åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

42

Ãëàâà ïåðâàÿ

( + (L x

) )y

L(x; y ) = L11 x1 + L12 x 2 + ... + L1n x n y 1 + 2 1 1

+ L x + ... + L x 2 2

2

2 n

n

2

+

(1.13.2)

............................................

(

)

+ L1n x1 + Ln2 x 2 + ... + Lnn x n y n . Ïðèìåì âûðàæåíèÿ ñòîÿùèå â ñêîáêàõ çà êîîðäèíàòû íåêîòîðîãî âåêòîðà z :

z 1 = L11 x1 + L12 x 2 + ... + L1n x n , z 2 = L12 x1 + L22 x 2 + ... + L2n x n ,

(1.13.3)

............................., z n = L1n x1 + Ln2 x 2 + ... + Lnn x n . Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî âåêòîð ïîìîùüþ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ìàòðèöå

z ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà x ñ

L ñ ìàòðèöåé, òðàíñïîíèðîâàííîé ê

L áèëèíåéíîé ôîðìû L(x; y ) (1.13.1). j i

Ïîëàãàÿ

z = Lx , ñ ó÷¸òîì (1.10.1) ìû ìîæåì çàïèñàòü:

L(x; y ) = z 1 y 1 + z 2 y 2 + ... + z n y n = (Lx y ).

Òàêèì îáðàçîì, âñÿêîé áèëèíåéíîé ôîðìå òàêîé îïåðàòîð

L , ÷òî L(x; y ) ≡ (Lx y ).

L(x; y ) â C (n ) îòâå÷àåò

Ñêàçàííîå âûøå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå ñëåäóþùåé òåîðåìû: Òåîðåìà 1.13.1. Ôîðìóëà

L(x; y ) ≡ (Lx y )

óñòàíàâëèâàåò â

(1.13.4)

C (n ) âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó áèëè-

íåéíûìè ôîðìàìè L(x; y ) è ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè L . Îäíîçíà÷íîñòü (1.13.4) óêàçûâàåò íà íåçàâèñèìîñòü ýòîãî ñîîòâåòñòâèÿ îò âûáîðà áàçèñà. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî êàæäóþ áèëèíåéíóþ ôîðìó ìîæíî ïðåäñòà-

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

43

âèòü â âèäå

 +  L(x; y ) =  x L y  .  

(1.13.5)

Äëÿ ýòîãî â ôîðìóëå (1.13.1) âûíåñåì çà ñêîáêè êîîðäèíàòû âåêòîðà

( (L y

x:

) )+

L(x; y ) = x1 L11 y 1 + L12 y 2 + ... + L1n y n + + x2

2 1

1

+ L22 y 2 + ... + L2n y n

...............................................

( ) = x (L y + L y + ... + L y )+ + x (L y + L y + ... + L y )+

+ x n L1n y 1 + Ln2 y 2 + ... + Lnn y n = 1

1 1

2

2 1

1

1

1 2

2 2

2

1 n

2

n

2 n

n

...............................................

(

)

 +  + x n L1n y 1 + L2n y 2 + ... + Lnn y n =  x L y .   Ïðè ýòîì ìàòðèöà îïåðàòîðà

+

L , ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû îïåðàòî-

ðà L â ëþáîì îðòîãîíàëüíîì áàçèñå ïåðåõîäîì ê òðàíñïîíèðîâàííîé è çàìåíîé å¸ ýëåìåíòîâ êîìïëåêñíî ñîïðÿæ¸ííûìè, òî åñòü +

Lij = Lij .

(1.13.6)

2. Îïåðàöèÿ ïåðåõîäà îò îïåðàòîðà Ïóñòü

+

L ê ñîïðÿæ¸ííîìó îïåðàòîðó L . +

L îïåðàòîð â C (n ) . Îïåðàòîð L , îïðåäåë¸ííûé óñëîâèåì

(Lx y ) =  x L y  , +





íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæ¸ííûì ê îïåðàòîðó

L.

44

Ãëàâà ïåðâàÿ Òåîðåìà 1.13.2. Â

C (n ) êàæäîìó ëèíåéíîìó îïåðàòîðó L îòâå÷à+

åò ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð L è ïðèòîì òîëüêî îäèí. Äàííàÿ òåîðåìà ïðÿìî ñëåäóåò èç (1.13.4) è (1.13.5).

(Lx y ) = L(x; y ) =  x L y  . +





+

Ìàòðèöà

+

Lij ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà L ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû

Lij îïåðàòîðà L â îðòîãîíàëüíîì áàçèñå ïåðåõîäîì ê òðàíñïîíèðîâàííîé è êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé ìàòðèöå

Lij . Îïåðàöèÿ ïåðåõîäà îò L ê

+

L óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1.

+

+

+

(LM ) = M L , +

+ 2.  L  = L ,   +

+

+

3.

(L + M ) = L+ M ,

4.

(λL ) = λ L ,

5.

(E (n )) = E (n ).

+

+

+

§1.14. Óíèòàðíûé îïåðàòîð Îïåðàòîð U íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì (îðòîãîíàëüíûì), åñëè îí ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, òî åñòü

(Ux Uy ) = (x y ).

(1.14.1)

Ìû âèäèì, ÷òî óíèòàðíûé îïåðàòîð U ñîõðàíÿåò äëèíû âåêòîðîâ è, ñëåäîâàòåëüíî, àíàëîãè÷åí äâèæåíèÿì îáû÷íîãî ïðîñòðàíñòâà, òàêèì

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

45

îáðàçîì óíèòàðíûå îïåðàòîðû, ïî îïðåäåëåíèþ, çàäàþò äâèæåíèÿ êîì-

ïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà C (n ) . Ñâîéñòâî (1.14.1) ìîæíî çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíûì ñâîéñòâîì, êîòîðîå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óíèòàðíûé îïåðàòîð èìååò îáðàòíûé, òî åñòü ÷òî óðàâíåíèå ðàçðåøèìî ïðè ëþáîì Ïîëàãàÿ â (1.13.3)

Ux = y

y , è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì.

Ux = z , x = U −1 z èìååì: (z Uy ) = (U −1 z y ).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà

+  U z y  = (z Uy ) ; ñëåäîâàòåëüíî,   +

U = U −1 .

(1.14.2)

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èç (1.14.2) ñëåäóåò (1.14.1). Â êîîðäèíàòàõ (1.14.2) çàïèøåòñÿ â âèäå

(U )

−1 j i

+

= U i j = U ji .

Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö U i

(1.14.3) j

, (U −1 )i äîëæíî áûòü ðàâíî (ïðè ëþáîì j

ïîðÿäêå óìíîæåíèÿ) åäèíè÷íîé ìàòðèöå, îòêóäà

 U kj = δ ik , j =1   n i k ik  U jU j = δ . ∑  j =1 n

∑U

j

i

(1.14.4)

§1.15. Ýðìèòîâ îïåðàòîð Ýðìèòîâûì èëè ñàìîñîïðÿæåííûì íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð, ðàâíûé ñâîåìó ñîïðÿæåííîìó, òî åñòü

(Hx y ) = (x Hy )

(1.15.1)

èëè â êîîðäèíàòàõ

H i j = H ij ,

(1.15.2)

46

Ãëàâà ïåðâàÿ

ïðè÷åì, ñâîéñòâî (1.15.2) ñîõðàíÿåòñÿ ïðè çàìåíå áàçèñà. Ñâîéñòâî îïåðàòîðà áûòü óíèòàðíûì (èëè ýðìèòîâûì) íå çàâèñèò îò ñèñòåìû êîîðäèíàò, à òîëüêî îò õàðàêòåðà åãî äåéñòâèÿ íà âåêòîðû. Ïîä÷åðêí¸ì, òàê æå, ÷òî ïîíÿòèÿ óíèòàðíûõ è ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ èìåþò ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíû âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Êàæäîìó îïåðàòîðó

L ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî det L , íàçûâàåìîå îïðåäåëèòåëåì îïåðàòîðà L . Ïóñòü â áàçèñå áàçèñå öû

e1 , e2 ,..., en îïåðàòîð L èìååò ìàòðèöó (Lij )e , à â

e1′ , e2′ ,..., e′n ìàòðèöó (Lij )e′ , òîãäà íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî ìàòðè-

Le è Le′ ïîäîáíû, òî åñòü Le′ = ULeU −1 ,

(1.13.9)

ãäå óíèòàðíàÿ ìàòðèöà ïåðåâîäÿùèé

U èçîáðàæàåò â áàçèñå e1 , e2 ,..., en îïåðàòîð,

ei â ei′ , i = 1,2 ,..., n .

Òàê êàê ïðè óìíîæåíèè ìàòðèö èõ îïðåäåëèòåëè ïåðåìíîæàþòñÿ,

det (U −1 ) = (det U ) , det Le′ = det Le . Ìû âèäèì, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû îïåðàòîðà L íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà è ìîæåò áûòü íàçâàí îïðåäåëèòåëåì ñàìîãî îïåðàòîðà L . òî

−1

Îïðåäåëèòåëü óíèòàðíîãî îïåðàòîðà åñòü ÷èñëî, ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí åäèíèöå. Îïåðàòîð, îïðåäåëèòåëü êîòîðîãî ðàâåí åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ óíèìîäóëÿðíûì. Îòìåòèì åù¸ êëàññ ïðîåêòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ, èãðàþùèõ âàæíóþ ðîëü â òåîðèè îïåðàòîðîâ.

§1.16. Ïðîåêòèðóþùèé îïåðàòîð Ïóñòü êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî âèäå îðòîãîíàëüíîé ñóììû ïîäïðîñòðàíñòâ

C (n ) = C (k ) ⊕ C (l ).

C (n ) ïðåäñòàâëåíî â

C (k ) è C (l ):

(1.16.1)

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà

47

Ýòî çíà÷èò, ÷òî êàæäûé âåêòîð x ïðîñòðàíñòâà ðàçëàãàåòñÿ â ñóììó

C (n ) îäíîçíà÷íî

x = x ′ + x ′′ , ãäå x ′ ëåæèò â

(1.16.2)

C (k ) , à x ′′ - â C (l ) è (x ′ x ′′) = 0 . Îïåðàòîð P , ñòàâÿùèé

â ñîîòâåòñòâèå âåêòîðó x åãî ïðîåêöèþ x ′ íà ïîäïðîñòðàíñòâî C (k ) , íàçûâàåòñÿ ïðîåêòèðóþùèì. Ïðîåêòèðóþùèé îïåðàòîð ýðìèòîâ è èäåìïîòåíòåí:

(Px y ) = (x Py ),

P2 = P .

(1.16.3)

Îáðàòíî, âñÿêèé îïåðàòîð â C (n ) , îáëàäàþùèé ñâîéñòâàìè (1.16.3), ÿâëÿåòñÿ, êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ïðîåêòèðóþùèì; ïîäïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîå îí ïðîåêòèðóåò, ñîñòîèò èç âñåõ âåêòîðîâ âèäà

x ïðîáåãàåò âñ¸ ïðîñòðàíñòâî C (n ) .

Px , ãäå

§1.17. Ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð â êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Òåîðåìà 1.17.1. Ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà

L êîìïëåêñíîãî

C (n ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

L = M + iN , ãäå M è N - ýðìèòîâû îïåðàòîðû.

(1.17.1)

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå (1.17.1) âîçìîæíî; òîãäà +

+

+

+

+

L = M + (iN ) = M − i N = M − iN , òàê êàê

+

+

M = M è N = N â ñèëó ýðìèòîâîñòè îïåðàòîðîâ M è N .

Èç ðàâåíñòâ

+

L = M + iN è L = M − iN íàõîäèì, ÷òî

1 +  M =  L+ L  , 2 

i+  N =  L− L  . 2 

(1.17.2)

48

Ãëàâà ïåðâàÿ Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïåðàòîðû (1.17.2) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ñà-

ìîñîïðÿæ¸ííûìè è ÷òî L = M + iN . Ïðåäñòàâëåíèå L = M + iN íàïîìèíàåò ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íà âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè. Òåîðåìà 1.17.2. Êàæäûé íåâûðîæäåííûé îïåðàòîð íî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ

L = UH ,

L â C (n ) ìîæ(1.17.3)

ãäå U - óíèòàðíûé îïåðàòîð (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ïî ìîäó-

H - ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¸ííûé ýðìèòîâ îïåðàòîð. Òàêîå ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà L íàïîìèíàåò òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) , ãäå ρ > 0 , à ÷èñëî ëþ ðàâíû åäèíèöå), à

cosϕ + i sin ϕ ïî ìîäóëþ ðàâíî åäèíèöå.

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè

49

Ãëàâà II Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì îñíîâíûå êîíñòðóêöèè íàä êîìïëåêñíûìè åâêëèäîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè, èìåþùèå íåêîòîðóþ àíàëîãèþ ñ îïåðàöèÿìè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Êîìïëåêñíîìó ñîïðÿæåíèþ ñîîòâåòñòâóåò àíòèèçîìîðôèçì, ñâÿçûâàþùèé ïàðó âçàèìíî äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ; ñóììå ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïðîñòðàíñòâ; ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò òåíçîðíîå (êðîíåêåðîâî) ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ. Êàæäîé êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè ñîîòâåòñòâóåò êîíñòðóêöèÿ íàä îïåðàòîðàìè, òî åñòü îïåðàòîðó â äàííîì ïðîñòðàíñòâå ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé îïåðàòîð â äóàëüíîì ïðîñòðàíñòâå; ñèñòåìå îïåðàòîðîâ, çàäàííûõ â ñëàãàåìûõ ïðîñòðàíñòâàõ (ïî îäíîìó â êàæäîì ñëàãàåìîì), ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð â ñóììå ýòèõ ïðîñòðàíñòâ; ñèñòåìå îïåðàòîðîâ, çàäàííûõ â ïðîñòðàíñòâàõ-ñîìíîæèòåëÿõ, ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð, çàäàííûé â èõ ïðîèçâåäåíèè. Ýòè êîíñòðóêöèè ñîñòàâëÿþò îñíîâó òåíçîðíîé àëãåáðû è òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï, êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì â ñëåäóþùèõ ãëàâàõ.

§2.1. Äóàëüíûå ïðîñòðàíñòâà Ðàññìîòðèì ïàðó êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ C è Âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå C , ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç

~ C.

x , y ,... , à âåê~ òîðû â C îáîçíà÷èì ÷åðåç ~ x ,~ y ,... . Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðû ïðîñòðàí~ ñòâà C âñåãäà îòëè÷èìû îò âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà C è èõ íå ñëåäóåò ñìåøèâàòü.

50

Ãëàâà âòîðàÿ Ïóñòü íàì çàäàí àíòèèçîìîðôèçì

~ ϕ:C → C.

(2.1.1)

~ Ïðîñòðàíñòâà C è C íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè1 ïî îòíîøåíèþ ê àíòèèçîìîðôèçìó ϕ (èëè ïðîñòî äóàëüíûìè, ïîäðàçóìåâàÿ çàäàíèå ϕ ). Äëÿ ðàçëè÷èÿ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà C îò âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà

~ ~ C ìû áóäåì íàçûâàòü âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà C êîâåêòîðàìè.

 ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì àíòèèçîìîðôèçìà (1.10.13), äëÿ âåê-

òîðîâ

x, ~ y èìååì:

(ϕ

−1

~ y x )C = (ϕϕ −1 ~ y ϕx )C~ = (~ y ϕx )C~ .

(2.1.2)

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàçëè÷àòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êîâåêòîðà íà âåêòîð, îïðåäåëèì åãî êàê

~ y x = (ϕ −1 ~y x )C = (~ y ϕ x )C~ .

(2.1.3)

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

α~ x + β~ yz =α ~ z αx + βy = α

~ x z +β ~ z x +β

~ yz ~ z y

,  .

(2.1.4)

Ïðèìå÷àíèÿ. 1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå

~ x y ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ââå-

ä¸ííîãî ðàíåå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

(x y ) ; òàê êàê ðå÷ü èä¸ò î ïðî-

èçâåäåíèè âåêòîðîâ ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. Íà ïåðâîì ìåñòå âñåãäà ñòîèò êîâåêòîð, à íà âòîðîì – âåêòîð. Ïîýòîìó âûðàæåíèå âèäà

x~ y íå ðàñ-

ñìàòðèâàåòñÿ; íå èìååò ñìûñëà è âîïðîñ î êîììóòàöèîííûõ ñâîéñòâàõ ïðîèçâåäåíèÿ è î «ïðîèçâåäåíèè ñ ðàâíûìè ñîìíîæèòåëÿìè». Ïåðâîå ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè (2.1.4) îòëè÷àåòñÿ îò (1.10.1): ÷èñëà òåïåðü âûíîñÿòñÿ çà çíàê ïðîèçâåäåíèÿ áåç êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ. Ìîæíî â ðàçëè÷íîé ëèòåðàòóðå âñòðåòèòü âìåñòî äóàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà âûðàæåíèÿ: ñîïðÿæ¸ííîå (äâîéñòâåííîå) ïðîñòðàíñòâî.

1

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè

51

Òàêîâû ôîðìàëüíûå ðàçëè÷èÿ ìåæäó ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿ-

ìè

(x y ) è

~ xy .

2. Êàæäûé ôèêñèðîâàííûé êîâåêòîð êöèþ

~ y îïðåäåëÿåò ëèíåéíóþ ôóí-

l (x ) = ~y x

(2.1.5)

ñ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè íà C , è àíàëîãè÷íî, êàæäûé ôèêñèðîâàííûé âåêòîð x îïðåäåëÿåò ëèíåéíóþ ôóíêöèþ

~ ~ l (y ) = ~ yx

(2.1.6)

~

íà C . Â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.1.2) íåíóëåâûå âåêòîðû (êîâåêòîðû) îïðåäåëÿþò ïðè ýòîì íåíóëåâûå ôóíêöèè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå ëèíåéíûå

~

ôóíêöèè íà C è C ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû óêàçàííûì âûøå ñïîñîáîì ñ ïîìîùüþ êîâåêòîðîâ è âåêòîðîâ, òàêèì îáðàçîì êàæäîå èç äâóõ äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïðîñòðàíñòâîì âñåõ ëèíåéíûõ ôóíêöèé íà äðóãîì. Ðàññìîòðèì ðàçëè÷èÿ ìåæäó (2.1.4) è (1.10.1),(1.10.2): ïî îòíîøåíèþ ê ïåðâîìó àðãóìåíòó «âíóòðåííåå» ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå

(x y )

åñòü íå ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ â îáû÷íîì ñìûñëå, êàê (2.1.6), à «àíòèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ»:

l (αx + β y ) = αl (x ) + β l ( y ) . (2.1.7) 3. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàçìåðíîñòè äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ñîâïà-

äàþò è ìû áóäåì èõ îáîçíà÷àòü äàëåå êàê 4. Îòíîøåíèå ïðîèçâåäåíèÿ

~ C (n ) è C (n ) .

ê ïðîèçâåäåíèþ

( ) åñòü, ïî ñó-

ùåñòâó, îòíîøåíèå ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè ñîñòîÿíèé êâàíòîâîé ìåõàíèêè â òðàêòîâêå Äèðàêà è, ñîîòâåòñòâåííî, ôîí Íåéìàíà. Êàæäàÿ èç ýòèõ òðàêòîâîê èìååò ñâîè ïðåèìóùåñòâà â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ, è ìû â äàëüíåéøåì áóäåì èõ èñïîëüçîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòàâëåííûìè çàäà÷àìè. 5.  òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè âåêòîðû x íàçûâàþò êîíòðàâàðèàíòíûìè âåêòîðàìè, à êîâåêòîðû ~ y - êîâàðèàíòíûìè âåêòîðàìè. 6. Òåîðèÿ äóàëüíîñòè (äâîéñòâåííîñòè) ïîëó÷èëà ñâî¸ íàçâàíèå

52

Ãëàâà âòîðàÿ

áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî îíà âûÿâëÿåò ðÿä ñâîéñò⠓äóàëüíîé ñèììåòðèè” ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, òðóäíûõ ñ òî÷êè çðåíèÿ íàãëÿäíîãî âîîáðàæåíèÿ, íî èìåþùèõ ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå. Äîñòàòî÷íî îòìåòèòü, ÷òî äóàëèçì “âîëíà-÷àñòèöà” â êâàíòîâîé ìåõàíèêå àäåêâàòíî âûðàæàåòñÿ èìåííî íà ÿçûêå ëèíåéíîãî äóàëèçìà áåñêîíå÷íî ìåðíûõ êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ó÷èòûâàÿ ýòó òðóäíîñòü íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è âàæíîñòü äëÿ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïîíÿòèÿ äóàëüíîñòè, ðàññìîòðèì ýòó ïðîáëåìó ïîäðîáíåå. Ïóñòü íàì çàäàíà ëèíåéíàÿ ôîðìà èç

C (n )

l (x ) ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà

α1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n .

(2.1.8)

Ýòî ïîíÿòèå èíâàðèàíòíî: îíî ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ïðè ïîìîùè ôóíêöèîíàëüíûõ ñâîéñòâ

l (αx ) = αl (x ) ,

l (x + y ) = l (x ) + l ( y ).

ßñíî, ÷òî âûðàæåíèå (2.1.8) îáëàäàåò ýòèìè ñâîéñòâàìè. Ôèêñèðóÿ

â

C (n ) áàçèñ e1 ,..., en ìû ìîæåì çàïèñàòü:

x = x i ei ; l (x ) = x i l (ei ) = α i x i ; α i = l (ei ) . Ïåðåõîäÿ ê äðóãîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, â êîòîðîé êîìïîíåíòû ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x ïîäâåðãàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ (1.5.12)

xi

x i = Aii′ x i′ , à ëèíåéíàÿ ôîðìà (2.1.8) ïðèìåò âèä

α i x i = α i ′ x i′ , ãäå êîýôôèöèåíòû α i′ ñâÿçàíû ñ ïåðâîíà÷àëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè α i ðàâåíñòâàìè

α i′ = Aii′α i . Ãîâîðÿò, ÷òî êîýôôèöèåíòû

(2.1.9)

α i ëèíåéíîé ôîðìû (2.1.8) ïðåîáðàçó-

þòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ

xi .

Ó íàñ íåò íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü êîýôôèöèåíòû

α i êàê

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè êîíñòàíòû, à

53

x i êàê ïåðåìåííûå. Åñëè íå âñå α i ðàâíû íóëþ, óðàâíåíèå

l (x ) = 0 îïðåäåëÿåò “ïëîñêîñòü”, òî åñòü (n − 1) - ìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Âåêòîð x ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè, åñëè åãî êîìïîíåíòû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ l (x ) = 0 . Çàôèêñèðóåì òåïåðü íåêîòîðûé íåíóëåâîé âåêòîð x â C (n ) è ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âñåõ ïëîñêîñòåé ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ýòîò âåêòîð. Åãî 0

êîìïîíåíòû

x i = x 0i ÿâëÿþòñÿ òåïåðü êîíñòàíòàìè, à êîýôôèöèåíòû

α i áóäóò ïåðåìåííûìè è ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü íàáîðû

(x , x 1

2

,..., x n ) è (α1 , α 2 ,..., α n )

ðàâíîïðàâíî, ÷òî äà¸ò íàì âîçìîæíîñòü ââåñòè âòîðîå ñòðàíñòâî

n - ìåðíîå ïðî-

~ C (n ) , êîòîðîå ìû è áóäåì íàçûâàòü äóàëüíûì.

(y1 , y2 ,..., y n ) êîâåêòîðà ~y èç C~(n ) è (x1 , x 2 ,..., x n ) âåêòîðà x èç C (n ) ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ñêàëÿðíîå ïðîÏî êîìïîíåíòàì

èçâåäåíèå

y1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n .

(2.1.10)

Ýòî âûðàæåíèå ïî îïðåäåëåíèþ èìååò èíâàðèàíòíûé ñìûñë, òàê êàê åñëè îòíåñòè ïðîñòðàíñòâî

C (n ) ê íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñðåä-

ñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ

x i , ïåðåìåííûå yi èç äóàëüíîãî

~ C (n ) ïîäâåðãíóòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ. ~ Ýòî äóàëüíîå ïðîñòðàíñòâî C (n ) íà ñàìîì äåëå äëÿ òîãî è ââîäèòñÿ, ïðîñòðàíñòâà

÷òîáû ìû ìîãëè ñîïîñòàâèòü êàæäîìó âçàèìíî îäíîçíà÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ êîíòðàãðåäèåíòíîå åìó ïðåîáðàçîâàíèå. Èòàê, äâà îáðàòèìûõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ

~ x = Ax ′ è ~ y = A~ y′ ÿâëÿþòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíûìè äðóã äðóãó, åñëè îíè ñîõðàíÿþò ëèíåéíóþ ôîðìó (2.1.8) íåèçìåííîé

54

Ãëàâà âòîðàÿ

y1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n = y1′ x 1′ + y 2′ x 2′ + ... + y n′ x n′ . Åñëè ëèíåéíàÿ ôîðìà (2.1.8) ðàâíà íóëþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð

x ~ ~ èç C (n ) è êîâåêòîð y èç C (n ) íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè. Ïðÿìàÿ èç C (n ) ~ îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü â C (n ) , òî åñòü ïëîñêîñòü, ñîñòîÿùóþ èç êîâåêòîðîâ â èíâîëþöèè ñ äàííîé ïðÿìîé è íàîáîðîò. Äóàëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì ñîîòíîøåíèåì.

§2.2. Äóàëüíûå áàçèñû Ïóñòü

e1 , e2 ,..., en îðòîíîðìèðîâàííûé1 áàçèñ â C (n ) . Ìîæíî

ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íî îïðåäåë¸ííûé áàçèñîì áàçèñ

e1 , e2 ,..., en

~ ~ e 1, ~ e 2 ,..., ~ e n â C (n ) òàêîé, ÷òî ~ e k ei = δ ik

(2.2.1)

è

~ e k = ϕ(ek ), (2.2.2) ãäå ϕ - àíòèèçîìîðôèçì, ñëóæàùèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ äóàëüíîñòè ïðî-

ñòðàíñòâ.

e ,~ e ,..., ~ e íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè. ÄîãîÁàçèñû e1 , e 2 ,..., en è ~ âîðèìñÿ íóìåðîâàòü êîîðäèíàòû êîâåêòîðîâ âåðõíèìè èíäåêñàìè, à êîîðäèíàòû âåêòîðî⠖ íèæíèìè: 1

2

n

n

~ x = xi ~ e i = ∑ xi ~ ei .

(2.2.3)

i =1

Äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà æåííûõ ïî äóàëüíûì áàçèñàì, ïîëó÷èì:

~ x y = xi y i .

y è êîâåêòîðà ~ x , ðàçëî(2.2.4)

Òàê êàê ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû, òî ñëîâî «îðòîíîðìèðîâàííûé» â äàëüíåéøåì îïóñêàåòñÿ.

1

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè

55

 äàëüíåéøåì, ðàññìàòðèâàÿ îäíîâðåìåííî C (n ) è C (n ) , ìû áóäåì âñåãäà âûáèðàòü â íèõ äóàëüíûå áàçèñû è âåñòè âû÷èñëåíèÿ â ýòîì ïðåäïîëîæåíèè.  äóàëüíûõ áàçèñàõ àíòèèçîìîðôèçì ϕ çàïèøåòñÿ â âèäå

~

~ xi = xi ,

(i = 1,2 ,..., n ) .

(2.2.5)

§2.3. Äóàëüíûå îïåðàòîðû ~ ~ A è A , äåéñòâóþùèå, ñîîòâåòñòâåííî, â C (n ) è C (n ) , íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè, åñëè äëÿ âñåõ ~ x è y Îïåðàòîðû

~ A~ x Ay = ~ xy .

(2.3.1)

Íàéä¸ì ñâÿçü ìåæäó ìàòðèöàìè îïåðàòîðîâ íèþ ÷èñåë

~ A è A . Ïî îïðåäåëå-

~ Ai j è A jk

~ k ~k ~ j Aei = Ai j e j , A ~ e = Aj e ,

(2.3.2)

îòêóäà, â ñèëó (2.3.1),

~ k ~ A~ e Aei = A jk Ai j = δ ik . Ìû âèäèì, ÷òî ìàòðèöû j ~ Ai j = (A−1 )i .

(2.3.3)

~ A è A âçàèìíî îáðàòíû: (2.3.4)

Îïåðàòîð, èìåþùèé äóàëüíûé îïåðàòîð, èìååò òåì ñàìûì è îáðàòíûé îïåðàòîð. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, A = U - óíèòàðíûé îïåðàòîð, òî èç (1.13.5) ñëåäóåò, ÷òî

~ U i j = U ji .

(2.3.5)

Èç (1.3.6) òåïåðü ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð, äóàëüíûé óíèòàðíîìó, óíèòàðåí â

~ C (n ) .

Èç îïðåäåëåíèÿ (2.1.3) ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

ñëåäóåò, ÷òî

56

Ãëàâà âòîðàÿ

+ ~ A = ϕ A−1 ϕ −1 , y = ϕ(x ) , òî èëè, ÷òî òîæå: åñëè ~

(2.3.6)

 +  ~ A~ y = ϕ A−1 x  .  

(2.3.7) +

Òàêèì îáðàçîì, äóàëüíûé ê A îïåðàòîð ïîëó÷àåòñÿ èç íîñîì» ñ ïîìîùüþ àíòèèçîìîðôèçìà ϕ .

A−1 «ïåðå-

§2.4. Îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïðîñòðàíñòâ Ïóñòü

C (n1 ),C (n 2 ),..., C (ns ) - êîìïëåêñíûå åâêëèäîâû ïðîñòðàí-

ñòâà. Ïîñòðîèì èç íèõ íîâîå ïðîñòðàíñòâî C , âåêòîðû êîòîðîãî, åñòü ôîðìàëüíûå ñóììû 1

2

s

x ⊕ x ⊕ ... ⊕ x , ãäå

(2.4.1)

x - âåêòîðû C (ni ) . i

Çíàê ⊕ ââåä¸í â îòëè÷èå îò îáû÷íîãî çíàêà ñóììèðîâàíèÿ, òàê êàê «ñóììèðîâàíèå» â (2.4.1) åñòü ïðîñòî ôîðìàëüíîå ñîåäèíåíèå âåêòîðîâ ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâ â öåïî÷êó, ñëåäîâàòåëüíî, íå ñëîæåíèå èõ â êàêîì-ëèáî çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå. Íåêîòîðûå èç ÷èñåë

n1 , n2 ,..., n s ìîãóò áûòü ðàâíû äðóã äðóãó è

ìû áóäåì ñ÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîñòðàíñòâà

C (ni ) ðàçëè÷íûìè

ýêçåìïëÿðàìè îäíîãî è òîãî æå ïðîñòðàíñòâà (â ñèëó èõ èçîìîðôíîñòè). Äîãîâîðèìñÿ âûïèñûâàòü

C (ni ) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ÷èñåë ni .

Îïðåäåëèì â ïðîñòðàíñòâå C ñëîæåíèå âåêòîðîâ, óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà ÷èñëî è ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå ïî ïðàâèëàì:

 x1 ⊕ ... ⊕ xs  +  y1 ⊕ ... ⊕      

1 s y  =  x +  

1 s y  ⊕ ... ⊕  x +  

y  ,  s

(2.4.2)

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè òî åñòü, ÷òîáû ñëîæèòü âåêòîðû, íàäî ñëîæèòü èõ êîìïîíåíòû â êàæäîì 1 1 s s λ  x ⊕ ... ⊕ x  = λ x⊕ ... ⊕ λ x ,  

57

C (ni ); (2.4.3)

òî åñòü, ÷òîáû óìíîæèòü âåêòîð íà ÷èñëî λ , íàäî óìíîæèòü íà ýòî ÷èñëî âñå åãî êîìïîíåíòû; s 1 s 1  1 1 s s , + ... +  x y   x ⊕ ... ⊕ x y ⊕ ... ⊕ y  =  x y      C (n1 )   C (ns )

(2.4.4)

òî åñòü, ÷òîáû ïåðåìíîæèòü âåêòîðû, íàäî ñêàëÿðíî ïåðåìíîæèòü èõ ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòû è ñëîæèòü ïîëó÷åííûå ÷èñëà. Âûðàæåíèÿ (2.4.2) – (2.4.4) ïîêàçûâàþò, ÷òî äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè â C ïîëíîñòüþ ñâîäÿòñÿ ê äåéñòâèÿì íàä èõ êîìïîíåíòàìè â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëàãàåìûõ ïðîñòðàíñòâàõ íàëüíîé ñóììîé ïðîñòðàíñòâ

C (ni ) . C íàçûâàåòñÿ îðòîãî-

C (n1 ),C (n2 ),...,C (n s ) .

Îðòîãîíàëüíûå ñóììû ïðîñòðàíñòâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ äâóõ òî÷åê: ìîæíî ñíà÷àëà çàäàâàòü ïðîñòðàíñòâà

C (n1 ),C (n 2 ),..., C (n s ) íå-

çàâèñèìî äðóã îò äðóãà è ñòðîèòü èç íèõ ïðîñòðàíñòâî C ñ ïîìîùüþ ôîðìàëüíûõ ñóìì (2.4.1), ëèáî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå

C (ni ) óæå ëåæàò â íåêî-

òîðîì ïðîñòðàíñòâå C , è ñòðîèòü ðàçëîæåíèå âåêòîðîâ C íà ñëàãàåìûå, ëåæàùèå â

C (ni ) , i = 1,2 ,..., s .

Íàéä¸ì áàçèñ è ïîäñ÷èòàåì ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà C . Äëÿ ýòîãî â êàæäîì 1

1

C (ni ) ïîñòðîèì áàçèñ e1 ,..., e ni ; òîãäà âåêòîðû i

s

s

e1 ,..., e n1 ,..., e1 ,..., e ns

i

(2.4.5)

ñîñòàâëÿþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà C , à åãî ðàçìåðíîñòü ðàâíà ñóììå ðàçìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâ

C (ni ) , òî åñòü

C = C (n1 + ... + n s ) .

(2.4.6)

58

Ãëàâà âòîðàÿ Òîò ôàêò, ÷òî C ðàçëàãàåòñÿ â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ïðîñòðàíñòâ

C (ni ) , çàïèøåòñÿ òàê:

C = C (n1 ) ⊕ ... ⊕ C (n s ) .

(2.4.7)

§2.5. Ïðèâîäèìûå îïåðàòîðû Çíà÷åíèå ðàçëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ñîñòîèò â òîì, ÷òî òàêîå ðàçëîæåíèå ÷àñòî ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü èçó÷åíèå îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â C . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïåðàòîð äóþùèì ñâîéñòâîì:

L , äåéñòâóþùèé â C , îáëàäàåò ñëå-

L ïåðåâîäèò êàæäûé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà C (ni )

i = 1,2 ,..., s . Ýòî çíà÷èò, ÷òî îðòîãîíàëüíîå ðàçëîæåíèå (2.4.7) ïðèâîäèò îïåðàòîð L . Åñëè ðàññìàòðèâàòü äåéñòâèå îïåðàòîðà L òîëüêî íà ïîäïðîñòðàíñòâå C (ni ) , òî ïîëó÷èòñÿ â âåêòîð òîãî æå ïðîñòðàíñòâà,

îïåðàòîð

Li , äåéñòâóþùèé â C (ni ) ; îòíîøåíèå ìåæäó îïåðàòîðîì L è

ïîðîæä¸ííûìè èì îïåðàòîðàìè

Li çàïèøåòñÿ â âèäå

L = L1 ⊕ L2 ⊕ ... ⊕ Ls .

(2.5.1)

Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå: åñëè â êàæäîì

C (ni ) äåéñòâóåò îïåðàòîð

Li , òî â C äåéñòâóåò èõ ñóììà – îïåðàòîð, ïðåäñòàâëåííûé ôîðìóëîé (2.5.1). Ïðè ýòîì, åñëè âñå

Li óíèòàðíû, òî è L óíèòàðåí.

Åñëè ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå C (íå ìåíåå ÷åì èç äâóõ ñëàãàåìûõ), ïðèâîäÿùåå îïåðàòîð ÷àå – íåïðèâîäèìûì.

L , åãî íàçûâàþò ïðèâîäèìûì, â ïðîòèâíîì ñëó-

Èçó÷åíèå ïðèâîäèìîãî îïåðàòîðà íèþ îïåðàòîðîâ

L ïîëíîñòüþ ñâîäèòñÿ ê èçó÷å-

Li , êàæäûé èç êîòîðûõ «àâòîíîìíî» äåéñòâóåò â ñâî¸ì

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè ïîäïðîñòðàíñòâå

59

C (ni ) ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè, ÷åì ó ïðîñòðàíñòâà C .

Ýòî îáúÿñíÿåò èíòåðåñ ê íåïðèâîäèìûì îïåðàòîðàì è ê ðàçëîæåíèþ ïðîèçâîëüíûõ îïåðàòîðîâ íà íåïðèâîäèìûå. Â ôèçèêå èãðàåò âàæíóþ ðîëü áîëåå îáùåå ïîíÿòèå ïðèâîäèìîñòè äëÿ ñèñòåìû îïåðàòîðîâ. Ïóñòü äàíà íåêîòîðàÿ ñèñòåìà (ìíîæåñòâî) îïåðàòîðîâ G , äåéñòâóþùàÿ â C . Åñëè êàæäûé èç îïåðàòîðîâ G ïåðåâîäèò âåêòîðû êàæäîãî â âåêòîðû òîãî æå

C (ni )

C (ni ) , òî ãîâîðÿò, ÷òî îðòîãîíàëüíîå ðàçëîæåíèå

(2.4.7) ïðèâîäèò ñèñòåìó îïåðàòîðîâ G ; ñèñòåìà G íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ïðèâîäèìîé. Åñëè æå íå ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèÿ (2.4.7), ïðèâîäÿùåãî G , òî ñèñòåìà G íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìîé. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî êàæäûé îòäåëüíûé îïåðàòîð èç G ìîæåò áûòü ïðèâîäèìûì, òîãäà êàê ñèñòåìà G â öåëîì – íåïðèâîäèìîé.  äàëüíåéøåì ìû ïîêàæåì, ÷òî ýðìèòîâû è óíèòàðíûå îïåðàòîðû âñåãäà ïðèâîäèìû; òîãäà êàê ñóùåñòâóþò íåïðèâîäèìûå ñèñòåìû òàêèõ îïåðàòîðîâ. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ êàæäîãî îòäåëüíîãî îïåðàòîðà èç G ìîæíî èíîãäà ïîäîáðàòü ïðèâîäÿùåå åãî ðàçëîæåíèå, íî íè îäíî òàêîå ðàçëîæåíèå íå ïðèâîäèò èõ âñåõ ñðàçó. Ðàçëîæåíèþ (2.4.7) ñîîòâåòñòâóåò áàçèñ (2.4.5), â êîòîðîì ìîæíî çàïèñàòü êàæäûé äåéñòâóþùèé â C îïåðàòîð

L:

( j = 1,2 ,..., n; n = n1 + ... + n s ). (2.5.2) i ëåæèò â C (nk ) , òî x = 0 äëÿ âñåõ i , êðîìå òåõ, êîòîðûå

y j = Lij x i ,

Åñëè x óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì

n1 + ... + nk −1 + 1 ≤ i ≤ nk −1 + ... + n s ;

(2.5.3)

i

äëÿ i , óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3), x ïðîèçâîëüíû. Äëÿ âñåõ òàêèõ x âåêòîðû y , îïðåäåë¸ííûå ôîðìóëîé (2.5.2), äîëæíû òàêæå èìåòü íóëåâûå êîîðäèíàòû ïðè

i , íå óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3). îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

Lij = 0 ïðè i , óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3), è, j , íå óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3). Èòàê,

Lij ìîãóò áûòü îòëè÷íû îò íóëÿ ëèøü â ÿùèêàõ ìàòðèöû

60

Ãëàâà âòîðàÿ

L , â êîòîðûõ îáà èíäåêñà óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó è òîìó æå èç íåðàâåíñòâ (2.5.3), k = 1,2 ,..., s . Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà ïðèâîäèìîãî îïåðàòîðà â ñïåöèàëüíî ïðèñïîñîáëåííîì ê ðàçëîæåíèþ (2.4.7) áàçèñå (2.4.6) èìååò âèä

L11 ... L1n1

... L1n1 ... ... ... Lnn11

Lnn11++11 ...

... Lnn11++1n2 ... ...

Lnn11++1n2

... Lnn11++nn22

.

(2.5.4)

...

Èç (2.5.4) ÿñíî, êàê ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà

L âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ Li , i = 1,2 ,..., s . Îïåðàòîð L íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëèçèðóþùèì, åñëè ïðèâîäèò íåêîòîðîå ðàçëîæåíèå (2.4.7) íà îäíîìåðíûå ïîäïðîñòðàíñòâà; â ýòîì ñëó÷àå, ïðè íàäëåæàùåì âûáîðå áàçèñà, ìàòðèöà (2.5.4) îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé:

λ1 . 0 λ2 . . . 0

. 0 . 0 . . . . λn

(2.5.5)

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè

61

§2.6. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Ïóñòü îïåðàòîð

L äèàãîíàëèçèðóåì; òîãäà (2.4.7) èìååò âèä

C = C (1) ⊕ ... ⊕ C (1), 1

n

(2.6.1)

à èç óðàâíåíèé (2.5.2) âèäíî, ÷òî

Lei = λ i ei .

(2.6.2)

Óðàâíåíèå âèäà (2.6.3) Lx = λx íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Âñå åãî íåíóëåâûå ðåøå-

x , ïðè äàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà λ , íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè îïåðàòîðà L , ïðèíàäëåæàùèìè λ . Çíà÷åíèå λ , äëÿ êîòîðî-

íèÿ

ãî ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ñîáñòâåííûé âåêòîð, íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåí-

íûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà L . Çàäà÷à î ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è â îïðåäåëåíèè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ çàäàííîãî îïåðàòîðà. Âûðàæåíèå (2.6.2) ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ äèàãîíàëèçèðóåìîãî îïåðàòîðà

L ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ñëóæàò λ i , à ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè – âåêòîðû âûáðàííîãî ñïåöèàëüíîãî áàçèñà

ei .

Îáðàòíî, åñëè â C ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ

e1 ,..., en ,

ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà

L , òî âñå âåêòîðû âèäà αei , ãäå α - êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ñîñòàâëÿþò ïîäïðîñòðàíñòâî C (1)

ïðîñòðàíñòâà C è èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå (2.6.1); òåì ñàìûì îïåðàòîð

L îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëèçèðóåìûì.

Âàæíûìè ïðèìåðàìè äèàãîíàëèçèðóåìûõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿþòñÿ ýðìèòîâû è óíèòàðíûå îïåðàòîðû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ýðìèòîâà îïåðàòîðà â îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç ïðè÷¸ì âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

C (n ) ñóùåñòâóåò

n åãî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ,

λ i äåéñòâèòåëüíû.

Ìîæíî, òàê æå, ïîêàçàòü, ÷òî óíèòàðíûé îïåðàòîð â îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç

C (n ) èìååò

n ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ; ñî-

62

Ãëàâà âòîðàÿ

îòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïî ìîäóëþ ðàâíû åäèíèöå:

λ k = e iϕk .

(2.6.4)

Åñëè λ - ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, òî âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå λ âìåñòå ñ íóëåâûìè âåêòîðîì îáðàçóþò ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî

Cλ ðàçìåðíîñòè r , íàçûâàåìîé êðàòíîñòüþ ýòîãî ïîäïðîñòðàí-

r -êðàòíî âûðîæäåííûì (ïðè r > 1 ). Åñëè äëÿ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ A, B ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðî-

ñòâà, à ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ -

âàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç èõ îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, òî ýòè îïåðàòîðû ïåðåñòàíîâî÷íû. Âåðíî è îáðàòíîå: äëÿ äâóõ èëè áîëåå ïåðåñòàíîâî÷íûõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ ìîæíî ïîñòðîèòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîãî áàçèñà çàìåòèì, ÷òî êàæäûé èç ïåðåñòàíîâî÷íûõ îïåðàòîðîâ ïåðåâîäèò â ñåáÿ ëþáîå ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî äðóãîãî, è ìîæíî ñòðîèòü ñîáñòâåííûå âåêòîðû

B , íå âûõîäÿ èç ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ A . Ýòî íå çíà÷èò, îäíàêî, ÷òî êàæäûé ñîáñòâåííûé âåêòîð A ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì B : ýòî ñïðàâåäëèâî ëèøü äëÿ âåêòîðà, ïðèíàäëåæàùåãî ïðîñòîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ A êðàòíîñòè 1.

 ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà ïðèâåäåíèå ê äèàãîíàëüíîìó âèäó, â îáùåì ñëó÷àå, íåâîçìîæíî. Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (2.6.3) â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå â âèäå

(L

j i

− λδ ij )x i = 0 .

Ýòî óðàâíåíèå èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ òîì ñëó÷àå, êîãäà

det Lij − λδ ij = 0 .

(2.6.5)

x i â òîì è òîëüêî (2.6.6)

Óðàâíåíèå (2.6.6) íàçûâàþò âåêîâûì óðàâíåíèåì, ñëóæàùèì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, êîòîðûå â ïîäðîáíîì âèäå çàïèñûâàþòñÿ òàê:

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè

L11 − λ L12 ... L1n

63

L12

... L1n L22 − λ ... L2n =0. ... ... ... Ln2 ... Lnn − λ

(2.6.7)

Ëåâàÿ ÷àñòü (2.6.7) åñòü ïîëèíîì ñòåïåíè n îòíîñèòåëüíî λ , òî åñòü ÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ëþáîãî îïåðàòîðà íå ïðåâûøàåò n . Ïî òåîðåìå Âèåòà ñóììà êîðíåé óðàâíåíèÿ (2.6.7) âçÿòûõ ñ èõ àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòüþ (êàê êîðíåé óðàâíåíèÿ, à íå êàê ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé), ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè n

n

i =1

i =1

(− 1)n −1 λn −1 :

SpL = ∑ Lij = ∑ λ i .

(2.6.8)

Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïðåäåëèòåëü îïåðàòîðà íå çàâèñèò îò âûn

áîðà áàçèñà. Ïðèìåíÿÿ ýòî ê (2.6.6), ìû óâèäèì, ÷òî ñóììà

∑L i =1

ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâûì èíâàðèàíòîì îïåðàòîðà âàåòñÿ ñëåäîì îïåðàòîðà.

j i

â (2.6.8)

L . Èíâàðèàíò SpL íàçû-

Äðóãîé èíâàðèàíò, det L , ïî òåîðåìå Âèåòà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ êîðíåé: n

det L = ∏ λ i .

(2.6.9)

i =1

Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà

L = SpL ⋅ E (n ) + L0 ,

ãäå

L ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå (2.6.10)

E (n ) - òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, à L0 - áåññëåäíûé îïåðàòîð (ñ íóëå-

âûì ñëåäîì). Ïðèìåð 2.6.1. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà

L ñ ìàòðèöåé

64

Ãëàâà âòîðàÿ

1 2  . L =  5 4 Ðåøåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà

ϕ (λ ) =

1− λ 4

2 4−λ

L åñòü

= λ2 − 5λ − 6 = 0 .

Åãî êîðíè λ1 = 6 è λ 2 = −1 . Ñîáñòâåííûå âåêòîðû íàõîäèì èç äâóõ ñèñòåì óðàâíåíèé:

(1 − λ1 )x1 + 2 x 2 = 0 ,  5 x1 + (4 − λ1 )x 2 = 0

(*)

(1 − λ 2 )x1 + 2 x 2 = 0 .  5 x1 + (4 − λ 2 )x 2 = 0

(**)

Ïðè

λ1 = 6 (*) ñâîäèòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ 5 x1 − 2 x 2 = 0

îòêóäà íàõîäèì, ÷òî

x1 2 = è â êà÷åñòâå ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, ñîîòx2 5

âåòñòâóþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ èëè ëþáîé âåêòîð, êðàòíûé Ïðè

λ1 = 6 , ìîæíî âçÿòü l1 = {2,5},

l1 .

λ 2 = −1 èìååì óðàâíåíèå x1 + x 2 = 0 èëè

âåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð áóäåò íûé.

x1 = −1 , è ñîîòx2

l 2 = {1,−1}, èëè ëþáîé åìó êðàò-

Ïðèìåð 2.6.2. Íàéä¸ì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà

R ïîâîðîòà íà óãîë ϕ ñ ìàòðèöåé

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè

 cos ϕ R =   sin ϕ

65

− sin ϕ  . cos ϕ 

Ðåøåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà

ϕ (λ ) =

cos ϕ − λ sin ϕ

Åãî êîðíè

R åñòü

− sin ϕ = λ2 − 2 cos ϕ ⋅ λ + 1 = 0 . cos ϕ − λ

λ1, 2 = cos ϕ ± i sin ϕ êîìïëåêñíû, è åñëè ϕ íå êðàòíî

π , ïðåîáðàçîâàíèå íå èìååò âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèé. Åñëè ϕ = 2kπ , ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì, è êàæäûé âåêòîð ïëîñêîñòè – ñîáñòâåííûé, ïðè÷¸ì

λ = 1.

Åñëè ϕ = (2k + 1)π , ìû èìååì ïðåîáðàçîâàíèå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè, è êàæäûé âåêòîð ïëîñêîñòè áóäåò ñîáñòâåííûì ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λ = −1 . Ïðèìå÷àíèå. Ðåøàòü ïðèìåðû íà îòûñêàíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ óäîáíî ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû MathCAD PLUS 6.0 PRO.

§2.7. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ  §2.4. ìû íàó÷èëèñü èç çàäàííûõ ïðîñòðàíñòâ ñòðîèòü èõ «ñóììó» (2.4.7), ïðè÷¸ì îïåðàòîðû äåéñòâóþùèå â «ñëàãàåìûõ» ïðîñòðàíñòâàõ, òàê æå èìåþò «ñóììó» (2.5.1) – îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â «ñóììå» ïðîñòðàíñòâ. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñòðîåíèå ñëîæíûõ ïðîñòðàíñòâ èç áîëåå ïðîñòûõ ñïîñîáîì «óìíîæåíèÿ». Ïðè ýòîì áóäóò «ïåðåìíîæàòüñÿ» è îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå â ïðîñòðàíñòâàõ-«ñîìíîæèòåëÿõ» è ìû ïîëó÷èì îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â «ïðîèçâåäåíèè» ïðîñòðàíñòâ. Ðàññìîòðèì äâà ïðîñòðàíñòâà ïðîñòðàíñòâà îáîçíà÷èì ÷åðåç

C (m ) è C (n ) . Âåêòîðû ïåðâîãî

x , x1 , x ′,... , à âåêòîðû âòîðîãî -

y , y1 , y ′,... . Áàçèñû â C (m ) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç e1 ,..., em , à â C (n ) ÷åðåç

f 1 ,..., f n .

66

Ãëàâà âòîðàÿ Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ âèäà p

∑x i =1

i

⊗ yi = x1 ⊗ y1 + ... + x p ⊗ y p

ñ ëþáûì ÷èñëîì «ñëàãàåìûõ»

(2.7.1)

p , ãäå xi - âåêòîðû èç C (m ), à y i - èç

C (n ) . Çíàê ⊗ èãðàåò ðîëü ÷èñòî ôîðìàëüíîãî «ðàçäåëèòåëÿ» ìåæäó xi è

yi . Ìû íå ìîæåì çäåñü ïîëüçîâàòüñÿ çàïèñüþ âèäà (xi y i ), òàê êàê

íàäî âñ¸ âðåìÿ ïîìíèòü, ÷òî ðå÷ü èä¸ò íå î «âíóòðåííåì» (àíàëîã ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà), à íåêîòîðîì ôîðìàëüíîì àíàëîãå óìíîæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ èç ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. Çíàêè + è

∑

â (2.7.1) èìåþò òîæå ôîðìàëüíûé õàðàêòåð è íå îçíà÷àþò

ñóììèðîâàíèÿ íè â êàêîì çàðàíåå çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå. Ñîâåðøåííî íåñóùåñòâåííî, ÷òî «ñîáîé ïðåäñòàâëÿþò» ôîðìàëüíûå ñóììû (2.7.1), èìåþò çíà÷åíèå ëèøü ïðàâèëà äåéñòâèé íàä íèìè, êîòîðûå ìû ñåé÷àñ ïåðå÷èñëèì. Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü äâà âûðàæåíèÿ âèäà (2.7.1) ðàâíûìè, åñëè îíè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äðóã èç äðóãà êîíå÷íûì ÷èñëîì ñëåäóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé: åñëè â (2.7.1) âõîäèò ÷ëåí

x ⊗ y è x = x ′ + x ′′ â

C (m ), òî ýòîò ÷ëåí çàìåíÿåòñÿ íà x ′ ⊗ y + x ′′ ⊗ y è àíàëîãè÷íûìè (âçàèìîçàìåíÿåìûìè) áóäóò âûðàæåíèÿ:

(x ′ + x ′′) ⊗ y = x ′ ⊗ y + x ′′ ⊗ y , x ⊗ ( y ′ + y ′′) = x ⊗ y ′ + x ⊗ y ′′ ,

(2.7.2) (2.7.3)

λx ⊗ y = x ⊗ λy .

(2.7.4) Åñëè âûðàæåíèå (2.7.1) ìîæíî ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèâåñòè ê âèäó 0 ⊗ 0 (ñëåâà íóëåâîé âåêòîð â

C (m ), ñïðàâà –

íóëåâîé âåêòîð â C (n ) ), òî 0 ⊗ 0 îáîçíà÷àåòñÿ ïðîñòî ÷åðåç 0 . Ìíîæåñòâî âñåõ âûðàæåíèé âèäà (2.7.1), ñ îòîæäåñòâëåíèåì ðàâíûõ âûðàæå-

( )

()

íèé, îáîçíà÷èì ÷åðåç C m ⊗ C n . Äëÿ âûðàæåíèé (2.7.1) ìîæíî óñòàíîâèòü äåéñòâèÿ ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî è ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ, ïðè÷¸ì

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè

67

C (m ) ⊗ C (n ) ïðåâðàùàåòñÿ â êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî C (m ) ⊕ C (n ), ðàç-

ðàçìåðíîñòè mn (â ñëó÷àå îðòîãîíàëüíîé ñóììû ìåðíîñòè ñêëàäûâàþòñÿ). Ñóììà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó:

(x′ ⊗ y ′ + ... + x′ ⊗ y ′ ) + (x′′ ⊗ y ′′ + ... + x′′ ⊗ y ′′ ) = 1

p

1

p

1

q

q

= x1′ ⊗ y1′ + ...x ′p ⊗ y ′p + x1′′ ⊗ y1′′ + ... + x q′′ y q′′ .

(2.7.5)

Äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ âûðàæåíèé (2.7.1) íàäî èõ ïðîñòî âûïèñàòü ïîäðÿä, ñîåäèíèâ çíàêîì ïëþñ. ×àñòî ïðè ýòîì â ïðàâîé ÷àñòè âîçìîæíû óïðîùåíèÿ ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé, íàïðèìåð

x ⊗ y + x ⊗ y = (x + x ) ⊗ y = 2 x ⊗ y .

Óìíîæåíèå íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó:

λ (x1 ⊗ y1 + ... + x p ⊗ y p ) = λx1 ⊗ y1 + ... + λx p y p = = x1 ⊗ λy1 + ... + x p ⊗ λy p .

(2.7.6)

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå: äëÿ ìîíîìîâ:

(x ′ ⊗ y ′ x ′′ ⊗ y ′′) = (x ′ x ′′) ( ) ⋅ (y ′ y ′′) ( ) ; C m

(2.7.7)

C n

äëÿ «ïîëèíîìîâ»:

   ∑ xi′ ⊗ yi′ ∑ x ′j′ ⊗ y ′j′  = ∑ xi′ ⊗ yi′ x ′j′ ⊗ y ′j′ .  i  i,j j  

(

)

(2.7.8)

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ýòè äåéñòâèÿ óäîâëåòâîðÿþò âñåì òðåáîâàíèÿì, íàëîæåííûì âûøå íà äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Ïîñòðîèì òåïåðü áàçèñ è íàéä¸ì ðàçìåðíîñòü

C(m) ⊗ C(n) . Åñëè

x = x i ei , à y = y j f j , òî x ⊗ y = x i y j ei ⊗ f j ïðåäñòàâëÿþò ðàçëîæåíèå ìîíîìà

ei ⊗ f j .

(2.7.9)

x ⊗ y ïî áàçèñíûì ìîíîìàì

68

Ãëàâà âòîðàÿ Ðàçëàãàÿ, òàêèì îáðàçîì, âñå ìîíîìû (2.7.1), ìû ìîæåì ïðåäñòà-

âèòü ëþáîé âåêòîð

ξ èç C(m) ⊗ C(n) â âèäå

ξ = ξij ei ⊗ f j . Òàê êàê âåêòîðû çèñ â

(2.7.10)

ei ⊗ f j îðòîíîðìèðîâàííû, îíè ñîñòàâëÿþò áà-

C(m) ⊗ C(n) . Êîãäà ìû ýòî ïîêàæåì, ìû òåì ñàìûì íàéä¸ì è ðàç-

ìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà

C(m) ⊗ C(n) ,

ïîñêîëüêó ÷èñëî âåêòîðîâ

ei ⊗ f j ðàâíî mn ( i = 1,..., m; j = 1,..., n ). Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîíîìîâ (2.7.7)

(e

i

⊗ f j ek ⊗ f l ) = (ei ek )⋅ ( f j f l ) = δik δ jl ;

ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè i

(2.7.11)

= k , j = l , òî åñòü êîãäà âåêòîðû

ei ⊗ f j , ek ⊗ f l ñîâïàäàþò, â ýòîì ñëó÷àå δ ii δ jj = 1 . Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óêàçàòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà

C(m) ⊗ C(n)

e1 ⊗ f 1 ; e1 ⊗ f 2 ;...; e1 ⊗ f n ;  e2 ⊗ f1 ; e2 ⊗ f 2 ;...; e2 ⊗ f n ;   ...........................................  em ⊗ f1 ; em ⊗ f 2 ;...; em ⊗ f n .

(2.7.12)

Åñëè çàíóìåðîâàòü âåêòîðû áàçèñà â íàïèñàííîì âûøå ïîðÿäêå, òî ñòàíîâÿòñÿ ïîíÿòíûìè âûðàæåíèÿ: «áàçèñíûé âåêòîð íîìåð «ìàòðè÷íûé ýëåìåíò èç

(i , j )-é ñòðîêè» è òàê äàëåå.

(k ,l )»,

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè

69

§2.8. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ C (m ) äåéñòâóåò îïåðàòîð M , à â C (n ) - îïåðàòîð N .

Ïóñòü â

Ïîñòðîèì ïî ýòèì îïåðàòîðàì íîâûé îïåðàòîð M ⊗ N , äåéñòâóþùèé â

C(m) ⊗ C(n) .

Òàê êàê íàì íàäî îïðåäåëèòü ëèíåéíûé îïåðàòîð, òî äîñòàòî÷íî óêàçàòü, êàê íóæíûé íàì îïåðàòîð äåéñòâóåò íà ìîíîìû; ïî ëèíåéíîñòè îí áóäåò òîãäà îïðåäåë¸í äëÿ âñåõ ïîëèíîìîâ (2.7.1). Ïóñòü

L(x ⊗ y ) = Mx ⊗ Ny ;

òîãäà îïåðàòîð

(2.8.1)

L , äåéñòâóþùèé íà C(m) ⊗ C(n) îáîçíà÷èì êàê

L=M ⊗N

(2.8.2)

è íàçîâ¸ì òåíçîðíûì (êðîíåêåðîâûì) ïðîèçâåäåíèåì îïåðàòîðà ñòâóþùèì íà

C (m ), è îïåðàòîðà N , äåéñòâóþùåãî íà C (n ) .

Ôèêñèðóåì áàçèñû

M , äåé-

ei , f j , ei ⊗ f j è âûðàçèì ìàòðèöó îïåðàòîðà

M ⊗ N ÷åðåç ìàòðèöû M è N . Åñëè

Mei = M i j e j ,

(i = 1,..., m ),

Nf k = N kl f l ,

( j = 1,..., n ),

òî

L(ei ⊗ f k ) = Mei ⊗ Nf k = M ik ek ⊗ N lj f l = M ik N lj ek ⊗ f l . Òàêèì îáðàçîì, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà

êå

(k ,l )

è ñòîëáöå

C(m) ⊗ C(n) ìàòðèöó

(i , j ) ðàâåí

(2.8.3)

L , ñòîÿùèé â ñòðî-

M ik N lj . Åñëè áàçèñíûå âåêòîðû â

çàíóìåðîâàíû ïî ïðàâèëó (2.7.12), òî ìîæíî çàïèñàòü

M ⊗ N â âèäå

70

Ãëàâà âòîðàÿ

M 11 N11 . 1 M 1 N 1n M 12 N11 . 2 M 1 N 1n M 1m N11 . m M 1 N 1n

. . . . . . ... . . .

M 11 N n1 . 1 M 1 N nn M 12 N n1 . 2 M 1 N nn

M 21 N11 . 1 M 2 N 1n M 22 N 11 . 2 M 2 N 1n

M 1m N n1 . m M 1 N nn

M 2m N11 . m M 2 N 1n

. . . . . . ... . . .

M 21 N n1 . 1 M 2 N nn M 22 N n1 . 2 M 2 N nn M 2m N n1 . m M 2 N nn

M m1 N 11 . M m1 N n1 ... . . . n 1 1 M m N 1 . M m N nn M m2 N 11 . M m2 N n1 ... . . . n 2 2 M m N 1 . M m N nn ... ... M mm N11 . M mm N n1 ... . . . m n m M m N 1 . M m N nn

(2.8.4) Ìàòðèöà (2.8.4) íàçûâàåòñÿ êðîíåêåðîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèö

M ik è N lj . Åñëè îïåðàòîðû M è N óíèòàðíû, òî è îïåðàòîð L = M ⊗ N óíèòàðåí. Ïðîâåðèì óñëîâèå óíèòàðíîñòè (1.13.5); â ñëåäóþùåì âû-

∑ ( )

÷èñëåíèè

îçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ïàðàìåòðàì

i,j

i = 1,..., m ; j = 1,..., n : L(( ∑ ( )

i,j) k ,l )

i,j

L((is,,jt )) = ∑ M ik N l j M si N t j = (i , j )

    =  ∑ M ki M si  ⋅  ∑ N l j N t j  = σ ks σ lt ,  i   j  ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè

71

§2.9. Ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâ Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâ

C (n ) = C (n1 ) ⊗ C (n2 ) ⊗ ... ⊗ C (n s ) , n = n1n2 ...n s ,

(2.9.1)

âåêòîðû êîòîðîãî èìåþò âèä 1

∑x

s

j

⊗ ... ⊗ x j ,

(2.9.2)

j

ãäå

x - âåêòîð èç C (ni ) . i

Ïî îïðåäåëåíèþ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

   1 1 i s i s = x ⊗ ... ⊗ x ′⊗ ... ⊗ x + x ⊗ ... ⊗ x ′′⊗ ... ⊗ x ,  1 2 1 2 s s  λ x ⊗ x ⊗ ... ⊗ x = x ⊗ λ x ⊗ ... ⊗ x =  1 2 s   = ... = x ⊗ x ⊗ ... ⊗ λ x . 1 i i s x ⊗ ... ⊗  x ′+ x ′′  ⊗ ... ⊗ x =  

(2.9.3)

Çàìåíà ëåâîé ÷àñòè òàêîãî ðàâåíñòâà ïðàâîé èëè íàîáîðîò, åñòü ýëåìåíòàðíàÿ îïåðàöèÿ íàä ïîëèíîìîì (2.9.2). Ïîëèíîìû ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè ïåðåâîäÿòñÿ äðóã â äðóãà ýëåìåíòàðíûìè îïåðàöèÿìè. Äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè èç C (n ) (òî åñòü íàä ïîëèíîìàìè (2.9.2), ñðåäè êîòîðûõ ðàâíûå îòîæäåñòâëÿþòñÿ è ñ÷èòàþòñÿ îäíèì è òåì æå âåêòîðîì) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

72

Ãëàâà âòîðàÿ

s  x j ⊗ ... ⊗ x j = ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j ; j =1 j = p +1 j =1  1 1 s s  λ ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j = ∑ λ x j ⊗ ... ⊗ x j =  j j   (2.9.4) 1 s = ... = ∑ x j ⊗ ... ⊗ λ x j ;  j   s 1 1 s s  k k     ∑ x ′j ⊗ ... ⊗ x ′j ∑ x ′j′ ⊗ ... ⊗ x ′j′  = ∑∏  xi′ x ′j′ .   j  i , j k =1    j   p

1

∑x

s

j

⊗ ... ⊗ x j +

p+q

∑

1

s

Íàêîíåö, åñëè â êàæäîì ïðîñòðàíñòâå

p+q 1

C (ni ) äåéñòâóåò îïåðàòîð

Li , òî ìîæíî îïðåäåëèòü òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå L = L1 ⊗ L2 ⊗ ... ⊗ Ls

(2.9.5)

ýòèõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ íà ìîíîìû ïî ïðàâèëó: 1 1 2 s s L x ⊗ ... ⊗ x  = L1  x  ⊗ L2  x  ⊗ ... ⊗ Ls  x  .        

(2.9.6)

Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ÷èñëà óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ åñòü óíèòàðíûé îïåðàòîð.

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì

73

Ãëàâà III Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì Ýòà ãëàâà ïîñâÿùåíà âîïðîñàì òåíçîðíîé àëãåáðû íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Òåíçîð, êàê èíâàðèàíòíûé îáúåêò, îïðåäåëÿåòñÿ, â îòëè÷èå îò îáùåïðèíÿòûõ ñïîñîáîâ, êàê âåêòîð íåêîòîðîãî êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêîé ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ òåíçîðà ïðîäèêòîâàí òðåáîâàíèÿìè ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, êîòîðûå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äàëåå. Äëÿ áîëåå ïîëíîãî ïîíèìàíèÿ ïîíÿòèÿ òåíçîðà ïðèâîäÿòñÿ åãî òèïîâûå îïðåäåëåíèÿ (òåíçîð êàê çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ, òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ). Äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèå äåéñòâèÿ (ñëîæåíèå, óìíîæåíèå, ñâ¸ðòêà) íàä òåíçîðàìè, à òàê æå ñèììåòðè÷åñêèå è àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû, îïåðàòîðû ñèììåòðèçàöèè.

§3.1. Îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ òåíçîðà Âîçüì¸ì íåêîòîðóþ ôèêñèðîâàííóþ ðàçìåðíîñòü

n . Äàëåå âîçüì¸ì

p

p ýêçåìïëÿðîâ C ,C ,...,C ïðîñòðàíñòâà C (n ) è q ýêçåìïëÿðîâ ~ ~ ~ ~ C , C ,...,C äóàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà C (n ) è ïîñòðîèì êîìïëåêñíîå åâ1

1

2

2

q

êëèäîâî ïðîñòðàíñòâî p 1 2 ~ ~ ~ C ( p , q ) = C ⊗ C ⊗ ... ⊗ C ⊗ C ⊗ C ⊗ ... ⊗ C 1

ðàçìåðíîñòè

2

q

n p+q .

Âåêòîð ýòîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàä

(3.1.1)

C (n ) âàëåí-

74

Ãëàâà òðåòüÿ

òíîñòè

( p , q ) , èëè, èíà÷å, êîìïëåêñíûì òåíçîðîì íàä C (n ) ,

p ðàç êîí-

òðàâàðèàíòíûì è q ðàç êîâàðèàíòíûì. Ïî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâ, ïðåäñòàâèì òåíçîð

T ( p , q ) èç C ( p , q ) â âèäå ôîðìàëüíîãî ïîëèíîìà p

T ( p, q ) = ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j ⊗ ~ x j ⊗ ... ⊗ ~ xj, 1

1

j

ãäå

q

(3.1.2)

i i ~ x j - âåêòîð èç C , ~ x j - âåêòîð èç C , èíäåêñ j ñëóæèò äëÿ îáîçíà÷åk

íèÿ âåêòîðîâ, âõîäÿùèõ â

k

j -é ÷ëåí ñóììû.

 ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â (ñì. §2.7), ìû ìîæåì íàïèñàòü:

C (p , q)

p p 1 1    ∑ xi′ ⊗ ... xi′ ⊗ ~ x ′i ⊗ ... ⊗ ~ x ′i ∑ x ′j′⊗ ... ⊗ x ′j′⊗ ~ x ′′ j ⊗ ... ~ x ′′ j  =  i q q  1 1 j  

 k k  q ~ i ~ j  = ∑∏  xi′ x ′j′  ⋅ ∏  x ′ x ′′  .  l =1  l l  i , j k =1  p

(3.1.3)

Çàìå÷àíèÿ. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå âåêòîðíóþ ïðèðîäó òåíçîðîâ. Åäèíñòâåííîå, ÷òî ñóùåñòâåííî äëÿ òîãî, ÷òîáû íåêîòîðûå îáúåêòû ìîæíî áûëî òðàêòîâàòü êàê âåêòîðû, ýòî âîçìîæíîñòü ïðîèçâîäèòü íàä íèìè äåéñòâèÿ ïî îïðåäåë¸ííûì ïðàâèëàì, ñ ñîáëþäåíèåì îáùèõ àëãåáðàè÷åñêèõ çàêîíîâ ïåðå÷èñëåííûõ â §1.10. Òàê êàê

C ( p , q ) åñòü ÷àñòíûé ñëó-

÷àé òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâ C ( p ) è C (q ) , ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü ôîðìàëüíûå ñóììû (3.1.2) êàê âåêòîðû (ïðè ýòîì íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðà íåîäíîçíà÷íî, ñóììû ïðåäñòàâëÿþùèå îäèí è òîò æå âåêòîð, îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ïðåîáðàçîâàíèÿìè òèïà (2.9.3)). Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ (3.1.2) óäîáíî äëÿ èçîáðàæåíèÿ òåíçîðîâ.  ëèòåðàòóðå ðåäêî ââîäèòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äëÿ òåíçîðîâ è ïîýòîìó èñòîëêîâàíèå òåíçîðà êàê âåêòîðà íåêîòîðîãî êîìïëåêñíîãî

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì

75

åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íåñêîëüêî íåîáû÷íûì, òàê êàê ÷àùå âñåãî ïîíÿòèå òåíçîðà ââîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîãî ìåòîäà. Îïðåäåëåíèå òåíçîðà êàê âåêòîðà êîìïëåêñíîãî ïðîñòðàíñòâà íåîáõîäèìî íàì äëÿ èíòåðåñóþùèõ íàñ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ìû ÷àñòî áóäåì îòñòóïàòü îò îáùåïðèíÿòûõ îïðåäåëåíèé, ðóêîâîäñòâóÿñü åäèíñòâåííî òðåáîâàíèÿìè ôèçèêè. Âåêòîðû èç

~ C (n ) è êîâåêòîðû èç C (n ) ïðåäñòàâëÿþò ÷àñòíûé ñëó-

÷àé òåíçîðîâ.  ñàìîì äåëå,

T (1,0) èìååò âèä

∑ x j = x , à T (0,1) âèä 1

1

j

∑ ~x j

j

1

x. =~ 1

Ìîíîì

T (1,1) = x ⊗ ~ y ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îïåðàòîð íà

C (n ) : äåéñòâèÿ ýòîãî îïåðàòîðà íà âåêòîð z èç C (n ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

Tz = x ~ yz = ~ y z x.

(3.1.4)

Åñòåñòâåííî, ýòî íå ñàìûé îáùèé îïåðàòîð íà

C (n ) ; íî ëþáîé

C (n ) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ íåêîòîðûì ïîëèíîìîì, òî åñòü yi : òåíçîðîì òèïà T (1,1) = x ⊗ ~

îïåðàòîð â

i

Tz = ~ y i z xi ,

(3.1.5)

òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðû â òíîñòè

(1,1).

Ìîíîì ôîðìó íà

C (n ) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òåíçîðû âàëåí-

T (0,2 ) = ~ x⊗ ~ x ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áèëèíåéíóþ 1

2

C (n ) ; å¸ çíà÷åíèÿ íà ïàðå âåêòîðîâ u è v îïðåäåëÿåòñÿ êàê

T (u , v ) = ~ xu ⋅ ~ xv . 1

2

(3.1.6)

76

Ãëàâà òðåòüÿ Íàèáîëåå îáùàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà íà

C (n ) çàäà¸òñÿ òåíçîðîì

T (0 ,2 ) = ∑ ~ x j⊗ ~ xj: j

1

(3.1.7)

2

T (u, v ) = ∑ ~ xju ⋅ ~ xjv , j

1

(3.1.8)

2

òàêèì îáðàçîì, áèëèíåéíàÿ ôîðìà íà ðû âàëåíòíîñòè

(0,2 ) .

C (n ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òåíçî-

§3.2. Çàäàíèå òåíçîðà êîîðäèíàòàìè Êàê âåêòîð èç C (n ) òåíçîð ëþáîé âàëåíòíîñòè íàä C (n ) íå òðåáóåò äëÿ ñâîåãî îïðåäåëåíèÿ íèêàêèõ êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì: ýòî – èíâàðèàíòíûé îáúåêò (ñì. (3.1.2)). Íî åñëè â ïðîñòðàíñòâå

C ( p , q ) , âåêòîðàìè

T âàëåíòíîñòè ( p , q ) , ââåä¸í íåêîòîðûé áàçèñ, òî ìîæíî íàéòè êîîðäèíàòû òåíçîðà T îòíîñèòåëüíî ýòîãî áàêîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ òåíçîðû çèñà.

Âñïîìíèì, êàê ñòðîèòñÿ áàçèñ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâ èç áàçèñîâ ïðîñòðàíñòâ-ñîìíîæèòåëåé. Äëÿ ýòîãî íàäî: 1) çàäàòü áàçèñ â êàæäîì ñîìíîæèòåëå, â íàøåì ñëó÷àå ýòî ýêçåìïëÿðû è äóàëüíûé áàçèñ ëÿðå

~ C (n ) è C (n ) ; 2) ôèêñèðóåì áàçèñ e1 ,..., en â C (n )

i ~ ~ e 1 ,..., ~ e n â C (n ) ; 3) â ïðîñòðàíñòâå C - i - îì ýêçåìï-

C (n ) - âîçüì¸ì â êà÷åñòâå áàçèñà i -é ýêçåìïëÿð áàçèñà C (n ) , ñî-

ñòîÿùèé èç âåêòîðîâ

i i ~ e1 ,..., en , è àíàëîãè÷íî â C - k -é ýêçåìïëÿð áàçèk

~ e 1 ,..., ~ e n . Òîãäà áàçèñíûå âåêòîðû ñà C (n ) , ñîñòîÿùèé èç âåêòîðîâ ~ k

ïðîñòðàíñòâà C ( p , q ) , îáðàçóþùèå â ñòåìó, èìåþò âèä

k

C ( p , q ) îðòîíîðìèðîâàííóþ ñè-

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì p

1

β β e α1 ⊗ ... ⊗ e α p ⊗ ~ e 1 ⊗ ... ⊗ ~ e q, 1

ãäå èíäåêñû äî

77

(3.2.1)

q

α1 ,..., α p ,β1 ,...,β q ïðîáåãàþò íåçàâèñèìî çíà÷åíèÿ îò 1

n.

Îáîçíà÷èì áàçèñíûé âåêòîð (èëè, ÷òî òîæå ñàìîå, áàçèñíûé òåíβ ...β

Ψα11...αqp . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ìîíîìà

çîð) (3.2.1) ÷ðåç 1

p

2

T0 = x ⊗ x ⊗ ... ⊗ x⊗ ~ x⊗ ~ x ⊗ ... ⊗ ~ x 1

2

(3.2.2)

q

èìååì i

i

i

l ~ x=~ xl ~ e ,

x = xj ej , 1 α1

k

2 α2

T0 = x x ... x

p αp

β ...β ~ xβ1 ~ xβ2 ... ~ x ⋅ Ψα11...αqp . 1

Ëþáîé òåíçîð

(3.2.3)

k

k

2

T ( p , q ) èìååò, ïîýòîìó ðàçëîæåíèå âèäà

T ( p , q ) = Tβ1 ...1 βq p ⋅ Ψα11...αqp . α ...α

×èñëà

(3.2.4)

qβ q

β ...β

(3.2.5)

Tβ1 ...1 βq p è åñòü êîîðäèíàòû òåíçîðà T ( p , q ) â âûáðàííîì α ...α

áàçèñå (3.2.1).

T (1,0) è êîâåêòîðîâ T (0,1) ìû ìîæåì çàïèñàòü èõ ~ êîîðäèíàòû â C (n ) è ñîîòâåòñòâåííî â C (n ) : Äëÿ âåêòîðîâ

T (1,0) = T α eα ,

(3.2.6)

T (0,1) = Tβ ~ eβ.

(3.2.7)

Äëÿ òåíçîðîâ âàëåíòíîñòè

(1,1) èìååì

T (1,1) = Tβα eα ⊗ ~ e β = Tβα Ψαβ . Â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.1.5) äåéñòâèå îïåðàòîðà

(3.2.8)

T (1,1), íà âåêòîð

78

Ãëàâà òðåòüÿ

z = z i ei çàäàäèì ôîðìóëîé u = T (1,1)z = Tβα ~ e β z eα = Tβα z β eα ,

(3.2.9)

u α = Tβα z β .

(3.2.10)

èëè ìû ïðèøëè ê îáû÷íîé çàïèñè îïåðàòîðà â êîîðäèíàòàõ. Òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð çàäà¸òñÿ òåíçîðîì δ , èìåþùèì â ëþáîì áàçèñå êîîðäèíàòû

δβα . Àíàëîãè÷íî òåíçîð

T (0 ,2 ) = Tβ1β2 ~ e β1 ⊗ ~ e β2

(3.2.11)

îïðåäåëÿåò, ñîãëàñíî (3.1.7), (3.1.8), áèëèíåéíóþ ôîðìó

T (u , v ) = Tβ1β2 u β1 v β2 .

(3.2.12)

Îïåðàöèè íàä òåíçîðàìè îäèíàêîâîé âàëåíòíîñòè çàïèñûâàþòñÿ â êîîðäèíàòàõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

(T + S )βα ......βα 1

1

(λT )βα ......βα 1

1

p

q

p

q

α ...α

α ...α

= Tβ1 ...1 βq p + Sβ11...βq p , α ...α

= λ ⋅ Tβ1 ...1 βq p ,

(T S ) = ∑ T α ,β

α1 ...α p β1 ... β q

α ...α

S β11...β qp .

(3.2.13) (3.2.14) (3.2.15)

 ôîðìóëå (3.2.15) ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì èíäåêñàì

αi (i = 1,2 ,..., p ),β j ( j = 1,2 ,..., q ) .

§3.3. Èíäóöèðîâàííûé îïåðàòîð C (n ) ñ äåéñòâóþùèì â í¸ì îïå~ ðàòîðîì L è äóàëüíîå ïðîñòðàíñòâî C (n ) ñ äåéñòâóþùèì â í¸ì äóàëüÏóñòü íàì çàäàíû: ïðîñòðàíñòâî

íûì îïåðàòîðîì

i ~ L . Âîçüì¸ì â i -ì ýêçåìïëÿðå C (n ) (òî åñòü â C ) îïå-

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì

79

i ~ L - i -é ýêçåìïëÿð îïåðàòîðà L , à â k -ì ýêçåìïëÿðå C (n ) (òî ~ ~ ~ åñòü â C ) - L , k -é ýêçåìïëÿð L .

ðàòîð

k

k

Òîãäà â

C ( p , q ) äåéñòâóåò òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ

p ) 1 ~ ~ L = L⊗ ... ⊗ L⊗ L ⊗ ... ⊗ L . 1

(3.3.1)

q

Îòìåòèì ôîðìàëüíûé ñìûñë òîëüêî ÷òî ïðîâåä¸ííîé îïåðàöèè:

L , äåéñòâóþùåìó íà âåêòîðû x èç C (n ) , ìû ïî) ñòðîèëè ñòàíäàðòíûì îáðàçîì îïåðàòîð L , äåéñòâóþùèé íà âåêòîðû T ( p , q ) èç ïðîñòðàíñòâà C ( p , q ) . Ýòîò çàêîí ñîîòâåòñòâèÿ, ïî êîòîðîìó îïåðàòîðó â n - ìåðíîì ïðî-

ïî äàííîìó îïåðàòîðó

ñòðàíñòâå ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå äðóãîé, áîëåå âûñîêîé ðàçìåðíîñòè, èìååò îñíîâíîå çíà÷åíèå äëÿ òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé, êîòîðóþ ìû ðàññìîòðèì äàëåå.

Π: ) L = ΠL . (3.3.2) ) L íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì èíäóöèðîâàííûì îïåðàòîðîì L â C (p , q) . ) Âûÿñíèì, êàê äåéñòâóåò îïåðàòîð L íà âåêòîð T ( p , q ) . Ó÷èòûâàÿ ) ) ëèíåéíîñòü îïåðàòîðà L , äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü, êàê äåéñòâóåò L íà Îáîçíà÷èì ýòî ñîîòâåòñòâèå ñèìâîëîì

áàçèñíûå âåêòîðû (3.2.1). Ïî îïðåäåëåíèþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ (2.9.5)

) L äåéñòâóåò «ïî÷ëåííî»:

p ) 1 β β  L e α1 ⊗ ... ⊗ e α p ⊗ ~ e 1 ⊗ ... ⊗ ~ e q= 1 q  

( )

p p 1 1 ~ βq    ~ β1 e ⊗ ... ⊗ L  ~ e . = L e α1  ⊗ ... ⊗ L e α p  ⊗ L ~ q q      1 1

Ó÷èòûâàÿ (2.3.2), çàïèøåì

(3.3.3)

80

Ãëàâà òðåòüÿ i i

i

~ β δ L~ e = Lβδ ~ e ,

L e α = Lγα e γ ,

k k

(3.3.4)

k

i

L èìåþò îäíó è òó æå ìàòðèöó Lγα , à âñå îïåðàòî~ ~β ðû L - îäíó è òó æå ìàòðèöó Lδ . Ïîýòîìó

òàê êàê âñå îïåðàòîðû k

(

)

) β ...β γ ~ ~ β δ ...δ L Ψα11...αqp = Lγα11 Lγα22 ...Lαpp Lβδ11 Lβδ22 ...Lδqq Ψγ11...γ pq ,

òî åñòü ìû íàøëè ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà

(3.3.5)

) L â áàçèñå (3.2.1). Â

j j i ñèëó îáùåãî âûðàæåíèÿ äëÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà y = Li x , ìû ìîæåì çàïèñàòü óðàâíåíèå

) T ′ = LT

(3.3.6)

â êîîðäèíàòíîé ôîðìå: α ...α p

Tβ′1 ...1βq

~δ γ ...γ α ~ = Lαγ11 ...Lγ pp Lβδ11 ...Lβqq Tδ11...δqp .

(3.3.7)

 ñîîòâåòñòâèè ñ (2.3.4) ïåðåïèøåì (3.3.7) â âèäå α ...α p

Tβ′1 ...1β q

= Lαγ11 ...Lγ pp (L−1 )β1 ...(L−1 )βq Tδ11...δqp . δ1

α

δq

γ ...γ

(3.3.8)

Åñëè L = U - óíèòàðíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â C (n ) (íàèáîëåå èíòåðåñíûé äëÿ äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèé ñëó÷àé), òî ìîæíî çàïè−1 j i

−1 δ1 β1

j

i

−1 δ q βq

= U ji , ñì. (1.3.15)) òàê:

α ...α p

= U γα11 ...U γ pp

α ...α p

= ∑ U γα11 ...U γ pp U δβ11 ...U δqq Tδ11...δqp .

Tβ′1 ...1β q Tβ′1 ...1β q

α

+

(U ) = U (U ) ...(U ) T

ñàòü (3.3.8) (ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî

α

β

γ1 ...γ p δ1 ...δ q

γ ...γ

,

(3.3.9) (3.3.10)

γ ,δ

Ñóììèðîâàíèå â (3.3.10) íå ïî ïðàâèëó Ýéíøòåéíà ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî îïåðàöèÿ ïåðåõîäà îò ìàòðèöû ê êîìïëåêñíî ñîïðÿæ¸ííîé ìàòðèöå íå èìååò èíâàðèàíòíîãî (íå çàâèñÿùåãî îò âûáîðà áàçèñà) ñìûñëà. Ïîä÷åðêí¸ì åù¸ ðàç, ÷òî ôîðìóëà (3.3.8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàïèñü â êîîðäèíàòàõ äåéñòâèÿ â ïðîñòðàíñòâå êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà

n p+q .

) C ( p , q ) îïåðàòîðà L åñòü

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì Äîêàæåì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ñîîòâåòñòâèÿ

81

Π : åñëè îïåðàòîðû

L′, L′′ äåéñòâóþò â C (n ) , L = L′L′′ è L , L′, L′′ èíäóöèðóþò îïåðàòîðû ) ) ) ) )) L , L ′, L ′′ , äåéñòâóþùèå â C ( p , q ) , òî L = L ′L ′′ , èëè

Π (L′L′′) = Π (L′) ⋅ Π (L′′) . (3.3.11) ) )) Ïîêàæåì, ÷òî L è L ′L ′′ îäèíàêîâî äåéñòâóþò íà áàçèñíûå âåêòî-

ðû (3.2.1). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ (2.9.5),

(

)

p ) β ...β ) 1 β β  L Ψα11...αqp = L e α1 ⊗ ... ⊗ e α p ⊗ ~ e 1 ⊗ ... ⊗ ~ e q= 1 q  

( )

p p 1 1 ~ βq    ~ β1 = L e α1  ⊗ ... ⊗ L e α p  ⊗ L ~ e ⊗ ... ⊗ L  ~ e = 1 1 q q     

( )

p p 1 1 1 ~ ~ βq   p  ~ ~ β1 = L′ L′′ e α1  ⊗ ... ⊗ L′ L′′ e α p  ⊗ L ′ L ′′ ~ e ⊗ ... ⊗ L ′ L ′′ ~ e = 1 1 1 q q  q      )) β ...β (3.3.12) = L ′L ′′ Ψα11...αqp .

(

Åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó

Π (E (n )) = E (n p + q ).

)

E (n ) ñîîòâåòñòâóåò åäèíè÷íûé îïåðàòîð: (3.3.13)

U - óíèòàðíûé îïåðàòîð â C (n ) , òî è ) èíäóöèðîâàííûé îïåðàòîð U = ΠU óíèòàðåí â C ( p , q ) . Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî åñëè Äîêàæåì ðàâåíñòâî

(U)T U)S ) = (T S )

äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà

(3.3.14)

T è S - áàçèñíûå âåêòîðû (3.2.1) Ñîãëàñíî (3.3.3)

p p 1 1 ) ) β ...β ~ β1 ~ βq UT = UΨα11...αqp = U e α1 ⊗ ... ⊗ U e α p ⊗ U ~ e ⊗ ... ⊗ U ~ e , 1 1

q q

à p p 1 1 ) ) τ ...τ ~ τ1 ~ τq US = UΨσ11...σqp = U e σ1 ⊗ ... ⊗ U e σ p ⊗ U ~ e ⊗ ... ⊗ U ~ e . 1 1

q q

82

Ãëàâà òðåòüÿ

Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â (3.1.3))

(U)T U)S ) = (Ue

C ( p , q ) (ñì. (2.7.8),

)(

)(

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïåðàòîð, äóàëüíûé U , óíèòàðåí â

(Ue

α

)

)(

~ β1 ~~ τ1 ~~ βq ~~ τq Ueσ1 ... Ueα p Ueσ p U~ e Ue ... Ue Ue .

α1

(U~~e

Ueσ ) = (eα eσ ) ,

β

) (

)

~ C (n ) , çàïèøåì:

~ τ U~ e = ~ eβ ~ eτ ,

÷òî äîêàçûâàåò (3.3.14).

§3.4. Òåíçîð êàê çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî òåíçîð èìååò êîîðäèíàòû

T ( p , q ) â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå

γ ...γ

Tδ11...δ pq :

T ( p , q ) = Tδ11...δ pq Ψγ11...γ qp . γ ...γ

δ ...δ

Ïîñêîëüêó áàçèñ â

(3.4.1)

C ( p , q ) ïîëó÷åí ñ ïîìîùüþ (ñì. §3.2) ñòàíäàð-

òíîãî ïîñòðîåíèÿ èç çàäàííîãî áàçèñà òàòü, ÷òî ñèñòåìà èç ðàííîìó áàçèñó

γ ...γ

n p + q ÷èñåë Tδ11...δ pq îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò âûá-

e1 ,..., en â C (n ) .

Âûáåðåì òåïåðü â â

e1 ,..., en â C (n ) , òî ìîæíî ñ÷è-

C (n ) íîâûé áàçèñ e1′ ,..., en′ , à ïî íåìó ïîñòðîèì

C ( p , q ) íîâûé áàçèñ p

1

β ...β β β e ′ 1 ⊗ ... ⊗ ~ e′ q . Ψα′1 ...1 α pq = e′α1 ⊗ ... ⊗ e′α p ⊗ ~ 1

Ðàçëàãàÿ òåíçîð

q

(3.4.2)

T ( p , q ) (ñì. (3.4.1)) ïî áàçèñó (3.4.2), èìååì

T ( p , q ) = Tβ′1 ...1βq p Ψα′1 ...1 α pq . α ...α

β ...β

Ïîëó÷èì òåïåðü áàçèñ

(3.4.3)

e1 ,..., en èç áàçèñà e1′ ,..., en′ äåéñòâèåì íåêî-

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì òîðîãî óíèòàðíîãî îïåðàòîðà

83

U â C (n ) :

Uei′ = ei .

(3.4.4)

Òîãäà

ei = U i j e′j .

(3.4.5)

 ñèëó (2.3.2), (2.3.4)

k ~ e k = (U −1 )j ~ e′j .

(3.4.6)

Ïîäñòàâëÿÿ (3.4.5) è (3.4.6) â (3.2.1), ïîëó÷èì: δ ...δ α β ...β 1 q Ψγ11...γ pq = U γα11 ...U γ pp (U −1 )β1 ...(U −1 )βq Ψα′1 ...1 α pq . δ

δ

(3.4.7)

Ïîäñòàâëÿÿ ïðàâóþ ÷àñòü (3.4.7) â (3.4.1) è ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ áàçèñíûõ âåêòîðàõ íàéä¸ì âûðàæåíèÿ «íîâûõ» êîîðäèíàò òåíçîðà α ...α p

Tβ′1 ...1β q

T ( p , q ) ÷åðåç «ñòàðûå»:

= U γα11 ...U γ pp (U −1 )β1 ...(U −1 )βq Tδ11...δqp . α

δ1

δq

γ ...γ

(3.4.8)

Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå èìååò ôîðìàëüíîå ñõîäñòâî ñ (3.3.9), íî ñìûñë ôîðìóë ñîâåðøåííî ðàçëè÷åí: (3.3.9) âûðàæàåò êîîðäèíàòû òåí-

T ′ ÷åðåç êîîðäèíàòû â òîì æå áàçèñå äðóãîãî òåíçîðà T , èç êîòî) ðîãî T ′ ïîëó÷àåòñÿ äåéñòâèåì îïåðàòîðà U , òîãäà êàê (3.4.8) âûðàæàåò êîîðäèíàòû òåíçîðà T â íîâîì áàçèñå ÷åðåç êîîðäèíàòû òîãî æå òåíçîðà â ñòàðîì áàçèñå ïðîñòðàíñòâà C ( p , q ) . çîðà

Ïóñòü òåïåðü êàæäîìó áàçèñó â íåêîòîðàÿ ñèñòåìà èç

C (n ) ïîñòàâëåíà â ñîîòâåòñòâèå α ...α

n p + q ÷èñåë Tβ1 ...1 βq p , ïðè÷¸ì çàêîí ñîîòâåòñòâèÿ

òàêîâ, ÷òî ñèñòåìû ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì áàçèñàì, ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (3.4.8).

Òîãäà ñóùåñòâóåò îäèí, è òîëüêî îäèí, òåíçîð T ( p , q ) èç ïðîñòðàí-

ñòâà

C ( p , q ) , èìåþùèé â êàæäîì áàçèñå êîîðäèíàòû, ðàâíûå çàäàííûì

÷èñëàì

α ...α

Tβ1 ...1 βq p . Ïîýòîìó ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü òåíçîð êàê çàêîí

84

Ãëàâà òðåòüÿ

ñîîòâåòñòâèÿ

α ...α

e → Tβ1 ...1 βq p , îáëàäàþùèé ñâîéñòâîì (3.4.8).

Òàêîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà, âûäâèãàåò íà ïåðåäíèé ïëàí çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò. Íàì æå â äàëüíåéøåì, íàïðèìåð, ïðè îïðåäåëåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðîâ íà ïðîñòðàíñòâå òåíçîðîâ

C ( p , q ) , íàäî, ïðåæäå âñåãî, ïðåäñòàâëÿòü ñåáå òåíçîð êàê ýëåìåíò âåê-

òîðíîãî ïðîñòðàíñòâà

C (p , q) .

§3.5. Òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà Ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ òåíçîðà îñíîâàííûé íà ñëåäóþùåì çàìå÷àíèè. Ïóñòü íàì çàäàí ïðîèçâîëüíûé íàáîð èç p êîâåêòîðîâ è

q âåêòîðîâ

q 1   ξ =  ~y ,..., ~y , y,..., y  . p 1 

Ìû ìîæåì äëÿ òåíçîðà ïî ôîðìóëå

(3.5.1)

T ( p, q ) (3.2.1) îïðåäåëèòü çíà÷åíèå íà ξ

T (ξ ) = ∑ ~ y x j ... ~ y xj p

1

j

1

p

q

1

j j ~ x y ... ~ x y . 1

Åñëè çàêðåïèòü âñå àðãóìåíòû

q

(3.5.2)

k

~ y , y êðîìå îäíîãî, òî ïîëó÷àåì

ôóíêöèþ ñ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè îò êîâåêòîðà èëè âåêòîðà, è âñå òàêèå ôóíêöèè ëèíåéíû. Ïóñòü íàì çàäàíà ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ q 1   T (ξ ) = T  ~ y ,..., ~ y , y,..., y  (3.5.2) p 1  îò p êîâåêòîðîâ è q âåêòîðîâ, ëèíåéíàÿ ïî îòíîøåíèþ ê êàæäîìó àð-

ãóìåíòó ïðè çàêðåïë¸ííûõ îñòàëüíûõ (òàêàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëèëèíåéíîé). Òîãäà, êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ñóùåñòâóåò îäèí, è òîëüêî îäèí, òåíçîð

T ( p, q ) , îïðåäåëÿþùèé T (ξ ) ïî ôîðìóëå (3.5.1) è ìîæíî áûëî

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì

85

áû îïðåäåëèòü òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíóþ ôóíêöèþ âèäà (3.5.2). Îäíàêî ïðèíÿòîå â íà÷àëå ýòîé ãëàâû îïðåäåëåíèå èìååò òî ïðåèìóùåñòâî, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü àëãåáðàè÷åñêèå íàâûêè ðàáîòû ñ ïðîèçâåäåíèÿìè è ñóììàìè. Êðîìå òîãî, ôîðìóëû âèäà (3.1.2) ïîçâîëÿþò îñîáåííî íàãëÿäíî îïèñàòü ïðè¸ì ñîñòàâëåíèÿ ñëîæíûõ ÷àñòèö èç áîëåå ïðîñòûõ.

§3.6. Óìíîæåíèå è ñâ¸ðòûâàíèå òåíçîðîâ Ðàññìîòðèì îïåðàöèè íàä òåíçîðàìè, ìåíÿþùèå èõ âàëåíòíîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíû òåíçîðû

T ( p , q ) è T (r , s ) :

p 1 j j  T ( p , q ) = ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j ⊗ ~ x ⊗ ... ⊗ ~ x , 1 q  j  1 r k k  ~ ~ T (r , s ) = ∑ y k ⊗ ... ⊗ y k ⊗ y ⊗ ... ⊗ y ,  1 s k i

ãäå x j è

(3.6.1)

j k y k - âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà C (n ) , à ~ y - êîâåêòîðû äóx è ~ i

i

i

~ àëüíîãî ïðîñòðàíñòâà C (n ) . Ïîñòàâèì ýòèì òåíçîðàì â ñîîòâåòñòâèå òåíçîð

T ( p + r , q + s ) , íàçûâàåìûé èõ ïðîèçâåäåíèåì:

T ( p + r , q + s ) = T ( p , q ) ⊗ T (r , s ) = 1

p

1

r

j k x ⊗ ... ⊗ ~ xj⊗~ y k ⊗ ... ⊗ ~ y . = ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j ⊗ y k ⊗ ... ⊗ yk ⊗ ~ 1

j ,k

q

1

s

(3.6.2) Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ñëîæåíèÿ òåíçîðîâ è óìíîæåíèÿ èõ íà ÷èñëî, êîòîðûå ïðîèçâîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå òåíçîðîâ äàííîé âàëåíòíîñòè, óìíîæåíèå òåíçîðîâ åñòü îïåðàöèÿ íàä òåíçîðàìè èç ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. èçâåäåíèå

T ( p , q )∈ C ( p , q ) , T (r , s )∈ C (r , s ) , à èõ ïðî-

T ( p + r , q + s )∈ C ( p + r , q + s ) . Îòìåòèì, ÷òî íåñìîòðÿ íà

òî, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ

T ( p , q ) ⊗ T (r , s ) è T (r , s ) ⊗ T ( p , q ) èìåþò îäè-

86

Ãëàâà òðåòüÿ

íàêîâóþ âàëåíòíîñòü, îíè, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íû, òî åñòü óìíîæåíèå òåíçîðîâ íå êîììóòàòèâíî, ïðè ýòîì îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè ñâîéñòâà àññîöèàòèâíîñòè è äèñòðèáóòèâíîñòè:

(T1 ⊗ T2 ) ⊗ T3 = T1 ⊗ (T2 ⊗ T3 ),   T ⊗ (T1 + T2 ) = T ⊗ T1 + T ⊗ T2 ,  (λT1 ) ⊗ T2 = T1 ⊗ λT2 = λ(T1 ⊗ T2 ). Â ñèëó (3.6.2), ïðîñòðàíñòâî

(3.6.3)

C ( p + r , q + s ) åñòü òåíçîðíîå (êðîíåC ( p , q ) è C (r , s ) .

êåðîâî) ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ

C ( p + q , r + s ) = C ( p , q ) ⊗ C (r , s ) .

(3.6.4) Ðàçëàãàÿ ñîìíîæèòåëè ïî ñîîòâåòñòâóþùèì áàçèñàì (3.2.1), ïîëó÷èì âûðàæåíèå êîîðäèíàò ïðîèçâåäåíèÿ ÷åðåç êîîðäèíàòû ñîìíîæèòåëåé. Åñëè òî

T = T ′ ⊗ T ′′ , α′ ...α′ α′′ ...α′′

α′ ...α′

Tβ′1 ...1 β′qβp1′′ ...1β′s′ r = Tβ′′1 ...1β′q p ⋅ Tβ′1′′′ ...α1′β′ ...′s′ α′r′ .

(3.6.5)

Îïðåäåëèì òåïåðü äðóãóþ îïåðàöèþ, ñòàâÿùóþ â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó òåíçîðó

T ( p , q ) (ñì. (3.6.1)) òåíçîð T ( p − 1, q − 1) , â ïðåäïîëîæå-

p ≥ 1, q ≥ 1 .

íèè, ÷òî

Ôèêñèðóåì íåêîòîðûå íîìåðà æèì

i , k , 1 ≤ i ≤ p , 1 ≤ k ≤ q , è ïîëî-

T ( p − 1, q − 1) = Spki T ( p , q ) = i −1

1

i

i +1

p

j x x j ⊗ x j ⊗ ... ⊗ x j ⊗ x j ⊗ ... ⊗ x j ⊗ =∑ ~ j

k

j j j j x ⊗ ... ⊗ ~ x ⊗~ x ⊗ ... ⊗ ~ x . ⊗~ 1

k −1

k +1

q

(3.6.6)

Spki åñòü ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà C ( p , q ) â ïðîñòðàíñòâî

C ( p − 1, q − 1), ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî òåíçîðà

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì

87

T ( p , q ) = Tβ1 ...1 β q p ⋅ Ψα11...αqp α ...α

β ...β

èìååì

T ( p − 1, q − 1) = Tβ1 ...1 βq p Spki e α1 ⊗ ... ⊗ e αi ⊗ ... ⊗ e α p ⊗ 1

α ...α

p

i

β β β ⊗~ e 1 ⊗ ... ⊗ ~ e k ⊗ ... ⊗ ~ e q = 1

k

q

i −1

1

α ...α

i +1

p

= Tβ1 ...1 β q p δβαki e α1 ⊗ ... ⊗ e αi −1 ⊗ e αi +1 ⊗ ... ⊗ e α p ⊗ β β β β ⊗~ e 1 ⊗ ... ⊗ ~ e k −1 ⊗ ~ e k +1 ⊗ ... ⊗ ~ e q= k −1

1

α ...α

σα

...α

k +1

q

i −1

1

i +1

p

i +1 p 1 = Tβ1 ...1 βk −i1−σβ e α1 ⊗ ... ⊗ e αi −1 ⊗ e αi +1 ⊗ ... ⊗ e α p ⊗ k +1 ...β q

β β β β e 1 ⊗ ... ⊗ ~ e k −1 ⊗ ~ e k +1 ⊗ ... ⊗ ~ e q, ⊗~ k −1

1

k +1

(3.6.7)

q

ãäå â ïðàâîé ÷àñòè ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî Ýéíøòåéíà. Îïåðàöèÿ Òàêèì

σ , ñîãëàñíî ïðàâèëó

Spki íàçûâàåòñÿ ñâ¸ðòûâàíèåì.

îáðàçîì,

êîîðäèíàòû

ñâ¸ðíóòîãî

òåíçîðà

T ′ = T ( p − 1, q − 1) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîîðäèíàòû èñõîäíîãî òåíçîðà T ( p , q ) ïî ôîðìóëå α ...α α

...α

α ...α

α ...α σα

...α

1 i +1 p . Tβ′1 ...1βk −1iβ−1k +1i +...1βq p = δβαki Tβ1 ...1 βq p = Tβ1 ...1 βk −i1−σβ k +1 ...β q

(3.6.8)

§3.7. Ñèììåòðè÷åñêèå è àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû Ðàññìîòðèì òåíçîð 1

2

T ( p ,0 ) âèäà

p

∑ x j ⊗ x j ⊗ ... ⊗ x j , j

(3.7.1)

88 ãäå

Ãëàâà òðåòüÿ

x j - âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà C (n ) . i

Êàæäîé ïîäñòàíîâêå

1 2 s =   i1 i2

p ÷èñåë

... p   ... i p 

(3.7.2)

ñîîòâåòñòâóåò îïåðàöèÿ íàä òåíçîðàìè, ñîïîñòàâëÿþùàÿ òåíçîðó T ( p ,0 ) òåíçîð k1

kp

k2

sT ( p ,0) = ∑ x j ⊗ x j ⊗ ... ⊗ x j ,

(3.7.3)

j

ãäå

ki - ÷èñëî, ðàñïîëîæåííîå íàä i â ïîäñòàíîâêå (3.7.2). Î÷åâèäíî, ÷òî

s åñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð íà ïðîñòðàíñòâå C ( p ,0 ) è íå çàâèñèò îò ñïîñîáà çàïèñè òåíçîðà. Óñòàíîâèì ñâÿçü êîîðäèíàò òåíçîðîâ

T è sT , äëÿ ÷åãî ðàçëîæèì òåíçîð T ïî áàçèñó (3.2.1) è ïðèìåíèì îïåðàòîð s ê îáåèì ÷àñòÿì ïîëó-

÷åííîãî ðàâåíñòâà. ×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ðåçóëüòàò, ââåä¸ì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå: ïóñòü

α1 ,...,α p - íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåê-

ñîâ (èíäåêñû, â îòëè÷èå îò êîîðäèíàò, ðàçäåëÿþòñÿ çàïÿòûìè), ÷èñëî, ðàñïîëîæåííîå ïîä

s (i ) -

i â ïîäñòàíîâêå (3.7.2). Îáîçíà÷èì ÷åðåç

s (α1 ,...,α p ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ α (s1 ) , α(s2 ) ,..., α(s p ) . Òàêèì

îáðàçîì, èíäåêñû ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè, íî èõ ñîñòàâ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñòà¸òñÿ íåèçìåííûì. Ïðèìåð 3.7.1. Åñëè

 1 2 3  , p = 3 , s =   2 3 1 òî s (1,1,2 ) = 1,2 ,1 .

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì

89

Ìû ðàñïîëîæèëè èíäåêñû 112 â ñîîòâåòñòâèè ñ íîìåðàìè íèæíåé ñòðîêè â s : òî åñòü íà ïåðâîå ìåñòî ïîñòàâèëè âòîðîé èíäåêñ, íà âòîðîå – òðåòèé, íà òðåòüå – ïåðâûé.  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ìîæíî âûðàçèòü êîîðäèíàòû òåíçîðà ðåç êîîðäèíàòû òåíçîðà

(sT )

α1 ...α p

=T

(

T ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû

s α1 ...α p

)

.

Áóäåì íàçûâàòü òåíçîð ñòàíîâêè s

(3.7.4)

T ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáîé ïîä-

sT = T . Â êîîðäèíàòàõ (3.7.5) âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì T

(

s α1 ...α p

)

=T

α1 ...α p

sT ֌-

(3.7.5)

,

(3.7.6)

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå êîîðäèíàòû òåíçîðà

α1 ...α p

çàâèñèò òîëüT êî îò ñîñòàâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíäåêñîâ α1 ,...,α p , íî íå îò èõ ïîðÿäêà. Ñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû óäîáíî çàäàâàòü ñ ïîìîùüþ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íûõ åäèíèöå,

α1 ...α p ñîäåðæèò p1 èíäåêñîâ, ðàâ-

p2 èíäåêñîâ, ðàâíûõ 2, …, pn èíäåêñîâ, ðàâíûõ n , òîãäà

p1 + p2 + ... + pn = p ,

(0 ≤ pi ≤ p ),

(i = 1,...,n ) . (3.7.7)

Òåïåðü, îáùåå çíà÷åíèå âñåõ êîîðäèíàò ñèììåòðè÷åñêîãî òåíçîðà

T , ó êîòîðûõ p1 èíäåêñîâ, ðàâíûõ åäèíèöå, p2 èíäåêñîâ, ðàâíûõ 2, …, pn èíäåêñîâ, ðàâíûõ n , îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç T p1 ,...,pn : T p1 ,...,pn = T ×èñëà

T

α1 ,...,α p

p1 ,...,pn

.

(3.7.8)

íàçûâàþòñÿ ÷èñëàìè çàïîëíåíèÿ òåíçîðà

T.

Ñ ïîìîùüþ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ ëåãêî îïðåäåëèòü ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà

d p ,n

Symn ( p ,0 ) âñåõ ñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ âàëåíòíîñòè

( p ,0) íàä ïðîñòðàíñòâîì C (n ) , êîòîðàÿ ðàâíà ÷èñëó ÷èñåë çàïîëíåíèÿ, íåîáõîäèìûõ äëÿ çàäàíèÿ òàêîãî òåíçîðà, òàê êàê ýòè ÷èñëà ñëóæàò íåçàâèñèìûìè êîîðäèíàòàìè â ïðîñòðàíñòâå

Symn ( p ,0 ).

90

Ãëàâà òðåòüÿ

Íàì íàäî íàéòè ÷èñëî öåëî÷èñëåííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3.7.7). Ýòè ðåøåíèÿ ìîæíî íàãëÿäíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ ðàñïîëîæåíèÿ p øàðîâ è n − 1 ïåðåãîðîäêè: ÷èñëàì

p1 , p2 ,..., pn óäîâëåòâîðÿþùèì

(3.7.7), ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðÿä ïðåäìåòîâ, ñîñòîÿùèé èç

( p1 ≥ 0) , çàòåì îäíîé ïåðåãîðîäêè;

p1 øàðîâ

p2 øàðîâ è åù¸ îäíîé ïåðåãîðîäêè

è òàê äàëåå. Íàêîíåö,

pn −1 øàðîâ, ïåðåãîðîäêè è pn øàðîâ. Âñåãî ìû

ïðè ýòîì èñïîëüçîâàëè

p + n − 1 ïðåäìåòîâ, è ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3.7.7)

ñòîëüêî, ñêîëüêî åñòü ñïîñîáîâ ðàññòàâèòü ïåðåãîðîäêè íà n − 1 ìåñòî èç

p + n − 1 âîçìîæíûõ, òàêèì îáðàçîì, d p ,n = Cnn−−11+ p ,

(3.7.9)

â ÷àñòíîñòè, ïðè n = 2

d p ,2 = n + 1 .

(3.7.10)

 òàáëèöå (3.7.1) ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ

d p ,n äëÿ n è p îò 2 äî 6. Òàáëèöà 3.7.1

p

n

2

3

4

5

6

2

3

4

5

6

7

3

6

10

15

21

28

4

10

20

35

56

84

5

15

35

70

126

210

6

21

56

12 6

252

4 62

Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì

91

§3.8. Áèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû Òåíçîð ïîäñòàíîâîê

T ( p , q ) íàçûâàåòñÿ áèñèììåòðè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáûõ

1 2 s =   i1 i2 êîîðäèíàòû s (α ...α

... p  , ... i p 

1 t =   j1

2 j2

... ...

q  jq 

(3.8.1)

T ( p , q ) óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó )

α ...α

Tt (β1 ...1 βq )p = Tβ1 ...1 βq p .

(3.8.2)

Áèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû ìîæíî çàäàòü ÷èñëàìè çàïîëíåíèÿ

Tq1p1,...,,...,qnpn ,

(3.8.3)

p1 - ÷èñëî âåðõíèõ èíäåêñîâ, ðàâíûõ åäèíèöå, …, qn - ÷èñëî íèæíèõ èíäåêñîâ, ðàâíûõ n . ãäå

Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà òàêèõ òåíçîðîâ ðàâíà

d p ,n ⋅ d q ,n = Cnn−−11+ p ⋅ Cnn−−11+ q .

(3.8.4)

Åñëè êîìïîíåíòû òåíçîðà ñèììåòðè÷íû â îäíîì áàçèñå, òî òàêàÿ æå ñèììåòðèÿ áóäåò èìåòü ìåñòî è â ëþáîì äðóãîì áàçèñå.

§3.9. Àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû T ( p ,0 ) âèäà (3.7.1), íàçûâàåòñÿ àíòèñèììåòðè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè s sT ( p ,0) = Sgns ⋅ T ( p ,0) , (3.9.1) Òåíçîð

ãäå Sgns 1 äëÿ ÷¸òíîé ïîäñòàíîâêè s è –1 äëÿ íå÷¸òíîé, òî åñòü êîîðäèíàòû òåíçîðà ìåíÿþò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáûõ äâóõ èíäåêñîâ. Åñëè â íàáîðå èíäåêñîâ íåêîòîðîé êîîðäèíàòû åñòü äâà ðàâíûõ èíäåêñà, òî ýòà êîîðäèíàòà ðàâíà íóëþ. Âñå àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû òèïà

T ( p ,0 ) íàä ïðîñòðàíñòâîì

C (n ) îáðàçóþò ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç

92

Ãëàâà òðåòüÿ

Asymn ( p ,0) . Ðàçìåðíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà d p ,n ðàâíà ÷èñëó íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò, çàäàþùèõ ïðèíàäëåæàùèé åìó òåíçîð. Òàêèå íàáîðû íå äîëæíû ñîäåðæàòü ïîâòîðÿþùèõñÿ ÷èñåë, ïîðÿäîê èíäåêñîâ â òàêîì íàáîðå ïðè ïîäñ÷¸òå íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò íå ó÷èòûâàåòñÿ:

d p ,n = Cnp , Ïðè çîðîâ

(p ≤ n ).

(3.9.2)

p > n íå ñóùåñòâóåò íåíóëåâûõ àíòèñèììåòðè÷åñêèõ òåí-

T ( p ,0 ) íàä C (n ) . §3.10. Îïåðàòîðû ñèììåòðèçàöèè

Ïîñòðîåíèå ñèììåòðè÷åñêèõ è àíòèñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ ìîæíî îïèñàòü ãåîìåòðè÷åñêè ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ñèììåòðèçàöèè

S=

1 ∑s s! s

(3.10.1)

è îïåðàòîðà àíòèñèììåòðèçàöèè

A=

1 ∑ (− 1)Sgns s , s! s

(3.10.2)

ãäå

Sgns ðàâíà 1 èëè –1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷¸òíà èëè íå÷¸òíà ïîäñòàíîâêà s , à ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì ïîäñòàíîâêàì ÷èñåë (1,2 ,...,n ) . Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðû

A - ýðìèòîâû, ïðè ýòîì S2 = S , A2 = A .

s óíèòàðíû, à îïåðàòîðû S è (3.10.3)

ñîãëàñíî (1.13.12), îïåðàòîðû S è

A ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè ïðîåêòèðîâàíèÿ, êîòîðûå ïðîåêòèðóþò ïðîñòðàíñòâî C ( p ,0 ) íà ïîäïðîñòðàíñòâî âñåõ ñèììåòðè÷åñêèõ (àíòèñèììåòðè÷åñêèõ) òåíçîðîâ. Ïðè ýòîì ñèììåòðè÷åñêèìè áóäóò òåíçîðû èíâàðèàíòíûå ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàòîðó S

ST = T , à àíòèñèììåòðè÷åñêèìè

AT = T .

(3.10.4) (3.10.5)

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

93

Ãëàâà IV Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ïîíÿòèå ãðóïïû1, ïðåäñòàâëåíèå ãðóï-

(n × n ) ìàòðèö ñ êîìïëåêñíûìè ýëåìåíòàìè, îïðåäåëèì ãðóïïó GL (n ,C ) âñåõ îáðàòèìûõ îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå C (n ) , äàäèì îïðåäåëåíèå äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ãðóïï (ãðóïï ïû îïåðàòîðîâ G ãðóïïîé

Ëè), ðàññìîòðèì êëàññèôèêàöèþ ãðóïï Ëè, èìåþùèõ ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå â ãåîìåòðèè è òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå. Ðàññìîòðèì ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï, ñîïðÿæåííûå ýëåìåíòû è êëàññû.

§4.1. Îïðåäåëåíèå ãðóïï Ñèñòåìà îïåðàòîðîâ

G â C (n ) ( n ïðîèçâîëüíî, íî ôèêñèðîâàíî)

íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé, åñëè G îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ îïåðàòîðîâ èç G åñòü ñíîâà îïåðàòîð èç G . 2. Òîæäåñòâåííûé (åäèíè÷íûé) îïåðàòîð 3. Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà

E (n ) ïðèíàäëåæèò G .

U èç G ñóùåñòâóåò îáðàòíûé îïåðà-

U −1 , è ýòîò îáðàòíûé îïåðàòîð ïðèíàäëåæèò G . Îïåðàòîð U , èìåþùèé îáðàòíûé, íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì. Åñëè îïåðàòîð U èìååò îáðàòíûé îïåðàòîð, òî ýòîò ïîñëåäíèé îïðåäåëÿåòñÿ

òîð

Òåîðèÿ ãðóïï, îäíà èç ñòàðåéøèõ è áîãàòåéøèõ ïî ðåçóëüòàòàì îáëàñòåé àëãåáðû, èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â ãåîìåòðèè è â ïðèëîæåíèÿõ ìàòåìàòèêè ê âîïðîñàì åñòåñòâîçíàíèÿ. Òåðìèí «ãðóïïà» ââåä¸í ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ý.Ãàëóà (1811-1832) - ñîçäàòåëåì òåîðèè ãðóïï.

1

94

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Â ñàìîì äåëå, åñëè U èìååò îáðàòíûé îïåðàòîð

U −1 , òî

U −1U = E (n ) ,

(4.1.1)

èëè, ÷òî òî æå: åñëè

Ux = y , òî U −1 y = x ,

(4.1.2) ÷òî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò îáðàòíûé îïåðàòîð. Äëÿ îáðàòíîãî îïåðàòîðà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

UU −1 = E (n ),

(4.1.3)

èëè, ÷òî òî æå: åñëè

U −1 y = x , òî Ux = y .

(4.1.4)

íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî

(UV )(V −1U −1 ) = U (VV −1 )U −1 = UE (n )U −1 = UU −1 = E (n ) ,

îòêóäà ñëåäóåò âàæíîå ïðàâèëî îáðàùåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ:

(UV )−1 = V −1U −1 .

(4.1.5) Âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ íå êîììóòàòèâíî:

UV ≠ VU . Åñëè UV = VU , òî ãîâîðÿò, ÷òî îïåðàòîðû U è V êîììó-

òèðóþò.

Äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà U áóäåò E (n )U = UE (n ) , òî åñòü E (n ) êîììóòèðóåò ñî âñåìè îïåðàòîðàìè; êðàòíîå òîæäåñòâåííîãî îïåðàòîðà

λE (n ) ïðè ëþáîì êîìïëåêñíîì λ êîììóòèðóåò ñî âñåìè îïåðàòîðàìè

â

C (n ) è íèêàêîé äðóãîé îïåðàòîð, êðîìå λE (n ) , íå îáëàäàåò òàêèì

U âñåãäà êîììóòèðóåò ñ U −1 (ñì. (4.1.1), (4.1.3)). Åñëè âñå îïåðàòîðû ãðóïïû G êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì, òî G

ñâîéñòâîì. Îïåðàòîð

íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîé èëè àáåëåâîé ãðóïïîé. Åñëè ãðóïïà

H ñîñòîèò èç ïîäìíîæåñòâà ãðóïïû G , òî H íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïîé G . Äëÿ òîãî, ÷òîáû óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïîäìíîæåñòâî H ãðóïïû G ÿâëÿåòñÿ å¸ ïîäãðóïïîé, íàäî ïðåæäå âñåãî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå (ñóììà) ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ èç H ïðèíàäëå-

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

95

H è ÷òî åñëè U ∈ H , òî è U −1 ∈ H . Ïóñòü äàíà ãðóïïà G è U ∈ G . Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ñòåïåíè (ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå) ýëåìåíòà U : æèò

...,U −2 ,U −1 ,U 0 = E ,U ,U 2 ,U 3 ,... , ãäå ÷åðåç E ìû îáîçíà÷èì åäèíè÷íûé ýëåìåíò ãðóïïû G . Ýòè ñòåïåíè îáðàçóþò ïîäãðóïïó – öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó, ïîðîæä¸ííóþ ýëåìåíòîì U . Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: ëèáî âñå ñòåïåíè ýëåìåíòà U ðàçëè÷íû, ëèáî ñðåäè íèõ èìåþòñÿ îäèíàêîâûå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî U

m

= U l è m > l . Òîãäà U m−l = E . Îáîçíà÷èì ÷åðåç k íàè-

ìåíüøóþ ïîëîæèòåëüíóþ ñòåïåíü, òàêóþ ÷òî ÷òîáû èìåëî ìåñòî ðàâåíñòâî áû

U k = E . Òîãäà, äëÿ òîãî

U n = E , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òî-

( )

n äåëèëîñü íà k . Â ñàìîì äåëå, åñëè n = ks , òî U n = U k

äðóãîé ñòîðîíû, åñëè

s

= E.Ñ

U n = E è n = kp + q , 0 ≤ q < k , òî, òàê êàê

U n = U kpU q = U q = E ,à k - íàèìåíüøàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ñòåïåíü, â = E , q = 0 , è n äåëèòñÿ íà k . Ýëåìåíò U íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòîì k -ãî ïîðÿäêà. Åñëè âñå ñòåïåíè ýëåìåíòà U ðàçëè÷íû, îí íàçû-

êîòîðîé U

k

âàåòñÿ ýëåìåíòîì áåñêîíå÷íîãî ïîðÿäêà. Êàæäàÿ ãðóïïà èìååò ïîäãðóïïó ñîñòîÿùóþ èç åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà è êàæäàÿ ãðóïïà ñàìà ÿâëÿåòñÿ ñâîåé ïîäãðóïïîé. Ïîäãðóïïà êîììóòàòèâíîé ãðóïïû âñåãäà áóäåò êîììóòàòèâíîé. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïîäãðóïïû âàæíû â òåîðèè âîçìóùåíèé. Êîãäà íà ñèñòåìó, ñèììåòðèÿ êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ãðóïïå G , äåéñòâóåò âîçìóùåíèå, êîòîðîå íå ïîä÷èíÿåòñÿ âñåì ñèììåòðè÷åñêèì îïåðàöèÿì ãðóïïû G , íî ñîõðàíÿåò áîëåå íèçêóþ ñèììåòðèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ íåêîé ïîäãðóïïå H ãðóïïû G . Âñ¸ ñêàçàííîå âûøå ñïðàâåäëèâî äëÿ ãðóïïû îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.

96

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

§4.2. Ãðóïïû â ìàòðè÷íîé ôîðìå Âûáåðåì â

C (n ) íåêîòîðûé áàçèñ e1 ,...,en , òîãäà êàæäîìó îïåðàòî-

ðó U ìîæíî ñîïîñòàâèòü èçîáðàæàþùóþ åãî ìàòðèöó (ñì. §1.11). Ñìûñë ìàòðè÷íîãî èçîáðàæåíèÿ îïåðàòîðîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî óðàâíåíèå

Ux = y

çàïèñûâàåòñÿ â êîîðäèíàòàõ â âèäå

y i = U ij x j . Ïðè ýòîì ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ èçîáðàæàåòñÿ â áàçèñå

e1 ,..., en

ìàòðèöåé, ïîëó÷åííîé óìíîæåíèåì â òîì æå ïîðÿäêå ìàòðèö, èçîáðàæàþùèõ ñîìíîæèòåëè:

(UV )e = U eVe .

(4.2.1)

Òàê êàê ðàçëè÷íûå îïåðàòîðû èçîáðàæàþòñÿ ðàçíûìè ìàòðèöàìè, ìîæíî çàìåíèòü êàæäûé îïåðàòîð ãðóïïû G åãî ìàòðèöåé; òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, çàìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì åäèíè÷íîé ìàòðèöåé

1  0  ...  0 

0 1 ... 0

... ... ... ...

0  0 ...  ,  1 

(4.2.2)

îáðàòíûå îïåðàòîðû – îáðàòíûìè ìàòðèöàìè; òàêèì îáðàçîì, âìåñòî ãðóïïû îïåðàòîðîâ G ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ãðóïïó

(n × n ) ìàòðèö ñ êîìïëåêñíûìè ýëåìåíòàìè.

Íå ñëåäóåò, îäíàêî, çàáûâàòü, ÷òî â äðóãîì áàçèñå e1′ , e ′2 ,..., e n′ îïåðàòîðû èç G áóäóò èçîáðàæàòüñÿ äðóãèìè ìàòðèöàìè, è çàìåíà «îïåðàòîðíîé ãðóïïû» «ìàòðè÷íîé ãðóïïîé» âîçìîæíî ëèøü â ïîñòðîåíèÿõ, ñ èñïîëüçîâàíèåì ôèêñèðîâàííîãî áàçèñà. Ìàòðè÷íîå èçîáðàæåíèå äà¸ò âîçìîæíîñòü ââåñòè â ãðóïïàõ íåçàâèñèìûå îïåðàòîðû.

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

97

Âñå îáðàòèìûå îïåðàòîðû â îáðàòèìûõ îïåðàòîðîâ

C (n ) îáðàçóþò ãðóïïó; ïðîèçâåäåíèå

UV èìååò îáðàòíûé îïåðàòîð V −1U −1 (ñì.

(4.1.5)), êîòîðûé òàêæå îáðàòèì, òàê êàê íûé îïåðàòîð ðàòîð

(V

U −1 ) = UV ; òîæäåñòâåí-

−1

−1

E (n ) îáðàòèì (E (n )) = E (n ) ; êàæäûé îáðàòèìûé îïå−1

U èìååò îáðàòíûé U −1 , êîòîðûé îáðàòèì (U −1 ) = U . −1

Îáîçíà÷èì ãðóïïó âñåõ îáðàòèìûõ îïåðàòîðîâ â

C (n ) ÷åðåç

GL(n ,C ) . Âñå ãðóïïû îïåðàòîðîâ â C (n ) ÿâëÿþòñÿ ïîäãðóïïàìè

GL(n ,C ) . Èçîáðàçèì GL (n ,C ) ìàòðèöàìè, êàê óêàçàíî âûøå, òîãäà GL(n ,C ) áóäåò ñîñòîÿòü èç âñåõ êîìïëåêñíûõ n - ðÿäíûõ îáðàòèìûõ ìàòðèö, òî åñòü ìàòðèö ñ íåíóëåâûì îïðåäåëèòåëåì.

§4.3. Äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå ãðóïïû Ïî îïðåäåëåíèþ, ëþáàÿ ãðóïïà G åñòü ïîäãðóïïà

GL(n ,C ) ïðè

íåêîòîðîì n . Ãðóïïû äåëÿòñÿ íà äâà îñíîâíûõ êëàññà – äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå. Ïóñòü U - îïåðàòîð èç

GL(n ,C ) . Âûáåðåì áàçèñ e1 ,...,en â C (n ) ;

òîãäà U èìååò â ýòîì áàçèñå ìàòðèöó U e . Äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε ìíîæåñòâî âñåõ îïåðàòîðîâ V , âñå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì

(Ve )ij − (U e )ij

< ε,

îáðàçóþò ε -îêðåñòíîñòü îïåðàòîðà

(4.3.1)

U.

U èç ãðóïïû G èìååò ε - îêðåñòíîñòü, íå ñîäåðæàùóþ äðóãèõ îïåðàòîðîâ èç G , òî ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé; à ε - îêðåñòíîñòü ìîæåò áûòü äëÿ êàæäîãî U âûáðàíà îòäåëüíî. Åñëè êàæäûé îïåðàòîð

98

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðû äèñêðåòíîé ãðóïïû ðàñïîëîæåíû â

GL(n ,C ) èçîëèðîâàííî. Îïåðàòîðû äèñêðåòíîé ãðóïïû ìîæíî çàíóìåðîâàòü êîíå÷íûì ÷èñëîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èëè âñåì ðÿäîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.  ïåðâîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èì êîíå÷íóþ ãðóïïó, âî âòîðîì – áåñêîíå÷íóþ. Ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé (òîïîëîãè÷åñêîé) ãðóïïîé, èëè ãðóïïîé Ëè1, åñëè êàæäûé îïåðàòîð ùóþ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: Ñóùåñòâóåò

U èìååò ε - îêðåñòíîñòü, îáëàäàþ-

n 2 ôóíêöèé k ïåðåìåííûõ

U i j (t1 ,...,tk ) ,

(4.3.2)

îïðåäåë¸ííûõ è íåïðåðûâíûõ â êóáå

ti < ε ,

i = 1,2 ,...,k ,

òàêèõ, ÷òî ìàòðèöû

(4.3.3)

U i j (t1 ,...,tk ) çàäàþò â âûáðàííîì áàçèñå e1 ,..., en

âñåâîçìîæíûå îïåðàòîðû èç ε - îêðåñòíîñòè îïåðàòîðà æàùèå G , ïðè÷¸ì ðàçëè÷íûì íàáîðàì

U , ïðèíàäëå-

(ti ) ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå

îïåðàòîðû. Ñèñòåìà ôóíêöèé (4.3.2) íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðèçàöèåé ãðóïïû â îêðåñòíîñòè îïåðàòîðà U , ÷èñëî k íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ãðóïïû, à G íàçûâàåòñÿ k - ìåðíîé (èëè k - ìåòðè÷åñêîé) ãðóïïîé Ëè. Ôóíêöèè (4.3.2) âñåãäà ìîæíî âûáðàòü àíàëèòè÷åñêèìè (à íå òîëüêî íåïðåðûâíûìè). Êàæäàÿ ãðóïïà Ëè ìîæåò áûòü çàäàíà ñ ïîìîùüþ àëãåáðàè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé, íàëîæåííûõ íà êîýôôèöèåíòû ìàòðèö

U e ; äëÿ k - ìåð-

íîé ãðóïïû íàäî ñâÿçàòü äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ

(U e )ij

ïîñðåäñòâîì

2n 2 − k íåçàâèñèìûõ àëãåáðàè÷åñêèõ

óðàâíåíèé ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Êàæäîé íåïðåðûâíîé (òîïîëîãè÷åñêîé) ãðóïïå ìû ìîæåì ñîïîñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå áóäåì, òàê æå íàçûâàòü òîïîëîãè÷åñêèì. Åñëè ýòî òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî áóäåò êîìïàêòíûì, òî è ñîîòâåòñòâóþùóþ ãðóïïó áóäåì íàçûâàòü êîìïàêòíîé. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòè îïðåäåëåíèÿ íà ïðîñòûõ ïðèìåðàõ. Äåéñòâèòåëüíàÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîìïàêòíîå òîïîëîãè1

Ñîôóñ Ëè (1842-1899) íîðâåæñêèé ìàòåìàòèê.

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

99

÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òàê êàê ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, êîòîðàÿ íå ñîäåðæèò íè îäíîé ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû äåéñòâèòåëüíóþ ÷èñëîâóþ ïðÿìóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê êîììóòàòèâíóþ íåêîìïàêòíóþ ãðóïïó. Ãðóïïà ïîâîðîòîâ âîêðóã ôèêñèðîâàííîé îñè êîìïàêòíà, òàê êàê êàæäûé ïîâîðîò õàðàêòåðèçóåòñÿ óãëîì ϕ , çíà÷åíèå êîòîðîãî ëåæèò â èíòåðâàëå 0 ≤ ϕ ≤ 2π , òî åñòü â êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå. Ãðóïïà âðàùåíèé â òð¸õìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå òàê æå êîìïàêòíà, òàê êàê êàæäîå âðàùåíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ òðåìÿ âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè, â êà÷åñòâå êîòîðûõ ìîãóò ñëóæèòü óãëû Ýéëåðà, ðàññìàòðèâàåìûå êàê êîîðäèíàòû òî÷åê â îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå òð¸õìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà – êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå.  êà÷åñòâå ïðèìåðà íåêîìïàêòíîé ãðóïïû ðàññìîòðèì ãðóïïó Ëîðåíöà. Ðàññìîòðèì ãèïåðáîëîèä

x 2 = x02 − x12 − x 22 − x32 = 1 .  ïðåîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà êàæäàÿ òî÷êà ýòîãî ãèïåðáîëîèäà ïåðåõîäèò â åãî äðóãóþ òî÷êó, ïðè÷¸ì äëÿ ëþáîé ïàðû òî÷åê îäíîé ïîëû ãèïåðáîëîèäà ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà, ïåðåâîäÿùåå îäíó òî÷êó â äðóãóþ. Âûáåðåì íà ôèêñèðîâàííîé ïîëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê

x1 , x2 ,... , óõîäÿùóþ â áåñêîíå÷íîñòü. Ïóñòü λ n ïðåîáðàçîâàíèå

Ëîðåíöà, ïåðåâîäÿùåå âåðøèíó

x0 äàííîé ïîëû â òî÷êó xn , n = 1,2,...

Ìû ïîëó÷èëè áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà è ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê

xn íå ñîäåðæèò ñõîäÿùåéñÿ

ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òî èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà íåëüçÿ âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Îòìåòèì îäíó îñîáåííîñòü êîìïàêòíûõ ãðóïï. Ïóñòü çàäàíà íåêîòîðàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ íà ãðóïïå f (g ) , åò èíòåãðàë ýòîé ôóíêöèè ïî âñåé ãðóïïå

g ∈ G è ïóñòü ñóùåñòâó-

J = ∫ f (g )dg . G

Åñëè äëÿ âñåõ

g 0 ∈ G âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

J = ∫ f (g )dg = ∫ f (g 0 g )dg = ∫ f (gg 0 )dg , G

G

G

(4.3.4)

100

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íà ãðóïïå G óñòàíîâëåíî èíâàðèàíòíîå èíòåãðèðîâàíèå.  êà÷åñòâå ïðîñòîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ãðóïïó ïîâîðîòîâ âîêðóã ôèêñèðîâàííîé îñè. Êàæäûé ýëåìåíò ãðóïïû õàðàêòåðèçóåòñÿ âåùåñòâåííûì ÷èñëîì ϕ - óãëîì ïîâîðîòà, ïðè÷¸ì óãëû ϕ è ϕ + 2π ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå ïîâîðîòó. Êàæäàÿ ôóíêöèÿ íà ãðóïïå áóäåò òîãäà ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ϕ ñ ïåðèîäîì 2π . Åñëè ïîâîðîòû íà óãëû íà óãîë

g0 è g -

ϕ 0 è ϕ ñîîòâåòñòâåííî, òî g 0 g ÿâëÿåòñÿ âðàùåíèåì

ϕ0 + ϕ .

 äàííîì ñëó÷àå ðàâåíñòâî (4.3.4) îçíà÷àåò, ÷òî 2π

∫

f (ϕ )dϕ =

0

2π

∫ f (ϕ + ϕ )dϕ . 0

0

Òàê êàê

f (ϕ )- îãðàíè÷åííàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì

2π , òî ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ

äàííîãî ñëó÷àÿ èíâàðèàíòíûì èíòåãðèðîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîå èíòåãðèðîâàíèå ïî óãëó ïîâîðîòà ϕ îò 0 äî 2π . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ãðóïïû òð¸õìåðíûõ âðàùåíèé èíâàðèàíòíûé èíòåãðàë ïî ãðóïïå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

∫ ãäå

2π

2π

2π

0

0

0

f (g )dg = ∫ dϕ ∫ dΩ ∫ f (ϕ , θ , Ω )sin θdθ ,

ϕ ,Ω,θ - óãëû Ýéëåðà.

Îòìåòèì, ÷òî åñëè ãðóïïà G êîìïàêòíà, òî èíâàðèàíòíûé èíòåãðàë (4.3.4) ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè íà ãðóïïå. Äëÿ íåêîìïàêòíîé ãðóïïû òàêîãî èíâàðèàíòíîãî èíòåãðàëà îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè íà ãðóïïå íå ñóùåñòâóåò. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íà ãðóïïå âûòåêàåò óíèòàðíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ êîìïàêòíûõ ãðóïï.

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

101

§4.4. Ãîìîìîðôèçì, èçîìîðôèçì è àâòîìîðôèçì ãðóïï Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíû äâå ãðóïïû

G1 è G2 . Åñëè ñóùå-

ñòâóåò ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýëåìåíòàìè ãðóïï G1 è G2 , ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èìååòñÿ îòîáðàæåíèå îäíîé ãðóïïû â äðóãóþ. Åñëè äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà U 1 ∈ G1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëå-

U 2 ∈ G2 , êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì êàê ϕ (U1 ) , U 2 = ϕ (U1 ), òî ìû ìîæåì ãîâîðèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ϕ ãðóïïû ìåíò

G1 â ãðóïïó G2 ϕ : G1 → G2 .

(4.4.1)

Ýòî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå

ϕ íàçîâ¸ì ãîìîìîðôíûì îòîáðà-

æåíèåì, èëè ãîìîìîðôèçìîì ãðóïïû

G1 â ãðóïïó G2 , åñëè îíî ñîõðàíÿ-

åò ãðóïïîâóþ îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ, òî åñòü äëÿ ëþáûõ U ,V èç ëåòâîðÿåò óñëîâèþ

ϕ(UV ) = ϕ(U )⋅ ϕ(V ) ,

G1 óäîâ(4.4.2)

Ãðóïïû G1 è G2 íàçûâàþòñÿ ãîìîìîðôíûìè ãðóïïàìè. Âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ãîìîìîðôíîå îòîáðàæåíèå (4.4.1) îäíîé ãðóïïû â äðóãóþ íàçûâàåòñÿ èçîìîðôíûì îòîáðàæåíèåì èëè èçîìîðôèçìîì, à ñàìè ãðóïïû èçîìîðôíûìè. Åäèíè÷íûé îïåðàòîð ϕ ïåðåâîäèò â åäèíè÷íûé îïåðàòîð, à îáðàòíûé â îáðàòíûé:

ϕ(E (n )) = E (n ) ,

ϕ(U −1 ) = [ϕ(U )] .

(4.4.3)

−1

(4.4.4) Òàê êàê ïðè èçó÷åíèè ãðóïï íàñ èíòåðåñóþò ëèøü ãðóïïîâûå ñâîéñòâà ýëåìåíòîâ, âñå èçîìîðôíûå ãðóïïû ìîæíî ñ÷èòàòü îäèíàêîâûìè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå ãðóïïû âòîðîãî ïîðÿäêà (à òàêæå âñå ãðóïïû òðåòüåãî ïîðÿäêà) èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé. Äëÿ ãðóïï ÷åòâ¸ðòîãî ïîðÿäêà ýòî ïðàâèëî óæå íå âûïîëíÿåòñÿ (ñóùåñòâóþò äâå íåèçîìîðôíûå ãðóïïû: íàïðèìåð, ãðóïïà âðàùåíèé êâàäðàòà

C 4 è ãðóïïà ñèììåòðèè

102

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

ðîìáà V ). Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà n èçîìîðôíà ãðóïïå âðàùåíèé ïðàâèëüíîãî n - óãîëüíèêà è âñå öèêëè÷åñêèå ãðóïïû îäíîãî ïîðÿäêà èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé. Èçîìîðôèçì ãðóïïû G â ñåáÿ íàçûâàåòñÿ àâòîìîðôèçìîì. Îäíèì èç ïðèìåðîâ àâòîìîðôèçìà ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèå âèäà

U = ϕV (U ) = VUV −1 ,

(4.4.5)

ãäå V - íåêîòîðûé ýëåìåíò ãðóïïû G . Ýòî òàê íàçûâàåìûé âíóòðåííèé àâòîìîðôèçì. Ðàññìîòðèì ãîìîìîðôèçì ãðóïïû

ϕ : U1 → U 2 = ϕ (U1 ) . Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ýëåìåíòîâ îáðàçîì ãðóïïû

G1 â ãðóïïó G2

ϕ (U1 ) , ãäå U1 ∈ G1 , íàçûâàåòñÿ

G1 ïðè ãîìîìîðôèçìå ϕ . Ýòîò îáðàç ïðåäñòàâëÿåò

ñîáîé, âîîáùå ãîâîðÿ, íåêîòîðóþ ïîäãðóïïó ÷¸ì åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì âñåé ïîäãðóïïû ýëåìåíòîì

H 2 ãðóïïû G2 , ïðè-

H 2 , òî åñòü åäèíè÷íûì

E (n2 ) ãðóïïû G2 , ÿâëÿåòñÿ îáðàç åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà

E (n1 ) ãðóïïû G1

ϕ (E (n1 )) = E (n2 ) . Ïóñòü

K ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ U1 ãðóïïû G1 , ïðåâðàùàþ-

ùèõñÿ â åäèíè÷íûé ýëåìåíò

E (n2 ) ãðóïïû G2 ïðè ãîìîìîðôèçìå ϕ

ϕ (U1 ) = E (n2 ) ; U 1 ∈ K .

Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ÿäðîì ãîìîìîðôèçìà çàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ

ϕ . Ìîæíî ïîêà-

K ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé ïîäãðóïïîé ãðóïïû G1 . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè U 1 ∈ K è U 1 - ëþáîé ýëåìåíò èç ãðóïïû

G1 , òî

ϕ (U 1V1U 1−1 ) = ϕ (U 1 )ϕ (V1 )ϕ (U 1−1 ) =

= ϕ (U 1 )E (n 2 )ϕ (U 1−1 ) = E (n 2 ).

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðóïïà.

103

U1V1U1−1 ∈ K , òî åñòü K - èíâàðèàíòíàÿ ïîä-

§4.5. Ïðèìåðû ãðóïï 1. Äâà ÷èñëà 1 è –1 îáðàçóþò ãðóïïó. Åäèíè÷íûé ýëåìåíò – ýòî 1. Ýëåìåíò îáðàòíûé åäèíèöå – 1, ýëåìåíò «-1», îáðàòåí ñàì ñåáå. Ñîñòàâèì òàáëèöó óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ (òàáëèöó Êýëè) äàííîé ãðóïïû: Òàáëèöà 4.5.1.

Ga \ Gb 1 −1

1 1 −1

2. Íàáîð ÷èñåë

−1 −1 1

1,−1,i ,−i , òàê æå îáðàçóåò ãðóïïó. Òàáëèöà 4.5.2.

Ga \ Gb 1 −1

1 1 −1

−1 −1 1

i i −i

−i −i i

i −i

i −i

−i i

−1 1

1 −1

 ðàññìàòðèâàåìîé ãðóïïå ýëåìåíòû 1 è –1, î÷åâèäíî, ñîñòàâëÿþò ïîäãðóïïó. Îáå ðàññìîòðåííûå ãðóïïû àáåëåâû, òàê êàê ìû ïðèìåíÿëè îáû÷íûé çàêîí óìíîæåíèÿ. Ïðè èçó÷åíèè ñèììåòðèè ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì âàæíóþ ðîëü èãðàåò èõ ïîâåäåíèå ïðè ïîâîðîòàõ. Ðàçíîîáðàçíûå íàáîðû âðàùåíèé îáðàçóþò ãðóïïû. Çàêîí óìíîæåíèÿ ïðè ýòîì òàêîâ: åñëè ïîâîðîò

R1 ïåðåâî-

104

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

äèò ñèñòåìó èç ïîëîæåíèÿ À â ïîëîæåíèå Â, à ïîâîðîò

R2 - èç ïîëîæå-

íèÿ  â ïîëîæåíèå Ñ, òî ïðîèçâåäåíèþ R1 R2 ïåðåâîäèò ñèñòåìó èç A â Ñ. Çäåñü ìû èìååì ïðèìåð íå àáåëåâîé ãðóïïû, òàê êàê â îáùåì ñëó÷àå

R1 R2 ≠ R2 R1 . 3. Ïóñòü E - òîæäåñòâåííàÿ îïåðàöèÿ (ïîâîðîò íà íóëåâîé óãîë), à R - ïîâîðîò íà óãîë π âîêðóã îñè z (ïîâîðîòîì íà ïîëîæèòåëüíûé

óãîë îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåííîé îñè, ìû áóäåì ñ÷èòàòü ïîâîðîò, ñîîòâåòñòâóþùèé âðàùåíèþ ïðàâîãî âèíòà, òî åñòü âðàùåíèþ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, åñëè ñìîòðåòü âäîëü îñè â å¸ ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè). Ñîñòàâèì òàáëèöó óìíîæåíèÿ: Òàáëèöà 4.5.3.

Ga \ Gb E R

E E R

R R E

Ãðóïïó ñ òàáëèöåé óìíîæåíèÿ 4.5.3 îáîçíà÷àþò ÷åðåç

C2 . Âçàèì-

íî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå 1 ↔ E è −1 ↔ R óêàçûâàþò íà èçîìîðôèçì ãðóïïû èç ïðèìåðà 1 è ãðóïïû

C2 äàííîãî ïðèìåðà.

4. Ïóñòü îïåðàöèÿ èçìåíÿþùàÿ íàïðàâëåíèå âåêòîðà íà îáðàòíûé

I . Òîãäà I 2 = E (òîæäåñòâåííàÿ îïåðàöèÿ). Îïåðàöèè I è E îáðàçóþò ãðóïïó, íàçûâàåìóþ ãðóïïîé S 2 .

– îïåðàòîð èíâåðñèè åñòü

Òàáëèöà 4.5.4.

Ga \ Gb E I

E E I

I I E

5. Ïóñòü

R1 è R2 ïîâîðîòû âîêðóã îñè z íà

2 4 π è π . Òîãäà 3 3

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà îïåðàöèè

105

E , R1 , R2 îáðàçóþò òàê íàçûâàåìóþ ãðóïïó C3 , ñ òàáëèöåé

óìíîæåíèÿ:

Ga \ Gb E R1 R2

Òàáëèöà 4.5.5.

E E R1 R2

R1 R1 R2 E

6. Äîáàâèì ê ãðóïïå y R4

R5 x R3

Ðèñ. 4.5.1

R2 R2 E R1 C3 îïåðàöèè R3 , R4 è R5 - ïîâîðîòû íà óãîë π âîêðóã êàæäîé èç îñåé, ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè xy (ðèñ. 4.5.1). Òàêàÿ ãðóïïà D3 ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ åñòü ãðóïïà âðàùåíèé ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, ïðèâîäÿùèõ åãî â ïîëîæåíèå, íåîòëè÷èìîå îò èñõîäíîãî. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû íàçûâàþò îïåðàöèåé «ñîáñòâåííîãî ñîâìåùåíèÿ». Åñëè äîïóñêàþòñÿ îòðàæåíèÿ, òî ãîâîðÿò î «íåñîáñòâåííîì ñîâìåùåíèè».

Ñîñòàâèì òàáëèöó óìíîæåíèÿ ãðóïïû

D3 : Òàáëèöà 4.5.6.

Ga \ Gb E R1 R2 R3 R4 R5

E E R1 R2 R3 R4 R5

R1 R1 R2 E R5 R3 R4

R2 R2 E R1 R4 R5 R3

R3 R3 R4 R5 E R1 R2

R4 R4 R5 R3 R2 E R1

R5 R5 R3 R4 R1 R2 E

106

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ Ãðóïïà

ïà

D3 ñîäåðæèò íåñêîëüêî ïîäãðóïï. Ýòî öèêëè÷åñêàÿ ãðóï-

C3 , îáðàçîâàííàÿ ýëåìåíòàìè E , R1 , R2 , à òàêæå òðè ãðóïïû èç äâóõ

ýëåìåíòîâ:

E , R3 ; E , R4 è E , R5 , êàæäàÿ èç êîòîðûõ èçîìîðôíà ãðóïïå

C2 , ïðèìåðà 3. 7. Åñëè â ïðèâåäåííîì â ï.6 ïðèìåðå äîáàâèòü îïåðàöèþ îòðàæåíèÿ â ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà

σ h , òî ìû ïîëó÷èì ðÿä íîâûõ ýëåìåíòîâ

R1σ h , R2 σ h ,..., R5σ h . Ãåîìåòðè÷åñêè, íàïðèìåð, R3σ h îçíà÷àåò îòðàæåíèå â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæèò îñü

R3 è òàê äàëåå.

Íàáîð èç 12 ýëåìåíòîâ

E , R1 , R2 , R3 , R4 , R5 ,σ , σ1 , σ 2 , σ3 ,σ 4 ,σ5 , ãäå

σi = Ri σ h , îáðàçóåò ãðóïïó D3h (ñîäåðæàùóþ â ñåáå ãðóïïó D3 ).

Ýëåìåíòû òèïà

Ri σ h , ñîäåðæàùèå âðàùåíèÿ â ñî÷åòàíèè ñ îòðàæåíèÿ-

ìè â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè âðàùåíèÿ, íàçûâàþòñÿ çåðêàëüíî-ïîâîðîòíûìè. 8. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ âðàùåíèé îòíîñèòåëüíî çàäàííîé îñè îáðàçóåò íåïðåðûâíóþ ãðóïïó

ℜ2 . Ÿ ýëåìåíòû îáîçíà÷àþòñÿ ñèìâîëàìè

R (a ) , ãäå a - óãîë ïîâîðîòà, 0 ≤ a ≤ 2 π .  ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì áåñêîíå÷íóþ òàáëèöó óìíîæåíèÿ. Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ñëåäóåò, ÷òî

R (a )R (b ) = R (a + b ),

(4.5.1)

ïðè÷¸ì

R (a + 2 π ) = R(a ) .

Ýëåìåíòû íàïèñàòü:

(4.5.2)

ℜ2 êîììóòèðóþò è äëÿ îáðàòíîãî ýëåìåíòà, ìû ìîæåì

R −1 (a ) = R (2 π − a ).

(4.5.3)

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà Ãðóïïó

107

ℜ2 â ñîîòâåòñòâèè ñ îáîçíà÷åíèÿìè, ïðèâåä¸ííûìè â §4.6

ìîæíî îáîçíà÷èòü êàê

SO(2 ) .

9. Åñëè ìû âîçüì¸ì íàáîð âñåâîçìîæíûõ âðàùåíèé âîêðóã òð¸õ îñåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó, ìû ïîëó÷èì ãðóïïó

ℜ3

( SO(3)), ñîñòîÿùóþ èç ñîâîêóïíîñòè ñîáñòâåííûõ îïåðàöèé ñîâìåùåíèÿ ñôåðû, êîòîðóþ áîëåå ïîäðîáíî ìû ðàññìîòðèì äàëåå. Îáû÷íûé ñïîñîá ïàðàìåòðèçàöèè âêëþ÷àåò çàäàíèå äâóõ ïîëÿðíûõ óãëîâ, ôèêñèðóþùèõ îñü âðàùåíèÿ, è óãëà ïîâîðîòà îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè. Î÷åâèäíî, ÷òî ãðóïïà

ℜ2 ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, åñòü ïîäãðóïïà ℜ3 .

10. Íàáîð âñåõ ïåðåñòàíîâîê S èç n îáúåêòîâ îáðàçóåò «ñèììåò-

ℑn . Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïåðåñòàíîâîê, ïî îïðåäåëå-

ðè÷åñêóþ ãðóïïó»

íèþ, åñòü òàêàÿ ïåðåñòàíîâêà, êîòîðàÿ ïðÿìî ïåðåâîäèò èñõîäíîå ðàñïîëîæåíèå â êîíå÷íîå. Ïåðåñòàíîâêà

1 S =   p1

2 p2

... n  , ... p n 

óêàçûâàåò, ÷òî ýëåìåíò

(4.5.4)

i çàìåíÿåòñÿ ýëåìåíòîì pi , òî åñòü ÷èñëà

p1 ,..., pn åñòü ïåðåñòàâëåííûå n! ñïîñîáàìè ÷èñëà 1,...,n . Ýëåìåíò, îáðàòíûé S , èìååò âèä

p S −1 =  1 1

p2 2

... pn  . ... n 

Ñîñòàâèì òàáëèöó ïåðåñòàíîâîê äëÿ

(4.5.5)

ℑ3 :

1 2 3   1 2 3 1 2 3  E =   , S1 =   , S 2 =   , 1 2 3   2 1 3 1 3 2 

108

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

 1 2 3  1 2 3 1 2 3 S3 =   , S 4 =   , S5 =   .  3 2 1  2 3 1 3 1 2 1 S1 S 2 =  2 1 2 =  2 3

2 3  1 2 3   1 3 2  1 2 3  ⋅ = ⋅ = 1 3  1 3 2   2 3 1  1 3 2  3  = S4 . 1 

Çäåñü ìû ïåðåñòàâèëè ñòîëáöû â

S1 òàê, ÷òîáû âåðõíÿÿ ñòðîêà ìàò-

ðèöû S1 ñîâïàëà ñ íèæíåé ñòðîêîé ìàòðèöû ñëåäóþùåå îáùåå ñîîòíîøåíèå:

 p1   q1

p2 q2

... pn   1 ⋅ ... qn   p1

S 2 . Ìû ìîæåì íàïèñàòü

... n   1 = ... pn   q1

2 p2

2 q2

... n   , (4.5.6) ... qn 

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ôàêòè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì óìíîæåíèÿ äâóõ ïåðåñòàíîâîê. Èñïîëüçóÿ (4.5.6) ìû ìîæåì ñîñòàâèòü òàáëèöó óìíîæåíèÿ äëÿ

ℑ3 .

Òàáëèöà 4.5.10.

Ga \ Gb E S1 S2 S3 S4 S5

E E S1 S2 S3 S4 S5

S1 S1 E S5 S4 S3 S2

S2 S2 S4 E S5 S1 S3

S3 S3 S5 S4 E S2 S1

S4 S4 S2 S3 S1 S5 E

S5 S5 S3 S1 S2 E S4

Ðàññìîòðåííàÿ â äàííîì ïðèìåðå ãðóïïà èìååò òó æå ñòðóêòóðó, ÷òî è èçîìîðôíàÿ åé ãðóïïà ìûå ïîäãðóïïû.

D3 , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæèò òå æå ñà-

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

109

11. Ãðóïïû Ëîðåíöà è Ïóàíêàðå.  âåùåñòâåííîì ÷åòûð¸õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì

(x, y ) = gαβ xα y β

,

(4.5.6)

ãäå

0 0 1 0   0 0 −1 0 G = (gαβ ) =  , 0 0 −1 0    0 0 0 1 −   è íîðìîé

(4.5.7)

x , îïðåäåëÿåìîé ñîîòíîøåíèåì

x = (x, x ) = gαβ xα x β , 2

(4.5.8)

ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ

xα → xα′ = λαβ x β ,

(4.5.9)

ñîõðàíÿþùèå íîðìó (4.5.8) è, ñëåäîâàòåëüíî, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (4.5.6), îáðàçóþò ãðóïïó, íàçûâàåìóþ îäíîðîäíîé ãðóïïîé Ëîðåíöà. Ðàññìîòðèì áîëåå îáùåå ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà Ìèíêîâñêîãî:

xα → xα′ = aα + λαβ x β .

(4.5.10)

Êàæäîå òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå, îáîçíà÷àåìîå {a , λ }, åñòü êîìáèíàöèÿ îäíîðîäíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà (4.5.9) è ïðåîáðàçîâàíèÿ òðàíñëÿöèè

xα → xα′ = xα + aα .

(4.5.11)

Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàçóþò òàê íàçûâàåìóþ íåîäíîðîäíóþ ãðóïïó Ëîðåíöà, èëè ãðóïïó Ïóàíêàðå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ãðóïïîâàÿ îïåðàöèÿ äëÿ ýòîé ãðóïïû äà¸òñÿ ïðàâèëîì

{a1 , λ1 }{a2 , λ2 }= {a1 + λ1a2 , λ1λ2 }, à îáðàòíûé ïðåîáðàçîâàíèþ {a , λ } ýëåìåíò ðàâåí {a, λ }−1 = {− λ−1a, λ−1 }.

(4.5.12)

(4.5.13) Â äàëüíåéøåì, ãðóïïàì Ëîðåíöà è Ïóàíêàðå áóäåò ïîñâÿùåíà îòäåëüíàÿ ãëàâà.

110

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

§4.6. Ãðóïïû Ëè 1. Ïîëíàÿ ëèíåéíàÿ ãðóïïà îïåðàòîðîâ â

GL(n ,C ) . Ñîñòîèò èç âñåõ îáðàòèìûõ

C (n ) , èëè (â ìàòðè÷íîì èçîáðàæåíèè) èç âñåõ êîìïëåêñ-

íûõ îáðàòèìûõ n - ðÿäíûõ ìàòðèö, è èìååò ðàçìåðíîñòü 2n . GL(n ,C ) äîïóñêàåò óìíîæåíèå íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà, íå ðàâíûå íóëþ. 2

2. Äåéñòâèòåëüíàÿ ëèíåéíàÿ ãðóïïà

GL(n , R ) ñîñòîèò (â ìàòðè÷-

íîì èçîáðàæåíèè) èç âñåõ

n - ðÿäíûõ îáðàòèìûõ ìàòðèö ñ äåéñòâèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè. Äëÿ âûäåëåíèÿ òàêèõ ìàòðèö â GL(n ,C ) , íàäî ïðèðàâíÿòü íóëþ ìíèìûå ÷àñòè âñåõ

n 2 ýëåìåíòîâ, ÷òî äà¸ò n 2 íå-

çàâèñèìûõ ñîîòíîøåíèé. Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòü

GL(n , R ) ðàâ-

íà n . GL(n , R ) äîïóñêàåò óìíîæåíèå íà íå ðàâíûå íóëþ äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. 2

3. Ñïåöèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ, èëè óíèìîäóëÿðíàÿ, ãðóïïà

SL(n ,C ) åñòü

ïîäãðóïïà GL(n ,C ) , ñîñòîÿùàÿ èç âñåõ îïåðàòîðîâ ñ îïðåäåëèòåëåì ðàâíûì åäèíèöå, èëè, â ìàòðè÷íîì èçîáðàæåíèè, èç âñåõ ìàòðèö ñ îïðåäåëèòåëåì 1. Òàê êàê

det (UV ) = det U ⋅ det V ,  det E (n ) = 1,   − 1 det (U −1 ) = (det U ) , 

(4.6.1)

òî òàêèå îïåðàòîðû îáðàçóþò ãðóïïó. íèåì

SL(n ,C ) âûäåëÿåòñÿ ñîîòíîøå-

det U i j = 1 ,

(4.6.2)

ðàâíîñèëüíûì äâóì äåéñòâèòåëüíûì ñîîòíîøåíèÿì:

Re det U i j = 1,

Im det U i j = 0 .

Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòü SL(n ,C ) ðàâíà äîïóñêàåò óìíîæåíèå òîëüêî íà ÷èñëî 1.

(4.6.3)

2n 2 − 2 . SL(n ,C )

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

111

4. Ñïåöèàëüíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ëèíåéíàÿ ãðóïïà ãðóïïà

SL(n , R ) åñòü ïîä-

GL(n , R ), ñîñòîÿùàÿ èç ìàòðèö ñ îïðåäåëèòåëåì ðàâíûì åäèíè-

öå. SL(n , R ) åñòü ãðóïïà ðàçìåðíîñòè òîëüêî íà ÷èñëî 1.

n 2 − 1 , äîïóñêàþùàÿ óìíîæåíèå

5. Óíèòàðíàÿ ãðóïïà U (n ) åñòü ïîäãðóïïà GL(n ,C ) , ñîñòîÿùàÿ èç âñåõ óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ, (â ìàòðè÷íîì èçîáðàæåíèè) èç âñåõ óíèòàðíûõ ìàòðèö. Òàê êàê óíèòàðíûé îïåðàòîð ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ, òî èç ñîîòíîøåíèé

 (UVx UVy ) = (Vx Vy ) = (x y ),  (E (n )x E (n )y ) = (x y ),  (U x U y ) = (UU x y ) = (E (n )x y ) = (x y ) −1

−1

(4.6.4)

−1

âèäíî, ÷òî óíèòàðíûå îïåðàòîðû îáðàçóþò ãðóïïó. Äëÿ ïîäñ÷¸òà ðàçìåðíîñòè âîñïîëüçóåìñÿ ìàòðè÷íûì èçîáðàæåíèåì è ðàâåíñòâàìè (1.13.6), õàðàêòåðèçóþùèìè óíèòàðíûå ìàòðèöû. Òîãäà ðàâåíñòâî n

∑U i =1

j 2 i

=1

(4.6.5)

ïðåäñòàâëÿåò îäíî ñîîòíîøåíèå, íàëîæåííîå íà äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè ýëåìåíòîâ

U ij :

∑ [(Re U ) + (Im U ) ]= 1 ; n

j 2

i

i =1

j 2

i

òàêèõ ñîîòíîøåíèé âñåãî n Ðàâåíñòâî âèäà n

∑U i =1

U ik = 0 ,

j i

(4.6.6)

( j = 1,2,...,n ) . (j ≠ k)

(4.6.7)

ïðåäñòàâëÿåò äâà ñîîòíîøåíèÿ, íàëîæåííûõ íà äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè

U ij :

112

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

 Re U ik + Im U i j Im U ik ) = 0,  i =1  n j k j k (ReU i Im U i − Im U i ReU i ) = 0. ∑ i =1 

∑ (Re U n

j

i

Òàêèõ ñîîòíîøåíèé áóäåò âñåãî Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòü

2

(4.6.8)

n (n − 1) . 2

U (n ) ðàâíà

2n 2 − n − n (n − 1) = n 2 . U (n ) äîïóñêàåò óìíîæåíèå íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ïî ìîäóëþ ðàâíûå åäèíèöå (òî åñòü ÷èñëà âèäà

(e Ux e Uy ) = e iα

iα

e iα , ãäå α äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî):

e (Ux Uy ) = (x y ) .

− iα iα

 ÷àñòíîñòè, îïåðàòîðû âèäà

(4.6.9)

e iα E (n ) óíèòàðíû; îíè íàçûâàþòñÿ

ãðàäèåíòíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïðîñòðàíñòâà C (n ) . Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ çàêëþ÷¸í â èõ îïðåäåëåíèè: ýòî – âðàùåíèÿ â êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

C (n ) .

6. Îðòîãîíàëüíàÿ ãðóïïà O (n ) åñòü ïîäãðóïïà U (n ), ñîñòîÿùàÿ èç äåéñòâèòåëüíûõ ìàòðèö (äåéñòâèòåëüíûå óíèòàðíûå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè). Äëÿ òàêèõ ìàòðèö ðàâåíñòâà (4.6.5) äàþò n ñîîòíîøåíèé, à ðàâåíñòâà (4.6.7)

n (n − 1) ñîîòíîøåíèé ìåæäó äåéñòâè2

òåëüíûìè ýëåìåíòàìè ìàòðèö; èòàê, ðàçìåðíîñòü

n2 − n −

O (n ) åñòü

n (n − 1) n (n − 1) = . O (n ) äîïóñêàåò óìíîæåíèå íà ÷èñëà ± 1 . 2 2

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïåðàòîðîâ èç O (n ) òàêîâ: ýòî – âðàùåíèÿ (ñîáñòâåííûå è íåñîáñòâåííûå) äåéñòâèòåëüíîãî åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà.

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

113

7. Ñïåöèàëüíàÿ óíèòàðíàÿ ãðóïïà íûõ óíèìîäóëÿðíûõ îïåðàòîðîâ â íèå) ïîäãðóïï

SU (n ) åñòü ãðóïïà âñåõ óíèòàð-

C (n ) , òî åñòü îáùàÿ ÷àñòü (ïåðåñå÷å-

SL(n ,C ) è U (n ). ×òîáû ïîëó÷èòü ýòó ïîäãðóïïó, íàäî

(â ìàòðè÷íîì èçîáðàæåíèè), êðîìå n + n (n − 1) ñîîòíîøåíèé, âûðàæàþùèõ óíèòàðíîñòü, íàëîæèòü åù¸ óñëîâèå óíèìîäóëÿðíîñòè:

det U i j = 1 . Óñëîâèå óíèìîäóëÿðíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìûì îò óæå íàëîæåííûõ ðàíåå óñëîâèé óíèìîäóëÿðíîñòè: èç ýòèõ ïîñëåäíèõ âûòåêàåò, ÷òî

det U i j = 1 , òàê ÷òî óñëîâèå óíèìîäóëÿðíîñòè ôèêñèðóåò ëèøü àðãóìåíò îïðåäåëèòåëÿ. Òàêèì îáðàçîì, çäåñü äîáàâëÿåòñÿ îäíî íîâîå óñëîâèå. Ðàçìåðíîñòü

SU (n ) ðàâíà

2n 2 − n(n − 1) − n − 1 = n 2 − 1 . SU (n ) äîïóñêàåò óìíîæåíèå òîëüêî íà ÷èñëî 1. Ãðóïïû èãðàþò öåíòðàëüíóþ ðîëü â òåîðèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. 8. Ñïåöèàëüíàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ãðóïïà ãðóïï

SO (n ) åñòü ïåðåñå÷åíèå ïîä-

O (n ) è SL(n ,C ) . Ê ñîîòíîøåíèÿì, âûäåëÿþùèì O (n ) , äîáàâ-

ëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå óíèìîäóëÿðíîñòè

det Oi j = 1 . Êàæäàÿ îðòîãîíàëü-

íàÿ ìàòðèöà èìååò îïðåäåëèòåëü, ðàâíûé

det O ⋅ det O −1 = det E (n ) = 1 ;

íî

SU (n )

(O )

−1 j i

± 1 ; â ñàìîì äåëå, (4.6.10)

= O ij (òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà), òàê ÷òî

det O −1 = det O ,

(det O )2 = 1 .

(4.6.11)

Ïîýòîìó óñëîâèå det O = 1 íå ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìûì îò óñëîâèé îðòîãîíàëüíîñòè è íå óìåíüøàåò ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ ãðóïïû. Â

îòëè÷èå îò âñåõ äðóãèõ ãðóïï, ãðóïïà O (n ) íå ñâÿçàíà; ìàòðèöó ñ îïðåäåëèòåëåì 1 íåëüçÿ íåïðåðûâíûì èçìåíåíèåì ïðåâðàòèòü â ìàòðèöó ñ îïðå-

114

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

äåëèòåëåì –1.

O (n ) ðàñïàäàåòñÿ íà ñâÿçíûå êóñêè (êîìïîíåíòû), âûäåëÿå-

ìûå óñëîâèÿìè det O = 1 è det O = −1 . Ïåðâàÿ èç ýòèõ êîìïîíåíò åñòü

SO (n ) . Ðàçìåðíîñòü SO (n ) ðàâíà, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçìåðíîñòè O (n ) , òî

åñòü

n (n − 1) . SO (n ) äîïóñêàåò óìíîæåíèå òîëüêî íà ÷èñëî 1. 2 Îïåðàòîðû

SO (n ) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîáñòâåííûå (íå ìåíÿþùèå

îðèåíòàöèè) âðàùåíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà R (n ) .

§4.7. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï Ïóñòü ãðóïïà G ñîäåðæèò äâå ïîäãðóïïû òîðûõ êîììóòèðóþò, òàê ÷òî ýëåìåíò ïîäãðóïïû

H è F , ýëåìåíòû êî-

H a Fb = Fb H a , ãäå H a - ïðîèçâîëüíûé

H , à Fb - ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ïîäãðóïïû F . Åñëè

ïðè ýòîì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ãðóïïû G ìîæåò áûòü çàïèñàí åäèíñòâåííûì îáðàçîì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ «ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì» ãðóïï

H a Fb , òî ãðóïïó G íàçûâàþò

H è F , çàïèñûâàÿ ýòî â âèäå

G = H × F .

(4.7.1)

Çàìåòèì, ÷òî åäèíñòâåííûì îáùèì ýëåìåíòîì ãðóïï åòñÿ åäèíè÷íûé ýëåìåíò. Ïîñòðîèì ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï

H è F ÿâëÿ-

C 2 è S 2 , ðàññìîòðåí-

íûõ â ïðèìåðàõ 3 è 4. Ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ

E , R, I , RI îáðàçóåò

ãðóïïó, ÿâëÿþùóþñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ãðóïï

C 2 è S 2 , òî åñòü

C 2 h = C 2 × S 2 . Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíò RI åñòü îïåðàöèÿ îòðàæåíèÿ â ïëîñêîñòè xy è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç σ . Ñîñòàâèì òàáëèöó Êýëè äëÿ ãðóïïû

C2h .

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

115 Òàáëèöà 4.7.1

σ E R I σ R E σ I I σ E R σ I R E

Ga \ Gb

E

E R I σ

R

I

§4.8. Ñîïðÿæåííûå ýëåìåíòû è êëàññû Ðàññìîòðåííûå âûøå ïðèìåðû ãðóïï, çàäàííûå òàáëèöàìè Êýëè, ãîâîðÿò î òîì, ÷òî óæå äëÿ íåáîëüøîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ òàáëèöû ñòàíîâÿòñÿ ãðîìîçäêèìè. Èññëåäîâàíèå ñòðîåíèÿ ãðóïï ìîæíî óïðîñòèòü, âûäåëèâ âíóòðè ãðóïïû «êëàññû» ýëåìåíòîâ ñî ñõîäíûìè ñâîéñòâàìè. Ýëåìåíò

Ga íåêîòîðîé ãðóïïû íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ýëåìåíòó

Gb òîé æå ãðóïïû, åñëè íàéä¸òñÿ ýëåìåíò Gn , òàêîé, ÷òî −1

Ga = Gn Gb Gn . Åñëè ýëåìåíòû

(4.8.1)

Gb è Gc îáà ÿâëÿþòñÿ ñîïðÿæåííûìè ýëåìåíòó Ga ,

òî îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ýëåìåíòû

Gb è Gc ÿâëÿþòñÿ ñîïðÿæåííû-

ìè äðóã äðóãó, òàê êàê, åñëè

Ga = Gn Gb Gn

−1

è

−1

G a = Gm Gc G m ,

òî −1

−1

−1

(

−1

) (

−1

Gb = Gn Ga Gn = Gn Gm Gc Gm Gn = Gn Gm Gc Gn Gm

)

−1

.

Ýòî ïðèâîäèò ê ïîíÿòèþ êëàññà, â êîòîðîì âñå ýëåìåíòû ñîïðÿæåíû äðóã ñ äðóãîì. Ïðè ýòîì íè îäèí ýëåìåíò íå ìîæåò ïðèíàäëåæàòü áîëåå ÷åì ê îäíîìó êëàññó. Åñëè ýëåìåíò ïðèíàäëåæèò ê äâóì êëàññàì, òî îí äîëæåí áûòü ñîïðÿæåí ñî âñåìè ýëåìåíòàìè â îáîèõ êëàññàõ, è òîãäà ýëåìåíòû îäíîãî êëàññà áóäóò ñîïðÿæåíû ñ ýëåìåíòàìè äðóãîãî êëàññà, òàêèì îáðàçîì, ýòè äâà êëàññà îáúåäèíÿþòñÿ â îäèí êëàññ.

116

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

Íà îñíîâàíèè âûøåèçëîæåííîãî ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî âñÿêóþ ãðóïïó ìîæíî ðàçáèòü íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû, êîòîðûå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëàìè

Εp .

Åñëè ãðóïïà àáåëåâà, òî êàæäûé å¸ ýëåìåíò, âñëåäñòâèå êîììóòàöèè, ñàì ïî ñåáå îáðàçóåò êëàññ. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå îäèí åäèíè÷íûé ýëåìåíò âñåãäà îáðàçóåò êëàññ.

§4.9. Ïðèìåðû êëàññîâ 1. Ãðóïïà âðàùåíèé

ℜ3

×òîáû íàéòè ýëåìåíòû ãðóïïû, ïðèíàäëåæàùèå ê òîìó æå êëàññó, ÷òî è íåêîòîðûé âûáðàííûé ïîâîðîò îïåðàöèþ âðàùåíèÿ RRk (a )R

−1

Rk (a ), íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü

äëÿ ïðîèçâîëüíîãî

ïðîèçâåäåíèå ìîæíî ïðîñòî èíòåðïðåòèðîâàòü. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî åñòü ïîâîðîò íà òîò æå óãîë

R . Òàêîå òðîéíîå a âîêðóã îñè k ′ ,

ñâÿçàííûé ñ èñõîäíîé îñüþ k ñîîòíîøåíèåì

k ′ = Rk ; äðóãèìè ñëîâàìè,

(4.9.1)

RRk (a )R −1 = Rk ′ (a ).

(4.9.2)

Åñëè ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî îïåðàöèÿ R ïåðåâîäèò âñå âåêòîðû èç ñòàðûõ ïîëîæåíèé â íîâûå (îáîçíà÷åííûå øòðèõîì), òî ðåçóëüòàò ïî÷òè î÷åâèäåí. Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (4.9.2) – ýòî ïîâîðîò âîêðóã íî-

k ′ íà óãîë a . Îïåðàöèÿ â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà – ýòî ïåðåâîä âåêòîðà èç íîâîãî ïîëîæåíèÿ â ñòàðîå, ïîâîðîò âîêðóã ñòàðîé îñè k , à âîé îñè

çàòåì âîçâðàùåíèå âåêòîðà èç ñòàðîãî ïîëîæåíèÿ â íîâîå. Äîêàæåì ýòî áîëåå ñòðîãî. Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî

[RR (a )R ]k ′ = RR (a )k = Rk = k ′ −1

k

k

(4.9.3)

ñ ó÷¸òîì ðàâåíñòâà (4.9.1) è òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî ïîâîðîò, îñü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà, îñòàâëÿåò ýòîò âåêòîð áåç èçìåíåíèÿ. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (4.9.3), ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (4.9.2) îñòàâëÿåò íà ìåñòå âåêòîð

k ′ ; ñëåäîâàòåëüíî, ýòà îïåðàöèÿ ìîæåò áûòü òîëüêî

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

117

e2 R k (a )e1 a Ðèñ. 4.9.1.

e1

k ′ . Íàêîíåö, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî óãîë ïîâîðîòà a íå ìåíÿåòñÿ, ïîñòðîèì îðòîãîíàëüíûé áàçèñ e1 ,e2 â ïëîñïîâîðîòîì âîêðóã íàïðàâëåíèÿ

êîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé

k . Èç ðèñ. 4.9.1 âèäíî, ÷òî Rk (a )e1 = cos ae1 + sin ae2 .

Ïîâîðîò à

(4.9.4)

R â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàâåíñòâîì (4.9.1) ïåðåâîäèò k â k ′ ,

e1 è e2 ïðåîáðàçóåò â äâà íîâûõ åäèíè÷íûõ îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðà

e1′ = R ⋅ e1 è e2′ = R ⋅ e2 , ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó

k ′ . Ïî àíàëîãèè ñ (4.9.4) íàïèøåì Rk ′ (a )e1′ = cos ae1′ + sin ae2′ ;

íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû,

[RR (a )R ]e′ = RR (a )e −1

k

1

k

1

(4.9.5)

= R (cos ae1 + sin ae 2 ) =

= cos ae1′ + sin ae′2 ; ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ (4.9.5), ìû âèäèì, ÷òî ðàâåíñòâî (4.9.2) äîêàçàíî. Èòàê, êëàññû ãðóïïû

ℜ 3 ( SO(3)) î÷åíü ïðîñòûå. Ïîñêîëüêó îïå-

R , ïåðåâîäÿùàÿ íàïðàâëåíèå âåêòîðà k â ïðîèçâîëüíî çàäàííîå íàïðàâëåíèå k ′ , ñóùåñòâóåò âñåãäà, ëþáûå äâà ïîâîðîòà íà

ðàöèÿ âðàùåíèÿ

îäèíàêîâûé óãîë âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, âîêðóã êàêèõ îñåé îíè îñóùåñòâëÿþòñÿ, áóäóò îòíîñèòüñÿ ê îäíîìó è òîìó æå êëàññó.

118

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ 2. Êîíå÷íàÿ ãðóïïà âðàùåíèé Òàê êàê ãðóïïà

D3

D3 ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ℜ 3 , ìû ìîæåì èñêàòü

êëàññû ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ íà îñíîâå ðàâåíñòâà (4.9.2). Èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû äâà ýëåìåíòà ãðóïïû

D3 ïðèíàäëåæàëè îäíî-

ìó êëàññó, îíè äîëæíû îòâå÷àòü ïîâîðîòàì íà îäèíàêîâûé óãîë. Íî ýòîãî íåäîñòàòî÷íî, ýëåìåíòîì ãðóïïû

D3 îáÿçàí áûòü è ïîâîðîò R , ïå-

ðåâîäÿùèé k â k ′ . Òàêèì îáðàçîì ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ìû èìååì òðè êëàññà:

Ε1 = E ,

  Ε 2 = R1 , R2 ,  Ε 3 = R3 , R4 , R5 .

(4.9.6)

Åäèíè÷íàÿ îïåðàöèÿ

E ñàìà ïî ñåáå îáðàçóåò êëàññ. Îïåðàöèè

R1 , R2 ñîîòâåòñòâóþò óãëó ïîâîðîòà ðîòó íà óãîë

π.

Ïîêàæåì, ÷òî ýëåìåíòû

2π , à îïåðàöèè R3 , R4 , R5 - ïîâî3

R1 , R2 ïîïàäàþò â îäèí êëàññ, äëÿ ÷åãî

íàéä¸ì îïåðàöèþ âðàùåíèÿ, ïåðåâîäÿùóþ îñü ÷òî èíîå êàê èíâåðñèÿ îñè Àíàëîãè÷íî, ïîâîðîòû

R2 = R3 R1 R3−1 ,

z , äîñòèãàåìàÿ ïðè îïåðàöèÿõ R3 , R4 , R5 .

R1 , R2 ïåðåâîäÿò äðóã â äðóãà îñè R3 , R4 , R5 : R3 = R1 R4 R1−1 , R3 = R2 R5 R2−1 .

Çàìåòèì, ÷òî ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà àíàëîãè÷íî ãðóïïå

R1 â îñü R2 . Ýòî åñòü íå

ℑ3 ðàçáèâàåòñÿ íà êëàññû

D3 , òàê êàê îíè èçîìîðôíû.

Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà

119

§4.10. Êëàññû ïðîèçâåäåíèÿ ãðóïï H × F ëåãêî óñòàíîâèòü, çíàÿ êëàññû ãðóïï H è F . Ïóñòü ýëåìåíòû H a Fb è H c Fd ïðèíàäëåÊëàññû ãðóïïû ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ

æàò îäíîìó è òîìó æå êëàññó. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ äîëæåí ñóùåñòâîâàòü íåêîòîðûé ýëåìåíò

H e F f , òàêîé, ÷òî

H e F f H a Fb (H e F f ) = H c Fd , −1

òî åñòü

(H H e

a

)(

)

H e−1 F f Fb F f−1 = H c Fd ,

îòêóäà

H e H a H e−1 = H c , F f Fb F f−1 = Fd . Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ìó è òîìó æå êëàññó ãðóïïû

H a è H c ïðèíàäëåæàò îäíî-

H , à Fb è Fd - îäíîìó è òîìó æå êëàññó

F . Òàêèì îáðàçîì, â êëàññå ãðóïïû H × F áóäóò ñîäåðæàòüñÿ âñå ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ H a Fb , ãäå H a ïðîáåãàåò öåëèêîì íåêîòîãðóïïû

ðûé êëàññ ãðóïïû

H , à Fb ïðîáåãàåò êëàññ ãðóïïû F . Êàæäîé ïàðå

êëàññîâ, îäíîìó èç

H , à äðóãîìó èç F , áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü îäèí êëàññ â ãðóïïå H × F . Åñëè ãðóïïà H ñîäåðæèò p êëàññîâ, à ãðóïïà F - q êëàññîâ ñî-

ïðÿæ¸ííûõ ýëåìåíòîâ, òî ÷èñëî êëàññîâ ñîïðÿæ¸ííûõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû G = H × F ðàâíî pq . Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîëíóþ îðòîãîíàëüíóþ ãðóïïó

O(3) â êîòîðîé êàæäîìó óãëó ïîâîðîòà a ñîîòâåòñòâóþò äâà êëàññà ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ. Â îäèí èç íèõ ïîïàäàþò âñå ñîáñòâåííûå âðàùåíèÿ

Rk (a ), à â äðóãîé – âñå íåñîáñòâåííûå âðàùåíèÿ IRk (a ). Êàæäàÿ

òàêàÿ ïàðà êëàññîâ ñîîòâåòñòâóåò äâóì êëàññàì ãðóïïû: ìû ðàññìîòðèì ãðóïïó

E è I . Åñëè

D3h , òî óâèäèì, ÷òî îíà ñîäåðæèò øåñòü êëàñ-

120

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

ñîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìáèíàöèÿì òð¸õ êëàññîâ ãðóïïû êëàññîâ ( E è

D3 , è äâóõ

σ ) ãðóïïû S1 .

§4.11. Òåîðåìà î ïåðå÷èñëåíèè ãðóïï Äîêàæåì îäíî ïðîñòîå ñâîéñòâî ãðóïï, íàçûâàåìîå òåîðåìîé î ïåðå÷èñëåíèè. Òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè íûé ýëåìåíò ãðóïïû âåäåíèå

Ga - íåêîòîðûé ôèêñèðîâàí-

G , à ýëåìåíò Gb ïðîáåãàåò âñþ ãðóïïó, òî ïðîèç-

Gc = Gb Ga òàêæå ïðîáåãàåò âñþ ãðóïïó, ïðè÷¸ì êàæäûé èç ýëå-

ìåíòîâ ãðóïïû ïîÿâëÿåòñÿ îäèí è òîëüêî îäèí ðàç. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì çàäàííîì âèÿ

Gc èç óñëî-

Gb = Gc Ga−1 ñëåäóåò ðàâåíñòâî Gc = Gb Ga . Äâà ðàçíûõ ýëåìåíòà

Gb è Gb′ íå ìîãóò ïîðîæäàòü îäèí ýëåìåíò Gc , òàê êàê âîçìîæíûì áûëî áû ðàâåíñòâî

Gc = Gb Ga = Gb′ Ga , óìíîæèâ êîòîðîå íà Ga−1 , ìû

ïîëó÷èëè áû ðàâåíñòâî ïîëîæåíèÿì.

Gb = Gb′ ïðîòèâîðå÷àùåå íàøèì èñõîäíûì

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

121

Ãëàâà V Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï Â ýòîé ãëàâå ìû îáúåäèíèì ïîíÿòèÿ ãðóïïû è âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà è ðàññìîòðèì âçàèìîñâÿçü ìåæäó ýëåìåíòàìè ãðóïïû è ïðåîáðàçîâàíèÿìè âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà.

§ 5.1. Îïðåäåëåíèå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû Â ïðåäûäóùåé ãëàâå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî êàæäàÿ ãðóïïà G ñîñòîèò èç îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â ïðîñòðàíñòâå

C (n ) , èëè (â ìàòðè÷íîé

ôîðìå) èç n - ðÿäíûõ ìàòðèö. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîé ãðóïïå ìîæíî ñîïîñòàâèòü ÷èñëî n . Ïîíÿòèå ïðåäñòàâëåíèÿ ñëóæèò äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñâÿçè ìåæäó ãðóïïàìè îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàíñòâàõ ðàçëè÷íîé ðàçìåðíîñòè è íåîáõîäèìî íàì äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ñèììåòðèè ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íàì äàíî k - ðÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû

G (èëè ãîìîìîðôèçì G â ãðóïïó k - ðÿäíûõ îïåðàòîðîâ), åñëè êàæäîìó îïåðàòîðó U èç G ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé îïåðàòîð

P(U ) , äåéñòâóþùèé â C (k ) , ïðè÷¸ì ïðîèçâåäåíèþ îïåðàòîðîâ â C (n )

ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ â ðó â

C (k ) è åäèíè÷íîìó îïåðàòî-

C (n ) - åäèíè÷íûé îïåðàòîð â C (k ) : P (UV ) = P(U )⋅ P (V ) ,

P (E (n )) = E (k ) .

×èñëî k íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ïðåäñòàâëåíèÿ

(5.1.1)

P.

Èç (5.1.1) ÿñíî, ÷òî ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ âèäà

P (U ) åñòü îïå-

122

Ãëàâà ïÿòàÿ

ðàòîð òîãî æå âèäà, à èç óñëîâèÿ ñòâåííûé îïåðàòîð â Äàëåå, åñëè V èëè

P (E (n )) = E (k ) ñëåäóåò, ÷òî òîæäå-

C (k ) òàê æå èìååò âèä P(U ) .

= U −1 , òî

P (U )P (U −1 ) = P (E (n )) = E (k )

P (U −1 ) = [P (u )] . −1

Îïåðàòîðû

(5.1.2)

P(U ) , åñëè U ïðîáåãàåò âñå ýëåìåíòû G , îáðàçóþò

ãðóïïó, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç

P(G ) . Ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ

P (U ) óíèòàðíû. Ïðåäñòàâëåíèå P(G ) ìîæíî íàãëÿäíî èñòîëêîâàòü êàê íåêîòîðîå «èçîáðàæåíèå» n - ðÿäíûõ îïåðàòîðîâ k - ðÿäíûìè: äåéñòâèå îïåðàòîðà U â C (n ) «âûçûâàåò» ñâÿóíèòàðíûì, åñëè âñå îïåðàòîðû

çàííîå ñ íèì ïî íåêîòîðîìó çàêîíó äåéñòâèå îïåðàòîðà

P(U ) â C (k ) .

§ 5.2. Ìàòðè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ Çàôèêñèðóåì â ïðîñòðàíñòâå ïîñòðîèì äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà ìóëå

L íåêîòîðûé áàçèñ e1 , e2 ,..., en è

P(U ) ìàòðèöó (ñì. ãë. I, §1.11) ïî ôîð-

P(U )ei = Pi j (U )e j .

Íàáîð ìàòðèö

(5.2.1)

P(U ) ñ ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè Pi j (U ) îáðàçóåò

ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû. Ìàòðèöû P (U ) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (5.1.1) îáû÷íîãî ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ

P (U )⋅ P (V ) = P (UV ) .

Ïîêàæåì ýòî:

P(U )⋅ P(V )ei = P(U )Pi j (V )e j = Pi j (V )⋅ Pjk (U )ek

è

(5.2.2)

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

123

P(U )⋅ P(V )ei = P(UV )ei = Pi k (UV )ek , òàê ÷òî

Pi k (UV ) = Pjk (U )Pi j (V ).

(5.2.3)

Íà ïðàêòèêå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, êàê ïðàâèëî, óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì

Pi j (U ) = (e j P(U )ei ),

(5.2.4)

êîòîðîå ïðÿìî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà (5.2.1).

§ 5.3. Ïðèìåðû ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï 1. Òîæäåñòâåííîå (ôóíäàìåíòàëüíîå) ïðåäñòàâëåíèå.  äàííîì ñëó÷àå k = n è

P(U ) = U äëÿ âñåõ îïåðàòîðîâ U èç

G , òî åñòü êàæäûé îïåðàòîð U «èçîáðàæàåòñÿ» ñàìèì ñîáîé. 2. Òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå.

P(U ) äëÿ âñåõ U èç G ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì òîæäåñòâåííîìó îïå-

ðàòîðó

E (k ) .

3. Ñêàëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå.

Ïóñòü k = 1 è P (U ) = det U . Òîãäà êîìïëåêñíûå ÷èñëà P (U ) ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê îäíîðÿäíûå ìàòðèöû. Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ îïåðàòîðà (§1.13), óñëîâèÿ (5.1.1) âûïîëíÿþòñÿ, ïðè ýòîì âñå îïåðàòîðû âèäà

UVU −1V −1 ïåðåõîäÿò â E (k ) ; åñëè ãðóïïà G íå êîììóòàòèâíà, òî

ïðÿäîê ïåðåìíîæåíèÿ â ãðóïïå G ñóùåñòâåíåí, à â

P(G ) - íåò:

P(UV ) = P(U ) ⋅ P(V ) = P(V ) ⋅ P (U ) = P (VU ). Èçîáðàæåíèå n - ðÿäíûõ îïåðàòîðîâ îäíîðÿäíûìè «îãðóáëÿåò»

èõ àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà. Àáåëåâû ãðóïïû íå èìåþò äðóãèõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé êðîìå òðèâèàëüíîãî è ñêàëÿðíîãî.

124

Ãëàâà ïÿòàÿ 4. Èíäóöèðîâàííûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Êàæäûé òèï òåíçîðîâ

T ( p, q ) ïîçâîëÿåò ñîïîñòàâèòü (ñì. §3.3)

îïåðàòîðàì U , äåéñòâóþùèì â

C (n ) , èíäóöèðîâàííûå îïåðàòîðû

Π (U ) , äåéñòâóþùèå â C ( p, q ) . Èç (3.3.11) ñëåäóåò, ÷òî Π - ïðåäñòàâëåíèå ïîëíîé ëèíåéíîé ãðóïïû

GL(n, C ) . Ñòåïåíü ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ

ðàâíà ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ðèâàòü âìåñòî åò

C ( p, q ) , òî åñòü n p + q . Åñëè ðàññìàò-

GL(n, C ) íåêîòîðóþ å¸ ïîäãðóïïó G , òî Π ïðåäñòàâëÿ-

n p + q - ðÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G : íàäî ðàññìàòðèâàòü ëèøü òå

Π (U ) , êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò îïåðàòîðàì U èç G .  ÷àñòíîñòè, åñëè

â êà÷åñòâå G âçÿòü

U (n ) , òî è îïåðàòîðû Π (U ) áóäóò óíèòàðíû (ñì.

§3.3); ïîëó÷àåòñÿ óíèòàðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû äåéñòâóþùèìè â ïðîñòðàíñòâå

C ( p, q ) .

U (n ) îïåðàòîðàìè,

Ïðåäñòàâëåíèå

P íàçûâàåòñÿ òî÷íûì, åñëè îíî ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ðàçëè÷íûì îïåðàòîðàì U , V èç G ðàçëè÷íûå îïåðàòîðû èç P (G ) (äðóãèìè ñëîâàìè: ãîìîìîðôèçì

P íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå èçîìîð-

ôèçìîì ãðóïï G è P (G ) ). Òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå, î÷åâèäíî, òî÷íî. Òðèâèàëüíîå ïðåä-

ñòàâëåíèå íåòî÷íî, åñëè G ñîñòîèò íå èç îäíîãî îïåðàòîðà

E (n ) . Îä-

íîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå íåòî÷íî, åñëè G - íå àáåëåâà ãðóïïà (îáðàòíîå íåâåðíî!). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èíäóöèðîâàííûå ïðåäñòàâëåíèÿ, êàê ïðàâèëî, òî÷íû. 5. Ãðóïïà

D3

Äëÿ âûÿñíåíèÿ ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ïðåäñòàâëåíèÿ, ðàññìîòðèì ãðóïïó

D3 , (ñì. ãë. IV, §4.5, ï.6) è ïîñòðîèì äëÿ íå¸ ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâ-

ëåíèå. Âûáåðåì áàçèñíûå âåêòîðû

r r ex è e y òàê, êàê óêàçàíî íà ðèñ.5.3.1.,

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï à âåêòîð

125

r ez íàïðàâèì ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ðèñóíêà. r ey R4

r e x′ R5 r ex r e′y R3

Ðèñ. 5.3.1.

Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ýëåìåíòà ãðóïïû, íàïðèìåð æåíèå ïîâîðîòà íà 120 âîêðóã îñè 0

z ).

r r 1r 3r  P (R1 )e x = e x′ = − ex + e y , 2 4  r r 3r 1 r  P (R1 )e y = e y′ = − e x − e y , 4 2  r r r  P (R1 )ez = ez′ = ez .   Â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.2.4) ìàòðèöà

 1 −  2  3 P (R1 ) =   4  0  

3 4 1 − 2 0

−

 0   0 .  1  

R1 (îòîáðà-

(5.3.1)

P (R1 ) áóäåò ðàâíà

126

Ãëàâà ïÿòàÿ Äëÿ äðóãèõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷èì:

 1  −  2  3 P (R2 ) =  − 4  0     1   2  3 P (R4 ) =  − 4  0        P (R5 ) =     

1 2 3 4 0

 0   0 ,  1  

3 4 1 − 2 0

3 4 1 − 2 0

−

3 4 1 − 2 0

−1 0 0    P (R3 ) =  0 1 0  ,  0 0 − 1  

 0   0 ,  − 1  

 0   0 ,  − 1  

1 0 0   P (E ) =  0 1 0  . 0 0 1  

Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîëó÷åííûå ìàòðèöû èìåþò òàáëèöó óìíîæåíèÿ, ñîâïàäàþùóþ ñ òàáëèöåé 4.5.6. Ðàññìàòðèâàÿ îäíîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî âåêòîðà ïîñòðîèòü ïðîñòîå îäíîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå

P (2 ) (R1 ) = 1 , P (2 ) (R2 ) = 1 , P (2 ) (R4 ) = −1 ,

P (2 ) :

P (2 ) (R3 ) = −1 ,

P (2 ) (R5 ) = −1 ,

P (2 ) (E ) = 1 .

r ez , ìû ìîæåì

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï Îòìåòèì, ÷òî

127

P (2 ) íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèåì,

êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç

P (1) (Ri ) = 1 , ñòàâÿùèì â ñîîòâåòñòâèå êàæ-

äîìó ýëåìåíòó ãðóïïû +1. Òàê êàê â òðåòüåé ñòðîêå è òðåòüåì ñòîëáöå ðèöû

P (Ri ) ñòîÿò íóëè, ìàò-

2 × 2 , ïîñòðîåííûå èç äâóõ ïåðâûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ, îáðàçóþò

äâóìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå

P (3) ãðóïïû D3 .

6. Ãðóïïà ℜ 2 Èñïîëüçóÿ ïðîñòðàíñòâî ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ïîñòðîèì ïðåäñòàâëåíèå íåïðåðûâíîé ãðóïïû ãðóïïîâûõ ýëåìåíòîâ

ℜ2 âîêðóã îñè z .  ýòîì ñëó÷àå èíäåêñ a

R (a ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ïàðàìåòðîì â èíòåð-

âàëå 0 ≤ a ≤ 2 π .

R íàéä¸ì èç óðàâíåíèÿ r r rr Ri j (a ) = e j ⋅ R (a )e i = e j e ′i ,

Ìàòðèöó îòêóäà

R11 = cos a , R12 = − sin a ,

R21 = sin a , R22 = cos a ,

òàê ÷òî

 cos a − sin a  R =   ,  sin a cos a 

(5.3.2)

îòêóäà

 cos a − sin a 0    P (a ) =  sin a cos a 0  .  0 0 1  

(5.3.3)

èç (5.3.3) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî

P (a )P (b ) = P (a + b )

äëÿ ëþáûõ a è b â ñîãëàñèè ñ ïðàâèëîì óìíîæåíèÿ ãðóïïîâûõ ýëåìåíòîâ

128

Ãëàâà ïÿòàÿ

R(a )⋅ R (b ) = R (a + b ) . 7. Ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà Äâà ïåðâûõ ïðèìåðà ïðåäñòàâëåíèé ïîñòðîåíû â îáû÷íîì ôèçè÷åñêîì òð¸õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîêàæåì òåïåðü, êàê äëÿ ãðóïï òèïà

D3 è ℜ2 ïîñòðîèòü ïðåä-

ñòàâëåíèÿ ðàçìåðíîñòè áîëüøåé òð¸õ. Ïîñòðîèì ïðåäñòàâëåíèÿ â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, ðàññìîòðåâ ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé ïðè ïîâîðîòàõ ñèñòåìû êîîðäèíàò ñîãëàñíî ôîðìóëå:

r r P(U )Ψ (r ) = Ψ (U −1r ) .

(5.3.4)

r r Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ ïðîñòðàíñòâî L ôóíêöèé Ψ (r ) , ãäå r - êîîðäèíàòû, èíâàðèàíòíûõ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé êîîðäèíàò U , â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè

(

−1

r

)

r Ψ (r ) ïðèíàäëåæèò L , òî åìó ïðèíàäëå-

æèò è Ψ U r äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ U ýòîé ãðóïïû. Óáåäèìñÿ, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå (5.3.4) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (5.1.1).

r r Ψ ′(r ) = Ψ (U −1r ) , òî r r r P (U )⋅ P (V )Ψ (r ) = P (U )Ψ (V −1r ) = P(U )Ψ ′(r ) = r r r −1 r = Ψ ′(U −1r ) = Ψ (V −1U −1r ) = Ψ (UV ) r = P (UV )Ψ (r ) .

Òàê êàê

(

)

 äàííîì äîêàçàòåëüñòâå î÷åíü âàæíî ââåäåíèå íîâîé ôóíêöèè

r r Ψ ′(r ) = Ψ (U −1r ) ,

òàê êàê â îáùåì ñëó÷àå

r r P (U )Ψ (V −1r ) ≠ Ψ (U −1V −1r ).

Ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî, åñëè ðàñïðîñòðàíèòü îáùåå âûðàæåíèå

P(U )ei = Pi j (U )e j

(5.2.1)

íà ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, âûáðàâ áàçèñ

(

)

r Ψi (r ) :

r r r r P(U )Ψi (r ) = Ψi U −1r = Ψ ′(r ) = Pi j (U )Ψ j (r ) ,

(5.3.6)

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï ãäå

129

r r Ψi (r ) ñëóæàò ïðèìåðîì àáñòðàêòíûõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ ei .

L ôóíêöèé âèäà r 2 2 2 Ψ (r ) = c1 x + c2 y + c3 z + c4 yz + c5 zx + c6 xy , r çàâèñÿùåå îò êîîðäèíàò x , y , z ÷àñòèöû, ãäå ôóíêöèÿ Ψ (r ) çàäà¸òñÿ Ðàññìîòðèì øåñòèìåðíîå ïðîñòðàíñòâî

íàáîðîì øåñòè êîìïëåêñíûõ ïàðàìåòðîâ

ci .

 êà÷åñòâå áàçèñà âûáåðåì øåñòü ôóíêöèé

Ψ1 = x 2 , Ψ2 = y 2 , Ψ3 = z 2 , Ψ4 = yz , Ψ5 = zx , Ψ6 = xy , r îáîçíà÷èâ èõ ÷åðåç ðàäèóñ-âåêòîð r : r r2 r r r r Ψ1 = (ex , r ) , Ψ4 = (e y , r )(ez , r ) è òàê äàëåå. Ââåä¸ííîå íàìè ïðîñòðàíñòâî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ëþáîãî âðàùåíèÿ è, â ÷àñòíîñòè, îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ãðóïïû Íàïðèìåð, 2

r r2  1r 3 r r  P(R1 )Ψ1 = P(R1 )(ex , r ) =  − ex + ey , r  = 2 4   =

1 2 3 2 3 1 3 3 Ψ6 , x + y − xy = Ψ1 + Ψ2 − 4 4 4 4 4 4

r r r r P(R1 )Ψ4 = P(R1 )(e y , r )(e z , r ) =  3 r 1 r r r r 1 3 =  − e x − e y , r (ez , r ) = − yz − xz = 4 2 2 4   1 3 = − Ψ4 − Ψ5 . 2 4 Ïðîäîëæàÿ âûêëàäêè, ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó

D3 .

130

Ãëàâà ïÿòàÿ

 1   4  3   4  0 P(R1 ) =   0   0   3 − 4 

3 4 1 4 0 0 0 3 4

0

0

0

0

0

0

1

0 1 0 − 2 3 0 − 4 0

0 3 4 1 − 2

0

0

3   4  3 −  4 0  . 0   0   1  −  2 

Òàêèì æå îáðàçîì ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû îñòàëüíûå ïÿòü ìàòðèö, è îíè áóäóò èìåòü òó æå òàáëèöó óìíîæåíèÿ, ÷òî è ýëåìåíòû ãðóïïû. Çàìå÷àíèå. Ïðè óìíîæåíèè ôóíêöèè

r Ψ (r ) íà ëþáóþ ñêàëÿðíóþ

r f (r ) , ãäå r = r , ïðåäñòàâëåíèå îñòà¸òñÿ íåèçìåííûì è, åñëè r ôóíêöèÿ f (r ) äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàåò ïðè áîëüøèõ r , îáú¸ì V , â

ôóíêöèþ

êîòîðîì îïðåäåëåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ìîæíî ðàñøèðèòü äî áåñ-

r

êîíå÷íîñòè.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ Ψ (r ) ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé âîëíîâóþ ôóíêöèþ ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîì ïîòåíöèàëå âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò, êàê ýëåêòðîí â àòîìå âîäîðîäà.

§ 5.4. Ñóììà ïðåäñòàâëåíèé Ðàññìîòðèì

k - ðÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G ; äîïóñòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ïðåäñòàâëåíèÿ C (k ) ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó

C (k ) = C (k1 ) ⊕ ... ⊕ C (k s )

(5.4.1)

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

131

êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ òàêèì îáðàçîì, ÷òî êàæäîå ïðîñòðàíñòâî

C (k j ) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåäñòàâëÿþùèõ îïåðàòî-

ðîâ, òî åñòü äëÿ âñåõ U èç G îïåðàòîð

P(U ) ïåðåâîäèò âåêòîðû C (k j )

â âåêòîðû òîãî æå ïîäïðîñòðàíñòâà. Îïåðàòîðû ìûå òîëüêî íà

P(U ) , ðàññìàòðèâàå-

C (k j ), îïðåäåëÿþò k j - ðÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå G , êîòî-

ðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç

Pj . Ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå P

ðàñïàäàåòñÿ â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ïðåäñòàâëåíèé

Pj :

P = P1 ⊕ P2 ⊕ ... ⊕ Ps .

(5.4.2)

Îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû êàæäîãî èç ïîäïðîñòðàíñòâ âìåñòå âçÿòûå, îáðàçóþò áàçèñ â

C (k j )

C (k ) , à îïåðàòîðû P(U ) áóäóò èçîá-

ðàæàòüñÿ ÿùè÷íûìè ìàòðèöàìè âèäà (2.5.4) ñ ÿùèêàìè èç

k1 , k 2 ,..., k s

ðÿäîâ.

§ 5.5. Ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèÿ îòâåòñòâóþùèõ ïðîñòðàíñòâàõ èçâåäåíèå ýòèõ ïðîñòðàíñòâ:

C (k ) ⊗ C (l )

P, Q îäíîé è òîé æå ãðóïïû G , â ñî-

C (k ) è C (l ) . Ïîñòðîèì òåíçîðíîå ïðî(5.5.1)

ðàçìåðíîñòè kl . Êàæäîìó îïåðàòîðó U èç ãðóïïû G ñîîòâåòñòâóþò ïðåäñòàâëÿþùèå îïåðàòîðû ñòâàõ ðîâ:

P(U ), Q(U ) , äåéñòâóþùèå, ñîîòâåòñòâåííî, â ïðîñòðàí-

C (k ) è C (l ) . Ïîñòðîèì òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ îïåðàòîP(U ) ⊗ Q(U )

(5.5.2)

132

Ãëàâà ïÿòàÿ

- îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå C (k ) ⊗ C (l ) (ñì. § 2.7). Èç îïðåäåëåíèÿ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ âèäíî, ÷òî

P(UV ) ⊗ Q(UV ) = P(U )P(V ) ⊗ Q(U )Q(V ) =

= (P(U ) ⊗ Q(U ))(P(V ) ⊗ Q(V )),

(5.5.3)

òàê ÷òî ôîðìóëà (5.5.2) îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå

C (k ) ⊗ C (l ) , íàçûâàåìîå òåíçîðíûì (êðîíåêåðîâûì) ïðî-

èçâåäåíèåì ïðåäñòàâëåíèé P, Q . Ñòðîåíèå ìàòðèö, èçîáðàæàþùèõ îïåðàòîðû (5.5.2), âèäíî èç (2.8.4). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ÷èñëà ïðåäñòàâëåíèÿ.

§ 5.6. Ýêâèâàëåíòíîñòü ïðåäñòàâëåíèé Ïðîñòðàíñòâî, îïðåäåëÿåìîå âåêòîðàìè ïîðîæäàåò äâóìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû

r r e x è e y (ïðèìåð 5, §5.3)

D3 . Åñëè ìû âûáåðåì äðó-

ãèå áàçèñíûå âåêòîðû â òîì æå ïðîñòðàíñòâå, ìû ïîëó÷èì äðóãîé íàáîð ìàòðèö äâóìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî ïîäîáíîå òðèâèàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå áàçèñà íå áóäåò èçìåíÿòü íåêèå ñóùåñòâåííûå ñâîéñòâà ïðåäñòàâëåíèÿ - è ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Ââåä¸ì ïîíÿòèå ýêâèâàëåíòíîñòè ïðåäñòâàëåíèé, êîòîðîå ïðèäàñò ñòðîãóþ ôîðìó íàøåìó óòâåðæäåíèþ. Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèÿ íîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå

P, Q îäíîé è òîé æå ãðóïïû G â îä-

C (k ) . Ïðåäñòàâëÿþùèå îïåðàòîðû

P(U ) , Q(U ) ïðè ïåðåìåííîì U èç G , ñîñòàâëÿþò äâà ñåìåéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â

C (k ) . Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ýòè ñåìåéñòâà ïåðå-

õîäÿò äðóã â äðóãà ïðè íåêîòîðîì ïðåîáðàçîâàíèè W ïðîñòðàíñòâà

C (k ) , òî åñòü

Q(U ) = WP(U )W −1

(5.6.1)

ïðè âñåõ U (îáðàòèìûé îïåðàòîð W îäèí è òîò æå äëÿ âñåõ U ). Â ýòîì

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

133

ñëó÷àå ïðåäñòàâëåíèÿ

P è Q íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè. Ñìûñë ñîîò-

íîøåíèÿ (5.6.1) çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: åñëè

P(U ) ïåðåâîäèò âåêòîð

x â âåêòîð y , òî Q(U ) ïåðåâîäèò âåêòîð Wx â âåêòîð Wy ; èíà÷å ãîâîðÿ, îáðàçû è ïðîîáðàçû âñåõ îïåðàòîðîâ

P(U ) «ïîâîðà÷èâàþòñÿ» ñ

ïîìîùüþ îäíîãî è òîãî æå «äâèæåíèÿ» W . Åñëè îïåðàòîð W óíèòàðåí, òî ïðåäñòàâëåíèÿ P, Q íàçûâàþòñÿ óíèòàðíî ýêâèâàëåíòíûìè. Åñëè ïåðåéòè ê ìàòðè÷íîìó èçîáðàæåíèþ ïðåäñòàâëÿþùèõ îïåðàòîðîâ, òî äëÿ óíèòàðíî ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé

P, Q ìàòðèöû P(U ) ïåðåõîäÿò â Q(U ) ïðè íåêîòîðîé çàìåíå

áàçèñà â C (k ) . Äëÿ ïðîñòîé (íå óíèòàðíîé) ýêâèâàëåíòíîñòè òî æå âåðíî, åñëè ïîëüçîâàòüñÿ îáùèìè, íå îáÿçàòåëüíî îðòîíîðìèðîâàííûìè áàçèñàìè. Ïðåäñòàâëåíèÿ îäèíàêîâîé ñòåïåíè, ðàññìàòðèâàåìûå â ïðîñòðàíñòâàõ îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè, ìû ìîæåì âñåãäà çàìåíèòü ïðåäñòàâëåíèÿìè â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå, òàê êàê âñå êîìïëåêñíûå åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè èçîìîðôíû è ìîãóò áûòü îòîæäåñòâëåíû. Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî âàæíåéøèå ñâîéñòâà ëþáûõ äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé îäèíàêîâû è ìû ìîæåì îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì èç êàæäîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé ëèøü ïî îäíîìó ïðåäñòàâëåíèþ.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ, ïîñêîëüêó óòâåðæäåíèå, èçâåñòíîå ïîä íàçâàíèåì òåîðåìû Ìàøêå, ãëàñèò, ÷òî äëÿ êîíå÷íûõ ãðóïï â ëþáîì êëàññå ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé ñîäåðæàòñÿ óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Ýòà òåîðåìà ñïðàâåäëèâà è äëÿ áîëüøèíñòâà íåïðåðûâíûõ ãðóïï, ðàññìàòðèâàåìûõ â ôèçèêå.

§ 5.7. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèé Ïðèìåð 7 èç § 5.3 ïîêàçûâàåò, ÷òî èñõîäÿ èç âñ¸ áîëåå ñëîæíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, ìîæíî ïîëó÷àòü ìàòðè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ âñ¸ âîçðàñòàþùåãî ðàçìåðà, ÷òî ïðèâîäèò íàñ ê ìûñëå î òîì, ÷òî èçó÷åíèå âîçìîæíûõ ïðåäñòàâëåíèé äàæå â ïðîñòåéøèõ ãðóïïàõ òèïà

D3 ÿâëÿåòñÿ äåëîì íåìûñëèìîé ñëîæíîñòè. Ýòó ñëîæíóþ ñèòóàöèþ ñïà-

134

Ãëàâà ïÿòàÿ

ñàåò ñëåäóþùåå çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî ãðóïïîâûõ ïðåäñòàâëåíèé: âñå ïðåäñòàâëåíèÿ êîíå÷íîé ãðóïïû ìîæíî «ïîñòðîèòü» èç êîíå÷íîãî ÷èñëà íåêîòîðûõ îïðåäåë¸ííûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ãðóïïà

D3 (ïðèìåð 5, §5.3), íàïðèìåð, èìååò òîëüêî òðè îïðåäåë¸ííûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ: äâà îäíîìåðíûõ è îäíî äâóìåðíîå, õîòÿ ðàçìåðíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ â äàííîì ïðèìåðå ðàâíà òð¸ì. Èç âèäà ìàòðèö

P(Ri ) âûòåêàåò, ÷òî ïîñòðîåííûå èç ïåðâûõ äâóõ ñòðîê è ñòîëáöîâ ìàò-

ðèöû 2 × 2 îáðàçóþò äâóìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå, òîãäà êàê äèàãîíàëüíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû, ðàñïîëîæåííûå íà ïåðåñå÷åíèè òðåòüåé ñòðîêè è òðåòüåãî ñòîëáöà, îáðàçóþò ïðåäñòàâëåíèå ðàçìåðíîñòè åäèíèöà. Ýòî ñòàíîâèòüñÿ âîçìîæíûì, òàê êàê ðàâíû íóëþ ýëåìåíòû, ðàñïîëîæåííûå íà ïåðåñå÷åíèè ïåðâûõ äâóõ ñòðîê ñ òðåòüèì ñòîëáöîì è ïåðâûõ äâóõ ñòîëáöîâ ñ òðåòüåé ñòðîêîé. Åñëè ãîâîðèòü î âåêòîðíîì

r r e x è e y ïîðîæäàþò èír âàðèàíòíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, à îäèí âåêòîð e z ïîðîæäàåò âòîïðîñòðàíñòâå, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äâà âåêòîðà

ðîå èíâàðèàíòíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, îðòîãîíàëüíîå ïåðâîìó. Ìû ñêàæåì â ýòîé ñèòóàöèè, ÷òî òð¸õìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå ïðèâîäèòñÿ ê «ñóììå» äâóìåðíîãî è îäíîìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèé. Îäíîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå, î÷åâèäíî, íå ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî äàëüøå, à ïîïûòàâøèñü ïðèâåñòè äâóìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå, ìîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî è îíî òîæå íåïðèâîäèìî. Ýòî ìîæíî ïîíèìàòü òàê: íåâîçìîæíî âûáðàòü íîâûå áàçèñíûå âåêòîðû

r r r r r r e1 = αe x + βe y è e 2 = β e x + αe y ,

òàêèå, ÷òîáû ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû

r r r r P12 (Ra ) = (e1 , P(Ra )e2 ) è P21 (Ra ) = (e2 , P(Ra )e1 )

îáðàùàëèñü â ýòîì áàçèñå â íóëü äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ

Ra èç ãðóïïû D3 .

Ïðåäñòàâëåíèÿ, êîòîðûå íåëüçÿ ïðèâåñòè, íàçûâàþòñÿ íåïðèâîäèìûìè. Ïîíÿòèå ïðèâîäèìîñòè èãðàåò î÷åíü âàæíóþ ðîëü â ôèçèêå, ïîñêîëüêó, êàê ìû óâèäèì â äàëüíåéøåì, èç âîëíîâûõ ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ ñèììåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ñ îäíîé è òîé æå ýíåðãèåé, ìîæíî ïîñòðîèòü áàçèñíûå ôóíêöèè íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû îïåðàöèé ñèììåòðèè. Äàäèì òåïåðü áîëåå ñòðîãîå ïîíÿòèå ïðèâîäèìîñòè.

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï Ïóñòü

135

P - ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå C (k ) . Åñëè

C (k ) íå ñîäåðæèò ïîäïðîñòðàíñòâà ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè, èíâàðèàíò-

íîãî îòíîñèòåëüíî ãðóïïû P (G ) , òî ïðåäñòàâëåíèå P íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå – ïðèâîäèìûì.  ðÿäå âàæíûõ ñëó÷àåâ èçó÷åíèå âñåõ ïðåäñòàâëåíèé ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê èçó÷åíèþ íåïðèâîäèìûõ. Íàïðèìåð, äëÿ ãðóïï âåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:

SU (n ) ñïðà-

Êàæäîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû SU (n ) ðàçëàãàåòñÿ â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé; ýòî ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè. Äâà òàêèõ ðàçëîæåíèÿ, ïîñëå íàäëåæàùåãî èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà ñëàãàåìûõ, ñîñòîÿò èç ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé, ýòî çíà÷èò, ÷òî ðàçëîæåíèÿ íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ

P = P1 ⊕ P2 ⊕ ... ⊕ Pm , Q = Q1 ⊕ Q2 ⊕ ... ⊕ Qn

(m = n ) , è ñóùåñòâó(i = 1,2,..., n ) ýêâèâà-

îáÿçàòåëüíî ñîäåðæàò îäèíàêîâîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ åò òàêàÿ ïîäñòàíîâêà

(ν 1ν 2 ...ν n ) , ÷òî

Qi è Pν i

ëåíòíû. Ïîäîáíîå óòâåðæäåíèå î ðàçëîæåíèè íåâåðíî äëÿ íåêîòîðûõ äðóãèõ êëàññè÷åñêèõ ãðóïï, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ïîëíîé ëèíåéíîé ãðóïïû

GL(n, C ) .

§ 5.8. Íåýêâèâàëåíòíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ Äâà ïðåäñòàâëåíèÿ

P è Q íàçûâàþòñÿ íåýêâèâàëåíòíûìè, åñëè íå

ñóùåñòâóåò òàêîãî îïåðàòîðà U , êîòîðûé óäîâëåòâîðÿë áû ñîîòíîøåíèþ (5.6.1) äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ

U i ãðóïïû. Ýêâèâàëåíòíûå íåïðèâîäè-

ìûå ïðåäñòàâëåíèÿ óäîáíî ðàññìàòðèâàòü êàê îäíî ïðåäñòàâëåíèå. Äëÿ ìàòðèö ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñåãäà ìîæíî âûáðàòü òàêîé áàçèñ, â êîòîðîì ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðèöû èäåíòè÷íû. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàçëîæåíèÿ (5.4.2) ïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ íà åãî íåïðèâîäèìûå êîìïîíåíòû ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â òàêîì ðàçëîæåíèè íåêîòîðîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëå-

136

Ãëàâà ïÿòàÿ

íèå ìîæåò ïîÿâëÿòüñÿ íåñêîëüêî ðàç. Ïîýòîìó ðàçëîæåíèå íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

P = ∑ mi P (i ) ,

(5.8.1)

i

ãäå

i ïðîáåãàåò íåýêâèâàëåíòíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, à öåëîå ÷èñëî mi ïîêàçûâàåò, ñêîëüêî ðàç äàííîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå P (i ) ïîÿâëÿåòñÿ â ðàçëîæåíèè.

Íàïðèìåð, â ðàçëîæåíèè øåñòèìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðàññìîòðåííîãî â § 3.5, ï.3, äâàæäû âõîäèò òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå. Äâå íåçà-

(

)

âèñèìûå ôóíêöèè x + y è z , èíâàðèàíòíûå â ãðóïïå D3 , ÿâëÿþòñÿ ïî ýòîé ïðè÷èíå áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè îäíîìåðíîãî òîæäåñòâåííî2

2

2

(1)

ãî ïðåäñòàâëåíèÿ P , ñòàâÿùåìó â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ãðóïïîâîìó ýëåìåíòó åäèíèöó. Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî è äâóìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå

P (3) âõîäèò â ðàçëîæåíèå äâàæäû è ôîðìóëà (5.8.1) ïðèâåäåíèÿ ïðåä-

ñòàâëåíèÿ áóäåò èìåòü âèä

P = 2 P (1) ⊕ 2 P (3) .

§5.9. Ëåììû Øóðà Àíàëèçèðóÿ äâà ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, îáëàäàþùèõ, êàê ìû ýòî ïîêàæåì íèæå, ñâîéñòâàìè îðòîãîíàëüíîñòè, ñîñòàâëÿþùèìè ÿäðî ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé è ëåæàùèõ â îñíîâå áîëüøèíñòâà ôèçè÷åñêèõ ïðîÿâëåíèé ñèììåòðèè. Ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíîñòè ñëåäóþò èç äâóõ ëåìì Øóðà, ââåä¸ííûõ èì â 1905 ãîäó. Ïåðâàÿ ëåììà Øóðà. Ïóñòü

P(Ga ) - íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â ïðîñòðàí-

ñòâå

L , è ïóñòü A - ôèêñèðîâàííûé îïåðàòîð â L . Òîãäà, åñëè äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ G a ãðóïïû G âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî P(Ga )A = AP(Ga ) , òî A = λ ⋅ 1 ,

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

137

ãäå 1 åñòü òîæäåñòâåííûé (èëè åäèíè÷íûé îïåðàòîð). Äðóãèìè ñëîâàìè, âñÿêèé ôèêñèðîâàííûé îïåðàòîð, êîììóòèðóþùèé

P(Ga ) íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ ëþáûõ Ga èç

ñ îïåðàòîðàìè

ãðóïïû G , ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì îïåðàòîðîì ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x - ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà ïðîñòðàíñòâå òåïåðü

A â

L ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λ , òàêîé ÷òî Ax = λx . Åñëè

x ïðåîáðàçîâàíèåì P(Ga ) ïåðåâîäèòñÿ â íîâûé âåêòîð

x a = P(Ga )x , òî x a òàêæå áóäåò ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðà A

λ , ïîñêîëüêó Ax a = AP(Ga )x = P(Ga )Ax = P(Ga )λx = λP(Ga )x = λx a .

ñ òåì æå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì

Åñëè

Ga ïðîáåãàåò âñþ ãðóïïó G , òî íàáîð âåêòîðîâ x a äîëæåí

ïîðîæäàòü èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, òàê êàê

P(Gb )x a = P(Gb )P(Ga )x = P(Gb Ga )x = xc ,

ãäå

c îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì Gb Ga = Gc ãðóïïîâîé òàáëèöû óì-

íîæåíèÿ. Ïðîñòðàíñòâî L íåïðèâîäèìî ïî îïðåäåëåíèþ è íå ìîæåò ñîäåðæàòü èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ

x a îáÿçàíî ñîâïàäàòü ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì L , èç ÷åãî

ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà

X = ∑ c a x a â L ìû ìîæåì çàïèñàòü a

AX = A∑ ca xa = ∑ ca Axa = ∑ ca λxa = λX , a

a

a

X - ïðîèçâîëüíûé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà L òî A = λ ⋅ 1 .  ìàòðè÷íîé ôîðìå îïåðàòîð A áóäåò ïðîñòî ðàâíÿòüñÿ âåëè÷èíå λ , óìíîà òàê êàê

æåííîé íà åäèíè÷íóþ ìàòðèöó.

138

Ãëàâà ïÿòàÿ Âòîðàÿ ëåììà Øóðà. Ïóñòü

P (1) (Ga ) è P (2 ) (Ga ) - äâà íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóï-

ïû G â ïðîñòðàíñòâàõ

L1 è L2 ðàçìåðíîñòåé s1 è s 2 , è ïóñòü A - îïå-

ðàòîð, ïåðåâîäÿùèé âåêòîðû èç

L2 â L1 . Òîãäà, åñëè ïðåäñòàâëåíèÿ

P (1) (Ga ) è P (2 ) (Ga ) íåýêâèâàëåíòíû è äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ Ga ãðóïïû G âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

P (1) (Ga )A = AP (2 ) (Ga ) , òî A = 0 ,

òî åñòü

A - íóëåâîé îïåðàòîð.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ

s 2 ≤ s1 . Òîãäà A ïåðåâîäèò L2 â ïîäïðîñòðàíñòâî L A íåêîòîðîé

ðàçìåðíîñòè

s A ≤ s 2 ≤ s1 â ïðîñòðàíñòâå L1 . Ïîäïðîñòðàíñòâî L A ñî-

ñòîèò èç âåêòîðîâ Ax , ãäå

x ïðîèçâîëüíûé âåêòîð â L2 . Îòñþäà ñðàçó

ñëåäóåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî

L A èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâà-

íèé ãðóïïû G , ïîñêîëüêó

P (1) (Ga )Ax = AP (2 ) (Ga )x = Ax a ,

è ýòîò âåêòîð ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó

L A , òàê êàê âåêòîð

x a = P (2 ) (Ga )x ïðèíàäëåæèò L2 . Îäíàêî ïðåäñòàâëåíèå P (1) (Ga ) ïî îïðåäåëåíèþ íåïðèâîäèìî, à ïîýòîìó L1 íå ìîæåò èìåòü èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ, åñëè òîëüêî

L A íå ÿâëÿåòñÿ íóëüìåðíûì ïðîñòðàíñòâîì (s A = 0) , íè ïîë-

íûì ïðîñòðàíñòâîì ëèáî:

L1 (s A = s1 ) . Èíûìè ñëîâàìè, ìû äîêàçàëè, ÷òî

1) Ax = 0 äëÿ ëþáûõ 2)

x â L2 , òî åñòü A = 0 , ëèáî

s A = s1 = s 2 . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

139

s A ≤ s2 è óñëîâèÿ s 2 ≤ s1 . Âòîðîå óñëîâèå èñêëþ÷àåòñÿ èç çà òîãî, ÷òî

P (1) (Ga ) è P (2 ) (Ga ) -

íåýêâèâàëåíòíûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Îíî îçíà÷àëî áû, ÷òî L1 è L2 èìåþò îäèíàêîâóþ ðàçìåðíîñòü, îòêóäà ñëåäîâàëî áû ñóùåñòâîâàíèå îïåðàòîðà

A −1 , îáðàòíîãî îïåðàòîðó A , è èç äîïóùåíèÿ P (1) (Ga )A = AP (2 ) (Ga )

ñëåäîâàëî áû, ÷òî

P (1) (Ga ) = AP (2 ) (Ga )A −1 ,

òî åñòü ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ

P (1) (Ga ) è P (2 ) (Ga ) ýêâèâàëåíòíû. Îñòà¸ò-

ñÿ çàêëþ÷èòü, ÷òî A = 0 .  ñëó÷àå õîäèìîñòüþ

s 2 > s1 äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.  ýòîì ñëó÷àå ñ íåîá-

s A < s 2 , à ïîýòîìó äîëæíû ñóùåñòâîâàòü âåêòîðû x â L2 ,

êîòîðûå ïåðåâîäÿòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì

A â íóëü, òî åñòü äëÿ êîòîðûõ Ax = 0 . Ïîäïðîñòðàíñòâî ýòèõ âåêòîðîâ â L2 îáîçíà÷èì ÷åðåç LB ; åãî

ðàçìåðíîñòü áóäåò ðàâíà s 2 − s A . Òîãäà ïîäïðîñòðàíñòâî áûòü èíâàðèàíòíûì, òàê êàê åñëè

LB îáÿçàíî

x a = P (2 ) (Ga )x ,

òî

Ax a = AP (2 ) (Ga )x = P (1) (Ga )Ax = 0 ,

èç ÷åãî âèäíî, ÷òî

x a òîæå ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó LB . Ýòî ïðîòè-

P (2 ) , åñëè òîëüêî íå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî LB = L2 , äðóãèìè ñëîâàìè, Ax = 0 äëÿ âñåõ âîðå÷èò óñëîâèþ íåïðèâîäèìîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ

âåêòîðîâ

A = 0.

x â L2 . Òàêèì îáðàçîì, ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî

140

Ãëàâà ïÿòàÿ

Âîñïîëüçóåìñÿ ëåììàìè Øóðà äëÿ âûâîäà ñîîòíîøåíèé îðòîãîíàëüíîñòè ìàòðè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ðàññìîòðèì äâà íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ

P (α ) (Ga ) è P (β ) (Ga ) ãðóïïû G , ïðè÷¸ì P (α ) (Ga ) îï-

ðåäåëåíî â ïðîñòðàíñòâå

Lα , à P (β ) (Ga ) - â Lβ . Ïóñòü U - íåêîòîðûé

îïåðàòîð, ïðåîáðàçóþùèé âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà ñòðàíñòâà

Lβ â âåêòîðû ïðî-

Lα . Ìû ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð A âèäà

( )

A = ∑ P (α ) (Gb )UP (β ) Gb−1

(5.9.1)

b

îáëàäàåò ñâîéñòâàìè îïåðàòîðà

A â ëåììàõ Øóðà, òàê êàê

( ) )( G )P ( ) (G )P (

P (α ) (Ga )A = ∑ P (α ) (Ga )P (α ) (Gb )UP (β ) Gb−1 = b

= ∑ P (α ) (Ga Gb )UP (β b

β

−1 b

(

−1 α

β)

(Ga ) =

)

= ∑ P (α ) (Ga Gb )UP (β ) (Ga Gb ) 1 P (β ) (Ga ) = b

−

( )P ( ) (G ) = AP ( ) (G ).

= ∑ P (α ) (Gc )UP (β ) Gc

−1

β

β

a

a

c

Ìû çäåñü èñïîëüçîâàëè òåîðåìó î ïåðå÷èñëåíèè ãðóïï (§4.11). Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: 1)

P (α ) (Ga ) è P (β ) (Ga ) - îäíî è òî æå ïðåäñòàâëåíèå, îòêóäà ïî

ëåììå Øóðà ñëåäóåò A = λ1 ; 2)

P (α ) (Ga ) è P (β ) (Ga ) íåýêâèâàëåíòíû, è ïî ëåììå Øóðà A = 0 .

Ýòè äâà ñëó÷àÿ ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíî ðàâåíñòâî

A = λδ αβ 1 , ñ÷èòàÿ, ÷òî â í¸ì δ αβ è

(5.9.2)

= 0 , êîãäà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ P (α ) (Ga )

P (β ) (Ga ) íåýêâèâàëåíòíû, è δ αβ = 1 , êîãäà P (α ) (Ga ) è P (β ) (Ga )-

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

141

îäíî è òî æå ïðåäñòàâëåíèå. Ñëó÷àé, êîãäà

P (α ) (Ga ) è P (β ) (Ga ) ýêâè-

âàëåíòíû, íî íå ñîâïàäàþò, íå îõâàòûâàåòñÿ äàííûì ðàâåíñòâîì, íî ìû åãî íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü. Ñîäåðæàíèå îáåèõ ëåìì Øóðà ïðè âûáîðå îïåðàòîðà (5.9.1) ìîæíî ñâåñòè ê îäíîìó ðàâåíñòâó g

sβ

sα

∑∑∑ P ( ) (G )U a =1 m =1 k =1

α ik

a

km

( )

Pmj(β ) Ga−1 = Aij = λδ αβ δ ij ,

ãäå U - ïðîèçâîëüíàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà (ìíîæèòåëü îò å¸ âûáîðà).

A â ôîðìå (5.9.3)

λ çàâèñèò

Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîáîäîé âûáîðà ìàòðèöû U è ïîëîæèì å¸ ýëåìåíòû ðàâíûìè

U km = δ kp δ mq ; äðóãèìè ñëîâàìè, ìû âûáèðàåì ìàòðèöó U , âñå ýëåìåíòû êîòîðîé – íóëè, êðîìå îäíîãî ýëåìåíòà, ðàñïîëîæåííîãî íà ïåðåñå÷åíèè p -é ñòðîêè ñ q -ì ñòîëáöîì, êîòîðûé ïðèíèìàåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå. Ïðè òàêîì âûáîðå, â ôîðìóëå (5.9.3) èñ÷åçíóò äâà çíàêà ñóììèðîâàíèÿ è îñòàíåòñÿ âûðàæåíèå

∑ Pip(α ) (G a )Pqj(β ) (G a−1 ) = λδ αβ δ ij . g

(5.9.4)

a =1

Âåëè÷èíà λ èìååò ñìûñë ïðè α = β è ïî

i = j , òîãäà ïðîñóììèðîâàâ

i îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (5.9.4), ïîëó÷èì

∑ ∑ Pip (G a )Pqj ( sα

g

(α )

(α )

i =1 a =1

G a−1

) = λ ∑ 1 = λs sα

i =1

α

,

îòêóäà g

∑ Pqp(α )(E ) = λ sα , a =1

ãäå ïîä E ìû ïîíèìàåò òîæäåñòâåííóþ îïåðàöèþ, îáðàçîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.

142

Ãëàâà ïÿòàÿ Òàêèì îáðàçîì

λ=g

δ pq sα

.

(5.9.5)

Ïîäñòàâëÿÿ (5.9.5) â (5.9.4), ïîëó÷èì g

gδ αβ δ ij δ pq

a =1

sα

∑ Pip(α ) (G a )Pqi(β ) (Ga−1 ) =

Åñëè ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå

( )

.

(5.9.6)

P (β ) óíèòàðíî, òî ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî

P (β ) Ga−1 P (β ) (Ga ) = P (β ) (E ) = 1 ìû ìîæåì çàïèñàòü, ÷òî

( ) (

)

P (β ) Ga−1 = P (β ) (Ga ) è åñëè ìàòðèöà

( )

−1

P óíèòàðíà, òî

* Pqi(β ) Ga−1 = Pjq(β ) (Ga ) .

(5.9.7)

Ñ ó÷¸òîì (5.9.7) ðàâåíñòâî (5.9.6) ïðèìåò âèä âàæíîãî â äàëüíåéøåì ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè

∑ Pip(α ) (G a )Pjq(β ) (Ga ) g

*

=

a =1

gδ αβ δ ij δ pq sα

.

(5.9.8)

Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî èíäåêñû ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ â ëåâîé ÷àñòè, âûáðàíû ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíî, à ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ òîëüêî ïî ýëåìåíòàì ãðóïïû. Ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëó÷àåìàÿ ñóììà îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè α è β - íåýêâèâàëåíòíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, ïðè ýòîì äàæå åñëè ïðåä-

β ñîâïàäàþò, ñóììà îñòà¸òñÿ íóëåâîé ïîêà â ëåâóþ ÷àñòü âõîäÿò ðàçëè÷íûå ìàòðèöû, òî åñòü åñëè i ≠ j èëè p ≠ q . Åäèíñòâåíñòàâëåíèÿ α è

íóþ ñèòóàöèþ, ïðè êîòîðîé ñóììà îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè ïðîèçâîëüíûõ

i è p , ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê: g

∑ Pip(α ) (Ga ) a =1

2

=

g . sα

(5.9.9)

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

143

Ñîäåðæàùóþñÿ â ñîîòíîøåíèè îðòîãîíàëüíîñòè îïåðàöèþ ñóììèðîâàíèÿ ïî âñåì ãðóïïîâûì ýëåìåíòàì ÷àñòî íàçûâàþò óñðåäíåíèåì ïî ãðóïïå. Òåðìèí «ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè» äëÿ ôîðìóëû (5.9.8) îçíà÷àåò, ÷òî â íåêîòîðîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå íåêîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Èñïîëüçîâàíèå ýòîãî òåðìèíà ìîæíî îïðàâäàòü òåì, ÷òî åñëè ðàññìàòðèâàòü íàáîð ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ

Pip(α ) (Ga ) äëÿ ôèêñèðîâàííûõ α , à i è p êàê îáîçíà÷åííûå èíäåêñîì a êîìïîíåíòû âåêòîðà â g -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îáû÷íûì îáðàçîì, êàê ñóììà ïî êîìïîíåíòàì è ôîðìóëà (5.9.8) êîíñòàòèðóåò îðòîãî-

íàëüíîñòü òàêèõ âåêòîðîâ ñ ðàçíûìè íàáîðàìè èíäåêñîâ α , i è p . Âàæíî ïîìíèòü, ÷òî ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî äëÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ïðèìåð. Ïîêàçàòü, ÷òî íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ àáåëåâûõ ãðóïï îäíîìåðíû. Ïóñòü

P (α ) (Ga ) - íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå àáåëåâîé ãðóïïû

G . Òàê êàê ïî îïðåäåëåíèþ ýëåìåíòû àáåëåâîé ãðóïïû êîììóòèðóþò, òî äëÿ ëþáûõ

Ga è Gb èç G èìååì

P (α ) (Ga )P (α ) (Gb ) = P (α ) (Gb )P (α ) (Ga ) , îòêóäà ïî ïåðâîé ëåììå Øóðà ñëåäóåò, ÷òî

P (α ) (Ga ) îòëè÷àåòñÿ îò åäè-

íè÷íîãî îïåðàòîðà ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì, òî åñòü P (α ) (Ga ) = λ(aα )1 . Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåíèå

P (α ) (Ga ) äëÿ âñåõ Ga ÿâëÿåòñÿ

äèàãîíàëüíûì è ïîýòîìó äîëæíî áûòü ëèáî ïðèâîäèìûì, ëèáî îäíîìåðíûì. Ïåðâîå ïðåäïîëîæåíèå ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ çàäà÷è; ñëåäîâàòåëüíî, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ àáåëåâûõ ãðóïï îäíîìåðíû.

144

Ãëàâà ïÿòàÿ

§ 5.10. Õàðàêòåðû ïðåäñòàâëåíèé  §5.6 ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äëÿ âñÿêîãî äàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìîæíî ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ýêâèâàëåíòíûõ ìàòðè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé ïóò¸ì èçìåíåíèÿ áàçèñà (ïðåîáðàçîâàíèé ïîäîáèÿ) è âïîëíå ðåçîííî çàäàòü ñåáå âîïðîñ: íåëüçÿ ëè îòûñêàòü òàêèå ñâîéñòâà ïðåäñòàâëåíèé, êîòîðûå íå çàâèñÿò îò ïðåîáðàçîâàíèé ïîäîáèÿ? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íàèáîëåå ïîäõîäÿùåé äëÿ ýòîé ðîëè ÿâëÿåòñÿ ñóììà âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, íàçûâàåìàÿ ñëåäîì ìàòðèöû è ðàâíàÿ ñóììå å¸ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ â ëþáîì áàçèñå. Òàêîé ñëåä ìàòðè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç

P(Ga )

χ (Ga ) . Íàáîð ÷èñåë χ (Ga ) , ãäå Ga ïðîáåãàåò âñå

ýëåìåíòû ãðóïïû, íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðîì ïðåäñòàâëåíèÿ ÷àåòñÿ ÷åðåç χ . Òîãäà

P è îáîçíà-

s

χ(Ga ) = ∑ Pii (Ga ) .

(5.10.1)

i =1

Ìû ñðàçó æå âèäèì, ÷òî õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ èíâàðèàíòåí ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ ïîäîáèÿ, òàê êàê èç ðàâåíñòâà

P′(Ga ) = AP (Ga )A−1

ñëåäóåò ðàâåíñòâî

χ′(Ga ) = ∑ Pii′(Ga ) = ∑ Aij Pjk (Ga )(A−1 )ki = i

ijk

= ∑ Pjk (Ga )(A−1 A)kj = ∑ Pji (Ga ) = χ(Ga ). jk

j

Ðàññóæäàÿ ïîäîáíûì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òî âñå ýëåìåíòû îäíîãî è òîãî æå êëàññà òåð

E p (§4.8) äîëæíû èìåòü îäèíàêîâûé õàðàê-

χ p . Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýëåìåíòû Ga è Gb ïðèíàä-

ëåæàò îäíîìó è òîìó æå êëàññó, òî åñòü ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (4.8.1)

Ga = Gn GbGn−1 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ P

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

145

(

)

χ (Ga ) = ∑ Pii (Ga ) = ∑ Pii Gn Gb Gn−1 = i

i

( )

(

)

= ∑ Pij (Gn )Pjk (Gb )Pki Gn−1 = ∑ Pjk (Gb )Pkj Gn−1Gn = ijk

jk

= ∑ Pjj (Gb ) = χ (Gb ). j

§ 5.11. Ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé  ñëó÷àå íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé äëÿ âûâîäà ñîîòíîøåíèé ìåæäó õàðàêòåðàìè ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì îðòîãîíàëüíîñòè (5.9.8), ïîëîæèâ âóþ ÷àñòè ïî

p = i , q = j è ïðîñóììèðîâàâ ëåâóþ è ïðà-

i , j , ïîëó÷èì

g

∑∑ P ( )(G )∑ P ( ) (G ) a =1

α

ii

β jj

a

i

*

a

= gδ αβ ,

j

îòêóäà ñ ó÷¸òîì (5.10.1) g

∑ χ( )(G )χ( )(G ) α

β

a

a =1

*

a

= gδ αβ ,

(5.11.1)

ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòåé äëÿ õàðàêòåðîâ. Îáúåäèíÿÿ ñîïðÿæ¸ííûå ýëåìåíòû â êëàññû

E p , ñîäåðæàùèå ïî

c p ýëåìåíòîâ, òî (5.11.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå g

∑ c χ( )χ( ) p =1

p

α p

β* p

= gδ αβ ,

ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî ñòè, ïðè

α = β ïîëó÷èì

(5.11.2)

n êëàññàì G p ãðóïïû G .  ÷àñòíî-

146

Ãëàâà ïÿòàÿ g

n

∑ χ (α ) (Ga ) = ∑ c p χ (pα ) = g . 2

a =1

2

(5.11.3)

p =1

Õàðàêòåðû êîìïîíåíòàìè

χ â (5.11.2) ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê âåêòîðû ñ

(c ) χ p

1 2

p

â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè

n , ãäå

n - ÷èñëî êëàññîâ â ãðóïïå G .  ýòîì ïðîñòðàíñòâå õàðàêòåðû íåïðèâî-

äèìûõ ïðåäñòàâëåíèé îáðàçóþò íàáîð îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ è, òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé íå ìîæåò ïðåâûøàòü ÷èñëà êëàññîâ ãðóïïû. Äëÿ èëëþñòðàöèè îðòîãîíàëüíîñòè õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé âîñïîëüçóåìñÿ ïðèìåðîì èç §4.5, ï.6 è §5.3, ï.5. Õàðàêòåðû

χ (pα ) äëÿ êàæäîãî êëàññà p è êàæäîãî íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëå-

íèÿ α ñâåä¸ì â òàáëèöó 5.11.1, êîòîðàÿ òåïåðü áóäåò ñîäåðæàòü ìåíüøå ñòîëáöîâ (ïî îäíîìó íà êàæäûé êëàññ, à íå íà êàæäûé ýëåìåíò ãðóïïû). Ïðè èñïîëüçîâàíèè ñîîòíîøåíèé îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ õàðàêòåðîâ ñëåäóåò íå çàáûâàòü âêëþ÷àòü ÷èñëî êëàññå.

c p ãðóïïîâûõ ýëåìåíòîâ â êàæäîì Òàáëèöà 5.11.1.

(1)

P P (2 ) P (3)

E1 (E ) E2 (R1 , R2 ) E3 (R3 , R4 , R5 ) 1 1 1 −1 1 1 −1 2 0

§5.12. Ïðèâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé ñ ïîìîùüþ õàðàêòåðîâ ãðóïï  §§ 5.7 è 5.8 ìû óñòàíîâèëè, êàê â ïðèíöèïå ìîæíî ïðèâåñòè ïðî-

P ê åãî íåïðèâîäèìûì ñîñòàâëÿþùèì. Ïðîñóììèðîâàâ äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ïðåäñòàâëåíèÿ P ïî ôîðìóëå (5.8.1), ìû óâèäèì, ÷òî õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ χ ñâÿçàí ñ õàðàêòåèçâîëüíîå ïðåäñòàâëåíèå

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

147

ðàìè íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé òàêèì æå ñîîòíîøåíèåì. Åñëè õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ

P äëÿ ýëåìåíòîâ êëàññà E p îáîçíà÷èòü ÷åðåç χ p ,

òî ïîëó÷èì

χ p = ∑ m α χ (pα ) ,

(5.12.1)

α

ãäå ÷èñëà

mα ïîêàçûâàþò, ñêîëüêî ðàç â ðàçëîæåíèè ïðåäñòàâëåíèÿ P

âñòðå÷àåòñÿ êàæäîå íåýêâèâàëåíòíîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå Åñëè èçâåñòíû õàðàêòåðû ïðåäñòàâëåíèé

P (α ) .

χ (pα ) , òî ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøå-

íèÿ îðòîãîíàëüíîñòè (5.11.2) è ôîðìóëû (5.12.1), ïîëó÷èì * * 1 1 c p χ (pβ ) χ p = ∑ mα ∑ c p χ (pβ ) χ (pα ) = ∑ g p g α p

1 = ∑ mα gδαβ = mβ . g α Ýòî âûðàæåíèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ õàðàêòåðà ðàêòåð íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ

(5.12.2)

χ íà õà-

χ (β ) àíàëîãè÷íî ôîðìóëå

x i = (ei , x ) äëÿ «êîìïîíåíòû» mβ õàðàêòåðà χ â íàïðàâëåíèè «âåêòîχ (β ) .  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ñíîâà îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðó èç §5.3, ï.5 è ðàññìîòðèì òð¸õìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå P . Åãî õàðàêòåð ðàâåí (3,0,-1), ãäå ÷èñëà ñîîòâåòñòâóþò χ p äëÿ òð¸õ êëàññîâ ãðóïïû D3 è âçÿòû â òîì ðà»

æå ïîðÿäêå, â êîòîðîì ýòè êëàññû ðàñïîëîæåíû â òàáëèöå 5.11.1. Çàïèñàâ â îáîçíà÷åíèÿõ òàáëèöû

P = m1 P (1) ⊕ m 2 P (2 ) ⊕ m 3 P (3 ) , ñ ó÷¸òîì (5.12.2) ïîëó÷èì

m1 =

1 (3 + 0 − 3) = 0 , 6

m2 =

1 (3 + 0 + 3) = 1 , 6

148

Ãëàâà ïÿòàÿ

1 (6 + 0 + 0) = 1 . 6

m3 =

Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå (2 )

P . Ýòî ïî÷òè î÷åâèäíî, òàê êàê òàêîå ðàçëîæåíèå ñëåäóåò èç ñàìîãî âèäà ìàòðèö. Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíû mα äîë-

ìå ïðåäñòàâëåíèé

P

è

P ïðèâîäèòñÿ ê ñóì-

(3)

æíû áûòü öåëûìè ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè èëè íóëÿìè.

§5.13. Êðèòåðèé íåïðèâîäèìîñòè Ïî õàðàêòåðó ïðåäñòàâëåíèé ìîæíî ñóäèòü, ïðèâîäèìî îíî èëè íåò. Â §5.11 ìû ïîêàçàëè, ÷òî åñëè ïðåäñòàâëåíèå χ íåïðèâîäèìî, òî

∑c

χp

p

2

= g.

(5.13.1)

p

ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âûïîëíÿåòñÿ (5.13.1), òî ïðåäñòàâëåíèå χ íåïðèâîäèìî, òî åñòü (5.13.1) – åñòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî îáúåäèíèì ðàâåíñòâà (5.11.1)-(5.11.3) â ñîîòíîøåíèå

∑c

χ p = ∑ c p mα mβ χ (pα )χ (pβ ) = g ∑ mα2 . 2

p

p

*

αβp

(5.13.2)

α

Îòñþäà ñëåäóåò, åñëè ñïðàâåäëèâî óñëîâèå (5.13.1), òî

∑m α

òàê êàê âñå

2 α

= 1, à

mα öåëûå, òî âñå ÷èñëà mα ðàâíû íóëþ, êðîìå îäíîãî èç íèõ,

êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç

mγ , òàêîå, ÷òî mγ = 1 . Òàêèì îáðàçîì ìû

(γ )

âèäèì, ÷òî P = P , êîòîðîå åñòü íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äâóìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå

P (3 ) ãðóïïû D3 íåïðèâîäèìî, òàê êàê èç òàáëèöû 5.11.1 ñëåäóåò

∑c p

p

χp

2

= (4 + 2 + 0 ) = 6 = g .

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

149

§5.14. ×èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå  §5.11 ìû ïîêàçàëè, ÷òî ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íîé ãðóïïû G íå ìîæåò ïðåâûøàòü ÷èñëà êëàññîâ â ýòîé ãðóïïå.  ïðèìåðå ãðóïïû

D3 èç òàáëèöû 5.11.1 âèäíî, ÷òî èìå-

åòñÿ òðè íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ. Â ãðóïïå

D3

èìååòñÿ òîëüêî òðè êëàññà, ÷òî äà¸ò íàì îñíîâàíèå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî

P (1) , P (2 ) , P (3) - âñå âîçìîæíûå äëÿ ãðóïïû D3 íåýêâèâàëåíòíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Òî÷íîå ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé æåëàòåëüíî çíàòü çàðàíåå. Ñ ïîìîùüþ äîâîëüíî èñêóññòâåííîãî ïðè¸ìà, çàêëþ÷àþùåãîñÿ â ïîñòðîåíèè ïðåäñòàâëåíèÿ, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî ðàâíà ÷èñëó ýëåìåíòîâ ãðóïïû g , ìû ïîêàæåì ÷òî îíî âñåãäà ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ â ãðóïïå. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Ìàòðèöû

P (R ) .

P (R ) (Ga ) äàííîãî ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îïðåäåëÿ-

þòñÿ ñîîòíîøåíèåì

Ga Gb = ∑ Pcb(R ) (Ga )Gc .

(5.14.1)

c

Ïîêàæåì, ÷òî ìàòðèöû

P (R ) (Ga ) îáðàçóþò ïðåäñòàâëåíèå. Óìíî-

æàÿ îáå ÷àñòè (5.14.1) íà íåêîòîðûé (ïðîèçâîëüíûé) ãðóïïîâîé ýëåìåíò

Gd , ïîëó÷èì Gd Ga Gb = ∑ Pcb(R ) (Ga )Gd Gc = c

= ∑∑ Pcb(R ) (Ga )Pec(R ) (Gd )Ge = c

e

  = ∑ ∑ Pec(R ) (Gd )Pcb(R ) (Ga )Ge . e  c  Ñ äðóãîé ñòîðîíû

150

Ãëàâà ïÿòàÿ

Gd Ga Gb = (Gd Ga )Gb = ∑ Peb(R ) (Gd Ga )Ge . e

Ñðàâíèâàÿ äâà ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì

P (R ) (Gd Ga ) = P (R ) (Gd )P (R ) (Ga )

(5.14.2)

óñëîâèå (5.1.1), êîòîðûì îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðîèçâåäåíèå

Ga Gb òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ãðóïïû, ñóììà â ïðàâîé

÷àñòè ðàâåíñòâà (5.14.1) ñîäåðæèò òîëüêî îäèí ÷ëåí. Òàêèì îáðàçîì, ïðè

Pcb(R ) (Ga ) îáðàùàþòñÿ â íóëü, êðîìå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîìó çíà÷åíèþ c , êîòîðûé ðàâåí 1. Òàêèì

äàííûõ a è b âñå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îáðàçîì, âñå ñòîëáöû ìàòðèöû

P (R ) (Ga ) èç íóëåé è îäíîé åäèíèöû è

ýòà åäèíèöà áóäåò ðàñïîëàãàòüñÿ íà äèàãîíàëè òîëüêî òîãäà, êîãäà

Ga

åñòü åäèíè÷íûé ýëåìåíò E . Õàðàêòåðû ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ áóäóò ðàâíû íóëþ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ, êðîìå åäèíè÷íîãî, äëÿ êîòîðîãî õàðàêòåð ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ g , òî åñòü

χ (R ) (Ga ) = 0 , Ga ≠ E , χ (R ) (E ) = g .

(5.14.3)

Ñ ó÷¸òîì (5.12.2) è (5.14.3) ïîëó÷èì

1 1 * χ (α ) (Ga ) χ (R ) (Ga ) = gχ (α ) (E ) = sα , ∑ g a g

mα = ãäå

(5.14.4)

sα - ðàçìåðíîñòü íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ P (α ) . (α )

Òàêèì îáðàçîì, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ P âñòðå÷àþòñÿ â ðàçëîæåíèè ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñòîëüêî ðàç, êàêîâà åãî ðàçìåðíîñòü

sα , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå äîëæíî ñîäåð-

æàòü âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ. (R )

Ïðèðàâíÿâ ðàçìåðíîñòü g ïðåäñòàâëåíèÿ P ñóììàðíîé ðàçìåðíîñòè åãî ñîñòàâëÿþùèõ, ïîëó÷èì âàæíûé äëÿ äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèé ðåçóëüòàò

g = ∑ mα sα = ∑ sα2 . α

(5.14.5)

α

Ñîîòíîøåíèå (5.14.4) îòíîñèòñÿ ê ðåãóëÿðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, à ôîð-

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

151

ìà (5.14.5) âûðàæàåò îáùåå ñâîéñòâî ãðóïïû, à èìåííî òî, ÷òî ñóììà êâàäðàòîâ ðàçìåðíîñòåé âñåõ âîçìîæíûõ íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû ðàâíà ÷èñëó å¸ ýëåìåíòîâ. Òåïåðü íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâà (5.14.5) ìû ìîæåì äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ ýòîé ãðóïïû. Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû

Pij(α ) (Ga ) ìîæíî ðàñ-

ñìàòðèâàòü êàê êîìïîíåíòû íåêîòîðîãî íàáîðà âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ

Pij(α ) â g -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñ áàçèñîì e1 ,e2 ,...,eg .

Îáùåå ÷èñëî òàêèõ âåêòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè èíäåêñîâ

i , j ,α è ðàâíî

∑s α

2 α

ïî âñåì íåýêâèâàëåíòíûì íåïðèâîäèìûì

ïðåäñòàâëåíèÿì è, êàê òîëüêî ÷òî áûëî ïîêàçàíî, ýòà ñóììà ðàâíà Òàêèì îáðàçîì ÷èñëî îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà è, ñòàëî áûòü, âåêòîðû ñòâî. Ëþáîé âåêòîð

g.

Pij(α ) ðàâíî ðàçìåðíîñòè

Pij(α ) äîëæíû îáðàçîâàòü ïðîñòðàí-

x â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ

Pij(α ) :

x = ∑ c (αij )Pij(α ) ,

(5.14.6)

αij

à åãî êîìïîíåíòû

xa â áàçèñå e1 ,e2 ,...,eg â âèäå

xa = ∑ c (α j )Pij(α ) (Ga ) .

(5.14.7)

αij

Âûäåëèì òîëüêî òå âåêòîðû

x , êîòîðûå èìåþò îäèíàêîâûå «ïðîåêöèè» íà âñå «íàïðàâëåíèÿ» e1 ,e2 ,...,eg ; îíè ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàì îäíîãî è òîãî æå êëàññà ãðóïïû G , òî åñòü äëÿ ëþáîãî

xa =

xc = xa , åñëè Gc = Gb−1Ga Gb

Gb èç G . Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü

1 g ∑ xc = g b=1

152

Ãëàâà ïÿòàÿ

=

1 c (αij )Pij(α ) (Gb−1Ga Gb ) = (ãäå Gc = Gb−1Ga Gb ) (5.14.7) ∑∑ g b αij

=

1 c(αij )Pik(α ) (Gb−1 )Pkl(α ) (Ga )Plj(α ) (Gb ) = ∑∑∑ g b αij kl

=

g 1 c(αij )Pkl(α ) (Ga )δij δ kl = ∑∑ g αij kl sα

=∑ α

1 sα

(5.14.8)

(ñ ó÷¸òîì (5.9.6))

∑ c(α )χ( ) (G ). α

ii

a

i

Ýòè âåêòîðû x îáðàçóþò ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n , ãäå n ÷èñëî êëàññîâ, è ôîðìóëà (5.14.8) ïîêàçûâàåò, ÷òî õàðàêòåðû, ÿâëÿþùèåñÿ íàáîðîì îðòîíîðìèðîâàííûõ âåêòîðîâ â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå, òàêæå îáðàçóþò åãî áàçèñ. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî äîëæíî áûòü ðîâíî n òàêèõ õàðàêòåðîâ

χ (α ) , òî åñòü ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâ-

ëåíèé ðàâíî n - ÷èñëó êëàññîâ ãðóïïû G , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

§5.15. Âòîðîå ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ õàðàêòåðîâ ãðóïï Ðàâåíñòâî ÷èñëà êëàññîâ ÷èñëó íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé îçíà÷àåò, ÷òî òàáëèöà õàðàêòåðîâ, â êîòîðîé ñòîëáöû ñîîòâåòñòâóþò êëàññàì, à ñòðîêè – íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì, äîëæíà áûòü êâàäðàòíîé.  ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèåì îðòîãîíàëüíîñòè (5.11.1), (5.11.2) ëþáûå äâå ñòðîêè â òàêîé òàáëèöå îðòîãîíàëüíû, è òàêèì îáðàçîì ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå î òîì, ÷òî è äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ñòîëáöîâ òàáëèöû òàêæå ñóùåñòâóåò ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè. Äëÿ âûâîäà ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîñòðîèì ìàòðèöó

n × n , ýëåìåíòû êîòîðîé òàêîâû:

B ðàçìåðíîñòè

1

Bαp

 c 2 =  p  χ (pα ) , g

(5.15.1)

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

153

ãäå n - ÷èñëî êëàññîâ, à òàêæå ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé. Èç ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè (5.11.1), (5.11.2) ñëå-

αèβ

äóåò, ÷òî ïðè ëþáûõ

∑B

βp

Bα* p = 1

(5.15.2)

p

+

èëè, â ìàòðè÷íîé ôîðìå, BB = 1 . Ïîñêîëüêó ìàòðèöà B êâàäðàòíàÿ, òî ìîäóëü å¸ äåòåðìèíàíòà ðàâåí åäèíèöå è ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà

B −1 è B −1 = B + , è B + B = 1 , ÷òî äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îçíà÷àåò

∑B α

* αp

Bαq = δ pq .

(5.15.3)

Âåðíóâøèñü ê õàðàêòåðàì ãðóïïû, ïîëó÷èì

g

∑ χ( ) χ( ) = c α

α* p

α q

δ pq ,

(5.15.4)

p

òî åñòü ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ ñòîëáöîâ òàáëèöû õàðàêòåðîâ.

§5.16. Ïîñòðîåíèå òàáëèöû õàðàêòåðîâ Âûïèøåì ñâîéñòâà õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé: 1. ×èñëî íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ. 2. Ðàçìåðíîñòü sα íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó

∑ sα2 = g , êîòîðîå âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ äà¸ò äëÿ α

sα

åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî õàðàêòåð åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà E ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ, ÷èñëà â ïåðâîì ñòîëáöå òàáëèöû õàðàêòåðî⠖ ýòî ïðîñòî öåëûå ÷èñëà sα . 3. Äëÿ êàæäîé ãðóïïû ñóùåñòâóåò îäíîìåðíîå òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå, äëÿ êîòîðîãî

P(Ga ) = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, χ (Ga ) = 1 . Ýòèì

îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâàÿ ñòðîêà òàáëèöû õàðàêòåðîâ. 4. Ñòðîêè âçàèìíî îðòîãîíàëüíû ñ âåñàìè

g , òî åñòü

c p è íîðìèðîâàíû ê

154

Ãëàâà ïÿòàÿ

∑ c p χ (pα )χ (pβ )

*

= gδ αβ .

(5.11.1)

p

â ÷àñòíîñòè, åñëè ñòàâëåíèé

β - òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå, òî äëÿ âñåõ ïðåä-

α , íå ñîâïàäàþùèõ ñ òîæäåñòâåííûì,

∑ c p χ (pα ) = 0 .

(5.16.1)

p

5. Ñòîëáöû òàáëèöû âçàèìíî îðòîãîíàëüíû è íîðìèðîâàíû ê

∑ χ (pα )χ q(α )

*

=

α

g δ pq . cp

â ÷àñòíîñòè, åñëè â êà÷åñòâå êëàññà

g : cp

(5.15.4)

Eq âûáðàí åäèíè÷íûé ýëåìåíò E ,

äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ ñòîëáöîâ èìååì

∑ sα χ (pα ) = 0 .

(5.16.2)

α

Òàêèì îáðàçîì, ñëåäóÿ ïðèâåä¸ííûì âûøå ñâîéñòâàì õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, ìîæíî ïîñòðîèòü òàáëèöó õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé äëÿ ïðîñòåéøèõ ãðóïï. Âñ¸, ÷òî ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ çíàòü î ãðóïïå, - ýòî å¸ ïîðÿäîê g , ÷èñëî êëàññîâ è ÷èñëî ýëåìåíòîâ â êàæäîì êëàññå. Äëÿ áîëåå ñëîæíûõ ãðóïï òàêîé èíôîðìàöèè îêàçûâàåòñÿ óæå íåäîñòàòî÷íî.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ âûâîäà äîïîëíèòåëüíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó õàðàêòåðàìè òðåáóåòñÿ îáðàòèòüñÿ ê ãðóïïîâîé òàáëèöå óìíîæåíèÿ èëè æå, åñëè ãðóïïà ñîäåðæèò íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó, å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ ìîãóò áûòü âûâåäåíû èç ïðåäñòàâëåíèé íîðìàëüíîé ïîäãðóïïû. Äëÿ áîëüøèíñòâà ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé òåîðèè ãðóïï äîñòàòî÷íî ëèøü ïðîñòî âçãëÿíóòü íà òàáëèöó õàðàêòåðîâ ãðóïïû.

§5.17. Îðòîãîíàëüíîñòü áàçèñíûõ ôóíêöèé íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé Â äàííîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì ñâîéñòâà áàçèñíûõ âåêòîðîâ

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

155

ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì çàäàíî íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîíå÷íîé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ïðèëîæåíèé òåîðèè ñèììåòðèè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ìû â êà÷åñòâå áàçèñíûõ âåêòîðîâ ðàññìîò(α ) (α ) ðèì ôóíêöèè ψ i ïðåäñòàâëåíèÿ P (§5.3, ï.7). Àðãóìåíò ôóíêöèè

ψ i(α ) ìû äëÿ êðàòêîñòè îïóñêàåì, i = 1,..., sα . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì èíâàðèàíòíîå ôóíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ åù¸ è íåïðèâîäèìûì, òàê ÷òî ïðåäñòàâëåíèå, èíäóöèðîâàííîå â í¸ì íåêîòîðûìè ãðóïïîâûìè îïåðàöèÿìè, ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèåì.  ýòîì ñëó÷àå ìû âïðàâå âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè îðòîãîíàëüíîñòè íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé (5.9.8), ÷òîáû óñòàíîâèòü îðòîãîíàëüíîñòü áàçèñíûõ ôóíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõ äâóì íåýêâèâàëåíòíûì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì. (α ) Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ i ïðåîáðàçóåòñÿ ïî i -îé ñòðîêå íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ

P (α ) , äðóãèìè ñëîâàìè,

P(Ga )ϕ i(α ) = ∑ Pli(α ) (Ga )ϕ l(α ) ,

(5.17.1)

l

(β )

è ïóñòü ôóíêöèÿ ψ j

ïðåîáðàçóåòñÿ ïî

j -îé ñòðîêå íåïðèâîäèìîãî ïðåä-

(β )

ñòàâëåíèÿ P . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì îïðåäåëåíèè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïðèìåíÿåìîì êî âñåì ðàññìàòðèâàåìûì ôóíêöèÿì, îïåðàòîðû

P(Ga ) óíèòàðíû, òî åñòü äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà Ga ãðóïïû

(ϕ ( ) ψ ( ) )= (P(G )ϕ ( ) P(G )ψ ( ) )= = ∑ P ( ) (G )P ( ) (G )(ϕ ( ) ψ ( ) ). α

i

β

α

j

a

i

α *

li

a

a

β j

β mj

a

α

l

β m

l ,m

ïðåäïîëàãàÿ äàëåå, ÷òî áàçèñíûå âåêòîðû êàæäîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âûáðàíû îðòîíîðìèðîâàííûìè, ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì îðòîãîíàëüíîñòåé (5.9.8) è óñðåäíÿÿ ïî âñåì ãðóïïîâûì ýëåìåíòàì ïîëó÷èì

156

Ãëàâà ïÿòàÿ

(ϕ ( ) ψ ( ) )= g1 ∑ P ( ) (G )P ( ) (G )(ϕ ( ) ψ ( ) )= α

α *

β

i

j

α ,l ,m

a

li

β mj

(

α

a

l

β m

)

1 = δ αβ δ ij ∑ ϕ l(α ) ψ m(α ) . sα l

(5.17.2)

Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëþáûå äâå ôóíêöèè, ïðåîáðàçóþùèåñÿ ïî óíèòàðíûì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì, âçàèìíî îðòîãîíàëüíû, åñëè òîëüêî íå ïðèíàäëåæàò îäíîé è òîé æå ñòðîêå îäíîãî è òîãî æå íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.Çíà÷åíèå ýòîãî âàæíîãî ðåçóëüòàòà çàêëþ÷àåòñÿ íå ñòîëüêî âî âçàèìíîé îðòîãîíàëüíîñòè áàçèñíûõ ôóíêöèé îäíîãî è òîãî æå íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (ìíîæèòåëü δ ij ïðè ϕ

≡ ψ ), òàê êàê ýòî

â ïðèíöèïå âîïðîñ âûáîðà ôóíêöèé, ñêîëüêî â îðòîãîíàëüíîñòè áàçèñíûõ ôóíêöèé, îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçíûì ñòðîêàì ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé èëè ê íåýêâèâàëåíòíûì ïðåäñòàâëåíèÿì (ìíîæèòåëü δ αβ ). Ïîñëåäíèé ðåçóëüòàò ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà â êàæäîì èç ïðåäñòàâëåíèé. Èç ðàâåíñòâà (5.17.2) ñëåäóåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íå çàâèñèò îò i - â ÷àñòíîñòè, ôóíêöèè

(ϕ ( ) ψ ( ) ) α

i

α

i

ϕ i(α ) äëÿ äàííîãî α , óäîâëåòâîðÿ-

þùèå óñëîâèþ (5.17.1), èìåþò îäèíàêîâóþ íîðìó. Îäíèì èç îñîáûõ ñëåäñòâèé èç ñîîòíîøåíèÿ (5.17.2) ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî åñëè

P (α ) - òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå, òî äàííîå ñêà-

(β ) ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáðàùàåòñÿ â íóëü äëÿ âñåõ ïðåäñòàâëåíèé P , êðîìå òîæäåñòâåííîãî. Åñëè ïîä ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ïîíèìàòü èíòåãðèðîâàíèå ïî êîîðäèíàòàì è ïîëîæèòü

ϕ i(α ) = 1 (ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ),

ìû ïîëó÷èì

(β )

∫ψ j

dV = 0 ,

(5.17.3)

(β ) íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèåì. Ýòî îçíàåñëè òîëüêî P ÷àåò, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ èíâàðèàíòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôóíêöèè, ïðåîáðàçóþùàÿñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ, îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè òîëüêî ñàìà ôóíêöèÿ íå èíâàðèàíòíà. Òàê êàê ëþáóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûå êîìïîíåíòû, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ èç âñåõ êîìïîíåíò îñòàíóòñÿ òîëüêî èíâàðèàíòíûå.

Àëãåáðû Ëè

157

Ãëàâà VI Àëãåáðû Ëè  ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü óðàâíåíèÿ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:

Lψ = λψ ,

(*)

ãäå L - ëèíåéíûé îïåðàòîð, êàê ïðàâèëî, èíòåãðàëüíûé èëè äèôôåðåíöèàëüíûé (îïåðàòîð Ëàïëàñà, îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà). Åñëè íåêîòîðûé îïåðàòîð

F ïåðåñòàíîâî÷íûé ñ L , òî åãî èçó÷åíèå äà¸ò îáû÷íî ãëóáîêóþ èíôîðìàöèþ î ñîáñòâåííûõ âåêòîðàõ îïåðàòîðà L . Åñëè îïåðàòîðû F1 , F2 ïåðåñòàíîâî÷íû ñ L , òî ýòèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàþò èõ ïðî-

èçâåäåíèå è ïðîèçâîëüíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ îïåðàòîðîâ, ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñ

L , îáðàçóåò àëãåáðó, êîòîðàÿ íîñèò íàçâàíèå êîììóòàòîðíîé àëãåáðû îïåðàòîðà L . Åñëè îïåðàòîð F - ýëåìåíò êîììóòàòîðíîé àëãåáðû è ψ - ðåøåíèå (*), ìû ìîæåì íàïèñàòü:

L(Fψ ) = FLψ = λ (Fψ ) .

Ìû âèäèì, ÷òî âåêòîð

(**)

Fψ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì

îòíîñèòåëüíî L , ñ òåì æå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ÷òî è ψ . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíè-

λ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî F è, ñëåäîâàòåëüíî, èíâàðèàíòíî òàêæå ïî îòíîøåíèþ êî âñåé êîììóòàòîðíîé àëãåáðå îïåðàòîðà L . Åñëè H - îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå è F - îïååì

ðàòîð ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, çàâèñÿùåé îò âðåìåíè, òî ýòà çàâèñèìîñòü ìîæåò áûòü âûðàæåíà óðàâíåíèåì

∂F = FH − HF . Òîãäà, åñëè F ïå∂t

158

Ãëàâà øåñòàÿ

ðåñòàíîâî÷åí ñ

H , òî

∂F = 0 . Òàêèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû èãðàþò ðîëü ∂t

ñîõðàíÿþùèõñÿ «èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ» (ýíåðãèÿ, çàðÿä, ìîìåíò èìïóëüñà) è èãðàþò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â èçó÷åíèè ïîâåäåíèÿ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì. Îòìåòèì, òàê æå, ÷òî âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ êîììóòàòîðíîé àëãåáðîé, ìîãóò áûòü ïîëîæåíû â îñíîâó òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé; â ÷àñòíîñòè, îíè ïîçâîëÿþò ðàñêðûòü îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïîíÿòèåì íåïðèâîäèìîñòè.  äàííîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì êîììóòàòîðíóþ àëãåáðó Ëè â íåñêîëüêî èçìåí¸ííîì âèäå, ÷òî ñâÿçàíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ èñïîëüçîâàíèÿ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ.

§6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îáùèå ñâîéñòâà Äëÿ ëþáûõ äâóõ îïåðàòîðîâ A, B â ïðîñòðàíñòâå ñîñòàâèòü èõ êîììóòàòîð – îïåðàòîð

[A, B] = AB − BA

C (n ) ìîæíî (6.1.1)

íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì Ëè. Ñèñòåìó îïåðàòîðîâ

A â C (n ) áóäåì

A îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. Ñóììà äâóõ îïåðàòîðîâ èç A åñòü îïÿòü îïåðàòîð èç A . 2. Äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà A èç A è ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà λ îïåðàòîð λA òàêæå ïðèíàäëåæèò A . íàçûâàòü àëãåáðîé Ëè, åñëè

3. Åñëè

A, B - îïåðàòîðû èç A , òî îïåðàòîð

1 [A, B] ïðèíàäëåæèò A . i

Çàìå÷àíèå Ââåäåíèå ìíîæèòåëÿ îïåðàòîðîâ êîòîðîãî

+

1 â ï.3 ìîòèâèðóåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ ýðìèòîâûõ i

A, B êîììóòàòîð C = [A, B ] - àíòèýðìèòîâ îïåðàòîð, äëÿ

C = −C , òîãäà êàê íàèáîëåå âàæíûå â ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæå-

Àëãåáðû Ëè

159

íèÿõ ñèñòåìû îïåðàòîðîâ ñîñòîÿò èç ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ. ×òîáû ïðåâðàòèòü êîììóòèðîâàíèå â îïåðàöèþ, íå âûâîäÿùóþ çà ïðåäåëû òàêîé ñèñòåìû, êîììóòàòîð óìíîæàþò íà

1 è òîãäà àíòèýðìèòîâû îïåðàòîðû i

ïåðåõîäÿò â ýðìèòîâû. Òåïåðü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îïåðàòîðàìè ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü òàê:

[A, B ] = iC ,

(6.1.2)

ãäå âñå òðè îïåðàòîðà

A, B, C - ýðìèòîâû.

§6.2. Èçîìîðôèçì àëãåáð Ëè Àëãåáðû Ëè íîå îòîáðàæåíèå

A1 , A 2 èçîìîðôíû, åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷-

ϕ : A1 → A 2

(6.2.1)

òàêîå, ÷òî

ϕ (A + B ) = ϕ (A) + ϕ (B ) , ϕ (λA) = λϕ (A)

( λ äåéñòâèòåëüíî),

1  1 ϕ  [A, B ] = [ϕ (A), ϕ (B )]. i  i

(6.2.2) (6.2.3) (6.2.4)

ϕ íàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì èçîìîðôèçìîì àëãåáð Ëè. §6.3. Ñâîéñòâà êîììóòàòîðîâ àëãåáðû Ëè 1. Ñâîéñòâî àíòèêîììóòàòèâíîñòè:

[A, B ] = −[B, A] ,

(6.3.1)

ïðÿìî âûòåêàþùåå èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ Ëè (6.1.1).  ÷àñòíîñòè, ïðè

[A, A] = 0 .

A = B ïîëó÷èì (6.3.2)

160

Ãëàâà øåñòàÿ 2. Òîæäåñòâà ßêîáè

[AB, C ] = [A, C ]B + A[B, C ],

(6.3.3)

ëåãêî äîêàçûâàåìûå ïðÿìîé ïðîâåðêîé:

[AB, C ] = ABC − CAB = (ACB − CAB ) + + (ABC − ACB ) = [A, C ]B + A[B, C ] .

Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ òîæäåñòâî

[[A, B], C ]+ [[B, C ], A]+ [[C , A], B] = 0 ,

(6.3.4) çàìåíÿþùåå ñâîéñòâî àññîöèàòèâíîñòè, êîòîðûì íå îáëàäàåò óìíîæåíèå Ëè (6.1.1).

§6.4. Çàäàíèå àëãåáðû Ëè ñ ïîìîùüþ îáðàçóþùèõ è ñîîòíîøåíèé Êîíå÷íàÿ ñèñòåìà îïåðàòîðîâ

L1 , L2 ,..., Ls èç A íàçûâàåòñÿ ñèñ-

òåìîé îáðàçóþùèõ (èëè ãåíåðàòîðîâ) A , åñëè êàæäûé îïåðàòîð èç A ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îáðàçóþùèõ îïåðàòîðîâ ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè: s

A = ∑a j Lj = a j Lj .

(6.4.1)

j =1

Ïîëàãàÿ îáðàçóþùèå ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü ðàçëîæåíèå (6.4.1) îäíîçíà÷íûì, òàê êàê êîýôôèöèåíòû âïîëíå îïðåäåëÿþòñÿ îïåðàòîðîì A . Êàæäàÿ àëãåáðà Ëè èìååò ñèñòåìó îáðàçóþùèõ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü âûáðàíà áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ñïîñîáîâ. Ðàçëàãàÿ ïî

Ll êîììóòàòîð îáðàçóþùèõ Li , Lk , ïîëó÷èì

s 1 [Li , Lk ] = ∑ cikl Ll = cikl Ll . i l =1

(6.4.2)

Ðàâåíñòâà (6.4.2) íàçûâàþòñÿ ïåðåñòàíîâî÷íûìè ñîîòíîøåíèÿìè, à ïîñòîÿííûå

cikl - ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè àëãåáðû Ëè; îíè ïîçâî-

ëÿþò âû÷èñëèòü êîììóòàòîð ëþáûõ äâóõ îïåðàòîðîâ ýòîé àëãåáðû. Âûðàæàÿ

A è B â âèäå (6.4.1), èìååì

Àëãåáðû Ëè

161

s s 1 [A, B ] = ∑ a i b k ⋅ 1 [Li , Lk ] = ∑ a i b k cikl Ll = a i b k cikl Ll . (6.4.3) i i i , k =1 i , k ,l =1

Òàêèì îáðàçîì, åñëè óêàçàíû ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû, ìû ïîëíîñòüþ çíàåì çàêîí êîììóòèðîâàíèÿ â àëãåáðå Ëè. Âûðàæåíèÿ (6.3.1),(6.3.2) è (6.3.4) íàêëàäûâàþò íà ñòðóêòóðíûå êîýôôèöèåíòû

cikl îãðàíè÷åíèÿ è

îíè íå ìîãóò áûòü çàäàíû ïðîèçâîëüíî. Ïðèìåíÿÿ ïåðå÷èñëåííûå âûøå âûðàæåíèÿ ê îïåðàòîðàì

L j íåòðóäíî ïîëó÷èòü:

ciil = 0 ,

(6.4.4)

cikl = −c kil ,

(6.4.5)

l cikl clpq + c kp cliq + c lpi clkq = 0 .

(6.4.6)

Íåñìîòðÿ íà ñâî¸ íàçâàíèå, ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû íå ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Ïðè çàìåíå áàçèñà â àëãåáðå

A cikl ïðåîáðàçóþòñÿ êàê

òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà ñ îäíèì êîíòðàâàðèàíòíûì è äâóìÿ êîâàðèàíòíûìè èíäåêñàìè. Âñÿêàÿ àëãåáðà Ëè ìîæåò áûòü çàäàíà óêàçàíèåì ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíò, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñîîòíîøåíèÿì (6.4.4) – (6.4.6), ïî êîòîðûì ìîæíî íàéòè êîììóòàòîð ëþáûõ îïåðàòîðîâ àëãåáðû ïî ïðàâèëó (6.4.3). Ìû áóäåì çàäàâàòü àëãåáðû Ëè óêàçàíèåì îáðàçóþùèõ

L j è ñîîòíîøå-

íèé (6.4.2). Âûáîð òåõ èëè èíûõ îáðàçóþùèõ â àëãåáðå Ëè äèêòóåòñÿ ñîîáðàæåíèÿìè óäîáñòâà âû÷èñëåíèé, ïðè ýòîì ñëåäóåò ñòðåìèòñÿ ê íàèáîëüøåé ïðîñòîòå ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíò. Ìîæåò îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî óäà÷íî âûáðàííûå îáðàçóþùèå äîïóñêàþò ôèçè÷åñêîå òîëêîâàíèå. Íàäî ïîìíèòü, ÷òî íåëüçÿ îòîæäåñòâëÿòü àëãåáðó Ëè ñ ñèñòåìîé å¸ îáðàçóþùèõ è ñîîòíîøåíèé, òàê êàê å¸ ìîæíî çàäàòü è ñ ïîìîùüþ äðóãèõ îáðàçóþùèõ.

§6.5. Ïîäàëãåáðû Ëè A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì àëãåáðû Ëè A′ , òî A íàçûâàåòñÿ ïîäàëãåáðîé A′ . Âûáðàâ â A ñèñòåìó îáðàçóþùèõ L1 , L2 ,..., Ls , ìû ìîæåì å¸ äîïîëíèòü äî ñèñòåìû îáðàçóþùèõ A′ ; òîãÅñëè àëãåáðà Ëè

162

Ãëàâà øåñòàÿ

äà ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (6.4.2) ïîäàëãåáðû ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé àëãåáðû ñòåìà îáðàçóþùèõ â àëãåáðå Ëè

A ñîñòàâëÿþò ÷àñòü

A′ . Îáðàòíî, ïóñòü çàäàíà ñè-

A′ , ÷àñòü êîòîðîé ñîñòàâëÿþò

L1 , L2 ,..., Ls , ïðè÷¸ì ïðàâûå ÷àñòè ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ L1 , L2 ,..., Ls ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ýòèõ æå îáðàçóþùèõ. Òîãäà âñåâîçìîæíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè

L1 , L2 ,..., Ls ñ äåéñòâèòåëü-

íûìè êîýôôèöèåíòàìè ñîñòàâëÿþò ïîäàëãåáðó â

A′ .

§6.6. Ïðèìåðû àëãåáð Ëè 1. AGL(n, C ) ñîñòîèò èç âñåõ îïåðàòîðîâ â C (n ) ; ýòî àëãåáðà Ëè, îáðàçóþùèå êîòîðîé ìîãóò áûòü âûáðàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü

Bki åñòü ìàòðèöà, ó êîòîðîé ýëåìåíò íà ïåðåñå÷åíèè k - é ñòðîêè è i - ãî ñòîëáöà ðàâåí åäèíèöå, à âñå îñòàëüíûå – íóëþ. Èíäåêñû îçíà÷àþò òåïåðü íóìåðàöèþ ìàòðèö, à íå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ; ïîýòîìó äëÿ çàïèñè ýòèõ ïîñëåäíèõ ïåðåéä¸ì ê ñëåäóþùåìó îáîçíà÷åíèþ: ïóñòü ýëåìåíò ìàòðèöû

B íà ïåðåñå÷åíèè µ -é ñòðîêè è ν -ãî ñòîëáöà áóäåò (µ B ν ).

Òîãäà

(µ B ν ) = δ δ , (µ [B , B ]ν ) = (µ B B i k

i ν

i k

µ k

l m

i k

l m

(6.6.1)

)

− Bml Bki ν =

(

) (

)

= δ λi δ kµ δ νl δ mλ − δ λl δ mµ δ νi δ kλ = δ mi µ Bkl ν − δ kl µ Bmi ν , (6.6.2) èëè

[B , B ] = δ i k

l m

i m

Bkl − δ kl Bmi .

(6.6.3)

Ýòî è åñòü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îáðàçóþùèõ Äåëåíèå îáåèõ ÷àñòåé íà

Bki .

i äà¸ò ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû.

Ëþáîé îïåðàòîð ðàçëàãàåòñÿ ïî

Bki ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåí-

Àëãåáðû Ëè

163

òàìè, èëè ïî

Bki , iBki - ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òàêèì îá-

ðàçîì, ïîëíóþ ñèñòåìó îáðàçóþùèõ àëãåáðû Ëè þò

AGL(n, C ) ñîñòàâëÿ-

Bki , iBki .

2. ASL(n, C ) ñîñòîèò èç âñåõ áåññëåäíûõ îïåðàòîðîâ â êà÷åñòâå îáðàçóþùèõ âîçüì¸ì ìàòðèöû Îêóáî

(

)

1 Aki = Bki − δ ki B11 + B22 + ... + Bnn , n äëÿ êîòîðûõ

C (n ) . Â (6.6.4)

SpAki = 0 è ìàòðèöû ñâÿçàíû îäíîé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ

A11 + A22 + ... + Ann = 0 .

(6.6.5)

Ëþáîé áåññëåäíûé îïåðàòîð ðàçëàãàåòñÿ ïî êîýôôèöèåíòàìè, èëè ïî ×òîáû ðàçëîæèòü

Aki ñ êîìïëåêñíûìè

Aki , iAki - äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.

n - ðÿäíóþ áåññëåäíóþ ìàòðèöó M ïî ýòèì îá-

ðàçóþùèì, âûðàçèì å¸ ñíà÷àëà ÷åðåç

B ki :

1   M = ω ik Bki = ω ik  Aki + δ ki Bll  . n   Òàê êàê

SpM = 0 , òî

1   ω ki  SpAki + δ ki n  = ω ll = 0 , n   M = ω ik Aki ,

(6.6.6)

ãäå êîýôôèöèåíòû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

ω ll = 0 ,

(6.6.7)

îáåñïå÷èâàþùèì îäíîçíà÷íîñòü èõ îïðåäåëåíèÿ. Òàê êàê ìàòðèöû (6.6.4) ñëåäóåò, ÷òî

Bki , Bll êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì, òî èç (6.6.3),

164

Ãëàâà øåñòàÿ

[A , A ] = δ i k

l m

i m

Bkl − δ kl Bmi .

(6.6.8)

Ïîäñòàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü âìåñòî

Bkl , Bmi âûðàæåíèÿ èç (6.6.4)

1 1 Bkl = Akl + δ kl B jj , Bmi = Ami + δ mi B jj , n n ïîëó÷èì:

[A , A ] = δ i k

3.

l m

i m

(

s

)

Akl − δ kl Ami = δ mi δ rl δ ks − δ kl δ ri m Asr .

(6.6.9)

AU (n ) ñîñòîèò èç âñåõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ â C (n ) . Êàæäàÿ

ýðìèòîâà ìàòðèöà

A ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

A = ω B , ω ki = ω ik . k i

i k

Åñëè çàïèñàòü ÷èñëà, òî

(6.6.10)

ω ik â âèäå α ik + iβ ik , ãäå α ik è β ik äåéñòâèòåëüíûå

A ïðåäñòàâèòñÿ êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñ äåéñòâèòåëüíûìè

êîýôôèöèåíòàìè îáðàçóþùèõ

(

)(

)

Bii , Bki + Bik , Bki − Bik . Èíîãäà âûãîä-

íî ñîõðàíèòü íåýðìèòîâû îáðàçóþùèå îáðàçóþùèõ; òîãäà äëÿ âûðàæåíèÿ

Bki , ðàñøèðÿÿ ñìûñë ïîíÿòèÿ

A ÷åðåç ýòè «âíåøíèå» îáðàçóþùèå

ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè ω k , óäîâëåòi

âîðÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿì

A = ω ki Bik , 4.

ω ki = ω ik :

ω ki = ω ik .

(6.6.11)

ASU (n ) ñîñòîèò èç âñåõ áåññëåäíûõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ â

C (n ) .  êà÷åñòâå å¸ «âíóòðåííèõ» îáðàçóþùèõ ìîæíî âçÿòü Aii ,

(A

i k

) (

)

+ Aik , i Aki − Aik ; ïî ýòèì îáðàçóþùèì áåññëåäíûå ýðìèòîâû ìàò-

ðèöû ðàçëàãàþòñÿ ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  ñèëó (6.6.5), ýòè îáðàçóþùèå çàâèñèìû; ðàçëîæåíèå ìîæíî ñäåëàòü îäíîçíà÷íûì, ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïðè

Aii

Àëãåáðû Ëè

165

áûëà ðàâíà íóëþ. Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ è «âíåøíèìè» îáðàçóþùèìè

Aki : A = ω ki Aki , ω ki = ω ik , ω ii = 0 .

(6.6.12)

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè, âñòðå÷àþùèåñÿ â ôèçèêå. 5. n = 2 . Ïàóëè ïðåäëîæèë â êà÷åñòâå îáðàçóþùèõ äëÿ ýðìèòîâû ìàòðèöû

1 1 1 0 , E (2 ) =  2 2  0 1 

AU (2 )

1  0 1 1 0 − i  , σ 2 =  , σ 1 =  2  1 0 2  i 0 

1 1 0  . σ 3 =  2  0 − 1 Âñÿêàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà A

(6.6.13)

ðàçëàãàåòñÿ ïî ìàòðèöàì (6.6.13) ñ

äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè ýòîì, åñëè A áåññëåäíà, òî â

E (2 ).

ðàçëîæåíèå íå âõîäèò Òàêèì îáðàçîì,

σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáðàçóþùèå äëÿ

ASU (2 ). Ñîñòàâèì «òàáëèöó óìíîæåíèÿ» ìàòðèö Ïàóëè:

1  0 1   0 − i  1  i 0  1  1  1 0  1 ⋅ =   = i    = iσ 3 σ 1σ 2 =  4  1 0   i 0  4  0 − i  2  2  0 − 1 2 Ïîñòóïàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷èì:

1 σ 1σ 3 = − iσ 2 , 2

1 1 σ 2σ 1 = − iσ 3 , σ 2σ 3 = iσ 1 , 2 2

1 σ 3σ 1 = iσ 2 , 2

1 σ 3σ 2 = − iσ 1 . 2

(6.6.14)

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî

σ 12 = σ 22 = σ 32 =

1 E (2 ) . 4

(6.6.15)

166

Ãëàâà øåñòàÿ

Èñïîëüçóÿ «òàáëèöó óìíîæåíèÿ» ìàòðèö Ïàóëè (6.6.14) ïîëó÷èì ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ

[σ 1 ,σ 2 ] = iσ 3 , [σ 2 ,σ 3 ] = iσ 1 , [σ 3 ,σ 1 ] = iσ 2 . Äëÿ AGL(2, C ) áàçèñ ñîñòàâëÿþò îáðàçóþùèå

(6.6.16)

1 0 2  0 1 1  0 0 2  0 0  , b1 =   , b2 =   , b2 =   . (6.6.17) b11 =  0 1  0 0 1 0 0 1 Ýðìèòîâû ìàòðèöû ðàçëàãàþòñÿ ïî ýòèì îáðàçóþùèì ñîãëàñíî ôîðìóëû

A = αb11 + (λ − iµ )b12 + (λ + iµ )b21 + βb22 ,

ãäå

(6.6.18)

α , β , λ , µ - äåéñòâèòåëüíû. Äëÿ áåññëåäíûõ ìàòðèö Îêóáî ïðåäëîæèë îáðàçóþùèå

1  1 a1 =  2  0 

  1 0  0 0 0 0   1   2 − 2  , a12 =   , a 2 =   , a 2 =  1 0 0 1 0  0     −   2

aki :

 0  ,(6.6.19) 1  2

ñâÿçàííûå ñîîòíîøåíèåì

a11 + a 22 = 0 .

(6.6.20) Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (6.6.9) ïîëó÷èì ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ìàòðèö Îêóáî:

[a , a ] = δ a − δ [a , a ] = −a , [a , a ] = 0 , 1 1

2 1

1 2 1 1

1 1

1 2

1 2

1 1

2 2

[a , a ] = −a , [a , a ] = a , [a , a ] = a − a .

a = a12 ,

2 1 1 1

2 1

2 2

2 1

2 2

1 2

1 2

1 1

2 1

1 2

(6.6.21)

2 2

Äëÿ áåññëåäíûõ ýðìèòîâûõ ìàòðèö èìååì ðàçëîæåíèå

A0 = αa11 + (λ + iµ )a12 + (λ − iµ )a 12 + β a 22 ,

(6.6.22)

ãäå α , β , λ , µ äåéñòâèòåëüíû, à ðàçëîæåíèå îäíîçíà÷íî ïðè α + β Ñâÿçü ìåæäó ìàòðèöàìè Ïàóëè è Îêóáî äà¸òñÿ ôîðìóëàìè

a12 = σ 1 + iσ 2 ,

a 12 = σ 1 − iσ 2 ,

= 0.

a11 = −a 22 = σ 3 . (6.6.23)

Àëãåáðû Ëè

167

6. n = 3 . Ïî àíàëîãèè ñ ìàòðèöàìè Ïàóëè, Ãåëë-Ìàíí ïîñòðîèë âîñåìü áåññëåäíûõ ýðìèòîâûõ ìàòðèö

λi , êîòîðûå âìåñòå ñ E (3) ñî-

ñòàâëÿþò ñèñòåìó íåçàâèñèìûõ îáðàçóþùèõ äëÿ

AGL(3, C ) ñ êîìïëåê-

ñíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Áåç E (3) îíè ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùèìè äëÿ áåññëåäíûõ ìàòðèö ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè è äëÿ áåññëåäíûõ ýðìèòîâûõ ìàòðèö ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè:

0 1 0  0 − i 0     λ1 =  1 0 0  , λ2 =  i 0 0  , 0 0 0  0 0 0     1 0 0 0 0 1     λ3 =  0 − 1 0  , λ 4 =  0 0 0  ,  0 0 0 1 0 0     0 0 − i 0 0 0     λ5 =  0 0 0  , λ 6 =  0 0 1  , i 0 0  0 1 0        0 0 0      λ 7 =  0 0 − i  , λ8 =  0 i 0        Âûáîð ìíîæèòåëÿ â

1 3

0

0

1 3

0

0

 0    0 .  2  −  3

(6.6.24)

λ8 îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè òàêîì âûáîðå

ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòîå âûðàæåíèå äëÿ ñëåäà ïðîèçâåäåíèÿ:

Sp(λi λ j ) = 2δ ij ,

(i, j = 1,...,8).

(6.6.25)

168

Ãëàâà øåñòàÿ

Ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ìàòðèö Ãåëë-Ìàííà, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü, èìåþò âèä

[λ , λ ] = 2i∑ f i

j

ijk

λk ,

(6.6.26)

k

ãäå

f ijk - äåéñòâèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû, àíòèñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëü-

íî èíäåêñîâ i, j , k , òî åñòü íå ìåíÿþùèåñÿ (ñîîòâåòñòâåííî, ìåíÿþùèå çíàê) ïðè ÷¸òíîé (ñîîòâåòñòâåííî, íå÷¸òíîé) ïåðåñòàíîâêå èíäåêñîâ, â ñèëó ÷åãî äîñòàòî÷íî ïåðå÷èñëèòü òå

f ijk , ó êîòîðûõ i < j < k è êîòî-

ðûå îòëè÷íû îò íóëÿ:

ijk

f ijk

ijk

123

1

246

1 2 1 156 − 2

147

257 345

f ijk 1 2 1 2 1 2

ijk

f ijk 1 367 − 2 3 458 2 3 678 2

(6.6.27)

Ãðîìîçäêîñòü ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé (6.6.26), (6.6.27) äåëàåò ïðèìåíåíèå ìàòðèö Ãåëë-Ìàííà ìàëîóäîáíûìè. Ïîýòîìó Îêóáî âûáðàë «âíåøíþþ» ñèñòåìó èç äåâÿòè îáðàçóþùèõ

Aij , ñîñòîÿùóþ íå

òîëüêî èç ýðìèòîâûõ ìàòðèö:

2  3 1 A1 =  0   0 

 0   1 − 0 ,  3 1 0 −  3 0

 0 1 0   A =  0 0 0 ,  0 0 0   2 1

Àëãåáðû Ëè

169

0 0 1   A = 0 0 0 , 0 0 0  

0 0 0   A = 1 0 0 , 0 0 0  

 1 −  3 2 A2 =  0    0 

0 0 0   A = 0 0 1 , 0 0 0  

3 1

0 2 3 0

1 2

 0   0 ,  1 −  3

0 0 0   A = 0 0 0 , 1 0 0  

 0 0 0   A =  0 0 0 ,  0 1 0  

1 3

 1 0 − 3  1 A33 =  0 −  3  0  0 

3 2

2 3

 0  0.  2  3

(6.6.28)

Âñå ýòè ìàòðèöû áåññëåäíû è óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó ëèíåéíîìó ñîîòíîøåíèþ (6.6.5)

A11 + A22 + A33 = 0 . Äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû

(6.6.29)

Aii ýðìèòîâû.

Ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ òð¸õðÿäíûõ îïåðàòîðîâ Îêóáî ïðåäñòàâëÿþò ÷àñòíûé ñëó÷àé ñîîòíîøåíèé (6.6.9), ãäå èíäåêñû ïðîáåãàþò çíà÷åíèÿ 1,2,3:

170

Ãëàâà øåñòàÿ

[A , A ] = 0, [A , A ] = 0 (i ≠ m, l ≠ k ),  [A , A ] = A (l ≠ k ),   [A , A ] = − A (i ≠ l ),   [A , A ] = A − A .  i i

l l

i k

l i

i k

k l

i k

k i

i k

l m

k l

i l

k k

(6.6.30)

i i

Ïðîâåðèì âûáîðî÷íî ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèé (6.6.30), íàïðè-

ìåð

[A , A ] = δ A − δ A = A − A , [A , A ] = δ A − δ A = A , [A , A ] = δ A − δ A = − A . 2 1

1 2

1 1

2 2

2 2

1 1

2 2

1 2

3 1

1 1

3 2

3 2

1 1

3 2

3 2

2 1

3 1

2 2

2 2

3 1

1 1

3 1

Ëþáàÿ òð¸õðÿäíàÿ ìàòðèöà ðàçëàãàåòñÿ ïî ìóëå (6.6.11), ãäå íàäî âûðàçèòü

Aki , E (3) ñîãëàñíî ôîð-

Bki ÷åðåç Aki è B11 + B22 + B33 = E (3) â

ñîîòâåòñòâèè ñ (6.6.4). Ëþáàÿ òð¸õðÿäíàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà ðàçëàãàåòñÿ ïî

Aki è E (3)

ïî ôîðìóëå (6.6.11), òî åñòü îäíîçíà÷íî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ìàòðèöû Îêóáî è

E (3) â âèäå

A = εE (3) + αA11 + βA22 + γA33 + (λ + iµ )A12 + (λ − iµ )A21 +

+ (σ + iτ )A13 + (σ − iτ )A31 + (η + iζ )A23 + (η − iζ )A32 , ãäå

(6.6.31)

α + β + γ = 0 è ε ,α , β , γ , λ , µ ,σ ,τ ,η, ζ äåéñòâèòåëüíû. Åñëè A -

ýðìèòîâà áåññëåäíàÿ ìàòðèöà, òî â ðàçëîæåíèè (6.6.31) ε = 0 . Ñâÿçü ìåæäó ìàòðèöàìè Îêóáî è ìàòðèöàìè Ãåëë-Ìàííà äà¸òñÿ ôîðìóëàìè

Àëãåáðû Ëè

λ1 = A12 + A21 ,   1 2 1  λ2 = (A1 − A2 ),  i  1 2 λ3 = A1 − A2 ,  λ4 = A13 + A31 ,   1 3 1  λ5 = (A1 − A3 ),  i  λ6 = A23 + A32 ,   1 3 2  λ7 = (A2 − A3 ),  i  3 λ8 = − 3 A3 . 

171

(6.6.32)

7. n = 4 . Äèðàê ïðåäëîæèë 16 ÷åòûð¸õðÿäíûõ ýðìèòîâûõ ìàòðèö â êà÷åñòâå îáðàçóþùèõ äëÿ àëãåáðû âñåõ ÷åòûð¸õðÿäíûõ ìàòðèö (ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè) èëè ýðìèòîâûõ ÷åòûð¸õðÿäíûõ ìàòðèö (ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè). ×òîáû ïîëó÷èòü ýòè ìàòðèöû, âîñïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ (2.8.1); îáîçíà÷àÿ òåì æå çíàêîì ñîîòâåòñòâóþùóþ îïåðàöèþ íàä ìàòðèöàìè, èçîáðàæåííóþ ôîðìóëîé (2.8.4), ïîñòðîèì èç äâóõðÿäíûõ ìàòðèö Ïàóëè

σ i (2 ) ÷åòûð¸õðÿäíûå ìàòðèöû: σ i (4 ) = 2 E (2 ) ⊗ σ i (2 ),  ρ i (4 ) = 2σ i (2 ) ⊗ E (2 ),  i = 1,2,3, 

(6.6.33)

172

Ãëàâà øåñòàÿ

0  1 σ1 =  0  0 

1 0 0  0 0 0 , 0 0 1  0 1 0 

1 0   0 −1 σ3 =  0 0  0 0 

0 − i 0 0    i 0 0 0  σ2 = , 0 0 0 − i   0 0 i 0   

0 0  0 0 , 1 0  0 − 1

0  0 ρ1 =  1  0 

0 0 0 1

0 0 − i 0    0 0 0 − i ρ2 =  , i 0 0 0   0 i 0 0   

1  0 ρ3 =  0  0 

0 0 0  1 0 0 . 0 −1 0   0 0 − 1

16 ìàòðèö

E (4 ), σ i , ρ i , σ i ⋅ ρ k

1 0 0 0

0  1 , 0  0 

(6.6.34)

(i, k = 1,2,3) , ëèíåéíî íåçàâèñèìû

è îáðàçóþò áàçèñ äëÿ âñåõ ÷åòûð¸õðÿäíûõ ìàòðèö (ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè) è äëÿ âñåõ ÷åòûð¸õðÿäíûõ ýðìèòîâûõ ìàòðèö (ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè). Áàçèñ äëÿ áåññëåäíûõ ìàòðèö ïîëó÷àåì, îòáðàñûâàÿ E (4 ). ×òîáû ðàçëîæèòü ïðîèçâîëüíóþ ìàòðèöó ïî óêàçàííîìó áàçèñó, îáîçíà÷èì áàçèñíûå ìàòðèöû ÷åðåç

τ 1 ,τ 2 ,...,τ 16 , òîãäà

1 Sp(τ iτ k ) = δ ik 4

(6.6.35)

è êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ 16

τ = ∑ ε jτ j j =1

ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû àíàëîãè÷íî êîýôôèöèåíòàì Ôóðüå:

(6.6.36)

Àëãåáðû Ëè

173

1 ε j = Sp (ττ j ). 4

(6.6.37)

ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ

σ i , ρ k ïîëó÷àþòñÿ ïî àíàëîãèè ñ

(6.6.14):

[σ i , ρ k ] = 0 , [σ i , σ k ] = 2 i ε ikl σ l , [ρ i , ρ k ] = 2iε ikl ρ l , (6.6.38)

ãäå

ε ikl - ÷èñëà, àíòèñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî èíäåêñîâ i, k , l , ïðè-

÷¸ì

ε 123 = 1 : ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1 ,

ε 132 = ε 321 = ε 213 = −1 .

(6.6.39)

ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ äðóãèõ ìàòðèö Äèðàêà ìîãóò áûòü òàê æå ïîëó÷åíû èç (6.6.14), íàïðèìåð,

[σ 1 ρ1 ,σ 2 ρ 3 ] = σ 1σ 2 ρ1 ρ 3 − σ 2σ 1 ρ 3 ρ1 = σ 3 ρ 2 − σ 3 ρ 2 = 0 .

Îáðàçóþùèå Äèðàêà ìîæíî çàäàòü òàáëèöåé

ρ2 E (4 ) ρ1 σ 1 σ 1 ρ1 σ 1 ρ 2 σ 2 σ 2 ρ1 σ 2 ρ 2 σ 3 σ 3 ρ1 σ 3 ρ 2

ρ3 σ 1 ρ3 . σ 2 ρ3 σ 3 ρ3

(6.6.40)

§6.7. Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå Ïåðåõîä îò ãðóïï Ëè ê àëãåáðàì Ëè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðîå îáîáùåíèå ëîãàðèôìèðîâàíèÿ ÷èñåë, ïðåâðàùàþùåãî óìíîæåíèå â ñëîæåíèå. Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå «ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè» îò ìàòðèöû è îò îïåðàòîðà. Åñëè íû å¸ ñòåïåíè

Ci j - n -ðÿäíàÿ êîìïëåêñíàÿ ìàòðèöà, òî îïðåäåëå-

(

)

C 2 , C 3 ,...; îáîçíà÷èì ÷åðåç j C k i ýëåìåíò ìàòðèöû C k .

Òîãäà äëÿ ëþáûõ

i, j , êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ðÿä

174

Ãëàâà øåñòàÿ

δ i j + ( j C i )+

(

)

(

)

1 1 j C 2 i + ... + j C k i + ... k! 2!

ñõîäèòñÿ ê ñóììå, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì êàê âàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëîì ìàòðèöû

(6.7.1)

Ei j . Ìàòðèöà Ei j íàçû-

Ci j : E = e C . Ðàçëîæåíèå (6.7.1) ìîæíî

çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ îòäåëüíî äëÿ êàæäîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà

E = e C = E (n ) + C +

i, j :

1 2 1 C + ... + C k + ... k! 2!

(6.7.2)

Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî C - îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â Òîãäà â áàçèñàõ

C (n ) .

e è e′ ìû áóäåì èìåòü ìàòðèöû Ce , C e′ , èçîáðàæàþ-

ùèå îïåðàòîð C . Ïî àíàëîãèè ñ (6.7.2) ìîæåì çàïèñàòü:

Ee = E (n ) + Ce +

1 2 1 Ce + ... + C ek + ... , k! 2!

Ee′ = E (n ) + C e′ +

1 2 1 C e′ + ... + C ek′ + ... k! 2!

 ñîîòâåòñòâèè ñ (1.13.9) ìàòðèöû

Ce , C e′ ïîäîáíû:

Ce′ = UCeU −1 ,

(6.7.3)

ãäå U - íåêîòîðàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî

(Ce′ )k

(

)(

)(

)

= UCeU −1 UCeU −1 ... UCeU −1 = U (Ce ) U −1 , k

îòêóäà

Ee′ = UEeU −1 .

(6.7.4)

Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ìàòðèöà

Ee′ èçîáðàæàåò â áàçèñå

e′ òîò æå îïåðàòîð, êîòîðûé ìàòðèöà Ee èçîáðàæàåò â áàçèñå e è ìû îïðåäåëèëè íåêîòîðûé îïåðàòîð ðàòîðó

E , îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþùèé îïå-

C , êîòîðûé ìîæíî îáîçíà÷èòü ÷åðåç e C , à ðàâåíñòâî (6.7.2)

Àëãåáðû Ëè

175

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèìâîëè÷åñêîå îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà E . Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1.

( )

det e C = e SpC ;

2. êàêîâ áû íè áûë 3. åñëè

C , e C âñåãäà – îáðàòèìûé îïåðàòîð; (6.7.6)

CD = DC , òî e C + D = e C e D ;

(6.7.7)

( ).

(6.7.8)

+

4.

(6.7.5)

eC = eC

+

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå îïåðàòîðû, áëèçêèå ê E (n ) , èìåþò «ëîãàðèôìû» ÿâëÿþùèåñÿ ìàëûìè îïåðàòîðàìè. Äëÿ áîëåå òî÷íîé ôîðìóëèðîâêè âûñêàçàííîãî âûøå ïðåäïîëîæåíèÿ, ââåä¸ì ïîíÿòèå îêðåñòíîñòè îïåðàòîðà, îáîáùàþùåå äàííîå â §4.3. Ïóñòü çàäàíî

B - ïðîèçâîëüíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â C (n ) . Ïóñòü

(

)

n 2 ôóíêöèé âèäà Ci j t11 , t 21 ,..., t nn , îïðåäåë¸ííûõ è íåïðåðûâíûõ

â êóáå

t lk < ε ,

k , l = 1,2,..., n .

(6.7.9)

Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó íàáîðó

(t ) ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà C k l

j i

è, ïðè íåêîòîðîì ôèêñèðîâàííîì áàçèñå, îïåðàòîð. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàçíûì íàáîðàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå îïåðàòîðû, à íóëåâîìó íàáîðó (0,0,…,0) – äàííûé îïåðàòîð ëÿþò îêðåñòíîñòü îïåðàòîðà

B . Òîãäà îïåðàòîðû Ci j (t lk ) ñîñòàâ-

B . Çäåñü ìû ïàðàìåòðèçóåì âñå îïåðàòî-

ðû, áëèçêèå ê B , à íå òîëüêî ïðèíàäëåæàùèå ê íåêîòîðîé ãðóïïå. «Êóáè÷åñêàÿ» îêðåñòíîñòü âèäà (4.3.1) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïðè

( )

Ci j t lk = Bi j + t i j .

(6.7.10)

Èìåÿ â âèäó îêðåñòíîñòè îáùåé «ôîðìû», ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå: Ñóùåñòâóþò òàêàÿ îêðåñòíîñòü è òàêàÿ îêðåñòíîñòü

Oε åäèíè÷íîãî îïåðàòîðà E (n )

Oη íóëåâîãî îïåðàòîðà, ÷òî (6.7.2) óñòàíàâëèâà-

åò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îïåðàòîðàìè C èç

Oη è

176

Ãëàâà øåñòàÿ

E èç Oε . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñîïîñòàâèòü

E ëåæèò â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè Oε , ìîæíî

E îäèí è òîëüêî îäèí îïåðàòîð C èç Oη òàêîé, ÷òî

e C = E . Ýòî îïåðàòîð ìîæíî íàçâàòü ëîãàðèôìîì E : (6.7.11) C = ln E . Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî îïåðàòîðàì äàë¸êèì îò E (n ) , íåëüçÿ ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå åäèíè÷íûé ëîãàðèôì; íàïðèìåð, îïåðàòîðû ãäå

z ⋅ E (n ),

z - êîìïëåêñíîå ÷èñëî, èìåþò «ëîãàðèôìàìè» âñå îïåðàòîðû âèäà

[ln z + i(arg z + 2πki )]⋅ E (n ),

îäíîçíà÷íûé âûáîð àðãóìåíòà íèöå.

k = 0,±1,±2,... ;

z âîçìîæåí ëèøü äëÿ z , áëèçêèõ ê åäè-

Äëÿ êàæäîãî îáðàòèìîãî îïåðàòîðà çíà÷íî îïðåäåë¸ííûé) îïåðàòîð C , ÷òî Ïîêàæåì, ÷òî åñëè

E ñóùåñòâóåò òàêîé (íå îäíî-

eC = E .

A - ýðìèòîâ îïåðàòîð, òî e iA - óíèòàðíûé îïå-

A - áåññëåäíûé îïåðàòîð, òî e iA - óíèìîäóëÿðíûé îïåðàòîð.

ðàòîð; åñëè

Ïóñòü A ýðìèòîâ îïåðàòîð, òîãäà âåòñòâèè ñ (6.7.7),

(iA)(iA)+ = (iA)+ (iA) è, â ñîîò-

e iA+(iA ) = e iA e (iA ) . +

+

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

( )

e iA e iA

+

(iA)+ = −iA , èç (6.6.8) ïîëó÷èì

= E (n ).

Òàêèì îáðàçîì,

(e ) = (e ) iA +

iA −1

è

e iA - óíèòàðíûé îïåðàòîð.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êàæäûé óíèòàðíûé îïåðàòîð èìååò âèä

U = e iA ,

A+ = A .

(6.7.12) Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî àíàëîãè÷íî ïðåäñòàâëåíèþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

z ñ ìîäóëåì 1 â âèäå e iα , ãäå α - äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Åñëè

Àëãåáðû Ëè

177

SpA = 0 , òî èç (6.7.5) âûòåêàåò, ÷òî det e iA = 1 .  îáùåì ñëó÷àå A = A0 + A1 , ãäå SpA1 = SpA ,

SpA0 = 0 ,

A1 = SpA ⋅ E (n ).

Òàêèì îáðàçîì,

e iA = e iA0 e iA1 , e iA = e iSpA e iA0 , ãäå

e iA0 - óíèìîäóëÿðíûé îïåðàòîð.

Åñëè U = e - óíèòàðíûé îïåðàòîð, ïîëó÷àåì åãî êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç óíèìîäóëÿðíûé: iA

U = det U ⋅ U 0 .

(6.7.13)

Ïîñìîòðèì, íàñêîëüêî ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå îïåðàòîðîâ ïîõîæå íà ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ îò ÷èñëà. Óñëîâèå (6.7.7) îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ñëàãàåìûå A, B êîììóòèðóþò, òî ïîêàçàòåëüíîå îòîáðàæåíèå ïåðåâîäèò ñóììó â ïðîèçâåäåíèå, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îñíîâíîìó ñâîéñòâó ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè. Åñëè ðÿäêà

A, B íå êîììóòèðóþò è t ìàëî, òî ñ òî÷íîñòüþ ïåðâîãî ïî-

e itA = E (n ) + itA , e itB = E (n ) + itB ,

e it ( A+ B ) = E (n ) + it (A + B ) = e itA e itB .

(6.7.14)

Ñ òî÷íîñòüþ äî âòîðîãî ïîðÿäêà

1 e itA = E (n ) + itA − t 2 A 2 , 2 1 e itB = E (n ) + itB − t 2 B 2 , 2

(

)

1 e it ( A+ B ) = E (n ) + it (A + B ) − t 2 A 2 + AB + BA + B 2 , 2

(

)

1 e itA e itB = E (n ) + it (A + B ) − t 2 A 2 + 2 AB + B 2 , 2

178

Ãëàâà øåñòàÿ

1 e it ( A+ B )e −itB e −itA = E (n ) + t 2 [A, B ] . 2

(6.7.15)

Ñîõðàíÿÿ â ðàçëîæåíèÿõ ÷ëåíû äî âòîðîãî ïîðÿäêà, íåòðóäíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó

e itA e itB e − itA e − itB = e − t

2

[ A, B ]

.

(6.7.16)

§6.8. Ãðóïïû Ëè è àëãåáðû Ëè  ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì ñâÿçè ìåæäó ãðóïïàìè Ëè (ñì. §4.6) è àëãåáðàìè Ëè. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî àëãåáðà Ëè A è ãðóïïà Ëè G ýêñïîíåíöèàëüíî ñâÿçàíû, åñëè ìåæäó èõ îïåðàòîðàìè ñóùåñòâóåò ñîîòíîøåíèå: êîãäà A ïðîáåãàåò àëãåáðó Ëè, U = e iA ïðîáåãàåò ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ãðóïïó Ëè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåä¸ííûì âûøå îïðåäåëåíèåì, ñîñòàâèì òàáëèöó 6.8.1 ñîîòâåòñòâèÿ ãðóïï è àëãåáð Ëè. Êàê ìîæíî çàìåòèòü èç òàáëèöû ðàçìåðíîñòü ãðóïïû Ëè ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ îáðàçóþùèõ ñîîòâåòñòâóþùåé àëãåáðû Ëè. Óêàçàííàÿ â òàáëèöå ñâÿçü ìåæäó ãðóïïàìè è àëãåáðàìè Ëè â îáùåì ñëó÷àå íîñèò ëîêàëüíûé õàðàêòåð, òî åñòü îòíîñèòñÿ ê îêðåñòíîñòÿì åäèíè÷íîãî è íóëåâîãî ýëåìåíòà.

§6.9. Ïîäãðóïïû è ïîäàëãåáðû A′ - àëãåáðà Ëè, G ′ - ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ãðóïïà Ëè, ýêñïîíåíöèàëüíî ñâÿçàííàÿ ñ A ′ , A - ïîäàëãåáðà A ′ . Òîãäà äëÿ âñåâîçìîæÏóñòü

A èç A îïåðàòîðû e iA îáðàçóþò ãðóïïó G (ñì. òàáëèöó 6.8.1), ÿâëÿþùóþñÿ ïîäãðóïïîé G ′ . Îáðàòíî, åñëè äàíà ïîäãðóïïà G ãðóïïû G ′ , òî â àëãåáðå A′ ñóùåñòâóåò ïîäàëãåáðà A , ñ êîòîðîé ýêñïîíåíöèàëüíî ñâÿçàíà ïîäãðóïïà G . íûõ îïåðàòîðîâ

Àëãåáðû Ëè

179

180

Ãëàâà øåñòàÿ

×àñòî ïîäàëãåáðó Ëè A çàäàþò, âûäåëèâ ÷àñòü îáðàçóþùèõ A ′ , äëÿ êîòîðûõ êîììóòàòîðû âûðàæàþòñÿ ÷åðåç òå æå îáðàçóþùèå. Åñëè èçâåñòíà ãðóïïà Ëè

G1 , â àëãåáðå Ëè êîòîðîé ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíî-

øåíèÿ èìåþò òàêîé æå âèä, òî ïîäãðóïïà G ãðóïïû G ′ , ýêñïîíåíöèàëüíî ñâÿçàííàÿ ñ

A , è ãðóïïà G1 èìåþò èçîìîðôíûå àëãåáðû Ëè. Â

íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: åñëè G ′ åñòü îäíà è ãðóïï

SU (n ) (n ≥ 2 ) , à G1 èçîìîðôíà SU (n ) ñ òåì æå n ,

òî â îïèñàííîé âûøå ñèòóàöèè ïîäãðóïïà G ñîâïàäàåò ñ G ′ è èçîìîðôíà

G1 .

Òàêèì îáðàçîì, ïî âèäó ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ïîäàëãåáðû Ëè ìîæíî èíîãäà îïðåäåëèòü ñòðîåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ïîäãðóïïû.

§6.10. Ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáð Ëè Ïóñòü

A - àëãåáðà Ëè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äàíî k -ðÿäíîå ïðåäñòàâ-

ëåíèå àëãåáðû

A (èëè ãîìîìîðôèçì A â àëãåáðó AGL(n, C )), åñëè

A èç A ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé îïå~ ðàòîð P ( A), äåéñòâóþùèé â C (k ) , ïðè÷¸ì ñóììå, êðàòíîìó è êîììóòà-

êàæäîìó îïåðàòîðó

òîðó îïåðàòîðîâ èç ðàòîðîâ â

C (k ) :

A ñîîòâåòñòâóþò ñóììà, êðàòíîå è êîììóòàòîð îïå-

     ~ 1 ~  1 ~ P  [A, B ] = P (A), P (B ) . i  i  ~ ~ ~ P (A + B ) = P (A) + P (B ), ~ ~ P (λA) = λP (A),

[

]

(6.10.1)

Àëãåáðû Ëè

181

Âñå îïåðàòîðû âèäà

~ P (A), ãäå A ïðîáåãàåò àëãåáðó A , ñîñòàâëÿ-

þò òàêæå íåêîòîðóþ àëãåáðó Ëè – ïîäàëãåáðó AGL(k , C ) .  òåîðèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ÷àùå âñåãî ðàáîòàþò ñ ïðåäñòàâëåíèÿìè àëãåáð Ëè, íî ó÷èòûâàÿ èõ ñâÿçü ñ ïðåäñòàâëåíèÿìè ãðóïï Ëè, ìû ìîæåì îãðàíè÷èòüñÿ ëèøü èçó÷åíèåì ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï Ëè, óêàçàâ çàêîí, ïî êîòîðîìó ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Ëè ïîðîæäàåò ïðåäñòàâëåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé åé àëãåáðû Ëè è òàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü âñå ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáð Ëè. Ïóñòü íàì çàäàíî ïðåäñòàâëåíèå

P ãðóïïû Ëè G k - ðÿäíûìè

îïåðàòîðàìè. Ïðåäñòàâëÿþùóþ ãðóïïó îáîçíà÷èì ÷åðåç

P(G ) . Àëãåá-

ðó Ëè, ñîîòâåòñòâóþùóþ ãðóïïå G , îáîçíà÷èì ÷åðåç AG .

A ïðèíàäëåæèò AG , òî e iA ïðèíàäëåæèò G . Ðàññìîòðèì îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ïîäãðóïïó G , ñîñòîÿùóþ èç îïåðàòîÅñëè îïåðàòîð

ðîâ

e itA , ãäå t - äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Òàê êàê

( )( ) ( ) ( ) îïåðàòîð P (e ) òîæå îáðàçóåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ïîäãðóïïó ãðóïP e it1 A P e it2 A = P e it1 A e it2 A = P e i (t1 +t2 ) A , itA

P(G ) . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â àëãåáðå Ëè ãðóïïû P(G ) ñóùåñòâóåò ~ îäèí, è òîëüêî îäèí, îïåðàòîð A , ïîðîæäàþùèé ýòó ïîäãðóïïó, òî åñòü

ïû

óäîâëåòâîðÿþùèé òîæäåñòâó

( )

~

P e itA = e itA . Çàìåòèì (áåç äîêàçàòåëüñòâà), ÷òî

(6.10.2)

~ A åñòü êîýôôèöèåíò ïðè it â

( )

t îïåðàòîðà P e itA è (6.10.2) ñïðàâåäëèâî ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëîé âûñøåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî t . ðàçëîæåíèè ïî ñòåïåíÿì Ïóñòü

~ ~ (6.10.3) A = P ( A) , ~ òîãäà P è åñòü ïðåäñòàâëåíèå àëãåáðû Ëè, ïîðîæä¸ííîå çàäàííûì ~ ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû Ëè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî P óäîâëåòâîðÿþò

182

Ãëàâà øåñòàÿ

îïðåäåëåíèþ ïðåäñòàâëåíèÿ (6.10.1). Ïðîâåðèì ýòî, âûïîëíèâ ñëåäóþùèå íåñòðîãèå âû÷èñëåíèÿ, ïðåíåáðåãàÿ ìàëûìè âûñøèõ ïîðÿäêîâ îòíîñèòåëüíî t . Åñëè

( )

( )

~

P e itA = e itA ,

~

P e itB = e itB ,

òî ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû â ñîîòâåòñòâèè ñ (6.7.15)

(

) (

) ( )( )

P eit ( A+ B ) = P e itAeitB = P eitA P eitB . Ñ ó÷¸òîì (6.10.2) ìîæåì çàïèñàòü

e it ( A+ B ) = e itA e itB = e it (A + B ) ~

~

~ ~

~

è òåì ñàìûì

~ ~ ~ P (A + B ) = P (A) + P (B ). Âòîðîå ñîîòíîøåíèå (6.10.1) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïîëàãàÿ

[

]

1 [A, B] = C , 1 P~(A), P~(B ) = D , i i

t =s,

ñ ïîìîùüþ (6.7.16) ïîëó÷èì:

( ) ( [ ] )= P(e ) )P(e )P(e )P(e ( ) ) =

e itP (C ) = P e itC = P e − s ~

(

=Pe

is (− A

isB

2

− A, B

isA

− isA isB isA − isB

e e e

)=

is − B

= e −isP ( A )e isP (B )e isP ( A )e −isP (B ) = e is D = e itD , ~

~

~

~

2

îòêóäà

[

]

~ 1 ~  1 ~ P  [A, B ] = P (A), P (B ) . i  i Íà ïðàêòèêå óäîáíî íàõîäèòü îïåðàòîð Çàäàþò

( )

~ A ñëåäóþùèì îáðàçîì.

A , íàõîäÿò P e itA , ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû

( )

P e itA â ðÿä ïî ñòåïåíÿì t ; òîãäà êîýô~ ôèöèåíò ïðè it è åñòü èñêîìûé îïåðàòîð A . Ëè èçâåñòíî, à çàòåì ðàçëàãàþò

Âûâåäåì âàæíóþ äëÿ äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèé ôîðìóëó ñ ïîìîùüþ òîëüêî ÷òî èçëîæåííîãî ìåòîäà.

Àëãåáðû Ëè

183

Ïóñòü íàì äàíû ïðåäñòàâëåíèÿ

P, Q ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâàõ

C (k ) è C (l ) , è ïðîèçâåäåíèå R = P ⊗ Q ýòèõ ïðåäñòàâëåíèé â ïðî-

C (k ) ⊗ C (l ) (ñì. §5.5). Òîãäà â ýòîì æå ïðîñòðàíñòâå îïðåäå~ ~ ëåíî ïðåäñòàâëåíèå R àëãåáðû Ëè AG . Âûðàçèì ïðåäñòàâëåíèå R ÷å~ ~ ðåç ïðåäñòàâëåíèÿ P , Q .

ñòðàíñòâå

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

A ïðèíàäëåæèò AG ; òîãäà e itA åñòü îïåðàòîð

ãðóïïû G . Ïî îïðåäåëåíèþ,

( ) ( )

( )

R e itA = P e itA ⊗ Q e itA .

(6.10.4)

Ñîãëàñíî (6.10.2) ñóùåñòâóþò òàêèå îïåðàòîðû

( )

( )

P e itA = e itA1 , ïðè÷¸ì

~ ~ A1 è A2 , ÷òî

Q e itA = e itA2 ,

~ ~ ~ ~ A1 = P (A) , A2 = Q ( A), à

( )

(6.10.6)

~ ~ A = R ( A) .

~

R e itA = e itA ,

(6.10.5)

(6.10.7)

Èç (6.10.4) ñ ó÷¸òîì (6.10.5) è (6.10.7) ñëåäóåò: ~

~

~

e itA = e itA1 ⊗ e itA2 . Ðàçëàãàÿ (6.10.8) ïî ñòåïåíÿì

(6.10.8)

t ïîëó÷èì:

~ ~ ~ A = A1 ⊗ E (l ) + E (k ) ⊗ A2 + tB(t ) ,

ãäå

B(t ) - îïåðàòîð, èìåþùèé êîíå÷íûé ïðåäåë ïðè t → 0 .

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó è ó÷èòûâàÿ (6.10.6) è (6.10.7) ìû îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì:

~ ~ ~ R (A) = P (A) ⊗ E (l ) + E (k ) ⊗ Q ( A) .

(6.10.9) Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîé ôîðìóëû íàïîìèíàåò ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ, îáîáùèâ êîòîðîå íà òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå

R = P1 ⊗ ... ⊗ Pm ëþáîãî ÷èñëà ïðåäñòàâëåíèé, ïîëó÷èì:

184

Ãëàâà øåñòàÿ

~ ~ R (A) = P1 (A) ⊗ E (k1 ) ⊗ ... ⊗ E (k m ) + ~ + E (k1 ) ⊗ P2 (A) ⊗ E (k 2 ) ⊗ ... ⊗ E (k m ) + ... + ~ + E (k1 ) ⊗ E (k 2 )... ⊗ E (k m ) ⊗ Pm (A).

(6.10.10)

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå óíèòàðíîå ïðåäñòàâëåíèå

P ãðóïïû Ëè

G â ëþáîì êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è ïîñòðîèì ñîîò~ âåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå P àëãåáðû Ëè AG â òîì æå ïðîñòðàíñòâå. ~ ~ Âñå îïåðàòîðû A èç P ( AG ) , ñîãëàñíî (6.10.2), çàäàþòñÿ òîæäåñòâîì

( )

~

P e itA = e it A , ïðè÷¸ì îïåðàòîð èìååì

(e )

~ + itA

~

e itA óíèòàðåí, ïî ïðåäïîëîæåíèþ è ñ ó÷¸òîì (6.10.6) +

~+ ~ = e (itA ) = e −it A .

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó (6.6.7)

(e )

~ −1 it A

~

= e −itA .

Ââèäó óíèòàðíîñòè +

~

~

e itA èìååì

~

e −it A = e −itA ; ~+

~

ñëåäîâàòåëüíî, A = A è, òàêèì îáðàçîì, äëÿ óíèòàðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû Ëè ïðåäñòàâëÿþùèå îïåðàòîðû àëãåáðû Ëè ýðìèòîâû.

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

185

Ãëàâà VII Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3) Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ

SO(2) è SO(3), ââåä¸ííûå íàìè â ãë. IV, § 4.5, ï.ï. 8 è 9.

Íàïîìíèì, ÷òî âìåñòî îáîçíà÷åíèé

SO(2) è SO(3) ìîæíî âñòðåòèòü

îáîçíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðóïï â âèäå

ℜ 2 è ℜ3 .

§7.1. Îáùèå çàìå÷àíèÿ Îáîçíà÷èì ýëåìåíòû íåïðåðûâíîé ãðóïïû G ñèìâîëîì

G (a1 ,..., ar ) , ãäå âñå r íåïðåðûâíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ a q

ñóùåñòâåííû â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåíüøåãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ óæå íåëüçÿ ðàçëè÷èòü ýëåìåíòû ãðóïïû äðóã îò äðóãà. ×èñëî

r íàçîâ¸ì ðàçìåðíîñòüþ ãðóïïû. Òàê êàê G (a1 ,..., ar ) åñòü ýëåìåíòû

ãðóïïû G , ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ïðîèçâåäåíèå

G (a1 ,..., a r )G (b1 ,..., br ) = G (c1 ,..., cr ) ,

ãäå

(7.1.1)

G (c1 ,..., cr ) òîæå åñòü ýëåìåíò ãðóïïû G . Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü,

÷òî ïàðàìåòðû c q åñòü ôóíêöèè îò àðãóìåíòîâ

cq = ϕ (a1 ,..., ar ; b1 ,..., br ).

a q è bq : (7.1.2)

Ïàðàìåòðû ãðóïïû îïðåäåëÿþòñÿ òàê, ÷òîáû åäèíè÷íîìó ýëåìåíòó ãðóïïû ñîîòâåòñòâîâàëè íóëåâûå çíà÷åíèÿ âñåõ ïàðàìåòðîâ. Áóäåì

186

Ãëàâà ñåäüìàÿ

ñ÷èòàòü ôóíêöèè

ϕ q äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè ïàðàìåòðîâ.

 ãëàâå V ïðè âûâîäå ñîîòíîøåíèé îðòîãîíàëüíîñòè íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, à òàêæå ïðè âû÷èñëåíèè õàðàêòåðîâ íàì ÷àñòî ïðèõîäèëîñü ïðîâîäèòü ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ýëåìåíòàì ãðóïïû.  ñëó÷àå íåïðåðûâíîé ãðóïïû íå òîëüêî ÷èñëî ýëåìåíòîâ ãðóïïû ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íûì, íî è ñàìè ýëåìåíòû ãðóïïû ðàñïðåäåëÿþòñÿ íåïðåðûâíî, è, òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ òàêàÿ ñóììà áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé èíòåãðàë ïî ïàðàìåòðàì ãðóïïû, íàïðèìåð ïî óãëó âðàùåíèÿ. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåïðåðûâíîé ãðóïïû òàêèå èíòåãðàëû ìîãóò ðàñõîäèòüñÿ, íî äëÿ áîëüøèíñòâà èíòåðåñíûõ ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëû áóäóò êîíå÷íû. Äëÿ òàêèõ ãðóïï, íàçûâàåìûõ g

êîìïàêòíûìè (§4.3), âñå ñóììû

∑ f (a ) (ñì. ãë. V), ìîæíî çàìåíèòü èía =1

òåãðàëàìè

∫ ...∫ f (a1 ,..., ar )ρ (a1 ,..., ar )da1...dar ïî

ïàðàìåòðàì

a1 ,..., ar íåïðåðûâíîé ãðóïïû ñî ñïåöèàëüíî âûáðàííîé âåñîâîé ôóíê-

öèåé ρ (a1 ,..., a r ). ×èñëî g ýëåìåíòîâ ãðóïïû çàìåíÿåòñÿ îáú¸ìîì ãðóïïû, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ ïóò¸ì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âñåì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ. Ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè è âñå ðåçóëüòàòû ãë. V áóäóò òåïåðü ñïðàâåäëèâû è äëÿ êîìïàêòíûõ íåïðåðûâíûõ ãðóïï.  ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíèÿ òàêèõ ïîíÿòèé, êàê ïðåäñòàâëåíèå, íåïðèâîäèìîñòü è õàðàêòåð, îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû è õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ òåïåðü íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè

Pij(α ) (a1 ,..., a r ) ,

χ (α ) (a1 ,..., a r ) ïàðàìåòðîâ ãðóïïû. Äëÿ íåïðåðûâíîé ãðóïïû íå ñóùåñòâóåò áîëüøå êîíå÷íîé òàáëèöû õàðàêòåðîâ; ïîäîáíî ñàìèì ýëåìåíòàì ãðóïïû êëàññû ñîïðÿæ¸ííûõ ýëåìåíòîâ ðàñïðåäåëåíû íåïðåðûâíî. ×èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé òåïåðü òîæå áåñêîíå÷íî, õîòÿ ðàçìåðíîñòü íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, êàê ïðàâèëî, êîíå÷íà. Áåñêîíå÷íîå ÷èñëî íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé îçíà÷àåò, ÷òî ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ïî ôóíêöèÿì, ïðèíàäëåæàùèì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì, ìîæåò ñîäåðæàòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà òàêîãî ðàçëîæåíèÿ ìîæíî ðàññìîòðåòü êîìï-

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

187

ëåêñíûé ðÿä Ôóðüå

f (ϕ ) =

+∞

∑ cm e imϕ

m= −∞

äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè öèÿ

f óãëà ϕ , òàê êàê (ñì. § 7.3) êàæäàÿ ôóíê-

e imϕ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî îäíîìåðíîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëå-

íèþ ãðóïïû

SO(2 ) .

§7.2. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû Íåïðåðûâíàÿ ãðóïïà G ðàçìåðíîñòè r ñ ïàðàìåòðàìè a1 ,..., a r èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, íî ïî÷òè âñå ñâîéñòâà å¸ îïðåäåëÿþòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì îïåðàòîðîâ, íàçûâàåìûõ èíôèíèòåçèìàëüíûìè. Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ïàðàìåòðîâ a1 ,..., a r ÷åðåç a è ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå

P(a ) ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå L . Âûáåðåì ïàðàìåòðû òàê,

÷òîáû åäèíè÷íûé ýëåìåíò èìåë âñå

P(0,...,0 ) = 1 . Åñëè âñå

aq = 0 , òî åñòü (7.2.1)

aq ìàëû, òî ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî

ýòèì ïàðàìåòðàì r

P(a ) ≈ 1 + ∑ aq X q ,

(7.2.2)

q =1

ãäå

X q - íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ëèíåéíûå îïåðàòîðû, íå çàâèñÿùèå

îò ïàðàìåòðîâ

aq è íàçûâàåìûå èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè

ïðåäñòàâëåíèÿ

P .  ñîîòâåòñòâèè ñ (7.2.2) X q îïðåäåëÿþòñÿ êàê ÷àñò-

íûå ïðîèçâîäíûå:

188

Ãëàâà ñåäüìàÿ

X q = lim

P(0,...,0, aq ,0,...,0 )− 1

aq → 0

aq

 d  P(a ) . =  da q  a =0

(7.2.3)

Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû G ñ

G (c ) = G (a )G (b ) , ãäå c = a + b , òî åñòü ñ àääèòèâ-

çàêîíîì óìíîæåíèÿ

íûì ïàðàìåòðîì. Ìû ìîæåì çàïèñàòü îïåðàòîð

P(a ) â âèäå

n

  a  P(a ) =  P  ,   n  ãäå n - öåëîå ÷èñëî. Ïðè áîëüøèõ n ïàðàìåòð

a ìàë, è â ïðåäåëå, ïðè n

n → ∞ íàì äîñòàòî÷íî ñîõðàíèòü â ôîðìóëå (7.2.2) ëèøü ÷ëåíû íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêà, òîãäà n

 a  X q (a ) = lim 1 + X  = e aX , n→∞  n 

(7.2.4)

ãäå ýêñïîíåíòà îïðåäåëÿåòñÿ êàê îáû÷íûé áåñêîíå÷íûé ðÿä: ∞

an X n . n! n =0

e aX = ∑

Íà ýòîì ïðèìåðå ìû âûÿñíèëè, êàê ìîæíî ïîñòðîèòü êàæäûé îïåðàòîð

P(a ) èç èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà X . Òàêèì æå ïóò¸ì

ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îïåðàòîð ëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè

P(a ) ïîëíîñòüþ îïðåäå-

aq è èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì X q .

Åñëè ïðåäñòàâëåíèå

P óíèòàðíî, òî îïåðàòîðû X q àíòèýðìèòî-

âû, òî åñòü

X q+ = − X q . Ýòî óòâåðæäåíèå ñðàçó ñëåäóåò èç (7.2.2), òàê êàê

ïàðàìåòðû

aq äåéñòâèòåëüíû. Èç óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè ïðè ìàëûõ çíà-

÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ

aq ïîëó÷èì

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

   1 = P(a )P + (a ) ≈ 1 + ∑ a q X q 1 + ∑ a q X q+  ≈    q q      ≈ 1 + ∑ a q X q + X q+ .   q

(

)

189

(7.2.5)

Ïðèðàâíèâàÿ ÷ëåíû ïåðâîãî ïîðÿäêà íóëþ, ïîëó÷èì

X q+ = − X q .

(7.2.6)

Åñëè óìíîæèòü îïåðàòîðû

X q íà i = − 1 , îíè ñòàíóò ýðìèòî-

âûìè. Îñíîâíûå ñâîéñòâà èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ìîæíî âûðàçèòü òðåìÿ òåîðåìàìè: Òåîðåìà 7.2.1. Åñëè äâà ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû G èìåþò îäèíàêîâûå èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû, òî ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. Òåîðåìà 7.2.2. Äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ

P ãðóïïû G ìíîæåñòâî

X q óäîâëåòâîðÿåò ïåðåñòàíîâî÷íûì

ñîîòíîøåíèÿì

[X q , X p ] = cqpi X i ,

(7.2.7) i

ãäå ÷èñëîâûå êîýôôèöèåíòû cqp - ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû (ñì. §6.4), îäèíàêîâûå äëÿ âñåõ ïðåäñòàâëåíèé

P ãðóïïû G .

Òåîðåìà 7.2.3. Ëþáîé íàáîð îïåðàòîðîâ

X q , îïðåäåë¸ííûõ â ïðî-

ñòðàíñòâå

L , îáðàçóåò àëãåáðó Ëè ïðåäñòàâëåíèÿ P ãðóïïû G â ïðî-

ñòðàíñòâå

L , åñëè îïåðàòîðû X q óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñî-

îòíîøåíèÿì (7.2.7). Ñìûñë òåîðåìû 7.2.1 çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè, ÷òî ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ðåçóëüòàòà (7.2.4) äëÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû. Âòîðàÿ òåîðåìà 7.2.2 äà¸ò çàêîí óìíîæåíèÿ äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ.  îáùåì ñëó÷àå èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ñîîò-

190

Ãëàâà ñåäüìàÿ

âåòñòâóþùèé ïðîèçâåäåíèþ äâóõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû, ñîâïàäàåò ñ ñóììîé èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ äëÿ ñîìíîæèòåëåé:

   P (a )P (b ) = 1 + ∑ a q x q 1 + ∑ b p X p  ≈ 1 + ∑ a q + bq X q    q p q   

(

)

ïðè ìàëûõ ïàðàìåòðàõ a è b . Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå

P(a )P(b )P −1 (a )P −1 (b ) :

[

]

P(a )P(b )P −1 (a )P −1 (b ) ≈ 1 + ∑ aq b p X q , X p + ε ,

(7.2.8)

q, p

ãäå

ε - ÷ëåíû ïîðÿäêà ìàëîñòè > 2.

Èç ãðóïïîâûõ ñâîéñòâ ñëåäóåò, ÷òî

P(a )P(b )P −1 (a )P −1 (b ) = P(e ) ≈ 1 + ∑ el X l

(7.2.9)

l

äëÿ íåêîòîðûõ ïàðàìåòðîâ e . Ñðàâíèâàÿ (7.2.9) ñ (7.2.8), çàêëþ÷àåì, ÷òî ïàðàìåòðû áûòü ïîðÿäêà ab , à êîììóòàòîð áèíàöèåé îïåðàòîðîâ

e äîëæíû

[X q , X p ] äîëæåí áûòü ëèíåéíîé êîì-

Xl è ìû ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (7.2.5), ñîãëàñíî

êîòîðîìó êîììóòàòîð ëþáûõ äâóõ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ äîëæåí áûòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ.  ñèëó ñôîðìóëèðîâàííûõ òåîðåì èññëåäîâàíèå íåïðåðûâíûõ ãðóïï ïðîùå èññëåäîâàíèÿ êîíå÷íûõ ãðóïï, òàê êàê ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü àëãåáðó èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ, çàìåíÿÿ òàáëèöó óìíîæåíèÿ Êýëè íàáîðîì ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíò. Èç ýòèõ òåîðåì òàêæå ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïîäìíîæåñòâî èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ íåêîòîðîé ãðóïïû G çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè êîììóòèðîâàíèÿ, òî åñòü åñëè êîììóòàòîð äâóõ ýëåìåíòîâ ïîäìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ ýòîãî ïîäìíîæåñòâà, òî ýòî ïîäìíîæåñòâî åñòü ìíîæåñòâî âñåõ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ íåêîòîðîé ïîäãðóïïû ãðóïïû G . Ãîâîðÿò, ÷òî íàáîð ôóíêöèé ìó ïðåäñòàâëåíèþ íîøåíèåì (5.17.1):

ϕ i(α ) ïðåîáðàçóåòñÿ ïî íåïðèâîäèìî-

P (α ) , åñëè ïðåîáðàçîâàííûå ôóíêöèè çàäàþòñÿ ñîîò-

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

191

Pϕ i(α ) = ∑ Pji(α )ϕ (jα ) , j

ãäå

P (α ) - îáû÷íûå ìàòðèöû ïðåäñòàâëåíèÿ.

Äëÿ íåïðåðûâíîé ãðóïïû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî áåñêîíå÷íî

ìàëûå èçìåíåíèÿ ôóíêöèé

ϕ i(α ) çàäàþòñÿ ìàòðèöàìè èíôèíèòåçèìàëü-

íûõ îïåðàòîðîâ. Ïîäñòàâëÿÿ P = 1 +

∑ a q X q â óñëîâèå (5.17.1), ïîëóq

÷àåì äëÿ êàæäîãî èíäåêñà q

X qϕ i(α ) =

∑ (X q )(jiα )ϕ (jα ) ,

(7.2.10)

j

ãäå

(X q )(jiα ) - ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà Xq â ïðåäñòàâëåíèè P (α ) .

 ÷àñòíîñòè, åñëè ôóíêöèÿ

ϕ èíâàðèàíòíà, òî îíà ïðåîáðàçóåòñÿ ïî

òðèâèàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, äëÿ êîòîðîãî P =1 (ñì. §5.3, ï.2). Òîãäà äëÿ âñåõ èíäåêñîâ q èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ðàâíû íóëþ, òî åñòü

X qϕ = 0 . Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî òðàíñôîðìàöèîííûõ îïåðàòîðîâ (§1.12)

(α )

ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ P . Íàì íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáîì èíäåêñå q áåñêîíå÷íî ìàëîå èçìåíåíèå îïåðàòîðîâ çàäà¸òñÿ òåìè æå ñàìûìè èçâåñòíûìè ìàòðèöàìè:

    S ′ = PSP −1 ≈ 1 + ∑ a q X q  S 1 − ∑ a q X q  ≈     q q     ≈ S + ∑ aq X q , S .

[

]

(7.2.11)

q

Òàêèì îáðàçîì, áåñêîíå÷íî ìàëîå èçìåíåíèå îïåðàòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ êîììóòàòîðîì è óñëîâèå, àíàëîãè÷íîå (7.2.10) äëÿ ëþáîãî q çàïèøåòñÿ â âèäå

192

Ãëàâà ñåäüìàÿ

[X

(α )

q , Si

]= ∑ (X )( ) S ( ) . j

α q ji

α j

(7.2.12)

Îòìåòèì, ÷òî èíâàðèàíòíûé îïåðàòîð S äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ

[X q , S ] = 0

(7.2.13)

ïðè ëþáîì èíäåêñå q , òî åñòü îïåðàòîð S êîììóòèðóåò ñî âñåìè èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé (5.5.2) èìåþò âèä ñóììû èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñîìíîæèòåëåé:

 Pij(α ) (a )Pkl(β ) (a ) = δ ik + ∑ aq X q(α )  q

(

  (β )  ⋅ δ jl + ∑ a p X p ik   p

)

[( )

(

(

)

]

= δ ik δ jl + ∑ aq X q(α ) ik δ jl + X (pβ ) jl δ ik . q

Òàêèì îáðàçîì, â áàçèñå ïðîèçâåäåíèé ôóíêöèé áîé èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð

 = jl 

ϕ k(α ) è ψ l(β ) ëþ-

Xq ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

X q = X q (1) + X q (2 ), ãäå

)

(7.2.14)

X q (1) - ïðîèçâåäåíèå èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà Xq äëÿ ϕ k(α ) (β )

íà åäèíè÷íûé îïåðàòîð äëÿ ψ l îïåðàòîðà äëÿ

,à

X q (2 ) - ïðîèçâåäåíèå åäèíè÷íîãî

ϕ k(α ) íà èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð äëÿ ψ l(β ) , ÷òî ñî-

âïàäàåò ñ (6.10.9).

§7.3. Ãðóïïà SO(2 ) 7.3.1. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ

Ãðóïïà SO(2 ) ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé, â ñèëó ÷åãî, å¸ íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîìåðíû.

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

193

Äëÿ îòûñêàíèÿ âîçìîæíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû

SO(2 ) , íàäî íàéòè ôóíêöèè P(a ), óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèÿì P(a + b ) = P(a )P(b ) è P (0 ) = 1 .

Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå ñîîòíîøåíèå ïî ïàðàìåòðó b ïðè ôèêñèðîâàííîì ïàðàìåòðå a ïîëó÷èì:

P ′ (a + b ) = P (a )P ′ (b ) ,

ãäå

(7.3.1)

dP (b ) . db Ïîëàãàÿ b = 0 , ïîëó÷èì óðàâíåíèå P ′ (a ) = P (a )P ′ (0 ) ,

P′(b ) =

ðåøåíèå êîòîðîãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

P (a ) = e a P ′ (0 ) ,

åñëè

P (0 ) = 1 .

Òàêèì îáðàçîì, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû

SO(2 ) åñòü

ýêñïîíåíöèàëüíûå ôóíêöèè óãëà âðàùåíèÿ a . Êîýôôèöèåíò P ′(0 ) ìîæåò áûòü ëþáûì, íî ïðåäñòàâëåíèå áóäåò íåïðåðûâíûì, òî åñòü áóäåò óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó

P(a ) = P(a + 2π ) , òîãäà, êîãäà êîýôôèöèåíò

P ′(0 ) åñòü öåëîå ÷èñëî, óìíîæåííîå íà ìíèìóþ åäèíèöó. Ïîëàãàÿ

m = iP ′(0) ìû ìîæåì íåïðåðûâíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû

SO(2 ) ïðåäñòàâèòü â âèäå P (m ) (a ) = e −ima ,

(7.3.2)

ãäå öåëûå ÷èñëà m = 0,±1,±2,... íóìåðóþò ïðåäñòàâëåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî òàêèå ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðíû. Âåêòîð, ïðåîáðàçóþùèéñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ çàïèñàòü

P(a )e m = e ima e m .

P (m ) , îáîçíà÷èì ÷åðåç e m è ìîæåì äëÿ íåãî (7.3.3)

194

Ãëàâà ñåäüìàÿ Äëÿ

1 3 m = ± ,± ,... , ìîæíî ïîñòðîèòü óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ, 2 2

íåïðåðûâíûå íà ðàñøèðåííîé îáëàñòè çíà÷åíèé 0 ≤ a ≤ 4π . Ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ äâóçíà÷íû â îáû÷íîé îáëàñòè çíà÷åíèé 0 ≤ a < 2π . Òàêèå äâóçíà÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ íåîáõîäèìû äëÿ îïèñàíèÿ ñïèíà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.

7.3.2. Õàðàêòåð

Äëÿ îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé õàðàêòåð ñîâïàäàåò ñ ñàìèì ïðåäñòàâëåíèåì è òàê êàê êàæäûé ýëåìåíò ñîâïàäàåò ñ êëàññîì ñâîèõ ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ, ìû ìîæåì äëÿ õàðàêòåðà çàïèñàòü

χ (m ) ≡ P (m ) (a ) = e −ima ,

(7.3.4)

òî åñòü ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ïàðàìåòðà a . Ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè õàðàêòåðîâ (äëÿ êîíå÷íûõ ãðóïï (5.11.1), (5.11.2)), òåïåðü çàïèøåòñÿ â èíòåãðàëüíîì âèäå: 2π

2π

(m ) (m′ ) ia (m′− m ) da = 2πδ m′m . ∫ χ χ da = ∫ e *

a =0

0

Çäåñü âåñîâàÿ ôóíêöèÿ çàìåíÿåò ÷èñëà

(7.3.5)

ρ (a ) âûáðàíà åäèíè÷íîé, à “îáú¸ì” 2π ,

g â ñîîòíîøåíèÿõ (5.11.1) è (5.11.2).

Õàðàêòåðîì ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé − i (m + m )a

P (m1 ) è P (m2 ) áóäåò ôóí-

1 2 , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðîì ïðåäñòàâëåíèÿ êöèÿ e òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì çàïèñàòü

P (m1 ) ⊗ P (m2 ) = P (m1 + m2 ) .

P (m1 + m2 ) , (7.3.6)

7.3.3. Ïðèìåðû áàçèñíûõ âåêòîðîâ 1. Ðàññìîòðèì åäèíè÷íûå âåêòîðû îñåé

e x è e y , íàïðàâëåííûå âäîëü

x è y . Ïóñòü SO(2 ) - ãðóïïà âðàùåíèé îòíîñèòåëüíî îñè z . Òîãäà (§5.3, ï.6):

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

195

R z (a )e x = cos ae x + sin ae y ,

R z (a )e y = − sin ae x + cos ae y , èëè

(

)

(

)

R z (a ) e x ± ie y = e m ia e x ± ie y . Òàêèì îáðàçîì âåêòîðû e x

(7.3.7)

+ ie y ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íåïðèâîäèìî-

ìó ïðåäñòàâëåíèþ ñ èíäåêñîì m = 1 , à âåêòîð

e x − ie y ïðåîáðàçóåòñÿ

ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ ñ èíäåêñîì m = − 1 . Äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ìû ââåëè êîìïëåêñíûå êîýôôèöèåíòû.

2. Ðàññìîòðèì íà ïëîñêîñòè xy ôóíêöèè ψ (r , ϕ ), êîòîðûå áóäåì ñ÷èòàòü ôóíêöèÿìè ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò ëèøü äëÿ óäîáñòâà. Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì (5.3.4) èíäóöèðîâàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèé, ïîëó÷èì

P(R z (a ))ψ (r , ϕ ) = ψ (r , ϕ − a ),

òî åñòü ôóíêöèÿ âèäà ψ (r , ϕ ) = ψ (r )e íèþ

(7.3.8) imϕ

ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ïðåäñòàâëå-

P (m ) : P(R z (a ))e imϕ = e im (ϕ −a ) = e −ima e imϕ .

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè â êîìïëåêñíûé ðÿä Ôóðüå

ψ (r , ϕ ) =

∞

∑ψ m (r )e imϕ ,

m= −∞

ãäå 2π

1 ψ m (r ) = ψ (r , ϕ )e −imϕ dϕ , 2π ∫0 åñòü ðàçëîæåíèå å¸ íà êîìïîíåíòû, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ

P (m ) ãðóïïû SO(2 ) .

196

Ãëàâà ñåäüìàÿ

7.3.4. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû Ïîñòðîèì òåïåðü èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ãðóïïû Ìàòðèöà îïåðàòîðà

SO(2 ) .

R z (a ) èìååò â ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîâ e x è e y (§5.3,

ï.6) âèä:

 cos a − sin a   . R z (a ) =   sin a cos a  Ïðè ìàëûõ óãëàõ a ýòà ìàòðèöà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê 0 − a  0 − 1  = 1 + a  1 +  a 0  1 0  è, òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìàòðèöû èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà äåì èìåòü:

X áó-

 0 − 1  . X =  1 0  Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå (7.2.4). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

X 2 = −1 , ïîëó÷èì:

1 1 1 e aX = 1 + aX + a 2 X 2 + a 3 X 3 + a 4 X 4 + ... = 2 6 24 1 1  1    = 1 − a 2 + a 4 + ... + X  a − a 3 + ... = 24 6  2     cos a − sin a   = R z (a ). = cos a + X sin a =   sin a cos a  Ãåîìåòðè÷åñêè ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðà ïîâîðîòå

r íà ïëîñêîñòè xy ïðè

R z (a ) îòíîñèòåëüíî îñè z â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè åñòü ïðè-

áàâëåíèå ê íåìó âåêòîðà äëèíîé

a r , íàïðàâëåííîãî ïåðïåíäèêóëÿðíî

ê âåêòîðó

r (Ðèñ. 7.3.1). Äëÿ ìàëûõ a èìååì: R z (a )r ≈ r + a [e z × r ],

(7.3.9)

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3) ãäå

197

e z - åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî îñè z . Äëÿ îïåðàòîðà

R z (a ) ìû ìîæåì íàïèñàòü âûðàæåíèå

R z (a ) = 1 + a[e z × ,

(7.3.10)

à äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà X ï.1 äàííîãî ïðèìåðà ïîëó÷èì

X = [e z × .

(7.3.11) Íàéä¸ì èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð äëÿ ï.2 äàííîãî ïðèìåðà, äëÿ ÷åãî ðàçëîæèì ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (7.3.8) â ðÿä Òåéëîðà:

P(R z (a ))ψ (r , ϕ ) = ψ (r , ϕ ) − a Ïðè ìàëûõ óãëàõ

P(R z (a )) ≈ 1 − a

1 ∂ ∂2 ψ (r , ϕ ) + a 2 ψ (r , ϕ ) + .... ∂ϕ 2 ∂ϕ 2

a ýòîò îïåðàòîð ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ∂ . ∂ϕ

(7.3.12)

Òàêèì îáðàçîì â ýòîì ïóíêòå èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì ñëóæèò äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð

X =−

∂ , ∂ϕ

(7.3.13)

òàê êàê ðÿä Òåéëîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêñïîíåíöèàëüíûé ðÿä äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà

P(Rz (a )) = e

−a

∂ ∂ϕ

∂ , òî åñòü ∂ϕ

,

÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðàâåíñòâîì (7.2.4). Îòìåòèì ñâÿçü èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà ìåíòîì â êâàíòîâîé ìåõàíèêå:

X = − ãäå

[r × p ]z = − i I , ∂ =i z ∂ϕ h

X ñ óãëîâûì ìî(7.3.14)

I z - îïåðàòîð z -êîìïîíåíòû óãëîâîãî ìîìåíòà (â åäèíèöàõ h ). Ðàññìàòðèâàÿ âòîðîé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ (7.3.2) ïðè ìàëûõ óãëàõ a

198

Ãëàâà ñåäüìàÿ

ìû óâèäèì, ÷òî äëÿ íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ

P (m ) ãðóïïû SO(2 )

ìàòðè÷íûé ýëåìåíò èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà

X ðàâåí ïðîñòî

− im . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôóíêöèÿ ψ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Xψ = −imψ , (7.3.15)

òî îíà äîëæíà ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ

P (m ) ãðóïïû SO(2 ) .

§7.4. Ãðóïïà SO(3) Îáîçíà÷èì âðàùåíèå â òð¸õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ÷åðåç

Rk (a ), ãäå

a - óãîë ïîâîðîòà (0 ≤ a ≤ 2π ), à k - åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé âäîëü îñè âðàùåíèÿ (§4.9). Âðàùåíèå çàâèñèò îò òð¸õ ïàðàìåòðîâ: óãëà ïîâîðîòà a è äâóõ ñôåðè÷åñêèõ óãëîâ âåêòîðà äðóãèìè ïàðàìåòðàìè, à èìåííî:

k . Ìû âîñïîëüçóåìñÿ

a x = ak x , a y = ak y , a z = ak z , ãäå

(7.4.1)

k q - òðè ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà k â êàêîé ëèáî ôèêñèðîâàííîé ñèñ-

òåìå êîîðäèíàò è ìû ìîæåì âìåñòî

Rk (a ) ââåñòè îáîçíà÷åíèå R(a ) .

Ýëåìåíòàðíûå ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè îïåðàöèè âðàùåíèÿ ïðîèçâîëüíûé âåêòîð r ïðåîáðàçóåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàâåíñòâîì

Rk (a )r = cos ar + (1 − cos a )(r ⋅ k )k + sin a[k × r ],

è äëÿ ìàòðèöû

Rk (a ) â äåêàðòîâîì áàçèñå ìû ìîæåì çàïèñàòü:

[Rk (a )]xx = cos a + (1 − cos a )k x2 , [Rk (a )]yx = (1 − cos a )k y k x + k z sin a è òàê äàëåå. Ïðåîáðàçîâàíèå âðàùåíèÿ ñîäåðæèò êàê äëèíû, òàê è óãëû ìåæäó âåêòîðàìè, òî åñòü ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ

r1 è r2 .

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3) Ïóñòü

199

r1′ = Rr1 , à r2′ = Rr2 , òîãäà

(r2′ , r1′) = (Rr2 , Rr1 ) = (r2 , R + Rr1 ) = (r2 , r1 ) ,

òî åñòü ìàòðèöà åäèíèöå.

(

)

R óíèòàðíà R + R = 1 è ìîäóëü å¸ îïðåäåëèòåëÿ ðàâåí

7.4.1. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû Âûðàæåíèå(7.3.9) äëÿ ïîâîðîòà íà ìàëûé óãîë âîêðóã îñè íî ïåðåíåñòè íà ñëó÷àé ïîâîðîòà âîëüíîé îñè

k:

Rk (a )r = r + a[k × r ] = r + a

z ìîæ-

Rk (a ) íà ìàëûé óãîë âîêðóã ïðîèç-

∑ k [e

q=x, y,z

q

q

]

×r =

[

]

= r + ∑ aq e q × r ,

(7.4.2)

q

ãäå

a q = ak q . Òàêèì îáðàçîì, òðè èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðà, ñî-

îòâåòñòâóþùèå ïàðàìåòðàì

a q , ãåîìåòðè÷åñêè ïðåäñòàâëÿþòñÿ êàê

X q = [e q × .

(7.4.3)

Îíè ñîîòâåòñòâóþò áåñêîíå÷íî ìàëûì ïîâîðîòàì âîêðóã îñåé è

x, y

z . Â áàçèñå e x , e y , e z ìàòðèöû èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ èìå-

þò âèä

 0 0 1 0 0 0   0 −1 0   X =  0 0 0    X x =  0 0 − 1 , y , X z =  1 0 0  . (7.4.4)  −1 0 0 0 1 0  0 0 0       Èñïîëüçóÿ (6.1.1) ïîëó÷èì ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ãðóïïû

[X

x

]

,Xy = Xz,

[X

y

]

,Xz = Xx,

SO(3):

[X z , X x ] = X y .

(7.4.5)

200

Ãëàâà ñåäüìàÿ Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé âåê-

òîðíîé àëãåáðû. Ðàññìîòðèì äåéñòâèå êîììóòàòîðà òîð

[X

x

r: X x , X y r = e x × e y × r − e y × [e x × r ] .

[

] [ [

]] [

]

, X y íà âåê-

]

(7.4.6)

Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî âåêòîðíî-âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

[a × [b × c]] = b ⋅ (a ⋅ c ) − c ⋅ (a ⋅ b )

ïðèâåä¸ì (7.4.6) ê âèäó

[X

x

]

, X y r = xe y − ye x = [e z × r ] = X z r .

 ñîîòâåòñòâèè ñ (7.4.3) òðè îïåðàòîðà

X q îáðàçóþò âåêòîð, êîòî-

ðûé ïðè âðàùåíèÿõ ïðåîáðàçóåòñÿ êàê âåêòîð

e q . Èíôèíèòåçèìàëüíûå

îïåðàòîðû ãðóïïû âðàùåíèé ñâÿçàíû ñ îïåðàòîðàìè óãëîâîãî ìîìåíòà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ïåðåñòàíîâî÷íûìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ òð¸õ êîìïîíåíò âåêòîðà óãëîâîãî ìîìåíòà. Ïîëó÷åííûå íàìè èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû

X q àíòèýðìèòî-

âû, ïîýòîìó, â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè §6.1, ìû ìîæåì ââåñòè îáîçíà÷åíèå

J q = iX q , ïðè÷¸ì, ïîä èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì ìû áóäåì

ïîíèìàòü êàê îïåðàòîð

X q , òàê è îïåðàòîð J q . Îïåðàòîðû J q ýðìèòîâû

è óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì:

[J

x

]

, J y = iJ z ,

[J

y

]

[J z , J x ] = iJ y ,

, J z = iJ x ,

(7.4.7)

êîòîðûå ñîâïàäàþò ñ ïåðåñòàíîâî÷íûìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ îïåðàòîðîâ óãëîâîãî ìîìåíòà, äåë¸ííûõ íà

Xψ = −imψ

h . Èç ñîîòíîøåíèÿ (7.3.15)

ìû âèäèì, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè îïåðàòîðà Ðàññìîòðèì îïåðàòîð îïåðàòîðîâ

X z ðàâíû − im , òîãäà

J z áóäóò ÷èñëà m .

J ± , ÿâëÿþùèéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé

J x è J y , à èìåííî

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

J ± = J x ± iJ y . Ñîñòàâèì ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ îïåðàòîðîâ òîðîì

201 (7.4.8)

J ± ñ îïåðà-

Jz :

[J z , J ± ] = iJ y ± J x = ±(J x ± iJ y ) = ± J ± .

(7.4.9)

Èç ýòèõ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ

ψ (m ) åñòü ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà J z , ïðèíàäëåæàùèé ïðåäñòàâëåíèþ

P (m ) ãðóïïû SO(2 ) , òî ôóíêöèÿ J ±ψ (m ) ïðèíàäëåæèò ïðåäñòàâ-

ëåíèÿì

P (m ±1) , è, ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîðû J ± ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðåä-

ñòàâëåíèÿì

P (m ±1) :

J z (J ±ψ (m )) = (J ± J z ± J ± )ψ (m ) = J ± (J z ± 1)ψ (m ) = = J ± (m ± 1)ψ (m ) = (m ± 1)(J ±ψ (m )).

(7.4.10)

Îïåðàòîð J + íàçûâàåòñÿ ïîâûøàþùèì, à îïåðàòîð J − - ïîíèæàþùèì, òàê êàê ïåðâûé óâåëè÷èâàåò, à âòîðîé óìåíüøàåò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà J z íà åäèíèöó. Äàííîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîëüêî ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé è ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ â ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè ãðóïïû

SO(3).

7.4.2. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ

SO(2 ) ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ íóìåðóþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè m , à ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïðåäñòàâëåíèÿ ðàâåí  ñëó÷àå ñ ãðóïïîé

e − ima . Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ãðóïïà SO(2 ) àáåëåâà, à èíôèíèòåçè-

ìàëüíûé îïåðàòîð åäèíñòâåííûé.  îáùåì ñëó÷àå ãðóïïû îáëàäàþò öåëûì íàáîðîì èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ

[X

p

]

X q óäîâëåòâîðÿþùèõ ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì

, X q = c ipq X i .

Äëÿ ãðóïïû

(7.2.7)

SO(3) ýòè ñîîòíîøåíèÿ çàäàíû ðàâåíñòâàìè (7.4.5)

202

Ãëàâà ñåäüìàÿ

èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, ñîîòíîøåíèÿìè (7.4.7) è ðàâåíñòâîì

[J + , J − ] = [J x + iJ y , J x − iJ y ] = 2 J z .

(7.4.11)

Ïåðåä íàìè ñòîèò çàäà÷à âû÷èñëèòü ðàçìåðíîñòè íåïðèâîäèìûõ

ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû SO(3) è íàéòè ñïîñîá çàíóìåðîâàòü ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ. Äîãîâîðèìñÿ îáîçíà÷àòü íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû

SO(3) áóêâîé D .

Âûáåðåì áàçèñ, â êîòîðîì èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð

J z äèà-

ãîíàëåí. Âåêòîðû

e m (íå ïóòàòü ñ åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè e x , e y , e z îáû÷íîãî òð¸õìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà) èìåþò èíäåêñ m , ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ m îïåðàòîðà J z , òî åñòü íåïðèâîäèìîìó ãðóïïû SO(2 ) , êîòîðîìó îíè ïðèíàäëåæàò. ïðåäñòàâëåíèþ P  îáùåì ñëó÷àå ó íåñêîëüêèõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ áàçè(m )

ñà ìîãóò áûòü îäèíàêîâûå èíäåêñû íèå èíäåêñà

m . Ïóñòü j ìàêñèìàëüíîå çíà÷å-

m äëÿ âåêòîðîâ áàçèñà ïðåäñòàâëåíèÿ D è ïóñòü e j - âåê-

òîð áàçèñà ñ èíäåêñîì

m = j . Ýòî âåêòîð ñòàðøåãî âåñà. Âåêòîð e j äîë-

æåí óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ

J +e j = 0 , òàê êàê èíà÷å íîâûé âåêòîð

(7.4.12)

J + e j èìåë áû âåñ áîëüøèé, ÷åì âåñ âåêòîðà

e j . Ïîñëåäîâàòåëüíî äåéñòâóÿ íà âåêòîð e j ïîíèæàþùèì îïåðàòîðîì J − , ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîðìèðîâàííûõ âåêòîðîâ: e j −1 = A j −1e j , e j − 2 = A j − 2 e j −1 , e j −3 = A j −3 e j − 2 , ..........................

(7.4.13)

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3) Êîýôôèöèåíòû

203

Am , êîòîðûå åù¸ íå âû÷èñëåíû, ââîäÿòñÿ äëÿ íîð-

e m , âåêòîð e j ñ÷èòàåòñÿ íîðìèðîâàííûì. Âñå âåêòîðû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.4.13) èìåþò ðàçíûå èíäåêñû m , â ñèëó ÷åãî ìèðîâêè âåêòîðîâ

îíè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî-íåçàâèñèìûìè è âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè. Âåê-

òîðíîå ïðîñòðàíñòâî L äîëæíî áûòü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ãðóïïîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé, è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåêòîðû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äîëæíû ïðèíàäëåæàòü ïðîñòðàíñòâó

L . Åñëè ðàçìåðíîñòü ïðî-

ñòðàíñòâà L êîíå÷íà, òî êîíå÷íà è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (7.4.13), êîòîðàÿ îáðûâàåòñÿ íà òîì øàãå, êîãäà â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ïîíèæàþùåãî îïåðàòîðà ïîëó÷àåòñÿ íóëü, òî åñòü ïðè íåêîòîðîì öåëîì t

J − e j −t = 0 .

(7.4.14)

Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ (7.4.15)

e j , e j −1 ,..., e j −t èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îïåðàòîðîâ

J z è J − . Ïîêàæåì, ÷òî

îíî òàêæå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îïåðàòîðà J + .  ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ (7.4.15) áóäåò èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ëþáîãî ýëåìåíòà ãðóïïû

SO(3) è, ñëåäîâàòåëüíî, îíî îáðàçó-

åò áàçèñ íåêîòîðîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SO(3). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíâàðèàíòíîñòè ìíîæåñòâà (7.4.15) ïî îòíîøåíèþ ê äåéñòâèþ îïåðàòîðà

J + ïîñòðîèì îïåðàòîð

J 2 = (J ⋅ J ) = J x2 + J y2 + J z2 .

(7.4.16)

 ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé (7.4.5), ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî

J q = iX q îïåðàòîð J 2 óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì

[J

ïðè

2

]

, Jq = 0

(7.4.17)

q = x, y, z . Òàêèì îáðàçîì â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.7.13) ýòîò îïåðàòîð 2

ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Îïåðàòîð J , êîòîðûé ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê öåëüíûé ñèìâîë, ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïîâûøàþùèé è ïîíèæàþùèé îïåðàòîðû:

204

Ãëàâà ñåäüìàÿ

J2 =

1 (J + J − + J − J + ) + J z2 , 2

(7.4.18)

èëè

J 2 = J − J + + J z2 + J z ,

(7.4.19)

J 2 = J + J − + J z2 − J z .

(7.4.20)

Èç ñîîòíîøåíèé (7.4.19) è ñâîéñòâà (7.4.12) ñëåäóåò, ÷òî

e j - ñîá-

ñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà

(

J2 :

)

J 2 e j = J − J + + J z2 + J z e j = J − (J + e j )+ J z2 e j + J z e j = = j 2 e j + je j = j ( j + 1)e j .

Òîãäà â ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íîãî ñîîòíîøåíèÿ

[J

2

]

, J− = 0

äëÿ ëþáîãî âåêòîðà

(7.4.21)

e m èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.4.15) ïîëó÷èì

J 2 e m = j ( j + 1)e m .

(7.4.22)

èç ñîîòíîøåíèé (7.4.13) è (7.4.20) ñëåäóåò èíâàðèàíòíîñòü ìíîæåñòâà (7.4.15) îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îïåðàòîðà

(

J+ :

)

J + e m = Am J + J − e m = Am J 2 − J z2 + J z e m +1 =

[

]

= Am j ( j + 1) − (m + 1) + (m + 1) e m +1 = 2

= Am ( j + m + 1)( j − m )e m +1 .

(7.4.23)

Ìû âèäèì, ÷òî ïîâûøàþùèé îïåðàòîð J + íå äà¸ò êàêèõ ëèáî âåêòîðîâ, îòëè÷íûõ îò âåêòîðîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.4.15), êîòîðàÿ áûëà ïîëó÷åíà â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ïîíèæàþùåãî îïåðàòîðà

J − íà âåêòîð

e j . Âåêòîð e j äîëæåí áûòü åäèíñòâåííûì âåêòîðîì ñòàðøåãî âåñà ñðåäè âåêòîðîâ áàçèñà ïðîñòðàíñòâà L , èíà÷å ïðåäñòàâëåíèå D áóäåò ïðèâîäèìûì. Îêîí÷àòåëüíî ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû

SO(3) îáëàäàþò áàçèñîì, àíàëîãè÷íûì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.4.15).

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

205

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâ (7.4.20) è (7.4.14) ïîëó÷èì

(

)

[

D.

]

J 2 e j −t = J − J + + J z2 + J z e j −t = ( j − t ) − ( j − t ) e j −t = = ( j − t )( j − t − 1)e j −t .

2

Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ ðàâåíñòâîì (7.4.22) íàõîäèì, ÷òî

( j − t )( j − t − 1) = j ( j + 1) ,

èëè

(2 j − t )(t + 1) = 0 .

Òàê êàê t - ïîëîæèòåëüíîå öåëîå ÷èñëî, 2 j = t è ÷èñëî j ìîæåò áûòü ëèáî òîëüêî öåëûì, ëèáî ïîëóöåëûì. Ðàçìåðíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ

D ðàâíà òåïåðü 2 j + 1 è íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SO(3)

ìîæíî îáîçíà÷èòü êàê

D ( j ) , ãäå j = 0, 1 ,1, 3 ,2,... , ïðè÷¸ì ðàçìåð2 2

íîñòü ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðàâíà

2 j + 1 , à âåêòîðû áàçèñà e m ìîæíî

âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè ïðåîáðàçîâûâàëèñü ïî íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì

P (m ) ïîäãðóïïû SO(2 ) , ãäå

m = j, j − 1, j − 2,...,1 − j,− j . Ïðè ñóæåíèè ãðóïïû ïðåäñòàâëåíèÿ

D( j) =

SO(3) íà å¸ ïîäãðóïïó SO(2 ) ðàçëîæåíèå

D ( j ) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

m= j

∑ P(

m)

.

(7.4.24)

m=− j

Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûå ïðåäñòàâëåíèÿ âñòðå÷àþòñÿ ëèøü ïðè îïèñàíèè ñïèíà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå è íå ïåðèîäè÷íû íà èíòåðâàëå

[0,2π ].

Çàéì¸ìñÿ òåïåðü âûâîäîì ìàòðèöû èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ

J q â ïðåäñòàâëåíèè D ( j ) . Ó÷ò¸ì, ÷òî îïåðàòîð J z â áàçèñå e m äè-

àãîíàëåí, à ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû äàþòñÿ ðàâåíñòâîì

J z e m = me m .

(7.4.25)

206

Ãëàâà ñåäüìàÿ Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû

J + è J − îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (7.4.13)

è (7.4.23), åñëè èçâåñòíû íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè

Am . Äëÿ âû÷èñëå-

íèÿ ýòèõ ìíîæèòåëåé âîñïîëüçóåìñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî îïåðàòîðû

J q ýð-

ìèòîâû è ïîýòîìó

J −+ = J + . Îòñþäà

(e m J − e m+1 ) = (J + e m e m+1 ) = (e m+1 J + e m ).

Òîãäà èç ðàâåíñòâ (7.4.13) è (7.4.23) ïîëó÷èì

A

−2

= ( j + m + 1)( j − m ) .

(7.4.26)

Îòíîøåíèÿ ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé âåêòîðîâ áàçèñà íå îïðåäåëÿþòñÿ íè óñëîâèåì îðòîãîíàëüíîñòè, íè íîðìèðîâêîé, è â ìíîæèòåëå

Am

ìîæíî ââåñòè ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ðàâíîå ïî ìîäóëþ åäèíèöå. Îáû÷íî ìíîæèòåëè

Am ñ÷èòàþò äåéñòâèòåëüíûìè è ïîëîæèòåëüíûìè,

òàê ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ

J − e m +1 = J +e m =

J ± îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè

( j + m + 1)( j − m)e m , ( j + m + 1)( j − m)e m+1 .

(7.4.27)

Òàêîé âûáîð ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ÊîíäîíàØîðòëè, è îòíîøåíèÿ ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé âñåõ ñà îïðåäåëÿþòñÿ ýòèì óñëîâèåì îäíîçíà÷íî.

2 j + 1 âåêòîðîâ áàçè( j)

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ïðåäñòàâëåíèé D ïîëíî, ïðè÷¸ì â ñëó÷àå îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè ìîæíî îáîéòèñü ëèøü öåëûìè ÷èñëàìè

j: ∞

ψ =∑

j

∑ψ

j =0 m = − j

ãäå

jm

,

(7.4.28)

j - öåëîå ÷èñëî, à êàæäûé ÷ëåí ψ jm ðàçëîæåíèÿ ïðåîáðàçóåòñÿ êàê

m -ÿ ñòðîêà ïðåäñòàâëåíèÿ D ( j ) .

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3) Ïîñòðîåíèå ìàòðèö

207

Dm( j′m) (a x , a y , a z ) êîíå÷íûõ âðàùåíèé ñ ïàðà-

ìåòðàìè

a x , a y , a z - ñëîæíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ïðîöåäóðà. Ìàòðè÷íûé

ýëåìåíò

Dm( j′m) îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ôóíêöèè îò òð¸õ óãëîâ Ýé-

ëåðà, à íå ïàðàìåòðîâ

ax , a y , az .

7.4.3. Õàðàêòåðû Íåçàâèñèìî îò íàïðàâëåíèé îñåé âðàùåíèÿ âñå ïîâîðîòû íà îäèí è òîò æå óãîë ëåæàò â îäíîì êëàññå ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû

SO(3) è õàðàêòåð âðàùåíèÿ çàâèñèò ëèøü îò óãëà ïîâîðîòà, òî åñòü äëÿ

D ( j ) ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ îñü âðàùåíèÿ. Âðàùåíèÿ R z (a ) âîêðóã îñè z íàèáîëåå óäîáâû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðà íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ

íû, òàê êàê óæå õîðîøî íàìè èçó÷åíû. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ (7.4.24) ïðåäñòàâëåíèÿ äèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïîäãðóïïû

χ a( j ) =

=

e

−ija

SO(2 ) è â ñèëó ôîðìóë (7.3.2) è (7.3.4)

SO(2 ) ìû ìîæåì âû÷èñëèòü õàðàêòåð ïðåäñòàâ-

äëÿ õàðàêòåðîâ ãðóïïû ëåíèÿ

D ( j ) íà íåïðèâî-

D ( j ) äëÿ ïîâîðîòà íà óãîë a : j

∑e

−ima

(

m =− j

(e

(2 j +1)ia

e ia − 1

)

= e −ija 1 + e ia + e 2ia + ... + e 2 jia =

)= e

−1

 1  j +  ia  2

e

1 ia 2

−e −e

 1 − j +  ia  2 1 − ia 2

Äëÿ âåêòîðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ áóäåò

1  sin  j + a 2 . =  1 sin a 2

(7.4.29)

( j = 1) , õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ

208

Ãëàâà ñåäüìàÿ

3 1 sin a cos a sin a 2 = cos a + 2 χ a(1) = = 1 1 sin a sin a 2 2 1 = cos a + 2 cos 2 a = 2 cos a + 1, 2 òî åñòü

χ a(1) = 2 cos a + 1 ,

(7.4.30)

÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðàâåíñòâîì (5.3.3). Åäèíè÷íîìó ýëåìåíòó ñîîòâåòñòâóåò óãîë âðàùåíèÿ a = 0 , ïðè êîòîðîì õàðàêòåð

χ a( j ) (7.4.29) ðàâåí 2 j + 1 , ÷òî ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíî-

ñòüþ ïðåäñòàâëåíèÿ

D( j).

7.4.4. Ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïðåäñòàâëåíèé (§5.5) áóäåò ïðåäñòàâëåíèåì, êîòîðîå â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.8.1), ðàçëàãàåòñÿ â ñóììó íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé

D ( j1 ) ⊗ D ( j2 ) = ∑ mi D (i ) .

(7.4.31)

Íàøà çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â âû÷èñëåíèè êîýôôèöèåíòîâ

mi , êîòî-

i

(i )

ðûå ïîêàçûâàþò, ñêîëüêî ðàç äàííîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå D ïîÿâëÿåòñÿ â ðàçëîæåíèè (7.4.31). Òàê æå êàê äëÿ êîíå÷íûõ ãðóïï, ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùåå ñîîòíîøåíèå äëÿ õàðàêòåðîâ

χ a( j1 ) χ a( j2 ) = ∑ mi χ a(i ) .

(7.4.32)

i

Ïóñòü j1 ≥ j 2 , òîãäà â ñèëó (7.4.29) ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (7.4.32) ìîæíî çàïèñàòü òàê:

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

209

1 1   sin j1 + a sin j2 + a 2 2  χ a( j1 ) χ a( j2 ) =  = 1 sin 2 a 2 − cos( j1 + j 2 + 1)a + cos( j1 − j2 )a = = 1 2 sin 2 a 2 1 1  2 sin  j1 + j 2 + a sin a − cos( j1 + j 2 )a + cos( j1 − j 2 )a 2 2  = = 2 1 2 sin a 2 1  sin  j1 + j 2 + a sin j1 a ⋅ sin j 2 a 2 =  + , 1 2 1 sin a sin a 2 2 èëè 1   j1 −  2

χ a( j1 ) χ a( j2 ) = χ a( j1 + j2 ) + χ a

1   j2 −  2

χ a

.

Ïîâòîðÿÿ ïîäîáíûå ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷èì

χ a( j1 ) χ a( j2 ) = χ a( j1 + j2 ) + χ a( j1 + j2 −1) + χ a( j1 −1) χ a( j2 −1) è òàê äàëåå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî õàðàêòåð òðèâèàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ åñòü

D (0 )

χ a(0 ) = 1 , ìû ïîñëå åù¸ 2 j 2 − 2 òàêèõ øàãîâ ïîëó÷èì ðàâåíñòâî χ a( j1 ) χ a( j2 ) = χ a( j1 + j2 ) + χ a( j1 + j2 −1) + ... + χ a( j1 − j2 ) . Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ (7.4.32), íàõîäèì, ÷òî ïðè

( j1 − j2 ) ≤ i ≤ ( j1 + j2 ) êîýôôèöèåíòû mi = 1 , à ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ i êîýôôèöèåíòû mi = 0 . Îêîí÷àòåëüíî, îòáðàñûâàÿ óñëîâèå j1 ≥ j 2 ,

210

Ãëàâà ñåäüìàÿ

äëÿ (7.4.31) ìû ìîæåì çàïèñàòü:

D ( j1 ) ⊗ D ( j2 ) =

i =( j1 + j2 )

∑ D( ) . i

(7.4.33)

i = j1 − j 2

Ìû âèäèì, ÷òî â ðàçëîæåíèè (7.4.33) êàæäîå ïðåäñòàâëåíèå âñòðå÷àåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ãðóïïó ñ÷èòàòü ïðîñòî ïðèâîäèìîé.

D (i )

SO(3) ìîæíî

Ïðèìåð 7.4.1. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå áàçèñà íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû

D (i )

SO(3) òðè åäèíè÷íûõ âåêòîðà e x , e y , e z â îáû÷íîì òð¸õìåð-

íîì ïðîñòðàíñòâå. Ýòè âåêòîðû çàäàþò áàçèñ ïðåäñòàâëåíèÿ ñ j = 1 . ßñíî, ÷òî òð¸õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ïîðîæäàåìîå ýòèìè âåêòîðàìè íåïðèâîäèìî è òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì áóäåò Âûáåðåì â êà÷åñòâå âåêòîðîâ áàçèñà

D (1) .

e m ñëåäóþùèå ëèíåéíûå êîì-

áèíàöèè âåêòîðîâ:

e1 = −

e x + ie y

,

2

e0 = e z , e −1 =

(7.4.34)

e x − ie y 2

.

Íà îñíîâàíèè ïðèìåðà 7.3.1 ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä, ÷òî âåêòîðû

e m ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèÿì P (m ) ãðóïïû SO(2 ) âðàùåíèé âîêðóã îñè z .

Âûáåðåì îòíîøåíèÿ ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè Êîíäîíà-Øîðòëè (7.4.27) è ñ ó÷¸òîì (7.4.3) ïîñòðîèì èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû.

X x e x = [e x × e x ] = 0 ,

X x e y = [e x × e y ] = e z ,

X y e x = −e z , X ye y = 0 ,

X zex = e y ,

X z e y = −e x ,

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

X x e z = [e x × e z ] = −e y , X y e z = e x ,

X zez = 0 .

J q = iX q , ïîëó÷èì

Ïîëàãàÿ

J z e1 =

211

i (− e y + ie x ) − e x − ie y i X z (− e x − ie y ) = = = e1 , 2 2 2

J ze0 = 0 , J z e −1 = −e −1 , J + e1 = 0 ,

J − e1 = 2e 0 ,

J + e 0 = 2e1 ,

J − e 0 = 2e −1 ,

J + e −1 = 2e 0 ,

J − e −1 = 0 .

Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé Êîíäîíà-Øîðòëè (7.4.27) äëÿ ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé ïðè

j = 1 è m = −1,0,1 .

J +e0 =

(1 + 0 + 1)(1 − 0)e 0+1 =

J + e −1 =

(1 − 1 + 1)(1 − (− 1))e −1+1 =

2e1 ,

Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöû îïåðàòîðîâ

 1 0 0  0   J z = 0 0 0  , J+ = 0   0 0 − 1   0

2 0 0

2e 0 è òàê äàëåå. J q â áàçèñå e m ïðèìóò âèä:

0   0  2 , J− =  2   0 0  

0 0 2

0  0 . 0  (7.4.35)

Ïðèìåð 7.4.2. Ðàññìîòðèì øåñòèìåðíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ îäíîðîäíûõ êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé (§5.3, ï.7)

ψ (r ) = c1 x 2 + c2 y 2 + c3 z 2 + c4 yz + c5 zx + c6 xy .

Ýòî ïðîñòðàíñòâî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ëþáûõ ïîâîðîòîâ, òàê êàê ïðè âðàùåíèè ñòåïåíü îäíîðîäíîãî ïîëèíîìà íå ìåíÿåòñÿ. Ôóí-

212 êöèÿ

Ãëàâà ñåäüìàÿ

x 2 + y 2 + z 2 èíâàðèàíòíà è ïîðîæäàåò ïðåäñòàâëåíèå D (0 ) . Îñ-

òàâøèåñÿ ôóíêöèè îáðàçóþò áàçèñ ïðåäñòàâëåíèÿ èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (7.3.14)

Xz = −

D (2 ) . Ïîêàæåì ýòî,

[r × p] = −iI , ∂ =i z ∂ϕ h

èëè, ñ ó÷¸òîì öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ

J z = iX z = −i

 ∂ ∂ ∂  = i y − x  , ∂y  ∂ϕ  ∂x

∂   ∂ J y = iX y = i x − z  , ∂x   ∂z  ∂ ∂ J x = iX x = i z − y  . ∂z   ∂y Ïîñòðîèì òåïåðü ïîíèæàþùèé è ïîâûøàþùèé îïåðàòîðû

∂ ∂  ∂ J + = J x + iJ y = z  + i  − (x + iy ) , ∂z  ∂x ∂y  ∂ ∂  ∂ J − = J x − iJ y = − z  − i  + (x − iy ) . ∂z  ∂x ∂y  Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

ψ 2 = (x + iy ) = (x 2 − y 2 )+ 2ixy = r 2 e 2iϕ . 2

Ó÷èòûâàÿ òîæäåñòâî

∂ ∂   + i (x + iy ) = 0  ∂x ∂y  ïðèìåíèì ê ψ 2 ïîâûøàþùèé îïåðàòîð

(7.4.36)

J + è îïåðàòîð J z :

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

213

 ∂ψ ∂ψ 2  ∂ψ J +ψ 2 = z  2 + i  − (x + iy ) 2 = ∂y  ∂z  ∂x = 2 z (x + iy − iy − x ) − (x + iy )0 = 0,

 ∂ψ 2 ∂ψ 2  J zψ 2 = i  y −x  = 2(x 2 − y 2 + 2ixy ) = 2ψ 2 . x y ∂ ∂   Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ôóíêöèÿ ψ 2 îòâå÷àåò ñòàðøåìó âåñó

m =2. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿÿ ïîíèæàþùèé îïåðàòîð J − ñ ó÷¸òîì óñëîâèé Êîíäîíà-Øîðòëè (7.4.27) ïîñòðîèì íàáîð ôóíêöèé

ψ 1 ,ψ 0 ,ψ −1 ,ψ −2 . J −ψ 2 =

(2 + 1 + 1)(2 − 1)ψ 1 , èëè ψ 1 = 1 J −ψ 2 . 2

Ñ äðóãîé ñòîðîíû

(2 + 0 + 1)(2 − 0)ψ 0 ,

J −ψ 1 = èëè ψ 0

ψ0 = −

1 J −ψ 1 , J −ψ 1 = −2(x 2 + y 2 − 2 z 2 ) è 6

=

2 2 ( x + y 2 − 2 z 2 ). 3

J −ψ 0 = èëè ψ −1

J −ψ 2 = −4 z (x + iy ) è ψ 1 = −2 z (x + iy ) .

=

(2 − 1 + 1)(2 + 1)ψ −1 ,

72 1 (x − iy ) , ψ −1 = 2(x − iy ). J −ψ 0 , J −ψ 0 = 3 6

ψ − 2 = J −ψ −1 = (x − iy )2 . Ôóíêöèè ψ 2 ,ψ 1 ,ψ 0 ,ψ −1 ,ψ − 2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Âìåñòå ñ èíâà-

214

Ãëàâà ñåäüìàÿ

ðèàíòíîé ôóíêöèåé x + y + z îíè ïîðîæäàþò øåñòèìåðíîå ïðîñòðàíñòâî êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé. 2

Êàæäàÿ ôóíêöèÿ

2

2

ψ m ïðîïîðöèîíàëüíà ñôåðè÷åñêîé ôóíêöèè

Ym(l ) (θ ,ϕ ) ñ l = 2 : 32π 2 (2 ) r Ym (θ ,ϕ ) . 15

ψm =

(7.4.37)

Ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ l ìîæíî òàêæå íà÷àòü ñ ôóíêöèè

ψ l = (x + iy )l , êîòîðàÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òîæäåñòâîì (7.4.36), îòâå÷àåò ñòàðøåìó âåñó. Ïðèìåíÿÿ, êàê ìû ýòî äåëàëè âûøå, ïîíèæàþùèé îïåðàòîð ê ôóíêöèè ψ l , ïðè ïðàâèëüíîì âûáîðå íîðìèðîâî÷íûõ è ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé ïîëó÷èì äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë (l )

Ym

m

l l+m ( 2l + 1)(l − m )! imϕ m  d  (cos2 θ − 1) e sin θ  = (− 1)  4π (l + m )! 2 l l!  d cosθ  m

à òàê æå ñîîòíîøåíèå

Y−(ml ) = (− 1) Ym(l )* . m

,

(7.4.38) (7.4.39)

 ÷àñòíîñòè,

Y0(l ) = ãäå

2l + 1 Pl (cosθ ), 4π

(7.4.40)

Pl - ïîëèíîì Ëåæàíäðà. Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå

ψ (r ) = r lYm(l ) (θ ,ϕ ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ∇ ψ = 0 ïðè ëþáîì öåëîì l , ÷òî ìîæåò òàêæå áûòü ïðèíÿòî â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Âûïèøåì ïðåîáðàçîâàíèå ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïðè âðàùåíèè â 2

ÿâíîì âèäå. Ïóñòü

θ è ϕ - óãëîâûå êîîðäèíàòû âåêòîðà r , à θ ′ è ϕ ′ -

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)

215

−1

óãëîâûå êîîðäèíàòû âåêòîðà R r , òîãäà íà îñíîâàíèè îáùèõ îïðåäåëåíèé (5.2.1) è (5.3.4) äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèé ïîëó÷èì

D (R )Ym(l ) (θ ,ϕ ) = Ym(l ) (θ ′,ϕ ′) = ∑ Dm(l′)m (R )Ym(l′ ) (θ ,ϕ ) ,

(7.4.41)

m′

òî åñòü ñôåðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, àðãóìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïðåîáðàçîâàííûå êîîðäèíàòû θ ′ è ϕ ′ , ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïåðâîíà÷àëüíûõ êîîðäèíàò. Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå âðàùåíèÿ, â ñèëó óíèòàðíîñòè ìàòðèöû ïðåäñòàâëåíèÿ, áóäåò âûãëÿäåòü òàê:

Ym(l ) (θ ,ϕ ) = ∑ Dm(l′)m (R −1 )Ym(l′ ) (θ ′,ϕ ′) = ∑ Dm(l′)m* (R )Ym(l′ ) (θ ′,ϕ ′) . m′

m′

(7.4.42) Êîîðäèíàòû θ ′ è ϕ ′ ìîæíî ñ÷èòàòü êîîðäèíàòàìè âåêòîðà

r â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîé äåéñòâèåì îïåðàòîðà R . §7.5. Îïåðàòîð Êàçèìèðà  ñëó÷àå ãðóïïû

SO (2 ) ôóíêöèè, ïðåîáðàçóþùèåñÿ ïî íåïðèâî-

P (m ) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì åäèíñòâåííîãî èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà J z , îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì m .  ñëó÷àå ãðóïïû SO (3) ôóíêöèþ ψ ( jm ) , ïðåîáðàçóþùóþñÿ â ñîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ

( j)

îòâåòñòâèè ñ m -é ñòðîêîé ïðåäñòàâëåíèÿ D , ìîæíî òàêæå îòîæäåñòâèòü ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì èíâàðèàíòíîãî êâàäðàòè÷íîãî îïåðàòîðà

J 2 = J x2 + J y2 + J z2 .

(7.4.16) 2

 ñèëó (7.4.17) îïåðàòîð J èíâàðèàíòåí è ïðè ñóæåíèè íà íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâîé ëåììîé Øóðà äîëæåí áûòü ïðîïîðöèîíàëåí åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì

j âñå ôóíêöèè ψ ( jm ) áóäóò ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè îïåðàòîðà

J 2 , îòâå÷àþùèìè îäíîìó è òîìó æå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ j , íå çàâè-

216

Ãëàâà ñåäüìàÿ

ñèìîìó îò

m , òàê êàê â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.4.22) ìû ìîæåì çàïèñàòü

J ψ ( jm ) = j ( j + 1)ψ ( jm ) . (7.5.1) Èç (7.5.1) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèþ, ïðèíàäëåæàùóþ ïðåäñòàâëåíèþ 2

D ( j ) , ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà J 2 , îòâå-

÷àþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ j ( j + 1) . Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå 7.4.1 èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (7.4.3) è ïîëàãàÿ

J q = iX q

J x2 r = − X x2r = −[e x × [e x × r ]] = −e x ⋅ (e x ⋅ r ) + r ⋅ (e x ⋅ e x ) = = − x e x + r = − x e x + x e x + y e y + ze z = y e y + ze z . J y2 r = − X y2 r = xe x + ze z , Òîãäà

J z2 r = − X z2r = xe x + ye y .

J 2 r = (J x2 + J y2 + J z2 )r = 2r è îïåðàòîð J 2 ðàâåí óäâîåí-

íîìó åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ âûðàæåíèåì

j ( j + 1) ïðè

j = 1. 2

Îïåðàòîð J íàçûâàþò îïåðàòîðîì Êàçèìèðà. Äëÿ ëþáîé ãðóïïû Ëè ìîæíî ïîñòðîèòü èç èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñêàëÿðíûé êâàäðàòè÷íûé îïåðàòîð, íàçûâàåìûé îïåðàòîðîì Êàçèìèðà, êîòîðûé ìîæåò áûòü îïðåäåë¸í êàê

K = (g −1 )pq X p X q ,

ãäå

(7.5.2)

g - ìàòðèöà ñ ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè g ij = cits c tjs , à cits - ñòðóêòóð-

íûå êîíñòàíòû èç ôîðìóëû (7.2.7). Äëÿ ïåðå÷èñëåíèÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï, áîëüøèõ,

÷åì ãðóïïà SO (3) , ââîäèòñÿ íåñêîëüêî ÷èñåë ïîäîáíûõ ÷èñëó j , ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî ðàíãó ãðóïïû. Ðàññìàòðèâàÿ êóáè÷åñêèå è áîëåå âûñîêèå ñòåïåíè îïåðàòîðîâ

X q , ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî îïåðàòîðîâ

Êàçèìèðà äàííîé ãðóïïû. Âñå ÷èñëà, íóìåðóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ, ñâÿçàíû ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè îïåðàòîðîâ Êàçèìèðà.

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ

217

Ãëàâà VIII Ãðóïïà SU (n ) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ  äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñïåöàèëüíîé óíè-

òàðíîé ãðóïïû SU (n ) ñîñòàâëÿþùåé íàèáîëåå èçó÷åííûé êëàññ ïðåäñòàâëåíèé, èìåþùèõ âàæíîå çíà÷åíèå â òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, êâàíòîâîé ìåõàíèêå è òåîðèè ïîëÿ.

§8.1. Óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ Ïóñòü ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî C (§1.10, ï. 1.10.4) ïðåîáðàçóåò-

ñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U ãðóïïû G . Åñëè âñå îïåðàòîðû U (g ) ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðíû, òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå áóäåì íàçûâàòü óíèòàðíûì ïðåäñòàâëåíèåì. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé êîìïàêòíîé ãðóïïû (§4.3) êàæäîå å¸ ïðåäñòàâëåíèå ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîìó óíèòàðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Ôàêòè÷åñêè, ìû äîêàæåì ñåé÷àñ òåîðåìó Ìàøêå, ñôîðìóëèðîâàííóþ â §5.6. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ìàøêå âîñïîëüçóåìñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî äëÿ êîìïàêòíîé ãðóïïû ìîæíî ââåñòè èíâàðèàíòíîå èíòåãðèðîâàíèå (4.3.4). Ïîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî åñëè îïåðàòîðû U (g ) íåóíèòàðíû îò-

íîñèòåëüíî çàäàííîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ òè ê òàêîìó ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âñå îïåðàòîðû

(x y ), òî ìîæíî ïåðåé-

(x y )′ , îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî

U (g ) áóäóò óíèòàðíû, òî åñòü

(U (g )x U (g )y )′ = (x y )′ . Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû âåêòîðîâ

(8.1.1)

x è y âåëè÷èíà

218

Ãëàâà âîñüìàÿ

f (g ) = (U (g )x U (g )y ) ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèåé íà ãðóïïå G è äëÿ êîìïàêòíîé ãðóïïû G ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíûé èíòåãðàë (4.3.4)

∫ f (h )dh = ∫ f (gh )dh = ∫ f (hg )dh ,

G

ãäå

G

G

g - ëþáîé ýëåìåíò ãðóïïû G . Ïîëîæèì

(x y )′ = ∫ (U (h )x U (h )y )dh .

(8.1.2)

G

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå

(x y )′ óäîâëåòâîðÿåò ñîîò-

íîøåíèÿì (1.10.1), (1.10.2) è (1.10.8), òî åñòü, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïî îòíîøåíèþ ê ýòîìó ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âñå îïåðàòîðû U (g ) óíèòàðíû, òàê êàê, ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì (4.3.4) è (8.1.2),

(U (g )x U (g )y )′ = ∫ (U (h )U (g )x U (h )U (g )y )dh = G

′ = ∫ (U (hg )x U (hg )y )dh = ∫ (U (h )x U (h )y )dh = (x y ) , G

G

òî åñòü óñëîâèå óíèòàðíîñòè (8.1.1) âûïîëíÿåòñÿ. Ïóñòü òåïåðü

eα - íåêîòîðûé áàçèñ, îðòîíîðìèðîâàííûé îòíîñè-

òåëüíî ñòàðîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (1.10.9)

(e e ) = δ α

à

β

αβ

,

eα′ - íåêîòîðûé áàçèñ, îðòîíîðìèðîâàííûé îòíîñèòåëüíîãî íîâîãî

ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

(e′ e′ )′ = δ α

β

αβ

.

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ Îáîçíà÷èì

219

A îïåðàòîð, ïåðåâîäÿùèé eα â eα′ :

Aeα = eα′ . Åñëè

x = xα eα , y = y α eα , òî

Ax = xα eα′ , Ay = y α eα′ è, ñëåäîâàòåëüíî,

(Ax Ay )′ = x èëè

y α = (x y ) ,

(8.1.3)

)

(8.1.4)

U ′(g ) = A−1U (g )A .

(8.1.5)

(x y )′ = (A

−1

α

x A−1 y .

Ïîëîæèì òåïåðü

Èç ñîîòíîøåíèé (8.1.3), (8.1.4) è (8.1.1.) ñëåäóåò, ÷òî

(U ′(g )x U ′(g )y ) = (A U (g )Ax A U (g )Ay ) = −1

−1

′ = (U (g )Ax U (g )Ay ) = (Ax Ay ) = (x y ), òî åñòü âñå îïåðàòîðû U ′(g ) óíèòàðíû îòíîñèòåëüíî ñòàðîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå ïðåäñòàâëåíèå êîìïàêòíîé ãðóïïû ýêâèâàëåíòíî óíèòàðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ è äëÿ êîìïàêòíîé ãðóïïû Ëè ìû ìîæåì îãðàíè÷èòüñÿ ëèøü óíèòàðíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè.

§8.2. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ Ïóñòü íàì çàäàíî íåêîòîðîå ïðåäñòàâëåíèå ñòðàíñòâå ñòâà

U ãðóïïû G â ïðî-

C (n ) è ïóñòü C (k ) - íåêîòîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàí-

C (n ) , òî åñòü íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç C (n ) , êîòîðîå

220

Ãëàâà âîñüìàÿ

ñàìî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì. Â ïðåîáðàçîâàíèè U (g ) âåêòîð x èç ïðîñòðàíñòâà

C (k ) ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîð U (g )x , êîòîðûé ïðèíàäëåæèò

C (n ) , íî ìîæåò è íå ïðèíàäëåæàòü C (k ) . Åñëè âåêòîðû U (g )x ïðèíàäëåæàò

C (k ) ïðè ëþáûõ x èç C (k ) è ëþáûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ U (g ),

òî åñòü, åñëè âî âñåõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ

U (g ) âåêòîðû èç C (k ) ïðåâðà-

ùàþòñÿ â âåêòîðû òîãî æå ïîäïðîñòðàíñòâà

C (k ) , ìû áóäåì ãîâîðèòü,

÷òî C (k ) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðåäñòàâëåíèÿ U . Åñëè òàêîãî íåòðèâèàëüíîãî èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà íå ñóùåñòâóåò, òî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì. Ïóñòü U - íåêîòîðîå ïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå ñòàâëåíèÿ

C (n ) , C (k ) - íåêîòîðîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðåäU , à C (l )- îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå (ñì. §1.16) ê C (k ) .

Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ïðåäñòàâëåíèå U óíèòàðíî, òî àíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü

x ′ ∈ C (k ) , à x ′′ ∈ C (l ). Òàê êàê C (k ) ÿâëÿ-

åòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì, òî ïðèíàäëåæèò

(U (g )

−1

C (l )- òàêæå èíâàðè-

C (k ) , è ìû ìîæåì çàïèñàòü

U (g ) x ′ = U (g −1 )x ′ òàêæå −1

)

x ′ x ′′ = 0 .

Èç óíèòàðíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ U ñëåäóåò, ÷òî

(U (g )

−1

) (

Òàêèì îáðàçîì, åñëè âåêòîðó

)

x ′ x ′′ = U (g )U (g ) x ′U (g )x ′′ = (x ′U (g )x ′′) = 0 . −1

x ′′ ∈ C (l ), òî U (g )x ′′ îðòîãîíàëåí ëþáîìó

x ′ ∈ C (k ) äëÿ ëþáîãî U (g ) è ìû äîêàçàëè, ÷òî C (l ) ÿâëÿåòñÿ

èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Ïðîñòðàíñòâî

C (n ) ðàñùåïëÿåòñÿ íà

äâà îðòîãîíàëüíûõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâà: ïðåäñòàâëåíèÿ

C (k ) è C (l ). Åñëè

U1 è U 2 èíäóöèðóåìûå ïðåäñòàâëåíèåì U â ïîäïðîñò-

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ

221

ðàíñòâàõ C (k ) è C (l ) ñîîòâåòñòâåííî, ïðèâîäèìû, òî îíè ñíîâà ðàñùåïëÿþòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ â îðòîãîíàëüíûõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ. Ïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå, ðàñùåïëÿåìîå íà íåïðèâîäèìûå, íàçûâàåòñÿ âïîëíå ïðèâîäèìûì. Íå âñÿêîå ïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå âïîëíå ïðèâîäèìî, íî ïðèâîäèìîå óíèòàðíîå ïðåäñòàâëåíèå âïîëíå ïðèâîäèìî. Äëÿ êîìïàêòíîé ãðóïïû Ëè êàæäîå ïðåäñòàâëåíèå ýêâèâàëåíòíî óíèòàðíîìó, òî åñòü âïîëíå ïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî íåïðèâîäèìûå óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîìïàêòíîé ãðóïïû G êîíå÷íîìåðíû. Ïóñòü e - åäèíè÷íûé âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå

C (n ) , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî óíèòàðíîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåä-

ñòàâëåíèþ U ãðóïïû G . Â ñèëó óíèòàðíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ìû ìîæåì çàïèñàòü

U (g )e =

U (g )

(U (g )e U (g )e ) = (e e ) = e = 1 .

Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå

g → U (g )e

ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì ãðóïïû G â åäèíè÷íóþ ñôåðó ïðîñòðàíñòâà

C (n ) . Òàê êàê ãðóïïà êîìïàêòíà, òî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ U (g )e òîæå êîìïàêòíî. Èç ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî ëþáîå êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî íà åäèíè÷íîé ñôåðå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ñîäåðæèòñÿ â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç íåïðèâîäèìîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ U ñëåäóåò, ÷òî

C (n ) ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì, ïîðîæ-

ä¸ííûì ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ U (g )e , òî åñòü ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ ñðåäè âåê-

òîðîâ U (g )e , ïðè÷¸ì ÷èñëî ýòèõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ êîíå÷-

íî. Îòñþäà ñëåäóåò è êîíå÷íîñòü ïðîñòðàíñòâà C (n ) . Ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïðîñòðàíñòâî, ïðåîáðàçóþùååñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ

U , ïîðîæäàåòñÿ ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ U (g )e

äëÿ âñåõ U (g ) è íåêîòîðîãî âåêòîðà e . Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ýòî ñâîéñòâî íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé.

222

Ãëàâà âîñüìàÿ Ïóñòü íàì çàäàíî ïðåäñòàâëåíèå

U ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå

C (n ) , è C (k ) - èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ïðåîáðàçóþùååñÿ ïî

íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ U 1 è èíäóöèðóåìîå ïðåäñòàâëåíèåì U .

Åñëè ìû çíàåì íåêîòîðûé âåêòîð x ïîäïðîñòðàíñòâà C (k ) , òî ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì. §7.4., ï.7.4.2). Ñíà÷àëà äåéñòâóåì íà x âñåìè îïåðàòîðàìè U (g ) èç ïðåäñòàâ-

ëåíèÿ U , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ìíîæåñòâî âåêòîðîâ U (g )x . Çàòåì îáðàçóåì âñåâîçìîæíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç ýòîãî ìíîæåñòâà ïîëó÷èâ òàêèì îáðàçîì ïîäïðîñòðàíñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ïðåäñòàâëåíèÿ U , êîòîðîå íå ìîæåò ðàñïàäàòüñÿ íà äâà îðòîãîíàëüíûõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâà, òàê êàê ïîðîæäàåòñÿ ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ

U (g )x , êàæäûé èç êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà

x ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ U (g ).

§8.3. Ñîïðÿæåííûå è êîíòðàãðåäèåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ äàííûì ïðåä-

U è èìåþùèå òàêóþ æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è U , íî íå ýêâèâàëåíòíûå ïðåäñòàâëåíèþ U .

ñòàâëåíèåì

Åñëè ñîîòâåòñòâèå

g → U (g )

(8.3.1)

ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû G , òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâèå

g → U (g ) , ãäå

(8.3.2)

U (g ) - ìàòðèöà, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ ê U (g ), ñëóæèò òàêæå

ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû G . Ýòî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê

U è îáîçíà÷àåòñÿ U .

Ïîêàæåì, ÷òî íàðÿäó ñ îòîáðàæåíèÿìè (8.3.1) è (8.3.2) ñîîòâåòñòâèå

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ

[

g → U (g −1 ) = U (g ) T

223

]

−1 T

(8.3.3)

ÿâëÿåòñÿ òàêæå ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû G . Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ T ~ U (g ) = U (g −1 ) ,

(8.3.4)

ïîëó÷èì

[

]

T T T ~ ~ U (g1 )U (g 2 ) = U (g1−1 ) U (g 2−1 ) = U (g 2−1 )U (g1−1 ) = T ~ −1 T = U (g 2−1 g1−1 ) = U (g1 g 2 ) = U (g1 g 2 ),

(

)

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ êîíòðàãðå-

~

äèåíòíûì ê U ïðåäñòàâëåíèåì U . Äëÿ óíèòàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé êîí-

~ U ïðåäñòàâëåíèå U ñîâïàäàåò ñ ñîïðÿæåííûì ê U ïðåäñòàâëåíèåì U . Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê âñå îïåðàòîðû U (g ) óíè-

òðàãðåäèåíòíîå ê

òàðíû

U (g ) = U (g ) = U (g −1 ), òî U (g ) = U (g −1 ) . +

−1

T

Ââåäåíèå êîíðàãðåäèåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé ïîçâîëÿåò îáðàçîâàòü

x - âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè xα , ïðåîáðàçóþùèéñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U ãðóïïû G , à ~ y - êîâåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè ~ y α , ïðåîáðàçóþùèéñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U , ïðè÷¸ì U ìîæåò áûòü èíâàðèàíòû ãðóïï. Ïóñòü

íåóíèòàðíûì. Ìû ìîæåì çàïèñàòü

β ~ β α x ′α = U (g )β x β , yα′ = U (g )α y β = U (g −1 )α y β .

Îòñþäà ïîëó÷àåì

yα′ x ′α = y β U (g −1 )α U (g )γ x γ = y β U (e )γ x γ = y β x β , β

òî åñòü ñóììà

α

β

yα xα èíâàðèàíòíà.

§8.4. Ãåíåðàòîðû ãðóïïû SU (n ) è å¸ îñíîâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî îáùèõ óòâåðæäåíèé äëÿ óíèòàðíûõ óíèìîäóëÿðíûõ ãðóïï, êîòîðûå íàì ïîíàäîáÿòñÿ ïðè áîëåå äåòàëüíîì ðàññìîò-

224

Ãëàâà âîñüìàÿ

ðåíèè ãðóïï

SU (2 ) è SU (3) .

 ãëàâå IV, §4.6, ï.7 ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ðàçìåðíîñòü

SU (n ) ðàâíà

m ãðóïïû

m = n2 − 1.

(8.4.1)

Èç óñëîâèÿ

det U (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ m ) = 1

äëÿ ìàòðèöû

U (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ m ) , áåñêîíå÷íî áëèçêîé ê åäèíèöå:

U (ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ m ) ≈ 1 + ξ k X k , ñëåäóåò, ÷òî ñëåäû ãåíåðàòîðîâ

X k ðàâíû íóëþ:

SpX k = 0 ,

(8.4.2)

à èç óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè

U (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ m ) U (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ m ) = 1 +

ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöû

X k àíòèýðìèòîâû:

X k+ = − X k

(8.4.3)

(ñì. ôîðìóëû (7.2.2) è (7.2.6)). Ïðè óìíîæåíèè X k íà i = − 1 , îíè ñòàíóò ýðìèòîâûìè. Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå îñíîâíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû

SU (n ) . Ïðåäñòàâëåíèåì ñ íàèìåíüøåé ðàçìåðíîñòüþ ÿâ-

ëÿåòñÿ îäíîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì âñåì ýëåìåíòàì îòâåòñòâóåò óìíîæåíèå íà 1:

g = U ñî-

U →1, è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ðàâíû íóëþ:

Yk = 0 .

(8.4.4)

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îäíèì èç íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ñ íàèìåíüøåé ðàçìåðíîñòüþ, îòëè÷íîé îò 1, ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå

U →U .

 äàííîì ñëó÷àå ñàìà ãðóïïà

SU (n ) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê å¸ ïðåä-

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ

225

ñòàâëåíèå. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì. Åãî èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ñîâïàäàþò ñ ãåíåðàòîðàìè ãðóïïû

Yk = X k .

(8.4.5)

Äðóãèì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèåì ñ íàèìåíüøåé ðàçìåðíîñòüþ, îòëè÷íîé îò åäèíèöû, ñëóæèò êîíðàãðåäèåíòíîå ê ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèå, ñîâïàäàþùåå ñ ñîïðÿæåííûì, èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû êîòîðîãî ðàâíû

Yk = X k = − X kT .

(8.4.6)

Äîãîâîðèìñÿ òåïåðü î íåêîòîðûõ îáîçíà÷åíèÿõ. Áàçèñíûå âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå

C1 ñîñòîÿùåì èç îäíîãî ýêçåìïëÿðà ïðîñòðàíñòâà

C (n ) , êîòîðîå ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, α

îáîçíà÷èì e ; α = 1,2,..., n . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòè áàçèñíûå âåêòîðû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ

(e e ) = δ α

β

αβ

,

òî åñòü îðòîíîðìèðîâàííû. Â ïðåäñòàâëåíèè U âåêòîð ñÿ â íåêîòîðûé âåêòîð

eα ïðåâðàùàåò-

e′α

e′α = Ueα = U βα e β . Ïóñòü ψ âåêòîð èç

(8.4.7)

C1 ñ êîìïîíåíòàìè ψ α

ψ = ψ α eα .

(8.4.8)

Òîãäà â ïðåîáðàçîâàíèè U îí ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîð ψ ′ ñ êîìïîíåíòàìè ψ α′

ψ α′ = U αβψ β .

(8.4.9)

 äàëüíåéøåì âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå C1 , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, áóäåì íàçûâàòü êîâàðèàíòíûìè ñïèíîðàìè ïåðâîãî ðàíãà. Èòàê, êîìïîíåíòû êîâàðèàíòíûõ ñïèíîðîâ ïåðâîãî ðàíãà ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó (8.4.9). Ïî àíàëîãèè, â ïðîñòðàíñòâå

C 1 (ñîñòîÿùåì èç îäíîãî êîìïëåêòà

226

Ãëàâà âîñüìàÿ

ïðîñòðàíñòâà C (n ) ) ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ êîíòðàãðåäèåíòíîìó ê ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ âûáåðåì íåêîòîðûé áàçèñ

~

eα . Ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðîâ eα èìååò âèä e′α = U eα = U βα e β .

(8.4.10)

Åñëè ψ - íåêîòîðûé âåêòîð èç ïðîñòðàíñòâà

C 1 ñ êîìïîíåíòàìè ψ α

ψ = ψ α eα ,

(8.4.11)

òî ïî àíàëîãèè ñ (8.4.9) ìû èìååì + . ψ ′α = U αβψ β = ψ β U βα

Âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå

(8.4.12)

C 1 íàçûâàþòñÿ êîíòðàâàðèàíòíûìè ñïè-

íîðàìè ïåðâîãî ðàíãà. Èòàê, êîìïîíåíòû êîíòðàâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ïåðâîãî ðàíãà ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó (8.4.12). Çàìåòèì, ÷òî åñëè ψ α - êîìïîíåíò êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà, òî êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå âåëè÷èíû

(ψ α ) ïðåîáðàçóþòñÿ êàê êîìïîíåíòû +

êîíòðàâàðèàíòíîãî ñïèíîðà, êîòîðûé îáîçíà÷èì êàê ψ . Òàêèì îáðàçîì,

(ψ ) = (ψ ). + α

(8.4.13)

α

§8.5. Ñïèíîðû âûñøèõ ðàíãîâ Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâà ïðåîáðàçóþùèåñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèÿì, ÿâëÿþùèìñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé è êîíòðàãðåäèåíòíûõ ê ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî

C p , ïðåîáðàçóþùååñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ

U ⊗ U ⊗ ... ⊗ U , êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ p ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé U . α1 ... α p

Áàçèñíûå âåêòîðû e àíàëîãèè ñ çàêîíîì (8.4.7)

â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ïðåîáðàçóþòñÿ ïî

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ α1 ... α p

e′ ñàòü

= U pe

α1 ...α p

Ïîëàãàÿ âåêòîðû

(e

α1 ...α p

e

β 1 ...β p

e

)= δ

227

= U β1α1 ...U β p α p e α1 ...α p

α1β 1

α1 ...α p

êîìïîíåíòû

α1 ... α p

...δα p β p . C p îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

,

(8.5.2)

ψ α1 ...α p êîòîðîãî ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó

ψ′α1 ...α p = U α1β1 ...U α p β p ψβ1 ...β p Âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå

.

(8.5.3)

C p ñ êîìïîíåíòàìè âèäà ψ α1 ...α p íàçûâà-

þòñÿ êîâàðèàíòíûìè ñïèíîðàìè èçâåäåíèÿ

p -ãî ðàíãà, ïðåîáðàçóþùèåñÿ êàê ïðî-

p êîìïîíåíò êîâàðèàíòíûõ ñïèíîðîâ ïåðâîãî ðàíãà.

Àíàëîãè÷íî îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñíûå âåêòîðû

(e

â

(8.5.1)

îðòîíîðìèðîâàííûìè, ìû ìîæåì çàïè-

Ïðîèçâîëüíûé âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå

ψ p = ψ α1 ...α p e

.

α1 ... α p

)

e′α1 ...α p

eβ1 ...β p = δα1β1 ...δα p β p

ïðîñòðàíñòâå

C p , ïðåîáðàçóþùèåñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ

U ⊗ U ⊗ ... ⊗ U , ÿâëÿþùåìóñÿ ïðîèçâåäåíèåì p êîíòðàãðåäèåíòíûõ ê ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèé

U , ïðåîáðàçóþòñÿ êàê

e′α1 ...α p = U eα1 ...α p = U β1α1 ...U β pα p e β1...β p , p

à êîìïîíåíòû ψ

ø p =ψ

α1 ...α p

α1 ...α p

âåêòîðà

(8.5.4)

øp (8.5.5)

eα1 ...α p

ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó α1 ...α p

ψ′

= U α1β1 ...U α p β pψ

β1 ...β p

=ψ

β1 ... β p

U β+1α1 ...U β+pα p .

(8.5.6)

Ýòè âåêòîðû áóäåì íàçûâàòü êîíòðàâàðèàíòíûìè ñïèíîðàìè

p-

228

Ãëàâà âîñüìàÿ

ãî ðàíãà, ïðåîáðàçóþùèìèñÿ ïî çàêîíó (8.5.6). Çàìåòèì, ÷òî åñëè ψ α1 ...α p êîìïîíåíòû êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ðàíãà

(

)

p , òî ψ α1 ...α p - êîìïîíåí-

òû êîíòðàâàðèàíòíîãî ñïèíîðà òîãî æå ðàíãà

(ψ )

+ α1 ...α p

(

)

= ψ α1 ...α p .

 ïðîñòðàíñòâå

C pq , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ

U ⊗...⊗U ⊗U ⊗...⊗U p ðàç

ââåä¸ì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ

(e

α1 ...α p β1 ... β q

,

q ðàç

α ′ ...α ′

)

α ...α

e β11...β qp

e β11′...β qp′ = δ α1α1′ ...δ α pα ′p δ β1β1′ ...δ β q β q′ .

Òîãäà α ...α

γ ...γ

U pq e β11 ...β qp = U γ 1α1 ...U γ pα p U δ 1β1 ...U δ q β q eδ11 ...δ qp .

(8.5.7)

Êîìïîíåíòû âåêòîðà β ... β

α ...α

ø pq = ψ α11...α pq e β11 ...β pq

(8.5.8)

ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó β ... β

δ ...δ

ψ α′ 1 ...1 α p q = Uα1γ 1 ...Uα pγ p U β1δ 1 ...U β qδ qψ γ 11...γ pp .

(8.5.9)

Ýòè âåêòîðû áóäåì íàçûâàòü ñìåøàííûìè ñïèíîðàìè, êîâàðèàíòíûìè p ðàç è êîíòðàâàðèàíòíûìè q ðàç. Òàê êàê êàæäûé ñïèíîð ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè êîìïîíåíòàìè, òî â äàëüíåéøåì äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñïèíîðîâ, òî åñòü âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå

β ... β

C pq , áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ èõ êîìïîíåíòàìè ψ α11...α pq .

β ... β

Åñëè ψ α11...α pq - êîìïîíåíòû ñïèíîðà òðàâàðèàíòíîãî, òî êîâàðèàíòíîãî è

(ψ

β 1 ...β q α 1 ...α p

p ðàç êîâàðèàíòíîãî è q ðàç êîí-

)- êîìïîíåíòû íåêîòîðîãî ñïèíîðà q ðàç

p ðàç êîíòðàâàðèàíòíîãî, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì êàê

ø + . Òàêèì îáðàçîì

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ

(ψ )

+ α 1 ...α p β 1 ... β q

(

β ... β

229

)

= ψ α 11...α pq .

(8.5.10)

Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà òðè ñïèíîðà: ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà â

C1 1

ñ êîìïîíåíòàìè

ψ αβ = δ βα è ñïèíîðû

(8.5.11)

n -ãî ðàíãà â Cn è Cn ñ êîìïîíåíòàìè

ψ α1 ...α n = ε α1 ...α n ,

(8.5.12)

ψ α1 ...α n = ε α 1 ...α n ,

(8.5.13)

è

ãäå

ε α1 ...α n = εα 1 ...α n = 0 , åñëè äâà (èëè áîëåå) èíäåêñà α i è α j ñîâïàäà-

þò, ðàâíî 1, åñëè åñëè

(α1...α n ) - ÷¸òíàÿ ïåðåñòàíîâêà (1,2,..., n ) , è ðàâíî –1,

(α1...α n ) - íå÷¸òíàÿ ïåðåñòàíîâêà. Ýòîò ñïèíîð áóäåì íàçûâàòü ïîë-

íîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì â ñèëó óñëîâèÿ

n -ãî ðàíãà. Äëÿ ñïèíîðà (8.5.11)

+

UU = 1 èìååì çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ

δ ′ = U βδ Uαγ δ δγ = U βγ U γα+ = (UU + )βα = δ βα , α β

à äëÿ ñïèíîðîâ (8.5.12) è (8.5.13) â ñèëó óñëîâèÿ det U = 1 , èìååì

ε α′ 1 ...α n = Uα1 β1 ...Uα n β n ε β 1 ...β n = det Uεα 1 ...α n = ε α1 ...α n è

ε ′α1 ...α n = Uα1 β1 ...Uα n β n ε β1 ...β n = det U ε α 1 ...α n = ε α1 ...α n . Ìû âèäèì, ÷òî êîìïîíåíòû ñïèíîðîâ íå ìåíÿþòñÿ ïðè âñåõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ãðóïïû ìè ãðóïïû

SU (n ) , òî åñòü ýòè ñïèíîðû ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòà-

SU (n ) . Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç

eαβ , eα1 ...α n , eα1 ...α n áàçèñû â ïðîñòðàíñòâàõ

C1 1 , Cn è Cn ñîîòâåòñòâåííî, òî âåêòîðû â

ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ ñ êîìïîíåíòàìè (8.5.11)-(8.5.13) èìåþò âèä

230

Ãëàâà âîñüìàÿ

ä = eαα = e11 + ... + e nn ,

(8.5.14)

å p = e123...n − e 213...n + e 231...n − ... ,

(8.5.15)

å p = e123...n − e 213...n + e 231...n − ... .

(8.5.16)

Ýòè âåêòîðû ñëóæàò áàçèñàìè îäíîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ, èíâàðè-

àíòíûõ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû SU (n ) , òî åñòü ÿâëÿþòñÿ áàçèñàìè ïðîñòðàíñòâ, ïðåîáðàçóþùèõñÿ ïî å¸ îäíîìåðíûì ïðåäñòàâëåíèÿì.

§8.6. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ Ðàññìîòðåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ïðîèçâåäåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ è êîíòðàãðåäèåíòíûõ èì ïðåäñòàâëåíèé ïðèâîäèìû. Òàê ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè óíèòàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé, òî îíè óíèòàðíû è, ñëåäîâàòåëüíî, âïîëíå ïðèâîäèìû (ñì. §8.2). Ðàçëîæèì ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ íà íåïðèâîäèìûå. Íà÷í¸ì ñ íàèáîëåå ïðîñòîãî ïðèìåðà ïðåäñòàâëåíèÿ U ⊗ U â ïðîñòðàíñòâå

C2 ñ áàçèñîì eα1α 2 . Âåêòîðû â ýòîì ïðîñòðàíñòâå – êîâàðèàí-

òíûå ñïèíîðû âòîðîãî ðàíãà. Èç ïðîèçâîëüíîãî ñïèíîðà ψ α1α 2 îáðàçóåì ñèììåòðè÷íûé è àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîðû ñ êîìïîíåíòàìè

(

)

(8.6.1)

(

)

(8.6.2)

ψ {α1α 2 } =

1 ψ α α + ψ α 2α 1 ; 2 1 2

ψ [α1α 2 ] =

1 ψ α α − ψ α 2α 1 . 2 1 2

 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðîñòðàíñòâî òðàíñòâà

e

C2 ðàçëàãàåòñÿ íà äâà ïîäïðîñ-

C2s è C2a , áàçèñû êîòîðûõ îáðàçóþòñÿ èç

{α 1α 2 }

(

)

 1 α1α 2 e + eα 2α1 , α1 ≠ α 2 ,  = 2 eα1α 2 , α = α , 1 2 

n(n + 1) âåêòîðîâ 2 (8.6.3)

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ è

231

n(n − 1) âåêòîðîâ 2 e[α1α 2 ] =

(

1 α1α 2 e − eα 2α1 2

)

(8.6.4)

ñîîòâåòñòâåííî. Ëþáîé âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå

øq =

∑Φ

α 1 ≥α 2

α 1α 2

C2s èìååò âèä

e{α1α 2 } =

= ∑ Φαα e

αα

α

(

)

1 + Φα1α 2 eα1α 2 + eα 2α1 . ∑ 2 α 1 >α 2

Îáîçíà÷àÿ ÷åðåç ψ α1α 2 êîìïîíåíòû âåêòîðà s

ñå

(8.6.5)

ø s â èñõîäíîì áàçè-

eα1α 2 , ìû ìîæåì çàïèñàòü ø s = ψ αs 1α 2 eα1α 2 .

(8.6.6)

Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (8.5.6) è (8.6.6), ïîëó÷èì

ψ αs 1α 2 = ψ αs 2α 1

 Φα α , α1 = α 2 ,  1 2  1 = Φα1α 2 , α1 > α 2 ,  2  1 Φα 2α 1 , α1 < α 2 .   2

(8.6.7)

s

Ìû âèäèì, ÷òî âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå C2 - ñèììåòðè÷íûå ñïèíîðû. Ïîñêîëüêó ëþáîé âåêòîð âèäà (8.6.3) îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó s

a

âèäà (8.6.4), ïîäïðîñòðàíñòâà C2 è C2 îðòîãîíàëüíû. Îíè ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè, òàê êàê â ëþáîì ïðåîáðàçîâàíèè

U ⊗ U ñèììåòðè÷íûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà ïðåîáðàçóåòñÿ â ñèììåò-

232

Ãëàâà âîñüìàÿ s

ðè÷íûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà, òî åñòü âåêòîð èç ïîäïðîñòðàíñòâà C2 ïåðåõîäèò â âåêòîð èç ýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, è àíàëîãè÷íî àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîð ïðåâðàùàåòñÿ â àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîð, òî åñòü a

ïîäïðîñòðàíñòâî C2 ïåðåõîäèò â ñåáÿ. Ïîêàæåì, ÷òî îíè ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì. Âûáåðåì ëþáûå äâà áàçèñíûõ âåêòîðà, íàïðèìåð âèäà (8.6.3). Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (7.2.4) (èëè (6.10.9)) ìû ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà

Yk

Yk = 1(1) ⊗ Yk(2 ) + Yk(1) ⊗ 1(2 ) , ãäå

(8.6.8)

1(i ) - åäèíè÷íûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå Ci , îïåðàòîðû Yk(1) äåé-

ñòâóþò òîëüêî íà ïåðâûé èíäåêñ, à îïåðàòîðû

Yk(2 ) - íà âòîðîé. Ìîæíî

ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ

Yk1 , Yk 2 ,..., Yk m ,... , ÷òî â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ýòèõ îïåðàòî-

ðîâ íà îäèí èç âûáðàííûõ âåêòîðîâ ìîæíî ïîëó÷èòü âåêòîð, ïðîïîðöèîíàëüíûé âòîðîìó. Ýòîò ôàêò ìîæíî ñ÷èòàòü äîêàçàòåëüñòâîì íåïðès

a

âîäèìîñòè ïðåäñòàâëåíèé â C2 è C2 . Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé êîâàðèàíòíûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà ðàçëàãàåòñÿ íà ñèììåòðè÷íûé è àíòèñèììåòðè÷íûé êîâàðèàíòíûé ñïèíîðû

ψ α1α 2 = ψ {α1α 2 } + ψ [α 1α 2 ] ,

(8.6.9)

îáðàçóþùèå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðåäñòàâëåíèå áàçèñîì

U ⊗ U â ïðîñòðàíñòâå C1 1 ñ

eαβ . Âåêòîðû â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿþòñÿ ñïèíîðàìè âòîðîãî β

α

ðàíãà ñ êîìïîíåíòàìè ψ α . Ïîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî ñóììà ψ α èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî âñåõ ïðåîáðàçîâàíèé U èìååì

ψ α′ β = Uαγ U βδ = ψ γδ ,

⊗ U . Ñîãëàñíî (8.5.9),

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ

233

+ ψ α′α = Uαγ Uαδψ γδ = Uαγ U δα ψ γδ = (UU + )δγ ψ γδ = δ δγψ γδ = ψ αα ,

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàìåòèì, åñëè ñïèíîð

ψ αβ èìååò ñëåä ðàâ-

íûé íóëþ, òî ýòî ñâîéñòâî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âñåõ ïðåîáðàçîâàíèé

U ⊗U . β

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ñïèíîð ψ α è ðàçëîæèì åãî íà äâå ÷àñòè, ïåðâàÿ èç êîòîðûõ èìååò íóëåâîé ñëåä, à âòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà

1   1 ψ αβ = ψ αβ − δ αβψ γγ  + δ αβψ γγ . n   n

δ αβ :

(8.6.10)

β

 §8.5 ìû ïîêàçàëè, ÷òî ñïèíîð δ α ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì è òàêèì îáðàçîì, ñïèíîðû ñ íóëåâûì ñëåäîì êðàòíûå ñïèíîðó

1 1 ψ αβ − δ αβψ γγ è ñïèíîðû δ αβψ γγ , n n

δ αβ , îáðàçóþò èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà â C1 1 ,

êîòîðûå îðòîãîíàëüíû, òàê êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âîëüíûé ñïèíîð

δ αβ íà ïðîèç-

Φαβ ðàâíî ñëåäó ýòîãî ñïèíîðà

δ αβ Φαβ = Φαα .

(8.6.11)

Ñ ïîìîùüþ èçëîæåííîãî âûøå ìåòîäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïèíîðû ñ íóëåâûì ñëåäîì îáðàçóþò íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ è ôîðβ

ìóëà (8.6.10) åñòü ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ñïèíîðà ψ α íà íåïðèâîäèìûå. Ïåðâûé ñïèíîð â ýòîé ôîðìóëå èìååò

n 2 − 1 êîìïîíåíòó, à âòî-

ðîé ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Çàìåòèì, ÷òî èíâàðèàíòíîñòü ñóììû ÷àñòíûé ñëó÷àé ñëåäóþùåãî îáùåãî ôàêòà. Åñëè ñïèíîð

( p + q )-ãî ðàíãà,

íûé, òî ñóììà

ψ αα -

β ... β

ψ α11...α pq - ñìåøàííûé

p ðàç êîâàðèàíòíûé è q ðàç êîíòðàâàðèàíò-

αβ ...β ψ αα 22 ...α qp ÿâëÿåòñÿ (ñì. §3.6) ñìåøàííûì ñïèíîðîì

234

Ãëàâà âîñüìàÿ

( p + q − 2) -ãî ðàíãà,

p − 1 êîâàðèàíòíûì è q − 1 êîíòðàâàðèàíòíûì.

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñïèíîðû âûñøèõ ðàíãîâ. Èç ëþáîãî êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà, íàïðèìåð p -ãî ðàíãà, ìîæíî îáðàçîâàòü ïîëíîñòüþ ñèììåòðè÷íûé ñïèíîð ψ {α1 ...α p } , êîòîðûé íåïðèâîäèì. Åñëè

p ≤ n , ìîæ-

íî îáðàçîâàòü òàê æå è ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîð ψ [α1 ...α p ] , êîòîðûé òàê æå íåïðèâîäèì. Òàê êàê äëÿ ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà âñå èíäåêñû äîëæíû áûòü ðàçëè÷íûìè, íå ñóùåñòâóåò ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà ðàíãà p > n . Ñèììåòðè÷íûé ñïèíîð

p -ãî ðàíãà èìååò 1 n(n + 1)...(n + p − 1) p!

íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò, à àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîð

p -ãî ðàíãà èìååò

1 n(n − 1)...(n − p + 1) p! íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò. Êðîìå ñïèíîðîâ ψ {α1 ...α p } è ψ [α1 ...α p ] ñóùåñòâóþò òàê æå è äðóãèå ñïèíîðû, ñèììåòðèçîâàííûå ïî íåêîòîðûì ïàðàì èíäåêñîâ è çàòåì àíòèñèììåòðèçîâàííûå ïî äðóãèì ïàðàì èíäåêñîâ. Ýòè ñïèíîðû õàðàêòåðèçóþòñÿ ñõåìàìè Þíãà, ñîäåðæàùèìè êëåòêè, ãäå àíòèñèììåòðèçîâàííûì èíäåêñàì ñîîòâåòñòâóþò êëåòêè ðàñïîëîæåííûå â îäíîì ñòîëáöå, à ñèììåòðèçîâàííûì èíäåêñàì – â îäíîé ñòðîêå. Ëþáîé êîâàðèàíòíûé ñïèíîð òðåòüåãî ðàíãà

ψ αβγ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â

âèäå ñóììû ñëåäóþùèõ ÷åòûð¸õ íåïðèâîäèìûõ ñïèíîðîâ: ïîëíîñòüþ ñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà

ψ {αβγ } =

1 (ψ αβγ + ψ βαγ + ψ βγα + ψ γβα + ψ γαβ + ψ αγβ ), 6

(8.6.12)

ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà

ψ [αβγ ] =

1 (ψ αβγ − ψ βαγ + ψ βγα − ψ γβα + ψ γαβ − ψ αγβ ) , 6

ñïèíîðà, ñèììåòðèçîâàííîãî ïî α è

(8.6.13)

β , è çàòåì àíòèñèììåòðèçîâàííî-

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ

235

β èγ,

ãî ïî

ψ {α [ β }γ ] =

1 (ψ αβγ + ψ βαγ − ψ αγβ − ψ γαβ ) 3

è ñïèíîðà, ñèììåòðèçîâàííîãî ïî íîãî ïî

(8.6.14)

β è γ , à çàòåì àíòèñèììåòðèçîâàí-

α è β, 1 (ψ αβγ + ψ αγβ − ψ βαγ − ψ βγα ), 3

(8.6.15)

ψ αβγ = ψ {αβγ } + ψ [αβγ ] + ψ {α [ β }γ ] + ψ [α { β ]γ }

(8.6.16)

ψ {α [ β }γ ] + ψ { β [γ }α ] + ψ {γ [α }β ] = 0 .

(8.6.17)

ψ [α { β ]γ } = îòêóäà è

Íåïðèâîäèìûå ñïèíîðû (8.6.12)-(8.6.15) õàðàêòåðèçóþòñÿ ñõåìàìè Þíãà:

α β γ

α β γ

β γ α

β α γ

×èñëà êîìïîíåíò ýòèõ ñïèíîðîâ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû

(

)

(

)

1 1 1 1 n(n + 1)(n + 2) , n(n − 1)(n − 2), n n 2 − 1 , n n 2 − 1 . 3! 3! 3 3 Ïî àíàëîãèè ëþáîé êîâàðèàíòíûé ñïèíîð p -ãî ðàíãà ðàçëàãàåòñÿ íà ñóììó íåïðèâîäèìûõ ñïèíîðîâ, ñèììåòðèçîâàííûõ è àíòèñèììåòðèçîâàííûõ ïî îïðåäåë¸ííûì ñõåìàì Þíãà. Ïðè ïîìîùè ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðèçîâàííîãî ñïèíîðà n -ãî ðàíãà

ε α1 ...α n äëÿ ëþáûõ êîíòðàãðåäèåíòíûõ è ñìåøàííûõ ñïèíîðîâ

ìîæíî ââåñòè ýêâèâàëåíòíûå èì êîâàðèàíòíûå ñïèíîðû. α

Íàïðèìåð, êîíòðàâàðèàíòíûé ñïèíîð ψ ýêâèâàëåíòåí ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íîìó ñïèíîðó ïÿòîãî ðàíãà:

ψ [αβγδε ] = ε αβγδενψ ν ,

236

Ãëàâà âîñüìàÿ

òàê êàê ïðîèçâåäåíèå

ε αβγδενψ ν îáðàçóåò ñïèíîð ñåäüìîãî ðàíãà, îäèí

ðàç êîíòðàâàðèàíòíûé è øåñòü ðàç êîâàðèàíòíûé, à ñóììèðîâàíèå (ñâ¸ðòêà) ïî ν ïðåâðàùàåò åãî â êîâàðèàíòíûé ñïèíîð ïÿòîãî ðàíãà. Àíàëîãè÷íûì ìåòîäîì ìîæíî îïóñòèòü âñå âåðõíèå èíäåêñû ëþáîãî ñïèíîðà è ïðåâðàòèòü åãî â êîâàðèàíòíûé ñïèíîð. Âûøå ìû îòìåòèëè, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà ðàíãà p > n . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé ñòîëáåö â ñõåìå Þíãà ñîäåðæèò íå áîëåå n êëåòîê. Áîëåå òîãî, ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîð n -ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì, òàê ÷òî èõ ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü. Èòàê, êàæäûé ñòîëáåö ñîäåðæèò íå áîëåå ÷åì n − 1 ñòðîê, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ìîæåò ñîäåðæàòü ëþáîå ÷èñëî êëåòîê. ×èñëà êëåòîê â ýòèõ ñòðîêàõ

λ1 , λ2 ,..., λn −1 ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ñîîòâåòñòâóþùèå

íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå. Èòàê, êàæäîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ n − 1 öåëûìè ÷èñëàìè

λ1 , λ2 ,..., λn −1 , ÿâëÿþùèìè-

ñÿ ÷èñëàìè êëåòîê â n − 1 ñòðîêàõ â ñîîòâåòñòâóþùåé ñõåìå Þíãà. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ýêâèâàëåíòíûå ñïèíîðû, íàïðèìåð òèïà ψ

α

è ψ [αβγδε ] ,

ôèçè÷åñêè íåýêâèâàëåíòíû è ïîýòîìó íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü îòäåëüíî âåðõíèå è íèæíèå èíäåêñû è äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñïèíîðîâ íóæíî ââåñòè äâå ñõåìû Þíãà: îäíó äëÿ âåðõíèõ èíäåêñîâ, à äðóãóþ äëÿ íèæíèõ. ×òîáû îáðàçîâàòü íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, íåîáõîäèìî òàêæå âû÷åñòü ñëåäû ïî âñåì ïàðàì èíäåêñîâ, ñîäåðæàùèì îäèí âåðõíèé è îäèí íèæíèé èíäåêñû. Òàê êàê ãðóïïà SU (n ) êîìïàêòíà, âñå å¸ íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü óíèòàðíûìè. Îíè âïîëíå ïðèâîäèìû è ðàñïàäàþòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, à ïîñëåäíèå êîíå÷íîìåðíû. Ïðè ïîìîùè èçëîæåííîãî âûøå ìåòîäà ìîæíî èñ÷åðïàòü âñå âîçìîæíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû

SU (n ) .

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

237

Ãëàâà IX Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU (2 ) è SU (3) Â äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï

SU (2 ) è

SU (3) . Ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè òåîðèè ñïèíà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå è òåîðèè óíèòàðíîé ñèììåòðèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. §9.1. Ãðóïïà SU (2 ) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ 9.1.1. Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU (2 )  ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññèôèêàöèåé ïðèâåä¸ííîé â §4.6, ï.7 ãðóïïà

SU (2 ) ñîñòîèò èç óíèòàðíûõ óíèìîäóëÿðíûõ îïåðàòîðîâ â äâóìåðíîì

êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå C (2 ).  ìàòðè÷íîé ôîðìå ãðóïïà

SU (2 ) ñîñòîèò èç 2× 2 ìàòðèö âèäà  U11 U 21    U 2 U 2  ,  1 2 

(9.1.1)

ãäå 2

2

2

U 11 + U 21 = 1 , U 12 + U 22 U11U12 + U 21U 22 = 0 ,

2

= 1,

(9.1.2)

U 11U 22 − U 12U 21 = 1 .

(9.1.3)

238

Ãëàâà äåâÿòàÿ 1

Ïîëîæèì U 1 âûïîëíÿòüñÿ ïðè

= α , à U 21 = β , òîãäà ïåðâîå óñëîâèå (9.1.3) áóäåò

U 12 = − kU 21 = − kβ è U 22 = kU11 = kα , ãäå k - íåêîòîðîå ÷èñëî. Óñëîâèÿ (9.1.2) ïðèìóò âèä 2

2

2

2

α + β = kα + kβ = 1 , îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò

k = 1 , èëè k = e iϕ , ãäå ϕ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.

 ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì ìû ìîæåì çàïèñàòü, ÷òî

U 12 = −e iϕ β ,

U 22 = e iϕ α .

Òîãäà,

U 11U 22 − U 12U 21 = e iϕ (αα + ββ ) = 1 .

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî èç óñëîâèé (9.1.3) ñëåäóåò

e iϕ = 1 , ïîëó÷èì

αα + ββ = 1.

(9.1.4)

Îêîí÷àòåëüíî, ìàòðèöû ãðóïïû

 α  − β

β , α 

SU (2 ) ïðèìóò âèä (9.1.5)

ãäå α , β - ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèþ (9.1.4). Ðàçìåðíîñòü ãðóïïû Âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà

SU (2 ) ðàâíà (§4.6, ï.7) òð¸ì.

C (2 ) ìû áóäåì íàçûâàòü ñïèíîðàìè, à òåí-

çîðû íàä ïðîñòðàíñòâîì C (2 ) - ñïèíòåíçîðàìè. Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå îáùèå ñâîéñòâà íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû

SU (2 ). Îáîçíà÷èì èíäåêñû ñïèíîðîâ ÷åðåç

a, b,... . Òàê êàê êàæäûé èíäåêñ ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü äâà çíà÷åíèÿ 1 è 2, òî åäèíñòâåííûìè àíòèñèììåòðè÷íûìè ñïèíîðàìè áóäóò àíòèñèììåòðè÷íûå ñïèíîðû âòîðîãî ðàíãà

ε ab è ε ab . Âûáåðåì ýòè ñïèíîðû òàê,

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3) ÷òîáû

239

ε ab = −ε ab , íàïðèìåð

ε12 = − ε 21 = ε 21 = − ε12 = 1 .

(9.1.6)

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

ε abε bc = ε cbε ba = δ ca . Ñïèíîðû ε è ñïèíîðîâ. Íàïðèìåð, ab

(9.1.7)

ε ab ïîçâîëÿþò ïîäíèìàòü èëè îïóñêàòü èíäåêñû

ψ a = ε abψ b ; ψ a = ε abψ b ,

(9.1.8)

òî åñòü êîíòðàâàðèàíòíûé ñïèíîð ψ ýêâèâàëåíòåí êîâàðèàíòíîìó ñïèa

íîðó ψ a . Àíàëîãè÷íî ñïèíîðû ψ ab è ψ

ab

ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè

ψ ab = ε acψ bc ; ψ ba = ε acψ cb .

(9.1.9)

Åñëè ψ b èìååò íóëåâîé ñëåä, òî ψ ab ñèììåòðè÷åí. Äåéñòâèòåëüíî, a

åñëè ψ a

a

= 0 , òî ñîãëàñíî (9.1.7)

ε abψ ab = ε abε acψ bc = −ε baε acψ bc = −δ cbψ bc = −ψ cc = 0 , à ðàâåíñòâî íóëþ ïðîèçâåäåíèÿ ε íî, åñëè ψ ab

ψ ab îçíà÷àåò, ÷òî ψ ab = ψ ba . Îáðàò-

ab

= ψ ba , òî ψ aa = ε acψ ca = 0 , òî åñòü ψ aa èìååò íóëåâîé ñëåä.

Èòàê, íåïðèâîäèìûé ñèììåòðè÷íûé ñïèíîð ψ {ab} ïîëíîñòüþ ýêâèâàëåíòåí ñìåøàííîìó ñïèíîðó ψ b ñ íóëåâûì ñëåäîì. a

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íåïðèâîäèìûé ñìåøàííûé ñïèíîð

{b ...b } ψ {a11 ...aqp } , äëÿ êîòîðîãî ñëåäû ïî âñåì ïàðàì èíäåêñîâ ai è b j ðàâíû íóëþ:

{b ...b

}

ψ {a11 ...aij−−11caij++11...a pq } = 0 . cb

...b

Îïóñêàÿ âñå âåðõíèå èíäåêñû ñ ïîìîùüþ òíûé ñïèíîð ðàíãà p + q :

(9.1.10)

ε ab , ïîëó÷àåì êîâàðèàí-

240

Ãëàâà äåâÿòàÿ

{b ...b }

ψ c1 ...c q a1 ...a p = ε c1b1 ...ε cq bqψ {a11 ...aqp },

(9.1.11)

{b ...b }

ïðè÷¸ì èç ñèììåòðè÷íîñòè ñïèíîðà ψ {a11 ...aqp } ïî âåðõíèì èíäåêñàì è ïî íèæíèì èíäåêñàì ñëåäóåò ñèììåòðè÷íîñòü ñïèíîðà (9.1.11) ïî âñåì èíäåêñàì

a1...a p è ïî âñåì èíäåêñàì c1...cq . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïèíîð

(9.1.11) ñèììåòðè÷åí òàêæå îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáîé ïàðû èíäåêñîâ è

ai è c j . Äåéñòâèòåëüíî, óìíîæàÿ åãî íà ε

c j ai

è ñóììèðóÿ ïî

ai

c j , ïîëó÷èì, ñîãëàñíî (9.1.7) è (9.1.10),

ε

c j ai

ψ c1 ...c j ...cq a1 ...ai ...a p = ε

c j ai

{b ...b

}

ε c1b1 ...ε c j b j ...ε c q bqψ {a11 ...aij ...a qp } = ...b

{b ...b ...b } = −ε c1b1 ...δ baji ...ε c q bqψ {a11 ...aij ...a qp } = 0.

Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñëåäû (9.1.10) ðàâíû íóëþ, òî êîâàðèàíòíûé ñïèíîð (9.1.11) ñèììåòðè÷åí ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì âñåõ èíäåêñîâ:

{b ...b }

ε c1b1 ...ε cq bqψ {a11 ...aqp } = ψ {a1 ...a p c1 ...cq } . Ñïèíîð

(9.1.12)

{b ...b }

ψ {a11 ...aqp } òàê æå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ψ {a1 ...a p c1 ...q }

{b ...b }

ψ {a11...aqp } = ε b1c1 ...ε

bq c q

ψ {a1 ...a p c1 ...cq }.

(9.1.13)

Òàêèì îáðàçîì âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU (2 ) ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû êàê êîâàðèàíòíûå ñèììåòðè÷åñêèå ñïèíîðû

ψ {a1 ...a r } , ñîîòâåòñòâóþùèå ñõåìå Þíãà, ñîñòîÿùåé èç ñòðîêè ñ r êâàäðàòàìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ §8.6 ñèììåòðè÷íûå êîâàðèàíòíûå ñïèíîðû ìîæíî ïîëó÷èòü ñèììåòðèçàöèåé ïðîèçâîëüíûõ ñïèíîðîâ ñ êîìïîíåíòàìè

ψ a1 ...a r , ÿâëÿþùèõñÿ âåêòîðàìè â ïðîñòðàíñòâå Cr , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U ñÿ ôîðìóëîé

⊗ ... ⊗ U . Òàê êàê ëþáîé âåêòîð â Cr îïðåäåëÿåòr ðàç

ø = ψ a1 ...ar e a1 ...a r , ãäå e a1 ...a r - îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â

Cr , òî ñèììåòðè÷íûå ñïèíîðû ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè â ïîäïðîñòðàíñòâå

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

241

Crs ñ áàçèñîì

∑ e) (

a1 ...a r

e{a1 ...a r } =

P a1 ...a r

,

∑ e) (

(9.1.14)

a1 ...a r

P a1 ...a r

ãäå

∑

îáîçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì èíäåêñîâ

P (a1 ...a r )

a1...ar . 9.1.2. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ãðóïïû SU (2 )  êà÷åñòâå ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû öû Ïàóëè:

SU (2 ) ìû ìîæåì âûáðàòü ìàòðè-

σ 1 ,σ 2 ,σ 3 (ñì. §6.6., ï.5)

1 0 1  , σ1 = σ 1 =  2  1 0 

1 0 − i   , σ1 = 2  i 0 

1 1 0   , 2  0 − 1

(6.6.13)

à â êà÷åñòâå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ

Ji ,

îïåðàòîðû (7.4.7), ñîâïàäàþùèå ñ îïåðàòîðàìè óãëîâîãî ìîìåíòà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì äëÿ îïåðàòîðîâ ïîëó÷åííûå â §7.4., òî åñòü äëÿ äàííîãî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé

J i èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ,

j îïåðàòîð J 3 (J z ) èìååò 2 j + 1

− j ,− j + 1,..., j − 1, j è äëÿ ëþáîãî e{a1 ...a r }

J 2e{a1 ...ar } = j ( j + 1)e{a1 ...a r } . Äëÿ áàçèñà

(9.1.15)

e a1 ...a r ìû ìîæåì òàêæå çàïèñàòü r

(J i )(a ...a )(b ...b ) = ∑ δ a b ...δ a 1

r

1

r

i =1

1 1

i −1bi −1

σ iδ ai+1bi−+ ...δ a r br .

(9.1.16)

242

Ãëàâà äåâÿòàÿ

9.1.3. Ïðèìåðû ñïèíîðîâ íèçøèõ ðàíãîâ Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñïèíîðû íèçøèõ ðàíãîâ, õàðàêòåðèçóþùèå ñîñòîÿíèÿ ñ ìîìåíòàìè 1.

j=

j=

1 è j = 1. 2

1 1 . Ñîñòîÿíèÿ ñ j = îïèñûâàþòñÿ ñïèíîðîì ψ a èëè ýê2 2

âèâàëåíòíûì åìó ñïèíîðîì

ψ a , a = 1,2 . Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà êîâàðè-

àíòíûé ñïèíîð ψ a . Áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå

C1 , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî äàí1

íîìó ïðåäñòàâëåíèþ, ñîñòîèò èç âåêòîðîâ e è ñòàâèì â âèäå ñòîëáöà ñ äâóìÿ ýëåìåíòàìè:

e 2 . Êàæäûé ñïèíîð ïðåä-

ψ  ø =  1  . ψ 2  Òîãäà

1  0 e1 =   , à e 2 =   . 0 1

(9.1.17)

Ñîãëàñíî (6.6.13) è (9.1.16), èìååì

1 1 J 3e1 = e1 , J 3e 2 = − e 2 . 2 2 Åñëè âìåñòî ψ a ìû âîçüì¸ì ψ

(9.1.18) a

= ε abψ b , òî äëÿ

e1 (ψ 1 = 1,ψ 2 = 0 ) èìååì ψ 1 = 0 , ψ 2 = 1 , à äëÿ

e 2 (ψ 1 = 0,ψ 2 = 1) èìååì ψ 1 = −1 , ψ 2 = 0 . Òàêèì îáðàçîì, ìåæäó áàçèñîì

e a â ïðîñòðàíñòâå C1 è áàçèñîì

f a â ïðîñòðàíñòâå C1 èìååò ìåñòî ñîîòâåòñòâèå e1 ↔ f 2 , e 2 ↔ −f1 .

(9.1.19)

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

243

Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ëåíèÿ ψ

a

J i êîíòðàâàðèàíòíîãî ïðåäñòàâ-

ñâÿçàíû ñ èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè

σ i ôóíäàìåí-

òàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ψ a ñîîòíîøåíèåì

J i = σ i = −(σ i ) . T

(9.1.20)

Ïîýòîìó

1 1 J 3f 2 = f 2 , J 3f1 = − f1 , 2 2

(9.1.21)

÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ (9.1.19).

2.

j = 1 . Ñîñòîÿíèÿ ñ j = 1 ìîæíî îïèñûâàòü ïðè ïîìîùè ñèììåò-

ðè÷íîãî êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà âòîðîãî ðàíãà ψ {ab} . Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå

e ab - áàçèñ

C 2 , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U ⊗ U , òîãäà

ñèììåòðè÷íûìè ñïèíîðàìè ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû ïîäïðîñòðàíñòâà áàçèñîì

e{11} = e11 , e{12} =

(

C 2s ñ

)

1 12 e + e 21 , e{22} = e 22 . 2

Ñîãëàñíî (9.1.16) èìååì

J i e ab = (σ i )a′a e a′b + (σ i )b′b e ab′ ,

(9.1.22)

è, â ÷àñòíîñòè,

J 3e {11} = e{11} , J 3e {12} = 0 , J 3e {22} = −e {22}

(9.1.23)

è ìû ìîæåì ïîëîæèòü

e + = e{11} , e 0 = e{12} , e − = e{22} . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîñòîÿíèÿ ñ

j = 1 ìîæíî îïèñûâàòü ñ ïîìîùüþ

êîíòðàâàðèàíòíîãî ñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà ψ íîðà ψ b ñ íóëåâûì ñëåäîì. a

(9.1.24)

ab

èëè ñìåøàííîãî ñïè-

244

Ãëàâà äåâÿòàÿ Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ñïèíîð ψ b . Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè (ñì. a

(8.6.10)), ÷òî ëþáîé ñïèíîð

Φ ba ðàçëàãàåòñÿ íà äâà îðòîãîíàëüíûõ ñïè-

íîðà, îäèí èç êîòîðûõ èìååò íóëåâîé ñëåä, à äðóãîé êðàòåí

δ ba :

1   1 Φ ba =  Φ ba − δ ba Φ cc  + δ ba Φ cc . 2   2 Ñîîòâåòñòâåííî, ïðîñòðàíñòâî ñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ

C1 1 ñ áàçèñîì f ba , ïðåîáðàçóþùåå-

U ⊗ U , ðàçëàãàåòñÿ íà äâà îðòîãîíàëüíûõ ïîä-

ïðîñòðàíñòâà. Ñïèíîðû, êðàòíûå

δ ba , ïðèíàäëåæàò îäíîìåðíîìó ïîä-

ïðîñòðàíñòâó ñ áàçèñîì

δ=

(

)

1 a b 1 1 2 f1 + f 2 . δ b fa = 2 2

(9.1.25)

Âòîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî, âñå âåêòîðû êîòîðîãî îðòîãîíàëüíû èìååò áàçèñ

f 21 ,

(

)

1 1 2 f1 − f 21 , f12 . 2

δ,

(9.1.26)

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî

J f =f 1 3 2

1 2,

 f11 ± f 22   = 0 , J 3f12 = −f12 J 3  2  

(9.1.27)

è ìû ìîæåì ïîëîæèòü

f + = −f

1 2,

f11 − f 22 2 f0 = , f − = f1 . 2

Åñëè ïðåäñòàâèòü ñïèíîðû â âèäå ìàòðèöû

ψ 1 ψ 12  , ø =  11 2 ψ ψ  2 2  òî ïîëó÷èì

(1.9.28)

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

 1  0 1  , f 0 =  2 f + =   0 0 0    

245

 0  0 0  , f − =   .  1  1 0  2

(9.1.29)

Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ñ áàçèñàìè (9.1.24) è (9.1.28) ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä îïèñàííûé â §7.4 çàðàíåå çíàÿ, ÷òî e - åäèíñòâåííûé êîâàðèàíòíûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà ñ J 3 = +1 , ïðèíàäëåæàùèé íåêîòîðîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Äåéñòâóÿ 11

íà ýòîò ñïèíîð èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè

J i íåñêîëüêî ðàç,

ìîæíî ïîëó÷èòü âñå îñòàëüíûå ñïèíîðû â äàííîì íåïðèâîäèìîì ïðåäñòàâëåíèè. Ñ ó÷¸òîì (7.4.8) è òîãî, ÷òî

0 1  0 0  , σ − = σ 1 − iσ 2 =   , σ + = σ 1 + iσ 2 =   0 0  1 0 ïîëó÷èì âñå ñïèíîðû (9.1.24)

(

)

J − e11 = e12 + e 21 , J − e12 + e 21 = 2e 22 . Àíàëîãè÷íî

(

)

J − f 21 = f 22 − f11 , J − f 22 − f11 = −2f12 , òî åñòü, ïîëó÷àåì âñå ñïèíîðû (9.1.28).

§9.2. Ãðóïïà SU (3) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ 9.2.1. Ãåíåðàòîðû ãðóïïû SU (3) Êàê áûëî ïîêàçàíî â ãë. VI, ï.3, ãåíåðàòîðàìè ãðóïïû ëÿþòñÿ 3 − 1 = 8 ýðìèòîâûõ âûì ñëåäîì: 2

SU (3) ÿâ-

3× 3 ìàòðèö Ãåëë-Ìàííà (6.6.24) ñ íóëå-

246

Ãëàâà äåâÿòàÿ

0 1 0  0 − i 0     λ1 =  1 0 0  , λ2 =  i 0 0  , 0 0 0  0 0 0     1 0 0 0 0 1     λ3 =  0 − 1 0  , λ 4 =  0 0 0  ,  0 0 0 1 0 0     0 0 − i 0 0 0     λ5 =  0 0 0  , λ 6 =  0 0 1  , i 0 0  0 1 0        0 0 0     λ 7 =  0 0 − i  , λ8 =  0 i 0       

1 3

0

0

1 3

0

0

 0    0 ,  2  −  3

(6.6.24)

óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèÿì (6.6.25)-(6.6.27). Âûáîð ãåíåðàòîðîâ â âèäå ìàòðèö (6.6.24) óäîáåí òåì, ÷òî ýòè ìàòðèöû àíàëîãè÷íû ìàòðèöàì Ïàóëè

σ i äëÿ ãðóïïû SU (2), è ïðè èçó÷å-

íèè ðàçëè÷íûõ ïîäãðóïï SU (2 ) ãðóïïû ïîäãðóïïàì îòíîñèòñÿ êàæäàÿ ìàòðèöà. Òàê êàê

SU (3) ñðàçó âèäíî, ê êàêèì

λ1 è λ8 êîììóòèðóþò ìû èõ â äàëüíåéøåì ñâÿæåì ñ êâàí-

òîâûìè ÷èñëàìè: çàðÿäîì è ãèïåðçàðÿäîì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

λ1 , λ2 , λ3 îáðàçóþò àëãåáðó Ëè ãðóïïû SU (2). Â äàëüíåéøåì ýòè ãåíå-

ðàòîðû ìû îòîæäåñòâèì ñ ãåíåðàòîðàìè èçîòîïè÷åñêîé ãðóïïû. Ñâÿæåì

λ3 ñ çàðÿäîì, à λ8 ñ ãèïåðçàðÿäîì. Ïðè èçó÷åíèè èçîòî-

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

247

ïè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè èíîãäà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ (ñì. (7.4.8)) ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îïåðàòîðîâ

σ1 è σ 2

σ ± = σ 1 ± iσ 2 .

(9.2.1)

Ïî àíàëîãèè ñ (9.2.1) ïîëîæèì

0  1 t + = (λ1 + iλ2 ) =  0 2 0  0  1 t − = (λ1 − iλ2 ) =  1 2 0 

1 0   0 0 , 0 0    0 0   0 0 ,   0 0  

0  1 u+ = (λ4 + iλ5 ) =  0 2 0  0  1 u− = (λ4 − iλ5 ) =  0 2 1 

0 1   0 0 , 0 0    0 0   0 0 ,   0 0  

(9.2.3)

0  1 v+ = (λ6 + iλ7 ) =  0 2 0  0  1 v− = (λ6 − iλ7 ) =  0 2 0 

0 0   0 1 , 0 0    0 0   0 0 ,   1 0  

(9.2.4)

(9.2.2)

248

Ãëàâà äåâÿòàÿ

1 0 0  1 1 h1 = t3 = t z = λ3 =  0 − 1 0 , 2 2   0 0 0

(9.2.5)

1 0 0   3 1 1  h2 = y = λ8 =  0 1 0 . 2 2 2 3   0 0 − 2

(9.2.6)

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êîììóòàòîð ëþáûõ äâóõ èç (9.2.2)-(9.2.6) ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îáùåãî ñâîéñòâà (7.2.5) èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ãðóïïû. Ìàòðèöû

t ± è t z = h1 , áóäó÷è èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè

ïîäãðóïïû SU (2 ) , óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì (7.4.9) è (7.4.11): è

[t+ , t− ] = 2t z

(9.2.7)

[hi , t ± ] = ±α it t± .

(9.2.8)

Ìîæíî òàê æå ïîêàçàòü, ÷òî

[hi , u± ] = ±α iu u± , [hi , v± ] = ±α iv v± ,

ãäå

(9.2.9) (9.2.10)

i = 1,2 , à   1  u  t α i =   , α i =  0  

1   1  −  2 , αv =  2. i 3  3    2   2 

Ïðåäñòàâèì çíà÷åíèÿ êîìïîíåíòàìè

(9.2.11)

± α it , ± α iu , ± α iv äâóìåðíûìè âåêòîðàìè ñ

± α1t , ± α1u , ± α1v íà îñè Ox è êîìïîíåíòàìè ± α 2t ,

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

249

± α 2u , ± α 2v íà îñè Oy ñîîòâåòñòâåííî, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìóþ êîðíåâóþ äèàãðàììó ãðóïïû SU (3) , à âåêòîðû ñ äàííûìè êîìïîíåíòàìè íàçîâ¸ì êîðíÿìè (Ðèñ. 9.2.1).

av

-at

au

at

0

-au

-av Ðèñ. 9.2.1.

9.2.2. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU (3) Äëÿ ïîñòðîåíèÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû SU (3) âîñïîëüçóåìñÿ òåîðèåé èçëîæåííîé â ãë.VIII. Îáîçíà÷èì ñïèíîðíûå èíäåêñû ÷åðåç α , β ,... . Ïîñêîëüêó êàæäûé èíäåêñ ïðèíèìàåò ëèøü òðè çíà÷åíèÿ, òî íå ñóùåñòâóåò ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà ðàíãà áîëüøå 3. Ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûå ñïèíîðû òðåòüåãî ðàíãà è

ε αβγ

ε αβγ ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè. Âûáåðåì ýòè ñïèíîðû òàê, ÷òîáû

ε 123 = ε 123 = 1 . Ïðè ïîìîùè ýòèõ ñïèíîðîâ ìîæíî ïðåâðàùàòü êàæäóþ ïàðó àíòèñèììåòðè÷íûõ âåðõíèõ èíäåêñîâ â íèæíèé è íàîáîðîò:

250

Ãëàâà äåâÿòàÿ

ψ α = ε αβγψ [βγ ] = ε αβγ ψ [βγ ] .

(9.2.12)

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU (3) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñïèíîðû, ñèììåòðè÷íûå ïî âñåì âåðõíèì èíäåêñàì è ïî âñåì íèæíèì èíäåêñàì è èìåþùèå íóëåâûå ñëåäû. Íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ñïèíîðó ñ p âåðõíèìè è

q íèæíèìè ñèììåòðè÷íûìè èíäåêñàìè, îáîçíà÷èì D(q, p ) .

D(q,0) ñîîòâåòñòâóåò êîâàðèàíòíîìó ñïèíîðó ðàíãà q , à D(0, p )êîíòðàâàðèàíòíîìó ñïèíîðó ðàíãà p .

Òàê,

Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ðàíãà q . Åñëè êàæäûé èíäåêñ ïðèíèìàë áû òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ, òî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò ýòîãî ñïèíîðà áûëî áû ðàâíî ýòî èìååò ìåñòî äëÿ ãðóïïû

q + 1 , êàê

SU (2 ).  äàííîì ñëó÷àå êàæäûé èíäåêñ

ïðèíèìàåò òðè çíà÷åíèÿ. Ðàññìîòðèì êîìïîíåíòû, äëÿ êîòîðûõ

q′ èí-

äåêñîâ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1 è 2, à

q − q ′ îñòàëüíûõ èíäåêñî⠖ çíà÷å-

íèÿ 3. ×èñëî òàêèõ êîìïîíåíò ðàâíî

q′ + 1 . Òàê êàê q′ ìåíÿåòñÿ îò íóëÿ

äî

q , òî ÷èñëî âñåõ êîìïîíåíò ñèììåòðè÷íîãî êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ðàíãà q ðàâíî q

N (q,0) = ∑ (q′ + 1) = q′=0

1 (q + 1)(q + 2) . 2

Àíàëîãè÷íî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò ñèììåòðè÷íîãî êîíòðàâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ðàíãà p ðàâíî

N (0, p ) =

1 ( p + 1)( p + 2). 2

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñìåøàííûé ñïèíîð ðàíãà p + q , ðèàíòíûé è

q ðàç êîâà-

β ... β

p ðàç êîíòðàâàðèàíòíûé, ψ α11...α qp .

×èñëî êîìïîíåíò òàêîãî ñìåøàííîãî ñïèíîðà áûëî áû ðàâíî

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

N (q,0 )N (0, p ) =

251

1 (q + 1)(q + 2)( p + 1)( p + 2) , 4

β ...γ ... β

åñëè âñå ñëåäû ψ α11...γ ...α qp áûëè áû ïðîèçâîëüíûìè. Òàê êàê ÷èñëî òàêèõ ñëåäîâ ðàâíî ÷èñëó êîìïîíåíò ñìåøàííîãî ñïèíîðà ðàíãà

p+q−2,

q − 1 ðàç êîâàðèàíòíîãî è p − 1 ðàç êîíòðàâàðèàíòíîãî, òî åñòü ðàâíî N (q − 1,0 )N (0, p − 1) =

1 q(q + 1) p ( p + 1) , 4 òî äëÿ íåïðèâîäèìîãî ñïèíîðà ðàíãà p + q , âñå ñëåäû êîòîðîãî ðàâíû íóëþ, ïîëó÷èì

1 q(q + 1) p ( p + 1) 4 óñëîâèé. Èòàê, ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò íåïðèâîäèìîãî ñìåøàííîãî ñïèíîðà q ðàç êîâàðèàíòíîãî è p ðàç êîíòðàâàðèàíòíîãî, ðàâíî

N (q, p ) =

1 (q + 1)(q + 2)( p + 1)( p + 2) − 4 1 1 − q(q + 1) p ( p + 1) = ( p + 1)(q + 1)( p + q + 2 ). 4 2 Íàïðèìåð.

N (1,0) =

1 ⋅1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 3 , 2

N (0,1) =

1 ⋅ 2 ⋅1⋅ 3 = 3 , 2

N (1,1) =

1 ⋅2⋅2⋅4 = 8, 2

N (3,0) =

1 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 5 = 10 , 2

(9.2.13)

252

Ãëàâà äåâÿòàÿ

N (0,3) =

1 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 10 , 2

N (2,2 ) =

1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 6 = 27 . 2

Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ïðåäñòàâëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ãåíåðàòîðàì

t± , u± , v± è hi , îáîçíà÷èì ÷åðåç T± ,U ± ,V± è H i ñîîòâåò-

ñòâåííî, à èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ãåíåðàòîðàì

λi ÷åðåç Λ i . Äëÿ êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ïåðâîãî ðàíãà

(Λ i )αβ = (λi )αβ , à äëÿ êîíòðàâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ïåðâîãî ðàíãà

(Λ i )αβ = (λi )αβ

( )

= − λTi

Åñëè â ïðîñòðàíñòâå

αβ

= −(λi )βα .

Cqp , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ

U ⊗ ... ⊗ U ⊗ U ⊗ ... ⊗ U , q ðàç

p ðàç

α ...α

âûáåðåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ e β11 ...βqp , òî äåéñòâèå èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà

Λ i íà ýòè âåêòîðû âûðàçèòñÿ ôîðìóëîé q

Λ i e β11 ...βqp = ∑ (λi )α rα r′ e β11 ...βrp−1 α ...α

α ...α

α r′α r +1 ...α q

−

r =1 p

( )

− ∑ λTi r =1

(9.2.14)

β r β r′

Òàê êàê ãåíåðàòîðû

α1 ...α q β1 ...β r −1β r′ β r +1 ... β p

e

.

hi äèàãîíàëüíû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì èí-

ôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû

H i òàêæå áóäóò äèàãîíàëüíû. Îáîçíà÷èì

÷èñëà êîâàðèàíòíûõ èíäåêñîâ, ðàâíûõ 1,2 è 3 ÷åðåç

q (1) , q (2 ) è q (3)

ñîîòâåòñòâåííî, à ÷èñëà êîíòðàâàðèàíòíûõ èíäåêñîâ -

p(1) , p(2 ) è

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

253

p(3) . Òîãäà èç ôîðìóëû (9.2.14) è êîíêðåòíîãî âèäà ìàòðèö λi (6.6.24) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî áàçèñíûé âåêòîð ñ çàäàííûìè ÷èñëàìè èíäåêñîâ, ðàâíûõ 1,2 è 3, ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì îïåðàòîðîâ

Hi :

1 α ...α 1  α ...α H1e β11...βqp =  [q(1) − p(1)] − [q(2 ) − p (2 )]e β11...βqp , 2 2  1

α ...α

H 2e β11 ...βqp = {

[q(1) − p(1)]+

1

2 3 2 3 1 [q(3) − p(3)]}eαβ11......αβqp . − 3

(9.2.15)

[q(2) − p(2)]− (9.2.16)

Àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò ìåñòî äëÿ êàíîíè÷åñêîãî áàçèñà íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ

Hi

áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê êîìïîíåíòû äâóìåðíûõ âåêòîðîâ, íàçûâàåìûõ âåñàìè. Èçîáðàæàÿ ýòè âåêòîðû íà ãðàôèêàõ, ìû ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìûå âåñîâûå äèàãðàììû. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðèâîäèìî è ðàçëàãàåòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Íàïðèìåð, ëþáîé ïðîèçâîëüíûé ñìåøàííûé ñïèíîð âèäà ïî ïðåäñòàâëåíèþ

ψ αβ ïðåîáðàçóþùèéñÿ

3× 3 , ðàçëàãàåòñÿ íà ñóììó èíâàðèàíòíîãî ñïèíîðà,

ïðîïîðöèîíàëüíîãî

δ αβ è íåïðèâîäèìîãî ñïèíîðà ñ íóëåâûì ñëåäîì

(8.6.10):

1 1  ψ αβ = δ αβψ γγ + ψ αβ − δ αβψ γγ 3 3 

 . 

Òàêèì îáðàçîì, èëè

3 ⊗ 3 = 1⊕ 8 , D(1,0) ⊗ D(0,1) = D(0,0) ⊕ D(1,1) .

Åñëè äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåïðèâîäèìûõ ñïèíîðîâ èç ïðîèçâîëüíîãî ñìåøàííîãî ñïèíîðà âòîðîãî ðàíãà ñëåäóåò âû÷åñòü ñëåä, òî äëÿ ïîëó÷å-

254

Ãëàâà äåâÿòàÿ

íèÿ íåïðèâîäèìûõ ñïèíîðîâ èç ïðîèçâîëüíîãî êîâàðèàíòíîãî èëè êîíòðàâàðèàíòíîãî ñïèíîðà íåîáõîäèìî ñèììåòðèçîâàòü èëè àíòèñèììåòðèçîâàòü èíäåêñû:

ψ αβ = ψ {αβ } + ψ [αβ ] =

1 {ψ αβ + ψ βα }+ 1 {ψ αβ − ψ βα }. 2 2

Àíòèñèììåòðè÷íûé êîâàðèàíòíûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà ýêâèâàëåíòåí (ñì. (9.2.12)) êîíòðàâàðèàíòíîìó ñïèíîðó ïåðâîãî ðàíãà, ïîýòîìó ìîæíî ïîëó÷èòü çàêîí óìíîæåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé èëè

3⊗3 = 6⊕ 3, D(1,0 ) ⊗ D(0,1) = D(2,0) ⊕ D(0,1) . Àíàëîãè÷íî

èëè

3⊗ 3 = 6 ⊕3, D(0,1) ⊗ D(0,1) = D(0,2 ) ⊕ D(1,0) .

Ïðèâåä¸ì äëÿ ñïðàâêè íåñêîëüêî ôîðìóë, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü òàêèì æå ìåòîäîì: èëè

èëè

èëè

èëè

6 ⊗ 3 = 8 ⊕ 10 ,

D(2,0) ⊗ D(1,0) = D(1,1) ⊕ D(3,0 ); 6 ⊗ 3 = 8 ⊕ 10 , D(0,2) ⊗ D(0,1) = D(1,1) ⊕ D(0,3);

6 ⊗ 6 = 1 ⊕ 8 ⊕ 27 , D(2,0) ⊗ D(0,2 ) = D(0,0) ⊕ D(1,1) ⊕ D(2,2) ; 8 ⊗ 8 = 1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10 ⊕ 10 ⊕ 27 , D(1,1) ⊗ D(1,1) = D(0,0) ⊕ D(1,1) ⊕ D(1,1) ⊕ D(3,0) ⊕ ⊕ D(0,3) ⊕ D(2,2);

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

èëè

255

10 ⊗ 10 = 1 ⊕ 8 ⊕ 27 ⊕ 64 , D(3,0) ⊗ D(0,3) = D(0,0) ⊕ D(1,1) ⊕ D(2,2 ) ⊕ D(3,3).

9.2.3 Ñïèíîðû íèçøèõ ðàíãîâ Ðàññìîòðèì ïîäðîáíî íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, êîòîðûå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ. Òð¸õìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî

C1 ñ áàçèñîì e a , a = 1,2,3 ,

ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ D (1,0 ) . Âåêòîðû â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿþòñÿ êîâàðèàíòíûìè ñïèíîðàìè ïåðâîãî ðàíãà ñ êîìïîíåíòàìè ψ a . Êàæäûé áàçèñíûé âåêòîð ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó âåñó. Ïðåäñòàâèì ýòè âåêòîðû íà âåñîâîé äèàãðàììå (Ðèñ. 9.2.2).

h2 1 e2

−

2 3

1 2

1 2

e3 − Èç äèàãðàììû ñëåäóåò, ÷òî

e1

1 3

h1

Ðèñ. 9.2.2.

256

Ãëàâà äåâÿòàÿ

 1  H  1 1  2  1 e ;  e =  1 H    2   2 3  1 −  H1  2  2  2 e ;  e =   1   H2    2 3

(9.2.17)

 H1  3  0  3  e = − 1 e .    H2  3  Àíàëîãè÷íî äëÿ êîíòðàãðåäèåíòíîãî ê ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ – êîíòðàâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ïåðâîãî ðàíãà èìååì âåñîâóþ äèàãðàììó (Ðèñ. 9.2.3).

h2 1 e3 3

−

1 2 e1

-

1 2 3

1 2

h1

e2

Ðèñ. 9.2.3.

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

257

Îòêóäà

1   −   H  1 2  e1 ;  e1 = 1 H    2  −  2 3  1     H1   e 2 =  2 e 2 ; − 1   H2     2 3

(9.2.18)

 0   H1   e3 =  1 e 3 .    H2   3 Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðåäñòàâëåíèå

D(2,0) . Êàíîíè÷åñêèé áàçèñ

ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ èç áàçèñà ïóò¸ì ñèììåòðèçàöèè èíäåêñîâ

eαβ =

eαβ + e βα . eαβ + e βα

 èñõîäíîì áàçèñå

íèÿ

eαβ ïðåäñòàâëåíèÿ U ⊗ U

eαβ øåñòü áàçèñíûõ âåêòîðîâ e{αβ } ïðåäñòàâëå-

D(2,0 ) èìåþò ñëåäóþùèå íåíóëåâûå êîìïîíåíòû: f 1 = e{11} :

ψ 11 = 1 ;

f 2 = e{12} :

ψ 12 = ψ 21 =

f 3 = e{22} :

ψ 22 = 1 ;

f 4 = e{13} :

ψ 13 = ψ 31 =

1 ; 2

1 ; 2

(9.2.19)

258

Ãëàâà äåâÿòàÿ

f 5 = e{23} :

ψ 23 = ψ 32 =

f 6 = e{33} :

ψ 33 = 1 .

1 ; 2

Èç (9.2.15) è (9.2.16) âèäíî, êàêèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì îïåðàòîðîâ

H i ñîîòâåòñòâóþò ýòè âåêòîðû è ìû ìîæåì ñîñòàâèòü âåñîâóþ

äèàãðàììó (Ðèñ. 9.2.4).

h2

f

f3

2

1 3

f1

0

−1

−

1 2

1 2 f5

1 h1

f4 f6 − 2 3

Ðèñ. 9.2.4.

Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ D(0,2 ) äîñòàòî÷íî çàìåíèòü íèæíèå èíäåêñû íà âåðõíèå è îáðàòíî è ïîìåíÿòü çíàêè âåñîâ âñåõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ. Ðàññìîòðèì íàêîíåö ïðåäñòàâëåíèå

D(1,1) , ïî êîòîðîìó ïðåîáðàα

α

çóåòñÿ ñìåøàííûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà ψ β ñ íóëåâûì ñëåäîì ψ α Êàê èçâåñòíî, ïðîèçâîëüíûé ñìåøàííûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà

=0.

Φαβ ðàç-

ëàãàåòñÿ íà ñóììó ñïèíîðà ñ íóëåâûì ñëåäîì è èíâàðèàíòíîãî ñïèíîðà, ïðîïîðöèîíàëüíîãî

δ βα :

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

1  Φαβ =  Φαβ − δ βα Φ γγ 3 

259

 1 α γ  + δ β Φγ .  3 C1 1 ñ áàçèñîì eαβ , ïðåîáðàçóþ-

Ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî ùååñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ

U ⊗ U , ðàçëàãàåòñÿ íà äâà îðòîãîíàëüíûõ

ïîäïðîñòðàíñòâà. Èíâàðèàíòíûé ñïèíîð

δ βα ïðèíàäëåæèò îäíîìåðíî-

ìó ïðåäñòàâëåíèþ ñ áàçèñîì

(

)

1 1 2 1 α α e1 + e 2 + e33 = δ β eβ . 3 3

δ=

 èñõîäíîì áàçèñå ýòîò âåêòîð èìååò ñëåäóþùèå íåíóëåâûå êîìïîíåíòû:

ψ 11 = ψ 22 = ψ 33 =

1 . 3

(9.2.20)

Áàçèñíûå âåêòîðû âî âòîðîì ïîäïðîñòðàíñòâå, ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ

D(1,1) , îðòîãîíàëüíû âåêòîðó (9.2.20). Ýòîìó óñëî-

âèþ óäîâëåòâîðÿþò øåñòü áàçèñíûõ âåêòîðîâ

eαβ ñ α ≠ β . Äâà îñòàëü-

íûõ èìåþò âèä ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ

e11 , e 22 è e33 . Ýòè êîì-

áèíàöèè íàäî âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè áûëè îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó. Ýòèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèå êîìáèíàöèè:

(

(

)

)

1 1 2 1 1 2 e1 − e 2 ; e1 + e 2 − 2e33 . 2 6 Òàêèì îáðàçîì, áàçèñû â ïðîñòðàíñòâå

D(1,1) ìîæíî âûáðàòü â

âèäå

e12 ,

(

)

(

)

1 1 2 1 1 2 e1 − e 2 , e12 , e13 , e 32 , e13 , e 32 , e1 + e 2 − 2e33 . 2 6

 èñõîäíîì áàçèñå ýòè âåêòîðû èìåþò ñëåäóþùèå íåíóëåâûå êîìïîíåíòû:

f 1 = e12 :

ψ 12 = 1 ;

260

Ãëàâà äåâÿòàÿ

f2=

(

)

1 1 2 e1 − e 2 : 2

f 3 = e12 :

ψ 12 = 1 ;

f 4 = e13 :

ψ 13 = 1 ;

f 5 = e32 :

ψ 23 = 1 ;

f 6 = e13 :

ψ 31 = 1 ;

f 7 = e 32 :

ψ 32 = 1 ;

f8 =

(

ψ 11 =

1 1 ; , ψ 22 = − 2 2

(9.2.21)

)

1 1 2 1 2 e1 + e 2 − 2e 33 : ψ 11 = ψ 22 = , ψ 33 = − . 6 6 6

Íà îñíîâàíèè (9.2.15) è (9.2.16) ìîæíî íàéòè âåñà ýòèõ âåêòîðîâ è ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùóþ âåñîâóþ äèàãðàììó.

9.2.4. Ïîäãðóïïû SU (2 ) Ãðóïïà SU (3) ñîäåðæèò òðè ðàçëè÷íûå ïîäãðóïïû SU (2 ), êàæäàÿ èõ êîòîðûõ îñòàâëÿåò èíâàðèàíòíûì îäèí èç òð¸õ áàçèñíûõ âåêòîðîâ òð¸õìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì äåéñòâóþò âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðóïïû

SU (3) .

Ãåíåðàòîðàìè îäíîé èç òàêèõ ïîäãðóïï ìîãóò áûòü

t ± è t3 = t z .

Ýòó ïîäãðóïïó ìû áóäåì íàçûâàòü T -ïîäãðóïïîé. Äðóãèìè ïîäãðóïïàìè

SU (2 ) áóäóò ïîäãðóïïû ñ ãåíåðàòîðàìè

(

)

u ± , u3 =

1 λ3 + 3λ8 4

v± , v3 =

1 − λ3 + 3λ8 , 4

(9.2.22)

è

(

)

(9.2.23)

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

261

êîòîðûå ìû áóäåì íàçûâàòü U - è V - ïîäãðóïïàìè ñîîòâåòñòâåííî.

Êàæäîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû SU (3) ñîäåðæèò ðàçëè÷íûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîé èç ýòèõ ïîäãðóïï, ïðè÷¸ì íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîé ïîäãðóïïû íå ñîâïàäàþò ñ íåïðèâîäèìûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè äðóãèõ ïîäãðóïï.

1 λ8 êîììóòèðóåò ñî âñåìè ãåíåðàòîðàìè T -ïîä2 ãðóïïû è, òàêèì îáðàçîì, â êàæäîì íåïðèâîäèìîì ïðåäñòàâëåíèè T Ãåíåðàòîð

h2 =

1 λ8 , â ñîîòâåòñòâèè ñ 2 ïåðâîé ëåììîé Øóðà êðàòåí åäèíèöå. Âñå ñîñòîÿíèÿ îäíîãî T -ìóëüòèïîäãðóïïû èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð

H2 =

ïëåòà ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ îïåðàòîðà

H 2 èëè îïåðàòîðà Yt =

2 1 H2 = Λ8 . 3 3

(9.2.24)

Àíàëîãè÷íî îïåðàòîð

Y u = H1 −

1 1 1 H 2 = Λ3 − Λ8 2 3 2 3

(9.2.25)

êîììóòèðóåò ñ ãåíåðàòîðàìè U -ïîäãðóïïû, à îïåðàòîð

  1 1 1 Y v = − H1 + H 2  = − Λ3 − Λ8 2 3 2 3  

(9.2.26)

êîììóòèðóåò ñ ãåíåðàòîðàìè V -ïîäãðóïïû. Äëÿ êàæäîãî íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ U -ïîäãðóïïû (èëè V u

v

ïîäãðóïïû) Y (èëè Y ) èìååò âïîëíå îïðåäåë¸ííîå çíà÷åíèå. Ðàññìîòðèì ðàñùåïëåíèå íåêîòîðûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû

SU (3) íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ å¸ ïîäãðóïï SU (2 ).

Íà÷í¸ì ñ ôóíäàìåíòàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñ áàçèñàìè

e 3 . Òàê êàê t ± è t3 äåéñòâóþò òîëüêî íà e1 è e 2 :

e1 , e 2 è

262

Ãëàâà äåâÿòàÿ

1 t − e1 = e 2 ; t + e 2 = e1 ; t3e1 = e1 ; t3e 2 = − e 2 ; t ± e 3 = t3e 3 = 0 , 2 òî

e1 è e 2 îáðàçóþò íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå T - ïîäãðóïïû. Ýòî –

ôóíäàìåíòàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû SU (2 ). Âåêòîð e ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì îäíîìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ìû ìîæåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðåäñòàâ3

ëåíèå

D(1,0 ) ðàñùåïëÿåòñÿ íà T - ñïèíîð (ñ T - ñïèíîì

1 ) ñ áàçèñàìè 2

e1 è e 2 è T - ñêàëÿð e 3 (ñ T – ñïèíîì 0). Àíàëîãè÷íî îíî ðàñùåïëÿåòñÿ íà U - ñïèíîð (ñ U - ñïèíîì

1 1 3 2 ) ñ áàçèñàìè e è e è U - ñêàëÿð e (ñ 2

U - ñïèíîì 0) è V - ñïèíîð (ñ V - ñïèíîì

1 2 3 ) ñ áàçèñàìè e è e è V 2

1

ñêàëÿð e (ñ V ñïèíîì 0). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

1 1 2 Y t e1 = e1 , Y t e 2 = e 2 , Y t e3 = − e 3 ; 3 3 3 1 1 2 Y u e1 = e1 , Y u e 3 = e 3 , Y u e 2 = − e 2 ; 3 3 3

(9.2.27)

1 1 2 Y v e 2 = e 2 , Y v e 3 = e 3 , Y v e1 = − e1 . 3 3 3 Çàìåíÿÿ çíàêè â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (9.2.27), ìû ïîëó÷èì ðàñùåïëåíèå â

D(0,1) .

Ðàññìîòðèì ðàñùåïëåíèå âûñøåãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî ìåòîäà. Âûáåðåì êàêîé-íèáóäü áàçèñíûé âåêòîð, êîòîðûé ïðèíàäëåæèò îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ íåêîòîðîé ïîäãðóïïû. Òàê êàê èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ýòîé ïîäãðóïïû ïåðåâîäÿò ýòîò âåêòîð â îñòàëüíûå áàçèñíûå âåêòîðû äàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ èëè èõ êîìáèíàöèè, òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ áàçèñà ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äîñòàòî÷íî ïîäåéñòâîâàòü íà âûáðàííûé âåêòîð âñåìè èíôèíèòåçèìàëü-

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)

263

íûìè îïåðàòîðàìè ðàññìàòðèâàåìîé ïîäãðóïïû. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòîò ìåòîä íà ïðèìåðå ïðåäñòàâëåíèÿ

D(1,1) .

Ðàññìîòðèì âåêòîð e 2 , ñîîòâåòñòâóþùèé çíà÷åíèÿì T3 = 1 è Y = 0 . Åñëè ýòîò âåêòîð íå ïðèíàäëåæèò îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ, òî îí èìååò âèä ñóììû äâóõ èëè íåñêîëüêèõ âåêòîðîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ðàçëè÷íûì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì. Âñå ïîñëå1

t

äíèå âåêòîðû äîëæíû áûòü ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè îïåðàòîðîâ

T3 è

Y t ñ îäíèìè è òåìè æå ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè â ñèëó óñëîâèé T3e12 = e12 è Y t e12 = 0 . Îäíàêî, e12 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì âåêòîðîì ñî çíà÷åíèÿìè T3 = 1 è Y = 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, îí äîëæåí ïðèíàäëåæàòü îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Äåéñòâóÿ íà ýòîò âåêt

òîð îïåðàòîðàìè

T± è T3 ìû ïîëó÷èì áàçèñ ïðåäñòàâëåíèÿ ñ T3 = 1 è

Yt = 0 e12 ,

(

)

1 1 e 2 − e 22 , e12 . 2

Àíàëîãè÷íî èç

(9.2.28)

e13 ïîëó÷àåì T - ñïèíîð ñ T =

e13 , e 32 , à èç

1 t è Y =1 2 (9.2.29)

e13 - äðóãîé T - ñïèíîð T=

1 3 3 t è Y = −1 : e 2 , e1 . 2

(9.2.30)

Ïîñëåäíèé âåêòîð â âûðàæåíèè (9.2.21)

T =0 è Yt =0:

1 1 2 (e1 + e2 − 2e33 ). 6

Àíàëîãè÷íî ïðåäñòàâëåíèå ìóëüòèïëåòû:

(9.2.31)

D(1,1) ðàñùåïëÿåòñÿ íà U - èëè V -

264

Ãëàâà äåâÿòàÿ

1 1 3 3 (e1 − e3 ), e2 , 2  1 1 3  u U = , Y = 1 : e2 , e2 ,  2  1 2 2 u  U = , Y = −1 : e 3 , e1 ,  2  1 1 3 (e1 + e3 − 2e22 ); U = 0, Y u = 0 : 6 

(9.2.31)

1 2 3 3 (e2 − e3 ), e2 , 2  1 2 3  v V = , Y = 1 : e1 , e1 ,  2  1 1 1 v  V = , Y = −1 : e 3 , e 2 ,  2  1 2 3 (e2 + e3 − 2e11 ).  V = 0, Y v = 0 : 6 

(9.2.32)

U = 1, Y u = 0 : e13 ,

V = 1, Y v = 0 : e 32 ,

 ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèììåòðèè òðåáóþùèå èñïîëüçîâàíèÿ ãðóïï

SU (4 ) è SU (6) . Ìû æå îãðàíè÷èìñÿ ðàñ-

ñìîòðåíèåì ãðóïï SU (2 ) è SU (3) â íàäåæäå íà òî, ÷òî ÷èòàòåëü, ïðîÿâèâ îïðåäåë¸ííîå óïîðñòâî è áëàãîïîëó÷íî äîáðàâøèéñÿ äî êîíöà äàííîãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ â ñîñòîÿíèè ñàìîñòîÿòåëüíî ðàçîáðàòüñÿ â âîïðîñàõ ïîñòðîåíèÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï

SU (4 ) è SU (6) .

265

Ëèòåðàòóðà 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

Àêèâèñ Ì.À., Ãîëüäáåðã Â.Â. Òåíçîðíîå èñ÷èñëåíèå. - Ì.: Íàóêà, 1972. Àðòèí Ý., Ãåîìåòðè÷åñêàÿ àëãåáðà. – Ì.: Íàóêà, 1969. Àðõàíãåëüñêèé. Êîíå÷íîìåðíûå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà. – Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1982. Áàðóò À., Ðîí÷êà Ð. Òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï è å¸ ïðèëîæåíèÿ, ò. I-II – Ì.: Ìèð, 1980. Áåêëåìèøåâà Ë.À., Ïåòðîâè÷ À.Þ., ×óáàðîâ È.À., Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå. – Ì.: Íàóêà, 1987. Áóäàê Á.Ì., Ôîìèí Ñ.Â. Êðàòíûå èíòåãðàëû è ðÿäû. – Ì.: Íàóêà, 1967. Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. - Ì.: ÃÈ ÔÌË, 1954. Ãåëüôàíä È.Ì. Ëåêöèè ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. – Ì.: Íàóêà, 1966. Ãåëüôàíä È.Ì., Ìèíëîñ Ð.À., Øàïèðî Ç.ß. Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû âðàùåíèÿ è ãðóïïû Ëîðåíöà. – Ì.: Ôèçìàòãèç, 1958. Ãîëîâèíà Ë.È. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è íåêîòîðûå å¸ ïðèëîæåíèÿ. – Ì.: íàóêà, 1975. Åôèìîâ Í.Â., Ðîçåíäîðí Ý.Ð. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ìíîãîìåðíàÿ ãåîìåòðèÿ. - Ì.: Íàóêà, 1970. Æåëîáåíêî Ä.Ï. Êîìïàêòíûå ãðóïïû Ëè è èõ ïðåäñòàâëåíèÿ. – Ì.: Íàóêà, 1970. Æåëîáåíêî Ä.Ï., Øòåðí À.È. Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï Ëè. – Ì.: Íàóêà, 1983. Çàäà÷íèê ïðàêòèêóì ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è âûñøåé àëãåáðå. Ïîä ðåä. Â.À. Âîëêîâà. – Ë.: Èçäàòåëüñòâî Ëåíèíãðàäñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1986. Èëüèí Â.À., Ïîçíÿê Ý.Ã. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. – Ì.: Íàóêà, 1974. Êàðãàïîëîâ Ì.È., Ìåðçëÿêîâ Þ.È. Îñíîâû òåîðèè ãðóïï. - Ì.: Íàóêà, 1972. Êèðèëëîâ À.À. Ýëåìåíòû òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé. – Ì.: Íàóêà, 1978. Êëåéí Ô. Ýëåìåíòàðíàÿ ìàòåìàòèêà ñ òî÷êè çðåíèÿ âûñøåé, ò. II. Ãåîìåòðèÿ. – Ì.: Íàóêà, 1987.

266 19. Êîñòðèêèí À.È. Ââåäåíèå â àëãåáðó. – Ì.: Íàóêà, 1977. 20. Êîñòðèêèí À.È., Ìàíèí Þ.È. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ. – Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1980. 21. Êðóòèöêàÿ Í.×., Øèøêèí À.À. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà â âîïðîñàõ è çàäà÷àõ. – Ì.: Âûñø.øê., 1985. 22. Êóðîø À.Ã. Ëåêöèè ïî îáùåé àëãåáðå. – Ì.: Íàóêà, 1973. 23. Êóðîø À.Ã. Òåîðèÿ ãðóïï. – Ì.: ÃÈ ÒÒË, 1953. 24. Êýðòèñ È. Ðàéíåð È., Òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íûõ ãðóïï è àññîöèàòèâíûõ àëãåáð. – Ì.: Íàóêà, 1969. 25. Ëåôîð Ã., Àëãåáðà è àíàëèç. Çàäà÷è. – Ì.: Íàóêà, 1973. 26. Ëþáàðñêèé Ã.À. Òåîðèÿ ãðóïï è å¸ ïðèìåíåíèå â ôèçèêå. – Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1957. 27. Íãóåí Âàí Õüåó. Ëåêöèè ïî òåîðèè óíèòàðíîé ñèììåòðèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. – Ì.: Àòîìèçäàò, 1967. 28. Íå÷àåâ Â.À. Çàäà÷íèê ïðàêòèêóì ïî àëãåáðå. – Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1983. 29. Ïèçî Ø., Çàìàíñêèé Ì. Êóðñ ìàòåìàòèêè. Àëãåáðà è àíàëèç. - Ì.: Íàóêà, 1971. 30. Ïîíòðÿãèí À.Ñ. Íåïðåðûâíûå ãðóïïû. – Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1954. 31. Ïîñòíèêîâ Ì.Ì. Ãðóïïû Ëè è àëãåáðû Ëè. – Ì.: Íàóêà, 1982. 32. Ïðîñêóðÿêîâ È.Â. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. – Ì.: Íàóêà, 1974. 33. Ðóìåð Þ.Á., Ôåò À.È. Òåîðèÿ óíèòàðíîé ñèììåòðèè. - Ì.: Íàóêà, 1970. 34. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àëãåáðå. / Ïîä ðåä. À.È.Êîñòðèêèíà. – Ì.: Íàóêà, 1987. 35. Ñìèðíîâ Â.È. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè, ò. III, ÷. I – Ì.: Íàóêà, 1967. 36. Ñîêîëüíèêîâ È.Ñ. Òåíçîðíûé àíàëèç. – Ì.: Íàóêà, 1971. 37. Ôàääååâ Ä.Ê., Ñîìèíñêèé È.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé àëãåáðå. – Ì.: Íàóêà, 1972. 38. Ôåëèêñ Ë., Ýëåìåíòàðíàÿ ìàòåìàòèêà â ñîâðåìåííîì èçëîæåíèè. – Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1967. 39. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç, (ñåðèÿ “Ñïðàâî÷íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèáëèîòåêà”), / ïîä ðåäàêöèåé Ñ.Ã. Êðåéíà. – Ì.: Íàóêà, 1972. 40. ×åáîòàð¸â Í.Ã. Òåîðèÿ ãðóïï Ëè. – Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1950. 41. Ýëëèîò Äæ., Äîáåð Ï. Ñèììåòðèÿ â ôèçèêå, ò. I-II - Ì.: Ìèð, 1983.

267

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü À Àáåëåâà ãðóïïà 94, 143 Àâòîìîðôèçì ãðóïï 101 Àëãåáðà êîììóòàòîðíàÿ 157 — Ëè 157, 160, 178, 184, 246 Àëãîðèòì Ãðàììà-Øìèäòà 27 Àíòèèçîìîðôèçì 34, 50, 54 Àíòèêîììóòàòèâíîñòü 159 Àíòèýðìèòîâ îïåðàòîð 158 Àññîöèàòèâíîñòü 11

Á Áàçèñ 17, 18, 26, 32, 52, 57, 82, 96, 117, 172 Áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî 22 Áåññëåäíûé îïåðàòîð 63 Áèëèíåéíàÿ ôîðìà 25, 41, 76

 Âàëåíòíîñòü òåíçîðà 76 Âåêîâîå óðàâíåíèå 62 Âåêòîð 15, 23 — èçîòðîïíûé 26 — èíâàðèàíòíûé 21 — êîâàðèàíòíûé 51 — êîíòðàâàðèàíòíûé 51 Âåñ âåêòîðà 202 Âåñîâàÿ ôóíêöèÿ 186 Âèåòà òåîðåìà 63

à Ãåíåðàòîðû 160 — ãðóïïû 223

Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî 35, 217 Ãîìîìîðôèçì ãðóïï 101 Ãðàäèåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ 112 Ãðàììà-Øìèäòà àëãîðèòì 27 Ãðóïïà àáåëåâà 94 — áåñêîíå÷íàÿ 98 — êîììóòàòèâíàÿ 94 — êîíå÷íàÿ 98 — Ëè 93, 98, 110, 178, 219 — Ëîðåíöà 99 — Ëîðåíöà îäíîðîäíàÿ 109 — íåïðåðûâíàÿ 98 — îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ 188 — îïåðàòîðîâ 96 — îðòîãîíàëüíàÿ 112 — ïîâîðîòîâ 99 — Ïóàíêàðå 109 — òîïîëîãè÷åñêàÿ 98 — óíèòàðíàÿ 111

Ä Äèàãîíàëèçèðóþùèé îïåðàòîð 60 Äèðàê 51 Äèñêðåòíûå ãðóïïû 97 Äóàëüíàÿ ñèììåòðèÿ 52 Äóàëüíîå ïðîñòðàíñòâî 78 Äóàëüíûå áàçèñû 54 — îïåðàòîðû 55 — ïðîñòðàíñòâà 49

Å Åäèíè÷íûé îïåðàòîð 81

268

È

Ë

Èçîìîðôèçì 33, 159 — ãðóïï 101 — ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ 22 Èçîòðîïíûé âåêòîð 26 Èíâàðèàíòíûé âåêòîð 21 — èíòåãðàë 100 — îïåðàòîð 192 Èíâîëþöèÿ 54 Èíäóöèðîâàííûé îïåðàòîð 78 Èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð 187, 196

Ëåæàíäðà ìíîãî÷ëåíû 29 Ëåììà Øóðà 136, 138, 143, 215 Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü 16 — íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ 19 Ëèíåéíàÿ ôîðìà 52 Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî 24 — ïðîñòðàíñòâî 9, 12 Ëèíåéíûé îïåðàòîð 36

Ê Êàçèìèðà îïåðàòîð 215 Êàíîíè÷åñêèé áàçèñ 257 Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà 27 Êëàññ 115 — êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ 18 Êëàññû ãðóïïû 117 Êîâàðèàíòíûé âåêòîð 51 Êîâåêòîð 50, 54, 75 Êîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà 94 Êîììóòàòèâíîñòü 10 Êîììóòàòîð 158 Êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî 67 — ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî 24 Êîíäîíà-Øîðòëè óñëîâèå 206 Êîíå÷íàÿ ãðóïïà 98 Êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà 22 Êîíòðàâàðèàíòíûé âåêòîð 51 Êîíòðàãðåäèåíòíîå ïðåîáðàçîâàíèå 52 Êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî 12, 14 Êîðíåâàÿ äèàãðàììà 249 Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå 172 Êðèòåðèé íåïðèâîäèìîñòè 148 — ñõîäèìîñòè Êîøè 35

Ì Ìàòðèöà îáðàòíàÿ 20 — îïåðàòîðà 36 — ïðèâîäèìîãî îïåðàòîðà 60 — òðàíñïîíèðîâàííàÿ îáðàòíàÿ 21 —-ñòîëáåö 14 Ìàòðèöû Ãåëë-Ìàííà 167, 245 — Äèðàêà 171 — Îêóáî 163, 166 — Ïàóëè 165, 246 Ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû 122 Ìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà 27 Ìíîãî÷ëåíû Ëåæàíäðà 29 — ×åáûøåâà 29 — Ýðìèòà 30 Ìîíîì 67, 75

Í Íåâûðîæäåííîñòü 25 Íåâûðîæäåííûé îïåðàòîð 48 Íåïðåðûâíûå ãðóïïû 97 Íåïðèâîäèìûé îïåðàòîð 58 Íîðìà âåêòîðà 26 Íóëåâîå ïðîñòðàíñòâî 12 Íóëü-âåêòîð 12

269

Î Îáðàç ãðóïïû 102 Îáðàçóþùèå Äèðàêà 173 Îáðàòèìûé îïåðàòîð 132 Îáðàòíàÿ ìàòðèöà 20 Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå 21 Îáðàòíûé îïåðàòîð 94 Îäíîðîäíàÿ ãðóïïà Ëîðåíöà 109 Îêðåñòíîñòü îïåðàòîðà 97 Îïåðàòîð áåññëåäíûé 63 — Ãàìèëüòîíà 157 — äèàãîíàëèçèðóþùèé 60 — äèôôåðåíöèðîâàíèÿ 37 — èíäóöèðîâàííûé 78 — Êàçèìèðà 215 — Ëàïëàñà 157 — íåâûðîæäåííûé 48 — íåïðèâîäèìûé 58 Îïåðàòîð îáðàòíûé 39 — ïîâûøàþùèé 201 — ïîíèæàþùèé 201 — ïðèâîäèìûé 58 — ïðîåêòèðóþùèé 46 — ñîïðÿæåííûé 41 — òîæäåñòâåííûé 39 — òðàíñôîðìèðîâàííûé 40 — óíèìîäóëÿðíûé 46 — óíèòàðíûé 45 — ýðìèòîâ 46 Îðòîãîíàëüíàÿ ãðóïïà 112 — ñóììà ïðîñòðàíñòâ 56

Ï Ïîäàëãåáðû Ëè 161 Ïîäãðóïïà 94 — öèêëè÷åñêàÿ 95 Ïîäïðîñòðàíñòâî ëèíåéíîå 24 — ñîáñòâåííîå 62 Ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà 84 Ïîëèíîì Ëåæàíäðà 214

Ïðàâèëî Ýéíøòåéíà 26, 33, 80 Ïðåäñòàâëåíèå èíäóöèðîâàííîå 124 — íåïðèâîäèìîå 134 — ðåãóëÿðíîå 149 — ñêàëÿðíîå 123 — òðèâèàëüíîå 123 — ôóíäàìåíòàëüíîå 123, 225 — ýêâèâàëåíòíîå 133 Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï 121 Ïðåîáðàçîâàíèå êîíòðàãðåäèåíòíîå 52 — îáðàòíîå 21 — ïîäîáèÿ 144 — öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè 65 Ïðèâîäèìûé îïåðàòîð 58 Ïðîåêòèðóþùèé îïåðàòîð 46, 47 Ïðîèçâåäåíèå Ëè 158 — îïåðàòîðîâ 38 Ïðîñòðàíñòâà äóàëüíûå 49 Ïðîñòðàíñòâî êîìïàêòíîå 98 — êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå 24 — ëèíåéíîå 9 — ìàòðèö 13 — Ìèíêîâñêîãî 109 — ìíîãî÷ëåíîâ 15, 37 — íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé 14 — òîïîëîãè÷åñêîå 98

Ð Ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà 17 Ðÿä Òåéëîðà 197 — Ôóðüå 187, 195

Ñ Ñâ¸ðòûâàíèå òåíçîðîâ 85 Ñåãìåíò 14 Ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà 118 Ñèñòåìà îïåðàòîðîâ 59

270 Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå 25 — ïðîèçâåäåíèå êîâåêòîðà íà âåêòîð 50 Ñëåä ìàòðèöû 144 — îïåðàòîðà 63 Ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî 62 Ñîáñòâåííûå âåêòîðû 61 — çíà÷åíèÿ 61 Ñîáñòâåííûé âåêòîð 62 Ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè 142 Ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð 41, 44 Ñïèíîð 225, 238 Ñïèíòåíçîð 238 Ñòåïåíü ïðåäñòàâëåíèÿ 121 Ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû 160 Ñóììà îïåðàòîðîâ 38 Ñôåðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ 214 Ñõåìà Þíãà 234, 240

Ò Òàáëèöà Êýëè 103, 114, 190 Òåíçîð 73 Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ 69 — ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ 65 Òåîðåìà Âèåòà 63 — Ìàøêå 217 — î ïåðå÷èñëåíèè ãðóïï 120 Òîæäåñòâà ßêîáè 160 Òðàíñïîíèðîâàííàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà 21

Óíèòàðíîå ïðåäñòàâëåíèå 122, 184 — ïðîñòðàíñòâî 32 Óíèòàðíûé îïåðàòîð 45, 48, 55, 61, 72, 80 Óðàâíåíèå âåêîâîå 62 — Ëàïëàñà 214 Óñëîâèå Êîíäîíà-Øîðòëè 206, 210, 213

Õ Õàðàêòåð 194, 207 — ïðåäñòàâëåíèÿ 144 Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà 64

Ö Öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà 102, 106 — ïîäãðóïïà 95

× ×åáûøåâà ìíîãî÷ëåíû 29

Ø Øóðà ëåììà 136

Ý Ýéíøòåéíà ïðàâèëî 26 Ýêñïîíåíöèàë ìàòðèöû 174 Ýëåìåíò íóëåâîé 11 Ýðìèòà ìíîãî÷ëåíû 30 Ýðìèòîâ îïåðàòîð 46 Ýðìèòîâû ìàòðèöû 166

Ó

Þ

Óãëû Ýéëåðà 99, 207 Óíèìîäóëÿðíûé îïåðàòîð 46, 176 Óíèòàðíàÿ ãðóïïà 111 — ìàòðèöà 174

Þíãà ñõåìà 234

ß ßäðî ãîìîìîðôèçìà 102

271

Ê 435

Àëåêñàíäð Àëåêñååâè÷ Êèðñàíîâ

ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÑÈÌÌÅÒÐÈÈ ×àñòü I

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Èçäàòåëüñêàÿ ëèöåíçèÿ ËÐ ¹020029 îò 16.10.1996 ãîäà. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 16.05.2000ã. Ôîðìàò 60õ84/16. Îáúåì èçäàíèÿ â óñë.ïå÷.ë.17. Òèðàæ 500. Çàêàç ¹ Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì.Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã. Ïñêîâ, ïë. Ëåíèíà, 2. Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã. Ïñêîâ, óë. Ñîâåòñêàÿ, 21, òåëåôîí 2-86-18.