О p-группах автоморфизмов абелевых p-групп

Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359-371

УДК 512.54

О ^-ГРУППАХ АВТОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ р-ГРУПП Е. И. ХУХРО Введение

Изучение действия группы на абелевой (под)группе часто дает важ­ ную информацию о группе. Например, порядок конечной нильпотентной группы ограничен в терминах порядка ее максимальной нормальной абе­ левой подгруппы. Другой пример: (секционный) ранг конечной р-группы ограничен в терминах ранга ее максимальной нормальной абелевой под­ группы. В настоящей работе мы рассматриваем действие р-группы G на абелевой р~группе А (предполагая, что G < AutA и считая А правым ZG-модулем). Целью является установление связи между периодами ядер индуцированного действия группы G на элементарных р-группах и Q>i(A) = {х 6 А | рх = 0}; эти ядра мы обозначаем через и

CG(QI(A))

Св(А/рА)

соответственно. В некоторых хорошо известных ситуациях

А/рА и Qi(A) изоморфны как ZG-модули и тогда, конечно, Со(А/рА) =

CG(QI(A));

А/рА

=

например, если А является прямой суммой циклических

групп одного порядка, то Со{А/рА)

=

CG{&I(A))

— пересечение G с со­

ответствующей главной конгруэнц-подгруппой. В общей ситуации модули А/рА и £2i(A) могут быть неизоморфны. Тем не менее, полученные ре­ зультаты показывают, что если период у одного из ядер Со(А/рА) CG(OI

или

(А)) конечен, то и другое ядро имеет конечный период, причем огра­

ниченный в терминах первого. Кроме того, эти ядра будут нильпотентны.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

360

Е. И. Хухро

Поскольку результаты несколько отличаются при р = 2, удобно ввести фиксированное обозначение: е = 0, если р ф 2, и е = 1, если р = 2. Т Е О Р Е М А 1. Предположим, что G ~ р-группа

автоморфизмов

абелевой р-группы А. (а) Если подгруппа CG(A/AP)

имеет конечный период р*, то под­

группа CG(&I{A))

имеет конечный период ^ р**€,

неравенству / ^

р*~*~г.

где f

удовлетворяет

оо

(б) Если р | р%А = 0 и подгруппа CG(&I(A)) ршх? p s , то подгруппа CG{A/AP)

имеет конечный пе-

имеет конечный период ^ р**£}

где f

удовлетворяет неравенству f ^ pf~8~l. Т Е О Р Е М А 2. Предположим, что G — р-группа

автоморфизмов

абелевой р-группы А. (а) Если подгруппа CG(&I(A)) {или CG(&I(A))2

группа CG{&I(A))

имеет конечный период рп} то под­ при р = 2) нильпотентна

ступе­

ни ^ п. оо

(б) Если f] р*А = 0 и подгруппа CG(A/AP) одрп, то подгруппа CG(A/AP)

(или CG(A/AP)2

имеет конечный периприр = 2)

нильпотентна

ступени ^ п. Сплетение Ср<х> I G квазициклической группы с произвольной р-группой G показывает, что условие на Л в частях (б) теорем 1, 2 опустить нельзя (его, видимо, следует рассматривать как двойственное условию пе­ риодичности). Действительно, если А — база этого сплетения, то активная группа G точно действует на Q\(A), т. е. CG(^I(A)) G = CG(A/PA)}

так как А =

= 1; в то же время

рА.

Заметим, что число / из заключения теоремы 1 удовлетворяет нера­ венству / ^ 45, а также, например, неравенству / ^ (1 + S)s + u(S^p) для любого S > 0, где и(6, р) зависит только от S и р. На данный момент неясно, насколько можно усилить ограничения на / : можно ли, например, полу­ чить аналогичные результаты с / ^ s + С, где С — некоторая константа (возможно, зависящая от р)? В заключение работы мы используем теоремы 1(a) и 2(a) для под-

361

О р-группах автоморфизмов

тверждения в одном частном случае гипотезы об ограничении на сту­ пень разрешимости конечной группы с автоморфизмом порядка 2, все неподвижные точки которого центральны (разрешимость таких групп, а также сведение к случаю 2-группы установлены В.Д.Мазуровым и Т. Л. Недорезовым [1]). Автору интересно узнать о других возможных при­ менениях, в частности, о применениях "двойственных" теорем 1(6) и 2(6). При доказательстве теоремы 1 можно просто рассматривать случаи, когда G =

CG(&I{A))

но. Условие G =

ИЛИ G P

CG(A/A )

= Со{А/рА) в частях (а) или (б) соответствен­

ДНЯ конечной р-группы

G означает (при р ф 2),

что А ~ так называемая мощно вложенная подгруппа полупрямого произ­ ведения AG. Это понятие является ключевым в теории мощных р-групп. По определению, конечная р-группа Р является мощной, если [Р, Р] < Рр при р ф 2 или [Р)Р] < РА при р = 2. Предвосхищенная М.Лазаром [2] теория мощных р-групп была развита А.Любоцким и А.Манном [3]. В определенном смысле дуальным к последнему понятию будет понятие р-центральной р-группы: по определению, конечная р-группа р-централъна, если Q\(P) < Z(P)1 т. е. все элементы порядка р лежат в центре. Основы теории р-центральных р-групп были заложены Дж. Вакли [4]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Т. Вайгеля [5, 6]. Так называемые однообразно мощные р-группы являются одновременно и р-центральными р-группами, многие их свойства похожи на свойства гомоциклических абелевых р-групп. Если Р — конечная р-группа (сек­ ционного) ранга г, то Р содержит мощную подгруппу индекса ^

р^г\

где /(г) зависит только от г. В свою очередь, ранг конечной р-группы Р ограничен в терминах ранга любой ее максимальной абелевой нормальной подгруппы А: это следует из аналогичного утверждения для групп авто­ морфизмов абелевых р-групп, так как фактор-группа Р/А точно действует на А. Если G =

C G ( ^ I ( A ) ) , TO

можно сказать, что А р-централъно вло­

жена в полупрямое произведение AG. Пока неясно, каким должен быть полный "р-центральный аналог*4 вышеупомянутой связи мощных р-групп с абелевыми подгруппами.

362

Е. И. Хухро § 1. Предварительные леммы Будем использовать сокращенную запись для простых коммутато­

ров: [хг,х2,..

•, хп] = [-..[[»!, ж2]» • • •, з„].

В аддитивных обозначениях правого ZG-модуля Л мы продолжаем употреблять коммутаторные обозначения типа [а,д] = —а + а# для а 6 А, д Е G. Эта операция линейна по первому аргументу: [а + Ь,д] = [а,
порядок коммутатора [а,д] строго меньше поряд­

ка а. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если \а\ = р*, то pk^a

€ fti(-A), откуда

Из коммутаторного тождества [ж,уя] = [а?,2][я,у][ж,у,г] и коммута­ тивности А по индукции легко вывести следующую биномиальную фор­ мулу:

i

п

для любых а Е А и # Е G. Л Е М М А 2. Предположим, что G — р-группа автоморфизмов абе~ левой р-группы A, a g — любой элемент из

CG(&I(A)).

(а) Если р ф 2, то \[а,д]\ ^ \д\ для любого а £ А. (б) Если р — 2, то для любого а € А либо \[а,д]\ ^ \д\, либо |2[а, &, в противном случае требуемое очевидно. Поскольку

363

О р-групп&х автоморфизмов др = 1, имеем 0 = [ a , ^ ] = ( ^ ) [ a , 5 ] + ^ [ a , f f , 5 ] + ...+ ( ^ [ a

) £ l

^ + ---. (1)

В правой части равенства (1) рассмотрим г-е слагаемое

и пусть г = p?v, где р \ v. Известно, что в данной ситуации рк~* — наи­ высшая степень числа р, делящая (*• J . В силу леммы 1 порядок элемента {Pi)[«, 5 , . . . , d не превосходит ^-pJv+i-fc+j g ^

порядок первого слагае-

i

мого рк[а, д] равен рп~к > 1 по определению п иfc.Получили противоречие, так как порядки всех слагаемых, начиная со второго, меньше, чем рп~~к. В самом деле, n - p*v + l-k

+ j
+ l< p*v, что верно для р ф 2

при условии г = p*v ^ 2 <$ либо j ^ 1, либо j = 0 и v ^ 2. (б) Если р = 2, то подобное же неравенство показывает, что порядки всех слагаемых в (1), начиная с третьего, меньше, чем 2п~к, так как п — — 2?v + l — k + j
— k&j

+ l< 2Jt;, что верно при условии г = 2 J v ^ 3

<& либо j ^ 2, либо j = 0 и v > 3, либо j = 1 и г; ^ 2. Чтобы избежать противоречия, в этом случае второе слагаемое в (1), равное

2k~lq[a,g,g]

для некоторого нечетного #, должно иметь тот же порядок 2п~~к, что и первое слагаемое 2*[а,#], отсюда |2[а,#]| = |[а,#, как и утверждалось. (в) Можно предполагать, что д2 ф 1 и |[а, # 2 ]| > |<72|. Применяя утвер­ ждение (б) к # 2 , получаем |2[а,# 2 ]| = |[а,# 2 , # 2 ]|. Обозначим Ь = [а, # 2 ]; то­ гда [b,g2] = 2[6,flf] + [b,5,sf] и |Ь| > 2. Следовательно, |26| = \2[b,g] + [b,g,g]\. Это, однако, противоречит лемме 1, поскольку для случая |Ь| = 2й > 2, где ti ^ 2, имеем \2Ь\ = 211"1, в то время как |2[Ь,р]| ^ 2"~ 2 и |[Ь, #,#]| ^ 2й""2. • Л Е М М А 3, Предположим, что G ~ р-группа автоморфизмов обелевой р-группы A, a g — любой элемент из CG{A/PA),

Тогда \рпА,д] <

< рп+1А для любого натурального п. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по п: при п = О, это вер­ но, так как g € CG(A/PA);

далее [рпЛ, д] = р[рп~~1А,д] < ррпА = p n + 1 A . D

364

Б. Я. Хухро Интересного утверждения, двойственного к лемме 2, нам найти не

удалось; некоторые ее аналоги вплетены в доказательство теорем 1(6) и 2(6).

§ 2. Ограничение периода второго ядра ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1. (а) Условие теоремы 1(a) выполня­ ется для C G ( Q I ( A ) ) , а ее заключение относится только к этой подгруппе. Поэтому можно считать, что G = Со{$1\ (^4))- Для любого д £ G обозначим h = <7, если р ^ 2 , и & = <72, если р = 2. Пусть Л — линейное преобразование, индуцированное действием h на фактор-группе А/рА, рассматриваемой в качестве векторного пространства над Г р . Пусть рк — порядок преобра­ зования Я, т. е. к —- наименьшее натуральное число такое, что h? = 1 (где 1 обозначает тождественное преобразование); тогда ЬР е Поскольку Со{А/рА)

Сс(А/рА).

в

имеет период р , необходимо только оценить к*

Так как (Я - 1) р = I? - 1 = 0 над полем характеристики р, то все собственные числа преобразования К равны 1 € F p . Поэтому пространство А/рА имеет базис, в котором матрица h находится в жордановой форме. Степени жордановых клеток с 1 по диагонали легко подсчитываются: \

/1

1

1

(т) ••• ; (?)

1 \

N

(Т) (?) •••

(?)

1/ \

1 /

(здесь (rri) = 0 при j > га). Из соображений делимости на р биномиаль­ ных коэффициентов (см. доказательство леммы 2) вытекает, что порядок \h\ == рк определяется по максимальному размеру жордановой клетки v x v неравенствами pk~l < v ^ рк. Пусть a i , . . . , a v — фрагмент базы, соответствующий жордановой клетке размера v X г;, а a i , . . .,av — некоторые прообразы элементов а, в группе А. Тогда a,+i = —a, + о,-Я — образ коммутатора [a,*, h] в А/рА для

365

О р-грудлах автоморфизмов % = 1, 2, . . . , v - 1. Поэтому

[аь^^у^О.

(2)

С другой стороны, по лемме 2 имеем |[аь Л]| ^ |Л| ^ pfc+% a лемма 1 дает строгое неравенство |[ai, ft,. .. ,ftj[ < |[ai, ft,..., ftjl, если [ai, ft,.. .,ftj ^ ф 0. Значит, [ai, ft,.. ^ft] = 0. Сопоставляя это с (2), получаем требуемое неравенствоfc-fs + 1 ^ v > рк~1. Остается только заменить / = fc+s, и тогда видно, что период группы G не превосходит р*+€, где / удовлетворяет неравенству / ^ р / - * - 1 , а е = 0 при р ^ 2 и е = 1 при р = 2. (б) Условие теоремы 1(6) выполняется для Со{А/рА),

& ее заклю­

чение относится только к этой подгруппе; поэтому можно считать, что G =

CG(A/pA). Для любого д € G обозначим ft = д, если р ^ 2, и ft = # 2 , если

р = 2. Пусть ft — линейное преобразование, индуцированное действием ft на подгруппе Qi(A), рассматриваемой в качестве векторного простран­ ства над F p . Пусть рк -~ порядок преобразования ft, т. е. к — наименьшее натуральное число такое, что ft = 1 (где 1 обозначает тождественное к —_ преобразование); тогда ЬР € CG(&I{A)).

Поскольку CG{A/PA)

имеет пе­

риод р*, нам необходимо только оценить к. Как и при доказательстве теоремы 1(а), пространство fii(A) имеет базис, в котором матрица ft находится в жордановой форме, и порядок |ft| = рк определяется по максимальному размеру жордановой клетки v x v неравенствами pk~l < v ^ рк. Пусть с ц , . . . , ^ — фрагмент базы, соответствующий жордановой клетке размера vxv.

Тогда [at, ft] = - a , + a,-ft = a l + 1 для i = 1, 2, . . . , v — 1.

По лемме 3 получаем, в частности, что а„_! G pv~2A.

Тогда av-i =

pv~2bv„\

для какого-то bv-X 6 А и av = [a v _i,ft] = р"~2[Ь„_1,ft]. Выберем макси­ мальное га такое, что av = pw[b7ft] для некоторого б е А (и зафиксируем оо

указанный элемент 6). Это возможно в силу условия f] рхА = 0. Очевидно, что m ^ г; — 2 ^ р*""1 — 1.

366

Е. И. Хухро Так как hp

' = 1, имеем

О = [Ъ, ЛР*+'] =

(Р * ' ) [Ь, h] + (Р **) [Ь, Л, Л] + .. •

...+ ^ . + i ) [ b , v ^ + - - - .

(з)

г

Если к + s > т, то к + s ^ рк~1 и тогда порядок элемента ft не превос­ ходит pf, где / = к + s удовлетворяет неравенству / ^ p ^ ~ e _ 1 , т. е. тогда теорема 1(6) доказана. Остается получить противоречие при условии, что k + s ^ т . Домножим (3) н а р т " * ~ 5 и выразим первое слагаемое в правой части полученного равенства через остальные: av = рт[Ь, h) =

- р " - * - (***') [6, Л, Л] - • • •

• • • - /"-*-* ( P 7) в i^^£i + • • • • *

Те же оценки степеней р, делящих биномиальные коэффициенты, что бы­ ли проведены в доказательстве леммы 2, вместе с леммой 3 позволяют заключить, что при р ф 2 все элементы правой части (4) имеют вид p m + 1 [c, ft], с G А. (Например, первое слагаемое правой части (4) равно (рт(рк+8 - 1)/2)[[6, ft],ft], а по лемме 3 имеем [Ь, ft] = pw, гг G А; значит, первое слагаемое в (4) равно р т+1 [((р*+* - 1)/2)и, ft].) Тогда и вся пра­ вая часть (4) примет вид p w + 1 [c, ft], с G А. Это противоречит выбору га. При р = 2 те же оценки показывают, что все слагаемые правой части (4), начиная со второго, имеют вид 2 m + 1 [c, ft), с G А. На первый взгляд такого рода противоречия можно избежать, но только если первое слага­ емое правой части не лежит в 2 m+1 [A, ft], для чего должно выполняться [6, ft] G 2А \ 4А. Вспомним, однако, что при р = 2 мы положили ft = д2. Подставляя, получаем [6,ft]= [6, д2] = 2[Ь,д] + [6,#, у], а здесь правая часть лежит-таки в 4 А по лемме 3. Таким образом, и в случае р = 2 возникает противоречие выбору т . •

(4)

367

О р-груляах автоморфизмов § 3. Ограничение ступени нильпотентности

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 2. (а) Для упрощения обозначений будем считать, что G = CG(^\(A)).

Пусть сначала р ф 2. По лемме 2(a)

группа G действует тривиально на A/Qn(A).

По лемме 1 группа G так­

же действует тривиально на всех фактор-группах Qi+i(A)/Qi(A).

Значит,

группа G стабилизирует нормальный ряд А>Пп{А)

> •••>fti(A)>0

длины п + 1. По известной теореме Ф. Холла отсюда следует, что группа G нильпотентна ступени, не превосходящей п. В случае р = 2 по лемме 2(в) подгруппа G2 действует тривиально на A/Qn(A).

По лемме 1 группа G также действует тривиально на всех

фактор-группах Qi+i(A)/Qi(A).

Значит, подгруппа G2 стабилизирует нор­

мальный ряд А>Пп{А)>

•••>«!(А) > 0

длины п + 1. Отсюда подгруппа G2 нильпотентна ступени, не превосходя­ щей п. (б) Для упрощения обозначений будем считать, что G =

CG(A/PA).

2

Для любого д £ G обозначим h = #, если р ф 2, и h = д , если р = 2. Докажем, что h централизует рпА. Для любого a £ А, предположив, что £р п а, Л] ^ 0, выберем максимальное т , д л я которого [p n a, h] £ pm[A, h]. Это

возможно в силу условия П р*А = 0. Ясно, что m ^ п. Тогда [р"а,/i] = = p m [6, h] для какого-то 6 6 А. Так как &рП = 1, имеем

Выразим первое слагаемое в правой части полученного равенства через остальные:

\pna,h] = pm[b,h) = -( Р ^)[Ь,Л,Л]

( * 7 ) [ * , & ^ 1 -•••• (5) 1

Такие же, как и выше, оценки степеней р, делящих биномиальные ко­ эффициенты, вместе с леммой 3 позволяют заключить, что при р ф 2

368

Е. И. Хухро

все элементы правой части (5), а значит, и вся правая часть (5) име­ ют вид pm*1[c,h],

с € А. Это противоречит выбору т. При р = 2 те

же оценки показывают, что все слагаемые правой части (5), начиная со второго, имеют вид 2 т + 1 [с, Л], с £ А. Подставляя h = д2, получаем [b,h] = [b,g2] = 2[6,#] + [Ь><7,#] € 4Л по лемме 3, следовательно, и второе слагаемое лежит в рт+1[А,

Л]. Таким образом, и в случае р = 2 возникает

противоречие выбору т . Итак, группа G (или подгруппа G2 при р = 2) централизует подгруп­ пу рпА; кроме того, она тривиально действует на всех факторах р* А/р*+х А по лемме 3. Стабилизируя нормальный ряд А>рА>->

рпА > О

длины п + 1, группа G (или подгруппа G2) нильпотентна ступени ^ п по теореме Ф. Холла. •

§ 4 . Одно применение теорем 1, 2 В.К.Харченко поставил в [7] вопрос 2.117: пусть алгебра Ли L до­ пускает автоморфизм (р простого порядка р, все неподвижные точки кото­ рого центральны, т. е. [CL(
О р-группах автоморфизмов

369

2, переставляющий ее свободные порождающие, не имеет нетривиальных неподвижных точек.) Для всех р ^ 5 В.Д.Мазуров и Т.Л.Недорезов [1] построили примеры неразрешимых групп G, удовлетворяющих этим усло­ виям. При р = 2 они доказали, что G разрешима, причем 02,2',2( Тогда подгруппа [Т, <р] нильпотентна ступени ^ 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем максимальную абелеву нормальную подгруппу А в полупрямом произведении Т (<р). Тогда фактор-группа Т/А точно действует на А. Подгруппа В = {аа* \ а £ А} содержится в Ст{Ф) < %{Т)- На фактор-группе А/В действие автоморфизма <р сводится к взятию обратных элементов. Такой автоморфизм группы А/В переста­ новочен с любым другим автоморфизмом этой группы. Поэтому группа [Г, <р] действует на А/В тривиально. Кроме того, она централизует и J5. По лемме о трех коммутантах [[Г, у>], [Т, <р]] централизует А, а значит, и содержится в А. Теперь [ р > ] , [Г, <р], [ 2 > ] , [Г, ]] < [В, [ ? > ] ] = 1. • В силу леммы 4 следующую теорему, посвященную случаю, когда подгруппа [Г, <р\ абелева, можно считать первым шагом (из трех) на пути доказательства гипотезы об ограничении на ступень разрешимости груп­ пы Т. Т Е О Р Е М А 3. Предположим, что конечная 2-группа Т допускает автоморфизм (р порядка 2 такой, что Ст{<р) < Z(T) и подгруппа [Г, <р] а&елева. Тогда ступень разрешимости группы Т не превосходит 6.

370

Е. И. Хухро ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А = [Г, у]- Тогда для любого д е Т

имеем д* = д[д,ф\, где [<7,<£>] 6 А. Заметим также, что <р инвертирует все элементы из А; поэтому, в частности, £l\(A) < Z(T). Л Е М М А 5. Если [д, <р] £ А2 для g £ Т, то найдется элемент а £ А такой, что да £ Ст(<р) < Z(T)f поэтому д £

AZ(T).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку <р инвертирует все элементы из А, имеем А2 = [А, <р] и потому [д, ф] = [Ь, <р] для некоторого b £ А. Тогда

{дЪ-1У = д*(Ь-у = д[дМЬ-1[Ь-1М = дЬ-^ФМ'1

= 0*"1

(так как А абелева), следовательно, gb"1 £ Ст(<р)- • Теперь рассмотрим полупрямое произведение А<7, где (7 =

Т/Ст(А)

точно действует как группа автоморфизмов на А. Поскольку G

=

= C G ( ^ I ( A ) ) , для использования теорем 1(a) и 2(a), нам остается только ограничить период Со (А/А2).

Если элемент t £ Т действует тривиально

на Л / А 2 , то [t2,
По лемме 5, £2 6 AZ(T) < Ст(А), а значит, образ элемента t2 в G триви­ ален. Другими словами, Сс(А/А2)

-— группа периода 2. По теореме 1(a) 5

период группы G не превосходит 2 и, следовательно, ступень нильпотент­ ности группы G2 не превосходит 5 по теореме 2(a). В результате, ступень разрешимости группы G не превосходит 4. Остается оценить ступень разрешимости группы Ст(А). Как уже было сказано, Ст(А)2 < AZ(T), 2

ет тривиально на А/А .

поскольку Ст(А)) в частности, действу­

Поэтому ступень разрешимости группы Ст(А)

не превосходит 2. Суммируя, получаем, что ступень разрешимости груп­ пы Т не превосходит б. Более точно, Т обладает нормальным рядом AZ(T)

< Ст(А) < Ст(А)Т2 < Т, в котором первый фактор абелев, вто­

рой — периода 2, третий нильпотентен ступени 5, а четвертый — перио­ да 2. •

ЛИТЕРАТУРА 1. В, Д. Мазуров, Т. Л. Недорезов, О конечных группах, допускающих авто-

О р-груяпах

автоморфизмов

371

морфизм простого порядка, неподвижные точки которого центральны, Алеебра и логика, 35, N6 (1996), 699-708. 2. М. hazard, Groupes analytiques p-adiques, Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389-603. 3. A. Lubotzky, A. Mann, Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N 2 (1987), 484-505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506-515. 4. J. Buckley, Finite groups whose minimal subgroups are normal, Math. Z., 116, N 1 (1970), 15-17. 5. T. Weigel, Combinatorial properties of p-central groups, Freiburg Univ., 1996, preprint. 6. T. Weigel, p-Central groups and Poincare duality, Freiburg Univ., 1996, preprint. 7. Днестровская тетрадь. Нерешенные задачи теории колец, 4-е изд., Новоси­ бирск, Ин-т матем. СО РАН, 1993. 8. G. Higman, Groups and rings which have automorphisms without non-trivial fixed elements, J. Lond. Math. Soc, 32, N 3 (1957), 321-334. 9. А, И. Белое, Алгебры Ли, допускающие гиперцентрально регулярный авто­ морфизм, Матем. заметки, 52, N4 (1992), 15—18. 10. Нерешенные задачи теории групп. Коуровская тетрадь, 13-е изд., Новоси­ бирск, Ин-т матем. СО РАН, 1995.

Адрес автора: ХУХРО Евгений Иванович, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, просп. Акад. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: [email protected]

Поступило 5 октября 1998 г.