Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2003. Том 44, № 6
УДК 517.9
О ПСЕВДОСПЕКТРАХ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМИ СТЕПЕНИ −n ЯДРАМИ О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц
Аннотация: Изучается предельное поведение спектральных характеристик усеченных многомерных интегральных операторов, ядра которых однородны степени −n и инвариантны относительно группы вращений SO(n). Доказывается, что предел при τ → 0 ε-псевдоспектров усеченных операторов Kτ равен объединению e где K e — ε-псевдоспектра исходного оператора K и ε-псевдоспектра оператора K, «транспонированный» оператор. Ключевые слова: многомерный интегральный оператор, однородное ядро, спектр, псевдоспектр, усеченный оператор.
Введение. Работа посвящена изучению многомерных интегральных операторов с однородными степени −n и инвариантными относительно всех вращений в Rn × Rn ядрами в скалярном и матричном случаях. Основная цель работы — исследовать связь между спектральными характеристиками исходного оператора K и «усеченных» операторов Kτ . Отметим, что для операторов Винера — Хопфа, Теплица, свертки предельное поведение спектральных характеристик «усеченных» операторов изучено достаточно полно (см. [1–3], а также библиографию в этих работах). Для многомерных интегральных операторов с однородными ядрами аналогичные вопросы рассматривались в [4]. При этом предполагалось, что операторы действуют в пространстве L2 , что позволяло существенно использовать технику C ∗ -алгебр. В данной статье результаты работы [4] на основе схемы, предложенной в [2], обобщаются на случай операторов, действующих в пространстве Lp . Основными результатами являются теоремы 6 и 8, описывающие предельное поведение псевдоспектров операторов Kτ , а также теорема 7, устанавливающая предельное поведение спектров операторов Kτ при некоторых дополнительных условиях на ядро оператора K. Ниже использованы следующие обозначения: Rn — n-мерное евклидово p n 2 пространство, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R ; |x| = x1 + . . . + x2n , x0 = x/|x|, dx = n dx1 . . . dxn , e1 = (1, 0, . . . , 0); n = {x ∈ R : |x| 6 1}; L (X) — алгебра всех линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве X;
{Pτ } — класс линейных ограниченных операторов, к которым применим проекционный метод по системе проекторов (Pτ , Pτ ). 1. В пространстве Lp (n ), 1 < p < ∞, рассмотрим оператор Z (Kϕ)(x) = k(x, y)ϕ(y) dy, x ∈ n , n
c 2003 Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К.
(1)
1200
О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц
предполагая, что функция k(x, y), определенная на Rn ×Rn , удовлетворяет условиям 1◦ ) однородности степени −n, т. е. k(αx, αy) = α−n k(x, y) ∀α > 0; 2◦ ) инвариантности относительно группы SO(n) вращений пространства R , т. е. k(ω(x), ω(y)) = k(x, y) ∀ω ∈ SO(n); n
3◦ ) суммируемости, т. е. Z Z 0 k = |k(e1 , y)||y|−n/p dy = |k(x, e1 )||x|−n/p dx < ∞. Rn
Rn
Теория таких операторов достаточно полно изложена в монографии [5] (см. также [6–8]). В частности, в [5, с. 70] доказано, что оператор K ограничен в пространстве Lp (n ), причем kKk 6 k. Приведем в удобном для дальнейшего виде один из результатов, полученных в [5, с. 380–381]. Теорема 1. Пусть K1 и K2 — операторы вида (1). Тогда K1 K2 = K + T,
K2 K 1 = K + T 1 ,
где K — оператор вида (1), а T и T1 — компактные в Lp (n ) операторы. Определим в пространстве Lp (n ) проектор Pτ (0 < τ < 1) формулой ϕ(x), τ < |x| < 1, (Pτ ϕ)(x) = 0, |x| < τ.
(2)
Очевидно, что kPτ k = 1 и s- lim Pτ = I. Зададим также оператор Rτ (0 < τ < 1) τ →0 равенством ( n/p τ ϕ τ |x|x 2 , τ < |x| < 1, |x|2 (3) (Rτ ϕ)(x) = 0, |x| < τ. Изучим свойства оператора Rτ . Непосредственно проверяется Свойство 1. Справедливы равенства Rτ2 = Pτ , Rτ Pτ = Pτ Rτ = Rτ . Свойство 2. Норма оператора Rτ равна единице. Доказательство. Производя замену переменных x = τ y/|y|2 , получим p Z Z τ n x ϕ τ dx = |ϕ(y)|p dy 6 kϕkpp . kRτ ϕkpp = |x|2n |x|2 τ <|x|<1
τ <|y|<1
Отсюда вытекает, что kRτ k 6 1. С другой стороны, используя свойство 1, имеем 1 = kPτ k = kRτ2 k 6 kRτ k2 . Следовательно, kRτ k = 1. Свойство 3. Операторы Rτ и Rτ∗ слабо сходятся к нулю при τ → 0. Доказательство. Докажем, что (Rτ ϕ, f ) → 0 при τ → 0 для любых ϕ ∈ Lp (n ) и f ∈ Lp0 (n ). Приблизим функции ϕ(x) и f (x) функциями из пространства C0∞ (n ) (здесь C0∞ (n ) — пространство бесконечно дифференцируемых на n функций, носители которых не содержат нуля). По числу ε > 0 найдем функцию ϕ0 ∈ C0∞ (n ) такую, что kϕ − ϕ0 kp < ε/(2kf kp0 ), и зафиксируем ϕ0 (x). Затем найдем функцию f0 ∈ C0∞ (n ) такую, что kf − f0 kp0 <
О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов
1201
ε/(2kϕ0 kp ). Элементарными рассуждениями устанавливается, что |(Rτ ϕ, f )| 6 |(Rτ ϕ0 , f0 )| + ε. Отсюда следует, что доказательство достаточно провести на функциях из C0∞ (n ). Итак, пусть функции ϕ, f принадлежат C0∞ (n ). Выберем число τ0 ∈ (0, 1) так, чтобы sup |f (x)| = 0. Тогда, считая τ < τ0 , получим |x|6τ0 Z x n/p −2n/p 0. |(Rτ ϕ, f )| 6 τ τ0 ϕ τ |x|2 |f (x)| dx τ−→ →0 τ0 <|x|<1
Докажем, что операторы Rτ∗ слабо сходятся к нулю при τ → 0. Так как ∗ (Rτ ϕ, f ) = (ϕ, Rτ f ) и правая часть по доказанному выше стремится к нулю при τ → 0, то и (Rτ∗ ϕ, f ) → 0 при τ → 0. Свойство доказано. В дальнейшем нам потребуются следующие две леммы. Лемма 1. Если 0 < τ < β < α < 1 и τ < αβ, то Pα Rτ Pβ = 0. Доказательство. Непосредственно усматриваем, что ( n/p τ ϕ τ |x|x 2 , τ < |x| < τ /β, |x|2 (Rτ Pβ ϕ)(x) = 0, |x| < τ или τ /β < |x| < 1. Поскольку τ /β < α, то Pα Rτ Pβ = 0. Лемма 2. Если K — оператор вида (1), то e τ, Rτ KRτ = Pτ KP
(4)
e определяется равенством где оператор K np − n0 Z p |y| e k(y, x) (Kϕ)(x) = ϕ(y) dy, |x|
x ∈ n .
(5)
n
Доказательство. Учитывая определение оператора Rτ , производя замену переменных y = τ z/|z|2 , а затем пользуясь однородностью функции k(x, y), получим n/p Z n/p x τ y τ k τ 2,y ϕ τ 2 dy (Rτ KRτ ϕ)(x) = |x|2 |x| |y|2 |y| τ <|y|<1
Z
− 2n p
= |x|
2n x z τn k τ 2 , τ 2 |z| p ϕ(z) 2n dz |x| |z| |z|
τ <|z|<1
Z
0
0
k(|z|x , |x|z )
=
|z| |x|
np − n0 p
ϕ(z) dz,
τ < |x| < 1.
τ <|z|<1
Далее, так как функция k(z, x) удовлетворяет условию 2◦ , то существует такая функция `(r, ρ, t), что k(z, x) = `(|z|2 , |x|2 , z 0 · x0 ), где z 0 · x0 — скалярное произведение векторов z 0 и x0 (см., например, [5, с. 68]). Отсюда следует, что k(z, x) = k(|z|x0 , |x|z 0 ). Тогда при τ < |x| < 1 имеем np − n0 Z p |z| e τ ϕ)(x). (Rτ KRτ ϕ)(x) = k(z, x) ϕ(z) dz = (Pτ KP |x| τ <|z|<1
Лемма доказана. Далее, рассмотрим усеченный оператор Kτ = Pτ KPτ . Изучим композиции таких операторов.
1202
О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц
Теорема 2. Пусть K1 и K2 — операторы вида (1) с ядрами k1 (x, y) и k2 (x, y) соответственно. Тогда K1τ K2τ = Kτ + Pτ T Pτ + Rτ LRτ ,
(6)
где K — оператор вида (1), а T и L — компактные в Lp (n ) операторы. Доказательство. Запишем равенство K1τ K2τ = Pτ K1 Pτ K2 Pτ = Pτ K1 K2 Pτ − Pτ K1 Qτ K2 Pτ , где Qτ = I − Pτ . Учитывая теорему 1, получаем K1τ K2τ = Pτ KPτ + Pτ T Pτ − Pτ K1 Qτ K2 Pτ .
(7)
Рассмотрим оператор Pτ K1 Qτ K2 Pτ . При τ < |x| < 1 имеем Z Z ϕ(t) dt k1 (x, y)k2 (y, t) dy. (Pτ K1 Qτ K2 Pτ ϕ)(x) = |y|<τ
τ <|t|<1
Производя во внешнем интеграле замену t = τ z/|z|2 , а во внутреннем — замену y = τ u/|u|2 и учитывая, что функции k1 (x, y) и k2 (x, y) удовлетворяют условиям 1◦ и 2◦ , приходим к цепочке равенств (Pτ K1 Qτ K2 Pτ ϕ)(x) Z Z z τn = ϕ τ 2 dz |z|2n |z|
k2
z u τ 2,τ 2 |u| |z|
τn du |u|2n
|z|n u0 0 k k2 (|z|u0 , |u|z 0 ) du |u|x , τ 1 |x|n |x|
Z z τn ϕ τ dz |z|2n |z|2
Z =
|u|>1
τ <|z|<1
=
k1
u x, τ 2 |u|
|u|>1
τ <|z|<1
Z
n
τ z ϕ τ 2 |z|n |z|
Z dz
x 1 k u, τ k2 (z, u) du = −(Rτ LRτ ϕ)(x), 1 |x|n |x|2
|u|>1
τ <|z|<1
где оператор L определяется по формуле np − n0 Z Z p |z| du, (Lϕ)(x) = − ϕ(z) dz k2 (z, u) k1 (u, x) |x| |z|<1
x ∈ n .
|u|>1
Докажем, что оператор L компактен в Lp (n ). Заметим, что L = −L1 L2 , где
Z (L1 ϕ)(x) =
k1 (u, x)
|u| |x|
np − n0 p
ϕ(u) du,
x ∈ n ,
|u|>1
Z (L2 ϕ)(x) =
k2 (z, x)
|z| |x|
np − n0 p
ϕ(z) dz,
x ∈ Rn \ n .
|z|<1
Так как операторы L1 и L2 компактны [5, с. 380], оператор L также компактен. Тогда из (7) получаем (6). Теорема доказана. В заключение установим еще одно полезное утверждение.
О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов
1203
Лемма 3. Пусть A ∈ L (Lp (n )) и Aτ = Pτ APτ . Тогда норма kAτ k является невозрастающей функцией переменной τ , предел lim kAτ k существует и τ →0 справедливо неравенство lim kAτ k 6 kAk. (8) τ →0
Доказательство. Пусть 0 < τ1 < τ2 < 1. Тогда Pτ2 APτ2 = Pτ2 Pτ1 APτ1 Pτ2 . С учетом того, что kPτ2 k = 1, получаем неравенство kPτ2 APτ2 k 6 kPτ2 kkPτ1 APτ1 kkPτ2 k = kPτ1 APτ1 k, что и доказывает невозрастание kAτ k. Далее, поскольку kAτ k 6 kAk для любого τ ∈ (0, 1), существует предел lim kAτ k, причем справедливо неравенство (8). τ →0
2. Основному результату этого пункта — теореме 3 — предпошлем несколько вспомогательных утверждений. Пусть D и G — некоторые области в Rn , причем G ⊂ D. Обозначим через PG оператор умножения на характеристическую функцию множества G, и пусть QG = ID − PG — дополнительный проектор. Лемма 4. Пусть A, B ∈ L (Lp (D)). Тогда kPG APG + QG BQG k 6 max{kAk, kBk}.
(9)
Доказательство. Учитывая, что PG + QG = ID и PG · QG = 0, получаем Z Z k(PG APG + QG BQG )ϕkpp = |(APG ϕ)(x)|p dx + |(BQG ϕ)(x)|p dx G
6 kAkp
Z
D\G
|(PG ϕ)(x)|p dx + kBkp
G
Z
|(QG ϕ)(x)|p dx
D\G
6 (max{kAk, kBk})p
Z
|ϕ(x)|p dx = (max{kAk, kBk})p kϕkpp .
D
Отсюда следует неравенство (9). Лемма 5. Пусть числа τ, τ0 ∈ (0, 1) таковы, что τ < τ04 , и пусть функция ϕ(x) удовлетворяет условию Z |ϕ(x)|p dx = 1. τ <|x|<1
Тогда найдется такое число δ > τ /τ0 , что Z |ϕ(x)|p dx <
2 ln τ0 . ln τ − 2 ln τ0
(10)
δ<|x|<δ/τ0
Доказательство. Нетрудно видеть, что справедливы неравенства Z Z n−1 XZ 1= |ϕ(x)|p dx > |ϕ(x)|p dx > |ϕ(x)|p dx, τ <|x|<1
τ 3/4 <|x|<τ 1/4
i=0 G
i
(11)
1204
О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц
где Gi = x ∈ Rn :
τ 3/4 τ0i
< |x| <
τ 3/4 τ0i+1
, а n ∈ N таково, что
τ 3/4 6 τ 1/4 , τ0n
τ 3/4 > τ 1/4 . τ0n+1
Из двух последних неравенств следует, что ln τ ln τ − 2 ln τ0
Полагая δ =
τ 3/4 i τ00
>
τ τ0 ,
получим Z
|ϕ(x)|p dx <
1 2 ln τ0 < . n ln τ − 2 ln τ0
δ<|x|<δ/τ0
Лемма доказана. В пространстве Pτ (Lp (n )) рассмотрим семейство операторов Aτ = (λI − K)τ + Pτ T Pτ + Rτ LRτ ,
(12)
где T и L — компактные в Lp (n ) операторы. В силу леммы 3 существует предел lim kAτ k. Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы найти этот τ →0 предел. Лемма 6. Если Aτ — операторы вида (12), то e + Lk}. lim kAτ k > max{kλI − K + T k, kλI − K
(13)
τ →0
Доказательство. Так как операторы Rτ слабо сходятся к нулю при τ → 0 и L — компактный оператор, операторы LRτ сильно сходятся к нулю (см., например, [9, с. 37]). Тогда s- lim Aτ = λI − K + T . Следовательно, τ →0
kλI − K + T k 6 lim kAτ k.
(14)
τ →0
Далее, учитывая свойство 1 оператора Rτ и лемму 2, получаем e τ + Rτ T Rτ + Pτ LPτ , Rτ Aτ Rτ = (λI − K) e — оператор вида (5). Тогда s- lim Rτ Aτ Rτ = λI − K e + L. Значит, где K τ →0
e + Lk 6 lim kRτ Aτ Rτ k 6 lim kAτ k. kλI − K τ →0
Из (14) и (15) вытекает неравенство (13).
τ →0
(15)
О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов
1205
Теорема 3. Пусть Aτ — оператор вида (12). Тогда предел lim kAτ k сущеτ →0 ствует, причем справедливо равенство e + Lk}. lim kAτ k = max{kλI − K + T k, kλI − K
(16)
τ →0
Доказательство разобьем на несколько этапов. 1. Возьмем произвольное ε > 0. Так как s- lim Pτ T Pτ = T, τ →0
s- lim Pτ LPτ = L τ →0
и функция k(x, y) удовлетворяет условию 3◦ , по выбранному ε > 0 найдется такое число τ0 ∈ (0, 1), что справедливы неравенства
Z
kPτ0 T Pτ0 − T k < ε/8, 0 ε |k(x, e1 )||x|−n/p dx < p/p0 , 8k
kPτ0 LPτ0 − Lk < ε/8, Z 0 |k(x, e1 )||x|−n/p dx <
(17) ε .(18) 8k p/p0
|x|>1/τ0
|x|<τ0
Зафиксируем число τ0 . Пусть теперь τ < τ04 . Возьмем произвольную функцию ϕ ∈ Pτ (Lp (n )) такую, что kϕkp = 1. Тогда по лемме 5 найдется такое число δ > τ /τ0 , что будет выполнено неравенство (10). Зафиксируем число δ. 2. Введем проектор Pτ,δ := Pτ − Pδ и запишем равенство Aτ = Pτ Aτ Pτ = Pδ Aτ Pδ + Pτ,δ Aτ Pτ,δ + Pτ,δ Aτ Pδ + Pδ Aτ Pτ,δ .
(19)
Рассмотрим каждое слагаемое в правой части (19). Так как Pδ Pτ = Pδ , для первого слагаемого имеем Pδ Aτ Pδ = Pδ (λI − K)Pδ + Pδ T Pδ + Pδ Rτ LRτ Pδ = Pδ (λI − K + T )Pδ + Pδ Rτ Pτ0 LPτ0 Rτ Pδ + Pδ Rτ (L − Pτ0 LPτ0 )Rτ Pδ . В силу леммы 1 будет Pτ0 Rτ Pδ = 0. Следовательно, Pδ Aτ Pδ = Pδ (λI − K + T )Pδ + Cτ(1) ,
(20)
где
(1)
Cτ = kPδ Rτ (L − Pτ LPτ )Rτ Pδ k 6 kL − Pτ LPτ k < ε/8 0 0 0 0 согласно (17). Перейдем ко второму слагаемому. Так как Pτ Pτ,δ = Pτ,δ и Pτ0 Pτ,δ = 0, то Pτ,δ Aτ Pτ,δ = Pτ,δ (λI − K)τ Pτ,δ + Pτ,δ T Pτ,δ + Pτ,δ Rτ LRτ Pτ,δ = Pτ,δ (Pτ (λI − K)Pτ + Rτ LRτ )Pτ,δ + Pτ,δ (T − Pτ0 T Pτ0 )Pτ,δ . e τ . Значит, По лемме 2 имеем Pτ (λI − K)Pτ = Rτ (λI − K)R e + L)Rτ Pτ,δ + C (2) , Pτ,δ Aτ Pτ,δ = Pτ,δ Rτ (λI − K τ причем
(2)
Cτ = kPτ,δ (T − Pτ0 T Pτ0 )Pτ,δ k 6 kT − Pτ0 T Pτ0 k < ε/8 в силу (17).
(21)
1206
О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц
Рассмотрим третье слагаемое в равенстве (19): Pτ,δ Aτ Pδ = Pτ,δ (λI − K)Pδ + Pτ,δ T Pδ + Pτ,δ Rτ LRτ Pδ = −Pτ,δ KPδ + Pτ,δ (T − Pτ0 T Pτ0 )Pδ + Pτ,δ Rτ Pτ0 LPτ0 Rτ Pδ + Pτ,δ Rτ (L − Pτ0 LPτ0 )Rτ Pδ . Поскольку Pτ0 Rτ Pδ = 0, то Pτ,δ Aτ Pδ = −Pτ,δ KPδ + Cτ(3) ,
(22)
где
(3)
Cτ = kPτ,δ (T − Pτ0 T Pτ0 )Pδ + Pτ,δ Rτ (L − Pτ0 LPτ0 )Rτ Pδ k 6 kT − Pτ0 T Pτ0 k + kL − Pτ0 LPτ0 k < ε/4. Аналогично доказывается, что Pδ Aτ Pτ,δ = −Pδ KPτ,δ + Cτ(4) ,
(23)
(4) где Cτ < ε/4. Объединение равенств (20)–(23) приводит к равенству e + L)Rτ Pτ,δ − Pτ,δ KPδ − Pδ KPτ,δ + Cτ , Aτ = Pδ (λI − K + T )Pδ + Pτ,δ Rτ (λI − K (1)
(2)
(3)
(4)
где Cτ = Cτ + Cτ + Cτ + Cτ . Следовательно, kCτ k < 3ε/4. Далее, если функция ϕ ∈ Pτ (Lp (n )) и kϕkp = 1, то e + L)Rτ Pτ,δ )ϕkp kAτ ϕkp 6 k(Pδ (λI − K + T )Pδ + Pτ,δ Rτ (λI − K + kPτ,δ KPδ ϕkp + kPδ KPτ,δ ϕkp + 3ε/4. Используя теперь лемму 4, где D = {x ∈ Rn : δ < |x| < 1}, PG = Pδ , а QG = Pτ,δ , приходим к оценке e + Lk kAτ ϕkp 6 max{kλI − K + T k, kλI − K + kPτ,δ KPδ ϕkp + kPδ KPτ,δ ϕkp + 3ε/4. (24) 3. Оценим kPτ,δ KPδ ϕkp и kPδ KPτ,δ ϕkp . Применяя неравенство Г¨ельдера, получим Z |(KPδ ϕ)(x)| 6 |k(x, y)||ϕ(y)| dy δ<|y|<1
Z
−n/p
|k(x, y)||y|
6
1/p0 Z
n/p0
|k(x, y)||y|
dy
Rn
1/p
p
|ϕ(y)| dy
.
δ<|y|<1
Производя в первом интеграле замену переменных y = |x|t и используя свойства 1◦ –3◦ функции k(x, y), имеем 0
0
|(KPδ ϕ)(x)| 6 k 1/p |x|−n/(pp )
Z δ<|y|<1
0
|k(x, y)||y|n/p |ϕ(y)|p dy
1/p .
О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов
1207
Тогда kPτ,δ KPδ ϕkpp
6k
Z
p/p0
−n/p0
|x|
Z δ<|y|<1
τ <|x|<δ
=k
p/p
Z
0
p
n/p
|ϕ(y)| |y|
Z
0
6k
p/p
τ <|x|<δ
Z
p
n/p
|ϕ(y)| |y|
0
Z
+k
0
|k(x, y)||x|−n/p dx
dy |x|<δ
δ<|y|<δ/τ0 p/p
0
|k(x, y)||x|−n/p dx
dy
δ<|y|<1 0
0
|k(x, y)||y|n/p |ϕ(y)|p dy
dx
Z
0
n/p0
p
|ϕ(y)| |y|
Z dy
0
|k(x, y)||x|−n/p dx.
|x|<δ
δ/τ0 <|y|<1
Выполняя во внутренних интегралах замену переменных x = |y|t и используя свойства 1◦ , 2◦ функции k(x, y), получим Z Z 0 0 |ϕ(y)|p dy |k(x, e1 )||x|−n/p dx kPτ,δ KPδ ϕkp 6 k p/p Rn
δ<|y|<δ/τ0
+ k p/p
Z
0
6 k p/p k
Z
|ϕ(y)|p dy + k p/p
δ<|y|<δ/τ0
0
|k(x, e1 )||x|−n/p dx
|x|<δ/|y|
δ/τ0 <|y|<1 0
Z
|ϕ(y)|p dy 0
Z
|ϕ(y)|p dy
6 kp
0
|k(x, e1 )||x|−n/p dx
|x|<τ0
δ/τ0 <|y|<1
Z
Z
0
|ϕ(y)|p dy + k p/p kϕkpp
Z
0
|k(x, e1 )||x|−n/p dx.
|x|<τ0
δ<|y|<δ/τ0
Учитывая (18) и (10), окончательно имеем kPτ,δ KPδ ϕkp 6 k p
ln τ0 ε + . ln τ − 2 ln τ0 8
(25)
Переходом к сопряженному оператору доказывается, что kPδ KPτ,δ ϕkp 6 k p
ln τ0 ε + . ln τ − 2 ln τ0 8
(26)
4. Подставляя (25) и (26) в (24), приходим к неравенству e + Lk} + 2k p kAτ k 6 max{kλI − K + T k, kλI − K
ln τ0 + ε. ln τ − 2 ln τ0
Но тогда e + Lk} + ε. lim kAτ k 6 max{kλI − K + T k, kλI − K
τ →0
В силу произвольности ε заключаем, что e + Lk}. lim kAτ k 6 max{kλI − K + T k, kλI − K
τ →0
Из (27) и (13) вытекает равенство (16). Теорема доказана.
(27)
1208
О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц
Следствие 1. Справедливо равенство e lim k(λI − K)τ k = kλI − Kk = kλI − Kk.
τ →0
(28)
Доказательство. По лемме 3 имеем lim k(λI − K)τ k 6 kλI − Kk.
τ →0
Далее, учитывая свойства операторов Rτ , получим e τ Rτ k 6 kλI − Kk. e k(λI − K)τ k = kRτ (λI − K) e Тогда в силу теоремы 3 имеем Отсюда следует, что lim k(λI − K)τ k 6 kλI − Kk. τ →0
e 6 kλI − Kk, max{kλI − Kk, kλI − Kk}
e 6 kλI − Kk. e max{kλI − Kk, kλI − Kk}
e и справедливо (28). Следовательно, kλI − Kk = kλI − Kk, 3. Обозначим через K наименьшую замкнутую подалгебру банаховой алгебры L (Lp (n )), содержащую все операторы вида λI − K, где K — оператор вида (1), а λ ∈ C. Алгебра K изучена в работе [6]. Пусть T — множество всех компактных операторов, содержащихся в K. Известно [6], что множество K0 = {λI − K + T }, где T ∈ T, всюду плотно в алгебре K. Пусть F — множество всех семейств {Aτ } операторов Aτ , действующих в пространстве Pτ (Lp (n )), таких, что k{Aτ }k := sup kAτ k < ∞.
(29)
0<τ <1
Относительно обычных алгебраических операций: {Aτ } + {Bτ } := {Aτ + Bτ },
{Aτ } · {Bτ } := {Aτ Bτ },
α{Aτ } := {αAτ },
и нормы (29) множество F образует банахову алгебру. Нетрудно видеть, что множество F0 = {{Cτ } ∈ F : kCτ k → 0 при τ → 0} является замкнутым двусторонним идеалом алгебры F. Рассмотрим фактор-алгебру F/F0 . Норма элемента {Aτ } + F0 ∈ F/F0 определяется равенством k{Aτ } + F0 kF/F0 = lim kAτ k. τ →0
(30)
Обозначим через N наименьшую замкнутую подалгебру банаховой алгебры F/F0 , содержащую все элементы {(λI − K)τ } + F0 , где K — оператор вида (1). Она представляет собой замыкание по норме алгебры F/F0 множества nX Y o N0 = ({(λij I − Kij )τ } + F0 ) , i
j
где суммы и произведения конечны. В силу теоремы 2 множество N0 имеет вид N0 = {{(λI − K)τ + Pτ T Pτ + Rτ LRτ } + F0 }, где T и L принадлежат T.
О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов
1209
Лемма 7. Пусть {Aτ } + F0 ∈ N. Тогда пределы A = s- lim Aτ τ →0
и
e = s- lim Rτ Aτ Rτ A τ →0
существуют и принадлежат алгебре K. Доказательство. Так как множество N0 всюду плотно в алгебре N, доказательство достаточно провести для элемента {(λI −K)τ +Pτ T Pτ +Rτ LRτ }+ F0 ∈ N0 . Поскольку s- lim ((λI − K)τ + Pτ T Pτ + Rτ LRτ ) = λI − K + T, τ →0
e +L s- lim Rτ ((λI − K)τ + Pτ T Pτ + Rτ LRτ )Rτ = λI − K τ →0
e + L принадлежат алгебре K. Лемма и T, L ∈ T, операторы λI − K + T и λI − K доказана. Следующая теорема является естественным обобщением теоремы 3. Теорема 4. Пусть {Aτ } + F0 ∈ N. Тогда предел lim kAτ k существует, τ →0 причем справедливо равенство e lim kAτ k = max{kAk, kAk}.
(31)
τ →0
e = s- lim Rτ Aτ Rτ , то Доказательство. Так как A = s- lim Aτ и A τ →0
kAk 6 lim kAτ k и τ →0
τ →0
e 6 lim kRτ Aτ Rτ k 6 lim kAτ k. kAk τ →0
τ →0
Следовательно, e 6 lim kAτ k. max{kAk, kAk}
(32)
τ →0
Докажем, что e = lim kAτ k. max{kAk, kAk}
(33)
τ →0
Для элемента {Aτ } + F0 ∈ N0 равенство (33) (и даже равенство (31)) уже доказано в теореме 3. Пусть {Aτ } + F0 ∈ N \ N0 . Тогда найдется такая последовательность {{(λj I − Kj )τ + Pτ Tj Rτ + Rτ Lj Rτ } + F0 } ⊂ N0 , что k{(λj I − Kj )τ + Pτ Tj Pτ + Rτ Lj Rτ } − {Aτ } + F0 kN = lim k(λj I − Kj )τ + Pτ Tj Pτ + Rτ Lj Rτ − Aτ k −→ 0. (34) τ →0
j→∞
Тогда тем более lim k(λj I − Kj )τ + Pτ Tj Pτ + Rτ Lj Rτ − Aτ k −→ 0, j→∞
τ →0
и в силу неравенства (32) e j + Lj ) − Ak} e −→ 0. max{k(λj I − Kj + Tj ) − Ak, k(λj I − K j→∞
(35)
Далее, по теореме 3 с учетом (30) имеем k{(λj I − Kj )τ + Pτ Tj Pτ + Rτ Lj Rτ } + F0 kN e j + Lj k}. = max{kλj I − Kj + Tj k, kλj I − K
1210
О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц
Переходя к пределу при j → ∞ и учитывая (34) и (35), получаем, что e k{Aτ } + F0 kN = max{kAk, kAk}. Вспоминая определение нормы в алгебре N, приходим к равенству (33). Теорема доказана. Рассмотрим банахову алгебру K ⊕ K с нормой k(B1 , B2 )k = max{kB1 k, kB2 k}. Определим отображение γ : N → K ⊕ K формулой e γ({Aτ } + F0 ) = (A, A). Очевидно, что γ является гомоморфизмом. Из теоремы 4 вытекает Следствие 2. Гомоморфизм γ является изометрией.
, что представляет Для дальнейшего нам необходимо найти lim (λI −K)−1 τ τ →0
также и самостоятельный интерес. e обратимы. Тогда найдется Теорема 5. Пусть операторы λI − K и λI − K такое число τ0 ∈ (0, 1), что для всех 0 < τ < τ0 операторы (λI − K)τ обратимы в Pτ (Lp (n )), причем
e −1 k}.
= max{k(λI − K)−1 k, k(λI − K) lim (λI − K)−1 (36) τ τ →0
Доказательство. Так как оператор λI − K обратим, то λI − K ∈
{Pτ } (см. [6]). Следовательно, существует такое число τ0 ∈ (0, 1), что для всех 0 < τ < τ0 операторы (λI − K)τ , действующие в Pτ (Lp (n )), обратимы и элемент {(λI −K)τ }+F0 обратим в фактор-алгебре F/F0 [10, с. 278]. Рассмотрим элемент −1 −1 {(λI − K)−1 τ } + F0 и найдем s- lim (λI − K)τ и s- lim Rτ (λI − K)τ Rτ . τ →0
τ →0
Поскольку λI − K ∈
{Pτ }, по определению проекционного метода −1 s- lim (λI − K)−1 . τ Pτ = (λI − K) τ →0
Заметим, что оператор Rτ (λI − K)τ Rτ обратим в Pτ (Lp (n )), причем (Rτ (λI − K)τ Rτ )−1 = Rτ (λI − K)−1 τ Rτ . Используя лемму 2, получим −1 s- lim Rτ (λI − K)−1 Pτ τ Rτ = s- lim (Rτ (λI − K)τ Rτ ) τ →0
τ →0
e −1 Pτ = (λI − K) e −1 . = s- lim (λI − K) τ τ →0
e −1 принадлежат В силу результатов работы [6] операторы (λI − K)−1 и (λI − K) алгебре K. Учитывая следствие 2, получаем, что элемент {(λI − K)−1 τ } + F0 принадлежит алгебре N. Применяя к элементу {(λI − K)−1 } + F теорему 4, 0 τ приходим к равенству (36). 4. Прежде чем доказать основную теорему, сформулируем два определения.
О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов
1211
Определение 1. Пусть {Eτ } — семейство множеств Eτ ⊂ C (0 < τ < 1). Пределом множеств Eτ при τ → 0 назовем множество E, состоящее из всех λ ∈ C, для каждого из которых найдутся убывающая последовательность {τs } ⊂ (0, 1) такая, что lim τs = 0, и последовательность {λs } ⊂ C такая, что λs ∈ Eτs s→∞
и lim λs = λ (обозначаем E = lim Eτ ). τ →0
s→∞
Определение 2. Пусть X — банахово пространство, A ∈ L (X) и ε > 0. ε-псевдоспектром оператора A называется множество Spε (A) = {λ ∈ C : λ ∈ Sp(A) или k(A − λI)−1 k > 1/ε}.
(37)
Полагая k(A − λI)−1 k = ∞, если оператор A − λI необратим, перепишем (37) в виде Spε (A) = {λ ∈ C : k(A − λI)−1 k > 1/ε}. Теорема 6. Пусть K — оператор вида (1). Тогда для любого ε > 0 имеет место равенство e lim Spε (Kτ ) = Spε (K) ∪ Spε (K). (38) τ →0
Доказательство. Известно [1–3], что Spε (K) ⊂ lim Spε (Kτ ). τ →0
(В [1–3] этот факт доказан в самом общем виде.) e получаем вложение Учитывая, что s- lim Rτ Kτ Rτ = K, τ →0
e ⊂ lim Spε (Rτ Kτ Rτ ). Spε (K) τ →0
(39)
Поскольку Rτ Kτ Rτ − λPτ = Rτ (Kτ − λPτ )Rτ , оператор Rτ Kτ Rτ − λPτ обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор Kτ − λPτ , причем k(Rτ Kτ Rτ − λPτ )−1 k = k(Kτ − λPτ )−1 k. Следовательно, Spε (Rτ Kτ Rτ ) = Spε (Kτ ). Тогда (39) принимает вид e ⊂ lim Spε (Kτ ). Spε (K) τ →0
Таким образом, доказано вложение e ⊂ lim Spε (Kτ ). Spε (K) ∪ Spε (K) τ →0
(40)
e Тогда операторы Докажем обратное вложение. Пусть λ ∈ / Spε (K) ∪ Spε (K). −1 e обратимы, причем k(λI − K) k < 1/ε и k(λI − K) e −1 k < 1/ε. λI − K и λI − K Положим e −1 k} = 1/ε − 2δ, max{k(λI − K)−1 k, k(λI − K) где δ — некоторое положительное число. Тогда по теореме 5 найдется такое число τ0 ∈ (0, 1), что для всех 0 < τ < τ0 операторы (λI − K)τ обратимы в
< 1/ε − δ. Если теперь τ < τ0 и µ ∈ C таково, что Pτ (Lp (n )) и (λI − K)−1 τ |µ − λ| < εδ(1/ε − δ)−1 , то
(K − µI)−1
= k((λ − µ)Pτ − (λI − K)τ )−1 k τ
(λI − K)−1
1/ε − δ 1 τ
6 −1 < 1 − εδ(1/ε − δ)−1 (1/ε − δ) = ε .
1 − |λ − µ| · (λI − K)τ
1212
О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц
Следовательно, µ ∈ / Spε (Kτ ). Тогда λ ∈ / lim Spε (Kτ ). Таким образом, доказано, τ →0 что e lim Spε (Kτ ) ⊂ Spε (K) ∪ Spε (K). (41) τ →0
Из (40) и (41) следует (38). Теорема доказана. В заключение сделаем некоторые уточнения, относящиеся к случаю, когда оператор K действует в пространстве L2 (n ). Обозначим через K ∗ сопряженный оператор, т. е. Z ∗ (K ϕ)(x) = k(y, x)ϕ(y) dy, x ∈ n . n
Следствие 3. Пусть оператор K вида (1) действует в пространстве L2 (n ). Тогда для любого ε > 0 справедливо равенство lim Spε (Kτ ) = Spε (K).
(42)
τ →0
Доказательство. Рассмотрим изометрический оператор (U ϕ)(x) = ϕ(x). ¯ − K ∗ )U , оператор λI − K e = U (λI e обратим тогда и только Поскольку λI − K ∗ ¯ ¯ − K ∗ )−1 U . e −1 = U (λI тогда, когда обратим оператор λI − K , причем (λI − K) Тогда ¯ − K ∗ )−1 k = k(λI − K)−1 k. e −1 k = k(λI k(λI − K) e = Spε (K), и (38) превращается в (42). Следовательно, Spε (K) Замечание. Следует подчеркнуть, что для спектра аналогичный результат, вообще говоря, не имеет места. В самом деле, если ядро k(x, y) оператора K кроме условий 1◦ –3◦ удовлетворяет еще условию k(x, y) = 0,
|y| < |x| (или k(x, y) = 0,
|y| > |x|),
то Sp(Kτ ) = {0} для любого τ ∈ (0, 1). Значит, lim Sp(Kτ ) = {0}. При этом в τ →0
силу результатов [5] спектр оператора K имеет вид Sp(K) =
∞ [
({λ: λ = σm (ξ), ξ ∈ R1 }
m=0
∪ {λ : λ 6= σm (ξ), ξ ∈ R1 , ind(λ − σm (ξ)) = 0}), где Z σm (ξ) =
k(e1 , y)Pm (e1 · y 0 )|y|−n/p+iξ dy,
Rn
а Pm (t) — многочлены Лежандра. 5. Выше говорилось, что спектр оператора K, вообще говоря, не аппроксимируется спектрами операторов Kτ . Однако при некоторых дополнительных условиях на ядро k(x, y) спектр оператора K, действующего в L2 (n ), все же является пределом спектров операторов Kτ .
О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов
1213
Лемма 8. Пусть ядро k(x, y) оператора K кроме условий 1◦ –3◦ удовлетворяет также условию k(y, e1 ) = k(e1 , y). (43) Тогда lim Sp(Kτ ) = Sp(K).
τ →0
(44)
Доказательство. В силу свойств 1◦ и 2◦ ядра k(x, y) условие (43) равносильно условию k(y, x) = k(x, y). Следовательно, операторы K и Kτ являются самосопряженными. Поскольку спектр самосопряженного оператора является вещественным, ниже всюду считаем, что λ ∈ R. Если λ ∈ / lim Sp(Kτ ), то найдутся такие числа δ > 0 и τ0 ∈ (0, 1), что для S τ →0 всех µ ∈ {Sp(Kτ ) : 0 < τ < τ0 } выполняется неравенство |λ − µ| > δ. Тогда для всех 0 < τ < τ0 оператор (λI − K)τ обратим в Pτ (L2 (n )), причем оператор (λI − K)−1 τ также является самосопряженным и
(λI − K)−1
= τ
max µ∈Sp(Kτ )
1 1 6 . |λ − µ| δ
(45)
Тем самым λI − K ∈
{Pτ }. Тогда оператор λI − K обратим, т. е. λ ∈ / Sp(K). Таким образом, доказано вложение Sp(K) ⊂ lim Sp(Kτ ). τ →0
(46)
Обратно, пусть λ ∈ / Sp(K). Тогда λI − K ∈
{Pτ } (см. [6]). Следовательно, найдется такое число τ0 ∈ (0, 1), что для всех 0 < τ < τ0 операторы (λI − K)τ обратимы в Pτ (L2 (n )) и
1
< ∞. := sup (λI − K)−1 τ δ τ <τ0 Тогда из (45) следует, что неравенство |λ − µ| > δ справедливо для всех µ ∈ S {Sp(Kτ ) : 0 < τ < τ0 }. Значит, λ ∈ / lim Sp(Kτ ), откуда τ →0
lim Sp(Kτ ) ⊂ Sp(K).
τ →0
(47)
Из (46) и (47) вытекает (44). Теорема 7. Пусть ядро k(x, y) оператора K кроме условий 1◦ –3◦ удовлетворяет также условию k(y, e1 ) = eiθ k(e1 , y),
θ ∈ R.
Тогда имеет место равенство (44). Доказательство. Положим b(x, y) = eiθ/2 k(x, y) и рассмотрим оператор B вида (1) с ядром b(x, y). Поскольку b(y, e1 ) = b(e1 , y), по лемме 8 lim Sp(Bτ ) = Sp(B).
τ →0
Далее, так как λI − B = eiθ/2 (e−iθ/2 λI − K), имеем λ ∈ Sp(B) ⇐⇒ e−iθ/2 λ ∈ Sp(K),
λ ∈ Sp(Bτ ) ⇐⇒ e−iθ/2 λ ∈ Sp(Kτ ).
Тогда из (48) сразу следует (44). Теорема доказана.
(48)
1214
О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц
6. Обозначим через Lsp (n ), 1 < p < ∞, пространство s-мерных векторфункций ϕ(x) = (ϕ1 (x), . . . , ϕs (x)) с компонентами из Lp (n ) и нормой
s !1/p
X
p (49) |ϕm | kϕkLsp (n ) =
.
m=1
В пространстве Lsp (n ) рассмотрим оператор Z (Kϕ)(x) = k(x, y)ϕ(y) dy,
p
x ∈ n ,
(50)
n
где k(x, y) = (kj` (x, y))sj,`=1 — матрица-функция s-го порядка, элементы коe матричный аналог торой удовлетворяют условиям 1◦ –3◦ . Обозначим через K оператора (5) и положим Pτ = (Pτ δj` )sj,`=1 , где Pτ определяется формулой (2). Известно, что оператор λI − K принадлежит
{Pτ } тогда и только тогда, когда e Повторяя с незначительными изменениобратимы операторы λI − K и λI − K. ями все рассуждения, выполненные выше для скалярного случая, приходим к следующему утверждению. Теорема 8. Пусть K — оператор вида (50). Тогда для любого ε > 0 e lim Spε (Kτ ) = Spε (K) ∪ Spε (K).
τ →0
(51)
Замечание. Подчеркнем, что в отличие от скалярного случая при p = 2 равенство (51) не может быть сведено к соотношению lim Spε (Kτ ) = Spε (K). τ →0
7. В этом пункте мы изучим одномерный аналог оператора (1), но при этом откажемся от условия 2◦ , которое является неотъемлемым при исследовании многомерного случая. В пространстве Lp ([−1, 1]), 1 < p < ∞, рассмотрим оператор Z1 (Kϕ)(x) =
k(x, y)ϕ(y) dy,
x ∈ [−1, 1],
(52)
−1
ядро k(x, y) которого однородно степени −1 и удовлетворяет условию Z∞
|k(±1, y)||y|−1/p dy < ∞.
−∞
Проектор Pτ по-прежнему определим формулой (2) и положим Kτ = Pτ KPτ . Теореме о пределе псевдоспектров оператора Kτ предпошлем одно простое вспомогательное утверждение. Лемма 9. Пусть X — банахово пространство, A ∈ L (X) и 0 ∈ Sp(A). Тогда если λ ∈ / Sp(A), то k(λI − A)−1 k > |λ−1 |. Доказательство. Предположим противное, т. е. kλ(λI − A)−1 k < 1. Тогда правая часть равенства A = (A − λI)(I − λ(λI − A)−1 ) представляет собой произведение двух обратимых операторов. Следовательно, оператор A обратим, что противоречит условию 0 ∈ Sp A. Лемма доказана.
О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов
1215
Теорема 9. Пусть K — оператор вида (52). Тогда для любого ε > 0 e lim Spε (Kτ ) = Spε (K) ∪ Spε (K). (53) τ →0
Доказательство. Обозначим через P± оператор умножения на характеристическую функцию отрезка [0, 1] (соответственно отрезка [−1, 0]). Нетрудно видеть, что справедливо равенство P+ P− λI − K 0 P+ P− λI − P+ KP+ −P+ KP− . (54) P− P+ 0 λI P− P+ −P− KP+ λI − P− KP− Введем обозначения P+ P− K 0 P+ KP+ P+ KP− U := ; A := ; B= . P− P+ 0 0 P− KP+ P− KP− Из равенства (54) следует, что оператор λI − A обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор λI − B. Докажем, что k(λI − A)−1 k = k(λI − B)−1 k. Для этого достаточно показать, что оператор U изометричен. В самом деле, используя определение нормы (49), для произвольной вектор-функции ϕ(x) = (ϕ1 (x), ϕ2 (x)) ∈ L2p ([−1, 1]) имеем 1 1/p Z kUϕkL2 ([−1,1]) = (|(P+ ϕ1 )(x)+(P− ϕ2 )(x)|p +|(P− ϕ1 )(x)+(P+ ϕ2 )(x)|p ) dx p
−1
Z1
=
1/p (|ϕ1 (x)|p + |ϕ2 (x)|p ) dx
= kϕkL2p ([−1,1]) .
−1
Таким образом, Spε (A) = Spε (B). Далее, так как 0 ∈ Sp(K) (см. [5, с. 78]), оператор λI − A обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор λI − K, при этом k(λI − A)−1 k = max{k(λI − K)−1 k, kλ−1 k}. Тогда в силу леммы 9 получаем равенство k(λI − A)−1 k = k(λI − K)−1 k. Следовательно, Spε (A) = Spε (K). Итак, окончательно имеем Spε (K) = Spε (B). (55) Аналогично доказывается, что Spε (Kτ ) = Spε (Bτ ). (56) Рассмотрим в пространстве L2p ([0, 1]) оператор Z1 (Kϕ)(x) =
k(x, y)ϕ(y) dy,
x ∈ [0, 1],
0
где матрица-функция k(x, y) имеет вид k(x, y) k(x, −y) k(x, y) = . k(−x, y) k(−x, −y) Нетрудно видеть, что Spε (B) = Spε (K), Spε (Bτ ) = Spε (Kτ ). Из (55), (56) получаем Spε (K) = Spε (K), Spε (Kτ ) = Spε (Kτ ). По аналогии с теоремой 8 устанавливается, что e lim Spε (Kτ ) = Spε (K) ∪ Spε (K). τ →0
Следовательно, справедливо равенство (53). Теорема доказана.
1216
О. Г. Авсянкин, Н. К. Карапетянц ЛИТЕРАТУРА
1. B¨ ottcher A. Pseudospectra and singular values of large convolution operators // J. Integral Equations Appl.. 1994. V. 6. P. 267–301. 2. B¨ ottcher A., Grudsky S. M., Silbermann B. Norms of inverses, spectra, and pseudospectra of large truncated Wiener–Hopf operators and Toeplitz matrices // New York J. Math.. 1997. V. 3. P. 1–31. 3. B¨ ottcher A., Grudsky S. M. Toeplitz matrices, asymptotic linear algebra, and functional analysis. Boston; Basel; Berlin: Birkh¨ auser, 2000. 4. Avsyankin O. G., Karapetiants N. K. Multidimensional integral operators with homogeneous kernels // J. Natur. Geometry. 1999. V. 16. P. 1–18. 5. Karapetiants N. K., Samko S. G. Equations with involutive operators. Boston; Basel; Berlin: Birkh¨ auser, 2001. 6. Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (−n) ядрами // Докл. РАН. 1999. Т. 368, № 6. С. 727–729. 7. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений // Math. Nachr.. 1977. V. 76. P. 91–107. 8. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высш. шк., 1991. 9. B¨ ottcher A., Silbermann B. Introduction to large truncated Toeplitz matrices. New York: Springer-Verl., 1999. 10. B¨ ottcher A., Silbermann B. Analysis of Toeplitz operators. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1990. Статья поступила 4 июня 2003 г. Авсянкин Олег Геннадиевич, Карапетянц Николай Карапетович Ростовский гос. университет, механико-математический факультет, ул. Зорге, 5, Ростов-на-Дону 344090
[email protected],
[email protected]
