Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, II

1 4p0 .

Лемма 11.3.10. Пусть S(z) — целая функция порядка 2, имеющая вполне регулярный рост и индикатор h π´ 1 hS (θ) = | sin 2(θ − γ)|, γ ∈ 0, . (11.3.10) 4 2 Пусть F (z) — целая функция порядка ρ 6 2, индикатор которой при порядке 2 удовлетворяет оценке 1 (11.3.11) hF (θ) 6 sin2 θ. 2 Тогда если F (z) обращается в 0 во всех нулях функции S(z), то µ 2¶ z F (z) = exp − S(z)E(z), (11.3.12) 4 где E(z) — целая функция минимального типа при порядке 2. Доказательство. Формальное равенство (11.3.12) есть следствие того, что все нули S(z) являются нулями F (z). Из (11.3.12) и из условия леммы вытекает, что порядок E(z) не выше 2. Надо показать, что E(z) ∈ [2, 0]. Для этого достаточно убедиться, что hE (θ) 6 0, 0 6 θ < 2π. Так как ¯ ¶ µ 2 ¶¯ µ 2 ¯ ¯ ¯ exp z ¯ = exp r cos 2θ , (11.3.13) ¯ 4 ¯ 4 то индикатором функции exp(−z 2 /4) служит функция (1/4) cos 2θ. Отсюда, из (11.3.10), (11.3.11), (11.3.12) и из полной регулярности роста функции S(z) следует, что 1 1 1 1 hE (θ) 6 sin2 θ + cos 2θ − | sin 2(θ − γ)| = (1 − | sin 2(θ − γ)|). 2 4 4 4 Не снижая общности, считаем, что γ = π/4. Тогда 1 (11.3.14) hE (θ) 6 (1 − | cos 2θ|). 4 При фиксированном ε > 0 рассмотрим 2-тригонометрическую функцию t(θ) = ε sin 2θ. При θ → 0 имеем t(θ) ∼ 2εθ, а (1/4)(1 − | cos 2θ|) = (1/2) sin2 θ ∼ θ2 /2. Значит, если положительное θ достаточно мало, то 1 (1 − | cos 2θ|) 6 t(θ). 4 В силу симметрии это неравенство будет верно для θ, достаточно близких к π/2, θ < π/2. Таким образом, если положительные числа θ1 , π/2 − θ3 достаточно малы, то π hE (θi ) = t(θi ), i = 1, 3, 0 < θ1 < θ3 < . 2 В силу тригонометрической 2-выпуклости индикатора hE (θ) отсюда следует, что hE (θ) 6 ε×sin 2θ, θ1 < θ < θ3 . Так как θ1 (θ3 ) можно брать сколь угодно близким к 0 (к π/2), то значит, hE (θ) 6 ε sin 2θ, 0 < θ < π/2. В свою очередь, ε > 0 можно брать сколь угодно малым. Значит, hE (θ) 6 0 на (0, π/2). В силу непрерывности индикатора hE (θ) 6 0 на [0, π/2]. Так как правая часть в (11.3.14) и функция t(θ) периодичны с периодом π/2, то отсюда hE (θ) 6 0 на [0, 2π], что и требовалось. Лемма 11.3.10 доказана.

132

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Лемма 11.3.11. Пусть функция S(z) удовлетворяет условиям леммы 11.3.10, и кроме того, µ 2¶ ¯ ¡ iθ ¢¯ π π ¯S re ¯ > C 1 exp r , k = 0, 3, θ = γ + + k, (11.3.15) rm 4 4 2 где C > 0, m > 0, r > r0 . Пусть целая функция F (z) обращается в 0 во всех нулях функции S(z) и подчиняется оценке µ 2¶ y |F (z)| 6 C exp , y = Im z. (11.3.16) 2 Тогда

µ 2¶ z F (z) = exp − S(z)Ps (z), 4 где Ps (z) — алгебраический полином степени s 6 [m]. В частности, если m < 1, то µ 2¶ z F (z) = C exp − S(z). 4

(11.3.17)

Доказательство. По лемме 11.3.10 имеет место соотношение (11.3.12), где E(z) ∈ [2, 0]. Отсюда и из (11.3.13), (11.3.15), (11.3.16) заключаем, что на лучах arg z = γ +π/4+πk/2, k = 0, 3 верна оценка |E(z)| = O(rm ), r → ∞. Применяя теорему Фрагмена—Линдел¨ефа к секторам γ + π/4 + πk/2 6 arg z 6 6 γ + π/4 + π(k + 1)/2, делаем вывод, что E(z) — многочлен степени не выше [m]. Лемма 11.3.11 доказана. Доказательство теоремы 11.3.3. При фиксированном h > −1 рассмотрим целую функцию ¶ ∞ µ Y z2 L(z) = z 1− . (n + h)2 n=1

Эта функция имеет простые нули в точках n + h sign n, n ∈ Z. Вне каждой полосы | Im z| 6 b < < ∞ верна оценка |L(z)| ³ r−2h exp(π| Im z|), r = |z| (11.3.18) ¡¡ −iγ √ ¢2 ¢ (см. следствие 3.1.4). Значит, функция L ze /(2 π) имеет простые корни в точках ´´ ³³ p π n ∈ N, k = 0, 3 exp i γ + k 2 π(n + h), 2 и двукратный корень в точке z = 0; других корней у этой функции нет. Из (11.3.18) следует, что вне каждого гиперболического креста r2 | sin 2(θ − γ)| 6 B < ∞, асимптотически идентичного четверке попарно перпендикулярных лучей arg z = γ + πk/2, k = 0, 3, верна оценка ¯ µµ −iγ ¶2 ¶¯ ¶ µ ¯ ¯ ze 1 1 2 ¯L ¯ √ (11.3.19) ¯ ¯ ³ r4h exp 4 r | sin 2(θ − γ)| . 2 π В частности, эта оценка верна на лучах π π arg z = γ + + k, k = 0, 3; r > 1. (11.3.20) 4 2 Положим µµ −iγ ¶2 ¶ (z − λ1 )(z − λ2 ) ze √ S(z) = L . z2 2 π Из только что сказанного следует, что множество корней функции S(z) совпадает с последовательностью (11.3.9), причем все эти корни просты. Далее, вне каждого гиперболического креста r2 | sin 2(θ − γ)| 6 B < ∞, и в частности, на лучах (11.3.20), верна оценка µ ¶ 1 1 2 |S(z)| ³ 4h exp r | sin 2(θ − γ)| , r > 1. (11.3.21) 4 r В итоге S(z) удовлетворяет условиям леммы 11.3.10, а также условиям леммы 11.3.11 с m = 4h. Отметим, что m < 1, так как по условиям теоремы h < 1/4.

11.3. ПОЛНЫЕ

И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ВСЕЙ ПРЯМОЙ

133

1) Нам надо доказать полноту системы (11.3.8)–(11.3.9) в Lp , 1 6 p < ∞, если h 6 1/(4p0 ). Покажем, что предположение о неполноте противоречит условию h 6 1/(4p0 ). Этим утверждение 1) будет доказано. Неполнота системы (11.3.8)–(11.3.9) в Lp равносильна существованию целой функции вида µ 2¶ Z t 0 −izt F (z) = e exp − f (t)dt, f ∈ Lp , (11.3.22) 2 R

обращающейся в 0 в точках (11.3.9). Мы имеем функцию вида (11.3.1) из п. 10.1 с α = β = 2, a = 1/2. В этом случае K(β, a) = 1/2. По замечанию Замечание. rem10.1.1 для F (z) справедлива оценка (11.3.16). Значит, функция F (z) удовлетворяет условиям лемм 11.3.10, 11.3.11. Как мы показали выше, и функция S(z) удовлетворяет условиям этих лемм с m < 1. По лемме 11.3.11 F (z) имеет вид (11.3.17). Теперь применим теорему 10.2.6, учитывая, что α = β = 2, a = K(β, a) = 1/2. По этой теореме при фиксированном θ 6= 0, π µ ¶ ¡ iθ ¢ 1 2 2 0 F re exp − r sin θ ∈ Lp (R+ ). (11.3.23) 2 В силу (11.3.17) это равносильно тому, что µ 2 ¶ µ 2¶ ¡ iθ ¢ ¢ ¡ iθ ¢ r ¡ r 0 2 S re exp − cos 2θ + 2 sin θ = S re exp − ∈ Lp (R+ ). (11.3.24) 4 4 Каково бы ни было γ, хотя бы один луч из набора (11.3.20) является наклонным, т.е. для него θ 6= 0, π. На этом луче имеет место оценка (11.3.15) с m = 4h. Из нее и из (11.3.24) следует, что Z∞ 0 r−4p h dr < ∞. 1

1/(4p0 ),

Значит, h > что противоречит условию. Утверждение 1) доказано. 0 2) Предположим, что система (11.3.8)–(11.3.9) минимальна в Lp . Пусть hj (t) ∈ Lp — соответствующая биортогональная система. Рассмотрим целую функцию µ 2¶ Z t 0 H(z) = e−izt exp − h1 (t)dt, h1 ∈ Lp . 2 R

В силу биортогональности функция H(z) обращается в 0 в точках последовательности Λ\λ1 . Но эта последовательность в точности есть множество нулей функции S1 (z) = S(z)/(z −λ1 ). Для H(z) верны все свойства функции F (z), т.е. оценка (11.3.16) и принадлежность (11.3.23). Для функции S1 (z) верны все свойства функции S(z), причем для S1 (z) в условии (11.3.15) m = 4h + 1. По лемме 11.3.11 µ 2¶ z H(z) = C exp − S1 (z), 4 и повторяя концовку доказательства утверждения 1), приходим к тому, что Z∞ 0 0 r−4p h−p dr < ∞. 1

Отсюда h >

−1/(4p0 )

− 1/4. Это доказывает утверждение 2). Теорема 11.3.3 доказана.

Доказательство теоремы 11.3.4. Пусть функции L(z), S(z) — те же, что в доказательстве теоремы 11.3.3. Зададим функцию F (z) посредством (11.3.17). Множество нулей функции F (z) совпадает с последовательностью (11.3.9). Поэтому доказав представление (11.3.22), мы установим неполноту системы (11.3.8)–(11.3.9) в Lp . В свою очередь, в силу теоремы 10.2.5 это представление является следствием свойства ZZ ³ p0 ´ 0 (11.3.25) |F (z + iy)|p exp − y 2 dx dy < ∞ 2 |z|>1

134

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

(мы учли, что α = β = 2, a = K(β, a) = 1/2). Таким образом, для доказательства утверждения 1) нам достаточно показать, что если h > 1/(4p0 ), то выполняется свойство (11.3.25). По замечанию Замечание. I:rem3.1.3 оценка (11.3.18) остается верной для всех z с условием |z| > 1, если знак ³ заменить знаком 6 и в правой части приписать некоторую константу. Значит, и оценки (11.3.19), (11.3.21) остаются верными при такой замене. В итоге подынтегральная функция в (11.3.25) не превосходит µ 0 ¶ ¢ p 2¡ −4hp0 2 Cr exp − r | sin 2(θ − γ)| − cos 2θ − 2 sin θ , r > 1. (11.3.26) 4 Но выражение 2 sin2 θ + cos 2θ − | sin 2(θ − γ)| в зависимости от знака sin 2(θ − γ) равно либо 2 sin2 (π/4 − θ + γ), либо 2 cos2 (π/4 − θ + γ). Поэтому нам достаточно убедиться в том, что µ 0 ¶ Zπ/2 Z∞ p 2 1−4hp0 J := dθ r exp − r t(θ) dr < ∞, 2 0

t(θ) = sin2 θ, cos2 θ.

(11.3.27)

¶ µ 0 ¶ µ 0 Z∞ 1 p p 2 2hp0 −1 −2hp0 u exp − u du. exp − r t(θ) dr = (t(θ)) 4 2 2

(11.3.28)

1

Положим r2 t(θ) = u; тогда Z∞ r

1−4hp0

1

t(θ)

Далее, Z∞ t(θ)

 O(1),   µ 0 ¶  ¡ ¡ ¢¢ p 0 u−2hp exp − u du = O log (t(θ))−1 ,  2   O¡(t(θ))1−2hp0 ¢,

если 2hp0 < 1, если 2hp0 = 1,

(11.3.29)

0

если 2hp > 1.

Теперь подставим (11.3.29) в (11.3.28), а затем полученное — в интеграл (11.3.27). Видим, что в случае 2hp0 > 1 конечность интеграла J тривиальна. Если 2hp0 = 1, то Zπ/2 1 J 6C log dθ < ∞. t(θ) 0

Если

2hp0

< 1, то Zπ/2 Zπ/2 0 4hp0 −2 J 6 C (sin θ) dθ = C (cos θ)4hp −2 dθ < ∞, 0

0

4hp0

так как > 1. Итак, (11.3.27) верно. Утверждение 1) доказано. Для доказательства утверждения 2) достаточно проверить, что µ 0 ¶ ZZ p p0 −p0 |F (z)| (1 + |z|) exp − y 2 dx dy < ∞. 2

(11.3.30)

|z|>1

Действительно, если (11.3.30) верно, то по теореме 10.2.5 функция F (z)/(z − λ0 ) представима в виде правой части (11.3.22). И так как множество корней функции F (z) совпадает с последовательностью Λ, то по лемме 11.3.7 система (11.3.8)–(11.3.9) минимальна в Lp . Итак, доказываем условие (11.3.30). Сравнивая (11.3.30) и (11.3.25), делаем вывод, что подын0 тегральная функция в (11.3.30) мажорируется выражением (11.3.26), в котором r−4hp следует 0 0 заменить на r−4hp −p . Но это равносильно тому, что в проведенных выше рассуждениях число h заменяется числом h + 1/4. Значит, свойство (11.3.30) выполняется, если h + 1/4 > 1/(4p0 ). Теорема 11.3.4 доказана.

11.4. ПОЛНЫЕ

11.4.

И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ПОЛУПРЯМОЙ И НА ПРЯМОЙ

ПОЛНЫЕ

135

И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ПОЛУПРЯМОЙ И НА ПРЯМОЙ

11.4.1. Благодаря результатам п. 11.3 (см. подпункт 11.3.3), при α = 2 мы располагаем достаточно широким классом систем ¡ k−1 −iλn t ¡ ¢¢mn (it) e exp −a|t|α k=1 , Λ = (λn ; mn )∞ a > 0, α > 1 (11.4.1) n=0 , (с mn ≡ 1), полных и минимальных в пространствах Lp = Lp (R), 2 6 p < ∞. Стоит отметить, что для доказательства этих результатов условие α = 2 является существенным. В данном п. 11.4 мы строим полные и минимальные системы (11.4.1) в пространствах Lp = Lp (R), Lp+ = Lp (R+ ), C0 = C0 (R), C0+ = C0 (R+ ) для всех α > 1, a > 0 и всех p ∈ [1, ∞). Пусть 1/α + 1/β = 1. Введем обозначения, используемые на протяжении всего п. 11.4. Пусть θk ∈ (−π, π), θk 6= 0. Тогда положим h θk π π π i θk0 = + sign θk , Ik = θk0 − , θk0 + . α 2β 2β 2β Проверим, что Ik ⊂ (0, π) при θk > 0 и Ik ⊂ (−π, 0) при θk < 0. В силу симметрии достаточно рассмотреть θk > 0. Условие Ik ⊂ (0, π) равносильно системе неравенств 0 < θk /α, θk /α + π/β < π, которая записывается в виде двойного неравенства 0 < θk < π, являющегося верным. Теперь убедимся, что θk ∈ Ik . Снова рассматриваем θk > 0. По определению θk0 имеем θk0 − θk =

θk π − . 2β β

Значит, если 0 < θk 6 π/2, то 0 6 θk0 − θk < π/(2β), и если π/2 < θk < π, то −π/(2β) < θk0 − θ 6 6 0. И так как Ik есть отрезок радиуса π/(2β) с центром в точке θk0 , то θk ∈ Ik . Далее, обозначим ak = | sin θk |β−1 , ¢ ¡ hk (θ) = ak cos β θ − θk0 ,

bk (θ) = | sin θ|β − hk (θ), θ ∈ Ik ;

hk (θ) = 0,

θ ∈ Ik , θ ∈ [−π, π]\Ik .

Лемма 11.4.1. Пусть θk ∈ (−π, π), θk 6= 0. Тогда: 1) hk (θ) 6 | sin θ|β , θ ∈ [−π, π]; 2) при θ 6= 0, ±π знак равенства в 1) достигается в единственной точке θ = θk ; 3) b0k (θk ) = 0, b00k (θk ) > 0. Доказательство. Его достаточно провести для точки θk > 0. Рассмотрим функцию A(θ) = hk (θ)/ sinβ θ, θ ∈ Ik . Имеем ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ sign A0 (θ) = − sign sin β θ − θk0 sin θ + cos β θ − θk0 cos θ = ¡ ¢ ¡ ¢ = − sign cos (β − 1)θ − βθk0 = − sign cos(β − 1) θ − αθk0 . Значение θ = θk отвечает значению −π/2 под знаком косинуса в правой части. Таким образом, A0 (θk ) = 0, и при переходе через точку θk производная A0 (θ) меняет знак с плюса на минус. Так как θk ∈ Ik , то расстояние от точки θk до концов отрезка Ik меньше, чем π/β, и подавно меньше, чем π/(β − 1). Поэтому производная A0 (θ) больше на Ik не меняет знака. Следовательно, функция A(θ) достигает в точке θk своего наибольшего значения на Ik . Но из определений следует, что A(θk ) = 1. Значит, утверждение 1) верно для θ ∈ Ik ; для остальных θ оно очевидно. Из сказанного следует также и утверждение 2). По доказанному θk есть точка экстремума дифференцируемой функции bk (θ), и потому b0k (θk ) = 0. Далее, ¡ ¡ ¢¢0 b00k = β sinβ−1 θ cos θ + ak β sin β θ − θk0 = ¡ ¡ ¢¢ = β (β − 1) sinβ−2 θ cos2 θ − sinβ θ + ak β cos β θ − θk0 . Но ak cos β(θ − θk0 ) = sinβ θ при θ = θk , и значит, ¡ ¢ b00k (θ) = β(β − 1) sinβ−2 θ cos2 θ + sin2 θ = β(β − 1) sinβ−2 θ > 0, Утверждение 3) верно. Лемма 11.4.1 доказана.

θ = θk .

136

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Для дальнейших рассуждений полезно иметь в виду следующую геометрическую трактовку леммы 11.4.1. График функции hk (θ) представляет собой арку косинусоиды, расположенную над отрезком Ik длины π/β с центром в точке θk0 . Эта арка вписана в график функции | sin θ|β , так что точка θk является точкой касания этих двух графиков, а для остальных значений θ ∈ Ik график функции hk (θ) лежит ниже графика функции | sin θ|β . Лемма 11.4.2. Пусть −π < θ1 < θ2 < · · · < θm < π, θk 6= 0, k = 1, m. При θ ∈ [−π, π] обозначим ¢ ¡ h(θ) = max hk (θ) : k = 1, m , b(θ) = | sin θ|β − h(θ). Тогда: 1) h(θ) 6 | sin θ|β , θ ∈ [−π, π]; 2) знак равенства при θ 6= 0, ±π в 1) достигается в точках θk , k = 1, m и только в них; 3) b(θ) ∼ ck (θ − θk )2 , θ → θk , ck > 0, k = 1, m. Доказательство. Вне объединения отрезков Ik имеем h(θ) ≡ 0, и для таких θ утверждение 1) очевидно. График функции hk (θ) есть арка косинусоиды, расположенная над интервалом Ik , а график функции h(θ) получается склейкой частей графиков функций hk (θ). Так как θk < θk+1 , то при этом у каждой точки θk существует окрестность, в которой h(θ) = hk (θ), причем замыкание объединения этих окрестностей совпадает с объединением отрезков Ik . Поэтому оставшаяся часть леммы 11.4.2 следует из леммы 11.4.1. Лемма 11.4.2 верна. Обозначения леммы 11.4.2 будут применяться в дальнейшем без дополнительных напоминаний. Лемма 11.4.3. Пусть H(θ) — тригонометрически β-выпуклая функция, θ1 6 θ 6 θ3 , причем, H(θ1 ), H(θ3 ) 6 0. Тогда: 1) 51 если θ3 − θ1 < πβ , то H(θ) 6 0 на [θ1 , θ3 ]; 2) если θ3 − θ1 = βπ и H(θk ) < 0 хотя бы при одном k = 1, 3, то H(θ) 6 0 на [θ1 , θ3 ]. Доказательство. Можно считать, что θ1 = 0. Фиксируем ε > 0 и рассмотрим β-тригонометрическую функцию t(θ) = ε sin βθ. 1) Так как 0 < βθ3 < π, то H(0) 6 t(0), H(θ3 ) < t(θ3 ). По определению тригонометрической β-выпуклости отсюда следует, что H(θ) 6 t(θ) = ε sin βθ,

0 6 θ 6 θ3 .

(11.4.2)

Так как ε здесь можно взять сколь угодно малым, то H(θ) 6 0, θ ∈ [θ1 , θ3 ]. 2) Так как θ1 = 0, то θ3 = π/β. Пусть для определенности H(0) < 0. В силу непрерывности тригонометрически β-выпуклой функции имеем H(θ2 ) < t(θ2 ) при достаточно малом θ2 ∈ (0, π/β). Значит, ³π ´ ³π ´ H(0) < t(0), H(θ2 ) < t(θ2 ), H 6t . (11.4.3) β β По определению тригонометрической β-выпуклости из первой пары этих неравенств следует, что H(θ) 6 t(θ) на [0, θ2 ], а из второй пары следует, что H(θ) 6 t(θ) на [θ2 , π/β]. В итоге мы получаем неравенство (11.4.2) с θ3 = π/β, откуда H(θ) 6 0, 0 6 θ 6 θ3 = π/β. Лемма 11.4.3 доказана. Лемма 11.4.4. Пусть H(θ) — тригонометрически β-выпуклая функция. Пусть θ1 < θ3 , θ3 − θ1 = π/β, H(θ1 ) = H(θ3 ) = 0 и H(θ) = o(θ − θi ) хотя бы при одном значении i = 1, 3. Тогда H(θ) 6 0, θ1 6 θ 6 θ3 . Доказательство. Снова считаем, что θ1 = 0, θ3 = π/β. Пусть для определенности H(θ) = o(θ), θ → +0. Пусть функция t(θ) та же, что в доказательстве леммы 11.4.3. Так как sin βθ ∼ βθ, а H(θ) = o(θ), θ → +0, то при достаточно малом θ2 ∈ (0, π/β) будем иметь H(θ2 ) < t(θ2 ), т.е. ³π ´ ³π ´ H(0) = t(0), H(θ2 ) < t(θ2 ), H =t . β β Теперь целиком повторяются рассуждения, следующие за (11.4.3). Лемма 11.4.4 доказана.

11.4. ПОЛНЫЕ

И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ПОЛУПРЯМОЙ И НА ПРЯМОЙ

137

Лемма 11.4.5. Пусть b(θ) — функция из леммы 11.4.2, а A, β > 0, Sk = (z : r > 1, |θ − θk | < δ). Тогда если δ > 0 достаточно мало, то условие ZZ ¡ ¢ Jk := exp −Ab(θ)rβ rs dr dθ < +∞ (s ∈ R) (11.4.4) Sk

равносильно условию s + 1 < β/2. Доказательство. По лемме 11.4.2 b(θ) > 0 при θ ∈ Uk = (θ : |θ − θk | < δ), θ 6= θk ; b(θk ) = 0. Положим t = b(θ)rβ . Тогда µ ¶1/β µ ¶ t 1 1/β−1 r= , dr = t (b(θ))−1/β dt, b(θ) β и с точностью до ненулевого постоянного сомножителя Z Z∞ dθ Jk = e−At t(s+1)/β−1 dt. (b(θ))(s+1)/β Uk

b(θ)

Пусть сначала s + 1 > 0. Тогда обозначив b = max(b(θ) : θ ∈ Ik ), имеем Z∞ Z∞ Z∞ 0 < c1 = < < = c2 < ∞, b

b(θ)

0

и видим (см. лемму 11.4.2), что интеграл Jk конечен или бесконечен одновременно с интегралом Z dθ . 2(s+1)/β θ 0

Конечность последнего интеграла равносильна условию 2(s + 1)/β < 1. Таким образом, если s + 1 > 0, то условие Jk < ∞ равносильно условию s + 1 < β/2. Поэтому остается показать, что если s + 1 6 0, то Jk < ∞. Но это уже следует из доказанной части. Действительно, так как r > 1 для z ∈ Sk , то из определения (11.4.4) интеграла Jk видно, что если он конечен при некотором значении s = s0 , то он будет конечным и при всех меньших значениях s, т.е. при s 6 s0 . Лемма 11.4.5 доказана. Лемма 11.4.6. Пусть σ1 = (z : r > 1, 0 < θ < δ), σ2 = (z : r > 1, π − δ < θ < π), δ > 0, s ∈ R, q > 1, A > 0, β > 0. Тогда ZZ ¡ ¢ (1 + y)s exp −Ay β r−q dx dy < ∞, i = 1, 2. (11.4.5) σi

Доказательство. Интеграл в (11.4.5) не зависит от i; разберем случай i = 1. Пусть π — пересечение σ1 с полосой 0 < y < 1. Сначала докажем, что конечна часть интеграла (11.4.5), взятая по π. Имеем ¡ ¢ (1 + y)s exp −Ay β 6 C < ∞, z ∈ π, и потому, если ε = 1/ sin δ, a(r) = arcsin(1/r) и q > 1, то ZZ 6C π

Z∞

ZZ r

−q

r

dx dy 6 c1 + c2 ε

π

−q+1

a(r) Z Z∞ dr dθ 6 c1 + c3 r−q dr < ∞. 0

ε

Остается рассмотреть ту часть интеграла в (11.4.5), которая берется по множеству σ = (z ∈ σ1 : y > 1). Если z ∈ σ, то 1 + y ³ y, и значит, ZZ

Z∞
σ

Zδ r

ε

−q+s+1

dr a(r)

¡ ¢ θs exp −B(θr)β dθ,

B > 0.

(11.4.6)

138

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Положим (θr)β = t; тогда θ = t1/β /r, dθ = ct1/β−1 dt/r, и внутренний интеграл в (11.4.6) не превосходит µ ¶ Z∞ c c1 1 β −Bt (s+1)/β−1 e t dt 6 s+1 , ∆ = r arcsin > ∆1 > 0. rs+1 r r ∆

Значит,

ZZ

Z∞ r−q dr < ∞,

6c σ

ε

и лемма 11.4.6 доказана. В наших построениях важную роль играет функция типа Миттаг–Леффлера [13] Eβ (z; µ) =

∞ X n=0

zn , Γ(µ + n/β)

β > 0,

µ ∈ C;

Eβ (z; µ) — целая функция. Лемма 11.4.7 (см. [13]). Если γ ∈ (π/(2β), π/β) (β > 1), то при любом s ∈ N s ¡ ¢ X Eβ (z; µ) = βz β(1−µ) exp z β − j=1

Eβ (z; µ) = −

s X j=1

11.4.2.

z −j Γ(µ − j/β)

¡ ¢ z −j + O z −s−1 , Γ(µ − j/β) ¡ ¢ + O z −s−1 ,

| arg z| 6 γ,

γ 6 | arg z| 6 π.

Пусть 0 < |θk | < π, k = 1, m. Введем целую функцию m ³ ´ X 0 1/β ck Eβ ak ze−iθk ; µ , ck 6= 0 e(z) =

(11.4.7)

k=1

и величину

! m ³ ´ X 1 −1/β iθ0 s ck ak ze k = 6 0 . s0 = min s ∈ N : Γ(µ − s/β) Ã

(11.4.8)

k=1

Пусть

¡ ¢ F (z) = e (K(β, a))1/β z

(11.4.9)

(λn ; mn )∞ 0

и пусть Λ = — последовательность всех корней функции F (z). Ради единообразия формулировок (и только в них!) полагаем L∞ (R) = C0 (R), L∞ (R+ ) = C0 [0, ∞). Теорема 11.4.1. Пусть −π < θ1 < · · · < θl < 0 < θl+1 < · · · < θm < π, причем π π π π π θ1 6 −π + , θm > π − , θl > − , θl+1 6 , θk+1 − θk 6 , β β β β β где k = 1, . . . , l − 1, l + 1, . . . , m − 1. Пусть s0 < ∞. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (11.4.9). Тогда: 1) если 1 1 1 1 1 Re µ 6 + + при 1 < p 6 ∞ и Re µ < + при p = 1, (11.4.10) αp0 2 β 2 β то система (11.4.1) полна в Lp (R); 2) если 1 1 + при 1 < p 6 ∞ и Re µ 6 αp0 2 то система (11.4.1) неминимальна в Lp (R).

Re µ <

1 2

при p = 1,

(11.4.11)

11.4. ПОЛНЫЕ

И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ПОЛУПРЯМОЙ И НА ПРЯМОЙ

139

Теорема 11.4.2. Пусть 0 < θ1 < · · · < θm < π, причем π π π θ1 6 , θm > π − , θk+1 − θk 6 , k = 1, m − 1. β β β Пусть s0 < ∞. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (11.4.9). Тогда: 1) если выполнено условие (11.4.10), то система (11.4.1) полна в Lp (R+ ); 2) если выполнено условие (11.4.11), то система (11.4.1) неминимальна в Lp (R+ ). Стоит отметить, что если точки θk0 фиксированы, то условие s0 < ∞ — это условие на коэффициенты ck в (11.4.7). Замечание 11.4.1. Без условия s0 < ∞ теорема 11.4.1 перестает быть верной. Действительно, пусть α = β = 2, θ2 = −θ1 = π/2, m = 2. Тогда θ20 = −θ10 = π/2, a1 = a2 = 1, и если, нарушив условие s0 < ∞, взять c1 = c2 = 1, µ = 1, то окажется, что функция ¡ ¢ e(z) = E2 (iz; 1) + E2 (−iz; 1) = 2 exp −z 2 вообще не имеет нулей. Доказательство теоремы 11.4.1. Предположим, что система (11.4.1) неполна, и докажем неравенства, противоположные неравенствам (11.4.10). 0 По лемме 11.3.6, найдется нетривиальная ц.ф. G(z) класса F Lp и F V соответственно при 1 6 p < ∞ и p = ∞, обращающаяся в нуль в точках Λ. Но Λ — множество всех нулей функции F (z). Поэтому G(z) = F (z)E(z), (11.4.12) где E(z) — некоторая ц.ф. Покажем, что E(z) ∈ [β, 0], т.е. что E(z) имеет минимальный тип при порядке β. По замечанию Замечание. rem10.1.1, верна оценка ³ ¡ ¢´ G(z) = O (1 + |y|)(β/2−1)/p exp K(β, a)|y|β ,

z ∈ C,

(11.4.13)

где следует полагать p = 1 в случае G(z) ∈ F V . Отсюда следует, что порядок функции G(z) не выше β и что ее индикатор hG (θ) при порядке β подчиняется оценке hG (θ) 6 K(β, a)| sin θ|β ,

|θ| 6 π.

(11.4.14)

Перейдем к функции F (z). По лемме 11.4.7 порядок функции Eβ (z; µ) равен β, а ее индикатор равен: ³ π π ´   при θ ∈ − , ,  cos βθ 2β 2β π  0 при |θ| > . 2β Из леммы 11.4.7 также следует, что Eβ (z; µ) есть ц.ф. вполне регулярного роста. ¢ ¡ 1/β 0 Отсюда делаем вывод, что функция Eβ ak ze−iθk ; µ имеет вполне регулярный рост и что ее индикатор равен hk (θ), |θ| 6 π. Теперь напомним следующие два свойства индикатора. Если hF1 (θ) > hF2 (θ), то hF1 +F2 (θ) = hF1 (θ). Если при этом луч arg z = θ является лучом вполне регулярного роста для функции F1 (z), то он является таким и для функции F1 (z) + F2 (z). Учитывая оба эти свойства, вид (11.4.7) функции e(z) и только что сказанное о росте функции ¡ 1/β ¢ 0 Eβ ak ze−iθk ; µ , получаем следующее. Во-первых, индикатор he (θ) функции e(z) равен [ he (θ) = h(θ), θ∈ Ik , θ 6∈ T, где S T — множество точек недифференцируемости функции h(θ). Во-вторых, все лучи arg z = θ, θ ∈ Ik , θ 6∈ T являются лучами вполне регулярного роста функции e(z). В силу непрерывности индикатора [ he (θ) = h(θ), θ∈ Ik . (11.4.15)

140

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

S Выясним поведение e(z) на лучах arg z = θ 6∈ Ik . По лемме 11.4.7 при любом s ∈ N s ¡ 1/β −iθ0 ¢−j ³ ´ X ¡ ¢ ak ze k 1/β −iθ0 + O r−s−1 , θ 6∈ Ik . Eβ ak ze k ; µ = − Γ(µ − j/β)

(11.4.16)

j=1

Отсюда по смыслу (11.4.8) величины s0 получаем m ³ ´ X ¡ ¢ z −s0 0 s0 −1/β e(z) = − ck ak eiθk + O r−s0 −1 , Γ(µ − s0 /β)

θ 6∈

[

Ik ,

k=1

и в силу (11.4.8), при r → ∞ верно предельное соотношение e(z) ∼ cz

−s0

,

c 6= 0,

θ 6∈

S равномерное на любом компакте K ⊂ [−π, π]\ ( Ik ). Значит, [ he (θ) = 0, θ 6∈ Ik ,

m [

Ik ,

(11.4.17)

k=1

(11.4.18)

причем в соответствующих секторах e(z) имеет вполне регулярный рост. Отсюда с учетом формулы (11.4.9) получаем следующие свойства функции F (z): все лучи arg z = θ, θ 6∈ T , где T — множество точек недифференцируемости функции h(θ), являются лучами вполне регулярного роста функции F (z), и ее индикатор равен hF (θ) = K(β, a)h(θ),

−π 6 −θ < π.

Так как множество T конечно, то F (z) имеет вполне регулярный рост. Теперь мы можем заняться непосредственно функцией E(z). Напомним только еще, что если хотя бы одна из ц.ф. F1 (z), F2 (z) имеет вполне регулярный рост, то hF1 F2 (θ) = hF1 (θ) + hF2 (θ). С учетом этого и сказанного чуть выше о росте F (z), из (11.4.12), (11.4.14) заключаем, что hE (θ) 6 K(β, a)b(θ),

b(θ) = | sin θ|β − h(θ),

|θ| 6 π.

Нам надо убедиться, что hE (θ) 6 0 всюду; тогда мы будем уверены, что E(z) ∈ [β, 0]. Функция hE (θ) является тригонометрически β-выпуклой. Присоединим к точкам θ1 , . . . , θm точки 0, ±π. Объединенную систему обозначим 0, m + 2; считаем, что она пронумерована так: −π = θe0 < θe1 < · · · < θem+1 < θem+2 условию θek+1 − θek 6 π/β, k = 0, m + 1. Покажем, что ¤ £ hE (θ) 6 0, θ ∈ θek , θek+1 , k = 0, m + 1.

(11.4.19)

θek , k = = π. По (11.4.20)

Так как (θek ) = (θk )∪{0, ±π}, то из (11.4.19) и леммы 11.4.2 следует, что hE (θek ) 6 0, k = 0, m + 2. Если θek+1 − θek < π/β, то hE (θ) 6 0 на [θek , θek+1 ] по первому утверждению леммы 11.4.3. Поэтому остается рассмотреть случай θek+1 − θek = π/β. Если hE (θek ) < 0 или hE (θek+1 ) < 0, то hE (θ) 6 0, θ ∈ [θek , θek+1 ] по второму утверждению леммы 11.4.3. Если же hE (θek ) = hE (θek+1 ) = 0, то в силу (11.4.19) из утверждения 3) леммы 11.4.2 следует, что ³¡ ¢2 ´ hE (θ) = O θ − θej , θ → θej , j = k, k + 1. По лемме 11.4.4 hE (θ) 6 0 на [θek , θek+1 ] и в этом случае. Мы доказали (11.4.20). Значит, hE (θ) 6 0, |θ| 6 π, и следовательно, E(z) ∈ [β, 0]. Следующий шаг состоит в том, чтобы доказать, что E(z) есть многочлен. Для этого выясним поведение функции E(z) на лучах arg z = θek , k = 1, m + 2. Пусть Uk — достаточно малая окрестность точки θk . По лемме 11.4.7 равномерно относительно θ ∈ Uk ¡ ¢ |F (z)| ∼ Ck rβ(1−Re µ) exp K(β, a)rβ h(θ) , Ck > 0, r → ∞. (11.4.21) Отсюда, из (11.4.12), (11.4.13), с учетом того, что h(θk ) = | sin θk |β , делаем вывод, что на лучах θ = θk , k = 1, m функция E(z) растет не быстрее степени. А благодаря (11.4.12), (11.4.13) и (11.4.17), к такому же выводу приходим и в отношении лучей θ = 0, ±π. Таким образом, на лучах θ = θek , k = 0, m + 2 функция E(z) растет не быстрее степени. Напомним, что E(z) ∈ [β, 0] и что θek+1 −

11.4. ПОЛНЫЕ

И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ПОЛУПРЯМОЙ И НА ПРЯМОЙ

141

θek 6 π/β, k = 0, m + 1. Применяя теорему Фрагмена—Линдел¨ефа к секторам θek 6 arg z 6 θek+1 , k = 0, m + 1, заключаем, что в каждом из них, а значит, и во всей плоскости функция E(z) растет не быстрее степени. В итоге E(z) есть многочлен. Какова бы ни была степень этого многочлена, |E(z)| > c > 0, r > r0 . Используя это, (11.4.12) и (11.4.21), находим, что при всех k = 1, m ¯ ¡ iθ ¢¯ ¡ ¢ ¯G re ¯ > crβ(1−Re µ) exp K(β, a)rβ h(θ) , c > 0, r > r0 , θ = θk . (11.4.22) 0

Но по теореме 10.2.6, для функции G(z) ∈ F Lp должно выполняться условие ¡ ¡ ¢ ¢ 0 0 G reiθk r(1−2/p )(1−β/2) exp −K(β, a)(r| sin θk |)β ∈ Lp (1, ∞),

(11.4.23)

а для G(z) ∈ F V по замечанию Замечание. rem10.2.5, оно должно выполняться с p0 = 1. И так как h(θk ) = | sin θk |β , то должны выполняться следующие условия: функция 0

r(1−2/p )(1−β/2)+β(1−Re µ)

(11.4.24)

p0

ограничена на (1, ∞) при p = 1, принадлежит L (1, ∞) при 1 < p < ∞ и принадлежит L1 (1, ∞) в случае пространства C0 , т.е. должны выполняться неравенства β + β(1 − Re µ) 6 0 при p = 1, 2 ³ β´ (p0 − 2) 1 − + βp0 (1 − Re µ) < −1 при 1 < p < ∞, 2 β − 1 + β(1 − Re µ) < −1 при p = ∞, 2 Эти неравенства противоположны неравенствам (11.4.10), и утверждение 1) доказано. 2) Пусть система (11.4.1) минимальна в Lp , 1 6 p < ∞ (в C0 ). По лемме 11.3.7, некоторая 0 нетривиальная ц.ф. G(z) обладает свойствами: G(Λ) = 0 и G(z)/(z − λ0 ) ∈ F Lp (F V ). Тогда верно (11.4.12) и следующие за ним рассуждения, которые приводят к свойству (11.4.22). Но теперь мы должны применять теорему 10.2.6 и замечание 10.2.5 не к функции G(z), а к функции G(z)/(z − λ0 ). Поэтому в (11.4.23) вместо G(reiθk ) будет присутствовать G(reiθk )/r. В итоге функ0 ция r(1−2/p )(1−β/2)+β(1−Re µ)−1 обладает теми же свойствами, что и функция (11.4.24). Отсюда получаем неравенства, противоположные неравенствам (11.4.11). Это доказывает утверждение 2) и всю теорему 11.4.1. 1−

Доказательство теоремы 11.4.2. Предположив неполноту системы (11.4.1), докажем неравенства, противоположные неравенствам (11.4.10). По лемме 11.3.6, найдется нетривиальная ц.ф. G(z), 0 такая, что G(Λ) = 0 и G(z) ∈ F Lp+ (F V+ ). Отсюда следует (11.4.12), где E(z) — ц.ф. Надо доказать, что E(z) ∈ [β, 0]. При y > 0 для G(z) оценка (11.4.13) сохраняется, а в полуплоскости y 6 0 функция G(z), очевидно, ограничена. Значит, порядок G(z) не выше β, а для ее индикатора верны оценки hG (θ) = K(β, a) sinβ θ,

0 6 θ 6 π;

hG (θ) 6 0,

−π 6 θ 6 0.

Далее, повторяя рассуждения из доказательства теоремы 11.4.1, заключаем, что индикатор he (θ) функции e(z) при порядке β равен he (θ) = h(θ),

0 6 θ 6 π;

he (θ) = 0,

−π 6 θ 6 0,

и что e(z) имеет вполне регулярный рост на всех лучах, за исключением, быть может, лучей arg z = θ ∈ T , где T — множество точек недифференцируемости функции h(θ), 0 < θ < π. Отсюда следует, что индикатор функции F (z) равен hF (θ) = K(β, a)h(θ),

0 6 θ 6 π;

hF (θ) = 0,

−π 6 θ 6 0,

и что лучи arg z = θ 6∈ T являются лучами вполне регулярного роста функции F (z). Тогда для индикатора функции E(z) верны оценки hE (θ) 6 K(β, a)b(θ),

0 6 θ 6 π;

hE (θ) 6 0,

−π 6 θ 6 0.

142

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Надо доказать, что hE (θ) 6 0 при 0 6 θ 6 π. Это делается точно так же, как в доказательстве теоремы 11.4.1. Сначала к набору θ1 , . . . , θm присоединяются точки 0, π. Затем по аналогии устанавливается, что в секторах 0 6 arg z 6 θ1 , . . . , θm 6 arg z 6 π функция E(z) растет не быстрее степени. Это утверждение для нижней полуплоскости следует из ограниченности функции G(z), y 6 0, и из (11.4.12) и (11.4.17). На этом шаге получается, что E(z) — многочлен. Заключительный этап — доказательство неравенств, противоположных неравенствам (11.4.10), — осуществляется так же, как в теореме 11.4.1; только вместо теоремы 10.2.6 и замечания 10.2.5 теперь применяется теорема 10.2.3 и замечание 10.2.2. Утверждение 1) доказано. Также по аналогии с доказательством утверждения 2) теоремы 11.4.1 проводится доказательство утверждения 2) теоремы 11.4.2. Теорема 11.4.2 доказана. Теорема 11.4.3. Пусть 0 < |θk | < π, k = 1, m, m ∈ N. Пусть s0 < ∞, причем s0 > 2, когда p = 1, ∞. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (11.4.9). Тогда: 1) если 1 1 1 + + < Re µ при 1 < p 6 ∞ и 0 αp 2 β

1 1 + 6 Re µ при p = 1, 2 β

то система (11.4.1) неполна в Lp (R); 2) если 1 1 + < Re µ при 1 < p 6 ∞ и αp0 2 то система (11.4.1) минимальна в Lp (R).

1 6 Re µ при p = 1, 2

(11.4.25)

(11.4.26)

Теорема 11.4.4. Пусть 0 < θk < π, k = 1, m, m ∈ N. Пусть s0 < ∞, причем s0 > 2, когда p = 1, ∞. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (11.4.9). Тогда: 1) если выполнено условие (11.4.25), то система (11.4.1) неполна в Lp (R+ ); 2) если выполнено условие (11.4.26), то система (11.4.1) минимальна в Lp (R+ ). Доказательство теоремы 11.4.3. 1) Достаточно доказать представление Z ¡ ¢ 0 F (z) = e−izt exp −a|t|α f (t)dt, f ∈ Lp , 1 6 p 6 ∞.

(11.4.27)

R

Для этого мы будем пользоваться разными теоремами из главы 10, поэтому случаи 2 6 p 6 ∞ и 1 6 p < 2 придется разобрать отдельно. Пусть сначала 2 6 p 6 ∞. Тогда по теореме 10.2.5, для справедливости представления (11.4.27) достаточно проверить конечность интеграла Z Z ¡ ¢ |F (z)q (1 + |y|)(q−3)(1−β/2) exp −qK(β, a)|y|β dx dy, q = p0 . (11.4.28) R R

Сначала покажем, что при достаточно малом δ > 0 конечны части интеграла (11.4.28), взятые по «секторам» Sk , введенным в лемме 11.4.5. Для этого воспользуемся оценкой (11.4.21). Получим ZZ ¡ ¢ |F (z)|q (1 + |y|)(q−3)(1−β/2) exp −qK(β, a)rβ | sin θ|β dx dy 6 Sk

ZZ

6C

¡ ¢ exp −qK(β, a)rβ b(θ) r(q−3)(1−β/2)+qβ(1−Re µ)+1 dr dθ.

(11.4.29)

Sk

По условию Re µ > 1/β + 1/(qα) + 1/2, и значит, (q − 3)(1 − β/2) + qβ(1 − Re µ) + 2 < β/2. По лемме 11.4.5 интеграл (11.4.29) конечен, k = 1, m. Таким образом, остается рассмотреть часть интеграла (11.4.28), взятую по множеству ³ [¡ ¢´ z : z ∈ C, r > 1, z 6∈ Sk : k = 1, m .

11.4. ПОЛНЫЕ

И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ПОЛУПРЯМОЙ И НА ПРЯМОЙ

143

Мы знаем (см. подпункт 1), что все отрезки Ik , k = 1, m лежат на множестве (−π, 0) ∪ (0, π). Значит, при достаточно малом γ > 0 ³[ ¡ [ ¢´ ¡ ¢ Ik : k = 1, m ⊂ (−π + γ, −γ) (γ, π − γ) . Пусть b = max(β(1 − Re µ), −1). Тогда по лемме 11.4.7 ¡ ¡ ¢¢ F (z) = O rb exp K(β, a)rβ h(θ) , r > r0 ,

γ 6 |θ| 6 π − γ,

и значит, для r > r0 , γ 6 |θ| 6 π − γ ¡ ¢ ¡ ¢ |F (z)| exp −K(β, a)rβ | sin θ|β 6 Crb exp −K(β, a)rβ b(θ) . По лемме 11.4.2 b(θ) ¢¢ Uk точек θk , k = 1, m, и точек 0, π. ¡ > ε > 0 вне объединения S ¡ окрестностей Значит, если P = θ : γ 6 |θ| 6 π − γ, θ 6∈ Uk : k = 1, m , то при некотором ε1 > 0 ¡ ¢ ¡ ¢ H(z) := |F (z)| exp −K(β, a)|y|β 6 C exp −ε1 rβ (11.4.30) для θ ∈ P , r > r1 . Это показывает, что часть интеграла в (11.4.28), распространенная на множество ³ [ ´ z : r > 1, γ 6 |θ| 6 π − γ, θ 6∈ Uk , конечна. Остается рассмотреть часть интеграла (11.4.28), взятую по множеству σ = (z : r > 1, θ ∈ U0 ∪ Um+1 ), где U0 = (θ : |θ| < ¡ γ), U ¢ m+1 = (θ : |π − θ| < γ). В силу (11.4.17), F (z) = O |z|−1 , z ∈ σ, и значит, на σ ¡ ¢ C(1 + |y|)s ¡ ¢ |F (z)|q β exp −qK(β, a)|y| 6 exp −A|y|β . q (q−3)(β/2−1) r (1 + |y|)

(11.4.31)

При q > 1 отсюда и из леммы 11.4.6 следует конечность той части интеграла (11.4.28), которая взята по множеству σ. При q = 1 применяем условие s0 > 2, благодаря которому из (11.4.17) следует оценка F (z) = O(|z|−2 ), z ∈ σ. Поэтому теперь (11.4.31) верно с заменой в правой части r−q на r−2 , и снова часть интеграла (11.4.28), отвечающая множеству σ, конечна. В итоге мы показали, что интеграл (11.4.28) конечен, и в случае 2 6 p 6 ∞ утверждение 1) доказано. 2) Пусть снова 2 6 p 6 ∞. Сначала покажем, что ZZ ¡ ¢ |F (z)|q r−q (1 + |y|)(q−3)(1−β/2) exp −qK(β, a)|y|β dx dy < ∞. (11.4.32) r>1

В ходе доказательства утверждения 1) мы проверяли конечность интеграла (11.4.28). Теперь в (11.4.32) появился дополнительный множитель r−q . Поэтому нам достаточно проследить, какие изменения в доказательство вносит этот множитель. Очевидно, что множитель r−q не повлияет на части интеграла, берущиеся по множествам σ и (z : r > 1, θ ∈ P ). Надо только учесть влияние этого множителя в интегралах по «секторам» Sk . Используя оценку (11.4.21), имеем ZZ ¡ ¢ |F (z)|q r−q (1 + |y|)(q−3)(1−β/2) exp −qK(β, a)|y|β dx dy 6 Sk

ZZ

6C

¡ ¢ exp −qK(β, a)rβ b(θ) r(q−3)(1−β/2)+qβ(1−Re µ)+1−q dr dθ.

(11.4.33)

Sk

По условию Re µ > 1/(qα) + 1/2. Значит, (q − 3)(1 − β/2) + qβ(1 − Re µ) + 2 − q < β/2, и по лемме 11.4.5 интеграл (11.4.33) конечен. Мы доказали свойство (11.4.32). По построению F (Λ) = 0, а свойство (11.4.32) означает, что для функции F (z)/(z − λ0 ) выполнены условия теоремы 10.2.5. По этой теореме функция F (z)/(z − λ0 ) представима в виде правой части (11.4.27), где q = p0 ∈ [1, 2]. По лемме 11.3.7, система (11.4.1) минимальна в Lp (R), 2 6 p < ∞ и в C0 (R) (этому случаю соответствует значение p = ∞). В случае 2 6 p 6 ∞ теорема 11.4.3 доказана.

144

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Случай 1 6 p < 2. 1) Нам достаточно доказать представимость (11.4.27) для p0 = q ∈ (2, ∞] (здесь L∞ — пространство существенно ограниченных функций). Для этого, сохраняя обозначение (11.4.30), достаточно, в силу теорем 10.1.4 и 10.1.5 проверить выполнение условий: !q/p ÃZ Z dy < +∞, q ∈ (2, ∞), (11.4.34) |y|β/2−1 H p (x + iy)dx R

Z

R

H(x + iy)dx 6 M < +∞,

y ∈ R.

(11.4.35)

R

Первое из них соответствует подслучаю 1 < p < 2, а второе — значению p = 1. Для их проверки проведем дополнительные оценки |F (z)|. Пусть Uk , k = 0, m + 1 — окрестности точек θk , где θ0 = 0, θm+1 = π. Фиксируем их такими, чтобы пересечение прямой Im z = y 6= 0 с сектором (reiθ : θ ∈ Uk ), k = 1, m имело вид Jk + iy, где xk + iy = zk = rk eiθk ,

Jk = (x : xk − δ|y| < x < xk + δ|y|),

k = 1, m,

а δ > 0 достаточно мало. Пусть J = ∪(Jk : k = 1, m). Через N + iy обозначаем пересечение прямой Im z = y с секторами (reiθ : θ ∈ U0 ∪ Um+1 ). Множество N состоит из двух полупрямых: N = (x : |x| > d|y|), где d от y не зависит. Обозначим через L + iy дополнение множества (N + iy) ∪ (J + iy) до прямой Im z = y. Множество L + iy есть пересечение прямой Im z = y с секторами (reiθ : θ 6∈ U k ), k = 0, m + 1. Ясно, что L ⊂ [−d|y|, d|y|]. Оценим интегралы от функции H p (x + iy) по множествам J, N, L. Оценка интеграла по J. Ясно, что |y| ³ r для z ∈ J + iy равномерно относительно y 6= 0. Далее, в силу (11.4.21) и по лемме 11.4.2 для z = reiθ ∈ Jk + iy получаем ¡ ¢ H(z) 6 C|y|β(1−Re µ) · exp −Arβ sin2 (θ − θk ) , A > 0. (11.4.36) Рассмотрим треугольник с вершинами 0, zk , z. Обозначим через ϕk его угол при вершине zk . По теореме синусов sin |θ − θk | = r−1 · |x − xk | · sin ϕk , и так как sin ϕk > δ1 > 0, k = 1, m, то sin2 (θ − θk ) > δ2 r−2 (x − xk )2 , δ2 > 0. Используя это и свойство |y| ³ r, находим ¡ ¢ ¡ ¢ exp −Arβ sin2 (θ − θk ) 6 exp −B|y|β−2 (x − xk )2 , B > 0. Возвращаясь к (11.4.36), видим, что

¡ ¢ H p (z) 6 C1 |y|pβ(1−Re µ) exp −C|y|β−2 (x − xk )2 ,

C > 0,

p > 1.

(11.4.37)

После подстановки t2 = |y|β−2 (x − xk )2 имеем Z Z ¡ ¢ ¡ ¢ exp −C|y|β−2 (x − xk )2 dx < |y|1−β/2 exp −Ct2 dt = M1 |y|1−β/2 , Jk

R

и в силу (11.4.37) получаем Z H p (x + iy)dx 6 M |y|pβ(1−Re µ)+1−β/2 ,

p > 1.

(11.4.38)

J

Оценка интеграла по L. Для точек z ∈ L + iy также имеем |y| ³ r равномерно относительно y, и по оценке (11.4.30) Z ¡ ¢ H p (x + iy)dx 6 M |y| exp −ε|y|β , ε > 0, M > 0, p > 1. (11.4.39) L

Оценка интеграла по N . Здесь применяем оценку F (z) = O(|z|−1 ), см. (11.4.17) и (11.4.9). Пусть 1 < p < 2. Так как |x| ³ r на N + iy равномерно относительно y, то Z∞ Z ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ dx p β = O exp −pK(β, a)|y|β . (11.4.40) H (x + iy)dx 6 M exp −pK(β, a)|y| p x N

d|y|

11.4. ПОЛНЫЕ

И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ПОЛУПРЯМОЙ И НА ПРЯМОЙ

Объединяя эту оценку с оценками (11.4.38) и (11.4.39), видим, что ÃZ !q/p ³ ´ H p (x + iy)dx = O |y|qβ(1−Re µ)+q(1−β/2)/p ,

|y| > 1.

145

(11.4.41)

R

При |y| 6 1 оценка левой части в (11.4.41) получается так же, как оценка (11.4.40). Действительно, фиксируя h > 0 столь большим, чтобы полуполосы | Re z| > h, | Im z| 6 1 попали в сектора θ = U0 ∪ Um+1 , в силу оценки F (z) = O(|z|−1 ), |y| 6 1, имеем Z

Zh p

H (x + iy)dx = R

Z +

−h

Z∞ 6 C1 + C2

dx = C < +∞ xp

(11.4.42)

h

|x|>h

(мы снова использовали свойство |x| ³ r). Таким образом, при |y| 6 1 левая часть в (11.4.41) ограничена. Объединяя это с оценкой (11.4.41), видим, что левая часть в (11.4.34) не превосходит Z1 C1

Z∞ y

0

β/2−1

y β/2−1+qβ(1−Re µ)+q(1−β/2)/p dy.

dy + C2

(11.4.43)

1

Здесь первый интеграл конечен, а второй — конечен при условии β/2 − 1 + qβ(1 − Re µ) + q × (1 − β/2)/p < −1, которое равносильно условию 1/(qα) + 1/2 + 1/β, т.е. условию (11.4.25) теоремы. Значит, условие (11.4.34) выполнено, и при 1 < p < 2 утверждение 1) доказано. Пусть p = 1. Проверим условие (11.4.35). При фиксированном y: |y| > 1 интеграл в (11.4.35) слагается из интегралов по J, L, N . Для интегралов по J и по L используем оценки (11.4.38), (11.4.39). Для оценки интеграла по N применяем оценку F (z) = O(|z|−2 ), z ∈ σ, которая верна благодаря (11.4.17) и условию s0 > 2. Получаем Z Z∞ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ dx β H(x + iy)dx 6 C exp −K(β, a)|y| = O exp −K(β, a)|y|β . 2 x N

d|y|

Объединяя оценки интегралов по J, L, N, получаем Z H(x + iy)dx 6 C|y|β(1−Re µ)+1−β/2 ,

|y| > 1.

R

По условию β(1 − Re µ) + 1 − β/2 6 0, и при |y| > 1 свойство (11.4.35) имеет место. Если |y| 6 1, то действуем так же, как при выводе оценки (11.4.42). Но если для получения (11.4.42) мы применяли оценку F (z) = O(|z|−s ) c s = 1, то теперь по условию она верна с s = 2, и потому левая часть в (11.4.35) не больше, чем Z∞ dx C1 + C2 < +∞. x2 h

В итоге условие (11.4.35) выполнено, и мы разобрали случай p = 1. Утверждение 1) доказано полностью. 2) Нам остается доказать минимальность системы (11.4.1) в Lp , 1 6 p < 2. Для этого, обозначив F0 (z) = F (z)/(z − λ0 ), достаточно, в силу леммы 11.3.7, доказать представимость функции F0 (z) в виде правой части (11.4.27). А для этого, как мы видели, достаточно проверить, что функция ¡ ¢ H0 (z) = exp −K(β, a)|y|β |F0 (z)| удовлетворяет условиям (11.4.34) и (11.4.35) соответственно при 1 < p < 2 и p = 1. Очевидно, что H0 (z) = O(H(z)/r), r > 1, и значит, если заменить H(z) на H0 (z), то оценки (11.4.39), (11.4.40), (11.4.42) подавно сохранятся, а правая часть неравенства (11.4.38) примет вид β M |y|τ , τ = pβ(1 − Re µ) + 1 − − p. 2

146

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Следовательно, если в левой части неравенства (11.4.41) заменить H(z) на H0 (z), то показатель степени в правой части уменьшится на q = p0 . Значит, левая часть в (11.4.34) не превзойдет выражения (11.4.43), где во втором интеграле показатель степени уменьшится на q. В итоге конечность второго интеграла (а следовательно, и всего выражения (11.4.43)), будет иметь место, как только выполняется условие (11.4.26). Значит, условие (11.4.26) влечет за собой условие (11.4.34) для функции H0 (z), а следовательно, и минимальность системы (11.4.1) в Lp , 1 < p < 2. Итак, для 1 < p < 2 при переходе от утверждения 1) к утверждению 2) константа в условии (11.4.25) уменьшается на 1/β. Точно такое же изменение происходит и в случае p = 1, когда мы проверяем условие (11.4.35) уже не для H(z), а для H0 (z). В итоге мы получаем утверждение 2) и для случая p = 1. Теорема 11.4.3 доказана. Доказательство теоремы 11.4.4. Доказав теорему 11.4.3, по существу мы доказали и теорему 11.4.4. Действительно, пусть выполнены условия теоремы 11.4.4. Тогда выполнены и условия теоремы 11.4.3. В процессе доказательства теоремы 11.4.3 мы установили представимость функции F (z) в виде (11.4.27). Но теперь все θk ∈ (0, π), и в силу (11.4.17), F (z) = O(1/r), r > 1, 2 , а значит, обратное преобразование Фурье функции F (x) y 6 0. Отсюда следует, что F (z) ∈ H− сосредоточено на полупрямой R+ , и представление (11.4.27) переходит в формулу Z ¡ ¢ 0 e−izt exp −a|t|α f (t)dt, f ∈ Lp , 1 6 p 6 ∞. (11.4.44) F (z) = R+

Так как F (Λ) = 0, то по лемме 11.3.6, система (11.4.1) неполна в Lp (R+ ), т.е. утверждение 1) теоремы 11.4.4 верно. Аналогично, со ссылкой на работу, проделанную при доказательстве утверждения 2) теоремы 11.4.3, мы можем утверждать представимость функции F (z)/(z − λ0 ) в виде правой части (11.4.44), и минимальность системы (11.4.1) в Lp (R+ ) имеет место по лемме 11.3.7. Теорема 11.4.4 доказана. Следствие 11.4.1. Пусть числа θk удовлетворяют условиям теоремы 11.4.1 (теоремы 11.4.2). Пусть s0 < +∞, причем s0 > 2 при p = 1, ∞. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (11.4.9). Тогда система (11.4.1) полна и минимальна в Lp (R) (в Lp (R+ )), 1 6 p 6 ∞ в том и только в том случае, если 1 1 1 1 1 при 1 < p 6 ∞, + < Re µ 6 + + 0 0 αp 2 αp 2 β 1 1 1 6 Re µ < + при p = 1. 2 2 β 11.5. НЕОБХОДИМОЕ 11.5.1.

УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

Продолжаем исследовать аппроксимационные свойства системы ³¡ ¡ ¢¢mn ´∞ e(Λ; a, α) := (it)k−1 e−iλn t exp −a|t|α k=1 , Λ = (λn ; mn )∞ n=0 n=0 α > 1 в пространствах B = Lp = Lp (R) и B+ = Lp+ = Lp (R+ ), 1 + формулировок полагаем L∞ = C0 = C0 (R), L∞ + = C0 = C0 (R).

(11.5.1)

при a > 0, 6 p 6 ∞, где ради едиБудем придерживаться нообразия обозначений, принятых в начале п. 11.3. Кроме того, обозначим (1/α + 1/β = 1) H(θ) = K(β, a)| sin θ|β , H+ (θ) = H(θ),

когда

sin θ > 0,

и

θ ∈ R, H+ (θ) = 0,

когда

sin θ < 0.

Теорема 11.5.1. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в B (B+ ). Тогда существует целая функция F (z) порядка β такая, что: 1) индикатор hF (θ) функции F (z) подчиняется оценке hF (θ) 6 H(θ)

(hF (θ) 6 H+ (θ)),

θ ∈ R,

(11.5.2)

причем любой отрезок длины π/β содержит хотя бы одну точку, для которой в (11.5.2) имеет место знак равенства; 2) множество корней функции F (z) совпадает с Λ;

11.5. НЕОБХОДИМОЕ

147

УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

∗ ); 3) F (z) 6∈ F B ∗ (F B+ F (z) ∗ ). 4) z−λ ∈ F B ∗ (F B+ 0

При условии нормировки F (µ) = 1, µ 6∈ Λ функция F (z) единственна. Доказательство. По лемме 11.3.6, существует нетривиальная ц.ф. F (z) со свойствами F (Λ) = 0 ∗ ). Пусть последовательность Λ получена из Λ понижеи F0 (z) := F (z)/(z − λ0 ) ∈ F B ∗ (F B+ 0 нием на единицу кратности точки λ0 . Имеем F0 (Λ0 ) = 0. Утверждается, что Λ0 есть в точности множество функции F0 (z). Действительно, пусть F0 (µ) = 0, µ 6∈ Λ. Тогда F0 (Λ0 ∪ {µ}) = = 0 и по лемме 11.3.6 и теореме 11.3.1 система (11.5.1) неполна в B (B+ ), что противоречит условию теоремы. Мы доказали утверждения 2) и 4). Утверждение 3) следует из полноты системы (11.5.1) и из леммы 11.3.6. ∗ ) и из замечания 10.1.1 следует, что Обозначим через ρ порядок F (z). Из F0 (z) ∈ F B ∗ (F B+ ρ 6 β и что индикатор функции F (z) при порядке β не превосходит H(θ). Если речь идет о пространстве B+ , то функция F0 (z) ограничена в нижней полуплоскости. Значит, в этом случае hF (θ) 6 0, −π 6 θ 6 0, и мы доказали (11.5.2). Докажем единственность функции F (z), нормированной условием F (µ) = 1, где µ 6∈ Λ. Пусть G(z) — целая функция со свойствами, перечисленными в теореме 11.5.1 и пусть G(µ) = 1. Покажем, что G(z) ≡ F (z). Пусть R(z) = G(z) − F (z) 6≡ 0. По предположению R(Λ ∪ {µ}) = 0 и R(z)/(z − λ0 ) ∈ F B ∗ ∗ ). По лемме 11.3.5, функция R(z)/(z − µ) ∈ F B ∗ (F B ∗ ). Так как эта функция обращается (F B+ + в нуль в точках Λ, то система e(Λ; a, α) неполна в B (B+ ), что противоречит условию. Итак, G(z) ≡ F (z). Из доказанного утверждения 4) и из леммы 11.3.9 следует, что Fl (z) =

F0 (z) ∈ F L2 (F L2+ ) (z − λ1 ) . . . (z − λl )

(11.5.3)

при некотором l ∈ N. Оставшиеся утверждения о порядке и об индикаторе достаточно доказать для функции Fl (z). Предположим противное: ρ < β. Фиксируем отрезок [γ1 , γ2 ] = (θ : |θ − θ0 | 6 6 π/(2β)) так, чтобы 0 < γ1 < γ2 < π. Тогда беря ε из условия 0 < 2ε < min(H(θ) : θ ∈ [γ1 , γ2 ]), при подходящем δ > 0 и при r > r0 имеем ¡ ¢ ¡ ¢ π |Fl (z)| < exp rβ−δ < exp rβ (H(θ) − 2ε) , |θ − θ0 | 6 . (11.5.4) 2β Введем в рассмотрение функцию ¡ ¢ E(z) = β −1 Eβ ε1/β ze−iθ0 ; 1 , где Eρ (z; µ) — функция типа Миттаг–Леффлера. Из леммы 11.4.7 вытекает, что при r > r1 ¡ ¢ ¡ ¢ π |E(z)| < 2 exp εrβ cos β(θ − θ0 ) 6 2 exp εrβ , |θ − θ0 | 6 2β π |E(z)| 6 M < ∞, 6 |θ − θ0 | 6 π. 2β Отсюда и из (11.5.4) вытекает, что для функции G(z) := Fl (z)E(z) при r > r2 верны оценки ¡ ¢ π |G(z)| < 2 exp rβ (H(θ) − ε) , |θ − θ0 | 6 (11.5.5) 2β π |G(z)| 6 M |Fl (z)|, 6 |θ − θ0 | 6 π. (11.5.6) 2β Обозначим

ZZ 2

kGk =

¡ ¢¡ ¢ |G(x + iy)|2 exp −2H(θ)rβ 1 + |y|β/2−1 dx dy,

(11.5.7)

R2

kGk2+

обозначает часть интеграла в (11.5.7), взятую по x ∈ R, y ∈ R+ . Из (11.5.3) по и пусть 2 ). Покажем, что следствиям 10.2.1, 10.2.2 следует, что kFl k2 < ∞ (kFl k2+ < ∞ и Fl (z) ∈ H− 2 ). kGk2 < ∞ (kGk2+ < ∞ и G(z) ∈ H−

148

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Введем дополняющие друг друга до всей плоскости сектора S1 = (z : |θ − θ0 | 6 π/(2β)) и S2 = (z : π/(2β) 6 |θ − θ0 | 6 π). Пусть P± = (z : y ≷ 0); заметим, что S2 ⊃ P− . Тогда Z Z Z Z 2 2 kGk = I1 + I2 = + , kGk+ = I1 + I2 = + S1

S2

S1

S2 ∩P+

с той же подынтегральной функцией, что в (11.5.7). Из (11.5.6) и из того, что kFl k2 < ∞ (kFl k2+ < ∞), следует, что в обоих случаях I2 < ∞, а в силу (11.5.5) ZZ ¡ ¢ I1 6 4 (1 + |y|)β/2−1 · exp −2εrβ dx dy < ∞. (11.5.8) S1 2 и из (11.5.6) слеЗначит, kGk2 < ∞ (kGk2+ < ∞). В случае пространства B+ из свойства Fl (z) ∈ H− 2 2 2 дует, что G(z) ∈ H− . По следствиям 10.2.1, 10.2.2 G(z) ∈ F L (F L+ ). Значит, система e(M ; a, α), где M — последовательность корней функции G(z), неполна в L2 (L2+ ). Но M получается присоединением к Λ\(λi )li=0 бесконечного множества точек — корней функции E(z) (при ρ 6= 1 функция Eρ (z; µ) имеет бесконечное множество корней [56]). Заменяя в M l + 1 точек точками λi , i = 0, l, получаем, что система e(M1 ; a, α), где M1 получена присоединением к Λ бесконечного множества точек, неполна в L2 (L2+ ). По лемме 11.3.8, это противоречит тому, что система (11.5.1) полна в B (B+ ). Мы доказали, что ρ = β. (В случае пространств B равенство ρ = β может быть доказано гораздо проще с использованием того, что условие ∆β (Λ) > 0 необходимо для полноты системы (11.5.1) в B (теорема 11.2.1). Однако, для пространств B+ мы пока не располагаем таким фактом.) Осталось доказать часть утверждения 1) о знаке равенства в (11.5.2) для индикатора h(θ) функции Fl (z). Предположим противное: при некотором θ0 в (11.5.2) имеет место знак < для всех θ ∈ [θ0 − π/(2β), θ0 + π/(2β)]. Сначала рассмотрим случай пространства B, т.е. пусть на указанном отрезке h(θ) < H(θ). В силу непрерывности обеих функций имеем h(θ) < H(θ) − 3ε, |θ − θ0 | 6 6 π/(2β) при подходящем ε > 0. Значит, неравенство (11.5.4) верно для крайних его членов. Отсюда следуют оценки (11.5.5), (11.5.6), а затем повторяются последующие за ними рассуждения. Они приводят к тому, что G(z) ∈ F L2 в случае пространства B. Пусть речь идет о пространстве B+ . Тогда в правых частях (11.5.4) и (11.5.5) H(θ) заменяется на H+ (θ), а (11.5.6) сохраняется. Если отрезок [γ1 , γ2 ] = (θ : |θ − θ0 | 6 π/(2β)) лежит на [0, π], то H+ (θ) = H(θ) для θ ∈ [γ1 , γ2 ], и сохраняются предыдущие рассуждения, основанные на (11.5.5), (11.5.6) и касающиеся пространства B. Получаем, что G(z) ∈ F L2+ . Если [γ1 , γ2 ] ⊂ [−π, 0], то в (11.5.4) и (11.5.5) следует положить H(θ) = 0. Тогда из (11.5.5), 2 , следует, что kGk2 < ∞ и G(z) ∈ H 2 . По (11.5.6), а также из того, что kFl k2+ < ∞ и Fl (z) ∈ H− + − следствию 10.2.1 G(z) ∈ F L2+ . Остается разобрать случаи 0 ∈ (γ1 , γ2 ) и π ∈ (γ1 , γ2 ). В силу аналогии ограничимся первым из них. Итак, пусть γ1 < 0 < γ2 . Пусть S+ = (z : 0 < arg z < γ2 ). Оценка (11.5.5) сохраняется для 0 < θ < γ2 , а при γ1 < θ < 0 в ней следует положить H(θ) = 0. Отсюда, из (11.5.6) и из того, 2 , следует, что G(z) ∈ H 2 . Пусть I , I — части интеграла (11.5.7), взятые по S и что Fl (z) ∈ H− + + − по дополнению S+ до верхней полуплоскости y > 0. Тогда I < ∞, благодаря (11.5.6) и свойству kFl k2+ < ∞, а для I+ повторяется оценка (11.5.8), показывающая, что I+ < ∞. В итоге kGk2+ < ∞ и по следствию 10.2.1 G(z) ∈ F L2+ . Итак, в случае пространства B (B+ ) мы имеем свойство G(z) ∈ F L2 (F L2+ ). Далее повторим концовку доказательства равенства ρ = β. Получим противоречие. Теорема 11.5.1 доказана.

Определение. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в B (B+ ). Тогда целую функцию F (z) со свойствами, перечисленными в теореме 11.5.1, назовем порождающей функцией системы (11.5.1). Замечание 11.5.1. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в Lp (Lp+ ), 1 6 p < ∞, и пусть все точки λn , начиная с некоторой, просты. Тогда при n > n1 формулы для биортогональной системы

11.5. НЕОБХОДИМОЕ

УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

0

hn (t) ∈ Lp (Lp+ ) имеют вид 0

149

Fn (z) :=

F (z) = 0 F (λn )(z − λn )

Z

¡ ¢ e−izt exp −a|t|α hn (t)dt,

(11.5.9)

R(R+ )

где F (z) — порождающая функция системы (11.5.1). Доказательство такое же, как в случае формул (11.5.12), п. 4.1. Замечание 11.5.2. Если B = C0 (B+ = C0+ ), то в формуле (11.5.9) следует заменить hn (t)dt на dhn (t), где hn (t) ∈ V (V+ ). 11.5.2.

Здесь содержатся основные результаты п. 11.5.

Лемма 11.5.1. Пусть функция F (z) аналитична в угле ϕ 6 arg z 6 ψ и имеет в нем порядок ρ ∈ (0, ∞) и конечный тип при порядке ρ, пусть hF (θ) — индикатор функции F (z) при порядке ρ. Тогда hF 0 (θ) 6 hF (θ), ϕ < θ < ψ. (11.5.10) Доказательство. Фиксируем θ ∈ (ϕ, ψ) и столь большое r0 так, чтобы при r > r0 круг (w : |w − z| < 1), где z = reiθ , попал в сектор ϕ < arg z < ψ. Пусть γ — граница этого круга. Из формулы Коши следует, что |F 0 (z)| 6 |F (w(z))|, (11.5.11) где w(z) — некоторая точка γ. По свойству индикатора ³ ³ ε ´´ |F (w)| < exp |w|ρ hF (arg w) + , |w| > R0 (ε), ϕ 6 arg w 6 ψ. 2 Отсюда, из (11.5.11) и из непрерывности индикатора вытекает оценка ¡ ¢ |F 0 (z)| < exp (r + 1)ρ (hF (θ) + ε) , r > r1 , дающая требуемое неравенство (11.5.10). Лемма 11.5.1 доказана. Обозначим

¡ ¢ en = en (t) = e−iλn t exp −a|t|α , a > 0, α > 1, yn = Im λn , ϕn = arg λn . Норму в B и в B+ обозначаем соответственно через k · k и k · k+ . Положительные константы C в лемме 11.5.2 зависят от B (B+ ). Лемма 11.5.2. Для норм ken k, ken k+ верны следующие утверждения: 1) ken k, ken k+ > C(1 + |yn |)−1/p ; ¡ ¢ (β/α−β/2)/p 2) ken k+ ∼ Cyn exp |λn |β H(ϕn ) , если yn → +∞; ¡ ¢ 3) ken k ∼ C|yn |(β/α−β/2)/p exp |λn |β H(ϕn ) , если yn → ±∞. Доказательство. Так как утверждение 3) следует из 1), 2), то надо доказать утверждения 1), 2). Пусть сначала 1 6 p < ∞. Так как |en (t)| = exp(yn t − a|t|α ), то Z1 p

ken k

, ken kp+

>C

exp(pyn t)dt = C 0

exp(pyn ) − 1 , pyn

и утверждение 1) верно. Утверждение 2) содержится в лемме 10.1.1. Если p = ∞, т.е. B = C0 , B+ = C0+ , ¡то ke¡n k, ken k+¢ > 1, и значит, утверждение ¢ ¡ ¢1) верно. α β Утверждение 2) следует из свойства max exp yt − at : t ∈ R+ = exp K(β, a)y , y > 0, проверяемого дифференцированием. Лемма 11.5.2 доказана. Теорема 11.5.2. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в B (B+ ) и пусть все точки λn , начиная с некоторой, просты. Тогда если система (11.5.1) равномерно минимальна в B (B+ ), то для индикатора hF (θ) порождающей функции F (z) этой системы в каждой точке θ0 , предельной для последовательности ϕn = arg λn , имеет место равенство hF (θ0 ) = H(θ0 )

(hF (θ0 ) = H+ (θ0 )).

150

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Доказательство. Предположим противное: hF (θ0 ) < H(θ0 ) (< H+ (θ0 )). Используя это, непрерывность индикатора и лемму 11.5.1, заключаем, что при подходящем ε > 0 и при достаточно малом δ > 0 в случае пространства B верна оценка hF 0 (θ) < H(θ) − 2ε,

|θ − θ0 | 6 δ.

Значит, при |θ − θ0 | 6 δ, r > r0 ¯ 0 ¡ iθ ¢¯ ¡ ¢ ¡ ¢ ¯F re ¯ < exp rβ (hF 0 (θ) + ε) < exp rβ (H(θ) − ε) . В частности, если |ϕn − θ0 | 6 δ, то

¡ ¢ |F 0 (λn )| < exp |λn |β (H(ϕn ) − ε) .

(11.5.12)

Если речь идет о пространстве B+ , то в (11.5.12) H(ϕn ) заменяется на H+ (ϕn ). По определению точки θ0 неравенство (11.5.12) выполняется для некоторой последовательности индексов n = nk → ∞. В дальнейшем нормы в пространствах Lq , Lq+ , V, V+ обозначаем соответственно через k · kq , + 0 k · k+ q , k · kV , k · kV . Пусть q = p . Пусть сначала B = Lp . Если 1 < q 6 2, то из формул (11.5.9) по теореме Хаусдорфа—Юнга следует, что ° ° ¡ ¢ kFn (x)kp 6 Cp ° exp −a|t|α hn (t)°q , и значит, khn kq > Mp kFn (x)kp . (11.5.13) Если 2 < q 6 ∞, то по неравенству Г¨ельдера ° ° ¡ ¢ ° exp −a|t|α hn (t)° 6 Cq khn (t)kq . 2

Используя это и неравенство Парсеваля, из (11.5.9) находим khn kq > Mp kFn (x)k2 ,

2 < q 6 ∞.

(11.5.14)

Пусть B = C0 . Тогда по замечанию Замечание. rem11.3.2 в (11.5.9) вместо hn (t)dt присутствует dhn (t), где hn (t) ∈ V . Очевидно, khn kV > var hn > kFn (x)kC(R) .

(11.5.15)

Если речь идет о пространстве B+ , то в полученных оценках (11.5.13)–(11.5.15) нормы khn kq и + khn kV заменяются нормами khn k+ q и khn kV . Итак, для всех рассматриваемых случаев мы получили однотипные оценки (11.5.13)–(11.5.15) для норм элементов биортогональной системы. Поэтому конец доказательства достаточно провести для одного из этих случаев. Пусть для определенности B = Lp (B+ = Lp+ ), 2 6 p < ∞; тогда верна оценка (11.5.13) с указанной выше заменой при переходе от B к B+ . Если 1 < x 6 |λn |, то |x/(x − λn )| > 1/(2|λn |), и значит, при n > n1 ° ° ° ° ° ° ° F (x) ° ° ° ° ° C ° ° = ° F (x) x ° > 1 ° F (x) ° > . ° x − λn ° ° x x − λn ° ° ° 2|λn | x |λn | p p

p

L (1,|λn )

Отсюда, из (11.5.12), (11.5.13) следует, что в случае пространства B ¡ ¢ khn kq > C|λn |−1 exp |λn |β (ε − H(ϕn )) , n = nk → ∞,

(11.5.16)

а в случае пространства B+ в (11.5.16) khn kq и H(ϕn ) заменяются соответственно на khn k+ q и H+ (ϕn ). Если θ0 6= 0, ±π, то из (11.5.16) и из утверждений 1)–3) леммы 11.5.2 вытекает, что ¡ ¢ ken k · khn k, ken k+ · khn k+ > C|λn |−2 exp ε|λn |β , n = nk → ∞, и нарушен критерий равномерной минимальности, состоящий в том, что sup ken k · khn k < +∞. Пусть θ0 = 0, ±π; тогда H(ϕn ), H+ (ϕn ) → 0, n = nk → ∞. По утверждению 1) леммы 11.5.2 ken k, ken k+ > C(1 + |yn |)−1 , что вместе с (11.5.16) дает оценку ³ε ´ ¡ ¢ C β β ken k · khn k > exp |λ | (ε − H(ϕ )) > C exp |λ | , (11.5.17) n n 1 n |λn |2 2

11.5. НЕОБХОДИМОЕ

УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

151

при n = nk > N и аналогичную оценку для ken k+ ·khn k+ (в этом случае в (11.5.17) появится H+ (ϕn ) вместо H(ϕn ), но на правую часть это не повлияет). Снова имеем противоречие с критерием равномерной минимальности. Теорема 11.5.2 доказана. Теорема 11.5.3. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в B (в B+ ), пусть все точки λn , начиная с некоторой, просты, и пусть порождающая функция F (z) система (11.5.1) имеет вполне регулярный рост. Тогда если система (11.5.1) равномерно минимальна в B (в B+ ), то hF (θ) = H(θ)

(hF (θ) = H+ (θ)),

−π 6 θ 6 π,

(11.5.18)

где hF (θ) — индикатор функции F (z). Доказательство. Обозначив h(θ) = hF (θ), предположим противное. В силу теоремы 11.5.1 это будет означать, что в некоторой точке θ ∈ [−π, π] имеет место неравенство h(θ) < H(θ)

(h(θ) < H+ (θ)).

(11.5.19)

По непрерывности участвующих функций и по утверждению 1) теоремы 11.5.1 найдется интервал (a, b) такой, что неравенство (11.5.19) выполнено для всех его точек, а в точках θ = a, b имеет место равенство (11.5.18), причем b − a 6 π/β. По теореме 11.5.2 ни одна точка интервала (a, b) не является предельной для последовательности (arg λn ). Отсюда в силу полной регулярности роста функции F (z) следует [23, гл. 3, § 3], что на отрезке [a, b] индикатор h(θ) есть β-тригонометрическая функция, т.е. h(θ) = A cos β(θ − γ), где A, γ — некоторые числа. Убедимся, что равенство (11.5.18) при θ = a или θ = b несовместимо с условием b − a 6 π/β. Случай A = 0 тривиален. Тогда h(θ) = H+ (θ) на [−π, 0], значит, в случае пространства B+ участвующая в (11.5.19) точка θ ∈ (0, π). В случае пространства B либо θ ∈ (0, π), либо θ ∈ (−π, 0). В обоих случаях b − a = π > π/β. Пусть A 6= 0. В точках θ = 0, ±π равенство (11.5.18) невозможно. Действительно, если h(θ) = 0, то h(t) > H(t) для некоторых точек t из сколь угодно малой окрестности точки θ, так как H 0 (θ) = 0, тогда как h0 (θ) 6= 0. Это дает противоречие с (11.5.2). По той же причине в случае пространства B+ равенство (11.5.18) невозможно для точек θ ∈ [−π, 0]. Значит, с учетом четности H(θ) достаточно рассмотреть случай равенства (11.5.18) в точке θ∗ ∈ (0, π). Так как h(θ∗ ) > 0, то в силу (11.5.2) найдутся точки θ1 , θ2 ∈ (0, π), θ2 = θ1 + π/β такие, что h(θ) > 0 на (θ1 , θ2 ) и h(θ1 ) = h(θ2 ) = 0. Так как H(θ1 ) > 0, то h(θ) < H(θ) на [θ1 , θ1 + δ] при некотором δ > 0. На интервале (θ1 − π/β, θ1 ) это неравенство очевидно, так как на нем h(θ) < 0, а H(θ) > 0 (H+ (θ) > 0). В итоге мы получили, что неравенство h(θ) < H(θ) выполняется на интервале (θ1 − π/β, θ1 + δ), длина которого больше, чем π/β. А это противоречит теореме 11.5.1. Теорема 11.5.3 доказана. Теорема 11.5.4. Пусть все точки λn , начиная с некоторой, просты и пусть Ã s ! [ ¡ ¢∞ Λ = Λ0 ∪ Λk , s ∈ N, Λk = λ(k) n n=1 , k=1

где ∆β (Λ0 ) = 0,

∆β (Λk ) > 0,

k = 1, s,

(11.5.20)

и при k 6= 0 последовательность Λk асимптотически распределена вдоль луча arg z = θk , т.е. (k) arg λn → θk , n → ∞. Пусть, кроме того, при целом β существует предел X0 lim λ−β (11.5.21) n . r→∞

|λn |
Тогда система (11.5.1) не может быть одновременно полной и равномерно минимальной в B (в B+ ).

152

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Доказательство. Если система (11.5.1) не является одновременно полной и минимальной, то доказывать нечего. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в B (в B+ ). По теореме 11.5.1 существует порождающая функция F (z) системы (11.5.1). По теореме Адамара F (z) = z m eP (z)

∞ Y n=1

G

³ z ´ ;p , λn

(11.5.22)

Q где есть каноническое произведение ряда p 6 β, а P (z) — многочлен степени не большей β. По условию (11.5.20) последовательность Λ имеет угловую плотность при порядке β, причем в случае целого β существует предел (11.5.21). Но тогда [23, гл. 2] функция (11.5.22) имеет вполне регулярный рост и потому в углах θk < θ < θk+1 , где Λ имеет нулевую плотность, индикатор hF (θ) является β-тригонометрическим, т.е. hF (θ) = A cos β(θ − γ), что противоречит утверждению (11.5.18) теоремы 11.5.3. Теорема 11.5.4 доказана. 11.5.3. Благодаря результатам пп. 11.3, 11.4, мы имеем достаточно широкие классы систем (11.5.1), являющихся одновременно полными и минимальными в B (в B+ ). Выясним, являются ли они равномерно минимальными. По следствию 11.3.1 система µ µ 2 ¶¶ t −iλn t , (11.5.23) e exp − 2 λn ∈Λ ³³ 3 ³ p S π ´´´∞ ∪ {λ1 } ∪ {λ2 }, (11.5.24) Λ= 2 π(n + h) exp i γ + k 2 n=1 k=0 где γ ∈ [0, π/2), h > −1, тогда и только тогда полна и минимальна в Lp , 2 6 p < ∞, когда −1/(4p) < h 6 1/(4p0 ). Формула (11.5.24) показывает, что последовательность Λ лежит на четырех лучах arg z = θ + πk/2, k = 0, 3, на каждом из которых имеет плотность 1/(4π) при порядке β = 2. Кроме того, формула (11.5.24) показывает, что существует предел (11.5.21). По теореме 11.5.4 система (11.5.23)– (11.5.24) не является равномерно минимальной в Lp . В теоремах п. 11.4 порождающая функция системы (11.5.1) имеет вид F (z) = e(bz),

e(z) =

m X

¡ 1/β ¢ 0 ck Eβ ak ze−iθk ; µ ,

b = (K(β, a))1/β ,

k=1

где числа θk0 , ak , ck подобраны специальным образом. В процессе рассуждений п. 11.4 (см. формулу (11.5.15)) мы выяснили, что индикатор функции F (z) является кусочно β-тригонометрическим (в частности, имеет точки недифференцируемости, а сама функция F (z) имеет вполне регулярный рост. Таким образом, условие (11.5.18) теоремы 11.5.3 не выполняется. Значит, мы сможем утверждать отсутствие равномерной минимальности у систем (11.5.1), описываемых теоремами 11.4.1– 11.4.4, если покажем, что функция F (z) имеет не более конечного числа кратных корней. В условиях теорем 11.5.1, 11.5.3 всегда m > 2. Если 1 < β 6 2, то в теоремах 11.5.2, 11.5.4 набор (θk ) может состоять из одной точки (например, θ1 = θ10 = π/2). Тогда функции e(z) и ¡ 1/β ¢ 0 Eβ a1 ze−iθ1 ; µ пропорциональны. Но, как известно [56], при β > 1 все корни функции Eβ (z; µ), за исключением, быть может, конечного числа, просты. Следовательно, это утверждение относится и к функции F (z); случай m = 1 разобран. Итак, m > 2. Пусть для определенности мы находимся в условиях теорем 11.5.2, 11.5.4 (в случае теорем 11.5.1, 11.5.3 рассуждения аналогичны). Пользуемся обозначениями п. 11.4. По условию теорем θk+1 − θk 6 π/β, а θk0 = θk /α + π/(2β). Отсюда 0 θk+1 − θk0 = (θk+1 − θk )α−1 < θk+1 − θk 6 πβ −1 .

Значит, арки косинусоид (части графиков функций hk (θ), hk+1 (θ) с соседними номерами) пересекаются в некоторой точке с абсциссой tk , причем hk (tk ) = hk+1 (tk ) > 0, k = 1, m − 1. Пусть t0 , tm — точки, в которых h1 (t0 ) = 0, hm (tm ) = 0 (0 < t0 < tm < π).

11.5. НЕОБХОДИМОЕ

153

УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

Фиксируем достаточно малое ε > 0. Утверждается, что вне секторов Uj = Uj (ε) = (θ: |θ−tj | < ε), j = 0, m при |z| > R нет корней e(z). Сначала убедимся, что их нет при tm + ε − 2π 6 θ 6 t0 − ε,

|z| > R.

(11.5.25)

По лемме 11.4.7, в этом секторе

¡ ¢ e(z) = −Az −s0 + O r−s0 −1 ,

где по смыслу числа s0

r→∞

(11.5.26)

∞

X ¡ −1/β 0 ¢s0 1 A= ck ak eiθk 6 0. = Γ(µ − s0 /β) k=1

Из (11.5.26) следует отсутствие у e(z) корней на множестве (11.5.25) при достаточно большом R. Для сокращения записи введем обозначения g(z) = z β(µ−1) · e(z), По лемме 11.4.7, g(z) =

X

0

Ck = βck a1−µ e−iβ(1−µ)θk , k

l = β(µ − 1) − s0 .

³ ¡ ´ ¡ ¢ 0 ¢β Ck exp ak ze−iθk + Az l + O z l−1 ,

r → ∞,

(11.5.27)

k

где суммирование ведется по тем k, для которых |θ − θk0 | 6 γ ∈ (π/(2β), π/β). Множество индексов k зависит от θ = arg z. Пусть точка z находится в секторе tj−1 + ε 6 θ 6 tj − ε,

j = 1, m,

|z| > R.

(11.5.28)

Тогда в (11.5.27) обязательно присутствует индекс k = j. Далее, так как ¯ ´¯ ³ ¡ ¢¢ ¡ ¡ 0 ¢β ¯ ¯ ¯ = exp rβ ak cos β θ − θk0 , ¯ exp ak ze−iθk ¡ ¢ ¡ ¢ а aj cos β θ − θj0 > ak cos β θ − θk0 + δ1 , δ1 > 0, k 6= j на множестве (11.5.28), то слагаемое с индексом k = j доминирует в данном секторе, т.е. ´ ³ ¡ ¡ ¢ 0 ¢β (1 + o(1)) + O z l , r → ∞. (11.5.29) g(z) = Cj exp aj ze−iθj И так как в этом секторе

¯ ´¯ ³ ¡ ¡ ¢ ¯ −iθj0 ¢β ¯ exp a ze ¯ ¯ = exp δrβ , j

δ > 0,

(11.5.30)

то из (11.5.29) следует отсутствие у функции g(z), а значит, и у функции e(z), корней в секторах (11.5.28). Мы доказали, что при |z| > R все корни e(z) лежат в секторах Uj , j = 0, m. Пусть j 6= 0, m. В секторе Uj (3ε/2) верна асимптотика (11.5.27), причем если ε достаточно мало, то множество индексов k одно и то же для всех z ∈ Uj (3ε/2). Известно [33, гл. 1, теорема 4.2], что асимптотика такого типа в каждом подсекторе допускает дифференцирование. Отсюда для z ∈ Uj = Uj (ε), r → ∞ ³ ¡ ´ X ¡ ¢ 0 0 ¢β g 0 (z) = βz β−1 Ck ak e−iβθk exp ak ze−iθk + O exp z l−1 . (11.5.31) k

В ненулевых кратных корнях функции e(z) левые части в (11.5.27) и (11.5.31) обращаются в нуль. 0 Поэтому деля (11.5.31) на βz β−1 aj+1 e−iβθj+1 и вычитая полученное из (11.5.27), видим, что в кратных корнях функции e(z) (z ∈ Uj , z 6= 0) должно выполняться условие ! Ã 0 ³ ¡ ´ ³ ¡ X ¢ ´ ¡ l−1 ¢ aj e−iβθj −iθj0 ¢β −iθk0 β exp a ze + B exp a ze + O z = 0, (11.5.32) Cj 1 − j k k 0 aj+1 e−iβθj+1 k6=j,j+1 где Bk — некоторые коэффициенты. Убедимся, что коэффициент Bj при экспоненте в первом слагаемом отличен от нуля. Так как Cj 6= 0, то достаточно проверить, что 0

0

aj+1 eiβθj 6= aj eiβθj+1 .

154

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Предположим противное: здесь имеет место знак равенства. Так как aj , aj+1 > 0, то отсюда 0 0 = βθj0 + 2πn при некотором n ∈ N. Тогда θj+1 − θj = α(θj+1 − θj0 ) = 2πnα/β > 2π/β, а это βθj+1 противоречит тому, что θj+1 − θj 6 π/β по условию теорем 11.5.2, 11.5.4. Итак, Bj 6= 0. Из те же соображений, что применялись при рассмотрении сектора (11.5.28), следует, что если ε достаточно мало, а z ∈ Uj , j 6= 0, m, то в (11.5.32) при r → ∞ доминирует первое слагаемое, т.е. (11.5.32) записывается в виде ³ ¡ ´ ¡ ¢ 0 ¢β Bj (1 + o(1)) exp aj ze−iθj + O z l−1 = 0, r → ∞. (11.5.33) Но при достаточно малом ε для z ∈ Uj верна оценка (11.5.30). Значит, необходимое условие (11.5.33) кратного корня функции e(z) не может выполняться для сколь угодно больших |z|, z ∈ Uj , j 6= 0, m. Осталось рассмотреть сектора Uj , j = 0, m. Если ε достаточно мало, то в секторе U0 верна асимптотика (11.5.27) с единственным индексом k = 1. Значит, при |z| > R корни e(z) в секторе U0 совпадают с корнями функции ³ ¡ ´ ¡ ¢ 0 ¢β Cz −l exp a1 ze−iθ1 − A + O r−1 , (11.5.34) где C — соответствующая константа. Но именно такая функция встречается в [56] при исследовании асимптотики корней функции Миттаг-Леффлера, где доказывается [56, 56, с. 122], что все достаточно большие по модулю корни функции (11.5.34) просты. Итак, при |z| > R все корни функции e(z) в секторе U0 просты. Аналогично это утверждение доказывается для сектора Um . Мы доказали простоту всех достаточно больших по модулю корней порождающей функции F (z), и из теорем 11.5.3, 11.5.4 вытекает Следствие 11.5.1. Полные и минимальные системы (11.5.1), описываемые следствием 11.3.1 и следствием 11.4.1, не являются равномерно минимальными. Подавно эти системы не являются базисами. 11.6. ОТСУТСТВИЕ

БАЗИСА ИЗ СДВИГОВ ФУНКЦИИ НА ПРЯМОЙ

Вернемся к исходной, поставленной в начале п. 11.1, задаче об аппроксимации функций в пространстве Lp = Lp (R), 1 6 p 6 2, с помощью системы сдвигов (f (t − λn ))∞ n=1 ,

Λ = (λn )∞ 1 ⊂ R,

(11.6.1)

где f ∈ Lp . Ограничение p ∈ [1, 2] гарантирует существование ПФ fb функции f (по теореме 0 Хаусдорфа—Юнга fb ∈ Lp ). Теорема 11.6.1. Пусть 1 6 p 6 2. Предположим, что f ∈ Lp и при любом A > 0 1 ∈ Lp (−A, A). fb(x)

(11.6.2)

Тогда система сдвигов (11.6.1) функции f не может быть одновременно полной и равномерно минимальной в Lp . Лемма 11.6.1. Пусть f ∈ Lp , 1 6 p < ∞, и пусть система (11.6.1) равномерно минимальна в Тогда последовательность Λ отделима.

Lp .

Доказательство. Если εn → 0, то в силу непрерывности операции сдвига в Lp , kf (t) − f (t − εn )kp → 0.

(11.6.3)

Так как система (11.6.1) равномерно минимальна, то в частности, kf (t − λn ) − f (t − λm )k > δkf (t − λn )k,

m 6= n,

где δ > 0 от n не зависит. В силу инвариантности нормы относительно сдвига, kf (t) − f (t − (λm − λn ))k > δkf (t)k.

(11.6.4)

Если бы inf(|λn − λm | : m 6= n) = 0, то (11.6.4) противоречило бы (11.6.3). Значит, последовательность Λ отделима, и лемма доказана.

11.6. ОТСУТСТВИЕ

155

БАЗИСА ИЗ СДВИГОВ ФУНКЦИИ НА ПРЯМОЙ

Лемма 11.6.2 ( [114]). Если последовательность Λ ⊂ R отделима, то найдется A > 0 такое, что система ¡ −iλn t ¢∞ e (11.6.5) n=1 неполна в L1 (−A, A). Доказательство теоремы 11.6.1. Предположим, что система (11.6.1) равномерно минимальна в Lp , и докажем, что она не может быть полной. Применяя последовательно леммы 11.6.1 и 11.6.2, заключаем, что система (11.6.5) неполна в L1 (−A, A) при некотором A > 0. Значит, найдется нетривиальная функция ϕ ∈ L∞ (−A, A), аннулирующая систему (11.6.5), т.е. ZA e−iλn t ϕ(t)dt = 0,

n ∈ N.

−A

Обозначим ψ(t) = ϕ(t)/fb(t). Тогда ZA

¡ −iλn t ¢ e fb(t) ψ(t)dt = 0,

n ∈ N.

(11.6.6)

−A

Благодаря условию (11.6.2), ψ ∈ Lp , и так как ψ 6≡ 0, то (11.6.6) показывает, что система ¡ −iλn t ¢∞ e fb(t) n=1

(11.6.7)

p0

неполна в L (−A, A), когда 1 < p 6 2, и в C[−A, A], когда p = 1. Значит, найдется функция 0 g0 ∈ Lp (−A, A), 1 < p 6 2 (∈ C[−A, A] при p = 1) такая, что ° ° X ° ° inf °g0 (t) − cn e−iλn t fb(t)° p0 > 0. (11.6.8) cn

L (−A,A)

0

Пусть сначала 1 < p 6 2. Так как множество ступенчатых функций плотно в Lp (−A, A), то найдется ступенчатая функция g0 , для которой верно (11.6.8). Но если g0 — ступенчатая функция, то g0 = fb0 , где f0 ∈ Lp . (Действительно, тогда ge0 ∈ L∞ и ge0 (x) = O((1 + |x|)−1 ); поэтому ge0 =: f0 ∈ Lp .) По теореме Хаусдорфа—Юнга из (11.6.8) получаем ° ° X ° −iλn t b ° 0 < inf °g0 (t) − cn e f (t)° p0 6 cn L (−A,A) ° ° ° ° (11.6.9) X X ° ° ° ° 6 inf °g0 (t) − cn e−iλn t fb(t)° p0 6 Cp inf °f0 (t) − cn f (t − λn )° p . cn cn L L ¡ ¢ ∞ Это означает, что f0 6∈ clos (f (t−λn ))n=1 , и значит, система (11.6.1) неполна в Lp . Случай 1 < p 6 6 2 разобран. Пусть p = 1. Обозначим через C01 (R) подкласс в C 1 (R), состоящий из функций с компактным носителем. Класс C01 (R) плотен в C[−A, A]; действительно, если g ∈ C[−A, A], а gh — функция Стеклова, т.е. x+h Z 1 g(t)dt, h > 0, gh (x) = 2h x−h

то ghh := (gh )h ∈ C01 (R) и ghh ⇒ g при h → 0 (см. функции g0 класса C01 (R). Но для такой функции Z

e

ge0 (x) = R

ixt

[1]). Поэтому (11.6.8) верно для некоторой

i g0 (t)dt = x

Z eixt g00 (t)dt R

(мы проинтегрировали по частям). По теореме Планшереля интеграл в правой части лежит в L2 и потому ge0 ∈ L1 . Итак, g0 = fb0 , где f0 ∈ L1 , и отправляясь от (11.6.8) с p0 = ∞, мы снова получаем (11.6.9) с p = 1, что дает неполноту системы (11.6.1) в L1 . Теорема 11.6.1 доказана.

156

ГЛАВА 11. АППРОКСИМАЦИЯ

СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Следствие 11.6.1. В пространстве L1 не существует полных и одновременно равномерно минимальных систем сдвигов (11.6.1). В частности, в пространстве L1 не существует базиса из сдвигов функции. Действительно, если система (11.6.1) полна в L1 , то линейные комбинации всех сдвигов f (t−λ), λ ∈ R плотны в L1 . По теореме Винера [113] fb 6= 0 всюду на прямой. И так как fb ∈ C(R), то выполнено условие (11.6.2) с p = 1. По теореме 11.6.1 система (11.6.1) не может быть равномерно минимальной. Теорема 11.6.2. В пространстве L2 не существует базиса Рисса из сдвигов функции. Доказательство. Пусть (11.6.1) — базис Рисса в L2 . Тогда система (11.6.1) равномерно минимальна. По лемме 11.6.1 последовательность Λ отделима. Далее, система (11.6.1) полна в L2 ; по теореме Винера [113] fb 6= 0 п.в. Так как (f (t − λn ))b = e−iλn t fb(t), то по теореме Планшереля система (11.6.7) также образует базис Рисса в L2 . Значит, любая функция f0 ∈ L2 единственным образом представляется сходящимся в L2 рядом ∞ X f0 (t) = cn e−iλn t fb(t), cn = cn (f0 ), (11.6.10) n=1

причем (cn ) ∈ l2 . По лемме 8.1.9, из (cn ) ∈ l2 и из отделимости Λ следует сходимость ряда ∞ X

cn e−iλn t =: g0 (t)

(11.6.11)

n=1

в L2 (−A, A) для всех A > 0, и в частности, для значения A, фигурирующего в лемме 11.6.2. Так как система (11.6.5) неполна в L2 (−A, A), то она минимальна (см. п. 4.1). Но тогда (11.6.9) — биортогональный ряд функции g0 ∈ L2 (−A, A) по системе (11.6.5), т.е. если hn ∈ L2 (−A, A) — биортогональная система к системе (11.6.5), то cn = (hn (t), g0 (t)).

(11.6.12)

По C-свойству Лузина функция fb п.в. на IA = [−A, A] совпадает с непрерывной функцией, т.е. для любого ε > 0 найдется открытое множество Eε такое, что mes Eε < ε и fb непрерывна на IA \Eε . Далее, множество нулей функции fb имеет меру нуль, поэтому найдется открытое множество Gε ⊂ IA \Eε такое, что mes Gε < ε и fb не обращается в нуль на (IA \Eε )\Gε =: JA,ε = J. Итак, функция |fb| непрерывна на ограниченном замкнутом множестве J и не обращается на нем в нуль. ¯ ¡¯ ¢ b ¯ ¯ Поэтому min f (t) : t ∈ J =: m > 0. Пусть f0 — нетривиальная функция из L2 , такая, что f0 ≡ 0 на (−A, A). Тогда ¯2 ¯2 Z ¯¯ X ZA ¯¯ X N N ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cn e−iλn t ¯ dt. cn (f0 )e−iλn t fb(t)¯ dt > m2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −A

n=1

J

n=1

В силу (11.6.8), левая часть сходится к нулю при N → ∞. Значит, ряд (11.6.9) сходится в L2 (J) к нулевой функции. Так как 2(A − ε) < mes J 6 2A, а ε > 0 произвольно, то g0 (t) ≡ 0 на (−A, A). Тогда из (11.6.10) следует, что все cn = 0, и следовательно, ряд (11.6.8) дает тривиальную функцию на всей прямой. Мы получили противоречие. Теорема 11.6.2 доказана. ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

11

Вопрос о плотности семейств сдвигов Λ(f ) в L1 и в L2 для различных множеств Λ ⊂ R таких, что ∆ 6= R, рассматривался в работах Р. Эдвардса [81, 82], Т. Ганелиуса [84], Г. Ландау [94], Р. Залика [115, 116, 117], Б. Факсена [83], автора [47, 51] и др. Случай быстро убывающего ПФ fb(t) = O(exp(−a|t|α ), a > 0, α > 1, первым, по-видимому, стал изучать Р. Залик [115, 116], в частности, доказавший следующее. Если fb(t) 6= 0 п.в. и fb(t) = O(exp(−at2 )), то условие τ (Λ) > 2 достаточно для плотности семейства Λ(f ) в L2 , а если P exp(−at2 )/fb(t) ∈ L2 , то условие 1/|λn |2 = ∞ необходимо (здесь τ (Λ) обозначает показатель

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

157

сходимости последовательности Λ = (λn ) ⊂ R). В случае быстро убывающего ПФ Б. Факсен [83] предложил следующее достаточное условие плотности Λ(f ) в L2 , где Λ = (λn ) ⊂ R+ : λβn+1 − λβn > δ > 0 при некотором δ > 0 и µX ¶ 1 (αa)1−β β π lim sin log r = +∞. − r→∞ π 2β λβn λn
В [83] очень обстоятельно исследован случай, когда функция f аналитична в полосе | Im z| < a. Другой подход к этому случаю предложен в [117]. 11.1. За исключением теоремы 11.1.2, результаты содержатся в [51, 47]. Теорема 11.1.2 верна для более общего случая (см. [83]), когда ¯ c1 (1 + |t|)−l 6 ¯fb(t)|ea|t| 6 c2 (1 + |t|)m , t ∈ R, 0 < c1 , c2 < ∞, l, m > 0. 11.2. Здесь представлены результаты статьи [47]. В диссертации О. В. Шаповаловского [73] утверждение следствия 11.2.1 распространено на более общий случай lim |t|−α (l(|t|))−1 log |g(t)| = −a,

t→±∞

где l — медленно меняющаяся функция на бесконечности; при этом, естественно, в роли ∆β (Λ) фигурирует плотность по отношению к соответствующему уточненному порядку. 11.3. Результаты подпунктов 11.3.1, 11.3.2 содержатся в [57, 66]. Р. Залик и Т. Абуабара Саад [119] первыми построили полную и одновременно минимальную систему (11.3.1) с α = 2 в L2 ; в [119] доказано, что система (11.3.8)–(11.3.9) с h = 0, γ = π/4 полна и минимальна в L2 . Системы (11.3.8)–(11.3.9) изучала Т. А. Сальникова [38, 39], доказавшая теорему 11.3.3 и частный случай p = 2 следствия 11.3.1. Приводимое здесь доказательство теоремы 11.3.3 предложено автором (см. [107]). Теорема 11.3.4 доказана в [58]. 11.4. Здесь излагаются результаты работ [59, 66]. 11.5. Изложение ведется по статье [63]. 11.6. Теорема 11.6.1 принадлежит автору, а теорема 11.6.2 — Т. Олсону и Р. Залику [101]. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965. 2. Бабенко К. И. Об одной новой проблеме квазианалитичности и о преобразовании Фурье целых функций// Тр. Моск. мат. о-ва. — 1956. — 5. — C. 523–542. 3. Бабенко К. И. О некоторых классах пространств бесконечно дифференцируемых функций// Докл. АН СССР. — 1960. — 132, № 6. — C. 1231–1234. 4. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. — М.: Мир, 1984. 5. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Преобразования Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши// Успехи мат. наук. — 1953. — 8, № 3. — C. 3–54. 6. Головин В. Д. О биортогональных разложениях в L2 по линейным комбинациям показательных функций// Зап. мех.-мат. ф-та ХГУ и ХМО, сер. 4. — 1964. — 30. — C. 18–29. 7. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1966. 8. Девдариани Г. Г. О базисности одной тригонометрической системы функций// Дифф. уравн. — 1986. — 22, № 1. — C. 168–170. 9. Девдариани Г. Г. О базисности одной системы функций// Дифф. уравн. — 1986. — 22, № 1. — C. 170– 171. 10. Девдариани Г. Г. Базисность некоторых специальных систем собственных функций несамосопряженных дифференциальных операторов. — Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — М.: МГУ, 1986. 11. Джрбашян М. М. К проблеме представимости аналитических функций// Сообщ. ин-та мат. и мех. АН Арм. ССР. — 1984. — 2. — C. 3–40. 12. Джрбашян М. М. Теоремы единственности для преобразований Фурье и для бесконечно дифференцируемых функций// Изв. АН Арм. ССР. — 1957. — 10, № 6. — C. 7–23. 13. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. — М.: Наука, 1966. 14. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.: Наука, 1979.

158

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. — М.: Мир, 1966. 16. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности в Lp и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений по системе экспонент// Докл. АН СССР. — 1983. –273, № 4. — C. 789–793. 17. Кадец М. И. Точное значение постоянной Палея—Винера// Докл. АН СССР. — 1964. — 155. — C. 1253– 1254. 18. Копсон Э. Асимптотические разложения. — М.: Мир, 1966. 19. Кусис П. Введение в теорию пространств H p . — М.: Мир, 1984. 20. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1965. 21. Ладыгин В. И. Устойчивость полноты системы экспонент на полупрямой// Тр. МЭИ. — 1976. — 290. — C. 88–95. 22. Ладыгин В. И. О проблеме Мюнца—Саса// Мат. заметки. — 1978. — 23, № 1. — C. 91–103. 23. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — М.: Гостехиздат, 1956. 24. Левин Б. Я. О базисах показательных функций в L2 // Зап. мат. отд. физ.-мат. фак-та ХГУ и ХМО, сер. 4. — 1961. — 27. — С. 39–48. 25. Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа// Мат. физ. и функц. анал., ФТИНТ АН УССР. — 1969. — 1. — С. 136–146. 26. Леонтьева Л. А. О полноте одной системы функций на отрезке// Мат. заметки. — 1968. — 4, № 5. — C. 557–565. 27. Мандельбройт С. Ряды Дирихле. Принципы и методы. — М.: Мир, 1973. 28. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1. — М.: Наука, 1968. 29. Мацаев В. И., Соломяк М. З. Об условиях существования интеграла Стилтьеса// Мат. сб. — 1972. — 88, № 4. — C. 522–535. 30. Минкин А. М. Отражение показателей и безусловные базисы из экспонент// Алгебра и анализ. — 1991. — 3, № 5. — C. 109–134. 31. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов// Докл. АН СССР. — 1984. — 275. — C. 794– 798. 32. Молоденков В. А., Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи для оператора дифференцирования// Дифф. уравн. и вычисл. матем. — СГУ. — 1972. — 1. –C. 17–26. 33. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. — М.: Наука, 1978. 34. Павлов Б. С. Базисность системы экспонент и условие Макенхоупта// Докл. АН СССР. — 1979. — 247. — C. 37–40. 35. Пономарев С. М. Об одной задаче на собственные значения// Докл. АН СССР. — 1979. — 249. — C. 2068–2070. 36. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. — М.: ГИТТЛ, 1950. 37. Рябых В. Г. Распределение нулей функций класса Ap // Мат. анал. и его прил. — РГУ, 1983. — C. 89– 98. 38. Сальникова Т. А. Полные и минимальные системы экспонент в пространствах Lp (R)// Мат. заметки. — 1994. — 55, № 3. — C. 118–129. 39. Сальникова Т. А. Полные и минимальные системы экспонент в лебеговых пространствах на вещественной оси. — Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — М.: РУДН, 1995. 40. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка. — Минск: Наука и техника, 1987. 41. Седлецкий А. М. Полные и равномерно минимальные системы показательных функций в Lp (−π, π)// Тр. МЭИ. — 1972. — 146. — С. 167–174. 42. Седлецкий А. М. К проблеме Мюнца—Саса для пространства C[0, 1]// Тр. МЭИ. — 1975. — 260. — C. 89–98. 43. Седлецкий А. М. Эквивалентное определение пространств H p в полуплоскости и некоторые приложения// Мат. сб. — 1975. — 96, № 1. — C. 75–82. 44. Седлецкий А. М. О полноте систем экспонент в пространствах дифференцируемых функций// Тр. МЭИ. — 1977. — 334. — С. 98–103. 45. Седлецкий А. М. Биортогональные разложения в ряды экспонент на интервалах вещественной оси// Успехи мат. наук. — 1982. — 57, № 5. — C. 51–95. 46. Седлецкий А. М. Базисы из экспонент в пространствах Lp // Anal. Math. — 1982. — 8. — С. 215–232. 47. Седлецкий А. М. Аппроксимация сдвигами и полнота взвешенных систем экспонент в L2 (R)// Мат. сб. — 1984. — 123, № 1. — C. 92–107.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

159

48. Седлецкий А. М. Проблема Мюнца—Саса и нули аналитических функций// Теория функций и приближений. — Тр. 3 Саратовской зимней школы. — СГУ, 1987. — C. 59–63. 49. Седлецкий А. М. О проблеме Мюнца—Саса// Мат. заметки. — 1986. — 39, № 1. — C. 97–107. 50. Седлецкий А. М. О нулях аналитических функций классов Apα // Актуальные вопросы теории функций. — РГУ, 1987. — C. 24–29. 51. Седлецкий А. М. Аппроксимация сдвигами функции на прямой// Тр. Междунар. конф. приближ. функций, Киев, 1983. — М.: Наука, 1987. — C. 397–400. 52. Седлецкий А. М. О полноте систем экспонент на полупрямой// Мат. заметки. — 1990. — 40, № 5. — C. 88–96. 53. Седлецкий А. М. Негармонические ряды Фурье// Теория функций и приближений. — Тр. 4 Саратовской зимней школы. — СГУ, 1990. — C. 92–98. 54. Седлецкий А. М. О равномерной сходимости негармонических рядов Фурье// Тр. Мат. ин-та РАН. — 1991. — 200. — С. 299–309. 55. Седлецкий А. М. Разложения по собственным функциям оператора дифференцирования с размазанным краевым условием// Дифф. уравн. — 1994. — 30, № 1. — C. 70–76. 56. Седлецкий А. М. Асимптотические формулы для нулей функции типа Миттаг-Леффлера// Anal. Math. — 1994. — 20. — С. 117–132. 57. Седлецкий А. М. Аппроксимативные свойства систем экспонент в Lp (a, b)// Дифф. уравн. — 1995. — 31, № 10. — C. 1639–1645. 58. Седлецкий А. М. Преобразования Фурье быстро убывающих функций// Изв. РАН, сер. мат. — 1997. — 61, № 3. — C. 187–202. 59. Седлецкий А. М. Аппроксимативные свойства систем экспонент на прямой и полупрямой// Мат. сб. — 1998. — 189, № 3. — C. 125–140. 60. Седлецкий А. М. Базисы, встречающиеся при решении уравнений смешанного типа// Дифф. уравн. — 1999. — 35, № 4. — C. 507–515. 61. Седлецкий А. М. Аппроксимативные свойства систем экспонент в пространствах Соболева// Вестн. МГУ, сер. мат., мех. — 1999. — № 6. — C. 3–8. 62. Седлецкий А. М. О суммируемости и сходимости негармонических рядов Фурье// Изв. РАН, сер. мат. — 2000. — 64, № 3. — C. 151–168. 63. Седлецкий А. М. Необходимое условие равномерной минимальности системы экспонент в пространствах Lp на прямой// Мат. сб. — 2001. — 192, № 11. — C. 137–156. 64. Седлецкий А. М. Спектральный анализ оператора дифференцирования// Spectral and Evolution Problems, 11. — Proc. 11 Crimean Autumn Math. School-Symp., September 2000, Sevastopol, Laspi. — Simferopol, 2001. — С. 8–18. 65. Седлецкий А. М. Базисы из экспонент в пространствах Lp (−π, π)// Мат. заметки. — 2002. — 72, № 3. — C. 418–432. 66. Седлецкий А. М. Аппроксимация посредством экспонент на прямой и на полупрямой// Anal. Math. — 2002. — 28. — С. 43–60. 67. Седлецкий А. М. Касательные граничные значения преобразований Лапласа. Применение к аппроксимации типа Мюнца—Саса// Изв. РАН, сер. мат. — 2003. — 67, № 1. — C. 177–198. 68. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973. 69. Титчмарш Е. К. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.: Гостехиздат, 1948. 70. Федорюк М. В. Метод перевала — М.: Наука, 1977. 71. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. — М.: Наука, 1966. 72. Хрущев С. В. Теоремы возмущения для базисов из экспонент и условие Макенхоупта// Докл. АН СССР. — 1979. — 247. — C. 44–48. 73. Шаповаловський О. В. Деякi властивостi рядiв Дiрiхле i систем експонент з комплексними показниками. — Автореф. дис. ... канд. фiз.-мат. наук. — Дрогобич, 1994. 74. Шкаликов А. А. О свойствах части собственных и присоединенных элементов самосопряженных квадратичных пучков и операторов// Докл. АН СССР. — 1985. — 283. — C. 1100–1106. 75. Эдвардс Р. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1969. 76. Beller E. Zeros of Ap functions and related classes of analytic functions// Israel J. Math. — 1975. — 22. — С. 68–80. 77. Boas R. P. Entire functions. — New York: Academic Press, 1954. T. Polynomials and polynomial inequalities. — N.Y.: Springer-Verlag, 1995. 78. Borwein P., Erdelyi ´ 79. Duffin R. J., Schaeffer A. C. A class of non-harmonic Fourier series// Trans. Amer. Math. Soc. — 1952. — 72. — С. 341–366. 80. Duren P. L. Theory of H p spaces. — N.Y.: Academic Press, 1970.

160

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

81. Edwards R. E. The translates and affine transforms of some special functions// J. London Math. Soc. — 1952. — 27. — С. 160–175. 82. Edwards R. E. Approximation theorems for translates// Proc. London Math. Soc. — 1959. — 35. — С. 321– 342. 83. Faxen ´ B. On approxiamtion by translates and related problems in function theory// Ark. Math. — 1981. — 19. — С. 271–289. 84. Ganelius T. Some approximation theorems related to Wiener’s// Proc. Conf. Constr. Th. Functions, Budapest, 1969. — Budapest: Akad´emiai Kiad´o, 1972. — С. 173–181. ¨ theorem// J. Approxim. Theory. — 1983. — 39. — С. 394–395. 85. Golitschek M. A short proof of Muntz’s ¨ 86. Grum M. On the theorems of Muntz and Sz´asz// J. London Math. Soc. — 1956. — 31. — С. 433–437. ¨ 87. Grum M. On the theorems of Muntz and Sz´asz. Corrigendum and Addendum// J. London Math. Soc. — 1957. — 32. — С. 517. 88. Hardy G. H. A theorem concerning Fourier transforms// J. London Math. Soc. — 1933.— 8. — С. 227–231. 89. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some properties of fractional integral, I// Math. Z. — 1928. — 27. — С. 565– 606. 90. Horowitz C. Zeros of functions in the Bergman spaces// Duke Math. J. — 1974. — 41. — С. 693–710. 91. Hrusˇ cev ¯ S. V., Nikolskii N. K., Pavlov B. S. Unconditional bases of exponentials and reproducing kernels// Lect. Notes Math. — 1981. — 864. — С. 214–335. 92. Hunt R. A., Muckenhoupt B., Wheeden R. L. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform// Trans. Amer. Math. Soc. — 1973. — 176. — С. 227–251. 93. Korenblum B. An extension of the Nevanlinna theory// Acta Math. — 1975.— 135, № 3–4. — С. 187–219. 94. Landau H. J. On the completeness of a set of translates// J. Approxim. Theory. — 1972. — 5. –С. 438–440. 95. Levinson N. Gap and density theorems. — N.Y.: Publ. Amer. Math. Soc., 1940. ¨ 96. Levinson N. On the Sz´asz–Muntz theorem// J. Math. Anal. and Appl. — 1974. — 48. — С. 264–269. 97. Lyubarskii Yu. I., Seip K. Weighted Paley–Wiener spaces// J. Amer. Math. Soc. — 2002. — 15. — С. 979– 1006. 98. Morgan G. W. A note on Fourier transforms// J. London Math. Soc. — 1934. — 9. — С. 187–192. ¨ 99. Muntz C. H. Uber den Approximationssatz von Weierstrass// H. A. Schwartz Festschrift. — Berlin, ¨ 1914. — С. 303–312. 100. Nagel A., Rudin W., Shapiro J. H. Tangential boundary behavior of function in Dirichlet-spaces// Ann. Math. — 1982. — 116. — С. 331–360. 101. Olson T. E., Zalik R. A. Nonexistence of a Riesz basis of translates// Approximation Theory. — Proc. 6 Southeastern Approxim. Th. Annual Conf. — N.Y.: Marcel Dekker, Inc., 1992. — С. 401–408. 102. Paley R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. — N.Y.: Publ. Amer. Math. Soc., 1934. 103. Redheffer R., Young R. M. Completeness and basis properties of complex exponentials// Trans. Amer. Math. Soc. — 1983. — 277. — С. 93–111. 104. Russel D. L. Nonharmonic Fourier series in the control theory of distributed parameter systems// J. Math. Anal. Appl. — 1967. — 18. — С. 542–560. ´ 105. Schwartz L. Etude des sommes d’exponentielles r´eelles. — Paris: Hermann, 1943. 106. Sedletskii A. M. Theorems of Paley–Wiener–Pitt’s type for Fourier transforms of rapidly decreasing functions// Integral Transforms and Special Functions. — 1994. — 2. — С. 153–164. 107. Sedletskii A. M. Fourier transforms and approximations. — Amsterdam: Gordon & Breach, 2000. 108. Shapiro H. S., Shields A. L. On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces// Math. Z. — 1962. — 80. — С. 217–229. ¨ asz theorem for C[0, 1]// Proc. Amer. Math. Soc. — 1972. — 36. — С. 161–166. 109. Siegel A. On the Muntz–Sz´ ¨ 110. Szasz O. Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen// Math. ´ Ann. — 1916. — 77. — С. 482–496. 111. Taylor B. A., Williams D. L. Zeros of Lipschitz functions analytic in the unit disc// Michigan Math. J. — 1971. — 18. — С. 129–139. 112. Torchinsky A. Real-variable methods in harmonic analysis. — N.Y.: Academic Press, 1986. 113. Wiener N. The Fourier integral and certain of its applications. — Cambrige: Cambrige Univ. Press, 1933. 114. Young R. M. An introduction to nonharmonic Fourier series. — N.Y.: Academic Press, 1980. 115. Zalik R. A. On approximation by shifts and a theorem of Wiener// Trans. Amer. Math. Soc. — 1978. — 243. — С. 299–308. 116. Zalik R. A. On some gap theorems and the closure of translates// Notic. Amer. Math. Soc. — 1978. — 25. — С. A-314. ¨ 117. Zalik R. A. The Muntz–Sz´ asz theorem and the closure of translates// J. Math. Anal. Appl. — 1981. — 82. — С. 361–369.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

161

ˇ 118. Zalik R. A. Remarks on a paper of Gel’fand and Silov on Fourier transforms// J. Math. Anal. Appl. — 1984. — 102. — С. 102–112. 119. Zalik R. A., Abuabara Saad T. Some theorems concerning holomorphic Fourier transforms// J. Math. Anal. Appl. — 1987. — 126. — С. 483–493.

А. М. Седлецкий Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail: [email protected]