概率论



 

             “   ”  !#"$ % & ')( * @AB!,C+D-E.F/G! HI0F1J2 3124 !,5678*9 :;<=  >? E Y Z O [     \ < @ !) "K $] L!)M^ !,_ N O` PT Qa !, Rb Sc TdUe 9,[ Vf Wg P X h i j k ! lnmpopqp\p
 €  ‚ * ƒ „    …  † y ‡ ˆ !)‰ €  Š ‹ Œ  Ž   ‘ D  v  ’“”9

i

•

–

—˜™

š ›œ u +- ¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.1 +-žŸ §1.2 ¢£¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¥¦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.3 +- ¡ ‘§¨©Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.4 x«¬­®¨©Y¯°  . . . . . . . . . . . . . . . . §1.4.1 ª <­­® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.4.2 t ........................... §1.4.3 ±²S³´ €µ«¬u€µ­® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.4.4 ¶·­® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.4.5 ‘§s¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5 ¢£¤ §1.6 ¹º¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.7 »¼ —½™ ¾¿ÀÁ à 8ÄÅÆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.1  : +- ¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.1.1 ÇÈ §2.1.2  ¡ σ É . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x  ¡ σ É ‘§Ê  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.1.3 ª :  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.1.4 ÇÈ ¶s¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.1.5 Ë t‘§s¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.2 Ì”ÍÎ} §2.3 Ï¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  (*] uÐÑ 78 . . . . . . . . . . . . . . . . §2.3.1 Ï¡ ÃYu Bayes ÃY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.3.2 Ò ‘§Ó ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.4 ÕÖ×Ñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.4.1 Ô hØB +-Ù ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.4.2 ii

1 1 3 8 13 13 15 16 18 18 21 27 30 33 33 33 34 35 38 41 43 51 51 57 64 64 65

 ¡ ÚÛ Í . . Ú. .Û . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.5.1 ÜÝ ¡ Í ........................ <    Ú Û ÝÛ Þ¡®ß Í ¨.¦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.5.2  Ú  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.5.3 —à™ áâãä  +-./ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.1 ( 3 +-./ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.1.1 +-åæ ç Í 4: +-./ . . . . . . . . . . . . . . . . §3.1.2 +- ¡ ÚÛ Bernoulli +-./ . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.1.3 èé 3 Bernoulli åæ q ª  +-./ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.2 <µ Bernoulli åæ KFêë . . . . . . . . . . . . . . . . §3.2.1  *ì Fêíî åæ ë . . . . . . . . . . . §3.2.2 Bernoulli åæ §3.2.3 Pascal ±ï (ðñò±ï ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¶ [0, 1] Bôõ ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.2.4 ó 3 ±ï 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.3 +-./ Š ±ï 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.3.1 +-./ö 43 +-./ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.3.2 ±ï 4 ¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.3.3 ±ï ‘§µ÷øù ¤±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.4 q 6ó ¶Bôõ ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.4.1 §3.4.2 úû±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.4.3 ü §3.5 Poisson ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.5.1 Poisson 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  §3.5.2 Poisson ±ï ÍÎ!)+- u . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.5.3 Poisson ýþ(ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 q    ‘ § §3.6 Poisson ýþ ª ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  §3.6.1 ü ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.6.2 Γ ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 §3.7 +-./ .
 
 ö Š ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3.7.1 +-./ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3  ø ù q §3.7.2 +- ./ 4ª 
Ü 
.  . . . . . . . . . . . . . . . . §3.7.3 +-./ (* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.5

iii

71 71 74 76 80 80 80 84 86 88 88 91 94 96 99 99 101 103 106 106 107 109 112 112 114 116 119 119 119 120 121 123 124

—
™

á â
ä 128  §4.1 +- K/ ]  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 §4.1.1 +

-
<  K/ 7 k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 §4.1.2 ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3 §4.2
±ï Ï¡3±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 §4.2.1
±ï Ï¡±ï ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133  Þ ® §4.2.2 
¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134  ø ù  Þ ® §4.2.3 ¤ '
±ï 3
X c . . . . . . . . . . . . . . . 138 øù ¤ Þ® ')Ï¡±ï 3 Ï¡X c . . . . . . . . . . . . . . . 140 §4.2.4 ÚÛ Í] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 §4.2.5 +-./ 
< øù ¤±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 §4.3 
 <
ôõ ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 §4.3.1  úû±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 §4.3.2 ñ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 §4.4 +- K/ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 §4.4.1 +-./ 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 §4.4.2 ÜÝ+-./
< øù ¤+- K/ 4
‘ 
E . . . . . . . . . . . . . . 151 §4.4.3
 u 
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 §4.4.4   +
- 

 ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 §4.4.5 +-./ ¨ / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 §4.4.6 

 —
™ !
"
#
$
%
#
$
&
! 158   

'  ( 3  §5.1
± ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158  

' ( (*] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 §5.1.1 x
 '
(‘D°  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 §5.1.2 * 
 '
( ÍÎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 §5.1.3  ) u p
± )  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 §5.1.4 × + !,
× +
u - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§5.2
 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 §5.2.1 +-./ ×
+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 §5.2.2
× +u ,
× +
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 §5.2.3 , iv

è ªÆ  u. 
. .'
. (. u. .×
. + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 §5.2.5 +-
/
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179  1  2  4  §5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182  1  2 4 7 k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 §5.3.1 124 ÍÎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 §5.3.2 x124‘§Ê  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 §5.3.3 ª ÃY
3 3‘ Í78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 §5.3.4 1
2 DÓ ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 §5.3.5 ¹Ý(
< 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 §5.3.6
<  úû±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 §5.4  §5.4.1 n úû±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199  k 
Ö 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 §5.4.2 n úû±ï7   ÍÎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 §5.4.3 n úû±ï ¨ K
5 ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 §5.5  §5.5.1 χ ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 §5.5.2 t ±ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 §5.5.3 F ±ï  5  §5.5.4 ±ï ;  ¨ Kµ÷ Í . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 —
6™ 7
8
9
: 213 3 ô  <
=  <
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 §6.1 ;
§6.1.1 ;
 <
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 ô §6.1.2  <
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 ï <
= : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 §6.2 ;±
§6.2.1 ÇÈ ;±
ï <
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220  ø ù §6.2.2 ÍA 7@ 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223   
 ? u §6.3 > 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228  
 ? §6.3.1 > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229  A @ §6.3.2 5B
6C 78 Þ. ®. ß. . . A . @ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229  Ú Û
§6.3.3 ±ï FÛ 567‘8DÊ . . . . . . . . . . . . . . 232 x A  @ §6.3.4 ª 5678 Ï¡  . . . . . . . . . . . 237 §5.2.4

2

v

<
Þ®ß A @ 5 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §6.4 a.s. <
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §6.4.1 a.s. <
= <
ë F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §6.4.2 D
E

G 8
3 B * Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §6.4.3 
 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §6.5 H ÚÛ +-./
I  a.s. <
=Í . . . . . . . . . . . . . . . . §6.5.1 
? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §6.5.2 H §6.3.5

J
K
L
M

241 242 242 244 245 249 249 251 256

vi

N

O

: Q‘ PSRUT + - ž Ÿ   /UV ?      !)+ - ž Ÿ ;XWZYU[ u    Ž
 \  D
] B; 9 +
^ Ž
_
`D ! 
F
a !cb
dpÒ²Ä fecg hUi  þ !)   ;Uj [ } f g  h i j k ! |U‹÷ U Ô Œ g hi Í u PXÍ  ªÆ! “f
g 
 q -   ‘ c9 ‘
’c! Œ
g *
x “u” +-p ¡! ˜
˜Ë:¶‘!
§ +™ -./*  ‘ Æ ¬@ :]‘c!§•
q _ œ< q  KB
C
` bžuc \ˆ  uW –
—!
“ qpfg B Ÿ x
]¤c! qš
 › > 4yz d ÷
  °
Ÿp c!  
q
c! ¡
q 

   ^ ý . n £! z WÅæ!,‰ :9€
W ¥
¦ "K $9 £! ¢
“ *

ppFpEu§ £! ¨©b ;lnpppppp p  l “”pý p ?lªAŽn  `
 «
… ¬ 9cB
’ µu
ë ¶u­ ·8uu U
¸
®¹ ’! uZ …ºz uu ^
»
¯
¼ °
Z ±
² ƒ p
 pw
³ u ! ¾

G ¿ ´® v  q t 9 †
…  ! Å …z! ‡ˆ[ [ < Ý
À
Áƒ„ 9 !HcuÜ Â )
Š½ : _
Ã
Ä 
 ÅuÆ [ Ae Ç 
I È   ¦
 \
< É
F 9 ; ’ Q ‹
g ÊWRR
 Ëj 9 Ì

Í

= 6 Î 30 e x K 2003

vii

ÏÑÐÑÒ

ÓÑÔÑÕÑÖ

×ÙØÙÚÙÛÙÜÙ×ÙØÙÝÙÞ : ‘QPSRUT + - ž Ÿ   /UV ?      !)+ - ž Ÿ ;XWZYU[ u    Ž
\  D
] B; 9£ß
à ‘
á
â
ã ! € € Užú
ä !,‰ € €Už
1
ä
å£ß
à ‘
á æ ¸ ! € €Už 1, 2, · · · , 6 ç
å 110 è
é
ê ‘
ë Kd
B 7 ` ¥
 <
µë è
é ìK¼
å *p*p9 ;u‘ |p§ ´
žp¬ Ÿ  |•  € € q<  B
pC 
´u¬ Upj ž! Š
G ´
p› ¬  
í Ž guD Ñ  ~
î TUïu` Už
ð  9 žŸ
ñ
ò +-žŸ! ¢ +-
ó
š 7 žŸ9 RUT + - ž Ÿ   /UV ? * x Ž  °  WZ ô uXWZYU[ ! qU«U õ Uö bUd \ `u
_
`
\`
÷ ± µ÷ 9 Ž
ø
ù
ú
û ! @ ‘ 
ü
ý u .
þuV ? !cÿ
uF 
F au
ý
 V ? å WcY
[ K

 .Ä
V ? !
   /.Ä
V ? ! 
ÙuV ? å ; b
d \ `  '



















!
"
#
$ %
&
'
( 


)+*,*,*+).-
-
.-
-
./
0

1
2
3
4
5

.6
7
8
9
:
;
0
<
= >
?@ 
A
B
C
D
* E GFGHG0GIGJG4G5KG?L@ GAGBGCGDG6GMGNGOGG:LP+AGQGQGRGTSGU E GFG0G`GaGbGcGdG\G]GeGI G?L@ TmGnG;poGqGrGsGtGuG^GoGO > GvpwGxGypTzG0p{G^G3G|pI Ž
) ‘
“u~’
}~“
^~” o~
~Š
x~A
y :
”•
0€0
‚H
~–
~AG*„)ƒ~…~110„†~
‡~—
ˆ~˜ ‰~1~™u~š}~›
x~œ
y~
Š~
}~—
‹

Œ~A
„:
H~•
Ž
0
~žG~ŸG – A
)T 





¡
¢
£
¤
¥
B
^
|
I
0
¦
§
¨
A
)T-
-
* I
J
@ 4
5
<
= >
? 
A
B
C
D
©
8

1
ª
«
¬
­
®
¯
°
±~²
*ƒ
…~I
J
4 5
³
´ 
C
D
^
3
µ
³
¶
·
³
´
)I
J
¸
²
¹
º
0
»
¼
½
^
3~¨
¾
[~
¿
À ‡
Ä )Á-
-
*Áz
0
ÁI
J
4
5 110 
—
˜
›
œ


—

A



C
D
ÁI
J
4
5
Â
à B
C
D
-
-
>~?ہ
@ 8
Æ
Š
o
ª
> «
¬
­
*z
9
F
0
¬
­
Ç
0
¨
²
¥ÉÈ
/
0
I
J J~Ê~Ë~Ì~<~= u~^~o~O ~u
}~;
Í~x
y~Î
¥
\~N
C~D
*Ï>
u
? 3~ÐÅ~8
Ñ~W
Ò ¬~­~®~±~²~Ó~Ó~Ô~I~Ó~Õ~±~²
*ÐÆ~0
_~ÐÓ~Õ
±~²
Æ~0
J~Ê
<
= u
^~o
\~N
 u
}
;
Í
x
y
Î
¥
\
N
C
D
6
ª
«

±
²
®
¬
­
* I
J
o
Ö
4
5
l <
= >
?@ 
C
D
T©
@ 8
×
ØGÙ
:
ŒGÚ
Û Ω Ü
Ý
Þ
u
}
;
> Í
 ^
â o
x
y
ƒ
…
 †
‡
l :
ß
¹
º

±
² :
@ à
} 6 X
;
Í

^
o
x
y
O h á Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; †
‡
:
ß
¹
º

±
² T^
3
ã Ω ä
å { H
Tl  }, ^ > > 3
A
Q

[
Ù 1 Ý
Þ
O H
Ž
TÙ 0 Ý
Þ
O 
Ž
Tã Ω ä
I {0, 1}; 4
5 110 G—G˜ 1 ™Lš+›GœGGG—GGAGæGKç+èGqGaGéGèG•GOGGAGGeGêGëGTuG3GÆGã Ω §1.1

1

ì íî ï
ð
ñ
ò  ó I
u
}
ž
ŸG–
A

Ú
Û
) l 4
5G©

ô
õ
æGT^G3
ã Ω ó I
u
}
H
A

Ú
Û
) l 4
5
 




C
D
æ
+^
3
ã Ω ó I
u
}
¨
A

Ú
Û
)+-
-
*+ö
k
 Ω ÷
ø ù
ú
û
ü
ý
þ
ÿ







 * Ì
`

§
 l ±
²
x
y

}
}

GŒ
æGTÅ
8GÑ Ω Æ ó I
u
@ }
W

^
o
x
y 
Ú
Û
*ƒ
…
@ Å
8


³
´ 5 
@ S
U
Š

­


³
´
0
»
 È
…
y
Å
8 3 1 Ý
Þ
 È
T3 n 0 Ý
Þ

 È

 Ω Æ
0
 o Ω = (a , · · · , a ) | a = 0 ® 1, j = 1, 2, 3, 4, 5 . @ ¥ :
à
} 32 Œ



:
Œ


/
0
:
Œç 0 ® 1 
å
 5 
}

A

* :

[
 Å
8
Ù

ä


! ‘ ω ®
"
#
}
$



ä


! ‘ ω Ý
Þ Ω @  

*Tƒ
…
%
è
:
Œ

} n Œ


 Ω, Å
8
^
3
ã
¥
&
' Ω = {ω | i = 1, 2, · · · , n} . G > ? %Gl èG :GG±G²G/GŠGoGO > Ωl @ G:GŒGxG@ y ω, uG3(GŒGx@ y ω :

±
² > 0
»
O 0
<
=
)
6
•G
*TÅG8 <
=G±
² ×
Ø(*
+(,
¥ 
:
Ò
x
y
0
»
O '~( *ƒ
…
†
‡
:
ß
¹
º
@ Å
8
*
+
,
‡
O

-~A
0
»~I
.
A
) ~­0/~Œ01~02~¯ l ÏÅ~8
*0+
,~:
@ ™ ~
> —
h ~A
0~»
30> 4
5~l~•
E /~Œ
A @ È)Ð-~:0*6;00<0~=0W0>07~?0:~@ Ò~0x~0y A~þ~Å~ÿ08
B
~C ±
² þ
ÿ0^
F(o
B0O C0 ?0^
G o~0;

O H0I
* J0K
L0~M F 9H
8I ED ON L
M * ;Gt
6
P
TÅ
8
u
+
,

:
ÒGx
y(Q
åGJ Ω 
:
Œ
º
Ú
*Tƒ
…
T†
‡
:
ßG¹ Sº
)RÁ
…
­
y
1
+

,
2
‡
¯O
'

(-
A
R
0
­ »
I
110.

A
—
R˜

:

™ º
Ú@ u
A›
=œ
{1,
3,
5}—
Æ

0
A
u
Á+
6
,
…

y
<
+
=
,
q¥ 
SA
0
»
;
T
è k 
U

º
Ú A = {n | n ≥ k},> k ∈ N , Æ
0
Å
8
u
+
,

<
= q )-
-
*`
±
²
S 
x
y ω V
è
W
º
Ú
æ
X
O J
u
+
,

:
Ò
x
y
W
æ
Æ _
Ë
S
Ì
Y 
<
=
q \
N
J
*Ë

[
…
y
±
²

x
y S ω ;
V
è
W
º
Ú


X
_ W
q }
\
N
S *Tƒ
…
T…
yG‡G¹GY º
‡GO
J 3, 

q @ A = {1, 3, 5} \
N
)T…
yS ‡
O 2, 

q A = {1, 3, 5}S Æ }
\
N
)+…
Y y
/
™ 

—

A
I 5, 

q A , · · · , A X
/
\
N
J
T6
q A ,A ,··· / }
\
N
* @ h h ^~o~;~\~N~~x Ω 0~Œ00 ω '~I Ω 0Z0-~º~Ú~ ~ 0 ~ : ~ Ò ~ ^ ~ o ~ \ ~ N  y
 u
3 h 0
<
=
q @ S *pçè

:

±
²

x
y ω /
:
•
0 S Ω @ 
:
Œ
Z
-
º
S Ú {ω}, uG3GÅG8GÑ Ω (G:GŒ((G/GÔGIG:GŒ([(\G
1

5

j

i

k

1

5

6

7

m
n
o
p Š
;
4 Φ @ S ;
q
r
¦
s


u
3 I
;
^
o
q * §1.2

Φ

l 
:

±
² @ /
:
•
;
\
N
jt
6
Ñ
7
Ô

u
v

3

1.1

y•wy–yxy—zy{y(3)|y}y|y~y}y‚yƒy€yŽy‚€yƒy„†…y˜‡yˆ™‰’š (1)10Šy€y‹y“yŒy”  •yΩ;–y› (2) |y}y‚yƒyŽy€yyy‘’€“y” 2. œyyžyyŸy y¡y€¢y£ ¥¤E“y”¦§¨y„†…‡ˆ‰ (1) Šy‹yŒy Ω; (2) ©y§y˜yyªy  ¡y€y«y¬y•y­y–yš› r(®y¯ 0 < r < 1) €y“y” •y–y— (3) ©y§y˜yyªy y¡y€«¬°š ­yš €y“y” 1.

1 3

1 2

±a²a³a´ >
?  >
<
G J
K
C
µ
A ?
¶
· ý
ý
¸ = F
Å
8
r
Ü
4
5
:
Ò
e
]
Z
k
< = ¹

þ
ÿ


B
C º
»
¼ = F
¹


B
C

K
½
¾
¿ * W~Ò~<~= >~?0À I00Á~σ~…
Å~8
~¿
Â~œ
k~†
‡~¼
½0k
ˆ~‰
φ
‡~¼
½0k
¹ º
T-
-
* 4@jÅ
GÆ5KG? kGCGDGÆGE 0G1(G­(GXG
1 n

m n

P (A) =

,

(1.2.1)

¥ @ |A|  |Ω| Ê
Ë
Ý
Þ
q S A  Ω @ u
q
r
k
[
\
q S (7
\
- ) Œ
A
*+W
X E 
Ì
Í
Æ
Ô
IÏÎ
Ð
Ñ
Ò
* Ó
Ô E Í
0
:
X
e
]
Z
k E 
Ì
Í
*TÅ
8
Ü
Õ
:

ƒ
º
* Ö 1.2.1 †
‡
:
ß
¼
½
k
¹Gº
:

×T
… “ G<
=Gq S k
\GN E G (1) † O
k
-
A
;

è 5; (2) †
O
k
-
A
I
Ø
A
) (3) †
O
k
-
A
I
Ù
A
* Ú †Ê
Ë
Ù A, B, C Ý
Þ
d
Û

<
=
q S ×Ü
Á 6}, B = {2, 3, 5}, C = {2, 4, 6}, Ý 6
 |A| = 2, |B| =A 3,= {5, |C| = 3, çè |Ω| = 6, u
3ç#
Þ (1.2.1) ß
 2 6

= 13 ,

|Ω|

3 6

= 12 ,

3 6

= 12 .

Ö 1.2.2 †
‡
:
ß
¼
½
k
ˆ
‰ 3
 ×T
… “ 
q S k
\
N E 
 (1) 3 
/ ‡~O~~Ž~) (2) à~} 1 ~‡~O~H~Ž~) (3) á 1 ~‡~O~H~Ž0× U0â0T~}~‹~
‡~O
H~Ž
* P (A) =

P (B) =

P (C) =

ì íî ï
ð
ñ
ò  Ú Å
8
r
Ü
ã
ä
7
\
^
_ Ω 0
å

*æ
ç
•
è
× Ω Ì
`ç:
é
^
o
\
N
k [
\
<
=
q S u

å
×Äç 3 
†
‡
u
^
o
O > k
u
}
;
Í
x
y
u

å
×Tá ⠍ Ω = {(H
×TH
×TH ), (H
×TH
×T ), (H
×T
×TH ), (
×THê×TH ), (H
×T
×T ), (
×TH
×T ), (
×T
×TH ), (
×T
×T ) }. …
a
u
_
× h ^
3
Ù 1 Ý
nÞ
H
Ž
×TÙ 0 Ý
Þ

Ž
×Tè
0 h ^
oã Ω Ý
Þ
I
 Ω = (a , a , a ) | a = 0 ® 1, j = 1, 2, 3 . ö
k
Å
8
/
} |Ω| = 8. Ë
Ì
[
×T…
y
Ê
Ë
Ù A, B, C Ý
Þ
d
Û

<
=
q S ×ë
} A = {(0, 0, 0)}; B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}; C = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}. Ý 6
 |A| = 1, |B| = 3, |C| = 3, çè |Ω| = 8, u
3ç#
Þ (1.2.1) ß
 4

1

2

3

P (A) = 81 ,

j

P (B) = P (C) = 83 .

3 d
‹
Œ
ƒ
ì
/
0
e
]
h Z
k Ó
Ô E Í
k
ƒ
l º
×T¥ @ k
7(@ \
^
_ Ω 
<
=
q S
/
í
Ü
ä
O
×7
\
-
k
Œ
A í
S Ü

O
E*n
6 ê
l 
A
î
ì ×{
;
*
W0
]
Z
* ç‚è~Å~80k E Ȇk~0~Õ0ï~<~=~q k~\~N 0× 6~; è~ä~SO070\0^0_
k~S v~w€šðí
* 6
H
ñ
Õ
ï l 
k
+
ò
0
H
ñ

ß
7
\
^
_ Ω 
<
=
q k
[
\
S q k
Œ
A
×Tu 3
ó
ô
Å
8 Ê
ì
æ
×T^
3
;
l
æ
æGS ä
@ O(7
\(^
_ S Ω 
<
=
q k
v
wšjí
×T6 Š
1
H
ñ

ß
7
\
^
_ Ω 
<
=
q k
[
\
q k
Œ
A
Ä
^
*Õ
õ
Œ
ƒ
º
* Ö 1.2.3 10 ö 4 ÷
<
=
[
ø
å
:
«
×T
¦
s
‹
ù
÷
ú
/
;
Ë
û
k E 
* Ú ÁÅ
8

­ 10 ö 4 ÷
à 14 ©
ø
å
:
«
k
u
}
;
Í
°
ü
*7
\
^
_ Ω çu }
;
Í
°
ü

å
×Tu
3 |Ω| = 14!. …
y
Ù A Ý
Þ
¦
s
‹
ù
÷
ú
/
;
Ë
û
k
q S ׁë
q S A ç:
é
ý
þ
1
ÿ
Æk
° ü

å
*‚Å
8
r
µ 10 ù
ö
ú
<
=
[
ø
å
:
«

×
µ 4 ù
÷
ú
‹
‹
;
Ë
û
[  ¥ _
×Ä
 4 |A| = 10! · C11 · 4! =

10!·11! 7!

,

çè “
< =
[
ø
å
:
« ” Ý
Þ

X
;
Í
°
ü
0
-
^
o
k
×Tu
3 P (A) = = . Ö 1.2.4 Ý 5 ~;~Í0k~º @ <~= ó 4 Š0× ÿ~… “ ~q S k~\~N E ~ q S A: 4 Š ~º @ ¦0s~‹~Š~;~å~) q S B: }~‹~Š~å0× ~‹~Š~;~å~) q S C: 4 Š 
º
à
å
‹ 
* Ú  Ý 10 Š
º @ <
= ó 4 Š
× à
} C = 210 X
;
Í ó ü
×Ut |Ω| = 210. l q S A @ × 4 Š 
º
Ê
Ë ó g 4 X
;
Í 
k 
º
* 4 X 
k 
 º  l ó @ } C = 5 X~^~o~* ~Ë~â Ì 0k 
º Ê
Ë O 1 Š~* 1 Š (0$~Ç~0 0$ )? à
} 2 = 16 X
^
o
*Tá |A| = 5 × 16 = 80. l q S B @ ×T} 1 G ó O(×T} C = 5 XG^GoG)TÇG}G º   G  G – [ ‹ G⺠ó ó  Ê(Ë O 1 Š( × G ‹    O 1 Š  } C · C · C = 24 XG^GoG*Tá 10!·11! 7!·14!

30 91

4 10

4 5

4

1 5

2 4

1 2

1 2

§1.2

m
n
o
p

5

l q S C @ ×T}
‹
º
–
[ ó O
×T} C = 10 X
^
o
×t |C| = 10.  Û
d
Û
×T = = , P (B) = = , P (C) = = . l 3
d
‹
P (A) @ Œ
ƒ
ì ×u
Ù
k
°
×
Û
Õ
h A
Ì
Þ
0
ê
u
k
×S~U
s
æ 
Ù
°
Ì
Þ
Õ
A
×s
æ 
E Ù

Û
Õ
A
Ì
Þ
× /
Û 
×
Ø
k 
*“ z
0
Å~8
kÉÈ S k
Õ
ï
E <
=
q \
N
k 
×6
;
0
Õ
A
*Å
8
 !
ê 

§ Ž
k~ƒ
º
×7
 " 0
O
J Ö 
Õ
ï#$%
k
Õ
A
î
ì
k
_
k&
@ Ë
* 1.2.5 :
 Π'
º (
+
V 10 Š )
×¥ } 7 + Š *,)
× 3 Š -)
*Ñ ',P ./ :
Œ
+  0j × 
ß


Š
o 1
O 1 Š )
* )
8 2
r 3
S ô
[ 451
*+…
y 10 Š )
/ 1 O
J'
º
×T3 A Ý
Þ
á k Š
O'
k)
0-)
k
q ×T±
ÿ |B| = C51 · 24 = 120.

2 5

80 210

8 21

120 210

4 7

10 210

1 21

k

1, 2, · · · , 10. Ú6 1: 10 Š)
O'
k
r
Pô(A7
),
à
k} = 10! l S
X
;
Í
^
o T ×
u 3 |Ω| = 10!. q @ ×á k Š
O'
k)
0-)
× 1 Š-)Á} C = 3 X
^
o
× l ¥8 9 Œ
ù A 9 d)
8
^
¦
§
°
×T} 9! X
^
o
k7

×Tu
3 |A | = 3 · 9! . t
} l d(ÛGÊ(ü @ ×TÅGP8G(AÑ )10= Š)=:GI , 10kŒG=;G1,Í(2,(· · (· , 10. × l Õ(ïG7G8GO'(kGr(ô 7

æ
;× 
Ù
J
 ° 
Ì
Þ
Õ
A
*z
0 )
8
}
æ
0 <
é =
Ë
k
;× >
J ?@
Ü
è A
Ê B 5( × UCW?X@GYËGZ Í( k )B( _ 44
1 3

k

k

k

3·9! 10!

3 10

]^_O` a ]{ fg@Ohij ]O^_ klmnopq10rs[\ T  b Gut Iiv \wxy\z ^_O`a|}J~DLN r RG€‚Mvƒ ƒ„†… ‡ˆ 2: ‰CŠ‹Œf\]O^_ Tr f‹ 7 [ (7 Š+,h ), Ž r f‹ 3 [ (3 T KM‘‹ C f’ X O`aR (“Š m Š” • – h ),s t,\z b{ ^_OT`  a  |  }  [—˜™Fh –s [—˜™F+,h T “’ ). š› |Ω| = C = 120. Cœ A ž TŸ Z k ŠDNOm hF• h – (y\ ¡ • F – 1 Šh ), C¢£ 9 [—˜™‹Œ[—˜™ h (Š ¡ F Œ[—˜“’ ), š› |A | = C = 36, HI¤‹ P (A ) = = , k = 1, 2, · · · , 10. ¥¦§¨ OF©zªxy«Œf\]OJ¬|}J~ |Ω| ­ |A |, ®FJ~D ¥± F b² OG³€´µ‚M T·¶¸¹º»¼½¾¿ÀÁ¹û¼ GÄ O  ¯ ° ¶¸¹º»¼ÅTÆǽÈÉÊË̹ÃÍÎϹºÐÑÒÓÔÕÖ×ØÅ ÐÑÙ (Ú Ñ×Ø ) ÂÃ+Û,TÜÈÇÝÞßàáÉʾâ̹ÃÍÎ G;ãä m§¨ Xåræ xy r fJ¬|} T;å Ž ræ xyŽ r fJ¬|}G;’›çèé O  F ; © \ Sê OJ~ëì“víîIGðïî™ñòó T;ô ’›õöhöN÷øO¢Kùú© 3 10

3 10

k

k

k

36 120

3 10

k

2 9

û ü,ý þÿ

 + ‡ˆ 3: t îŠ m ö Ÿ k ŠöNOhFhO¯° T š›Šòó k Š r
 öN  O  h  O  `
a
  

G Ω ž 
«+t 10 Š (\]O ) h ž  ö k ŠhvO TŸ k ŠöNOhFh T ‹ ’ X O`a
X} T T š› |Ω| = . œ A ž C = 3 f’ ¢XO k − 1 T [—˜™F t ¢£ 9 Š (\L]O ) h ž  ö
r  . 


‹ k − 1 ŠhvO ’ O`a
} š› |A | = 6

10! (10−k)!

k

1 3

k

3·9! 10!

3 10 ,

3·9! (10−k)!

T  ¦ «Œfùú
 b ]O
G ³[!
"´µ‚M©  ³  ‚  M    å î#$ T ’›‹éf\]Oùú T'&
( ’›xy\]OJ¬|}J~
 ¯  %  ÷ ø )* O[¬G ® + W  å  )
,- ­.
/œxy b ]OJ¬|} T0&(X1 õö pq Où
2G 3 I 45 T ³[÷øO
67 ž Tðô ‹ r [
8
9 §;: 4<©ð“\
= k ² î> T ? ‹ P (A ) = ,  ² î ( ³[÷øOù6 “  @ A h   š  ‹ h š   B D O  C  !

G E ž 

Fyî
G r [÷ø© H 1.2.6 10 I
J ž ‹ 3 I
K
L T 7 I
K
M OT N
 K
L
O J Z ž JG 10
[ 9 P
Q N J T 
R 9O ž J¯°G T ’›x ‡ T© S Ÿ [ N J
O 9  J  O  œ    U V A , k = 1, 2, · · · , 10.  \  W  i ö ž y™ø ž Oùú T”
X
 ö |Ω| ­ |A |, Y
E P (Ak ) =

k

=

k = 1, 2, · · · , 10.

3 10

k

k

36 120

3 10 ,

T e½f
gh
i ^ TÅ _ ¶¸
jklTmj  ³
[
 [Z

\
]
^
_
`
a
b
c d l¿no _Äpa_ Å prq Âs H G0t
+ N Jš u‹O³f
vw
x T'y K N  q = y ž z
{
| yG Z 
€
‚M
}viŒ
[ ~
O !
"G H 1.2.7 Y ” X ‹ 1, 2, · · · , 9 O 9 I‚ƒ Ož „… Œ I †T  Œ I‚
ƒ™š 
‡ ¬
4­
\ ˆî 10 O¯°G ‡ ©ð› A U
ΠI
‚
ƒ™š 
‡
¬ 4­
\ ˆî 10 Oœ T ‚MPvJ~ |A|. ‰Š  T ” X › a ­ b ‹Œ  O¬ T  Œ  I  ‚  ƒ +  P Q  ö O Œ  I  ‚  ƒ  ™ š z … Ž a ­ b + 1, 2, · · · , 9 ž OŒ[\]O¬ G U a + b = s,  s ≥ 3. Pi s = 2k − 1
O 

‘ 
‹© 1 + (2k − 2) = 2 + (2k − 3) = 3 + (2k − 4) = · · · = (2k − 2) + 1 = 2k − 1, r š› ‘‹ 2k − 2 [’“ a + b = 2k − 1 O‹R¬ å (a, b), &( ¢ ž  ? ‹ a 6= b. }i s = 2k
O 

‘ut,î 1 + (2k − 1) = 2 + (2k − 2) = 3 + (2k − 3) = · · · = (2k − 1) + 1 = 2k, r
r ”Z a = b = k, š› ‘ 2k − 1 [
’
( “ a + b = 2k O‹å R¬ å (a, b), ®
+¢ ž ‹ š
› ’
“ a + b = 2k a 6= b O‹R¬ (a, b) Z 2k − 2
[ ‘ P (Ak ) =

=

k = 1, 2, · · · , 10.

§1.2

•
–
—
˜

 ­ (§ ¨ s ≥ 3), “ ¦ |A| = 2(2 + 4 + 6 + 8) = 40.  S  ‰ t
î‚M S ™~ |A| Š r
« ŒIT ‚ƒ+ z PQ … öO T “òó«PQR T œ ]  Y
E ‹ š›

™~ |Ω| ¤
š
›
 = 9 × 8 = 72. Ÿ(r I
‚
ƒ‹ 9 f ú TŸ
‡ I
|Ω| ‚
ƒ‹ 8 f … ú ). š›‹ … å

7

k = 2, 3, 4, 5

40 72

= 59 .

) ø ô ‹¢Kùú T žæ \
Ÿ;  ¡ r ƒ
‘ H 1.2.8 ¢ G +š‹u‹Gñ}O£¤¥O¦¬ P (A) =

g(x)

O§ p ©

g(0) = 0,

¢ T ž  α = 1 ¨ −1. ‰
™~
T / ž © ‹
ª
§ p ž Oš‹
¦¬
‘«Y ž .
/
¬ … r [
¦ ¬ . /œ A O¯° ¢ ž A ‹
Z
Œ®š å… ¥ öO
¦¬ g(x) ­îw
G
"
§©
G = {g| g(n) = k}, k \
¯
° n O
±¬
‘ ‡ ©²

š
³› Ω ‹
Œš‹\]O … ú T ´
µ |Ω| € ² î G ž O
¦¬[¬
‘ t î Gž · O ¶ r · [ ¦L¬ ?  r [L¬ ” (α , α , · · · , αT ´
) µ bLå š T E α = 1 ¨ −1, j = 0, 1, · · · , n − 1. ¸ G ž ‘‹ 2 [\]
¦¬ €‹ |Ω| = 2 . T ž š … öO
¦¬ g(x) ’
“
¹ g(n) = k. E+t ¦¬ g(x) O Š
º 
T.
/g(jœ+ 1)A= g(j) + α , š›‹ g(x) = g(j) + αj (x − j), j ≤ x ≤ j + i, j = 0, 1, 2, · · · , n − 1,

j

k

k

k

0

1

n−1

j

n

n

k

j

g(n) =

n−1 P

(g(j + 1) − g(j)) =

n−1 P

αj .

t,î
¶[ α ? + Z 1 ¨ −1, ¸
»
U¬ ” (αST , α , · · · , α ) ž O 1 O[¬ Z a, U¢  ³œ T A ¼ ž O −1 O[¬ b,  ½ €T š³‹ a − b = k, a + b = n,S“T W‹  X Z a= . t,î a ‹
Œ 1 O[¬ Š b S±T ¬ š›
³ k  n O
´
¾
µ
¿
x¦ \] ‹ |A | = 0; E
³ k  n O
¾
¿
x ] ‹ |A | = C . ( 0, w
k  n O
¾
¿
x\ ] ; P (A ) = b C , w
k  n O
¾
¿
x ] . À ° ™ñ> [! ø T ‚ÁÂÃ
ÄÅ «#
$ ¯
% O¯Æ
Ç ¢ùú T'È ¬ «ùø S š
š
›
 œ O
É )
  T &
(ô
Ê Œ «
 ™ ¬
 úOé

x
‘ Ë ¼ 1.2 1. ÌÎÍÎÏÎÐÎÑÎÒÔÓÎÕ×Ö “ØÎÙÎÚÎÛÎÜÎÝÎÞÎß×à 3” ÚÎáÎâÎã 2. ä 5 åÎæÎçÎèÎéÎÚÎêÎÑÎë×ì×í 4 îÎÒÔÓÎïÎðÎëÎñÎòÎó 2 îÎôÎõÎöÎåÎÚÎáÎâÎã 3. ÷ÎëÎó 9 øÎùÎÒ 4 ø ú'ùÎÒ 5 øÎûÎùÎÒüÙÎäÎëÎæÎý þ'
ÿ ×íÎÍ×øÎã ×Ó  (1) ÍÎø  ú ùÎÚÎáÎâ  (2) ÎùÎö ú'öÎûÎÚÎá×
â  (3) ñÎòÎóÎöÎøÎûÎùÎÚÎá×â×ã 4.  ÎèÎ í×ö×ø  Îè×é×Ò
Ó 
×ø×
Ü ×æ×çÎÚ×á×â×ã (ÎøÎÜÎëÎÚ  öÎø Îßé ÎÎëÎÿ×ì× í  0, 1, 2, · · · , 9) j=0

j

0

1

j=0

n−1

k

n+k 2 k

k

k

1 2n

n+k 2

n

n+k 2

n

8

û ü,ý þÿ

 + 5. öÎó 6 !ÎÒ"ÎÓ#
$
%×Õ×Ö×Ú×á×â
 (1) 6 ø& '(
)
*
+
 (2) 6 ø& 'Îæ )
*+
 (3) 6 ø& ''æ )*
×+ ã 6. ÷ ,'ýÎóÎÍÎÏ-.ÎÚÎÒ0/×Ï
.×ÚÎÞ
-×ÏÎö
× . Ú1
×2 Ò0ì×í
Î3 ë 5 ÏÎÒ0ÓÎ4 Ü567Î8 ö 9

Îø Ü;ÎëÎæ<=ÎÿÎì×í 4 øÎÒÔÓÎïÎð>Îõ×öÎø 4 ?@ÎÜÎÚÎáÎâÎã 8. 1,2,3,4,5 -ÎøÎÜÎëAÎ ì B
×íÎö×ø×ÒDC

E
$×Ú
×ø×ë
F
×í×öÎø×ÒD
G
H

I 20 øJÎóKÎçÎÚÎáÎâÎãLÎÓ#$
%ÎÕÎÖ×ÚÎáÎâ
 ó×öÎø
MÎÜ (1) NÎöOPQ (2) N OPQ (3) Í OPQÎã 9. RÎöÎÏSÎÚ12Î" Ò T
Q×ï U
V×Ø×ÙÎ
Í O
K×çÎ
Ú W
X

YÎ"Ò 
Z
[\
]
^
_`×"Ò a×Ó $
b ÕÎÖÎÚÎáÎâ  (1) c RNdOÎÝ e
W
f (2) ghR@ÎÜ Oi
Wf×ã 10. Îöjklm (52 nÎÒ  æ opqrs
m ) ëÎìÎí 4 nÎÒ Ó  (1) nmtuÎæ K×çÎÚ×á â  (2) nmtuÎæ KÎç×Ú×á×âÎã 11. vwxyÎó 12  ø ?z>ÎõÎö bÎ"Ò ×
Ó  ó 8 ø ?zw{xÎ"Ò |_
}×Ú 4 ø ?zU Îö ~ ÚÎáÎâÎã 12. 
`
€×ó 10
ƒ
}×ä 1 Q 10 è×
Ú „
…
†×ÒÔÙ×
ß 
×ÿ×
ì ‡ 3 ø×æ×ç×
Ú &×Ò ˆ‰ 3„…†Îø ÚÎ&×è×"Ò éÎ.
D㠁
ׂ

Ó  (1) ŠrÎèÎé  5 ÚÎáÎâ  (2) ŠqÎèÎé  5 ÚÎáÎâÎã 7.

13. 14.

ä

ÚÎáÎâÎã

0, 1, 2, · · · , 9

:

10

˜ ‹™ŒŒ€š ›3 œŽ 
‘"‘ ž 7 ™ Ž
’Ÿ 
‘ ¡
15¢
Ž£
“¤¥
”–— •Œ€ 10 Ž ‘ 6 Ž’‘ 9 Ž“— ¦§¨ n Ž ‘ n Ž“‘ n Ž’£Œš‘©ª «¬
­œ m Ž—ž®š ‘ ˜“‘"n’±
©
¯¢
£
° ²
m³
š
, m­
œ, m2r(m(2r+<mn) +Ž
m‘"ž
=´
m)µ
¶
Ž·
£¸
¤¹
¥£
— ¤
¥
º (1) »

¼
±
£
² ³” (2) Ž±²³” (3) ½ ™ ±²³˜ ” (4)  r ±²³— ¾¿À£ÁÂÃÄ
Å
´
º–Æ
Ç
¿
À
ÈÉ 1 Ê 33 š©Ë̬­‡ 7 §Í‘–ÎÏÐÑ Ó 7 §
Ô
ßÕ
à Ö
×

§
Ø

Ö (Ù
©
Ë
Ì ), ¿
À
Ö
ß
Ú
à Å
Û
Ü
Ô
Õ
Ö
Ý
Þ ßÏ
àÒ
¦ (©1á∼â33ã ),š
Î
 °   æ äÏ” ßà 5 §ÔÕäÖÏ×” ؁Ö6‘–§°
ÔçÕä
ÖÏ
×—–Øè
¯Ö

‘"É °
Aå
,ä
AÏ
, A” , A é6 §ê Ԛ՝֑–å‘"°‘ æ ‘"çäÏ£¶·—Dë
žì
í
£
¤
¥— 1

15. 16.

2

3

1

2

3

1

2

3

4

îðïðñðòðóðôðõ öø÷úùüûøýøþøÿ



 Ω 


 ÿ







 (

 )
    




 

!"
#
$%
 &



  '  

(
) (* 


 ). +
, ýøþ .-


/  
0
1
2
3
4
5

.6
7
-



 / 
8 0
1
2
3
9
:

4
5
; öø= ÷ <

> 
?=@
=
A=B
C
D=FE
G Ω  §1.3






 /  
4
5
H
I 
J
K
L
M
; N A, B, A , A , · · · 
O 
!
"
# '  
P



  8 

=
 Ω Z
[ P ;RQ <P / ÷ 
ST [ 

/
 

 45
UV
<
2P=3

4
5
=W
^=4I
5
_=`$
%YX  Ω 


F
6
hj7
i  :
&  ;F\
] ]=L M
aYbdc
e

f
g ; 1

2

kml
n
ojpmq
r 9 m' t G A u B,  I
_jv A w B '

x
y
(
)

z
{ 
 A ∪ B -


s 

| E
G Ω 


 
4
I

5 _| I
_jv A w B '


x

y
(

) 






z
 { 
ý ( ). } FQ A ∪ B W

" #

$
%
 A ∪ B  ω ∈ A ∪ B ⇒ ω ∈ A ~ ω ∈ B,
 
  Wt

m 

 
A ~ 
 B 
  1
-
J
K
s 'mt A ∪ B 6
7
Q A∪B G A € B 
‚
ƒ
„ , A∪B G…ƒ
„ A †
ƒ
„ B ‡
ˆ
; ‰=Š=‹=Œ ==s=F0 ý=Ž== A ∩ B(~= { AB) I=_== A w = B=‘ ‡
ˆ
; I
_

 A w 
 B x 0
’ y W 
 d7
W
“
 ÷ t G•”
– Q AB = Φ W
 —
˜ 
ƒ
„
†
”
™
ƒ
„
; ' I
_jv Ω '

x
š
› A  (
)

z
{ 


 t G A 
œ A -


s 
F

t
G A 
Z ž

;F-
J
K
s '  A I
_jvm

x
š
› A  




z
{  ;FŸ 1
Q A 
 W
F"
#

$
% x
ω š
∈ A› A,=⇒7
ωW 6∈ AA.x

 ; öø÷
  }
¡
¢
 §1.3

c

c

c

c

A ∪ A = Ω, AA = Φ. š

›
   
 ; 1
-
? 6
7
£?

¤
"
#
$
%
 'mª

A
¥ 
A /  £u

¦

§ 
š

›
¨ ' öø ÷• « A ¬
­ A ¤
W
©
 A¥ A   ¦
§ ; 
®
¯
ƒ
„
F° ¬
­ A 
±
ƒ
„
F†
²
ƒ
„
; Z (A ) = A, 1 A € A ” ­ ®
¯
ƒ
„
; vm› A ∩ A = Φ, 1
³
´ 
 Ÿ 
µ
¶
x 9   ;d
6
G A ∪ A 
µ
·
› Ω,  ¶
x 9  


¸ 
¹
º <

»
  —
˜ ƒ
„
‚
–
½
¾ ­ ®
¯
ƒ
„
;d¿
À
-
¿ 1.2.2 '  
 A ¥ B G ¶
x 9 1¼
” –  

 F6
G
 ÷
x ’ y W 
 (
 A I
_ “3 Á ª
 ¢
Ã
e ”,  
 B I
_

1 Á Â ¢
Å
e ”), Æ
 A ∪ B 6= Ω, 1
 ÷
x 
9 ¶ ³
´
 
 ; 
Ç
È  “Ä =  “É=Ê 1 Á  ¢=Å=e ”. ®=¯=ƒ=„==Ë=Ì=Í “Î=Ï=Ð=Ñ ”, Ò=Ð A =³=´ Ó
Ô
Õ
Ö
× ½ Ô ‡
ˆ
ÙØ Ó
Ô
Ö –

‘
‡
ˆ
;Ú6
G A x

 
 A 
  A x 
 
 A 
 ; Û  A − B -===s ' ==M==C=D==F-=J=K=s ' A − B Ü=Ý=ƒ=„ A ‡ ˆ
Fƒ
„ B –
‡
ˆ
;ÚÞ
ß
œ 
 
J
à
F0
1
á A − B I
_ G AB . t t Û  A4B = AB ∪ A B = A ∪ B − AB, A4B G

 A ¥ B 
³ J
K
s ' I
_

 A ¥ B ' Ä





 ; ' s ' I
_ â    âã t R-J
Ks › ' 8
J
t K
LM È 
äå
vm;R› -
 s A ⊂ B A  B 


 G A 
 B,  G B 
 A. A ⊂ B =⇒ §
A ω ∈ A,  ω ∈ B, c

c

c

c

c

c c

c

c

c

c

c

c

c

c

æjçmè é
ê
ë
ì 1
§
A 
 A 
 F 
µ


 B 
 ;F6
7
-
J
K
s '  A ⊂ B Ü
Ý A ‡
ˆ Ö
í
î
ï B ‡
ˆ
 ‰
ð¼ñ ƒ
„ A ⊂ B ò
ó
ƒ
„ A 
ô
õ
ƒ
„ 8 B. 
 Ijim
 A ö
÷ 
 B, B ö
÷
À % A ⊂ B, ¦ B ⊂ A, V

7 A = B. -
ø imù


 9 · W
£
ú
A
ø i  ÷ /   <
û 9 ¶ ö
÷ â
A,ã 6 ; È
ü
^
û 4
5 x
ý
þ
ÿ




 


; N A , A , · · · , A  n 

  t S A ∪ A ∪··· ∪A ~ A , '





  ; t ÷
I _
  É
Ê G
 …‚
 A ,A ,···,A T A ∩ A ∩ ···∩ A ~ A A ···A ~ A , y
  ÷
I
_
  W ; G
 Z
[ 
 A ,A ,···,A


  Ž  ¾
Ÿ


0
±
1

2

3





u

 

w
‚


œ

;
 =í
4

5

 





Ü

Ý 



‘

 
!

"
#
;

 öø÷ U µ%
& 
‚ ­
' ³
0
$ A , A , · · ·, 10

1 n

1

2

2

n

k

n

k=1

1

1

2

2

n

n

n

1

2

k

n

k=1

1

1

2

n

2

A1 ∪ A 2 ∪ · · · =

∞ S

n S

Ak = lim

Ak ,

 I
_

 A , A , · · · ' É
Ê



T
( U µ*)
+
T,
-
. ' A ∩A ∩ ··· = A = lim A , I
_

 A , A , · · · y W 
 ; È
/
0

 w
c /
0

 
J
K
s '  ù

1 A
J
à
; öø÷
2 f
ä
å
 ÷ 

J
K
L=M
; N {A , n ∈ N }   $ 
 ;  
} ¡
¢
 ȳ
/
0

 

T S S 1

2

1

n→∞ k=1

k=1 ∞

2

n

k

n→∞ k=1

k=1

1

k

2

n

ω∈

∞

∞

⇒

An

1 È
/
0

 /
0

 

k=1 n=k

ω∈

∞ T ∞ S

∞ T

∞ S

ω∈

An

k=1 n=k

An

⇒

∞

I
_

n=k

An , ∀ k ∈ N

⇒

{An , n ∈ N }

∃ k ∈ N, ω ∈

∞ T

∃ nk ≥ k, ω ∈ Ank , ∀ k ∈ N .

' 3
4
5
6 ‡
ˆ
; ‹
Œ
7 F³
c ⇒

An ,

ω ∈ An , ∀ n ≥ k, n ∈ N .

1
c /
0

 S T A I
_ {A , n ∈ N } '98 5 ×
×
: 6 –
‡
ˆ
; cefäå È / 0 wc / 0 ; t f
<; v › S A ⊃ S   1 S A 
c
=
 

> $
F6
7
& > $
?
- /
0 Fu
¦

k=1 n=k

∞

∞

n

n

n=k



k=1 n=k

∞

n=k

∞

An ,

n=k+1

n

n=k

∞ S ∞ T

‹
Œ
7

vm›

∞

n

An = lim

k→∞ n=k

k=1 n=k ∞ T ∞ S

An = lim

'


0

x

 “{A , n ∈ N } É k=1 n=k

n

∞ S ∞ T

An .

An .

Z
ö ÷ ”Ÿ

k→∞ n=k

“{An , n ∈ N }

'
@
A


kml
n
ojpmq
r 

 ”, 1 öø÷ á /
0 : ƒ
„ , H
G §1.3

11 ∞ T

lim

k→∞ n=k

An

BDC
E f
 

> $

lim sup An =

 á /
0

∞ S

lim

BDC
E f
 

> $ n→∞

k→∞ n=k

An

lim inf An =

öø÷ á
À È 

s
$
%
$ {

J
I ' n→∞

K

L

Ω Φ ω A ω∈A

A⊂B A=B

~

A∩B

AB

AB = Φ A∪B Ac

A−B

~

AB

A4B

lim sup An n→∞ ∞ S ∞ T = An k=1 n=k

c



s
L

M M

 ~ (
) 0
N

 (
) ω A ' A 

- B · A¥ B9 Ž  x 9 Ž u
 œ
Û  t³  Û È
/
0 


∞ S ∞ T

An ;

k=1 n=k

{An , n ∈ N }

∞ T ∞ S

{An , n ∈ N }

F
G

I
G : ƒ
„ ,
H G

An .

k=1 n=k



J

K
 s
FL
Z
M 
 x 


 0
 ’ 





 š
› A, 
 A 

"
#
$ % ω O A 
 FV B 
µ


(F
 A ö
÷ 
 B y



(  ÷
y W 
 ~ y W x

 A¥ BG I
_ A ¥ B y W 
 x   (¶
P ),  ÷
x 0
’ y W 
 A¥ B 9 I
_ A ~ B 
  A ¥ B ' É
Ê



 ³
´ I

_ 
( 
A 

 I
_ x
A
x
 
 I
_ AA¥ B '  Ä
B


 c

I
_


> $

{An }

'
@
A







I
_
> $ {A } ' É 


0



x

 c /
0 
 öø÷ 0
1
Þ
ß 
 
4
5 I
_
^
û L
Q
F¿
À ' R 1.3.1 N A, B, C 
O 
!
"
# ' 
S 



 FV 
   B ¥ C ª x

 F0
1 I
_ G ' (1) A AB C ~ x
A
− B − C I
~ _ A − (B ∪ C); ª
   (2) A ¥ B  C F0
1 G ' ABC ~ 


AB − C ~ I
_ AB − ABC; '

 




 (3) S Ä F0
1 G '

lim inf An n→∞ ∞ T ∞ S = An

n

k=1 n=k

c

c

c

AB C ∪ A BC ∪ A B C; '

 



ù
 


 F0
1
I _ G ' (4) S Ä c

c

c

c

c

c

æjçmè é
ê
ë
ì

12

ABC ∪ AB C ∪ A BC ~ (AB ∪ BC ∪ CA) − ABC; m ' ª

 
 
I _ ' (5) S F
0

1


G ABC;I
_ '

 


(6) S É
Ê F0
1 G ' ∪ (ABC ∪ AB C ∪ A BC) ∪ (AB C ∪ A BC ∪ A B C); [ A 0
∪ B1 ∪I
C_ G ~ ' (AABC B C ) . R 1.3.2 TU 110 VWX Y '[Z VW=Á\=;FÀ=% ö ÷ 1 A I=_ VW Á
\ x Ê › k Á




( B I
_ V
W
Á
\
Ä
]
G k Á



 ;F\
]   }
¡
¢ ' I
_ V
W
Á
\
Ê › k Á




( B I
_ V
W
Á
\ x  k Á


 A 
( B B = Φ, i 6= j; A ⊂ A , A = S B ; ·
· ; ^ Z

 /  
4
5

 Ω 


/  
4
5
 1 v 


4
5
_
V ý  
 
4
5
¹
º
À
c

4
5
_
V ' 
`
a ' A ∪ B = B ∪ A, AB = BA; b 
a ' (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (AB)C = A(BC); c
d a ' (A ∪ B) ∩ C = AC ∪ BC, (AB) ∪ C = (A ∪ C)(B ∪ C); ®
e
f
g (De Morgan h
i ): (A ∪ B) = A B , (AB) = A ∪ B . Ž wk œ k  4 5 W  kl  4 5km >  'on 2  œ  Zkpkq k j u  Ž  n p
q u
; öø÷
[ 0
1 ‰
Š
r
s L f
U µ 4
5
/   2
p m > ;d0
1 ‰
t
7 á De Morgan _
V
u
G ' ' :
ß
x / G ÿ
y ; ‚

±
v
Í
±
v


w

±
v
Í
±
v

‚ , 
-
J
K
s z
{ 1.3 1. | A × B } ~ §€ Ò¶·" ë
žƒ‚ƒ„ Å
´
äƒ
… ¼
† £
ƒ
‡ ¶· X: (1) AX = AB; (2) (A ∪ X) ∪ (A ∪ X) = B. 2. 눉 € Ò¶· A × B, ÅÛº (1) A ∪ B = A ; (2) AB = A . 3. žÓŠ ‹ £¶· X, ‚ (X ∪ A) ∪ (X ∪ A ) = B, ®š A, B °Œ 嶷 ß 4. Ž ­€ Ò¶
· A × B, Å´›‘’… ¡
“ 䃔 º A ⊂ B, A ⊃ B , A ∪ B = B, A ∩ B = A, A − B = Φ. 5. | A × B } ~ §€ Ò¶·" 냕ƒ
– Å´
›
¶
·ƒ—
˜ £ƒ‘ƒ
’ º c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c c

k

k

c k

i

j

k+1

k

c k

∞

k

n

n=k

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c c

c

(1) (A ∪ B)(A ∪ B c ) ∪ (Ac ∪ B)(Ac ∪ B c );

(2) (A ∪ B)(Ac ∪ B c ) ∪ (A ∪ B c )(Ac ∪ B);

6.

7.

(3) (A ∪ B)(Ac ∪ B)(A ∪ B c )(Ac ∪ B c ).

¦š™š˜ [0,1] š ­ œ š› x, œ A = {0 ≤ x ≤ 띡¢£žŸ é
ê Å
´
›
¶
·º 띶·

(1) AB c ;

(2) A + B c ;

A 1 , · · · , A5

2 }, 3

(3) (AB)c ;

éê Å´›¶·º

B = { 41 < x ≤ 43 } (4) (Ac B c )c ;

×

C = { 31 ≤ x < 1},

(5) (A + B)(A + C)c .

§1.4

çD 
¡
¢
£¥¤

13

(1) B1 = {A1 , · · · , A5

(3) B3 = {A1 , · · · , A5

šÊ¦¸¹ 2 § }; š½¸¹ 2 § };

(2) B2 = {A1 , · · · , A5

(4) B4 = {A1 , · · · , A5

šÊ§¸¹ 2 § ¨ ©¸¹ }.

©ª«¬­®¯ƒ°±ƒ²ƒ³ƒ´ƒµ·¶ƒ¸ƒ¹ƒºƒ» 1000 ¼½¾¿·‹ 811 ÀÁÂÃÄÅÆǃÈÉ ÆƒÒӁ Ô 356 ÀƒÁƒÂƒÃƒÄƒÅ·ÆƒÇƒÊÌËÎ̓ƃ 348 ÀƒÁƒÂƒÈƒÉƒÆƒÇƒÊÌËÎ̓ƃσР297 ÀƒÁƒÂƒÑ ÆՍ·ŽƒÖ׃؃ك‹ƒÚ 9. Û A, B, C Ü€ÝÞßà·áⲃãƒäƒåæƒçƒ»ƒèƒéêƒëƒµ (1) ABC = A; (2) A ∪ B ∪ C = A; (3) AB ⊂ C; (4) A ⊂ (BC) . 10. ìÞßã {A } íîïðà·ñòóƒô n ∈ N , õ A ⊂ A , ö÷èéøùúûâ S 8.

c

n

∞

lim sup An =

n

n+1

An = lim inf An .

üýþÿ

» Bernoulli ö

·ÏÞß A 
 “Þß A ¶
 n ö




à·Þƒß B Ü “Þß A ¶¶
n ö
¿

 m 
 (1) öÏ A 
 B ;   (2)
ö 
Þß B = T S B ; S T T (3)  B = B . öºåæç A ⊆B  A ⊆ B 

ÿ 12. 
¿ 
õ 


ÇÌË ƒà ƒ
¿ "!"#" n $
à Ï A 
  i $¸
#
»

oË%» Þß (1 ≤ i ≤ n), ö÷ A 
 ±²äÞßµ (1) &õ n $

'
o% Ë 
( (2) )
*õ
× $o%Ë 
( (3) +õ×
$oË%
( (4) ,

- k $oË 
( (5) ,
*
- k $o%Ë 
( (6) +õ k $o%Ë 
( (7) &õ n $

.
/
 13. 0
1%2À
² 3à·Þƒß A 
 0%4à·Þß B 
 1%4
·±²äރß"5"6 ""7"8 ê
9ƒµ (1) A4B ; (2) A 4B; (3) A 4B ; (4) B \A; 5) A \B. 14. ì A, B, C ÜÞßà·ûâµ n→∞

n

n=1

11.

n

n,m

i

4,2

∞

m

n=m

k=0

m

∞

n,k

∞

m

n

m=1

∞

c

n=1

c n

n=1

i

i

c

c

c

c

c

c

(1) P (AB) + P (AC) + P (BC) ≥ P (A) + P (B) + P (C) − 1 ;

(2) P (AB) + P (AC) − P (BC) ≤ P (A).

ûâµ·±Õ A4B = C4D, : A4C = B4D. ûâµ·òóôÞß A, B, C, õ P (A4B) ≤ P (A4C) + P (C4B). 17. ûâµ P (A4B) = P (A) + P (B) − 2P (AB). 18. ûâµ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB). 15.

16.

; <=>=?=@=A = BDCDEDFDGDHDEDIDJDKDLDMDNDODPQDRDSDTDUDVDWDXDYDZDEDFD[D\D]D^D_D` §1.4

a bDcDdDeDfDgDhDiDjDkDlDmDn D oDp ^DqDPrEDFDsDtvuwYDxDyD\D]DODzD{rWDyD| ” MD} ”, WDyD| ” D ~  ”. €  TD‚D‚DƒD„D…D_D†D‡DˆD}D‰DŠD‹vuw[DŒDxDyDODzD`DŽDWDyDDtD`  1.4.1 ‘D’w“D”–•D—D˜D™DšD›DœDDžDŸD  Px — W–GD¡–¢D£–G ž [ D  ¤ P YD¥D¦D§D¨D©D[D¢DG ¤ ‹«ª §1.4.1

};

¬ ­w® ¯D°D±D² v ³µ´ Y —µ¶ …µ£µŒµyµsµtµ|µ·D¸µ[D}µ‰DsµtD{%¹ •µ— u»ºD¼µx — ¢D£µWDGµP½ QD[Dx — ¢D£DWDGD¾ ³ `¿HD|DÀ  IDÁD{¿Y C = 6 § ¤ ‹D`¿ÂDÃDÄD|DÅDƒDÆDÇ«ª € DÈ |DÄDÉD¡DTD†DWD†DÊÌËͨDÎDŽD¼DPWDÏDÐDYDƒDQ 3 §D¢DG ¤ ‹D{ P ’ } {“ P ” }; (2) { ‘ P “ } { ’ P ” }; (3) { ‘ P ” } { ’ P “ }. (1) { ‘ ŒDyDÃDÄDÑvÒwPÓ}D‰DŠD‹DÔD¨DÕDÖDHDŒDyDsDtD`ÓY — ³D´ ¶ sD{ӌD|D£µ×DØDÇ«ªÓ} ‰DP
}D‰DP
¨DSD|DÖDTDÙDÚDMD}DˆD¢D‰DsDtD[DÛ«ª €  ÑD{ÜwÝD¨DÞDP
}D‰D|DÖDT ÙDÚ “MD} ” ˆ “¢D‰ ” sDtD[DPwÂD|DŒDßDàDÝDYDáDWDy ~D sDtD`DÜwÝDPwâDãD} ‰DŠD‹DMD¼D[D}väwPÓåDzDæDçD|DèDY ~D [DPÓÂD|DéDODêD¼D[µ|D{ÓâD}Dëµ}DæDçDì í âDá ~D PîDïvðwñ “òDó ”! ôDõDöD÷ PâDãD}D‰DŠD‹DE–I–øDP €  EDI–[–| þ Q ¼DxDy — ” [DúDYD¨D© ùDû F«üÓ`wýDƒ € Dþ ù ¼D[Dx — ID£DWD}DPwÿ
“ù [DxDy — ID £ DWD}D ` D
Ø wH “ù ¼ ‘ P ’ P Q “ P ” ” ˆ “ù ¼ “ P ” P Q ‘ P ’ ” |DxD§D¨D©D[ ù ¼ ¤ ‹DPÓ¹DÿDâDŒD§DEDI ¤Dû uwPÓ S D I D|µxD§D¨D© ‹ DPHD|DSD Á  DƒDQ 6 §DMD} ¤ ‹D{ [ “MD} ” ¤  WD}D£D{ { ‘ P ’ };  }D£D{ {“ P ” }; (1) WD}D£D{ {“ P ” };  }D£D{ { ‘ P ’ }; (2) WD}D£D{ { ‘ P “ };  }D£D{ { ’ P ” }; (3) WD}D£D{ { ’ P ” };  }D£D{ { ‘ P “ }; (4) WD}D£D{ { ‘ P ” };  }D£D{ { ’ P “ }; (5) WD}D£D{ { ’ P “ };  }D£D{ { ‘ P ” }. (6)   þ ú M–¼–[ } ò ó { ù ¼ [–x y — £ W Œ–S–|–Ñ–P▌–§–E–I u P €  }DP½DQD[Dx — £  }D[D`ŒD S  €  { P  eDfDiDjD “eDf ”  “D k DeDiDj ”,   " jD
h #%$ P &'()*+ eDk ,- " jD
h #wg ./0 ` g !Dk De ŒDSD|DÑDP €  éDOD N 1D…D_D}D‰DŠD‹D`Ó â 2DÖD}D‰DŠD‹DEµFDøD4P 35DøDø ö E 6 7D ˆ 7DMDâDWµyD}D[D¨µ© ¤ ‹DPÓ ÿ 8 ÷ {ÓâDEDID¼D[DMD} ¤ ‹DF«üwuwPÓ¨DÂD È 9 ÝD¡DE 6 :DyD}DæDçD[D¨D© òDóD¤ ‹D` 2DÖ ;DVD…D_DP €  ³ < ¤= ¡DÙDÚDƒDQDsDtD{  1.4.2 >? 6 y — MD£ 3 }D P @D} 2 — P M AD¹Dà 3 B ¨D © C D P DD M E ¤ ‹DFD` F {  ù ¼–x — ¹–à 1 B CG –PY C § ¤ G‹ HI ù ¼–x — ¹–à 2 B C DPY C § ¤ ‹ H½DQD[Dx — ¹Dà 3 B C D`ú < WDÏDYD{ C ·C = = = 90 §D M E ¤ ‹D` 14

2 4

2 6

2 4

2 6

2 4

6! 4! 4!·2! 2!·2!

6! 2!·2!·2!

%­ JKLM
N 15 âDŒDßDP 3 B C D|D¨D©D[DPâO  æDç 9 ÝD¡ í – â á “D ~   ”, îDïvð ” ò M }GQRDM–£ ó ”, ú < ÕDÖDHD}D‰DŠD‹D`PwHDMD¼D[D}DFD¥DHDxD}DP ú < € ? D ST ˜D™ ` §1.4

§1.4.2

‰DŠD‹

UDeDeDf

£ DÕ ô ŒD§DMD£D¥Dy

“

¨D©D[

”

}D[DsDtDéDDP — V ¢D¼DƒDQD[

“

¥D}D}

DeDeDfDiDj { Y n yD¨D©DåDzDP»O þ O  MD£ k yD¨D©D[D}DPXWDÁ:D}Y U Z Y n , n , · · · , n yDåDzDP[vu n + n + · · · + n = n, \ WDÏDY ”:

1

2

k

1

2

k

n! n1 ! · n2 ! · · · · · n k !

(1.4.1)

 ]Dþ D §D¨D©DM û ` €  ¥ }D}D‰DŠD‹^D£ “Y D ò ó MD}DŠD‹ ”. ÃDÄ;DP_DÖ` Z ù D ¼ [a ûbc P¾ ³  Á DŒDyDsDtD[deD{ n

n2 k−1 Cnn1 Cn−n · · · Cn−n = 1 1 −n2 −···−nk−2

n! . n1 ! · n2 ! · · · n k !

¥ }–}–‰–|–W–§Gf õGgGh [–E–F–Š–‹–POGiGjG o–p úGkGl–[–}–‰–Š–‹–ˆ–† – ‡DŠD‹D` ÃD Ä ;DP õ k = 2 øD[D¥D}D}D‰DP»SD|mnD[D}D‰DŠD‹D`»ÿ “¹ n yD¨D©DåDz uwºD¼ k yDTD[D†D‡ ” sDtDP \ ³o £ ? n yD¨–©DåDzDMD£ k + 1 ¨–©D[D}DPW } :DY 1 yDåDzDP ÿ qr 1 yD}DY n − k yDåDzDPHD
| w¥D}D}D‰DŠD‹ Áp k yD ^DPÏDYD{ n! 1!·1!···1!·(n−k)!

=

n! (n−k)!

§DM û  P ¾D†D‡ ¤ ‹D`âDŒDßDP k yDåDzDæDçD[ ~Ds £D}DëD}DæDçD[ ~D ` €  Ttu ,vwxDyþ zDkDcDd sDtD` âD 1.2.5 [DÙ û 2 uþ { | ÖQDŒ] §DEDFDŠD‹D`  â DßDP € Ð
}%~DŽD©DWD§DåDz (¨ ³€ M ), 3 Ё~ 7 ŽD©DWD§DåDzD` HD|O  ú ´‚ ‡D[DúDYD¨D©ƒD‡DF«üÓSD| þ 10 y„…DM :DY 7 yDˆ 3 y „…D[DMD} ¤ ‹DF«üÓ`PwHDMD[DxDyD}–| “Y € AD[ ”, ú < Õ ÖDHD}D‰DŠD‹D`" W †D¡DP õ MD¼D[D}D£ k yDP k ≥ 2 øDP õ ÝDS ³< ÖD¥D}D}D‰DŠ ‹–T–Ù–Ú–`ú < PG ¨ ‡ˆfG‰–å–z–[–†–G ‡ [–Ä–S–| ? ú–Y–¨–©–G [ „G…–G M  k y–¨–© [D}D‹P ŠDÆDSD|DGD¥D}D}D‰DŠD‹D[DWD§ ô ÖD`r£ =  H Œr ô ÖDP €  ? [ V ¢D£D{ P DH k yD¨D©D [ ŽDP  © ŽDåDzDæDçD¨  ,  v  w  x  y DkDcDdDiDj Y n yDåDzD z ³ …D P :ŽDåDzD M ADY n , n , · · · , n yD P [vu n + n + · · · + n = n, O þ O   † DWD‡DP \ WDÏDY 1

2

k

n! n1 ! · n2 ! · · · n k !

1

2

k

(1.4.2)

16

¬v­w®

¯D°D±D²

<

і¥–}–}–‰

§D¨D©D† û ` ; V–Ã–Ä–Ñ Ò –¥–}–}–‰–Š–‹–â–E–F–s–t u [–\GP‘–¡G„–`ú – ŠD‹D| €   ú ’“D[DWD§qD\D]D[DEDFDŠD‹D`

 ”•–—˜ J–KGu u [G™–¥–E–F–s–t–Pš ³G
n , n , ···, n n + n + · · · + n = n. œ §D¨D©DM û ª ¨DÎDŽD¼DPŒDyDsDtDSD|DWDyD¥D}D}–‰DsDt–{O þ n yD¨D©DåDzDMD£ k yD¨ ©D[D}D% P WD Á :D } Y Z Y n , n , · · · , n yDåDzD% P [vu n + n + · · · + n = n. ú < w¥D}D}D‰DŠD‹ §D^DqDPWDÏDY 1

2

k

1

§D¨D©DM û ` ŒµßµYµxµy¨©µ{«ª

2

1

k

2

k

1

2

k

n! n1 ! · n2 ! · · · n k !

 ”    , µk P –¬­,G-µk P¯®DÕDÖµHD¥µ}D}µ‰DŠµ‹D` £° ¤”•–—˜ {rY n yfD©D[¥ œ PO þ O  M6 k yD¨–©D[ ¢D` WDÏDYD¥D¦D§D¨D©DM û ª âDŒDßDP n y œ |D f ©D[DP k y D¢ |D± ¨Df ©D[D`DŠ Æ €  ÐDéDODZ²: y ¢vuw[ œ FDPÓÿD ³ é bc´ y œµ â ´ y v¢ uw`ÓâDŒDyµsDtvu»P €  èDYDê ¶ :Dy ¢vuwúD· [ œ FDP4DŠ £DW¸ œ F¹ ¶ P \ M œD¤ ‹ ] S¹ ¶ D PÓú < SDÐ Y 1 §DM û D

` €  ³ þ sDtºD» £D{ yD f ©D[¥ œ % WD¼ †D½ P»ÐD5 âO  æDç¾; k − 1 ¿ÀÁ P þ O  À n £ k  PÝrÃ:  G ó ·6f ô [ ¢D¾ ³ ` GDŒDyDsDtD[DÙD d éDMDxD§ÄÅ bc { { ƵøµG ÀÁ [·…„µ … èµYÊµË P͌f õ HµO ? n+k −1 (1) ÆÇÈ–!É yD¨‡f‰D[DåDz ˜D™ †D‡DPÌ[vu 1 ŽDåDz (¥ œ ) Y n yDPÌ 1 ŽDåDz (ÀÁ ) Y yDPú < w  ¨‡fD‰ åDzD[D†D‡DŠD‹D^DPWDÏDY k−1 §D¨D©DM û `

k−1 n Cn+k−1 = Cn+k−1

{ÓÆDøDG ÀÁ  [ ·…„…DYÊËDPŠD£DÐ ´ þ ÀÁ  · …  ,  Æ  Ç    È  –  ! É â n y¥ œ ú › D[ n − 1 yDç À ;DP Ô8@DyDç ÀÍ ¥ ³< ·…DW ¿ÀÁ P ú < ÐDOD¹ n − 1 yDç À u ù ¼ k − 1 yDT·O  ¾ ³ `®DY C §D¨D©DM û ` (2)

k−1 n−1

%­ JKLM
N 17 ŒDyDsDtD[¨ÎD|D{ ”w- P –¬,w- ` ƒDQD[DDtD|  ŽDM œ 6 DŠD‹D[DWDy ô ÖD`  1.4.3 º–Y ¤ R x + y + z = 15, Ï MGAGD–¼GO–[–BGЖF–Ù–ˆˆÑˆÒPЖF Ù [D}DFD` (x, y, z) F 4{ º»D£ ? 15 y ³ € AD[ ¥ œ M 6 3 yD¨D©D[  ¢DP IDM A ? 1, 2, 3 y  vuw[ œ FDG ô £ x, y, z [ ÓD¾ ³ `»ú < XP ÑÒÐDFDÙD[D}DF (f õ H Ô™D¼ ÕÖ  D[ ÄÅ ) £D{ §1.4

ÿDBÐDFDÙD[D}DF

f (

õ HD¨Ô™D¼ÕÖ D[ÄÅ ) £D{ 15 2 C15+3−1 = C17 =

£× ¤ ”•–—˜ {rY WDÁDY k y ¢:DY n y¥ ¢:DY n y¥ œ P[vu

3−1 2 C15−1 = C14 =

1

1

17×16 2

= 136;

yD¨–©D[¥ œ PO þ n œ PY k y ¢:DY 14·13 2

O  M6 k y fD©D[ ¢DP y¥ œ P · · · , Y k y  n

= 91.

2

2

m

m

k1 + k2 + · · · + km = k,

k1 n1 + k2 n2 + · · · + km nm = n.

WDÏDYD¥D¦D§D¨D©DM û ª ŒDyDsDtD[¨ÎD|D{ ”,- P –¬w- `؊DÆDÐDéDO–Z²–Y S yG ¢G· S y O Ù “´ X ”  ¢· “´ S y ” œ P»ú < ^D£ “³ òDó MD}DŠD‹ ”, ÷ ¾ œ P»ÿD¨DéD GDMD¼D[D}D¨D Ö ¾ <€ MD`ŒDyDsDtD[DÙd
Ú%ÛÜÝDP È |DD¹DWDXD¢DŽÞD` p–R–GU Q–[ ‘–’ “–” •–—–˜–™–š–›–œ––ž [–s–t–S–| “³ ò–ó M–}–s–t ” [ qµ·µ¸µ[µ ¢µß` »HµÖµ}µ‰DŠµ‹DIµ¼D[µMD} ¤ ‹µ| àµY òµó [DP % GDúµMD¼µ[D} † ~D `"xDyD}D[ ~D Y 2! §DP"ú < ÐDO ? “Y òDó MD} ¤ ‹DF«ü ” á < 2!, ¾ Á “³ òDó MD} ¤ ‹DF ”, ŠDÆDYD{

³ “

M } ” ¤ ‹D`ŒDyD¢âDBãDëäåD[DMD} ¤ ‹DF«ü4fæD` òDó D IDTDŽDWDyD¢D`  1.4.4 O þ 7 — MD£ 3 y¥D}DPç ™ ©DWD§èéDP[vuwWDyD} 3 — PDx yD}: 2 —  P DDMD} ¤ ‹DFD` F ë{ êDÝDŒ ] |DWDy “³ òDó ì } ” sDtD`»ÂD|DìDë ;íD[ ÄÅDYDúD¨D©D`XŠ £[vuwYDWDy 3 —  } uD|DÅ òDó î¦OšD ë [ïDxDyD}DYDú € A (òDó ³ÑD|D£

ð ì ¼D[D} ¾ <€ ì ), ú < âDã “Y òDóì }DŠD‹ ” ñ ¼ ì } ¤ ‹ òDæ rî Ð ô I á < 2! (¾ áóôõö ¾ € ì÷ø÷ùúûü ò ), ®ýþÿ
§

C42 2!

=

4! 2!·2!·2!

=3

· =  ìø


 mQ;
tuî
ý


Ž
ì
  

 ÷

 þ “

 ìø 7! 3!·2!·2!

1 2!

7! 3!·(2!)3

”





 

 ò α 
“!
"
#

$ì÷ùú

 ò ”β, % ý
&
' ÷ ” ! 
 ìø ” 
 òî () þ 18

n! , k k (n1 2 !) 2 · · · (nm !) m β = k1 !k2 ! · · · km !. α=

(1.4.3)

!)k1 (n

(1.4.4)

+*+,+-+.+/  )î0F
+G
( ö
#+13254
6+7
8+9÷+:  
;+< ÷+=
>+?

@+A
, ø
B
C÷ A
D
E 12 HJIJKJLJMJNJOGþP n õGöJQG÷JRJ îTSJUJVJ ìJ k õJWJQG÷JXJY îTZGý îT k õ
X
Y
[ n õ
R
î · · · , k õ
X
Y
[ k õ
X
Y
[ n õ
R
î () n õ
R
n + · · · + k n = n, \
] ÿ
 k ö
+Qkì
+^ · ·î · +(k) α= _ k, β kì
n`
8+ k(1.4.3) _ (1.4.4)  &
a  M
g §1.4.4 b
c
d
e
f
b
c h ùúø+B + ) î0i+ ]+j ?+
k+l Z+
m+n
o+p ùúø+B÷ 
 î ì+`
q 
?
 k ùú
_
?
k ø
B
T?
k ùú
r

s
t þ O þP n  öJQ mJG n îTS @ )vu 7 k õJw oJp ùGú î Q  mJn ? bZ
J cJîdJ\
e ] NJÿ
G  ö
Q÷ (k
l ) ùú


 k
l n x
y
z îT{ õ
|
} z &
~ } ÷ m
n

n  ö
Q
€ u 
 î ] ÿ € u k  î ‚ ý
ƒ C
 b
uc ‰TM
S
g
'„
… &
÷
†
^
‡ þˆ u n  ö
ò‹Q Š m
n
‰ˆS @ )u 7 k õ
w ‰ Q  m
n ? k
l
€ 7 ö
Q ÷
€ 
  +< ÷+‡ ‰Œ õ ++Ž ‡ + j


X+‘
 ÷+’   x+y
z ‰“& u 7 ÷ k õ m
n 
”  n  ö
Q j
• ‰Œ
– W
—
, U k õ
W
Q÷
R
~  n õö
Q÷
X
Y ‰ ˜
™ ?

7
š
›
X
 & þ g+N+O þ n  ö
Q m+n+‰žS @ )5u 7 k õ+w ‰ Q  m+n ?+k+l+€ u ‰ + b + c œ \ 1

1

2

2

m

m

1

2

m

1 1

2 2

m m

α β

k

 ö
Q÷
€ u
 
 g §1.4.5 Ÿ
 
¡
œ 

¢
£
¤
¥ G |
}ö
W
¦÷ø
B 

‰§ 8 h § ª
«  ö
W
¦ ÷
¬
­
 Œ õ 
 ÷ ]
®
¯ †
^
‡ þ k−1 n Cn+k−1 = Cn+k−1

1.2.3

) ‰–
S
'
¨
© ô
|

§1.4

°
±
²
³´ S @
µ
¶ {1, 2, · · · , n} )u 7

k

õö
Q÷
µ

1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n,

(1.4.5)

j2 − j1 > m, j3 − j2 > m, · · · , jk − jk−1 > m,

(1.4.6)

Z
·
¸
¹
º
»þ ()

19


¼
½
µ ‰ ™ (k − 1)m < n. S
' 7 &
ö
Q÷ u ^
µ Š  
¾ ' 7 (
u ^
µ Š“‰T¿
U
V Q
À
Á÷ø
B
‘

 ]
ÃÄ r
 8JÅ S ‡J– @JµJ] ¶ {1, 2, · · · , n}
) 
¨J‰ Æ u 7 ‰T&k õGu öJQG÷Jµ 1 ≤ j ¸
<¹
j º
<»·þ · · < ≤ n, Ç
È ‡ õ
À
Á÷ø
B ö
É 7÷ k õ
µ
Ê
Ë m

1

jk

2

j2 − j1 > 0, j3 − j2 > 0, · · · , jk − jk−1 > 0.




Ì
‰TÍ
Î ÷ u ^
µ Š  C . ŒJ–JÏJÐJJ J‰ Ê SJ& u 7G÷ k õJµ ¸J¹JºJ» (1.4.5) _  Á £ ÷ø
B
Ñ
µ
Ò

w
Ñ
Ó (
u ^
µ Š Tš h 

Ô i = j − (l − 1)m, l = 2, 3, · · · , k,
– Ç
È
Õ
Ö

(1.4.7)

k n

l

˜
™ i


(1.4.7),

ÇJÈ – ?J

l

1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n − (k − 1)m,

−i ) ¨
>Æ 0.u 7÷ k õö
Q÷ ×
Í ‰ i , i , · · · , i i – −‡
i @
>µ
0,¶ i{1,−2,i · >· · ,0,n −· (k· · ,− i1)m} µ+) Ù¨
Ø Æ ·+u ‰ 8+Å 1 ≤ i < i < ‰· · · < i 
≤ n−(kS
−1)m ‡+@+µ+¶ {1, 2, · · · , n−(k −1)m} Ô 7 ÷ k õö
Q÷
µ Ç
È Ê Ú
Û –
(1.4.5) _ (1.4.6)j =Ü
iÝ +‰ (lz −
1)m, Þ 
ß
l à
= á 2, 
3, ·Ø · ·ß
, k,à ‰ ˜
™ ‡ ]
]
⠒÷ ‰ × Í
Œ
Þ õ u µ 
 ÷ u ^
µ Š W
ã
åä Í

 ý 7 þ g
N
O þ 8
Å S @
µ
¶ {1, 2, · · · , n} )u 7 k õö
Q÷
µ ‰æZ
·
¸
¹
Ÿ
 
¡ œ º
» (1.4.5) _ (1.4.6), Ç
È &
ö
Q÷ u ^
µ Š  þ 1

2

2

1

3

1

2

2

k

k−1

k

l

k

l

k Cn−(k−1)m .


<
‰T
?
U b
c
œ gèç Ü
‡ 0  
¡
œ g , % U ÷ ‡ ˜ ™Jé  (1.4.8) ÑJÓ ( øJBJµ Šê‰ýJ J C ç Ü −1, J ÷
?
kø
B


 ( ƒ C
ë 

ì
í 6
7
î ƒ Å
W
Q
 š h ‰T
w

ï
8
9 
þ

k n−(k−1)m

(1.4.8)

(1.4.7)

 ) ÷ m öJQ

k = Cn+k−1

  


  ð 1.4.5 10 ñ 4 ª
ò
ó 4
ô
Ü ] p
‰õ'
{
Þ | ª
« ·
ö

÷
ø
ö
ù
Þ |
ñ « î
¬
­
 ú þû
ü › ö Ω ý
Ö
‡ä 14 þ
ô
Ü ] p î &

ÿ Q

^

Ü ‰ ‚ |Ω| = 14!.  B  a
¨
©
Þ | ª
« ·
ö

÷
ø
ö
ù
Þ |
ñ « î x »
‰ \ x » B ä ]
8 Å  ¸
¹
S
' î

^

Ü ‰T
w ç 8 © Ñ
Ó |B|. 

¿ â 14 
|
} o
p 
 ‰ % S @ 14 
|
} ) 7 4 
|
}
6 ª
« åä ©
Þ | ª
« ·
ö
J÷
øJöJù
Þ |Jñ « ‰T& ” , n = 14, k = 4, m = 2 î
,ö
¨
 |
} 
 




B 

‰ ‚ ä (1.4.8) 
C =C 
ñ « _ ª
« h &  ý î
|
} z
‰ % ý 20

k n−(k−1)m

&

4 8

|B| = C84 · 10! · 4!, C84 ·10!·4! 14!

C84 4 C14

70 1001 .

z  ï i † +¾ ü+ î ] º  þ Ω  a+&++ÿ Q+î+|+}    ‰ \ ý |Ω| = C , +, ‡ x » B ä ] B +S ' +î |+}  ++Ü ‰ % |B| = C , ,
‡
 P (B) =

=

=

4 14

4 8

P (B) =

1.

C84 4 C14


…



=

70 1001 .

1.4

(1) Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + · · · + nCnn = n2n−1 ;

(2) Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − · · · + (−1)n−1 nCnn = 0;

P

a−r

(3) (4)

a−r Cak+r Cbk = Ca+b ; k=0 2 2 Cn0 + Cn1 + · · · +







n (Cnn )2 = C2n .

! "#%$'&()* 6 +,-/.01+,24345* 0, 1, 2, · · · , 9 6789:,2-/;4<4/= "5>?@A: 6 +,23BCD#E$'&4(4)EF 3. 5 GHBIDH#HJHKHLHMHNHOHPHQHGHBIDI#R$TSIOHIUH9IVH-XWHYI7H8IZH[R$/SHOIBI\^]H9 _`ba ?@AGc4d4eEF ` 4. f r :B5gh#%i'jP r :B5gh#kjlm n :n6-o;p5qg#leG,  _ w 5. f r :Dr#stP r :Dr#uv9 94x4-b;4<4?4@4A54y4q4g4#z4YEF 6. { r :B45gh#%i'j4- r :B45gh#kj4- r :B45gh#|j4}4~4V44-b;4< ?@A65yqg4#V44d4EF ` ;4p4 (1) ‚nƒ 7. { n :BD#j7l4m n :BD#n-b1jm4€4n34*4454> ` (2) 1 (n‚„#…† ` ;p4W44€4‰4Š 8. { r :CD#jlm4‡4(4* 1 ˆ n # n :n-b1jm€n434*4454> #…† A = { ‹0# r :n6Œ€9j }; B = { 1nˆ@ 1 j }; C = { ‹0#n6 Œ? m :j }.

2.

1

1

1

2

2

1

3


Ž

’‘
°
“
” 21 ` ;4p4W44€4‰ 9. { 3 :4B4D4#4j4l4m4‡4(4* 1,2,3,4 #4Q4:4n464-b14j4m4€4n434*4454> Š#…† (1) Œ?Z:‚nƒ (2) ?jn#•–‡(* 2. 10. .404748494:4—4#4˜E™š]47494:4›4œ4H4…4†H#4-b;Hp4Hž4€4‰HŠ4#4…H†4 (1) 12 :4— #˜%™'] 12 :BD#›Ÿƒ (2) 6 :—#˜%™'Œ ]Z4:4›6 ` 11. (¡ ) ¢0 30 :—-b;p 12 :›6? 6 :›Œ £¤Z4:—4#4˜E™š-X? 6 :›Œ £ ¤ 3 :—#˜%™'#…† ` `­š®4¯ B4°±4²49f4>4ª«4¬- ¯4³ O´4µ¶ 12. 9:—? n f¥¦-¨§©?9f>4ª«4¬ · ¥¦¸;« `X¹4º -b1494f4¥4¦4]41494x4;4»464¼H½64#4…4†4œ4 n . ¾¿¤?Dr @#;»x,#ÀÁ5>zY4œ4` CÂ#4-o¶4:—4Œ 4]à r xf¬ª«#…†`È@¹A%º F 13. !Ä? 4 :ÅÆ-ÈÇɸÊËÌ ]ªÍ4# 4 :ËÌ6? 3 :•–ÅƪÍ# — ÄÎÇÏ ` ǝÐ?4Ñ ­4ÒšÓ ¶4Ô4À4Õ4 %Fš;4`ëÖê × º <Ø4Ù ³ O4l4jm4n4ÚÛ4#4ÜÝ ` 14. !Þß—à]!9áâã-åä4æç4èé4< 12 x ?¶ 12 x#é<Œ œ]áâìPá â4Q ` ;4p4=4‰4Š4#4…4† ` 4Ð454y4í4î ¯ ¯4©4ò4]4óá4â4ì4P4á4â4QHç4ï4é4<4ðRFš¶ 12 x4é <­šñö ?9x]áâE™š-b4Ð454yí404á4âE™ B4ôõEF 15. · ()?4þ(4
ÿ)
1,
2,4· ·x · ,NV4#44j4#464…4#4† ÷4` t464?4lEøš´4ù4ú n x4j4-bû4x4ü44ý4(4)4-b;4p4¶ 16.
] Ø6¶ · ()4þ 
 (B90
ÿ

 ) #
x V#…† ` 17. 7
 , 1, 2, · · · , N 6Bl%ø'
´
n :, - 
þ –V* x < · · · < x < · · · < x , ;p x = M #…† (1 ≤ M ≤ N ). ³ O
´ U9
V 9 4-š;4
g 4p Z4G 
44-š]4Z:4‹40#4— 
4Œ ? s : 18. n :— —#…† ` 19.  n :4 — 4U49 44-bý464? A P B ì4—4-b<4Œ4? r :4— 4] A P B 4#4…4†4* 8%F'WY ¯ ÉB 4U944¾4 U49  ` ;44¶4:4…†4Ù ` r
 -b¾
¿ 
 1/n. 20.
* A !#
"x4,4-b{ 2n :
j #g*
Z $` -b1 $ n
: # ;pW‰Š4#…4†4XZ:
• %#
j #¼g] (1) B
D $ƒ (2) D
9 $

§1.5

−1

1

n

m

m

& '()(*(+(,(-(.(/ ( 0 ¾ o ]21 ¾232425
¬ • ‰627  w ç ]28 § Y29 ¬+­+C@ ) î;:;<;=;>  ?
;? “X )5u;@ 82” ]2î;^ A;B;C;D;EGF;HJILK;M;N 8;O û@ 2 P
î2P (Q2R2S2T2U2M2V2W ), XYI[Z2\2N Z2_2M2`2a2E[N2a2b2Z2\2c d KYe ^gf2h Z2i2N2j ^gk20 “l2KYe[m2Z ” n “l2KYe[m2o ”; p2N2a2b2q2Z2\2N j @2r KYe ^s Z2i2N2j @ ^k20 “M2KYe[m2Z ” n “M2KYe[m2o ”. t 1.5.1 F2HYI[K2M 10 j2u2v2U2M2V2W 1, 2, · · · , 10 c2P @ ^ XYI[w2x2m2Z 3 j @2yz u2v2{ “l2KYe[m2Z ” | “M2KYe[m2Z ” }2~22E (1) 3 j2€2c2V2W2 d ‚2ƒ 7 c2„2…2† (2) €2Q2c2‡ ‚ V2W2ˆ 7 c2„2… y ‰ E‹Š A Œ2 3 j2€2c2V2W2 d ‚2ƒ 7 c2Ž22†Š B Œ22€2Q2c2‡ ‚ V2W2ˆ s Š C Œ2 3 j2€2c2V2W2 d ‚2ƒ 6 c2Ž2 y 7 c2Ž22† §1.5

‘Y’[“ ”2•2–2— ˜ “l2KYe[m2Z ” }2~2i ^ Ω ™ “X 10 j d O2š2› I[œ2Z 3 j d O2š2› ” c  M d O œ;_;ž;Ÿ ^¡  M |Ω| = C . Ž; A ™ “X 1 ¢ 7 V;€;£ 7 j d O;š;› ILœ Z 3 j d O2š2› ” c  M d O œ2_2ž2Ÿ ^  M |A| = C . ¤ ˜ Ž2 B I2™ ƒ 7 V €2N2¥2¦2Z2\ ^  Š2§2¨ s X 1 ¢ 6 V2€2£ 6 j d O2š2› I[œ2Z 2 j d O2š2›2^   M |B| = C .  Š2©2ª 22

3 10

3 7

2 6

C73 3 C10

P (A) =

=

7 24

,

P (B) =

C62 3 C10

1 8

=

.

˜ “; M KJeLm;Z ” ; } ~;i ^ ; S « Ω ¬;ˆ “ ™ 10 j d O;š;› ILœ;Z 3 j š;› c;S ­2®2¯ ” c  M d O ® 2 _ ž2Ÿ ^°  M |Ω| = 10 . { ƒ Ž2 A, ±2²2³2´2M |A| = 7 .  Š 3

P (A) =

ˆ¶µ¶·¶¸ |A| − |C| = 7

3

¹¶º¶¢ − 6 , X2¤ |B|, 3

»¶¼

B = A − C,

P (B) =

73 −63 103

=


7 3 10


7 3 10

3

.

½¶¾

C ⊂ A,

−


6 3 10

=

|C| = 63 ,

 Š

|B| =

127 1000 .

˜ Q2D2¿2À2Á2ÂYI Ä ^ Ã2Å2Æ2Ç µ2È2É2c2Ê2¸ yÄË2Ì ¹2º2¢ P (C) =
, Í2Î Ã2Å2Ï2Ð2Ñ2Ò £2o2N2j Ò2Ó  E Ô B = A − C, »2¼ C ⊂ A ª ^ M P (B) = P (A) − P (C). r 2 à Š2 Ð 2 Õ 2 Ö ^ 2 Ò 2 Ó × b2„2…2c2Ø2Ù2Ú2Û “S2Ü2Ú ” c2Ý Ò y Š « £2N Ë2Ì d¶Þ2ß Q2à2}2_2·2¸ |B|, Í2Î2Ô2á2â2S2Š22\2ã2ä ^å b¶¨2æ¶ç2è¶é y u¶v¶Š B , B | B ƒ Œ¶ 7 V¶€¶¦êZ¶®2\ ¯21í ë ^ 2 ë¶| 3 ë¶c¶Ž¶ ^ ±¶ì ®2|B|¯2í = ^  Š |B | â2î2ï Þ Þ |B | + |B | + |B |. ™ |Ω| = 10 b 2 ~ 2 · 2 ¸ c ~2·2¸ y |B | c2·2¸Yð[ñ2ò2ó ^ ™ ƒ q2ë22§2T2Z 7 V2€ ^  Š |B | = 1 = 1. ˜ ·2¸ |B | ª2î2ï2ô2õ 7 V2€2b ˜2ö2÷ ë2Z2€2ª2¦2Z2¢2c yÄø © |B | = 3 · 6 = 108. O2ù2^ |B | = 3 · 6 = 18. X2¤2ì 1

1

2

2

6 3 10

3

3

3

j

3

3

1

1

3

2

2

P (B) =

|B| |Ω|

=

|B1 |+|B2 |+|B3 | |Ω|

=

108+18+1 1000

=

127 1000 .

t 1.5.2 úLû;ü;ì r j;ý;€ ^ b j;þ;€ ^ XJÿ
;º;Z;\ n j;€ ^ r + b ≥ n. z ;u;v;{y “lJeLm;Z ” | “ìJeLm;Z ” `;a;};~ ^ ;ãJÿ
;ì k j;ý;€ (k ≤ r) c2„2… ‰  Ç A Œ22ãYÿ2ì k j2ý2€2c2Ž2 y ¬ Ω ˆ2X r + b j2€2Z2\ n j2€ ]  ÷  S2T2Z2_2c2È2É y c  ˜ “ l Ye[m2Z ” ª ^ ì |Ω| = C . Ô2Ž2 A Ñ ª ^ø X r j2ý2€Yÿ[Z2\2µ ^ X b j2þ2€Yÿ[Z2\2µ n − k j ^  Š |A| = C C , © kj n r+b

k r

˜

P (A) =

ìYe[m2Z ^ b2ãY  ÿ 2ì “

Crk Cbn−k . n Cr+b

n−k b

Þ S ­2®2¯2í ~2·2¸2\2c

ª ^ ì |Ω| = (r + b) , ¹2º2£2b ø © ˜ ·2¸ |A| ª ^ â2î2ï2ô2õ “ ”. Ô2Ž2 A “ ”.

”

n

2’ 23 Ñ ª ^ X r j2ý2€Yÿ[ìYe[´2Z2\2µ k j ^ ì2Z2_ r a ^ X b j2þ2€Yÿ[ìYe ´;Z;\;µ n − k j ^ ì;Z;_ b a ^ å b ˜ n ë;Z;€Jÿ ^ ö k ë;; Z \;ý;€ ^ ö n − k ë2Z2\2þ2€2ì ÷ j d ²! š2› c ®2¯"#2y  Š |A| = C r b , ƒ b2¾ §1.5

k

n−k

k n−k

b k P (A) = Cnk r(r+b) n = Cn



r r+b

k 

b r+b

n−k

k k n−k n

.

˜%$ ¶ à ¿¶À ÿ öŠ 趢¶c¶`¶j%& Ì ¶ì ­ ¨¶c¶„¶…¶º%' ^ (¶Å u¶v¶{¶³¶µ „¶…%) ÿ°c%*%+%,¶u%- (l% e/.êÉ ) |%0%1¶u%- (ì% e/.êÉ ), öŠ« ж˜%2 r 32÷456 y t 1.5.3 « n j d7 c82€9 m j d7 c:; ^ n ≤ m, <2j2€9<2j :;;c;x Ð  ² = y!z  Ë i<;Ž2;c2„;…  (1) ˜ > ¥;c? n j:Jÿ
<9 1 j €2† (2) q2 j :;2  @2 é 9 1 j2€2† (3) ˜ > ¥2c? 1 j:Yÿ9 k j2€ y ‰  u2v2Š A, B, C Œ2 3 j2Ž2 y Þ S ­2®2¯2í ~2·2¸ ^ è |Ω| = m .  ^  ^ ™ ® ˜ Ž2 A ÿ ^ n j  d 7   > ¥2  c 2 8 2 € ¦    9 c ? n j Y : ÿ q : 1€ ¯2í ~2¾ |A| = n!. ˜ Ž2 B ÿ ^ ì n :Y ^ ö n ÿ  <   9 1 j2€ j :; ì C a 2 ® ¯ ®  ^ s ˜  3 B ^  ^   œ2_ {82€ £A:Yÿ ì n! a _ è |B| = C n!. ˜ Ž2 C  > ¥;c 1  ÿ ^ ˜  j :J
ÿ ;ì k j;€ ^ ö k j;C €  ì C a;œ;_ ^ ¤; ã D n − k j;€ ^ ^   ˜  j :JÿL S ;ºE  ì ;_ (m − 1) a è |C| = C (m − 1) . F ãÉ D$ à m^ −è 1   n

n m

n m

k n

n−k

P (A) =

n! mn ,

P (B) =

n Cm n! mn ,

k n

n−k

P (C) = Cnk (m−1) mn

.

n−k

Ò J%(¶Å c 2n j%K%L¶`¶`%¶º%M f yz  Ë i%<¶Ž t 1.5.4 ì n G%H%I ^% 2c2„2…  (1) n GHI&2Ÿ n jN2† (2) n GHI&2Ÿ 1 jN y ‰  u2v2Š A | B Œ2 $ à02Ž2 y Ω ³2ÔY™ ÷OP cM f }2~2ž2Ÿ y  ÃêR Å Qê] ôêõ |Ω| cêê_ y O R Š SRT J 2n jRKRL ® Ÿ ÷RBê^ á rRU ¥ê«RV 2k − 1  j KLWV 2k  j KL2 ² M f2^ k = 1, 2, · · · , n, ƒ b2q ÷ a ® _2{2³ ÷ aM _ ^ è Ω = (2n)!. ˜ Ž2 A ÿ ^ qGHI2c2`KX B M f2^ £2²2Ô ƒ ˜ 2n jKL2c ®2¯ ÿ ^ q ^ ƒ b O%Q { n GHI 3B ®2¯ ^  Q Š ¶ Z ¥  % < % G  H ¶ I c G  H 2 I 2 c `  2 K 2  ²   Y %  E r[ E ^s ô2õ2 q GHI2c2 ` K2 c \ r[ E ^ è2¾  |A| = n!(2!) . ˜ Ž; B ÿ ^ {;q;j k (k = 1, 2, · · · , n), ˜ V 2k − 1 j [ E $ WV 2k j [ E $  E; d ] ƒ 7 ÷ GHI ^  Š; c KL;[   ³ 8^_;Ž y Ã2Å;] {;q2j k ` ÷ ô;õ y ˜ V 1, 2 `;j E $;^ d P  7 ÷ GHI2c;`K ^  Š<;ì 2n | 2n − 2 a;œ;_ (˜ V $ 2 j [ E $ d ^‹P Ã;Å V 1 j [ E $  ˜ HI2c2p ÷ [ K ).$ ˆ2µ2 ô a ˜ V ƒ 3, 4 `2j [ E  c ; _ y  S  T  b ; c «  V 1, 2 `;j E [ c KLM f;^  b de2i Ï ^ n − 1 GHI £;ª [ JeL¢fg;chi ¾j2‡k;c2`;j E<2ì 2n − 2 | [ 2n − 4 ˜ a2œ2_ ( V 3 j E $2^ O  Š 2º_ 2n − 2  j KLYÿ[ œ l 1 j2† ˜ V 4 j E $ n

‘Y’[“

24

^ O ¾V d P   [ V 3$ j [ E $  HI2c2p ÷ K ); m2©2iyn  2k j E 2 < ì 2n − 2(k − 1) | 2n − 2k a2œ2_ Š ì  2 F É $ à ^ è  P (A) =

n!2n (2n)!

=

1 (2n−1)!! ,

P (B) =

(2n)!!(2n−2)!! (2n)!

2k − 1

”2•2–2—

j [ E $ WV

|B| = (2n)!!(2n − 2)!!. =

(2n−2)!! (2n−1)!! .

Ò2˜2Ã2Å2]o \ "# (1) cqprs ‰t . u Ç “lvw;u;ž í ~ ”. « 2n jKL;u;ˆ n j;lvw;c;ž ^ ; ^ q ; ž ; `  j  K L 7 ÷ žx[c2`2 j KLM f y y ì d7 c2u2ž2}2~ |Ω| = = = (2n − 1)!!. y ˜ Ñ  ^ a Ž; A ª qGHI;c;`;jKL;;u ˜ 7 ÷ ž ^ §;ì ÷ a;; u _ ^z |A| = 1,  Š = . P (A) = ÷ | y { á2`2a2¿2_2c& Ì  t 1.5.5 ·2¸2x2ü}2ì2}2 x + x + · · · + x = m c  ì~€ 2¿ ^ ãYÿ × € ^ n ≤ m. _Yÿ[w2x2 mb ´ l ÷ ž2¿ (x , x , · · · , x ), z   ‚2ž2¿2b × €

2¿2c2„2… y ƒ $ à2}2Â2c   ‰  Š A Œ2 $ à2Ž2 y ± |Ω| | |A| u2  v = ì ~€ 2¿2c y í × 2 Æ Ç ^ j 2| € 2¿2c2 j

 V  0 2u2 ƒ € 9:2c ~ ST2« m j2² 7  c 82€2u r ^ ^ d  7 92j ÷ n cÏ :; á «V k ÷ j:;Y‡y ÿ[†c2ˆ €^ „2ˆ x c2÷ ä k = 1, 2,Ë · · · , n. { á;q  a ;_ {;³; µ …;};Â2 c ž;¿ …2};y Â2c;q ž2¿;â2;Š ©2}2~ y ÷  {2³2µ a2u2 € 9:2c2}2~ Š2 ` ‰2c2 j 2 ² = ƒ   Š ‹ 2 Ò ^ ×  Š |Ω| = C ; € ;¿; ~  € ;

; ¿ c   h ; i ; { ³ ì   Œ 2 : \ c h ƒ  Š ‹ ƒ 2 Ò ^ d  i2{2³ ì Œ:2\  Š |A| = C . b2¾2ì (2n)! n!(2!)n

(2n)! n!(2)n

1

|A| |Ω|

1 (2n−1)!!

2

n

1

2

n

k

n−1 m+n−1

P (A) =

n−1 m−1 n−1 Cm−1

.

d7 c ^ŽJ(2Å w2x2´2u o 5 j y z  Ë i<2Ž22c2„ 1.5.6 ì 10 Ù …  (1)  ^%‘[^/’ <2è 2y Ù ^/“ è 3 Ù ^/” è 1 Ù2† (2) ì 3   2è 2 Ù ^ ì 1 < 2è 3 Ù ^ ì 1 2è 1 Ù ‰ u2v Ç A | B Œ2 $ à2`2j2Ž2 ^J Ω ¬2ˆY™ ÷ “u2 • }2~ ” –2Ÿ2c y 2 ­ 2 ® 2 ¯ í í O È2É ™ ~2¾ |Ω| = 5 . ¤Y™[é2ž2ž2É ~2¾ |A| = .  Š t

n−1 Cm+n−1

10

10! (2!)3 ·3!·1!

P (A) =

i— ]  Ù ^ ì 1 ž2ˆ

QJ

^ 2 1Ù ì u2_ |B|.

10

ٍ2u2ˆ α=

(2!)3

5

10! . · 3! · 510

j2lvw2c2ž ^ ì 3 ž< 2 Ù ^ ì 1 ž2ˆ a ^ á r J 5 ž 2u• o 5 j ^ ì

10! (2!)3 ·3!×3!

3 5!

§1.5

2’

25

a2u•2}2~ ^  Š   è

|B| = 5!α = P (B) =

ð[ñ

P (A)

|

P (B),

Ã2Å2Ñ2Ò ì

5!·10! (2!)3 ·(3!)2

.

5! · 10! . (2!)3 · (3!)2 · 510 5! 3! P (A)

Í2Î2£2b2ˆ˜2Ι Ã2ÅO Š_2p ÷ jš› ]o \2¿œ  Ž $2^ |A| Œ2  “ì ? 3 d j > ¥2c<2è 3 Ù ^ ? 1 j > ¥2c2è 3 Ù ^ ? 1 j > ¥2c2è 1 Ù ” c ì 7 c2u2_  †[¤ |B| Œ2 “ì 3 <2è 2 Ù ^ ì 1 2è 3 Ù ^ ì 1 2è 1 Ù ” c  ì d7 c2u2 _  y ø © |B| = a|A|, ãYÿ a Œ2 Ë , > ¥ 3 j ^ 1 j d 7 }2 2| 1 j2c  ì  ~  y ™[é2ž2ž2É í ~2½2¾ a= = = 20.  Š P (B) =

5! 3!1!1!

|B| |Ω|

a|A| |Ω|

= 20P (A).

5! 3!

£2o Ã2Å2Ï 2 ì è2¢2µ P (B) c2p ÷ a2·2¸2}2~ y " # O Š Š $ % c ž%;¶Œ 6 <¶a¶·% í ~ ˜%Ÿ%  „%¡ ÿ°é¶ì¶³ Ç y ¶ » ¼ 7 ÷ j % ^  d 7 c;·;¸;};~ y Ã;Å ³‚¢ Ð _ d7 cš›2{;·2¸& Ì 2 ì;é;a  „ ; \  ¿ œ Š £¢ Ð ¢¤<2a  d 7 c2·2¸2}2_ y P (B) =

=

= aP (A) = 20P (A).

¥ ¦ 1.5  1. §©¨©ª©«©¬©­©®©¯±°±²©³±´±µ±¶±·©¸º¹¼»±½±¾©¿±À 5 Á©ÂÄéũƩǩȩɱʩ˱²±Ì±Í±Î (1) Ï©®©Ð©Ñ (5 Á©µ©Ò©Ó©Ð©¨©Ñ©Ô©² 10, J, Q, K, A); (2) Õ©Ð©Ö (ש¶©Ø 4 Á©µ©²©Ù©Ú©Û©Ð ); (3) Ü©Ý (Ø©Þ©Á©µ©Ð©Ù©Ú©ÂÄß±à 3 Á©µ©Ð©Ù©Ú ); (4) á©â (5 Á©µ©²©á©ã©ä©å©ÂÄæ±ç±·±Ð©Ñ±Ô ); (5) è©Ð©Ö (Ø 3 Á©µ©Ù©Ú©Û©Ð©ÂÄà©Þ±Á±µ©Ù±Ú±·±Ð ); (6) Þ©é (4 Á©µ©ê©Þ©é©ÂÄà©Ø©¨±Á±×±ë©µ ); (7) ¨©é (Ø©Þ©Á©µ©Ù©Ú©Û©Ð©Âà±ì±è©í±µ±Ó±É±·©Û±Ð±²±×±ë©µ ). 2. î©ï©ð©ñ©¨©ò©ó©ô±²±õ©â±Âö±÷©Ê±Ë±²±Ì±Í©ø±®±Î A = {ñ©ù©²©õ©â©ú©û©Ó±ü±ý }, B = {ñ©ù©²©õ©â©ú©û©Ó±þ±ý }? 3. ®©
ÿ
©Ø n + k
÷ 
©Â n
÷ 
©
¾ 
©  ±Æ
 ±² m (m ≤ n)
÷ 
©
Ø 

 ²©Ì©Í
 4.  N  ÷ ±ê±² ± ±¾±À±ù±ë±²±¨±÷ ±â  Æ  â  رü ý±÷  ²©Ì©Í
 5. ©¶©¸©Ø 2n ÷ "!©û 2n
÷ #
!©Â §©¶©Ø©¸ ¹‡
» ©¾±¿©À 2n
÷ !
$©
Æ %©À©ù©
² !©¶  !
&
#
!©ý '‡
Û (±²±Ì©Í  6. ©¶©Ø a ÷ "!©û b
÷ #
! (a ≥ 2, b ≥ 2), §©
¶ )©¸ ¹‡
» ±¾ ¿±À±Þ±÷ !±Æ±Ç±È±Ê Ë©²©Ì©Í©Î (1) Þ©
÷ !©
² *©Ô©Û©
Ð + (2) Þ©
÷ !
*©Ô©·©
Ð 

‘Y’[“

26

”2•2–2—

©¶©Ø 5
÷ *©Ô©
É ,©²
!©Â.-/±¨±ï “®©¯©Ó 25 ²©Ø©¸ ¹‡¿
0 ”. ©Æ©ÎÄ¿
1©² 25 ÷
! ¶
2
3
*©Ô©²
!©É±Ø 5 ÷©²©Ì©Í
 8. ±¶±Ø± ¨ 45!±û #!±Â6±ß5!±ý'5&#!±ý'¼ú7¼Ó α. §±¶8±÷±À±ù%±Ø±²! Æ©
Ï 9©¨©÷©À©ù©² !
:#!±²±Ì©Í  9. n
÷ 

;©
» <©ê©
¨ =©5 ©Æ±ù±Þ©÷ > ©² ±
Û ?@
<±²±Ì©Í ¼
Ç A n
÷ 
<©ê©
¨ B©"Â C
Æ ©Ì©
Í  10. D 30
÷ !
(©
ç E©»©
¸  8
÷ F©
â G©Æ©Ç©È©Ê©Ë±²±Ì±Í©Î Ø 3
÷ F©â©
Ó 
F©Â Ø 2
÷ F â©É©¸ 3
÷ !©ÂÄØ 2
÷ F©â©É©¸ 6
÷ !©ÂÄØ 1
÷ F©â©¸ 12
÷ !
 11. §©¨©÷  n


©ê©
² H
I©¶©¿±ù±¨©÷±®±¯±Ó r
² 0
J©Â
Æ L >
©² N
÷ 
©¶©
· K
 L 0
J©¶©²©Ì©÷
Í M ©Î (1) )©¸ "¹ + (2) Ø©¸ "¹ 6©ß©Ã©Å Î a) n = 100, r = N = 3; b) n = 100, r = N = 10 N©O  7"P
Q
R©
Þ 3©¿ 0S%1©²±Ì±Í  12. ©¶©¸©Ø©
#!± û 5!±Â§±¶ )±¸º¹¼» 8±÷±À±ù %±Ø±² !Äö±÷±Ê±Ë±²±Ì±Í P±®±Î (1) T ¨©÷©À©¨ù©4
² !©
Ó "!+ (2)
Ï 9©¨©÷©À©ù©
² !© Ó 5!U 13. ©¶©¸©Ø©
¨ 4 "!±
û #!±Â§©¶±Ø±¸º¹¼»©½±À V!WX± V!±Ð±Ô©T ²±Ì±Í±·±
¯ Y . 14. ©¶©¸©Ø a ÷ "!©û b
÷ #
!©Â §©
¶ )©¸ ¹‡
» 8©÷©À©ù %©Ø±
² ! Æ k ÷©À©ù©
² !©Ó  !©²©Ì©
Í  15. ±¶±Ø a  ÷ 5!±û b ÷ #! (a 6= b), §±¶ )±¸º¹¼» 8±÷±À±ù %±Ø±L ² !Äö±¨±÷±Ê±Ë±²±Ì
Í P©®©Î (1) L ©
¨ N
Z
%©À©ù©² 5!©ý &#
!±ý '¼Û (©Â (2) ©
¨ N
Z
©
¶ [©È©²  !©
ý &
#
!©ý '‡ Û ( U5±Æ±ù \
4±Ê±Ë²©Ì±Í  16. ]©Ø 2n
Á ^
_© Q©Ù©Ã©Å `abc 1 d 2n, à©Ø 2n
÷ e
f© Lg©Ã©Å `±Ø \4bc ;©
» D
^
_
h

e
f©i 2±
÷ efh 1
Á ^
_
i©
Æ 2©
÷ e
f
&
h × j¼
² ^_±
² bc±ú©û ó©Ó©ü©ý©²©Ì©Í
 17.
Þ ©
Û k
l
m©»©É©ð©ñ©¨±ò±ó©ô±
² no"©Æ±Î L ɱð±ñ n ï©
ú 9©Â
Þ ©ñ©ù©Û©Ð±ï±
ý p Ù©²©Ì©Í
 18. D©¨©ª©«©¬©­©®©¯©°±²±³©´± µ qr
s9t±ê©¨ u±  ±Æ©Ç±È±É±Ê©Ë±²±Ì±Í©Î (1)
Ï Q©Ù 4
Á v©Ó A; (2)
Ï Q©Ù©¨©Á©û©Ï©È©Ù±¨±Á©ó±Ó A; (3) É A
ú w
w
x©Û©Ð©²©Á±ý l. 19. 2 z ¨ yz{z| Ø N z÷ }zb zç Ez~z €Â ]z
vzP{
©Ø n y  r z÷ z‚ z² }zbz€WzX Î T 1, 2, · · · , n y©Ã©
Å ©Ø r , r , · · · , r
÷ ‚©
² }
b ( r = r) ²©Ì©Í©Ó 7.

1 2

n

1

2

n

j

j=1

r1 r2 rn CN + CN + · · · + CN . r CnN

20.

21.

22.

23.


ƒ
„
…
†
‡©ù 17 ˆ
ƒ
„©Â ש¶ "„ 10 ˆ©Â‰#
„ 4 ˆ©Â‰Š
„ 3 ˆ©Â L
‹
Œ ¶
%©Ø©²
ƒ
„ ²

Ž
©Â$
‘

©¾
D.\
4ƒ
„‡
’“
‰”±¨©÷•
‘±Ó 4 ˆ "„©Â 3 ˆ
#
„©û 2 ˆ
Š ©„ ²
’
©“ ÂE
–
%
± ²±* Աǩý1—•©‘ ²±Ì±Í±: î
˜U D n ™
š
›
|
© œ ꩨ
©  ¨
© ž Þ© Ÿ ñÂi 
9D
%©1 ² 2n ©¡ ¯
¢

;©Ã©ê n é©Â‰2©é©ä
£©ê ¨
™
©¤ ² “š
› ”, Æ
©¥ È©É©Ê©Ë©²©Ì©Í©Î (1) \ 2n ©¡ ¯
¢
v
Ÿ
¦
§
¨
©©ê
ª«©²š›
+ (2) ó©Ó
©  ²
© Ÿ Ã
&
© ž ²± Ÿ ñä
£ ¬· a, b, c, d Ó©Ü
­ a + b + c + d = 13 ²©Õ
¡

®
¯©ý©Â L ¨©ï
°©µ
±
²©¶±Â Æ
³´
µ¶©É ¸
— a, b, c, d ¹
#
º
»
¼
½ p (a, b, c, d). ¾
¿
À
Á
¡
Â
Š
Ã
Ä
Ã
Å
ÆÇ
È»
ÉÊ
Ë Ì Ã©Â
Å
Í
”
Î
Ï
Ð
Á¡
ÑÒÓ Ô
Õ
Ö
Î
»
×
Ø
ÙÚ
¼½ p(a, b, c, d), Û
Ø
Ü (1) a = 5, b = 4, c = 3, d = 1;

(2) a = b = c = 4, d = 1;

(3) a = b = 4, c = 3, d = 2.

§1.6

ÝßÞßàßá

27

â ãäåäæ ä çéèéêéëéìéíéîéï"ðéñéëéìéòßóéíßôéõßöé÷ßøéùßúéûßüéýßþßÿéë
ßìßí §1.6





1.6.1   ø 1 ÿéþéï   x, y  z ÿ 3 ß ï!
"ßù
#
$
% 3 & 


'
(

)
*
+ßÿßë

 ,
-/.
0
1
2 ï ù
#
$ 43 (x, y, z) 5
6
7 

8
9ßï4:ßó 3 ;
<
=?> ÿßí
 
!ß  ó
@
ßA ùßúßÿ


8
ß9 ÿ
B
C
Dßó %ßó

; <
=?> ÿßí

E
F
G
!H
Ißþ
:ßó
J
K x + y + z = 1 > ÿßí

)
*
+

L 9$ A 67 3 & éù#+)*+éÿ
HMßïON
PH
M A QRS ïOTA 3

Ω = {(x, y, z) | x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} ,

@
#
U
A

x + y > z, y + z > x, z + x > y.

y, z) | (x, y, z) ∈ Ω, x + y > z, y + z > x, z + x > y} , :ßòßó
J
K A x=+{(x, ÿßí

)
*
+ (V
W
X 1.2). y+z =1 > Y éóZ
éÿßï/@#ßî[
 (x, y, z) ÷ Ω > \] ^éïO_` .0 C
a
Z
b
 P (A) D
U
ßP ø

)
*
+ A ÿ
K
c
d
)
*
+ Ω ÿ
K
c
e?f4!g
h
i
I j
k
l
m >
n4o 1
2 ïp)
*
ß+ ÿ
K
c
ßD ó
q Lebesgue r
 p@
# .
0 

$ L(Ω)  L(A) 6
7 Ω d A ÿ
K
cßï!%
s L ó Lebesgue ÿ
t
u
!ßó
D
A P (A) =

L(A) . L(Ω)

(1.6.1)


x y
ï z
{
|
}
~

|
€

‚ v
w !ƒ Ω „ A y n …
†
‡ R ~  Lebesgueˆ
‰
Š
‹ L(Ω) Œ L(A) 
Ž


‘
’
“
 n … Lebesgue‰
” í
• 5
– ïz÷ 1 ;
— ß C ï Ω d A ˜
˜ ó

ß ïp` S : 0 ÿ Lebesgue r
 Dßó 
ßÿ

™ ÷ 2 ;
— ßC ï Ω d A ˜
˜ ó
š
ßN ÿ
J
K X +ßï›` S : 0 ÿ Lebesgue r
 Dßó
J
K X ß+ ÿ
K
c ™ ÷ 3 ;
— ßC ï!N ˜
˜ ó
œ
c ™ øßø
 L ß ` í 5 ï!
ž
Ÿ
ß  ÷  1.6.1 > A P (A) = = .

1.6.2 ¡
¢4£
¤ 
¥§¦©¨
ª 6 S
« 7 S e =
¬
­ ¥
ß® ï!¯ ¤
°
± ÷
²
®
³ ´ 10 
µ
!
"
¶ 0 ùß÷
²
®
·
߸ ÿßë

 ,
- # (x, y) 6
7
£
¤
¬
­ ²
ß® ÿ S
= ï!N
¹ 1
L 9
# A 6
7
£
¤ ÷
²
Ω®
=·
{(x, ¸ ÿ
y)|H
ß ß M 6 ≤ï!xN
≤A 7, 6 ≤ y ≤ 7} , v
w

n

(1.6.1)

L(A) L(Ω)

1 4

 A = (x, y)| (x, y) ∈ Ω, |x − y| ≤ 61 .

28

ù
#
b
 £
¤
\ 

Zß÷ 6 S d 7 S e Âï Áßù
$ßðßñßëßì
Ã
e
ÂÄ
Åßï ]' 
^ß  5/6
ÿ 

É
*ß
ø Ê
)
*
+
e
Ë

ßó Y4Ì
Í

ö
 

c


5 2 6

L(A) = 1 − L(Ac ) = 1 −

L(Ω) = 1, (1.6.1)

º?»4¼ ½
¾
¿
À =
ó߬
í
­ 
²
' ®ßï! @
#ßÿ
î
Æ
[
Ç
 +ß(x,ïÂÈ y) ÷ Ωó
É
>4\* Ω @
1# A (V
W
X 1.3), L(A) L(Ω)

=

11 36 .

÷ þÎÏŸ > ï .0Ð $Ñ L(A) = L(Ω) − L(A ), %iéðéñÉÒéóÄÅéÿ é Ó
Ô iß
ë
* 
5 ß  ï þ
Î
H
Ißòßù
# 6 Î
 P (A) =

11 36

=

.

c

L(Ω)−L(A) L(Ω)

.0ÕÖ× íØÚÙ ÛéëP (A) H
=Iéþßóßí r= 1 −ïÜPË
(AÝA ). P (Ω) = 1, @#²éø Í  Þ ± ó r
 û
ßßÿßí

à
á


1.6.3 ÷Úâ ãéþäå 3  A, B, C, " ∆ABC æ*)*+éÿéë ,ç- $ E 6ç7 ∆ABC çæç*ç)ç*ç+ ÿçHçMç!è ÷ ÿçéçê ó L ñ 6 Î Ω  ÄçÅ ùç#çëçìíâ ÿçîçï ó 1, âñðç O.  ó ∆ABC çæç*ç)ç*ç+ øçòç E.  90 , È%éô øòõ AB, BC, CA ÿ \ó  π. ABC, BCA, CAB \ó Ä
Åßù
#
ö
÷
ø?ù4ìßí

ßï Y ²

®
ú
û?â4ãßï›?â4ã
ü
É
ßí &

  2π ÿ 

!Å
ý  ²







þß ïÿ
þ
þ þ þ
 x, y  z ÿ 3 &   é ó ±
% 3 & é ÿ °ó  π, N ∆ABC éD óæ*)*+ é% îéí 5 ï  1 ù Õ Ω  E 
 6 Î
 6

6

c

_

◦

6

_

_

Ω = {(x, y, z) | x + y + z = 2π, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} ,

0 < x < π, 0 < y < π, 0 < z < π} . Y 
ßó
A
=
{(x, 
ßy,ÿßz)ï!| @
x +#ßyî
+[
z = 2π, ÷ Ω \
] 
^ßï!Á Y4Ì
Í (1.6.1)   (x, y, z) L(E) L(Ω)

. J þ K  þ     þ ÿ  J þ  þ É  ï ²þJþKþþþ í þ  1.6.4  =  a  ÿ (l < a),
"
d
É

· ßÿßë

 %

é
ê
 Buffon 
é
ßê ï óßë
m > ÿßí

é
ê (V
W
X 1.4). ,
- # E 6
7
d
É

·ß ÿ
H
M
 .
0 5  L ñþÎ Ω  E. ¹ 1 ï ßÿ  ù Y :ßÿ >  ¬ ÿ
É
ßÿ  ρ, #
:
d
É
ßÿ
* θ  ì
!@
#  Ω = (ρ, θ) | 0 ≤ ρ ≤ , 0 ≤ θ ≤ È
d
É

·ß ï!P
Ý
ßP ï ρ ≤ sin θ(V
W
X 1.5). @
# .



P (E) =

1 4

=

a 2




øßî
[


π 2

l 2



@
# Y4Ì
Í

  (1.6.1)

(ρ, θ)

L(Ω) =

πa 4 ,

÷

Ω

L(E) =

P (E) =

sin θ .

>4\
R] 
^ßï!@
#
$
ßðßñßëßì
!¹

E = (ρ, θ) | (ρ, θ) ∈ Ω, ρ ≤

L(E) L(Ω)

π 2

0

=

l 2

l 2

sin θ dθ = 2l .

2l πa .

l

§1.6

ÝßÞßàßá

29

¨
K  ë
m > ÿßí

A
é
êßï!
@" Bertrand # m !:ßó$% l& 5   h Bertran  1889 '()
5 ÿßï Bertran *) Ñ
:ßÿ 3 ô
 ç
Ã$ßï!Ë
  ¬ Ñ 3 ôßç,+,é - ï%D,. éí  ¤,/ P S ÿéë
m > ÿßí  ë0  Ç,$1 R Ñ,23Ü_ `4
 # m 

1.6.5 ÷5  â64÷ß7 íß8 ï!
"8 g
 √3 ÿßë

 ,
-/.
0 # E 6
7 8 g
 √3 ÿ
H
M
!é
ßê ó L ñ
Î Ω  E. 9,:,; ,,<- ,=b,é8 ÿéí,> A n o åéì ï éê j é ÷Úâ éã þå,é? í,>  B. é ó Ω éD ó,@Úâ ã Y ,5  Oâ ÿA6CBÆ)*é+ ÿ
' ø
 √3, @# Ô #  í,D,7,5  Oâ ÿA6CBÆ)*+ ∆AM N , NPÝ,P,8 AB d' M N ·, é A S ïE8 AB ÿ #  g √õ 3, Èï!` N
S A > B  õ5  Mâ Nÿ?þéâ4ï ã @# E éD óõ M N(V W
Á X Y ðß1.6(1)). L 6
7 L(Ω) = L ( )= 2π, L(M N) = . ñßëßìßë
Ì
Í (1.6.1)   _

_

_

2π 3

_

L(M N ) L(Ω)

= 31 .

9F; ,<
- ÷5  â64å
ìßí & É
ï M N , ±GH d M N I Éßÿ8 AB, ` S 8 ÿ AB  ÿ >  d?Kâ4ð Tß÷
²
ÿ É
ïßþ
› @
#ßù
ï
8 É
ï Mÿ N 7
 g
 Ω. √¹ 1 ï›P
Ý
P8 AB O 
ó S AB
 3(V
W
X 1.6(2)). @
# > K P (E) =

1 2

ßó

 E = K| K ∈ M N, |KO| < 21 .

L(Ω) = |M N | = 2, L(E) = 1,

Á Y ðßñßëßìßë
Ì
Í L(E) L(Ω)

= 21 .

L(E) L(Ω)

= 41 .

(1.6.1)

  -

9,J,; ,,<- 8 AB ÿ   Y :éÿ >  K ÿ , Ûìéï ¹ 1 ï PÝ,P >   
# 1/2 
î
ïßÿßç
ð?â4eK6 S ïL8 AB ÿ
 g
 √3. @
#ß÷
%
sßï Ω D K ó@
5  â ï E Dßó
# 
î
ïßÿßç
ð?â ï L Dßó
: 0 ÿ
K
c (V
W
X 1.6(3)). Á Y ðßñßëßìßë
Ì
Í (1.6.1)   P (E) =

1 2

%éô$ßçÃ,$  ¬ ßç8 m ÿ,M,Nßï .
0,O ó,Pßí,Q
¸ ¬ SR,T
,UßþÎ
à +
ÞVßïù 1 1 R ߝ ç
8 m ÿW
_ßó - êYX > ÿ “÷7ßí8 ” ÿZ[
\]^ßï _ Èßù / q7_ßô
ßç
a
Ãßï i
È`a / î
[ <
= Ω  

H
M E ÿ
ßç
a
Ã
 %   ç ÿþaþà / êbX > ÿZ[þ]þeþ®7þÑþ ç ÿcd ï.þeþþþ ç ÿ ëþþÏ Ÿééê ï_`,1 R,),e ôߝ çéÿ
8 m òD
f # ÑéïÜ_
: 0 HIßþéó / ßç é
ê
@ *) ÿ+-
 gh 1.6 1. iLjL
k Ò 1.6.2 È
ËmlLnLo 3 pLqLrLsLtLuL
j Ówv Ù
Ûyxyzy{y|y}y~ Ü (1) 3 pLqLL€L ÖL‚L|L}L~Lƒ (2) „L…LnL†LpLqLL€y
 Öy‚y|y}y
~ Ó P (E) =

º »4¼ ½
¾
¿
À ? 2. ‡LˆS†L‰LŠL‹LŒLkLyŽLyÓEiy‘L’y“y”Lnyy•ykL–y—y|LŽy˜y™›šSœyyžLŸy y¡y¢E£‡¤‰ ¥ ˆS‰L L¡L¦L§L¨ykLyy‹y© 3 ¥ 4 ªmžOÓÙLnL‰L L¡Lžy¨y«y¬L­ Úyyy|L}y~ Ó 3. ®S‚L¯
Ð S | 4ABC šSœL°LŽL± P , Ù 4P BC |L‚L¯LªL² S/2 |L}L
~ Ó 4. kL³L´
ÖLœLµL†L± A, B ¶L·LŽL¸L¢m¹LœLµL†L± C, D ¶L·LŽL
¸ ÓÙL¸ AB ¥ ¸ CD ºL» |L}L~
Ó 5. kLŽL¼L½LnL¾L¿LÀLÁLÂL|LÃ
ÖyÄLÅy°LÆyŽLÇyÈL É Ð 1 |LÊL
Ë ÓÌvLÍL¢ÌÎL¿LÁLÏLÐ a ªL²LÑ …LžL¢mÊLË ¥ ¿LÁLÒyºy»y|y}L~yªy² 1%? 6. kLÓLÔ (0, 1] šSœLµL†LpLÕL ÚLÛLÜLÝ ² 0.2; (3) €LÞL†L¢ ßLÙLàLxy”LÖLáLzyâL{yã |y}L~ Ü (1) †LÕL×LØLªL² 1.2; (2) †LÕL×LÙL| 7. äLÐLå l |LæLçLœLèLéL· 3 çL¢êvLàLëLxL§LzL{L|L}L~Lì (1) ’L“LLíL·LŽLpLîLïLÀLƒ (2) ’L“LðLñLÐL|LÒLòyó . 8. kLÓLÔ (−1, 1) ÞLœLµL†LÕ ξ, η, ôLõLöL÷L¿Lø x + ξx + η = 0 |LöLùL¢mvLàLëLxyzL{y| }L~Lì (1) ’L“L”LúLûLÕLƒ (2) ’LüL”LúL¾LÕLã 9. kLýL‚LÞL½LnL†LþLºL
ÿ LÈy|Lý yÈLæy ¢ ’y
ü yýL‚ pLåyŽ LÖyÏLÐ aØ b
| LÀLã ® ¥ ýy‚yÄyÅ y° yŽyÇyÐ yå 2r | 2r < a + b − (a + b) − πab , vyà  y„y…
Ž 
L½LÈLæLºL»y|L}y~yã 10. LýL‚LÞL
½ 

¥ L
Ô 


yå a L
ý LÈLæL¢m ® L
ý 


yÇLÈyÉLå R LÊLË (R < a/2). LàLÊLË œLLÈLæyºy» 
yã 11. 
! "! #
$
%&
')(*y
ð +yè 
,-y.ã yà -/
$%&yð 
yã 12. ( 
LæLçL
Þ +
0
12 3 ,
-L.ã L
à 3 3 ,
-
/

4
5
,
-
67
yã 13. 8
Lå a + a LæL
ç 9

-

:
8


;yå a < a 
5
=
L>ã ( LæL
ç +
0
12
  n ,
-L.ã LàLì n ,
-L
ð ?
 m ,
-
/

8
Lå a 
=
L
ð 

Lã 14. ( 
,
$
%
&L
ð +
0

 3 ,
-
'@L
à AL
ü &
:
B
CLîy
ï &6
D-
Lì (1) E
LîLï &
F (2) $LîL
ï &
F (3) GLïLîL
ï &Lã

30

2l 3

2

2

1

2

1

2

1

H IJKJLJM J NPOPQPRPSPTPUPVPWPXZYP[P\P]PUP^P_PXZ`PaPbPcPdPUfeZgihPjPVikPXZlPmPn oqpqrqsqtqsqu Uq^q_qvqwqx sqtqsqyqz Uq{q|q}!~qqlqmqn€ƒ‚ yqz…„ {q|q† ‡ZˆPYP[PX
‰PŠP‹PŒPX
PkP\P]PX
`PaPŽPnPxP`PPPŽPUP‘P’P“P”PX
•P–P—P˜P™Pš `qaq^q_qUqq›qX!QqœqqžqŸq‹q q“q”qUqNq¡q¢q£qxq¤qdq¥q¦qUq§q¨ª©q—q« pqr ¬i­ UiViWi} limini®i¯i°²±)Yi[³€´‚PQiœ yizqµi¶ X*·²€³e.gP¸i¯PQiRPSiTPxP` aP¹Pº³»)UP°P¼P½P¾P¿PÀPUPPÁP} lPmPnPÂPÃq^P_PÄPP›PX!—q`PÅ r °PƁǃÈPUqÉqkPUq} 300 ’PÊPËPX!ÌPlPm nPÍPÍPÎPÏPÐPXZÑP—PÒPÓPšPÔPUP°P¼PÕPÖP}ZQPœP˜P×P|PØPÙPXZÚPÛiÜPÝPÞiÞPßPßPU PÁPVPàPÒPÓPÐPXZáPÄ r ‘P’PâPãPäPåPUPæPçP})è)†PéPêPâPãiëPìPXZíPÝižPîPU p ïPX´QPœPðPñ r äP–³»)UP¥P¦P} 17 òPó ÐPX´ÒPô³»)UP°PõPöP÷PøPUPQPùPú³û)üPœ Uqýq[qþqÿ


q}!ÌqÐ

qUq°qõ
qö

qUqýq[qþ

 r ö
…U
qnqX ~ §1.7

§1.7



31

}ªèPÕP¹PlPmPn³»)UP°Põ
PUqlqX!ÜPÝq°Põ
 “ ¾   ” RPlPmPUPãP}Z˜ ¬ UPÉ!PVPk³»)XZöP‘P’P["PnPÅ  ¾PÂ#iæPçPX%$ PnPÅPlPmPn³»P& ¼PlPU'(PdPæPçP}%)P~PXZöP½*PQ+PÅ,.-/0iUPð1P}%2 34P—P–³»)°PõPQPUPð1567 ð1" ,/0P8 ý P ¢9:P8 ý P ¢9:P; m Fermat, Pascal

Buffon

4040

2048

0.5069

De Morgan

4092

2048

0.5005

Feller

10000

4979

0.4979

Pearson

12000

6019

0.5016

Pearson

24000

12012

0.5005

Lomanovskii

80640

39699

0.4923

< = œ t>? °P2 üPœPUPðP1 }ƒ~@PÜ 8,-/0³»9:PUP¢8PýPXCBD fn (A) =

A

3A,9:PXĆ

Nn (A)

3AP˜

n

Nn (A) n

4.Ei¯.9.:iU.i¢.;imi}è)Ô.F3.G³»´UPý.HIiXJ9:PU.P¢.;Pm f (A) ú.Ki˜ viX ·.O.,.-.i 8 ý s ’iXPi; m f (A) 4 siµ M † 0.5. Q °.R.S.3UTV7 (1) 0.5 L.M.N ˜,-/0PUPð1³»)X% P†P¢9:PxP¢W:PU  ¾PÂ#.XYP—ZiŽPU[ (2) N ¡
R
q \ ^q¹qUq¾qÂ
q# —q°
q] ¾qÜqVqà
^
q_ U
`
a
qb ˜qU
q_ XCqc Tq˜ u ý
q_ U
d
e ð³ 1 »Pf ÅP; m f (A) Wg t [ (3) P; m f (A) ¾PÜP®P¯PlPm P (A) U Mhi X ·OPÌPð18Pý n j >Pu ÐPX Mh k^PT ­ à „k } l —PX QPœP$ ½PÂP½mPn ÄPÔF3³ P F »)UP½opqr7tsu “,-P8 ý s ’PX ;Pm f (A) 4 sPµ M † P (A)”? Qvw ˆP½PÂP| “ε − δ x ì ” ty PF }CPz ¯ = œ ½PÂP{n|PU ε > 0, } ÄP°]f‡ZˆPý n , ~ p P° n > n PÂP¸€ n

n

n

n

n

0

0

|fn (A) − P (A)| < ε.

(1.7.1)

RSPÔPXZQPœP˜ Qv P$ ½P— Q ]nPX Qv U “;Pm f (A) sPtPsPµ M † P(A)” U ‚ƒ {PÌP—„ “NPO n U … u X (|f (A) − P (A)| ≥ ε) ^P¹PUP¾PÂ# sPtPs † ”. ¿ "P‡ X “NPO n U… u CX R\ {|f (A) − P (A)| ≥ ε} UP^P¹PlPm n

n

n

ˆ û)†

P (|fn (A) − P (A)| ≥ ε)

(1.7.2)

ˆ‰  ° t X
QPœ4‹Œ r °]ŽPÜ N U‘q³»7
°: “;Pm µ M Q Š †ilim ” 3U´ T limi—i°.].`.a.bi˜iX*·.O.;PmP¾iÜP®i¯PlimPU Mh.i [J’i°.:PX ;Pm µ M †PlPmPU ‚ƒ“ ÷”‹•–
fPÅ “lPm ˆ † 0” ty FP}!†P—PX!QPœP½P 0 .”

—™˜š ›œž

32

½ æP°Ÿ7 “¨ ¡DP—PlPm ”? ¢ PÔ Bertrand £ nPUP¢PX ~ p °PõPQPPÌPÐ P Uilimin²»´Ui°iõil.ix.iãPÕi¹ r.¤¥ }*†i—PX QPœi½ p ½¦.§.:P Q ¼.¨:PX ©Pä ªPU «PãP%} ‰Pä ªPU «PãPÑPöP°]PX Q 4P—¬­PlPmPn ‡Z÷PUiŽPn®¯i}Z˜ Êq
U °
±qýq[qþ u TqÔqX Hilbert ²
³ qU 20 òqó {qä
ªqU 23 ]qýq[qæqç 1900 »)´ X 4µ Q ]PæP ç ¶P˜P–³»)} ½PÅPX Hilbert  — µc¶P˜PýP[PÖPŽPæPçPR³»)UPX ˜ ÌP Ð ·¸PöP Q ¹¦PlPmPnP—P ° ]PýP[ >º C X zP ¯ c·¸P ö opPUPýP[PŽP n ®¯P} lPmPnP U opPUPýP[PŽP n ®¯q—P˜ 20 òPó 30  Ê »¼YPUPC X cP { ½¾P† Kol€q
U ÀqŽq
d Á
Âq} Q
¼ ÀqŽq
d Á
ÂqU ¿ €
Ž…
ù Ä
Z…nq
x Å ^qn…U mogorov ²
¿ ^q_qC X $
Æ
f r lqmq
n Çq
¢ »qýq[q
– c >
º
U È
Âq} =
œ Éq
˜ 2q
° ÊÌ » Ë
Í Kol.U ÀiŽi.d Á.Âi}.˜ Q ]ÀiŽPd Á.Âq2iX ² öPUPlim ÎP.ç p Ä r opPU mogorov ÏFPtX ÐÑ “;Pm µ M †PlPm ” U ( ‚ƒ X Q 4 ~ p QPœP¾PÜ yPzP„ ×P| Q ° R S t ä ªP‘P’PæPçP} ¢P ˜ 4 t ËÍP–³»)UP ° ]P{P|P} ÒÓ ) 1.6.4 »)U ,ÔPæPçPX!˜ B v  p ÔÇ
ÕÖ
×
ØÙ
ÚqUPlqmP¯ P (E) = ×P| Q  ° Û@Px “;Pm µ M †PlPm ”  U RSPÝ X ÜP ¾ Þß7 Ñ –,-P U 8Pý n j . > ’PCX ;Pm f (E) 4PT j >P„Pµ M †PlPm P (E), à ì qPX!~ @P˜ n 8,-³»)CX Ô Ç×ØÙÚ r m 8PCX BDPÌ n j >Pu CX 4PTPö 2l πa

n

n

áâPö

mn n

≈

2l πa ,

QœPù4
æã
rä °= Öœq¬PX!¸¾qÕPÜ
õfqÅ u {_
çPd
Ue
è,
éPÔq} Xªèƒ¼Ô
PF
ãPÀ
‚å
EP
¯  π U M
h
i } PQ ãP4q}ƒ¯ è)†= Monte Carlo iãi¢i²€ oipiriy e ð.1i¾iÜ.fiÅ..i¡ tê.ë Si¢PQX ² Ü Monte Carlo u _.d.i ì |PXCP) ~P¾PÜP|c t P°PõíîPýP½ï3PUYð > X  } z UP ; m µ M †qlqm ”, 3ñT r lqmqU
`
a
qb ˜qXC$
3ñƒT lqmq¾qÜ
fqŅð
1 t 1 q “ ò }%l Q ÑP—PæPçPUP°]:P}Z{PÌ„PXZ·P½P— ² öPUPlPm PÂ.fPÅPð.1 t 1 ò UP}VP ) ~PX´Õ]ódPô QPb ºPÐPõ Uö “Pb º 3 ]P÷ UP¾PÂP# ½Pø Å 15%” » U 15%, P 4 ½P—P°P] ¾P| u _dPe ð1 t P Ü1 ò UPlPmP} Q ¼ö tù †Pú ¹PU úP[ÞûPX%úüP`1PÜPÝPôPQôýPU r äPx ˆþ öPXZ’*.ÿPö
aiß
PX ² Ü öPQµ Q RPlPmP E ¯
aPlPmP} ÜPÔPU

 w p öPõ

P  XP ÂPö
P † u þPPlPmPnPU r äP} π≈

2nl mn a .

 §2.1

     

  30 

!
"
#
$ Kolmogorov %
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/
0
1
2
$
3
4
&5-565758:95;5+5,5-5<5*
=?>@%5A
$53
454
B5CED5F
G5H
I
%5&
'5(
)5J
K54
L +5,5-58:M5N5O5P5Q5$5+5R
S5&
-58ET5M
N5*
45L
+5,
U5V
$
)5U
W5X
Y5K
Z5[
$ 6
C Kolmogorov %
&
'
(
)
\
"
#
G
]
^
-
S
_
`
-
$
6
7
a
$
Ccb
d
e
f
g h 7
{
4
|
i
} 0
(
j
~
k
8T
l
\
3
-
}8nm
p
o
q
p
$
q
C r
s
tvu@w
x
y
Cne
f
z
F
45i
j
k
l53
8nD
[
A € _5`5-5$55‚5s5ƒ58:+5,5-
$5%
&5'
(5)
„5…
†5‡
8:ˆ5j
…
i5t
\5‰
_5`
$
&
-
s
Š
‹
+
,
&
-
Œ
0
C 20


 Ž


‘
’
“ €5” =5•?–—8:˜5™?š—›5W5œ5
ž5Ÿ
 5\
¡5¢
£5¤
$5¥
]58EQ5\
5ž
¦5~v–—
N §5¨ T55N5… §5¨ $5=5©5ª5f5$
]5^
C:˜
™5«
¬
5ž
Ÿ5 
8:\
*50
W5œ
Q5$
­5®
 N
¯
$
g
§°
8±
+
,
C²´³
µ´¶
8·e
f } A ¸
¹

ž
Ÿ
 
8˜
™
$»ºn$´J
=´t´\ [
N
¼
½ P (A). G ” =
•v–@8˜
™
¾
-
i
¿
©
+
,
À
Á
C Â
à +
Ávu@w
Ä
Å
8ÆD
[
Ç
È
½ § 
ž
Ÿ
  A S
¡
¢
£
¤ Ω –@$
¡
¢
‚
I
3 } 0
CËÊ@Ì
G Ω =
Í
D
F
F
Î
I
¡
¢
‚
8! }
Ï Ω $
Ð |A| S |Ω|, Évu@=vu@t
 Ñ ¥
]
8Ò
 }
Ó § ˆ
+
,
C Ñ +
Áv–@8Õ
\
[
‰ A S Ω $ Lebesque _
` L(A) S L(Ω) svu@C˜
™
G Ô Ö ›
×
i
8 Ï Ì
Ø
Ù
8Q
$ Lebesque _
`
t
\
Ú
`
Û Ï Ì
Ü
Ý
a
Þ
£
¤v–@$
ß
Õ $
ä Ô Ñ
à
á 8Q
$ Lebesque _
`
t
\
Ý
â
Þ
(
â
C! } Ñ´G ഔ á=
•v–@˜
™
„
z
F
ã ê
ë
i
êå
¡
o
$
æ
ç
CÆF
C=
è
ì \
á
8í
±
î9 Ç ΩÂ
\
ï Ü
$
Ý
Ü
a
Ý $
à
=
á I
8Æß
Q
Õ
$
$
Ý
Ô â
\
ð
ñ
8V
Q´½
$
$ ¥´(]´G
T
_
é´`
\ –
ò@ó § Lebesque …

_
] ). e
f
ô
Q
™
T
½
õ

ž
Ÿ
 
8öm
o
Q
™
$
­
®
+
,
t ð
½§ s
0
C*
0
Š
÷
H
I
ø
ù
8·˜
™´t
D
N´ô
´ž
Ÿ´ 
δ/
* Ω –@$
=
ì
 } ñ
½ Ý
â
$
¥
]
C ú5û ˜5™5ü5[5ý5þ5ÿ

 |
 $5+
,5À
Á58:ü
é5ã ä ©5$5C:! } ˜
™ [ Ï å
o
\

ž
Ÿ
 
õ § =
ì
ß
/
C §2.1.1

33

   

34


’ “ σ   G
ÿ
ø
ùv–@…
N
ô
¡
¢
£
¤ Ω $
=
I
¥
]
Ò
½
õ

ž
Ÿ
 
8! } ˜ ™5[5s5¾5-5e Ñ
 /55ž5Ÿ5 5$
—C ²5³5µ5¶
8
5 } ô Ω $
}5ì& 5¥5]5½ õ

ž
Ÿ
 
Cc*
d
˜
™
[
s
"
#
=
ì!
Õ
8c„"
H
ì!
Õ
[#$%
8 Ì'
‰
C () 8˜
™
[
ô Ω ½
õ

ž
Ÿ
 
8+*
J
*
Z  Ÿ
 ´Cb´*
Q Êö=,´
N´$´¦ ~
ª
f-
<
8b
d
=
/
­
®
8±
F P (Ω) = 1. ˆ/.´8e´f § Ì´«´¬ $/0´[´8[´ô Ω $´¥´] E ½´õ´Ÿ´ ´8m´o´Q´$/1´] E T
½
õ
Ÿ
}  
8cb
§ *
Q
¸
¹ E …
­
®
C Ê@Ì

ô E ½
õ
Ÿ
 
8c¶ E $
­
}®
+ ,§ P (E) \
 } ½ s
$
8H
T
t234 E …
­
®
$
+
,
8± P (E ) T
\
 ½ s
$
C! E T
=
/
\
Ÿ
 
C ”5 8 e
f {E , n ∈ N } \
=6
Ÿ
 
8 m
o S E ¸
¹
Q
™v–87#
F
=
I
­ ®
8! } S E T
\
Ÿ
 
C e
a 59 ß
/
Ò
\:;
^
&
$
8 ¨ G
˜
™
ô
Q
™<
K
s= ˜
™
ô Ω $
 } õ
*

ž
Ÿ
 
$
¥
]
$>
(?
õ F, ‰ E ∈ F ¸
¹
¥
] ä E \5 
Ÿ
 
CA@ F t
\vÊ Ω –@$
=
ì
¥
]
!B
<
$ “¥
]
© ”. ˜
™vš@›C $ 9 ž
ß
/
\= §2.1.2

c

c

c

∞

n

∞

n

n=1

n

n=1

(1) Ω ∈ F;

e
f E ∈ F, m
o E ∈ F; S (3) e
f {E , n ∈ N } ⊂ F, m
o E ∈ F. ¨ G´$´ø´ù´\/=\/D´D´[´a/E 3 9 ß´/´t´¼´0GFc4´i´j´k´l´3´-´$/H/I´x´y JLK H´I´ø´ù´Cb´* € _´`´- –ö$´´‚´s´ƒ´8+M/N´a/E 3 9 ß´/´$´¥´]´© òöó σ O Þ σ
3
8QP
F
ÿ
z
F< § $´¯/Q
CH´ì´¯Q/N }R/S Q´NM/N´˜
™´«´¬ +
,
$0
[
Cz
F
4
i
j
k
l
3
-
$HI
8 }
€ K
Ý
$
¾
-v–@0
Š
H
ì
¯Q
C ¨ G´˜´™´t´s´¾´-´G´+´,´«´¬ –öF/´ì/0 Ó 8+$/M/N´a/E 3 9 ß´/´$´¥´]´© Ñ MN
H
ì0 Ó $
C F \
e § 8´Ê@aE
ß
/
 }
˜
™
W
œ 8 Φ ¸
¹
…

N
Ÿ
 
8öQ@
G F –@Cö…T
ƒ U § Φ ∈ F. Ÿ
j
a
8ËÊ (1) W Ω ∈ F, ÉvÊ (2) ±
W Φ = Ω ∈ F. e5f E , E \5¿5I5Ÿ5 58 m5o 9E ∪ E ¸5¹ E§ S E –7
#5F5=5I5­5®5}58 €b5d E ∪ E T

@5\5Ÿ5 5CWVX5a
E 3 z5F
< H5=5‚58 è5} \5˜5™5¶58  a 9 U § E 3 ß5/?– } H5=5‚5s5C:Ÿ5j5a
8 Ê—Ì E , E \5Ÿ5 58:! Q5™5Ò5G S F –—CZY Ê—Ì Φ ∈ F. ! e5f
[ E = E = · · · = Φ, m5o?Ê (3) ±5; E ∪E = E ∈ F. H
=
ª
-
T
 Ï F
Î
I
Ÿ
  E , · · · , E $
„
] S E <
#
C\HI
 }^]8_8U` C c

(2)

∞

n

n

n=1

c

1

1

2

1

2

1

2

2

1

3

2

4

1

m

n

n=1

∞

n=1

m

1

2

n

a8bcdef 35 G 3 9 ß5/?–—z5F5Ñ ý5þ5Ÿ5 5$
9 g58:è
U \5§ Ÿ
 5$g
¸5¹
H5ì
Ÿ5 h
i
­5®
8Z@  T

5\5Ÿ5 5C m5o5e ʗa
(E ) 3 ß5/ H5=5‚
jkFAl {E , n ∈ N } \5=
65Ÿ  
8c±l {E , n ∈ N } ⊂ F. 8c˜
™vÊ (2) 
W
F {E , n ∈ N } ⊂ F. ˆ.
8 Ê û 8 É?Ê De Morgan ñ5Õ5S (2) W T E = S E ∈ F. S (3) W5F E ∈ F; m H
tU no
˜
™
86
I
Ÿ
 
$g
]´Tp
Ì F. e
f[ E = E = · · · = Φ, Õ  W
F
Î
I
Ÿ
  E , · · · , E $g
]p
Ì F. m û 8˜´™´s´ƒ´e Ñ/U § ¿´I´Ÿ´ ´$/q´€ ]/p´Ì F. Ÿ´j´a´8e´f E , E \´¿ I
Ÿ
 
8m
o
Q
™
Òp
Ì F. Ì
\ E ∈ F, $ E − E = E E ∈ F. H
t
¶@8@D
[ F MN
0
!6 § $ 3 9 ß
/ (±
D
[ F \
=
I σ O ), m
o
G F –@trs
0
˜
™
Gt;2u
a
!
¶
$
!
F

ž
Ÿ
 
C b
d
8 ˜
™
D
[
ô F ß
/ á <
$
=
I σ O 8 „"
D
ô F –@$
<vvò@ó

ž
Ÿ
 
8 tN *v Ê Ω $
=
ì
¥
]
! }RS ˜
™
«
¬
+
,
$0
[
0
C+t;
8˜
™
ô
H
¡
$ σ O F ò@ó ’
“ σ  . *
0 & Ì ú
û '
‰
8˜
™w § e
K
/u= xy 2.1.1 z
¡
¢
£
¤ Ω $
=
ì
¥
]
!B
<
$
© F ò@ó
Ÿ
  σ O 8e
f
Q MN
e
K 3 9 ß
/= §2.1

n

c n

n

∞

n=1

c n

c

∞

c n

n

n=1

1

m+1

m+1

2

c 2

m

1

c 2

1

1

2

(1) Ω ∈ F;

D
[ E ∈ F, t
F E ∈ F; S (3) D
[ {E , n ∈ N } ⊂ F, t
F E ∈ F. hi
˜
™
T
ô
a
Ý
$
¾
-
ª
f<
<
/
&
$ á{ = x| 2.1.1 l Ω *
¡
¢
£
¤
8e
f F \
ˆv–@$
Ÿ
  c

(2)

∞

n

n

n=1

1◦ Φ ∈ F; 2◦ 3◦

e
f
e f
e f

{En , n ∈ N } ⊂ F,

m
o

∞ T

n=1

{En , n = 1, · · · , m} ⊂ F,

m
o

En ∈ F; m T

n=1

En ∈ F

„"

σ

O 8Õ
=
/
F= m S

n=1

En ∈ F;

m
o E − E ∈ F. §2.1.3 }~
’
“ σ €‚ƒ Ï Ÿ
  σ O $B
<
õ
0
=
ì„
Õ
¯
$
ß
/
8 ˜
™0
[…
= @ Ê
Ì  / u 2.1.1 D
\ † 8
Q
$‡u
CŸ
j
a
8+ˆ/‰
H´ì´ß
/´8˜
™´ } G/h
=´I
¡´¢´£
¤ Ω –8BŠ § ÿ
…h
$ Ω O s
C˜
™ ) ƒ
=
ìP
(
$
Ÿ
  σ O $‹
¥
C y
W
8 O {Ω, Φ} t
\
=
I σ O 8nb
*
QMN
/u 2.1.1 –@$ 59 ß
/
CnH
\
=
I ܌
$ σ C 4◦

E1 , E2 ∈ F,

1

2

     MN
/u 2.1.1 –@$ 59 ß
/
8
e f A \ Ω $
!
F
¥
]
$>
(
8@m
o A @ ! } Q
\
=
I σ O Â
C Ã H
\ Ω –@$
=
Im
g
$ σ O (2
O ± Ω –@$
ˆ
Q σ O >
Òr‡ +
Áv–@8˜
™
t
\
H
¡Ž σ $
C G A – ). ‹
e
G =
8@Oe
f F S F \ Ω –@$
¿
I σ O 8@„" F ⊂ F , m
o
} ˜
™
t
¶ F \ F $
¥ σ 8 „"
¶ F u F °
8 ÞI
¶ F u F ‘’ 8 T
 ¶ F u F g
Þ“”
C e5f5˜5™5G55ž5¦5~?–—8:D
•–
—
=5© ¨
˜ \
D
­5®
8Z$
p
} Ì5H
© ¨˜ $5!
O F 
N
ª
fB
<
¡
¢
£
¤ SΩ $
=
I:
܌
O ¥
] A, m
o
˜
} ™
t
 ô
˜
™
¨$ ˜ σ Ž * {Ω, Φ, A, A O} (…T
~ H
\
=
I σ ). H
\
=
I
 ‰
s
¾
-
d
© ­
®™ D
$m
°
$ σ C e
f
ø
ù
ý
þ ä ¿
© ¨˜ 8+p
Ì
Q
™
$
} !
F

N´ª
fB´<
¨/¡
˜ ¢´£
¤ Ω $
¿
I ­´®™/D
$/m´° :
܌
O ¥
] A S B, „" B 6= A , m
o
 ‰
s
¾
-
H
¿
© $ σ \š
¡
$j^F (
) 8 Ω, A S B Ò

@
p5Ì σ O F, „
" F ü

@
r
s?ʗQ5™ § ­58 õ5=
,5 N
$g
§ 8c„
SŽ1'
½
!
;  ä û5$
Ï !
F
$
]
^ (Ω $
¥
] ). Ì
\
˜
™ () t
iŽ1' Q5™5õ
g
„
'5½58E;5WÏ AB, AB , A B,} A B , A ∪ ½58E; Φ, A , B p5Ì F, B, A ∪ B, A ∪ B , A ∪ B p
Ì F, è
\
ü
…
¼
8b
* H
ì
¥
]
ü
 õ/g
8·„ ä SŽ1'
½
8Ì
\¨ Y
; ¿´I›´$´¥
] AB ∪ A B S AB § ∪ A B, Q
™
T@} p Ì F. 7
d
ä ˜
™
­ 8 É
T
§ …
Nt
i
õg
8 „
SŽ1'
½
; ˆ
Q
¥
]
0
ä C ! ˜ ™vš@›œ Ê Ω, A S€ B } ­
8 õ
=,

N
$¨
g
˜ 8 „
SŽ1'
½
!

N
;O $
!
F $5]5^ (Ω $5¥5] ), $5 ‰5s5¾5-5H5¿5© ­5®™
D
$
m
°5$ σ –—=5Í
r s 16 I
Ÿ
 
8Q
™
\= 36

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

{ Ω, Φ, A, Ac , B, B c , AB, AB c , Ac B, Ac B c , A ∪ B,

Ac ∪ B, A ∪ B c , Ac ∪ B c , AB ∪ Ac B c , AB c ∪ Ac B } .

ä 0 σ O $
P5(ž5C z5F545i5j5k
l
35-
$
HI
8  5 t 5 i 5 H
I 5 ‹ 5 ¥ 8 5 ˜ 5 ™ ƒ }
€ H
I‹
¥v–8…
= † 0
Š σ O $
¯Q
CH
I‹
¥n/o
˜´™´8Z/Ÿ € w´/
$´=´ì ]
^ § ­
8Æô “Ž1
Sg
8Ƅ ” '
½
= …¡
K¢
8£  ä O …
N
; ä ›
$
]
^
*¤
C d !
F
$
]
^ (Ω $
¥
] ) B
} <
$
]
^
©
M
\
=
I σ CËÊ@Ì
G
H
I‹
&¥v–@ä8+m ¥ i
§ w $
]
^
D
F
F
¥ Î
I
§ 8c! ˜
™
D
õ
0
F
Î. “Ž1
Sg
8c„ ” '
½ œ 0 !
F
$
ª
f
Cne
fm w } $
]
^
F
6
I
8nm
o
t
ZŸ
õ
ð5Î.Ž
1
8nF
Îg
8 6g
8F
Î
„
86
„ þ
Q
™
$¦
^'
½
M¡
C *
0 & Ì ú
û 9
‰
8˜
™w § e
K
/u= xy 2.1.2 z Ï !w § $
=
ì
]
^
!
õ
$ ê
ë Ž1´8+Ž/g
S/Ž
„/'
½ } þ´Q ™
$¦
^'
½§*
* Borel '
½
C

 a8bcdef  37 ˆ‰
H
=
/u
8 σ O t
\
G Borel '
½
J
K¨©
$
]
^ (Ω $
¥
] ) ©
C @  8 ˜
ä ™
ü
F
=
ìœ § σ O –@!
F
<v
$ª
ñ
C«Ñ ‹
e
8 G¬
M
$‹
¥v–@8 e f
˜
™­2 e
K®
I
]
^ AB, AB , A B,Ï A B –@Ð ¿
I
…¯g
8„Ï"
Q
™
 $ „´]´t´\ Ω, ˜´™´ô´áH´{ ¡´$´=/-´]´^/*´* }³Ω & $´=´I±ä °/² . m´o´t´D´[ Ç – $
<v
õ
=,

N $Ž
„'
½
8t
 
; !
F 16 I
]
^
C } a
!
¶ ä $vÊ 16 I
Ÿ
 B
<
$ σ O 8 \ € w
/
$ Ω $
¿
I
¥
] A S B § ­
8+t
i
õ Borel '
½
; ä $
8˜
™
ô
H
I σ O *
*vÊ {A, B} ®
<
$ σ O C =
˜
™
F= xy 2.1.3 e
f A \ Ω $
=
I
¥
]
©
8m
ovÊ A –@$
]
^
õ
=,

N
$
F Î.
S
6. Borel '
½
!
; ä $ σ O F *
*µ´ A ¶· σ  , ?
õ F = σ(A). O  }O S @8 σ(A)  \  r
‡
¥
] © A $m
°
$ σ 8@„"
Q
\r‡
¥
]
© A $ !
F σ $g
CL@  σ O $g
ü
\ σ O Cö4
i
j
k
l
3
-
$HI
 }^]8_8U` § H
ì
ª
-
C ¨ G
˜
™
s
¾
-
j 
Ø
a
$ σ O C ¸ 2.1.1 z Ω ¹
*
j 
Ø
8+[= x)| x ∈ N } , A = {(a, b)| − ∞ < a < b < ∞} , S 8= σ(AA ) == {(−∞, σ(A ). º = Ç
È? F = σ(A ), F = σ(A ). () 8 Ï Ð Ñ j
3 x, Ò
F S (−∞, x) = (x − n, x), } Q
\
6
I
F»¼½
¤
$
„
]
8! §2.1

c

1

c

c

c

2

1

2

1

1

2

2

∞

n=1

±

(−∞, x) ∈ σ(A2 ) = F2 , ∀x ∈ N ,

b
d F = σ(A ) ⊂ F . ¾ J
8 Ï Ð Ñ
j 3 a ™ b, a < b, Ò
F=

A1 ⊂ F 2 ,

} þ

1

1

[a, b) = (−∞, b) − (−∞, a) ∈ σ(A1 ) = F1 , {a} =

b
d
t
F= ¿ ±

2

∞ T

n=1

[a, a + n1 ) ∈ σ(A1 ) = F1 ,

(a, b) = [a, b) − {a} = (a, b) ∈ σ(A1 ) = F1 ,

A ⊂ F , b
d F = σ(A ) ⊂ F . À
^ aE
¿ ³ Ý
8±
W σ(A ) = σ(A ). t
i
aE
¾
-
W
8 GvÊ A = {(−∞, x)| x ∈ N } !
®
<
$ σ O σ(A ) –@8«rs 0
!
F
$
F»¼½
¤
S
Å
‚
]
8@b
d
T
trs
0
!
F
$
F» (
¼ 88©
88Á¼Â©
8 2

1

2

2

1

1

1

2

1

    }ÁG©Â¼ σ )O ½
–@¤
8+C rÊ@s
Ì
0
j!
 
F
Ø
$a
¼
$
]
Ð
Û+=$
¼
Ð
]
=Ò
©
\]
7Ò´
\¼
6
]´I
$F1´»]
¼8½
! ¤
} $
G„
 ]
σ8ÆO! –@8Ars
0
!
F
$©
]
C@Ê@ä d

W
8nG σ€ O –@8Ars
0
!
F
$vÊ8¼
]
S©
]
õ
= ,

N
$ Borel '
½
!
; $
!
F
]
^´C ]´^
-´S´_
`´ä - (±
j
k
l
3
- ) –@˜ ™
O W
œ
8öÊ8¼
O ]
S©
} ]
$
©
õ
=,

N
$ Borel '
½
!
; $
!
F
]
^
!B
<
$ σ O ¾ *
* Borel 8n! σ(A ) r‡
0 } Borel C ¿ J
8@Ê@Ì A = O {(−∞,À x)| x ∈ N³ } \
j 
Ø
a¼
]
©
$
=
I
¥
©
O 8n! Ê σ(A ) Zr‡
G Borel –@C ^
H
¿ ä Ý
8 ±
W= σ(A ) t
\ Borel C É
ª
^‹ 2.1.1, ˜
™
t
; 0
j
k
l
3
-v–@$
= IÃ
[
ª
-= x| 2.1.2 j 
Ø
a
$
e
K 3 ë σ O ¯h
8Ò
\
=Ä Borel O B : O (1) Ê8>
(
F»¼½
¤B
<
$
©
!
®
<
$ σ Û O (2) Ê@¥
]
© {(−∞, x)| x ∈ N } !
®
<
$ σ Û O (3) Ê8>
(¼
]
S©
]B
<
$
©
!
®
<
$
$ σ C O B G5+5,5-?–—F
Å
Ã5[5$

Æ58 =

z5j
 5Ø5a5$ Borel O ?5õ B . B Borel –@$
]
^*
* Borel 
_
]
8 Ä*
* Borel ]
8 ˜
™
‰ B ∈ B ¸
¹ B \ Borel ]
C € j
k
l
3
-v–@W
œ
8e
f
G
£
¤ Ω –8w § 0 σ O F, m
o (Ω, F) t*
*
= I

_
£
¤
C §2.1.4 
Ž
ÇÈ G ” 1.7 Év–@8 ˜
™ Ö ›Ê äË , f (A) ™
+
, P (A), Ì § Ë , f (A) 4 n $Í
gÎ
sÎ
pÏ
Ì
+
, P (A), b
d
¸@+
, P (A) $Ð
Ñ
G
Ccè
\
8c*
0
Š
‹ å
ovò@ó “Î
|
s}Î
ÓpÔ Ï ”, ÒY
…
;
…
‰
+
, P (|f (A)ï−Ù P (A)| ≥ ε) 4 n $Í
g Î
sÎ
°
s CÌ
\
8+ÕÖ
0
=
I
+
R×Ø
$ C Ú \
*
0ÛÜ
H
I ïÙ 8+Ý
™
MÞ
a
0
%
&
'
$
ϧ
C  +
, P (A) \
= ë Ð
Ñ
G
8c! } t
 }  
p € 3
4
aw
Q
= ëÓÔ Cc˜ ™ ¨ G
tà
s
ƒ
ƒ@
e ÑÓÔ +
,
C / Ω \
=
I
¡
¢
£
¤
8˚@›
G
Q´a´ÝO w § 0´=´I
Ÿ´  σ O F, Ì
}\
˜
™
t F
0
I

_
£
¤ (Ω, F). Ê@Ì
˜
™
D
 ô σ FÓ –@$
]
^vò@ó
Ÿ
 
8! t
D0 Ï[ =
ˆv–@$
]
^ (Ÿ
  Ó ) /u
+
,
C § +
,
5\ 9 E
Ó Ÿ
 
­´®
´N
¯´$
=
I/á
8·m o
QMN
ì
[ j^Fn…T
ƒ 8e
K [ \
ZŸMN
$= () 8 Ï Ð Ñ Ÿ
  E, Ò
F P (E) ≥ 0; ˆ.
8+
F P (Ω) = 1, b
* Ω \
Z  Ÿ
 
Û ”5 8e
f {E , n ∈ N } \
=6
¿
¿
…g
$
Ÿ
 
8m
o
t
F   38

1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

P

∞ S

n=1

En

=

∞ P

n=1

P (En ).

 a8bcdef  39 ˜5™5ô5H 5
9 Z
Ÿ
M
N55
$59 [ Ó Ó Ç
È?ò@ó
:â
¯58:ß5¯
S565 | ¯
C ¨ G
$ ø5ù5\
= “\
D5D5[
M
N5H € [ t5¼´0
j^F ” ˜5™5¶58n¼
5/059 Cn45Ó i5j5k5l535$HI
x
O yã@H
=
‚
8b
* _
`
-
$

‚
ƒ´s
8+M/N
H [ $ P t
\
/ u
G σ F a
$
=
I
ß
$
_
`
Cö*
0
9
!
FHI
Ò
N
&
Š
8ö˜
™
s…¡
Š
‹
C ä  8G´˜´™´$ 5/9 [ Ó J´K´8+´I´Ÿ´  E Ò Ï ´0´=´I/á 0 ≤ P (E) ≤ 1. ! } P \
/u
G σ O F a
$Žå
̽
¤ [0, 1] $
=
I
]
^
l
3 (Q
$ ] ká
\
] ^
8± E ∈ F). ˜
™
s
ƒ
ƒ
H
I
]
^
l
3 P ü
F
ì
¯Q^F * & Ì
¶
µ
8˜
™z„
s
$ 59 [ Óæ Içè= 1 éêë Û 2 ìíë Û 3 îïîðë C Q
™
Ò
\
]
^
l
3 P $
¯Q
C˜
™
[
sñ
‰
Q
™ U § P $
ˆ
Q 8 9 ¯Q= §2.1

◦ ◦ ◦

4◦ P (Φ) = 0.

b
*
e
fŽ b
d

E1 = E2 = · · · = Φ,

m
o ]  F

Ei ∩ Ej = Φ,

i 6= j,

\
=6
¿
¿
…g
$
Ÿ
 
8+òvÊ@¯Q

{En , n ∈ N }

∞ [

P (Φ) = P

En

!

=

∞ X

P (En ) =

ä  H
Ió { D
F
G P (Φ) = 0 i
M
N
<ô
C 5 õöîðë =
e f {E ,k = 1, 2, · · · , n} \ n=1

◦

n=1

k

P

Ÿ
j
a
8D
[
G
¯Q 6 îøë = e
f E ◦

3◦

1

–8[

n S

Ek

3◦

=

k=1

n P

W

∞ X

n

I
¿
¿
…g÷
Ÿ
 
8m
o

P (Ek ).

k=1

En+1 = En+2 = · · · = Φ

∈ F, E2 ∈ F,

„"

P (Φ),

n=1

E1 ⊃ E2 ,

Õ
F

±

C

ù } Ê@F
Î
 | ¯
W

P (E1 − E2 ) = P (E1 ) − P (E2 ).

b
*
di

E1 E2 = E 2 ,

$

E1 E2 ∪ E1 E2c = E1 ,

P (E1 ) = P (E1 E2 ) + P (E1 E2c ) = P (E2 ) + P (E1 − E2 ).

7◦

úûë = e
f

E1 ∈ F, E2 ∈ F,

dvÊ@ü
¯ô
;
C 6◦

–8[

E1 ⊃ E2 ,

P (E1 ) ≥ P (E2 ).

8◦ P (E c ) = 1 − P (E).

G
¯Q

„"

E1 = Ω, E2 = E

±
;
C

Õ
F

40 9◦

    ðý x| =
e f {E! , k = 1, 2, · · · , n} \
Ð2 n I
Ÿ
 
8m
o k

n [

P

k=1

Ek

þ Ȑ
8e
f

=

k=1

X

+

1≤i<j
n = 2,

n X

P (Ek ) −

X

P (Ei Ej )

1≤i<j≤n

P (Ei Ej Ek ) + · · · + (−1)n−1 P (E1 E2 · · · En ).

(2.1.1)

˜
™
F

˜
™
‰ÿ

ñ S @H
I
ª
-
C @ n = 2, y
W
Ÿ
  E E , E E , E E ¿
¿
…g
8„"

P (E1 ∪ E2 ) = P (E1 ) + P (E2 ) − P (E1 E2 ). 1

2

c 2

1

c 1

2

E1 ∪ E2 = E1 E2 ∪ E1 E2c ∪ E1c E2 ,

ù }

E1 E2 ∪ E1 E2c = E1 , E1 E2 ∪ E1c E2 = E2 , P (E1 ∪ E2 ) = P (E1 E2 ) + P (E1 E2c ) + P (E1c E2 )

= {P (E1 E2 ) + P (E1 E2c )} + {P (E1 E2 ) + P (E1c E2 )} − P (E1 E2 )

à l/@

= P (E1 ) + P (E2 ) − P (E1 E2 ).

i ª´-´
P

k+1 [

Ej  = P 

n = k+1

k [

i´8+¹

A=

k S

Ej , B = Ek+1 ,

j=1





Ej  + P (Ek+1 ) − P 

k [



Ej ∩ Ek+1  ,

i ÷
ª
-
Ö
ˆv–@8
& û ±
W n = k + 1 i
ª
-
T
<ô
C  10 /ë = e´f {E , n ∈ N } \´a /÷´Ÿ´ /ç/6´8± E ⊂ E 1, 2, · · · , Õ
F !

Éz

j=1

n=k

j=1

◦

n

n

∞ [

P

"
F

n=1

þ

n=1

∞ [

n=1

=

=P

m [

An

En

lim P

m→∞

/ë = e´f  1, 2, · · · , Õ
F

n=1

!

Õ
Ÿ
  A , A , · · · ¿
¿
…g
8 Ì
\vÊ@¯Q 3 S
¯Q 5 W

∞ [

An

n=1

P

!

=

∞ X

1

◦

P (An ) = lim

n=1

2

m→∞

m X

◦

P (An )

n=1

= lim P (Em ). m→∞

{En , n ∈ N } 

n=

n→∞

n=1

!

n+1 ,

= lim P (En ).

2 A1 = E1 , An = En En−1 , n = 2, 3, · · · , ∞ m S S An = En Em = An , m = 1, 2, · · ·.

P

11◦

En

n=1

˜
S™< ∞

j=1

Ì´\ Ê

∞ T

n=1

En



\´K/÷´Ÿ´ /ç/6´8± = lim P (En ). n→∞

En ⊃ En+1 , n =

 a8bcdef  Ê@Ì
di {E , n ∈ N } \
a
÷
Ÿ
 ç6
88ò
vÊ@K


¯
S Õ
;
W
a


¯
C 12 îðë = e
f {E ,  n ∈ N} \
=6
Ÿ
 
8Õ
F §2.1

c n

◦

n

∞ S

P

En

≤

De Morgan

ñ

P (En ).

) Ê | ñ
/
&
Sÿ

ñ
8 S  | ¯=  ; •
Ì
F
Î
I
Ÿ
 ÷.
 S P n=1 m

É[

∞ P

41

P

n=1 m

En

≤

P (En ).


„ 

K


¯
±
; 12 . H5¡5=5s58 ˜5™ & } Êm ¥ ¥ ù5ß
/
÷÷ 559 9 ¯
Q U § 0
õ5* “+5, ” ù


P5F ÷ù
F
ˆ
Q
¯Q
C£ù 8£ám { ù
ß
/÷÷ ¯Q
\ “+
, ” ÷m
6
¢÷
¯Q
CÆb } d
˜
™
 <
<
/u÷ = xy 2.1.4 l
F

_
£
¤ (Ω, F), *
/u
G F a÷
]
^
l
3 P *
+
,
_
`
8 e
f
QP
F
e
K 59 ¯Q= Ï Ð Ñ Ÿ
  E, Ò
F P (E) ≥ 0; 1 éêë 8 ± 2 ìíë 8 ± P (Ω) = 1; 3 îïîðë 8 ±
e
f {E , n∈N  } \
=6
¿
¿
…g÷
Ÿ
 
8m
o
t
F S P n=1

n=1

◦

m→∞

◦

◦

◦

n

P

∞

En

=

∞

P (En ).

„"
˜
™
ü
 } ô
e
a÷
¾
-
ª
f<
<
/
&= x| 2.1.3 +
,
_
` P P
F
aE
¯Q 1 7 12 . n=1

n=1

◦

◦

˜
™
ô
/u
0
+
,
_
` P ÷

_
£
¤ (Ω, F) *
*
+
,
£
¤
8+?
* (Ω, F, P ). ¸
 §2.1.5 ÇÈ

 *
0

HI
0
Š
+
,
£
¤
8˜
™w § +
,
£
¤÷
=
ì‹
¥
C @­2
8Ð Ñ +
,
£
¤
Ò´F 5 I´[
/=¡´¢
£´¤ Ω, Ÿ
  σ O F S
/u
G ˆ
a÷
+
,
_
` P . ¸ 2.1.2 (Bernoulli 
 ) l Ω \
=
I
¡
¢
£
¤
8 A \ Ω ÷
=
I:
£ { ¥ ]
8 F = {Ω, Φ, A, A }, p *
°
Ì 1 ÷ Ú 3
8+? q = 1 − p, [ = 1, P (Φ) = 0. ä  e
d
/u÷
]
P^
(A)l
=3 p,P MP N
(A+
) ,
= _
q, `P÷
(Ω) ¯Q 1 7 3 , € $ (Ω, F, P ) t
\
= I
+
,
£
¤
8+*
* Bernoulli 
 . G


=



=.÷
¦
~v–@8Ž Ω = { Ú Ý
8 ¾ Ý }, A = { Ú Ý }, e
f
 
*§
÷
8Õ
F p = , e
f


…§

8Õ p 6= . c

c

◦

1 2

◦

1 2

    ¸ 2.1.3 (õö ÇÈ

 ) l
¡
¢
£
¤ Ω = {ω , ω , · · · , ω } *
F
Î
]
8 Ž
Ÿ   σ O F * Ω ÷ù
F
¥
]ùB
<÷
© (F –@Ï Í
F 2 I
¥
] ). l p , p , · · · , p * n I:â
j
3
8F p + p + · · · + p = 1. Ω ÷
=
I
¥
] E, [ 42

1

2

n

n

1

2

1

2

n

n

X

P (E) =

pj .

(2.1.2)

j: ωj ∈E

… TË~ S P M NË+Ë,Ë_Ë` ÷˯ Q 1 7 3 , þ ù } P \Ë=ËÏIË+Ë,Ë_Ë`Ë8+ò õ ö Ç È . È  8e f  I {ω }, Ò (Ω, F, P ) \ = I + , £ ¤ 8+* * [ P ({ω }) = , m5o (Ω,ê F, P ) t5\5=5I!
Ç
È!! . =
5F5Î5+5,5£5¤
™ Â
à +
,
£
¤÷½
È
t
G
Ì I
6
¢
Ÿ
 ÷
+
,
"
Z¯ó
C ¸ 2.1.4 (#
$ÇÈ

 ) l
¡
¢
£
¤ Ω = {ω , ω , · · ·} *
6
]
8£Ž
Ÿ
  σ O F * Ω ÷
ù5F5¥5]
ù
B5<
÷5©5C l p , p , · · · *5=
6
:
â5j5358 p +p +· · · = 1. Ï Ω ÷
=
I
¥
] E, %ˆ (2.1.2) { /u P (E), Õ

~ S P \
=
I
+
,
_
`
8 Ì \ (Ω, F, P ) \
=
I
+
,
£
¤
8+*
*&#
$ÇÈ

 . ¸ 2.1.5 (€'()/Ç/È* ) l´¡´¢´£´¤ Ω +´j/ ´Ø´a/÷/P´F Ú Lebesgue _
`÷—
I Borel ]
8+Ž
Ÿ
  σ O F + Ω ÷ù
F Borel ¥
]ùB
<÷
©
C Ï 
I E ∈ F, [ P (E) = , S P \
=
I
, ˆ-
v.
– /
L(E) S L(Ω) Ç
È
¸
¹
]
^ E ™ Ω ÷ Lebesgue _
`
Cc…T
~ 0 Ì
1 (Ω, F, P ) 1
2
3
, -
4
5
06
7
8 2
9
:
;
,
<>=8÷
, -4
5
?A@ B
C
D
E
F n 9
:
;
, -
4
5
? þ
G
H
0I
J Ω 8
K
L
5 (0, 1), M
N σ O F 8
L
5 (0, 1) =QP
R
S Borel T U R
V
W
P C 0X
Y
Z
@ B
[ P \
] L, 7 Lebesgue .
/
? ^
_ 2.1 1. ` P (A) = P (B) = 1/2, acb P (AB) = P (A B ). 2. ` A, B, C dce 3 fcgchcijacbck (1) AB ∪ BC ∪ AC ⊃ ABC; (2) AB ∪ BC ∪ AC ⊂ A ∪ B ∪ C. 3. ` a, b dclcmcijncocp a ∨ b qcr max{a, b}. scacbcijtcucvcwcfxgxh A y B, zc{ P (A) ∨ P (B) ≤ P (A ∪ B) ≤ 2[P (A) ∨ P (B)]. 4. acbctcucv n fcgch A , · · · , A, zc{  T P ◦

◦

j

1 n

j

1

1

2

2

1

2

L(E) L(Ω)

c

1

n

n

n

P

≥

Ak

P (Ak ) − n + 1.

cd ucv n fcgchci A = S A . sc| A qcrcd n fc}c~cc€ccgchcc‚cƒ 6. ` A „ B dcec…cgchcijsc†c‡xˆx{xcgxh X, ‰ (X ∪ A) ∪ (X ∪ A ) = B. 7. ` A , A , · · · , A dcgchci‹Šcgch B qcrcgch A , A , · · · , A Œc { m fcgchcŽccƒ acbck

5.

`

c

k=1

A 1 , · · · , An

n

k=1

i

i=1

c

1

2

n

m

c c

1

2

n


‘
’
“
”
•
–
—>˜
™Qš
›
œ

§2.2

43 P

n−m

 Œ `

P (Bm ) = Sk =

P

`

P (lim inf An ) ≤ lim inf P (An ),

dcgchcPijacb

n→∞

A 1 , A2 , · · · , A n

9.

`

O

d

4

<

n→∞

i=1

 xx¡x¢xx£x¤xi

P (Ai ) − 2

P

B = σ(O) = σ(J ).

n→∞

n→∞

P (Ai1 Ai2 ) +

1≤i1
P (Ai1 Ai2 Ai3 ) + · · · + (−2)n−1 P (A1 A2 · · · An );

d   x{x¥x¦x§x¡x¨x©x£ª¤xƒ«axbªk

1≤i1
J

lim sup P (An ) ≤ P (lim sup An ).

P

n

P (A1 4A2 4 · · · 4An ) =

10.

P (Ai1 Ai2 · · · Aik ).

dcgchcžcŸcijacbck

1≤i1
{An , n ∈ N }

8.

m (−1)k Cm+k Sm+k ,

k=0

<

Œ 

Borel

¬

­ ®¯°¯±¯²¯³¯´¯µ¯¶¯·¯¸º¹¯» ¯ ¼
½ , -
.
/ P 12 ¾
¿
À 0@ B
Á
Â
Ã
Ä P
Å
Æ
Ç
<
È
:
;
Ç
<
É
Ê ? Ë
Ì>ÍQÎ
Ï
Ð
ÑÒ Å
Æ
Ç
<>= ÑÓ
Ô 4
5 Ω = {ω , ω , · · · , ω } ]
S
Õ U Ñ M!N σ O F ] Ω P!R!S!T U R!V!W!P C (F =×Ö!S 2 3!T U ), Ø!Ù!3 {ω }, Ú!S P ({ω }) = . Ë
Ì [
Û
Ü 2
Ý
Þ
Ê Ñß>à Ç
á
É
Ê Á
Â
â
ã P
ä
å Ä Ó ¿ ? æ 2.2.1 ç
è
é
ê
2
ë
ì
í
P
î
T 2n + 1 ï Ñ×ð
ñ ê
ò
P
ó
ô Ä
õ
ö ô
P
Ç á ? ÷
ø
ù
ú 2
3
Å
Æ
Ç
<
É
Ê Ñû
ú ¼
½ ó
ô Ä
õ
ö ô
P
M
N E ü
ý
Ø
þ
M
N
Ñ @  B  Ó
Ô  3  ? E P
Ø
ÿ
¿  B E 
ê
ò
P
ó
ô Ä
õ
ö ô
P
M
N Ñ õ Ö
é
 Ñ R B EZ ú ê  
 ï ê
ò
P ö ô Ä
õ ó
ô
P
M
N ? õ î
T ú ì
í
P Ñ R B P (E) = P (E ), 
S §2.2

1

2

n

n

j

1 n

j

c

c

c

2P (E) = P (E) + P (E c ) = P (Ω) = 1,

1 2

ù Ø
þ
M
N
P Á Ê ã Ñú Ç
á>= Î ½ P
?  3
Þ
T ? æ 2.2.2 2n 3  n 3!"#$ Ñ Ù#  è ?
%& ñÌ"'"( H") W"* + Ñ
,
ð  S #-
è !./
P
Ç
á ? ?21 ø Ω Z ú 2n 300!P0*04 +05 P 0 B E 0 !0 S 0  0 # ! è 0 0 ! 0 . ! / ! P ! M N U06 Ñ R B |Ω| = (2n)!. û!ú |E| !70809 ð0:!Ñ2; ]!ý =×P0<0=?>A@B0C Ñ2D0EF G G S
: 3#
P  3
è !./ IÑ HDG  3
è.J ÄK ÑILL ? û
ú Ø!þ
M
N Ñ2N 7 Ï
Ð |E | = 2 n!, ; 6!Z S P (E ) = = E 0 0M0#0-!è!0 Ú 0 . /  ¼
½ Ç
á
P
¿
À 8 , 7 :

c

c

P (E) =

n

c

◦

P (E) = 1 − P (E c ) = 1 −

1 (2n−1)!!

.

.

2n n! (2n)!

1 (2n−1)!! .

O PQ RS
’
“T  æ 2.2.3 UWV>=QS n − 1 3YXWZ
È 1 3[Z Ñ Ù
ï\>= '( \
ò 1 3Z Ñ
] ^_ 1 3YXWZ Ñ I
6 Ö` k ïa` ? ,
ðb k ïa`c
\
ò
PZ ú XWZ
P
Ç
á ? " B E " b k ï"a"`"c\òP"Z ú XdZPMN ?
1 ø Ω Z ú k ï\ @e Pf J Ñ 7 Ï |Ω| = n . ûú |E | !789 ð : ÑËÌ  G E . ZP  R S b k ïa`c\òPZ ú [ZPMN ? õ UV = 7 ÑÏ E  * e Ö g S 1 3Ñ [  ^ _  Z Ò Ñ ú Ñ  ú j Ñ õ ZBk *h ç
ïÑ
i
n\
oò p P
Ú XWZ ú ô ù\Óc b g \
òYXWÑ Z BR Ñ E lm k − 1 ï\PÚ XZ gS k ïq\[Z R |E | = (n − 1) , \r

= 1− , P (E ) = 1 − P (E ) = 1 − 1− . P (E ) = Is P
Þ
Ê DE Ø n F <tu ? ^YQw Hx \ n 3 Ñxð
ù n 3
æ 2.2.4 \ 0, 1, · · · , 9 ù 10 3> v W = !  Pyz @ B i 10 {
| P
Ç
á ?  B E  ù n 3
Pyz @ B i 10 {|
P
M
N Ñ 1 ø S 1 ≤ n ≤ 10. ÑË
Ì
g \*3v Ñ
}~}€ v ú 0 c @ B i 10 {| Ñ R B n=1c P (E ) = . Ñ R!S00v00i!\!ò у!‚ Ì P0y0z0* E @ i 10 {0| Ñ R B P (E ) = 1. n = 10 c Ò ý„<t s ÑËÌ B A  Ñ ½ B   R  \  ò P n 3v = S 0 PMN R\òP n 3v = … S 0B ûú n 3  Pyz @ B i 10 { | PMN ?
1 ø S 44

k

k

c k

k

c k

c k

c k

k−1

(n−1)k−1 nk

c k

1 k−1 n

1 n

1 k−1 n

1 n

c k

k

n

1

1 10

10

n

An Bn = Φ, An ∪ Bn = En ,

N 7 ð:

M†‡

P (An ),

n

R

P (En ) = P (An ) + P (Bn ). n |Ω| = C10 , |An | = C9n−1 , C9n−1 n . C10

s  ôÒ  ð P (B ).Ñ ú 0, ; 66 ≤5n* ≤E 9 E c \
ò R
Ñ \
yò
zP q n@ 3i 10v>=W{* | Ò |‰ 0 È 5 Š
‹ P
ý„ 8 3v>= x \ Ñ
; P (An ) =

n

P (En ) = P (An ) + P (Bn ) =

Œ
G
H ÑË
Ì S

Ò

R B

E S ˆ Ñ} B lm c Ñ€ ˆ! ? |‰ 5 Š‹ Ñ ý„ n − 1 3v @ 6 |B | = C ,  n

n

C9n−1 + C8n−1 , n C10

C98 +C88 9 C10

n−1 8

6 ≤ n ≤ 9.

= = 1.
Ñ 
Ñ Ž Ñ
]~H \ò‰*3‘ E 2≤n≤5c B lm 5*  i  \ ò ? Ò 5 i
\
ò
P<t s Ñ ý „ n − 1 3
]
P
\ ã S C 
Ñ R B 0 ˆ : P (E9 ) =

9+1 10

n

|Bn | = C8n−1 − C4n−1 ,

n−1 4



P (En ) = P (An ) + P (Bn ) =

C9n−1 + C8n−1 − C4n−1 , n C10

2 ≤ n ≤ 5.


‘
’
“
”
•
–
—>˜
™Qš
›
œ 45 æ 2.2.5 (’“”• _ ) [ m 3!P–Z L @eH^_ n 3!P—T Ñ ,
 𠘙 —
ò % P
Ç
á ? m > n. 0 [ ˜0™ —!ò % P!M!0 Ï Ω *04 @0e P ^ ã0› W Ñ S |Ω| = n . N ! š ] E. 7 û
ú |E| !7 ð : ? Ë
Ì  ð P (E ). B A  b k œ—
T ú ™ —
P
M
N Ñ k = 1, 2, · · · , n. 7 Ï E = S A . ËÌ  ¼½ Çá 㠞Ÿ P (E ) = P  S A . õ MN A · · · A P   ú ™ P Ñ R B € M
N 0 –Z0
Ú  0¡
ý0„ n − i 30—!T 0 0 ? b WL j  , · · · , j œ0—!T!Ú @ e ¿
P¢£ Ï = §2.2

m

c

c

k

n

k

k=1

n

c

k

j1

k=1

1

i

B¤¥ _ Ç
ᝠ㞟 Ñ
¦:

P (Aj1 · · · Aji ) =

(n−i)m nm

= 1−

!


i m n

.

 m  m 1 2 = Cn1 1 − − Cn2 1 − n n k=1  m n−1  m X n−1 i n−2 n−1 i−1 1 + · · · + (−1) Cn 1− = (−1) Cn 1 − . n n i=1 c

P (E ) = P

n [

Ak

R B ˜™ —
ò % P
Ç
á
]

S

Pn−1


i m n

s ô  3
:
;
Ç
<
É
Ê Ñ
‚
Ì Ú ú  é §
É
Ê
P¨© ? ËÌ Í ÎÏÐÑÒ :;Ç< = ÑÓÔ"™ª Ω ú ç3«S Lebesgue ó¬­P U Ñ M
N σ O F ] Ω P
R
S Borel T U R
V
W
P C ? ]~ Ø
Ù3 E ∈ F, Ú Borel P (E) = 1 − P (E c ) =

æ

i=0

P (E) =

(−1)i Cn1 1 −

L(E) . L(Ω)

.

®¯• _° ) ±
ô‡Ñ ²
S*³ ª J
,
] ð a P±´8µ Ѷ ±
ô‡ '? ( é
ê*38·
] l P¸Y¹Q<º»¼ ý>= l < a. º»¼
ü8µ.½
P
Ç
á ¾¿ ¸À¹ <º»¼ ú *3ÁÂÃÄ ÒÀÅ PÆÇ= ? ]È õ ýü8µ.½ P
Ç
á ÑË
ÌEÉ ½ *
ÝÊË ?  [Ì SP¸À¹ <º» Ó P¸À¹ <º»¼ Ñ ÿ ¼ ÿÑ ] [ ‚
“ ͼ ”,  Î  \  *  3  ÌÒ W*38 ] “ ÏWù ¼ ”. £Ðº»? ¼
… SÑ­ · ] l PY¹ ?
% ÒY¶
± ô‡ é
ê 3YQ¹ <º»¼ F G B A È B  “ ÍW¼ ” È “ ÏW¼ ” ü8µ.½
P
M
N ? õ ú
Ñ A ∪ B  Ñ r AB  “ ÍW¼ ” È “ ÏW¼ ” Ú
ü8µ.
½ P YQ¹ Ñ<¾º¿ »
¼ ü8úY µ. ½

P
M N Ó Ç= Ñ R B AB LÔ õ  3 “¸Y¹ ” P ž Ö8· (. } õ * M
N  ¡ Y ¸ ¹ ÕÖ ­
] l P§ ) ü8µ.½
P
M
N ? 7 Ï P (A) = P (B), Wb *×
Þ 1.6.4 P  Ï P (AB) = 2l/πa, Ë
Ì  ð P (A ∪ B). 2.2.6 (

ji

46

B

d

 Y¹WØ¡8µ
PÙÚJÛ ? 7 Ï S n

ao Ω= d|0≤d≤ , A∪B = 2

R B

P (A ∪ B) =

RS
’
“T

OPQ 

l d|0≤d≤ 2



.

L(A ∪ B) l πl = = . L(Ω) a πa

Ç
á
P 㞟 Ï BR ð: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 2P (A) − P (AB), P (A) =

P (A ∪ B) + P (AB) = 2

1 2 πl

+l . πa

ùÐ Ê = ËÌ  ¡Çᝠ㞟 P*  SÜPÝ ½ ⟠? ù \*3 â ôÞ \ ß Ë
Ì Ç
á
 P Á Ê â
ã ú ä
å Äà P Ñ Ý } ¾¿ \ Á Ê Üá =Wâzã Îä ? ù!Ð Ê!P0f0 =×S0*030å : ¾¿ P H â Ñæ¦ P (A) P F T0ç0è ú ¸?¹×<0º0»¼ PÖ?«é X
Ö Y ? Ò r Ò é§
É
Ê>= Ñ §
Ñ«üú8ì µ.½
C
P
D Ç
á>=QP F T Â2lð ê ú@ ñ B E  W Ñ ú §
¤ PË
é Ì é
ê*Ñ

ë ôPõ Ç@ =B
c Û
Ü  ê
S Œö Pfíïî  ? P Ø !`òóu‰
* Ý Ç=÷ Š æ 2.2.7 (®¯• _° ) Ò ±
ô‡²
S*³ ª J
] a Pø±8µ
È*³ ª J
] Ñú¶  '( H éê"* ÕÖ  Ñ
 , ð  b Pù88µ ±  ô ‡ ­ ] l P§ § ü8µ.½PÇ Ñ á ý>=

p

B E 0 0§!ü!ç!¾080µ0.0½!P!M!N Ñ  F G B A È B 0 0§!ü!ç!¾0ø0±08 0 µ0.0½0û0§!ü!ç!¾0ù08080µ0.0½!P!M!N Ñ õ ú Z S0§
ü080µ0.½!P
M!N E = A ∪ B.

Wb *
× Þ 1.6.4 P  Ï P (A) = , P (B) = . Ë!Ì   ð ò P (AB). 1 ø!Ñ M!N AB 0 0§0ü!ü!ç!¾0ø0±080µ0.0½0ý!ü!ç!¾ ù88µ.½ Ñ ? B B ρ È δ F G  
§ P>=  üø±8
µ PÙÚJ Û È § üù88 !µõ P0ú Ù0Z Ú0J0Û θ 0 0! § ü0ø0±080! µ P0þ0ÿ (\0r0! § ü0ù08080! µ P0þ0! ÿ ] − θ). l
(a + b)2 − πab.

2l πa

π 2

S

Ω=

õ ú

2l πb

AB =



(ρ, δ, θ) | 0 ≤ ρ ≤



a b π , 0≤δ≤ , 0≤θ≤ , 2 2 2



,

 l l (ρ, δ, θ) | (ρ, δ, θ) ∈ Ω, ρ ≤ sin θ, δ ≤ cos θ . 2 2 L(Ω) = 18 πab,

L(AB) =

Z

π 2

0

dθ

Z

l 2

0

cos θ

dδ

Z

l 2

0

sin θ

dρ =

l2 4

Z

π 2

0

sin θ cos θdθ =

l2 . 8


‘
’
“
”
•
–
—>˜
™Qš
›
œ

§2.2

R B

47

P (AB) =

L(AB) l2 = . L(Ω) πab

 Ç
ᝠã
E
Ï P (E) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) = .


 I  s w H

   « Ñ
Ë Ì Ñ u Ÿ  é
§
É Ê  ` M =
P
  ! ô
¡
Å
Æ

Ç 
P

Ø
É
Ê  Ë
Ì [
  ¡ ã
E
P89 É ½  æ 2.2.8 (
• _ )
 
 ¼ Ñ
M S n  Ñ ì F G
 S
œ 1, 2, · · · , n. %
    

  Ò .0
P
!0‡
P  ¼
P œ0. ÑæŽ ÿ
] ‚!Ì0F G  

j  W

ò % “
Ø ”.
, ð ò % 1
3
Ø
P
Ç
á   ò Ñ#  $ ]
S0*   ¼ ú  ‡r
s % œ

^ ! 0 Ø!ÿ!¿0
! " v
&

'
( ) P  ; ¤ gUo6 Ñ
ŽG Î* 
 ¼
P ^ !*(
)   Ω  Î* 
 ¼
P
R
S!
P ^ !
(
)
P S |Ω| = n!.  A   ò % 1
3
Ø
P
+
N  X
Y A Z ú˜
Ø
ò % P
+
N  [ b  ¼ ^ Òb j
œ
!
‡ ÿ
] “Øœ ” ^ ! -,
.  Ñ-/
0 |A | N 7 ð ò Ñxû jœ +] †!N ø ð; : ]  A  Î*  P
R
S  ¼
Ú! “Øœ ” ^ ! Ñ ù ^ ã P   ! 7 Ë
Ì
H ú 89 G A . ^ !P*+N Ñ XY A Z  Î  B  Î* * ¼  P b j œ   ¼  Ø œ * 1  S**  ¼Øœ ^ ! Ñ S A = S B . ËÌE ½ ÇáP ã*2* ð 2l(a+b)−l2 πab

c 1

1

c 1

c 1

1

j

1

n

1

j

j=1

P(

n S

Bj ).

¾"¿  ã323  P ž"Ÿ

ð àdD"E ØTRSPó"{"  € m ( 1 ≤ m ≤ n ) È 1 ≤ j < j < · · · < j ≤ n, ò3+N B PÇá  + N"" "Î"*  P b 1 ≤ j < j < ··· < j ≤ n œ  ¼ 3 F 4 “Ø"œ ” ^ ! Ñ
¦"F34 ^ Ò"b Ñ ¤
c ý„ n − m   ¼ 

Ò ý
„ P n − m 1 ≤ j < j < · · · < j ≤ n œ

!‡ 3

!0‡ x ¿ ^ ! Ñ R  | T B | L õ ý0„ n − m   ¼!P!R!S0!0!P ^ ã 65 Ñ j=1

1

2

(2.1,1)

m

m

ji

i=1

1

1

¦ S

|

2

m T

i=1

2

m

m

m

\r Ï

ji

i=1

Bji | = (n − m)!,

P

m \

B ji

!

ù
Ó * ú Ñ
Ç á
P ã
2
¦

ð:

i=1



P (A1 ) = P 

n [

j=1



Bj  =

=

(n − m)! . n!

n X

m=1

(−1)m−1 Cnm

(n − m)! n!

RS
’
“T

OPQ

48 =

]~H

Ï
Ð

n X

(−1)m−1

  ¼
Ú…
S “Ø œ m=1

n

1 1 1 1 = 1 − + − · · · + (−1)n−1 . m! 2! 3! n! ”

^ !
P
Ç
á
] 1 2!

1 3!

1 + · · · + (−1)n n! .

s *3
Þ
Ê ú


Ø
É
Ê
P¨©
ÈÝ ½  æ 2.2.9 (
• _° ) E
7 n 3
8

9
Û Ï
Ñ  3
è F
4
Ò Û Ï ‡  l  Û Ï
? _
:
;
 ,
ð s


:
; < 


 =
j I Ñ  '
( > 8
ÿ
È Š ;
A  M +
N
P
Ç
:
:
; 
Ï ?
Ï ? Û Û á (1) ç
S k @ Ø (2) S m@ Ø
: ;  ½ E  

Ï ? Ñ  S m @ Û Ï ½ Û ç S k@ Ø
P
+ N A  ? Ø :
; P
+
N  Ò
‡ Ê  Ë
Ì>ÍQÎ
ð ò A P
Ç
á  Ò +!N E c Ñ S k @ Û Ï Ø0œ ^ ! Ñ ý0„ n − k @ Û Ï  ˜ !Ø!ò % ( l0m Ú ?
B :
; ). ð ò P (E ), Ë!Ì  D 0 !ç 7 2 P n − k @ Û Ï  ˜ !Ø!ò % P +!N  ] õ ? Ø : ; P k @ Û Ï S C  C ã Ñ R 0 e ð0: |D |, X!Y!Z S |E | = C |D |. E ð ò |D |. R D
û!ú |D | !70809 ð0!: Ñ R !Ë!Ì D \ P (D )  .  D 0! ç 7 2 P n − k @ Û Ï  Û ˜ Ï
!Ñ Ø!ò 
% F P
½ +!N Ñ R  D
! E0 !ûÑÏý0„ k @ Û Û Ï!Ï Ñ r0g D00G!ù 7 2^ P n−k @  ‡
Ê P f n−k @ Ú…
S “Øœ ” ! P (A1 ) = 1 − P (A1 ) =

−

k

m

1

k

k

k

k n

k

k n

k

k

k

k

k

k

k

P
Ç
á
]

P (Dk ) =

1 1 1 − + · · · + (−1)n−k . 2! 3! (n − k)!

â ô ÑcÒ g
Ø ù
7 2 P n − k @ Û Ï
G ´ G P<t s ÑcË
Ì

 % Å
Æ
Ç
Î *  P žŸ  P (D ) 
]

k

H þ‡  - Ÿ Ñ
¦
: ¡

P (Dk ) =

|Dk | = (n − k)!P (Dk ) = (n − k)!

ù 

õ

P
â ã å :
Ë
Ì ¾¿   |E | = C |D |, R



|Dk | . (n − k)!

1 1 1 − + · · · + (−1)n−k 2! 3! (n − k)!



.

|Dk | k

k n

k

|Ek | C k |Dk | (n − k)! P (Ek ) = = n = Cnk n! n! n! =

n−k n−k 1 X 1 1 X 1 (−1)j = (−1)j . k! j=2 j! k! j=0 j!



1 1 1 − + · · · + (−1)n−k 2! 3! (n − k)!




‘
’
“
”
•
–
—>˜
™Qš
›
œ SÜ
P ú
Ñ 
 Ë
Ì
Ò ‡ Ÿ JI n → ∞, :
K Õ
Ç
á
] . Ñ õ A = S E , ~ +
N E , E , · · · , E  ! ½ Ñ R  þ Ï Ù j
ú §2.2

49

1 ek!

n

k

m

m

m+1

n

k=m

P (Am ) =

n X

P (Ek ) =

n−k n n−k n X X X 1 X 1 1 (−1)j = (−1)j . k! j=0 j! k!j! j=0

\ *  â
L‰
M–
 N
P
O
P
Q (Ö 52  ) Wx ¿ \
ò 13 
Q  ,  k Ø
R K-Q P
Ç
á A 
\
ò
P 13 
Q  ã ç
S Uk6 ØÑ 
R  K-Q P
+
N 
1 ø Ω Z ú \ \ 13 
Q
P
R
S!
 \ P R |Ω| = C . Ñ Ñ õ ú g o
\ ý„ 52 − 8 = 44  A lm c 4 Ø
 R K-Q Ú
i
\ ò Ñ 

æ

k=m

k=m

k=m

ð ý  ç
S  S W x 52 
Q } +
N Q Wx \ 5
 Q R 2.2.10

k

13 52

4




5 |A4 | = C44 ,

P (A4 ) =

5 C44 13 . C52

Ñ | ‰
S k Ø
R K-Q i
\
ò‹ Ñ

H  e  c  l m S j  R T!P 8  K U 8  Q
i \!ò Ñ ý  0 ≤ j ≤ 4 − k. Ë!Ì ½ B 0 !S j  R
T
P
8
 K U
8
 Q
i \
ò
P
+
V Ñ X
Y
Z
W A ⊂ S B . ù
Ó * Ñ È Ï W 0 ≤ k ≤ 3,

Ž} +
N

Ak

j

4−k

k

j

j=0

Ak = A k

4−k S

Bj =

4−k S

Ak Bj .

7 Ï ‡ Ÿ
X
Y
Z +
V  !½ Ñ\[
Y Ç
ᬭ Z ¿
À j=0

Ë ]  ð T ZÑ\[
8
 

P (Ak ) =

4−k P

j=0

5◦ ,

¦ W Õ  
¿ Ï

P (Ak Bj ) .

Ò + V A B c Ñ W k Ø0 R K-Q i
^!ò Ñ H W Î0‹ j  R l0]m ~HE
Ñ K U
8
 Q i
^
ò \
ý ‚  Z 44 
Q 
^ ò 13 − 2k − j j=0

|Ak Bj |.

k

 ‡
ô ZžŸ ¦:

j

j 13−2k−j |Ak Bj | = C4k C4−k 2j C44 ,

P (Ak ) =

4−k X

P (Ak Bj ) =

j=0

=

4−k X j=0

4−k X j=0

j 13−2k−j C4k C4−k 2j C44 13 C52

13−2k−j 4! 2j C44 , 13 k!j!(4 − k − j)! C52

k = 0, 1, 2, 3.

W Ñ ‚
ú  4  R
T Z Q F
a
b
c
^ d K‡W  f  Z ;
_ `W Ü Q( k e

RZ
h T ), 8  Z ^ d K U Q( j e R T ) f0ü g ^ d K ê g ^ d Q(W Z 4−k−j e
R
T )
e i
“j
k
k
l ” m
n
oqZ p
p
13−2k−j C44

x u
y
z

13 − 2k − j

v
Q

j

^
w
oqp<{

|
}
~ 
€

‚
ƒ „*]*…*†*‡*†*ˆ*‰ Z p Z u*Š*‹*Œ**Ž***‘ Z*’*“*”*• { *‘*–*— Z m*w ˜
™
š
› r<œ

ž c
Ÿ
 
¡
¢
Ÿ
 
£
¤ r<¥
¦
§
¨
©
ª
«
¬
o ‰
¢
­ ® s
¯
r<j
° j
±
²
³
´
w
{ µ
¶ 2.2 1. ·S¸S¹SºS»S¼S½S¾-¿SÀ-Á-Â-ÃÅÄ-Æ-Ç-À-ÈSÉ-Â-Ê-Ë-¼SÌ-Í-Î 2. ÏSÐSÑSÒ 25 ÓSÔSÕSÃ×ÖSØSÙSÚSÛSÜSÝSÞ-ÑS¼ 20 ÓSÔSÕSÎ×ßSÄSà×áSâS¼ 3 ÓSÔSÕSãSÇSäSå æ ØSÙSÚ\çèÛSÜSÝ-¼SÔ-Õ-¼-Ì-ÍSÎ 3. ÉSÓSéSêSëSìSíSîSïSéSðS¸-ÂSÃñçòSàôóSõ-Ñ-¼S¸-öSÑ-íS¼-ÌSÍ-÷ 0.6, øSùS¸SöSÑSíS¼SÌ ÍS÷Sú 0.7, ÄSûSüSýSþS¼SÌSÍSà (1) ÿSÒS¸SÓSéSêSÑS

í  (2) 
 ¸SÓSéSêSÑS
í (3) É ÓSéSêSäSÑS
í (4) 

SÓSéSêS
ä SÒ-Ñ-í (5) ¸SÓSéS
ê SÒSÑ-í-Î 4. S¸S¹SºS»S
¼ Sî SÀ n ÂSÃÅ
Ä
S
¼ SØ 
 5 ¼SÌSÍSÎ 5. 
S
Ò 

Sï-¸SÓ-¼ SÑ SÒ  !
"-Ã #  3 $
%
&S
¼ S
ä "S
È '

(-Î ßS
Ä "
Å
  (1) ØSú k;(2)
ã  k ¼SÌSÍSÎ 6. S
¸ ) 52 *
+
,
-SÑS
Ò .!
" n * (n ≥ 4)),
Ä / n *S
Ñ 0
1SÝSáSÒ 4 $
2
&S
¼ ¼SÌSÍSÎ 7. 3547678797 a 7 ¼ :7;7#7< 7¼ =7>7?7777 ¸ ÓS7Á @
A CÎ B7DS7Á @7AS¼
Á E7F
G l , l , l
º HSú a.
Ä IS
Á @
A
JS
Ö #
<KL-¼-ÌSÍ-Î 8. ¸S. ß N
OSÝ N *S
â PSRÎ QSÓSâS
Ú -Ñ "S¸ *ST èÃ<Ä n (n ≥ N ) ÓSâSÚS
â U V ÂÃÅ
â MèP

W
X
S
'S¼-Ì-Í-Î 9. SSÌS
Í Y
Z
[
\Së 
] ^_ a, A (a < A), äSÒ

50

1

A A−a (A − a)(A − a − 1) (A − a)(A − a − 1) · · · 21˙ =1+ + + ··· + a A−1 (A − 1)(A − 2) (A − 1)(A − 2) · · · (a + 1)a

2

3

ÒS¸SÓ.` 3 ö
a
bS¼
c
d
a
eS¸SÓ
f
g
c
dSöSï.^ëSýh
iSÈj
D-Îkcd
a-æ ÑSÒ 2 ö
K
l Í p n
"SÆ
oS¼
j
DSÃqp 3 ÓSö
SÝ
i
j
DSø
rSÀS¸S¹S½-¾-Ã c
da
st
 uf

¼g

!
v
mSiSÌS
È w
x
j
DSÎèø
fgc
d-öy
m-ÌSÍ p n
"SÆ
oS¼
j
DSÃ#ßSÔ
cda
Jfg
c dSöSÑSRÃ S
Ó iSÈSÆ ojD-¼SÌ-Í-Ø z 11. {SÑS
Ò  1 5 |
}S¼ 5
Ó S~Ã S
Ñ S
 

"SÈ 3
Ó S~Ã "SÈ V
€
 .èÎ Ä-ûSü-ýSþ ¼SÌSÍSà (1) SÂS
È ‚
|
}
 1,4,5
¼ 
(2)
á "SÈS
¼ 
ƒS
Ò |} 1,4,5,
ø J
/
„

X "SÈS¼S
 …

†SÎ 12. ‡-¸- Ó Hˆ‰-Ò  1 10 |}-¼ 10 ŠK‹-¼ Œ-Rà -Ñ - !Ž-È 3 Š-ÃÅÄ SÂS
È ‚
|
}
 1,2,3 ¼SÌSÍSRà 

 ‘
"S¼ ’
Z-å-à € (1) 
. (2)
Ò .èÎ 13. SÀS¸S¹SºS»S
¼ -îSÃ<Ô “”SÀ t Â-Rà •–—
[ È ‚ 6 S¼SÌS
Í HSú 0.3? 14. ˜SÑSÒ n . Ó 
J n
Ó 
€ Sà ·SáS
Ò 

˜S
Ñ b-
ë !"SÈ-~à ™š
"-ÈS¼  € .rSÃ×ßSÄ áS
Ò SëS
Ñ ›
S¼ %
&-ä ‹-¼SÌ-Í-Î 15. ˜SÑSÒ a . Ó 
J b
Ó 
Sà œ
›S
ö ž
Ÿr 
-¡Ã QSö Q-  S¸-Ó-à œ¢£
¤-¡Ã QSÂ " ÈS
¼ 
”
.rSà ¥¦
§; -óSõ-Ñ S¸-Ó-
ö  -È 
(-à ÄSû-ü-ýSþ-¼-Ì-ÍSà (1) œ ¢
 S. È 
(2) ¢
 S.È SÎ 16. É- ÿ ˜-î-Ñ -Ò H-Rà H¨8©ª«­¬%&­®¯-Ã<Þ-­Ñ p-¸-­ÿ ˜-î  Ò 5 Ó -à 11
Ó 
SÃ 8
Ó 


ø p
›S
ÿ ˜SîSÑS
¼ K
°
 ±¯²
 10, 8, 6, 
/SÉS
ÿ ˜SîS
Ñ 

!Sï "SÈS¸S
Ó 
³SÃÅÄSá ›%
&K‹-Î 10.

§2.3

´¶µ

‚

51

{SÑSÒ
|
}
 1  n ¼ n Ó
‹
·SØ
HS¼
SøSÑS¸SÓS¸SÓ

!- à €  !-·
"SÈSÎ~
p k Ó
S " ÈS¼
S  ¼
}
¹-ãSÇ k, y
º

»SÚ “¼
½ ”. ßSÄ »SÚS¸SÂ “¼
V ½ ” ¼SÌSÍSÎ 18. ¸¿ ìÀr ¼ ±Á é-ð 3 Â-ÃRÂ-Â-é-ðÃ-Ñ ±Á-¼-Ì-Í-÷-ú 0.8, ø Ã-Ñ-ÍÄ-ÂÅ  ¾ 0.1.öÄSûSüSïSýSþS¼SÌSÍSà (1) 3 ÂSä
S Ò
SÃ Ñ
(2) 
 ¸SÂ
SÃ Ñ
æ (3) ÃS
Ñ  2 ÂSÎ 19. ‡ 18 Â
f
g
Æ
S Ç ¼ Brenoulli ß
S È ÑSÃýSþ A S» ÚS¼SÌSÍSäS÷Sú 0.2, Ä ýSþ S» Ú 3 ÂS¼SÌSÍSÎ  ÂSÂ-Ñ.±Á-ÃÍÌ
ÎÊS
U(-ᏐQ-Â
 20. ÖSö
É

Ê
¥
¦SáË -Ý 6 Ó
Ê
r
Sá# Ê
S ÑS¼S€ ÌSÍSäS÷-ú 0.7, Ä 

Ï ÒS¸SÓ
Ê
 Ò È-¼SÌ-Í-Î 21. ÒSÉ
$ ‹
Ð
S Ñ ¼
ÒÓS Ô ¼Õ þSÃÍS Ö õsÐ
ѯSb É× Î¡ÓÔ
ÎQÓ
ÔU ¸-Ó
Õ þ VV Ã ä
Ø
Ù
>

†
!
m
K
‹S¼-Ì-Í
p-¸
×Ì
p›×SÑr
"-û-¸SÓÒ
ÓÔ-¼
Õ-þSÃèøÓ
Ô ¼ SÕ þ
y
s
Ú
Ð
ۄ
¯²
-Û É-ÓÜÝ r ¼
S˜ î (S˜ îS¸
£
S¤ å
SÞ ¼ ), ßSÄ
ß
»
‚
ž
S ¼
Õ þ
‡
S˜ îSÑ
 û-à ÃÅù-¸-ÿS˜ î-Ñ-Ò m Ó
SÕ þS¼SÌSÍSÎ € 22. çò-Á-Ó-ý-þ A, B, C ÒK‹-¼-Ì-Í p, š-É-Éfgá-Á-Ó-ý-þ –­‹à­»-Ú Î<ßo­D p ¼
S Ø
ª
–
Sâ Î 23. ã
ä
S å Ê 1891 S æ ¼
ç
è
é
ê
ë
S ì Ãîí
S ï Ù
ð
»
S‚ àî
ñ
Sò ¼
ó
ô
e

ñ
Sò ¼
õ î (AB) ö é
Sê ö.èM ¼ 5%; 
ñ
S ò ¼
ó
ô
e
÷&
ñò ¼Sõ î (AB ) ö
é
Sê ö.èM ¼ 7.9%; ÷
&
ñ
Sò ¼ ê ö.èM ¼ 8.9%, ÷
&
ñ
ò
ó
ô
e
÷
&
ñ
Sò ¼
Sõ î (A B ) ó
ô
e

ñ
S ò ¼
S õ î (A B) ö
é
S ö
é
Sê ö.èM ¼ 78.2%, ß
ø
ù
ó
ô
e
S õ îS¼ñò ¼%
&¨8 ¼†
ú Î 17.

c

c

c

§2.3

ûýüýþýÿ

c

„


 r 

  ‘ ¡ ¢


 r 




 ­
  ‘

 (Ω, F, P ),  u P (Ω) = 1   {"! u ³#$%& '() r"*+,./  { ‰0 r213 ­456 78
­9 r : 3, ; o<=
o
rS>>, ; o?G@F 1 
‘ rBAA
{BCDE# “ :.G / 3G,  ; o<=
o ” F ¯ u ­ ./  r s „ G>G, *‘G H P+GQ IGJ*³G& # *‘GK ³ ¥GL*rM&GN *‘ ¯ u 
‘ { -  O §2.3.1 RSTUVWXTYZ[\]^ „_ O`ab
²
¡
¢ { c 2.3.1 13 ­456 7G8
­9de: 3G, G;Gf ;f ?G@ 1 
‘ { hikj Ω = {1, 2, · · · , 6}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4, 5, 6}. - 
¡
¢ u il: m Q A no d > m Q B no 
‘ {:<%Ipq F  
‘ ³ Frs dJ„ t &  
‘ ju P (B|A), v<  : A no wx B no PQ 
‘y z{ m Q A : no d F p F 13, F ³
¦
§|}
¯ ­~ ³ 3 N
¥L
¦ § dM€ 1 ;d 3 ; 5 ; yM‚ E  m Q A : no d F ³
¦
§|} ƒ

52

Š ¯‹

A.



B

no
¯‹

no d @‹
¥Œ>

AB = {3, 5}

|AB| 2 = . |A| 3

P (B|A) =

€ — A  { Žp @‹

J³ ­ K u  „F ‘’
¡
¢ iMƒ 0 Š Ω = {1, 2, · · · , 6} <
³ ¦
§|} (2.3.1)

(2.3.1)

™š
¯‹

P (AB) =

|AB| |Ω|

= 26 ,

P (A) =

„…† ‡ˆ‰
‚
ƒ (2.3.1)

} d „”“:• – O *‘ d CD˜ |A| |Ω|

=

3 6

.

P (AB) 2 = . P (A) 3

P (B|A) =

(2.3.2)

„›  O œ ­
‰8 y c 2.3.2 
ž s
Ÿ ³
 
¡ 1, 2, · · · , 10 10 ¢
£
¤¥
¦
§
¨ ­ ¢ d© §, £¤  ¡
¥ª@ 3, g >« ¡<¬ f ­® y hlij Ω = {1, 2, · · · , 10}, A = {3, 4, · · · , 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10}. ¯lOl> ²³dM´ pµ P (B|A). °± (2.3.1) Ž P (B|A) = = = . ¶· _¸¹ |AB| |A|

4 8

1 2

Ž º ²³dM»¼½ µ  P (B|A) = = = . ¾¿ÀÁÂÃÄ (2.3.2) ŽÅÆÇÈÉ ´ÊÊ P (AB) Ë P (A) Ì”Í uÎÏЭ ® P (B|A) ºÑÒÓÔÕÉ Ö× 2.3.1 Ø (Ω, F, P ) έ®ÙÚÛ A ∈ F, B ∈ F, «”Ü P (A) > 0, ÝÞ › °±

P (A) =

(2.3.2)

|A| |Ω|

=

8 10

= 45 ,

P (AB) =

P (AB) P (A)

P (B|A) =

2 4

|AB| |Ω|

=

4 10

= 52 .

1 2

P (AB) P (A)

(2.3.3)

ß Îà”á:â A Æãºäåæ Û B Æ㺠ÏЭ®ç èéê ¹ÛMÏЭ®½ë ÔÕ à­®ÙÚ (Ω, F, P ) ¾ º ­®ìíÛ éî ½ï ð ­® º 3 Ïñò Óó ÛMô ÉMõöÓ ÛM÷ø Óù ´ú´û Ó çMüýþ æÉ Öÿ 2.3.1 (2.3.3)
ÔÕº ÏЭ®ï ð ­® ºõöÓ Û©÷ø Óù ´ú ´û Ó 3 Ïñò Óó ç  É õöÓù ÷ø Ó î Û ý :´ú´û Ó ç ë ú
À
À  º  Ð
Û A ∈ F, P (A) > 0, Ý {AB , n ∈ N } Ø {B , n ∈ N } Ñ ½ë Ñ úÀÀ  º ÐÛ ¶ ­® ºÓó 3 ô´ú´û Ó â n

à¾
À»Ê

n

P P (A),



∞ S

ABn



=

ô (2.3.3)


n=1

∞ P

n=1

◦

P (ABn ).



§2.3

53 P



∞ S

ABn |A



=

∞ P

P (ABn |A).

 (2.3.3)
ÔÕº ÏЭ®½ï ð ´ú´û Ó ç  Á Ô  (2.3.3)
GÔGÕGº P (B|A), B ∈ F º! ëG´GìGÙGÚ ¾ Á­®ìíç#"$ÏЭ®%&­®ìí º & Óó 1 − 12 . èéê Ω, F ºÑ ¹Ûà (2.3.3)
”Ü:Çȯ ¸ P (A) > 0, ëÎ'(ý)* Î 0. à,+.- º è ±/0 Ü? ÛÏ Ð Ñ¯ ¸ ÑÒ1ç 2 ï ð çkà Þ34Ñ56789:;< 
Û ÇÈ=Þ4
Ñ5> :;º:@ ´Ê Þ (2.3.3)
AB Î n=1

n=1

◦

C Ð

A

ù

B

◦

P (AB) = P (A)P (B|A),

(2.3.4)

P (AB) = P (B)P (A|B).

(2.3.5)

ºDEºF ß Ó Û éî ½ èé &

 G À Á 9
G ¹'HIGÀGÁ  ÐG» ÆGãGº:;GºJ
MÛ ´GÊKL ÈMNGµO Á  Ð ºPQ Û µ þ æºRS:;ºT ³ ÔÉ Öÿ 2.3.2 (UWVWXWYWZ Ö ÿ ) Ø (Ω, F, P ) Î :W; Ù Ú Û {A , k = 1, 2, · · · , n} ⊂ þ[ P ( T A ) > 0, Ý & F. k

n

k

k=1

P

n \

Ak

!

= P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 A2 ) · · · P (An |A1 A2 · · · An−1 ).

(2.3.6)

 ]É \^ (2.3.5) Ä_`³ô´ç  Á ÔG ¹'HI O Á  ÐG» ÆGãGº:;GºJ
Ûa Ücbd ¹Gü º "Gà O ÎÏÐ :; ç"$Ûe ! HIÏÐ :;f )ghç iCj  2.3.1 ù  2.3.2 ºklmn Û ÇÈopµ ´Ê&GÀqHIGÏGÐ :;Gº r
³
ç Ñ q
ë \ ^ (2.3.3)
Û 
é
î ë Ñ q s Ý
Ó
º r³
ç ÇÈ = è opt (2.3.1) GÛ  Ð A ëzGÎ Ñ
{´uv ¹ [ºwGÑ q¹rGü ³GçMÛà}x~ y
Û HIGÏGëÐ K :; zP (B|A) μòÙÚ€ º Û‚ƒë  2  º |  º   Q º Ì G Ç È A xHI„GÏGÐ :;GºJ
3 HIGÏGÐ :; ç  ë Ñ qGà… A ' º ¼GòGÙGÚ Ì ¾H I
Ï
Ð : ;
º r
³
ç  q r
³† N ‡D ˆ^ à‰ O %Š /0
º H I Ü ÛŒ‹ -   õ -rÛŽ ÇÈop ç 提3 €‘ÁÂÃç ’ 2.3.3 “”ÜC” & 7 Á•C– ù 3 Á—–Û Ü „ ” i D˜™š› 3 Á–çlá âa Ü:ÌÑ ë—–Ûœ¸až– 1 ë•C– º:; ç Ÿ É ÇÈ Ê A   a Ü & Ñ Á–Η– º ÐÛ Ê B   › 3 Á–Î 1 — • ÐÛh 3 HIÏÐ :; P (B|A). Î$ ÇÈ Ê Ω   Ñ {´ 2º¡›| [ 2 º k=1

¢£¤ ¥¦§

54

ºQ Û ¨â |Ω| = C , |B| = C C = 63.  è é Ð  a © FÁ–SÎ —– A, ¶ a op Ð Õ ç “& Ñ   Á –Η– Á”–à ®ëª•Cè– é  "k $Î “« ¬ & Ñ  ¶ |A| = C”, − C F=­85. ¯oA pÝ µ B ⊂“A, › ° & 3 AB = B. üà ”,ÇÈ ± Ê|A¸ |  = É C , , P (AB) = P (B) = . P (A) = = =  ë  x  ²  Ï Ð  Û  I  S :;ºÔÕ 3 10

1 3

2 7

c

3 10

c

3 7

|A| |Ω|

|B| |Ω|

85 3 C10

³  ë Û  Ç È ½ ± ÊK

63 3 C10

&

.  Î  ¼  ò  Ù  Ú  Û  x ² I A´ (2.3.1)
µ¶ = = . P (B|A) = ç ÇȐ3·<|¸/0 ’ 2.3.4 Þ n ¹ º ¸
º 2n Á  » ¼ p À
À ½ ¶ Û ¸ ¾ ¿ ½ À n Á Á º : ; ç Ÿ ÉkÇÈ à 1.5.6 ÜCG ¹ m ò 0º ÀÁ kl ÛMüà \^:;ºTÃÔG ¹ wÑ Á kl ç.Ä î Ê Ω    & »½ || [ ºQ Û ØÅ K 2n Á»ÆÀ Ñ ÇÛ îÈ ÷ ÔÞÉ 2k − 1 Á» ËÉ 2k Á»Ê½ ¶ Û k = 1, 2, · · · , n. S ëË Ñ qÆ ÃF è Ñ q½ || [Û ¶ |Ω| = (2n)!. Ê A   ¾¿½À n ÁÁ º Ðç ØÅ á Þ n ¹º¸ z'ÌÍÛMÊ A   É k Í º¸ †½À 1 ÁÁ º ÐÛ S ë A=

n T

P (AB) P (A)

P (B|A) =

=

63 85

|B| |A|

|AB| |A|

63 85

k

Ak .

 Û 1 Í º¸ †½À 1 ÁÁÛ  Ê é S & Ñ Á k ∈ {1, 2, · · · , n}, Î  Æ  ã à 2n Á» º Æ ú Ü Û 1 Í º¸º ÀÁ»Æà É 2k − 1 ùÉ 2k Á EÏ ¾Û  Ê |A | = 2n(2n − 2)!. "$ é

k=1

A1

1

|A1 | |Ω|

¸ P (A |A ), ôhà”á:â 1 Í º¸ †½À 1 ÁÁ ºäåæ ÛM¸ 2 Í º  Ç  È 3 ¸× ½ h †½ À 1 Á Á º : ; çÑÐ î a 1 Í º » ¸ áÒ͋ÔÓ]À †1 ½Á ÀÁ
Û Ç
ÁÈ Á  ± Ê  Õ ÇÖ 'L
ç Û  ëÙGFÛ ÇGØÈæ׺ hGn −à 1A¹Ú º' ¸º·:< ; ÙGÜ:ÚGº ¾xÑ HIº„G¸ ÏGÐ :;G1ºJ
º3 /H0 IGÏGÐ :;  Ç'ç CS üà ºäåË s 3ºäåÛ ®ÜÝÛ × mÞº¸A Î P (A |A ) Û °ßm Ü Í ÛMôâ n−1 ¹ P (A1 ) =

2

2

=

1 2n−1

.

1

1

» ± 

P (A2 |A1 ) =

P (Ak |A1 A2 · · · Ak−1 ) =

S ë C:;TÃÔ”Ü:º

=

1 2n−3

.

1 1 = , 2[n − (k − 1)] − 1 2n − 2k + 1

(2.3.6)

P (A) = P (

1 2(n−1)−1

n \

k=1


 µ

Ak ) =

n Y

k=1

k = 3, 4, · · · , n.

1 1 = . 2n − 2k + 1 (2n − 1)!!

3 7

 55 à  Á kÃ”Ü Ûà)Šü' \^AÚ ' º:; ÙÚHIÏÐ :;º ¿áç ’ 2.3.5 à H I ™ÜÒâ ã n ä Ûæå L,Ó.ç Û À
þ æè z É àé 
Ûæê “ë Î 1 « 10 º 10 Á–ÛB» › ¹ ì ÍÎ 1 º –íBàé Ûîê “ë Ü ” ”ãì Í Üé ” ”ãì ÍÛîÎê 11 « 20 º 10 ÁÍ–Î Û » › ¹ ì ÍÎ 11 º –í Áþ–$ ÛBæ»ï  Û ô¹à ÍÎ 1 −10(n − 1) + ”1 딺 ܖÛ ” ”nã=ì 1, 2, · · ·10(n . −ð1)€+¹1ÛM« à10n é º 1 10Û “ë”Ü ” &› „ñì O Á–ç þ[ ÁÞ–è ÛMz »A  Î É ¹àÍé Î 1 − –ÛòÛ ê “ë”Ü ” ”ãì ÍðÎ ý10(n − 1) + 1 :

M Û àé « 10n º 10 › ì nº n = 1, 2, · · · . Ý Û “ë à ” A ÎÙ º ç"þ[üà ÇȐÞè z A Î É àé 1 − Ûcê “ë 1 Á–Û2» ˜™D  ë”ÜC› ¹ Ñ Á–Û Ü ” ”ãì ÍÎ 10(n − 1) + 1 « 10n º 10 ý :ÛMàé 1 Û “ë à ” A ÎÙ º:;9S 1. œý Ì ç n = 1, 2, · · · . ݱ  É Ê E   àé 1  “ë à ” A Ù º ÐÛ S ë E   àé 1 Û &–ó† › ¹ º Ðç  î ÛMÎý P (E) = 1, × ý P (E ) = 0. “ë”Ü ” Ê A   àé 1  k Í–ÄGà ë Ü ó† › ¹ º ÐGÛ S ë E = S A . C:;ºÓó 12 , ôô ± û Ó â  S  P P (E ) = P A ≤ P (A ) .  ÊÎý P (E ) = 0, × ý P (A ) = 0, k = 1, 2, · · · . CS ý à ÜÝÛÊý P (A ) = 0 ÎÂç Ê B   àé 1 −  1 Í–ó† › ¹ º ÐÛ¨â& A = T B . o pµ T B ⊃ T B , â { T B , m = 1, 2, · · ·} ë æõº Ð ä úÛ °C:;º Óó 10 , ô¾½ö Ó â     T T §2.3

1 2 3 4

1 2n

1 2n

1 2n

c

c

∞

c

k

k=1

◦

∞

c

∞

k

k=1

c

k

k=1

k

1

1 2n

n

m

m+1

n

n

n=1

m

n

n=1 ◦

∞

1

n=1

n

n=1

P (A1 ) = P

∞

m

Bn

= lim P

Bn

.

ÇÈ÷3 ¸ P ( B ). àé Û ë”ÜC”ã ' ì ÍÎ 1 « 10 º 10 Á–Û · 1 Í–ó† › ¹Û Ý Û$ × & 9 q › –r
Û ° â B Æã P (B ) = . · àé Û 1 Í–Äó† › ¹Û Ý à B Æ㺠ÏÐ æ= & B Æã Ûø$  ë Ücù” & 19 Á–GÛ ° ï ð ÏGÐ º› –r
× & 18 qGç cSGÇGȏFGº ëGà AÚ ' º:& ; ÙÚÛ  Êx²¸„ÏÐ :; r
¸¹ º B Æãº:; ôÎ “ÏÐ :; ”, ° m T

m→∞

n=1

n=1

n

n=1

1 2

1

1

9 10

3 4

1

2

2

Û · àé 1 − Û 1  Í –Äó† › ¹Û Ý à B B · · · B Æ ãº Ñ   Ò D ÏÐ æ= & B  Ï Ð Æ ã ÛÒ$ “ë”Ü ” ù” & 9(n − 1) + 10 = 9n + 1 Á–Ûï ð  1 2n

n

P (B2 |B1 ) =

18 19 .

1

2

n−1

k

¢£¤ ¥¦§

56

º› –r
× & 9n qÛ ¶ ÜÝ D & P (B |B B · · · B  ë  x ² S :;ºTÃÔ Û µ n

P

m \

S ë  &

Bn

n=1

!

= P (B1 )

n=2

∞ \

P (A1 ) = P

Bn

n=1

CS  Ê

m Y

!

1

2

n−1 )

P (Bn |B1 · · · Bn−1 ) =

m \

= lim P m→∞

Bn

n=1

∞ P

!

1 9n+1

„ñ TúÆûºüýþÝ ÛMâ Q  n=1

P (A1 ) =

∞

=

9n 9n+1

.

 m  Y 9n 1 = 1− . 9n + 1 n=1 9n + 1 n=1 m Y

= lim

m→∞

m  Y

n=1

1−

1 9n + 1



=

∞  Y

n=1

= ∞.

1−

1 9n+1



=0.

»   ± ý ÿ Q ¾¿ÛMôâàé 1 Û P (A“ë )à = ”0,A kÙ =º2,:3,;· ·9· S. 1. ‰ O/01± Ê ^“”ÜC› – º

3
 ¿Û ¾ º  2.3.3 ë  :  ; ” < : Ü º ›Ê – º
º ¿
Â
Ã
Ç
ç ¶ æ
Ñ Á
÷
 0ç Ü ¹
ü º“ à Ý ë  & È
º
 ^3


 º

 ’ 2.3.6 (Poly´a  ) “ Üc” & a Á •c– ù b Á—–GÛËô “ ™š›GÑ Á–Gô Û‚– ½G» Û c ÁG¹»' – ÁÑ•C– ” i “ ܗÛM– þ$ uÎ 4 ÇGçœGý É n=n +n n › Ü › ù n º:; n=1

1 9n + 1

1−

k

1

2

Cnn1

1

“”Û Ü ± à Üc˜ 

2

a(a + c)(a + 2c) · · · (a + n1 c − c)b(b + c)(b + 2c) · · · (b + n2 c − c) . (a + b)(a + b + c)(a + b + 2c) · · · (a + b + nc − c)

 É ÇÈ Ê A   “à
 n = n + n ô › – Ü Û › ¹' n Á•C– ù n — – ” º  Ð ç  Ê A   à É k ô › – › ¹•C– º ÐÛ S ë A  ëà É k ô › –  › ¹ — – º  Ð
ç ^ Á ÕÖ †… A ' º :; ÙÚ º r à ÑÛ ð \^: ;ºTÃÔ ¸ 1

2

1

2

c k

k

P (A1 · · · An1 Acn1 +1 · · · Acn ) a(a + c)(a + 2c) · · · (a + n1 c − c)b(b + c)(b + 2c) · · · (b + n2 c − c) = . (a + b)(a + b + c)(a + b + 2c) · · · (a + b + nc − c)

y : ; ë “à n ô › – ÒÜ › ¹ 't•Ò–
Û à
¶ æ3
º n ô › – ÒÜ › ¹ ' — – ë à “ n ô › – Ü Û & n ô › ¹'C• –Ûa  Ð  º :; ç  Ð A Ý  1

2

1

” n2

ºô



.

   57 › ¹& '—– q” º G » Ðç."$ hÛÕ#Ö q “ n ô ›  ¹'•CЖ%Û ÊnGôÛ"› ¹$ '—–"h ! ¸” ù º : ; C P (A) 9 S º ±C2GäGÁ å  Ð º : äG;
åÌ
ù $ ç F ºS  Ë Ñ q ê Ôºä
å Û& ÇG^È  Á ÕÖ†… A ' º:; ÙÚ º r Ã Û 1 ð \^:;ºTÃÔ ¸a :; Î §2.3

1

2

n1 n

n1 n

a(a + c)(a + 2c) · · · (a + n1 c − c)b(b + c)(b + 2c) · · · (b + n2 c − c) (a + b)(a + b + c)(a + b + 2c) · · · (a + b + nc − c)

ô 1Ë

Ê 9 Ûò"$

P (A) 9S P (A · · · A A ···A ) M Û  ô   ý ç º C '  §2.3.2 (UV
)
*
+ Bayes )
* ÇÎ
2Ȩ‹ H-I ,-. Ñ) /0 Î Ç
Õ1
ÖGºÛ: ® ; H I / 0  Û ë  Á ÛÑêê Þ L È ) k Î&Ñ
4/5 06 ç € ÁºGÃäGç å ý4 :;J
Ñ k31/0Gº ÷ Ñ ’ 2.3.7 &ÀÁ “ ÃÛ à ÉÑ Á “”ÜC” & 7 Á
7–Û 2 Á•C– ù 3 Á—–Û à É žÁ “”ÜC” & 5 Á
7–Û 4 Á•C– ù 3 Á—–ç ÉÑ Á “”ÜC˜™› ¹ 1 Á – ”ãÉ žGÁ “ Ü Û   É žGÁ “ Üc˜™› ¹ 1 Á– 3 çœG¸ É žGÁ “ Üc˜™ › ¹ º –Î
7– º:; ç  ë Ñ Á ÇGÈ ó8. mGº/0 ÛMà  Á /0 é Ü Û:9©'GÀGÁÊ; 4 Ç º œ? çMþ[ ÇGÈ ˜ ™ h@ ­ ¼GòGÙGÚ Ω ºA Û Ý Ω Ü"ºBC ω èGé uv ÀGÁœ< º| [GÛMô èGé &   CÉÑ Á “ à › ê É žÁ “ à º –ÛD ω   a ω = (ω , ω ), Ü ω ÉÐžÛ Á “”ÜC › ë ¹ º –& çMþ[ Î
Ç7È – Ê B    À É žÁ “”çøÜC„ ˜™ë› H¹ I º –Î
7ë – ºH |B| = µ¶ I PÝ (B)B1
F
C2¨ç ω Ê ÇÈ hº } ωÑ 
Á
E Gí º3 ÕQ Ö /0 < ç ) ý Ê A , A , A    ÒÉ
Ñ Á “ à › ê É ž
Á “ à º –
ë
7 –Û •Ò– ù —– º Ðç  î
H Á  ÐÀÀ Û.‚ƒL ÈÌ ‚  ë Ω. "$& B = S A B Ä n1 n

P (A1 · · · An1 Acn1 +1 · · · Acn )

(1)

(2)

1

n1

(1)

c n1 +1

c n

(2)

(2)

1

2

3

3

k

k=1

P (B) =

3 X

P (Ak B) =

3 X

P (Ak )P (B|Ak ) .

(2.3.7)

ë  Áœ
< º| [Û  ÊÎHIL Ⱥ:; Û × Þ ¼
òÙÚ 1 É Ñ › C & ω B À º Q Ω , ‚x
I
J :
 HI Ì ç"$ GÎ'HI P (B|A )PÝ(A± )à = Ð , AP (Aác‹ ) =ÆGã ,ÛP(A É ) =žGÁ .“ à Ü"º – º )K& AÚºäåÌæ Û  ÁHI Ì ç©ÊHI P (B|A ) ÎÂ É CS A Æã Û  Ê É ž k=1

CSÎ

k=1

A1 , A2 , A3

(1)

1

1

k

7 12

2

1 6

3

1 4

k

1

1

¢£¤ ¥¦§ Á “ à ÜML û ' Ñ Á7 –
Û Þ – A Î 13, ƒ & 6 7 4 • 3 —
Û °  P (B|A ) = » ± ÊI P (B|A ) = , P (B|A ) = . Þ ¾¿HI | [ $ã (2.3.7)
ÛMôâ P (B) = · + · + · = .  ë Ñ Á Ç
È  ó ^ m
º r Ã Û à  Ár Ã”Ü Û ÇÈ K Ñ Á 0 Î 1º: ; H I /0 ) k Î Ñ
N ú¨ S HI º5
O çMÎ' Þ|  Ár Ã Û ÷3G ¹ Ñ Á ÔÕ ç Ö× 2.3.2 Ø A , A , · · · , A ë :; ÙÚ (Ω, F, P ) Ü:ºÑ
P ÐÛ ß L È ë F ¼òÙÚ Ω ºÑ Á)
QÛMþ[L È ÀÀ Ûƒ& S A = Ω. à
RhÛ ± ÊK)
Q º:@MN . ± úÁ  Ð (ô n Î ∞) ºäB ç \^F ¼òÙÚ Ω º )
QÛ ÇÈG ¹þ æº:; HI J
É Öÿ 2.3.3 ((UV
)
* ) Ø (Ω, F, P ) Î :; ÙÚÛ A , A , · · · , A ë F Ω º Ñ Á)
QÛMþ[ P (A ) > 0, k = 1, 2, · · · , n, ÝF ¼
S B ∈ F, 1 & 58

6 13 .

1

5 13

2

7 12

1

4 13

3

2

6 13

1 6

5 13

1 4

n

4 13

64 156

n

k

k=1

1

2

n

k

P (B) =

à ± ú äBæ Ê è D & É P (B) =

n X

P (Ak B) =

∞ X

P (Ak B) =

k=1

n X

P (Ak )P (B|Ak ) .

∞ X

P (Ak )P (B|Ak ) .

(2.3.8)

k=1

 Á Ô º ý C ðÛ (2.3.7)
ëa n = 3  º
T ÂÛ ÇÈ á:à
U ª G ¹' y
º ýW V
XçY
Z ð,ÓW[ Û Àý :ç  2.3.7 ºklmn Û ÇÈ €
.'® :;J
º
\ 4ç:à Î^ y J
Û  ß m èé op e !¡
] Ω º )
Q {A , k = 1, 2, · · · , n}. þ[ ¡
] é Û Ý ðÊ
^
.  Ú HI º"_kº ç æ3 € Ñ
/ ÂÃç ’ 2.3.8 `babc ºWÉ Ñ Û ž Û H Íbd Ú ãe » Ñbef Û eWd # Þgbe d º , , ô f ; ) ý Î 1%, 1% ù 2%. ü  y cefÜҘ ™ š ›Ñ Ð
Û]œ
¸y e
f ë ô fº :; ç Ÿ É Ê Ω    & ±2ºš›| [ÛMÊ B   › ¹ º
e
f ëô fº Ðç / 0 Ûà žS Û H âÍ
y deÚ f ë ÁdGÐÚ ç ãeGë º ç S ë  )  ý ë Ê A , A , AÁ)
Q  Ûy ‚eƒf & ë É Ñ ã
eº S A , A , A F Ω ºÑ k=1

k=1

k

1 2

1

1

P (A1 ) =

Þ L È
$ã

1 2,

2

P (A2 ) =

ÛMô (2.3.8)


ÇÈ3 ;ö ·<

3 P

k=1

P (A3 ) = 13 , P (B|A3 ) = 2%

P (Ak )P (B|Ak ) = 0.01 · ( 12 + 31 ) + 0.02 · Poly´ a

º“ Ã
 ç

3

3

1 3,

P (B|A1 ) = P (B|A2 ) = 1%,

P (B) =

2

1 6

≈ 0.0117.

1 3

1 6

,



§2.3

59

’ 2.3.9 ( Poly´a  ) “ Üc” & a Á •c– ù b Á—–GÛËô “ Üc˜ ™ô š›–Ñ Á–¹Ûø•C‚– ½» c ÁÎ »
– Ñ
” i “”Ü Û þ$ u
4 Ççøœý É à É n › › º:; .   É Ê A    à É k ô › –  › ¹t•Ò– º  Ð
Û S ë A  ë
à É k ô › –  › ¹ — – º  Ð
ç Ç
È 3 F n z _ `
ç  î & P (A ) = . h
Ø n = k −1, k ≥ 2  | < À ­ Û h
ý n = k  | < ½ À ­ ç Ç
È Ê A ù A z
Î F Ω º
Ñ Á )Q
ç o s 3” & a + c Á•C– ù b Á—– º“”Ü x÷ Ý› p–
Û$‚  ƒ
±à Þ P (A |Aô ) €– Àë¹t •Ò– º : ; Û " $ _ ` h
Ø â P (A |A ) = , k−1 › › É » 
i & P (A |A ) = , S ë ® :;J
 a a+b

c k

k

a a+b

1

c 1

1

k

1

k

k

a+c a+b+c

1

a a+b+c

c 1

P (Ak ) = P (A1 )P (Ak |A1 ) + P (Ac1 )P (Ak |Ac1 ) a a+b b a a = · + · = . a+b a+b+c a+b+c a+b+c a+b

"$ |<FÑ { n À ­ ç ¾  k lÜÒF Ω º )Q º ¡ › r
Ž  o p ç  ª ¨
j ºÑ Ï
k
X
ëK A ù A zlÎ F Ω º )lQlçM"à Î $q  ¡ ›lÌl× æ â
Ûm ðlÊ \ & ^ _ ` hlØ Il¹lÏlÁÐ –: Ûn ; P (A |A ð S â
ma )Ü:ù º P•C(A– |Aù —– )."_ çÊ uÇD È ÛMà A “”ù Ü A Æa ã+ bº+ä(kå−æ 1)cÛ “”Ü:º • – ù —– "_kÝf )
o
pç  Á 
q ô  Ce !¡› )
Qr
º gh Ó ç ’ 2.3.10 9
rts
uCž
vàtw º 2 x
y
z – ˆ ç
{
|û ÑP
}
~
 Û ÉÑ
€ ¼ p ÀÀ
‚ F”ÍW Û îÈ 2 x
ƒ Z  ¼ p
„
„ ‚ F4 Ç É ž €”ÍW Û:þ Þ
  È $ æï Û µ«É n €
3
…Ñ x
†
‡ Î
ˆç hGÔ Ë Ñ x ˆ ç
{Gà# € ͉”Ü ƒ ö1 ë 9±2
Š ç‹ts
uCž
và  P”ÍW”Ü Ê
8 Š:; ç Ÿ É à
|  v Î 2 ÛŒts
uCž
và  P ÍW”Ü Ê
8 Š:; Î p , ‚
Œ  È à ÉÑ
€”ÍW”Ü  Ê
8 Š:; Î q . ÇÈ3F n 4 Ç ·< ç þ[ n = 1, ÝÑù × &ts
u „ Á
v
|û ÍW Û ÈÑÔ à ÉÑ
€ Ê
8Û  Ê p = q = 1. þ[ n = 2, Ý &
9
rts
uCž
vàtw Š 4 Á
v
|û ÍW ç) ý Ê A ù B Œ  È à ÉÑ
€ùÉ ž €”ÍW”Ü Ê
8 Š Ðç S ë& p = P (A) + P (A B) = P (A) + P (A )P (B|A ) = q + (1 − q )P (B|A ). î W Û  s
ÕuCÖž
ÛMvâ à ÉÁ
Ñ
v € Ê
8‚ Û é ƒr  é & È qà ÛÉtÑ
s
€”uCÜ ž
‚v
Î ‚ÑÎ F ç ^ ‚ „ Ìr Í) P
× 
& qÛ Ê 4 „
þ„ [ts
F
uCŠ ž
v
à 3 ÑF
Š × &F àž

v  &
Ê  8 M Û
U  Ñ '  q =ž . ÉÛÑ
‚€”ƒ ÜWŽ $ ž × È & Áv    ’  ,  Ê G 8 ƒ 1 F‘4ãÉ € ͉ cS É € Ü „ Í

k−1

c k−1

k

k−1

c k−1

k

c 1

1

n

n−1

n

n

n

1

c

2

2

1 3

1

c

c

2

2

c

¢£¤ ¥¦§  Û Ûʍ×â h È124ãÉ ž € ÛU
 ÈÑÔ Ê
8ç  Ê P (B|A ) = . 
“ Ñ3 p = q + (1 − q )P (B|A ) = + · = . þ
” Š| [Û ÎÇÈ & W• ì ÉFÑ { n, 1 èé &

60

c

2

2

ü à  å ÇGÈ3^ _` G ­ ç hØ p =È ö , ÇÈ3 ÉÑ
€”ÍWù Š”ÍW”Ü k

1 2k−1

c

2

pn =

1 3

2 3

1 4

1 4

1 2

1 . 2n−1

à € ý  Á • ìGç é ç nÄ =) 1 ù ý^ Ê
8 nŠ= k Ð+ 1ç ŠS äëB &

GÛ |< ác‹À Œts
uCž
và Aù B

n=2

pk+1 = P (A) + P (Ac B) = P (A) + P (Ac )P (B|Ac ) = qk+1 + (1 − qk+1 )P (B|Ac ) .

uҞv
à É
Ñ€ Ê8
Û é ƒ  é 
È à É
Ñ
ۆ
‚ Î Ñ F ç  ^ „Ì Í) P ÒS Õs  
Ö ÛMâ 2 Á
v „
„ ‚ F
Š r 
Ñù & k+1

(2k+1 )! 22k (2k )!

qÛa Ü s
uCž
v
‚Î ÑF
Š ‚ F r
& qç Þ
” –ž
ÊÛMô qk+1 =

(2k+1 − 2)! 22k −1 (2k − 1)!

2k+1

2 2k 1 = k+1 . (2k+1 − 1) 2 −1

þ [—suҞv
à É
Ñ€ÍMÜWŽ &Ê8ÛU

˜ 
™ à È ö Š—šWÜ Ê 8Û  R
› 
çW™ ž
 v à 
Éž
Ñ
Ÿ€tšWë ”ÜWœ
œ
 ç
ƒ {Fx‘ ²Ûs a 2 ÷ − 2 x
ƒ Ç Z Ñ m ç 4ã æ× Ñ
ht€ts
šu ž
v 2 x ˆ 3
ŠtšW Ê
8 Ý4 šW  ë 
  & È È ö  Û
U  à ö 124㠊tšW 
™ šW”Ü Š:; p , 
  k

k

k

S ë |Q _ ` h Ø ôâ

P (B|Ac ) =

1 pk . 4

1 pk+1 = qk+1 + (1 − qk+1 )P (B|Ac ) = qk+1 + (1 − qk+1 ) pk 4 1 1 1 1 1 1 = pk + (1 − pk )qk+1 = k+1 + (1 − k+1 ) k+1 = k . 4 4 2 2 2 −1 2


 |< à n = k + 1 Ä î À ­ ç ÿ Q ”
–ÛMâts
uCž
và šW”  Ü Ê
8 Š:; Î

pn =

1 2n

.

   61 à
”
– kl”Ü Û¢¡ ™1 ë   A ù A (ôts
uCž
vë
£à ÉÑ
€ Ê
8 ) zÎ F Ω Š` )Q
ç  Çq _F ` )Q Š ç ¡ › r
& \S á  n = 2 Š
ä B Û¤ ƒ & \ S ˆ ^ _ hØ4 m
¥ ¡ ™34Ñ5·<
¦ 2.3.8. ’ 2.3.11 `acŠÉ Ñ Ûž Û H Íd Ú ãle  Ñelf Û ed # ÞgledlŠ ô ) ý Î 1%, 1% ù 2%. üy c
e
f”ÜC˜™š›Ñ ÐGÛ§Güëô , , , f; f Ûœ
‹Lë Ñ Í
dÚ ã
e
Š:; ç Ÿ¨   B    y ef ë ô fŠ  Ð
Û  ) ý  A , A , A    y ef ë É
Ñ Û žÛ H Í
dÚ ã
e
Š Ðç¡ ™ h 3 ‹ÏÐ :; P (A |B). CS á:à ¦ 2.3.8 Ü ‹ … P (B) ≈ 0.0117, 
  üà Š/0 ‚ 
1 Û¡ ™ & §2.3

c

1 2

1 3

1 6

1

2

3

1

P (A1 |B) =

0.01 × 21 P (A1 B) P (A1 )P (B|A1 ) = ≈ ≈ 0.427 . P (B) P (B) 0.0117

” Š / 0© a k l % & Ñ
ÔŠª«
Ó Û þ [ | Q¦ 2.3.8 ÜÒF P (B) Š ‹ Ã Û ¡ ™±
 : –Îþ æ
ŠÔ ¨ Öÿ 2.3.4 ( Bayes )* ) Ø (Ω, F, P ) Î :; ÙGÚGÛ {A , A , · · · , A } ë F )
QÛMþ[ P (A ) > 0, k = 1, 2, · · · , n, ÝF ¼
S B ∈ F, × h P (B) > 0, Ω ŠÑ
¬  1 & 1

2

n

k

P (Ak )P (B|Ak ) P (Ak |B) = Pn , j=1 P (Aj )P (B|Aj )

k = 1, 2, · · · , n.

(2.3.9)

 ¬
Ô Š ýt M­ ð
Û × h Þ ÏÐ :;ŠÔ
Õ
® ® : ; J
|Q ˆ^ ô ± ç ¡ ™3 € ˆ^ Bayes J
k0
ŠÑ
/
¦
¯ ç ’ 2.3.12 s
uCž
v
°Ú‹- ^ E-mail ( ±W¯
² Ð ) Ê
%
³ N Û 
™
´Ô à
µ . F r ² Ð Š é
¶ ô G iW· (ô i Ñ
¬ E-mail ). CS
¸ X /0 ÛòË n ¹ E-mail Ü ,& 1 ¹ 2 à é
¶
º ^
µÐ
vçs:à ` +§' 1 ¹ E-mail G u:Û ³ óà é
¶ µ .tu Š iW· çœ
‹tu:à é
¶ µ
.'tsW§ G

Š E-mail Š:; ç Ÿ
¨Bà  ¬/0”Ü Û9©& „¬ !GÔ
Š»¼ ¨ Ñ
¬ ë½sW§ G u Š E-mail ÑÔ2 à é
¶ .
^tsCáç «S u Ñë
£Ô2 i à é
¶ .
^tuC® áÛžëtu ë
 £
i µ
Š .E-mail 'tsW§ 3
Š E-mail , ôà “µ
. ” ® “ i E-mail , ÝÛ
›  3
S  °Ú Û ®ë Ñ q !Ô
ŠR
N ç ” E-mail ¡ ™  A   u"à é¶ µ.'½s‰§ GŠ E-mail Š ÐGÛ   B   s"à é ¶ µ
.'tu i G

Š E-mail Š ÐÛh 3 ‹ÏÐ :; P (A|B ).  î A ù A E À' Ñ
¬F Ω Š )
Qç C0”Ü ÏÐâ c

c

P (A) =

n−1 n

,

P (B c |A) =

1 n

,

P (B c |Ac ) = 1 .

62


 

Bayes

¢£¤ ¥¦§

J
â

P (A|B c ) =

P (A)P (B c |A) = P (A)P (B c |A) + P (Ac )P (B c |Ac )

n−1 1 n n n−1 1 1 n n + n

1

=

n−1 . 2n − 1

&
vÙÛ Bayes J
ë ^3k
3 “ á:â | [Ûò)
¾s" ” /0
Š Û  ¬ Ù Ã F &
m  ç©à  ¬
¦0”Ü Û:s:à é
¶ Ž &
µ
.tu i G

Š E-mail ( ë”áC‹
§ ã
Š Ã
Û q Ûë ô | [ &
),µ
U.t u  i é
î , Å ÛÀ¿
Á
ëÃ"Â!  s "HÃÄI!kÏë—Ð u Ž &µ. Š E-mail •C'
¨ÅuWµ :}
Æ ; ÙP (A|B ) =.' 
Ž G

Š Î E-mail ßm Û Ñb
DZ2 ëtu Ž A
 Š E-mail Š±2Ó P (A|B ) = < ; &
µ
. 
Š E-mail , "$ Ž & G
 i E-mail . ’ 2.3.13 ` qÈ ŠÉ ; Î 0.5%, ß m <ÊËÌ y ŠÍ Ë ; Î 5%(ô õ É<
ZÊ Ü &[
Ð
5%Î
Š Ñv
Û<
œ
Ê ‹ | [Î
Î &Ó $
Û É Z Ü & ç 5% Š v
<
Ê | [Î
Ï Ó ). üâ ` v | !
É Š:; Ÿ
¨   A   É &$
Š
Ò
ÓD  B   <
Ê | [
Ð
Î
Ñ Š
Ò çD¡ ™ h
‹ Š ë
Ô Ò:; P (A|B). á:â
Ô Ò â P (A) = 0.5% , P (B|A) = 95% , P (B|A ) = 5% . ë op A ù A F Ω Š
Õ
¬ )
Q Ó° (2.3.3)
 c

c

n−1 2n−1

1 2

c

c

P (A|B) =

P (A)P (B|A) 0.5% 95% = = 0.087 . c c P (A)P (B|A) + P (A )P (B|A ) 0.5% 95% + 99.5% 5%

 ¬| [ … v p
Ö
Š
×
Ó as"à S v
ØtÙCy
Š
É ; F
Ú Ó¤Û Ð 0.5%, Ü <ÊËÌà ŠÍ Ëáâãä Ó Ð 5%, å®Éæ áç šè‰é 10 ê °   l Ý  Þ  ß ß ë
ìDí
î ”
ïtÙ Š
ð
ñtèWò
ó â ë é
ð
¯
ô 11 ê
õ ìDö ¬
÷
ø
ù
ú ¡ ™
ÓDû
ü Ê ýþ ÐÎÑÿ Ó
æ
ô áâ Õ   ì
 æô á õ
ü ÿ  á 
ؗÙWà æ
ôæ á  ìö 
æ
ô!"#  ô   $% '&()  ý
þ*+ ÿ',,
â %-.
ì ü ï  01 23  åé456789 ìÀö: / ï é; 18 <=>?6 Bayes / @A Bayes BCô  Bayes D  â EGFIHJ  á KLNMâ ßé  KLOPQR S î è ìUTVWX YZ ö: / ï î é & T[\]^ `_ T ô :abc 7de ÿ í T ôfgGhIYi \ YZjkô
ì lmn ; ö o k7p ö : / ï qNrst : ßu ö o n :nw ô Wx (y ), î {P (A ), k = 1, 2, · · · , n} é  v  A ,A ,···,A  m
ö :nwWx

nw+ { W| L'} ~ ì n (y )ô z
ô ÷ ü   á û ö : ßuõ :ýþ B  \  m€‚ ߃„ á {P (A |B), k = 1, 2, · · · , n}  
ö :nwWx nw+ †{†‡

ö ‹ ƒ„† †  á }  k n ô z…†j ô † ˆ‰  Š \ { Lã \ ì n 폐 ô ü  á ì î Bayes /  x  õ †  ü   á  ô Ž v A ; ö {–†—
'ì $†% ôé  \ k í
† ö {~ ü á ‘ E − mail ‘’
æ†!"
ô“”• j 1

2

n

k

k

§2.3

˜™š›

63

†c†  K†L '†¤†¥ á†K†L h‰ô †: ü† á@†† ô¦ 7† œhžY†Ÿ†jõ 7†¡†‘†¢†£ † õ ì à†@†¦  õ†Z§¨ž©Dô†ª†D†7†œô†«†¬†k†­  Š®¨ž© }  Bayes @ † ô ë ¦ ì Bayes @¦   áKLOP ¯¨`©‰† ô °±†7p '&†² 7†³ OPÿ ¯¨ž©‰ô ë ‹¸  ²
µ KL  ² °´ jõ³ ¶
ô ¢£ å· œ ô¹;¯¨Iº`»¼   ì
\ k ½ %¾ é ~  ü  á  ô p¿‘ ² 7 ò  ÀÁ´ ò  @¦  ô ÃÄ‘ÅÆ ì ÏÐ   ÈÉ Ê  õ  Ç» » YŸjËÌ
òü Bayes ¢£ &LãÍÎ ë Õ K†L†@†Ö ô†ô ×†Ñ £ Ò  Bayes ¢†£†‘òü Bayes ¢†£ôø Ð†Ó†Ô † x ä ì † é;ØÙ Ú ô ÛÜ Ý]: @¦ ô 7¡‘¢£ ì \

Þß 1. 2. 3. 4. 5.

2.3

àâáâãâäâåâæâçâåâèêéâëêìêíâîðïêñâòêó 3 òâåâôâíâõâöâ÷âîêø
ùâóêäêåâîðúêûâüêóêñâò çâåâíâýâþâÿ 
â í âôâîNø
ù
âô   7, 
âî úâóâñâôêí

1 íâýâþâÿ 3 â í âôâîIø
ù ê í    êî úêûêüêóêñâò 6 âíâýâþâÿ  "!#$ê í % &ê ñ ' (ê* î ) +, - ./ #êÿð ú , /#  01 2 3 +4 5 67 í "!#$âíâýâþê9 ÿ 8 øN ù % &â ñ ' (ê è : ê< î ;= >êýêþê è ?êA ü @ ñ Bê ã 4 C D E ê ñ F Gê í
3IH  9 î J ñ 3 KILêí ýêI þ p, 8 Jê ñ 3 K L M J N 3 K Lâíâýâ þ O p ; 8Jâ ñ 3KLMJ N 3K Lêíêýê þ . (1) 8âûâüâóâ ñ 3KL M,ê ì P Q  R Lêî ú , P Q RLêíêýêþêÿ (2) 8'ø
 ù JN3KLêî ú , Jâ ñ 3 K Lêíâýêþêÿ ø
ù P (A ) = 0.3, P (B) = 0.4, P (AB ) = 0.5, ú P (B|A ∪ B ). ø
ù P (A) = 1/4, P (B|A) = 1/3, P (A|B) = 1/2, ú P (A ∪ B). Sâó 2n − 1 T U"V 2n TWVâYî XZ.P n TâYî [X\]âè ^âíâîú  W ^âí ýâþâÿ ò  ê í V ` a b # 1,2,3,4 í cê ò d ê9 î e V a  d  êéêëêìê9 ÿ Xê ù fê ó
êò g_ dâ3 î úâ ó Vâ í dêôâ í % h b # k íâýâþâÿ ijklmnZ. o p A, B, C, qrâé sâñâá t u v p 2

6. 7. 8. 9. 10.

c

c

c

¯ C) ¯ = 1; (1) P (A|C) + P (A| ¯ = 1; (2) P (A|C) + P (A|C)

(3) P (A ∪ B|C) = P (A|C) + P (B|C); (4) P (A ∩ B|C) = P (A|C) · P (B|C).

wxyzr t uâí { pêÿ 11. (j 2.3.6 í| ) }â l ïJ k 3PV~PQ U"Vâíêýêþêé n . 12. (j 2.3.6 í| ) }â l ïJ k 3PQ U"âV í{pqêîUï J m 3PV~ (k < m) OPQ U"V í{â p ýâþâén . 13. _ 4 òV€ 6 ò U"V⠂ ïSâ  îƒXZ . ℠ñêñ… ê  îƒê † û V ‡…  ˆêÿ
úf ‰… k 3 ⠈ íâýâþâÿ 14. Sâ  ó r òV€ b òWâ V îƒXZâ P ñâV î"Š E s òâ^ íâV ñ‹`
Œ ÿ"Ž S Z P ñV[â X èâ V îUúê J ñ 3 P â  í ê V è W âV íêýêþêÿ a a+b

a+c a+b+c

‘‘’

64 15.

“‘”š›‘•

ó 2 T ê – ôêî9ê J ñ T –êô êó 4 ò W V 1 ò  Vêî9J N T –êô êó 5 ò W V 2 ò  VâîƒJ2T–âôâó 3 òWV 4 òVâÿƒX-—„PâñT –âôêî"Ž >–êô - — P ñâ V ÿ (1) â  ú⠘ òV Vâíâýêþ ™ (2) ø
ùPâíâèWVâîðú >V šA›œJN T –âôêí

ýâþâÿ

16. 17. 18. 19. 20.

 ‚âó 7 ò U"V 3 òWVâŸ` Œ"„-—  P 3 òVâî ø
ùâñ WVâÿƒ ú¡NV UœVâíêýêþêÿ ¢ ñ  £ ¤ ¥ ¦ § ¨êñ © ¤ ªêíêýêþ 1/3, § «êíêýêþ 1/2, §  êíêýêþ 1/6. ‹ ê ¢§«
3O¬­ ®© ¤ ª q â ¨ ÿUú ¯ ` 4 £¤¥¦â짨© ¤ ªêíâýêþêÿ â ` óâñâòâ V î°\ AUœ ê W íêýêþê  éêÿ²±"  ` âa ñêòAUœê V  Ž  -— P êñVêî [X>V
U ÿ9 ú  6 ³  V â O èAUœê V íêýâþêÿ 4Câ ´ ñµ â ¶ î<ê † û â J ñ 3  X â
ò  ê C í ·¸ ê ˆ ÿ ú f ´ n â3 íâýâþâÿ ๢ ñ¹º¹»¹¼ í¹½¹—¹â ¾ ï¹â 2 òâë ì¿À¹â  íZ¹âÁ ñâò èâéâë ìâí ÿùĽ—¹»âŠﹿÀ i  (i = 1, 2, 3), MÇƃn¹„¹È¹É¹Ê í¹Ë¹Ì îÎ͹1ÏйÑÒ&¹[X¹Óâ Ô íâý þ α (0 < α < 1). XÏÐÑÒ¿À 1 &Õ[XÓâ Ô î ú ½ — »ê Å ï ¿ À i í{âp ýâþâÿ n mÖ×ZØâ t ñâ r îUú Ù Öê ‡ ï  ê Ú ô& ¸ (â ñâáÛ ) íâýâþ p . i

21.

i

n

ÜÞÝÞßÞà

§2.4

lm% & ‹‘å‘æ‘çÐ D‘á hãâ‘ä ‘è ) ‰p P‘é “”‘¢£‘ê

ë ì‘í‘î‘ï‘ð‘ñ‘ò ‘ ó ôè†/ôõôö†ô膡 Wô÷ Y†Ÿh é †:†$†%ôø uôù  »†8†9†‘ ӆÔôúôúôû j ü ÿ‘ý‘é‘þ‘ÿ ' ê 4 é % ö & Ω h
 : é  ô胆„  ; †´

¹  é<é ê  Ð ¢£p‘è OP x ü ê  ‹ “”‘ê é # ”‘ê$ ~ % &' ´  j ü 1 ( %  2.4.1 
  !"  ) µ  %+* ´, - ü 1 ( %+. )/  %+012&'34 +ê 567 n 8 9 :  ‘ é ; è‘ê <=?> A @A 7 n 8 9 :  ‘ é BC%ED p = P (A ). FG > A H 

M é   &  L     % A Ω §2.4.1

n

IJK N ö :ãó ; èO‘õP

n

n

c n−1

P (An |An−1 ) =

5 6

,

P (An |Acn−1 ) =

1 6

.

pn = P (An ) = P (An−1 )P (An |An−1 ) + P (Acn−1 )P (An |An−1 )c ) 5 1 2 1 = pn−1 + (1 − pn−1 ) = pn−1 + . 6 6 3 6

QRST % UVWX

JY

NZ[\] W

1 2 pn − = 2 3



1 pn−1 − 2



,

n = 2, 3, · · · .

n−1

^ _`a
bcdef W% 0gh §2.4

65 p1 = 1,

pn −

j >kl

1 = 2

iP

 n−1    n−1 2 1 1 2 p1 − = , 3 2 2 3  n−1 2 1 + , 3 2

1 pn = 2

n = 1, 2, · · · .

FG .mnopqrst u 2.4.2 U n vxw q \ 2n Lxyxzx{xhx|x|x}x~x% 6xx€ }x n Lx‚ \ ;xƒxt <= FG…„‡†ˆ 1.5.6 H ˆ 2.3.3 ‰ no RŠ s% ‹ † .m deŒ ;ƒ O W / -&LŽt > A @A n vw q € } n L‚ \ BC% D p = P (A ). .> q} 1 L‚ \ BC% e B H B \ &Lt N‘ : B @A 7 1 vw Ω  I  J K Œ ;ƒ O W P n

n

n

c

pn = P (An ) = P (B)P (An |B) + P (B c )P (An |B c ).

* P (A |B) ” ‘ †,’ M †ˆ 2.3.3q‰}’  Q 6LP ‚ P (B) = ; Y“ P (A |B ) = 0; 7 1 vw q Q˜ 1 –— \ • C3%Eq–™— šn% −j 1 > vw q} n − 1 L‚ \ ;ƒ%E29 n − 1 vw P (A |B) = P (A )=p , ›œ 7 W 1 vw ’ V iPž 1 2n−1

c

n

n

n

pn = P (An ) =

bcdef W% 0gh

p1 = 1, pn =

iP

1 pn−1 , 2n − 1

1 , (2n − 1)!!

n−1

n−1

n = 2, 3, · · · .

n = 1, 2, · · · .

Ÿ  ¡¢£¤¥¦  §¨l&L© (†ª« \ S ( V¬­% ® 8¯,°
±² ­³´ 1, ¯,°
µ² ­³ V ´ 1, °
±² ­ \ ;ƒ ‘ p, 0 < p < 1, °
µ² ­ \ ;ƒ ‘ q = 1 − p. ¶·  J  ¸ ¹ ­ÇÈ ( \º»¼ ­t FG š½ † /¾¿ÀÁ \• C3ÃÄ©Å † n 8²  I Æ JÉ Ê¿ à · 9Ë n) j žÌ \ Á t “ J u 2.4.3 (ÍÎÏ¢£¤¥¦ ) §©Å † V º»¼ ­t ÐÑ À ©Å Á N  ¸ ¹ ÒÓÔÅ O, 56Õ† 9Ë n žÌ ÒÓ k \ Å K \I ;ƒt J <=Ö> A @A ©Å † 9Ë n žÌ ÒÓ k \ Å K \ BCt §©Å † 2×Ø JC  ­ à  ­ à  B 9à l b 8,°
µ² ”† A ÙÚ IÆ a 8,°
±² §2.4.2

k

k

a+b=n ,

a−b=k .

Û ÜÝ   Þ ßàáâ : 2 P a = . : N a ‘ã S ª à j >äl † n ˜ k \åæçèé  9 Ãëêl  ìt j > ( 1í n ˜ k éåæ ; C p q , P (A ) = 1í n ˜ k î åæ . 0, 9 Pž Rïð \ poÃëñ R †òó l p = q = . j > ˆ FG,„
† Ž ­ˆ ô1.2.8 õ \  Ð Lö e t ‘ º»¼ 1.2.8 K u 2.4.4 (÷øùúûü¢£¤¥¦ ) §©Å † V º»¼ ­t ÐÑ À ©  ¸ ¹ Å Á N ÒÓ k \ Å K, 0 < k < m. 1í Õ†ý Ð9Ë ² ­ I ž ÒÓÔÅ O ¯ Ò Ó m \ Å J M , Êþÿ ñ­t FG U ¶ |LÅ · t 5 Æ
  6Õ
 ÒÓÔ J


 J Å O H Å M ÿ \ ;ƒt <=Ä> E @A ©Å : ÒÓ k \ Å K  Ù \ B
Å M C  > A @A
Õ  J ÿ \ B
C  > B @A Õ
 ÒÓÔÅ O ÿ \ BCt .> H @A ©Å 7 1 ,°
± ² ­³´ 1 \ BCà N‘ H k ‘ ©Å 7 1 ,°
µ² ­³´ 1 \ BCt D p = P (A|E ) , q = P (B|E ) .  Ð Là gh Œ ;ƒ O
W

 e N• C;ƒ ( • > HH H \ Ω  I  J K J C;
ƒ ‘ ;
ƒ 
 ), P (A|HE ) + P (H )P (A|H E ) , gh ž HE k p ‘ =: PÒ(A|E Ó )k=+P1(H)P \ Å.  Ù \ BCà  H E k ‘ : ÒÓ k − 1 J \ Å.  Ù \ BCà j >J VWk ‘ p = P (A|E ) = pP (A|E ) + qP (A|E ) =p·p +q·p , k = 1, 2, · · · , m − 1. ST ÇÈà P 66

n+k 2

n+k 2

n+k 2

n

k

n−k 2

1 2

k

c

k

k

k

k

c

k

k

c

k

c

c

k

k

k

1í

UVW

k−1

pk+1 − pk =

p


 • C 1í

k+1

p = q = 21 ,

q (pk − pk−1 ) , p

” VW @

p0 = 0, pm = 1,

bcde p 6= q, ”

iP

pk =

k = 0, 1, 2, · · · , m − 1 p1 =

k

k−1

k = 1, 2, · · · , m − 1.

{pk − pk−1 , k = 1, 2, · · · , m − 1}

k m,

k = 0, 1, 2, · · · , m.

WÃgh (2.4.1)

pk+1 − pk =

K

k+1

k

 k q p1 , p

6 H Ã de p

pm = 1, =

 

 ª
 t

 >
 

k = 0, 1, 2, · · · , m − 1.

(m−1   )−1 X q k k=0

p0 = 0,

(2.4.1)

Pž

1 − pq  m . 1 − pq

(2.4.2)

§2.4

U

^
_`a (2.4.2)

W K

k = 0, 1, · · · , j pj =


V
!Ã FGP M = K

67

6 H Ã de VWÃ iP

1− 1−

 j q p

j = 0, 1, 2, · · · , m.

 m , q p

l

k = 0, 1, 2, · · · , m,  k  p = q = 12 ; m, k q pk =  1−(qp )m , p 6= q. 1−( p )

ïð  >
" P = K

l

k = 0, 1, 2, · · · , m,  k  , p = q = 12 ; 1− m q k q m pk =  ( p ) −q( pm) , p 6= q. 1−( p )

# V
!
$
"pí  >
%  ÐLl
& \ po= k = 0, 1, 2, · · · , m, ' l K p +q =1 . à † |y
 * l \º»¼ ­ ‰ ÃÖño©Å #
+
,xÁÂ  Ù Ã '
-
. ¶

(  )  F G

 / 

 j
 Ã # ¬­ ¯
0¯
1 /p
2t §©Å † V º»¼ ­à p = q = . ÐÑ À u 2.4.5 (3
4
5
 6
¢
7 8 )  ¸ ¹ ©Å Á N ÒÓÔÅ O, 56Õ† 9Ë 2n žÌ ÒÓ I 2k, 0 < k < n \ ÅÃ9
: † ¼ J ­ R
; ‰=< l
>? R ÒÓÔÅ O \ ;ƒt <= Š s
 e N
@
A ;õt †CBCD VCE
F ÒÓ
 H Ã > X « @A 9ËÃ >
¸ G ©Å j † Á t N‘ ©Å \ ®ÐCI  ì \ ¬­CJCK ö BCD V \ Ð •CL Y « @A K  V  ® C Ð O Ð ƒ O t N‘CR ŠCS Ø L \ ‘ Q • P \ 1 ¯ −1 ¹ ' ¹ k (· ‘ JCj MCl N ), \Q¹ T  à J © Å 9 Ë Ò Ó Ω MQ\N ÅÃ
:  ¼ |Ω|­ R
=; 2 . > l
>E ? R @ ÒA ÓÔÅ † \ B2nCž Ã Ì N‘ J 2k, 0 < k < n : j lCUCVCWCX • C \ † = ¶CZ ‰=< ¿ N Å (0, 0), - N OÅ (2n, 2k), C: E˜ MCNCY MCN l
 [ Åt X «
< > A @A ©Å † 9Ë 2n žÌ ÒÓ 2k, 0 < k < n \
6  |E |, FG  J Æ Å \ BCà > B @A ©Å † 9Ë 2n žÌ ÒÓ 2k, 0 < k <J n \ ÅÃ
: † ¼ J ­ R
; ‰ >? R ÒÓÔÅ O \ BCt N‘ k

k

1 2

2n

2k

2k

2k

2k

|E | = |A | − |B | . M   Ž à  B C A ÙÚ 9à ©Å ­ à 
R ; \ 2.4.3 † n + k 8,°
±²  I Æ IÆ  ­ Ã > j n − k 8,°
µ² |A | = C . BC B ‰ \ l
 [  Å ] à \  >  | ï à 7 Ð ï ‘ ©Å 7 Ð , ˜ ‘   ° M
N ' X « J

: ˆ

2k

2k

2k

2k

2k

2k

n+k 2n

2k

ÛÜÝ Þßàáâ ­Ã ¶ I QR Å (1, −1); 7
_ ï ‘ ©Å 7 Ð ,°
±² ­Ã`\ ‘ ˜ X µl
² [
M
N ^
M N ÅÃ ¶ I Ã > D @A Õ QR Å (1, 1). FG m
a
b{hÐ • 7
_ ï «˜
M N
M N V Á N ÔÅ O H Å D ÇØ \
f \ 7 ÐL (ÒÓ
c
d \ ) [ÅÃ FG
e X «
M N  š N X « \Cg D bCh à ò , Õ kCi Ð • QR Å (1, −1) \ 7 Ð ï t b J I C M N ÇxÃjWxí e {xhxÐ • 7 Ð ï V Á N ÔÅ O H Õ é X « \ 7 Ðxk L [ÅxÇxØ \kf
M N t C ñ l  š N X « \
g D b
h à ò , Õ k
i Ð • QR Å (1, 1) \
ï 7 _ J
M N I  m  à ¶ I K ö ‘ ÐÐ \ à j >| ï M
N \ o è t M Ã 7 Ð ï \ o ª n ª n Y
M N N ¿ N Å (1, −1), - N Å (2n, 2k) \
L \ ªon pt Wí> a @A ¶ ï L V P ƒ ¹ kl J , à \1 O \ ªon à > b @A ¶ ï L V ¹ P ƒ −1 \ O \ o ª n ò ¹ ¹ J ¹ a + b = 2n − 1 , a − b = 2k + 1 . # M 
q a = n + k, 68

¶ R ÐmÃ Ê P |E | = |A | − |B | = C gh j > C , n+k−1≥ N‘ kl

n+k |B2k | = 2C2n−1 .

2k

2k

2k

2n−1 2

P (E2k ) =

n+k n+k 2n − 2C2n−1  n+k−1 n+k > C 2n−1 2n−1 .

n+k−1 n+k = C2n−1 − C2n−1 .

C n+k−1 − C n+k |E2k | = 2n−1 2n 2n−1 , |Ω| 2

k = 1, 2, · · · , n.

>V  j e \ š N X « \
g D b
h · “b
h Ô T ”, ‘ $
" • ª \ Ð
Il J
M N r
s
tt Š s ‰ j P \ pxo bku ºx»¼ ­ \ ÐLkv
w ç ©ÃxWxí dxe · ç Ãyxp
 K o à FG >
Æ zp
W
X= ˆ 2.4.3 ‰ \ p §©Å † V º»¼ ­à p = q = . ÐÑ À ©Å Á N ÒÓÔÅ O, > p  ¸ ¹ I ÒÓ  9 Ë \ ÅÃ9
: † ¼ ­ R
; ‰=< l
>? R Ô @ÅA Õ\ † ;ƒt n žlÌ = J k, 0 < |k| ≤ n O ”    Wí n ˜ k éåæ ;  2 C −C , p = Wí n ˜ k î åæ .  0, {
FG ä ‘ K n H k ' ‘æ ª \ J ] IÆ [ à †ÕG
' ‘å ª \ J ]\ L v
wrs= [ 
| Œïð t ‹ †FG > de ¶ LpoŽ;ƒo ‰ \ Ð
u 2.4.6 (k §x©xÅ † ™ k‚ \xºx»x¼ ­xà p = q = \ S ÅxV k Í k } k ~ k  € ) x ¸ ¹ I Ñ À 9©Å Á N ÒÓÔÅ O, 56Õ ž 9Ë n à #
„ ? ž R ÒÓÔÅ O . ¸
J ƒ \ ;ƒt 1 2

(n) k

1 2

−n

n+|k| −1 2

n−1

n+|k| 2

n−1

(n) k

^ _`a
<=?> A @A ©Å ž 9Ë n à #
„ ? ž R ÒÓÔÅ ¸ \ Á J
\ ƒ ÒÓ ¾ U
V • C  9 à  © Å  9 Ë † A ÙÚ n K k^ + k ≡ 0 (mod 2), 0 < |k| ≤ n . =: … ê \ po M = † n =n2m 9à l §2.4

†

P (A) = 2

m P

9Ã l k=1

(2m)

p2k

=2

m P

k=1

69

O

\ BCt ò , †


m+k−1 m+k m 2−2m C2m−1 − C2m−1 = 2−2m+1 C2m−1 ;

n = 2m − 1 m m
P P (2m−1) m+k−2 m+k−1 m−1 P (A) = 2 p2k−1 = 2 2−2m+1 C2m−2 − C2m−2 = 2−2m+2 C2m−2 .


V
!píà  >
‡ k=1

k=1

[n]

2 P (A) = 2−n+1 Cn−1 .

X D m
%ÐL ˜
M N rslš \
ˆ ˆ t u 2.4.7 § G ‘ j lk‰xlkXk! ] W \kŠ O ]x\k‹ ª g(x) \kT x= g(0) = 0, ¹ = g(j) + α (x − j), j ≤ x ≤ j + i, j = 0, 1, 2, · · · , n − 1, – ‰ α = 1g(x) ‹ M $
" » ‰=Œ l f T  ‰ \ j l ‹ ª t FG # ‰ º»

Ž Ð ¯ −1. L ‹ ª à 6 º» BC A \ ;ƒà – ‰ A @A j Ž  \
‹ ª g(x)  N W
X ˆ T = Ø (0, n] ‰=< l v }. G = {g| g(x) †
 <= Š s ‘ 7 Ð
‘ ˆ 1.2.8 \
’
“ t M à G ‰ \ ®ÐL ‹ ª
' ˜ ©Å º» [ Å \ M
N è K Yöà j > : Vs \ pí M ¼ ­ \ Ð • ˜ X «
< l
 j

j

0

0

[n]

2 P (A) = 2−n+1 Cn−1 .

” € 2.4 1. •9–9—9˜9™9š9›œŸžy ¡9¢ £`¤¥™Ÿžy 9¦¢ §¨Ÿ©yªŸ«y¬ p , p ¡ p . ­9®9¯ (° ±9²9³ 1/3) ´9µ9¶9–9—j˜]£j·9¸™µ9¹¶ ºj»¼½ ¬žy § ²³ º 2. (¾ ) ­9®9¯9´9µ9¶9–9—9˜9£¿·9¸™µ9¹¶ £ÁÀÂ9Ýĝ½9 ¬Ÿžy 9º¿½9 µŸÅyÆ9¶–—9˜ § ²9³ ¬9Ç9ÈÉ ²9³ 3. Ê9¶9Ë9Ì9Í9Î9§ÏÐ n Ñ9£jÆ 1 Ñ9Ò9¹9Ó9Ô9§ ²9³ ¬ p (0 ≤ p ≤ 1). ¼9Æ n Ñ9Ò9¹9Ó9Ô9§ ²9³ £j·¬ ۝c,Ü Õ9nÖ9→×9∞Ñ9Ê9Ý9¹9§9¦9Þ9؝ß9ѝº ٝڝÀÂ9§ 4. àáâãäÑŸå©yæâç£jםè×ÑpçÃ¶p靺`êÍpëì£`âãîíyï 10 ѝâç™ðœ 5 Ñ9ñ9™©xæ9£yò9â9ãóyôð9œ 8 Ñ9ñ9™9ºyï9â9ç9õ9ö9؝£Á÷9¥ ± Ò9ʝϝÐ9øùë9úûü9ý õ  ö (°ÒÊ¶ËÍÎ§ÏÐ£jþ ӝ ԟ åyÿ£jô
íyõö£ÔŸåyÿ£jôŸóyýõö ).  ÷9¥9§9²9â9³ ç9ô£ Ì üïâç9£÷ Ÿ©yæ9睙ºj»9¼½ÑŸ©xæ íxç9™9§ º ± A  Æ k –µ 5. —™›œ N – £™ M –¬Ÿžy £j¸™¬ n §º ± ¹9§9 9¬žx §£ B    9™   m –žx 9§  9º!"£j#
$y¡% #&$x§9à ' ( ) *šœ 1

2

3

k

m

P (Ak |Bm ) =

m . n

ÛÜÝ

70

Þßàáâ

Æ9¶9–9—9™9›9œ N –žx 9¡ M –9¢9 9£¿Æ +9–9—9™9œ N –žx 9¡ M –9¢9 9º ÅxÆ ¶9–9—9²9µ9³ ¹9¶9  # ,Æ +–—9™£.- /Í9ΝÖ0¸9Æ+–9—™µ¹9¶– 9º¿»9¼½ 9¬Ÿž  9§ º 7. 1œ n –—˜£23#œ N –Ÿžy ¡ M –¢ º]ÅyƝ¶–—˜­®µ¹¶ #,Æ+ —£40 Å Æ5+–—9˜9²9­9³ ®µ9¹9¶9  # ,9Æ9•9— 6479Õ 8 89£:9ÖÅxÆ n —™­®µ¹¶9 9£ »9¼9½9 9¬žx 9§ º 8. Æ9¶9–9—9™9›9œ N –žx 9¡ M –9¢9 9£¿Æ +9–9—9™9œ N –žx 9¡ M –9¢9 9º ÅxÆ ¶9–9—9™ % #&$x¯9­9®9µ9¹ n –9 9£ÁÅxÆ +9–9—9™ % #&$x¯­9®9µ¹ n –9 9º<; =9µ9¹ §9²9  ³ >9š # , ? @9§Æ9•–—9˜º.99֟ÅxƝ•–—9˜™­9®µ¹¶9 £¿»9¼½9 ¬ŸžBA§ º 9. í9óxà C D9›9œ 1 – E9 9¦ 1 –9¢9 9£ ×9Ñ9¸9à C9™ D F9µ 1   G H9Ö #&$xº »9¼ I J n Ñ G H9Ö9£]íBC9™ KL 2 – E9 9£ 1 E 1 ¢9£ 2 –9¢9 9§ ²9³ p , q , r . 10. 30 – M N O P Q9»£!™9œ 5 – M N9¶ R S T£`œ 10 – M N U V W X9£`œ 15 – M N M Y W Z9º[U V9¶ R S T§ MNQ9»™ \] “S T ”; U V W X9§ M N ± Ù 89§ ²9³ Q] “S T ” ¡ “ ^BX ”; M Y U V W Z9§ M N9ô ± Ù 8§ ²³ Q] “ ^BX ”,“_ ²9` ³ ” ¡ “Ì _ ` ”. ­9®&ax¹9¶9– M N£j»¼÷] Q»ÀÂ¬ b (1)“S T ”; (2)“ ^BX ” § º 11. œíx£ óxà c&dBC9£ íBC9™œ 5 cžx 9¡ 2 c9¢9 9£ óBC9™9œ 4 cžx 9¡ 5 c9¢9 9£ ¸í C9™ F9µ9à9  # ,ŸóBC£!eÖ 0¸ŸófC™ Fµ¶² ³ £j¼Õ g žy § ²³ º 12. ÒÊ 3 Ëh˜ºj»¼ 3 Ëh˜>šÊ¹ 6 i§ £7Â
j b (1) œ¶Ëh˜Ê¹ 6 i 6 (2) Æ9¶9Ë h9˜9Ê9¹ 6 i 6 (3) œ9à9Ë h9˜9Ê9¹ 6 i 6 (4) k9È9œ9à9Ë h9˜9Ê9¹9Ú  § i9¨ 6 (5) =9œ9§ h9˜9Ê9¹9ڝ§ i¨6 (6) k9È9 œ9¶9Ë h9˜9Ê9¹ 6 i9º 13. r –9è (r > 1) l m9  n o9£ ¸ píxõ9ö9£ ×9Ñ q9  Í89ðr9¯ ms t r − 1 –9è9™9§ F9¶9–9º ¼ * u  9§ ²9³ b (1) m  n Ñ9£   v9œ&$Bíxã9™ 6 (2) m  n (n < r − 1) Ñ9£v9œ9è w  J9àÑ  ( íxõ9ö9Ý q9  x y&jfw  1 Ñ ); (3) Æ n Ñ z&9íBm9¹9º 14. œ 3 –9—9˜9£jï9Æ j –9—9™ #9œ N –žx 9¡ M –9¢9 9£ j = 1, 2, 3. ­9®9´9µ9¶9–9— ˜9£j·9¸9™ % #&$x¯²³ µà–9 £`Ýĝ¬9¶Ÿžy¶¢ºj»¼{à9– 23ëŸÅxƝ¶–£jÆ+ –9£jÆ9•9–9—9˜9§ º   AºB19¸½—9™ 15. ¶9–9—9˜ |9ë #9œ N –žx 9¡ M –9¢9 9£ Ö } ~ 9¶9–9 £[ Ì % #&$x¯9­9®9µ9¹¶9 £`ÝÄ9¤¥šgŸžx º`»9¼}~ª ¬žy § ²³ º 16. C9™9›9œ m c9Ó €9Ï9Ð9£ n c9Ñ €9Ï9Ð (Ñ €9Ï9Ð9§9à9Ô9Í 9œ ‚ ƒ ). ï C9™ F9µ9¶ c9£ „ ¤ …9Ê r Ñ9£†j  ×9Ñ ]  ‚ƒº‡{cˆ‰ gŠ€‹Œ gŽ
 17. (‘’‡“ ) ”•–‘—˜™š›‘›œ A ] n ž‘’Ÿš‘œ B ] m ž‘’™ ˜ n > m, ¡ ¢ ‘ ’ ‹ • £ ¤u –¥g8¦ r‹™!§ ¨b”© ’ª«˜˜ ™ A ‹ ’ ¬ ­ ® ¯ ° ‹ Œ  ± . 18. (² ) ” ‘ ’ ‡ “ ˜ © x A ³ ´ µ ¶ ‹ ‹ Œ  · 19. ¸ ¹ 2n – º » ¼ ½ ™¿¾ – ¼ ½ ˜ À Á ‹ Œ   à p. ¼ Ä Å Æ Ç ¬ È É ‹ ¼ ½ Ê  À Á ™ Ë Ì À Á Í ¬  à n + m (0 ≤ m ≤ n) ‹ Œ  · 20. Î Ï • Ð Ñ Ò ™ÔÓ ¾ –Ñ Õ˜Ö ×ØŒ p Ù 1 − p Ú Ê • Û Ü Ý Þ • Û ·.ß ÑÒà ­á Æ n Û ™[¼ Ä â (1) Ó Ý ã ä å æ ç Ñ è n + 2i Õ ‹ Œ  é (2) Ó ‹ Ñ ê ”  ë 0(Ý ã ) ä å ë  N Û ‹ Œ  · 6.

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

n

j

n−m n+m

j

n

n

§2.5

ìîíðïòñîóîô

71

õ ö÷ø÷ù÷ú÷û ÷ üîýîþîÿ















 üîýîþ


 !#"$% &îü ýîþ

'
( 
)
* 
!,+-
. 
/0
12
3 4
îüîýîþ

 ! §2.5

5
6
7
8
9
:
;
<  A = B ÿ?>? ???@?A (Ω, F, P B ?C?(?3?4?B ?D?E?F? P (A) G ÿ
H
>
!BI *JK
/

L
 . E
M

(
N
O ! P (A|B); P (B) G P (B|A) P 2.5.1 Q
R ' 51 (
>
S
BT 30 U 21 V
WBR
X '
Y
Z 17 [ BT 9 U !]\
^
_
`
a Rbc 1 [ ]d
e
f A = B g
h a [ ÿ U
i
= ÿ
Y
Z

3
4 ! 8V j
k
l
m

n P (A) , P (B) , P (A|B) , P (B|A) . o n +
- ' |Ω| = 51 , |A| = 30 , |B| = 17 , |AB| = 9 . p f §2.5.1

P (A) =

30 10 = , 51 17

P (B) =

30 10 = , 51 17

P (B) =

17 1 = , 51 3

P (A|B) =

17 1 = , 51 3

P (A|B) =

9 , 17

P (B|A) =

10 , 17

P (B|A) =

9 3 = . 30 10

 Xq
rs
t
u v' P (A) 6= P (A|B) , P (B) 6= P (B|A). /
w
x
*
D
y
z m B
{
4


H
|
}
{
4

 !B~ ÿ

'
N
€
 j M m N
n P 2.5.2 Q
R ' 51 (
>
S
T 30 U 21 V
WR
X '
Y
Z 17 [ T 10 U !]\
^
_
`
a Rbc 1 [ ]d
e
f A = B g
h a [ ÿ U
i
= ÿ
Y
Z

3
4 ! 7V j
k
l
m

n P (A) , P (B) , P (A|B) , P (B|A) . o nƒ‚

„
…
' |Ω| = 51 , |A| = 30 , |B| = 17 , ~ ÿ
†
' |AB| = 10 . "
$ P (A) =

10 1 = . 30 3

 X q
rs
t
u v' P (A) = P (A|B) , P (B) = P (B|A). /îÿ
(
‡ ˆ
‰

‚
Š ! /

‹ ‚
Š
Œ
f 

Ž 3
4 B 
i
G
 &
3
4 A 
i

‘
'
’
“
”3
4 ÿ &
3
4 B 
i


‘
'
’
“
 `
•
–
-
A “—
˜ üîý ”. ™
 A 

i


š
›
œ

Œ
ž
 l u P (A) = P (A|B) , Ÿ
 
¡ ' = P (A|B)P (B) = P (A)P (B) .


š
›
œ
 ¡
¢ Œ s  • l u P (AB) = P (A)PP (AB) (B), Ÿ
 ™ P (A) = P (A|B) ,

P (B) = P (B|A) .

(2.5.1)

"
$ (2.5.1) £ 
C
(
| £
¤ >
¥
H Ž
ý  ¤ >
¥ Ž ý !B+
-§¦ X§q ‚
Š§¨
© I

œ
ª
n l m



72


« ¬
­
® ¯
°
±
² ³ ´ 2.5.1  A = B ÿ
>



@
A (Ω, F, P ) 
C
(
3
4
 l u '
P (AB) = P (A)P (B) ,

(2.5.2)

µ
¶ 3
4 A G 3
4 B —
˜ üîý
B· ¶ I üîý ! l Xp F A G B —˜ ü ý ‰¸¹ A º»¼½¾ B 9º»¿ÀÁÂÃÄ  ! B º
»
¼
½
¾ A 9
º
»
¿
À
Å
Á
Â
Ã
Ä l uÇÆÉÈ§Ê E§Ë§M§ §M§Ì§Í§Î Ê §C§(§N§O§Bϧ'§Ð§} +§-   ü ý þ§ §Ñ ª ! 
N 2.5.2 ” U
i  = 
Ò R ”Y
Z
Ó
Ô , p f “ÿ  I U
i ” & a i ÿ I Y§Z ” §Œ§Õ þ§ §Ö§×§‘§'§’§“ ! — w§ §B§N 2.5.1 É U§i É §Y§Z “  Ø N×}Ò R YZ Ø N "
$ Ùvž a i I Ui {
4 m #ÚîÿY
Z
{4

 …Ï×}Ú ÿYZ

{4

 A * !ÜÝ ÖÞßàáÏTâ
㝠! P (B|A) Û ™ üîýîþ

œ
ª
ä
å
æ c m q
t  ! ³
ç 2.5.1  A = B ÿ
>



@
A (Ω, F, P ) 
C
(
3
4
 µ
è 3
4 A G 3
4 B —
˜ üîý
¥
 l
m
é &
3
4

A
 —
˜ üîý
n (1) A G B ; (2) A G B ; (3)A G B . ê
ë n ˆ
‰
 P (A) = P (AB) + P (AB ), ì™ (2.5.2) £ BŒ  1 3

c

c

C

c

c

$
í g J A G B —
˜ üîý ! T – y
z
Œ
î
ï
ðJ !


œ
ª 2.5.1 ÿ +
- &
}îüîýîþ p m
œ
ª
òîÿ
ó
ô
C
(
3
4îÿ  üîý
X ñ




õ
ö !÷
ø
 è +
- ` 
 X ðJC
(
3
4
îüîý þ
¥
 ¡
ùú
û
È ð J (2.5.2) £ E
ü Ž
! ì
ý
þ a £ Ž ý
 Ÿ
 
—
ÿ
C
(
3
4 ¡
œ —
˜ üîý ! P 2.5.3 
A [0, 1)  \
^
(
L
Bd
e
f A = A g
h a L

A [0, )  = [ , ) 
3
4
 j 
B3
4 A G A ÿ 
—
˜ üîý 0 §

}

§  ! 姞 A A = [ , ),  P (A A ) = • P (A ) = o n /§

f (2.5.2) £ Ž ý
 "
$ A G A —
˜ üîý ! P (A ) = . p è ˆ
‰  +
- p f
F “/
0 
} 
 ”, ÿ "
I “Lîÿ 
A [0, 1) ÿ  \^  ”. %   c ÿ œ
ª 2.5.1 v 34 ü ý þ ÿ G 
@
A


  ' 
!  

N
O +
- p   
Ì
@
A Ω = [0, 1); 3
4 σ  F ™

' Borel O Ž  P I Lebesgue  !! ÿ

/
(


@
A
 p [0, 1) p q
C
(
3
4 —
˜ üîý #! "
I & Ø  +
- Ë
E
M m ñ
N
O ! P 2.5.4  Ì@A Ω = [0, 1); 34 σ  F ™ [0, 1) p ' Borel O  Ž! &

$ O P (AB c ) = P (A) − P (AB) = P (A) − P (A)P (B) = P (A)(1 − P (B)) = P (A)P (B c ), c

1

1 3 4 4

1 2

1

1

2

[0, 1)

1 2

1

Borel

E,

2

1 1 4 2

2

2

%

P (E) = k:

X 1 2k

∈E

2

1 , 2k

1

2

1 4

1

ì íðïòñîóîô î 73 ‰
í 3
4 E


|
} E  p '& l '
= ! H ( ð (Ω, F, P )
Kîÿ


(


@
A ! ‚
f A g
h 3
4 [0, ), f A g
h 3
4 [ , )( ˆ
‰  3
4 σ  

$ )
Óîÿ
3
4 ). j 
 A G A ÿ 
—
˜ üîý o n ™ ‚

*
+ £  +
- '



 P = , = + = . P (A ) = P 0, = ; P (A ) = P ~ ÿ
†
' §2.5

1 2k

1 2

1

1

∞

1 2

1

k=2

`
•

1 3 4 4

2

2

1 2k

1 2

1 3 4 4

2

P (A1 A2 ) = P

1

1 4, 2





1 4

=

1 2

1 4

3 4

.

P (A A ) 6= P (A )P (A ) . ž H
ý  f Ž  (2.5.2) £ p A G A H —
˜ üîý !  ,áâv +- Œf ûÈ 
Ì- þ.E
óô
34
îü ýîþ0/1 Œf [ I _ œ ü ý þ 2 !,"I /
‹y
z m #Œ
f ` r
s tu ÿ 
G34 —5 )
E
ó
ôîüîýîþ

œ
)
îþ ! P 2.5.5 6 798§[§—§˜ ü ý _ é Û   : ; <§

= >§ j§k §d
e   n ?
@
BC [  c ñ ?' — |


 ! o nƒ
/
0
B
œ 678
[ “üîý _ ”  =>
 è …îÿ )

! f E gh 8[  c ñ ?' — |
3
4
 Ëd
e
f A = B gA  h v 6 = A 7 c k ? ñ
3
4
 k = 0, 1, 2, · · · , n , å
ž E = S A B , ì
ý è i 6= j ¥
B3 4 A B G A B ˜ H —B   ' 1

1

2

1

2

2

k

n

k

k

k

k=0

i

i

j

j

P (E) =

n P

P (Ak Bk ) .

}
C
üîý _ =>
 p f
&C
( k, 3
4 ™î [
— ˜ > ÿ;<



 p f P (A ) = P (B ) = C ,
` • k=0

k

P (E) =

n X k=0

P (Ak Bk ) =

k

n X k=0

Ak

G

Bk

Ó —
˜ üîý ! ™ }=

k 1 n 2n

P (Ak )P (Bk ) =

n  X k=0

Cnk

1 2n

2

n = C2n

1 . 4n


/
(
N
v>
¥ c ‚
* “—
˜ üîý ” = “˜ H —B ” C
(
H
>



 + -
 m  D
 E c “—
˜ üîý ” = “˜ H — ä ” /
C
(



e ! P 2.5.6  A = B ÿ> @A (Ω, F, P ) v C(34 ý P (A)P (B) > µ
è 3
4 A G 3
4 B ˜ H — ä
¥
 –
- ù H —
˜ üîý W w

 è –
- —
˜ üîý 0, ¥
B
œ — ä ! ê
ë n þ %
ˆ
‰  –
- ” —
˜ üîý ” è ýF è = P (A)P (B) > 0 ; •
–
- ” ˜ H — ä ” è ýF Pè (AB) P (AB) = 0.

«
¬
­ ®
¯
°
±
²

74

G
6
7
8
9
:
;
< 
(
3
4
îüîýîþîÿîH ý

C
(
3
4
îüîýîþ
IJ X
 ~ KL

 !  A , A , · · · , A ÿ
>

(


@
A (Ω, F, P )  n (
3
4
 l u –
-
A ˜+ - ü' ý Ÿ  Tâv $ ‰ 
M d
34

A ÿ è ÿ —
˜ üîý
! f n = 3 I N —
§2.5.2

1

2

n

³ ´ 2.5.2  A , A , A
ÿ >

(


@
A
—
˜ üîý
 l u l
m 4 (N £ Ó Ž ý 1

2



(Ω, F, P )

3

3

(
3
4
 ¶ –
-

P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ); P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 ); P (A2 A3 ) = P (A2 )P (A3 ); P (A3 A1 ) = P (A3 )P (A1 ).


/
0
 è ýF è 4 (N £ ÓOP
Q
Õ
F 3 (
3
4 A , A , A —
˜ üîý ! l u ' @ ñ 3 (N £ OP
 µ
¶ 3
4 A , A , A 5
5
:
; . F  œ
ª
Œ
ž
 —
˜ üîý

œ
C
Cîüîý !~
D
E
F
CCîüîý
HÕRS —  ™
X q ˜ üîý W • ý™T
(
| £ 
H

œ
Õ
æ c @ ñ 3 (
| £ ! M
U
N
O ! P 2.5.7  Ω = (0, 1); 3§4 σ  F ™ (0, 1) p ' Borel O   Ž W P I ! % Lebesgue  1

1

A1 =



1 0, 2



, A2 =



1 3 , 4 4



2

2

3

3

, A3 =



1 5 , 16 16



∪



9 13 , 16 16



.

jV 
3
4 A , A , A ÿ 
—
˜ üîý ! o n,åž P (A ) = P (A ) = P (A ) = , P (A A ) = P (A A ) = P (A A ) = , ~ ÿ
†
' P (A A A ) = 6= P (A )P (A )P (A ), p f
3
4 A , A , A C
Cîüîý
 ~ H —
˜ üîý ! A W§3§4 A , A > X §BË % A = ( , ).

j V §3§4 P 2.5.8 §§§@§

ÿ 
—
˜ üîý ! A ,A ,A o nƒ/
(
N
O X,Y  þ
B‡  Z[ æ \ #! ] …
B
/
0
' P (A ) = P (A ) = P (A ) = , P (A A ) = , P (A A A ) = , P (A ∪ A ) = ~ ÿ
†
' 1

2

3

1

1

2

2

3

1 2

3

1 16

1

2

1

1

1

p f

2

1

2

2

3

3

1

2

3

2

1 4

1

3

3 7 8 8

4

4

2

4

1 2

1

(3 3
4
H —
˜ üîý ! P (A A ) =
$ €
 +
-^
ˆ
‰
 B
Ì
' f X C
(
N
O _` +
- n 1

4

2

1 8

1 4

1

2

1 8

4

1

2

6= P (A1 )P (A4 ) . P ((A1 ∪ A2 )A4 ) =

3 8

= P (A1 ∪ A2 )P (A4 ).

3 4

,

ìîíðïòñîóîô 75 è œ
ª 2.5.2 @ ñ 3 (N £ Ž ý
¥
BH§
œ
Õa
ð T §( N £ Ž (1) ý
 l N 2.5.7 p
h ! w Bœ ª 2.5.2 ] T (bbN £  H?ÕbRbSb@ ñ 3 (bbN £ ! 3 (2) õ§…§Œ§Õ§' 3§X BN 2.5.8 ¡§g JÉ#ced§f§' œ§Pª (A A AÉ)

=f§P( (A )PN (A )P §(AH ),Œ †§ ! ì§ý  N £

£ g P (A A ) 6= P (A )P (A ). p 2.5.2 H H
Õa
ð 3 (
3
4 —
˜ üîý
 • ý 
H
Õa P (A A A ) = P (A )P (A )P (A ) F ð –
- C
Cîüîý ! N 2.5.8 ^ _` +
- n íh  3 (
3
4 A , A , A B' A G A —
˜ ü (3) ý
 ì
ý A G A A —
˜ üîý
 A G A ∪ A —
˜ üîý
B
H
Õa
ð –
- —
˜ üîý
#/1
H
Õa
ð –
- C
Cîüîý !Ba N A G A ¡ H —
˜ üîý !B+
- þ 'i i ¦j œ
ª 2.5.2  f
(N £ #
Õklmn
(
3
4
—
˜ üîýîþ ! /UNO g Jv#(34 A
üîý þ

' ¹op rqsS
 ùú &Ttu
 v  ! m ñ +
-w c n (
3
4
îüîýîþ
œ
ª ! ³
´ 2.5.3  A , A , · · · , A ÿ
>

(


@
A (Ω, F, P )  n (
3
4
 ¶ –
- —
˜ üîý
 l u &$ x ' k, 2 ≤ k ≤ n, W$ x ' 1 ≤ j < j < ··· < j ≤ n , Ó
' §2.5

1

1

4

1

2

1

4

2

4

1

4

4

1

2

4

1

4

2

1

2

4

1

2

2

1

2

2

4

1

4

1

n

1

2

k

P (Aj1 Aj2 · · · Ajk ) = P (Aj1 )P (Aj2 ) · · · P (Ajk ) .

(2.5.3)

è ˆ
‰ B X
£  yz {
* 2 − n − 1 (N £ !  ¡ ÿ
F
 n (
3
4 ÿ

—
˜ üîýîþ G / 2 − n − 1 (N £ >
¥ Ž ý
|| !B÷
ø § n (
3
4
—
˜ ü

ý R S§*§TÇ9$ ‰ M?d§3§4 —§˜ ü ý W ~ ÿ§w È E§ íbh TÇ9$

n − 1 3 4§Ó —§˜ ü ý§B§H§Õ a§ð n (B3§4§ x á X§—§˜ ü ý ! Œ§f } c & $ ‰

x ' T$ k (
3
4
Ó —
˜ üîý
 ~ ÿ$ k + 1 (
3
4
Ó
H —
˜ üîý k, 1 < k < n


N
O !


y & — î
ï
 è 3
4 A , A , · · · , A —
˜ üîý
¥
 ¦
–
-  $ ‰ G n=2

M
d ¤ Ò
á ÷
I —
ÿ
&îý
3
4@
 p 
 n (
3
4
 —
˜ üîý ! ‚
 +
- w c 3
4 ~
îüîýîþ
œ
ª !

 3 ³
´ 2.5.4  A , A , · · · ÿ > (  @ A  @ A (Ω, F, P ) ] b 4
 ¶ –
- —
˜ üîý
 l u & $ x ' n ≥ 2, T $ n (
3
4
Ó —
˜ üîý ! /
¥
 +
-€ 3
4~ {A , n ∈ N } ¶ I
a

@
A îüîý
3
4~ ¤ üîý§3 4 ! å
ž
 {A , n ∈ N } I üîý
3
4 ~
B| |
}
& $ x ' n ≥ 2, W$ x ' 1 ≤ j < j < · · · < j , Ó
' n

n

1

1

2

n

2

n

n

1

2

n

P (Aj1 Aj2 · · · Ajn ) = P (Aj1 )P (Aj2 ) · · · P (Ajn ) .

«
¬
­ ®
¯
°
±
²

76

+
- E w c üîý
3
4~


(
N
O ! P 2.5.9 §§§@§A l >§N 2.5.7, í Ω = (0, 1); 3§4 σ  F ™ (0, 1) p ' Borel

O   Ž W P I Lebesgue   ! ˧ 0 < p < 1. & $

x ' n, ‚ a = 0 ,a =1, ì ‚ a =p; n, 2n

n, 0

1,1

a2,1 = p a1,1 = p2 ,


Ùƒ
œ
ª a)

2,3

= a1,1 + p (a1,2 − a1,1 ) = a1,1 + p(1 − p) = p(2 − p) ;

+
- Ë ‚ ä å a M c  l =u„a % q, = a1−p, Ÿ d  Ž ˆ  Ø I
C
(
× ‚

 +
- œ
ª k+1,2m

a2,2 = a1,1 = p ,

k,m

ak,1 , ak,2 , · · · , ak,2k −1 ,

  =…„a‡ I †
A (a

k+1,2m−1

p q

An =

L Ó ¦
A ) = (a

+ p (ak,m − ak,m−1 ) , m = 1, 2, · · · , 2k .

k,m−1

x = ak+1,2m−1

k+1,2m−2 , ak+1,2m−1

2n−1 [−1

(an,2m , an,2m+1 ) ,

(ak,m−1 , ak,m )

k+1,2m−1 , ak+1,2m ).

n = 1, 2, · · · .

} ÿ {A , n ∈ N } ÿ
A (0, 1) v  Î è … ÿ +- p  @Aâv  
3
4 ! Œ
f
ðJò&$ x ' n, Ó
' P (A ) = p , ì
ý
& &$ x ' n ≥ 2 = $ x ' 1 ≤ j < j < · · · < j , Ó
' m=0

n

n

1

p f

2

n

ÿ

(îüîý
3
4~ !

P (Aj1 Aj2 · · · Ajn ) = pn = P (Aj1 )P (Aj2 ) · · · P (Ajn ) ,

{An , n ∈ N }


: ;‰Š‹
9
¿
ÀŒ cd&Ž34 ü ý þ ùú u ¢ u ~ ÿ&} ü ý34  rs  †
'

+

 
/
Œ
f
Fîÿîüîýîþ



C
îþ’‘ 
 34 
 [ )§

þ ” ”§Œ§f û§È§r§s§t§u§G 3 4 y ¦ ü ý þ "§I §‹§§œ ! /§‹§§œ§

û

“ z
5 )•  E– (
! è A , A , · · · , A ÿ
>

(


@
A (Ω, F, P )  n ( —
˜ üîý

3
4
¥
 š
›
œ

Œ
f
· — I §2.5.3

1

2

n

P

•˜ ›
œ
 µ Œ
·— I

n \

k=1

P

n [

k=1

Ak

!

Ak

!

=

=1−

n Y

P (Ak ) ,

k=1

n Y

k=1

(1 − P (Ak )) .

(2.5.4)

ì íðïòñîóîô î 77 š›œ ·—Œ ™ ü ý þ
œ
ª™š 
!›˜ ›
œ
·—œ £ Œ æ l
m n ™ 34 A , A , · · · , A —˜ ü ý ž34 A , A , · · · , A  —˜ ü ý Ë ™ De Morgan › µ ž §2.5

1

2

n [

P

c 1

n

Ak

k=1

!

= 1−P

n \

Ack

k=1

!

=1−

c 2

n Y

k=1

c n

P (Ack ) = 1 −

n Y

k=1

(1 − P (Ak )) .

m ñ +
- E
1
2

 r
s
U,
á

N
O ! Œ ž þ§§ ÿ Ÿ  ¡N ¢ ¤  Ž N ¢§

£§4 “ ¤ " §§§§§ §&ÿ ÿ § §§ § §(§§ §d ¥ ! §Œ ž þ§§ÇÉ ¦ £§4 “ ¤ " §§ ¶ I £§4§ Œ ž þ
 ¦ N¢ “¤ "

 ¶ I N¢

Œžîþ ! ì
ý 

D
y
z m  û“ œ Ž N¢
é  ( £
4 “¤ "
3
4

Aîÿ —
˜ üîý
! P 2.5.10  lmé N¢âv é ( £4 “¤ " 34
A —˜ üîý ì
ý ( £
4

Œ žîþ I p , j
k
é N¢

Œ žîþ ! T k k

¦§¨©ª

o ¬n «N¢ 1 ­®
£ 4 1 ¯ n °±®
£ 4 ì"±³ ²3
f4 Eå
g
ž h N¢ 1 “ ¤ " ³ 3
4 ® f ® (

2.1)

1

•
X q C ° £
4 ¯ 2n
 °  ± ® = A d e g
h C °
£ 4 “ ¤

n+1 A1

2

P (E1 ) = P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 A2 ) =

n Y

pk +

k=1

2n Y

k=n+1

pk −

2n Y

pk .

k=1

«N¢ 2 s­ ® £4 k G n + k ì±® k = 1, 2, · · · , n. • Xq n ´ì±  °±² f N¢ 2  "³ 34 ® f A gh £4 j “¤ "³ 34 ® j = 1, 2, · · · , 2n. E gh “ ¤ å
ž 2

j

P (E2 ) = P

f

n \

k=1

(Ak ∪ An+k )

!

=

n Y

k=1

P (Ak ∪ An+k ) =

n Y

k=1

(pk + pn+k − pk pn+k ).

" ³ 3 4 ® g h
Ë Nbf ¢ 3 “b¤ "b£
³4 3 4 1 ® f  ŽA ³ g Oh N£ ¢ 4 k "b “ ³ ¤ 3
b 4 ® f B k = 1, 2, · · · , 6 . B g
h™ 1 4 “  ¤ g
h™ £
4 5 = 6  Ž ³ ON¢ “¤ "³ 3
4 ² å
ž E3

k

1

2

P (B1 ) = P (A1 (A2 A3 ∪ A4 )) = p1 (p2 p3 + p4 − p2 p3 p4 ) , P (B2 ) = P (A5 A6 ) = p5 p6 ,

³ ‡µ  [ ¶ £ í Œ ² · E ¸b¹ Nb¢ 4 “b¤ "b³bºb» ® · k = 1, 2, · · · , 5 . ¼½¾

Ë ¦

P (E3 ) = P (B1 ∪ B2 ) = P (B1 ) + P (B2 ) − P (B1 B2 ) = P (B1 ) + P (B2 ) − P (B1 )P (B2 ) , P (B1 ) 4

=

P (B2 )

Ak

¸b¹ £ »

k

“b¤ "b³bºb» ®

¿ÀÁ

78

ÂÃÄÅÆ

P (E ) = P (A )P (E |A ) + P (A )P (E |A ) . ¢ ¢ 2 ­ n = 2 ³ÎÏ ®#ÐÑ A ÇÈÉ ®#Ê 4 ËÌÍÊ ³2 +ÎpÏ −®#pÐpÑ ) . Ò « A ÇÈÉ ®#Ê P ¢ (E 4|AË)Ì=Í(pÊ ¢ + p1 −­ pn p=)(p

«

4

5

4

c 5

5

c 5

4

5

4

5

1

3

1 3

2

4

2 4

c 5

µ×

P (E4 |Ac5 ) = p1 p2 + p3 p4 − p1 p2 p3 p4 .

€¶ÓÔÕÖ

P (A5 ) = p5 , P (Ac5 ) = 1 − p5

P (E4 )

³ ¸Ø ÕÙÚ ²

Û Ü 2.5  1. ÝQÞQßQàQáQßQâQáQãQäQåQæQçQèêéQëQìQèêíQî 3 ïQáQðQçQñQòQóQèêôQõQöQïQ÷QøQùQúQûQüQý E = {þQñQòQÿ
Qî 1 ïQâQá }, F = {ñQòQóQîQàQá
Qî!â!á }. ô!î 2 ï!á!ð!ç ñQ
ò   2. Q÷Qø A  B ûQüQ è QöQ÷QøQó A Qß B 
QßQè B Qß A 
QßQ
ç 

Qã .  P (A)



1 4

P (B).


QïQ÷Qø A, B, C ûQüQè¬ëQì A ∪ B, A − B 
 C ûQü
  ö ç  ð è A = {


!
"
#
 }, B = {$
%

"
#

 }, C = {$
&

"

 ëQìQý¬÷Qø A, B, C öQöQûQü
'

(
Q) û!ü 5. í
*
+ 2.3.21 óQè, A = { $ i ï
-
.
Q / í
0
Q1 ð
23 }, ëQì A , · · · , A ùQúQûQü
 6. ë ì ý ÷ ø A , · · · , A ù ú û ü ç4567Q 8 ø ãQý:9
; ï Aˆ = A < A (k = 1, · · · , n), Qî 3.

4.

i

1

1

n

k

n

c k

k

ˆ1 · · · A ˆn ) = P ( A ˆ1 ) · · · P ( A ˆn ). P (A

ëQìQý¬ô
 P (A|B) = P (A|B ), =Q÷Qø A  B ûQü


Q÷Qø A  >
?0ûQüQè¬ëQì P (A) ä
@ 0 < 1. 9. Q÷Qø A  B ûQüQè, P (A ∪ B) = 1, ëQì A 
A
BQ÷QøQûQü
 10. 9
C
D
E
F

GQûQü! ç HI!,è $%G
HI!ç J!ó
" 0.4, $
&
G
" 0.5, $

G
" 0.7. C D  K ! I ó   %  G  L  M ! N ç " 0.2, I!ó &GLMN!ç " 0.6, OKI!óG=CD6 P M
NQ,è 
H
I

GL INC
D! ç  11.
Ý
;Q
ï Q
R
SQ
ó T
U
V
W
XQ
ç 

" 0.004,
YQ
ï Q
R
SQ
ã Z
T
U
V
W
XQùQúQûQü [ 100
ï Q
R
S
\
]
2
T
UVWX!
ç  12. ^
_ `ba
c
/
d
e
a
c n ï fbg
 ÝQÞQ
í a
c
h
i!
ó $ i ï fbg
j
kQ
ç 

" p ,
Y f gQ
ã Z
j
kQùQúQûQ
ü lQõ mQ÷!ø!
ç Qý 1) a
c
h
iQ
ó nQ î fbg
j
k
o 2)
ÿ p
%Q ï f g
j
k
o 3) 

@
%Q ï fbg
j
k 13. q
r
s K t rQè < r
s K  K u
v
t r v `bw t r
x K , K , K t rQ
ç 

y
G ã 0.4, 0.5, 0.7,
Y
r
sQùQúQûQü ,z`{w t rQç  14. |
 3 

Q
ç QðQè ÷Qø A }
~
$
%Qè &Q
ö 
Q
ð 
€Qù u
ç 
Qè ÷Qø B }
~
$
&Qè $  ð €!ù u ç !è ÷ ø C }~$%!,è $ 𠁀!ù u ç ¬é ‚!÷ ø A, B, C
ã Z
"Qý (1) öQöQûQ
ü o (2) (
)QûQ ü  15. Q÷Qø A, B, C (
)QûQüQ è ƒ

„
…Q
ç 
!
ä @ 0 ! 1.
é ‚Q÷Qø AB, BC ! AC æ Z
"Qý (1) öQöQûQ
ü o (2) (
)QûQ ü  16. Q÷Qø A, B, C öQöQûQüQ è ƒ

„
…Q
ç 
!
ä @ 0 ! 1.
é ‚Q÷Qø AB, BC ! AC æ ü o (2) (
)QûQ ü  Z
"Qý (1) öQöQûQ
17. A  B "QùQúQûQüQ÷QøQ è LQ÷Qø C Q÷Qø AB ! A ∪ B QûQ
ü 
é ‚Qè ÷Qø A, B, C c

7.

8.

i

1

2

3

1

2

3

}.

§2.5

†ˆ‡Š‰Œ‹ˆˆŽ

79

ã
Z
%QÞQöQöQûQüz

A, B, C, D "Q÷QøQè,ƒ
A ! B  C ! D ûQü
¬ëQìQý¬ô
 AB = φ = A ∪ B  C ∪ D ûQ
ü  19. A, B, C "Q÷QøQ{ è 0Qó A ûQü
@ BC ! B ∪ C, B ûQü
@ AC, L C ûQü
@ P (A),P (B) ! P (C) 
"

¬ëQìQè¬÷Qø A, B, C (
)QûQü
 20. ëQìQ‘ è  A , A , A çQöQöQûQ
ü ’
ƒ
%QÞ!æ“€„
…!ç!ù!ú!ûQü’ 21. ëQìQ‘ è 0
ä ” 18.

1

Qæ
“
€

2

3

P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )

Qç öQöQûQü
’
 22. ÝQÞQ÷Qø A, B, C öQöQûQüQè,
•
– A1 , A2 , A3

ABC = φ,

éQë

x

ç
—
˜
™
"

1 . 2

P (A) = P (B) = P (C) = x.

CD = φ, AB,

ƒ


šœ›œ

žœŸœ œ¡

¢ £ˆ¤ˆ¥ˆ¦ˆ§ˆ¨ˆ©׈ªˆ¦ˆ«ˆ¬ ˆ ¶ ¨ˆ¯ˆ° º»ˆ±²ˆ³ˆ´ ªˆµ 19 ¶ˆ·ˆ¸ˆ¹ ˆ Ç ˆ ­ ® º¼»¾½À¿ÀÁ ¨ÀÂÀÃÀÄÀÅÀÆÀ© ×À¨ÀÇ ÈÀÉÀ¦À§À¨À© ×ÀÊÀËÀÌÀ¦À«À¬¼Í¾ÎÀÏÀÐÀÑÀÒÀÓ ÔˆÕˆ¨ŠÖŒ× ±ÙØ ¢ˆ£ˆ¤ˆ¥ˆ¦ˆ§ˆ¨ˆÚˆÛˆÜ Ó ÇÙ݈ª 20 ¶ˆ· 30 Þ ÔˆÇÙµˆ¦ˆ«ˆ¬ˆ¨ˆßˆà Õâá Êâãâäâåâæâç à åâèâé ¨ ±bØ Íâêˆëâìˆí Åâ⫈¬â¨ˆïâÇ{ðâñ Ìâòˆóâôˆõˆö ÷ ó ڈۈøˆù ö Ô ëˆúˆûˆüˆý ¢ˆ£ˆ¤ˆ¥ˆ¨ˆ¦ˆ§ ±




þ ÿ

§3.1

    ¢ˆ£ˆ¤ˆ¥ˆ¨ ôˆõ ¦ˆ§ Í ¢ˆ£ ì Ç ´ ó Ɉ¢ˆ£ ì ±  3.1.1  ¾ n ë 1 ë ±"! ˆó É ë É ë#$% ˆÇ ô Ñ $%../&' Ü.Ç0.(*.)+ *¨ +ˆ¨ $,Ç2- 1.± â3 Ç ¨.4 ¢ £.5 Ò.6 Ç ²„Ú.7 ª ξ $.= .Ò,.> - Ç<?ξ@ Ø {1, 2, · · · , n+  ¨  9 : ˆ É 4 < ±  ; 1} 8 ë ˆêˆë k ∈ {1, 2, · · · , n + 1}, ð 7A Í B % ¦ˆ« P (ξ = k)  ± I ¢ˆ£JK ç 7 B %L ¦ˆ«4 ±HMN (ξ = k) OP ª óCDE  ÑF ÇHGˆ Q ªÀ¢À£RJRKRSUTVJRW ö ÇR Ú å ! ÈRKRJ Î ¤ & É F RR*RXRYÀ¨À¢À£ ìR ZU[]\ ^ I n ë^<R 1 ëRR ±! À óR^ É ë É ëR$R% À Ç ì B ô Ñ C k ,$_ É/Çç$*ÑXˆY ¨ ¨ˆ¦ˆ«Ç Ú ± Èabˆc È Z\  Ñ ` å ëd å A Ü0 ô Ñ C k ,$ Õ ÉˆB Çà ç$ Ñ  ¨JˆK Ç å Ω Ü0 k ,$ ¨*I Ú7eˆf ± Í ª Ú »ghi |Ω| = (n + 1)n(n − 1) · · · (n − k + 2), |A | = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 2), l ¨ˆ¦ˆ«ˆß Õ Ã Ò ó »jk ¦ˆ §3.1.1

k

k

;m  % (ξ = k) L WnˆPª(AJ)K = A , o=p nI . q øˆÑ*ˆÃˆ¨ efˆØ 9 : k Pð(ξr=ˆ/ k)Ç =Ð PI (A ) = Ç

k

|Ak | |Ω|

1 n+1

k

k

stuI

P (ξ = k) =

1 n+1

.

1 , k = 1, 2, · · · , n + 1 . n+1

n+1 P

P (ξ = k) = 1 .

k=1

80

(3.1.1)

v wxyz{ 81 |~} ö Ó b~câÇ~  ÑâÒâÉ ë “¤â¥ ”ξ, ² ¨~4â¢â£~5 Ò~6 Ç ² * Ú~7 $ ¨~4 ¨~€~âª~‚ 6 ¨ ± Ì~ƒ €~ & I~„~€ Ç Ø Í~ƒ €~  ¨ êâë 4 a , ð 7~! (ξ = a ) … Õ &RÀ† ë ¢À£ ìR^ ¨ÀÉ ë JRKÀÇÉ sRt _ / jRk ¦RlRB % ¦À« P (ξ = a ) ¨R4  ± (3.1.1) Õ n‡ % Òˆ 3.1.1  ¨ “¤ˆ¥ ”ξ ¨ $ 4€  ξ $ƒ € ‰ˆë 4 ¨ˆ¦ˆ«ˆÇ*IˆÈˆ¦ˆ«4ˆ¨  Š Í 1.  ! (3.1.1) Õ‹ &ƒ ¤ˆ¥ ξ ¨ŒŽ ±  3.1.2 ^ I a ë^<R b ëRR ± óR^<R^‘<#’$’% n ëR Ç L^ () $% ¨  ¨ - Ù[ ± n ≤ min(a, b). “ / ξ ÜR0 $R% ¨ ^ ¨ <R- [ Ç1R3 ξ ¨R4RuÀªÀ¢À£R5 ÒR6 ¨ÀÇ ² ÚR7 ª {0, 1, · · · , a} 8^ ¨R9RÀ : É ë 4 ± sRÀt Ç Ø ÍÀêÀë k ∈ {0, 1, · · · , a}, RÀ ð Ú å ! (ξ = k) … Õ & É ë ¢ˆ£ ì ¨ˆÉ ë ¢ˆ£JK \  I a ë b ë ± 󏐑#$% n ë Ç L n ≤ min(a, b), ì B* $% ¨ ” I k ë §3.1

k

k

k

¨ˆ¦ˆ« ±



Ü 0* $% ¨ ” 娈¦ˆA«  ± JW ö ÇI k

Ak

I k ë ¨ JKˆÇ]•/ jk ¦ l i

P (Ak ) =

C k · C n−k |Ak | = a nb . |Ω| Ca+b

1 3ˆÇ (ξ = k) JW ö nˆªˆÈ–ˆ¨ˆ¢ˆ£JK ªˆÃˆÑ \ P (ξ = k) =

st—I

a X

 Ç /ˆÑˆÒ

µ ö Ó˜™

a P

st

åˆö

a P

k=0

Cak · Cbn−k n Ca+b

=

;m B %

bc Ø 9 : k ð r/ˆÇ

Cak · Cbn−k , k = 0, 1, · · · a . n Ca+b

P (ξ = k) =

k=0

Ak ,

Õ Ç

Í

(3.1.2)

n Ca+b =1. n Ca+b

ȈÉš› Š Ո± Ȓa’’’— Ã Ñ Ò É ë “¤ ¥ ”ξ, ² ¨’4 ¢ £’5 Ғ6 Ç ² * ڒ7 $ ¨’4 ¨’€ ÀªÀÉ ë ‚ 6 ¨ » IR„ ëRœR’žR-RŸÀé ¨R€RÀÇ ØR  ƒ €R  ¨ êÀë 4 a , ð 7 ! (ξ = a ) … Õ &†ˆë ¢ˆ£ ì ¨ÀÉ ë JRKˆÇ¡sB % ¦À« P (ξ = a ) ¨4 ± Õ n‡ % ÒˆÈ ë “¤ˆ¥ ”ξ ¨ $ 4€  ξ $ƒ € ‰ˆë 4ˆ¨ˆ¦ˆ«ˆÇ*I (3.1.2) È ˆ¦ˆ« 4ˆ¨ Š   1. op (3.1.2) Õ —nˆªˆÈ ë ¤ˆ¥ ξ ¨ŒŽ ±  ! ˆ 3.1.1 ¢£ ¤ˆÕˆÇ ÈѤ ¸d Z\  3.1.3  I n ë 1 ë ± ê,ˆó$% É ë Ç"s  ×ˆÉ ë  Ç ô Ñ $%&' Ç ()*+ˆ¨ $,- ± k=0

n Cak · Cbn−k = Ca+b

k

k

k

¥¦§ xyz{ “ / ξ Ü.0.*.+ ¨ $..,.- Ç21.3 ξ ¨.4.u ª ¢ £.5 Ò.6 ¨ Ç ²„Ú~7 ª {1, 2, · · ·} 8ðâªâ ɨ9¢â:ˆ£~É J~ë Kâ4 Ç (²I ¨âÚ ¦âh «ˆë ð~Úuˆ7 ª 4 Ú). ¨ B ª Ø   ± êˆë k~∈ {1,Ú 2, ·! · ·}È,K~(ξJ=ªâk)¤ © ¢3 ë å % o~& å & £ ì Z[«\  I n ë 1 ë ± ê,ˆó$% É ë Çs  ×ÀÉ ë  Ç ì B ô Ñ C k ,$¬ Ç ç$ Ñ  ¨ˆ¦ˆ« ± Ø.  È ë ¢ £ ì. Z­[ Ç®. Ú b~c.¤ ¸ \ å A Ü.0 ô Ñ C k ,.$..¬ Ç ç.$ Ñ ~Ò¨~° J~I KâÇ å Ω Ü~0 k ,~$~ ¨~*~I Ú~7~e~âf ±¯  ª |Ω| = (n+1) , |A | = n , ó 82

k

k

P (Ak ) =

åˆö

|Ak | nk−1 1 = = |Ω| (n + 1)k n+1

bc Ø 9 : k ð r/ˆÇ   ª ˆÃˆÑ \

st—I

1 P (ξ = k) = n+1 ∞ X



P (ξ = k) =

1 1− n+1



k−1

1−

1 n+1

k−1

k

k−1

.

, k = 1, 2, · · · .

(3.1.3)

k ∞  1 X 1 1− =1. n+1 n+1

È a—ˆÃˆÑˆÒˆÉ ë “¤ˆ¥ ”ξ, ² ¨4ˆ¢ˆ£5 Ò6 Ç ; } ² * Ú7 $ ¨4ˆ¨ €RÀªÀÉ ë ‚ 6 ¨ Ú h € ±±³² ¤ p Ç ØR  ƒ €R  ¨ êÀë 4 a , RRuÀª 7R! … Õ &†ˆë ¢ˆ£ ì ¨ˆÉ ë JKˆÇ´B % ¦ˆ« P (ξ = a ) ¨4 ± (3.1.3) (ξ = a ) µ n‡ % ÒˆÈ ë “¤ˆ¥ ”ξ ¨ $ 4€  ξ $ƒ € ‰ˆë 4ˆ¨ˆ¦ˆ«ˆÇ*IˆÈˆ¦ «4ˆ¨ Š   1. op (3.1.3) µ —nˆªˆÈ ë ¤ˆ¥ ξ ¨ŒŽ ± ¶  É ë ˆ· ±  3.1.4 ¸¹º [0, 1]  ¢ˆ£ »¼ˆÉ ë½¾ Ç() ½¾ *¿ÀÁˆ¨ÂˆÊ ± / ξ ~Ü 0 ½~¾ *~¿~À~Áâ~¨ ÂâÊ ± 1~3 ξ ~¨ 4~uâªâ¢â£~5~à 6 ¨âÇ ²~Ä7 $ à ¹ ºðI [0, 1]  ¨ 9:ˆÉ ë 4 (I B ;Ä h Åƈë Ä7 4 ).ÜÇ0 È% ¿ˆÇ µ Ø 9: x ∈ [0, 1],Ç * å Ä P å(ξ _ = /x)É=:ˆ0.¦ l ™ % P (ξ < x). o& (ξ < x) ½¾ ¹º [0, x)  k=1

k=0

k

k

k

Iʈ¨ˆªˆÇ Ø  x < 0 , (ξ < x) Ü0 ½¾ ¿ˆµˆÊË ˆ¾ åRÌ Ç ÈÀµRÀ¨ d Z  ª ;Ä7 Ç* å Ã’Í x > 1, Ý »   µ’’ ¨ Pd (ξZ < x)Ç =½’0¾ , *’x¿Î<À’0.Á ¨’Â Ê É 6 ; °   1, * å É 6Ï ˆ W ÓˆÇ ó à ² ªÐ3JKˆÇшà (ξ < x) P (ξ < x) =

L([0,x)) L([0,1])

=x,

P (ξ < x) = 1 ,

x ∈ [0, 1].

x > 1.

v wxyz{ ÈaˆÇÒ Ø 9: §3.1

x∈R,

ðB

%

҈¦ˆ«

    0, P (ξ < x) = x,    1,

P (ξ < x)

¨4ˆÇÓI

83 (

ÔՈí

3.1)

x < 0; (3.1.4)

0 ≤ x ≤ 1; x > 1.

Ö × 1ˆÇ (3.1.4) µ ;Ø ‡ % Ò ξ È ë ¢ˆ£5à 6 ¨ˆ¥ˆ¨ $ 4€ˆÇÃt‡ % Ò ² $‰Ù ;Ú 4ˆ¨ˆ¦ˆ« ± JW ö Ç _ / ƒ µ  ;Ø ° F ¦À« P (ξ < x) ¨4ˆÇ Ãtu Ä å B %L ² ‰Ù ¦ˆ«4 ± ˆ¤ \ P (a ≤ x < b) = P (ξ < b) − P (ξ < a) = b − a ,

ÇÛ

P (ξ ≥ a) = 1 − P (ξ < a) = 1 − a ,

±

0 ≤ a < b ≤ 1,

0 ≤ a ≤ 1,

ŠŠ & p F (x) = P (ξ < x) , x ∈ R, s t ! F (x) ÜÝ ¤ˆ¥ ξ ¨ßÞàáâ . ;m % Ç Ø  ˆ 3.1.1  ¨ˆ¥ ξ, —Iãˆñˆ¨Œä F (x) = P (ξ < x) =

ˆ

Ø 

¨ˆ¥



3.1.3

F (x) = P (ξ < x) =

F (x):

x ≤ 1;

P (ξ < 1) = 0, k n+1 ,

P (ξ ≤ k) = k < x ≤ k + 1; k = 1, 2, · · · , n + 1 ;    P (ξ ≤ n + 1) = 1, x > n + 1.

ξ,     

ÝI

x ≤ 1;

P (ξ < 1) = 0, k P

P (ξ = m) = 1 − (1 −

1 k n+1 )

, k < x ≤ k + 1; k = 1, 2, · · · .

å 3 —Iãˆñˆ¨Œä - F (x), æç ;m èé % ± ¤ öRêÀë ˆR·  * % ÓÀ¨À¤À¥ ξ n Ü<ÝëRR R . ØR  ¢À£À¤À¥ÀÇRUì]í Ä åîï ¤ ¸ \ ¢À£À¤À¥ ξ ªÀ¢À£ ìR ¨ eRf Ç ²Rð IRñ ëRòRó \ (1) ξ ¨R4À¢À£R5Rà 6Rô I × ‚ˆ¨ $ 4€ ô (3) Ø 9:W - x, (ξ < x) ðˆªˆ¢ˆ£JKˆÇ op Ç ²ð (2) ξ IÀÉ ë ŒRRä - F (x) = P (ξ < x), x ∈ R , ƒ ä -RîRï ÒÀ¢À£À¤À¥ ξ $R‰RÙ ; Ú 4ˆ¨ˆ¦ˆ« ± Ø  G $õÆ Ä h ë ˆ4 ¨ˆ¢ˆ£ˆ¤ˆ¥ ξ, Ý Øˆ  ² * Ä7 $ ¨ ê É ë 4 ðˆªˆ¢ˆ£Jˆ K Ç op Ç ²ð ˆI É ë ŒˆŽ Ç » ² ¨ŒŽ Ä Ã ² ¨Œ a, (ξ = a) ä - ±  Ä åö%÷÷ÆÆ ¢À£À¤ˆ¥À¨ˆR·Rˆ LjR¤ \ 110 øùú µˆÉû  *ü ш¨ øù,- ξ; † ïýþ 10 ÿ *ý  ¨
- ξ;
¼ ˆ· É , *¼ % ¨ ¾- ξ; ÉG * 
% 
  G - ξ; É ë ï 

ξ; ˆë

ˆé ï æ


ξ;
# 
 É ,
Ø 

ˆ

   

(3.1.5)

3.1.2



¨ˆ¥

ξ,

m=1

¥¦§ xyz{

84




!
" ξ; 
!
#
$

%  ξ; û 


RÈ
 ξ; û

 

 
 ξ;




&

'
(
) ξ; *
*
*
*
+ ,
- Ã
.
/10
2
3 
4
5 
6  $
%
7 Ï
8
9 /1: õ
4
5 ;6
<
=?>è/1@ ð ACBCDCECF +HGCICJ ACKCDCLCMCNCO 4CPCQCRCSCTCU /HVCWCXCY CZC[C\CTCU^] _ +1`
a
b
c
d
e
 /1f
D
g
h
0
2
3 

i
j
k
l /1m
n 4
P
Q;
o
p;q
r
 M
s
t +
u v
w
x
y
z
{
|
}
~
u
v

€  ;q ‚ ;ƒ ;p;„;…;†;;‚ ;/ˆ‡;"
‰;Š
‹ 
M Œ;
Ž
‘$;A
’~ü
“ +ˆ”  
–
— (˜
™ • 

š
› ), A ⊂ X . œ

ž •
§3.1.2

IA (x) =

Ÿ
 

(

0, x ∈ Ac

.

¡¢£ –
— A   q
‚
/
¤
¥ Š
¦ d
…
§ • I . ” ƒ (Ω,
F,®
PF
) ‰ ƒ
©
E O  k
ª š
›
/ A ∈ F(« A ƒ 
0
2
¬
­ ), Ÿ
 

Ω 
¯
° 0 \ 1 ± )
2

· ‚ ® +H`
¬
a ¸
ξO
=/HI¹ 
A )
UC²
¬ ­
0
ƒ µ  0, °
´
5 A ¶ ), ÿ (G
¶
d
) Q

IA (x)

¨ ‰

ƒξ =1 I³ ƒ ¡ A

A

A

(

ξ(ω) = IA (ω) =

«­ A

x∈A

1,

1,

ω∈A

0, ω ∈ Ac

,

P (A) = p, 0 < p < 1,

c

P (A ) = 1 − p := q,

º
«

ξ = IA

P
Q @
ƒ
0
2
¬

ŸC  GCIC¡ A » A
¼
½
¾
¿

P (ξ = 1) = P (A) = p, P (ξ = 0) =

!

(3.1.6)

(ξ = 1) = {ω|ξ(ω) = 1} = A, (ξ = 0) = {ω|ξ(ω) = 0} = Ac ,

+HœC

0 1 q

p

À
0
2
3 


j
Ä
Å /H’
Š P I

Á Â ξ = I »
à » A ¼
½
¾ (3.1.6)  0
2
3 
™ • Bernoulli 0
2
3 È E
n 4 ©
É
¬
­ A, @
A A + A = Ω, G
I ¹ A

c

ƒ 
0
2
3 
+ ¹ Q
Æ
Ç
p 
+ Q A

IA + IAc = 1.

(3.1.7)

ÇA ƒ G •;Ê  ω @ ¯;Ë;Ì;5 A \ A Í H/ (`;A a; ® Ì;5;Î;Ï Í ). c ’
ω Š ∈ A ©
Ð É/ = 1, I (ω) = 0; ¶
c ω ∈ A Ð I (ω) = 1, I (ω) = 0. 4 @ω
I A (ω)(3.1.7) W Ñ
Ò + c

A

X

Ac

c

Ac

A

Ó
ÔÕÖ×Ø ƒ
©
E ±
 ¸

/
œ  ¹ Q
ž ” a\ b 2
3  / P
¯
° a \ b ±  ) / « A §3.1

(

a,

a

b

p

q

!

ξ(ω) = IA (ω) =

œ


P (A) = p, 0 < p < 1,

ξ = aIA + bIAc ,

ω∈A

b,

Ÿ
  P
 ¼
½
¾ ¡ ƒ

ω ∈ Ac

Ÿ
 

ξ

¡
Ù ƒ 
0

85

.

.

(3.1.8)

¹ QCÆCÇCp ¼C½C¾ (3.1.8) ™ • ±CÚ ¼C½ +HGCI Bernoulli 0C2C3  ƒCÛCL ÄCÜC ¼
½  0
2
3 
+ 0,1 ±
Ú ¹ Q
³
¥ Š Æ O
t 
k
l

¤
Ý ¿ œ
 ‰

 k
ª š
› (Ω, F, P ) Þ
‰  A
ß  ¼
à («
á Ã ¬
­
â ){A , · · · , A }, P
Q » A k
ª P (A ) = p , k = 1, · · · , n, 㠜
 a , · · · , a ƒ n 
¸

/HŸ
  P ξ = a I +···+a I = a I ƒ¡ ;®;F;‰;ä k;ª š
›;O 
¥ Š ° a , · · · , a Ç n  ,
å ); 0;2;3 ;+ ¬;¸ O
/ c ω ∈ A Ð /HA ξ(ω) = a , k = 1, · · · , n. G
I / ξ  ¼
½
¾
ƒ
¿ ‰ I
æ
ç A P p = 1. P (ξ = a ) = p , k = 1, · · · , n. œ¬

­

âR

è /Hé ” ‰

 A k
ª š
› (Ω, F, P ) Þ
‰  ¥
ê
 ¼
à («
¥
ê á Ã ){A , A , · · ·}, « S A ∩ A = Φ, i 6= j; A = Ω, P
Q » A k
ª P (A ) = p , k = 1, 2, · · ·, 㠜
 a , a · · · ƒ ¥
ê 
¸

/HŸ
  1

1

n

k

n

k

n

1 A1

n An

k Ak

k=1

1

Ak

n

k

k

n

k

k

k=1

1

2

i

∞

j

k

k=1

k

k

ξ=

∞ P

1

2

a k I Ak

 ®
F
‰
ä k
ª šC›CO C¥ Š ° a , a · · · Ç
¥
ê  ,Cå )
 0
2
3 C+ ¬ ¡¸
O
ƒ /
c ω ∈ A Ð /HA ξ(ω) = a , k = 1, 2, · · ·. G
I / ξ  ¼
½
¾
ƒ
¿ ‰ I
æ
ç A P p = 1. P (ξ = a ) = p , k = 1, 2, · · · . ļìëìí /A œì ì kìª šì› (Ω, F, P ) îÞì‰ ìAìŸ;ß  ; 0;¼ì2;à 3 {A , A · · · , A }, P;Q ë » k;ª P (A ) = , k = 1, 2, · · · , n + 1,  ξ = P kI ¡ »¼CAà œ (3.1.1) ’   ¼
½
¼ ¾ +ï¶
A œ
 ‰

 k
ª š
› (Ω, F, P ) Þ
‰  ¥
ê
 {A , A , · · ·}, PCQ ë » kCª P (A ) = 1 − , k = 1, 2, · · · , Ÿ
 
0
2
3  ξ = P kI ¡ » A œ (3.1.3) ’   ¼
½
¾ + 6
ð í /H¹ Q
Ù
¥ Š ‰


ñ c
ò
k
ª š
›
O
ó 

0
2
3 
ô Í » A œ (3.1.2) ’  ò ¼
½
¾ + k=1

k

∞

1

2

k

k

k

k

k=1

1

1 n+1

k

1

2

k=1

Ak

n+1

Ak

k=1

k

∞

2 n+1

1 n+1

1 n+1

k−1

õ ö÷ ÕÖ×Ø  ‡
"ù$ È E
n
/ú¹ Q
Ç
û ’ °
ò
k
ª š
› (Ω, F, P ) ù$
ü
Š
‹
A
’ ,
˜ ø å + Š
‹
¹ Q
ý
þ
Æ
k
ª š
›
ü
0
2
ÿ



‰  / 

 Ω Y c

0
2 ÿ
ò

j
¥
Ë
ò

 / `
a ‰ J

 —

/ Ω ¡ ƒÀ0
2
ÿ
ò

j
¥
Ë
ò

 y k
ª š
›
/ »

 / ‰
O  ’
 Ò
  ¶ ¹ ¨ ‰
/ ƒC¹ DQ
C
‰C
XC Y (Ω, F, PšC) ƒ ›    ÞC‰CD ò ¼Cà «C¥C+HÇ , Ë  ò C  [ C Q ¯ C ò C k ª ,  ƒC¹ Q ‰ 4CkCª šC› ò 
*
¥
Ë
q
ò
?
?
+ Q ò

[ Ç
p
8
9
+ §3.1.3 @
A
B
C
y Bernoulli u
v

€ ” Aü \ A ƒ å  ƒ
 ®
k;F
ª ‰ š;å › (Ω, F, P š
)  ›
ò;O ± ;X* D*,
E;å W ò 0;2
¬;­
0
/ Ÿ
2
 3 ξ =I k
ª 0
2
3 ò
± ò Bernoulli / H¹ Q
™
P
ξ Q =ƒ I ± 
¡ X
D
E
W ò  Bernoulli 
+ ¹ Q ÂGFGH ±  XGDGE W ò Bernoulli 0 2 3  ξ = I ü ξ = I ò \ 0
2
3 
ò ®
F
/ , Ë
Á
 ¿ ξ = ξ + ξ . I
J Bernoulli 86

1

1

A1

2

2

A2

1

1

2

A2

2

  ω ∈ Ac1 Ac2 ;   0, ξ(ω) = ξ1 (ω) + ξ2 (ω) = 1, ω ∈ A1 Ac2 ∪ Ac1 A2 ;    2, ω ∈ A 1 A2 .

œ
¼
½
P ¾(A• ) ¿ = p , j = 1, 2, `
a
œ

§ ò

A1

j

qj = 1 − pj ,

j

0 q1 q2

1 p 1 q2 + q 2 p 1

X
D
E
W ò Bernoulli 0
2
3  Í \
I J p 0
2
3 
+ ¹ Q
'
Â
Á
 
N
O + P 3.1.5 Q
R

S
T
U 3 V /HŠ ξ W  ‰
Š
‹
/H¹ Q K
Y
¦ Ω +
Z • ¿ / X / X ), (X / X / # ), Ω = {(X / # / # ), (# / X / # ), (# (X

2 p1 p2

Ÿ
 
¹ Q ,
K
L 

!

(3.1.9)

ξ = ξ 1 + ξ2

.

(3.1.10)

/ú¹ Q
¥ Š

ó 
M —
¹ Q f
D ò
o d 
ò X 
ò  ¨ V + / # / X ), (# / X / X ), (X / # / X ), (# / # / # ) }

Ó
ÔÕÖ×Ø ¹ Q ¦ d
…
§ • Ω := {ω |j = 1, 2, · · · , 8}. ‰   O / æ ç ξ o ,
å
[ Ú
ò ) ¼ ë •
§3.1

87

j

ξ(ω1 ) = 3;

ξ(ω2 ) = ξ(ω3 ) = ξ(ω4 ) = 2;

œ

T
U ƒ
\
] ò /‘Ÿ
 
ä
N ò
k
ª š
›

ξ(ω5 ) = ξ(ω6 ) = ξ(ω7 ) = 2;

L ,

P (ξ = 3) = P ({ω1 }) =

1 ; 8

ƒ
^
_
` ò b/ a
¶ c
d

ξ(ω8 ) = 0. {Ω, F, P }

3 ; 8 1 P (ξ = 0) = P ({ω8 }) = . 8

P (ξ = 2) = P ({ω | ξ(ω) = 2}) = P ({ω2 , ω3 , ω4 }) =

P (ξ = 1) = P ({ω | ξ(ω) = 1}) = P ({ω5 , ω6 , ω7 }) =

3 ; 8

e;ƒ ;œ *T*U , ƒ*\*] ò / Ÿ; À‘O;t k;ª š;› ¡ , c*d   ξ ò ¼;½;¾*f + e
ƒ
g [
T
U ƒ
µ
\
]
/H¹ Q @ ¥ Š J ¨ ‰ ò
h _
i ´
+ ”
Þ
Q
‰

j
X
X
ò
D
k
E
ªW ƒ 0
p,2
(0¬
<­ p < 1). ¹ Q + °
 
  k
ª š
@
› ƒ {Ω, F,N P },/ ô
,Š d N ò A , A , A , P
Q
ò k
ª p( œ ¥  + 1 _ 2
3 2.5.9 ò
h ° ). ç ž 1

ξ k = I Ak ,

5 ƒ ¡ A

2

3

ξ=

3 X

ξk ,

k=1

  0, ω ∈ Ac1 Ac2 Ac3 ;    3  1, ω ∈ A Ac Ac ∪ Ac A Ac ∪ Ac Ac A ; X 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ξ(ω) = ξk (ω) =  2, ω ∈ A1 A2 Ac3 ∪ Ac1 A2 A3 ∪ A1 Ac2 A3 ;  k=1    3, ω ∈ A 1 A2 A3 .

`
a
¥ Š
W « À I L ,

ξ

ò ¼
½
¾ • (§ 0 q

1

3

3pq 2

(3.1.11)

q = 1 − p): ! 2 3 . 3p2 q p3

(3.1.12)


k l 3.1 1. m A n B oqpqrqsqtquqvqwqxqyqzqsq{q|q}q~€‚qƒ€„ (1) I = (I −I ) ; (2) I = |I − I |; (3) I = max{I , I }; (4) I = min{I , I }; (5) I =I ·I . 2. C …€†€‡€ˆ€‰€Š€‹€ŒŽ€ŽŽ‘Ž’Žt€uŽ“Ž”Ž„ (1) f (k) = , k = 1, 2, · · · , N ; (2) f (k) = C , k = 1, 2, · · · , λ > 0. 3. •€x€– a s€—€˜€n b s!™š˜€›{€|€œŽxŽ†Ž˜ŽrŽŽŸžŽ†Ž ŽyŽ˜Ž’Ž—Ž¡ŽŸ¢Ž£Ž’ 1, ¤€¢€£ ’ 0. ¥€ €¦€…€y€{€|€§Ž¨Ž©€ªŽ“Ž”Ž«Ž¬›žŽ•ŽxŽy€˜Ž­Ž’Ž—Ž¡€®°¯ A∆B

A

B

A∪B

C N

A

B

A∩B

λk k!

A

B

A

B

2

A∩B

A∆B

A

B

88

õ ö÷ ÕÖ×Ø  ’€{€|€§€¨€›¶Ž· ξ y€“

m€{€|€}€~ A, B ±€²Ž³€´€›µ€ a < b, €ƒ ξ = aI + bI ”€€€¬ 5. ž€¦€¸€s n ≥ 1, ξ ¹ o€{€|€§€¨€›€ƒ sup ξ , inf ξ , lim sup ξ , lim inf ξ º ’€{€|€§€¨€¬ 6. •ŽxŽ– 5 sŽpŽ»Ž¼ŽyŽ½Ž˜Ž›¾Ž¼Ž’ 1, 2, 3, 4, 5, œŽ•ŽxŽ¿Ž†ŽÀŽsŽ˜Ž›Á ξ ŽÎ†Ž ŽyŽ˜Žx y€Ä€Å€¾€º€¼€È€›É€·Ê€Ë€ξ Ì y€“€”€«€¬ 7. ƀr€Ç zŽŽÎÍ ξ €Àz€€Ï€€Ð€n€ÎÍ η €Àz€€x€½€y€Ï€€ΓŽÑ€· ξ n η y€“€”€«€¬ 8. 15 ~€p€»€¼€y€Ò€~€x€Ó€–€z€~Ž€ÔŽ¬ÖՀ²Ž×!ØÚـ†Žֆ€À€ŽÖ¸€Ž†€rŽ~€ÖÍ ξ €À†€  €Ô€y€~€€›· ξ y€“€”€«€¬ 9. œ 1, 2, · · · , 10 ێsŽŽxŽÜŽ×°ØÚ{Ž|ŽÝŽ†Ž ßގsߐŽàߟáŽâßގsߐŽãåäÚ½ßæŽÅßyßçŽèß鎑 rßê߄ ξ < ξ < ξ < ξ < ξ . · ξ n ξ yߓߔ߫߬›ëßì߆ߐßoߖß×åØÎy (âßí ξ ≤ ξ ≤ ξ ≤ ξ ≤ ξ ), ξ , ξ n ξ y€“€”€«€î€ï€’€ð€ñ°¯ 4.

A

B

n

n

n≥1

n≥1

1

1

2

2

3

3

4

5

4

5

3

n

n→∞

1

n→∞

n

3

5

óõôõöõ÷õøõùõúõûõü ÿ**þ ¯*6*ÿ;d
ò

Ä ® ò ¨  ƒ
µ  ¨ þ Ÿ
 ;¹ Q
¡;Æ
Ç ; œ ;  * £ *  ý ÿ
 œ

V ÿ
ò

 ñ 8
¡ ƒ
¹ Q ’ %
ò ¨ þH¹ p ÿ
ä ¢£ ÿ*Bernoulli Q;¡;™ þ V ;ƒ ÿ
Ò ;•ò  œ
B *
V B ÿ
í
R
S;Ç
p ÿ
*þ `;a
o*V ÿ*ÿ

X
g*
D
ß E
W í
œ

ÿÆ

p Bernoulli ÿ NOV
í ECR
WCSB  ¡
íC™
RCÇ
S p  þHŸC   ¡ Bernoulli ƒ ¥Cê B Bernoulli Bernoulli ò þ J ß þ N þ  þ     .   ¨   

 œ  # Q
 R

S
T
U 6
ÿ
X ò ß#   4  6
ÿ   
à Bernoulli ÿ
ò
„
8 » ¡ ƒ Bernoulli   §3.2

§3.2.1



ò

1

n

Bernoulli

Bernoulli

!
y"#$
}

é ®
¹ Q E
W
B í
£ O n V Bernoulli ÿ

þ `
a Ê V ÿ
Ò («  ¨ ’
% 
ò ¨ )ƒ ò
k
ª @
ƒ p, H0 <¹ p <¨ 1.‰ ¹ Q Š ξ W  ¼
n ½
V ¾ÿ
 ò
Ò
V% þHŸ ξ c
ç
¡  Q ¡
Â
T
U ξ ò ¸d Ç&&'&(ì¡ ƒ N 3.1.5 îò&'&(ìò ì¤ìÝ  ¹ Q + ° ìkìª šì› {Ω, F, P }, ô*,;Š
d Þ;N ‰ n  X*D*E;_ W + ò ¬;1 ­ A , · · · , A , P;Q;ò * k;ª) ƒ p (N œ þ ¥ 2
3 2.5.9 ò
h ° ). ç ž P ξ =I , ξ= ξ , Ÿ
  2
3 N 3.1.5 ò
h _ ¡* K
L  ξ ò ¼
½
¾
f  1

n

n

k

Ak

k

k=1

+ Bernoulli ,-./0
ÕÖ×Ø 89 •1   Ç [ ®2 ò ξ ¡3
84 n V Bernoulli ÿ
65
,
Ò
ò7
V%8:9<; Â þ Ç
û
ò= ­ A >?@ iAB k V ÿ
5
,
Ò
ò=C þD EF B k V ÿ
G þ  ÿ
F ω ∈ A , aH ξ = I = 1 ; EF B k V ÿ
IG þ  ÿ
F ω 6∈ A , aH ξ = I = 0 . JKL  þM 4 §3.2

k

k

k

k

ξk (ω) = IAk (ω) =

(

ω∈A

1,

Ak

k

0, ω ∈ Ac

Ak

.

NO ξ P AQ n RSTU MVWX n YZ[6R7Y%  \ U þ ξ R ]^_` A {0, 1, 2, · · · , n}. abcde k ∈ {0, 1, 2, · · · , n}, ) H H k d 1, ghd 0 ), (ξ = k) = ( f ξ , ξ , · · · , ξ i q = 1 − p, j6d A , · · · , A , 4 n klmnR=C þo ? cpq 1 ≤ j < H j < · · · < j ≤ n, ) 1

1

2

2

n

n

1

k



P

k \

\

(ξji = 1),

i=1

i∈{j / 1 ,j2 ,···,jk }





(ξi = 0) = P 

H ≤ n R  ]s

k \

A ji

i=1

t þo ?

\

i∈{j / 1 ,j2 ,···,jk }



Aci  = pk q n−k .

6j d%r 1 ≤ j < j < · · ·
2

n

k

i

i=1

A † ‡ { |  i P b H

k k n−k n

b(n, p ; k) = Cnk pk q n−k , B(n, p).

k n

k = 1, 2, · · · , n ,

E F ‹ Ž ™ š › œ ξ R ] ^ _ ` A

P (ξ = k) = b(n, p ; k) = Cnk pk q n−k ,

(3.2.1) {0, 1, 2, · · · , n} ,

k = 1, 2, · · · , n ,



ž ” ξ Ÿ   †‡ {| ¡” ξ A†‡ {|™š›œ  i P ξ ∼ B(n, p) . ¦†‡ {| M 4 n § Bernoulli Z[Š G¨ Y©R{|~¦ª‹ j  ‚  ¢  £  ¤  > ¥ Ž †‡ {|R«¬­®~ ¯ 3.2.1 °±²6³´µ¶mn·¸  e±´ µ¶ ´³‹ Ž§ ¹º¼»6R ½¾ ¿ À ~e‹º»6fe‹ÁÂù§Ä´µRÅÆÇ4 p = 0.01. EFÈ (1) eŽ´µ ÉÊ {ªË 20 ±´µ¶Ì (2) 3 Ž´µ ÉÊÍÎ ªË 80 ±´µ¶~ÏZ y H º» ÐÑÒ Á§ÄÓÔ´µRÅÆ~

ÕÖ6× 6Ø ÙÚ6Û Ü È cde±´µ¶  Ç >? ¬‹ŽÝ© A p = 0.01 R Bernoulli ™š›œÞ VWß 4àù§Ä´µ È T ß Ã¹§ÄÓÔ´µÁ âá Bernoulli ›œR^ A 1, T Qß äРù§Ä´µÁ ãá Bernoulli ›œR^ A 0. j6d°±´µ¶mn·¸  o Bernoulli ™š›œklmn~ ? fæåæç (1) Š  Î Áæo Ãæ¹æ§æÄæÓæÔæ†´æ‡ µèRæ´èµæ¶è±æ© ζ éÎ 20 Ž i.i.d. R Bernoulli ™š›œRS ?xζ ë ŸH   Ð{Ñ| Ò B(20, 0.01). T  o Áù§ÄA ÓÔ ´µR´µ¶±©êdP 1 Á º» Áì§Ä´µ ? gÅÆ 90

1

1

20

P (ζ1 > 1) =

k=2

b(k; 20, 0.01) = 1 − b(0; 20, 0.01) − b(1; 20, 0.01)

æf åæç (2) Š  Î Áæo Ãæ¹æ§æÄæÓæÔæ†´æ‡ µèRæ´èµæ¶è±æ© ζ éÎ 80 Ž i.i.d. R Bernoulli ™š›œRS ?xζ ë ŸH   Ð{Ñ| Ò B(80, 0.01). T  o Áù§ÄA ÓÔ ´µR´µ¶±©êPd 3 Á º» P Áì§Ä´µ ? gÅÆ P (ζ > 3) = b(k; 80, 0.01) = 1 − b(k; 80, 0.01) ≈ 0.0087 . í çRîïð FVñ  “3 Ž ÉÍÎ ªË 80 ±´µ¶ ” ò6ó “eŽ É ªË 20 ± ´ <µ ù¶ ú”ûÞ ü  XÐ ý ô õ ö X  ª Ë R A ± ©  a ý b ÷ ø X º¼» Ð Q Ñ Ò Á ì § Ä ´ µ R ÅÆ PþÆ véw ÿ ß `
R P



~ ùAé
Q  ÅÆ
î

H
¤ ¬ dË Ro‹Ž  R­ù®ú~  é ‹
Ž
R­® é t î
ï  §Ä
´ µ Í Rž Á ¬d

 
R
~¹
§Ä´µRÁ  f 
à ¬
ÿ 

RÅ
Æ !“
·'¬
ÿ " RÅ
Æ î
¥ # ~   X
$
‹ % X
& †‡ {| B(n, p), vw Þ vw gH Š6RÅÆ b(k; n, p) q
™ ( k R›
)a›
)R
*}~,+ q = 1 − p, c k ≥ 1, = 1 − 0.9920 − 20 × 0.01 × 0.9919 ≈ 0.0169 .

2

2

80

1

k=4

o  T

3 k=0

(n − k + 1)p (n + 1)p − k b(k; n, p) = =1+ , b(k − 1; n, p) kq kq

Á  Q H M b(k; n, p) > b(k − 1; n, p); a T k > (n + 1)p Á  ž H b(k; n, p) < b(k − 1; n, p). é f{ |ž } B(n, p) Šõ ÅÆ b(k; ùn, úp) R^-™  õ õ (0 k R  êa ê aT  k > (n + 1)p . ™
( k  R ž êa
/
~ b(k; n, p)  mÐ = (n + 1)p 6 © b(m; n, p) = b(m − 1; z n, p) ž  Î  1g
2gê2^êÌÏa
^
~43 5 (n +1)p b(k; n, p) f k = [(n + 1)p] 7] 2
é 6 ©  V W  v  w
”  : z 
Ð
8 9 ê^~gŠ [x] †‡ Ó© x R
2ê 6 ©~ b(k; n, p) 1 2ê^ R
; 6 © m  Ÿ  {| B(n, p) R™š›œ= R <
>
?
@
A (
Ý B
C 3.2). D
   v w z
Ñ ¬ E
d 2
ê  ^R £¤
ð  
 F
G "
H ¬Rð ¤ ~ ¯ 3.2.2 ‹
I
J
I
K
L
MONQP
R
SŠ6Æ  p = 0.8, Í I
K 10 Y~
y T R
2ê  Ñ R
SŠ6Y©~ Ü È e ‹ UY IUK Ç c « ‹ Ž Ý ©  p = 0.8 R Bernoulli ™ š › œ , VUW ° Y k < (n + 1)p

Y
Z
[
\]Ø6ÙÚ6Û 91 I
Kmn $ ¸  ž T  S Š oNQP,R Y © †ξ ^ ‡ é 10 Žklmn
RÝ© Î  p = 0.8 RÐ Bernoulli ™š›œ
 R S  ξ ŸÑ   {| B(10, 0.8). j6d (n + 1)p = 8.8  T S ŠNQP
R
2 ê
 Y©  m = [8.8] = 8 . é
6 © ¯  ¥  3.2.3 _
`
a
 b ‹
c
d
e
R
f
g 2n Y y a F R
;
h
R
2ê
 Ñ Y©~ Ü È VUW ° YUaUb k l m n $ ¸  ž 3 ¥ o a F RU;Uh Y © ξ Ÿ   † ‡ { | € (2n + 1)p = Ð é
6 ©   ¥ a F ;
h
R
2ê
 Ñ Y©  B(2n, 0.5).   m = [ (2n + 1)p ] = =n. i ^ é   f 2n Y
a
bŠ  a F ;
j
hY©°
k
R
 Ñ
l 2ê~nm é  i Ž  Ñ
l
o
p H
" ê
qOr vw Ð
s D ¬ Stirling t „ n! ≈ √2πn n e Þ
u î‹
v g
w
x ÅÆ ¥
H §3.2

X

Bernoulli

2n+1 2

2n+1 2

n

b(n; 2n, 0.5) =

n C2n

−n

 2n 1 (2n)! 1 = ≈√ . 2 2n 2 (n!) 2 πn

\ U  i ŽÅÆ^™
( n R
y
z õ êa
{|6d 0,  a

› ~vw “2ê
 Ñ Y© ” R F
 ÅÆ
 Ñ ë
€ € ~n
^ Ñ Y© ”  é V
ñ¦ß R F ÅÆ
ò6óg ß Y©
R F
 ÅÆÇê Ð
€ † ß H € ê
R
w
xÅÆ~

z p €
R ~ i ^
} é 
o ‚ “2ê
…„  é kca
ƒR

‡
ˆ
‰
Š
‹
Œ

Ž


‡
ˆ
‘
’ vw j 
“
” Bernoulli Z[  ‹
• ”  vw o E
–
R

—
w
x   ξ V
  Wo ÃRZ[Y© ™˜š ξ ^ é Bernoulli Z[
Šœ›ž ¨o ÃRZ[Y©~ \ U  vw ¹Þ £¤ ξ R {|}~ ξ é ‹Ž™š›œ -ª‹Ž­®~ ¯ 3.2.4 ‹Y
Ÿ‹Y “ |6‹ŽON P
IUK  ° Y
IUK mn $ ¸  e ‹ Y
IUKUR VWo
¤ R
I
K Y©  Z 
¡ Y
 S 6 Š  Æ Ç p, 0 < p < 1 , • S  Š Q N P £ ~  ξ é
 ¢ y ξ R {|}~ \ U ξ R]^_`  N = {1, 2, · · ·} . vw
¥ ]‹ŽÅÆ
¦
 {Ω, F, P }, : z gvŠ¨w§ f‹
© VkW
lª mnURU
— {A , k ∈ N },  b H P (A ) = p, k = 1, 2, · · · .    A k Y
I
K
 S ŠNQP
R

— b
« ˜
š {ξ , k ∈ N } ^ é ‹
©kξl=mIn
R , Î k = p1, 2,Ý· · ©
· ,R Bernoulli ™š›œ~ab Bernoulli

§3.2.2

k

k

k

k

Ak

k

i

(ξ = n) = (ξ1 = 0, · · · , ξn−1 = 0, ξn = 1) ,

j d (ξ = 1) = {ω|ξ (ω) = 1} = A , (ξl = 0)z = {ω|ξ (ω) = 0} = k ∈ N }, j¨
—
¬
©
R {A , k ∈ N } Rklmn
n ­

q = 1−p ,

Ack ,

n = 1, 2, · · · .

k

k

k

k

k

k

P (ξ = n) = P (ξ1 = 0, · · · , ξn−1 = 0, ξn = 1) = P (Ac1 · · · Acn−1 An ) = q n−1 p ,

n = 1, 2, · · · .

ÕÖ6× Ø6ÙÚ6Û v w w   i Ž { |¼ŠnR P (ξ = n) …U® ƒUžU q = 1 − p ,  t¼nò RU¯ q © ©    •”  ¯q{|~,­ H È –— 3.2.2 ˜ 0 < p < 1 , n ∈ N , i q = 1 − p , vw” 92

 ¯q{|  i ¤

g(p ; n) = p q n−1 , G(p).


‹Ž™š›œ

n = 1, 2, · · · , ξ

R]^_` 

(3.2.2) N ,

b H

ž ” ™š›œ ξ ŸP 
(ξ¯=qn){=| g(p¡;” n) ξ= p ¯q q{, |n™=š1,›2,œ · · · i, ¤ ξ ∼ G(p) .  ¯q{|
^ é 
©§ Bernoulli Z[Š¨›
 ¡
° ž ¨ F
 R j   ‚  ¢  £ ¤ ¥ ± [ °
© R{|~ vw Þª‹ ä
² ¯q{| H E
R­®~ ¯ 3.2.5
e ³
´
µ
RO € ê 
[ ¶
s   ¼Š6™ š “U· ŽU¸]U´
µ ± I ~ © N V ± I  ‹ W ° RO 
© N<Á  ± ± I
R
´
µÇ é ;
¹  á ž Ÿ
º ú ³»
¹ È à zž ^
¼
± ¶y ~ á ˜³
½´
³µ´
ì µ¼
R ¶
R¹ÅÆ Æ ~ p, IRw©  n (n ò ³´µR¾©¿NÀ " ), Ü È j d ± IURU´Uµ é   U‹ ³ Á € U F U € © N ê U R U ´ ¼ µ Š Ž ™ š  ¸ ] Þ R · “ ™š›œÞ ‹
Ä
ÃÅ{ÇÈ Æ ß o  °  e‹
w ± á I
R,´
µÇ

¬‹ŽÝ© Æ ß p R Bernoulli   ¹ß Á w « Bernoulli ›
œ R^  1, Ä
;
Å ¹¡
Á° « g °  0, b 

ɍ ž “
Ê
 w  á ¹Á
R
I é n Žklmn
R™š›œi ~, ζ °K È
¶ Æ© b ô 
Æ È
ζ É ≤ “
n, Ê
o  ì
ζ Ÿ¼

  ¶
¯RqÅ{Æ |  G(p), q = 1 − p. d é ³
´
µ
ì ¼ n−1

P (ζ ≤ n) =

n−1 P

g(p ; k) = p

n−1 P

qk = 1 − qn .

\Ë  i Žå灬 †‡ {|Þ &Ì ~  ú vw ¬ η ÄÅ n Ž klmn  j6d ß w RÝ©Ç é p, o  η Ÿ  †‡ {| B(n, p).  ™  š  ›
œ
R Í R Bernoulli 3 ¥ á ³
»
¹ì
Ÿ
º  Æ b ô Æ η = 0, o ì
¼
¶
RÅÆ  k=0

k=0

± ñ “f §  mn ± [
Š  ÅÆ—ÎÏ ë wx ” RÐÑÒÓ~ Ü È  á ÅÆ

— f‹ ° ± [ŠnR
wUxÅÆ i ¤ p, ce ° ± [ð
Ǭ‹ ÄÅÈ  á —
w
x  á Bernoulli ›œR^  1,  á Ž Bernoulli  ™  š  ›  œ Þ 
—W Ð w
xÎ  ^
«g  0. j6d ± [ é mn§  $ ¸
R  o 
Ô ° ± [ð
ƒ
áž‹ Ž ¡
°Óf ‹ÅÆ
± ¦
° ‚ iR ¤ i.i.d. RÝ©  p R Bernoulli ™o
š‚›áœ
¬
©ë~   η, d é η Ÿ 
 ¯ i q{| G(p). \
Ë 
— w
x — w
x Á
R [ © ^ é
Õ η ›d
½Ž
; 6 © n, 
^ é
H η < ∞. q = 1 − p.

¯

P (η 6= 0) = 1 − P (η = 0) = 1 − q n .

3.2.6

P (η < ∞) =

∞ P

n=1

P (η = n) =

∞ P

n=1

pq n−1 = 1 .

Y
Z
[
\]Ø6ÙÚ6Û i ^ ļñ  Ð ¤ p U" š URU  U— (η < ∞) wUxUR Å Æ ÇU› d ; © ± [Š   ÅÆ

—
Î
Ï ë w
x ” R
Ð
Ñ
Ò
Ó~ “f§  mn v
hÞ
Ö Å ¯q{|
R‹Ž H l
× ~ –
Ø 3.2.1  o H ; 6 ©  ]^_`
R ™ š› œ ξ Ÿ 
¯q{| ô Æ cpq
; 6 © m Í n, Ç H §3.2

X

93

Bernoulli

1.

i ^ é

G(p),

P (ξ > m + n | ξ > m) = P (ξ > n).

i Ž l
× ”  ¯q{|
R
y i
Ù
l ~ Ú
Û È ˜™ š›œ ξ Ÿ 
¯q{| Ç H P

o cpq
; 6 ©

P (ξ > k) =

Í

m

∞

Ç H

+

G(p),

P (ξ = j) = p

j=k+1

n,

P (ξ>m+n) P (ξ>m)

=

∞ P

(3.2.3)

˜
š cpq
Ü
Ý 6 ©

k,

q j−1 = q k .

j=k+1

P (ξ > m + n | ξ > m) = =

q = 1 − p,

Æ b

q m+n qn

P (ξ>m+n, ξ>m) P (ξ>m) n

= q = P (ξ > n).

•j  ˜
„ c žp nqU~ ; 6 © m Í n, Ç H (3.2.3) „Už n ~cUÜUÝ 6 © k, v w i  cpq; 6 © k, Ç H p > 0, bcpq; 6 p = P (ξ > k) . d é j (3.2.3) „ ¥ © m Í n, Ç H p = pž 0
· pß
.à j ú ›„n ¥  cpq
; 6 © m,ú Ç H Ð p Ñ = po j6d p > 0,
a Þ p = 1, c‹
úÑ
Ð
; á6 z©  m, Ç H p = 1,   
c ½
Ž d 1 R
;© q, H p = q. j cpq
; 6 © m, Ç H P (ξ = m) = P (ξ > m − 1) − P (ξ > m) = p −p =q −q =p q , o gŠ p = 1 − q,  ñ ξ Ÿ
  ¯q{| G(p). v Uw â UUã ¯ q { | Ué ä U‹ RUå H y iUÙUl R ] ^ _ `  ; 6 © _UR ‘ ’“{v|w ~ vw 
.  ë& ª   ¯qu {|f«¬ÅÆ
æ
ç H € " ·¬~  Þ  ª
‹ è
é
ç s " l RO ¯ 3.2.7 100 ê
ëŠ H 5 ê

¨Š ìç ~ N<3~ É Ý ö ¸
ë  e É ¸]
‹ ê~ ± { c ÜÈ È (1) H
íî Ì (2)Æ y íî¨ï t „  îï H É ± Š¨ì
RÅÆ~ [~  ž H
íî Ä
¸Å ]k ª d ” mn§  FUR  Bernoulli o 

 ξ  Æ ›

‹  ê H É ì
ë o Ã
¹ É RU¸] ° © È ξ Ÿ
  ¯q{| G(0.05). 3 ¥ ξ≤3Á H Š¨ì~  H Š¨ì
RÅÆ   ¥

(3.2.3)

k

k

m+n

1

m

n

m

1

m 1 .

m

1

m−1

m

m−1

m

m−1

ÄðÅèo ] F R 3 êðë Š “H ð  ž η Ÿè  †è‡ {è| ì ë ” Rðêè©  Æ η 6= 0 Á  H É Š¨ì ~ o  H É ¨Š ì
RÅÆ  È B(3, 0.05). 3 ¥ ðð

P (ξ ≤ 3) = 1 − P (ξ > 3) = 1 − 0.953 .

η

P (η 6= 0) = 1 − P (η = 0) = 1 − 0.953 .

94


‚ ï t & s
R vð
w ‹ c
y íî o
Å „ ”  (3.1.2)È „ R {| ( RÅÆ 

ÕÖ6× Ø6ÙÚ6Û

à ~ Ä
Åo ] F R 3 ê
ëŠ “H
ì ë ” R
ê©  ž ζ Ÿ  ζ  8 ¯q{| ). Æ ζ 6= 0 Á  H É ¨Š ì~ o  H É ¨Š ì

P (ζ 6= 0) = 1 − P (ζ = 0) = 1 −

3 C95 3 C100

=1−

95·94·93 100·99·98 .

ñ
ò (ó
ô
õ
ñ
ò )  & „ö mn§  R Bernoulli ± [
Š ¡° ž ¨ ÁR›Á (­  f  ¯  q  {
| Š o Ã
R ± [ ° © ) R {|åç~  f vw Þ £¤ ª r ° ž ¨ Á
R ± [ ° ©
R{|å ç±~,÷ Ë° V ˜i ¤e ° ± v[
w R
ž ¨ ÅÆÇ é
 \p,Ë 0 < p < 1.  Ñ ] z Ð ª r ° ž ¨o Ã
R R [ © ξ, Þ £¤ ξ R{|~ ξ R^  F d r R; 6 ©Î ~ o Æ   v w W 
ø ” f‹Ž… R ÅÆ
¦
 {Ω, F, P } ‚ Ó ‹
©klmn
R  p  Ý©
R Bernoulli ™š›œ {ξ , k ∈ N }. i q = 1−p. \Ë ceŽ; 6 © n ≥ r, Æ b ô Æ “f™š›œ ξ , · · · , ξ Š H r−1 Žù& › d 1, gùú  0, &b ξ &› d  1” Á  H ξ = n.  &aùù— (ξ = n) ›ùû&d “fù — A ,o · · · , A Š¦… H r−1 Žwx b— A wx ”, j¦d— A , · · · , A kl m&n  P (ξ = n) = P (f ξ , · · · , ξ Š H  r − 1 Ž
› d 1, g
ú  0, b = P (f A , · · · , A Š6… H r − 1 Ž
w
x b A w
x ) = C p q . i 
 §3.2.3

Pascal

k

1

n−1

n

1

n−1

n

1

1

o 

∞ X

r−1 r n−r Cn−1 p q =p

r

n = r, r + 1, · · ·

∞ X

r−1 Cr+k−1 q

k

ξn = 1)

r−1 r n−r n−1

n

r−1 r n−r pn = Cn−1 p q ,

pn =

n

n−1

n−1

˜
š
ü Ë H ∞ X

1

(3.2.4)

= p r (1 − q)−r = 1 ,


„ R
Ð ùé ‹Ž‘Ä ’“ñ ™ß š›œUR{ † |‡} ˆ ~ ‰vw  g ” ‡ ÄUÝÅ©  o p Í r 
 ¬
Ý „¼Š¨R ° Uý ”R  Pascal †Ý ‡ {{||~,~ ý ‚ „ 3ª
5°
þ Ýz © ¨ p Í ±
1 ÿ R ° Pascal {|
 ^ é ¯q{9 |~ i Ðô é j6d
¯q{|
z ^ ž Á
R ©
R {| abU¾ f (3.2.4) „Š¨« r = 1 é ‹ ¯q{| G(p) R{|}~ vw  ζ ÄÅ F ª 1 ° ž ¨ ÁR ±ÿ ° ©   ζ ÄÅ
Àª 1 ° ž ¨ •    . °  F¨  • ª 2 ° ±
ž ÿ¨ °• ǍR ˜
±š ÿ ß ° w © , · · · ,  Ä
ζÅ Äþ Å
z Àª ° r−1¨° o ž ¨ • ±
. ÿ  ° F  ªo r ž 
R © ^±Ç ÿ é ‹$ ž  o Ã
R © ° ÇŸ  ¯q{| G(p). ý
j¦d° é klmn ¸ R  ζ , j +1, 2, · · · , r n=r

n=r

k=0

(3.2.4)

1

2

r

j


Y Z
[
\]Ø6ÙÚ6Û 95 ™ š á › é W ùÓ úf  Î ‹ Å Ä
ÆUÅ ¦Uþ  z ‚ ª R ° k l ¨ m nUý Ÿ ±
  ÿ k ° Î { |ÂR ( i  i.i.d.)

  œ ~ cd r ž Á
R
¾ ©
R ™š›œ ξ Þ ^ « H o   ceŽ
; 6 © n ≥ r, H ξ(ξ==ζ n)+ =ζ (ζ+ ·+· · ζ+ ζ+ ,· · · + ζ = n), €  ζ Ç é  þ ; 6 ©
R ™š›œ  o  §3.2

X

Bernoulli

1

2

r

1

[

(ξ = n) =

(n1 ,n2 ,···,nr )

2

r

j

(ζ1 = n1 , ζ2 = n2 , · · · , ζr = nr ),

(3.2.5)

‚y „  c E „ n +n +· · ·+n = n R o HH ¬; 6 ©r (n , n , · · · , n ) ~ ª   U ¬ “ n Ž k Î RU  { r Ž Ð Î R j ‹ 

  U  R î © U ¥ # ¥ ®   y¦ F ”i R u “{ ” î©!„îï i t ©vrwRŽ©  ¥ Í H C r~ ‹Ž R H ¬
; 6 ©r (n , n , · · · , n ), Ç H 1

2

r

1

2

r

r−1 n−1

1

P (ζ1 = n1 , ζ2 = n2 , · · · , ζr = nr ) =

r Y

2

r

P (ζj = nj ) = p r (1 − p)n−r = p r q n−r .

„
R

— ï
ï Ð ½  o j ‚¢£¤ ð
 vw ° z  i Žð ² (3.2.4) „ ‹ à P (ξ~ i =un) =vCwx   p ï q Ž Ð. Î F
ö Pascal {|~ vw Þª ï Ž ² Pascal {| H E
R!"åç~ ¯ 3.2.8 ( Banach #%$%&%' ) ½ É »)(%* íÂHÂï %+%,  %%- H +%, n . ~ T  ° ™ š þ F ‹  æ ¼Š)/ F ‹ . +, : ¬ ~ ± yÂT þ F ‹%  w 10 ¦   ú  Á 2‹ Š 3¨ú r . +,
RÅÆ~ Ü È  A Ä
Å54  0 ¦   ú 5 . ” l ¥  Á 7 6 ¼  Š  n 3 ú r +,
R

—~987 : y RÅÆ
› 2P (A). vw   þ F 4 ‹ ° ³  þ z ‹ ° ž ¨   ξ Ä
Å þ z ª n + 1 ° ž ¨
Á R þ  ° ©  ž ξ Ÿ Ý©  0.5 Í n + 1 R Pascal {| (ù   :°
yþ F 4 
RÅÆ é 0.5). 3 ¥  
— A w
x  Æ  ô Æ ξ › 2n − r + 1. :  RÅ
Æ › 2P (A) = 2P (ξ = 2n − r + 1) = C 2 . ¯ 3.2.9 ± y ;<= §  R Bernoulli ±
ÿ Š  ª n ° ž ¨ w
x ; ª m °> ? • ø
RÅÆ~ Ü È  ξ ÄÅ þ z ª n ° ž ¨ Á R ±ÿ ° ©  ž ξ Ÿ Ý©  p Í n R Pascal {ª|  ° > Š ? p• é  ° Bernoulli ±
ÿ Š üþ Ëz ž ¨ RÅÆ;~ @ A Ä
Å “ª ° ±
n °ÿ ž ¨þ ;z ø
w
x ” R™
š 
—~ m A ›
û “  n+m Š €

j=1

(3.4.3)

r−1 n−1

r n−r

n 2n−r

r−2n

ö

96 n

° ž ¨

”,

ÕÖ6× Ø6ÙÚ6Û

:  : y R ÅÆ
^ é

P (A) = P (ξ < n + m) =

n+m−1 X

P (ξ = k) =

n+m−1 X

n−1 n k−n Ck−1 p q .

(3.2.6)

vw Þª i Ž­®
R ï Ž«¬~ ¯ 3.2.10 ABò7C
yDE F Ó¸ 5 E 3 GH~ 4 6 † É I  4 E þ G
RÜÅÆÈ v  w p, 04 < p þ< 1, ± y 4 þJ zz 6¨°RÅƨ ~ ÄUÅK4 þ z ° ¨ :   G  ‹ E ³  ‹ ž  ξ 4 z 3 ž à ž  Rª E© ° ¨ ξ Ÿ ; ݪ ©  °3> Í ? p• R Pascal {| ~ é “ J : 6D ” R

—
^ é w
x ø ” R

— 
^ é ξ < 6,  ¬ ‚ çð
 “ 3 ž 3 4 z ¥ “ J 6 ” RÅ
Æ ^ é P P (ξ < 6) = C p q =p + 3p q+ 6p q . Æ   F Ð
á  “ ¯ p = 4 0.5 Á † É ï ‚¢ Æ ÅF Æ
N
^ W é 0.5.  z ù 3.2.11 5E 3G  G O  ì P 800 Q~ 6  A  B    L M  ; 4 G ö ª ‹ E
.R ¢ 7ò C~ ± å  « Æ S{ T
ìPOr Ü ÈVU
R

« Æ é WX “Þ
Y  4 6 † É ° þ G
RÅÆ ” Rò6­ Þª ZT
°ì> P? [• 8F 4 0 -° G‹¨ E  :   4 þ G
Ä
R
Å5
4 —
þ ^ é “° ; Ÿ
¨ v: Þ
Rò7CŠ   R

—[, ξ  4 ] ï ž
à RE© ž ξ3 Ÿ Ý© ø\2 ]Í ï p = ž0.5 R ”Pascal Z^[ é J]56¨RÅÆ
^ é k=n

5

k=3

2 k−1

k=n

3 k−3

3

3

3

2

P (ξ < 5) = p + 2 p q + 3 p q .   4 p = :0.5 _ `a 4 ¥ 4 J]56¨RÅ: Æ  Æ . 87 4 J]56¨R = 
—
^ é 467J ]   6bJ] R Å Æ  .  « W 11 : 5 R¼ò ­ZTUìP  ] 550 Q 67] 250 Q[ ` ¢ å ç ó c Å Æ ¤ wde`URfF g!"UR : ‚ 4 “Zhijk ”.1654 lNm 2

2

2

2

11 16

5 16

Wf|gGno3 EhOpJ|7]qrÃshtPu[ v VPascal W; w fE5
}~v yjzk\x G67€yMz›{
m v h{iEd JQMm ‚ <= [ƒ„ 4 \GfE…63~†\G‡hˆ‰ŠR‹mŒ Æ ƒSZThP
 Pascal Ž‘’“

}  Z T”•[ §3.2.4 –— [0, 1] ˜™š›œ žŸ ; “ 3.1.4 } : ¡¢ £ ¤¥ ξ :¦§  Z^ ‘’¨© [0, 1] ` ª « Z^m žŸ 07¬­® m¯°± 0 ≤ a < b ≤ 1, ²³ ´ ’µ m ξ ¶·P¸ (a[0,≤1]ξ < °b) ±= fP (ξg<¹ b)¨−© P[a,(ξ b)< }a)=ºb −»a‘, ¼½¾ ¹ ¨ ©¿ À mÁ ‘’ª «Âà ÄÅÆÇÈÉÊ m žŸ ³x 3.2.11

Ë Bernoulli ÌÍÎÏ5ÐÑ7Ò5Ó7Ô 97 ÕÖ 3.2.3 ׳؃ (3.1.4) Ù  ÂÃÚ t F (x)  ÂÅÛ~Ü ¨© [0, 1] Ý ª «Âà m)Þß U [0, 1]. ƒ„fg £ ¤¥ ξ à¶áâ ß ¨© [0, 1], ãä׳ ¾ Ø ‘å ξ ¦§ ¨© [0, 1] Ý ª «Âà m Ç Þß ξ ∼ U [0, 1] , ã Ùæ  Âå ÃÚ t F (x), £ Æ ξ ß U [0, 1] ¤¥ ³çÆ ’ m žŸèéêë ¢ i.i.d.  Bernoulli £ ¤¥ìíîïð U [0, 1] £ ¤¥ñ ’ò g º»ó© (Ω, F, P ) }  fíô‚õö ÷ ê p = ß {ξ , n ∈ N } ø t  Bernoulli £ ¤¥mù §3.2

1 2

n

ζ=

∞ X ξn . n 2 n=1

(3.2.7)

žŸ î ú5û ζ ‘’ fg U [0, 1] £ ¤¥ Æ ü | m ¯ýg ω ∈ Ω, þt P ²ßÿ
þtmãä³ ∞

ξn (ω) 2n

n=1

 ê

∞ ∞ X ξn (ω) X 1 ≤ =1<∞, 2n 2n n=1 n=1

Å m È ä

¸ m

(3.2.8)

}  þt ¸ Ω }


m ´ ¯ýg ω ∈ Ω, ζ(ω) = P ž0 Ÿ≤ Þζ(ω)ζ ≤=1.P , 
(3.2.8) Ù

5û ∞

(3.2.7)

¯
m žŸ
Þ  ½’ ¯°±
t

n=1

m

m

n=1 m P

n=1

7º»



 é ­

ξn (ω) 2n

ζm =

↑ ζ(ω) ,

m P

n=1

ξn 2n

m→∞,

↑ζ ,

∀ ω ∈ Ω,

m→∞.

(ζm < x) ⊂ (ζm+1 < x), m = 1, 2, · · · .

(ζ < x) = lim (ζm < x) = m→∞

∞ [

§ È

(ζm < x),

n

o lim (ζm < x) = lim P (ζm < x) . m→∞ m→∞  1 2 3 ζm 2m 0, 2m , 2m , 2m , · · · , 1 −m

m

[2m x] 2m

m

k<x

m

(3.2.9)

m=1

žŸ
î 
¾ 
Æ


 ’

à
 ֦ !
"
 # £   ¤¥  ãä
$ à
% }7ý ¶º» ² ’ 2 , &
  ¯°± ²³ P P (ζ < x) = P (ζ = k) = , 7½ 2 x − 1 < [2 x] ≤ 2 x,  ê lim = x , & È ­ ³ P (ζ < x) = P

m

²³

ξn 2n

ζm (ω) =

‘ x, ²³

ξn (ω) 2n

[2m x] m m→∞ 2

m

P (ζ < x) = lim P (ζm < x) = lim m→∞

m→∞

[2m x] 2m

= x.



0 ≤ x ≤ 1,

')(* 7Ñ Ò5Ó7Ô  ê ζ = P ’

 U [0, 1] £ ¤¥ Æ ã ä (3.1.13) Ù

+
, žŸ  (ζ < x) ’ é í 
-
. {(ζ < x), m ∈ N }  ã á
 § È è ’

£  -
. Æ 98

∞

n=1

ξn 2n

m

/
0 3.2 1. 132343536373839;:=<=>=?=738=@=A 6 B3C3D3E;F3G3H34 n I3J3K3L3E 2. F n I3M3N3O3P3J Bernoulli Q3R3S3T3U3V3W3I3J=K=L p . 3. X [0, 1] Y3J3Z3[3\3]3^3_=<=`3a=b=c [a, b] Y39;d3@3e3\3]3f3W=E 4. g=hji=k=l 20 I=J=M=N=m=n=9;oqpqrqI=mqnqJqsqSqL=ZqC 0.2, t ξ u=s=S=I=W=E;F=v (1)P (ξ ≥ 1); (2)P (ξ ≤ 2); (3)ξ J3w3x3y3z3E 5. 43{363|3}39j~33@3A=J3K=L=C p (0 < p < 1), p ξ C3:3€343<3~33@3A3C=D3=‚=ƒ34=J I3W39;F ξ J3\3]3„3E 6. p ξ …3† U [0, 5](b3c [0, 5] Y3J3Z3[3\3] ), F3‡3ˆ 4x + 4ξx + ξ + 2 = 0 `3‰3Š3J3K3L3E 7. o3‹3{3|3}3ƒ3@3~33J=K=L3Œ p (0 < p < 1), 3P3ƒ3Ž363|3}3:3€3~=3==3=@=A3‘=C D39;F3v (1) ƒ343I3W3G3C k J3K3L p ; (2) G3H3ƒ3’3W3I3J3K3L=E 8. “3M3N3O3P3J Bernoulli Q3R3S39”t ξ •3–3— i I3T3U3J3˜3™323c39”š3›=9 ξ − ξ  ξ 13\3]3E 9. œ9Ÿž 3¡¢£3¤3¥3E¦o3‹=r={3§¨œ=ž¡=©3ª=J=K3L=\3«=C 0.6  0.4, ¬3­3§3ª3®3M3N3E ¯3°3± ‹3²3ª 4 §3³3C3´3µ39;Fœj¡=¶ i § (i = 4, 5, 6, 7) ¢£3·3T3C3´3µ3J=K=L p . ¸ ¹  “º3§353ª ” »¢¼39;½3¾3¿3À3£=»¨œj¡3w=Á=Â=Ã=´3µ=J=K=L=¼3ĨŠ¯q° œÍÊqS=JqKqLqC 0.4, žjÊ=S=J=K=L=C 10. 5=Æ=¤q¥=¡=Ç=È=ÉqÊq¤q9Ë:=€q>qÌqÊqSqCqDq9 0.6, A3“3Îœ²3Ê39;F35=¥=Ç=Ê=¤3I=W=J=\=]3„=E 11. p=Ï=Ð A “={=I=Q=R=S=@=A=J=K=L=Œ 0.3, Ñ A @=A=J=I=W=Ò=Ó=Ô 3 2=9;Õ –=Ö=× @=Ø Ù E (1) “ 5 I=M=N=O=P=Q=R=S=9;Õ –=Ö=× @=Ø Ù J=K=L=Œ=Ú=ӨŠ(2) “ 7 I=M=N=Q=R S3ÛÅ 12. p3>3Ü3Ý3Þ3“3{qß=J=>=à=2=c=S=` 1000 á3Ü3Ý3â3‘39;r=á=Ü=Ýq“=ã=à=2=c=@=Ï=ä=J=K=L Œ 0.0001, F3ã3à323c3@3Ï3ä3J=Ü=Ý3W=Ò=Ä=Ô ± 2 ¯ J3K3L3E 13. >3å3æ3¶3ç3è3X3{3é=ê3ë=ì=Ï3í •=î=ï3ð 9 ‹ é=ê=©3Ú=W=í •3ñ T=ò3â=‘=EͶ=ç3ó=ô ­3í •3õ3ö é3ê3Ê ñ T3÷3J3K3L3Œ 0.6, ¬3­3í • Ê3÷3ø3ù3M3N3EúC3t3¼=û3K3L=â3‘=é3ê39 Q ¹ ¶3ç3ü3º3Æ3ì=Ï3í • ¯3H=° ý=Œ3þ=Æ=H¨Å 14. `œ9Ÿž53À3ÿ3­ 4 39 † 8 3S
4 39¦y3XœÀ3ÿ
3@ 39 3Q=R=T3U={=I3E (1) >= Ì    

  =
; 9 = F = Q = R = T ¹ v 3Œ  õ J39;ý=Œ =` =U=«={=y I=¨J=Å K=L (2) >=Ì=M=N=Q=R 10 I=9;T=U 3 I=9 ¹  S39;F3Ñ=†3> =@=S3w ={=Š=239 ={  r Š3J3K3L3E  15. “ Banach  16.  Bernoulli !" o3p3{3Q3R3` r ?3x3y # ° A , · · · , A , $3¬ P (A ) = p , p + · · · + p = 1. X ö Q3R3M3N 3O=P n I3E;F A G3@3A k I3J3K3L39;e3S k ≥ 0, P k = n. 17. “3M3N3O3P3J3 _ % Bernoulli Q3R3S39;F A “ A &' @3A3J3K3L39;e=S i 6= j. n

2

k

i

2

1

i

1

i

i

i

1

r

n

i

r

i

i

i=1

i

j

1

§3.3

Ñ7Ò5Ó7ÔË)()*,+.-

99

/1012131415161718

§3.3

9 :);)<)=)>œ)?)@ ) ë ¢ ÝBABC  ¡  žŸED ¬ ¯ £BF ¤¥)C º)G ³)HEI.J…û.KBC)H)L Æ

éê)M)N £)F ¤¥)C)O)P Å H Æ ÕÖ 3.3.1 Q)R ξ S Ÿò
º»ó© (Ω, F, P ) Ý)C
 ¶ Ú)T  ´ £)
F -
.
  ´ ω ∈ Ω, ²³ ξ(ω) ∈ R, ã䯰± x ∈ R, (ξ < x) ²)S §3.3.1

(ξ < x) = {ω | ξ(ω) < x} ∈ F,

¸ žŸ ¯ý  (3.3.1)


Uå ξ S
 £)F ¤¥ Æ  Å ¯ ½ ! " #£VF ¤¥WIXJ ½VY L Æ- Ý Z ξ S   ! " # C Á £BF ¤¥B[   $ B \B] éB^ àB_)` é í ¶Æ QBR
$ )\)] ^ à ³   éB^ ¶  ¯ ½ %Wa Cý   a , (ξ = a ) = {ω | ξ(ω) = a } ²VS {a , a , · · · , a },  .Æb)c )  [ (ξ = a ), (ξ = a ), · · · , (ξ = a ) ï)Sd)H 
 ¯ Ω C Â)e  ´ ³ (ξ = a ) ∩ (ξ = a ) = Φ, i 6= j ; (ξ = a ) = Ω.  ãä ¯°± x ∈ R, ³ 1

2

n

j

1

2

i

j

n

n j=1

j

(ξ < x) =

[

j

(ξ = aj ).

(3.3.2)

é í  ¶ {a , n ∈ N } [  ³ô)f)C)g)R  ´ {(ξ = a ), n ∈ N } ï Â)e  ãä³ (3.3.2) Ù)dö Æ  ê ¯ ½
!
"
#£)F ¤¥ ξ, (3.3.1) ΩC ¯ ξ C°± 
 é)^ ¶ a, ²³ (ξ = a) = {ω | ξ(ω) = a} ∈ F. ! " #V £ F ¤¥  VÝ j VÅ k ÿ µ Xû HVl FVmVnVU S Ÿº»óVo ÝVC Borel Vé )¼ phVÚ )½ T i Æ - Ý qVr  m sÚ T V­ t é%ê ú1û  ¯ ½ °%±sl Fsmsn ξ, (3.2.1) Ù ¯°± B ∈ B , ²³ %,a B )u )v Borel w (ξÆ ∈ B) = {ω | ξ(ω) ∈ B} ∈ F,    é)ê x )y)z){ Q  g)| i } 0 3.3.1 QVR ξ S Ÿò º»V ó o VÝ CVl FVmVn È g : R → R ~ é)pÚ)T  η = g(ξ) è S Ÿ÷

º»ó)o )Ý C)l F)m)nÆ Borel ×m B)Ú €T  m BÚ T |B­])tˆ CBB‚  )ƒBqBÆ r Š)p ‹ À |BC )¸ )­  t ú5`)û~Ž)Á r) { g)|  …Æ „ ³BÆ †)‡  |)C))‚ Þ ‰Á g)| )

)Œ A Á g)|  ê ‘ a ’  ‘ Š ‹  ½   ‘ F B m n ” D “ ­ ® ÝF
-
‘.
| ½ Š)‹ éê ¯ F)m)°n
± Å l ÂÃ)Ú ξ,T • )° i±  T x, (ξ < x) ²)S)l S ¯)l $)C Q Z

é ê à 
 ¯ d)¼) H h Ù )½ i ¯ ½ ÿ

j

ξ

j: aj <x

n

n

1

1

100

')(* 7Ñ Ò5Ó7Ô Õ Ö 3.3.2 Q)R ξ S Ÿò
º»ó)o (Ω, F, P ) Ý)C)l F)m)n
 Š)‹å Fξ (x) = P (ξ < x) = P {ω | ξ(ω) < x},

x∈R

(3.3.3)

C ÂÃÚ)T Ƹ
)_½)–)—)˜)™ [  éê æ F (x) š)›)~ F (x). Š)‹ î))| ÂÃÚ)T C )œƔb)c
 °±)l F)m)n C ÂÃÚ)T F (x) S Ÿ  T w R Ý)C Ú)T Æ )
³ i Õ)ž 3.3.1 °±)l F)m)n C ÂÃÚ)T F (x) ²×³)Q  3 Ÿ )œ)i i£)¤)¥)¦ x < x , §)¨ F (x ) ≤ F (x ) ; (1) )¡)¢ i£)¤)¥)¦ x ∈ R , §)¨ lim F (t) = F (x) ; (2)©)ª)«)¢ i£ §)¨ (3)¬)­)¢ ~

ξ

ξ

1

2

1

2

t↑x

F (−∞) = lim F (x) = 0,

F (∞) = lim F (x) = 1 .

F)m)n ξ C)±)²)³ T £ F (x) = P (ξ < x), x ∈ R. F (x) S)l Z x < x [  ¨ (ξ < x ) ⊂ (ξ < x ), ´.µ)¶)C)·)¸)¹)º z F (x) C)·)¸)¹)» ¤)¥)¦ x ∈ R , -
.)¼ {ξ < x − , n ∈ N } ~)·)¸)C)½)¾ ¼)¿À)Á)Â ½)¾)~ £)z F (x) = lim F (x − ) , ¤ Ã)Ç)±)È)É)Ã x C (ξ < x), Ã)S,´.µ)¶)C)Ä)Å)Æ)¹ z x − ≤ t < x − , Í)Î t < x , Ê)Ë n ∈ N , Ì ®)¯ i° 1

x→−∞

2

1

x→∞

2

1 n

1 n

F (x) = lim F (x −

£ ¨

n→∞

n→∞ 1 n+1

1 n

1 1 ) ≤ lim inf F (t) ≤ lim sup F (t) ≤ lim F (x − ) = F (x), n→∞ t↑x n n + 1 t↑x

lim F (t) = F (x),

Ï)Å)Æ)¹ z)Ð »

Ñ )¿Ò)Ó){ lim (ξ < x) = Φ, lim (ξ < x) = Ω, Í,´.µ)¶)C)Ô)Ä)Å)Æ)¹ z Õ)Ö ¹)» mVn ±V²V³ T SV×VjVl FVmVn CV±V² ÕVØ CVÙVŒVm)ÚVn Û ¿Ü ‡VÝVÞVßV¿.àV V á V l â )¤)¥)¦)ð ï é ã)ä)å)æ)ç)è)é µ)¶)».ê)ë)ì.ë)í F (x) î)l)â ξ ±)²)³)ï a < b, ¨ t↑x

x→−∞

ñ ë ¤)¥)¦)ð ï

x→∞

P (a ≤ ξ < b) = P (ξ < b) − P (ξ < a) = F (b) − F (a) ; a,

(3.3.4)

§)¨

1 1 P (ξ = a) = lim P (a ≤ ξ < x+ ) = lim F (x+ )−F (a) = F (a+0)−F (a). (3.3.5) n→∞ n→∞ n n

ò)ó)ô)ð)õ,ö.¿ø÷ x = a î)±)²)³)ï F (x) é o)ù)ú)û)¿øü â)ý)þ ξ ã a ÿ è)é µ ¶
)î F (x)
Ë  ú
 é




 ÷ x = a î)±)
²) ³)ï F¿ (x))ü é Å)Æ ú)û)¿ü¥ ã a ÿ è)é µ)¶)ÿ 0; ë)í)±)²)³)ï F (x) Å)Æ ã â) ) ý þ ξ ) â ) ý þ ξ ¦ )ú è)é µ)¶)§)ÿ 0.
 (3.3.4)  (3.3.5) æ



 à)á ü â)ý)þ ξ é)è

é 
 Â é

.é µ)¶)» Ã


 Â


   ! "
#
$
%& ' 101 (B÷*) á ¿ ±B²B³Bï*+Bî*, ü âBý)þB±)² Õ)Ø ó å ×
-BÚ)Û ¿/.Bó
0Bü âBý)þ 1  ó
0 ±)²)³)ï ¿32 î æ)ç)é ü â)ý)þ)Þ
4)Û

5 ç)é ±)²)³)ï (
6
7
8
9 5 çBé ±B² ). :*B ; Ë*< 3.1.1 =  ?>A@BË ç ó*0 µB¶
B ? C
D á óB¼
E æ 5 ç)é ü ¿ Ý
; 1 8
9)ç
F)é ±)²)» ñ ë)ì Bernoulli â)ý)þ G 3.3.1 ° {ξ , n ∈ N } î*H 0 µB¶*B  (Ω, F, P ) øé óB¼ i.i.d. é ß p = ÿ
) I ï é Bernoulli ü â)ý)þ ¿ J §3.3

1 2

n

ζ1 =

K
L

∞ X ξ2n−1 , 2n n=1

ζ2 =

∞ X ξ2n 2n n=1

0 æVç)é ü â)ý)þ ¿ Ý
; 1 8
9 U [0, 1] ±)² ¿ O
P Ý
;
Q)î ζ )î
N M é ü ) i.i.d. â ý)þ)» §3.3.2 R
S
T
U
V
W
X
Y
Z :
;
[
\
] ó
^
_
`
a ±)²)³)ï M ü â)ý)þ
b )é
c
d » :*;?eAÕBB@ ÖÎ*f é¿ * ü âBýBþ é ±B²B³Bï 1 î*g*hBË ð ï*i ð R Ô*j*kB·B¸B¹ ¿ ÏBÅBÆB¹* j*k*7q r*Bs ¿ ÏBÅBÆ s  ¹ ÕBÖ ³Bs ï)é*»mt)l ïË*¿/n
K*o
L \*ÝB)p î
ì u ë)ó í g)Fî*(x)H î*0Bg*ü hBâBË ý)þ ï*é
i v*Rw
t Ô*ïy z
) { ó)ú)¿ î
)u Ê)Ë ó
0
)| ÷ é
}
~ B  (Ω, F, P ), Þ)ß)Ë)Ý)Ô

g
h ó
0)ü â)x ý  ÿy‚ ƒ é
v
w
t ïyx þ ξ, Ì
€ ξ ß F (x) ) ÿ
„ ¿ :
;
…
\
†
‡ ó
0 }
ˆ
‰ Š
‹ 3.3.3 Œ F (x) î
g
)h Ë ð ï
i R Ô é j
k
q r
)s ¿ Ï)Å)Æ s  Õ)Ö s é
t ï ¿ :
;
 ζ1

2

F −1 (u) = inf {x | F (x) > u},

u ∈ (0, 1)

(3.3.6)

é n t ï ‰ Ž Î ¿ ë
„
g
h é n t ï)î Ü
 é n t ï }
ˆ)é

‘
‰ Ü
 g
h
n t ï û
’ [ à*“*\ é*t * ï ”*• *– ‰˜—
Ð, *ö v
’¢w*¡ t ï*™
š 1 œ î*”
•BÔ
› é ’/œ ß
+*4
*)ý Ü é ž
Ÿ g
h
 
n t ï ‰æ
 Ÿ g
h é F (u) î
g
h)Ë 
 (0, 1) (3.3.6) é £ Å)Æ t ï ‰ ÷ F (x) î
”
•)Ô
› é Å)Æ t ï û
’ F (u) )î F (x) é ÔÜ
é)qÓ r
h
¤ é n t ï ‰ Ë < 3.2.4 =  ’ :
;e @
¥
¦ ’ ,
§
¨)ë (3.1.4) ’ Ÿ é
t ï F (x), ó®
Þ)0) ß
ü © }
~ B  (Ω, F, P ) ª
«)ÿ 
 (0,
é 1)v
Ô w

é t ¬ 
‰ ­ O
}
P ~ B  ò ËV
å ÝVv
Ô
w ®g
h 
 âVý þ¯
° ξ, Ì
€ ’ ξ± ß F (x) )ÿy‚ ƒ v
w  U (0, 1);
²
8
9 ò
å v
ï w)é ü â):
ý);

þ© )ÿ U (0,)1)ÿ ü â)ý)(0,þ ‰ 1) Ô é }
ˆ ’ :
;
)Þ)ß Ð,ö



)
Ô - ô)ð 
n t ï
ë ¤
³
´
µ)ì ÿ

F (x)

−1

−1

¶· ¸  ! " Š
¹ 3.3.2 ººgºhsË ð ïºi R Ôºjºkºq rºsº’ Ϻ»º¼ s  ÕsÖ s º é t ï 1 0)ü â)ý)þ é
v
w
t ï ‰ F (x) î
H ½®¾ ì¿© }®~ B  (Ω, F, P ) ªVÿ ® (0, 1) Ô é®¬ ®­ }®~ B  ’ …VV Ë ÝVÔ ü
ó 0 J , Ð ö 
g
h é
v
w
Ut (0, 1)é ü â)ý)þ η,‰ À ξ = F (η). :
;
\ ξ )î)ß F (x)  ÿy‚ ƒ ï â)ý)þ Á … ’¢¡ (3.3.6) Ÿ Ž Î 102

−1

F (x) > u ⇐⇒ x > F (u) . 1 ¡ η ÿ ü â)ý)þ)Î x ∈ R,  F (x) ∈ R, Í œ ß ξ = F (η) î ó
(ξ0)<ü x)â)=ý)(Fþ ‰ À(η)Ò)<Ó x)¦ =η(ηÿ
,



−1

−1

−1

−1

−1

∞

−1

n

n

n

n=1

F (x) =

∞ X

an Fn (x)

(3.3.7)

)ÿ v
w
t ï éÕ Ö Ä ‰ Š
¹ 3.3.4 v
w
t ï éÕ Ö Ä Q)î v
w
t ï ‰ ½
¾ ì ¡ .
0 F (x) q r
’ Ž Ì ë (3.3.7) Ÿ œ
Ù é F (x) Û

q r
s ‰ ÷  Ÿ  +


Ú
Û û
’ Ü Ž
Ý Ì F (x) Û

Þ
»
¼ s  Õ)Ö s ‰ º ¤ º  º ß à s Þ ×  éºá ¨ ‰ Œ ’ æ F (x) ë (3.3.7) œºÙ ‰ ºâ 0 < ε < 1. ¡ § P a = 1, s ã Þ ã m ä vºå € P a > 1 − ε, ç P a < ε. ºâ ¡ 1  Þ
»
¼ ’èœ ß
+
[ x < x ä x ∈ R, § F (x), F (x), · · · , F (x) Ó x = x v
é
ê x , Â  F (x ) ≥ F (x) > F (x ) − ε, n = 1, 2, · · · , m, 9

 n=1

n

∞

m

n

1 2

n

n=1

n=1

0

1

0

2

n

m

0

F (x) ≥

n

m X

n=1

0

n

an Fn (x) >

0

1 2

  1 an Fn (x0 ) − ε 2 n=1 m X

∞

n=m+1

n

1 2

0

§3.3

 ! "
#
$
%& ' ≥

103

∞ X 1 1 an Fn (x0 ) − ε an Fn (x0 ) − ε = F (x0 ) − 2 2 n=m+1 n=1 m X

≥ F (x0 ) −

œ ß

F (x)

∞ X

1 an − ε > F (x0 ) − ε, 2 n=m+1

Û

Þ
»
¼ s ‰ ë „)Þ Ì

é Õ)Ö s ‰

F (x)


R S
T
U
ì
í
î :
;e @
ï
f ’ü â)ý)þ

ð
ñ
­

q
ð
ñ
­
b v
‰ ,
§
ð
ñ
­ ü â)ý)þ ξ, 

§3.3.3

X

Fξ (x) = P (ξ < x) =

P (ξ = aj ),

(3.3.8)

j: aj <x

î ó
0 q r é
ò
ó
t ï ‰ :
; ² ò å
 ­ é
v
w )  ÿ
ð
ñ
­
v w
‰ ð   ’…* Ü  æ
² * v*w
v
*w t ï é ¨ Ÿ ’ Bî ß v*w Ø é ¨ Ÿ õ Ó ð * ñ ­ Í Î Ù Ý ‰ ô ë
:
;
Ó
õ
 œ
ö é K F ’ ±

œ ß

Fξ (x)

pj = F (aj + 0) − F (aj ),

   ÷

ξ

ÿ
ð
ñ
­ ü â)ý)þ û
’ ß

pj ≥ 0,

X

j = 1, 2, · · · ,

pj = 1.

(3.3.10)

j = 1, 2, · · · ,

(3.3.11)

j

P (ξ = aj ) = pj ,

õ
Ù  
v w Ø ’    {p , j = 1, 2, · · ·} j
k (3.3.10) Ÿ ’ ã)è
÷ Ä ‰ 
6 © (3.3.11) Ÿ Í
Î
ø
ù é ¨ Ÿ j

a1 , a2 , · · · p1 ,

(3.3.9)

p2 ,

···

!

{aj , j = 1, 2, · · ·}

î

ξ

é

.

ó ^
û ß 
v
‰ Á
,
§
q
ð
ñ
­
­ v
w ’ 
ú [
]
… :
;
â)á)ë
¤
g
h)ì Š
‹ 3.3.5 Œ F (x) ÿ v
w
t ï ’ )ë í
ü
Ó
H 0 g
h
Ó R Ô é q
Ø Lebesque Þ
ý t ï p(x), æ € Z x

 

F (x) =

p(u)du,

x ∈ R,

(3.3.12)

v®wVé ü âVýsþ ξ Vÿ®»®¼®­ ü V ‰ ÿ®»®¼®­ v®w®‰ ’ 8®ÿ 9 ® » ® ¼ ­ â V ý þ é
þ

t ï p(x) )ÿ F (x) )ÿ 8
9  v
w)é ü â)ý)þ ξ é
þ

t ï ‰ −∞

F (x)

104

¶· ¸  ! " Ž ï ’ g
h
Ó R Ô é Lebesque Þ
ý t ï p(x) î þ

t ï ’÷
P
Æ)÷ p(x) ≥ 0, ∀x ∈ R;

(3.3.12)

Ÿ õ,ö ’ , ¬
œ  é

x ∈ R(

Z

∞

p(u)du = 1.

ç



µ ó
0

p(x) =

−∞

Lebesque

d F (x). dx

(3.3.13)


 ÷
 ), 1  (3.3.14)

 ð ý t ï®´ Xé  ’ œ  »®¼®­ v®w®t ï®  ð Vî ®,®»®¼ é®v®w®t

v w

 §
ð
ñ
­ v ï ‰ Ó
:
;e @


o é
v
w ’ ’ N ú v
w ’ ¬  v
w ’ Û
w  U [0, 1] v
w
 §
»
¼
­ v
w Ý é
þ

t ï)ÿ
  x≤0;   0, p(x) = 1, 0 < x ≤ 1 ;    0, x>1.

ÿ ž Â


’ ß
Ê
:
; ó

+ Í)á p(x) é q 0 
v ‰ 
 ð ý t ï
´
ï
 ’ å

ï f ’ g
h
Ó R Ô é 

 q r t ï

µ
 ò
ó
t œ 

»
¼ t ï ‰ :

; \
â)á ó
0 ê
! ’ 7 ö ï ’ 
,
»
¼ t
ï b  ’ Q
 ó 
z ð ü
Ó 
»
¼
é v
w
t ï ‰ ) G 3.3.2 ("
#
$
%
R
S
T
U
& G ) Œ t ï F (x) é g
h ž
Ÿ ë
¤)ì Á … J

À J — Ê J é
' À J

F (x) = 0 , x ≤ 0 ;

F (x) =

F (x) =

F (x) =

(

          

F (x) = 1 , x > 1.

1 1 2 , <x< . 2 3 3 1 4 3 4

1 8 3 8 5 8 7 8

, ,

, , , ,

1 9 7 9

<x<

1 27 7 27 19 27 25 27

<x<

<x<

<x< <x< <x<

2 9 8 9

2 27 8 27 20 27 26 27

; .

; ; ; .

O ë
„ ó
( ¤
) ‰ .
*
1 ² (0, 1) 
 ™> g
h é .
0
+ 
 3 
v ’ Ó   ó 0
, 

- 
.
/ “  © F (x) g
h)ÿ ó
0
 ï (Ó
< n * 
v Ê ’
g h)ÿ v
0 ÿ . óVú - ’ v ! ÿ  ï é®v ï ). §Vî ’ Ó ® (0, 1) Xé Cantor é , ÷ Xé V 2 , V 1 ‰21 Ê ’ À  Þ
»
¼
“ 
’ g
h)á
 
3 ú -)é F (x) é)
è ‰ F (x) 
µ
g
h n

 ! "
#
$
%& ' 105 é F (x) 4 — Û® v®w®t ï é 3 Ç s®È®’ œ ßVî ó®0 v®w®t ï ‰ „ ® ë ® „ ® g h  ’ Þ)ß Ì,ö ’ F (x) Q)î ó
0 »
¼ t ï ‰ —
’ ÷ x < 0, x > 1, ß
5 ÷ x  § (0, 1) .é Cantor é , ÷ û
’ F (x) 1 Þ
6 ’ O
P ) 6 ï 1 ÿ 0. ¡ § (0, 1) .é Cantor é , ÷)é Lebesque  
 § 1, œ 6 ï ¬

 ÿ 0, 9
F (x) î ó
0

»
¼ é
v
w
t ï ‰ ß F (x) é ) 
»
¼ é
v
w
t ï
Ó ð   O æ 

’ Æ Û

Å
´ -)é
7 h ‰ 
 ð ý t ï
´ . é Lebesque v
8 Å
´ ’ 
 ó
0 (ó
Ò ) v
w
t ï F (x) 1 Û
)  ë
¤
¨ Ÿ é
v
8 Ÿ ì §3.3

F (x) = a1 F1 (x) + a2 F2 (x) + a3 F3 (x),

x ∈ R,

(3.3.15)

v:9 ÿ*ð*ñ*­ ’ *,*»*¼*­* : »*¼*­ v*w*t ï ’ a ≥ 0, a + a + a = 1. ÷ {a , j = 1, 2, 3}  
;

N ) 6 æ ÿ 0 û
’ F (x) )ÿ
< Ä ­ é
v
w
t ï  ÷  é  Æ  ó 6)æ ÿ 0(9
é®ó v®)g w®ÿ t 1) û
‰ ’ F (x) )ÿ
= >
­ é
Ä v
w
é®t v®ï w®’  t  é @ î®ð®ñ®­ M ®,®»®¼®­ ï ߮ʮ:®;®© ?®¥®¦ < ­ ï

A ‰ [ B
C 3.3 1. D A E2FHG y = 2x − x I x JKLMNOPQSR A TUVWXQSYZX[ y JN\] ξ N^_`abcd`eaef 2. RghE R Ni2jHUVWXQkYeleXe[eimene\e] ξ N^_`abop P (ξ > n 2R/3). o , x> 3. ^rqrsrtrurdrNrvrwrx ξ yrzr{r|r}r~rr^r_rQ€rorprcrdr`a p(x) = ax exp − 0, ‚T b > 0 ƒ2„H…†aQ a ƒ‡ˆ†afkY a. 4. „H…‰Š‹Œ ξ Ncd`aE (  O
P 

F1 (x), F2 (x), F3 (x) 1

2

j

3

j

2

2

p(x) =

x,

2 − x,

0 < x ≤ 1,

1 < x ≤ 2,

x2 b

 Y Ž (1) ξ N^_`aQ (2) op P (0.2 < ξ < 1.2). 5. D‘‰Š‹Œ ξ €opcd`a p(x) = a cos x, − ≤ x ≤ , ‚T a ƒ‡ˆ†af (1) Y a b ξ N^_`a F (x); (2) ’“ p(x) b F (x) N”•f 6. D p(x) = e , x > 0. (1) Y a – p(x) Eecede`eae— (2) ˜e‰eŠe‹eŒ ξ ™el p(x) EcdQkY b – P {ξ > b} = b. 7. Drrr‘r‰rŠr‹Œ ξ Nr^r_r`rarRrOš [0, 1] Tr›rœrržrQ P (ξ ≤ 0.29) = 0.75, η = 1 − ξ, YŸa x, – P (η ≤ x)¡= 0,¢ 25. 8. D F (x) E^_`aQ Ž Z Z π 2

π 2

−e(x−a)

+∞

(1) lim x x→+∞

(3) lim x x→0+

Z

x +∞

x

1 dF (y) = 0; y

1 dF (y) = 0; y

x

(2) lim x x→−∞

(4) lim x x→0+

Z

−∞ x

−∞

1 dF (y) = 0; y

1 dF (y) = 0. y

¶· ¸  ! "

106

D

9.

10.

F (x)

E^_`aQ

a > 0,

Z

D

£¤ +∞

[F (x + a) − F (x)]dx = a.

−∞

(

F (x) =

1 (1 3

+ 2x),

0 < x ≤ 1,

 £ ¤Ž (1) F (x) ƒW¥^_`a— (2) F (x) ¦§ƒ]¨‘N©§eƒee‘NeQ«ª¬e­ ™®E¯°±²‘e^_e`eaeNeG³e´eµef 1,

x > 1.

¶¸·¸¹¸º¸»¸¼¸½¸¾¸¿¸À :
;e @ é
Á µ
Â
Ã
ð
ñ
­ v
w ’ l
Ó
[
\


Â
Ã
»
¼
­ v
w
‰ : ;e @
ï
f ’ 

»
¼
­ v
w F (x) 1
Ä  þ

t
Å p(x), j
k
Ç
Æ
Ç
§3.4

p(x) ≥ 0,

F (x) =

Z

x

p(u)du, x ∈ R.

(3.4.1)

œ
È Ó


»
¼
­
v w û
’ÊÉ @ §


Ë
Ì þ

t
Å ’ O
P ÿ ž Â
:
’ + ú
â Í þ

t
Å Ì
q 0  v
Ì Î ‰ −∞


Ï Ð
Ñ
Ò
Ó
ì
Ô
Õ
R
S :
;e @
Ö
×
Ø 
 [0, 1] - Ì ¯
° v
w U [0, 1].    ’
: ;
 Š
‹ 3.4.1 Œ a < b, Ù
Ú v
w F (x) Ä 
þ Û
t
Å §3.4.1

p(x) =

1 , b−a

a≤x≤b,

(3.4.2)

Ü 
Ý
v w
Þ

 [a, b] - Ì
¯ °
v w ’ ±  U [a, b]. Ù*„*g*h:Ì p(x) 4 —:ß Â 0 }**~ þ:Û*t:Å ’ Ü Ž:à Í* *5 ( Ì v
w*t:Å
Þ (á 3.3) F (x) =

      

0, x−a b−a ,

1,

x ≤ a,

a < x ≤ b, x > b.

4’ œ
— È ’ U [0, 1] ß Ÿ¯®° v®w U [a, b] Ì â ã á 䮉 ¡ § U [a, b] Ì v®w®t Å F (x) ´
ß å
æ
ç
èy’óò ‚Êè é ’ x Ó
ê
ë [a, b] Ì
ì
í ,
ð
a î÷
ø b ï
- Ì ,
»
ð¼ á
ä ’ œÓ
€ (3.6.2) ¦
Ì F (x) ñ Â
æ
Ì „ É
Ê
ô
õ
ö
Ó
ê
ë
Ì  ö ß
à
ù

úóûýüóþýÿ
 107    à       Ù  Ù Ú   à Ì Å !" Ó

# $ Å í % & 5 ' ( 6 ' <)  * :+ :, :- = . / 0 >: ?à @Ì A   é ξ 1 2 3 /:UD (−5 × 10 , 5 × 10 ). 46587:9:; Ù # :BAC Y S a EFGHI AJKL  F A   R  S T ö MN COPQ  4UVOPW CX O:Z  [CO
ë ξ 23
ê
ë (0, a) \] U (0, a). ^_ ê
ë (0, 1) \]   U (0, 1) 4`ab  ]cdef @ '  ô h õ gi j kl ù §3.4

−5

−5

m nop  q:r ::s:t e:f:]:`:a  ? H   4 `:ab 
u:v:w e:f] @ '
ùHô:õx Wybz]{|}
~ ù  a €UV~ J σ > 0, ‚ §3.4.2

p(x) = √

  1 (x − a)2 exp − , 2σ 2 2πσ

s:H† {|}:~
ùA‡ k : ô : õ : f : W … ƒ < „ z ò Y ‹ ƒh„ R p(x)dx = 1. € Y ô
õŒ  _

∞ −∞

p(x)

R∞

x ∈ R.

ˆ:‰  4

R

(3.4.3)

\

Riemann

S:Š:

p(x)dx .  s     p(x) ]Ž}~
ö } ~ ô
õ‘ J’“ I . ‡”  I=

−∞

2

    Z ∞ Z ∞ 1 (x − a)2 (y − a)2 I = exp − dx · exp − dy 2πσ 2 −∞ 2σ 2 2σ 2 −∞  2   2 Z ∞Z ∞ Z 2π Z ∞ 1 u + v2 1 r = exp − dudv = dθ exp − rdr = 1, 2π −∞ −∞ 2 2π 0 2 0 2

4\• 
 ô
õž x–M—˜
 è™ u = ,svH=† , š– v —˜
è™
ù›œ I > 0, Z I = 1. (3.4.3) • ] p(x) Ÿ {|}~
ù  ¡ 3.4.2 ¢:£:¤:¥:¦ : ž (3.4.3) •  ] p(x) –:€:{:|:}:~ ¨§:©:ª : € ž a î σ €«~] qr   Œ– N (a, σ ). qr = © € Gauss  ù q:r : ]:Œ:¬ N (a, σ ) V:€ Normal Distribution.  _ q:r : v €:7 : ž c­ @® qr N (a, σ ) ]  }~¯{|}~ ­Œ– Φ (x) ¯ φ (x). qr  
 a = 0, σ = 1 ]°± u c­ef] V² ³ õ ® ? © € ˜ 4 ´ qr µ ­  Φ(x) ¯ φ(x) Q¶˜ ´ qr N (0, 1) ]  }~¯{|}~
ù ·¸¹º (3.4.3) •  ]{|}~ φ (x) ]»± (» 3.4), Sž¼½³ õ ¾ MN wh
¿ † «~ a ¯ σ ]V²À _ x = a  © Z  1 φ (x) Á y−a σ

x−a σ

2

2

2

2

a,σ

a,σ

2

◦

a,σ

φa,σ (a − x) = φa,σ (a + x),

x ∈ R.

a,σ

ÃhÄ
Å

108

Æ
ÇhÈ
É

@  ˜ ´  q r N (0, 1) ]{|}~ c­  φ(x) = e , x∈R _  ©   ³  Ë ® © Á x=0 Z €Ê}~
ù  a €'Ì«~
ù  t  Ï Ð # µÑ σ ] ÐÒ $  φ (x) ]Ó Ò 2 φ (x) 4 x = a ÍÎ . ÔÕÖ× ? σ ] ÐÒÏ  φ (x) ]Ó ÒØÙÚ ³:Ë ”:Û  ¢:£ ξ s 2:3 q:r : N (a, σ ) ]:Ü:Ý:Þ:ß à-:. Â:U:á x < a <  x ,1 R P (x < ξ < x ) = ÒÏ  × ? σ ] ÐÒÏ  â Y σ ] ÐÒ $ -. `a P (x < ξ < x ) φ] Ð (u)du, 1 -. `a P (x < ξ < x ) ] Ð 1 Ò $ Ú â Y σ ] Ð×ã M ξ 4 x = a äåæ Ð ] ç 
è | Ú · 7 ® σ © € qr N (a, σ ) ]±é«~ Ú qr N (a, σ ) ]  }~€ √1 2π

◦

2

− x2

√1 2πσ

a,σ

a,σ

a,σ

2

1

2

1

x2 x1

2

1

1

a,σ

2

2

2

2

φa,σ (x) = √

1 2πσ

w Ðê ‡ Š GÚ Â _ ˜ ´ qr

Z

x −∞

  (u − a)2 exp − du, 2σ 2

N (0, 1) Z x

1 Φ(x) = √ 2π

]  }~ 

u2 exp − 2

ëhì ]Qí Sžîïw Ð (kð %]äQ −∞

Φ(−x) = 1 − Φ(x),

 ).

Φa,σ (x) = Φ(

x−a ), σ

ñ 

(3.4.4)

x ∈ R, φ(x)

]Ê}~òó S ”

x > 0,

ž Q
 ô Â x > 0 õ G M Φ(x) ] ÐÚ H ö ] qr N (a, σ ) ]  }~  ·¸ 4 Â _  2

du,

x ∈ R,

(3.4.5)

(3.4.4)

 –Þß÷™ Sk

x ∈ R,

(3.4.6)

Ð Ú â Y ñ  ˜ ´  q r N (0, 1) ] Ð ]Qí Sž ™ø G Φ (x) ]  4:˜ ´ Ú
q:r N (0, 1) ] ::Ð  ]:_ Q:í  õ # Φ(6) €:ûù  úµ:Ñ   Φ(4) ž:Ú
û õ …ü<ý: þ: ÿr :  \ Φ(6) g
:†

P (|η| < 3) = Φ(3) − Φ(−3) = 2Φ(3) − 1 = 0.9974 , Ð Ï M Ú µ:Ñ Uá q:r Þ:ß : ]:òó  ³:Ë † òó © : ` a g <  i q r ] 3σ  . €   ¡ 3.4.3 3σ À ¢£ÜÝÞß ξ 23 qr N (a, σ ), § 2

P (|ξ − a| < 3σ) = 0.9974.

(3.4.7)



§3.4

\  ñ  Á•

(3.4.6),

109

ê! ”

P (|ξ − a| < 3σ) = P (a − 3σ < ξ < a + 3σ)

= Φa,σ (a + 3σ) − Φa,σ (a − 3σ) = Φ(3) − Φ(−3) = 0.9974 .

 H qr

Ú ³ Ë gi ” Û  & › £ × ã M q r Ü Ý Þ ß ] H †#" #q $#A%  ' ] ò ó ž qr ÜÝÞß ξ 4Uá() N (a, σ ) ]{|}~ φ (x) ÍÍ€  æ Ð ]`a € q ~ +* s \,›£-. ³Ë ξ ž Ï _ 0.9974 ]`aæ()  Ð  3  J /žª ()W01 ξ ]æ Ð23  w45 $ _ 0.003, (a − 3σ, a + 3σ) ] ³Ë® 6 01 © € “3σ Ž § ”. åW  3σ Ž §789@   #:; ]óß<= \ © € 6σ <=Ž § (4 a ]>?@A † σ). Y B i    ES ”À ¸ CD  ] 1ø + r  N (a, σ ), § ¢£ÜÝÞß ξ 23 q 2

a,σ

2

P (|ξ − a| < σ) = Φ(1) − Φ(−1) = 0.6827 ,

P (|ξ − a| < 2σ) = Φ(2) − Φ(−2) = 0.9545 .  _  ³ Ë Á• Í=GHI u ef« ’J ÐÚ ³Ë WK H† qr ]  I Ú  MN   L # O ÝP ¿QRS ‹ O) ÜT ·U#V é#W  ÞX  3.4.1 /ž  E  ( H QRS ‹  r  N (50, 100); (YQRS ‹ 1ø O ) ξ 23 q  (2) 4 qr N (60, 16). ¢£  E[\ # O )   ξ 23 f ZÀ (1) 4 70 P Ý E [\ # ÝP + Ú ] HÀ+@   ^_`QRSba 65 c ³Ë À ñ  (3.4.6) •   ­ G 1ø¢ û `aÀ

F

1

2

P (ξ1 ≤ 70) = Φ( 70−50 10 ) = Φ(2) = 0.9772;

P (ξ2 ≤ 70) = Φ( 70−60 4 ) = Φ(2.5) = 0.9938;

P (ξ1 ≤ 65) = Φ( 65−50 10 ) = Φ(1.5) = 0.9332;

P (ξ2 ≤ 70) = Φ( 65−60 4 ) = Φ(1.25) = 0.8944.

E [\ # ÝP  §d^_(YQRS Ö J ¢£fZ ·¸
ü  ý ”E [À \ ¢# £fZ4 §70^ _( H QRS Ú ÝP 4 65 efop   =sH6h 

§3.4.3

g

~

f]¤¥¦



Ú ¢£ 

p(x) = λ e−λx ,

§ ê!i ƒ p(x) sH† `a{|}~ Ú  ¡ 3.4.4 ž (3.4.8) •kj<] p(x) €:{:|:] l+m Œ€ exp{λ}.

λ > 0,

µ ‚

x > 0.



(3.4.8)

F (x)

© €:«:~:€

λ

]

g

~



110

ÃhÄ
Å

ê! ø G

exp{λ}



]

Æ
ÇhÈ
É

}~€

F (x) =

(

0, 1−e

−λx

x ≤ 0,

, 0<x<∞.

T æ ˆ ‰ ~ Ð Ú ˆ ‰ Ð Ü Ý Þ ß 4#p ξ 2 3 g ~ # ] Ü Ý Þ ß G#w Ú+g ~ # Ü Ý Þ ß 1 s w j] H#6 i 7#x Á ] ` #H#Ivji 7 a Ú  j|}[ l g ~ÜÝ:Þß~~ 7 y WQ:¶€ y y C : ] : Ü : Ý : Þ ß ¦ 4 z  ` : a { ] ž …†‡ˆ ¦j
]2‰O) Ú 4Š‹ŒŒ Ð HIO l g ~:ÜÝÞß ‚ l  ƒ„ ] sH6ê  S Ž   ]  u Ú s “ H ]#‘ Œ#’ ] H 6 “‘ # µ Ñ # # # C#D l g # = s # p# á ~ Œ ’ ”, ¤¥¦ l  Y³Ë u   ” 3.4.1 / ξ €æˆ‰~ Ð ]ÜÝÞß l § ξ 23 g ~ l+• Ñô •  n o#l # q#r#s#t#u

†–

P (ξ > s + t | ξ > s) = P (ξ > t),

(3.4.9)

³Ë "  – —I˜™šb›œ
ƒh„ Ú Ú •  ξ N# €vž€ #‚ ]#ƒ#„ O l ª © € g ~ # # (3.4.9) • 1 ] ‘ Œ#’ ò s l 4ƒ„ Ï _ s ] Q ‚ û l  y j _ y •y:]Ÿ²: 1 š x O  ) t ]:`:ap:3 x Ox Ï ê ¢ •#£ g _   Ú â Y s#¡ # ž # 7 © £ #) O t ] ` a “ ”, ¤ ~ #¥ Œ M € Ú µÑ 3  H ­ \ ¬ l ñ y g ~  P ¦ J ¬w ‘ £© l«ª  “§¨ ”] Œ ’ ] ® ‚ ]ƒ„ uH–  ] ¯°ò Ú 4z y `aj l+% Ë —±² y Œ¬ µ® ~  _

© €  \1ø” F (x)

€

”

=]ƒh„

ê!

∀ s > 0, t > 0.

l

F (x) = 1 − F (x) = P (ξ ≥ x),

}~ Â _ g ~

“³´

l

”,

V€



x > 0.

4 ê $ _ x ? %µ¥9´]`a Ú …w exp{λ} 23 ª  ]ÜÝÞß ξ, w

(3.4.10)

ξ

}

“³´

ž ê y (  F (x) – ²j
] ê ¬ (ξ ≥ x) s¶· í    l ~  €  ¤ ¥ ¤ ¸¹ l Sžº ¸ (ξ > x). L / '¾ L ]2‰O) (ž  E 1ø ) 23«~€ λ = 1 3.4.2 ›¼ » æ ½ Ý 3 ] lg * ~ s # Ú (1)H¾¢ Ú+£#] ¿#p#À H#^#Á Ž ¾ #L Í # #  E O#à ΠH#l ÄƐÅ#Í Ç ] æ#½ Ý#È#É# Ê E 2 ‰ ËÌ 1 ø#¿  3 ]`a l YB O)Î % 3 à  6 l Ö ? )]`¿ L l uHÁ a ‚ (2) ¢£Ú ¿ à ÎO g ¾ Îæ½ š‘­ Î [ š Y Z\, ]`a g

F (x) = P (ξ ≥ x) = e−λx ,

x > 0.



€

§3.4

c

À ž

λ=

1 3

]

g

η

~

Q  ¶#¿#ÚÈ#Ï H#Á

Î HI (1) j  O)Ò s È HÁ ¾

l

L

¿

¾

L

É#Ê#Ð#‰#¤

L  ÂOÃÎ ÅÇ ¾ Y l+ª ÉÊЉ]O) ¤Z Á

‹ f ] O#)

 I V ”

111

l

]æ‚ ½Ý l ¤ ž  Ì Hs Á ]`aÒ ­ ¾

η

Ð#Ñ « ~

L ] Í

p1 = P (η > 3) = e−1 = 0.368; p2 = P (3 < η < 6) = F (3) − F (6) = e−1 − e−2 = 0.233.

L ] Í O) s È HÁ ¾ L µ¥ÉÊЉ]O) l  l HÁ Î HI (2) j Ì  ¾ g l R ~  ]#‘: Œ’:ò:” l ê bÈ HÁ ¾ L gÓÉÊ #j Ô  O ) ]Љ µ¥ÉÊЉ ž Y ‚ l ] # O ) ]

#p#Ñ# #Õ#Ö#É#Ê#Ð#‰ ] O#) ]  ¤ ¤#Z ] ` a  × o _ Y ÐÚ ­ \, ØÙ 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Ú Ú

ξ ÛÝÜÝÞÝßÝàÝá

(x3 , x4 ), (x4 , ∞)

0

(1) 7.

ξ ãÝäÝåÝæÝçÝèÝÛÝéÝêÝë (1) (6, 9); (2) (7, 12); (3) (13, 15).

N (60, 9), âìÜìí x1 , x2 , x3 , x4 î ξ ãìä (−∞, x1 ), (x1 , x2 ), (x2 , x3 ), ï Ûìéìêìð+ñòá 7 : 24 : 38 : 24 : 7. ì óòôìõìöìí M , ÷ìø AM ùìúìûìüþýìÿ BC 
 N , ìëþí N Ûìä ä 4ABC BC ì Û  ìÜ  Þ   ξ   õ  (0, 1) ï  Û   ü   ô  0 < x < y < 1, ξ, ã ä  (x, y) óòÛìéì ê ìý y − x !"ìë ξ #$ U (0, 1) (%  (0, 1) ì Û ìÜìÞ ).   ô  ä (0, a) õ & í (& í  Û '()*+,#$ U (0, a)). -  â &  í  Û ./ Û Ü Þìßì à  ξ

ÛìÜìÞìßìàìá

N (10, 4), â

3.4

â

ξ ∼ N (3, 22 ).

P (2 < ξ ≤ 5), P (−4 < ξ ≤ 10), P (|ξ| > 2), P (ξ > 3);

(2) 1ì 2 à c, î P (ξ > c) = P (ξ ≤ c). 0 ξ  # $34ìÜìÞ N (110, 12 ), 156ìÛ7ìà 2

P (ξ > x) ≤ 0.05.

x,

î

8:9:;:<:=ÝÛ?>@:AÝÛ:B:C ξ(D:6E:F ) #:$:3:4ÝÜÝÞ N (160, σ ), á:G:H:I:JÝâ P (120 < ξ ≤ 200) ≥ 0.80, -ì K ü σ Û5LMNOPQSR 9. 0 ξ #$ N (0, 1), η = ξ T −ξ, U |ξ| ≤ 1 T |ξ| > 1 V â η ÛìÜìÞ 10. ì  öì W ÛXYE (Zì ' ë6E ) #$D λ = á[ìàìÛ\ìàìÜìÞ]- â ë (1) XY E ^_ 2 6ì E Ûìéìê` (2) ÚbadcYe 4 f6ìE ü âghJiQ 5 f6EjkYlìÛìé ê 11. 0 ξ #$ì [ àìá λ > 0 Ûì \ àìÜìÞìü â η = [ξ] ÛìÜìÞ (ìm ï [x] no x Ûìp àìq Ü ). 12. rs ξ #$ì \ àìÜìÞìÛt ÜuJvwOxOyz{ì| Û ü]% 8.

2

1 2

P {ξ > s + t|ξ > s} = P {ξ > t},

∀ s, t > 0.

}~€

112

§3.5

Poisson

‚ƒ„…

†ˆ‡

‰ Š ‹ Poisson Œ‹‹Ž‹‹‹‘’“‹”‹•‹–‹—‹“‹˜‹™‹š‹Œ‹‹›œ‹‹‘‹ž‹Ÿ‹œ‹ ‹¡’¢‹£ ¤¦¥ “¦§¦¨¦©dª¦ž¦«¦¬¦­¦®¦“¦¯¦•‹Œ¦‹°‹±¦“‹Ž¦›³²¦Ž‹”¦•‹´¦µ‹¦‘‹¶¦·‹¶¦¸‹“‹Œ ¦©¹¦º¦—¦»¦¼¦½¦¾¦¿¦«‹­¦®‹À‹•‹Œ¦‹“‹Á¦Â‹Ã‹Ä¦›ŋƋ‘¦²‹“‹Ç¦È‹Ÿ‹”¦É‹§‹¨¦© ¼‹Ê‹«‹Ë‹Ì‹Í‹Î‹Œ‹ B(n, p) “‹­‹®’›b¹‹º‹Ï‹Ð‹Ñ‹Ò‹Œ‹‹Ó‹Ô‹Õ b(k; n, p) = C p q , k = 0, 1, · · · , n . Ö Ì×ÒؒÚÙ×£×Û×Ü×Ý×Þ×ßכb¬×à×á n ª k ¢×â×ã×äכbå b(k; n, p) “×æ×ç×è׌װ é ©ê¦ë¦“ Poisson 증¦í¦î¦Ï¦”¦•¦œ¦”¦ì‹“¦ï‹ð‹ë¦ñ‹ò‹æ¦ç‹Í‹Î¦Œ‹‹¦‹“‹ó é ¿‹ô‹Õ ‰‹Š 3.5.1 (Poisson ‰×Š ) õףה×ö×Í×Î׌׍ B(n, p ), Òؒړ×÷×Ý×ø×ù×ï ð Poisson

§3.5.1

k n

k n−k

n

lim npn = λ > 0 ,

ú å‹û‹ü‹ý‹þ‹ÿ‹Ý

k

(3.5.1)

n→∞

¢‹£

lim b(k; n, pn ) = lim Cnk pn k (1 − pn )n−k = e−λ


Õ‹›b勾ì‹“‹ý‹þ‹ÿ‹Ý n→∞

œ‹ï‹ð

n→∞

(3.5.1)

‹ë‹›båì‹“‹
ý‹þ‹ÿ‹
Ý

lim (npn )k = λ .

n→∞

1 n

1−

2 n

k,

‹£


··· 1−

 ‹Ô‹‘‹›

n→∞ k

k−1 n

(1 − pn )−k = 1

lim (1 − pn )n = e−λ .

 ¬‹›b£

n→∞

lim (1 − nλ )n = e−λ .

n→∞

 ‹— n

(3.5.3)

(3.5.3),

lim (1 − pn ) = lim (1 −

‹—

λ n n) .

¦£ |1−p | < 1, ¦á n ¦Œ¦ã¦ä¦›¦£ |1− | < 1. ¹¦ºé ¦› å £‹° |a − b | ≤ n|a − b| ! "‹›‹Ü‹ï‹ð (3.5.1), ‹á n→∞

n→∞ λ n

n

n

¬‹à

(3.5.2)

n! b(k; n, pn ) = pn k (1 − pn )n−k k! (n − k)!      1 2 k−1 1 = 1− 1− ··· 1− (1 − pn )−k (npn )k (1 − pn )n . k! n n n lim 1 −

Ÿ

£

k,

λk . k!

$ å‹÷‹Ý (3.5.3)

n

|a| ≤ 1, |b| ≤ 1,

n→∞

䋛b£

(1 − pn )n − (1 − λ )n ≤ n|pn − λ | = |npn − λ| → 0 . n n

!"‹›b식#‹© λ > 0, ¹‹º%

p(k; λ) = e−λ

λk , k!

k = 0, 1, 2, · · · ,

(3.5.4)

§3.5 Poisson

ú (‹£

&'

113

p(k; λ) > 0 ,

∞ P

p(k; λ) = e−λ

∞ P

λk k!

= e−λ · eλ = 1 .

λ); k = 0, 1, 2, · · ·} *¦à+¦Ô¦”¦¾¦˜¦™¦š¦Œ‹¦“‹Œ‹¦Ó‹›¹‹º ,¬¦à¦À‹›¾‹)¦Œ‹Ý¦ݦ-‹ö ԋ÷‹{p(k; Ý‹Ô λ “ Poisson Œ‹‹© p(k; λ) “.*‹à‹£ $ !‹“/01‹© Ö Poisson 식*‹›bá n 2‹ã‹› p 23‹ä‹›*‹à‹ñ‹ò4!"‹Ë5 k=0

k=0

b(k; n, pn ) ≈

(np)k −np e . k!

(3.5.5)

‹› n 6‹ã ú7Ö 8 63‹©‹Ô‹Ï9‹§‹ï×ð (3.5.1), ¹‹º‹—: p 23‹›bà; np “¦ã39<¦©=)¦Ž Ì (3.5.5) ¦›=>?@¦º*¦àA¦¨ Poisson Œ¦¦»¦æ¦ç¦ª¦Í¦Î¦Œ ‹£‹Ë‹“B‹ C © ¤‹¥ “‹§‹¨‹›bê×Õ 110 FGH 24 3‹äIKJ‹Ñ‹“FGL Poisson Œ‹‹£DE‹Ô ݋›]”‹ì‹äMIK‹ N ‹“OPQR‹L ÝSTU‹L ݋›]‹V ž‹“WX‹ÝZY]›\[]¦Ç^‹È ] ¸‹“_‹` ÝZ]Y ›a‹ › ¢‹* à‹¨ Poisson Œ‹‹+ ԋҋ‹‹b š‹© ¹‹º‹c œ‹d « e[‹ K‹ f ê “FG‹L Ý ”,“ OPQR‹L Ý ”,“ TU‹L Ý ” ‹ “‹¤‹Œ‹¥‹9 ¨‹Ì Poisson Œ ‹“g‹ ©ah‹i žj £‹ã‹k “‹l æ‹Ým n Poisson Œ‹‹“ ‹9 ¨‹Ç‹›a‹o ê‹Õ å Ì “[]_‹ ` ÝZY ”, ‹ £p‹q “ Rutherford  r‹s “‹l æ‹Ý‹t Ô‹ Õ k

νk

np (k, 3.87)

0

57

54.399

1

203

210.523

2

383

407.361

3

525

525.496

4

532

508.418

5

408

393.515

6

273

253.817

7

139

140.325

8

45

67.882

9

27

29.189

u æ

16

17.016

2608

2608.001

≥ 10

ñ vw^ wxwy Rutherford w@wA ¨wzw{  wrwsw|w}w~ ¬wNw] ¸ “ α _w` Ý w Y]©‹º‹à  7.5 €‹Ô‹”‹¾‹äM‹›‚|}‹Ï n = 2608 ¾‹äM‹›%ƒ‹ë‹Ï‹¾ äM’ ¬ |}‹Ñ‹“ α _`‹“‹ÝZY]©bœ‹À 2608 ¾‹äM’›‹º‚|}‹Ñ 10097 ¾ α _`‹K ¾ α _`‹K © JD‹K › ‹º‹ å l‹æ‹Ñ‹“‹ Ý m+‹ê‹ë † ‹Õb”‹¿‹› «‹„› …c‹‹ä ¾‹Mä M‡‹‹¬ Ô |ˆ3.87 }‹Ñד α _`‹“‹Z Ý Y] Œ ‰‹ › c α _`‹“‹Z Ý Y]Ô k “‹ ä M‹“‹¾‹ Ý %+ ν . Š‹”‹¿‹«‹ › ‹º‹à 3.87 +‹Ô Poisson Œ‹’“‹÷‹Ý λ, O k

}~€

114

‚ƒ„…

‹Œ ‹ ì ”‹¾‹äM’¬|}‹Ñ‹“ α _`‹“‹ÝZY ξ ‹¼‹÷‹Ý‹Ô λ “ Poisson Œ‹‹› ¼ P (ξ = k) = p (k, 3.87), ÅŽ‹”‹ç‹¸ np (k, 3.87) .‹›bö/‹å‹ê‹ž‹©bž/ ’“‘‹ö-‹Ô‹‹‘.‹›’*‹à“‹¸‹²‹º‹ª‹ ”|}. ν • Ü?–‹á—‹©ÚÀ/ + Ô[]_‹` ݋“‹Œ‹‹Ž‹Ü‹9 “‹© à Poisson Œ‹‹ ¹‹º‹»‹ “ ”‹¾‹ªo 3.2.1 £‹Ë‹“B‹C © ˜ 3.5.1 ¯H™š›œ"‹ž ›Hˆ™ˆš›ˆ™ˆ‹š ”×¾ˆŸÚ  “ˆ× ¡ ´¢ˆ× £ ©×  ¾ Ÿ  œ‹  ”‹ä¤‹ —‹–X™‹š “‹‹‹¢‹Ž p = 0.01. ꥙ š ’K‹¦ õ‹£™š› 200 H ›?Ô> “£Ÿ  °§‹¨ 䋠‹© –X™š ” “‹‹‹°‹ã‹Ì 0.02, ªB«‹¬ §‹á­® ¯‹ ¬q™š@°“±Z² ³ Õà η /ˆnױה×䈤ˆחזˆXˆ™ˆš×“ˆ™ˆšˆ›ˆH×Ýכb¹×ºˆ η ×¼×Í×Î׌׍ B(200, 0.01), ‹ – §‹“BC‹ Ž‹—‹: ¸>‹? ë!‹" “´3‹) ÿ‹Ý r: k

P (η > r) =

200 P

b(k; 200, 0.01) ≤ 0.02 .

ˆ×҈.ˆ2ˆµˆ:׸שb¹×ºˆ¶ˆO×Ñ×Àw·×£ np = 200 × 0.01 = 2, ¸ˆ.×° × ã ›bÌ׎ˆ‡ (3.5.5) ‹›a‹ * à‹ñ‹ò‹¹ Ô η ‹ ¼‹÷‹Ý‹Ô 2 “ Poisson Œ‹‹©aº0/‹› á r = 5 ä »K‹ º £ P k=r+1

P (η > 5) =

∞

p(k; 2) ≈ 0.0166 < 0.02.

¬ গ­® 5 q@°“±¦›¼¦ù¦à>? “£Ÿ½  °§¨¦ä¦ ©¦–X™š ¦ 3‹Ì 0.02. ꥾J‡‹Í‹Î‹Œ‹ B(200, 0.01) æ‹ç‹› ú £ k=6

 ‹‘‹Ž §3.5.2

P (η > 5) = 1 −

5 P

“¦¦

b(k; 200, 0.01) ≈ 0.0160 ,

q@°“±‹© Poisson ¿ÀÁ‹ à ›ÄÅÆ 5

k=0

”

¹ ºNj»‹Æ‹‘ Poisson Œ‹‹“‹Œ‹‹Ó ‹ Œ‹‹“ˋô‰‹ò‹›|}ÌK.

p(k; λ)

ê‹üÈ

p(k; λ) λk (k − 1)! e−λ λ = = , k−1 −λ p(k − 1; λ) λ k! e k

k

“ÉÊÉʋ©Úª‹Í‹Î

k≥1.

(3.5.6)

Ö 

"‹› á k < λ 䋛 p(k; λ) “.È k “͋ã͋ã†Î Ð á k > λ 䋛 p(k; λ) “ ú . È k “ͦãÏ3¦©¼† Ð ¦› p(k; λ) “.¦œ k = [λ] Ñ´¦ã¦›¼R¦á λ Ô¦ÿ ݋䋛bœ k = λ Ÿ λ − 1 ыÒ´‹ã.‹©b²‹º-‹Ô Poisson Œ‹‹“´‹ã*§.‹© .ˆ?ˆÑ׸ד׎כ (3.5.6) ˆ׎ Poisson Œ××ˆ “ Ò×£×Ç×ÈשbÀˆˆ׎ e ›bꈥ ”׈ ¾ Ó×£×÷×Ý λ > 0 ˆ “ *׈ à Ô׬ף×ý×þ×ÿ׈ Ý .דטיך׌׍× › ח×Ò×ø×ù (3.5.6) $‹›œ‹ÖÕ»‹×Ƌ¸‹‘ ˜‹Š‹™‹”‹š‹¾ Œ‹B C‹‹© ”‹ì‹Ž Poisson Œ‹‹Ö© ¸Øً“ K+‹Ô ÚÛÜKÝÞߋ©

&' 115 ˜ 3.5.2 Œ õ‹—%ƒ‹”à[]‹Ç^‹È‹”‹äˆMIÚ¬[ˆ]‹¸×“_ˆ`‹ÝáY]©â»’ ²‹œãä‹äMIK[‹ ] ¸‹“_‹ ` ÝZY ν ‹  ¼‹÷‹Ý‹Ô λ > 0 “ Poisson Œ‹‹©æ‹ å Ž Ö Ì ç ›g‹ ›]ŋý‹ ”_[‹] ¸‹“_‹` ¢*è%‹ƒ 닻‹› $ ‹ ›\__`*è%‹ƒ ë é ¯_`§êè%‹ƒ 닻‹“‹Q ðˆ–눜× " ©ª:ˆã »‹“‹‹‹¢‹Ž p, 0 < p < 1, Å‹ ä äMIKè%‹ƒ 닻‹“_‹` ÝZY ξ “‹Œ‹‹© ‹ ³ Õ\ ‹›bå‹”_[]‹¸‹“_`‹¢*‹à‹¨‹”‹¾‹÷‹Ý‹Ô p “ Bernoulli ÈìÉ k »/‹ ‹ n ²‹Žêè%‹ƒ 닻‹ÕêÖ ¥è%‹ƒ 닻‹›Öí¸ Bernoulli É‹k “‹. Ô 1;  îè%‹ ƒ 닻‹›‹í Ò‹Ô 0. ̋¯_`§êè%‹ƒ 닻‹“‹Q ð–뜋" ›b¬‹à ²¦º¦Ž i.i.d. “ Bernoulli Èìɦ k © ¼¦ áã¦ä äM½Ia[¦] ¸¦“_¦` ÝïYK»a¦$ 䋛 e obê Ô n 䋛èˆ%ƒ‹ë‹»‹“_`‹ÝZYðñˆ×¼×͋Î׌‹ B(n, p). 勎 œ‹› ã¦ä äM½Ia[¦] ¸¦“_‹` ÝïY\‹ Ž¦”‹¾ÈìÉk ν. Õ¦× e ¹¦º¦§ œ ν .¦Ý ì “‹ï‹ð‹ëòóè%‹ ƒ 닻‹“_‹` ÝZY ξ “‹Œ‹‹› À‹ Ž › á ν = n 䋛 ξ ‹ ¼‹Í

¹‹ºô+ ΋Œ‹ B(n, p). å‹ §3.5 Poisson

P (ξ = k | ν = n) = b(k; n, p) = Cnk pk (1 − p)n−k ,

k = 0, 1, · · · , n.

(3.5.7)

œ À·‹› (ν = n) Ž‹”‹¾ÈìQ‹ð‹© Ö Ì ν ‹¼ Poisson Œ‹‹›¬‹à ν *§‹Ô‹û‹ü ‹ ý‹þ‹ÿ‹Ý‹©bÀõ‹”‹»‹›bê¥% q = 1 − p, ¹‹º*‹àA‹¨ö‹‹÷‹›?‹Ñ P (ξ = k) =

∞ X

n=0

P (ν = n)P (ξ = k | ν = n) =

∞ X nλ −λ e b(k; n, p) n! n=0

∞ X (λq)n−k 1 1 · · (λp)k = (λp)k e−λp , = e−λ (n − k)! k! k! n=0

k = 0, 1, 2, · · · .

À׎ה׾ˆ2×£ˆøד $ˆù ›b²ˆ/úڜ×å Poisson Ɉk (‹ ×¼ Poisson Œ××“ˆÈˆìˆÉ k )ν +‹Ï Èìûü dý‹¼ Poisson Œ‹‹© À‹¾‹Ç‹È-‹Ô Poisson Œ‹‹œÈì ûü ‹ë‹“‹° ɋNj© ¼‹À‹ ¾ o`‹¹‹ º þ*‹ à ÿ‹¸‹”‹¾ “Èì‹
ù ‹Ÿ ” “‹
‹»‹©:ʋ«»Kº
‹Ñ‹›æ* àרה׈ ö œˆ"ױ׌׍ד×à p Ô×÷×Ýד Bernoulli ȈìˆÉˆk η , η , · · · /ˆnׯ׈ ¾ _ˆ` Žêè%ƒ‹ë‹»‹© ¼ ‹ å ‹Z ¾ ð\‹Ý n, S = η + η + · · · + η ‹Ž‹Ê n  ¾ []‹¸ $ “_`K ’ è%ƒ‹ë‹»‹ “ _`‹Z Ý Y]›¹‹ º  S ‹¼‹Í‹Î‹Œ‹ B(n, p). œ‹¹‹º‹— ò󋓋 Ž ãä‹ ä MIKè%ƒ‹ë‹»‹ “ _`‹Z Ý Y ξ. ãä‹ ä MIK[]‹¸‹ “ _`‹Z Ý Y]Ô ν ¾‹›b ¼ ‹ÒK ’ è%ƒ‹ë‹»‹ “ _`‹Z Ý Y\‹§‹á‹Ô 1

n

1

2

2

n

n

‹ £

̋œ/ Ð

(3.5.8)


‹Ž‹† ”‹¾ÈìÉk‹›Ú¬‹à S Ž È싾ÈìÉk‹“‹Ÿ‹› Ö (3.5.8) ’› ν ̋ù
‹“ä
‹  › ¬‹àc S ‹- Ô ÄÅ

Æ , ó-‹ÔÈ

ξ = Sν .

Ö Ì

Sν = η 1 + η 2 + · · · + η ν .

ν

ν

ν

}~€

116

‚ƒ„…

싟‹© Ö ž‹«‹“‹Æ‹‘‹›Úê¥ ‹ä ν‹ ‹¯ ¼‹÷‹Ý‹Ô λ “ Poisson Œ‹‹› ú S ‹$¼ Poisson Œ‹‹› ‹  °‹µ‹÷‹Ý‹É Ô λp, ϋ”‹¾ ” 
 ` ”p. 
 ` p “‹¸ Ž2Zð\‹  “‹›‹ Ô‹ ¾_`§
è%ƒ‹ë‹»‹“‹‹‹Ô p. Èì‹ù
‹Ÿ‹œ
 ¯

 £ ¤‹¥ “‹§‹¨‹©o‹ê‹›bꈥ η , η , · · · /n‹¯


‹“ ÝïY ›= ν Ž¦” ’ž¦ J Ѧ“
‹ ݦ›Õ× (3.5.8) ’ “ S ¦Ž¸ž¦” ’K‹ J ы“

‹ ÝZY\?Î ê¥ η ú, η , · · · /n

÷


‹ “‹¯


‹ ÝZ]Y ›  ν Ž‹” ¾Ø  ’Ú¬×  “×  Ýכ (3.5.8) ؒړ S ×  Žˆ¸ˆ÷×  ”×¾Ø  ’Ú¬ “

‹  ÝZY\΋ ©b°‹µ‹§‹á¶‹O “‹Ž×›bÀ× · “ȈìɈk
×ö η , η , · · · °‹”‹ì‹Ž Bernoulli Ék
‹ö‹› ν î
!‹  Ž Poisson É‹k › ¬‹à S “‹Œ‹
"È 
‹# © o×êכbú œ×å× $ “× % Á׏אד&' ’Ú› ν ´(ˆ×  ¼× ) ü׌׍כ× – §×“ˆÈˆ× ì ù Ÿ S è‹ - Ô “‹) ü‹Ÿ ”. “‹) ü‹Ÿ ” Ž‹ñ‹»‹§‹¨‹‹‹‘’*&
‹' “‹”‹¾
+XB‹C › ê‹ü
‹ , æ S “‹Œ‹‹ Ž‹Ò’“‹”‹¾‹–‹—
-‹C © §3.5.3 Poisson .
/
0
1 œ 3.5.1  2 ’›b¹‹º‹¸‹Ì‹ñ‹ò‹æ‹ç‹Í‹Î‹Œ‹×‹×“× e —‹›ÿ‹3 Ï Poisson Œ ‹©‹ å Ž‹› Poisson Œ‹‹“‹Á‹Â‹ £‹ÒZð4‹ “ì
‹5 ©bÔ‹Ï  Poisson Œ‹‹“‹Á‹Â ì
‹ 5 ›b¹‹º‹—‹»
‹6 ­‹®‹”‹ë Poisson µ
‹7 © ¹‹º‹  ›8 110 ‹H “F‹G Ž‹”L‹L ы»‹“Έð\T‹U Ž‹”LL‹N ‹“Îñ[] ` Ž‹”‹¾‹¾[‹] ¸‹“Î 9 ‹ ©²‹º‹¢‹* àù “‹! e Ž‹”‹•‹ÌÈ‹ì 䋤 ы»‹“ “ÈX 9Ç_”.‹ œ‹À·‹› “ÈX ” Ÿ “ ” ¢‹Ž‹”‹•
: “ ô‹›Åé “X ” ы»‹“‹äMM
; ¢‹ŽÈìÉ‹ k ©bê‹¥ å t ≥ 0, ¹‹º‹à ξ /‹n œ‹ä¤ t à‹Ê‹Ñ‹»‹“‹È‹X ÝZ]Y ›=< ‹ /‹ n œ‹äM
>M [0, t) ’Ñ‹»‹“‹È‹X ÝZ]Y ›b¹‹ºc
" ›bœ‹”‹ì‹“‹ï‹ð‹ë‹›bå‹û ü t ≥ 0, ÈìÉk ξ ¢‹  ¼ Poisson Œ‹‹›Å‹é ҋ÷‹Ý‹ª t £‹Ë‹©Ö ‹ ›勰‹±‹“ t, ξ Ž‹°‹±‹“ÈìÉ‹ k ›b¼ {ξ , t ≥ 0} Ž‹”
‹? à t ԋ÷‹Ý‹“ÈìÉ‹k ›b¹‹ºÖ ‹ÔÈ‹ ì µ
ù ‹7 © ̋œ‹À‹· › t Ž‹”‹¾‹ä‹M ÷‹Ý‹›¬‹à- {ξ , t ≥ 0} Ô “È‹ì µ
7 ” Ž‹ý
(
: “‹©œ‹‹‹‘’›K
"
@‹Ñ t °‹Ž‹äM‹÷‹Ý‹“
A‹Ü‹›K ‹ä‹›¹‹º
B ¨È‹ ì µ
‹7 “q‹- © ¹‹º‹  » ›Úœ‹”‹ì‹“‹ï‹ð‹ë‹› “È‹ì ÈX 9 ” “‹ÝZY4:! Poisson µ
‹7 © n œ‹äM
>M [0, t) ’Ñ‹»‹“‹È‹X ÝZ]Y ›Ö ê‹Ê‹¬ e ›å t ≥ 0, ÈìÉk ξ /‹

å 0 ≤ t < t , ‹ £ ξ ≤ ξ , Åé ξ − ξ ‹ Ž‹œ‹äM
>M [t , t ) ’Ñ‹»‹“‹È ‹ X ÝZ]Y © ‹ ‰‹Š 3.5.2 Œ õ “Èì‹ÈX 9 ” “‹ÝZY]ø‹ù‹ê‹ë‘‹¾‹ï‹ð‹Õ 1 CDEF × Â Õœ×°ˆ–ˆ× ¡ “×äˆM>ˆØ M ’ÚÑ׻ד×Èˆ× X ÝáYñ–ˆëˆœˆ× " › ‹ å×û×ü 0 ≤ t < t ≤ t < t , ¢‹£ÈìÉk ξ − ξ ª ξ − ξ –ëœ‹ " © ν

1

2

ν

1

2

ν

1

2

ν

ν

ν

t

t

t

t

t

t

1

2

t1

t2

t2

t1

1

◦

1

2

3

4

t2

t1

t4

t3

2

§3.5 Poisson

&'

117

GH Â×Õ ˆ È ìˆÉˆk ξ − ξ IJK ӈת×äˆM>ˆM ˋ›‹ª‹Ò
MX a ‹ N ˋ›b¼*% 2◦

t+a

[a, a + t)

a

IL <

t

£

Pk (t) = P (ξt+a − ξa = k) .

O
P ‹Õœ‹£
Q I äM
>MSRKܣܣ
Q‹¾‹ÈX‹»‹Ñ
T ‹ å‹û‹ü t > 0, ¢‹£ P P P (t) = P (ξ = k) = P (ξ < ∞) = 1 ; Åé
T=U J 3 I äMM
; t RK´ ¯ ‹»‹Ñ
V‹¾‹ÈX
T ‹ £ P P (t) = o(t) , t → 0 ; é
Tb¹‹º®
W
X
Y
N
ZX
[
\ I NO
] I
^ :
T ‹Œ
_ P (t) `
a
b 1. ú
c
d
e ‘
f
g
‹ h ø‹ù
i
T=!

U
(
j λ > 0 >?
k
V
l t > 0 m
n 3◦

∞

∞

k

k=0

t

k=0

∞

k

k=2

0

Pk (t) = e−λt

o
p
q k
rO)
j t s

∆t,

c

Pk (t + ∆t) = k=0

k X

(λt)k , k!

k = 0, 1, 2, · · · .

tKö
u
v÷
w
sœ
xÍk
y Pk−j (t)Pj (∆t) ,

j=0

i
T e wÊ
{

(3.5.9) 1◦ ,

z

k = 0, 1, 2, · · · .

(3.5.10)

P0 (t + ∆t) = P0 (t)P0 (∆t) .

(3.5.11)

P (t) |n
U
iM
>M [0, t) R*N
ZX
[
\ I u
v
T=}
~
€
b t ã

‚Í
ƒ „ t*b…

} †
{
‡
j
ˆ
7 (3.5.11) I n
‰ã

Š
T=!Ó
:
w (‹

Œ
n
€Û
 ): =b, t≥0, Ž R 0 ≤ b ≤ 1. d
 b 
b 1 ‘ P (t) e
—
˜ _ 3 0, ’
!
“
” P (t) 
b 1 ‘ 0, •
– ™
š
› T=œ
 b {
ž
b 1 I
Ÿ j
T=<
 

U
¡
f
(
j λ > 0 ¢
z b = e . b
£ 0

0

t

0

◦

−λ

P0 (t) = e−λt ,

t≥0.

…  
|S¤ (3.5.9) w
k k = 0 ¥
x
ƒ ˜¦ (3.5.9) w¨§k k = m − 1 ¥xT=©ª}«k ¯ T=k
r
° k > 2, n 0≤

± •St

k P

Pk−j (t)Pj (∆t) ≤

e
w z (3.5.10) s j=2

∞ P

(3.5.12)

k=m

Pj (∆t) = o(∆t) ,

j=2

Pm (t + ∆t) = Pm (t)P0 (∆t) + Pm−1 (t)P1 (∆t) + o(∆t) ,

t
§*ª I

(3.5.12)

w ¯

P0 (∆t) = e−λ∆t = 1 − λ∆t + o(∆t) ,

¥xƒ¬t­®y

3◦

∆t → 0 .

∆t → 0 .

∆t → 0 ,

(3.5.13)

²S³*´ µ*¶S·*¸

118

¹
º
»
­ ®
y 3 z P P (∆t) = 1 − P (∆t) − P (∆t) = λ∆t + o(∆t) , ¼ e
—
½ w
¾
¿ (3.5.13), z ◦

1

∞

0

∆t → 0 .

j

j=2

¼

Ž *R T=À
Á k = m − 1 i I (3.5.9) w
¾
¿ Pm (t+∆t)−Pm (t) ∆t

+ λPm (t) = λPm−1 (t) + o(1) ,

∆t → 0 .

 
z + λP (t) = ,
e —
Ë
Ì
ˆ Í
Î
Š
£ ¯ (0) = 0(Æ
Ç
È
É k ≥ 1), Ê ∆t → 0,

Â
à *¤ ~
I Ä
Å g
h P . P (t) = e ÏÐÑÒÓ … _Ô ghÎ
Z
ÕÖ
Î×
j
ØÍ {ξ , t ≥ 0} Ù{ÚÛ{ λ Î Pois¯Þ kr° t > 0 ßàáâ ξ mã ±ä j{ λt Î son Ø̓¬tÜÝys (3.5.9) Ì
å Þ  
n Poisson , k = 0, 1, 2, · · · . P (ξ = k) = e
Ì å „ È
æ
ç
è
é
Š
ê
ë Poisson Î
¥ à
ì
ƒík Poisson Ø
Í
Î
î
ï
ð
ñ
ò
ó
b
ß à
Ø
Í
ô
ÎSõ*ö
ƒ ÷
ø 3.5 1. ù=úüûþýþ
ÿ






 

 4  Poisson 

 (1) 




 8 





 (2) 







 10 


 2.
ù 





 t 
!
"
"
#%$&


'




  Poisson 
 (! "
(
)
!
* ). (1) þ% ù +&,
- 12 !
.
/
- 3 !
021

3


' 
 (2)  ù +&,
- 12 !
.
/
- 5 !
021

.
4


? 5
' 
 % 3. 6þ
ù 7

8
9
:
;
<

=
9> 512 × 10 0 @ 1, A&
B
C
0D9
>
,
E
F
G
HI0DJK 0 H
 1, @
K 1 H
 0, 6
H
I

 10 , 
 10 =
%$&F
G
5 ? HI
 4. þù 63 L
,
0
ù M

N
O (5 ∼ 9 P ) Q
 180 R
/
S
T
02
5 ? NO,/STUVW 4 R



 5.
ù X
 730 Y
Z
[
0\ ? Z
[

[%+&
5L 365 R
,

]
5
R
^
_
`
a

0\
.4
5
R dPm (t) dt

m

λm tm−1 −λt (m−1)! e

m

m

−λt (λt) m!

m

t

t

−λt (λt) k!

t

k

t 2

3

−7


b
 4 Y
Z
[
[%+&


 6. c
d
5
e 500 f

g
h
Q
 500 ?
i 8
0\ ?
i 8
_
`
a
M
F
G

5f
j\k
d
5 f
j
.
4
 3 ?
i 8



 7. lmnopqrs02t ù7uvwlmwxwulwmyz$|{w}w 0.005. G~F 7
l
x 1200 €
02
l
m
n
o
.
‚ƒ 10 €



 8. 6 ξ „ ξ …†‡ˆ 02‰ ξ   λ > 0  Poisson 0 i = 1, 2, Š η = max{ξ , ξ }, η = min{ξ , ξ } 


‹
 9. 6
þ  ù
Œ
!
"
"
#

þ Ž ù


‘
’ ξ



 λ > 0  Poisson 

0“
Ž


 ?  ‘’”•–^ p, ‰— ? ‘’”U”•–^ …†‡ˆ 0˜1wŒ!w"™$|”w•– 
‘
’
η

š
›

%œ 10. Š

02ž
Ÿ
 
¡
¢
£¤¥¦
‹ {p , k = 0, 1, · · · , } §
¨
©
ª , k ≥ 1. « ,
¬
λ > 0, ­
®


^
( λ 


 =Poisson 

 1

2

1

2

i

2

1

1

2

k

pk

pk−1

λ k

¯

§3.6

Poisson

°²±²³²´¶µ²·¹¸²º²»

119

6
Å
u
Æ
¼þÇ ý
½


)
!


=úüû
^
¾ λ = 60  Poisson W
¿
À
Á
Â
Ã
¤
Ä 30 = H
¼
È

 12. É
W
5þý
Ê
Ë%Ì&
Í
Î
Ï
`(
ÐÈ
^5 ? Poisson W
¿
ў
Ÿ 1 
%$&3

Í
Î
É
W

 
^ 0.02,  2 
%$&

 1 Ò
Í
Î
É
W


 11.

§3.6

Ó

Poisson

ÔÖÕÖ×ÖØÖÙÖÚÖÛÖÜÖÝ

Þ ß²à²á ² ÏÐ §ãâåäåæåçåèåéزê²ë
Ì å Þ2ì ä Ï
Ðåí ê²îåê²ë Ìå –

§3.6.1

ï²ð²ñ

Poisson

ØÍÎ

¦ ß
à²ò
Õ
Ö
Î
ײë
Ø
Í {ξ , t ≥ 0} £
Ú
Û²ó λ Î Poisson Ø
Í Þ  ζ ö ï²÷²ò
Õ
² Î ø í²ù²ú Þ Ï
вí²û ô²ü
Î Ì
å²ñ Þ þ t > 0, ÿ
(ζ > t) ô õ ö ï ÷ ò Õ ä ù ú t 
 ø í Þ ý ¯ % ù²ú t ó Þ ø í ² (ξ = 0) ô²õ ø Î ò
² Õ ë˜ ó 0, œ
 — ÷²ÿ ™ Þ ± t

1

t

P (ζ1 > t) = P (ξt = 0) = e−λt ,

 – ä ²ë ó λ βê²ë
Ì å Î “ ²ë ó λ² Î ê²ë
Ì å²ñ §3.6.2

–

ÏÐ Ø
Í Þ  ÷²ò
² !  Õ r ä÷

Γ

t > 0.

Þ
œ  ” 
ï

1

ô²õ ÿ


 æ

(3.6.1)

ζ1

Î Ì
å æ
£ ä ë

à²á


Ø Í  ï²ð Î
ï Ì
å £
œ Γ Ì
å²ñ § â ¯ö Þ%þ òÕÖÎí²× ù²ëú ØÞÍ  {ξ Þ%, þt ≥ 0} æ£ÚÛ ó λ Î Poisson ö r ζ ô²õ r ÷²ò
Õ
βø £ t > 0, ÿ (ζ < t) ô²õ ù²ú t ²  æ²ø í Þ ÿ (ξ ≥ r) ô²õ ø ù²ú t ó Þ ø í ² Î ò
Õ²ë  Þ œ

È ÷²ÿ ™ Þ ±  æ

Poisson

t

r

r

t

Fr (t) = P (ζr < t) = P (ξt ≥ r) = e−λt

∞ X (λt)k

k!

,

t > 0.

(3.6.2)

"# £ t Î $%²ë Þ À$&'(% ñ þ ( %) Þ* pr (t) =

+, ¯
Þ

∞

∞

k=r

k=r

X λk tk−1 X λk+1 tk d Fr (t) = e−λt − e−λt dt (k − 1)! k!

λr = e−λt tr−1 , (r − 1)!

Gamma

k=r

²ë
Î-.
£/

Γ(r) =

R∞ 0

t > 0.

xr−1 e−x dx,

(3.6.3)

²S³*´ µ*¶S·*¸

120

01 Ì þ ï  r > 0 23 ñ45 é Þ%þ Ÿ6 ë n, + 1) = nΓ(n) = · · · = n! , 798: ¯
Þ (3.6.2) <; Î Γ(n  Û²ë ñ À?$
 ¼ @ ó p (t) £
ï²÷=> r

p(x) =

λr r−1 −λx x e , Γ(r)

x>0.

(3.6.4)

A B Ñ (3.6.4) <; Î ä ë r 7 Ÿ6 ëCD²øE
° Ÿ ë Þ 0<; Î p(x) FG
£ ï²÷=>  Û²ë ñ þ 8 Þ Ï
ÐH î IJ 3.6.1 K (3.6.4) L; Î p(x) M ó  Û ëÎNOP Ìå F (x) Ù óK ä ë
Î Γ Ì
å ÞR M Γ(λ, r). λ>0Q r>0ó ST ÆÇ Þ U-. ; Î ä ë λ Q r $²óWVXY ß . Γ(1, r) Î  Û
1 2

1 n 2 2

2

t

r

1

k

r

1

r

t

k

1

Ž‘Öُ’“”•—– ÜÖÝ þ ßàáâxMx˜xáx™ Þ o Ï
Ð ä Ô ô xQ‰xš ; â›xœåø
ÎxžŸ ñ¡  b¢ A £™7\o® í Borel $¤¥¦ t§ £™¥¨ B© FGo²ª ÷«¬£­ ñ ì 䥞Ÿo¦ · í„ © ª¸ `¥¹ «¥¬££™ ­¥ ¯û°º  ¢ ë÷±ž( Ÿ îñ £™¥«¬£­¥¯° ë³²µ´ ç¶ §3.7

»9¼<½9¾¶µ9¿<À½9ÁÂòº²» 121 §3.7.1 ÄÅÆÇÈÉÊ ¶ ·Ë íÌ ²ª ÷ÍÎ ñ Ï 3.7.1 Ð RÑÒÓÑ ªÔLÕ øÖ¥ α ×Îس٠ξ, RÑÒ ¥Ú + vÛ Ø³Ù Ü 10 − 1, Ý 8 ¦ T ξ ≤ 10 − 1 Þ¦ RÑÒ $K vÛ ß ‰ ÓÑà ¥×ÎØÙ ξ; á T ξ > 10 − 1 Þ¦ RÑÒvÛ ¥ØÙ © o 10 − 1. ^K T RÑÒâ ¥ vÛ Ø Ù Ü 10 − 1 Þ¦¶ ·  ã iä¦ ¢ ªÔ<Õ à Ö¥ α ×ÎØÙ åæç 10 − 1, á åiäè‰éØÙ ê ëì Ð η í Û ¥ vÛ ØÙ ¦ t§î r ξ ï p ©ðë ´ñòó §3.7

10

10

10

10

10

10

η=

(

ξ ≤ 1010 − 1,

ξ,

1010 − 1, ξ > 1010 − 1 .

ô Þ¦õ¶ ·ö η ÷ Üø ξ ¥ùú¦õû<ü9ý ø ξ ¥ÿþ
, 


è

£
ê 9ç ô Í 9¥«¬£­


¥¦
¶ ·
 Ð


ùúê
¦
   œ ø
 ¥ «¬£­

ê 
 3.7.1 ξ Ü «¬£­¦ ëì ø
!
" M > 0, # ð P (ξ > M ) > 0, $÷ â
% 

& ëì ø
!
" M > 0, # ð P (ξ < −M ) > 0, $÷ ξ ´ % 
 ê ξ ª
'
(¦ ø ç â ´ %
) 
 ¥«¬£­¦¶ ·ð 
 3.7.2 ξ Ü «¬£­¦ a < b, ëì $÷

    a, η= ξ,    b,

ξ
Ü ξ ¥

«¬£­ê * Ð Û
+
, Ø
- ξ ¥

«¬£­ η

ξ>b,

í Û Ü

η

η = aI(ξ < a) + ξI(a ≤ ξ ≤ b) + bI(ξ > b);

.
/  Ð ø ÷¥

 %
0 ¦  ø
1
2

c > 0,

3

a = −c, b = c,

(3.7.1)

ô Þ ð

η = −cI(ξ < −c) + ξI(−c ≤ ξ ≤ c) + cI(ξ > c)

ëì , Ø

¥¯° , Ø Ü F (x). 6
7¦ ξ

= −cI(ξ < −c) + ξI(|ξ| ≤ c) + cI(ξ > c). Fξ (x),

¶ · Ö Ì
4
5

η

Fη (x) =

      

0, Fξ (x), 1,

(3.7.1)

%
0 
¥«¬£­

x≤a,

a<x≤b, x>b.

(3.7.2) η

¥¯°

122

å
<
Ì = ¦ * Ð Û
+
, Ø
-

Fη (x)

8 9;: »9¼<½9¾

í Û Ü

Fη (x) = Fξ (x)I(x > a) + (1 − Fξ (b))I(x > b),

x∈R.

0 6
>¦ F (x) ? x = a @ x = b A¯
B ð
C
D
E
F + 0) − F (a) = F (a + 0), F (b + 0) − F (b) = 1 − F (b) . ® Ö

G
H
I¯°¦ J § F (x) K
L Ü
M
N I¯°ê ôÝ ¦ ëì F F(a (x) Oø «¬£­ ξ 4 (3.7.2) 0
P ø ÷

Þ¦ 6
7

(3.7.3)

(3.7.3)

η

η

η

ξ

η

ξ

η

ξ

η

Fη (x) = Fξ (x)I(x > −c) + (1 − Fξ (c))I(x > c),

x∈R.

(3.7.4)

ø « ¬£­
Q ð
R ª
Sù
 %
0 ¦ T Ì ´Íó Ï 3.7.2 U
V 9¦ -
W
X
YZ6¥Ú
[ØZ\
Z] Ü 10 ^
_ ê ëì
`
a b;c ¥ Y
6
\ ξ å
d
e
fØ
\¦ $ ë Ø
L
Y & ëì d
e
¦ $
g
h
f
X
Y
6ê ëì -
W
X
Y
6¥Ø
\
i P η, J § 
 ©ð 6

η=

j
k
l L

(

ξ,

|ξ| ≤ 106 ,

0, |ξ| > 106

≤ 10 ) . ô Þ¦ - η ÷ Ü ξ m
n

o
p
q
η r
= s ξt
I(|ξ|  ξ m


u
n
vê w
'
(
s x
y ð 
 3.7.3 ξ Ü

 o
p
q
r
s a < b, ëì 6

η = ξ I(a ≤ ξ ≤ b) ,


m n

o
p
q
rê .
/ ø
1
2 c > 0, 3 a = −c, b = c. ø c > 0, -
o
p
q
r ξ ? ±c A
n

z
s{
|
m
o
p
q
r η m
}
~ , Ø  ξ m
}
~ , Ø F (x) ï
€ ðë
 ñòó $
-

η

÷ Ü

(3.7.5)

ξ

Fη (x)

ξ

Fη (x) =

     

x ≤ −c ,

0,

Fξ (x) − Fξ (−c), −c < x ≤ 0 ,  Fξ (x) + 1 − Fξ (c + 0), 0 < x ≤ c ,     1, x>c.

(3.7.6)

Ý ô s
. / F (x) ? x = 0 A ð w 2 C
D s C
D
E
F Ü F (0 + 0) − F (0) = F (0 + 0) − F (0) + F (−c) + 1 − F (c + 0). .
/ ö ø o
p
q
r
m


@
n

#÷ Ü “ù
 ”. ù

‚
ƒ
?
„
… º m
†
‡Z@ ˆ Ð ;‰ /
Š Ðê η

η

η

ξ

ξ

ξ

ξ

‹;Œ ;Ž ;<À
9ÁÂÃ
‘
’ 123 §3.7.2 “
”
•ÄÅÆÇ
–
—È
˜
™Æ
š ëì o
p
q
r
m
}
~ , Ø
G
H
s›
-è÷ Ü G
H
m
o
p
qrê ˆ O
œ t
sG
H m
*}
ã
~  , ð
Ø¡
å
¢w
]
›

G
H
øI
}
~
s  Lebesque }
ž
m
ð Ÿ F Ì s G
H
m
}
~ , Ø  G
H
L
}ê ç
G
H
m
o
p
q
r ξ, x
y

§3.7

?¬ ø GZHZoZî pZqZrZ  m
t
­ê y
# w
S
§ 0 ó Ï 3.7.3 ξ Ü

P mZqZ£¤¥s ðZ¦ S / ÐZmZ§ 0 x?Z∈¨ZR© .â @ ˆ Ф¥#Zª ðZ« o
p
q
r
m
}
~ , Ø ð ñ ê o
p
q
r
sè
}
~ , Ø Ü F (x), ® Fξ (x) = P (ξ < x) = P (ξ ≤ x) ,

ξ

η = Fξ (ξ) .

(3.7.7)

ø ô
x y ð  ¯ 3.7.1 ëì oZpZqZr ξ mZ}Z~ , Ø F (x) GZHZs $ZoZpZqZr η = F (ξ)
° 
}
~ U (0, 1). x
y ±;‰
? (3.3.6) 0 ;² = e
}
~ , Ø F (x) m
³ , Ø F (u) m
]
­
sµ´
¶ ?Z]Z¨ 3.3.2 mZ·¤¸¥eZ¹¤¥·¤¸¥ó»ºZ¼Z½Z¾Z¿ZÀZÁZ U (0, 1) ÃZÄZÅZÆZÇ R θ, 2Ä Å
%
Æ
Ì
ÇÍ = ζ = F (θ) ¿
À
Á
 F (x) (È
É
«
Ê
¬ © 3.3.1). Ë
?
m
]
¨ 3.7.1 $
 w 
}
~ U (0, 1) ?
„
…
© ;m (
Îê 
¯ 3.7.1 Ï
Ð
ÑóÒ

s x
y ð 0 ≤ η = F (ξ) ≤ 1 . ð ç F (x) GHsÓ η = F (ξ) GHmopqrsÓ¶Ô (3.3.6) 0 >xó ø t ∈ (0, 1), ξ

ξ

−1

−1

ξ

ξ

ξ

Fξ−1 (t) = inf {x | Fξ (x) > t} > y ⇐⇒ Fξ (y) ≤ t ;   Fξ Fξ−1 (t) = inf {Fξ (x) | Fξ (x) > t} = t.

(3.7.8)



› ð     P (η < t) = P (η ≤ t) = P (F (ξ) ≤ t) = P F (t) > ξ = P ξ < F (t) = F (F Ý ô R η = F (ξ) ° 
}
~ U (0, 1). w
S
q
£
§ 0 $
Õ Û 
Ö
× Í Ø
}
~
?
„
…
© ;m «
¬
( Îê Ø 3.7.4 ëì }
~ , Ø F (x) Ù
Ú
Û
Üó ξ

−1 ξ

−1 ξ

ξ

(3.7.9)

−1 ξ (t))

ξ

J
Ý
x
y
› * 
]
­

F (x) < 1 ,

∀x ∈ R,

R(x) = − ln (1 − F (x)) = ln

1 , 1 − F (x)

(3.7.10)

x ∈ R.

(3.7.11)

=t.

8 9;: ‹;Œ ;Ž *
àZ+ ¨
©
@ >á
â
ã
R(x) 6


Þ

s



s
ß
G
H s R(−∞) = 0, R(∞) = ∞. R(x) ? ä
å
ˆ
æ „
…
ç
è
# ð
ˆ
æ ê{Ë
?
s{x
yÖ
· ¸  R(x) ð ñ
m
w
S
q
£
m ð
é +
ê ê 
¯ 3.7.2 ëì o
p
q
r ξ m
}
~ , Ø F (x) G
H
s Ù
Ú
Û
Ü (3.7.10), á 124

ξ

ë

η = Rξ (ξ) ,

(3.7.12)

0 
]
­ê $
o
p
q
r η ° 
Ö
× Í Ø
}
~ exp{1}. ÐÑxóë ø
ç !
F" (x) GHð sì R (x) Ü Þ
mGH , Øsì á η = R (ξ) ≥ 0 . í
6
>
s x > 0, P (η < x) = P (R (ξ) < x) = P (− ln (1 − F (ξ)) < x) = P (F (ξ) < 1 − e ) . ;]
¨ 3.7.1 >
s o
p
q
r F (ξ) ° 
}
~ U (0, 1), 
 â
0
î |

è 

Rξ (x)

(3.7.11) ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

−x

ξ

(η < x) = P (F (ξ) < 1 − e ) = 1 − e , x > 0 , ô í ¸ η = RP(ξ) ° 
Ö
× Í Ø
}
~ exp{1}. ï 9ç ëô s Ö
× Í Ø
}
~ exp{1} ? á
â
ã
ä
å
ð
ñ ç
è ð
ñ
ò
ˆ
æ ê §3.7.3 ó
ô
õ
ö
Ï
÷
ø
ù
ú  åâ ,Zû à mZ#Z ZwZü / æ mZª ðZ«Z¬ § 0 mZqZ£ê ËZ?ZxZyÖZýZ©ZoZpZq r
m
þ Øê Üξ o
p
q
r
s á g(x)
]
­
?
ÿ


m
ÿ

þ å , Ø
s i η = g(ξ), J
Ý Ü ξ m
þ å , Øê 9ç
þ å , Ø
#

G
H , Ø
sµ

w
] Ü Borel *
 m
s η ›÷  á η = g(ξ) Ü o
p
q
rê x
y ò Ö
ý
© η m
}
~
ê ëxì ξ ° I}~sÒJÝ η = g(ξ) m}~ 6xí = êÒ ξ m}~ Ü ó −x

ξ

−x

ξ

a1 , a2 , · · · p1 ,

J
Ý
s O

g(x)

···

p2 ,

Ù
Ú
Û
Ü g(x1 ) 6= g(x2 ),

,

∀x1 6= x2

Þ s η = g(ξ) m
}
~

› ð
ˆ
(


g(a1 ), g(a2 ), p1 ,

!

p2 ,

···

···

!

.

!

,

(3.7.13)

ò P w ü s  ˆxöðˆ m„… xê ë s  å  Ù x Ú  Þ s  $

á ξ m
}
~
 Ü ó g(x) = x , O ÛÜ

(3.7.13) 2

−2, −1, p1 ,

p2 ,

1,

2

p3 , p4

‹;Œ ;Ž ;



‘
’ J
Ý
s η = ξ m
}
~
 Ü ó §3.7

125

2

1,

!

4

p2 + p 3 , p1 + p 4

.

 
ñ ý
©
G
H
I
}
~
m

§ê x
y


w
ü
ª




ê 
Ø 3.7.5
o
p
q
r ξ ° 
}
~ U (− , ), η = tan ξ, T
 η m
}
~ , Ø
@  F , Øê
óÒ6
>
s ø
!
" ÿØ x, ð π π 2 2

  π π  Fη (x) = P (η < x) = P (tan ξ < x) = P ξ < arctan x, ξ ∈ − , 2 2 Z arctan x 1 1 1 = dt = arctan x + , π π 2 −π 2

! ›


η

m
}
~ , Øê ô
 | pη (x) =

!

Cauchi

η

m 
F , Ø Ü

d 1 Fη (x) = , dx π · (1 + x2 )

x∈R.

}
~
m «
¬ 
§ê w
'
(
s x
y
- 
F , Ø Ü p(x) =

1 λ2 π λ2 + (x − µ)2

(3.7.14)

m
G
H
I
}
~÷ Ü Cauchy }
~ê 

 3.7.5 ;m ð
η ° " 
m
+
ÈØ λ = 1, µ = 0 m Cauchy }
~ê Cauchy }
~

„
…
© ;m
w
S
ª í m
}
~ê â$# Ê$%  s Û Ü ξ ∈ (− , )   ñ ò P æ êÝ Ü O t ∈ (− , ) Þ s ? , Ø u = tan t &$' â$( s  á î$) ?$* w m ³ ,,+ t = arctan u, ô Þ x y ð 0 L î ê.- ø ! S
/ N s x
y
² = ë
 ]
¨ó (tan ξ < x) = (ξ < arctan x) mñò 
¯ 3.7.3 o p q r ξ °  G H I } ~ F (x), ð ˆ m  F ,0+01 p (x), a < á ,
+ u = g(t)
2
€ (a, b) â m
&
'


m
G
H ,
+ s î m
³ ,
+ h(u) = x < b. 1
2 2
€ (α, β) â m * % ,
+ s ´
¶è
% ,3+ h (u) = g (u) ?
2
€ g (u) 
F ,
+
1 ó â (α, β) G
H
s $ η = g(ξ)
G
H
I
o
p
q
r
sè π π 2 2

π π 2 2

ξ

ξ

0

−1

0

pη (x) = p ξ (h(x))|h (x)|,

Ð
Ñó54
ÿ â s O g &
' â
(
6 s x
y ð O Fg &
(x)' = PÞ (η6 <s x)x
=y Pð (g(ξ) < x) = P (ξ < g η

−1

d −1 du

x ∈ (α, β).

(x)) = P (ξ < h(x)) = F ξ (h(x)),

< x) = P (ξ > g (x)) = P (ξ > h(x)) = 1 − F 7 F8 (x)æ ñ= òP (η0

η

η

d dx

η

(3.7.15)

ξ (h(x)).

8 9;: ‹;Œ ;Ž

126 pη (x) =

@ Ø

d dx F ξ (h(x))

0

0

= p ξ (h(x))h (x) = p ξ (h(x))|h (x)|,

d dx {−F ξ (h(x))}

0

x ∈ (α, β),

0

1 o p
q
r
s η = g(ξ). T
}
B 3.7.6 g(x) = a + bx, x ∈ R, b 6= 0. ξ
ø ó (1) ξ °  U (0, 1), (2) ξ °  N (0, 1),  = η m
}
~ ,
+ @ 
F ,
+ ê O ξ °  U (0, 1) 6 s η : 1 GZHZIZoZpZqZrZs ëì ó  ¥F ]Z,
¨ +
3.7.3 Z 6  > ó 1 b > 0, $
p (x) = p = , x ∈ (a, a + b),  ë ì °
) ;  η  }
~ U (a, a + b). b < 0, $ 
F ,
+
1 pη (x) =

= −p ξ (h(x))h (x) = p ξ (h(x))|h (x)|,

η

ξ

x−a b

1 b




1 |b|

x ∈ (α, β).

1 b

= , x ∈ (a + b, a), °
) ;  η 
} ~ U (a + b, a). O ξ °  N (0, 1) 6 s η : 1 G
H
I
o
p
q
r
s ëì b > 0, $ 
F ,
+
1 n o
p (x) = p = exp − , x ∈ R, ëì b < 0, $ 
F ,
+
1 pη (x) = pξ

η

ξ

x−a b

x−a b

1 b




1 |b|

1 |b|

(x−a)2 2b2

√1 2πb

n o 2 exp − (x−a) , 2b2

x ∈ R, < ï
s # ð η °  ï
= }
~ N (a, b ). Ë
?
s x
y
>
ý
©
? 1 w
'
m

§ê.:




ê Ø 3.7.7
o
p
q
r ξ ° 
Ö
× ï
= }
~ N (0, 1), η = ξ , T
 η m
}
~ê óÒ
 η 1 

o
p
q
r
s 
 ð √F (x) = 0,√x ≤ 0. O √ x > 0 6 s √ x
y ð F (x) = P (η < x) = P (ξ < x) = P (− x < ξ < x) = Φ( x) − Φ(− x) . 
 η m 
F ,
+
1 pη (x) = pξ

x−a b

=

√ 1 2π|b|

2

2

η

2

η

√ d dx Φ( x)

√ d dx Φ(− x)

° ZGZHZIZ}Z~ F (x), ðZˆ m ZF ,3+31 p (x). á 3.7.8 ZoZpZqZr ξ ,
+ @ 
F ,
+ ê η = sin ξ, x
y
>
 η m
}
~ ó6
>
s −1ð ≤ η ≤ 1, 

@
ø x ∈ [−1, 1], A
B F (x) @ p (x) m
ê

−1 < x < 1, x
y Ø

pη (x) =

d dx Fη (x)

=

−

=

√1 2πx

exp{− x2 },

x>0.

ξ

ξ

η

η

Fη (x) = P (η < x) = P (−1 ≤ sin ξ < x) ∞ X = P ((2k − 1)π − arcsin x ≤ ξ < 2kπ + arcsin x) =

k=−∞ ∞ X

C ô s ð
ˆ m 
F ,
+
1

k=−∞

{Fξ (2kπ + arcsin x) − Fξ ((2k − 1)π − arcsin x)} .

 ∞  X d d d pη (x) = Fη (x) = Fξ (2kπ + arcsin x) − Fξ ((2k − 1)π − arcsin x) dx dx dx k=−∞

‹;Œ ;Ž ;



‘
’

§3.7

=

∞ X

k=−∞

√

127

1 {pξ (2kπ + arcsin x) + pξ ((2k − 1)π − arcsin x)} . 1 − x2

â
#
D 
ž
E
e
¹ ;s x
y
4
ÿ â # 8 æ  ,
+ g(x) m
³ ,
+ m
F
G
*
w ? + @ *
H
+ s ø ô x
yå

· ¸;( <
I ë
 ó 
¯ 3.7.4 o p q r ξ °  G H I } ~ F (x), ð ˆ m  F ,0+01 p (x), a < ëì *  ö (a, b) }
J 1 w
ü (ð  2 j *
K 2 ) 
2
€ (a, b) = S I , L
| x < b. ,
+ u = g(t), t ∈ (a, b) ?
W 2 
2
€ â ð *
w
m
³ ,
+ h (u), ´
¶ h (u) ) ?
G H
s $ η = g(ξ)
G
H
I
o
p
q
r
sè 
F ,
+
1 ó ξ

ξ

j j

0

j

pη (x) =

X

j

0

p ξ (hj (x))|hj (x)| .

(3.7.16)

j

M
N

3.7

OQPQRQSQTQUQVQW ξ XQYQZQ[Q\Q] ^ ξ + 2 _ cos ξ XQYQPZQ(ξ[Q=` 0) = , P ξ = ^ η = sin ξ XQYQZQaQbQ` 2. O ξ ∼ U (0, π), ^ η = cos ξ XQYQZQaQbQ` 3. O ξ ∼ U [− , ], ^ 4. O ξ ∼ U (−1, 1), η= XQYQZQaQbQ` 5. O ξ ∼ U (−2, 3),  1.

1 4

2 3

π 2

π 2




= 12 ,

P (ξ = π) = 14 .

π 2

1 ξ2

η=

QY c ^ η d

  −1,  

ξ ≤ −1

−1 < ξ < 1 .

ξ,

ξ≥1

1,

QX YQ^ ZQaQbQ` 6. O ξ ∼ U (0, 1), YQc ^ ee ,d 2ξ−2+ln1ξd XQ|ξ|eQfQXQgQeQhQfQaQgQbQhQ` aQbQ` 7. O ξ ∼ N (0, 1), YQc ^ η = ξ XQeQfQgQhQaQbQ` 8. O ξ iQjQkQbQ\ 1 XQlQbQYQZQm 9. OQnQoQSQTQUQVQW ξ XQgQhQaQbQ\ ( η

−2

ξ

ξ

2

2

YQc ^ η = , η = |ξ| d 10. OQTQUQVQW ξ sQtQgQhQaQb 1 ξ

1

(1) g1 (x) =

^

(

2

1,

x > 0,

−1,

x ≤ 0;

pξ (x) =

η3 = e−ξ pξ (x),

uQO

2x,

0 < x ≤ 1;

Qp qQr XQgQhQaQbQ` 0,

(2) g2 (x) =

(

x, 0,

.

|x| ≥ b,

|x| < b;

(3) g3 (x) =

   b,  

x,

−b,

x ≥ b,

|x| < b,

x ≤ −b.

QX YQZQm i = 1, 2, 3. 11. O.vxwQy I iQj 9 zQ{ 11 zQ|Q}QXQ~QQYQZQm€Q‚ƒvwQ„†… 2 Q ‡ X.vxˆQ‰QmŠQ‹QXQŒQf ^ \ W = 2I , W XQeQfQgQhQaQbQ` η = gi (ξ) 2

Ž‘

’”“”•”–

— ˜™š™›™œ™™ž ™ * Z?3¢Zw 2 „Z…3£Z€ (Ω, F, P ) ¤Z]Z­3¥ 2 (¦Z 2 j *3K Z x   y ¥ Ÿ Z ‰ 3 > Z ¡ s 2 ) opqr§©¨ª ! üopqrs xy« * F 2 †‡
¬ym +ê @}~­®s ¦ 6 Q
ò
¯ ¬
y P
1° r
>
†
‡
¬
y
m
± N +
ê §  © Ëÿ²³Ô{s Q 
„…
©´
µs x
y# * 
² =
¶ ¥
ò
¯ ¬y P 1° r
>
†
‡
± N +
ê m


§†
·
s†·
¸
 ξ ¹
º w 2
» m
µ E së ξ ¹
º
¼ Â ñ s 
E 
ò †
‡ ξ  ξ ­
F €
m ð
½
¾
¿ ò & ·
¸
 ξ  ξ }
B ð
¹
½
º
Ç
À
È
Á ¾ @ m
m
µ s J
Ý

Ã
Ä3ÅZm
Ÿ " >
ûZs.Æ3 †Z‡ 2 ξ° )3ξ ; ­
€
m ¿ 
§.É
·
¸
7?
! 2
€ ¦ 2(0, 1) ¤
,m
+ Ê „
…
£
€
¤
]
­
w  }Z~ U (0, 1) m
o F (x) @ F (x), }BË F (x) @ F (x) ¹º ¬y pqr,
+ η, 7 3 }~ ³Í » m
s¾
Ï ® ξ « = F (η), ξ = F (η),Í J
Ý
? ξ  ξ ­
€ ! ) ? ¦ " 2 S ¾
¿ sÌÆ PÝ
1y
ά
y
m ºm
+
§ ,
B
+ (
m s.¦ ·
2 ¸ o
p
A q
@ r Aξ = ¢
I w
 „
…
ξ £
=€I Ð;Î
m §
L
t m ¾
¿
4
ÑÜ

s J| †à ‡) §¾
? ¿
» á
yâ
mã
‰ä Ò³ÓÔÕ
Ö³
Ó×Ð;sxØ Í Ö
ÙÚ ¶ ¥Û
ÜÝ
¢Þ ! êß ª¦ ß
ð
ì ½ ä §å
·
æå·
¸
ð
w
½ ç
à ‰
) Ò
¾
ÿ
¿ 

4
ò3¥
¯ è
é
ê
æåë
Ý ° ü
ä éê ξ , · · · , ξ ­
í
î
ï
ð
ª
¦
ñ
Ü æ.

¬3ò
3ó
î3ç >3
Ë3ô õ §,ö÷
ø
ù
²
ú á
â ° ä ß
û
ü § §4.1.1 ó
ô
ý
ö
Ï
þ
ÿ ò


> á
â ° ä ß
û
ü § ·3¸ ξ , · 1· · , ξ Í á
â ¢3° î3ä ç û £3í (Ω, F, P ) ¤ ß Í n ç á3â3á
ã3âä æ ° ä ¯ (ξ , · · · , ξ æ )  ξ , · î
· · ,ç ξ nÍ   ¢
î
§ç û
 ­
£
æ í (ξ(Ω,, · F,· · ,Pξ ))¤ ß î
nç ç ná
 â
ã
ä § æ á
â ° ä æ ë
¨
Ý n ß Í (ξ , · · · , ξ ) î
ç n   ö  ÷

> æ
· ¸  k Ô 1 ≤ j < · · · < j ≤ n , (ξ , · · · , ξ ) ð Í î
ç k  á
â ° ä § !
æ  k = 1 "
æ Í á
â
ã
ä §.Î
Ë
æ á
â ° ä ß   Í î
ç#$ û
ü § %'&'(') ô õ áâ ° ä ß Þ'*æ ò'+,'$'-.®
îç/'01'23 áâ ° ä'4 Í'' ' ñç û' £í (Ω, F, P ) ¤ ß n  áâ ° ä æ  þ 5 4.1.1 (ξ , · · · , ξ ) 6 §4.1

1

1

2

2

1

1

1

−1 1

1

−1 2

2

1

1

2

A1

2

A2

n

1

1

−1 2

2

1

1

2

−1 1

2

2

n

n

1

1

n

n

1

1

n

k

1

j1

jk

n

{ω | ξ1 (ω) < x1 , · · · , ξn (ω) < xn } = (ξ1 < x1 , · · · , ξn < xn ) ∈ F,

128

∀ (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn . (4.1.1)

7 89:;<= 129 >? 4A@B (ξ , · · · , ξ ) Í î3ç  û C í (Ω, F, P ) D ß n  á3âFE ä æ.ë Í  G î
ç ûC íD ß n ç
á â
ã
ä æ.Î
Ë ξ ,···,ξ T §4.1

1

1

n

n

n

(ξ1 < x1 , · · · , ξn < xn ) =

(ξj < xj ) ∈ F.

H I æ JKL n M Eä (x , · · · , x ), ðN (4.1.1) O
óPQ.ëL  
ß M  x, ËT M > 0, ðN k ÔRS T (ξ < M, · · · , ξ < M, ξ < x, ξ < M, · · · , ξ < M ) = (ξ < x) (ξ < M ) ∈ F. @BU M ↑ ∞, ë N 1

1

k−1

k

j=1 n

k+1

n

j

k

j6=k

T

(ξj < M ) ↑ Ω,

V   D OWXYZ (ξ < x), [
÷\
Ú (ξ < x) ∈ F, ] ξ ^ á
â
ã
ä Q _`a 0bcdefg 4 (4.1.1) OhiZL n  Borel jk j6=k

k

k

k

B,

ðN

((ξ1 , · · · , ξn ) ∈ B) = {ω | (ξ1 (ω), · · · , ξn (ω)) ∈ B} ∈ F.

l mno p
á
â
ã
ä îq
æ ò,$
ô õ á
âEä ß rstu Q % ÷
æ ò
vS
ú n  á
âEä (ξ , · · · , ξ ) ßwxy  ß 4   ñ
ç û C í (Ω, F, P ) D ß n  á
âE
þ ÿ 4.1.1 K (ξ , · · · , ξ ) ^ ä æ z{ §4.1.2

1

n

1

n

F (x1 , · · · , xn ) = P (ξ1 < x1 , · · · , ξn < xn ),

(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn

(4.1.2)

% | á
âEä ßwxy  æ }{ F (x , · · · , x )  % (ξ , · · · , ξ ) ß~ k wx Q    4.1.1 æ n  á
âEä ßwxy  ^ î
ç   R € ß n  y  Q HI æ ò
î
ç n  y  F (x , · · · , x ) % n  wx æ @B‚ ñ
ç á
âEä f ƒ„% wxy  Q p 1  wxy …†‡ æ n  wxy ˆ N‰Š
Þ* 4 þ5 4.1.2 n  wx F (x , · · · , x ) ˆ N‰Š
Þ* 4 㠁ŒŽ 1 . F (x , · · · , x ) L‹
ç 㠁WŽ 2 . F (x , · · · , x ) L‹
ç 1

n

1

n

n

1

n

1

◦

1

n

◦

1

n

3◦ .

lim F (x1 , · · · , xn ) = 0 ,

xj →−∞

lim

x1 →∞,··· ,xn →∞

ðN

n

4◦ . F (x1 , · · · , xn )

∀ 1 ≤ j ≤ n,

F (x1 , · · · , xn ) = 1 ;

ˆ N‘‰‘Š‘R D ߑ’ ä Œ‘“Þ 4 L‘'

(b ,···b )

∆(a11 ,···ann ) F =

X

±F (x1 , · · · , xn ) ≥ 0 ,

aj ≤ bj , j = 1, · · · , n

(4.1.3)

”•– 789: ð'N x = a š b , jß = 1,ß · · · , n,%V ž'  x | = a +
 æ x =a j ç "
æ è ß ˆ¥¦ O 4 òS
ú n = 2 ¤ 3 " ∆ F

130

— A€ ˜ N 2 ç'™èæ ‹îè € æ ß j ß ç  %› "
æ | è Iœ % Iœ % − Q %Ÿ ¡¢&£ (4.1.3) O
æ n

j

j

j

j

j

j

j

(b1 ,···bn ) (a1 ,···an )

(b ,b )

∆(a11 ,a22 ) F = F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) + F (a1 , a2 ); (b ,b ,b )

∆(a11 ,a22 ,a33 ) F = F (b1 , b2 , b3 ) − F (a1 , b2 , b3 ) − F (b1 , a2 , b3 ) − F (b1 , b2 , a3 ) + F (a1 , a2 , b3 ) + F (a1 , b2 , a3 ) + F (b1 , a2 , a3 ) − F (a1 , a2 , a3 ).

>? 4 Þ* 1 ¤  j, 1 ≤ j ≤ n,  x

§ gQ.Þ* 3 € ߨ î
穪hO
óP«¬[ ^ 4 L  → −∞ "
æ.ðN T (ξ < x , · · · , ξ < x ) = (ξ < x ) (ξ < x ) → Φ. ¨­ 穪hO
óP«¬[z ^ 4 6 L®N« j, 1 ≤ j ≤ n, ðN x → ∞ "
æ ¯N T ◦

1

2◦

◦

j

1

n

n

j

k

j

k

k6=j

j

n

(ξ1 < x1 , · · · , ξn < xn ) =

° *

4◦

óP«¬[ ^ 4

j=1

(ξj < xj ) → Ω.

(b ,···b )

∆(a11 ,···ann ) F = P (a1 ≤ ξ1 < b1 , · · · , an ≤ ξn < bn ) ≥ 0 .

G î±²
îq³LZ
î´ ˆ NDŠ 4 µ ° *« n  y  F (x , · · · , x ), ð|'e'f'¶'E·¼ î'´'w¸ x y «  û'C í (Ω, F, P ), — D'¹ ' î'´ n 'º'» EA¼ ³¾½'\ º» « ^ F (x , · · · , x ). p î±² †‡ ³ n  wx }N¿ÀÁ wx ¤Á wx Q % øÃij f ‰ 6 f n = 2 %Å Q þ
ÿ 4.1.2 @BÆÇ (Nª´ š e Ç ´ ) M ÈÉ µÊ 4 1

1

n

n

∞ X ∞ X

pij ≥ 0,

pij = 1 ,

(4.1.4)

i=1 j=1

òwx  {p@}B % Æ ´ 2 ¿rÀs Á wx% Q @ BÆ ´ 2 Ç º» E¼ (ξ , ξ V) Ë -¿À  Á ³ ] (ξ , ξ ) « jk Nª jk š e jk {(a , b )}, P (ξ = a , ξ = b ) = p , i, j = 1, 2, · · · , — € {p } %ÈÉ (4.1.4) O«M  Ç ³  (ξ , ξ ) % (2  ) ¿ÀÁº» E¼ Q þ
y ÿ  4.1.3 @B F (x, y) ^ Æ ´ 2  wxy  ³ V  ‚ Æ ´ Lebesque eÌ «Œ“ p(x, y), ½\ ij

1

1

2

i

1

i

2

ij

j

F (x, y) =

x −∞

Z

y

p(u, v)du dv , −∞

j

ij

1

Z

2

2

∀ (x, y) ∈ R2 ,

(4.1.5)

789:;<= 131  F (x,Ey)¼ ^ Æ ´ 2 Á wxwx³  p(x, y) % F (x, y) «Í0 % y  Q @ BÆ ´ 2 º» (ξ , ξ ) Ë-Á F (x, y), Î  (ξ , ξ ) (2  )   Á  E ¼ V  %  y y º» ³ { F (x, y) «Í0 p(x, y)  (ξ , ξ ) «Í0 Q

4 Æ        6  y y ö (4.1.5) Oec ´ 2  p(x, y) ^ Í0 ³ §4.1

1

2

1

1

Z

∀ (x, y) ∈ R2 ,

p(x, y) ≥ 0,

Z

∞

∞

2

2

p(u, v)du dv = 1 .

(4.1.6)

ò1 Æ Ï ˆ¥ÅÐ Q Ñ 4.1.1 - w 'Ò'N 1, 2, · · · , 9 « 9 'Ó Ô'Õ €AÖ'×ÙØ ! …'Ú'Û 'r Ü 'Ó ³ w f ¨ Æ Ó¤ ¨­ ÓÔÕD«  ³ Î  § c³ (ξ , ξ ) « rs jk % ξ ¤ ξ Ý {(i, j) | i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ 9}, V  — ~ k wxu % 1

1

,

i 6= j,

1 ≤ i, j ≤ 9 .

2

1

2

1

2

2j

í

1 72

2

Ñ 4.1.2 { Ü ´Þ G «ßົ! ×á 3 ´âN㝠1, 2, 3 «ä C ä'«'´  ³æf ξ 'Ý × N'ß'à'«'ä Ð «'ç'ß'ã'³éè (ξ , ξ ) « ~ ê 4 § c ξ « rs jk % {1, 2}, ξ « rs jk % {1, 2, 3}. ë § 
ú³  ξ = 2 "³ Ü ´ßà × G Æ ´ä € ³ V | ä Ð × Nßà«ä Ð «çß㝳 ì] ξ « s Q,öZ‹´ßàhe ( ! ³ ®f p = P (ξ = 2, ξ = j) = , j = 1, 2, 3 .  ξ = 1 "³ Ü ´ßà × Ü ´Þ G ä € ³.÷" × Nßà«ä Ð (% 1 š 2, ®f  × Nßà«ä Ð «çßpã= %P (ξ1 "= ³ 1, N ξ Æ =´3)à =× 0 ; 1 ä € ³ .

2  š 3 ä € ³ Þïð
ú p = P (ξ = 1, ξ = 1) = ; × Nßà«ä Ð «çß㝠% 2 "³ Ü ´à w × 2 ¤ 3 ä 1

Ð^

−∞

2

pij = P (ξ1 = i, ξ2 = j) =

Ý

−∞

1

1 9

2

×

î

1



13

1

2

11

1

2

4 9

ñ ef Ç Æ ´ òóÝDŠô B4

p12 = P (ξ1 = 1, ξ2 = 2) =

2 9

.

(1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2) (2, 3)

}ef ÇÆ Ó1Ý

4/9

2/9

(ξ1 , ξ2 )

1/9

« ~ k wxu 4

1/9

pij

1

2

3

1

4/9

2/9

0

2

1/9

1/9

1/9

1/9

!

.

2

Ð åQ f ξ  k 'w x'u Q 1

«ã j ×á ‹´ä «çßã Æ ´àef € ³ ®f

132

” •– 7 89:  Ñ 4.1.3 õö³ @ ‰« y  ^÷ % ø ´ ­ º» E ¼ « ~ kÍ0 y  4 ê 4 § Ä

p(x, y) = x + y , p(x, y) ≥ 0, R∞ R∞

0 < x, y < 1 ?

V 

(4.1.7)

R1R1

(u + v)du dv = 1 ,  È É % Ü ­ € ®f p(x, y) (4.1.6) « ´ µÊ³ ù Í0 y  Q Ñ 4.1.4 õö³ @ ‰« y  ^ ÷ %ø ´ ­  º» E¼ « ~ k wxy  4 −∞ −∞

p(u, v)du dv =

0

0

(x, y) ∈ R2 ?

F (x, y) = I(x+y>0) ,

(4.1.8)

ê 4ú  û 4.1.2 c³ ­ º» E¼ « ~ k wxy üýÈÉþ µ ° *³ ÿR ·L | y  N ∆ F = F (1, 1) − F (1, 0) − F (0, 1) + F (0, 0) = −1 , ¼  È É ° ’ ]Þ Œ“ ³ ®fÞ ^ ­  wxy  Q 
4.1 1.  (ξ, η)    ( 1−e −e +e ,  x > 0, y > 0, F (x, y) = 0,   F (x, y)  4.1.2  1 − 4 . % (ξ, η) &'   2.   1,2,3,4 !" ξ, # $ 1, · · · , ξ !" η. 3. # ()*+,-.0/12 34 0.4, # 34 0.6, 562,-789:  D;,.<# $,.>=@?@A)@3@@@B % @# ,@-@2@ ξ C η &'     .> 4. , x , x ) = x + 6x + , 0 < x < 1, 0 < x < 2, 0 < x < EF "p(x ELM N @O G@H@P@ @J@I GH@@@. @ 5. K f (x) p(x, y) = , x, y > 0 E (QGH 6. K (ξ, η) GH ( (1,1) (0,0)

−ax

−bx

◦

1

2

3

2 1

−(ax+bx)

◦

x1 x2 3

2 3

1

2

3

f (x+y) x+y

ce−(cx+4xy) ,

x > 0, y > 0

0,  %R (1) S c; (2) &'   F (x, y); (3)P {0 < ξ ≤ 1, 0 < η ≤ 2}. UTVR p(x, y) = Ke 7.  GHWX@Y@Z √ a > 0, c > 0, b − ac < 0, K = ac − b . 8. K (ξ, η) &'GH y) = cxy , 0 < x < 2, 0 < y < 1. %R (1) S c; (2) ξ, p(x, η ?[A"\]^ _4 ϕ(x, y) =

−(ax2 +2bxy+cy 2 )

2

1 π

2

1 2

2

1 2

§4.2

`badcefghce

133

ikjklkmknkokpklkm q'ñsr
1

1

n

n

1

n

k n

k n

k n

1

n

1

k

1

n



F1,···,k (x1 , · · · , xk ) = P (ξ1 < x1 , · · · , ξk < xk ) = P  

=P

k \

(ξj < xj )

j=1

n \

j=k+1

k \

j=1





(ξj < xj )

(ξj < ∞)

= F (x1 , · · · , xk , ∞, · · · , ∞) =

† ƪ M«¬ qñ _` ˆ‰ wx Å Q JK ­ wº» w % @B @B

a < b,

lim

F (x1 , · · · , xk , xk+1 , · · · , xn ).

(4.2.1)

4 Œ no­®¯°±no²³´µQ ³Eë¼ §¶ P·~ no w«x |% ¸Q %§ Z¹º»³ 6 f ­ w±w²x % (ξ , ξ ) « k F (x, y), Z ^ ξ ¤ ξ  « ˆ‰ x

xk+1 →∞,···, xn →∞

1

μxN

2

F1 (x) = F (x, ∞),

1

2

F2 (y) = F (∞, y).

P (a ≤ ξ1 < b) = F1 (b) − F1 (a) = F (b, ∞) − F (a, ∞),

qñ xefL ƽ

P (a ≤ ξ2 < b) = F2 (b) − F2 (a) = F (∞, b) − F (∞, a).

P (a ≤ ξ2 < b) > 0,

P (ξ1 < x|a ≤ ξ2 < b) =

x ∈ R,

¾ðµÊ|}

P (ξ1 < x, a ≤ ξ2 < b) , P (a ≤ ξ2 < b)

(4.2.2)

”•– 7 89: Þ°ïgb¿³ ú Æ¡\·Æ « wx x« yyÀ À P‡ (ξI <% x|a ≤ ξ ¼ < b) ˆ NŒ ° ³ tÁ °I ¤ W  w³ x[y¡À ^ % ´  ³ º» „Æ ξ { µªÊ a ≤ ξ < b ‰«µ ÊÉ ³„ @ F (x|a ≤ ξ < b). ÃÄų { µÊ« Ê«|}ÇZ 0 ȳ ef yzÊ 134

1

2

1

1

2

2

< b), F (x|ξ ≥ a) ¦ O«µÊ wxyÀ Q LZ Fξ (x|ξ «µÊ wxyÀ ef †‡ ÅS© yz Q §4.2.2 ËÌÍα ú Z‘¿‘À‘Á‘º‘» E ¼ « w‘xÐÏÐÑ ^ f w‘x'u « ¦ O'SЩ'«‘³ ®‘f @ÐÒ û £ O®S©« ÂÓ ³ÔN ÆÏÕÖ ÿR I× Q v¹ ÆÏ ÅÐ Q Ñ 4.2.1 K ­ w¿ÀÁº» E¼ (ξ , ξ ) « ~ k wxu @ ‰®ÝØ 1

2

1

2

2

1

(4.2.1)

2

pij

0

1

0

9/25

6/25

õ w  Ä è ξ ¤ ξ «ˆ‰ wxu Q ê Ø Db¿ (ξ , ξ ) « rs jk Æ {(i, j)|i, j = 0, 1}, Ù î ξ ¤ ξ « rs j k ” ^ ÜÚ jk {0, 1}. qñ «–ÛÝÜ ^ w Ä è© ξ ¤ ξ r 0 ¤ r 1 «|}Q fè Pî (ξ = 0) ÆÅ Q { qñ «öÞ € ³ N (ξ = 0) = (ξ = 0, ξ = 0) ∪ (ξ = (ξ = 0, ξ = 0) ∩ (ξ = 0, ξ = 1) = Φ, ®f 0, ξ = 1), Ƨ ÃPÄ(ξ³ß= 0)p ==PP(ξ(ξ==0,0).ξ — = € 0) +p P« (ξ¨ =Æ 0,´ξ‰Ü = 1)“0”=Ý + ξ ==0, ¨. ­ ´‰ Ü “ · ” Ý p Þ ^ ξ « rs |}Q LZ — ƒ « p ¤ p efà¡è©Q á
4.2.2 @B (ξ , ξ ) « ~ k wxu ^ p = P (ξ = a , ξ = b ), i, j = 1, 2, · · · . p μ³ ξ ξ «ˆ‰ wxu x w Ä ^ Ø 1

1

6/25

4/25

2

1

2

1

1

1

1

2

1

0·

2

1

9 25

2

0·

2

1

6 25

3 5

1

2

ij

1

2

1

i·

1

pi· =

1

1

0·

1

2

1

2

2

·j

2

1

i

2

j

2

∞ X

P (ξ1 = ai , ξ2 = bj ),

p·j =

j=1

∞ X

P (ξ1 = ai , ξ2 = bj ).

@B { (4.2.3) O p Å 4.2.1 € « ~ k wxu ôkÃâ³Aef¹©Ø p x ^ _`€ ¨~ i ã w «x®u N|Â} § s «¤³ p x ^  € ¨ j Ç «®N|} s «¤Q e f  k  ÅÝ© p ¤ p : ·j

·j

i·

(4.2.3)

i=1

pij

0

1

pi·

0

9/25

6/25

3/5

1

6/25

4/25

2/5

p·j

3/5

2/5

1

i·

— M

Z ^

` adcefghce b Dº»Åb¿dØ |Å € « §4.2

ξ1

¤

ξ2

«ˆ‰ wx! u ” ^ 0

ì] ƒñ Gwx Q Ñ 4.2.2 K ­ w'¿'À'Á'º'» EA¼ wxu Ø ξ ¤ ξ «ˆ‰ 1

135

1

,

3/5 2/5

« ~ k w'x'u @ ‰''®'ݳ õ w Ä è

(ξ1 , ξ2 )

2

ê Ø  _ `~ k wxu ³ P\

pij

0

1

0

3/10

3/10

1

3/10

1/10

pij

0

1

pi·

0

3/10

3/10

3/5

1

3/10

1/10

2/5

p 3/5 2/5 1 p Å  w  x u wxu … G Q eÄ ξ ¤ ξ «ˆ‰ 4.2.1 € « ξ ¤ ξ «ˆ‰ ­ Å € « (ξ , ξ ) « ~ k wxu V Þ … G ³™ ^ ξ ¤ ξ «ˆ‰ wxuä  D Š … G ³ † ^ Æ ´ s \ÿR«åæ³ ƒ b¿dØ Þ G « ~ k wxu efN … G «vˆ‰ w xu Q ®f³ç›èˆ‰ wxu ef ú ~ k wxu›é Æê y ³J™ ^ °±noëì›í ¯Œnoëî´µQ å { â¹µÊ wx Q K (ξ , ξ ) Æ ­ w'¿'À'Á'º'» EAI ¼ ³ @'B p w=xPu (ξ =…bï ) > 0, Îv¼'ô'k (4.2.3) O³xefèI © ξ { µÊ wxξ u = b ‰«µÊ Q ų }efè© ξ { µÊ á ξ = a ‰@«B µÊ Q
4.2.3 (ξ , ξ ) « ~ k wxu ^ ·j

1

2

1

1

1

2

1

·j

2

1

1

2

ξ2

j

j

2

{ µÊ

ξ1

2

I ‰«µÊ wxu ^ Ø i, j = 1, 2, · · · .

pij = P (ξ1 = ai , ξ2 = bj ), ξ2 = b j

P (ξ1 = ai |ξ2 = bj ) =

î

2

2

i

1

μ³

2

{ µÊ

= P ∞

pij

P (ξ1 = ai , ξ2 = bj ) pij = P (ξ2 = bj ) p·j ,

P (ξ1 = ak , ξ2 = bj )

i = 1, 2, · · · .

(4.2.4)

I ‰«µÊ wxu ^ Ø k=1

ξ1 = a i

P (ξ2 = bj |ξ1 = ai ) = = P ∞

k=1

P (ξ1 = ai , ξ2 = bj ) pij = P (ξ1 = ai ) pi·

pij P (ξ1 = ai , ξ2 = bk )

,

j = 1, 2, · · · .

(4.2.5)

” •– ðdñbòdó  Ævô âv˜'³ L'Z ­ w'º'» AE ¼ (ξ , ξ ), @'B'‚ { ø ´ Æ w Borel j'k B, ½'\ P (ξ ∈ wx Æ Ø I B) > 0 , μxef yz ξ { µÊ ξ ∈ B ‰«µÊ 136

1

2

2

1

2

P (ξ1 < x |ξ2 ∈ B) =

P (ξ1 < x, ξ2 ∈ B) . P (ξ2 ∈ B)

(4.2.6)

† Š ±² qñ { {õ ¹«Áök‰ „÷ Æø «ùbQ Ñ 4.2.3 õL›ú›û ­ Å € «º»Uü ¼ (ξ , ξ ), w Ä蛩 ξ { µÊ wxuþ ξ = 1 ý‰«µÊ ê Ø { Å 4.2.1 € ³ ξ { µÊ ξ = 0 ý‰«µÊ wxu Æ Ø 1

2

1

ξ2 = 0

¤

2

1

2

P (ξ1 = 0|ξ2 = 0) = ξ1

{ µÊ { Å

wxu Æ Ø = 1 ý‰«µÊ

P (ξ1 = 1|ξ2 = 0) =

ξ2

6/25 2/5

P (ξ1 = 0|ξ2 = 1) = 4.2.2

€ ³

ξ1

{ µÊ

P (ξ1 =0,ξ2 =0) P (ξ2 =0) P (ξ1 =1,ξ2 =0) P (ξ2 =0)

= 35 ,

ξ2 = 0

9/25 3/5 6/25 3/5

= =

= 35 , = 25 .

ý‰«µÊ wxu Æ Ø

P (ξ1 = 0|ξ2 = 0) =

P (ξ1 = 1|ξ2 = 1) =

P (ξ1 =0,ξ2 =0) P (ξ2 =0) P (ξ1 =1,ξ2 =0) P (ξ2 =0)

3/10 3/5 3/10 3/5

=

4/25 2/5

= 25 .

= 12 ,

µ Ê ξ = 1 ý‰«µÊ wxu Æ Ø {  = , P (ξ = 1|ξ = 1) = = . P (ξ = 0|ξ = 1) = †v¤vÿ Æ ´
ÿ
 «våvævØ çè { û'Š ­ Å € ³ ξ «vˆv‰ w'x'u …
 ³ ™ ^ ƒ ñ {y ξ «µÊý‰«µÊ wxuä Þ … þ [¡ef˜³µÊ wx ™ ¼ «

tuvþ Þïv¹©'³ Å 4.2.1 € « ξ { µ'Ê ξ = 0 ¤ ξ = 1 Å
'Ýv©'º'»s ü ý‰«µÊ wxu ”p ƒ •d—«ˆ‰ wxu … ³ î Å 4.2.2 € « ξ zÞ  þ  í ^ ­ wº»Uü ¼ ³ —›Ò n wº»Uü ¼ þ qñ f›  û › ®  ˜  «  â¹ Æ ´ n w¿ÀÁº»bü ¼ « ÅÐ þ Ñ 4.2.4  ÿ n ´ã ÿ 1, 2, · · · , n «ä Ð (n ≥ 4)  m ´  «ßà³  ´ßà á k  ä Ð «|} Æ p , k = 1, 2, · · · , n , ´ßà á ´ä Ð « ª Ê ¦ þ"! Ä# ξ , ξ , · · · , ξ $ Ý á ´ä Ð% à Àþ õèØ %*+ !,-. (1) &'bü)( (ξ , ξ , · · · , ξ ) % ˆ/ !,-0"132 k = 1, 2, · · · , n ; (2) ξ % !,-. (3) (ξ , ξ ) ˆ/ % !,-0"132 3 ≤ k < n ; (4) (ξ , ξ , · · · , ξ ) ˆ/ % !,-þ (5) {45 ξ = m ý6&'bü)( (ξ , · · · , ξ ) 45 7 Ø98  0 (ξ , ξ , · · · , ξ ) %:;<+Æ P (ξ1 = 1|ξ2 = 0) =

ξ1

=

= 12 .

2

1

3/10 2/5

2

3 4

1

1/10 2/5

2

1 4

1

2

1

2

2

1

k

1

1

2

2

n

n

k

1

2

1

2

k

1

1

1

2

2

n

n

{(m1 , m2 , · · · , mn ) | m1 + m2 + · · · + mn = m, mk ∈ N , k = 1, 2, · · · , n}, (4.2.7)

`badcefghce 137 132 N $=>?@ À < þ BCC +DE 0GF + Þ 2 %HI  0GJKLM ØGN ÒO < (1) A + (4.2.7) %ÿP >?@ À C (m , m , · · · , m ), ” ÿ §4.2

1

2

n

P (ξ1 = m1 , ξ2 = m2 , · · · , ξn = mn ) =

m! n p m1 p m2 · · · p m . n m1 !m2 ! · · · mn ! 1 2

(4.2.8)

QSRSTSUSV (4.2.8) WSXSY n Z\[^]S_S`SaSbSc\d^eS`Sa 0gfSh M (m; p , p , · · · , p ). 0 N Ò m ∈ {0, 1, · · · , n}, P (ξ = m ) m  k ÿno 45 m + (2) i)jkl %pq; P (ξ = m , ξ = m , · · · , ξ = m ) %  þ k# ···+m = m −m n

1

n

1

1

1

1

X

P (ξ1 = m1 ) =

2

X

=

(m2 ,···,mn ): m2 +···+mn =m−m1

=

2

n

1

2

(m2 ,···,mn ): m2 +···+mn =m−m1

1

2

n

n

P (ξ1 = m1 , ξ2 = m2 , · · · , ξn = mn )

m! n p m1 p m2 · · · p m n m1 !m2 ! · · · mn ! 1 2

m! pm1 (1 − p1 )m−m1 m1 !(m − m1 )! 1   m2   mn X (m − m1 )! p2 pn × ··· m2 ! · · · m n ! 1 − p 1 1 − p1 m +···+m =m−m 2

1

n

m1 m1 = Cm p1 (1 − p1 )m−m1 .

rstu û Evw x ø 2)y  ý õ %  Ez{ s m E 

p2 pn +··· + 1 − p1 1 − p1

|} %~E "þ €  # ‚ƒ L„1… %

m−m1

j j P (ξk = j) = Cm pk (1 − pk )m−j ,

=



1 − p1 1 − p1

P (ξk = mk ),

m−m1

†‡ˆ‰ ÿ

j = 0, 1, · · · , n ,

=1

k = 1, · · · , n .

(4.2.9)

k #‹Š
Œ

Ž M (m; p , p , · · · , p )

‘
’
“

Ž
”
•
Œ

Ž 0—–
˜™ k š

‘
’“Ž”•ŒŽ” B(m; p ). 0 N 
› n
o m +m ≤ m % >
?
@ w m , m , p
q P (ξ = m , ξ = (3) 
‚
ƒ %; u m ) n

1

2

n

k

1

2

1

2

1

1

2

2

X

P (ξ1 = m1 , ξ2 = m2 ) = =

X

(m3 ,···,mn ): m3 +···+mn =m−m1 −m2

(m3 ,···,mn ): m3 +···+mn =m−m1 −m2

=

P (ξ1 = m1 , ξ2 = m2 , · · · , ξn = mn )

m! n p m1 p m2 · · · p m . n m1 !m2 ! · · · mn ! 1 2

m! pm1 pm2 (1 − p1 − p2 )m−m1 −m2 . m1 !m2 !(m − m1 − m2 )! 1 2

‡œ 0"1 % xžŸ / !,

P (ξi = mi , ξj = mj )

  € #‚ LM¡

¢3£)¤

)¥ ¦3§)¨ €ª0 ŠŒŽ M (m; p , p , · · · , p )•‘’“Ž” n = 3 ŠŒ ) i © Ž 0"–˜ (ξ , ξ ) ’“Ž” M (m; p , p , 1 − p − p ). «¬ (4) %­®3¯)°±² ¡ JK³„0 ŠŒŽ M (m; p , p , · · · , p ) k ‘’“Ž” n = k + 1 Š ŒŽ ¡"´ •ŒŽ B(m; p) µ” M (m; p, 1 − p). «¬ (5) %­®¶·¸¹º»H%¼ K0"½¾¿ N › no m + · · · + m = % >? ·P @ w C (m , · · · , m ), ˆ‰ · m−m 138

n

1

1

2

2

n

3

n

1

1

2

2

1

2

n

2

2

1

2

n

n

P (ξ1 = m1 , ξ2 = m2 , · · · , ξn = mn ) P (ξ1 = m1 )   m2   mn (m − m1 )! p2 pn ··· , = m2 ! · · · m n ! 1 − p 1 1 − p1

P (ξ2 = m2 , · · · , ξn = mn |ξ1 = m1 ) = =

m1 m2 m! mn m1 !m2 !···mn ! p1 p2 · · · pn m1 m! m−m1 m1 !(m−m1 )! p1 (1 − p1 )

« ¬ (2) ­® 2 vw xÁ y Âà  E 2 %ÄÅ ¡ ‡ r z{À s  §4.2.3 ÆÇÈÉÊË"’“ŽÌ’“ÍÎ uÏ ³Ð «¬ 0 ˆ‰Ñ ³ xžÒÓ ¡ &'3Ô)( (ξ , ξ ) %*+ÕÖ×w u p(x, y), s 1

2

Z

F (x, y) = P (ξ1 < x, ξ2 < y) =

t © 0

ξ1



ξ2

% Ÿ / !,!Ø u F1 (x) = F2 (y) =

ÙÚÛ

Z

Z

x

p1 (x) =

∞

∞

Z

y

p(u, v)dudv, −∞

(x, y) ∈ R2 .

p(u, v)dudv,

x∈R,

(4.2.10)

p(u, v)dudv,

y∈R.

(4.2.11)

−∞

x∈R;

p(x, v)dv,

−∞

−∞ −∞ Z ∞Z y −∞

Z

x

p2 (y) =

Z

∞

y∈R.

p(u, y)du,

(4.2.12)

Ý œ R(4.2.10) EÀ s  t © 0 Ù (4.2.12) E kÞß F%(x)×=w p (x)p À (u)du, s ξ %xÕ∈ ÖR×. w .áàâ0 p (y) À s ξ %ÕÖ×w ¡"… ‰ !Øã u ξ  ξ % Ÿ / ÕÖ ¡ ¿ l F
ä
å
æ
ç
è
é n ž
ê + Ë Ù
Ú n ž &
'Ô ( ξ , · · · , ξ %
*
+
Õ
Ö
×
w u p(x , · · · , x ), Ü ¹ Në › 1 ≤ k < n, k ž &'ìÔí( ξ , · · · , ξ % Ÿ / ÕÖ×w u Ë Ü ¹ 0

−∞

p1 (x) ≥ 0, p2 (y) ≥ 0,

x −∞

1

1

1

1

p1,···,k (x1 , · · · , xk ) =

∞ −∞

···

Z

1

1

2

2

2

n

Z

−∞

∞ −∞

1

n

1

k

p(x1 , · · · , xk , uk+1 , · · · , un )duk+1 · · · dun , (4.2.13)

î3ï)ðñòóôðñ

§4.2

1 2 (x , · · · , x ) ∈ R . € ‚õ „1… % k žŸ / ÕÖ×w ¡ Aö 3 ×w  € ÷ õ „ k žŸ /ø , ×w ¡ ù 4.2.5 ú xž &'3Ô)( (ξ , ξ ) %*+ÕÖ×w p(x, y) Ùû E k = 0"ü ø ØL„ ξ ý ξ % Ÿ / ÕÖ×w ý Ÿ /ø , ×w ¡ 7 Ë i (4.2.12) Eþ 1

k

k

1

1

p1 (x) = p2 (y) =

Aö Ÿ / ÕÖ×w RæM F1 (x) =

Z

2

139

žŸ / ÕÖ 2 (4.1.7) 4.1.3 k

2

∞

p(x, v)dv =

−∞ Z ∞

p(u, y)du =

−∞

x −∞ p1 (u)du Ry −∞ p2 (v)dv

=

Z

1 0

Z

1 0

1 (x + v)dv = x + , 2

x ∈ (0, 1) ; (4.2.14)

1 (u + y)du = y + , 2

y ∈ (0, 1) . (4.2.15)

Rx

1 0 (u + 2 )du = Ry 1 0 (v + 2 )dv =

1 2 2 (x + x), 1 2 2 (y + y),

0<x≤1;

Eÿ
0 Ÿ / ÕÖ×w €÷ i  * +ÕÖ×w Þ ¡ (4.2.12) ý (4.2.13) s 1 J ¡ ×w q(x, y) s u  x ù 4.2.6 ü « 0 Ù  ž  Ô (ξ , ξ )  6  ÕÖ Ë F2 (y) =

=

0
1

q(x, y) =



x+

1 2



y+

1 2



,

2

0 < x, y < 1 ?

7 Ë  å æ q(x, y) s  xž Ô (ξ , ξ )  ÕÖ×w ¡ ‡œ JK L„ ξ ý ξ  Ÿ / ÕÖ×w Ù (4.2.12) E k = ¡ û 4.2.5 ý û 4.2.6 2   Ô (ξ , ξ )  Õ
Ö
×
w Ý J
à
0 s ξ ý ÕÖ×w à¡ r Àÿ
ËÊÍÎ!"’“ÍÎ#$% ¡ ξ  Ÿ / ¿ & ' ä þ 0 ÙÚ (ξ , · · · , ξ ) s n ž()* Ô 0 Ü ¹ 132 ë+ k i  , -./ k ž ()* Ô 0"Ýœ1 ÕÖ €÷ i (ξ , · · · , ξ )  Õ s 345 0267 ,  ξ , · · · , ξ s Þß8 à   pq9: ¿  Ö Þ 2¡    À s ()*  ¡  = *  û n ()*, 0   Ô  (ξ , · · · , ξ )     ; < > Ù 6Ë u ? : (0, 1) ¿ @ › * p ù 4.2.7 ú {Ω, F, P }  q 9: 0A 1

1

2

2

1

2

1

2

1

n

1

1

1

»

n

n

n

∀ ω ∈ (0, 1) , u (  )*, 0  s xž Ô U (0, 1), GH þK 0 Ù
Ú ξ , · · · , ξ s Þ
ß8 à   p
q9: ¿  n 0OGœ PG … ‰ - s ()*, Q0 (ξ , · · · , ξ )

ξ1 (ω) = ξ2 (ω) = ω,

B ξJ -J C·Õ†ÖD×Ewø¡F (ξ , ξ ) I  s 0 i ¿& ' ä
J
K  LMN  , 0 Ü ¹ s n ž()* Ô ¡ ξ1

1

2

2

1

n

1

n

¢3£)¤

140

¥)¦3§)¨

ÆÇÈÉÊËRSŽÌRSÍÎ T ö Ÿ U ÕÖ 0 JK VW n ž ()* Ô XYøF0Z ÷ xžÒÓ u û ¡ ÙÚ N a < b, · P (a ≤ ú xž(Ü )¹ *T  Ô (ξE , ξ )  € [ \ ÕÖ u p(x, y), E VW„ ξ 8XY a ≤ ξ < b ξ < b) > 0, ö (4.2.12) 06 (4.2.6) Â] XY ø FË §4.2.4

1

2

2

1

P (ξ1 < x, a ≤ ξ2 < b) P (a ≤ ξ2 < b) Rx Rb Z x Rb p(u, v)dudv p(u, v)dv a = du . = −∞R ba Rb −∞ a p2 (v)dv a p2 (v)dv

2

P (ξ1 < x |a ≤ ξ2 < b) =

ÙÚÛ

Rb

p(x, v)dv p1 (x|[a, b)) = Ra b , p (v)dv a 2

(4.2.16)

x∈R,

Eÿ
p (x|[a, b)) À s ξ 8XY a ≤ ξ < b Â] XY ÕÖ×w ¡ ^_ ·`  s Ë ? : [a, b) a Öbc 0  Ò Ó ¡ed 8ú a = y, b = y + ∆y, 1 f ∆y > 0, Ýú p (y) > 0, ˆ‰ 5 ³ ∆y → 0  Ò Ó ¡ i (4.2.16) Eþ

Ü ¹

(4.2.16)

1

1

2

2

P (ξ1 < x |y ≤ ξ2 < y + ∆y) = =

ˆ‰ · ‡ ÙÚ Në ›

c s

(4.2.17)

Rx n −∞

1 ∆y

1 ∆y

R y+∆y

E , u

gh

−∞

o

y

p(u, v)dv du

y

p2 (v)dv

R y+∆y

1 ∆y→0 ∆y lim

u ∈ R,

R x nR y+∆y

Z

1 lim ∆y→0 ∆y

Z

y

p2 (v)dv

.

(4.2.17)

y+∆y

p2 (v)dv = p2 (y) . y

1 ∆y→0 ∆y

lim

y

R y+∆y

o p(u, v)dv du

R y+∆y y

p(u, v)dv

i80 Ü ¹Àjk·

y+∆y

p(u, v)dv = p(u, y) . y

P (ξ1 < x | ξ2 = y) =

Z

x −∞

p(u, y) du , p2 (y)

l 4 ¿ l ç m "0 ˆ‰ ½¾¿Mn Ù ] Þ â Ë

x∈R.

(4.2.18)

î3ï)ðñòóôðñ %×o w 4.2.1 ÙSÚ xSžp(p)p*pp Ôq 0 Q0

§4.2

À s

ξ1

p1 (x | y) =

8XY

(ξ1 , ξ2 )

p(x, y) , p2 (y)

pp ÕSÖ u

x∈R,

Â] XY ÕÖ×wr ‡ ÙÚ

ξ2 = y

p2 (y | x) =

p(x, y),

p(x, y) , p1 (x)

p1 (x) > 0,

» G

141 p2 (y) >

(4.2.19)

»×w

x∈R,

(4.2.20)

Â] XY ÕÖ×w ¡  8  X Y ξ =x st Ë ½
¾
¿ 0 i (4.2.18) E
þ 0 p (x | y) s   Õ
Ö
×
w 0 Ý
œ
N
ë › x ∈ R, ? : (−∞, x) ¿ N u uø À s XYøF P (ξ < x | ξ = y). p (u | y) 8 v
+ ËwXY Õ
Ö
×
w   s ÕÖ
×w 09k ÷… ‰ j G n
oÕÖ
×w xX Hy ¡ ù 4.2.8 ú  Ô (ξ , ξ )  ÕÖ u − x − y), x, y ≥ 0, x + y < 1 .  Õ Ö×wr (2) ξ 8 ξ = QXY ÕÖ×w ¡ L Ë (1) ξ 8 ξ =p(x, y)Q= X24y(1 Y z Ëw{ Ñ [\ (4.2.12) E 0 L„ p ( ) ý p ( ):
R
R
À s

ξ2

1

1

1

1

1

2

2

1 2

1

2

1

1 1 2

2

1 2

1 2 2

1 ∞ 1 1 1 1 2 2 = −∞ p 2 , v dv = 24 0 v 2 − v dv = 2 ; 1
R
R
∞ p2 12 = −∞ p u, 12 du = 12 02 12 − u du = 32 .

p1

| ø Ø i JK

(4.2.20)

ý

(4.2.19)



p(x,y) = 2p 21 , y = 48y 12 − y , p1 ( 12 )

= p(x,y) = 23 p x, 12 = 8 21 − x , p2 ( 12 )

p2 (y | 12 ) = p1 (x | 21 )

Eþ 0

R

1 2

R

1 2

0
1 2 ; 1 2 .

k ÷ 0 …  ‰ - s ÕÖ×w ¡ E} l n  ÕÖ B ŸU ÕÖ ý XY ÕÖÂ: ~ ¡ r (4.2.19) ý (4.2.20)  ~ · Q  €÷ ö 5 L  ÕÖ ¡"³  û > Ë ù 4.2.9 ú λ > 0, ,  ζ  ÕÖ×w u p (x) = λ xe , x>0, ? : ¿ ‡Ör,  η C† Õ(0,Ö×ζ) w ¡ DEøF0 L Ë (1)  Ô (ζ, η)  Õ , z (2)Ë i ¬ + þ  0wη8  ° Þ ζ = x XY ] 0 η J · XY Õ
Ö p (y|x) = , x > 0 , k ÷ (ζ, η)  ÕÖ×w u p(x, y) = p (x)p (y|x) = λ e , 0
p2 (y | 12 )dy =

2

1

0

p1 (x | 21 )dx = 1 ,

−λx

2

1

6 η C†€ w u

p2 (y) = λ



R∞

−∞

2 −λx

2

p(u, y)du =

Poisson

øF

R∞ y

P (λ).

λ2 e−λu du = λe−λy ,

y>0,

1 x

¢3£)¤

142

¥)¦3§)¨

 ‚ƒ„…†‡ˆ‰ ,  MN HpŠ s pq ä f ‹ŒŽ pŠÂ 0 à  MN H
pŠ 0 ,  MN H
pŠ‘’“ øŒ”ö ¡ {
ш
‰ ° ,  LMN  Þß ¡ %• 4.2.1 c ú … ξ , · · · , ξ s Þ
ß8 y à   p
q9: ¿  n  , 0 ‰øFm ‰ ŸU øF u06 §4.2.5

1

n

F (x1 , · · · , xn ) =

n Y

Fk (xk ) ,

Ü ¹À  ã … ‰   LMN¡ ˆ‰ þK 0 (4.2.21) E  |} m c k=1

∀ (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn ,

P (ξ1 < x1 , · · · , ξn < xn ) = P



n T

½  „ Y Ù
Ú … (4.2.21)



(ξk < xk ) ,

‡1– } m c Q P (ξ < x ), k ÷ (4.2.21) E m— c Ë"Në › (x , · · · , x ) ∈ R , ½ Y (ξ < x ), · · · , (ξ < x ) - LMN¡ | i ¾ , ×w ä þ˜ 0 þ r  ½¾ m— c Në › n  Borel ™ B , · · · , B , ½ Y (ξ ∈ B ), · · · , (ξ ∈ B ) - LMN¡ T ö ¿ l ½¾ 0"ˆ‰ N 6 Mé Ë ÙSÚ (ξ , · · · , ξ ) s n pž šp›p*pp Ôqp0œpžp™p
ø Ø u {a }, · · · , {a  % o 4.2.2 » ,  ξ , · · · , ξ LMN ŸXY s n

k

k=1

k

1

n

n

k=1

1

1

n

n

1

1

1

n

1

1

n

n

(1) i

n

n

n   Y   (1) (n) (k) P ξ1 = a i1 , · · · , ξ n = a in = P ξ1 = a ik , k=1

∀

(k) a ik

∈

(k) {ai },

k = 1, · · · , n.

(4.2.22)

‡N c ()* Ô0"ˆ‰ Fä s Ë Ù
Ú (ξ , · · · , ξ ) s n ž()* Ô0 » ,  ξ , · · · , ξ   % o 4.2.3 LMN ŸXY s (ξ , · · · , ξ )  ÕÖ m c …  n   žŸU ÕÖ  y u ¡ st  Ë P ÷  n = 2 Ò . uû ¡ i)Þß 4.2.1 þ 0x  ,  ξ B ξ  LMN 0Gœ PG … ‰ ø Fm c … ‰  Ÿ U ø F y u06 1

1

n

1

n

n

1

F (x, y) = F1 (x)F2 (y) .

(4.2.23)

p(x, y) = p1 (x)p2 (y) ,

(4.2.24)

ÙÚ … ‰ ÕÖ m c … x  ŸU ÕÖ  y u06 Ü ¹¡ HN ¢

2

- ·

(x, y) ∈ R2 , Rx Ry Rx Ry F (x, y) = −∞ −∞ p(u, v)dudv = −∞ −∞ p1 (u)p2 (v)dudv

(n) i },

î3ï)ðñòóôðñ

§4.2

£ þ

143

Rx

Ry

p (v)dv = F (x)F (y) , 3 Ù Ú s x ž¤(¤)¤*¤¤ Ô2¤0"Ý œ n o  ¤  ¤ L ¤ M N ¡ ξ B ξ 0 (ξ , ξ ) (4.2.23)  ¥ 0 Ü R¹ N R¢ (x, y) ∈ R , - · =

1

−∞

2

p1 (u)du

−∞

2

1

1

2

2

2

x y p(u, v)dudv = F (x, y) −∞ −∞ Rx Ry = −∞ p1 (u)du −∞ p2 (v)dv =

= F1 (x)F2 (y) Rx Ry p (u)p2 (v)dudv , −∞ −∞ 1

^_¿ ¥x } 06 M (4.2.24) ¥ ¡"¿ l  JKçèé n žê  ¡ 8j & À s ¦ûL¬MN f 0Gˆ‰
r©§¨ª ³l é4M« N  ,  û > ¡ ûÙ ³0 „û ¡ 4.2.1 f Ýœ8› 0 m± ¥ pÙÚ = p p ° ܬ ξ B l ξ4 VW    é ¯      ° 0 ] XYøF0ህ³‰²­´ ® ˹ ξ 8 Þ MξN¡ ër Ü    L   à  Ÿ U x žû X> Y f XYøF- B ¾µ¿ ¶· c ør F   0 üξ B «ξ¬  f ¹ · >   Ô (ξ , ξ )  5 à º» ¼0½1 f 3  ¼ ¿ õ ’w¾ 0, ¯¿ x  ¼ ¿ õ ’w˾ 81.¸ † f  À œx  ¼á0 ø Ø ö ξ ý ξ ÿÁ x  ¼ ¿ kõ w¾ ¡ Ü ¹ 0eG · ¹
ÂÀ œQ0 Á )0 ‡Ä ¹
ÂÀ œQ0 … ‰øFà » Ùû … ‰ Á ¡ øF÷ à ûz Ùû 4.2.1 k f s LMN 0ᇠû 4.2.2 f  ξ B ξ » 4.2.2 k k 0 4.2.1  ξ B ξ © H ¡ ˆ‰Å v + é 0 û 4.2.6 f  ÕÖÀ m c … x  ŸU ÕÖ  y u0Gk ÷ ܬ x  ,  LM N ¡ i› Þ
ß 4.2.1 ©ª  ç þ 0 Ù
Ú n  LM,  N ¡ ξ , · · · ,rξ Ç Lä MN  0 ܯ¹)°… ±‰ ²Â ¡ f ˆ‰Æ  ëà k (2© ≤Ä k  < n) ° „ Ù , ] Ç   ä ‹ "0 ˆ‰ ƒ Ë  Ù Ú s %o 4.2.4 L © ξ È, · · · , ξ 9 > n  Lf MNØÊ · , 0 AËýÌ A»sÍ ™› {1, · · · , n} x x ø Ø u k Ë ý k Ë  É Borel €™Î 02×1 w ø f ý g ‡Ïk 0 ý ηk = f (ξ , 0 i ∈ A ë ) ý s  LMN  ,  ¡ η = g(ξ , j ∈ A ) x ÐÑ 4.2 ÒÔÓÔÕÔÖÔ×ÔØÔÙÔÚeÛe×ÔØeÜeÝeÕeÖÔ×eØeÞ ßÔàÔáâäã ÙÔ×ÔØÔåÔÝ 1

2

i· ·j

ij

1

1

1

2

1

2

1

1

1

j

2

n

n

1

1

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

i

1

2

1.

2.

(ξ1 , ξ2 )

ξ1 \ξ2

æeçeè

0

1

2

3

4

5

0

0

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

1

0.01

0.02

0.04

0.05

0.06

0.08

2

0.01

0.03

0.05

0.05

0.05

0.06

3

0.01

0.02

0.04

0.06

0.06

0.05

ÙÔ×ÔØÔåÔé

ÙÔ×ÔØÔåÔÞ

(1) P {ξ2 = 2|ξ1 = 2}, P {ξ1 = 3|ξ2 = 0}; (2) η1 = max(ξ1 , ξ2 )

(3) η2 = min(ξ1 , ξ2 )

(4) ζ = η1 + η2

Ùe×eØeåeé

¢3£)¤

144

ßÔàÔáâäã

3.

ñ

ÙÔêÔëÔìÔíÔÝ

1 xk1 −1 (y − x)k2 −1 e−y , Γ(k1 )Γ(k2 )

p(x, y) =

îÔï 4.

(ξ, η)

ÙÔìÔíÔòÔóÔÝ

k1 > 0, k2 > 0, 0 < x ≤ y < ∞.

(ξ, η)

æÔçÔè

(

p(x, y) = (1)

õÔó

æÔç ð ÙÔÚÔÛÔ×ÔØÔìÔíÔÞ ξ

η

Ae−(2x+y), 0

Ôî ô ÙÔÚÔÛÔ×ÔØÔé

x > 0, y > 0, .

A; (2) P {ξ < 2, η < 1}; (3) ξ

ßÔàÔáÔöÔã ÷ÔìÔí ø ùÔúÔûÔü ýÔÙÔþÔÿÔ×ÔØÔÞ æÔç ÙÔæeìÔçíÔ òÔ óÔ Þ  
ÔíÔÝ Ù      ÔÒÔÓ   ÷Z (5) p(x|y); (6) P {ξ < 2|η < 1}.

5.

η

6.

12.

η

a>0

a

1 √ 2π

ßÔàÔáÔöÔã

8.

11.

(0, ξ)

x > 0,

a

7.

10.

(4) P {ξ + η < 2};

ξ

p(x) = λ2 xe−λx,

9.

¥)¦3§)¨

(ξ, η)

ÒÔÓ è ð

e−

ÙÔêÔëÔìÔíÔòÔóÔÝ

p

dx ≤

−a

1 + xy , 4

p(x, y) =

1 − e−a2 .

|x| < 1

$ !"ÔÙÔÞ ) 1 ' ÔýÔÙ(

!"#

ð

x2 2

    ÔÙ  eÞ



|y| < 1.

! "&%ÔùÔú −1 ð  ×ÔØ ø ζ = ξη. ÒÔÓ è ξ, η, ζ !" #*+!Ô " Þ ß ξ Ý,Ô- ÙÔàÔáÔöÔãOÒeÓ ξ ð.ÔàÔáÔöÔæã8!9 " 0/ 12  ξ ð4356!"ÔÞ ß ξ Ý,-7 c ÙÔàÔáÔöÔã η ùÔúÔ×ÔØ F , (ξ, η)$ è ÙÔêÔëÔ×ÔØÔÞ ßÔàÔáÔöÔã $ η ùÔúÔ×ÔØ F , : F (x) ;Ô< Ù=Ô×>?@A è  . x ∈ R, %Ô÷ P (η = x) = 0. # B7 n (n ≥ 2) C à á2â ãBDBEBF'BBGBHI ÞKJ JLBB. (x , · · · , x ) ∈ R ,e % ÷ P (ξ = x , · · · , ξ = x ) = 0, àeá âã (ξ , · · · , ξ ) Ùeêeëe×eØeòeó M N > ; < (OP èQR ýS ï Ù T U ). V  Q

ñ

ξ

η

ξ2

ξ, η

η2

η

η

η

1

n

13.

1

1

n

n

1

ñ

s

a) b)

 1+ xi , p(x1 , · · · , xs ) = i=1 

ÔÒ Ó è XÔß Ô C àÔáâäã

p(x , · · · , x ) $  1

s

s

.

s

(ξ1 , · · · , ξs )

ñ

*+!"Ôé

îÔô

1 2

≤ xi ≤ 12 , i = 1, 2, · · · , s;

0,

ï

Y

WÔìÔíÔòÔóÔé

(1) ξj ∼ U (− 12 , 12 ), j = 1, · · · , s ; (2)

−

2 ≤ q < s, ξ1 , · · · , ξs

n

.

ÔÝ ìÔíÔòÔó æ ÒÔÓ è ÔàÔáÔöÔãÔþ*+ !"eé

p(x1 , · · · , xs )

.

q

(3) ξ1 , · · · , ξs → − (1) → − (2) (4) ξ = (ξ1 , · · · , ξq )τ , ξ = (ξq+1 , · · · , ξs )τ , 1 ≤ q < s,

 s  (1) (2)   1 + Q xi , → − → − p ξ |ξ = i=1  0,

ñ

−

1 2

îÔô

:

≤ xi ≤ 12 , i = 1, 2, · · · , s; .

n

§4.3

14.

Z\[^]\_a`abacadðñ

145

JÔðeDÔÙÔ×ÔØÔ÷ * fÔÙ  geÞ V F (x, y) $ àÔáâäã (ξ, η)æ ÙÔ×ÔØÔòÔó G(x) h H(y) ×1 $ G(x) h H(y) $ ;<ÔòÔó Ò F (x, y) M $ ; <ÔÙÔÞ

ξ

h

η

ÙÔÚÔÛÔ×ÔØÔÞwñ

i jklkmknkokpkqkrks k axayaza{a|a}a~aa€ Fa4‚ vawaƒa|a€ aF „

5 vaw tau a

§4.3

@

…a†a‡aˆa‰aŠ ‹aŒaaŽ a‘ n |a’a“a”a•a–a—aaza˜a™^š\› (ξ , · · · , ξ ) a œ ažaŸ ¡ €a¢az „ £a¤ 4.3.1 ¥ D ¦ n | Borel §a4¨ 0 < L(D) < ∞, ©aª §4.3.1

1

p(x1 , · · · , xn ) =

1 , L(D)

n

(x1 , · · · , xn ) ∈ D

¦a«a¬a­a® z n |a}a~aa€a¢ ¦ n |a  ¡ €a¢ 4¯a¦ U (D). °\±a²a³a´aµaŽ  ‹a¶ n |a˜a™^š\› (ξ , · · · , ξ ) žaŸ €a¢ Borel § B ⊂ D, º 1

P ((ξ1 , · · · , ξn ) ∈ B) =

n

L(B) L(D)

n

|a 

(4.3.1)

U (D),

·a¸a¹

.

n

 ¼a½^¾\4¿ ˜a™^š\› (ξ, η) žaŸ €a¢ a zaÄaÅ «a¬aÆ (2) ÇaÈ ³ η = y (−1 < y < 1) zaÉaÊa”  U (D), ÀaÁa (1) ξ à η zaÉaÊ «a¬a„ ξ Ë ÂÌ Ž (ξ, η) zaÍa“ «a¬a­a®a¦ »

4.3.1

¥

D = {(x, y)| x2 + y 2 < 1}

1 π

x2 + y 2 < 1 .

ÎaÏ  (1) Ð |x| ≥ 1 Ña p (x) = 0; ¿aÐ |x| < 1 Ña4º R R p (x) = p(x, v)dv = = ÒaÓ ¸a©aÔ µaŽ p(x, y) =

1

1 ∞ −∞

,

√ 1−x2 1 √ − 1−x2 π

2 π

p

2 π

√

1 − x2 .

2

1 − y , |y| < 1 . Õ ‘aÖa×aØaÙ tau Â4¼a½^¾ Õ za  ¡ €a¢azaÄaÅa€a¢aÚ  ²a|a  ¡ €a¢ „ ³ η = y (−1 < y < 1) zaÉaÊa”  ξ zaÉaÊ «a¬a¦ (2) ÇaÈ p2 (y) =

Œ ª Ï Ñ

ξ

žaŸaÛaÜ

√2 2 , P1 (x|y) = p(x,y) p2 (y) = 1−y p p 2 2 [− 1 − y , 1 − y ]

|x| ≤ |y| ,

Õ za  ¡ €a¢ „

Ýa†aÞaßa‰aŠ v waèa|aâaãa€a¢ „ tauaà Ç ±aáavawaƒa|aâaãa€a¢ 4äaåaÇaæaç a

§4.3.2

|

é^ê\ë

146

£a¤

4.3.2

¥

a 1 , a2

¦a×a®a

¿

σ1 > 0, σ2 > 0,

|r| < 1,

ì\í^î\ï

©aª

1 √ p(x, y) = × 2πσ1 σ2 1 − r2    −1 (x − a1 )2 2r(x − a1 )(y − a2 ) (y − a2 )2 exp − + ,(4.3.2) 2(1 − r2 ) σ12 σ1 σ2 σ22

¦ð«ð¬ð­ð® zðƒð|ð}ð~ðð€ð¢ ¦ ƒð|ðâðãð€ð¢ 4¯ð¦

N (a1 , a2 ; σ12 , σ22 ; r),

ñóò

2

(x, y) ∈ R .

tau a å öa÷ R R p(x, y)dxdy = 1 . a z a ø ù a ² a ú a û ^ ù ü  ça ø 6.1 ò\Èaýaþaÿ z
a€

aø „ ­a® p(x, y) â ãa€ tauaà


 ƒa|aâaãa€a¢ N (a , a ; σ , σ ; r) zaÄaÅ «a¬a„ Ç
a¹ a ¢ z 
 ò 


a Ú 

 à   



a„ taua
ôaõ

p(x, y) > 0 ,

∞ ∞ −∞ −∞

1




u=

p1 (x) =

Z

∞



4ä 

p(x, y)dy =

−∞

t=

v−ru √ , 1−r 2



u2 1 e− 2 2πσ1

x−a1 σ1 ,

2 2

v=

y−a2 σ2

Z

1 √ 2πσ1 1 − r2

,

  2 u − 2ruv + v 2 exp − dv , 2(1 − r2 ) −∞ ∞

" #) 2 1 v − ru 2 √ exp − +u dv 2 1 − r2 −∞ Z ∞ (x−a1 )2 t2 u2 1 1 1 2 e− 2 dt = √ e− 2 = √ e σ1 . ·√ 2π −∞ 2πσ1 2πσ1

1 √ p1 (x) = 2πσ1 1 − r2 =√

2 1

2

Z

(

∞

±   ˜a™
a› ξ zaÄaÅa€a¢  ²a|aâaãa€a¢ N (a , σ ). 
 µ   η zaÄaÅ
€ð¢  ð ² |ðâðãð€ð¢ N (a , σ ). ±ðú Öð×ðØðÙ tðu  ƒð|ðâðãð€ð¢ðz ðúðÄðÅð€ ¢
!  ²aa | âaãa€a¢ „ "   Ç Í𓠫ð¬ p(x, y) ò$#ðº %ð® r, ¿ ðúðÄðÅ «ð¬óò ! & º %ð® r, Œ ª´ Ía“ «a¬ p(x, y) Ú
'^° ÿ z
aúaÄaÅ «a¬ Œ
z
(a/
³ 0
„41 æaçaå
) $(
*aú %a® z  „ tau å
+
,  4ñ^ò %a® r -
.aþ ξ Ã η ¬a„ Ú 3 Áaýð­a® p(x, y) Ç
4
5aç Õ z
6a€
7 „4Öa× Õ  ÒaÓ Õ ç z 

2 ¶ 
tau º 1

2

Z

± œa÷  þ

2 1

2 2

 p(x, y)dy dx −∞ −∞ −∞ −∞   Z ∞ Z ∞ 1 (x − a1 )2 = p1 (x)dx = √ exp dx = 1 . σ12 2πσ1 −∞ −∞ ∞

(4.3.2)

Z

∞

p(x, y)dxdy =

8 Œ Èaý z ­a®

Z

∞

p(x, y)

Z

∞

z
(  ²aú «a¬a­a®a„

ì í^î\ï9
: ; \  ý ÉðÊ «ð¬a„ ° ¹ ðúaÄðÅ «ð¬ ÒaÓ Õ ç z 

2 ¶   a < Ì >
>
? ¹ 0, @a
¸ A – y ∈ R, ! º §4.4

p(x, y) 1 =p exp p1 (x|y) = p2 (y) 2π(1 − r2 )σ1

(


 µaŽ Â

η

ÇaÈ ³

p1 (x)

(x − a1 − r σσ12 (y − a2 ))2 σ12

"  ^ ñ ò z y aÖ à È ³az
7  Œ ª Õ 8   ²a|aa â ãa€a¢ N (a1 + r

147

ξ

ÇaÈ ³

η=y

)

,

=

p2 (y)

x ∈ R.

Ñ zaÉaÊa€a¢ 

σ1 (y − a2 ), σ12 (1 − r2 )) . σ2

(4.3.3)

σ2 (x − a1 ), σ22 (1 − r2 )) . σ1

(4.3.4)

Ñ zaÉaÊa€a¢  ²a|aâaãa€a¢

ξ=x

N (a2 + r

‹ Õ ƒ 8 €
B
C ¦ N (a , σ ) = N (a , σ ), D €
B à ξ = η zaÄaÅa€ · ¢
/ a„ Ï Ñ Ía“ a « ¬
a¹ ƒaÄaÅ «a¬ z
E
6 0Ÿa¿ ξ à η /
F
G
H „ ± a œ Ç ²a³ a´ Õ
I  þ
%a® r J
# ´ „K ²
L J
# ´ åaÇ ”a²
M ò N
Oa„ ‹a¶

r = 0,

2 1

1

P
Q

2 2

2

4.3

RTfhgSTUWVYX (ξ, η, ζ) ZT[T\Tfh]Tg ^ D = {(x, y, z) : x + y + z ξ `hihjhchdhk (2) ξ lhmhn η, ζ `hohphqhrhshthu 2. RhShUVvX (ξ, η) whqhr 2

1.



1 x2 + y 2 p(x, y) = exp − 2π 2



2

xy 1− (1 + x2 )(1 + y 2 )

2



< 1}

_T`TaTbTcTdTe

(1)

−∞ < x, y < ∞.

,

h` ihjhqhr{v|h}T~Tu€TT‚ yTƒT„T…T†T‡ˆ xhyhz€Œh 3. R ξ ‰ ξ |hShUhŠhXhe€‹ ζ = ξ + ξ , ζ = ξ − ξ . ζ , ζ |hŽhhh‘h` }h~hShUhŠhXhe€’ ξ ‰ ξ “ |h}h~hfhSh—hUh˜ ŠhXhu 4. ” (ξ, η) Zh[h•h–h}h~hchd (4.3.2), ξ + η ‰ ξ − η Žhhh‘h`h™hšhohpTu xhy e Œh ξ + η 5. R ξ ‰ η ›hh‘hœhchdh`hShUhŠhXhežhqhrhshthŸh T¡ 0 ¢hwh•h£h¤hthu ‰ ξ − η Žhhh‘he€’hShUhŠTX ξ, η, ξ + η, ξ − η ahZh[h}h~hchdhu 6. ” (ξ, η) Zh[h•h–h}h~hchd N (a, b, σ , σ , r), ¥ D(λ) ‹h¦h§h¨h©h`ªv« xhyhz

1

ξ, η 2

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

fhgh¬h­

2

2

(x − a)2 2r(x − a)(y − b) (y − b)2 − + = λ2 2 σ1 σ1 σ2 σ22 P {(ξ, η) ∈ D(λ)} .

® ¯°±°²°³°´°µ ° ¶¸·º¹¼»¸½¸¾¸¿ ˜ ™¸ › J ­ ®¸ÀÂÁ Ç ¸½
¾ ˜ ™^š › J ­a®¸ÃÅÄ ¶  ³a´ Ç
 ²aúa—
Æ
Ç Ü Õ J n úa˜a™
a› À¼È
É (ξ , · · · , ξ ) œa ²aú §4.4

1

n

Ê ˜a™

ξ1 , · · · , ξn n

é^ê\ë

148

ì\í^î\ï ³a´ ) œa

š\› Ë µ
Ì ­a®
ÀËÈ
É ζ =: g(ξ , · · · , ξ ė Æ
¶ Ç g(xÕ , · ·˜a· , ™
x a)  › n ¶
Ê ·
Borel Ã
Î ζ ©a¦ ± n úa˜a™
a› Ja­a®
ÀÏÐ Ñ n Ê Ç
Í Ü J à ˜a™^š\› (ξ , · · · , ξ ) Ja­a®
à ¶
· J
A
Òa ° (ξ , · · · , ξ ) J Ía“
Óa¢ Áaýaña­a® J Óa¢ à ™  › J *¸Û ù 8
J ­ ®
ÀÂÜ
Ä ÂÅÄ ¶ ξ , · · · , ξ ×¸Ô¸Õ¸Ö ò »¸× )¸Ø¸Ù¸Ú ú ˜ ¸  n Ý
Þ
ß^ ò J
à
á 7 ÀÈ
É ζ =7 ξ + · · · + ξ œa n Ý
Þ
ß^ò J
â
à
á 7 Æ ¿ ζ = max{ξ , · · · , ξ } œa
 ã ? à
á  Æ äa¹ ζ = , k = 1, · · · , n * ·a Ý
Þ
ß^ò J
à
áaÇ
â
à
á^ò å
æ
Jç è
ÃTé
êaÑ
ÀTÄ ¶ ª (ξ, η) 

ë
ì
í 1

n

1

1

n

1

n

n

1

1

1

n

n

n

k

ξk ξ1 +···+ξn

J
î
ï
ð
ñ
ÀÈ
É p ρ = ξ + η , θ = arctan ò¸Ó¸B¸ó¸ë¸ì¸í  ð¸ñ
ô í J
õ¸
=
ö¸ï
J 7 À0¹ ó (ρ, θ) ò¸ó¸ë¸ì¸í J¸ö¸ð¸ñ
à ò Ú
÷
ø ) Ó
B Ø
ù ρ = θ, ¿a¨ ø )
Ø
ù
ú
Ê
û
üý þ (ρ, θ), äa¨ ø ) ¹ ° ó ¶
· a Í
ÿ
Ó
Áaý (ρ, θ) J Í
ÿ
Ó
à ±
 J
Ü

 µ ª
aý

Ú
à (ξ, η) J §4.4.1 




¶
a · à
ã
a ¼
J


,

à ¥ (ξ, η) ó ú
Ê



û¶
üý þ
À ÿ
J
 7 § 7 ÿ ¦ ÿ {(i, õj) ó
|i,
j =
0, 1, · · ·},ÿ äa¨ P (ξ = i, η = j) = p , Ä ζ = ξ + η, È
É ζ J
 § Ð ®a§ À ä 2

η ξ

2

i,j

¨aº

P (ζ = k) = P (ξ + η = k) =

k X i=0


B
 ÀÄ ¶

ξ

Ã

i) = ai , P (η = j) = bj

P (ξ = i, η = k − i) =

k = 0, 1, · · ·(4.4.1) .

ó
/
F
G
H
J 
 
 ® 7 J û ü  þ À4äð¨  ¦ , È
É (4.4.1) 8 k X i=0

k X

pi,k−i ,

i=0

η

P (ζ = k) = P (ξ + η = k) =

=

k X

P (ξ =

P (ξ = i, η = k − i)

P (ξ = i)P (η = k − i) =

k X

ai bk−j ,

k = 0, 1, · · · .

(4.4.2)

a¤ 4.4.1 ¶
·
Î /
F
G
H J
û
ü  þ
J
=
J Ó
©a¦
%aÃaÁ
=
J û
ü  þ 6  8
à 
B
 ÀWÄ ¶ %aÃðÁ
= J û J Ó
J
Ó

/6 À4¿ Î
 8 ¶
(4.4.2) a ©
¦



  ü þ
J 
ÀÈ
É · ò Î ÿ · J
=
J Ó
©a¦
Í Û
Ó
J ! 6 Ã » 4.4.1 ¥ 0 < p < 1, û ü  þ ξ Ã η / F G H À4ä ¨ ξ " ú Ý Ó#

ú
Ý Ó
B(m; p), ÀaÁ ζ = ξ + η J Ó

$ Ã B(n; p), η " i=0

i=0

§4.4

ì\í^î\ï9
: ;

Ë Â¯

°

 6  8

q = 1 − p,

P (ζ = k) = P (ξ + η = k) =

k X

149 (4.4.2)

%

ai bk−j =

i=0

= pk q m+n−k

k X

k X i=0

k−j k−i m−k+i Cni pi q n−i · Cm p q

k−j k Cni Cm = Cm+n pk q m+n−k ,

k = 0, 1, · · · .

(4.4.3)

 ζ = ξ + η " ú
Ý Ó
B(m + n; p). ±aú Ô
(Ð Ñ
ú Õ
&
2 ¶
 ×
º
' À ÿ 6
)
*
Ô À!+aÐ "  À ±aá J
%a® p ó  ²aú Ã î
, Õ 

" ú
Ý Ó
B(m + n; p). Ú
3 ÷ 6587¸Ó8 Ã Poisson Ó8 Ï89 º8 68)8*
· J  Ô  À 8 ä
: a < ¸ Ì
 a ÿ ´ Ã ¸a¹
ú
Ê
;
<

û
üý þ
À ¶
· ºa 
= 4.4.1 Ä ¶ (ξ, η) ó ú
Ê
;
<

û
üý þ
À ÿ · J Í
ÿ «a¬
> p(x, y), · ÿ · J
= ξ + η ó ;
<

û
ü  þ
À?a 9 ºa«a¬a­a® pξ+η (x) =

@
A Â à Á

Z

∞

Z

∞

p(u, x − u)du,

J Ó

B
RC R F (x). ¶
· º

−∞

ξ+η

p(x − t, t)dt =

−∞

∀ x ∈ R.

(4.4.4)

R∞ R x−u F (x) = P (ξ + η < x) = = −∞ du −∞ p(u, v)dv u+v<x p(u, v)dudv o R∞ Rx R x nR ∞ = −∞ du −∞ p(u, t − u)dt = −∞ −∞ p(u, t − u)du dt.

Jó
Ó
B
C F (x) ó ñ^ò J
D
B
E
C F^ò J B
C ÇaÛaÜ (−∞, x) Õ J ;
<

û
ü þ
Àñ
H
I Ä (4.4.4) ò J
J
ú
8
å ÆLK 6
Ó
ÀhM
å
N G À?O ξ + η (4.4.4) ò J
J
P
8
à 
B
 ÀÄ
Q ξ Ã η /
F
G
H À?R (4.4.4) 8  > ±
ò I  À 6
Ó

ξ+η

pξ+η (x) =

Z

∞

pξ (x − t)pη (t)dt =

Z

∞

pξ (u)pη (x − u)du,

¶
·
Î (4.4.5) 8
T
>
H
I B
C Ò Ó (4.4.5) 8
Àa a < Ì
Uaý ξ + η J Ó

B
C 
S

−∞

−∞

4.4.2

Z

pξ (x)

Ã

pη (y)

∀ x ∈ R.

J
 6  8
Ã

(4.4.5)

F (x):

x

F (x) = P (ξ + η < x) = pξ+η (s)ds −∞  Z x Z ∞ Z ∞ Z x = ds pξ (s − t)pη (t)dt = pξ (s − t)ds pη (t)dt −∞ −∞ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ = Fξ (x − t)pη (t)dt = Fξ (x − t)dFη (t). −∞

−∞

150



O Ú
÷ Ä  6 

é^ê\ë

 R∞

ì\í^î\ï

F (x − t)dF (t). ¸ 6 Ó ù W J ¸ ¶ · stiltjes ( å Ç æ ç¸N¸O8V Û¸6¸Ó ), 8O8G Î 88 8 8
Ï 
 >
V aÛ ù 8
à 
S 4.4.3 ¶
·
Î

Ï À Ò Ó

F (x) = P (ξ + η < x) =

Fξ+η (x) =

Z

∞ −∞

Fη (x − t)dFξ (t) =

Z

−∞

∞ −∞

η

ξ

Fξ (x − t)dFη (t),

x∈R

(4.4.6)

T8> Ó88B8C F (x) Ã F (y) J8 6 ÀYX  F =6 F ∗ F ; ¸B8 À Ç F = F = F Ñ
À?X F = F ∗ F, ä
:
Tañ
> F J
ú
è ! Ã ôaõ O
G
K
Z Ó

B
C J
Ú
è
 6
[  À 
 Ä W 2
¾ Â 
= 4.4.2 ÄQ ξ , · · · , ξ ó\] Ç P ú^ Æ Ç Ü Õ J n ú / F G H J û ó
Ó

B
C F , · · · , F J
 ü6  þ
À?Raÿ · J
= ξ + · · · + ξ J Ó
F Â ξ

η

ξ+η

ξ

η

ξ

η

∗2

1

n

1


B
 À4Ð

n

ξ1 +···+ξn

ξ1

ξn

F = F ∗···∗F ;
/
F
G H ξ ,···,ξ À ä
:
" 
P Ó
F Ñ
À?_ 4 F = F ∗··· ∗F = F , 6 ñ^ò F T
> F J n è ! Ã ` 4.4.2 a
û
ü  þ ξ , ξ , · · · , ξ /
F
G
H (n ≥ 2), 
" % C λ > 0 J
b C
Ó
Ã4÷  À ξ + ξ + · · · + ξ " Γ(λ, n) Ó
À?c
aD ñ
H
I B

C ó Â ξ1 +···+ξn

1

ξ1

ξn

n

∗n

ξ1 +···+ξn

∗n

1

1

2

2

n

pn (x) =

Ë Â ¶
·aà
 ÒaÓ

å
G
À4Ð
: ÷ Ð

n

(4.4.5)

λn n−1 −λx x e , Γ(n)

8
d

p2 (x).

x>0.

" 


e 0 < u < x Ñ
À?_ p (u)p (x − u) > 0,

p1 (u) = λe−λu ,

p2 (x) =

p1 (x − u) = λe−λ(x−u) ,

x > 0;

1

(

λ2

Rx 0

(4.4.7)

x − u > 0,

1

e−λu e−λ(x−u) du = λ2 xe−λx ; x > 0; x ≤ 0.

0

 ú b C
Ó  6ðÚ Õ
&
2 Q  (4.4.7) 8aÇ n = 2 Ñ
0 H À4ä
:aØaÙ ¶
· Â a J  C Ó
À e ó Γ(λ, 2) Ó
À4ÿ â
f
ó % C λ > 0 J Poisson Ó
gò J 2 ú  ó b
( í 
h Ña
Ü J Ó
Ã?i
a k ú b C
Ó
J
 6
ó Γ(λ, k) Ó
ÀD
_ ¶¸·¸ . Ò Ó (4.4.5) 8¸À Ó¸p B(x)å =P (u)x= pe (x −, u)x>>00j8. k ñ ò¼À D8O  % (4.4.7) 8aÇ n = k + 1
Ñ Ï
0 H Ã k

λk k−1 −λx Γ(k) k

1

§4.4

ì\í^î\ï9
: ;

151


l m





n o
p ú
Ê
;
<

û
üý þ
À ¶
· _a 
= 4.4.3 Ä
Q (ξ, η) ó ú
Ê
;
<

û
üý þ
À ÿ · J Í
ÿ H
I
> ÿ · J
q ó ;
<

û
ü  þ
À?9
_
H
I B
C §4.4.2

p(x, y),

ξ η

p ξ (x) = η

@
A Â ¶
·
 d

Z

∞

J Ó

B
C

−∞ ξ η

|t|p(xt, t)dt =

Z

∞

|u|p(u, xu)du,

¶
· _

−∞

F (x).  Z Z  ξ <x = F (x) = P p(u, v)dudv u η v <x Z Z Z Z = p(u, v)dudv + = = =

Z

Z

Z

u<xv, v>0 Z xv ∞

dv

0

∞

0 x

p(u, v)du +

−∞ Z x

Z

0

dv −∞ Z 0

∀ x ∈ R.

R

(4.4.8)

p(u, v)dudv

u>xv, v<0 Z ∞

p(u, v)du

xv

dv v p(tv, v)dt + dv −∞ −∞ Z ∞  |v|p(tv, v)dv dt.

Z

−∞

v p(tv, v)dt

x

Õ 6 VÓ ò I  À ó J ÓBC  F (x) ó ñóò$B
JCDEF ò$J BC ÇðÛðÜ (−∞, x) J  ÆrK 
6
Ó À
å G
;
<

û ü
þ À
ñ
H I Ä (4.4.8) ò J
J
P
8
å M
N À?O  (4.4.8) ò J
J
ú
8
à ` 4.4.3 a
û
ü  þ ξ Ã η /
F
G
H À
" % C λ = 1 J
b C
Ó
À?s
d J
H
I B
C Ã Ë Â ¶
· ÒaÓ (4.4.8) 8
d p (x). t p (ξ, η) J Í
ÿ H
I
> p(u, v) = e , u > 0, v > 0, 8 6 8 B C ÷ иÀ t > 0 = xt > 0, 8e %8_ å8G8u (4.4.8) 8 ò¼J8v |t|p(xt, t) 6= 0, Ð8: −∞

−∞

ξ η

ξ η

ξ η

ξ η

−u−v

p ξ (x) = η

( R∞ 0

t e−xt−t dt = 0

1 (1+x)2 ;

x > 0; x ≤ 0.

w
x
y
z
{


|

}
~


€

‚ „ ù 8
J B
C À Á
… 
½
¾
P †
 ù Ã!>
‡ p ½¸¾ À ¶
· Õ ç ½
¾ J ó

ƒ

a ÷ Ø
ù
;
<

 ù Ã ¶
· aå ç
ˆ
J
‰
Š ó
‹ a (ξ , · · · , ξ ) ó n Ê8;8<8¸û¸üºý¼þ¸ÀŒ98_
 ÿ
H I B
C p(x , · · · , x ). i8a ζ = f (ξ , · · · , ξ ), j = 1, · · · , m, È
É (ζ , · · · , ζ ) 9
_
Ž  J
 ÿ
Ó
 §4.4.3

1

n

1

j

1

m

j

1

n

n

é^ê\ë

152

& ‰‘Š‘_ ‘] À“’ à À o‘” ú j, ζ •‘– > û ü  þ À“V ò )‘d > þ ‘  ó Borel O
Ì B
C Ã4ñ
.
À ¶
· )
d '
—
1
˜ ™ P
-
š
;
<
O
›
J
- B
y C
=˜
f ‹ (x , · · · , x ), j = 1, · · · , m, j

j

j

1

i = 1, · · · , n.
o
 
¡
B C 1
˜ Ľ

¾å
œ
%
À6 m > n ž
À¼D
Ÿ f Ï
¢
£
¤
¥
¦ ¿
© a m = n J

§
Ã? m < n ž
À?O
G
¨ ζ = ξ , j = m + 1, · · · , n, C > m = n J

§
à \8ª8W À ¶¸·8« š8P8¬
P8† ¡ J
û
üºý þ8­
® 8¯ ¸ … 8 Ä 8  i P L J
i
a
¶
·
à 
= 4.4.4 đQ (ξ , · · · , ξ ) ó n ʑ;‘<‘ û ü ýËþ À“9‘_‘ i
a
¸
… n ¬ Borel O Ì
¹
B
C j

1

» : o
p

n

1

j = 1, · · · , n,

j

1

j

1

n

n

1

n

    y1 = f1 (x1 , · · · , xn )

(4.4.9)

············    y = f (x , · · · , x ) n n 1 n     x1 = h1 (y1 , · · · , yn )

············    x = h (y , · · · , y ) n n 1 n

,

(4.4.10)

°¹¿² ” ¬ h ÿ (y , · · ·B
, yC ) ¾ _
P
À
;
<
Á
 C À È
É
û
üý þ À?9
_
 H
I j

1

q(y1 , · · · , yn ) =

n

(

p (h1 (y1 , · · · , yn ), · · · , hn (y1 , · · · , yn )) |J|, 0,

ó
û üý þ (ζ , · · · , ζ ) ¹ å
_
O
£
¼ ¹
Ã
ÿ À @
A ‹ t p û
üý þ (ζ , · · · , ζ ) ¹  ÿ
Ó
> D

À±°³²6
ø ´8µ K ÿ H‘I B‘C p(x , · · · , x ).

ζ = f (ξ , · · · , ξ ), j = 1, · · · , n,
¹ ” (ζ , · · · , ζ ) P ˜ O
£
¼ (y , · · · , y ), ¦
½ ˜

¾ _ ™ P
-

°¿ ¯ ò

_
-
À¼å
G ¶
· 

j

yj = fj (x1 , · · · , xn ),

Ÿ
º

fj (x1 , · · · , xn )

n

xi = hi (y1 , · · · , ym ),

j

ì\í^î\ï

1

n

1

n

F (z1 , · · · , zn ) = P (ζ1 < z1 , · · · , ζn < zn )

|J|

(ζ1 , · · · , ζn )

ó ;
<


(y1 , · · · , yn ) ∈ D,

(y1 , · · · , yn ) 6∈ D,

ó ­
® ¹

(4.4.11)

Jaccobi

Z
Ä

n

ÅgÆ¿ÇgÈ¿É
ÊgË

§4.4

= =

Z

Z

153

f1 (x1 ,···,xn )
···

···

Z

fn (x1 ,···,xn )
p(x1 , · · · , xn )dx1 · · · dxn

p (h1 (y1 , · · · , yn ), · · · , hn (y1 , · · · , yn )) |J|dy1 · · · dyn ,

°Ò¿²gÌ
Í
P
¯ Î
º !­
þ
Ï
® (4.4.10), Ð
G
û
üý þ (ζ , · · · , ζ ) ¹  ÿ H
I B
C
Ñ (4.4.11) Ð
Ó
Ô ` 4.4.4 …
Õ
ï
ð
ñ
Ö
×

û
ü
Ø

P
Ù
ÚrÛ
Ü
G
û
ü
­
þ ξ Ý η Þ
Ó
°
ß àáâãàá Ú?OGä> ξ Ý η åæçèÔ Ò Q ξ Ý η éêëìíÛî N (0, 1), s
d
°
ï à
á (ρ, θ) ¹ Û
î
Ô ð ‹Œñ
ò −∞

−∞

1

ó

(0, ∞) × [0, 2π)

t p

(ξ, η)

Ý

(

R2 (

∂x ∂r ∂y ∂r

∂x ∂t ∂y ∂t

p(x, y) =

Ð
ü¿t

(4.4.11)

¯ º ò Ú

(ρ, θ)

q(r, t) =

V ý
þ
ÿ
Þ
‹
ù
ú 
û

θ

Ý

ρ

x = r cos t y = r sin t

ô
Ù
õ
ö ) ª
÷
¹ P
P
­
®
Ú?­
® ¹

|J| =

¹ 
ø
ù
ú
û

cos t −r sin t = sin t r cos t

Z
Ä ¯

=r .

¹ 
ø
ù
ú
û

 2 1 r r exp − , 2π 2

r > 0, t ∈ [0, 2π).

å
æ
ç
è
Ú °¿² θ
ê ë

[0, 2π)

n 2o q1 (r) = r exp − r2 ,

    …
é
ý
¬ ÷   ¹ Ì
! ¼ â Ì
" ¼#

Jaccobi

 2  1 x + y2 exp − , 2π 2

§4.4.4

° $  ó #

n

(Ω, F, P )

 ¹

 ¹ Û
î

(4.4.12) ρ

¹

r > 0.

n

¬
­

η1 = max{ξ1 , · · · , ξn }, η2 = min{ξ1 , · · · , ξn }.

η1 (ω) = max{ξ1 (ω), · · · , ξn (ω)}, η2 (ω) = min{ξ1 (ω), · · · , ξn (ω)},

ω ∈ Ω,

ω ∈ Ω.

ξ 1 , · · · , ξn ,


ü

154

Ò)
¹

η1

Ý

η2

%
&(' ÅgÆ¿ÇgÈ

*+ ó 
­
Ô-,./
Ú-0

(η1 < x) = (max{ξ1 , · · · , ξn } < x) n \ = (ξ1 < x, · · · , ξn < x) = (ξk < x) ∈ F,

(4.4.13)

(η2 < x) = (min{ξ1 , · · · , ξn } < x) =

(4.4.14)

k=1



1

2

η1

k=1

n \

349: ¯

(ξk < x)

k=1

!

=

n Y

P (ξk < x) =

k=1

(η2 ≥ x) = (ξ1 ≥ x, · · · , ξn ≥ x) =

5

n Y

P (ξk ≥ x) = 1 −

1

2

k=1

n Y

k=1

n Y

Fk (x); (4.4.15)

k=1

n T

k=1

(ξk ≥ x)

Fη2 (x) = P (η2 < x) = 1 − P (η2 ≥ x) = 1 − P = 1−

F1 (x), · · · , Fn (x)

η2

Fη1 (x) = P (η1 < x) = P


º

(ξk < x) ∈ F.

 ¹ Ûî1 1

åæçèžÚ-â 1¢121314

š η Ý η ¹ )
Û î  F (x) F (x). ,./
Ú
ž 6 (4.4.13), 
è7
º8 ξ1 , · · · , ξn

n [

n \

k=1

(ξk ≥ x)

(1 − Fk (x)).

! (4.4.16)

;(< 0= ¹ ó  (η , η ) ¹> ø
Û
î
Ô ) ? « š
ç
è
é
Û
î@
øA ¹ þ
ÿ
Ô B Ò ÿ ξ , · · · , ξ ó ç
è
é
Û
î ¹ 
­
Ú  ¹C é
Û
î
û F (x). 4.4.5 D 5  ¹ Ì
! ¼ η Ý
Ì"
¼ η ¹> ø
Û
î
Ô Ò ÿE
ý
Î
Ú(FG F (x) ûHIJ Û
î
Ú-ð K
0 ù
ú  p(x), D 5 (η , η¹) > ¹> ø
ù
ú
Ô â (4.4.14) ¯ Ú-N ñ L #   
ü G(x, y) Þ
Ó (η , η )
ø
Û
î M Ô 6 (4.4.13) O š#  x ≤ y ž
Ú-0   T 1

n

1

2

1

1

2

2

n

G(x, y) = P (η1 < x, η2 < y) = P (η1 < x) = P



x>y

Ð
ü

ž
Ú-0

(ξk < x)

= F n (x);

k=1

G(x, y)= P (η1 < x,η2 < y) P (η1 < x) −  P (η1 < x, η2 ≥ y) = n n T T n =P (ξk < x) − P (y ≤ ξk < x) = F n (x) − (F (x) − F (y)) .

¹> ø
Û
î
û ( k=1

(η1 , η2 )

G(x, y) =

k=1

F n (x) − {F (x) − F (y)}n , x > y, F n (x),

x ≤ y.

(4.4.17)

ÅgÆ¿ÇgÈ¿É
ÊgË û HIJ
Û
¯ î
ÚPò K0
ù
ú  > ø
ù
ú
F (x) MÚ 6 (4.4.17) Ú 0

§4.4

q(x, y) =

155 p(x)

ž
ÚP
ü

q(x, y)

∂2 n−2 G(x, y) = n(n − 1) {F (x) − F (y)} p(x)p(y), ∂x∂y

Þ
Ó

(η1 , η2 )

¹

x > y. (4.4.18)

QRSTUQRVWXY µ1Z Ö  ó !1 ¹ 1 1 1­1 ª÷¹ 1 ¹µ1Z Ö [ 1 Ð 1 \ ] ^ Ô 1 _ 1 ` 1 a b  Ô?ûcdef
Ú-g h ¬
­ ª
÷
¹  µZ Ö  Ô G ξ , ξ â ν ó ¹ 
` é
ý
¬ ÷ â (Ω, F, P ) / ¹ 3 ¬
å
æ
ç
è ¹ 
­¹ 
Ú?°¿² ξ Ý ξ Û
î 
 Û
Ü
û F (x) F (x), ν ûi
û p, 0 < p < 1 Bernoulli 
 ­
 Ô-j ζ = ν ξ + (1 − ν) ξ , (4.4.19) )
k ¹ ζ 
ül
û ξ Ý ξ ¹  µZ Ö  Ô?°$  ó §4.4.5

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

b5 ζ ¹
Û î
ÔM6 

â ν gm 1

h 0 ¬
¼
Ú?Ð
ü

ζ(ω) = ν(ω) ξ1 (ω) + (1 − ν(ω)) ξ2 (ω) ,

ω ∈ Ω.

Fζ (x) = P (ζ < x) = P (ζ < x, ν = 1) + P (ζ < x, ν = 0) = P (ν ξ1 + (1 − ν) ξ2 < x, ν = 1) + P (ν ξ1 + (1 − ν) ξ2 < x, ν = 0) = P (ν ξ1 + (1 − ν) ξ2 < x|ν = 1)P (ν = 1) + P (ν ξ1 + (1 − ν) ξ2 < x|ν = 0)P (ν = 0) = P (ξ1 < x|ν = 1)P (ν = 1) + P (ξ2 < x|ν = 0)P (ν = 0) = P (ξ1 < x)P (ν = 1) + P (ξ2 < x)P (ν = 0) = p F1 (x) + (1 − p) F2 (x) .

Ò (4.4.19) ¹ 
­ ¹  µZ â ¹ Û
î n ó Û
î 1 ¯
Þ gÚ ? § ¹
µZ â Ô o
ü p E
ý
Î ¹qr Ô G ξ , ξ â ν ó ¹  `
é
ý
¬ ÷ â (Ω, F, P ) / ¹ 3 ¬
å
æ
ç
è ¹ 
­¹ 
Ú?°¿² ξ Ý ξ Û
î 
Û
Ü
û F (x) F (x), ν ûi
û p, 0 < p < 1 Bernoulli 
 ­ 
-Ô j (4.4.20)

1

2

1

2

1

η1 = max{ξ1 , ξ2 },


ü5
º )k
¹ ζ ¹
Û î 

2

η2 = min{ξ1 , ξ2 },

ζ = ν η1 + (1 − ν) η2 . Fζ (x):

Fζ (x) = p Fη1 (x) + (1 − p) Fη2 (x)

= p F1 (x)F2 (x) + (1 − p) {1 − (1 − F1 (x))(1 − F2 (x))}

(4.4.20)

%
&(' ÅgÆ¿ÇgÈ

156

= p F1 (x)F2 (x) + (1 − p) {F1 (x) + F2 (x) − F1 (x)F2 (x)}

¯ ² ¹ F (x) ws* ó 3 ¬8Û8îs s F (x), F (x) â F (x)F (x) s  s  s t s u 8 8 v Ú / ¹
µZ â Ú-x óy < p < 1 k Ú-z0 F (x)F (x) ¹
µZ : 2p − 1 < 0 , Ð
ü ) k F (x) { ó 3 ¬
Û
î  ¹ “ |(}
ø ”. x ó 
ü~
)k F (x) €
Û
î

 ¹ 3 ¶
‚ Ô /sƒ hs„s…s† ws*scsd8ڇxszs¹ ˆ‰Šs‹sE8¹ ý
ÎsŒ¹ 8Û
îs¹ — ˜ ¹ s^
ڇ+ˆ Š‹Ž
 ý‘’“”•8 ç
è–  Û
î Ô §4.4.6 ™š›œT „ 11 ÷ (Ω, F, P ) / ¹ n „ 11–1 Ú-1* Ú ó 1  G ξ ,···,ξ `  é ý ž„ ω ∈ Ω, ξ (ω), · · · , ξ (ω), ¾ ó n „ .
Ú Ÿ ) 
ü ;(<  ¹ !"
Ú  {1«¬?1­ ®ü ¯11 1Ò ¡£¢ ¹ Ì1! ¼ h⠄ Ì1" ¼Ú-1¤1  ü1¥ á 1¦ ¹ ë1"181! ¹1§1¨ªÒ © Ä°
Ô ÿ±
¢(0² 
å³
ÚL´µ ü« ¶ " ž„ Ä`s·
¾
×
ÒÚL)7 ¸ ÿ (¡ »1¼ Ä/1` ½1ξ1(ω)¾1¿ ¡· ξ (ω).  ).ó ` ξ n ó ω ý / „11 ` Ω §1ξ (ω)¨ ¡=Íξ Ú-(ω),11 ¹ i <¸ j,`1º´¥ k „1ξ (ω) /½.À 
 Ú k = 1, 2, · · · , n. Á¤*0 = (1 − p) F1 (x) + (1 − p) F2 (x) + (2p − 1) F1 (x)F2 (x) . ζ

1

1 2

1

2

2

2

ζ

ζ

1

n

1

i

1

n

j

i

j

∗ k

∗ k

ξ1∗ ≤ ξ2∗ ≤ · · · ≤ ξn∗ .

(4.4.21)

/½$  ó # ξ (ω) ≤ ξ (ω) ≤ · · · ≤ ξ (ω) , ∀ω ∈ Ω. Ã Ò Ã ) à   ÃÃ¥¸ §¨Ä ½ {ξ , ξ , · · · , ξ } l‘û {ξ , · · · ,âξ Í} ½ §Ã¨ÃÄ Ä ‘ÑÚÅ+Ãl‘û  {ξ , · · · , ξ } ½Æ Ô ‘`ǽÈÉÊ4ËÌ i ‘
¢(0Æau Ô Î ÜÏ ξ = max{ξ , · · · , ξ }, ξ = min{ξ , · · · , ξ }. ` ξ , · · · , ξ å
æ
ç
è k Ú-
Ð(“  ξ â ξ EÑÒÓÇ
Ô F1G111–1 ξ , · · · , ξ çèéÛî (i.i.d.), êë C é1½ Ûî1 1 F (x), _1` bÓÇ ξ
½ Û
î
Ú-±
¢ 1 < k < n . tu8 ¬Ô 0 k „ "  x. (ξ < x) ⇐⇒ ` ξ , · · · , ξ ¢ 
 ü A Þ
Ó,Õ (` ξ , · · · , ξ ¢ Ñ 0 m „ "  x),  ó ,Õ A , · · · , A hh {
Ö Ú-Á¤0 ∗ 1

∗ 1

∗ 2

∗ 2

∗ n

∗ n

1

∗ n

1

1

n

∗ 1

n

∗ n

n

1

1

1

n

∗ 1

n

∗ k

∗ k

m

1

1

(ξk∗ < x) =

n

n

n [

m=k

Am ,

1

P (ξk∗ < x) =

n X

m=k

P (Am ).

n

(4.4.22)

n

(× Ø
Ù(Ú¿É
ÊgË N ñ ’Û P (A ) = C ën0 §4.4

− F (x))n−m ,

m = 1, 2, · · · , n .

Cnm F m (x)(1 − F (x))n−m ,

m = 1, 2, · · · , n .

m

P (ξk∗

< x) =

Î ÜÏ
Ú-0 tu8

n X

m=k

157

m m n F (x)(1

(4.4.23)

∗ P (ξn−1 < x) = nF n−1 (x)(1 − F (x)) + F n (x) = F n−1 (x)(n − (n − 1)F (x)). n P Cnm F m (x)(1 − F (x))n−m = 1,

o
ü’Û

m=0

P (ξ2∗ < x) =

n P

m=2

Cnm F m (x)(1 − F (x))n−m

= 1 − (1 − F (x))n − n F (x)(1 − F (x))n−1 = 1 − (1 − F (x))n−1 (1 + (n − 1)F (x)).

±ÜÝÞ
ß(àáâ¿
ûãä
Ô 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

åæ 4.4 óêôêïêõêîêöê÷êøêùPúüûPý îêïêõêþêÿ

ç  èêéêëêìêíêîêïêðêñPò êöê÷êøêù éêëêìêíêú  þêÿPóêè û

 


ìêí   þêÿ  ç éêëêìêíêú óêñêò ûêý
î



 ç éêëêìêíêú óêñêò ûêý
î  þêÿ   ñêò

 êîêóêôêïêõêú ûêý  î
 þêÿ  êöê÷êøêù ñêò



êïêõPú ûP ý
î þêÿ    è ö ÷ ù ú é ë ì í ó ñ ò  ï õ ú û ý p î
þêÿ êîêóêôêïêõêúüûê
ý Pöê÷PøPùPî
êþêöêÿ
÷êøêù  éêëêìêíêú
êñêò
!
" #%$
&
'ê î ()*êù + ,ê.ú -
/ê
î 0
1
 2 éêëêìêíêîêöê÷êøPùP.ú  PñPò î ïPõP.ú 3456 ûPý  îêïêõêþê
ÿ 7 5
6  éêëêìê
í êñêòêé 8êîPïPRõ
û 9
,
:
;
<êù îêïêõêþêÿêè ξ, η

[0, 1]

p(x) = e−x , x > 0,

ξ, η

ξ 1 , ξ2 ξ, η

N (0, 1),

(ξ, η)

ξ

ξ2

(1) eξ ; (2) 1/ξ 2

ξ 1 , ξ2 , ξ3

η =

ξ2

(3) ζ2 = min(ξ1 , ξ2 ).

ξ 1 , · · · , ξ5

Rayleigh

Fi (x) =

ξ12 + ξ22 + ξ32

(0, 1)

(2) ζ1 = max(ξ1 , ξ2 );

η = max{ξ1 , ξ2 , · · · , ξ5 } ξ 1 , · · · , ξn

ξ ξ+η

ξ η

5

σ2 = 4

10.

ζ=

D = {(x, y) : 0 < |x| < y < 1}

(ξ1 , ξ2 , ξ3 )

ξ1

ξ+η

η 1 = ξ 1 + ξ 2 , η2 = ξ 1 − ξ 2

N (0, 1),

(1) η = ξ1 + ξ2 ;

9.

ζ = ξ+η

p(x) =

(2)

F (x) i−1

0

, x > 0,

P (M > 4).

ξi∗

F (x),

n! (i−1)!(n−i)!

2

x − x8 e 4

t

(1 − t)n−i dt,

i = 1, · · · , n.

(1)

=?>?@

A?B?C?D?E?C?DGFGA

 
ó Ð(“ òIHIJLKIM –â  â ON(IP0IQ
î SJ RLÁ¤8UT ·
ûIV J Q îs] ss+J sSWSXss–s sON ½Sâ Y
Ä ýSZKSRv_s` sabS[I\8ý± ZK Á34 bI[I\ÉI^
ì?íIQ
î ‘Ž
¢(½I_!ÆaIQ
îIR `babcbdbebfbgb` óIsp s–ss½sSh ÎSi k ó ý „Sj l J  óSIkSq l ss–sss‚s½8ýSmsÆsaSnSo J IWIX– ½
ýImÆa½ R §5.1

+

rIsItIuUIvIwIxIy s‚ ŽSzS{ ó ss–ss½8ý „S|S}I~ ½Sh ÎSiSJ sS¯ b J O‹IOsŒ p ½S€Su  R ÿ
üJ – ξ ƒI
„ ýI
… ¢ 110 †I‡Iˆ8½I‰IŠ  I‚ Ž19  J  ¯ ξ ½IQI‘I ’ ¡I“ *9I J‹I ξ ½I” À 7
ýI
… ¢(½I” ‰IŠ J  ÿI• Œ p IIŽ9I ξ ½IQI‘I’¡I“ *+9I ξ –  ξ ƒI„
J ýI–I—I˜½Æ  ½I” À 7
ýIJ –I—I˜ ½I„ ” ‰IŠ Æ-³ ³IR  c  d I™ ¥
ý – ξ ½I” ÀnOšœ› ½ŽIzI{ILR ,./ J 6 Ï SSž ssŸSsŸ ½S S¡ J ž ýS–S—Ss˜ ½sÆs ξ PSs¢ 2Ss£ 8S¤  ½sÆs J xSs¥ s¦t  ÀS§S¤  ½sÆsS¨S©SR«ªsS•S™snS¥¬rSsStSu­ª „S® ls½sbS¯SR«° 6  us ξ ½S” ‚ )SJ ss¥sss–s ξ ½S”  Às¾s¿ Eξ, ± ¢±hS² E ¥S³Ss ´ dSµ Expectation(z „ { ) ½ºI¶ hI²IR ‚M 5111–11½”1 y *1» {¼ ½Q‘½¾¿Q‘’R 1 b O1h ·  À º ¸ ¹ „…† B R ‚IÀ ξ ¥IƒI„I¶I
5.1.1 … ¢ 110 †I‡I ˆ 8½I‰IŠ ¯  ¾ ½11– J D 5 ξ ½I”I· ÀIR s Ð “Ss™ Ò üJ )sk S•SÁI ξ ÃSÄ Poisson QS‘ P (λ), ± ¢ λ > 0. sª nS¥S™ P (ξ = n) = e , n = 0, 1, 2, · · · .   ž ªƒÆÅ ξ m {Ç1À1Z ½11ˆ1J ¥1{Ç1½ J Ÿ ) ±”·1À Eξ Ê y ¦È ξ m1{Ç À½{IÇ ½ˆ¿IÉ ”I· ‡I• §5.1.1

−λ λn n!

Eξ =

¥

7IÊIÃIB Ä p:

∞ P

nP (ξ = n) = e−λ

∞ P

nλn n!

= e−λ

∞ P

λn (n−1)!

= λe−λ

∞ P

λn n!

=λ.

QI‘ P (λ) ½IËIÌ–IÍ ξ, 0 Eξ = λ . I ‚ I À ÎIÏ HIÏ¿IÐIÑÆIÒ½ Beinoulli ÓIÔ J ž ¶ ¯IÕIÖ ½I×IØIP 5.1.2 ¯IÕIÖ ‡IÚIÛ½IÓIÔ ¯ ¾ J IÓ Ü ξ ½I”I·ÀIR 0 < p < 1, • ξ ƒI„³IÙºI¶ n=0

Poisson

n=0

n=1

158

n=0

§5.1

Ý ÞœßIàIáIâIãIÝ O ÎIÏ Ð(“Iä H ξ ÃIÄIå M QI‘

159 G(p),

P (ξ = n) = (1 − p)

ŸIèÊIéIç ÂIŽIÜ°±À J ÎIÏ

¾

Eξ =

∞ P

nP (ξ = n) = p

∞ P

nxn−1 ,

éIêI¾IëIìIí [0, x ] ¢œ¶IîIïIð J ±Oñ 1

ó è

0

q(u)du =

Eξ = p

∞ R P x

n=1

∞ X

0

nq n−1 = p

n=1

∞ P

n ∈ N.

nq n−1 .

n=1

n=1

G(x) :=

p := q n−1 p,

n=1

g(x) =

Rx

æIç

n−1

0 < x ≤ q < 1.

ÁIòIç

q < x1 < 1, ∞ P nu du = xn = n−1

n=1

x 1−x ,

0 < x < x1 .

d p 1 G(x) |x=q = = . 2 dx (1 − q) p

(5.1.1)

éôõ1ҏöƒÆÅ J ç÷øê¾ùäúëôõû¾üzû{ù1ÒûöÆñý¢ûçþR ÿ
J  ƒOÅ ‚IÀ ¶ IÓIÔ ÕIÖ ùI×IØI p, ‹IŒIÎIÏ ÙI¶ ÕIÖ (5.1.1) ¢I ç   ‡IÚIÛIùI”I·IÓI Ô I ¾ I¥ .  œ™ J ‚IÀ ¶Ië  ¶ OñOñ 10  ùI×IØI¥ , ] ÛOñœ¶ 10  J ‹IŒ ”I·I™IÚIÛ 5 IR ª q  Ž “¾IüIzI{ ” ù IR !" • #$ J ÎIÏ %&IJ Ê '()*+ùI» ,-IˏÌ .IÍ ξ, /I¾Iü ÎIÏ4567  ÎIÏ  zI{I¥I ¶ 01I I ê I ¾ ù   2 L 3 I ‡ • ª I  I ê I ¾ S ù I ï ð   8 9 ä :3LêI¾ ž ž ž ùI ?ïI@ðA8IB ç/I$Ü 23
C¶ D3E/¥2;IFÊI.ïIGEðHI3
Ê ¶ '<¥=I<ïI=IðIïIùIðêI9
ʾ '3EI ;I!ÊI" ïIAðIB ùIÜ êI2J¾C3>0D3 )IV•W K & FIÇIù 2+ó 9L¾Iü ÎILÏ MI4¥I5 ËIÌ .IÍI ù NœçI ¾ OPQJ3ERI ¶ SJTI ù ÎI+ 3EZU Ï Ü2CD0I÷3 è3 ÛIÜXUIùIêI¾;IÊIïIð9
çY'Iè3 1 p

1 5

[\] T  ^_ 5.1.1 \ À »,-IËIÌ.IÍ

ξ

`Içabc

P (ξ = an ) = pn ,

I V d 3 IÎ Ïe êf

∞ X

n=1

n ∈ N,

|an |pn < ∞ ∞ P

ù2gh ξ ùfIüLM3ij Eξ. \k P

an pn

n=1

∞

Ig

ξ

ùfIüLMFlIë9

n=1

|an |pn = ∞,

(5.1.2)

(5.1.3)

m no ÝpqrIáqrsœÝ t è % 3Euv.wIùfIüLMIùlIë8RIç<=Iù9 Vx 3Ey'zJ(Iç{ +Iù|,-uv.w3 } ùfIüLM~TlIë9O / ñP+K€ [ ùR  5.1.3 (Bernoulli ‚JƒJ„J…J†J‡JˆJ‰JŠ ) ‹ A RJŒJS ×SØJSí (Ω, F, P ) ñ ù~uvŽ=3 ξ = I , I I ç Eξ = P (A).  }  % ~fIüLMFlIëIù|,-uv.wIù  5.1.4 (Peter  Paul ‘’ ) “~”•–—˜~™šI› ùœ3ž & — [Ÿ  h¡9 \k 袣— [¤ n ¥   3¦I§ Z £ 2 ¨©ª 9¦« ξ ¬­£®K & ù ©ª f°¯E3±IÜ ξ ùfIüLM9 ² ´³µ % [ 3 ξ ùabch p(ξ = 2 ) = , n ∈ N, t ' 160

A

n

n−1

∞ P

an pn =

∞ P

1 2n

2n−1 2n

=

∞ P

1 2

= ∞,

®« ξ ù fIüLMFlIë9 ¶ O  ñ®· 7 ù Peter 2 Paul abR¸¹Oñœù~º»Iùab3R¼½a bOñœù~I¾ 翧I8 ù9 y'•–-uv.Iw ùIf üLM3  } XU  ç ^_ 5.1.2 \k •–-uv.w ξ `IçÀÁÂf p(x), I V n=1

n=1

R∞

d 3  }eà a

−∞

|x|p(x)dx < ∞

R∞

\k ù+gh ξ ùfIüLM3ij Eξ. R

−∞

∞ −∞

n=1

xp(x)dx

|x|p(x)dx = ∞,

Ig ξ ù fIüLMFlIë9 t #JÄJTJJ)J« % [ 3ÅuJvJ.wSùfSüLJMz W /JabSçI÷J3ÅabJXÆIùJuv .JÍ wJS` çJXJSÆ ùJSf üJLJMJ3Å®«  }JÇÈ If üLJMgJhaJbIùJfIüJLMJ3ÊÉJ€ËÌ aIb ùuv.Iw ùIf üLM9  } IôIõΕ–-abIùfIüLM9  5.1.5 (ÏJÐJ‘J’J†J‡JˆJ‰JŠ ) ‹JuJvJ.Jw ξ ËJÌJšJ›JaJb U (a, b), ±JÑ Eξ. ²  t 'š›ab U (a, b) ùÀÁÂfÒÓÔ{ÕÖ#× 0, ®« Eξ ~Tl Ó3IØ òÔ R R Eξ =

∞ −∞

xp(x)dx =

b x dx a b−a

=

®«š›ab U (a, b) ùfIüLMRÕÖIùOñÙÚ+9  5.1.6 (ÛÜ‘’†‡ˆ‰Š ) ‹uv.w ξ ËÌ

a+b 2 ,

N (a, σ 2 ),

Ñ

Eξ.

§5.1

®«

ÝÞßàáâãÝ ²  t '¥äab R∞

−∞

161 N (a, σ 2 )

ùÀÁÂfh

  1 (x − a)2 , p(x) = √ exp − σ2 2πσ

x ∈ R,

ØIòÔ

|x|p(x)dx < ∞,

  Z ∞ 1 (x − a)2 Eξ = xp(x)dx = √ dx x exp − σ2 2πσ −∞ −∞     Z ∞ Z ∞ 1 (x − a)2 (x − a)2 1 √ =√ (x − a) exp − dx + a exp − dx σ2 σ2 2πσ −∞ 2πσ −∞ := I1 + aI2 . Z

∞

ÚJç ®J\«Jk)J« e J/ ¬J­JhJ$J à aÚJ23ÅR t 'åJ$J01 à aæJ;ySïIðJ9ÊØSòµ 3 “ t = x − a, IÔ n o R I = t exp − dt = 0, à   ó åR hè ÂfRéÂfGê~ë 3µì √1 2πσ

1

∞ −∞

t2 σ2

n o R∞ (x−a)2 dx = −∞ p(x)dx = 1 . exp − 2 σ −∞

R∞

íî #Ä3ïK Eξ = a, ð R N (a, σ ) ñœùò~óf9  5.1.7 (ô‡‘’†‡ˆ‰Š ) ‹uv.w ξ ËÌ€fab ²  t '€fab exp{λ} ùÀÁÂfh I2 =

®«

R∞

−∞

√1 2πσ

p(x) = λe−λx ,

ØIòÔ

ç ú 3 ç t = λx. öIþ Γ  Â f R ∞ 0

exp{λ},

Ñ

Eξ.

x > 0,

|x|p(x)dx < ∞, R∞ R∞ Eξ = −∞ xp(x)dx = λ 0 xe−λx dx =

/ ñ  } j ¤ .wõ B  ®«

2

1 λ

R∞ 0

te−t dt = Γ(2) = 1,

te−t dt,

ð R exp{λ} ñóf λ ù÷f9 ! " #Äø3  }%&  (1) øabùfüLMæ W } ùŒùófÔ ÷J3Å/úñûšJ›JaJbJ2J€JfJabSù®JÔóJfæ [ü Ó J} ùJfIüLJMÚúñ3Å¥äJab} IezþÔÿ
ò~óf a [ü 3IØ ò  R¥äab N (a, σ ) ùfIüL"
M 3«ý  &

 (0/1 ò
)Ã aó2
f σf
®
ø

¬I
ù2G8
(2)3
Ó



 fI& üø
LMIfù  ç
 ñ2
3
` I3þ  \ Γ Âf3  9 W |,-


3 Ç ÔLMFlÓ
•–-ab9 % ~
  5.1.8 (Cauchy ‘’ ) ‹ p(x) = , x ∈ R, I
 (1)p(x) R~ÀÁÂf (XU
abgh Cauchy ab ); (2) Í ab
LMF lÓ9 Eξ = λ1 ,

2

2

1 π(1+x2 )

162

®« ®«

² ´³µ % [ 3 R p(x)

∞ −∞

mno ÝpqráqrsÝ p(x)

×
3RØ


p(x)dx =

R~ÀÁÂRf (g h ∞ −∞

1 π

∞ 1 −∞ 1+x2 dx

Cauchy

|x|p(x)dx =

=

1 π

arctan x ∞ −∞ = 1,

aR b ),  R

2 π

∞ x dx 0 1+x2

= ∞,

ab
LMFlÓ9 §5.1.2 
‡ˆ‰Š†
!
"
#
$
% f
LMFÒRuv.w (&abÂf ) ~
 fOPQ3H
R
'
(/£f OPQ

)
*3®«

ÌFÆ
+Áy/
,
-
. 9 y'•–-uv.w3 V /f
LMlÓ d 3  } Ô Cauchy

Eξ =

Z

∞

xdF (x),

(5.1.4)

åR t ' (Xy' Lebesque /Á ) Î
0
Ô F (x) = p(x). \k } ö
 Riemman-Stieltjes à a
¸
13 Ç )« È |,-uv.w f LM¬­h (5.1.4) 2

29  } Ì
3.Âf
4ñ ç :3 \k f (x) 2 g(x) RTÓ R #

3+Âf9y ' a < b, ÕÖ [a, b] a
5 < x = b, 6 ( t ∈ [x , x ], j = 1,π 2,: · ·a· ,=n,x)<«xT/< · · ·Riemman-Stieltjes 2h −∞

d dx

0

j

j−1

1

n

j

Sπ =

n X

g(tj ) {f (xj ) − f (xj−1 )} .

(5.1.5)

\k F
40
7a
53 \ 7(Ù3 V || π || := max (x − x ) → 0 d 3 Í Riemman2Í lÓ
8~
9T

:{ I ∈ R, Ig g(x) ;' f (x) ÓÕÖ [a, b] # R-S ) ÃStieltjes J È Ã 3aØ<3 ih :J{ I gJh g(x) ;J' f (x) JÓJÕJÖ [a, b] #< R-S(Riemman-Stieltjes) j=1

1≤j≤n

=

I=

Z

j

j−1

b

g(x)df (x).

(5.1.6)

³µ È R-S(Riemman-Stieltjes) Ã a
¸
1
=
> & (−∞, ∞) #9 \k e `Ôabc (5.1.2) |,-uv.w ξ abÂfij F (x), I F (x) Rç~
?
@
A
B
×
CÔ
DÂf9 V <= (5.1.3) E
F d 3 t R-S Ã
a T)« Z

∞ −∞

xdF (x) =

∞ X

n=1

a

an (F (an + 0) − F (an )) =

∞ X

n=1

an pn .

(5.1.7)

Ý ÞßàáâãÝ  ®G «|,-uv.w ξ f
LM V Ç ) «V ¬­h 3uv.w ξ f
LMlÓ3 Z Ò §5.1

∞

E|ξ| :=

163

(5.1.4)

2

29Ø
 Í 2
¬

|x|dF (x) < ∞,

(5.1.8)

Ó
3
H} #
;' F (x)R-S ) à 9 ü Ó  
I–
J
K (5.1.7) 29LÉ & Í 2 R P P Eξ = a P (ξ = a ) = a P {ω | ξ(ω) = a }. /Q ñ {{ωà | ξ(ω) = a %}, n ∈ N } R~*Ž=3G M } ð NEy Ω ~aO3P 3Ì a
4

RÙ 3 (5.1.7) 2Zð ¬ 3y'|,-uv.w ξ, Ô −∞

ï

|x|

∞

n

∞

n

n=1

n

n

n=1

n

Eξ =

ξdP.

(5.1.9)

Ω

å} R

SS3 |G ,3-yu'v•.–w -uξ vf
.wL3 MÇ ÔRÆ @ ξ Ó
T
Ω 4#
9 ;'¸¹
/Á y'uv.w ξ, i

P

à a9

æR×
uv.w3agh ξ ¥
U2

U9³µ % [ ξ = ξ − ξ , |ξ| = ξ + ξ . î ®«
T f
LM
T) ç  Eξ lÓ3
V ' Eξ < ∞, Eξ < ∞. }  G 'JR z<JaJ<W Eξ 2 Eξ `JÔJ¬<X<2 (5.1.9). YJ)JF
ZJ‹ ξ JRJ×<u v.w9 y'×
uv.w ξ, Pi
P ≤ξ< , n ∈ N. ξ = Í 2¬ G  V d ≤ ξ(ω) < 3Ô ξ (ω) = , P Q Ô µì

ξ+

2

ξ − = max{−ξ, 0},

ξ + = max{ξ, 0},

ξ−

−

+

+

−

+

−

+

n

∞

m−1 2n

m=1

m−1 2n

−

m−1 2n

m 2n

m 2n

m−1 2n

n

ξ (ω) ↑ ξ(ω), n → ∞, ∀ ω ∈ Ω. Q d V P 3 Eξ lÓ 3Ô Eξ lÓ3Ø
 ↑ Eξ, n → ∞. t ' ξ h|,-uv.w3`Eξ Ô¬
X
2 (5.1.9), ®« n

n

n

n

R

R

= Eξ. @å  }
[ WK ¤ y×|,-uv.w3 Ç Ô ξdP (5.1.9) 2
E
F9 } 
ç  ö

3.Âf
Ô
; 3 )«
WK ^
\ 5.1.1 (]‘„^ ^\ ) \k ξ RTÓ¸¹Ö (Ω, F, P ) # uv. w3 F (x) h/abÂf3Z Iy 6 7 BorelZ)
/Âf g(x) æÔ Eξn =

Ω

ξn dP ↑

Ω

g(x)dF (x) =

R

g(ξ)dP.

Ω

(5.1.10)

m no  Ý pqráqrsÝ Í
_ 2
ÉR
 \k ~
`lÓ3Iê~
` Ç lÓ3Ø
X _ 9 §5.1.3 ‡ˆ‰Š†
a
b \k yŒcdf c, eKyuv.w ξ, Ô P (ξ = c) = 1,  }f Suv.w ξ h}
Èg
h (' c) uv.wf 3 Qd Ô ξ = c, a.s. ( almost sure, ïÎ
0 4 x ). ! d  g
h' c uv.w ij c. ö
¬
X
2 (5.1.9), Fï)«
= [ uv.wf
LM
\] ~
i*8

 ^
\ 5.1.2 j‹ c h
df3Ø
j‹®· 7 uv.w fLMælÓ3  } Ô
 164

1◦ . Ec = c; 2◦ . E(cξ) = cEξ; 3◦ . E(ξ + η) = Eξ + Eη; 4◦ .

k

ξ ≥ 0,

I

Eξ ≥ 0;

k ξ ≥ η, I Eξ ≥ Eη. Hö
T  5.1.1,  } )«K & ^
\ 5.1.3 \Jk uJvJ.Jw ξ `JÔJaJbJÂJf ◦

5 .

æÔ

Eg(ξ) =

Z

∞

F (x),

IJy 6 7

Borel

)
g(x)dF (x).

g(x)

(5.1.11)

Í
_
2 É
lR
 \k ~
`lÓ3Iê~
` Ç lÓ3Ø
X _ 9  } ç : 3y' Borel )
/Âf g(x), η := g(ξ) Ç Ruv.w9 ¶
m 3on
pf LM Eη T
l3  } U V
q
r Ñ [ η R abÂf G(x), s
n
p
t
2 Eg(ξ) = Eη = xdG(x)

u Ñ η f
LM9T  5.1.3


v uR
|}w~« ž
xö
 ξ Ã abÂf F (x) y
[z m (5.1.11) 2  η î fLM3{ î 9ö R-S a3€Fƒ‚„ (5.1.11) 2Ó•–-
… 2|,-
… `
†
‡
29 VU € [ 3 (5.1.11) 2JÓ }<ˆ <‡ ] Ç R<E
∞ −∞

1

1

Eg(ξ1 , · · · , ξn ) =

n

n

∞

···

∞

g(x1 , · · · , xn )dF (x1 , · · · , xn ).

(5.1.12)

y
ŒX

Ž
F
uv.w

 à 3  } Ô ^
\ 5.1.4 \k ξ 2 η RT
lÓÆ~
c¸¹Ö

X

Ž
F
uv
‘w3 M } f
LMælÓ3I
M }
 à ξη f
LM Ç lÓ3Ø
Ô −∞

−∞

Eξη = Eξ · Eη.

Ý ÞßàáâãÝ  ’
“   } Òy•–
”

‡ Z [ W G 9•j‹ ξ 2 η a`ÔÀÁÂf }
‹ î ÀÁÂfh p(x, y) = p (x)p (y). t (5.1.12) 2
w ç p (y), ŒR
M §5.1

2

1

165 p1 (x)

2

2

Z ∞Z ∞ Z ∞Z ∞ Eξη = xydF (x, y) = xyp(x, y)dxdy −∞ −∞ −∞ −∞ Z ∞Z ∞ Z ∞ Z ∞ = xyp1 (x)p2 (y)dxdy = xp1 (x)dx yp2 (y)dy = EξEη. −∞

−∞

−∞

−∞

|
–
”

‡

W G
— Z €
9  }
m 


˜ab
f
LM9  5.1.9 (™
š‘’ ) ‹uv
‘w ξ ËÌ

˜ab B(n; p), ±

 ²   } 
›
ë
œ

 Eξ. 
ž "
´i q = 1 − p. n
pf
LM
T
l
Ÿ  } Ô Eξ =

n X

kP (ξ = k) =

k=0 n X

= np

k=1

n X

kCnk pk q n−k =

k=0

n X

Eξ.

k · n! pk q n−k k!(n − k)!

k=1 n−1 X

(n − 1)! (n − 1)! pk−1 q n−k = np pm q n−1−m = np. (k − 1)!(n − k)! m!(n − 1 − m)! m=0

 ž ™
¡  ξ h n ¼
Ž
F¼
¢
Bernoulli ±
£ño
E
¤
¥f
¦ y
§
¥±
£T
l~cuv‘wï \k ò k ¥±£E¤Ÿ f “ ξ = 1; ¨} I f “ ξ = 0. ŒR ξ , · · · , ξ RX

Ž
F
ófh p Bernoulli uv
‘w
Ÿ Ô P ξ= ξ ; Eξ = p, k = 1, · · · , n. P Q
© Yf
LM

ª
 ç k

1

n

k

n

k

k

k=1

Eξ = E

n P

ξk =

n P

Eξk = np.

 5.1.10 «úñûÔ<¬<­ 1 ® n n ¯<°<±<Ÿ ü Ìúñ³²<´Šµ³¶ 6<· [ m ¯ (m ≤ n). ±Ñ m ¯
°
±

¬
­Ú
¸
f

¹
º
¦ ² Ê« ξ ¬J­ m ¯<°<±<< <¬<­JÚ<¸<¦¼»JR ξ JaJb<²JµJÑ<½<¦  } LJÉ<¾<Ÿ ~
· ¿Ô C _ ÁÀÃÂ î {1, 2, · · · , n} ñoÄ ·
Å
Æ f
Ç {a , · · · , a } f
Ç
ë
2
Ÿ¦Q ø
 œ
¸X ¦hÑ ξ
¹
º
Ÿz
Py®Ôåùf
Çño fj
Èšï
w
ŸP Eξ = (a + · · · + a ),  }
É LÉ
¾
Ÿ
2
Ê
`

¸
2ñoŸ§
c k ∈ {1, 2, · · · , n} æ [ü¤ C ¥
Ÿ® «
½
¾ P k=1

k=1

m n

1

1 m Cn

Eξ =

1

m

m

1≤a1 <···
m−1 Cn−1 m Cn

n

k=

m−1 2 Cn−1 Cn+1 m Cn

¶
Ë Ÿ
̤ ~

Í
½
LÉ


ë
œ
¦ k=1

m−1 n−1

=

m(n+1) . 2

mno ÝpqráqrsÝ

166

Î
χ p ‘
χ  }ÑÐoÒ ç
Ó Ÿ uv
‘w ξ f

¹
º Eξ f R
M

Èš
Í
ŸÔP Q Ì~TÉ
l 
S
Ÿf

¹
º
m Õ
Ö ¤ uv
‘w® · Ú
Í
“ ño×
Ø
f Ù ”. »R
Ÿ  }Ç w«
 
fOPQ Õ
Öuv
‘w
“ ño×
Ø
Ù ”. ñoØf Rå
Ú~
fOPQ
¦y Œ<²lJÓJf<<¹<º< JuJv<Ç ‘Jw<ŸÅå

V Õ<Ö
J`
Û<½
ÜJh¼<
ŸÅï
eJy
ŒJlÓJf

¹ º
uv
‘w
Ÿ ñoØf R~
X Ô

f
Ý
Þ
ß
¦ ^_ 5.1.3 g µ àuv
‘w ξ ñoØf
Ÿá k §5.1.4

P (ξ ≤ µ) ≥

1 , 2

P (ξ ≥ µ) ≥

1 . 2

(5.1.13)

à uv
‘w ξ ñoØf d Ÿ  } w«ij µ(ξ) = µ. t JÄ<ã

ë
ì
ñoØ
ï
¦Í
½
LÉ

à
ŸÄ
ã
lñ®
å
² ­æ
à
ð ­

¦  }
m ä~ù Ë
ñ ¦  5.1.11 ±Ñ¥ä
ë
ì N (a, σ ) ñoØ
ï
¦ ² ´‹uv
‘w ξ ∼ N (a, σ ). t Œ¥ä
ë
ì N (a, σ ) à•–
”
ë
ì
Ÿ®«   â

µ

1 2

2

2

2

P (ξ ≤ a) = P (ξ < a) = Φ

ξ−a σ

= Φ(0) = 12 ;

QP ¥ä
ë
ì N (a, σP)(ξ ≥ñoa)Ø
=ï
1ò −a.P (ξ < a) = 1 − Φ(0) = .  5.1.12 ‹JuJv<‘Jw ξ · Í< î ò {−1, 0, 1}, Ø< ξ · êúñ³§
2

1 3

P (ξ ≤ 0) = P (ξ = −1) + P (ξ = 0) =

2 3

> 12 ;

P (ξ ≥ 0) = P (ξ = 1) + P (ξ = 0) = > .
© ó ® « ã
l 5.1.4, ξ ñoØ
ï
à 0.  5.1.13 ‹uv
‘w ξ · Í
 î ò {0, 1}, Ø
 ξ · êño§
c
Í
¸¹æ à , ±Ñ ξ ñoØ
ï
¦ ²   } ç
Ó Ÿ ξ f àó
ï
ò Bernoulli uv
‘w
ŸôM

ë
ìÂ
ï
à~
c õ ö Â
ï
Ÿê
‡
2
ò
 2 3

1 2

1 2

 x ≤ 0,   0, 1 F (x) = 2 , 0 < x ≤ 1,    1, x > 1.

1 2

Ý ÞßàáâãÝ  167 ²
‚
ä
å
Ÿy
Œ 6 7 0 < a < 1,  } æÔ P (ξ ≤ a) = P (ξ = 0) = ; P (ξ ≥ a) = P (ξ = 1) = .
© ó Ì
÷ ã
l 5.1.4, ÕÖ (0, 1) ño 6 7~
c
3
ïæ
à ξ ñoØ
ï
¦ yG
â z«
Î
c Ë
ñ Ÿ  } ä
¾
 1 uv
‘Í w
ñoØ
ï
6 ²~
ã
8~
Ÿ Ø

w« W Ÿ ñoØ
ï²
8~
ø
Ÿ ~
ã
ùÓ
ú
cÇ ÕÖ
Ÿ f ÕÖño 7
3
ïæ
àñoØ
ï
¦ Ô 2 ï
e
û
ü
‘
ý ξ Ô
8
ú
ñoØ
ï µ, ²
ú
ã §5.1

1 2

1 2

◦

◦

P (ξ ≤ µ) = 21 ,

P (ξ ≥ µ) = 12 .

þ
ÿ w



¶
ã
l p ë
Ø
ï
 
 5.1.4  0 < p < 1,  µ à
û
ü
‘
ý â

p

à û
ü
‘
ý
ë
Ø
ï
¦ µp

P (ξ ≤ µ) ≥ p,

ξ

ξ

p

ë
Ø
ï
Ÿá


P (ξ ≥ µ) ≥ 1 − p.

ñoØ
ï
ø
Ÿ þ
ÿ w




(5.1.14)

µp (ξ) = µp .



Ÿ ñoØ
ï f à

 5.1
1.   ! 4 "#$%&')(*+,-" ./!01234 , 5670"8089:;4<=+> 2. ?@A n BCDEF0GHIJKL BMNJO) PQRSBTJUVNJK WX OZY[\]^Z-_T` (1) abcd (2) bceDOZfTJ_8 ξ 089:;O 3. (*ghijklmn-o0 10 Y 30 Y 50 Ypjq?rsatpj0ouZ,vowRoxyzjm4{|0}frsyjm~jou089:;O 4. €0U‚ƒF„…}*†‡ˆ‰ŠY‹,Œu [a, b] wZf€Ž089:;O W 5. *{|… ξ Laplace Y‹Zf Eξ, †‘’8 , (λ > 0). p(x) = e 6. Y“0”‘0Y‹‘’8+• Maxwell Y‹–—˜ 1 2

1 |x−µ| 1 −λ 2λ

p(x) =

†. *

7.

8.

2 2 2 4x√ e−x /α , α3 π

x > 0, x ≤ 0,

0,

4 ™8ZTfY“0šˆ”‘›šˆœM (( Y“0ž…~n EŸ ¡Zˆ¢£ N (a, σ ), T¥¤¦^

α>0 ξ 1 , ξ2



(

σ E max(ξ1 , ξ2 ) = a + √ . π

ξ 1 , ξ2 , · · · , ξ n

W§ 0 ¡{|…Z¢£E¨Y‹}‘’8 W E



ξ1 + ξ 2 + · · · + ξ k ξ1 + ξ 2 + · · · + ξ n



=

2

f (x),

T©

k . n

* ξ ¢ £ N (a, σ ) Y‹Zf η = e 089:;O 10. *{|… ξ, η EŸ ¡Z¨¢£ª«Y‹ G(p) Y‹ZTf 9.

m).

2

a2 −2aξ 2σ2

E max{ξ, η}.

1 2


¬ ­
®°¯²±´³
µ
¶
³
µ²·´¯ 11. ¸. r Q¹º b Q»Z¼£.RS n QZf†.¹Q8089:;O 12. ¸. n ½¾¿ZY[À Á 1, 2, · · · , n, £. bcŠÃ˜ k ½¾¿ZfÄÅÁÂÆ › µ 089:;O 13. ,ÇÈ.ZÉAÊb+cËÌþ¿ZfÄÅÁÂÆ›089:;O §Î 8012Ϫ«Ð8Ñ=OZTÒÓÐ80ÔÕ a Ög q, ×{ 14. *{|… ξ SRÍ |…W 0:;~n 10, ØÙÚ,ÛÜÝÞ ξ aßn 10 012O 15. ,à a 0áâÇRÍ ¡ŠS n QlZfEãäå0luãæ0:;O  W  ç èÎ ‡{|…}†89:;é,}©ê^ 16. * ξ P Eξ = P {ξ ≥ n}. W  ç è {|…R0Y‹’8}T©RR s > 0 17. * F (x) ? x dF (x) = s x (1 − F (x))dx. W F (x), ëR ξ 0:;é,OZ©Rê^ 18. *{|… ξ 0Y‹’8 Eξ = (1 − F (x))dx − F (x)dx. § 19. *{|… ξ LMS ìQ ‡ x , x , · · · , x , ©ê^

168

∞

n=1

+∞

+∞

s

0

s−1

0

+∞

0

−∞

0

1

k

Eξn+1 n n→∞ Eξ

W  ¡¨Y‹0

= max xj .

{ |…ZTf E(max ξ − min ξ ). 21. *æí{|… ξ , ξ , · · · , ξ   ¡¨Y‹Zë PP(ξ = Pi) = p (i = 1, 2, · · ·), ©ê^ E min ξ = p . W 0.2, òÁ-ú 5 ûü 22. Êá+îïp˜0ðñòÁóô+îïõö÷Øöy÷Ë+cùø01÷2 ý p_þUyöyËcøòÁ WX þp˜òÁ›õöòÁÆu67
ÿ 16 û0ouO Tf,
Ë
¡k
 ý p0ðñòÁ0šˆ_8O 23.


0 n Q@



0 
“ b,k -@RS

“ Ç  ξ 


 .

“0@0Q8ZW f E(ξ). W 24. *¸.
 2 Qq†
. Á k
0  C Q (k = 0, 1, · · · , n). ¼abcŠ£¸.RS m Q (m < 2 ),
f 


Ç ÁÆ›089:;O 25.
¼  n Q¸“" !
#
 a L $ b L
» 
%"&
£ '
(Q¸“.Ø (
%")
Þ *+

B ,
b -
'
.Q¸Z“
. %0/£ '
.Q¸“.Ø (%1)Þ *+B ,b -'2Q¸“. %13 
4
5
6
(UÃW Þ
I %
ä 
£ ' n QZ¸“Ã
˜ (

Ø )
Þ *
+
%87
,  n _
à .ÄÃÅ 0 $
0 98 S , Tf ES .  20.

*

2

lim

ξ 1 , ξ2 , · · · , ξ n

1

2

1≤j≤k

U [0, 1]

k

n

1

∞

1≤k≤n

n

i

∞

k

k

k

n

i

k

m=1

i=m

k n

n

n

n

§5.2

:<;<=?><:<;<@
B CDEDFDGDH D I ξ JDKDLDMDNDO r > 0, PDQDRDSDTDKDLDMDN ` OaDb ξ UDcDdDeDV J F (x), fDg §5.2.1

r

E|ξ| =

Z

∞ −∞

|x|r dF (x).

|ξ|r

UDVDWDXDYDZ PDQ\[^]D_ (5.2.1)

h iDOjDhDiDkDl D 169 mDnDoDpDq UDrDcDsDtDu OPvQvw E|ξ| x JDKDLDMDN ξ U r y (zD{ ) |DO} x J r yD~D (zD{ ) | Z€Du PDQDDKDLDMDN ξ ‚ r ƒD„ rDU O…DJ ξ ∈ L . m r JD†D‡ V O‰ˆDŠ ξ ∈ L u O mD‹DŒ s Eξ DŽDZ PDQDw Eξ x JDKDLDM N ξ U r yv| (~vv| ). vvO m KvLvMvN ξ UvVvWvXvYvvŽvu O ξ ‚ 1 ƒv„ r U O0ˆDŠ VDWDXDY Œ ‚DKDLDMDN ξ U 1 yD| Z0‘D€ O0| UD’D“ ‚ VDWDXDYD’D“DU•” ‹D–D— Z I a JD˜ V O m KDLDMDN ξ J r ƒD„ rDu OPDQD™D„DDšD›DœDa §5.2

r

r

r

r

Z

r

E|ξ − a| =

∞ −∞

r

|x − a|r dF (x)

(5.2.2)

UVžŸ Z ab¡ o£¢ UDrcDst OˆDŠ r J†‡ V Ofg E(ξ − a) } Œ ŽZ ŸD¤D¥ O‰aDbDKDLDMDN ξ J r ≥ 1 ƒD„ r O‰fDg Eξ DŽ O‰¦D§D„DD¨ a ©DJ Œ ™D„ Eξ, SDTDKDLDMDN ξ U œDa E|ξ − Eξ| UDVDžDŸD DZ aDb r JD†D‡ V OªfDg DSDT E(ξ − Eξ) . PDQD¨ E|ξ − Eξ| x JDKDLDMDN ξ U r y ¢^« (zD{ ) |DO m ¢^« | Z r JD†D‡ VDu O¨ E(ξ − Eξ) x JDKDLDMDN ξ U r y ŽD¬D­ | UD®D¯ ¢ O°D± Ž [0, ∞) ¡ U\²^eDV ‚D³D´DµD¶ UD·D¸DZ ¹Dº 5.2.1 x °D± Ž [0, ∞) ¡ U ˜D» eDV g(x) ‚D³D´ ²^eDV OaDb r

r

r

r

r

g



x1 + x 2 2



≤

g(x1 ) + g(x2 ) , 2

∀ x1 , x2 ∈ [0, ∞).

PDQD¼D½D¡D¾ ’D“D¿\À^¿\À^Á ´DµD¶DÂDà oDÄ I r > 0, aDbDKDLDMDN ¹DÅ 5.2.1 C ÆDÇDÈ r

Ê ¢ O

aDb r≥1u O

Cr = 2r−1 ,

ËDÌ Ä1m

0
2r ,

r ≥ 1; Cr = 1, r

‚

aDb

0 < r < 1.

¡ U\²^eDV OD

g(x) = x [0, ∞)  r ξ1 +ξ2 r |ξ1 |+|ξ2 | ≤ 2 ≤ 2

ÎD© XDY OÏDÐ

|ξ1 |r +|ξ2 |r , 2

E|ξ1 + ξ2 |r ≤ 2r−1 (E|ξ1 |r + E|ξ2 |r ) .

u OaDb

|ξ1 | + |ξ2 | 6= 0,

PDQ s

|ξ1 | + |ξ2 | (|ξ1 | + |ξ2 |)1−r |ξ2 | + ≤ |ξ1 |r + |ξ2 |r , (|ξ1 | + |ξ2 |)1−r

|ξ1 + ξ2 |r ≤ (|ξ1 | + |ξ2 |)r = =

aDb

É s

E|ξ1 + ξ2 |r ≤ Cr (E|ξ1 |r + E|ξ2 |r ) ,

Ž ¡ o Á qDÍ  m

ξ 1 , ξ2 ∈ L r ,

(5.2.3)

|ξ1 | + |ξ2 | = 0,

|ξ1 | (|ξ1 | + |ξ2 |)1−r

¡ o ” ‹DÑDÒ ZŽ ¡ o Á q © XDY OÏDÐ E|ξ1 + ξ2 |r ≤ E|ξ1 |r + E|ξ2 |r .

(5.2.4)

¬
­
®°¯²±´³
µ
¶
³
µ²·´¯

170

¹DÅ

I ξ JDÓDÔvKDLDMDNDO Æ ÇDÈ v U Borel „DÕ U\²^eDV OaDb Eξ DŽ OÉ s 5.2.2 Jensen

g(x)

‚D°D± Ž

[0, ∞)

g(Eξ) ≤ Eg(ξ).

¡

(5.2.5)

Ë Ö 1: aDb ξ ×DØ ­ 0, É (5.2.5) o UDÙ p Á qDÚ ‚ g(0), mD‹DÑDÒ Z D D a b ξ ­ s D € \ u D Ü ^ ² D e D V D U D Ý Þ V W Âv×DØ 0, ÉDÛ 0 < Eξ < ∞, _ (D ß àDáDâvÃDãDä “D cDå ” æD³DçDOæ 183 èDéDêD³Dë ), DŽ ˜ V α ìDÐ ­ ‚ Œ s g(ξ) ≥ α(ξ − Eξ) + g(Eξ), q í © XDY OÏDÐ (5.2.5) o Z Ž ¡ o Á D ËDÖ 2: Ü g(x) U Borel „DÕ Ý _ g(ξ) JDKDLDMDN Z D P QDîDSDï Eg(ξ) DŽ I UDðDñDZ ξ UDcDdDeDV J F (x), η ‚ U [0, 1) KDLDMDNDO ­ ‚ F (η) }D‚DòD¦ c d F (x) U KDLDMDNDO Ê ¢ F ‚ F UDóDeDVDZô _ g(x) ≥ α(x − Eξ) + g(Eξ),

x ∈ [0, ∞),

−1

−1

Eξ = EF

−1

(η) =

Z

1

F −1 (x)dx,

0

Eg(ξ) = Eg(F −1 (η)) =

Ü^­ ξ JDÓDÔDKDLDMDNDOõD ÷ áD†D‡ V n ≥ 2, Ú s g

F −1

U »DöDJ

  n−1 1 X −1 k F n n

!

1

(5.2.6)

g(F −1 (x))dx.

0

[0, ∞).

ÜD²^eDVDU °D±D„D – _DOõ{

u O Πs

k=0

n→∞ Z 1  Z 1 g F −1 (x)dx ≤ g(F −1 (x))dx,

o û À^ü Œ ‚ § (5.2.6) ú (5.2.7) D ùDeDV ODD°Dþ UDÿ
ÑDÒ Z ¹DÅ 5.2.3 I ξ JDKDLDMDNDO 0

o (5.2.5) ZýÜ^­ 0

0 < s < r,





ξ ∈ Lr

„DÕ U\²^eDV Ú ‚ ø

u O s

ξ ∈ Ls ,

(E|ξ|s ) s ≤ (E|ξ|r ) r .

Š s (5.2.8)

Ü ­ > 1, D g(x) ‚D°D± Ž [0, ∞) ¡ UDøDù\²^eDVDZ ^ JDÓDÔDKDLDMDNDO ξ ∈ L , D Ü °Dþ 5.2.2 Ð r

g(x) = x s ,

η = |ξ|s

r s

r

r

‡DþDêDÏDÐ

É m

Lebesque

1

1

ËDÌ Ä

(5.2.7)

  n−1  1X k −1 g F ≤ . n n

a b g(x) J [0, ∞) ¡ UDøDùDeDV  D O É m k=0

Z

r

r

(E|ξ|s ) s = g(Eη) ≤ Eg(η) = Eη s = E(|ξ|s ) s = E|ξ|r < ∞. (5.2.8)

o Z

§5.2



hDiDOjDhDiDkDl 5.2.1

171






DG





DH I KDLDMDN

ξ U †D‡ V D y ~DD| Z DÄ Ü^­ { ÷ á r > 0, Ú s 1 E|ξ| = √ 2π r

Z

∞

2

r − x2

|x| e

dx =

r

2 π

Z

∞

ξ

xr e −

x2 2

òD¦

m

0

ξ

J † ‡ V Z m

n

Eξ 2n−1 = 0, ∀ n ∈ N ; r Z ∞ r Z ∞ 2 2 2 2n−1 2n−1 − x2 dx = x e 2n−1 tn−1 e−t dt E|ξ| = π 0 π 0 r r 2 n−1 2 = 2 Γ(n) = (2n − 2)!!, ∀ n ∈ N . π π

r = 2n

u OÉ s Eξ

2n

= E|ξ|

2n

=

r

2 π

Z

∞

2

2n − x2

x e

0

1 2n = √ Γ(n + ) = (2n − 1)!!, 2 π

§5.2.2




PDQ\[^]D_ ` O m Q"!"# ¬ « KvLvMvN € O QD„DDSDT 1 y KDLDMDN ξ ∈ L u O 2

dx =

r

2 π

Z

DšD›

dx < ∞,

U ÷  D  ŽDZ y | Ú D U  † ‡ V y ~  | ú z { ~  | Z I P Q R c ¤ ξ  ô  r = 2n − 1 u O
D

−∞

N (0, 1),

∞

(5.2.9)

1

2n tn− 2 e−t dt

0

∀ n ∈ N.

(5.2.10)

KDLDMDN ξ ∈ L u O VDWDXDY Eξ Œ ‚ ξ U

 » Z ‹ O U " »"$"%vO™"& ¬ «"'"(") V WvXvYvU*vd"+", Z J " ¢^« |DO
Ï µ = E|ξ − Eξ|. -D‚ µ sDu  ô

 O
D Ž
Q .
/ ¥ SDT 2 y ¢^« | 1

1

1

Dξ = E(ξ − Eξ)2 ,

(5.2.11)

ˆD¨ ' x Ê
D J 9 KDLDMDN ξ U
0
1 O…DJ Dξ 2 V arξ, Ê ¢ V ar ‚
3
4
5
6 Variance U
7
8DZ ± ‚DKDLDMDN ξ : ' ”<;^UDVDWDXDY Eξ $ 1DU

0DU

 » Z Q D ™
.
/ ¥ ¨ √Dξ x J ξ U
=
>
1 2 
0
1DZ J #
?
@ 0
1DUDÝDÞ OPD

Q ADR ¿\À ³D´
BDþ Z CDÅ 5.2.1 aDb ξ JD×DØ ­ 0 U KDLDMDNDO‰É s Eξ = 0; ó $DO‰aDbDKDLDM N ξ ∈ L , ˆDŠ Eξ = 0, É ξ ÛDJD×DØ ­ 0 U KDLDMDN Z ËDÌ Ä aDb ξ JD×DØ ­ 0 U KDLDMDNDOÉ s P (ξ = 0) = 1, D s Eξ = 0. ó $DO aDbDKDLDMDN ξ ∈ L , ˆDŠ Eξ = 0, -D‚ ξ ÂD×DØ ­ 0, É s P (ξ = 0) < 1. f 2

2

2

2

2

2

¬
­
®°¯²±´³
µ
¶
³
µ²·´¯ E Œ DŽ δ > 0 ú 0 < ε < 1, ìDÐ P (|ξ| > δ) > ε, ­ ‚ Eξ > δ ε > 0, F
G
H
I Z   €Du ξ ÛDJD×DØ ­ 0. D K Ä Ü (5.2.11) o
J ô –
D ¹DÅ 5.2.4 KDLDMDN U
0
D 1 ¸Ds a
L ÝDÞ Ä 172

2

m

1◦ .

ξ ∈ L2

u O s

m D Š î m 3 .{ ξ∈L
ú O V 2◦ . Dξ = 0, ◦

2

2

Dξ = Eξ 2 − (Eξ)2 ;

ξ c,

s

(5.2.12)

M
NDÛ ‹ J
O V OÏ DŽ O V

c,

ìDÐ

P (ξ = c) = 1;

D(cξ) = c2 D(ξ); 4◦ .

{

ξ ∈ L2

ËDÌ Ä

ú ÷ á
O V

c,

(5.2.13)

Ú s D(ξ) ≤ E(ξ − c)2 .

PD˜D¡DOPDQ s
Dξ = E(ξ − Eξ) = E ξ − 2ξEξ + (Eξ) = Eξ − (Eξ) . Q o (5.2.12) sDu &
R 0
D1 U


S R 0
TDZ 2 . Ü D B þ 5.2.1 _DO Dξ = E(ξ − Eξ) = 0 Ã
U ­ ξ − Eξ ‚D×DØ ­ MDNDOÏDÃ
U ­ P (ξ = Eξ) = 1, D D Ð
D V › Z 1 U °D± Ò Ð Z 3 . Ü<0
D 1◦ .

2

2

◦

◦

4◦ .

2

2

2

2

0

U KDL

PDQ s

2

E(ξ − c)2 = E ((ξ − Eξ) − (c − Eξ)) = E(ξ − Eξ)2 − 2E(ξ − Eξ)(c − Eξ) + (c − Eξ)2 = Dξ + (c − Eξ)2 ≥ Dξ.

PDQDR
W
MD´ 

0
1DU
X
YDZ  5.2.2 Poisson cDd P (λ)
U 0
1DZ DÄ0I KDLDMDN ξ òD¦ Poisson cDd P (λ), Ê ¢ λ > 0. PDQ\[^] Ž
X Z Ð Eξ = e P n = λ, ‘D
€ [
\ Q o (5.2.12), ]
^DÎ Z K Eξ . ¼D½ d _ OPDQ s
−λ

∞

n=1

λn n!

Eξ 2 =

2

∞ X

n2 P (ξ = n) =

n=0

∞ X

n=1

∞ X

n2 e−λ

∞ X λn λn = e−λ n2 n! n! n=1

∞ X λn λn = e−λ n(n − 1) + e−λ n n! n! n=2 n=1

= λ2 e−λ

∞ X λn−2 + λ = λ2 + λ . (n − 2)! n=2

5.3.1 ξ

UDc

¢

hDiDOjDhDiDkDl Î Ü Q o (5.2.12) ÏDÐ §5.2



173

Dξ = Eξ 2 − (Eξ)2 = (λ2 + λ) − λ2 = λ .

U 0
1DZ 5.2.3 †
` cDd N (a, σ )
DÄ0I KDLDMDN ξ òD¦D†
` cDd N (a, σ ), PDQ\[^] Z Ð 2

1DU °D±

(5.2.11),

2

PDQ s

Eξ = a.

a
bD¼D½ 0

  (x − a)2 dx (x − a)2 exp − σ2 −∞   Z ∞ 1 (x − a)2 =√ (x − a)2 exp − dx σ2 2πσ −∞ Z ∞ u2 1 u2 e− 2 du = σ 2 . = σ2 √ 2π −∞

Dξ = E(ξ − Eξ)2 = √

1 2πσ

Z

∞

Ê ¢ éDêD³
cDPDQD¼D½
# 5.2.10 o\¢ U

 VDb Z ¹Dº 5.2.2 I ÓD×DØ U D K LDMDN ξ ∈ L , PDQ x 2

J

ξ

U
=
> ØDKDLDMDN Z

ô


ξ − Eξ ξ∗ = √ Dξ

(5.2.14)

Eξ ∗ = 0, Dξ ∗ = 0.

X a Poisson cDd P (λ) KDLDMDN ξ U
=
> ØDKDLDMDNDJ ξ = ; †
` cDd ¢ PQ£[‰]_ ` O ξ , Ž ædedf N (a, σ ) KLMN ξ Ud=d> ؝KLMNJ ξ = òD¦ =
> †
` cDd N (0, 1); ÃDà Z Ž ædedf ¢ OPQdBdg†d` cDdU
=d> ؝KDLMDN‚DJd# Tdh
i û Z PD˜¡DO PDQ
B
g =
> ØDKDLDMDND™ s ³D´D~ ‘DZX aDO0PDQDSDT Udj
k O0f E m‹ „D 
lDJ
5
m
nõÐ  ξ , }D„DD
o
l
p
5
m
nõÐ  ξ . h ‚ Œ s Ð  ξ = 100ξ . f E ü
q ³
r
n ξ : ξ s
t
u Œ s D í
v ü mD‹ ‚D³D´DÂ
wDþ s
x
y v -D‚
z
{ =
> Ø
n Œ „D
|
! Á
} $
~ s D1 ¤ n ‘ p

€ s ξ = ξ . §5.2.3 


‚



ƒ „
… ξ ú η †
‡
ˆ
‰ í
Š
‹
Œ

Ž ~
 s Á ‹

‘
’
“ n•” ξ, η ∈ L , – E  €
—
˜
™ Z ξ + η s 0
1
š ∗

ξ−a σ

∗

2

1

2

ξ−λ √ λ

2

2

∗

1

1

∗ 2

∗ 1

2

2

D(ξ + η) = E ((ξ + η) − E(ξ + η)) = E ((ξ − Eξ) + (η − Eη))

2

= E(ξ − Eξ)2 + E(ξ − Eξ)(η − Eη) + E(η − Eη)2 = Dξ + E(ξ − Eξ)(η − Eη) + Dη.

‰d¤ d›œ K x #dždŸ ™

€
”

E(ξ−Eξ)(η−Eη),

Ü hd¡ ÷ ád¢d£

x, y,

Ú ”

(5.2.15) |xy| ≤ 21 (x2 +y 2 ),

¥
¦
§©¨«ª<¬
­
®
¬
­«¯<¨

174

– E —
” 
‘
’
“ 5.2.3 ´

¤ ™
]
° ²
³ p

ξ

:

±
‰ v

|E(ξ − Eξ)(η − Eη)| ≤ E|ξ − Eξ||η − Eη| ≤ 21 (Dξ + Dη).

ξ, η ∈ L2 ,

E(ξ − Eξ)(η − Eη)

ξ, η ∈ L2 ,


€
µ

Cov(ξ, η) = E(ξ − Eξ)(η − Eη)

s ¶
0 1 n¸·«œ Cov †
K 3
4
5
6 ¹ ¶ 0

1 s
‡ ˆ
º
»
˜
™
¼ š ²
½ 5.2.5 ¶ 0
1
¾ ” „ L
¿
À š η

Covariance

(5.2.16)

s 7
8 v

1◦ . Cov(ξ, η) = Cov(η, ξ); 2◦ . D(ξ + η) = Dξ + Cov(ξ, η) + Dη; 3◦ . Cov(ξ, η) = Eξη − EξEη; 4◦ .

¡
Á
 ¢
£

Ã
Ä šÆÅ
Ç

a 1 , a 2 , b1 , b2 ,

” š

Cov(a1 ξ1 + a2 ξ2 , b1 η1 + b2 η2 ) = 4◦ .

2 P 2 P

ai bj Cov(ξi , ηj ).

i=1 j=1


€
”

Cov(a1 ξ1 + a2 ξ2 , b1 η1 + b2 η2 ) = E (a1 ξ1 + a2 ξ2 − E(a1 ξ1 + a2 ξ2 )) (b1 η1 + b2 η2 − E(b1 η1 + b2 η2 ))

= E (a1 (ξ1 − Eξ1 ) + a2 (ξ2 − Eξ2 )) (b1 (η1 − Eη1 ) + b2 (η2 − Eη2 )) 2 P 2 2 P 2 P P =E ai bj (ξi − Eξi )(ηj − Eηj ) = ai bj Cov(ξi , ηj ).

„ … ξ , · · · , ξ †
‡
ˆ
‰
È Š
‹
Œ

Ž ~
 s n ‹

‘
’
“ nÊÉ
Ë
·«œ<Ì ‹

‘"’"“"Í "0 ˜"Î (»"Ï h L ), – E "€"—"˜"™"Ð"Ñ"·ÒœÔÓ ‹""‘"’"“ s"Õ"Ö"× ·«œ Á
Â
Ø ‹

‘
’
“ s
¶
Õ
Ö š i=1 j=1

1

i=1 j=1

n

2

bij = E(ξi − Eξi )(ξj − Eξj ).

(5.2.17)

²
³ 5.2.4 „
… n Ù 
‘«Ú<“ (ξ , · · · , ξ ) s Ì ‹ t “
Í Ï h L , – E 
€
Û 
‘«Ú<“ s
¶
Õ
Ö
Ü v n × n Õ
Ü B = (b ) µ
p
Ý ¶
²
Õ
½ Ö
Ü ¾ ” „
„ … L
¿
À 
š ‘«Ú<“ ‹ t “
Í Ï h L , – E
Þ s
¶ 5.2.6 nÙ (ξ , · · · , ξ ) s Ì Õ
Ö
ÜÃ"Ä B = (b ) †
ß
à
‡ Ü v Úԓ Þ s"ä"å v Á"æ n Ù"¢ Úԓ š "€"™ →−x á"â n Ù"ã → − ¸ n ™ x á"â Í ” → − x = (x , · · · , x ), 
€ 1

n

2

1

n

2

ij

ij

τ

τ

¤ ™

1

n

n P n n P n P P → − − x τ B→ x = xi xj bij = xi xj E(ξi − Eξi )(ξj − Eξj ) i=1 j=1 i=1 j=1 n 2 P =E xi (ξi − Eξi ) ≥ 0,

†
ß
à
‡ Ü v

i=1

B = (bij )

ç
è
n¸é
ç
è
ê
ë 175 ì 5.2.4 (íïîïðïñïòïóïôïïõïöïƒ ) ´ (ξ, η) ÷ïøïùïÙïàï` tïu N (a, b; σ , σ ; r), ú Z (ξ, η) s
¶
Õ
Ö
Ü v û š 
€«ü<ý Z
þ Eξ = a, Eη = b, b = Dξ = σ , b = Dη = σ . ¤ ™
]
^ ÿ b . a
b

 ¶
Õ
Ö
s ‡
ˆ
› (5.2.16), É
 ’
“


u= , v= , þ » §5.2

2 1

2 1

11

2 2

22

12

y−b σ2

x−a σ1

n o √
−1 R ∞ R ∞ 1 2 2 b12 = σ1 σ2 2π 1 − r2 −∞ −∞ uv exp − 2(1−r 2 ) (u − 2uv + v ) dudv.

 Õ




s=

»
˜
¼


t=v

  Z Z σ1 σ2 ∞ ∞ p 1 2 2 2 2 b12 = ( 1 − r st + rt ) exp − (s + t ) dsdt 2π −∞ −∞ 2   Z ∞ Z ∞ 2 t t2 1 − s2 √ e 2 ds √ e− 2 dt = rσ1 σ2 . = σ 1 σ2 0 + r 2π 2π −∞ −∞

¤ ™
ù
Ù
à
` t
u ì

u−rv √ , 1−r 2

N (a, b; σ12 , σ22 ; r) B=

s
¶
Õ
Ö
Ü p σ12

rσ1 σ2

rσ1 σ2

σ22

!

.

ú
t ¡
X 4.2.1 × X 4.2.2 œ s 
‘«Ú<“ Ü v û ¹ š h ù X œ s Ø ‹

 t
u Í † Bernoulli t
u ! 5.2.5

0

1

(ξ, η)

,

3/5 2/5

¤
™ 
€
” = Eη = , Dξ = Dη = . 
 ÿ
Cov(ξ, η). ‰ X Eξ 4.2.1 œ
9 25

‰ X  þ


4.2.2

œ
6 25

6 25

6 25

4 25

=

4 25 .

1 10

=

1 10 .

Cov(ξ, η) = Eξη − EξEη = 0.

Eξη = 0 · 0 ·

3 10

+0·1·

3 10

+1·0·

Cov(ξ, η) = Eξη − EξEη =

3 10

1 10

+1·1·

−

4 25

3 = − 50 .


 

 p






£ s
Œ  ¸n 
€

r Ç Š
‹

!
v §5.2.4

ÿ
Þ € s
¶
Õ
Ö

2 2

176

"
½

5.2.2

¥
¦
§©¨«ª<¬
­
®
¬
­«¯<¨

´ 
‘
’
“

ξ, η ∈ L2 ,

#
”

(Eξη)2 ≤ Eξ 2 Eη 2 ,

É
Ë
$
%
&
º
n('
Ë Å '
±
‰ t ∈ R, ) þ Ã
Ä š+*
, n ¡
Á
 t ∈ R, Í ” 0

(5.2.18)

ξ = t0 η, a.s.

g(t) := Eη · t − 2Eξη · t + Eξ = E(ξ − tη) ¤
™ ù
-
.
£ g(t) s
/
› 
þ
0 $
› (5.2.18). ∆ = 4(Eξη) − 4Eξ · Eη ≤ 0, „
… ±
‰ t ∈ R, ) þ ξ = t η, a.s. , 1
2
—
” 2

2

2

2

0

2

2

≥0,

2

0

(Eξη)2 = Eξ 2 Eη 2 .

„ … (5.2.19) ›
&
º
n¸–
5 Õ
6 g(t) = 0 ”
7 Š s ¢ [ t , »
” 3
4 n
E(ξ − t η) = g(t ) = 0, h † ¹
! 5.2.1 , ξ − t η †
8
9 h 0 s 
‘
’
“ n¸»
” ξ = t η, a.s. . ¹
! 5.2.2 ˜
™ þ
:
„  ¼
; š <
= 5.2.1 ´ 
‘
’
“ ξ, η ∈ L , #
”

(5.2.19)

0

2

0

0

0

0

2

Cov(ξ, η) ≤

p

p Dη,

Dξ ·

É
Ë
$
%
&
º
n('
Ë Å '
±
‰ t ∈ R, ) þ ξ = t η, a.s. . x ‰

€
r
>




£ s ‡
ˆ š ²
³ 5.2.5 ´ 
‘
’
“ ξ, η ∈ L , 
€
µ 0

(5.2.20)

0

p

2

ξ

?

s 


£ v „
… ¹ ‡
ˆ
º , η

rξ,η = E



Cov(ξ, η) √ rξ,η = √ , Dξ · Dη rξ,η = 0,

#
µ

ξ − Eξ η − Eη √ · √ Dξ Dη



ξ

?

η

(5.2.21)

0 
 v

= E(ξ ∗ η ∗ ) = Cov(ξ ∗ , η ∗ ),

(5.2.22)

¤ @™ @@d£d—d†@A@B@9 s 
‘d’
“ s
¶dÕ
Ö v à „
 €@C d¤
D n zd{
A@B
9
| E  ¹ h ÿ “GF m s 0 ÈGHG> "‘"’"“GI r sGJGK v ¤ G ™ GG"£GL"žGBGMGNGO P  Ø ‹

‘
’
“ 4 ~ s 


 v 

! 5.2.1 ×
! 5.2.2, Q * ¹ 


£ s ‡
ˆ

¼  š

ç è
n¸é
ç
è
ê
ë
²
½ 5.2.7 ¡
Á
 
‘
’
“ ξ, η ∈ L , Í ” ± ‰ a, b ∈ R, ) þ ξ = aη + b, a.s. . É
Ë
' r
§5.2

177

2

ξ,η

|rξ,η | ≤ 1.

=1

R
n

H

'
Ë Å ' = −1 R
n

|rξ,η | = 1

a > 0;

'

rξ,η

a < 0.

¡
Á
Â
S
8 9 s
 ‘
’
“ ξ, η ∈ L , „ 
T ‹
U
V 
W
$
X š 0  Y (1) ξ ? η 

(2) Cov(ξ, η) = 0; (3) Eξη = EξEη ; (4) D(ξ + η) = Dξ + Dη. 0 v 4 
€
r
Z
; 

?
[
º
¿ ~ s 
 ²
½ 5.2.9 ¡
Á
Â
S 8
9 s 
‘
’
“ ξ, η ∈ L H
\
n „
… ξ ? η [
º
n –
5 Þ € 0 

Y(]
† „
… Þ € 0 

^
_
`

W
[
º v Ã
Ä š „
… 
‘
’
“ ξ, η ∈ L , É
Ë

W
[
º
n¸–
5
1
2
” ²
½

5.2.8

2

2

2

¤ ™ Þ € 0 
 v 3
4 n¸
€
”
3 a „  š ì 5.2.6 ´ 
‘
’
“ ξ × η
s t
u
b
t
p !

Cov(ξ, η) = E(ξ − Eξ)(η − Eη) = E(ξ − Eξ) · E(η − Eη) = 0,

ξ∼

−1

0

1

1 2

1 4

1 4

η∼

,

0

1

1 2

1 2

!

(5.2.23)

# ξ ? η 0 [
º
n(c 0 
 v û š ¹ ξ × η s"t"uGb n , Eξ = Eη = 0. dGe"p P (ξ · η = 0) = 1, ¤ ™  0 v ]
† E(ξ · η) = 0. e
f Cov(ξ, η) = E(ξ · η) − Eξ · Eη = 0, , ξ ? η 
 É
Ë ¤ ™

P (ξ · η = 0) = 1.

P (ξ = 1) = 14 ,

P (η = 1) = 12 ,

P (ξ = 1, η = 1) ≤ P (ξ · η = 1) ≤ P (ξ · η 6= 0) = 0,

P (ξ = 1)P (η = 1) = 6= 0 = P (ξ = 1, η = 1), 0 ˜
g ξ ? η [
º v h ¢

n(
 ξ ? η s
 t
u
×
i
j P (ξ · η = 0) = 1, 0
k
l  w t
u
b š 1 8

pij

-1

0

1

pi·

0

1/4

0

1/4

1/2

1

0

1/2

0

1/2

(ξ, η)

s
m

1/2 1/4 1 n † Š
‹ 
 i
j P (ξ · η =p0) = 1/4 ¹


 3 a
o v ·
p
q 1, ¼ w
t
u b m t

u
b s r
s † š
‹

‘
’
“ s
w Î
$
x 0 s m å 
t
 Œ 
‰ « á u œ
t v p × p , ‰ Ø  0, 2  

y i z Œ
 4 × $
x p , y j 㠌
 4 × $
x p ,
¼ {

·
|
Ó
} s Œ

ì ~
v 
‘
’
“ θ ÷
ø

€ t
u U (0, 2π), H 5.2.7 ´ ·j

i·

·j

·j

i·

ξ = cos θ,

η = cos(θ + a),

¥
¦
§©¨«ª<¬
­
®
¬
­«¯<¨

178

·«œ a
p 
£
n(‚
‡ v 0
k


Eξ = Eη = 0; Dξ = Dη = 21 . R 2π 1 Eξη = 2π 0 cos x cos(x + a)dx =

¤ ™
n

1 2

cos a.

rξ,η = cos a.

1◦ . 2◦ .

¿


Y

„
… „
…

a = 0, a = π,

#

f
R ξ = η = cos θ, Þ €
p
È Š
‹

‘
’
“ Y Þ 4 ~
”  M s
ƒ = −1, f
R η = cos(θ + π) = −ξ, € Þ € 0 
 v ]
†
” š ξ = cos θ, η = sin θ, = 0, f
R

rξ,η = 1,

#

rξ,η


„ … a = , # r 
€
r Ç Þ € 0 
W
[
º v 
€ ,
„ n
„ … Þ €

W
[
º
n¸–
5 ¡
Á
 π 2

3◦ .

ξ,η

B1 , B2 ∈ B 1 ,

—
…
Ý Í ”

P (ξ ∈ B1 , η ∈ B2 ) = P (ξ ∈ B1 ) P (η ∈ B2 ) .

x ‰

€ æ

B1 = B2 = (0, 21 ),

–
5
”

(η ∈ B2 ) = 0 < sin θ

e
f
1
2
” 
þ




1 π 2 = 3 <θ <
< 21 = 0 < θ <

(ξ ∈ B1 ) = 0 < cos θ <




π 3π 2 ∪ 2
π 5π 6 ∪ 6

(5.2.24)

<θ<

5π 3







;

<θ<π .

(ξ ∈ B1 ) ∩ (η ∈ B2 ) = Φ,

P (ξ ∈ B , η ∈ B ) = 0, 0 0 ¤ ˜
g
f
R (5.2.24) ›
& º
n ™ ξ ? n η [
º v h ¢
0 
n†f
R ސ
€‘
4’
~
“ ±
0 ‰
Š ‡ S ‡
— ƒ ¿

 v ξ + η = cos θ + sin θ = 1. —
ˆ
‰

€
Š 
 s 
W
[
º ‹ w

Œ
Z
;
˜ , Š(


£ r † ¡ 
‘
’
“ ξ ? η s
ƒ ¿



 s Š  O P ŠŽ' |r |  :

‘ ~ 1 R
Š ξ ? η 4 ~
’
“
`
2
±
‰ ƒ ¿


YŽ' r  :

” ~ 0 R
Š ξ ? η 0 

Š¸»
‰ Þ € 4 ~ 0 ±
‰ ƒ ¿G
GŠ(]
† Þ € 4 ~G• 2
˜
–
±
‰
·
—

˜


Š ¤ ™
É 0 Š ‡

W
[
º
™ ]
†
Š ¡ x
ù
Ù
à
š
›
œ
^
† a
 Š(ž
Ÿ
” š ²
½ 5.2.10 „d… d‘Ú “ (ξ, η)   m@¡ ›@œd†dùdÙdà@š@›@œ N (a, b; σ , σ ; r), # „ 
¢ ‹
U
V 
W
$
X š 0 1 . ξ ? η 
W
[
º
Y 2 . ξ ? η 

Y 3 . r = 0. Ã
Ä š ¹ x
[
º Š ‡ 0 

Š ¤ ™ 1 ⇒ 2 . ¹ a 5.2.4   ÿ

£
… , P (ξ ∈ B1 ) = P (η ∈ B2 ) = 61 ;

2

2

2

1

2

2

ξ,η

ξ,η

ξ,η

2 1

◦

◦

◦

◦

√ (ξ,η) = rξ,η = Cov DξDη

◦

rσ1 σ2 σ1 σ2

= r,

2 2

ç
è
Š¸é
ç
è
ê
ë 179 ¤ ™ ξ ? η 0 GGŠ¸» r = 0 $GXGx r = 0. "þ 2 ? 3 $GXG™(HG' r = 0 R
Š (ξ, η)   m
¡
¤
¥ $
x Ø ‹

 ¤
¥   w Î
Š ¤ ™
f
R ξ ? η 
W
[
º
Š•»
” 3 ⇒1 . :§¦ C
¨
©
Š(ž
Ÿ«ü<ý
ª
«
¬

ù
Ù
à
š
›
œ N (a, b; σ , σ ; r) œ ¤ ” 5 ‹
­ £
 
®
ˆ
™ §5.2.5 ¯
°
±
²
³
ô
´
µ
³
õ
ö Š"‹"Œ""ŽG¶ G GGWG["ºG  "‘"’"“ Š¸÷"ø"È Š ´ ξ, ξ , ξ , · · · †"‡"ˆ"‰"È ‹ ›
œ F (x). „
… ž
Ÿ
· §5.2

◦

ξ,η

◦

◦

◦

2 1

1

2 2

2

S0 = 0,

Sn =

n X

n ∈ N,

ξk ,

µ
¨ i.i.d.([
º
È
›
œ ) 
‘
’
“
¸ ã {ξ , n ∈ N }  
¹
› × ™ºž
Ÿ«ü<ý , „ Š S
  ›
œ
.
£
¨ I(x > 0); H S  
›
œ
.
£
¨ F (x), ·«œ F (x) †
›
œ F (x)   n »§¼¾½
Î
™(¨ Õ
¿
À g
Š(ž
Ÿ
· F (x) = I(x > 0), É
µ
·
¨ F (x)   0 »§¼¾½
„
Î
… ™ ξ ∈ L , É
Ë Eξ = a, –
5
Q *
þ –
5

k=1

Sn

n

0

∗n

n

∗n

∗0

1

„
…
Á Š
 ”

ES0 = 0,

n P

ESn =

n ∈ N.

Eξk = na,


þ ξ ∈ L , É
Ë Dξ = σ , –
5
Q * P DS = 0, DS = Dξ = nσ , n ∈ N . à ‰ ´ ν †
? 
‘
’
“
¸ ã {ξ , n ∈ N } ‡
ˆ
‰
È Š
‹
Œ

Ž
¶ 
 
Ä æ S@Å
Æ £ ~   d‘d’d“ ŠÉdË ν †@? d‘d’d“@¸ ã {ξ , n ∈ N } @W@[dº@™Çž@Ÿdµ k=1

2

2

n

0

n

2

k

k=1

n

n

Sν =

ν X

ξk =

∞ X

Sn I(ν = n).

(5.2.25)

 ‘
’
“
¸ ã {ξ , n ∈ N }   
‘
È A × Š(É
µ
¨ 
‘ × ™
‰ÊC   ï”ÊÊËʦ Ì œÍŠÎžÊŸÐÏ ýÊÑ@n ÒÊÓ Šdï‹ ‘ ×   ŒÊ ™ a „ 
Š ‘d„d’
… “@™ ¸ {ξ , n„d∈… N } ádâdÓ@Ôd±@Õ@ d£ Š
‹
Š Ø–@Ùu5
Ú ˜d: ™
Ö@¨ † [dº
È@›
œ@  Š
‹ ã@™ ~
æ
S
Å Æ 
™ ‘
ν ’
á
“ â
Š¸×
É
z
Ë
‰ ˜
™ ¡ ! NGÖ
¨  
±
ν Õ
†
Ô
? £

Š¸‘
–
’
5 “
¸ ν ã '
2
{ξ† , n ∈Ä N } 
W
[
£ º
™( x ÙuÚ :  
±
Õ
£ ¦ —
† „ (5.2.25) › ¤ â
  
‘ × S . †
Š(×
z
‰ Š
‹
Ø ž
Ÿ
Û

Ü l S  
›
œ
.
£
™(ž
Ÿ
Ý
 n=0

k=1

i.i.d.

n

n

n

ν

ν

Š ‹ $
% þ ¼¾[
º
¿
™¸ø
H ¹uÞ Œ

ß ›
Š þ ·«œ 


P (Sν < x|ν = n) = P (Sn < x|ν = n) = P (Sn < x),

FSν (x) = P (Sν < x) = P (

ν X k=1

ξk < x) =

∞ X

n=0

P (Sν < x|ν = n)P (ν = n)

¥
¦
§©¨«ª<¬
­
®
¬
­«¯<¨

180 ∞ X

=

P (Sn < x)P (ν = n) =

∞ X

P (ν = n)F ∗n (x).

(5.2.26)

 
à ´ ξ, ν ∈ L , É
Ë Eξ = a, Eν = u, ž
Ÿ
Ü ÿ

›
œ
.
£
Š(á
Ó
£
â
ã
ä
 
‡
ˆ
Ü ÿ
Š¸–
5
ž
Ÿ
” n=0

n=0

ESν .

1

ESν = = =

Z

∞ X

n=0 ∞ X

∞

xdFSν (x) =

−∞

P (ν = n)

(5.2.25)

ESν = E ∞ X

∞ X

xd

−∞

P (ν = n)F ∗n (x)

n=0 ∞ X

xdF ∗n (x) =

−∞

ν X

ξk =

∞ X

 

Sν

!

P (ν = n)ESn

n=0

(5.2.27)

× £
â
ã
ä
 
¿
À
Ü ÿ
E (Sn I(ν = n)) =

n=0

k=1

=

∞

∞

P (ν = n)na = Eνa = ua.

n=0

ž
Ÿ
c
˜
™


á

›

Z

Z

„
… 


ESν :

∞ X

ESn EI(ν = n)

n=0

naP (ν = n) = a

∞ X

nP (ν = n) = aEν = au.

à ‰ à ´ ξ, ν ∈ L , É"Ë Eξ = a, Eν = u, Dξ = σ , Eν DS . å
® ES = DS + (ES ) = nσ + (na) . þ æ Š Õ  Š ¹
á 
› (5.2.25) ˜     n=0

n=0

2

2

2

= τ 2,

žGŸGÜ ÿG

ν

2 n

Sν2 =

ν P

n

2

ξk

n

∞ P

=

2

2

2

2

Sn I(ν = n)

=

∞ P

Sn2 I(ν = n),

0 Gçè  h j Š ¤ ™ R Š (ν
£ é = n ) ?
G (ν = n ) †GW n )I(ν = n ) = 0. 


Œ Š¸º
» l þ n †GeG¨G' 1

n=0

k=1

n1 6= n2

n=0

1

2

2

ESν2

=E

∞ X

Sn2 I(ν

= n)

n=0

= σ2

∞ X

!

nP (ν = n) + a2

‹ ¡ 
Œ
Š¸» þ

n=0

=

∞ X

∞ X

ESn2 P (ν

= n) =

n=0

∞ X

n=0


nσ 2 + (na)2 P (ν = n)

n2 P (ν = n) = uσ 2 + a2 τ 2 .

n=0

DSν = ESν2 − (ESν )2 = uσ 2 + a2 τ 2 − a2 u2 = uσ 2 + a2 Dν.

1.

I(ν =

ê
ë

ìºíºîºïºð ξ ºñ òºóºôºõºö p(x) =

(

5.2

1 x e , 2 1 −x e , 2

x≤0 x>0

,

(5.2.28)

ç è
Š¸é
ç
è
ê
ë
÷ºø |ξ| ùºúºûºüºýºþºÿ
 2. ìºíºîºïºð ξ ñºòºóºôºõºö

§5.2

181

pξ (x) =

÷ºø

η = eξ

þ

ζ=

1 ξ

(

2(x − 1),

1<x<2




0,

ùºúºûºüºýºþºÿ



  
 

 
ø


Eξºíºþ î
Dξ:

3. (1)

ξ

,




ºù



†ù
†ú ÷


ξ

ùºóºô

“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT.”

(2)   †ù 30 !†í†î  ! 
ºú
 ÷

 η ùºóºô 
  ø
 Eη þ Dη. 4. ìºíºî#" ð (ξ, η) ñºòºóºôºõºö p(x, y) =

÷ºø

(

2e−(x+2y) , 0,

η

 †ù

x > 0, y > 0




,

$ %
&ºú ) þ E(ξ − Eξ) .
5. 
'
(
)
*
+

,$-†ð.'
/†ù0†ð
123
04-†ð
567
89:-†ð
;<†ù=
> ?
@ $
A
'
/ºù
0†ð ÷BCD
EF ùG(
 ÷L “M ”a , a , · · · , a (NOP 6. H†í†î†ï†ð ξ , ξ , · · · , ξ IJK í†î†ï†ð Dξ = σ , P ) ú ), S P a ξ ùºÿ

7
T
 a = 1 ù n !
Q
R
º 7. ì†í†î†ï†ð ξ , ξ , · · · , ξ (n > m) IJK ù+  òU† V ù  Ž W òŽòŽ X ùŽÿY ÷†ø S = ξ + ··· +ξ Z T = ξ +ξ + ··· + ξ [
\
]
^ ù
U
_
º` ú
÷ d 8. H ξ ùºõºö
aºú I
b aºúcW Eξ < ∞, |ξ| Z ξ e
U
_
f
g
h
e
Ui JK  9. H (ξ, η) ùºõºö
º a ú
$ Eξ k , E(ξ k η l ) (k, l

1

n

2

3

n

2 i

i

n

i

1

2

n

i i

i=1

i=1

1

2

1

m+n

n

m+1

m+2

m+n

2

p(x, y) =

(

1 , π

0,

x2 + y 2 ≤ 1

x2 + y 2 > 1

÷ *kj
l
m ξ Z η
e U
_
f
g
h
e JK  ? º 10. H ξ Z η n I
o [ ! ù í†î†÷
ï†d ð
 ÷dp
q gheU
_cr J
K  11. H η = aξ + b, η = cξ + d, η , η ù
U
_
`ºú
s
t ξ , ξ ù
U
_
`ºú
 12. H ξ , ξ , ξ I íºîºïº
ð 
÷ u
vp wx ]^ ù_`
m 1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

3

[
[ e
U
_
y (2)D(ξ + ξ + ξ ) = Dξ + Dξ + Dξ ; (3)Eξ ξ ξ = Eξ · Eξ · Eξ . 
  Eξ = a, Dξ = 1, Eη = b, Dη = 1, d
C m ξ Z 13. H ξ, η z
{
|
}
%
~ ú
s
t r cos qπ, 
 q
= P {(ξ − a))η − b) < 0}. 14. ì (ξ, η) z
{
|
}
%
~  Eξ = Eη = 0, Dξ = Dη = 1, r = r, ÷
d (1)ξ1 , ξ2 , ξ3 1 2 3

1

1

2

2

3

1

2

3

3

ξη

E max(ξ, η) = 15.



ak = E|ξ|k ,

H

an < ∞,

÷
d

√ k a ≤ k

r

1−r π

√ ak+1 , k = 1, 2, · · · , n − 1.

k+1

η

ù
U
_
`

€‚‚ƒ…„‡†‰ˆ‚Š‚‹‚ˆ‚Š‡Œ‰„

182

H

16.

ξ

ùºõºö
aºú
$ p(x) =

÷
d
 t
Ž


17. 18.

z
{ 
 N (a, σ ), ÷ºø Pareto ùºõºö
ºa ú
$ H

(

20. 21.

0,

|x| > e




,

a > 0, E|ξ|a = ∞. 2

ξ

E|ξ − a|k .

p(x) =

19.

1 , 2|x|(log |x|)2

(

1 rAr xr+1 ,

0,

x ≥ A,

x < A,

D
 r > 0, A > 0. ÷
‘

D 
 ò p ’
“
”
W
•
” p < r. –— ò—˜—ø ™ 1 š 2 ù n ›—œ——Ÿž—{——Ž
 m ›— ÷— (1) ò— ¢¡£y (2) e
 ¢¡ (m ≤ n) |
ø
¤
¦
¥§ m ›
œ


˜§
™ ]
#\ ª
ùº«­ÿ¬  5.1 ù
¨ 21 
©

ºù®†ú ξ ùºÿ

 ìºíºî#" ð (ξ, η, ζ) ò
¯
°ºõºö ø
± íºî#" ðºù
²†ÿ
³p(x, y, z) = (x + y)ze , 0 < x, y < 1, z > 0. –
ø º ò N ´
µ
¶
#·­º µ ú τº $ íºîºïºð
 E(τ ) = n. ž
{
–
ºò
 #¡­¸
Ž
m ´
µ
 ·­µ
º ´ ú ξ ùºúºûºüºý
 ì A, B I
¹ * E º ù ([ ´
º
»
W P (A) > 0, P((B) > 0, 
¼
º½ íºîºïºð ξ, η p 
m 1, H A¾
¿ , η = 1, H B¾
¿ , ξ= 0, H Ae
¾
¿ 0, H B e
¾
¿ ÷
d
C mH ρ = 0, r ξ Z η À
¼
U
i J
K  ì Eξ < ∞, a I
¹ ú
Á ( ξ, ” X ≤a , η= a, ” X >a d
C m Dη ≤ Dξ. ì p (x), p (x) $

º} õºö
ºa ú
 p(x, y) = p (x) · p (y) + h(x, y). (1) $
S p(x, y) Â
$
|
º } õºö
º a ú
 h(x, y) À
Ã
W o
Ì Ä O
P
ÅÆ
Ç»ÉÈ (2) $
S
|
}ºõºö
aºú p(x, y) ù [ ´

}
Ê
˺õºö $ p (x) \ p (y), h(x, y) À
Ã
W o
Ä p
O
q P
Å
Æ
Ç
»ÉÈ (3) íºî#" ð (ξ, ζ)  p(x, y) @ $
¯
º° õºö
Í$
S ξ Z η U
i J
K  h(x, y) À
Ã
W o
Ä p
O
q P
Å
ÆÇ
»#È (3) íºî#" ð (ξ, ζ)  p(x, y) @ $
¯
°ºõºö
Í$
S ξ Z η e
U
_
 h(x, y) À
Ã
W o Ä O
P
Å
Æ
Ç
»#È −z

22. 23.

ξη

24.

25.

2

1

2

1

2

1

2

Î ÏÐÑÐÒ Ð ÓÕÔÕÖÕ×ÕØÕÙÕÚÕÛÝÜßÞÕàâáÕãÕäÕåÕæÕçÕèÕéÕêÕë#ìÕíÕîÕïÕðÕñÕòÕÖÕ×ÕóÕôÕê õ÷öùøúæúÙúÚúûúüúë­ýúØúþúê‚õúÿ
úæ‚ ñ 

úë  Ó ‚ Ø 
ú
å 


‚æ §5.3

ˆ Š‡Œ‰„ ‚ æ 
‡Ü‰ë#ø




‚ë




‚Ù‚Ú‚Û‚ê‚õ‚á
‚ç‚è‚æ‚û‚ü
!  õ
‚
§5.3

183


" #
$
%
&
'
( )+*+++,+-+.+/+0+ + ++ æ Ù+1+!2 ξ η Ø ä ü++3+4+5 Ù Ú+6+7 æ
9
5



‚  ë: i = √−1, ó
; (Ω, F, P ) 8 <‚Ø
4
‚ 5 ä‚ü
‚ قÚ
6
7 (Ω, F, P ) ζ8 :=æ
ξ/
+0
iη



!#Ó

=‚ë

>
?
@‚× t, §5.3.1

eitξ = cos ξ + i sin ξ

Ø
4
5
/
0




!

(5.3.1)

A B
C /
0



 ζ = ξ + iη D

FEG
æ‚×

K
L
M
N
‚ë#ó
;
< A
B
O
P
Q 

R
S η T I J/0   ζ A
[ Ö‚× g  g M‚õ 1

'
( ]


5.3.1



Eζ = Eξ + Eη; 1

= ξ1 + iη1

ζ2 = ξ2 + iη2

,
‚å
!GH
I‚ëGI
J ä‚ü
Eζ (ξ, η)

UV úëXWYZW>?

ξ



Borel

2

2

E (g1 (ζ1 )g2 (ζ2 )) = Eg1 (ζ1 )Eg2 (ζ2 ). F (x)


4
\‚ñ‚ò‚ւׂë

S

f (t) =

æ ӂԂւ×
!I
J ‚ æ‚ӂԂւׂëa
b‚õ F (x)

(5.3.2)

Z

∞

eitx dF (x),

−∞

F (x)

Ø





t∈R ξ

(5.3.3)

æ‚ñ‚ò‚ւׂë^
_

f (t)

` ]


ξ

cGa
d
,‚ë#ӂԂւ×
<‚Ø‚ñ‚ò‚ւׂæ Fourier 
e
! cf>?ú@ × t úM õ |e | = 1, g B >?úñúòúÖú×úæúÓúÔúÖú×MN!hcùÓúÔ Ö‚×‚æ‚ä‚ü
i
j

k
lmI
J
n
o
p



 ξ æ‚ñ‚ò
q
P (ξ = a ) = p , n ∈ N , ó
; f (t) = Eeitξ .

itx

n

I
J
r
s
p





f (t) = Eeitξ =

ξ

æ
t
u‚Ö‚×


f (t) = Eeitξ =

∞ X

n

eitan pn .

(5.3.4)

eitx p(x)dx.

(5.3.5)

ó
;

n=1

p(x), Z ∞

õ
b

 A
B ñ

‚ӂԂւׂæ
@
v 
w v
x
y
z
{‚ëa
b‚õ −∞



,
z
{
4
|

}‚ñ‚ò‚æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
!

f (t) = Eeitξ = E cos tξ + iE sin tξ.

184

~

€‚FƒG„
…
†
„
…F‡G

ˆ 5.3.1 
}
n
o
p‚ñ‚ò‚æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
! ‰
Š
‹
Π(5.3.4), 
 A
B {

lŽ



a

æ



‚æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×


Ó=ú됎 0 æ  úæúÓúÔúfÖú(t)×= e f (t); = 1; ‘ × ñ‚ò‚æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
ita

4
’
9
“‚ñ‚ò (‚ñ‚ò Ó

=‚ëI
J

f (t) = q + peit ; P (ξ = a) = p, P (ξ = b) = q, p + q = 1)

æ

^‚õ

P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = 21 ,

æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
P (λ)

f (t) =

∞ P

f (t) = e−λ

æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
G(p)

eit +e−it 2

n=0

f (t) =

∞ P

= cos t;

(eit λ)n n!

= eλ(e

it

−1)

;

peit 1−qeit .

eitn pq n−1 =

ˆ 5.3.2 – ׂñ‚ò exp{λ} æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
! ‰
Š
‹
Œ (5.3.5), — ‚Y ñ

‚ӂԂւׂæ
@
v 
w v
x
y
z
{‚ë A
˜ n=1

f (t) = λ

‰
Š ñ
v
™‚ñ‚ë
k š
a

›
œ‚ë


Z

∞

e−λx cos txdx + λ

0

:= λ (J1 (t) + iJ2 (t)) .

J1 (t) = λt J2 (t),

J (t) = ‚ æ ‚ Ó Ô‚Ö‚×
exp{λ}

g B – ׂñ‚ò

1

f (t) = λ (J1 (t) + iJ2 (t)) =

J2 (t) =

"
#
$
%
&
ž
Ÿ '   5.3.1 >
?‚ñ‚ò‚ւׂæ‚Ó‚Ô‚Ö‚×


1◦ . |f (t)| ≤ f (0) = 1, ∀ t ∈ R; 3◦ . f (t)



R

8 4
¦
r
s
¥

¢ Ü

e−λx sin txdx

0

t λ2 +t2 .

λ(λ + it) λ = = 2 2 λ +t λ − it

§5.3.2

2◦ . f (−t) = f (t), ∀ t ∈ R,

∞

1−λJ1 (t) . t

J2 (t) =

λ λ2 +t2 ,

Z

f (t)

Ø

f (t)



1−

it λ

−1

M‚ê‚õ
I
¡


l

f (t)

æ
/
£
¤
¥

Bernoulli

æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×


f (t) = peita + qeitb ;

ñ‚ò Poisson

” • ?‚ñ‚ò


0
.

§5.3

„
…F‡G

ê‚õ
§
¨‚ä
‚ë#û


>
? 5
/‚× z , · · · , z , M‚õ 4◦ . f (t) 1

©
ª l

n

5
@‚×

t 1 , · · · , tn

1◦



n X n X j=1 k=1

2◦

zj zk f (tj − tk ) ≥ 0;

n

A c‰ä‚ü
«
¬
­

!®
¯

3◦ .

(5.3.6)

>
°
@‚× t 

∆t,


‚õ

Z ∞ i(t+∆t)x |f (t + ∆t) − f (t)| ≤ − eitx dF (x) e −∞ Z ∞ ∆t i(t+ 21 ∆t)x i ∆t = e e 2 x − e−i 2 x dF (x) −∞ Z ∞ ∆t = 2 sin x dF (x). 2 −∞


 A °
²‚ñ
³‚æ

´ 

ε > 0, A > 0, Z Z ∆t ε dF (x) < ; 2 sin x dF (x) ≤ 2 2 2 |x|>A |x|>A

˜ 
°‚ä‚æ

A
B °
¶
·
¸‚æ

| sin u| ≤ |u|, A > 0, |∆t|, Z Z ∆t ε 2 sin x dF (x) ≤ |∆t| |x|dF (x) < . 2 2 |x|≤A |x|≤A

¹
º 8
» ë ˜

f (t)



R

8 4
¦
r
s
!¼
¯

4◦ .

2

f (t) = Eeitξ ,

´ 






2 n X zj eitj ξ ≥ 0. zj zk f (tj − tk ) = E j=1 j=1 k=1

n X n X

'   5.3.2 




 Q ‚ւׂæ‚ӂԂւׂë
‚õ
I
¡
½‚Û
l
f (t) = e f (bt). ©
ª ¿l ¾
@ 8 ë
‚õ ita

a+bξ

ξ

fa+bξ (t) = Eeit(a+bξ) = eita Eeitbξ = eita fξ (bt).

‰
Š ä‚å 5.3.2 
 A
B 

=
z
{
>
?
À
Á‚ñ‚ò‚æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
! ˆ 5.3.3 2



 ξ Â
à Á‚ñ‚ò U (a, b), Ä
Å ξ æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
! Æ l¿Ç
2



 ξ Â
à Á‚ñ‚ò U (a, b), 

È

^
j ˜


 cG

 >‚û

n



>‚û
±‚ä‚æ ‰
Š ï
µ Œ

>‚û

n ∈ N,

185

À
Á‚ñ‚ò η Â
à fη (t) =

1 2




,
i j  U (−1, 1). Å R

η=

2 b−a

ξ−

1 itx dx −1 e

ξ=

a+b 2

=

+

a+b 2

eit −e−it 2it

b−a 2 η,

=

sin t t .

~

€‚FƒG„
…
†
„
…F‡G

186

g B ‰c ä‚å 5.3.2  ˜ f (t) = e t) = . f ( 

,
ɂۂӂԂւׂæ Taylor Ê
Ë Œ ë
a
* D |
Ì
Í
! Î   5.3.1 
4
Ï x ∈ R  
Ð
Ñ‚× n,
 ‚õ i a+b 2 t

ξ

©
ª l¿W

η

b−a 2

eibt −eiat it(b−a)

    n |x|n+1 ^ 2|x|n ix X (ix)k . e − ≤ k! (n + 1)! n!

(5.3.7)

k=0

n=0

b‚ë4

҂ë
‚ø‚í‚õ

ix e − 1 ≤ 2;

Ó 4

҂ëj
}

ix R R e − 1 = i x eiu du ≤ |x| du = |x|. 0 0

 n = 0 bÔ!¿Ç2_ Œ  gæ
BØ
Ù
(5.3.7) !ڂû
a
b

FÕGׂõ

n=m

bÖÕf×Ôúë¿,d

n = m+1

m |x|m+1 ix X (ix)k . e − ≤ k! (m + 1)!

g B ë




k

(5.3.8)

k=0

m m+1 |x|m+1 2|x|m+1 ix X (ix)k ix X (ix)k ≤ . ≤ e − + e − k! k! (m + 1)! (m + 1)!

Ó 4

҂ëڂû
k

k=0

k=0

Œ ë A  ˜



eix − 1 = i

Rx 0

eiu du,

(ix)k+1 (k+1)!

=i

Rx 0

(iu)k k! du,

(5.3.8) Z ! Z m m m+1 x |x| X (ixu)k iu X (ixu)k ix X (ix)k iu e − du ≤ = i e − du e − k! 0 k! k! 0 k=0 k=0 k=0 Z |x| um+1 |x|m+2 ≤ du = . (m + 1)! (m + 2)! 0

¹
º 8
»
Û ½
J‚ë ˜ (5.3.7) Œ  n = m + 1 b
Ô

! Œ  n = 0, 1, 2 b‚æ
Ø
Ù
Ü

 Š ë g B 
‚ê
Ý
È
‚î

l (5.3.7)

cG

>
?

ix e − 1 ≤ |x| ∧ 2; 2 ix e − 1 − itx ≤ x ∧ (2|x|); 2 2 3 ix x |x| e − 1 − itx + ≤ ∧ x2 . 2 6

x ∈ R, (5.3.7)

Œ æ
Þ
ß


n→∞

b
M
à


(5.3.9) (5.3.10) (5.3.11) 0,

g B 


k

„ …F‡G
á
â 5.3.1

§5.3

187

eitx =

∞ X (itx)k

k!

∀ t, x ∈ R.

,

(5.3.12)

Œ


ɂۂӂԂւׂæ Taylor ã
Ë
ä
å
æ
 
! '
  5.3.3 I
J



 ξ æ
>‚û
ç
è
M
N
‚ë — Y t ∈ R ´ 

(5.3.7)

^



k=0

(5.3.12)

æ‚ӂԂւׂê‚õ Ê
Ë Œ

ξ

|t|n E|ξ|n = 0, n→∞ n! lim

f (t) =

©
ª l¿a
é

ê
ë

∞ X (it)k

k!

(5.3.13)

Eξ k .

(5.3.14)

ì ‚¡ ë
‰ Š
í z Œ k=0

(5.3.13) n X (it)k k Eξ = E f (t) − k!

eitξ

k=0

k=0

|t|n+1 E|ξ|n+1 ≤ → 0, (n + 1)!

A 

(5.3.7) ! n n X (itξ)k itξ X (itξ)k − ≤ E e − k! k! k=0

n → ∞.

Œ Ô

! 

,
z
{
¨
î‚ñ‚ò‚æ
ï
ð
ñ
ò
! ˆ 5.3.4 
‚ õ
ló
Ì
¨
‚î ñ‚ò N (0, 1) æ
ï
ð
ñ
ò


g B õ

(5.3.14)

t2

” ¨
î‚ñ‚ò

f (t) = e− 2 .

N (a, σ 2 )

(5.3.15)

æ
ï
ð
ñ
ò


f (t) = eita−

Æ l¿

)
*
z
{
ó
Ì
¨
î‚ñ‚ò

σ 2 t2 2

.

(5.3.16)

æ
ï
ð
ñ
ò
!ôcGï
ð
ñ
ò‚æ‚ä‚ü ˜

N (0, 1)   Z ∞ 1 x2 f (t) = √ exp itx − dx, 2 2π −∞

I J
«
¬
z
{‚ëõ^
ö
z
{F÷Gø
™‚ñ
!õ

, ‰
Š ä‚å 5.3.3 ܉æ Ê
Ë Œ !+cG
ó
Ì
¨
î



 ξ æ‚æ
>‚û
ç
è
M
N
‚ë — YFcGH 5.2.1 ˜ l g B 
>
?

Eξ 2n−1 = 0, ∀ n ∈ N ; q E|ξ|2n−1 = π2 (2n − 2)!!,

∀ n ∈ N.

Eξ = E|ξ| = (2n − 1)!!, ∀ n ∈ N .
ê ë M
ù
¶‚ëé
aFc‰ä‚å 5.3.3  ˜ t ∈ R, (5.3.13)

f (t) =

2n

2n

 2 k ∞ ∞ ∞ X X (it)k k X (it)2k 1 t t2 Eξ = (2k − 1)!! = − = e− 2 . k! (2k)! k! 2 k=0

k=0

k=0


~ 
€‚FƒG„
…
†
„
…F‡G W



 η Â
à ¨
î‚ñ‚ò N (a, σ ) b‚ë ¢ ó
Ì




 η Â
à Ì
¨
î‚ñ ò N (0, 1), ” Y η = a + ση , g B n o f (t) = e f (σt) = exp ita − . 

,
±

ï
ð
ñ
‚ò æ A
ú 
ê
ë
! 2 ξ



‚ ëI
J
 k ∈ N , õ E|ξ| < ∞, ^ ξ æ
ï
ð
ñ
ò '
  ç 5.3.4 A
ú ë — ‚Y õ f (t) k 188

∗

2

∗

η

ita

σ 2 t2 2

η∗

k

©
ª l¿*
û
ü c ”

f (k) (0) = ik Eξ k .

1

(5.3.17)

ç
ý
ò
!
‚õ

  f (t + ∆t) − f (t) ei∆tξ − 1 − i∆tξ − E(iξeitξ ) = E eitξ . ∆t ∆t

˜

(5.3.10)   i∆tξ 2 itξ ei∆tξ − 1 − i∆tξ − 1 − i∆tξ E eitξ e ≤ 2|ξ| ∧ |∆t|ξ , ≤ E e ∆t ∆t 2 E|ξ| < ∞,

— Y

|∆t|ξ 2 2

|∆t|ξ 2 2

Bg c Lebeaque þ
ÿ

 ä‚å
 ˜ f (t) N
→‚0,ë — ∆tY‚õ → 0, cGa — ‰
Š


 ë
 (5.3.17)f Œ (t)! = E(iξe ). 
W
ڂû‚ëf_‚ä‚å‚æ
‚ï
Ô

!f¾
@ 8 ëfI
J f (t) æ 2k ç
ý
ò
N
‚ëf
 A B ­
 ξ æ 2k ç
è
N

# ý‚Ø
W f (t) æ 2k + 1 ç
ý
ò
N

b‚ë


­  ξ æ 2k ç
è
N

!®
‚  ï

‚ Û
! c 8
» ä‚å‚ë A
B 


k
ï
ð
ñ
ò
 t = 0 ‚ æ Taylor Ê
Ë Œ l á
â 5.3.2 2 ξ



‚ ëI
J
 n ∈ N , õ E|ξ| < ∞, ^ ξ æ
ï
ð
ñ
ò  t = 0  A
B Ê
Ë f (t) 2|ξ| ∧

≤

0

0

itξ

n

f (t) = 1 +

n X (it)k k=1

k!

Eξ k + o(tn ),

t → 0.

(5.3.18)

©
ª l¿é

W E|ξ| < ∞ b‚ë
‚õ E|ξ| < ∞, k = 1, · · · , n,  ‰
Š (5.3.17) Œ  Taylor Ê
Ë ä‚å

 (5.3.18) Œ ! â §5.3.3

"
#
$
%
&


   Õ ×  ä å 5.3.1 Ü É Û ï ð ñ ò æ  ë õ b ‰ Š |  AB   = ä 4 5 ñ ò Ø ï ð ñò ! HIl f (t) = sin t ïúØ ï ð ñ ò ë é f (0) = sin 0 = n

k

§5.3

„
…F‡G

189

ýúØúë  õ b — ï! HIl “ g(t) = | cos t| ØúØïðñò ”  5 ,<úÿúïij! j ˜ g(t) = | cos t| 4¦rsúë |g(t)| = | cos t| ≤ 1 = g(0), ý Øúþúï
ij¯úîú Ø úêúõЂä
! W‚íúë I
J

!‡öùî‚ï‚êúõ
Ђä‚ë ó;"í AB úäúîú Ø ïðñ
ò
 A  Ø I
J
¯‡ö æ îúê‚õ
Ђä‚ë­þ
# B
$ ä‚î‚
Ø ï
ð
ñ
ò
!é


 —
%
õ ¯‡ö _‚ä‚åÝÜ‰æ • ê
  ` Ø
4
5 ñ
ò f (t) Ø ïðñòúæ ²úñ êëúë g B 
×
öú& è fk
ïð
ñò‚æúä‚ü‚ë d
dú
Ø N
4
5 ñ‚ò
ñ
ò F (x), ´  (5.3.3) Œ Ô
 ('
( N

4
5



 ξ, ´  f (t) = Ee ). ˆ 5.3.5 ¯‡ö‰ë ñ
ò g(t) = | cos t| ï‚
Ø ï
ð
ñ
ò
! ©
ª l¿Ç
2 g(t) = | cos t|
Ø ï
ð
ñ
ò‚ë#
ó ;
<
N
‚ñ‚
ò ñ
ò G(x), ´  0 6= 1.

itξ

g(t) =

W

t=π

b‚ë


k

° ¢ @
v‚ë cf

Z

∞

−∞

g(π) =

R∞

−∞

∞

∀ t ∈ R.

(5.3.19)

eiπx dG(x) = | cos π| = 1,

cos πxdG(x) = 1 .

(5.3.20)

ïúØ)òbúë õ cos πx < 1, ” R dG(x) = 1, g B (5.3.20) Œ Ô
‚ëfW
Y
Z
W G(x)
n
o
p‚ñ‚ò‚ë — Y ¢
*
+
“ ,
-
.

)
ò
, º ì ÜG!f2


 ξ Â
à ñ‚ò G(x), 

/ p = P (ξ = 2n), ¢ Ü n
Ñ
ò
!#ó
;
<‚õ cos πx ≤ 1,

YW

Z

eitx dG(x) = | cos t|,

−∞

∞ −∞

x

”

2n

(5.3.19)

∞ X

Œ <‚Ø ∞ X

g(t) =

ï

=‚ë#õ  8 Œ
S _ Œ


n=−∞

g

π 2




ei2nt p2n = | cos t|, ∞ P

=

n=−∞ ∞ P

Œ ½ º ë
k (5.3.21)

Ó 4

҂ë T c

p2n = 1 ;

(5.3.21)

n=−∞

k=−∞

p4k =




∞ P

Œ  ˜

k=−∞

(5.3.22) g

π 4

=

∞ P

∞ X

e

p4k+2 = 0 .

k=−∞

k=−∞

n=−∞

(5.3.22)

einπ p2n = cos π2 = 0 .

p4k −

∞ X

∀ t ∈ R.

inπ 2

p4k+2 =

1 . 2

p2n = cos π4 =

(5.3.23)

√ 2 2

,

~

€‚FƒG„
…
†
„
…F‡G

190

_ Œ 
∞ P

p8k −

∞ P

p8k+4 =

√ 2 2

.

< õ à ” ‚ P P P > . p = p + p ≥ a
(5.3.23) ΠU
0
1 ! g B g(t) = | cos t| ï‚Ø
ï
ð
ñ
ò
!  5H2 Ã 45Ò3÷öùë 
ö‚è4
5
úæ
67
,8
ï
ðñ
ò! 
) *
,
É
9 U
V
‚æ



 ì  æ
ï
ð
ñ
ò
! '
  5.3.5 I
J



 ξ ξ U
V
‚ë^‚õ k=−∞

∞

4k

k=−∞

∞

k=−∞

∞

8k

k=−∞

√ 2 2

8k+4

k=−∞

1

1 2

2

fξ1 +ξ2 (t) = fξ1 (t)fξ2 (t).

(5.3.24)

©
ª l ‰
Š ï
ð
ñ
ò‚æ‚ä‚ü  ò

K
L‚æ

‚ë
 fξ1 +ξ2 (t) = Eeit(ξ1 +ξ2 ) = Eeitξ1 Eeitξ2 = fξ1 (t)fξ2 (t).

c
8 » ä‚å



k
l á
â 5.3.3 I J f (t) : ï ð ñ òÕë#ó ;   > ?

M : ï ð ñ ò
! ©
ª lfcG f (t) : ï
ð
ñ
ò‚ë g B N




 ξ, ´  f (t) = Ee . ®

Ç 2



 ξ , · · · , ξ U
V
‚ë — Y
M
ξ 3‚ñ‚ò‚ë#ó
;
<‚õ f (t) = Ee = Y f (t), k = 1, · · · , n, — n ∈ N , f n (t)

itξ

1

n

itξk

ξk

 n  n P Q E exp it ξk = fξk (t) = f n (t).

¯‡ö‰ëñ
ò g(t) = cos t : ï
ð
ñ
ò
! 5.3.6 9
“‚ñ‚ò P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = Æ lcG f (t) := cos t =
:
 à ;


 ξ ; ï
ð
ñ
‚ò ë ” g(t) = f (t), g B g(t) : ï
ð
ñ
ò
! ˆ 5.3.7 Ä
Å
Û
< ñ‚ò B(n, p) ; ï
ð
ñ
ò
! Æ l2   ξ ÂÃÛ< ñúò B(n, p). ó;<N n 5 UV  ; 3 ÂÑ ò pBernoulli   ξ , · · · , ξ , ´  ξ = ξ +· · ·+ξ . c  ξ , · · · , ξ ; ï ð ñ ò M : f (t) = q + pe , ¢= q = 1 − p, g B ξ ; ïðñò : g(t) = f (t) = q + pe
. á
â 5.3.4 I
J f (t) : ï
ð
ñ
ò
#> ó
; |f (t)| `
: ï
ð
ñ
ò
! ©
ª lfcG f (t) : ï
ð
ñ
ò
> g B N




 ξ, ´  f (t) = Ee . ®

2 ξ

‚3 ñ‚ò
>: η ˆ

k=1

k=1

2

eit +e−it 2

1 2

2

1

n

1

n

it

1

n

it n

n

2

itξ

ó
;
<‚õ

ξe = ξ − η, fe (t) = Eeit(ξ−η) = Eeitξ Ee−itη = f (t)f (−t) = f (t)f (t) = |f (t)|2 , ξ

(5.3.25)

§5.3

„
…F‡G

191

g

B ! |f (t)| `?: ï ð ñ ò !ôc (5.3.25) Œ g?@ ü ;   ] ξ ;  ]  I
J {f (t), n ∈ N } : 4
A
ï
ð
ñ
ò
> {p , n ∈ N } : 4
5
n
o 5.3.2
' ( ñ‚ò
q
>‚  õ 2

n

n

∞ P

pn ≥ 0,

ó
;


]

pn = 1,

n=1 ∞ P

f (t) :=

pn fn (t)

: ï
ð
ñ
ò ;&B œ º ! '
  5.3.6 ï
ð
ñ
ò ;&B œ
º C :
ï ð
ñ
ò
! © ª l c  {f (t), n ∈ N } : 4A ï ð ñ ò> g B N  4ADEñ ò  N }, ´ n=1

n

R∞

cG
D
E
ñ
ò ;&B œ º
C :
D E
ñ
ò
e> g dFB (x), ∀ n ∈ N , P F (x) := p F (x)
4
5
D
E
ñ
ò  !

 F : fn (t) =

itx

−∞

{Fn (x), n ∈

n

∞

n n

n=1

f (t) =

∞ X

pn fn (t) =

n=1

∞ X

pn

n=1

Z

∞

e

itx

dFn (x) =

−∞

Z

∞

e

itx

d

−∞

∞ X

pn Fn (x)

n=1

!

=

Z

∞

eitx dF (x),

−∞

:
ï ð
ñ
ò
! G
H 5.3.4

¶
ó  ; ï
ð
ñ
ò : ï
ð
ñ
ò ;&B œ º ! © ª lm2 ξ, ξ , ξ , · · · :?@?I  3 4 5?J?K 6 7 8 ; U V  ;  ?>  Ã7 3
4
; 5

D
°
E
Ð F Ñ
(x).ò
0 
; 2 ν
: 


>

Y 
L
A
{ξ
,
n
∈
NL
} A @
I 
3
4
5
J
K
6 — ν: {ξ , n ∈ N } U
V



8 !NM
; g B

f (t) =

P∞

n=1

pn fn (t)

1

2

n

n

< : ø
>

Sν =

ν P

ξk =

∞ P

Sn I(ν = n).





L
A {ξ , n ∈ N } ;

¶
ó  >NO
]


 !
FÕG× ˜ i.i.d. ; D
E
ñ
ò : S P F (x) = P (ν = n)F (x). I JD / F (x) ; ï ð ñ ò g(t), F (x) ; ï ð ñ ò f (t), M ;  n ∈ N , F (x) ; ï
ð
ñ
ò
< : ξ + · · · + ξ ; ï
ð
ñ
ò
>
f (t), ” F (x) : Ž

 0 ;



 ; D
E
ñ
ò
> g B
P ; ï
ð
ñ
ò : f (t) ≡ 1.  : c @
Q 5.3.6  ˜ n=0

k=1

n

ν

Sν

∞

∗n

n=0

∗n

Sν

1

n

n

∗0

0

g(t) =

∞ X

n=0

P (ν = n)f n (t).

(5.3.26)


~ 
€‚FƒG„
…
†
„
…F‡G ˆ 5.3.8
I J f (t) : ï
ð
ñ
ò
>¯&RGI
¡
ñ
ò `
: ï
ð
ñ
ò
l

192

1◦ . g1 (t) =

1 2−f (t) ;

2◦ . g2 (t) = eλ(f (t)−1) ,

Æ l



F 1 .

¢&=

λ > 0.

◦

g1 (t) =

cG

1 2

∞ P

= 1,



F

n=0

2◦ .

1 2n

g B

∞ 1 1X 1 n = f (t), 2 − f (t) 2 n=0 2n

: ï
ð
ñ
ò ;&B œ º > g B C : ï
ð
ñ
ò
!

g1 (t)

g2 (t) = eλ(f (t)−1) = e−λ

∞ X λn n f (t), n! n=0

: ï
ð
ñ
ò ;&B œ º > g B `
: ï
ð
ñ
ò
! ¾
@ 8 >ôcTS
 5.3.4 A
˜ > g (t)  g (t) M :

¶
ó  S ; ï
ð
ñ
ò
>  1 = ν Â
à • ?
D
E G( );  2 = ν Â
à Poisson D
E P (λ). §5.3.4 U
V
W
X
Y
Z

ž
'
  c @?I 5.3.1 B?[ ¢?\ Ò ; É?9?>  ˜ ø lï ð ñ ò f (t) A B c]D?E ñ ò 4_ @ ! ®`,
É
9a

, ; 
> 
D
Eñ
ò F (x) :  ` AB F (x) g^ c ¢ ï
ð
ñ
ò f (t) g
^ 4
_ @  e
b ì >Nc
3 ; D
E
ñ
ò A 


3
d ; ï
ð ñ òe 

S&RT_
=&T
lfD
E
ñ
ò

ï
ð
ñ
ò U
V ^ 4
=_ @ ! e
b ì >fc
3 ; D Eñò4 @ c
3 ; ïðñò
!
a> 
`,
¯RGïð
ñò f (t) ; ag ‹Œ ! 

*
,
¯&RG4
5
D
h
½
J
! Î   5.3.2 

F cG

e−λ

∞ P

n=0

λn n!

= 1,

g B

g2 (t)

1

1 2

◦

lim

x→∞

¢&=

©
ª lk/

sgn{a}

:

a

Z

;
i
j ñ
ò
!

2

ν

◦

x 0

π sin au du = sgn{a}, u 2

Rx

(5.3.27)

l  D 

m
e y = au, — Ú
n
o
™
ñ
ò : )
ñ
duò
>,  ˜ lim I(a, x) = lim sgn{a}I(1, x). Bg 


ö
¯&R I(a, x) =

x→∞

0

sin au u

x→∞

lim I(1, x) = lim

x→∞

x→∞

sin u u du

=

π 2.

„
…F‡G

§5.3

S

m
.

193

I(1, x),
— p e
™
D
q
L
>

1 u

=

R∞ 0

e−uv dv

Z ∞   Z x Z ∞ Z x I(1, x) = sin u e−uv dv du = e−uv sin udu dv 0 0 0 0 Z ∞ 1 v sin x + cos x −vx = − e dv 1 + v2 1 + v2 0 Z ∞ π s sin x + x cos x −s e ds. = − 2 x2 + s 2 0

\b
4>_
5 ™™
DD
à
= ;  o ™ - ñ ò¯
o s
e! g þ ÿ >r c Lebesqe þ ÿ@Q > A ˜ W x → ∞ 0. Q IJ f (t) : c (5.3.3) Œ g@I ; ïðñò>^>
? '
  M
5.3.7 (UVWX ) F a, b ∈ R, −s

1 F (b) + F (b + 0) F (a) + F (a + 0) − = lim c→∞ 2π 2 2

©
ª l¿W

a=b

b
> 8 Π9
ß
M


0,

Z

t A c
u
2

c −c

e−ita − e−itb f (t)dt. (5.3.28) it a < b.

û
v
™
D

Z c −ita 1 e − e−itb f (t)dt 2π −c it  Z c Z ∞ −ita 1 e − e−itb itx = e dF (x) dt. 2π −c it −∞

J(c) :=

cG g B ™
D

cG- Q

J(c)

5.3.2

˜

−ita e − e−itb itx |eit(b−a) − 1| e = ≤b−a , it |t|

F
w
> — Y A
B p e
™
D
q
L
> t F

 Z ∞ Z c −ita 1 e − e−itb itx J(c) = e dt dF (x) 2π −∞ it −c  Z ∞ Z c Z c 1 sin t(x − a) sin t(x − b) = dt − dt dF (x) π −∞ t t 0 0 Z ∞ 1 = (I(x − a, c) − I(x − b, c)) dF (x). π −∞

  1, a < x < b,     1 −2, x = a, 1 lim (I(x − a, c) − I(x − b, c)) = 1 c→∞ π  x = b,  2,    0, x < a, x > b.

~

€‚FƒG„
…
†
„
…F‡G g B +4+Ï x  ¶+·ô³ >; 
c, _+ñ+òxFxy+!++S J(c) D+ 5 vzDx> — Yx{ Š Lebesque þ
ÿ


@
Q 194

lim J(c) =

c→∞

Z

=

0dF (x) + (−∞,a)

Z

{a}

1 dF (x) + 2

Z

1dF (x) + (a,b)

F (b) + F (b + 0) F (a) + F (a + 0) − . 2 2

Z

{b}

'   5.3.8 (Z

ž
'
  ) D
E
ñ
òFcGï
ð
ñ
ò ^ 4
_ @ !
©
ª ¿l S
D
E
ñ
ò F (x) ; r
s
“
,
/
C(F ), 2 f (t) W a, b ∈ C(F ) b
>Na
g ‹
Π(5.3.28) | Z

1 c→∞ 2π

F (b) − F (a) = lim

c

1 dF (x) + 2

F (x)

Z

0dF (x) (b,∞)

; ï
ð
ñ
ò
!

e−ita − e−itb f (t)dt. it

* : a } C(F ) = à  −∞,  ˜ F (x) } > ? x = b ∈ C(F ) ~ o f (t) g?^ 4?_ b
> A : b } C(F ) =T
€
8
 à
 x, c F (x) ;
‚ r
s
ƒ
> ) @˜ !W x 6∈>
C(F ? x ∈ R ~ o
M f (t) ^ 4
_ @ ! F (x) } „ 5.3.1 S @
Q 5.3.8 … ï
ð
ñ
ò ; @
I U ½ º >‡†
ˆ A
˜ l‡D
E
ñ
ò … ï
ð ñ
ò U
V ^ 4
_ @ ! '
  5.3.9 I
J
ï
ð
ñ
ò f (t) ‰
Š A ™
> ^ Š  ; D
E
ñ
ò

Z

F (x)

∞

a ∈ R,

|f (t)|dt < ∞,


r
s
p
>Y ¢ t
u
ñ
ò
−∞

p(x) =

©
ª l¿>
°

−c

:

1 2π

Z

bn ∈ C(F )

˜ F (b ) − t B cGê
ë
¾ (5.3.29) g 8
» @
3&R F (a) = F (a + 0),  >
° x ∈ R, ∆x 6= 0, cTa
g ‹
Œ
 F (bn ) − n

∞

f (t)e−itx dt.

−∞

Y

bn ↓ a,

R∞

≤

(5.3.30)

†
ˆ
F R∞

|f (t)|dt, c T
‹
4
’ Ø
Œ
¡
 ↓ 0, r
s
Ž F (x) ~
~

F (a)+F (a+0) 2 F (a)+F (a+0) 2

(5.3.29)

bn −a 2π

−∞

F (bn ) ↓ F (a + 0),

4 
Ò
> 8 Π= ; o
™
ñ
ò
o A ™ ; ñ
ò |f (t)| g
þ
ÿ > Ó 4

Ò
W ∆x → 0 b
>
o
™
ñ
ò
à
‹ e f (t), t c Lebesque þ
ÿ


@
Q  ¯ (5.3.30) Œ Ž F (x+∆x)−F (x) ∆x

=

1 2π

−∞

e−itx −e−it(x+∆x) f (t)dt, it∆x

−itx


‘ ’
“
”
•
– †ˆÖÕf×!> ïðñò :—˜ JK9 ; F
™š
›Ž ¡ÒZ
<9
5
Ò
±
 Š ; H
2
Ž §5.3.5

„
…F‡G 195 †
1. ˆ
œ
*

,
ž
x
Ÿ
4
Y
¡
œ
É

9   Š
] D
E
¢ Š ]
 ;
£
¤ Ž ¥ ( 5.3.3 ]
¦
§ |
¨ ξ
: Š ] ; >I
J ξ … −ξ 3
D
E
Ž]
4
5
D
E
ñ
ò ] ; >I
J P :
© 5 Š ] ; ¦
§ |
¨ ξ ; D
E
ñ
ò
>Nª
 F (x) :
Š §5.3

1 − F (x + 0) = F (−x),

∀ x ∈ R.

(5.3.31)

¥   5.3.10 DEñò F (x) :Š ] ; ²D«`êë : P ; ï ðñ
ò 0
ñ
ò
Ž ©
ª ¿l I
J
D
E
ñ
ò F (x) :
Š ] ; >NM
;Fc (5.3.31) Œ
¬ 
­ ˜

f (t)

@

R∞

sin txdF (x) = 0, ∀ t ∈ R, 
˜ ” à R f (t) = cos txdF (x), ∀ t ∈ R
@
0
ñ
ò N Ž a  >
I
J
ï
ð
ñ ò 
@
0
ñ
ò
ŽÇ
2 P : ¦
§ |
¨ :ñ
ò
>NM
;
<
F ì f (t) −∞

∞ −∞

ξ

; ï
ð

 <
!&R ξ … −ξEeF U =3 f; (t)ï
=ð
fñ
(−t)ò
> =é
f a
(−t)F U = 3 Ee; D
E
= ñ
Eeò
>‡ª
, ξ ;
D E
ñ
ò ] ; Ž F (x) :
Š ˆ 5.3.9 c (5.3.25) Œ g
@
I ; Š ]

¦
§ |
¨ ξe = ξ − η :
Š ] ; Ž Æ lfcG­
9 5.3.4 ; ¯&RT
­ ˜ ξe ; ï
ð
ñ
ò : |f (t)| 
@
0
ñ
ò
Ž −itξ

itξ

it(−ξ)

2

2 ž
ξ Ÿ
… ®
ξ ¯
°
¦ž § |¨ > P ˆ ; DEñò
D
± F (x) ¢ F (x), P ˆ ; ïðñ ò
D
±
 f (t) ¢ f (t). †
ˆFÕG× ˜ ø
>mI
J ξ … ξ U
V
² ¬ >³M
; ξ + ξ ; D E
ñ
ò
 F (x) … F (x) ;
´ ™ F ∗ F (x), ” ξ + ξ ; ï
ð
ñ
ò
 f (t) … f (t) ;
µ ™ f (t) · f (t). ¶
· z
{ µ ™
`&¸Gz
{ ´ ™
i
j 
¹ > ” ï
ð
ñ
ò … D
E
ñ
ò U›
VŽ ^ 4_ @ Ž éaºˆ }—
˜ ² ¬ ¦§ |¨
ì ¢ ; DE
b> ¹B ïð
ñò D 
š †?ˆ¼» × l  —?˜ D?E ñ ò ;?´ ™ ¯¼R] 4 |?D?E ; ?½?ƒ?ŽI J ® }  à ï
ð
ñ
ò ;
¾ u
¿
d
>NM
À  | £
¤
Á ¶ 
Â
à O  Ž ˆ 5.3.10 Ä
Å
ž
Ÿ
®
¯
°
ž l¿I
J
¦
§ |
¨ ξ … ξ U
V
² ¬ >TD
± Â
à ¨ î
D
E N (a , σ ), j = 1, 2, ^ ξ + ξ Â
à ¨
î
D
E N (a + a , σ + σ ). Æ lƆxˆ ˜ øx¦x§ |x¨ ξ Â+à ¨+îxDxE N (a, σ ) W+Y+Z+W ξ ; ï+ð+ñ+òx éôaÇ>IôJǦǧ |Ǩ ξ … ξ UôVDz ¬ >NDDZ Âôà ¨ôîÇDÇE f (t) = e . ^ ξ + ξ ; ï
ð
ñ
ò
 N (a , σ ), j = 1, 2, 2.

1

2

1

1

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

1

2

1

2

1

j

2 j

1

2

2

1

2

2 1

2 2

2

2 2 iat− σ 2t

j

2 j

1

1

2

2



σ 2 t2 f (t) = f1 (t) · f2 (t) = exp ia1 t − 1 2





σ 2 t2 exp ia2 t − 2 2



2

2

~

€‚FƒG„
…
†
„
…F‡G

196 

(σ 2 + σ22 )t2 = exp i(a1 + a2 )t − 1 2



,


 à ¨
î
D
E N (a + a , σ + σ ). ˆ 5.3.11 Poisson ž
Ÿ
®
¯
°
ž l¿I
J
¦
§ |
¨ ξ … ξ U
V
² ¬ >]D
± Â Ã Poisson D
E P (λ ) ¢ P (λ ), ^ ξ + ξ Â
à Poisson D
E P (λ + λ ). Æ lGcT‹
¦
§ |
¨ ξ Â
à Poisson D
E P (λ) W
Y
Z
W ξ ; ï
ð
ñ
ò
 f (t) =  é a?>I J?¦?§ ¬ >ND?±  à Poisson D?E exp λ(e ) . ? | ¨ ξ … ξ U V?² ¢ P (λ ), ^ ξ + ξ ; ï
ð
ñ
ò
 P (λ ) g B

ξ1 + ξ 2

1

2 1

2

2 2

1

1

2

1

2

itx−1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

   f (t) = f1 (t) · f2 (t) = exp λ1 (eitx−1 ) exp λ2 (eitx−1 ) = exp (λ1 + λ2 )(eitx−1 ) ,

g B ξ + ξ Â
à Poisson D
E P (λ + λ ). ˆ 5.3.12 È
É
ž
Ÿ
®
¯
°
ž l¿I
J
¦
§ |
¨ ξ … ξ U
V
² ¬ >TD
± Â
Ã
Û < D
E B(n; p) ¢ B(m; p), ^ ξ + ξ Â
Ã
Û
< D
E B(n + m; p). Æ l c]‹?¦?§ |?¨ ξ  à Û?< D?E B(k; p) W Y Z W ξ ; ï ð ñ ò? f (t) = é
a
> I
J
¦
§ |
¨ ξ … ξ U
V
² ¬ >]D
±
 Ã
Û
< D
E B(n; p) ¢ (q + pe ) . ^ ; ï
ð
ñ
ò
 1

2

1

2

1

1

it k

g B

2

1

B(m; p),

2

ξ 1 + ξ2

f (t) = f1 (t) · f2 (t) = (q + peit )n · (q + peit )m = (q + peit )n+m ,

Â
Ã
Û
< D
E B(n + m; p). §5.3.6 Ê
Ë
Ì
Í
Î
Ï †
ˆ
S n Ð D
E
ñ
ò F (x , · · · , x ) ; ï
ð
ñ
ò @
I  ξ1 + ξ 2

1

I
J

2

f (t1 , · · · , tn ) =

n

\
¦
§FE ¨

Z

∞ −∞

ξ1 , · · · , ξn

···

n

Z

∞

(

exp i

−∞

n X

t k xk

;
Ñ
º D
E
ñ
ò :

k=1

(

f (t1 , · · · , tn ) = E exp i

n X

)

dF (x1 , · · · , xn ).

F (x1 , · · · , xn ), ) tk ξ k

(5.3.32)

^
F

,

(5.3.33)

a
b
S f (t , · · · , t ) ]
 n \
¦
§FE ¨ ξ , · · · , ξ ;
Ñ
º ï
ð
ñ
ò
Ž j ˜ >NÒ
ÓFc ξ , · · · , ξ ;
Ñ
º ï

ð ñ
ò f (t , · · · , t ) Å  P ;
Ô
Õ
Ö
× ï
ð ñ
ò
ŽNØ
Ù ξ ; (Ö
× ) ï
ð
ñ
ò Á : 1

n

k=1

1

1

n

n

1

n

1

f1 (t) = f (t, 0, · · · , 0) =

Z

∞ −∞

···

Z

∞ −∞

exp {itx1 } dF (x1 , · · · , xn ).

§5.3

„ …F‡G
¶
· f (t , · · · , t ) : 1

n

—à fF (t , · · · , t ) } ∞, è 1

n

Rn

n

n

(x1 , · · · , xn )

;
Ü
Ý ñ
ò
>N›
F
Ù
¡
ƒ
Þ
ß

|f (t1 , · · · , tn )| ≤ f (0, · · · , 0) = 1;

áâ ¦ãäŽæåÙç Š ‹  Ð
Ñ ò

Eξ1k1 · · · ξnkn = i

Š ‹

Ð
Ú&ÛT¨

f (−t1 , · · · , −tn ) = f (t1 , · · · , tn );

−

n P

kj

j=1

∂ k1 +···+kn f (t1 , · · · , tn ) ∂tk11 · · · ∂tknn t

Ð ï
ð
ñ
ò
>N†
ˆ
é
F
ê
ë ; a
g
ì
í

k1 , · · · , kn ,

F

197

E ξ1k1 · · · ξnkn <

.

(5.3.34)

1 =0,···,tn =0

P (a1 ≤ ξ1 ≤ b1 , · · · , an ≤ ξn ≤ bn ) Z c1 Z c1 Y n e−itj aj − eitj bj 1 = lim · · · f (t1 , · · · , tn )dt1 · · · dtn . cj →∞, j=1,···,n (2π)n −c itj −c1 j=1 1

î
ï 
ð ;
ñ
ò >Nc
#
¯&RTß ¥   5.3.11 ¦
§ |
¨ ξ … η ó
ô ² ¬ N> õ
à ö õ Eei(t1 ξ+t2 η) = Eeit1 ξ Eeit2 η ,

∀ t1 , t2 ∈ R.

(5.3.35)

©ª ß ¾ Ú á >÷õ¦§ |¨ ξ … η óô ² ¬ø > ¶· F (5.3.35) íÔ ¬ Ž÷a ì > õ (5.3.35) í
Ô ¬
ø >Tc
# ï a
g
ì
í
¯&RT¦
§ ÛT¨ (ξ, η) ;
Ñ
º D
E
µ
‹ P ˆ ; Ö
× D
E ;
µ
ù Ž †
ˆ&»G× }
@
Q 5.3.5 = ¯&R æ ßNõ
¦
§ |
¨ ξ … ξ ó
ô ² ¬
ø >NF 1

2

¾ Ú á N> ú
½
9 ;  : c
Ô ¬ ; ŽNû ( Ò
Óe"fü —
˜
ý Ò ; a
Ø
∀ß t ∈ R. þ 5.3.13 ÿ ¦
§ TÛ ¨ (ξ , ξ ) ;
Ñ


  Ee

it(ξ1 +ξ2 )

= fξ1 +ξ2 (t) = fξ1 (t)fξ2 (t) = Ee

1

p(x, y) =

¶
·

ξ1

…

ξ2

itξ1

Eeitξ2 ,

2

1 + xy(x2 + y 2 ) , 4

c ó
ô ² ¬ > 
:  F

|x| ≤ 1, |y| ≤ 1.

fξ1 +ξ2 (t) = fξ1 (t)fξ2 (t).

 H 5.3 1.  Pascal  f (k; r, p)    2.   Γ(λ, r)    k  3.    F (x) !"  # f (t), $%!&' x, () R 1 c→+∞ 2c

F (x + 0) − F (x) = lim

4.

c

*+,-./0 123" 45  6 (1) cos2 t,

(2) cos t − i sin t,

1−t (3) 1+t 2,

(4) sin t,

−c

mk .

f (t)e−itx dt.

1 (5) 1+it ,

(6) 2e−it − 1


−1

.

7
8
9;:=
@
A
>
@=B?:

198 g(u) = 1 − |u|, |u| < 1.

5.

C g(x) #DE     F (2) GHIJC g(t) #     DE 6. Laplace   DE# p(x) = e , $K     ˙ 7. LNM Cauchy N N NDNENNN# p(x) = , λ > 0, $N%NON N NNNN# e , PQRST%U Cauchy   VWX 8. YZ[\] ξ ^_ Cauchy   µ = 0, λ = 1, ` η = ξ, $%ab cde f (t) = f (t)f˙ (t). f 0 ξ g η hid 9. ξ , · · · , ξ #3jid Zk[k\k]klk^k_ Cauchy  m µ = 0, λ = 1,  ξ¯ = P ξ    10. $n  g Γ−    %U!bo)3kl λ p Γ−  abq r )VWX 11. %UZ[\] ξ , · · · , ξ 3jid r stuv0Ow xy zb{}|~€  ‚ 12. −1 < c < 1, Z[\] (ξ, η) xyDE# P (x, y) = [1 + cxy(x − y )], |x| < 1 m |y| < 1, $6 (1) xy  f (s, t); (2) ~€  f (s) g f (t); (3) ξ + η   13. %U!&'ƒp  f (t), C,„…hzJcd 1 − f (2t) ≤ 4(1 − f (t)); 1 + f (2t) ≥ 2(f (t)) . 14. Z[\] ξ o)!† 45DEˆ‡!&' x ∈ R, () p(x) = p(−x). $Š‰‹6 !&'ƒ a > b )6 R (1)

1 −|x| 2

1 λ π λ2 +(x−µ)2

iµt−λ|t|

ξ+η

1 n

1 n

η

ξ

n

k

k=1

1

n

2

1 4

2

1

2

2

(1)F (−a) = 1 − F (a) =

1 2

−

a

0

p(x)dx,

(2)P (|ξ| ≤ a) = 2F (a) − 1,

(3)P (|ξ| ≥ a) = 2[1 − F (a)].

0Z[\] ξ  ŒT f (0) = 0, Ž ξ s 0‘ PQLS’% U a > 2 “ g(t) = exp {−|t| } h0  16. ”%• 5.3.13.

15.

00

f (t)

a

– —˜™˜š˜›˜œ ˜ 
ž
Ÿ
 
¡
¢
£
¤
¥
¦
§
¨© ð=ª?« Û?¬ â
­
®
¯ ?Û ¬
°±
² §5.4





ξ1

   ξ2  → −  ξ =  ··· ,   ξn



a1



   a2  → −  a =  ··· ,   an

³ ³ °µ´
à
¶ →−0 ·
¸
¹&Û?¬
°µº
»
¼ ¦ ¬
½
¾ 0 « ?Û ¬ ¨ ®
¿ ð
À
Á
 ° 
ž
Ã
Ä
Å
Æ=Ç ¬ «
È
É
Ê
í
ß →−ξ = (ξ , ξ , · · · , ξ ), ³
³ ¨ τ

1

2

n

Ë
Ì
Í=Î?Ï
Ð 199 ç â
Ñ
Ò
Ó A « » Ñ £
Ô ½
¾
Õ
Ö
×
¬
°Nè õ
Ø ž «ÚÙ
Û ½
Ü
Ý ø ° Úž ² ï EA ·
¸
Þ A « » Ñ £
Ô ½
ß Ù
Û °áà
º EA ¾=â A « » Ñ £
Ô «
ã
ä
Ù
Û
å Æ
« Ò
Ó ¨ Þ
æ
Õ
Ö Ç ¬
à
ç
è
é «
ê
ë ¨ Þ
æ
ì £
¤
¥ ° 
ž=í?î
ï
ð
ñ
ò


ó ã ¨ô Ý 
ž Å →−a = (a , a ) , §5.4

1

B=

õ
ö

σ12

rσ1 σ2

rσ1 σ2

σ22

!

2

τ

,

Ç ¬ →−ξ «
ã
ä
Ù
Û=Ç ¬
÷ B ¾ Ø
«
ø
ù
ú Ó ¨ò ª B ¾
û Ñ
¾
ì
¼
Õ Ö ¤ ë ÒÚÓ °´ÚüÚì £Ú¤Ú¥ÚÚÚó ãýªþ«Úÿ

Úã ½

ÚÝ ØÚ«ÚãÚäÚÙÚÛýÇ ¬
 ø ù ú Ó B ª ¨  ° B  Ò
Ó
→ − a



B −1 = 

   °
¶   Ø ž  ì £
¤
¥ − p(→ x)=

ò ª |B| ¾ Ò
Ó  ¢
£ 
¨

B

−r (1−r 2 )σ1 σ2 1 (1−r 2 )σ22

1 (1−r 2 )σ12 −r (1−r 2 )σ1 σ2

N (a1 , a2 ; σ12 , σ22 ; r)



.

«  
ó ã
Å ®

  1 → τ −1 → − → − − → − ( x − a ) B ( x − a ) , exp − 1 2 2π|B| 2 1

«  ¯  ¨ ì £
¤
¥  
ó ã
«   ·
¸ Ê  
¶ ù
  


! " # $ %  ž'&'(')'*'+ «','-  . ¨0/'1 ξ , ξ , · · · , ξ ¾ 'ë 2 Ý è û'3'4'5'6 « 7 8 9 : « ¤
¥ N (0, 1) Õ
Ö
×
¬
° õ
ö n
¼ Õ
Ö Ç ¬ →−ξ = (ξ , ξ , · · · , ξ ) « ;  < = ¾ n Ñ û
¼ ¤
¥  <
« > ? °º   §5.4.1

n

1

2

n

1

@ A °B C

− p(→ x)=


1 1 − x21 + x22 + · · · + x2n , n exp 2 (2π) 2

→ − → − E ξ = 0,

ø
ù
ú Ó
® 

´
ü 
¶ D  < ó ã
Å ® − p(→ x)=

1

0

···

0

  0 1 ··· 0 I=  ··· ··· ··· ···  0 0 ··· 1

n

£
¤
¥
¦
§ °I
ç

n

τ

− → x ∈ Rn .



  ,  

    1 1→ 1 1→ τ→ τ → − − − − exp − x x = exp − x I x , n n 2 2 (2π) 2 (2π) 2


ž D E
¦ § F ® G H û J  ° 
ž

2

→ − N ( 0 , I).

→ − x ∈ Rn . (5.4.1)

7
8
9;:=
@
A
>
@=B?: K L 5.4.1 ² M A ® n × n N O ù Ó ° →−a ® n ¼  Ç ¬
°QP
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( G H n £
¤
¥
¦
§ N (→−0 , I), S D 200

→ − − → − η =Aξ +→ a

« ¦
§ F ® n £
¤
¥
¦
§
¨ @ T ° Þ
æ
² ë 2
« P →−η «
ø
ù
ú Ó
®

(5.4.2)

→ − η, → − − − − E→ η = AE ξ + E → a =→ a,

→ − → − → − τ→ − − − − − B := E(→ η −→ a )(→ η −→ a )τ = E(A ξ )(A ξ )τ = AAτ · E ξ ξ = AAτ .

'U V ° AA ¾ û Ñ n W ¤ ë ù Ó ¨  ž D Ê ² (5.4.6) « Õ Ö Ç ¬ « ¦ § I ® n £ ¤
¥ N (→−a , B), ò ª B = AA . ÿ
ë 2
« Õ
Ö Ç ¬ →−η ¾
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ « X Y ×
Z °[=â û \ ? â
æ ² (5.4.6) ª?« ] A ^ °
¶ : º _ `
Õ
Ö Ç ¬ →−η  < ó ã ¨ K a 5.4.1 n £
¤
¥ N (→−a , B) «  < ó ã ¾ τ

τ

− p(→ x)=

  1 → τ −1 → − → − − → − exp − ( x − a ) B ( x − a ) . 1 n 2 (2π) 2 |B| 2 1

(5.4.3)

bdcde 1 Õ Ö Ç ¬ →−η R ( n £ ¤ ¥ N (→−a , B), S Ü ÝdR ( d G H n£ ¤ ¥ « Ç ¬ →−ξ , f ` (5.4.6)  Æ : ° ò ª B = AA , P X Y
ù g h → − N ( 0 , I) Õ
Ö → − − − x = A→ s +→ a « i ® τ

E
ã × Z « ®

Jaccobi

→ − − − s = A−1 (→ x −→ a ),

 ¯ 
®

1

|A−1 | = |B|− 2 . − q(→ s)=

n

£
¤
¥

→ − N ( 0 , I)

 →  − − 1 s τ→ s − , n exp 2 (2π) 2

 j k ò ª ° ´ > ¶
× Z « [ « D < (5.4.4) ó ã ¾

Jaccobi

 ¯  ° º A

n

£
¤
¥

 
τ −1 → 1 −1 → − → − − → − exp − A ( x − a ) A ( x − a ) n 1 2 (2π) 2 |B| 2   1 1 → τ −1 → − → − − → − = exp − ( x − a ) B ( x − a ) . n 1 2 (2π) 2 |B| 2

− p(→ x)=

â ë 2

â?æ G H

(5.4.4)

5.4.1

1

l @   ² m
û n ¯ o p e

«  < ó

− N (→ a , B)

§5.4

Ë Ì
Í=Î?Ï
Ð
K a 5.4.2 n £
¤
¥
¦
§

− N (→ x , B)

« q r ó ã ¾

  1→ −τ → − → − → − − f ( t ) = exp i→ aτ t − t B t , 2

b c ets & °Þ
æ R ( G H

n

201

→ − ∀ t ∈ Rn .

£
¤
¥
¦
§ « Õ
Ö Ç ¬

(5.4.5)

→ − ξ,

    n  1X  n τ o 1→ − → − → − → − τ→ − 2 f− tj = exp − t t , → ( t ) = E exp i t ξ = exp − ξ  2  2 j=1

( P=â ] n 

(5.4.6)



º `

B = AAτ ,

n

o

n τ o → − − → − → − τ− → − f ( t ) = E exp i t → η = E exp i t Aξ +→ a n τ o n o  − τ→ − → − − → − → − → − = exp i t → a · E exp i(Aτ t )τ ξ = exp i→ a t · f− → (Aτ t ) ξ    − τ→ 1 − → − → − = exp i→ a t · exp − (Aτ t )τ Aτ t 2   1 → − → −τ → − − = exp i→ aτ t − t B t . 2

«
u û k ¼
v
w ¦Ú§ ¾ k £Ú¤Ú¥Ú¦Ú§ ° ò ª 1 ≤ k < n. b
c
e 1 ÚÕ Ö Ç ¬ →−η R ( n £Ú¤Ú¥ N (→−a , B), Þ 1 ≤ k < n, u ß 1 ≤ j < Ç ¬ (η , · · · , η ) « q r ó ã 
¶ Ã
ñ Ý →−η « q r ó æ ¾ k ¼
Õ
Ö · · · < j ≤ n.
ã=ªyx t = 0, t 6∈ {j , · · · , j } `  ¨ ² M 
ž I

K a

5.4.3 n

£Ú¤Ú¥

− N (→ a , B)

1

j1

k

j

j

1

jk

k

→ − tk = (tj1 , · · · , tjk )τ ,

− →k = (aj , · · · , aj )τ , a 1 k

ª?« z j , · · · , j  £
Ô  ´
¶
B ·
¸=â B Ó ° õ ö (η , · · · , η ) « q r ó ã ° = ¾ k

1

j1

k

j1 , · · · , j k

¯ £
Ô ÿ
å
Æ
«

k×k

{ Ò

jk

→ − f ( t ) tj =0,

tj 6∈{j1 ,···,jk }



 1→ − −τ → − τ→ − → = exp iak tk − tk Bk tk , 2

âyB
º A (η , · · · , η ) « ¦
§ ¾ k £
¤
¥ N (−a→, B ). | } q r ó ã ~ ¦
§
ó ã
« û
û
Þ  Y ° €y‚ (5.4.3)  Å  k ¼
Õ
Ö Ç ¬ ¤
(η¥
,¦
· ·§
· , 稝
) ž «

 < Š ó ‹ ã ¨ âƒB
„
Ú¶
…‡† n¨ £Ú¤Ú¥ « » ÚÊ  «
ˆ
‰ ¦Ú§ ½ ¾ 灌y Ž 
ç ® ç  K L ‘ ’ “ §5.4.2 n ! " # $ % ”
•  Ý ë
2 5.4.1 ª Úž
– _ A ® N
O « n × n «Úù Ó °º |A| 6= 0. ô Ý
° 
ž
Ÿ  n £
¤
¥
¦
§ «
ë 2 ç
û   ¨ j1

j1

jk

jk

k

k

— ˜ ™›šœy ž Ÿ  ž yš K L 5.4.2 1 A ® u ¡ n × n ù Ó ° →−a ® n ¼  Ç ¬
°QP
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( G H n £
¤
¥
¦
§ N (→−0 , I), x 202

→ − − → − η =Aξ +→ a.

(5.4.6)

S'¢ ù Ó A« N'¦
O'§ C F °£D →−η « « ¦ §'£
F ¤
® ¥
n¦
£ §
¤ ¨ ¥ ¦ § ÷£¢ ù Ó A ¤'O'C (º'¢ |A| = 0 ® ¥ ¦ n C ), D →−η
, § ¨ © p ¥ ¦ Ê ¨ l @ A ª °B C « E→−η = →−a , ´
ü «
¶ B = AA ® ø ù
ú Ó ° § ñ B ¾
û Ñ n × n « N ¬ ë Ò
Ó ¨ â?æ ë ­ 5.4.2 « …† ñ g=ª ´ ® ¯ ù Ó A « N O Y (B « ¤ ë Y ), ÿ ¶ õ °
«  ± « V ² ¨³ B ¥
¦ « n £ ¤
¥
¦
§ N (→−a , B) « q r ó ã è
é  · ´  (5.4.5). ” • « ¾ e ¢ Ò
Ó B ¤ ë (º |B| > 0) C
° N (→−a , B) ¾ R ª?« û Ñ µ  ¢ ¶ · ¦
§ ° ò  < ó ã â (5.4.3)    ¨ P ¢ |B| = 0 C
° N (→−a , B) ¾ R ª « µ ¶
· ¦Ú§ °B
C
¸
¹
º
» ÒÚÓ B « “¼ ”r (r < n). ¢ B « “¼ ” ® r CÚ°  R « û Ñ r ¼ { 5 6 ª ¨ ±
² e ¢ n = 1 C
°ˆ² M |B| = σ = 0, − N (→ a , B) ¥ ¦ õ ö ¦ § N (a, 0) = ¾ +'½ a « ¥'¦ ¦ § ¨ Þ æ n = 2 £ ¤ ¥ ¦ § ° ²'M |B| = 0, e ² M r = 0, S
¾ + ½ →−a = (a , a ) « ¥ ¦ ¦
§ ÷² M S ¾ B « “¼ ”rª?« P ¿ ë ˆ ÀyX « ¥ ¦ ¦
§
¨  = ¾ ë
2 5.4.2 ª?ÿ Á
« ¥ ¦ ¤
¥ r = 1, S
¾ R ¦
§ « Â 2 ¨   ° n £
¤
¥
¦
§ « u ¡ 1 ≤ k < n ¼ « v w ¦
§ ½
¾ ¥ ¦ « n £
¤
¥ ¦ § ° ³ ® Þ æ k ¼'{ Õ Ö Ç ¬ (η , · · · , η ) Ÿ Á ° ²'M'D Ø « «'q'r ó ã « · ´  ª?« k W ¤ ë
ù Ó B à ‚ ² m ù  Ä Å
® û Ñ n W N ¬ ë
ù Ó B:  B « »  Æ Ç ç ® B « z j , · · · , j  °  B « » ¯ Æ Ç ç ® B « z j , · · · , j ¯ °È D= ò É
£
Å Ô Ê Ë Ì Å
«
® Ê 0, Þ¨ Ç ¬ →−a à
ç
è
é Í ­ ° õ
ö (η , · · · , η ) « q r ó ã 
¶ ® (5.4.5)  ‘ Î Ï §5.4.3 n ! " # $ % 1 Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £
¤
¥
¦
§ N (→−a , B). K a 5.4.4 n ¼ ¤
¥ Ç ¬ « » Ñ ¦ ¬ 7 8 9 : °¢
ü Ð ¢ Ø ž Ñ Ñ 7 ] ¨ b'c'e ²'M n ¼ ¤ ¥ Ç ¬ →−ξ « » Ñ ¦ ¬ ξ , · · · , ξ 7 8'9': ° õ ö Ø ž ¢ V Ñ Ñ 7 ] ¨  Ò
°µ² M ξ , · · · , ξ Ñ Ñ 7 ] ° õ
ö = Cov (ξ , ξ ) = b , k 6= j, æ
¾ →−ξ «
ø
ù
ú Ó B ¾
Þ Ó Ó ° ( P (5.4.5)  ª?« q r ó ã ¦
® τ

n

n

n

2

1

2

2

j1

jk

k

k

1

k

k

1

j1

1

1

f (t1 , · · · , tn ) =

k

k

1

n

j

kj

  Y n 1 exp iak tk − bkk t2k = fk (tk ), 2

âó ãë ­ ÿ 5.4.3 ª?« ) Ô û Ñ Õ Ö 7 A 8 f 9 (t: ) ¨ = exp ia t ° ¶  ·† ξ , · · · , ξ k=1

jk

n

n

n Y

k

k

k k

k=1

− 21 bkk t2k



¾

ξk

« v w q r

§5.4

Ë Ì
Í=Î?Ï
Ð
K a 5.4.5 Þ
æ

n

¼ ¤
¥ Ç ¬

→ − ξ

« u û ¦ × → − ! ξ1 , → − ξ2

→ − ξ =


¶
Þ

→ − a



B

ç 7  « ¦ × → − a1 → − a2

→ − a =

!

,

203

B=

B11

B12

B21

B22

!

.

(5.4.7)

´ ü →−ξ ~ →−ξ 9 : « Å ¦ ¸ – ˆ ‰ ¾ B = 0 ( B C
à B = 0).
b c e 
¶
Þ →−a  B ç 7  « ¦ × (5.4.7) ¾ U V « ¨ ² M →−ξ ~ →−ξ 9 : ° õ ö Ø  « u ¡ û Ñ ¦ ¬ ξ ½ ~ Ô  « u ¡ û Ñ ¦ ¬ ξ 9 : ° ( P b = b = 0,   ³ → − → − → − ξ = ξ , ξ æ
¾ B = 0  B = 0.  Ò
°² M B = 0( P B = 0), S « ; q r ó ã ® 1

2

12

21

1

k

12

j

21

12

2

kj

jk

1

21

τ

2

n  τ o − → − → − → − → − τ→ f ( t ) = E exp i t1 ξ1 + t2 ξ2     1→ 1→ − −τ → − − −τ → − τ→ τ→ → − → − = exp ia1 t1 − t1 B11 t1 · exp ia2 t2 − t2 B22 t2 , 2 2

Ù Ú ¾ →−ξ ~ →−ξ « v w q r ó
ã « > ? ¤
¥ Õ
Ö Ç ¬ «  
¡ ª ° î Ä
Ý Þ ( n £
¤
¥
¦
§ N (→−a , B), P C = (c 1

2

° ÿ ¶ →−ξ ~ →−ξ 7 ¨ – º » Ø
« X Y  ) ® m × n Ò
Ó 1

jk

2

8 9 : ¨ × ò Z ª¨y1 Õ
Ö Ç õ
¬ ö ° m ≤ n,

→ − → − η =Cξ,

R

→ − ξ

(5.4.8)

= ¾ →−ξ « û Ñ X Y × Z ¨ U V ° →−η ¾
û Ñ m ¼ « Õ
Ö Ç ¬ ¨ â n £
¤
¥
¦
§ « q r ó ã l @ `  ² m o p ¨ K a 5.4.6 (" # $ % Û Ü Î Ý Þ ß à á â Ý ) (5.4.8) ª?« Õ
Ö Ç ¬ →−η R ( £
¤
¥
¦
§ N (C →−a , CBC ). m b c e ¶ f (→−t ) ·
¸ →−ξ « q r ó ã ° õ
ö →−η « q r ó ã ® τ

n o n o → − − τ → − − − − − g(→ s ) = E exp {i→ s τ→ η } = E exp i→ s τ C ξ = E exp i (C τ → s) ξ   1− τ τ − − − − s (CBC τ ) → s , = f (C τ → s ) = exp i (C → a) → s − → 2

 ¤ ¾ m £
¤
¥
¦
§ N (C →−a , CBC ) « q r ó ã ¨ ¶ m « Ñ Ñ  p Þ
æ  
¡ n £
¤
¥
¦
§ ã
¦ ä –
¨ ’ å 5.4.1 ² M
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £
¤
¥
¦
§ N (→−a , B), S
Ü
Ý Ò
Ó C, f ` →−η = C →−ξ « » Ñ ¦ ¬ 7 8 9 : ¨ τ

n

¼ ¤ æ

— ˜ ™›šœy ž Ÿ  ž yš b c e ³ ® Þ
æ u ¡ n ¼ N ¬ ë Ò
Ó B, ç
Ü
Ý n ¼ ¤ æ Ò
Ó C, f ` CBC ® Þ Ó Ó ¨ ’ å 5.4.2 ² M
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £
¤
¥
¦
§ N (→−a , B), ´
ü →−ξ « » Ñ ¦ ¬ 9 : è ù
ú °S
Þ u ¡ n ¼ ¤ æ Ò
Ó C, →−η = C →−ξ « » Ñ ¦ ¬ 9 : è ù
ú ¨ b c e â?æ →−ξ « » Ñ ¦ ¬ 9 : è ù
ú °¢Úü
Ð ¢ Ø
«ÚøÚù
ú Ó B = σ I. P Þ
æ u ¡ n ¼ ¤ æ Ò
Ó C, CBC = Cσ IC = σ I. m è «
ë ­ é ê ¿ ë Õ û Ñ n ¼
Õ
Ö Ç ¬ R ( n £
¤
¥
¦
§ « ì ‹  ¨ K a 5.4.7 n ¼ Õ Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £ ¤ ¥ ¦ § N (→−a , B), ¢ ü'Ð'¢ Þ u'¡ n ¼  Ç ¬ →−s , ½ η = →−s →−ξ R ( 1 £
¤
¥
¦
§ N (→−s →−a , →−s B→−s ). b c e Ý ë ­ 5.4.6 ªyx C = →−s º ` ¸ – Y ¨  Ò
°þ² M
Þ u ¡ n ¼  Ç ¬ ( 1 £
¤
¥
¦
§ N (→−s →−a , →−s B→−s ), õ
ö η « q r ó → − → − − s , Õ
Ö
×
¬ η = → s ξ ½ R ã ®   n o 204

τ

2

τ

2

τ

2

τ

τ

τ

τ

τ

ß

t = 1,

º `

τ

τ

1 −τ → → − − − − g(t) = E exp it→ s τ ξ = exp it (→ s τ→ a ) − t2 → s B− s . 2   n o 1− τ → → − − − − − E exp i→ s τ ξ = exp i (→ s τ→ a)− → s B− s := f (→ s ), 2

í · ´  (5.4.5), ÿ ¶
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £
¤
¥
¦
§ N (→−a , B). î 5.4.1  ¢ ” • ° ë ­ 5.4.7 ï ð 
ž e n ¼
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £
¤
¥
¦ § °y¢
ü Ð ¢ Ø
« » Ñ ¦ ¬ ξ , · · · , ξ « u • X Y h R ( 1 £
¤
¥
¦
§
¨  ñ • ò ó e ² M n ¼
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ « » Ñ ¦ ¬ ξ , · · · , ξ ½ R ( 1 £
¤
¥
¦
§ ° =  ¶ ô … →−ξ R ( n £
¤
¥
¦
§ ° 
±
² m e õ 5.4.1 1 ò ª

− f (→ s)

1

n

1

p(x, y) =

1 −1 1 − x2 +y2 2 + e e 2 I (|x| < 1, |y| < 1, xy > 0) 2π 2π 1 1 − e− 2 I (|x| < 1, |y| < 1, xy < 0) , (x, y) ∈ R2 . 2π

…¤
† ¥
e ¦
p(x,§ y) ¾ ¿ Ñ Õ
Ö Ç ¬ H N (0, 1). b c e I q(x, y) =

S @ T e ¢

n

(ξ, η)

«  < ó ã °?´
ü
Õ
Ö
×
¬

ξ

~

η

(5.4.9)

½ R ( G

1 −1 1 −1 e 2 I (|x| < 1, |y| < 1, xy > 0) − e 2 I (|x| < 1, |y| < 1, xy < 0) , 2π 2π (x, y) ∈ R2 . (5.4.10)

|x| < 1, |y| < 1

C
°

1

1 −2 − 2π e < q(x, y) <

1 − 12 ; 2π e

Ë Ì
Í=Î?Ï
Ð
Þ
æ ò ö « (x, y), ½ q(x, y) = 0. P ¢ ÿ ¶
°Þ u ¡ (x, y) ∈ R , ½ e §5.4

1 −x 2π

205 |x| < 1, |y| < 1

2 +y2

>

2

1 − 12 . 2π e

C
°

2

÷ ³ ® Þ u'¡ùø ë « y, ó ã ½
¾ y « ¤ ó ã ° ÿ ¶ Z

¿ Ñ
Õ Ö Ç ¬ p(x, y) ¾ −∞ −∞

Z

∞

R∞ R∞

2 +y2

«  < ó ã ÷´
ü=â (ξ, η)

∞

1 pη (y) = p(x, y)dx = 2π −∞

x,

ó ã

q(x, y)

∀ x ∈ R; (5.4.11)

−∞

p(x, y)dxdy =

1 pξ (x) = p(x, y)dy = 2π −∞ Z

2

Z ∞ q(x, y)dx = 0, ∀ y ∈ R; q(x, y)dy = 0, −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ q(x, y)dxdy = 0. R∞ R∞

 T

1 −x 2π e

∞

−∞

ÿ ¶

2 +y2

+ q(x, y) > 0. « ó ã ÷ Þ u'¡ùø ë « q(x, y) ½ ¾ x ¤

p(x, y) =

Z

∞

1 −x −∞ −∞ 2π e

∞

 A

dxdy = 1,

(5.4.11)





x2 1 dy = √ e− 2 , 2π

∀ x ∈ R;





y2 1 dx = √ e− 2 , 2π

∀ y ∈ R.

x2 + y 2 exp − 2 −∞

Z

2

x2 + y 2 exp − 2 −∞

ÿ ¶
Õ
Ö
×
¬ ξ ~ η ½ R ( G H ¤
¥
¦
§ N (0, 1). ú ¾
° â (5.4.9)  A °
Õ Ö Ç ¬ (ξ, η) ´ R ( 2 £
¤
¥
¦
§
¨ 
ž È  û Ñ ± { ¨ õ 5.4.2 1 Õ
Ö
×
¬ ξ ~ η 7 8 9 : °è R ( G H ¤
¥
¦
§ N (0, 1), x ζ=

S

ζ

û R ( G H ¤
¥
¦
§ ü e â ζ
« ë 2 °`

(

N (0, 1),

|η|,

ξ ≥ 0,

(5.4.12)

−|η|, ξ < 0.

ú ¾
Õ
Ö Ç ¬

(η, ζ)

R (

2

£
¤
¥
¦
§
¨

P (ζ < x) = P (ζ < x, ξ ≥ 0) + P (ζ < x, ξ < 0) = P (|η| < x, ξ ≥ 0) + P (−|η| < x, ξ < 0)

[ ¢

x≥0

C
°

= P (|η| < x)P (ξ ≥ 0) + P (−|η| < x)P (ξ < 0). Z x u2 1 1 1 1 1 P (ζ < x) = P (|η| < x) + = √ e− 2 du + 2 2 2 2π −x 2 Z x Z x 1 u2 1 1 u2 =√ e− 2 du + = √ e− 2 du = Φ(x); 2 2π 0 2π −∞

— ˜ ™›šœy ž Ÿ  ž yš

206

¢

C
°

x<0

< x) = (P (η < x) + P (η > −x)) = P (η < x) = Φ(x). ÿ ¶
PÕ
(ζÖ
<×
x)¬ =ζ R P( (−|η| G H ¤
¥
¦
§ N (0, 1). ú ¾ 
ž 1 2

1 2

P (η + ζ = 0) = P (η + ζ = 0, ξ ≥ 0) + P (η + ζ = 0, ξ < 0) = P (η + |η| = 0, ξ ≥ 0) + P (η − |η| = 0, ξ < 0)

= P (η + |η| = 0)P (ξ ≥ 0) + P (η − |η| = 0)P (ξ < 0)

= P (η ≤ 0)P (ξ ≥ 0) + P (η ≥ 0)P (ξ < 0) = , T

â( yB £
¤
¥
η +¦
ζ§
¨ R ( 1 £
¤
¥
¦
§ ° ÿ ¶=â ë ­ 5.4.7 A °Õ
Ö Ç ¬ (η, ζ) R 2 Ý Ç ± ª ° â « æ ; Õ Ö  ×
< ¬ ξ ~ Ø ηž 7 « 8'9':  °<
è'« R >
( ? G'H ¤
¥
¦ § N( (0, 1),£
¤
ÿ ¶¥ Õ
¦
Ö§
¨ý ¬ þ (ξ,°
η) ¶ …†?Õ
Ö Ç Þ
¬ æ (ξ, ζ) v R w ( 2 £
¤
¥
¦
°§
[ ¨ (ξ, η) R 2 ) Ô ° 
ž   û Ñ   ë ­ 5.4.6 « ± { ¨ õ 5.4.3 1 ξ , ξ , ξ ® 7 8 9 : « N (a, σ ) Õ
Ö
×
¬
°P ÿ _ D(η η ). η = (ξ + ξ + ξ ) , η = (ξ − ξ ) . ü e I →−ξ = (ξ , ξ , ξ ) , S →−ξ R ( 3 £
¤
¥ ° ò Ù
Û  ø
ù
ú Ó ¦
® 1 2

1

2

2

3

√1 3

1

1

2

3

√1 2

2

1

2

1 2

1

È I S

→ − η = (η1 , η2 )τ ,

→ − → − η =Cξ,

3

→ − a = (a, a, a)τ ,



³ B=â ë ­ 

τ

C= 5.4.6



a   −  C→ a =C  a = a

7 8 9 : °´ ü N (0, σ ). y â B @ ` ÿ ¶

η1

~

2

η2

√1 3 √1 2

A

→ − η

√

3a

0 η1

√1 3 − √12

R (

!

B = σ 2 I.

,

2

√1 3

0

£
¤
¥

!

, − N (C → a , CBC τ ).

τ

CBC =

R ( ¤ ¥ ¦ §

σ2

0

0

σ2

!

â?æ

= σ 2 I,

√ N ( 3a, σ 2 ), η2

R ( ¤ ¥ ¦ §

2



D(η1 η2 ) = E(η12 η22 ) − (Eη1 Eη2 )2 = Eη12 Eη22 = Dη1 + (Eη1 )2 Dη2 = σ 2 + 3a2 σ 2 .


  5.4 1.  (ξ, η)    2     ! ~a =

0 1

,

B=

4

3

3

9

!

.

 

!
"$#
%
&
207 '()* (1) +,-./01 (2) +,23/04 '78 ξ + η  ξ − η 9:;< *=>?@ 4 2. 5 (ξ, η) 6    *AB 4CDEFGHI0 b , b , · · · , b , JK 3. 5 ξ~ = (ξ , · · · , ξ )  n    P (b ξ + · · · + b ξ = b ) = 0 L 1. N * N A B ON QPNF k, j = 1, 2 K E(ξ ) = 0  E(ξ ξ ) = σ > 0. 4.  (ξ , ξ ) M 2 N N NN ( η = ξ ξ * -./04 '(R 5.4.2 S AB T (ζ, ξ) *  UCD )V  2    4 5. * ABW  '( aξ + bη  cξ + dη * 9XY0 6.  ξ  η 9:;< Z S σ > 0 P ab 6= 0, cdN6=(0,0.σ )  ABW  ξ , · · · , ξ 9:;< J[\    ' F m < n ( 7.  X η = ξ  η = Xξ * +, 4 *ABW  Z -.^/0 V^_` 0 PK6ab0 ' C5 8.  ξ  η M9:;<9] ABW  ξ, η, ξ + η, ξ − η d   4 ξ + η  ξ − η 9:;< c ABW  ξ , · · · , ξ 9:;< J N (0, σ )  4e ξ = P ξ . (1) '( ξ * 9.   1 (2) ( ξ  ξ * 9XY04

§5.5

1

n

τ

0

1 1

1

n n

1

n

0

2

2

k j

k

1 σ2 1 2

2

2

1

n

n

m

1

2

k

k

k=1

1

k=1

2

n

1 n

n

k

k=1

1

fhghikjmlhnhohphq r
s
tu$v
w
x
y
z
{
| χ y
z
} t y
z
~ F y
z
}€

‚
ƒ
„
…
†
‡
v
ˆ ‰
Š
‹
Œ

Ž

v

‘
’
“
”•
w
x
y
z
–
r
s
— Õ u$˜
’ ä
™
š
›
” §5.5.1 χ œ
 ž
Ÿ$ 
–
¡
w
¢
¡ 6 £ u$¤
¥
¦ χ y
z
v
§
¨
}©
ª
{
« χ y
z
¬
­ Γ y
z Γ(λ, r) v
®
¯
°
±
v
”³²
«
´
‘ λ = , r = v Γ y
z
µ
­ “ ¶$·$¸ ­ n v y
z ”. ¹ –
ž

™
º
»
¼
½
¾
¿ χ y
z
” χ y
z
–
‘
À
r
su$˜
’
Á
™
 χ ¨
}
{ ¹
à r
s
t
v
Ä
Å
Æ
Ç
¼
v K. Person È
É º
v
}{
r
s
tu$v
¼
Ê
Ë
Ì ’
›
v
Í
Î
y
z
” –Ï‘ÏÀÏrÏsÐuÑ« ¶Ñ·Ñ¸ ­ n v χ yÏzÏÒϬÏÒÏ­ χ , Ó «ÏÔÏÕ ¸ Ï‘ÏÒÏ­ ° É }Ø
Ù
– Γ y
z
v
Õ ¸ 
‘ (´
Ú (3.6.4) Û ) u$Ü λ = , r = , k (x). Ö
× ²
Ý
Þ
ß
à §5.5

2

2

2

2

1 2

2

n 2 2

2

2

2 n

1 2

n

kn (x) =

1 n Γ( n2 )2 2

x

e− 2 x

n−2 2

,

x>0,

n 2

(5.5.1)

Ôu$’
¼
Ê
´
‘ n ∈ N . ­
á
â
ã K. Person v
ä
å
}ۮ

«
y
z χ µ
­ “ ¶$·$¸ ­ n v Person χ y
z ”. Ø
æ
v
§
À
çè$à χ y
z
ƒ n Ê
„
…
†
‡
v
ˆ
‰
Š
‹ Œ

Ž

v
é
ê
~
’
“
}•
ë
{ “ ¶$·$¸ n” v
ì
¨
í
–
” 2 n

2

2 n

208

ø
ù

Ü ý

5.5.1

ú Œ

Ž


v y
z
þ
{ χ .
η ÿ
à–
¡
w
¢
¯

ξ 1 , ξ2 , · · · , ξn


î ï
ðòñó$ô
õ
ö
ô
õ÷$ñ „
…
†
‡
}‚
û
ü
ˆ
‰
Š
‹
y
z N (0, 1),

η = ξ12 + ξ22 + · · · + ξn2 ,

2 n

v
Õ ¸ 
‘
{  k (x) = exp − , x > 0 . ‡
”  ú
¿  n = m 
‡ }ž

º ·°  Γ( ) = √π,Õ í
 
(5.5.1)
Û  n=1 n = m + 1. · ¸ ‘
v


Û
 3.7.5

u$}ž
Ÿ$ 

Þ √1 2πx

1

η = ξ12

x 2

1 2

Z

Z x km (u)k1 (x − u)du = km (u)k1 (x − u)du −∞ 0 Z x m−2 1 1 −x 2 e u 2 (x − u)− 2 du. = m 1 m 1 Γ( 2 )2 2 · Γ( 2 )2 2 0

km+1 (x) =

–



yu$¬
Ž


 Z

∞

u = xt,

(5.5.2)

Þ
ß

Z 1 m−1 m−2 1 1 (x − u)− 2 du = x 2 t 2 (1 − t)− 2 dt 0 0   m 1 m−1 Γ( m−1 m 1 2 )Γ( 2 ) , =x 2 B , =x 2 m+1 2 2 Γ( 2 ) x

u

m−2 2

 
 Ù Ã ¥ (5.5.2) Û }²  (5.5.1) Û
 n = m + 1  ‡
” Ø
æ
v
§
À


á χ y
z
v





à ø
ù 5.5.2 Ø
Ù
Œ

Ž
 η ƒ η „
…
†
‡
}Ôu η û
ü
y
z χ , η û
ü y
z χ , ý η + η û
ü
y
z χ . ÿ àžÏÏÝϛÏÕ ¸ Ï‘Ïv  Û èÑÇÏ}ëÏÝϛϧÏÀ 5.5.1 Þ É
¿
” 


}Ü Ø
Ù
ž

 n + m Ê
„
…
†
‡

û
ü
ˆ
‰ Š
‹ y
z v Œ
 Ž  ξ ,ξ ,···,ξ , 2

1

2 m

1

ý

1

2

η1

2

1

2 n

2

2 n+m

2

ƒ

n+m

η2

„
…
†
‡
} Ó


η1 = ξ12 + · · · + ξn2 , η1 ∼ χ2n ,

2 2 η1 = ξn+1 + · · · + ξn+m ,

η2 ∼ χ2m ,

!

í
 · §
À 5.5.1  η + η ∼η χ+ η =. + · · · + ξ , ¯ 4.4.2 ž
Ÿ$  
" à$#
%
Ê
´
‘
„

v
|
‘
y
z
v


{ Γ y
z
}Ø
æ · v § À ý » ¼ ½'&' á χ y z ƒ û ü „' ´ ‘ v | ‘ y z
v †
‡ Œ
 Ž
 Ç
~
v y
z
v
“
(
” ø
ù 5.5.3 Ø Ù Œ  Ž  ξ , ξ , · · · , ξ „ … † ‡ }‚ û ü ´ ‘ ­ λ > 0 v | ‘
y
z
}ý 1

1

2

2

ξ12

2 n+m

2 n+m

2

1

2

n

η = 2λ(ξ1 + ξ2 + · · · + ξn ) ∼ χ22n .

§5.5

) *,+
-
.
/0
1
2
ÿ
à · ¯ 4.4.2 u$v

Û
 }

4.4.7

!

í


v
Õ ¸
 ‘
3  η

v
Õ ¸ 
‘
{
à

ξ 1 + ξ2 + · · · + ξ n

λn n−1 −λx e , Γ(n) x

pn (x) =

x>0.

Fη (x) = P ξ1 + ξ2 + · · · + ξn <

x 2λ




,

x x d 1 1 λn  x n−1 − x 1 Fη (x) = pn = e 2 = e− 2 xn−1 , dx 2λ 2λ 2λ Γ(n) 2λ Γ(n)2n

²
­

209

x>0,

k2n (x).

œ
 4 5  $è } 
6
7
§5.5.2

t

Ø
æ
v

‘
‚
{
¼
Ê
8
9
Õ ¸ 
‘
à

n ∈ N,

Γ( n+1 ) tn (x) = √ 2 n nπΓ( 2 )



− n+1 2

x2 1+ n

x ∈ R.

,

(5.5.3)

ž

«
•
Ê
Õ ¸ 
‘
µ
­ “ ¶$·$¸ ­ n v t y
z ” v
Õ ¸ 
‘
}  ξ ∼ t ç
:
Œ 
Ž
 ξ û
ü ¶$·$¸ ­ n v t y
z
” y
z
{ ·;
< r
s
t
= W.Gosset  1907 >
?
@ 
A
Î Student B ç
v
}í t 
’
C
ë  
µ
­ “t
D,E$y
z ”, 
ë
{
‘
À
r
s
tu$v
F Á
™ v
y z
Ç ¼ ” · ° É }HG
y
z
v
Õ ¸ 
‘
“ 
I
J
 µ
} Ô
K
L
ƒ
ˆ
‰
Š
‹ N (0, 1) Õ ¸ (5.5.3) Û  ‘ v'K'L Ë Ì „'M ”N
'
}NO n P x'C } t y z v'Q P'R'S' ˆ ‰
Š
‹ y
z
” – ‘ À r s t ~ æ ¼'T £ u } 
U »
¼ ½
¾ ¿
 v
'V
”Tž

W –
• ª
X É ¼ Ê
§ À
} Y
Z t y
z
v
[
D
\
]
” ø
ù 5.5.4 ú ŒÏÏŽÏ η ƒ η †Ï‡Ï}ÔÐu η ∼ χ , ! η ûÏüψωϊϋ Ü n

1

2

2 n

1

2

N (0, 1).

ý
’

η2 ζ = p η1 , n

ÿ
àÒ

v
Õ ¸
 ‘ p P (ξ < x) = P í

^
™
–
 Û
_
`
 x 
a
}²
Þ ξ v
Õ ¸
 ‘ ζ ∼ tn .

ξ=

p η1 n

,

ž

W
º
 η1 n

· ­ g (x)

ξ gn (x).
R nx2 < x = P (η1 < nx2 ) = 0 kn (u)du, n

g (x) = 2nxk (nx ). b  (ny ) š › _ Ê
†
‡
Œ

Ž
p(x,

Ç
y)c
=v
φ(x)g Õ ¸ (y)Û =4.4.7,eÞ  · 2nyk v
Õ ¸ 
‘
­ ζ=√ n

2

n

2

n

− x2 √1 2π

2

n

η2

η1 n

1 1 √ n n Γ( 2π 2 )2 2

Z

∞ 0

2nt2 e−

nt2 2

nt2


n−2 2

e−

(tx)2 2

dt

î
ï
ðòñó$ô
õ
ö
ô
õ÷$ñ

210 n 1 1 2 =√ n 2n n 2 2π Γ( 2 )2

¬
Ž


  Û u$v

y
Ž
­ 
d à ¥

1 2



Z

 n+1 Z 2

∞

e

−u

u

n−1 2

n

0

²

u = 12 (nt2 + t2 x2 )

2 n + x2



 1 2 2 2 t exp − (nt + t x ) dt 2

∞

q

2u n+x2 ,

2 n + x2

 n+1 2

t=

1 du = 2



Γ(

(5.5.4)

n+1 ), 2

}²
Þ ζ v
Õ ¸ 
‘
­
Ø (5.5.3) Û í
:
v t (x). (5.5.4) Û §5.5.3 F œ
 y
z
{

Í
Î
r
s
t
= Fisher v
Î
e
f
Î
v
}
{
|
g æ
v  ‘
¬ ­ Õ F ¸ 
‘
v
y
z
à 0

n

m

n

fmn (x) = m 2 n 2

Γ( m+n m+n m 2 ) 2 −1 (mx + n)− 2 , n x )Γ( ) Γ( m 2 2

x > 0.

(5.5.5)

Ôu$’ _ Ê
´
‘ m, n ∈ N , h
µ ­ “´
‘
­ m, n v F y
z ”(i  m ƒ n
v j
k 4  µ }
4 l'm'n'o'p ), Ó Ò ­ F . F y z ë { ‘ À r s t u$v ¼
Ê
Á ™
y

z } ’ P
q š

› ” ø
ù 5.5.5 ú Œ

Ž
 η ƒ η †
‡
}Ôu η ∼ χ , ! η ∼ χ , Ü mn

1

ý
’

2

1

ζ=

ÿg à r·  η ƒ η „ … † ‡ }íg v Õ ¸  ‘ g y s ­ nk (nx) ~ mk η ‘
­ 2

1 m 2

n

mn

¬
Ž




Z

2

2 m

1 m η2 , 1 n η1

ζ ∼ Fmn .

1

2 n

m

ë „ … † ‡ ” g ƒ η ×  š ›g Û (4.4.8), Þ  ζ v Õ ¸  (my), 1 n η1

ƒ

1 m η2

∞

tkn (nt)km (mtx)dt Z ∞ n−2 m−2 1 nt mtx te− 2 (nt) 2 e− 2 (mtx) 2 dt = mn m m n n Γ( 2 )2 2 Γ( 2 )2 2 0 Z ∞ m+n m n m 1 1 −1 2 2 2 = m+n m m n x e− 2 (mx+n)t x 2 −1 dt. n 2 2 Γ( 2 )Γ( 2 ) 0 0

 Û u$v

y
t
­

u = 12 (mx + n)t,   Z ∞ m+n m+n m+n m+n m+n m+n 2 2 (mx + n)− 2 e−u u 2 −1 du = 2 2 (mx + n)− 2 Γ . 2 0


d à ¥

(5.5.6)

1 n 1

Û } ² 

ζ

v
Õ ¸ 
‘
­

fmn (x).

(5.5.6)

)
*,+
-
.
/0
1
2 211 §5.5.4 u
v œ

w
x
y
z
{
|
}
~ w x y z Ç íg – ‘ À r s u ˜ ’ Á ™ š › }  ™ { ·r   ˜ ’ æg€ í ™ Y
Z
v

Ê

V
” W
º
Y
Z _ Ê
Á
™
v
r
s

” ú ξ , ξ , · · · , ξ ­
†
‡

y
z
v
Œ

Ž

}Ü

§5.5

1

2

n

n

ξ=

n

1X ξk , n

S2 =

ý

k=1

1 X (ξk − ξ)2 , n−1

(5.5.7)

k=1

~ S –
‘
À
r
su$y
s
µ
­
‚
ƒ
„
…
~
‚
ƒ
ê
†
}^{
Á
™
v
r
s

”^w
x
y z
‚
ƒ
Š
‹
y
z N (a, σ ) v
‚
ƒ
„
…
~
‚
ƒ
ê
†
v

‘
’
“
” · ƒ £ v 
‡ ‡
² 
" à ˆ
ù 5.5.1 Ø Ù Œ  Ž  ξ , ξ , · · · , ξ „ … † ‡ }‚ û ü Š ‹ y z N (a, σ ). ý
’ 2

ξ

2

1

√

ˆ
ù

Ø Ù Œ  Ž  ý ξ ƒ S „
…
†
‡
” ÿ
à‰^
Š  è √n · ξ ƒ ¼
Ž
‚
{ , ¬
Š
Œ
Ž
 5.5.2

2

√1 n



2

n

n(ξ − a) ∼ N (0, 1). σ ξ 1 , ξ2 , · · · , ξn n P

k=1

η1

  η2   ···  ηn

 {
’

2

(ξk − ξ)2





„ … † ‡ }‚ û ü Š ‹ y z

„
…
†
‡
” ‹
¼
Ê
Š
Œ
ê
 ξ1

     = O  ξ2   ···   ξn

(5.5.8) N (a, σ 2 ).

O,



  .  


v
¡

(5.5.9)

n

√ 1 X η1 = √ xk = n · ξ, n k=1

Ó
· O ­
Š
Œ
ê

} 

Ž
 4
 Ž
é
ê
~
}í
 ž

 " ξ , ξ , · · · , ξ v

‘
Õ ¸ 
‘
­ 1

2

n

n P

k=1

ηk2 =

n P

k=1

ξk2 .

( ) n 1 1 X 2 (xk − a) p(x1 , x2 , · · · , xn ) = √ exp − 2 2σ ( 2πσ)n k=1 ( !) n n X X 1 1 2 2 = √ exp − 2 xk − 2a xk + na . 2σ ( 2πσ)n k=1

k=1

(5.5.10)

î
ï
ðòñó$ô
õ
ö
ô
õ÷$ñ

212

Ü





x1

  x2   ···  xn

   = Oτ  





y1

  y2   ···  yn

  ,  

 
Ž

4 
Ž é
ê
~
}í
 P y = P x , Ó
P x = √ny . ’
“
­ Š
Œ
ê

v
Ž
” Û ­ 1,
í  · ¡
•
¢
 ‡

Œ ,–$ (η , η , · · · , η ) v

‘
Õ ¸
 ‘
­ n

n

2 k

k=1

2 k

k=1

k

1

=√

1 e 2πσ

·

1 √ e 2π

y2 − 2σk2

2

n X

1 1 q(y1 , y2 , · · · , yn ) = √ exp − 2 n 2σ ( 2πσ) n Y

1

n

1

k=2

í
 ý
’

n X

=

ø
ù

√

n·ξ

ƒ

n X

ηk2

k=1

n P

−

η12

2

k

ÿ
àN˜
™

k=1

n X

=

ξk2

k=1

(ξk − ξ)2

Ø Ù Œ  Ž  5.5.6

√ − 2a ny1 + na2

!)

.

k = 2, · · · , n.

2 k

ηk2

yk2

n

2

1

k=2

η1 =

2

n

k=1

•
Ê Ù
çè$Œ

Ž
 η , η , · · · , η „
…
†
‡
} Ó
√ η ∼ N ( na, σ ); η ∼ N (0, σ ), ü ! η ƒ P η †
‡
” —
{
ž

’ k=2

1

k=1

(

√ (y − na)2 − 1 2σ2

n

n X

1 − n

ξk

k=1

†
‡
”

ξ 1 , ξ2 , · · · , ξn

!2

=

n X k=1

(ξk − ξ)2 ,

„ … † ‡ }‚ û ü Š ‹ y z

n (n − 1)S 2 1 X (ξk − ξ)2 ∼ χ2n . = σ2 σ2

(5.5.11)

N (a, σ 2 ).

(5.5.12)

Û ¬
Š
Œ
Ž

}þ
’

k=1

(5.5.9)

2

(n − 1)S =

{

n X

k=1

2

(ξk − ξ) =

n X

ηk2

k=2


Ê „
…
†
‡
v
û
ü
Š
‹ N (0, σ ) v
Œ

Ž

v
~
}í
 { n−1 n−1 Ê
„
…
†
‡
v
û
ü
ˆ
‰
Š
‹ N (0, 1) v
Œ

Ž

v
~
} h Þ ¿
” ø
ù 5.5.7 Ø Ù Œ  Ž  ξ , ξ , · · · , ξ „ … † ‡ }‚ û ü Š ‹ y z N (a, σ ). ý
’ (n−1)S 2 σ2

2

1

√

ÿ
à · ¤
À

5.5.1,

§
À

2

2

n

n(ξ − a) ∼ tn−1 . σS

5.5.6

~
§
À

5.5.4

²
Þ
”

šœ›œ

žœŸœ œ¡

'¢ £ À ¿ {'8'9 ¿ v Á ™'¤ '¥ y }Ô§¦ Ö'¨ y'©
ª ”Tž
'« l –
d ¬
¼'¬
­ Y
Z
”ž

® ú ξ ~ {ξ , n ∈ N } {
§
¨
–

¼
Ê
8
9
¯
° (Ω, F, P ) 
±
Œ

Ž 
} Ó  ¾
¿ {ξ , n ∈ N } ƒ ξ Ç
°
±
²
³
´
µ

” n

n

¶¸·¸¹¸º¸»¸¼¸½¸¾¸º¸»

§6.1


¿ À
Á
Â
à Ä
8
9
´
µ
Å
Œ

Ž
 p ” {ξ , n ∈ N } Æ Œ

Ž
 È
É ±
´
µ

” ø
Ê 6.1.1 Ø
Ù 
6
7 ε > 0, Ë ’ §6.1.1

n

ξ

Ç
°
±
¼
³
Ç
­ ×


lim P (|ξn − ξ| ≥ ε) = 0,

(6.1.1)

©
Ì
ž
Í
þ
µ
Œ

Ž
 p ” {ξ , n ∈ N } Ä
8
9
´
µ
ß
Œ

Ž
 ξ, Ò
­ ξ → ξ. ­
á È
É •
³
´
µ

Ξ
Í
Š
™
Ï
Ð
8
9 P (|ξ − ξ| ≥ ε). í
 ? W
Š
™
Ñ
Ò Ó ™
±
8
9 4 3 Û ”ž
Í
 I(A) ç
:

Ô A ±
:


‘
β
’ n→∞

p

n

n

n

I(A) =

(

1,

ω ∈ A;

0, ω ∈ Ac .

©
Ì
Î Õ
Ö
O A ⊂ B C
Î’ I(A) ≤ I(B). Ó
’ P (A) = EI(A). ø
ù 6.1.1 (Chebyshev ×
Ø
Ù ) ú g(x) Å
§
¨
– [0, ∞) 
±
Ë
Ú
±
Ë
Û
… Ü
Ý ÎØ
Ù 
Þ
ß
à
á η, â Eg(|η|) < ∞, ©
Ì 
6
7
ã Þ g(a) > 0 ± a > 0, ž
Í Ë
â Eg(|η|) ÿ
à ? W
Î ·

P (|η| ≥ a) ≤

g(x)

±
Ë
Ú
 

g(a)

.

(6.1.2)

(|η| ≥ a) ⊂ (g(|η|) ≥ g(a)). d “ Ô ä I(A) Å''Ô I(|η|A ±'≥:'a) ≤Ü'I(g(|η|) § ¡'æ ≤Ê 4 3'I(g(|η|) ç'Å ·H'≥è g(a)), 'Ô (g(|η|) ≥ g(a)) Ý'å Ô§äH≥± g(a)) 
€ â 
 4 3 Û Ò
Þ ≥ 1. · n o P (|η| ≥ a) = EI(|η| ≥ a) ≤ EI(g(|η|) ≥ g(a)) ≤ E I(g(|η|) ≥ g(a)) ≤ . 3 Å ¼ Ê Ë Ì ' Á ' é ± 3 Î ' 8 9 § ¿ ä ' ± ' ì ' í î ¯ Ø à 4 4 Û Û è â'ê'ë Chebyshev g(|η|) g(a)

g(|η|) g(a)

g(|η|) g(a)

213

Eg(|η|) g(a)

214

ô

6.1.1

Ø
Ù Þ
ß
à
á

î,ï$ð ð,ñò
ó

õ Ì
þ â

η ∈ Lr (r > 0),

P (|η| ≥ x) ≤ E|η|r · x−r ,

∀ x > 0.

(6.1.3)

ö
à è Chebyshev 4 3 Û ä$Ü g(x) = x ²
Þ
î  Chebyshev 4 3 Û
÷
ø
ù Î ú
Í
Ý

º
¾
¿
û
ü Ý
ý î ø
Ê 6.1.2 ú {ξ , n ∈ N } þ
Þ
ß
à
á p ”
Î S = P ξ . Ø
Ù
ÿ è  Ý p ” {a , n ∈ N } 
Ý p ” {b , n ∈ N }, ã Þ r

n

n

k

n

k=1

n

n

Sn − a n p → 0, bn

 ² lim P

(6.1.4)

  Sn − a n ≥ ε = 0, bn

∀ ε > 0,

(6.1.5)

ú'Í þ  {ξ , n ∈ N } û ü'û'ü Ý'ý î Ô§ä {a , n ∈ N } µ þ ä't Ý ”'Î {b , n ∈ µ ý
t Ý ”
î N } þ
  ûü Ýý ± ÈÉ þÅ Þßàá p ” {ξ , n ∈ N } ‹ÿ è ä t Ý ” {a , n ∈ N } 
ýt Ý ” {b , n ∈ N }, ã Þ (6.1.4) Û Ò± ÔîØÏÙ Ì
ú
Í
¼
þ U s
 a = ES , b = n, n ∈ N , Ó ¾
¿ ã Þ ξ ∈ L , n ∈ N, õ n→∞

n

n

n

n

n

n

n

1

n

n

n

Sn − ESn p →0 n

 Ò
±
Ô
î ú
Í
º
¼  û
ü Ý
ý ±
î ô 6.1.2 (Markov 
v ) Ø
Ù 
Þ
ß
à
á p ” lim

(6.1.6)

{ξn , n ∈ N },

DSn = 0, n2

õ Ì
þ â Ø (6.1.6) Û ±
û
ü
Ý ý  Ò
î ÿ
à è Chebyshev 4 3 Û ä$Ü g(x) = x , ú
Í
Ò
²
Þ  Î 
6
7 C
Î Ë
â n→∞ n→∞

2


n P Sn −ES ≥ ε = P (|Sn − ESn | ≥ nε) ≤ n

E(Sn −ESn )2 n2 ε2

â (6.1.7)

ε > 0,

O

→ 0, í
 â Ø (6.1.6) Û ±
û
ü Ý
ý  Ò
î û'ü Ý'ý ä â' p ” {ξ , n ∈ N } äH± Þ'ß'à'á Ç'°'±
( è Markov ÷
6
7 
Îí

Å
¼
Ê
L Û Ç þ
ê
ë ± ¿
î ô 6.1.3 (Chebyshev gv ) Ø Ù p ” {ξ , n ∈ N } är± Þgßgàgág_g_ 4  ÿ è Ì Ý C > 0, ã Þ Dξ ≤ C, ∀ n ∈ N , õ Ì
þ â Ø (6.1.6) Û ±
û
ü Ý ý  Ò
î n

n

n

=

1 DSn ε2 n2

 !
ö"#!  215 ÿ
à$  {ξ , n ∈ N } ä±
Þ ß
à
á
_
_ 4 
Îí
 P DS = Dξ ≤ nC, % â
Ô (6.1.7)  Ò
î h $ Markov û
ü Ý
ý Þ  Chebyshev û
ü Ý
ý î ô 6.1.4 (Bernoulli 
v ) Ø
Ù
 ζ ç
: n Á Bernoulli &' ä ±  ä @ Ý Îý â ζ §6.1

n

n

n

k

k=1

n

n

n

p

→ p.

(6.1.8)

ÿ
à ú
Í 
" Ý( ζ = P ξ := S , Ô,ä {ξ } Å)
”*
Ò
±

û
ü+ Ý þ p ± Bernoulli Þ
ß
à
á Î Ó
Eξ = p, Dξ = pq ≤ 1. í
$ Chebyshev û ü Ý
ý Þ 
â Ø (6.1.6) Û ±
û
ü Ý
ý  Ò
Î  % â (6.1.8)  Ò
î ú
Í,)
Ê
ý
t
Ì Ý b 6= n ±
î ô 6.1.5 ú'â )'”.-/'Î è0 k Ê.-/§ä1 â 1 Ê.23 k − 1 Ê43'î6587 Ê-!/,ä²
)3
Î  ζ ç
:
í
 É ± n Ê3,ä±2!3
Ê Ý îÑý
O r > C
Î n n

k

n

n

k

k=1

k

k

n

1 2

n

â

ζn −Eζn lnr n

p

ÿ
àNú
Í9 Þ
ß
à
á ξ þ à Ø
Ù:5 0 k Ê-!/,ä É 2!3
Î þ
Ü ξ = 1; Ø
Ù
 É 43
Îþ
Ü ξ = 0.  Å {ξ } Å)
”*
Ò
± Bernoulli Þ
ß
à
á Î Ó û
ü+ Ý þ p = ± Bernoulli ; î Õ
Ö â ζ = P ξ , Ó
ξ →0.

k

k

â

k

Ô,ä í


k

n

1 k

k

Eξk = k1 ,

k

Dξk =

Ì Ý ³î ü ! $ C>0þ

n

1 k

−

1 k2

< k1 ,

Dζn =

n P

k

k=1 n P

Dξk <

4 3 Û
 à 
6
7 Chebyshev k=1

k=1

1 k

ε > 0,

≤ C ln n,

O

n→∞

C
Î Ë

  ζn − Eζn Dζn C 1 P ≤ 2 2r−1 → 0, ≥ ε = P (|ζn − Eζn | ≥ ε lnr n) ≤ r 2r 2 ln n ε ln ε ln n n

i = ß 

ζn −Eζn lnr n

p

è ,äÎ â ÿ
à þ

< Î ^
Š  è ô

→ 0.

6.1.6

ζn p ln n →

1.

lim P (|ηn − ln n| ≥ ε ln n) = 0,

∀ ε > 0.

n→∞

lim (Eηn − ln n) = lim

n P

1 j

Ô,ä c þ Euler Ì Ý Îí

O n >  ü
C
Î 
6
7 ü ! O n >  ü
C
Îþ â ε ln n + (ln n − Eη ) > n→∞

n→∞

j=1

n

− ln n

!

= c > 0,

ε > 0, 1 2 ε ln n.

Ë
â

î,ï$ð ð,ñò
ó

216


P (|ηn − ln n| ≥ ε ln n) ≤ P (|ηn − Eηn | ≥ ε ln n + (ln n − Eηn )) ≤ P |ηn − Eηn | ≥ 21 ε ln n ,

ü ! t?

î §6.1.2 @A
Â
à B è ú
Í,CD Þ
ß
à
á p ”
±EF)
³
´
µ

î ø
Ê 6.1.3 Ø
Ù Þ
ß
à
á ξ, ξ ∈ L , Ô,ä r > 0, Ó
n

r

E|ξn − ξ|r → 0,

ýG g Þ
ßC gÎJàgIá G p ” Ä
{ξé
„
, ´
n µ
∈ Î N } Ä Ò r H ég„g´gµ ß Þgßgàgá ξ, Ò ÷ r=1 þ Ó þ ξ → ξ. 

6
7
Þ
ß
à
á ξ ∈PL , Ø
Ù
Ü
ξ = P ≤ξ< , n ∈ N, Ìõ
þ â n

L

(6.1.9)

O

L

ξn →r ξ.

n

n

∞

r

m=−∞

m−1 2n

m−1 2n

m 2n

∀ ω ∈ Ω, ü
 þ    è Î ÿ é
„
´
µ
´
µ
ß ξ ±LM ! â ξ −→ ξ. K

6 7 ξ∈L ,Ë è rH N Þ
ß
à
á p ”
î Äg8g9g´gµ O „g´gµPg°gÿ èQR g(S ? WgÎT$ Chebyshev 4 3UgÒ è %VW S XY 6.1.2 r HO „
´
µZ[
Ä
8
9
´
µ
î —
Å
ÎJ\P 4] îJ\ QR S ô 6.1.7 ^ 8
9
¯
° (Ω, F, P ) þ_ ° (0, 1) ` ±
 7 N 8
9
¯
°
Î % â n

a

|ξn (ω) − ξ(ω)|r ≤

Lr

r

Ω = (0, 1),

ξ(ω) = 0,

∀ ω ∈ (0, 1),

!

ξn (ω) =

bW JÎ c
6 7 ε > 0, O de ξ → ξ; —
Å p

1 2rn ,

n→∞

      

F = B1 ∩ (0, 1), n2 ω,

n2

2 n

C
Î Ë
â

P = L.

ω ∈ (0, n1 ];




− ω , ω ∈ ( n1 , n2 ];

0,

ω ∈ ( n2 , 1).

P (|ξn − ξ| > ε) ≤ P (ξn > 0) =

2 n

→ 0,

n

E|ξ − ξ| = Eξ ≡ 1, Ä
„
´  µ f 4 ξ O ξ. ! $ g
d H Î
ú
Í  é ,h < ) RO „
´
µ
±i
sjk
î Lebesque lm ´
µ
Q n Îpoq'´'µ n Fatou C n cg'ú'Íh <O „'´
µr ¨ s é'Îut'Í èv
à Ü Ý < ä Ë
â d Y
Z
Î ú
Í
«w
ìt
Í
±xyzU
î

de

n

n

n

§6.1

 !{"#!  |} CD Þ
ß
à
á p ”
±)~€rx
î X
Ê 6.1.4 G Þ
ß
à
á p ” {ξ , n ∈ N } Å)~€
±
Î Q‚

217

n

lim sup E (|ξn |I(|ξn | ≥ a)) → 0,

(6.1.10)

a→∞ n∈N

ú
Í,ƒ„)~€
± > é
ÔS XY 6.1.3 Þ
ß
à
á p ” {ξ , n ∈ N } )~€
± >  Ó é
Ô
ÅSJc…ƒ ± ε > 0, Ë ÿ è δ = δ(ε) > 0, ã V c…†‡ˆ
Ô P (A) < δ ±‰
Ô A, Ë
â n

Š‹

sup E (|ξn |I(A)) < ε,

(6.1.11)

sup E|ξn | < ∞.

(6.1.12)

n∈N

Œ  SŽ‘“’ ^`” æ
Ô•
Ò
Ζkc…ƒ
± ε > 0, Ë ÿ è  ãW Î Vÿ — é‰gÔ A ‡V ˆ gÔ P (A) < δ, g
˜gÅ Ëg— â é (6.1.11) U•gÌÒg› îJ™š$ è C > 0, ã sup E|ξ | < C, a> ,õ â g
Å$ (6.1.11) U
Ò V P (|ξ | ≥ a) ≤ < < δ, ∀ n ∈ N , n∈N

E|ξn | a

n

de

(6.1.12)

C δ

n

n∈N

U

δ = δ(ε) > 0,

C a

sup E (|ξn |I(|ξn | ≥ a)) < ε,

)~€
î {ξ } œ ‘ |} ÎT$

n∈N

n

(6.1.10)

U W ÎJc…ƒ
±

ε > 0,

— é

a

>  ü
ÎJ› â

sup E (|ξn |I(|ξn | ≥ a)) ≤ ε,

ž ™› â

n∈N

E|ξ | ≤ E (|ξ |I(|ξ | < a)) + E (|ξ |I(|ξ | ≥ a)) ≤ a + ε, ∀ n ∈ N , Ÿ â (6.1.12) U•gÒgîJ ¡gÎ — é a δ = , õ Ì — é‰gÔ A ‡ˆ gÔ P (A) < δ, ˜
Ë
â n

n

n

n

n

ε a

E(|ξn |I(A)) = E(|ξn |I(A ∩ (|ξn | ≤ a))) + E(|ξn |I(A ∩ (|ξn | > a)))

% â (6.1.11) U•
Ò
≤î aP (A) + E(|ξ |I(|ξ | > a)) < 2ε, ∀ n ∈ N , $!g n 6.1.3 ±zU¢!£¤¥
Î ú
̓„)~€r
±¦§ ˜ g '¨ ± > 
ÔS ©ª 6.1.1 Q‚ ÿ è α > 0, ã V k

n

{ξn }

)~€
î

n

sup E|ξn |1+α < ∞,

n∈N

« ï!¬ ð,ñò
ó , ©ª 6.1.2 Q ‚ ÿ è
Þ
ß
à
á η ∈ L , Š ‹ c…† x > 0, Ë
â sup P (|ξ | > x) ≤ P (|η| > x), k {ξ } )~€
î e ` ¦§­ <®¨¯Ë°± ÎT²!ƒ³´ ÷
þµ¶ î XY 6.1.4 @Ag·¸¹º» Q‚ c r > 0, Þgßgàgá¼½ {|ξ | , n ∈ N } )~€¾ Š‹ ξ −→ ξ, k ξ ∈ L , ‹ ξ −→ ξ. \P¾ Q‚ c r > 0, â ξ ∈ L , ‹ ξ −→ ξ, k ξ ∈ L , ‹ ξ −→ ξ. Œ S þ¿¨¯!K § n ¾ úÀÁ
é
ìf Þ
ß
à
á¼½® a.s. Âà r¾ÄtÅ g v
à Ü
Ý < ä ®ÆÇ í
í ÂÃ ¾J È9ÉS ã V ÊU 218

1

n

n∈N

n

n

p

n

r

n

r

n

n

r

Lr

p

Lr

r

n

ξ (ω) = ξ(ω) •° Ë ® ω ®ÌÍ É)§xy þ lim  ‰Î
î úÀÏ èÐÑ®0 4  h <K 0® Ò ! Ó  Ô Õ Ö Âà r
Jî  e ¨¯ ¾JÅ ξ −→ ξ × ¾ ÿØ ½ {ξ } a.s. Âà f ξ. KÙ ),¾JÅ ξ −→ ξ, ‹ {|ξ | } )~€ × ¾T$ Fatou C n % V n

n→∞

p

n

nk

p

n

n

r

E|ξ|r ≤ E(lim inf |ξnk |r ) ≤ lim inf E|ξnk |r ≤ sup E|ξn |r < ∞,

Û$ g {|ξ | } )~€¾ de c…ƒ ® ε > 0, Ü ÿØ ξ∈L .  Ú V ¨ cξ…−→ ξ. †‡ˆ Î P (A) < δ ® ‰Î A, ÜÞ δ = δ(ε) > 0, Ý sup E (|ξ | I(A)) < ε, E (|ξ|I(A)) < ε. ß $!g ξ −→ ξ, de c `” ε > 0 δ > 0, ÿØ n ∈ N , Ý —à n ≥ n , › Þ de

r

n

k→∞ Lr

k→∞

n

n

n∈N

p

n∈N

r

r

n

0

$ `” n $

Cr

°á U¾ %V

0

P (|ξn − ξ| > ε) < δ.

E|ξn − ξ|r = E (|ξn − ξ|r I(|ξn − ξ| ≤ ε)) + E (|ξn − ξ|r I(|ξn − ξ| > ε))

de

L

r ξn −→ ξ.

≤ εr + Cr E ((|ξn |r + |ξ|r )I(|ξn − ξ| > ε)) < εr + 2Cr ε,

\P¾ Q ‚ ξ −→ ξ, k bW ξ −→ ξ ∈ L . $ C °á U V sup E|ξ | ≤ C sup E (|ξ − ξ| + |ξ| ) < ∞. E)âã¾!c…ƒ ® ε > 0, Ü ÿØ n ∈ N , Ý —à n ≥ n , › Þ E|ξ − ξ| < ε, ä $ ξ , ξ ∈ L  W ¾Jcƒå ® ε > 0, æ Ø δ = δ(ε) > 0, Ý V—à P (A) < δ, › Þ n

p

Lr

n

n

n∈N

r

r

r

r

r

n

n∈N 0

n

r

0

n

r

r

E(|ξ|r I(A)) < ε,

max E(|ξn − ξ|r I(A)) < ε,

KÙ ),¾ %W c‡ˆçÎ P (A) < δ ® ‰Î A, Þ I(A)) ≤ C (E(|ξ| I(A) + E(|ξ − ξ| I(A))) < 2C ε, ∀ n ∈ N , ž ™$!E(|ξ å n |6.1.4 W {|ξ | } )~€è ©ª 6.1.3 Q‚ ξ é {ξ } êëìíîïðñ ¾ Š‹ Üæ Ø) Hò ¾ókÅ ξ ¾ QRô §õö÷ø áù S ξ× n

r

r

r

n

1≤n
n

r

r

r

n

p

n

−→

úûüý!þ{ÿ
ý!þ 219 ~€
 (2) E|ξ − ξ| → 0, n → ∞; (3) Eξ → Eξ, n → ∞. (1) {ξ }  Œ S!å n 6.1.4 W (1) ⇔ (2).  |Eξ − Eξ| ≤ E|ξ − ξ|, W (2) ⇒ (3).  À
 ¨ (3) ⇒ (2). !g ξ é {ξ } êëìíîïðñ ¾ de 0 ≤ (ξ − ξ ) ≤ ξ, ä  W ξ −→ ξ, §6.1

n

n

n

n

n

n

n

+

p

n

p

(ξ − ξ ) −→ 0, ž ™ m Âà å n ¾  V 

Š
 Í (3),   V E(ξ − ξ )E(ξ→−0,ξ g) É →Þ 0,(2) •Ëè 
 6.1 1.  (1) ξ → ξ ⇒ ξ − ξ → 0; +

n

n

n

p

+

−

p

n

n

p

p

(2) ξn → ξ, ξn → η ⇒ P {ξ = η} = 1; p

p

(3) ξn → ξ ⇒ ξn − ξm → 0 (n, m → ∞); p

p

p

(4) ξn → ξ, ηn → η ⇒ ξn ± ηn → ξ ± η; p

(5) ξn → ξ, k p



p

⇒ kξn → kξ;

p

(6) ξn → ξ ⇒ ξn2 → ξ 2 ;

 ⇒ ξ η → ab; (8) ξ → 1 ⇒ ξ → 1; (9) ξ → a, η → b, a, b , b 6= 0 ⇒ ξ η (10) ξ → ξ, η  ⇒ ξ η → ξη; (11) ξ → ξ, η → η ⇒ ξ η → ξη. 2.  ξ → ξ !"#$%&' p

p

p

(7) ξn → a, ηn → b, a, b p

n n

−1 p n p

n

p

n

−1 p n n →

n

p

p

n

p

n p

p

n

ab−1 ;

n

n n

p

n

E

|ξn − ξ| → 0. 1 + |ξn − ξ|

( ξ )* Cauchy #+,.-/012
p (x) = n π(1 + n x ) , n ≥ 1,  ξ → 0. 4. ( {ξ } 24345444446474,.8494:4;4<4!=/4041= p(x) = e , x > a, > η = min{ξ , · · · , ξ },  η → a. 5. ( {ξ : n ≥ 1} 4345444446474, P (ξ = log n) = P (ξ = − log n) = 1/2, (n = 1, 2, · · ·),  {ξ : n ≥ 1} )*?@ ABC 6. ( {ξ : n ≥ 1} 35!6474, 3.

n

2 2

n

−1

p

n

−(x−a)

n

n

p

1

n

n

n

n

n

n

n





1 1 1− n , 2 2 1 P (ξn = n) = P (ξn = −n) = n+1 , n = 1, 2, · · · . 2 P (ξn = 1) = P (ξn = −1) =

 D {ξ : n ≥ 1} E )*?@ ABGF ( {ξ : n ≥ 1} HI:J!44446474CK4 %&'2   P n

7.

n

n−2 D

{ξn : n ≥ 1}

n

ξk

k=1

→ 0,

n → ∞.

)*?@ AB!4"

220 8.

(

{ξn : n ≥ 1}

35<#+!44674,

f (x),



ξ1 + · · · + ξ n n



= f (a).

Z67[,.\' A ]^!_`2 p, > ( 1, aYb n cdb n + 1 cZ[ ξ = 0, -f . Q {ξ , n ≥ 1} )*?g ABC 10. ( {ξ , n ≥ 1} 35!6474, ξ !#+2 9.

(Y

lim Ef

Eξ1

« L!¬ MN O
P  = a, QRSTUVH:JW4X14

n→∞

Bernoulli

A

n

e]^

,

n

n

n

P





ξn =

(n + 1) n

 k/2

=

n , (n + 1)k

) *?@ ABC 11. ( {ξ , n ≥ 1} 35<#+6474,.8494!4;<4#4+42

k = 1, 2, · · · ,

{ξn , n ≥ 1}

n

P (ξn = k) =

-[



−1

c , k2 log2 k

k = 2, 3, · · · ,

 D {ξ , n ≥ 1} E )*?@ ABGF 12. ( {ξ , n ≥ 1} hHh7hih:hjh
n

∞ P

(k ln k)−2

k=2

.

n

j 6= k, E(ξj ξk ) ≤

n

s tuvuwux u y{z îïðñ ¾ |.} à{y{z tÀ ®{~{
€{  y{z îïðñ¼½®Âà r{‚› Å
} à
y
z ÷
ƒ ®
~

„
…¼½®Âà rè 
Š
‹ · §6.2.1 †
‡
ˆ
‰ ’Œ ξ é {ξ , n ∈ N } ë6½6î6ï6ð6ñ ¾ ÷ƒ ®~{„{…6ë F (x) é {F (x), n ∈ À à 
Ž


‘
’É
“ ~
ÂÃ è N }.  }
”  §
•
–
— ˜ 6.2.1 ’
Œ §6.2

n

™ ’
š
}Ø ›  ïðñ¾£
¼¤ ½ ¡
¢ €
î   ®

n

¾ Þ n→∞×

ξ(ω) = 0,

ξn (ω) = − n1 ,

ξn (ω) → ξ(ω),

∀ ω ∈ Ω,

∀ ω ∈ Ω,

(6.2.1)

œ›
ƒœÅÂÉ
Ã
“  ξ, ž } ~

„
… ¾›¥
É
¦
Ÿ
§
  ¨î¾ï©ðÀ ñ®
{ξ , n ∈ N }
~ ÂÃ
 ξ ® ®
~ {ξn , n ∈ N } n

ú ª
«ý!þ

„
…½®
¬
­ ›
ƒÅÉ §6.2

Fn (x) = P (ξn < x) =

› ¾

®
~

„
… è ®É¾  À
¯
°

ξ (

221

0, x ≤ − n1 ;

1,

F (x) = P (ξ < x) =

x > 0.

(

0, x ≤ 0;

1, x > 0.

lim F (x) = F (x), ∀ x 6= 0; ®É
± Þ ² ›{³ ¯ ¾  À °
´ à{µ ÷{ƒ lim®{~
F{(0)„
…= ½
1 6=¶{0¶=ÂFÃ
(0). F (x). ·{¸{¹ • Ó x = 0 É è F (x) ®°
º
»
¶ ¤ C(F ) ³
¼ „
… F (x) ®
º
»
¶Ì ¾  À
½

¾
¿
À
Áå
Â
— Ã
Ä 6.2.1 Œ {F (x), n ∈ N } É ½ åÅÂØ R Æ®ÞÅÇìÅÈ®ÅÉźŻń … ¾ À
Ê æ Ø  §å
ÂØ R Æ®Þ
Çì
È®
É
º
»
„
… F (x), Ý
Ë n

n→∞

n→∞

n

n

∀ x ∈ C(F ),

lim Fn (x) = F (x),

ÌÎÍ ­ è

(6.2.2)

Ð ë F (x) → F (x), Ñ Í F (x) É {F (x)} ®ÎÏά  Ò
Ó
Ô
Õ ·
¸

 ÀØ ²
Ö
× ÞÝ
Ø “~

„
… ” ² §
Ù
Úè ² É › ë — Û  6.2.1 ~

„
…½®
Ï
¬
­°
 åÉ ~

„
… è Ÿ
•
À
Á
— ˜ 6.2.2 Œ {Fn (x)}

ÏÂÃΝ

Fn (x) =

š
}

      

n→∞

w

F (x),

0, x+n 2n ,

1,

n

n

x ≤ −n;

−n < x ≤ n; , x > n.

∀ n ∈ N;

F (x) ≡

1 . 2

É
~ 
„
…¼½ ¾ Ñ
Ü F (x) → F (x), ®É F (x) ± ° É ~

„
… è Ý{Þ Æ” ¦ ¶{ß{à ¾  À ¯ á¿ “ ~{Âî È
¾ ž ™
â{¤
¾
¿{À
Áå{Â
— Ã
Ä 6.2.2 À{Ê {F (x), n ∈ N } É ½{~{{„{… ¾ Ñ{Üæ Ø ~{{„{… F (x), Ý ËÀ
Ê F (x) → F (x), ™ ’ É  À›
Í {F (x)} “ ~
ÂÃ
 F (x), Ðë F¾J(x)™ → F (x).É {F (x), n ∈ N } îïðñ¼½ {ξ , n ∈ N } ®
~

„
…¼½ F (x) ¾  Ì Å ¾ Í “ îïðñ ξ ®Î~Î΄΅ F (x) → F (x) × {ξ } ~ÎÂà ξ, ÑÎÐë ξ → ξ. ƒÅ ·{¸ ¾ã“ ~{Âà — É îïðñ®
~{
„{…½{ä
å®ÂÃ
æ ʾ㩠°
´ Ÿ   îïðñ |Kç å®
¬
­
æ Êè {Fn (x)}

w

n

n

w

d

n

n

n

n

n

d

n

d

n

n

222

Û  6.2.2 “ ~
Âð
´
è
é “
ê
ë Â Ã è  À
 ”  §
•
–è ˜ 6.2.3 Œ (Ω, F, P ) ë
ì
í
î ê
ë
ï å ¾ ð Ó ξn (ω) =

™ ’

«L!¬ MN O
P

(

0, ω = ω1 ,

Ω = {ω1 , ω2 }, ( 1, ω = ω1 , ξ(ω) = 0, ω = ω2 .

∀ n ∈ N;

1, ω = ω2 ,

é  ξ {Ü ñ{ò{ó{®…É ë À ® Bernoulli ~{ ¾ô£{¤ F (x),  ξ → ξ.  Þ 
õ
ö
÷ 0 < ε < 1,|ξ Ü(ω)Þ − ξ(ω)| ≡ 1, ∀ ω ∈ Ω, 1 2

ξn

d

Fn (x) ≡ F (x),

Å{} Þ

d

Fn (x) →

n

n

£
¤

P (|ξ − ξ| ≥ ε) ≡ 1, ∀ n ∈ N ,
² ø
Ÿ
•
ù ú ξ 6→ ξ.  À
— “ ~
ÂÃ
û
´
è
é “
ê
ë ÂÃ è ®É¾ Ÿ Þ ¾  À
± Þ Ã
ü 6.2.1 À
Ê ξ → ξ, Ì
ý Þ ξ → ξ. þ
ÿ —.Œ ξ ξ

~

„
…
~ë F (x) é F (x).  ¯¾ õ
ö
÷ n

p

n

p

d

n

n

n

£
¤

∀ n ∈ N,

n

y < x,

Þ

(ξ < y) = (ξ < y, ξn < x) ∪ (ξ < y, ξn ≥ x) ⊂ (ξn < x) ∪ (|ξn − ξ| ≥ x − y),

ò â ξ → ξ  ¯  ¾ õ
ö
÷ z > x, Þ p

F (y) ≤ Fn (x) + P (|ξn − ξ| ≥ x − y),

n

À
Ê £
¤ 

F (y) ≤ lim inf Fn (x). n→∞

Ë Æ  ¾ Ñ
Ü x ∈ C(F ),

lim sup Fn (x) ≤ F (z). n→∞

y ↑ x, z ↓ x,

™ ’ Þ

F (x) ≤ lim inf Fn (x) ≤ lim sup Fn (x) ≤ F (x). n→∞

n→∞

∀ x ∈ C(F ),

lim Fn (x) = F (x),

n→∞ d

À ¤ c ³Î¼ c
îïðñ è ™ ’ØΓ ~ÎÂà ΠΠ“ êÎë ÂÃÎäÎåÞ  À
Á

áù
æ Ê
— Ã
ü 6.2.2 ξ → c áù  ξ → c. þ
ÿ — !å  6.2.1 ¯ ξ → c è
é ξ → c, £
¤Á Ÿ Þ 

è
é
æ Êè ·
¸  c
îïðñ

~

„
…ë ξn → ξ.

p

d

n

n

p

n

d

n

F (x) = I(x > c) =

(

0, x ≤ c;

1, x > c.

ú ª
«ý!þ
©  Þ
 ø û
º
»
¶  §6.2

x = c,

£
¤Å

× ¾ Þ

d

ξn → c (

0, x < c;

lim Fn (x) =

  õ
ö
÷

ε > 0,

n→∞

Å

n→∞

× ¾ Þ

223

1, x > c.

P (|ξn − c| ≥ ε) = P (ξn ≥ c + ε) + P (ξn ≤ c − ε)

 Þ

= 1 − Fn (c + ε) + Fn (c − ε + 0) → 0,

p

Ø êÂÃé “
~ ÂÃ
ä
å ¾  À Þ À
Á  à — Ã
ü 6.2.3 Œ ξ é {ξ , n ∈ N } É îïðñ¼½ ¾ ξ → ξ, ™ ’Îõ r > ý à çÎÉ {|ξ | }  âè 0, E|ξ | → E|ξ|

~ ý !à çõÎÉ ìíîïðâñ"è # {ξ, ξ , n ∈ N },  ξ → ξ, ™ ’ Eξ → Eξ

~ {ξ }  Ã
ü §6.2.2 $%& yÎz “ ~Î)*
Þ+,- è . ÏØ ÐҚÓ0/1Î~Î΄΅#
  Î ' Î „  … ( “ ~
)*2 õ
ƒ
'
„
…#
3
¶)*2
ä
å
 4 è ½Î ßÎà Ï)*ÞÎæ
Î56 öè7  8ÀÎÁ
Îæ  ÉκλÞÎÇìÎÈ΄ …#
Ï)*

~ ý à ç9
— Ã
ü 6.2.4 Œ F (x) é {F (x), n ∈ N } ({:# å{Â:; R Æ:
:<{Çì{È:
{É{º »
„
…! Ì F (x) → F (x)

~ ý=ç9 ( — õ C(F )
> ø?@ –A D, < ξn → c.

d

n

n

r

n

r

n

r

d

n

n

n

n

n

w

n

lim Fn (x) = F (x),

n→∞

þ ÿ —.ý= 2 š
}è0B 
~2 è0C
΍9
E
õ
ö
÷ y, z ∈ C(F ), Ñ
Ü y < x < z, F<

£
¤G

∀ x ∈ D. (6.2.4)

(6.2.3)

D1! ö ¡

x ∈ C(F ) − D,

F (y) ≤ F (x) ≤ F (z), !   ç 9 â n → ∞ H! (6.2.4) Ë F (y) ≤ lim inf F (x) ≤ lim sup F (x) ≤ F (z). E x ∈ C(F ), £
¤G y ↑ x, z ↓ x H!I
Ë (6.2.2) ! £
¤ F (x) → F (x). J ½KLM <
æ
êN é õöè Ã
ü 6.2.5 (Helly O:P Ã{ü ) å{Â:; R Æ:
ö{÷ :#{::<{Ç:
ì{È{É{º{» „
…  Fæ ; {F (x)}

 ø – # {F (x)} é
 ø å
 {F (x), n ∈ N } F(
ÏQ
! ; R Æ
<
Çì
È

É
º
»
„
… F (x), R
Ë F (x) → F (x). n

n→∞

n

n

n

n→∞

n

w

n

n

n

nk

w

nk

224

þ ÿ
#! £
¤ Ç
…#! {F1,n }

SLET  M N O
P —VU R Æ
<  … A Ðë D = {r , r , · · ·}. E {F (r )} (
 ø
< Ç
… æ£
¤;
– ;
# © {F (rø )}– )*
> øW … G(r ).øEW  {F (r )} X(
 ø < – #æ ! £
¤

.  H#< {F (r )} )*
> … G(r ). ·
¸ {F } ( ÁZ ! â Ë
limF[ – (r# ){F= G(r},),m ∈limNF, ð(r\ ) = G(r ). 1

1,n




1

2,n

n

n

1

2,n

À
Y » ò õ] ø

2

1

1

1,n

2

1

2

1

2,n

n

2

2,n

2

m,n

m,

{Fm,n } ⊂ {Fm+1,n },

F<

²  ( ¨ ! .
Ë
^

k = 1, 2, · · · , m .

lim Fk,n (rk ) = G(rk ), n

{Fn }

∀ m ∈ N,

(6.2.4)


À
Á

[ – # — ···

F1,n

Fm,1

···

Fm,2

···

···

···

···

···

···

···

···

F1,1

F1,2

F2,1

F2,2

···

···

···

···

F2,n

· · · Fm,n

···

è  ¯ !  ²
ø_ #
õ `a Æ
DbcD
"# {F } d } ( R
Ë (6.2.4)  D 1 – # è 
Ü! {F , n ≥ 1} ( {F }
– #! £
¤ lim F (r ) = G(r ); {F }
£ ¤ lim F (r ) = G(r ); · · · ; e!  H {F , n ≥ 2} ( {F }
– #! Î – #! £Î¤ lim F (r ) = G(r ). fÎä! {F } gh {F , n ≥ k} ( {F }
– #-< À
Á 2i — {F }
n,n

n

n,n

n,n

1,n

2,n

n,n

n

n

k,n

n,n

n

n,n

2

k

n,n

1

1

2

k

n,n

n

õ k j G(x) ( o ; ! .

n

x = rk ∈ G

F (x) =

Ì

õ  k ( E  F (x) ;

∀ rk ∈ G.

lim Fn,n (rk ) = G(rk ),

 

(6.2.5)

<l Â
<
Çm
È
„
…n G(rk ),

 sup G(rk ),

∀ x = rk ∈ G,

(6.2.6)

x 6∈ G,


x∈R

rk <x

w

n,n

d

n

lim

n→∞

g(x)dFn (x) =

R

g(x)dF (x).

R

(6.2.7)

{ ª
«|E}
225 þ{ÿ — â{¤:~ :Ø l  6.2.7 \€ ~ 1
 t €‚ l  ! o ;{¾
¿:ƒ   tn 0  ~Î΄΅# F (x) → F (x), £Î¤ F (x) ‚ (Î~Î΄΅n„…†‡ˆ<Îæ8‰ 7 ¯ ! âΤU (Ω, F, P ) ¡  h ŠÎå (0, 1) Æ
‹ ÷ î êÎëÎï å ( Ω = (0, 1), F = B ∩ (0, 1), P h Lebesque Œ ), Ž = F (ω), ξ (ω) = F (ω), ∀ n ∈ N , ∀ ω ∈ (0, 1). Ì ξ r ξ ξ(ω) 
Å~ÅńŅÅ~h F (x) r F (x). H< © ω = F (x), x ∈ R. ‘ Ÿ „Å…!<– 
ω = F (x) x := F (ω), ω ∈ (0, 1) ’“”mÅȏ!  .  • h —˜ !  ‘ F (x) → F (x) âΤ  ¿ lim F (ω) = F (ω), ω ∈ C(F ). ‘  ?@  Š
å (0, 1), £
¤ ξ = F (– õ Lebesque Œ ) ‹™
œ
œ)*
 C(F ) â
¤›œ ω 6∈ C(F ) H
ξ(ω) r ξ (ω)
l  ! •
À
© .Fl ξ = F . š.  h 0, RÎË ξ r ξ
Î~Î΄΅d } ~h F (x) r F (x), ÑÎÜ ξ = F œÎœ )*Ν ξ = F . ‘   g(x) hκλ<ÎÇ΄΅! £Î¤ g(ξ ) œÎœ)*Ν g(ξ). Ž8‘ Lebesque žŸ)*l ! 
Ë R R lim g(x)dF (x) = lim Eg(ξ ) = Eg(ξ) = g(x)dF (x). Á¡KL‚¢
£ =¤ àn Ã
ü 6.2.7 ($:%:& Ã{ü ) 1 . Œ F (x) r {F (x), n ∈ N } F:({~{{„{…:! f (t) r {f (t), n ∈ N } ( © . õ
ƒ
'
„
…n À
Ê F (x) → F (x), Ì < §6.2

◦

d

n

−1

−1 n

n

n

n

−1

d

n

−1

n

−1

−1 n

n→∞ −1 n

−1

−1

−1

n

n

n

−1

n

−1 n

n

n

n→∞ R

n

n→∞

◦

R

n

d

n

n

lim fn (t) = f (t),

∀ t ∈ R,

(6.2.8)

Ñ
Ü ²¥ ) *2 ;
ö
÷ <
ǦŠ
å
Æ õ t §D1n À
Ê {f (t), n ∈ N } (§#'
„
…! {F (x), n ∈ N } ( © . õ
ƒ

~ 2 . 
„
̅! ʨ; ø § ø ; t = 0 œ
º
õ»

©
l £
Âõ
; ƒ R Æ

„
… f (t) R
Ë (6.2.8) D 1! f (t) (§ '
„
…! Ñ
Ü

~

„
… F (x), < F (x) → F (x). þ
ÿ — 1 . À
Ê F (x) → F (x), Ì ‘ 
õ
ö
÷ t ∈ R, „
… g (x) = e F(l Â; R Æ
<
Ç
º
»
„
…! £
¤ ‘ Helly †l  1
Ë (6.2.8) n  © ² ¥ )*2 ;
ö
÷ <
ǦŠ
å
Æ õ t §D1n ¯©
õ ∀ t > 0, U ²¥ ǦŠ å ¡ h [−t , t ]. ö
¾ ε > 0, â ¡ 
~ Ò
ª
… A ∈ C(F ), R
Ë R dF (x) = F (−A) + 1 − F (A) < ε. ‘ n→∞

◦

n

n

d

n

d

◦

n

t

0

0

0

|x|>A

£
¤G š.<

lim F (A) = F (A), Ò n 
~ H ! R < n→∞

n

|x|>A

lim Fn (−A) = F (−A),

n→∞

dFn (x) = Fn (−A) + 1 − Fn (A) < 2ε.

itx

S«ET ¬­E®¯

226

R R |fn (t) − f (t)| = R eitx dFn (x) − R eitx dF (x) R R R R ≤ |x|>A dFn (x) + |x|>A dF (x) + |x|≤A eitx dFn (x) − |x|≤A eitx dF (x) ,

£
¤ š. ©EG n → ∞ H! R õ |t| ≤ t §°  0. e š.<

A itx dFn (x) −A

−

0

¡

RA

−A

eitx dF (x)


eitx − eity = eity e−it(x−y) − 1 ≤ |x − y| .

± @ 0! R
 Ë < − x ) < ε, j = 0, 1, · · · , m − 1. (

−A = x0 < x1 < · · · < xm = A

t0 (xj+1

sup

|t|≤t0

≤

A itx dFn (x) −A e

m−1 P

²³ <

m−1 P itx e dF (x) sup ≤ −A

RA

j = 0, 1, · · · , m − 1 .

j=0 |t|≤t0

R R xj+1 xj+1 itx xj e dFn (x) − xj eitx dF (x)

j=0 |t|≤t0

R Rx x sup xjj+1 eitxj dFn (x) − xjj+1 eitxj dF (x) := I1,n + I2,n + I3,n .

j=0 |t|≤t0

m−1 X Z xj+1 xj

j=0

I2,n < ε .

I3,n =

−

eitx − eitxj < ε ,

R m−1 R

P x x sup xjj+1 eitx − eitxj dFn (x) + sup xjj+1 eitx − eitxj dF (x)

j=0 |t|≤t0 m−1 P

+



sup

|t|≤t0 xj ≤x≤xj+1

I1,n ≤

ÜR
Ë

j

sup

š. R<

xj ∈ C(F ), j = 0, 1, · · · , m,

m−1 X

m−1 X sup eitx − eitxj dFn (x) < ε

|t|≤t0

š.´µ

I3,n .

 ¯

j=0

Z

xj+1

Fn (x) = ε

Z

A

−A

xj

dFn (x) ≤ ε .

m X sup eitxj ((Fn (xj+1 ) − Fn (xj )) − (F (xj+1 ) − F (xj ))) ≤ 2 |Fn (xj ) − F (xj )| .

= n ± Ò H!  < t (x − x ) < ε, j = 0, 1, · · · , m − 1, ¶·    < I < ε|F. ¸(xq
)Æ− F (x! 
)| Ë < (6.2.8), õ j =|t|0,≤1,t· · ·§, m−D11, n  {F (x), n ∈ N } (
ÏQ
!¹¶· ¨; l  R Æ
<
Çm
È
É
º
» 2 . ‘
º» Fe(x) r {F (x), n ∈ N }
§ ø¼ # {F (x), k ∈ N }, R
Ë e ¯ Fe(−∞) ≤ 0, Fe(∞) ≤ 1. C½ F (x) → F (x). ‘ 

j=0 |t|≤t0

0

j+1

j=0

j

n

j

j

ε 2(m+1)

3,n

◦

0

n

n

nk

w

nk

‘  º»

;

α := Fe (∞) − Fe (−∞) < 1.


¾ Á º
»
ÜR
Ë (6.2.8) D1!¹¶·  ¨  ;  ¿  À ¸
0 < ε < 1 − α, 
δ > 0, R
Ë f (t)

t=0

1 2δ

Z δ ε f (t)dt > α + . −δ 2

(6.2.9)

f (0) = 1,

Ñ
Ü õ
ö

(6.2.10)

§6.2

{ÂÃ|E}

‘Ò  F H!<

nk (x)

·
¸Å

 Äš.Æ<

w → Fe (x),

 ¤ q

(6.2.9)

!¹Ä ¨;

b>

4 εδ ,

R
Ë

±b ∈ C(Fe ),

αk := Fnk (b) − Fnk (−b) < α + 4ε .

R δ itx −δ e dt ≤ 2δ;

R δ itx 2 −δ e dt = x sin tx ≤ 2b ,

227

G

k

±

|x| > b,

Z Z ! Z δ δ 1 ∞ itx fnk (t)dt = e dt dFnk (x) −δ 2δ −∞ −δ Z Z ! ! Z Z δ δ 1 b 1 ≤ eitx dt dFnk (x) + eitx dt dFnk (x) 2δ −b 2δ −δ |x|≥b −δ

1 2δ

≤ αk +

1 ε ε < αk + < α + . bδ 4 2

ý < α = Fe(∞) − Fe(−∞) = 1, É  Fe(x) h±Êº   (6.2.10)   –  Ç  È  n  ¶ · »! ( ¤ < F (x) → Fe(x). ËÌ §´!͑ 1  Ä! {f (t)} )*Å Fe(x)
 'º »n q (6.2.8) ÎÄ f (t) (±Êº» Fe(x)
'º»n ò‘Eϧ2  l Ä Fe(x) = F (x). Ð ¡ Ž  F (x) → F (x). ÑÒ  tnÓÔ F (x) 6→ F (x), ÕÖ8‘ Z× ¼ # ³ (ÙQ
! ò ð8\0¨;ƒ § ø¼ # {F (x), k ∈ N } Ø
{F (x), n ∈ N } d ƒ § ø û   F (x)
<ÚmÛÜÝÞ
º» G(x). p {F (x), k ∈ N } Ù)*Å ßà 80á Ä G(x) â(· f (t) h'º»
±Êº»!  ( ϧ2l ã ä ÇÈn¶· F (x) → F (x). åæ 6.2 1. çéèéêìëéíéîéïéðéñ {F (x)} òéóéôéõéöé÷éøéíéîéïéð F (x), ùéúéóéôéû x ∈ R üéýéþ 2. çéèéêÿë {F (x)} ü  ñ
éíéîéïéð  óéô õ íéî ï ð F (x), ù F (x) 
éíéî þ 3. çéèé ê  
    ñ →−  →−ó ô  ù →− ð      ó ô þ → − 4. ë ξ n 
  ξ → ξ , éç ξ 
 þ 5.    ñ {ξ }  í î ï ð {F (x)}, ! F (x) → F (x), " {η }    ó ô õ # ð C, çéèéê (1) ζ = ξ + η øéíéîéïéðéòéóéôéõ F (x − C); (2)  C > 0, ù ζ = øéíéîéïéðéòéóéô õ F (Cx). 6. $ {ξ } éíéîéóé ô % ξ, $ {η } éíéîéóéô %#éð a, çéè ξ + η éíéîéóéô % Pξ + a. 7. $ {ξ } '&'(' '' ''é ñ *)+,-. −1  1 /'0'1 'ø 2'3'4éíéî þ éç η = éíéîéóé ô % U (−1, 1)   þ 8. $ ξ → ξ, 5 g  R 1éøéöé÷éïé ð éç g(ξ ) → g(ξ). 9. 6178  íé î 9 :; < = > 7 ? @ þ d

◦

nk

nk

d

d

n

n

nk

n

mk

d

n

1

n

n

p

n

n

d

n

n

n

n

n

n

n

n

n

ξn ηn

n

n

n

n

n

k

k=1

p

n

1

p

n

ξk 2k

A«CB

228

$éíéîéïéð

10.

F (x)

ûDéøEFéïéð lim

t→∞

EG ë

1 2t

Z

e−isy f (s)ds = F (y + 0) − F (y);

−t

Z

1 2π

çéè

f (t),

t

HI   ç è

ξ

π

e−itj fξ (t)dt = P (ξ = j). −π

&(JéíéîéøHI   ñ  û $éíéîéïéð F (x) ûé D øEé F ïéð f (t), éç "$

11.

{ξn }

lim

c→∞

1 2c

Z

¬­E®¯

|f (t)|2 dt =

ξk

x

KLMN õ1Oéø P Q þ

[F (x + 0) − F (x)]2 .

ø TT T ξ , ξ , DTXT1T7 õ ξ − ξ , YTZ T 12. çéèéû[ ü é í îéï ð F (x) \]éûD^EFéï ð f (t), û ü_ ïéð x \ h > 0 , (

RTS êUTVTWT&T(TTVTJ í î ï ð

n P

k=1

X

c −c

Sn =

F (x)

1

2

1



sin u u

2

y = 0.)

1 2h

Z

x+2h

F (y)dy −

Z

1 2h

x

1 π

F (y)dy =

Z

∞

2

u e−iux/h f ( )du. h

R SéêDX`aPQ õ F ∗ G , b G  [−h, h] 1éøcdéíéîéïéð þ ) $   ξ øéíéîéê P (ξ = − ) = P (ξ = 0) = , " P (ξ = 0) = 1. e îéïéð F (x). çéèéê x

( 13.

x−2h

h

n

−∞

h

1 n

n

1 2

n

0

ξn

øéí

n

d

(1) Fn → F0 ,

14. 15.

∧

(3) d∗ (Fn , F0 ) = sup |Fn (x) − F0 (x)| 6→ 0.

(2) lim Fn (0− ) 6= F0 (0− ),

é íéîéïéðéü ñk l éç F → F f!gf d(F , F ) → 0. ëéíéîéïéð F (x) hé) øij ! í î ï ð ñ F (x) ø m miéóéôéõ F (x) ø m mib m = 1, 2, · · ·, ù F (x) → F (x). $ {p(x), p (x) : n ≥ 1} né o ïéðéñÿ ë p q ü Lebesgue ro 0 østÿû] uéð x v(w p (x) → p(x), ùéû R 1[x Borel s A üéýy $

n→∞

x

d

{F, Fn : n ≥ 1}

n

n

n

d

n

16.

n

1

n

17.

$

Z

{p(x), pn (x) : n ≥ 1}

(1)

A

pn (x)dx →

Z

p(x)dx. A

noéïéðéñ9z{ | O } ~éó ô  ê

Rx Rx pn (t)dt → −∞ p(t)dt, −∞ R R

∀ x ∈ R1 ,

B , R éü p(x)dx, ýy v( R∀ RBp ∈(x)dx → p(x)dx, û ü_ B ∈ B üéý v( . ƒ b  (3)  í î ñ P (A) = p (x)dx   ó ô õ í î P (A) = R p(x)dx. ‚  (3) ⇒ (2) ⇒ (1). çéèéê ;< (3) 2„éõ p (x) roéóéôéõ p(x); 5 (2) ⇔ (1). (2)

(3)

pn (x)dx →

û[€ A

s

1

A

Borel A,

n

n

A

A

A

1

n

A

n

… †‡ˆ‡‰‡ŠŒ‹Ž‡‡‡‘“’ ‡ ”–• ¡ §̖—˜ ¢š™C› ³–œž {ξ , n ∈ N } Ÿ – –¡–¢–£–¤–¥–¦–§ à–¨–©–ª–«–¬–­–® —¯–°–± S = P ξ . §6.3

n

n

n

k

k=1

(Ω, F, P )

§6.3

²C³–´–µ–¶š·C¸¬­E®¯

229

¹–º–»–¼ ½¿¾ ¡ 6.1 À ™ÂÁ¿Ã¿Ä ¿ ¡ Õ¿ÇÉÈ¿ŸÉÊ ÄÉË ÑÉÌ¿Í:´¿ÎÉÏ ¤É¥ P  Ù Å ¿ » ¿ Æ — ¨–Ò ËÌ–Ó–Ô–Õ–Ö–× ¨–©–ª–«ž¬–Ø ¡–ÙžÚ–Û ÒÜ ¡ ½–¾  Ô ´ Ë ·–ÐšÑ →0 іݖÞº»–ß–à–á–â–—КÑCã–ä ”–å ʖæ–ç Ð ¨ ٖŖè–Æ Ò éCê ê é ÝÞ–î –ï Ė—ؖð–ë–ì ê → 0 ë–ì → 0, í §6.3.1

Sn −an bn

p

Sn −an bn



Sn −an bn

p

d

Sn −an bn



Sn − a n lim E exp it n→∞ bn



= 1,

∀ t ∈ R.

(6.3.1)

˞ Óžà ½ž¾žñ Ξãžä ”žå ʞæòç Ð ¨ ٞŞèžÆžóžôžõ۞ö ۞÷žø ¨ Ú èžùžúžõ á û Ò ü ý 6.3.1 (Khintchine ¹–º–»–¼ ) þ – ©–ª–«–¬–­–® —ÿ
ξ ∈ L , Eξ = a –— 1

1

ÿ


éCê

à

i.i.d.(

k=1

ξ1 − a ∈ L1 , E(ξ1 − a) = 0,

 í–äÎ

t ∈ R,

È
n

(6.3.2)

Sn − na p → 0. n

(6.3.3)


é


–ê ݖÞ
–è ¡

E exp it ξ1n−a

šé

)

Sn p → a. n

 fn (t) = E exp it Sn −na , n n o  n on n Q fn (t) = E exp it ξkn−a = E exp it ξ1n−a .



 —




ã–ä ”–å Ê ¨

1



 
ÐšÑ ±

{ξn , n ∈ N }

o

=1+o t n



n

t n




,

t=0

 ¨

Taylor

n → ∞,

à (6.3.3) –ä Ò (6.3.1) ä

  6.3.1 × ! ž ÷ ø ξ ∈ L ¯ $žŸ Ø ¡ è ® " — ¡ ãžä ”ž¨
å ' # ¨ ÷–æòø ç Ò Ð — ž {a , n ∈ N }, %
& → 0 –ä Ô ü–ý §6.3.2 (
)
*
+ ½ž¾ ,žÁžÃ - å # . / 0 1 2 3 4 ¨ 5 6žÒ é ê 3 ž 4 å # ¡ž¤ž¥ à ™ ¨ Ý 7 8
9 — :
;
< –
ï =
> à ™ ?
@
A –ï Ò ü B 6.3.1 þ {ξ , n ∈ N } à ©–ª–«–¬–­–® — S = P ξ . C
D Ø ¡ 
™ ?
E è ® {a , n ∈ N } F 3 ÿ E è ® {b , n ∈ N }, %
& fn (t) = 1 + o

→ 1,

n → ∞,

1

Sn −an n

n

1

p

n

n

n

k

k=1

n

n

Sn − a n d → N (0, 1), bn

(6.3.4)

,

AHGCB

230

M
N

lim P

n→∞

½–¾ Ó
O {ξ , n ∈ N } P éQ
R î –ï — ½–¾ ü–ý 6.3.2 (6.3.4)  n



Sn − a n <x bn



∀ x ∈ R,

= Φ(x),

 ™ ?
@
A –ï Ò ä N &
  ä ¨
S å ' Ô ÷–ø Ÿ – 

Sn − a n lim E exp it n→∞ bn





t2 = exp − 2



,

∀ t ∈ R.

(6.3.6)

1

2

1

= a, 0 <

2



 ±

Sn − na d √ → N (0, 1). nσ n o n −na fn (t) = E exp it S√ , nσ n Y

k=1

ξ1 ∈ L 2 ,

    n ξk − a ξ1 − a E exp it √ = E exp it √ . nσ nσ

ξ1 − a E √ = 0, nσ


é


–ê ݖÞ
–è ¡  í–ä
&

(6.3.7)

ÿ


fn (t) =

éCê

(6.3.5)

ã–ä ”–å
# æ–ç
T ¨
U
V–¨ ™?
@
A –ï â
–Ý
W
X
Y ¨
Z  Ò ü–ý 6.3.3 þ {ξ , n ∈ N } à i.i.d. ©ÉªÉ«É¬É­É® — ÿ[ ξ ∈ L , Eξ = σ < ∞ –— n

Dξ1

IHJK
L

E



 ¨

ξ1 − a √ nσ

2

=

Dξ1 1 = , nσ 2 n



 —




t=0 Taylor    2 ξ1 − a t2 t E exp it √ =1− +o , nσ 2n n

fn (t) =



1−

t2 +o 2n



t2 n

n

t2

→ e− 2 ,

t ∈ R,

È


n → ∞,

n → ∞,

  (6.3.6), M
N (6.3.7) –ä Ò \ ½–¾H]^ FH_`
;
T–ã–ä ”žå
# ©žª–«ž¬–­ž®–¨ Khintchine a–Å–è–Æ
F ™ ?
@
A –ï Ò b
c — Khintchine a–Å–è–Æ
d
e
f ï
g —h–à
i
jšÑ  ­–® ™ ¨ • n £ ©–ª «–¬–¨
k
l
m
n
o - ¤–¥ .
/
0 ©–ª–«–¬–¨
m
n o (è
p
q
r ). : 3 Ÿ “Ŗè–Æ ” ¨ s   t  ¡ Ò ž ©žªž«ž¬ž¨ k l m n o × w xžŸ y ™{z £ ©žªž«ž¬ m h à u v n[oɨ[|[}ÉÒ~ Éy Ÿ {ξ , n ∈ N } à i.i.d. ¨ p à[ɀ è ¨ Bernoulli ©ÉªÉ«É¬ ɗ , †
‡
ˆ ê
‰ ;
 Ӗ¨ Ÿ • n 
‚
ƒ ™ ¨
m
n 
„
¨
–c
薍 — ©
… n → ∞, i–×

† ‚
ƒ 
„ ¤–¥ p. Š
‹
–Œ — ½–¾ ӖŸ–Ê Ä :
;
Ž
 Ü ¤–¥ —¯–° Ë
 :
; n

Sn n

²C³–´–µ–¶š·C¸
IHJK
L 231 Žš ,û “ÐšÑ ” , ¤–¥
¨ ‘
’–¨ Ø ¡ î s ¨   (€
Ò9“Ü ¡ ; 
Ä
” À ). •–Ÿ
–

—
š½–Ѿ
˜–›
—™
œ $ ј “† †
‡
ˆ ”
è p Ê Khintchine a–Å–è–Æ–— õ
©
… , – ¤ ¥ 
 ê “†
¡ †
Ÿ
‡
  ˆ ”,½–y

¾ ‹–¡
Ӗ¢

Ÿ £ 

 s   ε >¨
0,¤ P | − p| > ε È n→∞ Ò
g ¦ í
ž 0. — "
y ;
¥  ê ãžä ”žå # ”–æ
å ç # T ¨–¨ ©–{™ ª–? «–@ ¬–A ­–ž® ï — ½žÃ ¾ × ¾ ¨
! « " ”–i å[¨ # §  “¨ ©  ” t ¾
®
:–¯
ӖE
Ÿ 
–Ø 㖡 ä A ¨ Ù–Ú–Û ª— ¨ $ 1
2 i E
° å Ÿ
¬[­–— Ô
i ¾ ¯–°  — –
­ i  F È ±
ˆ ê 1
2
¾ ² U ¡––ï 6.3.3 £ "–õ ï à КÑC— Ü
3
4–
å # Ò  ê :
;
Ž–— ½–H ¡ ³ ,
´ ;
µ â
¶
·
¸ Ò ¹ 6.3.1 C[D {ξ , n ∈ N } à[; ® i.i.d. ¨ 0 < p < 1 à[€Éè ¨ Bernoulli © ª–«–¬–Ò –
­ S = P ξ P 
å # B(n; p). Ü
Ù º
¡ » p = 0.4
à ·–— ½–¾ å W ’ ¼ n = 5, n = 10 F n = 20  S ¨ “½
¾
¿ ”, N
À
Á
¨ Â ¾
j
à S = k ¨ ¤ §6.3

Sn n

S√ n −na nσ

n

n

k

n

k=1

¥ o 

n

n

Ä
Å
Æ
Ç
È

6.1

½–¾  Ü — n †–Å–— “½
¾
¿ ” Ó
†
É Ü ™ § Ŗ—ËÊ
Ì
Í # ¨ Ý
Ž Ò
C D ½–¾
¢ S 1
2 E —Ï–
­
y
Ð Â Ž–Ó
Ñ 0 Ó
†
‡
ˆ ê 1
2
3
4–å
# ¨ ½
¾
–è
¿ Z–Ò ¹ 6.3.2 C D {ξ , n ∈ N } à ; ® i.i.d. ¨ P  n ¬–Ò ½–¾ p (x) j
à S = P ξ ¨ ½
¾
–è Ò $
Ô k n

n

n

n

n

k

k=1

p1 (x) =

(

1,

0 < x < 1;

p2 (x) =

0, x ≤ 0, x ≥ 1.

p3 (x) =

          

1 2 2x , 1 2 1 2

2

2

x − 3(x − 1) 2

2




  

,

x − 3(x − 1) − 3(x − 2) 0,

Ä
Å
Æ
Ç
È

   

6.2

2




¨ ž
Î Ò
í : 3 Ÿ 3
4–å † Ŗ— õ
Ò
Ž
–—T¯–° n –

Ó å # " 

U (0, 1)

¨ž©žªž«

x,

0 < x < 1;

2 − x,

1 ≤ x < 2;

0

x ≤ 0, x ≥ 2.

x ≤ 0;

,

1 ≤ x < 2;

2 ≤ x < 3;

x ≤ 0, x ≥ 3.

†–Å
Ö¿ Z
Ó †
‡
ˆ ê 3
4–å
# ¨ ½
¾
–è
¿ Z–Ò  z
× $ Ø å
# ¨ i.i.d. –¨ ©–ª–«–¬–­–® Ö  Ô
i Ù
Ú Û ï 6.3.3 Ü

 Ö P Ý Û–÷–ø Öy 1
2 E
Ý
° å F Ý
å #
Þ n → ∞ –È
 « Ø Ý
@
A
î ß Ò é Œ
Õ
½
¾
¿ ´ "
Ö

n

S√ n −na nσ

àHGá IHJK
L

232

â
ã
ä
å
æ
ç
è
é
ê
ë
(
)
*
+ ü–ý ì í  î ï Ø ð # æ ç T Ý Ü ? @ A Û ï 6.3.3, – ­ $ Ø ð # öø÷ T ™ ù  ú ù Ý  û üý Þ þ ñ ÿ ,
û Û
ü  g

 Ø ð # Ý

Ö 
þ ñ 




 Ü ¯
E
Ý
A
Ý  t Ö ¡ ù
i ñ ;
µ
y! $ {ξ , n ∈ N }  ;  ú%
î
ï Ý  Ö  §6.3.3

 ñóò í ô õ 0 Þ î ï : × öø÷ T Ý Ü ? @ A Ý ‰






 ® Ý"# ü

n

Eξn = an ,

&

Sn =

þ ñ ' û() E
Ý
° ð
F

0 < Dξn = σn2 < ∞, n X

ξk ,

Bn2 = DSn =

k=1

∀ n ∈ N. n X

(6.3.8)

σk2 .

(6.3.9)

k=1

n

X ξk − a k Sn − ESn √ = Bn DSn k=1

* ð+,-.()/0 N (0, 1) Ý  ü 1
B 6.3.2 C D î ï 


 
 5 τ > 0,  

{ξn , n ∈ N }

Ù Ú


(6.3.8),

n 1 X  E (ξk − ak )2 I(|ξk − ak | ≥ τ Bn ) = 0, 2 n→∞ Bn

lim

678   
Ù Ú Linderberg  ü þ ñ ' ð9:; Linderberg 
Ý s< ü 1= 6.3.4 >?    {ξ , n ∈ N } Ù
Ú @  ØAB
ïC

2
3

4 (6.3.10)

k=1

n

Linderberg

 Ö 6  > ;

ξk − a k p → 0, max 1≤k≤n Bn lim max

n→∞ 1≤k≤n

yHÜ

D 7E Feller  ü F G CIHJ (6.3.11) D
ü  JLK (6.3.12)

σk2 = 0, Bn2

MNDA ÝO Ö P

Chebyshev     ξk − a k P max ≥ τ = P max |ξk − ak | ≥ τ Bn 1≤k≤n 1≤k≤n Bn

(6.3.11) (6.3.12)

QSRTUVLWSXYLZS[\

§6.3

=P

n [

k=1

=

n X k=1

=

]L

(|ξk − ak | ≥ τ Bn )

!

EI (|ξk − ak | ≥ τ Bn ) ≤

≤

n X k=1

n X k=1

E

P (|ξk − ak | ≥ τ Bn ) 

ξk − a k Bn τ

2

I (|ξk − ak | ≥ τ Bn )

n 1 X  E (ξk − ak )2 I(|ξk − ak | ≥ τ Bn ) , 2 2 τ Bn k=1

DB
ï
ü 5 0 < τ < 1, þ ñ  (6.3.12) D
ü 4

³ J

(6.3.10)

max

1≤k≤n

=

233

D^

(6.3.11)

σk2 1 = 2 max E(ξk − ak )2 Bn2 Bn 1≤k≤n




1 max E (ξk − ak )2 I(|ξk − ak | < τ Bn ) + E (ξk − ak )2 I(|ξk − ak | ≥ τ Bn ) 2 Bn 1≤k≤n n X
≤ τ2 + E (ξk − ak )2 I(|ξk − ak | ≥ τ Bn ) .

Þ ŒDHÜ § n → ∞, ³ § τ ↓ 0, _P (6.3.12) D
ü ` 6.3.2 (6.3.11) Dab þ ñ Öc>?>?
î
ï   {ξ , n ∈ N } Ù
Ú  Ö d
­e  Þ / 6f
° ðgHÜSh Ý i
j n → ∞ Linderberg kml mn M
Úmo[ü þ ñ ^mo[Öp>?m: m ýqmr.mst n Í Ý muv Ý « Øw x Öyd[­mz Ü Ý mmm (m|{} ) ~mm€m/m0[ðm+[ü ·m>mCy [Ým‚ƒ[Ý ðm+„ … Ý
† Â Ý ð
+
„ ‡ j
ˆ Ý ð
+
N
N ü ì í e 



 Ý w x  (
j n → ∞ ÿ ùŽ  ()/0 k ) l n M
Úo
ÖSd‰Š õ‹ ÖS/ 6fŒ ðg ð+
ü  ÿ Linderberg 
ݐ <  Þ ü ‘’ 6.3.1 >?
î
ï   {ξ , n ∈ N } Ù
Ú Linderberg  Ö 6 k=1

n

S√ n −ESn DSn

n

FG CI“”•
Ö S 

D ÿ

lim Bn = ∞ .

(6.3.11)

1 max |ξk Bn 1≤k≤n

∀ ω ∈ Ω,

(6.3.13)

n→∞

max |ξk (ω) − ak |

p

–— Ý Ö ] 

− ak | → 0, (6.3.11)

DB
ïA
Ö ˜ í 

D B
ï
ü ;™š î
ï   Ý ÜS›œ
Û
ü 1= 6.3.5 (Linderberg žmŸm m¡ 1m= ) >m?[î[ï mmm m Ù Ú Linderberg  Ö 6
1≤k≤n

(6.3.13)

Sn − ESn d → N (0, 1) . Bn

{ξn , n ∈ N }

(6.3.14)

234

àL¢á YLZS[\

FG C þ ñ£

ð¤¥

Sn −ESn Bn

ݦ§(ξ ¨−© a& ),E 1 Bn

ξnk =

g

ξnk

k

23ªA
Ö

D fE

(6.3.10)

«¬ ¦§¨© Þ  

lim

n→∞

n X

t=0

fnk (t) = 1 −

zHÜ

rnk (t) = o

σk2 2 ; Bn

∀ n ∈ N.

g

fnk (t). n Q fn (t) = fnk (t). k=1


2 E ξnk I(|ξnk | ≥ τ ) = 0,

­ Ý

k=1

fn (t)

2 Eξnk =

Eξnk = 0,

6

k = 1, · · · , n;

k



Taylor

σk2 t2 2 2Bn

®¯Dg



,

(6.3.13)

k = 1, · · · , n,

(6.3.15)

D
Ö 4 5

k = 1, · · · , n,

+ rnk (t),

σk2 t2 Bn2

∀ τ > 0.

t ∈ R,

þ ñ

n → ∞,

n → ∞.

° LS r (t) ±M
ú
Ø
Ö} M> i.i.d. ö
÷ ­h ' d‰²³
Ö þ ñ ˜ ´µ¶ ·
ñ Ý •¸
ü ¹ iº»¼º½¾ Ü Ý >;MNDC nk

itx e − 1 − itx −

þ ñ P.



t2 x 2 2

≤ t2 x2 ∧ |tx|3 ,

    2 σk2 t2 t2 ξnk itξnk |rnk (t)| = fnk (t) − 1 − = E e − 1 − itξnk − 2 2Bn 2   2 2
t ξnk 2 ≤ E eitξnk − 1 − itξnk − ≤ E t2 ξnk ∧ |tξnk |3 . 2

 (6.3.11) D
^ Ö 
4 5À¿ Û Ý t   A
Ö  

p

tξnk → 0,




4 5

τ > 0,



n

Á ð
Â




2 E t2 ξnk ∧ |tξnk |3 ≤ E |tξnk |3 I(|ξnk | < τ ) + E (tξnk )2 I(|ξnk | ≥ τ )
σ2 ≤ τ |t|3 k2 + t2 E (ξnk )2 I(|ξnk | ≥ τ ) . Bn

u ª n X k=1

  n n n X X X
σk2 t2 σk2 3 |rnk (t)| = f (t) − 1 − ≤ τ |t| + t2 E (ξnk )2 I(|ξnk | ≥ τ ) nk 2 2 2Bn Bn

= τ |t|3 +

Þ •DHÜ £

k=1

k=1

n X

k=1

t2 E (ξnk )2 I(|ξnk | ≥ τ ) .

n → ∞, n X

k=1

k=1




à £

_P

τ ↓ 0,   n 2 2 X fnk (t) − 1 − σk t → 0, |rnk (t)| = 2Bn2 k=1

∀ t ∈ R.

QSRTUVLWSXYLZS[\ 235 Ä í  |f (t)| ≤ 1, k  (6.3.12) D
Öc:Å” © t g  Á
ðÂ Ý n, þ ñ  0 < < 1, k = 1, · · · , n.  ¹ i :Å |u | ≤ 1, |v | ≤ 1  B
ï Ý Æ N M ND

§6.3

nk

σk2 t2 2 2Bn

k

n n n Y Y X uk − vk ≤ |uk − vk |,

þ ñ P.



k

k=1

k=1

(6.3.16)

k=1

n    n  n Y 2 2 Y X σk2 t2 fnk (t) − 1 − σk t = 0. lim fnk (t) − 1− ≤ lim n→∞ 2Bn2 n→∞ 2Bn2 k=1

k=1

k=1

lim fn (t) = lim

n→∞

n→∞

€ k «¬ÇÈÉ ÛÊ E J

n Y

fnk (t) = lim

k=1

(6.3.14),

lim

n→∞

n  Y

k=1

1−

:  ™Ê þ ñ P . Î :  ™ Ê S

σ 2 t2 1− k 2 2Bn

(6.3.12)

 þ ñÑ 

n  2 2 X σ

k=1

n  Y

k=1

 n,

t2

= e− 2 ,

þ ñ 

ex(1−x) ≤ 1 + x ≤ ex ,

n  Y

k=1

þ ñËÌ JLK

σk2 t2 2Bn2

S  :Å” © t g   Á
ðÂ Ý i Í J Ý MND

n→∞

k Bn2

t2

(

n t2 X σk2 ≤ exp − 2 Bn2

DÏÐ

k=1

k=1

1−

k=1



.

∀ t ∈ R. 0<

σk2 t2 2 2Bn

(6.3.17)

< 1, k = 1, · · · , n,

¹

|x| < 1, )

t2

= e− 2 ,

n X σk2 σ2 = max k2 → 0, 2 1≤k≤n 1≤k≤n Bn Bn

≤ max

σk2 t2 2Bn2

∀ t ∈ R.

n → ∞,

 !2  n n  t2 X  σk2 t4 X σk2 ≥ exp − −  2 B2 4 B2  k=1 n k=1 n  !2  n  t4 X  σk2 t2 · exp − → e− 2 , n → ∞, ∀ t ∈ R. 2  4 Bn 

σ 2 t2 1− k 2 2Bn

= e− 2



n  Y



k=1

Ò ÷ • ÓÔ  ™Ê _P (6.3.18) DÊ ÕJÖ
ü  Linderberg
M Í

× J
Ê Ø i h ' M
Ù  ~
Ê ;
™
š iÚÛ ?
ü

Ô 
Í
 Ø

236

1=

{Ln , n ∈ N },

6

$

6.3.6

ØP

Ü ¢SÝ L L Y ZS[\ E ø n ∈ N} î ï ÞÞÞ Þ Ê >Þ?ÞßÞàÞ/ ÚÞá © Þ

{ξn ,

max |ξk | ≤ Ln ,

(6.3.14) DB
ï
ü FG C S  max |ξ | ≤ L ÏÐ k

1≤k≤n

 € k 

Ln = 0, Bn

lim

n→∞

1≤k≤n

(6.3.18)

n

max |ak | = max |Eξk | ≤ max E|ξk | ≤ Ln ,

1≤k≤n

lim Ln n→∞ Bn

=0

1≤k≤n

1≤k≤n

max |ξk − ak | ≤ 2Ln .

Š^

1≤k≤n

lim

sup max |ξk (ω) − ak |

ω∈Ω 1≤k≤n

= 0.

 ÿâ KSÊ 4 5 τ > 0, Ë  n Á
ðÂÊ ÿ  u k ªA (|ξ − a | > τ B ) = {ω | |ξ (ω) − a | > τ B } = Φ, Bn

n→∞

k

k

n

1 2 Bn

k

n P

k

n

k = 1, · · · , n .

 E (ξk − ak )2 I(|ξk − ak | ≥ τ Bn ) = 0,

 B
ï  Õ  6.3.5 ^ (6.3.14) DB
ï
ü 1= 6.3.7 (Lyapunov 1= ) $ {ξ , n ∈ N } E î
ï    Ê >?ß à δ > 0, ØP X

] 

k=1

Linderberg

n

6

lim

D B
ï
ü 

FG C S à“ (|ξ

n→∞

(6.3.14)

n

1

Bn2+δ

(6.3.19) k

7E

k=1

E|ξk − ak |2+δ = 0,

•™ 

Lyapunov

− ak | ≥ τ Bn )

 ü

|ξk − ak |δ ≥1, |τ Bn |δ

 Ê ¹ i L J K

Chebyshev

MND Ú  O Ê þ ñ Š P

 E (ξk − ak )2 I(|ξk − ak | ≥ τ Bn ) ≤

ã: ' Ê þ ñ
ÿ 

 1 E |ξk − ak |2+δ I(|ξk − ak | ≥ τ Bn ) . δ |τ Bn |

n 1 X  E (ξk − ak )2 I(|ξk − ak | ≥ τ Bn ) 2 n→∞ Bn

lim

k=1

] 

(6.3.19)

≤ lim

1

n X

2+δ n→∞ Bn k=1

Linderberg

 E |ξk − ak |2+δ I(|ξk − ak | ≥ τ Bn ) = 0,

 B
ïÊ   Õ

6.3.5

^

(6.3.14)

DB
ï
ü

QSRTUVLWSXYLZS[\ 237  éSê g k − 1 ëê ü ò ä 6.3.3 $ : LåSæ Ê à º k  åSæLçSè  1 L ì n  åSæLç ±í: ê Ê ζ âî í Ú n ê ç L Ú éSê © ü JLK §6.3

n

ζn − Eζn d √ → N (0, 1). Dζn

mF G ïC >mðmñ 6.1.5 dmãmÊ þ ñ Õ <mmmm ξ E Cò>m? òIº k  å}æ|ç í |é ê Ê ÿm£ ξ = 1; >m?mí mëmê Ê ÿm£ ξ = 0. m {ξ }  :  úm%[î[ï Ú Bernoulli  óÊ 23 ξ €ô ©E p = Ú Bernoulli ð+
ü Ä í  ζ = P ξ , 23 |ξ | ≤ 1, ∀ k ∈ N . þ ñ í L ≡ 1, S k

k

k

k

k

n

1 k

k

n

k

k=1

k

n

n P

lim

k

n→∞ k=1

Dξk =

1 k

−

1 k2 ,

1 k

n P

Dζn = Bn2 =

n P

1 2 n→∞ k=1 k

= ∞,

lim

Dξk =

n P

1 k

< ∞,

−

  (6.3.18) B
ïÊ ]L Õ 6.3.6 PJ Û û
ü ä 6.3.4 $ {ξ , n ∈ N } E î ï õ õõ õ Êöz ç JLKSªA  (6.3.14) DB
ï
ü Fù 1: ú Íû P k=1

k=1

n P

k=1

ξn

n

 Ñ üý . P Û û
ü Fù 

n P

k=1

ak = Eξk = 0,

]Ë  í þ ñ  2: í δ = 2, |ξk | ≤

√ k,

E|ξk − ak |2+δ

Dξk = Eξk2 = k3 ,

Bn2 =

n P

k=1

Ln =

√

k 3

n,

=

n P 1 E|ξk lim 2+δ n→∞ Bn k=1

n → ∞,

õ€õ÷õø ðõ+

n(n−1) . 6

d‰ ÿ 

→ ∞,

√ √ U (− n, n).

∀ k ∈ N,

(6.3.18)

B
ïÊ  Õ

6.3.6

_

k

 2 Bn2+δ = Bn4 = n(n−1) . 6 √ n n R P P 1 k √ √ x4 dx = = Eξk4 = 2 k − k k=1

1 k2

k=1

1 30 n(n

6(2n+1) n→∞ 5n(n+1)

− ak |2+δ = lim

+ 1)(2n + 1),

= 0,

_ Lyapunov 
B ïÊ   Õ 6.3.7 PJ Û û
ü 1=



 ë



 ’ §6.3.4 þÿžŸ ¡ H û
î
ïð
ð+ ö
÷ ; Ú ç ›œÕ
üSàÕ 6.3.3 ç Ê þ ñ L  C J K ÿ  i.i.d.   {ξ , n ∈ N }, Ë  ξ –
f Ê 23ßà   Ú @

 Ê (6.3.7) DB
ï
ü “”•ÊS•Ú Ó  2 M  î
ïð
ð+ ö
÷ ; ç ›œÕÊS_Õ < 6.3.1 ç Ú (6.3.4) DB
ï Á
ð˜ ü n

1

238

1
ö Ê >?

6.3.3

$

F (x)

E ð
+ ¨
© Ê

ÜL¢SÝ L Y ZS[\ 7 F (x)   /
0 

F (x) = 1 − F (x).

x2 F (x) =0. u2 dF (u) −x

lim R x

x→∞

(6.3.20)

à ªÊ þ ñ M
JLKš >; Û ûC 1= 6.3.8 $ {ξ , n ∈ N } E i.i.d.   Ê 6 ç ›œÕÊ _ßà ç › f©  {a , n ∈ N } g/ 6f©  {ξ , n ∈ N } ØPÕ < 6.3.1 ç Ú (6.3.4) D B
ï Ú Á
ð˜    C ξ Ú ð+ ¨© F (x)   /0

 ö ü ;
™  û  î ï
M
ð ð
+ öø÷ Ú ; Ú ç ›
œ
°
Õ
 ü  Ú
•
 : â ¾ þ ñ ^
o
Ê Lin- derberg DÚ B
ï  Á
ð ü Ê >; ñ K Linderberg

2M  (6.3.14)(6.3.14) DB
 ˜ ü ä 6.3.5 $ {ξ , n ∈ N } E  õõõ õ Êöz ç ξ õ€õ/õ0õ+ N (0, ).   B = P . þ
 & Ú ¦§¨©E f (t). Í ^Ê n

n

n

1

n n

2 n

 ° Ê 

k=1

n

Sn Bn

1 2k

n

   n  t2 1 Y 2k fn (t) = exp − P n  2 1  k=1  2k k=1

n→∞

AÊ 

Sn −ESn Bn σ12 2 Bn

1 2n

       =

= exp

Sn Bn

n P

1 2k

   

t2 k=1 t2 = e− 2 , ∞ P   2 1    2k  −

k=1

d

→ N (0, 1).

1

2 = P n

   

→ 12 .

 MB
Ê SLS Õ 6.3.4 â KSÊ >? Linderberg  B

ü  Linderberg  MB

ü Feller E
    Ê  {ξ , n ∈ N } = a , 0 < Dξ = σ < ∞, ∀ k ∈ N . 6 (6.3.14) Dg Feller  ðAB
 Ú Á
˜  & S = P ξ , B Eξ P = Dξ .

 Linderberg  B

ü FG CIÕ 6.3.4 gÕ 6.3.5 JLK Linderberg   (6.3.14) Dg Feller  ðAB
 Ú Á
  Ê  ËÌ JLKS˜  É ü  ðAB
Ê!
"
# i Õ 6.3.5 JLK$
% ç ýÚà
&
'
$ ( (6.3.14)  D g Feller 

& 4 ý íÕ t ∈ R. à º
)¼ ¦§¨© : ¾ ç Ê*  SJ  

DÊ  _ 6 B
Ê ˜ 1= 6.3.9 $

k=1

(6.3.12)

n

n

k

k=1

1 2k

Feller

n

2 n

k n

k

k

2 k

k

k=1

|fnk (t) − 1| ≤ 2E(1 ∧ |tξnk |),

SQ RTUVLWSXYLZS[\  4 5 ε > 0, *   |f (t) − 1| ≤ 2EI(|ξ | ≥ ε) + 2E|tξ + Chebyshev MND^ §6.3

nk

nk

 4 5

ε > 0,

nk |I(|ξnk |

P (|ξnk | ≥ ε) ≤

 

max |fnk (t) − 1| ≤

1≤k≤n

à•D ç Ê H £

239

à £

n → ∞,

ε ↓ 0,

+

< ε) ≤ 2P (|ξnk | ≥ ε) + 2|t|ε.

2 Eξnk 1 σ22 = . ε2 ε2 Bn2

(6.3.21)

2 σ22 max + 2|t|ε. ε2 1≤k≤n Bn2 Feller

 _P

max |fnk (t) − 1| → 0.

Î :  ™ Ê ¹ i M ND

(6.3.22)

1≤k≤n

|eix − 1 − ix| ≤ x2 ,

Š
,

 σ2 2 |fnk (t) − 1| = E eitξnk − 1 − itξnk ≤ E eitξnk − 1 − itξnk ≤ t2 Eξnk , = t2 22 , Bn

- 

(6.3.22)

n P

DÊ _P

k=1

n X k=1

|fnk (t) − 1| ≤ t2 .

|fnk (t) − 1|2 ≤ max |fnk (t) − 1| 1≤k≤n

≤ t2 max |fnk (t) − 1| → 0.

n X k=1

|fnk (t) − 1| (6.3.23)

1≤k≤n

+.
© |z| ≤ 1 AÊ  |Re z| ≤ 1, _  / ] Š u = exp {f (t) − 1} g v = f k

nk

k

 |e | = |e i (t) 0 M ND (6.3.16), P. Re z − 1 ≤ 0,

nk

z−1

Re z−1

| ≤ 1,

( n ) n n X X Y (fnk (t) − 1) − fnk (t) ≤ |exp {fnk (t) − 1} − fnk (t)| . (6.3.24) exp

+

ez

Ú

k=1

k=1

Taylor

k=1

®¯D

ez = 1 + z +

ŠPÊ 

|z| ≤

1 2

AÊ  |ez − 1 − z| ≤

∞ X zn n! n=2

∞ ∞ X X |z|n |z|n−2 = |z|2 ≤ |z|2 . n! n! n=2 n=2

240

+ (6.3.22) Dm^mÊ Ë  n 1Á mÂmÊ32  D^Ê  n → ∞ AÊ 

|fnk (t) − 1| ≤

1 2

ÜL¢SÝ L Y ZS[\ + (6.3.23) Dmg (6.3.24) , m

( n ) n X Y (fnk (t) − 1) − fnk (t) exp k=1

≤

≤

n X

k=1 n X

¥•D
4 (6.3.14) D Û
5 Ê 2P lim exp

n→∞

€ k

üý .
/ ©

z,



(

n X k=1

|exp {fnk (t) − 1} − 1 − (fnk (t) − 1)| |fnk (t) − 1|2 → 0.

(fnk (t) − 1)

k=1

|ez | = eRe z , n→∞

•D_ E lim

n→∞

t = 1,



n X k=1

n X k=1

lim

*  ^o 1 − cos x = 2 sin P |x| > τ AÊ 2 sin

t2

fnk (t) = e− 2 ,

n X k=1

∀ t ∈ R,

k=1

Re (fnk (t) − 1) = −

t2 , 2



ξ2 E cos ξnk − 1 + nk 2



lim

n→∞

n Y

∀ t ∈ R.

 à•DÔ
6í © Ê _P

2 x x2 2 ≤ 2 , 2 x x2 2 <δ 2 ,

n→∞

= lim

∀ t ∈ R.

  t2 2 E cos tξnk − 1 + ξnk = 0, 2

n→∞

¥ 8 D
4

)

( n ) X t2 lim exp (fnk (t) − 1) = e− 2 , n→∞ lim

¦ ¤
Ê 

k=1

k=1

2u 3 4 5 ª



τ > 0,

∀ t ∈ R.

= 0.

 ßà

(6.3.25) 0 < δ = δ(τ ) < 1,

    2 2 ξnk ξnk E cos ξnk − 1 + ≥E cos ξnk − 1 + I(|ξnk | > τ ) 2 2
1−δ 2 ≥ E ξnk I(|ξnk | > τ ) . 2

(6.3.25) n X

E

D
Û 5 Ê _P

2 ξnk I(|ξnk |

  n 2 X 2 ξnk lim E cos ξnk − 1 + = 0, > τ) ≤ 1 − δ n→∞ 2


ª_ (6.3.15) DÊ  Linderberg 
B  ( k=1

k=1

Ø

QSRTUVLWSXYLZS[\ 241 1= §6.3.5 7
8
9
:
;
<žŸ ¡ ©=> ¶ Ú s
t?@ ç  á
Ì AB 
À{ * 
+
,
-
.
/
0
+ ÚC à DE( € ºE) ¼ Õ = 5.4.7 *   ^ o Ê n F   {  →−ξ  € n G / 0E + 5 n Fޔ {  →−s ,   η = →−s →−ξ ހ 1 GÞ/Þ0IÞ+ − N (→ a , B), Þ3IHÞÞÞ4 +
J Ê Š JLKSC − − − − N (→ s → a, → s B→ s ). ª“” 1= 6.3.10 $ →−ξ E n F L{S  Ê >?4 5
K
L  ||→−s || = 1 Ú n F” {S →−s ,   §6.3

τ

τ

τ

n

→ − d → − s τ ξn → N (0, 1),

6

→ − d → − ξn → N ( 0 , I).

    Õ = Ê tGM 5 ; Ú ç
= 2
Š
f
E :GM 5 ; Ú ç ›
œ ›
œ
 Õ  Õ = Ê u k 
P N  ~ ( O
P 6.3 1. QSRSTSUSVSWSXSY[Z[\S][^[_[`[aSb[c[d[e[fSg 2. QSRSTSUSVSWShi`[aSb[][^[j λ → ∞ kShilSdSmSnS]S^Sg 3. o ξ pSqSrSs ]S^StSu[v[w[x[y[hiz[][^[][{[|[} (1) [−a, a] ~SS€S]S^S (2) S ` aSb ]S^S (3) Γ− ]i^‚hiƒ P (ξ − Eξ ) j

n

ηn =

„S…S†

j=1 q P

j

j

n j=1

.

Dξj

S_ RSTSUSVShi‡Sˆ n → ∞ kS_S‰SŠSg „ 4. o {ξ } pS‹SŒSqSr _StSu[vSw[x[y[hi[[Ž N (0, 1), X √ n(ξ + · · · + ξ )  ξ + ··· + ξ η = ζ = p ηn

j

n

1

n

n

ξ12 + · · · + ξn2

1

n

ξ12 + · · · + ξn2

lSdSmSnS]S^ N (0, 1). √ 5.  {ξ } | q‘r t‘u‘v‘w‘x‘y‘hi’ n ≥ 1, ξ “‘”‘• ]‘^‘} (1) P (ξ = ± n) = 1/2; (2) P (ξ = 0) = 1/3, P (ξ = ±n ) = 1/3, (α > 0). –[X Lyapunov —[˜ p[™ š r› P 6. QSœSS‰SŠSfSžSX[Y[}ij n → ∞ kSh e n /k! → . 7.  {ξ } | qSr tSuSvSwSxSy[hŸ][{S[Ž ”[• ]S^[} n

n

n

n

n

α

−n

n

k=0

k

1 2

n

P {ξn = ±n} =

1 , 2n2

P {ξn = 0} = 1 −

1 , n2

n ∈ N.

XSYS} {ξ }  S¡S¢SœSS‰SŠSe[fSg  “ n £¤¦¥Shi§S¨ k £¤¦¥Sœ “ 1 £©¦ªS« k − 1 £S¬SªSh k = 1, 2, · · · , n. (1) ­SŽS®S¥SœS]S{S¯S° 1 ªSh3± ξ ² °S³S_©¦ªS´SVSh3XSY {ξ } lSdSmSnS]S^Sg šS¼ _Sg¸± η ² šS¼ ´S½SVSh (2) ­SŽS®S¥Sœ “Sµ¶¦· ¯S° 2 ªSh¸o 2 ªS¹©¦ºS»S| XSY {η }   p lSdSmSnS]S^S_[g n

8.

n

n

n

n

242

ÜL¢SÝ ¾À¿Á
Â

„ X

ÃShiÄ Feller —S˜SÅSÆSÇS} B → ∞ È → 0. 10.  {ξ } | q[r t[u[v[w[x[y[hi®[£ ξ “ N (0, σ ) ][^[hiz[œ σ = 1, ’ „ nB . X {ξ } ¡S¢SœSS‰SŠSeSfSÉ[ [¡[¢ Feller —S˜Sg 9.

2 σn 2 Bn

2 n

(6.3.12) n

2 n

n

2 n−1

2 1

n > 1, σn2 =

n

Ê Ë Ì Ú
Ö
× ( *   a.s. Í
Î
2
Ï
Ð
ј
"
Í
ÎÊ a.s. Ï
Ò
Ó
Ô
Õ almost sure àÕ = 6.1.4 Ú
ØÀÙ ç i
Ú $
Û
Í
Î É ÊÜà
Ý
Þ
ß

à
á ( §6.4.1 a.s. â
ã
<
ä
å æ Þš
ç a.s. Í
Î Ú Õ
è ( é
6.4.1 ê
ë
ì
í
î ξ ï
ë
ì
í
î
ð
ñ {ξ , n ∈ N } Õ
èàð
ò
ó
ô
õ
ö ÷ (Ω, F, P ) •Êø
ù §6.4

a.s.

n

n o P ω lim ξn (ω) = ξ(ω) = 1,

2 ú {ξ }a.s. Í
Î Ú ξ, û
ü ξ → ξ a.s.
+.
ýL¿ Õ Ú ω Þ
úÊ {ξ (ω)} 2
Ï © ñÊþª
ÿ
ý

 ε > 0, ßà k ∈ N , Ø
 Ë Ý n ≥ k, 2


(6.4.1)

n→∞

n

n

n

þªÊ* 
Š 
“
Ú


P

∞ \ ∞ \ [

ε>0 k=1 n=k

ç Ú (6.4.2)

(|ξn − ξ| < ε)

ε>0

0
 ý

 = Ê


(6.4.1)

=P

∞ \ ∞ \ [

ε>0 k=1 n=k

∞ [ ∞ \ ∞  \



.

m=1 k=1 n=k

(6.4.3) P

∞ \ ∞ [ ∞  [

m=1 k=1 n=k

(6.4.4)

âî ü

P

{ω | |ξn (ω) − ξ(ω)| < ε }

k=1 n=k

!

=1. (6.4.2)

1 |ξn − ξ| < m

!

= 1.

(6.4.3)

1 |ξn − ξ| ≥ m

!

= 0.

(6.4.4)



Ê
!
H
∞ [ ∞  \

2
Ï

|ξn (ω) − ξ(ω)| < ε .

 Ï

ñ
Ê
Ï




 × ü
ø
 Ú





T

P

 "Ê

!

lim ξn (ω) = ξ(ω),

n→∞

1 |ξn − ξ| ≥ m

!

= 0,

∀ m ∈ N.

$" # % &


'
!
H

§6.4 a.s.

P

üý
Ú

243

∞ [ ∞ \

k=1 n=k

(|ξn − ξ| ≥ ε)

∞ S

!

(|ξn − ξ| ≥ ε) ,

k∈N

Ï

( Ú
)
ð
ñ
'ÿ
 + ô
õ Ú &
*
+
, 
' n=k

∞ [

lim P

k→∞

n=k

∀ ε > 0.

= 0,

(|ξn − ξ| ≥ ε)

(6.4.5)

!

(6.4.5)



.

∀ ε > 0.

= 0,

(6.4.6)

-
. &
/ à
á
'*   Ú é
0 6.4.1 ø
ù
ë
ì
í
î ξ ï
ë
ì
í
î
ð
ñ {ξ , n ∈ N } 1
è
2
3
ò
ó
ô
õ ö ÷ (Ω, F, P ) & '4 ξ → ξ a.s. 5
6

7
Ý
8

Ï (6.4.6)

 ( + 1 = 6.4.1 


9
 Ú  :
; 6.4.1 ø
ù ξ → ξ a.s., 4
7
 ξ → ξ . <
=  +. S (|ξ − ξ| ≥ ε) ⊂ (|ξ − ξ| ≥ ε) , >
? Ý

@
ô
õ
Í
Î
5
1
èBA$5 (6.1.1)
4 (6.4.6)
NBC$D
'9
 . á ( ý
. L Í
Î
4 a.s. Í
Î
'*
E

 F P 6.4.5 L Í
Î
4 a.s. Í
Î
G 
H
I
J K B
L 6.1.7 A$5
ë
ì
í
î
ð
ñ {ξ , n ∈ N } ï ξ ≡ 0, 
M ØÀÙ '2
N
O
 n

n

p

n

n

∞

n

n

n=k

r

r

n

þ P
Þ
5

lim ξn (ω) = 0 = ξ(ω), L1

n

n

n

9

? Ý

∀ ω ∈ Ω,

ØÀÙ ξ 6→ ξ, ÿ
 a.s. Í
Î 
H
I L Í
Î JT
U ξ → ξ a.s., 
Ï
Q
EBR$S L
V ø

 W 6.4.1 X
 (Ω, F, P ) Y
ü
Z ÷ (0, 1) & 5
Ð 
[ ô
õ
ö ÷ '\1
è ξ ≡ 0, ]
ξ =I <ω< , 2 ≤n<2 , ∀ m ∈ N. 
M
^ ç
' ý

 r > 0, 
 E|ξ − ξ| = E|ξ | → 0, ÿ
 ξ → ξ. 
Ï
'  ω Ï

_
`
'N
a


b
c
d
ó n e
 ξ (ω) = 1, ÿ
 n→∞

n−2m 2m

r

n+1−2m 2m

m

n

m+1

r

n

r

n

Lr

n

ξn 6→ ξ a.s..

P {ω | ξn (ω) 6→ ξ(ω) } = 1 ,

-f. QfEf2fgfhfifjfkflïfgflmAn5àáf'ff2ëìíîðñf5foÛÍÎ , p ÷ 
q
ø

r
s


H
I
u 1 . L Í
Î
t a.s. Í
Î
G ◦

r

vBw$x À ¾ ¿Á
 H
I @
ô
õ
Í
Î u 
Ï
@
ô
õ
Í
Î 
H
I L
Í Î
ï 2 . L Í
Î
t a.s. Í
Î
 u a.s. Í
Î H
I @
y
z
Í
Î u 
Ï
@
y
z
Í
Î 
H
I @
ô
õ
Í
Î u 3 . @
ô
õ
Í
Î ý
{
|
} 5
ë
ì
í
î
' ξ → C ⇐⇒ ξ → C. 4 . §6.4.2 ~

€

‚
ƒ 2æ )
ð
ñ
5
b
„
d
…
†f‡ï
Jëìí
îf5 a.s. Í
Î p ÷ 
q
ˆ
‰
5
rfs J Q E
Š Þ
‹
Œ
b
„
d
…
†
‡
5
ô
 é
Ž 6.4.2 ê {A , n ∈ N } Ï1ô1õ1ö ÷ (Ω, F, P ) A51ò1ñ ) ' ø1ù‘2
b „
d
ó n, e
 ω ∈ A , Q
E
’
“ )
ð
ñ {A } b
„
d
…
†
‡
'û
” {A , i.o.}. &
/ 1
èBA$5 i.o. Ï
Ò Ô
Õ infinitely often 5 Ö
× J r {
)
ð
ñ
5
b
„
d …
†
‡
'Q
E

 é
0 6.4.2 ø
ù {A , n ∈ N } Ï
ô
õ
ö ÷ (Ω, F, P ) A$5
ò
ñ )
'4 244

◦

r

r

◦

p

◦

d

n

n

n

n

n

n

n

{An , i.o.} =

∞ [ ∞ \

An .

(6.4.7)

<
= – •

' ω ∈ {A , i.o.} ⇐⇒ ‘
2
b
„
d
ó n, e
 ω ∈ A ⇐⇒ ý

 T S k ∈ N , ‘
2 n ≥ n, e
 ω ∈ A ⇐⇒ ω ∈ A . —
˜
™ 'š
•

› S T A œ
 )
ð
ñ {A } A$ž


c
d
ó  †
‡ J Ÿ  &
/ ô

ï
 
¡
5
à
á
'¢
9


 F
£ 6.4.6 Q
E

 1 . ξ → ξ a.s. ⇐⇒ P (|ξ − ξ| ≥ ε i.o.) = 0, ∀ ε > 0 ; ý
¤ ó ε > 0 ,  P (|ξ − ξ| ≥ ε i.o.) = 1 . 2 . ξ 6→ ξ a.s. ⇐⇒ ¥ ó
¦
§
úB¨$'2 )
ðñ
5fbf„
df…
†f‡ï
ëìí
îð
ñf5 a.s. ©
ª p ÷ 
q
ˆ
‰
5
r
s J ÿ

Q
E
«
¬
­
®
ø 
¯
° ô
õ P (A , i.o.) = 0 ± 1 5
²
§ J ³
0 6.4.1 (Borel-Cantelli ³
0 ) ê {A , n ∈ N } ´
ô
õ
ö ÷ (Ω, F, P ) A 5 )
ñ J 1 . ø
ù X n

k=1 n=k

∞

n

∞

n

n

k=1 n=k

∞

∞

n

n

k=1 n=k

◦

n

◦

n

n

0

n

0

n

n

◦

4


∞

n=1

P (An , i.o.) = 0. 2◦ .

ø
ù

{An , n ∈ N }

P (An ) < ∞,

(6.4.8)

´ — G
µ
¢
5 )
ð
ñ
'! ∞ X

n=1

P (An ) = ∞,

(6.4.9)

"$#

§6.4 a.s.

4


245

<
= ¶

P (An , i.o.) = 1. (6.4.7)


ï
ô
õ
5 &
*
+
, ! ∞ [ ∞ \

P (An , i.o.) = P

¶ {

1◦ .

(6.4.8)

H
I

lim P

ÿ



An

= lim P k→∞

k=1 n=k



∞ S

An



∞ P

≤ lim

∞ [

An

n=k

!

.

(6.4.10)

P (An ) = 0,



¢
·
'¸¶ (6.4.10)
¢
 P (A , i.o.) = 0. , ï
bf„
»f`f5
©fª ,fp ÷ 5fr
sff' (6.4.9)
 2 . ¶$b
„
¹
º
5
©
ª ¢
·
' ý

 k ∈ N , 
 Q Q lim (1 − P (A )) = (1 − P (A )) = 0. ) — ø
ù {A , n ∈ N } ´ G
µ
¢
5
ð
ñ
'N
a ý


¼
½ ` m ≥ k, 
 k→∞

(6.4.8)

n=k

k→∞ n=k

n

◦

∞

m

n

m→∞ n=k

n

P



m T

Acn



m Q

=

{ ´
'¸¶ô
õ
5
 *
+
, '
¾     T T P A =P lim A = ý¶

 _
9
 ∞

n=k

c n

n=k

m

P

n=k

c n

m→∞ n=k

.
¿

n

n=k



∞ S

(P (Acn )) = m Q

lim

m→∞ n=k

An



= 1,

m Q

n=k

(1 − P (An )),

(1 − P (An )) =

∞ Q

n=k

(1 − P (An )) = 0.

∀ k ∈ N.

(6.4.10)
'¢
 P (A , i.o.) = 1. : ; 6.4.2 ø
ù {A , n ∈ N } ´ — G
µ
¢
5 )
À
Á
'Â4 P (A , i.o.) = 1 5
6
y
7
«
8

´ (6.4.9)

¢ J <
= Ã6
y , R$Ä JÅ Ä
7
« , JÆ
Ç P (A , i.o.) = 1, 
´
È
 P P (A ) < ∞,
& É N
aBJ ¶ 1
_BA$5 1 9
 P (A , i.o.) = 0, Ê
Ë
Ì
Í
'Î
Ï
P
·
7
Ð (6.4.9) 
¢ ³
0
Ó
Ô
Õ
Ö §6.4.3 Ñ
Ò ×
Ø
Ù ¡
­
®
5
Ú
«
'Q
E
Û
¬
Ü /
Ý ÄB¨$Þ
ß
r {
à ` Ý `
Á
5
á
_ J â `
ã
y
äBA$å
æBR$S

› Æ 
5 . ®
 ³
0 6.4.2 ç {a , n ∈ N } × à `
Á
' lim a = a ∈ R, Æ
Ç {b , n ∈ N } ×
è
é `
Á
'Ð lim P b = ∞, 4
Ð n

n=k

n

n

n

∞

n

n=1

◦

n

n

n→∞

n

n→∞ k=1

k

n P

bk a k

lim k=1n n→∞ P

k=1

= a. bk

n

n

vBw$x êBë$ì
í

246

î
ï ™ 'Q
E
Ð
 a1 + · · · + a n =a. n

lim

Q
E
¬ Ÿ
ð & ¡
5
á
_
ÄB¨ É
ß ñ É
ò 5 . ® J ³
0 6.4.3 (Kronecker ³
0 ) ç {x , n ∈ N } × à `
Á
' ª ·
'Ð `
Á
'Ð b ↑ ∞, 4

»
` P ©

n→∞

n

∞

n

n=1

xn bn

n 1 X lim xk = 0 . n→∞ bn

× ¼

(6.4.11)

k=1

<
= Ãó

y0 = 0, yn =

n P

k=1

xk bk ,

{ ´B¶$»
`

lim yn = lim

n→∞

ô !
Ð ¶ {

{bn , n ∈ N }

1 bn

n P

H
I (6.4.12)

1 bn

n P

k=1

n=1

n X xk

k=1

bk

xn bn

bn =

n−1 P k=1

n−1 1 P (bk+1 b n n→∞ k=1

©
ª
'

:= y ∈ R.

bk (yk − yk−1 ) = yn −

אèé `Á' ô !

k=1

{bk+1 − bk }

xk =

n→∞

∞ P

1 bn

n−1 P k=1

(6.4.12)

(bk+1 − bk )yk .

(bk+1 − bk ) ↑ ∞,

ΐÏõ¶á_

6.4.2

'

− bk )yk = lim yn = y .

lim

Î
Ï
Ð (6.4.11)

 ¢ J ˜
ö
÷
'ø2 Kronecker á
_BA$5
`
Á {x , n ∈ N } ´ à `
Á
'øù
Ð
ú
1
û
5 ü
ý 5 ¼ é , J Î
Ï
' ¥ ß
á
_
þ { Q
E
ÿ


å
`


y
Ð ð J P p
 ' Ï
 5 Kolmogorov



2

å
`

5
ÿ
BA
q

«
” ð J 
0 6.4.3 (Kolmogorov ÔfÕ
Ö ) ç {ξ , 1 ≤ k ≤ n} ×
— G
µ
¢
5


  ' n→∞

n

ó

k

Eξk = 0,

Sk =

k P

j=1

ξj ,

Eξk2 < ∞,

4
þ

÷


5

<
=
 Q
E
ó

|ξk | ≤ c ≤ ∞,

ε > 0,

(ε + c)2 1− P ≤P n Eξk2




Ð

max |Sk | ≥ ε

1≤k≤n



≤

k=1

An =





max |Sj | ≥ ε ;

1≤j≤n

1 ≤ k ≤ n.

n 1 X 2 Eξk . ε2 k=1

(6.4.13)

§6.4 a.s.



247

B1 = A1 = (|S1 | ≥ ε) ;

Bk =





max |Sj | < ε, |Sk | ≥ ε ,

k = 2, · · · , n.

k k !" ô  A = B . # P Ð I(A ) = P I(B ) Ý P (A ) = P P (B ). $m¶ { S Ý B  ? t ξ , · · · , ξ Ðfr%"& S − S ´ Ý "Î
Ï S I(B ) t S − S µ
¢ J ¥
' É ¬
"Q
E
’
Ð ξ ,···,ξ 5

P P Eξ = ES ≥ E S I(A ) = E S I(B ) . ¶ { •

1≤j
B1 , B2 , · · · , Bn

n S

n

n

k

k=1

n

k

n

k

k

k

n

k=1

1

k

n

k

k=1

k+1

n

k

n

k

2 k

k=1

n

2 n

k

2 n

n

n

k=1

2 n

k



E Sn2 I(Bk ) = E (Sn − Sk + Sk )2 I(Bk )

= E (Sn − Sk )2 I(Bk ) + E Sk2 I(Bk )
≥ E Sk2 I(Bk ) ≥ ε2 P (Bk ),

Î
Ï
( ¿
)
/ *
 "9
+

n X

n X

Eξk2 ≥ ε2

P (Bk ) = ε2 P (An ),

P
9 œ ¨ Kolmogorov


5
,
-
.
/
¢ J Æ Ç c = ∞, 4



5
0
-
.
1
2
/
¢ J
 ç c < ∞. ö
÷
P
·
"Â2
3
4
) "Ð |S | ≤ |S | + |ξ | ≤ ε + c, Î
Ï Ÿ
ð ) /
* B  A$5

5
.
y
6
+ k=1

k

k−1

ö
÷
¾ > ¶ ) 
+
¾

Bk

k


E Sn2 I(An ) = ≤ (ε + c)2

k=1

n X

k=1

n X

n n
X
X
E Sn2 I(Bk ) = E Sk2 I(Bk ) + E (Sn − Sk )2 I(Bk ) k=1

P (Bk ) +

k=1

n X k=1

k=1

E(Sn − Sk )2 P (Bk ).

E(Sn − Sk )2 =

n P

j=k+1

Eξj2 ≤

n P

j=1

Eξj2 = ESn2 ,

n

X
E Sn2 I(An ) ≤ (ε + c)2 + ESn2 P (Bk ) = (ε + c)2 + ESn2 P (An ). (6.4.14)

9

7
É
8 ¡
"$
Ð

(6.4.15)


:
;

k=1



E Sn2 I(An ) = ESn2 − E Sn2 I(Acn ) ≥ ESn2 − ε2 P (Acn ) n X = Eξk2 − ε2 + ε2 P (An ). k=1

(6.4.14)

P (An ) ≥


" ½ _ Ù
9 + n P

k=1

Eξk2 − ε2

(ε + c)2 +

n P

k=1

(ε + c)2 ≥1− P . n Eξk2 − ε2 Eξk2 k=1

(6.4.15)

vBw$x êBë$ì
í

248

P
9



5
0
-
. J

< £

6.4

=>?@ABC {ξ } DE ξ > ξ > · · · > 0 a.s., FGH ξ → 0 ⇒ ξ 2. IJKMLNOP n, |ξ | ≤ C, Q ξ → ξ, RNSO p > 0, H ξ → ξ. P 3. = {ξ } TUVWXQYHH[Z[\[]^[>[?[@[AB[C[_`IJ[K`L p

1.

n

1

2

n

n

n

n

∞

n

=

1

lim

2

P

P

n=1

n

n→∞ n k=1 a.s. ξn → 0 ∞

bWX>?@ABC[_`cI

{ξn }

4.

n

Lp

p

→ 0 a.s.

Dξn n2

Dξk = 0.

deafghTNS[i

ε > 0,

P {|ξn | ≥ ε} < ∞.

klmJKMn Borel-Contelli opq_Mrs (1) ^tuvXw 6. NxhBC {A }, yz{BC 1 = n < n < · · ·, IJK n=1

5.

n

(1)

∞ S ∞ T

1

An =

k=1 n=k

∞ S ∞ T

nj+1 −1

S

L P P { S A } < ∞, R 7. LN>?@ABC {ξ }, H (2)

∞

P { lim An } = 0.

n

j=1

2

An ;

k=1 j=k n=nj nj+1 −1

n→∞

n=nj

n

∞ X

P

j=1

R 8.



max

nj ≤n
|ξn | ≥ ε



< ∞,

∀ ε > 0,

P {ξn → 0} = 1.

L

{ξn }

TWX>?@ABC[_`\][H[Z[_M| Sn =

(1)

}~€‚ƒ„u[…[†[IJ[K pm := P

N‡ˆ p , IJL 9. = {c } b‰{C_MŠ (2)

m

k

sn =



∞ P

k=1

n X k=1

cI

n X k=1

(ξk − Eξk ),

max

2m ≤n<2m+1

Dξk k2

ck ,

< ∞,

|ηn | ≥ ε

R

∞ P

m=1



ηn =

≤

1

k∈N

ck

k=1

k

n X ξk − Eξk k=1

X

Dξj ;

j<2m+1

pm < ∞.

bm = sup |sm+k − sm |,

Sn 0 =

Sn . n

(2m ε)2

‹ Œ ^dfghT b = 0. 10. L {ξ } TWX>?@AB[C[_M\[][H[Z_`| ∞ P

< ∞,

k

b = inf bm , m∈N

jH

RaH

§6.5

Ž

 (1) }~€‚ƒ„[u…[†[I[J

249

P { max |Sm+k 0 − Sm 0 | ≥ ε} ≤ 1≤k≤n

(2)

}~‡s‘’IJ[KML

∞ P

Dξk k2

k=1

< ∞,

R

Sn 0

m+n 1 X Dξk ; ε2 k2 k=m+1

“”• 1 ‹ Œ w

–˜—˜™˜š

§6.5

Š
Û
Q
›



å
`

œ

ž
Ÿ 
Ž 6.5.1 ç {ξ , n ∈ N } × 

  À
Á
" S = P ξ . Æ
Ç ‘
 ¢¡£ } ` Á {a , n ∈ N } Ý ¼
¤
}
¼ `
Á {b , n ∈ N }, ¥¢¡ 0 < b ↑ ∞, e
+
n

n

n

k

k=1

n

n

n

Sn − a n → 0 a.s. bn

(6.5.1)

¦ ›
’
§ {ξ } ¨ â 
å
`

Ÿ gª©«¡­¬­®µ¢ªªª  À
Áªœ

å`
ªŸ Š
ې¬
­®
ª
  »`
œ a.s. ©
ª
®
²
§
Ÿ §6.5.1 ¯
°
±
²
³
´
µ
¶
· a.s. ¸
¹
º Æ
Ç {ξ , n ∈ N } × 
ž
  ¤ ß
»
¼
½
¾ (Ω, F, P ) ) œ


  À
Á
"¿
À þ%PÁfßÃÂĝ%œ ω ∈ Ω, {ξ (ω), n ∈ N } ’f´ à%Å Á%"#%Æ ¦ ›%6fÏf­f® Å%Ç » Å ξ (ω) œ
©
ª
®
Ÿ 
Ž 6.5.2 Æ Ç ‘È È3È4 Ω , Ð P (Ω ) = 1, ô  þÈÈÉ ω ∈ Ω , » Å P ξ (ω) 
©
ª
"’
“


  » Å P ξ a.s. ©
ª
Ÿ Û
¬
ÿ

Ð
Ê


  » Å œ a.s. ©
ª
®
²
§
Ÿ ³
Ë 6.5.1 Æ
Ç µ
¢


  À
Á {ξ , n ∈ N } Ì
Í
Î
4 n

n

n

∞

n

n=1

0

∞

0

0

∞

n

n=1

n

n=1

n

¤

Eξn = 0, ∞ P

·
"Ð

ξn a.s.

Ï%Ð% ó

n=1

n ∈ N;

©
ª
Ÿ Sn =

∞ P

n=1

ξn .

%

ε > 0,

∞ X

n=1

¶ÄÎ%4

Eξn2 < ∞,

(6.5.2)

%"Ñ ¼f½%Å

(6.5.2)

m≥n→∞

Ò¢ÓÔ êBë$ì
í

250 P (|Sm − Sn | ≥ ε) ≤

¥ œ ¨$‘
 


  $B¶

Õ
+

p

Sn → S.

Kolmogorov  ∞ X P max

#
Æ
‘
 
Ö
Á

k=n+1

Eξk2 → 0.

Õ
+

{Snk },

|Sj − Snk | ≥ ε 



≤

nk+1 ∞ ∞ 1 X X 1 X 2 2 Eξ = Eξ < ∞. j ε2 ε2 j=1 j j=n +1 k=1

Ak =

max

nk <j≤nk+1

|Sj − Snk | ≥ ε ,

á
Ø

"

P (Ak , i.o.) = 0,

œ

÷
®
"Ú
 
"+


k ∈ N,

Borel-Cantelli

k

(6.5.3)

k



× {A , k ∈ N } µ
¢


3
4
À
Á
"×B¶ ε>0

(6.5.3)




œ
,
-
.
+
¾

nk <j≤nk+1

Æ
Ç ó Ù ¶ Û ¿

m P

Snk → S a.s. .

k=1

¤

S,

1 ε2

max

nk <j≤nk+1

|Sj − Snk | → 0 a.s. ,

k → 0,

×  À
Á
"‘
  ¤ ß
Ü Å c > 0, Õ
+ 6.5.2 ç {ξ , n ∈ N } µ
¢


  |ξ | ≤ c a.s., ∀ n ∈ N . ¿
À Æ
Ç P ξ a.s. ©
ª
" ¤ P Eξ Ý P Dξ 
©
ª
Ÿ 1 . Æ
Ç Eξ = 0 (n ∈ N ) ô  P Dξ = ∞, ¤ P ξ a.s. †
Ý
Ÿ 2 . Ï
Ð
 Û
Ä 2 . Æ
Ç þ É ‰ n ∈ N , Ð |ξ | ≤ c a.s., Eξ = 0, ô  P Eξ = P Ý n ∈ N, Dξ = ∞, ¿
ÀB¶ Kolmogorov %

œ
0
-
.%6
+
"þ

É ε > 0 
Ð ³
Ë

Sn → S a.s. .

n

n

∞

◦

∞

n

n=1

◦

n=1 ∞

n

∞

n

n

n=1

∞

n

n=1

◦

n

n=1

n

∞

n

n=1

∞

2 n

n

n=1

P



max |ξn+1 + · · · + ξn+m | ≥ ε

1≤k≤m

¥ ’
´
§
"þ

É

n ∈ N, P

Î
Ï



≥1−

(ε + c)2 n+m P

k=n+1


Ð

sup |ξn+1 + · · · + ξn+m | ≥ ε k≥1

Eξk2 

→ 1,

m → ∞.

=1.


† Ý
Ÿ Ù Ä 1 . Þ


 
À Á {ξ , n ∈ N } œ É ß
µ
¢
œ
ß
à {ξ , n ∈ N }, Ú
Õ +Ù
å {ξ , ξ , n ∈ N } × µ¢ªœþ“ªªª×   ÀÁ
" ô þ
Áß ô n, ξ á ξ âªãªä Ÿ ξe = ξ − ξ , æ
´ {ξe , n ∈ N } µ
¢


 À
Á
"  ∞ P

ξn a.s.

n=1

◦

n

0

n

0

n

n

0

n

n

n

0

n

n

n

§6.5

Ž



251


© ª
" â & ©
ª
"ç×B¶
è$Ä
œ 2  2 P Dξ = P Dξe < ∞. â &B¶$á
Ø 6.5.1  P (ξ − Eξ ) a.s. ©
ª
"[æ
´
Ð P Eξ ©
ª
Ÿ 
Ë 6.5.1 (Kolmogorov é%µ%¶ %Ë ) ç {ξ , n ∈ N } × µf¢%%%  À Á
"¿
À
Õ
+
» Å P ξ a.s. ©
ª
œ
ê ã Î
4
´  ‘
 
Ü Å c > 0, Õ
+ ¶æ

∞

∞ P

n=1 ∞

|ξen | ≤ 2c, a.s. E ξen = 0, ∞ 0 P ξn a.s. ξn a.s.

©
ª
"øÎ
Ï

∞

n

n=1

Dξen = 2Dξn , ∀ n ∈ N . ∞ P ξen a.s.

n=1

n=1 ∞

n

n=1

n

◦

n

n=1

n

n=1

n

∞

n

n=1

∞ P

1◦ .

2◦ . 3◦ .

n=1 ∞ P

n=1 ∞ P

P (|ξn | > c) < ∞; E (ξn I(|ξn | ≤ c))

©
ª
ë

D (ξn I(|ξn | ≤ c)) < ∞.

&
ì
«
Î
4
´
þ

É
Ü Å c > 0, )
í
î » Å 
©
ª
Ÿ Ï
Ð
 Û
Ä
ì
«
®
Ÿ­ï
» Å P ξ a.s. ©
ª
" ¤ ξ → 0 a.s. , Î
Ï
þ
þ

É
Ü Å c > 0, ï
ó A = (|ξ | ≥ c), ¤ 
Ð P (A i.o.) = 0. ¶æ {A } × µ
¢


3
4 À
Á
"Î
ÏB¶ Borel-Cantelli á
Ø
 1 /
¢
Ÿ Æ
Ç ¦ ›
ó η = ξ I(|ξ | ≤ c), ¿
À Î
4 1 œ ¨ P P n=1

∞

n

n

n=1

n

n

n

n

◦

◦

∞

×
Ð

n=1

P (ξn 6= ηn ) =

n

∞

n=1

n

n

P (|ξn | > c) < ∞.

P ((ξ 6= η ), i.o.) = 0, Å Å P η a.s. ©
ª
Ÿ$¶æ {η , n ∈ N } × Ð
Ê
œ
µ P Î
ÏB¶$» ξ a.s. ©
ª

» ¢


 
À Á
"Î
ÏB¶$á
Ø 6.5.2 
Î
4 2 Ý 3 /
¢
Ÿ Ù Äðê ã ®ðŸ Æ¸Ç ‘ð ðÜ Å c > 0, Õð+ î ߸» Å ¸©¸ªðŸ ¦ ›ðñ¸ó η = %ò É ß 0 »%ó%ô ξ I(|ξ | ≤ c), ¿%Àm¶ÄÎ%4 1  P ((ξ 6= η ), i.o.) = 0, ÎfÏ  " P ξ á P η Ð — ⠜fª%Ý%®%"õf´m¶ná%Ø 6.5.2 %"Î%4 2 Ý 3 ö%÷ Å P ξ a.s. ©
ª
Ÿ P η a.s. ©
ª
"Î
Ï
» n

∞

n

n=1

n

∞

n

n

n=1

◦

◦

n

n

∞

n ∞

∞

n

n=1

◦

n

n

◦

n

n=1

∞

n

n=1

◦

n

n=1


ø ù
¶
ú ¦ ›
¬
­
®
µ
¢ â
ã
ä 

  À
Á
œ

å Å 
Ÿ 
Ë 6.5.2 (Kolmogorov ø
ù
¶
ú ) ç {ξ , n ∈ N } × µ
¢ â
ã
ä œ


  À
Á
" S = P ξ . ¤
û  
Ü Å a Õ
+ §6.5.2

n

∞

n

n

n=1

Sn − na → 0 a.s. n

(6.5.4)

Ò¢ÓÔ êBë$ì
í

252

œ
ê ã
ì «
Î
4
´ E|ξ | < ∞, Eξ Ï
Ð
Mü Û
" ¦
› ý
  1

1

= a.

E|ξ1 | < ∞ ⇐⇒

∞ X

P (|ξ1 | ≥ n) < ∞.

(6.5.5)

3 à ) P" ¦ ›
Ð P P E|ξ | = E (|ξ |I(n − 1 ≤ |ξ | < n)) ≤ nP (n − 1 ≤ |ξ | < n) = 1 + P (|ξ | ≥ n). 7
É
8 ¡
"$
Ð ∞

1

1

n=1

∞

1

n=1 ∞ P

n=1

∞

1

n=1

P (|ξ1 | ≥ n) = ≤

∞ P ∞ P

n=1 k=n ∞ P

P (k ≤ |ξ1 | < k + 1) =

∞ P

k=1

kP (k ≤ |ξ1 | < k + 1)

E (|ξ1 |I(k ≤ |ξ1 | < k + 1)) ≤ E|ξ1 |.

( ¿
)
í
þ 8
¡ "Ú
+ (6.5.5) 
Ÿ Æ
Ç û  
Ü Å a, Õ
+ (6.5.4) 
/
¢
"¿
À
ÿ
Ð k=1

1

n=1

Sn n

#
Æ

→ a a.s. ,

ξn Sn − Sn−1 Sn n − 1 Sn−1 = = − → 0 a.s. . n n n n n−1

¥
ÿ B¨"þ

É ε > 0, 
Ð   P (|ξ | ≥ nε i.o.) = P ≥ ε i.o. = 0. ÆÇ ó A = (|ξ | ≥ n), ¿ªÀ {A } ´µ¢ªªª3ª4ÀÁª" ΐÏõ¶ ª) í 3 à Ý Cantelli á
Ø
 P |ξn | n

n

n

 Ú
Ð

n

∞

n=1

æ
´B¶ $
# × Ú
ÄB¨

¶

E|ξ1 | < ∞, Eξ1 = a,

(6.5.5)


P ∞

Borel-Cantelli

¦ ›
¬
ÄB¨

P (ηn 6= ξn ) =

á
Ø
 n=1

∞ P

n=1

(6.5.4)


/

Ÿ$ó

â & × Ä

P(ηn 6= ξn , i.o.)  = 0, n P 1 ηk − na → 0 a.s. n

lim Eηn = lim Eξn I(|ξn | < n) = a, n→∞

Î
Ï

k=1

≤ 2,

(6.5.4)

n 1 P Eηk n n→∞ k=1

lim

n 1X (ηk − Eηk ) → 0 a.s. n |ηn −Eηn | n

ηn = ξn I(|ξn | <

P (|ξn | ≥ n) < ∞,

k=1

n→∞

Borel-

P (|ξ1 | ≥ n) < ∞,

E|ξ1 | < ∞.

  



n), n ∈ N ,

ö
÷
¾

n

n E ηn −Eη = 0, n


"¬
Ú
ÄB¨

= a,

#
Æ ¦ ›
¬ (6.5.6)

§6.5

ô 

Ž

 ∞ X

D

n=1

=

253

∞ ∞ ∞ X X X
ηn − Eηn 1 1 1 2 2 = E(η − Eη ) ≤ Eη = E ξ12 I(|ξ1 | ≤ n) n n n 2 2 2 n n n n n=1 n=1 n=1

∞ n ∞ n X
X 1 X 1 X 2 2 E ξ I (k − 1 < |ξ | ≤ k) ≤ k P (k − 1 < |ξ1 | ≤ k) 1 1 n2 n2 n=1 n=1 k=1

=

∞ X

k=1

k=1

∞ ∞ X X 1 2 k P (k − 1 < |ξ1 | ≤ k) ≤2 kP (k − 1 < |ξ1 | ≤ k) n2 n=k

k=1

≤ 2 (1 + E|ξ1 |) < ∞.

Ù ¶ Kronecker á
Ø
 (6.5.6) 
/

Ÿ a.s. ©
ª
" ×B¶ î » Å 
Ø
 P Å ¢¡

Ø

 û
  œ


Ÿ    ¦ ›
¬ 9 û


¾   Kolmogorov
 å û  
œ
 ¿ Ÿ 0 < r < 2 
 
Ë 6.5.3 (Marcinkiewicz ø
ù
¶
ú ) ç {ξ , n ∈ N } × µ
 â
ã
ä œ

   À
Á
" S = P ξ . ¤
û  
Ü Å a Õ
+ ∞

n=1

n

ηn −Eηn n

n

∞

n

n=1

Sn − na 1

nr

œ
ê ã ì
«
Î
4
´ r

E|ξ1 | < ∞,

a=

(

→ 0 a.s.

(6.5.7)

Ñ


 ÷ à
Å

Eξ1 , ,

1 ≤ r < 2;

Ñ

0 < r < 1.

Ï
Ð
Ãð á )

 œ


6
Ä  P  E|ξ | < ∞ ⇐⇒ P |X | ≥ n < ∞.
)
  ì
«
®
. 㠜
ÄB¨ á "×

Ÿ fÄ%ê ã ®%"fÚ r 6= 1 œ  %Ÿ  1 < r < 2 ·%"  É ®%"6fç Eξ = 0, æ
´
¬
Ú
ÄB¨ S 1

∞

r

n

1 r

n=1

1

n 1

ó

nr

→ 0 a.s.

(6.5.8)

¿
À
ÿ
Ð

1

ηn = ξn I(|ξn | < n r ), n ∈ N , ∞ ∞ P P 1 P (ηn 6= ξn ) = P (|ξn | ≥ n r ) < ∞,

æ
´ × Ä

¬
Ú
ÄB¨ n=1

(6.5.8),

n=1

n 1 X 1

¦ ›
¬
ÄB¨

nr

k=1

ηk → 0 a.s.

(6.5.9)

©
ª

(6.5.10)

∞ X Eηn 1

n=1

nr

.

254

Ñ

·
"¸¶æ

0
∞ X E|ηn |

n

n=1

=

∞ X

j=1

(6.5.10)

n

∞ X

n=j

∞ X |E(ξn − ηn )|

n

1 r

1 r

r

õ
´ ¦ ›
Ð

n=1

2

n− r V ar ηn ≤

∞ X

1.

1

n− r

n=1

j X

∞ X

j=n

n

− r1

n=1

1

≤C

Eξ1 = 0,

n=1

1

j r P (j − 1 < |ξ1 |r ≤ j) ∞ X j=1

1

2

2

2

I"!CWX"#e%$>[?[@[A[BC

∞ X

2

n− r

n=1

∞ X

n=j

<
 {ξk }

n X

2

j r P (j − 1 < |ξ1 |r ≤ j)

j=1 ∞ X

2

n− r ≤ C

j=1

jP (j − 1 < |ξ1 |r ≤ j) < ∞.

6.5

T"&DE"'"({")"*[K

(2)P {ξk = ±2k } = 2−(2k+1) , P {ξk = 0} = 1 − 22k ; 1

1

(3)P {ξk = ±k} = 12 k− 2 , P {ξk = 0} = 1 − k − 2 .

cIWX>?@A[BC[_`L%+n[H[Z[^%,"-[q%.%/[_MR%'%([{")%*[v[X[w I"0s 6.4 q"1 5 s {ξ } vX€‚ƒ„%'"([{%)%*[w 4. = {ξ : n ≥ 1} TWX^>?@AB[C[_`R P P{ ξ ‹Œ } = 0 2 1. 3.

n

n

1

j r P (j − 1 < |ξ1 |r ≤ j)j 1− r

n− r V ar ηn < ∞.

j r P (j − 1 < |ξ1 |r ≤ j)

(1)P {ξk = ±2k } = 12 ;

2.

Î
Ï

k=1

n− r Eηn2 ≤

( ¿
)
í " Û ®
/

Ÿ j=1

1

j r P (j − 1 < |ξ1 |r ≤ j)j 1− r

á
Ø

"

∞

=

j=1

1

j r P (j − 1 < |ξ1 |r ≤ j)

Kronecker n 1 P n− r Eηk → 0.

¶ î » Å 
Ø

" ¦ ›
¬
Ú PÙ Ä ∞ X

j=1

n=1

n X

jP (j − 1 < |ξ1 |r ≤ j) ≤ C (1 + E|ξ1 |r ) < ∞,


/

Ÿ ô B¶

j=1

n=1

∞ X

1

n− r

·
"¸¶æ¢è



∞ X

≤

j P (j − 1 < |ξ1 | ≤ j)

=C

∞ X

1

n− r ≤ C

1
n=1

j=1 ∞ X

(6.5.10)


/

ŸÑ

=

1 r

∞ X

=

j=1

∞ X

1

j r P (j − 1 < |ξn |r ≤ j) =

jP (j − 1 < |ξ1 |r ≤ j) ≤ C (1 + E|ξ1 |r ) < ∞,

∞ X |Eηn |

 Ð

n=1

n X

Î
Ï ¦ ›
Ð

1

j=1 ∞ X

n=1

1

n− r

> 1,

j r P (j − 1 < |ξ1 |r ≤ j)

=C

×

Æ
·

∞ X

≤

1 r

1 r

Ò¢ÓÔ êBë$ì
í

∞

n

n=1

§6.5

Ž



T"3"3WX"465%7[b%8%4M\[][H%9[^[>[?[@[A B[C[_MR {ξ } :";"'"({ 6. L {ξ : n ≥ 1} b[W[X%#[e%$[^[>[?[@ A B[C _ P (X = 0) = P (X = 2) = , I[J P a.s. ‹Œ w 7. < R b Rademacher >?@A_>="? P (R = ±1) = . IJ_>="? {R : n ≥ 1} bWX ^ Rademacher >?@ABC_MRH P a.s. ‹Œ w 8. = {R : n ≥ 1} bWX^ Rademacher >?@ABC_`Q%@ {ξ , n ≥ 1} WX_MIJK L P R ξ a.s. ‹Œ _MR P ξ a.s. ‹Œ w 9. = {ξ : n ≥ 1} b[W[X%#[e%$[^[>[?[@[A[B[C[_ {c : n ≥ 1} b[H%9%A[{[C[wMI[J[KML Eξ = 0, R P 5.

=

255

{ξn : n ≥ 1}

)"*w

n

n

∞

n=1

1

1 2

ξn 3n

∞

n=1

1 2

n

Rn n

n

n

2 n

n n

n

n

1

B"CK6D"E"F"G ). H[P"Q~%'%([{%)%*[I[J[_MN%I%J%K

1 n

(

10.

1

R H

[0, 1]

n

j=1

cj ξj → 0, a.s.

‡[S[i%L%M%N[{

0 ≤ f (x) ≤ cg(x), lim

n→∞

Z

1 0

···

Z

1 0

f (x), g(x),

O[f%+[n[‰[{

x ∈ [0, 1],

R1

f (x)dx f (x1 ) + · · · + f (xn ) dx1 · · · dxn = R01 . g(x1 ) + · · · + g(xn ) g(x)dx 0

c > 0,

SUTUVUW X"YJK ””•• ’_6Z"[%(%\[{%\"]%\%^%_[_6`%\%a%b"c[_ed%f_ 2001. [2] g"h"iK ’"@{[p"j%k[_`q"l%`%\%m%n"(%\%a%b%c_eo%p[_ 1996.  ” • [3] q"r"sK ’o’[_6d%f%(%”[\"•a%b%c[_6d%f[_ 1994.  ” • [4] t"u"("\K ’_61[O%v[_ ’%w%x_ey[…"\%z[c[~%]%{_e|%}"]%~%a%b%c_ 1979. [5] "€""‚6ƒ"„"…"‚6"€%†%‡ ”• ’%ˆ%‰[p’[o[’%‚6y[…%]%~%a"b%c%‚6d%f%‚ 1989. [6] [Š ] W. ‹"Œ"‡ ”• ’y""Ž[~%‚`‡"v%‚e%"‘%‚eƒ“’•”%–%‚e`"\%a%b%c%‚6d%f%‚ 1980. [7] —"˜"‚6™"š"›"‚6œ""ƒ%‡ež%\"Ÿ% %‚6y%¡%]%~%a"b%c%‚ed"f%‚ 1985. [8] œ""ƒ"‡6A"¢"N"ž"£%‚6¤%l%`%\"m%n%(%\%a"b%c%‚eo"p%‚ 2002. [1]

256