Устойчивость равновесия и анализ малых движений материальных систем около положений равновесия: Методические указания. Ч. I

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Устинов Ю.А., Шутько В.М., Явруян О.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Устойчивость равновесия и анализ малых движении материальных систем около положений равновесия для студентов отделений прикладная математика и механика факультета математики, механики и компьютерных наук ЧАСТЬ I

Ростов-на-Дону 2007

Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры теории упругости Ю.А. Устиновым, кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры теории упругости В.М. Шутько, кандидатом физико-математических наук, ст. преподавателем кафедры теории упругости О.В. Явруян.

Печатается в соответствии с решением кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, протокол №3 от 24 сентября 2007 г.

§1 Устойчивость равновесия консервативных систем

Рассмотрим произвольную материальную систему, на которую наложены идеальные, голономные, стационарные (склерономные), неосвобождающие связи. Обозначим через n число степеней свободы, через qi – обобщенные координаты. Будем считать, что активные силы, действующие на систему – потенциальные. Такие

системы

принято

называть

консервативными.

Напомним,

что

обобщенные силы Qi называются потенциальными, если существует такая функция U = U (q1 , q2 ,..., qn ) , зависящая только от обобщенных координат, такая,

что Qi =

∂U ∂qi

U – называется потенциалом, V = −U – потенциальной энергией

Движение консервативных систем описывается уравнениями Лагранжа второго рода d ⎛ ∂L ⎜ dt ⎜⎝ ∂q& i где q&i =

⎞ ∂L ⎟⎟ − = 0, i = 1,..., n ∂ q i ⎠

(1)

dqi - обобщенные скорости, dt

1 n L = T − V - функция Лагранжа; T = ∑ aij q&i q& j – кинетическая энергия, при этом 2 i , j =1 a ji = aij ,

а

из

стационарности

связей

вытекает,

что

коэффициенты

aij = aij (q1 ,..., qn ) , т.е. являются функциями только обобщенных координат и не зависят явным образом от времени;

3

Свойство симметрии коэффициентов a ji = aij легко доказать для системы, состоящей из N материальных точек, на которую наложены голономные стационарные связи вида r r f k (r1 ,..., rN ) = 0, k=1,.., p (2) r где rk (xk1, xk2, xk3) – радиусы векторы материальных точек, n = 3 N − p - число степеней свободы. Действительно, после выбора системы обобщенных координат qi , опираясь на соотношения (2), каждый радиус вектор можно представить в виде r r rk = rk (q1 ,..., qn ) Рассмотрим теперь выражение для кинетической энергии. Имеем 1 N r T = ∑ mk v k 2 2 k =1

(3)

n ∂rr r r& vk = rk = ∑ k q&i i =1 ∂qi

(4)

Учитывая, что

после подстановки (4) в (3) получаем r r r n ⎛ ∂rr ⎞ 1 N ⎛ n ∂rk ⎞ ⎛⎜ n ∂rk ∂rk 1 N k ⎟ ⎜ ⋅ T = ∑ mk ⎜⎜ ∑ q&i ⎟ ⋅ ∑ q& j = ∑ mk ∑ 2 k =1 ⎝ i =1 ∂qi ⎟⎠ ⎜⎝ j =1∂q j ⎟⎠ 2 k =1 i , j =1⎜⎝ ∂qi ∂q j

n ⎞ ⎟q&i q& j = 1 ∑ aij q&i q& j ⎟ 2 i , j =1 ⎠

где ⎛ ∂rrk ∂rrk aij = ∑ mk ⎜ ⋅ ⎜ ∂qi ∂q j k =1 ⎝ N

⎞ N ⎛ ∂rrk ∂rrk ⎞ ⎟ = ∑ mk ⎜ ⎟ = a ji ⋅ ⎟ k =1 ⎜ ∂q j ∂qi ⎟ ⎠ ⎝ ⎠

Покажем, что в положении

равновесия

потенциальная

энергия

принимает стационарное значение, т.е. ее полная вариация ⎛ ∂V ⎞ ⎟⎟ δqi = 0 q ∂ i =1⎝ i ⎠0 n

δV = ∑ ⎜⎜

4

(5)

Здесь индекс «0» означает, что значения производных берутся для положения равновесия, которому отвечают значения координат qi 0 . Действительно, при равновесии кинетическая энергия T ≡ 0 и из уравнений (1) вытекает, что ⎛ ∂L ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 − ⎜⎜ q q ∂ ∂ ⎝ i ⎠0 ⎝ i ⎠0

(6)

Таким образом всякое равновесие для выбранного типа материальной системы формально определяется условием

(5), либо ему эквивалентными

условиями (6). Прежде чем

дать

определение устойчивости положения равновесия

рассмотрим два примера для систем с двумя степенями свободы. Пример 1.1 Рассмотрим систему двух одинаковых стержней изображенных

на рис.1. Обозначим через l, m - длины и массы стержней соответственно. Такая система, расположенная в вертикальной плоскости, называется двойным физическим маятником. Обобщенные координаты q1 и q2

введем

как

углы

отклонения

от

вертикали

соответственно 1-го и 2-го стержней. Поскольку активными силами в рассматриваемом случае будут силы тяжести, то потенциальная энергия системы определяется следующими Рисунок 1. Двойной физический маятник

выражениями: V = V1 + V2 , V1 = mgh1 ,V2 = mgh2 где

g – ускорение силы тяжести, h1 ,h2 – отклонения по вертикали центров

тяжести первого и второго стержней соответственно по отношению к положению системы, когда q1 = q2 = 0 . Очевидно, что 1 l h1 = l (1 − cos q1 ), h2 = l (1 − cos q1 ) + (1 − cos q2 ) 2 2

Окончательно получаем 5

3 1 V = mgl (1 − cos q1 ) + mgl (1 − cos q2 ) 2 2

(7)

Для определения положения равновесия составим уравнения (6). Имеем ∂V 1 ∂V 3 = mgl sin q1 = 0, = mgl sin q2 = 0 ∂q1 2 ∂q2 2

(8)

Из уравнений (5) вытекает, что данная система имеет четыре положения равновесия: 1) W1 : q10 = 0, q2 0 = 0; 2) W2 : q10 = 0, q2 0 = π ; 3) W3 : q10 = π , q2 0 = 0; 4) W4 : q10 = π , q2 0 = π . Здесь и ниже через W

будем обозначать точку

пространства обобщенных координат q1 ,q2 . Очевидно,

что

в

каждом

положении

Wk (k = 1,...,4)

выполняются

необходимые условия равновесия, а именно – активные силы веса P1 = P2 = mg стержней уравновешиваются реакцией R в шарнире О , а сумма моментов внешних сил

и реакции

относительно точки О равна нулю. На рис. 2

изображены эти положения равновесия.

Рисунок 2. Положения равновесия двойного физического маятника 6

Если вывести систему из положения равновесия, придав малые возмущения координатам, т.е. положить qi = qi 0 + δqi , то система придет в движение и очевидно, что только в первом случае движения системы будет происходить в окрестности положения равновесия. В трех остальных случаях произойдет опрокидывание стержней, т.е. незначительные возмущения координат приведут к существенному удалению системы от исходного положения равновесия. Если подсчитать значения потенциальной энергии в каждом положении равновесия, то получим: V (W1 ) = 0, V (W2 ) = mgl , V (W3 ) = 3mg , V (W4 ) = 4mgl Из этих выражений следует, что в первом положении равновесия потенциальная энергии принимает минимальное значение и это же положение равновесие оказывается устойчивым, поскольку при малых возмущениях движение происходит в малой окрестности именно этого положения равновесия. Можно привести еще ряд примеров, на основе которых просматривается эта закономерность. Пример 1.2 Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, состоящую из

груза

M 1 массы

m1 , который может совершать движения только вдоль

горизонтальной плоскости x2 = 0 , и шарнирно соединенного с ним стержня M 2 массы m2 и длиной l (рис. 3). Трение между грузом и поверхность отсутствует.

Рисунок 3. Система с двумя степенями свободы: груз - стержень 7

Выберем в качестве обобщенных координат q1 = x - отклонение тела M 1 от выбранного начала координат O вдоль горизонтальной поверхности и q2 = ϕ угол отклонения стержня от вертикали. Очевидно, что потенциальная энергия системы имеет вид 1 V = m2 gl (1 − cos ϕ ) 2

(9)

Условия равновесия (6) приводят к соотношениям

∂V ∂V 1 ≡ 0, = m2 gl sin ϕ = 0 ∂x ∂ϕ 2 из которых вытекает, что любая точка Wx 0 (x,0) , где x – произвольная величина, может являться точкой равновесия. Представим себе, что в некоторый момент времени системе «груз-стержень» придали поступательное движение с начальной скорость v0 , параллельной горизонтальной поверхности. Тогда, очевидно, что в силу отсутствия сил трения система может удалиться сколь угодно далеко от исходного положения. Однако, если такого движения системе не придавать, а вывести ее из положения равновесия, отклонив стержень от вертикального положения на малый угол, то дальнейшее движение системы будет происходить в окрестности начального положения. Рассмотренные примеры подводят к определению устойчивости положения равновесия. Определение

устойчивости и теорема Лагранжа об устойчивости

равновесия. Для того, чтобы приводимое ниже определение было корректным,

будем считать, что все обобщенные координаты безразмерные. Переход к безразмерным координатам всегда можно осуществить путем деления размерных координат на некоторые характерные величины, имеющие те же размерности. Например, в примере 2 можно считать, что q1 = x / l . Кроме того, выберем начало

8

отсчета обобщенных координат так, чтобы в рассматриваемом положении равновесия

q1 = q2 = ... = qn = 0 Определение. Положение равновесия называется устойчивым, если для

∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 такое, что для всех t > t 0 выполняются неравенства

если при t = t 0

qi (t ) ≤ ε , q&i (t ) ≤ αε

(10)

qi (t 0 ) < δ , q&i (t 0 ) < αδ

(11)

где α - произвольная постоянная, имеющая размерность [α ] = [t ]−1 , например,

α = 1/ c . Если в положении

Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия.

равновесия консервативной системы потенциальная энергия имеет локальный минимум, то это положение равновесия – устойчиво. Доказательство.

Будем считать, что в положении равновесия потенциальная

энергия принимает строгий минимум и ему отвечают значения qi = 0 . Кроме того, поскольку

потенциальная энергия определяется с точностью до

произвольной постоянной, примем, что в положении равновесия V (0,...,0) = 0 . При этих условиях существует такое η > 0 , что в окрестности qi < η

(12)

V (q1 ,..., qn ) > V (0,...,0) = 0

(13)

выполняется строгое неравенство если хотя бы одна из координат q s ≠ 0 . Рассмотрим

полную

механическую

энергию

системы

E =T +V .

Относительно E можно утверждать: 1) поскольку система консервативная, то имеет место закон сохранения полной механической энергии E = E0 = const 9

(14)

2) поскольку кинетическая и потенциальная энергии в η - окрестности qi < η , q&i < αη строго положительные функции, то там же и E = 0 , когда для

∀i = 1,.., n qi = 0, q&i = 0 . Выберем ∀ε > 0 из полуоткрытого отрезка [0,η ) и рассмотри окрестность, задаваемую неравенствами (10). Эти неравенства в фазовом пространстве (пространстве обобщенных координат и обобщенных скоростей) определяют замкнутый куб

K ε , граница которого

∂K ε

также является замкнутым

множеством. Поскольку E - непрерывная функция обобщенных координат и обобщенных скоростей, то на границе куба она достигает своего точного нижнего значения inf E = a . Таким образом для произвольных значений обобщенных r r координат и обобщенных скоростей (для ∀q = {qi }i =1n , ∀q& = {q&i }i =1n ) выполняется неравенство

E = E (q1 ,..,.qn ; q&1 ,..., q& n ) > 0 Поскольку E в центре куба K ε ( qi = 0, q&i = 0 (i = 1,2,..., n) ) имеет локальный минимум равный нулю, то ∃δ > 0 такое, что при выполнении неравенств qi (t ) < δ , q&i (t ) < αδ полная энергия E < a . Пусть теперь qi удовлетворяют уравнениям движения (1). Если начальные значения удовлетворяют условиям (11), то при t = t 0 будут выполняться условия (10), поскольку при t = t 0 E0 < a , а так как для ∀t выполняется равенство (14), то и E < a . Поэтому точка фазового пространства Φ (q1 , q2 ,..., qn ; q&1 , q& 2 ,..., q& n ) не может достигнуть границы куба ∂K ε , на которой E ≥ a , и остается внутри куба. Теорема доказана. Теорема сохраняет свою силу, если на систему помимо консервативных сил действуют диссипативные*) обобщенные силы Qi ∗ . __________________________________________________________________________________________ *) Диссипация (рассеивание) механической энергии – преобразование ее части в тепловое и (или) акустическое излучение.

10

Напомним, что силы называются диссипативными если их мощность N∗ =

n ∗ &i ∑ Qi q i =1

≤0

(15)

при этом Qi ∗ = 0 , если q&i = 0 . Уравнения движения в данном случае имеют вид d ⎛ ∂L ⎞ ∂L ⎜⎜ ⎟⎟ − = Qi ∗ dt ⎝ ∂q&i ⎠ ∂qi

(16)

Умножим каждое уравнение (16) на q&i и просуммируем по i n d ⎛ ∂L ⎜⎜ ∑ i =1 dt ⎝ ∂q& i

n ∂L n ⎞ ⎟⎟q&i − ∑ q&i = ∑ Qi ∗ q&i i =1 ∂qi i =1 ⎠

(17)

Рассмотрим слагаемое d ⎛ ∂L ⎞ d ⎛ ∂L ⎞ ∂L ⎜⎜ ⎟⎟q&i = ⎜⎜ q&i ⎟ − q&&i dt ⎝ ∂q&i ⎠ dt ⎝ ∂q&i ⎟⎠ ∂q&i С учетом этого выражения левая часть (17) принимает вид ∂L ⎞ d n ⎛ ∂L ⎞ dL d n ⎛ ∂L ⎞ n ⎛ ∂L ∑ ⎜ q&i ⎟ − ∑ ⎜ q&&i + ∂q q&i ⎟⎟ = dt ∑ ⎜⎜ ∂q& q&i ⎟⎟ − dt dt i =1⎜⎝ ∂q&i ⎟⎠ i =1⎜⎝ ∂q&i i =1⎝ i i ⎠ ⎠

(18)

Для стационарных связей L =T −V = тогда

n

⎛ ∂L

∑ ⎜⎜ ∂q&

i =1⎝

i

1 n ∑ aij (q1 , q2 ,..., q2 )q&i q& j − V (q1 , q2 ,..., q2 ) 2 i =1

⎞ q&i ⎟⎟ = 2T и правая часть (18) принимает вид ⎠

d dE d n ⎛ ∂L ⎞ dL d d ⎜⎜ = (2T ) − (T − V ) = (T + V ) = q&i ⎟⎟ − ∑ dt i =1⎝ ∂q&i ⎠ dt dt dt dt dt Итак, на основании (15), (17) и (19) получаем, что dE n ∗ = ∑ Qi q&i ≤ 0 , dt i =1 11

(19)

т.е. при наличии диссипативных сил полная механическая энергия может только убывать и при t → ∞ E → 0 , т.е. система стремится к положению равновесия.

§2. Малые движения системы под действием потенциальных сил около устойчивого положения равновесия

Рассмотрим малые движения консервативной системы с n степенями свободы около устойчивого положения равновесия. Будем считать, что в положении равновесия все обобщенные координаты qi (i = 1,.., n) равны нулю. Для большинства известных консервативных сил отвечающая им потенциальная энергия V (q1 ,..., qn ) является аналитической функцией. Преобразуем потенциальную и кинетическую энергии. Потенциальную энергию разложим в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия. Имеем V = V0 +

n ⎛ ∂V ∑ ⎜ j =1 ⎜ ∂q j

⎝

2 ⎞ n ⎛ ⎟ qj + 1 ∑ ⎜ ∂ V ⎟ 2 i , j =1⎜⎝ ∂qi ∂q j ⎠0

⎞ ⎟ qi q j + O ( q 3 ) ⎟ ⎠0

(20)

полагая V0 = V (0,...,0) = 0 и, учитывая, что в положении равновесия все первые частные производные равны нулю (6), с точностью до малых членов третьего порядка получаем 1 n V = ∑ c 0 ij qi q j , 2 i , j =1 0

c

0

ij

Кинетическую энергию T=

1 n ∑ aij q&i q& j , 2 i , j =1 12

⎛ ∂ 2V =⎜ ⎜ ∂qi ∂q j ⎝

⎞ ⎟ . ⎟ ⎠0

(21)

считая, что ее коэффициенты aij (q1,..., qn ) являются аналитическими функциями, разложим в ряды Тейлора aij = a 0 ij + ..., a 0 ij = aij (0,...,0) и сохраним только первые члены разложения

a 0 ij = aij (0,...,0) . В результате

таких преобразований для функции Лагранжа получаем следующее выражение 1 n 0 1 n 0 & & L = T − V = ∑ a ij qi q j − ∑ c ij qi q j 2 i , j =1 2 i , j =1 0

0

(22)

Заметим, что из выражения (3) после подстановки в него (4) вытекает, что кинетическая

энергия

является

положительно-определенной

квадратичной

формой обобщенных скоростей q&i для любых значений qi из области их определения, из этого следует, что

T0

также является положительно-

определенной квадратичной формой обобщенных скоростей; V 0 – положительноопределенная квадратичная форма обобщенных координат, поскольку в данном параграфе изучаются малые движения системы в окрестности устойчивого положения равновесия, когда V принимает минимальное значение, равное нулю (13). Индекс «0» ниже будем опускать. На основе выражений (1) и (22) составим уравнения движения n

∑ (aij q&& j + cij q j ) = 0

(23)

j =1

Таким образом для описания малых движений системы около положения равновесия получена линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Поскольку исходные уравнения в общем случае являются нелинейными, то описанный процесс упрощения их, приводящий в конечном итоге к системе линейных дифференциальных уравнений, называется «линеаризацией» в окрестности устойчивого положения равновесия. Решения этих уравнений должны удовлетворять условиям (10), (11) и поэтому называются уравнениями малых колебаний. 13

Для анализа решений уравнений (23) ниже будут использоваться теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и методы высшей алгебры. Для применения этих методов удобно использовать векторноматричную форму для системы уравнений (23). Введем обозначения ⎛ a11 ⎛ q1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ r ⎜ q2 ⎟ ⎜ a21 T q = ⎜ ⎟ = (q1 , q2 ,..., qn ) , A = ⎜ ... ... ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ an1 ⎝ qn ⎠ ⎛ c11 c12 ... c1n ⎞ ⎟ ⎜ c c c ... ⎜ 2n ⎟ C = ⎜ 21 22 ... ... ... ... ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ c c ...` c nn ⎠ ⎝ n1 n 2

a11 a22 ... an 2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ ... ... ⎟ ⎟ ... ann ⎟⎠

Тогда T=

1 r& r& 1 n Aq ⋅ q = ∑ aij q&i q& j , 2 2 i , j =1

1 r r 1 V = Cq ⋅ q = ∑ cij qi q j 2 2

и уравнения движения (23) принимают вид r r Aq&& + Cq = 0

(24)

(25)

Решение этого уравнения будем отыскивать в виде r r (26) q = ye λt , (qi = yi e λt ) r где y – вектор, координаты которого не зависят от времени, λ – скалярная константа. Подставляя (26) в уравнение (25), получаем однородную алгебраическую систему линейных уравнений

s r B( µ ) y ≡ (C − µA) y = 0, µ = -λ2

14

(27)

Из линейной алгебры [1,2] известно, что для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно обращение в ноль ее определителя. Следуя этой теореме составим характеристическое уравнение ∆( µ ) ≡ det(C − µA) = 0

(28)

Левая часть уравнения (28) является многочленом n-го порядка. Поэтому, согласно основной теореме алгебры уравнение (28) имеет ровно n корней

µ1 , µ 2 ,..., µ n , которые называются собственными значениями (СЗ) задачи (27). r Каждому СЗ µ s отвечает собственный вектор (СВ) y s = ( y s1 , y s 2 ,..., y sn )T такой, что r (C − µ s A) y s ≡ 0 r r Из соотношения (10) очевидно, что y ′s = X s y s , где

(29)

Xs

– произвольная

постоянная, также является СВ, т.е. каждый вектор определяется с точностью до постоянного множителя. Справедливы следующие утверждения: 1) все СЗ µ s > 0 ; 2) все СВ удовлетворяют условиям ортогональности r r r r Ay s ⋅ y p = d sAδ sp , Cy s ⋅ y p = d sC δ sp при µ s ≠ µ p r r r r где δ sp - символ Кронекера, d sA = Ay s ⋅ y s > 0, d sC = Cy s ⋅ y s > 0, . Первое

утверждение

доказывается следующим образом. r выражение (29) слева (или справа) на y s . Получаем r r r r r r r r Cy s ⋅ y s − µ s Ay s ⋅ y s = 0 → µ s = (Cy s ⋅ y s ) /( Ay s ⋅ y s )

(30)

Умножим

Поскольку матрицы A, C – симметричные положительно-определенные, то r r r r Ay s ⋅ y s = y s ⋅ Ay s =

n

r r r r ∑ aij y si y sj > 0, Cy s ⋅ y s = y s ⋅ Cy s =

i , j =1

а, следовательно, и µ s > 0 . 15

n

∑ cij y si y sj > 0

i , j =1

Для доказательства второго утверждения рассмотрим два равенства r r Cy s = µ s Ay s r r Cy p = µ p Ay p s s Умножим первое равенство на y p , а второе на y s . Беря разность результатов умножений, с учетом симметричности матриц А и С получаем r r r r r r r r r r r r Cy s ⋅ y p − Cy p ⋅ y s = Cy s ⋅ y p − y s ⋅ Cy p = Cy s ⋅ y p − Cy s ⋅ y p = 0 = r r r r r r r r r r = µ s ( Ay s ⋅ y p ) − µ p ( Ay p ⋅ y s ) = µ s ( Ay s ⋅ y p ) − µ p ( y p ⋅ Ay s ) = ( µ s − µ p )( Ay s ⋅ y p ) Таким образом, если µ s ≠ µ p , то отвечающие этим СЗ

собственные векторы

одновременно удовлетворяют двум условиям ортогональности (30) Свойства (30) иногда называют А-ортогональностью и С-ортогональностью соответственно. Учитывая, что каждый СВ определяется с точностью до постоянного множителя, мы можем их нормировать, положив r r z s = y s / d As

(31)

В этом случае получаем А-ортонормированную систему СВ, удовлетворяющих условиям r r r r Az s ⋅ z p = z s ⋅ Az p = δ sp

(32)

r r r r Cz s ⋅ z p = z s ⋅ Cz p = µ sδ sp

(33)

при этом r В пространстве обобщенных координат введем базис {z s }s =1n и представим

вектор обобщенных координат в виде n r r q (t ) = ∑θ s (t ) z s

(34)

s =1

где

r

r

r r

θ s = q ⋅ Az s = Aq ⋅ z s Будем рассматривать θ s как новые обобщенные координаты. Выразим кинетическую и потенциальную энергию через новые координаты, Подставляя 16

(34)

в выражения (24) и учитывая соотношения ортогональности (32), (33),

получаем

T=

1 r& r& 1 ⎛ n & r ⎞ ⎛ n & r ⎞ 1 n 1 n & 2 r r & & ∑ ( Az s ⋅ z p )θ ∑ θs , Aq ⋅ q = ⎜ ∑ θ s Az s ⎟ ⋅ ⎜ ∑ θ p z p ⎟ = sθ p = ⎠ ⎝ p =1 2 2 ⎝ s =1 2 s =1 ⎠ 2 s , p =1

1 r r 1 n 1 n r ⎛ n r ⎞ 1 n r r 2 ∑ (Cz s ⋅ z p )θ s θ p = ∑ µ s θs V = Сq ⋅ q = ⎛⎜ ∑ θ s Cz s ⎞⎟ ⋅ ⎜ ∑ θ p z p ⎟ = ⎠ ⎝ p =1 2 2 ⎝ s =1 2 s =1 ⎠ 2 s , p =1 1 n &2 L = ∑ (θ s − µ sθ s 2 ) 2 s =1

(35)

(36)

На основании выражения (36) уравнения движения принимают вид d ⎛ ∂L ⎞ ∂L && ⎜⎜ ⎟⎟ − ≡ θ s + ωs 2 θ s = 0 dt ⎝ ∂θ& s ⎠ ∂θ s где

(37)

ω s = µ s (s = 1,2,..., n) принято называть собственными частотами, а θ s –

собственными формами колебаний. В некоторых учебниках по теоретической механики θ s называются главными или нормальными координатами. Возвращаясь к выражению (34), общее решение представим в виде n n r r r q (t ) = ∑ ( X s cos ω s t + Ys sin ω s t ) z s = ∑ As sin(ω s t + ε s ) z s , s =1

As = X s 2 + Ys 2 ,

s =1

(38)

tgε s = X s / Ys

где X s , Ys – постоянные, которые определяются по заданным начальным условиям. Приведем один из способов определения постоянных. Пусть заданы начальные условия r r r r t = 0 : q (0) = q0 , q& (0) = q& 0

17

(39)

Подставляя выражения (38) в начальные условия (39), получаем n

r r ∑ X s z s = q0 ,

s =1

n

r

r

∑ ω sYs z s = q&0

(40)

s =1

r r Умножая каждое из уравнений (20) скалярно на u p = Az p и учитывая условия

ортогональности (32), получаем r r r r X p = q0 ⋅ u p , Y p = (q& 0 ⋅ u p ) / ω p ( p = 1,2,..., n)

(41)

Описанный метод определения собственных частот, собственных форм и решения задачи Коши легко реализуется с помощью пакета Maple или аналогичных ему пакетов. Пример 2.1 Исследуем малые колебания двойного физического маятника,

изображенного на рис.1 (пример 1.1). Составим выражение для кинетической энергии. Имеем T = T1 + T2 где 1 T1 = ml 2 q&12 , 6 1 1 1 1 1 ⎡ ⎤ T2 = mvC 2 + ml 2 q& 2 2 = ml 2 ⎢q&12 + q& 2 2 + q&1q& 2 cos(q1 − q2 ) + q& 2 2 ⎥ 2 24 2 4 12 ⎣ ⎦ 2

После преобразований получаем 1 1 ⎛4 ⎞ T = ml 2 ⎜ q&12 + q& 2 2 + q&1q& 2 cos(q1 − q2 ) ⎟ 2 3 ⎝3 ⎠

(42)

Для потенциальной энергии выше было получено следующее выражение 3 1 V = mgl (1 − cos q1 ) + mgl (1 − cos q2 ) 2 2 Раскладывая в выражении (42) в ряд 1 cos(q1 − q2 ) = 1 − (q1 − q2 ) 2 + ... 2

18

(43)

и сохраняя только первый член разложения, получаем 1 1 ⎛4 ⎞ T = ml 2 ⎜ q&12 + q& 2 2 + q&1q& 2 ⎟ 2 3 ⎝3 ⎠

(44)

Аналогичным образом для потенциальной энергии получаем следующее упрощенное выражение 3 1 V = mglq12 + mglq 2 2 4 4

(45)

В результате уравнения малых движений приобретают вид

4 2 1 3 ml q&&1 + ml 2 q&&2 + mglq1 = 0, 3 2 2 1 2 1 1 ml q&&1 + ml 2 q&&2 + mglq2 = 0 2 3 2

(46)

Для дальнейших исследований эту систему уравнений запишем в более удобной форме. После умножения обеих уравнений на 6 / ml 2 получаем 8q&&1 + 3q&&2 + 9ω0 2 q1 = 0, 3q&&1 + 2q&&2 + 3ω0 2 q2 = 0

где

ω0 = g / l

(47)

параметр, который можно интерпретировать как собственную

частоту математического маятника длиной l . После

подстановки

выражений

(26)

в

уравнения

(47),

получаем

алгебраическую систему (9ω0 2 − 8µ) y1 − 3µy 2 = 0, − 3µy1 + (3ω0 2 − 2µ) y 2 = 0

(48)

Следуя описанному выше методу, запишем матрицы A и C . Имеем ⎛ 9ω0 2 ⎛8 3⎞ ⎟⎟, C = ⎜ A = ⎜⎜ ⎜ 0 3 2 ⎠ ⎝ ⎝

0 ⎞⎟ 3ω0 2 ⎟⎠

Составим характеристическое уравнение: ∆( µ ) = det(C − µA) =

9ω0 2 − 8µ − 3µ = 7 µ 2 − 42ω0 2 µ + 27ω0 4 = 0 (49) 2 − 3µ 3ω0 − 2 µ 19

Уравнение (48) имеет два корня µ1 = 3(1 − 2 / 7)ω0 2 = 0.7323ω0 2 , µ 2 = 3(1 + 2 / 7)ω0 2 = 5.268ω0 2

(50)

и, соответственно, две собственные частоты ω1 = 0.8557ω0 , ω2 = 2.2952ω0 Определим

теперь

собственные

векторы

r yα = ( yα 1 , yα 2 )T ,

(α = 1,2) .

Подставим в алгебраическую систему (48) µ = µα . Поскольку определитель системы равен нулю, то в качестве решения возьмем алгебраические дополнения к первой строке. Включая множитель ωo 2 в произвольную постоянную, получаем y11 = −( 3 - 12/ 7 ) X 1 , y12 = −(-9 + 18/ 7 ) X 1 , y 21 = −( 3 + 12/ 7 ) X 2 , y 22 = (9 + 18/ 7 ) X 2 r Координаты А-нормированных векторов zα , определяемые на основе соотношений (31), имеют следующие значения

z11 = 0.2199, z12 = 0.3146, z 21 = -0.4872, z 22 = 1.0217 Общее решение можно записать в следующем виде q1 = z11θ1 + z12θ 2 , q2 = z 21θ1 + z 22θ 2

θ1 = X 1 cos ω1t + Y1 sin ω1t ,θ 2 = X 2 cos ω2t + Y21 sin ω 2t Здесь θ1 ,θ 2 - главные координаты, X α , Yα - произвольные постоянные. На рис.4 изображены собственные формы (СФ) колебаний. Для первой СФ координаты z11 , z12 имеют одинаковый знак, для второй СФ координаты z 21 , z 22 имеют противоположные знаки.

Рисунок 4. Собственные формы колебаний двойного физического маятника 20

В заключение приведем решение, отвечающее следующим начальным условиям

q10 = 0, q20 = π / 20, q&10 = 0, q& 20 = 0 Применяя описанный выше метод, получаем q1 = 0.1336 cos(0.8557ω0t ) − 0.1336 cos(2.2952ω0t ) q2 = 0.0934 cos(0.8557ω0t ) + 0.0637 cos(2.2952ω0t ) Пример 2.2 Какой характер имеют малые движения около неустойчивых

положений равновесия? Чтобы ответить, на этот вопрос, линеаризуем уравнения движения в окрестности точки w2 (q1 = 0, q2 = π ) . Для этого в выражениях (44), (45) сделаем замену переменной q2 := π + q2 и, считая новое q2 малым, разложим в ряды. Сохраним в каждом из выражений члены до второго порядка малости по совокупности переменных qi , q&i , получим 1 1 1 ⎛4 ⎞ ⎛ 3 ⎞ L = T − V = ml 2 ⎜ q&12 + q& 2 2 − q&1q& 2 ⎟ − mgl ⎜1 + q12 − q2 2 ⎟ 2 3 4 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝ 4 Этому выражению функции Лагранжа отвечают следующие уравнения движения 8q&&1 − 3q&&2 + 9ω0 2 q1 = 0, - 3q&&1 + 2q&&2 − 3ω0 2 q2 = 0 Подставляя

выражения

(26)

в

эти

уравнения,

получаем

следующую

алгебраическую систему (8λ2 + 9ω0 2 ) y1 − 3λ2 y 2 = 0, − 3λ2 y1 + (2λ2 − 3ω0 2 ) y 2 = 0 Этой системе отвечает характеристическое уравнения ∆(λ ) ≡ 7λ4 − 6ω0 2 λ2 − 27ω0 4 = 0 , Это уравнение имеет следующие корни:

λ1 = 1.562ω0 , λ2 = −1.562ω0 , λ3 = 1.258ω0i, λ4 = −1.258ω0i Как видно, в рассматриваемом случае два корня оказываются вещественными, а один из них λ1 – положительный, отвечающее ему элементарное решение 21

экспоненциально растет со временем, что указывает на неустойчивость выбранного положения равновесия. Таким образом, в рассмотренном примере неустойчивость выбранного положения равновесия проявляется в том, что в его окрестности амплитуда одного из элементарных решений растет экспоненциально. Пример 2.3 Обратимся к примеру 1.2 и исследуем малые движения

системы. В рассматриваемом случае потенциальная энергия имеет вид 1 V = m2 gl (1 − cos ϕ ) 2

Вычислим кинетическую энергию и функцию Лагранжа: T = T1 + T2

1 1 1 T1 = m1 x& 2 , T2 = m2vC 2 + J Cϕ& 2 , 2 2 2 1 1 1 vC 2 = x&C12 + x&C 2 2 = ( x& + lϕ& cosϕ ) 2 + l 2ϕ& 2 sin 2 ϕ , J C = m2l 2 2 4 12 1 1 1 T = (m1 + m2 ) x& 2 + m2l 2 ϕ& 2 + m2lx&ϕ& cos ϕ 2 6 2 1 1 1 1 L = (m1 + m2 ) x& 2 + m2l 2 ϕ& 2 + m2lx&ϕ& cos ϕ − m2 gl (1 − cos ϕ) 2 6 2 2 Приведем вначале полные (неупрощенные) уравнения Лагранжа: 1 1 && cos ϕ − m2lϕ& 2 sin ϕ = 0, (m1 + m2 ) &x& + m2lϕ 2 2 1 1 1 && + m2 gl sin ϕ = 0 m2l cos ϕ &x& + m2l 2 ϕ 2 3 2 Уравнения малых движений в окрестности x = 0, ϕ = 0 после упрощений принимает вид 1 && = 0, (m1 + m2 ) &x& + m2lϕ 2 1 1 1 && + m2 glϕ = 0 m2l &x& + m2l 2 ϕ 2 3 2 22

(51)

Решение этой системы ϕ = ϕ0 cos ωt + x=−

ϕ& 0 sin ωt ω

⎞ ϕ& m2 l m2 l ⎛ ⎞ ⎛ ϕ& 0 ⎟⎟t + ⎜ ϕ0 cos ωt + 0 sin ωt ⎟ + ⎜⎜ x&0 + ω 2(m1 + m2 ) ⎝ 2(m1 + m2 ) ⎠ ⎠ ⎝

(52)

⎛ ⎞ m2 l + ⎜⎜ x0 + ϕ 0 ⎟⎟ 2(m1 + m2 ) ⎠ ⎝ где ω2 =

6 g (m1 + m2 ) . (4m1 + m2 )l

Если принять x0 = 0 и ϕ0 = 0 , то х может быть малым только при условии, что начальные скорости x& 0 = 0 и ϕ& 0 = 0 . Следовательно, малые движения возможны только при выполнении дополнительного условия. Подстановка (26) в уравнения (51) приводит к алгебраической системе 1 (m1 + m2 )λ2 y1 + m2lλ2 y 2 = 0, 2 1 1 ⎞ ⎛1 m2l λ2 y1 + m2 ⎜ l 2 λ2 + gl ⎟ y 2 = 0 2 2 ⎠ ⎝3 Характеристическое уравнение этой системы 1 m2lλ2 2 = ∆ (λ ) = 1 1 1 2 2 2 m2 l λ m2l λ + m2 gl 2 3 2 1 ⎤ ⎡1 = λ2 ⎢ m2l 2 (4m1 + m2 )λ2 + m2 (m1 + m2 ) gl ⎥ = 0 2 ⎣12 ⎦ (m1 + m2 )λ2

имеет двукратный корень λ1 = 0 и два мнимых корня

λ 2,3 = ±iω.

Общее решение системы дифференциальных уравнений (51), удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 0,ϕ (0) = 0 имеет вид ϕ = Y1 sin ωt , x = Y2 sin ωt + Xt , 23

и неустойчивость положения равновесия проявляется в том, что при X ≠ 0 решение, отвечающее двукратному нулевому корню характеристического уравнения возрастает пропорционально времени.

§3. Свободные малые колебания механических систем под действием потенциальных и диссипативных сил около устойчивого положения равновесия

В

реальных

потенциальных

механических

сопровождаются

системах

диссипацией

колебания

под

(рассеванием)

действием

механической

энергии. При малых скоростях точек системы силы сопротивления, являющиеся причиной диссипации энергии, можно считать пропорциональными скоростям. Простейшим представителем таких систем является система с одной степень свободы, состоящая из груза массы m , совершающего движение под действием упругой силы пружины в жидкой среде. Уравнение движения в этом случае имеет вид m&x& + hx& + cx = 0 где

c > 0,

h > 0–

соответственно

жесткость

(53) пружины,

коэффициент

сопротивления, который зависит от среды и формы тела. Решение уравнения (53) подробно исследовалось в разделе динамика точки. Его решение при условии, что

ω~ 2 = (4cm − h 2 ) / 4m 2 > 0 имеет вид x = Xe −bt sin(ω~t + ε ), b = h / 2m 24

(54)

и описывают затухающие колебания. В данном случае причиной затухания являются внешние по отношению к системе «тело-пружина» силы вязкого трения между поверхностью тела и жидкой средой. Причиной затухания могут являться также физико-механические свойства материала «пружины». Практически все материалы обладают так называемым внутренним трением, которые проявляются в том, что при колебаниях «пружина» разогревается. Этот разогрев указывает на то, что часть механической энергии переходит в тепло, которое рассеивается. Термин «пружина» следует понимать в широком смысле. Роль пружины может выполнять канат, к которому подвешен груз, деформируемое основание, на котором лежит тело и т.п. Для описания свойств таких «пружин» используется математическая модель, в которой жесткость пружины рассматривается как дифференциальный или интегральный оператор c~ . Распространенной моделью является случай [3], когда c~x = hx& + cx где h, c – постоянные, которые определяются экспериментально и описывают вязко-упругие свойства материала. Вернемся вновь к уравнению (53). После умножения на x& преобразуем его к виду d ⎛⎜ mx& 2 cx 2 ⎞⎟ dE = = − hx& 2 < 0 + ⎟ ⎜ 2 ⎠ dt dt ⎝ 2 где

E

(55)

– полная механическая энергия. Из выражения (55) видно, что

диссипативная сила Fd = − hx&

приводит к убыванию полной механической

1 энергии. Выражение вида R = hx& 2 принято называть функцией Рэлея*). 2 Рассмотрим теперь произвольную систему с n степенями свободы с ____________________________________________________________________________________________________________________________ *)

Рэлей Джон Уильям (1843-1919) – выдающий английский физик, основные работы по механике относятся к

теории колебаний, одним из основоположников которой он является.

25

голономными

и

стационарными

связями.

Будем

считать,

что

помимо

потенциальных сил на систему действую силы, линейно зависящие от скоростей n

Qi * = − ∑ hij q& j = − j =1

∂R ∂q&i

(56)

где r s 1 n R = Hq& ⋅ q& = ∑ hij q&i q& j 2 i , j =1

функция Рэлея, которая является положительно-определенной квадратичной формой обобщенных скоростей. Уравнения малых колебаний можно теперь записать в следующей векторноматричной форме r r r Aq&& + Hq& + Cq = 0

(57)

( )

где H = hij – матрица n × n . Отыскивая решение уравнения (57) в виде (26), получаем r ~ r B ( λ ) y ≡ ( λ2 A + λ H + C ) y = 0 Условие

существования

нетривиальных

решений

(58) приводит

к

характеристическому уравнению ~ ~ ∆ (λ ) ≡ det B (λ ) = λ2 a11 + λh11 + c11 λ2 a12 + λh12 + c12 λ2 a21 + λh11 + c11 λ2 a22 + λh22 + c22 = ... ... λ2 an1 + λhn1 + cn1 λ2 an 2 + λhn 2 + cn 2 Функция

~ ∆ (λ )

коэффициентами.

λ k = α k + iβ k

... λ2 a1n + λh1n + c1n ... λ2 a2 n + λh2 n + c2 n =0 ... ... ... λ2 ann + λhnn + cnn

является полиномом порядка

Поэтому,

если

2n

(59)

с вещественными

какой

либо корень уравнения (59) r r r r r - комплексный и ему отвечает СВ y k = u k + ivk , где uk , vk - векторы

с вещественными координатами, то и λk * = α k − iβ k также будет корнем и ему r r r будет отвечать собственный вектор yk * = u k − ivk . Вещественные корни 26

характеристического уравнения будем обозначать через λr , а отвечающие им СВ r – yr . Докажем следующие два свойства корней. 1) Все вещественные корни отрицательные. 2) Вещественные части комплексных корней α k <0 – отрицательные. Докажем вначале следующее свойство симметричных матриц. Если квадратная матрица G с вещественными элементами симметричная, то ее квадратичная форма r r Gy ⋅ y * - вещественная. Действительно r r r r r r r r r r r r r r r r r r Gy ⋅ y* = G (u + iv ) ⋅ (u − iv ) = Gu ⋅ u + Gv ⋅ v + i (Gv ⋅ u − Gu ⋅ v ) = Gu ⋅ u + Gv ⋅ v поскольку r r r r r r r r Gv ⋅ u = v ⋅ G T u = v ⋅ Gu = Gu ⋅ v v Обратимся теперь к уравнению (58) и умножим его на y * . Получаем

следующее квадратное уравнение aλ2 + 2bλ + c = 0 r r r r r где a = Ay ⋅ y > 0, 2b = Hy ⋅ y > 0, c = Cy ⋅ y > 0 . Корни этого уравнения

λ+ = −b + D , λ− = −b − D , D = b 2 − ac могут быть вещественными и отрицательными, если дискриминант D > 0 , либо комплексно сопряженными с отрицательной вещественной частью, если D < 0. Из проведенного анализа вытекает доказательства указанных выше свойств. Рассмотрим теперь множество элементарных решений r r θ s = y s exp(λs t ) (s = 1,2,...,2n)

(60)

Элементарное решение (ЭР) будем называть сильно демпфированным, если

λ = λr – вещественное, и будем называть слабо демпфированным, если λ = λk – комплексное. Сильно демпфированное ЭР, экспоненциально затухая, может не 27

более одного раза изменить знак на полуоси 0 ≤ t < ∞ . Слабо демпфированное ЭР, экспоненциально убывая, изменяется по гармоническому закону. Действительно r r r θ k = exp(−b k t )( pk + ig k ), где bk = −α k > 0 , r r r r r r pk = uk cos β k t − vk sin β k t , g k = u k sin β k t + vk cos β k t Рассмотрим задачу Коши с начальными условиями (39). Представим общее решение уравнения (57) в виде r 2n r 2n r q = ∑ C sθ s = ∑ C s y s exp(λs t ) s =1

(61)

s =1

где C s – произвольные постоянные. Подставляя (61) в (39), получаем алгебраическую систему для определения Cs 2n

2n

s =1

s =1

∑ y si C s = qi 0 , ∑ λs y si C s = q&i 0

(62)

Примет 3.1 Рассмотрим колебания двойного физического маятника (рис.1),

предполагая, что в шарнирах О и О1 возникают силы вязкого трения, эквивалентные моментам, пропорциональные угловым скоростям:

M 1 = Q1* = −hq&1 , M 2= Q2 * = −h(q& 2 − q&1 ) Уравнения (58) в рассматриваемом случае принимают вид ~ 8q&&1 + 3q&&2 + 6h q&1 + 9ω0 2 q1 = 0, ~ 3q&&1 + 2q&&2 + 6h (q& 2 − q&1 ) + 3ω0 2 q2 = 0 ~ где h = h / ml 2 , а характеристическое уравнение ~ 8λ2 + 6h λ + 9ω0 2 3λ2 ~ ∆ (λ ) = = ~ ~ 3λ2 − 6h λ 2λ2 + 6h λ + 3ω0 2 ~ ~ ~ = 7λ4 + 78h λ3 + (42ω0 2 + 36h 2 )λ2 + 72ω0 2 h λ + 27ω0 4 = 0 28

(63)

(64)

~ Проведем анализ поведения корней уравнения (64) от параметра h . Преобразуем уравнение (64) к безразмерному виду. Для этого поделим его на

ω0 4 (заметим, что параметр ω0 имеет размерность [ ω0 ]=[t]-1, где t – время). Получаем 7γ 4 + 78κγ 3 + (42 + 36κ 2 )γ 2 + 72κγ + 27 = 0 где

(65)

~

γ = λ / ω0 , κ = h / ω0 . Проведенный выше общий качественный анализ распределения корней

показал, что корни уравнения (40) γ ± k = −δ k ± iη k (k = 1,2) все расположены в левой полуплоскости ( δ k > 0 ) и, либо попарно комплексно сопряженные, либо одна или обе пары вещественные и отрицательные. Эти свойства иллюстрируются приводимыми ниже рисунками. На рис.5 изображены графики δ1 ( κ) и η1 (κ ) , на рис.6 - δ 2 ( κ) и η 2 (κ ) . Из этих графиков, в частности, вытекает, что собственные колебания с более высокими частотами затухают быстрее ( δ1 (k ) < δ 2 (k ) ), при этом в окрестности κ1* = 3.24 пара комплексных корней γ ±1 для κ > κ1 * преобразуется в пару вещественных отрицательных, а соответствующая пара слабо демпфированных элементарных решений переходит в пару сильно демпфированных ЭР; для пары корней γ 2 ± аналогичные явления имеют место для

κ > κ 2* ≈ 0.44

Рисунок 5. Графики функций δ1 ( κ) и η1 (κ )

Рисунок 6. Графики функций δ 2 ( κ) и η 2 (κ ) . 29

§ 4. Малые колебания консервативных систем под действием периодических сил

Пусть

на

голономную

систему

с

n

степенями

свободы

помимо

потенциальных сил действуют силы, изменяющиеся по периодическому закону. ~ ~ ~ Обозначим их через Qi и будем считать, что для ∀i = 1,..., n Q i (t + a ) =Q i (t ) , где a - период. Уравнения малых движений около устойчивого положения равновесия запишем в виде r r ~r Aq&& + Cq = Q

(66)

~r ~ ~ ~ где Q = (Q1 , Q2 ,..., Qn )T

Выберем в качестве базиса пространства обобщенных координат Аr ортонормированную систему векторов {z s }s =1n и представим вектор-функции ~r r q (t ), Q (t ) в виде n n ~r r r r q (t ) = ∑θ s (t ) z s , Q (t ) = ∑ Θ s (t ) z s , s =1

s =1

~r r Θ s (t ) = Q (t ) ⋅ u s =

n

~ ∑ Q j u sj , u sj = j =1

n

,

(67)

∑ a jp z sp

p =1

После подстановки выражений (67) в уравнение (66) и приравнивания коэффициентов при базисных векторах слева и справа, получаем следующие уравнения движения в нормальных координатах

θ&&s + ω s 2θ s = Θ s Общее решение уравнения (68) представим в виде ~ θ s = As sin(ω s t + ε s ) + θ s 30

(68)

(69)

где первое слагаемое – общее решение однородного уравнения, второе – частное решение неоднородного уравнения. Для построение последнего каждую новую обобщенную силу представим в виде ряда Фурье: Θs =

∞

∑ bsk sin( pk t + τ k ),

p = 2πk / a

(70)

k =0

bsk =

2a ∫ Θ s sin( p k t + τ k ) dt a0

Частное решение будем отыскивать в виде ~

θs =

∞

∑ g sk sin( pk t + τ k )

(71)

k =0

После подстановки выражений (70) и (71) в уравнение (68) получаем ∞

∑ g sk (ω s

k =0

2

∞

− pk ) sin( pk t + τ k ) = ∑ bsk sin( pk t + τ k ) 2

k =0

Приравнивая коэффициенты при sin( pk t + τ k ) , получаем g sk =

bsk

(72)

ω s 2 − pk 2

Из выражения (72) вытекает, что решение в виде (71) существует только при условии, ω s ≠ pk для ∀k . В противном случае, если некоторое pm → ω s , то соответствующий коэффициент ряда Фурье g sm → ∞ . Покажем, что амплитуда колебаний в этом случае растет пропорционально времени. Для этого рассмотри следующую задачу Коши

θ&& + ω 2θ = b sin pt , θ (0) = 0, θ&(0) = 0 Упитывая, что общее решение уравнения имеет вид

θ = X cos ωt + Y sin ωt +

b

ω 2 − p2

Удовлетворяя начальным условиям, получаем 31

sin pt

X = 0, Y = −

pb

ω (ω 2 − p 2 )

Откуда следует, что

θ =b

ω sin pt − p sin ωt ω (ω 2 − p 2 )

(73)

Переходя в выражении (73) к пределу при p → ω . Получаем θ=−

b sin ωt (t cos ωt − ) 2ω ω

(74)

Из выражения (74) вытекает, что амплитуда колебаний растет пропорционально времени. Как известно, это явление называется «резонансом». При резонансах, чтобы получить ограниченное решение, необходимо учитывать диссипативные силы, которые гасят колебания. В нерезонансном случае общее решение исходной задачи о малых колебаниях представляется в виде n ~ r r n r q = ∑ As z s sin(ω s t + ε s ) + ∑θ s z s s =1

где

(75)

s =1

As , ε s - произвольные постоянные, которые определяются по заданным

~ начальным условиям, θ s – формулами (71), (72). Метод определения постоянных, описанный в §1, легко переносится на выражен (75). Литература 1. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.-М.: Наука, 1966. -752 с. 2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. -М.: Наука, 1975. -431 с. 3. Маркеев А.П. Теоретическая механика. -М.: Наука, 1990.- 414 с. 4. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Том 1: Кинематика, статика, динамика материальной точки (6-е издание).-М.: Наука, 1965. -468 c. 5. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Том 2: Динамика системы материальных точек (4-е издание). -М.: Наука, 1966. -332 c. 32