Численные методы . Выпуск V. Уравнения в частных производных. Методические указания к выполнению индивидуальных заданий на ЭВМ для студентов 2 курса физического факультета

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

С.С.Михалкович, А.В.Олифер, А.М.Столяр

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Выпуск V Уравнения в частных производных Методические указания к выполнению индивидуальных заданий на ЭВМ для студентов 2 курса физического факультета

Ростов-на-Дону 2000

Печатается по решению кафедры алгебры и дискретной математики механико-математического факультета РГУ от 10 декабря 1999 года, протокол №4.

АННОТАЦИЯ Методические указания содержат условия индивидуальных заданий и необходимый для их выполнения теоретический материал по теме “Уравнения в частных производных” курса “Численные методы”. Даны рекомендации по реализации заданий на персональном компьютере. Указания предназначены для студентов 2 курса физического факультета. Авторы: С.С.Михалкович, А.В.Олифер, А.М.Столяр.

3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Уравнения гиперболического и параболического типов, которые рассматриваются в настоящих методических указаниях, встречаются в огромном числе физических приложений. Одним из эффективных численных подходов к их решению является применение метода конечных разностей (МКР). Сущность этого универсального метода состоит в том, что за искомый набор чисел принимается таблица значений решения в точках некоторого множества, называемого сеткой. Для определения этой таблицы решаются алгебраические уравнения, приближенно заменяющие исходные дифференциальные. Целью настоящей работы является освоение техники решения уравнений гиперболического и параболического типов при помощи явной и неявной схем МКР. 1. Начально-краевые задачи для уравнения гиперболического типа (волнового уравнения) 1.1. Задание. Найти численное решение задачи вида

u tt = g 2 ( x, t ) u xx + f ( x, t ),

x ∈ (0,1), t ∈ (0, T )

(1)

p 0 u (0, t ) + p1 u x (0, t ) = A(t )

(2)

u ( x,0) = σ 1 ( x); u t ( x,0) = σ 2 ( x)

(3)

s 0 u (1, t ) + s1 u x (1, t ) = B(t )

1) при помощи явной схемы МКР; 2) при помощи неявной схемы МКР. Найти решение с точностью до 0.0001 на отрезке времени T = 2 / g * , где g * = max g ( x, t ). При использовании явной схемы x ,t

предварительно определить условие ее устойчивости. При помощи средств пакета Maple построить графики функций u(x*,t), u(x,jt*), где x* =0.6, t* = T/4, j=1,2,3. Сравнить результаты, полученные по явной и по неявной схемам МКР. Проверить правильность работы программы на тестовом примере

u tt = g 2 u xx , u x (0, t ) = 0, u x (1, t ) = 0 u ( x,0) = ε 0 / 2 − ε 0 x,

u t ( x,0) = 0

( 4)

4

Точным решением задачи является ряд

u=

4ε 0

π2

∞

∑ (2k − 1) 1

2

cos((2k − 1) πx ) cos((2k − 1)πgt ) (5)

k =1

Расчет провести при следующих значениях параметров: g=const=1; ε0=0.02. Рекомендуемая литература: /1/,§§21,22,25,26; /2/, Ч.1, §4; Ч.3, гл.1. 1.2. Идея МКР Для решения задачи при помощи МКР стремятся построить такие разностные схемы, которые бы обеспечивали сходимость получаемого решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной при измельчении сетки. В /1/ доказана теорема о том, “что если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную задачу и устойчива, то при измельчении сетки решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной”. Из этого следует, что для получения нужной схемы необходимо строить аппроксимирующие разностные схемы и выбирать среди них устойчивые (определение аппроксимации и устойчивости см. в /1/). 1.3. Построение явной разностной схемы На примере решения задачи (4) рассмотрим один из простейших приемов построения аппроксимирующей разностной схемы. Он связан с заменой производных приближенными разностными соотношениями:

df ( z ) f ( z + ∆z ) − f ( z − ∆z ) ≈ dz 2∆z

(6)

d 2 f ( z ) f ( z + ∆z ) − 2 f ( z ) + f ( z − ∆z ) ≈ dz 2 (∆z ) 2

Используя разложения функции f(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z, легко показать, что первая и вторая производные аппроксимируются формулами (6) с точностью до членов порядка (∆z)2. Аналогичные формулы используем и для замены частных производных в задаче (4). В качестве сетки, на которой будем рассматривать задачу (4), используем совокупность точек пересечения прямых x= ih, t= jτ, i= 0,

5

1, ... , [1/h ]; j= 0, 1, ... , [ T/τ ], где h и τ - расстояния (шаги) между соседними узлами сетки соответственно по пространственной и временной координатам, [ T/τ ] - целая часть числа T/τ (рис.1). Считаем, что шаги h и τ связаны соотношением τ= rh, r= const, так что сетка зависит только от одного параметра h. Вместо функции u будем искать сеточную функцию, значения которой додлжны сходиться к значениям функции u в узлах при измельчении сетки. Через uij обозначим значение сеточной функции в точке (xi,tj) = (ih,jτ). На рис.1 сплошными жирными точками изображены реальные узлы сетки, а квадратиками – так называемые фиктивные (или законтурные). Cетка, на которой решается задача (1)-(3)

t=jτ

Рис. 1 Разностную схему, отвечающую исходной задаче (4), получим, приблизив производные разностными соотношениями соответственно (6). Например, ∂ 2u ∂t 2

x ,t

≈

u ( x, t + τ ) − 2u ( x, t ) + u ( x, t − τ )

τ2

6

Искомая схема примет вид

u ij +1 − 2u ij + u ij −1

τ2 u1j − u −j1 2h u i0

= 0,

=g

2

u ij+1 − 2u ij + u ij−1

u Lj +1 − u Lj −1 2h

(7 )

h2 = 0, L = [1 / h]

(8)

u 1i − u i−1 = − ε 0 ih, =0 2 2τ

ε0

(9)

Схеме (7)-(9) отвечает шаблон, изображенный на рис.2 (типа “крест”). Он иллюстрирует тот факт, что для вычисления значения искомой функции на текущем шаге по времени (на временном слое j+1) необходимо знать значения этой функции на двух предыдущих слоях (j и j-1). Пятиточечный шаблон явной схемы МКР для задачи (1)-(3)

(i, j+1) (i-1, j) (i+1,j)

(i,j-1) Рис. 2 Разрешая уравнение (7) относительно uij+1, находим

u ij +1 = 2u ij − u ij −1 + r 2 g 2 (u ij+1 − 2u ij + u ij−1 )

(10)

Равенство (10) позволяет явно вычислить значение сеточной функции uij в последовательные моменты времени tj=jτ, j=0,1,…, а на

7

каждом временном слое – во всех точках xi=ih, i=0,1,…, L .Схема, которой отвечает шаблон типа “крест” (см. рис.2), называется явной схемой МКР. Для того, чтобы запустить вычислительный процесс, требуется исключить из начальных условий (9) значения функции u в законтурных узлах j=-1 (ui-1); а для вычисления значений сеточной функции на краях отрезка интегрирования требуется исключить значения функции u в законтурных узлах i=L+1, i=-1 (uL+1j и u-1j) из граничных условий (8). Выполнив указанные действия, получим следующие вычислительные формулы

u i0 =

ε0

− ε 0 ih, i = 0,1, ..., L 2 u 10 = u 00 (1 − g 2 r 2 ) + g 2 r 2 u10 ; u 1L = u L0 (1 − g 2 r 2 ) + g 2 r 2 u L0 −1 u i1 = u i0 (1 − g 2 r 2 ) +

(11)

1 2 2 0 g r (u i +1 + u i0−1 ), i = 1,2, ..., L − 1 2

u 0j +1 = 2u 0j (1 − g 2 r 2 ) − u 0j −1 + 2 g 2 r 2 u1j ;

j = 1,2, ... ;

u ij +1 = 2u ij (1 − g 2 r 2 ) − u ij −1 + g 2 r 2 (u ij+1 + u ij−1 ) j = 1,2, ... ; i = 1,2, ..., L − 1 u Lj +1 = 2u Lj (1 − g 2 r 2 ) − u Lj −1 + 2 g 2 r 2 u Lj −1 ; j = 1,2, ... ; Можно показать (см./1/), что схема (7)-(9) имеет второй порядок аппроксимации относительно h. Далее, для того, чтобы решение задачи (7)-(9) сходилось к решению исходной задачи, требуется, чтобы эта схема была устойчивой. Рассмотрим один из наиболее популярных методов исследования устойчивости.

1.4. Способ Неймана исследования устойчивости задачи Коши Рассмотрим задачу Коши ∂ 2u ∂ 2u − = 0, − ∞ < x < ∞, 0 < t < T (12) ∂t 2 ∂x 2 ∂u ( x,0) = ψ 2 ( x), − ∞ < x < ∞ u ( x,0) = ψ 1 ( x), ∂t

8

и аппроксимируем ее схемой

u mj +1 − 2u mj + u mj −1

τ

2

−

u mj +1 − 2u mj − u mj −1 h

2

=0

(13)

j = 1,2, ... , [T / τ ] − 1 u m0

u 1m − u m0

= ψ 1 ( x m ),

τ

= ψ 2 ( x m ), m = 0, ± 1, ...

В /1/ показано, что для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы решение задачи (1.13) удовлетворяло условию max u mj ≤ const max u m0 , j = 0,1, ... , [T / τ ] m

m

(14 )

при произвольной ограниченной функции ψ 1 ( xm ) , где ψ 1 ( x) задает начальное возмущение решения. Поэтому свойство (14) называют устойчивостью задачи (12) относительно возмущения начальных данных. Для устойчивости задачи Коши (12) по начальным данным необходимо, чтобы условие (14) выполнялось, в частности, и для ψ 1 = e iαm , где α - вещественный параметр. Тогда решение задачи (12) можно искать в виде

u mj = λ j e iαm (15) где λ = λ (α ) определяется путем подстановки (15) в (12). Далее, можно показать , что условие (14) будет выполнено, если числа λ (α ) (вообще говоря, - комплексные) лежат в единичном круге, т.е. выполняется условие

λ (α ) ≤ 1

(16)

Неравенство (16) и выражает необходимое условие устойчивости Неймана применительно к рассматриваемому примеру. Используем его для анализа устойчивости схемы (7). Подставим (15) в (7) и для определения λ (α ) получим уравнение

α

(17) )λ + 1 = 0 2 По теореме Виета имеем, что произведение корней этого уравнения равно 1, т.е. для выполнения условия (16) требуется, чтобы корни λ1, 2 уравнения (17) были комплексно-сопряженными и лежали

λ 2 − 2(1 − 2r 2 g 2 sin 2

9

на единичной окружности. Для этого, в свою очередь, необходимо, чтобы дискриминант D(α ) уравнения (17) был отрицателен: α⎛ α ⎞ D(α ) ≡ 4r 2 g 2 sin 2 ⎜ r 2 g 2 sin 2 − 1⎟ < 0. 2⎝ 2 ⎠ Данное неравенство выполняется при всех α, если gr ≤ 1 . Отсюда следует, что для устойчивости построенной схемы необходимо, чтобы шаг по временной координаты был связан с шагом по пространственной координате неравенством h (18) τ≤ g Пусть теперь g=g(x,t)≠ const. В этом случае применяется принцип “замороженных коэффициентов” /1/, в соответствии с которым необходимое условие устойчивости Неймана можно записать в виде h (19) τ≤ , g * = max g ( x, t ) x , t g* В заключение отметим, что описанный подход применяется и для анализа устойчивости явной конечноразностной схемы, которая строится для соответствующего параболического уравнения. Вопрос влияния граничных условий на устойчивость разностной схемы в настоящих методических указаниях не рассматривается. 1.5. Неявная схема МКР В выражении (4) вторая производная ∂2u/∂x2 была заменена конечной разностью на временном слое tj= jτ. Если замену провести на временном слое tj+1= (j+1)τ, то вместо (7) получим

u ij +1 − 2u ij + u ij −1

τ2

=g

2

u ij++11 − 2u ij +1 + u ij−+11 h2

(20)

Уравнению (20) отвечает шаблон, изображенный на рис.3.

Пятиточечный шаблон неявной схемы МКР для задачи (1)-(3)

10

Рис.3 Видно, что из уравнения (20) невозможно явно выразить u ij +1 через значения функции u с предыдущих слоев по времени (j и j-1). Это происходит оттого, что в (20) наряду с u ij +1 входят неизвестные

u ij++11 и u ij−+11 . Поэтому данная схема и называется неявной. Обозначив γ = g2 r2 , перепишем (20) в виде

γu ij++11 − (1 + 2γ )u ij +1 + γu ij−+11 = −2u ij + u ij −1

(21)

Используя соотношения (8), (9), получим

γu1i +1 − 2(1 + γ )u1i + γu1i −1 = −2ui0 , i = 1,2,..., L − 1

(22)

γu11 − (1 + γ )u10 = −u00 , γu1L −1 − (1 + γ )u1L = −uL0 ε ui0 = 0 − ε 0ih, i = 0,1,..., L

(23)

2γu1j +1 − (1 + 2γ )u0j +1 = −2 u0j + u0j −1

(25)

2γuLj +−11 − (1 + 2γ )uLj +1 = −2 uLj + uLj −1

(26)

2

(24)

Опишем по шагам алгоритм решения системы уравнений (21)(26) с применением метода прогонки /2/. Шаг первый. Вычисление значений функции u на нулевом слое по времени из уравнений (24). Шаг второй. Вычисление значений функции u на первом слое по времени из уравнений (22), (23) при помощи метода прогонки. Для применения этого процесса перепишем (22), (23) в стандартном для прогонки виде /2/

11

a i y i −1 − c i y i + bi y i +1 = − Fi , i = 1,2, ... , L − 1

(27)

y 0 = κ 1 y1 + µ1 ;

(28)

y L = κ 2 y L −1 + µ 2

Здесь введены обозначения

yi = u1i , ai = γ , ci = 2(1 + γ ), bi = γ , Fi = 2ui0

(29)

u00 uL0 κ1 = , µ1 = , κ 2 = κ1, µ2 = 1+ γ 1+ γ 1+ γ

γ

Для возможности применения метода прогонки достаточно потребовать, чтобы коэффициенты системы (27), (28) удовлетворяли условиям /2/

a i ≠ 0, bi ≠ 0,

ci ≥ a i + bi , i = 1,2, ... , L − 1

(30)

κ 1 ≤ 1, κ 2 < 1 Очевидно, параметры (29) удовлетворяют условиям (30). Коэффициенты прямой прогонки вычисляем по формулам bi α1 = κ1, β1 = µ1, αi +1 = (31) ci − αi ai

Fi + ai βi , i = 1,2, ... , L − 1 ci − αi ai Неизвестные yi находим в ходе обратной прогонки по формулам κ β + µ2 (32) yL = 2 L , y i = α i +1 y i +1 + β i +1, i = L − 1, L − 2,...,0 1 − κ 2α L

βi +1 =

Шаг третий (и последующие). Вычисление значений функции u на (j+1)-ом слое по времени (j≥1) из уравнений (21), (25), (26) в цикле по j при помощи метода прогонки. Для применения этого процесса перепишем (21), (25), (26) в виде (27), (28), введя обозначения

12

y i = u ij +1 , Fi = 2u ij − u ij −1 , a i = bi = γ , c i = 1 + 2γ

(33)

2u 0j − u 0j −1 2γ i = 0,1, ... , L; κ 1 = κ 2 = , µ1 = 1 + 2γ 1 + 2γ

µ2 =

2u Lj − u Lj −1 1 + 2γ

Очевидно, что для параметров (33) удовлетворяются условия (30) и, следовательно, здесь также можно применить метод прогонки. Вычисление коэффициентов и неизвестных (последовательно для каждого j= 1,2, …) проводится по формулам (32), (33) аналогично тому, как это описано на Шаге втором . Отметим, что неявная схема, как говорят, безусловно устойчива, т.е. обеспечивает сходимость разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной при любом отношении τ/h.

2. Начально-краевые задачи для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности) 2.1. Задание. Найти численное решение задачи вида

u t = g 2 ( x, t )u xx + f ( x, t ), p 0 u (0, t ) + p1u x (0, t ) = A(t ) s 0 u (1, t ) + s1u x (1, t ) = B (t ) u ( x,0) = σ 1 ( x)

x ∈ (0,1), t ∈ (0, T )

(34) (35) (36)

1) при помощи явной схемы МКР; при помощи неявной схемы МКР. 2) Найти решение с точностью до 0.0001 на отрезке времени T=1/g*, где g * = max g ( x, t ) . При использовании явной схемы x ,t

предварительно определить условие ее устойчивости. При помощи средств пакета Maple построить графики функций u ( x* , t ), u ( x, jt * ), где x*=0.6, t*=T/10, j=1,2,4. Сравнить результаты, полученные по явной и по неявной схемам МКР. Проверить правильность работы программы на тестовом примере /3/

13

⎧u t = g 2 u xx, 0 < x < 1, 0 < t < ∞ ⎪⎪ ⎨u (0, t ) = 0, u (1, t ) = 0, 0 < t < ∞ ⎪u ( x,0) = 1, 0 ≤ x ≤ 1 ⎪⎩

(37)

Точным решением задачи является ряд

u=

4

π

∞

∑ k =1

2 1 e −[π ( 2k −1) g ] t sin[π (2k − 1) x] 2k − 1

(38)

Расчет провести при g = const = 1. 2.2. Явная схема МКР Для аппроксимации производной по времени используем одностороннюю разность u t ≈ ( u ( x , t + τ ) − u ( x , t )) / τ . Действуя аналогично п.1.3, получим следующие вычислительные формулы

u ij +1 = u ij (1 − 2rg 2 ) + rg 2 (u ij+1 + u ij−1 ), i = 1,2, ... , L − 1

(39)

u 0j = u Lj = 0, u i0 = 1, j = 0,1,2, ... ; r = τ / h 2

(40)

Используя описанный в п.1.4 подход, находим, что для устойчивости построенной разностной схемы между шагами по временной и пространственной координатам должно иметь место соотношение 2

В случае коэффициентов дает

1 ⎛ h⎞ τ≤ ⎜ ⎟ 2 ⎝ g⎠ g = g ( x , t ) ≠ const принцип

(41) замороженных

2

1⎛ h ⎞ τ ≤ ⎜⎜ ⎟⎟ , 2 ⎝ g* ⎠

g * = max g ( x, t ) x ,t

(42)

Вычислительный процесс организуется в следующем порядке. После задания шага h по пространственной координате и определения шага τ по времени ( в соответствии с (41)) находим значения функции u на нулевом слое по времени по формуле (40). Далее значения функции u определяются в цикле по времени по формулам (39) для j ≥ 0 .

14

2.3. Неявная схема МКР Поступая аналогично п.1.5, неявную схему МКР для задачи (2.4) запишем в виде γuij++11 − (1 + 2γ ) uij +1 + γuij−+11 = − uij , i = 1,2 ,..., L − 1 (43)

u 0j = u Lj = 0; ui0 = 1; j = 0,1,...; i = 1,2 ,..., L − 1 Задача (43) решается c применением метода прогонки на каждом слое по времени. Опишем по шагам алгоритм решения. Шаг первый. Вычисление значений функции u на нулевом слое по времени по формуле ui0 = 1. Шаг второй ( и последующие). Вычисление значений функции u на (j+1) –ом слое по времени ( j≥0 ) из уравнений (43) в цикле по j при помощи метода прогонки. Для применения этого процесса перепишем (43) в виде (27), (28), введя обозначения

yi = uij +1, ai = bi = γ , ci = 1 + 2γ

(44)

Fi = uij , i = 1,2, ... , L − 1 Кроме этого, из граничных условий в (2.10) имеем

κ1 = µ1 = κ 2 = µ2 = 0

(45)

Очевидно, параметры в (44), (45) удовлетворяют условиям (30), что делает возможным применение метода прогонки. Для каждого j = 0,1,2, … вычисление коэффициентов прямой прогонки происходит по формулам (31), а неизвестные u ij +1 определяются в ходе обратной прогонки по формулам (32). Отметим, что, как и в случае волнового уравнения, неявная схема МКР является безусловно устойчивой. 3. Требования к отчету и программам 3.1. Структура отчета Отчет должен содержать следующие разделы: 1)результаты расчета тестовой задачи и сравнение их с аналитическим решением; 2)постановку задачи, т.е. уравнение вместе с начальными и граничными условиями; 3)разностную схему, аппроксимирующую исходную задачу, вместе с оценкой порядка аппроксимации; 4)вычислительные формулы для своего варианта (по явной и неявной схемам);

15

5)для явной схемы - вычисление условия ее устойчивости; 6)оценку погрешности ∆ результата, вычисляемую по формуле ∆ = max u h (0.5, t ) − u h / 2 (0.5, t ) , где uh и uh./2 - результаты расчетов с t

шагом h и h/2 соответственно; 7)значения параметров (в т.ч. шагов h и τ), при которых производились расчеты; 8)графики функций, указанные в задании; 9)результаты сравнения данных расчета по явной и по неявной схемам. 3.2. Параметры программы Во всех процедурах, реализующих явную и неявную схемы МКР, должны использоваться следующие входные и выходные параметры. Входные параметры: • X0,XN – начальное и конечное значения пространственного аргумента; • Т – величина временного отрезка интегрирования; • P0,P1,S0,S1 – коэффициенты в краевых условиях (2), (35); • L – количество шагов, на которые разбивается отрезок интегрирования по оси x. Выходные параметры: • U – массив приближенных значений функции u(x,t) на текущем временном слое. Во всех программах в качестве внешних функций описываются входящие в краевые и начальные условия зависимости A(t), B(t), σ1(x),σ2(x), а также переменные коэффициенты g2(x,t), f(x,t). В процедуре, реализующей метод прогонки для неявной схемы МКР, коэффициенты α i , β i следует хранить в массивах, описанных внутри процедуры. В процедуре, реализующей явную схему МКР, наряду с массивом U следует организовать массив U0 для хранения значений функции u(x,t) с предыдущего слоя по времени. Варианты заданий к темам 1, 2 Таблица 1. Коэффициенты уравнения и начальные данные № f ( x, t ) σ1 ( x ) σ 2 ( x) g 2 ( x, t ) 3(11 . − 0.5x ) 0,01(1 − x ) 0 1 et − 1 . + x )(11 . − x ) 1 − cos(t ) 2 5(01 0 0

3

2x + 1

4

e1− x

t cos(t ) t (0.01 + t )

0 0

0.001x(1 − x ) 0

16

5

3 cos(πx / 3)

6

(15. x − 1)2

7 8

9 10

t (t + 01 . )) 01 . t + sin(t )

0

0

0

0

ex

2t + 1 2t + 1

0 0

0 x⎞ ⎛ 0.01x 2 ⎜ 0.5 − ⎟ 3⎠ ⎝

2x3 + 1 4( x + 0.1) 2 + cos(πx ) 2 + sin (πx ) 2 + tg (πx 4 )

t (0.01 + t ) t (0.01 + t )

0

0

0

0

0.1 + e −t 0.1 + e −t 0.1 + e −t 0.1t + sin (t ) 1 − sin (t ) 1 − sin (t ) 1 − sin (t ) − t (2 − cos(t ))

0 0 0.1 sin (πx ) 0 0.1 sin (πx ) 0 0 0

0 0 0 0.01 cos(πx ) 0.01 cos(πx ) 0 0 0 0 0 0 0 0

e− x + 1

11 12 13 14 15 16 17 18

x3 + 1 3x 2 − 2 x + 1 e −2 x + 3 x − 1 3x 4 − 2 x 2 + 2 x+2

19 20 21 22 23 24

3x 3 − x + 1 x4 + x2 + 1 2x 2 + 1 2 − cos(πx ) 3 + sin (πx ) 3x + 1

3t + e −t 2t − cos(t )

25 26

3 + cos(πx ) 4 − sin (πx )

3t + e −t 2t − cos(t ) 3t + e −t 2t − cos(t )

0 0 0 0 0.01x(tg ( x ) − 1) 0

3t + e −t 2t − cos(t )

0 0

№

p0

p1

s0

s1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 1 0 1 1 0 0 -1

0 1 0 1 0 0 1 1 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1 1

0.01x(1 − x )2 0 0

Таблица 2. Граничные значения A(t ) B(t ) 0 0 0 -0.001t -0.001t 0 0.01t3 0 0

0 0 0 0.001t 0.001t 0.01t2 0 0 0

17

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

1 1 -1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1

0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0.001sin(t) 0 0.001t 0 0 0 0.001t 0 -0.01tsin(t) 0 0 -0.01te-t 0 0 0 -0.01tcos(t) -0.01tcos(t)

0 0.01(e-t-1) 0.001t 0 0 0 0.01t2 0.01etsin(t) 0 0 0 0 2 0.01t cos(t) 0 0 0.01tcos(t) 0.01tcos(t)

ЛИТЕРАТУРА 1. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию). Учебное пособие. - М.: Наука, 1977.- 439 с. 2.Самарский А.А., Гулин A.В. Численные методы: Учебное пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.- 432 с. 3.Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. - М.: Мир, 1985. - 384 с. ПРИЛОЖЕНИЕ А. Приведем фрагмент программы, реализующей алгоритм явной схемы МКР решения тестового примера (4) (обозначения переменных соответствуют обозначениям раздела 1). TK:=2/g; L:=Round(1/h); TAU:=CTAU*h/g; R:=TAU/h; RG2:=SQR(R*g); NT:=Round(TK/TAU)+1; {CTAU - коэффициент ≤ 1, подбираемый в численном эксперименте при реализации формулы (18); ТК - длина временного интервала, на котором решается задача (4)} Iprint:=Round(0.6/h); JPrint:=Round(TK/20); JOut:=0; {Результатом работы программы являются значения функции u в узле под номером Iprint по пространственной переменной, выдаваемые через равные промежутки времени, равные JPrint;

18

JOut - текущее значение номера временного слоя, на котором происходит выдача результата} j:=0; T:=0; for i:=0 to L do begin x:=i*h; U0[i]:=Sig1(x); end; {На нулевом шаге по времени (j=0) в массив U0 заносятся начальные значения функции u. Далее при определении функции u на (j+1) - ом шаге в массиве U0 хранятся значения u c (j-1) - го шага} UOut(U0); {UOut - процедура, выводящая на экран значение функции u в узле под номером Iprint} j:=1; U[0]:=RG2*(U0[1]-U0[0])+U0[0]; for i:=1 to L-1 do U[i]:=0.5*RG2*(U0[i+1]-2*U0[i]+U0[i-1])+U0[i]; U[L]:=RG2*(U0[L-1]-U0[L])+U0[L]; {Здесь в массив U заносятся значения функции u при j=1 (реализация второй и третьей формул (11)} for j:=2 to NT do begin T:=j*TAU; Buf:=U[0]; U[0]:=2*(RG2*(U[1]-U[0])+U[0])-U0[0]; U0[0]:=Buf; for i:=1 to L-1 do begin Buf:=U[i]; U[i]:=RG2*(U[i+1]-2*U[i]+U0[i-1])+2*U[i]-U0[i]; U0[i]:=Buf; end; Buf:=U[L]; U[L]:=2*(RG2*(U0[L-1]-U[L])+U[L])-U0[L]; U0[L]:=Buf; if j=JOut then begin JOut :=JOut + JPrint; UOut(U); end; end {j}; {Здесь в цикле по j реализуется оставшаяся часть формул (11)} Приложение B.

19

Приведем фрагмент программы, реализующей алгоритм неявной схемы МКР решения тестового примера (4). Отметим, что при увеличении числа узлов в аппроксимирующей схеме переменные программы могут переполнить статическую память. В этом случае следует разместить их в динамической памяти (heap). IPrint:=Round(0.6/h); L:=Round(1/h); Tau:=CTau*h; {Величина коэффициента CТau, конечно, не сказывается на устойчивости схемы, однако при слишком большом CТau ухудшается точность аппроксимации}

R:=Tau/h; gam:=SQR(R*G); gam1:=1+gam; cap1:=gam/gam1; cap2:=cap1; j:=0; T:=0; NT:=Round(Tk/Tau)+1; JPrint:=Round(NT/20); for i:=0 to L do begin x:=i*h; XN[i]:=x; U0[i]:=Sig1(x); FPR[i]:=2*U0[i] end; {Реализация шага 1 алгоритма, описанного в п. 1.5 (FPR - правая часть уравнения (22)} jp:=0; JOut:=JPrint; gotoxy(k+1,jp+2); write(j:4); gotoxy(k+7,jp+2); write(t:10:3); gotoxy(k+18,jp+2); write(U0[IPrint]:12:5); { k и jp - некоторые параметры печати} j:=1; T:=Tau; mu1:=U0[0]/gam1; mu2:=U0[L]/gam1; Alpha[1]:=cap1; Beta[1]:=mu1; for i:=1 to L-1 do begin A[i]:=gam; C[i]:=2*gam1; b[i]:=gam; Rab:=C[i]-Alpha[i]*A[i]; Alpha[i+1]:=B[i]/Rab; Beta[i+1]:=(FPR[i]+A[i]*Beta[i])/Rab end; {Вычисление коэффициентов (27) и параметров (28), (29), участвующих в прямом ходе прогонки на первом шаге по времени. Вычисление коэффициентов (31) для проведения обратной прогонки на первом шаге по времени} gam1:=gam1+Gam;

20

U[L]:=(Cap2*Beta[L]+Mu2)/(1-Cap2*Alpha[L]); for i:=L-1 downto 0 do begin U[i]:=Alpha[i+1]*U[i+1]+Beta[i+1]; {Вычисление значений функции u в ходе обратной прогонки на первом шаге по времени} C[i]:=Gam1; end; Cap1:=2*Gam/Gam1; Cap2:=Cap1; if JOut=j then begin JOut:=JOut+JPrint; jp:=jp+1; gotoxy(k+1,jp+2); write(j:4); gotoxy(k+7,jp+2); write(t:10:3); gotoxy(k+18,jp+2); write(U[IPrint]:12:5); end; for j:=2 to NT do begin T:=J*Tau; mu1:=(2*U[0]-U0[0])/Gam1; mu2:=(2*U[L]-U0[L])/Gam1; Alpha[1]:=Cap1; Beta[1]:=Mu1; for i:=1 to L-1 do begin FPR[i]:=2*U[i]-U0[i]; Rab:=C[i]-Alpha[i]*A[i]; Alpha[i+1]:=B[i]/Rab; Beta[i+1]:=(FPR[i]+A[i]*Beta[i])/Rab; end; {Вычисление коэффициентов по формулам (33) для проведения прямого хода прогнки на j - ом шаге по времени} U0[L]:=U[L]; U[L]:=(Cap2*Beta[L]+Mu2)/(1-Cap2*Alpha[L]); for i:=L-1 downto 0 do begin U0[i]:=U[i]; U[i]:=Alpha[i+1]*U[i+1]+Beta[i+1]; end; {Вычисление значений функции u в ходе обратной прогонки на j - ом шаге по времени}

21

If j=JOut then begin jp:=jp+1; JOut:=JOut+JPrint; gotoxy(k+1,jp+2); write(j:4); gotoxy(k+7,jp+2); write(t:10:3);gotoxy(k+18,jp+2); write(U[IPrint]:12:5); end end{J};