Эконометрика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ ИННОВАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ Программа «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах» ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Программа дисциплины

ЭКОНОМЕТРИКА

Москва 2003

Программа дисциплины «Эконометрика» составлена в соответствии с требованиями (федеральный компонент) к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста (бакалавра, магистра) по циклу «Общие гуманитарные и социальноэкономические дисциплины» государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования второго поколения, а также требованиями, предъявляемыми НФПК к новым и модернизированным программам учебных курсов, разработанным в рамках программы «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах» Инновационного проекта развития образования. Программа подготовлена при содействии НФПК – Национального Фонда подготовки кадров в рамках программы «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах» Инновационного проекта развития образования. Автор программы – Давнис Валерий Владимирович.

-2-

I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ 1. Цель курса «Эконометрика» вместе с микро- и макроэкономикой является дисциплиной, образующей фундамент современного университетского экономического образования. Это связано прежде всего с признанием того, что овладение методами эмпирических исследований является не просто желательной, но весьма существенной частью базовой подготовки экономиста, и что ранее читавшиеся курсы по прикладной статистике не адекватны этой задаче. Целью преподавания дисциплины является углубленное изучение магистрами основных теоретических положений экономико-статистического моделирования и формирования у них навыков применения методики микроимитационного обоснования теоретических положений и практического использования аппарата эконометрического моделирования в экономическом анализе, прогнозировании и задачах обоснования управленческих решений. 2. Задачи курса Задачи изучения курса определяются требованиями к подготовке кадров, установленными в квалификационной характеристике подготовки магистров по направлению «Экономика» и состоят в следующем: - в углублении знаний по теории количественных экономических измерений; - в освоении методики проверки согласованности дедуктивных моделей с результатами эмпирических исследований; - в изучении аппарата и техники эконометрического моделирования социальноэкономических процессов; - в формировании навыков проведения сложных компьютерных расчетов с использованием эконометрических моделей; - в подготовке специалистов, обладающих исследовательским потенциалом. 3. Методическая новизна курса В курсе предусмотрен регулярный текущий контроль усвояемости лекционного материала с помощью аналитических заданий небольшого объема, выполняемых магистрами непосредственно на лекции в течение 3-5 минут. Каждая компьютерная лабораторная работа будет начинаться с тестирование магистров по соответствующей теме (по материалам всего курса лекций планируются разработать более 200 тестовых вопросов). По завершению лабораторной работы магистры должны написать аналитический отчет с кратким описанием использованного метода, построенной модели и анализом результатов моделирования. По отдельным темам курса будет рекомендовано выполнение магистрами «миникурсовых» работ, предполагающих описание реальных ситуаций, в той или иной степени затрагивающих проблемы, исследуемые в их диссертациях. 4. Место курса в профессиональной подготовке выпускника Изучение эконометрики как сложной научной дисциплины, родившейся в области интерференции математики, статистики и экономики начинается на первом курсе магистратуры после изучения математического анализа, теории вероятностей с элементами математической статистики, микроэкономики и макроэкономики. Данной программой предусматривается проведение лекций-семинаров, на которых наряду с теорией построения эконометрических моделей рассматриваются вопросы их практического использования. Знания по основным разделам курса закрепляются в процессе выполнения компьютерных лабораторных заданий. Это ориентирует магистров на применение полученных знаний в своих диссертациях, что способствует повышению профессиональной подготовке будущих специалистов. 5. Требования к уровню освоения курса

В результате изучения эконометрики магистр должен знать: - основополагающую концепцию эконометрического анализа сложных экономических явлений; - основные методологические подходы и принципы применения аппарата эконометрического моделирования в прикладных исследованиях; - базовые типы эконометрических моделей; - статистические методы оценивания параметров эконометрической моделей; - технологию статистической проверки различных гипотез - приемы интерпретации результатов эконометрического моделирования; уметь: - корректно осуществлять спецификацию эконометрических моделей; - грамматно пользоваться компьютерным программным обеспечением для расчета оценок параметров эконометрических моделей; - проверять адекватность построенных моделей и значимость их параметров; - интерпретировать содержательный смысл параметров регрессионных моделей; - применять эконометрические модели в практике экономического анализа; - осуществлять прогнозные расчеты с помощью построенных эконометрических моделей. II. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА 1. Новизна курса Предлагаемый курс выделяется среди существующих: 1) подробным изложением рекуррентной схемы МНК; 2) описанием схемы взвешенного МНК, используемой для адаптивного многофакторного моделирования; 3) раскрытием темы, касающихся исследований стабильности экономических процессов с помощью эконометрических моделей; 4) освещением вопросов построения комбинированных эконометрических моделей и их практического использования. Указанным темам недостаточно уделяется внимание в учебных руководствах по эконометрическому моделированию. В то же время изучение этой тематики расширяет возможности применения основ эконометрики в прикладных исследованиях современной российской действительности. 2. Разделы курса I. Современные задачи и методы эконометрики. II. Регрессионный анализ. III. Моделирование временных рядов. IV. Структурные и комбинированные эконометрические модели. 3. Темы и краткое содержание Тема 1. Современные задачи и методы эконометрического моделирования История возникновения эконометрии и область ее применения. Эконометрика как интерференция математики, статистики и экономики. Пример совместного применения экономической теории, математики и статистики при построении эконометрической модели спроса. Основной метод эконометрических исследований и его отличие от статистических и других количественных методов исследования экономических явлений. Противоречия эконометрического подхода и их разрешение.

-4-

Тема 2. Модели математической экономики и эконометрическое моделирование Понятие математической модели и принципы ее построения. Свойства наиболее общих моделей производства. Предложение и спрос на конкурентном рынке. Равновесная цена. Эконометрические проблемы определения функции спроса. Модель спроса и предложения. Паутинообразная модель. Производственная функция и ее свойства. Функция КоббаДугласа, ее основные характеристики. Модели макроэкономического равновесия: классическая и кейнсианская. Основные типы эконометрических моделей: модели временных рядов, однофакторные и многофакторные регрессионные модели, структурные модели. Тема 3. Многофакторная линейная модель Концепция подбора статистических зависимостей. Минимизация квадратического отклонения, вывод формул матричного метода наименьших квадратов (МНК) для однофакторных и многофакторных регрессионных моделей. Интерпретация метода числовым примером. Линейные функции и функции, приводимые к линейному виду. Основные положения теоремы Гаусса-Маркова. Свойства оценок регрессионных коэффициентов при выполнении условий теоремы Гаусса-Маркова: несмещенность, состоятельность, эффективность. Стандартные ошибки оценок коэффициентов регрессии и их роль в проверке надежности построенных моделей. Оценка степени надежности уравнений регрессии: коэффициент корреляции, дисперсионное отношение Фишера, проверка значимости коэффициентов регрессии по t-критерию. Проверка гипотез, задаваемых линейными ограничениями общего вида. Частный случай линейного ограничения общего вида, одновременное тестирование на значимость группы факторов. Тест Чоу и проверка на совпадение регрессионных моделей, построенных по данным разных выборок. Спецификация многофакторных регрессионных моделей. Случай исключения существенных независимых переменных и включения несущественных переменных. Тема 4. Обобщенные схемы регрессионного анализа Обобщенный МНК и проблемы его практического использования. Гетероскедастичность и метод взвешенных наименьших квадратов. Частные виды гетероскедастичности: пропорциональная, линейно зависимая и двухуровневая дисперсии. Стандартные ошибки в форме Уайта и Невье-Веста. Тесты на гетероскедастичность: Уайта, Голдфелда-Куандта и Бреуша-Пагана. Доступный обобщенный МНК и его практическое использование. Регрессия с автокорреляцией остатков. Случай авторегрессионных процессов первого порядка, условия стационарности. Тест Драбина-Уотсона на наличие или отсутствие автокорреляции по времени. Оценивание параметров регрессионной модели с известным и неизвестным коэффициентом авторегрессии остатков: процедуры Кохрейна-Оркатта, ХилдретаЛу и Дарбина. Оценивание параметров регрессии по методу максимального правдоподобия. Тема 5. Эконометрические модели динамических рядов Время как экономический фактор. Типы роста экономических показателей. Подбор наилучшей функции тренда. Кривые Гомперца и Перла-Рида, их свойства и проблема построения. Исследования периодических колебаний. Анализ сезонности и фиктивные переменные. Авторегрессионные модели первого порядка (AR(1)). Модели скользящего среднего. ARMA модели. Проверка на стационарность и интегрирование. Понятие коинтеграции. ARIMA модели. Определение порядка AR и MA моделей. Автокорреляционная и частная автокорреляционная функция. Идентификация ARIMA моделей.

-5-

Тема 6. Адаптивное многофакторное моделирование Рекуррентная форма метода наименьших квадратов. Вывод и обоснование рекуррентных формул. Прикладное значение рекуррентного метода наименьших квадратов. Основные предположения, лежащие в основе построения адаптивной модели. Экспоненциальное сглаживание и рекуррентное оценивание в многофакторном моделировании. Проблема проверки адекватности адаптивных моделей и их применения в задачах факторного анализа динамики экономических процессов. Выделение интенсивной и экстенсивной составляющих факторного роста. Модели с настраиваемой структурой адаптивного механизма. Тема 7. Эконометрические исследования стабильности Понятие стабильности. Неоднородное конечно-разностное уравнение первого порядка и анализ динамических эффектов и эффекта обратной связи. Эконометрический аналог неоднородного конечно-разностного уравнения первого порядка. Гипотеза адаптивных ожиданий и авторегрессионные модели второго порядка. Использование общего решения однородного уравнения для анализа динамических эффектов с помощью моделей второго порядка. Анализ стабильности с помощью моделей более высокого порядка. Адаптивные модели авторегрессии. Анализ динамики коэффициентов стабильности. Векторные авторегрессионные уравнения и анализ динамических эффектов развития экономической системы. Тема 8. Рекурсивные и структурные системы регрессионных уравнений Эконометрические модели в виде совместных уравнений. Типы структурных моделей: модель из внешне не связанных уравнений; рекурсивные системы; системы одновременных регрессионных уравнений. Методы построения систем одновременных регрессионных уравнений. Косвенный метод наименьших квадратов. Иллюстрация косвенного МНК на примере построения структурной модели, описывающей механизм потребления. Проблема инверсии и идентификации. Условия идентифицируемости структурных моделей. Двухшаговая минимизация квадратического отклонения. Пример построения структурной модели потребления с помощью двухшагового МНК. Сравнение МНК и двухшагового МНК на примере результатов оценивания динамической модели макроэкономики Л.Клейна. Тема 9. Адаптивно-имитационные эконометрические модели Понятие комбинированных эконометрических моделей. Имитационное моделирование. Классификация имитационных моделей по уровню подражания реальным процессам. Цель применения адаптивных моделей в имитационных экспериментах. Комбинирование адаптивного и имитационного подхода для воссоздания многообразия возможных состояний моделируемого объекта. Применение многошаговых моделей для снижения уровня дисперсии результатов адаптивно-имитационного моделирования. Адаптивно-имитационное моделирование прогнозных оценок риска. 4. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы 1. Дайте краткую содержательную интерпретацию следующим понятиям: 1) оценка коэффициентов регрессии; 2) стандартная ошибка коэффициентов; 3) t-статистика; 4) R-квадрат; 5) сумма квадратов остатков; 6) стандартная ошибка регрессии; 7) наилучшая нелинейная несмещенная оценка.

-6-

2. Покажите, что однофакторная линейная регрессионная модель y на x может быть получена из однофакторной линейной регрессионной модели x на y в том и только 2

в том случае, когда r = 1 (где r - коэффициент корреляции). 3. Покажите, что если в регрессионной модели yi = α + β xi + ui среднее значение x

(

)

равно нулю ( x = 0 ), то cov αˆ , βˆ = 0 , где αˆ и βˆ - оценки коэффициентов регрессии, полученные с помощью метода наименьших квадратов. 4. Пусть uˆi - остатки, представляющие собой отклонения фактических значений от расчетных ( i = 1, 2, K , n ). Покажите, что в этом случае имеют место следующие результаты: n

∑ uˆi = 0 и i =1

n

∑ xi ui = 0 . i =1

5. Пусть заданы значения y и x . Объясните, какую функцию следует выбрать в качестве регрессионной модели, характеризующей зависимость между y и x , если: 1) x > 0 и значения x превосходят значения y ; 2) необходимо оценить постоянную эластичность функции спроса. 6. Поскольку вариация коэффициента регрессии βˆ изменяется обратно пропорционально вариации x , то часто предлагается исключить все наблюдения средней об-

ласти x и использовать для оценки коэффициента βˆ только крайние значения x . Желательна ли эта процедура?

7. Предположим, что требуется построить модель, объясняющую поведение вкладчиков в зависимости от уровня процентной ставки. Объясните, следует ли формировать выборочную совокупность для построения модели из данных периода, когда процентная ставка была стабильна или периода, когда она изменялась. 8. Пусть заданы значения y и x . Объясните, какие приемы следует применять для оценки параметров следующих уравнений, используя обычный метод наименьших квадратов: β

1) y = α x ;

2) y = α e

4) y = α + β

x ; 5) y =

eα + β x 6) y = ; 1 + eα + β x

βx

;

3) y = α + β log x ;

x ; α x−β

7) y = α +

β x−c

.

9. Дайте определения следующим понятиям: 1) стандартная ошибка регрессии; 2

2

2) R и R ; 3) тест Чоу; 4) степени свободы; 5) линейные ограничения на параметры;

-7-

6) анализ вариации. 10. Построено уравнение множественной регрессии

y = α + β1 x1 + β 2 x2 + β 3 x3 + u . Объясните, как можно проверить гипотезы: β1 = β 2 и β 3 = 1 .

11. Следующее регрессионное уравнение оценено как производственная функция:

log Q = 1,37 + 0,632 log K + 0,452 log L ,

R 2 = 0,98 .

(0,257) (0,219) cov(bK , bL ) = −0,044 . Размер выборки – 40. Проверьте гипотезу: bK , bL . 12. Определите, какое из следующих утверждений является истинным, ложным или неопределенным, и дайте краткое объяснение или приведите доказательство. 1) Предположим, что коэффициент переменной регрессионного уравнения значительно отличается от нуля только при 20% уровне значимости. Если эту пере2

менную исключить из регрессионного уравнения, то R и скорректированный

R 2 ( R 2 ) уменьшается. 2) Сравнивая регрессию без ограничений с оценками регрессии с ограничениями ( β 2 = β1 ), получим большое значение коэффициентов корреляции R , если ограничение истинно, и меньшее – в противном случае. 3) В регрессии y на x наблюдения, далекие от среднего значения, имеют большое влияние на величину оцениваемого коэффициента регрессии, чем наблюдения, близкие к среднему значению. 2

13. Следующее уравнение:

yˆ t = 2,20 + 0,104 x1t + 3,48 x2t + 0,34 x3t

(3,4) (0,005) (2,2) (0,15) было получено с помощью обычного МНК по данным выборочной совокупности объема T = 80 . Стандартные ошибки приведены в скобках, объясненная сумма квадратов – 112,5; остаточная сумма квадратов – 19,5. 1) Какой из коэффициентов регрессии значимо отличается от нуля при 5%-ном уровне значимости? 2

2) Вычислите значение множественного коэффициента корреляции R . 3) Вычислите значение скорректированного множественного коэффициента корреляции

R2 . 14. Предположим, что даны характеристики двух выборочных совокупностей: Выборка 1 Выборка 2

n = 20 x = 20 y = 25 S xx = 80 S xy = 120

n = 25 x = 23 y = 28 S xx = 100 S xy = 150

S yy = 200

S yy = 250 -8-

1) Построить линейные регрессионные уравнения для каждой выборки отдельно и для объединенной выборки. 2) Запишите условия, которые позволяют сделать вывод, подтверждающий обоснованность объединенной регрессии. 3) Объясните, как можно проверить обоснованность построения объединенной регрессии, используя приведенные характеристики. 15. Исследователь проверяет две спецификации регрессионного уравнения y =α + β x + u ,

y = α ′ + β ′x + γ ′z + u . Объясните, при каких условиях следующие спецификации истины. (Обозначение параметров «с крышками» являются оценками). 1) βˆ = βˆ ′ .

2) Если uˆi и uˆi′ - оцененные остатки двух уравнений, то 3) 4)

∑ uˆi2 ≥ ∑ uˆi′2 .

βˆ статистически значим (при 5%-ном уровне значимости), а βˆ ′ - нет. βˆ ′ статистически значим (при 5%-ном уровне значимости), а βˆ - нет.

16. Модель

y = β 0 + β1 x1t + β 2 x2t + β 3 x3t + ut

была оценена с помощью обычного МНК по 26 наблюдениям. В результате было получено следующее уравнение: yˆ t = 2 + 3,5 x1t − 0,7 x2t + 2,0 x3t , (1,9) (2,2) (2,4) 2

t-статистики приведены в скобках, R = 0,982 . Такая же модель была оценена при ограничении β1 = β 2 , что позволило получить регрессионное уравнение вида:

yˆ t = 1,5 + 3( x1t + x2t ) − 0,6 x3t ,

R 2 = 0,876 .

(2,7) (2,4) 1) Проверьте значимость ограничения β1 = β 2 . Изложите предположения, при которых эта проверка обоснована. 2) Предположим, что x2t исключено из уравнения: увеличится или уменьшится 2

скорректированный R ? 2

3) Увеличится или уменьшится R , если x2t исключить из уравнения? 17.

Предположим, что ни одна из оценок коэффициентов регрессии

y

на

x1 , x2 ,K , xn не превосходит своей стандартной ошибки, и дисперсионное отношение Фишера отвергает гипотезу: H 0 : b1 = b2 = K = bk = 0 . 1) Возможна ли такая ситуация? 2) Какие случаи приводят к подобной ситуации? 3) Какой дальнейший анализ следует провести в этой ситуации?

18. Студент получил следующие результаты при проведении регрессионного анализа: 2

2

1) R y.123 = 0,89 , R y.1234 = 0,86 ;

-9-

2

2

2) R y.123 = 0,86 , R y.1234 = 0,82 . В какой из записей он допустил ошибку? 19. Спрос на цейлонский чай в США задан следующим уравнением:

log Q = β 0 + β1 log PC + β 2 log PI + β 3 log PB + β 4 log Y + u ,

где

Q - импорт цейлонского чая; PC - цена цейлонского чая; PI - цена индийского чая; PB - цена бразильского кофе; Y - чистый доход.

Были получены следующие результаты при

T = 22 :

log Q = 2,837 − 1,481 log PC + 1,186 log PB + 0,257 log Y , RSS = 0,4277 , (2,0)

(0,987)

(0,134)

(0,370) log Q + log PC = −0,738 + 0,199 log PB + 0,261 log Y , RSS = 0,6788 . (0,820) (0,155) (0,165) 1) Проверьте гипотезу: β1 = −1 , β 2 = 0 и β 3 , β 4 ≠ 0 при β i ≠ 0 i = 1, 2, 3, 4 . 2) Объясните экономическое приложение этих результатов.

для

20. Дайте определение терминам «гетероскедастичность» и «гомоскедастичность». Объясните, какие эффекты могут возникать в случае гетероскедастичности, если оценки параметров регрессии получаются с помощью обычного МНК. 21. Объясните следующие тесты на гомоскедастичность: 1) Голдфелда-Куандта; 2) Бреуша-Пагана. 22. Объясните, как вы будете выбирать наилучшую среди следующих четырех регрессионных моделей: 1) y = α1 + β1 x + u1 ; 2) y = α 2 + β 2 log x + u 2 ; 3) log y = α 3 + β 3 x + u3 ;

4) log y = α 4 + β 4 x + u 4 . 23. В линейной регрессионной модели

yi = α + βxi + ui

предполагается, что ошибки ui имеют дисперсию, зависящую от переменной zi . Объясните, как вы будете выбирать наиболее приемлемую среди следующих четырех спецификаций: 1) var(ui ) = σ ; 2

3) var(ui ) = σ zi ; 2 2

2) var(ui ) = σ zi ; 2

4) var(ui ) = σ zi . 2 3

- 10 -

24. При изучении 27 предприятий с различным масштабом деятельности y изменяется от 30 до 210, а x - от 247 до 1650, где y - число руководителей, x - число подчиненных. Получены следующие результаты:

x

Переменная

константа

n = 27

Коэффициент 0,115 14,448

s = 21,73

Стандартная ошибка 0,011 9,562

t-статистика 9,30 1,51

R 2 = 0,776

Были вычислены и проанализированы остатки для каждого значения x . Результаты анализа показали, что величина остатков зависит от значения x . Однако при построении регрессии на

1 этот эффект не проявился. Была выдвинута гипотеза, что x var(ui ) = σ 2 xi2 .

Затем было построено уравнение вида:

y ⎛1⎞ = 0,121 + 3,803⎜ ⎟ , x ⎝ x⎠

R 2 = 0,03 ,

(0,009) (4,570) которое после приведения к исходному виду записывается следующим образом: y = 3,803 + 0,121x . При оценивании параметров уравнения регрессии были получены следующие характеристики: Переменная

x

константа

n = 27

Коэффициент 0,121 3,803

s = 22,577

Стандартная ошибка 0,009 4,507

t-статистика 13,44 0,832

R 2 = 0,7578 2

1) Исследователь видит уменьшение значения R и делает вывод о том, что первое уравнение лучше второго. Справедлив ли его вывод? 2) Как будет выглядеть уравнение регрессии, если при его оценивании вместо ги-

потезы var(ui ) = σ xi будет использована гипотеза var(ui ) = σ xi ? Какая из этих альтернативных гипотез лучше? 2 2

2

2

2

3) Прокомментируйте вычисления R из преобразованного уравнения и R из уравнения в терминах первичных переменных. 25. При оценивании недвижимости возникло подозрение, что для более дорогих домов отношение между оценкой и ценой, по которой они были проданы, гораздо меньше, чем это же отношение для более дешевых домов. Чтобы проверить это подозрение были построены три следующие модели: 1) Ai = α + β S i + ui ; 2) Ai / Si = γ + δSi + ui′ ;

3) log Ai = θ + λ log Si + ui′′ , где Ai - оценка i-го дома, S i - цена, по которой он продан. По выборке из 416 домов были получены оценки уравнений:

- 11 -

R 2 = 0,597 ;

а) Ai = 7505,40 + 0,3382 Si , (559,2) (0,0136) (13,42) (24,79) б) Ai = 0,7374 − 4,5714 ⋅ 10 (0,0144) (51,38)

−6

стандартные ошибки t-статистики

R 2 = 0,2917 ;

Si ,

( 3,5005 ⋅10 −7 ) (24,79)

стандартные ошибки t-статистики 2

R = 0,6547 . в) Ai = 2,8312 + 0,6722 S i , Было сделано предложение, что более подходящими для проверки этого подозрения, являются обратные уравнения: 4) S i = γ 0 + γ 1 Ai + η i ;

5) Ai / Si = β 0 + β1 Ai + η i . Оценивание по той же самой выборке позволило получить следующие оценки обратных уравнений: г) S i = 2050,07 + 0,7669 Ai , (1527,93) (0,0713) (1,3417) (24,79)

R 2 = 0,597 ; стандартные ошибки t-статистики

д) Ai / Si = 0,5556 − 3,8288 ⋅ 10

b) c)

R 2 = 0,0004 .

Si ,

( 9,506 ⋅10 −7 ) (0,404)

(0,0203) (27,26)

a)

−7

стандартные ошибки t-статистики

Среднее значение A / S = 5,6439 . Объясните, какие коэффициенты в этих уравнениях можно использовать для проверки истинности возникшего подозрения? Аргументируйте, почему уравнения 4) и 5) более подходящие для получения подтверждения истинности подозрения, чем уравнения 1) - 3). Объясните, почему уравнения 2) и 5) более подходящие для подтверждения истинности подозрения, чем уравнение 1) и 4).

26. Какие из следующих AR процессов стационарны? 1) X t = 0,9 X t −1 − 0,2 X t − 2 + ε t ; 2) X t = 0,8 X t −1 − 0,4 X t − 2 + ε t ;

3) X t = 1,0 X t −1 − 0,8 X t − 2 + ε t .

27. Какие из следующих МА(2) процессов обратимы? 1) X t = ε t − 0,9ε t −1 + 0,2ε t − 2 ; 2) X t = ε t − 1,8ε t −1 + 0,4ε t − 2 ; 3) X t = ε t − 0,8ε t −1 + 0,4ε t − 2 28. Рассмотрим ARMA модель: Выразите

εt

X t = 1,0 X t −1 − 0,5 X t − 2 + ε t − 0,9ε t −1 + 0,2ε t − 2 .

как функцию X t и запаздывающие значения X t путем разложения

ε t = (1 − 0,9 L + 0,2 L2 ) (1 − 1,0 L + 0,5 L2 )X t по степеням полинома L . −1

- 12 -

29. Для AR процесса второго порядка покажите, что (теоретический) частный коэффициент автокорреляции второго порядка задается выражением

(ρ

2

)(

)

− ρ12 / 1 − ρ12 .

30. Предположим, что коррелограмм временных рядов, построенный по 100 наблюдениям, имеет r1 = 0,50 , r2 = 0,63 , r3 = −0,10 , r4 = 0,08 , r5 = −0,17 , r6 = 0,13 ,

r7 = 0,09 , r8 = −0,05 , r9 = 0,12 , r10 = −0,05 . Предложите ARMA модель, кото-

рая будет наиболее подходящей. [Подсказка: стандартная ошибка каждого значения корреляционной функции ~ 1 /

N = 0,10 . Значения, большие, чем 2 / N

значимы. Таким образом, только два значимы, поэтому процесс МА(2) наиболее подходящий.] 31. Объясните, в каких ситуациях применяется: 1) тест Дарбина-Уотсона; 2) тест Кохрейна-Оркатта; 3) процедура Дарбина; 4) процедура Хилдрета-Лу. 32.

Было оценено уравнение, в котором в качестве объясняющей переменной использовалось запаздывающее значение зависимой переменной yt −1 :

yt = 2,7 + 0,4 xt + 0,9 yt −1 , R 2 = 0,98 , (0,4)

(0,06)

DW=1,9.

У построенной зависимости высокий множественный коэффициент корреляции и статистика Дарбина-Уотсона (DW) близка к 2, что свидетельствует об отсутствии 2

автокорреляции остатков. Можно ли утверждать, что даже при высоком R это уравнение непригодно для практического использования? 33. Определите истинность следующих утверждений. Дайте соответствующие объяснения: 1) Автокорреляция остатков u приводит к смещенным оценкам и смещенным стандартным ошибкам при оценке коэффициента уравнения y = β x + u методом наименьших квадратов. 2) Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию остатков не применим, если ошибки гетероскедастичны. 3) Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию остатков не применим, если запаздывающие зависимые переменные используются в качестве объясняющих переменных. 4) Исследователь, оценивая функцию спроса двумя способами (по уровням спроса и первым разностям), получил, что коэффициенты корреляции равны 0,90 и 0,80 соответственно. Он выбрал модель с наибольшим коэффициентом корреляции. В данной ситуации это является правильным обоснованием выбора модели. 5) Метод наименьших квадратов, применяемый к временным рядам экономических показателей, обычно приводит к смещенным оценкам, так как временные ряды автокоррелированы.

- 13 -

6) Тест Дарбина-Уотсона используется для проверки ошибок на автокорреляцию в регрессионном уравнении, основанном на данных временных рядов. 7) Тот факт, что статистика Дарбина-Уотсона значима, необязательно означает существование автокорреляции в ошибках. Для подтверждения этого следует применить еще один тест. 8) Рассмотрим модель yt = α yt −1 + β xt + ut , в которой остатки автокоррелированы. Даже если с помощью обычного МНК получены несостоятельные оценки параметров, то модель все же можно использовать для целей прогнозирования при условии, что границы изменения xt в прогнозном периоде не отличаются от границ изменения в ретроспективном периоде. 9) Рассмотрим модель yt = α + βxt + ut ,

ut = ρut −1 + et , 0 ≤ ρ ≤ 1 ,

где et - независимы и имеют нормальный закон распределения со средним 0

σ 2 (IN (0, σ 2 )). Регрессия Δyt на Δxt дает возможность получить более эффективные оценки β , чем регрессия yt на xt . и дисперсией

10) Тест Дарбина-Уотсона – бесполезный тест, поскольку он не применим почти в каждом из случаев, которые встречаются на практике. 34. Фразу: «Поскольку модель содержит запаздывающую зависимую переменную, статистика Дарбина-Уотсона ненадежна» часто можно встретить в эмпирических работах. 1) Что означает эта фраза? 2) Существует ли какой-либо способ избежания этой проблемы? 35. Объясните значение следующих терминов: 1) экзогенные переменные; 2) эндогенные переменные; 3) структурные уравнения; 4) приведенная форма структурных уравнений; 5) порядковое условие для идентификации; 6) ранговое условие для идентификации; 7) косвенный метод наименьших квадратов; 8) двухшаговый метод наименьших квадратов; 9) рекурсивные системы. 36. Объясните, в чем заключается проблема идентификации в контексте модели линейных одновременных уравнений. 37. Рассмотрим модель из трех уравнений:

y1 = β13 y3 + γ 12 x2 + u1 y2 = β 21 y1 + β 23 y3 + γ 21 x1 + γ 22 x2 + u 2 y3 = γ 33 x3 + u3 где y1 , y2 и y3 - эндогенные переменные, а x1 , x2 и x3 - экзогенные. Используя порядковые и ранговые условия, проверьте возможность идентификации каждого уравнения модели.

- 14 -

Предположим, что вы хотите оценить первое уравнение модели с помощью двухшагового МНК, но у вас в наличие имеется программа только с обычным МНК. Объясните шаг за шагом, как вы оцените β13 , γ 12 и var(u1 ) . 38. Что означает фраза: «Формула оценки инвариантна к нормализации»? Возникают ли какие-либо проблемы, если формула оценки не инвариантна к нормализации? Какой из методов оценивания дает инвариантные к нормализации формулы оценок? 1) косвенный МНК; 2) двухшаговый МНК. 39. Рассмотрим модель

y1 = α y2 + δ x + u1 y2 = β y1 + γ x + u2 где x - экзогенная переменная; ошибки u1 и u 2 имеют среднее, равное нулю, и не-

автокоррелированы. 1) Напишите уравнения, выражающие приведенные коэффициенты через структурные параметры. 2) Покажите, что если γ = 0 , то β можно идентифицировать. Можно ли в этом случае определить параметры α и δ ? 2

40. Объясните, как Вы вычислите R при использовании методов оценивания одновременных уравнений? 41. Структура модели с четырьмя эндогенными и тремя экзогенными переменными («1» означает присутствие переменной в уравнении, а «0» - отсутствие) выглядит следующим образом: 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 Какое из этих уравнений идентифицируемо? 42. Укажите, какое из следующих утверждений истинно, ложно или неопределенно, и дайте краткое объяснение. 1) В системе одновременных уравнений чем больше число экзогенных переменных, тем лучше. 2) Любая переменная может быть эндогенной в одном уравнении и экзогенной – в другом. 3) Некоторые системы одновременных уравнений могут быть оценены с помощью обычного МНК. 5. Примерная тематика рефератов, курсовых работ: 1. Фиктивные переменные в эконометрическом моделировании сезонных явлений. 2. Фиктивные переменные в моделях со структурными изменениями. 3. Доступный МНК и его применение в случае гетероскедастичности. 4. Применение регрессионных моделей в прогнозных расчетах. 5. Главные компоненты. 6. Регрессия на главные компоненты. 7. Мультиколлинеарность и ее эффекты.

- 15 -

8. Мультиколлинеарность и регрессия на главные компоненты. 9. Модель адаптивных ожиданий. 10. Модель неполной корректировки. 11. Общая теория проверки статистических гипотез. 12. Тест Чоу и примеры его практического использования. 13. Тесты проверки гетероскедастичности и их практическое использование. 14. ARMA модели. 15. ARIMA модели. 16. Качественные зависимые переменные. Пробит- и логит- модели. 17. Качественные зависимые переменные. Тобит-модель. 18. Сезонные адаптивные модели. 19. Рекуррентный МНК. 20. Многофакторные адаптивные модели. 6. Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу 1. История возникновения эконометрики. Понятие эконометрики как самостоятельной дисциплины. 2. Противоречия эконометрического подхода и их разрешения. 3. Понятие математической модели и принципы ее построения. 4. Эконометрические проблемы определения функции спроса. 5. Паутинообразная модель. 6. Производственные функции и их свойства. 7. Основные типы эконометрических моделей. 8. Однофакторные регрессионные модели. Метод наименьших квадратов (МНК). 9. Многофакторная регрессия. Условия теоремы Гаусса-Маркова. 10. Стандартные ошибки оценок коэффициентов регрессии по МНК. 11. Оценка степени надежности уравнения регрессии. Коэффициенты корреляции, детерминации, дисперсионное отношение Фишера. 12. Проверка значимости коэффициентов регрессии по t-критерию Стьюдента. 13. Проверка гипотез, задаваемых линейными ограничениями общего вида. 14. Тест Чоу и его практическое использование. 15. Спецификация многофакторных регрессионных моделей. 16. Нарушение условий теоремы Гаусса-Маркова. Обобщенный МНК. 17. Понятие гетероскедастичности и связанные с ней проблемы оценивания параметров. Взвешенный МНК. 18. Частные виды гетероскедастичности. 19. Тесты на гетероскедастичность. 20. Понятие о доступном обобщенном МНК. Его практическая реализация. 21. Регрессия с автокорреляцией остатков. Случай авторегрессионных процессов первого порядка. 22. Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию по времени. 23. Оценивание параметров в случае авторегрессии остатков. 24. Метод максимального правдоподобия и его применение для оценивания параметров в случае авторегрессии. 25. Типы роста экономических показателей и подбор наилучшей функции тренда. 26. Нелинейные модели в виде кривых Гомперца и Перла-Рида, их свойства и проблемы построения. 27. Модели сезонных явлений и применение фиктивных переменных при моделировании сезонности. 28. Авторегрессионные модели и модели скользящего среднего. ARMA модели. 29. Проверка на стационарность и преобразование нестационарных динамических рядов к стационарным. ARIMA модели.

- 16 -

30. Понятие коинтеграции. 31. Понятие автокорреляционной и частной автокорреляционной функций. Их применение для определения порядка AR и MA моделей. 32. Методика идентификация ARIMA моделей. 33. Принципы построения рекуррентной схемы МНК. Вывод формул рекуррентного МНК. 34. Адаптивное моделирование. Основные предположения, лежащие в его основе. 35. Построение рекуррентных формул оценивания на основе экспоненциального сглаживания. 36. Проверка адекватности однофакторных адаптивных моделей и их применение в задачах факторного анализа динамики. 37. Понятие о построении моделей с настраиваемой структурой адаптивного механизма. 38. Понятие стабильности. Модели ее исследования. Динамические эффекты и эффекты обратной связи. 39. Гипотеза адаптивных ожиданий и анализ стабильности с помощью авторегрессионных моделей второго порядка. 40. Адаптивные модели авторегрессии и их применение в анализе динамики коэффициентов стабильности. 41. Применение векторных авторегрессиионных уравнений в анализе динамических эффектов развития экономической системы. 42. Типы структурных эконометрических моделей. 43. Косвенный МНК. 44. Проблемы инверсии и идентификации структурных моделей. Условия их идентифицируемости. 45. Двухшаговый МНК. 46. Понятие имитационного моделирования и классификация имитационных моделей. 47. Комбинирование имитационного и адаптивного подходов в моделировании экономических процессов. 48.Проблемы снижения уровня дисперсии результатов адаптивно-имитационного моделирования. 49. Моделирование прогнозных оценок риска. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ № п/п

Наименование тем и разделов

1. Современные задачи и методы эконометрического моделирования 2. Модели математической экономики и эконометрическое моделирование 3. Многофакторная линейная модель 4. Обобщенные схемы регрессионного анализа 5. Эконометрические модели

ВСЕГО (часов)

Аудиторные занятия (час), в том числе Лаб. Лекции работы

Самостоятельная работа

2

2

-

-

4

2

-

2

16

6

4

6

10

4

2

4

16

6

4

6

- 17 -

динамических рядов 6. Адаптивное многофакторное моделирование 7. Эконометрические исследования стабильности 8. Рекурсивные и структурные системы регрессионных уравнений 9. Адаптивно-имитационные эконометрические модели ИТОГО:

12

4

2

6

10

4

2

4

10

4

2

4

10

4

2

4

90

36

18

36

IV. ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ Экзамен. Экзаменационная оценка складывается из: 10 баллов – выполнение аналитических заданий на лекциях; 10 баллов – результаты тестирования; 20 баллов – выполнение компьютерных лабораторных работ в полном объеме; 20 баллов – защита «миникурсовой» работы; 40 баллов – ответ на экзамене в письменном виде. Экзаменационная оценка: «отлично» - 86-100 баллов; «хорошо» - 66-85 баллов; «удовлетворительно» - 46-65 баллов; «неудовлетворительно» - 45 баллов и ниже. V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА 1. Рекомендуемая литература (основная) 1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 2000. 2. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФА-М, 1997. 3. Давнис В.В. Адаптивное прогнозирование: Модели и методы. – Воронеж: Изд.-во Вгу, 1997. 2. Рекомендуемая литература (дополнительная) 1. Шаттелес Т. Современные эконометрические методы. М., "Статистика", 1975. 2. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып.1. М., "Статистика", 1977. 3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып.2. М., "Статистика", 1977. 4. Джонстон Дж. Эконометрические методы / Пер. с англ. и предисл. А.А.Рывкина. - М.: Статистика, 1980. 5. Пирогов Г.Г., Федоровский Ю.П. Проблемы структурного оценивания в эконометрии. - М.: Статистика, 1979. 6. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып.1. М.: "Статистика", 1975. 7. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып.2. М.: "Статистика", 1976. 8. Тейл Г. Экономические прогнозы и принятие решений. М.: "Статистика", 1971. 9. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. М.: "Статистика", 1978. 4. Перечень обучающих и контролирующих компьютерных программ

- 18 -

1. Выполнение компьютерных лабораторных работ с помощью следующих программ: Microsoft Excel, Statistica, Eviews. 2. Авторская программа компьютерного тестирования.

- 19 -