Методы технической диагностики: Методические указания к выполнению практических работ N1-6

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ

Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

МЕТОДЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ Методические указания к выполнению практических работ № 1–6

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2006

Составитель кандидат технических наук, доцент В. А. Голубков Рецензент кандидат технических наук, доцент М. А. Волохов

Даны методические указания к выполнению практических работ № 1–6 по курсу «Методы технической диагностики». Предназначены для студентов специальности 200102 – Приборы и методы контроля качества и диагностики. Подготовлены кафедрой электротехники и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

Редактор А. В. Семенчук Компьютерный набор и верстка Н. С. Степановой

Подписано к печати 28.02.06. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,32. Уч. -изд. л. 2,5. Тираж 100 экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии ГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

© ГОУ ВПО «СПбГУАП», 2006

2

ПРАКТИЧЕСКАЯ

РАБОТА

№1

МЕТОД БАЙЕСА Цель работы: изучение метода Байеса для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Среди методов технической диагностики метод, основанный на обобщенной формуле Байеса, занимает особое место благодаря простоте и эффективности. Разумеется, метод Байеса имеет недостатки: большой объем предварительной информации, «угнетение» редко встречающихся диагнозов и др. Однако в случаях, когда объем статистических данных позволяет применить метод Байеса, его целесообразно использовать как один из наиболее надежных и эффективных. Пусть имеется диагноз Di и простой признак kj, встречающийся при этом диагнозе, то вероятность совместного появления событий (наличие у объекта состояния Di и признака kj) P ( Di k j ) = P ( Di ) P (k j / Di ) = P (k j ) P ( Di / k j ).

(1)

Из этого равенства вытекает формула Байеса P ( Di / k j ) = P ( Di )

P (k j / Di ) P(k j )

.

(2)

Очень важно определить точный смысл всех входящих в эту формулу величин: P(Di) – вероятность диагноза Di, определяемая по статистическим данным (априорная вероятность диагноза). Так, если предварительно обследовано N объектов и у Ni объектов имелось состояние Di, то P(Di) = Ni / N. (3) 3

P(k j / Di ) – вероятность появления признака kj у объектов с состоянием Di. Если среди Ni объектов, имеющих диагноз Di, у Nij, проявился признак kj, то

P(k j / Di ) =

N ij N

.

(4)

P(k j ) – вероятность появления признака kj во всех объектах независимо от состояния (диагноза) объекта. Пусть из общего числа N объектов признак kj был обнаружен у Nj объектов, тогда

P(k j ) = N j / N .

(5)

Для установления диагноза специальное вычисление P(kj) не требуется. Как будет ясно из дальнейшего, значения P(Di) и P(kj /Dv), известные для всех возможных состояний, определяют величину P(kj). В равенстве (2) P(Di / kj) – вероятность диагноза Di после того, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака kj (апостериорная вероятность диагноза). Обобщенная формула Байеса относится к случаю, когда обследование проводится по комплексу признаков K, включающему признаки k1, k2, …, kν. Каждый из признаков kj имеет mj разрядов (kj1, kj2, …, kjs, …, kjm). В результате обследования становится известной реализация признака k *j = k js

(6)

и всего комплекса признаков К*. Индекс *, как и раньше, означает конкретное значение (реализацию) признака. Формула Байеса для комплекса признаков имеет вид P ( Di / K * ) = P ( Di ) P ( K * / Di ) / P ( K * ), (i = 1, 2, ..., n),

(7)

где P(Di / K*) – вероятность диагноза Di после того, как стали известны результаты обследования по комплексу признаков K; P(Di) – предварительная вероятность диагноза Di (по предшествующей статистике). Формула (7) относится к любому из n возможных состояний (диагнозов) системы. Предполагается, что система находится только в одном из указанных состояний и потому 4

n

∑ P(Ds ) = 1.

(8)

s =1

В практических задачах нередко допускается возможность существования нескольких состояний A1, …, Ar, причем некоторые из них могут встретиться в комбинации друг с другом. Тогда в качестве различных диагнозов Di следует рассматривать отдельные состояния D1 = A1, …, Dr = Ar и их комбинации Dr+1 = A1 /\ A2. * Перейдем к определению P ( K / Di ) . Если комплекс признаков состоит из н признаков, то

* , P ( K * / Di ) = P (k1* / Di ) P ( k2* / k1* Di )...P (kn* / k1* ... kn− 1 Di )

(9)

где k *j = k js – разряд признака, выявившийся в результате обследования. Для диагностически независимых признаков; P( K * / Di ) = P(k1* / Di ) P(k2* / Di ) ... P(kn* / Di ) .

(10)

В большинстве практических задач, особенно при большом числе признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при наличии существенных корреляционных связей между ними. Вероятность появления комплекса признаков K* P( K * ) =

n

∑ P( Ds ) P( K * / Ds ) .

(11)

s =1

Обобщенная формула Байеса может быть записана

P ( Di / K * ) =

P ( Di ) P ( K * / Di ) n

,

(12)

∑ P( Ds ) P( K * / Ds ) s =1

где P(K* / Di) определяется равенством (9) или (10). Из соотношения (12) вытекает n

∑ P( Di / K * ) = 1 ,

(13)

s =1

5

что, разумеется, и должно быть, так как один из диагнозов обязательно реализуется, а реализация одновременно двух диагнозов невозможна. Следует обратить внимание на то, что знаменатель формулы Байеса для всех диагнозов одинаков. Это позволяет сначала определить вероятности совместного появления i-го диагноза и данной реализации комплекса признаков P ( Di K * ) = P ( Di ) P ( K * / Di ) и затем апостериорную вероятность диагноза

P ( Di / K * ) = P ( Di K * ) /

(14)

n

∑ P( Ds K * ) .

(15)

s =1

Для определения вероятности диагнозов по методу Байеса необходимо составить диагностическую матрицу (табл. 1), которая формируется на основе предварительного статистического материала. В этой таблице содержатся вероятности разрядов признаков при различных диагнозах. Таблица 1 Диагностическая матрица в методе Байеса Признак k j Диагноз D1

k1

k2

k3

P(k 11 / P(k 12 / P(k 13 / P(k 21 / P(k 22 / P(k 23 / P(k 24 / P(k 31 / P(k 32 / / Di) / Di) / Di) / Di) / Di) / Di) / Di) / Di) / Di)

P(Di)

D1

0,8

0,2

0

0,1

0,1

0,6

0,2

0,2

0,8

0,3

D2

0,1 …

0,7 …

0,2 …

0 …

0 …

0,3 …

0,7 …

0,1 …

0,9 …

0,1 …

…

Если признаки двухразрядные (простые признаки «да – нет»), то в таблице достаточно указать вероятность появления признака P(kj / Di). Вероятность отсутствия признака P(k j / Di ) = 1 − P(k j / Di ) . Однако более удобно использовать единообразную форму, полагая, например, для двухразрядного признака P (k j / Di ) = P (k j1 / Di ) ;

P(k j / Di ) = P(k j 2 / Di ) . 6

mj

Отметим, что

∑ P(k js / Di ) = 1 , где mj – число разрядов признака kj. s =1

Сумма вероятностей всех возможных реализаций признака равна единице. В диагностическую матрицу включены априорные вероятности диагнозов. Процесс обучения в методе Байеса состоит в формировании диагностической матрицы. Важно предусмотреть возможность уточнения таблицы в процессе диагностики. Для этого в памяти ЭВМ следует хранить не только значения P(kjs / Di), но и следующие величины: N – общее число объектов, использованных для составления диагностической матрицы; Ni — число объектов с диагнозом Di; Nij – число объектов с диагнозом Di, обследованных по признаку kj. Если поступает новый объект с диагнозом Dμ, то проводится корректировка прежних априорных вероятностей диагнозов следующим образом: N ⎧ Ni ⎪⎪ N + 1 = P ( Di ) N + 1 ; i = 1, 2, ..., n; i ≠ μ; P ( Di ) = ⎨ ⎪ Nμ + 1 = P ( D ) N + 1 ; i = μ. μ N +1 N +1 ⎩⎪ N + 1

(16)

Далее вводятся поправки к вероятностям признаков. Пусть у нового объекта с диагнозом Dμ выявлен разряд r признака kj. Тогда для дальнейшей диагностики принимаются новые значения вероятности интервалов признака kj при диагнозе Dμ: Nµj ⎧ ; s ≠ r; ⎪ P( k js / Dm ) N mj + 1 ⎪ P (k js / Dµ ) ⎨ ⎪ P( k / D ) Nµj + 1 ; s = r. jr m ⎪ Nµj + 1 Nµj + 1 ⎩

(17)

Условные вероятности признаков при других диагнозах корректировки не требуют. Пример Поясним метод Байеса. Пусть при наблюдении за газотурбинным двигателем проверяются два признака: k1 – повышение температуры 7

газа за турбиной более, чем на 50° С и k2 – увеличение времени выхода на максимальную частоту вращения более, чем на 5 с. Предположим, что для данного типа двигателей появление этих признаков связано либо с неисправностью топливного регулятора (состояние D1), либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние D2). При нормальном состоянии двигателя (состояние D3) признак k1, не наблюдается, а признак k2 наблюдается в 5% случаев. На основании статистических данных известно, что 80% двигателей вырабатывают ресурс в нормальном состоянии, 5% двигателей имеют состояние D1 и 15% – состояние D2. Известно также, что признак k1 встречается при состоянии D1 в 20%, а при состоянии D2 в 40% случаев; признак k2 при состоянии D1 встречается в 30%, а при состоянии D2 – в 50% случаев. Сведем эти данные в диагностическую таблицу (табл. 2). Найдем сначала вероятности состояний двигателя, когда обнаружены оба признака k1 и k2. Для этого, считая признаки независимыми, применим формулу (12). Вероятность состояния P ( D1 / k1k2 ) =

0,05 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,3 = 0,09 . 0,05 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,3 + 0,15 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,5 + 0,8 ⋅ 0 ⋅ 0,05

Аналогично получим P( D2 / k1k2 ) = 0,91; P( D3 / k1k2 ) = 0 . Определим вероятность состояний двигателя, если обследование показало, что повышение температуры не наблюдается (признак k1 отсутствует), но увеличивается время выхода на максимальную частоту вращения (признак k2 наблюдается). Отсутствие признака k1 есть признак наличия

k1 (противоположное событие), причем P(k1 / Di ) = 1 − P(k1 / Di ) . Для расчета применяют также формулу (12), но значение P(k1 / Di) в диагностической таблице заменяют на P(k1 / Di ) . В этом случае P ( D1 / k1k2 ) =

0,05 ⋅ 0,8 ⋅ 0,3 = 0,12 0,05 ⋅ 0,8 ⋅ 0,3 + 0,15 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 + 0,8 ⋅ 1 ⋅ 0,05

и аналогично P( D2 / k1k2 ) = 0, 46; P( D3 / k1k2 ) = 0, 41 . Вычислим вероятности состояний в том случае, когда оба признака отсутствуют. Аналогично предыдущему получим 8

P ( D1 / k1k2 ) =

0,05 ⋅ 0,8 ⋅ 0,7 = 0,03, 0,05 ⋅ 0,8 ⋅ 0,7 + 0,15 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 + 0,8 ⋅ 1 ⋅ 0,15

P( D2 / k1k2 ) = 0,05; P( D3 / k1k2 ) = 0,92. Отметим, что вероятности состояний D1 и D2 отличны от нуля, так как рассматриваемые признаки не являются для них детерминирующими. Из проведенных расчетов можно установить, что при наличии признаков k1 и k2 в двигателе с вероятностью 0,91 имеется состояние D1, т. е. увеличение радиального зазора. При отсутствии обоих признаков наиболее вероятно нормальное состояние (вероятность 0,92). При отсутствии признака k1 н наличии признака k2 вероятности состояний D1 и D2 примерно одинаковы (0,46 и 0,41) и для уточнения состояния двигателя требуется проведение дополнительных обследований. Таблица 2 Вероятности признаков и априорные вероятности состояний Di

P (k 1 / Di)

P (k 2 / Di)

P (Di)

D1

0,2

0,3

0,05

D2

0,4

0,5

0,15

D3

0,0

0,05

0,80

Решающее правило – правило, в соответствии с которым принимается решение о диагнозе. В методе Байеса объект с комплексом признаков K* относится к диагнозу с наибольшей (апостериорной) вероятностью * * K * ∈ Di , если P ( Di / K ) > P ( D j / K ) ( j = 1, 2, ..., n; i ≠ j ) .

(18)

Символ ∈, применяемый в функциональном анализе, означает принадлежность множеству. Условие (18) указывает, что объект, обладающий данной реализацией комплекса признаков K* или, короче, реализация K* принадлежит диагнозу (состоянию) Di. Правило (18) обычно уточняется введением порогового значения для вероятности диагноза P(Di / K*) ≥ Pi, (19) 9

где Pi – заранее выбранный уровень распознавания для диагноза Di. При этом вероятность ближайшего конкурирующего диагноза не выше 1 – Pi. Обычно принимается Pi ≥ 0,09. При условии P(Di / K*) ≥ Pi, (20) решение о диагнозе не принимается (отказ от распознавания) и требуется поступление дополнительной информации. Процесс принятия решения в методе Байеса при расчете на ЭВМ происходит достаточно быстро. Например, постановка диагноза для 24 состояний при 80 многоразрядных признаках занимает на ЭВМ с быстродействием 10–20 тыс. операций в секунду всего несколько минут. Как указывалось, методу Байеса присущи некоторые недостатки, например погрешности при распознавании редких диагнозов. При практических расчетах целесообразно провести диагностику и для случая равновероятностных диагнозов, положив P(Di) = 1/n. (21) Тогда наибольшим значением апостериорной вероятности будет обладать диагноз Dj, для которого P (K* / Di) максимальна K* ∈ Di, если P(K* / Di) > P(K* / Dj) ( j = 1,2, ..., n; i ≠ j). (22) Иными словами, устанавливается диагноз Di, если данная совокупность признаков чаще встречается при диагнозе Di, чем при других диагнозах. Такое решающее правило соответствует методу максимального правдоподобия. Из предыдущего вытекает, что этот метод является частным случаем метода Байеса при одинаковых априорных вероятностях диагнозов. В методе максимального правдоподобия «частые» и «редкие» диагнозы равноправны. Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Рассчитать вероятность указанного преподавателем диагноза (технического состояния исследуемого объекта) при появлении определенных диагностических параметров. 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 10

2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет указанной вероятности (численный). 5. Выводы по работе. ЗАДАНИЯ ПО РАБОТЕ Из 1000 обследованных подшипников передней подвески автомобилей 900 подшипников выработали ресурс в исправном состоянии и 100 – в неисправном. Все подшипники были обследованы по следующим признакам: – общий уровень вибрации; – температура; – загрязнение смазки. У 70% исправных подшипников общий уровень вибрации лежал в диапазоне от 0,25 до 0,5 g, у 20% исправных подшипников – от 0,5 до 0,75 g и у 10% – >0,75g. У 80% исправных подшипников температура лежала в диапазоне 50–70 град, у 10% – в диапазоне 70–90 град. И у 10% – >90 град. У 90% исправных подшипников загрязнение смазки было в пределах нормы. У 80% неисправных подшипников наблюдалась вибрация >0,75 g, у 15% неисправных подшипников вибрация в диапазоне 0,5–0,75g. У 85% неисправных подшипников температура была >90 град, у 8% неисправных подшипников – в диапазоне 70–90 град. У 70% неисправных подшипников загрязнение смазки было выше нормы. Рассчитать: 1. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – 50–70 град, загрязнения смазки в пределах нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура 50–70 град, загрязнение смазки в пределах нормы. 2. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – 50–70 град, загрязнения смазки в пределах нормы. 11

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – 50–70 град, загрязнение смазки в пределах нормы. 3. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне >0,75g, температуры – 50–70 град, загрязнения смазки в пределах нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация >0,75g , температура – 50–70 град, загрязнение смазки в пределах нормы. 4. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в пределах нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки в пределах нормы. 5. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в пределах нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки в пределах нормы. 6. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне >0,75g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в пределах нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация – >0,75g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки в пределах нормы. 12

7. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – >90 град, загрязнения смазки в пределах нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – >90 град, загрязнение смазки в пределах нормы. 8. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – >90 град, загрязнения смазки в пределах нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – >90 град., загрязнение смазки в пределах нормы. 9. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне >0,75g, температуры – >90 град, загрязнения смазки в пределах нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация >0,75g, температура – >90 град., загрязнение смазки в пределах нормы. 10. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – 50–70 град, загрязнения смазки в выше нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – 50–70 град, загрязнение смазки выше нормы. 11. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – 50–70 град, загрязнения смазки в выше нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было 13

исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – 50–70 град, загрязнение смазки выше нормы. 12. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне >0,75g, температуры – 50–70 град., загрязнения смазки в выше нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация >0,75g, температура – 50–70 град, загрязнение смазки выше нормы. 13. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в выше нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки выше нормы. 14. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – 70–90 град., загрязнения смазки в выше нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки выше нормы. 15. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне – >0,75g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в выше нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация – >0,75g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки выше нормы. 16. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки выше нормы. 14

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – >90 град, загрязнение смазки выше нормы. 17. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в выше нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – >90 град, загрязнение смазки выше нормы 18. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне – >0,75g, температуры – >90 град, загрязнения смазки выше нормы. Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – 50–70 град, загрязнение смазки выше нормы. Практическая работа № 2 МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО РИСКА Цель работы: изучение метода минимального риска для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Вероятность принятия ошибочного решения слагается из вероятностей ложной тревоги и пропуска дефекта. Если приписать «цены» этим ошибкам, то получим выражение для среднего риска ∞

R = C21P1

∫

x0

f ( x / D1 )dx + C12 P2

x0

∫

f ( x / D2 )dx.

(1)

−∞

Разумеется, цена ошибки имеет условное значение, но она должна учесть предполагаемые последствия ложной тревоги и пропуска дефекта. 15

В задачах надежности стоимость пропуска дефекта обычно существенно больше стоимости ложной тревоги (C12 >> C21). Иногда вводится цена правильных решений С11 и С22 , которая для сравнения со стоимостью потерь (ошибок) принимается отрицательной. В общем случае средний риск (ожидаемая величина потери) выражается равенством R = C11 P1

∞

x0

∫

∫ f ( x / D1 )dx +

f ( x / D1 )dx + C21 P1

−∞

+ C12 P2

x0

∫

x0 ∞

f ( x / D2 )dx + C22 P2

−∞

(2)

∫ f ( x / D2 )dx.

x0

Величина x, предъявляемая для распознавания, является случайной и потому равенства (1) и (2) представляют собой среднее значение (математическое ожидание) риска. f(x / D1)

f(x / D1) f(x / D1)

x0 max 0

x1

x0 min x2

x

Рис. 1. Точки экстремума среднего риска ошибочных решений

Найдем граничное значение x0 из условия минимума среднего риска. Дифференцируя (2) по x0 и приравнивая производную нулю, получим сначала условие экстремума dR = C11P1 f ( x0 / D1) − C21P1 f ( x0 / D1) + C12 P2 f ( x0 / D2 ) − C22P2 f ( x0 / D2 ) = 0 dx0

(3)

f ( x0 / D1) (C12 − C22 ) P2 . = f ( x0 / D2 ) (C21 − C11) P1

(4)

или

Это условие часто определяет два значения x0, из которых одно соответствует минимуму, второе – максимуму риска (рис. 1). Соотношение (4) является необходимым, но недостаточным условием миниму16

ма. Для существования минимума R в точке x = x0 вторая производная 2 должна быть положительной d R > 0 , что приводит к следующему ус-

dx02

ловию относительно производных плотностей распределений: f '( x0 / D1) (C12 − C22 ) P2 < . f '( x0 / D2 ) (C21 − C11) P1

(5)

Если распределения f(x, D1) и f(x, D2) являются, как обычно, одномодальными (т. е. содержат не более одной точки максимума), то при x1 < x0 < x2

(6)

условие (5) выполняется. Действительно, в правой части равенства стоит положительная величина, а при x > x1 производная f '( x / D1 ) , тогда как при x < x2 значение f '( x / D2 ) . В дальнейшем под x0 будем понимать граничное значение диагностического параметра, обеспечивающее по правилу (5) минимум среднего риска. Будем также считать распределения f(x / D1) и f(x / D2) одномодальными («одногорбыми»). Из условия (4) следует, что решение об отнесении объекта x к состоянию D1 или D2 можно связать с величиной отношения правдоподобия. Напомним, что отношение плотностей вероятностей распределения x при двух состояниях называется отношением правдоподобия. По методу минимального риска принимается следующее решение о состоянии объекта, имеющего данное значение параметра x: x ∈ D1,

если

x ∈ D2, если

f ( x0 / D1 ) (C12 − C22 ) P2 > f ( x0 / D2 ) (C21 − C11 ) P1 ; f ( x0 / D1 ) (C12 − C22 ) P2 < f ( x0 / D2 ) (C21 − C11 ) P1 .

(7)

(8)

Эти условия вытекают из соотношений (5) и (4). Условие (7) соответствует x < x 0, условие (8) x > x0. Величина

λ=

(C12 − C22 ) P2 представляет собой пороговое значение для отноше(C21 − C11 ) P1 17

ния правдоподобия. Напомним, что диагноз D1 соответствует исправному состоянию, D2 – дефектному состоянию объекта; C21 – цена ложной тревоги; C12 – цена пропуска цели (первый индекс – принятое состояние, второй – действительное); C11 < 0,C22 – цены правильных решений (условные выигрыши). В большинстве практических задач условные выигрыши (поощрения) для правильных решений не вводятся и тогда λ = C12 P2 / C21 P1. (9) Часто оказывается удобным рассматривать не отношение правдоподобия, а логарифм этого отношения. Это не изменяет результата, так как логарифмическая функция возрастает монотонно вместе со своим аргументом. Расчет для нормального и некоторых других распределений при использовании логарифма отношения правдоподобия оказывается несколько проще. Рассмотрим случай, когда параметр x имеет нормальное распределение при исправном D1 и неисправном D2 состояниях. Рассеяние параметра (величина среднеквадратичного отклонения) принимается одинаковым. В рассматриваемом случае плотности распределений f ( x / D1 ) = f ( x / D2 ) =

1 σ 2π 1 σ 2π

−

( x − x1 ) 2

e −

e

2σ 2

;

( x − x2 )2 2σ 2

.

Внося эти соотношения в равенство (4), получаем после логарифмирования

ln

f ( x0 / D1 ) (C − C22 ) P2 . 1 = − 2 [2 x0 ( x2 − x1 ) + x12 − x22 ] = ln 12 f ( x0 / D2 ) (C21 − C11 ) P1 2σ

Из этого уравнения P (C − C22 ) ⎞ 1⎛ s2 x0 = ⎜ x1 + x2 ) − (ln 2 + ln 12 ⎟. ⎜ 2⎝ x2 − x1 P1 (C21 − C11 ) ⎠⎟

18

При x < x0, x ∉ D1; при x > x0 x ∉ D2. Пример Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осуществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состояния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и среднеквадратичное отклонение σ1 = 2. При наличии дефекта подшипников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны x2 = 12, σ 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными. Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во избежание опасных последствий). По статистическим данным неисправное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей. Примем, что отношение стоимостей пропуска цели и ложной трево-

ги

C12 = 20 , и откажемся от «вознаграждения» правильных решений C21

(C11 = C22 = 0). Из условия (4) получаем

f ( x0 / D1 ) 0,1 = 20 = 2, 22 . f ( x0 / D2 ) 0,9 Плотности распределения f ( x0 / D1 ) = f ( x0 / D2 ) =

1 2 π 1

−

( x −5)2

e −

2⋅22

;

( x −12) 2 2⋅32

. 3 2π Внося эти значения в предыдущее равенство, получаем после логарифмирования e

( x0 − 5) 2 ( x0 − 12) 2 ⎛ 2 ⋅ 2, 22 ⎞ + = ln ⎜ ⎟. 8 18 ⎝ 3 ⎠ Это уравнение имеет положительный корень x0 = 7,456. −

Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 19

2. Рассчитать предельное значение диагностического параметра, выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации по методу минимального риска. 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем. Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет указанного предельного значения диагностического параметра (численный). 5. Выводы по работе. Практическая работа № 3 МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА ОШИБОЧНЫХ РЕШЕНИЙ Цель работы: изучение метода минимального числа ошибочных решений для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Вероятность ошибочного решения определяется как ∞

Pош = P1

x0

∫ f ( x / D1 )dx + P2 ∫

x0

f ( x / D2 ) dx .

(1)

−∞

Из условия экстремума этой вероятности получаем

dPош = − P1 f ( x0 / D1 ) + P2 f ( x0 / D2 ) = 0. dx0

(2)

Условие минимума дает d 2 Pош dx02

20

= − P1 f '( x0 / D1 ) + P2 f '( x0 / D2 ) > 0

(3)

или f '( x0 / D1 ) / f '( x0 / D2 ) < P2 / P1 .

(4)

Для одномодальных распределений неравенство (4) выполняется, и минимум вероятности ошибочного решения получается из соотношения (2) f ( x0 / D1 ) / f ( x0 / D2 ) = P2 / P1 ,

(5)

где, как и раньше, P1 = P(D1), P2 = P(D2) – априорные вероятности диагнозов. Решение x ∈ D1 принимается при f ( x / D1 ) / f ( x / D2 ) > P2 / P1

(6)

f ( x / D1 ) / f ( x / D2 ) < P2 / P1 .

(7)

и x ∈ D2 при Очевидно, что соотношения (5)–(7) являются частным случаем условия минимального риска, если стоимости решений одинаковы. Условие выбора граничного значения (5) часто называется условием Зигерта–Котельникова (условием идеального наблюдателя). К этому условию приводит также метод Байеса. Действительно, вероятности диагнозов D 1 и D 2 для данного значения x (апостериорные вероятности) P ( D1 / x ) = P ( D1 ) f ( x / D1 ) / f ( x ); P ( D2 / x ) = P ( D2 ) f ( x / D2 ) / f ( x ) . Решение x ∈ D1 принимается при P ( D1 / x ) > P ( D2 / x )

или f ( x / D1 ) / f ( x / D2 ) > P2 / P1 ,

(8)

что совпадает с равенством (6). В задачах надежности рассматриваемый метод часто дает «неосторожные решения», так как последствия ошибочных решений существенно различаются между собой. Обычно цена пропуска дефекта существенно выше цены ложной тревоги. Если указанные стоимости приблизительно одинаковы (для дефектов с ограниченными последствиями, для некоторых задач контроля и др.), то применение метода вполне оправдано. 21

Пример Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осуществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состояния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и среднеквадратичное отклонение σ1 = 2. При наличии дефекта подшипников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны x2 = 12,σ 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными. Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисправное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей. Плотности распределения

f ( x0 / D1 ) =

1 2 π

−

( x −5) 2

e

− 1 f ( x0 / D2 ) = e 3 2π

2⋅22

;

( x −12) 2 2⋅32

;

f ( x0 / D1 ) P2 = ; f ( x0 / D2 ) P1 −

( x0 − 5)2 ( x0 − 12)2 ⎛ 0,1 ⎞ + = ln ⎜ ⎟. 8 18 ⎝ 0,9 ⎠

Это уравнение имеет положительный корень x0 = 9,79 Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Рассчитать предельное значение диагностического параметра, выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации, по методу минимального числа ошибочных решений 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем. 22

Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет указанного предельного значения диагностического параметра (численный). 5. Выводы по работе. Практическая работа № 4 МЕТОД НАИБОЛЬШЕГО ПРАВДОПОДОБИЯ Цель работы: изучение метода наибольшего правдоподобия для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Метод наибольшего правдоподобия можно рассматривать как частный случай метода минимального риска. Правило решения принимается следующим:

f ( x / D1 ) x ∈ D1, если f ( x / D ) > 1 ; 2

(1)

f ( x / D1 ) x ∈ D2, если f ( x / D ) < 1 , 2 где x – значение параметра для диагностируемого объекта. Граничное значение находится из условия (2) f ( x0 / D1 ) = f ( x0 / D2 ) . Сопоставляя условия (4) и (2), легко установить, что они совпадают, если положить

(C12 − C22 ) P2 =1. (3) (C21 − C11 ) P1 В большинстве практических случаев используется условие (3), и тогда для метода наибольшего правдоподобия следует считать C12 P2 =1. C21P1

(4) 23

Для задач надежности вероятность неисправного состояния обычно представляет собой малую величину, но цена пропуска дефекта значительно больше цены ложной тревоги (C12 >> C21). Тогда условие (4) дает решение, не требующее знания точных значений стоимости ошибок и качественно отражающее указанные обстоятельства (P2 << P1, C12 >> C21). Пример Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осуществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состояния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и среднеквадратичное отклонение σ1 = 2 . При наличии дефекта подшипников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны x2 = 12,σ 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными. Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисправное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей. Плотности распределения

f ( x0 / D1 ) =

f ( x0 / D2 ) =

−

1 2 π 1

3 2π

−

( x −5)2

e

−

e

2⋅22

;

( x −12) 2 2⋅32

;

( x0 − 5)2 ( x0 − 12)2 + = 0. 8 18

Это уравнение имеет положительный корень x0 = 8,14. Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Рассчитать предельное значение диагностического параметра, выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации по методу наибольшего правдоподобия. 24

3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем. Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет указанного предельного значения диагностического параметра (численный). 5. Выводы по работе. Практическая работа № 5 МЕТОД МИНИМАКСА Цель работы: изучение метода минимакса для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Метод минимакса предназначен для ситуации, когда отсутствуют предварительные статистические сведения о вероятности диагнозов D1 и D2. Рассматривается «наихудший случай», т. е. наименее благоприятные значения P1 и P2, приводящие к наибольшему значению (максимуму) риска. Будем считать, что величина риска зависит теперь от x0 и P1 (вероятность второго диагноза P2 = 1 – P1). Из соотношения вытекает, что R ( x0 , P1 ) = C11P1

x0

∫

∞

f ( x / D1 )dx + C21P1

−∞

+C12 (1 − P1 )

x0

∫

∫ f ( x / D1 )dx +

x0

∞

f ( x / D2 )dx + C22 (1 − P1 )

−∞

∫ f ( x / D2 )dx.

(1)

x0

Для нахождения экстремума приравняем нулю частные производные по x0 и P1. Условие

∂R =0 ∂x0

(2)

25

дает

f ( x0 / D1 ) (C12 − C22 )(1 − P1 ) = . f ( x0 / D2 ) (C21 − C11 ) P1

(3)

Из соотношения

∂R =0 ∂P1

получаем

(4)

∞

C21P1

x0

∫ f ( x / D1 )dx + C11P1 ∫

−∞

x0

= C12

f ( x / D1 )dx =

x0

∫

−∞

∞

f ( x / D2 )dx + C22

∫ f ( x / D2 )dx.

(5)

x0

Теперь требуется определить значения x0 и P1, удовлетворяющие * уравнениям (3) и (5). Если x0 и P1* являются корнями указанных урав-

* * нений, то точка R ( x0 , P1 ) является экстремальной. Можно показать для одномодальных распределений, что величина риска становится минимаксной (т. е. минимальной среди максимальных значений, вызванных «неблагоприятной» величиной P1). Отметим, что при P1 = 0 и P2 = 1 риск принятия ошибочного решения отсутствует, так как ситуация не имеет неопределенности. При P1 = 0 (все изделия

неисправны) из условия (4) вытекает x0 → −∞ и все объекты действительно признаются неисправными; при P1 = 1 и P2 = 0 x0 → ∞ и в соответствии с имеющейся ситуацией все объекты классифицируются как исправные. Для промежуточных значений 0 < P1 < 1 риск возрастает и при P1 = P1* становится максимальным. Рассматриваемым методом выбирают величину x0 таким образом, чтобы при наименее благоприятных значениях P1 потери, связанные с ошибочными решениями, были бы минимальными. 26

Рассмотрим процедуру решения уравнений (3) и (5). Сначала из урав* нения (5) найдем значение x0 , что можно сделать следующим образом. Представим уравнение (5) в виде j ( x0 ) = 0,

(6)

где ∞

x0

x0

−∞

j( x0 ) = (C21 − C11 ) ∫ f ( x / D1 )dx − (C12 − C22 ) ∫ f ( x / D2 )dx + C11 − C22 . (7)

Последнее равенство можно записать с помощью функций распределения j ( x0 ) = (C21 − C11 )[1 − F ( x0 / D1 )] − (C12 − C22 ) F ( x0 / D2 ) + C11 − C22 ;

F ( x0 / D1 ) =

x0

∫

f ( x / D1 )dx; F ( x0 / D2 ) =

−∞

x0

∫

f ( x / D2 ) dx.

(8)

−∞

Уравнение (6) решаем по методу Ньютона, связывающему исходные x0(n–1) и последующие x0(n) приближения x0( n ) = x0( n −1) −

j( x0( n −1) ) . dj ( x0( n −1) ) dx0

(9)

Значение производной

dj = −(C21 − C11 ) f ( x0( n−1) / D1 ) − (C12 − C22 ) f ( x0( n−1) / D2 ). dx0

(10)

В качестве первого приближения можно принять x0(1) = ( x1 + x2 ) / 2 , где x1 , x2 – средние значения х для распределения f(x / D1) и f(x / D2). При достаточной близости x0(n) и x0(n–1) принимаем x0* = x0( n ) . Далее из равенства (3) находим наименее благоприятное значение вероятностей исправного P1* и P2* неисправного состояний P1* =

C12 − C22 C12 − C22 + (C21 − C11 ) f ( x0* / D1 ) / f ( x0* / D2 )

; P2* = 1 − P1* . (11)

27

f(x / Di)

f(x / D1) f(x / D2)

0

Pп.д

x0

Pл.т

x

Рис 1. Определение граничного значения диагностического параметра по методу минимакса * Величину риска определяем по равенству (1) при значениях x0 = x0 ,

P1 = P1* . Отметим некоторые случаи, в которых решение становится достаточно наглядным. Положим, что условные выигрыши отсутствуют C11 = C22 = 0, а цены ошибок одинаковы C12 = C21. Тогда из уравнения (5) вытекает ∞

∫

f ( x / D1 )dx =

x0

∫

f ( x / D2 )dx или F ( x0 / D1 ) + F ( x0 / D2 ) = 1 ,

−∞

x0

где F(x0 / D1) и F(x0 / D2) – соответствующие функции распределения. Последнее соотношение показывает равенство условных вероятностей ошибочных решений. На рис. 1 для этого случая площади Pл.т и Pп.д равны. В общем случае ∞

Pл.т = Pп.д

∫ f ( x / D1 )dx

x0 x0

∫

f ( x / D2 )dx

=

C12 Цена пропуска дефекта . = Цена ложной тревоги C21

(12)

−∞

Зависимость (12) выражает равенство условных рисков ошибочных решений. С помощью функций распределения она записывается в виде 28

1 − F ( x0 / D1 ) C12 = . F ( x0 / D2 ) C21

(13)

Пример Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осуществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состояния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и среднеквадратичное отклонение σ1 = 2. При наличии дефекта подшипников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны x2 = 12,σ 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными. Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисправное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей. Граничное значение x0 вычисляется из уравнения (8) C21[1 − F ( x0 / D1 )] − C12 F ( x0 / D2 ) = 0.

Для нормального распределения функции распределения выражаются с помощью функций Лапласа

x

F ( x0 / D1 ) =

⎛ x − x1 ⎞ 1 + F⎜ 0 ⎟; 2 ⎝ σ1 ⎠

F ( x0 / D2 ) =

⎛x −x ⎞ 1 + F⎜ 0 2 ⎟, 2 ⎝ σ2 ⎠

u2

− du 1 где F( x) = e 2 . 2π 0

∫

Расчет проводится по формуле (9). Первое приближение: x0(1) = ( x1 + x2 ) / 2 = (5 + 12) / 2 = 8,5.

Второе приближение: x0(2) = x0(1) − j( x0(1) ) / j '( x0(1) );

29

j( x0(1) ) = C21[1 − F ( x0(1) / D1 )] − C12 F ( x0(1) / D2 ); j '( x0(1) ) = −C21 f ( x0(1) / D1 ) − C12 f ( x0(1) / D2 ).

Значения C21 = 1, C12 = 20. Расчеты дают x0(2) = 6,79. При расчете использовались таблицы для нормального распределения. Последующие приближения дали x0(3) = 5,91; x0(4) = 5,72; x0(5) = 5,71. При C21 = 1, C12 = 1 получено x0(1) = 8,5; x0(2) = 7,79; x0(3) = 7,80. Значения наиболее неблагоприятных вероятностей состояний при x0* = 5,71 ; P1* = 0,61 ; P2* = 0,39 ; при x0* = 7,80; P1* = 0,93; P2* = 0,07 .

Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Рассчитать предельное значение диагностического параметра, выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации по методу минимакса. 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем. Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2 Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет указанного предельного значения диагностического параметра (численный). 5. Выводы по работе. Практическая работа № 6 МЕТОД НЕЙМАНА–ПИРСОНА Цель работы: изучение метода Неймана–Пирсона для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Оценки стоимости ошибок часто неизвестны и их достоверное определение связано с большими трудностями. Вместе с тем ясно, что во всех случаях желательно при определенном (допустимом) уровне од30

ной из ошибок минимизировать значение другой. Здесь центр проблемы переносится на обоснованный выбор допустимого уровня ошибок с помощью предыдущего опыта или интуитивных соображений. По методу Неймана–Пирсона минимизируется вероятность пропуска цели при заданном допустимом уровне вероятности ложной тревоги. Таким образом, вероятность ложной тревоги ∞

P1

∫ f ( x / D1 )dx ≤ A,

(1)

x0

где А – заданный допустимый уровень вероятности ложной тревоги; P1 – вероятность исправного состояния. Отметим, что обычно условие (1) относят к условной вероятности ложной тревоги (множитель P1 отсутствует). В задачах технической диагностики значения P1 и P2 в большинстве случаев известны по статистическим данным. Из рис. 1 видно, что при увеличении ошибки ложной тревоги (сечение x0 перемещается влево) величина ошибки пропуска дефекта уменьшается. Ее наименьшее значение будет соответствовать знаку равенства в условии (1) ∞

P1

∫ f ( x / D1 )dx = A.

(2)

x0

Теперь условие (1) однозначно определяет величину x0 и значение риска. Остановимся на выборе значения А — допустимого уровня ложной тревоги (риска поставщика). Пример При эксплуатации было установлено, что у 2–3% двигателей встречаются поломки в результате повышенных динамических нагрузок при увеличенном фланке шестерни редуктора. В дефектных редукторах наблюдается повышенная виброперегрузка при частоте, соответствующей частоте зацепления. Было проведено измерение вибраций всего парка двигателей и назначена норма, при повышении которой двигатель направляется на разборку и дефектацию. При выборе нормы исходили из двух соображений: число снимаемых с эксплуатации двигателей должно существенно превышать ожидаемое число дефектных двигателей; принимаемое значение ложной тревоги не должно нарушать нормаль31

ную эксплуатацию или приводить к чрезмерным экономическим потерям. Этим условиям удовлетворяла норма, приводящая к снятию с эксплуатации примерно 10% двигателей. В практических задачах можно принимать A = kP2, (3) где k – коэффициент избыточности, зависящий от разрешающей способности диагностических средств, опасности дефекта, экономических затрат и других обстоятельств. При дефектах с ограниченными последствиями можно принимать k=3–1 (3.1) При опасных дефектах – k = 3 – 10. Для редко встречающихся (P2 < 0,01), но крайне опасных дефектов, коэффициент избыточности может достигать и больших значений. В задачах технической диагностики можно использовать и другой подход: определять граничное значение x0, исходя из выбранной вероятности пропуска дефекта. В этом случае x0

P2

∫

f ( x / D2 )dx = B,

(4)

−∞

где B – заданное значение вероятности пропуска дефекта. Трудно указать общие правила для назначения величины B, она должна выбираться с учетом указанных ранее соображений. Если дефект крайне нежелателен даже на единичном изделии, можно принимать

1 , (5) kN где N – общее число изделий, находящихся в эксплуатации; k – коэффициент избыточности (1 ≤ k < 10) . Во всех случаях для реализации принципа невозможности маловероятных событий величина B должна быть малой (B < 0,01). В методе Неймана–Пирсона граничное значение x0 находится из уравнения (2) или (4). При практическом решении подобных уравнений целесообразно использовать метод Ньютона, полагая, например B≤

∞

j( x0 ) = P1

∫ f ( x0 / D1 )dx − A; j '( x0 ) = − P1 f ( x0 / D1 ).

x0

32

(6)

Пример Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осуществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состояния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и среднеквадратичное отклонение σ1 = 2. При наличии дефекта подшипников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны x2 = 12,σ 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными. Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисправное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей. Проведем решение различными методами. По методу Неймана–Пирсона принимаем A = kP2. Считая последствия дефекта ограниченными (для контроля состояния трансмиссии используются также показания вибродатчиков), принимаем k = 1, что дает A = 0,1. Полагая первое приближение x0(1) = ( x1 + x2 ) / 2 = 8,5 , находим второе приближение x0(2) = x0(1) +

P1[1 − F ( x0(1) / D1 )] − A P1 f ( x0(1) / D1 )

.

Расчеты дают следующие значения приближений: x 0(2) = 6,85; x0(3) = 7,36; x0(4) = 7,43; x0(5) = 7,43. Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Рассчитать предельное значение диагностического параметра, выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации по методу Неймана–Пирсона. 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем. Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет указанного предельного значения диагностического параметра (численный). 5. Выводы по работе. 33

ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ № 2, 3, 4, 5, 6 Задача №1 Диагностика газотурбинного двигателя осуществляется по содержанию железа в масле. Установлено, что для исправного состояния среднее значение содержания железа составляет x1 = 10 (10 г на 1 т) и среднеквадратическое отклонение σ1 = 3. При наличии дефекта подшипников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны x2 = 20 , σ2 = 5, Распределения предполагаются нормальными. Определить предельное содержание железа в масле, выше которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации. Определить предельное содержание железа разными методами: 1. Методом минимального риска. 2. Методом минимального числа ошибочных решений. 3. Методом минимакса. 4. Методом Неймана–Пирсона. 5. Методом наибольшего правдоподобия. Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска цели и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сделать выводы. Дополнительная информация а) C11 = C22 = 0; б)

C12 = 30; P2 = 0,05; C21

C12 C11 C22 = 20; = = −0,5; P2 = 0,1; C21 C21 C21 в) C11 = C22 = 0;

C12 = 1; P2 = 0,05. C21

Задача №2 Диагностика бортового преобразователя напряжения осуществляется по общему уровню вибрации его корпуса. Установлено, что для исправного состояния среднее значение вибрации составляет x1 = 20 мм/с и среднеквадратическое отклонение σ1 = 7 мм/с. При наличии дефекта, 34

где x2 = 45 мм/с, σ2 = 12 мм/с, распределения предполагаются нормальными. Определить предельное значение общего уровня вибрации разными методами: 1. Методом минимального риска. 2. Методом минимального числа ошибочных решений. 3. Методом минимакса. 4. Методом Неймана–Пирсона. 5. Методом наибольшего правдоподобия. Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска цели и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сделать выводы. Дополнительная информация а) C11 = C22 = 0; б)

C12 = 10; P2 = 0,1; C21

C12 C11 C22 = 20; = = −1; P2 = 0, 2; C21 C21 C21 в) C11 = C22 = 0;

C12 = 1; P2 = 0,1. C21

Задача №3 Диагностика гиромотора осуществляется по температуре подшипниковых узлов. Установлено, что для исправного состояния среднее значение t0 подшипникового узла составляет x1 = 50
C и среднеквадратическое отклонение σ1 = 15
С . При наличии повышенного износа, где x2 = 100
C , σ 2 = 25
C , распределения предполагаются нормальными.

Определить предельное значение t
разными методами: 1. Методом минимального риска. 2. Методом минимального числа ошибочных решений. 3. Методом минимакса. 4. Методом Неймана–Пирсона. 5. Методом наибольшего правдоподобия. 35

Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска цели и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сделать выводы. Дополнительная информация а) C11 = C22 = 0; б) в)

C12 = 40; P2 = 0,1; C21

C12 C11 C22 = 30; = = −1; P2 = 0, 2; C21 C21 C21

C12 C11 C22 = 20; = −0,5; = −1; P2 = 0,15. C21 C21 C21

Задача №4 Диагностика газотурбинного двигателя осуществляется по температуре за турбиной. Для исправного состояния характерна следующая средняя

температура и среднеквадратическое отклонение: x1 = 450 C, σ1 = 70 C . При неисправном состоянии, где x2 = 600
C, s 2 = 50
C , распределения предполагаются нормальными. Определить граничное значение t
за турбиной двигателя разными методами: 1. Методом минимального риска. 2. Методом минимального числа ошибочных решений. 3. Методом минимакса. 4. Методом Неймана–Пирсона. 5. Методом наибольшего правдоподобия. Рассчитать также для всех методов вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска цели, и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сделать выводы. Дополнительная информация а) C11 = C22 = 0;

36

C12 = 100; P2 = 0,05; C21

б)

C12 C11 C22 = 50; = = −2; P2 = 0,1; C21 C21 C21

в)

C12 C11 C22 = 20; = = −1; P2 = 0,07. C21 C21 C21

Задача №5 Диагностика технического состояния шлифовального круга станка производится по амплитуде вибрации на частоте вращения. В случае исправного состояния среднее значение вибрации на частоте вращения и среднеквадратическое отклонение составляют x1 = 1000 мм/с2, σ1 = 200 мм/с2. При шлифовании круг изнашивается неравномерно. Появляется повышенная вибрация, которая влияет на качество изготавливаемых деталей. Для неисправного состояния характерны x1 = 1500 мм/с2, σ1 = мм/с2, распределения предполагаются нормальными. Определить граничное значение вибрации (при превышении которого шлифовальный круг необходимо балансировать) разными методами: 1. Методом минимального риска. 2. Методом минимального числа ошибочных решений. 3. Методом минимакса. 4. Методом Неймана–Пирсона. 5. Методом наибольшего правдоподобия. Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска цели, и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сделать выводы. Дополнительная информация

C12 а) C11 = C22 = 0; C = 1; P2 = 0,1; 21 C12 б) C11 = C22 = 0; C = 20; P2 = 0,1; 21 C12 C11 C22 в) C = 10; C = C = −1; P2 = 0,1. 21 21 21 37

Библиографический список 1. Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 240 с. 2. Диагностирование и прогнозирование технического состояния авиационного оборудования: Учеб. пособие для вузов / В. Г. Воробьев, В. В. Глухов, Ю. В. Козлов и др.; Под ред. И. М. Синдеева. СПб.: Транспорт, 1994. 191 с. 3. Дмитриев А. К. Основы контроля и технической диагностики: Учеб. пособие. М.: МО. 1988. 206 с. 4. Технические средства диагностирования: Справочник / В. В. Клюев, П. П. Пархоменко и др.; Под общ. ред. В. В. Клюева. М.: Машиностроение, 1989. 672 с.

Оглавление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 .......................................................... Метод Байеса .................................................................................... ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2 .......................................................... Метод минимального риска ............................................................ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3 .......................................................... Метод минимального числа ошибочных решений ....................... ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4 .......................................................... Метод наибольшего решения .......................................................... ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5 .......................................................... Метод минимакса ............................................................................. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6 .......................................................... Метод Неймана–Пирсона ............................................................... Задания к практическим работам № 2, 3, 4, 5, 6 ................................ Библиографический список .....................................................................

38

3 3 15 15 20 20 23 23 25 25 30 30 34 38