固有値問題30講 (数学30講シリーズ)

 

は

し

が

き

 20世 紀 前 半 の数 学 に お け る固 有値 問 題 の展 開は,数 学 の中 に まっ た く新 しい一 つ の世 界 像 を 提 示 す る こ とに な った.そ の世 界 像 とは,代 数 的な 世 界 と解析 的 な 世 界 とは,そ の対 象 を 無 限 次 元 空 間に まで 高め て設 定す るな らば,作 用 素 論 の 中 で相 互 に 密接 に関 連 し合 い,そ

こに統 一 され,融 合 され た 数 学 の沃 野 が 広 が って

い る とい う認識 で あ った.代 数 的 な世 界 とは,端 的 に い え ば,等 式 に よ っ て関係 の記 述 され る よ うな数 学 的 な思 考 の世 界 で あ り,対 比 して い えば,解 析 的 な世 界 とは,不 等 式 に よ り相 互 の 関 係 を 記述 す る こ とに よ り極 限 の様 相 へ 迫 ろ うとす る 世 界 であ る.こ の二 つ は,19世 か し20世 紀 に な っ て,数

紀 数学 までは ま った く異 な った 流 れ で あ った.し

学 が 無 限 次元 とい う表 象 を 克 ち とる と,二 つ の流 れ は

この表 象 の 中 で 幾 何 学 的 な広 が りを みせ て合 流 し,関 数解 析 学 とい う一 分 野を 形 成 す る に至 った,こ

の 合 流 の契 機 を 与 え た も の が 固有 値 問 題 で あ った.も

っと

も,固 有 値 問 題 を 現 在 の 高 み に まで 上 げ た 背景 に は,量 子 力 学 の 数 学 的定 式化 の 中 に,ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の作 用 素 の 固 有値 問題 ―

ス ペ ク トル 分 解 ―

が 本質 的

な 役 割を 演 じた こ と も見逃 せ ない 事 実 で あ る.   固 有値 問 題 の 成 立 と理 論 の経 緯 は 本 講 の 中 で 述 べ る か ら,こ れ 以 上 触 れ な い が,固 有 値 問 題 に 関 連 して,現 在 の 大学 に おけ る数学 の カ リキ ュ ラムに つ い て, 少 し私 の考 えを 述 べ て お きた い.   現 在,大 体 どこの 理 工 系 の大 学 で も,線 形 代 数 の 講義 が1年 次 に 行 なわ れ て い るが,秋

も深 ま り,学 生 諸 君が講 義 に 少 し疲れ た 頃 に な って,や っ と固 有 値 問題

が 登 場 して くる とい うこ とに な っ てい る.内 容 も よ くわ か らぬ し,ど うして これ が そ ん な に重 要 な の か も よ く理 解 で きな い うちに,講 義 は突 然 終 って し ま う.し か し固 有値 問題 を ここで 断 ち 切 って し ま うには,そ の 弦 の もつ 調 べ は あ ま りに も 高 い ので あ る.   数学 科 の 学生 に は,も

う一 度 固 有値 問題 に 出 会 う機 会 が あ る.そ れ は関 数 解 析

学 の講 義 に お い て で あ る.し か し こ こでは ふ つ うは抽 象 化 され た ヒル ベ ル ト空 間

の定 義 か ら ス タ ー トす る か ら,こ

の講 義 で 展 開 され る作 用 素 の スペ ク トル理 論

が,少 し前 に学 んだ 線 形 代 数 の 固有 値 問題 と どの よ うに 結 びつ き,ま た どの よ う な必 然 性 で この よ うな拡 張 を 必要 と したか を 知 る ことは,至 難 な こ とに な っ て く る.二 つ の理 論 は ど こか で つ な が っ てい る よ うで あ るが,結 ぶ糸 は なか な か見 え て こな い の であ る.   数学 科 に お け る カ リキ ュラ ムの構 成 は,一 般 に は演 繹 体 系 と して の数 学 の構 造 とい う考 えに 支 え られ てお り,学 年 の進 行を 階 段 の よ うに み な して,こ の 体 系 を 一 段 ,― 段 と上 って い くよ うに 組 ま れ て い る.し たが っ て,固 有値 問 題 の よ う に,一 貫 した 問題 意 識 と思 想 の 中 で発 展 して きた 数学 の流 れ を,一 つ の カ リキ ュ ラム の中 に 組 み こん で教 え る とい うよ うな試 み は,あ ま り行 なわ れ てい な い よ う に み え る.数 学 の思 想 は,明 らか に数 学 の歴 史 の 中 で育 て られ て きた のだ か ら, これ を カ リキ ュ ラ ム構 成 の 必 要 上,演 繹体 系 と して 整理 し,分 断 して しま うこ と は,数 学 の生 命 の躍 動 感 を 断 つ こ とを 意 味す るか も しれ な い.現 在 の 数学 科 の カ リキ ュ ラムの体 系 は,多

くの 啓 蒙 的 な数学 書 の あ り方 に も強 い 影 響 を与 え てい る

こ とを 考 える と,こ の問 題 を 少 し立 ち止 まっ て考 え て も よい時 機 に きた の では な か ろ うか.   そ の よ うな 考 えに 立 って,こ の30講 では,固 有値 問題 を2次 の 行 列 の場 合 か ら は じめ て,ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 作用 素 の ス ペ ク トル 分解 に至 る まで の道 を 一 気 に 描 い て みた.こ れ は 必 ず し も体 系 的 な講 義 とは い えな いか も しれ な い が,読 者 が この30講 を 通 して,数 学 の しだ い に総 合 化 され て い く構 成 的 な 歩 み とで も い う べ き ものを,歴 史 の 流 れ を 背 景 と して,少 しで も感 じ と って もらえ れ ば よいが と 思 って い る.  1991年4月   著

者

第1講

  平 面 上 の 線形 写 像

第2講

  隠 され てい るベ ク トル を 求 め て

 9

第3講

 複 素 ベ ク トル空 間C2 

18

第4講

  線形 写 像 と行 列

第5講

  固有 値 と固 有 方程 式

第6講 

固 有空 間

  1

  27  35   42

第7講

  対 角化 可能 な線 形 写像

  50

第8講

 内

  59

第9講

  正規 直交 基 底

積

第10講   射影 作 用 素,随 伴作 用素 第11講 

正 規作 用 素

第12講 

エ ル ミー ト作 用 素

  67  75   84  92

第13講   ユ ニ タ リー作 用 素 と直交 作 用素

  100

第14講  積 分 方 程 式

  107

第15講   フ レー ドホル ムの理 論

  117

第16講 

  124

第17講

ヒル ベ ル トの 登 場   ヒルベ ル ト空 間

第18講   l2-空

間

第19講   閉 部 分 空 間 第20講 

有 界 作 用素

  132  140   148  157

第21講 

ヒル ベ ル ト空 間 上 の 固有 値 問題 の第 一 歩 

第22講   完全 連続 な作 用 素 第23講   完 全 連続 作 用 素 の 固 有空 間 に よる分 解 

165  173 180

第24講 

一般 の 自己共 役 作用 素 へ 向 け て

 189

第25講 

作 用 素 の位 相 と射影 作 用 素 の順 序

 199

第26講 

単 位 の分 解

第27講 第28講 

 自己 共役 作 用 素 の ス ペ ク トル分 解 スペ ク トル

第29講   非 有 界作 用素 第30講

索

 フ ォン ・ノイ マ ン―1929年

引

  207   216  225  232   241

  249

第1講 平面上の線形写像 テー マ

● 平 面 上 の ベ ク トル ● 基 底 ベ ク トル ● 線 形 写 像 と行 列 ● 対 応 の状 況 が よ くわ か る とき―

対 角 線以 外は0の 行 列

● 任意 に与 え られ た行 列 に よ る対 応 の 状 況は 必 ず しも よ くわ か らな い. ● 隠 され てい るべ ク トル ● 斜交 座標

平面上 の線形写 像   講 義 を は じめ る にあ た って,出 発点 を どの 辺 りに お くか は いつ で も難 しい 問 題 とな る.こ こで はず っ と さかの ぼ って,誰 で も よ く見 なれ てい る座 標 平 面か ら出 発 す る こ とに し よ う.   座 標 平 面 は 平 面 上 に1つ 直交 座 標 系 を導 入 し てお くこ とに よ って決 ま る.座 標 原 点 は い つ で もOで 表わ す こ とに す る.平 面 上 の点Pは,座

標 に よ って(x1,x2)

と表 わ され る.こ れ か らの話 で は,こ の 座 標表 示 を 縦 に か い て 

と表 わ す こ

と も多い.も ち ろ ん座 標 を 横 にか い て 表わ そ うが 縦 に か い て表 わ そ うが,実 質 が 変 わ ったわ け では な い.   座 標 平 面 の点 が,こ の よ うに実 数 の2つ の 対 で表 わ され る ことに 注 目 し て,こ か ら実 数 の2つ の対 の 全 体 をR2で し,R2を

れ 表わ

表 示 す る ものが 座 標 平面 で あ る

と考 え る こ とに し よ う.Rは

実 数―real

図1

number―

を 示 唆 し て い る.

私 た ち は,さ

し あ た りは,R2の

と い う こ とに し よ う.ベ

の よ うに 表 わ し,ベ

元xを 

ク トル とい う と,読

者 は,Oを

始 点 と し 

ク トル

を終 点 と

す る矢 印 を思 い 浮 か べ られ るか もしれ な い.私 た ち もこの 表 示 を とき ど き 使 う が,以 下 で この表 示 が それ ほ ど本 質 的 な役 割 を果 た す わけ では な い. R2の

に 対 し て,和

ベ ク ト ル 

とス カ ラー積 を 次 の よ う に 定

義 す る こ と に し よ う: 和:

ス カ ラ ー 積:

図2 零 ベ ク トル 

をR2の

を0で 表 わ す.ま た座 標 軸 上 の基 準 点 を示 す

基 底 ベ ク トル と い う.基 底 ベ ク トル を 用 い る と,任 意 の ベ ク トル 

は

(1) と表 わ さ れ る,

線 形 写 像 と行 列   R2か らR2へ

の写 像Tが

を み た す と き,線 e1,e2がTに

と お く.こ (1)を

形 写 像 とい う.線

形 写 像Tが

与 え ら れ た と き,基

底 ベ ク トル

よ っ て ど こに移 され るか に注 目 して

の と き 任 意 の ベ ク トルxがTに

よ っ て 移 さ れ る 先 は,Tの

線形 性 と

用 いて

(2) とな る こ とが わ か る.

そ の 意味 で線 形 写 像Tは,2つ 完 全 に 決 ま る とい っ て よ い.そ

と お き,Aを,Tを y2=cx1+dx2と

のベ ク トル 

を 与 え る こ とに よ っ て

こで

表 わ す 行 列 と い う.こ

の と き(2)の

関 係 を,y1=ax1+bx2,

お い た とき

あ るい は と表 わ す.し  

た が って

y=Tx(線

形 写 像 と し て の 表 示)⇔y=Ax(行

列 表 示)

で あ る.

 

同 じ こ とを2通

りに か くの はわ ず らわ しい と思 わ れ る読 者 も多 い だ ろ う.し か し,

た とえ ば2次 関数y=2x2−3x+1を

考 え る とき,こ の 関数 をy=f(x)と

る.こ の よ うな 一 般 的 な表 記 法 に 対応 す る もの がy=Txで 的 に どの よ うな 形 で 与 え られ て い るか(2次 に 対応 す る)を 示 す もの が行 列 表 示y=Axで

関 数 では,係

あ る.線

か くこ ともあ 形 写像Tが 具 体

数 を具 体 的 に 表示 す る こ と

あ る と考 えて おか れ る と よい.

対応 の状況   線 形 写 像Tが,具 でR2か

― す ぐわ か る と き とわ か ら な い と き

体 的 に行 列 の形 で与 え られ て い て も この行 列 を一 目見 た だけ

らR2へ の対 応 の 模様 が す ぐわ か る と き もあ る し,そ うで ない と き もあ る.

す ぐわ か る と き  行列が

の よ うに,対

角 線 以 外 が0と

の と き は,e1が2e1に,e2が3e2に に は,Aはx軸

方 向 をOを

な っ て い る と き は,対

応 の 様 子 は す ぐに わ か る.こ

な っ て お り,座 標 平 面 を ゴ ム 膜 と 思 っ た と き 中 心 に し て2倍

引 き 延 ば す 線 形 写 像 とな っ て い る.し

に,y軸

方 向 をOを

中 心 に し て3倍

は 

た が っ て, 

に

に 移 さ れ る.

一般に行列

(3) で与 え られ る 線 形 写 像 は,a,b＞0な

らば,Oを

中心 として,x軸 a倍 に,y軸

方 向を

方 向 をb倍

に 引 き延 ば す 線形 写像 で あ る.ま た た とえ ばa＜ 0,b＞0な

らば,x軸

方

向 はOを 中 心 に 正 負 を反 転 させ てか ら￨a￨倍 だけ 引 き延ば し,y軸

方向は

そ の ま まb倍 だ け 引 き延

図3

ば す 線 形 写 像 とな る(図3).

 

こ こで'引 き延 ば す'と い った が,0＜￨a￨＜1,0＜￨b￨＜1の

ときは,'収 縮 す る'と

い った 方 が 言葉 づ か い と しては 正 しい だ ろ う.数 学 的 に は どの場 合 で も'a倍

され,

b倍

さ れ る'で

す む の だ が,日

常 的 な 言 葉 で 述 べ る と き に は,こ

うい う と こ ろ が 少 し

わ ず ら わ し く な る.

  つ い で だ が(3)でa,bの 方 が0の

よ う な と き,た

の よ うな と きに は,x軸 'a倍'引

少 な く と も一 とえ ば

方 向 はOを

き延 ば され る が(aの

た が っ て 状 況 は 違 う),y軸

中心 に

正負に し

方 向 は0へ

と

つ ぶ さ れ る(図4). 図4

す ぐわか らな い と き   行 列が

(4) で 与 え ら れ て い る と き に は,こ れ て い る か,こ

の 線 形 写 像 に よ っ て,R2が

の 行 列 を 眺 め て い る だ け で は,何

形 写 像 に 関 す る す べ て の 情 報 は,こ

ど の よ うにR2に

の イ メ ー ジ も 湧 い て こ な い.線

の 行 列 表 示 の 中 に 盛 られ て い る とい っ て も,

具 体 的 に 平 面 上 の 図 形 が ど の よ うに 移 され て い るか わ か ら な い の で,行 し て い る う ち に,何

移さ

列を凝視

か 数 字 の ア ラ ベ ス ク を 見 て い る よ うな 錯 覚 に 陥 る.

  同 じ よ う な 例 に み え る が,あ

と の 説 明 の た め,も

う1つ

こ の よ うな 行 列 の 例 を

与 え て お こ う.

(5)

隠 さ れ て い る ベ ク トル   上 の(4)と(5)で

与 え た行 列BとCは,こ

の行 列 の 形か ら線形 写 像 の 対 応

の 模 様 がす ぐに 読 み とれ な い とい って も,実 は 少 し状 況 が 違 うので あ る.   まず 行 列Bの 方 か ら説 明 してみ よ う.行 列Bで 与 え られ る線 形 写像TBに ては,特 徴的 な性 質 を もつ2つ の ベ ク トルが あ る.そ のベ ク トル とは

対し

で あ る.こ

の2つ

の ベ ク トル は,TBに

よ っ て そ れ ぞ れ2倍,3倍

され るベ ク ト

ル と な っ て い る:  

TBf1=2f1,TBf2=3f2

こ の こ とは 行列 で

が 成 り立 つ こ と を 確 か め さ え す れ ば よ い.   こ の よ うな ベ ク トルf1,f2は,行 ク トル'と

な っ て い る.こ

求 め て い くか は,次 りさ えす れ ば,線 えら れ る の で あ る

列 表 示(4)の

中 に は ひ と まず'隠

の 隠 さ れ た ベ ク トル を 行 列Bの

講 で 詳 し く述 べ る.し 形 写 像TBの

か し,こ

対 応 の 模 様 が,直

中 か ら どの よ う に 探 し

の よ うなf1,f2が

一度 見 つ か

観 的 な描 像 とし ては っき りと捉

.

  そ れ に は い ま ま で 用 い て き た 基 底 ベ ク トルe1,e2に 標 軸 の 基 底 ベ ク トル を 与 え て い る と考 え て,平 る.斜

され た ベ

図5

新 しい 座

面 に 斜 交座 標系 を 導 入す る ので あ

交 座 標 系 の 説 明 を 文 章 で す る よ りは,図5を

だ ろ う.

代 っ て,f1,f2が

見 て も ら っ た 方 が よ くわ か る

 

直 交 座 標 系 を 基 底 ベ ク トルe1,e2を2辺

とす る 正方 形 の タ イル を基 準 と して,平 面

を貼 りつ くして い った もの と考 え る と,こ の斜 交 座 標 系 はf1,f2を2辺 辺 形 の タ イル を基 準 に して 平面 を 貼 って い った もの で あ る.平 だ1通

りに 

系 を 用 い た 行 列Aの

TBで

列Bの

表 わ す 線 形 写 像TBの

状 況 は,直

状 況 と ま っ た く同 様 な こ と に な っ て い る.す

こ の 斜 交 座 標 平 面 を,Oを

中 心 し てf1軸

の 方 向 は2倍

に 引 き 延 ば し て い る の で あ る.座

す れ ば,Oを

ずた

と表 わ され る.こ の ときPの 座標 を(α,β)と す る ので あ る.

  こ の 斜 交 座 標 系 を 用 い れ ば,行

向 は3倍

とす る平行 四

面 上 の点Pは,必

止 め て,f1方

向 とf2方

交座標

な わ ちTBは,

に 引 き延 ば し,f2軸

の方

標 平 面 を ゴ ム 膜 か ら で き て い る と想 像

向 に,そ

れ ぞ れ2倍,3倍

と引 っぱ る写 像が

あ る!

  こ の よ うに し て,TBの つ くが,行

列Cで

対 応 の 模 様 は,図5の

与 え ら れ る 線 形 写 像Tcの

し て も う ま く捉 え ら れ な い の で あ る.そ

よ うに と って も,Tcxの

方 向は,x方

斜 交 座 標 系 を 見 てい る と察 しが 方 は,斜

れ は,零

交 座 標 系 と い う考 えを 導 入

で な い ベ ク トル 

向か らそ れ て 回転 して し まっ て,x方

は け っ して 乗 らな いか ら であ る.f1やf2の

を どの 向に

よ うに,線 形 写 像 に よ って そ の方 向 に

何 倍 か'引 き延 ば され る'よ うなベ ク トル はTcに

対 しては 存 在 しな い.こ の 節

の タイ トル の い い方 に した が えば,行 列Cに 対 して は,斜 交 座 標 系 の基 底 ベ ク ト ル と して 採 用 で きる よ うな'隠 され てい る ベ ク トル'は 存 在 しな い の であ る.   しか し ど う見 て も,行 列Bと 行 列Cに そ ん な に 大 きな違 い が あ る よ う で は な い.で は,行 列Bと 行 列Cの 表 わ す 線形 写 像 を 統一 的 にみ る よ うな視 点 は 本 当に な い の だ ろ うか.実

はそ の よ うな視 点 は数 学 の 形 式 の 中 で見 出 す こ とが で きる.

そ し てそ れ が 固 有値 問題 の幕 開 け とな って くるの で あ る. Tea

Time

質 問  行列 が与 え られ れ ば,ど の ベ ク トル が ど こへ 移 され るか はわ か ります.た とえば 問 題 と な っ てい る行 列Cの 場合 で も, 

と い うベ ク トル がTcで

どこ

へ 移 され るか は,行 列を 計 算 して

と わ か り ま す.お が,'も

話 し で は も っ と よ く対 応 の 状 況 を 知 りた い と い う こ と で し た

っ と よ く'と

い う こ とは ど うい う こ と か,も

う少 し 説 明 し て い た だ け ま

せ ん か. 答  た と え ば2次

関数

 

y=x2−2x−1 

を 考 え て み よ う,こ

の と きx=5に

と は す ぐに わ か る.し (*)の 数'xが

か し い ろ い ろ なxの

右 辺 を 計 算 し てyの 動 く と き,対

見 て,は

対 応 して い る こ

値 に 対 し て,

値 が わ か っ た と し て も,'変

応 し て'変

くか ま で は わ か ら な い だ ろ う.私 (図6)を

(*)

対 し,y=25−2×5−1=14が

数'yが

どの よ う に 動

た ち は(*)の

グ ラフ

じ め て 対 応 の 様 子 が わ か っ た と思 う.

も し グ ラ フ表 示 が な か っ た な ら ば,(*)は 報 を 私 た ち に 提 供 し て くれ た ろ うか.実

どれ だ け の 情 際 関 数 概 念 は,

グ ラ フ表 示 を 通 し な が ら 育 っ て き た の で あ る.   2次 の 行 列 が 問 題 と し て い る の は,R2か 応 の 様 子 で あ り,'2変 か とい う こ と で あ る.し

らR2へ

数'(x1,x2)が'2変 か し今 度 は,グ

図6

し ま っ た.グ

ラ フ 表 示 が で き な く と も,大 列Bに

な 説 明 は,こ

れ に 答 える もの な の で あ る.2次

域 的 な 対 応 の 模 様 を 描 写 す る こ とは で

対 し て 与 え た よ うな,ゴ

ム膜 を2方

向 に 引 っぱ る とい うよ う

関 数 の グ ラ フを か く よ う な こ と

っ た く別 の 方 向 へ 議 論 を 進 め て い る よ うで あ る が,大

知 りた い と い う問 題 意 識 に 立 っ て み れ ば,同 る の で あ る.し

か し 行 列Cに

つ い て は,い

何 も わ か っ て い な い と い っ て よ い.

どの よ うに移 され る

ラ フ で 表 示 す る よ うな 手 段 は な く な っ て

き な い か.行

と,ま

の対

数'(y1,y2)に

域 的 な対 応 の模 様 を

じ よ うな方 向へ 進 ん で い る ともい え ま の 段 階 で は こ の よ うな 意 味 で は ま だ

第2講 隠 され て い る ベ ク トル を 求 め て テーマ

● 隠 され て い る ベ ク トル と連 立方 程 式 ●2元1次

の連 立 方 程 式 に 対 す る注 意

● 前講 で述 ベ た行 列Bに 対 して,斜 交 座標 系 を 求 め る方 法 ● 一 般 的 な2次 行 列 の場 合 に,斜 交 座標 系を 求 め る方 法 と試 み ●1つ

の例

● な お も隠 され てい るベ ク トル―'倍

率'が 複 素数 とな る とき

隠 され て い るベ ク トル と連 立 方 程 式 前講で

に 対 し,'隠

され て い る ベ ク トル' 

を 用 い る こ と に よ り,対

応

の 模 様 を 斜 交 座 標 系 を 通 し て 記 述 す る こ と が で き た.   このf1,f2はBか 線 形 写 像 をTBと

ら ど の よ う に し て 見 出 さ れ た の だ ろ うか,Bに す る と,f1,f2はTBに

よ っ て決 まる

よ っ て 何 倍 か され る ベ ク トル で あ る.し

た が っ てf1,f2は,   TBx=λx  を み た す ベ ク トルxを は'倍 単 にBが

率'で

求 め る と,そ

あ り,x=f1の

て お こ う.

の 中 に 必 ず 見 出 さ れ る は ず で あ る.こ

と き は2,x=f2の

与 え ら れ た 段 階 で は,'倍

(1)

と き は3と

な っ て い る.し

こで λ か し,

率'λ 自 身 が 未 知 数 とな っ て い る こ とを 注 意 し

(1)は,適

当 な λに 対 し て

(2) を み た す 

を 求 め る と い っ て も 同 じ こ と で あ る.(2)はx1=x2=0の

ときに

は 必ず 成 り立 つ が,私 た ちは,斜 交 座標 の基 底 ベ ク トル とな るxを 求 め たい の だ か ら次 の 条 件 を おい てお く必要 が あ る: 条 件:

(2)は

連立 方 程 式 の 形 でか くと次の よ うにな る:

あ る いは 移 項 して 整理 す る と

(3) で,条

とな る.こ の 連立 方 程 式 の解 

件x≠0を

み た す も のを 求め る こ と

が,当 面 の 問題 とな った の であ る. 連 立 方 程 式 に 対 す る1つ   こ こで2元1次

の 注 意(挿

記)

の連 立 方程 式 に つい て,次 の 命題 が 成 り立 つ こ とを注 意 して お

こ う.

連立方程式 Ax+By=O

{

Cx+Dy=0

が,x=y=0以

外 に 解 を もつ た め の 必 要 十 分 な 条 件 は,

係 数 の つ く る 行 列 式 が0,す

なわ ち

が 成 り立 つ こ と で あ る.

も っ と一 般 的 な 命 題 を第5講 で証 明す るか ら,こ こではBとDが0で

ない と き

に,簡

単 な 説 明 を 与 え て お こ う.

Ax+By=0は

原 点 を 通 る 傾 き −A/ Bの

通 る 傾 き−C/Dの ら な い.こ

直 線 の 式 で あ る.も

直 線 の 式 で あ り,Cx+Dy=0は し 傾 きが 違 え ば,2直

の と き 連 立 方 程 式 の 解 はx=y=0だ

外 に 解 が あ る の は,2直

原点を

線 は原 点で し か 交 わ

け と な る.し た が っ てx=y=0以

線 の 傾 き が 一 致 し て 重 な る と き に 限 る.こ

の と き直 線上

が す べ て連 立 方 程式 の解 を 与 え るこ とに な る.

に 並 ぶ 点, 

傾 きが一 致す る条 件 は

で あ る が,こ

れ を か き 直 す と,条

件AD−BC=0が

f1とf2を

  こ の 結 果 を(3)に

得 ら れ る.

見 つ け る道

適 用 し て み る と,(3)がx1=x2=0以

外 の 解 を もつ 必要 十

分 条件 は

で 与 え ら れ る こ と に な る.こ ら,解

の 方 程 式 は(λ−2)(λ−3)=0と

因数分解 さ れ る か

は

 

λ=2ま

と な る.す   λ=2の

と な り,解

上 の点  λ=3の

な わ ち'倍

得 ら れ る.

λ=3

率'λ の 方 が 先 に 求 め ら れ て し ま っ た の で あ る.

と き,(3)は

はx1=x2で

与 え ら れ る.す

が す べ て 解 に な る.特 と き,(3)の

左 辺 の2つ

  と な る.し

たは

な わ ち 原 点 を 通 っ て 傾 き が1で

にx1=1と

お く と 

あ る直線

が 得 ら れ る.

の 式 は一 致 し て 2x1−x2=0

た が っ て 解 は2x1=x2で

与 え ら れ る.特

にx1=1と

お く と 

が

 こ の よ う に し て,f1,f2が

ど の よ うに し て 行 列Bか

こ の 説 明 か ら も わ か る よ うに,f1と を と っ て も,第1講

も, 

し て 

ら 求 め ら れ る か が わ か っ た.

を と る 必 要 は な く, 

で 同 じ よ うな 議 論 は で きた の で あ る.f2に

を と って ついて

も似 た よ うな こ とは い え る. 一 般 的 な 方 向へ 向 け て の 示 唆

  行 列Bか ら,f1,f2を'抽

出'し て きた この議 論 か ら,一 般 に次 の よ うな こ と

が わ か る.   い ま任 意 に 行 列

が 与 え ら れ て い た と す る.こ に は,ま

ず'倍

率'λ を,(3)に

の と きAx=λxと

な る 零 で な い ベ ク トルxを

求める

対 応す る連 立 方程 式

(3)′

が,(x1,x2)≠(0,0)と

な る解 を もつ条 件

(4) か ら 求 め る.   こ の λに つ い て の2次

方 程 式 が,も

し 実 解 αを も つ な ら ば,こ

λに代 入 し て連 立 方程 式 を と く.こ の解 

は,Aに

の αを(3)′

の

よ っ て α倍 さ れ る ベ ク

トル とな って い る.   この よ うな ベ ク トル が,も れ るな らば,Aの

し斜 交 座 標 軸 の基 底 ベ ク トル とな る よ うに2つ 選 ば

線 形 写 像 と して の対 応 の模 様 は この 斜交 座 標 軸 を'引 き延 ば す'

とい うよ うな い い方 で捉 え る こ とが で き る. 1つ

の 例

  この方 針 に した が って線 形 写 像 の対 応 の 状 況が わ か る例 を1つ あ げ て お こ う.  行列

で与 え られ る線 形写 像 を 考 え よ う.こ の と き

した が って'倍 率'は または で あ る. λ=2の

とき連 立 方 程式

を と い て, 

が 得 ら れ る.こ

こ でx1=1と

し て,斜

交 座 標 系 の1つ

の基 底

ベ ク トル と し て

を と る こ と に す る.

の と きに は,連 立 方程 式

を と い て,  の 基 底 ベ ク トル と し て

が 得 ら れ る.こ

こ でx1=2と

し て,斜

交 座 標 系 の も う1つ

を とる.行 列Aの 決 め る線 形 写像 をTAと

する と

で あ る.   TAに

よ る 対 応 が ど の よ うに な る か は,図7で

て 向 きが 逆 に な る の で,対

示 し て お い た.f2がTAに

よっ

応 の 模 様 が 少 し 見 に く くな っ て い る.

図7

な お も 隠 さ れ て い る ベ ク トル   それ では 前 講 で述 べ た行 列Cに 対 して は,な ぜ この よ うな プ ロセ ス で,'隠

さ

れ て い る'ベ ク トルを 見 出 す こ とが で きなか った の だ ろ うか.  行 列Cを 再記 す る と

で あ る.上

の 方 針 に し た が え ば,ま

ず

とい う方程 式 を 考 え る こ とに な る.と ころが この 方 程式 の解 は 虚解 で あ り

とな る.し たが って,行 列Bに 対 して行 な って き た説 明 は も うこ こで行 きづ ま っ て し ま う.   い ま まで の 話か ら明 らか とな った事 実 を この 場 合 に適 用 す る と次 の こ とが わ か る.行 列Cの 決め る線 形 写 像をTcと

す る.こ の とき平 面R2上

で,零 で ない ベ

ク トルxで,xがTcに

よ っ て 何 倍 か―

た と え ば α倍(α ∈R!)―

さ れ る よ うな もの は け っ し て 存 在 し な い.す x≠0に

な わ ち,ど

に 引 き延 ば

ん な 実 数 α を と っ て も,

対 して

が 成 り立 っ て し ま う.

 

この よ うな線 形 写 像 の 中 で最 も典 型 的 な も のは,原 点を 中心 とす る 角 θ(0＜ θ＜π; 角 の単 位 は ラジ ア ン)の 回転R(θ)で あ る:

実 際,こ

のときも

の 解 は虚 解 

と な っ て い る.

  しか し こ こで立 ち 止 まら ない で,私 た ちは 強 引 に,Bで な議 論 ―

行 った 議 論―

を も う一 歩 推 し進 め てみ る こ とに し よ う.

  そ うす る と連 立 方 程 式

を, 

の 場 合 に と い て み る こ とに な る.

と, 

実 際 とい てみ る と

こ こ でx1=1と

こ の 式 は,形

の と き,解

は 

の と き,解

は 

お き,ま

で あ る.

で あ る.

っ た く形 式 的 な 演 算 を 行 な う と

式 的 に は,'複

素 ベ ク トル'

代数的

を 導 入 して お くと

と表わ され る こ とを 意 味 してい る.   この こ とは,行

列Cの 場 合,'隠 され て い る'ベ

ク トル は,単

に 行 列Cの 中 に

隠 され て い た だ け で は な く,実 数 とい う世 界 では 捉 え られ ず,複 素 数 とい う世 界 の 中に 隠 され て い た と見 るべ き では な か ろ うか .

Tea

Time

質 問   講 義 の 中 で お話 の あ った角 θだ け の 回転

の と き, 

に 対 応 す る'複

素 ベ ク トル'は

あ る の で す か.あ

る と

す れ ば そ れ は 何 で す か. 答  実 際 λ に 対 応 す る連 立 方 程 式 を つ く っ て と い て み る と,0＜

θ＜ π の と き に

とお くと

と な っ て い る こ とが わ か る.平 せ て い る の に,複

面 上 で は す べ て の ベ ク トル(≠0)を

素 数 の 世 界 に 踏 み こ む と,f1,f2の

す る と は ど うい う こ とか と,妙

よ うな'ベ

な 気 持 ち に な る か も し れ な い.こ

θだ け 回 転 さ ク トル'が

存在

れ に つ い ては 次

講 で も う少 し述 べ る こ と に し よ う.

質 問   '一般 的 な 方 向 へ の 示 唆'の 節 で,斜

交 座 標 軸 の 基 底 ベ ク トル とな る よ う に

2つ 選 ば れ た とす る,と か い てあ りま した.λ に 関す る2次 方程 式 が 実 解 で とけ て も,斜 交 座 標 軸 の 基底 とな るベ ク トル を見 つ け られ ない とき もあ るの で す か. 答  この こ とに つ い て はあ とで詳 し く述 ベ るが,質 問 もあ った の で,そ の よ うな 典 型 的 な 例 を こ こで1つ 述 べ て お くこ とに し よ う.そ れ は

で与 え られ る行 列 で あ る.一 般 的 な プ ロセ ス に した が え ば

を と く こ と に な るが,こ は1だ

の 解 は 明 ら か に λ=1(重

け で あ る が,Ax=xと

な る ベ ク トル は 

す なわ ちx軸 上 に あ る ベ ク トル だけ がAに 上 に な い ベ ク トル,た れ る.し う1本'の

と え ば 

た が っ て こ の と き,斜

解)で あ る.し

の形 の もの だけ であ る.

よ って動 か され な い(倍 率1!).x軸

と い うベ ク トル はAに

よ っ て 

交 座 標 軸 の 候 補 と な る の はx軸

方 向 が な い の で あ る.

た が っ て'倍 率'

へ と移 さ

だ け で あ っ て,'も

第3講 複 素 ベ ク トル 空 間C2 テー マ

● 複素数―

実数 部分,虚 数 部分

● 複 素 数 の 極 表示 ―

絶 対値 と偏 角

● 複 素 数 の か け算 は,絶 対値 はか け,偏 角 は 加 え る. ● 代 数 学 の 基 本定 理 ● 線 形 写 像 の 理論 と代 数 的立 場 ―

複 素数 の 導入

● ベ ク トル 空 間C2 ● 固 有値 と固 有ベ ク トル ● 固 有 多 項 式,固 有 方 程 式 ● 固 有値 と線 形写 像 の 状 況

複

素

数

  私 た ちの 考 え て い る数 学 的 対 象 の中 に,し だい に 複素 数 の 世 界 が 浮か び 上 が っ て きた.そ

こで 複素 数 に つ い て,基 本 的 な こ とを 思 い 出 し てお くこ とに し よ う.

 複 素 数は 虚 数 単 位i(i2=−1)に

よ って

と表 わ され る数 であ る.加 法 は 自然 に

と定 義 され る.減 法 は

で あ る.複 素 数 と し ての 特 徴 的 な性 質 は 乗法 に あ り,そ れ はi2=−1と と分 配則 か ら

と定 義 さ れ る.

い う約 束

  複 素 数 は,複

素 平 面(ガ

て 表 示 さ れ る.す

ウ ス 平 面)上

な わ ち,複

の点 と し

素 数a+ibを,座

標

(a,b)を

もつ点 とし て座 標平 面 上 に 表示 す るの で

あ る.こ

の と きx軸

 

を 実 軸,y軸

を 虚 軸 と い う.

複 素 数 α=a+ibは,実 数 を 主体 と して 考 え る と '2次 元 の数'で あ る .し た が っ て,こ れ か らR2の 代 り にC2を

考 え る 場 合 に は,C2の

元 

とい っ

て も,α,β が そ れ ぞ れ 複 素 平面 上 に あ るの だか ら,

図8

実 は実 数 上 で み れ ば4次 元 の 点 を 表 わ して い る こ とに な る.4次

元 では,図 で表 わ し

よ うは な い!

  複 素 数 α=a+ibに

対 し,α=a−ibを

 

らか に

α+α=2a,α−α=2ib

で あ る.a,bを わ す が,こ

共 役 複 素 数 と い う.明

α の 実 数 部 分,虚

数 部 分 とい っ て,そ

れ ぞ れ〓(α),〓(α)と

表

の とき 上 の式 は

と表 わ され る. 複 素数の極表 示   0で な い複 素 数 αは,複 素 平 面 上 で,原 点 を始 点 とし αを 終 点 とす るベ ク トル と して 表 わ す こ とが で き る.こ の ベ ク トルの 長 さを αの 絶 対 値,ま たは 長 さ とい い￨α￨で 表 わ す.ま た,こ の ベ ク トルが 実 軸 となす 角 を αの 偏角 とい いargα で 表 わ す. と し,

で あ り,α

 と お く と

は

と 表 わ され る(図9).こ

の 右 辺 を複 素 数 αの

図9

極 表 示 と い う(α=0の

と き,偏

角 は 決 ま ら な い が,￨α￨=0と

表 わ す こ とに よ り,

これ も 上 の 表 示 の 中 に 加 え て お く).   こ の 極 表 示 に よ り,複 素 数 の 乗 法 に 関 し,新

し い 観 点 が 生 じ て くる.α,β

を2

つ の複 素 数 と し

と す る.こ

の とき

と な る.こ

の右 辺 を 見 る と

の こ とが わ か る.   標 語 的 に い えば,2つ は 加 え 合 わ さ れ る.幾 と は,ま

ず'ベ

トル を,argβ

の 複 素 数 α,β を か け る と き,絶 何 学 的 に み れ ば 次 の よ うに な る.α

ク トル'α

の 長 さ を￨β￨倍

角

に βをか け る とい う こ

に こ の よ うに し て 得 ら れ た ベ ク

だ け 回 転 す る こ と で あ る(図10).

  す な わ ち 複 素 数 の か け 算 は,複 拡 大(ま

し,次

対 値 は か け ら れ,偏

た は 縮 小)写

素 数 を 複 素 平 面 上 の ベ ク トル とみ る と き,相

像 と 回 転 を 同 時 に 表 現 し て い る の で あ る.

図10

似

  この こ とは 前 講Tea

Timeで

示 した,(複 素数 の 中 に)'隠

され て い た ベ ク トル'と

回転 との間 に 成 り立 つ1つ の 関 係

を説 明 して い る.右 辺 に 現 わ れ た 

をか け る こ とは,け っ して'倍 率'を

意味 してい るの で はな く,い まの場 合 θだ け の回 転 を 意味 してい た の であ る.

代 数 学 の基 本 定 理   歴 史 的に み て,複 素 数 が 数学 の中 で 確立 した 地位 を 占め た の は,複 素 数 の 中で は 代数 方 程 式 は必 ず 解 を も つ とい う次 の定 理 が,1779年

に ガ ウス に よ っ て は じ

め て証 明 され た こ とに よっ て い る.

【代 数 学 の基 本 定理 】  複 素係 数 のn次 の 代 数方 程式

は,必

 

ず(重

解 も 含 め て)n個

の 複 素 数 の 解 を もつ.

複 素数 の もつ この性 質 を,複

素 数 は代 数 的 閉体 を つ くる とい うい い 方 で述 べ る こ と

もあ る.こ の 定理 を 当 り前 と思 うよ うな人 が い るか も しれ な い の で,次 して お こ う.2次 100次 とか,1000次

方 程 式 の ときす で に虚 解 が 現わ れ て,複 の 代 数 方 程 式 を と くと きに は,も

は な いか と考 え る こ とは,む

の こ とを注 意

素数 の 導入 を必 要 と した.

っ と新 しい 数 が 必要 とな るの で

しろ 自然 な こ とでは な か ろ うか.ま

には,解 の公 式 か ら虚 解 の存 在 が わ か った.一 般 の 場 合,解

た2次 方 程 式 の と き

の 公 式 を 用 い ない で,ど

うし て複 素数 の 中に 解 の存 在 を確 認 で き るのだ ろ うか.こ の 証 明 に つ い ては,た

とえ

ば 『複 素 数30講 』(朝 倉 書 店)を 参 照 して い た だ きた い.

代 数 的 立 場 ―

  こ こ で 私 た ち は,第1講,第2講 て,数

学 の 形 式 の 中 で 整 え,さ

が か りを 得 た い と 考 え る.私 ら 出 発 し た の で あ っ た.線

複 素 数 の 導 入

で 述 ベ て き た こ とを,代

数学の立 場 に 立 っ

ら にn次

元 ベ ク トル 空 間 へ と一 般 化 す る 方 向 の 手

た ち は,よ

く見 な れ た 平 面 か ら平 面 へ の 線 形 写 像 か

形 写 像 は あ る 方 向 へ の 相 似 拡 大(ま

た は 縮 小)を

だ け で は な く,回 転 も ま た ご く 自然 な も の と し て 含 む の で あ る.こ 大 の 方 は,前

講 で も 述 べ た よ う に,'λ

に 関 す る'2次

含む

の うち相 似 拡

方 程 式 の 実解 と して倍 率 が

得 られ る の であ るが,回 転 の 方 は,本 質 的に は,こ の2次 方 程 式が 虚 解 を もつ場 合 に対 応 してお り,実 数 の中 だ け でみ る限 りでは,相 似拡 大 と同 じ よ うに 取 り扱 うわけ には いか な くな って くる.   しか し,虚 解 を もつ場 合 で も,複 素 数 を導 入 して お くな らば,複 素 数 の 乗法 は 回 転 も含 む とい う事 実が 暗 に 働 い て,回 転 さえ も,あ る複 素 ベ ク トル を 何倍(複 素 数倍!)す

る とい う形 に 述 べ る ことが で き る よ うに な っ て くる.

  この よ うな こ とに 注 目す る と,ひ と まず こ こで,実 数の 世 界 で展 開 され る直 観 的 描 像 の 世 界 を超 えて,複 素数 の世 界 で線 形 写 像 の理 論 を 構成 す る方 が よい と思 えて くる .繰 り返 す よ うで あ るが,こ の 考 え を支 え る のは,複 素 数 の 中 で の乗 法 (代数 的!)が,相

似 写像 と回転(線 形 写 像!)と

し っか り結び つ い てい る と い

う事 実 に あ る.こ の 代 数 的 な状 況 と幾何 学 的 な状 況 を渡 す 架 け橋 とな るのが,固 有 方 程式(一 般 の場 合 は第5講 参 照)の 解 が 複 素 数 の 中で 見 つか る こ とを保 証 す る代 数 学 の基 本 定 理 に あ る とい って よい. ベ ク トル 空 間C2

  複素 数 を導 入 した とき,第1講,第2講

で 述べ た こ とが,ど の よ うに ま とめ ら

れ るか をみ てみ よ う.  実 数 をRで numberで

表 わ した よ うに,複 素数 をCで

あ る).C2に

よ り,2つ

トル 空 間 を 表 わ す.ベ

表 わ す(複 素 数 は 英 語 でcomplex

の 複 素 数z1,z2の

ク トル 空 間 と か い た が,こ

組 

こ で はC上

全 体か らな るベ ク の ベ ク トル 空 間 の こ

と であ って

加

法:

ス カ ラ ー 積:

と し て定 義 した もの で あ る.   C2か らC2へ 講 でR2の

の線 形 写 像 の 定義 や,線 形 写像 を 表 現 す る行 列 の こ とな ど,第1

場 合に 述 べ た の とま った く同様 で あ る.違 い は ス カ ラーが 実数 か ら複

素数 へ と変 わ った こ とで あ る.

固 有 値 と 固 有 ベ ク トル

  第1講,第2講

で は,'倍

す い 言 葉 を 使 っ て,線

率'と

か'引

き 延 ば さ れ る'と

形 写 像 の 性 質 を 調 べ て きた.し

い う よ う な わ か りや

か し複 素数 を 導入 した動 機

が,'倍

率'と

い う言 葉 の 適 用 を は ば む よ う な状 況 が あ っ た こ と か ら 生 じた の だ か

ら,こ

の 辺 りで 改 め て 数 学 ら しい 正 し い 定 義 を 導 入 し,概

念 を 明確 化 した 方が よ

い よ うに 思 わ れ る.   C2か

らC2へ

の 線 形 写 像Tが

【定 義 】  あ る零 で な いC2の

与 え ら れ た とす る.

ベ ク トルxが

 

当 な μ(∈C)に

対 して

Tx=μx

が 成 り立 つ と き,こ   μ がTの

の μ をTの

固 有 値 と い う.

固 有 値 の と き,

 

Tx=μx

を み た す ベ ク トルxを,固 お く こ とは,固 (x=0の

存 在 し て,適

有 ベ ク トル の 中 に は,必

と き,上

トル を 

有 値 μ に 属 す る 固 有 ベ ク トル とい う.こ

式 の 両 辺 は と も に0と

ず0が

こで注 意 し て

含 ま れ て い る とい う こ と で あ る

な る).μ を 固 有 値,μ

に属 す る固 有ベ ク

とす る と

で あ る.す な わ ちxの 各成 分 は,Tに

よ っ て長 さが￨μ￨倍 され,argμ

だけ の 回

転 を うけ る. 固 有 多 項 式,固

有方程式

  C2か らC2へ の線 形 写 像Tを 表 わ す 行列 をAと す る:

この と き μが 固有 値 とな る条件 は,

をみ た す 

が 存在 す る こ とで あ る.同 じ こ とを 連立 方 程 式 の形 でか くと,

連立方程式 (1) が,z1=z2=0以 す る1つ

外 に 解 を もつ とい う条 件 で 与 え ら れ る.第2講'連

の 注 意'で

述 べ た こ と は,複

素 数 で も 同 様 に 成 り立 つ.そ

立 方 程 式 に対 の こ と か ら,

μ が 固 有 値 と な る 判 定 条 件 を 次 の よ うに 述 ベ る こ とが で き る.

μ が 固 有値

  この 右 辺 の行 列 式 に 注 目し て次 の 定義 を お く. 【定 義】  λにつ い て の2次 式

を,行 列Aの 固有 多 項 式 とい う.ま た方 程 式

を,Aの

固 有方 程 式 とい う.

  固有 多 項 式 の具 体 的 な形 は,行 列 式 を 展 開 して

とな る ことがわ か る.こ の λに つ い て の2次 式 にお い て,λ の係 数 は 行 列Aの 対 角 線 の和 に マイ ナ スを つ け た もの,ま た 定 数項 はAの 行列 式 とな って い る.   固 有 多項 式 は,線

形 写 像Tそ の もの では な く,'Tを

表 わ す 行 列A'を

定 義 され てい る.実 は,固 有 多 項式 は 線 形 写像Tに 固 有 な もの で あ り,Tの

用い て

表 示 の と り方 に よら ない.こ の こ とに つ い て は,第5講

行列

で は っ き りと述 ベ る こ と

に し よ う. 固 有 値 と線 形 写 像 の 状 況   固有 方 程式 ΦA(λ)=0の 解 が 固有 値 なの だが,複 素 数 の 中 で は ΦA(λ)=0は つね に解 を もち,し た が って 線形 写 像Tは 必ず 固有 値 を もつ とい う こ とに な る.解 の あ り方 は,本 質 的 に は2通

りあ っ て,そ れは 相 異 な る解 を もつ か,重 解 を もつ か

で あ る.こ

の2つ

の 場 合 が,線

形 写 像 の 状 況 に 直 接 反 映 し て く る.そ

の こ とを述

べ て み よ う.   (Ⅰ)  ΦA(λ)=0が2つ

の 異 な る 解 μ,ν―

  こ の と き  入 す る と,こ

で あ る.連

と お く.同

様 に,λ=ν

と す る.こ

の とき

で あ る.し

た が っ てf1,f2は,固

立 方 程 式(1)に

λ=μ,λ=ν

と表 わ さ れ る.こ

と り,そ れ をz1=c1,z2=c2と

し,

有 値 μ,ν に 属 す る 固 有 ベ ク トル で あ る.

任 意 の ベ ク トルxは,た

だ1通

りに

の 証 明 は も う少 し 一 般 的 な 立 場 か ら,第6講

こ で は 省 略 す る こ とに し よ う.読

者 は,第1講,第2講

で 与 え る か ら,こ

の 話 を 思 い 出 さ れ て,ｆ1,

斜 交 座 標 系 を 決 め て い る と い う イ メ ー ジを も た れ る と よ い.こ

線 形 写 像Tに

を代

の と き の 連 立 方 程 式 の 解 か ら得 ら れ る 零 で な い ベ ク トル を

  ま た こ の 場 合,C2の

よ っ てxの

と な り,線 形 写 像Tの   (Ⅱ)  ΦA(λ)=0の

の とき

移 る先 は

対 応 の 様 子 が わ か っ た. 解が 重 解 の と き

  こ の 重 解 を μ とす る と,ΦA(λ)=(λ

−μ)2で あ る.Tの

こ の と き次 の2つ

生 ず る.

の 場 合(a),(b)が

  (a)  μ に 属 す る2つ た だ1通

を もつ 場 合

れ ら の 連 立 方 程 式 は そ れ ぞ れ 零 で な い 解 を も つ.

  λ=μ の と き の 零 で な い 解 を1つ

f2がC2の

固有 値 ―

の 固 有 ベ ク トルf1,f2が

存 在 し て,任

りに

と表 わ さ れ る.   こ の と き に は ベ ク トル 

固 有 値 は μ だ け で あ る.

に 対 し て 

意 の ベ ク ト ルxは

=μxと

な り,Tは,xを

  (b)そ

単 に μ 倍 す る 線 形 写 像 と な っ て い る.

うで な い と き.こ

存 在 す る が,こ う な 例 は,R2の

の と き に も,μ

れ だ け か ら で は,Tの 場 合 で は あ る が,第2講

のTea

Timeで

の よ

与 え て お い た.

Time

質 問   '固有 値 と 線 形 写 像 の 状 況'の(Ⅰ)の

と こ ろ で,「x=αf1+βf2と

よ っ て αμf1+β νf2に 移 る.こ

た 」 と あ り ま し た が,様

な い 固 有 ベ ク トルfは

対 応 の 様 子 は す ぐに は わ か ら な い.こ

Tea

トル がTに

に 属 す る0で

れ で 線 形 写 像Tの

子 が わ か っ た と い っ て も,ど

い うベ ク

対応 の様 子が わ か っ

ん な こ とが わ か っ た の で し

ょ うか. 答  た と え ば ベ ク トルaが トルxを

あ ら か じ め 与 え ら れ て い る と き,Tx=aと

求 め る こ と は.成

分 を 使 っ て 表 わ せ ば,連 立 方 程 式 を と く こ と に な る.

し か し 連 立 方 程 式 を と い て 解 の 形 を 見 て も,線 か に な っ た わ け で は な い.し っ て い る な ら ば,線 め,い

か し も し,Tに

表 わ し て お こ う.そ

で 与 え ら れ る.も し て,そ

形 写 像Tと

の 関係 は それ ほ ど明 ら

つ い て(Ⅰ)の

よ うな 状 況 が 成 り立

形 写 像 の 見 方 に 立 つ 簡 明 な 解 の 表 示 が あ る.そ

まa=c1f1+c2f2と

の 解 は 

し μ=0,ν

れ を 示 す た

うす る と,μ,ν ≠0の と き は 解xは 

≠0な

で 与 え ら れ る.こ

こ と は す ぐに 確 か め ら れ る だ ろ う.こ は っ き りわ か っ た 上 で,は

なるベ ク

らば 解 はa=c2f2の

ときだ け 存 在

こ で λは 任 意 の 複 素 数 で あ る.こ

の よ う な こ と は,確

じ め て い え る こ と で あ る.

か にTの

の

対 応 の 様 子が

第4講 線形写像 と行列 テーマ

● ベ ク トル 空 間 の導 入 ●(C上

の)n次

元 ベ ク トル空 間

● 基 底 と基 底 変換 ● 基底変換の行列 ●1次

独立 と1次 従 属

● 線 形 写像 と行列 ● 逆 行 列 と単位 行 列 ● 基 底 変換 と線 形写 像 の 行 列 表 示

は

じ め

に

  い ま ま で 述 べ て き た こ とを さ ら に 発 展 さ せ よ う と す る と き,自 は,C2の

代 りに も っ と一 般 な ベ ク トル 空 間Cn(n=1,2,…)を

う.Cnと

は,n個

然 に 接続 す る道

考 え る こ とで あ ろ

の複 素 数 の組

全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間 の こ と で あ る.こ

こ に い ま ま で と 同 じ よ うな 問 題 設 定

と,ま

た そ れ に 対 し て 似 た よ うな 議 論 を 行 な う こ とが 可 能 で あ ろ う と い う こ と

は,誰

で も 予 想 で き る こ と で あ る.

  しか し 私 た ち は,Cnよ

り も う少 し 抽 象 的 な 設 定 を し て お きた い.す

n次 元 複 素 ベ ク トル 空 間 と,そ

の 上 の 線 形 写 像 を 調 べ る と い う立 場 を と りた い.

n次 元 複 素 ベ ク トル 空 間 の 定 義 は す ぐ あ と で 明 確 に 述 べ る が,加 の 演 算 の で き る 対 象 で,そ

な わ ち,

の 中 で 適 当 なn個

の 元e1,e2,…,enを

法 とス カ ラー積 と る と,任 意 の 元

xは た だ1通

りに 

と表わ され る よ うな もので

あ る.   ベ ク トル 空 間 の 立 場 は,Cnよ

りは る か に 抽 象 的 な 立 場 で あ る.こ

りた い 理 由 は い ろ い ろ あ る が,さ

しあ た り こ こ で は 次 の こ とを あ げ て お こ う.

  ま ず た と え ばC2に

う図 示 す る こ と な ど で き な い の で あ る.こ

し て も,も

の立 場 を と

の と

に と っ て,x=x1e1+x2e2と

表 わ す こ と

な どに どれ だ け 意 味が あ るだ ろ うか.基 底 ベ ク トル と して 

を

き,基

底 ベ ク トル を 

と っ て も,あ

を と って も,本 質 的 に は大 した 違 い

る い は ま た 

は な い の で は な い だ ろ うか.   こ の こ と は,ベ

ク トル 空 間 そ の も の よ りは,そ

移 す と も っ と は っ き りす る.線

形 写 像 を 調 べ る と きに は,も

有 ベ ク トル で 基 底 と な る も の が あ る な ら ば,こ と調 べ や す い.た

とえ ば 回 転R(θ)をC2上

基 底 と し て は 上 のe1,e2を

の 上 に 働 く線 形 写 像 の 方 へ 眼 を し この線 形写 像 の固

の ベ ク トル を 基 底 に と る 方 が ず っ の 線 形 写 像 と し て 調 べ る と き に は,

と る 方 が よ い だ ろ う(第2講Tea

Time参

照).個

の 線 形 写 像 の 挙 動 を 調 べ る こ とが 研 究 の 主 要 な テ ー マ と な っ て く る と,ベ

々

ク トル

空 間 の 中 に 固 定 さ れ た 標 準 的 な 基 底 ベ ク トル を お く と い う考 え が 薄 れ て き て,個 個 の 線 形 写 像 が,そ て く る.一

方,線

れ ぞ れ 適 当 な 基 底 を 個 別 的 に 決 め る とい う考 え が 中 心 に な っ 形 写 像 を 定 義 す る に は,空

れ て い れ ば よ い.こ

間 に 加 法 と ス カ ラ ー積 だ け が 定 義 さ

こ に 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 を 導 入 す る 考 え が 浮 か び 上 が っ て

く る の で あ る. n次

元 ベ ク トル 空 間

【定 義 】 集 合Vが

次 の2つ

  (ⅰ)  x,y∈Vに

対 し て 加 法x+y(∈V)が

  (ⅱ)  α∈C,x∈Vに

の 性 質 を も つ と き,ベ

定 義 され る.

対 し て ス カ ラ ー 積 αx(∈V)が

  さ ら に 次 の(ⅲ)の

性 質 を も つ と き,n次

  (ⅲ) Vの

の 元e1,e2,…,enが

通 りに

中 にn個

ク トル 空 間 とい う.

定 義 さ れ る.

元 ベ ク トル 空 間 とい う.

存 在 し て,Vの

任 意 の 元xは,た

だ1

と表 わ さ れ る.   こ こ で(ⅰ)と(ⅱ)で

述 ベ た 加 法 と ス カ ラ ー 積 は,ふ

つ も の と し て い る の で あ る.も

つ う の 演 算 規 則 は 成 り立

っ と もふ つ うの 演 算 規 則 と は 何 か と聞 か れ れ ば,

実 際 は 次 の8つ

の 規 則 を か か な く て は な ら な い.こ

を か く の は,や

は りわ ず ら わ し い こ と に は 違 い な い.①x+y=y+x,②(x+y)

+z=x+(y+z),③ 存 在 す る,④

す ベ て のxに す べ て のxに

の よ う な 当 り前 の よ うな こ と

対 し,x+0=xを

対 し,x+x′=0を

成 り立 た せ る よ うな 元0が 成 り立 た せ る よ う な 元x′ が 存 在

す る,⑤1x=x,⑥α(βx)=(αβ)x,⑦α(x+y)=αx+αy,⑧(α+β)x=αx+βx.

  上 に 述 べ た 定 義 は,正

確 に はC上

の ベ ク トル 空 間 の 定 義 と い うべ き な の だ が,

私 た ち は こ れ か ら 主 に 複 素 数 を 基 礎 に と っ て 考 え る の で,'C上 省 く こ と に す る((ⅱ)で 定 義 と な る).ま に はn次

α∈R,(ⅲ)でxi∈Rと

た 第13講

ま で は,特

す る とR上

に 断 ら な い 限 り,ベ

の'と い う言 葉 を の ベ ク トル 空 間 の

ク トル 空 間 と い う と き

元 ベ ク トル 空 間 の こ と と す る.

基 底 と基 底 変 換   ベ ク トル 空 間 の 定 義 の(ⅲ)で

述 べ て い る 元{e1,e2,…,en}をVの

基 底 の と り方 は い ろ い ろ あ る が,ど nは 一 定 し て い る(こ

の 基 底 を と っ て も,基

底 に現 わ れ る元 の 個 数

の 証 明 は 省 略 す る) .

  {e1,e2,…,en},{e1,e2,…,en}をVの2つ た だ1通

基 底 と い う.

の 基 底 とす る.こ

の と き,各ejは,

りに

(1) と 表 わ さ れ る.こ

のe1,e2,…,enの

係 数 を,順

次1列

目,2列

目,…,n列

並 べ て 得 られ る行 列

(2)

を,{e1,…,en}か   Vの

元xを,基

ら{e1,…,en}へ

の 基 底 変 換 の 行 列 と い う.

底{e1,…,en}と{e1,…,en}を

用 い て表 わ した も のを

目 と縦 に

と す る.こ

の 右 の 式 に(1)を

とな る.基

底 に よ る 表 わ し 方 は1通

係 数 を 比 較 し て,関

代 入 して

り しか な い の だ か ら,各ei(i=1,2,…,n)の

係

が 得 られ る.こ の 結 果を,行 列Pを 用 い て

(3) と も 表 わ す.

1次

  Vの 基 底 を{e1,e2,…,en)と  

す る.Vの

独

立

零 元0を

表 わす には

0=0e1+0e2+…+0en

とす る と よ い(こ

こ で 左 辺 の0は0∈Vで,右

0∈Cで

の こ と か ら,基

あ る).こ

辺 に 係 数 と し て 現 わ れ て い る0は

底 に よ る表 わ し 方 は1通

りしか ない こ とを 用 い

ると

(*) が 成 り立 つ こ と が わ か る.   こ の 性 質(*)は,基 い て い る'こ

底 を 与 え る元e1,e2,…,enが,Vの

中 で'独 立 な 方 向 を 向

とを 示 す 代 数 的 な 表 現 で あ る と考 え る こ と に し よ う.実

際{e1,e2,

… ,en}の

中 か ら勝 手 に い く つ か の 元 を と り出 し て も 同 様 な 性 質 は 成 り立 つ の で

あ る.た

と え ばe1,e2,e3に

と な る.

対 して

  こ の こ と に 注 目 し て 次 の 定 義 を お く. 【定 義 】 Vの

元f1,f2,…,fsが

次 の 性 質 を み た す と き,1次

が 成 り立 つ の は α1=α2=…=αs=0の

独 立 で あ る と い う:

と き に 限 る.

  こ の と き 次 の こ とが 成 り立 つ こ とが 知 られ て い る.

f1,f2,…,fsを1次

独 立 な 元 と す る と,s≦nで

{f1,f2,…,fs}がVの

f1,f2,…fsを1次 …

,enが

あ る.s=nと

基 底 と な る と き に 限 る.

独 立 な 元 と す る.こ

の と き,適

当 なn−s個

存 在 し て,{f1,f2,…,fs,es+1,…,en}はVの

  な お,f1,f2,…,fmが1次 少 な く と も1つ

は0で

な る の は

の 元es+1,

基 底 と な る.

独 立 で な い と き,1次

従 属 で あ る と い う.こ

の と き,

な い よ う な α1,α2,…,αmが 存 在 し て

と い う関 係 が 成 り立 つ.も

し た と え ば α1≠0と す る と

の よ うに,f1は 残 りのf2,f3,…,fmの1次

結 合 とし て表わ され る.

線 形 写 像 と行 列   線形 写 像 の 一般 論 で は,2つ の で あ るが,こ 【定義 】 Vか

のベ ク トル空 間V,Wの

こで は主 に 同 じベ ク トル 空 間Vか らVへ

の写 像Tが

間の 線 形写 像 を取 り扱 う

らVへ

の写 像 を 考 え る.

次 の性 質 を み たす とき,Vの

上 の線 形 写 像 とい

う: に対 し

  Vの

基 底{e1,e2,…,en}を1つ

こ とが で き る.そ 注 目す る:

と る と,線

れ に は,各ej(j=1,2,…,n)がTに

形 写 像Tは,行

列 に よ って 表現 す る

よ って どこに 移 され るか に

この 右 辺 に 現 われ た係 数 を用 い て,Tを

表 わ す 行 列Aを 次 の よ うに定 義す る.

(4)

行 列AをA=(aij)と

略 記 す る こ と も あ る.

  線 形 写 像 と行 列 と の 対 応 関 係 を ま とめ て 述 べ て お こ う.   SとTをV上 もV上

の 線 形 写 像 とす る.(S+T)(x)=S(x)+T(x)と

の 線 形 写 像 と な る.ま

た(ST)(x)=S(T(x))と

お く と,S+T お く と,STも

の 線 形 写 像 と な る.S+TをSとTの

和,STをSとTの

  Sを 表 わ す 行 列 をA=(aij),Tを

表 わ す 行 列 を(bij)と

ま たV上

積 と い う. す る と,S+Tを

表わ

す行列は

(行 列 の和) で あ り,STを

表わ す 行 列 は (行 列 の積)

と な る.   Sが1対1写

像 の と き に は,Sは

逆 写 像S−1を

も つ が,S−1を 表 わ す 行 列 をA−1

で 表 わ し,Aの

逆 行 列 と い う.恒 等 写 像I(x)=xに

対 応 す る行 列 を 単位 行 列 とい

い,E(ま

た はEn)で

で あ る.一

般 にAA−1=A−1A=Eが

  Sx=yと

す る.こ

とす る と 

表 わ す.

成 り 立 っ て い る.

の とき

が 成 り立 つ.行

列(4)を

用 い て この 関 係を

と 表 わ す.

基 底 変 換 と行 列   V上

の 線 形 写 像Tが

方 に よ っ て い る.Vの

与 え ら れ た と き,Tを

表 わ す 行 列 の 方 は,Vの

基 底 を で き る だ け 上 手 に と っ て,Tを

見 や す い 形 に し た い と い うの が 講 義 の 流 れ で あ り,そ て,Tの

表 わす 行 列 を 簡 単 な

の よ うな 基 底 の と り方 と し

固 有 ベ ク トル と い う概 念 が 重 要 な も の とな っ て く る の で あ る.そ

れ か ら の 話 で の 主 題 と な る の だ が,そ わ す 行 列 が,ど

{e1,…,en)へ

の 前 に 基 底 を と りか え た と き,同

の 基 底{e1,e2…,en},{e1,e2,…,en}を

の 基 底 変 換 の 行 列 をPと

基 底{e1,…,en}に

関 し てTを

す る.Pは(2)で

表 わ す 行 列 をA,{e1,…,en}に

す る.

  ま たTx=yと

れは こ じTを

表

の よ うに 形 を 変 え る か を 明 ら か に し て お き た い.

  そ の た めVに2つ

行 列 をBと

基底 の と り

し

と表 わ され てい る とす る.   この と き右 の 図 式 を見 てみ よ う.縦 の矢 印 Pで 記 され てい る関係 は,(3)で

与 え られ て

い る もの で あ る.行 列Bで 与 え ら れ る 対 応 は,左 か ら上 のAを 迂 回 し て得 られ る対 応 と 同 じ もの で あ る.し たが っ てAとBの り立 つ 次 の 関係 が 得 られ た.

これ を基 底 変 換 の 公式 とい う.

間に成

と り,{e1,…,en}か

ら

与 えら れ て い る とす る. 関 し てTを

表わす

Tea

Time

質 問  こ こで の お話 は,大 学 の 教 養課 程 の中 に 組 み こまれ てい る 「線 形 代 数 」 の 講 義 で 聞 く,ご く基 本 的 な事 柄 だ と思 い ます が,線 形 代 数 とい う分 野 は,い つ 頃 か ら この よ うな形 に 育 って きた の です か. 答  行 列 や線 形 写 像 の概 念 は,'変

換'の 考 えの 中 に あ る代 数 的 な形 式 に 注 目 し

て,19世 紀 半 ば,英 国の 数 学者 ケ ー リー(1821-1895)が

は じめ て導 入 した もの で

あ る とい わ れ て い る.し か し,線 形 性 とい う性 質が,広

く数 学全 体 の中 で,総 合

的 な 明確 な 立 場 を設 定 し,そ の 中心 に 行 列 と線 形写 像 の理 論 が あ る と い う 考 え は,多 分20世 紀 に な っ てか ら醸 成 され て きた もの と思 う.背 景 に は,抽 象 代 数学 や 関 数 解析 学 の発 展 が あ った.少

な くと も,現 在 の よ うな形 で,「 線 形 代 数」 が

大 学 に お け る1つ の 基 本 的 な 講義 課 目 とし て定 着す る よ うに な った のは,1950年 以降 の こ と と思 う.そ こに は,'線 形 性'を1つ

の 基 本 的 な数 学 の 構 造 と み る,

ブル バ キ の影 響 が 働 い て い た のか も しれ ない.

質 問  Cnは,n次

元(複 素)ベ ク トル空 間の 典 型的 な例 とな って い るの で し ょう

が,抽 象 的 な ベ ク トル空 間 と,Cnと

の 関係 を も う少 し話 して い た だ け ませ ん か.

答  n次 元 ベ ク トル 空 間 は確 か に 抽 象的 な概 念 であ るが.そ

れ に対 してCnは,

この概 念 の具 象 性 を 保証 す る標 準 的 な モ デル を与 え てい る と考 え られ る.n次 ベ ク トル 空 間Vに1つ る こ とに よ り,Vか en}を

の基 底 を とる と,Vの らCnへ

と っ た と き, 

抽 象 的 な空 間Vは,こ あ る.空 間Vは,基

線形性―

元 

の よ うに して モ デル 空 間Cnの

基 底{e1,…,

を 対応 させ るの で あ る. 中へ の表 現 をか ち とるの で

底 の と り方 に応 じ て さ ま ざま な姿 でCnの

る.こ の さ ま ざま な姿 をCnの な性 質 ―

の 同型 対応 が 得 られ る.す なわ ち,Vの に 対 し て,Cnの

元

元 の こ の基 底 に 関す る成 分 に 注 目す

中 で じ っ と見つ め て み る.そ

中 に表 現 され て く うす る とそ こに 共 通

が 見 えて くる.逆 にい えば,こ れ を 概 念 化 した も のが,ベ

ク トル 空 間 であ る とい っ て よい.

第5講 固有値 と固有方程式 テーマ

●n元1次

の 連立 方 程 式 に 関す る1つ の 定理

● 行列の階数 ● 線 形写 像Tの

固有 値

● 固 有値 に 属 す る 固有 ベ ク トル ● 固 有 多 項 式,固 有方 程 式 ● 固 有 方 程式 の解 が ち ょ うど固 有値 とな る. ● 固 有 多項 式 の不 変 性 ―

固有 多 項 式 は基 底 の と り方 に よら な い.

連 立 方 程 式 に 関 す る定 理   これ か ら一 般 の ベ ク トル空 間 で,固 有 値 問 題を 取 り扱 い た い の だ が,固 有値 と 固有 方 程 式 との 関 係 を示 す た め に,連 立 方 程 式 に関 す る次 の 定 理 が必 要 とな る. これ は第2講'連

立 方 程 式 に 対す る1つ の注 意'の 節 で述 べ た 命 題 に 対応 す る一

般 的 な定 理 で あ る.

【定 理 】  n元1次

の連 立 方 程 式

(1)

が,x1=x2=…xn=0以 が0と

な る こ と で あ る:

外 に 解 を もつ 必 要 十 分 条 件 は,係 数 の つ く る 行 列 式￨C￨

【証 明 】 必 要 性:も

し￨C￨≠0と

に よ っ て と く こ とが で き て,こ =xn=0を

す る と,連

立 方 程 式(1)は

の と き解 は1通

クラ ー メル の解 法

り し か な い.(1)はx1=x2=…

解 と し て も つ こ と は 明 ら か だ か ら ,こ

た が っ て 対 偶 を と る と,x1=x2=…=xn=0以

れ 以 外 に は 解 は 存 在 し な い.し

外 に 解 が 存 在 す る な ら ば,￨C￨=0

で あ る.   十 分 性:い

まc11≠0と

す る と,(1)の

そ れ ら を そ れ ぞ れ 第2式,…,第n式

第1式

に,順

次 

を か け て,

か ら 引 く と,(1)は

(2)

の 形 とな る(第2式

以下 に カ ゲを つ け た の は,あ と の説 明 の ため であ る).

 こ こでc22′≠0と す る と,(2)の そ れ ぞ れ 第3式,…,第n式

第2式

に 順 次 

を か け,そ れ ら を

か ら 引 く と,(2)は

(3)

の 形 と な る.   も しc33"≠0な

ら ば,同

じ よ うに し て 第4式

以 下 で さ ら にx3の

係 数 を0に

でき

る.   こ の 操 作 で はc11≠0,c22'≠0,c33"≠0を (1)で,ど

こ か に0で

仮 定 し て い る が,も

な い 係 数 が あ れ ば,そ

変 数 の 順 序 を と りか え る こ と が で き る ― 序 を と りか え た こ と に 対 応 し て い る.次 1つ で も0で 式 と,x2以

な い 係 数 が あ れ ば,同

れ がc11と

な る よ うに,式

こ れ は 行 列 式 で は,行 に(2)で,カ

し最 初 の 段 階 の の順序 と

の順 序 と列 の順

ゲを つ け た 部 分 に ど こ か

様 に そ れ をc22′ と す る よ うに,2番

目以 下 の

下 の 変 数 の 順 序 を と りか え る こ とが で き る.

  要 す る に,カ

ゲ の つ け て あ る 部 分 に0で

こ の 操 作 は 続 け ら れ る の で あ る.こ (1),(2),(3)も,ま

な い 係 数 が1つ

で も 残 っ て い る 限 り,

れ は本 質 的 に は消 去 法 の原 理 な の だ か ら

た こ れ か ら 先 同 様 に し て 得 ら れ る連 立 方 程 式 も,す

,

べ て

同 じ解 を も って い る(た だ し変 数 の 順序 は 変わ っ てい る か も しれ ない).   この よ うに して,最 初 に与 え られ た 連立 方 程式(1)は,適

当 に変 数 の 番 号を

つ け か え てお けば,最 後 に は

(4)

の 形 に な る.カ

ゲを つ け て あ る 部 分 の 係 数 は す べ て0で

あ る.r=nの

ときに は こ

の カ ゲ を つ け て あ る部 分 が 実 際 は 現 わ れ て こ な い.   な お,d11≠0,d22≠0,…,drr≠0と

な っ て い る こ と に 注 意 し よ う.

  (1)か

の 順 序 と変 数 の 順 序 を と りか え,あ

ら(4)へ

と移 る と き,式

倍 か し て ほ か の 式 か ら 引 く と い う操 作 を 繰 り返 し た が,こ る 行 列 式￨C￨の

方 は,せ

れ に よ って係 数 のつ く

い ぜ い 符 号 の 変 化 し か 生 じ な い.し

係 数 の つ く る 行 列 式 を￨D￨と

る式 を 何

た が っ て,(4)の

す る と,

で あ って

と な る.   し た が っ て,条 r＜nと

件￨C￨=0は

こ の 右 辺 に 必 ず0因

子 が 登 場 す る こ と,す

なわ ち

同 値 と な る:

  と こ ろ で,r＜nの

と き は,(4)の

与 え た と き,(4)の

下 の 方 か ら順 に

解 はxr+1,…,xnに

任 意 にar+1,…,anと

値 を

と 決 ま っ て い く.   (1)と(4)は

同 値 な 連 立 方 程 式 な の だ か ら,こ

連 立 方 程 式(1)はx1=…=xn=0以   実 際 は(1)はn−r個 る の で あ り,そ

の こ とは￨C￨=0の

外 に も 解 を も つ こ と を 示 し て い る. の パ ラ メ ー タar+1,…,anに

の 意 味 で 解 全 体 はn−r次

こ に 現 わ れ たrは,(1)の

と き に は,

よ って決 ま る解 を も っ てい

元 の'平 面'を つ く っ て い る.な

係 数 の つ くる 行 列Cの

お,こ

階 数 と よば れ て い る もの とな っ

て い る.

固 有 値 と 固 有 ベ ク トル

  第3講

で 与 え たC2上

の 線 形 写 像Tに

の 線 形 写 像 の 場 合 と ま っ た く同 様 に,ベ

対 し,固

【定 義 】 複 素 数 μ がTの

ク トル 空 間V上

有 値 と 固 有 ベ ク トル の 定 義 を 与 え る こ とが で き る. 固 有 値 と は,0と

異 な る適 当 な 元x∈Vを

とる と

(5) が 成 り立 つ こ とで あ る. 【定 義】  μがTの 固 有値 の と き

を み た す ベ ク トルxを,固   Vの

恒 等 写 像 をIと

よ うに か き 直 し て(5)の

有 値 μ に 属 す る 固 有 ベ ク トル とい う.

す る と,μx=μIxと

表 わ し て も よ い.(5)の

左 辺 を 右 辺 に 移 項 す る と,μ

が 固 有 値 で あ る こ とは 次

の よ うに も い え る.

μ がTの

固 有 値 ⇔(μI−T)x=0を ベ ク トルxが

右 辺 を この

みたす零でない 存 在 す る.

固 有 多 項 式,固

有 方程式

  複 素 数 μがTの 固 有値 で あ る こ との この 定 式化 は,Vに1つ

基 底 を とる と,連

立 方 程 式 に 対 す る条件 として い い表 わ す こ とが で き る(こ れ もC2の

場 合 と同様

で あ る).   そ れ を み る た め に,Vに1つ

の基 底{e1,e2,…,en}を

と り,こ の基 底 に関 し て

Tを 表 わ す 行 列 を

と し,ま

たx=x1e1+…+xnenと

T)x=0は,行

す る.こ

列 を 用 い て(μE−A)x=0と

成 分 を 用 い て か く と,次

の と き 線 形 写 像 と し て の 条 件 式(μI− 表 わ さ れ る(Eは

単 位 行 列).こ

れは

の 連 立 方 程 式 と な る.

  μがTの 固 有値 とな る条 件 は,こ の連 立方 程 式 がx1=x2=…=xn=0以

外 の解

を もつ こ とで あ る.し た が って連 立 方 程式 に 関 す る上 の定 理 を 参 照 す る と,次 の 定 理 が得 られ た こ とに な る.

【定理 】  複 素 数 μが,Tの

固 有値 と なる ため の 必 要 十 分 な 条件 は

が 成 り立 つ こ とで あ る.こ こで 

は,行 列 

の行 列 式 を表 わ す.

  そ こで次 の定 義 を お く. 【定 義 】 

を,Aの

を 行 列Aの 固 有 多項 式 とい う.ま た方 程 式

固 有 方 程 式 と い う.

  こ の 定 義 を 用 い れ ば,上

の 定 理 は 次 の よ うに い っ て も よ い.

μがTの 固 有値 ⇔

μが 固有 方 程 式 ΦA(λ)=0の 解

  代 数 学 の 基 本 定 理 に よ り,ΦA(λ)=0は は λに つ い てn次 線 形 写 像Tに

の 多 項 式 だ か ら,相

の 解 を も つ.一

異 な る 解 は 高 々n個

方,ΦA(λ)

しか な い.し

たが っ て

つ き 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

【定 理 】  (ⅰ)  Tは 少 な く と も1つ  

少 な く と も1つ

の 固 有 値 を も つ.

(ⅱ)  Tの 相 異 な る 固 有 値 の 個 数 は 高 々n個

で あ る.

固 有 多 項 式 の 不 変 性

  線 形 写 像Tの

固 有 値 を 求 め る こ と を,固

式 化 を み る と,1つ

気 に な る こ と が あ る.そ

に 関 し て 定 義 さ れ て い る も の な の に,固 て い る.Vの

有 方 程式 を と くこ とに還 元 す る上 の定

基 底 を と りか え れ ば,当

れ は,固

有 値 は も と も と 線 形 写 像T

有 方 程 式 の 方 は,Tを

然Tを

表 わ す 行 列 を用 い

表 わ す 行 列 は 形 を 変 え て く る.固

有

変 え る と,Tを

底

方 程 式 は そ の と き ど うな る の だ ろ うか.   Vの 基 底 を{e1,…,en}か 変 換 の 公 式(33頁)に

ら{e1,…,en}に

よ り,Aか

 

ら B=P−1AP

へ と 変 わ っ て く る.こ 有 多 項 式,し

表 わ す 行 列 は,基

こ でPは

基 底 変 換 の 行 列 で あ る.次

の 命 題 は,こ

の と き固

た が っ て ま た 固 有 方 程 式 は 変 わ ら な い こ と を 示 し て い る.

【証 明 】

こ の 証 明 の 途 中 でP−1P=Eか

ら,行

列 式 を と っ て 

と な る こ と を 用 い て い る.

.し

た が っ て 

  この結 果 に よ り,固 有 多 項 式 はTを 表わ す 行 列 の と り方 に は よら ない こ とが わ か っ た.固 有 多項 式 は 線 形 写像Tに 固 有 な もの な の であ る!そ

の意 味 で,Tを

表わ す 行 列Aを 任 意 に1つ と った とき

とおい て も よい こ とが わ か っ た.そ して 言葉 づ か い の方 も,線 形 写 像Tの 固有 多 項 式,線 形 写像Tの

固有 方 程式 とい うよ うな い い方 を す る. Tea

質 問   連 立 方 程 式 の 解 法 で,係 て 聞 き ま した.そ ar+2,…,anに

Time

数 の 行 列 式 が0に

な る 場 合 の こ とは こ こ で は じ め

の 説 明 を ま と め て み る と,結 局 解 はn−r個

の パ ラ メ ー タar+1,

よ って

(*) (i=1,2,…,r)と

表 わ さ れ て い る とい っ て い る よ うで す.こ

の 解 の 形 に つ い て,

も う少 しわ か りや す く直 観 的 に 説 明 し て い た だ け ま せ ん か. 答  直 観 的 な 説 明 に は,複

素 数 よ りは 実 数 の 方 が よ い よ うで あ る.対

を 実 数 の 場 合 に 説 明 し て み よ う.す な わ ち 与 え ら れ たn元1次 係 数 で,そ

の 方 程 式 はRnの

座 標(x1,x2,…,xn)に

と考 える の で あ る.も っ と もn次

元 空 間Rnに

っ て い る と し て 話 す こ と に す る.最

初 の 連 立 方 程 式 に お け る 変 数 の 順 序 は,消

… ,an)で

は,解

は,(*)で

上Rn−rの

も ち ろ ん,実

がRn−r全

の座 標

い い表 わ され てい る こ と

表 わ さ れ る よ うな,第1座 と して 存 在 し て い る.解

上 全 体 に わ た っ て,'平

上 の1点(0,…,0,ar+1, 標,…,第r座

全 体 は,こ

面 状'の

な っ て お り,(*)は,こ

の'平

体 を お お っ て い る こ とを 示 し て い る.

標 まで の

の よ うな点 の 集 ま り

雲 と し て た な び い て い る.

際 は 見 上 げ る な ど と い うの は た と え で あ っ て,解

r次 元 の 平 面'と

後 のn−r個

去

元 の 座 標 平 面Rn−r={x=(0,…,0,xr+1,…,xn)}

の 地 上 に 立 っ て 解 を 見 上 げ て み る と,地

高 さ を も っ た 場 所 に1点 と し て,地

の 結 果,最

パ ラ メ ー タ と な っ て い る.(*)で

は 次 の よ う な こ と で あ る,n−r次 を 地 上 と考 え,こ

関 す るあ る 関係 を 与 え てい る

対 し て も,君 が 漠 然 と し た 描 像 は も

法 を 行 な う過 程 で 適 当 に と りか え ら れ た か ら,そ 成 分{ar+1,…,an}が

応す ること

の 連立 方 程 式 は 実

面'の

はRnの

中 で'n−

座 標 平 面Rn−rへ

の射 影

第6講 固

有

空

間

テーマ

● 固有空間 ● 固 有 空 間 の 次元 ● 異 な る固有 値 に 対 す る固 有 空 間 に よ る 直和 ● 対 角 化 可 能 な 線形 写 像 ● 対 角 化 可 能 な行 列 ● 対 角化 可能 とな る条 件―

固 有 値 の 重 複度 と固有 空 間 の 次元 の 一 致

固 有 空 間 TをV上

の 線 形 写像 とし,μ をTの 固有 値 とす る.こ の と き μに 属 す る 固有 ベ

ク トル の全 体 をE(μ)と

表わ す:

次 の こ とが 成 り立 つ.

【証 明 】  この式 は   す なわ ちE(μ)自

を 示 し て い る.

身 ベ ク トル空 間 の 構 造 を もっ てい る.E(μ)はVの

部 分空 間

で あ る. 【定 義 】 E(μ)を 固有 値 μに 属 す る 固有 空 間 とい う. 固有空 間の 次元   まず 固有 空 間E(μ)の 次 元dim

E(μ)に つ い て触 れ てお こ う.dim

E(μ)と は,

固 有 空 間E(μ)に

含 ま れ る,1次

独 立 な 元 の 最 大 個 数 の こ と で あ る.し

う い うい い 方 だ け で は 少 し 不 親 切 か も しれ な い.dim 

E(μ)=mと

次 独 立 な 元f1,…,fmがE(μ)の

任 意 の 元xは

中 に あ っ て,E(μ)の

と表 わ され る こ と で あ る.{f1,…,fm}は,ベ

か し,こ

い う こ と は,1 た だ1通

ク トル 空 間 と し てE(μ)の

りに

基 底 を与

え て い る.   μ が 固 有 値 な らば,μ の1次

に 属 す る0で

な い 固 有 ベ ク トル が 存 在 す る.ま

独 立 な 元 の 個 数 は 高 々n(=dim 

V)で

たVの

中

あ る こ とに注 意 す る と

が 成 り立 つ こ とが わ か る.

固 有 空 間 に よ る直 和

  TをV上

の 線 形 作 用 素 と し,Tの

異 な る 固 有 値 を μ1,μ2,…,μs,こ の 固 有 値 に

対 応 す る 固 有 空 間 を そ れ ぞ れE(μ1),E(μ2),…,E(μs)と

す る.

  こ の と き 次 の 命 題 が 成 り立 つ.

(*)

 と し

 

x1+x2+…+xs=0 

と す る.こ

【証 明 】 ま ずxi∈E(μi)か にTを

(1)

の と きx1=x2=…=xs=0と

らTxi=μixiで

な る.

あ る こ とを 注 意 し よ う.(1)の

適 用 して

(2) ま た(1)の

両 辺 に μ1を か け て

(3) (2)式

か ら(3)式

を引いて

(4) が 得 ら れ る.こ

こ でi=2,3,…,sに

対 し

両辺

とお く と, 

で あ っ て(4)は

(5) と表 わ さ れ る.   こ の(5)に き る.そ

対 し て,(1)に

対 し て 行 な っ た と 同 様 の 議 論 を 適 用 す る こ とが で

うす る と今 度 は

とい う関係 が 得 られ るだ ろ う.   (1)か

ら出 発 してs−1回

が 得 ら れ る.こ

この操 作を 繰 り返 す と結 局

こで

に よ り,し

で あ る. 

た が っ てxs=0

と な る.   し た が っ て(1)式

はx1+x2+…+xs−1=0と

同 様 の 考 察 を 行 な う こ と に よ り,xs−1=0が 局xs=xs−1=…=x2=x1が   (*)は

得 ら れ る.順

れ に 対 して い ま と

次 こ の よ う に し て,結

成 り 立 つ こ と が わ か る.

直 観 的 に は,固

有 空 間E(μ1),…,E(μs)が

て い る こ と を 示 し て い る.た E(μ2),…,E(μs)の

な っ た が,こ

と えばE(μ1)の

それ ぞ れ 独 立 な方 向を は っ

元x1は,0で

な い 限 り,け

元 に よ っ てx1=y2+y3+…+ys(yi∈E(μi))と

は表 わ され な

い の で あ る(x1=y2+…+ys⇔x1+(−y2)+…+(−ys)=0に   し た が っ て ま た,dim

E(μi)=mi(i=1,2,…,s)と

注 意). し

の基 底: の基 底:

の基 底: とす る と,こ れ らの 基 底全 体

(6) はVの

中 で1次

独 立 な 元 と な っ て い る.

っ して

そ こで,こ れ らの1次 独 立 な元 の1次 結 合 と して表 わ され る元

の 全 体 の つ くる ベ ク トル空 間 を

と お き,Tの

固 有 空 間 に よ る 直 和 と い う.

の基 底 は,明 らか に(6)で

与 え られ てい るか ら

が 成 り立 つ.

対 角化 可 能 な 線 形 写 像 【定義 】  TをV上

の 線形 写 像 とす る.Tの

が成 り立 つ と き,Tを

相 異 な る固 有 値 μ1,μ2,…,μsに 対し

対角 化 可 能 な線 形 写像 とい う.

 す ぐ上 に 述 ベ た こ とか ら 明 らか な よ うに,

Tが 対角化可能 が 成 り立 つ.こ

こ でn=dim

Vで

あ る.

  線 形 写 像 が 対 角 化 可 能 で あ る と い うい い 方 は,少 単 純(semi-simple)と

い うい い 方 も あ る が,こ

あ ま り な じ ま な い よ うで あ る.対   Vに

基 底{e1,…,en}を

し 妙 に 響 くか も しれ な い.半

の 言 葉 も この 講義 の流れ の 中で は

角 化 可 能 で あ る とは 次 の よ うな 理 由 に よ る.

と り,V上

の 線 形 写 像 を こ の 基 底 に 関 し 行 列 表 現 し,

線 形 写 像 と行 列 を 同 一 視 す る こ と に す る.線

形 写 像Tを

行列

と同一 視 す る.い まTが 対 角 化 可 能 で あ った とす る と,Vの (6)を

と る こ とが で き る. 

新 しい基 底 と し て に 注意 す る

と,こ

の 基 底 に つ い て は,Tは'対

と し て 表 わ さ れ る こ とに な る.す 行 列 をPと

角 行 列'

な わ ち,{e1,…,en}か

ら(6)へ

の基 底 変 換 の

す る と

(7) とな る.こ の と き行 列Aは 対角 化 可 能 で あ る とい う.   この節 の 冒頭 に述 べ た 定 義 に 比べ れ ば,(7)の

表 記 の方 は 簡 明で 印 象的 であ っ

て,'対 角 化 可能'と い う言葉 を 用 い た 背景 を 明 らか に して い る.   逆 に,行

列Aが 適 当 な基 底 変 換Pで,(7)で

わ す線 形 写 像Tは 対 角 化可 能 で あ っ て,VはTの

示 したBの 形 にな れば,Aの

固有 空 間の 直和 とな る.こ の こ

とは次 の よ うに し てわ か る.行 列 がBの 形 に な る とい うこ とは,と のBを 表 わ す基 底 は,行 列B(し

表

た が っ て線 形 写 像T)に

りも直 さず こ

よ って μi倍され る こ と

で あ り,し た が っ て この基 底 はTの 固有 ベ ク トル か らな ってい るか ら であ る.

対 角 化 可 能 と な る条 件   線 形 写 像Tの 相 異 な る 固有 値 を μ1,…,μsとす る.固 有値 は 固 有 方程 式 の解 な の だか ら,こ の こ とはTの 固有 多 項 式 ΦT(λ)が因 数分 解 され

(8)

と表 わ さ れ て い る こ と を 意 味 し て い る.ΦT(λ)はn次 こ う.方

程 式 の 言 葉 で は,k1,…,ksは,ΦA(λ)=0の

し て い る.   こ の と き一 般 的 に 次 の 命 題 が 成 り立 つ.

式 で あ る こ とを 注 意 し て お 解 μ1,…,μsの 重 複 度 を 表 わ

(9) 【証 明 】  ど の 場 合 も 同 じ だ か ら,i=1の fm1と す る.し

で あ る.こ m1個

がVの

基 底 をf1,…,

た が って

の と き,第4講'1次

の1次

と き を 考 え る.E(μ1)の

独 立'の

独 立 な 元em1+1,…,enを

節 で 述 ベ て お い た よ うに,適

当 なn−

つ け 加 え る こ とに よ り

基 底 とな る よ うに で きる.こ の基 底 に 関 してTを 表わ す 行 列 は

の形 とな る.し たが っ て固 有 多項 式 の 不 変 性 に注 意 した 上 で,こ の行 列 を 用 い て Tの 固有 多 項 式 を求 め てみ る と

(Eはn−m1次

と な る(F(λ)はn−m1次 わ か る.こ

見 比 べ てm1≦k1が

成 り立 つ こ とが

れ で 命 題 が 証 明 さ れ た.

  ΦT(λ)=0の よ う.上

の 多 項 式).(8)と

の 単 位 行 列)

解 と し て の 固 有 値 μ の 重 複 度 を,単

の 記 号 で は μiの 重 複 度 はkiで

【定 理 】  線 形 写 像Tが

に μ の 重 複 度 とい う こ と に し

あ る.

対 角 化 可 能 と な る た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は,Tの

有値 μ に対 し

の 重複 度 が 成 り立 つ こ と で あ る.

【証 明 】  Tの 相 異 な る 固 有 値 を μ1,μ2,…,μsと す る.こ

の と き(9)と(8)か

各固

ら

が 成 り立 つ.こ

こで 等 号が 成 り立 つ のは

の と き に 限 る.一

方

が対角化可能 な の だ か ら,こ

れ で 定 理 が 証 明 され た.

  こ の 定 理 は,線

形 写 像Tが

い つ 対 角 化 可 能 に な る か と い う,第1講

は 非 常 に 幾 何 学 的 に み え た 問 題 が,複

や 第2講

素 数 ま で 考 察 の 範 囲 を 広 げ る と,完

で

全に代

数 の 世 界 で 律 せ ら れ る 問 題 に な っ た こ と を 示 し て い る.問

題 の所 在 を 明 らか に し

た と い う意 味 で,実

理 の 左 辺 はE(μ)の

元 で あ り,こ

に 明 快 な 定 理 で あ る と い っ て よ い.定

れ は(μ

よ り求 め ら れ る.右

さ え わ か っ て い れ ば)連 辺 は,ΦT(λ)=0の

次

立 方 程 式 を 実際 とい てみ る こ とに

解 μ の 重 複 度 だ か ら,こ

れ は 方程 式 論 の

問 題 と な っ て い る.

 

とい って も,5次 の定 理),dim

V≧5の

以 上 の 代数 方 程 式 には 一 般 的 な 解 の公 式 は 存 在 しな い(ア ー ベル と きには,ΦT(λ)の 次 数 は5以 上 とな るか ら,与 え られ た 線形

写 像Tに 対 して,固 有 値 の 正確 な 値 を 求め る道 は,永

遠 に 閉 ざ され て い る とい って よ

いの であ る.実 際 上 は,固 有 値 の 十分 よい 近似 値 を 求 め る こ とにな るが,こ

の よ うな

眼 で 定 理 を み る と,定 理 は 数学 の完成 され た形 式 の方 へ 向 か っ てひ と り言を い って い る よ うに もみ え て くる.

Tea

質 問   固 有空 間 の 次元 が,1,2,…,nと

Time

な る よ うな線 形 写 像 の 典型 的 な 例 を あ げ

て い た だ け ま せ ん か. 答  μ≠0と 例 は,行

し よ う.こ

の と きdim

E(μ)が1,2,…,nと

列 で 表 わ す と次 の よ うな も の で 与 え ら れ る.

な る典型 的 な 線形 写 像 の

(*で か い て あ る ところ に は適 当 な数 が は い る).こ の それ ぞれ の 固有 空 間 は,順 に

と な っ て い る.

質 問  と こ ろ で 固 有 空 間 と い うの は,英 答  固 有 空 間 は 英 語 でeigenspace(ア い う単 語 は も と も と ドイ ツ 語 で,'固 形 容 詞 だ か ら,君 か.ど

イ ゲ ン ス ペ ー ス)と 有 の'と

か'特

い うが,こ

有 の'と

う し て こ の よ う な こ と に な っ た か 詳 し い 由 来 は 知 ら な い.固 い うが,こ

有 方 程 式 はcharacteristic

乱 れ て い る が,日

のeigenと

い うこ とを表 わ す

が 手許 の英和 辞 典 を 引 い て も多 分 出 て い ない の では ない だ ろ う

うな い い 方 で,eigenvalueと あ る.固

語 で 何 と い う の で す か.

本 語 は'固

有'と

し ろ 紛 れ が 少 な い よ うで あ る.

ち ら の 方 はproper

equationで

あ る.英

valueと

有 値 も同 じ よ い うこ と も

語 の方 は形 容 詞 が 入 り

い う言 葉 で 一 貫 し て 通 す こ とが 多 い の で,む

第7講 対 角化可能 な線形写像 テーマ

● 固 有 方 程 式 の解 が す べ て異 な る と き―

対 角化 可能

● 写 像 の 繰 り返 し ● ハ ミル トン ・ケ ー リーの 定理 ―

対 角化 可 能 な場 合

● 対 角 化 可 能 な とき,逆 写像 を もつ条 件 は 各固 有値 ≠0 ● 対 角 化 可 能 で な い線 形 写 像 ● ジ ョル ダン標 準 形 ● 線 形 写像 は一 般 的 な状 況 で は対 角 化 可能 ● ハ ミル トン ・ケ ー リーの 定 理 ―

一 般 の 場合

固有方 程式の解 がすべ て異な るとき  線 形 写 像Tの 固 有方 程 式 ΦT(λ)=0の 解 が,す べ て異 な る と きを 考 え よ う.こ の ときTはn個

の異 な る 固有 値 μ1,μ2,…,μnをもち,

とな る.前 講 の 言葉 づ か い で は,Tの

各 固 有値 の 重複 度 は1で あ る.

【定理 】  線 形 写 像Tの 固 有値 の重 複 度が す ベ て1の

とき,Tは

対角 化 可 能 で あ

る.

【証 明 】 前 講の(9)を

い まの場 合 適 用 す る と(ki=1だ

か ら)

とな る.固 有 空 間 の次 元 は つ ね に1以 上 なの だか ら,こ れ か ら

が 得 られ る.し た が って前 講定 理 の 判 定 条件 が 成 り立 ち,Tは 対 角 化 可 能 とな る.

  実 際 は,ΦT(λ)=0の よっ て―Tを

解 に もし重 解が 現 わ れれ ば,Tを

ご く少 し変 え る こ とに

行 列 で 表 わ した と きには,行 列 成 分 を ご く少 し変 え る こ とに よ っ

て―,ΦT(λ)=0の

解 に 重解 が 現わ れ ない よ うに す る こ とが で き る(読 者 は,2

次 関 数 や3次 関数 の グラ フを思 い 浮 かべ て,y軸

方 向に ご く少 し上 下 す る だ け

で,グ ラ フがx軸 に接 しな い よ うにす る こ とが で き る こ とを思 い 出 され る とよい だ ろ う).そ の 意 味 で,こ

の定 理 の条 件 で 与え られ て い る状 況 は,十

状 況 であ る とい って よ い.し たが って また この定 理 は,少

分一 般 的 な

し大 胆 ない い方 をす れ

ば,'一 般 的 な'状 況 では 線形 写 像 は 対角 化 可 能 で あ る こ とを示 してい る.こ の こ とにつ い ては,こ の 講 の後 半 で も う少 し詳 し く述 べ る こ とに し よ う.

写 像 の 繰 り返 し

  Tを 対 角 化 可 能 な 線 形 写 像 とす る.こ の と きVは,Tの

相 異 な る 固 有 値 μ1,μ2,

… ,μsに 属 す る 固 有 空 間 に よ っ て

と 分 解 さ れ る.こ

の 分 解 に した が っ てVの

元xは,た

だ1通

りに

(1) と表 わ さ れ る.

だ か ら,こ

の 両 辺 に も う一 度Tを

と な る.こ

こ でT2=ToTは

ほ どこ してみ る と

合 成 写 像 で あ る.同

じ よ うに し てTのk回

し (k回)

を 考 え る と,(1)の

分解 を 用 い てTkは

(2) と表わ され る こ とが わ か る.   よ り一 般 に,任 意 に 与 え られ た複 素 係 数 の 多項 式

の 繰 り返

に 対 して,V上

の 線形 写 像

(Iは 恒 等 写像)を 考 え る こ とが で き る.(1)の

分 解 を用 い て(2)に

注意 す る

と,p(T)は

と 表 わ さ れ る こ と に な る. 特 にp(λ)と

だ か ら,すべ

し て,Tの

て のx∈Vに

固 有 多 項 式 ΦT(λ)を と る と

対 し て ΦT(T)x=0と

(*)  Tが 対角 化 可 能 な と き,Tの

な る.す

なわ ち

固有 多項 式 ΦT(λ)に対 して

が 成 り立 つ.

こ こ で 実 は,仮

定'Tが

対 角 化 可 能'を

除 く こ とが で き る.そ

れ は す ぐあ と で 述

べ る こ と に し よ う.   な お 次 の こ と も注 意 し て お こ う. Tが 対 角 化 可 能 の と き,Tが1対1写 条 件 は,Tの

像 とな る ため の必 要 十 分

各 固 有 値 μi(i=1,…,s)が0で

こ の と き(1)の

な い こ と で あ る.

分 解 を 用 い る と,T−1は

と表 わ さ れ る.

【証明 】 必 要 性:も

し た と え ば μ1=0と

す る と,x∈E(μ1)に

対 し てTx=0が

成

り立 つ.xと

し て0で

な い 元 も とれ る か ら,Tは1対1で

  十 分 性:μ1≠0,…,μs≠0な と き 確 か にTT−1=T−1T=Iが

ら ば,T−1を

な く な る.

上 の 式 で 定 義 す る こ とが で き る.こ

成 り立 つ か ら,Tは

の

逆 写 像 を も ち,Tは1対1で

あ る.

対 角 化 可 能 で な い線 形 写 像 V上 の 線 形 写像Tは 必ず しも対 角 化 可能 とは 限 らな い.Vに1つ

基 底 を と り,

線 形 写 像 を 行列 で 表 示す る こ とに よ って この こ とを説 明 し よ う. た とえば 行 列

は そ の よ うな例 を 与 え て い る.実 際,Nの

で あ っ て,し

た が っ てNの

よ り,固 有 値0に

属 す る 固 有 ベ ク トル,す

の 形 の も の だ け で あ る.し の と き は)Nは 一 般 にTが

固 有 値 は0だ

固 有 多項 式 は

け で,こ

の 重 複 度 はnで

な わ ちNx=0を

た が っ てdimE(0)=1と

あ る.一

方,

み た す 元xは

な り,前 講 の 定 理 か ら,(n≧2

対 角 化 可 能 で な い こ とが わ か る. 対 角化 可 能 とい う こ と と ,αI+T(α

は 同 じ こ とで あ る.そ

れは

の 関係 か ら,αI+Tの

固有 値 λと,Tの

∈C)が

対 角 化 可 能 とい う こ と

固有 値 λ−α とが1対1に

対応 し,同 じ

固有 空 間 を 共 有す るか らで あ る.し たが っ てTが 対角 化 可 能 で なけ れ ば,αI+T

も対 角 化 可能 で な い.  特 にNが 対 角 化 可 能 で な い こ とか ら,行 列

も対角 化 可 能 で ない こ とが わ か る.こ の右 辺 に現 わ れ た 行 列 を,行 列 の 大 きさn もは っ き りさせ るた め に, 

で 表わ す こ とに す る.

  この とき次 の結 果 が 知 られ てい る. 任意 の 行列Aは 適 当 に基 底 を と り直 す と

の 形 に 表 わ さ れ る(Pは

基 底 変 換 の 行 列).

Aが 対 角 化 可 能 と な る の は,n1=n2=…=ns=1の

と きで あ る.

  これ を ジ ョル ダン の標 準 形 とい う.こ の主 題 に つ い て は こ こで は これ 以上 触 れ な い こ とに す る. 線 形 写 像 は 一 般 的 状 況 で は 対 角化 可 能   この よ うに,V上

の 線 形写 像Tに 対 しては2つ の場 合 が 生 ず る.1つ

は 対 角化

可 能 の と きで あ り,他 の1つ は 対角 化 可 能 で な い とき で あ る.こ こで誰 にで も生 ず る疑 問 は,一 体,ど

ち ら の方 が 起 きや す い の だ ろ うか とい うこ とで あ る.結 論

を 先 に い え ば,対 角化 可 能 の場 合 の方 が 一般 的 で あ っ て,対 角 化可 能 で ない 方が 例 外 的 で あ る とい っ て よ い ので あ る.   一般 的 とか例 外 的 とか い うい い方 で は,次 の こ とを い って い る.対 角 化 可能 な 線 形写 像 の近 くに あ る線 形 写像 は また 対 角化 可 能 だ が,対 角化 可能 で ない 線形 写 像 の ど ん な近 くを と っ てみ て も,対 角 化 可能 な線 形 写 像が 存 在 してい る.  

このよ うないい方はわか りに くいので,た とえで説明 した方がよい だろ う.夏 の越 後平野を上空か ら見下ろす と,ど こまで も広が る緑の田の中に,細 い畦道が定規 で引

  い た 直 線 の よ うに格 子 状 に走 って い る.田 に入 って働 く人 は,自 ぼ だ と思 うが,畦 道 に 立 つ人 は,少

分 の近 くは み な 田ん

しで も足 を 踏 み外 せ ば,田 ん ぼ に落 ち て しま う.

この 場 合,緑 の 田の 方 が一 般 的 で あ り,畦 道 の 方 が例 外 的 で あ る.対 角 化 可能 な線 形 写 像 を 田ん ぼに た とえ,対 角 化 可 能 で な い線 形 写像 を,畦

道 の 方 に た とえ て み る と よ

い.

  こ こで 線 形 写 像を 少 し変 え る とか い た のは,線 形 写 像 を 行 列 表 示 した と き,'行 列 成 分 を 少 し変 え る と'と 読 ん でお くとよ い.2次 み よ う.2次

の 行列 を 例 に とっ て説 明 して

の行列

の固有方程式は

で あ る.最 初 に 述べ た 定 理 に よれ ば,ΦA(λ)=0が 重 解 を もた なけ れ ば 対角 化 可 能 で あ る.重 解 を もた な い条 件 は,2次 れ る.こ の こ とか ら,Aが 的 にD=0),Aの

方 程 式 ΦA(λ)=0の 判 別 式D≠0で

与えら

た とえ対 角化 可能 でな か った と して も(こ の と き必 然

行列 成 分 を ご く少 し変え る だけ で 対 角化 可能 に す る こ とが で き

る こ とが 推論 され るだ ろ う.   た とえば

は 対 角 化 可 能 で ない が,正 数 εを どん なに小 さ くと って も

の 固有 方 程 式 の 判 別 式 は(2α2−ε)=4ε≠0と  一 般 的 な 形 で述 べ る と次 の よ うに な る.2つ

な り,対 角 化 可能 とな る. のn次 の 行 列

に対 し

とお く.￨A−B￨が

小 さ い と い う こ とは,AとBの

対 応 す る成 分 の 差 が 小 さ い と

い うこ とで あ る.こ の とき次 の こ とが 成 り立 つ.   Cは 対 角 化 可 能 で な いn次 の行 列 とす る.こ の とき次 の性 質 を もつn次 の行 列 の系 列{Ai}(i=1,2,…)が

存在 す る:

  (ⅰ) 各Aiは 対 角 化 可能   (ⅱ)

 

前 のた とえ で は,'畦 て,い

道 に立 って い る人'Cは,'田

ん ぼ の 方 に い る人'Aiに

よっ

くらで も近 づ け る の であ る.

  証 明 の 考 え 方: 

これ は ΦC(λ)が 重 解 μ を も つ と き,こ

の 重解 を 単 解 で 近似 で

き る こ と に よ っ て い る.実

際 た とえ ば

と表 わ す こ とが で き る.こ

こ で μ1,μ2,…,μmは 相 異 な る 数,limは

た し な が ら,μ1→u,μ2→ 因 数 に 適 用 し て,解

μ,…,μm→ μ と な る こ と を 示 す.こ

この 条件 を み

の 事 実 を ΦC(λ)の 各

と係 数 の 関 係 を 用 い て 行 列 成 分 の 方 に お き か え て み る と よ

い.   こ の 応 用 と し て,次

の 有 名 な ハ ミル トン ・ケ ー リー の 定 理 を 証 明 し て み よ う.

【定 理 】  線 形 写 像Tに

対 し

 

ΦT(T)=0

が 成 り立 つ.

  こ こ で ΦT(λ)はTの

固 有 多 項 式 で あ り,

と お い た と き,ΦT(T)は

に よっ て定 義 され る線 形 写 像 で あ る. 【証 明 】 Vに 基底 を と り,線 形 写 像 を 行列 に 表 現 した 上 で証 明す る.対 角 化 可能 な 行列 に対 して定 理 が成 り立 つ こ とは,(*)で 行 列Cに 対 して は,Cに'近

示 して あ る.対

角化可能でない

づ く'対 角 化 可 能 な行 列 の系 列Ai(i=1,2,…)を

と

る.こ の とき,行 列Aiの 各 成 分がCの 対応 す る成分 に近 づ くこ とか ら

と な る こ とが わ か る が,ΦAi(Ai)=0だ

か ら,ΦC(C)=0が

Tea

成 り立 つ.

Time

質 問  ハ ミル トン ・ケ ー リーの定 理 の証 明は,前 に 別 の本 で読 んだ こ とが あ りま すが,そ

こで は代 数 的 に 証 明 され てい て,ど

うして こんな こ とが い え るの か,納

得 しに くい気 分 が してい ま した.こ こで示 され た よ うに,対 角 化 可 能 の と き まず この定 理 を証 明 し―

この場 合は 明 快 です―,あ

とは 連続 性 で一般 の 場 合 に成

り立 つ とい う道 の方 が,道 の りは 少 し遠 い として も,わ か りや す い と思 い ます. この よ うな原 理 で 示 され る こ とは,別 に もあ るの で し ょうか. 答  ハ ミル トン ・ケ ー リー の定 理 に つい て は,線 形 代 数 の教 科 書 で は,こ

こで述

べ た よ うな証 明 法 は あ ま り採 用 して い ない よ うで あ る.そ れ は 代 数 の 枠 の 中 で証 明 を 済 ませ た 方 が,数 学 的 に整 って い る と考 え るか らだ ろ う.   質 問に 対 して 直 接 の答 には な らな いか も しれ な いが,次 の こ とを 注 意 して お こ う.線 形 写 像Tが 対 角 化 可 能 の とき,任 意 の 多項 式p(λ)に

対 して,p(T)を

ご

く自然 に 定 義 で き た.同 様 の 考 えで,収 束 す る無 限級 数,た

とえ ばeλ や,sinλ,

cosλ に対 して も,

の よ うに,線 形 作 用 素 を 定 義 す る こ とが で き る.固 有 ベ ク トルx―Tx=μx― に 対 し て は,た

と な る.こ

とえば

の こ とか ら 各 固 有 ベ ク トル に 対 し て 確 か め る こ と に よ り,対 角 化 可 能

なTに 対 しては,複 素数 の と き と同様 に

とい うオ イ ラーの 公式 が 成 り立 つ こ とが す ぐにわ か る.こ '連 続 性'に

こか ら,原 理 的 に は

よ って,任 意 の線 形 作用 素 に対 して もこ の関 係が 成 り立 つ こ と が わ

か るの で あ る.

第8講 内

積

テーマ

● 代 数 的 な ベ ク トル空間V上

に,距

離 とか 直 交性 の概 念 を 導入 す る こ とに

よ り,新 た に幾 何 学的 観 点 を 得 た い. ● 内積 の 定義 ● ノル ム,距 離 ● シ ュ ワル ツ の不 等式 ● ノル ム と距 離 の性 質―

三 角 不等 式

● 内 積 と ノル ムの 関 係 ● 内 積 の定 義 の 背景―R2とR3の

場合

は

  前 講 の 終 り で 述べ た よ う な,対 な 議 論 に 入 っ て い く と き に,新

じ め

に

角 化 可 能 な 線 形 写 像 が 十 分 多 くあ る と い う よ う し い 問 題 設 定 が 少 しず つ 生 じ て き た こ と に,ま

ず

注 意 を 喚 起 し て お こ う.   前 講 で は,V上 写 像Sに

の 線 形 写 像 の 系 列Ti=(i=1,2,…)が,i→∞

近 づ く と い う状 況 を 考 え た か っ た の で あ る.そ

つ の 基 底 を と っ て,各Ti(i=1,2,…)を わ し,i→∞

の と き,Aiの

行 列Aiと

各 成 分 が,対

応 す るBの

の と き,あ

る線 形

の た め 私 た ち は,Vに1

し て 表 わ し,Sを

行 列Bと

表

成 分 に 近 づ くな ら ば,TiはS

に 近 づ く と考 え た の で あ っ た.   し か し注 意 す る こ とは,私

た ち は こ の と き,Vに

戻 っ て,Vの

各 元xに

対 して

  Tix→Sx (i→∞) と い う こ と は 考 え ら れ な い の で あ る.な か 許 さ な い 代 数 的 な 対 象 で あ っ て,こ こ とは で き な い か ら で あ る.実

ぜ な ら,Vは

こ に'近

加 法 とス カラ ー積 の演 算 し

づ く'な

ど と い う概 念 を 導 入 す る

数 の 場 合 に た と え て み れ ば,ベ

ク トル 空 間 の 概 念

は,実

数 の 中 に あ る 算 術 的 性 質―

よ う な も の で あ っ て,数

加 法 と 乗 法―

だけ を と り出 し て抽 象化 した

直 線 の よ うな 概 念 は ま だ 投 入 され て い な い の で あ る.2

点 の 距 離 を 測 れ る 数 直 線 の よ う な 表 象 が な く て,ど う こ と を 考 え る こ とが で き る だ ろ うか.ベ て み れ ば,な

 

う し て 実 数 列 の 収 束 な ど とい

ク トル 空 間 は,幾

何 学 的 な 見地 に 立 っ

お 空 々漠 々 と し て い る.

もち ろ ん 私 た ち は,抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 を取 り扱 うとい って も,必 要 に応 じ ては, 基 底 を と ってCnの 離 も,Cnの

方へ 移 して 議論 し てい る.そ

れ では ベ ク トル空間Vの2点

方 へ 移 して 考 え れ ば よい では ない か と考 え られ る.し

方 に した が って,Cnへ

間 の距

か し,基 底 の と り

の移 し方 が違 い,そ れ に応 じて2点 間 の 長 さが 変 わ って くる と

い うこ とで は 心 許 な い.も ち ろん 読 者 の 中に は,そ れ で もVの 位 相 は決 まる だ ろ うと い わ れ る方 もお ら れ るか も しれ な い.確

か に,そ れ は そ うな の だが,有 限 次 元か ら無

限 次 元 へ と しだ い に話 を広 げ よ う とす る と,こ

の よ うな 考 え で は道 はす ぐに行 きづ ま

っ し ま うの であ る.

  私 た ち は,こ

こ で 述 べ て い る 固 有 値 問 題 を,有

限 次 元 か ら無 限 次 元 へ と上 げ,

そ れ に よ っ て 固 有 値 問 題 を し だ い に 解 析 学 を み る1つ て い る.そ も,ま

の た め に は,数

直 線 の よ うな は っ き り と し た 表 象 は 得 ら れ な い と し て

ず 有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 の 中 に,距

投 入 し て お き た い.こ る が,そ

【定 義 】  ベ ク トル 空 間Vの

をxとyの

積'と

交 性 と い う概 念 を い う概 念 で 与 え ら れ

有 値 問 題 も ま た 新 し い 局 面 を 迎 え て く る の で あ る.

内

(x,y)を

離 の 概 念 と か,直

の よ うな 幾 何 学 的 概 念 は,'内

れ に よ っ て,固

の 視点 に ま で高 め よ う とし

積

任 意 の2元x,yに

対 し て,次

対 応 さ せ る 規 則 が 与 え ら れ た と き,Vに内積

の性 質 を み たす 複 素 数

が 与 え ら れ た と い い,(x,y)

内 積 と い う.

  (I1)  (x,x)≧0;等

号 はx=0の

と き に 限 る.

  (I2)   (I3)  (y,x)=(x,y)   (I3)で(x,y)は 使 うと

複 素 数(x,y)の

共 役 複 素 数 を 表 わ し て い る.(I2)と(I3)を

(I2)′

が 得 られ る.実 際

  (I1)か

ら(x,x)は

負 で な い 実 数 で あ り,し

た が っ てそ の平 方根 を 考 え る こ と

が で き る. と お き,‖x‖ をxの

【定義 】 

この 概 念 を 用 い て,xとyと

  な お こ こ で はR上 の と き に は,内 (x,y)と

(x,y)を

の距離ρ(x,y)を

ノル ム と い う.

の ベ ク トル 空 間 の 場 合 も 触 れ て お こ う.R上

の ベ ク トル 空 間

た が っ て,(I3)は,単

対 し て,次

対 応 さ せ る 規 則 が 与 え ら れ た と き,Vに   等 号 はx=0の

の性 質 を み た す 実 数

内 積 が 与 え ら れ た と い う.

と き に 限 る.

(I2) (I3)′

シ ュ ワル ツ の不 等 式 次 の 不等 式 を 証 明 し てお こ う. [シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式]  x,y∈Vに

対 し

(1) 【証 明 】 x,yを

を 考 え る.内   で あ る.一

に(y,x)=

の こ とを や は り定 義 と し て 明 記 し て お く こ とに し よ う.

の ベ ク トル 空 間Vの2元x,yに

(I1)

た はxの

次 の よ うに 定 義 す る.

積 は 実 数 値 の み と る とす る.し

な る.こ

【定 義 】  R上

長 さ,ま

とめ て,実

数tの

積 の 性 質(I1)か

関数

ら

すべ て のt∈Rに

対 し  F(t)≧0 

方,(I2),(I3)と(x,x)=‖x‖2の

(2)

こ とな ど に 注 意 す る と

(〓(x,y)は

複 素 数(x,y)の

実 数 部 分).こ

れ はtの2次

式 だ か ら,(2)を

参照

して 判別 式 を 考 え る と

す なわ ち (3) が 成 り立 つ.   い ま 複 素 数(x,y)の の と き 図11を

偏 角 を θ と す る.こ

見 て もわ か る よ うに,複 素 平

面 上 で 原 点 を 中 心 と し て− θ だ け の 回 転 を 考え る と,(x,y)は の 上 に 乗 る.−

この 回 転 に よっ て実 軸

θ の 回 転 は,e−iθ を か け る

こ と に よ り表 わ さ れ る か ら,こ

の こ と は 

が 実 数 で あ る こ と を 示 し て い る.し

こ の 左 辺 は￨(x,y)￨に 意 す る と,こ

  な おR上

れ で(1)が

等 し く,右

辺 は 

図11

た が っ て(3)か

ら

に等 しい こ とに 注

証 明 され た.

の ベ ク トル 空 間 に考 察 を 限 る とき には,内 積(x,y)の

値は実数値だ

け を とる もの と約 束 し てお い た か ら,シ ュ ワル ツの 不等 式 の 証 明は,(3)を た段 階 で終 りとな る こ とに な る. ノ ル ム と距 離 の 性 質   ノル ム と距 離 は 次 の 性 質 を もつ. [ノ ル ムの 性 質]  (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

  等 号 はx=0の

と き に 限 る.

示し

[距 離 の 性 質]  (ⅰ)ρ(x,y)≧0;等

号 はx=yと

 

(ⅱ)  ρ(x,y)=ρ(y,x)

 

(ⅲ)  ρ(x,z)≦ρ(x,y)+ρ(y,z)

  ノ ル ム の 性 質 に し て も,距 導 か れ る.問

題 は(ⅲ)で

  ノ ル ム の 性 質(ⅲ)の

き に 限 る.

離 の 性 質 に し て も,(ⅰ)と(ⅱ)は

定義から す ぐに

あ る. 証 明:

((3)に

よ る)

これ か ら‖x+y‖ ≦‖x‖+‖y‖ が 得 られ る.  距 離 の性 質(ⅲ)の

証 明:

(ノ ル ム の 性 質(ⅲ)に

距 離 の 性質(ⅲ)に

現わ れ た不 等 式 を 三角 不 等式 とい う.

  内 積 の 与 え ら れ た ベ ク トル 空 間 で は,こ 2,…)がyに

よ る)

の 距 離 を 用 い て,Vの

点 列{xi}(i=1,

近 づ くこ とを

に よっ て定 義 す る こ とが で き る.位 相 空 間 論 で の言 葉 を用 いれ ば,内 積 の与 え ら れ た ベ ク トル 空 間 は,距 離 空 間 とな るの で あ る.

内 積 と ノル ム の 関 係   内 積 の実 数 部 分,虚 数 部分 と ノル ムの 間 には 次 の 関係 が あ る.

を 用 い て計 算す る と

上 の 式 は  す ぐに 確 か め られ る.  下の式は

の 両 辺 にiを か け て

と な る こ と に 注 意 す る と よ い.こ 分 が−〓(x,y)に

こ で 左 辺 は(ix,y)で

等 し い こ とを 示 し て い る.す

あ り,右

辺 は この 実 数部

なわ ち

であ る.こ の 右 辺 に上 の 結 果 を用 い る と,下 の式 が 成 り立 つ こ とがわ か る.

内積の定義 の背景   内積 の 定 義 の背 景 に あ る状 況を,実 数 の場 合 では あ るが,平 面R2と 空 間R3の 場 合 に 述 べ て お こ う.R2の

ベ ク トル の 長 さ を,ふ

つ うの よ うに 

て

と表 わ す こ と に し よ う.R2の ルxとyの

な す 角 θ は,余

零 で な い2つ

のベ ク ト

弦 法 則(図12)

か らす ぐに 計 算が で きて

(4) と な る.   同 じ よ うにR3の

図12

と き に は,零

で な い2つ

の ベ ク トル

の なす 角 を θ とす る と

(5)

に対 し

が 成 り立 つ.   Ｒ2,R3の

場 合,(4),(5)の

用 し て い る.す R2の

と き:

R3の

と き:

で あ る.(4),(5)か

と な る.し

右 辺 の分 子 に 現わ れ た 式 を 内積 の 定義 として 採

なわち

ら,い

ず れ の場 合 で も

た が っ て こ の 場 合 に は,シュ

ワル ツ の 不 等 式 は￨cosθ￨≦1と

い う事 実

と 結 局 は 同 じ こ と を 述 べ て い る こ と に な る.   も ち ろ ん,R2とR3の

この 内 積 で は,(x,x)は,ベ

と な っ て い る.R2,R3の が,線

形 代 数 や 線 形 写 像 の 立 場 か ら は,長

い て は1次

さ,角

長 さ の2乗‖x‖2

さ や角 度 が 基本 的 な概 念 であ る 度 そ の も の よ りは,各

式 と な っ て い る 内 積 の 方 が は る か に 使 い や す い し,理

合 す る の で あ る.こ (I3)と

幾 何 学 的 取 扱 い に は,長

ク トルxの

の 内 積 の もつ 基 本 的 な 性 質 を 抽 出 し て,そ

成分につ

論 の 枠 に よ く適 れ を(I1),(I2),

し て 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 に 付 与 す る 内 積 と し た も の が,前 の 定 義 で あ る.

  も っ と も,内

積 の 条 件(I3):(y,x)=(x,y)が

これ は 複 素数zの

長 さは 

少 し わ か りに く い か も し れ な い.

で 与 え ら れ,し

た が っ て ま たC2の

ベ ク トル 

の 長 さの2乗 は

と な る こ と に よ っ て い る.こ

の こ と か らzと 

の 内 積 の 式 で,z=wと

お

い た ものが 上式 と等 し くな るた め に は

と お く こ とが 自然 な こ と に な る.こ

の と き(w,z)=(z,w)が

Tea

質 問  R2,R3の

成 り立 つ の で あ る!

Time

こ こで述 べ られ た 内 積 の こ とは,高 等 学校 で も習 った こ とが あ

り ま す の で,僕

も よ く知 っ て い る こ と で し た.お

ク トル 空 間 と 考 え た と き,(x,y)=x1y1+x2y2以 (I3)を み た す'内

積'が

あ る の で す か.も

聞 き し た い の は,R2を1つ 外 に も,内

のベ

積 の 条 件(I1),(I2),

しあ る と した ら,そ

れ は ど ん な ふ うに

し て 見 つ け る の で し ょ うか. 答  R2の

場 合 を 考 え る こ と に し よ う.R2を

思 い 浮 かべ る と き,私

た ち は 自然 に

1つ の 直 交 座 標 を と っ て 考 え る が,そ

うす る と,よ

く知 っ て い る 内 積 以 外 に は も

う 内 積 は な い よ う な 気 が し て く る.そ

れ は 直 交 座 標 を 導 入 し た と き に,い

つの間

に か 長 さ の 測 り方 とか,直

角 を指 定 し て しま った こ とに な ってい るか らで あ る.

質 問 に 答 え る た め に は,ま

ずR2か

ら 一 切 の 描 像 を 捨 て て,R2は

の 組 の つ く る ベ ク トル 空 間 と 考 え な くて は い け な い .次

と お く と,こ

の 任 意 の1

のとき

れ は ベ ク トル 空 間R2の1つ

と り方 は い くら で も あ る.実 際 は,R2の で あ る.こ

にTをR2上

の実 数

がTに よ って移 され た先 を

対1の 線 形 写像 とす る. 

と表 わ す こ とに し よ う.こ

た だ2つ

の 内 積 と な る.だ

か ら,異

な る内 積 の

内 積 は す べ て こ の よ うに し て 得 ら れ る の

の こ と に つ い て は 次 講 で 触 れ る こ と に し よ う.

第9講 正 規直 交基 底 テーマ

● 直 交性 ● 正規 直 交 基 底 ● 正 規 直 交 基 底 の 存 在―

ヒルベ ル ト ・シ ュ ミッ トの 直交 法

● 正規 直 交 基 底 を 用 い た ときの 内 積 の表 示 ● 正規 直 交 基 底 に よ る展 開 ● 直 交補 空 間 ● 直 交分 解

直

  内積 の 概 念 の背 景 には,R2やR3で

交

性

み た よ うに,長 さや 角 の幾 何 学 的 観 点が 横

たわ っ てい る こ とを知 る こ とは 重要 であ るが,C上

のベ ク トル 空 間 に移 る と,内

積 と角 とを 結 ぶ 糸 は 切れ て し ま う.た とえばC自 身 は1次 元 の 複 素 ベ ク トル 空 間 であ る.Cの2元z,wの

内積 はzwと

な るが,zwは

複 素数 値 であ り,こ れ に対 し

て幾 何学 的 な概 念 を 直 接 結 びつ け る こ とな どで きな い だ ろ う.   しか しそれ で も私 た ち は,R2やR3の

中 で抱 い た 内 積 と角 との相 関 関係 か ら生

じて くる1つ の幾 何 学 的 感 触は,こ れか らの理 論 展 開 の 中 で も大 切 に 保存 してお きた い と思 う.そ れ は,R2,R3の  

とき

(x,y)=0⇔cosθ=0⇔xとyが

直 交 して い る

が 成 り立 つ とい う状 況 であ る.   そ のた め 次 の 定義 を お く. 【定 義】  内 積 を もつベ ク トル 空 間Vに yは 直 交 す る とい う.

お い て,(x,y)=0が

成 り立 つ と き,xと

正規直 交基底  Vをn次

元 の ベ ク トル空 間 とす る,Vに

【定義 】 Vの

基 底{e1,e2…,en}が

は 内積 が 与 え られ て い る とす る.

次 の性 質 を もつ と き正規 直 交 基 底 とい う.

(ⅰ) (ⅱ)

【定 理 】 Vに

は 正 規 直 交 基 底 が 存 在 す る.

【証 明 】 Vの 任 意 の 基 底 を1つ

と お く.こ

の と き‖e1‖=1で

と り,そ

あ る.次

れ を{f1,f2,…,fn}と

す る.ま

ず

に

と お く.

で あ り,ま たf1とf2が1次

独 立 の こ と か らe2′≠0の こ と が わ か る.そ

こで

と お く と,

が 成 り立 つ.  次に

で あ る.ま

と お く. 

≠0も わ か る.そ

とお くと

こで

たf1,f2,f3が1次

独 立 の こ とか らe3′

が 成 り立 つ.   こ の 操 作 を 帰 納 的 に 順 次 繰 り返 し て い く と,長 の 元{e1,e2,…,en}が も と も とn次

得 ら れ る.こ

元 な の だ か ら)1次

と い う関 係 が あ っ た と す る.こ

さが1で,互

い に 直 交 す るn個

れ が 基 底 を 与 え て い る こ とを 示 す に は,(Vは 独 立 の こ と さ え 示 せ ば よ い.そ

のため

の 式 の 両 辺 に 対 し,ei(i=1,2,…,n)と

の 内積 を

とると

と な る が,{e1,…,en)の 1,2,…,n)が

正 規 直 交 性 か ら,左

辺 は αiと な る.こ

れ か らαi=O(i=

得 ら れ る.

し た が っ て{e1,e2,…,en}はVの

正 規 直 交 基 底 と な る.

  こ の 証 明 で 示 した よ うな 操 作 で,与 基 底{e1,e2…,en}を

つ くる こ と を,ヒ

え ら れ た 基 底{f1,f2,…,fn}か

ら正 規 直交

ル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 と い う.

正 規 直 交 基 底 を 用 い た と き の 内積 の表 示 Vの 正 規 直交 基 底{e1,e2,…,en}を

と 表 わ す.こ

【証 明】

特に

の とき

と る.x,y∈Vを

この基 底 に関 して

と な る.  

R上

の ベ ク トル 空 間 の 場 合 に は,正

規 直 交 基 底{e1,e2,…,en}を

と る と,対

応

し た こ とは 次 の よ うに 表 わ さ れ る.

[R上 の ベ ク トル空 間 の と き]

こ こ で,α1,…,αn;β1,…,βnは

す べ て 実 数 で あ る こ と を 注 意 し て お こ う.

  この こ とか ら実 は 前 講 の 最 後 に述 べ た こ と,す なわ ち ベ ク トル 空 間R2上 与 え られ た 内積 は,必

ず 適当 な1対1線

とがわ か る.そ れ を 示 す た め に,R2上 (,)∼

よ って,(x,y)Tと

に 与 え られ た内 積 を 任 意 に1つ

こで線 形 写 像TをT: 

りに かけ る.こ

こで{e1,e2}は

の任意に

表 わ され る こ と り,そ

で表 わ して お こ う.こ の内 積 に関 す る正規 直 交 基 底 を{e1,e2}と

と きx=x1e1+x2e2=X1e1+X2e2と2通 る.そ

形写 像Tに

標 準 基底 で あ

で 定 義 す る と,Tは1対1で,確

かに

と な っ て い る.

正 規 直 交 基 底 に よ る 展 開

Vの 正 規 直 交 基 底{e1,e2,…,en}を1つ

Vの 任 意 の 元xは た だ1通

と る.こ

の とき

りに

(1) と表 わ さ れ る.

  こ れ をxの

正 規 直 交 基 底 に よ る 展 開 とい う.実 際,xをx=α1e1+…+αnenと

表 わ し て お い て,(x,ei)を n)と

求 め て み る と,各

な っ て い る こ とが わ か る.

れ を

す る.そ の

係数αiは,αi=(x,ei)(i=1,2,…,

直 交補空 間 Vの 部 分 空 間Eを 考 え る.す なわ ちEはVの

を み た し て い る.こ

と お く.E⊥

はEの

部 分 集 合 であ って,性 質

の とき

す べ て の 元 に 直 交 す る元 か ら な る 集 合 で あ る.

E⊥ は 部 分 空 間 と な る.実

際,y,y′ ∈E⊥ とす る と 任 意 のx∈Eに

対 して

こ の こ と はαy+βy′ ∈E⊥ を 示 し て い る. 【定 義 】  E⊥ をEの

直 交 補 空 間 とい う.

  次 の 性 質 が 成 り立 つ.

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

【証 明 】 (ⅰ):E自 す る.そ …

,fn}を

身 内 積 を も つ ベ ク トル 空 間 だ か ら,Eの

れ を{e1,…,ek}(k=dimE)と

正 規 直交 基 底 が存 在

す る.{e1,…,ek}に1次

適 当 に つ け 加 え る こ とに よ り,Vの

独 立 な 元{fk+1,

基 底{e1,…,ek,fk+1,…,fn}が

得 ら

れ る.   ヒル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 を,こ

の 基 底 に 対 し てfk+1か

ら 適 用 す る:す

なわ ち

と し,

と お い て,fk+1をek+1に の正規直交基底

お きか え る.順

次 こ の 操 作 を 行 な っ て い く こ と に よ りV

が 得 ら れ る,   ek+1,…,enの

は  る.し

そ れ ぞ れ は,Eの

基 底e1,…,ekの

す べ て と 直 交 し て い る.Eの

と表 わ さ れ て い る の だ か ら,ek+1,…,enはEの

元

す べ て の 元 と直 交 し て い

た が って

が わ か り,し た が っ て ま た こ の1次

Vの 任 意 の 元xは,た

だ1通

結 合 もE⊥ に 属 し て い る:

りに

と表 わ され るが

だ か ら,こ

の こ と はV=E〓E⊥

  (ⅱ)= 

(ⅰ)の 証 明 の 記 法 を 使 う と,E⊥

空 間 で あ り,そ

(ⅲ): 

れ はEに

を 示 し て い る.

ほ か な ら な い.す

に 直 交 す る 元 はe1,…,ekで な わ ち(E⊥)⊥=Eが

は られ る

成 り立 つ.

これ は 明 らか だ ろ う.

直 交 分 解 (ⅰ)の 性 質 を も う少 し一 般 に して

(2) と,Vがs個

の 部分 空 間の 直 和 に分 解 し,か つ

 i≠jの

とき,EiとEjの

とい う性 質 を み た す とき,(2)をVの

元 は直 交 す る

直 交分 解 とい う.

 直交 分 解 で あ る こ とを 明 記 したい ときに,(2)を (2)′

と表 わ す こ ともあ る.記 号 ⊥は 直 交 して い る こ とを示 唆 して い る の であ る.  直 交 分 解(2)に

対 して は

の よ うな 性 質 が 成 り立 っ て い る こ と を 注 意 し よ う.

特 に(2)で

の ときに は,必 然 的 に(次 元 の関 係か ら)s=nで

と な る.こ

の と き 各Ek(k=1,2,…,n)か

ら

(3) とな る元 を選 ん でお くと

はVの

正 規 直 交 基 底 と な っ て い る.

  こ の こ とは 明 ら か で あ ろ うが,つ

い で に(3)の

よ う なfkの

選 び方 に どれ だけ

の 任 意 性 が あ る か に つ い て 述 べ て お こ う.fkを1つ

選べば

と表 わ さ れ る.αfkに

さ の こ と ま で 考 え て)複

面 と思 っ て よ い.こ 長 さ1の

α を 対 応 さ せ る と,Ekは(長 の と きfkに

複 素 数 はeiθ(0≦

は 実 軸 上 の1が

θ<2π)と

対 応 し て い る.複

表 わ さ れ る.し

た が っ てEkの

素平

素平面上では 方 へ 戻 す と,

ｆkの ほ か に

が,Ekに

含 ま れ る 長 さ1の

元 で あ る と い う こ と に な る.す

元fkの

選 び 方 に は,eiθ(0≦

 

こ こでfkの 選 び 方 にeiθだ け の 任意 性 が あ った のは,C上 い るか ら であ る.R上

θ<2π)を

な わ ち(2)を

みたす

か け る だ け の 任 意 性 が あ る の で あ る.

の ベ ク トル空 間 で 考 え て

の ベ ク トル空 間 で 考 え る と きに は,選 び方 はfkか−fkか

のい

ず れ か1つ で あ る.

Tea

Time

質 問   この講 で は,'内 積 が あれ ば'と い う前 提 か ら話 を 進 め られ て きた よ う に 思 い ます.前 講 のTea

Timeで

の 質 問を も う少 し一 般化 した こ とに な るのか も し

れ ま せ ん が,n次 か.ま

元 ベ ク トル 空 間 に 内 積 を 導 入 す る に は ど う し た ら よ い の で す

た 内 積 の 入 れ 方 は い ろ い ろ あ る の で し ょ うか.

答  確 か に そ の 点 に つ い て は 話 を し な か っ た よ うで,片 い.抽

象 的 な ベ ク トル 空 間Vか

こ と を 試 み る とい っ て も,ま う.そ

こ で い まVに1つ

手 落 ち だ っ た か も しれ な

ら 出 発 し て み る こ と に し よ う.Vに

内積 を 入 れ る

っ た く無 目 的 に 内 積 を 入 れ る わ け に もい か な い だ ろ

基 底 を と り,そ

れ を{e1,e2,…,en}と

す る.こ

の{e1,e2,

… ,en}を 正 規 直 交 基 底 とす る よ う な 内 積 を 入 れ る こ と を 試 み て み よ う.そ Vの 元x,yを

れ には

この 基底 を 用 い て

と表 わ した と き,内 積 を

と定 義 す る と よ い の で あ る.も

と お く.こ

ち ろ ん,VがR上

の とき確 か に

が 成 り立 つ か ら,{e1,e2,…,en}は

正 規 直 交 基 底 と な る.

  だ か ら質 問 に 対 す る 答 だ け か ら いえ ば,内 際,任

の ベ ク トル 空 間 の と き に は

積 の 入 れ 方 は い ろ い ろ あ っ て,実

意 に与 え られ た 基底 を 正 規 直交 基 底 とす る よ うな 内積 が存 在 す る とい うこ

と に な る.   も っ と も読 者 の 中 に は,た ル

と え ばR2の

基 底 と し て45°

で 交 わ る2つ

のベ クト

を とった と き,こ れ が 直 交 して い る とみ る よ うな内 積を 考 え るの

は おか しい と思 わ れ る人 もい るか も しれ ない.そ れ はR2を

見 る と き,す

つ うの長 さや 角 を 前 提 とした 描 像 を抱 い てい るか ら であ る. 

と 

でに ふ

が直交

す る よ うな 描 像 が 新 し く与 え られ た のだ と考 え る とよい.投 影 図 を思 い 出 して み て もわ か る よ うに,私 たち は 視線 の と り方 で,直 交 す る直 線を 斜 め に 交 わ る と 見,斜 交 す る直線 を直 交 す る よ うに も描 く.内 積 を と る とは,そ の意 味 で は,抽 象 的 な ベ ク トル空 間を キ ャ ンバ ス に描 く,1つ い え るの で あ る.

の投 影 の 仕方 を 指 示 してい る と も

第10講 射影 作 用素,随 伴 作 用素 テー マ

● 線 形 作用 素 とい う言 葉 ● 射影作用素 ● 射 影 を基 底 を 用 い て表 わ す. ● 射 影作 用 素 と直 交分 解 ● 随 伴 作 用 素―

存在 と一 意 性

● 随 伴 作 用 素 の性 質 ● 射 影 作用 素 の特 徴 づ け

言 葉 づ か い

  い ま ま で,ベ

ク トル 空 間Vか

像 と い っ て き た.し

らVへ

の 線 形 性 を 保 つ 写 像Tを,V上

か し 理 論 が 進 む に つ れ て,し

の線形写

だ い に 線形 写 像 を 線形 作 用 素 と

い い か え る こ と が 多 く な っ て くる.線

形 写 像 は 英 語 でlinear

作 用 素 はlinear

の 語 感 の 違 い を ど の よ うに 受 け と るか は,

operatorで

あ る.こ

mapで

あ り,線 形

読 者 ひ と りひ と り で 違 うの だ ろ う と 思 う.私

の 感 じ も そ れ ほ ど は っ き り し た もの

で は な い の だ が,linear

景 に あ るV全

mapと

さ れ る か に 関 心 が あ り,linear て,Tの

い う と,背 operatorと

も つ 固 有 な 性 質 や,TがVの

体 がTで

い う と き に は,Tが

ど の よ うに 移

主体 とな っ て き

各 元 に ど の よ うに 働 くか に 関 心 が 移 っ て く

る よ うで あ る.   実 際 あ と で 述べ る 関 数 空 間 の 場 合 に は,積 と し て 登 場 し て く る が,こ

の よ うな と き に は 背 景 に あ る 関 数 空 間 は 広 漠 と し て,

い わ ば 視 界 に お さ ま り に く くな る.む の も つ 特 徴 を 捉 え て,個   私 た ち は,こ

分 作用 素 や 微 分 作用 素 が線 形 作 用 素

し ろ こ の 空 間 の 上 の 作 用 素 を1つ

と り,そ

々 の 関 数 へ の 働 き を 調 べ よ う と す る よ う に な っ て くる.

れ か ら は こ の よ うな 視 点 の 微 妙 な 変 化 を 示 唆 す る た め に,線

形 写

像 の代 りに,線 形 作 用 素 とい う言葉 の方 を 主 に使 ってい くこ とに し よ う.

射 影 作 用素

  この よ うな言 葉 づ か い に なれ る最 初 の例 と して,射 影 作 用素 を述べ る こ とに し よ う.   Vの 部 分 空 間Eが 与 え られ る と,Vは

と直交 分 解 され る.こ の分 解 に したが ってVの 元xは た だ1通

りに

(1) と 直 交 分 解 さ れ る.こ xに 対 し て,(1)の

の と きVの

右 辺 のyを

任意の元

対 応 させ る 対

応 を 考 え る こ とが で き る. 対 応x→yは

線 形 写 像 で あ っ て,xのEへ

の 直 交 射 影 とい う. 【定 義 】 x∈Vに

対 し,Px=yと

お き,Pを

Eへ の 射 影 作 用 素 と い う.   射 影 作 用 素Pを

用 い る と,逆

にEは 図13

と特性 づ け られ る.射 影 作 用素Pは 次の 性質 を もつ. (ⅰ) 

P2=P 

(2)

(ⅱ)  I−Pは 直 交 補空 間E⊥ へ の射 影 作 用 素 とな る. 【証 明 】  (ⅰ): 

x∈Vに

対 しPx∈E.し

た が っ てP(Px)=Px.ゆ

え にP2=P

が 成 り立 つ.   (ⅱ):

(1)で,(I−P)x=x−Px=x-y=z(∈E⊥)と

  (ⅱ)か

ら

  と お く と,Qも

な る こ と か ら わ か る.

Q=I−P ま た 射 影 作 用 素 と な る が,こ

の とき

(3)

(4) が 成 り立 つ   (3)は −P2=Oか

明 ら か で あ る.(4)はPQ=P(1−P)=P-P2=0,QP=(1−P)P=P らわ か る

.

射 影 作 用 素 の 基 底 に よ る表 示   Vの 部 分 空 間Eが

与え ら れ る と,Vの

 

{e1,e2,…,em}はEの

 

{em+1,em+2,…,en}はE⊥

と な る よ うに と る こ とが で き る.そ

正 規 直 交 基 底{e1,e2,…,en}を, 正 規直 交 基 底 の正 規 直 交基 底

れ に は,ま

と り,次

に こ れ に1次

れ たVの

基 底{e1′,…,em′,em+1′,…,en′}に

ずEの

独 立 な 元{em+1′,…,en′}を

任 意 の 基 底{e1′,…,em′}を

つ け 加え,こ

対 し,ヒ

の よ うに し て 得 ら

ル ベ ル ト・シ ュ ミ ッ トの 直 交

法 を ほ ど こ す と よ い.   こ の よ うな 基 底 を と る と,Eへ

の 射 影 作 用 素Pは

と表 わ され る.こ の こ とは 前 講 の(1)を

み る と,す ぐにわ か るだ ろ う.

射 影作用素 と直交分 解   (3),(4)は

直 交 分解V=E⊥E⊥

を射 影 作 用 素 を用 い て表 現 した もの とみ る こ

とが で き るが,こ れ を 一般 化 す る と次 の よ うに な る. 直 交 分 解V=E1⊥E2⊥ へ の 射 影 作 用 素 をPiと

… ⊥Esに

対 し,各Ei(i=1,2,…,s)

す ると

(#)

が 成 り立 つ.

実 際,与 え られ た 直 交分 解 に したが っ て,x∈Vを

と 表 わ す と,Pix=xi(i=1,2,…,s)が

成 り立 つ.証

明 は こ の こ とか ら す ぐに 得

ら れ る.

随 伴 作 用 素 【 定 義 】  線 形 作 用 素Aに

対 し

(5) が 成 り立 つ 線 形 作 用 素A*を,Aの

 

随 伴 は英 語adjointの

随 伴 作 用 素 と い う.

訳 であ る.随 伴 作用 素 はadjoint

jointは 数学 で は慣用 の形 容詞 な の で,ご に あ った英 和 辞 典 でadjointを あ る が,形 容 詞adjointは 和辞 典 でadjointを

operatorで

あ る.こ のad

くふつ うの 形容 詞 か と思 っ て いた が,手

引い て み た ら,動

詞adjoin(隣

許

接 す る,接 合 す る)は

な い の にか え って 驚 い て し ま った.改 め て も っ と大 きい 英

引 い て みた ら,数 学 用 語 と して,上 の 定義 に 近 い よ うな こ とが述

べ られ て いた .

【定 理 】  任 意 の 線 形 作 用 素Aに

【証 明 】  存 在 す る こ と:  るAの

対 し て 随 伴 作 用 素A*が

Vの 正 規 直 交 基 底{e1,…,en}を

存 在 し,一 意 的 に 決 ま る.

と り,こ

の基 底 に 関す

行 列表 現 を

とす る(こ こ では線 形 作 用 素 と行 列を 同一 視 して 同 じ記 号 を用 い る).こ の と き

とお く.す なわ ちA*は

行 列Aの 行 と列 を と りか え て,さ ら に各成 分 の共 役 複 素

数 を と った もの であ る.行 わ す こ とにす れ ばA*=tAで

と列 を と りか え た もの を,転 置 行列 とい っ てtAと あ る.

表

こ の と き,

に対 し て

(和 の順序 の交 換) (共役 複 素 数 の性 質)

し た が っ て 行 列A*で

表 わ さ れ る線 形 作 用 素 は,Aの

随 伴 作 用 素 と な っ て い る.

  一 意 的 に 決 ま る こ と:Aに

対 し て(5)の

っ た と し て,そ

れ をA*,A*と

表 わ す と,す べ て のx,y∈Vに

が 成 り立 つ.し

た が って

が 得 ら れ るが,こ

こ でyを

と,(A*−A*)y=0が

れ か らA*=A*が

関 係 を み た す 線 形 作 用 素 が2つ

ひ と まず と め て,xと

対 して

し て(A*−A*)yを

成 り立 つ こ とが わ か る,yは

随伴作用 素の性 質   随伴 作 用 素 につ い ては,次 の性 質 が基 本 的で あ る. (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

【証 明 】  (i):

ら ば,A*も1対1で

とっ てみ る

任 意 で よか っ た の だ か ら,こ

い え て,一 意性が 示 され た.

(ⅳ)  Aが1対1な

あ

あ り

した が っ て 

が 成 り立 つ.

(ⅱ)

が成 り立 つ.

し た が っ て  (ⅲ): 

定 義 か ら 

し た が っ てA**=Aが   (ⅳ):ま 対1な

らば,A*も

独 立 な 元 を1次

の 写 像 と な っ て い る.実   い まA*y1=A*y2が 任 意 のx∈Vに

方,

成 り立 つ.

ずAが1対1な

ら ば,(1次

と な る.xを

で あ る が,一

ま た1対1で

あ る こ と を 示 そ う.Aが1

独 立 な 元 へ と移 す か ら)AはVか

らVの

上へ

際 以 下 の 証 明 に 使 う の は こ の 事 実 で あ る.

成 り立 っ た とす る.こ

の と きA*(y1−y2)=0.し

たが っ て

対 して

適 当 に とれ ばAxは

れ か らy1−y2=0が

任 意 の 元,た

得 ら れ る.し

  こ の と き,x=AA−1xを

と え ばy1−y2に

た が っ てy1=y2と

な る の だ か ら,こ

な り,A*は1対1で

あ る.

用いて

した が って 

が 成 り立 つ.

射 影作用素 の特 徴づけ 随伴 作 用素 の概 念 を 使 うと,射影 作 用 素 は 次 の よ うに特 徴 づ け る こ とが で き る. V上 の線 形 作 用素Pが,あ 要十 分 条 件 は,Pが   (ⅰ)  P2=P   (ⅱ)  P*=P

る部分 空 間Eへ の射 影 作用 素 とな る た めの 必

次 の2つ の 条件 を み た す こ とで あ る.

【証 明】 必 要 性:  (ⅰ)は   (ⅱ): 

す で に(2)で

示 してあ る.

Pを 部 分 空 間Eへ の 射影 作 用 素 とす る.

(6) と 直 交 分 解 し,x,y∈Vを

この分 解 に したが って x=x1+x2, y=y1+y2

と 表 わ す.こ

一 方

,左

の と きPx=x1で

辺 は(x,P*y)に

等 し い.右

る が,Py=y1だ

か ら,こ

  十 分 性: 

Pを(ⅰ),(ⅱ)を

はPに

よ るVの

あ る.し

たが って

辺 と見 比 べ て,こ

れ でP=P*が

れ か らP*y=y1が

示 さ れ た.

み た す 線 形 作 用 素 とす る.P(V)=Eと

像 で あ っ て,し

得 られ

た が っ て 部 分 空 間 と な っ て い る.条

お く.E 件(ⅱ)か

ら

一般に

が 成 り立 つ.y∈E⊥ 右 辺 の 式 でx=Pyと

と す る と,任

意 のxに

対 し て 左 辺 の 式 が 成 り立 つ.こ

お い て み る と,Py=0と

な り,し

の とき

たがって

が 得 られ る.同 様 に して〓 も示 され る.す な わ ち

が 成 り立 つ こ と が わ か る(な

お,KerPはPの

核 で あ っ て,KerP={y￨Py=0}

で あ る).   い ま,Vを(6)の

よ うに 分 解 し,こ

れ に し た が っ てy∈Vをy=y1+y2と

わ す と (y2∈KerPに

(条 件(ⅰ)に し た が っ てP(Py−y1)=0と

一 方

,Py−y1∈E.し

な る.ゆ

たが って

えに

よ る)

よ る)

表

とな って,Py=y1.こ

の ことは,PがEへ

の射 影 作用 素 であ る こ とを 示 してい

る.   読 者 は この証 明 で,P=P*と

い うよ うな 条件 が,部 分 空 間 の 直交 性 とい う性 質

に ご く自然 にお きか え られ てい くことに 注意 され る とよい .内 積 は も と も とは, ベ ク トル空 間Vに 幾何 学 的 性 質 を付 与 した ので あ った が ,随 伴 作 用 素 とい う概 念 の 導入 は,線 形 作 用素 の中 に この幾 何学 な性 質―

特 に 直交 性―

を反 映 させ て

い く契 機 を 与 え る こ とに な った の であ る. Tea

質 問   抽 象 的 な,内 間Eへ

Time

積 な ど 定 義 さ れ て い な い ベ ク トル 空 間Vに

の 射 影 作 用 素 は 考 え られ な い の で す か.な

対 し てV=E 

E′ と な る 部 分 空 間E′ を と っ て,こ

x=y+z(y∈E,z∈E′)と

表 わ し,Px=yと

は 任 意 性 は あ り ま す が,Eは

対 し て も,部

分空

ぜ そ う考 え た か と い う と,Eに の 分 解 に した が っ てx∈Vを

お く と よ い と思 うか ら で す.E′

決 ま っ て い る の で す か ら,こ

れ で 射 影 作 用 素Pは

に 決

ま る の で は な い で し ょ うか. 答  そ の よ うに し て もPはEに 方 に し た が え ば,Pはyの あ る.こ し てR2を

よ っ て 一 意 的 に は 決 ま ら な い の で あ る.君

と り方 だ け で な く,E′ の と り方 に も よ っ て い る か ら で

れ は 式 で 説 明 す る よ りは,図 と っ て あ る.Eと

対 し て もyの

のか き

で 見 て も ら っ た 方 が 早 い,図14で

し て はx軸

を と っ て あ る.E′

の と り方 で,同

は,Vと じxに

と り方 が い ろ い ろ に 変 わ る こ と が わ か る だ ろ う.

  内 積 を 入 れ る こ と に よ り,Eに ―直 交 補 空 間―

対 し て 

が 決 ま っ て くる.こ

と な る 特 定 の 部 分 空 間E⊥

れ に よ っ てEへ

図14

の 射 影 作 用 素Pが

決 まる

の であ る.だ か ら射 影作 用 素 は,隠 れ た立 役 者'内 積'の 存 在 に よっ ては じめ て 決 ま る とい って よい.こ れ か ら線形 作 用素 の固 有空 間へ の分 解 を,射 影 作 用素 を 用 い て表 わ す こ とが 主題 とな って くるが,こ の 基 盤 には'内 積'が 横 た わ ってい る ことは,よ

く覚え てお い た方 が よい だ ろ う.

第11講 正 規 作 用 素 テーマ

●1つ

の問 題 設定:固 有 空 間 に よる分 解 が 直 交分 解 とな るのは,作 用 素A

が どの よ うな 性 質 を もつ と きか. ● 問 題 に対 す る必 要 条 件A*A=AA* ● この 条件 は また十 分 条 件 とな る― ● 正 規 作用 素Aに 対 し,A*とA−1の ● エ ル ミー ト作 用 素H=H*― ● 射 影 作用 素―

正規 作 用 素 表示

正 規作 用 素 で固 有値 が 実 数

正規 作 用 素 で固 有値 が０ また は1

● ユ ニ タ リー作用 素―

正 規 作 用 素 で 固有 値 が 絶 対値1の 複 素 数

● 正規 作用 素 とエ ル ミー ト作 用 素 の 関 係

固 有 値 問 題 の 新 しい 設 定   AをV上

の 対角 化 可 能 な 線形 作 用 素 とす る.Aの

固 有値 λiに対 す る固 有空 間をEiと す る と,Vは

固有値 を λ1,λ2,…,λsと し,

固 有空 間の 直和 とし て (1)

と 表 わ さ れ る.こ

の 分 解 に し た が っ てVの

 

x=x1+x2+…+xs 

と 表 わ し て お く と,も

元xを (2)

ちろん

(3) とな る. [問題]  (1)が

直交 分 解 とな る のは,Aが [問 題]に

どの よ うな作 用素 の と きか?

対す る必要 条件

 い ま この よ うな線 形 作 用素Aが あ った と し よ う.こ の と き,Aの

固 有値 λ1,λ2,

… ,λsに 対 す る固 有 空 間E1,E2,…Esに

つ い て,(1)は

も っ と'幾

何 学 的'に

な

って

が 成 り立 つ こ とに な る.   各Eiに 対 す る射 影 作 用 素 をPiと す る と,前 講 の(#)で

が 成 り立 つ.こ

示 した よ うに

の とき

(4) と な る.実

際,(2)と(3)に

よ り

とな るか ら であ る.   (4)の

随伴 作 用 素を とっ てみ る と

(Pi*=Piに

と な る.(4)と

見 比べ て み る と,AとA*の

よ る) 

違 い は,固

(5)

有 値 が λiか ら λiに 変 わ

っ た こ とだ け に す ぎ な い こ と が わ か る.   この とき

と な る.こ

こ でPi2=Pi,PiPj=0(i≠j)に

注 意.し

た が っ てA*A=AA*と

す な わ ち 次 の こ とが わ か っ た.

[問 題]の  

解 を与え る 線 形 写 像Aは,条 A*A=AA*

を み た してい な け れ ば な ら ない.

件

な る.

正 規作用素   この関 係 に 注 目 して 次 の定 義 を お く. 【定 義】 線 形 作 用 素Aが  

A*A=AA*

を み た す と き,正 規 作用 素 とい う.   この 定 義 を用 い る と,上 に述 べ た問 題 の 解 は次 の よ うな 完全 な形 で与 え る こ と が で き る.

【定 理 】  線 形 作 用 素Aの 固 有空 間 に よ って,Vが 条件 は,Aが

直 交分 解 す るた め の必 要 十分 な

正 規 作 用 素 とな る ことで あ る.

【証 明 】 必 要 性 は す で に示 し てあ る.十 分 性 を示 そ う.そ の た めAを 正 規作 用 素 とす る.こ の と き証 明 の鍵 とな るの は次 の 事実 で あ る. (*)  あ る零 で ない 元z∈Vが

存 在 して (μ,νは 適 当 な複 素 数)

が 成 り立 つ.

  実 際,Aの と きx∈Eμ

と な る が,こ る が,こ

固 有 値 の1つ

を μ と し て,μ

の 左 辺 は 仮 定 か ら,AA*xに

の 式 はA*x∈Eμ

等 し い.す

を 示 し て い る: 

う に 考 え た と き のA*の す る と,z∈Eμ

  さ て,そ

の

に対 し

1つ の ベ ク トル 空 間 と考 え る と,A*はEμ

ル をzと

に 対 す る 固 有 空 間 をEμ と す る.こ

固 有 値 の1つ だ か ら,明

こ で(*)の

の 部 分 空 間 をF1と

す る:

な わ ちAA*x=μA*xと .し

た が っ て,Eμ

上 の 線 形 作 用 素 と な っ て い る.こ

をν と し,ν

ら か に(*)が

成 り立 つ よ う なz(≠0)を1つ

な を のよ

に対 す る零 でな い 固 有 ベ ク ト 成 り立 つ . と り,zの

は る1次

元

ま たF1の 直 交 補空 間をV1と す る:

F1の 元 は 固有 値 μに 属す る固 有 ベ ク トル と な って い る こ とを 注 意 してお こ う.   この とき

(6) が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.   y∈V1と

す ると

こ の 式 は,Ay∈V1を

か ら,A*y∈V1も

示 し て い る.同

得 ら れ た.こ

  し た が っ て,AもA*もV1上 と 考 え て も,も

れ で(6)が

示 さ れ た.

の 線 形 作 用 素 を 与 え て い る.V1上

ち ろ んA*A=AA*と

V1上 で,A,A*を

様 に

の 線形 作 用 素

い う関 係 は 成 り立 っ て い る.し

考 え て い ま と 同 じ論 法 が 適 用 で き る.そ

と 直 交 分 解 す る こ とが わ か る.F2はAの

た が っ て,

の 結 果V1は

固 有 ベ ク トル か ら は ら れ る1次

空 間 で あ り,A(V2)⊂V2,A*(V2)⊂V2で

元 の 部分

あ る.

  こ の こ と を 繰 り返 し て い く と結 局

と表 わ さ れ る こ とが わ か る.F1,F2,…,Fnの ま と め に し て,そ Fikが ち ょ う ど1つ ば,E1=Fi1⊥

は,Aの

中 で 同 じ固有 値 に 属す る もの を ひ と

れ ら の は る 部 分 空 間 をE1,E2,…,Esと

す る(た

とえ ばFi1,…,

の 固 有 値 λ1に属 す る 固 有 ベ ク トル か ら は られ て い る と す れ

… ⊥Fikと

お くの で あ る).こ

の とき

固 有空 間 に よ るVの 直 交分 解 とな って い る. 正 規 作 用 素AのA*,A−1

  一 般 に 正 規 作 用 素Aを 固 有空 間 に分 解 した 形 で

(4) と表 わ す と,前 に 述べ た こ とを再 記 す る こ とに な るが

(5) と な る.   ま たAが

逆 写 像 を も つ 条 件 は λi≠0(i=1,2,…,s)で

与 え ら れ,こ

の とき

(7) とな る.   す な わ ち,AもA*も,ま る.た

た(存

在 す れ ば)A−1も

だ そ れ ぞ れ の 場 合 に 応 じ てEi=Pi(V)上

同 じ固有 空 間を 共 有 してい

の 固 有 値がλi,λi,1/λiとな る の で

あ る.

正 規 作 用 素 の 例

  (Ⅰ)エ

ル ミー ト作 用 素

【定 義 】 H=H*を

 

み た す 線 形 作 用 素 を エ ル ミー ト作 用 素 とい う.

エ ル ミー トは,フ ラ ンス の数 学 者 シ ャル ル ・エ ル ミー ト(Charles

Hermite,1822-

1901)の 名前 か ら 由来 してい る.エ ル ミー トの主 要 な関 心 は解 析 学 にあ ったが,最

初

にeの 超 越性 を証 明 した こ と で有 名 であ る.

  Hを

エ ル ミー ト作 用 素 と す る と,H*H=HH*=H2だ

な る.一

般 に 正 規 作 用 素Aに

と 固 有 空 間 に 分 解 さ れ る.こ

対 し て は,(4),(5)で

の2つ

か ら,Hは

正 規作 用 素 と

示 し た よ うに

を 見 比 べ る と,A=A*と

な る 条 件,す

なわ ち

エル ミ ー ト作 用 素 と な る条 件 が 次 の よ うに 述べ ら れ る こ とが わ か る.

Hが エ ル ミー ト作用 素 ⇔Hが

正 規 作用 素 で 固有値 が すべ て実 数

エ ル ミー ト作用 素 に つい て は,次 講 で も う少 し詳 し く述 べ る こと に し よ う. (Ⅱ)射

影作 用 素

エ ル ミー ト作 用 素 の 中で,最 も簡単 な構造 を もつ ものは 射影 作 用 素 であ る.前

講 の'射

影 作 用 素 の 特 徴 づ け'か

作 用 素 で あ る.Pの と,Px=λxで 0か1か

ら もわ か る よ うに,射

固 有 値 を λ と し,λ

あ る が,P2=Pに

で あ る.固

有 値1に

影 作 用 素Pは

エ ル ミー ト

に 属 す る 固 有 ベ ク トル をx(≠0)と

よ り,λ2x=λx.し 属 す る 固 有 空 間 をEと

する

た が っ て λ2=λ と な り,λ

は

す る と,Pは

の

ち ょ う どEへ

射 影 作 用 素 と な っ て い る.   射 影 作 用 素 は,正

規 作 用 素 で 固 有 値 が0か

ま た は1と

して特 性 づ け られ るわ け

で あ る.   (Ⅲ)ユ

ニ タ リー作 用 素

【定 義 】 U*U=Iを

 

み た す 線 形 作 用 素 を ユ ニ タ リー 作 用 素 と い う.

ユ ニ タ リー(unitary)は,英

語 の形 容 詞 で,辞 書 を 引 く と,'単 位 の','統 一 の',

'分 割 で きな い'な ど とか い て あ る.数 学 者は この 言葉 を 使 い な れ て い るか ら,あ ま り 異 和 感 な どを もった こ とは な いが,改 め て 考え る と,ど とい う言葉 を 使 うよ うに な っ た のだ ろ うか.私

  Uが ユ ニ タ リ ー と な る 条 件 は,U*がUの  

と な り,Uは

もよ く知 らな い の で あ る.

逆 作 用 素 で あ る こ と,す

U−1=U* 

が 成 り立 つ こ と と同 値 で あ る.し

の よ うな 契機 か ら ユ ニ タ リー

なわ ち

(8)

た が って

正 規 作 用 素 で あ る.

  ユ ニ タ リー 作 用 素 を(4)の

よ うに 分 解 し て,(8)を(5)と(7)が

等 し く

な る 条 件 とみ る と,

す なわ ち (i=1,2,…s)が

得 ら れ る.す

な わ ち 次 の こ とが 示 され た.

Uが ユ ニ タ リー作用 素 ⇔Uが

  絶 対 値1の

複 素 数 は, 

正 規 作用 素 で,固 有値 が 絶 対 値1

と表 わ され る こ とに 注 意 し よ う.し

が っ て ユ ニ タ リ ー 作 用 素 の 固 有 値 はeiθ1,eiθ2,…,eiθsの 形 に表 わ され

た

とな る.こ こでPkは 固有 値eiθkに属 す る 固有 空 間 へ の射 影 作用 素 であ る. 正 規 作 用 素 と エ ル ミ ー ト作 用 素   正 規作 用 素 の 固有 値 は 一般 に 複 素 数 で あ るが,エ ル ミー ト作用 素 の 固有 値 は 実 数 で あ る.こ の こ とはエ ル ミー ト作 用 素 の 占 め る きわ立 っ て特殊 な位 置 を示 して い る とい え る.し か し,任 意 の 複素 数zがz=a+ib(a,b∈R)と

実 数 の組(a,b)

を 用 い て表 わ され る よ うに,正 規 作 用 素 もま た2つ の エ ル ミー ト作 用 素 の和 とし て表 わ す こ とが で き る.よ り正 確 に次 の 命題 が成 り立 つ. Aが 正 規 作 用 素⇔A=H1+iH2と  

表 わ せ る.

こ こ で,H1,H2は

エ ル ミー ト作 用 素 で,

  H1H2=H2H1  

を み た し て い る.

【証 明】 ⇒: 

Aを 正 規 作用 素 とす る.こ の とき

と お く と,H1,H2は

エ ル ミー ト作 用 素 で,A=H1+iH2,H1H2=H2H1を

みた し

て い る. 〓:  =H1+iH2と

線 形 作 用 素Aが,H1H2=H2H1を 表 わ さ れ て い る とす る.こ

同 様 の 計 算 でAA*=H12+H22と

正 規 作 用 素 で あ る.

な る.し

み た す エ ル ミ ー ト作 用 素 に よ っ てA の と きA*=H1−iH2と

た が っ てA*A=AA*が

な る.し た が っ て

成 り立 ち,Aは

Tea

Time

質 問   正 規 作用 素 は対 角化 可能 で あ って,さ らに 固有 空 間 がVの 直 交 分解 を 与 え てい る とい う証 明 で,僕 は て っ き りい ま ま での よ うにAの 固 有方 程 式 を考 察す る のだ ろ うと思 っ て い ま した.し か しい ま の場 合,固 有 方 程 式 の こ とな ど少 し も考 え ない で,こ の よ うな結 果 が得 られ た の は なぜ で し ょうか. 答  な るほ ど質 問 され て み る と,確 か に 証 明 には,そ の よ うな 疑 問を ひ き起 こさ せ る も のが 含 まれ て い る よ うであ る.第7講

あ た りま での 議 論 の仕 方 を振 り返 っ

てみ る と,こ の定 理 を 示 す には,ま ずA*A=AA*と

い う条件 か ら,固 有 方 程 式

の解 の重 複 度 が 固有 空 間 の 次元 に 等 しい こ とを 導 き,次

に も う一度A*A=AA*

とい う条 件 を 用 い て,固 有空 間 に よ る直 和分 解 が,実 は直 交 分 解 で あ る とい う筋 道 で進 む の だ ろ うと思 って しま う.し か し実 は この よ うな証 明 法が あ るの か ど う か さえ,私 は 知 ら な いの で あ る.な ぜ この よ うな証 明 法が ない か と問わ れ て も困 るの だ が,幾 何学 的 な直 交 分解 性 を 完 全 に代 数 的 な立 場 で捉 え る こ とは 難 しい こ とに よ っ てい るの か も しれ ない.   こ こ で与 え た 証 明 では,固 有 多 項 式 の こ とな ど1つ も触 れ て い な い.ベ 空 間Vが,正

の か た ま りが形 を保 ちなが ら分 解 して い く よ うに,A*と て,見

ク トル

規 作用 素Aの 固有 方 向 の ベ ク トル に した が い なが ら,ち ょ うど結 晶 い う'く さ び'に よ っ

事 に 直 交 方 向 に分 解 してい くさ まだ けが 述 べ られ てい る.AとA*の

性 は,結 晶Aと,打

ち こ まれ る'く さび'A*が,互

可換

い に よ くな じん でい る こ と

を 示 し てい る よ うで あ る.証 明の 中 か ら,代 数 的 な もの は,固 有値 が 存 在 す る と い う以 外 は,一 切 消 えて しま った.内 積 の導 入 と,直 交分 解 とい う概 念 の 投 入 に よ って,固 有値 問題 は,い ま まで 隠 され て いた 幾 何学 的 な側 面 を しだ い に 明 らか に して きた とも い え る.こ れ は 固 有値 問題 の不 思 議 な変 容 であ る.  だ が,こ の変 容 が や が て有 限 次 元 の 固有 値 問題 を,無 限 次元 の 固 有 値 問 題 へ と,い か に 移行 す るか の道 を 指 し示 す こ とに な っ た の であ る.も し固 有方 程 式 を 固 有 値 問題 の 中心 に お い て い た な らば,こ の 道 は ま った く霧 に包 まれ て いた こ と だ ろ う.

第12講 エ ル ミー ト作 用 素

テー マ

● エル ミー ト作 用素 に関 す る1つ の評 価 式 ● 最 小 の 固 有 値 と最 大の 固 有値 ●Hの

最 小(最 大)の 固 有 値は,単 位 球 面上 の関 数(Hy,y)の

最 小(最 大)

値 と一 致 ● エ ル ミー ト作用 素 の固 有 値 問題―

解 析的 方 法

● 正値作用素 ● エ ル ミー ト行 列 とエ ル ミー ト形 式(挿 記) ● エ ル ミー ト作 用 素 の関 数

エ ル ミー

  Hを

卜作 用 素 に 関 す る1つ

エ ル ミ ー ト作 用 素 とす る.Hの

の 評 価 式

固 有 値 は す べ て 実 数 で あ る.Hの

異なる固

有 値 を大 き さの 順 に 並 べ て   とす る.前

λ1<λ2<…<λs の よ うに,各λiに

λ1P1+λ2P2+…+λsPsと   任 意 の 元xに

属 す る 固 有 空 間 へ の 射 影 作 用 素 をPiと

す る とH=

表 わ さ れ る.

対 し,xi=Pixと

お く.こ

の と きHは

次 の よ う に 表 わ さ れ る:

(直 交分 解)

(1) (直交 分 解)   こ の こ とか ら,(Hx,x)の

値 は,最

小 の 固 有 値 λ1と 最 大 の 固 有 値 λsを用 い て,

次 の よ うに 評 価 さ れ る こ と が わ か る.

(2)

【証 明 】   (1)の

右 辺 が 直 交分 解 で あ る こ とに注 意 す る と

同様 に して

した が って (λ1≦λiによ る)

((1)に

これ で(2)の

よ る)

左 側 の 不等 式 が 証 明 され た.(2)の

右側 の不 等 式 も同様 に して証

明 され る.   この証 明を み る と,(2)の ちxが

左 辺 で等 号 が成 り立 つ の はx=x1の

とき,す なわ

λ1の固 有 空 間 に属 し てい る ときに 限 る こ とが わ か る.同 様 に(2)の

で 等 号が 成 り立 つ の はxが

右辺

λsの固有 空 間 に属 して い る とき に限 る.

最 小 の 固有 値 と最 大 の 固 有 値   (2)は

か き直 す と,す べ てのx(≠0)に

対 して

が 成 り立 つ こ とを 示 して い る.一 方 す ぐ上 に述 べ た 注 意か ら,xを

適 当 に とる

と,左 辺 お よび右 辺 で,実 際 等 号が 成 り立 つ場 合 が あ る.こ の こ とはx(≠0)を い ろ い ろ に動 か し た とき

の 最 小値 が λ1であ り,最 大 値 が λsであ る こ とを 示 して い る.す なわ ち次 の 結 果 が 成 り立 つ.

(3)

  この結 果 は 次 の よ うに い い 直す こ と もあ る.一 般 に内 積 の与え られ たn次 元 ベ ク トル空 間 で,長 さが1の 元全 体 の つ くる 集 合 を単 位 球 面 とい う.単 位 球 面 をS で 表 わ せば

であ る. さ て,任 う.実

意 のx(≠0)に

は単 位 球 面S上 に あ る こ とを 注 意 しよ

であ る.xが0で

際, 

全 体 を 動 く.そ

対 し て 

な い 元全 体 を動 け ば,yはSの

上

こで

と か き 直 し, 

とお い て み る と,(3)は

次 の よ う に も 表 わ され る こ とが わ

か る.

  この 結 果 は次 の こ とを 示 して い る.エ ル ミー ト作 用 素Hの 最 小,最 大 の 固 有値 を 求め る問題 は,単 位 球 面S上 で 関数  

h(y)=(Hy,y)

の最 小 値,最 大 値 を 求 め る 問題 に帰 着 され て きた の で あ る.と ころが,こ の よ う な最 大,最 小 の問 題 は,本 来 解 析 学―

微分 法―

の領 域 に あ る問 題 とい っ て も

よい だ ろ う.   逆 に 関 数h(y)のS上

で の最 小,最 大 を 求 め る問 題 は,Hの

最 小,最 大 の 固 有

値 を 求 め る こ と,す なわ ちHの 固有 方 程 式 を と くとい う代 数 的 な 問題 に帰 着 され た こ とに な る.   この よ うに して,エ ル ミー ト作 用 素 まで到 達 す る と,代 数 的 であ っ た 固有 値 問 題 は 解析 学 と交 叉 して くるの で あ る.

固 有 値 問 題 に 対 す る1つ

の方法

  エル ミー ト作 用 素Hが 与 え られ た とき,(Hy,y)の 注 目 して,Hの   第1段 階:関

単位 球 面S上 で の最 小 値 に

固有 値 問題 を と くこ とが で き る.そ れ を 次 に説 明 し よ う. 数h(y)=(Hy,y)のS上

 

の最 小 値 λ1を求 め る.次 に連 立 方程 式

Hx=λ1x

を と くこ とに よ り,λ1に 属 す る 固有 空 間Eλ1を 求 め る. と お く.HはV2をV2へ

第2段 階:  は,(1)でV2の

元 はx2+…+xsと

注 意 す る と よ い.HはV2上 単 位 球 面 をS2と

の こ とを み るに

表 わ され てい る もの か らな っ てい る こ とに

の 作 用 素 と考 え て も エ ル ミ ー ト作 用 素 で あ る.V2の

し,

 

h2(y)=(Hy,y) 

のS2上

移 し て い る.こ

で の 最 小 値 λ2を 求 め る.次

(y∈S2)

に 連立 方 程 式

を と く こ と に よ り,λ2に 属 す る 固 有 空 間Eλ2を 求 め る.

第3段 階: 

とお き,HをV3上

のエル

ミ ー ト作 用 と 考 え て 同

様 の こ とを行 な う.   この操 作 を順 次 繰 り返 してい くこ とに よ り,Hの

固有 値 を 小 さい 方 か ら順 に 求

め て い くこ とが で き,同 時 にHに よる 固有空 間 の分 解 も求 め られ る.各 (Hy,y)の 最 小値 を 求 め るの に 微分 を 用 い る こ とに す れ ば,Hの

段階で

固 有 値問 題 か ら,

ひ とまず 固 有 方 程式 は消 え て しま うの で あ る!

正値 作用素 【定 義 】 すべ て の 固有 値 が 正 で あ る よ うなエ ル ミー ト作 用 素 を,正 値 作用 素 とい う.  '固 有 値 が 正 で あ る'と い うよ うな いい 方 を しな い で正 値 作 用 素 を定 義す る こ と もで き る.そ れ は 次 の 命題 に よ る.

Hが 正 値 作用 素 とな るた め の必 要 十 分 条件 は,次 の2 条件 が 同 時 に成 り立 つ こ とで あ る:   (ⅰ)  Hは 正規 作 用 素   (ⅱ)  すべ てのx(≠0)に 対 し(Hx,x)>0

【証 明 】  必 要 性: 

Hを 正 値 作 用 素 とす る.Hは

で あ る.(ⅱ)は(3)か っ て(3)か

ら で る.実

対 し(Hx,x)>0と

最 小 の 固 有 値 λ1も正 で あ り,し た が

正 規 作 用 素Hが(ⅱ)の

な る.

条 件 を み た し て い る とす る.特

の 固 有 値 λに 属 す る 固 有 ベ ク トルx(≠0)に

こ れ か ら λ>0が

 

得 ら れ て,Hが

で,正

適用する と

訳 で あ る.'positive-definite'は

値 定 符 号 な ど と訳 す こ と も あ る.も は,(x,y)≠(0,0)の

言葉 で,た とえば 

に(ⅱ)をH

正 値 作 用 素 の こ と が わ か る.

正 値 は 英 語 のpositive-definiteの に くい 術 語 の1つ

決 ま っ て い る と い う 意 味 で,positive-definiteで

 

明らか

ら

し た が っ て ま たx≠0に  十 分 性: 

際Hの

エ ル ミー トだ か ら(ⅰ)は

日本 語 に直 訳 し

と も と2次

形 式 か ら でた

と き に は つ ね に 正 の 値 を と る こ とに あ り, 

は そ う で は な い.

な お固 有値 が すべ て 負 であ るエ ル ミー ト作 用 素 の こ とを 負値(negative-definite)作 用 素 とい う.

エ ル ミー

  つ い で だ が,エ 用 素 を,正 て,そ

ト行 列 とエ ル ミ ー

ト形 式(挿

記)

ル ミー ト行 列 と エ ル ミー ト形 式 に 触 れ て お こ う.エ

ル ミー ト作

規 直 交 基 底 を と っ て 行 列 と し て 表 現 し た もの が エ ル ミ ー ト行 列 で あ っ

れは

の 形 の 行 列 と な る.ま

た{z1,z2,…,zn}をn個

の 複 素 変 数 とす る と き

の 形 の 式 を,エ ル ミー ト形 式 と い う.エ ル ミ ー ト作 用素Hを とお く と,エ

と定義

し, 

てHが

正 値 とい う こ とは,対

行 列 に よ っ てH=(hij)

ル ミ ー ト形 式 は(Hx,x)と

表 わ せ る.し

たが っ

応 す る こ の エ ル ミー ト形 式 が(z1,…,zn)≠(0,…,0)

で つ ね に 正 の 値 を と る こ とを 意 味 し て い る.

エ ル ミ ー ト作 用 素 の 関 数

  エ ル ミ ー ト作 用 素Hの

固 有 空 間 へ の 分 解 を,射

影作 用 素 を用 い て

(4) と表わ し てお く.λ1,λ2,…,λsはHの 相 異 な る固有 値 で あ る.各 る固 有空 間をEiと す る とEi=Pi(V)で

固有 値 λiに属 す

あ る.

 数 直 線上 で定 義 され た 実 数 値 関 数φ(t)が 与 え られ た と き,

と お く.   た と え ばφ(t)=t2の

で あ り,φ(t)=etの

ときは

ときは

である.  φ(H)も

ま た エ ル ミ ー ト作 用 素 で あ る.φ(H)の

で あ る が,こ

固 有 値 はφ(λ1),φ(λ2),…,φ(λs)

の 中 に は 等 し い も の も あ る か も しれ な い.

  Hを 変 数 の よ う に み る と,φ(H)は'Hを

変 数 と し て エ ル ミ ー ト作 用 素 に 値 を

と る 関 数'の

の と き 次 の こ とが 成 り立 つ.

よ うに 考 え る こ と が で き る.こ

 φ,ψ を 数 直線 上 で定 義 され た実 数 値 関 数 とす る. (ⅰ)α,β ∈Rに 対 し

(ⅱ)

こ こ で,(ⅱ)の

左 辺 のφ ψ は,2つ

の 関 数φ(t),ψ(t)の

積 を と っ て(φ ψ)(t)=

φ(t)ψ(t)と し て 得 ら れ る 関 数 で あ る. 【証 明 】  (ⅱ)だ け を 示 し て お こ う.

したが っ て

を 用 い た.

こ こ で, 

  特 にHが

正 値 作用 素 の と きには,t≧0で

にφ(H)を

定 義 す る こ とが で き る.

定 義 された 関 数φ(t)を 用 い て,同 様

【定 義 】  Hが 正 値作 用 素 の とき,  表 わ し,Hの

を用 い て得 られ るφ(H)を 

で

ル ー トとい う.

  正 値 作 用 素Hの 固有 値 分解 が(4)の

で あ る.(ⅱ)を

形 で与 え られ てい る ときに は

用 い る と,

の こ とが わ か る.す なわ ち正 値 作用 素 

を 二度 繰 り返 して適 用 す る と,Hに

な

る.

Tea

Time

質 問   エ ル ミー トと い うの は 数 学 者 の 名 前 で あ る と い う こ と は,前 知 りま し た.エ ま した が,そ

講 では じめ て

ル ミ ー ト行 列 と か エ ル ミ ー ト形 式 と い う言 葉 も 聞 い た こ とが あ り

の と き も エ ル ミー トが 人 名 で あ る と は 想 像 し ま せ ん で し た .と

ころ

で 日本人 の数 学 者 の 名前 で,こ の よ うに 広 く数学 の 概 念 に冠 して用 い られ て い る 例 は あ るの で し ょ うか. 答  私 の知 る限 りで は,数 学 を 少 し学 べ ばす ぐ出 て くる よ うな 普遍 的 な概 念 に 日 本 人 の 数学 者 の 名前 が つけ られ てい るの は まだ ない よ うであ る.も ち ろん専 門分 野 に立 ち入 った 高 度 の概 念 に は い くらか そ の よ うな例 は あ る.た とえば 代 数幾 何 で は,小 平 次 元 とい うのが 定 着 してい る.こ の 名前 は 小 平邦 彦 先 生か ら 由来 して い る.ま た リー群 で は,岩 沢健 吉 先 生 の 名前 を冠 した 岩 沢分 解 が 有 名で あ る.

第13講 ユ ニ タ リー作 用 素 と直 交 作 用 素 テー マ

● ユ ニ タ リー作 用 素 とな るた め の 同値 な 条件 ● ユ ニ タ リー作 用 素は ,正 規 直交 基 底 を 正規 直 交基 底 へ 移 す 作 用 素 と して 特 性 づ け られ る. ● ユ ニ タ リー行 列 ―

列 ベ ク トル,行べ

ク トル が正 規 直 交基 底 をつ くる.

● 正規行初 ● 実ベ ク トル空間 ● 対 称 作 用 素,直 交 作用 素

ユ ニ タ リー 作 用 素 と な る 条 件

  ユ ニ タ リー作 用 素 の定 義 は,正

規 作用 素 の1つ

いた.そ れ に よれ ば 線 形 作用 素Uが  

の例 と して第11講

で与 え て お

ユ ニ タ リー とは,条 件

U*U=I 

(1)

を み た す こ とであ った. 線 形 作 用 素Uが

ユ ニ タ リー と な る 条 件 は,次

成 り立 つ こ と と 同 値 で あ る.   (ⅰ)  U−1=U*   (ⅱ)  UU*=I   (ⅲ)  す べ て のx,yに

対 し

 

(Ux,Uy)=(x,y)

  (ⅳ)  す べ て のxに

対 し

の い ず れ か1つ

の条 件 が

【証 明 】  (1)と(ⅰ),(ⅱ)の

同 値 性 は,(1)がU*=U−1と

っ て ま た こ の 式 の 左 か らUを

乗 じ た もの と 同 値 で あ る こ とか ら わ か る.

(1)⇒(ⅲ): 

(1)が

同 値 で あ り,し

たが

とな

成 り立 つ とす る と, 

る.   (ⅲ)⇒(1): 

(ⅲ)が

(x,y)=(U*Ux,y)の め て,yと

成 り立 つ と し よ う.こ

と な り,し

し てx−U*Uxを

の と き す べ て のx,yに

た が っ て(x−U*Ux,y)=0が

と る と,こ

 

対 し て

成 り 立 つ.xを

と

れから

x−U*Ux=0

が 得 ら れ る.xは

任 意 で よ か っ た か ら,こ

  (ⅲ)⇒(ⅳ): 

(ⅲ)でx=yと

  (ⅳ)⇒(ⅲ): 

こ れ は 第8講,'内

の 関 係 式 を み る と,ノ を 不 変 と し,し

の 式 はU*U=Iを

お く と(ⅳ)が

示 し て い る.

得 ら れ る.

積 と ノル ム の 関 係'を み る と よ い.そ

ル ム を 変 え な い 線 形 作 用 素 は,内

こで

積 の 実 数 部 分 と虚 数 部 分

た が っ て ま た 内 積 自 身 を 変 え な い こ と が わ か る.

  こ れ で(ⅰ)か

ら(ⅳ)ま

れ た.(ⅲ)と(ⅳ)に こ とが わ か る.し

で の そ れ ぞ れ の 条 件 が,(1)と

よ り,ユ

ニ タ リ ー作 用 素Uは,Vの

同 値 で あ る こ とが 示 さ 元 の長 さ も内積 も保 つ

たが って

をVの 正 規 直 交基 底 とす る と

も ま たVの

正 規 直 交 基 底 と な る.

  逆 に,あ

る 線 形 作 用 素Uが

あ っ て,Uは

の 正 規 直 交 基 底 へ 移 して い る とす る.す 底 で あ る とす る.こ   な ぜ な ら,x∈Vに

と表 わ し,ノ

の と きUは

あ る 正 規 直交 基 底{e1,e2,…,en}を な わ ち 

ユ ニ タ リー 作 用 素 で あ る.

対 し

ル ム を 求 め て み る と,

が成 り立 つ こ とが わ か るか ら であ る.

別

も正 規 直 交 基

こ の こ とを 簡 単 に 次 の よ うに い い 表 わ し て お こ う.

  Uが ユ ニ タ リー作 用 素⇔Uは

正 規 直 交 基底 を正 規 直交 基底 へ移 す.

ユ ニ タ リー 行 列

  Vに 正 規 直 交 基 底 を1つ ユ ニ タ リ ー 作 用 素Uを

と り,そ れ を{e1,e2,…,en}と

と 行 列 を 同 一 視 す る こ と に し,ユ

と表 わ そ う.こ

は,上

す る.こ

の 基 底 に 関 し,

行 列 で 表 現 した も の を コ ニ タ リ ー 行 列 と い う.線

形 作用 素

ニ タ リー 行 列 を

の と き各 列 ベ ク トル

の 記 号 で はUe1,…,Uenと

表 わ され て い る も の だ か ら,正

規 直 交 基底 をつ

く っ て い る.   ま た(1)と,こ と,U*が

れ と 同 値 な 条 件(ⅱ)を

み る と,Uが

ユ ニ タ リーであ る こ と

コ ニ タ リ ー で あ る こ と は 同 値 な こ と が わ か る.行

(tUはUの と表 わ さ れ る か ら,こ

の こ と か らU*の

転 置 行 列)

列 ベ ク トル―

ル も 正 規 直 交 基 底 を つ く っ て い る こ とが わ か る(注 交 基 底 を つ くっ て い れ ば,そ

列では

し た が っ てUの

意:n個

行ベ ク ト

の ベ ク トル が 正 規 直

の成 分 の共 役 複 素数 を とった もの も また正 規 直 交 基

底 を つ く っ て い る).

正

  正 規 作 用 素Aを,{e1,…,en}に Vは 正 規 作 用 素Aの

規 行

列

よ っ て 行 列 で 表 現 し た も の を 正 規 行 列 と い う.

固 有 値 λ1,λ2,…,λsに属 す る 固 有 空 間Eλ1,Eλ2,…,Eλsに

と直 交分 解 され る.そ こで

よ り

Eλ1の正 規 直交 基 底: Eλ2の正 規 直 交基 底:

Eλsの正規直交基底: と す る と,こ つ くる.最

は,Vの

れ ら 全 体 

初 に と っ た 正 規 直 交 基 底{e1,e2,…,en}を,こ

基 底 変 換 をUと

す る と,Uは

コ ニ タ リ ー 行 列 で あ る.新

トル で あ る こ と に 注 意 す る と,こ   正 規 行 列(aij)を

と る.こ

正 規直 交 基 底 を

の正 規 直交 基 底 へ 移 す し い 基 底 はAの

固有ベ ク

の こ とは 次 の こ とを 示 し た こ と に な る.

の と き,適

当 な ユ ニ タ リ ー 行 列Uを

とる と

が 成 り立 つ.

実 ベ ク トル 空 間

  有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 の 話 は,ひ こ こ でR上

後に

の ベ ク トル 空 間 の こ と に つ い て 少 し述べ て お こ う.

  そ の た め,VRをR上

のn次

れ て い る とす る.い 単 に な る の は,内  

と ま ず 本 講 ま で と 思 っ て い る の で,最

元 ベ ク トル 空 間 と し,VRに

ま ま で 述 べ て き たC上

は 内 積(,)が

導入 さ

の ベ ク トル 空 間 と比 べ て 事 情 が 少 し 簡

積 の性 質 が (y,x)=(x,y) 

(C上

の ベ ク トル 空 間 の と き)

(y,x)=(x,y) 

(R上

の ベ ク トル 空 間 の と き)

か ら  

と変 わ る 点 に あ る.   AをVR上

の 線 形 作 用 素 と す る.こ

を み た す 線形 作用 素tAを,Aの

の とき

転 置 作 用 素 とい う.Aを

正 規 直交 基 底 に 関 して

行 列 で 表 わ し て お く と,tAは,Aの

転 置 行 列 と な っ て い る.な

お 実 数 α に 対 し,

 と な る こ と を 注 意 し て お こ う.  VRの

部 分 空 間Eに

対 し て,Eへ

の 射 影 作 用 素Pを

考 え る こ と が で き る が,こ

の とき  

P=tP

が 成 り立 つ.こ

の 証 明 はC上

の ベ ク トル 空 間 の と き,P=P*を

示 し た の と 同様 に

で き る.

対 称 作 用 素

  VR上

の 線 形 作 用 素Aが

実 数 の 固 有 値 μ1,μ2,…,μsだ け を も ち,こ れ ら の 固 有 値

に 属 す る 固 有 空 間Eμi(i=1,2,…,s)に う.こ

よ っ て,Vが

の と きEμiへ の 射 影 作 用 素 をPiと

直交 分 解 す る ときを 考 え よ

す る と,Aは

と表わ され る.こ の表 わ し方 で

とな る.   す なわ ち,固 有値 が す べ て 実 数 で,か つ 固有 空 間 に よっ て直 和 分 解が 可 能 とな る よ うなVR上

の 線形 作 用 素Aは,条

件

 A=tA を み た して い な けれ ば な らな い.こ の 条件 を み た す線 形作 用 素 を 対称 作 用 素 とい う.実 は 次 の定 理 が 成 り立 つ.

【定理 】  線 形 作用 素Aの 固 有 値 がす べ て実 数 で,VRがAの 交 分 解 す るた め の必 要 十 分 条 件 は,Aが

固 有 空 間 に よ って 直

対 称 作 用 素 で あ る こ と で与 え られ る.

  十 分 性 だ け を 示 せば よい が,読 者 は こ こで,複 素 ベ ク トル空 間 の場 合,対 応す る定 理 を,第11講

で 正 規作 用 素 に 対 し て示 した こ とを 思 い 起 こされ る と よい.証

明は そ の場 合 と ま った く同様 の 考 え で で き るの で,こ こで は 省 略す る こ とに し よ

う.

 

この こ とは,複

素数 の世 界 か ら実 数 の 世 界へ 移 る と,正 規 作 用 素 の概 念 に 相 当す る

もの は 消 え て しま っ て,エ ル ミー ト作 用 素(H=H*)に 用 素(A=tA)と

して 残 った よ うにみえ る.そ

対 応 す る概 念 だ けが,対

称作

の事 情 は 固 有 値 が すべ て実 数 で あ る と

い う条 件 が 強か った か ら であ る.

直 交 作 用 素

  ユ ニ タ リ ー 作 用 素 に 対 応 す る 概 念 は 直 交 作 用 素 で 与 え ら れ る.VR上 用 素Oが

直 交 作 用 素 であ る とは

 

tOO=I

を み た す こ と で あ る.ユ 用 素 はVRの

ニ タ リー 作 用 素 の 場 合 と同 様 に,こ

内 積 と 長 さ を 保 つ こ と を 示 す こ と が で き る.し

素 は,VRをRnと 意 味 で は,直

同 一 視 し た と き,Rnの

の 定 義 か ら,直 た が っ て,直

交作

交作用

中 に あ る 図 形 の 長 さ と 角 を 保 つ.そ

の

交 作 用 素 は 原 点 を 動 か さ な い 合 同 変 換 で あ る と考 え て よ い.

  直 交 作 用 素 は 対 称 作 用 素 と は 限 ら な い.そ うに,平

の線 形 作

面R2上

の こ と は す で に 第2講

の 原 点 中 心 の 角 θだ け の 回転R(θ)は,0<θ<π

で注 意 した よ の と き,固

有

値 と し て 複 素 数cosθ ±i sin θを も つ こ と か ら も わ か る.   し たが っ て直 交 作 用 素 の 固有 値 問 題 を 実 数 の 中 だけ に限 って論 ず るわ け に は い か な く な る.そ

の た め,VRを

上 の 直 交 作 用 素Oを,V上

同 じ次 元 の 複 素 ベ ク トル 空 間Vに のユ ニ タ リ ー 作 用 素 とみ る の で あ る.

  結 果 だ け を 行 列 の 形 で 述 べ る と 次 の よ うに な る.VR上 で 表 わ し た 場 合,適

こ こで

うめ こ ん で,VR

当 に 正 規 直 交 基 底 を と る と,こ

の 直 交 作用 素 を 直 交 行列

の 直 交 行 列 は 次 の 形 に な る:

で あ る.

Tea

Time

質 問   い ま ま で の お 話 を 振 り返 っ て み ま す と,正

規作 用 素 の例 とし て登 場 した の

は,エ

類 だ け で し た が,一

ル ミー ト作 用 素 と ユ ニ タ リ ー 作 用 素 の2種

の 中 で み た と き,こ

の2種

般の作用素

の 作 用 素 の 位 置 づ け と い うべ き も の は あ る の で し ょ う

か. 答  質 問 に 対 す る 答 に は な っ て な い の か も し れ な い が,次 と を 述 べ て お こ う.V上

の,1対1の

用 素Uと

よ っ て,A=UHと

正 値 作 用 素Hに

意 の1対1の

作 用 素Aは,正

の 事 実が 成 り 立 つ こ

任 意 の 作 用 素Aは,必

ず あ る ユ ニ タ リー作

表 わ す こ と が で き る.す

値 作 用 素Hをユ

な わ ち,任

ニ タ リー 作 用 素Uで'回

転'し

て得

ら れ る と い っ て よ い の で あ る.   こ うか く と 妙 な 気 が す る か も し れ な い の で,簡 う.ま ずA*Aは

正 値 作 用 素 と な る.こ

(等 号 はx=0の

と き)か

単 に証 明の考 え方 を 述 べ て お こ

の こ と は 

ら わ か る.し

た が っ て 正 値 作 用 素HでA*A=H2と

な る もの が あ る 

と お く と よ い.そ

が 成 り立 っ て,対 応Hx→Axは

長 さ を 変 え な い.し

ー 作 用 素Uで  Vが1次 す る.こ

与 え ら れ て い る .こ 元 の と き,す

の と き,1対1の

で 与 え ら れ る.こ

れ でA=UHと

な わ ち 複 素 数Cの 作 用 素Aは,零

の と きA*Aに

たが って この対 応 は ユ ニ タ リ

表 わ さ れ る こ とが わ か っ た.

と き を 考え て み る と,事

情はは っき り

で な い 複 素 数 α を か け る こ と(z→

相 当 す る も の は,α α=￨α￨2と

に 相 当す る も のは  う極 表 示 が,ち

うす る と

ょ う ど上 に 述 べ た こ と の'1次

と な る.し 元 版'と

な る.し

た が っ て,  な っ て い る.

αz)

た が っ て  とい

第14講 積 分 方 程 式 テ ーマ

● フ レー ドホル ム ● 積 分 方程 式 の 発 端―

ア ー ベル の 論文

● 糸 の振 動 の問 題 ● 微 分 方 程 式 の境 界値 問 題 ● 微 分 方 程式 の境 界 値 問 題 か ら積分 方 程式 ヘ―

グ リー ン関 数

● 積 分 作 用 素 と固 有値

は

  1903年,Acta 文'Sur

une

い て)は,そ

Mathematicaと classe

じ め に

い う北 欧 の 数 学 誌 に 載 せ られ た25頁

d'equations

fonctionelles'(関

(lvar Fredholm)で

あ っ た.フ

っ た も の で あ っ た が,彼 ―

の は,新

レ ー ドホ ル ム の こ の 論 文 は,積

を,積

ル ベ ル トは,た

分 概 念 を 通 す 極 限 移 行 に よ っ て,無

限次元へ と

の論 文が 提 示 した も

し ろ 新 し い 数 学 へ 向 け て の 眺 望 で あ っ た .ヒ

だ ち に この 新 し い 眺 望 を 与 え る 高 い 視 点 へ と駈 け 上 り,そ

積 分 方 程 式 を 通 し て 固 有 関 数 展 開 の 一 般 論 を 得 た の で あ る.こ は,無

分 方 程 式 を 取 り扱

限 次 元の 連立 方程 式 の 解 法

の 具 体 的 な 形 を 与 え る の に 成 功 し た の で あ る.こ し い 方 法 と い う よ りは,む

者 の 名前 を

者 の 名 前 は イ ヴ ァル ・フ レ ー ド ホ ル ム

は 積 分 方 程 式 を と くの に,有

ク ラ ー メ ル の 解 法―

上 げ て,解

数方 程式 の あ る クラ スにつ

の 後 の 解 析 学 の 流 れ を 変え る ほ どの 大 論 文 で あ っ て,著

数 学 史 の 中 に 深 く刻 む こ と に な っ た.著

ほ ど の 論

限 次 元 空 間―

  これ か ら第16講

ヒル ベ ル ト空 間―

こか ら

の 中心 に あ っ た の

上 の 作 用 素 の 固 有 値 問 題 で あ っ た.

ま で は,あ ま り深 い 内 容 に は 触 れ ず に,こ の 数 学 史 の 流 れ と,

そ こ に 醸 成 され て き た ア イ デ ィ ア を 追 っ て み る こ と に し よ う.窓 外 に 流 れ る 景 色

を 眺 め る よ う な つ も りで,気

 

楽 に 読 ん で い た だ き た い.

フ レ ー ドホ ル ム(1866-1927)は

ノル ウ ェ ーの 数 学者 で,1888年 か ら1890年

時 解 析 学 者 と して有 名 で あ った ミタ ッグ-レ フ ラー の下 で 学 ん だ.そ し,そ こで フ ラン ス の解 析学 者 と親 交を 深 め,ま

たポ ア ン カ レの熱 伝導 の冷 却問 題 に

関 す る仕 事 に も触 れ る こ とが で きた.こ のポ ア ン カレ の仕 事 は,ヘ

ル ム ホルツ 方程 式

の境 界 値 問 題 に 関係 して お り,そ こには 固 有値 や 固有 関 数 を通 して,無 へ の萌 芽 が あ った.1899年8月

の間,当

の後パ リに留 学

限 次 元 の方 向

に,フ レ ー ドホ ル ムは ミタ ッグ-レ フ ラーに,彼 の積

分 方 程 式 に 関す る結 果 を最 初 に 報告 した が,そ の後3年 の 歳 月を 経 て,1903年

に 前述

の大 論 文 を 発表 した ので あ る.し か しフ レ ー ドホ ル ムは,生 涯 を通 して寡 作 であ っ た. フ レ ー ドホ ル ムの深 い ア イデ ィアは この一 篇 の 論文 に凝 集 して い る よ うに み え る.

積 分 方 程 式 の 発 端   微 分 方 程 式 の 方 は 微 積 分 の 教 科 課 程 中 に 盛 り こ まれ て お り,ま と く と き に も す ぐ登 場 す るか ら,よ

く知 ら れ て い る が,そ

た 力学 の 問題 を

れ に比 べ れば 積 分 方程

式 の 方 は 一 般 の 人 に は な じみ が 薄 い か も し れ な い.   積 分 方 程 式 が 数 学 史 上 最 初 に 明 ら か な 形 を と っ て 登 場 し た の は,1823年 年 に 発 表 さ れ た ア ー ベ ル の 論 文 に お い て で あ っ た と さ れ て い る.ア

と1826

ー ベ ル も また

ノル ウ ェ ー の 数 学 者 で あ った.

  ア ーベ ル は 次 の よ うな 力学 の 問題 を 考 えた.い ま,水 平 面 と垂直 な方 向 に座 標 平面 を 立 て る.た だ し便 宜 上 垂 直方 向をx軸 に,水 平 方 向をy軸 に と る.こ の平 面 内 に,図15の 曲 線Cが

よ うに 原 点Oを 通 る

与 え られ て い る とす る.最 初C上

P=P(y,x)に

の点

静 止 して い る質 点が,こ の 曲 線 に沿

って 落下 し は じめ た とす る.こ の質 点 がPか らO まで 落下 す るに 要 す る時 間 は,点Pの,し xの 関 数 と な る.こ  φ(x)が で あ っ た.す

の 関 数 をφ(x)と

たが っ て お く.こ

最 初 に 与 え ら れ た と き,曲 な わ ち,曲

曲 線 を 求 め よ,と

線Cを

図15

の と きア ーベ ル の設 定 した問 題 は 求め よ

線 上 の 各 点 か らの 落 下 時 間 が わ か っ て い る と き ,も

い うの で あ る.

との

い ま 求 め る 曲 線Cの

式 を η=η(ξ)と し,

(1) と お く と,次

の 関 係 が 成 り立 つ こ とが 示 され る.

(2) こ こ でgは

重 力 定 数 で あ る.こ

号 の 中 に あ るu(ξ)で

あ る.も

こ で 既 知 関 数 はφ(x)で し こ の 関 係 か らu(ξ)が

分 方 程 式 と し て と く こ と に よ り,曲 線Cの (2)の

よ うに,未

あ り,未 知 関 数 は 積 分 記 求 め られ れ ば,(1)を

式 η=η(ξ)が 求 め られ る だ ろ う.こ

微 の

知 関 数 が 積 分 記 号 の 中 に 入 っ て い る よ う な 関 数 方 程 式 を,積

分 方 程 式 と い うの で あ る.

な お(2)の

解 は,(2)の

両 辺 に 

を か け てxに

つ き0か

らzま

で 積 分 し,

右辺 の二重 積 分 の順 序 を交 換す る こ とに よ り求 め る こ とがで きる.解 は (3)  

と表 わ され る.

 

これ か ら有 名 な等 時問 題(problem 題 とは,曲

of tautochrone)を

線上 の どの点Pか ら出 発 して も,Oに

線 で あ る.こ の答 は(3)で

φ(x)=c(定

結果 は サ イ ク ロイ ドであ る.こ

と くことが でき る.等 時 問

到達 す る時間 が 等 し くな る よ うな曲

数)と お くこ とに よ り求 め る こ とが で き,

の 事実 は 振 子時 計 の発 明者 ホ イヘ ン スに よ り見 出 さね

た もの であ る.

糸 の 振 動 の 問題

糸 の 振 動 の 問 題 は,18世 り と り上 げ ら れ た.こ

紀 に ダ ラ ン ベ ー ル,オ

イ ラ ー,D.ベ

の 問 題 自身 は 積 分 方 程 式 と は 無 関 係 で あ るが,こ

られ た 糸 の 固有振 動 が,数 学 の形 式 の 中で し だ い に形 を 変 え て,最 後 に は,積 分作 用 素 の 固有値 と固有 関数 とい うと ころに た ど りつ く 過程 を追 ってみ た い.   い ま一 様 な密 度 と完全 な弾性 を もつ糸 を, xy平 面 上 に,一

ル ヌーイ等 に よ

方 の端 点Aを 原点Oに,他

図16

の と き得

の 端 点Bを

点(1,0)に

うに 曲 線C:y=g(x)ま く,張

固 定 し,ま っ す ぐに 張 っ て お く.こ の 糸 を 図16で で も ち 上 げ て そ こ で 手 を 離 す(曲

線Cはx軸

力 も 密 度 も一 定 の 均 質 な 状 況 が 保 た れ て い る とす る).こ

を は じ め る.t時

間 後 の 糸 の つ く る 曲 線 の 式 をy=y(x,t)と

示 した よ に 十 分 近

の と き糸 は 振 動

お く と,こ

の振 動 は

偏 微 分 方程 式

張力/ 密度  を み た す こ と が,ダ

ラ ン ベ ー ル に よ り1747年

  境 界 条 件: 

y(0,t)=0,y(1,t)=0 

  初 期 条 件: 

y(x,0)=g(x)

(4)

に は じ め て 証 明 さ れ た.yは

さ らに

(両 端 が 固 定 さ れ て い る)

(t=0の

と き,特

に 速 度 は 与 え な い)

を み た し てい る.   この境 界 条 件 と初 期条 件 の 下 で,(4)を

まず 変数 分 離 で と く こ とを 試み る.そ

の ため

と お く.こ

れ を(4)に

代入すると

す なわ ち

とな る.こ の左 辺 はtだ け の 関 数,右 辺 はxだ け の関 数 だ か ら,こ の式 は 定 数 と な る.こ の定 数 を− λとお くと

(5) (6) と い う2階

の 定 数 係 数 の 線 形 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る.

  (5)も(6)も の 解 は,A,Bを

同 じ 形 を し て い る か ら,(5)の 任 意 定 数 と して

方 に つ い て 説 明 し よ う.(5)

(7)

で 与 え ら れ る が,境

界 条 件 に 対 応 す る 条 件u(0)=u(1)=0を

件 を み た すu(x)=0以

外 の 解 は,(7)の

代 入 す る と,こ の 条

場合で

の と き に 限 っ て 得 ら れ る こ とが わ か る.す な わ ち λ=n2π2(n=1,2,…)で λは と び と び の 値 を と る.こ  

の と き,解

u(x)=Bsinnπx 

あ っ て,

は (n=1,2,…)

と な る.   そ こ で λ=n2π2の

と き,(6)を

と く こ と に す る と,今

度 は 初 期 条 件 φ′(0)=0

を 代 入 して

が 得 ら れ る.し

た が っ て 変 数 分 離 の 形 で 得 られ る 解(た

だ しy(x,0)=g(x)は

一

般 に み た し て い な い)は  

Csinnπxcosnπct 

(n=1,2,…)

の 形 と な る こ とが わ か っ た.   さ ら に 初 期 条 件y(x,0)=g(x)を

み た す 解 を 求 め る に は,変

結 合 と し て 得 ら れ る 一 般 的 な 解(重

ね 合 わ せ の 原 理)

数 分 離 の解 の一 次

(8) を 考 察 し な くて は い け な い.こ

こ でy(x,0)=g(x)を

み た す よ う に す る た め に は,

係数An(n=0,1,2,…)は

(9) す な わ ち,g(x)の

フ ー リエ 級 数 の 係 数 と し て 定 め て お か な く て は な ら な い.

  こ の よ うにAn(n=0,1,2,…)を ら れ る の で あ る.

求 め て お く と,糸

の 振 動 の 解 は(8)で

与え

コ メ ン

ト

  もち ろん,最 後 の部 分 で は収 束 の 問題 が つ き ま と う.ま ず,(9)でg(x)に の よ うな条 件 を課 した と き,g(x)は

フ ー リエ級 数 と して表 わ され るか.こ

き の収 束 は どの よ うな 意 味 で の収 束 を 考 え てい るの か.係 め た と き,(8)は

収 束 す るか.ま た(8)は

数Anを(9)か

ど のと ら決

あ る意 味 です べ て の解 を つ くして い

る のか.こ れ らは 解 析 学 の難 しい 問題 で あ っ て,こ こでは これ 以上 触 れ るわ け に は い か な い.た だ 最 後 に述べ た 問 題 は,固 有 関 数 系 の 完全 性 と よばれ る問 題 に結 び つ くこ とだ けを 注 意 して お こ う.

微 分 方 程 式 の境 界 値 問 題   糸 の振 動 の問 題 で現 わ れ た2階 線 形 微 分 方 程式 の境 界値 問題 は,そ

こか ら'固

有 振 動'が 現わ れ て くる とい うこ とで特 徴的 で あ る.   この境 界 値 問 題 は,実 は 積 分 方程 式 へ と変 換 され るの で あ る.こ れ か ら そ の こ とを述 べ てみ よ う.そ のた め こ こでは(5)の

境 界 値 問題u(0)=u(1)=0を

一 度 考察 す る こ とにす る.   (5)を

か き 直 して

と し,こ の 両 辺 を2度 積 分 す る と

(10) が 得 ら れ る.u(0)=0か

ら,ま

  ま た部 分 積 分 を適 用 す る と

し た が っ て(10)は

ずc0=0が

わ か る.

もう

と な る.u(1)=0か

ら

が 得 ら れ る.結

と な る.そ

局(10)は

こ で い ま2変

数 の関 数

を導 入 す る こ とに す る と,関 係 式

(11)

が成 り立 つ こ とが わ か った.  G(x,t)は

い ま考 え てい る境 界値

問題 の グ リー ン関 数 と よばれ てい る もの で あ る.そ の2変 数関 数 として の グ ラ フ(曲 面!)は

図17で 示 して

お いた. 積 分 作 用 素 と 固 有値   (10)を,未

知関数uに 対 す る関 係

図17

を与 え てい る とみ る と,未 知 関数 が 積 分 記号 の中 に入 って い る とい う意 味 で,こ れ も積 分 方 程 式 とな っ てい る.   私 た ちは,境 界 値 問 題

(12)

か ら 出 発 し て,(11)に は,必

た ど りつ い た.し

然 的 に 境 界 値 問 題(12)を

か し実 は 逆 に,(11)を

み た し て い る の で あ る.そ

み た す 関u(x)

の 意 味 で(11)と(12)

は 同 値 で あ る:

積 分 方程 式(11)⇔

境 界値 問題(12)

したが っ て前 に 示 した こ とか ら,次 の こ とが わ か る.積 分 方程 式(11)は

の と き に 限 っ て,0で

な い 解u(x)を

も ち,こ

の解は

(Bは 任 意 定 数) で 考え られ る.  読 者は,(11)が

特 別 の'と び とび'の2の

値 に 対 して しか 解 を もた な い こ とに

まず 注 意 を 向け られ る とよい.こ の現 象を どの よ うな視 点 で捉 え た ら よい の だろ うか.い

ま任 意 の 連続 関v(x)に

で 定 義 す る.Gvも

を み た し て い る(積

対 して,関 数Gvを

また 連続 関 数 で あ って,対 応v→Gvは

分 の 線 形 性!).こ

の と き(11)は(左

線形性

辺 と右 辺 を い れ か え る

と)

と表わ され る.こ の 式 の形 は,い ままで 線 形 写像 の議 論 の 中 で何 度 も現わ れ た 見 な れた形 を し てい るの で は ない だ ろ うか.1/λは,'積 分作用素'Gの固有

値 とみ

え て こない だ ろ うか.線 形写 像 の場 合,固 有値 は ご く特 別 な有 限 個 の値 しか と ら な か っ た.λ の値 が'ば らば ら'の 特 別 な値n2π2で あ る とい うこ とは この こ とに 対 応 して い るの で は なか ろ うか.私 た ち は,固 有値 問題に 対 す るま った く新 しい 局 面 に 近 づ きつ つ あ る の であ る.た だ し背 景 に あ る空 間は 有 限 次 元 の ベ ク トル空 間 か ら,関 数空 間へ と変 わ りつ つ あ る.

Tea

Time

質 問   本 筋 か ら 少 し 離 れ る 質 問 に な る か も しれ ま せ ん が,糸 ン ベ ー ル に よ り1740年

級 数 の 仕 事 を 発 表 す る70∼80年 と,フ

の振動 の問 題 は ダ ラ

代 に と か れ た とあ り ま した が,こ れ は フ ー リエ が フ ー リエ も前 の こ と で す.こ

こで 述べ られ た解 法 を 見 る

ー リ エ 以 前 に この よ うな 考 え が あ っ た こ と は 不 思 議 な 気 が し ま す.数

学史

的 な こ とを 少 し 教 え て 下 さ い. 答   多 少 比 喩 的 に いえば,糸

の 振 動 の 問 題 は,18世

れ 動 か し続 け た の で あ る.糸

の 振 動 の 問 題 は1724年

分 的 な 解 答 は 得 ら れ て い た.J.ベ

ル ヌ ー イ は,糸

質 点 の み た す 差 分 方 程 式 を 得 て い た.し うに1747年

紀 数 学 を 糸 の 振 動 の よ うに 揺 にJ.ベ

ル ヌー イに よ っ て部

の 上 に 等 間 隔 に お か れ たn個

の

か し 完 全 な 解 答 は 講 義 の 中 で も述 べ た よ

に ダ ラ ン ベ ー ル に よ り得 ら れ た.も

っ と も ダ ラ ン ベ ー ル は,解

を

(*) の 形 で 提 示 し て い た.1750年 た.し

か し こ こ か ら,関

っ て,や

が て そ こ に,J.ベ

に な っ て,オ

イ ラ ー も同様 な論 法 で この解 を示 し

数 概 念 に関 す る ダ ラン ベ ール とオ イ ラーの論 争 が は じま ル ヌ ー イ の 息 子 のD.ベ

ル ヌ ー イ も 加 わ る こ とに な り厄

介 な 事 態 と な っ た の で あ る.   こ の こ と に つ い て 少 し 述 べ て お こ う.論 争 の ポ イ ン トは 次 の 点 に あ っ た.ダ ン ベ ー ル は,(*)が

偏 微 分 方 程 式 の 解 で あ る 以 上,こ

は 解 析 的 な も の で な け れば な ら な い と し た.そ 考 え れば,糸 く と も,つ

な が っ て い さ え す れば よ い の で は な い か―(オ

確 定 せ ず,関

数 は,解

に な っ て,音

理的に

析的でな

イ ラ ー は)区

分的に

時 は まだ 関数 概 念 が

析 的 に 表 示 さ れ る も の で あ る と い う考 え が 強 か っ た か ら,

偏 微 分 方 程 式 の 解 と し て,物 る オ イ ラ ー の 立 場 を,ダ

と考 え た.当

ラ

数'g(x)

れ に 反 し て オ イ ラ ー は,物

を 引 っぱ り上 げ て 得 ら れ る 初 期 条 件 の 曲 線y=g(x)は,解

滑 ら か で あ り さ え す れば よ い の で は な い か―

  1755年

こ で 示 さ れ た'関

理 的 見 地 か ら,解

析 的 で な い も の ま で 認 め よ う とす

ラ ン ベ ー ル は 容 認 し が た か っ た の で あ る. の 振 動 の 研 究 か ら こ の 問 題 に 関 心 を も っ たD.ベ

は,解

は 講 義 の 中 で 述 べ た よ う な 三 角 級 数 で 表 わ さ れ る と主 張 し,確

が,そ

れ を 論 文 と し て 表 わ す こ と は な か っ た.

ル ヌー イ 信 して い た

  論 争は 結 局,関 数概 念 は 純 粋 に 数学 内部 の形 式 と して捉 え るべ き もの な の か, そ れ と も広 く自然 現 象 の数 学 的 な表 現 形 式 とし て捉 え るべ き もの か にか か って き た よ うであ る.D.ベ

ル ヌ ー イが1750年

語 ってい る.「 私 は,ダ

に オ イ ラー にあ てた書 簡 はそ の こ と を 物

ラ ンベ ール 氏 を'抽 象 的 には'偉 大 な数 学者 であ る と思 っ

て お ります.し か し氏 が,応 用 数学 の 方 へ介 入 して こられ る とき には,私 は そ の よ うに評 価 す る こ とは,と て もで きな くな って し まい ます.… 実 際 の と ころ,数 学 な ど何 もな か っ た方 が,本 当 の物 理 学 に とっ ては よか った の か も しれ ませ ん.」   この論 争 に はや が て ラ グ ラ ンジ ュも加わ る よ うに な る.関 数 方程 式 の 解 とは何 か,関

数 概 念 とは何 か を 問 うこの難 しい 問 題 に,ひ

は,19世

と まず 終 止 符 が 打 たれ る の

紀 に な って,フ ー リエ が 出 現 して か ら のち の こ とであ る.

第15講 フ レー ドホ ル ム の 理 論

テー マ

● 境界 値 問 題 と積 分 方程 式 ● フ レー ドホル ムの 考え ● 積 分 方 程 式 を 連立 方 程 式 の 極限 とみ る. ● フ レ ー ドホ ル ムの行 列 式⊿(λ) ● フレ ー ドホ ル ムの 小行 列 式 ●⊿(λ)≠0の と き,積 分方 程 式 の解 の表 示

境 界 値 問題 と積 分 方 程 式   前 講 で 述 べた 境 界 値 問 題 と積 分 方 程 式 との関 係 は,か な り一般 に 成 り立 つ状 況 で あ って,1830年

代 か ら19世 紀 後半 にか け て,解

析 学 の1つ の流 れ を 形成 した

の であ る.微 分 方 程 式 の 境界 値 問 題 は,境 界 条 件が,一 種 の 大域 的 な制 約 条件 と な って い るか ら,微 分 の立 場 だ け で は なか な か見 通 しが きか ない の だ が,そ れ が グ リーン関 数 を 媒 介 して,積 分 の 問 題 とし て定式 化 して み る と,問 題 の 中 に含 ま れ て い る大 域 的 様 相 が,積 分 の中 に 内在 し てい る表 現 力 に よ っ て,か な りは っ き りと した 姿 を と って くる の であ る.   この流 れ の 中 に,シ デ ィリ クレ問題,ノ

ュ トル ム ・リュ ー ヴ ィユの 境界 値 問 題 や,ポ テ ンシ ャル論,

イ マ ン問 題 等 が あ り,こ れ らを 通 して関 数 の積 分表 示 や 積 分

方 程 式 は 数理 物理 学 の方 に も多 く登 場 す る よ うに な った.   前 講 の 話か ら も察 知 され る よ うに,解 析学 の問 題 が積 分 方 程式 と して表 現 され る と,積 分 は単 に大 域 的 な様 相 を示 す だ け では な く,不 思 議 な こ とか も しれ な い が,し だ い に背 景 に ス ポ ッ ト ・ライ トを あ て る よ うに関 数 空 間 とい う考 え を 浮上 させ,関 数空 間 上 の 作用 素 とい う考 え を 育 て て くる の であ る.19世

紀 後半 に は,

ボ ル テ ラや ポ ア ン カ レ等 が,し

だ い に こ の 方 向 に し た が っ て,解

析 学 の 中に 無 限

次 元 空 間 の 思 想 を 醸 成 し つ つ あ っ た.   し か し,19世

紀 後 半 に な っ て も,な

お 積 分 方 程 式 の 理 論 に 対 し て 見 通 しが 立

て ら れ る よ う な 状 況 で は な か っ た よ うで あ る.こ

の こ と に つ い て,デ

ュ ー ドネ の

『関 数 解 析 の 歴 史 』 か ら 引 用 し よ う.   "'積 分 方 程 式'と り,デ

い う 名 前 は,1888年

ィ リ ク レ問 題 に 関 す る論 文 の 中 で 用 い ら れ た.デ

ビ ー ア ・ ノイ マ ン 型(現

在 で は 第2種

は,'克 服 し が た い よ うな 困 難 さ'に う な 理 論 が 達 成 さ れ た 暁 に は,多

い た.少

方 で は'こ

の よ うな 方 程 式 の 一 般 理 論 を つ く る こ と

出 会 うだ ろ う と考 え て い た.彼

は ま た この よ

くの 進 歩 が も た ら さ れ る だ ろ う と 確 信 し て い た

の 問 題 に つ い て は ほ と ん ど 何 も 知 ら れ て い な い'こ

し あ と に 行 な わ れ たポ ア ン カ レ の 仕 事 も,ま

人 た ち も,こ

ュ ・ボ ワ ・レ イ モ ン は,

フ レ ー ドホ ル ム 型 と よれ ば れ て い る も の)

を 念 頭 に お い て い た よ うで あ っ た が,こ

が,一

に な っ て 最 初 に デ ュ ・ボ ワ ・レ イ モ ン に よ

と も認 め て

たポ ア ン カ レの あ とを 追 う

の よ う な 印 象 を ぬ ぐい さ る こ と は で き な か っ た.彼

ら の 結 果 は,ポ

テ ン シ ャ ル 論 の 微 妙 な 評 価 の 問 題 と 積 分 方 程 式 論 を 結 び つ け る よ うな 道 を 指 し示 し て い る よ うで あ っ た."   した が っ て こ の 直 後,1900年

に 前 講 の 最 初 に 述 べ た フ レ ー ドホ ル ム の 決 定 的 と

も い うべ き 新 鮮 な 考 え が 現 わ れ た こ とは,ま こ と に 驚 くべ き こ と だ っ た の で あ る.

フ レー

ドホ ル ム の 考 え

  こ こ は 積 分 方 程 式 そ の も の を 取 扱 う こ と が 目 的 で は な い の で,フ の 考 え の 方 に 中 心 を お い て,話

レ ー ドホ ル ム

し て い く こ と に し よ う.

 私 た ちは

(1) の 形 の 積 分 方 程 式 を 考 え る こ と に す る(ヒ と 名 づ け た).こ

こ で φ(x)は

連 続 な 関 数 で あ っ て,こ

の2つ

区 間[a,b]で

ル ベ ル トは 第2種

の フ レ ー ドホ ルム 型

連 続,K(x,t)は[a,b]×[a,b]で

は あ ら か じ め 与 え ら れ て い る.こ

の と き(1)か

ら 未 知 関 数f(x)を

求 め る の で あ る.K(x,t)を

  フ レ ー ドホ ル ム は,(1)の

左 辺 に 現 わ れ る 積 分 を リー マ ン積 分 と し て,部

和 で 近 似 す る こ と を 考 え た.そ

とお き,(1)の

こ の 積 分 方 程 式 の 核 と い う.

代 りに(1)の

の た め 区 間[a,b]をn等

分 し,そ

分

の分 点 を

左 辺 の近 似 和 か ら得 られ るn元1次

連立方程式

(2) を 考 え る.こ

こ で 未 知 数 はf(x1),f(x2),…,f(xn)で

す い よ うに(2)の 程 式 は,未

よ うに 表 わ し た が,f(x)は

知 数 をy1,y2,…,ynと

あ る.(1)と

の関 係 が 見 や

未 知 関 数 な の だ か ら,こ

の 連 立方

して

(2)' とか い て お い た 方 が 誤 解 が な い か も し れ な い.(2)'の ら ば,座

関 係 式 でn→

標 平面 上 の 点

 

(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)

は し だ い に(1)の

解 曲 線(x,f(x))へ

  しか し そ れ を 確 か め る に は,(2)'を み な く て は な ら な い だ ろ う.行 解y1,y2,…,ynは

近 づ い て い くの で は な い だ ろ うか. 実 際 と い て,ま

行 列 式 が 現 わ れ て くる.分

ずy1,y2,…,ynを

求めて

列 式 の 理 論 で よ く知 ら れ て い る よ う に,(2)'の

ク ラ ー メル の 公 式 で 与 え ら れ る.そ

n→ ∞ とす る と き,解

母 は(2)'の

こ に は 分 母,分

知 関 数f(x)へ

束 す る と し て も そ の 証 明 は?ま

わ れ る 行 列 式 が0へ

近 づ く よ う な と き は ど う な る の か?

  こ の よ うな こ と を 考 え る と,(1)を(2)で

子にn次

係 数 の つ くる 行 列 式 で あ る.そ

は 適 当 な 定 式 化 の 下 で は,未

く の だ ろ うか?収

し て も,実

∞ とす るな

たn→

の公 式 で

と収 束 し て い

∞ の と き,分

母に現

近 似 す る とい う考 え 方 が 生 じ た と

は 困 難 は そ こか ら は じ ま る の で あ っ て,(2)でn→

∞ とす る に は,実

は ブ レ ー ド ホ ル ム の 深 い 天 才 的 な ア イ デ ィ ア が 必 要 で あ っ た の で あ る.

フ レー

  連 立 方 程 式(2)'の

ドホ ル ム の 行 列 式

係 数 の つ く るn次

の

の 行 列 式 が まず 問 題 と な る.b−a=hと

お く と,こ

の 行列 式 は

で あ る.こ

こ で こ の 行 列 式 を λに つ い て 展 開 し,n→

収 束 性 が 確 か め ら れ る と い うの が,フ

 

も っ と も,n次

∞ とす る と,こ

の行 列式 の

レ ー ドホ ル ム の ア イ デ ィ ア で あ っ た.

の行 列 式 でn→ ∞ とす る とき の挙 動 を 調べ る ことは,無 限 変 数 の 連

立 方 程式 に関 係 して,フ ー リエに まで さか の ぼ る ことが で き る.し か し も っ とは っ き りと した 形 で は,1877年

に ア メ リカの 天文 学 者 で あ り,また 数学 者 で もあ った ヒル が,

月の 運 行 に関 す る微 分 方 程式 を取 り扱 った こ とか らは じ ま り,そ の後ポ ア ン カレが こ の 問 題 を 無限 次行 列 式 を 用 い る ク ラー メルの 解 法 とい う立 場 で見 直 した こ とか らは じ ま るの であ る.実 際,フ

レ ー ドホル ムが 上 の 行 列式 を λで展 開す る と考 え た の は,フ

レ ー ドホル ムの最 初 の論 文 が現 わ れ る4年 前,コ

ッホが'無 限 次行 列 式 の 収束 につ い

て'と い う論 文 の 中 で 明 らか に した もの であ った.コッ 課 して いた.フ

  実 際,上

と な る.こ

ホ は そ こでは あ る収束 条 件 を

レー ドホ ル ムは この論 文 に触 発 され た とい う.

の 行 列 式 を λで 展 閉 し て み る と,

こ で 

式 的 な λの ベ キ級 数

が 得 られ る.こ

こで

を 積 分 の 部 分 和 の 中 に と り こ み,n→

∞ とす る と,形

で あ る.フ

レ ー ド ホ ル ムは,ア

ダ マー ルに よる行 列式 の評価 式

を用 い る こ とに よ り

⊿(λ)はすべ て の複 素 数 λにつ い て 収 束す る こ とを 示 し た.⊿(λ)は

確 定 し た 値 を もつ の で あ る.⊿(λ)をフ

レ ー ドホ ル ム の 行

列式 とい う.

フ レー ドホ ル ム の 小 行 列 式   フ レ ー ド ホ ル ム は(2)'の にn→

解 を ク ラ ー メル の 解 法 に し た が っ て か き表 わ し,次

∞ とす る 道 を と る よ り,は

  フ レ ー ドホ ル ムは,現

る か に 巧 妙 な 道 を 選 ん だ.

在 フ レ ー ド ホ ル ム の 小 行 列 式 と よば れ る も の を 次 の 式 で

定 義 し た.

(3) この右 辺 もす べ て λにつ い て収 束 す る.こ の ベ キ級 数は 

の1行

目

に関 す る展 開式

(4) と 密 接 に 関 係 し て い る.実 記 号 の 中 に 代 入 し,整

際,m=1,2,…

に 対 し て,(4)を(3)の

右 辺 の積 分

理 す る と(こ の 計 算 は 表 わ し方 が 繁 雑 と な る の で 省 略 す る)

(5) とい う一 種 の 再 帰 的 な 関 係 式 が 得 ら れ る.  そ こ で フ レ ー ドホ ル ム は

(6) とい う関 数 を 導 入 し た.⊿(λ),⊿(s,ξ;λ)は,K(x,t)に 既 知 関 数 だ か ら,Φ(s)は   こ こで(5)を(6)に

よ っ て 表 わ さ れ,φ

は

積 分 方 程 式 の 既 知 デ ー タか ら 決 ま る 関 数 で あ る. 代 入す る と

(7) が 得 られ る. この 計算 は わず らわ しい か も しれ な い.念 の た め左 辺第2項 だけ 計算 し てみ よ う.

こ こ か ら(6)を

参 照 す る と,(7)の

成 り立 つ こ とが す ぐに わ か る だ ろ う.

したが って ⊿(λ)≠0 な ら ば,(7)の

と な る.こ

両 辺 を ⊿(λ)で 割 っ て

の こ とは,⊿(λ)≠0の

が 最 初 の 積 分 方 程 式(1)の   フ レ ー ドホ ル ム は,こ ら に,⊿(λ)=0の が,こ

ときに は

解 と な る こ とを 示 し て い る. の 場 合,解

は これ 以 外 に は 存 在 し な い こ と も 示 し た.さ

と き も詳 し く調 べ,や

が て こ れ が 理 論 の 中 核 とな る の で あ る

れ に つ い て の 理 論 は 積 分 方 程 式 の 本 を 参 照 して い た だ く こ と に し よ う.

Tea

Time

質 問   フレ ー ドホル ムの理 論 とは どん な ものか,少 しわ か りま した が,最 後 の部 分 は あ ま りに も解 析 的 に 整備 され てい て,ど うして これ がn元1次 クラー メル の解 法 の'n→

∞ 版'と 考 え られ る のか,よ

連立方程式の

くわ か りませ ん で した.

積 分方 程 式 の本 を 少 し見 てみ た くな った ので すが,ど んな 本が あ るの です か. 答   日本 語 でか か れ た積 分 方 程式 の本 は比 較 的 少な い ので あ っ て,い ま本 屋 さ ん へ 行 っ て見 つけ られ る本 は,吉 田耕 作 『積分 方 程式 論』(岩 波全 書)く らい で はな い か と思 う.こ の 本 で も(少 な くと も改訂 され た2版 で は)こ こに述 べ た よ うな 形 で フ レー ドホル ム の理 論 は述 べ られ てい ない.し た が っ て,フ レー ドホ ル ムの 理 論 は 有 名 な割 に は一 般 の人 の 目に触 れ る機 会 は少 な い ので あ る.フ レー ドホル ム の考 え を丁 寧 に解 説 した 本 として は,古

いが 竹 内端 三 『積 分 方程 式 論 』(共 立

出版)が あ る.こ れ は す で に古 典 で あろ うが,す

ぐれ た解 説 書 と思 わ れ る ので,

現代 的 な言 葉 づ かい に 直 して も う一 度 世 に 出 され て も よいの では ない か と思 う. こ の中 に は,ク ラー メル の解 法 との関 係 も説 明 され て い る.

質 問   ブ レー ドホル ムの理 論 と固有 値 問題 は ど うか かわ って くるの です か. 答   前 講 の終 りで述 べ た よ うに

を 積 分 作 用 素 と考え る と,フ 等 写 像)と

表 わ さ れ る.ご

レ ー ドホ ル ム の 積 分 方 程 式 は(I+λK)f=φ(Iは く大 ざ っ ぱ に い え ば,I+λKが1対1な

(I+λK)−1φ と表 わ さ れ る だ ろ う.こ '(I+λK)f =0と で 与え られ る.か

き 直す と 

こ の こ と は−1/λ がKの 条 件が⊿(λ)≠0で

を み た すfは0に

な る 条件 は

限 る' 限 る,と

い っ て も よ い.

固 有 値 ではな い とい っ て い る と考え られ る だ ろ う.そ

与 え ら れ て い る の で あ る.し た が っ て,固

ら に 踏 み こ ん で い く こ と は,⊿(λ)=0の き 積 分 作 用 素Kの

ら ば 解 はf=

こ で は 述 べ な か っ た が,1対1と な る 解 はf=0に

恒

の

有 値 問 題 の立 場 で さ

場 合 を 詳 し く述べ る こ と に な る.そ

もつ 姿 が は っ き り と浮 か び 上 が っ て くる の で あ る.

の と

第16講 ヒ ル ベ ル トの登 場

テー マ

● ヒル ベ ル トの積 分 方 程式 論 ● 対 称核 の積 分作 用 素 ● 積 分方 程 式 の 固有 値 と固有 関数 ● 固 有値 の存在 ● 固 有関 数 と正規 直 交 系 ● ヒル ベル ト空間 の 誕生 ●(Tea

Time)ヒ

ル ベル ト

ヒ ル ベ ル トの 積 分 方 程 式 論

  フ レ ー ド ホ ル ム の 結 果 を 聞 く と,当 時 数 学 の 最 高 峰 に あ っ た ゲ ッチ ン ゲ ン大 学 の ヒ ル ベ ル トは,直 に6つ

ち に 積 分 方 程 式 の 研 究 に 入 り,1904年

の 論 文 を 著 わ し,そ

要 』 と題 す る280頁 の 後 展 開 し た20世

れ ら を1912年

か ら1906年

までの 間

に な っ て,『 線 形 積 分 方 程 式 の 一 般 論 概

ほ どの 本 に ま とめ た.こ

の 理 論 へ の ヒル ベ ル トの 貢 献 は,そ

紀 数 学 の 大 き な 流 れ の 中 で み れ ば ヒル ベ ル ト空 間 の 誕 生 を 意

味 し た の で あ る.   ヒル ベ ル トは,フ

レ ー ドホ ル ム の 積 分 方 程 式 で,核K(x,t)を

特 に 対 称 な も の,

す なわ ち  

K(x,t)=K(t,x)

を み た す も の に 限 っ て 研 究 を 進 め た.こ

の 研 究 は さ ら に ヒル ベ ル トの 優 秀 な 学 生

で あ っ た シ ュ ミ ッ トに よ り補 足 さ れ,最

終 的 に は,フ

レー ドホル ムの拠 って立 っ

て い た 行 列 式 と い う堅 固 で 動 か しが た い 基 盤 を と り除 き,は 念 的 な も の の 中 に,積

るか に展望 の 広 い概

分 方 程 式 論 を お く こ と に 成 功 し た の で あ る.

  ヒ ル ベ ル トが,積

分 方 程 式 の 研 究 を 対 称 核 の 場 合 に 限 っ た の は,1つ

に は,グ

リー ン関 数 を通 し て さま ざ まな 微分 方 程 式 の境 界 値 問 題 に 積分 方 程 式 を応 用 し よ う と し た か ら で あ り,他 だ と思 わ れ る.い

方 で は,無

限 変 数 の2次

形 式 論 と い う構 想 が あ っ た か ら

ず れ に せ よ そ れ は ヒ ル ベ ル トの 深 い 学 殖 に 支 え ら れ て い た.

  ヒ ル ベ ル トが,'行

列 式 な し'の

分 作 用 素 の 固 有 値 と 固 有 関 数,さ え た か ら で あ る.フ

積 分 方 程 式 論 を 築 く こ と に 成 功 し た の は,積 ら に 固 有 関 数 展 開 と い う考 え を 理 論 の 中 心 に 据

レ ー ドホ ル ム の 理 論 の 中 で は,n→

全 に 積 分 の 中 に 吸 収 され て 消 え て し ま っ た'基

底'と

∞ と す る 過 程 の 中 で,完 い う考 え を,ヒ

ル ベ ル トは

再 び 拾 い 上 げ た の で あ る.

 

フ レー ドホル ム と ヒル ベ ル トの立 場 の 違 い を,有

限 次 元 の場 合 に 限 ってた とえ て述

べ て みれ ば 次の よ うな ことに な る だ ろ う.A=(aij)(i,j=1,…,n)を n元1次

の連 立 方 程 式Ax=c,す

を と く こ と を 考 え る.フ

なわ ち

レ ー ドホ ル ム の 立 場 は,こ

に あ り,そ の 際 は 係 数 の つ く る 行 列 式⊿   ヒ ル ベ ル トの 立 場 は,Aの   を,Aの

が0で

固 有 値λl,…,λsを

れ を ク ラ ー メル の 解 法 で と く こ と

な い と き に 限 っ て た だ1つ

A=λP1+λ2P2+…+λsPs 

を 見 比 べ て,λ1≠0,λ2≠0,…,λs≠0の

(Piは

と き に 限 り,連

射 影 作 用 素) のとき

立 方 程 式Ax=cは,任

は

 で与 えられ る. 対 称核の 積分方 程式 ヒル ベル トは

(1) の 形 の 積 分 方 程 式 を 考 え た.こ

こ で 核K(x,t)は,対

  K(x,t)=K(t,x)

の 解 を も つ.

考 察 す る こ と に あ る.

固 有 空 間 に よ る 直 交 分 解 を 表 わ す とす る;こ

対 し て 解 を も ち,解

対称 行 列 と し,

称性

意 のcに

を み た す[a,b]×[a,b]上 [a,b]上

で 定 義 され た 実 数 値 連 続 関 数 で あ る.f(x),φ(x)は

で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 と す る.K(x,t),φ(x)が

知 関 数 で あ る(前 っ て い る が,こ

既 知 関 数 で,f(x)が

講 で 取 り扱 っ た も の と比べ る と,左

未

辺 の 積 分 の前 の符 号 が異 な

れ は も ち ろ ん 本 質 的 な こ と で は な い).

  ヒル ベ ル トは こ の 積 分 方 程 式 の フ レ ー ドホ ル ム 行 列 式 を⊿(λ)と

す る と き,ま

ず

(*) ⊿(λ)=0を を 示 し,そ Timeで

み た す λは必 ず 実数 とな る

し て こ の よ うな λを 固 有 値 と よ ぶ こ とか ら ス タ ー トし た.前

も 触 れ た よ うに,フ

講 のTea

レ ー ドホ ル ム の 示 し た と こ ろ に よ る と,

が0で

  し た が っ て 固 有 値 の 定 義 と し て は,フ

な い 解 を も つ.

レ ー ドホ ル ム 行 列 式 を 用 い な くて も,次

の よ う な 述べ 方 も で き る.

【定 義 】 

(2)

を み た すf(x)≠0が

存 在 す る と き,λ

固 有 値 の と き,(2)の

 

解f(x)を,固

を 積 分 方 程 式(1)の

有 値 λに 属 す る 固 有 関 数 とい う.

この 部分 は,数 学 史 の 流れ の影 響 もあ っ て,積

分方 程 式 の理 論 の枠 内で 述べ る とき

と,ヒ ル ベル ト空 間 上 の 作用 素 とみ る とき とで,固 る. を

有 値 の定義 に くい違 い が 生 じて い

積 分 作 用 素 とみれば, 

う方 が整 合 性 が あ る.た だ し,Kが0固

固 有 値 と い う.λ が

とな り,  を固有 値 とい

有 値 を もつ とき,す な わ ち,Kf=0と

な る場

合 は,積 分 方 程 式 の 方 で は,対 応 す る考 察 が 欠 け て し ま う.

  そ の と き,(*)は

次 の よ うに 述 べ る こ とが で き る.

対 称核の積分方程式の固有値は実数である. 【証 明 】  便 宜 上,考 え る 関数 の 範 囲 を複 素 数値 の関 数 に まで 広 げ,内 積 の記 号 に

な ら っ て,[a,b]上

の 連 続 関 数 φ,ψ に 対 し て

とい う記 号 を 導 入 す る.ま た 

が成 り立 つ.こ

と お く.こ

こでKの 対 称 性 と,Kが

の とき

実数 値 関数 の こ とを 用 い た.

  この 式 で特 に φ とし て固 有値 λに属 す る固有 関 数f(≠0)を

とる と

す なわ ち が 得 ら れ る. 

に 注 意 す る と,こ

れ か ら,λ=λ,す

なわ ち

λが 実 数 の ことが わ か る.

固有値の存在   次 の 定理 が 成 り立 つ.

【定理A】   対 称 な 積 分 方程 式 は 少 な くとも1つ の固 有値 を もつ.

  ヒル ベ ル トの 最初 の定 義 に 戻 れ ば,λ の べ キ球数⊿(λ)が 少 な くと も1つ の零 点 を もつ とい うこ とであ る.し か し多項 式 の 場合 と違 っ て,た とえば ベ キ 級数 で 表 わ され る 関数w=ezは,複

素 平 面 上 でけ っ して0と な らな いか ら,こ の定 理A

の 事 実 は べ キ級 数 の 一 般 論か ら導 か れ る もの で は な くて,対 称 な積 分 作用 素 の性 質 に 深 く根 ざ してい る もの に違 い ない.

【定理B】   対 称 な 積 分 方程 式 の固 有値 は高 々可 算個 であ って,± ∞ 以外 に は集 積 しな い.

  す な わ ち,固

有 値 の 集 合 は 有 限 個 か ら な る か,あ

番 号 を つ け て{λ1,λ2,…,λn,…}と

る い は,絶

対値 の小 さい 順 に

す ると

とな る とい うの であ る.   この2つ の 定理 の証 明 は,(そ れ は ヒル ベル トの 原証 明 では な いけ れ ど)も っ と 一般 的 な立 場 か ら,第22講 で与え る(た だ し,22講 で述べ る固 有値 は,積 分 方 程 式 の場 合 の固 有値 の逆 数 とな っ てい る こ とに 注意 す る必要 が あ る).

 

 

一般 に対称な積分方程式の核が

の形 に表わ されるときには,固 有値は有限個 となる. 固 有 関 数 と正 規 直 交 系

【定 理C】   各 固有 値 に属 す る固 有 関 数 の中 で,1次

  こ こで い っ てい る こ とは,(ベ

独 立 な ものは 有 限個 で あ る.

ク トル 空 間 の とき の言葉 づか い を用 いれば)各 固

有 値 に 属す る 固有 空 間は 有 限 次 元 で あ る とい うこ とで あ る.こ の次 元 の こ とを 固 有値 の重 複 度 とい う.   い ま{μ1,μ2,…,μn,…}を 重 複 度 も数 えた 固 有値 全 体 の集 合 とす る.す なわ ち 固 有 値λ1が 重 複 度s1,固 有 値λ2が 重 複 度s2,… を もつ と き

と お い て あ る の で あ る.こ の と き 各 μi(i=1,2,…)に

属 す 実 数 値 の 固 有 関 数ei(x)

を,

を み た す よ う に 選 ぶ こ と が で き る.{e1(x),e2(x),…}は,固 直 交 系 で あ る.   こ の と き,ヒ

ル ベ ル トは 次 の 定 理 を 示 し た.

有関 数 のつ くる正 規

【定理D】   [a,b]上 で定 義 された 任 意 の実 数 値 連続 関数 φ,ψに 対 し

が 成 り立 つ.こ

 

こ で 右 辺 は 絶 対 収 束 す る 級 数 で あ る.

こ の定 理 は何 を い っ て い るか わ か りに くいか も しれ な い.有 上 の対 称 作 用 素Aを 考え る.Aを

限 次 元べ ク トル空 間V

対 称 行列(aij)(i,j=1,2,…,n)で

表 わ し て お くと

(*) は2次

形 式 で あ る(xi,yjは

v1,v2,…,vnと る.こ

実 数 と し て 考 え て い る).Aの

し,{e1,e2,…,en}を

固 有 値 を 重 複 度 も 数 え て,

対 応 す る 固 有 ベ ク トル か ら な る 正 規 直 交 基 底 と す

のとき

と な り(第9講

と な る.こ

参 照),

こ で Σ′は,0で

な いviだ

け に 注 目 し て 加 え る こ と を 示 し て い る.し

たが

って

(**) とな る.(*)か (**)を が, 

ら(**)へ

移 る こ とを,2次

形 式 の'主

軸 変 換'と い う.定 理 と

見 比 べ る と,定 理 が何 を述 べ て い るか がわ か るだ ろ う.viに 対 応 す る と ころ と逆数に な っ てい るのは,積 分方程 式 として の 固有値が,積

分 作用素 と して の

固 有値 の逆 数 と して定 義 され て い る こ とを 反映 し てい る.

ヒ ル ベ ル ト空 間 の 誕 生

  ヒ ル ベ ル トは,フ

レ ー ド ホ ル ム の 理 論 を,2次

形 式 ΣK(xj,xk)ξjξkのn→

の と き の 状 況 を 示 す もの と し て 理 解 し よ う と した.ヒ の 理 論 を 再 構 成 し な が ら,ま B,Cを

ず 定 理Dを

示 し,そ

∞

ル ベ ル トは フ レ ー ドホ ル ム

こ か ら さ か の ぼ る 形 で 定 理A,

示 し た の で あ る.

  し か し ヒ ル ベ ル トの 前 述 の 著 書 の 第4章'無

限 変 数 を も つ2次

積 分 方 程 式 論 が ま っ た く別 の 様 相 を 示 す に 至 る,驚

形 式 の 理 論'は,

くべ き 局 面 の 転 換 を 指 し 示 し

て い た.   簡 単 の た め,考

え る 区 間 と し て[0,2π]を

察 の 対 象 と し よ う.こ の と き,内

積 とし て

と り,こ

の上 の実 数値 連 続 関 数 を考

を 導 入 す る と,フ

ー リエ 展 開 の 理 論 か ら

(3) は,[0,2π]上

の 連 続 関 数 の 空 間 の 中 で 完 全 正 規 直 交 系 を つ く っ て い る(こ の 厳 密

な 定 義 は あ と で 述べ る).要

す る に,平

均2乗

フ ー リ エ 級 数 と し て 展 開 さ れ る の で あ る.簡  

収 束 の 意 味 で,任 単 の た め,上

意 の連 続 関 数 は

の 関 数 列(3)を

e1(x),e2(x),e3(x),…

と表 わ そ う.   こ こ で ヒ ル ベ ル トは(a=0,b=2π

と お い た.こ

の と き,積

の 場 合 に お け る)(1)の

分 方 程 式(1)を

係 数 で み る こ とに す る と,無

を と く こ と に 帰 着 す る.た

と く こ と は,対

限 個 の 変数x1,x2,…,xn,…

積分 方 程式 に対 し

応 す る フー リエ級 数の に 関す る連 立方 程 式

だ し フ ー リエ 級 数 に お け る ベ ッセ ル の 不 等 式 に よ り

はみ た し てい な くて は な らな い.   この よ うに して ヒル ベル トは,積 分 方程 式 を,2乗

の和 が 収 束す る よ うな 数列

の つ くる無 限 次元 空 間上 の'主 軸 変換'の 問 題 と して捉 え るに 至 ったの で あ る. ヒル ベ ル ト自身 は,こ の無 限 次元 空 間 の直 交 変 換 の理 論 を 中 心 課題 と し た の だ が,背 景 に脈 打 つ 無 限次 元 空 間 に対 す る幾 何 学 的観 点 は誰 に も看 取 で き る もの で あ っ て,こ れ が 有 限次 元 ベ ク トル空 間 の延 長 上 に,ヒ ルベ ル ト空 間 を誕 生 させ る 道 を拓 くこ とに な った の で あ る.

Tea

Time

質 問   ヒル ベ ル トは 僕 で も 名 前 を 知 っ て い る く ら い 有 名 な 数 学 者 で す が,ど う人 だ っ た か に つ い て は あ ま り聞 い た こ とが あ り ま せ ん.簡

うい

単 に話 し ていた だ け

ま せ ん か. 答  ダ ヴ ィ ド ・ヒ ル ベ ル トは,1862年 れ た.彼

に ドイ ツ の ケ ー ニ ヒス ブ ル クの 近 く で 生 ま

は ケ ー ニ ヒ スブ ル ク大 学 で 学 び,そ

に な っ た.ケ

ー ニ ヒ ス ブ ル ク大 学 に は,当

の と き そ こで ミ ン コ フ ス キ ー と友 人

時 ウ ェ ー バ ー が 正 教 授 と し て お り,ヒ

ル ベ ル トは こ こ で 整 数 論 と 関 数 論 と 不 変 式 論 を 学 ん だ.や 大 学 に 助 教 授 と し て 赴 任 し た.1890年 に 対 し,斬

教 授 と な り,そ り,そ

に,当 時 混 迷 の 度 合 を 深 め て い た 不 変 式 論

新 な 立 場 に 立 っ た 基 本 定 理 を 証 明 し,一

論 の 研 究 に 没 頭 し,代

躍 有 名 に な っ た.続

数 的 整 数 論 の 基 礎 を 築 い た.1895年,ゲ

の 後 終 生 こ の 地 位 に あ っ た.ヒ

れ と と も に ゲ ッチ ン ゲ ン 大 学 は,世

た の で あ る.ガ

が て フル ヴ ィツも この

い て 整数

ッチ ン ゲ ン 大 学 の

ル ベ ル トの 名 声 は 年 と と も に 高 ま

界 の 数 学 の メ ッカ の 観 を 呈 す る に 至 っ

ウ ス も リー マ ン もか つ て は ゲ ッ チ ン ゲ ン 大 学 の 教 授 で あ っ た が,

ヒ ル ベ ル トに 至 っ て,ゲ

ッ チ ン ゲ ン 大 学 は 世 界 に 向 か っ て 大 き く花 を 開 い た とい

っ て よい だ ろ う.   1900年,パ

リの 国 際 数 学 者 会 議 で,有

の 問 題 は そ の 後 の 数 学 の 発 展 の 中 で,絶 ル ベ ル トは,幾 し,次

何 学 基 礎 論,積

分 方 程 式,変

ル ベ ル トは 世 を 去 っ た.82歳

荒 れ る ド イ ツ に あ っ て,と さ れ た り,ア

分 学,数

学 基 礎論 等 の 分 野 を 開拓

で あ っ た.最

晩 年 は ナチ ズ ムの吹 き

も に 語 り合 っ た 多 くの 数 学 者 が,迫

害 さ れ た り,追 放

メ リ カへ 渡 っ て い く さ まを 眼 の あ た りに 見 る こ と に な っ た.ヒ

ル トを と り ま く環 境 は,必

ッパ,と

数 学 の 問 題 を 提 起 し た が,こ

々 と 独 創 的 な 研 究 を 発 表 し て い っ た.

  1943年,ヒ

当 時,数

名 な23の

え ざ る 刺 激 と影 響 を 与 え 続 け て き た.ヒ

ルベ

ず し も 幸 福 な も の とは い え な く な っ て い っ た.1900年

学 の 理 想 を 掲 げ て 数 学 の 最 前 線 に 立 っ て い た ヒル ベ ル トの 姿 は,ヨ りわ け ドイ ツの 栄 光 を そ の ま ま 示 し て い る よ う で あ っ た.し

ベ ル トの 死 は 老 い た 巨 木 の 倒 れ る ご と くで あ っ て,ヨ

ーロ

か し,ヒ

ル

ー ロ ッパ を 中 心 と し た 数 学

の 終 焉 を 象 徴 的 に 示 し て い る よ う で あ っ た.ヒ ル ベ ル トの 数 学 は,や が て 到 来 し た 第2次

大 戦 後 の 活 力 あ ふ れ る 数 学 の 新 しい 生 命 とな っ て,引 き 継 が れ た の で あ る.

第17講 ヒ ル ベ ル ト空 間 テー マ

● 有 限 次 元 か ら無 限 次 元 へ ● ヒル ベ ル ト空 間 の定義―

完 備 な 内積 を もつ ベ ク トル空 間

● 直交性 ● 正 規 直交 系 ● ベ ッセル の不 等 式 ● 完全 正 規 直 交 系 の存 在

は じめ に 前 講 か らの 話 を続 け るな らば, 

を み た す 実 数 列{xn}(n=1,2,…)

全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間 の 構 造 と,そ こ と に な る だ ろ う.実 こ の 空 間 をl2-空

際,ヒ

の上 の 線形 作 用 素 の取 扱 い を 述べ てい く

ル ベ ル トの 継 承 者 シ ュ ミ ッ トは1908年

間 と 定 義 し て,数

題 と す る と き に は,Σ￨zn￨2<+∞

の 論 文 で,

学 の 檜 舞 台 へ 乗 せ た の で あ る(複

素 数列 を 問

を み た す 複 素 数 列{zn}を

考 え る こ とに な る).

シ ュ ミ ッ トは こ の 論 文 の 中 で,こ

の 空 間 の 幾 何 学 的 様 相,特

に 閉 部 分空 間 へ の射

影 作 用 素 の 存 在 を 論 じ て い る.中

心 と な る テ ー マ は,積

っ た.局

分 方 程 式 か ら 移 りつ つ あ

面 は 動 き 出 し た の で あ る.

  こ の 局 面 は,さ

ら に ル ベ ー グ積 分 を こ の 理 論 体 系 の 中 に 組 み こむ こ とに よ っ て

加 速 さ れ た.1907年

か ら1908年

ス と フ ィ シ ャ ー は,数 数 の つ く る 空 間L2(I)を

に か け て,当

直 線 上 の 区 間I=[a,b]上 導 入 し,こ

時 少 壮 の 数 学 者 で あ っ た,F.リ の,2乗

の 空 間 とl2-空

ー

が ル ベ ー グ可 積 で あ る 関

間 と の 関 係―

同 型 性―

を

示 した の で あ る.   し か し こ こ ま で くれ ば,現

在 完 全 に 完 成 し た,総

合 的 な 理 論 体 系'ヒ

ル ベ ルト

空 間'の 立 場 に立 っ て,こ の講 義 を進 め て い った 方 が よい と思わ れ る.こ れ か ら 主 題 は ヒル ベ ル ト空 間 と,そ の上 の 線形 作 用 素 の理 論 で あ る.   なお,い ま まで は有 限 次 元 の ベ ク トル空 間 を 単 にベ ク トル空 間 と して 引用 して きたが,い まは 対 象 とすべ き世 界が 広 が って,私 た ち の前 に あ る のは 無 限 次元 の ベ ク トル空 間 とな って きた.そ の ため,こ れ か らベ ク トル 空 間 とい うと きに は, 有限 次 元性 の条 件 を はず し,最 初 の定 義(第4講 x+yと,ス

で与 えた 定義)に 戻 って,加法

カ ラ ー積 αxの 演 算 を もつ 集 合 を指 す こ とにす る.こ こで ス カ ラー α

として は,複 素 数 を とる もの とす る.し たが って正 確 に はC上 のベ ク トル空 間 と い うべ き もの であ る. ヒ ル ベ ル ト空 間 の 定 義   第8講 です で に 述べ た 内積 の 性質 を 再 記 し てお こ う: (Ⅰ1)  (x,x)≧0;等

号 はx=0の

と き に 限 る.

(Ⅰ2) (I3) 

(y,x)=(x,y)

次 の 定 義 も 第8講

で 与え た も の で あ る.

【定 義 】  ベ ク トル 空 間 に,内

積(x,y)が

与え ら れ た と き,内

積 を も つ ベ ク トル

空 間 とい う.   内 積 を も つ ベ ク トル 空 間 で はxの

ノル ム‖x‖ が

で定 義 され る.ま た 第8講 です で に証 明 した よ うに(そ こ では 有 限次 元 の 仮 定 は 用 い て い なか った),シ

ュ ワル ツの不 等 式

と,こ れ か ら 導 か れ る 次 の ノル ム の 不 等 式 が 成 り立 つ.

これ も第8講 で 注 意 した こ とで あ るが,

とお くと,ρ は,内 積 を もつ ベ ク トル空 間 に 距離 を与 え て い る.こ れ か ら この距 離 か ら導 入 され る極 限 概 念 を 積極 的 に用 い る こ とに す る.特 に 系 列{xn}(n=1,

2,…)が

ρ(xn,y)=‖xn−y‖

→0(n→

∞)を

み た す とき

と 表 わ す.   ま た,実

数 の と き と 同 様 に,系

列{xn}(n=1,2,…)が

を み た す と き コ ー シ ー 列 と い う. 【定 義 】  内 積 を も つ ベ ク トル 空 間〓 き,ヒ

が,さ

ら に 次 の 性 質(Ⅱ),(Ⅲ)を

もつ と

ル ベ ル ト空 間 とい う.

  (Ⅱ)(完

備 性)  コ ー シ ー 列 は 必 ず 収 束 す る.

  (Ⅲ)(可

分 性) 〓

  (Ⅱ)で

述 べ て い る こ と は,任

に 必 ず 収 束 す る 先yが   (Ⅲ)で

算 個 の 元 か ら な る 稠 密 な 集 合 が 存 在 す る.

意 に コ ー シ ー 列{xn}が

の 任 意 の 元xは,こ

に よ っ て 

与 え ら れ れば,〓

存 在 し て い る とい う こ と で あ る:lim

述 べ て い る こ と は,〓

し て,〓

 

の 中 に,可

の中

xn=y.

の 中 の 可 算 無 限 個 の 元{u1,u2,…,un…}が

存在

の 中 か ら適 当 に と っ た 部 分 列{un1,un2,…,unk,…}

と 表 わ さ れ る,と

い う こ と で あ る.

この よ うな 抽 象 的 な ヒル ベ ル ト空 間 の定 義 は,1929年

に フ ォ ン ・ノイマ ンに よって

は じ め て与 え られ た.積 分 方程 式 の解 法 か ら徐々に 育 って き た思 想 が,つ うな抽 象 的 な 概 念 と して 結 晶 し て と り出 され た の であ る.な お(Ⅲ)の は,ヒ ル ベル ト空 間 の次 元が,有

い に この よ

可 分性 の条 件

限 次 元か あ るい は〓0次 元 で あ る こ とを保 証 す る も

の だが,こ の 条件 を除 くこ とも最 近 では む しろ慣 例 化 して きた.

  n次 元 複 素 ベ ク トル 空 間 は,第8講 ベ ル ト空 間 に な っ て い る.実 ば よ く,そ

際,完

で 与 え た よ うな 標 準 的 な 内 積 に よ っ て ヒル 備 性 の 条 件(Ⅱ)は,各

れ は 複 素 数 の 完 備 性 に よ っ て 成 り立 っ て い る.ま

が 成 り立 つ こ とは,z=(r1+ir1,…,rn+irn)(r1,r1,…,rn,rnは が,稠

密 な 可 算 集 合 を つ く る こ とか ら わ か る.

直   第9講

交

性

で 与 え た 定 義 と 同 様 に 次 の 定 義 を お く.

座 標 成 分 で確 か め れ た,(Ⅲ)の 有 理 数)の

可分性 形の元

【定 義 】 ヒ ルベ ル ト空 間〓

の2元x,yが,(x,y)=0を

み た す と き,xとyは

直 交 す る と い う.   すべ て の 元 に 直 交 す る 元 は0し な らば(x,x)≠0と

か な い.な ぜ な ら 内 積 の 条 件(Ⅰ1)に よ り,x≠0

な っ て い る か ら で あ る.

  ま た 次 の こ と も 注 意 し て お こ う.{hn}(n=1,2,…)を〓 と す る.こ

の 中 の稠 密 な 系列

の とき

(x,hn)=(y,hn)(n=1,2,…)⇒x=y

【証 明 】  (x,hn)=(y,hn)か x−yに

ら(x−y,hn)=0が

近 づ く 部 分 系 列{hnk}を

と な る.し

成 り 立 つ.特

と る と,nk→

た が っ て(x−y,x−y)=0か

に{hn}の

中か ら

∞ の とき

ら,x=yと

な る.

正 規 直 交 系 【定 義 】 〓

の 元 の 集 ま りSが

あ って

(ⅰ) (ⅱ) を み た す と き,Sを

正 規 直 交 系 と い う.

  Sを 正 規 直 交 系 と し,u1,u2,…,um∈Sと 対 し て,次

す る.こ

の 不 等 式 が 成 り立 つ.

[ベ ッセ ル の 不等 式]

【証 明】

の と き,任 意 の 元x∈〓

に

し た が っ て 

が 成 り立 つ.

この べ ッセ ル の 不等 式 か ら次 の命 題 が証 明で きる.

{u1,u2,…,un,…}を と す る.こ

無 限個 の 元 か らな る正 規 直 交 系

の と き 任 意 のx∈〓

に対 し て

は収 束 す る.

【証 明 】  まず ベ ッセ ル の 不 等 式 か ら,xを1つ は 有 界 で あ っ て,し

と め た と き,正 項 級 数 

た が っ て 収 束 し て い る こ と が わ か る.し

た が っ て ま たm,n→

∞ の とき

が 成 り立 つ.そ

(m,n→

∞)と

こ で い ま 

な り,{sm}は

と お く と,m>nに

コ ー シ ー 列 と な る.し

対 して

た が っ て完備 性 か ら

 は存 在 す る.

完 全 正 規 直 交 系

  私 た ち は これ か ら 有 限 次 元 で な い ヒ ル ベ ル ト空 間 だ け を 取 り扱 う こ と に す る. し た が っ て〓

の 中 に は,ど

よ う な 元{x1,x2,…,xn}が

ん な に 大 き な 自 然数nを

  任 意 の 元xは

独立である

存 在 す る こ と に な る.

【定 義 】  正 規 直 交 系{e1,e2,…,en,…}が と い う.

と っ て も,1次

次 の 条 件 を み た す と き,完

全 正 規 直交 系

(#) と 表 わ さ れ る.  こ こ で 右 辺 は,も

ち ろ ん 

【定 理 】  ヒル ベ ル ト空 間〓

の意 味 で あ る.

に は,完

【証 明 】  ヒル ベ ル ト空 間 の 条 件(Ⅲ)で 目 す る.{u1,u2,…un,…}か

全 正 規 直 交 系 が 存 在 す る.

与 え た 稠 密 な 集 合{u1,u2,…,un,…}に

ら 次 の よ う な 規 則 で,新

注

し い 系 列{v1,v2,…,vn,…}

を と り出 す.   ま ず{u1,u2,…,un,…}の

中 で 最 初 に0で

  次 に{un1+1,un1+2,…}の

中 で 最 初 にun1と1次

な い 元 をun1と

し,v1=un1と

独 立 に な る 元 をun2と

お く.

し,v2=un2

とお く.   次 に 同 様 に,{un2+1,un2+2,…}の v3=un3と

中 で 最 初 にun2と1次

  こ の 操 作 を順 次 帰納 的 に 行 な っ て い けば,系 操 作 が 有 限 回 で 終 っ て し ま っ て,有 は 実 は〓

独 立 に な る 元 をun3と

し,

お く. 列{v1,v2,…,vn,…}が

得 ら れ る.

限 系 列 と な る 可 能 性 も あ る.し

か しこの とき

は 有 限 次 元 と な っ て し ま う.こ の こ とは 定 理 の 証 明 の あ と で 注 意 す る

こ と に し よ う.私

た ち は,{v1,v2,…,vn,…}が

無 限 系列 で あ った と して話 を進 め

て い く こ と に す る.   ま ず,{v1,v2,…}の

中 か ら任 意 に と り 出 した 有 限 個 の 元 は,必

ず1次

独 立 とな

っ て い る こ と を 注 意 し て お こ う.こ

の こ とは,つ

  ま た 任 意 のunは,{v1,v2,…}の

中 か ら 適 当 に と っ た 有 限 個 の 元 の1次

し て 表 わ さ れ る.実

際,unは

あ るvmと

か ら と っ たv1,v2,…,vmの1次   第8講

結 合 と し て 表 わ さ れ て い る.

で 述べ た ヒ ル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 は,そ

正 規 直 交 系{e1,e2,…,en,…}が   こ の{e1,e2,…,en,…}は 意 にx∈〓

を とり

結合と

一 致 し て い る か,あ る い は{u1,u2,…,un−1}

に 対 し て 順 次 適 用 し て い く こ と が で き る.こ

に,任

く り方 か ら 明 ら か で あ ろ う.

の ま ま こ の{v1,v2,…}

の よ うに し て,無

限個 の元 か らな る

得 ら れ る.

求 め る完 全 正 規 直 交 系 と な っ て い る.そ

れ を示 す ため

と お く.こ

の と きk=1,2,…

が 成 り立 つ.し

に対 し

た が っ て,vnは{e1,…en}の1次

結合 で表わ され る こ とに注 意

して  

yは す べ て のekと

直 交 ⇒yは

す べ て の Σ αkek(有 限 和)と

 

⇒yは

す べ て のvnと

 

⇒yは

す べ て の Σ αnVn(有

 

⇒yは

す べ て のunと

こ の よ う に し て,(y,un)=0(n=1,2,…)が だ か ら,こ

 

れ か らy=0が

注 意:  も し{u1,u2,…}か ば,{v1,v2,…,vN}に

直交

た が っ てx=Σ(x,en)enが

らv1,v2,…

限 和)と

直交

直交

示 され た が,{un}は

得 ら れ る.し

直交

稠密な集合なの 成 り立 つ.

を と り出 す操 作 がN回 で終 って しま うな ら

対 して上 と同 様 の議 論 を 行 な うと,任 意 の 元x∈〓

と表 わ され る こ とがわ か る.し た が っ て〓

は

はN次 元 とな る.私 た ちは 無 限 次元 の ヒ

ル ベル ト空 間 だけ考 察 す る こ とに した のだ か ら,こ

の場 合 は 除外 し て よか った の であ

る.

Tea

Time

質 問   有 限 次 元 の 場 合 の ア ナ ロ ジ ー を た ど っ て み る と,完 … ,en,…}は,〓

全 正 規 直 交 系{e1,e2,

の 正 規 直 交 基 底 とい っ た 方 が よ い よ うに 思 い ま す が,基

底 と

い う言 葉 は 使 わ な い の で す か.

答  確 か に任 意 のx∈〓

が, 

と表 わ され てい る だけ では な く,

xを こ の よ うに 表 わ す 表 わ し 方 は た だ1通

り しか な い の だ か ら{e1 ,e2,…}を〓

の 基 底 と い っ た 方 が よ さ そ うに も思 え る(表 Σ αnenと 表 わ さ れ る と,両 と な り,係 数 αkはxこ

辺 で そ れ ぞ れekと

基 底 は,ふ

つ うは も っ と 代 数 的 に 次 の よ う に 定

独 立 で あ り,(ⅱ)任

+αsfis(有 限 和)の 形 に 表 わ さ れ る,を 完 全 正 規 直 交 系{e1,e2,…}は

意 のx∈Vは,x=α1fi1+α2fi2+…

み た し て い る こ と で あ る.そ

基 底 で は な い.な

し き れ な い も の で あ る.そ と い う言 葉 を 用 い,ま

備'と

底'と

て い る.要

orthonormal

す る に,completeと

い る の で あ る.

の完 備 性 に

い う言 葉 は 使 い に く く,代

っ て'系'

い う位 相 的 用 語 に 対 応 す る か の よ う に,'完

規 直 交 系 と い っ て い る の で あ る.も

正 規 直 交 系 はcomplete

の 無 限 和 は〓

れ は もは や 単 な る 代 数 概 念 に よ っ て だ け で は 律

の た め'基

た'完

の意 味 で は,

ぜ な らそ こに は極 限概 念 を経 由 し

示 に 無 限 和 Σ が 現 わ れ て い る か ら で あ る.こ

よ っ て 存 在 が 保 証 さ れ て い た.こ

全'正

しx=

内 積 を と っ て み る と,αk=(x,ek)

元 の 集 合{fα}α∈Aが 基 底 で あ る とは,(ⅰ){fα}α ∈Aか ら 任 意 に

と っ た 有 限 個 の 元 は1次

て,表

りの こ とは ,も

よ り一 意 的 に 決 ま る こ とか らわ か る).

  し か し 一 般 に ベ ク トル 空 間Vの 義 され て い る.Vの

わ し 方 が1通

っ と も 英 語 で は 完 備 はcomplete,完

systemで

あ っ て と も にcompleteを

全 用い

は 必 要 な も の は 十 分 備 わ っ て い る こ とを 示 し て

第18講 l2-空

間

テーマ ● パ ー セバ ル の等 式 ● 問題 ―

ヒ ル ベ ル ト空 間 に 対 す る 座 標 空 間 の 設 定

●l2-空

間

●l2-空

間 の完 備 性

● フ ィ シ ャ ー ・ リ ー ス の 定 理:す

べ て の ヒ ルベ ル ト空 間 はl2-空 間 と 同 型

で あ る. ●2乗

可 積 な 関 数 の つ く る 空 間L2(I)

パ ー セ バ ル の 等 式

  ヒル ベ ル ト空 間〓 〓

の 完 全 正 規 直 交 系 を{e1,e2,…}と

に 対 し て 次 の こ と が 成 り立 つ.

(Ⅰ)  〔パ ーセ バ ル の等 式 〕

(Ⅱ)

【証 明 】  (Ⅰ): 

だから

す る.こ

の と きx,y∈

(Ⅱ):

1つ の 問 題―

座標 空間 の設定

  この パ ー セバ ル の等 式 か ら,次 の よ うな 問題 が 生 じて くる.複 素 数 の数 列{zn} を

(1) で 定 義 す る と,パ

ー セバ ル の 等 式 は

が 成 り立 つ こ とを示 して い る.こ の式 か ら特 に

(2) が 成 り立 っ て い る.そ  

(#) 

(2)を

 〓

の 元xで(1)の

れ で は こ の 逆 の 問 題 は 成 り立 つ だ ろ うか.す

み た す 複 素 数 列{z1,z2,…,zn,…}が

と し,Vに

与 え ら れ た と き,

関 係 を み た す も の が 存 在 す る だ ろ うか?

  抽 象 的 な ヒ ル ベ ル ト空 間 の 理 論 に と っ て,こ る こ と に し よ う.有

なわ ち

限 次 元 の 場 合,た

正 規 直 交 基 底{e1,e2,…,en}を

の 問 題 は 基 本 的 な の で 少 し説 明 す

と えば 内 積 を も つn次 と っ て み よ う.こ

元 ベ ク トル 空 間 をV の と きx∈Vは

と表 わ さ れ る.

と お く と,対

応

(3) は,Vを

座 標 空 間Cn上

の 元(a1,a2,…an,)に

へ 実 現 す る も の と な っ て い る.こ 対 し,y=a1e1+a2e2+…+anenと

の と き に は,Cnの お く と,y∈Vと

任 意 な る.

  同 じ よ う な こ と は,ヒ が,上

に 述 べ た 問 題(#)の

ル ベ ル ト空 間 に 対 し て も 成 り立 つ だ ろ うか,と 意 味 で あ る.す

な わ ち(1)の

い う問 い

関 係 に よ っ て,(3)

と同様 な対 応

が 決 ま る.だ

が,有

限 次 元 の 場 合 と違 う の は,こ

だ 確 定 し て い な い と い う こ と で あ る.Cnに に 対 す る'座

標 空 間'と

間 を と っ て よ い の か,あ 等 式 か ら くる 条 件(2)だ   実 は,最

して

,(2)を

う こ とを 示 し て い る.実 か っ た が),フ

と で あ る.こ

た ち は(2)を

け が,実

ル ベ ル ト空 間〓

み た す 複 素 数 列 全 体 の つ くる 空 ー セバ ル の

現 の た め に 課 す べ き 条 件 な の か. 肯 定 的 に と け る.こ

の こ と は,〓

際 こ の 結 果 を 最 初 に 示 し た の は(必 ー ス で あ っ た.証

示 さ れ る 対 応 を,完

ず し も この形 では な

明 の 基 本 に あ る 考 え は,有

備 性 に よ っ て〓

の 講 の 主 題 は,こ の テ ー マ を 追 う こ と に あ る が,そ れ を 述べ る 前 に,

l2-空

間

素 数 列{zn},{wn}で

を み たす もの が与 え られ てい れば,必 ず

(4) が 成 り立 つ こ と を 注 意 し て お こ う.実

際,N項

まで とっ て

と し,こ れ をC(N)の 元 と考 え て ノル ムの 性 質(第8講

す なわ ち

限

ま で拡 大 す る とい うこ

間 の 定 義 を 与 え て お こ う.

  最 初 に,複

に対 す る

み た す 複 素 数 列 全 体 の つ くる 空 間 を と っ て よ い とい

ィ シ ャ ー とF.リ

次 元 の 場 合(3)で

対 応 す る よ うな,ヒ

の移 った 先 が ま

る い は そ の 部 分 空 間 を 考 え るべ き な の か.パ

初 に 述 べ た 問 題(#)は

'座標 空 間'と

まずl2-空

し て,私

の 段 階 で は〓

参 照)を 使 うと

が 得 ら れ る.N→ (4)が

∞ の と き,仮

定 に よ り右 辺 は 有 限 の 値 に 近 づ くか ら,こ

れ で

示 さ れ た.

  同 様 の 考 え で,CNの よ り,級

場 合 の シ ュ ワ ルツ の 不 等 式 を 用 い てN→

∞ とす る こ とに

数

は収 束 す る こ と もわ か る.

【定義 】 

を み たす 複 素 数列z={zn}全

体 の つ くる 集合 に

和: ス カ ラ ー 積:

と して ベ ク トル 空 間 の 構造 を い れ,さ らに 内積 を

に よ っ て 導 入 し て 得 ら れ る,内

積 を も つ ベ ク トル 空 間 をl2-空

間 と い う.

【定 理 】 l2-空 間 は ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.

をl2-空

【証 明】  完 備 性:  s,t→

間 の コ ー シ ー 列 とす る.

∞の と き

で あ る.各'n-座

標 成 分'に

注 目す る と

が 成 り立 つ か ら,数 列 

は コ ー シ ー 列 で あ る.s→

∞の と

き の この 極 限 値 をznで 表わ す:  正 意 εが 任 意 に 与 え られ た とす る.sを

十 分 大 き くとっ て

(5) が 成 り立 つ よ うに す る.― t≧s,か

つ こ のtに

対 して

方,任

意 の 自然 数lに

対 し,tを

十 分 大 き くと っ て,

(6) が 成 り立 つ よ う に す る.(5)と(6)か

ら

が 得 られ る.lは

任 意 の 自然 数 で よい のだ か ら,こ れ か ら

が 得 られ る.sさ

え十 分 大 き くとれ ば,ε は い くら で も小 さ くで き るの だか ら,

これ か ら また

が 成 り立 つ こ とが わ か る.し

と お く と,zはl2-空

が 成

た が って

間 の 元 と な り,

り 立 つ.

  可 分 性: l2-空

間 の 元z={zn}(n=1,2,…)に

対

{z1,z2,0,0,…},…,z(s)={z1,z2,…zs,0,0,…},…

で あ る.し

一 方

と お

た が っ て 各s(=1,2,…)に

と お く と,和

集 合 

し てz(1)={z1,0,0,…},z(2)= く と,z(s)∈l2で

対 し

はl2の 中 で稠 密 で あ る.

,

は 有理 数} とお く と, 

はCsの

中 で 稠 密 で あ る.

したが っ て また和 集 合 

は,すべ

は 可 算 集 合 であ り,包 含 関 係

て 稠 密集 合 と して の包 含 関 係 で あ る.し た が っ て可 算集 合 

はl2の

中 で 稠 密 と な る. l2-空 間 へ の 実 現   2つ の ヒル ベ ル ト空 間〓,〓′ の1対1対

が 与 え ら れ た とす る.〓

か ら〓′

の上 へ

応 Φで

(ⅰ)

(ⅱ) を み た す もの が あ る と き,〓 同 型 写 像 とい う.こ る.な

お,(ⅰ)は

と〓′

は(Φ を 通 し て)同 型 で あ る と い い,Φ

の と き逆 写 像 Φ−1は〓′

か ら〓

を

へ の 同型 写 像 とな っ てい

Φ が 線 形 写 像 で あ る こ と を 示 し,(ⅱ)は

Φが 内積 を 保 つ こ と

を 示 し て い る.   次 の 定 理 は フ ィシ ャ ー ・ リー ス の 定 理 と し て 引 用 さ れ るが,フ

ィシ ャ ー と リ ー

ス の 結 果 を 最 も一 般 的 な 形 で 述 べ た も の で あ る.

【定 理 】  任 意 の ヒル ベ ル ト空 間〓

は,l2-空

間 と 同 型 で あ る.

【証 明 】 〓

の 完 全 正 規 直 交 系 を{e1,e2,…,en,…}と

(Ⅰ)か

意 のx∈〓

ら,任

す る.パ

ーセ バル の 等式

に対 して

で あ り,し た が っ て 数 列

はl2の 元 とな っ て い る.さ

ら に‖x‖=‖x‖ も成 り立 つ.ま

た(Ⅱ)か

ら,y∈〓

に対 して

とお くと  

(x,y)=(x,y)(左

辺 は〓,右

辺 はl2の 内 積)

が 成 り立 つ こ とが わ か る.   し た が っ てxにxを 積 を 保 つ1対1写

対 応 さ せ る対 応 を Φ とす る と,Φ は〓

像 で あ り,ま

か らl2へ

た 線 形 写 像 の こ と も 明 ら か で あ る.Φ

らl2の 上 へ の 写 像 で あ る こ と を み る た め に,

が〓

の内 か

l2の 任 意 の 元

を と る.こ

の と き〓

を 考 え る と,m>nの

と な る.し

の 元 の 系列

とき

た が っ て{x(n)}は〓

が存在

の 中 の コ ー シ ー 列 で あ り, 

す る.こ の とき Φ(x)=α とな る こ とは 明 らか だ ろ う.こ れ で Φが〓

か らl2へ

の 同 型写 像 を与 え られ て い る こ とが 証 明 され た. 2乗 可 積 な 関 数   数 直 線 上 の 閉 区 間I=[a,b]を 複 素 数 値 関 数f(t)で,さ

を み た す も の を,(I上

考 え る.こ

の とき ル ベ ー グ測 度 に 関 し て可測 な

らに 条件

で)2乗

  2乗 可 積 な 関 数 全 体 が,ふ

可 積 な 関 数 と い う. つ う の 和 と ス カ ラ ー 積 に よ り,ベ

を もつ こ と は す ぐに わ か る が,実

ク トル 空 間 の 構 造

は

を 内積 とし て採用 し,ほ とん ど至 る と ころ 等 しい 関 数 を 同一 視 す る ことに よ り, ヒル ベル ト空 間 の 構 造 を もつ こ とが証 明 され る.   この ヒル ベ ル ト空 間 をL2(I)と  実 際,こ

表 わ す.

こ で問 題 とな る のは,完 備 性 を確 か め る こ とで あ る.こ れ は ル ベ ー グ

積 分 の 性質 に深 くか か わ ってい て,こ の証 明 を こ こ で与 え るわ け に は いか な い. 読 者 は 『ル ベ ー グ積 分30講 』(朝 倉 書店)を 参照 し てい た だ きた い.な お 可 分性 に つ い て は,有 理 係 数 の 多項 式 の全 体 を 考 え る と,こ れがL2(I)の の 関 数 か らな る 稠密 な集 合 を与 え て い る.

中 で,可 算 個

  ヒル ベ ル ト空 間 の理 論 が広 く解 析学 の分 野 に応 用 され る よ うに な った のは,こ の2乗 可 積 な関 数 のつ くる空 間を 通 して であ った.ヒ ルベ ル ト空 間の 理 論 が誕 生 す るわ ず か 数 年前 にす ぎな か っ たが,1900年 は,20世

に ル ベ ー グ積 分 が 生 まれ てい た こ と

紀 の 数 学 の発 展 に と って,実 に幸 運 な状 況 で あ った といわ な くて は な ら

ない.

Tea

Time

質 問   フ ィシ ャ ー と リー スの 定理 は よ くわ か った と思 った の で す が,最 後へ き て,L2(I)も

ヒル ベ ル ト空 間 に な る とい う こ とを 知 って,少 し戸 惑 った気 分 に な

りま した.L2(I)も,l2-空

間 と同型 に な るわ け で す が,L2(I)は

関 数空 間 で私 の

想 像 す るの は 連続 的 な描 像 です.一 方,l2-空 間は 数 列 を つ くる空 間 で離 散 的 な 描 像 です.イ

メ ージ の世 界 で捉 え る限 り,ま った く対 極 に あ る この2つ の空 間 が,

ヒル ベ ル ト空 間 と しては 同 じ視 点 でみ る こ とが で き る とい うの は 不思 議 な こ とに 思 い ます. 答  確 か に2つ の空 間の もつ描 像 は ま った く異 な る もの だが,そ

こに 内蔵 され て

い る ヒル ベ ル ト空 間 とし ての 数学 的構 造 は 同 じ もの で あ る とみ るの で あ る.抽 象 性 に よ っ て と り出 され た 論理 的 な構 造 の単 一 性 と,そ れ を具 象化 す る こ とに よ り 得 られ た 数 学 的対 象 の示 す 多様 性 との対 照 は,こ の ヒル ベル ト空 間 では 特 に著 し い.数

学 者 は,L2(I)とl2-空

間を じ っ と見 なが ら,こ の彼 方 に 浮か び上 が る共

通 な論 理 の 骨 組 を 捉 え,凝 視 しよ うと努 め るの で あ る.だ が,こ れ は 私に と って もい ま なお 不 思 議 な こ となの だが,こ の場 所 を 凝 視 して い る のは,単 に数 学 者 だ け では ない とい う こ とであ る.物 理 学者 もまた:量子 力学 か ら生ず る さま ざ まな 現 象 の奥 に,同

じ場所 を見 てい る の であ る.実 際,量 子 力学 の数 学 的基 礎 づ け は,

抽 象的 な ヒル ベ ル ト空 間 の論 理 の枠 の 中 で達 成 され た.こ

の とき,L2-空

間への

実 現 は 波 動 像 とな り,l2-空 間 へ の実 現 は粒 子 像 とな る と解 釈 され た の であ る.こ れ につ い ては,あ

とで も う少 し触れ る機 会が あ るだ ろ う.

第19講 閉 部 分 空 間 テー マ

● 閉部分空間 ● リース の補 題:Eが

閉 部分空 間 でE≠〓

な らば,Eに

直 交 す る0で な い

元が 存 在 す る. ● 直交 補 空 間 ● 直交 分 解〓E⊥E⊥ ● 余 次元1の 閉 部 分 空 間 ● リース の定 理:線 形 汎 関数 は,内 積 と して 表 現 され る.

閉 部 分空 間  次 の定 義か らは じめ よ う. 【定義 】  ヒルベ ル ト空 間〓

の 部 分 空 間Eが 閉 集 合 の と き,Eを

閉部 分 空間 とい

う.  す な わ ち,Eは

次 の 性 質 をみ た してい る.

(ⅰ) (ⅱ)   有 限 次 元 の 場 合 に は 部 分 空 間 が 重 要 で あ っ た が,無 間 が 重 要 に な る.Eを

閉 部 分 空 間 とす る と,Eの

個 しか な い 場 合 と,ど

ん な に 大 き なnを

と い う場 合 が あ る.最

初 の と き はEはn次

は,n=1,2,3,…

に 対 し 順 次1次

限 次 元 の場 合 には 閉 部 分 空

中 に1次

と っ て もn個

の1次

独 立 な 元 が ち ょ う どn 独 立 な元 が 存 在 す る

元 の ベ ク トル 空 間 と な る.あ

独 立 な 元{e1,e2,…,en}を

つ け 加 え て い っ て,

これ ら に ヒ ル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 を 適 用 し て み る.そ 系{e1′,e′2,…,e′n,…}が 得 ら れ る が,Eが

との 場 合

うす る と 正 規 直 交

閉 集 合 で あ る こ とを 用 い る と,こ

れ らの

1次 結 合 の極 限 であ る 

が す べ てEに 属 す る こ とが わ か る.

し たが ってE自 身 ヒル ベ ル ト空 間 の構 造 を もつ こ とにな る.す なわ ち Eを〓

の 閉 部分 空 間 とす る と,Eは

有 限 次元 の

ベ ク トル 空 間か,ヒ ル ベ ル ト空 間 に な る.

  も ち ろ ん,ヒ

ル ベ ル ト空 間 に な る と い う と き に は,〓

の 内 積 をEに

限 って考

え て い る の で あ る.   一 般 に〓

の 部 分 空 間Sが

で 近 づ け る もの 全 体)は

与 え ら れ る と,Sの

閉 部 分 空 間 とな る.こ

閉 包S(〓

の 点 で,Sの

れ は 証 明 す る よ りは,簡

点列

単 な例 で

示 し て お こ う.  〓

の 正 規 直 交 基 底 を{e1,e2,…,en,…}と

{e1,e3,…,e2n+1,…}に

注 目 し よ う.こ

し,こ

の 奇 数 番 目だけ と って系 列

れ か ら 生 成 さ れ た 部 分 空 間 をSと

す る と,

Sは

の形 の 元 全 体 か ら な る.こ の ときSは

の形 の 元 か ら な る閉 部分 空 間 とな る. 〓 [リ ー ス の補 題]Eを〓

と 一 致 しな い 閉 部 分 空 間 の 閉部 分 空 間 とし,E≠〓

すべ て の元 と直交 す る よ うな,0で

な い元z0が〓

【証 明】 い ま がy*〓Eで あ る よ うな元y*を

とす る.こ の とき,Eの の 中に 存 在 す る.

任 意 に1つ

とる.こ のy*を

中 に 系 列{x1,x2,…,xn,…}が

存 在 して

考え る こ とにす る.そ こで

と お く.infの

性 質 か ら,Eの

(1) と な る.こ

の とき

固定 して

こ の1行

目 か ら2行

を 用 い て い る.こ

目 に 移 る と こ ろ で,公 式 

に注 意 す る と

こ で 

した が って

と な り,{xn}は

コ ー シ ー 列 の こ とが わ か る.し

と な るが,Eは (1)か

た が っ て あ る 元x*が

閉 集 合 だ か ら,x*∈Eで

存 在 し て 

あ る.

ら

(2) で あ る.ま

たx*∈E,y*〓Eだ

  Eか ら 任 意 の 元xを

か ら,d>0で

と り,x*+αx(α

あ る.

∈C)を

考 え る.こ

の とき

(3) し た が っ て(2)と(3)か

ら

こ こ で, 

(λは 実 数)と

お くと

と な る.こ の不 等 式 がす べ ての 実数λに 対 して成 り立 つ の だか ら

で な く て は な ら な い.xはEの と,‖z0‖=d≠0で

お く

あ っ て,

  が 成 り立 つ.こ

任 意 の 元 で よ か っ た の だ か ら,z0=y*−x*と

すべ て のx∈Eに れ でz0の

  こ の 証 明 は,1934年

対 し て(z0,x)=0

存 在 が 証 明 さ れ た. のF.リ

ー ス の 論 文 で 与 え ら れ た も の で あ る が,巧

妙す ぎ

て,か

えっ て 内 容 が 理 解 し に くい か も し

れ な い.証

明 の 筋 道 は 図18を

か りや す い.Eに

見 るとわ

属 さ な い 点y*か

元 へ の 最 短 距 離 は,少 の 場 合 に は,y*か

な く とも有 限 次元

らEへ

長 さ で 与 え ら れ る.こ

らEの

下 ろ した垂 線 の

の 事 実 は,最

短性

と直 交 性 が 関 係 し 合 っ て い る こ と を 示 し て い る.こ

の ア ナ ロ ジ ー か ら,証

まずy*とEの

明 では

図18

元 との最 短 距 離dに 注 目した の で あ る.こ の距離dを 実 現 す る点

x*がEに

存在 して い るか ど うか は,け っ して 自 明な こ とで は な いの で あ って,そ

れは 〓

の完 備性 とEが 閉 じ てい る こ とで与 え られ た.そ

うす る とy*−x*が,

Eと 直交 す る元 とな る こ とは,図 の よ うな 場 合は 明 らか なの だが,そ れ を 内積 と ノル ムの性 質 か ら導 くこ とに よっ て,い わ ば リース は,図 の状 況が 〓

の中でも

や は り成 り立 って い る こ とを示 した の で あ る. 直 交 補空 間   図18で 示 され てい る状 況 が,〓

で も成 り立 って い る と考 え られ るな ら ば,

当然,有 限 次 元 の部 分空 間 の ときの よ うに,任 意 の閉 部 分 空 間に対 して直 交 補 空 間が 存 在 す るだ ろ うと予想 され る.   まず,有 限 次元 の 場 合 と同様 に,直 交補 空 間 の定 義 を与 えてお こ う. 【定 義】  〓

と お き,E⊥

の閉 部分 空 間Eに 対 し

をEの

直 交 補 空 間 と い う.

  E⊥ が 部 分 空 間 と な る こ と は 明 ら か だ が,実 れ を み る た め に,yn∈E⊥(n=1,2,…),yn→yと

だ か ら(y,x)=0と

な り,y∈E⊥

  リ ー ス の 補 題 は,閉

部 分 空 間Eに

と な る. 対 し

際 は 閉 部 分 空 間 に な っ て い る.そ す る と,す

ベ て のx∈Eに

対 し

を い っ て い る.   E∩E⊥={0}だ い る.E〓E⊥

か ら,EとE⊥

か ら 生 成 さ れ た 部 分 空 間 は 直 和E 

の 元 は,z=x+y,ｘ

∈E,y∈E⊥

い る.直 和 と は こ の よ うなzの

表 わ し方 は1通

=0に

注意 す る と

,さ

が 成 り立 っ て い る.し zn=xn+ynと る.E,E⊥

と表わ され る もの全 体 か らな って り で あ る こ と を い っ て い る ,(x,y)

らに

た が っ てE E⊥

表 わ す と,{xn},{yn}も

の コ ー シ ー 列{zn}(n=1,2,…)に そ れ ぞ れEとE⊥

 も 〓

対 し て,

に おけ る コー シー列 とな

は 閉 部 分 空 間 だ か ら, 

す る.z=x+yと

E⊥ とな っ て

へ と収 束

お く と, 

で, zn→z(n→

∞)と な っ て い る.す

なわち

の 閉 部 分 空 間 で あ る.

  次 の 定 理 は 基 本 的 で あ る.

【定 理 】  〓

の 任 意 の 閉 部 分 空 間Eに

対 して

(4) が 成 り立 つ.

【証 明 】 

と仮 定 し て 矛 盾 の 生 ず る こ と を み よ う.E E⊥

間 だ か ら,こ こ に リー ス の 補 題 が 使 え て,E E⊥ す る.こ

の 元z0は,ま

く て は な ら な い.一

ずEの 方,z0はE⊥

な い 元z0が

す ベ て の 元 と直 交 し て い る の だ か ら,z0∈E⊥ の す ベ て の 元 と直 交 し て い る の だ か ら,自

身 と も 直 交 し な くて は な ら な い.し が 得 られ て,z0≠0で

に 直 交 す る0で

は 閉部 分空

た が っ て(z0,z0)=0と

あ っ た こ と に 矛 盾 す る.こ

 有 限 次 元 の と き と 同 じ よ うに,(4)を

存在 でな 分 自

な り,こ れ か らz0=0

れ で 証 明 され た.

直 交 分 解 と い っ て, 

と表 わ

す こ と に し よ う.   こ の 定 理 か ら,Eは る.す

なわ ち

ち ょ う どE⊥ に 直 交 す る 元 全 体 か ら な っ て い る こ と もわ か

任 意 の 閉 部 分 空 間Eに  

対 して

(E⊥)⊥=E

が 成 り立 つ.

 

リー スの 補 題 を用 い た か ら,定 理 の証 明は ご く簡 単 に で きて し まった.さ か の ぼ っ てい え ば,Eが

閉 部分 空 間 だ った か ら事 情 は 簡 単 だ っ た ので あ る.も

い な い部 分 空 間 な らば,た とえ ば 

しもEが 閉 じ て

とな る部分 空 間Fが 存 在す るか ど うか さ

え,少 し も 自明 な こ とでは な くな って くる.た とえ ば{e1,e2,…,en,…}を

〓

の正 規

直 交基 底 と し,こ の中 か ら 有限 個 の元 を と って つ くった1次 結 合 全 体 のつ くる部分 空 間 をSと す る.Sは 

の形 の 元 か らな っ てい る.Sは

稠 密 な 部分 空 間 であ るが,明 らか にS≠ 〓

で あ る.こ の と き 

〓

の中で

とな る よ う

な 部 分空 間Tを ど の よ うに して 見 つ け る の だろ うか と考 え てみ られ る と よい.や 本 当 に 存 在す る の だ ろ うか とい う感 じが 横 切 る よ うに な るか も しれ な い.こ 部 分 空 間Tが 確 か に存 在 す る とい うこ とを 示 す に は,私

がて

の よ うな

は 選 択 公 理 が必 要 に な る だろ

うと思 って い る.

余 次 元1の

 〓

の 閉 部 分 空 間Eが

 

dim E⊥=1

を み た す と き,Eは E⊥ か ら0で 元!).し

閉 部 分 空 間

余 次 元1の

な い 元z0を1つ

た が っ て,Eが

閉 部 分 空 間 とい う こ と に し よ う.こ と る と, 

余 次 元1の

 

の と きE⊥ は,

と表 わ され る(1次

と きは

〓=E⊥Cz0

と表 わ さ れ る.   この と き,こ

の 分 解 に し た が っ て,任

意 の 元x∈

x=y+λz0 

(5)

  と表 わ さ れ る.こ

こ でxの'z0-成

  と お こ う.φ は 〓

分'α

〓

は た だ1通

に 注 目し て

φ(x)=λ か らCへ

の 写 像 と な っ て い る.φ が 線 形 性

りに

を み た し て い る こ と は 明 ら か で あ る.さ

が 成 り立 つ か ら,こ

ら に(5)か

ら

れから

が 導 かれ る. リー ス の 定 理   今 度 は逆 に,〓

か らCへ の線 形 写像 φが 与 え られ た と して,そ こか ら 出発 し

て み よ う. 【定義 】 〓

か らCへ の 写像 φが,次 の2条 件 をみ た す とき線 形汎 関数 とい う.

  (ⅰ)(線 形 性)    (ⅱ)(有 界 性)適

当な 正 数Mを と る と,す べ て のx∈ 〓

に対 し て

が 成 り立 つ.   (ⅱ)の 有 界 性 に つ い て は,次

講 で も う一 度 触 れ る が,こ

こ で は 有 界 性 は φの 連

続 性:

を 意 味 し て い る こ と を 注 意 し て お こ う.実

際

線形 汎 関 数 φが 与 えられ た と き,φ の核

に 注 目 し よ う.Kは,φ

に よ っ て0に

移 さ れ る よ うな 〓

の 元 全 体 か ら な る.こ

の とき

(ⅰ)  Kは 〓

の 閉部 分 空 間 で あ る.

(ⅱ)  φが 恒 等 的 に0で な け れば,Kは 【証 明 】  (ⅰ):

余次 元1で あ る.

し た が っ てKは

部 分 空 間 で あ る.閉

と す る と,φ(xn)=0,φ(xn)→

じ て い る こ と はxn∈K(n=1,2,…),xn→x

φ(x)か

ら,φ(x)=0と

な り,x∈Kと

な る こ とか

ら わ か る.   (ⅱ): 

φ≠0だ か らdim

K⊥ ≧1の

盾 の 生 ず る こ と を み よ う.こ 1次 独 立 な 元 ｚ0とz1が ら,複

こ とは 明 ら か で あ る.dim

の よ うに 仮 定 す る と,K⊥

存 在 す る こ と に な る.こ

K⊥＞1と

し て矛

の 中 に 少 な く と も2つ

の と き φ(z0)≠0,φ(z1)≠0だ

の か

素 数 αを 適 当 に と る と

が 成 り立 つ.し

た が っ て φ(αz0−z1)=0.す

で あ り,K∩K⊥={0}だ

か ら αz0−z1=0が

で あ っ た こ と に 矛 盾 す る.し

た が っ てdim

  次 の 定 理 は リ ー ス の 定 理 と よ ば れ て,よ

【定 理 】 φ を 〓

な わ ち αz0−z1∈K.一 得 られ た.こ K⊥=1で

方 αz0−z1∈K⊥

れ はz0とz1が1次

独立

あ る.

く用 い られ る.

上 の 線 形 汎 関 数 と す る.こ

の と き,た

だ1つ

の 元z∈

〓

が存

在 して

と表 わ さ れ る.

【証 明 】 存 在: 

φ=0な

ら ば,z=0に

の 存 在 を 示 す と よ い.φ は 余 次 元1だ

の 核 をKと

と る と よ い.し し,K⊥

か ら0で

か ら

と表 わ さ れ る.x∈

〓

を こ の分 解 に したが って

 

x=y+αz0

と表 わ す.こ

の 式 の 両 辺 の φの 値 を 考 え る と  ψ(x)=αψ(z0) (6)

ま た,z0と

内 積 を とる と

    (6)と(7)か

(x,z0)=α(z0,z0)  ら αを 消去 す る と

(7)

た が っ て φ≠0の 場 合 にz な い 元z0を

任 意 に と る.K

と な る.し

たが って

とお くと

が 成 り立 つ.   一 意 性: 

φ(x)=(x,z)=(x,z)と

(x,z−z)=0が っ てz=zと

成 り立 つ.特

表 わ さ れ た と す る と,す

にxと

し てz−zを

と る と,(z−z,z−z)=0.し

ク トル 空 間Vに

聞 い た こ と が な い だ ろ うか.VをR上 らRへ

と な るzが

対 し て 双 対 空 間V*が

のn次

存 在 す る こ とを

元 ベ ク トル 空 間 とす る と き,V*は,

の 線 形 写 像 全 体 の つ くる ベ ク トル 空 間 で あ っ た.V*もn次

トル 空 間 と な る.Vに た だ1つ

間 の 場 合 に は,V*か 参 照).リ

内 積 を 入 れ て お く と,任 意 の φ∈V*に 決 ま り,φ にzを らVへ

元のベ ク

対 し,φ(x)=(x,z)

対 応 さ せ る こ と に よ り,Vが

実 ベ ク トル 空

の 標 準 的 な 同 型 対 応 が 決 ま る(『ベ ク トル 解 析30講

ー ス の 定 理 は,対

応 す る こ と が,ヒ

に 有 界 性 と い う連 続 性 の 条 件 を 課 し て お く と,大 う こ とを い っ て い る の で あ る.な φ 〓zを

うひ とつ わ か ら な い 気 が し

明 し て い た だ け ませ ん か.

答  有 限 次 元 の 場 合 に,ベ

第13講

たが

Time

質 問   リ ー ス の 定 理 が 何 を い お う と し て い る の か,も

Vか

対 して

な る.

Tea

ま す.説

べ て のxに

対 応 さ せ る と,α φ 〓azと

お,大

ル ベ ル ト空 間 で も線 形 写 像

体 同 じ 形 で や は り成 り立 つ と い

体 同 じ 形 とい っ た の は,リ

な り,φ

対 応 とで も い うべ き も の に な る か ら で あ る.

』

とzと

の 対 応 は'共

ース の定理 で

役 線 形 な'同

型

第20講 有 界 作 用 素 テーマ ● 有 界作 用 素 ● 有 界作 用 素 の ノル ム ● 随 伴 作用 素 ● 射 影 作 用 素:P2=P,P*=P ● 正 規 作 用 素:A*A=AA* ● ユ ニ タ リ ー 作 用 素:U*U=I ● 自 己 共 役 作 用 素:H=H*

有界作 用素   前 講 で,リ ー スの 定理 に関 連 して登 場 した 線形 汎 関 数 は,〓 で あ っ た.こ れ か らは 〓 【定義 】 〓

から〓

から 〓

へ の写 像 ―

への 写像Aが,次

作 用 素―

か らCへ の 写 像 を 考 え る.

の2つ の 条件 を み たす とき有界 な線 形 作

用 素,ま た は簡 単 に有 界 作用 素 とい う. (ⅰ)(線 形 性) (ⅱ)(有 界 性)適

当な 正 数Mを

とる と,す べ て のx∈ 〓

に対 して

(1) 有 界 性 の 条件 は,実 は 連続 性 の 条 件 と同値 であ る.す なわ ち  線形 作用 素Aが 有界 で あ るた め の必 要 十 分 条件 は,Aが と,す なわ ち

  が 成 り立 つ こ とで あ る.

連続である こ

【証 明 】  必 要 性: 

Aを 有 界 作 用 素 と す る.xn→x(n→  と な る.し

∞)と す る と た が っ てAは

連 続 で あ る.

  十分 性:  Aを 連続 とす る.こ の と きAが 有 界 でな か った と して矛 盾 の で る こ とを み よ う.Aが

有 界 で な い とす る と,ど ん なに 大 きな正 数Mを

とって も,(1)

を 成 り立 たせ な い よ うなxが 存 在 す る.し た が っ て

を み た す 系 列{x1,…,xn,…}が

存 在 す る.こ

の 式 の 両 辺 をn‖xn‖ で 割 り,

とお く と

(2) が 得 ら れ る. 

Ayn→0(n→

だ か ら,n→

∞ の と きyn→0で

あ る.Aは

∞)と な ら なけ れ ば な らな い.こ れ は(2)に

てAが 連 続 な らば,Aは

連 続 な の だ か ら,

矛 盾 す る.し

たが っ

有 界 で あ る.

  有 界 性 も連 続 性 も同 じ こ とを い っ てい るの だ が,線 形 作 用 素 を 取 り扱 うと きに は,有 界 性 の方 が よ く用 い られ る.次 の 命題 は 連 続 性 の観 点 か らで もす ぐに導 か れ る(次 節 参 照). A,Bを

有 界 な 作 用 素 と す る.こ

の とき

  和:A+B   ス カ ラ ー 積:αA 

(α∈C)

  積:AB も ま た 有 界 な 作 用 素 と な る.

  こ こで積ABと

は,も ち ろ んABx=A(Bx)に

よっ て定 義 され る作 用 素 の こ と

で あ る.

有界 作用素 の ノルム   Aを 有 界 な 作 用 素 とす る.こ の とき(1)を 成 り立 た せ る よ うなMの 下 限を ‖A‖ と表 わ し,Aの

ノル ム とい う.す なわ ち

すべ てのxに 対 し と お くの で あ る.  明 らか に

で あ る が,等 Ax0≠0と

号 はA=0の

と き に 限 る.な

な る も の が あ る.こ

ぜ な ら も しA≠0と

の と き ‖Ax0‖=kと

す る と,あ

るx0で

お く と,k≠0で

した が っ て

とな るか らで あ る.  有 界 作 用 素 の ノル ムにつ い ては 次 の 性 質が 成 り立 つ. (ⅰ)  恒 等 作 用 素Iに

対 し て は ‖I‖=1

(ⅱ) (ⅲ) (ⅳ)

 ど の 証 明 も 同 じ よ うな も の だ か ら,(ⅳ)だ

け を 示 し て お こ う. (Aの

ノル ム の 定 義)

(Bの

ノル ム の 定 義)

この式 が す べ てのxに 対 して成 り立 つ の だ か ら

とな る. 随伴作 用素  有 限 次 元 の場 合 と同 じ よ うに,任 意 の有 界 作 用素Aに 対 して 随 伴作 用 素A*が 存在 す る が,こ の こ とを 示す のに リース の定 理を 用 い る.

Aを 有 界 な 作 用 素 と す る.こ  

(Ax,y)=(x,A*y) 

を み た す 有 界 作 用 素A*が

【証 明 】 任 意 にyを

と っ て,ひ

対 して

(3)

存 在 し て,た

と ま ず こ のyを

  と お く.内

の と き す べ て のx,yに

だ1通

りに 決 ま る.

固 定 し,

φy(x)=(Ax,y) 積 の 性 質 か ら,φy(x)はxに

つ い て 線 形 で あ るが,さ

らに

(シ ュ ワル ツ の 不 等 式)

か ら,φyは

線 形 汎 関 数 と な る.し

  と な るy*が

たが っ て リース の定 理 か ら φy(x)=(x,y*)

た だ1つ

決 ま る.

  あ る い は か き 直 し て,y*は  

(Ax,y)=(x,y*)

を み た し て い る.yにy*を  

対 応 させ る 対 応 を A*y=y*

と 表 わ す こ と に よ り,(3)を

み た す 対 応A*が

存 在 し て,一

意 的 に 決 まる こ とが

示 さ れ た.   次 にA*が

有 界 な 線 形 作 用 素 と な る こ とを 示 そ う.

  線 形 作 用 素 の こ と:

(4) で あ る が,一

方

(5) (4)と(5)を

が 得 ら れ る.

見 比ベ て

(シ ュ ワル ッ の 不 等 式)

したが っ て 

が 成 り立 ち,A*が

す なわ ち 

有界な ご

とが 示 され た. 【定義 】 有 界 作 用素Aに 対 し,A*をAの   AとA*の

関係(3)が

随 伴作 用素 とい う.

対 称 の ことか ら

(A*)*=A が 成 り立 つ こ とがわ か る.こ の こ とを 上 の証 明の最 後 の 部分 で得 られ た結 果  が 得 られ,結 局

に 適 用 す る と, 

が 示 され た.   第10講 で 有 限 次元 の場 合 に述 べ た と同 様 に次 の等 式が 成 り立 つ.

  〓

射影作 用素 の閉 部分 空 間Eが 与 え られ る と,前 講 で述 ベ た よ うに,〓

と直 交 分 解 され る.こ の分 解 に した が っ て 〓

は

の元xを

(6) と表 わ し た と き,  

Px=y

と お き,PをEへ

の 射 影 作 用 素 と い う.

射 影 作 用 素 の 導 入 に と っ て,基

本 とな る の は(6)の

直 交 分 解 だ け で あ る.し

た が って有 限次 元 の 場 合 に部 分空 間 とい った と ころ を,閉 部 分空 間 に お きか え さ え す れ ば,射 影 作 用 素 に関 す る基 本 的 な性 質 は,第10講

で 述ベ た ものが そ の ま ま

の 形 で,ヒ ル ベ ル ト空 間 で も成 り立 つ こ とに な る.   特 に,I−Pは,E⊥

へ の射 影 作用 素 で あ る.ま

た 次 の射 影 作用 素 の特 徴 づ け も

成 り立 つ.  有 界 作用 素Pが,あ 十 分 条件 は,Pが  

(ⅰ) P2=P

 

(ⅱ) P*=P

る閉 部 分空 間Eへ の射 影 作用 素 とな るた めの 必要 次 の2つ の条 件 を み たす こ とで あ る.

な お,射 影 作用 素Pが0で

なけ れば

 

‖P‖=1

で あ る.こ

の こ と は,一

般 に 

とな る こ とか らわ

か る.

有界 作 用素 の い くつ か の 定 義   随 伴作 用 素 が 定 義 され た の だか ら,こ の概 念 を用 い て,有 限 次元 の場 合 の アナ ロジ ーを た ど る こ とに よ り,い くつ か の タ イ プの 有界 作用 素 を定 義 す る こ とが で き る.   正 規作 用 素:  A*A=AA*を   ユ ニ タ リー 作用 素:  リ ー 作 用 素 と い う.ユ

み た す有 界 作 用 素Aを 正 規 作用 素 とい う.

U*U=I(恒

等作 用 素)を みた す 有界 作 用 素Uを,ユ

ニ タ リー 作 用 素 に つ い て は

,第13講

ニタ

で述 べ た有 限 次元 の

場 合 の ユ ニ タ リー 作 用 素 の 特 性 づ け が そ の ま ま の 形 で す べ て成 り立 つ .形 式 的 に は そ の 証 明 も 同 じ で あ る.ヒ

ル ベ ル ト空 間 の 場 合 に ,そ

れ ら の特 性 づ けを も う 一

度 再 記 す る と次 の よ うに な る.

  有 界 作 用 素Uが

ユ ニ タ リー と な る 条 件 は,次

成 り立 つ こ と で あ る.  

(ⅰ)  U−1=U*

の い ず れ か1つ

の 条件 が

(ⅱ)  UU*=I (ⅲ)  す べ て のx,yに (ⅳ)  す ベ て のxに

対 し て(Ux,Uy)=(x,y) 対 し 

(ⅴ)  Uは 完 全 正 規 直 交 系 を,完

  最 後 の(ⅴ)だ … ,en,…}を

け'完 全'と

い う と こ ろ に,一 言 注 意 が い る か も し れ な い.{e1,e2,

完 全 正 規 直 交 系 と す る.こ

系 と な る こ と は す ぐに わ か る が,完 にxを

と り,y=U−1xと

全 正 規 直 交 系 へ 移 す.

の と き{Ue1,Ue2,…,Uen,…}が

正規直交

全 で あ る こ とは 次 の よ うに し て わ か る.任

お く.{e1,e2,…,en,…}は

意

完 全 だか ら

と表 わ され る.こ の両 辺 にUを 適 用 して

と な る.し

た が っ て 

 自己 共 役 作用 素:H=H*を

は完 全 で あ る. み た す 有界 作 用 素 を 自己共 役 作 用素 とい う.

自己 共 役 作用 素Hに 対 しては,(Hx,x)は

つ ね に実 数 とな る.な ぜ な ら

が 成 り立 つ か ら で あ る.   有 限 次 元 の 場 合 の ア ナ ロ ジ ー で は,こ あ る.実 は,自

際,エ

れ は エ ル ミー ト作 用 素 とい うべ き も の で

ル ミ ー ト作 用 素 と よ ぶ こ と も あ る が,ヒ

己 共 役 作 用 素 ―self-adjoint

operator―

ル ベ ル ト空 間 の と き に

と い う こ と が 多 い よ うで あ り,

こ こ で も そ れ に な ら う こ とに し た.

Tea

Time

質 問   これ か らの 講義 で は,い ま定 義 され たば か りの,正 規 作 用 素や 自己 共役 作 用 素 な ど の 固有値 問題 が 取 り扱 わ れ るの だ ろ う と思 い ます が,こ

れ ら の 作用 素

は,有 限 次 元 の 場 合 とま った く同 じ形 で 定義 され た の です か ら,有 限次 元 か ら無

限 次元 の 場 合 に 向け て の 離 陸準 備 は 万端 整 った と考 え て よい の で し ょ うか.あ と は 離 陸O.K.の

合 図 を待 つ だ け なの で し ょ うか.

答  離 陸 準 備 は 万端 整 った の か と問 われ る と,必 ず し もそ うでは な い といわ ざ る を 得 ない よ うで あ る.正 規 作用 素 等 の形 式 的 な定 義 は,幸 い リー スの 定理 か ら, 随 伴作 用 素 の 概念 を用 い る こ とに よ り,有限 次元 の 場 合 と同 じ形 で導 入 され た が, これ ら の作 用 素 の もつ 性 質 は,形 式 的 な定 義 だ け では 察 知 され ない 高 所 に あ る. ヒル ベ ル ト空 間 上 で 固有 値 問 題 を論 ず るため に は,作 用 素 に対 す る積 分 概 念が 必 要 とな り,そ れが 新 し い局 面 を 展開 す る.積 分 方 程式 論 を 端緒 と して登 場 した ヒ ル ベ ル ト空 間 論 は,結 局 は,積 分概 念 の 中を 大 き く旋 回 しな が ら,飛 翔 を続 け て い くこ とに な るの で あ る.そ の た め,ヒ ル ベル ト空 間 上の 固 有値 問 題 に 入 るため に は まだい ろ い ろ な準 備 が い る.質 問 に対 す る答 と しては,い

ま格 納 庫 か ら飛行

機 が と り出 され,飛 行 場 へ と姿 を見 せ た と ころ くら い だ とい って お こ うか.

第21講 ヒル ベ ル ト空間 上 の固有 値問 題 の第一 歩 テーマ

● 有限 次元 と無 限 次 元 の違 い ● ヒル ベル ト空 間 の 単位 球 面 は コン パ ク トで ない. ● 自己 共 役 作 用素Hの 最 大 の固 有値 を,有 限 次元 の場 合 の よ うに,(Hy,y) の単 位 球 面 上 の最 大値 と して は一 般 に 捉 え ら れ な い―

固有 ベ ク トルが

つか ま ら ない. ● 最大 固有 値 を,(Hy,y)の   条件 ―

単 位 球 面 上 の最 大 値 と して 求 め られ る1つ

の

条 件(C)

● 自己 共 役 作 用 素Hに 対 し

有 限 次 元 と無 限 次元 の違 い  前 講 のTea

Timeで

は,ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の固 有 値 問 題 には,積 分概 念 を 投入

す る こ とが 必 要 で あ る とい った が,こ の講 で は まだ そ の点 ま では 立 ち入 らな い. ここ では,ヒ ル ベ ル ト空 間上 の 固 有値 問 題 を取 り扱 う第一 歩 と して,有 限 次 元 の 場 合 の 固有 値 問 題 と どの よ うな と ころが 違 うか,ま た どの よ うな 条 件 を お くと, 有 限 次元 との アナ ロ ジ ーが た どれ るか な どにつ い て 述 べ る こ とに し よ う.   とこ ろで 一 体,有 限 次元 と無 限 次元 の間 に,本 質 的 な状 況 の違 い を 示す 源 は ど こに あ る のだ ろ うか.私 た ち に と って は,Cnの

が コン パ ク トなの に,〓

中の 単 位 球面

に お け る単 位 球 面

が コンパ ク トで な い とい う違 い が 決定 的 で あ る.   コンパ ク トとは,距 離 空 間 に限 って い えば,'無 限個 の 点 列 が あ れば,必 ず あ る適 当な 部 分点 列が 存 在 して,こ の 部 分点 列 は あ る点 に 収 束 す る'と い う性 質を 指 す.

Scnが コ ン パ ク トで あ る こ と は, 

と な り,し

た が っ てScnは,R2n+1の

と表 わ す と

単 位 球 面 と 同 一 視 さ れ る か ら で あ る(ボ

ル

ツ ァ ー ノ ・ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス の 定 理 の 一 般 化!).   一 方,S〓

が コ ン パク トで な い こ と は 次 の よ う に し て わ か る.〓

直 交 系 を{e1,e2,…,en,…}と

す る と,‖en‖=1に

の 中 の 無 限 系 列 で あ る.と

だ か ら,{en}の

こ ろ がm≠nな

の 完全 正規

よ り,{en}(n=1,2,…)はS〓

らば

中 か ら ど の よ うな 部 分 点 列 を と っ て も 収 束 し な い.し

た がって

S〓は コ ン パ ク トで は な い.

 

S〓 の中 に は,2点

間 の距 離 が つ ね に 

であ る よ うな点 が 無 限 に あ るの だ か ら,

ふ つ うの球 面 か ら想 像 され る よ うな 閉 じた もの では な く,む しろ'単 位 球 面'S〓 は, 無 限 の 方 向に 向 か って 開い てい る と考 えた 方 が よい のか も しれな い.

[試 行]有

  Scnは

限 次 元 との ア ナ ロ ジ ー を 追 う

コ ン パ ク トで あ る が,s〓

は コ ン パ ク トで な い と い う事 実 は,具

体的に固

有 値 問 題 に ど の よ うに 反 映 す る の だ ろ うか.   第12講

で 述 べ た エ ル ミ ー ト作 用 素 の 固 有 値 問 題 を 振 り返 りな が ら,話

て い く こ と に し よ う.そ

のた め い ま 〓

 

(1)

固 有 値 λを,有

  を み た す0で

上 の 自 己 共 役 作 用 素Hで

(Hx,x)≧0 

を み た す も の を 考 え よ う.Hの

Hx0=λ な い 元x0が

し 存 在 す れ ば)負   と仮 定(1)か   ま た 任 意 のxに

ｘ0

の こ とは

(Hx0,x0)=λ(x0,x0) ら 明 らか で あ る. 対 して

限 次 元 の 場 合 と 同 じ よ うに,

存 在 す る と き と定 義 す る.こ

で な い 実 数 と な る.こ

を進め

の と き,固

有 値 λは(も

が 成 り立 つ か ら,x≠0の

と な る.し

と き,辺

た が っ て 

々 を ‖x‖2で割 っ て

と お き,yをS〓

上 の 変 数 と考 え る と,

(Hy,y) はS〓 上 の 連 続 関 数 で あ っ て,

が 成 り立 っ て い る.   こ こ で 第12講

で 述 ベ た エ ル ミ ー ト作 用 素 の こ とを 思 い 出 し,そ

を 追 う こ と を 試 み る な ら ば,私

た ち は,ま

ずHの

の アナ ロジ ー

最 大 の 固 有 値 λを

(?) の 値 と し て 求 め,こ

の 最 大 値 を と るy0が

λ の 固 有 ベ ク トル で あ る と い う道 を と

りた くな る.   し か し 実 際 は こ の 道 を 進 も う とす る と,S〓 障 壁 と な っ て,私

が コ ン パ ク トで な い と い う 事 実 が

た ち の 前 に 立 ち は だ か っ て く る の で あ る.こ

れ か らそ の ことを

説 明 し て み よ う.   yがS〓

の 中 を 動 い た と き,(Hy,y)の

動 き ま わ る.実

値 は 数 直 線 上 の 区 間[0,‖H‖]の

数 の よ く知 ら れ た 性 質 か ら,こ

を 考 え る こ と が で き る.こ

中を

の とき

の 値 を 改 め て λ とお く と λ≦ ‖H‖ で あ っ て,λ

はHの

最 大 の 固 有 値 とな る候 補 者 で あ る.   上 限supの

性 質 か ら,n=1,2,…

に 対 し て,S〓 の 中 の 系 列{y1,y2,…yn,…}が

存 在 して

が 成 り立 つ こ と は 確 か で あ る.n→ 近 づ く.し か し,yn自

身 は,n→

収 束 し な い こ と が 起 き得 る.S〓  こ の と き(?)の 

∞ の と き,(Hyn,yn)の ∞ の と き,ど

方 は い く ら で も λに

ん な 部 分 列 を と っ て も,ど

こに も

が コ ン パ ク トで な い か ら で あ る!

は存 在 し ない とい う結 論 に な る.最 大 値 に達 す

るyがS〓

の 中 に 見 出 せ な い か ら で あ る.有

限 次 元 と の ア ナ ロ ジ ー で い え ば,H

の 最 大 の 固 有 値 λに 対 応 す る 固 有 ベ ク トル は,一

体 ど こへ 消 え て し ま ったの か と

い う こ と に な る だ ろ う.実 際 こ の よ う な 状 況 は 具 体 的 な 作 用 素 で 起 き る の で あ る.〓

上 の 作 用 素 に 対 す る 固 有 値 問 題 は 予 想 以 上 に 深 い の で あ る.

1つ

  この よ うに し て,上 こ と は,一

の[試

行]に

の 条 件

し た が っ て 固 有 値 問 題 を 考 え て い こ う とす る

般 に は 無 理 な こ とが わ か っ た.し

と な っ て い る か は わ か っ た の だ か ら,作 す れ ば,こ

の 考 察 の 途 中 で,何

が障害

用 素 の方 に適 当 に条 件 を つ け てお きさ え

の 障 害 が 乗 り越 え ら れ る こ と が あ る か も し れ な い.

  こ の 条 件 と は 次 の よ うな も の で あ る.S〓 ら と っ た 任 意 の 点 列{yn}(n=1,2,…)に い か な い.し 1,2,…)に

か し,こ

か し 作 用 素Hが 対 し,そ

は コ ン パ ク トで な い の だ か ら,S〓 か

対 し て,収 束 の 状 況 を 期 待 す る わ け に は

与 え ら れ た と き,{yn}のHに

の 適 当 な 部 分 点 列{Hyni}(ni=1,2,…)は

よ る 像{Hyn}(n= 収 束 す る とい う条

件 を 考 え る こ と は で き る だ ろ う.   た と えば 〓

の 有 限 次 元 の 部 分 空 間 をEと

 

し,

H(〓)=E

と な る と き― る.実

際,こ

〓

よ る 像 がEと

の と きS〓 のHに

な 集 合 と な る.し る(有

のHに

な る と きに は,こ

よ る 像 は, 

に よ りEの

た が っ てH(S〓)は,Eの

限 次 元 性!).し

適 当 な 部 分 点 列{yni}を

の 条件 が み た され て い

た が っ て ま た,S〓

有界

有 界 な 閉 集 合 と し て コ ン パ ク トに な か ら 任 意 に と っ た 点 列{yn}に

と る と,Hyniは,ni→

∞ の と きH(S〓)の

対 し,

あ る 元z0に

束 す る.   そ こ で 一 般 の 有 界 作 用 素Aに

 (C)系

列{xn}(n=1,2,…)が

適 当 な 部 分 列{xni}を 束 す る.

対 し て 次 の 条 件 を お く こ と を 考 え て み よ う.

‖xn‖=1を と る と,{Axni}は,ni→

み た す と す る.こ

の と き,

∞ の と き あ る 点z0に

収

収

条 件(C)の

下 で の 固 有値 の 存 在 証 明

 い ま まで の話 の続 き とし て,Hは

有界 な 自己共 役作 用 素 で,す ベ てのxに 対 し

て

をみ た す とす る.Hが

自己共 役 で あ る こ とを用 い る と (2)

を 示 す こ とが で き る.こ (2)を

用 い て,次

の 事 実 は こ の 講 の 最 後 で 証 明 す る が,い

まは さ しあ た り

の こ と を 証 明 し よ う.

(#) 

Hが

く と も1つ

さ ら に 条 件(C)を

み た す な ら ば,Hは

少な

の 固 有 値 を もつ.

  す な わ ち あ る実 数 λ とx0≠0が  

存 在 して

Hx0=λx0 

(3)

が 成 り立 つ. 【証 明 】  Hが0の x0(≠0)は

と き に は,固

有 値 が0の

こ とは 明 らか で あ る(こ

任 意 で よい).

  し た が っ てH≠0の

と き を 示 す と よい.こ

の と き λ=‖H‖ と お く と,(2)か

で あ る.上

限 の 定 義 か ら,S〓 か ら適 当 に 系 列{yn}(n=1,2,…)を

と な る.条

件(C)か

が あ る.記

ら,{yn}の

部 分 列{yni}でHyniが

号 の 簡 単 の た め に 系 列{Hyn}自

身 が,n→

す る:

(4) この と き

の と き(3)の

あ るx0に ∞ の と きx0に

ら

と る と,

収 束す る もの 収束 す る と

こ の 右 辺1行

目か ら2行

ま た ‖yn‖=1に

目 に 移 る と き に,Hが

も 注 意.左

自 己 共 役 で あ る こ と を 用 い た.

辺 は ≧0だ か ら

(5) と な り,し た が っ て 特 にx0≠0で   一 方 ,上 式 右 辺 の2行

あ る.

目 の 式 で 

を用 い る と

した が っ て

で あ る.Hの

連 続 性 か らH(Hyn−

λyn)=0(n→

∞)が

得 ら れ,(4)よ

り

とな る.こ の式 は  

Hx0=λx0

を 示 し てい る.し た が って(5)と 併 せ て,λ はHの 固 有値 で あ る こ とが わ か る.   す なわ ち,条 件(C)は

強 力 で あ っ て,こ の条 件 の下 ではS〓 が コンパ ク トで な

い とい う障 害 も乗 り越 え て,固 有値 の存 在 を 確 認 で きた の で あ る.条 件(C)に つ い ては,次 講 で 詳 し く論 ず る こ とに す る.

自己 共 役 作 用 素 の ノル ム   残 し てお い た(2)の

証 明 を,も

う少 し一 般 の 場 合 も含 む形 で与 えて お こ う.

Hを 任 意 の 自 己共 役 作用 素 とす る.こ の と き一 般 に

(6) が 成 り立 つ.こ

こ で(Hy,y)≧0の

  以 下 そ の 証 明 を 与 え よ う.ま

条 件 を つ け 加 えて お く と(2)に ず シ ュ ワル ツ の 不 等 式 か ら,‖y‖=1の

な る. とき

が 成 り立 つ か ら,(6)に

お い て左 辺 ≧右 辺 は 明 らか であ る.

 逆 向 きの 不 等 式 を示 す ため に,ま ず(6)の

右 辺 を γ とお く と,任 意 のxに 対

して

が 成 り立 つ こ と を 注 意 し て お こ う.実 こ と は 明 ら か で あ り,x≠0の

と き は  と し て,こ

 さ て, 

際,x=0の

と き は こ の 不 等 式 が 成 り立 つ と お い て γ の 定 義 を み る と よ い.

れ を 用 い て,実

数(H(y1±y2),y1±y2)を

評 価 してみ る と

右 辺 第1式 で 

に注 意 す る と,結 局

が 得 ら れ る.   同 様 に(H(y1−y2),y1−y2)の

下 の方 の 評 価式 か ら

が 得 ら れ る.   した が っ て

ゆ え に,‖y‖=1,Hy≠0の

と き に は,こ

の式 で

とお くこ とに よ り

が得 られ る.Hy=Oな

これ で(6)に 等 式(6)が

らば 当然 この式 は成 り立 つ か ら

お い て 左 辺 ≦右 辺 も 成 り立 つ こ と が い え て,前 証 明 さ れ た.

の こ と を 併 せ る と,

Tea

Time

質 問  S〓が コン パ ク トで ない とい うのは 驚 きで した.僕

は,有

界 な閉 集 合 は い

つ で も コンパ ク ト,し た が っ て有 界 閉 集合 に 限 れ ば,連 続 関数 は つ ね に最 大 値,最 小 値 を とる もの と思 っ てい ま した が,こ れ は 有 限 次元 で の性質 だ った の です ね. ヒル ベル ト空 間 の もつ 近 さの性 質 に つ い て,も

う少 し話 して いた だ け ませ んか.

答   S〓が コンパ ク トでな い こ と は,ヒ ル ベ ル ト空 間誕 生 当初 か ら十 分 認 識 され て いた こ とで あ り,こ の事 実 が 解 析 学 のい ろ い ろ な局 面 に難 しい 問題 を惹 き起 こ し て きた こ と も知 られ て いた.し か し ヒル ベ ル ト空 間 の,無 限 次 元空 間 と して の 幾 何 学 的様 相が,有 限次 元 の場 合 とどれ ほ ど違 うの か とい うこ とが,広 く数 学 者 の 関 心 を よび 起 こす よ うに な った の は,30年 ヒル ベ ル ト空 間 〓

で は,〓

と〓

ほ ど前か らの こ とであ る.た とえ ば,

か ら1点(た

とえば0)を

除 い た 空 間 と,

位 相 的 に は 同 じ もの とな って い る.こ の よ うな こ とは,有 限 次 元 では とて も考 え られ な い状 況 で あ る.2次

元 の場 合 に 考 え てみ て も,原 点 中心 の 円は(円 周 も含

め て)コ ン パ ク トで あ り,原 点 へ と連 続 的 に縮 約 して い くこ とが で き るが,も

し

原点 を と り除 い て しまえ ば,コ ンパ ク トで もな く,ま た収 縮 す べ き点 も見 失 っ て しま う.ま た 直 観 的 には 一 層信 じが た い こ とにみ え るが,〓

を連 続 的 に1対1

に 少 しず つ 変 え てい くと,単 位 球面S〓 は,あ る超 平 面 へ と移 され て し ま う.有 限 次 元 の感 覚 で は,丸

く閉 じた 球 面 が,平 らに 広が って い る平面 へ と移 っ てい くな

ど とい うこ とは,考 え られ ない こ とで あ る.   有 限 次 元 で は,原 点か ら遠 ざか っ て い く方 向 に のみ 無 限 を感 じ とるが,無 限 次 元 空 間 で は,各 点 の まわ りで,い わ ば点 の奥 の方 向へ 向か って も,無 限 が 展 開 し てい るの で あ っ て,こ の よ うな対 象 に対 して は,私 た ちの幾 何 学 的直 観 は な か な か 働 か な い の であ る.S〓 上 で 定 義 され た有 界 な連 続 関 数 が,必 ず し も最 大 値 を と ら ない とい うこ と も,上 限 に達 す る点 列 が,こ の'奥 の方 向'へ と逃 げ こん で, 究 極 の 点 が捉 え られ な い ことに よ って い る.

第22講 完全連続 な作用素 テー マ

● 条 件(C)と 同 値 な条 件 ● 完 全 連 続 な 作用 素 ● 完 全 連 続 な 自己 共役 作用 素 ● 完 全 連 続 な 自己 共 役 作用 素Hで

は,‖H‖ また は − ‖H‖が 固有 値 とな る.

● 完 全 連 続 な 自己 共役 作 用 素 の 固 有値 の分 布 と,固 有 空 間 の重 複 度

条 件(C)と

同 値 な 条 件

  前 講 で み た よ うに,自 己 共 役 作 用 素 の 固 有 値 を 捉 え る の に,条 件(C)は 軍 で あ っ た.条

件(C)は,有

界 作 用 素Aに

す 系 列{xn}(n=1,2,…)が

あ る と,適

ni→ ∞ の と き 収 束 す る,と   こ の 条 件(C)と

強力な援

対 す る 条 件 で あ っ て,‖xn‖=1を 当 な 部 分 点 列{xni}に

みた

対 し て{Axni}は

い う も の で あ っ た.

同 値 な 条 件 を 少 し列 記 し,こ

れ らの 同値 性 を 証 明す る こ とに し

よ う.

  有 界 な 作 用 素Aに

対 し,条

件(C)は

次 の 条 件(C1)ま

た は(C2)と

同値

で あ る.   (C1)系

列{xn}(n=1,2,…)が,あ

み た す とす る.こ

の と き 適 当 な 部 分 列{xni}を

→ ∞ の と き あ る 点z1に   (C2)〓

対 し て ‖xn‖≦Kを

と る と,{Axni)は,ni

収 束す る.

の 有 界 な 集 合Sに

【証 明 】   (C)⇒(C1)⇒(C2)⇒(C)を と に す る.

る 正 数Kに

対 し,A(S)の

閉 包 は コ ン パ ク トで あ る.

示 す こ と に よ り,こ

れ ら の条 件 を確 か め る こ

  (C)⇒(C1): 

(C)を

点 列 とす る.こ

の 中 に0が

=1 ,2,…)と

だ か ら,条 き,あ

仮 定 す る.{xn}(n=1,2,…)を,‖xn‖

る 点z0に

み たす 無 限

あ れ ば は じ め か ら除 い て お い て も よ い か ら,xn≠0(n

仮 定 す る.こ

件(C)に

＜Kを

の とき

よ り,適 当 な 部 分 列{yni}を

と る と,{Ayni}はni→

∞ のと

収 束 す る.

  そ こ で 今 度 は 有 界 な 実 数 列{‖xni‖}(ni=1,2,…)に

注 目す る.こ

の 部 分 列{‖xmj‖}(mj=1,2,…)を

適 当 に と る と,mj→

な る(α0は

た が っ て{xn}の

適 当 な 実 数 で あ る).し

の と き,{‖xni‖}

∞ の と き,‖xmj‖→α0と

部 分列

を考 え る と

と な る.z1=α0z0と

お く と,(C1)が

  (C1)⇒(C2): 

(C1)を

界 性 か ら,あ る 正 数Kが A(S)の

成 り立 つ こ と が わ か る.

仮 定 す る.〓

の 有 界 な 集 合 をSと

存 在 して,す べ て のx∈Sに

コ ン パ ク ト性 を 示 す た め に,A(S)か

意 に と り,次 に 各nに

す る.こ

対 し て ‖x‖＜Kが

の とき有 成 り立 つ.

ら 無 限 系 列{z1,z2,…,zn,…}を

任

対 し

(1) を み た すyn∈A(S)を   そ こでSの に(C1)を

と る.

元xnで,Axn=ynを

適 用 す る と,適

る も の が あ る.こ

み た す も の を と る.‖xn‖ ＜Kに

当 な 部 分 列{xni}を

の と き,(1)か

 

と る と, 

(ni→ ∞)

閉 集 合 だ か ら,z0∈A(S)で

あ る.こ

意 の 無 限 系 列 は 集 積 点 を も つ こ と が わ か り,A(S)が た.す

な わ ち(C2)が

  (C2)⇒(C): 

とな

ら明 らか に

zni→z0 

と な る.A(S)は

注 意 し て,{xn}

れ で,A(S)か

ら とった任

コ ン パ ク トな こ とが 示 され

成 り立 つ.

(C2)を

仮 定 す る.こ

の と きSと

し てS〓 を と る と よ い.

1つ

  上 の 同 値 性 の 証 明 で,Aの

の 注 意

有 界 性 は 用 い て い な い.連

続 性 に 相 当 す る もの は,

そ れ ぞ れ の 条 件 の 中 に 含 ま れ て い た か ら で あ る.   実 際,線

形 作 用 素Aが

と な る.な

ぜ な ら,も

条 件(C1)を しAが

み た し て い る と す る と,Aは

有 界 で な い と す る と,n=1,2,…

 

‖xn‖≦1,‖Axn‖

を み た す 系 列{xn}が て も,{Axni}は

存 在 す る.こ

収 束 し な い.し

有 界 作用 素

に対 して

≧n

の{xn}か

ら ど の よ う に 部 分 列{xni}を

た が っ て(C1)が

とっ

成 り立 た な くな る か ら で あ る.

完 全 連 続 な作 用 素

  こ の 注 意 を 考 慮 し た 上 で,ヒ 【定 義 】 線 形 作 用 素Aが,条 と き,完

た は 同 値 な(C1)ま

た は(C2))を

み たす

全 連 続 で あ る と い う.

  上 の 注 意 で 述 べ た よ うに,完

 

ル ベ ル トに し た が っ て 次 の 定 義 を お く. 件(C)(ま

全 連 続 な 作 用 素 は,つ

ヒル ベ ル トは,自 己 共 役 作用 素 の固 有値 問題 を,無

ね に 有 界 作 用 素 で あ る.

限 変 数 の2次 形 式 の標 準化 の問

題 と捉 え て い た.前 に も述べ た 積分 方 程 式 の著 書 の中 で,彼 完 全 連 続(ド

イ ツ語 でvollstetig;英 語 ではcompletely

は2次 形 式 に 関す る形 で

continuous)の

定義 を最 初 に

与 え た.現 代 流 に い えば,弱 収束 す る点 列 を 強収 束 す る点 に 移 す とい う定 義 で あ った. こ こで述 べ た よ うに,作 用 素 の立 場 で 完全 連 続 性 の 概 念 を 明確 に 捉え た の は,リ ース で あ っ て,『 無 限 変 数 の線 形 方 程式 系 』とい う1913年 に 刊 行 され た 著 書 の 中 であ った. リー ス は,こ こ で2次 形 式 の立 場 か ら無 限 行 列 の立 場 へ と戻 り,作 用 素 論へ 向け て20 世 紀 数 学 が 出 発す る第 一 歩 を 印 した の で あ る.こ る.リ ー ス の こ の著 書 は,当 時 と して は,最 して い た に違 い ない が,著

の本 の 中 で は1p-空 間 も登 場 して い

も新 鮮 な 感 覚 に 満 ち あふ れ た数 学 を 提示

者 自身 は理 論 の将 来 に つ い て な お十 分 な予 見 は で きな か っ

た よ うで あ る.し か し リー スは ス タ ー ト台 に 立 って い た こ とは よ く自覚 してい た.彼 は 著 書 の 最 初 の 頁 に一 言,か

き記 す.'し か し理論 は は じ ま った ば か りで あ る.漠 然 と

した い い 方 を す れば,特 別 な い くつか の問 題 に 対 す る未 完成 のエ ッセ ーで あ る.こ

の

幕 開 け が,現 在 の科 学 に 対 して ほ とん ど何 も もた らす ものが ない と して も,こ の 理論 を この ま ま沈 黙 させ て しま うよ うな こ とが あ って は い け な い だ ろ う.'

完 全 連 続 な 自 己共 役 作 用 素   Hを 完全 連 続 な 自己 共役 作 用 素 とす る.Hは

自 己共 役 とい うこ とか ら,(Hx,x)

は 実 数 であ り,ま た前 講 の 結 果 か ら

(2) が 成 り立 つ.   改 め て 定 義 を 述 べ る. 【定 義 】 Hx0=λx0を

み た す0で

な い 元x0が

ま た λが 固 有 値 の と き,Hx=λxを

存 在 す る と き,λ

み た すxを

を 固 有 値 と い う.

λに 属 す る 固 有 ベ ク トル と い う.

(ⅰ)  固 有 値 λは 実 数 で あ る. (ⅱ)  λ≠ μ の と き,λ

に 属 す る 固 有 ベ ク トル と μ に

属 す る 固 有 ベ ク トル は 直 交 す る.

【証 明 】  (ⅰ): 

(ⅱ): 

u,vを

λ≠ μ に よ り,こ   (2)か

u{≠0)を

λに 属 す る 固 有 ベ ク トル とす る と

そ れ ぞ れ λ と μ に 属 す る 固 有 ベ ク トル と す る と

れ か ら(u,v)=0.

ら

で あ る.こ の それ ぞれ の 場 合 に応 じて次 の 定 理が 成 り立 つ.

【定 理】  Hを

完全 連 続 な 自 己共 役 作 用 素 とす る.

(ⅰ) 

の と き,‖H‖

(ⅱ) 

の と き,−

はHの

固 有 値 と な る.

‖H‖ はHの

固 有 値 と な る.

【証 明 】  証 明 の 本質 的 な部 分 は す で に前 講 て 済 ん で い る.前

講 の'条 件(C)の

下 で の 固有 値 の存 在 証 明'の 節 で与 えた 議 論 は,そ っ く りそ の ま ま(ⅰ)の場 合 に適

用 す る こ とが で き る.私

た ち は そ こ で の 議 論 で λ=‖H‖ が 成 り立 っ て い る こ とに

注 意 し さ え す れ ば よ い.(ⅱ)の   な お,Hの

場 合 に は,−Hに

対 し て,(ⅰ)の 結 果 を 使 う と よ い.

任 意 の 固 有値 を λとす る と

 

‖H‖≧￨λ￨

が 成 り立 つ.実

際,λ に 属 す る 固 有 ベ ク トルy0を

‖y0‖=1の

よ うに と っ て お く と

とな るか ら で あ る.   したが っ て,定 理 は絶 対 値 が 最 大 とな る よ うなHの 固有 値 を まず 捉 え る こ とが で きた とい っ てい るの で あ る. 固 有 値 の 重 複 度 と分 布   Hの,固

有値 λに 属す る 固有 ベ ク トル の全体 は,〓

の部 分 空 間 をつ くる.こ の

部 分 空 間 をE(λ)で 表 わ し,固 有値 λに 属す る固有 空 間 とい う.

【定 理 】  Hを

完全 連 続 な 自己 共役 作 用 素 とす る.

  (ⅰ)  λを0と 異 な る 固有 値 とす る と  

dim E(λ)＜+∞

  (ⅱ)  Hの

異 な る固 有値 全 体 の つ くる集 合 は 高 々可 算集 合 で あ って,0以

外に

は 集 積 しない.

  固有 値 λに 対 して,dim

E(λ)を λの重 複 度 とい うこ とにす る と,(ⅰ)で 述 べ て

い る こ と は,λ ≠0の 重 複 度 は 有 限 で あ る とい う こ と で あ る.(ⅱ)で 述 ベ て い る こ と は, Hの

固 有 値 の 数 直線 上 で の

分 布 の 模 様 は 図19の

・がHの 固有 値 を表 わす.こ

の 図 では,

‖H‖が 最 大 の 固 有値 を与 えて い る.

よ うに

図19

な っ て い る とい う こ と で あ る. 【証 明 】  (ⅰ):  λ≠0の と き,dim

E(λ)=+∞

に な った とし て矛 盾 の生 ず る こ と

を み よ う.こ ベル

の と き,E(λ)の1次

独 立 な 元{u1,u2,…,un,…}か

ト ・シ ュ ミ ッ ト の 直 交 法 を 適 用 す る こ と に よ り,無

の 正 規 直 交 系{e1,e2,…,en,…}が

得 ら れ る.こ

で あ る.Hは  

限 個 の 元 か ら な るE(λ)

の と き,‖en‖=1(n=1,2,…); 

完 全連 続 だ か ら

{He1,He2,…,Hen,…}

か ら 収 束 す る 部 分 列 が 選 び 出 され な くて は な ら な い.し

だ か ら,こ dim

ら 出発 し て ヒル

の よ うな 部 分 列 は 存 在 し な い.こ

E(λ)＜+∞

  (ⅱ):  Hの

か し,

れ は 矛 盾 で あ る.し

た が っ て これ で

が 証 明 さ れ た. 異 な る 固 有 値 の 集 合 が 高 々 可 算 集 合,す な わ ち有 限 個 か,あ る い は

可 算 無 限 個 の 元 か ら な る と い う こ とは,前

節 の 結 果:λ ≠μ⇒E(λ)⊥E(μ)か

か る(も

固 有 空 間 か ら と った0と

し 非 可 算 個 の 固 有 値 が あ れ ば,各

ク トル 全 体 は,非   次 にHの

可 算 個 の 互 い に 直 交 す る 元 か ら な り,〓

固 有 値 の 中 で,0と

らわ

異 な る固 有 ベ

の 可 分 性 に 反 す る).

異 な る 値 α に 収 束 す る 系 列{λn1,λn2,…,λni,…}が

存 在 した と す る:  

λni→

α 

(ni→ ∞)

この と き ε0＞0を 十 分 小 さ く と る と  ￨α￨−

ε0＞0

で あ り,か つ す べ て の λniに 対 して  

￨λni￨＞￨α￨−ε0

が 成 り立 つ と仮 定 し て お い て も差 し支 え な い.   各E(λni)か

ら,‖eni‖=1を

み た す 元eniを

し た が っ て{Hen1,Hen2,…,Heni,…}の は で き な い ． こ れ はHの 値 は,0以

と る とmi≠niに

中 か ら,収

対 して

束 す る 部 分 列 を 選 び 出す こ と

完 全 連 続 性 に 反 す る か ら 矛 盾 で あ る.し

外 の 値 に は 集 積 す る こ とは で き な い.こ

たが って 固 有

れ で 証 明 さ れ た.

Tea

Time

質 問   完 全 連 続 で な い 作 用 素 と い うの は,ど 答  恒 等 作 用 素Iが

も う完 全 連 続 で は な い.実

直 交 系 と す る と,Ien=en(n=1,2,…)の い か ら で あ る.も の で あ る.完

ん な も の が あ る の で す か.

っ と も こ の こ とは,S〓

全 連 続 作 用 素 は,S〓

は 非 常 に 強 い 性 質 で あ っ て,無 質 で あ る と い っ て も よ い.前

際,{e1,e2,…,en,…}を

完全正規

中 か ら,収 束 す る 部 分 列 な ど と り 出 せ な が コ ン パ ク トで な い と い う事 実 そ の も

を コ ン パ ク ト集 合 の 中 に 入 れ て し ま う.こ

限 次 元 の 場 合 に は,恒 講 のTea

Timeで,S〓

れ

等 作 用素 とは対 極 に あ る性 の 非 コ ン パ ク ト性 は,各

点

の ま わ りで の 無 限 次 元 に 向 け て の 開 い た 状 況 か ら 生 じ て い る こ と を 注 意 し て お い た.作

用 素Hの

味 し て い る.固

完 全 連 続 性 は,移 有 値 λが0で

ば,Hは1対1で も,そ

あ る.だ

した先 で は この状 況 が つ ぶれ て しま うこ とを 意

な い と き に は,固 か ら,'こ

う な る た め に は,Hで

起 き て い な け れ ば な ら な い.す

有 空 間E(λ)にHを

の よ うな 状 況 は つ ぶ れ て し ま う'と

移 す 前 のE(λ)自

を0に

移 す か ら,何

と っ た と き,Eへ と0だ な お,こ

有 値0の

と き に は,固

の 結 論 も導 き 出 せ な い.た

の 射 影 作 用 素PEは

け で あ る.こ

れ がdim

有 空 間E(0)上 とえ ば,有

点 の まわ りで は 無 限

E(λ)＜+∞

を 成 り立 た

で,Hは

す べ て の元

限 次 元 の 部 分 空 間Eを

完 全 連 続 な 自 己 共 役 作 用 素 で,固 でdim

限 次 元 の 部 分 空 間Eを

も う完 全 連 続 に は な ら な い こ と も,併

い って

で に 同 じ よ うな こ と が

限 れ ば,各

の と きE(1)=E,E(0)=E⊥

の 例 で もわ か る よ う に,無

作 用 素PEは

身 で,す

な わ ち,E(λ)に

次 元 の 方 へ 向 か っ て 開 い て い な い の で あ る.こ せ た 背 景 で あ っ た.固

限 っ て考 え れ

有 値 は1

E⊥ は も ち ろ ん ∞ で あ る. と っ た と きに は,射

せ て 注 意 し て お こ う.

影

第23講 完 全連 続 作 用素 の 固有空 間 に よ る分解 テー

マ

● 固 有 空 間 へ の分 解 定 理:完 全連 続 な 自己共 役 作 用 素Hの 固有 空 間 に よ っ て,〓

は 直 交 分解 す る.

● 定 理 の証 明 ● λn-固有 空 間 へ の射 影 作用 素Pnに

よるHの 表 現:H=Σ

λnPn

● 固 有 ベ ク トル に よ る展 開 ● 積 分 作用 素 の完 全 連 続 性 ● ア ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラの定 理

固 有 空 間 へ の 分 解 定理   前 講の 結 果 か ら,完 全 連 続 な 自己共 役 作用 素Hの 固有 値 の全 体{λn}は,絶

対

値 の大 きい 方 か ら並 べ る と

と な る こ と が わ か っ た(図19参 こ と も あ る.0が

照).0は

固 有 値 の と き は λ∞=0と

固 有 値 と な る こ と もあ る し,な お く.λn(n=1,2,…,∞)に

らな い

属 す る固

有 空 間E(λn)は

互 い に 直 交 し て い る こ と を 思 い 出 し て お こ う:m≠n⇒E(λm)⊥

E(λn).ま

∞ の と きdim

たn≠

E(λn)＜+∞

で あ る.

  ま ず こ の 講 に お け る 基 本 定 理 を 述 べ て お こ う.

【定 理 】  (固 有 空 間 へ の 分 解 定 理)  完 全 連 続 な 自 己 共 役 作 用 素 が 与 え ら れ る と, 〓

は,Hの

固 有 空 間 に よ っ て 直 交 分 解 され る:

(1)

 こ の 右 辺 の 表 わ し 方 で,0がHの

固 有 値 の と き に は,右

辺 の … の 終 りにE(λ ∞)

が 加 わ っ て い る.   こ の 定 理 に 述 べ て い る こ と は,次

の よ うな こ と で あ る.各E(λn)か

ら正 規 直交

基底

(2) を 選 ん で お く.0が

固 有 値 でdim

E(λ ∞)=∞

の と き に は,E(λ ∞)か ら 完 全 正 規 直

交系

(3) を選 んで お く(E(λ ∞)は 〓

の 閉部 分 空 間 であ る!).こ

断 るの は わ ず らわ しい の で,(2)の

表記 の 中 に,(3)も

れか らそ の た び ご とに 含 まれ てい る と了解 し

てい た だ くこ とにす る.   この とき定 理 で述 べ て い る こ とは,(2)を

す べ て集 め た もの は,〓

規 直 交系 とな っ てい る とい うこ とで あ る.す なわ ち 〓

と 表 わ さ れ る い う こ とで あ る.あ 影 作 用 素 と し,x∈

〓

に対 して

だ だ1通

(n=1,2,…,∞)

りに

(4) と表 わ さ れ る と い っ て も よい.た だ し こ こで,m≠n⇒(xm,xn)=0; 

が成 り立 っ てい る.   な お(4)の

表 わ し方 では

(5) と な っ て い る こ と に 注 意 し て お こ う.

定 理 の証 明

定 理 を 示 す た め に,(1)の  

だ1通

る い は 同 じ こ と で あ る が,PnをE(λn)へ

  Pnx=xn  と お く と,xは

の 元xは,た

の 完全 正

右 辺 をEと

E=E(λ1)⊥E(λ2)⊥

お く: … ⊥E(λn)⊥ …

りに

の射

上 の 説 明 か ら,Eは

そ れ 自 身 ヒ ル ベ ル ト空 間 とな っ て お り,し た が っ て ま た 〓

の 中 で 考 え た と き に は,Eは   HはEをEの

〓

の 閉 部 分 空 間 と な っ て い る.

中 へ 移 し て い る:H(E)⊂E.こ

と 明 ら か だ ろ う.な

れ は(4)と(5)を

見比べ る

お

が 成 り立 っ て い る こ と は,￨λn￨→0で

あ り,し

た が っ て あ る 番 号 か ら 先 の λnは,

￨λn￨＜1を み た して い る こ と か ら わ か る.   そ こ でEの

直 交補 空 間 を考 え

と表わ す.こ の とき証 明 す ベ き こ とは

(6) で あ る.そ

れ を 示 す た め に,HのE⊥

  HはE⊥

をE⊥ へ 移 し て い る:H(E⊥)⊂E⊥.

  実 際,y∈E⊥

とす る と,す

上 の 挙 動 を 考 え る こ と に し よ う.

べ て のx∈Eに

対 しHx∈Eだ

から

  (Hx,y)=0 が 成 り立 つ.Hは

自己共 役 だ か ら   (x,Hy)=0

こ の 式 はHy∈E⊥

を 表 わ し て い る.

  し た が っ て,HをE⊥

上 の 作 用 素 と 考 え る こ と が で き る.こ

れ たE⊥ 上 の 作 用 素 を,Hで

表 わ そ う.す

の よ うに して 得 ら

ぐ確 か め ら れ る よ うに,Hも

完 全 連続

な 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.   も し,H≠0,し 素Hに

た が っ て λ=‖H‖ ＞0な

適 用 し て,λ

はHの

ら ば,前

に 述 べ た こ と をE⊥ 上 の 作 用

固 有 値 と な る こ と が わ か る(dim

E⊥ は ヒル ベ ル ト空 間 だ か ら 前 講 の 定 理 に よ る.dim の 結 果 に よ る).し

E⊥ ＜+∞

た が って

(7) か つ  

Hx0=λx0

E⊥=+∞

な ら ば,

の と き は 第12講

と な る も の が 存 在 す る.〓

全 体 の 中 で 考 え れ ば,こ

も よ い.し

た が っ てx0はHの

と な る.こ

れ は(7)に

そ こ でE⊥ ≠{0}と

の式 はHx0=λx0と

かいて

固 有 値 λ の 固 有 ベ ク トル で あ り,

反 す る.し

た が っ てH=0で

あ る.

仮 定 し て 矛 盾 の 生 ず る こ とを み よ う.こ

の 仮 定か ら

(8) が 存 在 す る.H=0だ す るHの

か ら,Hz0=Hz0=0で

あ る.し

た が っ てz0は

固 有 値0に

属

固 有 ベ ク トル で あ り,

 

z0∈E(0)⊂E

で あ る.こ

れ は(8)に

  し た が っ て(6)が

矛 盾 す る. 示 さ れ て,定

理 の 証 明 が 終 っ た.

固 有空 間 へ の 射 影 作 用 素

  定理で 〓 表 わ す と,恒

の 固 有 空 間 へ の 分 解 は,各

固 有 空 間E(λn)へ

の 射 影 作 用 素 をPnと

等 作 用 素Iが

(9)

と 表 わ さ れ る こ と を 意 味 し て お り((4)参

照),ま

たHが

(10) と表 わ され る こ とを 意 味 し て い る((5)参

照).こ

こで 直 交 分 解 の 性 質 は,射

作用 素相 互 の 関係   PmPn=0  で 表 わ さ れ て い る(PmPn=0⇔

(m≠n)

す べ て のx,yに

対 し 

.

  (9)を

用 いると

(11)

影

とな るか ら

(12) と な る.   ま た(9)を

で あ る.し

用 いると

たがって

(直交 性 に よる)  と な る.(11),(12),(13)の

右 辺 で,λ

ぜ な ら,λ ∞ を 加 え よ うが 加 え ま い が,右

∞=0は

(13)

現 わ れ て い な い と考 え て よ い.な

辺 の 値 は 変 わ ら な い か ら で あ る.

固 有 ベ ク トル に よ る 展 開

  固 有 空 間E(λn)の

正 規 直 交 基 底 を 

と表 わ さ れ る.こ

れ か ら(11)は,

と表 わ さ れ る.こ

れ をHxの

と す る と,

固 有 ベ ク トル に よ る 展 開 と い う.

  同 様 の 表 わ し 方 で(12)と(13)は

(14) と な る.

積分 作用素 の完全連 続性   ヒル ベ ル トが 最 初 に完 全 連続 作 用 素 の概 念 を 見 出 した のは,前 に 述 ベ た積 分 作 用 素 の研 究 か らで あ った.ヒ ル ベ ル トは,対 称 な 積 分 作 用素 に 対 して'固 有 関数 に よる展 開公式'を 見 出 した.こ れ か ら無 限変 数 の2次 形 式 の理 論 の 可 能性 を察 知 して,こ の理 論 の構 成 の過 程 で完 全 連続 の概 念 を 導 入 し たの で あ る.  対 称 な 積 分 作用 素 が 完 全 連続 性 を もつ とい うこ とは,次 の よ うな設 定 に お い て で あ る.い

ま数 直線 上 の有 界 な 閉 区 間I=[a,b]を

と り,I上

の2乗 可 積 な ル ベ

ー グ可 測 な複 素 数値 の関 数全 体 のつ くる ヒル ベル ト空 間  

L2(I)

を 考 察 の対 象 とす る.こ の 空 間 で,φ,ψ ∈L2(I)の

内積は

で 与 え ら れ て い る.   い まK(s,t)をI×I上

で 定 義 さ れ た 実 数 値 連 続 関 数 で,'対

 

K(s,t)=K(t,s)

を み た す も の と し よ う.こ

と お く と,ψ ∈L2(I)と 区 間'I×I上

の と き φ∈L2(I)に

な る.こ

対 して

の こ とは 次 の よ う に し て わ か る.K(s,t)が'閉

で 連 続 だ か ら,K(s,t)は

し て￨K(s,t)￨≦M.こ

有 界 で あ り,し

れ を用 い て

(15) し た が っ て ψ∈L2(I)と  そ こで

称 性'

な る.

た が っ て あ る 正 数Mに

対

とお く と,KはL2(I)上

の 線 形 作 用 素 と な る が,さ

ら に(15)に

よ り,Kは

有界

作用 素 で あ って

とな る こ と もわ か る.   さら にKは

自己共 役 作 用 素 とな る.実 際,Kが

実 数 値 関 数 で あ る こ と と対 称 性

を用いて

(積 分 の順 序 交換) (Kの 対 称 性) (Kは 実 数 値)

  こ のKが

完 全 連 続 性 を も つ の で あ る.す

【定 理 】  KはL2(I)上

なわ ち

の 完 全 連 続 作 用 素 で あ る.

  この 証 明 に は 次 の ア ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラの 定 理 を 用 い る.

【ア ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラ の 定 理 】   {fn}(n=1,2,…)を

有 界 な 閉 区 間I=[a,b]上

で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 列 と し, (ⅰ) 一 様 有 界 性: 

(Mは

定 数;n=1,2,…)

(ⅱ) 同程 度 連 続 性:  任 意 の 正 数 εに対 して,あ る δ＞0が あ っ て

を み た す とす る.こ ni→ ∞ の と き,あ

の と き{fn}の る 連 続 関 数gに

中 か ら 適 当 に 部 分 列{fni}を 一様 収 束 す る.

と る と,fniは

 

こ の ア ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラの 定理 は,区 間I上 の連 続 関数 全 体 の集 合 に,一 の位 相 を い れ た とき,一 様 有 界 性 と同程 度 連続 性 が,部

様収束

分 集 合 の'コ ンパ ク ト性'の

保 証 を 与 え て い る とい って い る ので あ る.

  定 理 の 証 明 は,ア

ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラ の 定 理 を 軸 と し て,次

の よ うな4段

階の

推 論 を 積 み 重 ね る こ と に よ り行 な わ れ る.   第1段

階: 

い 定 数Aが

fをI上

の 連 続 関 数 と し,‖f‖

≦1と す る.こ

の と きfに

よら な

存 在 して

(一様 有 界性) 実 際,シ

ュ ワル ツ の不 等 式 を用 い て

がsに つ い て連続 関数 で 最 大値Aを

こ こ で, 

で押 え られ る こ とが わ か る.

そ うす る と,‖f‖ ≦1に よ り,右 辺 は  第2段

階: 

シ ュ ワル ツ の 不 等 式 と ‖f‖≦1か

が 成 り立 つ.K(s,t)はI×I上 れ ば,い {Kf}は   第3段 2,…)に

ら

で 一 様 連 続 だ か ら,右

く ら で も 小 さ く とれ る.こ

と る こ とに注 意 しよ う.

辺 は,￨s1−s2￨を

の こ と は,‖f‖ ≦1の

と き,連

小 さ くと

続 関 数 の集 合

同 程 度 連 続 の こ と を 示 し て い る. 階: 

し た が っ て ‖fn‖≦1(n=1,2,…)の

対 し て,ア

っ て{Kfn}の

g∈L2(I)で   さ ら に,一

数 列{Kfn}(n=1,

ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラ の 定 理 を 適 用 す る こ と が で き る.し

中 か ら 適 当 に 部 分 列{Kfni}を

る 連 続 関 数gへ

と き,関

と一 様 収 束 す る.Iは

あ る. 様 収 束 性 か ら容 易 に

が 成 り立 つ こ と も わ か る.

と る と,ni→

∞ の と き,Kfniは

有 界 な 閉 区 間 て あ り,し

たが あ

たが って もち ろん

  す なわ ち,連

続 関 数 に 限 れ ば,Kは,完

全 連続 性 の もつ べ き性 質 を みた し てい

る.   第4段 の{φn}に

階: 

Kの

完 全 連 続 性 を 示 す に は,‖ φn‖≦1(n=1,2,…)を

対 し(φnは

べ る と よ い.し

連 続 と は 限 ら な い),{Kφn}の

か し こ の こ と は,L2(I)の

ー ジ ン の 定 理(『 ル ベ ー グ 積 分30講

中 で,連

』 第21講

た こ と に,す

ぐに 帰 着 さ せ る こ とが で き る.

  こ れ で,大

筋 で は あ っ た が,定

み たす 任 意

中 か ら 収 束 す る部 分 列 が 選 続 関 数 が 稠 密 で あ る と い うル

参 照)に

よ り,実 は 第3段

階 で示 し

理 の 証 明 は 終 っ た こ と に し よ う.

Tea

Time

質 問  積 分 作 用 素が 完 全 連続 な 作用 素 で あ る とす る と,第16講 分 方 程 式 にお け る定 理A,B,C,Dは,す

で 述 べ ら れ た積

べ て 前 講 とこの 講 で証 明 され た完 全 連続

作 用 素 の 性 質 とみ る こ とが で き るの です か. 答  そ の 通 りで あ る.た だ し積分 方 程 式 を 述 べ て い る ときに は,前 に も何 度 も注 意 した よ うに,慣

行 に したが っ て,μKf=f(f≠0)と

い た が,積 分 作 用 素 の立 場 では, 

な る μを 固有 値 とい って

す なわ ちKf=λf(f≠0)を

固有 値 とい った.こ の ときは0で な い λと,μ とが1対1に

み たす λを

対 応 して い る.し た

が っ て,た とえば 第16講 の 定理Dに 対 応 す る も のが,こ の講 の(14)と あ る.よ

な る ので

く見比 べ て み る とよい だ ろ う.な お 固 有 ベ ク トル は積 分 方 程式 の方 では

固 有関 数 とな ってい る.

第24講 一般 の 自己共 役作 用素 へ 向け て テーマ

● 一般 の 自己共 役 作用 素 ― ●1つ

の例:L2(I)上

連続 スペ ク トル の登 場

の作用 素(Hf)(t)=tf(t)

● 完 全 連 続 性 の 喪失 ―

固有 ベ ク トル が捉 え られ ない.

● 固有 値 が存 在 しな い. ● 連続 的 に 変化 しな が ら増 加 す る閉 部分 空 間 の 集 ま り ● 連続 的 に 変化 す る射 影 作 用 素 の 集 ま り ● 積分表示―

 

連 続 スペ ク トル

一 般 の 自己 共 役 作 用 素

― 連 続 ス ペ ク トル の 登 場

  完 全 連続 な 自己 共 役 作用 素 に 対 しては,有

限 次元 の 固 有空 間 と0−固 有 空 間 と

に よ って,ヒ ル ベル ト空 間 が 直 交分 解 され た.こ の 結果 をみ る限 り,こ の 場 合は, 有 限 次元 の エ ル ミー ト作 用 素 の 固 有空 間 の 分 解 の結 果(第11講,第12講

参 照)

が そ の ま ま ご く自然 に無 限 次 元 へ と拡 張 され て い る とい って よい だ ろ う.   しか しそれ は,完 全 連 続 性 とい う強 い 条 件 を お くこ とに よっ て得 られ た結 果 で あ る.こ の条 件 が 成 り立 た ない と き,一 体,ど の よ うな状 況 が 起 き てい るの で あ ろ うか.無 限 変 数 の2次 形 式 論 の 形 で,積 分 方 程 式 の一 般 論 を構 成 し よ うと して い た ヒル ベ ル トの 関 心 は,こ の点 に 向け られ てい った の であ る.そ し てそ こに, 連 続 スペ ク トル とい う,有 限次 元 に は み られ なか った新 しい'現 象'が 生 ず る こ とを 見 出す ことに な っ た. 1つ   い ま,数

直線 上 の 単 位 区 間I=[0,1]上

の 例 で定 義 され た,2乗

可積 な ル ベ ー グ可

測 な 複素 数 値 関 数 全 体 の つ く る ヒ ル ベ ル ト空 間L2(I)を   こ の と き,f(t)∈L2(I)に

対 し て,tf(t)は

は,￨tf(t)￨≦￨f(t)￨(0≦t≦1に

注 意)か

考 え る こ と に し よ う.

ま たL2(I)の

元 と な る.こ

の こと

ら

(1) が 成 り立 つ こ と か ら 明 ら か で あ る.し  

たが っ て対 応

H:f(t)→tf(t)

は,L2(I)上

の 作 用 素 と な る.Hは

か で あ り,有

界 性 は(1)か

有 界 な 線 形 作 用 素 で あ る.線

形 の こ とは 明 ら

ら

 

‖Hf‖ ≦ ‖f‖

が 得 られ る か ら で あ る.   さ ら にHは

自 己 共 役 で あ る.実

際

  解 析 的 な 立 場 か ら み れ ば,Hは,関 ら,最

数f(t)にtを

も 自 然 な 作 用 素 と い っ て よ い の だ が,こ

か け るだけ の こ となの だ か

の 自然 な 作 用 素 が す で に 完 全 連 続

性 を 欠 い て い る の で あ る.

 

Hが 完 全 連 続 で ない こ とは,こ れ か ら詳 し く述 ベ るが,次 の こ とは 注 意 して お こ う. 恒 等 写 像Iは 完 全 連続 では な いが,写 像Hは,各

点t∈Iで,写

像 の'ス ケ ール'をI

か らtIに 変 え た もの にす ぎな い のだ か ら,や は り完 全 連続 とは な り得 ない の であ る. この状 況 は 区 間[0,1]の

代 りに区 間[1,2]を

完 全 正 規 直 交 系 を{en(t)}(n=1,2,…)と {ten(t)}に 移 るが,1≦t≦2に した が って{ten(t)}の

とった 方 が は っ き りす る.L2[1,2]の す る と,対 応f(t)→tf(t)で

.

中 か ら収 束 す る 部分 点 列 は選 ベ な い!

完 全 連 続 性 の 喪 失 ―

  多 少 まわ り道 と な る が,Hが

固 有 ベ ク トル が 捉 え ら れ な い

完 全 連 続 で な い こ とを,い

な 固 有 値 問 題 と の 関 連 で 説 明 し て み よ う.そ

の た め に,ま

 

(2)

の こ と を 示 そ う.

こ れ らは

よ り, 

‖H‖=1 

ま ま で述 ベ て きた よ う ず

  (1)か

ら,‖H‖ ≦1の

こ と は 明 ら か で あ る.第21講

の(6)と,(Hf,f)≧0

の こ とに 注 意す る と

で あ る.し

た が っ て 系 列{φn}(n=1,2,…)で

とな る もの を見 出す と(2)が

証 明 され た こ とに な る.

  この よ うな 関 数 φnは

で 与 え ら れ る(図20).実

際

と な る.   こ こ で 第21講

と 第22講

で述 ベ た 完 全 連続 作 用

素 の 性 質 を 思 い 出 し て み る と,   も しHが

図20

完 全 連 続 な ら ば,‖φ‖=1で   (Hφ,φ)=1

と な る φ∈L2(I)が

存 在 し な くて は な ら な い.

 と ころが こ の よ うな φは け っ して存 在 しな い の であ る.な ぜ な ら,も しこの よ うな φが 存 在 す れ ば

が 同 時 に成 り立 た な くて は な らな い.し たが っ て

と な り,ほ

と ん ど至 る と こ ろ φ(t)=0が

0と な り,こ れ は ‖φ‖=1に   し た が っ て,Hは

導 か れ る.ゆ

えにL2(I)の

矛 盾 し て し ま う.

完 全 連 続 で は な い の で あ る.読 者 は 図20を

見 て,φnがn→

の と き,し

だ い に 捉 え に く くな っ て い く さ ま を 注 意 され る と よ い.完

き に は,こ

の よ う な{φn}か

ら 収 束 す る 部 分 列{φni}が

と す る と, 

と な り,φ

ル と な る の で あ っ た.何

元 と して φは

∞

全連続の と

と れ て, 

は 固 有 値1(=‖H‖)に

対 す る固 有 ベ ク ト

と い う様 変 わ りだ ろ うか!

固 有 値 が 存 在 しな い

  こ れ か らHの

固 有 値 問 題 を ど の よ うに 設 定 し て い くか を 考 え て い くた め に,最

初 に ど の よ う な 実 数 λを と っ て も,λ は け っ し てHの う こ と を 注 意 し て お こ う.も

し,あ

 

固 有 値 に は な り得 な い と い

る φ∈L2(I)で

Hφ=λ φ

 (3)

と い う関 係 が 成 り立 っ た と す れ ば

こ れ か ら φ(t)=Oa.e.と

な り,φ はL2(I)の

元 と し て は0と

な っ て し ま う.す

な わ ち,λ は 固 有 値 で は あ り得 な い.   しか し0≦ λ≦1を み た す λは,固 る の で あ る.説

明 の 便 宜 上 λ＞0と

を み た す φ≠0が 存 在 す る.す は な い が,ε ‖ φ‖だ け の'ゆ せ ば,Hφ (≠0)は

す る.そ

な わ ち,(3)の

有 値 に 近 い 振舞 い をみ せ

の と き ど ん な 小 さ い 正 数 εを と っ て も

よ う な 等 号 を 成 り立 た せ る φ(≠0)

ら ぎ'を 許

が ほ ぼ λφ と な る よ う な φ 存 在 す る.

  こ の よ う な φ と し て は,区 λ]の 外 で は0と L2(I)を

有 値 で は な い が,固

間[λ − ε,

な る よ う な 任 意 の φ∈

と る と よ い(図21).

図21

実 際,こ

の よ う な φ に 対 し て は 

で あ り,し

たが っ て

(4) が成 り立 つ の で あ る. 連 続 的 に変 化 す る 閉 部 分 空 間 の 集 ま り   この状 況 を も っ とは っき りと捉 え るた め に

とお く(図22).E(λ)がL2(I)の

部 分 空 間 と な っ て い る こ とは 明 ら か だ ろ うが,実

は 閉部 分 空 間 に な っ てい る.そ れ を み るため に

と お く.も

しfn∈E(λ)(n=1,2,…)が,n→

の と きfに

∞

収 束 し た と す る と,

と な る が,φ

λfn=0a.e.か

ら φλf=Oa.e.が

ら れ る.こ

の こ と は,f∈E(λ)を

  λを0か

ら1ま

図22

示 し て い る.

で 連 続 的 に 動 か す と,そ

従 属 し て 変 わ るL2(I)の

得

れ に 応 じ てE(λ)は,パ

ラ メ ー タ λに

閉 部 分 空 間 の 集 ま り{E(λ)}λ ∈Iをつ く る こ と に な る.

{E(λ)}λ∈Iは次 の 性 質 を も つ:

(5) さ ら に μ＜λ な ら ば  

E(μ)〓E(λ) 

と な っ て い る.こ

れ は 図23を

ら か だ ろ う.図23で,グ て い る ψ はE(λ)に に は 属 し て い な い.

(6) み る と明

ラ フで示 され

属 し て い る が,E(μ) 図23

  有 限 次 元 か ら 無 限 次 元 へ 移 る と き,1,2,…,nと と,単

に こ の 系 列 が,1,2,3,…,n,…

い う 次 元 を 示 す 数 値 に だ け 注 目す る

へ と変 わ っ た だ け だ と 考 え が ち で あ る.そ

うす

る と,ヒ ル ベ ル ト空 間 の 中 の あ る 部 分 空 間 の 増 加 列 と い っ て も,そ の個 数 はせ いぜ い '可 算 個'だ ろ う と思 っ て し ま う.し か し,実 際 は そ うで は な い の で あ っ て,こ こ で み た よ う に,'連

続 体 の 濃 度'の

部 分 空 間 の 増 加 列 が 登 場 し て く る.

  ヒ ル ベ ル ト空 間 の 基 底 と い っ て も,有 交 系 と し て{e1,e2,…,en,…}へ 列{E(λ)}λ

∈Iが あ れ ば,μ

限 次 元 の 基 底{e1,e2,…,en}を,完

と 拡 張 し た に す ぎ な い の に,こ ＜ λに 対 し,図23で

ば,基

底 の 個 数 は,連

い.論

点 は 微 妙 な の だ が,完

示 した よ う な ψ を,次

続 体 の 濃 度 に 達 し な い か.読

極 限 概 念 も加 え て い る.た

全正規直

の よ うな 部 分 空 間 の 系 々に と って いけ

者 の 感 覚 は 抵 抗 す る か も しれ な

全 正 規 直 交 系 は 単 な る 代 数 的 な 意 味 で の 基 底 で は な く, と え て い え ば,

  とい う系列 か ら,完 備化 す る こ とに よ り,10進 展 開 の無限 小数 表示 の実 数 が得 られ て くる.実 数 の構 造 の 中で 最 も関 心 の あ るの は,さ 体 の濃 度を もつ'構 造 で あ るが,同

ま ざ まな極 限 概 念が 綾 を な す'連 続

様 の こ とは ヒルベ ル ト空間 で もい え るの で あ る.

{E(λ)}λ∈Iは,閉 部分 空 間 とい う概 念 の中 で 捉 え られ た'連 続 体 の 濃度 を もつ'1つ

の

構造 な ので あ る.

連 続 的 に 変 化 す る射 影 作 用 素 の 集 ま リ (5)に

対応 す る射 影作 用 素 の系 列 を

と表 わ す こ と に し よ う.部 用 い て い る.こ

分 空 間 の 包 含 関 係 の 記 号 ⊂ に 対 応 し て,こ

こで は ≦を

の と き(6)は   P(μ)〓P(λ)

と表 わ さ れ る.E(λ)はL2(I)の

閉 部 分 空 間 だ か ら,そ

れ 自 身 ヒル ベ ル ト空 間 と

な っ て お り,し た が っ て

(7) と 直 和 分 解 さ れ る.   そ こ で,E(μ)⊥

へ の射 影作 用 素 を  P(λ)−P(μ)

と 表 わ す こ と に し よ う.こ

の と き(7)は

(8)

と表 わ され る.   この よ うな形 式 的 なか き方 を続 け る と,目 標 を 見 失 うか も し れ な い.任 意 の f∈L2(I)に

対 して(8)を

適用す ると

とな るが,こ の 両辺 の意 味 す る もの は 図24で 見 た方 が よ くわ か るだ ろ う.

図24

この とき

とお く と,(4)と

同様 の 計 算 で

(9) が 成 り立 つ こ とが わ か る.   こ こ で 読 者 は 図25を た い.い

ま0と1の

見 てい た だ き

間 に分 点

  0=λ0＜ λ1＜… ＜ λk−1＜ λk＜… ＜ λn=1 を と る と,図25で

示 し た よ う に,fは

こ の そ れ ぞ れ の 区 間[λk−1,λk]でfと 一致 し

,そ

れ 以 外 で は0と

な る関 数

図25

に 分 割 され る.こ れ らをす べ て加 え 合わ せ る と,も との関 数fに な る:

した が って

と な る が.(9)を

み る とわ か る よ うに,λk− λk−1が小 さ くな れ ば,こ

わ れ る 

は, 

こ と を,仮

に'十

の右 辺 に現

分 近 く'な る .こ

の

に

と表 わ し て み よ う.   こ の 表 わ し 方 を じ っ と 見 て い る と,思 す な わ ち,積

い き っ て 大 胆 な 推 論 を し て み た くな る.

分 と の 形 式 上 の 類 似 か ら,Max(λk−

細 か く し て い く と,最

λk−I)→0と な る よ うに 分 点 を

後 にHは

の よ う な 形 で 表 わ さ れ る と し て よ い の で は な か ろ うか.   しか し,こ 題 は,次

の よ うな 積 分 表 示 は 本 当 に 数 学 的 な 意 味 を も つ の だ ろ うか.こ

講 か ら も っ と一 般 的 な 設 定 の 中 で と り上 げ る こ と に す るが ,こ

の主

こ で は,

0≦ λ≦1を み た す 実 数 λは,Hの

連 続 ス ペ ク トル と よ ば れ る も の で あ る こ とだ け

を 注 意 し て お こ う.固 有 値 は,離

散 的 な も の か ら,連

る も の へ と 変 わ っ て き た の で あ る.そ 似 的 な 固 有 ベ ク トル と,近

続 的 な ス ペ ク トル と よ ば れ

れ に よ っ て 固 有 ベ ク トル は 消 え,代

似 的 な 固 有 空 間E(λk)−E(λk−1)が

っ て近

現 わ れ て くる よ う

に な っ た.

Tea

質 問   有 限 次 元 の 場 合,自 エ ル ミー ト作 用 素Hは

,相

Time

己 共 役 作 用 素 は エ ル ミ ー ト作 用 素 と い っ て い ま し た. 異 な る 固 有 値 を λ1,λ2,…,λsとす る と,第11講

で話

さ れ た よ うに  

H=λ1P1+λ2P2+…+λsPs

と表 わ さ れ て い ま す.こ

こ でPiは,固

こ れ も い ま の よ うに,'積

有 値 λiに対 す る 固 有 空 間 へ の 射 影 で す.

分 的 な 立 場'で

答  そ れ は 可 能 で あ っ て,そ

か き 表 わ す こ とが で き ま す か.

の た め 次 の よ うに 考 え る.い

ま 固有 値 は大 小 の順 序

に並 ベ られ てい る と し  

λ1＜λ2＜… ＜ λs

とす る.ま

た わ か りや す い よ うに,各

素 を,Piの

代 りにP(λi)と

固 有 値 λiに対 応 す る固 有 空 間 へ の 射 影 作 用

表 わ す こ とに し よ う.そ

こ で 実 数 λを パ ラ メ ー タ とす

る 射 影 作 用 素 の 集 ま り{P(λ)}λ ∈Rを 次 の よ うに 定 義 す る.

この と き

と 表 わ さ れ る.   し か し こ こ で,た =0の

と え ば λk≦μ,ν＜λk+1な ら ば, 

こ と に 注 意 す る と(多

少 象 徴 的 に か い た 図26も

図26

参 照) ,こ

の右 辺 は

と表 わ さ れ る こ とが わ か る だ ろ う.こ   こ の 立 場 で み る と,固 の,'階

段 の 高 さ'と

こ で εは 任 意 の 正 数 で あ る.

有 値 とい うの は,階

段 状 の 射 影 作 用 素 の 集 ま り{P(λ)}

し て 現 わ れ て い る と み る こ と も で き る よ うで あ る.

第25講 作 用素 の位 相 と射 影作 用素 の順 序 テーマ

● 有 界作 用 素 列 の収 束 ● 有 界作 用 素 列 の各 点 で の収 束 か ら,極 限 の 作用 素 の有 界性 を導 く―

〓

の 完備 性 と極 限 作 用 素 の 連続 性 とのか か わ りあ い. ● 射 影 作用 素 の順 序

は じめ に

  Hを 有界 な 自己 共 役 作用 素 とす る.そ の と き結論 か ら先 にい えば,適 当 な実 数 a,b(a＜b)を

とる と,Hは

(1) の形 に 表わ され る.P(λ)は,パ

ラ メー タ λに従 属 す る射 影作 用 素 を 表わ し てい

る.そ してHが この よ うに 表わ され る こ とが,ヒ ル ベル ト空 間 上 の固 有値 問題 に 対 す る1つ の ゴール とな って い る.   最 初 見 た ときに は,ま る で謎 めい た ものに さえ み え る この表 現(1)で,何

を

意 味 し よ うとして い るか は,前 講 の例 か ら読 者 は 大体 察 す る こ とが で き るの で は なか ろ うか.し か し この ゴ ール へた ど り着 く道 は,多 少 険 しい 道 とな るの か も し れ な い.こ れ か ら この ゴ ール を見 上 げ なが ら,そ こに至 る道 を 少 しず つ 登 ってい くこ とに し よ う. 有界作 用素列 の収束 まず(1)の

分近似和

右 辺 を 見 る と,∫ λdP(λ)とい う形 の 式が 現 わ れ て い る.こ れ は 多

の 極 限 を 表 わ し て い る の だ ろ うが,こ 素 の 系 列 の 極 限'と

用

は 何 か とい う こ とを は っ き り させ な く て は な ら な い だ ろ う.

【定 義 】  ヒ ル ベ ル ト空 間 〓 有 界 作 用 素Tが

れ に 厳 密 な 意 味 を 与 え る た め に は,'作

あ っ て,す

が 成 り立 つ と き,Tnはn→

上 の 有 界 作 用 素 の 系 列{Tn}(n=1,2,…)と,あ

べ て のx∈ 〓

∞ の と きTに

る

に対 して

収 束 す る と い い,Tn→T,ま

たは

と表 わ す.

 

読 者 の中 に は,有 界 作 用 素 の ノル ムを用 い て

の と き,TnはTに い.確

近 づ く と い う方 が 自 然 で は な い か と 考 え ら れ る 方 も い る か も し れ な

か に,こ

の と き はTnはTに

一 様 に 近 づ く,と

い っ て,場

づ き 方 を 考 察 す る 方 が ず っ と役 に 立 つ と い う こ と も あ る.し 近 づ き 方 で は,近 素 と し,Pは

づ き 方 が'強

閉 部 分 空 間EPの

す ぎ る'の

上 へ の,QはEQの  

と な っ て し ま うか ら で あ る.前 P(λk−1))の

で あ る.な

合 に よって は この近

か し,い

ま の 場 合,こ

ぜ か とい う と,P,Qを

上 へ の 射 影 と し,Ep〓EQと

の

射 影 作用 す ると

‖P−Q‖=1

講 の 例 で も,こ

ノル ム は Σ λkと な っ て,'一

う な っ て い て は,近

様 に 近 づ く'と

似 和 Σ λk(P(λk)−

い う観 点 で は,分

点 を増 す と

→ ∞ と な っ て し ま う!

Sn→S,Tn→Tな

ら ば

が 成 り立 つ.

これ は 明 らか で あ ろ うが,次 の こ とは証 明が い るか もしれ な い. Tn→Tで

【証 明 】 

‖Tn‖≦M(定

数)な

と す る と,あ

ら ば ‖T‖≦M

るx0で

‖x0‖=1, 

と

な る も の が あ る.し

と な り,nが

たが っ て

十 分 大 き い と 

と な る.こ

れ は 仮 定 に反 す

る. 各点での収 束か ら有界性の 帰結   有 界 作 用 素 に 対 し て,こ 重 要 な こ と は,あ

の よ うな極 限 概 念 ―

位相―

を 導 入 した と き,最

る 意 味 で の 完 備 性 が 成 り立 つ こ とで あ る.次

こ こ ま で 立 ち 入 っ た こ と は 必 要 と し な い の だ が,注 こ れ を 次 の 定 理 の 形 で 述 べ,証

も

講 か らの 議 論 で は

目すべ き こ とに思 わ れ るの で

明 も与 え て お く こ と に し よ う.

【定 理 】  有 界 作 用 素 の 系 列{Tn}(n=1,2,…)が

存 在 し て,任

意 のx∈ 〓

に対

し  

‖Tmx−Tnx‖

が 成 り立 つ とす る.こ

→0 

(m,n→

の と き あ る 有 界 作 用 素Tが

∞) 

(2)

存在 して

と な る.

【証 明 】 〓 2,…)は

は 完 備 だ か ら,x∈

〓

必 ず あ る 元 に 収 束 す る.そ

を と め た と き,コ れ をTxで

ー シ ー列{Tnx}(n=1,

表 わ す こ と に し よ う.対 応x→Tx

が 線 形 作 用 素 で あ る こ と は す ぐに わ か る の だ が,問

題 はTの

有 界 性を 示 す こ とに

か か っ て い る.   そ の た め に は,す

ぐ上 に 示 し た こ と か ら(2)が

成 り立 て ば,あ

る定 数Mが

在 して   ‖Tn‖≦M 

(n=1,2,…) 

(3)

と な る こ と を 示 せ ば よ い.   そ の た め に は,Tnの

(*)  適 当 な球

線 形 性 に よ っ て,次

の こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.

存

を と る と,あ

る 定 数Cが

存 在 し て,任

意 のx∈B(y0;δ)に

対 して

が 成 り立 つ.

実 際,い

ま(*)が

だ か ら,(*)に

成 り立 っ た と し よ う.こ

よ り 

≦Cに

が 得 ら れ る.こ

の 式 は も ち ろ んx=0で

【(*)の に1つ

対 して

たが って

注 意 して

も成 り立 つ.こ

れか ら

示 され た こ とに な る.

証 明 】  こ の 証 明 に は 背 理 法 を 用 い る.(*)が と っ た 球B(y0;δ0)の

中 に,あ  

と な る.δ1>0を

意 のx(≠0)に

と な る.し

か ら,‖Tn(y0)‖

が い え て,(3)が

の と き,任

るx1と

成 り立 た な け れ ば,任

あ る 番 号n1が

意

存 在 して

‖Tn1(x1)‖>1

十 分 小 さ く と る と,Tn1の

連続性か ら

が 成 り立 つ.   (*)が

成 り立 た な い の だ か ら,x2∈B(x1,δ1)と,あ

る 番 号n2が

存 在 して

  ‖Tn2(x2)‖>2 と な る.δ2>0を

十 分 小 さ くとって

が 成 り立 つ よ うに で き る.   次 に,B(x2,δ2)に n3で

対 し て 同 様 の 考 察 を 繰 り返 す と,x3∈B(x2,δ2)と

あ る番 号

  ‖Tn3(x3)‖>3 を み た す も の が あ る こ とが わ か り,し

た が っ て δ3>0を

と な る よ うに 選 べ る.   こ の よ うに し て,球

の系列

で

か つ あ る 番 号nkを

とる と

(4) が 成 り立 つ よ うな も の が 存 在 す る こ と が わ か っ た.   こ の よ うに し て つ く っ た,球 ー 列 に な っ て い る .実

し たが っ て 〓

の 中 心 の つ くる 系 列{x1,x2,…,xk,…}は

コー シ

際

の 完 備 性 か ら,あ るx*が 存 在 して

と な る.明

ら か に,k=1,2,…

で あ り,し

た が っ て(4)か

に対 し

ら

(5) が 成 り立 っ て い る.   一 方,定

理 の最 初 の仮 定 か ら  {T1(x*),T2(x*),…,Tn(x*),…}

は コ ー シ ー 列 を つ く っ て い る.し して

た が っ て こ の 系 列 は 有 界 で あ り,あ

る 数Cに

対

と な っ て い る.こ

れ は(5)と

矛 盾 し た 結 果 とな る.

  こ れ で 背 理 法 に よ り,(*)が

成 り立 つ こ とが わ か り,同

時 に定 理 の証 明が 完

了した. 射影作 用素の順序   この講 の 最初 に 述べ た 式(1)を

見 る と,右 辺 に射 影作 用 素 の族{P(λ)}が

現

わ れ てい る.そ こで今 度 は,射 影作 用 素 の集 ま りにつ い て,基 本 的 な事 柄 を述 べ て,(1)へ

近づ く道を も う少 し進 め てみ る ことに し よ う.

  まず 射 影作 用 素 の間 に順 序 関 係 を導 入 す る.閉 部 分 空 間EPへ P,閉

の射 影 作用 素 を

部 分 空 間EQへ の射 影 作用 素 をQと す る.こ の とき

  [射 影 作 用素 間 の順 序]EP〓EQの

とき,P≦Qと

関 係 を 明示 したい ときに は,P
表 わ す.

表 わ す.特 にEP〓EQと

いう

  この とき,次 の よ うな 順序 の基 本 関係 が 成 り立 つ. (ⅰ)

(ⅱ) (ⅲ)

  ま た 恒 等 写 像 をIと

す る と,任

意 の 射 影 作 用 素Pに

対 し

  O≦P≦I と な る.こ

こ でOは,{0}へ

  も ち ろ ん,任

意 に2つ

る と は 限 ら な い.た e2}の

の 射 影 を 表 わ す. の 射 影 作 用 素P,Qを

と え ば{e1,e2,e3}を1次

は る 空 間 へ の 射 影,Qと

と った と き必 ず し も 順 序 関 係 が あ 独 立 な 元 とす る と き,Pと

し て{e1,e3}の

は る 空 間 へ の 射 影 を と る と,Pと

Qの 間 に は 順 序 関 係 は な い.   次 の 命 題 を 示 し て お こ う.

P≦Q⇔

す べ て のxに 対 し  ⇔

す べ て のxに

し て{e1,

対 し(Px,x)≦(Qx,x)

【証 明 】 P≦Qな

ら ば,x∈Qを 

と 表 わ す と き, .  の と き は, 

な ら ば,x∈Pに 式 はx∈EQを

.こ

な わ ちP≦Qが

成 り立 つ.

般 に 射 影 作 用 素Pに

の

対 し(Px,x)=(P2x,x)=

成 り立 つ こ とに 注 意 す る と よ い.

と き,EPに

直 交 す る よ う なEQの

元 の つ くる閉 部 分空 間 は

と表 わ され る.こ の 部 分 空 間へ の射 影作 用 素 をQ−Pで

は,射

に 

,し た が っ て 

た が っ てEP⊂EQ,す

目 と の 同 値 性 は,一

(Px,Px)=‖Px‖2が   P≦Qの

対 し 

示 し て い る.し

  右 辺2行

で あ る.逆

表 わ す.EQの

直交分解

影 作 用 素 を用 い れ ば   Q=P+(Q−P)

と 表 わ され る.

Tea

質 問   2つ の射 影 作用 素P,Qが

Time

与 え られ た とき,PQは

一般 に は 射 影 作用 素 に は

な ら ない と聞い た こ とが あ ります が,そ の よ うな例 は す ぐにつ くれ るの です か. 答  た と え ば,2次 と し てx軸

元 のxy-平

へ の 射 影,Pと

へ の 射 影 を と る と,PQは は な い.そ

る だ ろ う.PQは

見てみ るとわ か

平 面 を,直線y=x上

しPQが

と,PQ(A)≠P(A)と

た と き,PQが

へ移

射 影 作 用 素 な ら ばPと

致 し て い な くて は な ら な い.し

  一 般 に2つ

線y=x

も う射 影 作 用 素 で

の こ とは 図27を

す か ら,も

面 上 で も,Q

し て,直

一

か し図 を見 る

な っ て い る.

の 射 影 作 用 素P,Qが

与え ら れ

射 影 作 用 素 とな る必 要十 分 条

図27

件 は,可 EP∩EQへ

換 性PQ=QPが

成 り立 つ こ と で あ っ て,こ

の 射 影 と な る こ と が 知 ら れ て い る(228頁

も ち ろ んPQ=QP=Pで

あ っ て,こ

も 簡 単 な 場 合 と な っ て い る.

の 場 合 が2つ

の と き,PQは,閉 参 照).な

おP≦Qな

部分空間 ら ば,

の 射 影 作 用 素 が 可 換 と な る,最

第26講 単 位 の 分 解 テーマ

● 単位 の分 解 ● 単位 の分 解 が 与 え られ た とき,区 間 に 対応 す る射 影 作 用 素 を定 義 す る. ● 積分 記号 の登 場:I=∫dP(λ) ● 単位 の分 解 を 用 い る 積分 概 念: 

は 一様 連 続 な実

数値 関数) ●Hは

有界 な 自己共 役 作 用 素 とす る.

● 

単 位の分 解   まず 定 義 を述 べ よ う. 【定義 】  各 実 数 λに 対 して射 影 作用 素P(λ)が

対 応 して 次 の性 質 をみ た す とき,

{P(λ)}λ ∈Rを単 位 の 分 解 とい う.  (単調 性)

(ⅰ)

 (右連 続 性)

(ⅱ) (ⅲ)

  定 義 に 述 べ て あ る こ と を 少 し 説 明 し よ う.P(λ)は 用 素 と す る.(ⅰ)で

述 べ て い る こ とは,λ

と い う こ と で あ る.こ

 

≦ μ な ら ばE(λ)〓E(μ)と

の と きP(μ)−P(λ)は,閉

影 作 用 素 に な っ て い る.図28を

の射影作 な って い る

部 分 空 間E(μ)∩E(λ)⊥

への射

参 照 す る と わ か る よ うに,λ<μ ≦ λ′<μ′とす る と

P(μ)−P(λ)とP(μ

は 互 い に 直 交 し て い る.実

閉 部 分 空 間E(λ)へ

際 図28の

′)−P(λ′)

よ うに 表 わ す と,離

る 閉 部 分 空 間 が 対 応 す る とい う こ と に な っ て い る.

れ た 区 間 に は,直

交す

図28

図29

  (ⅱ)で 述 べ てい る こ とは,μ が 右 か ら λへ と近 づ くと きに は,す べ て のxに 対 して  

P(μ)x→P(λ)x

とな る こ とを 示 して い る.右 か らの連 続 性 につ い て の感 じを は っ き りさせ るた め に,図29で

ふ つ うの 非 減 少 関 数 の グ ラ フの場 合 に右 連 続 性 を示 してお い た.

  (ⅲ)はす べ てのxに 対 し  

P(λ)x→0 

(λ→ −∞),P(λ)x→x 

(λ→+∞)

が 成 り立 つ こ とを い っ てい る. 区間 に対応す る射影作用 素   単 位 の分 解 が 与 え られ た とき,数 直線 上 の 区 間 δに 対 応 して,次 の よ うに射 影 作 用 素 を定 義 す る. δ=[a,b]の  

と き

P(δ)=P(b)−P(a−0)

δ=(a,b)の

とき

  P(δ)=P(b−0)−P(a) δ=(a,b]の

とき

  P(δ)=P(b)−P(a) δ=[a,b)の

と き

  P(δ)=P(b−0)−P(a−0)

  こ の よ うに1つ1つ

の 場 合 に 分 け て 定 義 し た の は,a,bが'不

図 で 示 し て あ る よ うに,端 る.つ い で に,図30で

図30

点 を 含 む か 含 ま な い か で,少

見 る とわ か る よ うに,図

連 続 点'の

と き,

し事 情が 異 な るか らで あ

でP(a)−P(a−0),P(b)−P(b−0)

は'跳

躍 量'を

示 し て い る.

  こ の よ うに 定 義 し て お く と,や

は り図30で

区間 の 分割

  [a,c]=[a,b)∪[b,c] に対応して   が 成 り立 つ.実

P([a,c]]=P([a,b))+P([b,c])

際

  左 辺=P(c)−p(a−0) 

(い ま の 場 合P(c)=P(c−0))

  右 辺=(P(b−0)−P(a−0))+(P(c)−P(b−0))   =P(c)−P(a−0) と な り,左 辺=右

辺 が 成 り立 つ.

  こ の こ とか ら,数

直 線 上 の 区 間 δを,有

限 また は 可 算無 限 個 の共 通点 のな い 区

間 δnに よ っ て  

δ=∪ δn

と 分 割 し た と き,

(1) と な る こ とが,容 に な るが,こ

易 に 推 論 で き る.無

限 個 の 区 間 に わ け た と き は,右

れ ら の 射 影 作 用 素 は 互 い に 直 交 し て い る か ら,P(δ)は

辺 は無 限 和 無限 個 の 互

い に 直 交 す る 空 間 の 直 和 へ の 射 影 と な っ て い る.   さ ら に,   と お く と,(1)は,無 限,ま

P(− ∞,∞)=I

限 開 区 間(−

∞,∞)に

た は 可 算 無 限 個 の 区 間 δnに よ っ て,数

対 し て も 成 り立 つ.す 直 線(−

なわ ち,有

∞,∞)が

と分 解 した と き

(2) が成 り立 つ.

積分記 号の登場   (2)の

式 の右 辺 に現 わ れ て い る各 区 間 δnの長 さは どん な に 小 さ くと って も よ

い のだ か ら,分 割 を どん どん 細 か くし, はδnの とす る過 程 で も(2)の

長 さを 表わ す)

関 係 は つね に 保 たれ てい る.積 分 との類 似 ―

ル ベ ー グ積分 との 類 似―

正確には

か ら,こ の 極 限過 程 へ の 移行 を

(3) と表 わ す こ とに し よ う.   右 辺 に 現わ れ た 積分 記 号 の,も

う少 し一 般 的 な 場 合に お け る定 義 は す ぐあ とで

述 べ る こ とに しよ う.

この右 辺 は ふ つ うの積 分 で は  は 長 さ は ∞ と な っ て(3)の ま の 場 合 は,区

左 辺 に 対 応 す る も の は,意

間 の 長 さ は.単

で 測 ら れ て い る か ら,(−

に 対 応 す る 式 と な っ て い る.こ

位 の 分 解{P(λ)}を

∞,∞)は

つ う

味 が な くな っ て し ま うが,い

通 し て,'射

恒 等 作 用 素Iと

の と き,ふ

影 作 用 素 の 大 小 関 係'

し て 測 ら れ,左

辺 が 確 定 した意 味

を も っ て く る.   な お,単

位 の 分 解 は,英

用 素 はidentity て,少

operatorで

語 で はresolution あ る.日

of

the

し 意 味 が 通 りに く く な っ た け れ ど,{P(λ)}を

用 素Iが(3)の

identityと

本 語 で は,identityと

よ うに 積 分 記 号 を 通 し て'dP(λ)'へ

い う.一

い う 言 葉 が2通

方,恒

等作

りに訳 され

単 位 の 分 解 と い うの は,恒

等作

と 分 解 され る こ と を 示 唆 し て い

る の だ と 思 う.

単 位 の 分 解 を 用 い る積 分 概 念   この 標 題 に掲 げ られ てい る こ とは,次

の よ うな こ とであ る.{P(λ)}λ∈Rを単位

の分 解 と し よ う.い ま,数 直 線 上 で 定 義 され た 有 界 で一 様 連続 な実 数 値 関数f(λ) が 与 え られ てい る と し よ う.一 様 連 続 とは,ど ん な正 数 εを と って も,あ る正 数 δが 存在 して   ￨λ−λ′￨<δ⇒￨f(λ)−f(λ′)￨<ε が 成 り立 つ こ とで あ る.こ の とき,積 分 の 形 でか か れ た作 用 素   を 考 え る こ と が で き る.Hは

H=∫f(λ)dP(λ) 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 と な る.

  私 た ち は こ の 右 辺 の 積 分 の 意 味 を 明 確 に し な くて は な ら な い.し うに 一 般 の 状 況 に す る と,R=(−

∞,∞)の

か し,上

の よ

無 限 個 の 区 間 に よ る 分 割 を 考 える 必

要 が 生 じ,記

法 が 少 しわ ず ら わ し くな る.こ

こ で は,次

の 条 件(〓)の

も と で,

右 辺 の 積 分 の 定 義 を 述 べ る こ と に し よ う.   (〓)あ

る 実 数a,b(a
存在して   λ≦a⇒P(λ)=0   λ≧b⇒P(λ)=I

  こ の 条 件 の も と で は,λ<λ P(μ ′)−P(μ)=0と

′
と きP(λ ′)−P(λ)=0,ま

たb<μ<μ

′の と き

な っ て い る こ と に 注 意 し よ う.し た が っ て  

を み た すa′,b′を 任 意 に と る と,単

a′
が 成 り立 っ て い る.   私 た ち の 積 分 の 定 義 は,こ

の 場 合 区 間[a′,b′)に 考 察 を 限 っ て よ い.f(λ)をR

上 で 定 義 され た 実 数 値 連 続 関 数 とす る と,f(λ)は[a′,b′)上 ま た 一 様 連 続 とな っ て い る.￨f(λ)￨≦Mと   区 間[a′,b′)をn等

で は 有 界 で あ っ て,

し よ う.

分 し   a′=a0
と し,

と す る.ま

た,各k(=1,2,…,n)に

対 し  

ak−1≦ck
を 任 意 に と り

と お く.こ

の とき

が 得 ら れ る.こ

こ で 

した が っ てTnは

が 直交 分 解 を 与 え て い る こ とを用 い た.

有 界 作 用 素 で あ っ て,‖Tn‖ ≦Mで

あ る.さ

ら に,f(λ)の

一

様 連 続 性 を用 い,連 続 関 数 の リーマ ン積 分 の 存 在 と同 じ よ うな議 論 を す る と

と な る こ と が 証 明 で き る.こ

の 証 明 は こ こ で は 省 略 す る こ と に し よ う.

  い ま の 場 合,‖Tn‖ ≦M(n=1,2,…)だ

か ら,前

講 の 定理 を用 い るま で もな い

が,

と お く と,Hは

有 界 作 用 素 と な る.こ

のHを

(4) と表わ す の で あ る.   な おHの 構 成 の途 中で,分 点 の と り方 や,ck(k=1,2,…n)の が あ った が,H自

身 は,こ れ らの任 意 性 に よらず 一 意 的 に 決 まる.

Hの

  (4)で

と り方 に 任意 性

与 え られ た 有 界 作用 素Hは

自己 共 役 性

自己共 役 で あ る.す なわ ち次 の 命題 が 成 り

立 つ. Hは 自己共 役 作用 素 であ る. 【証 明 】  まず

(5) が 自己共 役 であ る こ とを 注 意 し よ う.実 際,f(ck)が ると

し たが って

実 数 値 で あ るこ とに 注 意す

  =(x,Hy) ゆえ にHは

自己 共 役 で あ る.

  ここで ス チル チ ェス積 分 の こ とを 思 い 出 して お こ う.R上 な 関 数 φ(t)が 与 え られ た と き,任 意 の連 続 関 数f(t)に

(a=t0
存 在 す る.こ

で 定 義 され た 非 減 少

対 して

こ で 右 辺 の 極 限 はMax(tk−tk−1)→0と

る よ うな 分 点 の と り方 に 関 す る も の で あ る.こ

れ を,fの

な

φに 関 す る ス チ ル チ ェ

ス 積 分 とい う.   い ま の 場 合,xを1つ

と お く と,φ(λ)は

とめ て

非 減 少 な 関 数 と な っ て い る.実

P(λ)x+(P(μ)−P(λ))xか

ら,直

際,λ ≦ μ とす る と,P(μ)x=

交性によ り

と な っ て い る.   こ の φ(λ)に 関 す る ス チ ル チ ェ ス 積 分 を 用 い る と,(4)に 立 つ.

この 証 明 は,(5)で

が 成 り立 っ て い る こ と に 注 意 し て,n→

∞ とす る と よ い.

  同様 の考 え で

が 成 り立 つ こ ともわ か る.た だ し右 辺 は

関 し次 の 関 係 が成 り

と もか け るが,こ の意 味 は

実数部分 虚数部分 で 与 え ら れ る ス チ ル チ ェ ス 積 分 の 和 で あ る.

Tea

Time

質 問   単 位 の 分 解 と は ど うい う も の か,僕 に,ヒ

ル ベ ル ト空 間 〓

な りに 理 解 し よ う と 考 え て い る うち

が,{P(λ)}λ ∈Rに よ っ て い わ ば 連 続 的 に 分 解 され て い る

よ う な イ メ ー ジ が 湧 い て き ま し た.P(λ)を

閉 部 分 空 間E(λ)へ

この 閉部 分 空 間は 連 続 的 に増 加 しなが ら 〓

の 射 影 とす る と,

へ と近 づ い て い き ま す.僕

の 閉 部 分 空 間 の よ うな 相 互 関 係 な らば よ くわ か る の で す が,E(λ)の に は,λ<μ

な ら ばE(μ)の

中 に は 必 ずE(λ)に

は,2つ

よ うな とき

直 交 す る 元 が 含 ま れ て い ます.連

続 的 に こ の よ うな こ と が 続 い て い く状 況 を 捉 え る の に,一

体 何 を 考 え た ら よい の

で し ょ うか. 答  そ の た め に は,第24講 れ な い.関

で 与 え た 図25を

数 空 間L2[0,1]の

タ λ(λ∈[0,1])に

よ っ て,'連

は,パ

ラメー

続 的 に 変 わ る'閉 部 分 空 間 の 族 を つ く っ て い る .質

問 に あ っ た イ メ ー ジ と し て は,ま な い.対

改 め て見 直 して もら うと よいか も し

中 で, 

ず こ の よ うな も の を 考 え て お く と よ い か も し れ

応 す る よ う な イ メ ー ジ を,数

列 の つ く るl2-空

間 か ら 見 出 す こ とは,な

か な か 難 し い こ と だ ろ う.   な お,作

用 素 の 固 有 空 間 に よ る 空 間 に 直 交 分 解 が,有

続 作 用 素 の 場 合 の よ う に 離 散 的 な 分 解 で は な くて,ヒ は 連 続 的 な 分 解 と な る と い う こ とは,20世

限 次 元 の 場 合 や,完

全連

ル ベ ル ト空 間 で は 一 般 的 に

紀 初 頭 に 得 た 新 しい 認 識 で あ っ た .こ

の こ とは 古 典 的 な 解 析 学 か ら 登 場 す る い くつ か の 公 式 に,新 し い 視 点 を 与 え た が, 一 方

,フ

ォ ン ・ ノイ マ ン の よ う に,こ

れを 作 用 素 の枠 の中 で の 代 数的 観点 で捉 え

よ う と す る と,現

在'フ

ォ ン ・ノ イ マ ン代 数'と

を 与 え る こ と に も な っ た の で あ る.

よ ば れ る 壮 麗 な 理 論 を 築 く動 機

第27講 自己共 役作 用素 のスペ ク トル分 解 テ ー マ

● スペ ク トル 分解 定 理 の定 式化 ● 自己 共役 作 用素 の 間 の順 序関 係 ● リース の定 理:A≧0,B≧0,AB=BAな ●Hの

らばAB≧0

関数

● 射 影作 用 素P(λ)をHの

多 項 式 の極 限 と して構 成 す る.

● 単 位 の分 解{P(λ)}λ ∈R ● 定理 の証 明

  この 講 の 目的 は,す

で に第25講 の 冒頭 で もそ の輪 郭 を 述 べた 次の 定 理 の証 明

に あ る.

【定 理】  Hを 有 界 な 自己共 役 作 用 素 とす る.そ の と き適 当 な単 位 の分 解{P(λ)}λ∈R が 存在 して

と表 わ さ れ る.こ

こ で{P(λ)}λ ∈Rは 次 の 条 件(〓)を

  (〓)  あ る 実 数a,b(a
み た す:

存 在 して

 

λ≦a⇒P(λ)=0

 

λ≧b⇒P(λ)=I

  こ の 定 理 を 自 己 共 役 作 用 素 の ス ペ ク トル 分 解 定 理 と い う.こ か の 証 明 法 が あ る が,こ (Lecon

d'analyse

こ で はF.RieszとB.Sz-Nagyに

fonctionelle)に

あ る2つ

の 定 理 に は い くつ よ る 『関 数 解 析 学 』

の 証 明 の うち の1つ

を 紹 介 し よ う.

自己 共 役 作 用 素 の順 序   この証 明に 本 質 的 な 役 割を 果 たす の は,自 己共 役作 用 素 の 間 に導 入 され る順 序 関係 で あ る.こ の順 序 関 係 を メスの よ うに して,Hを'切 Hに 対 す る単 位 の 分解P(λ)を

と り出そ うとい うの で あ る.

  有 界 な 自己共 役 作 用 素AとBと

の 間 の順序 関係 を 次 の よ うに 定 義 す る.

【定 義】 すべ て のxに 対 し(Ax,x)≦(Bx,x)が B≧Aと

り開 き','分 解 して',

成 り立 つ とき にA≦B,ま

たは

表 わ す.

 特に   A≧0⇔

す べ てのxに 対 して(Ax,x)≧0

また   λI≦A≦μI⇔

す べ て のxに 対 して

(1) を 意 味 し て い る.   第21講

で あ る.し

で 示 し た よ うに,A≧0な

らば

た が っ て λI≦A≦ μIと す る と,μI−A≧0で

あって

と な り,評 価 式

(2) が成 り立 つ こ とに な る.   なお,(1)を

み たす λの上 限 をm,μ

の 下限 をMと

す ると

  ‖A‖=Max(￨m￨,￨M￨) とな る こ とが示 され る. ス ペ ク トル 分 解 に 達 す る 基 本 定 理   スペ ク トル 分解 定 理 に 至 る道 は ここへ きて最 後 の上 り坂 とな る.こ の 道 を登 り

き る た め に は 次 の2つ

の 基 本 定 理 が 必 要 と な る.

【定 理I】  A≧0,B≧0,か

つAB=BAと

す る.こ

の と きAB≧0.

【定 理 Ⅱ】 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 の 系 列{An}(n=1,2,…)が,あ

る定 数 μに対

して  

A1≧A2≧

を み た し て い る とす る.こ

… ≧An≧ … ≧ μI

の と き あ る 自 己 共 役 作 用 素Aが

存 在 し て,

が 成 り立 つ.

  この 定理Iの 証 明 が予 想 以 上 に難 しい.こ れ に対 す る以下 で述べ る リース の証 明 は 巧 妙 で あ っ て,目 をみ は らせ る もの が あ る. 【定理 Ⅰの 証 明】 簡 単 のた め ‖A‖=1と 仮 定 してお こ う(一 般 の場 合 に は  を 考 察 す る と よ い).ま

ず

と お く.各An(n=1,2,…)は

自己 共 役 で あ る が,さ   0≦An≦I 

らに

(3)

が 成 り立 つ.   これ を 示 す に は,nに

つ い て の帰 納 法 と関係 式

(4) (5) を 用 い る.   こ こ で 次 の 補 助 的 な 命 題(*)が

 

(*)一

有 効 に 用 い ら れ る.

般 に 自己 共 役 作用 素H1,H2がH1H2=H2H1,H2≧0を

み た す な らば

なぜ な ら 

こ の(*)と

帰 納 法 の 仮 定0≦An≦Iを(4)に

用 い る とAn+1≧0が

得 られ る.

ま た こ の(*)と

同 じ 帰 納 法 の 仮 定 を(5)に

  これ でn=1,2,…

に 対 し て(3)が

用 い る と,An+1≦Iが

得 ら れ る.

成 り立 つ こ と が わ か っ た.

  さ て,

(6) とAn+1≧0か

ら

した が って 

は 収 束 し, 

 この こ とか ら(6)を

が わ か る.仮

参 照す る と

定 か らBはAと

これ でBA≧0が

が 結 論 され る.

可 換 だ か ら,各Anと

も可 換 に な り,し た が っ て

示 され て,定 理Iの 証 明が 終 る.

【定 理 Ⅱの 証 明】  m≧nに 対 し て

が成 り立 つ が,単 調 減 少 数列 

は 収 束 す る か ら,m,n→

∞ の と き,こ

の

左 端 と右 端 は 同 じ極 限値 に近 づ く.し たが っ て

と な り,こ

 

れ か ら 

と お く こ と に よ り,定 理 Ⅱが 導 か れ る.

Hの

関 数

  い ま有 界 な 自己共 役 作用 素Hが 与 え られ た とす る.こ の とき任 意 の実 係 数 の 多 項式

に 対 して

と お く と,p(H)は (H*)n=Hnが

ま た 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 と な る.こ

成 り立 つ こ とか ら 明 ら か で あ る.ま  

の こ と は,(Hn)*=

た 可換 性

Hp(H)=p(H)H

が 成 り立 つ.   2つ の 多 項 式p,qに p(H)q(H)が

対 し,p(t)+q(t)に

はp(H)+q(H)が,p(t)q(t)に

は

対 応 す る こ と は 明 ら か だ ろ う.

  次 の 命 題 の 証 明 に 定 理Iが

必 要 と な る.

実 数m,Mに  

対 して mI≦H≦MI;

ま た 多 項 式p(t)に

対 しては

 

と きp(t)≧0

m≦t≦Mの

が 成 り立 っ て い る と す る.こ  

の とき

p(H)≧0

【証 明 】 p(t)を 実 数 の範 囲 で 因 数分 解 す る と

の 形 と な る.a0>0の るjは

場 合 を 考 え る こ とに し よ う.そ

偶 数 個 で あ る.し

と な る が,こ

うす る と こ こ でaj>Mと

な

た が って

の 各 因 数 は ≧0で あ る.し

た が っ て 定 理Iに

よ り,p(H)≧0と

な

る.   この 命題 か ら

(7) が 得 ら れ る.た p(t))に

と え ば2番

目 のq(H)−P(H)≦

上 の 命 題 を 用 い る と よ い.

εIを 示 す に は,多

項 式 ε−(q(t)−

関 数eλ(t)

  前 の よ うに,HはmI≦H≦MIを

み た し て い る と す る.こ

の と きm≦

λ≦Mに

対 して

と お く.明

らか に

(8) (9) が 成 り立 っ て い る.   こ の と き,図31で

示 し た よ うに,連

続 関 数の 減 少 列

(10) が 存 在 して,m≦t≦Mで

と な る.ワ

イエ ル シ ュ トラスの 多項 式近

似 定 理 を 用 い る と,P1(t),p2(t),…,pn(t) は,す べ てtの

多 項 式 で あ る と し て よ い. 図31

減 少列

に お い て,(8)か

ら

(11) が 成 り立 つ こ とが わ か る.

 

  (10)に lim Pn(H)は

P(λ)の

構 成

対 応 す る 自 己 共 役 作 用 素 の 系 列{pn(H)}に 存 在 す る.そ

れ をeλ(H)と

対 し 定 理 Ⅱを 用 い る と,

表 わ す こ と に し よ う:

eλ(H)は

自 己 共 役 作 用 素 で あ るが,(11)か

が 成 り立 つ こ と が わ か る.し

ら

た が っ てeλ(H)は

射 影 作 用 素 で あ る.そ

こで

P(λ)=eλ(H)

と お く.(9)か

ら

(12) で あ る.こ

こ でP(λ)とP(μ)の

換 性 か らわ か る.同

可 換 性 は,P(λ),P(μ)を

近 似す る多 項 式 の 可

様 の理 由 で  HP(λ)=P(λ)H

が 成 り立 つ.   (7)を

用 い る と,P(λ)は,eλ(t)に

方 に よ ら な い こ とが わ か る.特

収 束 す る 連 続 関 数 の 減 少 列(10)の

とり

に

に とって お くと

こ こ でn→

∞ と す る と, 

と な るnを

が わ か る.任

意 の 正 数 εに 対 し, 

と っ て お く と 

が 成 り立 つ か ら,こ

れ でP(λ)の 右 連 続 性 が示 され た:

(13)

定 理 の 証 明

  mI≦H≦MIを

み た す 自 己 共 役 作 用 素 が 与 え ら れ た と す る.こ

対 し て はP(λ)=0,λ>Mに λに 対 し て,P(λ)を

対 し て はP(λ)=Iと 定 義 し て お くと,(12)と(13)か

は 単 位 の分 解 とな る(t=Mに

の と き λ<mに

お くこ と に よ り,す

べ ての 実 数

ら,

お け る右 連 続 性 を示 す た めに,P(M)=Iと

なる こ

とを示 す 必 要が あ るが,こ れは 省 略 し よ う).  λ＜μに対 し て 明 らか に

が 成 り立 つ.し

たが って

(14) が 成 り立 つ.   し た が っ て,分

点 μ0,μ1,…,μnを

の よ うに と り,上

の 関 係 を μk−1<μkに 用 い て 和 を と る と

が 得 られ る.こ の2番 目の式 に現 わ れ た Σ は

で あ る.し

た が っ て λkを 

を み た す よ うに 任 意 に と り, 

とす る と

と な る こ とが わ か っ た((2)参

照).こ

の こ と はHが

と表 わ され る こ とを 示 して い る.こ れ で この 講 の最 初 に述 べ た 定理 が証 明 され た.

Tea

質 問   第24講

で 述 べ られ たL2（I)上 と 表 わ し た の は,い

Time

の 作 用 素(Hf)(t)=tf(t)に

対 し て,Hを 

ま 振 り返 っ て 眺 め て み ま す と,ス ペ ク トル 分 解

定 理 の 原 型 を 与 え て い た こ とは よ くわ か り ま し た.   と こ ろ で,こ れ に 関 連 し て1つ

お 聞 き した い の で す が,L2(I)上

t2f(t)で 定 義 され た 自己 共役 作 用 素Hは, 

で(Hf)(t)=

と表 わ され る こ とは

す ぐにわ か ります が,こ れ で は こ こで 述べ られ た 定理 の形 に は な っ てい ませ ん. これ は ど う考え た ら よい で し ょ う. 答  Hに 対 して,定 理 で述べ た よ うな 積分 表 示 を す る ため に は,単 位 の 分解 を新 た に と り直 して お か な くて は な らな い.そ のた め に は

とい う関 数を と り,射 影 作 用素P(λ)を

と定 義 す る と よ い.そ

うす る と 

と表わ され るの で あ る.

第28講 ス ペ

ク

ト ル

テーマ ● ス ペ ク トル ― ●

点 ス ペ ク トル と 連 続 ス ペ ク トル

リゾル ベ ン ト

● 正 規 作 用 素 の ス ペ ク トル 分 解 定 理 ● ユ ニ タ リ ー 作 用 素 の ス ペ ク トル 分 解 定 理

ス ペ ク トル Hを

有 界 な 自己共 役 作用 素 と し,

をHの

ス ペ ク トル 分解 とす る.mI≦H≦MIと

す る と,前

講 で述 べ た右 辺 の 積

分 の構 成 を 参 照 す る と (1) と 表 わ し て よい こ と が わ か る.こ   {P(λ)}λ∈Rは,パ

こ で εは 任 意 の 正 数 で あ る.

ラ メ ー タ λに 関 し右 か ら は つ ね に 連 続 だ が,左

づ き 方 に 関 し て は,連

続 の と き も あ る し,連

か ら 近 づ く近

続 で な い と き も あ る.そ

の状 況 を 調

べ て お こ う.   い まm≦

λ0≦Mを

み た す λ0を1つ

(A)

の と き 次 の2つ

の 場 合 が 生 ず る.

 (不連 続 の 場 合)

(B)   (A)の

と る.そ

 (連 続 の 場 合) 場 合: 

この とき

 

P(λ0)−P(λ0−0)≠0

で あ り,P(λ0)−P(λ0−0)は

あ る0と

異 な る 閉 部 分 空 間E(λ0)へ

の射 影 とな っ て

い る.x0∈E(λ0)を

と り,x0≠0と

す る.こ

が 成 り立 つ か ら,前

講 の(14)(と(2))を

の と き 任 意 の 正 数 εに 対 し て

参照 す る と

が 得 ら れ る.ε は 任 意 に 小 さ く と れ る か ら   Hx0=λ0x0 と な る.   す な わ ち λ0は 固 有 値 で あ り,x0は

λ0に 対 す る 固 有 ベ ク トル,E(λ0)は

固 有値

λ0に属 す る 固 有 空 間 と な っ て い る.   (B)の

場 合: 

この とき射 影作 用 素   P(λ0+ε)−P(λ0−

は,ε0>0を

適 当 に と る と,0<ε<ε0の

ε)

と き 恒 等 的 に0に

等 し く な る 場 合 と,そ

うで な い 場 合 が あ る.   前 者 の 場 合 に は(λ0− ε,λ0+ε)の 間 で(1)の 場 合 に は,P(λ)の   (*)  と な る.し

単 調 増 加 性 に 注 意 す る と,あ

P(λ0+ε)−P(λ0−

な っ て い る.後

者の

る ε0>0が 存 在 し て0<ε<ε0で

ε)≠0

た が っ て,P(λ0+ε)−P(λ0−

る とE(λ0;ε)≠{0}で

積 分 は0と

ε)を 閉 部 分 空 間E(λ0;ε)へ

の 射 影 とす

あ り,

を み た す 元xε が 存 在 す る.こ

のxε に 対 し て

が 成 り立 つ.   し か し ε→0と す る と,P(λ0+ε)−P(λ0− た すx{≠0)は 【定 義 】  (A)の

ε)→0と な る の だ か ら,Hx=λ0xを

み

存 在 し な い. 場 合 に λ0を点 ス ペ ク トル,(B)の

場 合 で(*)が

生 ず る と き,

λ0を連 続 ス ペ ク トル と い う.   固 有 値 と い う言 葉 は,こ こ と に な っ た.す

こ ま で き て 一 層 広 い 言 葉'ス

ペ ク トル'に

な わ ち 固 有 値 は 点 ス ペ ク トル と し て,P(λ)の

現 わ れ る こ と に な っ た の で あ る.

包 含 され る

不 連続 点 として

リゾ ル ベ ン ト Hを

有界 な 自己共 役 作 用素 とす る.λ ∈Cに 対 して

を 考 え る こ と に し よ う.R(H;λ)をHの

リ ゾル ベ ン ト とい う.こ

の とき 次 の こ

と が 成 り立 つ.   λ0がHの

点 ス ペ ク トル ⇔R(H;λ0)が

存 在 し な い.

  λ0がHの

連 続 ス ペ ク トル ⇔R(H;λ0)はHの

稠 密 な部 分 空 間 で

定 義 され て い る が,有   こ の 証 明 は こ こ で は 省 略 し よ う.た

界 で な い.

だ λ0が 連 続 ス ペ ク トル の と き,R(H;λ0)

は 稠 密 な 部分 空 間

上 で定 義 され て い る こ とだ けを 注意 して お こ う.   リゾル ベ ン トR(H;λ)は,一

般 に は λを 複 素 数 の範 囲に まで動 か して,λ を

パ ラ メー タ と考 え て 解析 的 に取 り扱 う.解 析 学 の応 用 に と って,リ

ゾル ベ ン トの

挙 動 を 詳 し く調べ る こ とは 大 切 な こ とな のだ が,こ こ では これ 以上 立 ち入 らな い こ とに し よ う. 正規作 用素   正 規 作用 素 の定 義 は 第20講 で述 べ た が,そ の後 は 主 に 自己共 役 作用 素 のみ を取 り扱 っ て きた か ら,改 め て こ こで も う一度定 義 を 述 べ て お い た方 が よい か も しれ な い.有 界 な作 用 素Aが 正規 であ る とは,A*A=AA*が の定 義 は,も

ち ろん 第11講 で述 べ た,有

の ま ま 引 き継 い で い る.第11講

成 り立 つ こ とで あ る.こ

限 次 元 の 場合 の正 規 作用 素 の定 義 を そ

で 述べ た 正 規 作用 素 の特 徴 づ け は,次

り立 っ てい る. Aが 正 規 作 用 素 ⇔A=H1+iH2と

表 わ せ る;

こ こ でH1,H2は 己 共 役 作 用 素 で,

有界な 自

の 形 で成

 

 

H1H2=H2H1

を み た し て い る.

 証 明 も第11講 で与 えた 有 限 次元 の場 合 と同様 で あ る.こ こで , で あ る こ と に 注 意 し よ う.さ

ら に ‖A‖=‖A*‖(第20講

参 照)を

用

いると

が 成 り立 っ て い る こ と も わ か る.   H1,H2の

と す る.前

ス ペ ク トル 分 解 を

講 で 示 した よ うに,P(λ),Q(μ)は,そ

pm(H1),qn(H2)(m,n=1,2,…)の

れ ぞ れH1,H2の

極 限 と し て 得 ら れ て い た.H1H2=H2H1か

多項 式 列 ら,

  pm(H1)qn(H2)=qn(H2)pm(H1) が 成 り立 つ か ら,こ

こ でm,n→

 

∞ とす る と P(λ)Q(μ)=Q(μ)P(λ)

が 得 ら れ る.し

 

た が っ てP(λ)Q(μ)は

一 般 に,P,Qを

射 影 作 用 素 と な る.

射 影 作 用 素 とす る とき,PQ=QPが

成 り立 て ば,PQは

射影作用素

とな る.な ぜ な ら この と き,射 影作 用 素 の2つ の特 性  

(PQ)2=PQPQ=P2Q2=PQ,(PQ)*=Q*P*=QP=PQ

が成 り立 つか らで あ る.PをEPの の ときPQはEP∩EQの

  そ こ で 複 素 数zを

R(z)=P(λ)Q(μ),z=λ+iμ

を 考 え る.こ

作用素

上 へ の射 影 とす れ ば,こ

パ ラ メ ー タ とす る 射 影 作 用 素

 

し,積

上 へ の,ま たQをEQの

上 へ の射 影 作 用 素 とな って い る.

の と き,複

素 平 面 を 各 辺 が 実 軸,虚

分 の 考 え に し た が っ て 辺 の 長 さ を0に

軸 に 平行 な 小 さ な長 方 形 に分 割

近 づ け て,極

限 へ 移 る こ と に よ り,

を 考 え る こ とが で き る.こ

こでf(z)は

複 素平 面 上 で,￨f(z)￨≦

定 数 を み たす 連

続 関 数 で あ る(実 軸 上 で単 位 の分 解 か ら導 か れ る積 分 に つ い ては 第26講 で 詳 し く 述 べ た の で,こ こでは 複 素 平 面 上 で対 応 す る事 柄 に つ い ては あ ま り深 入 りせず 簡 単 に 述 べ る ことに す る).  特に

で あ る.   さ て,z=λ+iμ

が 成 り立 つ.し

に 対 して は

たが っ て

とな る.   この よ うに して,任 意 の有 界 な 正規 作 用 素 は

と表 わ さ れ る こ と が わ か っ た.こ

れ を 正 規 作 用 素 の ス ペ ク トル 分 解 定 理 と い う.

こ の と きA*は

と表 わ さ れ る.   ず い ぶ ん 長 い 道 程 で あ っ た が,こ れ が 第11講 用 素AとA*の

固 有 空 間 分 解(4),(5)(88頁)に

で述 べ た有 限 次元 の場 合 の正 規 作 対 応 す る,ヒ

ル ベ ル ト空 間

上 の 結 果 で あ る.

 

R(z)は,zを

動 か す とひ と まず 複 素 平 面 全体 に広 が って い る射 影 作 用 素 の 集 ま り

とな る.し か し,C上

の 長方 形 

を 考 え る と,Iに

対

応 す る射 影作 用 素 は   R(I)=(P(b)−P(a))(Q(d)−Q(c)) とな り,し た が ってP(λ),Q(μ)の

い ず れ か一 方 が'定 数'と

とな る.極 限へ 移れ ば,そ の よ うな範 囲 で(記 号 的 に)dR=0で がm≦ λ≦Mの

外 では'定 数',Q(μ)がm′

な る範 囲 ではR(I)=0 あ る.す なわ ちP(λ)

≦μ≦M′ の外 で'定 数'と

な って い る な

らば,本 質 的 には 上 の 積 分 は 長方 形 

(εは 任

意 の 正 数)の 中 で と って よい ので あ る.

ユ ニ タ リー 作 用 素

  ユ ニ タ リー 作 用 素U(U*U=I)に

対 し て は,次 の よ う な 形 の ス ペ ク トル 分 解 定

理 が 成 り立 つ.

こ の 詳 細 は こ こ で は 省 略 す る こ と に し よ う.

Tea

Time

質 問  正 規 作 用 素 の ス ペ ク トル分 解 定 理 を見 る と,形 式美 の整 った建 築 物 の 前 に 立 っ てい る よ うな 錯 覚 に 陥 る よ うな ところ が あ ります.し か し この 建物 の中 に は 本 当 に入 れ るの で し ょうか.と い うのは,こ の定 理 か らは,第14講

か ら第16講

ま で のお 話 に あ った,積 分 方 程式 か ら ヒル ベ ル ト空 間 へ と進 ん でい くとき の よ う な躍 動 感 が あ ま り感 じられ ず,何 か 動 的 な ものか ら静 的 な ものへ と景色 が 変 わ っ た よ うな 気 が す るか ら です.こ の スペ ク トル分 解 定 理 は,本 当 に も う一 度 解 析学 の中 へ 戻 っ て活 躍す る こ とは あ る ので し ょうか. 答  質 問 の 内容 は難 し く,私 も うま く答 え られ ない か も しれ な い.関 数解 析 学 を 最 初 に 学 ん だ と き,ど こか 大 きな空 間 の 中 を 光 だけ が 走 り抜 け てい くよ うな感 じ を 味わ っ た人 は 多 い だ ろ うが,そ

れ は無 限 次 元 空 間 とい う設 定 の 中 で,数

学的

体 系 を 築 くため に は,概 念 の総 合化 と,そ の 完全 な記 号 化 が 必 要 であ った とい う

こ とに も よ っ て い る の だ ろ う.ヒ

ル ベ ル ト空 間 の 理 論 を こ こ で 述 べ た よ うに 整 備

し た 形 で 提 示 す る よ うに な っ た の は,フ が,ノ

ォン ・ノイマ ンの 影響 が 強 い の だ ろ う

イ マ ン は 自 身 を む し ろ 代 数 学 者 だ と考 え て い た よ うで あ る.

  正 規 作 用 素 の ス ペ ク トル 分 解 定 理 を み て も,こ

の 定理 か ら具体 的 に与 え られ た

正 規 作 用 素 の 性 質 を 読 み と る こ と は 難 し い だ ろ う.有 限 ま た は 無 限 次 元 の 部 分 空 間 が 束 ね ら れ,連 に よ っ て,巧 う とす れ ば,や う.本

続 的 に 分 布 し て い る状 況 は,ス

み に 総 括 的 に 表 現 さ れ た が,個 は り'積

分'と

質 的 な 困 難 さ は,そ

ペ ク トル と'積

分'と

い う言 葉

々の 作 用素 の性 質 を さ らに読 み とろ

い う ヴ ェ ー ル を と りは ず さ な くて は な ら な い だ ろ

れ ほ ど減 っ て は い な い の で あ る.実

際 の と こ ろ,正

規

作 用 素 の ス ペ ク トル 分 解 定 理 か ら,多

くの 情 報 を 引 き 出 し て 得 られ た 解 析 学 の 定

理 を 私 は あ ま り知 ら な い の で あ る.だ

が,こ

れ は 私 の この方 面 の知 識 の 乏 しさに

も よ っ て い る の だ ろ う.   ユ ニ タ リー 作 用 素 の ス ペ ク トル 分 解 定 理 も,こ

こ で 述 べ た も の よ りは,次

ト ー ン の 定 理 に 至 っ て 広 い 応 用 を も つ よ うに な った.ス tに 従 属 す る ユ ニ タ リ ー作 用 素 の 族{U(t)}t∈Rが 関 す る(あ

与 え ら れ,こ

UsUt=Us+tと

い う条 件 と,tに

る と す る;こ

の と き 単 位 の 分 解{P(λ)}λ ∈Rが 存 在 し て

と 表 わ さ れ る と い う も の で あ る.こ

ト ー ン の 定 理 と は,実

のス 数

れ が,U0=I,

る 弱 い 意 味 で の)連 続 性 を み た し て い

の よ うに 捉 え る と,ス

静 的 な も の か ら 動 的 な も の へ と動 き 出 し て くる の で あ る.

ペ ク トル 分 解 定 理 も,

第29講 非有界作用素 テ ーマ

● 量子 力 学 にお け るマ ト リッ クス力 学 の誕 生 ―

作 用 素 の 非 可換 性

● 非 可換 な2つ の 作 用素 の非 有 界 性 ● 関 数 空 間L2(R) ● 定 義 域 の稠 密 性 ● 微 分 作 用 素 の非 有 界性 ●(Tea

Time)マ

ト リック ス力 学 と波 動 力 学

マ トリ ック ス 力 学 ―   1925年,コ

非可換性

ペ ン ハ ー ゲ ンにお け るボ ア ーの も とか ら帰 って,ゲ ッチ ン ゲン大 学

で ボル ン と共 同 で量 子 力 学 の研 究 を 行 な って い た青 年 ハ イゼ ンベ ル クは,誕 生 し た ば か りの量 子 力 学 の 背 後 に横 た わ る さ ま ざま な謎 の解 明 に,は

じめ て 数学 的 に

近 づ く鍵 を 手 に した.そ れ は無 限 次行 列 を 用 い る マ ト リ ックス力 学 で あ っ た.こ の 理論 の中 で,量 子 力学 の数 学 的理 論 の根 幹 に作 用 素 の非 可換 性 が組 み こ まれ て い る こ とが 明確 に な った の で あ る.   無 限次 行 列 を 簡単 に作 用 素 とい うな らば,座 と よば れ る作 用 素Pの

標 と よば れ る作 用 素Qと

運 動量

間 に,基 本 関係

(1) が成 り立 つ の で あ る.こ こでhは

プ ラン ク定数 であ る.

  ここで は もち ろ ん量 子 力 学 の成 立 過 程 を述 べ るつ も りは な い し,私も ご く常 識 的 な こ と しか知 ら ない.こ

こで ハ イゼ ンベル クの こ とに 触 れ た の は,自 然 界 の奥

深 くに 隠 され て い た作 用 素 の非 可 換 性 が,固 有値 問題 に 対 して 新 しい展 開 の 契機 と必 然 性 を与 え た とい うこ とで あ る.

非可換性と非有界性 (1)の

関 係 で,右

2つ の 作 用 素A,Bが

辺 に あ る 定 数  非可換性

 

AB−BA=I 

を も つ と き,A,Bは

てA,Bが

有 限 次 の(た

景 に 有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 を お く場 合,し

と え ばn次

立 た な い とい う こ と で あ る.こ み た すA,Bが の 和)を

列 の と き,(2)の

の 証 明 は 簡 単 で あ る.実

たがっ

関 係 は け っ して成 り 際,も

両 辺 の ト レ ー ス(対

し(2)の

関係 を

角 線 に 現 わ れ る成 分

とると

と な る.こ

列A,Bは

の)行

あ っ た とす る と,(2)の

 

ら0.一

(2)

ど の よ うな 性 質 を も つ か を まず 調 べ る こ と に な る.

  最 初 に 注 意 す る こ と は,背

の 左 辺 は,ト

方 右 辺 はnだ

Tr(AB)−Tr(BA)=Tr(I) レ ー ス に 関 す る よ く知 られ た 性 質Tr(AB)=Tr(BA)か

か ら,明

ら か に 矛 盾 で あ り,し

た が っ て(2)を

み たす 行

存 在 し な い.

  こ の 事 実 は,量 Qを

を 左 辺 に く り こ ん で お け ば,数 学 的 に は,

子 力 学 の 数 学 的 理 論 の 成 立 の 過 程 で,(1)の

見 出 す た め に は,必

関 係 を み た すP,

然 的 に 無 限 次 元 ま で 駈 け 上 ら な け れ ば な ら な か った1つ

の 理 由 を 明 ら か に し て い る.   し か し,ヒ

ル ベ ル ト空 間 に ま で 上 っ て も,非

囲 で は や は り成 立 し な い の で あ る.次 こ の 事 実 は1925年 い た.こ

か ら1926年

こ で 述 べ る 証 明 は,雨

可 換 性(2)は

の 否 定 的 な 命 題 が そ の こ と を 示 し て い る.

の 間 に す で に ボ ル ン と ジ ョル ダ ン に よ り知 ら れ て 宮 一 郎 氏 か ら 教 え て い た だ い た も の で あ る.

ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 有 界 作 用 素A,Bに  

有界 な 作用 素 の 範

AB−BA=I 

対 して

(2)

とい う関 係 式 は 成 立 し な い.

【証 明】  (2)を

み たす 有界 作 用素A,Bが

示せ ば よい.最 初 に

存 在す る と して,矛 盾 の 生ず る こ とを

  A≠0,B≠0 

(3)

で あ る こ と に 注 意 し て お こ う.AB−BA=Iの

両 辺 に 右 か らBを

かけて

  AB2−BAB=B こ こ でAB=BA+Iを

用い る と   AB2−B2A=2B

が 得 られ る.こ

の 式 の 両 辺 に ま た 右 か らBを

か け て,再

びAB=BA+Iを

用い

る と   AB3−B3A=3B2 が 得 ら れ る.こ

れ を 繰 り返 し て  

が 成 り立 つ.し

ABn−BnA=nBn−1 

(4)n

た が って

(5) (4)n−1か

ら,Bn−1=0な

Bn−2=…=B2=B=0と

ら ばBn−2=0と な る.こ

  し た が っ てBn−1≠0で

が 得 られ る.nは

れ は(3)に

あ り,(5)の  

な る こ と が わ か る;し

た がって ま た

反 す る.

両 辺 を ‖Bn−1‖で 割 っ て

n≦ ‖AB‖+‖BA‖

い く ら で も大 き く と れ る の だ か ら,こ

れ は,AB,BAの

有 界性

に 反 す る.   こ の 結 果 は,量

子 力 学 に 登 場 した 作 用 素 は,単

に ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 作 用 素 で

あ っ た と い うだ け で は な く,そ れ ら は 非 有 界 な ― あ っ た と い う こ と を 意 味 し て い る.い

不 連 続 性 を もつ ―

作用 素 で

ま ま で 述 べ て き た 理 論 だ け で は,取

り扱 う

こ と の で き な い よ う な 作 用 素 な の で あ る!

関 数 空 間L2(R)

  も っ と も,数 R上

直 線 上 の 有 界 な 閉 区 間[a,b]上

の 関 数 空 間L2(R)へ

登 場 し て く る の で あ る.

と 目 を 移 す と,そ

の 関 数 空 間L2[a,b]か

ら,数

直線

こに は 非 有 界 な 作 用 素 は ご く 自然 に

  L2(R)と

か いた の は,絶

対値 が2乗 可 積 であ る よ うな,数

直 線R上

で 定 義さ

れ た ルベ ー グ可測 な複 素 数値 関 数全 体 のつ くる ヒル ベ ル ト空 間で あ る:

L2(R)の

元 は,関

数 そ の も の と い う よ りは,ほ

とん ど至 る と こ ろ 等 し い 関 数 は 同

一 視 し て 得 ら れ る 同 値 類 か ら な っ て い る(『 ル ベ ー グ積 分30講 L2(R)の

と き,内

』 参 照) .f,g∈

積は

で 定 義 され て い る.   有 界 な 閉 区 間[a,b]上 違 い は,L2[a,b]は

の ヒ ル ベ ル ト空 間L2[a,b]とL2(R)と

多 項 式 や[a,b]上

れ に 反 し て,L2(R)は 関 数f(t)が,L2(R)に

多 項 式(〓0)を

の,最

も顕 著 な

で 定 義 され た 連 続 関 数 を す べ て 含 む が 、 そ 含 ん で い な い と い う点 に あ る.あ

属 し て い る か ど うか は,t→

る可 測

± ∞ の と き,￨f(t)￨→0と

な

る ス ピ ー ドに 従 属 し て い る.   第24講

でL2[0,1]上

で 定 義 した 作 用 素Hと

し て み よ う:私 た ち は,f∈L2(R)に

同 様 の 作 用 素 をL2(R)上

で考 察

対 して

  (Hf)(t)=tf(t) とお く.こ の と き まず,HはL2(R)全 う.た

体 の 上 で は 定 義 され て い な い こ と を 示 そ

とえ ば

と お く.こ の と き

に よ り,g∈L2(R)で

だ か ら,tg(t)〓L2(R)で

あ る が,

あ る.こ

が わ か っ た.   さ ら にHは

連 続 で な い.実

際

れ でHがL2(R)全

体 で定 義 され て い ない こ と

と お く と,

で あ る が,

と な る. 状 況 はL2[0,1]の

と き と ま っ た く違 う の で あ る.

定 義 域 の 稠 密 性

Hは,L2(R)全

体 の 上 で は 定 義 さ れ て い な い が, 

と な るf全

体 は,L2(R)の

部 分 空 間 と な る.こ

〓(H)で

表 わ す こ と に し よ う.こ

の 部 分 空 間 をHの

定 義 域 と い い,

の と き 次 の 命 題 が 成 り立 つ.

〓(H)は,L2(R)の

中 で 稠 密 で あ る.

【証 明 】  こ れ に は 次 の 事 実 を 用 い る.   (*) 

有 界 な 区 間 の 外 で は0と

は,L2(R)の

な る よ うな 連 続 関 数 全 体 の つ く る 空 間C0(R)

中 で 稠 密 で あ る.

  す な わ ち あ る 正 数kが の 中 で 稠 密 で あ る.こ

あ っ て,￨t￨≧k⇒f(t)=0を

み た す 連 続 関 数 全 体 は,L2(R)

の 証 明 は こ こで は 省 略 す る.こ

の と き次 の2つ

の こ とを 注

意 し よ う.

この こ とは

を 示 し て い る.C0(R)は(*)に ま たL2(R)の

中 で 稠 密 と な る.

よ りL2(R)の

中 で 稠 密 な の だ か ら,〓(H)も

微 分 作 用 素 の 非 有 界 性

  こ の 節 で の 話 を す る た め に は,有 て も,あ

る い はL2(R)を

界 な 閉 区 間[a,b]上

と っ て 考 え て も,同

話 の 準 備 とい う こ と もあ っ て,L2(R)の   実 は,(*)よ

有 界 な 区 間 の 外 で0と

 

は,L2(R)の

方 で 考 え る こ と に し よ う.

な る よ うな微 分 可 能 な 関数 全 体 のつ く る 空 間

中 で 稠 密 で あ る.

か らL2(R)の れ は,n→

  こ の よ う なfnの

中 へ の 作 用 素 とな っ て い る が,や

は り連 続

∞ の と き,‖fn‖ →0で あ る が,‖Dfn‖ → ∞ と な る 系 列fn

(n=1,2,…)がC01(R)の

中 に 存 在 す る こ とか ら わ か る. 存 在 は,式

か りや す い だ ろ う.図32(A)の φn〓C01(R)で

ぐあ とに 続 く

に対 して

と お く.Dは,  で は な い.そ

じ こ と な の だ が,す

とっ て考 え

り も う少 し 厳 密 に 次 の こ と も成 り立 つ.

  (**) 

 

のL2[a,b]を

あ る.簡

で か く よ り,次

の よ うに 説 明 し た 方 が 直 観 的 で わ

グ ラ フ で 表 わ さ れ た 関 数 φnは φn∈C0(R)だ

が,

単 な計 算 で

(6) が わ か る.し

た が っ てn→

∞ の と き ‖φn‖ →0で

の と き に は,

あ る. 

(C)

(A)

(B) 図32

φnの グ ラ フ の 傾 き の 関 数ψn(t)を あ る.ψnは

考 え る こ とが で き る.そ

れ は(B)で

ほ と ん ど 至 る と こ ろ 定 義 さ れ て お り, 

図示 して

と 考 え て よ い.こ

れ も簡 単 な計 算 で

(7) で あ り,し 数 は,ψnの

た が っ て ‖ψn‖→ ∞(n→

∞)で

あ る.(C)の

グ ラ フ の 角 の あ る と こ ろ を 少 し 補 正 し て,微

も の で あ る.こ の 関 数fnは,φnも,ま n→ ∞ の と き,(6)か

分 可 能 な 関 数fnと

した

た φnの 傾 き も十 分 よ く近 似 し て い るか ら,

ら

 

‖fn‖

(7)か

グラ フで 図 示 してあ る関

→0

ら

 

‖Dfn‖ →

∞

と な る こ と は 明 ら か だ ろ う.   す な わ ち,微 C01(R)上

分 作 用 素Dも

ま た,Hと

で 定 義 さ れ て い る が,そ

こで 有 界 で な い ―

DとHの

  DもHも

と も にL2(R)の

か も非 有 界 で あ る.だ は,有

同 じ よ うに,L2(R)の

連 続 で ない ―

目 す べ き こ とは こ の2つ

で は 定 義 され て い て,し の非 有 界 作用 素 に 対 して

界 作 用 素 の と き に は け っ し て 成 り立 た な い 関 係

DH−HD=I 

(8)

が 成 り立 つ の で あ る. 【(8)の

証 明 】 

の で あ る.

非 可 換 性

稠 密 な 部 分 空 間C01(R)上 が,注

稠 密 な部 分 空 間

に対して

した が って,こ の講 の 冒 頭 に述 べ た 話 と関 連 づ け るた め に

(hは

プ ラ ン ク定 数)

とお く と,

(9) と な る.つ

い で に 

に対 して

(10) (11) が 成 り立 つ こ と も注 意 し て お こ う.(11)は

明 ら か だ か ら,(10)だ

け 示 し て お く.

(部分 積 分)

Tea

質 問  こ の最 後 に述 べ られ たDとHと

Time

の 間 に成 り立 つ 非可 換 な関 係 式 は,最 初

に 述 べ られ た ハ イ ゼ ンベ ル クの関 係 式(1)と

同 じ形 を して い ます が,こ

こに も

量 子 力学 的 な意 味 は あ るの です か. 答   そ の通 りで あ っ て,(1)と(9)の

間 に は,1920年

代 後 半 の 量子 力 学 的世

界 像 に対 す る激 しい 議 論 が 渦 を な して 流れ た の で あ る.ボ ア ーの 対応 原理 か ら粒 子 的 な 量子 像 に立 っ て得 られ た ハ イゼ ンベ ル クの マ ト リッ クス力 学 は,1年 1926年 に,ド

後の

・ブロ ー イ,ア イ ンシ ュ タイ ンの 波 動 力学 の思 想 を 受 け 継 ぐ形 で 登

場 した シ ュ レデ ィン ガ ー の理 論構 成 と,ま った く対 極す る立 場 に お か れ る こ とに な った.シ

ュレ デ ィンガ ー の理 論 か らは,行 列 の よ うな もの一 切 が 姿 を 消 し,代

って 微分 方 程 式 が 登 場 して いた.し か し,そ の理 論 の最 も基 本 的 な部 分 に は,マ ト リッ クス力 学 と同 じ形 の非 可 換 関係(9)が

あ った ので あ る.

  量 子 力 学 は 当 時,粒 に あ っ て,当 は,ボ

子 像 と波 動 像 に 揺 ら い で い た の で あ る.ゲ

ル ン と ウ ィ ー ナ ー の 共 著 の 論 文(1925‐6)の

駈 け て,量

ッチ ン ゲ ン 大 学

代 す で に 固有 値 問 題 に つ い て も広 い 数学 的 視 野 を も って い た ボル ン 中 で,シ

ュ レ デ ィン ガ ー に 先

子 力 学 に 微 分 方 程 式 を 導 入 す る こ と を 考え て い た.そ

本 的 な 関 係(9)を

通 り越 し て し ま っ て,も

の ときす で に基

う少 し 一 般 の 関 係 を 得 て い た.こ

れ

に つ い て 次 の よ う な 晩 年 の ボ ル ン の 述 懐 が 伝 え ら れ て い る.'(9)は,QとPの 間 に 成 り立 つ 関 係 と ま っ た く 同 じ も の で あ っ た.し っ た.私 る.も

は い ま と な っ て も,け

し 私 が そ の こ と に 気 づ い て さ え い た な ら ば,シ

か 月 前 に は,直

か し私 は そ の こ とを 知 ら な か

っ して この こ とを 忘れ る こ とは で きな い の で あ ュ レ デ ィ ン ガ ー よ り2,3

ち に 量 子 力 学 か ら 波 動 力 学 の 全 体 系 を 得 る こ とが で き た だ ろ う.'

  こ の マ ト リ ッ ク ス 力 学 か ら 得 ら れ た(1)と,波 の 論 争 は,数 学 的 に は,1931年

動 力 学 か ら得 ら れ た(9)と

に 発 表 され た フ ォ ン ・ ノ イ マ ン の 論 文 に よ っ て は

じ め て 決 着 が つ い た の で あ る.そ れ に よ る と,(9),(10),(11)を

み た す 作 用 素 は,

(定 式 化 す る に は な お 曖 昧 さが 残 っ て い る が)本 質 的 に は,互

い に ユ ニ タ リ ー作 用

素 で 移 り合 え る も の で あ っ て,そ も,波

の 意 味 で は,マ

動 力 学 に 現 わ れ たD,Hも,同

た の で あ る.マ

じ作 用 素 の2つ

ト リ ッ ク ス 力 学 は,こ

り,波 動 力 学 はL2(R)上

で の1つ

ト リ ッ ク ス 力 学 に 現 わ れ たP,Q の 異 な る表 現 にす ぎな か っ

の 作 用 素 のl2-空 間 上 で の1つ

の 表 現 で あ っ た.

の表 現 で あ

第30講 フ ォ ン ・ノ イ マ ン ―1929年

テーマ

● フ ォン ・ノ イマ ン ● フ ォン ・ノ イマ ン の1929年

の 論文

● 閉作用素 ● 作 用 素 の拡 大 ● 有 界 作 用素 と非 有 界作 用素 ● 対 称 作 用素 と 自己 共役 作 用 素 ● 自己共 役 作 用 素 の スペ ク トル 分 解定 理 ―

ケ ー リー変 換 を用 い る ノ イマ

ン の着 想

フ ォ ン ・ノ イ マ ン

  フ ォ ン ・ ノ ィ マ ン は,た つ 数 学 者 の1人 て も,'恐

ぶ ん20世

で あ っ た.ノ

る べ き 天 才''超

が で き る の で あ る.ノ

紀 の 数 学 者 の 中 で も,最 も卓 越 し た 才 能 を も

イ マ ンに 生 前接 した 人 た ちの 思 い 出な どを 読 ん でみ 人 的 な 記 憶 力'と

イ マ ン は,生

い う よ うな 言 葉 を と き ど き 見 る こ と

涯 を 通 し て,倦

む こ とを 知 ら ぬ 努 力 で,彼

頭 脳 の 中 で 培 わ れ た 数 学 の 体 系 を 論 文 と し て 発 表 し続 け,ま の コ ン ピ ュ ー タ の 創 造 と,情   ノ イ マ ン は,1903年 数 学 の 才 能 は15歳

い,と

生 ま れ の ハ ン ガ リ ー の 数 学 者 で あ る.ノ イ マ ン の 驚 くべ き

頃 か ら 目 覚 め た よ う で あ る.彼

は1926年,ゲ

講 で も 述 べ た よ うに,当

子 力 学 の 粒 子 像 と波 動 像 を め ぐ っ て,物

ッチ ン ゲ ン大学 時 ゲ ッチ ン ゲ ン

理 学 と数 学 とが 激 し く絡 み 合

も に そ の 統 一 的 視 点 を 無 限 次 元 空 間 の 中 に 求 め よ う と し て い た.ノ

は す で に22歳

在

報 科 学 の 基 礎 と な る べ き もの を 築 き 上 げ た.

に ヒ ル ベ ル トの 助 手 と し て 就 職 し た.前 は,量

た 後 半 生 に は,現

の

イマ ン

の 若 さ で,集 合 論 の 公 理 化 に 関 す る 有 名 な 論 文 を 発 表 し て い た.ヒ

ル ベ ル トは た ぶ ん 基 礎 論 に 関 す る 分 野 の 助 手 と し て,ノ

イマ ンを 自分 の 許 に 招 い

た の だ ろ う が,ノ

イ マ ン の 関 心 は,量

い っ た よ う で あ る.集

子 力学 創成 期 の 渦 の 中心 へ と直 ちに 向 い て

合 の 公 理 化 か ら,量

子 力 学 の 基 礎 づ け へ と,彼

の頭脳 は 急

速 な 旋 回 を は じ め た.   ノ イ マ ン は,ゲ

ッチ ン ゲ ン大 学 へ 着 任 し て1年

子 力 学 の 数 学 的 基 礎'と ト空 間 の 公 理(第17講

後 の1927年

い う論 文 を 発 表 し た.そ

よ く知 ら れ て い て

は 同 型 で あ る こ と は 周 知 の こ と で あ っ た が,こ

,数

時 す で に,フ

の 背 後 に 抽 象 的 ヒ ル ベ ル ト空 間 の

イ マ ン の こ の 論 文 が 登 場 す る ま で,い

っ て こ な か っ た の で あ る.無

限 次 元 空 間 を 公 理 に よ っ て 規 定 し,1つ

の 中 に は,'無

限'と

ィシ ャー と リ

列 の つ くるl2-空 間 とL2(R)

枠 組 が あ る と い う こ と は,ノ

と し て と り出 す とい う考 え は,当

で に'量

こ で は じ め て 抽 象 的 な ヒル ベ ル

参 照)を 導 入 し た の で あ る.当

ー ス に よ る 定 理(第18講)は

に は,す

わ ば 視 界 に入 の'構

時 な お 驚 くほ ど 新 鮮 な 思 想 で あ っ た.ノ

い う概 念 は,公

理 の 導 入 に よ っ て,は

造' イマン

じめ て演 繹 的 な考 察

を 可 能 と す る 数 学 的 な 対 象 と な り得 る とい う考 え が 育 っ て い た の か も しれ な い.   い ず れ に せ よ,実 L2(R)も,抽 た,2つ

質 的 に は こ れ 以 来,数

象 的 な ヒ ル ベ ル ト空 間 が2つ

学 者 も ま た 物 理 学 者 も,l2‐ 空 間 も, の異 な る場 所 に 投 影 さ れ て実 現 され

の 異 な る 姿 に す ぎ な い と認 識 す る こ と に な っ た の で あ る.

  こ れ と 同 時 に,量

子 力 学 の 数 学 的 理 論 の 確 立 に は,ヒ

な 作 用 素 を ど の よ う に 取 り扱 うべ き な の か,特 か,ま

ル ベ ル ト空 間 上 の 非 有 界

に 非 有界 な 自己 共 役 作用 素 とは何

た こ の 作 用 素 に 対 し て ス ペ ク トル 分 解 は 可 能 な の か,と

こ と が 必 要 で あ る と い う こ と が,し

い う問 い に 答 え る

だ い に 明 ら か に な っ て き た.

ノ イ マ ン1929年

の 論 文

  こ の よ う な 問 題 に 対 し て す べ て 完 全 な 解 答 を 与 え た の が,1929年,Mathema tische Annalen誌  

Allgemeine

上 に発 表 され た ノイ マ ンの有 名な論 文 Eigenwerttheorie

Hermitischer

Funktionaloperatoren

  (エ ル ミ ー ト関 数 作 用 素 の 一 般 固 有 値 理 論) で あ っ た.こ

の 論 文 は 同 時 に,そ

の 後10年

間 に わ た る ノ イ マ ン の 精 力 的 な ヒル

ベ ル ト空 間 の 作 用 素 に 関 す る 研 究 の 出 発 点 を 与 え る も の と な っ た.   こ の 論 文 で 最 も驚 くべ き こ と は,こ

の 時 点 で す で に 完 全 に 円 熟 し,完

成 しきっ

た 姿 で ヒル ベ ル ト空 間 が 提示 され て い る とい う こ とに あ る.ノ イ マ ンは,ヒ ル ベ ル ト空 間 の 公理 か ら 出発 して,完 全 正規 直 交 系 の よ うな 基 本 的 な事 柄か ら話 を は じめ て い く.数 学 史を 知 ら なけ れ ば,こ れ が ノ イマ ンの 頭脳 か らた ったい ま と り 出 され た も の とは み えず,ヒ ル ベ ル ト空 間 な ど,ご く自然 な数 学 的対 象 と してず っ と昔 か ら存 在 し てい た と錯 覚 させ るほ どの平 明 さで あ る. 閉 作 用 素   ノ ィマ ン は次 の よ うな作 用 素 を問 題 とす る.   (C1)  作 用 素Aは,ヒ

ル ベ ル ト空 間 〓

の稠 密 な 部分 空 間 〓(A)上

で定 義

され た 線 形 作 用 素 で あ る.   (C2)xn∈

〓(A)(n=1,2,…)で

 

xn→x,Axn→y

が 成 り立 つ な らば,x∈

〓(A)でAx=y

  有 界 な 作用 素 の ときに は,ヒ ル ベ ル ト空 間 〓 で の作 用 素 は定 義 域 〓(A)上

全 体 で 定義 され てい た が,こ こ

で しか 考 え て い な い のだ か ら,作 用 素 の 同値 性 も

と定 義 して おか な くては な ら ない.   も う少 し一 般 的 な 定 義 とし て,BはAの

  ヒル ベ ル ト空 間 〓

拡 張 で あ る とい う次 の定 義 が あ る.

の稠 密 な 部 分空 間 とい う と,〓

よ うな 気 が して,た とえ ば2つ の作 用 素A,Bを る部 分 空 間 〓(A)∩

〓(B)も

の中 に 十分 厚 くつ まっ てい る

とる と,A,Bが

ん な こ とは い え な い.そ れ を み るた め に,多

項 式 近 似 に 関 す る 古典 的 な ミ ュン ツ の定

理 を 引 用 しよ う.ミ ュ ン ツの定 理 とは,1,xp1,xp2,…,xpn,… くる部分 空間 が,区 件 は 

間[0,1]の

共 通 に 定義 され て い

また 稠 密 な の だ ろ うと思 って しま う.だ が一 般 に は そ

連続 関 数 の 中 で,一

か ら は られ る多項 式 のつ

様 収 束 位 相 に つ き稠 密 とな る条

が 成 り立 つ こ とであ る とい うの で あ る.こ

の こ とか ら,L2[0,1]の

中

で,偶 数 ベ キ しか含 まな い 多項 式 全 体 の つ くる 部分 空 間 〓eと,奇

数 ベ キ しか含 まな

い 多 項式 全体 の つ くる部 分 空 間 〓 〓は と もに 稠 密 であ って,〓〓

∩〓 〓=C(定 数 関

数 のつ く る1次 元 部 分 空 間)が 成 り立 つ こ とが わか る.こ ば,も

っ と一 般 にL2[0,1]の

 

の ミ ュン ツ の定 理 を 用い れ

中 の 可 算個 の稠 密 な部 分 空 間 〓1,〓2,…,〓n,…

で,

とな る もの もつ くる こ とが で き る!

有 界 作 用 素 と非 有 界 作 用 素

  こ れ か ら は,(C1)と(C2)を し,こ

同 時 に み た し て い る 作 用 素 だ け を 考 え る こ とに

の よ う な 作 用 素 を 簡 単 に,閉

作 用 素 と い う こ とに し よ う.こ

の と き次 の定

理 が 成 り立 つ.

【定 理 】 〓

全 体 で 定 義 さ れ た 閉 作 用 素 は 有 界 作 用 素 で あ る.

  こ の 定 理 の 証 明 は こ こ で は 省 略 す る.   定 理 か ら 次 の こ と が わ か る.も し 閉 作 用Aが る.ま

たA⊂Bと

あ る.な

な る ど の よ うな 閉 作 用 素Bを

ぜ な ら,も

<+∞.し

し 〓(B)=〓

た が っ て ま た,x∈

非 有 界 な ら ば,〓(A)〓 と っ て も,や は り〓(B)〓

が 成 り立 て ば,Bは 〓(A)に

〓

であ 〓

で

有 界 作 用 素 と な り,‖B‖

対 し ‖Ax‖≦ ‖B‖ ‖x‖が 成 り立 ち,Aは

有 界 と な っ て し ま うか ら で あ る.

対 称 作 用 素 と 自己 共 役 作 用 素

  Aを

閉 作 用 素 とす る.そ

の と き 次 の 意 味 でAの

共 役 作 用 素A*が

存在す るこ

と が 知 ら れ て い る.   A*は

閉 作 用 素 で あ っ て,

(1) が 成 り立 つ.〓(A*)は,す y全 体 か ら な る.〓(A*)が

べ て のx∈D(A)に

対 し て(1)が

ま た 稠 密 な 部 分 空 間 と な っ て い る の で あ る.

 一般に A⊂B⇒A*⊃B* 

が 成 り立 つ.

成 り立 つ よ うな

(2)

【定 義 】 x,y∈ 〓(A)に

対 して

 

(Ax,y)=(x,Ay) 

が 成 り立 つ と き,Aを

対 称 作 用 素,ま

(3)

た は エ ル ミー ト作 用 素 とい う.

  Aが 対 称 作 用 素 で あ る と い う こ と は,(1)と(3)を 〓(A)⊂

〓(A*)で,y∈

〓(A)に

見 る とわ か る よ うに,

対 し てAy=A*yが

 

成 り立 つ こ と,す

なわ ち

A⊂A*

が 成 り立 つ こ と で あ る と い っ て よ い. 【定 義 】   A=A*の

と き,Aを

Aを

自 己 共 役 作 用 素 とい う.

自己 共役 作 用 素 とす る と,Aは

次 の 意 味 で極 大 な

対 称 作 用 素 とな って い る:  

【証 明 】 A⊂Bか っ てA⊃Bと

A⊂BでBが

ら,(2)に

な り,A=Bが

対 称 作用 素 な らば   A=B

よ りA*=A⊃B*.Bは

対 称 だ か らB*⊃B.し

たが

示 さ れ た.

自 己 共 役 作 用 素 の ス ペ ク トル 分 解

  ノ イ マ ン は,1929年

【定 理 】   Aを

の 論 文 で,次

の 定 理 を 示 し た.

自 己 共 役 作 用 素 と す る.こ の と き,単

位 の 分 解{E(λ)}λ ∈Rが 存 在 し

て

と表わ され る.Aの

定義域は

で あ る.

  こ の と き,有 て,一

界 作 用 素 の と き と違 っ て,ス

般 に は 存 在 し て い る の で あ る.

ペ ク トル は − ∞ か ら+∞

にわ た っ

ノ イ マ ン の着 想   ノィマ ンは この スペ ク トル分 解 定 理 を示 す ため に,有 名な ケ ー リー変 換 の理 論 を構 成 した.   Aを 対 称 作用 素 とす る.こ の と きx∈ 〓(A)に

対 して

(4) が 成 り立 つ.   こ の 式 か ら ま ずx∈

〓(A)に

対 し

が 得 られ る.し た が ってA+iIの

値 域 を 〓 とす る と,〓

か らA+iIの

定 義域

への逆写像

を 考 え る こ とが で き る. そ こで

と お き,VAをAの

ケ ー リー 変 換 と い う の で あ る.

 い ま,z=VAyと

す る と,yとzは

で 結 ば れ て い るか ら,(4)か

であ る.VAは

関係

ら ‖y‖=‖z‖と な る こ とが わ か る.す

等 距 離作 用 素 で あ る!

  Aが 閉 作用 素 の こ とか ら,VAは(C2)を 〓

なわ ち

も,ま たVAの

値域 〓

  ノイマ ン の着 想 は,Aの

も〓

み た し,そ の ことか ら,VAの

定 義域

の閉 部 分 空 間 とな る こ とが わ か る.

代 りに,等 距離 作 用 素VAを

考 え るな らば,非 有 界作

用 素 の取 扱 いに お い て,最 も見 え に くい 状 況,す なわ ち対 称作 用 素 の拡 張 と,定 義 域 の拡 張 との関 係 を,明 確 に 捉 え られ るの で は な いか と考 えた 点 に あ った.ノ イ マ ンの 理 論 で は,VAの

定 義 域 と値 域 の 直交 補 空 間

の 考 察が 核 心 とな る.VAを の 正規 直 交 系 を,〓

さ らに 等距 離 作用 素 と して拡 張 して い くた め に 〓 ⊥

⊥の 正規 直交 系 へ 移す とい う操 作 を 行 な っ てい くこ とに な る

だ ろ う.考 察 を等 距 離 作用 素VAへ

移 す こ とに よ り,非 有界 な対称 作 用 素 に 関 す

る議 論 は,幾 何 学 的 な 見通 しの も とで展 開 す る こ とに な る ので あ る.   この理 論 の詳 細 に 立 ち入 れ な い が,こ の理 論 の1つ の 系 として ノイ マ ンは 次 の 定 理 を 示 した.

【定 理】  対 称作 用 素Aが

自己共 役 作用 素 とな るため の 必要 十 分 条件 は,VAが

ユ

ニ タ リー作用 素 とな る ことで あ る.

  す なわ ち,こ の とき

と な る.   対 称 作 用 素Aは 作 用 素Aの

逆 にVAを

用 い て 表 わ す こ とが で き る.ノ

ス ペ ク トル 分 解 定 理 を,こ の 定 理 を 用 い て,す

タ リー 作 用 素VAの

イ マ ン は,自

己共 役

で に知 られ て い た ユ ニ

ス ペ ク トル 分 解 定 理 か ら 導 い た の で あ る.

Tea

Time

質 問  この30講 を 読 ん で,数 学 の1つ の歴 史 の 中を 歩 ん で き た よ うな気 分 に な りま した.改 め て 振 り返 って み ます と,2次

の行 列 か らは じま って,ヒ ル ベ ル ト

空 間上 の作 用 素 の ス ペ ク トル分 解 定 理 に まで至 ったわ け ですが,い つ の 間 にか お し まい の方 で は,前 半 で 主役 を演 じた 行 列 の視 点 が 消 え て し まい ま した.行 列 と い う考 えは 無 限 次元 まで は生 き残 れ な か った ので し ょうか. 答  行 列 の理 論 は19世 紀 後 半 に 確立 し,行 列式 の理論 を綾 を な す よ うに織 りこ み なが ら,不 変式 論 や 終 結式 の理 論 を 通 して徐 々に数 学 の 中 に浸 透 して い った. 一 方 ,解 析 学 に 現わ れ る微 分作 用 素 や 積分 作 用 素 は,線 形 性 を示 す ものが 多 か っ たが,こ れ らの作 用 素 の 挙動 は ま った く個 別 的 な もの であ って,こ れ らを 線 形 性

と い う一 般 的 な 理 念 の 中 に 統 合 し て み る よ うな 視 点 は,19世

紀 数 学 の 中 で は,ま

だ 十 分 育 っ て い な か っ た の で は な い か と 思 わ れ る.   フ レ ー ドホ ル ム は,積 分 方 程 式 の 解 法 と い う具 体 的 な 問 題 意 識 か ら 出 発 し て, 一気 に 有 限 次 元 か ら無 限 次 元 へ と ,行 列 式 の 階 段 を 上 り き っ て し ま っ た.そ こ か ら ヒル ベ ル トに よ り捉 え ら れ た の は,無 り,2次

限 変 数 の2次

形 式 の 標 準 化 に 関 す る 固 有 値 問 題 で あ っ た.こ

間 上 で の 無 限 行 列 の 考 え は,そ

形式 に関 係 す る行列 論 で あ の ヒ ル ベ ル トに よ るl2-空

の 後 も 強 い 影 響 を 残 し 続 け た よ うで あ る.ヒ

ルベ

ル ト空 間 の 作 用 素 論 の 中 か ら,無 限 行 列 の 影 を 完 全 に 消 し 去 っ た の は,ノ イ マ ン の 1929年

の 論 文 と,そ

っ た.こ

れ に 引 き 続 く'非 有 界 行 列 の 理 論 に つ い て'と い う論 文 で あ

の 論 文 の 中 で,ノ

ィマ ンは非 有 界 作用 素 を 無 限 行列 を用 い て 表現 す る と

い う考 え は,理 論 構 成 上 と る べ き 道 で な い と い う こ と を,一 くつ か の 例 を 導 き 出 す こ と に よ り,明 間 の 作 用 素 の 一 般 論 の 中 か ら,無 行 列 か ら,現

示 し て い る.こ

ー リ ッ ヒに,ヒ

て ほ し い と 頼 ん だ.レ

ッ ク ス は,'ジ

の無 限

ョ ン ・フ ォ ン ・ ノ イ マ ン の 思 い 出'と 代 に な っ て,E.シ

ュ ミ ッ トは,若

い い

ル ベ ル ト空 間 に お け る 彼 の 最 近 の 研 究 の こ と に つ い て 述 べ ー リ ッ ヒは 大 喜 び で 引 き うけ,い

て い る や り方 で 話 しは じめ た,"Hを

人,無

ル ベ ル ト空

限 行 列 の 姿 が 完 全 に 消 え た の で あ る.こ

う中 で 次 の よ うな 逸 話 を 述 べ て い る.「30年

る …".す

れ に よ っ て,ヒ

在 み られ る よ うな 作 用 素 論 へ の 移 行 は 劇 的 な も の で あ っ た とい っ て

よ い よ うで あ る.P.D.ラ

F.レ

見,逆 理 と もみ え る い

まや ス タ ン ダ ー ド と な っ

ヒル ベ ル ト空 間 と し,Lを

線 形 作用 素 とす

る と シ ュ ミ ッ トは 彼 の 話 を 途 切 っ て 次 の よ うに い っ た."ど

限 行 列 と い っ て ほ し い."」

うか,お

若い

索

引

基 ア

行

アス コ リ ・アル ジ ェ ラの定 理   186 アー ベ ル  108

底  29

基 底 ベ ク トル(R２ の)  2 基底変換 ― の行 列  29 ―

の公 式  33

1次 従 属  31

逆 行 列  32

1次 独 立   31

境 界 条 件  110

糸 の振 動 の問 題   109

境 界 値 問題   112 共 役 複 素数   19

L2(I)  146

行

列  32

l2-空間   143 エ ル ミー ト行 列  96

2次 の―  3 ― の積   32

エ ル ミー ト形 式   97

―

エ ル ミー ト作 用 素  88,245 ―

の関 数   97

―

の最 小 の 固 有値  93

―

の最 大 の 固 有値  93

虚

の和   32 軸   19

距

離  61 ― の性 質  63

グ リー ン関 数   113 カ 階

行

数   38

ケー リー変 換  246

核(積 分 方 程 式 の)  118 拡

張   243

恒等 写像   32

可 分 性   134

固 有 空 間  42,177

加

固 有振 動   112

法   28

完 全 正 規 直 交 系   136

固 有 多項 式   24,39

完 全 連 続   175

線 形 写 像 の―

完 全連 続 な 自己 共 役 作 用 素  176 ― の固 有 空 間へ の射 影 作 用 素  183

―

―

の固 有 空 間へ の分 解 定 理   180

―

の固 有 値   177

―

の固 有 ベ ク トル に よる展 開  184

完 備 性  134

  41

の不 変 性  40

固有 値  23,38,226 ― の重 複 度  47 固有 ベ ク トル  23,38 固 有方 程 式   24,39 線形 写像 の―

  41

コン パ ク ト  165

正規 直交 系   135 固有 関数 のつ くる― サ

行

  128

正値 作 用 素  95 正 値 定符 号   96

座 標平 面   1

積 分 方程 式  109 対 称 核 の ―   125 ― の 固 有関 数   126

次 元(固 有 空 間 の)  42 自己 共役 作 用 素  163,245

―

完全 連 続 な―  176 ― の 関数  219 ― 実

積 分作 用 素  123,126 ― の完 全 連続 性   185

の ノル ム  170

零 ベ ク トル(R2の) 

軸   19

2

線 形 作 用素  75 ― の有 界性   157

射 影作 用 素  76,161 ― と直交 分解   77 ―

の 固 有値   126

の特 徴 づけ   80

線 形 写像   31

斜 交座 標 系   6

R2の ―

シ ュ ワル ツの 不等 式   61

対 角 化 可能 で ない ― ― の繰 り返 し 51

順

序 自己 共 役 作 用素 の― 射影 作 用 素 の―

  217

 3

線 形 代数   34 線 形 汎関 数   154

  204

初 期条 件   110 タ

ジ ョル ダ ンの標 準 形  54

行

対 角 化可 能 ― な行 列  46

随 伴 作 用 素  76,161 ―

 53

―

の 性 質 79

ス カラ ー積  28

な線 形写 像   45

対 称核   124

ス チル チ ェス積 分  213

対 称作 用 素  104,245

ス トー ンの定 理   231

対 称 な積 分 作 用素 の 固 有値  127

ス パ ク トル分 解 定 理

代数 学 の基 本定 理  21

自己 共 役作 用 素 の― 正 規 作 用素 の ―

  216,245

コ ニ タ リー作 用 素 の―

  230

正規 行列   102 正規 作 用 素  86,162,227 ― と エル ミー ト作 用 素  90 正規 直交 基 底  68 ― に よ る展 開   70

代数 的 閉体  21 単位 球 面  94,165

 229

単位 行 列   32 単位 の分 解  207 ― に よる積 分概 念   210

稠 密 性(定 義 域 の)  236 稠 密 な部 分 空 間  243 重 複度(固 有 値 の)  128

直和(固 有空 間 に よ る) 45 直

ヒ ル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ ト の 直 交 法   69,137

交  67

直 交 作用 素  105

フ ィシ ャ ー ・ リ ー ス の 定 理   145

直 交 す る  135

フ ォ ン ・ ノ イ マ ン  241

直 交 分解  72,152

複 素 数   18 ― の 極 表 示   19

直 交 補空 間  71,151

定 義 域  236 点 ス ペ ク トル  226 転 置行 列   104

―

の 虚 数 部 分   19

―

の 実 数 部 分   19

―

の 絶 対 値   19

―

の 長 さ  19

―

の 偏 角   19

等 距離 作 用素   246

複 素 平 面   19

同型写 像   145

プ ラ ン ク 定 数   232

同型 であ る  145

フ レー ドホ ル ム   107

ナ 内

行

積  60,133 と ノル ムの 関 係  63

― ― 長

を もつ ベ ク トル 空間   133

―

の 行 列 式   121

―

の 小 行 列 式   121

閉 作 用 素   243 閉 部 分 空 間   148 ベ ク トル   2

さ  61

ベ ク ト ル 空 間   28 n次 元 の ―

2乗 可積 な 関数   146

  28

べ ッセ ル の 不 等 式   135

ノル ム  61

変 数 分 離   110

有 界作 用 素 の― ― の性 質  62

  158 マ

行

マ ト リ ッ ク ス 力 学   232

ハ 倍

行 ヤ

率  9

パー セ バル の等 式   140 ハ ミル トン ・ケ ー リー の定 理  56

非 可 換性  232,233,238

行

有 界 作 用 素   157 有 界作 用 素列 ― の 一 様 収 束   200 ―

の 収 束   200

微 分作 用 素  237

ユ ニ タ リ ー行 列   102

非有 界作 用 素  234

ユ ニ タ リー 作 用 素   89,162

ヒル ベ ル ト  131 ヒル ベ ル ト空間   134

―

と な る 条 件   100

余 次元1の 閉部 分 空 間  153 ラ 行 リー ス

ル ー ト  98

連 続 ス ペ ク トル   226 連立 方 程式

―

の 定理   155

n元1次

の ― 

35

―

の 補題   149

2元1次

の ― 

10

リ ゾル ベ ン ト  227

著 者略歴 志

賀 浩 二

  1930年  新潟 県に生 まれ る   1955年   東京大 学大学 院数物 系数学科 修士 課程修 了   現 在  東京工 業大学 名誉教 授 理学博 士

数学30講 シリーズ10 定価 はカバー に表示

固 有 値 問 題30講 1991年4月30日

  初 版 第1刷

2008年4月10日

  第14刷

著

者 志

賀

浩

二

発 行 者 朝

倉

邦

造

株式 発 行 所  会社  朝

倉 書 店

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電

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断 複 写 ・転 載 を禁 ず> 978-4-254-11485-0

番

C3341

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in Japan