Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения

íïóëï÷óëéê çïóõäáòóô÷åîîùê ôåèîéþåóëéê õîé÷åòóéôåô çòáöäáîóëïê á÷éáãéé 6

P ±

á. ÷. óÁÍÏÈÉÎ, ÷. î. ûÅ×ÅÌÅ×Á,

R

-

∞ ì. ä. öÕÌÅ×Á, à .é. äÅÍÅÎÔØÅ×

óâïòîéë úáäáþ ðï ÷ùóûåê íáôåíáôéëå þÁÓÔØ IV éÎÔÅÇÒÁÌÙ äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× I, II ËÕÒÓÁ ×ÓÅÈ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ ÄÎÅ×ÎÏÇÏ ÏÂÕÞÅÎÉÑ íÏÓË×Á   2005

íéîéóôåòóô÷ï ôòáîóðïòôá òæ çïóõäáòóô÷åîîáñ óìõöâá çòáöäáîóëïê á÷éáãéé íïóëï÷óëéê çïóõäáòóô÷åîîùê ôåèîéþåóëéê õîé÷åòóéôåô çòáöäáîóëïê á÷éáãéé ëÁÆÅÄÒÁ ×ÙÓÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ

á. ÷. óÁÍÏÈÉÎ, ÷. î. ûÅ×ÅÌÅ×Á,

ì. ä. öÕÌÅ×Á, à .é. äÅÍÅÎÔØÅ×

óâïòîéë úáäáþ ðï ÷ùóûåê íáôåíáôéëå þÁÓÔØ IV éÎÔÅÇÒÁÌÙ äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× I, II ËÕÒÓÁ ×ÓÅÈ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ ÄÎÅ×ÎÏÇÏ ÏÂÕÞÅÎÉÑ

íÏÓË×Á   2005

ïÇÌÁ×ÌÅÎÉÅ ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

çÌÁ×Á I. §1.

§2.

§3.

éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. ïÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ . . . . . . . . 1.3. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ . . . . . . . . . . 1.5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ . . . . . . . 1.6. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ É ÅÇÏ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ . úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ Ó ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÒÅÄÅÌÁÍÉ . 3.2. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . .

5

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . §4. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ . . . 4.1. úÁÄÁÞÉ, ÐÒÉ×ÏÄÑÝÉÅ Ë ÐÏÎÑÔÉÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. ï ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ . . . úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . §5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ . . . . . . . . . 5.1. íÅÔÏÄ ÉÚÏËÌÉÎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

6 6 6 8 12 16 21 26 34 42 42 45 49 52 52 55 57 59 59 59 61 62 62 63 63

4

ïÇÌÁ×ÌÅÎÉÅ

§6.

§7.

§8.

§9.

5.2. ïÂÝÅÅ É ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ôÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÒÉ×ÏÄÑÝÉÅÓÑ Ë ÎÉÍ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. íÅÔÏÄ âÅÒÎÕÌÌÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ . . . . . 6.2. íÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . õÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ . . . . . . . . . . . . 7.2. éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÄÏÐÕÓËÁÀÝÉÅ ÐÏÎÉÖÅÎÉÅ ÐÏÒÑÄËÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ y × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ . . . . . . . . . 8.2. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ x × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ . . . . . . . . . 8.3. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ . . . . . 9.1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . .

ïÔ×ÅÔÙ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 66 68 75 77 77 81 82 85 86 86 87 87 88 89 90 91 92 92 92 93 94 97 98

ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ óÂÏÒÎÉË ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÇÌÁ×, ÏÔ×ÅÔÏ× Ë ÚÁÄÁÎÉÑÍ É ÓÐÉÓËÁ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ. ëÁÖÄÁÑ ÇÌÁ×Á ÒÁÚÂÉÔÁ ÎÁ ÐÁÒÁÇÒÁÆÙ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ËÒÁÔËÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ É ÐÒÉÍÅÒÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÉÐÏ×ÙÈ ÚÁÄÁÞ. ÷ ËÏÎÃÅ ÐÁÒÁÇÒÁÆÏ× ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÏÔ×ÅÔÙ Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ËÏÎÃÅ ÓÂÏÒÎÉËÁ. ðÅÒ×ÁÑ ÇÌÁ×Á ÐÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍÕ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. ðÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, Ó×ÏÊÓÔ×Á É ÍÅÔÏÄÙ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ, ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ, Á ÔÁËÖÅ ÐÏÎÑÔÉÅ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÊ ÇÌÁ×Å ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ðÏËÁÚÁÎÙ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÈ ÄÌÑ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÔÉÐÏ× ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ÷ ËÏÎÃÅ ÓÂÏÒÎÉËÁ ÐÒÉ×ÅÄÅÎ ÓÐÉÓÏË ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÎÏÊ É ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÍÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ.

5

çìá÷á I éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ §1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. ïÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 1.1. ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. æÕÎËÃÉÑ F (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÊ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ (a, b), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x ∈ (a, b) F 0 (x) = f (x). ðÒÉÍÅÒ 1. æÕÎËÃÉÑ sin(5x − 1) ÅÓÔØ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ 5 cos(5x − 1) ÎÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÐÒÑÍÏÊ, ÔÁË ËÁË (sin(5x − 1)) 0 = 5 cos(5x − 1). åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÉÍÅÅÔ ÎÁ (a, b) ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÕÀ F0 (x), ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ (a, b) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÆÕÎËÃÉÊ F (x) = F0(x) + C, ÇÄÅ C ¡ ÌÀÂÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ (a, b) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÈ F (x) (ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ) ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ R (a, b). îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ f (x) ÎÁ (a, b) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ f (x) dx; f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ. 3 ðÒÉÍÅÒ 2. ðÕÓÔØ f (x) = x2. æÕÎËÃÉÑ F (x) = x3 ÅÓÔØ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÄÌÑ  3 0 2 2 = 3x3 = x2. ÆÕÎËÃÉÉ f (x) = x ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (−∞; +∞), ÔÁË ËÁË x3 ðÏÜÔÏÍÕ Z x3 2 x dx = + C. 3 ðÒÉÍÅÒ 3. ðÕÓÔØ f (x) = x1 . ðÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÊ f (x) = x1 ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (0, +∞) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ F (x) = ln x, Á ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (−∞; 0) ÆÕÎËÃÉÑ F (x) = ln(−x). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ F (x) = ln |x| ÅÓÔØ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) = x1 ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍ 0. ðÏÜÔÏÍÕ Z dx = ln |x| + C. x ïÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. R 1) d f (x) dx = f (x) dx;
0 R 2) f (x) dx = f (x); 6

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 7 R R 3) df (x) = f 0(x) dx. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÒÁ×ÉÌÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×. R R 1) ðÕÓÔØ ÎÁ (a, b) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ g(x) dx É f (x) dx. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ α É β ÎÁ (a, b) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ: Z Z Z (αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx.

2) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x), v(x) ÉÍÅÀÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ u 0(x), v 0 (x) ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (a, b). ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: Z Z 0 u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u0(x) dx

ÉÌÉ

Z

u dv = uv −

Z

v du.

R 3) ðÕÓÔØ ÎÁ (α; β) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ f (t) dt = = F (t) + C. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ t = u(x) ÉÍÅÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ u 0(x) ÎÁ (a, b) É u((a, b)) ⊂ (α, β). ôÏÇÄÁ ÎÁ (a, b) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:  Z  Z Z f (u(x))u0(x) dx = f (u(x)) du(x) = F (u(x)) + C = f (t) dt . 4) ðÕÓÔØ ÓÔÒÏÇÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ x = ω(t) ÉÍÅÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ω 0 (t) ÎÁ (α, β) É ω(t) : (α; β) → (a, b). ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ (a, b) É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Z Z 0 f (ω(t))ω (t) dt = g(t) dt = G(t) + C. ôÏÇÄÁ ÎÁ (a, b) ÉÍÅÅÍ: Z Z Z f (x) dx = f (ω(t)) dω(t) = f (ω(t))ω 0(t) dt = G(t) + C = G(v(x)) + C,

ÇÄÅ t = v(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ, ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÆÕÎËÃÉÉ x = ω(t). RôÁÂÌÉÃÁ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×. 1) R 0 · dx = C; 2) 1 dx = x + C; R α+1 3) xα dx = xα+1 + C (α 6= −1); R (x 6= 0); 4) R dx x = ln |x|x + C R 5) R ax dx = lna a + C (0 < a 6= 1), ex dx = ex + C; 6) R sin x dx = − cos x + C; 7) R cos x dx = sin x + C; 8) cosdx2 x = tg x + C (x 6= π2 + πn; n = 0; ±1; ±2; . . .);

8

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

R 9) sindx2 x = − ctg x + C (x 6= πn; n = 0; ±1; ±2; . . .); R 1 x 10) a2dx (a 6= 0); +x2 = a arctg a + C R dx 1 a+x + C (a 6= 0; |x| 6= |a|); ln a−x 11) a2 −x2 = 2a R dx x 12) √a2 −x2 = arcsin a + C (a 6= 0; |x| < |a|); √ R = ln |x + x2 + k| + C (k 6= 0, × ÓÌÕÞÁÅ k < 0 |x| > |k|); 13) √xdx 2 +k R 14) R sh x dx = ch x + C; 15) R ch x dx = sh x + C; 16) chdx2 x = th x + C; R 17) shdx2 x = − cth x + C; (x 6= 0). ôÁÂÌÉÃÁ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏ×. 1) dx = a1 d(ax + b) (a 6= 0); p+1 2) xp dx = dxp+1 (p 6= −1); 3) dx = d(ln |x|) (x 6= 0); x 4) sin x dx = −d cos x; 5) cos x dx = d sin x; 6) cosdx2 x = d tg x; 7) sindx2 x = −d ctg x; x x x 8) ax dx = da ln a ; e dx = de ; 9) sh x dx = d ch x; 10) ch x dx = d sh x; dx 11) √1−x 2 = d arcsin x = −d arccos x; dx 12) 1+x 2 = d arctg x = −d arcctg x. 1.2. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ïÄÉÎ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ×, ÐÒÉÍÅÎÑÅÍÙÈ ÐÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ¡ ÍÅÔÏÄ ÚÁÍÅÎÙ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ÷ ÅÇÏ ÏÓÎÏ×Å ÌÅÖÁÔ ÐÒÁ×ÉÌÁ 3 É 4, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÕÎËÔÅ. íÅÔÏÄ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ×ÉÄÕ ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×ÓÐÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ËÏÔÏÒÏÊ × ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÒÉ×ÏÄÉÔ ÅÇÏ Ë ×ÉÄÕ, ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÍÕ ÄÌÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ÷ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ Ä×Å ÆÏÒÍÙ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ. R I. ðÕÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ g(x) dx. óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ 3 ×ÙÂÅÒÅÍ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÕÄÁÅÔÓÑ, ÔÁËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ u(x), ÞÔÏ ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ: Z Z Z g(x) dx = f (u(x))u0(x) dx = f (u(x)) du(x).

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

9

ôÏÇÄÁ, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ t = u(x), ÐÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Z f (t) dt, t = u(x). éÚÌÏÖÅÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÐÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÉÄÁ: R 1) f (ax + b) dx, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ax + b, ÐÏÌÕÞÉÍ: Z Z Z 1 1 f (ax + b) d(ax + b) = f (t) dt; f (ax + b) dx = a a R 2) f (sin x) cos x dx, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = sin x, ÐÏÌÕÞÉÍ: Z Z Z f (sin x) cos x dx = f (sin x)d sin x = f (t) dt; R 3) f (cos x) sin x dx, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = cos x, ÐÏÌÕÞÉÍ: Z Z Z f (cos x) sin x dx = − f (cos x) d cos x = − f (t) dt;

R 4) f (tg x) cos12 x dx, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = tg x, ÐÏÌÕÞÉÍ: Z Z Z dx f (tg x) 2 = f (tg x) d tg x = f (t) dt; cos x R 5) (ln x) x1 dx, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ln x, ÐÏÌÕÞÉÍ: Z Z Z dx f (ln x) = f (ln(x)) d ln x = f (t) dt; x R 6) f (ex )ex dx, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ex , ÐÏÌÕÞÉÍ: Z Z Z x x x x f (e )e dx = f (e ) de = f (t) dt;

R 7) (ax2 + b)p x dx, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ t = ax2 + b, ÐÏÌÕÞÉÍ: Z Z Z Z 1 1 1 (ax2 + b)p dx2 = (ax2 + b)p d(ax2 + b) = tp dt. (ax2 + b)p x dx = 2 2a 2a

10

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ðÒÉÍÅÒ 4.

Z

1 dx √ = 5x + 2 5

Z

d(5x + 2) √ = 5x + 2 Z Z 1 2 1 dt 2√ √ = t−1/2 dt = t1/2 + C = = 5x + 2 + C. 5 5 5 t 5

ðÒÉÍÅÒ 5. Z Z 1 sin(3x − 4) d(3x − 4) = sin(3x − 4) dx = 3 Z 1 1 1 sin t dt = − cos t + C = − cos(3x − 4) + C. = 3 3 3 ðÒÉÍÅÒ 6. Z Z Z 1 d(2x − 6) 1 dt 1 1 dx = = = ln |t| + C = ln |2x − 6| + C. 2x − 6 2 2x − 6 2 t 2 2 ðÒÉÍÅÒ 7. Z Z Z t4 sin4 x 3 3 3 sin x cos x dx = sin x d sin x = t dt = + C = + C. 4 4 ðÒÉÍÅÒ 8. Z

sin x dx = 4 − cos x

Z

d(− cos x) = 4 − cos x

d(− cos x + 4) = 4 − cos x Z dt = = ln |t| + C = ln |4 − cos x| + C. t

Z

ðÒÉÍÅÒ 9. Z Z Z dx cos x 1 dx = dx = = sin x cos x sin x cos2 x tg x cos2 x Z Z dt d tg x = = ln |t| + C = ln | tg x| + C. = tg x t ðÒÉÍÅÒ 10. Z Z Z t2 1 ln x dx = ln x d ln x = t dt = + C = ln2 x + C. x 2 2

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

11

ðÒÉÍÅÒ 11. Z Z Z Z e2x e2x de2x 1 1 1 d(e2x + 1) dx = d2x = = = e2x + 1 2 e2x + 1 2 e2x + 1 2 e2x + 1 Z 1 1 dt 1 = ln |t| + C = ln(e2x + 1) + C. = 2 t 2 2

ðÒÉÍÅÒ 12. Z Z Z dx2 d(5x2 − 3) x dx 1 1 = = = 5x2 − 3 2 5x2 − 3 2 · 5 5x2 − 3 Z dt 1 1 1 = ln |t| + C = ln |5x2 − 3| + C. = 10 t 10 10

II. ðÒÉÍÅÎÑÑ ×ÔÏÒÕÀ ÆÏÒÍÕ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÐÒÁ×ÉÌÏÍ 4. ÷ ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×ÍÅÓÔÏ x ÆÕÎËÃÉÀ x = ω(t), Á ÉÍÅÎÎÏ: Z Z Z Z 0 f (x) dx = f (ω(t)) dω(t) = f (ω(t))ω (t) dt = g(t) dt,

ÇÄÅ g(t) ¡ ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÁÑ ÄÌÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÞÅÍ f (x). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁ ÆÕÎËÃÉÀ ω(t) ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÓÔÒÏÇÏÊ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÏÂÅÓÐÅÞÉ×ÁÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ t = v(x) É ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ: Z Z f (x) dx = g(t) dt = G(t) + C = G(v(x)) + C. ðÒÉÍÅÒ 13.

dx √ . √ x (4 + 3 x) √ √ ðÒÉÍÅÎÑÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = t6 , ÐÏÌÕÞÉÍ x = t3 , 3 x = t2 , dx = dt6 = 6t5 dt É Z Z Z 2 6t5 dt t2 t +4−4 = 6 dt = 6 dt = t3 (4 + t2 ) 4 + t2 t2 + 4  Z Z Z  dt 4 = dt = 6 dt − 24 =6 1− 2 t +4 t2 + 4 √ 6 √ t x = 6t − 12 arctg + C = 6 6 x + 12 arctg + C. 2 2 ðÒÉÍÅÒ 14. Z p 9 − x2 dx. Z

12

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

ðÒÉÍÅÎÑÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = 3 sin t, −3 6 x 6 3, − π2 6 t 6 π2 , t = arcsin x3 , dx = d(3 sin t) = 3 cos t dt, ÐÏÌÕÞÉÍ Z Z √ Z p 9 − 9 sin2 t 3 cos t dt = 9 cos2 t 3 cos t dt = 9 cos2 t dt =  Z Z Z 9 1 + cos 2t 9 9 dt + cos 2t dt = t + sin 2t + C = =9 dt = 2 2 2 4  9 x 9 x + C. = arcsin + sin 2 arcsin 2 3 4 3

ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ sin 2 arcsin x3 , ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: p π π sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin t · 1 − sin2 t, − 6 t 6 , 2 2 ÐÏÜÔÏÍÕ r    x x x 2 = 2 sin arcsin · 1 − sin arcsin = sin 2 arcsin 3 3 3 r p x x2 2 =2· · 1− = x · 9 − x2 . 3 9 9 ïÔÓÀÄÁ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ: Z p p x 1 9 2 9 − x dx = arcsin + x · 9 − x2 + C. 2 3 2 1.3. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x), v(x) ÉÍÅÀÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ u 0 (x), v 0 (x) ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (a, b), ÔÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: Z Z 0 u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u0(x) dx (1)

ÉÌÉ

Z

u dv = uv −

Z

v du.

îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÍÅÔÏÄÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÐÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÞÁÓÔÉÞÎÏÍÕ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÀ, ÔÁË ËÁË É ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ (1) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. ïÄÎÁËÏ ÐÒÉ ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÍ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÍÅÔÏÄÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÚ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (1) ÂÕÄÅÔ ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ ÉÌÉ ÌÅÇËÏ Ó×ÏÄÑÝÉÍÓÑ Ë ÔÁÂÌÉÞÎÏÍÕ. ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÍÅÔÏÄ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ. ðÒÁ×ÉÌÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

13

ÞÁÓÔÑÍ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ, ÞÅÍ ÚÁÍÅÎÁ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. îÏ ÅÓÔØ ÃÅÌÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×, ÎÁÐÒÉÍÅÒ: Z

k

Z

m

k

Z

k

Z

x ln x dx, x sin ax dx, x cos ax dx, xk eax dx, Z Z Z k k x arcsin ax dx, x arccos ax dx, xk arctg ax dx

É ÄÒÕÇÉÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÉÍÅÎÎÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ. I. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ Pm (x) sin ax, Pm (x) cos ax, Pm (x)eax, ÇÄÅ Pm (x) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m, × ËÁÞÅÓÔ×Å ÆÕÎËÃÉÉ u(x) ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (1) ÂÅÒÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pm (x), Á × ËÁÞÅÓÔ×Å v 0 (x) ÄÒÕÇÏÊ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ. R ðÒÉÍÅÒ 15. x · sin 3x dx. ðÕÓÔØ u(x) = x, v 0 (x) = sin 3x, ÔÏÇÄÁ 1 sin 3x d3x = − d cos 3x. dv = sin 3x dx = 3 3   Z Z Z 1 1 x · sin 3x dx = − x d cos 3x = − x · cos 3x − cos 3x dx = 3 3 Z Z 1 1 1 1 = − x cos 3x + cos 3x dx = − x cos 3x + cos 3x d3x = 3 3 3 9 1 1 = − x cos 3x + sin 3x + C. 3 9 ðÒÉÍÅÒ 16.

R

xe−4x dx. ðÕÓÔØ u(x) = x, v 0 (x) = e−4x , ÔÏÇÄÁ

1 e−4x d(−4x) = − de−4x . v (x) dx = dv(x) = e dx = − 4 4   Z Z Z 1 1 −4x −4x −4x −4x xe dx = − x de =− x·e − e dx = 4 4 Z Z 1 −4x 1 1 −4x 1 −4x = − xe e dx = − xe e−4x d(−4x) = + − 4 4 4 16 1 1 −4x = − xe−4x − e + C. 4 16 0

−4x

ëÁË ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, ÐÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÆÏÒÍÕÌÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ.

14

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ R ðÒÉÍÅÒ 17. x2 · cos 2x dx. ðÕÓÔØ u(x) = x2, v 0 (x) = cos 2x, ÔÏÇÄÁ 1 1 v 0 (x) dx = dv(x) = cos 2x dx = cos 2x d2x = d sin 2x. 2  Z Z2 Z 1 1 x2 d sin 2x = x2 sin 2x − sin 2x dx2 . x2 cos 2x dx = 2 2

(2)

ôÁË ËÁË dx2 = 2x dx, ÔÏ × ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÅ ÐÏÌÕÞÉÍ Z Z 2 sin 2x dx = (sin 2x) · 2x dx.

ðÏÌÁÇÁÑ u(x) = 2x, v 0 (x) = sin 2x; v 0 (x) dx = sin 2x dx = 12 sin 2x d2x = = − 21 d cos 2x, ÉÍÅÅÍ   Z Z Z 1 (sin 2x) · 2x dx = 2x · − d cos 2x = − x d cos 2x = 2   Z Z 1 = − x cos 2x − cos 2x dx = −x cos 2x + cos 2x d2x = 2 1 = −x cos 2x + sin 2x + C. 2 ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × (2), ÐÏÌÕÞÉÍ   Z 1 1 x2 cos 2x dx = x2 · sin 2x + x cos 2x − sin 2x + C = 2 2 1 1 1 = x2 sin 2x + x cos 2x − sin 2x + C. 2 2 4 II. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ: Pm (x) arcsin ax, Pm (x) arccos ax, Pm (x) arctg ax, Pm (x) ln ax × ËÁÞÅÓÔ×Å v 0 (x) ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pm (x), Á × ËÁÞÅÓÔ×Å u(x) ÏÓÔÁ×ÛÁÑÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ. R ðÒÉÍÅÒ 18. x ln x dx. ðÕÓÔØ u(x) = ln x, v 0 (x) = x, ÔÏÇÄÁ 1 v 0 (x) dx = x dx = dx2. 2   Z Z Z 1 1 2 2 2 ln x dx = x ln x − x d ln x = x ln x dx = 2 2     Z 1 1 x2 2 2 1 2 = x ln x − x · dx = x ln x − +C = 2 x 2 2 x2 ln x x2 − + C. = 2 4

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 15 R ðÒÉÍÅÒ 19. x arctg 2x dx. ðÕÓÔØ u(x) = arctg 2x, v 0 (x) = x, ÔÏÇÄÁ  Z Z 1 1 2 2 x arctg 2x dx = arctg 2x dx = x · arctg 2x− 2 2    Z Z 1 2x2 2 2 x arctg 2x − − x d arctg 2x = dx = 2 1 + (2x)2   Z Z 1 4x2 + 1 1 1 1 2 x arctg 2x − = dx + dx = 2 2 4x2 + 1 2 4x2 + 1 Z x2 arctg 2x 1 1 d2x x2 arctg 2x 1 = − x+ = − x+ 2 4 8 (2x)2 + 1 2 4 1 + arctg 2x + C. 8 √ III. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ eax sin bx, eax cos bx, ax2 + b ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ä×Á ÒÁÚÁ. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ. ðÒÉÍÅÒ 20. Z Z Z ex cos x dx = cos x dex = ex cos x − ex d cos x = Z Z x x x = e cos x + e sin x dx = e cos x + sin x dex = Z Z x x x x x = e cos x + e sin x − e d sin x = e cos x + e sin x − ex cos x dx. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ I =

R

ex cos x dx. ðÅÒÅÐÉÛÅÍ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ×ÉÄÅ: I = ex cos x + ex sin x − I,

ÒÅÛÁÑ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ 2I = ex cos x + ex sin x, 1 I = (ex cos x + ex sin x), 2 ÏÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ:

ex (cos x + sin x) + C. 2 úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ eax sin bx, eax cos bx ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ä×Á ÒÁÚÁ, ÐÒÉÞÅÍ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ u(x) ÂÅÒÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÔÉÐÁ: ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÁÑ ÉÌÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ. Z

ex cos x dx =

16

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ðÒÉÍÅÒ 21.

Z p p (−2x) 1 x· √ 7 − x2 dx = x · 7 − x2 − dx = x · 7 − x2+ 2 7 − x2 Z Z Z 2 p 7 − x x2 7 dx = x 7 − x2 − √ dx = + √ dx + √ 7 − x2 7 − xZ2 7 − x2 p p x 2 7 − x2 dx + 7 arcsin √ . =x· 7−x − 7 R√ ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ I = 7 − x2 dx. ðÅÒÅÐÉÛÅÍ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ×ÉÄÅ: p p x x I = x 7 − x2 + 7 arcsin √ − I ÉÌÉ 2I = x 7 − x2 + 7 arcsin √ , 7 7  p  x 1 x 7 − x2 + 7 arcsin √ , ÏÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ: I= 2 7 Z p p 7 x 1 7 − x2 dx = x 7 − x2 + arcsin √ + C. 2 2 7 Z p

1.4. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ óÎÁÞÁÌÁ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÍÓÑ ÎÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. üÔÏ ÄÒÏÂÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÉÐÏ×: A A , II. , x−a (x − a)m Ax + B Ax + B , IV. 2 , III. 2 x + px + q (x + px + q)m I.

(m = 2, 3, . . .).

éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÄÒÏÂÅÊ ×ÉÄÁ I É II ÉÚ×ÅÓÔÎÏ: Z A I. dx = A ln |x − a| + C, x−a Z A 1 A II. dx = − + C. m (x − a) m − 1 (x − a)m−1 ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÒÏÂÅÊ III É IV × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ, ÓÔÏÑÝÅÍ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ, ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ    p 2   p 2 p 2 p 2  p 2 2 − +q = x+ + q− + k. = x+ x + px + q = x + 2 2 2 2 2

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

17

ôÏÇÄÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÄÒÏÂÉ III ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ:
Z Z A x + p2 − p2 + B Ax + B Ax + B dx = dx = dx =
2
2 x2 + px + q x + 2p + k x + 2p + k
Z Z Z Z A x + 2p B − A · 2p B − A · p2 At = dx + dx = dt + dt,
2
2 t2 + k t2 + k x + p2 + k x + p2 + k

Z

ÇÄÅ t = x + p2 . ðÅÒ×ÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ u = t2 + k, Á ÉÍÅÎÎÏ: Z Z Z 1 1 d(t2 + k) 1 dt2 t dt = = = ln |t2 + k| + C. 2 2 2 t +k 2 t +k 2 t +k 2 R ÷ÔÏÒÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ t2dt+k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÒÏÂÉ IV ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ III ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z Z Z A x + 2p − p2 + B Ax + B dx Ax + B m = m dx =   dx =

(x2 + px + q)m 2 2 x + p2 + k x + p2 + k Z Z  t dt dt p =A · + B − A · . (t2 + k)m 2 (t2 + k)m

ðÅÒ×ÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ u = t2 + k, Á ÉÍÅÎÎÏ: Z Z Z Z 1 dt2 1 d(t2 + k) 1 du t dt = = = = 2 m 2 m 2 m (t + k) 2 (t + k) 2 (t + k) 2 um 1 1 1 1 1 · m−1 + C = − · 2 + C. =− · 2 m−1 u 2(m − 1) (t + k)m−1 R dt ÷ÔÏÒÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÐÏÎÉÖÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ I m = (t2 +k) m, R dt ÔÏÇÄÁ Im−1 = (t2 +k) m−1 . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Im : Z Z Z 1 k 1 k + t2 − t 2 dt = dt = dt = Im = (t2 + k)m k (t2 + k)m k (t2 + k)m Z  Z 1 k + t2 t2 = · dt − dt = k (t2 + k)m (t2 + k)m Z    Z Z 1 d(t2 + k) dt t dt 1 1 = · Im−1 − t 2 . − t· 2 = k (t2 + k)m−1 (t + k)m k 2 (t + k)m

18

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ: Z 1 d(t2 + k) =− t 2 t d(t2 + k)1−m = m (t + k) m−1     Z 1 t dt t 1 = − − Im−1 . =− m − 1 (t2 + k)m−1 (t2 + k)m−1 m − 1 (t2 + k)m−1 Z

ïÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ 1 Im = k



 t Im−1 1 · − Im−1 + . 2(m − 1) (t2 + k)m−1 2(m − 1)

ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÁ Ó×ÏÄÉÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ m−1 . úÎÁÑ ÉÎÔÅR Idt R dtIm Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÇÒÁÌ (ÓÍ. ÔÁÂÌÉÃÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×) I1 = t2 +k , ÎÁÊÄÅÍ I2 = (t2 +k)2 É ÔÁË ÄÁÌÅÅ ÄÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Im. ðÒÉÍÅÒ 22. Z Z 2x + 5 2x + 5 2(x + 2 − 2) + 5 dx = dx = dx = x2 + 4x − 3 (x + 2)2 − 7 (x + 2)2 − 7 Z Z 2 · (x + 2) d(x + 2) = d(x + 2) + = 2 (x + 2) − 7 (x + 2)2 − 7 Z Z Z Z dt d(t2 − 7) dt t dt + = + = =2 2 2 2 2 t −7 t −7 t −7 t −7 √ √ 1 1 7 − t 7 − 2 − x 2 2 = ln |t −7|+ √ ln √ +C = ln |x +4x−3|+ √ ln √ +C. 2 7 7 + t 2 7 7 + 2 + x Z

ðÒÉÍÅÒ 23.

Z

Z Z 2x + 5 2x + 5 x+2 dx = dx = 2 d(x + 2)+ (x2 + 4x − 3)2 ((x + 2)2 − 7)2 ((x + 2)2 − 7)2 Z Z Z d(x + 2) t dt dt + =2 + = 2 2 2 2 2 ((x + 2) − 7) (t − 7) (t − 7)2 Z Z Z dt dt 1 d(t2 − 7) + =− 2 + , = 2 2 2 2 2 (t − 7) (t − 7) t −7 (t − 7)2

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

19

×ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ: Z

Z Z 1 (−7) dt 1 t2 − 7 − t 2 dt =− =− dt = (t2 − 7)2 7 (t2 − 7)2 7 (t2 − 7)2 Z Z Z 1 t2 − 7 1 t2 1 dt =− dt + dt = − + 7 (t2 − 7)2 7 (t2 − 7)2 7 (t2 − 7) Z Z Z d(t2 − 7) 1 1 1 1 dt t 2 t d + = − − = 14 (t − 7)2 7 t2 − 7 14 t2 − 7   Z Z 1 1 1 dt dt t· 2 = − − =− 7 t2 − 7 14 t −7 t2 − 7 √ Z t t 1 1 dt 1 1 1 7 + t =− − = · √ ln √ + C. − 2 2 2 14 t − 7 14 t − 7 14 2 7 7 − t 14 t − 7

ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ: Z

√ t 1 1 1 2x + 5 7 + t √ √ ln − dx = − + +C = (x2 + 4x − 3)2 t2 − 7 28 7 7 − t 14 t2 − 7 √ x+2 1 1 1 7 + 2 + x + √ ln √ + C. =− 2 − x + 4x − 3 28 7 7 − 2 − x 14 x2 + 4x − 3

ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÉÍÅÀÝÕÀ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ: ËÁÖÄÁÑ ÐÒÁ×ÉÌØP (x) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÁÑ ÄÒÏÂØ Q(x) ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q(x) ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ËÁÖÄÙÊ ÃÅÌÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÔÉÐÁ (x − a) É (x2 + px + q). ÷ ÓÈÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ×ÉÄÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q(x) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ: Q(x) = (x−a)k ·. . .·(x2 +px+q)m. ðÏËÁÖÅÍ, ËÁË, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q(x), ÐÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ: 1. åÓÌÉ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ (x − a) ×ÈÏÄÉÔ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ÔÏÌØËÏ × ÐÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ, ÍÙ ÐÏÓÔÁ×ÉÍ ÅÍÕ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÐÒÏÓÔÕÀ ÄÒÏÂØ: (x − a) →

A . x−a

2. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ×ÈÏÄÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ (x−a)k , ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ

20

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

ÓÔÅÐÅÎÉ k > 1, ÔÏ ÅÍÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÕÍÍÁ ÉÚ k ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ A1 A2 Ak (x − a)k → + + ...+ . 2 x − a (x − a) (x − a)k

3. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ×ÈÏÄÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ x2 + px + q ÔÏÌØËÏ × ÐÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ, ÔÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÅÍÕ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÐÒÏÓÔÁÑ ÄÒÏÂØ: Mx + N x2 + px + q → 2 . x + px + q

4. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ×ÈÏÄÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ (x2 + px + q)k , ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ ËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1, ÔÏ ÅÍÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÕÍÍÁ ÉÚ k ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ M2 x + N 2 Mk x + N k M1 x + N 1 + 2 + . . . + . (x2 + px + q)k → 2 x + px + q (x + px + q)2 (x2 + px + q)k äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× A, M , N ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ ÍÅÔÏÄ P (x) ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×. úÎÁÑ ÆÏÒÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q(x) ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ ÄÒÏÂÉ, ÐÉÛÕÔ ÅÇÏ Ó ÂÕË×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÓÐÒÁ×Á. ðÒÉ×ÏÄÑÔ ÄÒÏÂÉ Ë ÏÄÎÏÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ Q(x) É ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ × ÞÉÓÌÉÔÅÌÑÈ ÓÐÒÁ×Á É ÓÌÅ×Á. úÁÔÅÍ, ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÐÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ, ÎÁÈÏÄÑÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÂÕË×ÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ. 2x2 +2x+13 ðÒÉÍÅÒ 24. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÄÒÏÂØ (x−2)(x 2 +1)2 ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÄÒÏÂØ × ×ÉÄÅ: A Bx + C Dx + E 2x2 + 2x + 13 = + + . (x − 2)(x2 + 1)2 x−2 x2 + 1 (x2 + 1)2 ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ A, B, C, D, E ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á: 2x2 + 2x + 13 = A · (x2 + 1)2 + (Bx + C)(x2 + 1)(x − 2) + (Dx + E)(x − 2),

ÏÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ:

2x2 + 2x + 13 = (A + B) · x4 + (C − 2B) · x3 + (2A + B − 2C + D) · x2+

+ (C − 2B + E − 2D) · x + A − 2C − 2E.

ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ x ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á, ÐÒÉÄÅÍ Ë ÓÉÓÔÅÍÅ ÉÚ ÐÑÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ  A + B = 0,      −2B + C = 0, 2A + B − 2C + D = 2,   −2B + C − 2D + E = 2,    A − 2C − 2E = 13, ÏÔËÕÄÁ A = 1, B = −1, C = −2, D = −3, E = −4.

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

21

ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ: 1 x+2 3x + 4 2x2 + 2x + 13 = − − . (x − 2)(x2 + 1)2 x − 2 x2 + 1 (x2 + 1)2

äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÐÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÐÒÁ×ÉÌØÎÕÀ ÄÒÏÂØ, ÅÅ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔ ÎÁ ÓÕÍÍÕ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ, Á ÚÁÔÅÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÀÔ ËÁÖÄÕÀ ÐÒÏÓÔÕÀ ÄÒÏÂØ ÏÔÄÅÌØÎÏ É ÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔ. ðÒÉÍÅÒ 25. Z Z Z Z dx x+2 3x + 4 2x2 + 2x + 13 dx = − dx − dx = (x − 2)(x2 + 1)2 x−2 x2 + 1 (x2 + 1)2 1 3 − 4x 1 (x − 2)2 = + ln 2 − 4 arctg x + C. 2 x2 + 1 2 x +1 úÄÅÓØ ÍÙ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 24. 1.5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÷ÙÛÅ ÍÙ ÎÁÕÞÉÌÉÓØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ. úÄÅÓØ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÉ ÄÌÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÉÝÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ t = t(x), ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ×ÅÌÁ ÂÙ ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ Ë ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ. úÄÅÓØ É ÄÁÌØÛÅ ÂÕÄÅÍ ÐÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ R(x, y, z, . . .) ¡ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ Ó×ÏÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×. I. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ: s ! Z ax + b dx, R x; m cx + p ÇÄÅ m ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, a, b, c, p ¡ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ðÏÌÏÖÉÍ: s ax + b p · tm − b m ax + b m t = t(x) = , t = , x = ϕ(t) = , dx = ϕ0 (t) dt. m cx + p cx + p a − ct éÎÔÅÇÒÁÌ ÐÅÒÅÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ: Z

R(ϕ(t), t)ϕ0(t) dt.

÷ÙÞÉÓÌÉ× ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÓÔÁÒÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t = t(x). ðÒÉÍÅÒ 26. r Z 1 3 x+1 dx. x+1 x−1

22

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ q t3 +1 6t2 , x = , dx = − dt, ÔÏÇÄÁ ðÏÌÁÇÁÅÍ t = 3 x+1 3 3 x−1 t −1 (t −1)2 Z

1 x+1

r 3

x+1 dx = x−1

Z

−3 dt = t3 − 1

Z 

 1 t+2 − dt = + t − 1 t2 + t + 1 1 t2 + t + 1 √ 2t − 1 √ + C, = ln 3 arctg + 2 (t − 1)2 3

q

ÇÄÅ t = 3 x+1 x−1 . II. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ: Z Ax + B √ dx. ax2 + bx + c

(3)

1) ðÕÓÔØ a > 0, ÔÏÇÄÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (3) ÐÅÒÅÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ Z Z 1 Ax + B Ax + B q √ p dx = dx. √ 2 + px + q a c b x 2 a x + ax+ a

ôÁË ÖÅ, ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ×ÙÄÅÌÉÍ ÐÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ × Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÍ ÔÒÅÈÞÌÅÎÅ, ÓÔÏÑÝÅÍ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 1.4): 1 √ a

Z


Z A x + p2 Ax + B 1 q q dx = √ dx+

a p 2 p 2 x+ 2 +k x+ 2 +k Z Z Z B − A · p2 B − A · p2 1 At 1 1 q √ √ dx = √ +√ dt + √ dt,
2+k 2+k a a a p 2 t t x+ 2 +k

ÇÄÅ t = x + p2 . ðÅÒ×ÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ u = t2 + k Z

t dt 1 √ = 2 t2 + k

Z

dt2 1 √ = 2 t2 + k

Z

= ÷ÔÏÒÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ

R

√ dt t2 +k

1 2

d(t2 + k) 1 √ = 2+k 2 t Z

Z

du √ = u

u−1/2 du = u1/2 + C = (t2 + k)1/2 + C.

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ.

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

23

2) ðÕÓÔØ a < 0, ÔÏÇÄÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (3) ÐÅÒÅÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ Z

Ax + B q √ −a −x2 − ab x −

c a

1 dx = √ −a

Z

Ax + B dx p = −x2 − px − q Z Ax + B 1 p dx. =√ −a −(x2 + px + q)

äÁÌØÛÅ, ×ÙÄÅÌÑÑ ÐÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ × Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÍ ÔÒÅÈÞÌÅÎÅ É ÐÒÉÍÅÎÑÑ ÚÁÍÅÎÕ t = x + p2 , ÔÁË ÖÅ ËÁË É × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. ðÒÉÍÅÒ 27. Z

Z Z 5x − 1 5(x + 1 − 1) − 1 5x − 1 √ p p dx = dx = dx = x2 + 2x + 2 (x + 1)2 + 1 (x + 1)2 + 1 Z Z Z t dt dt 5t − 6 √ dt = 5 √ −6 √ = = t2 + 1 t2 + 1 t2 + 1 Z p 5 d(t2 + 1) √ = − 6 · ln |t + t2 + 1| + C = 2 t2 + 1 p 5 2 1/2 = · 2(t + 1) − 6 ln |t + t2 + 1| + C = 5 · (x2 + 2x + 2)1/2− 2 p − 6 ln |x + 1 + x2 + 2x + 3| + C.

ðÒÉÍÅÒ 28. Z

Z 5x + 11 5x + 11 √ p dx = dx = 6x − x2 − 5 −(x2 − 6x + 5) Z Z 5x + 11 5(x − 3 + 3) + 11 p p = dx = dx = −((x − 3)2 − 4) 4 − (x − 3)2 Z Z Z t dt 5t + 26 √ dt = 5 √ dt + 26 √ = = 4 − t2 4 − t2 4 − t2 Z Z 5 dt2 5 d(4 − t2 ) t √ √ = + 26 arcsin + C = − + 2 2 2 4 − t2 4 − t2 p t t + 26 arcsin + C = −5 4 − t2 + 26 arcsin + C = 2 2 p x−3 + C. = −5 6x − x2 − 5 + 26 arcsin 2

24

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ III. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ: Z p (Ax + B) · ax2 + bx + c dx.

ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ Z p p p 1 2 2 2 2 2 a + x dx = (x · a + x + a ln |x + a2 + x2|) + C, 2 Z p 1  p 2 x 2 2 2 2 x · a − x + a arcsin + C, a − x dx = 2 a

ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ √ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 1.3). R äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× (Ax + B) ax2 + bx + c dx × Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÍ ÔÒÅÈÞÌÅÎÅ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ, Á ÚÁÔÅÍ, R √ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ R √ÓÌÕÞÁÀ II, ×ÓÅ 2 Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÉÄÁ t k ± t dt É k ± t2 dt. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ: Z p Z p Z p 1 1 k ± t2 dt2 = ± k ± t2 d(k ± t2 ) = t k ± t2 dt = 2 2 1 1 2 = ± · (k ± t2)3/2 = ± (k ± t2 )3/2 + C. 2 3 3 úÎÁÞÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÓÍ. ×ÙÛÅ. ðÒÉÍÅÒ 29. Z Z p p 2 (2x − 1) 3x − x dx = (2x − 1) −(x2 − 3x) dx = s  2  Z 3 9 = (2x − 1) − x − dx = − 2 4 r  s 2  Z   Z 3 3 9 9 3 2 x− + = −1 − x− dx = (2t + 2) − t2 dt = 2 2 4 2 4 Z r Z r Z r 9 9 9 =2 t − t2 dt + 2 − t2 dt = − t2 dt2 + 4 4 4 ! r 9 2 9 2t 1 t = − (3x − x2)3/2+ +2· − t2 + arcsin 2 4 4 3 3  p  2x − 3 9 3 · 3x − x2 + arcsin + C. + x− 2 4 3

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

25

IV. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÂÉÎÏÍÏ× ×ÉÄÁ: Z xm (a + bxn)p dx,

ÇÄÅ p = αβ ; α, β ¡ ÃÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ; m, n ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. äÁÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÔÓÑ ÌÉÛØ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÔÒÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ: 1) ÅÓÌÉ p ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ x = tN , ÇÄÅ N ¡ ÏÂÝÉÊ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÄÒÏÂÅÊ m É n; 2) ÅÓÌÉ

m+1 n

ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ a + bxn = tβ ;

3) ÅÓÌÉ

m+1 n

+ p ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ a + bxn = xntβ .

ðÒÉÍÅÒ 30. x3 √ dx, x2 − 1 3+1 ÇÄÅ m = 3, n = 2. þÉÓÌÏ m+1 = n 2 = 2 ¡ ÃÅÌÏÅ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ √ t ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ (1): x2 − 1 = t2 , x = t2 + 1, dx = √1+t 2 dt, ÏÔÓÀÄÁ Z

Z

x3 √ dx = x2 − 1

Z

Z t (1 + t2 )3/2 · 2 dt = (1 + t2 ) dt = 1/2 t (t + 1) (x2 − 1)3/2 t3 2 1/2 + C. = t + + C = (x − 1) + 3 3

ðÒÉÍÅÒ 31. Z dx √ = x0(1 + x4)−1/4 dx, 4 4 1+x ÚÄÅÓØ m = 0, n = 4, p = − 41 . ðÒÏ×ÅÒÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÅ: m+1 n + p ¡ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÌÉ m+1 0+1 1 ÎÏÌØ. n +p = 4 − q4 = 0, ÐÏÜÔÏÍÕ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ (2); ÚÄÅÓØ β = 4: Z

√ 4

4

4 −1/4 1 + x4 = x4 · t4 , t = 4 x14 + 1 = 1+x , dx = −t3 (t4 − 1)−5/4 dt, x , x = (t − 1) √ ÔÁË ÞÔÏ 4 1 + x4 = tx = t · (t4 − 1)−1/4,  Z 2 Z  Z Z 1 1 dt t dt 1 1 dx √ = − = dt − =− 4 4 2 t −1 4 t+1 t−1 2 t +1 1 + x4 1 t + 1 1 − arctg t + C, = ln 4 t − 1 2

ÇÄÅ t =

√ 4 1+x4 . x

26

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

1.6. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ I. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ Z R(sin x, cos x) dx,

ÇÄÅ R ¡ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÅÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ, ÓÔÏÑÝÉÈ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ t = tg x2 (−π < x < π) É ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ: 2 tg x2 2t , = sin x = 1 + t2 1 + tg2 x2 1 − tg2 x2 1 − t2 cos x = = , 1 + t2 1 + tg2 x2 2 dt x = 2 arctg t, dx = , 1 + t2 ÐÏÌÕÞÉÍ ÐÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ. ðÒÉÍÅÒ 32. Z Z dx 1 d3x = = cos 3x + 2 sin 3x 3 cos 3x + 2 sin 3x Z Z 1 dz 1 2 dt
= = = 4t 1−t2 3 cos z + 2 sin z 3 (1 + t2 ) 1+t + 2 2 Z Z Z 1+t 2 dt 2 dt 2 du = = = = 3 1 − t2 + 4t 3 5 − (t − 2)2 3 5 − u2 √ √ 3x 1 2 1 5 + u tg 2 − 2 + 5 √ ln √ √ + C. = + C = √ ln 3x 3 2 5 5 − u 3 5 tg 2 − 2 − 5

ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÕÐÏÍÑÎÕÔÁÑ ×ÙÛÅ, ÐÒÉ×ÏÄÉÔ ÞÁÓÔÏ Ë ÓÌÏÖÎÙÍ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍ, ÐÏÜÔÏÍÕ × ÎÉÖÅÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÉÔÅÌØÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ, ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÙÅ ÐÒÉÅÍÙ: Á) ÐÕÓÔØ R(u, v) = −R(−u, v), ÔÏÇÄÁ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ t = cos x; Â) ÐÕÓÔØ R(u, v) = −R(u, −v), ÔÏÇÄÁ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ t = sin x; ×) ÐÕÓÔØ R(u, v) = R(−u, −v), ÔÏÇÄÁ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ t = tg x.

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

27

ðÒÉÍÅÒ 33. sin x dx, 4 + cos2 x sin x , R(sin x, cos x) = 4 + cos2 x sin x R(− sin x, cos x) = − , 4 + cos2 x R(sin x, cos x) = −R(− sin x, cos x), Z

ÐÏÜÔÏÍÕ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ t = cos x: Z Z Z  cos x  sin x d cos x dt 1 dx = − =− = − arctg + C. 4 + cos2 x 4 + cos2 x 4 + t2 2 2 ðÒÉÍÅÒ 34. Z dx , 2 sin x − 5 sin x cos x 1 , R(sin x, cos x) = sin2 x − 5 sin x cos x 1 R(− sin x, − cos x) = , sin2 x − 5 sin x cos x R(sin x, cos x) = R(− sin x, − cos x),

ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ t = tg x: Z Z dx dx  = = 5 sin x cos x sin2 x sin2 x − 5 sin x cos x 2 cos x cos2 x − cos2 x Z Z Z dt dt d tg x = = =

2 = 2 2 2 tg x − 5 tg x t − 5t t − 25 − 52 1 t 1 25 + t − 25 = − ln +C = = − ln 5 5 5 t − 5 − t + 52 2 1 5 1 = ln 1 − + C = ln |1 − 5 ctg x| + C. 5 t 5 R II. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ sinm x cosn x dx. ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÏÌÅÚÎÙÍÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ sin 2x 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin x cos x = , sin2 x = , cos2 x = . 2 2 2 R R 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ: sinm x dx, cosm x dx, ÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ

28

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

Á) m > 0, ÞÅÔÎÏÅ, m = 2k. Z Z Z Z (1 − cos 2x)k 1 m 2 k sin x dx = (sin x) dx = dx = k+1 (1 − cos 2x)k d2x. k 2 2 Â) m > 0, ÎÅÞÅÔÎÏÅ, m = 2k + 1. Z Z sinm x dx = sin2k x · sin x dx = Z Z Z = − (sin2 x)k d cos x = − (1 − cos2 x)k d cos x = − (1 − t2 )k dt,

ÇÄÅ t = cos x. ÷ÏÚ×ÅÄÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÐÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍÉ ÐÏ ÂÉÎÏÍÕ îØÀÔÏÎÁ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÅÐÅÎØ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÔÉÐÁ (Á) É (Â), ÎÏ Ó ÎÉÚÛÉÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ, ÉÈ ÄÁÌØÛÅ ÕÐÒÏÝÁÅÍ ÔÅÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ. R m óÌÕÞÁÊ cos x dx ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. ðÒÉÍÅÒ 35. Z Z Z (1 + cos 2x)2 4 2 2 cos x dx = (cos x) dx = d2x = 8 Z z sin z 1 + (1 + 2 cos z + cos2 z) dz = + = 8 8 4 Z 1 1 + cos 2z 3 sin 2x sin 4x + dz = x + + + C. 8 2 8 4 32 ðÒÉÍÅÒ 36. Z Z Z 3 2 cos x dx = cos x d sin x = (1 − sin2 x) d sin x = Z sin3 x t3 2 + C. = (1 − t ) dt = t − + C = sin x − 3 3 ×) m = −1

Z

dx = sin x

Z Z

Z

dx = 2 sin x2 cos x2 dx = cos x

Z

dx , sin x Z

Z

d x2 

cos2 x2

dx . cos x sin x2 cos x2

=

Z

x d tg x2 x = ln tg + C, tg 2 2


 x π  d x + π2
tg = ln + + C. 2 4 sin x + π2

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

29

Ç) m < 0, |m| = 2k. Z

m

cos x dx = =

Z

Z 

dx = cos2k x

sin2 x + cos2 x cos2 x

ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ Z

Z 

sinm x dx =

Z

k−1

k−1

dx = cos2 x Z d tg x = (1 + tg2 x)k−1 d tg x = Z = (1 + t2 )k−1 dt, t = tg x,

1 cos2 x

dx =− sin2k x

Z

(1 + ctg2 x)k−1 d ctg x.

ðÒÉÍÅÒ 37. Z Z Z Z dx dx 1 sin2 x + cos2 x = = d tg x = (tg2 x + 1) d tg x = 4 2 2 2 cos x cos x cos x cos x Z t3 tg3 x 2 = (t + 1) dt = + t + C = + tg x + C. 3 3 Ä) m < 0, |m| = 2k + 1. Z Z Z dx cos x cosm x dx = = dx = cos2k+1 x cos2k+2 x Z Z d sin x dt = = (1 − t2 )k+1 (1 − sin2 x)k+1 R dx ÄÁÌÅÅ ÓÍ. ÐÕÎËÔ 1.4. óÌÕÞÁÊ sin2k+1 ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. x ðÒÉÍÅÒ 38. Z Z Z Z Z dx cos x dx d sin x d sin x dt = = = = ; cos3 x cos4 x (cos2 x)2 (1 − t2 )2 (1 − sin2 x)2 (ÄÁÌÅÅ ÓÍ. ÐÕÎËÔ 1.4). ÷ ÓÌÕÞÁÅ Ä) ÄÌÑ ÐÏÎÉÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÉ ÕÄÏÂÎÏ ÐÒÉÍÅÎÑÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ sin2 x + + cos2 x = 1. Z Z sin2 x + cos2 x dx = dx = cos3 x cos3 x  Z  2  x π  Z sin x 1 sin x dx = ln tg + + d cos x. = − 3 cos x cos x 2 4 cos3 x

30

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ, ÐÏÌÕÞÉÍ: Z Z 1 sin x sin x d cos−2 x = d cos x = − 3 cos x 2     Z Z 1 sin x d sin x 1 sin x dx = − − = = 2 cos2 x cos2 x 2 cos2 x cos x 1 sin x 1  x π  = − ln tg + . 2 cos2 x 2 2 4 ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ: Z 1  x π  1 sin x dx = ln tg + . + cos3 x 2 2 4 2 cos2 x 2) òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ Z sinm x cosn x dx,

m > 0, n > 0.

Å) ÏÄÉÎ ÉÚ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ m ÉÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÙÊ, ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÐÏÌÁÇÁÅÍ n = 2k + 1. Z Z Z m n m 2k+1 sin cos x dx = sin x cos x dx = sinm x(cos2 x)k d sin x = Z Z m 2 k = sin x(1 − sin x) d sin x = tm (1 − t2 )k dt, ÇÄÅ t = sin x É ÄÁÌÅÅ ÐÏ ÂÉÎÏÍÕ îØÀÔÏÎÁ. ðÒÉÍÅÒ 39. Z Z 2 3 sin x cos x dx = sin2 x cos2 x d sin x = Z Z 2 2 = sin x(1 − sin x) d sin x = t2 (1 − t2 ) dt = Z t3 t5 sin3 x sin5 x 2 4 = (t − t ) dt = − + C = − + C. 3 5 3 5 Ö) m É n ÞÅÔÎÙÅ, ÔÏ ÅÓÔØ m = 2k, n = 2l, Z Z Z m n 2k 2l sin x cos x dx = sin x cos x dx = sin2k x(1 − sin2 x)l dx,

ÄÁÌÅÅ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ, Ó×ÏÄÉÍ Ë ÓÌÕÞÁÀ Á). ðÒÉÍÅÒ 40. Z Z Z Z sin2 x cos2 x dx = sin2 (1 − sin2 x) dx = sin2 x dx − sin4 x dx.

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . R mx R cosm x 3. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ sin dx É dx. n cos x sinn x Ú) m = n, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ tg2 x = cos12 x − 1. Z

sinm x dx = cosm x

31

 1 tgm−2 − 1 dx = cos2 x Z Z Z m−1 tg x − tgm−2 x dx, = tgm−2 d tg x − tgm−2 x dx = m−1 

Z

ÐÏÌÕÞÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ ÐÏÎÉÖÅÎÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ Z Z Z cosm x 1 m m−1 dx = ctg x dx = − ctg x − ctgm−2 x dx. m sin x m−1 ðÒÉÍÅÒ 41. Z

sin3 x dx = cos3 x

 1 tg x dx = tg x − 1 dx = cos2 x Z Z Z tg2 x sin x = tg x d tg x − tg x dx = − dx = 2 cos x Z tg2 x d cos x tg2 x = + = + ln | cos x| + C. x cos x 2 Z

3

Z



É) ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ m ¡ ÞÅÔÎÙÊ, m = 2k. Z Z Z cos2k x (1 − sin2 x)k cosm x dx = dx = dx. sinn x sinn x sinn x éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÐÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÕÍÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÉÄÁ (1). ðÒÉÍÅÒ 42. Z

Z cos4 x (1 − sin2 x)2 dx = dx = sin3 x sin3 x Z Z Z Z 1 − 2 sin2 x + sin4 x dx dx + sin x dx. = dx = −2 sin x sin3 x sin3 x

Ë) ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ m ÎÅÞÅÔÎÙÊ, m = 2k + 1. Z Z Z cosm x cos2k+1 x (1 − sin2 x)k dx = dx = d sin x. sinn x sinn x sinn x R éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÐÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ×ÉÄÁ tm dt.

32

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ðÒÉÍÅÒ 43.

Z

cos3 x dx = sin2 x

Z

(1 − sin2 x) d sin x = sin2 x

ÇÄÅ t = sin x. R 4. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ Z

dx = cosm x sinn x

Z

dx cosm x sinn x ,

Z dt − dt = t2 1 1 =− −t+C =− − sin x + C, t sin x

Z

m > 0, n > 0.

cos2 x + sin2 x dx = cosm x · sinn x Z Z dx dx = , + n cosm−2 x sin x cosm x sinn−2 x

ÐÏ×ÔÏÒÉ× ÜÔÏÔ ÐÒÉÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚ, Ó×ÏÄÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ë ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÍ ÔÉÐÁÍ. ðÒÉÍÅÒ 44. Z

Z dx cos2 x + sin2 x = dx = cos3 x sin2 x cos3 x · sin2 x Z Z Z cos2 x + sin2 x dx dx = = + dx+ cos3 x cos x sin2 x cos x sin2 x Z Z Z Z cos x dx dx dx = + . + dx + cos3 x cos3 x cos3 x sin2 x

åÓÌÉ m + n = 2k, ÔÏ ÐÒÏÝÅ ÄÅÌÉÔØ ÞÌÅÎÙ ÄÒÏÂÉ ÎÁ cosm+n x. Z

Z dx dx = m x sinn x
= cosm x sinn x cosm+n x coscosm+x x Z Z dx = = (1 + tg2 x)k−1 · tg−n x d tg x = n 2k cos x tg x Z = t−n(1 + t2 )k−1 dt,

ÇÄÅ t = tg x.

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

33

ðÒÉÍÅÒ 45. Z

dx = cos x sin3 x =

Z

Z

dx = cos4 x tg3 x 2

−3

(1 + tg x) tg

Z

x d tg x = t−3(1 + t) dt = Z 1 1 + C. − = (t−3 + t−2 ) dt = − 2 tg2 x tg x

III. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ Z

Z

Z

sin(ax + b) cos(cx + p) dx, sin(ax + b) sin(cx + p) dx, cos(ax + b) cos(cx + p) dx

ÕÐÒÏÝÁÀÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÖÄÅÓÔ× 1 (sin(α + β) + sin(α − β)), 2 1 sin α sin β = (cos(α − β) − cos(α + β)), 2 1 cos α cos β = (cos(α + β) + cos(α − β)). 2 sin α cos β =

ðÒÉÍÅÒ 46. Z

1 sin(3x + 1) cos(2x + 3) dx = 2

Z

(sin(5x + 4)+ Z 1 sin(5x + 4) d(5x + 4)+ + sin(x − 2)) dx = 2 5  Z cos(5x + 4) cos(x − 2) + sin(x − 2) d(x − 2) = − − + C. 10 2

ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÐÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ üÊÌÅÒÁ sin x =

1 ix (e − e−ix ), 2i

cos x =

1 ix (e + e−ix ). 2

34

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ IV. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ Z P (x) sin ax dx, Z ebx sin ax dx, Z ebx sin ax dx,

Z

Z

Z

P (x) cos ax dx, ebx cos ax dx, ebx cos ax dx,

ÇÄÅ P (x) ¡ ÃÅÌÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÀÔÓÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ, ÓÍ. ÐÕÎËÔ 1.3. úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ îÁÊÔÉR ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ: 1. R (x2 + 3x3 + x + 1) dx;
R √ √ 2. x4 + 5 x + 3 x + x12 dx − R 1 1 √ − √ dx; 3. 4 3 x x R 5x8 +1 4. R x4 dx; √ 5. x−1 dx; 5
R 1x4 1 1 dx; 6. + + 2 3 x R (√xx−1)x3 dx; 7. R x x x 8. (2 + 3 ) dx; R 4−x 9. 4x 3 + √ dx; x3   R −x 10. ex 2 − ex3 dx;  R 2 3 √ 11. dx; 1+x2 − 1−x2 R x4 12. 1+x2 dx;  R x e−x 13. e 1 + cos2 x dx; R 14. R (sin x + 5 cos x) dx; 2x 15. coscos dx; 2 x R 2 x·sin dx 16. sin2 x·cos ; R 3 tg2 x+42 x 17. dx; sin2 x R 3−2 2 ctg x 18. dx; cos R 1−sin23xx 19. R sin2 x dx; 20. R tg2 x dx; 21. R ctg2 x dx; 22. sin2 x2 dx;

1 x


− 5 dx;

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ R 23. cos2 x2 dx;
2 R 24. R sin x2 − cos x2 dx; 25. 2√x ex dx; R 1+x2 −√1−x2 √ 26. dx; 1−x4 R 27. R cos 5x dx; 28. R sin 7x dx; 29. R cos x4 dx; 30. R e−x dx;
x x e 2 + e− 2 dx; 31. R 32. cosdx2 3x ; R 33. sindx2 x ; 3 R 34. R (2 + 5x)9 dx; dx 35. √2−3x ; R√ 36. R √2x − 5 dx; 37. R 3 3 − 7x dx; dx ; 38. 5x+2 R dx 39. 2−3x ; R 40. xx2dx ; R +3 41. R ctg x dx; 42. R tg x dx; sin x dx 43. 1+3 cos x ; R dx 44. x(1+ln x)5 ; R 3x dx 45. cos 3x ; R 3+sin cos 2x 46. R sin x cos x dx; 47. R sin2 x cos x dx; 48. R cos3 x sin x dx; 49. ecos x sin x dx; R 3 50. e√−x x2 dx; R x 51. e √xdx ; R x dx ; 52. cos sin3 x R sin x dx 53. 5x ; R √3cos 2+ln x dx; 54. R√x 55. R 3 + cos 5x sin 5x dx; 3x dx ; 56. √7 cos 3+5 sin 3x R e4x 57. 5+2e4x dx;

35

36

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90.

R

arctg2 x dx ; 1+x2 √ 3 √arcsin x dx; 1−x2 1−2 sin x cos2 x dx; 1+sin 2x dx; sin2 x sin x

R R R R e cos x dx; R etg x cos2 x dx; R√ 5 x3 − 8 x2 dx; R√ 4 1 − 6x5 x4 dx; √ R 2 x √ dx; x R 3 x1 dx x2 ; R 3x+5 √ dx; 4x+1 R 5x−6 √ dx; 1−3x R 2−4x √ dx; 7x−1 R earctg x 1+x2 dx; R sin x12 dx; x3 R 1−3x R 4arccos xdx; √ dx; 2 R −1−x tg x sec2 x dx; R earcsin x+x √ dx; R dx1−x2 ; R x2dx−16 ; R x2 +4 dx √ 2; R 4−x √ dx ; 2 R 4+x dx √ ; x2 −3 R dx ; R x2dx−5 ; R x2dx+3 2; R 2−x dx ; R 4x2 +5 dx √ ; 2 R 25−4x √ dx ; 2 R 3+2x dx −1 ; R 9x2dx √ 2; R 5−3x dx 3−5x2 ;

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ R 91. √9xdx2 −5 ; R dx 92. √x2−x 4; R x3 dx 93. √x8 −3 ; R x dx 94. √e5−e ; R sin 2x2xdx 95. 5−cos2 2x ; R 96. 2x−3 −4 dx; R x2x+1 97. √x2 +1 dx; R 98. √x+1 2 dx; R 5e1−x x 99. √e2xdx ; −4 R cos dx ; 100. √3 cos5x2 5x−2 R sin x3 dx 101. 4 cos2 x +9 ; R x4 dx3 102. √4−x10 ; R 6 ; 103. xx14dx R e−x+5 ; 104. e−2xdx +2 R dx 105. x2 +4x+5 ; R dx 106. x2 −6x+13 ; R dx 107. √x2 +2x+3 ; R dx 108. √4x−x2 ; R dx 109. √3−2x−x 2; R dx ; 110. √2+3x−2x 2 R dx ; 111. 3x2 −2x−1 R 2x+1 112. x2 −2x+5 dx; R 113. x25x−1 +3x+3 dx; R (1+x) dx ; 114. x2 +x−1 R 2−x 115. x2 +4x+29 dx; R 3x−2 116. √5−4x−x 2 dx; R 117. √4x1−2x 2 +4x+3 dx; R 5x+11 118. √6x−x2 −5 dx; R 119. √1−3x 2 dx; R 6x−x 3+x 120. √3x+2x dx; R 4x+112 121. √x2 +8x+7 dx; R 122. x27x−1 −6x+1 dx;

37

38

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ R x3 dx; 123. x−2 R 3x2 +5 124. dx; R x+1 4 125. x2x+a2 dx (a 6= 0); R x−4 dx; 126. (x−2)(x−3) R (x+1)3 127. x2 −x dx; R 3x−1 128. 2x+1 dx; R 2 −1 dx; 129. x2x R x24 −x+1 3 −2x 130. x−3 dx; R 3x 3 −2x2 131. x2 −6x+10 dx; R (x3 −2x) dx 132. ; 2 R x3x−8x+7 2 +1 133. x2 −x+1 dx; R 3+x dx; 134. x2 +7x+13 R x4 −3x2 135. dx; R xx−3 2 +3x dx; 136. R x2 +8x−7 137. R ln x dx; 138. R x ln x dx; 139. R x ln(3x + 2) dx; 140. R (x2 + 3x + 2) ln x dx; 141. R xe−x dx; 142. R xe5x dx; 143. R x3e−x dx; x 144. R x2e− 2 dx; 145. R (2x + 3)e2x dx; 146. R x cos x dx; 147. R x sin x dx; 148. R (x + 1) cos 3x dx; 149. R x2 cos x dx; 150. R x cos2 x dx; x dx 151. sin ; R x2 x 152. R cos2 x dx; 153. R arctg x dx; 154. R arcsin x dx; 155. R x arctg x dx; 156. R x arcctg(1 − x) dx; x √ dx; 157. arcsin 1+x R √ 158. arctg 7x − 1 dx;

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ R dx; 159. x ln 1+x R x 1−x 160. R e sin x dx; 161. R ex cos x dx; 162. R e2x cos 3x dx; 163. ex sin x2 dx; R 164. R ln2 x dx; 165. ln√5 xx dx; R 166. R ln(x2 + 2) dx; 167. R cos(ln x) dx; x dx ; 168. x cos 3 sin x R 2 169. R x tg x dx; x dx; 170. arctg 2 x R arcsin √x √ dx; 171. x R ln(x+2) 172. x2 √ dx; R arctg √ x dx; 173. R ln x x 174. x √3 x dx; R√ 175. √7 − x2 dx; R 176. √x2 − 5 dx; R 177. √3 − x2 dx; R 178. √x2 + 2 dx; R 179. √2 − 3x2 dx; R 180. √2x2 − 1 dx; R 181. √6x − x2 dx; R 182. √x2 − 4x dx; R 183. √x2 + 5x + 4 dx; R 184. √3 − 2x − x2 dx; R 185. √5 + 4x − x2 dx; R 2x √ − x2 dx; 186. R 187. sin√x 2 − 3 cos2 x dx; R 2x + 3 dx; 188. ex ep R 189. R cos√x sin2 x + 3 dx; x 190. p e 2 4 − ex dx; R 191. ln2 x + 1 dx ; √ x R 2 192. (2x − 1) √ 3x − x dx; R 193. (x + 3) 5x + 2x2 dx;

39

40 194. 195. 196. 197. 198. 199. 200. 201. 202. 203. 204. 205. 206. 207. 208. 209. 210. 211. 212. 213. 214. 215. 216. 217. 218. 219. 220. 221. 222. 223. 224. 225. 226. 227. 228. 229. 230.

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ √ R (x − 1) −6x − x2 dx; R 2 R sin 2 x dx; R cos2 x dx; R sin 2 mx dx (m 6= 0); R cos3 mx dx (m 6= 0); R sin 3 x dx; R cos4 x dx; R cos5 x dx; R sin 2 x dx;2 R cos3 xx sin 3xx dx; R sin2 4 cos 44 dx; x dx; R sin 2 x · cos 4 R cos3 x sin2 x dx; R sin 7 x cos x dx; R cos4 x dx;4 R sin 3 x cos5 x dx; R cos4 xx sin x dx; R sin 2 dx; 2 R (1 +5 2 cos x) dx; x dx; R cos dx ; R sindx2x x; R cosdx3 ; R sindx9x cos 5x ; R sin x+cos x R sin 2x dx; R sin 3x cos x dx; R sin 3x sin 5x dx; R sin nx sin mx dx (m + n 6= 0, m − n 6= 0);
R sin 3x sin xπ dx; sin 5x − 4 cos x dx; R x 2x sin cos dx; R cos3 x3 dx 3 ; 2 R sinsin3 x x R cos2 3x dx; ctg x dx; R cos3 x dx; sin5 x R sin 5 x R cos43 x dx; tg x dx;

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ R 231. sindx4 x ; R ; 232. 1+3dx R dxcos2 x 233. 5+3 cos x ; R dx 234. 3 sin x+4 ; R dx cos x 235. 3+cos x ; R 236. R tg5 x dx; dx 237. 2 sin x+sin ; R 1+cos x 2x 238. dx; R sin4dxx 239. sin x−cos x ; R dx 240. sin x+cos x; R dx 241. 3 sin2 x+5 ; cos2 x R ; 242. sin2 x+3 sin dx x cos x−cos2 x R 243. sin2 x−5dx ; sin x·cos x R 244. 8−4 sindx x+7 cos x ; R dx 245. (sin x+cos x)2 ; R x dx (b 6= 0); 246. b2sin 2 +cos R cos5 x x 247. sin3 x dx; R sin 2x 248. cos x dx; R e2x4−2e x 249. 2x +1 dx; e R 3x dx 250. eex+2 ; R e4x dx 251. ex−1 ; R 3x dx 252. ee2x−1 ; R ex+1 253. ex−1 dx; R 3x +2ex 254. ee2x+e dx; x R 3e2x−4e+1 x dx; 255. 2x R e5xe dx+4 256. ex+1 ; R 257. coscos2x4 xdx ; R 258. cosdx4 x ; R 259. cos x+2dxsin x+3 ; R x dx; 260. R 1+tg sin 2x 5 261. R ctg x dx; 262. 1+3dx ; sin2 x √ R 263. (3x − 1) −x2 − 8x dx; R 3 +x2 264. x23x+6x+10 dx;

41

42

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ 265. 266. 267. 268. 269. 270. 271. 272. 273. 274. 275. 276. 277. 278. 279. 280. 281. 282. 283. 284. 285. 286.

R 5e2x−3ex dx; R ex+4−e2x √ + 3) x2 + 3x + 5 dx; R (5x x a dx (a > 0, a 6= 1); R a2x +1 √ 2x) 3x2 + 8x dx; R (1 − √ 6x−10 dx; R √x2 +5x+17 2x2 + 4x + 1 dx; R arcsin x 2 √ dx; 2−x R 3x+1 +10x+1 dx; R xx2arcsin x dx √ ; 2 1−x R x) dx; √ R sin(ln 2 R 33 + 2x − x dx; R tg2 x dx; R x arctg(2x + 1) dx; cos mx cos nx dx (m + n 6= 0, m − n 6= 0); R ln(cos x) dx ; sin2√x R ln(x+ x2 −9) √ dx; x−3 R dx ; sin2 3x R dx2 +1 ; R 3+sin 5x dx sin 3x ; R cos 3x+2 dx ; 2x+2 R cos 2x−sin dx x; R 2+3 cos 2 dx . 2 sin2 3x−3 cos2 3x+1

§2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ É ÅÇÏ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑ 2.1. ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ðÕÓÔØ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ [a, b]. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ T ÏÔÒÅÚËÁ [a, b] ÚÁÄÁÎÉÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÔÏÞÅË {xi}: a = x0 < x1 < . . . < < xi−1 < xi < . . . < xn. äÉÁÍÅÔÒÏÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ d(T ) ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ T ÏÔÒÅÚËÁ [a, b] ÎÁÚÏ×ÅÍ ÞÉÓÌÏ d(T ) = max (xi − xi−1) > 0, 0 < d(T ) 6 b − a. ðÒÉ ÚÁÄÁÎÎÏÍ i=1,2,...,n

ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ T ÏÔÒÅÚËÁ [a, b] ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÀÂÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÔÏÞÅË ξi ∈ [xi−1, xi] (i = 1, 2, . . . , n) (a = x0 6 ξ1 6 x1 < . . . < xi−1 6 ξi 6 xi < . . . < xn−1 6 ξn 6 xn = b).

§2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . .

43

òÁÚÂÉÅÎÉÅ T ÏÔÒÅÚËÁ [a, b] ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÔÏÞÅË ξ = {ξ1, ξ2 , . . . , ξn } ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÁÚÍÅÞÅÎÎÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ [a, b] É ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ T ξ. ðÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f : [z, b] → R É ÒÁÚÍÅÞÅÎÎÏÍÕ ÒÁÚÂÉÅÎÉÀ T ξ Ó ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ d(T ) > 0 ÐÏÓÔÒÏÉÍ ÓÕÍÍÕ Sf (T ξ) =

n X i=1

f (ξi)(xi − xi−1).

ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. éÎÔÅÇÒÁÌÏÍ òÉÍÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a, b] ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ I (ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ), ÞÔÏ lim Sf (T ξ) = I. d(T )→0

ïÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: I =

Rb

f (x) dx. úÄÅÓØ

a

É ÄÁÌØÛÅ ÐÏÌÁÇÁÅÍ:

Ra

f (x) dx = 0 É

Rb a

a

f (x) dx = −

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ I =

Rb

Ra

f (x) dx.

b

f (x) dx ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ a, b É f , ÎÏ ÎÅ ÚÁ-

a

×ÉÓÉÔ ÏÔ x, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ¤ÎÅÍÏÊ¥ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ R (ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ), × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ f (x) dx = F (x) + C ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ x. îÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ òÉÍÁÎÁ. 1) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É g(x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ α É β ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ: Zb

(αf (x) + βg(x)) dx = α

a

Zb

f (x) dx + β

a

Zb

g(x) dx.

a

2) ðÕÓÔØ a < c < b, ÔÏÇÄÁ Zb a

f (x) dx =

Zc

f (x) dx +

a

Zb

f (x) dx.

c

3) ðÕÓÔØ f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [a, b]. ðÕÓÔØ F (x) = ÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ: Zb a

R

b f (x) dx = F (x) = F (b) − F (a).

f (x) dx ¡ ÎÅÏÐÒÅÄÅ-

a

4) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [a, b]. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(t) É ϕ0(t) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ ÎÁ [α, β], ÐÒÉÞÅÍ ϕ(α) = a, ϕ(β) = b É f (ϕ(t)) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ É

44

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [α, β], ÔÏÇÄÁ Zb

f (x) dx =

Zβ

f (ϕ(t))ϕ0(t) dt.

α

a

5) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x) É v(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], Á ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ u0(x) É v 0 (x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ Zb a

b Zb u(x) · v 0 (x) dx = u(x) · v(x) − v(x) · u0(x) dx. a

a

ðÒÉÍÅÒ 1. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3). Z1 0

1 p √ √ dx √ = ln(x + 1 + x2) = ln(1 + 2) − ln 1 = ln(1 + 2). 1 + x2 0

ðÒÉÍÅÒ 2. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3). Z2π 0

2π sin x dx = − cos x = −(cos 2π − cos 0) = 0. 0

ðÒÉÍÅÒ 3. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 4).

Z3 p 0

9 − x2 dx,

ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = 3 sin t, t ∈ [0, π/2]. éÍÅÅÍ Z3 p 0

Zπ/2p 9 − x2 dx = 9 − 9 sin2 t 3 cos t dt = 0

  π/2 Zπ/2 9 sin 2t = 9π . = 9 cos2 t dt = t+ 2 2 4 0 0

ðÒÉÍÅÒ 4. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 4).

Z2 √ 2 x −1 dx, x4 1

§2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . .

45

  ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = cos1 t , ÔÁË ËÁË x ∈ [1, 2], ÔÏ t ∈ 0; π3 . q √ 1 Z2 √ 2 Zπ/3 Zπ/3 3 π/3 − 1 2 sin t x −1 sin t cos t 2 = 3. dx = · dt = sin t · cos t dt = x4 1/ cos4 t cos2 t 3 0 8 1

0

0

ðÒÉÍÅÒ 5. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 5).

Z1 0

1 Z1 1 x dx − arctg x dx = x · arctg x − = x arctg x 2 1+x 0 0 0 1 1 π ln 2 π 1 − ln |1 + x2 | = − (ln 2 − ln 1) = − . 2 4 2 4 2 0

2.2. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ

I. äÌÉÎÁ ËÒÉ×ÏÊ. I.1. ëÒÉ×ÁÑ ÚÁÄÁÎÁ Ñ×ÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ y = f (x), x ∈ [a, b], ÔÏÇÄÁ ÄÌÉÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ: Zb p 1 + [f 0(x)]2 dx. l= a

2

ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÄÌÉÎÕ ËÒÉ×ÏÊ y = x6 ÎÁ ÕÞÁÓÔËÅ x ∈ [0, 4].  2 0 x x 0 y = = 6 3 Z4 r Z4  x 2 1 p 2 l= 1+ 3 + x2 dx = dx = 3 3 0 0  p  4 p 1 1 9 = x 32 + x2 + ln(x + 32 + x2 ) = 3 2 2 0  p p 1 1 9 = 4 · 32 + 42 + ln(4 + 32 + 42)− 3 2 2   p p 1 9 9 1 − · 0 · 32 + 0 − ln(0 + 32 + 0) = · 10 + ln 9− 2 2 3 2    9 1 10 3 9 10 + ln 3 = + ln 3. − ln 3 = 2 3 2 3 2

46

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

I.2. ëÒÉ×ÁÑ ÚÁÄÁÎÁ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ: x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], ÔÏÇÄÁ ÄÌÉÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ: Zβ p l= [x0(t)]2 + [y 0 (t)]2 dt. α

ðÒÉÍÅÒ 7. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÌÉÎÕ ÁÓÔÒÏÉÄÙ x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t. ôÁË ËÁË ËÒÉ×ÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÅÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÏÓÅÊ, ÔÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÄÌÉÎÕ ÅÅ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÞÁÓÔÉ l1 , ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÏÊ × ÐÅÒ×ÏÍ Ë×ÁÄÒÁÎÔÅ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ 0 6 t 6 π2 . x0t = −6 cos2 t · sin t, yt0 = 6 sin2 t · cos t, ÏÔÓÀÄÁ Zπ/2p 36 cos4 t sin2 t + 36 sin4 t cos2 t dt = l1 = 0

Zπ/2 Zπ/2p 2 π/2 sin t = 6 = 3. cos2 t sin2 t dt = 6 sin t cos t dt = 6 =6 2 0 2 0

0

äÌÉÎÁ ×ÓÅÊ ËÒÉ×ÏÊ l = 4l1 = 4 · 3 = 12. ðÒÉÍÅÒ 8. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÌÉÎÕ ÃÉËÌÏÉÄÙ: x = (t − sin t), y = (1 − cos t), t ∈ [0, 2π]. îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ x0t = 1 − cos t, yt0 = sin t, ÔÏÇÄÁ Z2π p Z2π q (1 − cos t)2 + sin2 t dt = 1 − 2 cos t + cos2 t + sin2 t dt = l= 0

0

=

Z2π 0

√ 2 − 2 cos t dt =

Z2π 0

2π t t 2 sin dt = −4 cos = 2 2 0

= −4(cos π − cos 0) = −4(−1 − 1) = 8. I.3. ëÒÉ×ÁÑ ÚÁÄÁÎÁ × ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ: r = r(ϕ), α 6 ϕ 6 β, ÔÏÇÄÁ ÄÌÉÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ: Zβ p l= (r0 (ϕ))2 + (r(ϕ))2 dϕ. α

ðÒÉÍÅÒ 9. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÌÉÎÕ ËÒÉ×ÏÊ r = (1 + cos ϕ), 0 6 ϕ 6 π.

§2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . .

47

îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ rϕ0 = (1 + cos ϕ)0 = − sin ϕ, ÏÔÓÀÄÁ Zπ q Zπ p l= (1 + cos ϕ)2 + sin2 ϕ dϕ = 2 + 2 cos ϕ dϕ = 0

0

=2

Zπ 0

π  π  ϕ ϕ cos dϕ = 4 sin = 4 · sin − sin 0 = 4. 2 2 0 2

II. ðÌÏÝÁÄÉ II.1. ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÁÑ ÔÒÁÐÅÃÉÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁ Ó×ÅÒÈÕ É ÓÎÉÚÕ ËÒÉ×ÙÍÉ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ y = y1 (x), y = y2 (x), x ∈ [a, b], y1 (x) > y2(x). ôÏÇÄÁ ÐÌÏÝÁÄØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÔÒÁÐÅÃÉÉ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ: S=

Zb a

2

[y1(x) − y2 (x)] dx. 2

ðÒÉÍÅÒ 10. äÁÎÙ ÜÌÌÉÐÓ x4 + y9 = 1 É ÐÒÑÍÙÅ x = 1, x = −1, y = 0, ÎÁÊÔÉ ÐÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ√ÐÒÑÍÙÍÉ É ÜÌÌÉÐÓÏÍ. éÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÜÌÌÉÐÓÁ ÉÍÅÅÍ: y = 23 4 − x2 , ÏÔÓÀÄÁ S=

Z1

−1

1 p x 3 3p 4 − x2 dx = 3 arcsin + x 4 − x2 = 2 2 4 −1   1 3√ 1 3√ 4 − 1 − 3 arcsin − + 4−1= = 3 arcsin + 2 4 2 4 √ 1 6√ 3 3 . = 6 arcsin + 3=π+ 2 4 2

ðÒÉÍÅÒ 11. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ, ÚÁËÌÀÞÅÎÎÏÊ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÐÁÒÁÂÏÌÁÍÉ y 2 = 6x É x2 = 6y. √ 2 éÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ËÒÉ×ÙÈ ÉÍÅÅÍ: y = 6x, y = x6 , x ∈ [0, 6].    6 Z6  √ x2 2 √ 3/2 x3 = 12. 6x − dx = 6x − S= 6 3 18 0 0

II.2. ðÌÏÝÁÄØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÔÒÁÐÅÃÉÉ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÒÉ×ÁÑ ÚÁÄÁÎÁ × ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ: x = x(t), y = y(t), α 6 t 6 β, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b,

48

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ: S=

Zβ α

y(t) · x0(t) dt.

ðÒÉÍÅÒ 12. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÌÏÝÁÄØ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÜÌÌÉÐÓÏÍ x = = 3 cos t, y = 2 sin t. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÌÏÝÁÄØ ×ÅÒÈÎÅÊ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ É ÕÄ×ÏÉÍ. úÄÅÓØ x ∈ [−3, 3], ÐÏÜÔÏÍÕ t ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÔ π ÄÏ 0, S =2·

Z0

2 sin t(−3 sin t) dt = 12

π

Zπ

sin2 t dt =

0

= 12

Zπ 0

  π t sin 2t 1 − cos 2t dt = 12 − = 6π. 2 2 4 0

ðÒÉÍÅÒ 13. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÃÉËÌÏÉÄÏÊ x = = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π].  2π  Z2π 1 3 t − 2 sin t + sin 2t = 3π. S = (1 − cos t)2 dt = 2 4 0 0

II.3. ðÌÏÝÁÄØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÓÅËÔÏÒÁ × ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ r = r(ϕ), α 6 ϕ 6 β, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ: 1 S= 2

Zβ

(r(ϕ))2 dϕ.

α

ðÒÉÍÅÒ 14. îÁÊÔÉ ÐÌÏÝÁÄØ ËÁÒÄÉÏÉÄÙ r = cos ϕ + 1, ϕ ∈ [0, 2π].   2π Z2π 1 1 1 3π 3 S= (cos ϕ + 1)2 dϕ = ϕ + sin 2ϕ = 2 sin ϕ = . 2 2 2 4 2 0 0

ðÒÉÍÅÒ 15. îÁÊÔÉ ÐÌÏÝÁÄØ ÌÅÍÎÉÓËÁÔÙ r 2 = 2 cos 2ϕ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÂÝÅÊ ÐÌÏÝÁÄÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÄ×ÏÉÔØ ÐÌÏÝÁÄØ ÐÒÁ×ÏÇÏ Ï×ÁÌÁ, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÕÇÌÁ − π4 6 ϕ 6 π4 . 1 S =2· ·2 2

Zπ/4

−π/4

π/4 = 1 − (−1) = 2. cos 2ϕ dϕ = sin 2ϕ −π/4

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

49

III. ïÂßÅÍ ÔÅÌÁ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ïÂßÅÍ ÔÅÌÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Ox ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÔÒÁÐÅÃÉÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ y = f (x), ÏÓØÀ Ox É ÐÒÑÍÙÍÉ x = a, x = b, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ: V =π

Zb

[f (x)]2 dx.

a

ðÒÉÍÅÒ 16. îÁÊÔÉ ÏÂßÅÍ ÔÅÌÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÜÌÌÉÐÓÁ ×Ï2 2 ËÒÕÇ ÏÓÉ Ox x25 + y9 = 1. 9 (25 − x2 ), ÐÏÌÕÞÉÍ ôÁË ËÁË y 2 = 25 V =π

Z5

9 (25 − x2 ) dx = 2π 25

−5

Z5 0

9 (25 − x2) dx = 25 9 = 2π · 25

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ: R2 2 287. (x + 1) dx; 288.

1 R1

√ ( x − x2) dx;

0 Rπ

sin 2x dx;

2π Re

ln x dx;

0

289. 290. 291. 292. 293.

Rπ

sin x dx;

0 R3π

x sin x dx;

1 R1

dx ; x2 +2x+2

−1 π

294.

R4 0

tg5 x dx;



 5 x3 = 60π. 25x − 3 0

50

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ π

295. 296.

R2

sin3 ϕ dϕ;

R

cos3 ϕ dϕ;

π 4 π 2

0

π

297. 298. 299. 300. 301.

R2

0 R3

cos2 ϕ sin3 ϕ dϕ; x

e− 3 dx;

0 R1

xe−x dx;

−1 √ R3

arctg x dx;

−1 R1

2

x2e−x dx;

0

302.

RR 0

303.

Re

√ x3 R2 − x2 dx (R > 0); ln2 x dx;

1

π

304.

R2 0

dx 2+cos x .

÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÌÏÝÁÄÉ ÆÉÇÕÒ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÌÉÎÉÑÍÉ: 305. y = x1 , x = 1, x = e, y = 0; 306. y = x2, y = 1; 307. y = x2, y = 2 − x2; 308. y = x2 − 1, x = 2, y = 0, ÇÄÅ x > 1; 309. y = sin 3x, y = 0, ÇÄÅ 0 6 x 6 π3 ; 310. y = sin x, y = sin3 x, ÇÄÅ 0 6 x 6 π2 ; 311. y = x2, y = x; 312. y = arcsin 2x, x = 0, y = − π2 ; 313. y = sin 2x, y = 1, x = π2 , ÇÄÅ π4 6 x 6 π2 ; 314. x2 − y 2 = 1, x = 2; 315. y = x3, y = −1, x = 0; x x 316. y = 21 (e 2 + e− 2 ), x = 1, x = −1, y = 0; 317. y = x(3 − x), y = x − 3; 318. y = 3x − x2, y = x2 − x; 319. xy = 5, x + y = 6;

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

51

320. xy = −2, y = x − 3; 321. xy = 4, x = 4, y = 4, x = 0, y = 0; 322. ËÁÒÄÉÏÉÄÏÊ ρ = a(1 + cos ϕ); 323. ρ = a cos 2ϕ; 324. ρ = a sin 2ϕ; 325. ρ = 2 + sin 2ϕ; 326. ρ = aeϕ , ÇÄÅ 0 6 ϕ 6 2π; 327. ρ = a sin 3ϕ; 328. ρ = a cos 3ϕ; 329. ÏÄÎÏÊ ÁÒËÏÊ ÃÉËÌÏÉÄÙ x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 6 t 6 2π É ÏÓØÀ OX; 330. ρ = a cos 4ϕ; 331. ρ = a sin 4ϕ. 332. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÌÏÝÁÄÉ ÆÉÇÕÒ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ 1 ¡ 6.

÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÏÂßÅÍÙ ÔÅÌ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÈ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÆÉÇÕÒÙ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÌÉÎÉÑÍÉ: 333. y = 4 − x2, y = 0, x = 0, ÇÄÅ x > 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y; 334. y = x − x2, y = 0 ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ: 1) y = 0, 2) x = 0, 3) x = 2, 4) x = −2, 5) y = −1, 6) y = 2; 335. y = ex , x = 0, x = 1, y = 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y; 336. y = x2, y = 4, x = 0, ÇÄÅ x > 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;

52

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

337. y = x2 + 1, y = 0, x = 1, x = 2 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y; 338. y = x3, y = 1, x = 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y; 2 2 339. xa2 + yb2 = 1, y = 0, ÇÄÅ y > 0 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ x; 340. y = ln x, y = 0, x = e ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ: 1) y = 0, 2) x = 0, 3) y = −1, 4) x = 1, 5) x = −1, 6) y = 1; 341. y = sin x, y = 0, ÇÄÅ 0 6 x 6 π ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ: 1) y = 0, 2) x = 0, 3) x = 2π, 4) x = −1, 5) x = −2, 6) y = 1, 7) y = −2; 342. x2 − y 2 = 4, y = 2, y = 0 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ x; 343. y = x, y = x2 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y; 344. y = cos 2x, y = 0, x = 0, ÇÄÅ 0 6 x 6 π4 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y; 345. y = sin x, y = 0, ÇÄÅ 2π 6 x 6 3π ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ: 1) y = 0, 2) x = 0, 3) x = π, 4) y = −2; 346. y = 2x − x2, y = 0 ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ: 1) x = 0, 2) y = 0, 3) x = −1, 4) y = 1; 347. y = x4 , x = 1, x = 4, y = 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y; 1 348. y = 1+x 2 , x = 1, x = −1, y = 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÌÉÎÕ ÄÕÇÉ ËÒÉ×ÏÊ: 349. y 2 = x3, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ x = 1; 350. y = ln cos x, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÙÍÉ x = 0, x = π6 ; 351. y 2 = (x + 1)3, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ x = 4; 352. y 2 = 94 (2 − x)3, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ x = −1; x x 353. y = a2 (e a + e− a ) ÍÅÖÄÕ ÏÓØÀ y É ÐÒÑÍÏÊ x = a; 354. y = x2 − 1, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÏÓØÀ x; 355. y = ln sin x ÏÔ x = π3 ÄÏ x = 2π 3 ; 3 356. ÁÓÔÒÏÉÄÙ x = a cos t, y = a sin3 t; 357. ÏÄÎÏÊ ÁÒËÉ ÃÉËÌÏÉÄÙ x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 6 t 6 2π; 358. ËÁÒÄÉÏÉÄÙ r = 4(1 − cos ϕ); 359. ÐÅÒ×ÏÇÏ ÚÁ×ÉÔËÁ ÓÐÉÒÁÌÉ r = aϕ, 0 6 ϕ 6 2π; 2 360. y = x4 − 12 ln x ÏÔ x = 1 ÄÏ x = e.

§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ 3.1. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ Ó ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÒÅÄÅÌÁÍÉ ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a, +∞) É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ RA × ÌÀÂÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÅÇÏ ÞÁÓÔÉ [a, A], ÔÁË ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ f (x) dx ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ A > a.

a

§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ

53

ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÐÏ ÐÒÏRA ÍÅÖÕÔËÕ [a; +∞) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) lim f (x) dx, A→+∞ a

ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ

ZA Z+∞ f (x) dx. f (x) dx = lim

(1)

A→+∞

a

a

÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ËÏÎÅÞÅÎ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌ (1) ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ ÉÌÉ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. +∞ R dx 1 ðÒÉÍÅÒ 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 1+x2 . æÕÎËÃÉÑ f (x) = 1+x2 ÎÁ ÌÀÂÏÍ 0

ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0, A] ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ Z+∞

1 dx = lim A→+∞ 1 + x2

ZA

dx π = lim arctg A = . 1 + x2 A→+∞ 2

0

0

ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÒÁ×ÎÁ π2 . +∞ R sin x dx. æÕÎËÃÉÑ f (x) = sin x ÉÎðÒÉÍÅÒ 2. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 0

ÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0, A]. ôÁË ËÁË lim

A→+∞

ZA

sin x dx = lim (− cos A) A→+∞

0

ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌ

+∞ R

sin x dx ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.

0

ðÒÉÍÅÒ 3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ

+∞ R 1

dx . xp

æÕÎËÃÉÑ f (x) =

1 xp

ÅÍÁ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0, A]. ôÁË ËÁË ZA 1

ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ

+∞ R 1

dx xp

dx = xp



1 1−p

(A1−p − 1), p 6= 1, ln A, p = 1,

ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ p > 1 É ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ p 6 1.

ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ.

ÉÎÔÅÇÒÉÒÕ-

54

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

1. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÊ f (x) É g(x) ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; +∞), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ α É β ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: Z+∞ Z+∞ Z+∞ (αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx. a

a

a

2. ðÕÓÔØ a < c < +∞, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ [a; +∞), ÔÏÇÄÁ Z+∞ Zc Z+∞ f (x) dx. f (x) dx = f (x) dx + c

a

a

3. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; +∞), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÓÔÒÏÇÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÊ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ ÎÁ [α; β) ÆÕÎËÃÉÉ ϕ : [α; β) → [a; +∞) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Zβ Z+∞ f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ0(t) dt. a

α

4. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É g(x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a; +∞) +∞ +∞ R R É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ lim f (x)g(x), ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ f (x) dx É g(x) dx ÏÄÎÏA→+∞

a

a

×ÒÅÍÅÎÎÏ ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÑÔÓÑ, É × ÓÌÕÞÁÅ ÉÈ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï +∞ Z+∞ Z+∞ f (x)g(x) dx = f (x)g(x) − f 0(x)g(x) dx. a

a

a

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ (1) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ (−∞; a] Za Za f (x) dx = lim f (x) dx, A→−∞

−∞

A

ÒÁ×ÎÏ ËÁË É ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (−∞; +∞): ZA Z+∞ f (x) dx. f (x) dx = lim

−∞

B→−∞ A→+∞ B

§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ

55

ðÒÉÍÅÒ 4. Z0

dx = lim 1 + x2 A→−∞

−∞

Z0

dx π = lim (− arctg A) = . 2 A→−∞ 1+x 2

A

ðÒÉÍÅÒ 5. Z+∞

dx = 1 + x2

−∞

Z+∞

dx + 1 + x2

Z0

dx = π. 1 + x2

−∞

0

3.2. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÚÁÄÁÎÁ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; b], ÎÏ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ × ÜÔÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ. ðÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; b − ε] (0 < ε < b − a) f (x) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ, ÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ × ËÁÖÄÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [b − ε, b]. ôÏÞËÁ b × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÐÒÏRb ÍÅÖÕÔËÅ [a, b] ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌ lim f (x) dx, ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ε→0 a

Zb a

Zb−ε f (x) dx = lim f (x) dx. ε→0

(2)

a

÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ËÏÎÅÞÅÎ, ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (2) ÓÈÏÄÉÔÓÑ. åÓÌÉ ÖÅ ÐÒÅÄÅÌ (2) ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ ÉÌÉ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (2) ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ f (x) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ × ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a + ε; b] É ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ × ËÁÖÄÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; a + ε] ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÔÏÞËÉ a (ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ), ÔÏÇÄÁ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a, b] ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ Zb a

f (x) dx = lim

Zb

ε→0 a+ε

f (x) dx.

(3)

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ c ∈ [a, b] É ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ × ÔÏÞËÅ c, ÐÒÉÞÅÍ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁÈ [a; c − ε1] (0 < ε1 < c − a) É [c + ε2 , b] (0 < ε2 < b − c)

56

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ

ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ, ÔÏÇÄÁ Zb

f (x) dx = lim

ε1 →0

a

ðÒÉÍÅÒ 6.

R0

−1

Z0

−1

√ dx , 1−x2

Z0

dx √ = lim 1 − x2 ε→0

c−ε Z 1

f (x) dx + lim

Zb

ε2 →0 c+ε2

a

f (x) dx.

x = −1 ¡ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ. 0 dx √ = lim arcsin x = 1 − x2 ε→0 −1+ε

−1+ε

(4)

= lim(arcsin 0 − arcsin(−1 + ε)) = − arcsin(−1) = ε→0

π . 2

éÎÔÅÇÒÁÌ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÒÁ×ÎÁ π2 . R1 dx ðÒÉÍÅÒ 7. √1−x2 , x = 1 ¡ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ. 0

Z1 0

dx √ = lim 1 − x2 ε→0

Z1−ε 0

dx √ = 1 − x2 1−ε π = lim(arcsin(1 − ε) − arcsin 0) = . = lim arcsin x ε→0 ε→0 2 0

éÎÔÅÇÒÁÌ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÒÁ×ÎÁ π2 . R8 dx √ ðÒÉÍÅÒ 8. 3 x , x = 0 ¡ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ. −1

Z8

−1

dx √ = 3 x

Z0

−1

dx √ + 3 x

Z8 0

+ lim

dx √ = lim 3 x ε1 →0

Z8

ε2 →0 0+ε2

0−ε Z 1

dx √ + 3 x

−1

−ε 8 dx 3 2/3 1 3 2/3 √ = lim · x + lim x = 3 ε2 →0 2 x ε1 →0 2 −1 ε2 =

3 9 3 2/3 (8 − (−1)2/3) = · (4 − 1) = . 2 2 2

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ðÒÉÍÅÒ 9.

R2

2x dx x2 −1 ,

−2

Z2

−2

2x dx = x2 − 1

Z−1

−2

x = −1, x = 1 ¡ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ.

2x dx + x2 − 1 −1−ε Z 1

= lim

ε1 →0

−2

57

Z1

−1

2x dx + x2 − 1

dx2 + lim x2 − 1 ε2 →0

1−ε Z 3

ε3 →0−1+ε2

Z2 1

2x dx = x2 − 1

dx2 + lim x2 − 1 ε4 →0

Z2

1+ε4

dx2 = x2 − 1

2 1−ε3 −1−ε1 2 2 2 + lim ln |x − 1| + lim ln |x − 1| = lim ln |x − 1| ε4 →0 ε2 →0 ε1 →0 −2

1+ε4

−1+ε2

ε3 →0

= ∞.

éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. Ra dx ðÒÉÍÅÒ 10. (a−x) p , x = a ¡ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ. 0

Za 0

dx = lim (a − x)p ε→0

ÏÔÓÀÄÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌ

Za−ε 0

Ra 0

dx = lim (a − x)p ε→0

dx (a dx

Za

dt = lim tp ε→0

ε



1 1−p

(a1−p − ε1−p), p 6= 1 (ln a − ln ε), p = 1,

− x)p ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ p < 1, É ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ p > 1.

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÅÍÉ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÞÔÏ É ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ. ðÒÉ ÉÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË [a; +∞) ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË [a, b]. úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ: +∞ R −x 361. e dx; 362.

363. 364.

0 + R∞

dx xα ;

6 +∞ R

arcctg x dx;

1 +∞ R 0

dx x2 −4x ;

58

çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ 365. 366. 367. 368. 369. 370. 371.

+∞ R

1 +∞ R 0 R0

1+ln x x

dx;

sin x dx; xex dx;

−∞ R1 dx xα ; 0 R3 dx √ ; 9−x2 0 R1

ln x dx;

0 R1

ln2 x dx;

0

π

372. 373. 374.

R4

0 R2

0 R3 0

375.

R6 2

ctg x dx; dx √ ; 3 1−x dx ; (x−3)2 dx √ 3

(4−x)2

;

π

376. 377. 378.

R2

dx ; sin x

0 +∞ R 0 +∞ R 0

dx ; xα

e−x sin x dx.

çìá÷á II äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ §4. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

ÔÅÏÒÉÉ

ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ

4.1. úÁÄÁÞÉ, ÐÒÉ×ÏÄÑÝÉÅ Ë ÐÏÎÑÔÉÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÎÁÕËÉ É ÔÅÈÎÉËÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÍÕ ÜÔÕ ÆÕÎËÃÉÀ, ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ. ðÒÏÓÔÅÊÛÁÑ ÔÁËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ×ÓÔÒÅÞÁÌÁÓØ × ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ, ÇÄÅ ÎÁÈÏÄÉÌÉ ÆÕÎËÃÉÀ ÐÏ ÄÁÎÎÏÊ ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÁÈÏÄÉÌÉ ÆÕÎËÃÉÀ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ y 0 = f (x). ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ y, ÅÓÌÉ y 0 = x3. òÅÛÅÎÉÅ. éÚ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ y 0 = 4 = x3 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎËÃÉÊ y = x4 + C, ÇÄÅ C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. þÔÏÂÙ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÙÄÅÌÉÔØ ÏÄÎÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÎÕÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ x = 1 ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ y = 2, ÔÏ ÅÓÔØ y(1) = 2. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = 1, y = 2 4 × ÆÏÒÍÕÌÕ y = x4 + C, ÐÏÌÕÞÉÍ 2 = 41 + C. ïÔÓÀÄÁ C = 74 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÆÕÎËÃÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ y 0 = x3 É ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 2, ÉÍÅÅÔ 4 ×ÉÄ y = x4 + 74 . ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ËÒÉ×ÕÀ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÕÀ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ÏÔÒÅÚÏË ÌÀÂÏÊ ÅÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, ÚÁËÌÀÞÅÎÎÏÊ ÍÅÖÄÕ ÏÓÑÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÄÅÌÉÔÓÑ ÐÏÐÏÌÁÍ × ÔÏÞËÅ ËÁÓÁÎÉÑ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ y = f (x) ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÓËÏÍÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, M (x, y) ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, Á AB ¡ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ËÒÉ×ÏÊ × ÔÏÞËÅ M . õÇÏÌ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ó ÏÓØÀ Ox, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ϕ. éÚ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÕÇÌÏ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ËÒÉ×ÏÊ ÒÁ×ÅÎ k = tg ϕ,

tg(180◦ − ϕ) =

PM y PM ⇒ tg ϕ = − ⇒ tg ϕ = − PA AM x 59

(1)

60

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

É ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

y (2) y0 = − , x ËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ. ðÒÏ×ÅÒËÏÊ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (2) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÌÀÂÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÉÄÁ y = Cx . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÇÉÐÅÒÂÏÌ. îÁÊÄÅÍ ÇÉÐÅÒÂÏÌÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M0 (2, 3). ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ × ÆÏÒÍÕÌÕ y = Cx , ÐÏÌÕÞÉÍ 3 = C2 , C = 6. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÉÐÅÒÂÏÌÙ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M0 (2, 3), ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 6 y= . x ðÒÉÍÅÒ 3. çÒÕÚ, ÍÁÓÓÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ m, ÚÁËÒÅÐÌÅÎ ÎÁ ×ÅÒÈÎÅÍ ËÏÎÃÅ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÏÊ ÐÒÕÖÉÎÙ (ÒÅÓÓÏÒÙ). åÇÏ ÏÔËÌÏÎÑÀÔ ÏÔ ÔÏÞËÉ O ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, Á ÚÁÔÅÍ ÏÔÐÕÓËÁÀÔ. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÇÒÕÚÁ, ÅÓÌÉ ÓÉÌÁ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÎÁ ÎÅÇÏ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÐÒÕÖÉÎÙ, ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÁ ÓÖÁÔÉÀ (ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÀ) ÐÒÕÖÉÎÙ É ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÁ × ÓÔÏÒÏÎÕ ÔÏÞËÉ O (ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÈÏÄÉÌÓÑ ×ÅÒÈÎÉÊ ËÏÎÅà ÐÒÕÖÉÎÙ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÂÙÌÁ × Ó×ÏÂÏÄÎÏÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ). òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÇÒÕÚ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÐÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÏ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox, ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÚÁËÏÎÕ îØÀÔÏÎÁ n X ma = Fk , (3) k=1

2

ÇÄÅ a = ddtx2 ¡ ÕÓËÏÒÅÎÉÅ ÇÒÕÚÁ, x = x(t) ¡ ÉÓËÏÍÙÊ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÇÒÕÚÁ, Fk (k = 1, 2, . . . , n) ¡ ÐÒÏÅËÃÉÉ ÓÉÌ ÎÁ ÏÓØ Ox, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁ ÇÒÕÚ. ÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁ ÇÒÕÚ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÓÉÌÙ: F~1 = mg~ı ¡ ×ÅÓ ÇÒÕÚÁ É F~2 = = (−cx)~ı ¡ ÓÉÌÁ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÐÒÕÖÉÎÙ, ÇÄÅ c ¡ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÖÅÓÔËÏÓÔÉ ÐÒÕÖÉÎÙ, ~ı ¡ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ, ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÎÙÊ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ Ox. ðÒÏÅËÃÉÉ ÜÔÉÈ ÓÉÌ ÒÁ×ÎÙ F1 = mg, F2 = −cx. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

d2 x m 2 = −cx + mg, dt ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ x É ÅÅ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ. ðÒÏ×ÅÒËÏÊ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ d2 x + k 2 x = g, 2 dt c 2 ÇÄÅ k = m , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÑ x = c1 cos kt + c2 sin kt +

(4) g , k2

§4. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

61

ÇÄÅ c1 É c2 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x × ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4): d2 x + k 2x = −ck 2 cos kt − c2 k 2 sin kt + c1 k 2 cos kt + c2 k 2 sin kt + g = g. 2 dt ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ x = c1 cos kt + c2 sin kt + kg2 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (4). ðÏÓËÏÌØËÕ x ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ Ä×ÕÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ, ÔÏ ÄÌÑ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÚÁËÏÎÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÎÕÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ Ä×Á ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÁÊÄÅÍ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÇÒÕÚÁ, ÅÓÌÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t = 0 ÅÇÏ ÏÔËÌÏÎÉÌÉ ÎÁ ×ÅÌÉÞÉÎÕ x É ÐÒÉÄÁÌÉ ÅÍÕ ÓËÏÒÏÓÔØ v 0 . ôÏÇÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ g g x0 = c1 + 2 ⇒ c 1 = x 0 − 2 . k k äÁÌÅÅ dx = −c1 k sin kt + c2 k cos kt. dt v0 v 0 = c2 k ⇒ c 2 = . k ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓËÏÍÙÊ ÚÁËÏÎ Ä×ÉÖÅÎÉÑ  g v0 g x = x0 − 2 cos kt + sin kt + 2 . k k k ÷ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÄÌÑ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÉÓËÏÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. 4.2. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ðÏÒÑÄËÏÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÒÑÄÏË ÎÁÉ×ÙÓÛÅÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ×ÈÏÄÑÝÅÊ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. æÕÎËÃÉÑ y = y(x), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a, b), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ÐÏÓÌÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÎÏ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÎÁ ×ÓÅÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ × ×ÉÄÅ ÎÅÑ×ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ϕ(x, y) = 0. ÷ ÔÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y) = 0 ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ

62

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

y, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ×ÉÄÅ y = y(x). åÓÌÉ ÖÅ ×ÙÒÁÚÉÔØ y Ñ×ÎÏ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ϕ(x, y) = 0 ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ×ÉÄÅ ϕ(x, y) = 0. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y) = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÑ×ÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. çÒÁÆÉË ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. 4.3. ï ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÎÉÈ. ïÄÎÁËÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÈÏÔÑ É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ, ÎÏ ÎÅ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ ËÏÎÅÞÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ É ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÏÔ ÎÉÈ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 = x2 + y 2 ÎÅÌØÚÑ ÎÁÊÔÉ × ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ × ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÛÉÒÏËÏ ÐÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÒÏÓÌÁ Ó ÒÁÚ×ÉÔÉÅÍ ËÏÍÐØÀÔÅÒÎÙÈ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉ Ó ÌÀÂÏÊ ÔÒÅÂÕÅÍÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÍÅÀÔÓÑ ÓÐÒÁ×ÏÞÎÉËÉ ÐÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ óÏÓÔÁ×ÉÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÁÎÎÙÈ ÓÅÍÅÊÓÔ× ÌÉÎÉÊ: 379. y = eÆx ; 380. y = (x − c)3 ; 381. y = sin(x + c); 382. x2 + cy 2 = 2y; 383. y 2 + cx = x3; 384. y = c(x − c)2; 385. y = ax2 + bex ; 386. (x − a)2 + by 2 = 1; 387. ln y = ax + by; 388. x = ay 2 + by + c.

§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

63

§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 5.1. íÅÔÏÄ ÉÚÏËÌÉÎ äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y 0 = f (x, y) ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÔÏÞËÉ É ÕÇÌÏ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, ÐÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÊ Ë ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ, ÐÒÉÞÅÍ ÓÁÍÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË ÐÌÏÓËÏÓÔÉ (x, y), × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁËÌÏÎ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ Ë ÒÅÛÅÎÉÑÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 = f (x, y) ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÏËÌÉÎÏÊ. ëÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ (x, y) ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ; ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÏÌÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÚÏËÌÉÎÙ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ f (x, y) = k, ÇÄÅ k = const. þÔÏÂÙ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 = f (x, y), ÍÏÖÎÏ ÎÁÞÅÒÔÉÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚÏËÌÉÎ, Á ÚÁÔÅÍ ÐÒÏ×ÅÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÒÉÍÅÒ 1. íÅÔÏÄÏÍ ÉÚÏËÌÉÎ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y0 = x − y2. òÅÛÅÎÉÅ. éÚÏËÌÉÎÁÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÉÉ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ x − y 2 = k. äÌÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ k, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ k = 0, ±1, ±2, ÐÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÚÏ-

ËÌÉÎÙ x − y 2 = k. üÔÏ ¡ ÐÁÒÁÂÏÌÙ. ëÁÖÄÕÀ ÉÚÏËÌÉÎÕ x − y 2 = k ÐÅÒÅÓÅÞÅÍ ËÏÒÏÔËÉÍÉ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ ÐÏÄ ÕÇÌÏÍ α, tg α = k, Ë ÏÓÉ Ox, ÎÅ ÄÏÈÏÄÑÝÉÍÉ ÄÏ ÄÒÕÇÉÈ ÉÚÏËÌÉÎ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ

64

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

(1, 1), (0, 0), (1, −1), (−1, −1), ÓÏÇÌÁÓÕÑÓØ, ËÁË ÕËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, Ó ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑÍÉ ÏÔÒÅÚËÏ× ÎÁ ÉÚÏËÌÉÎÁÈ. ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÉÓÕÎÏË ÄÁÅÔ ÏÂÝÅÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÒÅÛÅÎÉÑÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x − y 2 = k. ðÒÉÍÅÒ 2. íÅÔÏÄÏÍ ÉÚÏËÌÉÎ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ dy = x2 + y 2 . dx òÅÛÅÎÉÅ. éÚÏËÌÉÎÁÍÉ ÜÔÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÉÉ x2 + y 2 = k. ðÏÓÔÒÏÉÍ ÉÚÏËÌÉÎÙ É ÒÁÓÓÔÁ×ÉÍ ÓÔÒÅÌËÉ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÐÏÌÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ. y 0 = 0, ÉÍÅÅÍ x = y = 0 (ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ); y 0 = 21 , x2 + y 2 = 12 (ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÏÍ √12 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ); y 0 = 1, x2 + y 2 = 1 (ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÏÍ 1).

þÔÏÂÙ ÎÁÞÅÒÔÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÕÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÔÏÞËÕ (x0, y0) ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ É ÐÒÏ×ÅÓÔÉ ÞÅÒÅÚ ÎÅÅ ËÒÉ×ÕÀ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÍÅÌÁ
ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÐÏÌÑ. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÙ ËÒÉ×ÙÅ √ 1 ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ (0, 0), 0, − 2 , ( 2, 0). íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅ ÏÄÎÁ ËÒÉ×ÁÑ, Á ÃÅÌÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ËÒÉ×ÙÈ, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÏÔÒÅÚÏË, ÏÔÓÅËÁÅÍÙÊ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÏÓÉ Oy.

§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

65

5.2. ïÂÝÅÅ É ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ôÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ F (x, y, y 0) = 0

(5)

ÉÌÉ × ×ÉÄÅ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ y 0 : y 0 = f (x, y),

(6)

ÇÄÅ F ¡ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÔÒÅÈ Ó×ÏÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, f ¡ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ x, y. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. æÕÎËÃÉÑ y = y(x, c), ÇÄÅ c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÅÓÌÉ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ c ÆÕÎËÃÉÑ y = y(x, c) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y, c) = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÑ×ÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x, c) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ϕ(x, y, c) = 0 ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ y, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = y(x, c). ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. åÓÌÉ × ÏÂÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÉ y = y(x, c) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÐÒÉÄÁÔØ ËÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ c = c0 , ÔÏ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x, c0) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ y = y(x), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(x0) = y0 , ÇÄÅ x0, y0 ¡ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ëÏÛÉ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ, ËÁËÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÄÏÌÖÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x, y), ÞÔÏÂÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y 0 = f (x, y) ÉÍÅÌÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ. ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÐÒÏÓ ÄÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ. ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x É y ÆÕÎËÃÉÑ f (x, y) É ÅÅ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ∂f ∂y ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ, ÔÏ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÊ ÔÏÞËÉ (x0, y0) ÏÂÌÁÓÔÉ D ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = y(x) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 = f (x, y), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(x0 ) = y0. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ.

66

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

5.3. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ I. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ dy = f (x), (7) dx ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ (Ñ×ÎÏ) ÉÓËÏÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ. úÁÐÉÛÅÍ ÅÇÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏ× dy = f (x) dx. (8) ïÔËÕÄÁ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÍ Z y = f (x) dx + C. (9)

ðÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7). úÁÄÁ×ÁÑÓØ ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ (x0, y0), ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÛÁÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ñ×ÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ dy = f (y) (10) dx dy , ÐÒÉ f (y) 6= 0. dx = f (y) Z dy x= + C. (11) f (y)

òÅÛÅÎÉÑ, ÚÁÐÉÓÁÎÎÙÅ × ×ÉÄÅ (9), (11), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ × Ë×ÁÄÒÁÔÕÒÁÈ. ðÏÓÌÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. 1 ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 = √1−x 2, π ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) = 2 . òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ Z dy 1 dx dx √ =√ + C ⇒ y = arcsin x + C. ⇒ dy = √ ⇒y= dx 1 − x2 1 − x2 1 − x2 äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) = π2 . π π = arcsin 0 + C ⇒ C = . 2 2 ðÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ π y = arcsin x + . 2 dy = √1y , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ dx ×ÉÀ y(0) = 1.

§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

67

òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ √ √ y dy = dx ⇒ dx = y dy ⇒ x =

Z

√ y dy + C ⇒

2 3 2 √ ⇒ x = y2 + C ⇒ x = y y + C 3 3 îÁÊÄÅÍ ÄÁÌÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) = 1 2 2 2 2 √ +C ⇒C =− , x= y y− . 3 3 3 3 II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ 0=

dy = f (x)ϕ(y), (12) dx × ËÏÔÏÒÏÍ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÓÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÔÏÌØËÏ ÏÔ x, ÎÁ ÆÕÎËÃÉÀ ÔÏÌØËÏ ÏÔ y, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÍÙ ¤ÒÁÚÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ¥, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ ÐÏÍÏÝÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÉ×ÏÄÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ÔÁËÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÞÔÏÂÙ × ÏÄÎÕ ÞÁÓÔØ ×ÈÏÄÉÌÁ ÔÏÌØËÏ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ x É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ dx, Á × ÄÒÕÇÕÀ ÞÁÓÔØ ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ y É dy. ÷ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (12) ÎÁÄÏ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ dx É ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ ϕ(y). ðÏÌÕÞÁÅÍ dy = f (x) dx. (13) ϕ(y) åÓÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÒÁ×ÎÙ, ÔÏ ÉÈ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÍÏÇÕÔ ÒÁÚÌÉÞÁÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÍ. Z Z dy = f (x) dx + C. (14) ϕ(y) åÓÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÚÁÄÁÎÏ × ×ÉÄÅ

M (x)N (y) dx + P (x)Q(y) dy = 0, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ N (y)P (x): M (x) dx Q(y) dy + = 0. P (x) N (y) ïÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Z Z M (x) dx Q(y) dy + = C. P (x) N (y)

ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x dx + y dy = 0.

(15)

68

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

dy òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÒÅÛÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ dx = − xy ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ. Z Z y2 x2 y dy = −x dx ⇒ y dy = − x dx + C ⇒ = − + C ⇒ x2 + y 2 = 2C. 2 2 ðÏÌÕÞÉÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÒÁÄÉÕÓÏÍ √ r = 2C. éÔÁË, x2 + y 2 = r2 ¡ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y dy =− . dx x òÅÛÅÎÉÅ. Z Z dy dx dy dx =− ⇒ =− + C ⇒ ln |y| = − ln |x| + ln C1 ⇒ y x y x C1 C1 ⇒ ln |y| = ln ⇒y= , ÇÄÅ ln C1 = C. x x ïÔ×ÅÔ: y = Cx1 . ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

y dx + ctg x dy = 0,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y π3 = −1. òÅÛÅÎÉÅ. dx dy y dx + ctg x dy = 0 ⇒ + = 0 ⇒ − ln | cos x| + ln |y| = ln C. ctg x y ðÏÔÅÎÃÉÒÕÅÍ cosy x = C ⇒ y = C cos x ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ C ÉÚ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ. π π −1 = C cos ⇒ C = 1 = −2. y 3 3 2

y = −2 cos x ¡ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ. ïÔ×ÅÔ: y = −2 cos x.

5.4. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÒÉ×ÏÄÑÝÉÅÓÑ Ë ÎÉÍ I. ïÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ y  0 , (16) y =ϕ x

§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

69

Á ÔÁËÖÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,

(17)

ÇÄÅ M (x, y), N (x, y) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, f (x, y) ÅÓÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ n-ÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï f (tx, ty) = tn f (x, y).

(18)

ðÒÉ n = 0 ÉÍÅÅÍ f (tx, ty) = f (x, y). ÷ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (16) f x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ. åÓÌÉ ××ÅÓÔÉ ÎÏ×ÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ y u= , (19) x ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (16) ÕÐÒÏÝÁÅÔÓÑ É ÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ: y = ux. îÁÊÄÅÍ du y0 = u + x dx É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (16) du u+x = ϕ(u) dx ÉÌÉ x du = (ϕ(u) − u) dx. ðÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÁÚÄÅÌÑÀÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ x[ϕ(u) − u], ÐÏÌÕÞÉÍ dx du = . ϕ(u) − u x éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ Z du = ln |x| + C. (20) ϕ(u) − u
y

åÓÌÉ × ÜÔÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ u ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ xy , ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (16). úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÐÒÉ×ÏÄÉÔØ ÉÈ Ë ×ÉÄÕ (16). äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍÕ ÔÉÐÕ, É ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ (19). ðÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÇÏÔÏ×ÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (20) ÔÏÖÅ ÎÅÃÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ.

70

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ϕ(u) − u ≡ 0, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ dy y = dx x É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÔÓÑ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. åÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y = cx. åÓÌÉ ϕ(u) − u ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÐÒÉ ÚÎÁÞÅÎÉÉ u = u0 , ÔÏ ËÒÏÍÅ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (20), ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÖÅ ÒÅÛÅÎÉÅ u = u 0 ÉÌÉ y = u0x (ÐÒÑÍÁÑ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ). ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 2xy dy = 2 . dx x − y 2 òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ, ÔÁË ËÁË f (x, y) = ÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ,

2xy x2 −y 2

Ñ×ÌÑÅÔ-

t2 · 2xy 2xy 2(tx · ty) = = , f (tx, ty) = (tx)2 − (ty)2 t2 (x2 − y 2 ) x2 − y 2

ÔÏ ÅÓÔØ f (x, y) = f (tx, ty). äÅÌÁÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ y = ux,

dy dx

du = u + x dx , ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ:

du 2u du u + u3 = ÉÌÉ x = . dx 1 − u2 dx 1 − u2 ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ u+x

du u(1 + u2) 1 = · , dx (1 − u2 ) x Z Z dx 1 − u2 dx (1 − u2) du = , du = + ln C. u(1 + u2) x u(1 + u2) x ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÒÁÚÌÁÇÁÑ ÄÒÏÂÎÏ-ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ 1 − u2 A Cu + B = + , u(1 + u2) u 1 + u2 1 − u2 = A(1 + u2 ) + u(Cu + B), 1 − u2 = (A + C)u2 + Bu + A,

ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ A = 1, B = 0, C = −2. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ln u − ln |1 + u2 | − ln |x| = ln C ÉÌÉ u u = ln C ⇒ = C. ln 2 (1 + u )x (1 + u2)x

§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ u =

y x

71

É ÏÓ×ÏÂÏÖÄÁÑÓØ ÏÔ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ, ÎÁÈÏÄÉÍ

1 C ðÏÌÕÞÉÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ËÒÕÇÏ×, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÏÓÉ Ox × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÁÑ y = 0. ðÒÉÍÅÒ 9. ðÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 + y 2 = C1 y,

ÇÄÅ C1 =

(x2 + y 2 ) dx − 2xy dy = 0. òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÒÅÛÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ

dy dx .

1 + xy x2 + y 2 dy dy = ÉÌÉ = dx 2xy dx 2 xy ¡ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. ðÏÌÏÖÉÍ xy = u, y = xu, y 0 = xu0 + u. ôÏÇÄÁ


2

1 + u2 − 2u2 1 + u2 ⇒ xu0 = ⇒ 2u 2t 1 − u2 1 − u2 1 ⇒ xu0 = ⇒ u0 = · 2u 2u x du ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. 2u = dx ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ 1−u2 x xu0 + u =

ÐÏÔÅÎÃÉÒÕÅÍ

− ln |1 − u2| = ln |x| − ln C, x(1 − u2) = C.

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ u = xy , ÐÏÌÕÞÁÅÍ   y2 x 1 − 2 = C ⇒ x2 − y 2 = Cx x ¡ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. ïÔ×ÅÔ: x2 − y 2 = Cx. II. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ a1 x + b 1 y + c 1 y0 = , a2 x + b 2 y + c 2 ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ. ðÕÓÔØ, ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ c 1 ÉÌÉ c2 a1 b1 6= 0, ÔÏ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÅ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ – = a2 b2 ÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍÕ ÐÕÔÅÍ ××ÅÄÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ X, Y ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ x = X + x0 , y = Y + y 0 ,

72

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

ÇÄÅ x0 É y0 ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÔÁÌÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ. dY äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÁË ËÁË dx = dX, dy = dY , ÔÏ y 0 = dX . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = X + x0 ,

y = Y + y0 ,

y0 =

dY dX

× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ a1 X + b1 Y + (a1x0 + b1y0 + c1 ) dY = . dX a2 X + b2 Y + (a2x0 + b2y0 + c2 ) äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ x0, y0 ÐÏÌÕÞÁÅÍ Ä×Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ  a1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 = 0 a2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 = 0 a1 b1 6= 0, ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎôÁË ËÁË ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÉÓÔÅÍÙ – = a2 b2 ÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÏ×ÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ dY a1 X + b 1 Y = . dX a2 X + b 2 Y ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x−y+1 . y0 = x+y−3 òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ 1 −1 – = 1 1

= 2.

ðÏÓËÏÌØËÕ – 6= 0, ÔÏ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍÕ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ××ÏÄÉÍ ÎÏ×ÙÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ x = X + x0 , ôÏÇÄÁ dx = dX, dy = dY É y 0 =

dY dX

y = Y + y0 .

É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ

dY X − Y + (x0 − y0 + 1) = . dX X + Y + (x0 + y0 − 3)

÷ÙÂÅÒÅÍ x0, y0 ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÉÓØ × ÎÕÌØ. òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ x0 = 1, y0 = 2. éÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ X −Y dY = . dX X +Y

§5. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

73

üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ. òÅÛÁÅÍ ÅÇÏ: dY Y = u ⇒ Y = uX, = u + X · u0 . X dX dY ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ Y É dX × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. 1−u u + Xu0 = . 1+u ïÔÓÀÄÁ 1 − 2u − u2 u2 + 2u − 1 1−u 0 0 − u ⇒ Xu = ; Xu = − . Xu = 1+u 1+u 1+u ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. ðÏÌÁÇÁÑ, ÞÔÏ u 2 + + 2u − 1 6= 0, ÒÁÚÄÅÌÉÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ dX u+1 =− 2 du. X u + 2u − 1 ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Z Z u+1 dX =− du + ln |C1|, C1 6= 0. X u2 + 2u − 1 ÷ÙÞÉÓÌÉ× ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ 1 ln |X| = − ln |u2 + 2u − 1| + ln |C1|. 2 ðÏÔÅÎÃÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ C1 X=√ . u2 + 2u − 1 Y , ÐÏÌÕÞÉÍ ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×ÍÅÓÔÏ u = X 0

X=q

C1
Y 2 X

+2

. Y X




−1

ðÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÓÔÁÒÙÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ C1 (x − 1) = q .

y−2 2 y−2 x−1 + 2 x−1 − 1 III. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ a1 x + b 1 y + c 1 y0 = a2 x + b 2 y + c 2 ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ a1 b1 = 0, Á c1 6= a1 . – = a2 b2 c2 a2

74

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ a2 = λa1 É b2 = λb1 , ÐÏÜÔÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ a1 x + b 1 y + c 1 . y0 = λ(a1 x + b1 y) + c2 ôÁËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ÐÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ z = a1 x + b1 y. ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x+y−2 y0 = . −2x − 2y + 3 1 1 = 0. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ Ë òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ – = −2 −2 ×ÉÄÕ (x + y) − 2 y0 = . −2(x + y) + 3 ÷×ÏÄÉÍ ÎÏ×ÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ z = x + y ⇒ y = z − x,

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

z0 − 1 = ïÔÓÀÄÁ

y 0 = z 0 − 1.

z−2 . −2z + 3

−z + 1 . −2z + 3 ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ 2z − 3 dx = dz. z−1 ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ z0 =

ÔÁË ËÁË

x = 2z − ln |z − 1| + ln C,

 Z  1 2z − 3 dz = 2− dz = 2z − ln |z − 1|. z−1 z−1 ðÏÔÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÏÂÝÅÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ Z

ex = üÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÚÁÐÉÛÅÍ × ×ÉÄÅ

Ce2z . z−1

ex (z − 1) = Ce2z .

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

75

ðÏÄÓÔÁ×É× ÓÀÄÁ z = x + y É ÓÏËÒÁÔÉ× ÎÁ ez 6= 0, ÐÏÌÕÞÉÍ x + y − 1 = Cex+2y

¡ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÇÄÅ C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ó ÐÏÍÏÝØÀ ÉÚÏËÌÉÎ ÎÁÞÅÒÔÉÔØ (ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏ) ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÁÎÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ: 389. y 0 = x + y; 390. y 0 = y − x2; 391. 2(y + y 0 ) = x + 3; 2 2 392. y 0 = x +y − 1; 2 2 0 393. (y + 1)y = y − x; 394. yy 0 + x = 0; 395. xy 0 = 2y; 396. xy 0 + y = 0; 397. y 0 + y = (x − y)2; 398. y 0 = x − ey ; 399. y(y 0 + x) = 1. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ: √ 3 400. y 0 = x2, y(0) = 1; 401. y 0 = x3 , y(1) = 2; 402. y 0 = e2x , y(0) =
0; 403. y 0 = sin12 x , y π2 = 1;
404. y 0 = cos3 x, y π3 = 0; 1 π 405. y 0 = 4+x 2 , y(2) = 8 ; 406. y 0 = x12 , y(1) = 0; 407. y 0 = −y, y(2) = 4; 408. y 0 = y12 , y(1) = 1; 409. y 0 = y 3 , y(0) = 1. òÅÛÉÔØ ÄÁÎÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. îÁÊÔÉ ÔÁËÖÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (× ÔÅÈ ÚÁÄÁÞÁÈ, ÇÄÅ ÕËÁÚÁÎÙ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ): 410. sin x dx + cos 2y dy = 0; dx √dy 2 = 0; 411. √1−x 2 + 4+y

2

412. xex dx + tg y dy = 0; √ dy 3; 413. dx x + 1+y 2 = 0, y(1) = √ 414. x dx + cosdy2 y = 0, y(0) = π4 ;

76

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

415. (x + 1)3 dy − (y − 2)2 dx = 0; 416. sec2 x sec√y dx + ctg x sin y dy = 0; √ 417. ( xy + x)y 0 − y = 0; 418. y = y 0 cos2 x ln y, y(π) = 1; 419. x(1 + y 2 ) dx + y(1 + x2) dy = 0; 2 420. yxex dx + (1 + y) dy = 0; 421. x(1 + y 2 ) dx + ex dy = 0, y(0) = 0; p 422. 3 y 2 dx − 13 dy = 0;
423. y 0 = y 2 cos 2x, y π4 = 2; y 2 dy x dx 424. 1+x 2 + 1+y 3 = 0; y dx tg x dy 425. tg cos2 x + cos2 y = 0; 426. 3ex tg y dx + (1 − ex ) cosdy2 y = 0; 427. x2(1 + y) dx + (x3 − 1)(y − 1) dy = 0; 428. 2x dx + 3y dy = 4x2y dy − 2xy 2 dx; 429. y 0 = y 2 cos x; 430. (1 + x2 ) dy − 2xy dx = 0, y(0) = 1; 431. y 0 = y+1 , y(1) = 0; x x 432. (1 + e )yy 0 = ex , y(0) = 1; 433. y 0 ctg xp+ y = 2, y(0) = −1; 434. y 0 = 3 3 y 2 , y(2) = 0; 435. xy 0 + y = y 2 , y(1) = 0, 5; 436. 2x2yy 0 + y 2 = 2; 437. y 0 −xy 2 = 2xy;  dy −x 438. e 1 + dx = 1; 439. y 0 = 10x+y ; 440. xy p dx + (x + 1) dy = 0; 441. y 2 + 1 dx = xy dy; 442. (x2 − 1)y 0 + 2xy 2 = 0, y(0) = 1; 443. (1 + x)y dx + (1 − y)x dy = 0; 444. x2y 2 y 0 + 1 = y; dy + x = t. 445. y dx õÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÉÄÁ y 0 = f (ax+by) ÐÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ÚÁÍÅÎÏÊ z = ax+by (ÉÌÉ z = ax+by +c, ÇÄÅ c ¡ ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ). 446. y 0 = cos(y − x); 447. y 0 − y = 2x − 3; 448. (x + √ 2y)y 0 = 1, y(0) = −1; 449. y 0 = 4x + 2y − 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:

§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ 450. 451. 452. 453. 454. 455. 456. 457. 458. 459. 460. 461. 462. 463. 464. 465. 466. 467. 468. 469.

77

y ; y 0 = x+y x dy = y(1 + ln y − ln x) dx; y 0 = −x+2y−4 ; 2x−y+5 2x+3y−1 ; y 0 = − 4x+6y−5 2 2 0 y + x y = xyy 0 ; (x2 + y 2 )y 0 = 2xy; xy 0 − y = x ln xy ; xy 0 = y − xey/x ; xy 0 − y = (x + y) ln x+y x ; y 0 xy = y cos ln x ; √ (y + xy) dx = x dy; p 0 xy = x2 − y 2 + y; (2x − 4y + 6) dx + (x + y − 3) dy = 0; (2x + y + 1) dx − (4x + 2y − 3) dy = 0; (x − y − 1) + (y − x + 2)y 0 = 0; (x + 2y) dx − x dy = 0; (x − y) dx + (x + y) dy = 0; (y 2 − 2xy) dx + x2 dy = 0; 2x3y 0 = y(2x2 − y 2 ); y 2 + x2 y 0 = xyy 0 .

§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ìÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ: y 0 + P (x)y = Q(x),

(22)

ÇÄÅ P (x), Q(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÉ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a, b). úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ × ÎÉÈ ÐÏÍÅÎÑÔØ ÒÏÌÑÍÉ ÆÕÎËÃÉÀ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ. 6.1. íÅÔÏÄ âÅÒÎÕÌÌÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ðÏ ÍÅÔÏÄÕ âÅÒÎÕÌÌÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y = u(x)v(x), ÇÄÅ u(x), v(x) ¡ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ.

78

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ îÁÊÄÅÍ y 0 (x) É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (22): y 0 = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0(x),

u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0(x) + P (x) · u(x)v(x) = Q(x). äÁÌÅÅ ÓÇÒÕÐÐÉÒÕÅÍ ×ÔÏÒÏÊ É ÔÒÅÔÉÊ ÞÌÅÎÙ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ×ÙÎÅÓÅÍ ÚÁ ÓËÏÂËÉ u(x): u0(x)v(x) + u(x)[v 0(x) + P (x) · v(x)] = Q(x).

(23)

÷ÙÂÅÒÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÆÕÎËÃÉÀ v(x) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ, ÔÏ ÅÓÔØ v(x) ÎÁÈÏÄÉÍ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ v 0 (x) + P (x)v(x) = 0.

(24)

òÅÛÁÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ dv(x) + P (x)v(x) = 0, dv(x) + P (x)v(x) dx = 0 dx üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ: Z Z dv(x) dv(x) = −P (x) dx, = − P (x) dx v(x) v(x) Z ln |v(x)| = − P (x) dx + ln C;

ÐÏÔÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ, ÐÏÌÕÞÉÍ

R

v(x) = Ce−

P (x) dx

.

íÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÃÅÌÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÆÕÎËÃÉÊ v(x). îÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÏÄÎÕ ÆÕÎËÃÉÀ ÜÔÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÔÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÐÒÉ c = 1 v(x) = e−

R

P (x) dx

.

äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ u(x) ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ v(x) × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (23), ÐÏÌÕÞÉÍ u0 (x)e− òÅÛÁÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

R

P (x) dx

R du(x) = Q(x)e P (x) dx , u = dx

Z

= Q(x).

Q(x)e

R

P (x) dx

dx + C,

ÇÄÅ C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ u(x) É v(x) × y = u(x) · v(x), ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ×ÉÄÅ  R Z R P (x) dx dx + C e− P (x) dx . (25) y(x) = Q(x)e

§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ

79

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÅÃÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÊ É ÔÒÕÄÎÏ ÚÁÐÏÍÉÎÁÅÍÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (25), Á ÐÒÏÝÅ ÕÓ×ÏÉÔØ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÊ ÓÐÏÓÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÎÑÔØ ÅÇÏ × ËÁÖÄÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ dy y − = x2 . dx x òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ. òÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÊÄÅÍ y 0 y 0 = u0 v + uv 0 . ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ y É y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ uv u0v + uv 0 − = x2 . x ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ×ÉÄÕ  v 0 0 = x2 . (26) uv+u v − x îÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ. dv v v = . v0 − = 0 ⇒ x dx x ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. dv dx = . v x ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ln |v| = ln |cx|.

îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÏÄÎÕ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÆÕÎËÃÉÀ v, ÐÏÌÏÖÉÍ c = 1. ðÏÌÕÞÉÍ v = x. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ v = x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (26): x2 xu = x ⇒ du = x dx ⇒ u = + C. 2 ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ   2 x +C . y=x 2 ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ √ 2 y 0 − 2xy = x ex . 0

2

80

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÊÄÅÍ y 0 y 0 = u0 v + uv 0 . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ √ 2 u0v + u(v 0 − 2xv) = x ex .

(27)

îÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ dv v 0 − 2xv = 0 ⇒ = 2xv. dx òÁÚÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ Z Z dv dv 2 = 2x dx ⇒ = 2 x dx ⇒ ln |v| = x2 ⇒ v = ex . v v 2

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ v = ex × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (27): √ du √ 2 3 2 2 = x ⇒ u = x 2 + c. u0 e x = x e x ⇒ dx 3 ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ   2 3 2 y= x 2 + c ex . 3 ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1 + x2)y 0 − 2xy = 1 + x2 ,

ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 0. òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ (1 + x2) 2x y = 1. 1 + x2 ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = uv, ÔÏÇÄÁ y 0 = u0 v + uv 0. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ É ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÅÇÏ:   2x u0 v + u v 0 − v = 1. (28) 1 + x2 y0 −

äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ: dv 2xv dv 2x dx 2xv = 0 ⇒ = ⇒ = v0 − 1 Z+ x2 dx 1 + x2 v 1 + x2 Z x dx dv =2 ⇒ ln |v| = ln |1 + x2| ⇒ v = 1 + x2. 2 v 1+x

§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ

81

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = 1 + x2 × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (28), ÐÏÌÕÞÉÍ u0 (1 + x2) = 1. ïÔÓÀÄÁ du 1 dx = ⇒ du = ⇒ u = arctg x + c. dx 1 + x2 1 + x2 ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y = (arctg x + c)(1 + x2). îÁÊÄÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 0. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ x = 1, y = 0 × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ π  π 0 = 2(arctg 1 + c), 0 = 2 +c ⇒c=− . 4 4 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 0, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ  π (1 + x2). y = arctg x − 4 6.2. íÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ íÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 + P (x)y = Q(x) ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. óÎÁÞÁÌÁ ÉÝÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ: y 0 + P (x)y = 0. úÁÔÅÍ × ÏÂÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÕÀ C ÓÞÉÔÁÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÔ x: C = C(x). üÔÕ ÆÕÎËÃÉÀ ÎÁÈÏÄÑÔ ÉÚ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. ðÒÉÍÅÒ 4. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 1 y 0 + y tg x = . cos x òÅÛÅÎÉÅ. óÎÁÞÁÌÁ ÎÁÈÏÄÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÄÁÎÎÏÍÕ: y 0 + y tg x = 0.

82

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

òÁÚÄÅÌÑÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É ÐÏÓÌÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÈÏÄÉÍ y = C cos x, ÇÄÅ C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. äÌÑ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÞÉÔÁÅÍ C = C(x) É ÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ y = C(x) cos x ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÁ ÅÍÕ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÈÏÄÉÍ y 0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y, y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y 0 = (C(x) cos x))0 = C 0(x) cos x − C(x) sin x, 1 C 0(x) cos x − C(x) sin x + C(x) cos x tg x = , cos x ÏÔËÕÄÁ, ÐÏÓÌÅ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÊ, C 0(x) = cos12 x . ïÔÓÀÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ C(x) = tg x + + C0, ÇÄÅ C0 ¡ ÎÏ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ðÏÄÓÔÁ×É× ÚÎÁÞÅÎÉÅ C(x) × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï y = C(x) cos x, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ y = C(x) cos x = (tg x + C0 ) cos x = sin x + C0 cos x. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÎÏ×ÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÔÁÒÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ C. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÍ ÐÒÉÍÅÒÅ y = sin x + + C cos x ÅÓÔØ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, Á C ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ðÒÉÍÅÒ 5. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (2x + 1)y 0 = 4x + 2y. òÅÛÅÎÉÅ. òÅÛÁÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (2x + 1)y 0 = 2y. åÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y = C(2x + 1). ðÒÉÍÅÎÉÍ ÍÅÔÏÄ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ. éÍÅÅÍ y = C(x)(2x+1), ÎÁÈÏÄÉÍ y 0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y 0 × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: (C 0 (x)(2x + 1) + 2C(x)) (2x + 1) = 4x + 2C(x)(2x + 1) ⇒ (2x + 1)2C 0(x) = 4x.

ïÔÓÀÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ

1 x dx + C0 = ln |2x + 1| + + C0 . 2 (2x + 1) 2x + 1 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ C(x) = 4

Z

y = (2x + 1)(ln |2x + 1| + C) + 1. 6.3. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. õÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ y 0 + P (x)y = Q(x)y n,

n = const,

ÇÄÅ P (x), Q(x) ¡ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a, b).

§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ

83

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ n = 0, n = 1 ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ××ÅÄÅÎÉÑ ÎÏ×ÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. òÁÚÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ ÎÁ y n (y 6= 0): 1 1 0 y + P (x) n−1 = Q(x) n y y É ××ÅÄÅÍ ÎÏ×ÕÀ ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ z ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ z=

1 y n−1

.

ôÏÇÄÁ y0 =

1−n 0 y yn

É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ 1 0 z + P (x)z = Q(x) 1−n

ÉÌÉ

z 0 + (1 − n)P (x)z = (1 − n)Q(x). ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ z ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÎÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ×ÍÅÓÔÏ z ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ z = y 1−n , ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ. åÓÌÉ n > 0, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÉÍÅÅÔ ÅÝÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y = 0. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÁÔØ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÓËÁÔØ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = uv. ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y0 −

y0 x2 = , 2x 2y

x > 0.

òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ n = −1. òÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÊÄÅÍ y 0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ y É y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: 0

0

x2 uv = . u v + uv − 2x 2uv

0

0

y = u v + uv ,

0

ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ v  x2 = uv+u v − 2x uv 0



0

(29)

84

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

É ÎÁÊÄÅÍ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ: Z Z v dv dx 1 dx dv 0 v − =0⇒ = ⇒ = ⇒ 2x v 2x v 2 x √ 1 ⇒ ln |v| = ln |x| ⇒ v = x 2 √ ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (29), ÐÏÌÕÞÉÍ: x2 du √ x dx u2 x2 x2 x = √ ⇒ u du = ⇒ ⇒ = + c1 ⇒ uv = 2uv dx u x 2 2 4 x2 2 ⇒u = + c, ÇÄÅ c = 2c1. 2 ïÔÓÀÄÁ r x2 + c. u=± 2 ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u, v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ: r x3 y=± + cx. 2 √ y, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 − 4y = x x ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 1. òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ n = 12 . éÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÈÏÄÉÍ y 0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y 0 = = u0 v + uv 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ √ 4uv = x uv. u0v + uv 0 − x ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ  √ uv  0 0 uv+u v − = x uv (30) x É ÎÁÈÏÄÉÍ v: 0

dv dx 4v =0⇒ =4 ⇒ ln |v| = 4 ln |x| ⇒ v = x4. x v x ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = x4 × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (30), ÐÏÌÕÞÁÅÍ v0 −

√ du du dx = x u · x2 ⇒ √ = , dx u x Z Z √ 1 dx du √ = + c ⇒ 2 u = ln |x| + c ⇒ u = (ln |x| + c)2 . x 4 u x4

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

85

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 1 y = x4(ln |x| + c)2 . 4 îÁÊÄÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 1. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ x = 1, y = 1, ÐÏÌÕÞÉÍ c = 2. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y(1) = = 1, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 y = x4(ln |x| + 2)2. 4 úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÌÉ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ: 470. y 0 − y ctg x = sin x; 471. y 0 − y = ex ; dy 472. x2 dx − 2xy = −3, y(−1) = 1; 473. y 0 + y tg x = cos1 x ; 474. (1 + x2 )y 0 − 2xy = 1 + x2, y(1) = 0; 475. y 0 + xy = x2; 476. y 0 − y tg x = cos x; 477. y 0 + 2xy = x; 478. y 0 − 4y = e2x ; x 479. y 0 + 1−x 2 y = 1; 2x 480. y 0 − y tg x = cos x; x 481. y 0 − x2 +1 y = x, y(1) = 0;

482. y 0 + y +

483. 484. 485. 486. 487. 488. 489.

4x(x+1) y 4

= 0, y(0) = 1;

xy 0 − 2y = 2x ; (2x + 1)y 0 = 4x + 2y; y 0 + y tg x = sec x; (xy + ex ) dx − x dy = 0; √ y 0 + y = x y; x2y 2 y 0 + xy 3 = 1; cos y dx = (x + 2 cos y) sin y dy.

86

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

§7. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ 7.1. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 (31) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ F (x, y), ÔÏ ÅÓÔØ ∂N ∂M ≡ . ∂y ∂x þÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (31), ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ÆÕÎËÃÉÀ F (x, y), ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (31) dF (x, y) = Fx0 dx + Fy0 dy. ôÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (31) ÍÏÖÎÏ ÎÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ F (x, y) = c, ÇÄÅ c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (2x + 3x2y) dx + (x3 − 3y 2 ) dy = 0.

òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ∂(2x + 3x2y) = 3x2; ∂y

∂M ∂y

É

(32)

∂N : ∂x

∂ (x3 − 3y 2) = 3x2. ∂x

∂N ôÁË ËÁË ∂M ∂y = ∂y , ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (32) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. îÁÊÄÅÍ F (x, y):

Fx0 = 2x + 3x2y;

Fy0 = x3 − 3y 2.

(33)

éÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ ÐÏ x ÐÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (33), ÓÞÉÔÁÑ y ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ, ×ÍÅÓÔÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏÓÔÁ×ÉÍ ϕ(y) ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÏÔ y Z F (x, y) = (2x + 3x2y) dx = x2 + x3y + ϕ(y). äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ Fy0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ×Ï ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (33) Fy0 = x3 − 3y 2 ;

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

ϕ0 (y) = −3y 2;

ϕ(y) = −3y 2 ;

F (x, y) = x2 + x3y − y 3

ϕ(y) = −y 3 + const .

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

87

É ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: x2 + x3y − y 3 = c. 7.2. éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

(34)

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ m(x, y) 6≡ 0, ÐÏÓÌÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÔÏÒÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (34) ÐÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ M (x, y), N (x, y) ÉÍÅÀÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÎÕÌØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ. îÏ ÏÂÝÅÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÄÌÑ ÅÇÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÅÔ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÍÅÔÏÄ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏ×, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÙ d(xy) = y dx + x dy; dy 2 = 2y dy   x y dx − x dy dy d = ; d(ln y) = É Ô.Ä. y y2 y ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y dx − (4x2y + x) dy = 0.

(35)

óÎÁÞÁÌÁ ×ÙÄÅÌÑÅÍ ÇÒÕÐÐÕ ÞÌÅÎÏ×, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÓÏÂÏÊ ÐÏÌÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ y dx − x dy = −x2 d(y/x). ôÏÇÄÁ ÄÅÌÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁ −x2, ÐÏÌÕÞÉÍ y  y  + 4y dy = 0, d + d(2y 2) = 0. d x x üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ. éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ y + 2y 2 = c. x úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ × ÐÏÌÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁÈ, É ÒÅÛÉÔØ ÉÈ: 490. 2xy dy + (x2 − y 2 ) dy = 0; 491. (2 − 9xy 2 ) dx + (4y 2 − 6x3)y dy = 0; 492. e−y dx − (2y + xe−y ) dy = 0; 493. xy dx + (y 3 + ln x) dy = 0;

88

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 3x2 +y 2 y2

3

dx − 2x y+5y = 0; 3 p p 495. 2x(1 + x2y 2 ) dx − ( x2 − y) dy = 0; 496. (1 + y 2 sin 2x) dx − 2y cos2 x dy = 0;   x3 2 497. 3x (1 + ln y) dx = 2y − y dy; 494.

498. 499. òÁÚÎÙÅ 500. 501. 502. 503. 504. 505. 506. 507. 508. 509. 510. 511. 512. 513. 514.

y 2 dx − (xy + x3) dy = 3; y 2 dx + (ex − y) dy = 0. ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ: xy 0 + x2 + xy − y = 0; 2xy 0 + y 2 = 1; (2xy 2 − y) dx + x dy = 0; (xy 0 + y)2 = x2y 0 ; y − y 0 = y 2 + xy 0 ; (x + 2y 3 )y 0 = y; y 03 − y 0 e2x = 0; x2y 0 = y(x + y); (1 − x2 ) dy + xy dx = 0; y 02 + 2(x − 1)y 0 − 2y = 0; y + y 0 ln2 y = (x + 2 ln y)y 0 ; xy 0 − 2xy = 3y; x + yy 0 = y 2 (1 + y 02 ); y = (xy 0 + 2y)2; 1 y 0 = x−y 2;

515. y 03 + (3x − 6)y 0 = 3y; 516. x − yy0 = y2 ;

517. 2y 03 − 3y 02 + x = y; 518. (x + y)2 y 0 = 1; 519. 2x3yy 0 + 3x2y 2 + 7 = 0.

§8. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÄÏÐÕÓËÁÀÝÉÅ ÐÏÎÉÖÅÎÉÅ ÐÏÒÑÄËÁ óÒÅÄÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÀÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÔÉÐÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ Ó×ÅÄÅÎÙ Ë ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÔÉÐÏ× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.

§8. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. . .

89

8.1. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ y × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ y 00 = f (x, y 0) Ñ×ÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ y. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y 0 = p. ôÏÇÄÁ y 00 = p0. ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÏ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ p0 = f (x, p). ðÏÌÕÞÉÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. åÇÏ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ Z y = p(x, c1) dx + c2 , ÇÄÅ c1 , c2 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (1 + x2)y 00 + xy 0 = 2. òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ y. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÐÏÌÏÖÉÍ y 0 = p. ôÏÇÄÁ y 00 = p0 . ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÄÁÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1 + x2)p0 + xp = 2. ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÏ×ÏÊ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ p ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ p = uv, p0 = u0 v + uv 0. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ p, p0 É ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÑ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ (1 + x2 )u0v + [(1 + x2)v 0 + xv]u = 2. äÁÌÅÅ ÎÁÈÏÄÉÍ v: (1 + x2)v 0 + xv = 0. òÅÛÁÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: Z Z dv dv x dx 1 d(1 + x2) =− ⇒ =− ⇒ v 1 + x2 v 2 1 + x2 1 1 ⇒ ln |v| = − ln |1 + x2| ⇒ v = √ . 2 1 + x2 äÁÌÅÅ ÎÁÈÏÄÉÍ u: p 2 1 + x2 u0 = 2 ⇒ du = √ dx ⇒ 1 + x2 Z p dx + c1 , u = 2 ln |x + 1 + x2| + c. ⇒u=2 √ 2 1+x

ôÅÐÅÒØ ÎÁÈÏÄÉÍ p:

p 1 . p = [2 ln |x + 1 + x2| + c1 ] √ 1 + x2

90

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

ôÁË ËÁË p = y 0 , ÔÏ y 0 = [2 ln |x +

p 1 . 1 + x 2 | + c1 ] √ 1 + x2

îÁÈÏÄÉÍ y: Z Z p p dx 2 y = [2 ln |x + 1 + x | + c1 ] √ + c2 = 2 ln |x + 1 + x2|× 2 1+x Z p dx 2 ×d ln |x + 1 + x | + c1 √ + c2 = 1 + x2 p p 2 2 = ln |x + 1 + x | + c1 ln |x + 1 + x2| + c2 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ p p 2 2 y = ln |x + 1 + x | + c1 ln |x + 1 + x2| + c2 .

8.2. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ x × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ y 00 = f (y, y 0 ) Ñ×ÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ x. ðÏÌÏÖÉÍ y 0 = p(y), ÇÄÅ p(y) ¡ ÎÏ×ÁÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. îÁÊÄÅÍ y 00 . ðÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÍÅÅÍ dy 0 dp dp dy dp y = = = · =p . dx dx dy dx dy 00

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ y, y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÉÍ p

dp = f (y, p). dy

ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ p ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ðÕÓÔØ ÎÁÛÌÉ ÅÇÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ p = p(y, c1), ÇÄÅ c1 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ôÁË ËÁË p = y 0 , ÔÏ y 0 = p(y, c1) ¡ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. Z dy dy dx = ⇒x= + c2 , p(y, c1) p(y, c1) ÇÄÅ c2 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÏÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ yy 00 = y 02 .

§8. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. . .

91

òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ñ×ÎÏ x. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÅÇÏ ÒÅdp . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÛÅÎÉÑ ÐÏÌÁÇÁÅÍ y 0 = p, ÔÏÇÄÁ y 00 = p dy yp

dp dp = p2 ⇒ y = p (p 6= 0) dy dy

¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ Z Z dp dy dp dy = ⇒ = + ln |c1 | ⇒ ln |p| = ln |y| + ln |c1 |. p y p y ðÏÔÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÐÏÌÕÞÁÅÍ p = c1 y. äÁÌÅÅ, Z Z dy dy 0 y = c1 y ⇒ = c1 dx ⇒ = c1 dx + ln c2 ⇒ y y ⇒ ln |y| = c1 x + ln |c2 | ⇒ y = c2 ec1 x ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. 8.3. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÒÁÚÒÅÛÅÎÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y 00 = f (x). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y 0 = p, ÔÏÇÄÁ y 00 = p0 É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ p0 = f (x) ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. Z Z Z dp = f (x) ⇒ dp = f (x) dx ⇒ dp = f (x) dx + c1 ⇒ p = f (x) dx + c1 . dx äÁÌÅÅ ×ÍÅÓÔÏ p ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y 0 = dy = dx

Z

dy dx .

Z



f (x) dx + c1 dx, f (x) dx + c1 ⇒ dy =  Z Z Z y= f (x) dx dx + c1 dx + c2 ,  Z Z y= f (x) dx dx + c1 x + c2 ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y 00 = x2.

92

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y 0 = p, ÔÏÇÄÁ y 00 = p0. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ dp p0 = x2 ⇒ = x2 ⇒ dp = x2 dx, dx Z x3 2 + c1 , p = x dx + c1 ⇒ p = 3  3  x3 x dy = + c1 ⇒ dy = + c1 dx, dx 3 3 Z Z 3 x dx + c1 dx + c2 , y= 3 x4 + c1 x + c2 ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. y= 12

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: 520. (3x + 2)y 00 + 7y 0 = 0; 521. (1 + x2 )y 00 + y 02 + 1 = 0; 522. y 3 y 00 + 1 = 0; 523. y 02 − yy 00 = y 2 y 0 ; √ 524. y 00 = 3 y, y(0) = 1, y 0 (0) = 2; √ 525. xy 00 + y 0 = x, y(1) = 1, y(1) = 0; 526. 2yy 00 = y 02 + 1; 527. y 2 + y 02 − 2yy 00 = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 1; 528. 1 + y 02 = 2yy 00 ; 529. (x + 1)y 00 = y 0 + 1, y(0) = 1, y 0 (0) = 2.

§9. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 9.1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ìÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ y (n) + a1 (x)y (n−1) + a2 (x)y (n−2) + . . . + an−1(x)y 0 + an (x)y = f (x),

(36)

ÇÄÅ a1 (x), a2 (x), . . ., an (x), f (x) ¡ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ.

§9. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

93

åÓÌÉ f (x) ≡ 0, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ; ÅÓÌÉ f (x) 6≡ 0, ÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (36) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y = y + y ∗ , ÇÄÅ y ¡ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, y ∗ ¡ ÞÁÓÔÎÏÅ (ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ) ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y(x) ÎÁÊÄÅÎÏ, ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÁÒÉÁÃÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ. y(x) = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn , y ∗ (x) = c1 (x)y1 + c2 (x)y2 + . . . + cn (x)yn æÕÎËÃÉÉ ci (x) ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ  0 c1 y1 + . . . + c0n yn = 0,   0 0 0 0    c1 y1 + . . . + cn yn = 0, ............................... (n−2) (n−2)   c01 y1 + . . . + c0n yn = 0,    0 (n−1) + . . . + c0n y (n−1) = f (x). c1 y 1

(37)

(38)

9.2. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ

þÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1y 0 + an y = 0, (39) ÎÁÄÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ a0 λn + a1 λn−1 + . . . + an−1 λ + an = 0

(40)

É ÎÁÊÔÉ ÅÇÏ ËÏÒÎÉ λ1, λ2 , . . ., λn . ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (39) ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÉÄÁ λi x ci e ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ËÏÒÎÑ λi ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (40) É ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÉÄÁ (cm+1 + cm+2x + cm+3 x2 + . . . + cm+k xk−1)eλx

(41)

ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ËÒÁÔÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ λ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (40). ÷ÓÅ ci ¡ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (39) É ËÏÒÎÉ λ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ É ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ. åÓÌÉ ÖÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ (39) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ

94

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

ÍÏÖÎÏ ÔÏÖÅ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÅ É × ÓÌÕÞÁÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ λ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÐÁÒÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ λ = α ± βi × ÆÏÒÍÕÌÕ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ cm+1eαx cos βx + cm+2eαx sin βx, ÅÓÌÉ ÜÔÉ ËÏÒÎÉ ÐÒÏÓÔÙÅ, É ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ Pk−1(x)eαx cos βx + Qk−1(x)eαx sin βx, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÒÎÅÊ α + βi É α − βi ÉÍÅÅÔ ËÒÁÔÎÏÓÔØ k. úÄÅÓØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Pk−1, Qk−1 ÓÔÅÐÅÎÉ k − 1, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ × (41), ÉÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙ. ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y (V) − 2y (IV) − 16y 0 + 32y = 0.

òÅÛÅÎÉÅ. ðÉÛÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ λ5 − 2λ4 − 16λ + 32 = 0.

òÁÚÌÁÇÁÑ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÒÎÉ (λ − 2)(λ4 − 16) = 0 (λ − 2)2(λ + 2)(λ2 + 4) = 0 λ1 = λ2 = 2; λ3 = −2; λ4 = 2i; λ5 = −2i

ðÏ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ ÐÉÛÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ

y = (c1 + c2 x)e2x + c3 e−2x + c4 cos 2x + c5 sin 2x. 9.3. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ åÓÌÉ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÕÍÍ É ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÊ b0 + b 1 x + . . . + b m x m ,

eax ,

cos βx,

sin βx,

ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÉÓËÁÔØ ÍÅÔÏÄÏÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×. äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ Pm (x)eνx , ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y ∗ = xsQm (x)eνx .

(42)

þÉÓÌÏ s = 0, ÅÓÌÉ ν ¡ ÎÅ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (40), Á ÅÓÌÉ ν ¡ ËÏÒÅÎØ, ÔÏ s ÒÁ×ÎÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ËÏÒÎÑ. þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Qm (x), ÎÁÄÏ ÒÅÛÅÎÉÅ (42) ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ É ÐÒÉÒÁ×ÎÑÔØ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÐÏÄÏÂÎÙÈ ÞÌÅÎÁÈ × ÌÅ×ÏÊ É ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÑÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.

§9. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

95

åÓÌÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ, ÔÏ ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ eαx (P (x) cos βx + Q(x) sin βx)

(43)

ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y ∗ = xs eαx (Rm (x) cos βx + Tm(x) sin βx), ÇÄÅ s = 0, ÅÓÌÉ α + βi ÎÅ ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É s ÒÁ×ÎÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ËÏÒÎÑ α + βi, Á Rm , Tm ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÐÅÎÉ m, ÒÁ×ÎÏÊ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÉÚ ÓÔÅÐÅÎÅÊ P É Q. ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÐÕÔÅÍ ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÎÉÑ ÉÈ ÐÒÉ ÐÏÄÏÂÎÙÈ ÞÌÅÎÁÈ ÐÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 000 + 3y 00 − 4y 0 = x + ex + sin x. òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 000 + 3y 00 − 4y 0 = 0. óÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ É ÒÅÛÁÅÍ ÅÇÏ λ3 + 3λ2 − 4λ = 0 ⇒ λ(λ2 + 3λ − 4) = 0 ⇒ ⇒ λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = −4. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y = c1 + c2 ex + c3 e−4x . þÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÂÕÄÅÍ ÉÓËÁÔØ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ y ∗ = y1∗ + y2∗ + y3∗ , ÇÄÅ y1∗ , y2∗ , y3∗ ¡ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ y 000 + 3y 00 − 4y 0 = x,

y 000 + 3y 00 − 4y 0 = ex ,

y1∗ = x(Ax + B), y2∗ = Cxex,

y 000 + 3y 00 − 4y 0 = sin x, y3∗ = D cos x + E sin x.

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y ∗ = x(Ax + B) + Cxex + D cos x + E sin x.

96

çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

îÁÊÄÅÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ A, B, C, D, E. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ y ∗0 , y ∗00 , y ∗000 , ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ É ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÐÏÄÏÂÎÙÅ ÞÌÅÎÙ: y ∗0 = 2Ax + B + Cex + Cxex − D sin x + E cos x,

y ∗00 = 2A + 2Cex + Cxex − D cos x − E sin x,

y ∗000 = 3Cex + Cxex + D sin x − E cos x,

−8Ax + (6A − 4B) + 5Cex + (−3D − 5E) cos x + (5D − 3E) sin x = = x + ex + sin x,   −8A = 1, x   x0   6A − 4B = 0, 3 ; A = − 81 ; B = − 16 x e ⇒ 1 5 3  5C = 1, C = 5 ; D = 34 ; E = − 34 . cos x  −3D − 5E = 0,   sin x  5D − 3E = 1

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

  1 3 1 1 + xex + (5 cos x − 3 sin x). y∗ = − x x + 8 2 5 34

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ y É y ∗ × ÆÏÒÍÕÌÕ y = y + y ∗ , ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:   3 1 1 1 (5 cos x − 3 sin x). + xex + y = c1 + c2 ex + c3 e−4x − x x + 8 2 5 34 ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

y IV − 3y 00 = 9x2.

òÅÛÅÎÉÅ. òÅÛÅÎÉÅ y ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ y = y + y ∗ . îÁÈÏÄÉÍ y: √ λ4 − 3λ2 = 0 ⇒ λ1,2 = 0, λ3,4 = ± 3 ⇒ ⇒ y = c1 + c2 x + c3 e

√ − 3x

+ c4 e

√

3x

.

éÝÅÍ y ∗ × ×ÉÄÅ y ∗ = x2(Ax2 + Bx + C). îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÉÈ × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: y ∗ = Ax4 + Bx3 + Cx2, y ∗0 = 4Ax3 + 3Bx2 + 2Cx, y ∗00 = 12Ax2 + 6Bx + 2C, y ∗000 = 24Ax + 6B, IV

y ∗ = 24A,

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ 9x2 = −36Ax2 − 18Bx + 6C + 24A. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ x É ÎÁÈÏÄÉÍ: 1 9 = −36A, 0 = −18B, −6C + 24A ⇒ A = − , B = 0, C = −1. 4 ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ √ √ x4 3x − 3x − x2 . + C4 e − y = C 1 + C2 x + C 3 e 4 úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ: 530. y V − y 0 = x + 1; 531. y 000 − 3y 00 + 2y 0 = e2x + 10 sin x; 532. y IV − y = 0; 533. y IV − 3y 00 = 9x2; 534. y 000 + y 00 = 1 − 6x2e−x . òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: 535. y 00 − 3y 0 + 2y = ex ; 536. y 00 + 6y 0 + 5y = 25x2 − 2; 537. y 00 2y 0 + 10y = 37 cos 3x; 538. y 00 − 6y 0 + 9y = 3x − 8ex ; 539. y 00 − 5y 0 + 4y = x − 2; 540. y 00 + 2y 0 = x2 + 1; 541. y 00 + 2y 0 − 3y = e−2x ; 542. y 00 + y 0 = xe−x , y(0) = 1, y 0 (0) = 2; 543. y 00 − 6y 0 + 8y = 3 − 4x2; 544. y 00 + 3y 0 = 2 + x; 545. y 00 + 2y 0 = e−2x ; 546. y 00 + 9y = e3x ; 547. y 00 + 4y 0 + 3y = xe−x ; 548. y 00 − 2y 0 + y = ex , y(0) = 0, y 0 (0)
= 1; 549. y 00 + 4y = 2x + 1, y(0) = 1, y 0 π2 = 0; 550. y 00 − y 0 − 6y = 5 cos x − 2 sin x; 551. y 00 + y = cos x, y(0) = −2, y 0 (0) = 3; 552. y 00 − y = 3e2x cos x; 553. y 00 + 3y 0 − 4y = x2 + 2ex + 5 sin 3x; 554. y 00 + y = 2 sin x + 3 cos x; 555. y 00 − 4y 0 + 3y = 5 sin 2x + cos 2x + ex .

97

ïÔ×ÅÔÙ çÌÁ×Á I

√ √ √ √ 3 4 2 5 1. x3 + 3x4 + x2 + x. 2. x5 + 56 x 5 x + 2x x − x1 − ln |x| + 5x. 3. 2 x − 4 4 x. √ √ √ 4. x5 − 3x1 3 . 5. 56 5 x (x − 6). 6. ln |x| − x1 − 2x1 2 . 7. 23 x x − 3x + 6 x − ln |x|. x x x √2 8. ln2 2 + ln3 3 . 9. 3·4 11. 2 arctg x − 3 arcsin x. 10. 2ex + 2x1 2 . ln 4 − x .

12. 16. 20. 24. 28. 33. 37. 41.

x? 3

− x + arctg x. 13. ex + tg x. 14. 5 sin x − cos x. 15. −(tg x + ctg x). tg x − ctg x. 17. 3 tg x − 4 ctg x. 18. 3 tg x + 2 ctg x. 19. cos x − ctg x. 23. 21 (x + sin x). tg x − x. 21. −(x + ctg x). 22. 21 (x − sin x). √ x x + cos x. 25. ln(2e) . 26. arcsin x − ln |x + 1 + x2|. 27. sin55x . 2+1 x x − cos77x . 32. tg33x . 29. 4 sin x4 . 30. −e−x . 31. 2(e 2 − e− 2 ). √ 10 3 2 1 2. 34. (2+5x) . 35. − (2x − 5) 2 − 3x. 36. −3 ctg x3 . 50 3 3 4 3 (3 − 7x) 3 . 38. 15 ln |5x + 2|. 39. − 13 ln |2 − 3x|. 40. 12 ln(x2 + 3). − 28 1 44. − 4(ln x+1) ln | sin x|. 42. − ln | cos x|. 43. − 31 ln |1 + 3 cos x|. 4. 3

4

45. 31 ln |3 + sin 3x|. 46. ln | sin 2x|. 47. sin3 x . 48. − cos4 x . 49. −ecos x . √ 4 3 50. − 13 e−x . 52. − 12 cosec2 x. 51. 2e x . 53. 4 cos1 4 x . 54. 43 (2 + ln x) 3 . 3 3 6 x 7 2 (3 + cos 5x) 2 . 56. 90 (3 + 5 sin 3x) 7 57. 18 ln(5 + 2e4x ). 58. arctg . 55. − 15 3 4 3 sin x−2 59. 4 (arcsin x) 3 . 60. cos x . 61. 2 ln | sin x| − ctg x. 62. esin x . 63. etg x . √ 1 √ 6 5 2 2 x+1 3 5 45 5 64. 18 (x −8) . 65. − 75 (1−6x ) . 66. ln 2 . 67. − ln3 x3 . 68. 2x+9 · 4x + 1. 4 4(17−14x) √ 2(44−15x) √ 1 arctg x 70. 7x − 1. 71. e 69. · 1 − 3x. . 72. 2 cos x12 . 27 147 √ 2 1−3x x arcsin2 x − tg x 74. − arccos . 75. −e . 76. − 1 − x2 . 73. − 43 ln 4 . 2 2 √ 77. 81 ln x−4 79. arcsin x2 . 80. ln |x + 4 + x2 |. 78. 12 arctg x2 . x+4 . √ √ √ x−√5 √ x 1 1 1 2 √ √ √ √ 81. ln |x + x − 3|. 82. 2 5 ln x+ 5 . 83. 3 arctg 3 . 84. 2 2 ln 2+x . 2−x √ √ 87. √12 ln | 2 x + 3 + 2x2|. 86. 12 arcsin 2x 85. 2√1 5 arctg √2x5 . 5. √ √ √ 3x−1 15 x 1 1 1 √ √ √5x . 88. 6 ln 3x+1 . 90. 2 15 ln √3+ 89. 3 arcsin 5 . 3− 5x √ √ 2 91. 13 ln |3x + 9x2 − 5|. 93. 41 ln |x4 + x8 − 3|. 92. 12 arcsin √x 2 . √ x 5−cos 2x e 1 96. 14 ln |(x − 2)(x + 2)7|. 94. arcsin √5 . 95. 4√5 ln √5+cos 2x . √ √ √ √ 97. ln |x+ x2 + 1|+ x2 + 1. 98. arcsin x− 1 − x2. 99. 5 ln |ex + e2x − 4|. √ 5 2 cos x 102. 15 arcsin x2 . 100. 5√1 3 arcsin( 3 sin 5x). 101. − 12 arctg 3 3 . 1 √ 7 5

7

−x

arctg √x 5 . 104. − √12 arctg e√2 . 105. arctg(x + 2). 106. 21 arctg x−3 2 . √ x−2 107. ln |x + 1 + x2 + 2x + 3|. 109. arcsin x+1 2 . 108. arcsin 2 . x−1 112. 23 ln(x2 − 2x + 5) + 2 arctg x−1 110. √12 arcsin 4x−3 111. 14 ln x+ 1 . 5 . 2 . 103.

3

98

ïÔ×ÅÔÙ Ë ÇÌÁ×Å I

99 √ 2x+1−√ ln 2x+1+ 55 .

2x+3 5 17 1 2 √ √ . 114. 1 ln |x2 + x − 1| + √ 2 ln(x + 3x + 3) − 3 arctg 2 3 2 5 √ 1 2 − ln(x + 4x + 29). 116. −3 5 − 4x − x2 − 115. 54 arctg x+2 5 2 q √ 1 2 + x + 3 − 1 x + . 117. ln + − 8 arcsin x+2 x 4x2 + 4x + 3. 3 2 4 2 √ √ 2 − 5. 118. 26 arcsin x−3 6x − x 119. 3 6x − x2 − 8 arcsin x−3 − 5 . 2 3 q √ √ 120. 12 3x + 2x2 + 4√9 2 ln x + 43 + x2 + 32 x . 121. 4 x2 + 8x + 7 − √ √ x−3−2√ 5 7 2 2 √ − 5 ln |x + 4 + x + 8x + 7|. 122. 2 ln |x − 6x + 1| + 2 ln x−3+2 22 . 3 3 123. x3 +x2 +4x+8 ln |x−2|. 124. 23 x2 −3x+8 ln |x+1|. 125. x3 −a2 x+a3 arctg xa . 2 (x+4)2 (x−1)8 126. ln (x−2) . 127. + ln 128. 32 x − 54 ln |2x + 1|. |x−3| 2 |x| . x4 x3 3x2 √ . 129. 2x + ln(x2 − x + 1) − √43 arctg 2x−1 130. + + 4 3 2 + 9x + 27 ln |x − 3|. 3 2 131. 23 x2 + 16x + 33 ln(x2 − 6x + 10) + 38 arctg(x − 3). 132. (x+8) + 2 55 82 1 3 2x−1 x−7 2 2 + 2 ln |x − 8x + 7| + 3 ln x−1 . 133. 3x + 2 ln(x − x + 1) − √3 arctg √3 . x4 3 2 √ . 135. 134. 12 ln(x2 + 7x + 13) − √13 arctg 2x+7 4 + x + 3x + 18x + 54 ln |x − 3|. 3 √ x+4−√23 x2 136. x− 52 ln |x2 +8x−7|+ 2√2723 ln x+4+ . 137. x(ln x−1). 138. 4 (2 ln x−1). 23

113.

139.



x2 2 2 − 9 −x



ln(3x + 2) −

x2 4

+

x 3.

5x

140.



x3 3

3 2



3

2

+ x + 2x ln x − x9 − 3x4 − 2x. 2

141. −e (x + 1). 142. e25 (5x − 1). 143. −e−x (x3 + 3x2 + 6x + 6). x 145. e2x (x + 1). 146. x sin x + cos x. 144. −2e− 2 (x2 + 4x + 8). x+1 cos 3x 2 147. sin x − x cos x. 148. 3 sin 3x + 9 . 149. (x − 2) sin x + 2x cos x. x 1 x2 150. 4 + 4 sin 2x + 8 cos 2x. 151. ln | sin x| − x ctg x. 152. x tg x + ln | cos x|. √ 2 153. x arctg x − 12 ln(1 + x2). 154. x arcsin x + 1 − x2. 155. x 2+1 arctg x − x2 . √ √ 2 156. x2 arcctg(1 − x) − x2 − 21 ln(x2 − 2x + 2). 157. 2 1 + x arcsin x + 4 1 − x. √ √ 2 159. x 2−1 ln 1+x 158. x arctg 7x − 1 − 17 7x − 1. 1−x + x. 1 x e2x 1 x 160. 2 e (sin x − cos x). 161. 2 e (sin x + cos x). 162. 13 (3 sin 3x + 2 cos 3x). √

5 163. 52 ex 2 sin x2 − cos x2 . 164. x[1 + (ln x − 1)2]. 165. 54 x4 ln x − 54 . 166. x ln x(x2 + 2) − 2x + √42 arctg √x2 . 167. x2 [cos(ln x) + sin(ln x)].
2 x 1 1 − ln 1 + 168. − 2 sinx 2 x − 21 ctg x. 169. ln | cos x|− x2 +x tg x. 170. − arctg x 2 x2 . √ √ √ x 172. 12 ln x+2 . 171. 2 x arcsin x + 2 1 − x. − ln(x+2) x √ √ √ −3 x x 7 173. 2 x arctg x−ln |1+x|. 174. √3 x (3+ln x). 175. 2 7 − x2 + 2 arcsin √7 . √ √ √ 177. x2 3 − x2 + 32 arcsin √x3 . 176. x2 x2 − 5 − 52 ln |x + x2 − 5|. √  √  q √ √ x√ 3 3 2 2 x 2 2 2 179. 2 x 3 − x + 3 arcsin 2 . 178. 2 x + 2 + ln |x + x + 2|. q  √  q √ 6x − x2 + 92 arcsin x−3 180. 22 x x2 − 12 − 21 ln x + x2 − 12 . 181. x−3 2 3 .

100

ïÔ×ÅÔÙ Ë ÇÌÁ×Å I √ √ √ 2x+5 2 − 4x − 2 ln |x − 2 + 2 − 4x|. 182. x−2 x x 183. x2 + 5x + 4 − 2 4 √ √ x+1 2 184. x+1 − 98 ln x + 52 + x2 + 5x + 4 . 2 √3 − 2x − x + 2 arcsin 2 . √ x−2 9 2 185. x−2 186. x−1 2x − x2 + 12 arcsin(x − 1). 2 h5√+ 4x −√x + 2 arcsin 3 . i2 √ √ 3 cos x ex 2 x + arcsin 3√cos x . 187. − √13 2 − 3 cos e2x + 3 + 188. 2 2 2 p p √ + 32 ln(ex + e2x + 3). 189. sin2 x sin2 x + 3 + 23 ln | sin x + sin2 x + 3|. p x x√ ln x e2 x 2 191. 2 ln2 x + 1 + 21 ln | ln x + 190. p e 4 − e + 4 arcsin 2 .
√ 3 3 + ln2 x + 1|. 192. 49 arcsin 2x−3 3x − x2 − 23 (3x − x2 ) 2 . + x − 3 2 q i h
q5 5 5 25 5 1 7 2 23 2 2 √ 193. 6 (5x + 2x ) + 4 2 x + 4 2 x + x − 16 ln x + 4 + 2x+x . √   3 1 x 194. − 13 (−6x − x2) 2 − 2 (x + 3) −6x − x2 + 9 arcsin x+3 3 . 195. 2 − 4 sin 2x. 3 1 1 sin 2mx. 198. x2 + 4m sin 2mx. 199. − cos x+ cos3 x . 196. x2 + 14 sin 2x. 197. x2 − 4m 3 5 sin 2x sin 4x 200. sin x − sin3 x . 201. 3x 202. 23 cos3 x − cos5 x − cos x. 8 + 4 + 32 . cos3

x

cos x

3

x 204. 12 2 − 4 2 . 205. 16 − sin644x + sin482x . 203. x8 − sin324x . 3 5 7 5 3 x − sin644x − sin482x . 207. cos5 x − cos3 x . 208. sin x − sin3 x + 3 sin5 x − sin7 x . 206. 16 3x 4x sin 8x sin6 x sin8 x 209. 128 − sin + . 210. − 211. 83 x − sin2 x + sin162x . 128 1024 6 8 . 2 sin3 x sin5 x 1 + 214. 212. 3x + 4 sin x +
sin 2x. 213. sin x − 3 5 . 2 ln | tg x|.
x 1 1 tg 9x . tg π + 5x . 215. 3 ln tg π4 + ln ln . 216. 217. 2 5 4 2 6
 9 1 219. − (cos 4x + 2 cos 2x). 218. 12 ln tg x2 + ln tg π4 + x2 h . 8 i

220.

223. 225. 228. 231.

234. 237. 240. 243.

1 sin 2x− 16 sin 8x. 221. 12 sin(m−n)x − sin(m+n)x . 222. 81 (2 sin 2x−sin 4x). m−n m+n

1 cos 6x − π4 − 18 cos 4x − π4 . − 12 224. 23 cos x3 − 12 cos x. 2 − sin1 x − sin x. 226. cos1 x + cos x. 227. − ctg2 x − ln | sin x|. 4 2 − ctg4 x . 229. 2 cos1 2 x + 2 ln | cos x| − cos2 x . 230. 31 tg3 x − tg x + x.
3 tg x 1 1 1 x x. 232. arctg . 233. arctg tg − ctg3 x − ctg 2  2 2 2 . 2 x x 4 2 2 tg +1 tg 1 235. − √12 arctg √22 . 236. tg4 x − tg2 x − ln | cos x|. ln tg x2−2 . 5 2 x √ x 1 2 x tg 2 +1− 2 ctg3 x 1 1 1 ln tg 2 + 8 tg 2 . 238. − 3 − ctg x − 3 sin3 x . 239. √2 ln tg x +1+√2 . 4 2 x √  √ √ tg 2 −1+ 2 3 tg x 2 tg x+3− 1 1 1 √ . √ ln x √ √ √ √13 . . 242. 241. arctg ln 2 tg 2 −1− 2 5 13 2 tg x+3+ 13 15x
tg −5 1 cos x 1 1 2 . 245. − ln |1 − 5 ctg x|. 244. ln . 246. − arctg . x 5 tg −3 tg x+1 b b

1 4

2

247. 250. 253. 255. 257.

1 sin2 x 248. tg2 x. 249. 21 ln(e2x + 1) − 2 arctg(ex ). 2 − 2 sin2 x − 2 ln | sin x|. ex−1 e2x e3x e2x 1 x x x x x x . −2e +4 ln(e +2). 251. + +e +ln |e −1|. 252. e + ln 2 3 2 2 e +1 √ x 2 ln |ex − 1| − x. 254. ex − 12 ln(e2x + ex + 1) + 3 arctg 2e√+1 . 3 x 4x 3x 2x 3 2x + 4) − 2 arctg e2 . 256. e4 − e3 + e2 − ex + ln(ex + 1). 2 ln(e
3 3 258. tg3 x + tg x. 259. arctg tg x2 + 1 . tg x − tg3 x .

ïÔ×ÅÔÙ Ë ÇÌÁ×Å I

101

260. 12 (tg x + ln | tg x|). 261. sin12 x − 4 sin1 4 x + ln | sin x|. 262. √   3 2 − 8x + 16 arcsin x+4 . (x + 4) 263. −(−x2 − 8x) 2 − 13 −x 2 4 − 17x + 36 ln(x2 + 6x + 10) − 46 arctg(x + 3). − 25 ln |ex +√4 − e2x |. 
− 94 x + 23 x2 + 3x + 5 +

1 2

arctg(2 tg x). 3 2 264. √2 x − 2ex−1−√17 ln 2e x −1+ 17 −

√1 2 17 5 2 3 (x +

265.

3

266. 3x + 5) 2 − √ 11 3 x2 + 3x + 5 . 267. ln1a arctg(ax ). 4h ln x + q 2 + q i
3 4 4 16 11 8 8 2 2 2 2 √ 2 x + 3 x − 9 ln x + 3 + x + 3 x . 268. − 9 (3x + 8x) + 2 3 x + 3 √ √ 269. 6 x2 + 5x + 17 − 25 ln x + 25 + x2 + 5x + 17 . q i q h √ 1 1 1 1 270. √2 (x + 1) x2 + 2x + 2 − 2 ln x + 1 + x2 + 2x + 2 . 271. 4 2 − x− √ √ x+5−2 x 3 7 2 − 2 2 − x arcsin 2 . 272. 2 ln |x + 10x + 1| − 2√6 ln x+5+2√66 . √ 274. x2 (sin(ln x) − cos(ln x)). 273. x − 1 − x2 arcsin x. √ tg2 x 2 + 2 arcsin x−1 . 276. + 3 + 2x − x 275. x−1 2 2  3  2
2 1 1 + ln | cos x|. 277. x3 − 12 arctg(2x + 1) − x12 + x6 − 24 ln x2 + x + 21 . h i sin(m−n)x 1 sin(m+n)x + m−n . 278. 2 279. − ctg x ln(cos x) − x. m+n √ √ √
√ √ 2 3x 2 arctg 280. 2 x − 3 ln(x + x − 9) − 4 x + 3. 281. 2 tg 3 2 . √ 5x 3x 3 tg +1 tg −2+ 5 282. 5√1 2 arctg 2√22 . 284. √12 arctg tg√x−1 283. 3√1 5 ln tg 3x2 −2−√5 . . 2 2 √ x √ tg 3x− 23 tg 4 +√5 1 2 √ √ √ 2 . 286. 6 6 ln 287. 10 . 288. 13 . 289. 2. 285. 5 ln tg x − 5 . 3 tg 3x+ 3 4 1 4 295. 6√5 2 . 4 ln e . 2 2 297. 15 . 298. 3(e−1) 299. 0. 300. e e−5 . 301. √π3 − ln 2. 296. 32 . e .√ 2 R5. 303. e − 2. 304. π 9 3 . 305. 1. 306. 43 . 307. 83 . 308. 43 . 302. 15 √ √ 309. 32 . 310. 13 . 311. 61 . 312. 12 . 313. π−2 . 314. 2 3 − ln(2 + 3). 4 2(e−1) 315. 34 . 316. √e . 317. 32 318. 83 . 319. 12 − 5 ln 5. 320. 32 − 2 ln 2. 3. a2 (e4π −1) πa2 πa2 9π 2 321. 4 ln(4e). 322. 3π a . 323. . 324. . 325. . 326. . 2 4 4 2 4 2 2 2 2 328. πa4 . 329. 3πa2 . 330. πa4 . 331. πa4 . 332. 19 , 327. πa4 . 3 √ 2 2e−1 3πa 4π π π π 5π 11 19 256 , a2 , 2, 8 , 3 − 3. 334. 30 , 6 , 2 , 6 , 30 π, 30 π. 333. 15 π, 8π. 3 π(e2 −1) 21 3π , 2π. 336. 128 337. 178 338. 6π 335. 2 5 π, 8π. 15 π, 2 π. 7 , 5 . 2 π(e2 +1) π(e2 −3) π(e2 +5) π2 339. 4πab . 340. π(e − 2), , πe, , , π(4 − e). 341. 3 2 2 2 2, √ 2π 2 , 6π 2 , 2π(π + 2), 2π(π + 4), π(8−π) , π(π+16) . 342. 32π 343. 2π 2 2 3 (2 2 − 1). 15 , π2 π π2 8π 16π 16π 8π π 2 2 π(π+16) 344. 8 , 4 (π − 2). 345. 2 , 10π , 6π , . 346. 3 , 15 , 3 , 5 . 6. 2 √ π(π+2) 2 349. 27 (13 13 − 8). 347. 12π, 24π. 348. 4 , π ln 2. 350. 12 ln 3. √ √ a(e2 −1) 28 1 5 + 5). 355. ln 3. 351. 670 . 352. . 353. . 354. ln(2 + 27 3 2e 2

290. 0.

291. 5π.

292. 1.

293. arctg 2.

294.

102 356. 360. 363. 367. 371. 376.

ïÔ×ÅÔÙ Ë ÇÌÁ×Å I √ √ 6a. 357. 8a. 358. 32. 359. πa 1 + 4π 2 + a2 ln(2π + 1 + 4π 2 ). 1 e2 +1 361. 1. 362. α−1 ÐÒÉ α > 1; ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ α 6 1. 4 . 1 364. òÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. 365. òÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. 366. òÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. 4 ln 3. 1 −1. 368. 1−α ÐÒÉ α < 1; ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ α > 1. 369. π2 . 370. −1. √ 2. 372. òÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. 373. 0. 374. òÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. 375. 6 3 2. òÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. 377. òÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. 378. 12 .

çÌÁ×Á II 379. y = exy /y . 380. y 0 = 3y 2/3. 381. y 2 + y 02 = 1. 382. x2y 0 − xy = yy 0 . 383. 2xyy 0 − y 2 = 2x3. 384. y 03 = 4y(xy 0 − 2y). 385. x(x − 2)y 00 − (x2 − 2)y 0 + + 2(x − 1)y = 0. 386. (yy 00 + y 02 ) = −y 2 y 00 . 387. y 00 y 2 (ln y − 1) = y 02 (xy 0 − y). √ 3 388. y 000 y 0 = 3y 002 . 400. y = 35 x5 +1. 401. y = 3 ln x+2. 402. y = 12 e2x − 12 . 403. y = − ctg x+1. 404. y = 31 sin 3x. 405. y = 21 arctg x2 . 406. y = − x1 +1. 3 407. x = − ln |y| + 2(1 + ln 2). 408. x = y3 + 23 . 409. x = − 2y12 + 12 . p 411. arcsin x + ln |y + 4 + y 2 | = c. 410. − cos x + 21 sin 2y = c. 3 2 412. 12 ex − ln | cos y| = c. 413. ln |x| + arctg y = π3 . 414. 23 x 2 + tg y = 1. √ √ 1 1 415. − y−2 + 2(x+1) 416. tg2 x + sin2 y = c. 417. 2 y + ln |y| − 2 x = c. 2 = c. 0

2

ln2 y = 2 tg x. 419. (1 ∓ x2)(1 + y 2 ) = c. 420. 12 ex + ln |y| + y = c. 2 −xe−x − e−x + arctg y = −1. 422. y = (x − c)3. 423. y = 2−sin . 2x p √ 1 + x2 · 3 1 + y 3 = c. 425. tg x tg y = c. 426. tg y = c(1 − ex )3. |x3 −1| 4x2 −3 1 3y + ln (y+1) 430. y = 1 + x2. 428. (1+y 429. y = c−sin 6 = c. 2 )2 = c. x. √ y2 433. y = 2 − 3 cos x. 431. y = x − 1. 432. 2e 2 = e (1 + ex ). 3 434. y = (x − 2) . 435. y(1 + x) = 1. 436. y 2 − 2 = ce1/x . 2 437. (ce−x − 1)y = 2. 438. e−y = p 1 + cex . 439. y = − lg(c − 10x ). 440. y = c(x + 1)e−x . 441. ln |x| = c + y 2 + 1. 442. y(ln |x2 − 1| + 1) = 1. 2 443. ln |xy|+x−y = c. 444. y2 +y +ln |y −1| = − x1 +c. 445. y 2 +x2 −2x = c. 446. ctg y−x = x + c. 447. 2x + y − 1 = cex . 448. x + 2y + 2 = 0. 2 √ √ x 449. 4x + 2y − 1−2 ln( 4x + 2y − 1+2) = x+c. 450. y = ce y . 451. y = xecx . 452. (x + y + 1)3 = c(x − y + 3). 453. x + 2y + 3 ln |2x + 3y − 7| = c. y/x 2 2 454. y = ce . 455. y − x = cy. 456. sin xy = cx. 457. y = −x ln ln cx.
√ y 1 = cx. 459. ln cx = ctg ln . 460. x ln cx = 2 xy. 458. ln x+y x 2 x y 3 2 2y−x 461. arcsin x = ln |cx|. 462. (y −2x) = c(y −x−1) . 463. 2x+y −1 = ce . y 2 2 2 2 464. (y − x + 2) + 2x = c. 465. x + y = cx . 466. ln(x + y ) = c − 2 arctg x . √ 469. y = cey/x . 467. x(y − x) = cy. 468. x = ±y ln cx. 470. y = (x + c) sin x. 471. y = (x + c)ex . 472. y = 2x2 + x1 . 418. 421. 424. 427.

ïÔ×ÅÔÙ Ë ÇÌÁ×Å II

103


3 473. y = (tg x + c) cos x. 474. y = arctg x − π4 (1 + x2). 475. y = xc + x4 . x −x2 476. y = cosc x + 12 sin x + 2 cos . 477. y = ce + 12 . 478. y = ce4x − 12 e2x . x √ 2 481. y = 1 + x2. 479. y = 1√− x2 (arcsin x + c). 480. y = xcos+cx . 482. y = e−x 1 − 4x2e2x . 483. y = cx2 +x4. 484. y = (2x+1)(c+ln |2x+1|)+1. x x x −x 2 − 2e 2 + c)2 . 485. y = sin x + c cos x. 486. y = e (ln |x| + c). 487. y = e (xe q

3 488. y = 3 2x + xc3 . 489. x = − 12 cos 2y · cos1 y + cosc y . 490. 3x2y − y 3 = c. 491. x2 − 3x3y 3 + y 4 = 0. 492. xe−y − y 2 = c. 493. 4y ln x + y 4 = c. 3 495. x2 + 23 (x2 − y 2 )3/2 = c. 496. x − y 2 cos2 x = c. 494. x + xy2 + y5 = c. 497. x3 + x3 ln y − y 2 = c. 498. y 2 = x2(c − 2y). 499. ln |y| − ye−x = c. 500. y = x(ce−x − 1). 501. (cx + 1)y = cx − 1, y = 1. 502. y(x2 − c) = x. 503. x(c−y) = c2 , x = 4y. 504. y(x+c) = x+1, y = 0. 505. x = cy+y 3 , y = 0. 506. y = c1 , y = c+ex . 507. y ln cx = −x, y = 0. 508. y 2 = c(x2 −1), x = ±1. 509. 2y = 2c(x−1)+c2, 2y = −(x−1)2. 510. x = cy+ln2 y. 511. y = cx2 e−3/x. 512. (x − c)2 + y 2 = c, 4(y 2 − x) = 1. 513. 4x2y = (x + 2c)2, y = 0. 514. x = cey + y 2 + 2y + 2, xy = 1. 515. 3y = 3c(x − 2) + c3, 9y 2 = 4(2 − x)3. 516. y 2 = c(xy − 1), xy = 1. 517. 4(x − c)3 = 27(y − c)2, y = x − 1. 518. x + y = tg(y − c). 519. x3 + y 2 + 7x = c. 520. y = c2 + c1 (3x + 2)4/3. 2 521. y = − cx1 + c1c+1 ln |1 + c1 x| + c2 . 522. c1 y 2 + 1 = c21 (x + c2 )2. 2 1 √ y 1 1 (x + 2)4. 525. y = 49 x x − 23 ln |x| + 95 . 523. x = c1 − c2 ln y+c2 . 524. y = 16

526. 4(c1 y − 1) = c21 (x + c2 ). 2

527. y = ex .

528. y =

1 4c1

[c21(x − c2 )2 + 4].

−x− 12 . 530. y = c1 +c2 e2 +c3 e−x +c4 cos x+c5 sin x− 21 x2 −x. 529. y = 3(x+1) 2 531. y = c1 +c2 ex +c3 e2x + 21 xe2x +3 sin x−cos x. 532. y = c1 ex +c2 e−x +c3 cos x+ √ √ 4 + c4 sin x. 533. y = c1 + c2 x + c3 e− 3 x + c3 e 3 x − x4 − x2. 534. y = 1 2 −x 2 −x x = c1 + c2 x + c3 e + 2 x − 2x(x + 6x + 18)e . 535. y = c1 e + c2 e2x − xex . 536. y = c1 e−x + c2 e−5x + 5x2 − 12x + 12. 537. y = ex (c1 cos 3x + c2 sin 3x) + +cos 3x−6 sin 3x. 538. y = e3x (c1 +c2 x)+ 31 x+
92 −2ex . 539. y = c1 e4x +c2 ex + 3 + 41 x− 16 . 540. y = c1 +c2 e−2x +x 16 x2 − 14 x + 43 . 541. y = c1 ex +c2 e−3x − 13 e−2x .
2 1 542. y = 4 − 3e−x − x x2 + 1 e−x . 543. y = c1 e2x + c2 e4x − x2 − 43 x − 16 . 2 544. y = c1 +c2 e−3x + x6 + 59 x. 545. y = c1 +c2 e−2x − x2 e−2x . 546. y = c1 sin 3x+ 2 +c2 cos 3x+ 81 e3x . 547. y = c1 e−3x +c2 e−x + 41 (x2 −x)e−x . 548. y = xex + x2 ex . 9 cos x + 50 sin x. 549. y = 34 cos 2x + 41 sin 2x + x2 + 41 . 550. y = c1 e3x + c2 e−2x − 37 50 1 3 2x x −x 551. y = −2 cos x + 3 sin x + 2 x sin x. 552. y = c1 e + c2 e + 10 e (cos x + 2 9 13 1 2 x x −4x + 2 sin x). 553. y = c1 e + c2 e − 4 x − 38 x −
13 32 + 5 xe − 50 cos 3x − 50 sin 3x. 554. y = c1 cos x + c2 sin x + x 23 sin x − cos x . 555. y = c1 e3x + c2 ex − − 51 sin 2x + 35 cos 2x − x2 ex .

ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ 1. âÅÒÍÁÎÔ á. æ. ëÒÁÔËÉÊ ËÕÒÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÄÌÑ ×ÔÕÚÏ×. í.: îÁÕËÁ, 1976. 2. ëÕÚÎÅÃÏ× ì. á. óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÎÉÊ ÐÏ ×ÙÓÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔËÅ (ÔÉÐÏ×ÙÅ ÒÁÓÞÅÔÙ). í.: ÷ÙÓÛÁÑ ÛËÏÌÁ, 1983. 3. ëÕÚÎÅÃÏ×Á, ýÅÇÌÏ×Á. óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ ÐÏ ×ÙÓÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. í.: éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ, 1983. 4. ðÉÓËÕÎÏ× î. ó. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ. ô.2. í.: îÁÕËÁ, 1976. 5. óÔÅÐÁÎÏ× ÷. ÷. ëÕÒÓ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. í.: îÁÕËÁ, 1983. 6. æÉÌÉÐÐÏ× á. æ. óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ ÐÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ. í.: îÁÕËÁ, 1979. 7. æÉÈÔÅÎÇÏÌØà ç. í. ëÕÒÓ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ. ô.1. í.: îÁÕËÁ, 1970. 8. ûÉÐÁÞ¾× ÷. ó. ÷ÙÓÛÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. í.: ÷ÙÓÛÁÑ ÛËÏÌÁ, 1990.

104