Геометрия: Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета. Часть 1

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра геометрии

ГЕОМЕТРИЯ Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета Часть 1

Екатеринбург 2008

Данное пособие является составной частью учебнометодического комплекса по дисциплине «Геометрия». Оно призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы к экзамену. Составители: Толстопятов В. П., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры геометрии Унегова Т. А., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры геометрии Дударева Н. В., к. пед. н., доцент кафедры геометрии

2

Содержание 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Программа курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Лекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Практические занятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Материалы для практических занятий и домашних работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Вариант контрольной работы по теме «Геометрические преобразования плоскости» . . . . . . . . . . . . .18 Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3

1. Программа курса 1. Геометрические преобразования Группы преобразований. Геометрия множества. Аффинные преобразования. Движения. Подобия. 2. Построения циркулем и линейкой Аксиомы построений. Основные задачи на построение в школьном курсе геометрии. Метод пересечений. Метод движений. Метод подобий. Алгебраический метод. Метод инверсии. Теорема МораМаскерони о разрешимости задачи на построение одним циркулем. Примеры решения задач на построение одним циркулем 3. Выпуклые многогранники Многогранная поверхность. Выпуклый многогранник. Существование пяти типов правильных многогранников. Элементы симметрии правильного многогранника. 2. Лекции 1. Группа преобразований плоскости. Подгруппы группы преобразований. 2. Движения плоскости. Задание движения парой ортонормированных реперов. Свойства движений. 3. Движения I и II рода. Аналитическое задание движений. 4. Классификация движений. 5. Группа движений плоскости, еѐ подгруппы. Группа симметрий геометрической фигуры. 6. Преобразование подобия. Гомотетия. 7. Аффинные преобразования. Родство. 4

8. Группа аффинных преобразований. Эрлангенская программа Ф. Клейна. 9. Инверсия. Метод инверсии. Теорема МораМаскерони. 10. Аффинные преобразования аффинного n-мерного пространства. 11. Линейный оператор, индуцированный аффинным преобразованием. Аналитическое задание аффинных преобразований. 12. Движения евклидова пространства. 13. Простейшие геометрии аффинного типа 14. Классификация движений трехмерного евклидова пространства. 15. Многогранная поверхность. Выпуклый многогранник. 16. Существование пяти типов правильных многогранников. 17. Элементы симметрии правильного многогранника. 18. Элементы симметрии правильного многогранника. 3. Практические занятия 1. Аксиомы конструктивной геометрии. Основные построения. 2. Геометрические места точек. 3. Метод пересечения. 4. Метод пересечения. 5. Метод подобия. 6. Метод подобия. 7. Метод преобразований. 8. Метод преобразований. 5

9. Метод преобразований. 10. Метод преобразований. 11. Алгебраический метод. 12. Алгебраический метод. 13. Построение правильных многоугольников. 14. Задачи, неразрешимые с помощью циркуля и линейки. 15. Построения другими инструментами. 16. Движения плоскости. 17. Подобия плоскости. Гомотетия. 18. Аффинные преобразования плоскости.

4. Материалы для практических занятий и домашних работ Занятие 1. Аксиомы конструктивной геометрии. Основные построения: 1. Построение отрезка, равного данному. 2. Построение середины отрезка. 3. Построение биссектрисы угла. 4. Построение угла, равного данному. 5. Построение перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную точку. 6. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой. 7. Построение треугольника по трем сторонам. 8. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. 9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам. 6

10. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу. 11. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету. 12. Построение проходящей через данную точку касательной к окружности. Занятие 2. Геометрические места точек. 1. Построение множества всех точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка. 2. Построение множества всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от заданной прямой. 3. Построение множества всех точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых. 4. Построение множества всех точек плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых. 5. Построение множества всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под прямым углом. 6. Построение множества всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под данным углом. 7. Построение множества всех точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно и отлично от единицы. Домашнее задание. ИДЗ №1. Построение множества точек. [9].

7

Занятие 3-4. Метод пересечений. Задачи. Построить треугольник, зная: 1. a,  , ha 11. c, mb , mc ; 2. hc , hb ,  12.  , b, hc ; 3.  , hb , hc 13. c, ma , hc ; 4. b, hb , mb 14. c,  , hc ; 5. p,  , hb 15. c,  , r ; 6. b, c, ma 16.  , hc , p ; 7. a, ma ,  17. p,  ,  ; 8. a,  , hb 18. a, ha , mc ; 9. BC , D – основание 19. a,  , mb . биссектрисы угла A ,  10. c, mc , R 20. c, mb , mc ; 21.Построить общую касательную к двум заданным окружностям. 22.Пострпоить окружность, проходящую через заданную точку и касающуюся данной прямой в данной точке. 23.Построить окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой в данной на этой прямой точке. 24.Построить прямоугольник по диагонали и отношению сторон. Домашнее задание. ИДЗ №2. Метод пересечений. [9]. Занятие 5-6. Метод подобия (построение прообраза искомой фигуры). Задачи 1. Построить треугольник, если даны  ,  , q  a  ha . 2. Построить треугольник, если даны a,  , b : c  2 : 1 . 8

3. Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и сумме основания и высоты к основанию. 4. Построить треугольник, если даны  ,  , r . 5. В данный треугольник вписать ромб с данным острым углом  так, чтобы две его вершины лежали на одной стороне, а две другие – соответственно на двух других сторонах треугольника. 6. В данный сектор вписать квадрат так, чтобы две его вершины лежали на дуге сектора, а две другие – на радиусах. 7. Построить ромб со стороной a и отношением диагоналей p : q . 8. Даны прямые l1, l 2 , не параллельные между собой, и точка A . На прямой l 2 построить точку, равноудаленную от точки A и прямой l1 . 9. Построить параллелограмм по заданным стороне, отношению диагоналей и углу между стороной и диагональю. Занятие 7. Метод преобразований (построение прообраза искомой фигуры). Задачи 1. Построить окружность, касающуюся двух данных параллельных прямых и проходящую через данную точку. 2. В данную окружность вписать квадрат так, чтобы прямая, содержащая одну из его сторон, проходила через данную точку. 9

3. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных концентрических окружностей. 4. Построить точку X так, чтобы касательные, проведенные из этой точки к двум данным окружностям образовывали угол, равный данному, а отрезок от точки X до точки касания с одной из окружностей равнялся данному отрезку p . 5. Даны две окружности с общим центром O . Построить луч с началом O так, чтобы отрезок, заключенный между окружностями был виден из данной точки под данным углом. Домашнее задание. ИДЗ №3. Метод преобразований, [9]. Занятие 8. Метод преобразований (построение точки пересечения фигуры и образа этой или другой фигуры; сближение данных) Задачи 1. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одна его вершина совпадала с данной точкой A , а две другие лежали соответственно на данных прямых l1 , l 2 . 2. Построить отрезок с концами на двух данных окружностях так, чтобы данная точка являлась его серединой. 3. Построить отрезок с концами на двух данных окружностях, равный и параллельный данному отрезку. 4. Построить четырехугольник по сторонам и углу между одной парой противоположных сторон. 10

5. Построить четырехугольник по трем сторонам и углам, прилежащим к четвертой стороне. 6. Построить треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов. Домашнее задание. ИДЗ № 4. Метод преобразований, [9]. Занятие 9-10. Метод преобразований (спрямление ломаной, пополнение данных). Задачи 1. Построить треугольник наименьшего периметра так, чтобы две его вершины лежали на сторонах данного угла, а третья совпадала с данной точкой внутри угла. 2. В данный треугольник вписать треугольник наименьшего периметра. 3. На данной прямой построить точку так, чтобы сумма расстояний от нее до двух заданных точек была наименьшей. 4. На данной прямой построить точку так, чтобы разность расстояний от нее до двух заданных точек была наибольшей. 5. Даны прямая l и точки A, B . На прямой l найти точку X такую, что биссектриса угла AXB лежит на прямой l . 6. Построить мост через реку так, чтобы путь из одного пункта в другой был кратчайшим. Домашнее задание. ИДЗ №5. Метод преобразований, [9]. Занятие 11-12. Алгебраический метод. 11

Задачи 1. Построить отрезки, заданные формулами: а) x  a  b ; б) x  д) x  a

a a ...a ab ; в) x  1 2 k ; г) x  ab ; b1b2 ...bk 1 c

p ; е) x  a 2  b 2 ; ж) x  a 2  b 2 . q

2. Построить отрезки, заданные формулами x

a2  b2 4

a  5b 2

2

и x c

ab 4

a  5b 2 c 2

.

3. Построить равносторонний треугольник, равновеликий данному квадрату. 4. Прямой, параллельной стороне треугольника, разбить его на фигуры, площади которых относятся как m : n . 5. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой. 6. Прямой, параллельной основаниям трапеции, разбить ее на две равновеликие трапеции. 7. Построить треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними. 8. Построить треугольник по трем высотам. 9. Построить прямоугольный треугольник по высоте, проведенной из вершины прямого угла, и сумме катетов. Домашнее задание. ИДЗ №6. Алгебраический метод, [9]. Занятие 13. Построение правильных многоугольников. Построение правильного четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника, десятиугольника. 12

Занятие 14. Задачи, неразрешимые с помощью циркуля и линейки. Сообщения студентов. Занятие 15. Построения другими инструментами (с помощью двусторонней линейки, с помощью прямого угла). Задачи 1. Пользуясь только двусторонней линейкой, построить: середину отрезка; биссектрису данного угла; прямую, проходящую через точку на данной прямой и перпендикулярную этой прямой; прямую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой; угол, равный удвоенному данному углу. 2. Пользуясь только прямым углом, построить: прямую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой; середину данного отрезка; отрезок, равный удвоенному данному отрезку; угол, равный удвоенному данному углу; биссектрису данного угла. Занятие 16. Движения плоскости, их свойства. В каждом задании среди предложенных ответов указать либо единственный верный, либо единственный неверный ответ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС 1. Длины отрезков AB и AB равны. Отображение f плоскости переводит данную точку A в точку A и точку B в точку B . Является ли отображение f параллельным переносом? 13

1) Да, в любом случае. 2) Нет, никогда. 3) В некоторых случаях – да. 4) Обязательно, если AB AB . 2. Параллельных переносов плоскости, отображающих прямую a на параллельную ей прямую b существует: 1) ни одного. 2) два. 3) один. 4) бесконечно много. 3.Отображение плоскости f задано формулами: x  ax  b, y  cy  d . Можно ли утверждать, что f является параллельным переносом, если 1) a  c ; 2) a  c  1 ; 3) a  c  1, b  0 ; 4) a  c  1, b  d  0 ? 4. Параллельный перенос, отличный от тождественного имеет инвариантных точек: 1) бесконечно много. 2) ни одной. 3) одну. 4) две. 5. Относительно группы параллельных переносов являются эквивалентными следующие фигуры: 1) две окружности одного и того же радиуса; 2) два направленных отрезка одинаковой длины и одного направления; 3) сонаправленные лучи; 4) два квадрата с равными сторонами. ПОВОРОТ 1. Поворот плоскости RO переводит 1) луч в сонаправленный ему луч; 2) параллельные прямые в параллельные прямые; 3) перпендикулярные прямые в перпендикулярные прямые; 4) пучок прямых с центром в точке O – в себя. 2. Различных поворотов, переводящих точку A в точку B всего существует: 1) один. 2) два. 3) бесконечно много. 4) ни одного. 3. Заданы преобразования: 14

 3 1  y  x   2 2 f1   y  1 x  3 y  2 2

   x  f2   y  

и

1 1 x y 2 3 1 1 x y 2 3

Поворотом являются преобразования: 1) f 1 ; 2) f 2 ; 3) f 1 и f 2 ; 4) ни то, ни другое. 4. Поворот, отличный от тождественного, имеет инвариантных точек: 1) ни одной. 2) одну. 3) ответ зависит от угла поворота. 4) бесконечно много. 5. Относительно группы поворотов с общим центром O следующие фигуры являются эквивалентными: 1) две гиперболы с центром в точке O ; 2) два луча с началом в точке O ; 3) две произвольные прямые; 4) две прямые, одинаково удаленные от точки O ? ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ 1. Отрезки AB и AB являются диагоналями квадрата AABB . Отображение f плоскости переводит точку A в точку A и точку B в точку B  . Отображение f может быть 1) поворотом; 2) осевой симметрией; 3) композицией двух осевых симметрий; 4) параллельным переносом. 2. Точки X и Y не принадлежат прямой m и лежат по одну сторону от неѐ, X   S m  X , Y   S m Y  . Верными являются следующие утверждения: 1) Отрезки XY и X Y  симметричны относительно прямой m. 2) Отрезки XX  и YY  симметричны относительно прямой m. 15

3) Отрезки XY  и YX  симметричны относительно прямой m. 4) Условие задачи « X и Y лежат по одну сторону от прямой m » не является существенным для первых трех утверждений. 3. Отображение f плоскости задано формулами: x  ax, y   cy . Можно ли утверждать, что f является осевой симметрией, если 1) a  1, c  1 ; 2) a  c  1 ; 3) a  c ; 4) a  c ? 4. Осевая симметрия имеет инвариантных прямых: 1) одну. 2) две. 3) бесконечно много. 4) ни одной. 5. При каком взаимном расположении прямых l и m справедливо равенство Sl  S m  S m  Sl ? 1) l  m   ; 2) l  m   ; 3) l  m ; 4) l m . ДВИЖЕНИЯ 1. Длина отрезка AB равна длине отрезка AB . Отображение f плоскости переводит точку A в точку A и точку B в точку B  . Является ли f движением? Ответ: 1) да, безусловно; 2) нет, ни в коем случае; 3) да, если только сохраняет длины всех отрезков; 4) да, если AB AB . 2. Сколько всего различных движений отображают равносторонний треугольник на себя? Ответ: 1) ни одного; 2) три; 3) шесть; 4) бесконечно много. 3. При каком значении  отображение, заданное формулами x  x  y  3, y   y  7 является движением? Ответ: 1)  

2 2)   1 ; 3)   0 ; 4) ни при каком  . 2 16

4. Движение плоскости имеет не более одной инвариантной точки. Это движение может быть 1) параллельным переносом; 2) движением первого рода; 3) осевой симметрией; 4) скользящей симметрией. 5. Следующих совокупностей движений являются группами: 1) совокупность всех параллельных переносов в заданном направлении; 2) совокупность всех поворотов с центром в данной точке; 3) совокупность всех движений, отображающих данный равнобедренный треугольник на себя; 4) совокупность всех движений первого рода. Занятие 17. Подобия плоскости. Гомотетия. ГОМОТЕТИЯ 1. Даны два параллельных отрезка a и b различной длины. Сколько всего существует гомотетий, отображающих отрезок a на отрезок b ? 1) Ни одной. 2) Одна. 3) Две. 4) Бесконечно много. 2. Гомотетия H O3 сохраняет: 1) сонаправленность лучей; 2) перпендикулярность прямых; 3) коллинеарность векторов; 4) направление на плоскости? 3. Гомотетия H C3 , где C  1,2 , определяется формулами: 1) x  3x  1, y   3 y  2 ; 2) x  3x, y   3 y  2 ; 3) x  3x  2, y   3 y  4 ; 4) x  3x  2, y   3 y  4 . 4. Гомотетия, отличная от тождественного преобразования, имеет инвариантных точек: 17

1) ни одной; 2) одну; 3) ответ зависит от коэффициента гомотетии; 4) бесконечно много. 5. Композиция гомотетий H O4  H O4 является: 1) гомотетией; 2) поворотом; 3) центральной симметрией; 4) тождественным преобразованием? Занятие 18. КР по теме «Геометрические преобразования плоскости» 5. Вариант контрольной работы по теме «Геометрические преобразования плоскости» 1. Даны преобразования  x  2 x  3 y f :  y  x  y  5

и

 x   x  y  1 . g:  y  2x  3

Найдите: а) композицию преобразований f  g ; б) формулы преобразования, обратного к f; в) неподвижные точки и прямые преобразования g. 2. Напишите формулы аффинного преобразования плоскости, при котором точки A(0,0), B(2,1), C (1,2) переходят соответственно в точки A(0,1), B(0,6), C(5,1) . 3. Напишите формулы: а) центральной симметрии плоскости относительно точки A(3,7) ; б) параллельного переноса плоскости на вектор a  (2,1) ; в) поворота плоскости вокруг точки C (1,3) на угол 

 4

; 18

г) осевой симметрии плоскости относительно прямой x  2y  3  0 ; д) гомотетии с центром в точке S (1,3) и коэффициентом k  3 . 4. Определите вид преобразования плоскости, заданного формулами 3 4 4 3 f : x  x  y  2, y   x  y  5 . 5 5 5 5

6. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний 1. Дан правильный шестиугольник ABCDEF . O – точка пересечения его диагоналей. Сумма векторов AB  OE равна a) BO ; b) OA ; c) BE ; d) AE ; e) AO . 2. Векторное

произведение

векторов

a  (1,3,1)

и

b  (2,6,1) , координаты которых заданы относительно

ортонормированного базиса, равно: a) (2,18,1) ; b) 325 ; c) (3,3,12) ; d) 3,3,12) ; e) 9 2 . 3. Заданы точки A(3,4) и B(3,8) . Найдите координаты точки C такой, что ( AB, C )  5 . a) (2,6) ; b) (0,

22 12 36 4 ) ; c) (12,36) ; d) ( , ) ; e) (0, ) . 3 5 5 5

19

4. Общее уравнение прямой, проходящей через точку A(3,4) параллельно вектору a  (1,2) имеет вид

a) 2 x  y  2  0 ; b) 2 x  y  10  0 ; c)  x  2 y  11  0 ; d) 3x  4 y  7  0 ; e) 4 x  3 y  2  0 . 5. Относительно аффинной системы координат уравнение

x2 y2   0 задает a2 b2

a) эллипс; b) гиперболу; c) параболу; d) мнимый эллипс; e) пару пересекающихся прямых. 6. В треугольнике ABC AM и BH – медианы. Найдите координаты вектора BH в базисе B  ( AM , BM ) . 7. Составьте уравнения биссектрис углов, образованных при пересечении прямых 3x  4 y  1  0 и 5x  12 y  3  0 . 8. Составьте каноническое уравнение эллипса, если его малая ось равна 6, а расстояние между фокусами равно 8. 9. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения прямых, содержащих соответственно две его стороны

и

одну

из

его диагоналей:

x  3 y  8  0 , 2x  y  4  0 .

20

x  3 y  12  0 ,

10. Составьте уравнение множества всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до точки A(2,0) в два раза больше расстояния до прямой x  1  0 .

7. Вопросы к экзамену 1. Отображения и преобразования множеств. Композиция преобразований. Группа преобразований множества. Подгруппа группы преобразований. «Эрлангенская программа» Ф. Клейна. 2. Движения плоскости (определение, примеры). Теорема о задании движения парой соответствующих ортонормированных реперов. 3. Свойства движений. 4. Два вида движений. Формулы движений I и II рода. 5. Теорема о разложении движения плоскости в композицию не более трех осевых симметрий. Классификация движений. 6. «Эрлангенская программа» Ф. Клейна. Группа движений плоскости, ее подгруппы. Геометрия движений. 7. Группа симметрий геометрической фигуры. Примеры. 8. Преобразования подобия. Гомотетия как пример преобразования подобия. 9. Аналитическое задание гомотетии. Свойства гомотетии.

21

10. Теорема о разложении подобия в композицию гомотетии и движения. Свойства подобий. Формулы подобия. 11. «Эрлангенская программа» Ф. Клейна. Группа подобий и ее подгруппы. Примеры подобных фигур. Геометрия подобий. 12. Аффинные преобразования плоскости. Теорема о задании аффинного преобразования парой соответствующих аффинных реперов. 13. Свойства аффинных преобразований. Формулы аффинного преобразования. 14. Перспективно-аффинное преобразование. 15. «Эрлангенская программа» Ф. Клейна. Группа аффинных преобразований, ее подгруппы. Аффинная геометрия. 16. Инверсия. Метод инверсии при доказательстве теоремы Мора-Маскерони. 17. Классификация движений трехмерного евклидова пространства. 18. Представление движений пространства в виде композиции отражений от плоскости. 19. Многогранная поверхность. Выпуклый многогранник. 20. Теорема Декарта-Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника. 21. Правильные многогранники. Теорема о существовании пяти типов правильных многогранников. Теорема о существовании правильных многогранников каждого типа. 22. Группы симметрий правильных многогранников. 22

23. Аксиомы конструктивной геометрии, аксиомы циркуля и линейки. Простейшие и основные построения. Множества точек, используемые при решении задач на построение. 24. Метод пересечений. Примеры задач. 25. Метод подобия в решении задач на построение. 26. Метод преобразований в решении задач на построение, прием: построение точки пересечения данной фигуры и образа этой или другой данной фигуры. 27. Метод преобразований в решении задач на построение, прием: пополнение данных. 28. Метод преобразований в решении задач на построение, прием: спрямление ломаной. 29. Алгебраический метод в решении задач на построение. 30. Построение правильных многоугольников.

8. Литература Основная 1. Аргунов, Б. И. Задачник-практикум по геометрии [Текст]/ Б. И. Аргунов. – М.: Просвещение, 1979. 2. Аргунов, Б. И. Преобразования плоскости [Текст]: учеб. пособие для студ.-заочников / Б. И. Аргунов. – М.: Просвещение, 1976. 3. Аргунов, Б. И. Геометрические построения на плоскости [Текст] / Б. И. Аргунов, М. Б. Балк. – М.: Просвещение, 1957. 4. Атанасян, Л. С. Геометрия. Ч.I [Текст] / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1986. 23

5. Атанасян, Л. С. Сборник задач по геометрии. Ч. 1 [Текст] /Л. С. Атанасян, В. А. Атанасян. – М.: Просвещение, 1973. – 256 с. 6. Базылев, В. Т. Геометрия. Ч 1 [Текст] : учеб. пособие / В. Т. Базылев, К. И. Дуничев, В. П. Иваницкая. – Б.м.:Б.и., 2004. – 351 с. 7. Геометрические преобразования [Текст]: сост. Ю. Н. Мухин, Т. А. Унегова, Г. Ф. Шульгина. – Екатеринбург: УрГПУ, 1996. – 32 с. 8. Жафяров, А. Ж. Геометрия. Ч. 1 [Текст]: учеб. пособие / А. Ж. Жафяров. – Новосибирск: Сибирское университет. изд-во, 2002. – 271 с. 9. Индивидуальные задания по конструктивной геометрии [Текст]: сост. Т. А. Унегова. – Екатеринбург: УрГПУ, 1999. – 34 с. 10. Основные методы и приемы решения задач конструктивной геометрии [Текст]: пособие для студ. педвузов и учителей; сост. Н. В. Дударева. – Екатеринбург: УрГПУ, 2001. – 92 с. 11. Саранцев, Г. И. Сборник задач на геометрические преобразования [Текст] / Г. И. Саранцев 2-ое изд. – М.: Просвещение, 1981. Дополнительная 1. Александров, И. И. Сборник геометрических задач на построение [Текст] / И. И. Александров. – М.: Учпедгиз, 1950. 2. Варданян, С. С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием [Текст] / С. С. Варданян. – М.: Просвещение, 1989. 24

3. Гусев, В. А. Преобразования пространства [Текст] / В. А. Гусев. – М.: Просвещение, 1979. 4. Моденов, П. С. Геометрические преобразования [Текст] / П. С. Моденов, А. С. Пархоменко. – М.: Издво МГУ, 1961. 5. Погорелов, А. В. Геометрия для 7-11 кл. [Текст] / А. В. Погорелов. М.: Просвещение (издания с 1992 г.). 6. Шарыгин, И. Ф. Геометрия для 7-9 кл. / И. Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1999. 7. Козлов, Н. А.Старые знакомые [Текст]: Конспект открытого урока / Н. А. Козлов // Математика в школе. – 2001. – №2.

25

Учебно-методическое издание Геометрия. Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета. Часть 1 Составители: Толстопятов В. П., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры геометрии Унегова Т. А., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры геометрии Дударева Н. В., ., к. пед. н., доцент кафедры геометрии

26

Геометрия Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета Часть 1

Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. Печ. л. 1,5 Тираж 100 экз. Заказ Уральский государственный педагогический университет 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

27