Практические основы монтажа и настройки приборов контроля и диагностики: Методические указания к выполнению практических заданий N1, 2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

ПРАКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОНТАЖА И НАСТРОЙКИ ПРИБОРОВ КОНТРОЛЯ И ДИАГНОСТИКИ Методические указания к выполнению практических заданий № 1, 2

Санкт-Петербург 2005

Составитель кандидат технических наук, доцент В. А. Голубков

Даны методические указания к выполнению практических заданий по курсу «Практические основы монтажа и настройки приборов контроля и диагностики». Методические указания предназначены для студентов специальности 190200 – «Приборы и методы контроля качества и диагностики». Подготовлены кафедрой электротехники и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «СанктПетербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения».

Подписано к печати 28.04.05. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,86. Уч. -изд. л. 1,36. Тираж 100 экз. Заказ № Отпечатано с оригинал-макета, подготовленного автором Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67 © ГОУ ВПО «СПбГУАП», 2005

Практическое задание № 1 АНАЛИЗ ПАССИВНЫХ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ Задача 1.1. Расчёт четырёхполюсников при произвольной нагрузке Четырёхполюсник представляет собой электрическую цепь, имеющую две пары внешних зажимов (полюсов) 1-1' и 2-2' (рис. 1.1). Та пара зажимов, которой &I ′ &I ′ четырёхполюсник подключается к 2 1 источнику энергии или сигнала, U& 1 I&1 I&2 U& 2 называется входом, противоположная пара зажимов называется выходом и служит для подключения приёмника. Рис.1.1 Рис. 1.1

В теории четырёхполюсников рассматриваются только токи и напряжения на входах и выходах, а все реакции внутри их остаются без внимания. В проходном четырёхполюснике связь между источником и приёмником осуществляется только через четырёхполюсник. В линейном четырёхполюснике между входными и выходными токами и напряжениями существуют линейные аналитические зависимости, которые называются уравнениями четырёхполюсника. В гармоническом установившемся режиме комплексные напряжения и токи на зажимах пассивного четырёхполюсника могут быть связаны уравнениями, записанными в различных параметрах:

⎧ U&1 = Z 11I&1 + Z 12 I&2 , Z-параметры: ⎨ условие обратимости Z 12 = Z 21 , & = Z I& + Z I& , U ⎩ 2 21 1 22 2

(1.1)

⎧ I& = Y 11U&1 + Y 12U& 2 , условие обратимости Y 12 = Y 21 , Y-параметры: ⎨ 1 & = Y U& + Y U& , I ⎩ 2 21 1 22 2

(1.2)

А-параметры при прямом включении:

⎧U&1 = AU& 2 + BI&2′ , условие обратимости AD − BC = 1 , ⎨& & + DI&′ , = I CU ⎩ 1 2 2

(1.3)

А-параметры при обратном включении:

1

⎧U& 2 = DU&1 + BI&1′ , условие обратимости AD − BC = 1. (1.4) ⎨& & + AI&′ , = I CU ⎩ 2 1 1 Отметим, что при записи уравнений в А-параметрах принимается положительное направление тока I&2′ вместо I&2 для прямого и I&1′ вместо I&1 для обратного включения (см. рис. 1.1). При прямом включении источник энергии подключается к зажимам 1-1', а при обратном – к зажимам 2-2'. Каждый параметр четырёхполюсника определяется в соответствии с тем смыслом, которое придаёт ему место, занимаемое в уравнениях (1.1) – (1.4). Для Z-параметров проводится расчёт в режиме холостого хода, когда выходные зажимы разомкнуты и выходной ток равен нулю: U&1 U& 2 U&1 U& 2 Z 11 = ;Z = ;Z = ;Z = (1.5) I&1 I& =0 21 I&1 I& =0 12 I&2 I& =0 22 I&2 I& =0 2

2

1

1

Для расчёта Y-параметров используется режим короткого замыкания, когда выходные зажимы замкнуты накоротко и равно нулю выходное напряжение Y 11 =

I&1 U&1 U&

2 =0

;Y 21 =

I&2 U&1 U&

2 =0

;Y 12 =

I&1 U& 2 U&

1 =0

;Y 22 =

I&2 U& 2 U&

(1.6)

1 =0

Для определения А-параметров используются результаты как режима холостого хода, так и режима короткого замыкания, но полученные только для прямого включения A=

U&1 U& 2

I&2′ =0

;C =

I&1 U& 2

I&2′ =0

;B =

U&1 I&2′ U&

;D = 2 =0

I&1 I&2′ U&

.

(1.7)

2 =0

Принимая во внимание условия обратимости, видим, что в любой системе пассивный четырёхполюсник имеет только три независимых параметра. Если четырёхполюсник симметричный, то в каждой системе добавляется ещё одно условие: Z 11 = Z 22 или Y 11 = Y 22 , или A = D , и независимых параметра остаётся два. Задание. Для четырёхполюсников (Прил. 1) задано выходное напряжение °

U&1 = 10e j 30 и сопротивление нагрузки Z н = 100 Ом. Требуется выполнить следующее: - определить параметры четырёхполюсников (в первых десяти вариантах определяются А-параметры, во вторых десяти – Y-параметры, в третьих десяти – Z-параметры); 2

- определить все напряжения и токи на выходе и входе четырёхполюсников; - рассчитать КПД, построить векторную диаграмму токов и напряжений.

1

I&1

Z2

Z1

U& 1

I&2′ U& 2

Z0

1′

2 Z0

Пример 1.1. Определить А-параметры четырёхполюсника, представленного на рис. 1.2, если Z 1 = 100 Ом, Z 0 = − j 200 Ом, Z 2 = j100 Ом и проверить результат по соотношению AD − BC = 1 .

2′

Рис.1.2

Рис. 1.2 °

Дано: U&1 = 10e j 45 В и Z н = 100 Ом. Найти: I&1, I&2 и U& 2 , КПД четырёхполюсника и построить векторную диаграмму. Решение. 1. Вычисляем А-параметры, приняв произвольное значение U&1 . В режиме холостого хода ( Z н = ∞ ) получим Z1 U& U&1 A= 1 = = 1 + = 1 + j 0.5 , U&1 U& 2 I&′ =0 Z0 Z 2 Z1 + Z 0 0 I& I& 1 = 1 = = j 0.005 См. C= 1 U& & Z I& Z 2 I 2′ =0

0 1

0

Для определения параметров B и D предварительно найдём ток I&2′ в режиме короткого замыкания ( Z 0 = 0 ): I&2′

U& 2 =0

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ Z Z0 U&1 0 ⎥ , =⎢ = U&1 Z 0 Z 2 + Z1 ( Z 0 + Z 2 ) ⎢Z + Z2Z0 ⎥ Z0 + Z2 ⎢⎣ 1 Z 2 + Z 0 ⎥⎦

а затем вычисляем параметры B и D B=

Z Z + Z1 ( Z 0 + Z 2 ) Z Z U&1 = 0 2 = Z 1 + Z 2 + 1 2 = 50 + j100 Ом, I&2′ U& Z0 Z0 2

3

D=

I&1 I&2′ U&

= 2 =0

Z I&1 = 1 + 2 = 0.5 Z0 Z0 I&1 Z0 + Z2

Проверка: AD − BC = (1 + j 0.5) 0.5 − ( 50 − j100 ) j 0.005 = 1

2. Рассчитываем токи и напряжения. Учитывая, что U& 2 = Z н I&2′ , запишем первое уравнение четырёхполюсника в следующем виде: U&1 = AU& 2 + BI&2′ = I&2′ ( AZ н + B ) ,

откуда

°

& 10e j 45 &I ′ = U1 = = 0.047 А, 2 AZ н + B (1 + j 0.5)100 + 50 + j100 U& 2 = Z н I&2 = 100 ⋅ 0.047 = 4.7 В, °

I&1 = CU& 2 + DI&2′ = I&2′ ( CZ н + D ) = 0.047 ( j 0.005 ⋅ 100 + 0.5) = 0.033e j 45 А.

3. Определяем КПД. Затраченная полная мощность °

°

S1 = P1 + jQ1 = U&1I1∗ = 10e j 45 ⋅ 0.033e − j 45 = 0.033 ВА. Полезная мощность

S 2 = P2 + jQ2 = U& 2 I 2∗' = 4.7 ⋅ 0.047 = 0.22 ВА, следовательно, +1

P1 = 0.33 Вт, Q1 = 0 U& 1

P2 = 0.22 Вт, Q2 = 0

и η=

P2 0.22 = = 0.66. P1 0.33

Векторная диаграмма представлена на рис. 1.3.

4

I&2′

+j

U& 2 I&1

45° 0

Рис.1.3

Рис. 1.3

Задача 1.2. Расчёт согласованных четырёхполюсников Для определения пассивного четырёхполюсника используются три характеристических параметра – два характеристических сопротивления Z с1 , Z с 2 и постоянная передачи γ . Характеристическими называют такую пару сопротивлений, которая удовлетворяет следующим двум требованиям: - входное сопротивление четырёхполюсника относительно зажимов 1-1' равно Z с1 , если он замкнут на Z с 2 (рис. 1.4, а) - входное сопротивление четырёхполюсника относительно зажимов 2-2' равно Z с 2 , если он замкнут на Z с1 (рис. 1.4, б). а)

б) 1

Z с1

2

Z с2

1′ 2′

Z с1

1

2

1′

2′

Z с2

Рис..11.4 .4 Рис

Характеристические сопротивления через А-параметры определяются следующим образом:

Z с1 =

AB ; CD

Z с2 =

DB . CA

(1.8)

Для симметричного четырёхполюсника A = D и поэтому остаётся одно характеристическое сопротивление, которое называют повторным

Z 1с = Z 2c = Z c =

B . C

(1.9)

Постоянная передачи также может быть выражена через А-параметры

γ = α + jβ = ln( AD + BC ) ,

(1.10)

где α - постоянная ослабления; β - постоянная фазы. Четырёхполюсник, замкнутый на характеристическое сопротивление Z с 2 и имеющий сопротивление входной цепи, равное Z с1 , называют согласованным.

5

Уравнения согласованного пассивного четырёхполюсника имеют вид

Z с1 γ U&1 = e , U& 2 Z с2

Z с2 γ I&1 = e I&2′ Z с1

(1.11)

Для симметричного четырёхполюсника, где Z с1 = Z с 2 , получаем U&1 I&1 γ = =e . U& 2 I&2′

(1.12)

Задание. Для четырёхполюсников (Прил. 1) задано входное напряжение °

U&1 = 10e j 30 , сопротивление нагрузки равно Z с 2 . Требуется выполнить следующее: - рассчитать характеристические параметры; - токи и напряжения согласованного четырёхполюсника (замкнутого на характеристическое сопротивление Z с 2 ); - построить векторную диаграмму токов и напряжений. Пример 1.2. Исходные данные взяты из примера 1.1, но с изменением сопротивления нагрузки, здесь Z н = Z с 2 . Определить характеристические параметры, все токи и напряжения в согласованном режиме, построить векторную диаграмму. Решение. Рассчитаем характеристические сопротивления по формулам

(1.8) Z с1 =

AB (1 + j 0.5)(50 + j100) = = 224 Ом, CD j 0.005 ⋅ 0.5

Z с2 =

DB = CA

° 0.5(50 + j100) = 100e − j 26 36′ . j 0.005(1 + j 0.5)

Постоянную передачи находим по формуле (1.10) °

°

γ = α + jβ = ln( AD + BC ) = ln( 0.56e j 26 36′ + 0.56e j153 36′ ) = ; °

= ln1.273e j 45 = 0.241 + j 45

следовательно,

6

α = 0.241 Нп,

β = 45° = 0.787 рад.

Ток находим по характеристическому сопротивлению °

° U&1 10e j 45 ′ = = 0.0446e j 45 А. I1 = 224 Z с1

По выражению (1.11) определяем °

− j 26 36′ Z с 2 −γ 1 − j13°18′ j 45° 100e = В, 5.26 e = 10e e j 45° 224 Z с1 1.273e

U& 2 = U&1

° ° Z с1 −γ 1 j13◊18′ I&2′ = I&1 e = 0.0446e j 45 ⋅ 1.496e j13 18′ ⋅ e = 0.052 А. j 45° Z c2 1.273e

так как e

−γ

=

1 e

γ

I&2

1

=

1.273e

j 45°

.

U& 1

°

+13°

−13° & U

I&1

Делаем проверку U& 2 5.26e − j13 18′ − j 26°36′ 100 e = = = Z с2 . I&1′ 0.052e j13°18′

+1

2

45°

+j Рис..11.5 .5 Рис

0

Векторная диаграмма приведена на рис. 1.5. Задача 1.3. Расчёт сложных пассивных четырёхполюсников Сложным называется четырёхполюсник, состоящий из нескольких составных четырёхполюсников, соединённых между собой различными способами. Соединяя вход последующего четырёхполюсника с выходом предыдущего, получаем каскадное соединение четырёхполюсников. Включая последовательно входные зажимы составных четырёхполюсников и также выходные зажимы, приходим к последовательному соединению четырёхполюсников. При параллельном соединении как входных, так и выходных зажимов составных четырёхполюсников имеем дело с параллельным соединением четырёхполюсников. Основной задачей расчёта сложных четырёхполюсников является определение их параметров по заданным параметрам составных 7

четырёхполюсников. Формулы для определения параметров сложных четырёхполюсников имеют следующий вид: - при каскадном соединении матрица А-параметров сложного четырёхполюсника равна произведению соответствующих матриц составных четырёхполюсников A = AI ⋅ AII ,

(1.13)

- при последовательном соединении складываются матрицы Z-параметров составных четырёхполюсников Z = Z I + Z II ,

(1.14)

при параллельном соединении определяется сумма матриц Y-параметров составных четырёхполюсников Y = YI + YII .

(1.15)

а)

Далее расчёт сложных четырёхполюсников состоит в определении элементов эквивалентных схем. Располагая параметрами любого четырёхполюсника, в том числе и сложного, можно построить эквивалентные Т- и П-образные схемы, которые приведены на рис. 1.6.

1 1′

Z1T

Z 2T

Z 0T

б)

2

1

2′

1′

Z1П

Z 01 П

2 Z 02 П

2′

Рис .1.6

Рис. 1.6 Элементы Т-образной схемы (рис. 1.6, а) выражаются через А-параметры по формулам

Z 0Т = Z 1T =

8

1 , С

A −1 D −1 , Z 2T = , C C

(1.16)

а через Z-параметры эти элементы определяются, как

Z 0T = Z 21 , Z 1T = Z 11 − Z 21 , Z 2T = Z 22 − Z 21 .

(1.17)

Для П-образной схемы (рис. 1.6, б) при использовании А-параметров имеем

Z 1П = B , Z 01П =

B B , Z 02 П = D −1 A −1

(1.18)

и при использовании Y-параметров Z 1П = −

1 1 1 , Z 01П = , Z 02 П = Y 21 Y 11 − Y 21 Y 22 − Y 21

(1.19)

Т- и П-образные эквивалентные схемы четырёхполюсника не всегда физически реализуемы при расчётах их параметров по приведённым выше формулам (1.16)-(1.19), так как активное сопротивление ( R = Re Z ) или активная проводимость ( G = Re Y ) могут оказаться отрицательными. В этом случае эквивалентную схему четырёхполюсника построить из пассивных элементов невозможно. Задание. При выполнении задачи 1.3 требуется сделать следующее: - рассчитать параметры двух составных четырёхполюсников, используя рекомендации к задачам 1.1; - определить параметры сложного четырёхполюсника; - рассчитать параметры Т- и П-образных эквивалентных схем, полагая частоту приложенного напряжения f = 400 Гц; - начертить эти схемы с указанием их элементов и номиналов. Варианты задач приведены в Прил.1, где в первых десяти вариантах составные четырёхполюсники включаются каскадно, во вторых десяти – последовательно, а в вариантах с 21 по 30 – параллельно. 1 U& 1

I&1

Z1

Z2

Z1

Z0

1′ Рис.Рис 1.7.1.7

Z2

Z0

I&2

Пример 1.3. Сложный четырёхполюсник U& 2 состоит из двух одинаковых четырёхполюсников, 2′ включённых каскадно (рис. 1.7). Заданы их параметры на частоте 2

f = 400 Гц, которые равны Z 0 = 100 Ом, Z 1 = − j100 Ом, Z 2 = j100 Ом.

9

Требуется рассчитать параметры сложного четырёхполюсника, элементы Т- и П-образных эквивалентных схем. Решение. Для расчёта каскадного соединения определяем сначала матрицу А- параметров составных четырёхполюсников A = 1−

B = Z1 + Z 2 +

Z1 j100 = 1− = 1− j , Z0 100

Z1 Z 2 ( − j100) j100 = − j100 + j100 + = 100 Ом, Z0 100 C=

D = 1+

1 = 10−2 См, Z0

Z2 j100 = 1+ = 1+ j . Z0 100

Матрица А-параметров каждого составного четырёхполюсника ⎡1 − j

AI = AII = ⎢

−2 ⎣10

100 ⎤ ⎥. 1 + j⎦

Произведём проверку AD − BC = (1 − j )(1 + j ) − 1 = 1.

Матрица А-параметров сложного четырёхполюсника в этом случае ⎡1 − j 100 ⎤ ⎡1 − j 100 ⎤ ⎡ 1 − j 2 200 ⎤ A = AI AII = ⎢ −2 ⎥. ⎥ ⎢ −2 ⎥=⎢ 2 −2 10 1 j 10 1 j + + ⎢ ⎥⎦ 2 10 1 j ⋅ + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣

Проверим результат (1 − 2 j )(1 + 2 j ) − 4 = 1 . Определим параметры эквивалентной Т-схемы по формулам (1.16) Z 1T =

10

1 − j2 − 1 2 ⋅ 10−2

= − j100 Ом, Z 0Т =

1 2 ⋅ 10−2

= 50 Ом, Z 2T =

1 + j2 − 1 2 ⋅ 10−2

= j100 Ом.

Следовательно, Z 1Т представляет собой ёмкость, Z 2Т - индуктивность, величины которых равны C1Т =

1 X 1Т ω

L2Т =

=

1 = 3.8 ⋅ 10−6 Ф, 100 ⋅ 2π ⋅ 400

X 2Т 100 = = 0.04 Гн. ω 2π ⋅ 400

На рис. 1.8 приведена эквивалентная Т-схема. 3.8 мкФ

40нГн

1

2 50Ом

1′

2′ Рис.1.8

Рис. 1.8 Параметры П-схемы находим по формулам (1.18):

Z 01П =

200 200 = − j100 Ом, Z 1П = 200 Ом, Z 02 П = = j100 Ом. 1 + j2 − 1 1 − j2 − 1

Пример 1.4. Два одинаковых составных четырёхполюсника с параметрами Z 1 = 100 Ом, Z 2 = j 200 Ом, Z 0 = − j100 Ом (Т-схема) включены последовательно. Определить Z- и Y-параметры сложного четырёхполюсника, рассчитать элементы эквивалентных схем. Решение. Находим вначале Z-параметры составного четырёхполюсника, используя формулы (1.5) и рис. 1.2, где I&2 = − I&2′ . Для прямого включения в режиме холостого хода при I& = 0 получим 2

Z 11 =

Z 21 =

U&1 I&1

U& 2 I&1

I&2 =0

I&2 =0

=

U&1 = Z 1 + Z 0 = 100 − j100 Ом, U&1 Z1 + Z 0

, где U& 2 =

U&1 Z , Z1 + Z 0 0

I&1 =

U&1 , Z1 + Z 0

11

поэтому

U&1 Z 0 ( Z 1 + Z 0 ) = Z 0 = − j100 Ом. Z 21 = ( Z 1 + Z 0 )U&1 Для обратного включения в режиме холостого хода, когда I&1 = 0 имеем Z 12 =

U&1 I&2

I&1 =0

Z 12 =

Z 22 =

I&2 =

, где

U& 2 , Z2 + Z0

U&1 =

U& 2 Z , Z2 + Z0 0

U& 2 Z 0 ( Z 2 + Z 0 ) = Z 0 = − j100 Ом, ( Z 2 + Z 0 )U& 2

U& 2 I&2

I&1 =0

=

U& 2 = Z 2 + Z 0 = j100 Ом U& 2 Z2 + Z0

Матрица Z-параметров каждого составного четырёхполюсника

Z I = Z II = ⎡⎢100 − j100 ⎣ − j100

j100⎤ . j100⎥⎦

При последовательном соединении четырёхполюсников матрица Zпараметров сложного четырёхполюсника определяется формулой (1.14)

Z = Z I + Z II = ⎡⎢200 − j 200 ⎣ − j 200

− j 200⎤ . j 200 ⎥⎦

Зная Z-параметры сложного четырёхполюсника, можно определить элементы его Т-обраной схемы по формулам (1.17) 0.16 Гн

200Ом

1 U& 1

2

2′ Рис.1.9

Рис. 1.9 12

Z 2Т = Z 22 − Z 21 = j 400 Ом,

2 мкФ

1′

Z 1Т = Z 11 − Z 21 = 200 Ом,

Z 0Т = Z 21 = − j 200 Ом. Схема реализунтся слудующих элементов:

с

помощью

L2Т =

X 2Т 400 = = 0.16 Гн, ω 2π ⋅ 400

C0Т =

1 X 0Т ω

=

R1Т = 200 Ом,

1 = 2 ⋅ 10−6 Ф. 200 ⋅ 2π ⋅ 400

Эквивалентная схема изображена на рис. 1.9. Определим матрицу Y-параметров сложного четырёхполюсника с помощью обратной матрицы Z

Y = ⎡⎢Y 11 Y

⎣

21

⎡ Z 22 ⎢ Δ Y 12 ⎤ Z 1 − =Z =⎢ ⎥ Y 22 ⎦ ⎢ Z 11 ⎢− Δ Z ⎣

Z 12 ⎤ ΔZ ⎥ ⎥. Z 11 ⎥ Δ Z ⎥⎦

−

Определитель матрицы равен

Δ Z = Z 11 Z 22 − Z 12 Z 21 = (200 − j 200) j 200 + 4 ⋅ 104 = 104 (8 + j 4) Ом 2 . Вычисляем Y-параметры Y 11 = Y 12 =

Y 21 =

j 200 104 (8 + j 4) j 200 104 (8 + j 4) j 200 104 (8 + j 4)

Y 22 =

= (1 + j 2) ⋅ 10−3 См, = (1 + j 2) ⋅ 10−3 См, = (1 + j 2) ⋅ 10−3 См,

102 (2 ⋅ j 2) 10 (8 + j 4) 4

= (1 − j 3) ⋅ 10−3 См.

Формируем матрицу

Y

⎡(1 + j 2) ⋅ 10−3 (1 + j 2) ⋅ 10−3 ⎤ =⎢ ⎥. ⎢⎣(1 + j 2) ⋅ 10−3 (1 − j 3) ⋅ 10−3 ⎥⎦ 13

По элементам матрицы Y -параметров можно рассчитать элементы Побразной схемы, эквивалентной сложному четырёхполюснику, используя формулы (1.19):

Y 1П = −Y 21 = ( −1 − j 2) ⋅ 10−3 См,

Y 01П = Y 11 + Y 21 = (2 + j 4) ⋅ 10−3 См,

Y 2 П = Y 22 + Y 21 = (2 − j ) ⋅ 10−3 См. Схема не реализуется, так как Re Y 1П < 0 .

Практическое задание № 2 АНАЛИЗ АКТИВНЫХ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ Четырёхполюсник называется активным, если он содержит независимые или зависимые источники электрической энергии. Примером активных четырёхполюсников с зависимыми источниками являются усилительные каскады, активные фильтры и корректирующие звенья. Определим передаточную функцию по напряжению, построим амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики, оценим устойчивость активного линейного четырёхполюсника, содержащего операционный усилитель (ОУ). Условное обозначение усилителя дано на рис. 2.1, где принято:

E1

1 2 UУ1

−

ОУ

E2

+

UУ 2

UН

UН

RE UУ1

UУ 2

Рис.2.1

Рис.2.2

Рис. 2.1

Рис. 2.2

1 – инверсный вход; 2 – прямой вход; 3 – выход. Схема замещения усилителя дана на рис. 2.2, где принято: E1 = α1U ⋅ UУ 1 и E2 = α2U ⋅ UУ 2 – эквивалентные

14

источники напряжения, управляемые, соответственно, напряжениями UУ 1 и UУ 2 ; α1U и α 2U – коэффициенты усиления по инверсному и прямому входам, принимаем α1U = α 2U = αU ; RE – эквивалентное внутреннее сопротивление усилителя, приведённое к выходной цепи. Значения величин αU и RE даются в справочнике по операционным усилителям: αU до 50000 и более; RE от десятков до сотен Ом. Методы анализа активных и пассивных четырёхполюсников одни и те же, но при этом в активных четырёхполюсниках источники напряжения должны быть выражены через управляющие напряжения E1 = α1U ⋅ UУ 1 , E2 = α 2U ⋅ UУ 2 . Рассмотрим пример электрической цепи корректирующего звена, содержащего операционный усилитель (рис. 2.3).

При анализе активного четырёхполюсника выполнить следующее: - построить схему замещения четырёхполюсника (рис. 2.4); - определить передаточную функцию по напряжению в опрационной форме HУ ( P ) ; - рассчитать и построить её полюсно-нулевое изображение; - рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ. Варианты заданий активных четырёхполюсников в виде схем активных фильтров и корректирующих звеньев, содержащих операционные усилители, даны в Прил.2. R2

R2

R1

1

С3

2

R1

С5

1

C3

C5

2

3

33 E

1 ОУ

R4

− +

U1

U1

2 R4

Рис. 2.3 Рис. 2.3

RН

UУ1

R4

UН RE

UН

Рис.2.4

Рис. 2.4

Пример. Активный четырёхполюсник представлен на рис. 2.4, где принято: R1 = 5 кОм; R2 = 20 кОм; C3 = 10−6 Ф; R4 = 10 кОм; C5 = 10−6 Ф; RE = 500 Ом; αU = 50 ⋅ 103 ; RН = 5 кОм. 15

2.1. Определение передаточной функции в операционной форме Передаточная функция по напряжению активного четырёхполюсника имеет вид U ( P) HU ( P ) = Н . (2.1) U1 ( P ) Для удобства последующих вычислений представляем четырёхполюсник в операционном виде (рис. 2.5), где принято: E1 ( P ) = U&1 ( P ); Z1 ( P ) = R1 ; 1 Z 2 ( P ) = R2 ; Z 3 ( P ) = ; pC3

Z 2 ( P)

1 Z1 ( P )

Z 3 ( P)

2

Z 5 ( P)

3

JМ E (P ) E1 ( P )

U1 ( P)

U 30 ( P )

Z 4 ( P)

U 10 ( P )

U 20 ( P )

P1 П

×

Z Н (P ) Z E (P )

− 50

P2

j 50

P1 Н

Re

0

×

− j 50

П

0

Рис. 2.5 Z 4 ( P ) = R4 ; Z5 ( P ) =

Рис. 2.6

1 ; Z E ( P ) = RE ; E ( P ) = α1U ⋅ UУ 1( P ) ; Z Н ( P ) = RН . pC5

Для определения передаточной функции HУ ( P ) не требуется расчёт токов ветвей, достаточно выразить U Н ( Р ) через U1 ( Р ) = E1 ( P ) . Здесь рациональным является метод узловых напряжений. На рис. 2.5 приняты узловые напряжения: U10 ( Р ) = UУ 1 ( P ) ; U 20 ( Р ) ; U 30 ( Р ) = U Н ( Р ) . Для узла (3) по методу узловых напряжений имеем U10 ( Р ) у31 ( Р ) − U 20 ( P ) y32 ( P ) + U 30 ( P ) y33 ( P ) = − E ( P ) y E ( P ) .

16

(2.2)

Запишем систему уравнений по методу у зловых напряжений, при этом учитываем, что в (2.2) E ( P) = αU U10 ( P) , U10 ( Р) у11( Р ) − U 20 ( P) y12 ( P) − U 30 ( P) y13 ( P) = E1( P ) y ( P),

⎫ ⎪ −U10 ( Р) у21 ( Р ) + U 20 ( P ) y22 ( P ) − U 30 ( P ) y23 ( P ) = 0, ⎬ −U10 ( Р)[ у31 ( Р) − αU уE ( P )] − U 20 ( P) y32 ( P) + U 30 ( P) y33 ( P ) = 0, ⎪⎭

(2.3)

где принято 1 1 1 ; + + Z1 ( P ) Z 3 ( P ) Z 2 ( P ) 1 1 1 y22 ( P ) = ; + + Z3 ( P ) Z 4 ( P ) Z5 ( P ) 1 1 1 1 ; y33 ( P ) = + + + Z 2 ( P ) Z5 ( P ) Z E ( P ) Z Н ( P ) y11 ( P ) =

1 1 1 ; y23 ( P ) = y32 ( P ) = ; y31 ( P ) = y13 ( P ) = ; Z3 ( P) Z5 ( P ) Z2 ( P) 1 1 1 y1 ( P ) = ; yЕ ( P) = ; yН ( P) = . Z1 ( P ) Z Е ( P) Z Н ( P)

y12 ( P ) = y21 ( P ) =

Искомую величину U H ( P ) = −U 30 ( P ) находим путём решения системы уравнений (2.3)

U 30 ( P ) =

Δy3 ( P ) , Δy ( P )

(2.4)

где Δy ( P ) - определитель системы

y11 ( P) Δy ( P) =

− y12 ( P )

− y13 ( P )

− y21( P) y22 ( P) − y23 ( p ) , −[ y31 ( P) − αU yE ( P)] − y32 ( P) y33 ( P )

(2.5)

Δy3 ( P ) – дополнительный определитель, построенный на основе определителя Δy ( P ) , в котором столбец, соответствующий номеру узла 3 с искомым узловым напряжением U 30 ( P ) заменяется столбцом, составленным из правой части системы уравнений (2.3)

17

y11( P) − y12 ( P) E ( P ) y1( P) y22 ( P) 0 Δy3 ( P) = − y21( P) 0 −[ y31( P) − αU yE ( P)] − y32 ( P)

(2.6)

Подставляем (2.5) и (2.6) в (2.4), полученное выражение подставляем в (2.1). Посвольку величина αU весьма велика, αU = 50 ⋅ 103 , то в выражении, полученном на основе (2.1) пренебрегаем слагаемыми, не содержащими множитель αU , в итоге имеем HU ( P ) =

U Н ( P) y22 ( P ) y1 ( P ) . ≅ U1 ( P ) y12 ( P ) y23 ( P ) + y22 ( P ) y31 ( P )

(2.7)

Выражаем (2.7) через элементы электрической цепи, получаем HU ( P ) ≅

R2 2 R4CP + 1 . ⋅ R1 R2 R4C 2 P 2 + 2 R4CP + 1

(2.8)

Вводим обозначения k=

1

R1R4C 2

; τ1 = R2C ; τ2 = R4C ,

передаточная функция принимает вид

HU ( P ) ≅ k ⋅

2 τ2 P + 1 . 2 1 2 P + + τ1P τ1τ2

(2.9)

2.2. Расчёт нулей и полюсов передаточной функции Находим нули передаточной функции, для этого приравниваем нулю числитель выражения (2.9) 2 τ 2 P + 1 = 0,

отсюда функция имеет один нуль P1Н = −

18

1 = −50 с −1. 2 τ2

(2.10)

Находим полюса передаточной функции, для этого приравниваем нулю знаменатель выражения (2.9) P2 +

2 1 P+ = 0, τ1 τ1 ⋅ τ2

(2.11)

отсюда функция имеет два полюса P1,2 П = −50 ± y 50 , с.

Нули и полюса передаточной функции находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости корней (рис. 2.6). Это означает, что исследуемый активный четырёхполюсник является устойчивым. Если создать в нём переходный процесс, то он будет иметь затухающий колебательный характер. 2.3. Расчёт амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик Записываем передаточную функцию по напряжению в комплексном виде, для этого заменим в (2.9) Р на jω HU ( jω) = k

1 + 2 jωτ2 . ⎛ 1 ⎞ ω 2 ⎜τ τ −ω ⎟+2j τ 1 ⎝ 1 2 ⎠

(2.12)

Перепишем (2.12) в форме HU ( jω) =

kA( ω) ⋅ e B( ω) ⋅ e

jϕUA( ω)

jϕUB ( ω)

(2.13)

.

Амплитудно-частотная характеристика передаточной функции A( ω) HU ( ω) = k =k B( ω)

1 + (2ωτ2 )2 2

2

.

(2.14)

⎛ 1 ⎞ ⎛ ω⎞ ⎜ τ τ ⎟ + ⎜2 τ ⎟ ⎝ 1 2⎠ ⎝ 1⎠ Фазочастотная характеристика передаточной функции

19

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 2ω τ1 ⎛ 2ωτ2 ⎞ ⎢ ϕU (ω) = arctg ⎜ + ϕU 1 (ω) ⎥ , ⎟ − ⎢arctg ⎥ ⎛ 1 ⎞ ⎝ 1 ⎠ − ω2 ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ τ1τ2 ⎠

(2.15)

где при

1 − ω2 > 0 τ1τ2

180° при

1 − ω2 < 0. τ1τ2

0 ϕU 1 ( ω) =

Находим координаты характерных точек передаточной функции. ω

HU ( ω)

ϕU ( ω)

0

4

0

ω1− =

4.9

−35.2°

ω1+

4.9

−35.2°

0

−90°

1 −0 τ1τ2 1 = +0 τ1τ2

∞

б)

H U (ω )

a)

ϕU (ω )

4

+ 90°

2

0

0

25

50

75

100

ω, с

−1

− 90°

25

50

75

100

ω , с −1

рис.

2.7,

ω1− ω1+

Рис. 2.7

Амплитудно-частотная характеристика дана фазочастотная характеристика показана на рис. 2.7, б.

20

на

а,

Приложение 1

1-й четырёхполюсник 1

Z 1T

Z 2T

Z

1′

0Т

2-й четырёхполюсник 1

2 2′

1′

Z 0П

2

Z 1П

Z

2П

2′

Вариант

Z 1Т , Ом

Z 2Т , Ом

Z 0Т , Ом

Z 1П , Ом

Z 0 П , Ом

Z 2 П , Ом

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

j 10 10 10 j 20 5 10 j5 10 5 j 30 5 5 20 j5 30 j 10 20 30 j 50 20 40 15 j 10 12 20 25 j 20 j 50 20 25

10 j 10 10 10 10 j 20 5 5 j5 5 5 j 30 30 20 j5 30 j 10 20 40 40 20 12 15 j 10 j 20 20 25 25 j 50 20

10 j 10 j5 5 j 20 5 10 j5 10 5 j 30 5 j5 30 20 20 30 j 10 20 j 50 j 50 j 10 12 15 25 j 20 20 20 25 j 50

25 20 j 50 j 20 25 20 12 j 10 15 40 20 j 50 30 20 j 10 30 j5 20 5 j 30 5 10 j5 10 5 j 20 10 10 j 10 j 10

20 j 50 25 25 20 j 20 j 10 15 12 20 40 40 20 j 10 30 j5 20 30 j 30 5 5 j5 5 5 j 20 10 10 10 j 10 10

j 50 25 20 20 j 20 25 15 12 j 10 j 50 50 20 j 10 30 20 20 30 j5 5 j 30 5 10 j5 10 5 j 20 5 j5 j 10 10

21

Приложение 2 C2

1

R1

R2

2 C1

1 ОУ 2

R3

U1

C5

UН

1 ОУ 2

C3

R5

U1

UН

R2

3

4

C7

R2 R1

1 ОУ 2

C3

C4

U1

R5

R1

UН

UН

С2

6 R7

С1

U1

22

R7

С3

R4

1 2

С4

U1

С2

5

R3

R1

UН

U1

С3

R4

UН

7

C2

8

R2

R7

C1 R1

R3

R6

C5

U1

UH

R7 R6

R4

U1

UH

C2

С2

9

C3

10 R7 R7

R1

U1

C3

R6

R1

R5

C5

U1

UH

R3

R8

UH

R2 11

R7 C1

U1

C3

R4

R5

R8

UH

23