一般力学30講 (物理学30講シリーズ)

物理学30講シリーズ1戸田盛和 著

一般力学30講

朝倉書店

は

し

が

き

力学 に 関す る著 書 は きわ め て多 い.そ こへ 新 た に1つ の テ キ ス トを加 え るに つ い て は,そ れ な りの方 向が なけ れ ば な らな い.私 は 多 くの 興 味 あ る問題 を 取 り上 げ て 力学 とい う木 の幹 や枝 を飾 ろ うと考 え た.こ れ が 多 数 の 人 の力 学 に 対 す る興 味 を再 び呼 び起 こす こ とに なれ ば これ に過 ぎ た 喜 び は な い. 力 学 は ガ リ レイ,ニ

ュー トン以 来,も

っ と も早 く確立 され た 学 問分 野 で あ る.

そ の 後 に 流 体 力 学,熱 力学,電 磁 気 学 が 始 め られ,20世

紀 に な って相 対 性 理 論 と

量 子 力 学 が 加 わ った が,こ れ らの分 野 は古 典 力 学 を踏 ま え て発 達 し,力 学 と並 ぶ 完 成 度 を 目ざ して い る とい え る. しか も現 在 に お い て も力 の釣 り合 い か ら探 査 衛 星 の 打 ち上 げ まで,き わ め て 広 い分 野 で 力 学 は 絶 えず 用 い られ て い る.し た が って理 工 系 の 人 は ほ とん どす べ て 力 学 の 門 を く ぐ らな けれ ば な らな い わ け で あ る. 他 方 で 日常 の体 験 には 力 学 的 な事 柄 が 多 く,そ れ に対 して疑 問 を も った り解 答 を 求 め た りす る機 会 も多 いが,そ

うい うあ りふ れ て い て しか も興 味深 い問 題 に は

案 外解 決 が むず か し い もの が あ る.そ の よ うな問 題 もい くつ か 取 り上 げ てで き る だ けわ か りやす く解 説す る こ とにつ とめ た.大 れ た点 まで もっ と も速 く降 下 す る経 路,ぶ

きな 振 幅 の振 り子 の周 期,与 え ら

らん こを こ ぐ運 動,な

わ とび の ひ もの

形,両 端 を保 持 した ネ ック レス の形 な どの具 体 的 な 問題 を解 説 した の は この方 針 に 沿 った か らで あ る.こ れ らの 問題 を解 くに は ヤ コ ビの楕 円関 数 とか 変 分 法 な ど を 説 明 しな け れ ば な らな い.こ の よ うな数 学 的 な説 明 もで き るだ け て いね いに わ か りや す く した つ も りで あ り,こ れ らの 具体 的 な 解 説 を 通 って 非 線 形 の 問題 な ど に関 す る読 者 の興 味 が深 まれ ば 幸 いで あ る. 本 書 の終 わ りの3分 の1は い わ ゆ る解 析 力学 に あ て た.ニ め られ た 力 学 は オイ ラ ー,ラ グ ラ ンジ ュ,ハ

ミル トン,ヤ

ュー トンに よ って始

コ ビな どに よっ て い ろ

い ろ の 観 点 を 与 え られ た.観 点 を変 え る こ とに よ って 新 た な発 展 が 起 こ る こ との

よ い例 であ る.ラ グ ラ ンジ ュの 方 法 を 用 い れ ば 具体 的 な 問題 が た い へ ん や さ し く な る こ とが 多 い の で,力 学 を学 び始 め る段 階 で この方 法 に習 熟 す る の が 望 ま しい が,力 学 の 演 習 をす る の が 本書 の 目的 で は な いか ら,ラ グ ラ ン ジ ュの運 動 方 程 式 によ る解 法 の例 は あ ま り多 く記 さ な か った.ハ

ミル トンの 正 準 運 動 方 程 式 と正 準

変 換 に 関 して例 題 的 な 記 述 を い く らか 多 くした.こ れ は 私 の興 味 の ため で もあ る が,解 析 力学 を全 体 に わ た りて いね いに 扱 うには多 くの紙 面 が 必 要 な の で,む し ろ 他 書 に あ ま りみ られ な い断 面 を記 述 し てみ る こ とに した の で あ る.い

うまで も

な く解 析 力学 は 統 計 力 学 や 量 子 力学 を学 び,あ る い は研 究 す る うえ で確 か な 足 が か りとな る もので あ るの で,こ の点 を重 視 した 記 述 を加 え てお い た. 力 学 は 広 く深 い が,本 書 で は 記 述 や証 明 の厳 密 さ よ りもテ ー マや 観 点 に対 す る 興 味 を重 ん じ る こ とに した.こ の よ うな方 面 か ら力 学 に 近 づ くの も１ つ の よい道 では ない か と思 う.い ずれに

し て も興 味 を もつ こ とが 理 解 へ の最 短 距 離 で あ ろ

う.読 者 が そ れ ぞ れ興 味 を もつ テ ー マ を発 見 して そ こを 掘 る こ とに す れ ば 自分 で 納 得 で き る理 解 が 得 られ るに ち が い な い． この よ うに 考 え てい くらか 他 書 と異 な る力 学 の テ キ ス トを 書 い た つ も りで あ る.こ の 目的 に 達 す る こ とが で きた か ど うか 十分 の 自信 は な いが,本 書 を 手 に し た の を機 会 に 読 者 が 力 学に 対 す る新 し い視 野 を得 る こ とが で き れ ば よい が と望 ん で い る. 終 わ りに 本 書 の 出版 に 際 しい ろ い ろ お世 話 に な った 朝 倉 書 店 の方 々に 厚 くお礼 を 申 し上 げ た い. 1994年１ 月 著

者

目

次

第

１ 講  力 の 釣 り合 い と 力 の ベ ク トル  TeaTime：

1

力 の分 解  6

第 ２ 講  力 の モ ー メ ン ト と釣 り合 い の 条 件  TeaTime：

第 ３ 講  垂 れ た ひ も の 形(懸 TeaTime： 第 ４ 講  摩

擦

垂 線) 

12

ア ル キ メデ ス と静 力学  15

力 

TeaTime：

17 摩 擦 力  20

第 ５ 講  力 学 的 エ ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則  TeaTime：

7

ベ ク トル  11

エ ネ ル ギ ー26エ

22 ネルギーの

単 位  27 第 ６ 講  回 転 の エ ネ ル ギ ー  TeaTime： 第

７ 講  角 運 動 量  TeaTime：

第

34 惑 星 の角 運 動 量  39

８ 講  単 振 動 と減 衰 振 動,強 TeaTime：

第

28

坂 道 を こ ろが る球  32

制 振 動 

９ 講  連 成 振 り子  TeaTime：

第10講 

48 つ る巻 きば ね の振 動  53

ぶ ら ん こ の 力 学  TeaTime：

40

電 気 的 な振 動  45

電 気 的 な 励 振  58

54

第11講 

第12講 

支 点 の 上 下 す る 振 り子  Tea

Time:マ

単 振

り 子 

Tea 第13講 

Time:ア

59

シュー の 方程 式  63 65 ー ベ ル と ヤ コ ビ  72

な わ と び の ひ も の 形  Tea

Time:ひ

73

もを 回す と き77楕

円関数 ・

３角 関 数 ・双 曲線 関数  78 第14講 

最 速 降 下 線  Tea

第15講 ア

第16講 

第17講 

Tea

Time:振

Tea

Time:質

衝

ロケ ッ トの 加 速  100 101

に は た ら く太 陽 と地 球 の 引 力  105

惑 星 の 運 動  Time:太

107 陽 系  113

惑 星 の 位 置 と 時 間 の 関 係  Tea

第20講 

93 量99 

平 面 の 極 座 標  Time:月

Time:ベ

115

ッセ ル 関数  118

惑 星 の 運 動 を 単 振 動 に す る 変 換  Tea

86

り子 時計  91

突 

Tea 第19講 

79 線 を 比べ る  84

ー ベ ル の 問 題 と サ イ ク ロ イ ド振 り子 

Tea 第18講 

Time:曲

Time:ティコ

・ブ ラーエ とケ プ ラー  123

120

第21講 

惑 星 の 軌 道 を 定 め る ラ プ ラ ス ・ベ ク トル  Tea

Time:惑

第22講 ラグランジュ Tea 第23講 

Time:尺

Time:断

第30講 ハ

Time:統

引 

Time:量

156

165

度 変 換  172 174 熱 変 化  179 181

計 力学  187

ミルトン− ヤ コ ビ の 方 程 式  Tea

149

ジ ャ ン ドル変 換  163

無 限 小 正 準 変 換 と 括 弧 式  Tea

索

Time:ル

143

動 方 程 式 の積 分  154

断 熱 定 理  Tea

第29講 

Time:運

136

小 作用 の原 理 と 目的 論  147

正 準 変 換 の 例 と 応 用  Tea

第28講 

Time:最

正 準 変 換 の 母 関 数  Tea

第27講 

定 理 

性 の数 学 者  142

正 準 運 動 方 程 式 と正 準 変 換  Tea

第26講 

Time:女

130

体 的 な 問題  134

最 小 作 用 の 原 理  Tea

第25講 

の 運 動 方 程 式 

保 存 則 とネーターの Tea

第24講 

Time:具

125

星 の軌 道 の決 定  129

188

子 力 学 へ の道  192

195

第 １講 力 の 釣 り合 い と力 の ベ ク トル

テーマ ◆ 力 とは何か,ベ

ク トル ◆ベ ク トルの加法 と力の釣 り合 い

◆ Tea Time:力

の分解

力 とい うもの 力 学 で は太 陽 ・地 球 ・月,あ

るい は 斜 面 ・物 体 な どが あ って,そ れ らの もの が

力 とい うも のを 通 して 相 互 に 影 響 し合 うと考 え る.自 然 現 象 を 構 成 要 素 に 分 け て,要 素 間 の 相 互 作用 を考 え る の は い ろ い ろ の 自然 科 学 に共 通 す る分 析 的方 法 で あ るが,力 学 で は 力 とい う相 互作 用 に よ って生 じる現 象を 扱 うので あ る. で は,力

とは何 か,と い う と簡 単 に は 答 え られ な い.最 近 の 力 学 では 力 に よ っ

て 生 じ る運 動 状態 の変 化 に着 目 して力 を定 義 す る.物 体 に は た らい て,そ

の運 動

を 変 化 させ るのが 力 で あ り,そ の変 化 に よ って力 の大 き さな どが 測 られ る とい う ので あ る.こ の と き,物 体 と,こ れ に力 を及 ぼす 別 の物 体 とが 要 素 と して考え ら れ て い る.こ の ２つ の物 体 を ま とめ て １つ と考 え て しま っ ては 分 析 的 方 法 が 適 用 しに く くな る.そ こで物 体 を切 り離 して それ ぞれ が力 を受 け る と 考 え る の であ る.こ れ か らわ か る よ うに,力 学 は も と も とい くつ か の物 体 に 関 す る現 象 の多体 問 題 な の で あ るが,そ れ ぞ れ の物 体 を 切 り離 して あた か も一 体 問題 で あ るか の よ うに 扱 い,こ の とき これ に 影 響 を 与 え る他 の物 体 は 力 とい ういわ ば 実 体 の な い も

ので 置 き換 え,代 用 され るの で あ る. そ こで も と も と存 在 しな い力 とい うもの を除 い て力 学 を建 設 し よ うとい う試 み もあ り うる.た とえ ば 太 陽 と地 球 とが これ これ の位 置 に あ る と き,地 球 は これ こ れ の 加 速度 を生 じ る,な

どとい うい い 方 をす る こ とに よ って,力

とい うも のを 除

外 す る こ と もで きな い わ け で は な い.し か し,こ れ は物 事 を わ か りに く くす る. や は り力 とい う概 念 を 使 って 述 べ た ほ うが わ か りや す い よ うで あ る. 力 とい う概念 が わ か りや す い よ うに 思わ れ る のは,人

間 が 大 昔 か ら重 い 石 を 持

ち上 げ る な ど して働 い て きた歴 史 が あ るか ら で あ ろ う.力 を 出す,力

持ちな どと

力 とい う言 葉 が 日常 多用 され るこ と も この こ とを物 語 って い る. 石 が 重 い の は地 球 が これ を 引 い て い るか ら で あ り,さ ら に 人 間 が 石 を 持 ち上 げ る の は地 球 と石 と人 間 の 三 角 関係 で あ る.こ の こ とを い ち お う忘 れ て,石 が持 ち 上 げ られ る の は石 に は た ら く力 の影 響 であ る と考 え る.こ や 人 間 の こ とは 除 外 され て,石

う考 え る と きに は地 球

と力 との関 係 だ け が 着 目され る.こ の よ うに力 学

に お い て は,あ る物 体 と,こ れ に作 用 して そ の 位 置,運 動 状 態,あ

るい は形 な ど

を 変 え る力 とい う力 学 の対 象 の世 界 を 切 り取 って 考 察 す る.こ の とき そ の まわ り の地 球 や 人 間 な ども い っ し ょに 考 え るの は 無 駄 で あ り,か え って 力 学 的 考 察 の じ ゃ まに な る ので,し

ては な ら な い こ とで あ る.

重 い物 を 持 ち 上 げ た り投 げ た りす るの に は 力 が 必 要 で あ るが,こ れ を 手 の上 に 保 持 す るだ け で も力 が 必 要 であ る.こ の 場合 の 手 の 力 は,物 体 を 引 く地 球 の 引 力 に 対 抗 す るた め に必 要 な の で,保 持 す る手 の 力 が な けれ ば 物 体 は 地 球 に 引 か れ て 下 へ 落 ちて し ま う.物 体 が 落 ちな い の は地 球 が 引 く力 と手 の 力 とが 釣 り合 って い るか らで あ る. この よ うに い くつ か の 力 が は た らい て物 体 が静 止 し,あ る い は 運 動 状 態 を 変 え な い 場 合,こ れ らの 力 は 釣 り合 って い る とい う.力 の釣 り合 い を考 え る学 問 を静 力学 とい う.静 力 学 の 歴 史 は 古 い.古 代 エ ジ プ トで ピラ ミッ ドを建 設 した とき に は 当 時 の 静 力 学 の 知 識 が 大 きな 役割 を演 じた であ ろ う.ギ リシ ア時 代 の 末期 に ア ル キ メデ ス(Archimedes,267BC‐212BC)に

よ っ て完 成 され た て こ の釣 り合 い

の原 理 は 静 力 学 の 大 きな成 果 で あ った.静 力 学 に よ っ て理 解 で き る現 象 も多 い の で,本 書 で は 静 力 学 の 力 の 釣 り合 い か ら始 め る こ とに す る． しか し,き わ め て単

純 な こ とが 多 い か ら詳 しい 説 明 は しな い こ とに す る. 力 の ベ ク トル 力の大 き さは,て

こ の原 理 に よ っ て比 べ る こ とが で き る.ま た 物 体 の１ 点 に 力

が は た ら くと き,そ の力 の 向 き に よ っ ては た ら きが 異 な る.こ の よ うに力 は大 き さ と向 き とを もつ量 で あ り,力 の大 き さに 比 例 す る長 さの矢 印 で 表 す こ とが で き る. １つ の物 体 に は た ら く ２つ の力 が 釣 り合 うのは,こ れ らの 力 が は た ら く点 を 通 って 力 の向 きに 引 い た 直 線(力 の 作 用 線)が 一

図１

致 し,力 の 大 き さが 等 し く向 きが 逆 向 きの とき で あ る(図１)． １つ の物 体に は た ら く３つ の 力 が釣 り合 うの は,こ れ ら の力 の 作用 線 が１ 点 で 交 わ り,３ つ の力 の矢 印 を つ ぎつ ぎにつ な いだ とき,こ

れ が 閉 じた ３角形 を つ く

る とき で あ る(図２).

図２

図 ３

図 ２に お い て矢 印Ｃ を逆 向 き に した矢 印 を力Ａ と力Ｂ の合 力 とい い,こ A+B と書 く.３ 力Ａ,Ｂ，Ｃの釣 り合 い は,Ａ,Ｂの 合 力A+BがＣ とで あ り,図 ３の よ うに,力 の 矢 印ＡとＢ 形 を つ くる と,合 力A+Bは

れを

と釣 り合 うこ

を そ れ ぞ れ 平 行 にず ら し て 平 行４ 辺

この平 行４ 辺 形 の対 角 線 の 矢 印 で 与 え られ る.こ の

こ とを 平 行４ 辺 形 の 法則 とい う.

力 の よ うに,大

き さ と 向 き を も ち,平

ベ ク トル と い う.ベ 3力 が 図2の

ク トル はA,Bな

行4辺

形 の 法則 に よ って 合成 され る量 を

ど の 太 文 字 や,OA,0Bな

よ う に 釣 り合 っ て い る と き A +B=-C 

あ る い は A+B+C=0 

(1)

と 書 く.A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)な

ど が 成 り立 つ.

1つ の 物 体 に 平 行 な 力 が は た ら く と き に も,上 で き る.た

ど の 記 号 で 表 す.

と え ば,図4の

よ うに,1つ

述 の こ とを 拡 張 して 扱 うこ とが

の 物 体 に 平 行 な3力A,B,Cが

は た ら く

図4 場 合,釣 とCと

り合 う力fと-fをAとBに

それ ぞ れ追 加 してA'とB'と

の釣 り合 い を考 えれ ば よ い.こ の 場 合,簡

し,A'とB'

単 な 計算 に よ り,釣

り合 い の

条件 は aA=bB(2) で 与 え られ る こ とが 示 され る.こ こでAとBは bは 支点0か

ら力AとBま

力AとBの

で の 距 離 で あ る.(2)を

大 き さで あ り,aと て この 原 理 とい う.ア ル

キ メデ ス が 明 らか に した もの で,お そ ら く物 理 学 の数 理 的 な 法 則 の最 初 の もの で あ ろ う. こ の場 合 の よ うに,た が い に釣 り合 う力 を 追 加 した りす るこ と も含 め て,多 の力 が は た ら く場 合 の釣 り合 いを 調 べ る こ とが で き るが,こ

く

こ で は省 略 す る.

な お,空 間 の 中 に選 んだ 原 点 か ら引 い た 矢 印 の 先 端 の 位 置 と して 空 間 内 の 位 置 を表 す こ とが で き る.こ れ を位 置 ベ ク トル と い う.変 位 もベ ク トル で あ り,速

度,加

速 度 も ベ ク トル で あ る.こ

れ に 対 し,質

量,エ

ネ ル ギ ー な ど の よ う に 向 きを もた な い 量

は ス カ ラ ー と呼 ば れ る. 図 ５の よ う に ベ ク ト ル 矢Ａ (Ax,Ay,Az)で

の先端 の座標 が

あ る と き,A=(Ax,Ay,Az,),

あ る いは

図5 と 書 く.ま

たｘ,ｙ,ｚ 方 向 の 単 位 長 さ の ベ ク トル(単

位 ベ ク トル)を

そ れ ぞ れｉ,ｊ

,ｋと す る と

であ る. 釣 り合 いの 例 棒 を ２本 の ひ もで 図 ６の よ うに 吊 る した と きの 力 の 釣 り合 い を 調 べ よ う. 【説 明】 棒 の 重 心 をＧ と し棒 の質 量 をｍ とす る.棒 の 張 力T1,T2が ６(a)).ま

に は 重 力F=mgと

ひも

は た ら いて い る.こ れ らは １点 で交 わ ら な け れ ば な ら な い(図

た 力Ｆ,T1,T2の

ベ ク トル 矢 は 閉 じた ３角形 を つ く らな け れ ば な らな

図 ６

い(図

６(b)).こ

れ らが 平 衡 の 条 件 で あ る.

棒 の重 心 の位 置,ひ

もの長 さな どの 関 係 で い ろ い ろの 形 に な るが,上 の 条 件 が

満 た され な けれ ば釣 り合 わ な い.

Tea

Time

力の分解 質 問  力 の 分 解 ・合 成 は い つ ご ろ か ら 考 え られ た の で し ょ う か. 答  オ ラ ン ダ のステ

ビ ン(S.

Stevin,1548‐1620)が1605年に

図 ７の よ うな 図 が あ っ て,そ な い 」 と 書 い て あ る.つ う に 考 え た.図

の上 の と ころ に

出版 した本 の扉 に

「 驚 くべ き こ と で あ る が 驚 く必 要 は

ま り 「わ か っ て み れ ば 当 然 」 と い う わ け だ.彼

は次 の よ

の よ うに な め ら か な 斜 面 に 等 間 隔 に 球 を つ け た ひ も が か け ら れ た

とす る.こ の とき左 側 の 斜面 の ほ うが 長 い か ら,こ こ に乗 っ てい る球 の数 は右 側 の斜 面 よ り多 く,し た が っ て左 側 の斜 面 に か か って い る ひ もの ほ うが 右 側 の斜 面 に かか って い る ひ もよ りも強 く下 へ 引 かれ て い るだ ろ う.そ の た め ひ もは 左 へ 向け て絶 えず ず れ 落 ち,ひ も は絶え ず 回 転 す るだ ろ うか.実 際 には そ ん な こ と(永 久 運 動)は あ りえ な い に ちが いな い.と す れ ば,こ の 場 合 ひ もを 斜 面 に 沿 って 左 へ 引 く力 と,右 へ 引 く力 と が 等 しい わ け で あ る.

図 ７

ステビ ン は こ れ を 斜 面 の 原 理 と し て 理 解 し,こ

れ を 使 っ て １つ の 物 体 に い くつ

か の 力 が は た ら くと き の 釣 り合 い を 明 ら か に し た.こ 葉 で い え ば,力

う し てステ ビ ン は 現 在 の 言

が 平 行 ４辺 形 の 法 則 に よ って 合 成 あ る い は分 解 で き る もの で あ る

こ と を 示 し た. ステ ビ ン は 土 木 な どに 通 じた 技 術 者 で あ っ た.こ ド・ダ・ヴィンチ(Le

onardo

取 り組 む 必 要 が あ っ て,力

da Vinci,1452‐1519)に

の こ ろ の人 た ち は レ オ ナ ル し て も,技

術 的 な 問題 に

の モ ー メ ン トな ど の 概 念 も 考 え だ し,力

の性 質 を理 解

す る よ うに な っ た わ け だ.ルネサンス

は 文 芸 や 美 術 ば か りで な く,科 学 的 な 視 野

も 同 時 に 開 か れ る 時 期 だ っ た の で あ る.

第２講 力 の モー メン トと釣 り合 い の 条 件

テーマ ◆ ベ ク トル の か け 算 ◆力 の モ ー メ ン ト と力 の 釣 り合 い ◆

Tea

Time:ベ

ク トル

ベ ク トル の か け 算 ベタ トル の積 に は ス カ ラ ー積 とベク トル積 の ２種 類 が あ る． 例 を あ げ て 説 明 し よ う. ス カ ラー 積 

な め らか な 斜面 に 沿 って物 体 がす べ り降 りる と き,重 力 が この

物 体 にす る仕 事 を考 え よ う(図 ８).物 体 の 質 量 をｍ と し,重 力 の加 速度 をｇ とす る と, 物 体 に は た ら く重 力Ｆ は 鉛 直 下 方 を 向 き, そ の 大 き さはF=mgで

あ る.斜 面 が 鉛 直 と

な す 角 を θとす る と,重 力 は 斜面 に沿 う大 き さFcosθ

の 力ｆ と斜 面 に垂 直 な力f'と の合

力 とみ る こ とが で き る(こ の と きｆ とf'はＦ

図8

の成 分 であ る とい い,ま た 力Ｆ はｆ とf'分

解 で き る とい う).斜 面 に沿 って 物

体 が距ｌ

だ け す べり 降 りる と き,斜 面 に 沿 う力ｆ(大 き さf=Fcosθ)が

に す る仕 事 は

物体

(１) で あ る.物

体 の 移 動 の 向 き に そ の 長 さｌ の 大 き さ を も つ ベ ク トルｌ を 考 え (２)

と 書 き,こ

れ をＦ

とｌ の ス カ ラ ー 積 と い う.一

般 に ベ ク トルＡ

とＢ の ス カ ラ ー

積 はＡ とＢ の 間 の 角 を θ と し て

(３) で 与 え ら れ る(図

９).こ

こ でＡ

とＢ は そ れ ぞ れＡ

とＢ の 大 き さ で あ る．

図 ９ ベ ク トル 積 

原 点 ０ か ら ベ ク トルＦ

トル をｒ と す る.ｒ 10)で

図10 が は た ら く点(作

とＦ を 含 む 面 に 垂 直 で,ｒ

か らＦ

回 し た と き に 右 ね じ が 進 む 向 き の ベ ク トル で,そ

ら れ る 平 行 ４ 辺 形 の 面 積rFsinθ 書 く),原

点Oの

引い た ベ ク

へπ よ り も 小 さ い 角θ(図 の 長 さ がｒとＦ

に 等 しい ベ ク トル をr×Fと

ま わ りの 力 の モ ー メ ン ト と い う.ま

用 点)へ

で つ く

書 き([r,F]と

た 一 般 にr×Fを

も

ベ ク トル

ｒとＦの ベ ク トル 積 と い う.

(４) ベ ク トルＡとＢ

と す る と き,ス

をｘ,ｙ,ｚ 成 分(直交

カ ラ ー積 は

座 標 系)で(５)

(６) で与 え られ る.ま たベク トル 積 は ベ ク トル

(７)

で与え られ る.こ れ らは 直交 座 標 系 の座 標 変 換に 対 して 不 変 で あ る こ とが示 さ れ る(証 明略). 力のモーメン ト 1.  1点Ｏ か ら力Ｆ の 作 用 線上 の 任 意 の 点Ｑ まで 引 い た ベ ク トルをｒ とす る と き,Ｏ の まわ りの 力 の モ ー メ ン ト (８ ) は 作 用 線 上 の点Ｑ の位 置に よ らな い.

図12

図11

【説 明 】Ｎ

は Ｏ とＦ を 含 む 面に 垂 直 で あ り,そ

した 垂 線 の ベ ク トル をｐ

と す る と き￨N￨=￨p￨・￨F￨に

の 大 き さ は Ｏ か らＦ へ お ろ 等 し く,作

用 線 上 の 点Ｑ

の 位 置に よ ら な い(図11). ２.  て こ の 支 点 を Ｏ と し,て こ が 釣 り合 う条 件 は,Ｏ す なわ ち

こ に は た ら く ２力 をF1,F2と

す る(図12).て

の ま わ り の 力 の モ ー メ ン トが 全 体 と し て ０に な る こ と,

(９) で あ る.

釣 り合 い の 条 件

力 を 加 え て も 変 形 しな い 物 体 を 剛 体 と い う.１ つ の 剛 体 に 力F1,F2,…,Fnが は た ら い て 釣 り合 う条 件 は,F1,F2,…,Fnの

総 和 が０,す

な おち (10)

で あ り,１ 点Oの

ま わ り の 力 のモ ー メ ン トの 総 和 が０,す

な わ ちrjを

Ｏ か ら力

Fjの 作 用 線 上 へ 引 い た ベ ク トル と し て (11) と な る こ と で あ る. こ れ は 次 の よ うに 述 べ る こ と も で き る. １つ の 剛 体 に 力F1,F2,…,Fnが

は た ら い て 釣 り合 う条 件 は,任

わ りの 力 の モ ー メ ン ト,す な わ ち 任 意 の 点 か らFjの をrjと

意 の１ 点 の ま

作 用 線 上 へ 引 い た ベ ク トル

して (12)

と な る こ と で あ る. 【説 明 】 =rj'+r0と

ベ ク トルrjの す る と,上

始 点 は 任 意 で あ るか ら,こ

れ を 一 様 にr0だ

け ず ら し てrj

式は

(13) と な る.r0は

任 意 で あ る か ら,こ

れか ら (14)

を 得 る.こ

れ は １.の 釣 り合 い の 条 件に ほ か な ら な い.

Tea

Time

ベ ク トル 質 問  力 が ベ ク トル で あ る と い うの は 経 験 法 則 な の で し ょ うか.そ

れ と も 力 はベクトル

と し て 定 義 さ れ る の で し ょ うか. 答  力 の 釣 り合 い を い ろ い ろ の 場 合 に つ い て 調 べ た り考 え た り す る こ と に よ っ て,力

を 力 の 大 き さに 比 例 し,力

の 向 き に 引 い た 線 分 に よ っ て 代 表 さ せ る と,力

の 合 成 や 分 解 が う ま く表 せ る こ と が 経 験 的 に 理 解 さ れ た の が は じ ま りだ と い っ て い い で し ょ う.今

の 言 葉 で い え ば 平 行 ４ 辺 形 の 法 則 が 発 見 さ れ た.こ

れ を使 って

ガ リ レイ も ニ ュ ー ト ン も 力 学 を 発 展 さ せ る こ と が で き た の で す . ベ ク トル 解 析 と い う数 学 が 確 立 さ れ た の は ず っ と あ と の こ と で

,19世

で す.こ

れ に つ い て は イ ギ リ ス の 数 学 者ハ ミ ル ト ン(W.R.Hamilton,1805‐

1865)と

ア メ リカ の 物 理 学 者 ギ ブ ス(J.W．Gibbs,1839‐1903)と

い が あ っ た と い わ れ る ほ ど新 し い の で す.で

す が,そ

の間 で 先 陣 争

れ よ り も 前に 力,速

速 度 な ど が 平 行 ４辺 形 の 法 則 に 従 う こ と が 十 分 に 認 識 さ れ て い て,ベ う概 念 は 自 然 に 発 生 し て い た と思 わ れ ます.こ

紀後半

度,加

ク トル と い

れ を 線 形 代 数 と し て把 え る こ と に

よって ベ ク トル 解 析 が 整 備 さ れ た. 一 度 整 備 さ れ る と 数 学 は た い へ ん 使 い や す くな

って 物 理 の 各 方 面 に応 用 され て

そ の 発 展 に 大 い に 役 立 つ よ うに な る ． こ れ は い つ で もそ う で す.そ

れ で力 は ベ ク

トル で あ る と い う と 力 の 性 質 が い っ ぺ ん に 明 白 に 把 握 さ れ る こ と に な る. マ ク ス ウ ェ ル(J.C.Maxwell,1831‐1879)が

電 磁 気学 を 確 立 し た と き に は,

ベ ク トル 解 析 が ま だ 十 分 発 達 し て い な か っ た の で,電 々 と した 式 を 使 わ な け れ ば な ら な か った し,そ

の た め 電 磁 気学 を 理 解 す る の は 当

時 た い へ ん む ず か し か っ た と い わ れ て い る.ベクトル い ろ 便 利 な 記 号(〓,grad, rotなど)が

磁 気学 の 法 則 を 書 く の に 長

あ っ て,電

の 場 を 扱 う のに 今 で は い ろ 磁 気学 だ け で な く流 体 力 学 な

ど で も こ れ ら の 記 号 を 使 うの で 式 を い ち い ち 成 分 で 書 か な く て も よ い の で あ る が,マ

ク ス ウ ェ ル の 時 代 は そ うは い か な か っ た の で あ る.

第３講 垂 れ た ひ もの形(懸 垂 線)

テーマ ◆両端 を固定 したひ もが垂れ下が った形 ◆ひ もの線密度が一様 でな いひもの場合 ◆ Tea Time:ア

ルキ メデスと静力学

ひ もの 静 力 学 一 様 な 重 力 の下 で 垂 れ 下 が った ひ もの 釣 り合 い が こ の講 の テ ーマ で あ る.垂 れ た ひ もが１ つ の 鉛 直 面 内 に あ る のは 当 然 で あ るか ら,こ の面 内 で水 平 方 向 にｘ軸 を,鉛 直 上 方 にｙ 軸 を と る.ひ もの あ る点 か らひ もに 沿 っ て測 った 長 さ をｓ,ひ もの 線 密 度(単 位 長 さ の 質量)を

σと し,ひ もの張 力 をＴ とす る.ひ

も は 完全

に自由 に 曲げ る こ とが で き る と し,ま た 力 を加えて もひ もは 伸 び な い とす る(図 13参 照)． 長 さ も密 度 も等 しい ひ も を ２本 用 意 し,両 端 を そ れ ぞれ 同 じ と こ ろに 保 持 す れ ば,２ 本 のひ もは 同 じ形 で 垂 れ る.そ

こ で ２本 の ひ もを い た る と こ ろで くっつ け

れ ば 質 量 が ２倍 の １本 の ひ もに な るが,垂 れ た形 は変 わ らな い.３ 本,４ 本,… で も同 じ こ とで あ る. これ か らわ か る よ うに,垂 れ た ひ もの形 は,ひ

もの絶 対 的 な 質 量 に は よ らず,

各 点 の 質 量 を 一 様 に 何 倍 か して もひ もの形 は変 わ らな い.各 点 の質 量 を 一様 にｎ 倍に す れ ば線 密度 はｎσに な り,張 力 はｎTに な る.し か し ひ もの 垂 れ た 形 は変

わ らな い ので あ る. dsには た ら く力 の釣 り合 い を 考 え よ う.こ の 部 分 の 両端 に は た ら く張 力 の 水 平 成 分Tx(s)とTx(s+ds)は

釣 り合 わ な

け れ ば な らな い か ら (１) 鉛 直 方 向 に は微 小 部 分 の 重 さgσdsが 張 力 と釣 り合 うの で,張 力 の鉛 直 成 分 に つ いては (２)

図13

した が っ て (３) で あ る. ひ も に 沿 うdsの

成 分 をdx,dyと

する と (４)

で あ る か ら,(３)を

積分す ると 一 定(T0と

す る) (５)

と な る.た だ し垂 れ た ひ もの最 下点 をs=0と

した.こ れ らの 式 の比 を つ くれ ば (６)

あ るい は 微 分 して

(７)式(７)に 与 え れ ば,ひ

は ２つ の使 い 方 が あ る.線 密 度 σを 定 数,あ もの形y=y(x)が

るい はｓ の 関 数 と して

得 られ,ま た ひ もの形y(x)を

決 め れ ば そ の形 を

与 え る よ う な ひ も の 密 度 σ=σ(s)が

求 め ら れ る.こ

こで (８)

で あ る か ら(７)は

(９)

と書 け る.こ のほ うが わ か りや す いか もしれ な い. い ろ い ろ な場 合 【例 １】σ=一

定(σ0と す る)の 場 合(い わ ゆ る懸 垂 線) (９)はL0=σog/Toと

して

(10)

で満 た され る.こ れ が 懸 垂 線 の 方 程 式 で あ る.た だ しひ もは 原 点x=y=0が れ を(８)に

最 低 点 で あ る と し た.こ

入れて積分すれば (11)

図14

を 得 る.ひ

もの 長 さを2lと し,そ の両 端 を 同 じ高 さ の ２点x=±

αに 固 定 す る と

すれば (12) に よってL0が

定 ま り(T0も

σ0に比 例 して定 め られ る),そ

し て こ の よ うに ひ も

を保 持 す る両 端 の 高 さy=bは (13) で 与 え られ る(図14). 【例 ２】 水 平 方 向に 等 間 隔 なお も りが か か って い る場 合 ひ もの 重 さを 無 視 す る.一 定 の重 さの 橋 げ た を 吊 って い る吊 り橋 の形 を 想 像す

れ ば よい(図15),水 長 さ の荷 重 をWと

平方向の単位 し,こ の場 合 は

(14) と 書 け ，(7)は

(15) 図15 と な る.し

たが って

(16) これ は放 物線 で あ る. 【例3】

ひ もの形 が 円 弧 に な る よ うな ひ もの 質量 分 布

円 弧 の 方程 式 を

(17) とす る.こ

の とき

(18) し た が っ てdtanθ/dθ=1/cos2θ

に よ り(7)か

ら

(19) とな り,最 低 点 か ら上 が るに つ れ,線 密 度 を大 き くす

図16

れ ば よい. 円 の 半 径aを

決 め て お く と き は,s=aθ

な の で σ0を 定 数 と し て,線

密度 を

(20) とす れ ば よ い こ と に な る.

TeaTime

アルキ メデス と静力学 ア ル キ メデ スは て この 原 理 や 重 心 の研 究,液 体 中 の 物 体 に は た ら く浮 力 の 解 明

な どで 有 名 で あ る.ま た 面 積 や 体 積 を小 さな部 分に 分 割 し て総 和 を 求 め る方 法 を 開発 し た が,こ れ は 積 分 学 の もと に な る考 え方 で あ っ た.彼 が 羊 皮 紙 に書 い た研 究 が 発 見 され て,彼 の 研 究 方 法 も明 らか に され て き た と い う.そ の 方法 の １つ は 数 学 的 な研 究に も実 験 を併 用 す る こ とで あ った ら しい.た

と えば 平 面 の 形 を した

物 体 の重 心 を 数 学 的に 求 め,他 方 で この形 の 板 の重 心 を実 験 的 に 調 べ る とい った 方 法 で あ る. ア ル キ メデ ス の 時 代 は 古 代 ギ リシ アの 末 期 で,彼 の 生誕 地 は ギ リシ アの 植 民地 だ った イ タ リア 南 部 の シチ リア 島 の シ ラ クサ で あ った.シ

ラ クサ は最 後にローマ

の軍 に攻 め られ て 落城 したが,ア ル キ メデ ス は シ ラ クサ 王 を助 け て,反 射 鏡 で太 陽 の光 を集 め て ロ ーマ の 軍艦 を焼 い た りし て ロー マ軍 を 悩 ま し た とい う． 落 城 の とき に ロー マ の兵に殺 され た.浮 力 の 研 究 は シ ラ クサ 王 が つ くらせ た 王 冠 に 混 ぜ もの が あ る とい う うわ さの た め,王 が ア ル キ メデ ス に検 査 を 依 頼 した こ とか ら生 まれ た の であ る. ガ リ レイは アル キ メデ ス を唯 一 の 師 とし て尊 敬 した． ア ル キ メデ ス は 実 験 的 に 示 され る て こ の釣 り合 いの 原 理 を も とに し て一 般 の力 の釣 り合 い,す

なわ ち静 力 学 を幾 何 学 の よ う

図 １7 アルキ メデスが考 えた重 さの釣 り合い に 論 理 的 に 考 え よ うと した が,実 験 と論 理 を 組 み 合 わ せ る科 学 の方 法 は アル キ メデ ス か らガ リレイに 引 き継 が れ た と い って も よい で あ ろ う.

第４講 摩

擦

力

―テーマ ◆ 静止摩擦 と動摩擦 ◆円柱にかけたひ もの摩擦 ◆ Tea Time:摩 擦力

静 止 摩 擦 水 平 な台 の上に 物 体 を の せ,水 平 な 力Ｆ を 加 え る.力Ｆ

が小 さ け れ ば摩擦の

た め 物 体 はす べ りだ さな い.こ の と きの摩 擦 力 は 加 えた 力Ｆ と大 き さが 等 し く, 向 きは 反 対 で あ る(図18). この 場 合,台 は物 体 の重 さの 力Ｗ で押 され て い る. 物 体 が 台 を押 す面 を 変 え な い で,物 体 にお も りな どを の せ て重 くす れ ば重 くす るほ ど,力Ｆ

を大 き くし な

け れ ば動 きだ さな い.こ れ に は 以 下 の 法則 が あ る. １.接

図18

触 面 の性 質 を 同 じに し て お く.物 体 が接 触 面 を押 す 力 をＷ

物 体が す べ りだ す と きの 力 を す べ りの最大 静止 摩 擦 力 と いい,そ る と きFmはＷ

に 比 例 す る.

(１)を す べ りの静 止 摩 擦 係 数 とい う.

とす る と き,

の 値 をFmと

す

２.接

触 面 の性 質 が 同 じな らば,静

止摩 擦 係 数 μ0は接 触 面 の面 積 に よ らな い.

こ の ２つ の 法則 を ク ー ロ ン(Coulomb)の

法則 とい う こ と が あ る.静

電気 の

間 に は た ら く力 を調 べ た ク ー ロ ン と同 じ人 で あ る. 動

摩

擦

物 体 が す べ りだ し てか らの 摩 擦 力 を す べ り摩 擦 力 とい う.す べ り摩 擦 力 はすべ りの最 大 静 止 摩 擦 力 よ りも小 さい.こ 押 す 力Ｗ

の場 合 に す べ ら せ て い る力Fと

接触面 を

との 比

(２)

を す べ りの動 摩 擦 係 数 とい う.こ れ は完 全 な定 数 で は な く,一 般 にす べ る速 さが 速 い ほ ど動 摩 擦 係 数 は小 さ くな る. 木 の 物 体 が 木 の 台 の上 を す べ る場 合 に は 接 触 面 の 凹 凸 が 摩 擦 の 原 因 で あ るが, 接 触 面 を 油 な どで ぬ らす と摩擦 力 を小 さ くす る こ とが で き る.金 属 面 が た が い にす べ る と きは 小 さな 凹 凸に よ って面 が ひ っか き合 っ て,部 分 的 に 高温 に な って融 け る.こ の と きの 仕 事 が 摩 擦 力 を生 じる. 図19

車 輪 や ころ な どが転 が る と き も,小 さい が 摩

擦 力 が は た らい て運 動 を減 衰 させ る.こ れ を転 が り摩 擦 とい い,接 触 面 の変 形 な どが そ の 原 因 で あ る(図19). 円柱 に か け た ひ もの 摩 擦 円柱 に ひ もを か け,ひ

もの両 端に 力 を 加 え る と,大 き な力 の ほ うへず れ よ う と

す るが 静 止 摩 擦 のた め は じめ は動 か な い.し か し一 方 の 端 を 引 く力 を十 分大 き く す る と摩 擦 が 負 け て い っぺ ん に ず れ 始 め る.ひ もが ず れ始 め るち よっ と前 の と き は,ひ

もを 引 く力 と最 大 静 止 摩 擦 力 とが釣 り合 って い る わ け で あ るが,ひ

もの 張

力 は ひ もの場 所 に よ って違 い,円 柱 を押 す 力 も場 所 に よ って違 うの で,は た らい

て い る最 大 静 止 摩 擦 力 もひ もの 場 所 に よ って異 な る. ひ もの一 端 に 加 え る力 をT1と

し,ず

ま る直 前 の と きの 他 端 の力 をT2と

れ が始

し,図20の

よ うに そ の 間 の角 度 を θ とす る と

図20

(3) の 関 係 が あ る.こ

こで μ0は静 止摩 擦 係 数 で あ る.

【証 明】 図21の

よ うに 円柱 に か か る ひ

もの 微 小 部 分PQを

考 え,こ れ に相 当す る

角 度 をdBと T,Qにお

す る.ま

お け る張 力 を

け る張 力 をT+dT(dT＞0)と

す る.PQの T+dTの

たPに

部 分 に は た ら く力 は張 力T, ほ か にPQの

部 分 の ひ も と円柱

とが押 し 合 う力dNと

この 部 分 に は た ら く

最 大 静 止摩 擦 力dFと

で あ る.力 の 釣 り合

い を考 え る と,PQに

平 行 な方 向 の釣 り合 い は

図21

(4) で あ り,PQに

垂 直 な 方 向 の 釣 り合 い は

(5) と な る,こ

こ でdBが

十 分 小 さ い とす る と(4)は

(6) と な り(5)は

(7) と な る.こ

こ でdFとdNの

間 に は摩 擦 の 法則

(8) が 成 り立 つ.し

た が っ て(6)と(7)を(8)に

代 入 して

(９) を 得 る.こ (T2>T1)と

れ をdT/T=μ0dθ し,こ

と 書 い て 積 分 し,一

の 間 の 角 を〓

端 の 力 をT1,他

端 の 力 をT2

とす れ ば (10)

と な る.こ

れ を 書 き 直 せ ば(３)を

得 る.

最 大 静 止 摩 擦 力 の 限 度 を 越 え て 大 き な 力 を 加 え る と,ひ す るす る とす べ る が,こ

もは 円 柱 に 沿 い な が ら

の と き ひ も の 両 端 に 加 え て い る 力 をT1,T2と

す る と(10)

のμ0を す べ りの 摩 擦 係 数 μ で 置 き換 え た 式 が 成 り立 つ で あ ろ う. 円 柱 に ひ も を 巻 き つ け れ ば,小 と が で き る こ と に な る.μ0〓0.3と と き はT2/T1〓e2〓7.4,２ な お,ひ

さ な 保 持 力T1で

大 き な 外 力T2に

す る と2πμ0〓2と

な る の で,１

回 巻 き つ け た と き はT2/T1〓e4〓55と

も の 途 中 の 角 度 が θの と こ ろ の 張 力 をＴ

対抗す るこ 回巻 きつ け た

な る.

とす れ ば,(９)の

積 分か ら (11)

を 得 る.

Tea

Time

摩擦 力 質問  静 止摩 擦 係 数 の 値 は どの く らいで す か. 答  摩 擦 係 数 は 面 の け ず り方,な め らか さ,材 料,油

な ど の存在 な ど,い ろ い ろ

の違 いに よっ て さ ま ざ まです.し か し大ざ っぽな 値 で も知 ってお くと よい で し ょ う.表 面 が な め らか で,完 全 に 汚 れ てい ない 場 合,静 止 摩 擦 係 数 は 非 常 に 大 き く 1∼10の 値 を示 す.し

か し完 全 に汚 れ の な い表 面 は 超 真 空 な どの 特別 な条 件下 で

なけ れ ば あ りえな い.現 実 的に い っ て油 な どで 汚 れ てい な い 表面 ど うし の摩 擦 を 乾 燥 摩 擦 とい い,そ の 静止 摩 擦 係 数 は0.5∼1.5程

度 で あ る.表 面 が液 体 でぬ れ

てい た りす る と この値 は0.1程 度 に な り,流 体 の 膜 で へ だ て られ た面 で は0.001 以 下 に もな る.ふ つ うの乾 燥 状 態 の一 応 な め らか な 表 面 で は,す べ りの静 止 摩 擦 係 数 は0.4程 度 とみ て よい だ ろ う.動 摩 擦 係 数 は 約 １割 ぐ らい小 さい.一 般 に摩

擦係 数 は 金 属 表 面 で 大 き く,プ ラス チ ッ クで は小 さ い. 自動 車 の タ イ ヤ と道 路 との間 の 動 摩 擦 係 数 も道 路 の材 料 な ど に よ っ て 異 な る が,乾 燥 状 態 で 約0.5な の が ぬ れ た 状 態 で は0.3程 度 に な る.ま た 自動 車 の ス ピ ー ドが20km/時 の と き摩 擦係 数 が0 .6で あ っ て も80km/時 に な る と0.3程 度に な っ て し ま うか ら,高 ス ピー ドほ ど制 動距 離 を 十 分 長 くと らな け れ ば な らな いわ け で あ る.運 転 す る人 は この こ とを よ く考 え なけ れ ば な ら な い.

第５講 力学的 エネル ギー保存の法則

―テーマ ◆ 等加速度運動 ◆力学 的エネルギ ーの保存 ◆ Tea Time:エ ネルギー,エ ネルギ ーの単位

等加速度運動 まず 一 直 線上 の運 動 を扱 お う.こ の 直線 をｘ 軸 に とる と速 度 は (１) で あ り,加 速度 は (２) で与 え られ る.物 体 の質 量 をｍ と し,こ れ に は た ら く力(ｘ 方 向の 力 とす る)を ｆとす れ ば,運 動方 程式 は

(３)

で 与 え られ る. そ こで,力 が 一 定 の 場 合 を 考 え る と α=f/mは と きの 速度 をv0と し て(３)を

定 数 に な る の で,時 刻t=0の

積 分 す れ ばv=v0+αtあ

るい は

(４) を 得 る． これ を さ らに 積 分 し,t=0の

と きの位 置 をx0と す れ ば (５)

とな る． これ が一 直 線 上 の 等 加 速度 運動 で あ る. 一 様 な重 力 がは た ら く場 合 ,鉛 直 下 方 にｘ軸 を と り,重 力 の 加 速 度 をｇ とす る と (６) この と きはα=gで

あ る．t=0でx0=0か

ら 自由 落 下 す れ ばv0=0で

あ り,

(７)

し た が ってv2=g2t2=2gx,あ

るい は

(８)

が 成 り立 っ. (８)は (９) と書 く こ と が で き る.こ

こ でmv2/2を

ネ ル ギ ー と 呼 べ ば,(９)は

運 動 エ ネ ル ギ ー と 呼 び,−mgxを

位置 エ

こ れ ら の 和 が 一 定 で あ る こ と を 示 し て い る.こ

れ は

エ ネ ル ギ ー 保 存 則 の 一 番 簡 単 な 場 合 で あ る.

力学 的 エ ネ ル ギ ー

質 量ｍ の 物 体 の 位 置をｘ,こ

れ に は た ら く力 をｆと す る と,運

動方程式 は

(10)

こ こ で(dx/dt)dt=dxを

両 辺に か け る と

(11)

とな るが左 辺 で は (12)

と 書 け る.ま

たv=dx/dtは

物 体 の 速 度 で あ るか ら (13)

これ を 積 分 す れ ば (14)

を 得 る(図22).左

辺 は 運 動 の エ ネ ル ギ ー の 増 加 分 で あ り,右 辺 は 力ｆ の し た仕事

と解 釈 で き る.し た が って上 式 は,運 動 の エ ネ ル ギ ーの 増 加 は,な

され た 仕 事 に 等 しい こ とを 表 し て い る.こ の こ と

は 一 直 線 上 の 運 動 に 限 ら な い.力 の 成 分 をfx,fy,fzと し,物 体 の 移動 をdx,dy,dzと

す れ ば上 式 は,出 発 時 の 速

度 をv0と し て

(15) 図22 と 書 け る.こ (dx,dy,dz)を

こ でｆ は 力 の ベ ク トルf=(fx,fy,fz)を 表 す.さ

ら にf・drは

表 し,drは

微 小 変 位dr=

ス カ ラ ー積 (16)

を 表 し て いる． こ こ でfsは

変位dsの

方 向 の 力ｆ の 分 力 で あ り,∫f・dr=∫fsds

は 物 体 に な され る 仕 事 で あ る. 力ｆ が 物 体 の 移 動drに 方 向 にdx=0で

あ り,ま

垂 直 な 場 合 は,た たfy=fz=0で

体 の 移 動 が 力ｆ に 垂 直 な 場 合 は,こ 力ｆ が あ る 関Ｕ

か ら

と え ば 力 の 方 向 にｘ軸

あ る か らf・dr=0と の 力 は 仕 事 を し な い.

を とる と こ の

な る.す

なわ ち物

(17)

に よ っ て 導 か れ る 場 合,こ

の 力 を 保 存 力 と い う.こ

の と き(16)は (18)

と な る． こ の 場 合(15)は,U0を

出 発 点 に お け るＵ

の値 として (19)

あ る いは

(20)

と書 け る.こ て(20)は

こ でＵ

は 位 置 エ ネ ル ギ ー(あ

る い は ポ テ ン シ ャル)で

あ る.そ

運 動 エ ネ ル ギ ー と 位 置 エ ネ ル ギ ー の 和 が 一 定 に 保 た れ る こ と,す

し

なわ

ち 力 学 的 エ ネ ル ギ ー の 保 存 を 表 し て い る. 一 様 な 重 力 のmgがｘ る か ら,(20)は(９)を

方 向 に は た ら く場 合 はf=mgで

あ り,U=-mgxで

あ

与 え る.

斜 面 上 の す べ り運 動

な め ら か な(摩

き,物

擦 の な い)斜

面 上 を 物 体 が す べ り降 りる と き を 考 え る.こ

の と

体 は重 力 と 斜 面 か ら の 抗 力 を 受 け る

が,な め らか とい うこ とは,抗 力 の 斜 面 に 沿 う成 分 が な い こ と,し た が って抗 力 は 斜 面に 垂 直 で あ る こ とを意 味 し て い る.こ の 場 合, 物 体 の 移 動 は抗 力 に垂 直 であ るか ら物 体 に 対 して 仕事 を し な い.そ

こで 物 体 が 静 止 の 状 態

図23

か らす べ りだ し て高 低 差ｘ だ け 降 りた と きの 速 度 をｖ とす る と(８)の

式 (21)

が斜 面 の傾 きに よ らず成 り立 つ(図23).

こ こ で 斜 面 に 沿 っ た 移 動 距 離 をｌ,斜 を θ とす れ ば,図23か

面 の傾 き

ら (22)

した が って (23) と 書 け る.こ

れ は 斜 面 に 沿 っ てmgsinθ

は た ら い た と き の 速 度 で あ る.重 図24

な力f‖=mgsinθ

の力 が

力 は 斜 面に 平 行

と 垂 直 な 力f⊥=mgcOsθ

と

に分 解 で き,後 者 は 抗 力 と釣 り合 うの であ る(図24).

Tea

Time

エネルギー エ ネ ル ギ ー とい う言 葉 は い まで は 日常 語 で あ るが,ニ に は この言 葉 は な い.彼

ュー トンの 書 い た 本 な ど

の力 学 の 主 著 で あ る 『プ リ ンキ ピア』 で扱 って い る惑 星

の 運動 で は運 動 法則 と万 有 引 力 か ら運 動 を 導 い て い るが,こ れ に エ ネ ル ギ ー とい う概 念 を し い て使 う必 要 は な い.し か しガ リ レイ は力 学 的 エ ネ ル ギ ー 保 存 の 法則 を ほ とん ど発 見 し て いた.た

とえば 斜 面 を ころ が り降 りた 球 が そ の 向 こ うに あ る

別 の斜 面 を こ ろが り上 が る と きは,は とがで き る こ とに 彼 は 注 意 し,第

じめ に 出発 した 高 さに 近 い高 さ ま で上 る こ

２の 斜 面 が平 ら で あ った ら球 は い く らで も遠 く

まで 運 動 を 持 続 す るに ち が い な い と述 べ て い る.ま た 振 り子 の糸 が 振 れ る と ころ に釘 を お け ば 糸 が これ に ぶ つ か った あ とで釘 よ り下 の部 分 が さら に 前進 し て お も りは上 昇 す るが,お

も りは は じめ の 高 さに近 い と こ ろ まで 上 昇 す る.こ の よ うな

こ とか ら空気 の抵 抗 な どが な い 理想 的 な場 合 の 運 動 の 持 続 を ガ リ レイは 考 え て い る.理 想 的 な場 合 を推 定す る こ とは彼 の す ぐれた 思考 方 法 の １つ で あ った. 彼 は また杭 に石 を落 とす と きは石 を 杭 の上 に お く よ りも大 きな 力 が は た ら くこ とに注 意 し,衝 突 に よる運 動 の伝 達 も考 えて い る が,運 動 量 や エ ネ ル ギ ーの 概 念 を 明確 にす る こ とは で きな か った.デ

カルト は質 量ｍ と速 度ｖ の積 を運 動 の量 と

考 え,ニ ュ ー トンは これ を 運 動 の法則 に取 り入 れ た.ラ von Leibniz,1646‐1716)はmv2で

イプニッツ(G．W.F.

運 動 の量 を表 す こ とを 主 張 した が,こ の ころ

は まだ 力 と運 動 の量 との 区別 が 十 分 明 らか で は な く,し ば しば 論 争 のた ね に な っ た.エ ネ ル ギ ー の概 念 が確 立 され た の は 力学 的 エ ネ ル ギ ーが 熱に な る現 象が 大 き な 関 心 を よび,熱 の学 問 が発 達 し始 め て か らで あ った.

エネルギーの単位 力 の 単 位:ニ

ュ ートン(記

1N=1kgの

号N)

物 体 に は た ら い て1m/s2の

加 速 度 を 生 じる力

=1kg･m/s2 1kg重=9.8N(9.8は

重 力 加 速 度g=9.8m/s2に

エネ ルギー および 仕 事 の 単 位:ジ

ュ ー ル(記

よ る)

号J)

1J=1N×1m=1kg(m/s)2 1 kW時=3.6×106J 熱 量 の 単 位 に もＪ を 用 い る が,補 で は キ ロ カ ロ リ ー(kcal)が

助 的 に カ ロ リー(cal)も

用 い ら れ る .栄

養学

用 い ら れ る．

1cal=4.18J,1kcal=1000cal 仕事率 :ワ ッ ト(記 号Ｗ) 1W=1秒

間 に1Jの

仕 事 を す る仕 事 率

=1J/s １馬 力(フ ラ ン ス,PS)=735.499W, １馬 力(イ ギ リ ス,HP)=745.700W 圧 力 の 単 位 ：パ ス カ ル(記 1Pa=1m2に

号Pa)

１Nの

力 が 加 わ る と きの圧 力

=1N/m2 補 助 的 に ヘ ク トパ ス カ ル(hPa)も ー ル(=10-3bar

,記

号mb)も

用 い ら れ る.以

前 は バ ー ル(bar),ミ

リバ

用 い ら れ た.

1hPa=100Pa=1mb １気圧(記 Hgで

表 す.以

号atm)は

水 銀 柱760mmに

前 は トー ル(torr)と

1atm=760mmHg=1013.25hPa 1mmHg=1torr

相 当 す る 圧 力 で あ る.水 銀 は 原 子 記 号 い う単 位 も用 い ら れ た .

第６講 回転 の エ ネル ギ ー

―テーマ ◆斜面 を降 りる回転体 ◆回転 のエネルギー ◆ Tea Time:坂 道を ころが る球

回転 と重 心運 動 図25の

よ うに 中央 に 回 転 軸 をつ けた 重 い亜 鈴 形 の物 体 を 考 え,軸

が斜 面 上 を

す べ らず に こ ろが る とす る.こ の 回転 体 は ゆ っ く り加 速 され な が ら斜 面 に沿 って 降 りる.こ の加 速 がゆ るや か な のは 回 転 の ため に エ ネ ル ギ ー が食 われ るか ら で あ る.言 い換え る と,降 下に よっ て 位 置 エ ネ ル ギ ーが 運 動 エ ネ ル ギ ーに 変 わ る と きに,そ の大 き な部 分 は回 転 の 図25

運 動 エ ネ ル ギ ー とな り,降 下 運 動 に は

少 し しか与え られ な いの で,加 速 は ゆ っ く りした も のに な る ので あ る. そ こで まず 降 下 運 動 は 考 えず に,回 転 の エ ネル ギ ーを 調 べ よ う. 図25と

同 じ亜 鈴 形 の 回 転 体 が 回転 軸 の ま わ りに 単 位 時 間 にｎ回 の速 さで 回 転

し て い る とす る. (１)

は単 位 時 間 に 回転 す る角度,す

な わ ち 角速 度 で あ る.中 心 軸 か ら両 側 の お も りま

で の長 さをｌ とす る と,お も りは単 位 時 間 にlω だ け の 距 離 を 進 む の で,そ

の速

さは (２) で あ る.２ つ のお も りの質 量 が 等 し くｍ で あ る とす る と,こ の 回 転 体 の 回 転 の 運 動エネルギーは (３) とな る. 図25の

よ うに 回 転 し なが ら重 心 運 動 を す る物 体 の運 動 エ ネ ル ギ ー は重 心 運 動

の エ ネ ル ギ ー と回転 エ ネ ル ギ ー との 和

(４) で与 え られ る.こ こで 回 転 体 の 質 量 をM（=2m),重

心 の 速度 をvGと す れ ば,重

心 運動 の エ ネ ル ギ ー は (５) で あ る.(４)を

証 明 し よ う.

【証 明】 図25の 回 転 体 の ２個 の お も りを１,２と名 づ け る.重 心(回 転 軸 の 中 心)の

位置 をベ ク トルrGで

表 し,重 心

か らお も り １ま で引 い た ベ ク トル をr1', とす れ ば,お

も り１の 位 置 は (６)

とな る.こ れ を 時 間 で微 分 す れ ば,お り １の 速度v1は

も 図26 (７)

で 与 え られ る． こ こ でvG=drG/dtは り １の 速 度 で あ る.

重 心 の 速 度,v1'=dr1'/dtは

回転 に よ るお も

回 転 軸(重 か ら,回

心)か

ら お も り １ ま で の 距 離 はｌ で あ り,回

転 に よ りお も り １が もつ 速 度v1'方

転 の角 速度 は ωで あ る

向 の 単 位 ベ ク トル をuと

す れ ば, (８)

と 書 け る.回

転に よ る お も り ２ の 速 度v2'はv1'と

逆 向 きな の で

(９)

で あ る． 全 運 動 エ ネル ギ ー は (10) で あ る.こ

れ に(８),(９)を

代入すれば (11)

を 得 る.こ

の 右 辺 の 第 １項 は 重 心 運 動 の エ ネ ル ギ ー で あ り,第

２項 は 回 転 の た め

の 運 動 エ ネ ル ギ ー で あ る.

回転 しなが らの 降 下

回 転 軸 の 半 径 をｒ と し,回

転 軸 と 斜 面 の 間 で す べ りが な い と す る と (12)

が 成 り立 つ.し

た が っ て(５),(３)か

ら

(13)

と な り,(11)は (14) と書 け る. こ の 回 転 体 が 斜 面 の 上 で 静 止 の 状 態 か ら 降 下 を 始 め,鉛 りた と す る と,位

置 エ ネ ル ギ ー の 減 少 は2mgxで

重 心 運 動 と 回 転 運 動 の エ ネ ルギーに

あ る.こ

直 距 離 に し てxだ

け降

れ だ け のエ ネル ギ ーが

な っ た わ け で あ る か ら, (15)

が成り 立 つ.こ

こ でＫ は 静止 の 位置x=0か

ら鉛 直 距 離xだ け回 転し な が ら降 下

した とき の運 動 エ ネル ギ ー で あ る.こ れ に(14)を

代 入す れ ば (16)

した が って,お

も りが あ るた め,回 転 体 は ゆ っ く り加 速 され て 降 下 す る.回 転 の

た め にエ ネル ギ ーが くわ れ るか らゆ っ く り降 りる の で あ る. 慣 性 モ ー メン ト 物 体 が 固定 され た 回 転 軸 の まわ りに回 転 す る と す る.軸 か らljの 距 離 に 質 量 mjが あ る よ うな 質 量 分 布 の と き

(17) を こ の 軸 の まわ りの 物 体 の 慣 性 モ ー メ ン トと い う.回 z)に

お け る 密 度 を ρ(x,y,z)と

転 軸 をｚ 軸 に と り,(x,y,

すれば

(18)

で あ る.積

分 は 物 体(剛

体)の

全 体 積 に つ い て 行 う.

物 体 の全 質 量 は (19) で あ り,

(20)

と書 い て,ｌ を 回 転 半 径 と い う. こ の 物 体 が 角 速 度 ω で 回 転 す る と き の 回 転 の エ ネ ル ギ ー は(３)を(17)に

よ

り拡 張 し た 式

(21)

で与 え られ る.こ の 物 体 の 軸 の半 径 がｒ で あ る と き,図25の 沿 って 降下 す る な らば,そ の 速度 は(16)で

よ う に し て斜 面 に

与 え られ る.た だ し この と きはｌ と

し て 回 転 半 径 を とら なけ れ ば な らな い. た とえ ば,一 様 な密 度 の半 径ａ の球 にお い て,中 心 を 通 る直 線 の まわ りの慣 性 モ ー メ ン トは (22) で あ り,し た が って回 転 半 径 の ２乗 は (23) で あ る.球 が 斜 面上 をす べ らず に ころ が り降 りる と きは,(18)に

お い てr=aと

お き上 のl2を 用 いれ ば (24) これ は こ ろが らず にすべり 降 りる と きの速 さ√2gxに

Tea

比 べ て 約 ２割小 さい.

Time

坂 道 を ころ が る球 質 問  坂 道 の上 で球 を こ ろが す と,坂 道 が あ ま り急 で な け れ ば 球 はす べ らず に こ ろが る で し ょ うが,坂 道 の 傾 きを 急に した 極 限 で 坂 道 が 鉛 直 に な った とす る と球 は こ ろ が ら ない で 落 下す るの で は な い で し ょ うか.ガ

リ レイ は 坂 道 に 沿 う落下 が

等 加 速 度 運 動 で あ る こ とを 確 か め て,自 由 落 下 の 場 合 を 類 推 した とい わ れ て い る よ うです が. 答  ガ リレイ は坂 道 で物 体 を す べ らせ る実 験 を して,坂 道 が 急 に な った極 限が 自 由 落 下 で あ る とい って い ます が,実 際 に この よ うな 実 験 を した か は 疑 わ しい.坂 道 で物 体 をす べ らす とい うの も不 自然 で,も

し も実 験 を して い た とす れ ば 球 を こ

ろ がす 実 験 だ った だ ろ う.す る と球 がす べ らず に ころ が る坂 道 の場 合 と,こ ろ が らず に落 下 す る 自 由落 下 の 間 に は ギ ャ ップ が あ るわ け で す.お そ ら くガ リレイ は この よ うな実 験 を し ない で頭 で考 えた の で し ょ うが,球 が 回 転 す るか ど うか とい

うこと に は あ ま り注 意 をは らわ な か った の で し ょ う. 球 が 坂 道 を こ ろが り落 ち る と きは だ ん だ ん 速 くな るの で,球 の 回 転 も加 速 され るわ け で す.こ の 回 転 の加 速 は 球 が 坂道に 接 触 し て い る と ころ で は た ら く摩 擦 力 で,こ の 摩 擦 力 が 十 分 であ れ ば す べ りは起 こ らな い.し か し坂道 を 急 にす る と球 が 斜 面 を 押 す 力 は 小 さ くな るの で,そ れ につ れ て最 大 摩 擦 力 も小 さ くな る.そ こ で,斜 面 の 傾 きが あ ま り大 き くな る と,最 大 摩 擦 力 がは た らい て も回 転 は 十分 に 加 速 され な くな り,接 触 面 で す べ りが起 こる よ うに な る.す べ りが 起 こ る と動 摩 擦 は 小 さい の で 回 転 の 加 速 は さ らに小 さ くな る.傾

きを 大 き くす る とそ の た めに

動 摩 擦 は ます ます 小 さ くな り,つ い には ほ とん ど回転 し な い で 自由 落下 す る よ う に な る.

第７講 角 運

動

量

―テーマ ◆ 回転の運動 方程式 ◆角運動量 ◆ Tea Time:惑

星の角運動量

回転 の 運 動 方 程 式 自 由に 回 転 で き る物 体 の 軸 に つ け た 車 輪 に ひ もを かけ て 回転 させ る.物 体 の慣 性 モ ー メ ン トをＩ,角 速 度 を ω とす る と回 転 のエ ネル ギ ーはIω2/2で あ り,こ の エ ネ ル ギ ー は ひ もを 引 く仕 事 に よっ て増 加 す る .ひ も を かけ た車 輪 の 半径 をａ とす る と,ひ もを 引 く速 さは awで あ っ て,ひ

も を 引 く力ｆ が 単 位 時 間 に す る仕 事

は (１) こ こでN=afは

軸 の まわ りの力 の モ ー メ ン トで あ る.

この 仕 事 は 回転 エ ネ ル ギ ーの増 加 率 に等 し いか ら (２)

図27 が 成 り立 つ.dw2/dt=2mdω/dtで

あ るか ら

(３)

とお け ば(２)は

(４)

とな る.こ こでＬ は 軸 の ま わ りの 角 運 動 量 と呼 ば れ る量 で あ り,(４)は

角運動

量 の 増 加 率 は 力 の モ ー メ ン トに 等 しい こ とを 示 し て い る. と くに軸 の まわ りの 外 力 の モ ー メ ン トが な い と きはdL/dt=0と

な り,し た が

って (５) とな る.こ れ は 角運 動 量 の保 存 の法 則 を 表 す. 図27で

は 固定 され た 回 転 軸 が あ る と した が,と

点 の まわ りの 外 力 の モ ー メ ン トが ０で あ れ ば,そ

くに回 転 軸 が な く て も,あ る の点 の まわ りの角 運 動 量 は 保 存

され る. ま た,回 転 す るスケーター が自 分 で 姿 勢 を 変 え る と きの よ うに,回 転 す る物 体 が そ の 中 で作 用 す る力(内 力)に 変え る と き も(４)は

よ って 変 形 す る こ とに よ って慣 性 モ ー メン トを

成 り立 つ. 一 般 的 な証 明

物 体 が 質 点 の集 ま りに よ って 構 成 され て い る と考 え て(４)を j =1,2,…,nと

し,質 点ｊ の 質 量 をmj,そ

の 位 置 をrj(任

導 こ う.質 点 を

意 の 点 を原 点 とす る)

とす る と運 動 方 程 式 は (６) で あ る.こ

こで 質 点ｊ に は た ら く力Fjは

く内力Fkj(k=1,2,…)と

外 力Fj，'の和 で あ る(Fj=F1j+F2j+…+Fj').質

間 の力 は作 用 ・反 作 用 の法 則Fjk=-Fkjを ベ ク トルrj-rkと 力Fkjは

この 物 体 の 中 の 他 の 質 点ｋ か ら は た ら

満 足 す る.さ

点

ら に 質 点ｋ とｊ を 結 ぶ

平行なので (７)

とな る.し た が っ て力 の モ ー メ ン トrj×Fjの 総 和Ｎ を つ く る と きは外 力Fj'の 寄 与だけにな り

(８)

を得 る. さ て原 点 の まわ りの 角 運 動 量 は (９) で 与 え られ るベ ク トル で あ る.た だ し こ こでPjは 運 動 量 (10) で あ る(rj=drj/dtは

速 度).恒

時 間 的 変化 は(６)を

用 いて

等 式rj×rj=0が

成 り立 つ の で,角

運 動量Lの

(11) とな る． した が って

(12)

これ が 角 運 動 量 に 対 す る運 動 方 程 式 で あ り,内 力 に よ って物 体 が変 形 す る と き も 成 立 す る.外 力 が な い と きはN=0でL=一

定 とな る.こ れ が 角 運 動 量 保 存 の 法

則 で あ る. こ この 証 明 で は 内力 が 質 点 間 を 結ぶ 直線 上 に は た ら く とした が,よ

り一 般 的 に

は 内 力 が ポ テ ンシ ャル を もつ もの で あれ ば角 運 動 量 保 存 の法 則 が 成 り立 つ.な この 法則 に つ い ては 第23講

お

のネーターの 定 理 を参 照 の こと．

角運動量保存の例 １.ス

ケ ー タ ーが ス ピ ンを しな が ら,腕 を 外方 へ伸 ばす と 回転 が遅 くな り,腕

を か らだ に 近 づ け れ ば 回 転 が 速 くな る.腕 を 簡単 化 し て質 量ｍ,か 距 離 をｌ と し,角 速度(ス

らだ か らの

ピ ン)を ω とす れ ば,角 運 動 量 はL=ml2ω=一

定.し

た が ってｌ を 大 き くす れ ば ωは小 さ くな り,ｌ を 小 さ くす れ ば ωは大 き くな る. ２.ネ

コの足 を上 に し て 吊 る し,少 し高 い と ころ か ら放 す と空 中 で か らだ をう

ま くひ ね って 足 を 下 に して着 地 す る.ネ コは か ら だ の形 を うま く変 え る こと に よ って この 芸 当 を な し とげ る の で あ る.ま ず うし ろ足 を 伸 ば した ま ま で 前足 を か ら だ に ひ きつけ て前 半 身 を回 し て顔 を 下 向 きにす る.こ の と き後 半 身 は 少 し逆 向 き に回 るが,後

半 身 の慣 性 モ ー メ ン トが大 きい の で,そ

の 回 転 は 微 小 で あ る.次 に 前 足 を 下 へ 伸 ば し,後 ろ足 をか らだに ひ きつ け て後 半 身 を 回 して正 常 の 姿 勢 に な る.こ の と き前 半 身 は 少 し逆 向 きに 回 るが,前 半 身 の慣 性 モ ー メ ン トが 大 き い の で,そ の 回 転 は 微 小 で あ る.こ の よ うに して ネ コは部 分 的 に慣 性モーメ ントを 変 化 させ て 空 中 で か らだ を うま くひ ね って 着 地 す る の で あ る. ３.体 操 選 手 の 演 技 で は ネ コ よ りも上 手に 空 中 で か らだ を 回転 させ るが,ふ

つ

うの 人 に は そ の まね は で きな い.し か し,な め らか な 回転 椅 子 の上 で 腕 を 左 方 へ 伸 ば して右 へ速 く振 る とか らだ と椅 子 は左 へ 少 し回 る.次 に 腕 を か らだ へ 引 きつ け る.こ の動 作 を繰 り返 せ ば か らだ と 椅子 は しだ い に左 へ 回 る こ とに な る.こ の 場 合,全

体 の角 運 動 量 は 常 に ０で あ るが,右 へ 振 る腕 の 角 運 動量 と逆 向 きの 角 運

動 量 で か らだ と椅 子 が左 へ動 くの で あ る. ４.回

転 軸 の まわ りに な め らか に 回 転 す る こ とが で き る水 平 な 円板 の上 で,虫

が 軸 か ら 円周 まで ま っす ぐ歩 き,次 に 円周 に沿 って左 へ 歩 くと 円板 は右 へ 回 る.次 に 軸 まで ま っす ぐ歩 け ば 虫 はは じめ の位 置 に戻 り,円 板 は右 へ 回 った こ とに な る． 虫 が 歩 くと き円 板 を蹴 って押 す 反 動 で 円板 は 回 る とい っ て も よい が,虫 が歩 く左 回 りの角 運 動 量 と同 じ 大 き さで 逆 向 きの 角 運 動量 で 円板 は右 へ 回 る とい う こ と もで き る.は じめ虫 と 円板 が 静 止 し てい れ ば 角 運 動

図29

量 は 虫 が 歩 い て い る とき も ０で,虫 が 止 まれ ば 円板 も止 ま るわ け で あ る.次 に 虫 が 円 板 上 で 円 を画 い て歩 くと きの 円板 の回 転 を 計 算 して み よ う.

虫 が 歩 くとき の 円板 の 回転 中心 の回 転 軸 の まわ りに な め らか に 回転 で き る水 平 な台 の上 で 虫 が 円板 に描 か れ た 円 に沿 っ て歩 く.虫 が １回 り した と きに 円板 は ど の くらい 回 転 して い る か.た

だ し円板 の質 量 をＭ,

虫 の 質 量 をｍ と し,円 板 の半 径 をａ と し,虫 は 中 心 を 通 り,直 径ａ の 円 を 描 い て歩 く とす る. 虫 が 軸Ａ か ら出 発 してＰ に 達 して い る と す る(図 30).虫

の静 止 空 間 に 対 す る 速 度 のAPに

をｖ とす る と虫 の 角運 動 量 はmvrで

図30

垂 直 な成 分

あ る.円 板 は 逆

向 きに 回 るが,そ の 角 速 度 を-ψ と し,円 板 の慣 性 モ ー メン トをＩ とす る と,円 板 の 角 運 動 量 は-Iψ で あ る

角 運 動 量 の 総 和 は ０で あ るか ら (13)

円 板 に対 す る虫 の位 置 を 表す 角θ の変 化dθ は,静 止 空 間 に対 す る 虫 の 位 置 の 角 変 化(v/r)dtと,静

止 空 間 に対 す る円 板 の 回転 角dψ=ψdtの

和 で あ る.す な わ ち (14)

これ に(13)を

代入すれば (15)

とな る が,図30に

よ りr=asinθ

であるか ら (16)

こ こでψ は 虫 が １周す る と きに 円 板 が 静止 空 間 に対 し て回 転 す る角 で あ り

(17) こ こで積 分 公 式 (18) を 利用 す れば

(19) を 得 る.円

板 が 一 様 な 密 度 を も つ とす れ ば (20)

で あ る の で,円

板の回転角は (21)

と な る.

Tea

Time

惑星 の角運 動量 惑 星 に は た ら く力 が 太 陽 の 引 力 だ け で あ る とす る と,太 陽 の まわ りの 力 の モ ー メ ン トは ０で あ る.し た が っ て太 陽 の まわ りの惑 星 の角 運 動 量Ｌ は一 定 で あ る. 惑 星 の 質量 をｍ,速

度 をｖ とし,太 陽 か ら惑 星 へ 引 い た ベ ク トル をｒ とす る と,

この こ とは

と書 け る. 角運 動量 ベ ク トルＬ は一 定 で あ るか ら,空 間 内 で一 定 の方 向 を 向 い て い る. そ して 惑星 の 位置ベクトル も惑 星 の速 度 ベ ク トル も これ に垂 直 で あ る.し た が っ て 惑星 は角 運 動 量 ベ ク トル に垂 直 な不 動 の平 面 の上 で 運 動 す るわ けで あ る.言 い 換 える と惑 星 は太 陽 を 含 む 不 動 の平 面 上 を 運 動 す る.こ の こ とは 惑 星 の 速 度 の変 化⊿vが常に 太 陽 の 向 きに あ る ことか ら も幾 何 学 的 に 理 解 で き る.⊿vと 太 陽 と は １つ の 平面 を決 定 し,惑 星 は この平 面 か ら外 へ 出 る こ とが で きな い か らで あ る. 太 陽 の 引 力は 常 に太 陽 を 中 心 とす る 向 き に はた ら く.こ の よ うな 力 を 中 心 力 と い う.１ つ の中 心 力 だ け を 受 け る運 動 に お い ては,力

の 中 心 の まわ りの 角 運 動 量

は一 定 で あ り,運 動 は 中 心 力 の中 心 を 含 む １つ の面 内で 行 わ れ る. な お,こ の場 合 に力 の 中 心 か ら物 体 まで 引 いた ベ ク トル(動径)が掃

過 す る面

積Ｓ の変 化 の速 さはdS/dt=￨r×o￨  /2で あ り,角 運 動 量 の大 き さ の1/2m倍 等 し く,し た が って一 定 で あ る.dS/dtを

面 積 速 度 とい う(第18講

参 照).

に

第８講 単振動 と減衰振動,強 制振 動

―テーマ ◆ 単振動,減

衰振動

◆変位 ・速度 の相平面 における軌道 ◆ Tea Time:電 気的な振動

単

振

動

１個 の 質 点 に 対 す る １次 元 の運 動 方 程 式 は (１) と書 け る.ｍは

質 量,f(x)は

力 で あ る.力 が 変 位ｘ に比 例 し,原

点 に 向か うな

らば,ｋを 定 数 とし て

(２)

これ はｘ に 関 す る線 形 方 程 式 で,単 振 動 の方 程 式 で あ る.そ の 解 はａ,ｂを定 数 と して

(３) あ るい は δを定 数 と し て

(４)

あるいは

(５)

と書 け る.こ

こで

(６)

は 角 振 動 数 で あ り,振 動 数 は

(７)

で 与 え られ る.

減

速 度 に 比 例 す る 抵 抗-adx/dtが

衰 振

動

加 わ る と単 振 動 の 式 は (８)

と な る.ω02=k/m,2r=α/mと

書 く と,こ

の式 は

(９)

こ の 解 は 次 の よ うに な る. １ .抵

抗 が 小 さ く γ<ω0の 場 合

ｃを 定 数 と し て

ただ し (10) こ れ を 減 衰 振 動 と い う. 2．γ=ω0の

場合

図31 

減 衰 振 動(γ<ω0)

ａ,ｂを 定 数 と し て (11) ３.抵

抗 が 大 き く てγ>ω0の

場合

ただし (12) 図32  過 減 衰(r>ω 。) t=0でx=0(1)お よびx=0(Ⅱ 》 【説 明 】x=ceλtと

こ れ を 過 減 衰 と い う.

お く と(９)か

ら (13)

こ れ は 根λ を 定 め る 式 で 特 性 方 程 式 と い う.根

は

(14)

と な り,線

形 方 程 式(９)の

解は (15)

(９)は

２階 の 微 分 方 程 式 で あ り,２ つ の 独 立 な 定 数 を も つ 解 が 一 般 解 で あ る.

(15)でＡ,Ｂは

た が いに 独 立 な 定 数 な の で,(15)は(９)の

と γ の 大 小 関 係 に よ り λ1と λ2は 複 素 数に な っ た り,実

一 般 解 で あ る.ω0 数 に な っ た り し,３ つ の

場 合 が 生 じ る.１ .γ<ω0の

場合

√ γ2-ω02=±iω

とお い て (16)

一般 解は

(17) こ こで 定 数Ａ，Ｂ

一 般 に複 素 数 で あ る.し

は実 数 で なけ れ ば な らな い か ら,ｉ を-iで

か しｘ は 物 理 的 な 変 位 を 表 し,こ れ 代えた

も の(複 素 共 役)を*で

表す

と (18) した が って(17)と(18)と

から

(19) で あ る.よ

っ てＡ,Ｂの

代 わ りに 新 た な 実 数ｃ と δを 用 い て (20)

と 書 く こ と が で き る.こ

れ を用 い れ ば

(21) 2.γ=ω0の

場合

(11)を(９)に

代 入 し て 解 で あ る こ と を 直 接 確 か め る こ と もで き る が,γ＜

の 解(21)で

ω0-γ →0と

し て(11)を

導 く こ と が で き る.こ

ω0

れ を 示 す た め(21)

において (22) に注意 し (23) と お く と(21)は (24) と な る.こ

こ で ω=√ ω02-γ2→0と

で(24)は(11)に 3.γ

す る と,cosωt→1,sinωt/ω→tと

な るの

な る.

＞ω0の 場 合

μ=√ γ2-ω02は 実 数 で あ り,(15)は

た だ ち に(12)を

与 え る.

相 平 面 に お け る軌 道

単 振 動 の 変 位ｘ と 速 度ｖ は (25) (26) と書 け る.し

た が っ て,ｘ

とｖ と の 関 係 は (27)

で 表 せ る.こ

れ は(x,v)平

面 内 の 楕 円 で あ る．

変 位 と速 度 を表 す(x,v)平

面 を相 平 面 と い う.も

っ と変 数 が 多 い力 学系 で は

変 位 と速 度 の空 間 を位 相 空 間 と呼 ん で い る.相 平 面 や 位相 空 間 内 の変 位 ・速 度 を 表 す 点 を 代表 点 と呼び,そ 図33に

の軌 跡 は 軌 道(ト

ラジェクトリ)と

呼 ば れ る.

単 振 動 と減 衰 振 動 の相 平 面 に おけ る軌 道 を 示 す.

図33 

相 平 面 に お け る軌 道

(a)単 振 動,(b)滅衰

振動

外 力 の 加 わ った 単振 動 外 力f(t)が

加 わ って い る と きの 単 振 動 の 式 は (28)

と書 け る.と

くに 外 力 が正 弦 的 な場 合,す

なわち (29)

の場 合,(28)は

(30)

とな る. これ は右 辺 に非 同 次項 を もつ 線 形 方 程 式 で あ る.こ の よ うな方 程 式 は右 辺 を ０ とお い た式(同

次方 程 式)の 解 (31)

と非 同 次項 を もつ方 程 式 の特 解x2の 和x=x1+x2で 特解x2と

して

与 え ら れ る.い

ま の場 合,

(32) の形 の もの が あ る こ とは 明 らか で あ る.実 際(32)を(30)に

代 入 して (33)

とす れ ば(32)は(30)を

満 足 す る.し た が っ て(30)の

一 般解は (34)

で 与 え られ る.

減 衰 のあ る場 合 減 衰 もあ る場 合 の運 動 方 程 式 は (35) と書 け る.こ の 方 程 式 の一 般 解 はr<ω0の

とき (36)

ただし

(37)

で 与 え ら れ る.(36)はγ

→0と

す る と(34)に

Tea

一 致 す る.

Time

電 気的な振動 質 問  電 気 振 動 と力 学 的 な振 動 との 間に 関 係 をつ け る こ とが で き ます か. 答  簡 単 な 電 気 回 路 と単 振 動 の 関 係 を説 明 し ま し ょ う.コ イ ル は そ の 中 を通 る電 流 の た め に まわ りに磁 場 を つ くって い る.電 流 が 急 に変 化 す る と,ま わ りの磁 場 が そ の 電 流 の変 化 を 少 な くす る よ うには た ら く.コ イル は 電 流 に 慣 性 を もた せ る

わ け だ.こ の慣 性 は コイ ル の イ ン ダ ク タ ンス とい う量 で 表 さ れ,こ

れ はＬ と書

かれ る.抵 抗 が な い 理 想 的 な コイ ル の 両 端に は た ら く電 圧 は (１) で 与 え られ る(ｉ は 電 流 の 強 さ).こ れ は電 流 に対 す る運 動 方 程 式 で,電 流ｉ を 速 度,Ｌ を 物 体 の 質量に 対 応 させ る と電 圧Ｖ は この物 体に は た ら く力(慣 性 力)に 対 応 す る. こ の電 圧 が コン デ ンサ ーに 蓄 え られ た 電 気 量に よる もの とす る(す な わ ち コイ ル に コ ンデン サ ー が つ な がれ て い る とす る).コ

ンデン サ ーに 蓄 え

られ た電 気 量 がＱ で あ る と きコンデン

サ ーの ２

つ の極 板 の間 にはＱ に比 例 す る電 圧Ｖ が現 れ る.

図34 これ を

(２) と書 く と き,Ｃ

は コ ン デ ン サ ー の キ ャ パ シ タ ン ス と呼 ば れ る.し

を コ ン デ ン サ ー に つ な い だ 回 路 で は 上 の ２式 を 等 し い と お い て"運

た が っ て コ イル 動 方 程 式" (３)

を 得 る.こ

こで コイル に流 れ る電 流 は コ ンデ ンサ ーか ら 出た 電 気 量 の 流 れ で あ る

か ら (４) が 成 り立 つ.こ

れ は"速

度ｉ"と"変

位Ｑ"の

間 の 関 係 と み ら れ る.こ

の関係

を 用 い る と(２)は

(５) とな る.こ れ は力 学 系 の 単 振 動 の 式

(６) と同形 の 式 で あ る.し た が ってLC回

路 の運 動 方 程 式(５)の

解 は(６)の

解と

同様にして (７)

と 書 け る.ν は 固 有 振 動 数 で (８) で 与 え られ る. 次 に エ ネ ル ギ ー で 考 え よ う.単 振 動 の 式(６)に

(９)で あ り,運

対 す るエ ネル ギ ー は

動量 (10)

を用いれば (11) と な る が,こ る.実

の 式 で はｘ とｐ,あ

る い は√kxと±p/√mが

同等 な形 で 入 っ て い

際(10)は (12)

と書 け る.こ

の 式 で√kxと-p/√mを

取 り換 え る と (13)

あ る い はmd2x/dt2=−kxと 同 様 な こ と はLC回

な る.こ

れ は 単 振 動 の 運 動 方 程 式 で あ る.

路 に つ い て も い え る.(５)と(６)の

対 応 か らLC回

路 の

電 磁 的 エ ネル ギ ー は (14) と な り,対

応 関 係x→Q,m→L,k→1/Cに

よ り(10)は (l5)

と書 け(13)は (16) と な る.こ

れ はLC回

路 の 運 動 方 程 式(５)に

ほ か な ら な い.

第９講 連成

振 り子

一テーマ

◆ 連成振 り子,う な り ◆強制振 動 との関係 ◆ TeaTime:つ る巻 きば ねの振動

２つ の 振 り子 の 結 合 い くつ か の振 り子 がば ね で結 ば れ た 体 系 を 連成 振 り子 と い う.そ の 中 の い ち ば ん簡 単 な もの と し て図35の

よ うな

体 系 を 考 え よ う.２ つ の粒 子 の 平 衡 点 か らのず れ を そ れ ぞ れｘ,Ｘ と す 図35

る と,体 系 の 位 置 エ ネ ル ギ ーは (１)

と書 け る.こ

こ でk,Ｋは

も っ と も左 と も っ と も右 のば ね の 定 数 で あ り,κ は ２ つ

の 粒 子 を 結 ぶば ね の 定 数(結

合 定 数)で

あ る .２ つ の 粒 子 に は た ら く力 をf1,f2

とす れ ば

(２)

で あ るか ら,運 動 方 程 式 は

(3)

と な る.こ

こで

(4)

とお き,ｘ,X∝eiωtと

お くと

(５)

を得 る． これ がx=X=0で

な い解 を もつ の は (６)

が 満 た され る と きで あ る.こ れ は(５)の

係 数 で つ く っ た 行 列 式 が０ に な る こ

と,す なわ ち (７)

の 形 で 書 く こ と も で き る.こ (６)あ

る い は(７)か

れ は 特 性 方 程 式 と 呼 ば れ る.

ら固有 振 動 ωの 満 たす 式 (８)

あ る いは (９) を 得 る.こ

れ を ω2に つ い て 解 く と

(10)

を得 る. こ の 体 系 は ２ 階 の 微 分 方 程 式 が ２つ で 記 述 さ れ る も の で あ る か ら,２ つ の 定 数 の ２倍,す

な わ ち ４個 の 定 数 を も つ の が 一 般 解 で あ る.ｘ

関 係 が あ る か ら,４ つ の 定 数 をＸ

とＸ の 間 に は(６)の

の 式 に 入 れ て お い て も よ い.そ

こ で た と え ばＡ

,Ｂ,δ1,δ2を定 数 と し て (11) と お く こ と が で き る.こ

の と き(６)に

よ りｘ は

(12)

と 書 く こ と が で き る.Ａ,Ｂ,δ1,δ2は

例 １：

と く に ω0=Ω

初 期 条 件 で 定 ま る.

ω0=Ω

の 場 合,共

振 れ

の場 合 は

(13) と な る.こ

こ で 初 期 条 件 を 適 当に 選 ん で(A=B,δ1=0,δ2=π/2) (14)

とす る と (15)

と な る.余

弦 関 数 の加 法定 理 を用 いれ ば

(16 )

と書 け る. 結 合 定 数kが (ω1-ω2)t/2は

小 さ い と き は(16)右 時 間ｔ

辺 第１

の 因 子cos(ω1-ω2)t/2とsin

と と もに ゆ っ く り 変 化 す る のに 対 し,第

cos(ω1+ω2)t/2,sin(ω1+ω2)t/2は

急 速に 振 動 す る の で,第

２の 因 子

１の因 子 は 第 ２の因

子 に 対 す る包絡 線， あ る いは 振 幅 とみ る こ とが で き る.こ 間 変 化 は 図36の

よ うに な る.t=0で

の と きＸとｘ との 時

は

Ｘの 振 幅 が 最 大,ｘ の 振 幅 が 最 小 で あ り, t =π/(ω1-ω2)で 小,ｘ

は 逆 にＸ の 振 幅 が 最

の 振 幅 が 最 大 に な る.振

動 のエ ネ

ル ギ ー は２ つ の 振 動 の 間 を 行 っ た り来 た りす る.こ

れ は 共振 の 現 象 で あ っ て,振

幅 が 最 大 に な る 時 間 間 隔 は2π/(ω1-ω2) で あ り,１ 秒 間 の うな りの 回 数 は(ω1-

図36 う

な り

ω2)/2π で あ る.

一 般 に２ つ の振 動 が あ って そ の振 動 数 がυ1とυ2で あ る と き,こ

れ らが 弱 い相

互 作 用 をす る と１ 秒 間 に￨υ2-υ1￨回 の うな りを 生 じる. 例２:M》mの ２つ の粒 子 の 一 方 の 質量Ｍ

場 合,強

制振動

が 他 方 の質 量ｍ に 比 べ て非 常 に大 きい と きは,第

１の 粒 子 が大 きな エ ネ ル ギ ー を もつ な らば,第２

の 粒 子 は そ れ に影 響 され,強 制

振 動 の よ うに振 動 す る で あ ろ う. 直 観 的 に い えば,(３)に

お い てＭ が非 常 に大 きい と す る と,(３)の

第２ 式

の右 辺 の 第２ 項 を落 し て

(17)

と し て よい で あ ろ う.こ の 第２ 式 か ら (18) を 得 て第１ 式 に 代 入す れ ばf0=(k/m)Bと

おいて (19)

とな る.こ れ は強 制 振 動 の式 で あ る. こ うし て連成 振 動 を 強 制 振 動 と関 係 づ ける こ とが で きる.こ れ を 振 動 の一 般 解

を用 い て 確 か め てみ よ う. 【一 般 解 との関 係】 固有 振 動 数 の式(10)に mMが

お い て(ω02-Ω2)2に 比 べ て4k2／

十 分 小 さい とす る と

(20) と な る. Ｘは(11),ｘ

は(12)で

与 え られ る が,い

ま の 場 合,ω02〓ω12な

の で,(12)

のｘ の 第１ 項 の 係 数 を

(21) と 書 く と,Ａが て(簡

非 常 に 小 さ く て もｃ は 有 限 の 値 に な る.ω1〓ω0,ω2〓Ω

単 の'ためδ2=0と

を 考慮 し

す る)(11)を (22)

と し て も よ い.こ

れ に 対 し(12)は (23)

と な る.こ

こで (24)

と お い た.こ

の と き(17)に

よ り (25)

はＸ がｘ に与え る外 力 で あ る.(23)は

ま さに 強 制 振 動 を 表 し て い る.

か り に ω02＞Ω2と す る と,(23)の ｃは(21)に (23)の

よ り,Ａと

第２ 項 は(22)と

し た が っ て(23)の 図37 (ａ)逆 位 相,(ｂ)同

有 振 動,第２ 位相

逆 符 号(逆 同 符 号(同

第１ 項 はｘとＸ

第１ 項 の 係 数 位 相)で 位 相)で

あ り, あ る.

が逆 位相 の 固

項 は 同 位 相 の 固 有 振 動 で あ る.ω02＜

Ω2な ら ば 逆 の こ とが 成 り立 つ

.

Tea

Time

つ る巻きばねの振動 今 回 の連成 振 動 は ２つ の振 り子 が 連 結 され た 場 合 で あ る が,１ つ の物 体 の ２種 類 の振 動 が 連成 振 動 とし てみ られ る場 合 が あ る. 柔 か い つ る巻 きば ねで 何 十 回 も巻 い た ものが あ る.こ れ を縦 に 伸 び る よ う

に鉛

直 にぶ ら下 げ て縦 に 少 しゆ す ってや る とつ る巻 きば ねに 沿 っ て波 が発 生 し,縦 振 動 を 起 こさせ る こ とが で き る. 他 方 で こ のつ る巻 きば ねは ね じれ振 動 を起 こ させ る こ と もで き る.つ る 巻 きば ねは 縦 振 動 とね じれ 振 動 とを起 こ し うる の で あ る.こ

の ２つ の 振 動 形 式(モ

ー

ド)は 完 全 に無 関 係 で なく,一 方 か ら他 方ヘ エ ネ ル ギ ーが 移 る こ とが で き る. そ こで つ る巻 きば ねの 下 端 に適 当 な重 さ と慣 性 モ ー メン トを もつ お も りを つ け て,縦 振 動 の振 動 数 とね じれ振 動 の振 動 数 とが 等 し くな る よ うに 調節 す る.こ

う

し て お い て縦 振 動 を 起 こ させ てや る と,し ば ら くして 縦 振 動 は 弱 ま り,ね じれ 振 動 が盛 ん に な っ て き て,ま た しば ら くす る とね じれ 振 動 が 弱 ま っ て縦 振 動 が強 ま り,こ れ が 繰 り返 され る。 縦 振 動 とね じれ 振 動 の間 にう な り(共 鳴)が

生 じる の

で あ る.こ れ を 起 こ させ るた め には,２ つ の振 動 の振 動数 を等 し くし な け れ ば な ら ない. １つ の単 振 り子 の ひ もの一 部 を つ る巻 きばねに し て,単 振 り子 とし て の振 動 と つ る巻 きば ねの 縦 振 動 とが共 鳴 す る よ うにす る こ と もで き る とい う話 で あ る.

第10講 ぶ らん この力学

一テ

ーマ

◆ ぶ らん この運動 方程式 ◆ぶ らんこはなぜ こげるのか ◆ Tea Time:電

気的 なパラメタ励振

ぶ らん こ の運 動 ぶ ら んこ を こ ぐ方 法 は だれ で も子 供 の と きか ら体 得 し て い るが,ど の よ うに こ いで い るか と問 えば 正 確 に 答 え られ る人 は 少 な い だ ろ う.力 学 の 本 で もぶ らんこ を正 し く扱 って い る のは 案 外 少 な い.そ

こで こ こで は ぶ らん この 運 動 方程 式 を正

確 に 導 い て,ぶ らんこ を こ ぐ方 法 を あ らた め て 確 認 し よ う. ぶ らんこ で は ぶ らん この ゆ れ に 合わ せ て 身体 を上 げ 下 げ す る.そ の タ イ ミン グ が よけ れ ば ぶ らん この振 れ は し だ い に大 き くな る.身 体 の重 心 を 上 げ 下 げ す る と きの 仕 事 が ぶ らん この エ ネ ル ギ ー を増 加 させ る の で あ る,そ

こで ぶ ら んこ を 力 学

的 に扱 うモ デ ル と して振 り子 の お も りを 吊 る した ひ もの 長 さ を時 間 的 に 変化 させ る場 合 を考 え る こ とにす る. 振 り子 の ひ もの上 端 を原 点 に選 び,ひ とし,お

も りの 座標 は鉛 直下 方 にｘ軸,水

もの 長 さをｌ,ひ もが 鉛 直 と な す 角 を θ 平 方 向 にy軸 を と る,お

も りの 位 置

は (１)

で あ る.お

も りに は ひ もの 張 力Ｒ と重 力ｇ と が は た

らい て い る(簡 単 の た め お も り の 質量 は１ とす る).張カ のｘ成分 は 図38により-Rcosθ=-Rx/lで は-Rsinθ=-Ry/lで

あ り，ｙ成分

あ る か ら， お も り の運

動 方 程式 は (2) で あ る.(１)を

時 間 で２ 回 微 分 し てｘ,ｙをｌ,θ,ｌ,θ

で 表 せ ば(２)の２

図38

式 を連 立 させ て (３) (４)

を得 る. (３)は 接 線 方 向 の 運 動 方 程 式 でd(l2θ)/dt=-glsinθ (これ は 角運 動量 に 対 す る式 で あ る).ま た(３)をθ

と書 くこ と もで きる に対 す る式 と み れ ば2lθ は

重 心 の上 下 運 動 の 速度ｌ と角速 度θ か ら生 じ るコリ オ リ力で あ る.コリ

オ リ力は

接線 方 向 に は た ら き,お も りを上 下 させ る ひ もの長 さの変 化 は これ に垂 直 で あ る か ら，コリ オ リ力は お も りの上 下 運に 動

対 して仕 事 を しな い こ とを注 意 して お こ

う. (４)で 与 え られ る ひ もの張 力 に おい て-lは 釈 で き る.お るか ら,-Rlは る.振

慣性 力 で あ り,lθ2は 遠 心 力 と解

も りを上 下 させ る ひ もの 長 さの変 化(大

き さｌ)は 張 力 に 平 行 で あ

ひ もの 長 さを 変化 させ る と きに振 り子 に与 え ら れ る仕 事 率 で あ

り子 の エ ネ ル ギ ーは

(５) で あ り,そ の時 間変 化 を 計 算 す る と

(６) こ こで(３)を

考慮 す れ ば (７)

とな るが,(４)に

より

(８)

これ は 張 力Ｒ に対 して ひ もの長 さを変 化 させ る仕 事-Rdlが dEを 生 じ る こ と(dE=-Rdl)を 計 算 を し な くて も(８)は

意 味す る.し

エ ネ ル ギ ーの 増 加

た が って(６),(７)の

よ うな

直 観 的 に 書 き下 ろせ たわ け で あ る.し か し直 観 は 誤 り

を犯 す お それ もあ るの で(６),(７)の

計 算 を 行 って み た.

以上 の式 はす べ て厳 密 に正 し く,省 略 や 近 似 は行 っ て いな い.以 下 で は厳 密 な 式(８)か

ら出発 し て,ぶ ら んこ を こ ぐ場 面 に適 応 した 近 似 を導 入 す る こ とに し

よ う. ぶ ら んこ を こ ぐ タ イミング ぶ らんこ を こ ぐ重 心 の上 下 運 動 は小 さ く,そ の た めぶ らん この エ ネ ルギ ーは ご くゆ るや か に 変化 す る とし よ う. 重 心 を 上 下 させ る ひ もの長 さｌ の 変化 は 周 期 的 で あ る と し て,そ

の １周 期Ｔ

に わ た る平 均 を〈 〉 で 表 せ ば (９) (９') で あ る か ら,(７)の

両 辺 にglを 加 え て時 間平 均 を と れ ば(９),(９')に

よ り,

エ ネ ル ギ ー変 化 率 の平 均 は (10) と書 け る. こ こで ゆ れ が小 さ い と して 単振 動 とみ な せ ば

(11) とお け る.こ こでl0は ひ もの長 さ の平 均 で あ る.ぶ らんこ は 前 進 す る と き と後 退 す る と き とで 同 じ重 心 の 上下 運 動 をす れ ば,ぶ

らん この １周 期 に ２度 こ ぐこ とが

で き るの で,重 心 を 上 下 させ る振 動 数 をぶ らん この振 動 数 の ２倍 にす れ ば 能率 が よい.そ

こで ψを 位相 定 数 と して (12)

とお き,ε は 小 さ な定 数 とす る. 振 れ の角θ も小 さい と して い る のでcosθ〓1-θ2/2.し 略 す れ ば(10)の

た が っ て小 さな 項 を 省

右 辺で

(13) こ こで (14)

(14') で あ る か ら(10)に

よ り(13)に(12)のｌ

をかけて

平 均 を とれ ば

(15)

(15)が

ぶ ら ん こ の エ ネ ル ギ ー の 増 加 率 で あ る.ε＞

0と す る と,ψ=0の

と き が も っ と も 能 率 よ くぶ ら んこ

を こ ぐ こ と が で き る.こ 39に 示 す.

の とき の重 心 の上 下 運 動 を 図

図39

(10)の 右 辺 第 １項 は遠 心 力 に 対 して す る仕事,第 事 で あ る.前 者 と後 者 の寄 与 の比 は(13)か

２項 は重 力 に 対 し て す る 仕

らわ か る よ うに1/2:1/4で

ら,前 者 の寄 与 は 後 者 の 寄 与 の ２倍 で あ って,ぶ

あ るか

らんこ を こ ぐ仕 事 は 遠 心 力 に 対

し て重 心 を 上 下 させ る仕 事 で あ る とい え る.

Tea

Time

電気的 な励振 質 問  さ きに電 気 的 なLC回

路 は 単振 動 に 対 応 す る とい う話 が あ りま し た.LC

回路 で もぶ らん こ と同 じ よ うな励振 は 可 能 で し ょ うか． 答  第 ８講 のTea TimeでLC回 路 の話 を し ま した ね.あ の 回路 で コ ン デ ン サ ー の両 極 板 の距 離 を 変化 させ れ ば,こ の 回路 の電 気 振 動 を励振 させ る こ とが で き ます.超 音 波 で コ ンデ ンサ ーに周 期 的 な 力 を 加 えれ ば よいの で す.コ

ン デ ンサ ー

の 両極 板 に は 異 符 号 の電 気 が た ま って い る た め,極 板 は た が いに 引 き合 っ てい ま す.こ れ を 引 き離 そ うとす る と きは 仕 事 を す るわ け で,回 路 のエ ネ ル ギ ー が増 大 し ます.ぶ

らんこ を こ ぐと き と同 じよ うに,適 当 な タイ ミングで コ ンデ ンサ ーの

両 極 板 の 間 の距 離 を周 期 的に 変化 させ れ ばLC回 はLC回

路 の振 動 は強 め られ ます.こ

れ

路 の パ ラ メタを 変 化 させ る こ とに よる励振 で,パ ラ メタ励振 と呼 ば れ る

励振の例 で す.

第11講 支点の上 下する振 り子

テーマ

◆ 支 点 を 上 下 させ る振 り子 の励 振 ◆ パ ラ メ タ励 振 の マ シ ュー方 程 式 ◆Tea

Time：

マ シ ュー の方 程 式

支点の上下 振 り子 の 支 点 を 周 期 的 に上 下 させ る と,振

り子 は 大 き く振 動 しだ した り,振 幅

が だ ん だ ん 小 さ くな った りす る.振 れ の 角 と支 点 の上 下 の タ イ ミン グが うま く合 え ば振 幅 は 増 大 し,タ イ ミングが 悪 け れ ば 振 幅 は減 少 す る ので あ る. 図40の を と り,振

よ うに,鉛

し,支

と す る.簡 と,運

平 にy軸

り子 の お も りの 位 置 を(x,y)と

ひ もの 長 さ(一 力 をRと

直 下 方 にx軸,水

定)をloと

す る.ま

た,ひ

し, もの 張

点 が原 点 の 真上 ξの距 離 に あ る

単 の た め お も り の 質 量 をm=1と

す る

動方程式は

(1) 図40 と な る.こ

こで

(２) で あ り,ξ を 時 間 的 に変 化 す る と きは この 式 を 微 分 した (３) が 成 り立 つ. 振 り子 の エ ネル ギ ーをＥ とす る と (４) で あ り,そ の 時 間変 化 は

(５) こ こで(３)を

用 いれば (６)

張 力Ｒ の 鉛 直 方 向 の成 分 をRxと

す ると (７)

なので (８) とな る.こ の式 の右 辺 は 張 力 に対 す る仕 事 で あ り,こ れ に よっ て振 り子 の エ ネ ル ギ ーが 増 加 す る こ とを この式 は表 し て い る.

振 れ の 角θ を 用 い た 運 動 方 程 式 振 り子 の 振 れ の 角 を θ とす る と

(９)

と な る. (１)か

ら (10)

こ こで(９)を

(11) と な る.こ

用 い れ ば(10)は

の 第 ２式 と 第 ３式 を 整 理 す れ ば (12)

を 得 る.こ

れ は θ の 変 化 の 方 向,す

な わ ち お も りの軌 跡 の接 線 方 向 の 式 とみ な せ

る. な お(12)にl0θ

をかけた式は (13)

と 書 け る.こ

れ が エ ネ ル ギ ー の 式(６)と

同 じで あ る こ と は 容 易 に 確 か め られ

る. ま た(11)の

第 ２式 にcos2θ

をつ く っ て 加 え れ ば,張

を,第

３ 式 にsin2θ

を か け,Rcos2θ

とRsin2θ

力Ｒ の 表 現 と し て (14)

を 得 る.こ

の 右 辺 の 第 １項 は 遠 心 力,第

２項 は 重 力,第

３項 は 慣 性 力 で あ る.

マ シュ ー 方 程 式

振 れ の 角θ の 絶 対 値 が 小 さ い と し てsinθ

を θで 置 き 換 え る と(12)は (1 5)

と な る.こ

こ で ξは 支 点 の 上 下 運 動 に よ る 変 化 で あ っ て,こ

で あ る と き,(15)の

よ うな 方 程 式 を ヒ ル(Hill)方

れが時間の周期関数

程 式 とい う.

さ ら に ξの 変 化 を 正 弦 的 と し (16)

と す る と(15)は (1 7) と な る.こ

の よ う な 式,す

な わ ち α,βを 定 数 と し て

(18)

の 形 の 式 は マ シュー  (Mathieu)方

程 式 と い わ れ,そ

の ふ る ま い は 詳 し く研 究 さ

れ て い る. (15)に

θを か け て 書 き 直 す と (19)

と な る.こ

れ は エ ネ ル ギ ー の 式(13)に

相 当 す る.

さ ら に 振 り子 の 振 動 が ゆ っ く り変 わ る と し,近

似的には単振動 (20)

で あ る と し,ａ は 時 間 の ゆ るや か な 関 数 で あ る と 仮 定 す る.す aaやa2を

無 視 し て(19)か

る とa2に

対 して

ら

(21) を 得 る.こ

こ でω〓2ω0の

と き は(21)の

右 辺 の 長 時 間 平 均 は０ に な る こ と に 注

意 し

(22)

と お く.こ

のと き (23)

で あ り,t=0∼π/ω0の

間 の 時 間平 均 は (24)

で あ る こ と を 考 慮 し,さ

ら に 振 り子 の エ ネ ル ギ ー

(25) を 用 い る と,(21)の

時間平均は

(26)

と 書 け る.

振 り子 の エ ネ ル ギ ー増 加 率 が最 大 に な る の はψ=0 の と きで あ る.こ の と き の支 点 の上 下 を 図 示 す る と図 41の よ うに な る. ψ=π の と きは エ ネル ギ ー の 減 少 率 が 最大 に な る. この よ うに位 相 差 を変え る と タ イ ミン グに よ っ て振 り 子 の振 れ 方 は 大 き く変 わ るわ け で あ る. 支 点 の位 置 は 振 り子 を 特 徴 づ ける パ ラ メ タの１ つ で あ る.振 動 系 の パ ラ メ タを周 期 的 に変 化 させ る とき振 動 が強 め られ た り弱 め られ た りす る現 象 を パ ラ メタ励

図41 図41

振とい う.そ し て マ シュ ー方 程 式 は パ ラ メ タ励振 を 表 す 代表 的 な方 程 式 で あ り, そ の性 質は 詳 し く調 べ られ て い る.

Tea  Time

マ シュ ーの 方 程 式 マ シュ ーの 方 程 式 を

と し よ う.z=ωtと

す る とcoszは

周 期 的 な パ ラ メ タ の 変 化 で あ り,こ

れ に よっ

てｕ の 振 動 が励 起 さ れ る か ど うか は δ と εの 値 とｕ の 初 期 条 件 に よ っ て 決 ま る. ぶ ら ん こ の よ う な 振 り子 の ゆ れ が 大 き く な る の は,解 がt→ あ る,解

が 発 散 す る と き,あ

る い は(時

∞ で 発 散 す る と きで

間 を 逆 に し た と き の よ う に)減

衰す ると

図42図43 きは,解 は 不 安 定 で あ る と い う.不 安 定 で な い と きは解 は周 期 的 で あ り,安 定 であ る とい う. δと εが 適 当 で な い と解 は 不 安 定に な る.安

定領域は図

42,43で ア ミを か け た 領 域 で,他 は 不 安 定 領 域 で あ る. δ=1/4の 近 くの不 安 定 領 域 が パ ラ メタ励振 に都 合 が よい ． δ=0の近 くの δ＜0に 安 定 領 域 が あ る.δ＜0は 振 り子 が 逆 立 ち し てい る と きに実 現 され る.振

り子 の支 点 を こ の領 域 で

適 当 な振 動 数,振 幅 で 上 下 させ れ ば 振 り子 を逆 立 ち させ る こ とがで き る(図44). 図44

第12講 単

振

り 子

―テーマ ◆ 振 幅 の大 きな振 り子 ◆ヤ コ ビの 楕 円関 数 ◆ Tea

Time:ア

ーベ ル と ヤ コ ビ

小 さな 振 幅 と大 き な振 幅

単 振 り子 の運 動 方 程 式 は

(１)

と書 け る.こ こでｌ は単 振 り子 の糸 の長 さ,θ は 糸 が 鉛 直 方 向 となす 角 で あ る.こ の方 程 式 は非 線形 で あ って,解 は 楕 円関 数 で表 され る. 振 れ の角θ が 小 さ い と きはsinθ を θで 置 き換 え る と(１) は単 振 動 の式 (２) とな る.こ の両 辺 に(dθ,/dt)dtを か け て 積 分 し て 書 き直 す と (エネ ル ギ ー の式)

図45

(３) と な る.こ

こで (４)

と お く とt=0で

θ=0と

して

(５) を 得 る.こ

の逆 関 数 を とれ ば (６)

これ が 振 幅 が 小 さ い と き の 単 振 動 を 表 す. さ て,振

幅 が 必 ず し も小 さ く な い と し て(１)を

(dθ/dt)dtを

か け て 積 分 す る と(エ

積 分 し よ う.(１)の

両辺 に

ネ ル ギ ー の 式)

(７)

を 得 る.こ

こ で(４)に

相 当して

(８)

と お く(k＜1の

と き は 振 動,k＞1な

ら ば 円 運 動 に な る).(９)

なの で,t=0で

θ=0と

積分す る と

し て(７)を

(10)

を 得 る.こ

の 式 の右 辺 は(５)の

右 辺 の 積 分 の 拡 張 に な っ て い る.そ

こで (11)

と 書 く.snは

エ ス エ ヌ と呼 び(図49参

れ る もの の １つ で あ り,sn-1は sn(z,k)な る.(10)の

ど と書 く(た

照),ヤ

コ ビ(Jacobi)の

そ の 逆 関 数 で あ る.こ

ん にsnzと

逆 関 数 を と れ ば(11)に

も書 く).ｋは

楕 円 関 数 と呼 ば

の 関 数 はｋ に 依 存 す る の で

母 数(モ

ジ ュ ラ ス)と

呼ば れ

よ り (12)

と な る.こ

れ が 振 幅 が 必 ず し も 小 さ くな い と き の 単 振 り子 の 振 動 を 表 す(振

角θ が 小 さ い と き は(12)は(６)に (11)に

れの

戻 る).

おいて (13)

と お く と(11)は (14)

と書 き換 え ら れ る.振 Ｔと す る と,振

れ の 角θ は φ=π/2で

れ が0か

最 大 値 に 達 す る が,振

ら 最 大 値 まで 達 す る ま で の 時 間 はT/4で

り子 の 周 期 を あ る か ら,

(15)

ただ し

(16)

と な る.K(k)は

第 １種 の 完 全 楕 円 積 分 と 呼 ば れ る.ｋ が 小 さ い と し て 被 積 分 を

ｋに つ い て 展 開 し て 積 分 す る と (17)

振 れ の 角θ の 最 大 値,す 値 で あ る か ら(７),(８)か

な わ ち 振 幅 を α と す る と,こ

れ はdθ/dt=0に

な る θの

ら (18)

で あ る.し

た が っ て α が 小 さ い と きはk〓α/2で

あ り

(19) ゆ え に振 幅 αが1ラ

ジ ア ン〓57。 以 下 な らば 周 期 は

ほ とん ど振 幅 に無 関係 で あ る.こ れ は 振 り子 の 等 時 性 と呼 ば れ る性 質 で あ る. 振 り子 時 計 の振 り子 の よ うに,糸 で な く固 体 で で きた振 り子 で は,支 点 か ら重 心 ま で の距 離 をlGと し,慣 性 モ ー メン トを1と し,重

力 に よる力 の モ ー

メン トを Ⅳ とす れ ば 運 動 方 程 式 は

図46  振 り子 の周 期 ：

(20)

と な る(Ｍ

は 振 り子 の質 量).し

た が って振 り子 は 糸 の長 さが

(21) の 単 振 り子 と同 じ 周 期 の 振 動 を す る.こ (21)を

の よ うな 振 り子 を 実 体 振 り子 と 呼 び,

等 価 振 り子 の 長 さ と い う.

な お,エ

ネ ル ギ ー が 大 き い ほ ど 振 幅 αは 大 き くな り,E=2g/l(k=1)に

とa=n,す

な わ ち 振 り子 は 倒 立 の 位 置 ま で 上

が る.そ

し て エ ネ ル ギ ー が さ ら に 大 き くな る と

k＞1に

な り,振

なる

り子 は 回 転 運 動 を す る よ う に

な る. 振 り子 の 振 れ の 角 θ と 速 度 θ と の 関 係 を 相 平 面(θ,6)で k＜1の

図 示 す る と 図47の

よ う に な る.

場 合 は 単 振 動 に 似 た 軌 道 に な る.k=1

の 軌 道 は セ パ ラ ト リ ッ ク ス と 呼 ば れ,そ k＜1と 外k＞1と

の 中

図47

で は 軌 道 の 様 子 が ま っ た く異 な る こ と が わ か る.セ

ク ス 上 で θ=±n,±3π,…

に 近 づ く に は 無 限 の 時 間 を 要 す る.し

線 上 で も これ ら の 点 を 境 と し て 別 々 の 軌 道 と考 え る べ き で あ る.

パ ラ トリッ

た が って 同一 曲

ヤ コ ビの 楕 円 関 数 線 形 の振 動 の 典型 的 な も の は単 振 動 で あ り,そ の 運 動 は ３角 関 数 のsin(正

(a)

弦 関 数)

な どで 表 され る.こ れ に 対 し非 線形 の振 動 で は 単 振 り子 の 例 で み た よ うに 楕 円 関 数 が よ く 現 れ る.sin関

数 に似 たsn関

数 な ど,ヤ コ ビ

の楕 円 関 数 と呼 ば れ る もの に つ い て説 明 を加 え よ う. (b)

(22) は0〓z〓1に で あ る.と

お い て 図48(a)の く にz=1の

よ うな 関数

と きの 値 を

図48

(23) と 書 き,こ

れ を 第 １種 の 完 全 楕 円 積 分 と い う.K(0)=π/2,K(1)=∞

図48(a)の 48(b)).こ

横 軸 と縦 軸 を 逆 に す る と(ａ)の れ はu=0とu=K(k)の

長 し て 周 期4K(k)の

で あ る.

曲 線 の 逆 関 数 が 得 ら れ る(図

間 の 曲 線 で あ る が,さ

ら に これ を 左右 に延

周期関数をつ く り (24)

あ る い は 母 数ｋ を 示 し てz=sn(u,k)を

定 義 す る.k=0と

す れ ばsn(u,0)=sinu

と な る. 次 に (25) と し てcn(シ cosuと

ー エ ヌ)関

す る.ま

た

数cnuを

定 義 す る.た

だ しk→0の

と きcn(u,0)=

図49 (a)snu,(b)cnu,(c)dnu

(26) に よ ってdn(デ

ィ ー エ ヌ)関

数 を 定 義 す る.こ

れ ら が ヤ コ ビ の 楕 円 関 数 で あ る.

(27)

ま たK(0)=π/2,K(1)=∞

であり,記

号 (28)

も 用 い ら れ る. 【微 分 】(22)か

ら (29)

こ こ でz=snu,1-z2=cn2u,1-k2z2=dn2uな

の でdz/duは (30)

同 様 に して

(31)

【 楕 円 積 分 】x=sinφ

と お く. (32)

を 第 １種 の 楕 円 積 分 とい い, (33) を 第 １種 の 完 全 楕 円 積 分 と い う.ま

た (34)

を 第 ２種 の 楕 円 積 分 と い い, (35) を 第 ２種 の 完 全 楕 円 積 分 と い う. さ ら に(34)に

おい て (36)

とお くと (37) ま た(36)を

微分 す る と (38)

と な る が こ の と きcosφ=√1-sin2φ=√1-sn2π=cnuな

ので (39)

し た が っ て(37)と(39)の

両 辺 を それ ぞ れ か け 合 わ せ て 積 分 す れ ば (40)

こ れ は 第 ２種 の 楕 円 積 分 で あ る(こ π/2に 達 す る と(36)に

れ を ε(u)と 書 く).と

よ りｕ は０ か らK=K(k)ま

くに φ を０ か ら増 し て

で 達 す る.し

た が っ て(35)

を用いて (41) を 得 る.

Tea

Time

アー ベ ル とヤ コ ビ 科 学 や 数 学 な ど の 歴 史 に お い て,た

が いに 強 い 関 連 の あ る 事 柄 を ２人 の 人 が 競

い 合 う よ うに 研 究 す る こ と が あ る.ニ 発 見 もそ うで あ っ て,争

い に ま で 発 展 し た.ア

異 な る 立 場 で 開 発 し た.熱 卿,Lord

に よる微 積 分 法 の

ーベ ル とヤ コ ビは 楕 円関 数 を少 し

の 学 問 で は イ ギ リ ス のＷ.ト

Kelvin,1824-1907)と

1822-1888)が

ュ ー トン と ラ イプニッツ

ドイ ツ のクラ

ム ソ ン(の

ち のヶ ル ビン

ウ ジウス(R.J.E.Clausius,

競 い 合 った.

楕 円 関 数 は 楕 円 積 分 の 逆 関 数 で あ る.こ 王 と い わ れ た ガ ウ ス(C.F.Gauss,1777-1855)で

の観 点 か ら研 究 を 始 め た の は数 学 の 帝 あ っ た.し

か し これ を ま と め

る 前 にア ー ベ ル と ヤ コ ビ に よ っ て 楕 円 関 数 論 が 展 開 さ れ た.楕

円関 数 の発 見者 は

こ の ３人 だ と い う こ と に な る. アー ベ ル(N

.H.Abel,1802-1829)は

し て 生 ま れ た.数

ノル ウ ェー の寒 村 で 貧 し い 牧 師 の子 と

学 は 独 学 で 勉 強 し,ベ

文 を 発 表 し た.1827年

ル リ ン大 学 な ど に 留 学 し て つ ぎ つ ぎ と 論

に 帰 国 し た が 職 が 得 ら れ ず 肺 結 核 の た め26歳

そ の ２ 日 後 に ベ ル リ ン大 学 へ招聘

で 死 ん だ.

す る 手 紙 が 届 い た と い う.

ヤ コ ビ(C.G.Jacobi,1804-1851)は 生 まれ ベ ル リ ン 大 学 で 学 ん で ケ ーニヒス 躍 し,力

学 で はハ

な い,財

産 を 失 っ て 不 幸 で あ っ た.

ドイ ツ のポッ ダ ム で 裕 福 な 銀 行 家 の 家 に ベ ルク の大 学 教 授 と な っ た.多

ミルトン ーヤ コ ビ の 方 程 式 な ど も 有 名 で あ る.晩

方面 で活

年は健康 を損

第13講 なわ とびのひ もの形

―テーマ ◆回転 するひ もの力学 ◆なわ とびのひもの形 ◆ Tea Time:ひ

もを 回す と き,楕 円関数 ・３角 関数 ・双 曲線関数

回 転 す るひ も 日常 わ れ わ れ が 目にす る運 動 や 形 で ふ つ うの 力学 の教 科書 に書 い て ない もの が ち ょいち ょいあ る.そ

うい う ものは 運 動 方 程 式 な ど が 簡 単 に 解 け な い 場 合 が 多

い.教 科 書 に ふ つ う書 い て あ る のは よ く 目に ふれ,し か も簡 単 に 解 け る も のば か りに 限 られ て い る とい う ことで あ る.た と えば こ こに なわ とび が あ る.な わ とび の ひ も(ロ ー プ)が 回 って い る形 の こ とは ふ つ うの力 学 の教 科 書 に記 述 が な い. 調 べ て み る と,な わ とび のひ もが 回 っ てい る形 を 決 め る運 動 方 程 式 は そ れ ほ ど複 雑 では な いが,解

くに は め ん ど うな 非 線

形 方 程 式 で あ る.し か し これ は 前講 で 述 べ た楕 円関 数 を 用 い て 解 くこ とが で き る ので こ の問 題 を 取 りあ げ る こ とにす る. 一 番 簡 単 な場 合 と して な わとび の ひ も は １平 面 に あ りな が ら回 転 す る と し よ う.ひ もの 各 部 分 に は 遠 心 力 が は た ら

図50

き,こ れ とひ もの 張 力 が 釣 り合 って い るわ けで あ る． 図50の

よ うに ロー プ の 両 端 が 固 定 さ れ,こ

の両 端 を 結 ぶ 直 線 を軸 とし て ロー

プが 一 定 の角 速 度 で 回 転 し な が ら常 に１ 平 面 内 に あ る とす る.回 転 軸 に な って い る直 線(ｘ 軸 に とる)か

らｙ だ け離れ た と ころ の ロ ープ の 単 位 質 量 には た ら く遠

心 力 は,回 転 の 角 速 度 を ωと して (１) で あ る.ロ ー プ の一 方 の端(固 定 点)をx=0と

し,他 方 をx=2aと

す る.ロ ー

プの 張 力Ｔ は ロー プ の 場 所 に よ って 異 な る.し

か し 遠 心 力 はｙ 方 向 に は た ら く

か ら,張 力Ｔ のｘ 方 向 の成 分 は ど こで も釣 り合 って 一 定 で な け れ ば な らな い. この成 分 は (２) と書 け る.ｓ は ロ ー プ に 沿 っ て 測 っ た 長 さ で あ り,ψ

は ロ ー プ の 接 線 がｘ 軸 と な

す 角 で あ る.ｘ 方 向 の 釣 り合 い の 式 は (一 定)(３)

と書 け る. ロ ー プ の 線 密 度 を ρ と す る と,長 図51

た ら く遠 心 力 の 大 き さ はpω2ydsで

はロープ のdsの 両 端 に は た ら く張 力 のｙ 成 分Ty=Tdy/dsの な けれ ば な らな い(図51).こ

さdsに

は

あ り,こ

れ

差 と 釣 り合 ってい

れ を 式 で書 けば (４)

とな る.書 き直 して

(５) これ に(３)を

書 き換 え た 式T=T0ds/dxを

代入すれば

(６)を 得 る.こ れ が 解 か な け れ ば な らな い方 程 式 であ る.

こ こで ロー プ の形 はy=y(x)で

あ る が,そ の勾 配 を (７)

とお く.(６)の を求 め る.第

左 辺 第 ２項 に変 数ｙ が現 れ て い る こ と に着 目 してｐ とｙ の関 係 １項 の 微 分 か ら (８)

他方で (９) した が って(10)

これに よ り(６)は

(11) と書 け る.こ

れ はた だ ち に積 分 で きて (12)

と な る.た

だ しｂ は 積 分 定 数 で あ っ てp=dy/dx=0に

の 最 大 値 で あ る ．(12)を

２乗 し てp=dy/dxを

な るｙ の 値,す

な わ ちｙ

考慮すれば (13)

と な る.こ

こで (14)

と お く と,(13)の

平方根を積分 して (15)

を 得 る． た だ し

(16)

とお い た.0＜k＜1で (15)の

あ る.

左 辺 は ヤ コ ビ の 楕 円 関 数snを

用 い てsn-1η

と 書 け る(第12講(11)).

し た が っ て(15)は (17) あ る い は ロー プ の形 とし て

(18)

を 得 る． (18)は

パ ラ メ タｂ とｃ お よ び 母 数ｋ を も ち,こ

ω お よび 両 端 の 距 離2aに

れ らは ロ ー プ の 長 さｌ,角 速 度

よ っ て 決 ま る は ず で あ る.こ

れ を 定 め よ う.

ロ ープ の 長 さ

ロ ー プ に 沿 う長 さｓ の 微 分 はds=√1+(dy/dz)2dxと

書 け,(18)か

ら

(19) こ こで (20) を用い ると (21) と な る. な わ と び の ロ ー プ の 場 合 は(16)に

よ りb/cとｋ

の間に (22)

の 関 係 が あ る.こ

れ を(21)に

代 入 す る と この 式 は簡 略化 され て (23)

と な る.ロ

ー プ の 長 さｓ をｘ の 増 す 向 き に 左 端 の 原 点Ｏ

か ら測 る と(23)か

ら

(24) と な る. こ の 曲 線 がx=0の ープ の 形(18)に

次 にｘ軸 を 切 る 点 は ロ ー プ の 右 端 炉x=2aで よ りsnu=0に

１種 完 全 楕 円 積 分).よ

な るｕ の 値u=2K(k)に

あ る.こ

れ はロ

あ た る(K=K(k)は

第

っ てｃ とｋ の 間 に は (25)

の 関 係 が あ る こ と に な る.ロ

ー プ の 全 長ｌ は(24)でx=2aと

お い て 得 られ る か

ら (26) こ こ で ε(2K)=2ε(K)で

あ り ε(K)=E(k)で

あ るか ら

(27) を 得 る. ロ ー プ の 長 さｌ を 決 め 両 端 の距2aを ｃは(25)に

よ っ て 決 ま る の で,ロ

決 め る と(27)に

よ り母 数ｋ が 定 ま る .

ープ の 形 の 幅ｂ も(22)に

よ っ て 決 ま る.し

た が っ て な わ と び の ロ ー プ の 形 は 回 転 数 ω に 関 係 な く定 ま る こ と に な る . ｋはｌとａだけ で 決 ま る の で,(16)の

第 １式 か らT0は

ω2に 比 例 し,そ

の 比

例 係 数 はｋ あ る い はｌ とａ の 関 数 で あ る こ とが わ か る.

Tea

Time

ひ もを 回 す と き 質 問  な わ とび の ひ もの両 端 を もつ 人 が ロー プ を 同 じ よ うに回 転 さ せ る と きは, ひ もは １つ の 弓形 に な って 回 ります が,一 方 の 人 が さ きに 回 転 を 始 め た 場 合 は ひ もは コイル か つ る巻 き ば ねを 引 き伸 ば した よ うな形 に な っ て 回 ります ね.あ の よ

うに ち ょ っ と複 雑 な場 合 で も運 動 方 程 式 は 解 け るの で し ょ うか. 答  講 義 で は簡 単 な場 合 と し てひ もが １平 面 上 の形 を 保 ちな が ら回 る回 転 を扱 い ま した が,ひ

もが 何 度 もね じれ た よ うな形 に な る回 転 もで き ます ね.こ の よ うに

な る と きで も,時 間 的 に 同 じ形 が 保 た れ る場 合 はや は り楕 円 関 数 で解 が表 され ま す. 時 間 的 に 形 が 変化 す る と きは ひ もを伝 わ る波 とし て なわ の運 動 を考 え る ことが で き ます ． パ ル ス 状 の波 を ひ もの一 端 か ら他 端 へ 向 け て送 る こ と もで きます ね. この よ うな場 合,特 殊 な形 の波 の運 動 な らば 解 を双 曲線 関 数 や 楕 円関 数 で 表す こ とが で き ます.

楕 円 関 数 ・３角 関数 ・双 曲線 関 数 質 問 ３ 角 関 数 も双 曲線 関 数 もヤ コ ビの楕 円 関 数 の特 別 な場 合 な の です か. 答  そ うで す.３ 角 関 数 も双 曲線 関 数 もヤ コ ビの楕 円 関 数 の 極 限 の場 合 とし て こ れ に含 まれ ます.ヤ

コ ビの楕 円関 数 の母 数ｋ を０ に し た の が ３角関 数 で あ り,ｋ

を１に した の が 双 曲線 関 数で す ． ヤ コ ビの楕 円 関数 をsn(x,k),cn(x,k),dn (x,k)と

書 くと

と な りま す(第12講

参 照).

第14講 最 速 降 下 線

―テ ーマ

◆ 重 力の下 で曲線に沿 って降下する運動 ◆変分法 (オイ ラーの方程式) ◆Tea

Time:曲

線 を比べ る

最 速 降 下 線 の 問題 重 力 の 作 用 を 受 け,１ 鉛 直 平 面 内 で な め らか な 曲線 に沿 って降 下 す る 物 体 を考 え る ．初 速 度 な しで 定 め られ た 出発 点 か ら目的地 まで も っ と も速 く到達 す る経路 (これ を最 速 降 下 線 とい う)は サ イ ク ロイ ドとい う曲線 で あ る こ と を証 明 し よ う. この問 題 は ベ ル ヌー イ(J.Bernoulli,1667-1748)に ぐれ た数 学 者 に対 し て提 出 され た.ニ

よ っ て ヨ ー ロ ッパ中 のす

ュートン は ただ ち に これ を解 き,匿 名 で ベ

ル ヌー イ に書 き送 った と ころ,ベ ル ヌー イは そ の解 法 を み てすぐに 解 答 者 を 知 っ た とい う こ とで あ る. 【証 明 】 出発 点 を原 点 に と り,鉛 直 下 方 にｘ軸 を,水 平 方 向 にｙ 軸 を と る.求 め る経 路 の 曲線 をy=y(x)と

し,曲 線 の長 さをｓ とす る と (１)

出発 点 Ｏ か らｘだ け下 が った点 に おけ る速 さはv=√2gxで か ら,あ る経 路y=y(x)に す ると

あ る(第13講

参 照)

沿 って 目的地Ｐ まで 落 下 す る の に要 す る 時 間 をＴ と

(２) と な る. Ｔを 最 小 に す る 曲 線 をy=y(x)と η(x)に 対 し てＴ

す る と,任

の 変 化 は ０に な る(Ｔ

と 目 的 地Ｐ で は η=0で

意 の 微 小 な 変 化y(x)→y(x)+

は 停 留 値 を と る とい う).た

あ る と す る(図52,53).こ

だ し 出発 点 Ｏ

れ を 式 で書 け ば

(３)こ こ で (４) と お く と,小

さ な⊿ に 対 し て{}の

中は (５)

図52図53 と な る か ら,(３)は

(６) とな る． これ を部 分 積 分 す れ ば

(７) とな るが,Ｏ

とＰ に お い て η=0で あ るか ら右 辺第 １項 は ０で あ る.し

第 ２項 だ け残 って

た が って

(８)を 得 る.こ こで Ｏ とＰ を除 き η(x)は 任 意 で あ る か ら こ の積 分 が ０にな るた め に は

(９)で な け れ ば な らな い.z=dy/dxで

あ る か ら(９)を

積 分 した結 果 は (10)

と 書 く こ と が で き る(ａ

は 定 数)． 書 き 直 し て (11)

こ こ でx=a(1-cosθ)と

お け ば√x/(2a-x)=sin(θ/2)/cos(θ/2),dx=asinθdθ

=2asin(θ/2)cos(θ/2)dθ (12) とな るの で (13) を 得 る.し

か し 原 点(x=y=0)で

θ=0と

す れ ば 上 式 右 辺 の 定 数 は ０ と な る.し

た が って 求 め る最 速 降 下 線 の方 程 式 は

(14)

とな る.こ れ は サ イ ク ロイ ドと呼ば れ る 曲線(１ つ の 円が 直 線 の上 をす べ らな い

図54 

サ イ ク ロイ ド

図55

で 転 が る と き,円 周上 の １点 が 描 く曲線)で

あ る(図54).定数aは

サ イクロイ

ドが 目的 地Ｐ を通 る よ うに す る こ とで 決 定 され る(図55)． 図56の

よ う に 同 じ 高 さ の ２点 Ｏ とO'と

が あ る と き,摩 擦 のな い台 車 が あれ ば,Ｏ ら斜 面OPを 図56

す べ り降 りて か ら 斜 面QO'を

す べ り上 が れ ば,重

へ 行 く ことが で き る.OPQO'が す べ りだ さな い し,OPQO'が

か

力 を 利 用 して Ｏ か らO'

水 平 な らば初 速 度 ０の台 車 は い つまで た って も あ ま り深 け れ ば Ｏ か らO'へ 行 く時 間 は 長 く な っ

て し ま う.初 速度 ０で 出発 し てＯ か らO'へ 行 く時 間が 一 番 短 くな る よ うな 経路 が あ るは ず で あ る.こ の経 路 は上 に 述 べ た サ イ ク ロイ ドに ほ か な らな い.出 発点 と 目的地 が 同 じ高 さで も上 の計 算 は通 用 す る の で あ る. 最 速 降 下 線 に沿 って進 む の に要 す る 時 間 を 計 算 し よ う.前 項 の記 号 を 用 い る と,初 速 度 ０で 出 発 し てか らの時 間 は 一 般 に (15) と書 け る.こ

こで サ イ ク ロイ ドの方 程 式(14)か

ら (16)

これ を用 い て

(17)

した が って (18)

と な る.Ｏ

か らO'へ

行 く と き θは ０ か ら2π ま で 変 わ る の で,そ

の時 間 は (19)

で 与 え ら れ る. た と え ば 東 京 か ら大 阪 ま で サ イ ク ロ イ ド曲 線 の トン ネ ル を 掘 っ た と す る と,東 京‐大 阪 間 の 距 離 をl=2πa=500kmと

し て,片

道 に 要 す る 時 間 は 約10分

とな る．

摩 擦 な ど の 損 失 が な け れ ば,列 車 は 燃 料 も不 要 で あ る.し さ は2a＝

約160kmと

か し,こ の トン ネ ル の 深

な る か ら,深 い と こ ろ は と て も暑 く て 耐 え きれ な い だ ろ う.

変

最 速 降 下 線 を 求 め る 計 算 は,一 っ て 定 ま る 関 数L(y,dy/dx,x)の

分

法

般 化 す る と 次 の よ うに な る.関数y=y(x)に

よ

積分

(20) が 極 値 を と る よ うな関 数y=y(x)を

求 め る.た

だ し,x0とx1に

お け るyの 値 は

固 定 す る もの とす る.こ の問 題 の解 は 微 分 方 程 式

(21)

を 解 く こ と に よ っ て 与 え ら れ る.こ る い はオイラー‐

の 方 程 式 を オ イ ラ ー(Euler)の

ラ グ ラ ン ジュ(Lagrange)の

方 程 式 と い う.こ

方 程 式,あ れ は変 分学 の基

本 的 な 方 程 式 で あ る. 【証 明 】yに

変 分 δy(x)を 与 え る.す

き の 積 分Iの

変化 を

な わ ち,yをy+δy(x)に

δIと す る と(x0とx1と

は 固 定 す る の で)Iが

変 え,そ

のと

停 留 値(極

値)

を と る条 件 は

(22) と な る.こ

こで

(23)

で あ り,さ ら に変 分 の意 味 か ら

(24) よ って

(25) 右 辺 の 第2項

を 部 分 積 分 し て δy(x0)=δy(x1)=0を

用 いれ ば

(26) こ こで変 分 δy(x)はx0とx1を

除 き任 意 な ので,δI=0で

の中 が ０で な けれ ば は ら な い.こ れ が(21)で

あ る.■

最 速 降下 線 の 問題 では Ｌ に 相 当 す る関 数 はdy/dxとxに 含 まな か った.そ

の た め(26)に

あ るた め には 右 辺{}

相 当 す る(8)は∂L/∂yの

依 存 す る がyを

陽に

項 を含 ま な か った

の で あ る.

Tea

Time

曲線を比べ る 放物 線,懸 垂 線,円,サ

イ ク ロイ ドの 曲 が り方 を比べ よ う.曲 線 をｙ 軸 に 対 し

て対 称 に 描 い て最 低 点 を原 点 に と り,ｘ の小 さい と ころで 展 開 した と きに

にな る よ うに す る.放

物線では

次 に懸垂線 を表す式を

とす る.ｘ の小 さい と こ ろで 展 開 す る と

なので

半 径 １の 円 は

サ イ ク ロ イ ドは

と す る ． 原 点 の 近 く,￨ψ￨の

そ こでy=x2/2+αx4+…

と な る.x4の

小 さい と ころ で展 開 し

と お い て α を 決 め る と α=1/6と

係 数 を 比 べ れ ば,放

物 線,懸

方 が 急 に な っ て い る こ と が わ か る.

垂 線,円,サ

な るの で

イ ク ロ イ ドの 順 に 曲 が り

第15講 アー ベ ル の 問 題 とサ イク ロイ ド振 り子

―テーマ ◆ 降下 の時間 と高低差の関係(ア ーベルの問題) ◆ 等 時性が厳 密に成 り立つサイ クロイ ド振 り子 ◆ Tea Time:振 り子時計

アー ベ ル の 問 題

１つ の質 点 が 重 力 の 影 響 の も とで １つ の鉛 直面 内で 動 く と き,静 止 の 状 態 か ら 出発 した 質 点 の 降 下 時 間 が 落 下 の高 さ の与 え られ た 関数に な る よ うな 経 路 を 求 め る こ と.こ れ はア ー ベ ル(Abel)の

問 題 とい う有 名 な 問題 で あ る. 【解】 鉛 直 下 方 にｘ軸 を,水 平 にｙ 軸 を と る.

出発 点 Ｏ を原 点 に と り,求 め る経 路 の 曲 線Ｃ の 長 さを Ｏ か ら測 っ てｓ とす る(図57).ま た 曲線 上 の点Ｐ の座 標 を(x,y)と す る.出 発 点 Ｏ か らxξだ け降 りた と き の質 点 の 速 度 はν=√2g(x-ξ) で あ る か ら,高 低 差ｘ だ け 降 りて Ｐ点に 達 す る 図57

まで の時 間ｔ は (1)

で あ る.こ

の 時 間 が 与 え ら れ て い る と し,こ

れ を

(２) とおけ ば (３)

で あ る.こ こで点Ｐ か ら上 方 に ξ軸 を とれ ば

(４) ただ し

(５)

と お け ば(３)は

(６)

と な る.こ

れ がア ー ベ ル の 問 題 の 基 本 的 な 方 程 式 で あ る.こ

を 知 れ ば,求 y(ξ) は(５)を

の 方 程 式 の 解ψ(ξ)

め る 曲線y= 解 い て得 ら

れ る. 【アー べ ル の方 程 式 の解 】 (６)を 解 くた め に この方 程 式 の 両 辺 に1/√z-xを

かけて

xにつ い て積 分 す る(図58).

図58

左 辺 は積 分 の 順 序 を変え る と (７) と な る.こ

の右 辺 の積 分 で (８)

と お けば√(z-x)(x-ξ)={(z-ξ)/2}sinθ,dx=-{(z-ξ)/2}sinθdθ

なので (９)

この積 分 公 式 を 用 い る と(６)か

ら

(10)を 得 る.こ の右 辺 は 部 分 積 分 に よ り

(11)

これ を(10)の

右 辺 に 代 入 し てｚ で 両 辺 を 微 分 し てｚ を ξで 書 き 換 え れ ば

(12)

を 得 る.こ 【例 】

れ がア ー ベ ル の 方 程 式(６)の

解 で あ る.

例 と し て 等 加 速 度 運 動x=αt2/2,あ

る いはt=√2x/α

を 考 え る と(２)

か ら (13)

し た が っ てf(0)=0で

あ り,(12)と(９)か

ら (14)

求 め る 曲 線 は(５)に(14)を

代 入 し て書 き直 した 式 (15)

の 解 と し て 得 ら れ るw.α＜gの

と き,こ

の解は (16)

と書 け る.こ

れ は 鉛 直 と な す 角 が θ=tan-1√(g/α)-1の

動 で あ る こ と を 示 し て い る.a=gの

と き は θ=0と

斜 面に 沿 っ て す べ る 運 な る が,こ

れ は 鉛 直 落 下に ほ

か な ら な い.

逆 のア ー ベ ル 問 題

以 上 に述べ たア ー ベ ル の 問 題 は １点 Ｏ か ら 降 下 す る 時 間 を 与 え て そ の 経 路 曲

線 を 求 め る問 題 で あ った.こ れ を 逆 に して １つ の 点 まで降 下 す る時 間 を 与 え て そ の 経路 曲線 を 求 め る 問 題 を 考 え る. あ る 曲線上 の 任 意 の 点Ｐ か ら定 ま っ た 点 Ｏ まで 降 下す る のに 要 す る時 間 をt=f(x)/√2gと

す る(図59).Ｏ

点 に と り,こ ん ど は 鉛 直上 方 にｘ軸,水 と,高

を原 図59

平 にｙ 軸 を と る

さｘ の 点 か ら 出 発 し て 高 さ ξの 点 ま で き た と き の 速 さ は√2g(x-ξ)で

あ

る か ら, (17)

を 得 る,こ

れ は(６)と

同 型 の 式 で あ り,解

も(12)で

【例 】 図60の

与 え ら れ る.

よ うに 曲線 の最 低 点 を Ｏ とす

る.曲 線 上 の任 意 の 点Ｐ か ら Ｏ まで 降 り る の に 要 す る時 間 がＰ の 位 置 に よ ら な い 場 合,こ の 曲線 に沿 って動 く質 点 の周 期 はＰ の位 置(す な わ ち振 幅)に

図60 つ こ と に な る.こ 一 定)と

の 場 合,Ｐ

す る とf(x)=c

よらず,そ

の振 動 は等 時性 を も

か らＯ ま で 降 り る の に 要 す る 時 間 をt=c/√2g(=

,f'(x)=0と

な り,こ

れ に 対 す る 解(12)は (18)

し た が っ て(５)か

ら (1 9)

こ の 解y=y(ξ)は

原 点 ξ=y=0を

通 る.こ

の と き解 は パ ラ メ タ θを 用 い て

(20)

と 書 け る.た

だ しa=c2/2π2で

あ る.実

両 辺 は と も にcos(θ/2)/sin(θ/2)と (20)はξ=2aを

際(20)を(19)に

代 入 す る と(19)の

な る.

基 線 と す る サ イ ク ロ イ ドで あ る.こ

の サ イ ク ロ イ ドに 沿 っ て

動 く質 点 の振 動 の周 期 は振 幅 に よらず (21) とな る.こ れ を サ イ ク ロイ ド振 り子 とい う. サ イ ク ロ イ ド振 り子 以上 の文 脈 で サ イ ク ロイ ド振 り子 は 逆 のア ーベ ル 問 題 か ら 出 て きた.し か し振 幅 に よ らず 等 時 性 が厳 密 に成 り立 つ 振 り子 は単 振 り子 の式

(22) を 満 足 す るは ず で あ る.他 方 で 運 動 図61

方程式は (23)

で あ る か ら サ イ ク ロ イ ド振 り子 の お も りの 経 路 曲 線 は (24) を 解 い て 求 め られ る は ず で あ る(図61).こ (24)をdξ=(ω02/g)sdsと

れ を 調べ よ う.

書 い て 積 分 す る と ξ=(ω02/2g)s2あ

るいは (25)

を 得 る.こ

れ を ξで 微 分 し,ds=√(dy/dξ)2+1dξ

を用 い る と (26)

と な る.こ

の 両 辺 を ２乗 し て 書 き 直 す と ( 27)

を 得 る が,こ

れ は(19)と

同 じ式 で あ る(な

g/2ω02=(g/2)(T/2π)2=c2/π2).し

ぜ な ら ば(22)お

よ び(21)か

ら

た が っ て 等 時 性 が 厳 密 に 成 り立 つ 振 り子 の お

も りが 通 る 曲 線 は サ イ ク ロ イ ド(20)だ

とい う こ と に な る.

ま た逆 にサ イ ク ロイ ド(20)上 の も容 易 で あ る.(20)か

を通 る質 点 が 等 時 性 を もつ こ とを 直 接 証 明 す る

らサ イ ク ロイ ドの 線 素 は

(28) ま た 高 さｘ の 点Ｐ か ら 速 度 ０で 出 発 し て,高 はv=√2g(x-ξ)で

あ る か ら.周

期 は(28)と

低 差ξ の 点 ま で 降 り た と き の 速 さ 公 式(９)を

用いて

(29) と な る.こ

れ は す でに 得 た 式(21)で

あ る.

Tea

Time

振 り子時計 質問

この ごろ は 振 り子 時 計 を 見 る こ と も少 な い です ね.振

り子 が つ い て い て も

それ は 見か け だ け の電 子 時 計 だ った り． 時 計 の歴 史 は 古 い ん で し ょ うね.ニ

ュー

トンが 思 索に 夢 中 にな っ てゆ で 卵 を 作 る と ころ を 懐 中 時 計 を ゆ で て し ま った とい う話 が あ った よ うで す が… … 答

ニ ュートン の ころ に は不 十 分 だ った で し ょ うが 懐 中 時 計 は あ った よ うで す.

しか し,こ れ をゆ でた とい う話 は作 り話 で し ょ う. 振 り子 時 計 を は じめ て考 え た の は,振

り子 の等 時 性 の発 見 者 で もあ る ガ リ レイ

で す が,設 計 図 を 残 し て死 ん で し ま い ま した.実 際 に振 り子 時 計 を 作 った の はホ イヘンス (C.Huygens,1629-1695)で1656年 『時 計』 を発 表 し て い ます.ホイヘンス

の こ と で す.1658年

に は 著書

は等 時 性 が厳 密 に成 り立 つ サ イ ク ロイ ド

振 り子 を発 見 し,時 計 の振 り子 が これ に 近 い運 動 を す る よ うに振 り子 の 両 側 の上 部 に サ イ ク ロイ ド型 の 板 を つ け た が,今 の振 り子 時 計 で は こ の よ うな装 置 は つ い て い ませ ん.振

り子 時 計 に は ほ か に も不 正 確 にな る原 因 が い ろ い ろ あ る か らで

す.ま た 彼 は実 体 振 り子 も研 究 し,相 当 単 振 り子 の 長 さ とい う概 念 を 確立 し て い ます.ホイヘンス

は 衝 突 の 力学 や,向 心 力 の研 究,望 遠 鏡に よる土 星 の環 の発 見

な どで も有 名 です し,光 の伝 播,反 射,複 屈 折 な どの現 象 を いわ ゆ るホイ ヘンス の原 理 で説 明 し,光 の波 動 説 を唱え た こ とで もと くに有 名 で す. この ごろ は 見 た と ころ は振 り子 時 計 で も電 池 を動 力に し た も の が 多 い よ う で す.昔

の も のはゼン マイ を 動 力 に して い ま した.ゼン

マ イは だ ん だ ん ほ どけ て き

て,つ いに は 時 計 が 止 ま って し まい ます か ら,数 日に １回 は ネ ジでゼン マ イ を 巻 きあ げ るの で す.そ の 間,時 計は いつ も同 じ速 さで動 くで し ょ うか. お そ ら く多 くの 人 は ゼ ンマ イ を巻 い たす ぐあ との ほ うが 時 計 は速 く進 む と思 う で し ょ う.ゼン マ イ を巻 い た直 後 は ゼ ン マ イ の 力 が 強 い の で振 り子 が速 く振 れ る だ ろ う とい うわ けで す.し か し実 際にはゼン マ イ を巻 い たす ぐあ とで は 時 計 は 遅 く進 み,ゼ

ンマ イが ほ どけ て くる とだ ん だ ん 速 く進 むの で す.多

くの 振 り子 時 計

が そ うだ ろ う と思 い ます. これ はゼン マ イの 巻 きた て の とき はゼン マ イ の 力 が 強 い た め振 り子に は大 き な 力 が か か るの で振 幅 が大 き くな り,ゼ ン マ イが ほ どけ て き て 力 が弱 くな る と振 幅 が 小 さ くな るた めで し ょ う,振 り子 は 振 幅 が大 き い ほ ど周 期 が長 く,往 復 に 時 間 が か か ります.し

たが っ てゼン マ イの 巻 き た て の とき は振 り子 時 計 は遅 く進 み,

ゼ ン マ イ が ほ どけ て くれ ば 速 く進 む の で す. 振 幅 が大 きい ほ うが 小 さい と き よ りも周 期 が 長 い のは 振 り子には た ら く力 が 振 れ に 比 例 しな い た め です か ら,こ の 現 象 は非 線 形 効果 に よ る もの だ とい うこ とが で き ます.

第16講 衝

突

―テーマ ◆ 運動量保 存の法則 ◆質量 の保存 ◆ Tea Time:質

量,ロ ケッ トの加速

運 動 量 の 保 存 と 作 用 ・反 作 用 運 動 す る ２つ の物 体 の 速度 が相 互作 用 のた め 変 化 す る現 象 が一般 的 な 衝 突 現 象 で あ る.簡 単 の た め １次 元 の場 合 を考 え,他 に外 力 は な い もの と す る.質 量m1 とm2の

物 体 の 衝 突 前 の 速 度 をu1お

と し,衝 (図62).実

突 後 の 速 度 をu1お

よ びu2

よ びu2と す る

験 に よれ ば (１)

が成 り立 つ.m1u1,m2u2な

どを そ れ ぞ れ の

物 体 の運 動量 と呼 ぶ.上 式 は 衝突 の 前後 で 全

図62

系 の運 動 量 が変 わ ら な い こ と を意 味 し,こ れ を 運 動 量 保 存 の 法則 とい う.こ の 法 則 は,実 は 物 理 学 の も っ と も基 本 的 な 法則 であ る こ とを 注 意 して お き た い. 運 動 量 保 存 の法 則 は 衝突 の前 後 だ け でな く,衝 突 中 も,あ るい は 一 般 に相 互 作 用 を し てい る間 の いつ で も成 り立 つ.そ

こ で短 い時 間ｔ の間に 速 度 がu1,u2か

,u2に 変 わ った と し よ う．(１)を 書 き直す と

らu1

(２) と書 け る.こ

こで(u1-u1)/tは

物 体１ の 加 速 度,(u2-u2)/tは

物体 ２の 加速度

で あ るか ら,こ れ に 質量 を か け た (３) は そ れ ぞ れ物 体１ と２ に はた らい た力 で あ る.し た が っ て,こ れ らの 力 の 間 に は 関係式 (４) が 成 り立 つ.f1とf2の

一 方 を 作 用,他 方 を 反 作 用 と 呼 べ ば,(４)は

作 用 と反

作 用 は 大 き さが 等 し く,向 きが 逆 で あ る こ とを表 して い る.こ れ を 作 用 ・反 作 用 の 法則 とい う.ニ ュー トン の ３つ の運 動 法 則 の 中 の第 ３法 則 が 作 用 ・反 作 用 で あ る が,こ れ は も っ と基 本 的 な 運 動 量 保 存 の 法 則 か ら導 かれ る もの で あ る． 向心 衝 突 質 量m1,m2の

球 が これ らの 球 の 中 心 を 結 ぶ 線上 を 運 動 し て 衝 突 す る場 合 を向

心 衝 突 とい う.衝 突 後 も同 じ直 線上 で 運 動 す る と して い る.球 の 回転 を 考 え ず, 床 との摩 擦 も考 えな い 場 合 と して,長 い ひ もで 吊 る した重 い球 の衝 突 を 考 え れ ば よい,ホイヘンス

は 動 い て い る船 の上 で この よ うな 球 の 衝 突実 験 が行 わ れ るの を

岸 の 上 の人 が 見 る場 面 を想 定 し,運 動 量 保 存 の 法則 が 広 く成 り立 つ こ とを 明 らか にして,運 動 量 の概 念 を確 立 し た. 衝 突 の前 後に 対 し運 動量 保存 の 法則(１)が

成 り立 つ が,運 動 エ ネ ル ギ ー は保

存 され ず,一 部 の エ ネ ル ギ ーは 熱 に な って し ま うか もしれ ない.運 動 エ ネ ル ギ ー が 熱 に変 わ った部 分 をＱ とす る と,熱 を含 めた エ ネ ルギ ー保 存 の 式 は (５) と書 け る.Q〓0で

あ る.

Ｑと衝 突 の相 対 速 度u1-u2と まず

の 関 係 を み るた め,u1とu2を

書 き直 し て み る．

(６) こ こ で(１)を

用 い た.さ

らに書 き直 す と (７)

を 得 る.同

様に (８)

こ れ ら を ２乗 し て(５)に

(９) が 得 られ る.こ

代入す ると

こで衝 突 前 後 の相 対 速 度 の比 を 考 え て

(10) とお き,こ れ を反 発 係 数(は ね 返 り係 数)と 呼 ぶ.Q〓0で あ る.e=1な

らばQ=0で

う.e〓1な

らばQ〓0で,非

りu2=u1で

あ り,衝 突後 ２つ の球 は くっつ い て し ま う.こ

あ る か ら0〓e〓1で

運 動 エ ネ ル ギ ーは 保 存 され る か ら,完 全 弾 性 衝 突 とい 弾 性衝 突 とい う.と

くにe=0の

と き は(10)に

よ

の 場 合 は 完 全非 弾性

衝 突 と呼 ば れ る.反 発 係 数 は 物 質 に よ っ て決 ま る定 数 で,相 対 速 度 に は よ らな い と して扱 わ れ て い る.

斜め の衝 突 質 量m1の

な め らか な球 が,他

の質 量m2の

静 止 し た な め ら か な 球 に 衝 突 し,

速 度 の 方 向が θだ け 変 わ り,第 ２の球 は 第１ の 球 の 衝 突 前 の運 動方 向 と角ψ をな す 方 向に 動 きだ した とす る と(図63) (11) が 成 り立 つ.た だ し衝 突 は 完全 弾性 衝 突 で あ る とす る. 【解 】 第 １の球 の衝 突 前 の 速 さをu1と し,

図63

衝 突 後 の球 の速 さを そ れ ぞ れu1,u2と す る.球 は なめ らか で あ るか ら,第

２の球

は,衝 突 時 の中 心 線 の方 向 に動 き だす. 第 １の球 の 衝 突 前 の 運 動 方 向 と これ に 垂 直 な 方 向 の運 動 量 保存 の 式 は

(12) こ の 第 １式 にcosψ,第

２式 に-sinψ

を か け て 加 えれ ば (13)

を 得 る.ま

た 完 全 弾 性 衝 突 な の で向 心 方 向 の 相 対 速 度 は 変 わ ら な い か ら (14)

(13),(14)か

らucosψ

と く にm1=m2な

を 消 去 し た 式 と(12)の

らば(11)はtanθ=cotψ

第 ２式 と か ら(11)を と な り,こ

得 る．

れ か ら θ+ψ=π/2を

得

る.

ベ ク トル 記 号

運 動 量 を ベ ク トルｐ で 表 そ う.衝 をp1,p2と

す る と,運

突 前 の 運 動 量 をp1,p2と

し,衝

突後 の 速度

動 量 保 存 の式 は (15)

と書 け る.と

く に 質 量 が 等 し い ２球(m1=m2=m)の

ギ ーの 式 は(Q=発

衝 突 に お い て は,エ

ネル

熱 量)

(16)

で あ る.(15)を

２乗 す る と (17)

を 得 る.こ

こ でp1・p2,p1・p2は

そ れ ぞ れ ス カ ラ ー 積 で あ り,p1とp2の

を θ と し,p1とp2の

間 の 角 をθ と す る と,p1とp2,p1とp2の

れp1とp2,p1とp2と

書 くと き

間 の角

大 き さを そ れ ぞ

(18) で あ る.(16)と(17)と

か ら (19)

が得 られ る. と く に 第 ２ の 球 が は じめ 静 止 し て い た と す る とp2=0で p1 ・p2=Qと

あ る か ら(19)は

な る .そ

突 で はQ=0な

し て完 全 弾 性 衝

の でp1・p2=0,し

が っ てθ=π/2で

あ り,ま

た

た非弾性衝

突 の 場 合 はQ＞0な

の でθ＜π/2,す

な

わ ち 散 乱 角 は90°

よ り小 さ い(図64).

図64

質量の保存 ニュー トン力 学 で は 運 動 量 は 質 量 と速 度 の 積 で あ る こ とを 前 提 と して い て,さ らに質 量 は 物 体 固 有 の もの で 速 さに よ らな い量 で あ る と して い る.運 動量 は ベ ク トル で あ る とす る と,こ れ は ス カラ ー量 の質 量 とベ ク トル 量 の 速 度 との積 と して よい だ ろ う.特 殊 相 対 性 理 論 で も この 点 は 変 わ らな い.し か し相 対 性 理 論 で は 質 量 は 速 さに よ って変 わ る 量 で あ る. こ こで は 運 動量 保 存 の法 則 と ガ リ レイ変 換 に よ る速度 の合 成 則 とか ら,質 量 が 速 さに よ らな い こ とを証 明す る. まず 運 動 量ｐ は 質量ｍ と速 度ｖ と の積 で あ るが,ｍは

速 さｖ に よる か も しれ

な い の で これ を (20) と書 く. 静 止 した 観 測 者Ｓ に 対 し,２ つ の物 体 が 一 直 線(ｘ 軸)上

を運 動 し,衝

突 して

くっつ い て し ま う完 全 非 弾 性 衝 突 を 考 え る.簡 単 の た め,衝 突 す る物 体 １と ２の 静 止 した ときの 質 量 は 等 し く,速 さ依 存 性 も同 じで あ る と し,左 側 の 物 体 が,静 止 した 右 側 の物 体 に 速 度ｕ で 衝 突 す る とす る.こ m(0)で

あ り,衝 突 前 の運 動 量 はm(u)uで

速 度ｕ,質 量M(u)の る(図65)．

あ る.衝 突 す る と ２物 体 は く っつ い て

物 体 に な る と す る と,そ

し た が って運 動 量 の保 存 は

れ ら の 物 体 の質 量 はm(u),

の と き の運 動 量 はM(u)uと

な

図65

図66

(21) と書 け る. こ こで,こ の現 象 を 速 度ｕ でｘ 方 向に 動 く座標 系に 乗 っ た 観 測 者S'か と,左 側 の物 体は 静 止 し,こ れ に右 側 の物 体 が 速 度-uで

ら見 る

衝 突 して 合 体 す る衝 突

に な る が,こ れ は は じめ に考 え た衝 突 の左 右 を取 り換 え た 衝 突 な の で,衝 突 後 の 合 体 した 物 体 の速 度 は-uに

な るわ け で あ る(図66).

ガ リ レイ変 換 の 速 度 合 成 則 に よ る と,S'の

見 る 速 度 はＳ の 見 る速 度 か らS'の

速 度ｕ を 引い た もの に な る.し た が ってS'が 見 る衝 突 後 の 合 体 し た 物 体 の 速 度 はu-uで

なけ れ ば な らな い.し た が って 速度 合 成 則 か ら (22)

を 得 る.す なわ ち (23) が成 り立 つ こ とに な る.こ れ は ニ ュー トン力 学 で は ほ とん ど 自明 の 結 果 であ る. さ て,は じめ の静 止 した 観 測 者Ｓ に戻 り,運 動 方 向(ｘ 軸)に 垂 直 なｙ 軸 方 向 に速 度-vで

動 く観 測 者S"を考え

る と,こ

の観測

者 に とっ て左 側 の物 体 の 速 さ は 速 度 の 合 成則 に よ り (24) に な り,右 側 の物 体 の速 度 はvと な る(図67).ま 図67

合 体後 の速 度 は (25)

た

とな る ． した が ってｙ 方 向 の運 動量 の 保存 は (26) とな る.こ れ をｖ でわ り,v→0と

す ると (27)

を 得 る.こ れ は 質 量 の保 存 を表 す 式 で あ る. (23)と(27)を(21)の

右 辺に 代 入 す れ ば (28)

した が っ て

(29)

が 得 られ る.こ れ は 質量mが の質 量 はM=2m(0)と

速 度uに 依 存 しな い こ とを 示 し てい る.な お 合 体 後

な る.

こ の よ うに 運 動量 の保 存 と,ガ

リ レイ変 換 の 速 度 合 成 則 とを仮 定す れ ば,質 量

は 速 度 に よ らな い 物 質 固 有 の量 で あ る こ とが 導 か れ る.

Tea

Time

質量 質 問  質 量 は物 質 固有 の量 だ と教 わ っ て,何

と な くそ の よ う に 思 って い ま した

が,速 度 に よっ て変 わ らな い とい うこ とが 証 明 で き るの です ね. 答  運 動量 保 存 の法 則 と ガ リ レイ変 換に よ る速 度 の 合 成 則 とか ら,質 量 は 速度 に よ らな い こ とが 導 か れ るわ け です.こ

こで 運 動 量 とは 質 量 と速度 の積 とし て定 義

し て い ます,運 動 量 は ベ ク トルで あ り,速 度 もベ ク トル で あ って,質 量 は ス カ ラ ー とい うこ とに な ります . ニュートン 力学 の場 合 は こ の よ うに して 質 量 が 速 度に よ らな い こ とを導 くの は あ ま り書 い て あ りませ ん が,特 殊 相対 論 で は 運 動 量 保 存 の 法則 と ローレンツ 変 換 によ る相 対 論 的 な速 度 合 成 法 則 とか ら,質 量 は 速 度 に よ って変 化 す る こ とが導 か

れます.こ

の証 明 は特 殊 相 対 性 理 論 の 講義 の ときに や ります が,今

く同 じ よ うな証 明 をす れ ば よい の で す.た

回 の と ま った

だ少 し計 算 が め ん ど う に な り ま す

が.

ロ ケ ッ トの 加 速 宇 宙 ロケ ッ トか 何 か が 後 部 か ら燃 料 を噴 出 し て加 速 す る場 合 を考え ま し ょ う. 燃 料 を噴 出す る たび に そ の質 量 だ け ロケ ッ トの質 量 は 小 さ くな ります.噴

出す る

燃 料 とロ ケ ッ トの 速 度 の 変 化 と の関 係 を調べ ま し ょう. 簡 単 の た め,燃 料 の噴 出に よ る加 速 は 瞬 間 的に 行 わ れ る と し ます.噴 料 の質 量 をｍ と し,加 速 前 の ロ ケ ッ トの質 量 をＭ の質 量 はM-mと

な ります.ロ

出す る燃

と す れ ば,加 速 後 の ロケ ッ ト

ケ ッ トの 加 速 前 の 速度 をＶ,加

速 後 の速 度 をV'

と し,噴 出 した燃 料 の ロ ケ ッ トに 対 す る速 度 をv0と し ま し ょ う. 加 速 前 の ロ ケ ッ トの運 動 量 はMVで あ り,加 速 後 は,ロ ケ ッ トの 運 動 量 が(M -m)V',噴 出燃 料 の運 動 量 はm(V'-v0)で す か ら運 動 量 の保 存 は

と 書 け ます.書

き 直 す とMV=MV'-mv0,す

っ て ロ ケ ッ トの 速 度 の 変 化 は

で 与 え られ る.

な わ ちMV'-MV=mv0.し

たが

第17講 平 面 の極 座 標

―テーマ ◆ 極座標 で書 いた運動方程式 ◆中心力,面 積速度 の法則 ◆ Tea Time:月 に はた らく太陽 と地球 の引力

極 座 標(r,ψ) 平 面 の極 座 標(２ 次 元 の極 座 標)で 物 体 の 運 動 を表 す こ と を 考 え る.原 か ら物 体 の 位 置Ｐ へ 引 い た線 の方 向 を動径 方 向 とい い,長 さOPをｒ 68).ま

点Ｏ

で表 す(図

た動径 に垂 直 な 方 向 を方 位 角 方 向 と い い,方 位 角 をψ とす る.動径 方 向

をｒ 方 向,方 位 角 方 向をψ 方 向 と もい う. 点Ｐ のｘ 座標,ｙ 座 標 はｒ,ψを用 い て (１) とな る.ｘ,ｙ の時 間 微 分,す な わ ち速 度 のｘ 成 分 とｙ成 分 は (２) とな り,さ らに も う ｌ回 微 分 す る と加 速 度 の表 式 (３)

図68

図69

を 得 る. さ て,一

般 の ベ ク トルV=(Vx,Vy)を

方 向 の 成 分Vrと

ψ方 向 の 成 分Vψ

極 座 標 で 表 そ う.図69の と に 分 解 す る と,図

よ うにＶ をｒ

か ら

(４) した が っ て (５) 同 様に (６) そ こ で こ の 変 換 を 速 度v=(x,y)に

つ い て 行 う とvr=xcosψ+ysinψ

か ら (７)

を 得,vψ=-xsinψ+ycosψ

か ら (８)

を 得 る.こ

れ ら の 結 果 は 直 観 的 に わ か りや す い.

次 に 加 速 度a=(x,y)に

つ い て 同 様 な 計 算 を 行 う とｒ 方 向 の 成 分 をar,ψ

方 向

の 成 分 をaψ と し て (９)

(10) を 得 る.こ

れ ら の 結 果 を 直 観 的 に 解 釈 す る の は む ず か し い.

し か しr2dip/2はdt時

間 に動径 が 掃 く面 積 と解 釈 で き る(図70).そ

こ でr2ψ/2

を面 積 速 度 とい う. また 角 運 動量l=r×p(pは

運 動量mv)と

呼ば

れ る量 のｚ 成分 (11) を計算す ると

と なる か らr2ψは 角運動

量 でわった ものに 等 図70

し く,角 運 動量 の大 きさ は面 積 速度 の2m倍

に等 しい.

(r,ψ)平 面 上 の ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 はmar=Fr, maψ=Fψ で あ り,こ れ らは

(13)

と表 さ れ る.こ

こ でFr,Fψ

の 力 の 成 分 で あ る.ま 図71

は そ れ ぞ れｒ 方 向,ψ

た(13)の

Ｏの ま わ りの 力 のモ ーメントに

第 ２式 でrFψは 等 し い(図71).

振 り子 の 運 動

(r,ψ)で 書 く と便 利 な 運 動 とし て振 り子 の 運 動 を あげ て お こ う.一 定 の長 さｌ の糸 で 吊 る した お も り(質 量ｍ)を

考 え る.糸 の張 力

をＴ とす る と図72を 参 照 し てr=lと

おけ

ば,運 動 方 程 式(13)は

(14)

とな る.第 １式 は 張 力Ｔ を 与 え る式 とみ なせ る.第

２式 図72

方 向 原点

(15) が 単振 り子 の 運 動 方 程 式 で あ る.こ れ は非 線 形 の式 で,楕 円 関 数 を使 わ な い と解 け な い.こ れ に つ い て は第12講 で詳 し く説 明 した. 振 れ の 角ψ が小 さい とす る と,sinψ は ψで 置 き換 え て よい か ら,(15)は (16) で 近 似 で き る.こ れ は 線 形 の 式 で,単 振 動 の式 で あ る.こ れ に つ い て はす でに 第 ８講 に お い て説 明 した. 中

心

力

力 が 常 に １点 に 向か うと き,こ の 力 は 中心 力 で あ る とい う.ふ つ うは 中心 力 の 大 き さは 中 心 か らの 距 離 に よ って 決 ま り,し た が っ て方 位 角 に は 関係 し な い とし て い る.ま た 中 心 力 は 時 間 に よ らな い とす る のが ふ つ うで あ る.し か し中 心 力 の 特 性 の あ る もの は,こ れ が方 位 角 や時 間 に よる場 合 で も通 用 す る こ とが あ る こ と も注 意 し て お こ う. 中心 力 だ けに よ る運 動 では 角運 動量 は保 存 され,運 動 は 力 の 中心 を含 む １つ の 平 面上 で 行 わ れ る.こ れ を証 明 し よ う. 【証 明】 空 間 内 の 任 意 の点 を原 点 に 選 ぶ と,質 点 の角 運 動 量l=r×pと モ ー メン トN=r×Fの間

力の

に関 係 式 (17)

が 成 り立 つ(第

７講 参照).と

くに中 心 力 の力 の 中 心 を 原 点 に 選 ぶ と力Ｆ は (18)

と書 け る.こ

こで 同 じベ ク トル ど うしのベク

トル積 は０ で あ る こ とを 用 い る とN=r×Kr =0と な る ので,中 心 力 に お い て はdl/dt= 0,す な わ ち 角 運 動 量 は 一 定に な る.こ

こで

l=r ×pで あ る か ら,質 点 の運 動量ｐ は 角 運 動 量 に垂 直 で あ り,角 運 動 量 に垂 直 な １平 面 上 で運 動す る こ とが わか る(図73).

図73

面積速度の法則 中心 力 の場 合,運 動 は 力 の 中心 を含 む １平 面 上 に 限 られ,角 運 動 の大 きさ は一 定 で あ る こ とが わ か った.す で に 述 べ た よ うに,角 運 動 量 の 大 き さは 面 積 速 度 の ２倍に 質 量 を か け た も の に等 し いか ら,中 心 力 だ け を受 け る 質 点 の 面 積 速 度 は 一 定 で あ る.こ れ を面 積 速 度 の 法則 とい う.略 して面 積 の法 則 と もい う. これ は(13)か

ら も導 か れ る.中 心 力 で は,ψ 方 向 の力 の成 分Fψ は０ で あ る,

した が って 中心 力 の場 合 は (19) で あ り,面 積 速 度r2ψ/2=一 定 とな る.

Tea

Time

月 に は た ら く太 陽 と 地 球 の引 力 月 と地 球 とは 太 陽 を 同 じ周 期(１ 年 に １周)で 回 って い る.も

し も地 球 が な か

った とし て地 球 の位 置 に 月 を お い て適 当 な速 度 を 与 え れ ば,や は り １年 に １回 太 陽 の まわ りを 回 るわ け で あ る. つ ま り,月 は 地 球に 引 かれ て む りに太 陽 の まわ りを 回 っ て い る の で な く,太 陽 の引 力 が向 心 力 とな って 太 陽 の まわ りを 回 って い る と考え られ る. しか し,太 陽 は 地 球 を 引 くが,太 陽 の 引 力 は 月 に及 ば な い とい うこ とが あ った と して も,月 は 地 球に 引 か れ て む りに 太 陽 の まわ りを地 球 に伴 な わ れ て回 るで あ ろ う. い った い,ど ち らが正 しい の だ ろ う.月 は太 陽 の 引力 のた め に太 陽 の まわ りを 回 って い る の か,そ れ と も地 球 の 引 力 が 強 い ので 地 球 に引 っぱ られ る た め に,地 球 の お つ き合 い を し て太 陽 の まわ りを 回 って い る のだ ろ うか. これ に対 す る答 えは,月

に対 す る太 陽 の 引力 と地 球 の引 力 とを 比 べ て みれば 得

られ る.地 球 の 引力 の ほ うが大 き い と思 う人 が 多 い か も しれ な い が,実 際 は 太 陽 の 引力 の ほ うが ２倍 ぐ らい 大 き い.す な わ ち

この ため 月 の軌 道 は 太 陽 に 対 して 常 に凹 で あ る.

第18講 惑 星 の 運 動

―テーマ ◆ ケ プ ラ ー の法 則 ◆万 有 引 力 と ケ プ ラー運 動 ◆ Tea

Time:太

陽系

ケ プ ラ ー の ３法 則

16世

紀 末 にデン マ ー ク のティコ

・ブ ラーエ(TychoBrahe,1546-1601)は

眼 で 最 高 の 精 度 で あ っ た と い わ れ て い る 天 体 観 測 を 行 っ た.晩

肉

年 チ ェ コス ロバ キ

ア の プ ラ ハに 移 り住 ん だ が, こ の と き 助 手 に な っ たケプ ラ ー(J

.Kepler,1571-1630)

はティコ の観 測 デ ー タ を も ら って 惑 星 の軌 道 を 詳 し く計 算 し,い わ ゆ る ケ プ ラ ー の ３法 則 を 発 見 した.こ れ は 次 の よ うに 述 べ られ る. 第 １法 則

惑 星 は太 陽 を 焦点

の １つ とす る楕 円軌 道 を え が く,

図74  太 陽 系 惑 星の軌道 の相対的な大 きさと各惑 星の軌道面の傾 き

第 ２法 則  太 陽 と惑 星 を結 ぶ 直 線 が 単 位 時 間に掃 過 す る面 積(面 積 速 度)は 一

定 で あ る(面 積 速 度 の 定理). 第 ３法則

惑 星 が 太 陽 の まわ りを 回 る周 期 の ２

乗 は楕 円 軌道 の 長 半 径 の ３乗 に比 例 す る. ケ プ ラ ーは この発 見 を ガ リ レイに 伝え たが,ガ リ レイは あ ま り興 味 を示 さなか った.ガ 図75

リ レイは

望 遠 鏡 を 作 っ て天 体 の観 測 を 始 め た.

ケ プ ラ ーの ３法則 を もと に し て力 学 を確 立 した のは ニ ュー トンで あ る.こ こで は ニ ュ ー トン力学 に よ って ケ プ ラー の 法則 を再 構 成 して み る こ とに す る. な お ケ プ ラ ーの ３法則 の前 に 第０ 法則 とで もい うべ き ものを ケ プ ラ ーは 確 かめ て い る.そ れ は,惑 星 の軌 道 は 太 陽 を含 む 平 面上 に あ る とい う ことで あ る.こ の 平面 は惑 星 ご とに違 う傾 きを も って い る. ケプラ ーの 時代 には 太 陽 と惑 星 の間 の距 離 の絶 対 値 は 知 られ てい な か った .ケ プラ ーの 第 ３法則 は太 陽 と地 球 の 間 の距 離 との比 較 で与 え られ た もの で あ る.太 陽 と地 球 との距 離 の絶 対 値 は 地 球 の大 き さを も とに した ３角 測 量 に よ ってニュー トン の時 代 に はや や 不 正 確 なが ら知 られ て い た.ニ

ュー トンの 研 究 の 初 期 の 時 代

に は地 球 と月 との 間 の距 離 の 測 定 が 不 正 確 で あ った た め,ニュー

トンは 計 算 と月

の運 行 の観 測 デ ー タが 一 致 しな い ので 研 究 の発 表 を 見送 った とい う歴 史 もあ る. デ ン マ ー クの レーマ ー(O.Ch.R〓mer,1644-1710)が ら光 の速 さを推 定 した のは1675年

木 星 の 衛 星 の食 の観 測 か

で あ り,ニ ュー トン の著『 光 学 』 の 中に は 太

陽 か ら光 が地 球 に達 す る のに 約 ８分 の時 間が かか るだ ろ うと書 い て あ る.

ケ プ ラ ー の 第 ２法 則(面

積 速 度)

太 陽 の 及ぼ す 万 有 引力 に よって 定 ま る惑 星 の運 動 を ケ プ ラ ー運 動 とい う.太 陽 の 質量 は きわ め て大 き い の で太 陽 は 不 動 と考 え る.太 陽 の引 力 は 太 陽 に 向 か う中 心 力 で あ るか ら,惑 星 の軌 道 を 含 む 面 内 に太 陽 を 原 点 とす る極 座 標 を と る と,第 17講 の(13)に

よ り運 動 方 程 式 は

(１)

とな る.こ の第 ２式 か ら

(２) を 得 る.こ れ は 面 積 速 度 の定 理 と 呼 ば れ て い る.r2ψ/2は (動径)が

太 陽 と惑 星 を 結ぶ 線

単 位 時 間 に掃 過 す る面 積 で あ る.面 積 速 度 の 法 則 は 中心 力 で あ れ ば い

つ で も成 立 す る.こ の定 理 は ケ プ ラー の第 ２法 則 そ の もの で あ る . 【万 有 引 力 の 法則 】 万 有 引力 は す べ ての 物 体 の間に は た ら き,物 体 間 の距 離 の ２乗 に反 比 例 し,２ つ の物 体 の質 量 の積に 比 例 す る ,こ れ を

(３)

と書 こ う.Ｇ は 万 有 引力 定 数 で あ る. Ｍを 太 陽 の質 量,ｍを

惑 星 の質 量 と し て(２)と(３)を(１)の

第 １式 に

代入 す る と (４) を 得 る.こ こで (５) とお くとψ を 通 し て右 辺 を 微 分 し

(６) こ こ で(２)と(５)に

よ りψ/u2=h/r2u2=hと

な る こ とを 用 い た .さ

らにｔ で

微 分す る と

(７) こ う し て(４)か

ら(８)

を 得 る.時

間ｔ は 消 去 され た の で,こ

れ は 軌 道r=r(ψ)=1/uに

対 す る方程 式 で

あ る.

軌 道(第

(８)を

積 分 し よ う.ま

てu1=Acos(ψ が あ り,こ

ず,右

１ 法 則)

辺 が ０ な らば(８)は

一 ψ0)が そ の 一 般 解 で あ る(Ａ

線 形 で 単 振 動 の式 で あ っ

と ψ0は 定 数).し

の 非 同 次 項 を も つ 方 程 式 は特 解u2=μ/h2を

u=u1+u2,す

もつ.こ

か し右 辺 に μ/h2 れ らを 加 え た 式

なわち (９)

は(８)の

一 般 解 と な る.u=1/rで

(10) と書 け る.(10)は

あ るか ら,こ

れは

次 に 示 す よ うに 楕 円 を表 す.こ れ に よ りケ プ ラ ー の第１ 法則

が 導 か れ た こ とに な る. 【楕 円軌 道 】 楕 円に は い ろ い ろの 表 し方 が あ るが(10)は 原 点 と し た 極 座 標(r,ψ)で あ る.よ ,F'か

楕 円 の 焦 点 の １つを

表 し た楕円 の方程 式 で

く知 られ て い る よ うに 楕 円 は ２つ の 焦 点F ら の 距 離r,r'の

る と し て 定 義 さ れ る.こ

和 が 一 定 な 点Ｐ

の軌 跡 で あ

れを (11)

図76 形FF'Pに

と書 こ う.図76に

お い てFF'=2cと

お く と,３

対 す る公 式 に よ り (12)

こ の 式2a-r=√…

の ２乗 を つ く り (13)

とおけ ば 楕 円 の方 程 式

(14)

角

が得 られ る. (10)は

ψ0=0,す

な わ ち楕 円 の 長軸 をψ=0に

選 べ ば(14)と

一 致 す る.ｌ は

焦 点 か らｘ 軸に 垂 直に 立 て て楕 円上 に 至 る線 分 の 長 さ で あ り,ε は楕 円 の離 心率 で あ る.(10)と(14)と

を 比 較 す る こ とに よ り (15)

を 得 る.な おψ=0の の 値r1,は(14)に

と き,す な わ ち惑 星 が太 陽 に一 番 近 い と き(近 日点)のｒ

お いてψ=0と

お い て 得 られ (16)

で あ り,そ の と きの 惑 星 の速 度 をv1と す る と,第 ２法 則 か らr12ψ=r1v1=h.し た が って (17) 惑 星 の 運 動 は ２つ の定ｈ

とＡ とに よっ て定 ま る.こ れ らの値 を 与 え た と き,

近 日点 の太 陽 と惑 星 の間 の距離r1と (17)に

そ の点 に お け る惑 星 の速 度v1と は(16)と

よ って 定 ま る こ とに な る.

公 転 周 期(第 以 上 の扱 い で(６),(７)に

３ 法 則)

よ って 時 間 を 運 動 方程 式 か ら追 い 出 し て し ま っ

た.時 間 と軌 道 上 の惑 星 の 位置 との 関係 は次 の 講 義 に まわす が,太 陽 の まわ りを 惑 星 が １周 す る時 間(公 転 周 期)は 面 積 速 度 と楕 円軌 道 とか らた だ ち に 求 め られ る(こ れ は ち ょっ と した ミラ クル で あ る). 公 転 周 期Ｔ は 楕 円 の面 積 πabを動径 が単 位 時 間に 掃 く面積,す 度h/2で

な わ ち面 積 速

わ れ ば得 られ る. (18)

ここで (19) に注 意 す れ ば 公 転 周 期 は

(20) とな る Ｍ は太 陽 の 質 量 で あ るか ら太 陽 系 の惑 星 に つ い て共 通 で あ りT2∝a3と な る.こ れ は 第 ３法則 で あ る.

彗 星 の軌 道 な ど 繰 り返 し太 陽 の 近 くに 戻 って くる ハ レー彗 星 な どは きわ め て細 長 い軌 道 を え が く. 太 陽 系 外 か ら太 陽に 引 か れ て飛 び こ んで くる天 体 が あ れ ば,そ

の軌 道 は 楕 円 で

な く,放 物 線 か 双 曲 線 で あ る.こ れ らに つ い て 述 べ る こ とは 省 く. 原 子 の中 の 原 子 核 や 正 イオンに よっ て電 子 が 引 か れ て運 動す る と き,電 子 は 双 曲 線 軌 道 を え が く.こ れ はラザ フ ォー ド(Rutherford)散

乱 と呼 ば れ る.

探 査 衛 星 太 陽 系 を 調 べ るた め 打 ち上 げ られ る人 工衛 星 は探 査 衛 星 と呼 ば れ る.ボ イ ジ ャ ーな どが これ で あ る.こ の 衛 星 に お い て は惑 星 の 引力 を利 用 し て速 度 を 増 加 させ る技 法 が用 い られ た.こ

れ をスウィング

・バ イ(swing-by)と

い う.惑 星に 突

き とば され て速 度 を増 す な らば む しろ わ か りやす い が,惑 星 の 引 力 を 利 用 す る と い うの は ち ょ っ とわ か りに くい か も しれ な い.し か し 同 じ よ うな こ とで あ る, 探 査 衛 星 が土 星 の 引 力 に 引 か れ て 土 星 の まわ りに双 曲線 軌 道 をえ が く様 子 を土 星 と と もに動 く座 標 系 で み た と ころ を 図77(a)に

示 す.こ

の座 標 系 で は土 星 は

静 止 し て お り,こ れ に対 し衛 星 は 速 度ｖ で右 下 方 か ら近 づ き,土 星 に 引 か れ て土

図77

星 の まわ りを 回 って速 度ｖ で左 方 へ 飛 び 去 って い く,近 づ く とき の速 さ￨ｖ￨と, 遠 ざ か る とき の速 度￨v￨と

は 同 じで あ る.

さて,実 際 には 土 星 は 空 間 に 対 し あ る速 度Ｖ を も っ て い る.衛 星 の 飛 び 去 る 方 向(ｖ の 方 向)が 土 星 の速 度Ｖ の方 向 と一 致 す る よ うに衛 星 の速ｖ

を選べば

ス ウ ィン グ ・バ イ に よ って衛 星 が 獲 得 す る速 度 は 最 大 に な るの で,そ の よ うな 場 合 を 図77(b)に

示 す.土 星 が 空 間 で速 度Ｖ を もつ の であ るか ら土 星 に 対 し て速

度ｖで近 づ く衛 星 の速 度 は 空 間 に 対 し てv'=v+Vで の速 度 はv'=0+Vで

あ る.図77か

あ り,遠 ざか る と きの 衛 星

らわ か る よ うに,衛

星 の速 さ￨v'￨は ス ウ ィ

ン グ ・バ イに よっ て￨v'￨と な り,速 さが 著 し く増 大す る こ とが わ か る, 実 際,土 星 の速 さは￨V￨=10km/秒

で あ り,衛 星 の速 さは￨v'￨〓10km/秒

あ って,こ れ らは お よそ 等 し く,図77に

で

お け る速 度 の大 き さ の 関 係 は実 際 の ス

ウ ィン グ ・バ イの 場 合 とだ い た い一 致 して い る.

Tea

Time

太陽系 太 陽 系 の 諸 惑 星 や 月 は 地 球 の 仲 間 で あ る.探 査 機 に よ る映 像 も楽 しい が,惑 星 に か ん す るデ ー タを も とに い ろ い ろ 空 想す るの もお もし ろ い,万 有 引 力定 数 の 値 はキャベン デ ィ ッシ ュ(H.Cavendish,1731-1801)に

よ っ て は じめ て測 定 され

た.こ の 値 と地 表 に お け る重 力 の加 速 度 か ら地 球 の質 量 もわ か る,月 を 引 きつ れ てい るた め に 地 球 の 運 動 が影 響 され る こ とか ら月 の 質量 が推 定 され る,惑 星 の ま わ りの衛 星 の 運 動 か ら惑 星 の 質量 が わ か る.こ

うして 多 くの知 識 が積 み重 ね られ

て き てい る. 太 陽 か ら地 球 まで の 距 離 を １とし た と き,水 星,金 星,地 球,小 惑 星,火 星, 木 星,土 星,天

王 星 ま で の 距 離 が0.4+0.3×2n(n=−

的 に 等 しい とい うボ ーデ の法 則(1772年)は

∞,０,１,２,…,６)に近 似

有 名 で あ るが,そ

の他 に もい ろ い

ろ の 経 験 的 法則 が提 唱 され て い る,こ れ ら の中 の あ る も のは 太 陽 系 の歴 史,安 定 性,カ オ ス な どの 問 題 と関 係 が あ る に ち が い な い.

表 １ 惑星の諸性質

第19講 惑星の位 置 と時間の関係

―テーマ ◆惑星 の運動 と時 間(ケ プ ラーの方程 式) ◆ ケプ ラーの方程式 の解 ◆ Tea Time:ベ

ッセ ル関数

惑 星 の運 動 の 時 間 経過 惑 星 の 軌道 上 に おけ る位 置 の時 間 変 化 は ケ プ ラ ー の方 程 式 に よ っ て 与 え られ る.こ れ は 次 の よ うに書 け る.図78の 星 の 位置Ｐ を 角θ(離 心近 点離 角),時

よ うに 惑 星 の楕 円軌 道 をABCと 間 をｔ,惑 星 の 周 期 をＴ,軌

し,惑

道 の離 心率 を

εとす る とき,ｔと θの 関係 を表 す 式 は

(１)

と な る.こ

れ が ケ プ ラ ー の方程式

期 的 で あ り,上

で あ る.運

式 を 図 形 的に 解 け ば 図79の

動 の 周 期 性 か ら,ｔと

θの 関 係 も周

よ うに な る こ と が わ か る.解

析 的な

解は

(２)

図78

図79

で 与 え られ る.こ こでJkはｋ次

の べッ セ ル関 数 で あ る.

ケ プ ラー の 方 程式 の導 出 太 陽 か ら惑 星 ま で の距 離 をｒ と し,太 陽 の 引力 ポ テ ン シ ャル を-mu/rと

する

と,惑 星 運 動 の エ ネ ル ギ ー積 分 は

(３) と 書 け る.こ

こ で 面 積 速 度 の 法 則r2dψ/dt=h(一

定)を

用 いれ ば (４)

を 得 る.近

日点 と遠 日 点 に お け るｒ の 値 をr1,r2と

状 態 で はE<0な

し,惑

星 が 太 陽 に 束 縛 され た

ので (５)

の 形に 書 け る は ず で あ る.こ

こ で 第18講

の(16)と(13)を

書 き換 えれ ば (６)

を 得 る.ま

た(５)の

両 辺 のｒ の 係 数 を 比 べ て (７)

を 得 る.他 (c-x)2+y2に

方 で 図78の

角θ を 用 い る とＰ の 座 標x=acosθ,y=bsinθ

代 入 す れ ば ,楕

をr2=

円 の方 程 式 (8)

が与え

られ る.し

た が って (９) (10)

こ こで (11) で あ る こ と を 用 い れ ば(４),(５)か

ら

(12) を 得 る. こ こ でt=0に れ ば,積

お い て θ=0(近

日 点)と

し,ｔの

増 す 向 き を θの 正 の 向 き とす

分 して (13)

を 得 る.こ

れ が ケ プ ラ ー の 方 程 式 で あ る.こ

こ で θが０ か ら2π ま で 増 す 時 間 が

惑 星 の 周 期Ｔ で あ る か ら (14) の 関 係 が あ る.こ

れ を 用 い れ ば ケ プ ラ ー の 方 程 式 は(１)の

よ うに 書 け る.

ケ プ ラ ー の方 程 式 の解 法

惑 星 の 周 期Ｔ を 用 い て (15)

と お け ば,ケ

プ ラー の方 程 式 は (16)

と書 け る.こ

れ を τで微 分 す れ ば (17)

した が って

(18) こ れ は θに つ い て 周 期2π の 関 数 で あ る と 同 時に 図79か い て も 周 期2π の 偶 関 数 で あ る.し

ら も わ か る よ うに τに つ

た が っ て こ れ を フ ー リエ 展 開 す れ ば (19)

と な り,そ

の係数は

(20) (ae/dz)dr=dBで

あ り,変 数 の 領 域 は τ=0∼2π

に 対 し て θ=0∼2π

なので (21)

と くにk=0に

対 して は (22)

で あ り,一 般 のｋ に 対 し て は ベ ッセ ル 関 数 の 積 分 表 示 (23) を用 いて (24) を 得 る.し

た が って (25)

と な る.こ

れ をτ

つ い て 積 分 しθ=0でx=0と

Tea

す れ ば(２)を

得 る.

Time

ベ ッセ ル関 数 ベ ッセ ル 関 数 は ケ プ ラ ー の 方 程 式 を 解 くた め に 考 え られ た の が は じめ で,1824 年に ベ ッセ ル(F.W.Bessel,1784-1846)に

よ っ て 詳 し く調 べ ら れ た.き

わ め

て 広 い 応 用 が あ る特 殊 関 数 で あ る.３ 次 元 の 波 動 に 対 す る 波 動 方 程 式 や 重 力 な ど

のポ テ ン シ ャル を 円柱 座 標 で変 数分 離 した と きに 現 れ る方 程 式(ベ

ッセ ルの 方 程

式)

の解 が ベ ッセ ル関 数(円 柱 関 数,円 筒 関 数 と もい う)で あ る.ベッ

セ ル の方 程 式

は２ 階の 微 分 方 程 式 で あ る か ら一 般 解 は２ つ の 独 立 な べッ セ ル関 数 の線 形 結 合 で 与 え られ る.ｖ が整数ｎ の と き,独 立 な２ 種 類 の べッ セ ル 関 数 の う ち でJn(z)はz=0で 限 で あ るが,Nn(z)はlogzの

ｖが 半 整 数n+1/2の

項 を もちz=0で

有

発 散 す る.

とき

な どを球ベ ッセ ル関 数 とい う.こ れは 波 動 方 程 式,重 力 ポ テ ン シ ャル な どを球 座 標 で扱 う ときに 現 れ る.

第20講 惑星 の運動 を単振動 にする変換

―テ ーマ

◆ 惑星の軌道を太 陽が 中心の楕 円になおす変換 ◆この楕 円上 の運動が単振動 で与え られ ること ◆ Tea Time:ティコ

・ブラーエ とケプ ラー

惑 星 の軌 道 惑 星 は 太 陽 を一 方 の焦 点 とす る楕 円軌 道 を えが い て運 動 す る.太 陽 の 万 有 引力 の ポ テ ン シ ャルは 中 心 が くぼんだ 朝 顔 の花,あ

るいは漏 斗の 形 に た とえれ ば,惑

星 が ポ テ ン シ ャル の 中 心 の 太 陽 の 近 く(近 日点)で 速 く,太 陽 か ら遠 い 点(遠

日

点)で 遅 くな る楕 円軌 道 を えが くの は 理 解 しや す い.し か し,惑 星 の運 動 は 太 陽 を 焦 点 で な く中 心 とす る楕 円 を えが くとみ る こ と もで き る.今 回 は これ を示 して,惑 星運 動 の別 の 解 き方 を説 明 し よ う. 惑 星 の 楕 円 軌 道 は離 心近 点離 角θ を用 い て (１) と書 くこ とが で き る.太 陽 を原 点 と し,楕 円軌 道 の焦 点 を結 ぶ 方 向 にｘ 軸,こ れ に 垂 直 にｙ 図80

軸 を とる と惑 星 の 位置 のｘ 座 標 は(図80参 照)

(２) とな るか ら

(３)

した が って (４) とお けば

(５)を得 る.こ の書 き方 で 惑星 の軌 道 は 太 陽 を 中 心 とす る楕 円 であ

る(図81). ケプラ ー運 動 に おけ る時 間 と θ の 関 係 は 第19講

の(12)に

よれ ば,惑 星 の エ ネ ル ギ ーをＥ として

図81

(６)で与 え られ る こ とを 注 意 し てお こ う. 運 動 方程 式 上 に 導 入 した 変 数 (７) の時 間 的 な 変化 は 単 振 動 の 方程 式

(８)

で 与 え られ る こ とを示 そ う.た だ し こ こで変 数ｓ は (９) に よ って 時 間ｔ と関 係 づ けら れ る((６)に ω=√-2E/mは

定 数 であ る.

よ りｓは θに比 例 す る).ま た こ こで

【証 明 】u2=r+xの

微 分 を つ くれ ば2udu=dr+dxと

な る か らｕ のｓ 微 分 は (10)

こ こ でr2=x2+y2の

微 分 はrdr=xdx+ydyな

ので

(11) こ こ でuv>0の

領 域 で,uv=√(r+x)(r-x)=√r2-x2=yと

全 領 域 でy/u=vで du /dsは

あ る こ と が 確 か め ら れ る.さ

な る が,(u,v)の

速 度,あ

る い は 運 動 量 に あ た る の で,こ

ら に,ｓ を 時 間 の よ うに み れ ば れ をPuと

書 けば (12)

と な る,同

様に (12')

が 得 られ る. さ ら にPuをｓ

で 微 分 す れ ばd/ds=2yd/dtを

用いて (13)

こ れ に(12),(12')を

代 入 す れ ば 整 理 して (14)

を 得 る が,ｘ

とｙ に 関 す る 運 動 方程 式(-mμ/r2は

太 陽 の 引 力) (15)

を 考 慮 し,y=uvと(４)か

ら 与 え られ る関 係 式 (16)

を あわ せ 用 いれ ば (17) とな るが

ティコ

(18) は 惑 星 の エ ネ ル ギ ー で あ り,

(19) と な る.同

様 に (19')

こ こ でＥ

は 負 で あ っ て,Pu=du/ds,Pv=dv/dsで

あ る か ら,ｕ

とvPこ関 す る 運

動 方 程 式 は 単振 動 の式

(20)で 与 え ら れ る こ とが わ か る.こ

こで (21)

は そ の 振 動 数 に あ た り,ｓ とｔ の 関 係 は(９)で 運 動 方 程 式 と し て(20)が

与 え られ て い る.

さ きに 与 え ら れ た とす る と,ｕ

とｖ は 同 じ周 波 数 で

振 動 す る か ら ・ 運 動 の 軌 跡 を与え るリ サ ジュー 図 形 は 閉 じ た 形(楕

円)と

そ こ で 主 軸 変 換 を し て 楕 円 の 主 軸 の 方 向 にu=√r+x,v=√r-xを 道 は(１)で

与 え ら れ る こ と に な る.た

で は ２周 す る こ と に な る(図81参

だ し(u,v)面

歴 史 に"も

し も"は

とれ ば,軌

で １周 す る 間 に(x,y)面

照).

Tea

・ブ ラーエ

な る.

Time

とケ プ ラ ー

な い と い う け れ ど も,も

し も ニ ュー トンが 生 まれ な か った

ら 科 学 の 歴 史 は ど うな っ て い た だ ろ うか な ど と考 え る の は や は りお も し ろ い こ と で あ る.そ

うい う"も

し も"にティコ

・ ブ ラーエ と ケ プ ラ ー が い る.こ

い な か っ た ら 科 学 の 歴 史 は お そ ら く100年

の ２人 が

ぐ ら い 遅 れ た の で は な か ろ うか.

ティコ ・ブ ラーエ は デ ン マ ー ク の 貴 族 で あ っ た .星

の動 きに 関 し て 占星 術 師 た

ち が あ ま りで た ら め な こ とを い うの に 腹 を 立 て て 星 の 観 測 を 始 め た と い う話 であ

る .王 様 か らス ウ ェ ーデ ン との 間 に あ る小 さな 島 を も ら って天 文 台 を 建 て,1576 年 ご ろか ら規則 的 な 天 体 観 測 を始 め た.当 時 まだ 望 遠 鏡 は発 明 され て い なか った が,ティコ

の観 測 は 肉眼 で した 最 高 の精 度 で あ った とい う.彼 は 個 性 の強 い人 で

あ った た め,王

と仲 た が い して,晩 年 は チ ェ コス ロバ キ ア の プ ラハに 移 っ て観 測

を続 け た.そ の と き助 手 と し てや とわ れ た のが ケ プ ラー で あ った.彼 はドイツ 人 で あ るが,惑 星 の 動 きの 中 に 自然 の調 和 の 秘 密 が 隠 され て い るに ち が い な い と信 じ,コ ペ ル ニ クス の 地 動 説に よ る太 陽 と各 惑 星 との 間 の距 離 を プ ラ トンの正 多 面 体 と球 を 組 み 合 わ せ た太 陽 系 の モデ ル に よ り解 釈 し よ う と試 み て い た.ケ は 眼 が 悪 か った の で観 測 に従 事 で きな か ったが,間

プラー

もな くティコ が 死 ん で そ の観

測 デ ー タを も らい受 け,こ れ を も とに詳 し い計 算 を して 惑 星 の運 動 を 明 らかに し た.離 心率 の比 較 的 大 きい火 星 の運 動に 関 し,い ま では ケ プ ラ ー の法 則 と呼 ば れ る第 ２法 則 を まず 発 見 し,つ い で第 １法 則 を 発 見,そ の後 ヨー ロ ッパ 動 乱 の中 を 放 浪 し なが ら研 究 を 続 け,最 後 に 第 ３法則 を発 見 し た の で あ った.彼

は一 生 を 天

体 の調 和 の研 究に さ さげ た す え,は じめに 意 図 した か もしれ な い 調 和 とは や や か け 離 れ た 数学 的 な調 和 を 見 い だ した とい え るだ ろ う. 今 か らみ れ ば,ケ プ ラー の 法則 は 天 体 に 関す る最 初 の数 理 的 な 法 則 で あ り,太 陽 系 が 力学 系 とし て簡 単 で解 析 的 に理 解 で きる(い わ ゆ る可 積 分 の)体 系 で あ る こ とを示 唆 し て い る.実 際 に この仕 事 をや りとげ た の が ニ ュー トンで あ るが,ケ プラ ーの 血 のに じむ よ うな努 力に よる ケ プ ラ ー の法則 の発 見 が な か った ら,ニ

ュ

ートン の仕 事 も達 成 され なか った こ とは 明 らか で あ る. ふつ うは ガ リ レイか ら ニ ュー トンへ の道 が 科 学 を 開 い た よ うにい わ れ る こ とが 多 いが,ケ

プ ラ ー とそ の 研 究 の もとに な ったティコ ・ブ ラーエ が い な か った ら科

学 の歴 史 は ず っ と遅 れ た で あ ろ う.こ の ２人 の 強 烈 な 個性 と努 力 が 科 学 の 歴 史 に は 必 要 で あ った.

第21講 惑 星 の軌 道 を定 め る ラプ ラ ス ・ベ ク トル

―テーマ ◆ 惑 星 の 任 意 の 点 に お け る速 度 で 定 ま る ラ プ ラス ・ベ ク トル ◆ 長軸 方 向 と離 心率 が ラ プ ラ ス ・ベ ク トルで 定 ま る こ と ◆ Tea

Time:惑

星の軌道の決定

ラ プ ラ ス ・ベ ク ト ル

惑 星 の 質 量 をｍ,運 し,太

動 量 をｐ,角

陽 の 引 力 を-m2μr/r3と

運 動 量 をＬ,太

陽 か ら の動径 ベ ク トル をｒ と

す る と き,ラプラス(Laplace)・ベクトルＡ

は

(１)

で 定 義 され,こ れ は太 陽 か ら近 日点 へ 引 い た方 向 の ベ ク トル で あ る.こ れ が 定 ベ ク トルで あ る こ とを 証 明 す るのが 今回 の テ ー マ で あ る.こ こ で角運動量は (２) で あ る. 惑 星 が軌 道 上 を 移 動 し て もＡ は 常 に 太 陽 か

図82

ら近 日点 へ 引 い た方 向,す な わ ち楕 円 軌道 の 長軸 の 方 向 を 向 き,そ の大 き さ￨A￨

は 変 わ ら な い.言

い換えれば (３)

で あ る.す

な わ ちＡ

は 定 ベ ク トル で あ る.こ

の こ と を 用 い れ ば,軌

の 点 に お け る観 測 値 を 用 い て 軌 道 の 長軸 方 向 が 求 め ら れ る.惑

道上 の 任 意

星 の 軌 道 の離 心率

を ε とす る と ラ プ ラ ス ・ベ ク トル の 大 き さ が (４) で 与 え られ る こ と も 以 下 で 証 明 す る. な お 量 子 力 学 で はＡ

と 同 様 な 量 は ル ン ゲ-レン

ツ-パ ウ リ(Runge-Lenz-Pauli)

の ベ ク トル と 呼 ば れ る.

dA/dt=0の

証 明

【証 明 】 手 始 め に ラ プ ラ ス ・ベ ク トル を 成 分 で 表 そ う. 惑 星 の 軌 道 面 に 太 陽 の 位 置 を 原 点 と す るxy軸 そ の 運 動 量 を(px,py)と

す る(z=0,pz=0),L=r×pを

を と り,惑

星 の 位 置 を(x,y), 成 分 で書 くと

(５)

(６)

し た が っ てAz=0で

あ り,ｘ 成 分 とｙ 成 分 は

(７)

と な る,こ

れ らは

(８)

と書 き 直 す こ と もで き る.

(８)の

右 辺 第 １項 は エ ネ ル ギ ー 積 分 (９)

の 形 を し て い る.こ

れ をｔ で 微 分 す る と (10)

ま た(８)の

第 ２項 の(xpx+ypy)の

微分は (11)

と な る.こ

こで 運 動方 程 式 (12)

とx2+y2=r2,x=px/m,y=py/mを

考慮すれば (13)

また (14) し た が っ て(８)のAxを

微分す ると

(15)

同 様 にdAy/dtも

計算がで きて (16)

が 得 ら れ る.し

た が っ てＡ

は 定 ベ ク トル で あ る.

【成 分 に 分 け な い 計 算 】 運 動 方 程 式 は (17) と 書 け る.L=r×p,r=p/m,p×p=0に

よ り

(18)す な わ ち 角 運 動 量Ｌ は 定 ベ ク トル で あ る.し た が って

(19) こ こ で,ベ

ク トル 公 式a×(b×c)=b(c・a)-c(a・b)に

よ り (20)

お よび (21) を用 い れ ば (22) こ こ で,p=mrな

ので (23)

を 考慮 すれ ば (24) が 得 ら れ る.￨A￨=

εμの 証 明

ラプ ラス ・ベ ク トルＡ は 時 間 に よ ら な い ベ ク トル で あ るか ら,軌 道 上 の １ 点 で 計算 す れ ば よい. 近 目点 を選 び,太 陽 と近 日点 を結 ぶ 方 向 にｘ軸 を と り,近 日点 のｘ 座 標 をx1 ,動径 の値 をr1と す れば (25) 図83

で あ る(図83).近

日点 に お け る惑 星

の 速 度 をv1と

す れ ば,エ

ネ ル ギ ー の 式 は 第19講

の(３),(７)に

よ り (26)

と書 け る.角

運 動 量Ｌ は 図82に

お い て 紙 面に 垂 直 で あ り,近

ｙ 軸 の 向 き に あ る か ら,p×Lはｘ

軸 の 方 向 を 向 い て い る.し

日点 に お い てＰ

は

た が って (27)

で あ り,￨L￨=mr1v,￨(p/m)×L￨=mr1v12と

な る の で,(１)と(26)に

よ り (28)

し た が っ て(25)に

よ り (29)

を 得 る.遠

日点に つ い て 計 算 し て も 同 じ結 果 に な る.

Tea

Time

惑星の軌道の決定 太 陽 の まわ りを 回 る惑 星 の ケ プ ラ ー運 動 は,初 期 条 件 を 決 め れ ば 決 定 され る. 初 期 条件 は惑 星 の太 陽 に か ん す る位 置 と速 度 とに よ って支え られ るか ら,あ る時 点 に お け る惑 星 の位 置 と速 度 を 観 測す れ ば 長 期 間 の 観 測 が な くて も,惑 星 の軌 道 は楕 円 の長軸 方 向 も離 心率 も決 定 で き るは ず の もの で あ る.こ れ を 解 析 的 に示 し た の が ラ プ ラス ・ベ ク トル で あ る.ラ 速 度v=p/mの

プ ラス ・ベ ク トル(１)は

惑 星 の 位 置ｒ と

初 期 値 で 与 え られ る.

も ちろ ん 観 測 には 誤 差 が あ る し,惑 星 の運 動 は他 の惑 星 な どの 引力 のた め に純 粋 な ケ プ ラ ー運 動 で は な いか ら,観 測 は た えず 続 け なけ れ ば な ら な い.

第22講 ラゲ ランジュ の運動方程式

―テ ーマ

◆

ニ ュ ー トンの運 動 方程 式 の一 般 座 標 に よ る書 き換 え ◆例:２

◆ Tea

重 振 り子 Time:具

体的な問題

運 動 方 程 式 の 書 き換 え ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 を (１) と書 こ う.こ

こで 力 は 保 存 力 で あ って 位置 エ ネ ル ギ ー (２)

は 時 間 に よ ら な い とす る.ま

(３)の 形に 書 け る か ら,運

た,運

動 エ ネ ル ギ ーは

動量は (４)

で 与 え ら れ る. さ て,球

座 標 な ど の 一般 座 標(q1,q2,…,qf)を

用い て

(５) とす る.こ

のとき (6)

こ れ を(q,q',t)の

関 数 の 関 係 式 と み てqkで

微分すれば (７)

が 得 ら れ る. こ こ で 運 動 エ ネ ル ギ ー を(q,q,t)で

書 く と(４),(７)を

用 いて

(8) を 得 る.さ

ら に こ れ を 時 間ｔ で 微 分 す れ ば(１),(４)を

用 いて

(９) た だ し こ こ で 恒 等 式d(∂xj/∂qk)/dt=∂xj/∂qkを xf)の

関 数 で あ り,Ｋは(x1,x2,…,xf)だ

使 っ た.こ

こ でＵ

は(x1,x2,…,

け の関 数 な ので 上 式 は (10)

とな る.こ

こ でＵ

,q,t)の

は(２),(５)に

関 数 で あ る(も

よ り(q,t)の

関 数,Ｋは(３),(６)により(q

ち ろ んｔ を 陽 に 含 ま な い こ と も あ る).そ

こで

(11)

と 書 け ば(10)は

(12)

と な る.こ

れ を ラ グ ラ ン ジ ュ(Lagrange)の運動

方 程 式 と い い,L(q,q,t)をラ

グ ラ ンジュ 関 数 と い う.

ラ グ ラン ジ ュの運 動 方程 式 は,運

動 エ ネ ル ギ ーＫ と

位 置 エ ネ ル ギ ーＵ を 表 しや す い よ うな 一般 の座 標(広 義 座 標 と もい う)ｑ と そ の 時 間微 分ｑ を 使 っ て書 き下 せ るの で た いへ ん 便 利 な 形 を して い る.そ の例 と して ２重 振 り子 を扱 っ てみ よ う. ２重 振 り子 図84の

よ うに,２ つ の 質点m1,m2が

長 さl1,l2の 軽 い

棒 でつ な が れ て い て 鉛 直 平 面 内 で運 動 す る とす る.鉛 直 下 方 にｘ軸 を と り,水 平 にｙ 軸 を とる と

図84

(13)

と 書 け る.運

動 エ ネル ギ ー は (14)

こ れ を 計 算 す る と,微

小 振 動 に対 し て (15)

を 得 る.ま

た 位 置 エ ネ ル ギ ーは

(16)

と な る.こ

こ でU0=-m1gl1-m2g(l1+l2)は

定 数 で あ る.U0を

除 け ば ラ グラ ン

ジ ュ関 数L=K-Uは

(17) した が って運 動 方程 式 は

(18)

と な る. 固 有 振 動 数 を 求 め る た め,θ1=A1eiωt,θ2=A2eiωtと

お くと

(19)

とな る.こ れ がA1=A2=0以

外 の解 を もつ 条 件 は 係 数 の 行 列 式 が０ に な る こ と,

す なわち (20) に よ っ て 与 え ら れ,こ

れ か ら 固 有 振 動 ω=ω1,ω2は

(21) と定 ま る. エ ネル ギ ー の保 存 ラグランジュ 関 数 が時 間ｔ を陽に 含 ま な い とき,こ れ をｔ で微 分 す れ ば (22) とな るが,ラグランジュ

の運 動 方 程 式(12)を

用 い れ ば上 式 は (23)

と書 け る.し た が って

(24)

とおけ ば

(25)

が導か れ る.こ を と ろ う.ポ

のＨ

は エ ネ ル ギ ー を 表 す も の で あ る.こ

れ を 示 す た め 簡 単 な例

テ ン シ ャ ルＵ を もつ １粒 子 系 で は (26)

で あ り,p=∂L/∂q=mqな

の でＨ は

(27) とな る.こ

の よ うにＨ

がｔ を 陽に 含 ま な い と き(24)で

定 義 さ れ るＨ は エ ネ ル

ギ ー で あ る.

Tea

Time

具 体 的 な問 題 ２重 振 り子 の 取 り扱 い か ら も わ か る よ うに,ラ 的 な 問 題 を 扱 う のに た い へ ん 便 利 で あ る.こ md2r/dt2=Fは

グ ラ ン ジ ュの運 動方 程 式 は 具 体

れ に 比 べ てニュー

一 般に 取 り扱 い に 不 便 で あ る.実

トン の 運 動 方 程 式

際 ２重 振 り子 を ニ ュ ー ト ン の

運 動 方 程 式 で 直 接 扱 お う とす る と た い へ ん め ん ど う で あ る こ と に 気 が つ く.こ を 少 し 調べ て み よ う.２ 重 振 り子 の 上 の お も り の 質 量 をm1と

し,そ

(x1,y1)と

す る.ニ

し,下

の お も りの 質 量 をm2,そ

の 位 置 を(x2,y2)と

れ

の 位置 を ュー ト

ン の 運 動 方 程 式 の １つ は

とな る.こ こでR1,R2は

そ れ ぞれ 上 と下 の お も りを つ な ぐ棒(長

力 であ り,こ れ は上 の よ うな式 のy1成 分 に対 す る もの と,下

さl1,とl2)の 抗

の お も りに対 す る

同 様 な 式 を 連 立 させ て消 去 しな け れ ば な らな い,こ れ は た いへ ん め ん ど うで退 屈 な 計 算 に な る.し か も計 算違 いを 起 こ しや す い. これ に 比 べ る と本文 で 紹 介 した よ うな ラ グ ラ ン ジ ュの運 動方 程 式 に よ る扱 い は ま った く機 械 的 で誤 りを起 こす お それ も少 な い.め ん ど うな抗 力 な どを考 えずに 運 動方 程 式 は容 易 に書 き下 せ る の で あ る.運 動 方 程 式 が 解 析 的 に 解 け るか ど うか は別 問 題 で あ るが,具 体 的 な 問 題 を 扱 うの に ラ グ ラ ン ジ ュの運 動 方 程 式 は きわ め

て便 利 な の で あ る. もち ろ ん ラグ ラン ジ ュの運 動 方 程 式 は 具 体 的 な 力 学 の 問題 を扱 うのに 便 利 なだ け では ない.質 点 系 の力 学 だ け で な く弾性 体 や 流体 な どの 連 続 体 の 力学 や電 磁 場 や 重 力 場,あ

るい は 素粒 子 の場 な どの 分 野 に お い て も,基 礎 方 程 式 は す べ て それ

ぞ れ に 適 したラ グ ランジュ 関 数 を 用 い て扱 わ れ て い る. ラグランジュ関 数 に つ い ては これ か らの 講 義 に もい ろ い ろ の形 で 述 べ る こ とに な る.そ の 際 に も注 意す る が(た

とえば 第24講),一

を正 し く与 え る よ うなL(q,q,t)が,そ

般 的に い えば,運 動 方程 式

の場 合 のラグランジュ 関 数 で あ る.ラグ

ランジュ関 数 自身に 物 理 的 な 意 味 は ま った くな い とは い え な い が,こ の 講 義 の 今 の 段 階 で は,ラ

グ ラ ンジュ 関 数 は 直 観 的 に わ か る よ うな 物 理 的 意 味 を もた な い と

い わ ざ るを え な い.実 際第24講

で 電磁 場 の 中 の 荷 電 粒 子 を扱 う｜ が,そ

の場 合 の

ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 は 運 動 エ ネ ル ギ ー な ど と関 係 が な い よ うな,い さ さか 抽 象 的 な もの で あ る. そ れ に比 べ る と電 磁 場 の 入 って い な い場 合 の ニ ュー トン力 学 のラグランジュ 関 数 は ず っ とわ か りや す い.そ れ は(11)で エ ネル ギ ーＵ の差K-Uで

与 え た よ うに運 動 エ ネ ル ギ ーＫ と位 置

あ る.こ れ が 和K+Uで

あ れ ば ま さに 全 エ ネ ル ギ ー

とい う直 観 的 に ず っ とわ か りやす い もの な ので あ る が,L=K-Uで

与 え られ る

ラグランジュ関 数 に は 直接 直観 に うっ た え る よ うな意 味 は つ け られ ない. エ ネル ギ ー とい う概 念 もほ ん と うは わか りに くい と ころ が あ る .し か し 「仕 事 をす る こ とが で き る状 態に あ る とき,そ の物 体 は エ ネ ル ギ ー を もつ」 とい うエ ネ ル ギ ー の 定 義 は 「仕 事 」 とい うい わば 日常 語 的 な言葉に よ って理 解 しや す くな っ て い る,ラグランジュ

関 数 は エ ネ ル ギ ー に比 べ る と １段 階 も ２段 階 も抽 象 的 な も

の で あ る.物 理 学 は 古 典 力学 の段 階 で も,直 接 測 定 で き ない 量 を考 え る こ とに 十 分 の メ リッ トが あ る こ とを 認 め なけ れ ば な らな い.量 子 力 学 な どに な る と,ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 は か え って物 理 的で 測 定 で き る よ うな 意 味 を もつ もの に な る.こ れ は あ との話.

第23講 保 存 則 とネ ータ ーの 定 理

―テーマ ◆ 運動量,角 運動量 の保存 と対称性 ◆ネ ーターの定理 ◆Tea Time:女

性 の数学者

運 動量 の保 存 力 を 及 ぼ し合 って い る体 系全 体 の運 動 量 は 時 間 が た って も変 わ らな い(保 存 さ れ る).こ れ は物 理 学 に お け る も っ と も基 本 的 な法 則 の １つ で あ る.力 学 系 に 限 らず,電 磁 気 的 な 現 象 に お い て も,現 象 に 関 係 す る電磁 場 も含 め た全 体 系 の 運 動 量 は保 存 され る.運 動 量 保 存 の 法則 は 自然 界 の基 本 的 な 法則 で あ る.こ こで は 力 学 系に つ い て,運 動 量 な どの 保 存則に つ い て 考 察す る. ２個 の粒 子 １と ２が 相 互 作 用 し て い る とき,相 互 作用 の エ ネ ル ギ ー をU(x1, x2 )と す る と,こ れ はx2とx1の

差x2-x1で

定 ま るの で (１)

で あ る.ま た,x1とx2に

同 じ変化ｓ を 与 え て もU(x1,x2)は

変 わ らな い.す

なわ

ち (２) が 成 り立 つ.こ れ はｓ の大 きさ に よ らな い か らｓに つ い て微 分 す れ ば(３)

が成り 立 つ.こ

の 微 分 をx1+s,x2+sあ

る い はx1,x2を

通 し て行 えば 上 式 は (４)

と 書 く こ と も で き る.こ

こ でｓ を０ に す れ ば (５)

が 得 ら れ る.も

ち ろ ん こ れ は(１)か

ら直 接 導 く こ と も で き る が,あ

との準 備 の

た め 上 の 形 式 的 な 計 算 を 行 っ た. さ て-∂U/∂x1,-∂U./∂x2は 式 は 運 動 量pl,p2を

(６)で 与 え られ る.し

そ れ ぞ れ 粒 子 １,２に は た ら く力 で あ り,運

動方 程

用 いて

た が っ て(５)に

よ り

(７)あ るい は

(８) これ が 運 動 量 保 存 則 で あ る.ま た,粒 子 １,２に は た ら く力

(９)を用 い て(５)は (10) と書 け る.こ れ は 作 用 反 作 用 の 法則 で あ る. 以 上 の 計 算 は あた か も １次元 の体 系 の よ うに扱 った が,３ 次 元 の 体 系 で も,ま た 多粒 子 系に つ い て も成 り立 つ. 角運 動 量 の保 存 １個 の 粒 子 が 原 点 か ら大 き さが 方 向に よ らな い 力 を 受 け て い る(x,y)面

内の

運 動 を考え よ う.力 の ポ テ ン シ ャル は (11) と書 け る.こ こで 極 座標(r,ψ)を

用 いれ ば

(12) こ こ で 体 系 を 角ｓ だ け回 転し た と き の 粒 子 の 座 標 を (13) と書 け ばr=x2+y2=x(s)2+y(s)2で

あ って (14)

こ こ でｓ に つ い て(14)を

微分すれば (15)

を 得 る が,∂x(s)/∂s=-7sin(ψ+s)=-y(s),∂x(s)/∂s=ycos(ψ+s)=x(s)で あ る か らs→0と

す るとき

(16) さて,運 動 方 程 式 は運 動 量

(17) を用 い て

(18) と書 け る.し た が っ て(16)か

(19)こ の式 は(17)を

ら

用 いれ ば (20)

と書 き直 せ るの で (21) を得 る.こ れ は(ｚ 軸 の まわ りの)角 運 動 量 が 一 定 で あ る こ と を 述 べ た 式 で あ る. これ を 一般 化 す れ ば,１ つ の 中心 力 を受 け て運 動 す る体 系全 体 の 角 運 動 量 は 保 存 され る とい うこ とに な る.

ネータ

ーの 定 理

以 上 で 示 し た 方 法 を 一 般 化 し よ う.そ れ に は ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 を 用 い る の が よ い.ラ

グ ラ ン ジ ュ 関 数L(q,q)が

変 換q→q(s)に

す べ て の 変 数qの(１

対 し て 不 変 で あ る とす る.す

つ の パ ラ メ タｓ に よ る)

な わ ち(q=dq/dt)

(22)

と す る.こ

れ をｓ に つ い て 微 分 す れ ば (23)

こ こ でs→0と

す れ ば∂q(s)/∂s=d(∂q(s)/∂s)/dtを

用 いて (24)

を 得 る.他

方,ラ

グ ラ ンジュ の 運 動 方 程 式 (25)

が 成 り立 つ か ら(24)は(26)

と 書 け る.し

た が って (27)

が 成 り立 つ.こ

れ を一 般 化 す れ ば

(28)

は 運 動 の 恒 量 で あ る(Ｉ

は 保 存 さ れ る).こ

れ をネ ータ ー(Noether)の

定理 とい

う. 【例 １】 運 動 量 の 場 合.ｑ

の か わ りにｘ を 用 い て (29)

とお け ば,x1(s)=x1+s,x2(s)=x2+sと

して (30)

す な わ ち全 運 動 量 は 保 存 され る. 【例 ２】 角 運 動 量 の 場 合.q1=x,q2=yと

して (31)

こ こでx=rCOSψ,y=rsinψ

と書 き (32)

とす れ ば∂L/∂x=mx,∂L/∂y=myで

あり (33)

な ので (34) は 保 存 され る.Ｉ は 角 運 動 量(21)で 対

あ る. 称

性

例 １に お い てｓ は体 系 を そ の ま まで １方 向に 移 動 させ るパ ラ メタで あ り,例 ２ に お い ては 体 系 を そ の ま まで 回す パ ラ メタ で あ った.こ れ らの よ うに,あ を ほ ど こし て も体 系(の

る操 作

ラ グ ラン ジ ュ関数)が 変 化 を 受 け な い と き,こ の体 系 は

そ の操 作に 対 し て対 称 性 を もつ,と い う. この対 称 性 は 点 対 称,球 対 称 の 図や 形 が そ れ ぞ れ 特 定 の操 作 に よ って 同 じ もの に 変 換 され る こ とを 拡 張 した 概 念 で あ る.基 本 的 な物 理 量 は,こ の よ うな 拡 張 さ れ た 対 称 性 を もつ こ とが 多 く,そ の 対 称 性 と結 び つ い た保 存 量 を もつ.対 称 性 と い う概 念 は 物 理 学 の 基 本 法 則 で あ る運 動 量 な どを 総括 的に と らえ る もの で あ り, 個 々の 保 存 量 よ りも さ らに深 い概 念 で あ る とい うこ とも で き る.素 粒 子 論 な どの 展 開に 対 称 性 の 概 念 が手 が か りとし て用 い られ るの は そ の た め で あ る. エ ネ ルギ ー の 保 存 エ ネ ル ギ ー の保 存 をネ ータ ーの定 理 か ら導 くに は,時 間 の 向 きの 移 動 を 考 え な

け れ ば な ら な い が,そ

の た め に は ひ と くふ うす る 必 要 が あ る.時

量τ を 導 入 し てｑ とｔ をτ の 関 数 で あ る と し て,ハ

間のほかに ある

ミルトン の 原 理 を (35)

と書 く.積

分 変 数 の 上 限 τ1と下 限 τ0でδq,δt=0と

し (36)

をラグランジュ

関 数 とす る と変分 原 理(35)か

ら

(37 )

(38) を 得 る.(37)は (39) で あ る が,こ

れ は Ｌ の 形(36)を

考慮 して 書 き直す と (40)

と な り,こ

れ は ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 で あ る.(38)に

お い ては

(41) で あ る.た

だ し,p=∂L/∂q,q=dq/dt=(dq/dτ)/(dt/dτ)を

用 い た.こ

こで エ ネ

ルギー (42) を 使 う と(38)の

第 ２項 は (43)

とな る の で(38)は(41),(43)に

よ り (44)

あ るい は

マン

(45) と くにＨ

がｔ を 陽 に 含 ま な い と き は (46)

と な り,エ

ネ ル ギ ーＨ は 保 存 され る.

TeaTime

女 性の数学者 ネ ータ ー(A.E

.Noether.,1882-1935)は

学 で 大 き な 業 績 を あ げ た.ユ メ リ カ に 渡 っ た.ネ

数 学 者Ｍ.ネ

ータ ーの 長 女 で,代

ダ ヤ 人 で あ っ た た め に ド イ ツ を 追 わ れ1933年に

ータ ーの 定 理 は ヒ ル ベ ル トと と も に ア インシュ

相 対 性 理 論 を 吟 味 中に 発 見 し,1918年に

出 会 う.モ

ス ク ワ で 生 ま れ た が,ド

エ ル ス トラ ス の 指 導 を 受 け てア ー ベ ル 関 数,偏 年に はミッタ

ーハ=レ

ア

タ イン の 一 般

発 表 さ れ た.

少 し 歴 史 を さ か の ぼ っ て 女 性 の 数 学 者 を さが す とコワ レ フス -valefskaja,1850-1891)に

数

カ ヤ(S,V.Ko イ ツに 渡 り,ワ

イ

微 分 方 程 式 な ど を 研 究 し た.1884

フラ ーに 呼 ば れ て ス ト ッ ク ホ ル ム 大 学 へ 移 っ た.1888年

に 『固 定 点 を め ぐ る 剛 体 の 回 転 に つ い て 』 に よ っ て フ ラ ン ス の 学 士 院 賞 を 受 け て い る.こ

れ は 非 対 称 で あ る が 可 積 分 な コ マ(コワ

レ フス カ ヤ の コ マ)の

発 見であ

る. さ らに 昔に な る と,ジェル き る.パ

マ ン(S.Germain,1776-1831)を

リの 裕 福 な 家 庭に 生 まれ 独 学 で 数 学 を 学 ん だ.ガ

整 数 論 で 仕 事 を し,ま

た 弾 性 理 論,曲

の曲率とも呼ばれる.

面 論 も 研 究 し た.曲

あ げ る こ とが で ウス の 研 究 に ひ か れ て 面 の 平 均 曲 率 はジェル

第24講 最小作用の原理

―テーマ ◆ 作用積分,最 小作用 の原理 ◆電 磁場の中の荷電粒子の運動 ◆ Tea Time:最 小作用の原理 と目的論

作 用 積 分 運 動 方 程 式 の も っ と も一 般 的 な 定式 化 は 最 小 作 用 の原 理(ハ

ミルトン の 原 理 と

もい う)で 与 え られ る.こ の原 理 に よれ ば,力 学 系 は (１) に よ って特 徴づ けら れ る.そ して系 は 積分

(２)

が 極 小 値 を と る よ う に 運 動 す る,と

い うの が こ の 原 理 で あ る.た

t2に お い て 体 系 は 定 め ら れ た 値qj(1)とqj(2)に t=t1とt=t2に

お け るqの

あ る も の と す る.言

い 換 え れ ば,

関数 と呼 ば れ,Ｓ

を 作 用 積 分 とい

値 を 固 定 し た 変分

(３)に よ って運 動 が 定 め られ る.Ｌ はラグランジュ

う.

だ しt=t1とt=

以上 で 述 べ た 最 小 作 用 の原 理 は変 分 原 理 で あ り,こ れ を み たす 運 動 は

(４)に よ っ て 与 え ら れ る.こ が,運

れ を(３)に

対 す る オ イ ラ ー(Euler)の

方 程 式 とい う

動 方 程 式 とし ては ラ グ ラ ン ジ ュの運 動方 程 式 と呼 ば れ る. 【略 証 】Ｓ

を 極 小 に す る 運 動 をqj=qj(t)と

し,こ

れ を わ ず か に δqj(t)だ け 変 え た 経 路qj(t)+δqj(t)を 考 え る.δqは変 値qj(1)とqj(2)は

分 と呼 ば れ る.t=t,とt=t2に

おけ る

固 定 され て い る と し て い る か ら (５)

で あ り,ｑ をq+δqに変え

た と き のＬ の 変 化 は

図85

(６)

で あ る.作 用 積 分 の変化(５)に

よ り∫δLdtと 翻

るの で (７)

第 ２項 を部 分 積 分 し て再 び(５)を

用いれば (８)

とな る.こ こでδq=δq(t)は 任 意 の 関 数 で あ るか ら,被 積 分 関 数 の{…}は ０で な け れ ば な らな い.こ れ が(４)で

常に

あ る.

ニ ュー トン の 運 動 方 程 式 と くに 運 動 エ ネル ギ ーＫ と位 置 エ ネル ギ ーＵ の 差 を ラ グ ラ ン ジ ュ関数 とす る と き,す な わ ち (９) とす れ ば(４)は

ニ ュー トン力 学 の運 動 方 程 式 を ラ グ ラ ンジ ュ形 式 で書 い た もの

を 与 え る.こ れ は さ きの 第22講 で 述 べ た とお りで あ る.

しか し ラグ ラン ジ ュ関 数 が(９)で

与 え られ るの はニュートン 力 学 の純 粋に 力

学 的 な 場 合 だ け で あ る.た とえ ば 電磁 場 が あ る と きの 荷 電 粒 子 の 運 動 の場 合 や 相 対 論 的 力学 で は(９)は る よ うなL(q,q',t)が

用 い え な い.一 般 的に い え ば,運 動 方 程 式 を正 し く与え そ の場 合 のラグランジュ 関 数 な の で あ る. 電磁場の中の荷電粒子

電 場 をＥ,磁

場 をＢ とす る とき,電 荷ｅ を もつ 荷 電 粒 子 に対 す る ニ ュー トン

の運 動 方 程 式 は (10) と書 け る(図86).こ

れ を与える

ラ グ ラン ジ ュ関 数 は (11)

で 与 え ら れ る.こ ャ ル,A(x,y,z,の 電 場,磁

こ で φ(x,y,z,t)は

電場 の ポ テ ン シ

は ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル で あ っ て,

図86

場 との 関 係 は

(12)

(13)

こ こ で〓 はナ ブ ラ と 読 み,grad(グ

ラ デ ィ エ ン ト)と

も い う.こ

れは

(14)

と い うベ ク トル と考 え れ ば よい. (11)は

荷 電 粒 子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー と 位 置 エ ネ ル ギ ー の 差 の 形 に な っ て い な い.

な お(10)の

右 辺 は ロ ーレンツ(Lorentz)力

【説 明 】ラグランジュ

と呼 ば れ て い る.

の 方 程 式 のｘ 成 分 は (1 5)

で あ る.v2=x2+y2+z2,v・A=xAx+yAy+zAzで

あ る か ら(11)に

よ り(15)

は

(16) と な る.こ

こで

(17) を考 慮 す れ ば

(18) と な る が,(12)と(13)によ

り これ は (19)

と書 け る.こ 様 で あ る.

れ は(10)のｘ

成 分 に ほ か な ら な い.ｙ

成 分,ｚ 成 分 に つ い て も 同

Tea

Time

最 小 作 用 の原 理 と 目的 論 物 理 学 に は い ろい ろ の法 則 が あ るが,同

じ こ とを表 現 す るのに も微 分 法則 と積

分 法 則 とが あ り,ま た 変分 法 を 用 いた 変分 原 理 もあ る.た が 保 存 力 で あ る こ とは微 分法 則(ポ

あ るいは 積 分 法 則(閉

とえば 重 力 な どの 力Ｆ

テ ン シ ャルＵ の 勾 配)

曲線Ｃ に 沿 う積 分 が０ に な る こ と)

で表 され る. また 運 動 法則 は 微 分 法 則(運 動方 程 式)

で 表 され る し,変分

原 理(ハ

ミル トン の 原 理) (*)

で 表 さ れ る. (*)はＬ

の 積 分 が 極 小 値(あ

る い は 停 留 値)を

と る と い う こ と で,運

の 積 分 を 極 小 に す る と い う 目 的 を も っ て い る よ うに も み え る.こ

れは

動は こ

「神 は 無 駄

は し な い 」 と い う よ うな 意 味 を も っ て い る よ うに 考 え ら れ た こ と も あ っ た ら し い が,そ

れ は 思 い す ご し で,(*)は

オ イ ラ ー-ラ グ ラ ン ジ ュ の 微 分 方 程 式

と同 等 で あ る. 科 学 は 自然 現 象 が 目的 を もつ とい う見 方 を 排 除 して い る.そ して む しろ １つ の 原 因 は １つ の結 果 を生 じ る とい う原 因 ・結果 の鎖 とし て 自然 現 象 を 理解 で き る と 考 え るの が ふ つ うであ る.し か し １つ の原 因 が １つ の結 果 を生 じる とす れ ば,原 因 ・結 果 の鎖 を 逆 に さか の ぼ る こ と もで き る こ とに な り,こ うす れ ば 原 因 と結果 とは 役 割 が 逆 転 す る こ とに な る.こ れ では 原 因 ・結 果 論 は 意 味 が な くな る.目 的 論 に つ い て も同 じ よ うな こ とが い え るが,原 因 ・結 果 論が 目的 論 よ りも優 位 に た つ とい う こ と もな い よ うで あ る.

現 在 の宇 宙 の存在,人

間 の 存在 は100億

年 程 度 の 歴 史 を 考 え な けれ ば理 解 で き

な い だ ろ う.日 常 の 物 理 現 象 は そ の 中 の １コマ の 映 像 に す ぎな い と もいえ る.そ の よ うな 長 い 歴 史 的 時 間 を考 え る うえ で は 自然 法則 を も っ と別 の観 点 か ら み る立 場 もあ って よ さそ うに思 わ れ る. ニ ュー トンの運 動 方 程 式 やラグランジュ

の運 動方 程 式 は微 分 方 程 式 で あ る.微

分 方 程 式 で書 か れ た 法則 を微 分 法 則 と い う.こ れに 対 し て最 小 作 用 の原 理 は 積 分 の 形 で 書 か れ,こ の よ うに 積 分 の形 で 書 か れ た 法則 は 積 分 法則 と呼 ば れ る. ニュートン の運 動 法則 は ふ つ う微 分 法 則 とし て書 か れ るが,こ れ とま った く同 等 な こ とが 最 小 作用 の原 理 とい う積 分 法 則 で 表 され る こ とが わ か った.こ

の場 合

に 限 らず,一 般 に 物 理 学 の 法則 は 微 分 法則 と し て も,あ るい は これ と同 等 な 積 分 法 則 と して も表 現 で き る.し た が って 微 分 法則 は 因果 論 的 で あ り,積 分 法則 は 目 的 論 的 で あ る とい うの は 当 らな い. 熱 力 学 の 法則 も,電 磁 気学 の 法則 も,あ るい は量 子力 学 の 法則 や 相 対 論 の 法則 で も,すべ て の 法則 は微 分 法 則 と して も,積 分 法則 と して も同等 な表 現 を与 え う る の で あ る. しか し,物 理 学 とふ つ うい わ れ て い る科 学 の領 域 で は物 理 学 の法則 と違 った 形 の法 則 を述 べ な け れ ば な らな い か も し れ な い.た り返 す 」 といわ れ る こ とが あ る が,繰

とえば 歴 史で あ る.「 歴 史 は 繰

り返 され な い歴 史 の ほ うが歴 史 ら しい歴 史

の よ うな 気 がす る.生 物 の発 達 に して も宇 宙 の 発達 に して も繰 り返 され な い もの が歴 史 で あ る とす れ ば,こ れ ら の発 達 史 に は 物 理 学 の積 分 法則 と違 う 目的 論 的 な 考 え方 が あ って も よい よ うな気 がす る.し か し 目的 論 とい う言 葉 はや は りあ ま り よ くな いか もしれ な い.

第25講 正準運動方程式と正準変換

―テーマ ◆ 正準運動方程式 ◆正準変換 ◆ Tea Time:運

動方程式の積 分

ハ ミ ル トン の 正 準 運 動 方 程 式 ラグラ ンジュ 関 数 をL=L(q,q,t)と

す るとき (１)

を広 義 の運 動 量(qj,に 共 役 な)と い う.上 式 に よ りqをpの

関 数 とみ て

(２)

と お き,こ

れ を ハ ミル トン(Hamilton)関

数 と 呼 ぶ.運

動 方程 式 は

(３)

で 与 え ら れ る.こ 程式 と い う.qとpは 【説 明 】

れ を ハ ミル トン の 正 準 運 動 方 程 式,あ 正 準 共役 な 座 標 と運 動 量,ま

上に 述 べ たラグランジュ

関 数 も,正

るい は た んに 正 準 運 動 方

と め て 正 準 変 数 と い う.

準 運 動 方 程 式 も ニ ュ ー トン 力 学に

限 ら ず,相 ろ う.ま

対 論 的 力 学 で も通 用 す る.し た 簡 単 の た め,あ

か し,こ

こ で は ニ ュ ートン 力 学 だ け に 限

た か も 自 由 度ｆ は １で あ る よ うに 書 くが,以

下 に述 べ

る こ とは 多 自 由 度 の と き も そ の ま ま 成 り立 つ. q=xと し て,ラ

グ ラ ンジュ 関 数 を (４)

とす る と 運 動 量 は (５) で あ り,ハ

ミル トン 関 数 と正 準 運 動 方 程 式 は

(６)

とな る.こ さ て,一

れ は ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 で あ る. 般 に ラ グラ ン ジ ュの運 動方 程 式 は (７)

で あ り,こ

れ か ら(１)に

よ り (８)

した が って

(９) こ の よ うにＬ はｑ,q(とｔ)を L)は(９)を

変 数 とす る 関 数 で あ る.こ

れ に 対 しdH=d(qp-

用いて

(10) と な り,Ｈはｐ

とｑ(とｔ)を

変 数 とす る関 数 に な っ て い る.こ

れ を み る と

H(q,p,t)=pq-L(q,q,t)は (変 換 の 母 関 数 とい う)で

変 数ｑ の か わ り にpを あ る.こ

変 数 と す る 変 換 を 導 く関 数

の よ うな 変 換 は ル ジ ャ ン ドル(Legendre)変

換 と 呼 ば れ る. (10)か

ら (1.1)

を 得 る が,こ

れ が 正 準 方 程 式(３)で

な お,(９)と(10)か

(12) も導 かれ るが,上

あ る.

ら時 間 が 陽 に 含 まれ る と きは

の変 換 に お い て時 間 は パ ラ メタ の 役 を して い るの で,運 動 方 程

式 と して は この方 程 式 は 考 えな くて よい. 著 しい事 実 p=∂L/∂q は変 数ｑ の時 間 変化q(t)に 数 で は な い.し か し(２)をL=qp-Hと

よ って 定 ま る量 で あ る か らｑ と独立 な変 書 い て,作 用 積 分 を (13)

と書 くと,そ の変分 は (14) とな る.右 辺 の被 積 分 の第１ 項 を部 分 積 分 す れ ば,t1,t2でδq=0と

して (15)

とな るの で (16) を得 る. し か し正 準 方程 式(11)に

よれ ば 上 式 右 辺 の被 積 分 は 各 項 が そ れ ぞ れ 打 ち 消 し

合 うの で (17)

とな る. した が ってｑ とｐ を 独 立 な 変 数 の よ うに み て も変分 原 理δs=0は あ る.こ れ に 対 し ラ グ ラ ン ジ ュの運 動 方 程式 を導 い た 第24講

成 り立 つ の で

の 方 法 で はｑ だ け

を 独 立 な 変 数 と して い る.ｑ とｐ を独 立 な変 数 とみ な す のはＳ の 変 数 空 間 を 広 げ た こ とに な るが,こ

の広 げ られ た 空 間 に対 し て もＳ が δS=0(停

留値 を と る こ

と)を 満 た す の は著 しい 事実 で あ る. コ メ ン ト ラ グ ラン ジ ュ の運 動 方 程 式 は ニ ュー トン の運 動方 程式 と同様 に ２階 微 分 方 程 式 (の集 ま り)で あ るが,広 義 の 座標 を 自由 に 使 うこ とが で き る の で,実

際 の 問題

を 解 く うえ で た いへ ん便 利 な 方 程 式 で あ る． これ に 対 し,ハ

ミルトン の運 動 方 程 式 は ２組 の １階微 分 方 程 式(の

集 ま り)で

あ る.具 体 的 な 問 題 をハ ミルトン 方 程 式 で 書 い て も と くにつ ご うが よい こ とは 少 な いが,運 動 を 一般 的 に 考 察 す るうえ で,ハ

ミル トン の運 動 方 程 式 は き わ め て 広

い理 論 展 開 を可 能に させ る.こ れ は 以 下 で 述 べ る正 準変 換 な ど を含 む形 式 的 な 理 論 とし て展 開 され,解 析 力 学 と呼 ば れ て い る.ハ

ミルトン 方 程 式 は これ に よ って

統 計力 学 や 量 子 力 学 の基 礎 づ け に も あず か る こ とに な る ので あ る. 正 準 変 換 以下 で は 座 標,運 動 量 と し て広 義 の 座 標,運 動量 を考 え る.体 系 がハ ミルトン の運 動 方 程 式 (18) で 記 述 され る と き,変 換 (19) あ るい は (20) を 行 った運 動方 程 式 が (21)

す な わ ち 同 じ よ うに ハ ミル トン の 運 動 方 程 式 の 形 を と る と き,こ 換と い う.こ

こ でK(Q,P,t)は

新 し い ハ ミル トン 関 数 で あ る.

広 く考 察 さ れ る の は 連 続 的 な あ る 関 数Ｗ 正 準 変 換 は こ れ に 限 ら な い が,広 るＷ

の 変 換 を 正 準変

に よ っ て 導 か れ る 正 準 変 換 で あ る.

く用 い ら れ る の で 変 換 関 数(母

関 数 と呼 ば れ

に よ る 正 準 変 換 に つ い て 説 明 し よ う.

母 関 数 に よ る 正 準 変 換ｑ

,ｐ

対 す る ハ ミル トン 方 程 式(18)が(13)に

よ り変分 原 理 (22)

か ら 導 か れ た よ うに(Q,P)に

対 す る ハ ミル トン の 方 程 式(21)は変

分原理 (23)

か ら 導 か れ る.し

た が っ て(19)あ

る い は(20)が

あ る い は(20)をpdq-H(q,p,t)dtに代

正 準 変 換 で あ る た め に は(19)

入 した と き

(24)

で あ れ ばよ い.た だ しＷ は１価，連続， 微 分 可 能 な任 意 の 関 数 で，∫dWはt0， t1にお け る変 換 の 値 だ け で決まる の でδ∫dW=0と 影 響 しな い.以 下 多変 数qj(j=1,2,…,f)な 自由 度(f=1)の

な り,これ は上 の変 分 原 理に

ど を全 部書 くの は繁 雑 な の で,１

よ うに書 くが,実 際 には 多 自 由度 の場 合 も含 まれ る.

い ま母 関 数 をｑ とＱ の 関 数 と し て (25) とす る と (26) これ を(24)に

代 入 して 整 頓す る と (27)

を得 るの で,

(28)

とす れ ばＱ,Ｐ

とＫ がｑ,ｐ とＨ の 関 数 と し て 定 ま り,(q,p)→(Q,P)は

正 準変 換

にな る. な お(26)と(28)と

か ら (29)

を 得 る が,こ

れ は(24)を

確 か め た こ とに な る.

Ｈがｔを 陽 に 含 ま ず,正 ∂W/∂t

=0な

の でK=Hで

準 変 換(q,p)→(Q,P)もｔ

を陽 に 含 ま な い と き は

あ り,(29)は

(30)

と な る. 時 間ｔ を 陽 に 含 ま な い 正 準 変 換(q,p)→(Q,P)が の 母 関 数 を 求 め るに はpdq-PdQを 果 をｑ とＱ で 表せ ば よ い.そ

作 り,(30)に

与 え ら れ た と き,こ 従 っ てＷ

を 求 め て,そ

の変 換 の結

の 具 体 的 な 例 を 次 の講 で 示 そ う.

Tea

Time

運動方程式の積分 ハ ミル トン の 正 準運 動 方程 式 は 力学 に 限 らず 物 理 学 の 原 理 的 な 問題 を 研 究 す る の に 適 した もの で あ る.そ の利 点 の １つは 時 間に 関 して １階 の 微 分 方 程 式 で あ る こ とで あ る.こ れ は体 系 の変 化 を座 標 と運 動 量(一 般 座 標 と これ に 共 役 な一 般 運 動 量)と か らな る位 相 空 間 の 中 で 時 々刻 々追 求す る形になっ て い る.す なわ ち正 準運 動方 程 式

に お いてdtを 微 小 な 時 間 τと考 え て,

と書 くと

(＊)

とな る.す なわ ち時 刻ｔ こおけ る位 相 空 間 内 の 位 置(qj,pj)が 次 の 瞬 間 の 位 置(qj(t+τ),pj(t+τ))が の で あ る.(＊)を

与 え られ れ ば,

た だ ちに 与 え られ る構 造 に な っ て い る

つ ぎつ ぎ とつ な い で い けば 位 相 空 間に おけ る運 動 の軌 道 は原

理 的 に求 め る こ とがで き る. もち ろ んτ を有 限に と る と き(＊)は

近 似 式 に す ぎ な い.(＊)が

厳 密に 正 し

くな る の は τ→0の 極 限 で あ る.た とえ ば 単 振 動 を考 え て

と お く と(＊)は

と な る.こ

こ で 時 刻t+τ

に お け る エ ネ ル ギ ー を求 め てみ る と

とな る.し た が って時 間τ だ け進む た び に エ ネ ル ギ ーは1+τ2倍 に な っ て し ま い,(＊)は

正 しい 数 値解 を 与 え な い こ とが わ か る.

これ か らわ か る よ うに,ハ

ミルトン の 正 準方 程 式 を数 値 的 に 解 くの に は,誤 差

が 積 み重 な らな い よ うにす る くふ うが 必 要 で あ り,こ の方 向 の 研究 が進 め られ て い る.

第26講 正準変換の母関数

―アーマ ◆

母 関 数w(q,Q),Wqp(q,P),WPQ(P,Q),WpP(p,P)

◆

循環座標

◆

Tea

Time:ル

ジ ャ ン ドル 変 換

(q,p)空 今 回 は 正 準 変 換 の母 関数W(q,Q)の を調 べ,さ らに 母 関 数 の変 数 をqとQで

間 の 直交 変 換 例 と して(q,p)空

間 を 回転 す る正準 変 換

な く,ｑ とＰ とす る母 関 数 な ど を 考 え

る. ｑ とｐ を直交 座 標 軸 とす る ２次 元 空 間(相 平 面)に お い て 座 標 系 を回 転 す る変換

(１)

を 考 え る(ψ

は 回 転 角,図87参

照). (２)

を 用 い て 第25講(30)の 図87

式dW=pdq-PdQを

つ くる とそ の 結果 は

(３)

と書 け る.こ れ が完 全 微 分 で あ る こ とは この変 換 が正 準 変 換 で あ る こ とを 保 証 す る.積 分 し て (４) これ を独 立 変 数ｑ とＱ を用 い て書 き直 す ため (５) を(４)に

代入す ると (６)

を得 る.こ れ が 正 準 変 換(１)の 【検 算】(６)を

母 関 数 で あ る.

用 い て 第25講

の(28)か

ら

(７)

これ を書 き直 す と再 び(１)を

得 る.

【特別 な場 合 】 ψ=π/2と お くと (８)

これ は(q,p)座

標 系 を90。 回 転す る変 換 で あ る. ｑ とＰ

同 じ正 準変 換(q,p)→(Q,P)で

を変 数 とす る母 関 数 も,母 関 数Ｗ をｑ とＱ の 関 数 で なく,た

と

え ばｑ とＰ の関 数 か ら導 く こ とが で き,そ のほ うが つ ご うが よい 場 合 も あ る.前 節 の直交 変 換 でψ=0の で母 関 数(６)は

場 合 は 恒 等 変 換Q=q,P=pに

な るは ず で あ る が,ψ=0

分 母 が ０に な っ て し ま って つ ご うがわ るい.

母 関 数W(q,Q,t)の

変 数Ｑ の代 わ りにＰ を独 立 変 数 とす るに は,ルジャン

ド

ル変 換 (９) に よっ てｑ,Ｐの 関数WqPを

導 入 す れ ば よ い.新

し い 母 関数WqPの

添 え字ｑ と

Ｐは 変 数 が 座 標ｑ と新 しい運 動 量Ｐ で あ る こ とを は っ き り示 す た め に つけ た. (９)の 微 分 を つ く り,dWには

第25講

の(29)を

用いれば

(10) とな る.dQが

消 え て独 立 変 数 がq,P,tに

変 換 は新 しい 母 関 数WqPを

な っ た こ とが わ か る.し

た が っ て正 準

用いて

(11)

と な る． 【(q,p)空 間 の直交 変 換 の場 合 】(６)を

用 い て(９)か

ら (12)

他 方 で(１)か

らＱ をｑ とＰ で表 せ ば (13)

と な る.こ

れ を(12)に

代 入 して 整 理 す れ ば (14)

を 得 る. 【検 算 】(11)と(14)か

ら

(15)

と な る.こ

れ は す ぐわ か る よ うに(１)の

【恒 等 変 換 】(14)に

お い てφ=0と

変 換に ほ か な ら な い.

おけば (16)

と な り(15)はp=P,Q=qを 【尺 度 変 換 】

与 え る.こ

れ は 恒 等 変 換 で あ る.

母関数を (17)

と す る と(11)に

(18) とな る.書

よ り

き直 す と (19)

これ は 尺 度 を変 え る変 換 で あ り,尺 度 変 換(ス

ケ ー ル変 換)と

と きはｑ とｐ の空 間 で座 標 系 を180。 回す 変 換 で あ る.qp=QPが

い う.a=-1の 成 り立 つ こ と

も注 意 して お こ う.こ れ は 位 相 空 間 の 面 積 が正 準変 換 に よ って変 わ らな い こ との １例 で あ る.

そ の他 の変 換 の 母 関 数 １.ｐとＱ

を独 立 変 数 と した い と きはル ジ ャン ドル 変 換 (20)

を 用 い れ ば よい.

(21) した が って正 準 変 換 は

(22)

２.ｐとＰ

を 独 立 変 数 と し た い と き は ２度 ル ジ ャ ン ドル 変 換 を 重 ね て (23)

と お く.微

分 を つ くれ ば

(24) した が って 正 準 変 換 は

(25)

で 与 え られ る. ３.正

準 変 換(q,p)→(q',p')の

関 数 をW2と

す れ ば,正

母 関 数 をＷ1と

準 変 換(q,p)→(q",p")は

る.ま

た 逆 変 換(q',p')→(q,p)は

母 関 数 一W1か

ら,正

準 変 換 は 変 換 群 を つ く る こ と が 示 さ れ る.

循 環 座 ハ ミル トン 関 数Ｈ,あ き,qkを

る い はラグランジュ

循 環 座 標 と い う.ラ

2,…,f)に

し,(q',p')→(q",p")の

母

母 関 数W1+W2か

ら導 か れ

ら 導 か れ る.こ

れ ら の こ とか

標 関 数Ｌ が あ る 座 標qkを

含 ま ない と

グ ラ ンジュ 方 程 式d(∂L,/∂q,)/dt=∂L/∂qj(j=1,

お い てＬ の 中 にqkが

欠 け て いれ ば

(26) す な わ ち (27)

と な り,運 動 量pkは …,pf)がqkを

保 存 さ れ る.同

じ こ と は 正 準 方 程 式 で も い え る.H(q1,q2,

含 ま な い と きは

(28) し た が っ てpk=定

数 と な る.

正 準 変 換 に よ っ て 運 動 を 解 く方 法 の １つ は 循 環 座 標 を 見 い だ す こ と で あ る.適 当 な 正 準 変 換(q,p)→(Q,P)に

よ っ て 新 し い ハ ミ ル トン 関 数KがQkを

い よ う に す る こ と が で き れ ば 正 準 運 動 方 程 式Pk=-∂K/∂Qkか

含 まな

ら運 動 の 積 分 の １

つ (29) が 得 られ るか ら であ る. １自 由度 系 で は,K(Q,P)がＱ 定 数 と と もにQ=∂K/∂P=定

とｔ を含 ま な い な らば 正 準運 動方 程 式 はP= 数 を与え るか らＱ も積 分 され て (30)

第26講

に対 す る補 講

<正 準 方 程 式 の 変 換> １． H=H(q,p,t)を

ハ ミル トン 関 数,正

準 運 動 方程 式 を

(31)

とす る.変

換 の 母 関 数W=W(q,Q,t)に

よ る 変 換 を(q,p)→(Q,P),H(q,p,t)

→K(Q,P,t)を

(32)

(33)

と す る. こ の と きＱ,Ｐ に 対 す る 正 準 運 動 方 程 式 (34)

が 成 り立 つ.こ 【証 明 】Ｗ

れ を 直 接 証 明 し よ う. の 変 数ｑ,Ｑ,ｔを 独 立 変 数 と し て 計 算 す る.ま

ず(32)か

ら

(35)

(36)

他 方 で(33)のK(Q,P,t)をＱ み て

で 偏 微 分 す れ ば,q=p(Q,P,t),p=(Q,P,t)と

(37) こ こでｑ,Ｑ,ｔを 変 数 と す る た め(35)か

ら

(38)

お よ び∂H/∂p=qを

(39) これ らを(37)に

利 用 し,∂p/∂Qに

対 し て は(32)か

ら

代入すれば (40)

しか るに(32)の

第 ２式 をP=一

定 とみ てＱ で 微 分 す る と (41)

した が って

(42)な の で(40)は (43)

と な る.こ

れ と(36)を

比 べ れ ば 証 明 し よ う とす る(34)の

第 ２式P=∂K/∂Q

が 得 ら れ る. 次 に(34)の

第 １式 が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.(33)か

ら

(44) こ こ で(32)の

(45) を 得 る の で,こ

第 １式 か ら

れ と(38)を(44)に

代入すれば

(46) と な る.他

方 で(32)の

第 ２式 か らＱ,ｔを 一 定 と み た 微 分 は (47)

し た が っ て(46)か ２.同

らQ=∂K/∂Pが

得 ら れ る.

様 にq=∂H/∂p,p=-∂H/∂qと

し,母 関 数W=W(q,P,t)に

よ る変 換 を

(q,p)→(Q,P),H(q,p,t)→K(Q,P,t)を (48)

(49) とす る と き正 準 運 動 方 程 式 (50) が 成 り立 つ こ とが 直 接 証 明 さ れ る.そ

の 他 の 母 関 数 の と り方に つ い て も 同 様 で あ

る.

Tea

Time

ルジャン ドル 変 換 質問

ル ジ ャ ン ドル 変 換 と い うの は 一 般 的 な も の で し ょ うか.少

し説 明 して くだ

さ い. 答ｆ

がｘ とｙ の 関 数 で あ る と き,こ

れ をf=f(x,y)と

書 き ま し ょ う.ｆ

分は

と書 け ます.こ

で あ っ て,こ

こで もち ろ ん

れ ら は 一 般 にｘ とｙ の 関 数 で す.こ

れ ら をu=u(x,y),v=v(x,y)

の微

と 書 き ま し ょ う.u=u(x,y)をｘ か ら,こ

れ はx=x(u,y)と

に つ い て 解 く とｘ がｕとｙ 書 け ま す.こ

ｙの 関 数 に な り ま す か ら,こ もｕとｙ

れ をv=v(x,y)に

れ をv=v(u,y)と

の関数 に な ります 代 入 す る とｖもuと

書 き ま し ょ う.こ

を 独 立 変 数 と し て 表 せ る こ と に な りま す.こ

うす る とｘ もｖ

こで

とお い て微 分 を つ くる と

とな ります か ら,ｕ とｙ を 独 立 変 数 と して

したが って

が 得 られ ます. この よ うにｘとｙ を 独 立 変 数 とす るf(x,y)を に-uxを

加 えたf1=f-uxを

用 い た 関 係式 が あ っ た と き,ｆ

用 いれ ば 独 立 変 数 をｘ か らｕ に変 え た 関 係 式 が 得

られ ます.こ れ がル ジ ャン ドル変 換 です.同

様 に して独 立 変 数 をｙ か らｖ に 変 え

た り,ｕとｖ を独 立 変 数 に した りす る こ と もで き ます. 正 準 変 換 の 例 で 示 し ま し ょ う.第25講

の(29)で

時 間ｔ に 対 す る依 存 性 が な

い とす る と

これ を

と書 き ます.対 応 を

とし ま し ょ う.こ こで 変 数-Qの

を 用 い れ ば よ い.f1が(９)のWqpで

に よっ て変 数 は-Qか

代 わ りにＰ を 変 数 にす るに は

あ る.す

らＰ に 変 え られ る.

なわち

第27講 正準変換 の例 と応用

テーマ

◆ ポ ア ン カ レ変 換,作 用 変 数,正 準 変 数 と して の 時 間 とエ ネ ル ギ ー ◆ ポ テ ン シ ャル ±eqに ◆TeaTime：

よ る運 動

尺 度変 換

ポ ア ン 力 レ変 換 正準変換の母関数を (1) と す る と 第25講

の(28)に

より

(2) こ れ を 書 き 直 せ ばq2=(p/mω)2tan2Q=(2P/mω)sineQを

得 る.こ

れか ら

(3) こ れ を ボ ア ン カ レ(Poincare)変

換 と い う.PとQをqとpで

表 せば

(4) 【単 振 動 】 単 振 動 の ハ ミル トン 関 数 は

(5)

と書 か れ る.こ の体 系 に正 準変 換(３)を

ほ ど こせ ば(４)に

よ りハ ミル トン関

数は (６) と な る.ＱとＰ

は 正 準 共役 な座 標 と運 動 量 で あ り,こ

れ ら に 関 す る運 動 方 程 式

は (７) (８) した が って,(３)に

よ り運 動 は (９)

で与 え られ る.こ れ は よ く知 られ た 単振 動 で あ る． 作 用 変 数 １自 由度 の 周 期 運 動 を 考 え る と運 動(q(t),p(t))は

相 平 面 内 で 閉 曲線 と な る.

ハ ミル トン 関 数 を

(10) とす る と (11) し た が っ て 相 平 面(q,p)に

お い て 軌 道H=Eはｑ

軸 に 対 し 上 下 対 称 な 閉 曲 線 と な る(図88).こ 図88

の閉

曲線 の面 積 を

(12)

と書 き,こ れ を 作 用 変 数 とい う.こ こでq1,q2は 周 期運 動 の 折 り返 し 点 のｑ 座 標 で あ る.作 用 変J(E)はＥ

に よ って定 まるか ら,運 動 の 定 数 で あ る.そ

れ を 広義 運 動 量Ｐ とす る と きの座 標Ｑに あ た るも の をｗ と書 こ う.ｗはハ トン関数 に含 まれ ない か ら循 環 座 標 であ る.

こで こ ミル

単 振 動(５)に

お い て は 軌 道 はq=√2E/mω2,p=√2mEを

す る 楕 円 な の で,こ

長 ・短 軸 半 径 と

れ が 囲 む面 積 は (13)

で あ り,こ

れ は(６)に

よ りポ アンカレ

Ｐに 共 役 な 正 準 変 数Ｑ は(７)な

変 換 のＰとJ=2πPに

の で,尺

度 変 換(第26講(20))を

Ｊに 共 役 な 座 標ｗ と し てw=Q/2π=vt+ψ((7)参 る.周

期 をＴ

さ て,一

と す れ ばv=1/Tで

よ っ て 結 ば れ る.

照,v=ω/2π,ψ=定

あ り,ｗは１

行 え ば, 数)を

得

周 期 ご と に １だ け増加 す る.

般 の 周 期 運 動 に お い て もｗ は 循 環 座 標 な の で ハ ミル トン 関 数 はｗ を 含

まずH=E(J)と

書 け る.し

た が っ て 正 準 運 動 方 程 式 はｗ に 対 し て (14)

と な り,ｗは

時 間 と と もに一 様 に 変 化 す る.単

に つ れ て 一 様 に 増 加 す る 変 数Ｑに る.そ

振 動 で はｗ は(７)の

相 当 し,(q,p)空

よ うに時 間

間 の 極 座 標 の 角 と関 係 が あ

こ で 一 般 の 周 期 運 動 に お い て も作 用 変 数Ｊ に 共役 なｗ は角変数

と呼ば れ

る．． (12)に

よ り (15)

と な る が,q=q1,q2に ま た(10)に

お い てE-U(q)は

０で あ る か ら右 辺 第 １項 は ０に な る.

よ り第 ２項 の 被 積 分 に お い て√2m(E-U(q))/m=dq/dtは

速度 で

あ り, (16)

と な る.こ

こ でＴ は 周 期 運 動 の 周 期.し

た が っ て(16)は (17)

とな り,角

変 数ｗ は １周 期 ご と に １だ け増加 す る こ とが わ か る.

正 準 変 数 と し て のｔ と 一E

ｔ と-E(あ

る い はＥ

と-t)は

正 準 共役 な 変 数 と み る こ と が で き る.こ

れを

説 明 し よ う. ハ ミル トン の 原 理 を

(18) と 書 く.ｔと 異 な る パ ラ メ タτ を 考 え て,q=q(τ),t=t(τ)を τ1,τ2でδq=δt=0と

τの関 数 と す る と

して (19)

と書 け る.こ

こ でｔ はｑ と 同 様 な 座 標,-Eはｐ

と 同 様 な 運 動 量 に 相 当 す る.

(19)は (20) と な る.dδq/dτ,dδt/dτ

を含 む 項 を 部 分積 分 す る と

(21) した が って(d/dτ)(dτ/dt)=d/dtに

より (22)

この第 １式,第

２式 はｑ,ｐに対 す る正 準運 動方 程 式 で あ り,第 ３式 はＥ とｔ に 関

す る正 準 運 動 方 程 式 とみ な せ る.ｔを 座 標,-Eを

(23) と 書 い た ほ うが 第 ２ 式dp/dt=-∂H/∂qと

運 動 量 とみ て 第 ３式 は

の 対 応 は 明 らか に な る.

正 準 変 換(q,p)→(E,-t)

１ 自 由 度 の 体 系 の 場 合,ハ

ミル トン 関 数 を (24)

とす る.正

準 変 換(q,p)→(E,-t)は

母 関数

(25) に よ っ て 導 か れ る. 【証 明 】(25)と(24)か

ら (26)

ま た√2m(E-U(q))=p=mdq/dtを

用 いて

(27) した が って 第25講(28)に

よ りQEに

共 役 な 正準 変 数 は-t+定

数 で あ る.

こ の変 換 を 形 式 的 に表 現 して み よ う.母 関 数 は (28) 正 準 変 換 は(29)

(30) (31)

こ こ で∂p=∂E=1/(∂H,/∂p)=1/(dq/dt)=dt用

い た.〓dt=Tは

周 期 でる.

ポ テ ン シ ャ ル ±e-q １.ポ

テ ン シ ャ ルe-qの

作 用 を 受 け る運 動 (32)

を 考 え よ う(図89).エ

ネ ル ギ ー結 合 は (33)

こ れ か ら積 分 公 式 を 利 用 し て

図89

(34) を 得 る.書

き 直 す と解 は

(35)

こ こ で√E=P,√Et=Q/2と

おいてみ ると

(36)

と な り,(33)は (3 7)

とな る.こ こでＱ,Ｐ が 正 準 変 数 で あ る と仮 定 して正 準 運 動 方 程 式 をつ くる と

(38) と な り,(36),(38)は

解(35)を

与 え る.し

た が っ てＱ,Ｐは

た しか に 正 準変 数

で あ る. 正 準 変 換(q,p)→(Q,P)が

母関数

(39) か ら導 か れ る こ と は 容 易 に 示 さ れ る(Q=∂WPP/∂P, q=一∂W〓p/∂p). 2.ポテン

シ ャ ル-e-qの

作 用 を 受 け る運 動(図90)

(40) エ ネ ル ギ ー積 分 は

(41)

図90

E <0の

と き積 分 す る と

(42)

を 得 る(t∞=4π/√-2Eに

お い てq=±∞

に な る).こ

こで

(43)

と お く と,Ｑと,Ｐ

は 正 準 変 数 で あ る.(q,ρ)→(Q,P)の

変換の母関数は (44)

か ら導 か れ る.な

お こ の 場 合 ハ ミル トン 関 数 は (45)

と な る.

Tea

Time

尺度 変 換 正 準変 換 の特 徴 の １つ は 位相 空 間 の体 積 が 変 わ らな い とい うこ とで あ る

.す な

わち 正 準 変 換 を(q,p)→(q',p')と

す る と位 相 空 間 の 素 体 積 は 不変 で

が成 り立 つ. い ちば ん 簡 単 な変 換 は尺 度 変 換

で あ る.こ

の と きdq'dp'=dqdpで

あ る ば か りで な く

が成 り立 つ.正 準 変 換 に お い てｑ 座標 をａ 倍 す れ ば ,ｐ 座標 は 必然 的 に1/a倍 れる.a=1は 恒 等 変 換 であ る. 例 と して 単振 動 を と り

とす る と,正 準方 程 式 は

さ

とな る.こ

こで 正 準 尺 度 変 換

を行 うと

とな り,正 準 運 動 方 程 式 は (＊) とな る.こ こでｔ とＨ に関 す る尺 度 変 換

を 行 う と,ハ

ミル トン 関 数 は

とな り,正 準運 動 方 程 式(＊)は

と書 け る.こ の ことは 時 間ｔ と エ ネル ギ ーＨ も共役 な 正 準 変 数 と し て 正 準 尺 度 変 換 され る こと を意 味 し てい る.こ れ は単 振 動 に 限 らず,一 般 に 時 間 をａ 倍 す る 尺 度 変 換τ=atを

行 えば 正 準 共役 な エ ネ ル ギ ーは〓=H/aに

と き正 準 方 程 式 は不 変に 保 たれ る):

変 換 さ れ る(こ の

第28講 断

熱

定 理

―テー マ ◆糸 の長 さを変え るときの振動 の変化 ◆作用変数 と断熱定理 ◆ Tea Time:断 熱変化

糸 の 長 さ が 変 わ る 振 り子 振 幅 が小 さい振 り子 の糸 の 長 さが一 定 の速 さで変 わ る場 合 は厳 密に 解 く こ とが で き る.今 回 は この テ ー マか ら入 っ て振 動 の条 件 が ゆ っ く り変 わ る と きに 成 り立 つ 断 熱 定理 と呼 ばれ る もの に つ い て も述 べ る こ とに し よ う. 振 幅 が小 さい振 り子 の糸 の 長 さが変 わ る場 合 の運 動 方 程 式 は 第10講 この力 学 」 に お い て 導 い た式((３))でsinθ

(１) と書 け る.こ

「ぶ ら ん

を θで置 き換 え て

こ で 糸 の 長 さ が 一 定 の 速 さａ で 変 わ る と し て (２)

と お く.(１)は

(３) と な る.こ

このとき

れ は べッ セ ル(Bessel)関

関 数J1とN1,を

用 いれ ば

数 を 用 い て 解 け る.独

立 な ２ つ の べッ セ ル

(４) と 書 け る の で あ る.こ 係 は(２)で

こでc1とc2は

初 期 条 件 で 決 ま る 定 数 で あ る.時

間 との 関

与 え られ て い る.

さ て,糸

の 長 さ が ゆ っ く り変 わ る 場 合 はa2《glで

の 変 数2√/gl/a2は

非 常 に 大 き い の で￨z￨》1の

あ るか ら上 の ベ ッ セ ル 関 数

と き の漸化式

(５)

を 用 い る こ とが で き る.あ る時 刻t1の 近 くで は

(６)

とお け る か ら,(４)は

この と き (７)

と な る.Ａは (７)か

初 期 条 件 で 決 ま る 定 数 で あ る.

らわ か る よ うに,糸

の 長 さ が ゆ っ く り変 化 す る 場 合 は,振

り子 は 糸 の

長 さ が 各 瞬 間 の 糸 の 長 さl1,で 与 え られ る 角 振 動 数 (８) で 振 動 し,そ

の 振 幅 はl13/4に 反 比 例 し て 変 化 す る.し

た が っ て振 動 の エ ネル ギ ー

Ｅは (９) と な っ てl11/2,あ

る い は 角 振 動 数 ωに 比 例 す る.ゆ

えに

(10)

が 成 り立 つ.こ

こでＥ は振 り子 の エ ネ ル ギ ー で あ っ て,糸

の長 さ の 変化 に よ り

振 り子 の お も りの平 均 の 高 さが変 わ る た め の位 置 エ ネ ル ギ ー を含 ん で い な い こ と

を注 意 してお こ う. 断 熱 定 理 １次 元 の周 期的 な運 動(単 振 動に 限 らない)に

お い て 座 標 をｑ,運 動 量 をｐ,

エ ネル ギ ー をＥ とす る.運 動 量 をｑ とＥ の関 数 と してp(q,E)と

書 き,１ 周 期に

ついての積分

(11)

を 作用 変 数 とい う(第27講 面(位 相 平 面)内

参 照).こ

れ は(q,p)

の軌 道 が 囲 む 面 積 とし て

(12)

図91

の よ うに 表 す こ と も で き る(図91).こ 動 の 折 り返 し 点 をq1,q2と

こ でＨ は ハ ミル トン 関 数 で あ る.ま

た運

すれ ば (13)

と も書 け る(J>0と 体 系 が 糸 の 長 さ,力

約 束 す る). の 定 数 の よ うな パ ラ メ タ(外

部 変 数)ａ

を 含 む と き はＪ は

Ｅ とａ の 関 数 と し て (14) な ど と 書 く. 【断 熱 定 理 】

パ ラ メ タａ が ゆ っ く り変 化 す る と き,振

や エ ネ ル ギ ー は 一般に 変 化 す る が,作

動 の 様 子 は 変 わ り,振

用 変 数Ｊ は 一 定 で 変 化 し な い.式

で 書 くと

(15)

これ を 断 熱 定 理 と い う. 【略 証 】 体 系 の エ ネ ル ギ ーＥ を

幅

(16) と す る.パ

ラ メ タａ を 少 し変 化 さ せ た と きp(q,E,a)もJ(E,a)も

少 し 変 わ る.

そ の 変 化 を δJと す る と (17) し か し 折 り返 し 点q1,q2に

お い てp=0で

あ る か ら(17)右

辺 の 第 ２,第

３項 は ０

で あ る. p2=2m(E-U(q

,a))で

あ る か ら2p∂p/∂E=2m,お

よ びp=mdq/dtを

用 い

て (18) し た が っ て,(17)右

辺 の 第 １の 積 分 は (19)

ま た,2p∂p/∂a=-2m∂U./∂aで

あ るか ら (20)

し た が っ て(17)右

辺 の第 ２の積 分 は (21)

こ れ ら の 式 か ら(17)は (22) し か るにE=p2/2m+U(q,a)に

よ りδE=(∂U/∂a)δa,し

第 １の 積 分 と第 ２ の 積 分 は 打 ち 消 し 合 っ て,δJ(E,a)=0あ

た が っ て(17)右 る い はdJ/dt=0と

辺 の な

る.

調 和 振 動 子 の 場 合

振 り子 の 糸 を 短 くす る 場 合 を さ き に 考 察 した が,こ を 変 え る 例 で あ っ た. 調 和 振 動 子(単

振 動)の

エ ネ ル ギ ーは

れ は 調 和 振 動 子 の パ ラ メタ

(23) 位 相 空 間 に お け る軌 跡 はｑ 軸 半 径 が√2E/ｍ り,こ れ が 囲 む 面 積 は 第27講

ω2,ｐ 軸 半 径 が√2mEの

楕 円で あ

で もす で に述 べ た よ うに (24)

すなわち (25) これ が調 和 振 動 子 の作 用 変 数 で あ り,糸 の長 さを 変 え た と き に(10)の

よ うに

E/ω が一 定 に 保 た れ る のは,断 熱 定 理 の 一 例 で あ る. 断 熱 定 理 の そ の他 の例 １.【 自由 質 点 】q=0,Ｌ

に 壁 が あ り,こ れ らの間 を質 点 が往 復 す る.t=0に

お け る質 点 の 速 さをｖ と し よ う.q=Lの る と,質 点 は 壁 に 衝 突 す る こ とに2uだ る時 間dt=dL/uの

壁 は ゆ っ く り動 き,そ け 速 さ が 減 る.Ｌ

間 に 質 点 はvdt/2L=vdL/2uL回

の 速 さ をｕ とす

が微 小 量dLだ

け変 わ

だ け 往 復 し,こ の 間 の速 さ

の変 化 をdvと す れ ば (26) この場 合 の作 用 変 数 はJ=2pL=2mvLな

の で,上 式 に よ り (27)

した が ってJ=一

定 で あ る.

２.【 等速 円運 動 】 長 さａ の糸 に お も りを つ け,他 端 を 固 定 して 円運 動 を させ る.糸 は お も りf=mv2/aの向 け 短 くす る と,仕 事-fdaだ

心 力 を及 ぼす.糸

の長 さ を ゆ っ く りと-daだ

け のエ ネル ギ ーが お も りの 回転に与え

られ る.し

た が って (28) これ を書 き直 せ ばdv/v=-da/aと v・E2πaであ るか らdJ=0.し

な りva=一

定.他 方 で この場 合 の 作用 変 数 はJ=m

た が って 作 用変 数 は変 化 し な い.

Tea

Time

断熱 変化 質 問  熱 現 象 を考え て い る ので もな い のに 「断 熱 定 理 」 な ど といわ れ る と少 し と ま ど って し ま うの です が,熱 力 学 な どで い う断熱 変 化 と ど うい う関 係が あ る の で し ょ うか. 答  断 熱 とい うの はadiabatieの

訳 で す が,と

くに熱 現 象 に 限 らな いで,不

規則

な擾 乱 の な い変 化 をい うわ け で す.熱 現 象 で は熱 的 な,す なわ ち容 器 な どの 分 子 に よる不 規則 な擾 乱 の ない 変 化 が 断 熱 変 化 で す. こ こで い う断 熱 定 理 も不 規 則 な擾 乱 の な い変 化 の場 合 に 作 用 変 数Ｊの 変 化 が な い こ と,す なわ ちdJ=0で

あ る こ とです.熱 現 象 で はdJ=0の

変 化 を考 え る こ と

に よ って体 系 に 与 え られ る力 学 的 な 仕 事 を計 算 で き る.わ か りや す い１ 次 元 の気 体 を た と え ま し ょ う.長

さｌ の箱 の 中 に入 っ て い る 気 体 の 分 子 の 速 さ をｖ とす

る.左 方 の壁 が ピス トンで あ っ て速 さｕ で 動 い て い る とす る と,こ れに 分 子 が ぶ つ か る と跳 ね返 った と きに は 速 さがv+2uに

な る.し た が って分 子 の 質 量 をｍ と

す る とそ のエ ネル ギ ー の 増 加 は (＊) とな る.ピ ス トンの 速 さｕ が 小 さい とす る と分 子 の速 さ は ほ と ん どｖ でdt秒 間 に 箱 の 中 をvdt/2l回

往 復 す る ので,そ

のエ ネル ギ ー の 増 加 は(u《vと

して(＊)

の右 辺 の第 ２項 のu2の 項 を無 視 し て)

とな る(こ こでdl=udtはdt秒

間 の箱 の 長 さ の減 少).箱

の 中 にＮ 個 の分 子 が あ

る と し,気 体 の 圧 力 をＰ とす れ ば,ピ ス トンに よ る圧 縮 の 仕事 は

これ か ら圧 力 は

と計 算 され る.こ れ は よ く知 られ た圧 力 と分 子 の速 さ と の間 の 関 係 式 で あ る． 他方 で,分 子 １個 の作 用 変 数 は,は

じめ は

であり,ピ

ス トン に １回 衝突 し た あ とで は 速 さがv+2uに

す る間 に箱 の長 さはl-dl(た

だ しdl=u2l/v)に

な り,分 子 が １回往 復

な って い るか ら

で ピス トンの 動 きが 遅 い とい う条 件 でu2の 項 を無 視 す れ ば

これ が 上 に述べ た気 体 の圧 力 の計 算 に対 応 す る力 学 的 な断 熱 定 理 で あ る. 熱 的 な場 合 に は気 体 の温 度 は断 熱 圧 縮 で な され た 仕 事 だけ 上 昇 す る が,気 体 の 温 度 が一 定 に保 たれ るな らば,こ れ だ け の エ ネル ギ ーは 容 器 の壁 の分 子 の擾 乱 に よ って 取 り去 られ る.そ の と き気 体 の分 子 の速 さは 少 し減 少 し作 用変 数Ｊ に 変 化 が 起 こる こ とに な る.こ の よ うに 熱 的 な擾 乱 が あ る と きは 断 熱 定 理 は 破 られ るわ け で あ る.

第29講 無限小正準変換 と括弧式

― テー マ ◆無 限小正 準変換 としての運動 ◆リゥ ビルの定理,正 準変換の不変量,括 弧式 ◆ Tea Time:統

計力学

無 限 小 変 換 と して の 正 準 運 動 方 程 式 正 準 運 動方 程 式 は(q,p)空

間 に お け る代 表 点 の 時 々刻 々 の移 動(流

す が,こ の流 れ はｑ とｐ の無 限小 変 換 に よ って 起 こ され,こ

れ)を 表

の変 換 の 母 関 数 はハ

ミルトン 関 数 で あ る.言 い換 えれ ば運 動 は ハ ミル トン関 数 に よ って起 こ され る位 相 空 間 の 中 の流 れ で あ る. 【証 明】 正 準 変 換(q,p)→(Q,P)に

お い てQ-q,P-pが

微 小 で あ る と き,

これ を 無 限 小 正 準変 換 とい う.こ の 変 換 の母 関 数 を (１) とす る.右 辺第 １項 は恒 等 変 換 の 母 関 数で あ り,ε は 無 限小 量 を 表 す．

(２)

の変 換 が 微小 時 間 ε=dtの 間 の移 動 を 表す とす る と

(３)

と な る.Ｐとｐ

の差 は 無 限 小 で あ るか ら,(３)の

も よ く,F(q,P)をF(q,p)で 関 数H(q,p)で

第 ２式 でＰをｐ

置 き換 え て も よ い.さ

置 き換 えれ ば(３)は

で 置 き換 え て

らにF(q,p)をハ

ミルトン

正 準 運 動 方 程 式 と一 致 す る.

リゥビ ル の 定 理 位 相 空 間 の中に一 様 に分 布 した代 表 点 の集 ま りを考 え,個 々の 代 表 点 は正 準運 動 方 程 式 に 従 っ て運 動 す る とす る.こ の と き代 表 点 の集 ま りの密 度 は 時 間 が た っ て も変 わ らな い.す なわ ち代 表 点 の集 ま りは 位 相 空 間 の 中 で 非 圧 縮 性 流 体 の よ う に 運 動 す る.言 い換 え る と位相 空 間 の 任 意 の 領 域 は 時 間 と と もに正 準方 程 式 に よ っ て移 動 す る が,そ

の 体積 は時 間が た って も一 定 に 保 た れ る.こ れ をリゥ ビル

(Liouville)の 定 理 とい う.こ こで 位 相 空 間 の 体 積 は (４) で あ る. 【例 】 簡 単 な例 を あげ る.す べ て 質点 の質 量 は １とす る. (１)自

由質 点.図92の

よ うに 領 域 は 平 行 に 移 動 す る だ け で面 積 は 明 らか に

不 変 で あ る. (２)等

加 速 度 運 動.図93に

お い てp(A).q(A)=0,p(A')=at,q(A')=

α t2/2で あ り,p(B)=o,p(B')=αt,q(B')=q(B)+αt2/2.ゆ

図92

え に ρ(A')=p(B'),

図93

q

(B)-q(A)=q(B')-q(A'),ま (D)')=Δp+at,ゆ とA'B'C'D'の

たp(C)=p(D))=Δpと

す る とp(C')=Δp+αt,p

え にp(C')-p(A')=p(D'))-p(B')=Δp.し

た が っ てABCD

面 積 は 等 し い.

【リゥ ビ ル の 定 理 の 略 証 】 Δpfを 考 え る.q1軸

小 さ な 立 方 体 の 領 域Δq1,Δq2,…,Δqf,Δp1,Δp2,…,

に 垂 直 な 面 の 面 積 はΔq2…Δqf,Δp1,…Δpfで

あ り,こ

の 面 をdt

時 間 に通 る代 表 点 の 数 は (５) で あ る.た

だ し こ こ で ρは 代 表 点 の 密 度 で あ る.ま

たq1+Δq1に

お け る平 行 な面

を 通 る 代表 点 の数 は (６) で あ る.こ

れ ら の 差 を つ くる と,流

れ 出 る代 表 点 の 数 は (７)

とな る.た だ し (８) は この 領 域 の体 積 で あ る.(７)と

同 様 な こ とは他 の面 に つ い て も い え るの で,

領 域 内 の 代 表 点 の 数ρΔτの 時 間 的変 化 の割 合 は (９) とな る.こ こで 正 準 運 動 方 程 式 に よ り(10)

(11)

なので (1 2)

を 得 る. 代 表 点 の 密 度 ρ(q,p,t)の

微 分 を つ く る と 一 般に

(13) で あ るが,代 表 点 の 流 れ につ い て い く と きは δqj/δtは 代 表 点 の 速 度qjに 等 し く, δpj,/δtはpjに 等 し い.し た が って (14) で あ り,(12)に

より (15)

す な わ ち,代 表 点 の流 れ に 沿 って い くと き,そ の 密 度 は 変 化 し な い.こ

れはま

た,こ れ らの 代表 点 を含 む 位 相 空 間 の 体 積 は 時 間 的 に 変 わ ら な い こ と を 意 味 す る. 【ヤ コ ビア ン】 代 表 点 の運 動 は ハ ミル トン関 数 に よ る無 限 小 正 準 変 換 を 繰 り返 し行 っ た もの と考 え る こ とが で き る.そ が 時 刻ｔ で(Q,P)に

こで代 表 点 のt=0に

変 わ った と す る と,(q,p)→(Q,P)も

こ とが で き る.こ の変 換 の際 の素 体 積dτ=dqdpの

お け る位 置(q,p) 正 準 変 換 と考 え る

変化は

(16) と書 か れ る.こ

こ で￨∂(Q,P)/∂(q,p)￨は

こ の 変 換 の ヤ コ ビ アン で あ る.し か し

リゥビル の 定 理 に よれ ば 素 体 積 は 不 変 で あ る か ら

(17) 一 般 の正 準 変 換

以上 の説 明 では 代 表 点 の 流れ を考 え た.し か し一 般 の正 準 変 換(q,p)→(Q,P) に お い て も変 換 のヤ コ ビアン は １,す な わ ち (18) で あ り,位 相 空 間 の体 積 は 不 変 で あ る.す な わ ち (19) が 成 り立 っ．

こ の よ う な 正 準 変 換 の 不 変 量 は い ろ い ろ 存 在 す る.1,2,…,ｆ 数r1,r2,…,rgを

の 中 か らｇ 個 の

取 り出 す す べ て の 方 法に つ い て 和 を つ く っ た 量 (20)

は 不 変 量 で あ る(g=fと

す れ ば(19)に

な る).と

くにg=2と

し た と き,２ つ

の パ ラ メ タｕ,ｖを 導 入 す る と不 変 量 は

(21) と書 け る.

括

弧

式

こ こで (22) を ラ グ ラ ン ジ ュ の 括 弧 式 と い い,こ

(23)を ポ アソン(Poisson)の

れ と関 係 の あ る式

括 弧 式 と い う.こ

れ らの 間 に は (24)

が成 り立 つ こ とが示 され る.し た が って一 方 の不 変 性 か ら他 方 の 不 変 性 が 導 か れ る. ポ ア ソン 括弧 式 を 用 いれ ば

(25)

が 成 り立 ち,括 弧 式 の不 変性に よ り一 般 に正 準 変 数 の 間 に

(26)

が成 り立 つ こ とが わ か る.ま た(26)が が証 明 で きる(証 明 は略 す).言

成 り立 て ば,Ｑ,Ｐ は 正 準 変 数 で あ る こ と

い 換 えれ ば(26)はＱ,Ｐ

が 正 準 変 数 で あ るた め

の 条 件 で あ る. ま たＡ,Ｂ,Ｃ

を 順 に 回 し た 項 の 和に つ い て 成 り立 つ 式 (27)

は ヤ コ ビ の 恒 等 式 と呼 ば れ る. ポ ア ソ ン 括 弧 式 を 用 い れ ば,正

準運 動 方 程 式 は

(28)

と書 か れ る.またＦ

をｑ,ｐ,ｔの 関 数 とす る と き

(29)

が 成 り立 っ. [A,B]=0で

あ る と き,Ａと

Ｂは 包 合に あ る と い う.

す なわ ちハ ミル トン関 数 と包 合に あ る時 間 を 含 ま な い 関 数 Ｇ は 保 存 量(積 分 と もい う)で あ る. 無 限 小 正 準変 換(２)を

行 った とき の ハ ミル トン関 数H(q,p)の

変化は (30)

し た が っ て関 数Ｆに よる無 限 小 正 準 変 換 がＨ を 変 化 さ せ な い と す れ ば[H,F] =0,し

た が ってＦ は不 変 量 で あ る.

【例 】(１)体

系 の ハ ミル トン関 数 が 並 進xj→xj+ε(j=1,2,…,f)に

対し

て不 変 だ とす る.こ の変 換 は εF=εΣρpjによ っ て行 わ れ るか ら Σpj(全 運 動 量) は 不 変 で あ る. (２)ｚ

軸 の まわ りの微 小 回 転xj→xj-εyj,yf→yj+εxj,に

対 して 体系の ハ

ミル トン関 数 が 不 変 で あ る とす る.こ の変 換 はF=∑(xjpyj-yjpxj)に わ れ るか らLz=Σ(xjpyj-yjpxj)(ｚ

軸 の まわ りの 角運 動 量)は

同 様 にLx=Σ(yjpzj-xjpyj),Ly=∑(zjpxj-xjpzj)も 運 動 量 の 保存 を表 す.

よ って行

不 変量 で あ る.

不変 量 で あ り,こ れ らは角

な お不 変 量(保 存 量)に つ い て はす で に第23講 で 述 べ てお い た.

Tea

Time

統 計 力学 運 動 は座標ｑ と運 動 量ｐ が 時 々刻 々変 化 して い く過 程 で あ るか ら,こ れ を 無 限 小 変 換 とし て み る のは きわ め て 自然 で あ る.気 体 を 考 え る と １個 の分 子 は 位相 空 間 の中 の １点 で 状態 が表 され,気 体 全 体 の状 態 は この よ うな 点 の 集 ま りで表 され る.こ の集 団 は 時 間 と と もに 移動 し うるわけ で あ るが,気 体 が 熱 的 な平 衡 状態 に あ る と きは 気 体 全体 の分 子 の集 団 の状 態 も定常 状態 に あ る と考 え られ る.気 体 の 全 エ ネ ル ギ ーが 狭 い範 囲E∼E+ΔEの 子 の集 団 は位 相 空 間 のE∼E+ΔEの

間 に 限 定 され て い る と きは,気 体 全 体 の分 範 囲 を 一 様 な 密 度 で 満 た して い る と考 え ら

れ る. 気 体 の 各 分 子 のか わ りに １つ の 物 質 を 考 え て も よ い.物

質 がＮ 個 の 原 子か ら

なれ ば,物 質 の状 態 はＮ 個 の原 子 の 座 標 と これ に 共 役 な運 動 量 と か ら な る 位相 空 間 の 中 の １点(そ の 物 質 の 代 表 点)で 表 され る.こ の 物 質 と ま った く同等 な物 質 を 多 数 考 えれ ば,そ の全 体 の 状態 は位 相 空 間 の 中 の 代表 点 の 集 団 と し て表 され る.物 質 の エ ネル ギ ーが あ る範 囲 に限 定 され て い る とす れ ば,物 質 の 熱 的 平 衡 状 態 に お い て は 物 質 を 表 す 代表 点 の集 団は エ ネ ル ギ ーが あ る範 囲 に限 られ た 位相 空 間 の 領域 を一 様 に 満 たす と考 え られ る.こ の よ うな 集 団に 対 して 統 計 的 方 法 を適 用 す る の が 統 計 力 学 の 方 法 で あ る.統 1844-1906)に

よ って 始 め られ,ア

計 力学 はボルッ

マ ン(L.Boltzmann,

メ リカの ギ ブ スに よ っ て大 成 され た.ア イン

シュタ イン も統 計 力 学 をギ ブス と独立に ほ とん ど完 成 して い る とい って よい よ う で あ る.

第30講 ハ ミル トン-ヤ コ ビの方 程 式

―アーマ ◆ ハ ミル トン-ヤコビの方程式 と運動 ◆ハ ミル トンの主関数 ◆ Tea Time:量

子力学への道

ヤ コ ビ の 積 分法 正 準 変 換(q,p)→(Q,P)は(q,p)空 と くにQ=定

数,P=定

数,す

間 の 運 動 を(Q,P)空

間 の 運 動 に移 す.

なわ ち運 動 が 静止 して みえ る位相 空 間 を 見 い だ す

こ とが で き る.こ の変 換 の 母 関 数 を (１) とす る.ハ

ミル トン 関数 はＨ か らＫ に変 換 され (２)

で あ る.こ こでＱ とＰ は 定 数 で あ るか らＫ はｔ だ け の関 数 と な るが,Ｗに なｔ だけ の関 数 を付 加 す る こ とに よ ってK=0と 変 換 の母 関 数 は した が って(３)

す る こ とが で き る.こ

適当

の よ うな

を 満 た す.こ

れ を ハ ミル トン ーヤ コ ビ の 方 程 式 と い う.Wは

ハ ミル トン の 主 関 数

と 呼 ば れ る. (3)はf個

の 独 立 変 数q1,q2,…qfとt,す

偏 微 分 方 程 式 で あ る.独 分 と い う(偏 れ ば,一

の独 立 変 数 を含 む

立 変 数 の 数 だ け の 定 数 を含 む 偏 微 分方 程 式 の解 を完 全 積

微 分 方 程 式 の 一 般 解 は 任 意 関 数 を 含 む が,偏

微 分方 程 式 の理 論 に よ

般 解 は 完 全 積 分 を も と に し て 構 成 す る こ と が で き る.ま

解 は 必 要 で は な い).独

立 変 数 の 数 だ け の 定 数 αj(j=1,2,…

換 され た 運 動 量Pj(j=1,2,…

，f)とWの

ハ ミル トン ーヤ コ ビ の 方 程 式(3)はWの f+1個

な わ ちf+1個

の 定 数 の1つaf+1はWの

a1,a2,… ，afと し,(3)の

，f+1)は

定 数 に変

付 加 定 数 と に 相 当 す る, 微 分 係 数 だ け を 含 む か ら,完

た ん な る 付 加 定 数 で あ る.他

のf個

全解 の

の定 数 を

完全解 W=W(q1,…

が 求 め られ れ ば,運

た こ こで は 一 般

，qf,t，a1,…,af)+af+1(4)

動は

(5)

に よ っ て 決 定 さ れ る(ajは(1)の と くに ハ ミル トン 関 数Hがtを

運 動 量Pjに,βj,は

座 標Qjに

陽 に 含 ま な い 場 合 は,Hは

相 当 す る).

エ ネ ル ギ ーEに

等

し く

(6) と書 き換 え れ ば,(3)は

(7)

と な る.こ

れ も ハ ミル トン ーヤ コ ビ の 方 程 式 と 呼 ば れ る.こ

.Eは 完 全 解 が 含 む 定 数a1,a2， … ，afの 中 の1つafと

の場 合,エ

ネル ギ ー

す る こ と が で き る.し

たが

っ て(6)のSは

(8)

と 書 か れ,運

動 は(５)と(６)か

ら

(９)

によ っ て 決 定 さ れ る.Ｓ 【例 】 単 振 動.質

を ハ ミル トン の 特 性 関 数 とい う.

点 の 質 量 を１ とす る と,ハ

ミル トン 関 数 (10)

に 対 す る ハ ミル トン‐ヤ コ ビ の 方 程 式(７)は (11) と書 け る の で,dS=√2E一

ω2q2と

な り,積 分 し て (12)

こ の 完 全 積 分 の 含 む 定 数 はＥ で あ る.し βにょっ て 運 動 が 定 ま る.こ

た が っ て(９)の

最 後 の 式∂s/∂E=t+

こで (13)

し たが っ て (14) これ は た し かに 単 振 動 で あ る.

１個 の 質 点 の 運 動

平 面 上 の １個 の 質 点 を 考 え,そ

の ハ ミル トン 関 数 を (15)

と す る と,ハ

ミル トン‐ヤコビ の 方 程 式(７)は (16)

と な り,こ

の方 程 式 の解 は (17)

と 書 け る.速

度 の 成 分x=px,y=pyは(９)か

ら(q1=x,q2=y)

(18)

によっ て 与 え られ る.(９)の

残 る２ 式 (19)

は初 期条 件 を与 え る. 運 動 の軌 道 の接 線 の 方 向 は(18)か

ら (20)

にょっ て 与 え られ るが,こ れ はS=一

定 の 曲 線 に垂 直 で あ る.こ

れ は次 の よ うに

証 明 され る. 【証 明】 図94に

お い てAQBはS=一

定 の 曲 線 の 微 小 部 分 で あ り,PAはｘ 向,PBはｙ

方 向 に あ る と す る.ま

はＱ か らPAに

方 たＲ

お ろ した 足 で あ る.Ｐ 点 と

AQ B上 の点 とのＳ の差ΔSと

す ると (21)

こ こ でPQの

方 向(S=一

定 の 曲線 に 垂

直 〉はΔy/Δxに よ って与え られ るが,３ 角 形PABと３

角形RQPは

図94

相 似 で あ るか ら,

(22) こ こ で(21)と(20)を

用 い れ ば(23)

し た が っ て 運 動 の 軌 道 はS=一

定 の 面に 垂 直 で あ る.

こ の こ と は 次 の よ う に 示 す こ と も で き る.S=一 (接 線)δx,δyを

定 の 曲 線 に 沿 った 微 小 な線 分

とれ ば (24)

これ と(20)と

か ら (25)

こ の 式 の 左 辺 は ベ ク トル(δx,δy)と(dx,dy)と

の ス カ ラ ー 積 で あ り,こ れ が０

で あ るの は これ らの ベ ク トル が た が いに 垂 直 で あ る こ と,す な わ ちS=一

定 の 曲線 と軌 道 とが た が

い に垂 直 で あ る こ とを 表 して い る. こ の証 明 の しか た は ３次 元 の運 動に つ い て も適 用 で き,運 動 の軌 道 は 図95の

よ う に,S=一

定

の 曲 面 群 に 常 に 垂 直 で あ る こ とが わ か る.こ こで 図95

と書 き,こ

のベク

(26) トル をＳ の 勾 配 とい い,∇Sあ

る い はgradSと

書 く.∇Sの

大

き さは (27) で あ り,S=一

定 の 曲 面 に 垂 直 な 単 位 長 さ の ベ ク トル(法

線)をｎ

と書 け ば (28)

で あ る.

Tea

Time

量子力学への道 よ く知 られ て い る よ うに量 子 力 学 が 定式 化 され た と きは,解 析 力学 が い ろ い ろ

の 方 面 で 役に 立 っ た.プ あ る 量(プ

ラ ンク(M.Planck,1858-1947)は

ラ ン ク 定 数)ｈ

振 動 子 の作 用変 数 が

の 整 数 倍 に 限 ら れ る と し た.す

と し て 振 動 子 の エ ネ ル ギ ー が 不 連 続 な 値nhv(ｖ

なわ ち

は 振 動 数)で

あ る こ と を導 い

た. ボ ー ア(N.Bohr,1885-1962)は

古 典 力 学 の連 続 変 数 に対 す る式 を差 分 化 し た

式 を 考 え る対 応 原 理 を 指 導 原 理 と し て 古 典 力 学 と 量 子 力 学 の間 の 橋 渡 し を し よ う と し た.ハ

イゼン ベ ルグ(W.Heisenberg,1901-1976)な

ど は こ れ を 発 展 させ

て マ ト リ ッ ク ス を 用 い た 量 子 力 学 を 樹 立 し た. ド ・ ブ ロイ(L

.deBroglie,1892-1987)は

考 え は ア インシュ 1887-1961)の

タ イン

の 光 量 子 説 とシュ

粒 子 が 波 動 性 を も つ と考え,こ レ ー デ ィンガ

波 動 論 的 な 量 子 力 学 へ と発 展 し た.こ

ー(E.SchrSdinger,

の と き 粒 子に 対 す るハ

トン-ヤ コ ビの 方 程 式 と 波 動 光 学 と の 類 似 が 注 目 さ れ た し,波

の

ミル

動 力学 が 古 典 的 極

限 で ハ ミル トン-ヤ コ ビ の 方 程 式 に 一 致 す る こ と も 示 さ れ た. デ ィ ラ ッ ク(P.A.M.Dirac,1902-1984)は 応 す る 関 係 式(交

換 関 係)を

古 典 力 学 の ポ ア ソ ン括 弧 式 に対

も とに し て 量 子 力 学に一般

的 な 視 野 を 与 え た.

この よ うに して 量 子 力 学 は 古 典 力 学 の解 析 力 学 を 踏 み 台 と して 建 設 され た ので あ る.量

子 力 学 と い う １つ の 山 に 登 る の に い くつ も道 が あ っ た と い う こ と も 興 味

深 い 事 実 で あ る.

索

引

極 座 標  101 ア

行

カ

行

ア インシュ タ イン  187

解 析 力 学  152,193

圧 力 の単 位  27 アーべ ル  72

回

平 面 の― 

101

曲 面 論  142

転  28 ―す るひ も  73

―の問 題  86

グラ デ ィエント  146

―の運 動 エ ネ ル ギ ー  29

ク ー ロン  18

―の運 動 方 程 式  34

ア ル キ メデ ス ２,15

―の法 則  18

―の エ ネ ルギ ー  31 位 相 空 間  44,154,182,187

虫 が歩 くと きの 円 板 の―

結 合 定 数 48

位 置 エ ネ ル ギ ー  23,25

 38

ケ プ ラ ー  107,123

位 置 ベ ク トル ４ 一 般 の座 標  132

回 転半 径  31

―の3法 則  107

ガ ウ ス  72

―の方 程 式  115

角 運 動 量  35 運 動 エ ネ ル ギ ー  23 回 転 の― 

29

運 動 方 程 式  22 ―の積 分  154 回 転 の― 

34

運動量 ―の 保存  136 広 義 の― 

ケ プ ラ ー運 動  108

―の保 存  137

減 衰 振 動  41

―の保 存 の法 則  35

懸 垂 線  14,84

惑 星 の― 

角 運 動 量 に対 す る―  36 ハ ミル トン の―  152

―の方 程 式 の解 法  117

―に対 す る運 動 方 程 式  36

39

角 振 動 数  41

広 義 の運 動 量  149,152

角 変 数  167

広 義 の座 標  132,152

過 減 衰  42

向心衝 突  94

加速(ロ

剛

ケ ッ トの)  100

荷電 粒 子  145

149,152

電 磁 場 中 の― 

145

ガ リ レ イ  16,26,32

運 動量 保 存 の 法則  93

ガ リレ イ変 換  98 永 久運 動  ６ エネルギー

慣 性 モ ー メン ト 31 完 全 楕 円積 分  67,69 第 １種 の― 

71

―の 保 存  133

第 ２種 の― 

71

30

完 全 非 弾 性 衝 突  95

配  193

転 が り摩 擦  18 コワ レ フス カヤ  142 ―の コマ  142 サ

円 柱 に か け た ひ もの 摩 擦  18 オ イ ラ ー の方 程 式  83,144 オ イ ラー-ラグランジュ

行

サ イ ク ロ イ ド 81 サ イ ク ロ イ ド振 り子  90

遠 心 力  55

式  83

勾

完 全 弾 性衝 突  95

31

重 心 運 動 の― 

恒 等変 換  158 コリ オ リ力  55

―の 単 位  27

回 転 の― 

体  10

公 転周 期  111

の方 程

気

圧  27

最 小 作 用 の 原 理  143

軌

道  44

最 速 降 下 線  79

ギ ブ ス  11,187 キャベ ン デ ィッ シ ュ  113

最 大 静 止 摩 擦 力  17

強 制振 動  51

作 用 積 分  143

共

作 用 線(力

鳴  53

坂 道 を こ ろが る球  32

の)  ３

中心 力  39,104,109

作 用 反 作 用 の 法則  137

線 形 代 数  11

作 用 変 数  166,176,193

線 形 方 程 式  40 月

ジェル マ ン  142 仕

―の軌 道 半 径  114

速 度 合 成 則  98

―の質 量  114

事  7,24 タ行

―の 単 位  27

釣 り合 い ―の条 件  10

仕 事 率 の 単 位  27

対 応 原理  193

実 体 振 り子  68

対 称性  140

質

体 操 選 手 の 演 技  37

吊り橋 の形  14

代 表 点  44,182

つ る巻 きば ね  53

量  99 ―の保 存  97 太 陽 の― 

114

地 球 の― 

―の 集 団  187

114

月 の― 

力 の― ２,５

太

陽

114

抵

―と地 球 と の距 離  108

尺 度 変 換  172

―の質 量  114

抗  41 ティコ ・ブ ラーエ  107,123

デ ィラ ッ ク 193

斜

面  25

太 陽 系  113

重

心  29

楕 円関 数  67,69,72

て この原 理  ４

楕 円軌 道  110,120

電 気振 動  45,58

重 心 運 動  28 ―の エ ネル ギ ー 30

楕 円積 分  67,69,72 第 １種 の― 

71

第 ２種 の― 

71

自由 落 下  23,32 シュ レ ーデ ィソガ ー  193 単

循 環 座 標  166 衝

デ カルト  26

等 加 速 度 運 動  23

位

等 価 振 り子 の長 さ  68

圧 力 の― 

突  93 斜 め の― 

天文 単 位  114

27

統 計 力 学  187

エ ネル ギ ーの― 

95

仕 事 の― 

振 動 数  41

カ の― 

動 摩 擦 係 数  18ド ・プ ロイ  193

27

27

ス カ ラ ー  ５

探 査 衛 星  112

ス カ ラ ー積  ８

単 振 動  40,166

ス ケ ー タ ー  36

共 振 れ  50 トラジェクトリ 

外 力 の加 わ っ た― 

ステビソ  ６

同 次 方 程 式  44

27

佳 事 率 の―  スウィソグ ・バ イ  112

27

断 熱 定理  176,179

内

単 振 り子  65

な わ とび の ひ もの形  73

―の値  20

カ

正 準運 動方 程 式  149,186 ハ ミル トン の―  149

―の 作 用 線

正 準 共役  149

―の 釣 り合 い  2,5

２重 振 り子  132 ニュー トン  26

―の分 解 ・合 成  ６―

―の母 関 数  156

のベクrル 

―の 例  165

３―

のモーメソト 

静 力 学 ２,15

地 12

8,9,35

球 ―の軌 道 の 長 半径  114 ―の 質 量  114

分  186 運 動 方 程 式 の― 

３

―の 単 位  27

正 準 変 換  149,152

ひ も の― 

力  35

なめ らか な斜 面  25

静 止摩 擦 係 数  17

積

行

ナプラ  146

断 熱 変 化  179 静止 摩 擦  17

ナ

44

44

154

―の 赤 道 半 径  114

ネ コ の着 地  37 ネータ ー  142 ―の定 理  139 熱  27 熱 力学  179

ベッセ ル  118 ハ

行

日的 論  147

ベ ッセ ル 関 数  116,118,174

ハ イゼン ベ ルグ  193

ベ ル ヌー イ 79

は ね 返 り係 数  95

変

ハミノレトン  11

ヤ行

位  ４

変 分学  83

―の 運 動 方 程 式  152

ヤ コ ビ  72 ―の 楕 円 関 数  67,69

変分 原 理  147

ヤコ ビ アン  184

―の 原 理  143 ―の 正 準 運 動 方 程 式  149

ボ ー ア  193

ハ ミル トン関 数  149,150

ポ アソン の括 弧式  185

ハ ミル トン-ヤ

ポ アンカレ 変 換  165

コ ビ の方 程 式

 189

ホイヘンス 91

パ ラ メタ励振  63

包

反 発 係 数  95

母 関数  153

母

万有 引 力 の 法 則  109

―の運 動方 程 式  132,144,

156

数  67

ラプ ラス ・ベ ク トル  125

保 存量  186

非 弾 性衝 突  95

保 存力  25

非 同 次項  44

ボ ーデ の 法則  113

リゥ ビ ル の 定理  182

ポ テ ン シ ャル  25 ボルツ マ ン  187 マ

行

マ クス ウ ェル  11

ぶらん この 運 動  54

摩 擦(円 174

力 学 的 エ ネ ル ギ ー  23 ―の 保 存  25 離心率  111,114

プ ラ ンク  193

振 り子  103

―の括 弧式  185 ラグラ ンジュ 関 数  132,143,150

保 存則  136

プ ラ ン ク定 数  193

ラ イプニッツ  26

 152

光 の 速 さ  108

複 素 共 役  42

ラ行

ラグランジュ

合  186

正準 変 換 の― 

万 有 引力 定 数  109,113

糸 の 長 さが 変 わ る― 

モ ー メ ン ト(力 の) ８,９,35

量 子 力 学  192 ル ジ ャ ン ドル 変 換  151,162

柱 に か け た ひ もの) レ オナ ルド・ダ・ヴィンチ 

 18 摩 擦 力  17,20

レ ーマ ー  108

マ シュ ー方 程 式  62

連成 振 り子  48

平 行 ４辺 形 の法 則  ３

無 限 小 正 準 変 換  181,184

ロ ケヅト の加 速  100

平 衡 の条 件  ６ ベ ク トル ４,11

面 積 速 度  39,103

振 り子 時 計  91 『プ リンキ ピア 』  26

力 の― ３ ベ ク トル 解 析  11 ベ ク トル積 ８,９

ローレンツ力  146

―の法則  105 面積 の法 則  105

ワ

行

惑 星の 運 動  107 惑星 の 諸性 質  114

６

著

者

 戸

由 盛

和

1917年 東京に生 まれる 1940年 東京大学理学 部物理学科卒業 現

在 東京 教育大学名誉教授 ノル ウ ェー王 立科 学 ア カ デ ミー会 員

 理学博士

物 理 学30講

シ リーズ １

一 般 力 学30講

定 価 は カバ ー に 表 示.

1994年

３月10日

 初版 第 １刷

2004年

８月10日

 第 ７刷

著 者 戸

田

盛

和

発行者 朝

倉

邦

造

発行所

 株式

会社 朝

倉

書

店

東京都新宿 区新小川町6-29 郵 便 番 号  162-8707 電 話

〈検 印省 略 〉

FAX

〓 1994〈 無 断 複 写 。転 載 を 禁 ず 〉

ISBN

4-254-13631-5

C3342

  03(3260)0141   03(3260)0180

平河工業社 ・渡辺製本.

Printed in Japan

物 理 学30講

シ リー ズ 〈 全10巻 〉

著者 自 らの 言葉 と表 現 で語 りか け る大好 評 シ リー ズ 戸 田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ2

流

体

力

学30講 A5判 

13632-3  C3342 

216頁 本 体3600円

流 体 力学 に続 くシ リー ズ 第3巻 で は,波 と非 線 形 問 題 を,著 者 自身 の 発 見 の戸 田格 子 を 中心 に解 説 。

戸田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ3

波 動 と 非 線 形 問 題30講 A5判 

13633-1  C3392 

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熱

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13634-X  C3342 

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戸 田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ5

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子

運

動30講 A5判 

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磁

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性

理

論30講

A5判 

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244頁 本 体3800円

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子

力

学30講 A5判 

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物

性

物

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理30講 A5判 

240頁 本 体3500円

戸田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ10

宇 宙 と 素 粒 子30講 13640-4  C3342 

多 くの親 しみや すい話題 と有名 なパ ラ ドックスに 富む流体力学 を縮 まない完全流体 か ら粘 性流体 に 至 るまて解 説。 〔 内容〕 球 形渦/渦 糸/渦 列/粘 性 流体の運動方程 式/ボ ア ズイユ の流れ/ス トー ク スの抵抗/ず りの流れ/境 界層/他

A5判 

212頁 本 体3800円

〔内 容 〕ロ トカーヴ ォ ル テ ラの 方 程 式/逆 双 対 格 子/格 子 のNソ リ トン解/2次 程 式/非 対 称 な 剛体 の 運 動/他

散 乱 法/ 元KdV方

熱 の 伝 導,放 射,凝 縮 等 熱 を と りま く熱 現 象 を熱 力 学 か ら て い ね い に展 開 し て い く。 〔内容 〕熱 力 学 の 第1,2法 則/エ ン トロ ピー/熱 平衡 の 条 件/ ミ クロ状 態 とエ ン トロ ピー/希 薄 溶 液/ゆ ら ぎの 一 般 式/分 子 の分 布 関 数/液 体 の 臨 界 点/他

〔 内容〕 気体 の分 子運動/初 等 的理論 への反省/気 体 の粘性/拡 散 と熱伝 導/熱 電効 果/光 の散乱/ 流体 力学 の方程 式/重 い原子 の運動/ブ ラウン運 動/拡 散方程 式/拡 散率 と易動度/ガ ウス過程/ 揺動散 逸定理/ウ イナー ・ヒンチンの定理/他 〔 内容〕 電荷 と静電場/電 場 と電荷/電 荷に働 く力 /磁 場 とロー レンツカ/磁 場 の中の運動/電 気力 線 の応力/電 磁 場のエネル ギー/物 質中の電磁場 /分 極 の具体例/光 と電磁波/反 射 と透過/電 磁 波の散乱/種 々のゲー ジ/ラ グラン ジュ形式/他 〔 内容〕 光 の速 さ/時 間/ロ ー レンツ変換/運 動量 の保 存 と質量/特 殊相 対論的 力学/保 存法則/電 磁場 の変 換/テ ンソル/一 般相対 性理論の 出発点 /ア インシュ タインの テンソル/シ ュ ワルツシル トの時空/光 線の湾曲/相 対性理 論の検証/他 〔 内容〕量子/粒 子 と波動/シ ュレーデ ィンガー 方 程 式/古 典 的な極限/不 確定性 原理/ト ンネル効 果/非 線形振動/水 素原子/角 運 動量/電 磁場 と 局所 ゲー ジ変換/散 乱問題/ヴ リアル定理/量 子 条件 とボア ソン括弧/経 路積分/調 和振動子他 〔 内容〕 水 素分 子/元 素の周期律/分 子性物質/ウ ィ グナー分 布関数/理 想気体/自 由電子気体/自 由電子の磁 性 とホール効果/フ ォ トン/ス ピン波 /フ ェル ミ振子 とボー ス振 子/低 温の電気抵抗/ 近藤効 果/超 伝導/超 伝導 トンネル効果/他 〔内容〕宇宙 と時間/曲 面 と超 曲面/閉 じた空間 ・ 開いた空間/重 力場の方程 式/膨 張宇宙 モデル/ 球 対称な星/相 対性理論 と量子力学/自 由粒 子/ 水素類似原子/電 磁場の量 子化/く り込 み理論/ ラム ・シフ ト/超 多時間理論/中 間子 の質量/他 上 記 価 格(税 別)は2004年7月

現在