ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ с примерами на языке MATLAB

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Author: Б.Р. Андриевский | А.Л.Фрадков

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(1.34)

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(s ; ay )w (s) ; w!z (s) = 0 (1.35) ;amz w (s) + (s + a!mzz )w!z (s) = ;amz : @/ .! % :9 ! ! ! ! : ; a ) y W!z (s) = s2 + (a!z ;+amaz (s )s + a + a a!z mz

y

;amz

mz

y mz

W (s) = s2 + (a!z + a )s + a + a a!z : mz y mz y mz

(1.36)

) ! ! (1.34) .! % ! ! W# (s) = 1s W!z (s): * .. % ! :9 # #$ # ! ( ) . @!/ $ $ .. % amz . ' amz > 0 # / # !/, # , ! { , %. 13 5 ! .! % / (1.25) $ $ $ MATLAB-5 P82]. G , .! % W!z (s) W (s) ! (1.33) $ ,$/ !/, . 8

9: - - ( . (19, 98]). 13

42

' .! % !

syms a alpha y a delta y a alpha m a omega m syms a delta m a thet y s al thet om del { $ \ I=eye(3,3)v { %\ A=]-a thet y+a alpha y, 0 ,-a alpha yv... a alpha m, -a omega m, -a alpha mv... 0 1 0 ]v B=]a delta yv -a delta mv 0]v C=]0, 1, 0v -1, 0, 1]v { . % A B C ! (1.33)\ W=C*inv(s*I-A)*B { .! % \ ]num,den]=numden(W)v

{ .! % \ lln1=collect(num)v d1=collect(den)v { # . !$ !/ !/, .! % W!z (s) W (s) a + a (a ; a )) y mz y y W!z (s) = ;s(amz s ; amz A(s) 2 !z + a )s + a a mz mz y z W (s) = ; ay s + (ay amA(s)

A(s) = s3 + (a!mzz ; ay + ay )s2 + (amz + (ay ; ay )a!mzz )s + ay amz : ' !,/, ay = 0 ay = 0 ,$/

n2=subs(n1,]a thet y,a delta y],]0 0]) d2=subs(d1,]a thet y,a delta y],]0 0]) ! (1.36). 4. ;9! !):-!<. G -

.! % $! , /

43

! / (. 2 . 1.4.3. . 32). J % (1.19) !/, * : 8 > 1 (s) ; w2 (s) = 0 > < sw k1w1 (s) + m1 sw2 (s) ; k1 w3 (s) = 0 > 3 (s) ; w4 (s) = 0 > : sw ;k1w1(s) + (k1 + k2)w3 (s) + m2sw4(s) = k2: ( / w2 (s), w4 (s)

(m1 s2 + k1)w1 (s) ; k1 w3 (s) = 0 (1.37) ;k1w1(s) + (m2s2 + k1 + k2)w3(s) = k2: ( (1.37) !: f(s) = (m1 s2 + k1 )(m2 s2 + k1 + k2 ) ; k12 = = m1 m2 s4 + (k1 m1 + k1 m2 + k2 m1 )s2 + k1 k2 f1 (s) = k1 k2 f3 (s) = k2 (m1 s2 + k1): J (k1 k2

(1.19)), ! .! % W1 (s) = f(s) 2 2 2 s + k1 ) ( h2 (t) ; h3 (t)). G!( h1 (t)) W2 (s) = ; m1 s (m f(s) $, f(s) s12 = |!1 s34 = |!2 !1 6= !2 : )$, $, ! $. '! !$ , # . 3 $ !/ . 1.20 . 30 !/ $ (1.20). $/, / $ ! !

s(JC s + C )WMC (s) ; H cos 0sW MC (s) = 1 H cos 0 sWMC (s) + s(JB s + B )W MC (s) = 0

s(JC s + C )WMC (s) ; H cos 0sW MC (s) = 0 H cos 0 sWMC (s) + s(JB s + B )W MC (s) = 1 ! !/, .! % : s + B WMB (s) = WMC (s) = ; H cos 0 WMC (s) = JBsA(s)

sA(s) s + C A(s)=JB JC s2 +(JB C + JC B )s+B C + W MB (s) = JCsA(s) +H 2 cos2 0 : 1 # , !/ ! $ !/, #$ 44

r

$ T = +JBHJ2C cos2 B C 0 J + J B C C B .. % . = p : 2 JB JC (B C + H 2 cos2 0) F # " !# P91] !n T ;1: 6 , B = C = 0 ! = 0: 1 #$ !% !/. ' !, ! ! / " P91]. 5. 8!: : .5 " " (!), !/, ! xPk + 1] = xPk] + uPk] yPk] = xPk] .! % W(z) = z ;1 1 ! !# $ .! (1.25). ' yPk] = xPk] + uPk] ! W(z) = z ;z 1 : $ ! ! $ T0. 1 ! , , W(z) = z T;0 1 # W(z) = T0 z z ; 1: 3 $ " 1 &0 " { ! % . . $ (1.22), . 33, !/, $ , . ( (1.22) ! ! ! .! % wi : 8 zw (z) = 1 > > < ;w1 (z) + zw (z) = 0 1 2 ; w (z) + zw > 3 (z) = 0 > : 2

;w3(z) + zw4 (z) = 0

! wi (z) = z ;i i = 1 : : : 4: J ! (1.22), ! !/ .! % / . $ 2 3 W(z) = 1 + z +4zz4 + z :

(1.38)

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45

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um 2Rm s0 2 C . 8! $ * (1.23) x(t) = xmes0 t xm 2 C n { , / . ' u(t) x(t) (1.23) s0xmes0 t = Amxes0t + Bmues0t (s0 I ; A)mxes0 t = Bmues0t (s0 I ; A)mx = Bmu: ' , ! : s0 # % A ! det(s0 I ; A) 6= 0: @/ , xm = (s0 I ; A);1 Bmu , $,

x(t) = (s0I ; A);1 Bmues0 t :

(1.39)

' $ $ ! , ! $ * . '!$ .! % x~(t) ! (1.23). ' x(t) = x~(t) + fx(t) (1.23) !#, fx(t) ! &, !/,! (1.23) u(t) 0: )$, /# * (1.23) $ ! !1 (1.39) # /, . '! * $/ /, fx(t). ' ! fx(t) ! 0 t ! 1

* !! %! (1.39). ' $ ! x(t) ! (1.23): y(t) = Cx(t)+Du(t) = C(s0 I ; A);1 Bmues0 t + Dmues0 t = (C(s0 I ; A);1 B + D)mues0 t = W(s0 )mues0t = W(s0)u(t): 1 # , .! % ( #, ! { ), /, !!/ /,!/ % % $ . D % / , .. ! # . 46

'!$ % # u(t) = um cos !t um 12 (e|!t + e;|!t ) ! { , , , |2 = ;1: ($ ! !!/ * .!! s0 = |! ! % * , ! ; (1.40) y(t) = 21 W(|!)e|!t + W(|!)e;|!t um:

$3. W(|!) (! 2 R |2 = ;1) $" # (1.23). 2 - Wij (|!) .! % W(|!) $ 14 W(|!) = A(!)e|!+'(!) = U(!) + |V (!)

A(!) = jW(|!)j { - # ( 7)\ '(!) = argW(|!) { $ - # (67)\ U(!) = ReW(|!) V (!) = ImW(|!) { 0 ! # (867, .67). k . W(|!) ! 2 P!0 !1 ] (# #! !0 = 0 !1 = 1 ) $ # ( 7), 9 . F $ !

( $ # , , 7),

L(!) = 20lgA(!) % # .! % lg(!): ' $ ! W() { % $ .! % ,

.. % , U(;!) = U(!) V (;!) = ;V (!) .. W(;|!) = conj(W(|!)) A(;!) = A(!) '(;!) = ;'(!): ' . - ! V (!) U(!) 6= 0: G .! % arctg() , tg'(!) = U(!) h i ; 2 2 ! $ '(!) #! $ $ . ( # %# $ $ $ $ W(|!) 14

, .

47

# ( ) Ql W(|!) QLi=1 ri(|!)

P

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i=l+1 ri (|!)

$ '(!) = Li=1 'i(!) " + "

i = 1 2 : : : l ( / .! % ), " ; " { i = l + 1 i + 2 : : : L ( / .! % ). - 'i(!) 8 > > > > > <

arctg UVii((!!)) Ui(!) > 0 signVi(!) Ui(!) = 0 Vi(!) 6= 0 2 'i(!) = > (1.41) Vi (!) + signV (!) U (!) < 0 V (!) 6= 0 > > arctg i i i > Ui (!) > : Ui(!) = Vi(!) = 0

Ui (!) = Re ri (|!) Vi(!) = Im ri (|!): F# $ , ! % / (!!/ /,!/) i- -.! % y(t) j-/ ! uj (t): ($ ! (1.40), ! ; yi (t) = 12 W(|!)e|!t + W(|!)e;|!t umj = ; = 21 A(!) e|('(!)+!t) + e;|('(!)+!t) = ymi cos(!t + ')

ymi = A(!)muj { ! % ( { ! /,), ' = '(!) { ". " ! % . 1 # , !/ .! % / , ! $ % / ( ! % / ). @# $ . 1.6.2. 6 ! # !#

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48

! det(z0 I ; A) = 6 0 ! ! xm = (z0 I ; A);1Bmu $ xPk] = (z0 I ; A);1 Bmuz0k : (1.42) - , .! (1.42) !!/ /,!/ * . % ( c$/ /,) yPk] = CxPk] + DuPk] = C(z0 I ; A);1 Bmuz0k + Dmuz0k = (C(z0 I ; A);1B + D)muz0k = W(z0 )muz0k = W(z0 )uPk]: 3 " " % uPk] = um cos !m k um 12 (e|! k + e;|! k ) , !m { . 15 '$$ uPk] $ uPk] = um 12 (z+k + z;k ) z = e|! : @/, (1.42) z0 = e|! ! ; yPk] = 12 W(e|! )e|! k + W(e|! )e;|! k um:

$3. W(e|! ) $" , # (1.24) # !m . 2 ' ! , . 1.6.1. . 46, !/, P15, 47, 66, 76, 95] A(m! ) = jW(e|! )j { - # ( 7), A(;!m ) = A(m! )\ '(m! ) = argW(e|! ) { $ - # (67), '(;!m ) = ;'(m! )\ U(m!) = ReW(e|! ) V (m! ) = ImW(e|! ) { 0 ! # (867, .67), U(;!m ) = U(m!) V (;!m ) = ;V (m! ): @#$/ $ 2 : W(e|! +2N ) = W(e|! ) N = 1 2 3 : : : : ;$ , ! z .! % W(z) z = e|! /, , "# " !$ !. ) ". " 15 . , - '"

- - k - , 2!;1 = -, ju(k]j - ju>j.

49

, %, / 2N , # !/ ! ! $$ (cos !m k cos(m! 2N)k): '! $ !m 2 P0 2) # , ! . W(e|! ) $ , #$ !m 2 P0 ]: F !m N = 9 . ' !m > !m N !/ /, ( ) 9FU ;FU. 1.6.3. 6 ! # " $!# @ # , % uPk] !, " # " u(t) T0 : uPk] = u(t)jt=kT0 k = 1 2 3 : : : : G !/ .! % ! ! % u(t): ' u(t) = um cos !t uPk] = um cos(!kT0 ): ) !, ! , , $ / !m = !T0 : '! $ !/ z = e|!T0 W(z) : A(!) = jW(e|!T0 )j '(!) = argW(e|!T0 ) U(!) = ReW(e|!T0 ) V (!) = ImW(e|!T0 ) W(e|!T0 ) $ $" ( # ) $ !: F G $ !N = =T0: G !N

, $ $ "" j! j !N : '!, $ / !, , . $% $ ! juj !N u {

% u(t): 5# $ ! !$* T0 ! *

50

T0 $. 16 G # #, * !% $ $ . $ , % . # . 9FU / ! -. $ % . ! !/ ! ! . 1.6.4. ! !# # 3 . 1. )3+:3@ & !):-. - . 1.5.3. . 38, .! % #$ ! (1.13) q p 2 Ks 2 R W(s)= T 2 s2 +2Ts+1 T = LC K =LC=T = 2 CL : ! s = |! ! 2 R ! !!/ ! K! 2 = A(!) = jW(|!)j = p 2 ! 2 )2 + 4 2 T 2 ! 2 (1 ; T LC! 2 =p : (1 ; LC! 2 )2 + R2 C2 ! 2 ) (1.41), . 48, . - ! 0 8 RC! 2 > > < ; arctg 1 ; LC! 2 LC! < 1 LC! 2 = 1 '(!) = > 2 > 2 : arctg RC! 2 ;1 + LC! LC! > 1:

- 9FU, $

# # (86-$ ). k % ! ! A(!)2 0:5: '!$, , R= 800 P@], L= 4 Pk], C= 10;5 P;]. 1 T = 6:32 10;3 P], = 0:63 ! !c = 200 P1/c]. k. 9FU . 1.9 ? , - " , @$. 16

51

3 . 1.9. 9 !- #$ ! 1 MATLAB 9FU

#$ !

L=4.0v R=800v C=10e-6v { \ T=sqrt(L*C), xi=R/2*sqrt(C/L), K=L*C { T K ommax=600v omega=0:ommax/100:ommaxv { !\ s=j*omegav % { ! s = |!\ W=K*s.b2 ./(Tb2*s.b2+ 2*xi* T*s+ 1)v { s W(s)\ A=abs( W)v { 9FU\ plot(omega, A, 'w'), grid

{ 9FU . . ' 'w' % . (. P72, 81, 139]) 2. ::3@ & :. '! $ ! 8 ( . ) * 2 . 28 $ (1.16). : $ $ ! :9 (1.33), !/, .! % / (1.36). 3 52

:9 !/, P4]: ay = ;2:10 Pc;1 ] ay = 0:16Pc;1 ] amz = 29:4 Pc;2 ] a!mzz = 2:18 Pc;1 ] amz = 60:7 Pc;2 ]: , ! !/,!/ !/ .! % / ! ! : + 127) = ;k#(s + 1) W# (s) = s(s;2 (60:7s + 4:28s + 34:0) s(T 2 s2 + 2Ts + 1)

.. % k# = 3:75 Pc;1 ] = 0:48 Pc] T = 0:17 Pc] .. % . = 0:37 : 5 8 (:9U) $ ! ! . 1.10

3 . 1.10. 5 8 $ . 1 MATLAB $

a alpha y= -2.10v a delta y= 0.16v a alpha m= 29.4v a omega m = 2.18v a delta m= 60.7v

{ ay ay amz a!mzz amz ! (1.33)\

num=- a delta m*]1, - a alpha y] den=]1, a omega m, -a alpha y, ... 53

a alpha m, -a alpha y*a omega m, 0]

{ . .. % .! % :9 W# (s) (1.34)\

k=-n1(2)/d1(3), tau=n1(1)/n1(2) T=sqrt(1/d1(3)), ksi=d1(2)/d1(3)/2/T

{ k# T .! %

W# (s)\

om=logspace(-1, 2)v { !\ ]mag, phase]=bode(num, den, om)v { ,$/ %! bode (. ' ) lmag=20*log10(mag)v { 9FU % #\ semilogx(om, lmag, 'w', 1/tau, 0, '+w', 1/T, 0, '+w'), grid { 8 (:9U) . . ) '+' { ! ! &0 # P15, 76]. 5 .! % ! $ $ MATLAB- !:

A=]a alpha y, 0 , -a alpha yv... a alpha m, -a omega m, -a alpha mv... 0 1 0 ]v B=]a delta yv -a delta mv 0]v C=]0 0 1]v D=0v { . % ! :9 (1.33) ]n, d]=ss2tf(A, B, C, D, 1)v

{ .. % .! % :9\

]mag, phase]=bode(A, B, C, D, 1, om)v { .

6 , !$ #!! $ $ - ay !/, ]!/ ! ! . D ! (1.34) , / %! B . 54

3. ):)% :): : G (1.19), . 32. ' .! % W1 (s) W2 (s) ! . 1.5.3. ( 4, . 38), ! !/, 9FU: A1 (!) = jm m ! 4 ; (k m + kk1 km2 + k m )! 2 + k k j 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 A2 (!) = jm m ! 4 ; (kmm1 ! +jkk1 ;m m+2 !k jm )! 2 + k k j : 1

2

1

1

1

2

2

1

1 2

. 1.11 9FU, !/, P126]: m1 = 500 P

], m2 = 400 P

], k1 = 60P G/], k2 = 170P G/].

3 . 1.11. 9FU . 1 MATLAB-

k 1= 60e3 v k 2= 170e3 v m 1= 500 v m 2= 400 v { \ ommax= 50 v omega=0:ommax/500:ommaxv 55

{ !\

A 1=k 1*k 2./abs(m 1*m 2*omega.b4-... (k 1*m 1+ k 1*m 2+k 2*m 1).*omega.b2+ k 1*k 2 )v A 2=m 1*omega.b2 .*abs(k 1- m 2.*omega.b2)./... abs(m 1*m 2*omega.b4-... (k 1*m 1+ k 1*m 2+k 2*m 1).*omega.b2+ k 1*k 2)v { 9FU A1 (!) A2 (!)\ subplot(211), plot(omega, A 1, 'w'), grid axis(]0 ommax 0 10]) subplot(212), plot(omega, A 2, 'w'), grid axis(]0 ommax 0 10]) { . 9FU. ' axis

.

* . 9 ! 2, $ , !$ 9FU % ! ,$/ %! bode. 4. E=)%)& =3@:. . 1.5.3. . 45, ! .! % ! % . . $2 3 (1.22), /, (1.38) W(z) = 1 + z +4zz4 + z : 5 . $ |! e2|! + e3|! ! z = e|! : '! W(e|! ) = 1 + e + : 4e4|! ! ! W(z)

!# |! ) = 0:25;e;4|! +e;3|! +e;2|! +e;|! = $ # W(e ; ; 0:25 e;2:5|! e;1:5|! +e;0:5|! +e0:5|! +e1:5|! = 0:5 e;2:5|! cos 1:5m! + cos 0:5m! = e;2:5|! cos !m cos 0:5m! : @/ 9FU . $ A(m! ) jW(e|! j = j cos(m! ) cos(0:5m! )j: k. A(m!) . 1.12. 1 MATLAB- % . . $

omega=0:0.005:2*piv z=exp(i*omega)v

{ ! z = e|! .! % \

W= (1+ z+ z.b2+ z.b3)./z.b4/4v { W(e|! )\

56

A=abs(W)v plot(omega, A, 'w'), grid, axis(]0, 2*pi, 0, 1]) { 9FU . .

3 . 1.12. 9FU % . . $ 6 . * $ .! % !/, * . $ * $ $ $ = |! ( # = e|! { ; ) $ R() =; In ; A ;1: 6 !/ * R( + |) = ( + |)In ; ;1 $ ; ; A = In ; A ; | In ( In ; A)2 + 2 In ;1 = U + |V = Re = Im ( = |! / = 0 = ! = e|! = cos !m = sin !m ). !$ , U V: J % C B ! ,!/ !/ ! ! !. 1 # #$ .! % , , $ $ .. $ #. 57

1.7. % ):) )$ :

! # $ ! $ ! , , $ ! # . 1 / " ! ". 3 , * ! P47]. 1.7.1. 9 ! ! 3 # !, ! ( . 1.13, ). , ! #] , { #] .

3 . 1.13. )! ! . '!$ Si i = 1 2 / ! x_ i(t) = Ai(t)xi (t) + Bi (t)ui (t) yi (t) = Ci (t)xi (t) % Ai(t) Bi (t) Ci (t) / , , ni ni ni mi li mi : ! n1 +n2 (0 ) - !: x(t) = col x1 (t) x2(t) 2R u(t) = 58

col u1(t) u2 (t) 2 Rm1 +m2 y(t) = col y1 (t) y2 (t) 2 Rl1+l2 : @#] ! , !#, $ ! (1.3) x(t) _ = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) % A(t) B(t) C(t) / !/,!/ #!/ ! !!: A 0 B 0 1 (t) n 1 (t) n 1 n2 1 m2 A(t) = 0 B(t) = 0 n2n1 A2 (t) n2 m1 B2 (t)

C(t) = C0 1 (t) 0Cl1 (t)n2 : l2 n1 2 1.7.2. '!$ $ S S1 u(t) u1 (t)\ # ! S2 y(t) y2 (t) S1 ! S2 , /, l1 = m2 u2 (t) = y1 (t): ' * ! ! ! ! ( . 1.13, #). '!

x_ 1(t) = A1(t)x1 (t) + B1 (t)u(t) y1 (t) = C1 (t)x1 (t) x_ 2(t) = A2(t)x2 (t) + B2 (t)C1 (t)x1 (t) y(t) = C2 (t)x2 (t)

! ! % ! . (1.3)

0n1n2 B(t) = B1(t) 1 (t) A(t) = B A (t)C (t) A2(t) 0n1m2 2 1 C(t) = P 0l2 n1 C2 (t) ] : 1.7.3. & '!$ $ # $/, .. S2 ! ! ( ) S ! S1 :

S $ ! S2 ( . 1.13, ). 1 # , , m1 = l2 m2 = l1 m = m1 l = l2 n = n1 + n2 u1(t) = u(t) y2 (t)

59

u2(t) = y1 (t): ) ! ! ! /

x_ 1 (t)=A1 (t)x1 (t) B1 (t)C2 (t)x2 (t)+B1 (t)u(t) y(t)=C1 (t)x1 (t) x_ 2 (t)=A2 (t)x2 (t)+B2 (t)C1 (t)x1 (t) % (1.3) /

B1(t)C2 (t) B(t) = B1(t) 1 (t) A(t) = B A (t)C (t) A2(t) 0n1m2 2 1 C(t) = P C1 (t) 0l1 n2 ] : 9 # ! #$ ! ! $ , ! , # !. @ , . $ , ! * * ( # ) .

1.8. )+)% +

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, (23, 19, 98],

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! $ . 6 $ * #] $/ #] ! ! A ! #/$. '! ,$/ % # % #] , % * 8. ' ! ! ! $ , * * " " # " ("internal model principle"). 5 .. , % , ! ! ! $ $ !,/, , , ("% ! "), #] .. 9 5 %! , * % $ ! { N X ei t Pi (t) i 2 C { , i=1 Pi (t) - .. % . )/ { .! % , , ! ,

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193

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301

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0 > 0, i ;i : '! ! # $ # u(t) = ;l (x(t))ul (x(t)) ; (x(t)) (12.15)

()B)ul (x) > 0

l (x) = l l ()B)ul (x) < 0 (x) = 0 sign()B(x)) l ;1 l ;1: * ! )')- ! .% #] x(t) ( !/ $ { . (x)). D #$ !, ! )') , # #$ ! !, .% . @ ! ! ! #//, ! (. . 8. P3, 4, 8, 47, 102]). G "#" #//, ! #! #] ! . ' $ #//, ! $ , , P5, 9, 21, 102] 12.6.3. !$* ! $$ #/ !, , ! $ % #] * . 8 ( % $ /, # * ) %!, /, , % % #] , ! 303

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$ !/ $ #] P9, 119, 191]. P9] #] ! x(t) _ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Lx(t)

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(12.17)

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(12.18)

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304

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, ! /, rank C = l: ' . $ ! 305

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A~ = TAT ;1 B~ = TB: 8 # $

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gn ; l B~ = B1 gn ; l : 11 A12 6$ A~ = A A21 A22 gl B2 gl - # P102], #/ (A C) ! #/$ (A11 A21 ) .. #/$ x_ 1 = A11x1 z = A21 x1: 6 * $ ! #/ $ , . @ / P102]

_ xb1 (t) = A11 xb1(t) + A12 yb(t) + B1 u(t) ; Lv(t) (12.22) yb_ (t) = A21xb1 (t) + A22 yb(t) + B2 u(t) + v(t)

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"(t) _ = A11"(t) + A12 t + Lv(t) " = x1 (t) ; xb1 (t): (12.23) (t) _ = A21"(t) + A22 t ; v(t):

3 -.! % v(t) # #, # # = 0 $, . D # y(t) y^(t): - P102], $ ( #$*) M

$ , . 2 % L # ! $ , 306

$ ". ' ! ! (. . 297) ! ! $ ! * $ ! _ t = 0 $ v(t) * v = veq $ ! (12.23), t 0: # , ! veq = A21xb1 ! "(t) _ = A11"(t) + LA21 :"(t)

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314

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(12.26)

AM , BM { nn- nm- %, /, !/ ! ! ( % AM ! %). 9 ! * ! !# % !# &0 # % & (9 *.) P41, 42, 74, 75]. ' , % ! P9, 103, 106]. 5 % .! % Qt = 12 e(t)T Pe(t) e(t) = x(t) ; xM (t) { * # \ P = P T > 0 { nn- %, #T #! . ; !(x t) Q_ t = e(t) P (A + fA)x(t) + (B + fB)r(t) ; AM xM (t)+ +BM r(t) : 9 1

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(12.27)

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' ## ! * ! ( (x t) 0). J ! ! @G@ ( (12.25) ). J , , = colfAM ; A BM ; B g: 2 % % " 5A(t), 5B (t): 9

315

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d fA(t) = ; Pe(t)x(t)T + ;fA(t) ; fA^ dt d fB(t) = ; Pe(t)r(t)T + ;fB(t) ; fB^ (12.29) dt ^ fB^ { %

fA (# . P64]). ) $ ! $, $ $ 9)k - ..% $ . (A.6), (A.8), !/, " - $$" ! % d fA(t) = ;Pe(t)x(t)T ; 1 d ;Pe(t)x(t)T dt dt d fB(t) = ;Pe(t)r(t)T ; 1 d ;Pe(t)r(t)T 1 > 0: (12.30) dt dt 2 !# $, % (12.28), (12.30) #/ . % !/, , .. A+fA(t) ! ! AM B + fB(t) ! BM t ! 1 -.! % colfxM (t) r(t)g # # , .. $ (12.26) #! ( , r(t) n , $ $/ !). 2. G .. % ! '!$ ! #] / x(t) _ = Ax(t) + Bu(t)

(12.31)

10 %- '"

9 11.4.4. . 274.

316

x(t) 2Rn { , u(t) 2Rm { !/, . F r(t) 2Rm -! # ( /,) . ) $ %!/ .! % / Qt = 12 eT Pe e = = e(t) = x(t) ; xM (t) P = P T > 0 xM (t) { (12.26). '$ !$

, ! ; Q_ t =!(x t)=e(t)T P Ax(t)+Bu(t) ; AM xM (t) ; BM r(t) :(12.32) '!$ /# x xM 2Rn r 2Rm ! Ax(t) + Bu (t) ; AM xM (t) ; BM r(t) = AM e(t)

(12.33)

* $ u 2Rm : 1 u (t) ! * / u (t) = Kr r(t) + Kx x(t):

(12.34)

6$ Kr = B + BM Kx = B + (AM ; A) .. AM ; A L(B) BM L(B) L(B) { , #% % B: D / $ * / rankB = rankfB BM g = rankfB AM ; Ag:

(12.35)

J (12.35) / *" , ! , ". ' ! !,!/ % P = =P T >0 -.! % u (t) , !(x t) ;e(t)TGe(t) ; 0Qt .. ! (A.10) (Qt ) = 0 Qt : 2 % P #$ * ! :! PAM + ATM P = ;G G = GT > 0: $ = colfKx Kr g. ) !

rKx !(x t) = BTT Pe(t)x(t)TT rKr !(x t) = B Pe(t)r(t) : 317

(12.36)

1 9)k ..% $ . P41, 75] u(t) = Kr (t)r(t) + Kx (t)x(t) T T d (12.37) dtd Kx (t) = ;BT Pe(t)x(t)T dt Kr (t) = ;B Pe(t)r(t) : 9 (12.37) # ! # P38, 41, 75]. ( !$, B(s) #] .! % W(s)= A(s) $ ! ! , $ n ; k ; 1 k = degB(s): ' #! $. $ #] , .. ! %$ B(s) ( ! ! . . 12.1. ! $ .! % (12.18) . 304). - , 70- $ #$* !# % , , ! # P39, 64, 69]. 12.6.5.

% #//, !. 5! , *! , . 12.7. 12.4.2. ! " 9 $ % P74, 75, 170] / !. @ 9)k .. 3 ! $/ (12.26). J #] $ (12.31). P = P T > 0 ($ ! %!/ .! % / Qt = 21 e(t)T Pe(t) ; ! (12.32): Q_ t = !(x t) = e(t)T P Ax(t) + Bu(t) ; AM xM (t) ; BM r(t) : - *, % P ! :! PAM + ATM P = ;G G = GT > 0: ($ ! $ ! u(t) ( (t) u(t)) ! ! 9)k . (A.15), (A.9). 5

ru !(x ) = BT Pe(t): 318

@/ (A.15) ( 0 = 0) ;

u(t) = ;sign B T Pe(t) :

(12.38)

9 (12.38) #/ # , ! !!/ . % !/, ( , ). ' #] * %# $ $ $- , . 12.4.3. ! - " $- % P43, 75] $ /, # # % # . ' % / $!/ /,!/ % !, , / , * . !, !/ #] ! (12.31) $ (12.26). 7$ ! : e(t) ! 0 t ! 1: ;! % Qt = 21 e(t)T Pe(t): 1 Q_ (12.32). 2 !# $, ! (12.35) # $ * (12.33) $ u 2 Rm x xM 2 Rn r 2Rm : 5 u *

u = KxM xM + Kr r + us

(12.39)

u(t) = KxM (t)xM (t) + Kr (t)r(t) + us (t)

(12.40)

KxM = B + (AM ; A) Kr = B + BM us = B + (AM ; A): 1 # , ! ! / % P = P T > 0 -.! % u (t) (12.39) , ! (A.10). 2 % P * ! :! PAM + ATM P = ;G G = GT > 0: ' (12.39) # ! ! 319

KxM (t) Kr (t) us (t) { , # !/, (t) = colfKxM (t) Kr (t) us (t)g: 6$ % ; #- $ . 2 3 1 Imn 0 0 ; = 4 0 2 Imm 0 5

0

0

0

! ! ; u(t) = KxM (t)xM (t) + Kr (t)r(t) ; sign B T Pe(t) T T d (12.41) dtd KxM (t) = ;1 BT Pe(t)xMT (t) dt Kr (t) = ;2 B Pe(t)r(t)

1 2 > 0: G # $/ ! , # /, ! ! (12.35). D ! ! #] (MIMO) #] P74, 93]. 3 !/, . $/, # ! ! (. ! 12.1.) * . '! ! #$ , $/ ! # * $ .

12.5. $:% : %)& K:3))& )$3@C 3 $ ! , $ / ! "" { ( % . ), !! "" "% ". ' # ! ! ! #/ . - $/, #!! $- % . F $ , , ! $, / )'), ! . 12.1. 320

12.5.1. ! " 3 ! ##, #] x(t) _ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) (12.42) u(t) = K(t)T y(t)

x 2 Rn u 2 R y 2 Rl K(t) 2 Rl { !. ($ ! % .! % Qt = 12 x(t)T Px(t) P = = P T > 0: ' . '! , ; Q_ t =!(x t)=x(t)T P Ax(t)+BK T y(t) r !(x t)=x(t)T PBy(t): 1 x(t)T PBy(t) $ $ ( ! ! ), ! ! PB = C T g l- g: ' ! , * 9)k P36] _ = ; ;y(t);y(t) (y) = g T y K(t) (12.43)

% .. % ! ; = ;T > 0: 5 ## ! ! $ $ ! * (A.10). @ !, !,! K , xT PA x < 0 A = A + TBKT C: 1 # , !,$ % P = P > 0 K , PA + AT P < 0 PB = C T g A = A + BKT C: (12.44) 3* !/, ( & $ " ) P64, 104, 106]. ). 5 !, % P = P T > 0 K !/, (12.44), # , # .! % g T W(s) # - $-. . 11 B(s) ? , '" W(s) = A( s) - " - & , B(s) { - " ( )

- n ; 1, n = degA(s)

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(36, 106]. 11

321

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6$ W(s) = C sIn ; A ;1B { .! % #] ! . 1 # , ! ! g T W(s) # % ! x(t) ! 0 K(t) ! const t ! 1: ' $ (12.43) !,, % % (t) ! # (# #, % ). T' (t) 0 $ ! g y(t) = 0 "% ",

!/ ! ! 12. @ $ /, r(t) P7, 103]. P120] " - ! (B) $/ * . 12.5.2. ! - " 3 #] ! , # "* # !" ( ) (t)

x(t) _ = Ax(t) + Bu(t) (t) = g T x(t)

(12.45)

x(t) 2Rn u(t) (t) 2R : '!$ %$ ! limt!1 x(t) = 0: $ %!/ .! % / Qt = 12 (t)2 & " Qt = 0 t t: 1 $ %$ 12.1. ! ! $ , . )! , ! ; Q_ t = !(x t) = g T x g T Ax + g T Bu(t) : (12.46) 6 ! ! $ u(t) = K(t)x(t) + us (t)

(12.47)

M - 12.1. n ; 1 - (t) 0

'"

gT W(s) n-

;1 (30, 106]. 12

322

(t) = colfK(t) us (t)g: 5 ! ; rK !(x t) = ;gTT B gTT xxT (12.48) rus !(x t) = g B g x: 1 ! 9)k . (A.15) u(t) = K(t)x(t) ; sign(g T B)(t) (12.49) K(t) = ;1(g T B)(t)x(t)T : @ , (12.45), (12.48) T $ , (. . 12.1.) g x = T0 $, % ! limt!1 g x(t) = 0 #! $-. $ .! % ;1 T; W(s) = g sI ; A B. 3 $ 9)k ..% $ .. ($ ! ! !! ! (A.6) % 1 In 0 ; = 0 0 1 > 0:

'! ! ; u(t) = K(t)x(t); + Kr (t)r(t) ; sign g T B (t) (12.50) T T d dt K(t) = ;1 g B (t)x(t)

1 2 > 0: 5 * $ $ K(t) - ..% $ . P9] ;T T T d T d dt K(t) = ;1 g B (t)x(t) ; 2 dt (g B)(t)x(t) : (12.51) ) $- ! , $!/, $ y(t) #] P119], 12.1. (.! (12.19), . 305). 12.5.3. . !

! ! ! $ (, ). 5 -

323

3 . 12.1. 8 - ! :9.

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, W# (s) "". 13

324

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325

3 $ ! ! ,$/ ! ! ! (12.9), . 12.1. '$ $ = !z ; " (" = # ; #), (12.52). 1 ! )')- ! ! (t) = !z (t) ; "(t) "(t) = #(t) ; #(t) (t) =

k#+"(t) ; k! !z (t) " 0 k# = kk#;

#+ " 0 k! = kk!; : ! SIMULINK # - ! ! ! . 12.6. k. % ! ! ! / ! * :9 ! ! . 12.7. ' !/, ! : 15 k#+ = 2 k#; = ;1 k!+ = 0:5c k!; = ;0:25c = 0:5c. ) !$ % )')- !, , % , % " ". $ , # . ! $ (. % ). /, $ $ , # , /, $ !/ ! !/ !!, ! $ # ! * . 3 ! #! 12.7. $ !$* . @# $ . % ! ! ! ! , . % #] !. 1 ! . 15 4 , %'' " B- - . 302 (12.10).

326

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12.6.1. I $ " ) ! ! #] *, . % . 3 ! . % , * #! !$ % #] $ ( %) % $ .! % #] . 6 , * - # ## , % #/ ! !, ! % . @ !$ P103]. G / . % P2, 7, 9, 23, 93, 106, 116]. 6 . % $ #] ! P2, 59, 72, 93, 87], ! P2, 9, 93, 106, 103]. )!, % # / , % ! % . % $ $ .! % $ *# ( $ " ). @# $ $ %

! $ . 9 . % #!! , $ ! / $ * $ !/ . B $ " /, , !$ ## , ! !$ , #$ ! ( $ ), ! { !,$ % $ .! % P2, 8, 59, 93]. 3$ # , $, ! ! % $ $ " ", " ". $* -

330

" " !/ $ , !$/ ! #/ P59]. ) !$ #/ / !/, P8, 59, 72, 87]: 1) , 2) - , 3) % ! #/ . ' % * % , $$ , # ! $ # !/ .% / . ! ! $ / (%! . % ) $ $ !% . 2 - ! . % ! , , # ,. G .$ ! $ , ! ! % . ( !$ ,$ , $ . . ! $, //, . , . 5! $ , # $ $ , ! $ !$ % . %. F $ ! !! ( ) , . # , !$ ! $ !$ . % . 2 , ! / " "

$ / . %, / "! 0 ", , ! /, . !/ % /, / "! 0 ". @ !* # /, # " $ " . !$ 331

. % ! $, #! / #/ . 5 #! $ "! 1 ( " ) { % #/ , .% % . U* .! % ! !/ $ , ! $ .! % ! ! . ( * : { !*!/ $ ! /\ { # !\ { "%" , , \ { #/ . , # # $ # * . @ ! * %! . % , #! . ' ! $ # P72, 81, 82, 87, 139]. @ , ! % %! !, , ! $. !/ $ ! , . % ! % ! ! $ !% . ' / . % . 12.6.2. B $ " & 3 $/

x(t) _ = A x(t) + B u(t)

(12.53)

x(t) 2 Rn u(t) 2 Rm : ($ ! !/ !/ $, /,!/ ;

x_ M (t) = GxM (t) + A(t) ; G x(t) + B(t)u(t) 332

(12.54)

xM (t) 2Rn { , G { nn %. @ %$ ! limt!1 Qt = 0

Qt = 21 e(t)Pe(t)T e(t) = xM (t) ; x(t) P = P T > 0: @ , ; ; ; Q_ t =e(t)T P Ge(t)+ A(t) ; A x(t)+ B(t) ; B u(t) : (12.55) , ! . % ..% $ . T T d d dt A(t) = ;Pe(t)x(t) dt B(t) = ;Pe(t)u(t) : (12.56) 5 ! (A.10) % P !$ , PG + GT P < 0: 1 x(t) ( , , ! #] ! ) ! %$ Qt ! 0: 5 !, # $ % : A(t) ! A B(t) ! B (12.57)

$ % . - ! 13.5.3. ( A.), ( ! * ! ) !1 .! % colfx(t) u(t)g: 16 G , %$ (12.57) , #] (12.53) $/ !, .! % u(t) n . 12.6.3. B $ " 0 # 1 # 3 #] (12.53) !/ $ ~ + Bu(t) ~ + v(t) x~_ (t) = Ax(t) (12.58) ~ B~ #$ !

% A ! x(t) ! u(t)\ v(t) $ ! O , '" ( . . 412). 16

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333

, # $ , # = 0 = x(t) ; x~(t): @$ % .! % Qt = 12 T ! ; ~ ~ Q_ t = T (A ; A(t))x(t) + (B ; B(t))u(t) ; v(t) (12.59)

$ ~ B ~ v g: '! . % $ = colfA , - ..% $ . T d~ dtd A(t) = ;(t)x(t) T ~ (12.60) dt B(t) = ;(t)u(t) v(t) = ;1 sign(t) (t) = x(t) ; x~(t) 1 > 0: 9 . % , , P102]. J %

!, .. 12.6.4. B $ " & 3 * . % , % , / ! $ % % ! #] , , $ #] ! / ( ,

, ! " /, #! "). G $ # !!, ! !$ ! . % , $ #] ! . G !/, .. 3 SISO-#] ! (% ). ' $ ! ! # # ! SISO !,, $ $/ #] - B(s) * , .. .! % W(s) = A(s) . % $ .. % A(s) B(s):

334

( , $ #] ..% $ ! A(p)y(t) = B(p)u(t) (12.61)

p = dtd { ..% , nP ;1 m P

A(p) = pn + ai pi B(p) = bipi (m n) i=0 i=0 n + m + 1 ai bj i = 0 : : : n ; 1 j = 0 : : : m: 1#! . % / , $ ! $ u(t) y(t): 5 * $ "$ " { .! % 1 G(s) { ! % , Wf (s) = G(s) degG(s) n ; 1: ' . $ Wf (s) u(t) y(t) , ! ". $" % uf (t) yf (t)

/ * ! G(p)yf (t) = y(t) G(p)uf (t) = u(t): (12.62) ). ! " " (A ) ^ )yf (t) ; B(s ^ )uf (t): ( t) = A(s (12.63) 6$ % .. % ai bj Ti = 0 : : : n ; 1 j = 0 : : : m .. ^ ) B(s ^ ) = ^an;1 : : : a0 ^bm : : : ^b0 : 2 A(s / & & . D $ ! , !! .. % . (6 , # !% #$* . % ). J / n;1

m

i=0

i=0

^ ) = pn + X ^aipi B(p ^ ) = X ^bi pi A(p

(12.64)

@$ , ! !/, . % P171]: T (i) d dtd ^ai(t) = ;(t)yf(j )(t) T i = 0 : : : n ; 1 (12.65) ^ dt bj (t) = ;(t)uf (t) j = 0 : : : m: 335

6$ > 0 { .. % ! , (t) (12.63), uf (t), yf (t) { ! (12.62). 6 , % #! ..% $ uf (t), yf (t), yf(i) (t), u(fj ) (t) ! #$ ! "! " . $ # ..% . 12.6.5. ! & 9 ! * !# & &0 # * # . % ( !, .% #] ) % ( .% ). 8.2. (. 183) #//, !, /, #] ( $/ #/) ! $ !/ % ! $ . P2, 7, 116] #/ , % % , %! . % . 17 3 # #. '!$ SISO-#] . '# ! ! % $! # ! (. 1.8.), % A B C / 2 ;a 2b 3 1 1 ::: 1 3 1 1 66 ;a2 ;2 0 : : : 0 77 66 b2 77 A = 66 ;.a3 0. ;.3 : : : 0. 77 B = 66 b.3 77 (12.66) 4 .. 4 .. 5 .. .. . . . .. 5 ;an 0 0 : : : ;n bn C = 1 0 0 : : : 0 : 6$ i (i = 2 3 : : : n) { \ aj bj (j = 1 2 : : : n) { , . % #] . \ (134, 165, 166, 167, 173, 179]. 17

336

& &0 ! ;^ ^ x^_ (t) = A(t) ; LC x^(t) + B(t)u(t) + Ly(t) (12.67) ^ { % % A\ B(t) ^ 2 R { % B

A(t) T -#% L = a^1 (t) ; 1 a^2 (t) : : : a^n (t) \ 1 {

\ (t) 2Rn { ! A , . ! ,$/ . $. ^ B(t) ^ 9 #/ A(t) $ P2]. D ! $ #, , , $ #/ * 12.6.4. : P171] . % $/ P7]. 5 $, ..% $ ! , .: (p+1 )(p+2 ) (p+n )y(t)+ n (p+1 ) (p+n;1 )y(t)+ (12.68) + 1y(t)= n (p+1) (p+n;1 )u(t) + + 1u(t)

i > 0(i = 1 2 : : : n) { \ p = dtd . 3 # # (12.68), ! ! $ ( m < n) ! ! j , j ! .! % (12.68) .! % B(s) $ $ / W(s) = A(s) nP ;1

m P

A(s) = sn + ai si B(s) = bisi (. (12.61)). 1 #i=0 i=0 . P3] { # 1 s s2 : : : sn # ! 1 s + 1 (s + 1 )(s + 2) : : : (s + 1 )(s + 2) (s + n ) , , % # !/, $ #! $. !/ $, ! ! (12.68), j j ^ j (t) ^ j (t): 9 (12.63) , $ ! . $!/, G(s) = (s + 1)(s + 2) (s + n): 337

1 ! ^n;1 (t) (t) = y(t) + s ^+n (t) n y(t) + (s + n )(s + n;1 ) y(t) + : : : ^ n (t) 1 (t) + (s + ) ^ (12.69) (s + 1 ) y(t) ; s + n u(t); n ^ 1(t) ;1 (t) ; (s + ^n)(s + ) u(t) ; : : : ; (s + ) (s + ) u(t): n

n;1

n

1

- (12.69) #$ ! !$ $ "! " u(t) y(t) % ! (" ") . $ .! % s +1 i : ($ ! % .! % Qt = 12 2 ! % ( . % ) d dtd i = ;(t)~yi (t) (12.70) = ; (t)~ u (t) i = 1 2 : : : n i i dt

y~i (t) u~i (t) { $ . $!/, % . @ (12.69), (12.70) (12.62){(12.65) / # . $ * # ( y~i (t) u~i (t)). (12.62){(12.65) y~i (t) i- y~1 (t) (12.69) y~i (t) ! ! y(t) % ! i . $!/, $. 5! , (12.69) # # % . $ . 6 , ! % ^ai, ^bi .. % .! % #] W(s) ! (12.70) #! $ % ^ j (t) ^ j (t) , (12.65) % ^ai , ^bi . 5 $ #/ ! ! , ! . % , . -, % !, #, , $ % . - ! , #! " /, #! ", #!, # #] #!338

. 5 ! ! $ $ # ! . - , % . % ! $ $ . G %, $ % ! ! , #/ !/ % $ # , ! ( !) # ! #] \ % , *, ! $ $ .

12.7.

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. ! ("A ") ! ! / $-. #] . % !, $ , . $ $ !# % , , # ! #] , $ $ $ #] ( ), . P39, 69]. G $ ( ) , ! % / ! $. G # P69] P64]. G # P107, 120, 122] A , $ $ (*! !/, , "*!"). @ / # $-. ()2;) * #] ( //, # #] ! P64, 107, 164]). P124, 125] !, , * $ ! $ ! #] ! # $ $ #] ! ! . . . P122] !$339

! $ / *! , $ , %! . % . 12.7.1. 3 % #] ! ! , ! / x_ p (t) = Ap xp (t) + Bp u(t) yp (t) = Cp xp (t) (12.71)

xp (t) 2 Rn , u(t) 2 R , yp (t) 2 R. ' .! % #] (12.71) B(s) Wp (s) = Cp (sIn ; Ap );1 Bp = A(s) (12.72)

s 2 C { !, deg A(s) = n deg B(s) = m k = n ; m { ! G . ' , Wp (0) > 0 k > 1. 3 ! ! #] !, . - , , / ! $ y(t) ( ). '!$ #!, # ! !/,! ! / (. P74, 124]) Am (p)yp (t) = KB(p)r(t) (12.73)

r(t) { /, ( ) , p { ..% (p = dtd )\ Am(s) { $ m (0) . J (12.73)

! % n\ K = AB(0) ! P104, 120] , $. ' K # . 5 % (12.73) # # yf (t), # -. $, ! . D #$ * ! % $ , P102]. 2 $, ! $-. (.

340

P103, 104] 12.1. ! . 304) # $ , , * ! $/. ! . /, ! #$ ("A ", . P123, 164, 177] ), # $ ! ! * #] , //, # #] ! *!. @# !/ .! % / *! B0(s) deg A0(s) = n0 : Wc (s) = A 0(s) * #] y(t) = yp (t)+ yc (t): ' .! % * #] u y F(s) (12.74) W(s) = Wp (s) + Wc (s) = A(s)A 0(s)

F(s) = A(s)B0 (s)+A0(s)B(s) . 5 # r(t) , * #] y(t) #] ! yp (t) $ of y(t) yf (t) yp (t). @/ / ! # -. $. '! !/ .! % / Wr (s) r(t) yp (t) , y(t) yf (t). J (12.74) ! *! ! , 0 (s) (12.75) Wr (s) = Wf (s) B(s)A F(s)

Wf (s) { .! % -. $. ( (12.73), (12.75) ! %$ ! #! !, y(t) yf (t) Wf (s) $ Wf (s) = A KF(s) (12.76) m (s)A0(s) m (0) :

K = AB(0) 6 , (12.76) ! . $ . ' 341

#] (12.76) ! $ $ -. $, ! x_ f (t) = Af xf (t) + Bf r(t) yf (t) = uT (t)xf (t)

(12.77)

xf (t) 2 RN \ u(t) 2 RN { T : u(t) = P!1 (t) !2 (t) : : : !N (t)] N = n + n0 . 2 % Af Bf * . . (J-', . 74). G $ u(t) u #] !$ (12.76) .! % Wf (s) = uT (sI ; Af P );1 Bf : #

# F(s) = Ni=1 !i sN ;i . @/ ! ! ! $ : !i i = 1 : : : N N X !i sN ;i = K(A(s)B0 (s) + A0 (s)B(s)): i=1

(12.78)

D #] , % ! #$ ! ,$/ . % , 12.7.2. 5 # *! !/,!/ !/ .! % / P107]: k;2

> 0: (12.79) Wc (s) = " ("s + 1) (s + )k;1 G .! * #] (12.74) *! (12.79) P107]. 1. '!$ Wp (s) (12.72) { $-. (B(s) {

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deg(As (s)) = k ; 1 = n ; m ; 1, #$* " # ! )2; * #] (12.74) /# $-. #] ! $ # . - ! ! 2, ! # # *! (12.79), ! )2; ! ( , , $-. ) #] . ! ! *! ! $\ (12.79) $ Wc (s) = s + : ' $, *! (12.79) # , # * #] (12.74) ! ! / )2;. ' * ! * #] !/, . P102, 189]: x_ 1 (t) = A11 x1 (t) + A12 x2(t) x_ 2 (t) = A21 x1 (t) + A22 x2(t) + bu(t) (12.80) y(t) = Cx(t)

x1(t) 2 RN ;1 , x2 (t) 2 R y(t) = c1x1 (t) + c2 x2 (t) { , c2 b > 0\ A11 xA12 A21 A22 b { , C = Pc1 c2 ] : 1 # , #! !/, u(t) u(t) (12.77) , /# $ k #] ! , ! (12.73). 6 #$ * . ' # . % # . # ! u(t), # /, $ (t) = y(t) ; yf (t) !/ . 12.7.2. . . % , # ! %! $* $ !/, $ #] . ' * # . $, #$ #] .

343

6 * ! #] ! (12.72) y (n) (t) + a1 y (n;1) (t) + + an y(t) = = b0 u(m) (t) + b1u(m;1) (t) + + bm u(t)

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D(p) = pn + d1pn;1 + + dn { $ ! % , p dtd . ( (12.82) !, y~(n) = '~T (t)

(12.83)

) y~(t) '(t) ~ ! #$ ! ,$/ . $ _ = Ad (t) + bd y(t) _ = Ad (t) + bdu(t) (t) (t)

(t) (t) 2R n \ Ad bd !/ .! . , det(sI ; Ad ) = D(s). 6 , , ! #$ ! $ #] ! . @ , '(t) ~ = Pn (t) : : : 2 (t) 1 (t) m+1 (t) : : : 1 (t)]T y~(n) (t) = y(t) ;

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L { 1(N ; 1)- \ c 1 A12 + c2 A22 ; 1 L = (c2 b) c1 A11 + c2 A21 ; c1 c2 a1 = c (c1 b) (c1 A12 + c2 A22): 2 2 ' $ $ * # x1 (t). ' (12.87) (12.80), ! x_1 (t) = A x1 (t) ; Ac12 (t) + Ac12 yf (t) (12.89) 2 2

345

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x#(t) x (t) 2R3 Ad bd / !/ .! . , det(sI ; Ad ) D(s) = s3 +d1s2 +d2 s+d3 : '(t) ~ $ $ '(t) ~ = Px#3 (t) x#2(t) T ~ x2(t) x1 (t)] : ) (t) (12.84) x_ #3(t) #$ (12.92) x# (t) #(t) # ..% . - (t) 2 R4 / % !/, .! % :9 ;a1 ;a2 b0 b1 : ;(t) { % 44, ;(0) = k0I: @ $ . % (12.84), (12.85): _ = ;;(t)'(t) (t) ~ '~T (t) T (t) +;(t)'(t) ~ ~(t) _ = ;;(t)'(t) ;(t) ~ '~T (t);(t) + ;(t) ; k10 ;2(t) : (12.93) 3 $ ! ! !. * ya (t) = #(t)+yc (t) yc (t) { *! !/, # ! (t) = ;ks(t) ; sign (t) (12.94)

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348

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395

xd 2 Rn { \ yd 2 Rl { ( )\ = col ( 1 : : : m ) { . ' , 'i (), i = 0 1 : : : m, % A C B \ 1 : : : m ! $ , #, , . '!$ # ! !/ !/ !, % ^i , i = 1 : : : m #/ yd (t). 6 ! ! z_ = F(z yd ) (13.65) ^ = h(z yd ) (13.66) # /, $ lim ^(t) ; = 0 (13.67)

t!1

^(t) = col ^1 (t) : : : ^m (t) $ % . ' ! #/ ( ! % A B C) : x_ = Ax + '0 (yd ) + B

!

y = Cx

m X i=1

!

^i 'i(yd ) + ^0 G(yd ; y) (13.68)

^_ i = i(yd y) i = 0 1 : : : m (13.69)

x 2 Rn yd 2 Rl 0 2 R G 2 Rl .. % . ) % (13.69) #! ; ^ ^ . 1

z = x 0 1 : : : : : : ^m , (13.65) (13.68), (13.69). ' $ ! ! ! (13.68) (13.64) /, $ %$/ ! $ lim e(t) = 0

t!1

e(t) = x(t) ; xd (t) $ * # #/ . 396

(13.70)

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(13.71)

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(13.73)

13.5.3. ? # " 5 ! ## !$. m + Bu m y = Cx m

$3 1 ]106]. ) x_ = Ax ; 1m m m % W() = C(I ; A) B, u y 2 Rl 2 C - -$ m det W()

-$ (.. '() = det(I ;A) m m

! %), % C B = lim!1 W() $ . 2 6 , l = 1 n- - $. , $ .! % {

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$3 2. -.! % f : P0 1) ! Rm 1 &0 (8) P0 1) , P0 1) !,!/ > 0 T > 0 , Z t+T f(s)f(s)T ds I (13.74)

t 0 2. 3

t

3

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397

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!,!/ $ n n- % P = P T > 0 l m- % ,

m GCm PA + AT P < 0 P Bm = Cm T GT A = Am + B m + Bu m y = GCx m $ , x_ = Ax

- $-. . : 1 ! ! !, # u = y + v ! v Gy . @ * < !# {-, ! #$ " < !# {- # $/", . P14, 64, 119].

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% P = P > 0 0 ! $. V_ , V_ < 0 e 6= 0 $ , !/, ! : ( ^_ 0 = ;0 eT PBGCe (13.76) ^_ i = ;i eT PB'i (yd ) 398

' ! 1, ! , V_ < 0 e 6= 0 $ , % (13.72), (13.73) x_ = Ax + Bu y = Cx - $. . '! .! % V (t) = V (x(t) ^0 (t) ^(t) t) . )$ ( 'i (yd (t)) i = 1 : : : m ), .! % e(t) ^i (t). 5, ! (13.76) !, V_ = eT (PA + AT P)e ;ke(t)k2 > 0. ( ! R 2 P0 t] V (t) ; V (0) ; 0t ke(s) k ds. ' Rt , V 0, ! : V (0) 0 ke(s)k2 ds. @/ ! Z1 0

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399

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400

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402

. ' , #, , /, "! $ ": s(t) = s0 + s1 sign sin 2t (13.87) T0

s0 = 1:005, s2 = 0:005. 3 !$ T0 = 5:0 , 1 = 1:0 . 13.16, 13.17. - . , y(t) yd (t) $ $/ (* # yd (t) ; y(t) . 13.16 ). @ * # #/ , * # . % / $/ s(t): 1 , s(t) . 1$ % #$ * ! .. % ! % 1, !$ 1 = 5:0 ( . 13.18, 13.19). 3 !, $ ! , .. ! , $ .% #$* !, . !3C9 ' % , #/ * % . @ $ .% . D !$ !/ $ ! .

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406

A. 3)> A. 8 8

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Qt = Q x(t) t

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407

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(A.8)

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(A.10)

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- , P36, 59, 74, 103], . % !$ %. ' " # " * %$ (A.18) #$ !. 5 .! $ ! !/, P9, 36, 103].

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_" f (x) - - x

&,

8x x00 (x0 ; x00)T rx f (x00 ) f (x0 ) ; f (x00): 2 $ D Rn , , " - % , .. 8x0 x00 2 D, 0 1 ) x0 + (1 ; )x00 2 D: , - '"

f (x) D = fx : f (x) "g " (78]. 0

418

PD Pk] . 3 1 ! % % PD Pk] (B.24) */, (B.1), (B.2), DPk] D #! -, . ' .! ! ## ! $ * # (. .. 12.5, 13.4, P36, 103, 106]).

3 -& D f g " PD , kPD ; k = inf 2D k ; 0k. 0

419

C. 3)> C. (E 8 MATLAB , %! MATLABR (P72, 59, 81, 139]), / ! $ !/ .

)? )+N?) 9 c = conv(a, b)

CONV { . C = conv(A, B) ! A B. 3 !$ $ length(A)+length(B)-1. ? A B / .. % , ! / . ). XCORR, DECONV, CONV2.

]x, cnt] = fmins(funfcn, x, tol, prnt)

FMINS { ! .! % $ , $ !/ % /. X = fmins('f', x0) x0 x, ! .! % f(x). 'f' { , , ! .! % , # m-. P72, 139]. X = fmins(F, X, tol) tol ! ! . 6 ! / 10;3 : X = fmins(F, X, tol, 1) !/ .% / * . PX, cnt] = fmins(F, X, : : : ) * . ]xf, termcode, path] =fsolve(fvec, x0, details, fparam,

jac, scale)

FSOLVE { * ! . X = fsolve('f', X0) X0 X, /, * f(x) = 0. 'f' { , , .! % , ! ! $ * , # - m-..

y = logspace(d1, d2, n)

LOGSPACE { . . 420

logspace(d1, d2) . 50 ! 10d1 10d2 : ? d2 = / ! 10d1 . logspace(d1, d2, N) N . ). LINSPACE ":". LTIFR { % . G = ltifr(A, b, s) !/ ! G(s) = (sI ; A);1 b s: -#% b $ $ , $ % A: % G /, size(A) length(s) #%.

]x, y] = meshdom(x, y)

MESHDOM { X Y . . PXX, YY] = meshdom(X, Y) # ! # , X Y XX YY, ! $ $ .! % ! 3- * . .

]tout, yout] = ode45(FunFcn, t0, tnal, y0, tol, trace)

ODE45 { # ..% $ ! 3! --! 4 5- . ). ODE23. PT, Y] = ode45('yprime', T0, Tnal, Y0) ! ! # ..% $ ! , !/ m-. YPRIME.M T0 Tnal $ ! Y0. PT, Y] = ode45(F, T0, Tnal, Y0, TOL, 1) $ ! $ TOL .% / % . U@5G? '9392?13: F { , $ $ .! % ,

/ * ! . .! % : yprime = fun(t, y)

F = 'fun'. t { ( ! \ ), y { * ( -#%), yprime { : yprime(i) y_ i (t): t0 { $ t. 421

tnal { t. y0 { -#% $ . tol { #! ! . 6 ! /: tol = ; 10 6 . trace { ! * $. ' ! / trace = 0. U@5G? '9392?13: T - ! - ( ! ). Y - ! * , -#%! .

c = poly(x)

POLY { . ? A { nn- %, poly(A) - n+1 , /, .. % det(In ; A): ? V { , poly(V) , $ .. % V . 5 ROOTS POLY { # .! % .

y = polyval(c, x)

POLYVAL { . ? V { , $ .. % , polyval(V, s) , s. ? S { % , S. ). POLYVALM .

]coes, poles, k] = residue(u, v, k)

RESIDUE { * # . PR, P, K] = residue(B, A) , / %!/ $ (.. * ) * ! B A: B(s) = r1 + r2 + + rn + k(s): A(s) s ; p1 s ; p2 s ; pn B A / .. % !# / s. -#% R, / / -#% P, % $ { - K. 422

PB, A] = residue(R, P, K) # ! * # #, B/A-.!.

r = roots(c)

ROOTS { . roots(C) , .. % / C. ? C N+1 , C1 X N + : : : + CN X + CN +1 : ). ROOTS1 POLY.

y = table1(tab, x0)

TABLE1 { # %. Y = table1(TAB, X0) # % TAB - , #,$ X0 ! #%! TAB. ' #% # % #$ /, . ? X0 % #% TAB. X0 #$ . ). TABLE2.

)? 3$)% : -%3 X = are(F, G, H)

ARE { 3* # ! 3

X = are(F, G, H) , * ( ) # ! 3

: F T X + XF ; XGX + H = 0

% G=GT 0, H=HT :

]Ab, Bb, Cb]=balreal(A, B, C)

BALREAL { # % ! . 1 PAb, Bb, Cb] = balreal(A, B, C) , # !/ % / ! (A B C): PAb, Bb, Cb, G, T] = balreal(A, B, C) , G, , $ # % %! T # # , $ !/ # (A B C)

(Ab Bb Cb): ? % !*, 1 O , " , , , " (53].

423

G / , ! #$ / .

]mag, phase] = bode(a, b, c, d, iu, w)

BODE { ! . - ( 8) . PMAG, PHASE] = bode(A, B, C, D, iu, W) !/ ! x(t) _ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

(C.1)

i- s = |!. W $ ( ), #! $ 8. BODE % MAG PHASE ( !), #% y, length(W) . PMAG, PHASE] = bode(NUM, DEN, W) !/ ! , .! % (C.2) G(s) = NUM(s) DEN(s)

NUM DEN .. % !#/, . ). LOGSPACE ! . *#.

Co=ctrb(A, B)

CTRB { . % ! . ctrb(A, B) , %! ! Co = P B, AB, A2 B, : : : , An;1 B ].

]Abar, Bbar, Cbar, T, K] = ctrbf(A, B, C)

CTRBF { ! $ . ! . PAbar, Bbar, Cbar, T, K] = ctrbf(A, B, C) , # ! ! . PAbar, Bbar, Cbar, T, K] = ctrbf(A, B, C, TOL) $ ! $ TOL. ? % ! Co(A B) rank r n, # # T , 424

Abar = TAT 0 Bbar = TB Cbar = CT 0 (T 0 = T ;1) # Anc 0 0 Cbar = P Cnc Cc ] Abar = A Ac Bbar = Bc 21

(Ac Bc) ! Cc(sI ; Ac);1Bc C(sI ; A);1B:

]P, G] = c2d(a, b, t)

C2D { # ! .. PP, G] = c2d(A, B, T) # ! ! x(t) _ = Ax(t) + Bu(t)

(C.3)

! xPn + 1] = PxPn] + G uPn]

(C.4)

! (! , sample time) T.

]Wn, Z] = damp(A)

DAMP { # .. % . . PWn, Z] = damp(A) , Wn Z, , # .. % . ! A. ' A $ !/, .: 1) A , , % "A" ! \ 2) A { - , , .. % \ 3) A { -#%, , \ !, DAMP , # .. % . .

G = dgram(A, B)

DGRAM { ! #/ . 425

dgram(A, B) , ! . dgram(A', C') , #/ ). GRAM.

]L, M, P] = dlqe(A, G, C, Q, R)

DLQE { % ! /. 5 xPn + 1] = AxPn] + BuPn] + GwPn] ; ! zPn] = CxPn] + DuPn] + vPn] ; ! !, *! : E fwg = E fv g = 0 E fwwT g = Q E fvv T g = R .! % dlqe(A, G, C, Q, R) , %! .. % L % . $ -: { ! xmPn + 1] = AxPn] + BuPn] { ! xPn] = xmPn] + L(zPn] ; HmxPn] ; DuPn]): ; $ - # $!/ !

! / (:--) % ! x x: PL, M, P] = dlqe(A, G, C, Q, R) , %! .. % L, * # ! 3

M % !/ %! * # T% !$ P = E f(x ; x)(x ; x) g:

]K, S] = dlqr(A, B, Q, R)

DLQR { ! ! /. PK, S] = dlqr(A, B, Q, R) $!/ %!

.. % # K !/, P ! u = ;Kx ! .! % / $ J = xT Qx + uT Ru ! xPn + 1] = AxPn] + BuPn]: 426

1 , ! * * S ! 3

S ; AT SA + AT SB ;1 (R + B T SB)BS T A ; Q = 0:

X = dlyap(A, C)

DLYAP { * ! :!. X = dlyap(A, C) * ! :! AXAT + C = X: ). LYAP.

]Ab, Bb, Cb, Db] = dmodred(A, B, C, D, ELIM)

DMODRED { . PAb, Bb, Cb, Db] = dmodred(A, B, C, D, ELIM) !$* , # , ELIM. X1, , X2, ! , A12 B = B1 C = P C1 C2 ] A = A11 A21 A22 B2 xPn + 1] = AxPn] + BuPn] yPn] = CxPn] + DuPn]: X2Pn+1] X2Pn], ! ! */ $ X1. '! LENGTH(ELIM) $*!/ $ $ , ! ELIM / . ). DBALREAL, BALREAL MODRED

]a, b] = d2c(phi, gamma, t)

D2C { # ! . PA, B] = d2c(P, G, T) # ! !/ ! (C.4)

! ! ! (C.3) ! T.

]mag, phase] = dbode(a, b, c, d, iu, w)

DBODE { !- . - ( 8) . 427

PMAG, PHASE] = dbode(A, B, C, D, iu, W) !/ ! (C.1) i- z = e|! : W $ ( ), #! $ 8. @# ! : DBODE % MAG PHASE ( !), #% y length(W) . PMAG, PHASE] = dbode(NUM, DEN, W) !/ ! , .! % (C.5) G(z) = NUM(z) DEN(z)

NUM DEN .. % !#/, .

]y, x] = dimpulse(a, b, c, d, iu, n)

DIMPULSE { .! % ( !$ .! % ) . Y = dimpulse(A, B, C, D, iu, n) % / xPn + 1] = AxPn] + BuPn] yPn] = CxPn] + DuPn] (C.6) # (m-- ),

i-! !. 7 n , ! ! $ .! % / . DIMPULSE %! Y , #% y n . PY, X] = dimpulse(A, B, C, D, iu, n) , % . Y = dimpulse(NUM, DEN, n) .! % / / .! % (C.5), NUM , DEN !# / .. % .

]y, x] = dlsim(a, b, c, d, u, x0)

DLSIM { Y = dlsim(A, B, C, D, U) % / (C.6) !/ $$ U. 2 % U $ #%, $ u. - U ! ! ! . DLSIM . ! %! Y, #%

! y LENGTH(U) . 428

PY, X] = dlsim(A, B, C, D, U) , % . dlsim(A, B, C, D, U, X0) $ $, (!) $ ! . Y = dlsim(NUM, DEN, U) % , .! % (C.5), NUM DEN !# / .. % . dlsim(NUM, DEN, U) lter(NUM, DEN, U).

]y, x] = dstep(a, b, c, d, iu, n)

DSTEP { .! % . Y = dstep(A, B, C, D, iu, n) !/ .! % / (C.6) i-! !. 7 n #! (* ). DSTEP %! Y, #% y,

n. PY, X] = dstep(A, B, C, D, iu, n) , % . Y = dstep(NUM, DEN, n) % .! % (C.5), NUM DEN .. % .! % , !# .

]y, x] = impulse(a, b, c, d, iu, t)

IMPULSE { .! % ( !$ .! % ) . Y = impulse(A, B, C, D, iu, T) .! % / (C.1) * / i-! !. T $ !!/ $$ ,

{!/ $ .! % . IMPULSE . ! %! Y ,!/ $ #%, $ y LENGTH(T) . PY, X] = impulse(A, B, C, D, iu, T) , % . Y = impulse(NUM, DEN, T) .! % / / .! % (C.2), NUM DEN .. % !#/, . 429

]L, P] = lqe(A, G, C, Q, R)

LQE { . ! /. 5 : x(t) _ = Ax(t) + Bu(t) + Gw(t) - ! z(t) = Cx(t) + Du(t) + v(t) - ! % % !, *! : E fw(t)g = E fv(t)g = 0 E fw(t)w T (t)g = QE fv(t)v T (t)g = R .! % lqe(A, G, C, Q, R) , %! .. % L !/, % . $ - x^_ (t) = A^x(t) + Bu(t) + L(z(t) ; H^x(t) ; Du(t)) # !/, $!/ !

/ % ! x(t). PL, P] = lqe(A, G, C, Q, R) { , %! .. % L * # ! 3

P, % % * # % .

]K, S] = lqr(A, B, Q, R, N)

LQR { ! !

/ . PK, S] = lqr(A, B, Q, R) $!/ %! .. % # K !/, ! u(t) = ;Kx(t) ! .! % / $ J=

Z1 0

(xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t))dt

(C.7)

x(t) _ = Ax(t) + Bu(t): - , , % S { * ! 3

SA + AT S ; SBR;1 B T S + Q = 0 PK, S] =T lqr(A, B, Q, R, N) / !/ /,!/ 2x (t)Nu(t), u x % .! % . 430

' !, # . 2 $ $ !/ %!! PK, S] = lqr2(A, B, Q, R, N), $ !/,!/ V! * # ! 3

# , LQR.

]K, S] = lqry(A, B, Q, R, N)

LQRY { ! ! / ! ! ! / . PK, S] = lqry(A, B, C, D, Q, R) $!/ %! # K !/, ! u(t) = ;Ky(t) ! %!/ .! % / J=

Z1 0

(y T (t)Qy(t) + uT (t)Ru(t))dt

x(t) _ = Ax(t) + Bu(t)

(C.8)

y(t) = Cx(t) + Du(t):

- , , % S { * ! 3

SA + AT S ; SBR;1 B T S + Q = 0 PK, S] = lqry(A, B, Q, R, N) / !/ T /,!/ 2y (t)Nu(t), u y % .! % .

]y, x] = lsim(a, b, c, d, u, t, x0)

LSIM { $ . lsim(A, B, C, D, U, T) % / (C.1) % U. 2 % U $ #%, /, $/ u. - U ! ! ! , U $ length(T) . Y=lsim(A, B, C, D, U, T) (# ) %! Y, #% y length(T) . PY, X] = lsim(A, B, C, D, U, T) , % . lsim(A, B, C, D, U, T, X0) $ $, ! $ ! . 431

lsim(NUM, DEN, U, T) % / .! % (C.2), NUM DEN

.. % !#/, .

X = lyap(A, B, C)

LYAP { * ! :!. X = lyap(A, C) * ! :! AX + XAT = ;C: X = lyap(A, B, C) * ##, ! :! AX + XB = ;C: ). DLYAP.

]Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(mag, phase, w)

MARGIN { ! ! / . !/, . PGm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(MAG, PHASE, W) ! ! / Gm, . Pm !/, Wcg Wcp 9FU ( 8), ;FU MAG, PHASE, W . ' % ! .

]Am, Bm, Cm, Dm] = minreal(A, B, C, D, TOL)

MINREAL { $ % , ! /. PAm, Bm, Cm, Dm] = minreal(A, B, C, D) , $!/ % / ! (A, B, C, D). #, /

. PAm, Bm, Cm, Dm] = minreal(A, B, C, D, TOL) $ ! $ TOL , //. PZm, Pm] = minreal(Z, P), Z P { -#%, , ! /, / #, , , / $/ TOL = 10*SQRT(EPS)*ABS(Z(i)). PZm, Pm] = minreal(Z, P, TOL) $ ! $ TOL. 5 .! % PNUMm, DENm] = minreal(NUM, DEN), NUM, DEN { - .. % , MINREAL / #, . 432

PNUMm, DENm] = minreal(NUM, DEN, TOL) $ ! $ TOL.

Ob = obsv(A, C)

OBSV { . % #/ . obsv(A, C) , %! #/ Ob = PC CA CA2 : : : CAn;1 ]T :

]Abar, Bbar, Cbar, T, K] = obsvf(A, B, C, TOL)

OBSVF { ! $ . #/ . PAbar, Bbar, Cbar, T, K] = obsvf(A, B, C) , # #/ #/ . PAbar, Bbar, Cbar, T, K] = obsvf(A, B, C, TOL) $ ! $ TOL. ? % ! (A C) r n, # # T , Abar = TAT 0 Bbar = TB Cbar = CT 0 (T 0 = T ;1) # Ano A Bno 12 Abar = 0 Ao Bbar = Bo Cbar = P 0 Co ]

(Ao Co) #/ Co(sI ; Ao);1 Bo C(sI ; A);1B:

K = place(A, B, P)

PLACE { % # / (* $ ! ). K = place(A, B, P) !/ %! # K !/, # % A-BK / P. - # P $ . G # $ $, ,!/ !/, . "ndigits" (n ) % , $ ! # . @ ! % , $ # A-BK !/ P . 433

'!/, #, , ! / ! 10% */ P .

]num, den] = ss2tf(a, b, c, d, iu)

SS2TF { # ! !/ .! % /. PNUM, DEN] = ss2tf(A, B, C, D, iu) !/ .! % / (C.2) (C.5) (C.1), (C.6) i- . DEN .. % !# s. -.. % % NUM, /, $ , $ y.

]y, x] = step(a, b, c, d, iu, t)

STEP { .! % . Y = step(A, B, C, D, iu, T) !/ .! % / (C.1) ! i! !. T $ ! { . STEP %! Y, /,!/ $ #%, $ y length(T) . PY, X] = step(A, B, C, D, iu, T) , % . Y = step(NUM, DEN, T) % / .! % (C.2), NUM DEN .. % !#/, .

]a, b, c, d] = tf2ss(num, den)

TF2SS { # .! % ! . PA, B, C, D] = tf2ss(NUM, DEN) ! (C.1) (C.6) .! % (C.2), (C.5) ( ) . DEN $ .. % !# s. -.. % % NUM, /, $ , $ y. J !/ !

.. 5 % #$ ! . 434

)$)? )+)% )$3& ' ss2df # !

, $ .

function ]Ad,Bd,Cd,T]=ss2df(A,B,C) ]n,m]=size(A) ]v,p]=eig(A) k=1v P=] ]v while k<=n, if all(imag(v(:,k))==0) P=]P v(:,k)]v k=k+1v else P=]P, 1/2*(v(:,k)+v(:,k+1)),... 1/2/j*(v(:,k)-v(:,k+1))]v k=k+2v end end T=inv(P)v Ad=T*A*Pv Bd=T*Bv Cd=C*Pv ' tf2cf .! % J-' SIMO-

function ]A,B,C,D]=tf2cf(num,den) n=length(den)-1v ]l,r]=size(num)v if (r>n+1) | (den(1)==0) error(':@ :3 $)3> + :@ > : 93:3.') end dn=den/den(1)v nm=]zeros(l,n-r+1),num/den(1)]v A=]zeros(n-1,1) eye(n-1,n-1)v -dn(n+1:-1:2)]v B=]zeros(n-1,1)v 1]v C=nm(:,r:-1:2)-nm(:,1)*dn(r:-1:2)v D(:,1)=nm(:,1)v 435

' tf2of .! % G-' MISO-

function ]A,B,C,D]=tf2of(num,den) n=length(den)-1v ]m,r]=size(num)v if (r>n+1) | (den(1)==0) error(':@ :3 $)3> + :@ > : 93:3.') end dn=den/den(1)v nm=]zeros(m,n-r+1),num/den(1)]v A=]zeros(n-1,1) eye(n-1,n-1)v -dn(n+1:-1:2)]v C=]1, zeros(1,n-1)]v D(1,:)=nm(:,1)'v nm=nm-nm(:,1)*dnv B(1,:)=nm(:,2)'v for k=2:n sm=0v for l=1:k-1 sm=sm+B(l,:)*dn(k-l+1)v end B(k,:)=nm(:,k+1)'-smv end

436

D. 3)> D. G SCILAB % 1990- , !/, $ ! ! Scilab, ! MATLAB, /, # !,: Scilab #/ #, .. #. ) Scilab # % .%! !- $ ! . (INRIA) #$ ( !% ) (: http://www-rocq.inria.fr/scilab/ G % ! % Scilab. 8 # # Scilab ! $ , : 8.3.9 , 9.:.; "D MATLAB Scilab" P10]. Scilab $ : , # # .! % (%! Scilab) # # ; ). ' ; ), , Scilab { / . 8$* $ ! , , # Netlib: http://www.netlib.org/ G . % !* Scilab. @ Scilab, MATLAB, $ $ % : % , ! , , , , / . Scilab $ ! # #] ( , , $ % $ % .! % ) , ## . D / $ ! #] , .. ' % $ !! # % $ 437

MATLAB. Scilab * %! : * ! , , % ( ..% !). Scilab .! % , # # # ( / #! % , *! )\ ! ( , H 1 - % , ! % , . % .)\ (LMI), ## . $% , % Metanet. ' ! Scilab !# Scicos . ( SIMULINK). (/ . (! . , % ). !/ . Maple. G %, $ Parallel Scilab. @#, . . Scilab $ , /, $ /: { # # ( , " ", .! % / #] ! $ Scilab $ ! ! .! % )\ { # $ %! ! # \ { !/ ! , !/ #/ \ { ! # # # !# , , # ! ; ). ' ! % Scilab. @ ! % ! G!. a=1 { ,

438

1==1 { 'string' { z=poly(0,'z') { z /, !

$ p=1+3*z+4.5*zb2 { z p = 1 + 3z + 4.5zb2

r=z/p { % $ .! % r= z 1 + 3z + 4:5zb2 . "!

A=]a+1 2 3v 0 0 atan(1)v 5 9 -1]v { 33- % , b=]%t,%f] { 12- % Mc=]'this','is'v 'a' ,'matrix'] { 22- %

Mp=]p,1-zv 1,z*p] { 22- % Mp = ! 1 + 3z + 4:5zb2 1;z ! ! 1 z + 3zb2 + 4:5zb3 !

F=Mp/poly(]1+%i 1-%i 1],'z') { % % $

.! %

F= ;1 1 + 3z + 4:5zb2 ! ! ;2 + 4z ; 3zb2 + zb3 2 ; 2z + zb2 1 z + 3zb2 + 4:5zb3 ! ! b b ;2 + 4z ; 3z 2 + z 3 ;2 + 4z ; 3zb2 + zb3

Sp=sparse(]1,2v4,5v3,10],]1,2,3]) { % Sp = ( 4, 10) sparse matrix ( 1, 2) 1. ( 3, 10) 3. ( 4, 5) 2. 439

Sp(1,10)==Sp(1,1) { %

L=list(a,-(1:5), Mp,]'this','is'v'a','list']) {

L= L(1) 1. L(2) ! - 1. - 2. - 3. - 4. - 5. ! L(3) ! 1 + 3z + 4:5zb2 1;z ! ! 1 z + 3zb2 + 4:5zb3 ! L(4) ! this is ! ! a list !

Lt=tlist(]'mylist','color','position','weight'],'blue',]0,1],10) Lt('color') { A=diag(]2,3,4])v B=]1 0v0 1v0 0]v C=]1 -1 0]vD=0*C*Bvx0=]0v0v0]v Sl=syslin('c',A,B,C,D,x0) {

{

!

Sl = Sl(1) (state-space system:) lss ! 2: 0: 0: ! Sl(2) = A matrix = ! 0: 3: 0: ! ! 0: 0: 4: !

440

Sl(3) = B matrix = ! 1: 0: ! ! 0: 1: ! ! 0: 0: ! Sl(4) = C matrix = ! 1: ;1: 0: ! Sl(5) = D matrix = ! 0: 0: ! Sl(6) = X0 (initial state) = ! 0: ! ! 0: ! ! 0: ! Sl(7) = Time domain = c Sl("A"), Sl("C") { # Slt=ss2tf(Sl) { .! % Slt = ! ;21+ s ;3;+1 s !

Slt('num'), Slt('den') < !

v=1:5v W=v'*v { ! %- W(1,:) { #% W(:,$) { Mp'*Mp+eye { % ans = column 1 ! 3 + 6z + 18zb2 + 27zb3 + 20:25zb4 ! ! 1 + 3z + 4:5zb2 ! column 2 ! 2 ! ! 1 + 3z + 4:5z ! ! 2 ; 2z + 2zb2 + 6zb3 + 18zb4 + 27zb5 + 20:25zb6 !

Mp1=Mp(1,1)+4.5*%i { % Fi=C*(z*eye-A)b(-1)*Bv { .! % F(:,1)*Fi { % $ .! % 441

ans = 1 + 3z + 4:5zb2 1 + 3z + 4:5zb2 b b b 4 ; 10z + 10z 2 ; 5z 3 + z 4 6 ; 14z + 13zb2 ; 6zb3 + zb4 1 ;1 4 ; 10z + 10zb2 ; 5zb3 + zb4 6 ; 14z + 13zb2 ; 6zb3 + zb4

M=]Mp -Mpv Mp' Mp+eye]v ]Fi, Fi(:,1)] { % F=syslin('c',F)v Num=F('num')vDen=F('den')v {

% % $ .! %

.! % 9! ! " . inv(A) inv(Mp) { #, inv(Sl*Sl') { ! #, w=ss2tf(ans) { ! .! % b3 + 0:5sb4 w = 18 ; 30bs + 18:5sb2 ; 5s b 6:5 ; 5s + s 2

w1=inv(ss2tf(Sl)*ss2tf(Sl')) { ! .! % #, A=rand(3,3)vB=rand(3,1)vn=contr(A,B) { ! K=ppol(A,B,]-1-%i -1+%i -1])v poly(A-B*K,'z')-poly(]-1-%i -1+%i -1],'z') { $ ! / !$ K = - 113.28616 111.62667 33.092441

s=sin(0:0.1:5*%pi)v ss=t(s(1:128),-1)v { # # ;!$ xbasc()v plot2d3("enn",1,abs(ss)')v

{ . < $" 1 "

de(']x]=fact(n)','if n=0 then x=1, else x=n*fact(n-1),end') 10+fact(5) < "

de(']f,g,ind]=rosenbro(x,ind)','a=x(2)-x(1)b2, b=1-x(2), 442

3 . D.1. ' . # Scilab. { . , # { .

f=100.*ab2 + bb2 , g(1)=-400.*x(1)*a , g(2)=200.*a 2.*b ')v ]f,x,g]=optim(rosenbro,]2v2],'qn') .

a=rand(3,3)v e=expm(a)v de(']ydot]=f(t,y)','ydot=a*y')v e(:,1)-ode(]1v0v0],0,1,f) <

s=poly(0,'s')v h=]1/s,1/(s+1)v1/s/(s+1),1/(s+2)/(s+2)] w=tf2ss(h)v ss2tf(w) h1=clean(ans) h1 = 1 1 ! ! s 1+s ! s +1 s2 4 + 4s1 + s2 ! : !

sl=syslin('c',1/(s*s+0.2*s+1)) instants=0:0.05:20v { .! % : y=csim('step',instants,sl)v xbasc()vplot2d(instants',y')

{ .! % : 443

de(']in]=u(t)','if t<3 then in=0velse in=1vend')v y1=csim(u,instants,sl)v plot2d(instants',y1')v { .! % : yi=csim('imp',instants,sl)v xbasc()vplot2d(instants',yi')v yi1=csim('step',instants,s*sl)v plot2d(instants',yi1')v { % dt=0.05v sld=dscr(tf2ss(sl),0.05)v { .! % : u=ones(instants)v yyy=ts(u,sld)v xbasc()vplot(instants,yyy) { .! % : u=0*ones(instants)vu(1)=1/dtv yy=ts(u,sld)v xbasc()vplot(instants,yy) { #] w1=]w,w]v clean(ss2tf(w1)) w2=]wvw]v clean(ss2tf(w2)) { z=poly(0,'z')v horner(h,(1-z)/(1+z))

{ #- ("# ") # ans = 1 + z 1+z ! 1;z 2 2 2 ! + z 1 + 2z + z ! 1 +2 2z ; 2z 9 + 6z + z2 !

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