Математический анализ: Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа

Математический анализ Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета V семестр

Екатеринбург 2007

2

Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Математический анализ» (3 курс, 5 семестр) и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы и задачи к экзамену. Составители: Фомина Н.Г.

Содержание 1. Программа курса …………………………………………………………… 3 2. Лекции ……………………………………………………………………… 4 3. Практические занятия ……………………………………………………… 5 4. Материалы для практических занятий и домашних заданий …………… 6 5. Материалы для контрольной работы ……………………………………... 8 6. Вопросы к экзамену ………………………………………………………... 9 7. Задачи к экзамену ………………………………………………………..... 10 Литература ……………………………………………………………………. 11 Приложение. Методические советы студентам ……………………………. 12

1. Программа курса Функции многих переменных. Введение в теорию функций многих переменных. Метрика и норма в Rn. Окрестности точек, сходимость последовательностей в Rn. Открытые и замкнутые множества, компактность и связность множеств в Rn. Функции многих переменных (ФМП), их линии (поверхности) уровня, графики. Предел ФМП в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и Гейне. Непрерывность ФМП. Теоремы о локальных и глобальных свойствах непрерывных функций многих переменных. Компактные множества и теорема Вейерштрасса. Дифференцируемость и дифференциал ФМП. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению и градиент, геометрический смысл градиента. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Формула Тейлора. Локальные экстремумы: необходимые и достаточные условия существования. Глобальный экстремум. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа. Неявные функции. Условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявных функций. Мера Жордана плоской области и ее свойства, измеримость по Жордану. Интегральное исчисление функций многих переменных. Понятие двойного интеграла Римана. Условия существования двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Основные свойства двойного интеграла. Отображения плоских областей. Переход к полярным координатам. Замена переменных под знаком двойного интеграла. Приложения двойного интеграла в геометрии и механике. Понятие тройного интеграла. Кривые на плоскости и в пространстве, спрямляемые кривые. Определение криволинейного интеграла первого рода. Основные свойства и вычисление криволинейного интеграла первого рода. Определение криволинейного интеграла второго рода; его свойства; вычисление. Формула Грина-Остроградского. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Приложения криволинейных интегралов.

4

2. Лекции 1. Введение в теорию функций многих переменных. Метрика и норма в Rn. Окрестности точек, сходимость последовательностей в Rn. Открытые и замкнутые множества, компактность и связность множеств в Rn. 2. Функции многих переменных (ФМП), их линии (поверхности) уровня, графики. Предел ФМП в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и Гейне. Непрерывность ФМП. 3. Теоремы о локальных и глобальных свойствах непрерывных функций многих переменных. Компактные множества и теорема Вейерштрасса. 4. Дифференцируемость и дифференциал ФМП. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению и градиент, геометрический смысл градиента. 5. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Формула Тейлора. 6. Локальные экстремумы: необходимые и достаточные условия существования. Глобальный экстремум. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа. 7. Неявные функции. Условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявных функций. 8. Мера Жордана плоской области и ее свойства, измеримость по Жордану. Понятие двойного интеграла Римана. Условия существования двойного интеграла 9. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Основные свойства двойного интеграла. 10. Отображения плоских областей. Переход к полярным координатам. Замена переменных под знаком двойного интеграла 11. Приложения двойного интеграла в геометрии и механике. Понятие тройного интеграла. 12. Кривые на плоскости и в пространстве, спрямляемые кривые. Определение криволинейного интеграла первого рода 13. Основные свойства и вычисление криволинейного интеграла первого рода. 14. Определение криволинейного интеграла второго рода; его свойства; вычисление. 15. Формула Грина-Остроградского. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. 16. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Приложения криволинейных интегралов. 17. Заключительная лекция.

5

3. Практические занятия 1. Множества в Rn и их свойства. Предельные точки множеств в Rn. Пределы последовательностей в Rn. 2. Функции многих действительных переменных, их графики. Пределы функций многих переменных. 3. Исследование функций многих переменных на непрерывность в точке и на множестве 4. Частные производные ФМП. Техника дифференцирования. Дифференцирование сложной функции. Исследование функций многих переменных на дифференцируемость. 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 6. Исследование функций многих переменных на безусловный и условный экстремумы. 7. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на компакте. 8. Контрольная работа № 1. 9. Анализ ошибок к контрольной работе. 10. Вычисление двойных интегралов путем сведения их к повторным интегралам. 11. Вычисление двойных интегралов, замена переменных 12. Приложения двойных интегралов. 13. Приложения тройных интегралов 14. Вычисление криволинейных интегралов первого рода 15. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. 16. Приложения криволинейных интегралов. 17. Заключительное занятие.

6

4. Материалы для практических занятий и домашних заданий Занятие 1. Множества в Rn и их свойства. Предельные точки множеств в Rn. Пределы последовательностей в Rn. [2]: № 2983-3002 – нечетные Д/З: № 2983-3002 – четные Занятие 2. Функции многих действительных переменных, их графики. Пределы функций многих переменных. [2]: № 3003-3008 – нечетные Д/З: № 3003-3008 – четные Занятие 3. Исследование функций многих переменных на непрерывность в точке и на множестве [2]: № 3010-3014 Д/З: № 3015 Занятие 4. Частные производные Ф.М.П. Техника дифференцирования. Дифференцирование сложной функции. Исследование функций многих переменных на дифференцируемость. [2]: № 3036-3058 – нечетные Д/З: № 30-36 – четные Занятие 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. [2]: № 3193-3199 – нечетные, 3242 Д/З: № 3193-3199 – четные, 3243 Занятие 6. Исследование функций многих переменных на безусловный и условный экстремумы. [2]: №3272, 3274, 3291, 3293 Д/З: № 3273, 3275, 3292 Занятие 7. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на компакте. [2]: № 3299, 3301, 3303 Д/З: № 3300, 3302, 3304 Занятие 8. Контрольная работа № 1. Занятие 9. Вычисление двойных интегралов путем сведения их к повторным интегралам. [2]: № 3506-3512 – нечетные Д/З: № 3506-3512 – четные Занятие 10. Вычисление двойных интегралов, замена переменных [2]: № 3525-3540 – нечетные Д/З: № 3525-3540 – четные Занятие 11. Приложения двойных интегралов. [2]: № 3559-3571 – нечетные

7

Д/З: № 3559-3571 – нечетные Занятие 12. Приложения тройных интегралов [2]: № 3609-3616 – нечетные Д/З: № 3609-3616 – четные Занятие 13. Вычисление криволинейных интегралов первого рода [2]: № 3770-3776 – нечетные Д/З: № 3770-3776 – четные Занятие 14. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. [2]: № 3806-3814 – нечетные Д/З: № 3806-3814 – четные Занятие 15. Приложения криволинейных интегралов. [2]: № 3784-3790 – нечетные Д/З: № 3784-3790 – четные Занятие 16. Приложения криволинейных интегралов. [2]: № 3869-3873 – нечетные Д/З: № 3869-3873 – четные Занятие 17. Заключительное занятие.

8

5. Материалы для контрольной работы  Вычислить предел

lim x 0 y 0

x2  y2 x2  y2 11

 Найти точки разрыва функции z 

.

2 . Как ведет себя функция в x  y2 2

окрестности точки разрыва?  Найти точки экстремума функции z  4( x  y)  x 2  y 2 .  Найти несколько первых членов разложения функции e x sin y в ряд Тейлора в окрестности точки (0,0).

9

6. Вопросы к экзамену 1. Понятие метрического пространства, аксиоматика, примеры. 2. Метрическое пространство Rn . 3. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности в метрическом пространстве. 4. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности в метрическом пространстве Rn . 5. Теорема о покоординатной сходимости сходящейся последовательности точек в Rn . 6. Теорема о фундаментальности сходящейся последовательности в метрическом пространстве. 7. Открытые множества. Свойства открытых множеств в метрическом пространстве. 8. Замкнутые множества. Критерий замкнутости множества. 9. Свойства замкнутых множеств в метрическом пространстве. 10. Компакт в метрическом пространстве, его свойства. 11. Предел функции двух переменных. Определение предела по Гейне и по Коши. Эквивалентность определений. 12. Предел по множеству. 13. Непрерывность функции двух переменных в точке. 14. Непрерывность сложной функции. 15. Свойства функций, непрерывных на компакте. 16. Частные производные, их геометрический смысл. 17. Дифференцируемость функции двух переменных. Теорема о виде дифференцируемой функции. 18. Необходимое условие дифференцируемости функции в точке. 19. Достаточные условия дифференцируемости функции в точке. 20. Дифференцируемость сложной функции. 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о смешанных производных. Теорема о производной неявной функции. 22. Экстремум функции двух переменных. Задача об отыскание экстремума. 23. Определение и свойства двойного интеграла. 24. Сведение двойного интеграла к повторному. 25. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. 26. Криволинейные интегралы второго рода и их свойства. 27. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. 28. Формула Грина. 29. Условие независимости от пути интегрирования. 30. Механический смысл криволинейного интеграла второго рода. 31. Криволинейный интеграл первого рода. 32. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. 33. Геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода.

10

8. Задачи к экзамену  Найти область определения D(f) функции f ( x, y )  ln( 25  x 2  y 2 )  x 2  y 2  4

 Исследовать на непрерывность функцию f(x,y)  ln(1  x  y ) , x2  y2  0  f ( x, y )   x 2  y 2 . 2 2  1, x y 0

 Исследовать на экстремум функцию f ( x)  x 2  xy  y 2  3x  6 y.

 Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y)  x 2  2 y 2  2 xy  2 x на множестве S  Tr ((0,0), (3,0), (3,3)) (здесь Tr – треугольник с заданными вершинами в R 2 ).  Вычислить двойной интеграл  ( x  y)dxdy , D : y  2  x 2 , y  2 x  1. D

 Момент инерции относительно оси Ох материальной пластины D с плотностью   x 2 y ограниченной линиями y  x 2 , y  1.

11

Литература 1. А.Р. Данилин, Т.Ф. Филиппова Введение в математику: учебное пособие. Екатеринбург: УрГПУ, 1995. 2. Л.Д. Кудрявцев Краткий курс математического анализа. М.,1989 3. И.М. Уваренков, М.З. Маллер. Курс математического анализа. М.: Просвещение. Т.2, 1966 4. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 2002 5. Теория предела. Метод. разработка (сост. А.Р. Данилин, В.А. Густомесов). Свердловск: СвГПИ, 1985. 6. И.М. Уваренков, М.З Маллер. Курс математического анализа. М.: Просвещение. Т.1, 1966 7. М.В. Шабунин, В.А. Тер-Крикоров. Математический анализ. М.: Наука, 2005.

12

Приложение. Методические советы студентам Лекция. Как ее слушать и записывать 1. Лекция  основной вид обучения в вузе. 2. В лекции излагаются основные положения теории, ее понятия и законы, приводятся факты, показывающие связь теории с практикой. 3. Накануне лекции необходимо повторить содержание предыдущей лекции (а также теорию по изучаемой теме в школьных учебниках геометрии, если эта тема была представлена в них), а затем посмотреть тему очередной лекции по программе (по плану лекций). 4. Полезно вести записи (конспекты) лекций: для непонятных вопросов оставлять место при работе над темой лекции с учебными пособиями. 5. Записи лекций следует вести в отдельной тетради, оставляя место для дополнений во время самостоятельной работы. 6. При конспектировании лекций выделяйте главы и разделы, параграфы, подчеркивайте основное. Практическое занятие. Как к нему готовиться 1. Практическое занятие  наиболее активный вид учебных занятий в вузе. Он предполагает самостоятельную работу над лекциями и учебными пособиями. 2. К каждому практическому занятию нужно готовиться. Подготовку следует начинать с повторения теории (по записям лекций или по учебному пособию). После этого нужно решать задачи из предложенного домашнего задания. Организация самостоятельной работы 1. Бюджет времени студента определяется временем, отведенным на занятия по расписанию и на самостоятельную работу. Задание и материал для самостоятельной работы дается во время учебных занятий, на этих же занятиях преподаватель осуществляет контроль за самостоятельной работой. 2. Для выполнения объема самостоятельной работы необходимо заниматься в среднем 4 часа (академических) ежедневно, т.е. по 24 часа в неделю. На самостоятельную работу по каждой дисциплине по математике следует расходовать по 3-4 часа в неделю. 3. Начинать самостоятельные занятия следует с первых же дней семестра, установив определенный порядок, равномерный ритм на весь семестр. Полезно для этого составить расписание порядка дня. Как пользоваться материалами для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ а) б)

Материалы каждого занятия содержат: вопросы по теории (для самоконтроля); задачи для аудиторного и самостоятельного решения. Задачи могут быть условно разбиты на три уровня:

А  минимальный, В  нормальный, С  более высокий. Любую из задач уровня А должен уметь решать каждый студент, претендующий на удовлетворительную оценку. Задачи уровня В и С должны уметь решать студенты, претендующие на оценки «хорошо» и «отлично», соответственно.

13

Учебно-методическое издание: Математический анализ (3 курс, 5 семестр). Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета. Составители: Фомина Н.Г.