Температурные зависимости сопротивления различных веществ. Часть II. Полупроводники. Методические указания к лабораторной работе

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н.И. Волчанский

А.С. Шагинян

А.П. Землянов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторной работе: ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЩЕСТВ. ЧАСТЬ II. ПОЛУПРОВОДНИКИ.

г.Ростов-на-Дону 2003

2

Печатается по решению методической комиссии физического факультета Ростовского Государственного Университета. Протокол № от .

Составители: Волчанский Н.И., студент II курса физфака РГУ; Землянов А.П., доцент кафедры общей физики; Шагинян А.С., студент II курса физфака РГУ.

3

Содержание. Краткие сведения о полупроводниках и их механизме электропроводности.___________________________________________________ 4 Общая классификация веществ по величине удельного сопротивления. Определение полупроводников. _____________________ 4 Пояснения к понятию полупроводников._____________________________4 Качественные эмпирические свойства полупроводников.______________4 Классификация по типу химического строения и примеры полупроводников.___________________________________________________5 Элементы зонной теории электропроводности твёрдого тела. __________6 Анализ определения полупроводников с позиции зонной теории. Объяснение второго эмпирического свойства полупроводников.___________________________________________________9 Механизм электропроводности собственных полупроводников._______10 Электропроводность примесных полупроводников.__________________11 Температурная зависимость сопротивления полупроводников.________13

Описание лабораторной работы.________________________________16 Описание необходимых частей установки.__________________________16 Измерение сопротивлений методом омметра.________________________17 Метод расчёта погрешности результатов.____________________________17 Ход работы._______________________________________________________18 Обработка результатов измерений._________________________________19

Контрольные вопросы.__________________________________________21 Пример программы для численной аппроксимации в среде Maple V Release 4._______________________________________________24 Список рекомендуемой литературы._____________________________25

4

ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ТЕКСТЕ ЗАДАНИЯ НЕОБХОДИМО ВЫПОЛНЯТЬ, ПОСКОЛЬКУ НЕ ВСЯ ВАЖНАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛОЖЕНА В МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЯХ. Краткие сведения о полупроводниках и их механизме электропроводности. Общая классификация веществ по величине удельного сопротивления. Определение полупроводников.

Классифицируя вещества по величине удельного сопротивления, физика твёрдого тела выделяет три основных класса: металлы, диэлектрики и полупроводники. К последним относят вещества, электропроводность которых обусловлена движением электронов, а удельное сопротивление ρ при комнатных температурах варьируется в пределах от 10-4 до 1010 Ом·м (вещества с большими значениями ρ— диэлектрики, а с меньшими— металлы). Пояснения к понятию полупроводников.

1. Определение, данное выше, подобно многим другим в физике, нельзя воспринимать как совершенно точное. Так, полупроводниками принято называть ещё и многие из веществ, у которых удельное сопротивление с ростом температуры падает. При этом его величина при комнатных температурах может быть даже такой, как у металлов (полупроводниковые металлические сплавы). 2. Заметим, что электропроводность полупроводников обусловлена движением именно электронов, поскольку существуют материалы с такими же, как у полупроводников, значениями удельной проводимости, но носителями заряда в которых являются ионы. В этих веществах прохождение электрического тока сопровождается электролизом, поэтому их принято называть твёрдыми электролитами. Между тем они не нашли широкого применения в технике, тогда как материалы с электропроводностью, обусловленной электронами, определяют технологии современной микроэлектроники. Поэтому именно за последними закрепилось название «полупроводники». Качественные эмпирические свойства полупроводников.

Экспериментально установлены следующие свойства полупроводников:

5

• полупроводниковые свойства вещества определяются прежде всего взаимодействиями атомов— ближайших соседей (то есть определяются ближним порядком решётки); • количество носителей заряда в полупроводниках сильно меняется в зависимости от внешних факторов и, прежде всего, от температуры; • температурный коэффициент сопротивления полупроводников отрицателен в широкой области температур, то есть удельное сопротивление полупроводниковых материалов, как правило, уменьшается с увеличением температуры; lnR

R, Ом

103/T

T, К

Температурная зависимость сопротивления полупроводников • введение примесей в кристаллическую решётку полупровод-

никового кристалла— легирование полупроводника – увеличивает его проводимость. Сравните эти свойства полупроводников с аналогичными свойствами металлов. [2] Классификация по типу химического строения и примеры полупроводников.

Полупроводниками является огромное число распространённых в природе элементов и веществ. Выделяют следующие их главные классы: • атомные полупроводники: кремний, германий, графит, селен, серое олово (α-модификация олова, стабильная при температурах, меньших 13,5°С) и некоторые другие простые вещества; • полупроводники с ионной решёткой: соли, в которых атомы связаны кулоновскими силами, например поваренная соль NaCl; • полупроводниковые соединения с валентными связями: карбид кремния SiC, арсенид галлия GaAs и другие вещества, атомы которых образуют кристаллы, организованные как одна гигантская молекула;

6

• аморфные и жидкие полупроводники: аморфный селен, халькогенидные стёкла (сплавы Tl, P, As, Bi с S, Se, Te). То, что эти и некоторые другие некристаллические вещества обладают полупроводниковыми свойствами, объясняется высокой степенью упорядоченности их структуры на микрорасстояниях, а для типа вещества важен именно ближний порядок (смотрите предыдущий раздел); • органические полупроводники: хлорофилл, полиэтилен, нафталин, β-каротин. Уже указывалось, что введение примесей в кристаллическую решётку полупроводника значительно увеличивает его проводимость. Поэтому удобно выделять собственные полупроводники (беспримесные) и примесные полупроводники. Элементы зонной теории электропроводности твёрдого тела.

1. Для совершенно строгого описания механизма электропроводности твёрдого тела пришлось бы построить модель, в которой последовательно учитывается взаимодействие: • электронов проводимости между собой; • электронов проводимости с ионами кристаллической решётки. Другими словами, необходимо решать задачу многих тел. Очевидно, что в данном случае это невозможно сделать, даже прибегая к помощи методов математического моделирования, ведь число частиц в кристалле колоссально (~1026). По этой причине необходимо внести в постановку задачи какие-то упрощения. Как показывает эксперимент, хорошее совпадение теории с опытом можно получить: • предположив, что ионы неподвижны в силу их сравнительно больших масс; • рассматривая электроны кооперативно— как отрицательно заряженный газ, молекулы которого не взаимодействуют; • упрощая форму потенциалов ионов (в модели Кронига и Пенни кристалл заменяется на линейную цепочку прямоугольных потенциальных ям). Теорию электропроводности твёрдых тел, основанную на этих приближениях, называют зонной теорией. Зонная теория рассматривает движение уже единственного электрона в постоянном периодическом поле, то есть описание механизма электропроводности сводится к решению одночастичной задачи. Поскольку движение электронов подчиняется квантовым законам, количественную оценку делают, приближённо решая уравнение Шрёдингера (основное уравнение квантовой механики). В

7

результате получается некоторая структура энергетических уровней электрона, которая на качественном уровне описана ниже. E 2. В изолированном атоме, согласно квантово–механическим представлениям, энергия электрона может принимать значения лишь из некоторого дискретного спектра. При этом только два электрона с противоположными спинами могут одновременно находиться в E2 состояниях с одинаковой энергией (запрет Паули для фермионов), то есть n энерге- E1 тическим уровням атома соответствует 2n кванЭнергетический товых состояний электронов. спектр изолироПонятно, что если в изолированных атомах ванного атома энергия электронов обладает дискретным спектром, то и в кристалле, из них состоящем, энергия будет меняться, вообще говоря, дискретно. Но как именно? Представим себе m бесконечно удалённых одинаковых атомов. Их энергетические спектры, очевидно, совпадают. Если же теперь начать сближать эти атомы, то за счёт E увеличивающегося взаимодействия каждый энергетический уровень каждого атома незначительно сдвинется. Разрешенная Поэтому в целом кристалле энергети- E зона 2 ческому уровню изолированного атоЗапрещенная ма соответствует m близко располозона женных. Причём за счёт этой близос- E1 ти и колоссальной величины m можно считать, что энергия в сравнительЭнергетический но широких пределах меняется неспектр кристалла прерывно. 3. В зонной теории принята следующая терминология: • разрешённые зоны—участки «непрерывных» значений энергии; • потолок зоны— максимальное значение энергии в зоне; • дно зоны– минимальное значение энергии в зоне; • расщепление уровня— возникновение зоны из соответствующего энергетического уровня; • квазинепрерывность («квази»– «как если бы»)— «непрерывность» энергий в пределах зоны;

8

• запрещённые зоны— промежутки между потолком одной зоны и дном следующей, то есть области значений энергии, которые электроны в кристалле принимать не могут; • ширина зоны– разность между максимальным и минимальным значениями энергии в данной зоне; • валентная зона– энергетическая зона, образовавшаяся после расщепления уровня, на котором ранее находились валентные электроны; • зона проводимости— следующая за валентной, пустая при 0 K энергетическая зона. Уже указывалось, что электрические свойства вещества определяются взаимодействиями между соседними атомами, а они осуществляются валентными электронами. Таким образом, для объяснения механизма электропроводности оказываются важны только валентная зона и зона проводимости, поэтому далее будут рассматриваться только они, а под словами «запрещённая зона» будет пониматься лишь та, что разделяет валентную зону и зону проводимости. Причём ширину этой запрещённой зоны называют энергией активации (смысл данного термина станет понятен позже). 4. Сделанное только что замечание ясно указывает на важное преимущество зонной теории: она рассматривает исключительно электроны валентной зоны, а это лишь незначительная часть общего числа электронов. 5. Расщепление энергетических уровней может происходить с самыми разными особенностями. Может произойти и так, что соседние зоны сольются (соприкоснутся) или перекроются (края зон наложатся друг на E друга). 6. Полностью заE2 полненная электронами зона ток не проводит, поскольку электроны в пределах такой E1 зоны могут лишь взаимно обмениваться квантовыми состояниями. r1 r2 r3 r r→∞ 7. ЭксперименДиаграмма расщепления энергетических уровней в тально установлены зависимости от расстояния между атомами следующие особенносr1 – перекрывание зон характерное для металлов r2 – слившиеся зоны r3 – полупроводники (запрещённая зона есть)

9

ти зонных спектров веществ: • в металлах валентная зона заполнена частично либо полностью, если перекрывается с последующей зоной; • в диэлектриках энергия активации ∆E больше 3 эВ, и при абсолютном нуле температур валентная зона заполнена; • в полупроводниках величина ∆E меньше 3 эВ, и при абсолютном нуле температур валентная зона заполнена. E

∆E > 3 эВ

∆E < 3 эВ

Заполненные уровни

Металлы

Диэлектрики

Полупроводники

Энергетические спектры различных веществ.

Эти экспериментальные факты рассматриваются в зонной теории как исходные определения металлов, диэлектриков и полупроводников. Познакомьтесь с понятием энергии Ферми. [1] Анализ определения полупроводников с позиции зонной теории. Объяснение второго эмпирического свойства полупроводников.

1. Как видно из определений в терминах зонной теории, металлы могут проводить ток даже при 0 K, тогда как валентная зона полупроводников заполнена, а значит, прохождение тока через кристалл невозможно, если только не передать электронам валентной зоны энергию, достаточную для их перехода в свободную зону проводимости. Это обстоятельство принято называть возбуждённым характером электропроводности полупроводников. Именно это отличие полупроводников определяет второе из перечисленных выше эмпирических свойств полупроводниковых материалов: у металлов в электропроводности всегда участвуют все валентные электроны, а у полупроводников число носителей заряда сильно меняется в зависимости от изменения температуры и других внешних условий. В общем, по этой же причине сопротивление полупроводников существенно больше сопротивления металлов.

10

2. Между полупроводниками и диэлектриками зонная теория проводит лишь количественные отличия, заключающиеся в различной ширине запрещённой зоны. Таким образом, всё сказанное о свойствах полупроводников в некотором смысле справедливо и для диэлектриков. Механизм электропроводности собственных полупроводников.

1. При достаточно высокой температуре валентный электрон может получить энергию порядка kT от тепловых колебаний решётки. Этой энергии, благодаря небольшой величине ∆E у полупроводников в отличие от диэлектриков, может хватить на то, чтобы этот электрон перешёл в зону проводимости, где он сможет проводить ток. При этом сама валентная зона тоже становится заполненной не до конца: в ней возникает пустое квантовое состояние, на место которого может перепрыгнуть другой электрон, участвуя при этом в переносе электрического тока. Хотя истинным носителем тока остаётся реальный электрон, эти пустые квантовые состояния формально рассматриваются как положительные носители заряда и называются дырками. Ввести это формальное понятие удобно, поскольку, чем меньше концентрация частиц в зоне, тем проще описывать их движение. Концентрация же дырок в валентной зоне, очевидно, равна концентрации электронов в зоне проводимости и поэтому сравнительно мала при не очень больших температурах (в сравнении, естественно, с концентрацией самих электронов в валентной зоне). Таким образом, дырки ведут себя как ферми-квазичастицы1 (подобно электронам проводимости) с зарядом +e. 2. На первый взгляд может показаться, что в рассматриваемом случае идеально периодического кристалла электропроводность в равной степени определяется как электронами, так и дырками. На самом деле проводимость определяется не только числом носителей заряда, но и их подвижностью. А подвижность (смотрите выражение (2) ) обратно пропорциональна эффективной массе, которая в свою очередь, как оказывается, пропорциональна ширине зоны, в которой находится частица. Зона же проводимости обычно гораздо шире валентной, поэтому подвижность дырок, как правило, меньше подвижности электронов проводимости, и, несмотря на равенство концентраций, «преобладать» в переносе заряда будут электроны. 1

Фермионы— частицы с полуцелым спином. Квазичастицы— частицы, распространяющиеся только в веществе (электроны проводимости, дырки, фононы).

11

Кроме того, в реальных кристаллах повышение температуры приводит к возникновению новых нарушений решётки за счёт теплового движения ионов: они переходят из узлов в междоузлия и между ними меняются расстояния. Это влияет на периодичность решётки и ширину запрещённой зоны. Таким образом в реальных кристаллах с повышением температуры меняется не только величина проводимости, но и тип электропроводности: различают электронную и дырочную электропроводность, в зависимости от превалирующей в переносе заряда частицы, которую тогда называют основной (а другую— неосновной). Аналогично выделяют n–полупроводники (от negative)— полупроводники с электронной электропроводностью и p– полупроводники (от positive)— полупроводники с дырочной электропроводностью. Естественно, существуют и смешанные полупроводники, в которых электропроводность в равной степени определяется как электронами, так и дырками. Тип полупроводника эмпирически определяется по знаку эффекта Холла. Познакомьтесь с сутью метода горячего зонда, эффекта Холла и других гальваномагнитных эффектов. [3]

3. Всё сказанное выше лишь некоторая приближённая модель полупроводника, учесть же все возможные особенности реальных веществ, естественно, невозможно. Кроме того, существуют полупроводниковые материалы, свойства которых это простое приближение и вовсе не описывает. Так, в аморфных полупроводниках (например, халькогенидных стёклах, которые сохраняют полупроводниковые свойства даже в жидком состоянии) дно зоны проводимости и потолок валентной зоны испытывают флуктуации порядка ширины запрещённой зоны (за счёт многообразия положений и взаимных ориентаций атомов), поэтому рельеф краёв этих зон крайне сложен и в некоторых местах запрещённая зона становится очень узкой. Ширина запрещённой зоны может быть различна в разных местах и в кристаллических полупроводниках, имеющих цепочечную (Se и Te) и слоистую структуру (As и Sb). Свойства же органических полупроводников не описываются зонной теорией вовсе. Электропроводность примесных полупроводников.

1. Рассмотрим электропроводность примесных полупроводников на примере германия. Конфигурация внешней электронной оболочки атома этого элемента имеет вид 2s22p2, то есть у германия четыре валентных электрона. Они и участвуют во взаимодействии с соседними четырьмя атомами тетрагональной кристаллической решётки

12

кристалла германия— каждый атом расположен в центре правильного тетраэдра, в вершинах которого находятся его четыре ближайших «соседа». Если теперь в одном из узлов решётки окажется атом с большим числом валентных электронов, например, As, у которого их пять, то один из них окажется ненужным для поддержания связи с соседними атомами. Этот «лишний» электрон оказывается слабо связанным с атомом примеси— как показал Бете, энергия активации примеси ∆Eпр окажется в ε2 раз меньше энергии ионизации атома водорода (ε– диэлектрическая проницаемость вещества). Так, для Ge (ε=16) она составит величину порядка 0,01 эВ (энергия активации германия— 0,75 эВ). Таким образом, этот электрон легко отрывается от своего атома и становится электроном проводимости, получив сравнительно небольшую энергию от тепловых колебаний решётки. На зонной диаграмме кристалла германия легирование Аs будет соответствовать появлению дополнительных энергетических уровней в запрещённой зоне вблизи её верхней границы. Чем меньше ∆Eпр, тем ближе к началу зоны проводимости лежат эти «примесные» уровни и тем легче ионизировать «лишние» электроны. 3. Надо отметить, что в описанном случае дырок в валентной зоне почти нет (при низких температурах), а дырки, образующиеся на атомах примеси, обычно оказываются локализованными, то есть не перемещаются по кристаллу. Впрочем, если объёмная плотность примеси достаточно велика, то на месте примесных уровней может появиться узкая энергетическая зона, тогда-то и станет возможным перемещение дырок на примесных уровнях. Возможна ли ситуация, при которой произойдёт перекрывание примесной зоны с зоной проводимости? Если да, то как это повлияет на свойства полупроводника? [5]

4. Если легировать в кристалл германия примесь с меньшим числом валентных электронов, чем у германия, например индий, то примесные атомы будут стремиться захватить недостающие электроны из кристаллической решётки. Это означает, что на атоме примеси образуется дырка, а на зонной диаграмме, в запрещенной зоне, появляются незаполненные примесные уровни, лежащие вблизи границы валентной зоны. Причём, аналогично предыдущему случаю энергия активации примесных уровней ∆Eпр значительно меньше ширины запрещённой зоны. Если теперь электрону валентной зоны будет передана энергия ∆Eпр, то он перепрыгнет на акцеп-

13

торные уровни, а дырка окажется свободной и перейдёт в валентную зону. 5. Примеси, отдающие свои не задействованные в связях с соседними атомами валентные электроны, называют донорными («отдающими»). Примеси же, забирающие валентные электроны из решётки называют акцепторными («принимающими»). Типичными донорами в Ge и Si (4 валентных электрона) являются атомы элементов V группы P, As, Sb (5 валентных электронов), а акцепторами— элементы III группы—B, Al, Ga, In (3 электрона на внешней энергетической оболочке). Температурная зависимость сопротивления полупроводников.

1. Пусть частица движется в стационарном периодическом поле решётки и сверх того на неё действует какая-то сила величины F. Тогда, как строго доказывает квантовая теория, для её движения остаётся формально справедлив второй закон Ньютона dv F (1) = ,

~

~ dt m

причём m есть так называемая эффективная масса, которая обычно больше, но может быть и меньше массы частицы m. Этот факт даёт нам право записывать многие соотношения классической теории электропроводности Друде-Лоренца, лишь заменяя массу частицы на её эффективную массу. Так, без повторения вывода мы примем выражения λ=nqu (2) и ql u= ~ , 2mv

(3)

где λ— удельная проводимость, n— концентрация носителей заряда, q— величина заряда, u— его подвижность, l — средняя длина свободного пробега, v— тепловая скорость частиц. Изучите вывод формул (2) и (3). [3]

2. Как видно из выражения (2), проводимость пропорциональна концентрации носителей заряда и их подвижности. Между тем, как показывают экспериментальные измерения, решающее влияние на величину подвижности оказывает только концентрация: при больших температурах подвижность носителей слегка уменьшается, тогда как проводимость возрастает в несколько раз; с другой стороны,

14

подвижность носителей заряда в полупроводниках существенно больше, чем в металлах, а проводимость, наоборот, меньше. 3. Для примесного полупроводника с донорной примесью проводимость будет равна сумме проводимостей, обусловленных движением собственных электронов, дырок и примесных электронов: λ= n 0e+ u + + n 0e− u − + n1e− u − , (4) где n0 — концентрация собственных носителей заряда, n1 – концентрация примесных электронов проводимости, e− и e+ , n − и n + — соответственно заряды и подвижности электронов проводимости и дырок. В статистической физике строго доказывается, что вероятность W перехода электрона через запрещённую зону ширины ∆E составляет величину порядка Ae—(∆E/kT) . (5) Число носителей заряда пропорционально этой вероятности, а значит, для величины собственной проводимости получается выражение n 0 e + u + + n 0 e − u − =λ0e—(∆E/kT) , (6) где λ0— некоторая величина, ρ меняющаяся с изменением темпеρ0 ратуры незначительно в сравнении с экспоненциальным множителем. ρ=ρ0e∆E/kT Концентрация электронов проводимости, принадлежащих примесным атомам, также будет 0 T пропорциональна выражению (5), в котором теперь вместо ∆E будет фигурировать ∆Eпр. Тогда для величины примесной проводимости получим: n 1 e − u − =λ1(n)e—(∆Eпр/kT) , (7) где величина λ1 есть теперь функция концентрации примеси в кристалле. Понятно, что аналогичный результат для третьего слагаемого в (4) будет получен, если полупроводник будет легирован акцепторной, а не донорной примесью. Окончательный результат: λ=λ0 e—(∆E/kT) +λпр(n)e—(∆Eпр/kT) . (8) 3. При больших температурах (kT>>∆Eпр), когда собственная проводимость велика, можно пренебречь вторым слагаемым в (8). Если же температура такова, что собственная проводимость ещё не включилась (kT<<∆E) и электроны переходят в зону проводимости редко, то уже первое слагаемое оказывается слишком малым в

15

сравнении со вторым. При выполнении обоих условий одновременно (на примесных уровнях электронов уже нет, а электроны валентной зоны в проводимости ещё не задействованы— концентрация носителей заряда постоянна), проводимость слегка убывает за счёт уменьшения подвижности ∆Enp<< kT lnR (конечно же, для каких-то оп∆E >> kT ∆Enp >> kT ределённых примесных полупроводников такого интервала температур может и не ∆E < kT быть).

График функции (8) в 103/T координатах (lnR,103/T)

16

ПЕРЕД ТЕМ, КАК ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ, ВНИМАТЕЛЬНО ОЗНАКОМЬТЕСЬ С ОПИСАНИЕМ УСТАНОВКИ, ТЕХНИКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ДЕЙСТВИЙ!!! Описание лабораторной работы. Описание необходимых частей установки.

Внешний вид установки изображен на рисунке 1: 1. корпус установки; 2. панель управления; 3. выдвижной ящик с мультиметрами; 4. печь. Панель установки изображена на рисунке 2: W1— ручка, устанавливающая верхний предел температуры нагрева— как только температура печки достигает установленной печь переходит в режим термостатирования и температура не повышается; W2—ручка, устанавливающая мощность нагрева;

B1—включение датчика температур; после нажатия на кнопку B1 на экране панели, отображается текущая температура печи;

17

C1—гнездо «Термостат», к которому подключается кабель, соединяющий печку и установку; S1—тумблер, включающий нагрев печи; S3—тумблер, включающий питание установки. Также для выполнения работы необходимы мультиметр и модуль «Полупроводники», в котором находится изучаемый образец полупроводника в парафине. Действия с ними описаны в разделе «Ход работы», а здесь укажем лишь разрешение мультиметра в режиме омметра на разных пределах: Предел Разрешение, Ом 200Ω

0,1

2000Ω 20КΩ 200КΩ

1 10 100

2000КΩ

1000

Измерение сопротивлений методом омметра. >, r Метод омметра крайне прост— его схема изображена на рисунке, причём гальванометр можно проградуировать в единицах сопротивR ления. A Методом омметра можно измерять лишь достаточно высокоомные сопротивления (для данной установки более 10 Ом с погрешностью 0,1 Ом). Для повышения точности можно вычитать сопротивление подводящих проводов. Метод расчёта погрешности результатов.

1. Часто заранее известно, какого вида функция y(x, a1 ,a2 ,a3 , …) должна описывать зависимость двух величин x и y, и требуется найти числовые параметры этой функции a1, a2 ,a3 ,… по некоторому экспериментально установленному набору пар (xi ,yi). Общий подход к этой задаче даёт способ наименьших квадратов, предложенный Лежандром и Гауссом. Заключается он в минимизации квадратичной погрешности результата. Например, для зависимости у(x)=ax+b необходимо найти минимум выражения σ(a,b)=Σ(yi – axi - b)2. (9) Отсюда легко видеть, что искомые параметры a и b можно найти, решив систему двух уравнений σa’=0, σb’=0 (10) (которые называются нормальными).

18

2. Допустим, аппроксимация результатов эксперимента методом наименьших квадратов даст линейную зависимость y(x)=ax+b (в данной лабораторной работе y≡lnR, x≡103/T). Как найти погрешность определения углового коэффициента этой прямой? Для каждой экспериментальной точки xi можно вычислить отклонение опытного результата yi от аппроксимированной кривой как ∆yi=yi –y(xi). С другой стороны, ∆yi =∆(ax)+∆bij=xi∆aij+a∆x+∆bij , где ∆x и ∆bij— погрешности определения величин x и b соответственно. Выбрав произвольно два значения xi, xj , можно повторить для них те же действия, в результате которых будет получена замкнутая система двух уравнений относительно неизвестных ∆aij и ∆bij : xi ∆aij + ∆bij = ∆yi - a∆x, xj ∆aij + ∆bij = ∆yj - a∆x. Решая эту систему, получим, что

∆aij =

Дy i − Дy j xi − x j

.

Для того, чтобы найти искомую погрешность, остаётся вычислить несколько значений ∆aij для разных пар (i, j) и усреднить их. Полученная погрешность при этом будет характеризовать только лишь качество аппроксимации— именно поэтому в формулу для нахождения ∆aij не входит величина ∆x, тогда как в нашем эксперименте именно неточность нахождения температуры является основной проблемой метода измерений (датчик температур встроен в печку, а не в модуль «Полупроводники»). Выведите формулу для ∆aij , в которой бы учитывались погрешности определения сопротивления и температуры. Ход работы.

1. Проверьте, что питание прибора выключено, а ручка мультиметра находится в положении OFF. 2. Соедините гнездо «Термостат» с гнездом 1 на печи. 3. Смазав каплей глицерина поверхность нагрева печки, установите на неё модуль «Полупроводники», накройте его тиглем и закрепите его. 4. Спросите разрешения преподавателя или лаборанта начинать работу!!! 5. Включите питание установки и переведите мультиметр в режим омметра с максимальным пределом измерения.

19

6. Соедините гнёзда COM и VΩmA мультиметра с разъёмами 1 и 2 модуля «Полупроводники» и найдите подходящий предел измерения. 7. Нажмите кнопку Д1 на панели установки, при этом на электронном табло появится текущая температура печки. Ручку «Нагрев» поставьте на отметку 10–12. 8. Включите нагрев печи и фиксируйте значения сопротивления образца с шагом 50C. Причём, до 700С перед тем, как снять показания мультиметра, каждый раз следует переводить печку в режим термостатирования на 3–5 минут, чтобы уменьшить влияние инерционности системы. После 700С делать это необязательно, более того ручку «Нагрев» допускается перевести в состояние 13–14. Измерения снимать до 1200С включительно. 9. Выключить питание установки и разобрать схему. 10. Сообщить преподавателю или лаборанту об окончании работы. Обработка результатов измерений.

1. В отчёте о проделанной работе должна быть таблица, как на рисунке. Числовые данные t, 0C R, Ом 103/T, K-1 LnR из неё необходимо изобразить графически в координатах (t;R) и (lnR;103/T). 2. По форме кривой в координатах (t;R) сделать вывод о том, есть ли в проводнике примеси или нет (особенности кривой λ(T) при примесной электропроводности описаны в первом разделе методических указаний). 3. Далее необходимо аппроксимировать линейной зависимостью y=ax+b множество точек в координатах (lnR;103/T) (методом наименьших квадратов). Аппроксимацию можно проводить в любой среде аналитических вычислений, изучив при этом теорию метода наименьших квадратов. Если же расчёты проделываются без компьютера, то разрешается из всех экспериментальных данных учитывать только 8-10 измерений, взятых с шагом в 100С. 4. Изобразить полученную в предыдущем пункте прямую на одном графике с точками (lnR;103/T). 5. Найти энергию активации полупроводника, выраженную в электрон-вольтах, как тангенс угла наклона аппроксимированной кривой, умноженный на постоянную Больцмана (показав, что это справедливо):

20

∆E= k

dlnR = ka . ⎛ 10 3 ⎞ ⎟⎟ d⎜⎜ ⎝ T ⎠

(11)

6. Вычислить погрешность определения углового коэффициента прямой a (метод описан выше) и погрешность косвенных вычислений энергии активации.

21

Контрольные вопросы. Основы зонной теории электропроводности твёрдых тел.

1. Перечислите упрощения, которые делают при построении модели кристалла в зонной теории. 2. Можно ли дать определение в терминах зонной теории твёрдым электролитам? Если да, то сделайте это. 3. Сравните энергетические спектры изолированного атома и кристалла. 4. Объясните, как и почему в энергетическом спектре кристалла образуются зоны. 5. Дайте определения следующим понятиям зонной теории: энергетическая зона, квазинепрерывность, расщепление энергетического уровня, потолок зоны, дно зоны, разрешённая зона, запрещённая зона, валентная зона, зона проводимости, сливание зон, перекрывание зон, ширина зоны, энергия активации. 6. Сформулируйте и объясните основное свойство заполненной зоны. 7. Что такое энергия Ферми, импульс Ферми и уровень Ферми? 8. Дайте определения металлов, полупроводников и диэлектриков с позиции зонной теории. 9. Перечислите преимущества зонной теории электропроводности твёрдых тел. 10. Есть ли дырки в металлах? Если да, то при каких условиях преобладает дырочная электропроводность? Элементарные представления физики полупроводников.

1. Какие вещества называют полупроводниками? (дайте эмпирическое определение по величине удельного сопротивления и назовите исключения из него). 2. Классифицируйте полупроводники по химическому строению. 3. Можно ли, зная конфигурацию внешней электронной оболочки элемента, сказать будет его кристаллическая модификация обладать полупроводниковыми свойствами или нет? 4. Перечислите эмпирические свойства полупроводников, объясняя каждое с позиции зонной теории. 5. Сравните перечисленные свойства полупроводников с аналогичными свойствами металлов и диэлектриков. 6. Опишите различия между полупроводниками, металлами и диэлектриками в рамках зонной теории.

22

7. В чём заключается возбуждённый характер электропроводности полупроводников? 8. Перечислите способы активации валентных электронов полупроводника? 9. Что такое дырка? Перечислите свойства и сравните с электронами проводимости. 10. Опишите механизм собственной электропроводности. 11. Опишите механизм примесной электропроводности (в полупроводниках с донорными и акцепторными примесями). 12. Какие частицы являются основными носителями заряда в идеальных полупроводниковых кристаллах? 13. В чём заключается метод горячего зонда, эффект Холла и другие гальваномагнитные эффекты? 14. Возможна ли ситуация, при которой произойдёт перекрывание примесной донорной зоны с зоной проводимости? Если да, то как это повлияет на свойства полупроводника? 15. Дайте определения понятиям: основной носитель заряда, неосновной носитель заряда, p–полупроводники, n–полупроводники, донорные примеси, акцепторные примеси, собственная электропроводность, примесная электропроводность, дырочная электропроводность, электронная электропроводность. Температурная зависимость полупроводников.

1. Изобразите качественно температурную зависимость полупроводников в координатах (t;R) и (lnR;103/T). Обратите внимание на скорость убывания разных участков графиков и опишите каждый из них. 2. Выведите формулы (1) и (2). 3. Почему в соотношении (4) складываются удельные проводимости, а не удельные сопротивления? 4. Покажите, что температурная зависимость удельного сопротивления полупроводников ρ по форме совпадает с температурной зависимостью сопротивления R. 5. Докажите количественно, что вклад изменения подвижности в рост проводимости полупроводников незначителен. 6. Получите, логарифмируя (8), зависимость lnλ=ϕ(103/T). Методика измерений и их обработки.

1. Опишите установку (печь, модуль «Полупроводники», датчик температур и др.). 2. В чём заключается инерционность эксперимента?

23

3. В каких интервалах температур сопротивление определяется с наименьшей погрешностью? 4. Объясните, в чём заключался метод определения погрешности. 5. Выведите соотношение (11). Метод наименьших квадратов.

1. В чём заключается метод наименьших квадратов? 2. Сформулируйте геометрический смысл метода наименьших квадратов. 3. Условия (10), как известно из математического анализа, являются необходимыми для существования экстремума. Покажите, что в данном случае они и достаточны. 4. Запишите общий вид системы нормальных уравнений, если аппроксимация выполняется полиномом Pn(x) произвольной степени n.

24

Пример программы для численной аппроксимации в среде Maple V Release 4. >pnts:=[[25.2, 30, 35.8, 40], [642, 571, 466, 437]]: n:=4: > plot([seq([pnts[1,i],pnts[2,i]],i=1..n)],color=black,style=point,labels=[T,R]); > for i from 1 by 1 to n do pnts[1,i]:=evalf(1e3/(pnts[1,i]+273)); pnts[2,i]:=evalf(ln(pnts[2,i])); od: > with(stats): h:=fit[ leastsquare [[x,y],y=a*x+b,{a,b}]](pnts); > h:=rhs(h): > pic1:=plot([seq([pnts[1,i],pnts[2,i]],i=1..n)], color=black, style=point): pic2:=plot([h], x=2.5..3.6, style=line,color=red): plots[display](pic1, pic2); > eq_fit:=fit[ leastsquare [[x,y],y=a*x+b,{a,b}]](pnts); eq_function:=unapply(rhs(eq_fit),x); > N:=0; da:=0; > for i from 1 by 1 to n-1 do dyi:=pnts[2,i]-eq_function(pnts[1,i]); for j from i+1 by 1 to n do dyj:=pnts[2,j]-eq_function(pnts[1,j]); daij:=(dyi-dyj)/(pnts[1,i]-pnts[1,j]); da:=da+daij; N:=N+1; od: od: da:=da/N; > a:=eq_function(1)-eq_function(0); > epsilon:=abs(da)*100/a;

25

Список рекомендуемой литературы. Общие сведения о полупроводниках и зонной теории электропроводности: 1. Зимберман Г.Е. Электричество и магнетизм. Москва/«Наука»/ 1970 2. Савельев И.В. Курс общей физики (Том III). Электричество и магнетизм. Москва/«Астрель–Аст»/2001 3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том III. Электричество. Москва/«Наука»/1977 Сведения о полупроводниках и первоначальное изложение квантово–механического аппарата: 4. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Тома VIII, IX. Квантовая механика. Москва/«Мир»/ 1978 Книги, посвящённые физике полупроводников: 5. Данлэп У. Введение в физику полупроводников. Москва/ «Издательство иностранной литературы»/1959 6. Петровский И.И. Электронная теория полупроводников. Минск/«Высшая школа»/1964