Равномерное распределение на стандартном симплексе в R^n


   
 


! "" # $%&' n R

( )*(),+-/.0-/132345-/. ∗ 687090:<;>=@?BAB=DCFEHGI?<70JHELKNM#OPHEQ70OPHER;TS07UC09VK<WXK YPB9ZGVA\[]EQ7FE0P_^`>a !b c/c/dHeVf3g/h0i jkHlnm3o3p3p"qHrtsusuvTrxw]q3p3yIrtlnwVs{z |u}Up3~ vRlnwV|u} Xln~UlnqHrxo3p3p qHrxy]~U|]vRlnq3~U|tX|€qHrtsn3qUl‚}Hl‚kHl‚ƒ ~3p3z~Hr„snw]rx~F}>rxq3w]~U|]vsnpUvBFkHlnmFsuly R … †ˆ‡'‰Š'‹"ŒŽ€Š ‘“’•”0–F—5–U˜<™<– ‘ šœ›$U—5–3žN™<Ÿ<0”0 L˜<™<–#ŸN L”0˜<0¡¢–UŸ<˜<0£Z¤Ÿ< Q¥F¦<Ÿ<–F—5–3žN–U˜<™T§ š ¨H©«ª­¬N®Z¯x°L±L²X³0²X´0²tµL¶L²µQ® C ©!©!©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!© ¨ ¨H©·¨¸¬N®Z¯x°L±L²X³0²X´0²tµL¶L²µQ® V ©!©€©!©!©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!© ¨ ¨H© ¹º¬N®Z¯x°L±L²X³0²X´0²tµL¶L²µQ® W ©€©!©!©!©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!©!© ¹ ¨H© »¼¬N®Z¯x°L±L²X³0²X´0²tµL¶L²µQ® S ©!©€©!©!©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!© » ¨H© »L©«ª ¬N®Z¯¾½V¿>À²xµL¶L²!Á R ©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!© » ¨H© »L©·¨ ¬N®Z¯x°L±L²X³0²X´0²tµL¶L²µQ® S ©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!©!©!©!©!©€©!©!©!©!©!©!©  ÃÅÄƦ<Ÿ< >Ǥ˜<–U˜<™T§ È É ÊÌË Š\‰Š'Š Í ±L¶_±L²¾Î•²xµL¶L¶@ÏеLÑFÒx¶HÓ¤Ô]®V³Õ®]Ö_ÑF°>½F¶LÏж>Ô]®Z×L¶L¶BØÐÁ#ÖQ®Z¯¾½FµLÑF¯¾½F¶RØЯxÁZ¿>Ô]®ZµLµLÙÓ_¯ÆڀÑZ±LÏÛ¶L±LÑZÁ3®ZµL¶HÜ ²xÏD°LÑF±>½Fڀ²X´Q¿BØ/Ïв¾½FÑt³0ÑFÏÞÝÑFµ>½F²!ßà€®Z±H´0ÑLØ0ÁFÑZÔtµL¶LáH®Z²¾½ÆµL²xÑFâtÓUÑt³0¶LÏÐÑF¯¾½FãÆÁ8ÁFÑF¯x°L±LÑF¶>ÔtÁF²X³0²xµL¶L¶ ±Q®ZÁFµLÑFÏвx±LµLÑFÒxÑ ±Q®Z¯x°L±L²X³0²X´0²xµL¶L¿µQ®¯¾½Z®ZµH³Õ®Z±>½FµLÑFÏä¯x¶LÏаH´0²xáU¯x²Á R å æ ªVç S = {y = (y , ..., y ) ∈ R | y , ..., y ≥ 0, y + ... + y = 1}. è áH®]ÖL²x¯¾½FÁF²°L±L¶LÏвx±Q®8±Q®Z¯x¯¾ÏÛÑI½F±L¶LÏD¯X´0²X³QéHêë•éHêìÔ]®V³Õ®]Ö>éF© Í éF¯¾½Fã (X , ..., X ) ß&¯X´QéHÖQ®ZíLµLÙ'í ÁF²xá>½FÑF±BØ0áHÑFÏаLÑFµL²xµ>½FÙ áHÑZ½FÑF±LÑFÒxÑ ÑF°L¶L¯xÙ'Á3®Zê½"³0Ñ]Ó3Ñt³0µLÑF¯¾½F¶µL²xáUÑZ½FÑF±LÙÓڀ¶LµQ®ZµL¯xÑFÁFÙÓÑF°L²x±Q®VÜ ×L¶Lí&°L±L¶8ÁI´0Ñ]À²xµL¶L¶8ÁµL¶HÓ ²X³0¶LµL¶LÖLµLÑFÒxѕá>®Z°L¶>½I®V´Õ®>©Hî<ÑFÒn³Õ®€°L±L¶8±Q®Z¯x°L±L²X³0²X´0²xµQ¶L¶Æ²X³0¶LµL¶LÖLµLÑFÒxÑ á>®Z°L¶>½I®V´Õ®€Ïв¾À"³Qé•ï¾½F¶LÏж ÑF°L²x±Q®Z×L¶>¿LÏж"âZé]³0²¾½!°LÑI´QéHÖL²xµQ®„³0ÑtÓUÑt³0µLÑF¯¾½Fã X = y X + ... + y X Ø ð5ñIòôóXõVóXötó•÷¾øRùVõIòûúIõVóXüôúIý¾ñVþ¾ÿ{
þ LþVüôúIõ Vþ¾÷ XñV õ 

¾òôñVþ I!ò "#$%&I'ü Lÿ{þ Vþ Iþ "(!) *,+- .0/+12&34-65!*87 9%:;+<=1"7 :=> tó 7@? ABCDFEAGHC n

n−1

I

n

n−1

n

n

n

1

n

n

1

n

1

n

1

n

1

∗

1

n

n

¨



 



nÒ ³0² y ß³0ÑI´Q¿ áH®Z°L¶>½Z®V´Õ®>ØTÁI´0ÑVÀ²xµLµQ®I¿Á i ß#ê ÑF°L²x±Q®Z×L¶LêØ i = 1, ..., n ©Tî¶L°L¶LÖLµQ®I¿Ô]®V³Õ®]ÖQ® ڀÑF±LÏжL±LÑFÁ3®ZµL¶>¿°LÑF±>½FÚ¢²X´Q¿¶LÏвx²¾½8ÁF¶H³ f (y , ..., y ) = H(X) → max ( min ); æ ¨Fç °L±L¶ÑFÒx±Q®ZµL¶LÖL²xµL¶>¿HÓ ¹3ç æ y , ..., y ≥ 0; y + ... + y = 1, Òn³0² H ß8µL²xáHÑZ½FÑF±Q®V¿Ïвx±Q®"±L¶L¯xáH®>©  ¶>À²•ÑF°L¶L¯t®ZµÑt³0¶Lµïxڀڀ²xá>½F¶LÁFµLÙ'íÏв¾½FÑ]³ °LÑI´QéHÖL²xµL¶>¿±Q®ZÁFµLÑFÏвx±LµLÑFÒxѱQ®Z¯x°L±L²X³0²X´0²xµL¶>¿ µQ®¯¾½I®ZµH³Õ®Z±>½FµLÑFÏ̯x¶LÏаH´0²xáU¯x² S © €´Q¿¤³Õ®V´0ãFµL²xí>Ε²¾ÒxÑ ÑFâZÑZÔtµQ®VÖL¶LÏ e = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) Ø ²X³0¶LµL¶LÖLµLÙ'²!ÑF±>½FÙ Á R Ø Co(A) ß8ÁFÙ'°>éHáH´QéHêˆÑFâFÑI´0ÑFÖLá>éÆÏеLÑ]À"²x¯¾½FÁ3® A ⊆ R Ø i = 1, ..., n J = (1, 1, ..., 1) ∈ R . æ »Uç     ‡‰Š ‹‡ Ë €Š‹ Ë ‡ ފ'‹‡ \‡‹ ‹Š\‰Š Š' ¬5®Z¯x¯xÏÛ®I½F±L¶LÁ3®Z²xÏÐÙ'í•Ïв¾½FÑt³Ô]®ZáH´0ê ÖQ®Z²¾½F¯n¿•Á°L±L²xÑFâF±Q®IÔtÑFÁ3®ZµL¶L¶±Q®ZÁFµLÑFÏвx±LµLÑFÒxÑ ±Q®Z¯x°L±L²X³0²X´0²xµL¶>¿ µQ®•²X³0¶LµL¶LÖLµLÑFÏ_Òx¶L°L²x±Lá>éHâF²€Á½F±L²xâZéF²xÏÐÑF²€±Q®Z¯x°L±L²X³0²X´0²xµL¶L²F© „°L¶>Ε²xÏ@ï¾½FÑ°L±L²xÑFâF±Q®IÔtÑFÁ3®ZµL¶L²„°LÑ Î®ZÒ¾®ZÏ'"© !ÛÓ3²xÏÛ® °LÑF¯u´0²X³0ÑFÁ3®I½F²X´0ãFµLÑF¯¾½3¶°L±L²xÑFâF±Q®IÔxÑFÁ3®ZµL¶Lí¶LÏÛ²¾²¾½&ÁF¶H³ ÂFç C −→ V −→ W −→ Y −→ S , æ U → T → R → Z → Q Òn³0² ÁÁF²x±FÓ>µL²xí ¯¾½F±LÑFáU²8°L²x±L²xÖL¶L¯X´0²xµQÙ ÏеLÑ]À"²x¯¾½FÁ3®>ØRµQ®áUÑZ½FÑF±LÙÓ °LÑF¯X´0²X³0ÑFÁ3®I½F²u´0ãFµLÑÔ]®V³Õ®Z²¾½IÜ ¯u¿ ±Q®ZÁFµLÑFÏвx±LµLÑF²&±Q®Z¯x°L±L²X³0²X´0²xµL¶L²¶ éHáH®IÔtÙ'Á3®Zê½F¯u¿_°L±L²xÑZâF±Q®IÔtÑFÁ3®ZµL¶>¿¤Ñt³0µLÑFÒxÑÏеLÑ]À"²x¯¾½FÁ3®Á ³0±>éHÒxÑF²ZØN®ÆÁµL¶>À8µL²xí¯¾½F±LÑFáH² °L±L¶LÁF²X³0²xµLÙ ¯X´QéHÖQ®ZíLµLÙ'²8ÁF²X´0¶LÖL¶LµLÙ¢Ø<¶LÏвxê땶L² ±Q®ZÁFµLÑFÏвx±LµLÑF² ±Q®Z¯x°L±L²X³0²X´0²xµQ¶L²µQ®¯xÑFÑZ½FÁF²¾½F¯¾½3ÁZéHêë¶HÓÏеLÑ]À²x¯¾½FÁ3®VÓ/© i

1

n

1

(y1 ,...,yn )

1

n

(y1 ,...,yn )

n

n

i

n

n

n

G

F

n−1

#%$'&

M

P

I

(*),+"-/.10"23045076/810961)

n

Cn−1

„âFÑZÔtµQ®VÖL¶LÏ ²X³0¶LµL¶LÖLµLÙ'íÆÒx¶L°L²x±Lá>éHâ"Á ©>¬N®ZÁFµLÑFÏвx±LµLÑF² ±Q®Z¯x°L±L²X³0²X´0²xµL¶Q² µQ® C °LÑI´QCéHÖQ®Z²¾½F=¯u¿[0,ÑFâF1]Ù'ÖLµLÙ'Ï ¯x°LÑF¯xÑFâFÑFÏ áH®ZáÁF²xá>½FÑZ± R U = (U , ..., U ) ;æ : ç ¯µL²¾Ô]®ZÁF¶L¯x¶LÏÐÙ'ÏжáUÑFÏаLÑFµL²xµ>½Z®ZÏжBØ/áH®IÀ"³Õ®I¿¶>ԕáUÑZ½FÑF±LÙÓ#¶LÏвx²¾½Æ±Q®ZÁFµLÑFÏвx±LµLÑF²±Q®Z¯x°L±L²X³0²X´0²XÜ µL¶L²!µQ®ÑZ½F±L²¾ÔtáU² [0, 1] © n−1

n−1

n−1

n−1

1

#%$<#

(*),+"-/.10"23045076/810961)

n−1

VI

Í é3¯¾½Fã Π ß¯xÑFÁFÑFá>éH°LµLÑF¯¾½FãÁF¯x²xÁFÑZÔtÏÐÑ]À8µLÙÓ°L²x±L²x¯¾½I®ZµLÑFÁFÑFá π = (i , ..., i ) µQ®ÆÏеLÑVÀ²x¯¾½FÁF² Ø\¶ I = (1, 2, ..., n − 1) ß ½FÑ]À"³0²x¯¾½FÁF²xµLµQ®I¿D°L²x±L²x¯¾½Z®ZµLÑFÁFáH®>©,€´Q¿ °L²x±L²x¯¾½Z®VÜ {1, 2, ..., n − 1} µLÑFÁFáL¶ π = (i , ..., i ) ∈ Π ÑFâFÑZÔtµQ®]ÖL¶LÏ V ¯xÑFÁFÑFá>éH°LµLÑF¯¾½Fã½FÑFÖL²xá y = (y , ..., y ) ∈ C Ø ÑFâI´Õ®V³Õ®Zê땶HÓ¯xÁFÑFíL¯¾½FÁFÑFÏ y < y < ... < y Ø0® V ß8²xÒxÑ"Ô]®ZÏÐÙ'á>®ZµL¶L² 1

1

n−1

1

π

i1

i2

in−1

n−1

π

V π = {y = (y1 , ..., yn−1 )|yi1 ≤ ... ≤ yin−1 )}.

è ÖQ®Z¯¾½FµLÑF¯¾½F¶BØQ³L´Q¿½FÑ]À"³0²x¯¾½FÁF²xµLµLÑFí°L²x±L²x¯¾½Z®ZµLÑFÁFáL¶ I ¶LÏвx²xÏ

VI = {y = (y1 , ..., yn−1 )| y1 < ... < yn−1 }.

n−1


 "  " 
     " 
  

¹



\Ô ¯xÑFÑFâF±Q®IÀ²xµL¶L퀯x¶LÏÐÏв¾½F±L¶Q¶!¿L¯xµLÑLØ]Ö>½FÑÑFâI´Õ®Z¯¾½F¶ V , π ∈ Π áHÑFµLÒx±>éHïxµ>½FµLـØV¯X´0²X³0ÑFÁ3®I½F²X´0ãFµLÑLØ ¶LÏвx꽕Ñ]³0¶LµQ®ZáUÑFÁFÙ'í (n − 1) ßÏвx±LµLÙ'í&ÑFâT²xÏ'Ø3±Q®ZÁFµLÙ'í 1/(n − 1)! ©Uî5®ZáL¶LÏ ÑFâF±Q®IÔtÑFÏ'ØUÑFâT²xÏ Ú€¶LÒ¾éH±LÙ 

π

V =

X

Vπ

Q± ®ZÁF²xµ ªZØQ¶ÁF²xá>½FÑF± U ¯€ÁF²x±LÑ]¿>½FµLÑF¯¾½FãFê ª„´0²¾À8¶>½8Á V ©" ½FÏв¾½F¶LÏ'ØÕÖ>½FÑ C \ V ¯xÑF¯¾½FÑF¶>½&¶>Ô ½FÑFÖL²xáBØ0¶LÏвxê땶HÓÓ3ÑZ½]¿âZÙ ³0ÁF²€¯xÑFÁF°Q®V³Õ®Zê땶L²!áUÑFÑF±F³0¶LµQ®I½FÙ¢Ø0¶ S V = C © „âFÑZÔtµQ®]ÖL¶LÏ G : C → V ÑZ½FÑFâF±Q®IÀ²xµL¶L²ÆéH°LÑF±3¿H³0ÑFÖL²xµL¶>¿ áUÑFÑF±F³0¶LµQ®I½ ÁF²xá>½FÑF±Q® y ∈ °LÑ&ÁFÑZÔt±Q®Z¯¾½I®ZµL¶Lê"© €´Q¿#ڀ¶LáU¯x¶L±LÑFÁ3®ZµLµLÑFí#°L²x±L²x¯¾½I®ZµLÑFÁFáL¶ ¯¾éUÀ²xµL¶L²ï¾½FÑFÒxÑÆÑZ½FÑFâIÜ C ±Q®IÀ"²xµL¶>¿ G : V → V µQ® V ¿LÁI´Q¿L²¾½F¯n¿BØ>ÑFÖL²xÁF¶H³0µLÑLØ>ÁZÔ]®Z¶LÏеLÑIßUπÑt³0∈µLΠÑZÔtµQ®]ÖLµLÙ'Ï_¶&¯xÑ]Ó>±Q®Zµ>¿LêÜ ë•¶LÏäÑFâ T²xÏ'© Í ÑFï¾½FÑFÏ5é ç T = G(U ) æ  ¶LÏвx²¾½&±Q®ZÁZµLÑFÏвx±LµLÑF²!±Q®Z¯x°L±L²u³0²X´0²tµL¶L²µQ® V ØL°L±L¶LÖL²xÏ T ∈ V ¯€ÁF²x±LÑ]¿>½FµLÑF¯¾½FãFê ªF© π∈Π

n−1

π∈Π

n−1

π

n−1

I

n−1

π

π

I

π

I

#%$

(*),+"-/.10"23045076/810961)

„âFÑZÔtµQ®VÖL¶LÏ

I

W

W = {y ∈ Rn−1 | y1 ≥ 0, ..., yn−1 ≥ 0,

n−1 X i=1

yi ≤ 1} = Co{0, e1 , ..., en−1 }

¶¤±Q®Z¯x¯xÏÐÑZ½F±L¶LÏ ÑZ½FÑFâF±Q®IÀ²xµL¶L² F : V → W Ø<¯¾½I®ZÁZ¿>땲x²&½FÑFÖLáU² ¯xÑFÑZ½FÁF²¾½F¯¾½3ÁF¶L²!½FÑFÖLá>é y = (y , ..., y ) °LÑ"°L±Q®ZÁF¶H´Qé I

0



¯xµLÑLØQÖ>½FÑ

0 1

0 yn−1

y 0 = Ay

y = (y1 , ..., yn−1

0 n−1

æ ç Á ) ∈ V I

y10 = y1 , y20 = y2 − y1 , ... = yn−1 − yn−2 .

ØQ҂³0²€ÏÛ®I½F±L¶L×Q® A ¶LÏвx²¾½8ÁF¶H³ 

   A=   

1 0 0 ... −1 1 0 ... 0 −1 1 ... ... ... ... ... 0 0 ... −1

0 0 0 ... 1



   .   

L¿ ÁI´Q¿L²¾½F¯n¿#µL²xÁFÙ'±LÑ]À"³0²xµLµLÙ'ÏD´0¶LµL²xíLµLÙ'Ï ÁZÔ]®Z¶LÏеLÑIßUÑt³0µLÑZÔtµQ®VÖLµLÙ'Ï ZÑ ½FÑFâF±Q®IÀ²xµL¶L²xÏDµQ® W Ø °L±L¶LÖL²xÏ |A| = 1 Ø'°LÑFï¾½FÑFÏ5éڀ¶LÒ¾éH±LÙ Ñ]³0¶LµQ®ZáUÑFÁFÑFÒxÑ@ÑFâT²xÏÛ®¤Á V °Lx² ±L²xÁFÑt³0¶>½DÁ_ڀ¶LÒ¾éH±LÙ Ñ]³0¶LµQ®ZáUÑFÁFÑFÒxÑ"ÑFâT²xÏÛ®Á W ©  ½F¯xê³Õ®"ÁFÙ½F²xáH®Z²¾½IØ0Ö>½FÑ R = F (T ) æ ç ¶LÏвx²¾½&±Q®ZÁZµLÑFÏвx±LµLÑF²!±Q®Z¯x°L±L²u³0²X´0²tµL¶L²µQ® W ©

F

I

»



 

 #%$

(*),+"-/.10"23045076/810961)




€´Q¿

y = (y1 , ..., yn−1 ) ∈ W

Sn

°LÑF¯¾½F±LÑF¶LÏ ½FÑFÖLá>é

y 0 = (y10 , ..., yn0 ) ∈ Rn

°LÑ °L±Q®ZÁF¶H´Qé

y10 = y1 , ..., 0 yn−1 = yn−1 , 0 yn = 1 − y1 − ... − yn−1 .

 ¯xµLÑLØLÖ>½FÑ ÑZ½FÑFâF±Q®IÀ²xµL¶L² ¿LÁI´Q¿L²¾½F¯n¿ÑZ½FÑFâF±Q®IÀ²xµL¶L²xÏ µQ® © ¢´Q¿&³0ÑFáH®IÔ]®I½F²X´0ãIÜ ¯¾½FÁ3®#´0¶LµL²xíLµLÑF¯¾½F¶äï¾½FÑFÒxÑ ÑZy½FÑF=âF±QE(y) ®IÀ²xµL¶>¿@°L±L²X³0¯¾½I®ZÁF¶LÏ ²xÒxÑÁÁF¶HW³0²áUÑFÏÐS°LÑZÔt¶L×L¶L¶_´0¶LµL²xíLµLÑFÒxÑ ±Q®Z¯¾½V¿>À²xµL¶>¿Á R ¶&³0ÁF¶>À"²xµL¶>¿Á R © š ‘ „ Q¥ F§RÇ–U˜<™<–” R Í ±L²xÑFâF±Q®IÔxé3²¾Ï W Áڀ¶LÒ¾éH±>é Y ⊂ R ØBáHÑFµLÒ¾±>éHïxµ>½3µ>é>ê S ØB¯X´0²X³QéHê땶LÏ ÑFâF±Q®IÔtÑFÏ'© B®ZÏвXÜ ½F¶LÏ'Ø<Ö>½FѲX³0¶LµL¶LÖLµLÙ'²&ÑF±>½FÙ e ´0²¾À ®I½Æ³0±>éHÒ ÑZ½³0±>éHÒX®µQ®Ñt³0¶LµQ®ZáUÑFÁFÑFÏÞ±Q®Z¯x¯¾½FÑ]¿LµL¶L¶ √2 ØT¶ µQ®ZíH³0²xÏÞ½FÑFÖLá>é A ∈ R ØRµQ®VÓ3Ñt³Q¿>ëéHê ¯u¿ µQ®Æ½Z®ZáUÑFÏÀ"²±Q®Z¯x¯¾½FÑ]¿LµL¶L¶ ÑZ½ÁF¯x²XÓ²X³0¶LµL¶LÖLµLÙÓ ÑF±>½FÑFÁ R ØL¶Æ´0²¾À"®IëéHꈰLѽZéÆÀ²¢¯¾½FÑF±LÑFµ>éÑZ½ °H´0ÑF¯xáHÑF¯¾½F¶ X æ ª 3ç y = 1, Ö>½FѶ#µQ®]ÖQ®V´0ÑÆáUÑFÑF±F³0¶LµQ®I½V©  Ô¯xÑFÑFâF±Q®IÀ²xµL¶Lí#¯x¶LÏÐÏв¾½F±L¶L¶¿L¯xµLÑLØ/Ö>½FÑï¾½I®&½FÑFÖLáH®&¶LÏвx²¾½ÁF¶H³ ØÕ°L±L¶LÖL²xÏ a < 0 © è Ù'ÖL¶L¯X´Q¿>¿#áLÁ3®V³0±Q®I½Æ²xÁFáH´0¶H³0ÑFÁ3®&±Q®Z¯x¯¾½FÑ]¿LµL¶>¿ÑZ½ A ³0Ñ e Ø A = (a, a, ..., a) °LÑI´QéHÖQ®Z²xÏ |A − e | = 2 ØQÖ>½FÑ °L±L¶LÁFÑt³0¶>½8áéH±Q®IÁFµL²xµL¶Lê 0

n

n−1





n



n−1



n−1

n

i

n−1

n−1

n−1



i

i=1

1

1

2

(n − 1)a2 − 2a − 1 = 0,

áHÑZ½FÑF±LÑF²€¶LÏвx²¾½8²X³0¶LµL¯¾½FÁF²xµLµQÙ'íÑZ½F±L¶L×Q®I½F²X´0ãFµLÙ'íáUÑF±L²xµLã √ 1− n a= . n−1

Í ±Q®ZÁF¶H´0ãFµLÙ'íäÏеLÑFÒxÑFÒx±Q®ZµLµL¶Lá Co{A, e , ..., e } °L±L²u³0¯¾½Z®ZÁI´Q¿L²¾½¤¯xÑFâFÑFí ¶L¯xáUÑFÏ5éHê ڀ¶LÒ¾éH±>é Ø0áUÑFµLÒx±>éHïxµ>½3µ>éHê S ©  ½FÏв¾½F¶LÏ'Ø/Ö>½FÑ8½FÑFÖLáH® A = (a, ..., a) ´0²¾À8¶>½&ÑZ½ C ßÆ×L²xµ>½F±Q® S = Y ß8µQ®"±Q®Z¯x¯¾½FÑ]¿LµL¶L¶Á √ ±Q®IÔ]®âFÑI´0ãZΕ²xÏ'ØQÖL²xÏäµQ®]ÖQ®V´0Ñ"áUÑFÑF±3³0¶LµQ®I½V© Co{e , ..., e } Í ÑF¯¾½F±LÑF¶LÏ#½F²x°L²x±Lã M å ®Zڀڀ¶LµLµLÑF²β°L=±L²xÑFâFn±Q®IÔtÑFÁ3®ZµL¶L² W µQ® Y © €´Q¿•°L±LÑF¶>ÔtÁFÑI´0ãFµLÑF핽FÑFÖLáL¶ ÁFÙ'ÖL¶L¯X´0¶LÏ ¯xµQ®]ÖQ®V´Õ® âI´0¶>À ®Zí>ÎéHêìáµL²xí½FÑFÖLá>é ye ¯x¶LÏаH´0²xáH¯t® S Ø y = (y , ..., y ) ∈ W Ô]®I½F²xÏ@Á•áH®]ÖL²x¯¾½FÁF²¢ÑFâF±Q®IÔ]® ÁFÙ'âF²x±L²xϤ½FÑFÖLá>é Ø3´0²¾À"®IëéHê µQ®°L±U¿LÏÐÑFíBØH°L±LÑIÜ ÓUÑt³Q¿>땲xí"ÖL²x±L²¾Ô y, yeØZµQ® ±Q®Zy¯x¯¾½FÑV¿LµL¶L¶"ÑZ½ ye Á β z±Q®V=Ô'yeâFÑI+´0β(y ãZΕ²x−Ï'ØFyeÖL)²xÏ y ©  ¯xµLÑLØZÖ>½FÑ¢°LÑF¯¾½F±LÑF²xµLµLÑF² °L±L²xÑFâF±Q®IÔtÑFÁ3®ZµL¶L²¢¿LÁI´Q¿L²¾½F¯u¿®Zڀڀ¶LµLµLÙ'Ï æ ¯xÏ'©LéH°L±Q®IÀ8µL²xµL¶L²¹>©«ªVçÑZ½FÑFâF±Q®IÀ²xµL¶L²xÏ W µQ® Y © îNÑFÖLáH® ye ÁFÙ'ÖL¶L¯X´Q¿L²¾½F¯u¿•¯X´0²X³QéHê땶LÏ#ÑFâF±Q®IÔtÑFÏ å ¿L¯xµLÑLØ]Ö>½FÑ ÑFµQ®'ÏÐÑVÀ²¾½âFÙ½Fã °L±L²X³0¯¾½I®ZÁI´0²xµQ® Á¢ÁF¶H³0² ye = y +α J ØZ҂³0²'ÁF²xá>½FÑF± J Ô]®V³Õ®Zµ"Á æ »UçXØZ®„°LÑF¯¾½FÑ]¿LµLµQ®I¿ α ÑF°L±L²X³0²X´Q¿L²¾½F¯u¿"¶>Ô'éF¯X´0ÑFÁF¶>¿ µLÑF±LÏжL±LÑFÁFáL¶ æ ¯¾éHÏÐÏÛ®"áHÑFÑF±F³0¶LµQ®I½ ye ±Q®ZÁFµQ®ÆªVç å 1

n−1

n

1

n−1

n−1

1

n−1

n−1

y

Í ±L²xÑFâF±Q®IÔtÑFÁ3®ZµL¶L²

y

P

1 − n−1 i=1 yi αy = . n−1

M

°L±LÑF¶H´L´0ê ¯¾½F±Q¶L±LÑFÁ3®ZµLÑ8±L¶L¯¾éHµLáUÑFÏ ªF©


 "  " 
     " 
  

Â



ª W C

ª

a

A

a

Y

¬Ð¶L¯Z©Tª å Í ±L²xÑFâF±Q®IÔtÑFÁ3®ZµL¶L²

W

Á

Y

5î ®ZáL¶LÏ@ÑFâF±Q®IÔtÑFÏ'Ø M (y) = y − (β − 1)α J, æ ªFªVç ¶¯X´QéHÖQ®ZíLµQ®I¿ÁF²X´0¶LÖL¶LµQ® æ ªV¨Fç Z = M (R) ¶LÏвx²¾½&±Q®ZÁZµLÑFÏвx±LµLÑF²!±Q®Z¯x°L±L²u³0²X´0²tµL¶L²µQ® Y © š ,š „ Q¥F¦<Ÿ<–F—5–3žN–U˜<™<–#˜<  S Í ÑF¯X´0²X³0µL¶LÏήZÒxÑFÏ#°L±L²xÑFâF±Q®IÔtÑFÁ3®ZµL¶>¿!¿LÁI´Q¿L²¾½F¯n¿•°LÑFÁFÑF±LÑZ½ P ڀ¶LÒ¾éH±LÙ Y Á R ØVÑF¯¾½I®ZÁI´Q¿Lê땶Lí µQ®Ïвx¯¾½F² S Øж@°L²x±L²xÁFÑ]³Q¿>땶Lí@½FÑFÖLá>é A Á e å P (Y ) = S , P (S ) = S , P (A) = 7© ÑFá>®IÔ]®I½F²X´0ãZ¯¾½FÁFѯ¾éU땲x¯¾½3ÁFÑFÁF®ZµL¶>¿¤½I®ZáUÑFÒxÑ°LÑFÁFÑF±LÑZ½Z®°L±L²X³0ÑF¯¾½Z®IÁI´Q¿L²¾½3¯u¿¤ÖL¶>½Z®V½F²¾´0ê ¯xÏ'© e éH°L±Q®IÀ8µL²xµL¶L²¹>©·¨FçX© Í ÑF¯xáUÑI´0ãFá>é P ¯xÑtÓ>±Q®Zµ>¿L²¾½ (n − 1)ßUÏвx±LµLÙ'íÑFâ T²xÏ'ØL¯X´QéHÖQ®ZíLµLÙ'íÁF²xá>½Fæ ÑF± Q = P (Z) æ ª]¹3ç ¶LÏвx²¾½&±Q®ZÁZµLÑFÏвx±LµLÑF²!±Q®Z¯x°L±L²u³0²X´0²tµL¶L²µQ® S © Í ÑF¯X´0²X³0ÑFÁ3®I½F²u´0ãFµLÑF¯¾½3㕰L±L²xÑFâF±Q®IÔtÑFÁ3®ZµL¶Lí8ÑZ½ ³0Ñ °LÑFá>®IÔ]®ZµQ®€µQ®€±L¶L¯¾éHµLáH²¢¨ ³L´Q¿ ¶3 ÁFÙ'âFÑF±LáL¶¶>Ô&¨ &½FÑFÖL²xáB© !°H´0ÑZΕµLÙ'Ïж áL±>éHÒXC®ZÏж °L±L²XY³0¯¾½I®ZÁI´0²xµQÙì½FÑFÖLáL¶BØTáUÑZ½FÑF±LÙ'² âFÙn´0=¶ °L²x±L²xÏв¾ë•²tµLÙ°L±L¶8éH°LÑF±3¿H³0ÑFÖL²xµL¶L¶B©  ®!±L¶L¯¾éHµLáH²¢¹!°L±L¶LÁF²X³0²xµLÙ±L²¾Ôxét´0ã]½Z®I½FÙÏÐÑ]³0²X´0¶L±LÑZÁ3®ZµL¶>¿  •½FÑFÖL²xá°L±L¶ n = 3 Á"°L±LÑF²xáL×L¶L¶µQ®°H´0ÑF¯xáUÑF¯¾½FãL© y





n

n

n−1

n

n

n−1

n−1

n

n

n−1



 

C2

VI

W

¬Ð¶L¯Z©/¨ å Í ÑF¯X´0²X³0ÑFÁ3®I½F²X´0ãFµLÑF¯¾½Fã&°L±L²¾ÑFâF±Q®IÔtÑFÁ3®ZµL¶Lí

Y



 

 :

¬Ð¶L¯Z©0¹ å ÑI´0ãZήI¿ÁFÙ'âFÑF±LáH®

 ‹¢Œ Š' ÄƦ<Ÿ< >Ǥ˜<–U˜<™<–à ‘    !"#$%  & (' M )*!+,(+ -!+/.0'& 13245 6! 72829 6:1 B ;& 0<% c 0  (=(>@?(0 M (y) = By + c + ÄƦ<Ÿ< >Ǥ˜<–U˜<™<–à ,šBAC17 D'& C!"#$%  & EF &<! G)C!+),(+ -!+H,G 6! I2 29 6:1 B ;& 0<% c   (=)>J?(0 P (y) = By + c +






†  ‡LK M„Š'‹NM6O8‹P Q "ª RSUTHVWEXYXJWZB© A[&\ ]&*0"<^_&`!' 0abc"]%d!feg(' © ‘h,š ØBÝ© å ݶL±BØ ª  »L© Q ¨ RLikjYlnmopTCq "<('c&`!'0a ©/Ý© å  Ô¾³LÜûÁFÑ"¶LµLÑF¯¾½F±B©L´0¶>½F²x±B©«ØTª : ¨H©