Система аналитических вычислений Maple: Задания и упражнения: Учебно-методическое пособие

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра информатики и методов оптимизации

СИСТЕМА АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ MAPLE Задания и упражнения Учебно-методическое пособие для студентов математического факультета

ТВЕРЬ 2003

УДК 681.3.06 Автор-составитель кандидат технических наук, доцент В.О. Ашкеназы Система аналитических вычислений Maple: Задания и упражнения: Учебно-методическое пособие. - Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003. - 26 с. Сборник заданий и упражнений по работе с компьютерной системой аналитических вычислений Maple может быть использован для закрепления умений и навыков, полученных при начальном изучении интерфейса и языка программирования системы Maple. Пособие предназначается для студентов и специалистов, применяющих математику в своей учебной и практической деятельности. В течение нескольких лет эти задания и упражнения успешно выполнялись на версиях Maple V R3/R4/R5 и Maple 6. Библиогр.: 4 назв.

Публикуется по решению кафедры информатики и методов оптимизации (Протокол № 2 от 4 октября 2002 г.)

© Ашкеназы В.О., 2003 © Тверской государственный университет, 2003 2

1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Используйте команды Maple: factor, solve, fsolve, evalf, subs, plot для решения следующих задач. При этом: a) постройте графики функций для определения расположения их нулей; b) попробуйте разложить на множители многочлены; c) используйте команды solve или fsolve для нахождения всех решений. В некоторых случаях вы могли бы воспользоваться командой evalf, чтобы увидеть численные значения; d) подставьте решения в функцию или уравнение, чтобы убедиться, что вы действительно нашли то, что искали. 1. Найдите все корни следующих многочленов: 1) x 4 − x 3 − 5 x 2 + 12 ; 2) 2 x 3 − 13 x 2 − 4 x + 60 ; 3) 8 x 2 + 2 x 3 − x 4 ; 4) 2 x 4 − 5 x 3 + 10 x − 12 ; 5) x 5 − x 4 − 15 x 3 + x 2 + 38 x + 24 ; 6) x 5 − x 4 − 15 x 3 + x 2 + 38 x + 10 ; 7) 10 x 5 − 30 x + 10 ; 8) x 6 − 5.4 x 5 + 5.2 x 4 − 3.2 x 3 + 10 x 2 − 3 x + 37 . x

⎛1⎞ 2. Найдите все три решения уравнения log 1 ( x ) = ⎜ ⎟ . ⎝ 16 ⎠ 16 3. Решите уравнения: 1) 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x = 1 ; 2) 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 = 1 ; 3) 5.7 x 4 − 5.2 x 3 + 10 x 2 − 99 e x = 4.99 . 3

x3 4. Найдите все решения уравнения sin ( x ) = x − . Кстати, какова кратность 6 очевидного корня x = 0 ? Попробуйте воспользоваться командой series (или taylor) для разложения выражения в степенной ряд и командами convert, x3 factor. А что, если уравнение будет иметь вид sin ( x ) = 2 x + ? 6

5. Найдите корень уравнения

x3 x5 x7 x 9 x11 x13 x− + − + − + =0 6 120 5040 9 ! 11! 13 ! в интервале (3; 3,5). 6. Сколько решений имеет следующая система в зависимости от значения па-

раметра a: x 2 + y 2 = 1; ... x + y = a ? Указание: Постройте графики для двух уравнений в плоскости x0y, используя функцию implicitplot. Решите систему для a=0, a=0.5, a=1, a=2. Угадайте ответ. Проверьте его. 7. Выражение:

q=

( x − b) ( x − c ) ( x − a ) ( x − c ) ( x − a ) ( x − b) + + −1 ( a − b) ( a − c ) ( b − a ) ( b − c ) ( c − a ) ( c − b)

является многочленом второй степени от x, и уравнение q = 0 - это квадратное уравнение. Но если вы подставите x = a , или x = b , или x = c , то получите q = 0 . Итак, наше квадратное уравнение имеет три корня! Почему это может быть? 8. Решите неравенства:

1) 2 ln ( x 2 − 3) < 3 − ln ( x 2 − 3) 2 ; 2) x 4 + 3 x 3 − 10 x 2 − 32 x − 99 ≤ 57 x 5 − 24 x + 95 . 4

2. СТРУКТУРЫ ДАННЫХ В MAPLE 1. Пусть U - это множество первых двадцати простых чисел (см. пакет numtheory). Пусть V - это множество первых двадцати чисел вида 2 n − 1 . Сфор-

мируйте множества U и V. Найдите пересечение U с V и объединение U и V. 2. Сформируйте список из 100 случайных целых чисел от -10 до 10 (функция rand).

1. Удалите из этого списка все "дублирующие" элементы. 2. Выберите из списка, полученного в (1), все числа, которые делятся на 2 или на 3. 3. Удалите из списка, полученного в (1), все числа, большие чем 5. 3. Сформируйте матрицу 5 × 4 с элементами вида M i , j =

i . Умножьте эту j

матрицу на транспонированную к ней. Вычислите определитель полученной квадратной матрицы. 4. Для системы e1 = − x1 + 2 x2 − 3 x3 = 3; e2 = 2 x1 − x2 + 2 x3 = 1; e3 = 2 x1 − 2 x2 + 3 x3 = 2 ;

сформируйте матрицу системы (команда genmatrix пакета linalg). Затем воспользуйтесь командами gausselim и backsub для решения системы. Решите эту же систему с помощью команды solve.

3. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 3.1. Задачи суммирования Используйте команды sum и value (или evalf) для вычисления последующих сумм при нескольких увеличивающихся значениях n (например, n=100, 5

500, 1000) и, наконец, при n = ∞ . Общий член суммы предварительно опишите с помощью некоторой переменной. Результат вычислений оформите, например, в виде ∞

1 π2 ∑ n2 = 6 . n =1 Желательно затем привести таблицу полученных приближенных численных значений для разных n. 1)

2)

∞

2 n + 3n ∑ 6n ; n =1 ∞

n

∑ ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ;

n =1

3)

∞

2n +1

∑ n 2 ( n + 1)2 ;

n =1 ∞

4)

2n + n 2 + n ∑ 2( n +1) n ( n + 1) ; n =1

5)

( −1) ( n −1) ( 2 n + 1 ) ∑ n ( n + 1) ; n =1

6)

∞

∞

n −1 . n ! n=2

∑

В последних двух задачах этого задания через c(n,k) обозначены биномиальные коэффициенты (см. подсказку: ?binomial). 7)

n

∑ c ( n, k ) ( − 1)( k +1) ;

k =1

8)

n

∑ ( k + 1 ) c ( n, k ) .

k =1

6

3.2. Вычисление пределов и дифференцирование функций 1. Найдите пределы, используя Limit, и воспроизведите задачу, записав сна-

чала исходную формулу для предела, потом знак равенства, а затем значение предела. Затем воспользуйтесь каким-нибудь другим методом, чтобы проверить ответ, полученный вами для предела, например, используйте правило Лопиталя, постройте график, вычислите последовательность значений, сходящихся к предельному значению, и т.д. Для задач, содержащих символы вроде "a'' или "b'', выясните случаи, для которых пределы существуют, и случаи, для которых предел не существует. 1) lim

sin ( a x ) ; sin ( b x )

2) lim

ln ( cos ( a x ) ) ; ln ( cos ( b x ) )

x→0

x→0

3 x 2 + 2 x − 16 3) lim ; x→2 x2 + 2 x − 2 4) lim

x→0

5) lim

sin ( x ) − x ; x3 x − sin ( x )

x → 0+

(x

⎛3⎞ ⎜ ⎟ sin ( x )) ⎝ 2 ⎠

6) lim

sin ( x ) ; arctg ( x )

7) lim

ax −1 ; bx −1

8) lim

ln ( x ) ; x2 + x − 2

x→0

x→0

x→0

;

7

1 − cos ( x 2 ) 9) lim 2 ; x → 0 x sin ( x 2 )

x ( e x + 1) − 2 ( e x − 1) 10) lim ; x→0 x3 11) lim

x→0

ln (1 + x ) − x ; 1 − cos ( x )

⎛πx⎞ sin ⎜ ⎟ ln ( x ) 2 ⎠ ⎝ 12) lim ; x → 0 ( x 3 + 5) ( x − 1) 13) lim

x→0

14)

cosh ( x ) − cos ( x ) ; x2 x − a + x−a

lim

x2 − a2

x→a+

15) lim

x→0

;

x ctg ( x ) − 1 ; x2

⎛1⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝x⎠ ; 16) lim x → ∞− ⎛1⎞ arctg ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 17)

18) 19)

x → ∞−

ax ; xb

lim

⎛1⎞ ⎜ ⎟ x⎝ 4 ⎠

lim

x → ∞−

⎛ 1 ⎞ sin ⎜ ⎟; ⎝ x⎠

lim x 2 − x 4 − x 2 ;

x → ∞−

8

20) lim x ( x

x

−1)

x → 0+

;

x

21) lim x ( x ) ; x → 0+

22) lim (1 − 2 x )sin ( x ) ; x → 0−

23) lim ctg ( x )sin ( x ) ; x→0

24) lim

x →1

⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ x ⎝ 1− x ⎠ .

Для выполнения следующих упражнений воспользуйтесь, при необходимости, командой суммирования sum. 25) Пусть a - это положительное вещественное число. 1⎛ 1⎛ a⎞ a ⎞ Положим x1 = 1 , x2 = ⎜⎜ x1 + ⎟⎟ , ... , xn +1 = ⎜⎜ xn + ⎟⎟ , ... 2⎝ 2⎝ x1 ⎠ xn ⎠ Докажите, что

lim xk = a .

k→ ∞

26) Докажите, что последовательность a1 = 0 , ... , an +1 = an + 6 , ... имеет предел и найдите его. Кстати, попробуйте найти этот предел без помощи Maple.

1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 27) Пусть an = ⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟ K ⎜⎜1 + n ⎟⎟ . Найдите lim an . n→∞ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 2( 2 ) ⎠ Попробуйте также найти этот предел без помощи Maple. 28) Пусть f n (x ) это n-я итерация функции sin ( x ) :

f n ( x ) = (sin (sin (K(sin x K ))) , т.е. функция sin(x) прилагается n раз. 9

Экспериментируя с Maple, убедитесь, что последовательность любого x между 0 и 1 имеет скорость роста

fn ( x)

для

1 C , т.е. lim f n ( x ) = . Найn→∞ n n

дите значение C. 2. Найдите производную dy/dx , если функция y ( x ) задана неявно одним из приведенных ниже выражений вида f ( x, y ) = 0 : а) предполагая, что y является функцией от x, продифференцируйте уравне-

ние, а затем разрешите полученный результат, относительно dy/dx; б) воспользуйтесь командой implicitdiff (дифференцирование неявной функции): в) для иллюстрации полученного результата постройте график функции

y ( x ) , используя команду implicitplot из пакета plots ; на этом же графике изобразите касательную к полученной кривой в заданной точке ( x, y ) . Варианты выражений: 1) x 2 + x y − y 2 = 1 , в точке (2, 3); 2) x 2 + y 2 = 25 , в точке (3, -4); 3) y 2 − 2 x − 4 y − 1 = 0 , в точке (-2, 1).

3. Существует ли функция z = f ( x, y ) , удовлетворяющая следующим условиям? Если существует, то найдите ее. Воспользуйтесь, при необходимости, командой интегрирования int. 1)

dz dz =2x y, = x 2 + 1; dx dy

2)

dz y dz x , ; =− 2 = − dx dy x + y2 x2 + y2

10

3)

dz dz =xy , = x y; dx dy

4)

dz y dz x = = − , . d x ( x − y )2 dy ( x − y )2

Примечание. Система дифференциальных уравнений с частными производными допускает решение только тогда, когда удовлетворяются условия совместимости, то есть совпадают смешанные производные высшего порядка в наших задачах это

∂ ∂ z= z. ∂y ∂x ∂x ∂y

3.3. Вычисление интегралов 1. Используйте команды leftbox, middlebox, rightbox, leftsum, middlesum, rightsum вместе с limit, int, Int, evalf, чтобы исследовать интегралы от некоторых функций на заданном интервале. Например, постройте график, используя некоторое значение n (числа прямоугольников), которое даст разумное приближение к значению, получаемому с помощью int. Воспользуйтесь также для каждого из интегралов формулами трапеций и Симпсона (попробуйте несколько разумных значений n). 1) sin ( x ) + x ,

0 < x < 1;

⎛1⎞ 2) x sin ⎜ ⎟ , ⎝x⎠

0 < x < 1;

⎛1⎞ 3) x 2 sin ⎜ ⎟ , 0 < x < 1; ⎝x⎠ ⎛ 1 ⎞ 4) x sin ⎜ 2 ⎟ , 0 < x < 1; ⎝x ⎠ 5) x 3 − sin ( x ) + ln ( x ) , 1 < x < 2. 11

2. Найдите точки пересечения кривых и вычислите площадь, ограниченную кривыми. 1) x + y 2 = 0 , x + 3 y 2 = 2 ; 2) x 3 − y 2 = 0 , x + y 4 = 2 ; 3) y = 8 x − x 2 , y = 2 x ; 4) y = sin ( x ) 2 , y = 0, x = 0, x = π ; 5) x 2 y = 4, x = 1, x = 3, y = 0 ; 6) 2 y = x 2 , y 2 = 16 x .

3. Используйте определенные интегралы для вычисления объемов: 1) найдите объем шара радиуса 1, если вы знаете формулу для площади круга

S = π R2 ; 2) найдите объем пересечения двух цилиндров, заданных уравнениями

x 2 + z 2 = 1, y 2 + z 2 = 1 . 4. Найдите первообразные от следующих функций. При необходимости воспользуйтесь командами changevar (замена переменных) и intparts (интегрирование по частям) пакета student. 1)

1 ; x5 + 1

2)

1 − x 2 arcsin ( x ) ;

3)

2 x3 + 3 x 2 + 1 ( x 2 + x) ;

4) x ln ( x ) ;

12

5) x 2 sin ( 2 x ) ; 6) ( x − 1)3 ;

ex 7) x ; e +1 x

8) 9)

x2 + 1

;

1 x

4

6

x −1

;

6 x 3 − 19 x 2 + 23 x − 28 10) 4 . x − 4 x 3 + 3 x 2 − 16 x + 16 Проверьте ваши ответы дифференцированием.

3.4. Ряды и их сходимость 1. Для данного ряда с заданным n-м членом определите, сходится или расходится ряд. n

⎛ n ⎞ 1) an = ⎜⎜ ⎟⎟ ; + 3 n 1 ⎝ ⎠ 2) bn =

n ; n +1

3) cn =

2n ; n!

4) d n =

5) en =

2

ln ( n ) n n2 + 1

;

n3 ; 2n 13

2 n n! 6) f n = n ; n 7) g n =

( n !) 2 2

(n 2 )

.

2. Определите радиус сходимости степенного ряда. Проверьте также крайние точки интервала сходимости. ∞

( − 1 ) n 2( 2 n ) x ( 2 n ) 1) ∑ ; 2n n =1 2)

∞

∑ (1 − (− 2 )n ) x n ;

n =1 ∞

⎛ 1⎞ 3) ∑ ⎜1 + ⎟ n⎠ n =1 ⎝

(n 2 )

xn ;

∞

( n! ) 2 x n ; 4) ∑ n =1 ( 2 n )! 5)

∞

∑

n =1

3

n 2

xn

n +1

.

3. Вычислите n-й многочлен Тейлора для функции f (x ) в точке x = 0 на ин-

тервале ( − c, c ) . Постройте графики функции и нескольких первых многочленов Тейлора. 1) f ( x ) = sin ( x ) 2 при c = 2 π ; ⎛ 1− x ⎞ 3 ⎟⎟ при c = . 2) f ( x ) = ln ⎜⎜ 4 ⎝ 1+ x ⎠

14

4. ПРОГРАММИРОВАНИЕ В MAPLE 1. Напишите процедуру, которая строит семейство графиков системы функций { sin ( x ), sin ( 2 x ),K, sin ( n x ) } для заданного n.

2. Напишите процедуру, которая печатает n первых чисел Фибоначчи. 3. Напишите процедуру, которая печатает все числа Фибоначчи, имеющие значение, меньшее заданного числа.

4. Итерационный метод Ньютона для решения уравнения f ( x ) = 0 описывается рекуррентным соотношением

x k +1 = x k − f ( x k ) / f '( x k ) . Таким образом, чтобы приближенно вычислить x = a , мы можем решать уравнение x 2 − a = 0 , используя рекуррентное соотношение xk + 1 =( xk +

a xk )/2 ,

при некотором начальном условии, например, x 0 =

a . 2

Напишите процедуру SqrtNewton, которая вычисляет

a с абсолютной по-

грешностью 10 ( −50) . Сравните этот результат с вычислением квадратного корня при помощи функции sqrt.

5. Напишите процедуру с именем remove1, в которой remove1(x,L) удаляет первое появление величины x из списка L. Если x не содержится в списке L, возвращается FAIL (неудача). Продемонстрируйте работу этой процедуры на любом сформированном вами списке.

15

6. Напишите процедуру с именем variance, которая вычисляет дисперсию (variance) списка чисел. То есть variance(x) вычисляет 1 1 n 2 ( x − μ ) ∑ i n, n i =1

где n - это число элементов списка x, а μ - это среднее значение чисел в списке x. Ваша программа должна печатать сообщение об ошибке, если список является пустым. Продемонстрируйте работу этой процедуры на любом сформированном вами списке чисел.

7. Напишите процедуру, которая вычисляет норму Фробениуса матрицы A. Норма Фробениуса - это

⎛ ∑ ⎜⎜ i =1⎝ m

n

∑

j =1

2⎞

Ai, j ⎟ . ⎟ ⎠

Продемонстрируйте работу этой процедуры на любой сформированной вами матрице.

5. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Используйте dsolve , чтобы найти общее решение дифференциального уравнения. Затем подставьте решение в уравнение и покажите, что это действительно искомое решение (т.е. проверьте ваш результат). Если имеется начальное условие, то найдите также частное решение при заданном начальном условии. ⎛ ∂ ⎞ 1) ⎜⎜ y ( x ) ⎟⎟ − 6 y ( x ) = 10 sin( 2 x ) , при y (0) = 0 ; ⎝ ∂x ⎠ ⎛ ∂ ⎞ 2 y ( x ) ( x − 2) e x 2) ⎜⎜ , при y ( 2) = 0 ; y ( x ) ⎟⎟ − = x x ⎝ ∂x ⎠ 16

⎛ ∂ ⎞ 3) ⎜⎜ r ( θ) ⎟⎟ − ( 2 r ( θ) ctg ( θ) + sin ( 2 θ) = 0 . ⎝ ∂θ ⎠

2. Используя DEtools, изобразите поля направлений (dfieldplot) для уравнения первого порядка, затем используйте DEplot , чтобы изобразить несколько траекторий при заданных начальных условиях (заметьте, что вам может потребоваться ограничить диапазон значений y). 1)

∂ y(t) (y(t) − 1 ) y(t) = ; [0, .5], [0, 1.25] для t от 0 до 2; 2 ∂t

2)

∂ y(t) = sin ( 4 t y (t )) ; [0, .1], [0, .5], [0, 1.25], [0, 1.6] для t от нуля до 2; ∂t

3)

∂ y y(t) = − sin ( x ) − , где x – константа. Используйте [t, x, y] в качестве 10 ∂t

переменной и начальное условие [0, 1, 1] для t от -10 до 10 в DEplot .

6. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 6.1. Работа с матрицами и решение систем линейных уравнений 1. Даны матрицы A и B:

⎡ 1 − 1 0⎤ A = ⎢ − 1 2 0⎥ ; ⎢ ⎥ 0 1⎦⎥ ⎣⎢ 0

⎡1 B = ⎢1 ⎢ ⎢⎣ 1

0 1 0

а) Найдите ( 2 A2 − 3) B . б) Найдите ( A + B ) ( A − B ) и A2 − B 2 . 17

1⎤ 1⎥ . ⎥ 1 ⎥⎦

в) Найдите A B и B A . Сравните результаты. г) Найдите ( A + B ) 2 и A2 + 2 A B + B 2 . 2. Используйте команды swaprow, multrow, и др., чтобы привести сле-

дующую систему к верхнему треугольному виду. Затем воспользуйтесь командой backsub, чтобы решить систему.

2 x1 + x2 + 4 x3 =

41 , 4

3 34 41 x2 + x3 = , 2 5 12 2 35 x 2 + 5 x3 = . 3 4

3 x1 +

3. Найдите значения a и b, при которых система уравнений имеет:

1) единственное решение, 2) бесконечное множество решений, 3) никаких решений.

x1 + x2 + x3 = 6 , x1 + 2 x2 + 3 x3 = 10 , x1 + 2 x2 + a x3 = b . 4. Найдите значения b, при которых система уравнений имеет решение. За-

тем решите систему для каждого из значений b: x1 + x2 + x3 = 1, x1 + 2 x2 + 4 x3 = b , x1 + 4 x2 + 10 x3 = b 2 .

18

5. Напишите процедуру, зависящую от целого n, которая будет строить n × n

матрицу A, в которой (i, j)- й элемент равен (i + j − 2) 2 , и вычислите определитель. Догадайтесь, каким будет этот определитель. 6. Напишите процедуру, зависящую от целого n, и дающую n × n матрицу с

главной диагональю, состоящей из единиц, и с первой поддиагональю из единиц, т.е. если n = 4 , то

⎡1 ⎢1 A= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0⎤ 1 0 0⎥ ⎥. 1 1 0⎥ 0 1 1 ⎥⎦

Для нескольких значений n найдите обратную матрицу.

6.2. Проблема собственных значений ⎡ 1 −1 ⎤ 1. Дана матрица A = ⎢ ⎥. 2 − 1 ⎣ ⎦ а) Найдите характеристический многочлен. б) Найдите собственные значения и соответствующие собственные векторы. в) Решите, является ли A диагонализируемой матрицей. Если это так, то найдите матрицу P, такую, чтобы P −1 A P была диагональной. г) Покажите, что A удовлетворяет своему характеристическому уравнению. ⎡1 −3 3⎤ 2. Дана матрица B = ⎢ 3 − 5 3 ⎥ . ⎥ ⎢ ⎢⎣ 6 − 6 4 ⎥⎦ а) Найдите характеристический многочлен. б) Найдите собственные значения и соответствующие собственные векторы. 19

в) Решите, является ли B диагонализируемой матрицей. Если это так, то найдите матрицу P, такую, чтобы P −1 B P была диагональной.

⎡− 3 3. Дана матрица C = ⎢ − 7 ⎢ ⎢⎣ − 6

− 1⎤ 5 − 1⎥ . ⎥ − 6 − 2⎥⎦ 1

а) Найдите характеристический многочлен. б) Найдите собственные значения и соответствующие собственные векторы. в) Решите, является ли C диагонализируемой матрицей. Если это так, то найдите матрицу P, такую, чтобы P −1C P была диагональной.

⎡1 4⎤ ⎡1 2⎤ ⎡2 4⎤ C = 4. Даны A = ⎢ , , = B ⎢1 2⎥ . ⎥ ⎢ 1 5⎥ ⎣ ⎦ ⎣2 2⎦ ⎣ ⎦ а) Найдите собственные значения для A и C. ⎡ A B⎤ б) Постройте матрицу F = ⎢ ⎥ , где 0 - это 2 × 2 нулевая матрица. ⎣ 0 C⎦ в) Найдите собственные значения для F.

⎡2 1⎤ 5. Дана матрица A = ⎢ ⎥. ⎣1 2⎦ а) Найдите собственные значения для A m , m=1, 2, 3, 4. б) Найдите собственные значения для A −1 . в) Найдите собственные значения для I + 2 A + 4 A 2 , где I - это 2 × 2 единичная матрица. ⎡ 0 1 0⎤ 6. Дана матрица A = ⎢ − 1 0 0⎥ . ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 1⎥⎦ 20

а) Найдите показательную матрицу для A π : e ( A π ) и ее собственные значения. б) Теперь постройте матрицу, элементами которой являются e

( A i , j π)

,и

найдите ее собственные значения. в) Найдите матрицу A4 и ее собственные значения. г) Теперь постройте матрицу, элементами которой являются A i4, j , и найдите ее собственные значения. В связи с этой задачей смотрите обсуждение вычислительных аспектов поэлементных операций над описанными выше матрицами.

7. ЗАДАНИЯ НА ПОВТОРЕНИЕ Основные математические операции 1. Упростите выражение

∫( 1

2. Вычислите

9

4+2 3 .

)

1 − x17 − 17 1 − x 9 dx .

0

3. Вычислите первую и вторую производные от sin (x) ⋅ cos (x) по x. 4. Дан многочлен: y(x) = x3 - 4x2 + 4x - 1 . Найдите корни этого многочлена и все его локальные минимумы и максимумы. Проконтролируйте это решение, построив график функции y(x). 5. Дано f = x2 - 4. Вычислите интегралы от f и 1/f по x. Проверьте правиль-

ность результатов путем их дифференцирования. ∞ −t e dt 0

∫

6. Вычислите следующие интегралы:

21

и

∞ −t 2 e dt . 0

∫

7. Вычислите следующие суммы:

1000

∑k

и

k =1

∞

∑

1

k =1 k

2

.

8. Получите формулу для суммы первых n натуральных чисел, а также для суммы квадратов первых n натуральных чисел, т.е. вычислите и упростите суммы

n

∑k

k =1

9.

и

n

∑k2 .

k =1

Дана функция h( x ) = 1 − x + sin ( x ). Определите эту функцию в Maple и

вычислите значение функции h при x = 2.0; затем постройте график этой функции в области [-5,5].

Линейная алгебра 10. Введите в Maple следующую матрицу A: ⎡ a 0 5⎤ A = ⎢ 1 1 1 ⎥. ⎢ ⎥ ⎢⎣ − a 0 0 ⎥⎦

а) Вычислите характеристический многочлен для A. Указание. Воспользуйтесь командами charmat и det в пакете линей-

ной алгебры linalg. б) Вычислите собственные значения матрицы A. Указание. Воспользуйтесь командами solve и factor, чтобы найти

корни характеристического многочлена.

11. Воспользуйтесь командой solve для решения линейной системы 4 x − 5 y = 11, 2 x + y = 9. Решите эту же систему, используя ее матричное представление (команда genmatrix). 22

Математический анализ 12. Найдите разложение функции sin (x) в ряд Тейлора до членов порядка 6

в точке x = 0, используя команду taylor. Затем с помощью команды convert преобразуйте полученное выражение в многочлен (без остаточного чле-

на).

Для наглядного представления о точности такой аппроксимации по-

стройте одновременно графики sin (x) и полученного многочлена 6-й степени при x∈ [0,4].

13. Повторите такие же операции задачи № 12 для разложения sin (x) в ряд Тейлора до членов порядка 10.

14. Решите задачи № 12, 13, но с использованием команды series (и стандартной переменной Order, определяющей порядок разложения.

15. Используйте команду limit, чтобы найти пределы функции: x2 − 2x + 1 , при x→ 1; 1) f ( x ) = 4 x + 3x 3 − 7 x 2 + x + 2 2x + 3 2) f ( x ) = , при x→ ∞. 7x + 5

16. Вычислите интеграл ln( π )

∫

e x cos (e x )

x 3/ 2 ln( π / 2 ) ( 2 + sin ( e ) )

dx ,

используя подходящую подстановку (команда changevar пакета student). После замены переменной в интеграле воспользуйтесь value и subs, чтобы найти точное выражение для интеграла. 17. Найдите интеграл

∫e

5x

cos ( 2 x ) dx двумя способами:

а) Используйте int ;

23

б) Воспользуйтесь интегрированием по частям (команда inparts пакета student), чтобы получить правильный ответ, не пользуясь int или va-

lue. 18. Покажите, что несобственный интеграл ∞

∫

2

e − x cos ( x 2 ) dx

0

сходится. Найдите наименьшее целое N, такое, что N

∫

2

e − x cos ( x 2 ) dx

0

аппроксимирует наш интеграл с точностью 10 −8 .

Дифференциальные уравнения Теперь рассмотрим задания, связанные с дифференциальными уравнениями. Для решения дифференциальных уравнений можно, в частности, использовать команду дифференцирования diff и команду – "решатель ОДУ" dsolve. 19. Решите систему ОДУ

x ' (t ) = − x (t ) + a y (t ), y ' (t ) = b x (t ) − y (t )

при начальных условиях x(0) = 1, y'(0) = 0. 20. Решите ОДУ 2-го порядка: 1)

y(x) + y"(x) = ex

при начальных условиях y(0) = 1, y'(0) = 0; 2)

y"(t) + 5 y'(t) + 6 y(t) = 0

при начальных условиях y(0) = 0, y'(0) = 1. Примечание. Команда дифференцирования для функции имеет вид D, для выражений эта команда имеет вид diff. 24

21. Решите ОДУ 4-го порядка: 106 yIV(x) = δ(x-2) - δ(x-4) при граничных условиях на y(x), y’(x) и y"(x): y(0) = 0,

y’(0) = 0,

y(5) = 0,

y"(5) = 1.

Дельта-функция Дирака δ(x) в Maple записывается как Dirac(x). Решение этой краевой задачи сохраните под именем "soln", а затем постройте график найденной функции для x = 0...5. 22. Решите систему двух ДУ 2-го порядка y"(x) = z(x), z"(x) = y(x), не вводя дополнительных условий. Maple создаст соответствующие константы C1,...,C4. 23. Решите ДУ 2-го порядка

y"+3 y '− y = cos (t ) при граничных условиях y (0) = 0, y ' (0) = 1 , используя dsolve. Кроме того, попробуйте при этом использовать метод преобразования Лапласа и сравните результаты. Общие указания к заданиям № 19-23: 1. Проверьте правильность найденных вами решений дифференциальных

уравнений путем их подстановки в уравнения. 2. Попробуйте поработать с пакетом DEtools.

25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. – М.: Мир, 1997. – 208 с., ил. 2. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. – М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998. – 240 с., ил. 3. Дьяконов В.П. Maple 6: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 608 с., ил. 4. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 624 с., ил. 5. Ашкеназы В.О. Система аналитических вычислений Maple V: Курс интерактивного обучения: Учебно-методическая разработка. - Тверь: Тверской гос. ун-т, 1999-2002.

СОДЕРЖАНИЕ 1.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ ............................................ 3

2.

СТРУКТУРЫ ДАННЫХ В MAPLE ........................................................... 5

3.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ........................................ 6 3.1. Задачи суммирования .......................................................................... 6 3.2. Вычисление пределов и дифференцирование функций .................. 7

3.3. Вычисление интегралов .............................................................................. 12 3.4. Ряды и их сходимость ......................................................................... 14 4.

ПРОГРАММИРОВАНИЕ В MAPLE ......................................................... 15

5.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ........................... 17

6.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ............................................................................... 18 6.1. Работа с матрицами и решение систем линейных уравнений ...... 18 6.2. Проблема собственных значений ....................................................... 20

7.

ЗАДАНИЯ НА ПОВТОРЕНИЕ .................................................................. 22

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................... 26 26

АШКЕНАЗЫ Вениамин Осипович СИСТЕМА АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ MAPLE Задания и упражнения Учебно–методическое пособие

Тверской государственный университет, Редакционно-издательское управление. Адрес: Россия, 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33,

27