等質空間上の解析学

紀伊國屋数学叢書 19

編集委 員 伊藤

清 三   (東京大学名誉教授)

戸田

宏   (京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

岡本 清郷

等 質 空 間 上 の解 析 学 リー 群 論 的方 法 に よる序 説 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  リー群 の 等 質 空 間 上 の解 析 学,特 に 対 称 空 間 上 の調 和 解 析 の研 究 は最 近 著 し い 発 展 を 遂 げ 今 尚急 速 に 進 展 しつ つ あ る.   本 書 の執 筆 を 飛 田,吉 沢 両 教 授 か らす す め ら れ た の は 昭 和48年

の秋 で あ っ

た.当 初 の 案 は 対 称 空 間 上 の 調 和 解 析 に お け る最 近 の成 果 を な るべ く詳 し く解 説 す る こ とで あ った.し

か し そ の た め に は 半 単 純 リー群 の構 造 や 関 数 解 析 学

等,準 備 の ため の一 般 論 に 多 くの紙 数 を 割 か ね ば な らず,ま た 本 論 に 入 っ て か ら も一 般 的 な証 明 を 与 え るた め の 言 葉 の 定 義 や 記号 の 羅 列 に よ って 本 質 的 な も のが 背 後 に 隠 れ て し ま う結 果 とな り筆 者 の意 に満 た な い の で や め て し ま った.   球 面 上 の 球 関 数 展 開,リ Hardy空 や2次

ー マ ン球 面 上 の 関 数 論,上

半 平面や単位円板上の

間 や ポ ア ッ ソ ン積 分 等 の 古 典 解 析 学 の研 究 の背 後 に は3次 の 回 転 群 の ユ ニモ ジ ュ ラ ー群 の 果 た す 役 割,即

ち リー群 の等 質 空 間上 の解 析 学 に

関 す る基 本 原 理 と もい うべ き もの が あ り,筆 者 は これ 迄 単 に数 学 研 究 者 ば か り で な く物 理学 や工 学 研 究 者 更 に 大 学 理 工 系 の 学 部 学 生 に も分 か り易 く これ を解 説 す る方 法 を 探 索 して 来 た.対 称 空 間 上 の 調 和 解 析 に お け る基 本 的 な概 念 や 研 究 方 法 を理 解 す るに は,半 単純 リー 群 の一 般 論 の 勉 強 に 先 立 ち あ るい は これ と 並 行 し て種 々の 古典 群 の場 合 に 具体 的 な 計 算 を 通 じて これ らを 感 覚 的 に会 得 す る ことが 重 要 で あ り,こ の方 法 に よ れ ば あ ま り多 くの定 義 や 記 号 の 羅 列 な し で,等 質空 間上 の解 析 学 に お け る リー 群 論 の 果 た す 役 割 を 表 面 に浮 び上 ら せ "基 本 原 理"の 解 明が 可 能 に な る と信 ず る に 至 った.   本 書 で は 以 上 の 理 由 の下 に,3次

の 回転 群 や2次

の ユ ニ モ ジ ュ ラ一 群 の 等 質

空 間 上 の種 々の 等 質 ベ ク トル ・バ ン ドルに 対 し具 体 的 に計 算 を 実 行 す る こ とに よ って 上 記 の 基 本 原 理 の解 説 を 試 み る こ と とし,以 解 析 学 に対 す る序 説 と した い.従

って リー群 の 等 質空 間 上 の

って 数 学 研 究 者 は 勿 論 物 理 学 や工 学 研 究者 お

よび 大 学 理 工 系 の 学 部 学 生 に も十 分 理 解 出来 る と思 う.式 の変 形 等 な る べ く丁

寧 に 書 く よ う努 め たが,紙 数 の都 合 もあ りや は り省 略 せ ざ るを 得 な か った 所 も 少 な くな い.こ れ らを 自 ら補 い な が ら読 まれ れ ば 読 者 の感 覚 を 養 う助 け に な る で あ ろ う.特 に"明 ら か に","容

易 に分 か る","計

算 に よ り確 め る こ とが

出来 る"等 の表 現 の あ る箇 所 に学 生 自 ら証 明を 与 え る よ う指 導 され れ ば,学 部 学 生 の ゼ ミの教 材 と し て も 好適 と思 う.   幾 何 学 の最 も重 要 な特 質 の1つ は,種

々 の対 象 に 群 論 的 光 を 当 て てそ れ ら か

ら美 し い対 称 性 を 持 った も のを 引 き 出 し,そ れ を 基 準 と して 一 般 の 対 象 物 の性 質 を推 し量 る と い う点 に あ る.球 面 上 の球 関 数 や 単 位 円 板 上 の 一 般 化 され た ポ ア ッ ソン積 分(非 コ ンパ ク ト対 称 空 間上 の球 関 数)は 種 々の 関 数 空 間 に リー群 論 的 な光 を 当 て て美 しい 対 称 性 を 持 った もの を 引 き出 す 手 法 で あ り,そ の 意 味 で これ ら の研 究 は カ ル タ ン以 来 の 微 分 幾 何 学 にお け る大 きな 流 れ の1つ

で あ る.

対 称 空 間 上 の調 和 解 析 の研 究 は 最 近 ア フ ァイ ン対 称 空 間 や 可 解 リー群 の 等 質 空 間 更 には 整 数 論 へ の応 用 を 目指 すp進 体 上 の 代 数群 の 等 質空 間等 の場 合 に 幅 を 広 げ つ つ あ り,文 献 等 も膨 大 な 量 に 達 して い る.手 法 的 に も微分 幾 何 を は じめ と し関 数 解 析,微 分 方 程 式,代 数幾 何,整 数 論 等 広範 囲 に わ た って い る.そ の た め 大 学 院 学 生 等 この 方 面 の 研 究 を 始 め た ば か りの 初学 者 は や や もす れ ば 多 岐 亡 羊 とな りが ち で あ るが,数 学 の独 創的 な研 究 に お い て はや は り"数 学 的 自然 に お け る生 の 素 材"の 研究 を疎 か に し て は い け な い と思 う.筆 者 は 本 書 に お い て"数 学 的 自然 に 帰 る"重 要 性 を説 い た 積 りで あ るが,そ の 意 を少 し で も汲 み 取 って 載 け れ ば 幸 い で あ る.   最 後 に,本 書 の執 筆 の機 縁 を与 え て下 さ った 飛 田,吉 沢両 教 授 をは じめ,紀 伊 國 屋 書 店 出版 部 の諸 氏 に 心 か ら感 謝 の意 を表 す る と と も に,こ

の 本 の 内 容,

校 正 な どにつ い て協 力 し て載 い た 広 島大 学理 学 部 数 学 教 室 の 脇 本 実,橋 彦,木 幡篤 孝 の三 氏 に 厚 く感 謝 し た い.

1979年 秋 岡

本

清

郷

爪道

目

次

まえ が き 総

論

Ⅰ  ユ ニ タ リ表 現 と 等 質 ベ ク トル ・バ ン ドル   1.1  位 相 群 の 連 続 表 現

  13

  1.2  コ ン パ ク ト位 相 群 の 表 現 とPeter-Weylの

理論

  1.3  局 所 コ ン パ ク ト群 の ユ ニ タ リ表 現 と群 環 の*表

  21

現  

32

  1.4  リー 群 の 表 現 と そ の 微 分 表 現  

44

  1.5  主 フ ァ イ バ ー ・バ ン ドル とそ の 同 伴 バ ナ ッ ハ ・バ ン ドル  

57

Ⅱ  SU(2)お

よ びSO(3)の

  2.1  SU(2)の

表現

  2.2  SU(2)の

微分表現

表 現 と球 面 上 の 調 和 解 析  

69

  76

  2.3  SO(3)の 表 現 と球 面 上 の 関 数 の フ ー リエ 展 開  

81

  2.4  球 面 上 の ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ ク トル 分 解 と ポ ア ッ ソ ン の 方 程 式 

88

Ⅲ  SL(2,R)の SU(1,1)の   3.1  SL(2,R)お

表 現 と上 半 平 面 上 の 調 和 解 析 お よ び 表 現 と 単 位 円 板 上 の 調 和 解 析 よ びSU(1,1)の

ユ ニ タ リ表 現  

101

  3.2  リー 環 の 表 現 と 既 約 ユ ニ タ リ表 現 の 分 類  

118

  3.3  カ シ ミー ル 作 用 素 の 動 径 方 向 と一 般 化 され た 球 関 数   3.4  非 ユ ニ タ リ主 系 列 の 表 現

 125   131

  3.5  ク ラ ス1の

表 現 とG/K上

の フ ー リエ 変 換  

  3.6  上 半 平 面 上 の ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ ク トル 分 解  

137 151

Ⅳ  ポ ア ッ ソン積 分 と ユー シ ー 積 分   4.1  ポ ア ッ ソ ン 積 分 と そ の 一 般 化  157   4.2  ポ ア ッ ソ ン 積 分 の 一 般 化 と ユ ー シ ー 積 分  

161

  4.3  正 則 離 散 系 列 の 極 限 とHardy空

169

間 

  4.4  ラ プ ラ シ ア ン の 固 有 関 数 と ポ ア ッ ソ ン 積 分  

Ⅴ  Borel-wei1-Bottの

174

定 理 とそ の拡 張

  5.1  ベ ク トル ・バ ン ドル に 値 を 持 つ 調 和 形 式 とラ プ ラ シ ア ン の 自己 共 役 拡 張     5.2  SU(2)に

対 す るBorel-Weil-Bottの

  5.3  Borel-Weil-Bottの

定 理 のSU(1,1)へ

181 定理  

185

の 拡 張  193

 附 録   線 形 位 相 空 間 

197

 参 考 文 献 

203

総

  0.0 本 書 を 読 む には,線

論

形 代 数,多

様 体,リ

ー群 論 お よび 関 数 解 析 の基 礎

的 事 項 に つ い て の 予 備 知 識 を 必 要 とす る.し か し微 分 幾 何 学 を 専 攻 し て い る学 部 学 生 等 関 数 解 析 の 知 識 の不 足 し てい る者 もい る であ ろ う.そ の よ うな 読 者 の た め 本 書 で 必 要 な 程 度 の 線 形 位 相 空 間 の内 容 に つ い て 巻 末 の附 録 に ま とめ て 記 し た.証 明 は 与 え な か った が そ れ らを 仮 定 して どん どん 先 に 進 む 方 が 本 書 の読 み方 と して は 適 して い る.特 に 第2章 以 下 は 具 体 的 な リー群 や 等 質 空 間 のみ を 扱 うの で,そ

の よ う な 読 み方 を して も理 解 に 支 障 を 来 た す こ とは な い筈 で あ

る.む し ろ"general

nonsense"は

無 視 して 具 体 的 な 計 算 を 通 じ て先 ず 実 体 の

諸 性 質 を知 り,そ の後 それ ら を 普 遍 的 に 理解 す るた め に"general

nonsense"

を 援 用 す る とい う仕 方 が 正 しい 数 学 の 研 究 態 度 であ る と思 う.

  0.1  [第1章]第1節

で は,先

ず 表 現 論 の 基 礎 的 概 念 の 定 義 を 与 え た 後,シ

ュ ー ア の 補 題 の 証 明 を 目標 と し て い る.表 現 論 を 初 め て 学 ば れ る 方 は[1.1.5]∼ [1.1.6]を

飛 ば し て 先 に 進 まれ る こ と を お す す め す る.そ

限 次 元 の 場 合 の 証 明 を[1.1.4]で の ス ペ ク トル 分 解 等,等 こ れ に つ い て は 第2章   第2節 与 え た.コ

の こ とを 考 慮 して 有

与 え て お い た.シ ュ ー ア の 補 題 は ラ プ ラ シ ア ン

質 空 間 上 の 調 和 解 析 に お い て 基 本 的 な 役 割 を 果 た す. を 参 照 さ れ た い.

で は コ ン パ ク ト位 相 群 の 表 現 論 を 展 開 しPeter-Weylの

定理の証明を

ン パ ク ト位 相 群 の 等 質 空 間 上 の 調 和 解 析 に お け る 重 要 な 結 果 の 殆 ん

ど がPeter-Weylの

定 理 か ら 出 て 来 る.最

後 にPeter-Weylの

定 理 の1つ

の

応 用 例 と し て フ ロ ベ ニ ウ ス の 定 理 を 証 明 す る.   第3節

で は,局

所 コ ン パ ク ト位 相 群 の 表 現 論,特

数 論 へ の 応 用 に つ い て 述 べ た.特 理 解 す べ き で あ る.広

に 群 環 の*表

現 とそ の 球 関

に 球 関 数 が 表 現 を 決 定 す る と い う事 実 を 深 く

い 意 味 で は 既 約 表 現 の 行 列 要 素 を 一般 に 球 関 数 と よ ぶ.

等 質 空 間 上 の 調 和 解 析 と は,等

質空 間 上 の関 数 を対 称 性 を持 っ た 美 し い関 数

(球関 数)に 展 開 す る こ とで あ る.球 関数 の"美 し さ"に つ い て は 第2章 以下 で 感 覚 的 に 理 解 して 載 きた い.   第4節 で は,先 ず リー群 の表 現 と リー環 の表 現 の 関係 を与 えた.有

限次 元 の

場 合 に は リー群 の 準 同 型 の 微分 を考 え る こ とに よ り,リ ー群 の表 現 か ら リー環 の 表現 が 容 易 に 得 られ るが,無 限次 元 の 場 合 に は一 般 に は微 分不 可 能 とな る の で,C∞

ベ ク トル な る概 念 の 助 け が 必 要 とな る.実 はBargmannが

非 コ ンパ ク

ト半 単 純 リー群 の ユ ニ タ リ表 現 論 の 草 分 け とな った 定 理3.12の 証 明 を発 表 し た と き,C∞

ベ ク トル の全 体 は稠 密 で あ る と い う事 実 を仮 定 とし て 付 さね ば な

らな か った とい う意 味 で証 明は 不 完 全 とさ れ た.こ の事 実(定 理1.17)はC∞c(G) の 元 と のた た み 込 を 考 え る こ とに よ り証 明 され る.こ れ はRn上

の解 析学 に お

け る近 似 定 理 の証 明 に用 い られ る巧 妙 な 方 法 を そ の ま ま リー群 の 場 合 に 適用 し た も ので あ る.実 は リー群 論 的 立 場 か ら古 典 的 な 場 合 を 見 直 す こ とに よ って こ の"巧 妙 な"方 法 の か ら く りが は っ き りす るの で あ る.つ がRnの

あ る こ と と, 

ま りRnが

リー群 で

正則 表 現 の 微 分 で あ る こ とお よ び た た

み 込 み の 際用 い られ る ル ベ ー グ測 度 がRnの

ハ ー ル測 度 で あ る こ とが 本 質 的 な

の で あ る.   次 に コ ンパ ク ト実解 析 的 多 様 体 上 の 実解 析 的 関 数 お よび解 析 汎 関 数 の ラ プ ラ シ ア ン Δ の固 有 関 数 展 開 に よる特 徴 付 け につ い て述 べ た.或 て  し 

るt>0が

存在し

に よ る像 がL2-関 数 と な る の が実 解 析 的 関数 で あ り,任 意 のt>0に に よ る像 がL2-関

数 と な る の が 解 析 汎 関 数 で あ る.こ

対

の特 徴 付 け で

L2-関 数 を 実解 析 的 関 数 で お き換 え て も よい こ とは この特 徴 付 け 自身 が示 し て い る.応 用 上 は 例 えば 対 称 空 間 上 の球 関 数 展 開 は ラ プ ラ シ ア ン の固 有 関 数 展 開 を 与 え るか ら(こ の事 実 は対 称 空 間上 の調 和 解 析 にお い て本 質 的 で あ る)こ の特 徴 付 け が 対 称 空 間 上 の 調 和 解 析 に 応 用 可 能 と な る.こ の こ とに つ い ては 第2章 第4節 を 参 照 され た い.   第5節

では,フ

ァイ バ ーが バナ ッハ 空 間 であ る よ うな 同 伴 バ ナ ッハ ・バ ン ド

ル を 定 義 し,そ れ を 用 い て 部 分 群 の ユニ タ リ表 現 か らの 誘導 表 現 を定 義 した. これ は ユ ニ タ リ表 現 の 構 成 の た め に 非常 に 重 要 で あ る.

  0.2  [第2章]第1節

では,先 ず 天 下 り的 にSU(2)の

既 約 表 現 の 族{ρn}n∈N

を 与 え,指 標 を 計 算 す る こ と に よ りそ れ らが 既 約 で あ る こ と,互 い に 同値 で な い ことお よび 同値 を除 きす べ て の既 約 表 現 を尽 す こ と を 示 した.次 の複 素化 で あ るSL(2,C)を 直 線 バ ン ドルLnの

にSU(2)

考 え,そ の ボ レ ル部 分 群 の正 則 指 標 ξnの同伴 正則

正 則 な 切 断 全 体 Γ(Ln)上 のSU(2)の

自然 な作 用 に よ り表

現 πnを構 成 し(ρnの 場 合天 下 り的 に 表現 を与えたた め に そ れ が表 現 に な って い る こ とは計 算 を し て み な け れ ば 分 か らな い が,πnの

方 は構 成 の 仕 方 か ら表

現 で あ る こ とは 明 らか で あ る)Γ(Ln)の 元 を 局 所 座 標 系 を 用 い てC上 数 とし て表 わ し た もの が ρnの表 現 空 間 で あ る こ とを 示 した.最 元 はSU(2)上

の正則関

後 に Γ(Ln)の

へ の 制 限 に よ り一 意 的 に 定 ま る こ とを 用 い てL2(SU(2))の

中に

埋 め 込 む こ とに よ り内 積 を 入 れ た.こ の 方 法 に よれ ば この 内 積 が表 現 πnに よ り不 変 で あ る こ と,つ

ま り πnが ユ ニ タ リ表 現 に な る こ とが 自明 で あ る.こ

で 重 要 な こ とは 同 じ表 現 の 色 々な 実 現 を 考 え,個

こ

々の 実 現 に お い て 容 易 に 分 か

る性 質 を そ れ ぞ れ 調 べ,同 値 性 を 使 って 他 の 表 現 空 間 に そ の 事 実 を 伝 え る と い う方 法 に 注 目す る こ とで あ る.ユ ニ タ リ内積 の 入れ 方 に つ い て は 既 に 述 べ た が,表 現 空 間 の 次 元 や ウエ イ トを 調 べ るた め に は ρnが最 も適 し て い る.   第2節 で は,既 約 表 現 は 最 高 ウエ イ トに よ って 定 ま る とい うカル タンの 定 理 を 証 明 す る.こ

れ は 第1節 の 結 果 か ら も証 明 出 来 る が リー環 論 的 な証 明を 与

え,更 に 存 在 定 理 に つ い て も対 称 テ ン ソル の 空 間 で 代 数 的 に 構 成 す る.こ れ ら の 方 法 は そ の ま ま一 般 の半 単 純 リー環 の 場 合 に 拡 張 され る.(松 島[6])   最 後 に 各 既 約 表 現 の カシ ミー ル作 用 素 の 値 を 計 算 して お く.   第3節 で は,先 ず キ リン グ形 式 の-1/2倍 に よ りSU(2)の リー環 をR3と 同 一 視 す る ことに よ り,随 伴 表 現 のあ る点 のSU(2)軌 跡 とし てS2を 実 現 す る. AdSU(2)=SO(3)で

あ る こ とを 使 ってSO(3)の

か ら導 く.こ の よ うに してS2をSU(2)の (あ る点 の 等 方 部 分 群 をKと

す る と)S2上

既 約 表 現 をSU(2)の

等 質空 間 とし て 実 現 す る こ とに よ り の 関 数 はSU(2)上

の 関 数 でKの

右 作 用 で 不 変 な もの と同一 視 され る.こ の こ と とL2(S2)をL2(SU(2))の 空 間 と同一 視す る こ とに よ りPeter-Weylの

既 約表 現

定 理 か らL2(S2)の

部分

球 関数展開を

導 く.   第4節

では,先 ず ラ プ ラシ ア ンを カシ ミー ル作 用 素 に よ って表 わ す こ とに よ

ってそ の ス ペ ク トル分 解 が 得 られ る こ とを 示 す.こ れ は 一 般 の 対 称 空 間 の 場 合 に拡 張 可 能 な方 法 であ る.し か し この方 法 で は カ シ ミール 作 用 素 を 用 い るた め 一般 の等 質 空 間 の場 合 には 適 用 出来 ない.次 に この方 法 の背 後 に あ る等 質 空 間 上 の調 和 解 析 に お け る基 本 原 理 の1つ

と もい え る ものを 引 き 出す た め,カ

シミ

ー ル作 用 素 を 用 い ない で直 接 ラ プ ラ シ ア ンの スペ ク トル 分 解 を 得 る方 法 に つ い て 述 べ る.最 後 に ラ プ ラシ ア ン の ス ペ ク トル分解 に よ るC∞(S2),A(S2),B(S2) 等 の特 徴 付 け を 行 い,そ れ を 用 い て ポ ア ッ ソンの 方 程 式 の 解 の 構 造 を 調 べ る.

  0.3  [第3章]第1節

で は,先

実 現 を 天 下 り的 に 与 え た.次

ずSL(2,R)の

既 約 ユ ニ タ リ表 現 の 具 体 的 な

に そ れ らをSL(2,R)の

と して 実 現 しそ れ らの 間 のintertwining作

等 質 直 線 バ ン ドル の 切 断

用 素 を 与 え た.こ

の よ うに し て 一

見 技 巧 的 に 見 え る表 現 の 構 成 の 仕 方 が リー群 論 的 に 統 一 され,特 に 主 系 列 の 表 現 は 第1章 第5節 で 与 え た 誘 導 表 現 の 特別 な もの で あ る とい う認 識 が 可 能 とな る.最 初 に 与 え た主 系 列 の表 現 はL2(R,1/π dx)上 で実 現 し て い るが,C∞c(R)は 表 現 の 不 変 部 分 空 間 とは な らな い.こ れ は 厳 密 に はRはR∪{∞}と 1点{∞}が

測度0の

た め に 無 視 され た とい う事 情 に よ る.等 質空 間上 の解 析

を考 え る際C∞ 関 数 を 考 え る こ とが 重 要 とな るが,そ い え ど も無 視 出 来 な い.そ

こで非 有 界模 型 をCayley変

し て 考 え る.そ し てSL(2,R)の とSU(1,1)と

はSL(2,C)の

代 りにSU(1,1)を

とは,同

の場 合 に は た とえ1点

と

換 に よ り有 界模 型 に 移

考 え る.こ の ときSL(2,R)

中 で共 役 であ り,こ の 共 役 を 与 え る元 γ∈SU(2)

が 等 質空 間 に 移 る こ とに よ り自然 にCayley変 的 で あ る.0.2に

す べ きで

換 を誘 導 す る と い うこ とが 本 質

お い て も述 べ た が 等 質 空 間 上 の 解 析 学 に お い て最 も重 要 な こ

じ表 現(同 値 な 表 現)を 色 々 な関 数 空 間 に お い て実 現 し,そ れ ら の間 の

intertwining作

用 素 に よ って 或 る実 現 に お い て は 殆 ん ど 自明 で あ る事 柄 を他 の

実 現 に移 す こと に よ り,一 見 複 雑 そ うにみ え る も のを 単 純 な も のに 分 析 す る と い う手 法 であ る.例

え ば離 散 系 列 の表 現 に おけ る 内積 の入 れ 方(表 現 の ユ ニ タ

リ性 が 自 明 で あ る よ うな入 れ 方)既 約 性 の証 明 等 に 注 目し て載 きた い(式(3.53) も参 照 され た い.)  第2節 で は,リ ー環 論 的手 法 に よ る既 約 ユ ニ タ リ表 現 の分 類 につ い て述 べ る.  第3節

で は,球 関数 の み たす 微 分 方 程 式 に つ い て 調 べ る.こ こで 重 要 な のは

等 質 空 間 上 の不 変 微 分 作 用 素 の動 径 方 向 とい う概 念 で あ る.カ シ ミー ル作 用 素 の 動 径 方 向 を 求 め るた め リー群 上 の 第2種 の標 準 座 標 が非 常 に 有 効 に 使 わ れ て い る こ とに 注 意 され た い.こ れ は 等 質 空 間上 の解 析 学 の基 本 原 理 の1つ と も い え る も の で あ る.等

質 空 間 上 の不 変 微 分 作 用 素 の等 方 部 分 群 の 作 用 で対 称 な

(あ る既 約 表 現 に 従 って 変 換 す る)関 数 へ の作 用 を 等質 空 間 か ら リー群 に 移 る こ とに よ って 第2種 の標 準 座 標 を用 い て 計 算 す る方 法 であ る.動 径 方 向 を具 体 的 に 計 算 す る こ とに よ りそれ が 確定 特 異 点 型 の 微 分 方 程 式 に な る こ とを示 す.最 後 に 球 関 数 が ガ ウス の超 幾 何 関 数 を 用 い て表 わ され る ことを 証 明す る.こ の よ うに 表 現 論 にお い て種 々の球 関数 を 具体 的 に 計 算 す る こ とに よ り多 くの特 殊 関 数 が 得 られ る.特 殊 関数 は解 析 学 に お け る"数 学 的 自然"の 重 要 な要 素 を構 成 し て い る.こ れ 迄 上 記 の よ うに して 得 られ る特 殊 関 数 の い くつ か につ い て リー 群 論 的 な研 究 が な され てい るが,ま だ まだ 大 い に研 究 す べ きで あ る と思 う.   第4節

では,非

ユ ニ タ リ表 現 を構 成 し そ の 不 変 部 分空 間 を す べ て決 定 す る.

そ の副 産 物 とし て主 系 列 の 表 現 に つ い て の既 約 性 の 判 定 条 件 の別 証 明 を得 る. 最 後にintertwining作   第5節 お よび 第6節

用 素 に つ い て 述 べ る. にお い て は,は

に対 す るPaley-Wienerの

じめ の計 画 で は 等 質 直 線 バ ン ドル の 切 断

定 理 を証 明 し,そ れ を用 い て第5章

で定義す るラ

プ ラ シ ア ン□ の ス ペ ク トル分 解 につ い て述 べ る予 定 で あ った が,紙 数 の 都 合 で す べ て クラ ス1の 場 合 に限 った

  0.4  [第4章]第1節 1)の2つ

で は,先

ず 古 典 解 析 に お け る ポ ア ッ ソ ン 積 分 がSU(1,

の 等 質 空 間(単 位 円 周 と 単 位 円 板)上 の 関 数 空 間 の 間 の 線 形 写 像 で あ る

こ と に 注 目 し,SU(1,1)の

自 然 な 作 用 に 関 し てintertwining作

うな 最 も 単 純 な 写 像 を 考 え る こ と に よ り,古 こ と を 示 す.次

用素 となるよ

典 的 な ポ ア ッソ ン積 分 が 得 られ る

に 境 界 上 の 直 線 バ ン ドル を 考 え る こ と に よ り ポ ア ン カ レ 計 量 に

関 す る 固 有 関 数 に 対 す る,ポ

ア ッ ソン積 分 の一 般 化 が得 ら れ る こ と を 証 明す

る.   第2節

で は,単

位 円 板 上 の 方 も 直 線 バ ン ドル を 考 え る こ と に よ り第1節

般 化 さ れ た ポ ア ッ ソ ン 積 分 の 更 に 一般 化 を 与 え,そ 殊 化 す る こ と に よ り,古

れ を2つ

で一

の違 った場 合 に 特

典 的 な ポ ア ッ ソン積 分 お よび ユー シ ー 積 分 が 得 られ る

こ とを 示 す.   第3節 で は,SU(1,1)の2つ 1)の複 素化SL(2,C)の

の 等 質 直 線バン ドル を 同 じ直 線 バ ン ドル(SU(1,

等質 直 線 バ ン ドル)に 一 方 を 他 方 の 境 界 と して 埋 め 込 む

こ とに よ り,正 則 な 切 断 の 自然 な 境 界値 を 考 えこの よ うに し て 得 られ るinter twining作

用 素 の像 とし て 可約 な非 ユ ニ タ リ系 列 の 表 現 の 不 変 部 分 空 間 が 得 ら

れ る こ とを 示 す.特 に 正 則 離 散 系 列 の 極 限 の 場 合 に は ユニ タ リ同 値 を 与 え る内 積 と してHardy空

間 が 得 られ る.

  第4節 で は,ポ ア ッ ソン積 分 が 単 位 円 周 上 の解 析 汎 関 数全 体 か ら単 位 円 板 上 の 調 和 関 数(ま た は ラ プ ラ シ ア ンの 固 有 関 数)全 体 の上 へ の線 形 同型 を 与 え る こ とを証 明す る.こ の際 カシ ミー ル作 用 素 の 動径 方 向 が確 定 特 異 点 型 に な る こ と が 本 質 的 で あ り,こ の定 理 を一 般 の対 称 空 間 の場 合 に証 明す るた め 柏 原,大 島 両 氏 に よ り確 定 特 異 点 型 微 分 方 程 式 の多 変 数 へ の拡 張が 得 られ て い る.一 般 の 場 合 の証 明 に は解 析 汎 関 数 と い う概 念 では 不 十 分 で あ り佐 藤 超 関数 な る概 念 が 本 質 的 な役 割 を果 たす.は

じめ の計 画 では 直 線 バ ン ドル の切 断 の場 合 も証 明 を

与 え る予 定 で あ った が,紙 数 の都 合 で第3章

と 同様 す べ て ク ラ ス1の 場 合 に 限

る こと に した.機 会 が あ れ ば これ らを 続 編 と し て ま とめ てみ た い と思 う.

  0.5  [第5章]第1節 た.本

で は い わ ゆ る 自乗 可 積 分 ∂ コ ホ モ ロ ジ ー 空 間 を 定 義 し

書 で は 簡 単 の た め 自 乗 可 積 分 調 和 形 式 の 空 間 と し て こ れ を 定 義 し た が,

リ ー マ ン 計 量 が 完 備 の 場 合 は コ ン パ ク ト台 を 持 つC∞

微 分形 式全 体 を 定 義 域 と

し て ∂作 用 素 を 考 え そ の 閉 被 を 取 り(こ れ も 同 じ ∂ で 表 わ す)Ker∂ の 閉 被 で 割 る こ と に よ りバ ナ ッ ハ 空 間 と し て 商 空 間 を 作 り,こ ∂ コ ホ モ ロ ジ ー 空 間 と よ ぶ べ き で あ る .こ 明 に は 適 し て い る.こ

をIm∂

れ を 自乗 可 積 分

の よ うに し た 方 が 交 代 和 定 理 等 の 証

の と き各 コ ホ モ ロ ジ ー ク ラ ス に 対 し そ の 中 で ノ ル ムが 最

小 で あ る 元 と し て 調 和 形 式 が 得 ら れ,各

コ ホ モ ロ ジ ー ク ラ ス は1つ

そ し て 唯1

つ の調 和 形 式 に よ って代 表 され る.   第2節

で は,Borel-Weil-Bottの

定 理 の3通

こ の 他 に も興 味 深 い 証 明 法 が い くつ か あ る が,紙   第3節 述 べ る.一

で は,Borel-Weil-Bottの

りの 証 明 法 を 与 え る.実

は まだ

数 の都 合 で 省 略 した .

定 理 のSU(1,1)の

場 合へ の拡 張 につ い て

般 の リー 群 の ユ ニ タ リ表 現 の 構 成 に 関 す るKostantの

方法におい

て は,Borel-Weil-Bottの

定 理 の 一 般 の 群 へ の 拡 張 が 必 要 と な る.こ

に 興 味 深 い 課 題 で あ る が,今

れは非常

尚 未 解 決 の 難 問 で あ る.

  0.6  本 書 で 述 べ た 諸 定 理 の 原 典 に つ い て は 殆 ん ど 触 れ な か っ た.ま 文 献 に つ い て も 最 小 限 に と ど め た.特 [25],[27]等

た参考

に[4],[5],[6],[14],[18],[19],[24],

は 大 い に 参 考 に さ せ て 載 い た が,い

ちい ちそ れ につ い て断 わ ら な

か った の で そ れ ら の 著 者 に 対 し お 詑 び す る と 同 時 に 深 く感 謝 の 意 を 表 す る.

  0.7 記 号 は常 用 の もの に な る べ く限 った が,他

の 本 で 異 な る意 味 に使 って

い るか も知 れ な い もの だ け挙 げ て お く.   N(非

負 整 数 全 体),C*(0で

な い複 素 数 全 体),C(M)(位

数 値 連 続 関数 全 体),Cc(M)(C(M)の

  0.8  定 理,補 の2番

題,式

小 節 を 意 味 す る.

の複素

元 で コンパ ク ト台 を 持 つ もの 全 体).

は 各 章 毎 に 番 号 を つ け た.引

目 に 番 号 の 付 い た 式 を 表 わ す.ま

相 空 間M上

た[3.4.5]は

用 す る 場 合(1.2)は 第1章 第3章

第4節

の5番

目の

Ⅰ  ユ ニ タ リ表 現 と 等 質 ベ ク トル ・バ ン ドル

  1.1  位 相 群 の 連 続 表 現   1.1.1 複 素 数 体C上

の{0}で

写 像 全 体 の なす 群 をGL(V)で

な いベ ク トル 空 間Vに 表 わす.群Gか

対 し,V上

らGL(V)の

の 線形 同型

中への準同型

ρ:G→GL(V) をGのV上

の 表 現 と よ び,Vを

同 型 写 像 の と き,忠 とVと

表 現 と い う.Wを

べ て のg∈Gに

対 し ρ(g)W⊂Wが

を 表 現 ρの 不 変 部 分 空 間 と い う.そ G∋g→ を ρのW上

し て,表

V/W∋

表 現 空 間Vの

部 分 ベ ク トル 空 間

成 り立 つ とす る.こ

の と き,W

現

ρ(g)￨W∈GL(W)

の 部 分 表 現 と い い,ρWで

に よ りGのV/W上

に ρが 中 へ の

実 な 表 現 と い う.ρ と 共 に 表 現 空 間 を 明 記 す べ き と き は,ρ

の 組(ρ,V)をGの

と し,す

そ の 表 現 の 表 現 空 間 と い う.特

υ+W→

表 わ す.更

に この と き

ρ(g)υ+W∈V/W

の 表 現 が 得 ら れ る.こ

れ を ρV/Wで 表 わ し,ρ

の ρWに よ

る 商 表 現 と い う.  

Gを

のVへ

位 相 群 とす る.Vを

線 形 位 相 空 間 と し,(ρ,V)をGの

表 現 とす る.G

の作 用 G×V∋(g,υ)→

ρ(g)υ ∈V

が 連 続 の と き,ρ を 連 続 表 現 と い う. 

で あ っ て,ρ

が{0},V以

外 に

閉 不 変 部 分 空 間 を 持 た な い と き,ρ を 既 約 表 現 と い う.(ρ,V),(σ,W)をGの 2つ の 連 続 表 現 と す る.Vか て,す

べ て のg∈Gに

らWの

上 へ の 位 相 同 相 な 線 形 写 像Aが

存在 し

対 し A° ρ(g)=σ(g)°A

が 成 り立 つ と き,ρ と σ は 同 値 で あ る と い い,  の と き は 明 ら か に σ も既 約 で あ る.

と書 く.ρ が 既 約 で,か

つ 

  位 相 群Gの

バ ナ ッ ハ 空 間V上

ル ベ ル ト空 間 で,各

元g∈Gに

の 連 続 表 現 ρを バ ナ ッ ハ 表 現 とい う.Vが 対 し,ρ(g)が

き,ρ を ユ ニ タ リ表 現 と い う.ρ,σ が 共 に ユ ニ タ リ表 現 で,か は 同 値 を 与 え る 写 像Aと   位 相 群Gの2つ

つ 

の とき

し て 等 長 写 像 で あ る も の が 選 べ る(定 理1.4).

の 連 続 表 現(ρ,V),(σ,W)に

続 な 線 形 写 像AでA°

ρ(g)=σ(g)°A(g∈G)を

ル 空 間 をHomG(V,W)と

書 き,HomG(V,W)の

wining作

ヒ

ユ ニ タ リ作 用 素(等 長 写 像)の と

用 素 と い う.V,Wが

対 し,Vか

らWの

中 へ の 連

み た す もの全 体 の な す ベ ク ト 元 をVか

らWへ

のintert

共 に 有 限 次 元 の と き はVか

らWへ

の 線形 写

像 は す べ て 連 続 で あ る こ と を 注 意 し て お く.

  以 下,本 書 で は 位 相 群 の 連続 表 現 の み を 考 え るか ら,連 続 表 現 を 単 に 表 現 と い うこ とに す る.そ し て 連続 性 を 仮定 し な い 単 な る表 現 を代 数 的 な 表 現 と よぶ こ とに す る.   1.1.2 G,Hを とす る.こ

義 す る と,Hの (h∈H)の

共 に 位 相 群 と し,連 続 な準 同型 σ:H→Gが

の と きGの

表 現(ρσ,V)が 得 られ る.特 にHがGの

と き ρσを ρ￨Hと 書 き ρのHへ

べ る た め に,よ

与 えられ て い る

任 意 の 表 現(ρ,V)に 対 し ρσ(h)=ρ(σ(h))(h∈H)と 定 閉 部 分 群 で σ(h)=h

の制 限 とい う.Gの

表 現 の構 造 を 調

り簡 単 な ア ー ベ ル 部分 群 や コン パ ク ト部 分 群 へ の制 限 を考 え る

の は表 現 論 の常 道 で あ り,そ の意 味 で半 単 純 リー群 の表 現論 に お い て は カル タ ン部 分 群 や極 大 コン パ ク ト部 分 群 が 重 要 と な る.す べ て のh∈Kerσ

に対 し

ρσ(h)=I(恒 等 写 像)で あ る ことは 勿 論 で あ るが,σ が 上 へ の 写 像 の と きはKerσ のす べ て の元 が恒 等 写 像 で表 わ され る よ う なHの 存 在 し て ρσの形 で与 え られ る.特 が そ の普 遍 被 覆群 の と き は,Kerσ

にGが

表 現 はGの

適 当 な表 現 ρが

連 結 な コン パ ク ト半 単 純 リー群 でH

は 被 覆 群 と一 致 す るか らHの

中心 に属 す

る有 限群 で あ り,連 結 な コン パ ク ト半 単 純 リー群 の 表 現 を 研 究 す る には 連 結 か つ 単 連 結 な コン パ ク ト(半単 純)リ ー群 の表 現 を 研 究 す れ ば 十 分 であ る.連 結 か つ 単 連 結 な コンパ ク ト(半単 純)リ ー群 の既 約 表 現 は そ の リー 環 の既 約 表 現 と1 対1に 対 応 す るか ら,こ の よ うな リー群 の 既 約 表 現 の 研 究 は そ の リー環 の既 約 表 現 の研 究 に帰 着 す る.   (ρ,V)をGの υ;h∈H}が

表 現 と し,HをGの

部 分 群 と す る.或

有 限 次 元 の ベ ク ト ル 空 間 を 張 る と き,こ

る υ∈Vに

対 し{ρ(h)

れ と同 じ こ とで あ る が υ

が ρ￨Hの 或 る有 限 次 元 の 不 変 部 分 空 間 に 含 まれ る と き,υ を ρ(H)有 限 なベ ク トル とい う.ρ を 固定 し て考 え る とき は単 にH有   1.1.3  Gを

位 相 群 とす る.(ρ,V)をGの

対 空 間 と す る.Gの

各 元gに

限 な ベ ク トル とい う.

有 限 次 元 表 現 と し,V*をVの

双

対 し ρ*(g)=tρ(g)-1

と お く と,ρ*はGのV*上

の 表 現 と な る.こ

れ を ρの 反 傾 表 現 と い う.

(ρ1,V1),…,(ρn,Vn)をGの

有 限 次 元 表 現 とす る と き,Gの

と 定 義 す る と, 

はGの 

…

,ρnの 直 和 表 現 と い う.Gの

(ρ1,V1),…,(ρn,Vn)が

有 限 次 元 表 現(ρ,V)に

と 定 義 す る と, 

有限次元表現

と な る と き ρは 表 現

にGの

はGの 

各 元gに

ρ1,…,ρn

対 し

上 の 表 現 と な る.こ

,ρnの テ ン ソ ル 積 と い う.V1=…Vn=Vで

テ ン ソ ルSn(V)お

対 しGの

れ を ρ1,

に ρ1,…,ρnが す べ て 既 約 の と き ρの 既 約 分 解 と い う.

ま た こ の と き ρを 完 全 可 約 と い う.次

…

対 し

上 の 表 現 と な る.こ

存 在 し て, 

に 分 解 さ れ た と い う.特

各 元gに

よ び 交 代 テ ン ソ ル∧n(V)の

か つ ρ1=…=ρn=ρ 空 間 は 共 に 

れを

ρ1,

の と き対 称 の不変部

分 空 間 と な る.   G1,…,Gnを

位 相 群 と し(ρ1,V1),…,(ρn,Vn)を

元 表 現 と す る.G1×

… ×Gnの

と 定 義 す れ ば 

各 元(g1,…,gn)に

はG1×

し てG1,…,Gnの

上 の 表 現 と な る.こ にG1=…=Gn=Gの

と き は,す

対 し

と な る.ρ1,…,ρnが G1,…,Gnが

有 限 次

対 し

… ×Gnの 

れ を ρ1,…,ρnの 外 部 テ ン ソ ル 積 と い う.特 べ て のg∈Gに

そ れ ぞ れG1,…,Gnの

す べ て 既 約 の と き は 

す べ て コ ン パ ク トの と き はG1× 既約表現

は 既 約 と な る が,逆 … ×Gnの

に

任 意 の 既 約 表 現 ρに 対

ρ1,…,ρnを そ れ ぞ れ 適 当 に 選 べ ば 

と な る.   1.1.4  Gを

位 相 群 と し,(ρ,V),(σ,W)を

共 にGの

有 限 次 元 表 現 と す る.こ

の と き 各A∈HomG(V,W)に

対 し て,

KerA={υ

∈V;Aυ=0}, 

ImA={Aυ;υ

∈V}

は 共 に 不 変 部 分 空 間 と な る こ と が 容 易 に 分 か る.   定 理1.1  G(V,V)は

(シ ュ ー ア の 補 題)(ρ,V)をGの

有 限 次 元 既 約 表 現 とす る と きHom

ス カ ラ ー 作 用 素 全 体 か ら な る.

  証 明   ス カ ラ ー 作 用 素 がHomG(V,V)に

属 す る こ とは 明 ら か で あ る か ら

HomG(V,V)の

任 意 の 元Aに

よ い.α

固 有 値 の 一 つ と し,υ ∈Vを

をAの

と す る.Iを

対 し,Aが

ス カ ラー 作用 素 で あ る こ とを 示 せ ば α に 属 す る 固 有 ベ ク ト ル の1つ

恒 等 写 像 と す る と き 明 ら か にA-αI∈HomG(V,V)で

らKer(A-αI)は

不 変 部 分 空 間 で あ り, 

性 よ りKer(A-αI)=V,即

ちA-αI=0を

あ るか

に 注 意 す れ ば既 約 得 る.故

にAは

ス カラ ー作 用 素

で あ る. 

(証 明 終)

  定 理1.2 

(ρ,V),(σ,W)を

共 にGの

有 限次 元既 約 表 現 とす る と き

が 成 り立 つ.   証 明   dim W)=1を

HomG(V,W)≠0と

仮 定 す る と き 

い え ば よ い. 

空 間 で あ る か ら ρ の 既 約 性 か らKerA={0}か な ら な い が  Aは1対1と

で あ る か ら  な る.一

らImA={0}か

ま た はImA=Wで

HomG(V,W)=1を

  1.1.5  Gを

上 へ の 写 像 と な る.更

で あ る こ と が 分 か っ た.HomG(V,W)の

1.1)に よ りA-1B=λI(但

あ り

得 る. 

各 元gに

対 し

で あ る か ら  にA∈HomG 成 り立 つ.以

元Bを

も う1つ

任意

あ る か ら シ ュ ー ア の 補 題(定 理

し λ は 複 素 数)と 書 け る.従

位 相 群 と し,(ρ,V)をGの

対 バ ナ ッハ 空 間 と しGの

っ てKerA={0}で

対 しA° ρ(g)=σ(g)°Aが

に 取 る と き 明 ら か に,A-1B∈HomG(V,V)で

故 にdim

なければ

な け れ ば な ら な い が  ちAは

あ る か ら す べ て のg∈Gに

上 に よ り 

ま た はKerA=Vで

不 変 部 分 空 間 で あ る か ら σ の既 約 性 か

従 っ てImA=W,即 (V,W)で

HomG(V, 不変部分

を 得 る.従

方ImAはWの

お よ びdim

とす る.KerAはVの

ってB=λAと

な る. (証 明 終)

バ ナ ッ ハ 表 現 と す る.V*をVの

双

ρ*(g)=tρ(g)-1

と 定 義 す る と,ρ*はGのV*上 更 に(ρ,V)がGの

の 表 現 と な る.こ

れ を ρの 反 傾 表 現 と い う.

ユ ニ タ リ表 現 で あ る と 仮 定 し よ う.任

V∋w→(w,υ)∈Cは

有 界 線 形 汎 関 数 で あ る か らV*の

意 の υ∈Vに

対 し

元 υ*を 定 め る.こ

の

とき 内積 の性 質 か ら写 像 *:V∋

υ→

は 複 素 共 役 線 形 な 同 相 写 像 とな る.更

υ*∈V*

に任 意 のg∈G,υ,w∈Vに

対 し  で あ るか ら,可 換

な図 形

が 成 り立 つ.Gの

ユ ニ タ リ表 現 の 族{(ρ λ,Vλ)}λ ∈Λ が 与 え ら れ た と し,ヒ

ル ト空 間 とし て の 直 和 

を 考え る.Gの

各 元gに

の と き 

と定 義 す る と(ρ,V)はGの

れ を ユ ニ タ リ表 現 の 族{(ρ

λ,Vλ)}λ ∈Λ の 直 和 と い い, 

Gの

ユ ニ タ リ表 現(ρ,V)が

λ∈Λ が 存 在 し て, 

与 え ら れ た と き,Gの

ルベ

対 し, 

ユ ニ タ リ表 現 と な る.こ と 書 く.逆

に

ユ ニ タ リ表 現 の 族{(ρ λ,Vλ)}

と な る な ら ば ρは 表 現 の 族{(ρ λ,Vλ)}λ ∈Λ に 分 解 さ

れ た と い う.特

に す べ て の λ∈ Λ に 対 し ρλが 既 約 の と き ρ の 既 約 分 解 と い う.

  G1,…,Gnを

位 相 群 と し,(ρ1,V1),…,(ρn,Vn)を

ニ タ リ 表 現 と す る .G1× 線 形 写 像

ρ(g1,…,gn)で

… ×Gnの

各 元(g1,…,gn)に

任 意 の(υ1,…,υn)∈V1×

を み た す も の が 唯 一 つ 存 在 し,ρ はG1× な)表 現 と な る.写

対 し,  … ×Vnに

… ×Gnの 

ユ 上 の

対 し

上 の(代 数 的

像

か ら 誘 導 さ れ る 写 像  に 

そ れ ぞ れG1,…,Gnの

の 内 積 を 定 義 し,ρ(g1,…,gn)は

は容易に分か るよ う そ の 上 の 等 長 写 像 と な る.従

っ て 

の 完 備 化 を 

と書 く と,G1×

上 の ユ ニ タ リ表 現 ρが 得 ら れ る.こ を

ρ1,…,ρnの 外 部 テ ン ソ ル 積 と い う.特

元gに

… ×Gnの 

の と き 

と 書 き,ρ

にG1=…=Gn=Gの

と き,Gの

各

対 し

と定 義 す る と,  … ,ρnの

はGの 

上 の 表 現 と な る.こ

れ を ρ1,

をそれ ぞれ 

テ ン ソ ル 積 と い う. 

の 正 規 直 交 基 底 とす る と き, 

が 

の 正 規 直交 基 底 とな る.  

G,Hを

位 相 群 と し,(ρ,V),(σ,W)を

る.(σ*,W*)を(σ,W)の

そ れ ぞ れG,Hの

反 傾 表 現 と し,W*か

ミ ッ ト作 用 素 の 全 体 をH(W*,V)と しB*AはW*上

らVへ

書 く と,任

ユ ニ タ リ表 現 と す の ヒ ル ベ ル ト ・シ ュ

意 のA,B∈H(W*,V)に

対

の 核 型 作 用 素 で あ りH(W*,V)は

(A,B)=TrB*A を 内 積 と す る ヒル ベ ル ト空 間 と な る.G×Hの π(g,h)A=ρ(g)Aσ*(h)-1 

と 定 義 す る と,π   さ て,任

の ユ ニ タ リ表 現 と な る. 村 し

B(υ,w)(u)=u(w)υ 

と 定 義 す れ ば,明

対 し

(A∈H(W*,V))

はG×HのH(W*,V)上

意 の(υ,w)∈V×Wに

各 元(g,h)に

(u∈W*)

ら か にB(υ,w)∈H(W*,V)で

あ り

V×W∋(υ,w)→B(υ,w)∈H(W*,V)

は 双 線 形 写 像 で あ る か ら,線 形 写 像 

で

を み た す も の が 一 意 的 に 存 在 す る.{υ1,υ2,…}お れV,Wの

正 規 直 交 基 底 と す る.こ

で あ る か らB(υk,wl)*υm=δkmw*l,よ

を 得 る.故

に

の とき

って

よ び{w1,w2,…}を

それぞ

が 成 り立 ち,従 る.ま

っ て{B(υi,wj);i,j=1,2…}はH(W*,V)の

たH(W*,V)の

任 意 の 元 がB(υi,wj)の

さ れ る こ と は 明 ら か で あ る か ら,こ 故 にAは 

正 規 直交 系 とな 形 の 元 の一 次 結 合 と し て表 わ

の 正 規 直 交 系 はH(W*,V)の

の 正 規 直 交 基 底 をH(W*,V)の

てAは 

か らH(W*,V)の

一 方 任 意 の(g

で か つ,任

正 規 直 交 基 底 に 写 す.従

っ

上 へ の等 長 線 形 写 像 に一 意 的 に 拡張 され る.

,h)∈G×H,(υ,w)∈V×Wに

意 のu∈w*に

基 底 と な る.

対 し

対 し

で あ るか ら

と な る.従

っ て 任 意 の(g,h)∈G×Hに

が 成 り立 つ.故   1.1.6  Gを

に 

で あ る こ と が 分 か った.

位 相 群 と し,(π,V)を

で あ る と仮 定 し,Wを{0},V以

間 をW⊥

対 し

そ の ユ ニ タ リ表 現 と す る.(π,V)が 外 の 閉 不 変 部 分 空 間 とす る.Wの

と 書 く と 

(直交 分 解)と な るが,任 意 の υ∈W⊥ に 対 し

(π(g)υ,w)=(υ,π(g-1)w)=0(w∈W)が 故 にW⊥

の 直 交 射 影 をPWと

P∈HomG(V,V)が ら か にWはVの 意 味 で,Vの 1に 対 応 す る.

を 得 る.

は

有 限 次 元 の と き は,こ

が 既 約 分 解 さ れ る こ と が 分 か る.故 る.Wへ

成 り立 つ か ら,π(g)υ ∈W⊥

も 閉 不 変 部 分 空 間 で あ り,π

と 直 和 分 解 さ れ た.Vが

可約 直交補空

れ を 続 け て い くこ とに よ って π

に 有 限 次 元 の ユ ニ タ リ表 現 は 完 全 可 約 で あ

書 け ば 明 ら か にPW∈HomG(V,V)で

射 影 で あ る と し(即 ちP2=P,P*=P),W=PVと 閉 不 変 部 分 空 間 で,か

つPはWへ

閉 不 変 部 分 空 間 全 体 と,HomG(V,V)に

あ る.逆

に

おけば 明

の 直 交 射 影 と な る.こ 属 す る射 影 全 体 と は1対

の

  補 題1.1  素 とす る.こ

(π,V)をGの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と し,AをV上

の と き 更 に す べ て のg∈Gに

の 自己 共 役 作 用

対 し て π(g)がAと

可 換 な ら ばA

は ス カ ラ ー 作 用 素 で あ る.

 証明

をAの

ス ペ ク トル 分 解 と す る と,す

と 可 換 で あ る か ら,各 Eλ=0,Iと

な る.故

べ て のg∈Gに

射 影Eλ(λ ∈R)と

対 し 仮 定 に よ り π(g)はA

も可 換 と な る.従

って π の既 約 性 か ら

に{Eλ}λ ∈Rの 性 質 か ら 或 る λ0∈Rが

存 在 し てA=λ0I

と な る.    定 理1.3 

(証 明 終) (シ ュ ー ア の 補 題)位 相 群Gの

た め の 必 要 十 分 条 件 はHomG(V,V)が

ユ ニ タ リ表 現(π,V)が

既約 である

ス カ ラ ー作 用 素 のみ か ら成 る こ とで あ

る.   証 明   (必 要 性)A∈HomG(V,V)と

す る と,す

=A° π(g)で あ る か らA*° π(g)*=π(g)*°A*と あ る か ら π(g)*=π(g)-1が り,す べ て のg∈Gに V)で

成 り立 ち,上

あ る こ と が 分 か っ た.そ

B,Cは

式 でgの

対 し π(g)°A*=A*°

対 し π(g)°A

ユ ニ タ リ作 用 素 で

代 りにg-1を

π(g)を 得 る.故

考 える こ と に よ

にA*∈HomG(V, とお く と,

こ でB=A+A*, 

共 に 自 己 共 役 で か つHomG(V,V)に

B,Cは

べ て のg∈Gに

な る.π(g)は

共 に ス カ ラ ー 作 用 素 で あ る.従

属 す る.故

に 補 題1.1に

よ って

も ス カ ラ ー

っ て 

作 用 素 であ る.   (十 分 性)(π,V)が す る.Wへ

可 約 で あ る と し,Wを{0},V以

の 直 交 射 影 をPWと

書 く とPW∈HomG(V,V)で

外の閉不変部分空間 と し か もPWは

ラ ー 作 用 素 で は な い.   

Gが

ア ー ベ ル 群 の と き は す べ て のg∈Gに

か ら π が 既 約 な ら ば 定 理1.3よ る.故

りWの

対 し π(g)∈HomG(V,V)で

  系   ア ー ベ ル 群 の 既 約 ユ ニ タ リ表 現 は1次 (ρ,V),(σ,W)を

共 にGの

あ る

すべ て の部分空間が不変部分空間 とな

に 次 の 系 を 得 る.

  定 理1.4 

ス カ

(証 明 終)

元 で あ る.

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と す る と き

が 成 り立 ち,更

に 

の と き はHomG(V,W)は

 証 明 

等 長 写 像 を 含 む.

と 仮 定 し てdim

G(V,W)が

HomG(V,W)=1お

上 へ の 等 長 写 像 を 含 む こ と を 示 せ ば よ い.こ

に よ り 

と な る. 

{0}で

で あ る か ら, 

あ りAは1対1と

な る.一

方(ImA)⊥

はWの

よ り 

が い え る.従

を 得 る.故

にImAはWで

稠 密 で あ る.A=URをAの

の 既 約 性 か ら(ImA)⊥={0} 極 分 解 と す る とR=

な る.ρ

は 既 約 で あ る か らRは

カ ラ ー 作 用 素cI(c>0)で

な け れ ば な ら な い.故

で あ り,HomG(V,W)は

中 へ の 等 長 写 像 を 含 む.Aは1対1でImAは

だ か らUは

=λI(但

し λ は 複 素 数)と 書 け る .従

(V,W)=1で

元Bを

稠密 も う1つ

任意 に

あ る か ら σ の 既 約 性 に よ りBU-1 っ てB=λUを

得 る.故

あ る. 

にdim

HomG

(証 明 終)

  1.2  コ ン パ ク ト位 相 群 の 表 現 とPeter-Weylの   こ の 節 で はGは

ス

にU=c-1A∈HomG(V,W)

上 へ の 等 長 写 像 で あ る.HomG(V,W)の

取 る と き 明 ら か に.BU-1∈HomG(W,W)で

得

っ てKerA=

閉 不 変 部 分 空 間 で あ るか

っ て,σ

あ る か ら,R∈HomG(V,W)と

閉不変

ま た はKerA=Vを

で な け れ ば な ら な い.従

ら, 

(A*A)1/2で

の と き,こ の 等 長 写 像

と す る と,KerAはVの

部 分 空 間 で あ る か ら ρの 既 約 性 に よ りKerA={0}か る が, 

よ びHom

理論

コ ン パ ク ト位 相 群 と す る.

  1.2.1  (ρ,V)をGの

バ ナ ッハ 表 現 と し,Vが

内 積(・,・)を 持 つ と 仮 定 す る.

(つ ま り 「Vは 内 積(・,・)に 関 し ヒ ル ベ ル ト空 間 に な り,こ の 内 積 の 定 め る ノ ル ム はVの

バ ナ ッ ハ 空 間 と し て の ノ ル ム と 同 値 で あ る 」 と仮 定 す る.)明

らかに

有 限 次 元 表 現 は す べ て こ の 条 件 を み た す.   Vの2元

υ,wに

(但 しdxはGの

対 し

正 規 化 され た ハ ー ル 測 度)と 定 義 す る と,(ρ(x)υ,ρ(x)υ)はG

上 の 非 負 値 連 続 関 数 だ か ら  す べ て のx∈Gに 0即

ち υ=0を

で あ る.こ

対 し(ρ(x)υ,ρ(x)υ)=0と 得 る.更

こ で 等 号 が 成 り立 つ と す る と,

な り,特

に 任 意 のg∈Gυ,w∈Vに

にx=eと 対 し

お い て(υ,υ)=

が 成 り立 つ か ら ρ(g)は 内 積(・,・)ρに 関 し ユ ニ タ リ作 用 素 に な る.一 υ∈Vに る.故

対 し 表 現 の 連 続 性 か ら ρ(G)υ は コ ン パ ク ト と な り,従 に 共 鳴 定 理 に よ り ρ(G)はL(V,V)の

Mが 存在 して 

とな る.そ

って 有 界 で あ

有 界 集 合 で あ る.故

を み たす.従

って任 意 のg∈Gに

こで両 辺 を積 分 し て 

を 得 る.更

方任意 の

に 正 の実 数

対し

に

が 成 り立 つ こ と が 分 か る.故

で あ る か ら, 

に

(・,・)の定 め る ノ ル ム と(・,・)ρの 定 め る ノ ル ム と は 同 値 で あ る.[1.1.6]で し た よ う に 有 限 次 元 の ユ ニ タ リ表 現 は 完 全 可 約 で あ る か ら,次

示

の 定 理 を 得 る.

 定 理1.5  コ ン パ ク ト群 の 有 限 次 元 表 現 は 完 全 可 約 であ る.  この 定 理 と定 理1.3の 系 か ら次 の 系 を得 る.   系   コ ン パ ク トア ー ベ ル 群 の 既 約 表 現 は1次  1.2.2  (ρ,V)をGの   Vの

元uを1つ

と しVの

ユ ニ タ リ表 現 と す る.

任 意 に 取 り,そ れ を 固 定 し て 考 え る.Cuへ

ら か にA∈HomG(V,V)で

コ ン パ ク ト作 用 素 で あ り,任

有 界 で あ る か ら,コ

あ る.ImPは 意 のx∈Gに

有限次元 であるか

対 し ρ(x)-1,ρ(x)は

共に

ン パ ク ト作 用 素 全 体 が 有 界 作 用 素 全 体 の 中 で 両 側 イ デ ア ル

を な す こ と に 注 意 す れ ば ρ(x)-1Pρ(x)は コ ン パ ク ト作 用 素 全 体 はL(V,V)の と な る.任

の 直 交 射 影 をP

各 元 υ に対 し

と 定 義 す る と,明 ら,Pは

元 で あ る.

意 の υ,ω ∈Vに

対 し

コ ン パ ク トで あ る こ と が 分 か る.更

中 で 閉 集 合 を な す か ら,Aは

に

コン パ ク ト

が 成 り立 つ か らA*=Aを

で あ る か らAは

得 る.従

正 定 値 で あ る.故

ってAは

にAは

自 己 共 役 で あ る.更

に

次 の よ う に ス ペ ク トル 分 解 さ れ る.

(直交 分 解) 但 しVk={υ

∈V;Aυ=λkυ},で

こ の と き,任

意 のg∈G,υ

が 成 り立 つ か ら,Vkは

∈Vkに

対 して

不 変 部 分 空 間 で あ る.ま

で あ る か ら,Pρ(x)υ=0(x∈G),従 を 得 る.以

λ1>λ2>…,

か つ,λ0=0, 

た 任 意 の υ∈V0に

っ て 特 にPυ=0と

な る.故

対 し

に,(u,υ)=0

上 に よ り

 (1.1)

で あ る こ と が 証 明 され た.

  さ て,互 い に 直交 す る有 限次 元 不 変 部 分 空 間 の族{Vα}α ∈Aの 全 体 を Ω とす る.任 意 の ω,ω′ ∈Ω に 対 し ω⊂ω′(集合 と して の 包 含 関 係)の と き   定 義 す る と 〓 は Ω 上 の 半 順 序 と な る.Σ ると  

従 って

を Ω の 任 意 の全 順 序 部 分 集 合 とす

は 明 らか に Σ の上 界 で あ る.故 にZornの

を 持 つ.そ

の1つ

を{Vα}α

∈Aと

す る と,上

限 次 元 で あ る か ら,定

理1.5に

の(1.1)よ

を 得 る.任

ρVα=ρ α と お く と 

よ り, 

と

意の

補 題 か ら Ω は極 大 元 り 

α∈Aに

と な る.

対 しVα

は有

と既 約 な不変部分空 間

に 分 解 され る. 

とお き各 λ∈ Λ に 対 し ρλ=ρVλ と

お くと,ρ λは す べ て 既 約 な有 限 次 元 表 現 で,か つ 

を 得 る.

 以 上 に よ り定 理1.5の 拡 張 で あ る次 の 定 理 が 証 明 され た.   定 理1.6 

コ ン パ ク ト群 の 任 意 の ユ ニ タ リ表 現 は 有 限 次 元 既 約 表 現 に 分 解 さ

れ る(従 っ て コ ン パ ク ト群 の ユ ニ タ リ表 現 は す べ て 完 全 可 約 で あ る).   こ の 定 理 か ら 直 ち に 次 の 系 を 得 る.   系  コ ン パ ク ト群 の 既 約 ユ ニ タ リ表 現 は 有 限 次 元 で あ る.   1.2.3  (ρ,V)をGの 直 交 基 底 の1つ

有 限 次 元 の ユ ニ タ リ表 現 と し,{υ,…,υn}をVの

と す る.各g∈Gに

対 し

に よ り ρijを定 義 す れ ば,ρij(g)=(ρji(g)υj,υi)(g∈G)で はG上 す るn次

正規

の 連 続 関 数 で あ る.ρijを

あ る か ら, 

ρの 行 列 要 素 と い う.ρij(g)を(i,j)成

分 と

正 方 行 列 を(ρij(g))と 書 け ば G∋g→(ρij(g))∈GL(n,C)

はGのCn上

の 表 現 と な る.こ

同 値 で あ る.故

れ を 行 列 表 現 と い う.こ

の表 現 は 明 らか に ρと

に 任 意 の 有 限 次 元 表 現 は 或 る 行 列 表 現 と 同 値 で あ る.ρ

タ リ表 現 で あ るか ら(ρij(g))(g∈G)は

はユニ

す べ て ユ ニ タ リ行 列 で あ る こ と を 注 意 し

て お く.

 さ てGの

各 元gに

対し χ ρ(g)=Trρ(g)

と定 義 す れ ば χρはG上 (g)ρ(x)ρ(g-1)=Trρ(x)=χ

の 連 続 関 数 で あ り,g,x∈Gの

ρ(x)で あ る か ら χρ(x)の 値 はxの

す る.χ ρを 表 現 ρ の 指 標 と い う.次 す る と,任

意 のg∈Gに

と き χρ(gxg-1)=Trρ

に  

共 役 類 の み に依 存

と し 同 値 を 与 え る作 用 素 をAと

対 し

と な るか ら指 標 は 同 値 類 の み に よ っ て 定 ま る こ と が 分 か る.   定 理1.7 

コ ン パ ク ト群Gの2つ

き,  列 要 素 と す る.こ

の 既 約 表 現(ρ,V),(σ,W)が

与 え られ た と

を そ れ ぞ れ の(正 規 直 交 基 底 に 関 す る)行 の とき

が 成 り立 つ.   証 明   ρ(g)=(ρij(g)),σ(g)=(σkl(g))と σ は 共 に 既 約 で あ る.Bを

と お く と,任

任 意 の(n,m)行

意 のg∋Gに

が 成 り立 つ. 

成 分 が す べ て0で

で あ る か ら,ρ,

列 とし

対 して

の と きは  

注 意 す れ ば 定 理1.2よ

お く と, 

で あ る か ら,ρ,σ

りA=0を

得 る.従

っ てBと

あ る よ う な 行 列 を 取 りAの(i,l)成

が 共 に 既 約 であ る こ とに し て(j,k)成

分 が1で

他 の

分 を 調 べ れ ば σ(x)が ユ

ニ タ リ行 列 で あ る こ と か ら

と な る.ρ=σ 理1.3に

の と き は,ρ

よ りA=aIと

が 既 約 で あ る こ と か ら ρが 既 約 に な り,従

書 け る(aは

勿 論Bに

依 存 す る).故

って 定

に

 (1.2)

を 得 る.両

辺 の トレー ス を取 って

な る こ とが 分 か る.こ

こ でBと

る よ う な 行 列 を 取 れ ば,na=δjkと (1.2)式

の(i,l)成

を 得 る. 

し て(j,k)成 な る.従

分 が1で っ て 

他 の 成 分 が す べ て0で が 成 り立 つ.故

あ に

分 よ り

(証 明終) で あ る こ とに 注 意 す れ ば こ の定 理 か ら直 ち に 次 の系 を 得 る.

系

  1.2.4  (ρ,V)をGの

有 限 次 元 表 現 と す る と ρは 完 全 可 約 で あ る か ら

と既 約 表 現 に 分 解 され る.こ の分 解 に現 わ れ る既 約 表 現 の うち互 い に 同 値 で な い もの を(必 要 な ら改 め て番 号 を付 け換 え て)ρ1,…,ρrと し各  の既 約分 解 にmi回

が上

現 わ れ る もの とす る.こ の と き

と書 くこ とに す れ ば χ ρ=m1χ

で あ る か ら定 理1.7の

ρ1+…+mrχ

系 よ りmi=(χ

ρ,χ ρi)を得 る.miを

の 重 複 度 と い い,(ρ:ρi)で 表 わ す.重 標 が 等 し い よ う な2つ

ρr

複 度 は 指 標 の み に よ っ て 定 ま る か ら,指

の 表 現 は 同 値 で な け れ ば な ら な い.ρ,σ

有 限 次 元 表 現 とす る と き(ρ:σ)=(χ ρ,χ σ)とお く と,ρ 持 つ た め の 条 件 は  χρ)=m21+…+m2rが 存 在 し てmi=1で

ρの 中 に 含 ま れ る ρi

で あ る こ と が 分 か る.両 成 り立 ち,従

か つ 

っ て(χ ρ,χρ)=1な と な る.こ

をGの2つ

の

と σが 同値 な既 約成 分 を び 定 理1.7の ら ば,或

の と き 

系 に よ り(χρ,

る 

が

で あ る か ら ρは

既 約 で あ る.

  以上 に よ り次 の定 理 が成 り立 つ こ とが分 か った.   定 理1.8  (1)コ ンパ ク ト群 の2つ

の有 限 次 元 表 現 が 同値 で あ る た め の必 要 十

分 条 件 は そ れ ら の指 標 が 一 致 す る こ とで あ る.   (2)コ ン パ ク ト群 の有 限次 元 表 現 ρが 既 約 であ る た め の必 要 十 分 条 件 は(χ ρ, χρ)=1が 成 り立 つ こ とで あ る.   1.2.5 G上 の 複 素 数 値 連 続 関 数 の 全 体 をC(G)と

書 く.任 意 のg∈G,f∈C

(G)に 対 し (Lgf)(x)=f(g-1x), 

と お く.更

に 任 意 のf1,f2∈C(G)に

(Rgf)(x)=f(xg) 

対 し

(x∈G)

に よ りC(G)上

の 内 積 を 定 義 す る と,Lg,Rgは

の 完 備 化 をL2(G)と

書 く と,Lg,Rg(g∈G)はL2(G)上

一 意 的 に 拡 張 さ れ る .こ な る.表

共 に 等 長 作 用 素 で あ り,C(G) の ユ ニ タ リ作 用 素 に

の と き(L,L2(G)),(R,L2(G))はGの

ユ ニ タ リ表 現 に

現 の 連 続 性 の 証 明 は も っ と 一 般 の 場 合 に[1.5.3]で

そ れ ぞ れ(Gの)左

正 則 表 現,右

  さ て(ρ,V)をGの

内 積(・,・)がVに

正 則 表 現 と い う.

有 限 次 元 の 既 約 表 現 と し,Vの

で 示 し た よ うに,す

べ て のg∈Gに

入 る.Vの

次 元 をdρ と す る.[1.2.1]

対 し ρ(g)が ユ ニ タ リ作 用 素 と な る よ う な

正 規 直 交 基 底 

とす る と,任 意 のx∈Gに ら,ρij(x-1)=ρji(x)が

に 関 す る 行 列 要 素 を 

対 し(ρij(x))は ユ ニ タ リ行 列 で あ る か

成 り立 つ.ρij(x)=ρij(x)(x∈G)と

で 張 ら れ る,L2(G)の がL2(G)ρ

与 え る.L,Rを

部 分 空 間 をL2(G)ρ

お き, 

と 書 く と 定 理1.7に

の 正 規 直 交 基 底 と な る.L2(G)ρ

の み に 依 存 す る か ら こ れ をL2(G)[ρ]と

よ り 

は ρ の 同 値 類[ρ]

も 書 く こ と に す る.任

意 のg,x∈Gに

対 し

で あ る か ら, 

が 成 り立 つ.故

で 張 ら れ る 部 分 空 間 をVkと

にL2(G)ρ

は 左 正 則 表 現 の 不 変 部 分 空 間 で あ り,そ

は す べ て ρ と 同 値 で 重 複 度 はdρ で あ る.ρ (g))-1=(ρij(g))(g∈G)で ∈Gに

書 く と,

の既 約 成 分

の 反 傾 表 現 ρ*の 行 列 表 現 はt(ρij

与 え ら れ る か らρ*ij=ρijで

あ る.従

っ て 任 意 のg,x

対 し

が 成 り立 つ か ら, 

と な る.故

にL2(G)ρ

で 張 ら れ る 部 分 空 間 をWkと

は 右 正 則 表 現 の 不 変 部 分 空 間 で,そ

ρ*と 同 値 で 重 複 度 はdρ で あ る.

書 く と,

の既約成分はすべて

  V*をVの る.任

双 対 空 間 と し, 

意 の υ∈V,u∈V*に

を  対 し

fu,υ(x)=u(ρ(x)-1υ) 

と 定 義 す れ ば,明

ら か にfu,υ ∈L2(G)ρ

は 双 線 形 で あ る か ら,任

の 双 対 基 底 とす

(x∈G)

で あ り,更

意 の(υ,u)∈V×V*に

に写像

対 し 

をみ

たす線形写像

が 一 意 的 に 存 在 す る.こ ら,AはV 

V*か

∈V×V*と

す ると

の と き 

らL2(G)ρ

が 成 り立 つ か ら 任 意 の(g1,g2)∈G×Gに

を 得 る.故

であ るか

の 上 へ の 等 長 写 像 に な る.g1,g2,x∈G,(υ,u)

対 し

に

で あ る こ とが 証 明 され た.   さてLはGの

ユ ニ タ リ表 現 だ か ら定 理1.6に よ り有 限 次 元 の既 約 表 現 に 分

解 され る.そ の既 約 な 不 変 部 分 空 間 の1つ をVと 規 直 交 基 底 

を 適 当 に 選 べ ば,任 意 のg∈Gに

であ るか ら,殆 ん どす べ て のx∈Gに

が 成 り立 つ.故

し,LV=ρ

に, 

と, 

はG上

とお く.Vの

正

対し

対し

の 連 続 関 数 で あ り,特

と な る か らfi∈L2(G)ρ

にx=eと

を 得 る.故

お く にV⊂L2

(G)ρ で あ る こ とが 分 か った.  以 上 に よ りGの

既 約 表 現 の 同値 類 全 体 をGで

表 わす と き次 の定 理 お よび系

を 得 る.   定 理1.9 

(Peter-Weylの

定 理)コ ン パ ク ト群Gに

対 し 次 の(1),(2)が

成 り立

つ.

  (1) ρをGの 正 則 表 現Rの

有 限 次 元 の既 約 表 現 とす る とL2(G)ρ は 左 正 則 表 現Lお 不 変 部分 空 間 で,そ れ ら の制 限 を それ ぞれL[ρ],R[ρ]と

よび 右 書 く と,

が 成 り 立 つ.  (2)

  G∋[ρ]→[ρ*]∈Gが1対1上

へ の 写 像 で あ る こ と に 注 意 す れ ば 次 の糸 を

得 る.

お よび 

  系   (1)  は 共 にL2(G)の

正 規 直 交 基 底 で あ る.

 (2)

  1.2.6  HをGの 積 を(・,・)Vで

閉 部 分 群 と し,(ρ,V)をHの 表 わ し,こ

の 内 積 の 定 め る ノ ル ム を‖・‖Vと 書 く.G上

値 を 持 つ 連 続 関 数 全 体 をC(G,V)で

と お く.こ (Eρ)はEρ

こにEρ

ユ ニ タ リ表 現 と す る.Vの のVに

表わし

は[1.5.1]で

定 義 す る ρに 同 伴 す る ベ ク トル バ ン ドル でC

の 連 続 な 切 断 全 体 と 同 一 視 さ れ る.こ

こ で はEρ の 定 義 を 知 ら な く

て も(つ ま りEρ の 定 義 そ の も の を 議 論 し な い で)C(Eρ)の よ り定 義 す る も の と考え る.任

内

意 のg∈G,f∈C(Eρ)に

(π,(g)f)(x)=f(g-1x) 

意 味 を上 式 の 右辺 に 対 し

(x∈G)

と定 義 す る と,明 らか に G∋g→

π ρ(g)∈GL(C(Eρ))

は 準 同 型 で あ る.C(Eρ)の2元f1,f2に

と お く と,(・,・)はC(Eρ)の

対 し

内 積 と な り,任

意 のg∈G,f∈C(Eρ)に対

し

が 成 り立 つ か ら πρ(g)は 等 長 作 用 素 で あ る.従 と 書 く と,π ρ(g)はL2(Eρ)の πρはGのL2(Eρ)上 の 場 合 に[1.5.3]で

っ てC(Eρ)の

完 備 化 をL2(Eρ)

ユ ニ タ リ作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.こ

のとき

の 連 続 表 現 と な る.表

現 の連 続 性 につ い ては も っと一 般

証 明 す る こ と に す る.π

ρを ρか ら 誘 導 さ れ た 表 現 と よ

び,

と 書 く.ま

た,こ

れ らを ま とめ て

と も書 く.  さ て,{(ρ

λ,Vλ)}λ∈ Λ

と お く.C(Eρ)の

各 元fに

(但 しfλ(x)∈Vλ)に (G,Vλ)で

をHの

ユ ニ タ リ 表 現 の 族 と し,

対 し

よ りG上

のVλ 値 関 数fλ を 定 義 す れ ば,明

あ り,か つx∈G,h∈Hの

と な る か らfλ ∈C(Eλ)を

得 る.こ

ら か にfλ∈C

とき

の と き,任

意 のx∈Gに

対 し

であるか ら

が 成 り立 つ.更

に 任 意 のg,x∈Gに

対 し

で あ る.

 以上 に よ り

が 証 明 さ れ た.故   定 理1.10 

Hを

に 次 の 定 理 を 得 る. コ ン パ ク ト群Gの

閉 部 分 群 と し,{(ρ λ,Vλ)}λ ∈Λ をHの

ユニ

タ リ表 現 の 族 とす れ ば

が 成 り立 つ.  こ の 定 理 に よ り 

ρの既 約 分解 を 調 べ る場 合 に は ρが 既 約 の と き調 べ れ

ば よ い こ と が 分 か る.そ   f∈C(G),υ

∈Vに

こ で,以

下(ρ,V)は

対 し fv(x)=f(x)υ

と 定 義 す る と,明

既 約 と 仮 定 す る.

ら か にfυ ∈C(G,V)で

 

(x∈G)

あ り,か つ

C(G)×V∋(f,υ)→fυ

∈C(G,V)

は 双 線 形 写 像 で あ る か ら,任 意 のf∈C(G),υ

∈Vに

対 し 

をみ

たす線形写像

が 一 意 的 に 存 在 す る.Vは あ る.さ f)(x)υ,お

てfυ ∈C(Eρ)と

有 限 次 元 で あ る か ら,Aは す る とx∈G,h∈Hの

と きfυ(xh)=f(xh)υ=(Rh

よ びfυ(xh)=ρ(h)-1fυ(x)=f(x)ρ(h)-1υ

を 得 る.ま た 明 らか に任 意 のg∈Gに

が 成 り立 つ.f∈C(G),υ

∈Vの

明 らか に 上 へ の 写 像 で

が 成 り立 つ か ら

対し

とき

とな る か ら

と お く と,Aは  さ れ る.定

理1.9よ

か らL2(Eρ)の り 

で 不 変 で あ る こ とに注 意 す れ ば

上 へ の 等 長 写 像 に一 意 的 に 拡 張 で あ る か らL2(G)ω

がRh(h∈H)

とお くと

と な る.次

に ω∈Gを1つ

固 定 し(σ,W)∈

と な り,か は 

に よ りdim す る.故

く知 ら れ た 線 形 同 型 

で 不 変 な 元 全 体 はHomH(W,V)全

が 成 り立 つ.更

に こ の 同 型 に よ りLg 

HomH(W,V)は

り 

つ こ の 線 形 同 型 対 応 に よ っ て 

に 対 応 す る.よ

よ り 

ω とす る と定 理1.9よ

σ￨Hの

Iは

に 体 に写 る か ら

ρ(g) Iに 対 応 す る.一

方 定 理1.4

中 に 含 ま れ る ρ の 重 複 度(σ￨H:ρ)に

一致

に

で あ る こ とが 分 か っ た.   以 上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.   定 理1.11 

(フ ロ ベ ニ ウ ス の 相 互 律)Hを

ρ,σ を そ れ ぞ れH,Gの

コ ン パ ク ト群Gの

閉 部 分 群 と し,

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と す れ ば

が 成 り立 つ.

  1.3  局 所 コ ン パ ク ト群 の ユ ニ タ リ表 現 と 群 環 の*表   こ の 節 で はGは 群 とす る.こ

の と きGの

  1.3.1  〓 をC上 え ら れ,任

第2可

意 の 

現

算 公 理 を み た す 局 所 コ ン パ ク トユ ニ モ ジ ュ ラ ー 位 相 左 ハ ー ル 測 度 は 右 ハ ー ル 測 度 で あ る.

の バ ナ ッ ハ 空 間 とす る.群

と し て 準 同 型 

が与

に対 し

 (1.3)

がg=e(単

位 元)で 連 続 で あ る と す る.こ

の とき

 (1.4)

が 連 続 と な る.従   任 意 に 

っ て π は 連 続 表 現 と な る.次 を 固 定 す る.(1.3)で

与 え ら れ た 正 数 εに 対 し(Gは

に この こ と を 証 明 し よ う. φ=π(g0)φ0と

局 所 コ ン パ ク トで あ る か ら)Gに

お く と,任

意に

お け る単 位 元

の コ ン パ ク ト な 近 傍Kが 立 つ.任

意 の 

存 在 し て ‖π(g)π(g0)φ0-π(g0)φ0‖<ε(g∈K)が

に 対 し て π(K)φ は コ ン パ ク ト集 合 の 連 続 像 で あ る か ら コ

ン パ ク ト と な り,従

っ て 有 界 で あ る.故

  が 成 り立 つ.故 g-10∈Kに

成 り

に 共 鳴 定 理 よ り正 数Mが

にg∈Kg0で

かつ

‖ φ-φ0‖<ε

存在 して の と きg

注 意す れ ば

を 得 る.故

に(1.4)は 連 続 で あ る.上

記 の 証 明 で はGが

第2可

算公理をみたす

こ と も ユ ニ モ ジ ュ ラ ー と い う こ と も使 っ て い な い こ と に 注 意 さ れ た い.   1.3.2  (π,〓)をGの

ユ ニ タ リ表 現 と す る.G上

分 関 数 の 全 体(但

し 測 度0の

す る)をL1(G)で

表 わ す.こ

集 合 の 上 を 除 い て は 一 致 す る2つ の と き任 意 のf∈L1(G)に (dxはGの

と定 義 す る と,L1(G)は f2∈L1(G)に

対 しf1とf2の

対 し

とな る か ら

の関 数 は 同一 視

対 し ハ ー ル 測 度)

こ の ノ ル ム に 関 し バ ナ ッ ハ 空 間 と な る.更 に 任 意 のf1,

に よ り定 義 す る と,L1(G)は ∈L1(G)に

の ハ ー ル測 度 に関 す る 可 積

積(ま た は た た み こ み と も い う)を

こ の 積 に 関 しC上

の 多 元 環 と な る.任

意 のf1,f2

 (1.5)

が 成 り立 つ.一

般 に バ ナ ッ ハ 空 間 に 積 が 与 え られ て 多 元 環 と な っ て お り,更

積 が(1.5)を み た し て い る と き,バ   L1(G)の

各 元fに

a1,a2∈Cの

とき

に

ナ ッ ハ 代 数 と い う.

対 しf*(x)=f(x-1)(x∈G)と

お く と,f,f1,f2∈L1(G),

 (1.6)

が 成 り立 つ.最

後 の式 以外 は 明 らか で あ り,最 後 の式 に つ い てはGが

ジ ュ ラー で あ る こ とに 注意 す れ ば任 意 のx∈Gに

で あ る か ら よ い.再

びGが

ユニモ

対し

ユ ニ モ ジ ュ ラ ー で あ る こ と を 使 え ば 任 意 のf∈L1

(G)に 対 し

と な る か ら,  (1.7) 

‖f*‖=‖f‖

が 成 り立 つ.バ

ナ ッ ハ 代 数 に 対 し(1.6),(1.7)を

れ て い る と き,*バ

ナ ッ ハ 代 数 と い う.以

と な る こ と が 分 か った.こ   *バ

れ をGの

ナ ッ ハ 代 数 が 上 記 の(1.7)よ

み た す よ う な*作

上 に よ りL1(G)が*バ

用素が与 えら ナ ッハ 代 数

群 環 と い う. り強 い 次 の 条 件(つ

ま り(1.7)は(1.8)か

ら出

る)  (1.8) 

‖f*f*‖=‖f‖2

を み た す と き,C*代 (〓)はC*代

数 と よ ぶ.ヒ

ル ベ ル ト空 間 〓 上 の 有 界 線 形 作 用 素 全 体L

数 の 典 型 的 な も の で あ る.

  さ て(π,〓)をGの

ユ ニ タ リ表 現 と し,任

意 の 

に対 し

とお く と, 

の とき

お よ び,

を 得 る.従

っ てf,f1,f2∈L1(G),a1,a2∈Cの

 (1.9) 

と き

π(f1*f2)=π(f1)π(f2),π(f*)=π(f)*

が 成 り立 つ.一

般 に,*バ

ナ ッハ 代 数 か ら,あ

作 用 素 全 体 へ の 線 形 写 像 が(1.9)を

る ヒル ベ ル ト空 間 上 の 有 界 線 形

み た す と き,*表

し た π は 群 環L1(G)の*表

現 で あ る.

  任 意 の 

に対 し

現 と い う.従

って上 で定 義

で あ るか ら  (1.10)

が 成 り立 つ.故

に π は 連 続 写 像 で あ る.実

(1.10)を み た す こ と が 証 明 出 来 る が,本

は 一 般 に*バ

ナ ッハ 代 数 の*表

現は

書 で は そ の 結 果 を 使 わ な い か ら証 明 は

省 略 す る.   さ てGは

第2可

算 公 理 を み た す と 仮 定 し た か ら,特

に 第1可

算公理をみた

す.従

っ て 可 算 個 の 開 集 合 か ら な る 単 位 元eの

基 本 近 傍 系 

る.こ

の と き 必 要 な ら ばUnをU1∩

置 き 換 え る こ と に よ り,Un⊃

Un+1と

仮 定 し て よ い.各nに

数 δnで,任  (1.11)

意 のx∈Gに

… ∩Unで

対 し 台 がUnに 対 し

含 ま れ る よ う な(G上

が存在す

の)連 続 関

を み た す よ う な も の を 選 ぶ.Gが

リ ー 群 の と き は,容

し てC∞

関 数 が 選 べ る.φ

の ヒ ル ベ ル ト空 間 〓 に 値 を 持 つ 連 続 関 数 の

と き,任

意 のx∈Gに

と お く と,n→

∞

がG上

対 し

の と き φn(x)→ φ(x)が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.φ

数 で あ る か ら 点x∈Gを 号n0か

易 に 分 か る よ うに,δnと

は連続 関

固 定 す る と き任 意 に与 え ら れ た 正 数 εに対 し或 る 番

存 在 し て,y∈Un0の

と き つ ね に ‖φ(yx)-φ(x)‖<ε

 の と き,Un⊂Un0で

あ る か ら,δnの

台 がUnに

が 成 り立 つ.故

に

含 まれ て い る こ とに 注 意

すれば

を 得 る.上

記 の 関 数 列{φn}∞n=1を

  定 理1.12 

Gを

し,(π,〓)をGの

第2可

デ ィ ラ ッ ク 列 と い う.

算 公 理 を み た す 局 所 コ ン パ ク トユ ニ モ ジ ュ ラ ー 群 と

ユ ニ タ リ表 現 と す る.Wを

に つ い て 次 の1)∼4)は

〓 の 閉 部 分 空 間 とす る と きW

同 値 で あ る.

  (1) π に 関 し 不 変 で あ る.   (2) π に 関 し 不 変 で あ る.   (3) π￨Cc(G)に 関 し 不 変 で あ る.   (4) (Gが   証 明   Wが

リー 群 の と き)π￨C∞c(G)に 関 し 不 変 で あ る. π で 不 変 と す る と,任

が 成 り立 つ か ら,f∈L1(G)の

意 のx∈G,w∈Wに

対 し,π(x)w∈W

とき

な る 式 に お い て,積 分 が 〓 の 位 相 で 収 束 し て い る(つ ま り{f(x)π(x)w;x∈G} で 張 ら れ る 空 間 の 元 の 〓 に 於 け る 極 限)こ と に 注 意 す れ ばf(x)π(x)w∈W(x ∈G)か

らπ(f)w∈Wが

(3)⇒(4)は

に(1)⇒(2)が

明 ら か で あ る か ら(3)⇒(1)(Gが

を 次 に 証 明 し よ う.Wが x∈G,w∈Wに

出 る.故

対 し

π￨Cc(G)ま

たは

証 明 出 来 た.(2)⇒(3), リー 群 の と きは(4)⇒(1))

π￨C∞c(G)で 不 変 と す る と,任

意 の

で か つ 左 辺 はn→ π(x)w∈Wを

∞

の と き π(x)wに

得 る.故

にWは

収 束 す る か らWが

π で 不 変 で あ る. 

閉 で あ る こ と よ り, (証 明 終)

 こ の 定 理 か ら 直 ち に 次 の 系 を 得 る.  系  次 の(1)∼(4)は

同 値 で あ る.

 (1) π が 既 約 で あ る.  (2) π が 既 約 で あ る.  (3) π￨Cc(G)が

既 約 で あ る.

 (4) π￨C∞c(G)が 既 約 で あ る.  1.3.3  KをGの   f∈Cc(G)に

と お く と,任

コ ン パ ク ト部 分 群 と し,ρ,σ をKの

有 限 次 元 表 現 と す る.

対 し

意 のk∈Kに

対 し

で あ るか ら

を 得 る.(f*χ

ρ)*χ σ に つ い て も 同 様 の 式 が 得 ら れ る.

と お く と,f1,f2∈Cc(G)ρ =f1*f2で x∈Gに

に 対 しd2ρ χρ*(f1*f2)*χ

あ る か ら,f1*f2∈C 対 して

c(G)ρ

と な る.更

ρ=(dρ χρ*f1)*(dρf2*χ にf∈Cc(G)ρ

ρ)

の と き任 意 の

で あ る か ら,f*∈Cc(G)ρ  さ て(π,〓)をGの

とお く.Wを

と な る.

ユ ニ タ リ表 現 と し,〓

π￨Kに

関 し 〓 の 既 約 な 不 変 部 分 空 間 で,π￨KのWへ

σ と す る. 

をWの

行 列 表 現 を(σij(k))(k∈K)で

正 規 直 交 基 底 と し,こ

表 わ す と き,定

とな るか ら,す べ て のw∈Wに

が 成 り立 つ.従

の各元 φに対 し

理1.7よ

の制限 を

の基 底 に 関 す る σ の

り

対し

って π￨Kに 関 し て 〓 を 既 約 分 解 し,ρ

と同値 な不 変 部 分 空 間

の直 和 の部 分 を 〓ρと書 く と,Pρ は 〓ρへ の直 交 射 影 で あ り

が 成 り立 つ.f∈Cc(G)の

と き,任

意 の 

に対 し

が 成 り立 つ か ら  (1.12)

を 得 る.特

にf∈Cc(G)ρ

に 対 し て はPρ π(f)Pρ=π(f)と

な る か ら π￨Cc(G)ρ は

〓ρを 不 変 に す る.こ   定 理1.13 

Gを

第2可

し,(π,〓)をGの ρをKの

の 表 現 を πρと か く. 算 公 理 を み た す 局 所 コ ン パ ク トユ ニ モ ジ ュ ラ ー 群 と

ユ ニ タ リ表 現 と す る.KをGの

既 約 表 現 と し, 

(πρ,〓ρ)はCc(G)ρ 〓ρは1次

コ ン パ ク ト部 分 群 と す る.

と仮 定 す る.こ

の 既 約 表 現 と な る.従

っ て,特

の と き,π にCc(G)ρ

が 既 約 な ら ば, が可換の と き は

元 と な る.

  証 明  πρが 可 約 であ る と仮 定 し,Wを{0},〓 す る. 

ρ と異 な る閉 不 変 部 分空 間 と

とお く と

で あ る か ら,〓

の 元 φ がW⊥ ρに 属 す る た め の 条 件 はPρ φ∈Wを

あ る.そ

こ で0で

(1.12)よ

り

な いWの

元w0を1つ

取 る と,任

み た す こ とで

意 のf∈Cc(G))に

対 し て,

を 得 る か ら, π(Cc(G))w0⊂W⊥

と な る こ と が 分 か る.こ る π￨Cc(G)の と 矛 盾 す る.故 と き は,シ   1.3.4 

ρ

の と き π(Cc(G))w0の

閉 不 変 部 分 空 間 だ か ら,定

閉 包 は 明 ら か に{0},〓

理1.12の

(π,〓),(π

′,〓′)を 共 にGの

と書 く と

っ て 特 にCc(G)ρ

元 で な け れ ば な ら な い.  ユ ニ タ リ表 現 と す る. 

を 与 え る 〓 か ら 〓′の上 へ の等 長 線 形 写 像 をAと

とお き

系 よ り π は 可 約 と な り仮 定

に πρは 既 約 で な け れ ば な ら な い.従

ュ ー ア の 補 題 か ら 〓ρは1次

と異 な

す る.[ρ]∈Kを1つ

が可換 の (証 明 終)

と し,同

値

固定 し

で あ る か ら,Aは

〓ρを 〓′ ρの 上 に 写 す.故

を 誘 導 す る.こ

の と きf∈Cc(G)ρ, 

と な る か ら,任

意 のf∈Cc(G)ρ

 (1.13) 

にAは

等長線形写像

とす る と

に対 し Aρπρ(f)=π′ ρ(f)Aρ

が 成 り立 つ.   逆 にGの2つ

の 既 約 ユ ニ タ リ表 現(π,〓),(π

 

を み た し,更

の 等 長 線 形 写 像Aρ が 存 在 す る と仮 定 す る.こ し よ う.〓 ρの 単 位 ベ ク トル φ0を1つ φ0と お き,線

をAπ(f)φ0=π

′,〓′)が 或 る[ρ]∈Kに

に(1.13)を

の と き 

固 定 し,Aφ0=φ

対 し

み た す 〓ρか ら 〓′ρ の上 へ で あ る こ とを証 明

′0とお く.W=π(Cc(G))

形写像

′(f)φ′0によ り定 義 す る.π(f)φ0=0と

で あ る か ら,π ′(f)φ′0=0と な る.以 分 か っ た.f∈Cc(G),φ

∈Wの

す る と

上 に よ りAがwell-definedで

と き φ=π(f1)φ0を

あ る こ とが

み た すf1∈Cc(G)が

存在

す るか ら

を 得 る.故

に 任 意 のf∈Cc(G)に

対 し Aπ(f)=π

が 成 り立 つ.更

′(f)A

に

で あ る か ら,Aは

等 長 写 像 と な る.π

り,従

〓 か ら 〓 ′へ の 等 長 写 像 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.δn∈Cc(G)

っ てAは

(n=1,2,…)を

デ ィ ラ ッ ク 列 と し,任

は 既 約 で あ る か ら,Wは

意 にg∈Gを

fn(x)=δn(xg)  と 定 義 す る と,Aπ(fn)=π

′(fn)Aよ Aπ(g)=π

りn→

〓で稠密であ

固 定 した とき

(x∈G) ∞

′(g)A 

とし て (g∈G)

を 得 る.   以 上 に よ り次 の 定 理 が 証 明 さ れ た.   定 理1.14 

Gを

第2可

算 公 理 を み た す 局 所 コ ン パ ク トユ ニ モ ジ ュ ラ ー 群 と

し,(π,〓),(π ′,〓′)を共 にGの ト部 分 群 と し,Kの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と す る.KをGの

コン パ ク

或 る 既 約 ユ ニ タ リ表 現 ρに 対 し 

が 成 り立 つ と仮 定 す る.こ

の と き 

で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は πρと

π′ρ が ユ ニ タ リ同 値 と な る こ と で あ る.   1.3.5  (π,〓)をGの 約 表 現 ρに 対 し  Gの

各 元gに

対 し

ユ ニ タ リ表 現 と し,Gの

コ ン パ ク ト部 分 群Kの

が 成 り立 つ とす る.こ

或 る既

の と き π を ρ有 限 と い う.

ψ πρ(g)=TrPρ π(g)Pρ と お く.

  定 理1.15 

Gを

第2可

し,π1,…,πnをGの

算 公 理 を み た す 局 所 コ ン パ ク トユ ニ モ ジ ュ ラ ー 群 と

互 い に 同 値 で な い 既 約 ユ ニ タ リ表 現 と す る.KをGの

コ ン パ ク ト部 分 群 と し,各  0<(πk￨K:ρk)<∞

に 対 し てKの

が 成 り立 つ と仮 定 す る.こ

既 約 表 現 ρkが 存 在 し て

の とき

ψ π1ρ1,…,ψ πnρn

は 一 次 独 立 で あ る.

 証明 c1ψπ1ρ1+…+cnψπnρn=0 

とす る.各 

(c1,…,cn∈C)

に対 し

が 成 り立 つ か ら,ρ1=…=ρn=ρ (G)ρ に 対 し  で あ る か ら,定

の 場 合 に 帰 着 さ れ る.こ と な る.π1,…,πnは

理1.13お

よ び 定 理1.14に

に 同 値 で な い 既 約 表 現 で あ る.πkは

互 い に 同 値 で ない 既 約 表 現

よ り π1￨Cc(G) ρ,…,πn￨Cc(G)ρ は 互 い

ρ有 限 で あ る か ら π1(Cc(G)ρ),…,πn(C

(G)ρ)は 互 い に 同 型 で な い 有 限 次 元 の 単 純 多 元 環 と な る.故 を 添 加 し た 多 元 環 をAと

書 く と,各 

πk(al)=δklI(Iは

恒 等 写 像)を

か らc1=…=cn=0を

得 る. 

  系1 

の と き 任 意 のf∈Cc

にCc(G)ρ

に 対 し てak∈Aが

み た す .こ

で ある (証 明 終)

(π,〓),(π ′,〓′)を共 にGの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と し,或

る[ρ]∈Kが

でか つ 共 に有 限 次 元 とす る.こ の と き

  証 明   ⇒ は 明 らか.そ 一 次独 立 とな るか ら, 

こ で 

Kの

f*χF=fが

対 しKの

(証 明 終)

対し

或 る空 で な い 有 限 部 分 集 合Fが

成 り立 つ と き,fはK有

存

と仮 定 す る と定 理 に よ りψπρ とψ π′ρ は

を 得 る. 

空 で な い有 限 部 分 集 合Fに

とお く.f∈Cc(G)に

存在 して

の と き 

在 し て 

 

に単 位 元

限 で あ る と い う.K有

存 在 し て χF* 限 なCc(G)の

元

の 全 体 をCc(G)*と

か く と,明

らか に

(代数 和) が 成 り立 つ.任

意 のf∈Cc(G)*に

を 持 つ と い う.こ

対 し π(f)が

核 型 作 用 素 の と き,π

は指標

の と き線 形 写 像 Cc(G)*∋f→Trπ(f)∈C

を π の 指 標 と よ び,Θ πで 表 わ す.   系2 

(π,〓),(π ′,〓′)を共 にGの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と し,か

を 持 つ と仮 定 す る.更 に或 る[ρ]∈Kが

つ どち ら も指標

存 在 し て 

でかつ共

に有 限次 元 とす る.こ の と き

 証 明  ⇒

は 明 ら か で あ る.実

際Cc(G)ρ

(G)ρ に 対 し Θπ(f)=Θ π′(f)が 成 り立 つ.一

で あ る か ら,任

意 のf∈Cc(G)ρ

が 成 り立 つ.従

っ て 任 意 のf∈Cc(G)に

⊂Cc(G)*で 方f∈Cc(G)ρ

あ る か ら 任 意 のf∈Cc の とき

に対 し

対 し

を 得 る.故

に 任 意 のf∈Cc(G)に

対 し

と な る.こ

の と き 明 ら か にψπρ=ψπ′ρ で あ る.従

っ て 定 理 よ り 

を 得 る. (証 明 終)

  1.4  リー 群 の 表 現 とそ の 微 分 表 現   こ の節 ではGは

リー 群 とす る.但

し リー群 の定 義 の 中 にGの

数 は 可 算 個 で あ る こ とを 入 れ る もの と す る.こ

れ はGが

連 結成 分 の 個

第2可 算 公 理 を み た

す こ と と同 値 で あ る.   1.4.1 G上 の 左 不 変 ベ ク トル場 全 体 の なす リー環 をgで 表 わ す.gか へ の 指数 写像 を

らG

g∋X→expX∈G と 書 く と,X∈g,f∈C∞(G)の

と きす べ て のx∈Gに

が 成 り立 つ.g∈G,f∈C∞(G)の

と きGの

(Lgf)(x)=f(g-1x), 

と定 義 す れ ば,L,Rは →GL(g)と (g)X)が

共 にGの

各 元xに

る か ら,任

意 のg∈Gに

対 し

(Rgf)(x)=f(xg)

表 現 と な る.Gのg上

す る と き 任 意 のg∈G,X∈gに 成 り立 つ.X∈gと

対 し

の 随 伴 表 現 をAd:G

対 し てg(expX)g-1=exp(Ad

す る とXはG上

の1階

の左不変微分作用 素 で あ

対 し Lg°X°Lg-1=X

が 成 り立 つ が,一 方 す べ て のx∈Gに

対し

で あ るか ら Rg°X°Rg-1=Ad(g)X

とな る.G上

の微 分 作 用 素Dが

すべ て のg∈Gに

対し

Lg°D°Lg-1=D

を み たす とき左 不 変 で あ る とい う.   G上 の左 不 変 微 分 作 用 素 の全 体 の なすC上

の多 元 環 をD(G)と

書 く.左 不 変

微 分 作 用 素 は 単位 元eに お け る微 係 数 に よ り一 意 的 に 定 ま りgeはGの の接 空 間 と一 致 す るか ら,そ れ ぞ れ の左 不 変 性 か らD(G)はgの り生 成 され る こ とが 分 か る.D(G)の =Dを

み た す と きG上

元Dが

す べ て のg∈Gに

の両 側 不 変微 分作 用 素 とい う.

単位元

複 素 化gcに よ 対 しRg°D°Rg-1

[X,Y](X,Y∈g)で

あ る か らGが

連 結 の場 合 はDがG上

用 素 で あ るた め の 必 要 十 分 条件 はす べ て のX∈gに 立 つ こ とで あ る.gcはD(G)を

の両 側 不 変 微 分 作

対 しX°D=D°Xが

生 成 す るか ら これ はDがD(G)の

成 り

中心 の 元 で

あ る こ と と同 値 で あ る.  1.4.2  Gの

と す る.集

リ ー 環 をgと

Gの

複 素 化gc上

の テ ン ソル 多 元 環 を

で 生 成 さ れ たT(gc)の

合 

側 イ デ ア ル をI(gc)と ぶ.u,υ

し,gの

∈U(gc)に

各 元gに

す る と き 商 環U(gc)=T(gc)/I(gc)をgcの

対 し[u,υ]=uυ-υuと

対 し 

Ad(g)に

のg上

の 表 現 で あ る こ とか らI(gc)を

る.こ

の 同型 写 像 を

展 開 環 と よ

定 義 す る とU(gc)は

よ っ て 得 ら れ るT(gc)の 不 変 と し,従

両

リー 環 に な る.

同 型 写 像 はAdがG

って 展 開 環 の 同型 を 誘 導 す

U(gc)∋u→ug∈U(gc) で 表 わ す.特

にX∈gに

対 し て はXg=Ad(g)Xが

ら 生 成 さ れ る か らT(gc)か

お よ び σ(1)=I(恒

らD(G)の

存 在 す る.更

あ る か ら σ の 核 はI(gc)と

然 な 写 像T(gc)→T(gc)/I(gc)のgcへ

の 写 像 に よ りgcをU(gc)の V上

上 へ の線 形 写 像 σ で

等 写 像)を み た す も の が 唯1つ

と きX°Y-Y°X=[X,Y]で

と な る.自

成 り 立 つ.D(G)はgcか

部 分 リー 環 と み な す.Vを

らgl(V)へ

か ら こ

複 素 ベ ク トル 空 間 と し

表 わ す.gl(V)を

実 リー 環

の リ ー 環 と し て の 準 同 型 写 像 をgのV上

現 と い う.(ρ,V),(σ,W)をgの2つ 線 形 同 型 写 像Aが

一 致 し 従 って

の 制 限 は1対1だ

の 複 素 線 形 写 像 全 体 の な す リー 環 をgl(V)で

とみ な す と きgか

にX,Y∈gcの

の 表 現 と す る と きVか

存 在 し て す べ て のX∈gに

らWの

の表 上 へ の

対 し

A° ρ(X)=σ(X)°A

が 成 り立 つ と き,ρ

と σ は 同 型 と い い 

す る と き す べ て のX∈gに

をgのV上

の表 現 と

対 し

ρ(1)=I 

が成 り立 つ よ うなU(gc)か

と 書 く.ρ

(恒 等 写 像), 

らgl(V)の

ρ(X)=ρ(X)

中 へ の 多元 環 と して の 準 同 型 ρが 唯1

つ 存 在 す る.こ れ は ρを 先ず テ ン ソル多 元 環 の表 現 に 自然 に拡 張 す る とき それ がI(gc)を 核 と し て含 む こ とを 示 す こ とに よ っ て証 明 され るが,実 は これ は 展 開 環 を 特 徴 付 け る性 質 であ って こ の よ うな性 質 を 持 つ 多 元 環 とし て展 開 環U (gc)を定 義 す る こ とも 出来 る.   1.4.3  Vをn次 GL(V)は

元 複 素 ベ ク トル 空 間 とす る と(行 列 表 現 を 考 え る こ とに よ り)

自然 に 複 素 リー群 の構 造 を持 つ.ρ をGのV上 ρ:G∋9→

は リ ー 群Gか

ρ(g)∈GL(V)

ら リ ー 群GL(V)(実

リー 群 と み な し て)へ

る か ら 実 解 析 的 写 像 と な る.従

っ てVの

基 底{υ1,…

と行 列 表 現 す る と き,  的 関 数 と な る.GL(V)の

の 表 現 とす る と

の連 続 な 準 同 型 で あ

υn}に 関 し て 

は す べ てG上

リー 環 はgl(V)と

同 一 視 さ れ,Gの

の実 解 析

リー 環 をgと

書 く と き ρの 微 分 dρ:g→gl(V)

は リー 環gの

表 現 と な り,任

が 成 り立 つ.dρ

意 のX∈g,υ

らWの

の 有 限 次 元 表 現 と し,  上 へ の 線 形 写 像 をAと

対 しAρ(exptX)=σ(exptX)Aで て 

が 成 り立 つ.逆

dρ(X)=dσ(X)Aが

対 し

を ρ の 微 分 表 現 と よ ぶ.

  さ て(ρ,V),(σ,W)をGの2つ 値 を 与 え るVか

∈Vに

と仮 定 す る.同

す る と任 意 のX∈g,t∈Rに

あ る か らAdρ(X)=dσ(X)Aを に 

成 り立 つ.任

と 仮 定 す る と 任 意 のX∈gに 意 の υ∈Vに

fυ(t)={Aρ(exptX)-σ(exptX)A}υ

とお くと

で あ るか らfυ(t)は 線 形 の 微 分 方 程 式

対 し

得 る.従 対 しA

っ

を み た す.初 期 値 は fυ(0)={A-A}υ=0

で あ る か ら 解 の 一 意 性 か らfυ(t)≡0で

な け れ ば な ら な い.υ ∈Vは

た か らAρ(exptX)-σ(exptX)A=0を

得 る.特

にt=1と

任意 であ っ

す れ ば 任 意 のX∈

gに 対 し て Aρ(expX)=σ(expX)A が 成 り立 つ こ と が 分 か る.expgは と 仮 定 す る とexpgはGを

単 位 元 の 近 傍 で あ る か らGが

代 数 的 に 生 成 す る.従

gk∈expg(k=1,…,m)が

存 在 し て.g=g1…gmと

… ρ(g m)=σ(g1)Aρ(g2)…

連 結であ る

って 任 意 のg∈Gに

書 け る.故

ρ(gm)=σ(g1)… σ{gm)A=σ(g)Aと

対 し

にAρ(g)=Aρ(g1)

な り 

を 得 る.

従 っ て 次 の 定 理 が 成 り立 つ.  定 理1.16 

(ρ,V),(σ,W)を

連 結 な リー 群 の2つ

で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は    さ てVが

の 有 限 次 元 表 現 と す る と 

で あ る.

無 限 次 元 線 形 位 相 空 間 の と き は,X∈g,υ

∈Vに

対し

の右 辺 は 必 ず し も存 在 し な いが,そ れ が 存 在 す る とき左 辺 を 右辺 に よ って定 義 す る.任 意 の正 の整 数nと 任 意 のX1,…,Xn∈gに

対し

dρ(X1)(…(dρ(Xn)υ)) が つ ね に 存 在 す る と き,υ ル と い う.VのC∞ 分 空 間 で あ り,任

を 表 現 ρの 無 限 回 可 微 分 ベ ク ト ル ま た はC∞

ベ ク トル の 全 体 をV∞ 意 のX∈gに

と書 く と,班

ら か にV∞

ベ ク ト

はVの

部

対 し

dρ:g∋X→dρ(X)￨V∞

と 定 義 す る こ と に よ りgのV∞

上 の 表 現 が 得 ら れ る.こ

ぶ.[1.4.2]の

のU(gc)の

に す る.特 tX)υ,ρ(exp

最 後 に 述 べ たdρ に(ρ,V)が

れ を ρの微 分 表 現 と よ

表 現 へ の 拡 張 も 単 にdρ

ユ ニ タ リ表 現 の と き はX∈g,υ,w∈V∞

tX)w)=(υ,w)で

と書 くこと

に 対 し(ρ(exp

あ るか ら

(dρ(X)υ,w)+(υ,dρ(X)w)=0

と な る.故

にdρ(X)(X∈g)は

  1.4.4  gをGの

歪 エ ル ミ ー ト作 用 素 と な る.

リ ー環 と しgの

腹 素 化gc上

の 逆 自 己 同 型(積

の 順 序 が 逆 に

な る) gc∋Z→-Z∈gc

か ら誘 導 され るU(gc)上

の逆 自己 同型 を U(gc)∋u→u′

で表 わ す.更

∈U(gc)

にgc上 の 複 素 共 役 線形(複 素 数 倍 が そ の共 役 複 素 数 倍 に な る)な

逆 自己 同型 gc∋X+iY→-X+iY∈gc 

か ら誘 導 され るU(gc)上

(X,Y∈g)

の 複 素 共 役 線 形 な 逆 自己 同 型 を U(gc)∋u→u*∈U(gc)

で 表 わ す.u1,u2∈U(gc),f∈C∞(G)の

と お く.特

にX∈gの

で あ る.FをGの ∈C∞(G)に

と き 任 意 のx∈Gに

対 し

と きは

コ ン パ ク ト部 分 集 合 と し,u∈U(gc)と

す る と き,任

意 のf

対 し vF ,u(f)=sup{￨f(x;u)￨;x∈F}

と お く と,FをGの

コ ン パ ク ト部 分 集 合 全 体,uをU(gc)の

と きvF,uはC∞(G)の(通

元全体を動 か す

常 の)位 相 を 定 義 す る セ ミ ノ ル ム 系 の 基 底 と な る.

f∈C∞(G),u∈U(gc),x∈Gの

とき

f(x;X)=f(Ad(x)X;x) が 成 り立 つ か ら 上 の 定 義 で￨f(x;u)￨の

代 り に￨f(u;x)￨と

して も同 値 な セ

ミ ノ ル ム系 の 基 底 が 得 ら れ る.   さ て(π,V)をGの

(但 しdgはGの

バ ナ ッハ 表 現 と し,任

意 のf∈C∞c(G),υ

バ ー ル 測 度)と 定 義 す る.{π(f)υ;f∈C∞c(G),υ

て 代 数 的 に 張 ら れ るVの

線 形 部 分 空 間 をV∞

と 書 き,こ

∈Vに

対 し

∈V}に

れ をGarding部

よっ 分空

間 と よ ぶ.f∈C∞c(G),υ

∈Vの

と き 任 意 のX∈gに

対 し

で あ るか ら

と な る.こ

れ を 続 け れ ば π(f)υ

V∞ ⊂V∞

がC∞

ベ ク トル で あ る こ と が 分 か る.故

意 の υ∈Vに

対 し π(δn)υ ∈V∞ ⊂V∞

(δn)υはn→

∞ の と き υ に 収 束 す る.故

あ る.以

V∞ はVで

(π,V)を

リー 群Gの

の 非 退 化 対 称 双1次

も)Vで

稠密で

に よ りU(gc)の

対 し

基 底 と し 行 列(B(Xi,Xj))の

逆 行 列

の とき

元 を 定 義 す れ ば 定 義 か ら 容 易 に 分 か る よ う にCは

選 び 方 に 依 ら ず し か も 任 意 のg∈Gに

意 のX∈gに

の 表 現L,

体 と 一 致 す る.B

B(Ad(g)X,Ad(g)Y)=B(X,Y)

を(Cij)と す る.こ

,Xn}の

ベ ク トル の 全 体

定 義 し たGのC∞(G)上

ベ ク トル はC∞(G)全

形 式 で 任 意 のg∈G,X,Y∈gに

を み た す も の とす る.{X1,…,Xn}をgの

X°Yと

は(従 っ てV∞

バ ナ ッ ハ 表 現 と す る とC∞

リー 環 と す る.[1.4.1]で

考 え る と き 明 ら か にL,RのC∞

 (1.14) 

…

にV∞

示 した よ う に π

稠 密 で あ る.

  1.4.5  gをGの

をg上

で あ りか つ[1.3.2]で

上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.

  定 理1.17 

Rを

に

と な る.{δn}n∞=1を δn∈C∞c(G)で あ る よ うな デ ィ ラ ッ ク 列 とす る と 任

対 しdR(X)=Xで

あ る か らD(G)に

対 しCg=Cが

基 底{X1, 成 り立 つ.任

於 け るX,Y∈gの

積 を

書 くと き

と な る.任

意 のg∈G,u∈U(gc)に

つ こ と に 注 意 す れ ばdR(C)はD(G)の

対 しdR(ug)=Rg°dR(u)°Rg-1が 中 心 に 属 す る こ と が 分 か る .更

成 り立 にx∈

G,X∈g,f∈C∞(G)に

対 し

が 成 り立 つ こ とに 注 意 す れ ば 任 意 のg∈G,f∈C∞(G)に

対し

を 得 るか ら dL(C)=dR(C) が 成 り立 つ.特

にGが

半 単 純 リー 群 の と き そ の リ ー 環gの

(1.14)を み た す か ら そ れ に 対 応 す る 作 用 素Cが 作 用 素 と よ ぶ.カ [1.4.1]で D(G)の

キ リ ン グ形 式 は

考 え ら れ る.こ

れ を カ シ ミール

シ ミー ル 作 用 素 は 定 義 に よ れ ば 展 開 環U(gc)の

与 え た 同 型 

(こ の 同 型 はdRに

元 と 同 一 視 し てdR(C)を

元 で あ る が,

他 な ら な い)に よ っ て

カ シ ミ ー ル 作 用 素 と よ ぶ こ と も あ る.本

で は 一 般 に 上 記 で 定 義 し たCをBの

書

定 め る カシ ミー ル 作用 素 と よぶ こ とに す

る.   1.4.6  (π,V)を

リー 群Gの

ユ ニ タ リ表 現 と し そ の 微 分 表 現 をdπ

dπ はC∞

ベ ク トル 全 体V∞

(u)をV∞

を 定 義 域 と す るV上

論dπ(u)は

上 のU(gc)の

表 現 で あ る.各u∈U(gc)に

の 非 有 界 作 用 素(但

ス カ ラ ー 作 用 素)と 考 え る.X∈g,υ,w∈V∞ (π(exptX)υ,π(exptX)w)=(υ,w)

で あ るか ら (dπ(X)υ,w)=(υ,dπ(-X)w)

と な る.故

にX,Y∈gの

とき

しuが

と す る. 対 しdπ

ス カ ラ ー の と きは 勿 の とき

を 得 る.従

っ てU(gc)はgcで

生 成 さ れ

る か

ら,任

意 のu∈U(gc),υ,w∈V∞

に対 し (dπ(u)υ,w)=(υ,dπ(u*)w)

が 成 り立 つ.dπ(u)の dπ(u)の

定 義 域 はV∞

共 役 作 用 素dπ(u)*が

な る.従

存 在 し,上

っ て 特 にu*=uな

ら ばdπ(u)は

に 対 しdπ(u)*はdπ(u*)の ら,dπ(u)は

で あ り か つV∞

稠 密 で あ る か ら,

式 よ りdπ(u)*はdπ(u*)の 対 称 作 用 素 と な る.任

拡 張 でdπ(u*)の

閉 包dπ(u)=dπ(u)**を

はVで

定 義 域V∞

持 つ.dπ(u)が

拡張 と

意 のu∈U(gc)

はVで

稠 密 であ るか

自 己 共 役 の と きdπ(u)は

本 質 的 に 自 己 共 役 と よ ば れ る.dπ(u)*=dπ(u)***=dπ(u)*で

あ る か らdπ(u)

が 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はdπ(u)=dπ(u)*が こ と で あ る こ と に 注 意 す る.次

成 り立 つ

の 定 理 お よ び そ の 系 は 極 め て 重 要 で あ る が ,証

明 に は 関 数 解 析 の や や 高 度 の 議 論 を 要 す る の で 証 明 は 省 略 す る.   定 理1.18 

π をGの

ユ ニ タ リ表 現 と しdπ

の リ ー 環 の 複 素 化 の 展 開 環U(gc)の 称 な 元(つ ま りu=u*,υ=υ*)で (u)とdπ(υ)が

  系1 

uをU(gc)の

は 共 にU(g

υ は 楕 円 型 と 仮 定 す る.こ

可 換 な ら ばdπ(u)は

 こ の 定 理 に お い てu=υ

を そ の 微 分 表 現 と す る.dπ

表 現 に 拡 張 す る.u,υ

をG c)の 対

の と き も し もdπ

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

と す れ ば 次 の 系1を

得 る.

楕 円 型 の 対 称 な 元 とす る とdπ(u)は

本 質 的 に 自己 共 役 で

あ る.   {X1,…,Xn}をgの

基 底 とす る とX21+…+X2nは

あ る か ら 本 質 的 に 自己 共 役 で あ る.従 か ら 次 の 系2を

  Gを

って楕 円型 の対 称 元 が存 在 す るか ら定理

得 る.

  系2  uをU(gc)の にCを

中 心 の 元 と す る とdπ(u)は

カ シ ミー ル 作 用 素 とす る とdπ(C)は 連 結 な リー 群 と し,π

Bで 表 わ しBの

楕 円型 で か つ 対 称 な 元 で

元uを

をGの

任 意 に 取 る.こ

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.特

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

既 約 ユ ニ タ リ表 現 とす る.U(gc)の の と き[1.4.1]に

対 し π(g)dπ(u)π(g-1)=dπ(ug)=dπ(u)

を 得 る.従  (1.15) 

っ て π(g)(g∈G)の

連 続 性 に よ り,任

π(g)°dπ(u)=dπ(u)°

意 のg∈Gに

π(g)

中 心 を

よ り任 意 のg∈Gに

対 し

が 成 り立 つ.定 補 題1.1に

理1.18の

系2に

よ りdπ(u)は

書 く と,B∋u→

よ りdπ(u)は

自 己 共 役 で あ る か ら(1.15)お

ス カ ラ ー 作 用 素 と な る.こ

χπ(u)∈Cな

よび

の ス カ ラ ー の 値 を χπ(u)と

る 準 同 型 が 得 ら れ る.χ πを π のinfinitesimal

指 標 と よ ぶ.

  1.4.7 Mを

コ ンパ ク トな 実解 析 的 リー マ ン空 間 と しMの

リー マ ン 計量 の 定

め る測 度 に関 す る 自乗 可 積 分 関 数 の な す ヒル ベ ル ト空 間 をL2(M)と

書 く.M

の ラ プ ラ シ ア ン作 用 素 を Δ とし Δ の固 定 値 を 小 さ い順 に並 べ て(重 複 度 だ け 同 じ固 有 値 を 繰 り返 し並 べ る)

と書 くと き各 λnに属 す る固 有 関 数 を φn(n∈N)と す る.必 要 な ら φnを 選 び直 し て{φn;n∈N}がL2(M)の

正 規 直 交 基 底 とな る よ うにす る.任 意 のf∈C∞

(M)が 与 え られ た と きfが 実 解 析的 であ るた め の条 件 は 或 る正 数rが 存 在 し て

が有 限 とな る こ とで あ る.

とお き,任

意 の 

に対 し (L2(M)の

と定 義 す る と, 

位 相 に よ る 収 束)

は 自己 共 役 作 用 素 とな る.rを

正数 とす る と き任 意 のf∈

C∞(M)に 対 し

とお くと

が 成 り立 つ こ とが 証 明出 来 るか らfが 実 解 析 的 関 数 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は,或

る正 数rが 存 在 し て vr(f)<∞

が成 り立 つ こ とで あ る.従

って任 意 の正 数rに

Ar(M)={f∈C∞(M);vr(f)<∞}

対し

とお くと,M上

の 実解 析 的 関 数 の 全 体 をA(M)で

表 わ す とき

A(M)=Ur>0Ar(M) と な る.そ

こ でA(M))に帰

納極限

の 位 相 を 入 れ る と,任 意 のf∈Ar(M)に

対 し 

をみ た すtを 取 れ ば

 (1.16)

はA(M)の

位 相 で収 束 しM上

対 しRes>(dimM)/2の

の 実 解 析 的 関数 を 定 め る.実 際 任 意 のs∈Cに

とき

は 絶 対 収 束 す るか ら,任 意 のt>0に

対し

 (1.17)

を 得 る.一

方f∈Ar(M)の

と きす べ て のk∈Nに

対 し

で あ るか ら

と な り,従

って

を 得 る.そ

こ で 任 意 のf∈Ar(M)に

と な りt+s-1/2r<0で

対 し 

あ る か ら(1.17)よ

1/2r-t>s>0と

り右 辺 は 収 束 す る.故

す ると

に 

 に 注 意 す れ ば(1.16)はA(M)の

位 相 で収 束 しM上

の 実 解 析 的 関 数 を定 め

る こ とが 分 か る.   さてA(M)上

の 連続 線 形 汎 関 数 全 体 をB(M)で

の解 析 汎 関 数 と よ ぶ.M上

表 わ し,B(M)の

元 をM上

の実 解 析 的 関 数 お よび解 析 汎 関 数 は 次 の定 理 に示

す よ うに 調 和 解 析 的 に特 徴 付 け られ る.   定 理1.19 

Mを

コ ン パ ク ト実 解 析 的 リー マ ン 空 間 と す る.ラ プ ラ シ ア ン Δ の

固 有 関 数{φn}∞n=0を 上 記 の よ うに 定 め る と き 次 の(1)∼(3)が

  (1)  f∈L2(M)が

成 り立 つ.

実 解 析 的 で あ る た め の必 要 十 分 条 件 は 或 る正 数tが 存 在 し

て 

が 成 り立 つ こ とで あ る.

  (2)  f∈A(M)の

はA(M)の

とき

位 相 で 収 束 す る.

  (3) 任 意 のT∈B(M)に

対 しT[φn]=bn(n∈N)と

お くと

 (1.18)

が 成 り立 つ.逆 =bnを

に(1.18)を

み た す よ う な 任 意 の 複 素 数 列{bn}∞n=0に 対 しT[φn]

み た す よ うなT∈B(M)が

唯1つ

存 在 す る.

 証 明  (1)  fが 実 解 析 的 の とき或 るt>0が

存 在 して 

 で か つ 或 るt

る こ とを 示 した か ら必 要 性 は 明 らか で あ る.そ こで >0に

対 し 

が 成 り立 つ と仮 定 す る.こ

は 有 界 とな るか ら或 る正 数Mが 成

り 立 つ.従

を 得 る.故

っ て(1.17)に

にfは

実 解 析 的 と な る.(2)の お け ば よ い.

  (3) T∈B(M)と

しT[φn]=bn(n∈N)と み た すrを1つ

の 連 続 性 に よ り 

の とき数 列  が

存 在 して 

よ り

す る議 論 でt=0と

対 しr>1/tを

が実解析的 であ

証 は 上 で 述 べ た(1.16)の

お く.任

収束性 に関

意 に 与 え ら れ た 正 数tに

固 定 す る. 

で あ る か らT が 成 り立 つ.従

って

を 得 る.逆 る.任

に(1.18)を

み た す よ うな 任 意 の 複 素 数 列{bn}∞n=0が

意 に 与 え ら れ た 正 数rに

こ の と き任 意 のf∈Ar(M)に

対 し1/2r>t>0を

与 え ら れ た とす

み た すtを1つ

固 定 す る.

対 し

が成 り立 つ か ら  (1.19)

を 得 る.故

に

と 定 義 す る と(1.19)はTがAr(M)上 数 で あ っ た か らT∈B(M)を 更 に 任 意 のf∈A(M)に

はA(M)の

得 る.ま 対 し(2)よ

で 連 続 で あ る こ と を 示 す.rは

任 意 の正

た 明 ら か にT[φn]=bn(n∈N)で

あ る.

り

位 相 で 収 束 して い るか らTの

を 得 る.故

にTはT[φn](n∈N)の

連続性 に よ り

値 に よ り一 意 的 に 定 ま る こ と が 分 か る. (証 明 終)

 

Mの

リ ー マ ン 計 量 の 定 め る 測 度 をdxと

と 定 義 す る と,g∈Ar(M)(r>0)の

とき

書 く.任

意 のf∈L2(M)に

対 して

が 成 り立 つ か ら,Tf∈B(M)で

あ る.以

後写像

L2(M)∈f→Tf∈B(M) に よ りL2(M)⊂B(M)と   1.4.8  Mを

み な す.

実 解 析 的 多 様 体 と しVを

の 中 へ の 写 像fがMの1点p0で x1(p0)=…=xn(p0)=0を ∈Uに

複 素 バ ナ ッ ハ 空 間 と す る.Mか

実 解 析 的 と は 点p0の

らV

適 当 な 開 近 傍Uと

み た す 局 所 座 標 系x1,…,xnが

存 在 し て す べ て のp

対 して

の 右 辺 がVの

ノル ムに 関 し て絶 対 収 束 し そ の値 がf(p)に

る.fがMの

す べ て の点 で実 解 析 的 の と きfをMか

とい う.こ の と き任 意 の φ∈V*に

対 しM∈p→

一 致す る こ と で あ

らVへ

φ(f(p))∈Cは

常 の 意 味 で)実 解 析 的 関 数 で あ るが,逆 に 任 意 の φ∈V*に (f(p))∈Cが

実 解 析 的 関 数 とな る な ら ばfはMか

る.(π,V)をGの

バ ナ ッハ表 現 とす る.Vの G∋g→π(g)υ

らVへ

意 のg∈G,X∈g,υ

∈Vω

φ

の 実 解 析 的 写 像 とな

或 る元 υに対 し写 像 ∈V

と 書 く と 明 ら か にVω

π に 関 し 不 変 と は 限 ら な い がVω

明 らか に(通

対 しM∋p→

が 実 解 析 的 の と き,υ を 表 現 π の 実 解 析 的 ベ ク トル ま た はCω π のCω ベ ク トル 全 体 をVω

の実解 析 的 写 像

⊂V∞

ベ ク トル と い う.

で あ る.一

般 にV∞

は 明 ら か に π の 不 変 部 分 空 間 と な る.更

は

に任

に対 し

π(g)dπ(X)υ=dπ(Ad(g)X)π(g)υ で あ り従 っ て 一 般 のu∈U(gc)に

対 し

π(g)dπ(u)υ=dπ(ug)π(g)υ

で あ る か ら,dπ(U(gc))Vω   定 理1.20 

(π,V)を

⊂Vω

が 成 り立 つ こ と が 分 か る.

連 結 な リー 群Gの

ク トル の 全 体 と す る.任

意 の υ∈Vω

ユ ニ タ リ表 現 と しVω に 対 しdπ(U(gc))υ

をVのCω

ベ

の 閉包 は π の不 変

部 分 空 間 で あ る.

  証 明  dπ(U(gc))υ の 閉 包 の直 交 補 空 間 をWと 分 空 間 とな る こ とを いえ ば よ い.任 の 原 点 の 十 分 小 さな近 傍Uを

す る と きWが

意 の υ1∈dπ(U(gc))υ,w∈Wに

取 る と き,す べ て のX∈Uに

対し

π の不 変 部 対 してg

で あ るか らwの

定 義に よ り

 (1.20)

を 得 る.Gは さ れ,従

連 結 で あ る か らGの

っ て(1.20)よ

任 意 の 元 はexpUの

り任 意 のg∈Gに

元 の有 限個 の 積 で表 わ

対 し

(υ1,π(g)w)=(π(g-1)υ1,w)=0

が 成 り立 つ.故 にWは   V∞ がVで

πの 不 変 部分 空 間 で あ る. 

稠 密 で あ る こ とはC∞c(G)に 属す るデ ィラ ッ ク列 の コン ボ リュ ー

シ ョンを 考 え る こ とに よ り証 朗 した が,実 明 出 来 る.そ

(証明 終)

はVω

もVで

稠 密 で あ る こ とが証

の 証 明 に は 上 記 の デ ィラ ッ ク列 の代 りにG上

の2階 の楕 円型 不

変 微 分作 用 素 か ら 定 義 され る熱 方程 式 の 基 本 解 を用 い る.   前 小節 の定 理1.19の 拡 張 と し て次 の 定 理 が 成 り立 つ こ と を 証 明 な し で挙 げ て お く.   定 理1.21  環gの

(π,V)を

基 底 とす る.Δ

リー群Gの

ユ ニ タ リ表 現 と し{X1,…,Xn}をGの

をdπ(I-X21-…-X2n)の

に よ りΔ は 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.明 ら れ る.こ

の と き υ∈VがCω

閉 包 とす る と 定 理1.18の

ら か に Δ は 正 値 で あ る か ら 

リー 系1 が考え

ベ ク トル で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は 或 る正 数

tが 存 在 し て

が 成 り立 つ こ と で あ る.

  1.5  主 フ ァ イ バ ー ・バ ン ドル と そ の 同 伴 バ ナ ッ ハ ・バ ン ドル   1.5.1  XをC∞

多 様 体 と し,PをX上

バ ー ・バ ン ドル と す る.  被 覆 と す る.こ

の リー 群Hを

構 造 群 とす る 主 フ ァ イ

を 射 影 と し{Uα}α ∈ΛをXの

局 所 自明 な 開

の とき

 (1.21)

な るC∞ 同型 が 存 在 し て,φα は 任 意 の   (1.22) 

を み た す.(1.21)の に 対 し 

φ α(ph)=φ

h∈Hに

対し

α(p)h

写 像 の 逆 写 像 を φαで 表 わ す.(1.22)に の と き φα(p)φβ(p)-1は 

よ り任 意 の α,β∈ Λ の み に よ っ て 定 ま り,

任 意 のx∈Uα

∩Uβ に 対 し φαβ(x)=φα(p)φ β(p)-1(但 φ αβ:Uα ∩Uβ

はC∞

で,か

し 

)と お く と

→H

つ

を み た す.   (ρ,V)をHの はC∞

バ ナ ッ ハ 表 現 とす る.位

多 様 体 と し て の)積 空 間P×Vを

υ2)に 対 し(p1h,ρ(h)-1υ1)=(p2,υ2)を (p2,υ2)と 書 け ば,∼ く.商

相 空 間 と し て の(Vが 考 え,P×Vの2つ

み た すh∈Hが

は 同 値 関 係 に な る.(p,υ)を

位 相 空 間P×V/∼

をEρ

有 限次元の とき

の 元(p1,υ1),(p2, 存 在 す る と き(p1,υ1)∼

含 む 同 値 類 を[(p,υ)]と

で 表 わ す.(p1,υ1)∼(p2,υ2)の

書

と き 

(p2)で あ る か ら 連 続 写 像

を 得 る.任

意 にXの

元xを

の 元(p,υ)にUα

固 定 しx∈Uα ×Vの

元 

をみ たす

α∈Λ を1つ

取 る. 

,ρ(φ α(p))υ)を 対 応 さ せ れ ば 

ρ(φα(p))υ)であ る か ら こ の 写 像 は[(p,υ)]の み に よ っ て 定 ま る.u=[(p,υ)]の

と き ρ(φα(p))υ=ψα(u)と お け ば 

(u)で あ る か ら

な る写 像 を得 る.こ れ は 明 ら か に 上へ の 同 相 写 像 で あ る.こ 表 わ す.そ

こで1対1写

の 逆 写 像 をψ αで

像

 (1.23)

に よ り 

にVと

同 型 な バ ナ ッハ 空 間 の 構 造 を 入 れ る.x∈Uα

きψ αβ=ρ°φαβ とお け ば 任 意 の に

対 し ψ α(u)=ψ αβ(x)ψβ(u)で あ る

か ら(1.23)に お い てψ βを 用 い て バ ナ ッ ハ 空 間 の 構 造 を  ム は 同 値 で あ る.Eρ (ρ,V)がHの ら,上

∩Uβ の と

に 入れ て も ノル

を(表 現 ρに 同 伴 し た)同 伴 バ ナ ッハ ・バ ン ドル と よ ぶ.

ユ ニ タ リ表 現 の と き はψα β(x)は す べ て ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る か

の(1.23)に

よ り 

∈Λ の 選 び 方 に 依 ら な い.こ

に ヒル ベ ル ト空 間 の 構 造 を 入 れ れ ば そ の 内 積 は α の と きEρ を(表 現 ρに 同 伴 し た)同

伴 ヒル ベ ル

ト ・バ ン ドル と よ ぶ.

  Vが 有 限 次 元 の場 合 はEρ はC∞ 多 様 体 と な り上 で 考 え た 連 続 写 像 は い ず れ

もC∞ 写 像 に な る.こ ル と よ ぶ.特

の と きEρ を(表 現 ρ に 同 伴 し た)同 伴 ベ ク ト ル ・バ ン ド

にVが1次

元 の と き(即 ち ρが 指 標 の と き)Eρ を(指 標 ρに 同 伴

し た)同 伴 直 線バ ン ドル と よ ぶ.

 Xを 複 素多 様 体 とし,PをX上 ー ・バ ン ドル とす る.Vが

の 複 素 リー 群Hを

構 造 群 とす る主 フ ァイ バ

有 限 次 元 の 場 合 はGL(V)は

自然 に 複 素 リー群 の構

造 を 持 つ こ とに 注 意 し よ う.写 像 ρ:H→GL(V) が 複 素 リー 群 と し て の 準 同 型 の と き,ρ をHのV上 析 的 表 現 と い う.(ρ,V)がHの

有 限 次 元 表 現 の と き ρの 行 列 表 現 を(ρij(h))と

す る と,ρ が 正 則 表 現 で あ る こ と と各 ρijがH上 値 で あ る.[1.2.5]で

の正 則 表 現 また は 複 素 解

の 正 則 関 数 で あ る こ と とは 同

左 ま た は 右 正 則 表 現 を 定 義 し た が,ま

た 上 記 で慣 用 上 同

じ正 則 表 現 と い う用 語 を 使 っ た の で 混 乱 し な い よ う注 意 さ れ た い.英 [1.2.5]で

定 義 し た 正 則 表 現 をregular

holomorphic Hを

representationと

representation,上

区 別 す る.Pが

記 の正 則表 現 を

複 素 多 様 体X上

構 造 群 とす る 主 フ ァ イ バ ー ・バ ン ドル で,ρ

がHの

語では

の複 素 リー群

正 則 表 現 の 場 合 はEρ

は 複 素 多 様 体 と な り上 で 考 え た 連 続 写 像 は い ず れ も 複 素 解 析 的 に な る.こ きEρ を(表 現 ρに 同 伴 し た)正 則 ベ ク トル ・バ ン ドル と よ ぶ.特 の と きEρ を 正 則 直 線 バ ン ドル とい う.以 連 続 カ テ ゴ リで 考え る が,Vが で 考え る こ と が 出 来 る.Vが 考え れ ばC∞ くて も,有

Xか

 

カ テ ゴ リや 正 則 カ テ ゴ リ

無 限 次 元 で あ っ て も バ ナ ッ ハ 多 様 体 の カ テ ゴ リで は バ ナ ッ ハ 多 様 体 の 概 念 の 助 け を 借 りな 関数の概念 さ

カ テ ゴ リで 考 え る こ と が 出 来 る.

らEρ へ の 連 続 写 像 の 全 体 をC(X,Eρ)と

とお く.C(Eρ)の

元

バ ナ ッハ空 間 と して

多 様 体 上 の バ ナ ッハ 空 間 に 値 を 持 つC∞

え 用 い れ ば 以 下 の 議 論 はC∞  

有 限 次 元 の と き はC∞

の 概 念 が 意 味 を 持 つ.実 限 次 元 のC∞

下 で は 再 びVを

にVが1次

の と

書 き

元 をEρ の 連 続 な 切 断 と よ ぶ.

F,F1,F2∈C(Eρ),a∈Cに

対 し そ の 和 お よび ス カ ラー倍 を

(F1+F2)(x)=F1(x)+F2(X), 

と定 義 す る こ と に よ りC(Eρ)はC上  の 閉 包 をFの

(aF)(x)=aF(x)

の ベ ク トル 空 間 と な る.F∈C(Eρ)に

台 と い い,SuppFで

表 わ す.

対 し

Cc(Eρ)={F∈C(Eρ);SuppFが

と お く.任

意 のF∈C(Eρ)に

コ ン パ ク ト}

対 し α∈Λ で か つx∈Uα Fα(x)=ψ

と 定 義 す る と,Fα

∈C(Uα,V)で

の とき

α(F(x))

あ る が 更 にx∈Uα

∩Uβ

の と き 任 意 の 

に 対 しψ α(u)=ψ αβ(x)ψβ(u)で あ る か ら

と な る.逆

に

 (1.24) 

Fα(x)=ψ

を み た すFα ∈C(Uα,V)の x∈Uα

αβ(x)Fβ(x) 

を み た す α∈Λ を1つ

α(x,Fα(x))

ら か にFは

連 続 で か つ 

をみ た す か ら

あ る.

 以 上 に よ りC(Eρ)は  

集合

{{Fα}α∈Λ;す べ て の α ∈Λ に 対 しFα ∈C(Uα,V)で(1.24)を

と 同 一 視 さ れ る こ とが 分 か った.更 任 意 のp∈Pに

対 し 

と お く と, 

h∈Hに

み た す}

に こ の よ う な{Fα}α∈Λ が 与 え られ た と き, を み た す α ∈ Λ を1つ

取 り

の とき

と な る か らfα(p)の (p)=fα(p)と

対 し

αβ(x)υ2の と きψ α(x,υ1)=ψ β(x,υ2)で あ る か ら,F(x)は

α の 選 び 方 に 依 ら な い.明 F∈C(Eρ)で

∩Uβ)

取 り F(x)=ψ

と 定 義 す る と,υ1=ψ

(x∈Uα

族{Fα}α ∈Λ が 与え られ た と き 任 意 のx∈Xに

値 は α の 選 び 方 に 依 ら な い.故

定 義 す る こ と に よ りf∈C(P,V)が

対 し て 

とす る と

に 

得 ら れ る.こ

の と きf の と き任 意 の

=ρ(h)-1fα(p)=ρ(h)-1f(p)

で あ る か ら,任

意 のp∈P,h∈Hに

 (1.25) 

対 し

f(ph)=ρ(h)-1f(p)

が 成 り立 つ.   逆 にf∈C(P,V)が(1.25)を (φα(ph))f(ph)=ρ(φ

み た す と す る と 

,h∈Hの

α(p)h)ρ(h)-1f(p)=ρ(φ α(p))f(p)で

の み に 依 り α∈ Λ, 

の と きFα(x)=ρ(φ

とき ρ

あ る か ら こ の 値 は 

α(p))f(p)と

定 義 す る と明 らか

にFα ∈C(Uα,V)で  と な り,{Fα}α

  以 上 に よ りC(Eρ)の が 分 か っ た.以

元 は(1.25)を

下 で はFとfと

∈Λ は(1.24)を

み た す.

み た すC(P,V)の

元 と同 一視 され る こ と

を同一視 して

と し て 扱 うが,SuppFとSuppfと

は 一 般 に 異 な り 

あ る こ とに 注 意 す る 必 要 が あ る.混

乱 の 恐 れ の あ る と き はSuppFをSuppf

(mod

H)と

書 く こ とに す る.従

で

って 以下 で は

Cc(Eρ)={f∈C(Eρ);Suppf(mod

H)が

コ ン パ ク ト}

と定 義 す る訳 で あ る.   Vが

有 限 次 元 の 場 合 は,上

Eρ のC∞

記 で 連 続 と し た と こ ろ をC∞

切 断 の 全 体C∞(Eρ)お

よ び コ ン パ ク ト台 のC∞

とす る こ とに よ り

切 断 の 全 体C∞c(Eρ)が

得 ら れ る.更

にEρ が 正 則 ベ ク トル ・バ ン ドル の と き はEρ の 正 則 な 切 断 が 考

え ら れ る.Eρ

の 正 則 な 切 断 の 全 体 を Γ(Eρ)で 表 わ す こ と に す る.

  1.5.2  Gを

リ ー 群 と しHをGの

閉 部 分 群 とす る.こ

部 分 群 と な り,Gは

等 質 空 間G/H上

ン ドル と な る.Gの

各 元gの

のHを

等 質 空 間G/Hへ

の と きHはGの

リー

構 造 群 と す る 主 フ ァ イ バ ー ・バ の 作用 を

τg:G/H∋xH→gxH∈G/H で 表 わ す と,こ れ に よ りGはG/H上 しeはGの

に リー 変 換 群 と し て 働 く.剰 余 類eH(但

単 位 元)に 対 応 す る 点 を0と

で あ る か らdτhはG/Hの0に

書 く と,任

意 のh∈Hに

お け る 接 空 間T0(G/H)上

り写 像 H∋h→dτh∈GL(T0(G/H))

対 し τh(0)=0

の 線 形 自己 同 型 と な

はHのT0(G/H)上

の表 現 とな る.こ

の接 バ ン ドルT(G/H)は

のC∞ 関 数 と 同一 視 され る.こ の同 一 視 に よ っ て

リー 環 を そ れ ぞ れg,〓

書 く.AdのHへ

の 制 限Ad￨Hは〓

上 の 表 現 をAdHと

の 各 元Xに

と し,Gのg上

上 の 随 伴 表 現 と一 致 す る.g

対 し

元 を 与 えg∋X→

上 へ の 線 形 写 像 で そ の 核 は〓 と 一 致 す る.故 h∈H,X∈g,f∈C∞(G/H,R)に

で あ るか ら,Hの これ をAd#Hと

で あ る.従

の 随 伴 表 現 をAdと

を不 変 部分 空 間 とす るか ら この とき定 ま る

書 く と,AdHはHの〓

と定 義 す れ ば,σ(X)はT0(G/H)の

G/Hの

線形 等 方表 現 の 同 伴 ベ ク

のC∞ 関 数 は 各 剰 余 類 の上 で一 定 値 を取 る よ

と お く.G,Hの

Hの〓

線形 等 方 表 現 と い う.G/H

容 易 に分 か る よ う にHの

トル ・バ ン ドル で あ る.G/H上 うなG上

れ をHの

に 

書 くと,定 義 よ り任 意 のh∈H,X+〓

っ て 余 接 バ ン ドルT*(G/H)はAd#Hの

に 同 伴 し て い る.任

とな るか ら,Hの

す る とG/Hの 意 のh∈Hに

各 元hに

 (1.26) 

とお く と,体

と な る.更

よ る商 表 現 と同 型 と な る. ∈g/〓 に対 し

反 傾 表 現(Ad#H)*に

同 伴 し,

体 積 バ ン ドル Ω=ΛnT*(G/H)はΛn(Ad#H)* 対 し

対し

δH(h)=￨det

AdH(h)/detAd(h)￨

積 バ ン ド ル Ω の 絶 対 値 の 平 方 根 バ ン ドル￨Ω￨1/2はHの1次

表 現H∋h→(δH(h))1/2に

に

対 し

線 形 等 方 表 現 はAd￨HのAdHに

次 元 をnと

σ(X)∈T0(G/H)は

同 伴 し て い る.C(￨Ω￨)の

元 ω で 任 意 のg∈Gに

元

対 し ω(g)>0と

な る も の を1つ

選 ぶ.￨Ω￨の

構 造 群 は 正 の 実 数 全 体 で これ は

可 縮 で あ る か ら こ の よ うな ω は 必 ず 存 在 す る.こ の)測 度 μωで,dx,dhを べ て のf∈Cc(G)に

そ れ ぞ れG,Hの

の ω に 対 し てG/H上

の(正

左 不 変 ハ ー ル 測 度 と す る と き,す

対 し

を み た す も の が 唯 一 つ 存 在 す る.f∈Cc(G),x∈Gの

とき

と お く と,写

上へ の 線 形 写 像 で あ る こ

像f→fHはCc(G)か

らCc(G/H)の

と か ら一 意 性 は 明 ら か で あ る.   1.5.3  Gを

リー 群 と しHを

そ の 閉 部 分 群 と す る.(ρ,V)をHの

現 と しEρ を そ の 同 伴 ヒ ル ベ ル ト・ バ ン ドル とす る.Hの

に 同 伴 し た ヒ ル ベ ル ト ・バ ン ドル を 

で あ る. 

ユ ニ タ リ表

表 現

で 表 わ す.こ

の とき

の とき φ(x)=‖f(x)‖2v

とお け ば ρは ユ ニ タ リ表 現 で あ る か ら φ∈Cc(￨Ω￨)と

と お く と,φ

ω∈Cc(G/H)と

な る.そ

な り,従

って

こで

と お け ば,φ ω,μω は 共 に ω に 依 存 す る が‖f‖

は ω の 選 び 方 に 依 ら な い.実

際 ω′を も う1つ

元 と す る と,す

(G)に 対 し

の 正 の 実 数 値 を 取 るC(￨Ω￨)の

べ て のf∈Cc

が 成 り立 つ か ら,

を 得 る.従

っ て 任 意 のf∈Cc(G)に

と な り,‖f‖

対 し

は ω の 選 び 方 に 依 ら な い.

の と き任 意 のx∈Gに

 さ てg∈G, 

対し

(πρ(g)f)(x)=f(g-1x)

と定 義 す る と,群 られ る.任

と し て の 準 同型 

意 のg∈G, 

が得 に対 し

を み た すψ ∈C∞c(G)を 選 ぶ とき,

を 得 る.故

に πρ(g)は 

の 上 記 ノル ム に よ る 完 備 化 を 

上 の 等 長 変 換 で あ る.  とす る と πρ(g)は ヒ ル ベ ル ト空

間 

上 の ユ ニ タ リ作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.こ

た ユ ニ タ リ作 用 素 も また

πρ(g)で 表 わ す.

  次 に 表 現 πρの 連 続 性 を 証 明 し よ う.Gは 群 で あ り,従

がg=eで

っ て[1.3.1]に

よ り任 意 の 

は 

に対 し写 像

意 に 与 え られ た 正 数 εに対 し 

で 稠 密 で あ るか ら‖f-f1‖<ε

が 存 在 す る.Suppf1は にGは

在 す る.そ

こ でM=μ

傍Uが

リー 群 で あ る か ら 局 所 コ ン パ ク ト

連 続 で あ る こ とを示 せ ば よい.任

で あ る.更

の拡 張 さ れ

を み た す 

コ ン パ ク トで あ る か ら,f1は

一様連続

局 所 コ ン パ ク トで あ る か ら 単 位 元 の コ ン パ ク ト近 傍Kが ω((K・Suppf1)(mod 

存 在 し て す べ て のg∈U,X∈Gに

H))+1と

お く と,Gの

単 位 元eの

存 近

対 し

 (1.27)

が 成 り立 つ.必

要 な らUをU∩Kで

て よ い.(1.27)の

を 得 る.従

お き 換 え る こ と に よ りU⊂Kと

左 辺 は 

の と き0と

っ て 任 意 のg∈Uに

仮 定 し

な るか ら

対 し ‖ πρ(g)f1-f1‖<ε

が 成 り立 つ.故

に πρ(g)が ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る こ と に 注 意 す れ ばg∈Uの

とき

を 得 る.故 たGの

に πρは 連 続 表 現 で あ る.π

ρをHの

ユ ニ タ リ表 現 ρ か ら 誘 導 さ れ

ユ ニ タ リ表 現 と い い,

と 書 く.

  1.5.4  Gを 群Kが

リ ー 群 と しHを

存 在 し てG=KHが

そ の 閉 部 分 群 と す る.更

にGの

成 り立 つ と 仮 定 す る.K∩H=Mと

コ ン パ ク ト部 分 お くと

と な る か らG/Hは

コ ン パ ク トで あ る.Ω

正 の 実 数 値 を 取 るC(￨Ω￨)の

元 ω を1つ

をG/Hの

取 る.dkをKの

体 積 バ ン ドル と し 正 規 化 され た ハ ール

測 度 とし

と お く と,a>0で

あ る.こ

と定 義 す れ ば,明

ら か に ω′は 正 の 実 数 値 を 取 るC(￨Ω￨)の

と な る.更

のaを

使 っ て 任 意 のx∈Gに

に 任 意 のk∈K,x∈Gに

必 要 な らGの

元 で あ り ω′(e)=1

対 し ω′(kx)=ω ′(x)が 成 り立 つ.以

ω′を 改 め て ω と書 く こ と に す る.こ

であ りか つG/H=K/Mで

対 し

の と き 任 意 のk∈K,f∈Cc(G)に

あ る か ら μωはK/M上

下 この 対 し

の 不 変 測 度 とな る.従 って

ハ ール 測 度 を 取 り直 す(つ ま り適 当に 正 数 倍 す る)こ とに よ って,

任 意 のf∈Cc(G)に

対し

を 得 る.こ

代 りに 

こ でfの

δH(h)-1ω(k)=δH(h)-1で

を 取 れ ば 任 意 のk∈K,h∈Hに

あ る か ら 任 意 のf∈Cc(G)に

対 し(1.26)よ

対 し ω(kh)= り

が 成 り立 つ こ と が 分 か る.   さ て(ρ,V)をHの

ユ ニ タ リ表 現 と し,Eρ

と す る.G/Hは

コ ン パ ク トで あ る か ら

と な る.ρ ｜M=σ

とお きK/M上

で 表 わ す.こ

のとき

を そ の 同 伴 ヒル ベ ル ト ・バ ン ドル

の σ に 同 伴 す る ヒ ル ベ ル ト ・バ ン ドル をFσ

で あ る.任 Mに

意 の 

に 対 し φ=f￨Kと

お く と 任 意 のk∈K,m∈

対 し φ(km)=f(km)=ρ(m)-1f(k)=σ(m)-1φ(k)で

な る.従

あ る か ら φ ∈C(Fσ)と

って

な る 写 像 が 得 ら れ る.Af=φ

と す る と 任 意 のk∈K,h∈Hに

=δH(h)-1/2ρ(h)-1φ(k)で あ る か らG=KHで 1で あ る こ と が 分 か る.更 φ(h)に よ りK×H上 対 し,(δH￨M≡1に

対 し てf(kh)

あ る こ と に 注 意 す れ ばAが1対

に 任 意 の φ∈C(Fσ)に

対 しF(k,h)=δH(h)-1/2ρ(h)-1

の 連 続 関 数 を 定 義 す れ ば,任

意 のk∈K,m∈M,h∈Hに

注 意 す れ ば) 

を 得 るか らf∈C(G,V)が 存 在 し てF(k,h)=f(kh)(k∈K,h∈H)が h∈Hに

対 しx=k1h1を

が 成 り立 つ か ら,  F(k,e)=φ(k)で 任 意 の 

成 り立 つ.こ

み た すk1∈K,h1∈Hを

の と き 任 意 のx∈G,

取 る と,

で あ る.し か も 任 意 のk∈Kに

あ る か らf￨K=φ

を 得 る.故

にAは

対 しf(k)=

上 へ の 写 像 で あ る.更

に

に対 し

 (1.28)

とな る.   特 にGが

と な る.更

コ ン パ ク トの と き は 上 のKと

に 任 意 のf∈C(Eρ)に

し てGを

対 し(1.28)に

と な る か ら 上 記 で 定 義 し た πρは[1.2.6]で

取 れ ば δH≡1で

あ るか ら

よ り

定 義 し た 表 現 πρと 一 致 す る.

Ⅱ  SU(2)お

  2.1  SU(2)の

よびSO(3)の

表 現 と球 面上 の調 和 解 析

表現

  2.1.1

と お く と,SL(2,C)は

複 素 次 元 が3次

元 の 複 素 リ ー 群 で あ り,SU(2)は3次

の 実 リー 群 で あ る.以

下G=SU(2)と

お く.こ

で あ る こ と が 分 か る.故

にGは3次

元

の と き簡 単 な 計算 に よ り

元 球 面 と 同 相 で あ り,従

って 連 結 でか つ

単 連 結 で し か も コ ン パ ク トで あ る.

とお く と,K,Aは

が成 り立 ち,従 ー ル測 度dx(即

共 にGの

ってG=KAKを ちG上

の式 で与 え られ る.G上

の分 解 に 関 しGの

に

イル の積 分 公 式

の とき

正 規 化 され た ハ

体 積 が1と な る よ うな もの)は 次

のす べ て の連 続 関数fに 対 し

 (2.2)

で あ り,ワ

得 る.こ

の ハ ー ル 測 度 でGの

 (2.1)

が 成 り立 つ.更

極 大 トー ラ ス 部 分 群 で あ る.こ

が 成 り立 つ.G上

の 関 数fが

と い う.(2.2)に

各 共 役 類 の 上 で 一 定 の 値 を 取 る と き,fを

よ り類 関 数 はKへ

の 制 限 に よ り一 意 的 に 定 ま り,か

類 関数 つ

で あ るか ら,類 関 数 は θの偶 関 数 で あ る こ とが 分 か る.   2.1.2  nを 非 負 整 数 と しn次 をVnと

以 下 の 多 項 式 全 体 の な すC上

す る.g∈G(=SU(2)),F∈Vnに

対 し

に よ り ρn(g)を 定 義 す れ ば(ρn,Vn)はGの

但 し 

の と き 明 ら か に{1,z,…,zn}はVnの

が 成 り立 つ.従

の ベ ク トル空 間

表 現 に な る.こ

基底であ り

っ て ρnの 指 標 を χnで 表 わ せ ば(即 ち,χn(g)=Trρn(g)(g∈G))

 (2.3)

を 得 る.指 標 は 明 らか に類 関 数 であ るか ら ワイ ルの 積 分 公 式 よ り

と な る.従

っ て 

 さ て(ρ,V)をGの

の とき 

で あ りか つ ρnは 既 約 で あ る.

任 意 の 既 約 表 現 と す る と χρ(kθ)はθ の 偶 関 数 で あ る か ら

を 得 る.ρ が ど の ρnと も 同 値 で な い とす る とsinθ χρ(k2θ)は奇 関 数 で あ る か ら そ の す べ て の フ ー リエ 係 数 は0と ら な い.こ

れは

χρ=0を

な る.従

意 味 しV={0}と

っ てsinθ な る.

χρ(k2θ)≡0で な け れ ば な

 以 上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.  定 理2.1  G=SU(2)の  (1) ρn(n∈N)は  (2)   (3) Gの

有 限 次 元 表 現 に つ い て 次 の(1)∼(3)が

す べ て 既 約 で あ る.

と す る と ρmと ρnは 同 値 で な い. 任 意 の 既 約 表 現 は ρn(n∈N)の

い ず れ か と 同 値 で あ る.

  ρnの 反 傾 表 現 を ρ*nと す る と[1.2.1]に 任 意 のkθ ∈Kに

と な る.故

対 し(2.3)よ

に 

1次

よ り ρ*nはユ ニ タ リ表 現 で あ る か ら,

り

を 得 る.従

  定 理2.2  n∈Nの   2.1.3 

成 り立 つ.

っ て 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

元 複 素 射 影 空 間 をP1(C)で

C×C-{(0,0)})と

が 成 り立 つ.

と き ρnの 反 傾 表 現 を ρ*nとす る と 

表 わ し そ の 元 を[(z1,z2)]((z1,z2)∈

書 く. U0={[(z,1)];z∈C}, U∞={[(1,w)];w∈C}

と お く と,P1(C)=U0∪U∞(開

被 覆)で あ り U0∋[(z,1)]→z∈C, U∞ ∋[(1,w)]→w∈C

が 共 に 局 所 座 標 系 を 与 え る.[(1,0)]=∞ で あ りU0∩U∞

∋[(z,1)}=[(1,w)]の

と お く と  と き 

とな るか ら点 ∞ にお い て 正

則 で あ る とは  に つ い て 正則 で あ る こ と を 意 味 す る.故

にP1(C)の

は 関 数 論 に お け る リ ー マ ン 球 面 の そ れ と 一 致 す る.Gc=SL(2,C)と の 複 素 リー 部 分 群  (2.4)

を 考 え る.BはGcの

ボ レ ル 部 分 群 と よ ば れ る.

と お く と,Gc=U0B∪U∞BはGcの

開 被 覆 とな り

複 素構 造 お き,そ

は 共 に(複 素)等 質 空 間Gc/Bの

局 所 座 標 系 を 与 え る.従 って 写 像

 (2.5)

はGc/BとP1(C)の

複 素解 析 的 同 型 を 与 え る.

で あ る か ら,Gcの

作 用 を(2.5)に よ っ てP1(C)上

つ い て表 わ せ ば1次 分 数変 換  面 に1次 分 数変 換 に よ ってGcを

に 移 し そ れ を 局 所 座 標 系zに

で 与 え ら れ る.従

っ て リー マ ン 球

作 用 させ れ ば リ ー マ ン 球 面 はGcの

等質空間

とな る こ とが 分 か る.関 数 論 に お い て1次 分 数 変 換 が重 要 な役 割 を 果 たす の は この理 由 に よ るの で あ る.  さて整 数nに

対 しBの

に 同 伴 し たGc/B上

複 素 解 析 的 指 標(1次

元 表 現)

の 正 則 直 線 バ ン ドル をLnと

な す ベ ク トル 空 間 を Γ(Ln)と

書 く.こ

し,Lnの

の と き Γ(Ln)の

正 則 な切 断全 体 の 元 はGc上

の正則関数

fで  (2.6) 

f(xb)=ξn(b)-1f(x) 

を み た す もの 全 体 と同 一 視 され,Gcの

(x∈Gc,b∈B)

元gの

(πn(g)f)(x)=f(g-1x) 

で 与 え ら れ る.い

ま 任 意 のf∈

と お く と,F0,F∞

は 共 にC上

Γ(Ln)に

Γ(Ln)上 の 自然 な作 用 は (x∈Gc)

対 し

の 正 則 関 数 でw∈C*の

とき

で あ る か ら,す

べ て のw∈C*に

対 し

 (2.7)

が 成 り立 つ.逆 きU0Bお

に(2.7)を

よ びU∞B上

み た すC上

の2つ

の 正 則 関 数f0お

の 正 則 関 数F0,F∞

よ びf∞

が 与え られ た と

をそれぞれ

で 定 義 す れ ば,

が 共 に 複 素 解 析 的 同 型 写 像 で あ る か ら,f0,f∞

は 共 にwell-definedで

で あ り,従

とす る と 

と な る か ら(2.7)に

を 得 る.故 正 則 関 数fを

にf0,f∞

っ て 

よ り

はU0B∩U∞B上

定 義 す る.こ

あ る.

の と きf0,f∞

で 一 致 す る.従

っ てf0,f∞

はGc上

の 定 義 か ら 明 ら か にfは(2.6)を

の みた

す.故

にf∈

と な る.以

Γ(Ln)で

あ りか つ

上 に よ り Γ(Ln)の

元fは(2.7)を

と 同 一 視 さ れ る こ と が 分 か っ た.こ 述 べ た も の と一 致 す る が,同

み た すC上

の 正 則 関 数 の 組(F0,F∞)

の 同 一 視 は 一 般 の 場 合 に[1.5.1]に

お いて

一 視 を す る 仕 方 の 推 論 が 逆 に な っ て い る.こ

の同

一 視 は リー 群 の 等 質 空 間 上 の 解 析 に お い て 基 本 的 で あ る か ら こ の 例 に よ っ て よ く理 解 され た い.   さ て 任 意 のf∈ も(-n)位

Γ(Ln)に

対 しnが

負 の と き は(2.7)はF0がz=∞

の 零 点 を 持 つ こ と を 示 し,従

れ ば な ら な い.更

にnが

持 つ こ とを 示 し,従

っ てF0は

Γ(Ln)の

高 々n次

よ りF∞ を 定 義 す れ ばF∞

元fを

にf≡0で

で 高 々n位

の 多 項 式 で あ る.逆

にF0を

も 高 々n次

なけ の極を

高 々n次

の 多 項 式 とな

与 える.

 以 上 に よ り高 々n次 の 多 項 式 全 体 をVnと  (2.8) 

な る.故

非 負 の と き は(2.7)はF0がz=∞

の 多 項 式 と す る と き(2.7)に り組(F0,F∞)は

っ てF0≡0と

で少 な くと

書 け ば,写 像

A:Γ(Ln)∋f→F0∈Vn

は 上 へ の 線 形 同 型 で あ る こ とが 分 か る.更 にg∈Gの

と き 

とす る

と

と な る.故

に す べ て のg∈Gに

対 し Aπn(g)=ρn(g)A

が 成 り立 つ.以

上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.

  定 理2.3  G=SU(2)の  (1)

表 現(πn,Γ(Ln))に

つ い て 次 の(1),(2)が

成 り立 つ.

の と き(πn,Γ(Ln))は(ρn,Vn)と

 (2)    2.1.4 

元 

Gc=SL(2,C),G=SU(2)と

し(2.4)で

定 義 さ れ たBを

を 任 意 に 取 る.α=(￨b￨2+￨d￨2)-1/2,(ξ,η)=α(b,d)と

位 ベ ク ト ル と な る.(a,c),(b,d)は d)を

同 値 で あ る.

み たす 複 素数

お く と(ξ,η)は

単

一 次 独 立 で あ る か ら(η,-ξ)=β(a,c)+γ(b,

β,γ が 存 在 す る.こ

の と き

で あ るか ら両辺 の 行 列 式 を比 較 し て αβ=1を

と な る.こ

考 え る.Gcの

得 る.故 に

の と き明 らか に

で あ る か らGc=GBが

成 り 立 つ.従

の 表 現 とす る と,Γ(Ln)の ま る こ と が 分 か る.そ

っ て(πn,Γ(Ln))を

各 元 は(2.6)よ

こ で 任 意 のf,f′

と 定 義 す る と 明 ら か に(・,・)は Γ(Ln)の

りそ のG上 ∈ Γ(Ln)に

前 小 節 で 定 義 し たG

の 制 限 に よ り一 意 的 に 定

対 し

内 積 を 与 え る.し

か も任 意 のg∈Gに

対 し

が 成 り 立 つ か ら,πn(g)は て 定 義 さ れ る 写 像Aに

ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る.f∈ よ るfの

像 をFと

書 く と,

Γ(Ln)と

し(2.8)に

よっ

で あ るか ら  (2.9)

を み た す 整 数kに

と な る. 

はVnの

基 底 と な る.写

注 意 す れ ば 積 分 公 式(2.1)に

と な る.と

対 しFk(z)=zkと

像Aに

よ るFkの

お く と 明 ら か に  逆 像 をfkと

書 く と,(2.9)に

よ り

こ ろ がB(p,q)を

ベ ー タ 関 数,Γ(r)を

ガ ン マ関 数 とす る と き

であ るか ら

が 成 り立 つ.

 以 上 に よ り次 の定 理 を 得 る.  定 理2.4 

(ρn,Vn)を[2.1.1]に

に よ っ てVnに

お い て 定 義 し たG=SU(2)の

内 積 を 定 義す れ ば(2.8)で 定 義 さ れ た 写 像Aは

表 現 とす る.

等 長 写 像 と な り,

従 っ て ρnは ユ ニ タ リ表 現 と な る.

  2.2  SU(2)の

微分表現

  2.2.1  G=SU(2)と

し,複

素 数 を 要 素 と す る2次

書 く. g={X∈M2(C);TrX=0, 

X+X*=0}

の 正 方 行 列 全 体 をM2(C)と

とお く と

で あ る こ と が 容 易 に 分 か る.gは [X,Y]=XY-YXと

定 義 す る とBはg上

キ リン グ形 式 と よぶ.gの

各 元Xに

を

意 のX,Y∈gに

の 非 退 化 な2次

形 式 と な る.

対 し

と定 義 す る と指 数 写 像g∋X→expX∈Gは に よ りGの

対 し そ れ ら のbracket積

定 義 す る こ と に よ り リー 環 と な る.任

対 しB(X,Y)=4TrXYと Bをgの

任 意 のX,Y∈gに

上 へ の 写 像 と な る.実

任 意 の 元 は 

際,(2.2)

の 形 で表 わ され るか ら

とな り指 数 写 像 は 上 へ の写 像 で あ る こ とが分 か る.任 意 のX∈gに

対し

 (2.10)

と 定 義 す れ ば 明 ら か にXはG上

の 左 不 変 ベ ク トル 場 と な る.G上

ク ト ル 場 全 体 の な す リ ー 環 をgと ー 環 と し て 準 同 型 で あ り,か

書 く と,写

つ 核 は{0}で

(2.10)よ

りexpX=expXで

らGへ

明 らか に リ

共 に3次

元 で あ るか ら

の 指 数 写 像 もexpと

か くと

あ る こ と が 分 か る.

  さ て,(ρ,V)をGの

と お く と,dρ

像g∋X→X∈gは あ る.g,gは

こ の 準 同 型 は 上 へ の 同 型 写 像 と な る.gか

の左 不変 ベ

有 限 次 元 表 現 す る と き任 意 のX∈gに

はgのV上

の 表 現 と な る.こ

型g∋X→X∈gでgとgを

対 し

れ を ρの 微 分 表 現 とい う.上

同 一 視 す れ ば,明

ら か にdρ は[1.4.3]て

の同

定義 し

た 微 分 表 現 と一 致 す る. gc={X∈M2(C);TrX=0} と お く とbracket積 (X,Y∈g)の (X)+idρ(Y)と

に 関 しgcはC上

の リー 環 に な りgcの

形 に 一 意 的 に 表 わ せ る.任

意 のX,Y∈gに

定 義 す る とdρ はgcのV上

(gc)と 書 く とdρ はdρ(1)=Iを

み た すU(gc)の

任 意 の 元 はX+iY

対 しdρ(X+iY)=dρ

の 表 現 に な る.gcの

展 開 環 をU

表 現 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.

 (2.11)

と お く と{E0,E+,E-}はgcの

基 底 とな り

[E0,E+]=2E+, 

[E0,E-]=-2E-, 

[E+,E-]=E0

が 成 り立 つ.   2.2.2  (ρ,V)をGの

有 限 次 限 表 現 と す る.任

意 のm∈Zに

対 し

ξm(kθ)=eimθ/2

とお く と,ξmはKの

指 標 で あ りKの Z∋m→

指 標 全 体 の な す 可 換 群 をKと

書 くと

ξm∈K

は群 とし て の上 へ の 同型 対 応 で あ る.上 式 よ り

で あ る か らdξm(E0)=mを え る こ と によ りVは

得 る.Kは ρ￨kに 関 す る1次

任 意 のm∈Zに

対 し

とお く と,有

限 個 のm∈Zを

コ ン パ ク ト可 換 群 で あ る か ら ρ￨kを 考 元 の 不 変 部 分 空 間 に分 解 さ れ る.故

除 い てVm={0}と

に

な り

が 成 り立 つ.ρ の微 分 表 現dρ を考 えれ ば Vm={υ と な る. 

∈V;dρ(E0)υ=mυ}

を み た す 整 数mを

表 現 ρの ウ エ イ トと い い,ρ

の 中 で 最 大 の も の を ρの 最 高 ウ エ イ トと い う.mを な るVmの

元 をmに

重 複 度 と よ ぶ. 

属 す る ウ エ イ トベ ク トル と い いdimVmを の と き は 

の ウエ イ ト

ウ エ イ トとす る と き0と

で あ る か ら,同

エ イ トの 集 合 お よ び 各 ウ エ イ トの 重 複 度 は 一 致 す る .特

ウ エ イ トmの 値 な2つ

の表 現 の ウ

に 最 高 ウ エ イ トは 一 致

す る.  さ て υ∈Vmと

す ると

で あ る か ら,dρ(E±)Vm⊂Vm±2と

な る.ρ

異

の 最 高 ウ エ イ トをnと

し

を1つ

固 定 す る.非

負 整 数kに

対 し υk=dρ(E-)kυ

と お く と(但 し υ0=υ

と定

義 す る)

を 得 る.故

に 

,υk+1=0と

に よ っ て 張 られ る部 分 空 間 をWと ρが 既 約 の と き はW=Vで

す る とk=nと

な る.従

書 く とWはdρ

あ る.更

っ て{υ0,υ1,… υn}

の 不 変 部 分 空 間 と な るか ら

に 各 

に 対 し υ-1=0,υn+1=0

と 定 義 す る と.

が 成 り立 つ か ら,各dρ(E-),dρ(E0),dρ(E+)の

基 底{υ0,υ1,…,υn}に

列 表 現 の 成 分 は 最 高 ウ エ イ トの み に よ っ て 定 ま る こ と が 分 か る.故 イ トが 一 致 す る2つ

関 す る行 に最 高 ウエ

の 既 約 表 現 は 同 値 で あ る.

  定 理2.5  G=SU(2)の

有 限次 元 表 現 に 関 し次 の(1)∼(3)が 成 り立 つ.

  (1)既 約 表 現 の最 高 ウ エ イ トは 非 負 整 数 で あ る.   (2)2つ の 既 約表 現 が 同値 で あ る た め の 必 要十 分 条件 は そ れ ら の最 高 ウエ イ トが 一 致 す る こ とで あ る.   (3)nを 任 意 の 非 負 整 数 とす る とき,nを

最 高 ウエ イ トとす る既 約 表 現 が 存 在

す る.   (1)お よ び(2)の ら れ る.実 れ ば,定

証 明 は 上 で 述 べ た こ と か ら 定 理1.16を

は 定 理2.1に 理2.5は

使 うこ と に よ っ て得

お け る 表 現 ρnの 最 高 ウ エ イ トがnで

定 理2.1か

ら 直 ち に 出 て く る.し

あ る こ とに注 意 す

か し 上で は リー 環 の 微 分 表

現 を 考 える こ と に よ り純 代 数 的 に 結 論 を 導 い た 訳 で あ る.次

の 小 節 で は(3)の

代 数 的 証 明 を 与 える こ と に す る.   2.2.3  G=SU(2)のC2上

の 自 然 な 表 現 を τ で 表 わ す;即 τ:G∋g→g∈GL(2,C)

ち

と 定 義 す る.nを を 考 え る.集

非 負 整 数 と し(τ,C2)のn次

合{1,…,n}の

の テ ン ソ ル 積 表 現 

置 換 群 を 〓nと し,任

意 の 

に 対 し,写

に よ っ て 

像 

上に

誘 導 され る線 形 同型 写 像 をSσ と書 く.こ の と き明 らか に 任 意 のg∈G,  に対 し

が 成 り立 つ か ら,対

称 テ ン ソ ル 

の 不 変 部 分 空 間 で あ る. 

は 

のSn(C2)へ

の 制 限 を τnと 書 く と き(τn,Sn(C2))

が 最 高 ウエ イ トnの 既 約 表 現 で あ る こ とを 証 明 し よ う.

と お く と,Sは 

か らSn(C2)の

上 へ の 射 影 作 用 素 で あ る.

とお くと

が 成 り立 ち,更 に任 意 の 

に対 し (e2の 個 数 がk個)

と お く と,明 に 対 し 

ら か に{υ0,…,υn}はSn(C2)の

か も 任 意 のX∈g

の とき

(k番 目の み がdτ(X)で

他 は恒 等 写像)と お け ば

が 成 り立 つ か ら υ-1=0,υn+1=0と

を 得 る.い ま,Wを{0}と Wを

基 底 と な る.し

定義す る と

異 な る任 意 の 不 変部 分 空 間 とす る と τn￨kに 関 し

既 約 分解 す る こ とに よ りWは

少 な くと も1つ υkを含 む こ と が い え る.

従 っ て 上 の 式 か らWは

す べ て の 

τnの 最 高 ウ エ イ トは 明 ら か にnで

を 含 む.故

あ る.

  以 上 に よ り定 理2.5の(3)が

証 明 出 来 た.

  2.2.4  G=SU(2)と

リー 環 をgと

しGの

Bをgc上

の 複 素 線 形2次

TrXYで

あるか ら B(E+,E+)=0, 

B(E0,E+)=0, 

が 成 り立 つ.そ

B(E0,E-)=0, 

キ リ ン グ形 式 と し 対 しB(X,Y)=4

B(E-,E-)=0, B(E+,E-)=4

こで

と 定 義 す る と[1.4.6]で ず か つgcの

す る.Bをgの

形 式 に 拡 張 す る.各X,Y∈gcに

B(E0,E0)=8, 

に τnは 既 約 で あ る.

示 し た よ う にCは

展 開 環 の 中 心 に 属 す る.Cをgの

基 底{E0,E+,E-}の

選 び方に依 ら

カ シ ミー ル 作 用 素 と い う.任 意 の 

に 対 し 前 小 節 で 定 義 し た τnに 関 し て

と な る か らdτn(C)は

ス カ ラ ー 作 用 素 で そ の ス カ ラ ー はn(n+2)/8で

あ る.

 以 上 に よ り次 の定 理 が 証 明 され た.   定 理2.6  G=SU(2)の ρnを 最 高 ウ エ イ トnの

リ ー 環 をgと

しgの

カ シ ミ ー ル 作 用 素 をCと

既 約 表 現 とす る と

が 成 り立 つ.但

しIは 恒 等 写 像 を 表 わ す.

  2.3 SO(3)の

表 現 と 球 面 上 の 関 数 の フ ー リエ 展 開

  2.3.1 

G=SU(2)と

しGの

リ ー 環 をgと

は

{A∈M2(C);TrA=0,A+A*=0} と 同 一視 さ れ る.

す る.

書 く と,[2.2.1]で

述 べ た

よ う にg

と お く と{X,Y,Z}は る とBは

明 ら か にgの

基 底 と な る.gの

負 定 値 で あ る か らB0=-1/2Bと

任 意 のA1,A2∈gに

キ リン グ形 式 をBと

お く とB0はgの

す

内 積 を 定 義 す る.

対 し

B0(A1,A2)=-2TrA1A2 で あ るか ら{X,Y,Z}は

正規直交基底で g∋xX+yY+zZ→(x,y,z)∈R3

は 等長 写 像 とな る.こ の 等 長 写 像 に よ りgをR3と

と な る.Gのg上

の 随 伴 表 現 をAdと

同一 視 す れ ば

書 く と 任 意 のg∈G,A1,A2∈gに

対 し

 (2.12)

で あ る か らAdはGか

らSO(3)へ

の準 同 型 を 与 え る.

とお くと

 (2.13)

が 成 り立 つ か ら,Ad(G)はz-軸

の まわ りの す べ て の 回転 お よびy-軸 の まわ り

のす べ て の 回転 を含 む.SO(3)は 上 へ の写 像 で あ る.Adの らAdの

核 はGの

核 の 元 は す べ て の 行 列 と可 換 なGの

中 心{I,-I}(但

述 べ た 議 論 に よ ってSO(3)の うなGの

これ ら の 回転 に よ り生成 され るか ら,Adは

し 

と 一 致 す る.従

す べ て の 有 限 次 元 表 現 は,{I,-I}を

有 限 次 元 表 現 か ら得 ら れ る.即

とす る と きGの

元 と一 致す るか

ち τをSO(3)の

有 限 次 元 表 現 ρが 存 在 し て任 意 のg∈Gに

っ て[1.1.2]で

核 に含 む よ

任意の有限次元表現 対 し τ(Ad(g))=ρ

(g)が 成 り立 つ.こ

の と き 明 ら か に ρは τに よ っ て 一 意 的 に 定 ま る が,Adは

上 へ の 写 像 で あ る か ら逆 に τは ρに よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.更

に τ(SO(3))=

ρ(G)で あ る か ら τが 既 約 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は ρが 既 約 で あ る こ と で あ る.   さ て(ρ,V)を

最 高 ウ エ イ トがnで

ウ エ イ トは[2.2.2]で

あ る よ うなGの

既 約 表 現 と す る と,ρ

示 し た よ う に-n,-n+2,…,n-2,nで

エ イ ト とす る とmに

属 す る ウ エ イ トベ ク トル 

が 成 り立 つ.k2π=-Iで

あ る か ら ρ(-I)が

で あ る か らmは

偶 数 と な る.逆

の

あ り,mを

ウ

が存在 して

恒 等 写 像 な ら ば υ=eimπ υ と な り 

に す べ て の ウ エ イ トが 偶 数 な ら ばVは

ウ エ イ トベ ク トル の 和 で 表 わ さ れ る か ら ρ(-I)は

恒 等 写 像 と な る.既

約表現

の ウ エ イ トの 性 質 か ら す べ て の ウ エ イ トが 偶 数 で あ る た め の 条 件 は 最 高 ウ エ イ トが 偶 数 で あ る こ と で あ る.   さ て(ρn,Vn)を[2.1.2]で る.nを

偶 数 と しn=2lと

定 義 さ れ るSO(3)の

定 義 さ れ た 最 高 ウ エ イ トnのGの お き 任 意 のg∈Gに

既 約 表 現 を τlとす る. 

τl′(SO(3))=ρ2l′(G)で 

既 約 表 規 とす

対 し τl(Ad(g))=ρ2l(g)に

よ り

とす る と τl(SO(3))=ρ2l(G),

で あ る か ら 

で あ る.

 以 上 に よ り次 の定 理 が 得 られ る.   定 理2.7  SO(3)の

有 限 次 元 表 現 に つ い て 次 の(1)∼(3)が

  (1) τl(l=0,1,…)はSO(3)の   (2) 

成 り立 つ.

既 約 表 現 で あ る.

の と き τlと τl′ は 同 値 で は な い.

  (3) SO(3)の

既 約 表 現 は τl(l=0,1,…)の

  2.3.2  G=SU(2)と る が 更 に(2.13)か

を得 るか ら,極

す る と 任 意 のg∈Gに

い ず れ か と 同 値 で あ る. 対 し(2.12)よ

りAd(g)S2⊂S2と

な

ら

座 標 を用 い る こ とに よ りGはS2にAdに

る こ とが 分 か る.そ の1点Zに

と一 致 す る.故 に 写 像

よ り推 移 的 に作 用 す

お け る等方 部分 群 は 明 らか に

 (2.14) 

G/K(∋gK→Ad(g)Z∈S2

は 等 質 空 間 と し て の 上 へ のC∞

微 分 同 型 を 与え,こ

同 一 視 さ れ る.f∈C∞(G/K)と

す る と(2.1)よ

とな るが,dxはG上

の 同 型 に よ りS2はG/Kと

り

の 正 規 化 され た ハ ール 測 度 で あ るか ら この 右 辺 はG/K

上 の 正 規 化 され た(つ ま り球 面 の面 積 が1と の 測 度 に 関 す るG/K上

な る よ うな)不 変 測 度 を 与 え る.こ

の 自乗 可 積 分 関 数 全 体(勿 論 測 度0の

集 合 を 除 い ては

値 が 一 致 す る2つ の 関 数 は 同一 視 す る)の なす ヒル ベ ル ト空 間 をL2(G/K)と 書 け ば,明

ら か にL2(G/K)はGのL2(G)上

間 でRをGのL2(G)上

(但 しdkはKの せ ばf∈L2(G)の

の左 正 則 表 現Lの

の 右 正 則 表 現 とす る と き,L2(G/K)へ

正 規 化 され た ハ ー ル測 度)で 与 え られ る.PKを

閉不変部分空 の直交射影は

具 体 的 に表 わ

とき

と な る.

  (ρ,V)をGの のg∈Gに

既 約 表 現 と し{υ1,…,υn}をVの

意

対 し

に よ り 

と な る.こ L2(G)の

正 規 直 交 基 底 とす る.任

を定 義 す れ ば

の と き定 理1.9の

系1に

は

よ り 

正 規 直 交 基 底 を 与え る.{υ1,…,υn}と

し て ウ エ イ トベ ク トル の み か ら

な る 基 底 を 取 っ て お け ば(異 な る ウ エ イ トに 属 す る ウ エ イ トベ ク ト ル は 互 い に 直 交 す る か ら こ の よ うな 基 底 が 取 れ る)υiの

と な る か ら,PKρij=ρij⇔mj=0で

ウ エ イ トをmiと

あ る.ρ が0を

は 最 高 ウ エ イ トが 偶 数 で あ る こ と に 注 意 す る.そ

す る とき

ウ エ イ トと す る た め の 条 件 こ で(ρn,Vn)を[2.1.2]で

定

義 した 最 高 ウエ イ トnの 既 約 表 現 と しnが 偶 数 で あ る と仮 定 しn=2lと mを 

お く.

を み た す 整 数 とし

と お く と,l-m=kの ら 定 理2.4に

と きn-k=2l-(l-m)=l+m,n+1=2l+1で

よ り{υ-l,…,υl}はV2lの

2l-2(l-m)=2mで

あ る か ら 任 意 のkφ ∈Kに ρ2l(kφ)υm=eimφ

と な る.従

あ るか

正 規 直 交 基 底 と な る.更

にn-2k=

対 し υm

って特 に dρ2l(E0)υm=2mυm

を 得 る.そ

こ で 任 意 のx∈Gに

対 し flm(x)=(υm,ρ2l(x)υ0)

と お く.こ

の と き 上 で 述 べ た こ とか ら 次 の 定 理 を 得 る.

  定 理2.8  正 規 化 され た 不 変 測 度 に関 す るG/K上

の 自乗 可 積 分 関 数全 体(勿

論 測 度0の 集 合 の 上 を 除 い て 値 の 一 致 す る関 数 は 同 一 視 す る)の な す ヒル ベ ル ト空 間 をL2(G/K)と  (1)GのL2(G)上

書 くと き次 の(1)∼(3)が 成 り立 つ. の 左 正 則 表 現LはL2{G/K)を  はL2(G/K)の

 (2)

不 変 に す る. 正 規 直 交 基 底 で あ る.

 で張 られ る空 間 はLの

 (3)

と 同値 な表 現 とな る.従

不 変 部 分 空 間 で ρ2l

って

が 成 り立 つ.   2.3.3  Cを

キ リン グ形 式Bの

定 め る カ シ ミ ー ル 作 用 素 をC0と  (2.15) 

定 め る カ シ ミー ル 作 用 素 と し,B0=-1/2Bの 書 く とC0=-2Cで

定 義 し たGのC∞(G)上

で 示 し た よ う にdR(C0)はD(G)の

と お く と{H,X+,X-}は

よ り

dρ2l(C0)=-l(l+1)l

と な る.L,Rを[1.4.1]で

gcと す る.(2.11)に

あ る か ら定 理2.6に

中 心 に 属 す る.Gの

よ り定 義 さ れ たgcの

ま たgCの

の 表 現 と す る と,[1.4.6]

基 底{E0,E+,E-}に

基 底 とな り

リ ー 環gの 対 して

複素化 を

が 成 り立 つ. 

だ か ら 

と な

り

従 って

を 得 る.故

に

と な る.一

方

で あ るか ら

と な り従 っ て

を 得 る.と

こ ろで

が 成 り立 つ か ら

で あ る.故

に

 (2.16)

を 得 る.   さ て 一 般 にf∈C∞(G/K)の ∈Kに

対 しf(xk)=f(x)が

と き,即

ちf∈C∞(G)で

成 り 立 つ と き は,Kの

か つ す べ て のx∈G,k リー 環 をfと

す る とす べ

て のu∈U(gc)fに

対 し 明 ら か にdR(u)f=0と

∈g,f∈C∞(G)に

対 しdR(Ad(x)-X)f(x)=dL(-X)f(x)が

て 任 意 のf∈C∞(G/K)に

対 し て(2.16)よ

な る.更

に 任 意 のx∈G,X 成 り立 つ.従

っ

り

 (2.17)

とな る.関 数flmに

が 成 り立 つ.こ

を 得 る.一

対 して は 任 意 のX∈g,x∈Gに

れ ら の こ と お よ びexpθH=uθ

方 任 意 のx∈Gに

対 し(2.15)よ

対し

に 注 意 す れ ば(2.16)よ

り

り

 (2.18)

と な る か らflm(uθ)は

θの関 数 とし て

な る 微 分 方 程 式 を み た す こ と が 分 か る.￨x￨<1に 換 しu(x)=flm(uθ)と

お く とuは

を み た す 有 界 な 関 数 で あ る.従 数 倍 と な る.但

で あ る.更

と変 数 変

ル ジ ャ ン ドル の 陪 微 分 方 程 式

っ てu(x)は

ル ジ ャ ン ドル の 陪 関 数Plm(x)の

し

に

で あ るか ら 

は((l-m)!(2l+1)/(l+m)!)1/2Plm(cosθ)の

の複 素数 倍 とな る.任 意 のkφ ∈Kに  (2.19)

お い てx=cosθ

対し

絶 対 値1

定

が 成 り立 つ こ とに 注 意 す れ ば 以上 述 べ た こ とに よ り次 の古 典 的 な結 果 が群 論 的 に証 明 出 来た 訳 で あ る.  定 理2.9  2次 元 球 面S2上 の正 規化 され た 回転 不 変 な 測度 を μ とす る と き次 の(1),(2)が 成 り立 つ.  (1)fをS2上

の連 続 関数 としfを 極 座 標 で表 わ し た 関 数 をF(θ,φ)と 書 くと

が 成 り立 つ. はL2(S2,

 (2) 

μ)の正 規 直 交 基 底 とな る.  2.3.4 定 理2.8の(3)は る.Kの

フ ロベ ニ ウ ス の定 理 を用 い て も次 の よ う に 証 明 され

自明 な表 現(つ ま りCを

表 現 空 間 と しKの

各 元 にCの

恒 等写像を対

応 させ る)を1と 書 くと容 易 に分 か る よ うに

で あ るか ら,定 理1.11に よ りGの

任意 の既 約表 現 ρに対 し

(L￨L2(G/K):ρ)=(ρ￨K:1)

が 成 り立 つ.一

方Gの

既 約 表 現 ρに 対 し(ρ￨K:1)は

ク トル 空 間 の 次 元 で あ る か ら 

ρの0ウ

エ イ トに 属 す る ベ

で あ る た め の 条 件 は ρの 最 高 ウ エ イ

トが 偶 数 で あ る こ と で か つ こ の と き(ρ￨K:1)=1と

な る.故

に

を 得 る.

  2.4  球 面 上 の ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ ク トル 分 解 と ボ ア ッ ソ ン の 方 程 式   2.4.1  G=SU(2)と たgの

しGの

リー 環 をgと

書 く.X,Y,Zを[2.3.1]で

定 義 し

基 底 とし

S2={xX+yY+zZ;x2+y2+z2=1} と お く.Bをgの る.(2.14)で

キ リン グ形 式 と しB0=-1/2Bと 定 義 し た 同 型 対 応 を η と書 く と

お く とB0はgの

内積 とな

η:G/K∋gK→Ad(g)Z∈S2 で あ る.

に 注 意 す れ ば(2.13)よ

を 得 る.故

り

に

とな る か ら

を 得 る.更

に

で あ るか ら

を 得 る.従

っ てB0か

ら 誘 導 さ れ るG/K上

の リ ー マ ン 計 量 を η に よ っ てS2上

に移せば

が 正 規 直 交 基 底 と な る.故 る.こ

に こ の リ ー マ ン 計 量 はdθ2+sin2θdφ2で

与 え られ

の リー マ ン 計 量 の 定 め る ラ プ ラ シ ア ン は

で あ る.一

方Cを

カ シ ミー ル 作 用 素 と す る と(2.17)よ

り任 意 のf∈C∞(G/K)

に対 し

で あ る か らdR(2C)f(kφuθ)=Δf(kφuθ)が

成 り立 つ こ と が 分 か る.(ρn,Vn)を

[2.1.2]で n=2lと

定 義 し た 最 高 ウ エ イ トnの 既 約 表 現 と し,nが お く.{υ-l,…,υ1}を[2.3.2]で

l∈N,m∈Z, 

定 義 し たV2lの

偶 数 の場 合 を 考 え 正 規 直 交 基 底 と す る.

の とき fml(x)=(υm,ρ2l(x)υ0) 

と定 義 す る と,(2.18)に  (2.20) 

(x∈G)

よ り

dR(2C)fml(x)=l(l+1)fml(x) 

が 成 り立 つ.従

っ てl∈N,m∈Z, 

(x∈G)

のとき

 (2.21)

とお くと

 (2.22)

とな り,φl,mは Δの 固 有 値l(l+1)に

属 す る 固有 関 数 で あ る.任 意 のl∈Nに

対し

と お き,任

に対 し

意 の 

と 定 義 す る と,定

理2.8お

よ び 定 理2.9に

属 す る 固 有 空 間 へ の 直 交 射 影 で あ る.従

とお き,任 意 のF∈Dに

よ りEl(l+1)は

Δ の 固 有 値l(l+1)に

って

対し (L2(S2)に お け る 収 束)

と 定 義 す る と,Δ

はL2(S2)上

のDを

定 義 域 とす る 自 己 共 役 作 用 素 と な る.こ

の とき Δは

と ス ペ ク トル 分 解 さ れ る.   2.4.2  各l∈Nに

対 し 

に よ っ て 張 られ るL2(S2)の

部分空間

をL2(S2)lで

表 わ せ ば 明 ら か にL2(S2)l⊂C∞(S2)で

あ る.こ

の と き ヒル ベ ル ト

空 間 とし て の 直 和 分 解  (2.23)

が 成 り立 つ こ と は い う迄 も な い.任

意 のF∈L2(S2),g∈Gに

(π(g)F)(u)=F(Ad(g)-1u) 

と 定 義 す る と,[2.3.1]お π のL2(S2)lへ

対 し

(u∈S2)

よ び 定 理2.8に

よ りL2(S2)lは

の 制 限 を πlと 書 く と き 

πの不変部分空 間で

を 得 る.

  さ て前 小節 にお い ては(2.22)が 基 本 的 で あ った ． つ ま りラ プ ラシ アン を カ シ ミー ル作 用 素 で表 わ し カシ ミー ル作 用 素 は既 約 表 現 に対 し て は ス カ ラー 作 用 素 に な り,そ の ス カ ラー値 を表 現論 的 に前 も って 計 算 し て お い た 訳 で あ る.こ の 小 節 で は カシ ミー ル 作 用 素 を用 い な い で,π の既 約表 現分 解 と ラ プ ラシ ア ンの ス ペ ク トル 分解 との 関 係 につ い て 述 べ よ う.前 小 節 の 方 法 が 対 称 空 間 上 の 調 和 解 析 に お け る基 本 原 理 の1つ

とす れ ば,以 下 に 述 べ る方 法 は 等 質 空 間 上 の調 和

解 析 に お け る基 本 原 理 の1つ

とい って よい.

 先 ず ΔがS2上

の不 変 微 分 作 用 素 で あ る こ とか ら,任 意 のg∈Gに

 (2.24) 

π(g)°Δ=Δ

が 成 り立 つ こ とに 注 意 す る.以 重 要 で あ って,こ

°π(g)

下 の 議 論 の示 す よ うに この条 件 を みた す こ とが

れ さ え み た せ ば 微 分 作 用 素 で な く て も よ い.L2(G)l⊂C∞(G)

に 注 意 し て ΔL2(G)lを び(2.24)に

対し

考 え れ ばL2(G)lが

よ りΔL2(G)lは

π の不 変 部 分 空 間 で あ る こ とお よ

π の 不 変 部 分 空 間 と な る.そ

こ で π のΔL2(G)lへ

の 制 限 を πlと 書 け ば 写 像  (2.25) 

L2(G)l∋F→ΔF∈ΔL2(G)l

は,πlと

πlと に 関 し てintertwining作

用 素 と な る.従

L2(G)lの

不 変 部 分 空 間 で あ る.πlは

既 約 で あ る か らKerΔ

L2(G)lに

一 致 す る.KerΔ=L2(G)lの

場 合 はL2(G)lは

る 固 有 空 間 に 含 ま れ る 訳 で あ る.KerΔ={0}の 型 と な り,  らΔL2(G)l=L2(G)lが

を 得 る.し

っ て Δ の 核KerΔ は{0}か

属す

上 へ の 線形 同

か る に 

の と き 

成 り立 つ こ と が 分 か る.従

っ て 再 び(2.24)を

ー ア の 補 題(定 理1 .1)に よ り Δ のL2(G)lへ

また は

Δ の 固 有 値0に

場 合 は(2.25)は

は

で あ るか 使 えば シ ュ

の 制 限 は ス カ ラ ー 作 用 素 で あ る.

こ の ス カ ラ ー を λlと か きL2(G)か

とお き,任 意 のF∈Dに

らL2(G)lの

上 へ の 直 交 射 影 をElと

書けば

対し (L2(S2)に お け る収 束)

と定 義 す る と,Δ はL2(S2)上

のDを

定 義 域 とす る 自己 共 役 作 用 素 とな る.こ

の とき Δは

と ス ペ ク トル 分 解 さ れ る.   2.4.3

とお き,Λ か らCへ

と お き,任

の 写 像 の 全体 をC(Λ)で

意 のa∈L2(Λ)に

と定 義 す る と,明

致 しL2(Λ)は

対 し

らか に ‖・‖ はL2(Λ)の

線 定 理 を み た す か らL2(Λ)に

表 わ す.

ノル ム と な り し か も こ の ノル ム は 中

内 積 が 入 り こ の 内 積 の 定 め る ノ ル ム は‖・‖ と 一

ヒル ベ ル ト空 間 と な る.{φl,m;(l,m)∈Λ}はL2(S2)の

基 底 で あ る か ら,任

意 のF∈L2(S2)に

と 定 義 す れ ば,FはL2(S2)か

対 し{l,m)∈Λ

らL2(Λ)の

C(Λ)の 元 と す る と き 任 意 のk∈Nに

正 規直 交

の とき

上 へ の 線 形 な 等 長 写 像 と な る.aを

対 し

とお き

と 定 義 す れ ば 明 ら か に  の 定 め る 位 相 を 導 入 す る.

が 成 り立 つ. 

に セ ミ ノ ル ム 系{vk}k∈N

 さ てFをS2上

のC∞

関 数 とす る と き,任

意 のk∈Nに

と お け ば セ ミ ノ ル ム 系{μk}k∈NはC∞(S2)上 (l,m)∈Λ

に 対 し(2.22)に

対 し

の 通 常 の 位 相 を 定 義 す る.任

意の

より Δ φl,m=l(l+1)φl,m

で あ り,か つ ラ プ ラシ ア ンは 対 称 作 用 素 で あ るか らk∈Nと

すると

 (2.26)

が 成 り立 つ.   定 理2.10 

写 像

は 上へ の 位 相 線 形 同 型 で あ る.

 証明

と お く と,任

意 のF∈C∞(S2)に

対 し(2.26)に

と な る か ら 定 理 の 写 像 はwell-definedで,か の ノ ル ム とL2(Λ)の

 逆 に   (2.27)

より

つ 連 続 で あ る.更

ノ ル ム に 関 し 等 長 写 像 で あ る か ら1対1写

が 任 意 に 与え られ た と き

にFはL2(S2) 像 で あ る.

と 定 義 す れ ば,(2.21)お

で あ る か ら,(2.27)は

よ び(2.22)に

よ り

項 別 に(Δ+1/4)kを

施 す こ とが 出 来 て 上 式 よ り

 (2.28)

を 得 る.こ り,か

の と き(2.27)よ

つ(2.28)は

りa=FFと

な るか ら定 理 の写 像 は 上 へ の写 像 で あ

逆 写 像 の 連 続 性 を 意 味 す る. 

(証 明 終)

  2.4.4  記 述 を 簡 単 に す る た め 次 の よ う な 記 号 を 導 入 す る.任 ∈C(Λ)に

対 し,(l,m)∈Λ

意 のt∈R,a

の とき

と お く こ と に よ りC(Λ)の

元 

を 定 義 す る.任

意 のa∈C(Λ)

に対 し ‖a‖∞=sup{￨a(l,m)￨;(l,m)∈

と お く.Λ

の 各 元(l,m)に

Λ}

対 し

と書 く.任 意 の 解 析 汎 関 数T∈B(S2)(定

義 は[1.4.7])に

対 し,(l,m)∈

Λ のとき

(FT)(l,m)=T[φl,m]

と お く こ と に よ り,C(Λ)の よ ぶ.こ

の と き定 理1.19か

元FTを らTは

定 義 す る.FTをTの

フ ー リエ 係 数 と

フ ー リエ 係 数 に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.故

に 写像 B(S2)∋T→FT∈C(Λ) は1対1で

あ る.

  定 理2.11 

C(Λ)の 元aに

対 し 次 の(1)∼(3)は

 (1) 或 る 解 析 関 数F∈A(S2)が  (2) 或 るt>0が

存 在 し て, 

 (3) 或 るt>0が

存 在 し て, 

同 値 で あ る.

存 在 し て,FF=aと

な る.

が 成 り立 つ. が 成 り立 つ.

  証 明   (1)⇒(2)あ に よ り(特 に(1.16)を 特 にC∞ る.と

るF∈A(S2)に 参 照)或

関 数 で あ り,従

対 しFF=aと

るt>0が

な っ た と す る と,[1.4.7]

存 在 し て 

っ て 定 理2.10に

は実解析 であ るから

よ りそ の フ ー リ エ 係 数 は 

こ ろ が 明 ら か に 

に属す

で あ る か ら 

が 成 り立

つ.

 (2)⇒(3)は

明 ら か で あ る.

 (3)⇒(1)或

るt>0に

と仮 定 す る.こ

対 し 

の と きt1=t/2と

お くと

が 成 り立 つ.従

っ て 特 に 

FはL2(S2)か

らL2(Λ)の

てFF=aと

な る.こ

を 得 る か ら,定  定 理2.12 

上 へ の 等 長 写 像 で あ る か ら 或 るF∈L2(S2)が

よ りF∈A(S2)で

C(Λ)の 元bに

存 在 し て,FT=bと 対 し て, 

 (3) 任 意 のt>0に

対 し て, 

理1.19に

存在 し

同 値 で あ る. な る.

が 成 り立 つ. が 成 り立 つ.

るT∈B(S2)に

よ り任 意 のt1>0に

 (証 明終)

あ る.

対 し 次 の(1)∼(3)は

 (2) 任 意 のt>0に

  証 明   (1)⇒(2)或

あ る.

の と き上 式 よ り

理1.19に

 (1) 或 るT∈B(S2)が

が い え る か らa∈L2(Λ)で

対 し てFT=bと

な った とす る と,定

対 して

 (2.29)

が 成 り立 つ.そ

こ で 任 意 に 正 数tが

任 意 のk∈Nに

対 し

与 え ら れ た とす る と,t1=t/2に

お くとき

で あ る か ら,或

る正 数ct,kが

が 成 り立 つ.故

に(2.29)に

存在 して

よ り

を 得 る.  (2)⇒(3)は

明 ら か で あ る.

 (3)⇒(1)任

意 のt1>0に

任 意 に 与 え ら れ た 正 数tに

と な る か ら,定

理1.19に

が 成 り立 つ と 仮定 す る.

対 し て  対 しt=2t1と

お くと

よ り或 るT∈B(S2)が

存 在 し てFT=bが

成 り立 つ.

(証明 終)   2.4.5  C∞(S2)の 元Fを

既 知 関 数 とし て

 (2.30) 

Δu=F

な る 微 分 方 程 式 を 考 え よ う.い る.こ

の と き 任 意 の(l,m)∈

ま(2.30)がu∈C∞(S2)な

る 解 を 持 った と仮 定 す

Λ に対 し (FΔu)(l,m)=(FF)(l,m)

を 得 る.(FΔu)(l,m)=l(l+1)(Fu)(l,m)に  (2.31) 

 (2.32)

であるか ら

Λ に対 し

l(l+1)(Fu)(l,m)=(FF)(l,m)

が 成 り立 つ こ とが 分 か る.l=0の FF(0,0)=0を

注 意 す れ ば 任 意 の(l,m)∈

得 る.故

に

と き は 

だ か らm=0と

な り従 っ て

が 成 り立 つ.即

ち(2.30)がu∈C∞(S2)な

る解 を 持 つ た め に は

 (2.33)

が 成 り立 つ こ と が 必 要 で あ る.そ き任 意 のc∈Cを

こ でFが(2.33)を

取 り,(l,m)∈

み た す と 仮 定 す る.こ

の と

Λ の とき

 (2.34)

と お く こ と に よ りC(Λ)の 2.10に

よ り 

元aを

で あ る こ とが 容 易 に 分 か る.故 てFu=aが

を 得 る.従

定 義 す れ ばF∈C∞(S2)と

で あ り,従

成 り立 つ.こ

っ て(2.34)お

よ び 

に 定 理2.10に

よ り,或

の と き 任 意 の(l,m)∈

っ てFΔu=FFと

な る.故

仮 定 した か ら定 理 の 定 義 か ら  るu∈C∞(S2)が

存在 し

Λ に 対 し,(2.34)に

に 定 理2.10に

より

よ り Δu=Fで

あるこ と

が 分 か る.

 さ て Δ が対 称 作 用 素 で あ る こ とに注 意 し て,任 意 のT∈B(S2)に (ΔT)[F]=T[ΔF]  に よ り,ΔTを

(F∈A(S2))

定 義 す れ ば 明 ら か に ΔT∈B(S2)で

(2.30)の 解 に な っ た と し よ う.こ

対 して

あ る.い

の と き 任 意 の(l,m)∈

まT∈B(S2)が

Λ に 対 し 

な る埋 込 み 写 像 の定 義 に よ り

を 得 る.従

っ て(FT)(0,0)は

任 意 で よ い がl>0の

 の 値 は(FF)(l,m)の

と な り,(FT)(l,m)

定 ま る.故

に 上 で 述 べ た よ うにF∈C∞(S2)か

  次 にF∈A(S2)と

と きは

仮 定 し よ う.uを

値 に よ って一 意 的 に

らT∈C∞(S2)が

微 分 方 程 式(2.30)の

従 う.

任 意 の 解 と す る.勿

論B(S2)の

範 囲 で 解 を 考 え て も 上 記 の こ と か らu∈C∞(S2)と

で あ る か ら 定 理2.11に

を 得 る.こ

よ り或 るt>0が

の と き(2.31)に

な る.F∈A(S2)

存在 して

よ り

で あ る か ら,u∈A(S2)と

な る.

  最 後 にF∈B(S2)と

仮 定 す る.こ

解 を 持 っ た と す れ ば,任

の と き 微 分 方 程 式(2.30)がT∈B(S2)な

意 の(l,m)∈

る

Λ に対 し

l(l+1)(FT)(l,m)=(FF)(l,m) が 成 り立 つ か ら,(FF)(0,0)=0で ば 微 分 方 程 式(2.30)が

解 を 持 つ た め に は,S2上

1で 表 わ す と きF[1]=0な (0,0)=0と

な け れ ば な ら な い.故

に(2.32)に

で 恒 等 的 に1で

あ る定 数 関 数 を

る こ と が 必 要 で あ る こ と が 分 か る.そ

仮 定 す る.任

意 のc∈Cを

取 り(l,m)∈

注意すれ

こ で(FF)

Λ の とき

 (2.35)

とお く こ と に よ りC(Λ)の に よ り任 意 のt>0に

と な る.従 つ.こ

定 義 す る と,F∈B(S2)で

あ る か ら 定 理2.12

対 し

っ て 定 理2.12に

の と き(2.35)に

ΔT=Fと

元bを

よ り或 るT∈B(S2)が

よ りFΔT=FFを

な り,Tは(2.30)の

存 在 し てFT=bが

得 る.Fは1対1写

成 り立

像 で あ る か ら

解 で あ る.

 以 上 に よ り次 の定 理 を 得 る.  定 理2.13  S2上 の 微 分 方 程 式  (2.36) 

Δu=F

に 関 し 次 の(1)∼(4)が   (1) F=0の

成 り立 つ.

と き,(2.36)の

  (2) F∈B(S2)の

解uはS2上

と き,(2.36)が

の 定 数 関 数 で あ る.

解u∈B(S2)を

持 つ た め の必 要 十分 条件 は

F[1]=0 が 成 り立 つ こ と で あ る.   (3) F∈C∞(S2)の

と き,u∈B(S2)が(2.36)の

解 で あ る と す れ ばu∈C∞(S2)

と な る.   (4)  F∈A(S2)の る.

と き,u∈B(S2)が(2.36)の

解 で あ る と す れ ばu∈A(S2)と

な

Ⅲ  SL(2,R)の

表 現 と上 半 平 面 上 の調 和 解 析 お よび

SU(1,1)の 表 現 と単位 円板 上 の調 和解 析

  3.1  SL(2,R)お

よ びSU(1,1)の

ユ ニ タ リ表 現

  3.1.1

とお く と,SL(2,R)は3次  ε=0,1お

元 の 実 リー 群 で あ る.以

よ び 実 数vを

固 定 す る.任

下G0=SL(2,R)と

す る.

意 のg∈G0, 

x∈R

に対 し

と定 義 す る と,Uε,vはG0の 

但 し 

上の ユ ニ

タ リ

現 とな る.こ れ を 連 続 系 列 の表 現 と よぶ. C+={z∈C;Imz>0} と お く.C+を

上 半 平 面 と い う.n>1を

み た す 整 数nに

対 しC+上

の 正則 関 数

で  (3.1)

が 有 限 で あ る よ う なF全 g∈G0, 

z∈C+に

れ を 正 則 離 散 系 列 の 表 現 と よ ぶ.同

正 則 関 数)で(3.1)が 書 く.任

有 限 で あ る よ う なF全

意 のg∈G0, 

と書 く.任

意 の

対 し

と定 義 す る と,U+nはG0の 

但 し  る.こ

体 の な す ヒ ル ベ ル ト空 間 を 

z∈C+に

上 の ユ ニ タ リ表 現 と な 様 にC+上

の 反 正 則 関 数(即 ちFが

体 の な す ヒ ル ベ ト空 間 を  対 し

と

但 し  る.こ

と定 義 す る と,U-nはG0の 

上 の ユ ニ タ リ表 現 と な

れ を 反 正 則 離 散 系 列 の 表 現 と よ ぶ.U+n,U-n(n=2,3,…)を

散 系 列 の 表 現 と よ ぶ.更 系 列 の 表 現 と い う.G0の Uε,v(ε=0,1,v∈R)の

合わせて離

に 

を合わせて主

正 則 表 現 は 主 系 列 の 表 現 に よ っ て 既 約 分 解 さ れ る.

み を 主 系 列 の 表 現 と よぶ こ と も あ る.v∈Cと

す る と,

Uε,vは 一 般 に は ユ ニ タ リ表 現 と は な ら な い が バ ナ ッ ハ 表 現 と な る.こ ユ ニ タ リ主 系 列 の 表 現 と よぶ.Paley-Wienerの

れを非

定 理 に は この 表 現 が 重 要 な 役

割 を 果 す.   n=1の

と き は 

は 共 に{0}と

な っ て し ま う.そ

の と き(3.1)の 定 義 を 次 の よ うに 修 正 す る.nをn>1を か し て 極 限 を 取 る こ と に よ り,C+上

こ でn=1

み たす 実 数 の範 囲 で 動

の 正 則 関 数(ま た は 反 正 則 関 数)で

 (3.2)

が 有 限 で あ る よ うなF全 で表 わ す.こ

体 の な す ヒルベ ル ト空 間 を 

の と きU+1,U-1はG0の

表 現 に な る.こ

(ま た は 

そ れ ぞれ 

上 のユニ タ リ

れ らを離 散 系 列 の極 限 と よ ぶ.上

で 定 義 し た ユ ニ タ リ表 現 の

U1,0の み が可 約 とな りそれ は

と既 約 分 解 され る.こ の事 実 はHardyク す.次

に 

を み た す 実 数sを1つ

ラ ス の 関数 の研 究 に 重要 な役 割 を 果 固 定 す る.任

意 のF1,F2∈C∞c(R)に

対し  (3.3)

と 定 義 す れ ば,(3.3)はC∞c(R)の と に よ り容 易 に 証 明 出 来 る.こ 備 化 し た も の を 

と 定 義 す れ ば,Us(g)は  は 

内 積 を 与 え る こ と が フ ー リエ 変 換 を 考 え る こ の 内 積 の 定 め る ノ ル ム に よ っ て,C∞c(R)を

と書 く.任

意 のg∈G0,F∈C∞c(R),x∈Rに

対 し

の ノ ル ム に 関 し 等 長 写 像 と な り,従

上 の ユ ニ タ リ作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.こ   上 の ユ ニ タ リ表 現 と な る.こ

完

っ てUs(g)

の と きUsはG0の

れ を 補 系 列 の 表 現 と よ ぶ.G0の

任 意 の既

約 ユ ニ タ リ表 現 は 恒等 表 現 か ま た は 上 で 与 え た ユ ニ タ リ表 現 の い ず れ か と同 値 とな る.こ の 小節 で 述 べ た こ とを 以下 で 証 明 す る.   3.1.2 G0=SL(2,R)と

し

と 定 義 す る と,K0はG0の

と お く と,G0=K0P0が 群 と よ ば れ る.P0の

極 大 コ ン パ ク ト部 分 群 で し か も 極 大 可 換 群 で あ る.

成 り立 つ.P0はG0の 任 意 の 指 標(1次

可 解 部分 群 で パ ラ ボ リック部 分

元 表 現)は

ε=0,1お

よ び λ∈Cを

適 当

に選 ん で

に よ り与 え ら れ る.後

で 定 義 す る も の と 記 号 を 合 わ せ る た め に λ=i2v-1の

と き の 指 標 を ξ0ε,v(ε=0,1,v∈C)と 書 く.ξ0ε,vに同 伴 し たG0/P0上 ドル をL0ε,vと 書 く と そ のC∞

切 断 の 全 体 は[1.5.1]で

に よ り与 え られ る.G0=K0P0で

あ る か ら,任

正 規 化 さ れ た ハ ー ル 測 度 をduと

書 く と き)

と 定 義 す る と,‖‖ の 完 備 化 をL2(L0ε,v)と

はC∞(L0ε,v)の 書 く.任

の直 線 バ ン

述 べ た よ うに

意 のf∈C∞(L0ε,v)に 対 し(K0の

ノ ル ム と な る.こ

の ノ ル ム に よ るC∞(L0ε,v)

意 のg∈G0,f∈C∞(L0ε,v),x∈G0に

対 し

(π0ε,v(g)f)(x)=f(g-1x)

と お く と,G0/P0の

体 積 バ ン ドル が 指 標 ξ00,0に 同 伴 し て い る こ と お よ びv∈R

の と きξ0ε,v-i/2=ξ0ε,v(ξ000)-1がP0の ユ ニ タ リ指 標 で あ る こ と に 注 意 す れ ば[1.5.3] に よ り π0ε,v(g)がL2(L0ε,v)の ユ ニ タ リ 作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ,π0ε,vはG0 のL2(L0ε,v)上

の ユ ニ タ リ表 現 と な る こ と が 分 か る.読

法 に よ る 直 接 証 明 を 試 み ら れ た い.任

者 は[3.4.1]で

意 のf∈C∞(L0ε,v)に

対 し

述 べ る方

とお くと

に注意 すれば

を得 る.更

に 任 意 のg∈G0に

が 成 り立 つ.π0ε,vがG0の

対 し 

の とき

ユ ニ タ リ表 現 で あ る こ と に 注 意 す れ ばUε ,vがG0の

ニ タ リ表 現 で あ る こ と が い え て し か も  に よ り 

で あ る こ とが 分 か る.[1.5.3]

で あ る か ら次 の 定 理 を 得 る.

  定 理3.1  G0=SL(2,R)と

す る と,任

の ユ ニ タ リ表 現 で あ り,か

意 の ε=0,1,v∈Rに

対 しUε,vはG0

つ

が 成 り立 つ.   3.1.3 

Gc=SL(2,C)と

と お く と,SU(1,1)は3次 の と き簡 単 な 計 算 に よ り

し

元 の 実 リー 群 で あ る.以

下G=SU(1,1)と

お く.こ

ユ

で あ る こ と が 分 か る.

と お くと,こ れ らは いず れ もGの1次

元 の リー部 分 群 で あ る.KはGの

コン パ ク ト部 分 群 で し か も極 大 可換 群 で あ る.A,Nは Rと

同 型 で あ る.こ の と きG=KAN(岩

極大

いず れ も リー群 とし て

沢 分 解)が 成 り立 ち しか も写 像

K×A×N∋(k,a,n)→kan∈G

はC∞

同 型 で あ る.特

に 任 意 のg∈Gはg=kθ(g)at(g)nx(g)と

れ る.t(g),x(g)はgに る.岩

よ っ て 一 意 的 に 定 ま り θ(g)はmod

沢 分 解 に 関 しGの

で 与 え ら れ る.Gの

一 意 的 に表 わ さ

ハ ー ル 測 度dgが

任 意 のf∈C∞c(G)に

ハ ー ル 測 度 は 写 像G∋g→g-1∈Gで

ニ モ ジ ュ ラ ー で あ る)か らatnxa-1t=netxに

を得 る.更 にG=KAK(カ

4π で 一 意 的 に 定 ま 対 し

不 変 で あ る(Gは

注 意 す れ ばG=ANKお

ユ

よび

ル タン分 解)が 成 り立 ち こ の分 解 に 関 し

 (3.4)

が 成 り立 つ.

とお くと,MはAのKに 化 群 とな る.商 群M′/Mは

お け る中 心 化 群 で あ りM′ はAのKに 任 意 のkM∈M′/Mに

おける正規

対し

A∋a→kak-1∈A

と定 義 す る こ と に よ りAの

自 己 同 型 と し て 作 用 す る.こ

れ を ワ イ ル 群 と よ ぶ.

が 成 り立 つ こ と に 注 意 す れ ば,Gの わ さ れ た と す る と, 

元gがg=kθatkφ=kθ

の と き 次 の(1),(2)の

′at′kφ ′ と2通

りに表

い ず れ か が 成 り立 つ こ とが 分 か

る.  (1)  t=t′

で か つkθm=kθ

 (2)  t=-t′

′,m-1kφ=kφ

で か つkθkπm=kθ

′ を み た すm∈Mが

′,m-1k-1πkφ=kφ

存 在 す る.

′を み た すm∈Mが

存 在 す る.

この こ とか ら 任 意 のg∈G＼Kは  意 的 に 表 わ さ れ る こ と が 分 か る.従

と一

っ て(3.4)か

ら

  (3.5)

を 得 る.  (3.6)

と お く とγ ∈SU(2)で

が 成 り立 つ.従

あ りか つ

っ てP=MANと

お くと

と な る.   3.1.4 

任 意 の

ε=0,1,v∈Rに

対 し

 (3.7)

(但 し 複 号 同 順 と す る)と 定 義 す る.ξ ε,vに同 伴 し たG/P上 Lε,vと 書 く と そ のC∞

切 断 の 全 体 は[1.5.1]で

に よ り与 え ら れ る.G=KPで

あ る か ら 任 意 のf∈C∞(Lε

化 さ れ た ハ ー ル 測 度 をdkと

の 直 線 バ ン ドル を

述 べ た よ うに

,v)に 対 し(Kの

正 規

書 く と き)

と 定 義 す る と,‖

‖ はC∞(Lε

の 完 備 化 をL2(Lε

,v)と 書 く.任

,v)の

ノ ル ム と な る.こ

の ノ ル ム に よ るC∞(Lε,v)

意 のg∈G,f∈C∞(Lε,v),x∈Gに

対 し

(πε,v(g)f)(x)=f(g-1x)

と お く と,G/Pの

体 積 バ ン ドル が ξ0,0に 同 伴 し て い る こ と お よ びv∈Rの

と

き ξε,v-i/2=ξ ε,v(ξ0,0)-1がPの

ユ ニ タ リ指 標 で あ る こ と に 注 意 す れ ば[1.5.4]よ

り π ε,v(g)(g∈G)がL2(Lε,v)の GのL2(Lε,v)上

ユニ

タ リ 作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ,π

ε,vは

の ユ ニ タ リ表 現 と な る こ と が 分 か る.

(複 号 同 順) で あ る か ら任 意 のp∈Pに のf∈L0ε,vに

対 し て 

が 成 り立 つ.故

対 しAf(x)=f(γ-1xγ)(x∈G)と

が 成 り立 つ か らAf∈C∞(Lε,v)を

得 る.こ

お く と 任 意 のp∈Pに

に任 意 対 し て 

の と き 任 意 のg,x∈G,f∈C∞(L0ε,v)

に対 して  とな るか ら任 意 のg∈Gに

対し

 (3.8) を 得 る.任

意 のg∈Gに

はGのL2(L0ε,v)上

対 し(π0ε,v)γ(g)=π0ε,v(γ-1gγ)と お

の ユ ニ タ リ 表 現 に な り か つ(3.8)よ

  定 理3.2  G=SU(1,1)と

す る と 次 の(1)∼(3)が

  (1)任 意 の ε=0,1,v∈Rに

対 し 

く と 明 ら か に(π0ε,v)γ

り 

と な る.

成 り立 つ. の と き πε,vはGの

既約 ユニ

タ リ表 現 で あ る.

で かつ

 (2) 

と定 義 す る と

 (3) 

  証 明   (3)の 証 明 は 上 で 与 え た.(1),(2)の

証 明 は 次 節 の 定 理3.12で

そ れ は リー 環 論 的 方 法 に よ る 既 約 表 現 の 分 類 を 用 い る.も 定 理3.17お   3.1.5 

よ び 定 理3.18の

G=SU(1,1)と

系 お よ び 定 理3.19で

す る.Gc=SL(2,C)と

与 え る.

っ と直 接 的 な 証 明 は

与 え る. お きGcの

ボ レ ル 部 分 群Bを

に よ り定 義 す る と

が 成 り立 つ か らGcのGc/B上 軌 跡 はGc/Bの B=Kで

の 自然 な 作 用 をGに

開 集 合 で あ り,し か も原 点Bに

あ るか らG/KはGc/Bの

制 限 し た と き原点BのG

お け るGの

等 方 部 分 群 はG∩

開 部分 集 合 と同 一視 され る.こ の 同一 視 に

よ ってG/Kに

複 素構 造 を 入 れ る とGのG/K上

あ る.任 意 のn∈Zに

の 自然 な 作用 は 複 素 解 析 的 で

対し

 (3.9)

と定 義 す る と τnはBの なn∈Zに

正 則 な指 標 で あ り,逆 にBの

任 意 の 正 則 な 指標 は 適 当

よ り(3.9)の形 で与 え られ る.τnに 同伴 したGc/B上

直 線 バ ン ドル をFnと

書 き,FnのG/Kへ

の 制 限 をEnで

表 わ す.EnのC∞

断 の 全体 は

と同 一 視 され,Enの

正 則 な切 断 全 体 は

Γ(En)={f∈C∞(En);fはGB上

の 正 則 関 数}

で 与 え ら れ る.

と お く とGB=DBと

な りしか も D×B∋(x,b)→xb∈GB

は 複 素 解 析 的 同型 であ る.任 意 のf∈C∞(En)に

対し

と定義 す る と写 像 An;C∞(En)→C∞(D)

が 得 られ るがD上

の 正 則 関 数 全 体 をH(D)で

表 わ す と明 らか に

Γ(En)∋f→Anf∈H(D) は 上 へ の 線 形 同 型 で あ る.任

意 のg∈G,f∈C∞(En)に

(Vn(g)f)(x)=f(g-1x) 

と定 義 す る と

対 し (x∈GB)

の 複 素解 析 的 切

但 し 

を得 る.故

に 任 意 のg∈G,F∈C∞(D)に

対 しz∈Dの

と

き

但 し 

と定 義 す る と,任 意 のg∈Gに

対し

An°Vn(g)=Tn(g)°An

が成 り立 つ.任 たG/K上

意 のn∈Zに

の 直 線 バ ン ドル をLnで

と 同 一 視 さ れ る.G∩B=Kで (Ln)あ

対 し τnをKに

制 限 し て得 ら れ る指標 に 同 伴 し

表 わ す とLnのC∞

切 断全 体 は

あ る か ら任 意 のf∈C∞(En)に

対 し てf￨G∈C∞

り従 っ て 写 像 Rn:C∞(En)∋f→f￨G∈C∞(Ln)

を 得 る.Rnは

明 ら か に 上 へ の 線 形 同 型 で あ る.Rnの

任 意 のg∈G,f∈C∞(Ln)に

逆 写 像 をSnで

表 わ す.

対 し (πn(g)f)(x)=f(g-1x) 

(x∈G)

と定 義 す る と次 の 可換 図形 を得 る.

 (3.10)

が す べ て のg∈Gに Γ(Ln),Γ(En)お びTn(g)の

対 し 成 り立 つ.故 よ びH(D)は

にRnΓ(En)=Γ(Ln)と

任 意 のg∈Gに

対 し そ れ ぞ れ πn(g),Vn(g)お

不 変 部 分 空 間 で あ る.πn(g),Vn(g)お

お よ びH(D)へ

お くと明 らか に

の 制 限 を そ れ ぞ れ π+n(g),V+n(g)お

よ びTn(g)の よ びTn+(g)と

Γ(Ln),Γ(En) 書 く こ とに

す る.  3.1.6  [3.1.3]で

与 え ら れ たGの

ハ ー ル 測 度 をdxと

し,任

よ

意 のf∈C∞c(Ln)

に対 し

と お く と,πn(g)は

こ の ノ ル ム に 関 し 等 長 写 像 と な りC∞c(Ln)の

(Ln)と 書 く と き πn(g)はL2(Ln)上 [1.5.3]に

よ りGのL2(Ln)上

と な る.さ

て 任 意 のf∈C∞(En)に

と な る.こ

こで

の ユ ニ タ リ作 用 素 と な る.こ

の ユ ニ タ リ表 現 と な る.定

対 しAnf=Fと

完 備 化 をL2 の と き πnは

義 か ら直 ち に

お くと

とお くと簡 単 な 計 算 に よ り

を 得 るか ら  (3.11)

が 成 り立 つ.D上

の 正 則 関 数Fで

 (3.12)

が 有 限 であ る よ うな もの全 体 を 

と書 く と, 

空 間 に な る こ とが 容 易 に 示 され る.Γ(En)の

が 完 備 な ヒル ベ ル ト

元fで

が 有 限 で あ る よ うな も の 全 体 を Γ2(En)で 表 わ しRnΓ2(En)=Γ2(Ln)と

お くと

明 ら か にRn,Snは は Γ2(En)か

Γ2(En)と

Γ2(Ln)の

間 の 等 長 対 応 で あ り更 に(3.11)よ

ら 〓+n(D)の 上 へ の 等 長 写 像 で あ る.従

〓+n(D)は す べ て ヒ ル ベ ル ト空 間 と な り,こ の 不 変 部 分 空 間 と な る.こ はL2(Ln)の

っ て Γ2(Ln),Γ2(En)お

れ ら は そ れ ぞ れ π+n,V+nお

よび

よ びTn+

れ ら の 制 限 を 同 じ 記 号 で 表 わ す こ と に す る.Γ2(Ln)

閉 不 変 部 分 空 間 で あ る か ら π+nは πnの 部 分 表 現 と な り,従

V+n,Tn+は

共 にGの

りAn

ユ ニ タ リ表 現 と な る.更

って

に 上 で 述 べ た こ とか ら

を 得 る.  補 題3.1 

(1)  の と き 

 (2)

〓+n(D)nは

定 数 関 数 の み か ら な る.従

  (3)Wを (D)nを

とお くと

〓+n(D)の{0}と

っ て 特 に 〓+n(D)nは1次

元 で あ る.

異 な る 任 意 の 閉 不 変 部 分 空 間 と す る とWは

〓+n

含 む.

 証 明  

としFを

原 点 で テ ー ラ ー展 開 す る と

は 広 義 一様 か つ 絶 対 収 束 す る.故 に

で あ るか ら  (3.13)

を 得 る.さ

てWを

〓+n(D)の 任 意 の 閉 不 変 部 分 空 間 と し, 

 を み た すz0∈Dが

存 在 す る.GはDに

を み た すg∈Gが F0∈Wで

か つWは

とす る と

推 移 的 に 作 用 す る か ら 

存 在 す る 

と お く と τn(kθ)T+n(kθ)

閉 で あ るか ら

と お く と,F0∈Wで

で あ る か ら,F1(z)≡1と

あ る.と

こ ろ が(3.13)よ

り

定 義 す る とF1=F0(0)-1F0∈Wと

な る.従

って特 に

Wと

して 全 空 間 〓+n(D)を取 れ ば

で あ る か ら 

の と きn>1で

す る と 

あ る こ と が 分 か っ た.逆

で あ る か ら 

に 

で あ る.故

で あ る 必 要 十 分 条 件 は(3.13)よ

成 り立 つ.最

後 にWを{0}と

た よ う にF1∈Wと 〓+n(D)nは

にn>1と

に(1)が 証 明 出 来 た.次

りF(z)≡F(0)と

な る か ら(2)が

異 な る任 意 の 閉 不 変 部 分 空 間 とす る と上 で 述 べ

な り,従

っ てWは

す べ て の 定 数 関 数 を 含 む.と

定 数 関 数 の み か ら な る か らWは

〓+n(D)nを

ころが

含 む こ と が 分 か る.

(証 明終)   定 理3.3  G=SU(1,1)と  (1) n∈Zの  (2) 

す る と 次 の(1)∼(3)が

とき の と き π+nはGの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

 の と き

 (3)

  証 明   (3)は 既 に 上 で 証 明 し た.故 に 〓+n(D)を 考 え れ ば よ い.従 Wを

成 り立 つ.

〓+n(D)の{0}と

の 直 交 補 空 間W⊥ 3.1の(3)よ W⊥={0}で

に 定 理 の 証 明 の た め に は Γ2(Ln)の

っ て(1)は 補 題3.1の(1)か

異 な る 任 意 の 閉 不 変 部 分 空 間 と す る と[1.1.7]よ

も 閉 不 変 部 分 空 間 と な る か ら も し も 

りWもW⊥

も 

あ り従 っ て 

で な け れ ば な ら な い.故

な らば 補 題

〓+1(D)と 書 く と

に

に π+nは 既 約 で あ (証 明 終)

D上 の正則 関数Fで

に

りW

を 含 む こ と に な り矛 盾 が 出 る.故

る. 

が有 限 で あ る よ うな もの全 体 を

代 り

ら 直 ち に 出 る.次

で あ る か ら 

を 得 る.そ

こ でA1,R1が

 お よ び 

等 長 写 像 とな る よ うに に ノ ル ム を 入 れ る と定 理3.3と

同 様 に し て 次 の 定 理 が 証 明 出 来 る.  定 理3.4  G=SU(1,1)と

す る と 次 の(1)∼(3)が

成 り立 つ.

 (1)  (2) π+1はGの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

 (3)

  3.1.7  各n∈Zに

対 しEnの

複 素 共 役 バ ン ドルEn(つ

ま りB∋b→

に 同 伴 し た バ ン ドル)の 反 正 則 切 断 の 全 体 は 明 ら か に Γ(En)と の 反 正 則 関 数Fで(3.12)で

定 義 さ れ る ノ ル ム ‖F‖ が 有 限 な も の 全 体 を 〓-n(D)

で 表 わ す と前 小 節 と 同 様 に し て Γ2(Ln),Γ2(En)お の ユ ニ タ リ表 現 が 得 ら れ る.こ こ の と き定 理3.3お れ る.定

 (1) n∈Zの

 定 理3.6 

π-n,V-nお

ら直 ち に 次 の 定 理3.5お

す る と 次 の(1)∼(3)が

成 り立 つ.

とき の と き π-nはGの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

の とき G=SU(1,1)と

す る と次 の(1)∼(3)が

 (1)  (2)π-1はGの

上 でG よ びT-nで

既 約 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

成 り立 つ.

表 わ す.

よ び 定 理3.6が

具 体 的 な 形 を 書 い て お く.任

対 しT-nは

  定 理3.5  G=SU(1,1)と

 (3) 

よ び 

 で与 え ら れ る.

但し

 (2) 

れ ら を それ ぞれ

よ び 定 理3.4か

理 を 述 べ る 前 にT-nの z∈Dに

τn(b)

一 致 す る.D上

意 のg∈G, 

得 ら

 (3)   3.1.8

と お く と,γ ∈SU(2)で と γG0γ*=Gで

あ る か ら γγ*=e(単

あ る か らG0γ*B=γ*GBと で か つ 

Bの

跡 は 開 集 合 で あ り, 

あ る か ら点

γ*1BのG0軌

G0/K0をGc/Bの をE0nと

に 注 意 す れ ば 

跡 はG0/K0と

を み た すG0γ*1B上

はG0の

で 後 この 同一 視 に よ り

義 は[3.1.5])のG0/K0上

へ の制 限

正 則 な 切 断 全 体 を Γ(E0n)で 表 わ す と Γ(E0n)の 元 は

f(xb)=τn(b)-1f(x) 

に よ りGの

開集

と な る か らGc/

同 一 視 さ れ る.以

開 集 合 と み な す.Fn(定

書 き,E0nの

注意す る

な り従 っ てG0γ*BはGcの

合 と な る.  点 γ*1BのG0軌

位 元)と な る.γ*=γ-1に

の 正 則 関 数fと

ハ ー ル 測 度dxをG0に

ハ ー ル 測 度 で あ る.Γ(E0n)の

(x∈G0γ*1B, 

同 一 視 さ れ る.写

b∈B)

像G∋x→

誘 導 し た も の をd0xと

γ-1xγ∈G0

書 く と 明 ら か にd0x

元fで

 (3.14)

が 有 限 で あ る よ うな も の 全 体 を Γ2(E0n)と 書 け ば,fはG0γ*1上 が 定 ま る か ら(3.14)は

Γ2(E0n)の ノ ル ム と な る.任

意 のf∈

 と お く と

が成 り立 つ か ら写 像  (3.15) 

Cγ:Γ2(En)→

は 上 へ の 等 長 写 像 と な り,任

意 のg∈G0,f∈

(W+n(g)f)(x)=f(g-1x) 

と 定 義 す る と,任

意 のg∈G0,f∈

Γ2(E0n)

Γ2(E0n)に 対 し (x∈G0γ*1B)

Γ2(En),x∈G0γ*1Bに

対 し

で一 意 的 に値 Γ2(En)に 対 し て

とな る か ら,任

意 のg∈G0に

対 して

 (3.16) が 成 り 立 つ.一

方 

G0の

の ユ ニ タ リ 表 現 と な る か ら(3.15),(3.16)に

Γ2(En)上

Γ2(E0n)上

と お け ば(V+n)γ

の ユ ニ タ リ表 現 と な り か つ 

と お く と,G0γ*B=C+Bで

意 のf∈

よ りW+nはG0の

と な る.

しか も

は 複 素 解 析 的 同 型 で あ る.従

と お く と,任

は明 らか に

っ て 任 意 のf∈

Γ2(En)に 対 し,z∈Dの

Γ2(E0n)に 対 し

とき

を得 る.こ の 式 か ら簡 単 な 計 算 に よ り

で あ る こ と が 確 め ら れ る.故 (C+)の

に 

(3.15)お

上 へ の 等 長 写 像 と な り,か よ び(3.16)に

よ って

と お く とCnは つ 任 意 のg∈G0, 

〓+n(D)か ら 〓+ n z∈C+に

対 し

が 成 り立 つ.従

を 得 る.故

っ て 任 意 のg∈G0に

対 して

に 

と お け ば(U+n)γ はGの

の ユ ニ タ リ表 現 と な りか つ 

が 成 り立 つ.任

 と お け ば γ*Bγ ∩G0=K0で (uθ∈K0)で

あ る か ら τ0n(uθ)=e-inθ/2(uθ ∈K0)と

ドル をL0nと

書 く とR0nf∈C∞(L0n)で

(E0n)の 像 を

と 定 義 す る とω+nはG0の  と な る こ と が 分 か る.任 定 義 す る と γuθγ-1=kθ

定 義 し τ0nに同 伴 し た 直 線 バ ン

に 任 意 のf∈

こ でR0nに

よ る Γ2

Γ2(L0n)に 対 し 

Γ2(L0n)上 の ユ ニ タ リ表 現 と な りか つ 意 のf∈

Γ2(Ln)に 対 し(Cγf)(x)=f

で あ る か ら  と な り,従

を 得 る.更

Γ(E0n)に 対 し

か つ τn(γuθ γ*)=e-inθ/2

あ る こ と が 分 か る.そ

Γ2(L0n)と 書 き 任 意 のg∈G0,f∈

(γxγ-1)(x∈G0)と

意 のf∈

〓+n(C+)上

Γ2(Ln)に 対 しx∈G0の

っ てCγf∈C∞(L0n)

とき

が 成 り立 つ.   以 上 よ り次 の 定 理 を 得 る.   定 理3.7  G0=SL(2,R),G=SU(1,1)と γ-1∈Gと

し 任 意 のg0∈G0に

対 し てg=γg0

お くと き

が 成 り立 ち,更 長 写 像 で あ る.

に 次 の 可 換 図 形 に お い てCγ,Cγ

お よ びCnは

す べ て 上 へ の等

  写 像An,Rn,A0n,R0n,Cγ,Cγ,Cn等

を う ま く用 い て 色 々 な 結 果 を 出 す の が 等

質 空 間 上 の 解 析 学 に お け る 基 本 原 理 の1つ   3.1.9  1/2)に

で あ る.

補 系 列 の 表 現Usはs=iv+1/2即

ちv=-i(s-1/2)と

内 積 を 入 れ 換 え た もの で あ る か ら と お く と き 定 理3.1お

り πsはUvsと

同 値 な ユ ニ タ リ表 現 と な

よ び 定 理3.2よ

お く と 

り 

と な る.つ

る よ う にC∞(L0,-i(s-1/2))に

そ の 完 備 化 上 の 表 現 で あ る.πs(1/2<s<1)をGの

 さ て(π,〓)をG=SU(1,1)の

お き,U0,-i(s-

πs=π0,-i(s-1/2)と

ま

内 積 を 入 れ

補 系 列 の 表 現 と よ ぶ.

ユ ニ タ リ表 現 と す る と き π￨Kに

関 して 〓 を

既 約 分 解 し そ の 後 同 値 な もの を ま とめ て

但し と す る. 

を み た すmを

を Λπと 書 く.ε=0,1に

π の ウ ェ イ トと よ び π の ウ ェ イ ト全 体 の 集 合

対 し

(複号 同 順) と お く と,容

易 に 分 か る よ う に任意 の ε=0,1,v∈Rに

で あ る か ら フ ロ ベ ニ ウ ス の 定 理(定 理1.11)か

を 得 る.補 系 列 の 表 現

系 列 の 表 現 πsは  π0,-i(s-1/2)にL2(K/M)と

π0 ,-i(s-1/2)￨Kに

関 し て は 任 意 のm∈Zに

対 し

ら任 意 のm∈Zに

即 ちv=-i(s-1/2)と 異 な る 内積 を 入れ た 対 し

対 し

お き非 ユ ニ タ リ主 も の で あ る か ら

が 成 り立 つ.nを 

を み た す 整 数 と す る と{zk;k=0,1,…}は

底 と な りか つ 任 意 のkθ ∈Kに

〓+n(D)の 基

対 し

が 成 り立 つ か ら Λπ+n={-n-2k;k=0,1,…}

を 得 る.同 様 に して Λπ-n={n+2k;k=0,1,…}

を 得 る.   定 理3.8 

[3.1.4]お

対 し て 次 の(1)∼(4)が  (1)  ε=0,1,v∈Rと  (2) 

よ び[3.1.5]で

とす る と

Λπε,v={m∈Z;m≡

ε(mod

2)}.

Λπs={2k;k∈Z}.

とす る と

 (4)  n∈Z, 

ユ ニ タ リ表 現 に

成 り立 つ. す る と

 (3)  n∈Z, 

定 義 し たG=SU(1,1)の

とす る と

Λπ+n={-n-2k;k=0,1,…}. Λ π-n={n+2k;k=0,1,…}.

  3.2  リー 環 の 表 現 と 既 約 ユ ニ タ リ表 現 の 分 類   3.2.1  G=SU(1,1)と

し 複 素 数 を 要 素 とす る2次

の 正 方 行 列 全 体 をM2(C)と

書 く.

と お くと

で あ る こ と が 容 易 に 分 か る.gはbracket積 Y∈gに

対 しB(X,Y)=4TrXYと

と な る.Bは と よ ぶ.指

に よ り リー 環 に な る.任

定 義 す る とBはg上

の 非 退 化 な2次

明 ら か に 自 己 同 型 の 作 用 で 不 変 と な る.Bをgの 標 写 像g∋X→expX∈GはSU(2)の

と は な ら な い.SU(2)の

場 合 と 同 様 にgの

意 のX, 形式

キ リン グ形 式

場 合 と 異 な り上 へ の 写 像 各 元Xに

対 し

と定 義 す る こ とに よ りgはG上

の 左 不 変 ベ ク トル場 全 体 の な す リー環 と同 一

視 され る.

と お く と{X1,X2,X3}はgの

基 底 と な る.こ

れ ら は キ リン グ 形 式 に 関 し 直 交

しか つ B(X1,X1)=2, 

で あ る か ら,Bの

B(X2,X2)=2, 

定 め る カ シ ミー ル 作 用 素 をCと

はGの

と な る. 

と お く と,〓 はKの

す る と 

コ ン パ ク ト可 換 部 分 群 で あ り

リ ー 環 と な りG=Kexpp(極

g∈Gに

対 しg=kp(k∈K,p∈expp)の

θ2=I(恒

等 写 像)を み た すGの

ン とい う.簡

B(X3,X3)=-2

分 解)が

成 り立 つ.任

と き θ(g)=kp-1と

意 の

定 義 す る と θは

自 己 同 型 で こ れ を カ ル タ ン ・イ ン ボ リ ュ ー シ ョ

単 な 計 算 に よ り[3.1.3]で 定 義 したkθ,al,nxに

対 し

で あ る こ と が 分 か る.

と お く と{E0,E+,E-}はgcの

基 底 とな り

[E0,E+]=2E+, 

が 成 り立 つ.こ

[E+,E-]=E0

の 基 底 に 関 し カ シ ミー ル 作 用 素 を 表 わ せ ば[2.2.4]で

うに(我 々 はSU(2)の M2(C);TrX=0}と

[E0,E-]=-2E-, 

リ ー 環 の 複 素 化 もSU(1,1)の 同 一 視 し て い て,キ

求めた よ

リー 環 の 複 素 化 も{X∈

リン グ形 式 を 複 素 化 に 複 素 線 形 に 拡 張

し た も の は 一 致 し て い る か ら こ れ ら の カ シ ミー ル 作 用 素 は 一 致 す る)  (3.17) と な る.

  3.2.2  (π,〓)をG=SU(1,1)の

既 約 ユ ニ タ リ表 現 とす る.〓

全 体 の な す ベ ク ト ル 空 間 を 〓∞ と書 き,Gの を 考え る.dπ

のU(gc)(gcの H=dπ(E0), 

リ ー 環gの

F=-dπ(E-),

ベ ク トル

〓∞上 の 微 分 表 現dπ

展 開 環)へ の 拡 張 も 同 じ記 号dπ E=dπ(E+), 

のC∞

で 表 わ す.

Ω=-2dπ(C) と お く と,π ラ ー は-2χ

は 既 約 だ か ら[1.4.6]に

よ り Ω は ス カ ラ ー 作 用 素 と な りそ の ス カ

π(C)で 与 え ら れ,q=-2χ

π(C)と お く とqは

実 数 と な る.π￨Kに

よ り 〓 を既 約 分解 しそ の 後 同値 な もの を ま とめ て

但し とす る と 明 ら か に 

で あ る.も

中 で 稠 密 で あ る こ と か ら  トル υ を1つ G)に

よ りG上

固 定 す る.こ

し も π￨Kが を 得 る.そ

の と き 任 意 の 

の 関 数 を 定 義 す る と, 

る.故

にHυ=mυ,Ω

を 得 る.一

方[E,F]=-Hで

υ=qυ

の単位ベ ク

に 対 しfw(g)=(π(g)υ,w)(g∈

成 り立 つ.従

っ てfwは

実

固 有 関 数 であ る か ら実解 析 的 関 数 とな

に υ は 実 解 析 的 ベ ク トル で あ る.H,E,F,Ω

で あ り,更

こ で 

と お く と き 

と な る か らDfw=(q-2m2)fwが 解 析 的 係 数 の 楕 円 型 の 微 分 作 用 素Dの

ξmを 含 め ば 〓∞が 〓 の

の定義か ら

であるから

あ るか ら (EF-FE)υ=-mυ

が 成 り立 ち,従

って

を 得 る.HEkυ=(m+2k)Ekυ れ ると

 (3.18)

と な る.同

様に

で あ る か ら 上 の 最 後 の 式 の υ の 代 りにEkυ

を入

 (3.19)

を 得 る. E=dπ(X1+iX2)

で か つ 任 意 のX∈gに

対 しdπ(X)*=-dπ(X)で

あ るか ら

E*=dπ(-X1+iX2)=F, 

を 得 る.故

F*=E

に

 (3.20)

が 成 り立 つ.同

様 に

 (3.21)

を 得 る. {Ekυ,Fkυ;k=0,1,…}

に よ っ て 張 ら れ る ベ ク ト ル 空 間 はdπ(U(gc))υ そ の 閉 包 は 〓 の 不 変 部 分 空 間 と な る.従

と 一 致 す る か ら 定 理1.20よ

っ て 

こ と に 注 意 す れ ば π の 既 約 性 か ら 任 意 のl∈Zに

り

であ る 対 し 〓lは 高 々1次

が 成 り立 つ こ と が 分 か る.故

元 で 

に 

が成 り

立 つ.

(代数 和) と お く と,明

ら か に 〓kは

た よ う に 

〓 のK有

限 ベ ク ト ル の 全 体 と一 致 す る.上

で示 し

で あ る か ら 〓ωは 〓 で 稠 密 で あ る.

  定 理3.9  G=SU(1,1)の

既 約 ユ ニ タ リ表 現(π,〓)に

つ い て 次 の(1)∼(3)が

成 り立 つ.   (1) 任 意 のm∈Zに  (2)    (3) Gの

対 し π￨Kに

お け る ξmの 重 複 度 は 高 々1で

あ る.

特 に π の 実 解 析 的 ベ ク トル の 空 間 は 稠 密 で あ る. 既 約 ユ ニ タ リ表 現(π ′,〓′)がも う1つ

与 え られ た と き 

た め の 必 要 十 分 条 件 は χπ(C)=χ π′(C)で か つ π￨Kと

であ る

π′￨Kに 共 通 に 含 ま れ る

ξmが 存 在 す る こ と で あ る.

 証 明   (1)と(2)は 既 に 証 明 した か ら(3)を 証 明す る.必

要 性 は 明 らか で あ る

か ら 十 分 性 を 証 明 す る.〓mお

よび 〓′ mの

を υお よ び υ′と す る.χ π(-2C)=q,χ ら(3.18),(3.19)に

単 位 ベ ク トル を1つ

π′(-2C)=q′

ず つ 取 りそ れ ら

と お く とq=q′

で あ るか

よ り任 意 の 元X∈gを 

に 関 して 行 列 表 示 した も の と 

に関 し

て 行 列 表 示 した もの とは全 く一 致 す る こ とが分 か る.よ っ て これ らの基 底 間 の 対 応 に よ り 

で あ る こ と が 分 か る.故  を 得 る がdπ(U(gc))υ

の連 続 性 よ り 

す べ て の 元 を1に

り次 の(1)∼(5)の

は 稠 密 で あ る か ら表 現

が 成 り立 つ. 

(証 明終)

  π の ウ ェ イ トの 集 合 を Λπと 書 く とGの 表 現(Gの

に

写 す1次

有 限 次 元 の 既 約 ユ ニ タ リ表 現 は 恒 等

元 表 現)し か な い か ら(3.18)∼(3.21)に

よ

場 合 に 分 け ら れ る.

 (1)  Λπ={2k;k∈Z}.  (2) 

Λ π={2k+1;k∈Z}.

 (3)  あ る 整 数nが

存 在 し て

 (4)  あ る 整 数nが

存 在 し て

Λπ={n+2k;k=0,1,…}. π={-n-2k;k=0,1,…}. Λ

 (5)  Λπ={0}.  (1)の

場 合 は(3.20),(3.21)よ

りq>0と

 (2)の

場 合 は(3.20),(3.21)よ

り 

  (3)の 場 合,(3.21)か る.こ

らあ るkが

の と きm-2k=nと

か つ(3.20)か り立 つ.故

と な る.

存 在 し て4q+(m-2k)(m-2k-2)=0と

ら す べ て の 非 負 整 数kに

対 し て4q+(n+2k)(n+2k+2)>0が

に(n+k)(k+1)>0(k=0,1,…)と

ら 或 るkが

の と きm+2k=-nと

(-n-2k-2)>0が てn>0を

っ てn>0を

得 る .こ

存 在 し て4q+(m+2k)(m+2k+2)=0と

お き 改 め て υ を 〓-nか

に(n+k)(k+1)>0(k=0,1,…)と

の と きq=-n(n-2)/4で

な

対 し て4q+(-n-2k) な る .従

あ る.

  以 上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.   定 理3.10 

の

ら取 れ ば

か つ(3.21)か らす べ て の 非 負 整 数kに 成 り立 つ.故

得 る.こ

な る.従

成

あ る.

  (4)の 場 合,(3.20)か

  4q+n(n-2)=0で

な

お き 改 め て υ を 〓nか ら 取 れ ば,4q+n(n-2)=0で

と きq=-n(n-2)/4で

る.こ

な る.

(π,〓)をG=SU(1,1)の

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と し χπ(-2C)=qと

っ

お く とき次 のい ず れ か が成 り立 つ.  (1)  Λπ={2k;k∈Z},q>0.  (2)  Λπ={2k+1;k∈Z},  (3)  あ る 正 整 数nが

存 在 し て

 (4)  あ る 正 整 数nが

存 在 し て

Λπ={n+2k;k∈N},q=-n(n-2)/4. Λ π={-n-2k;k∈N},q=-n(n-2)/4.

 (5)  Λπ={0},q=0.

  系  G=SU(1,1)の

ユ ニ タ リ表 現(π,〓)でdπ(C)が

よ うな も の が 与 え ら れ た と す る.π￨Kは む と 仮 定 す る.dπ(-2C)の と 書 く と き,も

各 ξm(m∈Z)を

ス カ ラ ー をqと

し も 定 理 の(1)∼(5)の

ス カ ラ ー作 用 素 で あ る

お き π￨Kの

高 々1の

重 複 度 で含

ウ ェ イ トの 集 合 を Λπ

い ず れ か が 成 り立 つ な ら ば π は 既 約 で

あ る.   3.2.3

と お く と{X0,X+,X-}はgの

基 底 とな り,キ

B(X0,X0)=2, 

リ ン グ形 式Bに

B(X+,X+)=0, 

B(X0,X+)=0, 

B(X-,X-)=0

B(X0,X-)=0, 

B(X+,X-)=-4

で あ る か ら カ シ ミ ー ル 作 用 素CはX0,X+,X-に

と 表 わ さ れ る.ま

た リーbrachet積

[X0,X+]=X+, 

が 成 り立 つ.従

関 して

関 して

に つ い ては

[X0,X-]=-X-, 

[X+,X-]=-2X0

って

 (3.22) を 得 る.ε=0,1,v∈Rと =expxX+に

す

る と 任 意 のf∈C∞(Lε,v)に

注 意 す れ ば

を 得 る.[1.4.5]に

よ りdL(C)=dR(C)が

成 り立 つ こ と に 注 意 す れ ば

dπ ε,v(C)=dL(C)=dR(C) で あ り,従

対 しat=exptX0,nx

っ て(3.22)よ

り

を 得 る.故 f∈C∞(Ls)に

と な る.故

で あ る.iv+1/2=sと

に 

お く と,任

意 の

対 し ては

に

ウ ェ イ ト-nに

χπs(C)=-s(1-s)/2で

に π+nを 考 え

属 す る ウ ェ イ ト ベ ク トル と す る と 定 理3.8に

の ウ ェ イ トで は な π+n(E+)υ=0と

あ る.次

く,し

か もdπ+n(E+)υ

な る.(3.17)よ

の ウ ェ イ トは-n+2で

る.υ

∈ Γ2(En)を

よ り-n+2は

π+n

あ る か らd

り

で あ るか ら

を 得 る.故

に

χπ+n(C)=n(n-2)/8で

あ る.同

様 に して

で あ る こ とが 証 明 出 来 る.以 上 に よ り次 の定 理 を得 る.   定 理3.11 

[3.1.4]お

現 に 対 し て 次 の(1)∼(4)が

よ び[3.1.6]で

 (1)  (2)  (3)  (4)

成 り立 つ.

定 義 し た.G=SU(1,1)の

ユ ニ タ リ表

 の と き  従 っ て 定 理3.9と

であ る か ら 

定 理3.11よ

と な る.

の場合に対応 し

り πsは 定 理3.10の(1) 

て い る こ と が 分 か る.π ε,vと πε,-vは 同 じ表 現 に 対 応 し て い て 同 じ 表 現 に 対 応 す る表 現 は こ れ ら 以 外 に は な い.ま

た π1,0に つ い て は 定 理3.9お

よ び 定 理3.11

よ り

で あ る か ら,定

理3.10に

よれ ば π1,0に対 応 す る既 約 表 現 は 存 在 し な い.上

で 定 義 し た 表 現 は π1,0を 除 い て は そ れ に 対 応 す る 既 約 表 現 が 定 理3.10の あ る.し

か も1対1に

対 応 し て い る こ と が 容 易 に 確 め ら れ る.と

記 中に

こ ろ で π+1 

π-1を 考 え れ ば

と な る.こ

で あ る こ とが 確 め ら れ る.

の こ と か ら 

以 上 に よ り次 の定 理 が証 明 され た.   定 理3.12 

(Bargman)次

約 で か つ ど の2つ

の(1)∼(3)に

も 同 値 で な い.更

現 は 恒 等 表 現 か ま た は(1)∼(3)の

挙 げ られ た ユ ニ タ リ表 現 は す べ て 既

にG=SU(1,1)の

任 意 の 既 約 ユ ニ タ リ表

中 の い ず れ か と 同 値 で あ る.

 (1)  (2)  (3)

  こ の 定 理 か ら 直 ち に 次 の 同 値 な 定 理 を 得 る.   定 理3.13 

(Bargman)次

約 で か つ ど の2つ

の(1)∼(3)に

も 同 値 で な い.更

現 は 恒 等 表 現 か ま た は(1)∼(3)の

挙 げ ら れ た ユ ニ タ リ表 現 は す べ て 既

にG0=SL(2,R)の

任 意 の 既 約 ユ ニ タ リ表

中 の い ず れ か と 同 値 で あ る.

 (1)  (2)  (3)

 3.3  カ シ ミー ル 作 用 素 の 動 径 方 向 と一 般 化 さ れ た 球 関 数  3.3.1 我 々は 第2章

で球 面 上 の調 和 解 析 に お い て既 約 表 現 の 行 列 要 素 が 本 質

的 な 役 割 を 果 す こ と を 知 った.上

半 平 面 上 の調 和 解 析 に お い て も既 約 ユ ニ タ リ

表 現 の 行 列 要 素 が 重 要 な 役 割 を 果 す.   (π,〓)をG=SU(1,1)の イ トm,nに

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と し 

属 す る ウ ェ イ トベ ク トル と す る.任

を それ ぞ れ ウェ

意 のg∈Gに

対 し

f(g)=(υm,π(g)υn)

と お く.こ

の とき

と な り,fは

任 意 のg∈G,kθ,kφ

∈Kに

対 し

f(kθgkφ)=e-i(mθ+nφ)/2f(g)

を み た す.Cを

カ シ ミー ル 作 用 素 と し Ω=dR(-2C)と

お く と任 意 のg∈Gに

対 し Ωf(g)=(υm,π(g)dπ(-2C)υn)=χ

で あ るか らfは

Ω の固 有 関 数 とな る.そ

π(-2C)f(g)

こで既 約表 現 を 用 い な い でfの 持 つ

これ ら の性 質 のみ に注 目し て次 の よ う な定 義 を す る.m,n∈Zお

よび λ∈C

を 固 定 す る.f∈C∞(G)が  (1)

 (2) 

Ωf(g)=λf(g)

を み た す と き,fを(λ,m,n)型

の 球 関 数 と よ ぶ.明

全 体 は ベ ク ト ル 空 間 を な す.m=n=0の (こ の と き 後 で 分 か る よ う にfは

と き は 通 常 次 の 条 件 を つ け 加 え る.

f(e)=1.

の 球 関 数fに

で あ る か らf(e)=0と

gの

の球関数

一 意 的 に 定 ま る).

 (3) 

一 般 の(λ ,m,n)型

  3.3.2 

ら か に(λ,m,n)型

gをG=SU(1,1)の

計 算 し た よ うに

あ る か ら Ad(at)X+=etX+, 

が 成 り立 つ.

の と き 

な る. リ ー 環 と し{X0,X+,X

基 底 と す る と[3.2.3]で

で あ る.at=exptX0で

対 し て は 

Ad(at)X-=e-tX-

-}を[3.2.3]で

定 義 し た

と お く と,X+=Y+Z,X-=Y-Zで

あ る か ら2Y=X++X-と

2Ad(at)Y=etX++e-tX-を

な り,従

って

得 る.

これ か ら

を 得 る.従

が成

って

り立 つ.と

X0で

こ ろ が[Y,Ad(at)Y]=[Y,chtY+shtZ]=sht[Y,Z]=sht

あ る か らtを-tで

を 得 る.こ

お き換 え て

れ か ら 直 ち に 次 の 定 理 を 得 る.

  定 理3.14 

Cを

と お く と き,任

カ シ ミー ル 作 用 素 と す る と

意 のt∈Rに

対 し

が 成 り立 つ.   3.3.3  fを(λ,m,n)型 f(at)の

の 球 関 数 とす る.こ

み に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る か ら,fの

関 数 と し て のf(at)の

性 質 を 調 べ れ ば よ い.そ

の と きfはat(t∈R)に

性 質 を 調 べ る た め に はt∈Rの こで 先 ずfが(λ,m,n)型

数 で あ る と い う性 質 を 用 い て 次 の 各 式 を 導 く.こ 間 上 の 解 析 学 の 研 究 に お け る 最 も重 要 な 手 法 の1つ  (3.23)

お け る値

の球関

の 導 く方 法 が リー 群 の 等 質 空 な の で 少 し詳 し く書 く.

 (3.24)

 (3.25)

 (3.26)

 こ れ ら の 式 を 使 え ば 定 理3.14に

よ りF(t)=f(at)と

お く とFは

 (3.27)

な る微 分 方 程 式 を み た す こ とが 分 か る.t=0に

関 し この 微 分 方 程 式 は 確 定 特

異点 型 で そ の決 定 方程 式 は

で あ る か ら, 

を 根 と す る.故

にt=0に

お い てC∞

な 解 は1次

元 であ る.以 上 に よ り次 の定 理 を得 る.   定 理3.15 

(λ,m,n)型

の 球 関 数 全 体 は 高 々1次

元 の ベ ク トル 空 間 で あ る.

  こ の 定 理 か ら前 節 の 既 約 ユ ニ タ リ表 現 の 分 類 の 理 論 で 基 本 的 で あ っ た 定 理 3.9の(1)お

よ び(3)の

  系   (1)π

をGの

球 関 数 論 を 使 っ た 別 証 明 が 得 られ る. 既 約 表 現 と す る と き任 意 のm∈Zに

ξmの 重 複 度 は 高 々1で   (2)π,π

′を 共 にGの

対 し π￨Kに

おけ る

あ る. 既 約 ユ ニ タ リ表 現 とす る と き 

要 十 分 条 件 は χπ(C)=χ π′(C)でか つ π￨Kと

であるための必

π′￨Kに 共 通 に 含 ま れ る ξmが 存 在

す る こ と で あ る.   証 明   (1) 

と仮 定 し υ0を ウ ェ イ トmに 属 す る ウ ェ イ トベ ク トル

と す る.f0(g)=(υ0,π(g)υ0)と

お く と 

で あ る か ら 

がな り

た つ.υ

を ウ ェ イ トmに

と お く とf,f0は cf0を

属 す る 任 意 の ウ ェ イ トベ ク トル と しf(g)=(υ,π(g)υ0)

共 に(χ π(-2C),m,m)型

み た す 複 素 数cが

π(g)υ0と 直 交 す る.π 従 っ て υ-λ υ0=0を

存 在 す る.従

の 球 関 数 で あ る か ら 定 理 に よ りf= っ て υ-λ υ0は す べ て のg∈Gに

は 既 約 で あ る か ら{π(g)υ0;g∈G}は 得 る.故

に(π￨K:ξm)=1と

稠 密 な空 間 を張 り

な る.

  (2)必 要 性 は 明 ら か で あ る か ら 十 分 性 の 証 明 を す る.ψ

πξm,ψ π′ξmを[1.3.5]で

定 義 し た 関 数 とす る と これ ら は 共 に(χ π(-2C),-m,-m)型 ら 定 理 か ら1次

従 属 で あ る.故

  3.3.4 fを(λ,m,n)型 27)よ

に 定 理1.15の

対 し

の球 関 数 で あ るか

系 よ り 

を 得 る.(証 明 終)

の 球 関 数 と す る とu(t)=f(at)(t∈R)と

お く と き(3.

りuは

 (3.28)

を み た す.x=(tht/2)2と

変数 変 換 す る と

で あ るか ら

を 得 る.更

に

で あ る か ら,(3.28)の

両 辺 を4(cht/2)4で

割 っ てu(t)=υ(x)(x=(tht/2)2)と

くと

が成

り 立 つ.α,β

と定義 す れ ば,uは

を 複 素 数 とし

微分 方程式

υ(x)=xα(1-x)βw(x)と

お くと き

お

を み た す.そ

こで

が 成 り立 つ よ うに α,β を

に よ り定 義 す れ ば(但 しv∈C)

と お く と き,w(x)は

を み た す.故

ガ ウ ス の超 幾 何 微 分 方 程 式

に ガ ウ ス の 超 幾 何 関 数 をF(a,b,c;x)で

表 わ す とf(at)は

の 定 数 倍 で あ る こ とが 分 か る.   以 上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.   定 理3.16  m,n)型

ガ ウ ス の 超 幾 何 関 数 をF(a,b,c,x)で

の 球 関 数 と す る と きf(at)(t∈R)は

の 定 数 倍 で あ る.但 し

と す る.

表 わ す と,fを(v2+1/4,

  3.4  非 ユ ニ タ リ主 系 列 の 表 現   3.4.1 

G=SU(1,1)と

を 考 え る.任

しGの

意 に ε=0,1お

パ ラ ボ リ ッ ク 部 分 群 

よ びv∈Cを

固 定 す る.

 (3.29)

と 定 義 し,ξ ε,vに 同 伴 し た 直 線 バ ン ドル をLε ,vと 書 く と

と な る.任

意 のg∈G,f∈C∞(Lε

,v)に 対 し

(πε,v(g)f)(x)=f(g-1x)  と お く.任

意 のf∈C∞(Lε,v)に

ー ル 測 度 をdkと

と お く と,‖

の正 規 化 され た ハ

対 し て 

し

‖ はC∞(Lε,v)の

ノ ル ム と な る.C∞c(R)の

を み た す も の を 取 り,F(kθatnx)=u(t)u(x)と 任 意 のg∈Gに

(x∈G)

対 しg=kθ(g)at(g)nx(g)と

元uで

お く. 定 義 す る と

で あ る こ と に 注 意 す れ ば,任 意 のg∈G,f∈C∞(Lε

,v)に 対 しImv=μ

とお く と き

と な る.v∈Rの

と き は μ=0で

あ る か ら πε,v(g)は等 長 写 像 で あ る が,一

般

に上 式 か ら

を 得 る か ら,π ε,v(g)は有 界 作 用 素 で あ る.従 と書 く と πε,v(g)はL2(Lε,v)の 意 にf∈L2(Lε,v)を

有 界 線 形 作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 され る.次

G∋g→

に任

πε,v(g)f∈L2(Lε,v)

連 続 で あ る こ と を 示 そ う.こ

の バ ナ ッ ハ 表 現 と な る.任

コ ン パ ク トで あ る か らGに

れ が い え れ ば[1.3.1]よ

意 に 与 え ら れ た 正 数 ε>0に

(Lε,v)で稠 密 で あ る か ら ‖f-f1‖<ε

Vの

完 備 化 をL2(Lε,v)

固定す るとき

 (3.30) 

がg=eで

っ てC∞(Lε,v)の

対 しC∞(Lε,v)はL2

を み た すf1∈C∞(Lε,v)が

お け る 単 位 元 の コ ン パ ク ト近 傍Vが

と き 

り πε,vがG

が 成 り立 つ.こ

存 在 す る.Kは 存 在 し てg∈ の とき

とな り

と お く と,g∈Vの

とき

が 成 り立 つ か ら,(3.30)は   3.4.2  任 意 のk∈Zに

連 続 で あ る. 対 し

 (3.31)

と お く と,明

らか に

(mod 2) が 成 り立 つ.以

後 簡 単 の た め 混 乱 の お そ れ の な い 限 り φvkを単 に φkと 書 く.

こ の と き{φk;k∈Z,k≡ のg∈Gに

ε(mod

対 しg=kθatnxと

2)}はL2(Lε,v)の

正 規 直 交 基 底 に な る.任

意

す る と

で あ るか ら のとき

 (3.32) 

と な る.従

って

とな る.こ れ らに 注 意 すれ ば簡 単 な 計 算 に よ って

を 得 る.更

に

で あ るか ら  (3.33)

と 定 義 す る と,s=iv+1/2と

お くと き

 (3.34)

と な る こ と が 分 か る.π 部 分 空 間Wに 2)}がWの 2)}に

εv￨kは

対 し 適 当 にZの 基 底 と な る.故

ユ ニ タ リ表 現 で あ る か ら πε,vの 任 意 の 閉 不 変 部 分 集 合Lが

に 任 意 のn∈Zに

存 在 し て{φl;l∈L,l≡ 対 し{φk; 

よ っ て 張 ら れ る 閉 部 分 空 間 をW+n,{φk; 

て 張 ら れ る 閉 部 分 空 間 をW-nと

す る と き,(3.33),(3.34)よ

ε(mod k≡n(mod

k≡n(mod

2)}に

よっ

り次 の 定 理 を 得

る.   定 理3.17 

ε=0,1,v∈Cの

と きs=iv+1/2と

お く と 次 の(1)∼(2)が

成

り

立 つ.

 (1)πε,vが 自 明 で な い 閉 不 変 部 分 空 間 を 持 つ.⇔s-ε/2∈Z.  (2)2s=nと (ⅰ) 

お く とn≡ ε(mod 2)の

と き πε,vの 自 明 で な い 閉 不 変 部 分 空 間 は,

の 場 合 はW+n,W-n,W+n∩W-n,(ⅱ)n<2の

場 合 はW+n,W-nで

与

え ら れ る.

  証 明 

で あ るた め の条 件 は 

であ る こ と に注 意 す れ ば

他 は す べ て上 に 述 べ た こ とか ら 出て くる. 

(証 明 終)

 この 定 理 よ り次 の既 知 の事 実 の別 証 明 が 得 られ る.  系  v∈Rの

と き πε,vが既 約.

 証 明  v∈Rと

す ると s-ε/2=iv+(1-ε)/2∈Z⇔v=0,ε=1. 

  注   定 理4.4の 0,1,v∈C)の

系 に お い て,Gの

(証 明 終)

任 意 の 既 約 ユ ニ タ リ表 現 は 適 当 な πε,v(ε=

不 変 部 分 空 間 の 内 積 を 入 れ 換 え る こ と に よ り得 ら れ る こ と を 示 す.

  3.4.3   定 理3.18  G=SU(1,1)と

(但 しIはC∞(Lε,v)の   証 明   [3.2.3]に

しCをGの

恒 等 写 像)を 得 る. お い て 述 べ たdπ ε,v(C)の 計 算 方 法 はv∈Cの

あ る か ら こ の 定 理 の 結 論 は[3.2.3]よ 果 を 使 っ た 別 証 明 を 与 え る.(3.33)お

で あ る か ら,(3.34)よ

を 得 る.従

って

カ シ ミ ー ル 作 用 素 とす る と

り任 意 のk∈Z,k≡

り明 ら か で あ る が,こ

場 合 も有 効 で こでは 前 小 節 の結

よ び[3.2.1]の(3.17)よ

ε(mod

2)に 対 し て

り

が 成 り立 つ. 

(証 明 終)

 系  証 明

 と す る と 明 ら か に ε′=ε で か つ 定 理 か らv2=(v′)2を

る.故

成 り立 つ. 

にv′=±vが

得

(証 明 終)

 3.4.4  ε=0,1,v∈C,Imv>0と

す る.

とお くと  (3.35) 

が成

ω-1atω=a-t, 

り立 つ.ny=kθatnxと

θ/2et/2=1,y=sinθ/2et/2を る.そ

ω-1nxω=nx

す る と(3.32)よ 得 る.故

こ て 任 意 のf∈C∞(Lε,v)に

り1+iy=eiθ/2et/2で

にcosθ/2>0で

あ る か らcos

か つy=tanθ/2と

な

対 し

と定 義 す る と

で あ るか ら,Imv>0に 意 のg∈Gに

対し

が 成 り立 つ か ら, 

注 意 す れ ば   の と き

を 得 る.任 F(x)=f(nx) 

とお くと

で あ る こ と が 分 か る.任

意 のf∈C∞(Lε,v)に (x∈R)

対 し

と な る.そ

こで

と定 義 す る.Fの

フ ー リエ 変 換 をFで

表 わ す,即

ち

の とき

と お く と, 

と定義 す る と

が成 り立 つ.同 様 に 

の とき

と定 義 す る と

が 成 り立 つ.故

に 任 意 のg∈G,f∈C∞(Lε

,v)に 対 し

と定 義 す る と,〓 ε,vはC∞(Lε ,v)か らC∞(Lε,-v)の 方 〓 ε,vの定 義 か ら 明 ら か に 任 意 のg∈Gに

上 へ の 等 長 写 像 と な る.一

対 し

が成 り立 つ.以 上 に よ り次 の定 理 を 得 る.   定 理3.19 

ε=0,1,v∈Rお

よび

ε′=0,1,v′

同値 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は

∈Rと

す る と

ε=ε ′ で か つv=±v′

が成

πε,vと

π ε′,v′が

り立 つ こ と で あ

る.

 証 明  十 分性 の証 明 は 上 で 述 べ た.一 方 必 要 性 は 定 理3.18の 系 か ら 出 る. (証 明 終)   注   定 理3.19が

成 り立 つ こ と は 既 に[3.2.3]に

で は そ のIntertwining作

お い て 証 明 済 で あ る が,上

用 素 の 理 論 を 用 い た 証 明 を 与 え た 訳 で あ る.そ

表 現 論 に お い て はIntertwining作

れ は

用 素 の構 造 を 調 べ る こ とが極 め て重 要 な課

題 で あ る か ら で あ る.

  3.5  ク ラ ス1の   3.5.1 

表 現 とG/K上

G=SU(1,1)と

の フ ー リエ 変 換

し 

と定 義 す る と,C∞c(G/K)0の

と お く.

元 はG/K上

関 数 と 同 一 視 さ れ る.f∈C∞c(G/K)0の る か ら,f(at)はtの

のK不

と きf(at)=f(kπatk-1π)=f(a-t)で

関 数 と し て 偶 関 数 と な り,従

る.こ

の と きf(at)=f[cht](t∈R)と

K)0に

対 して

変 な コ ン パ ク ト台 を 持 つC∞

っ てchtの

表 わ す こ と に す る.任

あ

関 数 と考 え られ 意 のf∈C∞c(G/

 (3.36) と お く と,atnx=kθaskφ る か ら

と す る と き 簡 単 な 計 算 に よ りchs=cht+etx2/2と

な

が 成 り立 つ.従

っ てFfはchtの

と お く と任 意 の 

関 数 と 考 え ら れ る.こ

の と きFf(t)=Ff[cht]

に対 し

で あ るか ら  (3.37)

を 得 る.   3.5.2  (π,〓)をGの に 関 し て ク ラ ス1の

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と す る.  表 現 と よ ぶ.こ

トル と し て φ(g)=(υ,π(g)υ)(g∈G)と 0,0)に

属 す る球 関 数 と な る.φ(e)=‖

お く と φ は[3.3.1]に υ‖2=1を

表 現 π に 対 応 す る 球 関 数 と い う.ε=0,1v∈Rの た め の 条 件 は 明 ら か に ε=0で

の と き π をK

の と き υ を ウ ェ イ ト0に

あ る.以

属する単位ベ ク よ り(χ π(-2C),

み た す こ と に 注 意 し よ う .φ と き 

後 π0,v,L0,vを

を

であ る 単にそれぞれ

πv,Lv

と 書 く こ と に す る. φ0(kθatnx)=e(iv-1/2)t

と 定 義 す る と,明

ら か に φ0は πvの ウ ェ イ ト0に 属 す る 単 位 ベ ク トル で あ る.

そ こで φv(g)=(φ0,πv(g)φ0)

とお くと  (3.38)

と な る.特

 (3.39)

にg=at(t∈R)の

と き は

を 得 る.こ

こ にPiv-1/2は

のg∈Gに

対 し

と な る.一

方 

ル ジ ャ ン ドル の 球 関 数 で あ る.v∈Rの

で あ る か ら 定 理1.15の

属 で あ り φv(e)=φ-v(e)=1で

系1に

あ る か ら φv=φ-vと

と き任 意

よ り φvと φ-vは1次

な る.任

意 のf∈C∞c(G/K).

に 対 し

と定 義 す る と  (3.40)

と な る か ら,フ

を 得 る.故

ー リエ 余 弦 変 換 の 逆 変 換 に よ っ て

に

が 成 り立 つ.従

っ て(3.37)よ

り

 (3.41)

を 得 る.f1,f2∈C∞c(G/K)0と

す る と 明 ら か にf1*f2∈C∞c(G/K)0で

あ り

従

が 成 り立 つ.従

と な る.任

って

意 のf∈C∞c(G/K)0に

にf*∈C∞c(G/K)0で

が 成 り立 つ.従

と な る.故

対 しf*(g)=f(g-1)(g∈G)と

お く と明 ら か

あ り

って

に 任 意 のf∈C∞c(G/K)0に

対 し(3.41)よ

り

 (3.42)

が 成 り立 つ.   任 意 のg∈G,f∈C∞c(G/K)0に 40)に よ り

を 得 る.従

っ て(3.41)に

よ り

対 しfg(x)=f(gx)(x∈G)と

定 義 す る と(3

 (3.43)

が 成 り立 つ.   3.5.3  (3.39)を 使 っ て 球 関 数 を ガ ウ ス の 超 幾 何 関 数 で 表 わ す と  (3.44)

と な る.こ

こ でvを0に

を 得 る.故

に

近 づ け る と144頁

の公式 よ り

 (3.45)

に注意すれば

と な る こ とが 分 か る.従

が 成 り立 つ.一

って或 る正 数Mが

方(3.44)に

で あ る か ら,(3.45)に

存在 して

より

よ り

を 得 る.   Cを

カ シ ミー ル 作 用 素 と し Ω=dR(-2C)と

に よ り Ωφv=(v2+1/4)φvを (g)=t2と

お け ば[3.1.3]に

得 る.任

お く と[3.3.1]お

意 のg∈Gに

よ り σ(g)はgの

よ び 定 理3.18

対 しg=kθatkφ

の とき σ

表 わ し 方 に よ ら ず 一 定 で あ る.

 定 理3.20 

球 関数

 (1)  φv=φ-v, 

φvに 関 し 次 の(1)∼(4)が

成

り立 つ.

Ω φv=(v2+1/4)φv.

 (2)  任 意 のl∈Nに

 (3) 正 数Mが

対 し

存 在 して

 (4)

  証 明   (1)お よ び(3)は 既 に 証 明 し た.  (2)et(atkθ)=cht+cosθshtで

あ る か ら 

を 得 る.従

っ て(3.39)

に よ り次 を 得 る.

 (4)は(3)を

使 え ば(3.4)に

より

(証明 終)   任 意 のk,l∈N,f∈C∞(G/K)0に

対 し

と定 義 し

に お く と,μk ,l(k,l∈N)はI(G)の に よ りI(G)は

完 備 なFrechet空

  任 意 のk,l∈N,F∈C∞(R)に

セ ミ ノ ル ム 系 を 定 義 し,こ

の セ ミノル ム系

間 と な る. 対 し

と定 義 し

と お く と,vk

,l(k,l∈N)はI(R)の

セ ミノル ム系 を定 義 し この セ ミノル ム系 に

よ りI(R)は

完 備 なFrechet空

  さ て 任 意 のf∈I(G)に

対 し

と お く.任

対 し

意 のX∈gに

で あ る か ら,定

理3.20の(1)に

間 と な る.

よ り

が 成 り立 つ.   定 理3.21 

フ ー リエ 変 換

I(G)∋f→f∈I(R) は 上 へ の 位 相 線 形 同型 であ る.   証 明   先 ずI(R)の

定 義 に お い てvk,l(F)(k,l∈N)の

代 りに

を 取 っ て もvk,lは 同 値 な セ ミ ノ ル ム 系 を 与 え る こ と に 注 意 す る.   任 意 のf∈I(G)に

で あ る か ら,定

対 し 定 理3.20に

理3.20に

よ り

よ りf(v)=f(-v)で

かつ

を得 るか らI(G)∋f→f∈I(R)は

連 続 で あ る.更 に

で あ る か ら,L2(G/K)0をC∞c(G/K)0の

完 備 化 とす る と き

C∞c(G/K)0⊂I(G)⊂L2(G/K)0 を 得 る.(3.42)に

よ り フ ー リ エ 変 換 はC∞c(G/K)0か

中へ の等 長 写 像 であ るか らL2(G/K)0か 長 写 像 に一 意 的 に拡 張 され る.従  逆 に任 意 のF∈I(R)に

の

ら 

ら 

の中への等

って特 にf→fは1対1で

あ る.

対し

 (3.46)

と定 義 す る と,f∈I(G)で

か つf=Fで

あ る こ とが 次 の よ うに し て証 明 され る.

ガ ウ スの 超 幾 何 関 数 の 積 分 表示 に よ り 

のと き

が成 り立 つ か ら

と お く と き,F(v)=F(-v)に

注 意 す れ ば(3.44)に

 (3.47)

と な る こ とが 分 か る.  さ て 

と す る と0<x<1の

とき

よ り,任

意 のl∈Nに

対 し

が 成 り立 つ か ら,任 意 のm∈Nに

を 得 る.そ

こ で こ の 右 辺 をamと

対 して 

の とき

お く と, 

の と き 任 意 のm∈Nに

対 して  (3.48)

が 成 り立 つ.任

を 得 る.と

意 のk,l∈Nに

こ ろ が 

対 し て(3.47)に

の と き(3.45)に

よ り

よ り

の と き任 意 のk,l∈Nに

で あ る か ら,(3.48)に

よ り 

微分作用素 

が 存 在 し て(定 理3.20の(3)を

が 成 り立 つ.一

を得 る.以

方 

の と き(3.46)に

上 に よ り,任 意 のk,l∈Nに

対 し多 項 式 係 数 の

使 え ば)

よ り

対 し多 項 式 係 数 の微 分 作 用 素 

が存在 して

が 成 り立 つ こ と が 証 明 出 来 た.従 I(G)で

か つF→fは

  次 に(3.46)に う.任

よ っ て 定 義 され る 写 像F→fが1対1で 対 し て 定 理3.20に

が 成 り立 つ か ら,f=0と

あ ること

に

が 成 り立 つ.従

っ てF=0を

得 る.以

対 応 す る か らf=Fで

 定 理3.22  く と,Fは

よ びF(v)=F(-v)で

対 して

F(v)vthπv=0 

fもfに

あ る こ とを 証 明 し よ

よ り

仮 定 す る と φv(e)=1お

関 す る 任 意 の 多 項 式P(v)に

と な る.故

セ ミ ノ ル ム 系 の 性 質 に よ りf∈

連 続 で あ る こ と が 分 か る.

意 のk∈Nに

に よ り,vに

っ てI(R)の

(v∈R)

上 に よ り写 像F→fは1対1で

な け れ ば な ら な い. 

(Paley-Wienerの

(証 明 終)

定 理)任 意 のf∈C∞c(G/K)0に

正 則 で か つ 或 る 正 数Aが

あ る.

存 在 し て 任 意 のl∈Nに

対 しf=Fと

お

対 して

 (3.49)

が 成 り立 つ.逆 C∞c(G/K)0が

にI(R)の

元Fが

存 在 し てf=Fと

正 則 で か つ(3.49)を

み た す と す る と 或 るf∈

な る.

  証 明   任 意 のf∈C∞c(G/K)0に

対 し(3.40)に

よ り

で あ るか ら,岩 沢分 解 に よ り K×R×R∋(kθ,t,x)→kθatnx∈G

が 上 へ のC∞ 同型 で あ る こ とに注 意す れ ば,Fが

正 則 関 数 で あ る こ とが 分 か る.

更に あ る  と お く と,Aは

有 界 と な る.任

に対 し

意 のk∈Nに

対 し 定 理3.20お

よ び(3.40)に

よ

り

であ る か ら

とお く と

と な る.従

Mが

に注 意 す れ ば,任 意 のl∈Nに

っ て 

対 しあ る正 数

存 在 して

が 成 り立 つ こ と が 分 か る.逆 を み た す と 仮 定 す る.こ と な る.次

にfの

にI(R)の

元Fが

の と き定 理3.21よ

与 え ら れ,Fは

正 則 で か つ(3.49)

りあ るf∈I(G)が

存 在 し てf=F

台 が コ ン パ ク トで あ る こ と を 証 明 し よ う.先

ず(3.47)に

よ り

 の と き  (3.50)

が成 り立 つ こ とに 注 意 す る.但 し定義 に よ り

で あ る.そ

こ で(sht/2)2>eAを

(at)はImv<0に

み た すt∈Rを

お い て 正 則 と な る.更

に 

任 意 に 固 定 す る.こ

の と き ψv

の とき

が 成 り立 つ.

と お く と,(3.50)の とお くと き

右 辺 をImv<0の

ほ うに 積 分 路 を 平 行 移 動 しv=ξ-iη

で あ る か ら,f(at)=0と

な る.故

にf∈C∞c(G/K)0で

あ る こ と が 証 明 さ れ た. (証 明 終)

  3.5.4  任 意 にv∈Cを

固 定 し,f∈C∞c(G/K),g∈Gの

と定 義 す る と,m∈M,at∈A,nx∈Nの

と な る か ら,[3.5.2]に

お け るLvの

とき

とき

定 義 に よ りFvf∈C∞(Lv)で

あ る.従

って

Fv:C∞c(G/K)→C∞(Lv) な る 線 形 写 像 を 得 る.任

意 のg∈G,f∈C∞(G/K)に

(π(g)f)(x)=f(g-1x) 

と定 義 す る と,明 らか に 任 意 のg∈Gに

対 し (x∈G)

対し

Fv° π(g)=πv(g)°Fv

が成 り立 つ.次 に 写 像 pv:C∞(Lv)→C∞(G/K)

を  (3.51)

に よ り定 義 し,pvφ g∈Gに

対 して

を φ の ポ ア ッ ソ ン 積 分 と い う.こ

の と き明 らか に任 意 の

pv° πv(g)=π(g)°pv

 (3.52) 

が 成 り立 つ.Cを

カ シ ミ ー ル 作 用 素 と し Ω=dR(-2C)と

度 も 使 っ た よ う にdR(-2C)=dL(-2C)で 対 し 定 理3.18お

よ び(3.52)に

お く と,こ

あ る か ら,任

れ ま で何

意 の φ∈C∞(Lv)に

よ り

 (3.53)

が 成 り立 つ.故 (3.53)に

にpvの

像 は Ω の 固 有 値v2+1/4に

属 す る 固 有 関 数 で あ る.

お け る式 の 変 形 に よる推 論 は 等 質 空 間 上 の解 析 学 に お け る基 本 原 理 の

1つ で あ る か ら こ れ を よ く理 解 し て 載 き た い.こ

こ で 第1に

重 要 な こ とは カ シ

ミ ー ル 作 用 素 は 表 現 πvに よ っ て ス カ ラ ー 作 用 素 で 与 え ら れ る こ と で あ り,第 2に 重 要 な こ と はpvが

πvと π と のintertwining作

dπv(-2C)がdπ(-2C)に

用 素 で あ りpvに

移 さ れ 更 にdπ(-2C)はC∞(G/K)上

よ り

で微分作用

素 Ω に 一 致 す る と い う こ と で あ る.  さ て 任 意 のg∈G,f∈C∞c(G/K)に

と お く と,明

対 して

ら か にf#g∈C∞c(G/K)0で

あ り,か

つf#g(e)=f(g)で

あ るか ら

 (3.54)

に 注 意 す れ ば,任

意 のg∈G,f∈C∞c(G/K)に

が 成 り立 つ こ と が 分 か る.任 つf#g(e)=f(g)で

意 のf∈C∞c(G/K)に

あ る か ら(3.41)お

よ び(3.54)に

対 し

対 しf#g∈C∞c(G/K)0で,か より

 (3.55)

を 得 る.更

にv∈Rの

と き 任 意 のf∈C∞c(G/K)に

対 し

で あ る か ら,(3.55)に

よ り

と な る.

 以上 に よ り次 の定 理 を 得 る.   定 理3.23 

任 意 のv∈Cに

対 しFvお

作 用 素 で あ り次 の(1)∼(4)が

よ びpvは

πvと π の 間 のintertwining

成 り立 つ.

 (1)任 意 のf∈C∞c(G/K)に

対 し

 (2)任 意 のg∈G,f∈C∞c(G/K)に

対 し

 (3)任 意 のv∈C,f∈C∞c(G/K)に

対 し

pvFvf=p-vF-vf.  (4)任 意 のv∈C,φ

 (1)は 等 質 空 間G/Kに

∈C∞(Lv)に

対 し

対 す る プ ラ ン シ ュ レル の 公 式 と よ ば れ, 1/2πvthπvdv

が プ ラン シ ュ レル 測 度 で あ る こ と を 示 す.(2)は(4)に

よ り 不 変微 分 作 用 素 Ω

の 固有 関数 展 開 を 与 え る.一 般 の非 コ ンパ ク ト対 称 空 間 に対 す る プ ラ ン シ ュ レ ル測 度 の具 体 形 はハ リシ ュ ーチ ャ ン ドラに よ り得 られ た.   任 意 のf∈C∞c(G/K)に

対 し,v∈R,kM∈K/Mの

f(v,kM)=(Fvf)(k) と 定 義 す る.こ

の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

とき

 定 理3.24 

フ ー リエ 変 換f→fはL2(G/K)か

ら

の 上 へ の 等 長 変 換 に 一 意 的 に 拡 張 され る.   証 明   上 へ の 写 像 で あ る こと の証 明 の み が 残 っ て い る.任 M)お

よび 

意 の φ∈C∞(K/

に対 し fφ(kθatnx)=φ(kθ)f(atnx)

と定 義 す る と,明 らか に 

が 成 り立 つ.定

理3.21に

で あ りか つ

よ り 

は 

の 中 で稠 密 で あ る か ら

 の 稠 密 な部 分 空 間 を張 る.し

は →fは

等 長 で あ る か ら,フ

ー リエ 変 換 はL2(G/K)か

か もf

ら 

の 上 へ の等 長 写 像 に 一 意 的 に 拡 張 され る こ とが 分 か る. (証 明終)

  3.6  上 半 平 面 上 の ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ ク トル 分 解   3.6.1  上 半 平 面C+={z∈C;Imz>0}を

考 え る.C+の

点 をz=x+iyと

書 き

と お く と,Δ

は

はG0=SL(2,R)のC+上

リ ー マ ン 計 量y-2(dx2+dy2)に

関 す る ラ プ ラ シ ア ン と な る.Δ

の変 換

に 関 し不 変 な微 分 作 用 素 で あ り,C+上

の任 意 の不 変 微 分 作 用 素 は Δ の多 項 式

とな る.Δ の不 変 性 は 次 の よ うに 計 算 に よ って 直 接 確 め る こ とが 出来 る.

であ るか ら

を 得 る.   3.6.2 

任 意 のg∈G0,z∈C+に

対 し

と か く と,

に注意すれば

で あ る か ら, 

な る 同 一 視 を 得 る.こ

れ に よ りf∈C∞(G/K)とF∈C∞(C+)と

な る 関 係 式 に よ り 同 一 視 さ れ る.こ

の と き(3.4)よ

が

り

が 成 り立 つ.

と お く と,{X1,X2,X3}はG0の ー ル作 用 素 は

リー 環 の 基 底 と な り,こ

の 基 底 に よ りカ シ ミ

と な る.

で あ るか ら

が 成 り立 つ.距 るL2(C+,y-2dxdy)上

離y-2(dx2+dy2)は

で あ り,そ

完 備 で あ る か ら Δ をC∞c(C+)を

の 非 有 界 線 形 作 用 素 と考 え た も の は 本 質 的 に 自 己 共 役

の 自 己 共 役 拡 張 も 同 じ 記 号 Δ で 表 わ す.[3.1.1]お

よ び[3.1.2]で

定 義 し たU0,v,π00,v,L00,vを 考 え る.

で あ る か らf∈C∞(L00,v)に

 (3.56)

定 義 域 とす

対 し 

とお く と

と な る.こ の と き簡 単 な計 算 に よ り(計算 に よら な い方 法 を 後 で述 べ る)

を 得 る.任 のx∈Rに

意 のF∈C∞c(C+)に

が 成 り立 つ.こ

理3.23お

よ び(3.56)に

取 り,任

意

より

の とき

れ は Δ の ス ペ ク トル 分 解 を 与 え る.実

と定 義 す る.ヒ

際v2+1/4=λ

ル ベ ル ト空 間 

集合 

とお き

にお い て

の 定 義 関 数 を χλとす る と χλを か け る写 像 は 射

影 作 用 素 で あ る. 

は フ ー リエ 変 換 を し て χλを か け フ ー リエ 逆 変 換

し た も の と 一 致 す る か ら 定 理3.24に

よ り フ ー リエ 変 換 が 等 長 写 像 変 換 で あ る こ

とか らEλ は 射 影 作 用 素 と な る.λ<1/4の χmin(λ ,μ)で あ る か らEλEμ=Emin(λ,μ)が こ と に よ り同 様 に し て 任 意 のF∈L2(C+)に

がL2(G/K)の

対 応 す るf∈C∞c(G/K)を

対 し

と定 義 す る と,定

と な る.こ

対 しFに

と きEλ=0と 成 り立 つ.χ

定 義 す る と χλ・χμ= λを か け る 写 像 を 考 え る

対 し

ノ ル ム に 関 す る 収 束 の 意 味 で 成 り立 つ こ と が 分 か る .更

に測度

 の形 か ら任 意 の λ0∈Rに 対 し

で あ る こ と も 容 易 に 分 か る.従

っ て{Eλ}λ ∈Rは 単 位 の 分 解 を 与 え る .同

様に

任 意 の λ0∈Rに

対 し

が 成 り立 つ こ と が 分 か る か ら,ラ

と な る.Δ

プ ラ シ ア ン は 連 続 ス ペ ク トル の み を 持 ち

の定 義 域 は

で 与 え られ る.更

に Δ は 有 界 な 逆 作 用 素 Δ-1を 持 ち そ の ノ ル ム は4で

あ る こ

と も容 易 に 分 か る.  定 理3.25 

上 半 平 面 上 の ラプ ラシ ア ンは

と ス ペ ク トル 分 解 さ れ,任

意 のF∈L2(C+,y-2dxdy)に

対 しポ ア ッ ソ ン の方

程式 Δu=F 

は 唯1つ

(u∈DΔ)

の 解 を 持 つ.

  証 明   u=Δ-1Fと

お け ば よ い. 

(証 明 終)

Ⅳ  ポ ア ッ ソ ン 積 分 と コ ー シ ー 積 分

  4.1  ポ ア ッ ソ ン 積 分 と そ の 一 般 化   4.1.1

D={z∈C;￨z￨<1}, ∂D={z∈C;￨z￨=1},

D=DU∂D とお く.fはD上

の 調 和 関 数 でD上

の 連 続 関 数 に 拡 張 され る と仮 定 す る.φ

を そ の 境 界 値(つ ま りD上 に拡 張 され たfの ∂Dへ の 制 限)と す る と きfは φ に よ っ て一 意 的 に 定 ま り,ポ ア ッ ソン積 分

に よ っ て与 え られ る.逆 に φ を ∂D上 の 連 続 関 数 と しそ の ポ ア ッ ソン積 分 をf とす れ ば,fはD上

の調 和 関 数 で か つD上

の 連 続 関 数 に拡 張 され そ の 境 界 値

は φ と一 致 す る.  さ て 任 意 のz∈Dに

で あ る か ら,s=1と

対 しz=x+iyと

お い て ポ ア ッ ソ ン 核 がz=x+iyの

で あ る こ と が 分 か る が,s=0,1以 数 の 分 母 に(1-￨z￨2)2が

書 く と きs∈Cと

す ると

関 数 と し て調 和 関 数

外 で は ポ ア ッ ソ ン 核 のs巾

は(上 式 右 辺 の 係

あ る た め に)ラ プ ラ シ ア ン の 固 有 関 数 に は な ら な い.

そ こで 分 母 を 払 って  (4.1)

な る 微 分 方 程 式 を 考 え る と,ポ 程 式(4.1)の  (4.2)

ア ッ ソ ン 核 のs巾

解 で あ り従 っ て φ を ∂D上

は λ=4s(1-s)の

の 連 続 関 数 と す る と き積 分

と き微 分 方

に よ っ てD上 解 と な る.特 ￨z￨2>0で

の 関 数fを にs=1の

定 義 す れ ば,fは

方 程 式(4.1)の

場 合 を 考 え れ ば λ=0と

あ る こ と に 注 意 す れ ば,微

な る か らD上

(dx2+dy2)に

で は つ ね に1-

がこ こに 現 わ れ た 理

は こ れ がD上

の ポ ア ン カ レ 計 量(1-x2-y2)-2

関 す る ラ プ ラ シ ア ン で あ る と い う事 実 に 注 目す べ き で あ る.ポ

ン カ レ計 量 に 関 す る 等 長 変 換 群 はDに

り,D上

と きの

分 方 程 式(4.1)の 解 は 調 和 関 数 に 他 な ら な

い こ とが分 か る.微 分 作 用 素  由 は 後 で 明 ら か に な る が,実

λ=4s(1-s)の

推 移 的 に 作 用 しDは

ア

そ の等質空間にな

の 不 変 微 分 作 用 素 は す べ て ラ プ ラ シ ア ン 

の多 項 式 で 与 え られ る.従

って 積 分(4.2)に よ って 定義 され る 関 数fはD上

の

す べ ての 不 変 微 分 作 用 素 の固 有 関 数 と な る訳 で あ る.こ れ らの事 実 は積 分(4.2) がDを

等 長 変 換 群 の等 質 空 間 とみ な す こ とに よ り リー群 論 的 に構 成 さ れ る で

あ ろ うこ とを 暗 示 す る.   4.1.2  G=SU(1,1)は

に よ ってD上

分 数変換

に リー変 換 群 とし て作 用 し原 点z=0に

お け る等 方 部 分 群 は

と一 致 す るか ら

な る 同 一 視 を 得 る.こ

れ に よ りf∈C∞(G/K)とF∈C∞(D)と

な る 関係 式 に よ り同一 視 され る.更 にGは

が

作用

に よ って ∂D上 の リー変 換 群 に もな り点z=1に

お け る等 方 部 分 群 は

と お く と き,P=MANと

な る 同 一 視 を 得 る.こ

一致す るから

れ よ りφ ∈C∞(G/P)と

な る関 係 式 に よ り同一 視 され る.ポ

Φ∈C∞(∂D)と

ア ッ ソ ン積 分 は ∂D上 の 関数 にD上

数 を 対 応 させ る写 像 で あ るか ら上 の 同一 視 に よ りG/P上 各 左 剰 余 類 の上 で 一 定 値 を 取 る よ う なG上 つ ま りKの

が

の 関 数,つ

ま りPの

の 関 数 φ に 対 し てG/K上

各 左 剰 余類 の上 で一 定 値 を取 る よ う なG上

の関

の 関 数,

の 関数fを 対 応 させ る

写 像 と考 え られ る.こ の よ うな 写 像 で リ ー 群 論 的 に最 も 自然 な もの は

で あ ろ う.実

は こ れ が ポ ア ッ ソ ン 積 分 を 与 え る こ とを 以 下 計 算 に よ っ て 確 か め

よ う.g∈G,z∈Dに

対 し の とき

と 書 く と,f(g)=F(g[0])で =kαatnxと

あ る か らg[0]=zと

す る と 

eiθ と な る.g∈SU(1,1)で り 立 ち 従 っ て1-￨z￨2=￨a￨-2を

お く とz=bd-1と で あ る か

あ る か らd=a,c=bで 得 る.更

で あ るか ら  (4.3)

が 成 り立 つ.更

に φ(gkθ)=φ(kαatnx)=φ(kα)で

らg-1kα[1]=kθ[1]=

か つ￨a￨2-￨b￨2=1が

に

あ るか ら

な る.gkθ

成

と な り,ポ

ア ッ ソ ン 積 分 を 得 る.

  4.1.3  任 意 のs∈Cに

対 し P=MAN∋matnx→e-(s-1)t∈C*

に よ りPの

指 標 を 定 義 し,こ

き φ∈C∞(Ls)は

れ に 同 伴 し た 直 線 バ ン ドル をLsと

書 く.こ

のと

Φ∈C∞(∂D)と

な る関 係 式 に よ り同一 視 さ れ る.C∞(Ls)の

元 φ にC∞(G/K)の

元fを 対 応 さ

せ る写 像 で リー群 論 的 に最 も 自然 な ものは や は り

で あ ろ う.実

は これ が ポ ア ッ ソ ン 積 分 の 一 般 化 で あ る(4.2)を 与 え る の で あ る.

任 意 のg∈Gは

と 書 け る か ら,g[0]=zと

お く とz=b(a)-1で

あ りgkθ=kαatnxと

φ(gkθ)=e(s-1)tΦ(eiα)

と な る.こ

の と き 

の 両辺 を比 較 す る こ とに よ り

を 得 る.前

であ るか ら

と同様 に して

であるか ら

す る と

と な り(4.2)が 得 られ た.   4.14 

Cayley変

換

に よ り上 半 平 面 上 の ラ プ ラ シ ア ン をD上

に 移 し て 考 え る.z=x+iy,w=u+

iυ と お く と

で あ るか ら

と な る.従

っ てf∈C∞(G/K)とF∈C∞(D)をf(g)=F(z)(z=g[0])(g∈G)に

よ り同 一 視 す れ ばCを

カ シ ミ ー ル 作 用 素 と す る と き[3.6.2]よ

り

を 得 る.

  4.2  ポ ア ッソ ン積 分 の 一 般 化 と コー シー 積 分  4.2.1 前節 で はG/P上

の 直 線 バ ン ドル を 考 えた がG/Kの

ドル しか 考 え なか った.そ れ で はG/Kの られ る で あ ろ うか.数

方は 自明なバン

方 も直 線 バ ン ドル を 考 え れ ば 何 が 得

学 の研 究 に お い ては 前 節 の よ うな一 般化 が 得 られ た 場

合,そ の 程 度 の一 般 化 で満 足 す る こ とな く更 に考 え得 る 限 り最 も一般 な 場 合 に

拡 張 す る こ とを 試 み るの が 非常 に 重 要 で あ る.  

Gc=SL(2,C)と

を 考 え る.任

しGcの

ボ レル 部 分 群

意 のn∈Z,v∈Cに

と定 義 す る と,τn,vはBの

対 し

実 解 析 的 指 標 と な る.Gc/B上

解 析 的 同 伴 直 線 バ ン ドル をFn,vで

と お く と,γ=γ1γ2で

表 わ す.

か つ γ2∈Bで

と 定 義 す る と,(3.29)で

の τn,vに 同 伴 し た 実

あ る か ら γB=γ1Bが

0 

(n:偶

1 

(n:奇 数)

成 り立 つ.

数),

定 義 さ れ た ξε,vに対 し τn,v(γ-1pγ)=ξεn,v(p)(p∈P)

で あ る こ と が 容 易 に 確 め ら れ る.Gc/Bの =Pよ

りG/Pと

同 一 視 さ れ,従

のG軌

跡 に 制 限 し た バ ン ドル をEn,vで

点 γB=γ1BのG軌

跡 はG∩

っ て 上 で 述 べ た こ と か らFn ,vを 点

γ1Bγ-11 γB=γ1B

表 わ す と きEn,vのC∞

切断の全体

よ り 同 一 視 さ れ る.つ

ま り任 意 の

の 元φ1と

の 元 φ2と C∞(En,v)に

は

φ2(g)=φ1(gγ1)(g∈G)に

対 し(Rn,vφ)(g)=φ(gγ1)(g∈G)と Rn

,v:C∞(En,v)→C∞(Lεn,v)

な る 上 へ の 線 形 同 型 が 得 ら れ る.こ

と お く と,∂DB=Gγ1Bが

お くと写 像

の 同 型 対 応 の 逆 写 像 をSn,vで

成 り立 ち し か も ∂D×B∋(x,b)→xb∈Gγ1B

は 上 へ のC∞

同 型 と な る.従

っ て 任 意 の φ∈C∞(En,v)に

対 し

表 わ す.

φ∈

と定 義 す れ ば,写 像 An ,v:C∞(En,v)→C∞(∂D)

は上 へ の線 形 同型 で あ る.   4.2.2  GのGc/Bに 群 はG∩B=Kと

お け る 自 然 な 作 用 を 考 える と 原 点Bに な る か ら,原

と き τn,v(kθ)=e-inθ/2(kθ ∈K)が 制 限 は[3.1.5]で 分 か る.以

点BのG軌

跡 はG/Kと

お け る等方 部 分

同 一 視 され る.こ

成 り立 つ こ と に 注 意 す れ ば,Fn,vのG/Kへ

定 義 したG/K上

下 本 節 で は[3.1.5]で

の 直 線 バ ン ドルLnと

の の

同一 視 され る こ とが

定 義 し た τn,Fn,En,An,Rn,Sn,Vn,Tn等

の

記 号 を そ の ま ま 使 用 す る.   さ てC∞(Lεn,v)の

元 φ が 与 え ら れ た と き φ にC∞(Ln)の

元fを

も 自 然 な 方 法 は ど の よ うな も の で あ ろ う か.f∈C∞(G)がC∞(Ln)に め の 条 件 は,任

意 のg∈G,k∈Kに

対 応 させ る最 属 す るた

対 して

f(gk)=τn(k)-1f(g)

が 成 り立 つ こ と で あ る か ら,f∈C∞(Ln)の

とき

 (4.4)

が 成 り立 つ こ と が 分 か る.逆

に(4.4)を み た すf∈C∞(G)は

属 す る こ と が 容 易 に 確 め ら れ る.更 り定 義 さ れ るG上

に 任 意 のf∈C∞(G)に

の 関 数 を 対 応 さ せ れ ば,こ

す べ て,C∞(Ln)に 対 し(4.4)の 左 辺 に よ

の 対 応 はC∞(G)か

上 へ の 射 影 写 像 で あ る こ と が 容 易 に 計 算 に よ り確 め ら れ る.こ

な る 定 義 に 到 達 す る.そ

らC∞(Ln)の の よ うに し て

こ で 任 意 の φ∈C∞(Lεn ,v)に 対 し

 (4.5)

と お く と,Pn,vφ

∈C∞(Ln)で

ア ッ ソ ン 積 分 と い う.一

あ る こ と が 容 易 に 分 か る.(4.5)を

一 般 化 され た ポ

般 化 され た ポ ア ッソ ン積分 は ポ ア ッ ソン積 分 と コー シ

ー 積 分 の 拡 張 で あ り従 っ て 特 別 な 場 合 と し て コ ー シ ー 積 分 を 含 む こ と を 示 そ う.g∈G,g[0]=zと

す ると

で あ る か ら,g[0]=b(a)-1=zに  (4.6) 

注 意 す れ ばAnSnf=Fと

お くと き

f(g)=(Snf)(g)=(a)-n(AnSnf)(z)=(a)-nF(z)

を 得 る.gkθ=kαatnxと

す る と任 意 の

φ ∈C∞(Lεn,v)に

対 しAn,vSn,vφ=Φ

と お

くと き

と な る.更

にg-1kα=kθa-1tn-1etxに

注 意 す れ ば

で あ るか ら

を 得 る.従

っ て￨a￨2-￨b￨2=1よ

り￨a￨-2=1-￨b(a)-1￨2=1-￨z￨2に

れ ば

で あ る こ と が 分 か る.

で か つ(4.3)よ

り

で あ る か ら(4.5),(4.6)よ

り

注 意 す

が 成 り立 つ.Pn

,vΦ=Fと

特 にn=1,v=0,の

定 義 し こ れ を 一 般 化 さ れ た ポ ア ッ ソ ン 積 分 と よ ぶ.

と き は ζ=eiθ と 変 数 変 換 す る と 単 位 円 を 正 の 向 き に ま わ る

線積分 によ り

と表 わ さ れ る か ら,コ   4.2.3  整 数nと

ー シ ー 積 分 に 一 致 す る.

複 素 数vを

任 意 に 固 定 す る.任

意 のg∈G,φ

∈C∞(Lεn,v)に

対 し (πεn,v(g)φ)(x)=φ(g-1x) 

と定 義 し,更

に 任 意 のg∈G,φ

∈C∞(En,v)に

(x∈G)

対 し

(Vn,v(g)φ)(x)=φ(g-1x)  と 定 義 す る と,写 ining作

像Rn,vお

用 素 で あ る.任

但 し  eiθ∈ ∂Dに

∈C∞(En

が 成 り立 つ.従

φ ∈C∞(En,v)に

と定 義 す る と

で あ るか ら

意 のg∈G,φ

明 らか に

πεn,vとVn

,vに 関 しintertw

,v)に 対 し

っ て 任 意 のg∈G,Φ

∈C∞(∂D),

対 し

と 定 義 す れ ば,An,vはVn,vとTn 意 の

よ びSn,vは

(x∈Gγ1B)

対 し

,vと に 関 しintertwining作

用 素 と な る.任

と な る.従

っ て 任 意 の Φ∈C∞(∂D)に

対 し

と 定 義 す れ ば,An,v,Rn,v,Sn,vは

す べ て 等 長 写 像 で あ る こ と が 分 か る.故

v∈Rの

す べ て そ れ ぞ れL2(Lεn,v),L2(En,v),L2(∂D)

ときは

πεn,v,Vn,v,Tn,vは

上 の 互 い に 同 値 な ユ ニ タ リ表 現 と な る.勿 互 い に 同 値 な バ ナ ッ ハ 表 現 で あ る.任

で あ る か ら,Pn,vは SnPn,vRn,vと

πεn,vと πnに

お く と(3.10)よ

論 一 般 のv∈Cに

意 のg∈G,φ

り 任 意 のg∈Gに

が成 り立 つ.同 様 に任 意 のg∈Gに

対 し ては これ ら は

∈C∞(Lεn,v),x∈Gに

関 しintertwining作

に

対 し

用 素 で あ る.Pn,v=

対 し

対し

が 成 り立 つ こ と が容 易 に確 め られ る.   以 上 に よ り次 の 定 理4.1お Pn,v,An,v,Rn,v,Sn,vが

よ び 定 理4.2を

得 る.次

す べ てintertwining作

の 定 理 は 写 像Pn,v,Pn,v,

用 素 で あ る こ と を 示 し て い る.

等 質 空 間 上 の 解 析 学 に お け る 種 々 の 性 質 を これ ら の 写 像 に よ り調 べ や す い 空 間 に 移 し て 研 究 す る の が 等 質 空 間 上 の 解 析 的 の 基 本 原 理 の1つ   定 理4.1  G=SU(1,1)と

が 成 り立 つ.更

す る と任 意 のg∈Gに

に次 の 可換 図形 を得 る.

対 し

で あ る.

  定 理4.2 

G=SU(1,1)と

な る 可 換 図 形 が 成 り立 つ.こ

す る と任 意 のg∈Gに

の 図 形 に お け る 写 像Rn,v,Sn,vよ

れ も上 へ の 等 長 写像 で あ る.故 に 特 に    4.2.4  n∈Zお

対 し

よ びv∈Cを

固 定 し,m≡n(mod

と 定 義 す る と,φm∈C∞(Lεn,v)で

あ り{φm;m≡n(mod

直 交 基 底 と な る.

と お く と,

と分 解 す る とき

で あ るか ら

を 得 る.故 に 簡 単 な 計 算 に よ り

びAn,vは

いず

を 得 る. 2)を み た す 整 数mに

2)}はL2(Lεn,v)の

対 し

正 規

で あ る こ と が 分 か る.従

を 得 る.そ

っ てatnya-1t=ne-tyに

こ でs=iv+1/2と

注 意 す れ ば

お く とRes>max{￨n￨/2,1/2}の

と き

 (4.7)

が 成 り立 つ.一

方CをGの

カ シ ミ ー ル 作 用 素 と す る と き Ω=dR(-2C)と

く と[1.4.5]お

よ び 定 理3.18,定

で あ る か ら,Pn,vφmは(v2+1/4,m,-n)に 3.16よ

理4.1よ

り

属 す る 球 関 数 に な る.従

り

を み た す 常 数 λが 存在 す る.超 幾 何 関 数 の ガ ウ スの 変 換 式

に お い てa+b-c=i2vを

お

代 入 す る とRe(i2v-1)>￨n￨の

と き

って 定 理

と な る.但 のa,b,cを

を 得 る.こ

し 上 の 各 式 で は 

と仮 定 し て お く.故

に(4.7)よ

り定 理3.16

代 入 して

の λ はv,m,nに

依 存 す るか ら

λ=λs,m,nと

書 く こ と に す る と, 

の とき

が 成 り立 つ.と

こ ろが 両 辺 共 にvに つ い て有 理 型 関 数 で あ る か ら上 式 はi2vが

整 数 で な い 限 り成 り立 つ こ とが 分 か る.故 に次 の定 理 が示 され た.  定 理4.3 

m,n∈Z 

m≡n(mod

に よ り,φm∈C∞(Lεn,v)を

が成

り立 つ.但

し

し,v∈Cを

  こ の 定 理 よ り{φm;m≡n(mod

お く と 

の と き

次 の 式 で 与 え ら れ る.

2)}がL2(Lεn,v)の

正規 直交基底であ る こ と

り次 の 系 を 得 る. の と きPn ,vは1対1の

  系 

  4.3  正 則 離 散 系 列 の 極 限 とHardy空   4.3.1  正 数pが

固 定 す る.

定 義 す る.s=iv+1/2と

λs,m,n,a,b,cは

に 注 意 す れ ば 定 理4.1よ

2)と

与 え ら れ た と きD上

写 像 であ る.

間 の正 則 関 数 で

 (4.8)

が 有 限 で あ る よ う なF全

体 の 集 合 をHp(D)と

と す る バ ナ ッ ハ 空 間 と な る.こ

れ をHardy空

書 く と,HP(D)は(4.8)を 間 と い う.特

にp=2の

ノル ム 場 合は

H2(D)は

ヒル ベ ル ト空 間 とな り正 則 離 散 系 列 の極 限 と よ ば れ るG=SU(1,1)

の既 約 ユ ニ タ リ表 現 がH2(D)上 次 に述 べ る よ う にDの

で 実 現 され る.そ

してHardy空

間 の理 論 は

境 界 ∂D上 で 実 現 され る可 約 な 連 続 系 列 の表 現 の既 約

分 解 を 与 え る.

とお くとXはSL(2,C)の

開 集 合 で あ る か ら複 素 多 様 体 とな る.任 意 のx∈X

に対 し とす る と と一 意 的 に 表 わ され るか ら

とお くと き写 像  (4.9)

は複 素 多 様 体 と し て複 素 解 析 的 同型 で あ る.[3.1.5]で の制 限 をYnと

す る とYnの

Γ(Yn)={f:X上

正 則 な切 断全 体 は

の 正 則 関 数:f(xb)=τn(b)-1f(x)(x∈X,b∈B)}

と 同 一 視 さ れ る.Fnの

代 りにYnを

し ま うか ら 以 下 の 議 論 で は Yn￨G/K=Enで

定 義 したFnのX/Bへ

Γ(Yn)を

考 え る 理 由 は Γ(Fn)は

有限次元に な って

用 い る 必 要 が あ る か ら で あ る.

あ る こ と お よ び τn=τn ,i(n-1)/2で あ る か らC∞ バ ン ドル と し て

が 成 り立 つ こ と に 注 意 す る の が 以 下 の 議 論 で 重 要 で あ る .En,i(n-1)/2のC∞

切

断 の 全 体 は[4.2.1]で 述 べ た よ う に

と 同 一 視 さ れ る.制

限 写 像 Γ(Yn)∋f→f￨GB∈

f￨Gγ1B∈C∞(En,i(n-1)/2)を

よ び Γ(Yn)∋f→

考 え れ ば,正 則 関 数 の 一 致 の 定 理 お よ び 最 大 値 の 原 理

に よ り こ れ ら は 共 に 中 へ の 線 形 同 型 で あ り,従 お よ びC∞(En,i(n-1)/2)*と

Γ(En)お

っ て そ の 像 を そ れ ぞ れ Γ(En)*

書 く と 上 の 同 型 対 応 に よ り上 へ の 線 形 同 型 写 像

を得 る.こ れ は 境 界 値 を対 応 さ せ る 写像 に 他 な ら ない.Γ(En)*は

明 らか に 表 現

Vnの

不 変 部 分 空 間 で あ る.そ こ でVnの

β+nはV+nとVn,i(n-1)/2と

Γ(En)*上

に 関 しintertwining作

の 部 分 表 現 をV+nと 用 素 で あ る.同

書 く と,

様 に τnの 複

素 共 役表 現 を考 え そ れ に 同伴 した 直 線 バ ン ドル の反 正 則 な切 断全 体 の境 界値 β-nを 考 え る こ と が 出 来 る.AnΓ(En)*=H(D)*,RnΓ(En)*=Γ(Ln)*と

お くと

D上

な る.

のzの

多 項 式 全 体 をC[z]と

Fk(z)=zk(k∈N)と

書 く と き 明 ら か にC[z]⊂H(D)*と

定 義 し(An)-1Fk=fk(k∈N)と

お く.任

 に よ りG上

意 のl∈Zに

対 し

の関 数 φlを 定 義

す ると

 (4.10)

を得 る.D上

で あ る か ら, 

の任意の正則関数

が 多 項 式 の 広 義 一 様 極 限 で あ る こ と に 注 意 す れ ばRn,i(n-1)/2β+nの i(n-1)/2)に お け る 閉 包 は{φl; l≡n(mod 2)に か る.こ H(D)*に

れ は 定 理3.17に

お け るW+2-nに

像 のL2(Lεn,

よ って張 られ る こ とが分 他 な ら な い.任

意 のf∈

Γ(Ln)*,F∈

対 し

とお く と次 の可 換 図形 を得 る.

 β-nを 用 い て 同 様 に β-n,B-nが 定 義 さ れ 上 と 同 様 の 可 換 図 形 が 得 ら れ る.   定 理4.4 

あ る ε=0,1,v∈Cに

な っ た と す れ ばi2v∈Zが

対 し 非 ユ ニ タ リ主 系 列 の 表 現 πε,vが可 約 と 成 り立 ちn=1-i2vと

お く と εn=ε で あ りか つ

πε ,vの 自 明 で な い 閉 不 変 部 分 空 間 は 写 像 β+n,β-nによ り次 の よ うに 与 え ら れ る.

 (1) n>0の

場 合 はImβ+nお

よ びImβ-nの

 の 場 合 はImβ+n,Imβ-nお

 (2)

閉 包.

よ びImβ+n∩Imβ-nの

閉 包.

  証 明   πε,vが自 明 で な い 閉 不 変 部 分 空 間 を 持 つ な ら ば 定 理3.17に 1/2-ε/2∈Zで

あ る か らi2v∈Zで

1-i2v=nと

お く とn≡

ε(mod

か つi2v+1-ε

は 偶 数 で あ る .従

2)と な り εn=ε を 得 る.i2v+1=mと

πε,vの 自 明 で な い 閉 不 変 部 分 空 間 は 定 理3.17に W-m,W+m∩W-m,(2)m<2の

よ りiv+

よ り,(1) 

場 合 はW+m,W-mで

って お くと

の 場 合 はW+m,

与 えら れ る.m=2-nで

る か ら 上 記 の 議 論 に よ り定 理 の 結 論 が 直 ち に 導 か れ る. 

あ

(証 明 終)

  系   Gの 恒 等 表 現 以 外 の任 意 の既 約 ユ ニ タ リ表 現 は適 当 な πε,v(ε=0,1,v∈C) の 不 変 部 分 空 間 の 内 積 を 入 れ 換 え る こ とに よ って 得 られ る.   証 明  π±nに 対 し ては β±nが等 長 写 像 とな る よ うに 内積 を 入 れ 換 え れ ば よい. 次 の 小節 で示 す よ うに β±1は等 長 写 像 で あ る.他 の表 現 につ い ては 明 らか. (証明 終)   4.3.2  v∈Rで 理3.17の

か つiv+1/2-ε/2∈Zの

な る か ら定

系 に よ り連 続 系 列 の 表 現 の 中 で 可 約 な も の は π1,0の み で あ る.こ

と き1-i2v=1で

あ る か ら 定 理4.4に

い 閉 部 分 空 間 はImβ+1お W+1お

と き は(ε,v)=(1,0)と

よ びW-1が

よ びImβ-1の

お い てn=1と

すれば

閉 包,W+1お

よ びW-1で

そ れ ぞ れ{φk; 

張 ら れ る こ と と,L2(L1,0)の

k奇 数}お

正 規 直 交 基 底 が{φk;k奇

よ び{φk;  数}で

の

π1,0の 自 明 で な 与 えら れ る. k奇 数}で 与え られ る こと

に注 意 す れ ば

が π1,0の 既 約 分 解 を 与 え る こ と が 分 か る.   さ てD上 あ る.任

の 正 則 関 数 全 体 をH(D)で 意 のk∈Nに

お くと き明 らか に 

表 わ す と 明 ら か にA1Γ(E1)=H(D)で

対 しFk(z)=zk(z∈D)と

定 義 す るB+1Fk=Φk(k∈N)と で あ る.従

っ て 任 意 のk,l∈Nに

対

し

 (4.11)

で あ る か ら,B+1は

等 長 写 像 と な る.A1,0S1,0W+1=L2(∂D)+と

お く と(4.11)に

よ

り{Φk;k∈N}はL2(∂D)+の はH2(D)か

正 規 直 交 基 底 で あ る こ と が 分 か る.従

らL2(∂D)+の

お よ びL2(∂D)+は

上へ の 等 長 写 像 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.故

そ れ ぞ れT1お

よ びT1,0の

よ びT1,0+と 書 く とB1+はT1+とT1,0+の

を 与 え る こ と が 分 か る.更

に 任 意 のk,l∈Nに

る.故 にT1+は

  定 理4.5    (1)H2(D)上 値 で あ り,境

間H2(D)の

正 則 離 散 系 列 の 極 限 と一 致 し  が 成 り立 つ.以

H2(D)をHardy空

上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.

ユ ニ タ リ表 現T1+は

界 値 を 取 る 写 像B1+は

T1,0の 既 約 成 分L2(∂D)+の

∂D上

内 積 と一 致 す

と な る.同 様 にT1-

間 と す る と き 次 の(1),(2)が

のG=SU(1,1)の

ユ ニ タ リ同 値

対 し

則 離 散 系 列 の 極 限 の 内 積 はHardy空

が 定 義 さ れ, 

にH2(D)

閉 不 変 部 分 空 間 と な りそ れ ら の

部 分 表 現 を そ れ ぞ れT1+お

で あ る か ら,正

っ てB+1

成 り立 つ.

正 則 離 散 系 列 の 極 限 と同

で実 現 され た可 約 な 連続 系 列 の表 現

上 へ の ユニ タ リ 同 値 を 与 え るintertwining作

用素

で あ る.

  (2)可 約 な連 続 系 列 の表 現は π1,0のみ で あ り,π1,0は 正 則 離 散 系 列 の 極 限 の 境 界 値 お よび反 正 則 離 散 系 列 の 極 限 の 境 界 値 を 取 る こ とに よ り

と既 約 分 解 され る.更 に    4.3.3  Nに

任 意 のk∈Zに

お く.こ

で あ る か ら,P1,0はL2(∂D)か

た

π1+お よ び

上 へ の 連 続 な 線 形 写 像 に 一 意 的 に

上 で は 等 長 写 像 と な る.従 考 え れ ばP1,0がL2(L1,0)か

線 形 写 像 と な り,KerP1,0=W1-で 同 値 を 与 え る こ と が 分 か る.

に 任 意 のk∈

の と き

らH2(D)の

つL2(∂D)+の Γ2(E1)を

と お く.更

対 し 

対 しFk(z)=zk(z∈D)と

拡 張 さ れ,か

(複号 同 順)が 成 り立 つ.

か つP1,0￨w+1は

ら

っ て[3.1.6]で Γ2(E1)の

π1,0￨w+1と

定 義 し

上 へ の連 続 な π1+の

ユ ニ タ リ

  4.4  ラ プ ラ シ ア ン の 固 有 関 数 と ポ ア ッ ソ ン 積 分   4.4.1  任 意 の Φ∈C0(∂D)に

と定 義 す る とPΦ はD上

対 して

の調 和 関数 とな るか ら,D上

の調 和 関数 全 体 を 〓(D)

で表 わ す と き

な る写 像 が 得 られ る.勿 論Pは

に よ りKz∈C∞(∂D)を

上 へ の 写像 で は な い.任 意 にz∈Dを

定 義 す る.任

意 のk∈Zに

固定 し

対 し

とお く と

 (4.12)

はC∞(∂D)=D(∂D)の r<1を

位 相 で 収 束 し て い る.実

み た す 正 数rを

で あ る か ら,正 数M1が

際 任 意 のm∈Nに

対 し￨z￨<

固定す ると

存在 して

 (4.13)

が 成 り立 つ.従

って

で あ るか ら,各 階 の導 関 数 が 一 様 収 束 し て い る.故 に任 意 のT∈D′(∂D)(∂D 上 の超 関 数 全 体)に 対 し  (4.14)

を 得 る.Tの

連 続 性 に よ りあ るm∈Nと

正 数M2が

存 在 し て,す

べ て の Φ∈

C∞(∂D)に 対 し

が 成 り立 つ.こ

のmに

対 し(4.13)を

み た す よ う な 正 数M1を

選 べ ば￨z￨>r>0

の とき

と な る か ら,(4.14)にzの T[Kz]と

お け ばuは

関 数 列 と し て 広 義 一 様 収 束 し て い る.従 調 和 関 数 と な る.故

(z)=T(Kz)(z∈D)と

のPも

上 へ の写 像 で は な い の で す べ て の調 和 関数

を ポ ア ッ ソン積 分 に よ っ て表 わす た め に はPの る.こ の辺 で答 を い って し ま うと,実 はPの 解 析 汎 関数 全 体B(∂D)迄

拡 げ れ ば,任 意 の調 和 関 数 が 唯1つ

で あ るか ら任 意 のT∈B(∂D)に z](z∈D)と

定 義 域 を更 に拡 げ る 必要 が あ

定 義 域 を[1.4.7]で 述 べ た ∂D上 の

ア ッ ソン 積 分 と し て表 わ され る の で あ る.Kzは

 定 理4.6 

対 し(PT)

定 義 す る こ とに よ って

な る写 像 が 得 られ るが,こ

=T[K

っ てu(z)=

に 任 意 のT∈D′(∂D)に

明 ら か に ∂D上 の実 解 析 的 関 数

対 してT[Kz]が

定 義 す る こ とに よ りD上

の解 析 汎 関 数 の ポ

意 味 を 持 つ.そ の 関数PTが

こで(PT)(z)

得 られ る.

ポ ア ッソ ン積 分

は 上 へ の線 形 同型 写 像 で あ る.   証 明   T∈B(∂D)を {Φ-k;k∈Z}は

任 意 に 取 る.∂D上

固 有 関 数 か ら 成 るL2(∂D)の に 注 意 す れ ば 定 理1.19に

と き,任

意 の 正 数tに

と な る.一

を考え ると

の ラ プ ラ シ ア ン 

正 規 直 交 基 底 で あ る か ら,  よ りbk=T[Φ-k](k∈Z)と

お く

対 して

方(4.12)はKzの

位 相 で 収 束 し て い る.従

固 有 関 数 展 開 で あ る か ら 定 理1.19に って

よ りA(∂D)の

を 得 る.￨z￨
と きt=-logrと

で あ る か ら,(4.14)はzに 〓(D)で

お くと

関 しD上

あ る こ と が 分 か る.逆

で 広 義 一 様 か つ 絶 対 収 束 す る.故

に 

が 与 えら れ た と き,任 と定 義 す る.明

固 定 し 

にPT∈

意 にz∈Dを

ら か に Φu,zは ∂D上 のC∞

関数 で あ るか らそ の フ ー リエ級 数  (4.15)

は 絶 対 収 束 す る.こ

で あ る か ら,akはD上

の と きakはzの

関 数 だ か らak(z)と

の 調 和 関 数 で あ りか つ 任 意 のeia∈ が 成 り立 つ.従

分 か る.実

らakはukの

こ と も 出 来 る.そ

像 はG上

こ でak=bkuk(k∈Z)と

っ て 定 理1.19に

存 在 す る.こ

を み た すTは

得 る.故 唯1つ

対 し 

常 数 倍 とな る こ とが 容 易 に

の(0,-2k,0)型

お く と(4.15)に

に 任 意 のt>0に

の球 関数 とみ な

にPは

お い て θ=0と

対 しe-t∈Dで

よ りT[Φ-k]=bk(k∈Z)を

の と き(4.14)はA(∂D)の

と な り,PT=uを

∂Dに

常 数 倍 とな る こ と が 結 論 され る が直 接 証 明 す る

が 絶 対 収 束 す る こ と が い え る.故

を 得 る.従

っ てakはukの

はakもukもR0,A-10の

さ れ 定 理3.15か

かけば

して

あるか ら

み た すT∈B(∂D)が

位 相 で収 束 して い るか ら

上 へ の 写 像 で あ る.定

で あ る か らPは1対1写

像 で あ る.Pの

で あ る.    4.4.2  sを 複 素 数 と し 任 意 の Φ∈C0(∂D)に

理1.19か

らPT=u

線形 性 は 明 らか (証 明 終)

対 して

と定 義 す る と

と お く と き,[4.1.1]よ

りPsΦ

は微分方程式 ΔPsΦ=s(1-s)PsΦ

を み た す.従

って

とお くと

な る写 像 が 得 られ る.任 意 にz∈Dを

に よ り ∂D上 で あ る.任

の 関 数Ks,zを

意 のk∈Zに

固定 し

定 義 す れ ば 明 ら か にKs,zは 対 しz∈D,eiθ

と定 義 す る.s=iv+1/2と

お く とPs=P0,vで

よ りR0A-10us,kは(s(1-s),-2k,0)型

る.し

と な る.さ

か

る にus,k(eiθz)=eikθus,k(z)で

て 以 後 

れ た と きr0
とき

あ る こ と に 注 意 す れ ば[4.2.4]

り

あ

る か

ら

と 仮 定 す る.0
み た すr0が

選 べ ば,す べ て のk∈Zに

が 成 り立 つ よ う に 出 来 る.勿

論M1は

存 在 し て 

任 意 に 与え ら

取 ると き

で あ るか ら適 当 に 正 数M1を

る か ら あ る 番 号k0が

の実 解 析 的 関 数

に 属 す る 球 関 数 で あ る. 

で あ る か ら 定 理4.3よ

を 得

∈ ∂Dの

∂D上

一 般 にsに

対 して

依 存 す る.一

な る と きつ ね に

方1/r0>1で

あ

を み た す.こ

の とき

で あ る か ら,￨z￨
が 成 り立 つ.故

とき

に 適 当 に 正 数M2を

選 べ ば,す

べ て のk∈Zに

対 し て￨z￨
な る と きつ ね に

が 成 り立 つ よ うに 出 来 る.故

にt=-logr1と

お く と す べ て のk∈Zに

対 し

 (4.16)

が 成 り立 つ.   さ てT∈B(∂D)を

任 意 に 取 る と き 定 理1.19に

お く と任 意 の 正 数tに

で あ る.Ks,zを

と す る と,こ

ら 定 理1.19に

よ りbk=T[Φ-k](k∈Z)と

対 して

フ ー リエ 級 数 展 開 し て

れ はKs,zの

よ りA(∂D)の

ラ プ ラ シ ア ン 

に関 す る固 有 関 数 展 開 であ る か

位 相 で 収 束 し て い る.従

って

 (4.17) を 得 る.こ

の と き0
りt=-logr1と

と な り(4.17)はD上 く と 

お け ば￨z￨
み た す 任 意 のr0に と き(4.16)よ

対 しr0
取

り

で 広 義 一 様 に 絶 対 収 束 す る.故 に(PsT)(z)=T[Ks と な る.

るr1を

,z]と お

 定 理4.7 

の と きポ ア ッソ ン積 分

は上 へ の 線 形 同 型 写 像 で あ る.   証 明  任 意 のT∈B(∂D)に ら,Psが

上 へ の1対1写

対 し 

と な る こ とはす で に示 し た か

像 で あ る こ とを い え ば よい.任 意 の 

に対 し

て

と 定 義 す る と,容

易 に 分 か る よ う に 

り 立 つ か らR0A-10akは(s(1-s),-2k,0)型 -2k

,0)型

us ,kと

と お きr0
りakはus,kの

定 数 倍 と な りak=bk

θに 関 し て フ ー リ エ 級 数 に 展 開 し

が 絶 対 収 束 す る こ と が 分 か る.従 み た すr1を

成

の 球 関 数 で あ る,us,kも(s(1-s),

の 球 関 数 で あ る か ら 定 理3.15よ

お く と,u(eiθz)を

で か つak(eiθz)=eikθak(z)が

θ=0と

っ て 任 意 に 与 え ら れ たt>0に

お く とき

対 しr0=e-t

選ぶ と

で あ る.

で あ る か ら正 数 ε>0を

適 当 に選 べ ば す べ て のk∈Zに

対し

が 成 り立 つ よ うに 出 来 る.従 って 

と な る.故

に 定 理1.19に

在 す る.こ

の と き(4.17)はA(∂D)の

に注 意す れ ば

よ りT[Φ-k]=bk(k∈Z)を

み た すT∈B(∂D)が

位 相 で 収 束 して い るか ら

存

と な りPsT=uを び 定 理4.3の

得 る.故

にPsは

上 へ の 写 像 で あ る.1対1は

系 か ら 明 ら か で あ る. 

定 理1.19お (証 明 終)

よ

Ⅴ  Barel-Weil-Bottの

定 理 とそ の 拡 張

  5.1  ベ ク トル ・バ ン ドル に 値 を 持 つ 調 和 形 式 と ラ プ ラ シ ア ン の 自 己 共 役 拡 張   5.1.1  Xをn次

元 エ ル ミー ト複 素 多 様 体 と しEを

バ ン ドル とす る.Xの す 整 数p,qに

そ の 上の 正 則 ベ ク トル ・

正 則 余 接 バ ン ドル をT*Xで

表 わ し 

をみた

対 し

と お く.{Uα}α ∈Λ をXのEに

対 す る 局 所 自明 な 開 被 覆 と しそ の 変 換 関 数 系 を

{gαβ}(α,β)∈ Λ×Λ で 表 わ す.Eの

標 準 フ ァ イ バ ー をCmと

gαβ:Uα

す ると

∩Uβ →GL(m,C)

は正則写像 で

を み た す.Cmの Cp,q(E)は

元 を 縦 ベ ク ト ル と し 横 ベ ク ト ル の 転 置 で 表 わ す.こ

次 の 条 件 を み た す φαの 族{φ α}α ∈Λ 全 体 と 同 一 視 さ れ る. はUα

 (1) 

上 の(p,q)型

のC∞

の とき 

 (2) 

  さ てC∞

の とき

が 成 り立 つ.

ベ ク ドル ・バ ン ドル と し て 構 造 群GL(m,C)が

簡 約 さ れ て い る と し よ う.こ

微 分 形 式.

の と き 各 α∈Λ aα:Uα

ユ ニ タ リ群U(m)に

に 対 しC∞ 写 像

→GL(m,C)

が 与 え られ て い て

が 成 り 立 っ て い る.各 意 の

φ={φ

α ∈ Λ に 対 しhα(p)=taα(p)aα(p)(p∈Uα)と

α}α∈Λ∈Cp,q(E)に

但 し 

対 し

で

お く.任

とす る と き

と定 義 す る.更

に エ ル ミー ト計 量 に 関 す る*作

し 

と 定 義 す る と*は

あ り(つ ま り*φ α=*φ

用 素 に 対 し*φ={*φ

α}α ∈Λ 但

リー マ ン 計 量 の み に よ る か ら 実 作 用 素 で

α)*φ ∈Cn-q,n-p(E)で

あ る.φ={φ

α}α ∈Λ に 対 し

 (5.1)

が 成 り立 つ か らEの

双 対 バ ン ドル をE*で

表 わ す と*#φ

∈Cn-p,n-q(E*)と

な

に対 し

る. 

で あ るか ら こ れ はX全

と定義 すれば 

で 定義 され た(n,n)微 分 形 式 を定 め これ をtφ Λψ と書 く.Xは

体

複素多様体 だ

か ら 自然 な 向 き付 け を 持 ち

が考 え られ る.勿 論 一 般 には 積 分 は 発 散 す る が φ,ψ の 中少 な く共 一 方 が コン パ ク ト台 を 持 つ な らば 積 分 は 収 束 す る.以 上 に よ りCp,qc(E)に 内積

が 定 義 さ れ る こ と が 分 か っ た.こ と書 く.φ={φ

とお く とUα

α}α ∈Λ∈Cp,q(E)に

の 内 積 に 関 す るCp,qc(E)の 対 し

∩Uβ 上 で φα=gα βφβ で か つgαβ

ら ∂gαβ=0で

完 備 化 をLp,q2(E)

の成 分 は す べ て正 則 関 数 だ か

あ り従 っ て ∂φα=gα β∂φβ と な る.故

に ∂φ∈Cp,q+1(E)で

ある

こ とが 分 か る. θ=-#-1*∂*# とお くと き は, 

φ ∈Cp,q(E),ψ

∈Cp,q+1(E)で

ど ち らか 一 方 が コ ン パ ク

とな るか ら

∂(φΛ*#ψ)=d(φ

Λ*#ψ)

ト台 を 持 つ と

を 得 る.従

が成

って

り 立 つ.一

方 ∂(*#ψ)∈Cn-p,n-q(E*)だ

で あ り,従

って

を 得 る.故

に

か ら

即ち (∂φ,ψ)=(φ,θ

が 成 り立 つ.□=∂

ψ)

θ+θ∂ と お き□ を ラ プ ラ シ ア ン と よ ぶ.□

のprincipal

part

は 自 明 な バ ン ドル の と き と 同 じ だ か ら□ は 楕 円 型 微 分 作 用 素 で あ る.

と お き,〓p,q(E)の

元 を ベ ク トル ・バ ン ドルEに

と い う. 

値 を 持 つ(p,q)型

の調和形式

と し φ,ψ の 中 少 な く共 一 方 が コ ン パ ク ト台 を 持 つ と

す ると

 (5.2)

が 成 り立 つ.

と お く と き,〓p,q2(E)はLp,q2(E)の 元 の 列 φk(k=1,2,…)がLp,q2(E)の の 

に 対 しk→ 0=(□

で あ る か ら,(φ,□f)=0と Cp,q(E)を

得 る.従

っ て 

∞

閉 部 分 空 間 で あ る こ と を 示 そ う.〓p,q2(E)の 元 φ に 収 束 し て い る とす る.こ

の と き任 意

のとき

φk,f)=(φk,□f)→(φ,□f)

な る.故

に ラ プ ラ シ ア ン □ の 楕 円 性 に よ り φ∈ で あ り〓p,q2(E)がLp,q2(E)の

閉部分空間で

あ る こ と が 分 か る.   5.12  Xが ドル と し,ラ

コ ン パ ク トで あ る と仮 定 す る.EをX上 プ ラ シ ア ン □ をCp,q(E)を

の 正 則 ベ ク トル ・バ ン

定 義 域 と す るLp,q2(E)上

の非 有 界作 用

素 と 考 え る.□ の 定 義 域 は 稠 密 だ か ら □*が 存 在 し,し か も(5.2)よ か ら そ の 閉 包 □ が 存 在 す る.こ

の と き □*,□

り□ は 対 称 だ

の 定 義 域 を そ れ ぞ れDp,q□*,Dp,q□と

書け ば  (5.3)

が 成 り立 つ. 

但 し  と 

φ∈Cp,q(E)と

で あ る か らuは

の 超 関 数 解 に な る.故

にu∈Cp,q(E)を

得 る.よ

す る

楕 円型 微 分 方 程 式

っ て 上 の φ と し てu自

身 を取

れば ±i(u,u)=(□u,u)=(∂u,∂u)+(θu,θu)

とな り左 辺 は 純 虚 数 右 辺 は 実 数 で あ る か ら(u,u)=0即 らな い.以

上 に よ り □=□*で

あ る こ とが分 か った.故

ちu=0で

なけ れ ば な

に □ は 自己 共 役 作 用

素 で あ る.こ の と き□ は 本 質 的 に 自己 共 役 であ る とい わ れ る.   5.1.3  Xを

非 コ ン パ ク ト エ ル ミ ー ト多 様 体 と し そ の エ ル ミ ー ト計 量 は 完 備

で あ る と 仮 定 す る.R上

のC∞ 関 数 で

 (1)  (2)  (3)

を み た す μ を1つ

選 ぶ.Xの1点p0を

固 定 し 任 意 のp∈Xに

の 距 離 を ρ(p)で 表 わ し 各k∈N＼{0}に

対 し

wk(p)=μ(ρ(p)/k) 

に よ りX上   さ てEをX上 の 関 数(*(φ 存 在 して

 (5.4)

の 関 数 列{wk}∞k=1を

(p∈X)

定 義 す る.

の 正 則 ベ ク トル ・バ ン ドル と しCp,q(E)の Λ*#φ))1/2を

対 しp0とpと

簡 単 の た め￨φ￨と

各 元 φ に 対 しX上

書 く と μ の み に よ る 正 数cが

が成 り立 つ こ とが証 明 出 来 る.こ れ らの 不 等 式 を使 えば

とお くと き

で あ る こ と が 次 の よ う に し て 証 明 さ れ る.先 (∂θ+θ∂)φ=0で

あ る,逆

に

□ φ=0を

ず ∂φ=0,θ φ=0の

み た す 

と き □ φ= の 元 φ に対 し

 に 注 意 す れ ば

を 得 る か ら(5.4)よ

りk→

∞

と して (∂φ,∂ φ)+(θ φ,θφ)=0

と な る.故

に

∂φ=0,θ

  さ て □ をCp,qc(E)を と き □*,□

φ=0を

得 る.

定 義 域 とす るLp,q2(E)上

の 非 有 界 作 用 素 と 考 え る.こ

の 定 義 域 を そ れ ぞ れDp,q□*,Dp,q□と す る と(5.3)が

と す る と 前 小 節 と 同 様 に し て φ∈Cp,q(E)で

の

成 り 立 つ. 

あ る こ と が 証 明 出 来 る.故

に

 と な る か ら

を 得 る.一

方

で あ る か ら(5.4)よ

を 得 る.左

りk→

辺 は 純 虚 数,右

∞

と して

辺 は 実 数 で あ る か ら(φ,φ)=0即

ち φ=0で

ば な ら な い.以

上 に よ り□ が 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ と が 分 か っ た.

  5.2  SU(2)に

対 す るBorel-Weil-Bottの

  5.2.1 

G=SU(2)と

し,Gc=SL(2,C)と

定 理 お く.Gcの

ボ レル 部 分群

なけれ

を 考 え る.任

意 のn∈Zに

と 定 義 す る と ξnはBの バ ン ドル をLnで と 一 致 し,原

正 則 な 指 標 で あ る.ξnに

表 わ す .Gc=GBで

点Bに

同 伴 し たGc/B上

あ る か ら 原 点BのG軌

お け る 等 方 部 分 群 はG∩B=Kと

対 し￨ξn(k)￨=1で リ ー 環gの

対 し

あ る か らLnの

構 造 群 はU(1)に

キ リ ン グ形 式 と しB0=-1/2Bと

の リー マ ン 計 量 をGc/Bに

入 れ る.こ

の正 則 直 線

跡 はGc/B全

体

一 致 し 任 意 のk∈Kに 簡 約 さ れ て い る.BをGの

お きB0に

よ り定 ま るG/K上

の リー マ ン 計 量 をgと

書 く と[2.4 .1]よ

り

で あ る.

とお くと

で あ る か ら 

(Lnの

元g-1のC0,q(Ln)上 りGのL0,q2(Ln)上

正 則 な 切 断 全 体)と な る .Gの

各 元gの

逆

の 自 然 な 作 用 を π0,qn(g)と書 く と π0,qn(g)は等 長 写 像 と な の ユ ニ タ リ表 現 が 得 ら れ る.π0,qn(g)(g∈G)と

あ る か ら〓0,q(Ln)は

□ とは 可 換 で

π0,qnの閉 不 変 部 分 空 間 で あ り こ の と き 得 ら れ る 部 分 表 現

を 以 後 ρ0,qnと 書 く こ と に す る.こ

の と き 定 理2.1お

よ び 定 理2.3よ

り次 の 定 理

が 直 ち に 出 る.   定 理5.1  (1)∼(4)が

(Borel-Weilの

定 理)G=SU(2)の

成 り立 つ.

 (1)  (2) 

の と き ρ0,0nは 既 約 で あ る.

 (3) 

とす る と

 (4)    5.2.2 

の とき 次 に

ρ0,1nに つ い て 調 べ よ う.

表 現 ρ0,0n(n∈Z)に つ い て 次 の

と お く と[2.1.3]で

述 べ た よ う に{U0,U∞}はGc/Bの

は 局 所 座 標 系 と な る.C0,1(Ln)の {Φ0(z)dz,Φ ∞(w)dw}に

開 被 覆 とな り

任 意 の 元 φ は こ の 局 所 座 標 系 を 用 い て φ=

よ り与 え ら れ る.こ

の と きLnの

変 換 関 数 系 は[2.1.3]

よ り

で 与 え ら れ る こ と が 容 易 に 確 め ら れ る.従

を 得 る.従

ってw=1/zで

あ るか ら

って

 (5.5)

が 成 り立 つ.  (5.6)

で あ るか ら z=x+iy=eiφtanθ/2 と す る とx=cosφtanθ/2,y=sinφtanθ/2と

を 得 る.こ

な り従 っ て

の リ ー マ ン 計 量 は 明 ら か に エ ル ミー ト計 量 で あ る.こ

は 各 点 で 正 規 直 交 基 底 と な る.従

っ て*dx=dy,*dy=-dxが

の とき

成 り立 つ.

の とき

と な る.故

にa0,a∞

に よ り 構 造 群C*はU(1)に

簡 約 さ れ る.こ

の と き[5.1.1]

よ り  (5.7)

を 得 る.Gc/Bに

お け るU0の

のみ か ら成 る か

補 集 合 は 唯1点 

ら 

の とき

が 成 り立 つ.更

に(5.7)よ

り

で あ るか ら

に注意すれ ば

を 得 る.同

様に

と な る.従

って

を 得 る.そ

こ で 

(w)は

と お く と,F0(z),F∞(w)は

を 得 る.こ

れ は(2.7)に

反 正則

に対 し

共 に 正 則 で(5.5)よ

お い てnを-n-2で

り

お き 換 え た も の で あ る.従

って

[2.1.3]よ

りf={F0(z),F∞(w)}と

お く とf∈

Γ(L-n-2)で

あ る こ と が 分 か る.

この と き  (5.8)

は 複 素 共 役 線 形 写 像 で あ る.一

方 任 意 の 

∈C1,0(L*n)と

共 に1対1写

な りか つ*,#は

が 成 り立 つ.従

に 対 し(5.1)よ

り*#φ

像 だか ら

って

な る複 素 共 役 線 形 同 型 写 像 を 得 る.こ れ を セ ール の 双 対 定 理 とい う.更 に

が 成 り立 つ こ とが 容 易に 確 め られ るか ら (複素 共 役 線 形 同型) を 得 る.(5.8)は 他 な ら な い.以 故 に 定 理2.1お   定 理5.2 

こ れ を 局 所 座 標 系 を 用 い て 具 体 的 に 計 算 に よ り求 め た 対 応 に 上 に よ り ρ0,1nはρ-n-2の 反 傾 表 現 と 同 値 で あ る こ と が 分 か る. よ び 定 理2.2よ

(Borel-Weil-Bottの

次 の(1)∼(4)が

り次 の 定 理 を 得 る. 定 理)G=SU(2)の

表 現 ρ0,1n(n∈Z)に つ い て

成 り立 つ.

 (1)  (2) 

の と き

 (3) 

とす る と

ρ0,1nは既 約 で あ る.

 (4)

  5.2.3  フ ロ ベ ニ ウ ス の 定 理 を 使 っ て 定 理5.2の /Bの

正 則 接 バ ン ドル はL2と

余 接 バ ン ドル はL*=L-2と 意 のm∈Zに

と お く と,

対 し

別 証 明 を 次 に 与 え よ う.Gc

複 素 解 析 的 直 線 バ ン ドル と し て 同 型 だ か ら 正 則 同 一 視 さ れ る.Gc=GB,G∩B=Kで

あ るか ら任

は 共 に 上 へ の 線 形 同 型 写 像 とな る.従 って  (5.9)

を 得 る.任

意 のg∈G,f∈C∞(G)nに

対 し

(πn(g)f)(x)=f(g-1x) 

と定 義 す る.L2(G)に

お け るC∞(G)nの

(x∈G)

閉 包 をL2(G)nと

書 く と πnはL2(G)n

上 の ユ ニ タ リ表 現 に 拡 張 さ れ 明 ら か に

で あ る か ら,ρm(m∈Z)を[2.1.2]で

定 義 し たGの

既 約 表 現 と す る と ρmの πn

に お け る重 複 度 は フ ロベ ニ ウ スの 定 理 か ら (m≡n(mod 2)か つ  そ の 他 の と き) を 得 る.従

),(

って

 (5.10)

が 成 り立 つ.   さ て 任 意 のg∈Gに

対 しgはLnの

バ ン ド ル 自 己 同 型 と し て 作 用 し π0,0n(g),

π0,1n(g)はそ の 作 用 か ら 自 然 にC0,0(L

n),C0,1(Ln)に

誘 導 され る作 用 で あ るか ら

∂:C0,0(Ln)→C0,1(Ln)

は π0,0nとπ0,1nとに 関 しintertwining作

用 素 と な る.こ

の と き ホ ッ ヂ ・小 平 の

分解定理

 (5.11)

が 成 り立 つ か ら ∂ の

θC0,1(Ln)へ

応 を 与 え る.従

θC0,1(Ln),∂C0,0(Ln)のL0,02(Ln),L0,12(Ln)に

って

の制 限 は

そ れ ぞ れ[θC0,1(Ln)],[∂C0,0(Ln)]と

θC0,1(Ln)と

書 け ば

 (5.12) が成

り立 つ.(5.9)お

で あ る か ら(5.11)お  (1) 

よ び(5.10)よ

よ び(5.12)よ

の場合は

り

り次 を 得 る.

∂C0,0(Ln)と

の 同型 対

おけ る閉 包 を

と な り,定

理5.1(4)よ

が 成 り立 つ.従

っ て 

 (2)n=-1の

と な り,定

で あ るか ら

り 

を 得 る.

場 合は

理5.1よ

り 

で あ る か ら 

を 得 る.

の場合は

 (3) 

と な り,定 理5.1よ

り 

 以 上 に よ り定 理5.2の

で あ る か ら 

を 得 る.

別 証 明 が 得 られ た.

 5.2.4 次 に 交代 和 を 作 る こ とに よ り指 標 を 計 算 し,そ 別 証 明 を 与 え る.fを よ うなG上

を 得 る.故

い くつ か の 既 約 表 現 の行 列 要 素 の1次 結 合 で 表 わ され る

の 関 数 とす る.前 小 節 で 定 義 した πnに 対 し

な るL2(G)n上 あ る.よ

れ に よ って定 理5.2の

の 作 用 素 を 考 え る と定 理1.9の

っ てπn(f)は

にπn(f)はC∞

トレ ー ス を 持 つ.任

そ こ で(5.11)に

対 し

トレ ース は

の 証 明 は 定 理1.9に

よ り

意 の φ∈C∞(G)nに

像 は有 限 次 元 で

核関数

を 持 つ 積 分作 用 素 で あ りπn(f)の

で 与 え ら れ る.こ

系 よ りπn(f)の

よ りKf(x,y)を

展 開 し て 考 え れ ば よ い.

を 得 る.

に 注 意 す れ ば,上 の 積 分 でx→xwな

る 変換 を して θ →-θ とす る と上 の

積分は

と な る.故

に 平 均 を 取 れ ば,上

を 得 る.但

しn<0の

と定 義 す る.従

の 積 分 は(2.3)よ

り ワイ ル の積 分 公 式 を使 って

と きは

っ て 定 理1.15の

系2を

使 え ば(5.11)お

よ び(5.12)よ

り次 の 結 果

が 得 ら れ る.  (1) 

の場 合 は定 理5.1よ

と な り,(5.12)よ

 (2)n=-1の

り 

場合は

り 

で あ る か ら上 の 交代 和 か ら

を 得 る.

と な り定 理5.1よ

が 成 り 立 つ.従

で あ るか ら

っ て(5.11)よ

り 

の 場 合 は 定 理5.1よ

 (3)  χ-n-2と

り 

一 致 す る.故

を 得 る.

り 

で あ る か ら π0,1nの指 標 は

を 得 る.

に 

 以 上 に よ り定 理5.2の 別 証 明 が 得 られ た.

  5.3  Borel-Weil-Bottの   5.3.1  G=SU(1,1)と で 定 義 し たEnを はGc/Bに Bは

定 理 のSU(1,1)へ

の拡 張

し,Gc=SL(2,C)と

考 え る.従

っ て3.1節

お け る点BのG軌

お く.任 意 のn∈Zに

対 し[3.1.5]

の 記 号 を そ の ま ま使 う こ と に す る.E

跡GB/B上

の 正 則 直 線 バ ン ドル で あ り,GB/

写像

 (5.13)

に よ りDと

複 素 多 様 体 と し て 同 型 で あ る.Gの

G∩B=Kと

一 致 し,任

意 のk∈Kに

群 はU(1)に

簡 約 さ れ て い る.g∈G,f∈C∞(En)と

と な る がg[0]=z,Anf=Fと

点Bに

お け る等 方 部 分 群 は

対 し￨τn(k)￨=1で

あ る か らEnの

構造

す ると

お く と￨a￨-2=1-￨z￨2で

あ るか ら

￨f(g)￨2=￨F(z)￨2(1-￨z￨2)n を 得 る.そ

こ で(5.13)を

局 所 座 標 系 と し て 選 び 各 点z∈Dに

イ バ ー の 内 積 をC×C∋(a,b)→a(1-￨z￨2)nbに ン カ レ 計 量4(1-x2-y2)-2(dx2+dy2)を -x2-y2)-2dxdy)と

お け るEnの

よ り定 義 し,更

にDに

フ ァ ポア

入 れ れ ばAnはL0,02(En)とL2(D,4(1

の 等 長 写 像 と な る .こ

自 然 な 作 用 を π0,qn(g)と書 く と き π0,qnはGの

の と きGの

各 元gのL0,q2(En)上

ユ ニ タ リ表 現 と な る.実

際

の

が 成 り立 つ.ポ

ア ン カ レ計 量 は 完 備 だ か ら

と な る.∂,θ は 共 に π0,0n,π0,1nに 関 しintertwining作

用 素 と な る か ら 〓0,02(En),

〓0,12(En)はそ れ ぞ れ π0,0n,π0,1nの 閉 不 変 部 分 空 間 で あ る.こ れ ぞ れ ρ0,0n,ρ0.1nで 表 わ す. 

れ らの 部 分 表 現 を そ

で あ る か ら定 理3.3よ

り次 の 定 理

を 得 る.   定 理5.3  の(1)∼(3)が

(Borel-Weilの 成

定 理)G=SU(1,1)の

表 現

ρ0,0n(n∈Z)に

つ い て 次

り立 つ.

 (1)

 (2) n>1の

と き ρ0,0nはGの 既 約 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

 (3) n>1の

とき

 5.3.2  次 に ρ0,1nにつ い て 調 べ よ う.*dx=dy,*dy=-dxで φ=Φ(z)dzと

を 得 る.そ

と な る.従 る.任

あるから

す る とき

こ でF(z)=(1-￨z￨2)nΦ(z)と

が 成 り立 つ か ら写像

反 正 則 関 数 で あ る.更

で あ る た め の 条 件 は2-n>1即

っ て 

意 のg∈Gに

お く とFは

対 し 

とす る と

ちn<1で

に

あ

は 上 へ の 等 長 写 像 で か つ ρ0,1nとT-2-nに

関 しintertwining作

用 素 で あ る.以

上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.   定 理5.4 

(Borel-Weil-Bottの

て 次 の(1)∼(3)が

定 理)G=SU(1,1)の

表 現

成 り 立 つ.

 (1)

 (2) n<1の

と き ρ0,1nはGの 既 約 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

 (3) n<1の

とき

ρ0,1n(n∈Z)に

つ い

附録  線形 位相空間

  1.  C上

の ベ ク トル 空 間Vに

常 の 位 相 に 関 し,和

ハ ウ ス ド ル フ 位 相 が 与 え ら れ て い て,Cの

通

お よび ス カ ラー 倍 V×V∋(υ,w)→υ+w∈V, C×V∋(a,υ)→aυ

∈V

が 共 に 連 続 の と き,VをC上

の線 形 位 相 空 間 とい う.WをVの

分 空 間 とす る とWは

つ 相 対 位 相 は(基 底 を用 い て 定 義 され る)通 常 の

閉 で,か

ユ ー ク リッ ド空 間 の位 相 と 一致 す る.以

後 考 え る ベ ク トル空 間 は す べ てC上

の ベ ク トル空 間 とす る.ベ ク トル 空 間V上

を み た す と き,vをV上

を み た す と き,vを =v(υ-w)と れ れ ばVは

ノ ル ム と い う.こ

お く とdはV上

記 す べ き と きは   V,Wを

の と きVの2点υ,wに

ナ ッハ空 間 の ノル ムを 一 般 に

共 にC上

の バ ナ ッ ハ 空 間 と す る と きVか 表 わ し,任

バ ナ ッ ハ 空 間 と な る.Vか

‖A‖<∞

の 距 離 の 定 め る 位 相 をVに

に 距 離 空 間(V,d)が

完 備 の と きVを

‖・ ‖ で 表 わ す.特

らWへ

意 のA∈L(V,W)に

と定 義 す る と,L(V,W)∋A→‖A‖

は

対 し てd(υ,w) 入 バナ

にVを

明

‖・‖vと書 く.

像 の 全 体 をL(V,W)で

W)は

の セ ミ ノル ムが

∈V⇒υ=0

の 距 離 と な り,こ

線 形 位 相 空 間 と な る.更

ッハ 空 間 と い う.バ

の 実 数 値 関 数vが

の セ ミ ノ ル ム と い う.V上 v(υ)=0, υ

有 限次 元 部

∈RはL(V,W)の らWへ

が 成 り立 つ こ と で あ る.こ

の連続な線形写

対 し

ノ ル ム で あ りL(V,

の 線 形 写 像 が 連 続 で あ るた め の 条 件 の 意 味 でL(V,W)の

元 を有界線形作

用 素 と も い う.L(V,W)の

元AがVの

任 意 の 有 界 な 部 分 集 合 をWの

ン パ ク トな 部 分 集 合 に 写 す と きAを ト線 形 作 用 素 の 全 体 はL(V,W)の

コ ン パ ク ト線 形 作 用 素 と い う.コ 閉 集 合 で あ る.も

取 る と きA∈L(V,W),B∈L(W,Z)で,か ン パ ク トの と きBAは  

Vを

つA,Bの

ンパ ク

バ ナ ッ ハ 空 間Zを 少 な く と も一 方 が コ

コ ン パ ク ト と な る.

内 積(・,・)を 持 っ た ベ ク トル 空 間 と す る と, ‖υ ‖=(υ,υ)1/2 

と定 義 す れ ば

‖・‖ はVの

間 と な る と きVを Vの

う1つ

相対 コ

(υ∈V)

ノ ル ム と な る.こ

ヒ ル ベ ル ト空 間 と い う.バ

の ノ ル ム に 関 しVが ナ ッ ハ 空 間Vの

バ ナ ッハ空

ノル ム ‖ ・‖ が

あ る 内積 か ら 上 の よ うに し て得 られ るた め の条 件 は 中 線定 理 ‖ υ+w‖2+‖

υ-w‖2=2(‖

が 成 り立 つ こ と で あ る.こ  { Vα}α ∈Λ を ヒ ル ベ ル

υ‖2+‖w‖2) 

の と き 勿 論Vは

(υ,w∈V)

ヒ ル ベ ル ト空 間 と な る.

ト空 間 の 族 と し,

可算 個 の α を除 い て

と お く と,任

に対 し

意 の  (υα)+(wα)=(υ a(υ α)=(aυ

と定 義 す る こ とに よ り 

α+wα), α)

は ベ ク トル 空 間 と な る.更

に 任 意 の(υα), 

に対 し これ ら の 元 の 内積 を

と 定 義 す る こ と に よ り,  空 間 の 族{Vα}α

は ヒル ベ ル ト空 間 と な る.こ

∈Λ の 直 和 と い う.こ

れ を ヒル ベ ル ト

の と き 任 意 に α0∈Λ を 固 定 し,Vα0の

各 元 υ に 対 し,α ∈ Λ の と き

と お く と,明

らか に

は 中 へ の 等 長 写 像 と な る.こ 同 一 視 す れ ば,Vα0は 

の部 分 空 間 と

の 等 長 写 像 に よ りVα0を 

の 閉 部 分 空 間 と な る.更

に 

と

す る とVα の 元 とVβ の 元 は 互 い に 直 交 し,任

意 の 

は

と 唯 一 通 りに 表 わ さ れ る.

  V,Wを

共 に ヒ ル ベ ル ト空 間 とす る.DをVの

らWへ

の 線 形 写 像Aが

稠密 な 部 分 空 間 と しDか

与え られ た と す る.AはVか

らWへ

用 素 に 拡 張 出来 る とは 仮 定 し な い.こ の 意 味 でAを(Dを らWへ

の非 有 界 線形 作用 素 と い う.い まWの (υ,υ1)=(Aυ,w) 

を み た す よ うな υ1∈Vが と 書 く と,D*はWの

をAの

定 義 域 とす る)Vか

あ る元wに

存 在 す る と 仮 定 す る.こ

の よ う なwの

線 形 部 分 空 間 で あ る.DはVで

定 義 域 と す るWか

共 役 作 用 素 と よ ぶ.特

対し

(υ∈D)

らVへ

にV=Wの

の と きA*w=υ1と

と きD=D*,A=A*を

らWへ

を そ れ ぞ れDA,DBで A⊂Bと

み た すA

つA=B￨DAが

拡 張 で あ る と い う.AをVか

と す る 非 有 界 線 形 作 用 素 と し,BをWか DBを

をみ たす とき

の 非 有 界 線 形 作 用 素 と し,A,Bの

表 わ す.DA⊂DBで,か

書 きBはAの

DBA={υ

∈DA;Aυ

のDAを

定義域

の ヒル ベ ル ト空 間Zへ

の

の とき ∈DB},

(BA)(υ)=B(Aυ) 

と定 義 す る と,BAはDBAを

定義域

成 り立 つ と き,

らWへ

ら も う1つ

定 義 域 とす る 非 有 界 作 用 素 とす る.こ

お

の 非 有 界 線 形 作 用 素 で あ る.A*

を 自己 共 役 作 用 素 と い う.自 己 共役 作 用 素 が  非 負 値 と い う.A,BをVか

全 体 をD*

稠 密 で あ る か ら,w

が 与 え ら れ た と き 上 記 の よ う な υ1は 唯 一 つ 定 ま る.こ く とA*はD*を

の有 界線 形 作

(υ∈DBA)

定 義 域 と す るVか

らZへ

の非有界線形作用 素

とな る.   AをVか

らVへ

の非 有 界 線形 作用 素 とし (A)′={B∈L(V,V);BA⊂AB}

と お き,B∈(A)′

の と きBはAと

称 作 用 素 と よ びA=A**をAの

可 換 で あ る と い う.A⊂A*の 閉 被 と い う.こ

の とき

(ベ ク トル 空 間 と し て の 直 和) 但 しD±={υ

∈DA*;A*υ=±iυ}が

成 り 立 つ.

と きAを

対

  2.  V,Wを W)に Wの

共 に 可 算 基 を 持 つ ヒ ル ベ ル ト空 間 とす る と,任

対 しV上

の 有 界 な 非 負 値 自 己 共 役 作 用 素Rお

中 へ の 等 長 線 形 写 像Uが

極 分 解 と よ ぶ.Aが

存 在 し てA=URと

コ ン パ ク トの と き はRも

うに ス ペ ク ト ル 分 解 さ れ る.Vの Vk(k=1,2,…)が

存 在 し て,Vは

よ びRの

意 のA∈L(V, 像 の 閉包 か ら

表 わ さ れ る.こ

れ をAの

コ ン パ ク ト と な り,Rは

閉 部 分 空 間V0お

次 の よ

よび有 限 次 元 の 部 分 空 間

そ れ ら の ヒル ベ ル ト空 間 と し て の 直 和

(但 し和 の個 数 は 有 限 また は 可 算 無 限 個)と な り,更 に λ1>λ2>…

を み た す 正 数 列 λ1,λ2,… が 存 在 し て,λ0=0と Vk={υ

で あ り, 

と お き,こ

(k∈N)

が 無 限 数 列 の と き は λk→0(k→ ∞)が 成 り立 つ. 

の と きAを

の と きAを

∈V;Rυ=λkυ} 

お くとき

ヒ ルベ ル ト ・シ ュ ミ ッ ト作 用 素 と よ ぶ.

れ をAの

ヒル ベ ル

ト ・シ ュ ミ ッ ト ノ ル ム と い う. 

核 型 作 用 素 と よび

とお く.Vま

た はWが

で あ るが 一 般 の場 合Aが 直 交 基 底 

有 限 次 元 の と きは 任 意 のA∈L(V,W)は

核型作用素

核 型作 用 素 で あ るた め の判 定条 件 はVの

任 意 の正 規

お よびWの

任 意 の正 規 直 交基 底 

が絶 対 収 束 す る こ とで あ る.特 にV=Wの

に 対 し て 

とき 

は正規直交

基 底 の選 び 方 に 依 らず,常 に 一 定 の値 に 収 束 す る.こ の と き

と 書 きTrAをAの

トレ ー ス と い う.

  3.  ベ ク トル 空 間V上 の 任 意 の 有 限 部 分 集 合Aと

とお くと,Uε(A)は

に セ ミ ノ ル ム の 系{vα}α ∈Λが 与 え ら れ た と す る.Λ 任 意 の 正 数 εに 対 し

原 点 を 含 む 凸集 合 で あ る.AがΛ

が 正 数 全 体 を亘 る と き得 られ るUε(A)の

全 体 はVの

の有 限 部 分 集 合 全 体,ε あ る 線形 位 相 に 関 す る原

点 の 基 本 近 傍 系 と な る.こ と きVを

の よ うな 線 形 位 相 は 明 ら か に 一 意 的 に 定 ま る.こ

セ ミ ノ ル ム系{vα}α ∈Λ の 定 め る 線 形 位 相 空 間 と い う.凸

の

集合 からな

る 原 点 の 基 本 近 傍 系 が 存 在 す る よ うな 線 形 位 相 空 間 を 局 所 凸 と よ ぶ と,セ

ミノ

ル ム系 に よ って 定 義 され る線 形 位 相 空 間 は 明 らか に 局 所 凸 で あ る が逆 に任 意 の 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 の 位 相 は あ る セ ミ ノ ル ム 系 に よ っ て 定 め られ る.可

算個の

セ ミ ノ ル ム 系 に よ っ て 定 義 さ れ る 完 備 な 線 形 位 相 空 間 を フ レ ッ シ ェ空 間 と よ ぶ.唯

一 つ の ノ ル ム に よ っ て 定 義 さ れ る フ レ ッ シ ェ空 間 は バ ナ ッ ハ 空 間 に 他 な

ら な い.Vを

バ ナ ッ ハ 空 間 と す る きV*=L(V,C)と

間 と よ ぶ.L(V,V)の りtA∈L(V*,V*)を   V,Wを

各 元Aに

対 し(tAu)(υ)=u(Aυ)(u∈V*,υ

の と き 任 意 の υ∈Vに

A∈M}は

有 界 と な る.こ

  4.  Vを

をWの ∈W⊥)の

P2W=PWを

み た す.PWをWへ

と な る.V上

‖;A∈M}が

与 えら れ た と 有 界 な ら ば{‖A‖;

閉 部 分 空 間 とす る.

∈V;(υ,w)=0 

と きPW(υ)=wと

(w∈W)}

意 の υ∈Vに

対 し て υ=w+w′,

定 義 す る と,PWは

自己 共 役 作 用 素 で

の 直 交 射 影 と よ ぶ.P∈L(V,V)が

み た す と き 射 影 作 用 素 と い う.こ

の と きPはPVへ

自 己共 役 の直 交射 影

の 射 影 の 族{Eλ}λ ∈Rが 与 え ら れ て い て,EλEμ=Emin(λ,μ)を

つ 任 意 の υ∈Vに

対 し

が 成 り立 っ て い る と 仮 定 す る.こ

と お く と,任

よ

れ を 共 鳴 定 理 と い う.

直 交 補 空 間 と よ ぶ.任

(w∈W,w′

でP2=Pを

∈V)に

部 分 集 合Mが

対 し て{‖Aυ

ヒル ベ ル ト空 間 と し,WをVの W⊥={υ

と お き,W⊥

双対空

定 義 す る.

共 に バ ナ ッ ハ 空 間 と し,L(V,W)の

す る.こ

し,か

お きV*をVの

意 の υ∈D,w∈Vに

の とき

対 し

みた

をみ たす よ うなV上 逆 にAをV上

のDを

の 自己 共 役 作用 素A(定

一 意 的 に 存 在 す る.

定 義 域 とす る 自己 共 役 作 用 素 とす る とき,上 記 の条 件 を

み たす 射 影 の族{Eλ}λ∈Rが 存 在 してAは

と書 き,こ れ をAの

義 域 はD)が

上 の よ うに表 わ され る.こ の とき

スペ ク トル分 解 とい う.更 に この と きAと

形 作 用 素 は す べ てEλ(λ∈R)と

も可換 とな る.fを

可換 な有 界 線

実 変 数 の実 数 値 連 続 関 数 と

し

と お く と,任

意 の υ∈Df,w∈Vに

を み た す よ うな 自己 共 役 作 用 素B(定 きB=f(A)と

と 表 わ す.

書き

対 し

義 域 はDf)が

一 意 的 に存 在 す る.こ の と

参 [1] 

松 島 与 三:多

様 体 入 門,裳

[2] 

村 上信 吾:多

様 体,共

[3] 

―:連

[4] 

山 内 恭 彦 ・杉 浦 光 夫:連

[5] 

岩 堀 長 慶:リ

ー 群 論 Ⅰ,Ⅱ(現

[6] 

松 島 与 三:リ

ー 環 論,共

考

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竹 之 内 脩:函

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吉 田 耕 作 ・河 田 敬 義 ・岩 村 聯:位

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代 応 用 数 学 講 座),岩

波 書 店,1975.

倉 書 店,1966. 相 解 析 の 基 礎,岩

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Notes

in

著

者

岡 本

清

郷

1935年 名古屋市に生 まれ る.1959年

名古

屋大学理 学部数学科卒業.名 古屋大学大学 院,大 阪大学理学部助教授 を経 て,現 在, 広島大学理 学部教授,理 学博士. 1967年9月

∼1969年4月

級 研 究所 員.1970年5月

プ リ ン ス トン高 中 日文 化 賞 受 賞.

等 質 空 間 上 の 解 析 学 1980年8月31日 1989年7月30日

   

第1刷 発 行 第3刷 発 行

発行所 

株 社  会 式

紀伊國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電

話  03(354)0131(代

表)

振 替 口 座  東 京9-125575

出版部 

東 京都 世田谷区 桜 丘5の38の1 電

話  03(439)0125(代

郵 便

C  Kiyosato

Okamoto,1980

PRINTED

IN

JAPAN

定価は外装に表示 してあ ります

印 製

番

刷  本 

号  

表)

156

研 究 社 印 刷 三 水 舎

紀伊 國屋数学叢書について   数 学 を学ぶ に は い ろ い ろの 段 階 が あ るが,い ず れ の場 合 で も書 物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが 最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 く とい うよ うな 受 動 的 な 勉強 だ け で は,は な は だ 不十 分 で あ る.   み ず か ら学 ぶ た め に 現 在 い ろ い ろ な 数 学 書 が 出 版 され て い る.し

か

し,数 学 の 進 歩 は 極 め て 基礎 的 な 考 え 方 に対 して さ え常 に影 響 を与 え て お り,従 って どの よ うな段 階 の勉 強 で あ って も,常 に新 しい考 え 方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の過 去 と将 来 とを結 ぶ 視 点 か ら書 かれ た書 物 が 数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新 し い 視 点 と古典 的 な視 点 と を見 く らべ,基 本 的 な こ とを も将 来 の 発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明 す る とい う立場 で書 かれ た書 物 が要 望 され て い る.   本 叢 書 は この よ うな要 望 に応 え て 企画 され た もの で あ って,各 巻が 大 学 理 工 学 系 の 専 門 課程 の学 生 ま た は 大学 院 学 生 が それ ぞれ の分 野 で の話 題,対

象 に つ い て入 門 の段 階 か らあ る程 度 の 深 さま で勉 学 す る た め の伴

侶 とな る こ と を 目指 して い る.こ の た め に 我 々は 各 巻 の話 題 の 選 択 に つ い て,十 分 配 慮 し,現 代 数 学 の 発 展 に と って重 要 で あ り,ま た既 刊書 で 必 ず し も重 点 が置 かれ て い な い もの を選 び,各 分 野 の 第一 線 で 活躍 して お られ る数 学 者 に 執 筆 をお願 い して い る.   学 生 諸 君 お よび 数学 同 好 の方 々が,こ の 叢書 に よ っ て数 学 の種 々 の分 野 に お け る基 本 的 な 考 え 方 を理 解 し,ま た基 礎 的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更 に現 代数 学 の最 先 端 へ 向 か お う とす る場 合 の基 礎 と もな る こ と を望み た い.