Асимптотические методы. Часть III. Определение и свойства асимптотических разложений

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Батищев В.А.

Методические указания для студентов механико-математического факультета

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Часть III ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

Ростов-на-Дону 2001

Печатается по решению кафедры теоретической гидроаэромеханики РГУ, протокол № 6 от 3 апреля 2001 г.

АННОТАЦИЯ Методические указания содержат изложение основных понятий асимптотических разложений, ставших в последнее время основными аналитическими методами решения прикладных задач. Большое значение асимптотические методы находят при исследовании задач, в которых малое изменение параметра возмущения приводит к конечным изменениям решений. Несмотря на то, что асимптотические ряды могут расходиться, несколько первых членов этих рядов могут давать хорошие приближения к решению задачи. Методические указания рекомендуются студентам, обучающимся механике, прикладной математике, физике, которых интересуют вопросы применения методов теории возмущений к решению прикладных задач. Автор: Батищев В.А.

© Батищев В.А. 2001

3 СОДЕРЖАНИЕ 1.

ВВЕДЕНИЕ

4

2.

Определение асимптотических рядов

5

3.

Свойства асимптотических разложений

10

3. 1

Интегрируемость асимптотических разложений

10

3. 2

Дифференцируемость асимптотических разложений

11

3. 3

Равномерные и неравномерные асимптотические

13

разложения 3. 4

Пример расходящегося асимптотического ряда

14

3. 5

Свойства асимптотических разложений,

16

зависящих от переменной ЛИТЕРАТУРА

22

4 1. ВВЕДЕНИЕ Многие задачи с которыми сталкиваются специалисты, применяющие методы прикладной математики, не поддаются точному решению. Среди причин,

затрудняющих

точное

решение,

можно

указать,

например,

нелинейность уравнений движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известных или неизвестных границах сложной формы. Для решения подобных задач исследователи вынуждены пользоваться различного рода приближениями, комбинируя аналитические и численные методы. Среди аналитических методов весьма мощными являются методы возмущений (асимптотических

разложений) по большим или малым

значениям параметра или координаты. В настоящем методическом пособии внимание в большей степени уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам

математической

разнообразные

средства.

строгости, Например,

при часто

этом

использованы

приходится

самые

обращаться

к

физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачи и найти нужные приближения. Часто при решении задач основным математическим инструментом служат асимптотические разложения по параметру (аппроксимация решения разложением, состоящим из конечного числа членов) с ошибкой, которая мала при достаточно малых значениях параметра. Чтобы выявить все существенные черты задачи и дать хорошее приближение к точному решению, математику-прикладнику нужно лишь несколько членов асимптотического приближения. Часто дело обстоит именно так. Всем используемым асимптотическим разложениям желательно давать обоснование с помощью подходящих предельных процессов.

5 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ Рассмотрим поведение функции

f (x) при x → ∞ в терминах

ϕ (x) ,

x действительной переменной. На

известной функции бесконечности

ϕ (x)

где считается

может стремиться к нулю, к бесконечности или иметь

какое-либо другое поведение.

f (x) асимптотически приближается к ϕ (x)

Определение 1. Функция (или

ϕ (x)

является асимптотическим приближением функции

f (x) ), если

выполнено соотношение

f ( x) = 1. lim x →∞ ϕ ( x ) В этом случае вводят обозначение

f (x) ~ ϕ (x) ,

Определение 2. Говорят, что порядок функции порядок функции ϕ (x) при

x →∞

Соответственно обозначают Определение 3. Функция

ϕ (x)

при

f (x) меньше, чем

x → ∞ , если

lim

порядка

x → ∞.

f ( x) = 0. ϕ ( x)

f = o (ϕ ),

( x → ∞) .

f (x) имеет порядок, не превосходящий

x → ∞ , если отношение f ( x) / ϕ ( x) ограничено. В этом

случае вводят обозначение

f ( x) = Ο {ϕ ( x)}

( x → ∞)

или

f = Ο (ϕ ) В частности соотношение

f = o (ϕ ) ( x → ∞) означает, что функция

f (x) стремится к нулю при x → ∞ . Соотношение ограничена при

f ( x) = Ο (1) ( x → ∞) означает, что функция f

x → ∞.

6 Рассмотрим случай, когда функция зависит от малого параметра

ε , т.е.

f = f (ε ) . Существует несколько возможных описаний поведения функции, обладающих различной степенью точности. Во-первых, можно просто установить существует ли предел. Например,

sin 2ε имеет предел при

ε → 0 , в то время как sin (2 / ε ) предела не имеет. Во-вторых,

можно

описать

предельное

поведение

качественно.

Имеются три возможности: функция в пределе может а) обращаться в нуль

f (ε ) → 0 (ε → 0) ;

б) быть ограниченной

f (ε ) < ∞ (ε → 0) ;

в) бесконечно возрастать

f (ε ) → ∞ (ε → 0) .

Особенность этого способа состоит в том, что случай а) заключается в случае б). Однако, естественно, где это возможно использовать описание а), т.к. оно более точно. В третьих, можно описать предельное значение количественно. Опять имеются три возможности, из которых только вторая является уточнением качественного описания а)

lim f (ε ) = 0 ; ε →0

б)

lim f (ε ) = c = const ; ε →0

в)

lim f (ε ) = ∞ . ε →0

В-четвертых, можно качественно описать скорость приближения к пределу. Только случаи а) и б), указанные выше, могут быть уточнены таким образом. Это делается путем сопоставления с некоторым набором функций сравнения (или калибровочных функций). Последние являются функциями столь простыми, что их предельное поведение можно считать интуитивно известным. Сравнения осуществляются использованием символов порядка

Ο (" Ο " большое) и o (" o " малое).

7 Полагаем, что

f (ε ) = Ο[g (ε )] при ε → 0 , если lim ε →0

f (ε ) = A, g (ε )

0 < A < ∞ . Если это отношение стремится к нулю, то применяем символ o взамен

Ο . Итак,

f (ε ) = o [g (ε )] при ε → 0 , если lim ε →0

f (ε ) =0. g (ε )

Примеры:

sin 2ε = Ο(ε ) , 1 − cos ε = Ο(ε 2 ) = o (ε ) .

exp(−1 / ε ) = o (ε m ) для любого m > 0 . Символы порядка не обязательно описывают действительную скорость приближения к пределу, они дают лишь верхнюю границу. Математический

порядок

величины,

выраженный

символами,

теоретически не совпадает с физическим порядком величины, поскольку не принимаются во внимание множители пропорциональности; следовательно, величина

Κε считается величиной Ο (ε ) даже в том случае, когда Κ равно

десяти тысячам. В физических задачах имеется однако, по меньшей мере некоторая надежда, почти неизменно оправдывающаяся, что эти две оценки достаточно близки. Так, если ошибка в физической теории составляет

ε

Ο (ε ) и

выбрано разумно, то можно ожидать, что численная ошибка не будет

ε: или 2πε , но почти определенно не достигает 10ε . превосходить некоторого умеренного кратного

возможно, она будет

2ε

Пятая схема описывает количественно скорость, с которой функция приближается к своему пределу. Она представляет собой уточнение четвертой схемы

(применение

символов

порядка).

Восстановим

пропорциональности и запишем

f (ε ) ~ cδ (ε ) при ε → 0 , если lim ε →0

f (ε ) =c δ (ε )

множитель

8 т.е., если

f (ε ) = cδ (ε ) + o [δ (ε )].

Это есть асимптотическая форма или асимптотическое представление функции, которое составляет первый член в асимптотическом разложении. Примеры:

1 − ε 2 ~ 1,

sin 2ε ~ 2ε ,

ctg ε ~ 1 / ε .

В шестой схеме предыдущее описание уточняется путем добавления дальнейших членов. Будем считать разность между данной функцией и ее асимптотической формой некоторой новой функцией и определим ее асимптотический вид. Результат запишем следующим образом:

f (ε ) ~ c1 δ 1 (ε ) + c2 δ 2 (ε ) при ε → 0 , где вторая функция сравнения

δ 2 (ε )

должна быть величиной более высокого

порядка малости, чем первая,

δ 2 (ε ) = o [δ 1 (ε )]

или

lim ε →0

δ 2 (ε ) =0, δ 1 (ε )

а ошибка − величиной еще более высокого порядка малости

f (ε ) = c1 δ 1 (ε ) + c2 δ 2 (ε ) + o [δ 2 (ε )]. Следующие члены могут быть добавлены повторением этого процесса. Определение. Последовательность функций

n = 0,1, 2, ...

называется

шкалой), если для любого

асимптотической

{δ n (ε )},

последовательностью

(или

n выполнено соотношение

δ n+1 (ε ) = o {δ n (ε )}

при

ε →0

(2. 1)

Примеры асимптотических последовательностей n

ε , ε 3 , (ln ε ) −n , (sin ε ) n , (ctg ε ) −n . n

Определение. Сумма вида ∞

f (ε ) ~ ∑ an δ n (ε ) n =0

(ε → 0)

(2. 2)

9 где

a n не зависит от ε , а δ n (ε ) − асимптотическая последовательность, f (ε ) при ε → 0 , если

называется асимптотическим разложением функции для любого натурального

n выполнено соотношение N

f (ε ) = ∑ a n δ n (ε ) + o (δ N (ε ) )

(2. 3)

n =0

или, что тоже самое N −1

f (ε ) = ∑ a n δ n (ε ) + Ο (δ N (ε ) )

(2. 4)

n =0

Приведем

определение

асимптотической

последовательности

и

асимптотического разложения для функции, зависящей от координаты

z = x + iy (случай комплексных переменных). Определение.

Последовательность

{ϕ n (z )};

функций

n = 0,1, 2, ..., определенных на множестве R , имеющих точку z = c в качестве

конечной

или

бесконечной

предельной

точки,

называется

асимптотической последовательностью (или шкалой), если для любого натурального

n выполнено соотношение

ϕ n+1 ( z ) = o {ϕ n ( z )}

( z → c в R) .

Определение. Выражение ∞

f ( z) ~ ∑ as ϕ s ( z) s =0

называется асимптотическим разложением (или асимптотическим рядом) если для каждого целого неотрицательного

n выполнено соотношение

n −1

f ( z ) = ∑ a s ϕ s ( z ) + Ο {ϕ n ( z )},

( z → c в R) .

s =0

Здесь использовано следующее определение называется асимптотическим приближением к некоторого

Ο {ϕ ( z )}. Функция ϕ (z )

f (z ) при z → ∞ , если для

R существует такое число k , не зависящее от arg z , что

10

f ( z) ≤ k ⋅ ϕ ( z) и обозначают

z ∈ S (R )

при

f ( z ) = Ο {ϕ ( z )} в S (R ), где через S (R ) обозначен

бесконечный сектор

α ≤ arg z ≤ β . Аналогично вводится " o " − малое. Это

определение распространяется на любую область, имеющую бесконечно удаленную точку, или точку

z = c в качестве предельной.

3. СВОЙСТВА АСИМТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ 3. 1 Интегрируемость асимптотических разложений Асимптотические разложения, как правило, можно интегрировать при условии, что справедливы некоторые очевидные ограничения, касающиеся сходимости интегралов. Рассмотрим случай действительных переменных. Теорема. Пусть

f ( x) ∈ L интегрируемая функция действительной

x и f ( x) ~ xν при x → ∞ , где ν − вещественная или

переменной

комплексная постоянная. Пусть " a " − любое конечное вещественное число. Тогда при

x → ∞ имеем ∞

ν +1 ∫ f (t ) dt ~ − x (ν + 1) ,

(Reν < −1)

⎧c ⎪ ∫ f (t ) dt ~ ⎨ln x a ⎪ xν +1 (ν + 1) ⎩

(Reν < −1)

x

x

где

(ν = −1)

,

(Reν > −1)

c = const. Докажем

третье

f ( x) = xν (1 + η ( x) ) , где выбирается

по

соотношение

η (x) < ε ,

произвольно

Следовательно, если

x > X , то

последней если

заданному

формулы.

Имеем

x > X > 0 , причем X

положительному

числу

ε.

11 x 1 ν +1 ν +1 (x − X ) + ∫ tν η (t ) dt ∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt + ν +1 a a X x

X

и поэтому ν +1

ν +1 x ν +1 X ⎛X⎞ f ( t ) dt 1 f ( t ) dt − = − ⎜ ⎟ ν +1 ∫ ν +1 ∫ x

x

a

a

⎝x⎠

+

ν +1 x

ν +1

x

ν ∫ t η (t ) dt

X

Первые два члена в правой части последнего равенства стремятся к нулю при

x → ∞ , а третий член ограничен числом

ν +1 ⋅ε . 1 + Reν

Отсюда

следует искомое соотношение. 3. 2 Дифференцируемость асимптотических разложений Дифференцировать асимптотические соотношения не всегда возможно. Например,

если

утверждение,

f ( x) = x + cos x , то

что

f ′( x) ~ 1

f ( x) ~ x

несправедливо.

при

Для

x → ∞, и того,

чтобы

дифференцирование было возможным необходимы дополнительные условия. Для действительной переменной эти условия можно сформировать в терминах монотонности производной. Теорема. Пусть

f (x) − непрерывно дифференцируемая функция и

f ( x) ~ x p при x → ∞ , где p ≥ 1. Тогда если производная f ′( x) − неубывающая функция при всех достаточно больших значениях

x , то

f ′( x) ~ p x p −1 ( x → ∞) . Доказательство. Имеем

f ( x) = x p [1 + η ( x)], где η ( x) ≤ ε при

x > X , X − некоторое положительное число, ε − произвольное число из интервала

(0,1) . Если h > 0 , то x+h

h f ′( x) ≤ ∫ f ′(t ) dt = f ( x + h) − f ( x) = x

12 x+h

= ∫ p t p −1 dt + ( x + h) p η ( x + h) − x p η ( x) ≤ h p ( x + h) p −1 + 2ε ( x + h) p x

h = x ε . Тогда

Положим

f ′( x) ≤ p x

p −1

p −1 p 1 1 1 ⎧⎛ ⎫ −1 2⎞ 2⎛ 2⎞ + + + 1 ε 2 p ε 1 ε ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ ⎩⎝

(при

x > X ).

Аналогично получим

f ′( x) ≥ p x

p −1

p −1 1 1 ⎫ ⎧⎛ −1 2⎞ 2 − − 1 ε 2 p ε ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎠ ⎩⎝ ⎭

Отсюда следует, что значениях

(при

x>

X ). 1− ε

f ′( x) ~ p x p −1 при достаточно больших

x . Теорема доказана.

Отметим, что условие монотонности производной

f ′( x) часто трудно

f ′( x) и является той функцией, свойства которой

проверить, поскольку требуется установить.

Упражнение 1. Предположим, что

f ( x) = x 2 + Ο ( x) при x → ∞ , а

f ′( x) непрерывна и не убывает при всех достаточно больших x . Показать, 1

что f ′( x ) = 2 x + Ο ( x 2 ) . Упражнение

2.

Показать,

что

если

f (x)

непрерывна

и

f ( x) = 0 {ϕ ( x)} при x → ∞ , где ϕ (x) − положительная неубывающая x

функция

x , то ∫ f (t ) dt = 0 {x ϕ ( x)}. α

В

комплексной

плоскости

дифференцирование

асимптотических

отношений и отношений порядка допустимо в подобластях области, где они справедливы. Важным частным случаем является следующая теорема. Теорема. Пусть функция замкнутый сектор

f (z ) аналитична в области, содержащей

S и

f ( z) = Ο ( z p )

(или

f ( z) = o ( z p ) )

13 при

z → ∞ в S , где p − любое фиксированное действительное число. Тогда

f ( m ) ( z ) = Ο ( z p−m ) при

(или

f ( m ) ( z ) = o ( z p − m ) ),

z → ∞ в любом замкнутом секторе C , лежащем строго внутри S и

имеющим ту же вершину. 3. 3 Равномерные и неравномерные асимптотические разложения При

построении

дифференциальных

или

приближенных интегральных

решений

уравнений

алгебраических,

предполагается,

что

асимптотические разложения можно подставлять в уравнения и выполнять над ними простейшие действия: возведение в степень, интегрирование и дифференцирование.

Иногда

применение

этих

операций

оказывается

необоснованным. В этом случае они приводят к неравномерностям. Например, равенство

ε⎞

1

2 ⎛ ⎞ ε ε2 ⎛ − 2 + ...⎟⎟ x + ε = x ⎜1 + ⎟ = x ⎜⎜1 + ⎝ x⎠ ⎝ 2x 8x ⎠

не обосновано при

ε x = Ο (1) ,

(ε → 0)

поскольку при этом второй, третий и

последующие члены разложения становятся сравнимыми по порядку с первым его членом. Следовательно, ошибка, совершенная в результате усечения ряда после

N членов при x = Ο (ε ) , уже не будет иметь порядок

Ο (ε N ) , т.е. не будет порядка первого отброшенного члена, и здесь говорят о неравномерном разложении. Аналогично, равенство

1 = 1 − ε x + ε 2 x 2 − ε 3 x 3 + . .. 1+ ε x не обосновано при

(ε → 0)

ε x = Ο (1) , поскольку по той же причине правая часть его

будет неравномерна при больших

x . Таким образом, необходимо всегда

проверять, являются ли полученные разложения равномерными или нет - в

14 этом, собственно говоря, и заключается одна из главных целей методов возмущений. Приведем определение равномерности асимптотических разложений в комплексной области. Определение. Пусть функция

f ( z , u ) разлагается в асимптотический

ряд n −1

f ( z , u ) ~ ∑ a sϕ s ( z , u ) + Ο {ϕ n ( z , u )}

(3. 1)

асимптотическая последовательность, причем

f и ϕ n зависят

s =0

где

ϕ n ( z, u )

от параметра

u . Допустим, что член Ο {ϕ n ( z , n) } равномерен по параметру

u в некотором множестве D , то асимптотическое разложение справедливо равномерно относительно параметра u в D . Для определения области неравномерности ряда (3.1) иногда достаточно приравнять

порядки

ϕ n ( z, n) = Ο (ϕ n +1 ( z, u ))

n -го

( n + 1)-го

и

членов

ряда,

т.е.

и из полученного соотношения провести оценку

области неравномерности. 3. 4 Пример расходящегося асимптотического ряда Асимптотические разложения могут расходится, но давать значения близкие к истинным. Найдем асимптотическое разложение интеграла.

e − xt G ( x) = ∫ dt . 1 + t 0 ∞

Одним из способов построения асимптотического разложения для функции

G (x) является метод Лапласа состоящий в разложении множителя

1 (1 + t ) в ряд по степеням t и последующем почленном интегрировании полученного ряда. Действительно,

15 ∞ 1 2 = 1 − t + t + ... = ∑ ( −1) n t n . n =0 1+ t

Этот ряд сходится при

t < 1. Теперь вычислим интеграл

∞ ∞ ( −1) n n ! ∞ e − xt − xt n n . G ( x) = ∫ dt = ∫ e ∑ (−1) t = ∑ n =0 n=0 x n +1 0 1+ t 0 Этот ряд расходится при всех конечных x (согласно признаку ∞

сходимости Даламбера). Однако, полученный ряд является асимптотическим. Чтобы это доказать сделаем оценку остаточного члена. Представим функцию

G (x) в виде

G ( x) = g n ( x) + ε n ( x) , где

1 1! 2! (n − 1)! − 2 + 3 − ... + (−1) n −1 , n x x x x Для остаточного члена ε n (x ) выводим

g n ( x) =

(n − 1)! 1 1! e − xt dt − + 2 − ... − (−1) n −1 ε n ( x) = G ( x) − g n ( x) = ∫ = x x xn 0 1+ t ∞

n n ∞ ∞ e − xt − xt 2 n −1 n −1 − xt ( −1) t dt − ∫ e (1 − t + t − ... + (−1) t )dt = ∫ e dt =∫ + 1 1 + t t 0 0 0 ∞

Сделаем оценку ∞

ε n ( x) = ∫ e 0

− xt

∞ n! (−1) n t n dt ≤ ∫ t n e − xt dt = n +1 t +1 x 0

Итак, получаем

⎛ 1 ⎞ n +1 ⎟ ⎝x ⎠

ε n ( x) = Ο ⎜

(при

x → ∞)

Согласно определениям ряд

G ( x) ~

1 1! 2! 3! − + − + ... x x2 x3 xn

16 является асимптотическим. Однако этот ряд расходится. Приведем численные значения при

α = 10 . G (10) = 0,09156

ряда дают значение

− точное значение. Четыре члена

G (10) = 0,0914 . Итак, асимптотическое значение при

x = 10 очень близко к точному. 3. 5 Свойства асимптотических разложений, зависящих от переменной Пусть

f (z ) − функция действительной или комплексной переменной

z , ∑ a s z s − формальный степенной ряд (сходящийся или расходящийся), а

Rn ( z ) − разность между f (z ) и n -й частичной суммой этой ряда. Итак, f ( z ) = a0 +

a a1 a 2 + 2 + ... + nn−−11 + Rn ( z ) z z z

Предположим, что для каждого фиксированного значения

(3. 2)

n

Rn ( z ) = Ο ( z − n ) при

(3. 3)

z → ∞ в некоторой неограниченной области D . Очевидно ряд

−s ∑ as z

является асимптотическим разложением функции

f (z ) и

записывается в виде

f ( z ) ~ a0 +

a1 a 2 + + ... ( z → ∞ в D ) z z2

Можно показать, что если ряд больших

∑ as z

−s

(3. 4)

сходится при всех достаточно

z , то он является асимптотическим разложением его суммы,

определенной обычным образом, без всяких ограничений на

arg z .

Естественно, однако, что наибольший интерес представляет асимптотические разложения, которые расходятся.

17 Теорема. Для того чтобы функция,

f (z ) обладала асимптотическим

разложением вида (3.4) необходимо и достаточно, чтобы для каждого неотрицательного целого числа

n n −1 a ⎫ ⎧ z n ⎨ f ( z ) − ∑ ss ⎬ → a n s =0 z ⎭ ⎩

при

(3. 5)

z → ∞ в D равномерно относительно arg z . Свойство единственности. Для заданной функции

f (z ) и области

D существует самое большее одно разложение вида (3. 4). Следствие − обратное утверждение неверно. Пример. Рассмотрим асимптотическое разложение функции

arg z ≤ π 2 − δ < π 2 . Так как для любого n имеем z n e − z → 0

секторе при

e−z в

z → ∞ в этой области, соотношение (3. 5) дает a n = 0 при n = 0,1, ... .

Таким образом,

π 0 0 e − z ~ 0 + + 2 + ... ( arg z ≤ − δ ) . z z 2 Пусть теперь a0 , a1 , a 2 , ... означает заданную последовательность постоянных. Если существует хотя бы одна такая функция

f ( z ) ~ a0 +

a1 a 2 + + .. . z z2

f (z ) , что

( z → ∞ в arg z ≤

π 2

−δ )

то существует и бесконечное число таких функций, так как соотношение

z n e − z → ∞ снова показывает, что к функции f (x) можно добавить функцию

e − z , умноженную на произвольную постоянную, не меняя при этом

коэффициентов разложения. Отсутствие единственности для функции, представленной асимптотическим разложением, находится в резком контрасте со свойством единственности суммы сходящегося ряда. Рассмотрим

операции

над

асимптотическими

Сформулируем их в виде нескольких свойств

разложениями.

18 Свойство

ϕ n ( z) = 1 z n

1.

Из

асимптотических

разложений

со

шкалой

можно составлять линейные комбинации.

Предположим, что ∞

−s

f ( z) ~ ∑ f s z , s =0

∞

g ( z) ~ ∑ g s z −s s =0

z → ∞ в области определения F функции f (z ) , а второе, соответственно, в области G Тогда, если α и β Первое соотношение справедливо при

постоянные, то ∞

α f ( z ) + β g ( z ) ~ ∑ (α f s + β g s ) z − s

( z → ∞ в F I G) .

s =0

Это вытекает непосредственно из определения. Свойство 2. Асимптотические разложения со шкалой

{ z } можно −n

перемножать. Это означает, что ∞

f ( z ) g ( z ) ~ ∑ hs z − s s =0

где

( z → ∞ в F I G) ,

hs = f 0 g s + f1 g s −1 + ... + f s g 0 . Действительно, если

члены, относящиеся к

Fn ( z ), Gn ( z ) и H n (z ) означают остаточные

n − м частичным суммам разложений f ( z ), g ( z ) и

f ( z ) ⋅ g ( z ) , соответственно, то n −1

H n ( z) = ∑

s =0

fs ⎛ 1⎞ G ( z ) g ( z ) F ( z ) + = Ο ⎜ n⎟ n−s n zs ⎝z ⎠

Замечание. Умножение асимптотические разложения со шкалой

{ϕ n (z )} не

всегда возможно, так как множество функций

ϕ r ( z)ϕ s ( z)

с

двумя индексами не всегда можно упорядочить, чтобы оно образовало шкалу. Свойство 3. Асимптотическое разложение со шкалой делить друг на друга. Пусть

f 0 ≠ 0 и значение z достаточно велико; тогда

{ z } можно −n

19 n −1 ( −1) s ⎧ f f n −1 (−1) n {F1 ( z )} 1 1 ⎫ 1 = =∑ ⎨ + ... + n −1 + Fn ( z )⎬ + n f ( z ) f 0 + F1 ( z ) s =0 f 0 s +1 ⎩ z z f 0 ( f 0 + F1 ( z1 )) ⎭ −1 −n Поскольку F1 ( z ) = Ο ( z ) и Fn ( z ) = Ο ( z ) , то отсюда следует s

n −1 k 1 ⎛ 1⎞ = ∑ ss + Ο ⎜ n ⎟ f ( z ) s =0 z ⎝z ⎠

где

n

(z → ∞ в F ) ,

k s − многочлен относительно f 0 , f1 , ... , f s . Так как n произвольно, это

означает, что асимптотическое разложение 1 Коэффициенты

f ( z ) существует.

k s можно найти указанным способом, однако в случае

сходящегося степенного ряда их удобнее вычислить из рекуррентных соотношений

f 0 k s = −( f1 k s −1 + f 2 k s − 2 + ... + f s k 0 ) полученного с помощью тождества

( s = 1, 2, ... ) ,

f ( z ) {1 / f ( z ) } = 1. Первые несколько

коэффициентов имеют вид

k0 = 1 f 0 ,

k1 = − f1 f 02 ,

k 2 = ( f12 − f 0 f 2 ) f 03 ,

k 3 = (− f13 + 2 f 0 f1 f 2 − f 02 f 3 ) f 04 . f 0 = 0 не представляют трудности.

Необходимые изменения в случае

Свойство 4. Асимптотические разложения можно интегрировать. Предположим, положительной

что

для

действительной

всех

достаточно

переменной

больших

x

функция

значений

f (x)

действительная или комплексная, непрерывна и имеет асимптотическое разложение вида

f ( x) = f 0 + Если не выполняется условие интегрировать

f1 f 2 + + . .. x x2

f 0 = f1 = 0 , то мы не можем

f (t ) в интервале x ≤ t < ∞ , поскольку получающиеся

20 интегралы расходятся. Однако выражение

f ( t) − t0 −

f1 имеет порядок t

Ο ( t −2 ) при больших t и поэтому интегрируемо. Интегрируя остаточный член и используя теорему об интегрируемости асимптотического выражения, находим, что ∞

⎛ ⎝

∫ ⎜ f ( t) − f0 − x

Если

f f1 ⎞ f f ⎟ dt ~ 2 + 32 + 43 + ... t ⎠ x 2x 3x

( x → ∞)

a − произвольно выбранное положительное число, то

f1 ⎫ x ⎛ ∞ ∞ ⎞⎧ = − ( ) ( ) + ( − ) + ln ~ f t dt f t f dt f x a f − − ⎜ ⎟ ⎬ ⎨ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 t ⎭ a ⎝ a x ⎠⎩ a x

~ A + f 0 x + f1 ln x −

f f2 f − 32 − 43 + ... x 2x 3x

f ⎞ ⎛ x → ∞ , где A = ∫ ⎜ f ( t ) − f 0 − 1 ⎟ dt − f 0 a − f1 ln a . t ⎠ a ⎝ ∞

при

Эти

результаты

можно

обобщить

на

аналитические

функции

комплексной переменной, голоморфные, например, в секторе. Замечание.

Дифференцировать

асимптотические

разложения

возможно не всегда. Дифференцирование

допустимо,

если

известно,

что

f (x)

−

непрерывная функция действительного аргумента и ее асимптотическое разложение существует. Это утверждение можно доказать, интегрируя разложения для

f (x) и используя свойство единственности.

Свойство 5. Операция обращения возможна для действительных и комплексных переменных. Рассмотрим случай действительных переменных. Пусть функция разлагается в асимптотический ряд

ξ (x)

21

ξ ( x) ~ x + a0 +

a1 a 2 + + ... x x2

( x → ∞)

Применяя теорему [1-3] об асимптотике решении трансцендентных уравнений находим

x = ξ [1 + Ο (1)]

(ξ → ∞)

Начиная с этого приближения и повторно подставляя следующие приближения в правую часть соотношения

x = ξ − a0 − где

a a1 a 2 ⎛ 1 ⎞ − 2 − ... − nn−−11 + Ο ⎜ n ⎟ , x x x ⎝x ⎠

n − произвольное целое число, видим, что существует представление

вида

x = ξ − b0 − где коэффициенты

b1

ξ

−

b2

ξ2

− . .. −

bn −1

ξ n−1

⎛ 1 ⎞ + Ο ⎜⎜ n ⎟⎟ ⎝ξ ⎠

ξ → ∞,

bs являются многочленами от a s и не зависят от

количества сделанных приближений.

ЛИТЕРАТУРА 1. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. Москва: Мир. 1972. 274 с. 2. Найфэ А. Введение в методы возмущений. Москва: Мир. 1984. 535 с. 3. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. Москва: Наука. 1978. 375 с. 4. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. Москва: Мир. 1967. 310 с.