Методы обработки информации: Методические указания к выполнению лабораторных работ N1-4

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ'ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ Методические указания к выполнению лабораторных работ № 1–4

Санкт'Петербург 2006

Составители: Л. К. Крюкова и Ю. П. Покровский Рецензент доцент О. И. Красильникова

Методические указания предназначены для выполнения лабора' торных работ по курсу: «Методы обработки биомедицинских сигна' лов и данных» и соответствуют материалу, читаемому студентам по специальности 2016. Студенты знакомятся с методами обработки статистических ря' дов,методом наименьших квадратов и БПФ. Указания предназна' чены для студентов дневной формы обучения. Подготовлены кафедрой радиоэлектронных комплексов Санкт' Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

Редактор В. П. Зуева Компьютерная верстка И. С. Чернешев Сдано в набор 24.10.05. Подписано к печати 19.01.06. Формат 60´84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,29. Уч. 'изд. л. 1,26. Тираж 100 экз. Заказ № Редакционно'издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт'Петербург, ул. Б. Морская, 67

©

2

ГОУ ВПО «Санкт'Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2006

Лабораторная работа № 1 ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ ЭРГОДИЧЕСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА 1. Общие положения Для исследования экспериментальных данных, снятых последо' вательно во времени, используют метод построения выборочного рас' пределения (гистограммы) при следующих соглашениях: 1.Отсчеты (наблюдения) считаются принадлежащими одной ге' неральной совокупности, заданной одним теоретическим распреде' лением – условие однородности выборки. 2.Статистические характеристики выборок не меняются за время наблюдения процесса – условие стационарности. 3.Выполняется условие эргодичности, в соответствии с которым приближение к теоретическому распределению можно получить по результатам обработки последовательности отсчетов, снятых за не' который промежуток времени последовательно. Построение гистограммы начинают с проверки данных. В процессе проверки проводится обнаружение грубых ошибок и выбросов в исходных данных. Под грубыми ошибками (артефактами) понимают отсчеты, кото' рые не укладываются в выборочный ряд по тем или другим призна' кам. Например, если все отсчеты положительны в силу физики явле' ния, то отрицательный отсчет будет грубой ошибкой. Для больших объемов выборки составляют программу подсчета частоты появления того или другого значения и таблицу выводят на печать. Появление в таблице одиночных значений, далеко отстоя' щих от основной группы значений, должно рассматриваться как на' личие грубой ошибки, которая должна быть удалена. Большие отклонения от центра распределения, соответствующе' го наибольшей частоте появления отсчетов, называются выбросами и должны рассматриваться при проверке данных отдельно. Иногда выброс может появиться из'за случайного попадания в данный ряд наблюдения , принадлежащего другой генеральной совокупности. 3

Например, в ряд наблюдений пациентов с определенной патологией может случайно попасть наблюдение пациента с другой патологией. Дополнительная проверка исходного ряда позволяет исключить от' счеты (выбросы), нарушающие однородность выборки. Для проверки стационарности выводят часть отсчетов или всю выборку в виде графика относительно горизонтальной оси. Стацио' нарный процесс не должен «уходить» от оси абсцисс и содержать, так называемые тренды. 1.1. Построение гистограммы А. На базе проверенного на грубые ошибки и выбросы статисти' ческого ряда (выборки данных) проводится группировка данных. Для этого весь диапазон изменения данных разбивается на непе' рекрывающиеся интервалы. Число интервалов К рекомендуется брать от 5 до 30 (обычно выбирается K = целая часть(10 lg N), где N – число наблюдений). Б. Подсчитывается частота попадания отсчетов в интервалы. Строится график в виде столбиков с основаниями на интервалах и высотой, соответствующей частоте попадания отсчета в интервал. 1.2. Анализ гистограммы А. По виду гистограммы также можно обнаружить грубые ошиб' ки или выбросы. Б. Нормировка гистограммы: Обозначим Ci – количество значений в i'м интервале. Тогда fi = Ci/N относительная частота для i'го интервала. Поскольку K

K

K

2 Ci 1 N , то 2i fi 1 2i Ci / N 1 1 , i

следовательно, площадь нормированной гистограммы близка к единице и ее можно аппроксимировать теоретическим распределе' нием. В. Модальность гистограммы. Форма гистограммы зависит от однородности выборки. Если ги' стограмма имеет один максимум (унимодальная гистограмма), то можно предположить, что выборка однородна и теоретическое рас' пределение также унимодально. При бимодальности нужно предположить, что в выборке при' сутствуют значения из двух разных совокупностей. 4

2. Порядок проведения работы 2.1. В пакете вычислить по 100 значений двух статистических рядов, используя функции пакета MathCAD: 1)

x = rnorm(100, m, s), где m = Nвар; s2 = 1;

(1)

и Nвар – номер варианта, заданный преподавателем. 2)

x = runif(100, a, b), где a = Nвар; b = a+10.

(2)

Вывести полученные ряды в виде таблиц и графиков. 2.2. Для каждого ряда: 1. Найти xmin ,xmax и выбрать K (число интервалов). 2. Найти значения для границ интервалов xi: – нижняя граница j'го интервала xj–1 = xmin +j·( xmax – xmin)/K, – верхняя граница j'го интервала xj = xj-1+( xmax – xmin)/K, j = 1, . . . . , K. 3. Найти Cj – число попаданий значений x в j'й интервал. 4.Построить гистограмму Cj(j). Можно использовать функцию hist(K,x) из пакета MathCAD. 5. Построить нормированную гистограмму fj ( j). 3. Отчет о работе 3.1. Представить таблицы и графики для статистических рядов. 3.2. Сделать заключение об однородности, стационарности и эр' годичности. 3.3. Привести построенные гистограммы. 3.4. Сформулировать выводы о распределении случайных величин на основе гистограмм (унимодальность, симметрия). 4. Контрольные вопросы 4.1. Что такое эргодическая гипотеза? 4.2. Как оценить стационарность статистического ряда? 4.3. Что такое унимодальность? 4.4. Как проверить данные на грубые ошибки? Библиографический список 1. Мэнли Р. Анализ и обработка записей колебаний. М.: Машино' строение, 1972. 5

2. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. М.: Мир, 1982. 3. Джонсон Н., Лионс Ф. Статистика и планирование эксперимен' та в науке и технике. М.: Мир, 1980. 4. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970. 5. Бесекерский В. А., Попов Е.П. Теория автоматического регули' рования. М.: Наука, 1977. Лабораторная работа № 2 ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 1. Общие положения Выравнивание статистического ряда по теоретическому закону проводится путем аппроксимации выборочного (экспериментально' го) распределения заданным теоретическим распределением плотно' сти вероятности. 1.1. Нормальный закон Аппроксимация гистограммы нормальным законом может быть проведена при следующих условиях: a) Гистограмма симметрична относительно центра распределения mx, который рассчитывается как выборочное среднее по формуле N

mx 1

2 xi / N. i 11

(1)

b) Выборочное среднее близко к моде выборочного распределения, которая определяется как значение случайной величины, которому соответствует максимальная относительная частота fmax. с) Для гистограммы справедливо правило трех сигм. Оценивается выборочная дисперсия статистического ряда по формуле: N

D4

5 i 11

1 xi 3 mx 2 2 . N

(2)

Среднеквадратическое отклонение (с.к.о.) определяется как (3) 1x 2 D. Если диапазон изменения данных приблизительно равен 6sx, то правило 3sx считается выполненным. 6

При выполнении трех условий близости выборочного распределе' ния к нормальному возможно вычислить ординаты нормального рас' пределения: (4) hj = (d/sx)j(tj), где d – «шаг» разряда((xmax–xmin)/K); j(tj) – значение функции

1

2

1 t /2 3 1 t 2 4 1/ 25 e 1 2 для аргумента tj = (xj–mx)/sx; xj – границы раз' рядов. Контрольная формула K

2 hj 1 1. j 11

Поскольку значение функции j(0) = 0.3989, то ордината верши' ны кривой нормального распределения hmax = 0.3989(d/sx). После вычисления hi можно провести кривую теоретического рас' пределения по нормальному закону. Отметим, что теоретическая вероятность попадания случайных значений в j'й разряд должна приблизительно быть равна (hj+hj+1)/2»pjтеор . (5) Выборочная частота попадания случайных значений в j'й разряд (высота столбика гистограммы) равна: pj 1 nj / N,

(6)

где nj – реальное число отсчетов в j'м разряде. 1.2. Равномерный закон В этом случае частота попадания в разряды должна быть приблизи' тельно одинаковой. Для равномерного закона нужно вычислить пара' метры a и b (границы распределения) из условия равенства матожида' ния и с.к.о. теоретического закона соответствующим выборочным ве' личинам. Рассчитав выборочное среднее mx, выборочное с.к.о. sx, ,на' пример, по формулам (1) и (2), можно определить a и b по формулам 1 2 mx 3 34x ;

(7)

1 2 mx 3 34x .

(8)

Постоянная вероятность теоретического распределения в данном случае равна Pconst = (xmax – xmin)/(b-a)1/K,

(9) 7

где K – число интервалов; xmax и xmin – границы выборки. 1.3. Проверка соответствия выборочного и теоретического распределений по критерию согласия cквадрат. По указанному критерию мерой расхождения является величина c2, рассчитываемая по формуле K

32 4

6 1 fj 5 fjтеор 2

2

/ fjтеор ,

i 11

(10)

где fj – выборочная частота попадания в j'й ряд; fjтеор– теоретичес' кая частота fjT = pjтеор·N, (11) где pjтеор – теоретическая вероятность попадания в j'й ряд, определя' емая по формуле (5). Величина c2 подчиняется закону распределения c'квадрат (Пир' сона) с параметром r: r = K–q–1,

(12)

где K – число разрядов гистограммы; q – число параметров теоре' тического закона распределения (для нормального и равномерно' го законов q = 2). Вероятность P(c 2) находится из таблиц по значениям r и c 2. Если P(c 2)³(0,05–0,1), то полагают, что данная выборка под' чиняется данному теоретическому закону распределения. 2. Порядок проведения работы 2.1. На основе гистограмм, полученных в лабораторной работе №1, получить исходные данные, необходимые для выравнивания по критерию согласия c'квадрат для соответствующих теорети' ческих законов, применяя формулы: Нормальный закон – (1)–(6), Равномерный закон – (1)–(3),(7)–(9). Можно использовать функции mean(x),stdev(x)из пакета MathCAD. 2.2. Вычислить значения c 2,r по формулам (10)–(12) и исполь' зуя таблицы c'квадрат распределения из справочника или функ' цию dchisq(x,d) из пакета MathCAD. Найти вероятность P(c 2, r) для сравнения выборочных и теоретических распределений. 2.3. На основе полученных данных сделать заключение о степе' ни близости исследованных распределений к теоретическим. 8

3. Содержание отчета 3.1. Записать формулы и результаты расчетов по работе. 3.2. Привести графики гистограмм и теоретических распределений на основе сделанных расчетов. 3.3. Сделать заключение по полученным данным. 4. Контрольные вопросы 4.1. Какие условия нужно проверить при аппроксимации гистог' раммы нормальным законом? 4.2. Основные условия для аппроксимации равномерным зако' ном. 4.3. Как определяется параметр закона распределения c'квадрат? 4.4. Оценка близости распределений по критерию c'квадрат. Лабораторная работа № 3 ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 1. Общие положения Известно [1], что процессы в организме являются случайными нестационарными процессами. Самой простой математической мо' делью случайного нестационарного процесса является модель ад' дитивно'нестационарного процесса в виде X(t) = mx(t)+V(t), где X(t) – исходный нестационарный случайный процесс; mx(t) – детерминированная функция (медленно меняющееся среднее); V(t) – стационарный случайный процесс. Важной задачей при обработке экспериментальных данных яв' ляется оценка параметров детерминированной составляющей ад' дитивно'нестационарного процесса. Наиболее часто используется в данном случае метод наимень' ших квадратов. Условия применения метода: 1. Известно аналитическое описание детерминированной состав' ляющей, например, линейная функция или парабола. 2. Равномерность отсчетов по оси абсцисс. Метод применим для малого числа отсчетов. Практически ре' комендуется не менее пяти отсчетов. Преимуществом метода яв' 9

ляется получение оценки разброса экспериментальных данных от' носительно детерминированной составляющей. 1.1. Аппроксимация данных линейным отрезком В стандартном методе наименьших квадратов минимизируется сумма квадратов отклонений экспериментальных точек (xi,yi), i = 1,..., N от аппроксимируемой функции. Например, от прямой y = ax+b. В методе минимизируется сумма: N

S(a,b) 3

5 1 yi 4 axi 4 b 2 . 2

i 11

Приравнивая частные производные от S по a и b нулю, получим систему уравнений a

N

N

N

i 11

i 11

i 11

3 xi2 1 b3 xi 2 3 yixi; a

N

N

i 11

i 11

3 xi2 1 Nb 2 3 yi.

Решение системы дает значения aopt и bopt, обеспечивающие мини' мум S(a,b). 1.2. Аппроксимация данных двумя отрезками при фиксированной точке перегиба В этом случае предполагается, что детерминированная функция состоит из двух линейных отрезков, состыкованных в известной точ' ке (yk, xk), как показано на рисунке. Задача распадается на две подзадачи по определению параметров от' резка a1, b1, на промежутке x1, xk и параметров a2, b2 на промежутке xk , xN при условии, что оба отрезка проходят через точку (yk, xk). Для первой подзадачи минимизируется функция K

F (a1,b1, 3) 4

7 1 yi 5 a1xi 5 b1 2 i 11

2

6 3 1 yk 5 a1xk 5 b1 2.

Множитель l в правой части называется множителем Лагранжа. Для минимизации приравняем частные производные от F по a1,b1 и l нулю. 10

1 1 4322 542 1

1

1112213

11 1 4312 541 1

1

22

21

23

Получим систему K 1 K 2 1 K 2 x3 4 2 6 xi2 7 a1 4 2 6 xi 7 b1 5 2 xi yi 6 7 6 7 i 11 8 i 11 9 8 i 11 9







K 1 K 2 34 5 2 7  xi 8 a1 5 2Kb1 6 2 yi 7 8 i 11 9 i 11

0 1 2 3 xka1 3 b1 4 yk

Решение данной системы позволяет найти оптимальную прямую, проходящую через заданную точку. Аналогично решается вторая подзадача для промежутка xk, xN (i=k, ...,N). 1.3. Аппроксимация данных двумя отрезками при подвижной ординате точки перегиба Полагаем, что xk задано, а yk произвольно. В отличие от под' разд.1.2 независимо отрезки рассматривать нельзя. Составим сумму: S 1 a1,b1, a2,b2 2 3

K

N

6 1 yi 4 a1xi 4 b1 2 5 6 1 yi 4 a2xi 4 b2 2 . 1

2

2

K 11

При условии a1xk + b1 – a2xk – b2 = 0 . 11

Ищем условный экстремум для функции F(a1,b1,a2,b2,l) = S(a1,b1,a2,b2) + l(a1xk+b1 – a2xk–b2) Приравнивая все частные производные по a1,b1,a2,b2 и l от F к нулю, получим систему K 1 K 2 1K 2 xk3 4 26 xi2 7 a1 4 2 6 xi 7 b1 5 2 xi yi 6 7 6 7 i 11 8 i 11 9 8 i 11 9 K 1 K 2 34 5 2 7  xi 8 a1 5 2Kb1 6 2 yi 7 8 i 11 9 i 11

N 1 N 22 1 N 2 3xk4 5 2 7 xi 8 a2 5 2 7 xi 8 b2 6 2 xi yi 7 8 7 8 K 11 9 K 11

9 K 11







N 3 N 4 56 7 2 9 xi a2 7 2 1 N 5 K 2 b2 8 2 yi 9

K 11  K 11



a1xk+b1 – a2xk–b2 = 0. Решив систему, получим значения a1, b1, a2, b2, оптимальные для заданных условий. 1.4. Пример эксперимента В качестве примера приведем эксперимент по оценке порога аэроб' ного обмена. При велоэргометрическом тесте по мере роста мощности нагрузки частота сердечных сокращений (ЧСС) у здорового испытуемого уве' личивается по линейному закону до определенного предела. Физиологически организм адаптируется к нагрузке, включая ре' зервные возможности по снабжению мышц за счет анаэробного обме' на. Значение ЧСС при определенной мощности нагрузки, после кото' рого она хотя и продолжает увеличиваться, но по линейному закону с меньшим наклоном, называется порогом аэробного обмена (ПАНО). Таким образом, экспериментальные данные велоэргометрического теста могут быть аппроксимированы двумя линейными отрезками с точкой перегиба, определяемой ПАНО. Варианты эксперименталь' ных данных приведены в таблице, где xi – мощность, вт/мин; yi – ЧСС ударов в мин; xk = 420; xi, yi, xk – задаются в таблице вариантов. 12

13

yk

150

150

150

150

150

150

160

160

160

160

160

160

155

155

155

№ вариа' нта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

yi

57

56

55

54

55

56

57

58

59

60

59

58

57

56

55

68

69

70

71

70

69

68

67

66

65

66

67

68

69

70

75

76

77

78

77

76

75

74

73

78

77

76

75

74

73

83

84

85

80

81

82

83

84

85

80

81

82

83

84

85

84

83

82

87

86

85

84

83

82

87

86

85

84

83

82

86

85

84

89

88

87

87

85

84

97 111 113 123 137 148 142 152 165 178 164 172 178 185 175 186 181

98 112 112 124 138 147 141 151 166 179 163 171 177 184 176 187 182

99 113 111 125 139 146 142 150 167 180 162 170 176 183 177 188 183

94 114 110 126 140 145 143 149 168 175 161 169 175 182 178 189 184

95 115 111 127 141 144 142 150 169 176 160 168 173 181 179 188 185

96 116 112 128 142 143 141 151 170 177 159 167 173 180 180 187 186

97 117 113 129 143 142 140 152 171 178 158 166 172 179 181 186 187

98 118 114 130 144 141 139 153 172 179 157 165 171 178 182 185 188

99 119 115 131 145 140 138 154 173 180 156 164 170 177 183 184 189

89 100 114 120 126 140 145 141 149 168 177 161 169 175 172 178 189 184

88 101 115 119 127 141 144 140 150 169 176 160 168 174 173 179 188 185

87 102 116 118 128 142 143 139 151 170 177 159 167 173 174 180 187 186

86 103 117 117 129 143 142 138 152 171 178 158 166 172 175 181 186 187

85 104 118 116 130 144 141 137 153 172 179 157 165 171 176 182 185 188

84 105 119 115 131 145 140 138 154 173 180 156 164 170 177 183 184 189

200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640

xi

Таблица

14

yk

155

155

155

165

165

165

165

165

165

№ вариа' нта

16

17

18

19

20

21

22

23

24

yi

54

55

56

57

58

59

60

59

58

65

66

67

68

69

70

65

66

67

78

77

76

75

74

73

72

83

74

86

85

84

83

82

81

80

81

82

93

92

91

90

89

88

87

86

85

99 115 121 125 139 154 150 150 167 170 172 180 176 183 177 188 183

98 114 120 124 138 153 149 151 166 171 171 179 177 184 176 187 182

97 113 119 123 137 152 148 152 165 172 170 178 178 185 175 186 181

96 112 118 122 136 151 147 153 164 173 168 177 179 186 174 185 180

95 111 117 121 135 150 146 154 163 174 168 176 180 187 173 184 179

94 110 116 120 134 151 145 155 162 175 167 175 171 288 172 183 178

95 109 115 121 135 150 144 154 163 176 166 174 180 187 173 184 179

95 110 114 122 136 149 143 153 164 177 165 173 179 186 174 185 180

95 100 116 122 126 140 155 151 149 168 169 173 181 175 182 178 189 184

94

93

92

91

90

89

88

87

200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640

xi

Окончание табл.

2. Порядок проведения работы Для заданного варианта данных(см. таблицу): 2.1. Найти a1 и b1 для промежутка X = (200¸640) методом наи' меньших квадратов. Построить графики. 2.2. Найти a1,b1,a2,b2 при подвижной точке перегиба (из табли' цы). Построить графики. 2.3. Найти a1,b1,a2,b2 при фиксированной точке перегиба . Пост' роить графики. 2.4. Сделать выводы по построенным графикам. 3. Отчетность 3.1. Привести формулы и графики по результатам решения зада' чи п.2.1. 3.2. Привести формулы и графики по п.2.2. 3.3. Привести формулы и графики по п.2.3. 3.4. Написать выводы по работе. 4. Контрольные вопросы 4.1. Сущность метода наименьших квадратов. 4.2. Поиск безусловного экстремума. 4.3. Поиск условного экстремума. 4.4. Оценка точности аппроксимации методом наименьших квад' ратов. Библиографический список 1. Биологическая кибернетика/Под ред. А. Б. Коган. М.: Высш. школа, 1977. 2. Колесников А. П. Введение в численный анализ: Учеб. пособие. М.: Высш. школа, 2003.

15

Лабораторная работа № 4 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ 1. Общие положения 1.1. Дискретное преобразование Фурье [1]. При анализе непрерывного процесса обычно фиксируют отсче' ты Xi (i = –n,…, p,…, n–1) через равные промежутки времени D. Преобразование Фурье позволяет оценить амплитуды и фазы гармо' ник, составляющих исходный сигнал по следующим формулам: Ar 3 1/ N

n 11

5 Xicos 1 24ri / N 2;

i 21n

Br 3 1/ N

n 11

5 Xisin 124ri / N 2,

i 21n

где N – общее число отсчетов; n = N/2; r – номер гармоники. Частота основной гармоники равна f1 = 1/ND. Частота наивысшей гармоники равна 1/2D. Разложение исходного сигнала по гармоникам имеет следующий вид: X 1 t 2 3 R0 4 2

n 11

6 1 Ai cos25if1t 4 Bi sin25if1t 2 4 An cos25nf1t.

i 21n

Используя правила тригонометрии, получим X 1 t 2 3 R0 4 2

n 11

7 Ri cos 1 25if1t 4 6i 2 4 Rn cos25nf1t,

i 21n

где R0 = А0; Ri 1 Ai2 2 Bi2 ;

ji = arctg(–Bi/Аi); Аi = Ricosji; Bi = –Risinji. 16

Результаты можно свести в таблицу: Kомпоненты

i

Bi

Аi

ji

Ri

Bклад в средний квадрат

Среднее 1'я гармоника 2'я гармоника . . . n'я гармоника

S

Итого

Средний квадрат (средняя мощность) процесса в соответствии с теоремой Парсеваля [1]: n 11

X2 1 R02 2 2

3 Ri2 2 Rn2. i 21

Дисперсия в этом случае: n 11

Dx 1 2

3 Ri2 2 Rn2. i 21

Построив график зависимости мощности гармоник от частоты, получим линейчатый спектр Фурье. В комплексном виде ряд Фурье записывается: X 1t 2 5

n 11

Xi exp 83 j 126it / N7 249,

i 21n

где Xr = Аr – jBr; X–r = Xr; –n £ r £ n–1; Xr 5

и

n 11

Xi exp 386 j 1 27ir / N 2 49.

i 21n

Тогда X2 1 1/ N

n 11

n 11

2 Xi2 1 2

i 21n

2

Xr .

r 21n

17

1.2. Быстрое преобразование Фурье [2] Для ускорения вычислений ряд данных последовательно расщеп' ляется сначала на два вспомогательных, затем на четыре и так до тех пор, пока не остается ряд из одного, двух или трех членов. Наилучшим выбором числа отсчетов является в данном случае число, равное степени двух. Пример: xi , i = 0, …, 11. Создаем два ряда: yt = x0, x2, x4, x6, x8, x10; zt = x1, x3, x5, x7, x9, x11. Затем ряды yt и zt расщепляем еще на два ряда каждый: yt¢ = x0, x4, x8; yt² = x2, x6, x10; zt¢ = x1, x5, x9. zt² = x3, x7, x11. Для этих рядов легко найти преобразование Фурье по формулам дис' кретного преобразования Фурье. Например: y0¢(3) = 1/3 (x0 + x4 + x8); y1¢(3) = А1(3) – jB1(3), где

А1(3) = 1/3 (x0cos2p/3 + x4cos4p/3 + x8cos6p/3); B1(3) = 1/3 (x0sin2p/3 + x4sin4p/3).

Аналогично получаем преобразования: y2¢(3), z0¢(3), z1¢(3) , z2¢(3); y0²(3), y1²(3), y2²(3), z0²(3), z1²(3), z2²(3). Из указанных преобразований формируем гармоники yr(6), zr(6), r = 0, 1,... 5; в соответствии с формулой БПФ: xr(N) = 1/2 exp[j(2pir/N)]yr(N/2) + 1/2 zr(N/2) И xr+(N/2)(N) = –1/2 exp[j(2pir/N)]yr(N/2) + 1/2 zr(N/2) для 0 £ r £ N/2–1. Используя те же формулы, получим окончательно преобразование xr(12), r = 0, 1,...11. 18

Сводим вычисления для N = 12 в следующие таблицы: Номер гармоники Преобразование Фурье 0

1

2

yr¢ (3) zr ¢ (3) yr ²

(3)

zr²

(3)

Для шести промежуточных преобразований: Номер гармоники Преобразование Фурье

0

1

2

3

4

5

6

(6)

yr

zr(6)

Для полного преобразования: Номер гармоники Преобразование Фурье

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

(12) r

x

Rr2

В результате должен получиться спектр Фурье идентичный, по' лученному с использованием дискретного преобразования Фурье. Отметим, что БПФ для вычислений требует 2Nlog2N операций вме' сто N2 операций в дискретном преобразовании. Исходные данные сведены в таблицу вариантов. 2. Порядок проведения работы 2.1. Найти дискретное преобразование Фурье для набора дан' ных, заданных преподавателем из таблицы вариантов. 2.2. Построить линейный спектр Фурье. 2.3. Выполнить быстрое преобразование Фурье для того же на' бора данных. 2.4. Сравнить полученные амплитуды гармоник для ДПФ и БПФ. 19

Таблица вариантов xt № варианта

20

Номер гармоники

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

–7

–21 –29

–9

–2

8

–21 –7

–8

15

20

13

2

–5

–19 –27

–7

0

5

–19

–5

–6

13

18

11

3

–7

–20 –29

–8

–1

8

–20

–7

–7

15

20

13

4

–6

–21 –28

–9

–1

8

–20

–7

–8

15

20

13

5

7

21

29

9

2

–8

21

7

8

–15 –20 –13

6

5

19

27

7

0

–5

19

5

6

–13 –18

7

7

20

29

8

1

–8

20

7

7

–15 –20 –13

8

6

21

28

9

1

–8

20

7

8

–15 –20 –13

9

–8

–6

12 –20

7

14 –28 –20

19

–6

–1

–7

10

–7

–5

11 –19

6

13 –27 –19

18

–5

–8

–8

11

–9

–7

13

–21

8

15 –29 –21

20

–7

0

–9

12

–7

–6

11 –20

6

14 –28 –19

19

–6

–2

–9

13

8

6

–12

20

–7

–14

28

20

–19

6

1

7

14

7

5

–11

19

–6

–13

27

19 –18

5

2

8

15

+9

7

–13

21

–8

–15

29

21 –20

7

0

9

16

7

6

–11

20

–6

–14

28

19 –19

6

2

9

17

28

20

–19

6

1

7

8

6

–12

20

–7

–14

18

24

19

–18

5

2

8

7

5

–11

19

–6

–13

19

29

21

–20

7

0

9

9

7

–13

21

–8

–15

20

28

19

–19

6

2

9

7

6

–11

20

–6

–14

21

–28 –20

19

–6

–1

–7

–8

–6

12 –20

7

14

22

–27 –19

18

–5

–2

–8

–7

–5

11

19

6

13

23

–29 –21

20

–7

0

–9

–9

–7

13

–21

8

15

24

–28 –19

19

–6

–2

–9

–7

–6

11 –20

6

14

11

3. Отчетность 3.1. Привести расчетные таблицы для ДПФ. 3.2. Нарисовать линейчатый спектр. 3.3. Привести расчетные таблицы для БПФ. 3.4. Нарисовать линейчатый спектр для БПФ. 3.5 . Сделать выводы по результатам вычислений, включая под' счет числа сложений и умножений в ДПФ и БПФ. 4. Контрольные вопросы 4.1. Сколько гармоник можно оценить по N отсчетам? 4.2. Почему БПФ называется быстрым? 4.3. Как вычисляются фазы гармоник? 4.4. Сколько отсчетов наиболее целесообразно брать для БПФ? Библиографический список 1. Дженкинс Г. и Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложе' ние. Т.1. М.:Мир, 1971. 2. Дженкинс Г. и Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложе' ние. Т.2. М.:Мир, 1971.

21

Содержание Лабораторная работа № 1 ................................................. 3 ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ ЭРГОДИЧЕСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ............................... 3 Лабораторная работа № 2 ................................................. 6 ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬ' НОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ .. 6 Лабораторная работа № 3 ................................................. 9 ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ........... 9 Лабораторная работа № 4 ............................................... 16 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАН' НЫХ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ ........................ 16

22