は
し
が
き
ベ ク トル 解 析 とい う主 題 の も とで,ど の よ うな題 材 を 選 んで か い た ら よい の か とい う こ とは,私 に は予 想 してい た よ りは るか に難 しい 問題 とな っ...
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は
し
が
き
ベ ク トル 解 析 とい う主 題 の も とで,ど の よ うな題 材 を 選 んで か い た ら よい の か とい う こ とは,私 に は予 想 してい た よ りは るか に難 しい 問題 とな った.前 景 にお くべ き素 材 に は い くつ か の候補 が あ ったが,背 景 の色 調 が 決 ま らな い の で あ る. ベ ク トル解 析 とい う分 野 は,古 典 力学 や電 磁 気学 の理 論 の 中 か ら,3次
元ベ ク
トルの 解析 学 として,数 理 物理 学 の一 分 野 と して 誕生 して きた もの で あ る.そ れ は19世 紀 後 半 の こ と と思 う.こ の誕 生 の過 程 か ら生 じた 物理 的 雰 囲 気 の 中 には, 古 典的 な くす ん だ 色合 い が いつ まで も残 って い て,そ の こ とが ベ ク トル解 析 を 現 代 数学 の 明 るい 日差 しの中 に 取 り入 れ る のを,妨 げ て い た よ うに み え る.実 際, ふ つ うは,ベ ク トル解 析 の こ とは,い か に も取 り扱 い に くそ うに,微 積 分 の教 科 書 の 最 後 に付 録 の よ うにつ け 加 え られ てい る. この 古典 的 な 色 合 い を脱 した ベ ク トル解 析 の理 論 を新 た に 求 め る とした ら,一 体,ど の よ うな 方 向 を 目指 す べ き で あ ろ うか.解 析学 の 中 で,ベ ク トル 解 析 とし て独 立 に 取 り上 げ る よ うな も のが あ る のだ ろ うか.本 書執 筆 に 際 して,私 が 考 え なけ れ ば な らなか った の は この問 題 で あ った. 20世 紀 にな って,物 理学 は相 対 性理 論 や場 の量 子 論 を 生 んだ が,こ れ らの 中 に 盛 られ る数学 的 な形 式 は,単 に運 動群 で不 変 な ベ ク トル で は な くて,も
っ と一 般
の 座標 変 換 で不 変 で あ る よ うな物 理 量 が 取 り扱 え る もの が 望 まれ る よ う に な っ た.一 方,現 代数 学 の 中で も,微 分 幾 何学 や トポ ロジ ー の進 展 の 中か ら,一 般 の 座 標変 換 で不 変 で あ る よ うな 数学 的 な 対 象を 取 り扱 う場―
多 様 体―
が 登場 し
て きた.こ の歴 史 の 流 れ を見 て い る と,ベ ク トル 解 析を 支 え る背 景 の世 界 が変 化 して きた と考 え る方 が よい よ うであ る. 現 在 の 視点 に立 つ な らば,ベ
ク トル解 析 の主 題 は,一 般 の座 標 変 換 で不 変 で あ
る よ うな 解 析学 が 展 開 で き る よ うな,数 学 的 な形 式 を 確立 す る こ と と,そ の広 い 応用 を示 す こと にあ る と思 う.微 分 ・積 分 の 中で 用 い られ る形 式 は,座 標変 換 で
不 変 で あ る よ うには な って いな い.微 分 とい う演 算 は,も
とも と変 数 の取 り方 に
密 着 して い る.こ れ を,一 般 の座 標変 換 で 不変 であ る よ うな形 にか き直 す に は ど うした ら よいか. これ に対 す る現 代 数 学 の 与 えた 解答 は,多 様 体 や フ ァ イバ ー ・バ ソ ドル の理 論 構 成 の 中 に 見 出す ことが で き る.し か し,ベ ク トル 解 析 の中 に,こ の よ うな 広汎 な理 論 を 取 り込む の は適 当 で は ない.ベ
ク トル 解析 は,や は り微 分 ・積分 の延長
上 にあ るべ きだ ろ う.こ の 考え に立 ってみ た とき,現 代 数学 の視 点 と も合 致 す る もの として,微 分 形 式 の理 論 が あ る.私 は,本 書 の主 題 を,微 分 形 式 の初 等 的 な 入 門 にお い た の で あ る. 微分 形 式 の理 論 は,外 積 代 数,ま た は グラ スマ ン代 数 とよば れ て い る代数 的 構 造 の上 に構 成 さ れ て い る.こ の ため,一 般 の人 は な か なか 近 づ き に くい の であ る.私 は こ の外 積 代 数 の理 論 も,ま た そ の過 程 で 導 入 され る テ ン ソル代 数 の こと も,ベ ク トル解 析 の 一 部 と考 えて よい ので は ない か と思 い,本 書前 半 に,で き る だけ わ か りや す くか くこ とを試 み て みた.ま た 微 分 形 式 の導 入 も,古 典 的 な グ リ ー ンの公 式 や ガ ウスの 定理 の中 に ,す で に微 分 形 式 へ と移行 す る萌芽 が あ った と い うこ とを 示す よ うに表わ し てみ た.読 者 が,微 分 形 式 の 拠 って立 つ場 所 を一 望 の下 に見下 ろ す よ うな 地 点 に,少 しで も近 づ くこ とが で きれ ば よい が と望 ん でい る. 終 りに,本 書 の 出版 に際 し,い ろい ろ とお 世 話 に な った 朝倉 書 店 の方 々に,心 か らお礼 申 し上 げ ます. 1989年4月
著
者
目
次
第1講
ベ ク トル とは
1
第2講
ベ ク トル空 間
8
第3講
双対 ベ ク トル空 間
第4講
ベ ク トル空 間 の双 対 性
第5講
双 線 形 関数
16 23 30
第6講
多重 線形 関数 とテ ン ソル空 間
37
第7講
テ ン ソル代 数
45
第8講
イ デ ヤ ル
52
第9講
外 積 代 数
60
第10講
外積 代 数 の 構造
68
第11講 計 量 を もつ ベ ク トル空 間
77
第12講
正規 直 交 基 底
84
第13講
内積 と基 底
91
第14講
基底 の変 換
99
第15講
R3の ベ ク トル の外積
107
第16講
グ リー ンの公 式
114
第17講
微 分 形式 の導 入
122
第18講
グ リー ンの公 式 と微 分形 式
130
第19講
外 微 分 の不 変 性
139
第20講
グ リー ンの 公式 の不 変 性
148
第21講
R3上 の微 分 形式
156
第22講
ガ ウスの 定理
164
第23講
微 分 形 式 の引 き戻 し
172
第24講 ス トー クスの 定理
180
第25講 曲面上 の局 所 座標
188
第26講 曲面上 の微 分 形式
196
第27講
203
多 様 体 の定 義
第28講 余接 空 間 と微分 形式 第29講 接
空
間
第30講 リー マ ン計量
索
引
210 217 224
231
第1講 ベ ク トル と は
テ ー マ
◆ 風 向 き を表 わ す 矢 印 ◆ 高 速 道 路 の 自動 車 の 流れ を 示す 矢 印 ◆ 磁 石 の働 きを示 す 矢 印 ◆ 力学 とベ ク トル ◆ ベ ク トル の 和 とス カ ラー積 ◆ 抽 象 数 学 の 中で の ベ ク トル―
加法 とス カ ラー積 の 演算 だけ に注 目
◆ 線 形 代 数 とベ ク トル解 析
風向きを表わす 最近 に な って,天 気 予 報 の テ レ ビ画 面 で は,と き ど き風 向 きや 波 の高 さ まで 図 示 す る よ うに な って き た.「 明 日は,東
京 地方 は南 風,房
総半 島 南 部 では 南 東 の
風 が 吹 くで し ょ う」 とい う予 報 が伝 え られ る と同時 に,テ レ ビ画 面 に は 関東 地方 の 地 図 を示 した画 面 が現 わ れ て,東 京 には 南 か ら北へ 向か う矢 印を お くこ とに ょ って,館 山 の あた りに は南 東 か ら北 西 へ 向か う矢 印 をお くこ とに よ って風 向 きが 示 され て い る.各 地 の風 向 きが 一 目瞭 然 として,な か なか よい と思 う.夏 の暑 い 宵 な ど,画 面 を見 なが ら,あ のあ た りは北 か ら風 が 吹 き渡 って涼 しそ うだ,な ど と感 じてい る. しか し欲 を い え ば,風 向 き の強 さに よ って,矢 印 の長 さ も変 え てか か れ てい る な らば も っ と よい だ ろ う.風 速 に よ って矢 印 の長 さを調 節 す る.そ うす る と無 風 状 態 の と ころは,長 さ0の 矢 印―
点―
に よ っ て示 され る こ とに な るだ ろ う.
も っ とも テ レ ビを よ く観 察 したわ け で は な いか ら,あ る いは そ れ に近 い 工 夫 は, す で に な され てい るの か も しれ な い. 見 る方 の楽 しみ だ けか らい えば,雲 の流 れ を 人 工 衛 星か らの 画像 を 通 して動 的
図1
に見 せ て い る よ うに,1時
間 き ざみ で1日 の 風 の変 化 を,矢 印 の変 化 で示 して く
れ る とも っ と面 白 い と思 う. いず れ に して も,あ る地 点 で どれ だ けの 強 さ の風 が,ど の方 向 か ら吹い て くる かを 示 す に は,そ の地 点 か ら風速 に 比例 した 長 さ の矢 印 を,風 向 きの方 向 に地 図 に記 す の が 一番 適 し てい る. 図1で,そ
の よ うな風 を 示す 図を 描 い てお い た.こ の 図 で,東 京 と水戸 で は,
同 じ方 向 に 同 じ長 さ の矢 印 が 引か れ て い る.し たが って東 京 と水 戸 で は,同 じ方 向 に,同 じ風 速 の風 が 吹 い て い る こ とがわ か る.ま た,横 浜 と館 山 で も,南 の 方 か ら同 じ風 が 吹 い て い る.熊 谷 では,ほ
とん ど風 の ない状 態 とな って い る.
高速道路の車の流れ 高 速 道 路 を走 って い るた くさん の 自動 車 を考 え よ う.あ る時 刻 に おけ る,こ れ らの 自動 車 の流 れ と動 きを見 や す く表 示 す るため に は,そ の時 刻 におけ る各 自動 車 の進 む 方 向 に 合わ せ た,速
さに比
例 した長 さを もつ 矢 印 を,各 自動 車 に付 す と よい.図2で
は,こ の よ う
に して片 側2車 線 の 高 速道 路 で の 自 動 車 の動 きを 図 示 して あ る.内 側車 図2
線 を走 ってい る車 に 比 べ る と,外 側 車線 を走 って い る車 の ス ピー ドは落 ちて い る. この場 合 で も,2つ
の 自動 車 に対 して,同 じ長 さの 矢 印 が 同 じ方 向 に 向け て 引
か れ て い る とい うこ とは,そ の 時刻 で,2つ
の 自動 車 が,同 じ速 さ で,同 じ方 向
を 目指 して走 ってい る ことを意 味 して い る. 磁
力
線
同 じ よ うに矢 印 で示 され る もの と して,電 場 や 磁場 の強 さが あ る. 砂 鉄 を集 め て きて,紙 の上 に撒 い て,下 か ら磁 石 を あ て る とど うな るか とい う こ とは,誰 し も一 度 くらいは,子 供 の と き確 か め た こ とが あ るだ ろ う.あ るい は 小学 校 の理 科 の実 験 の とき試 み た こ とが あ るか も しれ な い.砂 鉄 は,磁 力 の 向 く 方 向に した が って並 び,全 体 とし て,1つ
の極 か ら他 の極 へ 向け て の流 れ の よ う
な パ タ ー ンを 紙 の上 に描 く.こ の流 れ は,磁 力 に よ ってつ くられ た磁 場 を示 して い る.お の お の の 砂鉄 の粒 に,そ
こに働 く磁 石 の 力 の 大 き さ に比 例 した長 さを も
ち,流 れ の 方 向 に走 る矢 印を 付 与す る と,こ れ らの 矢 印 の分 布 は,全 体 として 磁 場 を表 わ す ことに な る.矢 印を 十分 短 くか い て,順 次 結 ん で い く と,し だい に1 つ の流 れ を表 わ す よ うに な っ て くる.こ れ が,砂 鉄 の示 す 磁 力 線 とな る. この場 合,矢
印 は 砂鉄 に働 く磁 力を 示 してい る.
力 学 と ベ ク トル この よ うに,物 理 現 象 と して生 ず る さ まざ まな運 動 や 力を 記 述す る には,そ れ らを矢 印で―
一層 正 確 に は,向 き と方 向 と長 さを もつ 量 に よ って―
表 現す る
の が適 当 であ る場合 が 多 い. この よ うに,向 き と方 向 と長 さに よ って 決 ま る量 を ベ ク トル とい う.ベ ク トル の概 念 は まず 力学 の中 で誕 生 した.現 在,力 学 や 電磁 気 学 の教 科 書 を 見 る と,こ れ らの 理 論 は,ベ ク トル の概 念 を 積極 的 に用 い て展 開 され て い る こ とがわ か る. しか し,ベ ク トル 表 現が 力 学 に 用 い られ る よ うに な った の は,実 は そ う古 い こ と で は な く,歴 史 的 に は,1880年
頃 の ギ ブ ス(Willard
Gibbs)に
よる 力学 の 講 義
が は じめ ら しい とい う(『古 典 物 理学Ⅰ 』(岩 波講 座)). ベ ク トルの 概念 の重 要 さは,ま ず 力学 の 中 で実 証 され,そ れ が数 理 物 理 学 を 経 由 して,数 学 の 中 に流 れ 込 ん で き たの だ ろ う. 力学 が 明 らか に した こ とに よる と,2つ それ ぞれ1辺
の ベ ク トルxとyの
和 は,xとyを
とす る平 行 四辺 形 の 対 角 線 の表 わ す ベ ク トル と して定 義 す るのが,
最 も自然 な こ とで あ る とい うこ とで あ った.実 際,xとyが,あ を表 わ して い る とす る と,xとyを
る質点 に働 く力
同時 に この 質点 に 働か せ た ときの 力 は,こ の
対 角 線 の 表わ すベ ク トル とし て表示 され る. ま た ベ ク トルxを2倍,3倍,… る こ とは,こ
とす
の ベ ク トル の 向 き と方 向 を
保 っ た ま ま,長
さ だ け を2倍,3倍,…
と す る こ とが 最 も 自 然 の 解 釈 で あ り,ま た,−2倍,−3倍
と す る こ とは,ベ
トル の 向 き だ け 変 え て か ら,長 倍,3倍,…
とす る こ と が,最
ク
さ を2
図3
も 自 然 な 考 え で あ る こ と もわ か っ た.
抽 象 数 学 の 中 で の ベ ク トル 数 学 者 もは じめ の うちは,物 理学 者 と同 じ よ うに,平 面 の ベ ク トルや,空 間 の ベ ク トル を 考 え てい たが,や が て20世 紀 とな っ て,抽 象数 学,特 に抽 象代 数 学
の 考 え が 進 ん で く る と,ベ
ク トル とい う概 念 を,は
ま で 昇 華 し て し ま った の で あ る.数 加
学 者 は,ベ
るか に一 般 的 な数学 の対 象 に
ク トル の 中 に あ る 基 本 演 算
法:x+y
ス カ ラ ー 積:実
数α に 対 し て,xをα
倍 し て,αxを
つ く る演 算
だ け に 注 目 し た. そ し て,こ
れ ら の 基 本 演 算 が 図3の
象 も ひ と ま ず 忘 れ る こ と に した.こ で き る 演 算―
ス カ ラ ー 積―
よ う に 表 示 で き る と い う よ うな 直 観 的 な 表
の よ う に し て,加
法 と,実
数α に 対 し てα 倍
だ け が 許 さ れ る 抽 象 的 な 対 象 が 登 場 し て き た.こ
の 対 象 の 集 ま りを ベ ク トル 空 間 とい い,そ
の 元 を ベ ク トル と よぶ こ と に し た の で
あ る.も
くつ か の 関 係 が み た さ れ て い な くて は
ち ろ ん こ の 基 本 演 算 の 間 に は,い
な ら な い.こ
れ は 第2講
こ の よ うに,図3の る 考 え 方 を,ベ
で 述 べ る こ と に し よ う. よ うな2次
元,3次
元 に お け る直 観 的 な 表 示 を 用 い て 考 え
ク トル の 概 念 の 中 か ら取 り去 った た め,た
組(x1,x2,…,xn)も1つ
と え ば,実
数 のn個
の
の ベ ク トル 空 間 を つ くる と考 え る こ と が で き る よ うに
な っ た. x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn) に 対 し て,加
法は x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)
に よ り,ま た ス カ ラ ー 積 は,実
数α に 対 し て
α x=(αx1,αx2,…,αxn) と定 義 す る の で あ る. ベ ク トル の 許 す2つ
の 基 本 演 算,加
言 葉 で 引 用 され る よ うに な り,線 と き の,広
法 とス カ ラ ー 積 は,現
在 では 線 形 性 とい う
形 性 とい う こ の 性 質 は,現
代 数学 の 対 象 を 見 る
い 視 点 を 与 え る こ と に な っ た.
線 形 代 数 とベ ク トル 解 析 線形 性 を基 本 的 な 性 質 として もつ ベ ク トル 空 間の構 造 を,代 数 的 な 立場 か ら詳 し く調 ベ るの が線 形 代 数 で あ る.線 形 代数 では,ベ
ク トル空 間 の構 造 や,ベ
ル空 間 か らべ ク トル空 間へ の写 像 で,線 形 性 を 保つ もの―
クト
線 形 写像― ーの性 質
を,行
列 表 示 を 用 い な が ら,徹
一 方,た
底 し て 調 ベ て い く.
とえ ば 最 初 に 述 べ た 風 向 き を 示 す ベ ク トル の よ うな と き に も,時
々 と変 化 す る 風 向 き の 変 化 の 模 様 を 調 べ よ う と す る と,時 ク トルx(t)が 後3時
登 場 し て くる だ ろ う.正
か ら3時
ま で の 間 に,ど
の と き,東
ク トル の 変 化 を 調 べ る の は,ベ
た と え ば,高
速 道 路 を 走 る1台
は,時
お く と,こ
間tに
の 自 動 車の 速 度 ベ ク トル を,時
な どを,日
間 の 関 数 として
微分
の 自動 車 の 加 速 度 を 示 し て い る.
Tea
質 問 nが4以
ク トル 解 析 の 分 野 で あ る.
の 変 化 の模 様 を 記 述 す るx(t)の
お け る,こ
京 の 風 向 き を 示 す ベ ク トル
の よ うに 変 化 し て い った の だ ろ うか.
こ の よ う な,ベ
x(t)と
関 数 とし ての ベ
午 に は 東 京 は 南 風 が 吹 い て い た の に,午
に は 東 風 に 変 わ っ て い た とす る.こ
x(t)は,tが0時
間tの
々刻
上 の と き も,n個
Time
の 実 数 の 組 か ら な る ベ ク トルx=(x1,x2,…,xn)
常 考え る こ と が あ る の で し ょ うか.
答 2次 元,3次
元 の ベ ク トル に は,背
後 に物 理 空 間 の イ メー ジがつ ね につ き ま
と うか ら,n個
の 実 数 の 組(x1,x2,…,xn)の
つ くる ベ ク トル 空 間―n次
ク トル 空 間―
に 対 し て も,何
うす る と,n次
元 ベ ク トル とい うの は い か に も神 秘 的 で,数
元べ
か 背 景 に 空 間 的 な イ メ ー ジ を 設 定 し た くな る.そ 学 者 しか 扱 え な い 対
象 に み え て く る. だ が 実 際 は,数
学 は ベ ク トル の 概 念 の 中 に,加
い とい う立 場 を と った の だ か ら,空 ま っ た こ と に な る.そ
法 と ス カ ラ ー 積 しか 認 め て い な
間 的 な イ メ ー ジ とは ひ と ま ず 切 り離 され て し
の た め ご く 日常 的 な と こ ろ に も,n次
元 ベ ク トル の 考 え は
入 っ て き て い る の で あ る. た と え ば,あ
る 商 店 が3個
の 商 品A,B,Cを
毎 日,売
上 高 か ら仕 入 値 を 引 い た 純 益 をA,B,Cの
わ し,こ
の 値 を 見 て,次
扱 っ て い る とす る.店
の 主 人 は,
順 に 並 べ て,(x1,x2,x3)と
の 日の 仕 入 れ を 考 え て い る.た
表
と え ば あ る 日の デ ー タ が
(−10000,20000,5000) とい う こ とは,Aに が あ り,Cに
つ い て は1万
つ い て は5千
円 の 欠 損 が で た が,Bに
円 の 利 益 が あ っ た こ と を 示 し て い る.し
の 日 の 純 益 は−10000+20000+5000=15000(円)で で は,こ
あ る が,商
円 の利 益
た が っ て,こ
品を 仕 入れ る立 場
の 値 だ け 知 れ ば よ い とい うわ け に は い か な い だ ろ う.店 の 主 人 に と っ て
関 心 の あ る の は,3次
元 の ベ ク トル(x1,x2,x3)の,日
同 じ よ う に 考 え れ ば,n≧4の は,お
つ い て は2万
と き で も,n個
ご と の 変 化 の 模 様 で あ る. の 商 品 を 扱 う商 店 の 主 人 の 関 心
のお のの 商 品 の純 利 益 (x1,x2,…,xn)
の 毎 日 の 変 化 だ ろ う.こ
の 関 心 の あ る と こ ろ を 数 学 的 に 見 れ ば,主
n次 元 ベ ク トル 空 間 の 中 の,ベ
人 の 関 心 は,
ク トル の 変 化 に あ る と い っ て よ い だ ろ う.午 前 中
の 仕 入 れ に 対応 す る利 潤 が x=(x1,x2,…,xn) で あ り,午
後 の 仕 入 れ か ら得 た 利 潤 が, y=(y1,y2,…,yn)
な ら ば,1日
の 利 潤 を 表 わ す ベ ク トル はx+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)と
る だ ろ う.こ
の ご く 日常 的 な 考 え の 中 に も,す
し て 表 わ さ れ る'と い の で あ る.
い う空 間 的 な 表 象 は,完
で に'和
な
は 平行 四辺形 の対 角 線 と
全 に 消 え て い る こ と に注 意 し て ほ し
第2講 ベ ク トル 空 間
テー マ
◆ これ か らの プ ラン ◆ ベ ク トル空 間 の 定義 ◆1次
独 立 と1次 従 属
◆ 有 限 次 元 の ベ ク トル空 間 ◆ 基底 ◆(Tea
Time)同
型 なベ ク トル空 間
これ か らの プ ラ ン ベ ク トル解 析 を学 ぶた め に は,ま ず ベ ク トル空 間 の こ とを よ く知 ってお か な く て は な らな い.し た が って,ベ
ク トル 空 間 の こ とか ら話 を は じめ る こ とにす る.
しか し,ベ ク トル解 析 を 見通 し よ く進 め てい くた め には,単 にベ ク トル空 間 の 線 形 的 な性 質 だ け で は な くて,さ
らにベ ク トル空 間 の上 に構 成 され る外 積 代 数(グ
ラス マ ン代数 ともい う)の 知識 も必 要 とな る.実 際,こ の外積 代 数 とい う概 念 は, ベ ク トル解 析 にお け る最 も重 要 な 概念―
微分 形 式―
と密接 に 関係 して くる の
で あ る. これ か ら第11講
までは,ベ
ク トル空 間 の一 般 的 な理 論 か らは じめ て,外
積代
数 を 構成 す る道 を進 む こ とに す る.次 に計量 を 入れ た ベ ク トル空 間 の 場 合 を論 ず る こ とにす る.こ の代 数 的 な 枠組 の中 で 述べ られ てい る理 論構 成 全 体 は,そ れ 自 身 興 味深 い ものが あ って,現 代数 学 にお け る考 え方 が,い ろ い ろ な面 で反 映 して い る と ころが あ る. これ らの こ とを 述べ た 上 で,第16講 解 析 の主 題 に入 る こ とにす る.
か ら,舞 台 を 解 析へ と移 して,ベ ク トル
ベ ク トル 空 間 の 定 義 こ れ か ら は,Rと の 中 で は,四
か く とき に は,Rは
則 演 算 が 自 由 に で き る(た
【定 義 】 も の の 集 ま り(集 合)Vが,R上 対 し て,和
と よ ば れ る 演 算+が
に 対 し て,ス
実 数 全 体 の 集 ま りを 示 す こ と に す る.R だ し,0で
割 る こ と だ け は で き な い).
の ベ ク トル 空 間 で あ る と は,x,y∈Vに
あ っ てx+y∈Vが
決 ま り,ま た 実 数α とx∈V
カ ラ ー 積 と よ ば れ る 演 算 が あ っ てαx∈Vが
算 規 則 ① ∼ ⑧ を み た す と き で あ る.な お,Vの
元x,yな
決 ま り,こ れ らが 次 の 演 どを ベ ク トル とい う.
① x+y=y+x ② (x+y)+z=x+(y+z) ③ す べ て のxに
対 し,x+0=xを
成 り立 た せ る よ うな ベ ク トル0が
ただ
1つ 存 在 す る. ④ お の お の のxに だ1つ
対 し,x+x′=0を
成 り立 た せ る よ うな ベ ク トルx′ が た
存 在 す る.
⑤ 1x=x ⑥ α(βx)=(α
β)x
⑦ α(x+y)=αx+αy ⑧ (α+β)x=αx+βx ③ で 存 在 を 要 請 し た0は,零
ベ ク トル と よば れ て い る.零
と は概 念 と し て は ま っ た く異 な る も の で あ る が,全 い.実
ベ ク トル と数 の0
然 無 関 係 とい うわ け で は な
際 0x=0
(1)
が 成 り立 つ. これ を 示 す に は,⑧
か ら 0x=(0+0)x=0x+0x
こ の 両 辺 に ④ で 存 在 が 保 証 さ れ て い る(0x)′
を 加 え て ② と③ を 用 い る と
0=0x+{0x+(0x)′}=0x+0=0x こ れ で(1)が
示 さ れ た.
④ で 存 在 を 要 請 し たx′ を−xと
か く.こ
こ で マ イ ナ ス 記 号 を 使 っ て も混 乱 が
生 じない の は (−1)x=−x が 成 り立 つ か らで あ る. 実 際,0=0x=(1−1)x=1x+(−1)x.こ 以 下 で は,R上
の 式 は(−1)x=−xを
の ベ ク トル 空 間 し か 取 り扱 わ な い の で,'R上
単 に ベ ク トル 空 間 とい う こ と に す る.ベ
ク トルxに
た ぶ ん 物 理 の 方 か ら 生 じ た よ び 方 で あ ろ うが),実 う こ と も あ る.αxを 【例1】
示 し て い る.
ス カ ラ ー積 とい うの は,こ
与 え られ た 自然 数nに
対 し て,n個
の'を
省 い て,
対 応 す る 言 葉 と し て(こ れ も 数α の こ とを ス カ ラ−α
とい
の 語 法 に 基 づ い て い る.
の 実数 の 組
(x1,x2,…,xn) の 全 体 は,前
講(5頁)で
と に よ り,ベ
ク トル 空 間 と な る.こ
い,Rnで 【例2】 C[0,1]と
述 べ た よ うな 仕 方 で,加
法 とス カ ラー積 を定 義 す る こ
の ベ ク トル 空 間 をn次
元 数 ベ ク トル 空 間 と い
表 わ す. 数 直 線 上 の 閉 区 間[0,1]上 す る.f,g∈C[0,1]に
で 定 義 され た 連 続 関 数 全 体 の つ くる 集 合 を 対 し
(f+g)(t)=f(t)+g(t),(αf)(t)=αf(t) とお い て,加
法f+gと,ス
カ ラ ー積αfを
定 義 す る.こ
の と きC[0,1]は
ベ クト
ル 空 間 と な る.
1次
Vを ベ ク トル 空 間 とす る.Vの
独 立 と1次
従 属
有 限 個 の ベ ク トルx1,x2,…,xrが
与 え られた と
き, α1x1+α2x2+…+αrxr の 形 で 表 わ さ れ るベ ク トル を,x1,x2,…,xrの1次 y,zをx1,x2,…,xrの1次
結 合 で あ る と い う.
結 合 で あ る と し, y=α1x1+α2x2+…+αrxr z=β1x1+β2x2+…+βrxr
とす る.こ か し,そ
の と き,α1=β1,α2=β2,…,αr=βrな う で な く と もy=zと
らば,明
な る 場 合 も あ る.た
らか にy=zで
と え ば3つ
あ る.し
の ベ ク トルx1,x2,
x3を
とった とき x2=x1+x3
と な っ て い る と す る.こ
の と きx1,x2,x3の1次
結 合 と し て 表 わ さ れ る2つ
の ベ
ク トル y=x1+x2+x3 z=2x1+0x2+2x3 を 見 る と,y,zを
表 わ すx1,x2,x3の
係 数 は 違 う が,y=zと
こ の よ う な こ と が 起 き る か 起 き な い か は,x1,x2,…,xrの
【定 義 】y,xをx1,x2,…,xrの1次
な っ て い る. と り 方 に よ っ て い る.
結 合 と し, y=α1x1+α2x2+…+αrxr z=β1x1+β2x2+…+βrxr
と す る.y=xと
な るの は α1=β1,α2=β2,…,αr=βr
の と き に 限 る と き,x1,x2,…,xrは1次 零 ベ ク ト ル はx1,x2,…,xrの1次
独 立 で あ る と い う. 結 合 と し て 表 わ す こ と が で き る.
0=0x1+0x2+…+0xr も し,x1,x2,…,xrが1次 だ か ら,ま
独 立 な ら ば,0を
表 わ す 表 わ し 方 は,こ
れ しか ない の
ず 次 の 命 題 の 必 要 性 が わ か る.
x1,x2,…,xrが1次
独 立 で あ るた め の 必 要 かつ 十 分 な 条 件 は 次の 性 質
が 成 り立 つ こ と で あ る. α1x1+α2x2+…+αrxr=0 と な る の は,α1=α2=…=αr=0と
条 件 が 十 分 な こ と:い
な る と き に 限 る.
ま こ の 条 件 が 成 り立 っ て い る とす る.こ
の とき
α1x1+α2x2+…+αrxr=β1x1+β2x2+…+βrxr が 成 り立 て ば (α1−β1)x1+(α2− β2)x2+…+(αr− か ら,α1=β1,α2=β2,…,αr=βrと 【定 義 】x1,x2,…,xrが1次
な り,こ
βr)xr=0
れ で 条 件 が 十 分 な こ とが 示 され た.
独 立 で な い と き,1次
従 属 で あ る とい う.
x1,x2,…,xrが1次
従 属 と す る.こ
の と き,あ
るαi≠0で
0=α1x1+…+αi−1xi−1+αixi+αi+1xi+1+…+αrxr と い う 関 係 が 成 り 立 つ.し
たが って
す な わ ち,x1,x2,…,xrが1次 xi−1,xi+1,…,xrの1次 は,1xiと
従 属 な ら ば,こ 結 合 と し て 表 わ
い う 表 わ し 方 が あ る の に,一
さ れ る.逆
り のx1,…,
に こ の 性 質 が あ れ ば,xiに
方 で は,x1,…,xi−1,xi+1,…,xrの1次
結 合 と し て も 表 わ さ れ る こ と に な り,xiに x1,x2,…,xrは1次
の 中 の あ るxiは,残
は2通
り の 表 わ し 方 が 可 能 と な っ て,
独 立 で は な い こ と に な る.
有 限 次 元 の ベ ク トル空 間 ベ ク トル 空 間Vが 数rに
つ い て,次
与 え られ た と き,そ の 中 に 含 ま れ る1次 の2つ
(ⅰ) あ る 正 数Kが
独 立 な ベ ク トル の 個
の うち の ど ち らか の 場 合 が 生 ず る こ と に な る. あ っ て,1次
独 立 な 元{x1,x2,…,xr}に
対 し て,つ
ねに
r≦K. (ⅱ) ど ん な 大 き い 正 数Kを r≧Kと
と っ て も,あ
る1次
独 立 な 元{x,x2,…,xr}で,
な る も の が 存 在 す る.
(ⅰ)の と き,ベ
ク トル 空 間Vは
有 限 次 元 で あ る と い い,(ⅱ)の
と き,Vは
無限
次 元 で あ る とい う. 有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 に 対 し て は,1次
独 立 な ベ ク トル{x1,x2,…,xr}を
い ろ い ろ と っ て み て も,ベ
一 定 数 を 越 え な い の だ か ら,rが
ク トル の 個 数rは
大 と な る よ う な も の が 必 ず 存 在 す る.そ
最
の と き 次 の こ と が 成 り立 つ こ と が 知 ら れ
て い る.
【定 理 】Vを と す る.こ
有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 と し,1次
独 立 な ベ ク トル の 最 大 個 数 をn
の と き 次 の こ とが 成 り立 っ て い る.
(ⅰ) {x1,x2,…,xn}をn個 ベ ク トルxは,た
だ1通
の1次 りに
独 立 な ベ ク トル と す る.こ
の と き,任
意の
と 表 わ さ れ る. (ⅱ)
{y1,y2,…,ys}(S≦n)を1次
る ベ ク トルys+1,…,ynか
独 立 な ベ ク トル と す る.こ
の と き,必
存 在 し て{y1,y2,…,ys,ys+1,…,yn}は1次
ず あ
独 立 と な
る.
【定 義 】
有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間Vに
を,Vの
次 元 といい
お い て,1次
dim
独 立 な ベ ク トル の 最 大 個 数n
V=n
で 表 わ す. 【定 義 】Vをn次
元 の ベ ク トル 空 間 と す る.こ
ル{e1,e2,…,en}をVの 定 理 の(ⅰ)に し て た だ1通
の と き,n個
の1次
独立 なベ ク ト
基 底 と い う. よ っ て,Vの
任 意 の ベ ク トルxは,e1,e2,…,enの1次
り に 表 わ され る.こ
結合 と
れを
(2) の よ う に 表 わ す こ と に し よ う. (2)の
よ う に 指 標 を 上 に つ け た り,下
に つ け た りす る こ とは,い
は わ ず らわ し い よ う に み え る か も し れ な い が,こ
の 記 法 の 有 効 性 は,お
まの段 階 で い おい わ
か っ て くる だ ろ う. ベ ク トル 空 間 の 次 元nの
と る 値 は,自 然 数1,2,3,…
け か ら な る ベ ク トル 空 間 を0次 Rnは,n次
で あ る.ま た 便 宜 上,0だ
元 の ベ ク トル 空 間 と し て 考 え る こ と も あ る.
元 の ベ ク トル 空 間 で あ っ て,そ
の1つ
の基 底 は
e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,en=(0,0,…,0,1) で 与 え られ る.こ な お,C[0,1]は
の 基 底 をRnの
標 準 基 底 とい う.
無 限 次 元 で あ る.
Tea
Time
同型 な ベ ク トル空 間 ベ ク トル 空 間 と は,加 合 で あ る.い
法 とス カ ラー積 だ けが 基 本構 造 と して与 え られ てい る集
まVとWを2つ
の ベ ク トル 空 間 とす る.こ
法 と ス カ ラ ー 積 に 関 す る'設
計 仕 様'が
の と き,VとWで,加
ま っ た く 同 じ な らば,VとWは
私たち
の 前 に 同 じベ ク トル 空 間 を 提 示 し て い る とみ て も よい だ ろ う.こ の よ う な と きV とWは
同 型 な ベ ク トル 空 間 で あ る と い う(定 義 は す ぐ あ と で 述 べ る).建
と え で い え ば,同
じ設 計 仕 様 で つ く られ た 建 物 は,用
じ も の と考 え よ う とい うの で あ る.大 ち は,VとWに
対 し て,ど
切 な こ と は,ベ
い た 材料 は 違 って い て も同 ク トル 空 間 の 定 義 で,私
た
ん な 材 料 を 使 っ て ベ ク トル 空 間 を つ くる か ま で は 要
請 し て い な い とい う こ と で あ る.た
と え ば2次
元 の ベ ク トル 空 間 と い っ て も,平
面 の 中 で の ベ ク トル を 考 え て も よ い し,C[0,1]の てCOSt(0≦t≦1)を
物のた
中 で,e1と
し てsint,e2と
し
とって f(t)=x1sint+x2cost
(x1,x2∈R)
と表 わ さ れ る 関 数 全 体 の つ くる ベ ク トル 空 間 を 考 え て も よ い わ け で あ る(sint, costはC[0,1]の
中 で1次
の 標 準 基 底(1,0),(0,1)を
独 立 で あ る).こ と り,他
の 場 合,素
方 で はsint,costと
材 と し て は ,一
方 で はR2
い う関 数 を 採 用 し て
い る こ と に な る.で き 上 が っ た 建 物 の 外 観 は 違 うが,加 法 と ス カ ラ ー積 に 関 す る '設計 仕 様'は 同 じ で あ る .こ の よ うな と き,2つ の ベ ク トル 空 間 は 同 型 で あ る とい うの で あ る. 一 般 的 な 同 型 の 定 義 は 次 の よ う に 述 べ られ る.ベ の1対1写
ク トル 空 間Vか
らWの
上へ
像 ψが あ っ て ψ(x+y)=ψ(x)+ψ(y),ψ(αx)=αψ(x)
が 成 り立 つ と き,VとWは 任 意 のn次
同 型 で あ る と い い,ψ を 同 型 写 像 とい う.
元 ベ ク トル 空 間VはRnと
{e1,e2,…,en}を
と っ て,任
同 型 で あ る.実
意 の ベ ク トルxを(2)の ψ(x)=(x1,x2,…,xn)
と お く と,ψ はVか
らRnへ
の 同 型 写 像 を 与 え て い る.
際,Vに1つ
の基底
よ うに 表 わ した と き,
質 問 記 号 は,そ
の と き ど き の 利 用 の 仕 方 に よ っ て,一
っ て も よい の で し ょ うが,(1)の
番 つ ご う の よい もの を 使
よ うに,x=x1e1+x2e2+…+xnenと
わ し 方 は 少 し 納 得 が い き ませ ん.な
ぜ か とい う と,x2,x3な
と区 別 が つ か な くな る か ら で す.xnはxのn乗
表 わ す表
ど は,xの2乗,3乗
を 表 わ し て い な い と い う こ とは,
ど うや っ て 判 定 す る の で し ょ うか. 答 確 か に,こ
の 記 号 の 使 い 方 に は 少 し 難 点 が あ る か も しれ な い.xnだ
離 し て か け ば,誰
で も こ れ はxのn乗
と思 うだ ろ う.し
ク トル 空 間 の 話 を 進 め て み る と,こ の 記 法 は,い で あ る こ と が わ か っ て く るだ ろ う.い は,xのn乗
で は な く て,enの
で 立 ち 止 ま らず に,も
か し,も
け切 り
う少 し 先 ま で ベ
ろ い ろな点 で非 常 に有用 な もの
ず れ に せ よ,前
後 の つ づ き 具 合 か ら,xn
係 数 で あ る とい う こ と が わ か る の で あ る.こ
う少 し 先 の 講 ま で 進 ん で み る こ と に し よ う.
こ
第3講 双 対 ベ ク トル空 間 テ ー マ
◆ 線形関数 ◆ 線 形 関 数 の和 とス カ ラー積 ◆ 双 対 ベ ク トル空 間V* ◆V*の
構 造―'座
標 成 分'を 対応 させ る線 形 関数
◆ 双対基底
これ か ら取 り扱 うベ ク トル空 間 は,す べ て 有 限次 元 の ベ ク トル 空 間 とす る. 線 形 関 数 Vを ベ ク トル空 間 とす る.Vか
らRへ
の 写 像 ψで 線 形 な もの を考 え る.す
な
わち写像
で,線 形 性
(ⅰ)
ψ(x+y)=ψ(x)+ψ(y)
(ⅱ) ψ(αx)=α
ψ(x)
を み た す も の を 考 え る. (ⅰ)と(ⅱ)は1つ
に ま とめ て
ψ(αx+βy)=αψ(x)+βψ(y)
と表わ す こ とが で き る. この よ うな ψをV上 に立 つ と きは,ψ はV上
の 線形 関 数 とい う こと に し よ う(も う少 し一 般 的 な 観点 の線形 汎 関数 とい うが,い まの 場 合,こ の い い方 は 多 少
大 げ さ の よ うに思 え る). 重 要 な こ とは,V上
の2つ の 線形 関数 ψ,ψが 与 え られ た とき,ψ と ψ の和 とよ
ばれ る新 しい線 形 関数ψ+ψ を 定義 で き る こ と と,実 数α に対 して,ス
カ ラー積
とよば れ る新 しい 線形 関数αψが定 義 で き る こ とであ る. 和 の 定 義:(ψ+ψ)(x)=ψ(x)+ψ(x)
(1)
ス カ ラ ー 積 の 定 義:(αψ)(x)=α
ψ(x)
この よ うに 定 義 したψ+ψ とαψが 実 際V上 か め て おか な くて はな らない.和
(2)
の 線 形 関 数 とな って い る こ とは確
ψ+ψ に対 し てだ け,念 の ため,こ れ を確 か め
て お こ う. ((1)か
(ψ+ψ)(x+y)=ψ(x+y)+ψ(x+y) =ψ(x)+ψ(y)+ψ(x)+ψ(y)
ら)
(ψ,ψが(ⅰ)を
み た す か ら)
=ψ(x)+ψ(x)+ψ(y)+ψ(y) =(ψ+ψ)(x)+(ψ+ψ)(y) ((1)か
(ψ+ψ)(αx)=ψ(αx)+ψ(αx) =α ψ(x)+α
ψ(x)
ら)
(ψ,ψが(ⅱ)を
み た す か ら)
=α(ψ(x)+ψ(x)) =α(ψ+ψ)(x)
これ で,ψ+ψ が 線 形性 を もつ こ とが示 され た. 同様 に して,αψ も線 形 性 を もつ こ とが示 され る.
双 対 ベ ク トル 空 間 読 者 も す で に 予 想 され て い た で あ ろ うが,V上 に ょ っ て 加 法 と ス カ ラ ー 積 を 定 義 す る と,実 間 の 性 質 ① か ら ⑧(前 形 関 数 は,Vの て,一
講,9頁)ま
対 し て ψ(x)の
は,こ
の2つ
の 演 算 は,ベ
で を み た す の で あ る.零
す べ て の ベ ク トルxを,0に
ψ は,各xに
の 線 形 関 数 の 中 に,(1)と(2) ク トル 空
ベ ク トル を 与 え る 線
移 す 定 数 写 像 で あ る.ま
た ψに対 し
符 号 を 変 えた 値 を対 応 させ る線 形 関 数 と して
定 義 す る. こ の よ うに 定 義 し て お く と,①
か ら ⑧ ま で み た す こ とは 容 易 に 確 か め られ る.
た と え ば ⑦=α(ψ+ψ)=α
ψ+α ψ は
α(ψ+ψ)(x)=α(ψ(x)+ψ(x))=αψ(x)+α
ψ(x)
=(α ψ+α ψ)(x) が す べ て のx∈Vで
成 り立 つ こ と か らわ か り,ま た ⑧:(α+β)ψ=α
ψ+βψ は
(α+β)ψ(x)=ψ((α+β)x)=ψ(αx+βx) =α ψ(x)+β ψ(x)=(αψ+β
ψ)(x)
か ら わ か る. した が っ て,V上 【定 義 】V上
の 線 形 関 数 全 体 の 集 合 は,1つ
の ベ ク トル 空 間 を つ くる.
の 線 形 関 数 全 体 の つ くる ベ ク トル 空 間 をVの
る い は 簡 単 に 双 対 空 間 と い い,V*に 読 者 は,V*に
双 対 ベ ク トル 空 間,あ
よ っ て 表 わ す.
対 し て 何 か ベ ク トル の 具 象 性 が 見 失 わ れ た よ うで 当 惑 され た 感
じ を も つ か も しれ な い.確
か に ベ ク トル と い う と,2次
描 か れ た 矢 印 だ け を 思 い 浮 か べ て い る と,V*の うに 想 像 し た ら よ い の か,わ
元,3次
元 の空 間 の中 に
ベ ク トル を 表 わ す 矢 印 を どの よ
か ら な くな っ て く る の で あ る.し
か し,私
た ちの 立
場 で は,ベ
ク トル は ひ と ま ず 空 間 的 な 表 象 を 失 っ た 対 象 とな っ て い る.そ
る の は,単
に 加 法 と ス カ ラ ー 積 だ け が 許 さ れ る 抽 象 的 な 対 象 だ け で あ る.こ
義 で は そ の 観 点 に,読 し か し,こ
れ に つ い て は,お
こ こ ま で くる と,ベ と い う方 が,抽 Vの
体,何
い お い 明 らか に して い く こ とに し よ う.
ク トル 空 間 の 元 を い ち い ち ベ ク トル と い う よ りは,単
Vの 双 対 空 間V*は
れ か ら は,
構 造
上 の よ うに 定 義 した が,V*の
元―V上
体 的 に は ど の よ うな も の か を 明 ら か に して お き た い.そ
1つ と り,そ た だ1通
の た め,こ
に元
元 と い う よ うな い い 方 を す る こ と に し よ う.
V*の
は,具
が 導 か れ る か と い う疑 問 も当 然 生
象 的 な 立 場 が は っ き りす る よ うに 思 う.そ
元 とか,V*の
の講
者 が し だ い に 慣 れ て い た だ く こ とを 望 ん で い る の で あ る.
の よ う な 抽 象 的 な 設 定 で,一
ず る で あ ろ う.こ
こに あ
れ を{e1,e2,…,en}と
す る:dimV=n.こ
の た めVの
の と き,Vの
りに x=x1e1+x2e2+…+xnen
の 線 形 関 数―
(3)
基底を
元xは,
と表 わ さ れ る.も
う1つ 元yを
と って
y=y1e1+y2e2+…+ynen と 表 わ し て お くと,表
わ し 方 の 一 意 性 か ら,x+yは
必然的に
x+y=(x1+y1)e1+(x2+y2)e2+…+(xn+yn)en
(4)
と表 わ さ れ て い る こ とに な る. (3)の
表 現 で,e1,e2,…,enを
x1,x2…,xnは,座 さ て,xに
座 標 軸 方 向を 示 す 単 位 ベ ク トル の よ うに考 え る と,係 数
標 成 分 とい っ て よい だ ろ う. 対 し て,1番
目 の'座
標 成 分'x1を
対 応 さ せ る 写 像 ψ1はV上
の線
形 関 数 で あ る. 実 際,(4)か
ら ψ1(x+y)=x1+y1=ψ1(x)+ψ2(y)
同様に ψ1(αx)=αx1=α
ψ1(x)
も成 り立 つ. 一 般 に,xに
対 し て,i番
像 ψiは,V上
目 の'座
標 成 分'xi(i=1,2,…,n)を
の 線 形 関 数 と な る.
線 形 関 数ψ1,ψ2,…,ψnは,ベ
ク トル 空 間V*の
トル ら し く表 記 を 変 え て お く こ と に し よ う.そ
元 と 考え て い る の だ か ら,ベ こで
e1=ψ1,e2=ψ2,…,en=ψn と お く(eに
対 応 させ る 写
つ け る 指 標 が,右
肩 へ 上 が っ た こ と に 注 意!).
こ の定 義 か ら
ei(x1e1+x2e2+…+xnen)=xi
(i=1,2,…,n)
特 に
(5)
が 成 り立 つ.'特
に'と
か い て あ る部 分 は
ej=0e1+…+0ej−1+1ej+0ej+1+…+0en と 表 わ し て,す
ぐ上 の 等 式 を 使 う の で あ る.
ク
こ のe1,e2,…,enを る.そ
用 い て,V上
の任 意 の線 形 関 数 ψ をか き表 わ す こ とが で き
の た め, ψ(e1)=a1,ψ(e2)=a2,…,ψ(en)=an
と お く. この とき
ψ=a1e1+a2e2+…+anen
(6)
と 表 わ され る. 【証 明 】Vの
任 意 の 元xを
と り,
と お く.こ の と き
(ψの 線形 性) (7)
一方
,(6)の
右 辺 の 線 形 関 数
がxで
(ψ(ej)=ajに
よ る)
と る値 を 求め てみ る:
(各eiの 線形 性) (8) (7)と(8)を
((5)に
よ る)
見比べて
が す べ て のx∈Vで
成 り立 つ こ とが わ か っ た.こ
れ で(6)が
証 明 さ れ た.
双 対基 底 (6)は,ψ
がe1,e2,…,enの1次
こ の よ うな 表 わ し方 は 実 は た だ1通
と表 わ され た とす る と,両
辺 がeiで
結 合 と し て 表 わ さ れ る こ とを 示 し て い る が, りで あ る.な
ぜ な ら,も
と る 値 を考 え て,(5)を
し
用 いる と
と な っ て し ま うか ら で あ る. 任 意 の ψが,e1,e2,…,enの1次
結 合 と し て(6)の
よ うに 表 わ さ れ,か
の 表 わ し 方 が 一 意 的 で あ る と い う こ と は,e1,e2,…,enがV*の る こ とを 示 し て い る.す
つそ
基底を与えてい
なわち
{e1,e2,…en}は,V*の1つ
の 基 底 で あ る.し dim
た が って
V*=n
で あ る.
【定 義 】{e1,e2,…,en}を,{e1,e2,…,en}の Vの
双 対 基 底 と い う.
基 底{e1,e2,…,en}とV*の
与 え ら れ て い る.Vの てV*の
双 対 基 底{e1,e2,…,en}と
基 底 を 別 の 基 底{e1′,e2′,…,en′}に
双 対 基 底 も{e1′,e2′,…,en′}に
Tea
質 問 ベ ク トル 空 間 の こ と は,ひ の こ とを お 聞 き し た ら,や
し て し ま う.そ
応 し
変 わ っ て く る.
Time
と まず 知 っ て い た と 思 っ た の で す が,双
対空間
こ は ど う考 え た ら よ い の で し ょ う.
意 識 の う ち に 矢 印 で 表 わ さ れ た ベ ク トル の こ と を 想 像
うす る と,V*を
表 わ す ベ ク トル は,ど
だ ろ う と思 っ て 混 乱 し て し ま うの で あ る.空 に くい か も しれ な い が,少
と り か え れ ば,対
は り急 に ベ ク トル の イ メ ー ジ が な くな っ た よ うで,少
し わ か りに く くな り ま した.こ 答 ベ ク トル と い う と,無
の 関 係 は(5)で
ん な 矢 印 で 表 わ され る の
間 的 な 表 象 を 離 れ た ベ ク トル は 考 え
し ず つ 抽 象 的 な 考 え に も慣 れ て い か な くて は な ら な い
だ ろ う. も っ と も,線 は,1つ
形 代 数 の こ と を 知 っ て い る 人 は,n次
基 底{e1,e2,…en}を
と っ て お く と,た
元 の ベ ク トル 空 間Vの
て ベ ク トル
元
と 表 示 さ れ る こ とを 知 っ て い る だ ろ う.xはn行1列 き る.こ
の 行 列 と 考 え る こ とが で
の表 示 で は
と 表 わ さ れ て い る. こ の と き,(6)で
与 え ら れ て い る よ う なV上
の 線 形 関 数 ψ は,1行n列
の 行列
ψ=(a1,a2,…,an) で 表 わ さ れ る.実
際,行
列 の 積 の規 則 か ら ψ(x)=a1x1+a2x2+…+anxn
が 成 り 立 つ.こ
の 行 列 表 示 で は,{e1,e2,…,en}の
ょ う ど,1行n列
双 対 基 底{e1,e2,…,en}が
ち
の行 列 (1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)
に よ っ て 表 わ さ れ て い る こ と に な る.そ
し てV*の
元 は,1行n列
の行 列 を よ こ
ベ ク トル と み て, (a1,a2,…,an) と 表 わ さ れ て い る こ と に な る.こ る だ ろ う.
の よ う に 考 え る とV*も
大 分 具 体 的に な って く
第4講 ベ ク トル空 間 の双対 性 テーマ
◆ 視 点 を 変 え てみ る―Vの ◆Vか
ら(V*)*へ
◆(V*)*に
元 はV*上
の1対1対
の 線形 関 数
応
お け る双対 基 底
◆ 同型 対 応 Φ:V→(V*)* ◆ 双対 性 ◆ ベ ク トル の新 しい見 方 ◆1変
数 関数 か ら多変 数 関 数 へ の 拡 張
◆(Tea
Time)双
対原理
視 点を変 えてみ る V*も
ベ ク トル 空 間 と な っ た の だ か ら,次
も の だ ろ うか と考 え て み る こ とは,ご を 考 え る と き,VとV*に
にV*の
双 対 空 間(V*)*は
く自 然 な 問 題 設 定 と な る.し
どんな
か し この問 題
関す る視 点 を転 換 して考 え る こ とが重 要 な こ とに な っ
て く る. V*の
元 ψ は,V上
を 与 え て い た.ψ て い た.ま (2)で
たV*の
の 線 形 関 数 で,対
応
の 線 形 性 に つ い て の 定 義 は(ⅰ)と(ⅱ)(16頁)で 中 で の 演 算―
与 え られ て い た.そ
和 と ス カ ラ ー 積―
こ で は,xは'変
数'と
の 定 義 は 前 講 の(1)と し てVの
はV*の1つ
の 元 と 考 え て い た.
し か し,い
ま は ま っ た く別 の 見 方 も可 能 に な っ て き た.そ
がV*の
中 を 自 由 に 動 き,xの
与 え られ
元 を 動 き,ψ
の方
の 見 方 と は,ψ
の方
方 が と ま っ て い る とみ る の で あ る.そ
うみ る と,
ψ はV*上
を 動 く'変 数'と
な り,xの
方 は,ψ
に 対 し て,ψ(x)の
値 を対 応 さ
せ る 写 像 と な る. す なわ ち
ど ち らが 変 数 か を は っ き り させ る た め に,こ 考 え る と き に は,xの
代 り にxと
の 見 方 を 採 用 してxを
ひ と つ とめ て
お き,
と か くの が よ い か も しれ な い.こ
の と き,前
よ うに 異 な っ た 表 現 の 形 を と っ て,い
講 の(ⅰ),(ⅱ),(1),(2)は
次の
い 表 わ され る.
(ⅰ) (ⅱ) (1) (2) (1)′ と(2)′
は,xが,V*上
た が っ てx∈(V*)*で 一 方,(ⅰ)′ が,そ
の 線 形 関 数 と考え られ る こ と を 示 し て い る.し
あ る.
と(ⅱ)′ は,Vの
元 と考 え た と き の 加 法x+yと,ス
の ま ま上 に ナ ミを つ け る と,(V*)*の
元 の 加 法x+yと
カ ラ ー 積αx ス カ ラ ー 積αxと
し て 考 え られ る こ とを 意 味 し て い る.
1対1対 そ の 上,実
が成
は
り立 つ.
【証 明 】Vの と,x≠yか en}を
応V→(V*)*
基 底{e1,e2,…,en}を ら,あ
るjに
双 対 基 底 とす る と
と っ て,
対 し て は,xj≠yjが
と 表 わ す 成 り 立 つ.し
た が っ て{e1,e2,…,
に よ り,xとyは,ejで (V*)*の
と る 値 が 異 な る こ と に な る.こ
の こ と は,xとyが,
元 と し て 異 な る 元 で あ る こ と を 示 し て い る.
こ こ まで 述べ て きた こ とを ま とめ る と
は,Vか
ら(V*)*へ
と ス カ ラ ー 積―
の1対1対
応 と な っ て,Vの
は,(V*)*の
基 底{e1,e2,…,en}の
はV*の る.こ
お け る双 対 基 底
双 対 基 底 を{e1,e2,…,en}と
基 底 な の だ か ら,こ
加法
中 で も そ の ま ま 保 た れ て い る と い う こ と で あ る.
(V*)*に Vの
ベ ク トル 空 間 の 構 造―
の((V*)*に
す る.{e1,e2,…,en}
お け る)双 対 基 底 を 考 え る こ とが で き
れ を 求 め て み よ う.双 対 基 底 の 関 係 を 与 え る前 講 の(5)を,'変
数'を
と
りか え て
とか き 直 し て み る と,こ
の 式 は ち ょ う ど{e1,e2,…,en}が{e1,e2,…,en}の
双対
基 底 と な っ て い る こ とを 示 し て い る. こ の こ とは また Φ が
と表 わ され て い る こ と を 示 し て い る. こ の 結 果 は,同
時 に,Φ が,Vか
ら(V*)*へ
参 照)を
与 え て い る こ と を 示 し て い る.す
【定 理 】
対 応 Φ:V→(V*)*は,ベ
の 同 型 対 応(第2講,Tea
Time
な わ ち 次 の 定 理 が 示 さ れ た.
ク トル 空 間 と し て の 同 型 対 応 を 与 え て い
る.
双 こ の よ うに し て,任
対
性
意 の ベ ク トル 空 間Vは,Vの
と Φ を 通 し て 同 型 と な っ た.Vの
元xと,Φ
双 対 空 間 の 双 対 空 間(V*)*
に よ るxの
像xを
同一 視 して重 ね
て し ま え ば, V=(V*)* とか い て も よい.こ をVの
の 同 一 視 は,簡
基 底{e1,e2,…,en}と
に 考 え る こ とが で き る.抽 を 考 え る こ とに よ っ て,Vか に,V*がVを
単 に い え ば(V*)*の
双 対 基 底{e1,e2,…en}
同 一 視 す る こ とで あ る.こ 象 的 な ベ ク トル 空 間Vが
の こ と は ま た,次
の よ う
与 え られ た と き,双
対空間
ら新 しい ベ ク トル 空 間V*が
生 ま れ た が,今
度 は逆
生 ん だ の で あ る!
(矢印 は 双対 空 間へ移 る こ とを示 す) す な わ ち,双
対 空 間 へ 移 る とい う こ と は,ベ
ク トル 空 間 の 間 の 相 互 的 な 関 係 を 与
え て い る. こ の 事 実 を,ベ な お,こ
ク トル 空 間 に お い て 双 対 性 が 成 り立 つ とい い 表 わ す.
れ か らは(V*)*の
こ とを 簡 単 にV**と
か く こ と に し よ う.
ベ ク トル の 新 しい 見 方 V=V**と
考 え る こ と に し て,何
た だ け で は な い か,と 双 対 空 間'な
か よい こ とが あ る の か,た
だ事 態 を複 雑 に し
思 わ れ る 読 者 も多 い の で は な か ろ うか.実
ど と い う,抽
象 的 な 捉 え ど こ ろ の な い と こ ろ に,ベ
際'双
対空間の
ク トル 空 間 を 追
い や っ て し ま っ た に す ぎ な い よ うに み え る. 確 か に そ れ は そ うか も し れ な い が,別 的 で あ っ た ベ ク トル と い う概 念 に,多
の 見 方 も あ る.い
少 と も具 体 的 な 意 味 が つ け 加 え られ て き た
の で あ る.V=V**の
述 べ て い る こ とは,'ど
形 関 数 と 見 な せ る'と
い う こ と で あ る.ベ
は,そ
れ 自身,付
ん なVの
ベ ク トル も,V*上
の線
ク トル 空 間 の 定 義 に あ っ た ベ ク トル に
与 す べ き ど の よ うな イ メ ー ジ も属 性 も な く,た だ 単 に 加 法 と ス
カ ラ ー積 が で き る とい う概 念 が あ っ た だ け で あ る.そ つ1つ
ま ま で は ま った く抽 象
の ベ ク トル は,V*上
と い っ て よ い の で あ る.も
の 線 形 関 数 と し て,い ち ろ ん,こ
れ に 比 べ れ ば,い
わ ば1つ
ま は,1
の主 体 性 を 得 て き た
こ で も そ れ は 単 に 抽 象 概 念 か ら 出 発 し て,
論 理 を い た ず ら に 巡 ら し て い る だ け で は な い か とい う批 判 も あ るか も し れ な い. し か し,ベ
ク トル とい う概 念 が,新
し い 見 方―
線 形 関 数―
を克 ち とった こ と
は 間違 い ない こ とで あ って,数 学 で は この よ うな見 方 の 導入 が,新
しい方 向へ と
理 論 を 導 い て い く原 動 力 とな る こ と もあ るの であ る. これ か ら述べ る こ とは,こ の よ うな見 方 に よって得 られ た ベ ク トル空 間 の概 念 の拡 張 で あ る. 1変 数 関 数 か ら 多 変 数 関 数 へ の 拡 張(挿 次 講へ の準 備 のた め もあ り,こ こで,少
記)
しわ き道 に 入 って,微 分 を学 んだ と き
の こ とを思 い 出 してみ よ う. 微 分 の概 念 は,ま y=f(x)が
ず1変
数 関 数 の場 合か ら ス ター トし て,導
入 され て い く.
微 分 可 能 で あ る とは
が 各 点 で 存 在 す る こ と で あ る.こ 一 般 に 数 学 で は1変
の 値 をf′(x)と
表 わ し た の で あ っ た.
数 で の 理 論 の 大 枠 が 完 成 す る と,ふ
や し た ら ど の よ うに な る か を 考 え る.実 数 に 従 属 し て 変 化 す る 量 よ り も,い
際,応
つ う,変
数 の 個数 を 増
用 に 現 わ れ る 関 数 で は,1つ
の変
くつ もの 変 数 に 従 属 し て 変 化 す る 量 を 取 り扱
う こ とが 多 い の で あ る. 微 分 学 で は,し
た が っ て,n変
数 の関 数 y=f(x1,x2,…,xn)
の 微 分 を ど の よ うに 考 え る か が,次 場 合 を 考 え る こ と に し,関
に 問 題 と な っ て く る.簡
の と き,最
自 由 に 動 か さ な い で,1つ い う こ と で あ る.た
数 の
数 z=f(x,y)
を 考 察 す る.こ
単 の た め,2変
(1)
も近 づ き や す い 考 え は,2つ の 変 数 だ け 動 か し,他
と え ば,変
数yの
方 は,y0で
の 変 数x,yを,2つ
とも
の 変 数 を とめ て 考 え て み よ う と と め て し ま う と,(1)は
z=f(x,y0) と な る.こ
の 関 数 はxに
つ い て の1変
知 っ て い る理 論 が 適 用 で き る.し 微 分 が で き る と い う性 質,す
数 の 関 数 とな っ て い る!こ
た が っ て,変
なわち
数xに
こに は す で に
だ け 注 目 し て,xに
ついて
が 各点(x0,y0)で (1)は,xに
存 在 す る とい う性 質 が,ご
く 自然 に導 入 され る.こ
の とき,
つ い て偏 微 分 可能 であ る とい う.
同様 に,変 数yだ け に 注 目して,微 分 可能 性 の性 質 を 付 与 し よ うとす る と,y につ い て 偏 微分 可 能 とい う性 質 が 導入 され て くる. xとyに
つ い て,そ れ ぞれ 偏 微 分可 能 な とき,2変
数 の 関数(1)は,偏
微分
可 能 な 関 数 とい うので あ る. もち ろ ん,多 変 数 の 微分 に つ い て よ く知 って お られ る読 者 は,こ の偏 微 分 可能 とい う概 念 は 中 間的 な もの であ って,全 微 分 可能 とい う概 念 の方 が 自然 な もの で あ る こ とを 想起 され た か もしれ な い. こ こに 述べ たか った こ とは,そ の よ うに 立 ち 入 った こ とで はな くて,1変 数 に 関 す るあ る概 念,ま
た は性 質(P)が
数関
あ った とき,そ れ を 多変 数 関 数fへ
と
拡 張 し よ うとす る とき,ま ず 最 初 に考 え られ る最 も 自然 な 手が か りは,次 の よ う に す る とい うこ とで あ る. (ⅰ)
1つ の 変 数 に だ け 注 目 し て,残
(ⅱ) こ の 変 数 に つ い て,fを1変
りの 変 数 を とめ て し ま う.
数 関 数 と み た と き,性
質(P)を
み
た す か ど うか 確 か め る. (ⅲ) 各 変 数 に つ い て こ の こ と が 成 り立 つ と き,性 の 直 接 の 拡 張 が,fに
こ の 考 え 方 は,い (P)が
わ ば,各
質(P)の
多変 数へ
対 し て 成 り立 っ て い る と み る.
変 数 を 分 離 し て,お
成 り立 つ か ど うか を み る,と
の お の の 変 数 に つ い て,性
質
い う考 え で あ る.
Tea
Time
双対 原理 につ い て あ ま りは っき りした 定義 は ない の だが,数 学 の2つ の対 象 が あ って,互 いに 他 を 同 じ関 係 で 規定 し合 ってい る と き,こ の2つ の対 象 の 間に 双対 原 理 が成 り立 つ
とい う.英 語 で は,duality(∼ はdualで
あ る.dualと
が 成 り立 つ)と
い う単 語 を 用 い る.こ
の形 容 詞
い う単 語 は あ ま りお 目に か か らな い か も しれ な い.辞
を 引 く と,二
重 人 格 はdual
personalityと
い う ら しい.つ
表 で あ る.日
本 語 で は,裏
原 理 よ り,裏
表 原 理 の 方 が 実 感 が あ っ た か も し れ な い と思 う.抽
表 な ど と い う便 利 な い い まわ し が あ る の だ か ら,双
た と い う,単 な お,物
者 は,漢
対'と,'相
ち ら は,(少
な くとも特
対'の
ニ ュ ア ン ス の 違 い に 注 目す べ き か も し れ な い.
対 性 が は っ き り と した 形 を と っ て 現 わ れ た の は,射
幾 何 学 に お い て で あ っ た.こ 「相 異 な る2点
あ っ て,こ
間 と 空 間 が 互 い に 関 係 し 合 っ て い る こ とを 示 し て い る.読
数 学 の 歴 史 の 上 で は,双
内 容 で あ る.
理 の 相 対 性 原 理 は,relativityで
字'双
め て ,も
対 空 間 の 双 対 空 間 は や は り も との ベ ク トル 空 間 で あ っ
純 な 驚 き が,V=V**の
殊 相 対 性 原 理 で は)時
対
象的なベ ク ト
ル 空 間 を 裏 返 し て み た ら,双 対 ベ ク トル 空 間 とい う概 念 が で て き た.改 う一 度 裏 返 し て み る と,双
書
ま り1つ の 人 格 の 裏
の 最 も簡 単 な 場 合 は,点
は 一 直 線 を 決 め る.相
異 な る2直
影
と直 線 との 双 対 性 で あ る.
線 は(交
点 と し て)1点
を決
め る.」 し か し,ふ は,平
行 な2直
つ う の 座 標 平 面 で 考 え る と き に は,相 線 を 除 い て お か な い と,上
2直 線 に 対 し て も,上
異 な る2直
の 命 題 の 後 半 は 成 り立 た な い.平
の 命 題 が 成 り立 ち,点 行 な2直
と よ い.平
た ち が ふ つ う見 て い る 経 験 で は,ず
行 な 光 線 は,私
近 法!).こ
ふ つ う の 座 標 平 面 で は な くて,平 の―
射 影 平面 ―
限 遠 点'で
行 な 直 線 の 先 に,'無
こ で は,双
交 わ っ て い る と考 え る っ と先 で 交 わ っ て
の 感 覚 を 幾 何 学 に と り入 れ よ う とす る と,
を 考 え な くて は な ら な い.こ
を射 影 幾 何 学 とい っ て,そ あ る.
線 は,'無
行な
と直 線 の 位 置 関 係 に 双 対 性 が 成 り立
っ よ う に す る た め に は,平
い る よ うに 感 じ て い る(遠
線 とい う と き に
対 性 が,基
限 遠 点'を
つ け 加 えた も
の よ うな 場 で 展 開 さ れ る幾 何 学 本原 理 と して登場 して くるの で
第5講 双 線 形 関 数 テーマ
◆ 双線形関数 ◆ 双 線 形 関 数 の つ くる空 間 ◆Vの
テ ン ソル 積V〓V
◆Vの
元 のテ ン ソル 積x〓y
◆V〓Vの
元 の表 示
◆V〓Vの
構 造:基 底 は
で 与え られ る.
双線形関数 さ て,前
講 の 終 りで 述 べ た 考 え を,ベ
ク トル 空 間 上 の 線 形 関 数 に 適 用 し,同
時
に ベ ク トル 空 間 の 概 念 の 拡 張 を 目指 す こ と に し よ う. ベ ク トル 空 間Vは,V*上 に い れ て,こ
の 概 念 を,ま
の 線 形 関 数 の つ くる ベ ク トル 空 間 で あ る こ と を 考 え ず'2変
考 察 の 出 発 点 とな る の は,V*の
上 で定 義 され た,2変
数'の
とき 拡 張 す る こ とを 考 え よ う.
直積 集 合
数の関数 ψ(x,y)
と,'線
形 性'と
い う性 質 で あ る.
こ の 線 形 性 とい う性 質 を(P)と
し て,前
な 方 法 を い ま の 場 合 に 適 用 し て み る と,次 【定 義 】V*×V*上 た す とき,V*上
講 で 述 べ た2変
数 へ の 拡 張 の一般 的
の 定 義 が 得 られ る.
で 定 義 さ れ た 実 数 値 を と る 関 数 ψ(x,y)が,次 の 双 線 形 関 数 とい う.
(ⅰ) ψ(αx+βx′,y)=α
ψ(x,y)+β
ψ(x′,y)
(ⅱ) ψ(x,αy+βy′)=α
ψ(x,y)+β
ψ(x,y′)
の性 質 をみ
す なわ ち,双 線 形 関 数 とは,各 変数 に関 して線 形 な 関数 で あ る.
双 線 形 関 数 の つ くる 空 間 次 の こ と が 成 り立 つ.
ψ,ψをV*上
の 双 線 形 関 数 とす る.そ ψ+ψ,α
もV*上
こ こ で,ψ+ψ,αψ
の とき
ψ(α ∈R)
の 双 線 形 関 数 で あ る.
は そ れ ぞれ (ψ+ψ)(x,y)=ψ(x,y)+ψ(x,y) (αψ)(x,y)=αψ(x,y)
と し て 定 義 さ れ たV*上 は,第3講
で,(1),(2)が
の2変
数 の 関 数 で あ る.こ
れ らが双 線 形 関 数 とな る こ と
成 り立 つ こ と を 示 し た と 同 様 に し て 示 す こ と が で
き る. こ の 命 題 で 与 え られ て い る ψ+ψ とαψ を,そ こ と に よ り,V*上
の 双 線 形 関 数 全 体 は,ベ
れ ぞ れ 和 とス カ ラー 積 と考 え る
ク トル 空 間 を つ く っ て い る.こ
こで
記 号 を 導 入 し て お こ う. V*上
の 双 線 形 関 数 全 体 の つ くる ベ ク トル 空 間 をL2(V*)で
添 数2は,2変
あ る.今
合 に よ っ て は,L1(V*)と 度 は 添 数1は,変
そ の と き,前
数 が1つ
の 線 形 関 数 全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間 表 わ す こ ともあ る と してお い た 方が 便 利 で
の こ とを 意 味 し て い る.
講 で 述べ た 同一 視 に よ る と V=L1(V*)
で あ っ た.L2(V*)は,L1(V*)か よ っ て,ご ば,こ
(1)
ら 出 発 し て 変 数 を1つ
か ら2つ
く 自然 に 得 ら れ た ベ ク トル 空 間 な の で あ る.(1)の
の こ と は,ベ
ク トル 空 間Vか
う概 念 を 媒 介 に し て,誕 【定 義 】
下の
数 とい う こ と を 意 味 し て い る.
記 号 の 使 い 方 を 揃 え る た め に は,V*上 V**も,場
表 わ す.Lの
ら,新
へ 増 す こ とに
左 辺 に 注 目す れ
しい ベ ク トル 空 間 が,双1次
関 数 とい
生 し た こ とを 意 味 し て い る とみ て よ い だ ろ う. と お き,ベ
ク トル 空 間〓
をVの(2階
の)テ
ンソ
ル 積 とい う. ま とめ て か い てお くと
(線形 関 数) 2変 数
(双線 形 関 数) と な る.
Vの 元 の テ ン ソ ル積 ベ ク トル 空 間Vの
テ ン ソ ル 積〓
うな 構 造 を も っ て い る の だ ろ うか.た も の が とれ る の だ ろ うか.そ Vの2つ
の 元x,yに
は,そ
れ で は ベ ク トル 空 間 と し て ど の よ
と え ば〓
の 基 底 と し て は,ど
の よ うな
の よ うな こ とを 少 し調 べ て み よ う.
対 して
(2) と お く こ と に よ り,V*×V*か た と え ばx(x)と
らRへ
の 写 像〓
お い て あ る の は,x∈Vを,V**の
値 を か い て い る つ も りで あ る.も ち ろ ん こ れ はx(x)と
を 定 義 す る.こ
こ で 右 辺 で,
元 と思 っ て,xがxで
とる
か い て も 同 じ こ と で あ る.
この と き
と な る. 【証 明 】 がV*上
に 注 意 す る と,証
明 す べ き こ と は,(2)で
の 双 線 形 関 数 とな っ て い る とい う こ とで あ る.と
定 義 され た こ ろ が,こ
とは
か ら明 らか であ る(変 数yに つ い て も線 形 性 は,同 様 に確 か め られ る).
のこ
を,xとyの
テ ン ソル 積 とい う.こ
定 義 さ れ た テ ン ソル 積 は,次
の よ うに し てVの2つ
の元 に対 し て
の 性 質 を もつ.
(3) こ の 最 後 の 等 式(3)の の テ ン ソ ル 積 は,
意 味 し て い る の は,Vの の 元
元αxとy,ま
た はxとαy
のα 倍 に 等 し い と い う こ と で あ る.
【証 明 】 証 明 は どれ も 同 様 に で き る か ら,最
初 の 等 式 だ け を 示 し て お こ う.
この 式 は,最 初 の等 式 が成 り立 つ こ とを示 して い る.
の 元 の 表 示 ベ ク トル 空 間 と し て の そ れ を{e1,e2,…,en}と
す る.こ
の 構 造 を 調 べ る た め にVの の 基 底 に 対 す るV*の
まず 補 助 的 な 次 の 命 題 を 示 し て お こ う.
ψ,ψ ∈L2(V*)が
を み た す な ら ば,ψ=ψ
【証 明 】
す べ て のx,y∈V*に
対 して
が 成 り立つ ことを示 す と よい.そ のた め
(i,j=1,2,…,n) で あ る.
と っ て,
双 対 基 底 を{e1,e2,…en}
とす る.
ψ(ei,ej)=ψ(ei,ej)
基 底 を1つ
とお く.ψ が 双 線 形 関数 であ る とい う性 質 を用 い る と
同 様 に して
が 成 り立 つ.し
ば,ψ=ψ
た が っ て ψ(Bi,ej)=ψ(ei,ej)(i,j=1,2,…,n)が
成 り立 っ て い れ
と な る.
これ を 用 い て,次
の 結 果 が 成 り立 つ こ と を 示 そ う. の 元 は,た
だ1通
りに
(4) と 表 わ さ れ る.
【証 明 】(=L2(V*))の
任 意 の 元 ψ を と り, ψ(ei,ej)=αij(i,j=1,2,…,n)
と お く. そ こ で い ま
こ こ で,第3講 か ら,前
と お い て,ψ(ei,ej)を
の(5)を
用 い た.こ
の 命 題 か ら ψ=ψ で あ る.し
と 表 わ さ れ る こ とが わ か っ た.
求 め て み よ う.
の 式 は,i,j=1,2,…,nに た が っ て,
対 し て成 り立 つ
ψ∈L2(V*)が
与 え ら れ た と き,こ
上 の 証 明 か ら もわ か る よ う に,
の よ うな 表 わ し 方 が1通 の 係 数 は,ψ(ei,ej)に
りで あ る こ と は, 等 し くな り,し
たが
っ てψ に よ っ て 表 示 が 一 意 的 に 決 ま る こ とか ら わ か る.
の構造 こ の 結 果 と し て 次 の こ と が 示 さ れ た こ とに な る.
Vの
基 底{e1,e2,…,en}に
は,
対 して
の 基 底 と な る.特
に
で あ る.
Vの
基 底{e1,e2,…,en}を
固 定 し て と っ て お く と き は,
も 固 定 され る こ と に な り,こ の 元 は'成
分'αij(i,j=1,2,…,n)で
の と き に は,(4)か
Time
あ る とそ の 双 対 空 間V*を
考 え る こ とに よ って,そ
双 対 原 理 が 成 り立 つ と い う こ と が,前 講 で の お 話 で した.こ て 考 え る と い う考 え 方 が,と 間 のTea
の 双 対 空 間 Timeで
答
のVとV*を
て も新 鮮 で 印 象 的 だ っ た せ い か,今 は ど ん な も の な の か,知
の お 話 の よ う に い え ば
対 とし
りた くな り ま した.前
の 元 は,ベ
こに
度 は テ ン ソル空
を 裏 返 し し た と き,ど
た ジ ョ ー カ ー が で る か 知 りた い の で す. み た と き,ど
ら,
与 え られ る と い っ て も よい こ と に な る.
Tea
質 問 ベ ク トル 空 間Vが
の 基 底
講
んな 顔 を し
ク トル 空 間Vか
ら
の よ うな も の に な っ て い る の で し ょ うか. の 元 φ は,素
顔 の ま ま な ら ば
か らRへ
しか し こ の Φ に 対 し て,
(#)
の 線 形 関 数 で あ る.
と お い て み よ う.ψ はV×Vか と え ば,最
らRへ
の 写 像 で,双1次
関 数 と な っ て い る.た
初 の 変 数 に つ い て の 線 形 性 を 確 か め てみ る と
(Φの線 形 性)
した が っ て,Φ
に ψ を 対 応 させ る こ と に よ り,
関 数 の つ く る ベ ク トル 空 間L2(V)へ
の 対 応 が 得 られ た.こ
空 間 か らベ ク トル 空 間 へ の 写 像 と考 え て,線 か る.実
の 双1次
の 対 応 は,ベ
ク トル
形 写 像 と な っ て い る こ とは す ぐに わ
は 同型 対 応 と な っ て い る.
念 の た め,そ
の こ とを み て お こ う.上
に 任 意 の ψ∈L2(V)に
対 し て,(#)に
の 対 応 をι とか く:ι(Φ)=ψ.さ よ っ て φ を 決 め る.Φ
した 元 の 上 で し か 値 が 与 え られ て い な い が,ψ 然 に
か ら,V上
は,
の 双 線 形 性 か ら,Φ
て,逆 の形 を
の定 義域 は 自
上 へ 一 意 的 に 拡 張 され る こ とが わ か る.ψ に Φ を 対 応 さ せ る 写 像 は,
ιの 逆 写 像 ι−1を与 え て い る.し
た が っ て ιは 同 型 写 像 で あ る.
す な わ ち,ι を 通 し て 同 一 視 す る こ と に よ り
と考 え て よ い. る.こ
を 裏 返 し て み た ら,何 の こ とは,V上
の 双1次
こ と を 意 味 して い る.双1次 い つ の 間 に か,線
と,V上
の 双1次
関 数 は,
性 と い う,新
関 数 と い う顔 も で て き た の で あ
上 の 線 形 関 数 と考 え て よ い と い う し い 世 界 へ の扉 を 叩 く よ う な概 念 は,
形 性 と い う概 念 の 中 に 吸 収 され て し ま っ た.
の 中 に 吸 収 さ れ て し ま っ た の で あ る!
と い う概 念
第6講 多重 線形 関数 とテ ン ソル空 間 テーマ
◆k重
線 形 関 数,多 重 線 形 関 数
◆kー テ ン ソル空 間 ◆ テ ン ソル積 をVの
元 の'か け 算'と 考 え る.
◆'か け 算'の 規 則 ◆ 多 項 式 の か け算 ◆k次
の単 項 式 のつ くる1次 元 ベ ク トル空 間Pk
◆ 多項 式 全 体 の つ くる空 間
多重線形関数 私 た ち は,線 形 関 数 の 概念 を,2変
数 の場 合 に対 して 双線 形 関 数 とい う新 しい
考 えを 導 入 して拡 張 した.そ して,こ の 拡張 を 媒 介 とし て,ベ ク トル空 間Vか 新 しい ベ ク トル空 間
を誕 生 させ た.一 度 こ の道 筋 がわ か れ ば,線 形 関 数 の
概 念 をk変 数 に まで拡 張 して,対 応 してVのk階 個!)を
ら
の テ ン ソル積
(k
構 成 す る こ とは,容 易な こ とに な るだ ろ う.視 点を2変 数か らk変 数 に
まで 上 げれ ば よい の で あ る. 【定 義】V*のk個 … ,xk)が
V*上
の 直積 集 合k個
次 の 性 質 を み た す と き,ψ をV*上
のk重
上 で 定 義 さ れ た 関 数 ψ(x1,x2, のk重
線 形 関 数 と い う.
線 形 関 数 全 体 の つ く る 集 ま りをLk(V*)と
トル 空 間 と な る.こ 義 す る の で あ る.す
の 場 合,加
法 と ス カ ラ ー 積 は,双
な わ ち,ψ,ψ
∈Lk(V*)に
お く.Lk(V*)は
ベ ク
線 形 関 数 の とき と同様 に定
対 し て,加
法 ψ+ψ,ス
カ ラ ー積
αψ(α ∈R)を
次 の よ うに 定 義 す る:
kを 自然 数 の上 を 動か し てい くと,そ れ に応 じて,k重
線 形 関 数 のつ くるベ ク
トル空 間 の系 列
(1) が 得 ら れ る.こ
の どれ か に 属 す る 元 を,一
般 にV*上
の 多 重 線 形 関 数 と い う.
kーテ ン ソ ル 空 間 【定 義 】
ベ ク トル 空 間Lk(V*)を,Vのkー
テ ン ソ ル 空 間 と い いk個
と 表 わ す. し た が っ て 系 列(1)は,新
し く導 入 さ れ た こ の 記 法 に よ る と,テ
ン ソル空 間
の 系列
(2) と し て 表 わ さ れ る こ と に な る.
の ベ ク トル 空 間 と し て の 構 造 は,前
論 を 繰 り返 す こ と に よ っ て,kー
テ ン ソル 空 間
Vのk個
対 し て,そ
を,V*上
の 元x1,x2,…,xkに
のk重
講 で 明 ら か に し た.同
様 の推
の 構 造 も知 る こ と が で き る.
の テ ン ソル 積
線形 関数
で あ る と 定 義 す る. Vの
基 底{e1,e2,…,en}を1つ
(i1,i2,…,ik=1,2,…,n)の が って
とる と
全 体 は,
の 基 底 を つ く る こ と が 示 さ れ る.し
た
の 元 は,た
だ1通
りに
(3) と 表 わ さ れ る.
実 際,任
意 の 元
と 表 わ し た と き,係
を と って
数αi1i2...ikは
に よ っ て 一 意 的 に 決 ま っ て い る.こ
こ で{e1,e2,…,en}は,{e1,e2,…,en}の
双
対 基 底 で あ る. (3)で,i1,i2,…,ikは
そ れ ぞ れ 独 立 に1か
らnま
での値 を とる こ とに注 意 す
る と
が 成 り立 つ こ と が わ か る.
テ ン ソ ル 積 をVの
元 の'か
Vの 元 を 勝 手 にk個 と っ た と き,私 る.た
と え ばVの4個
け 算'と
た ち は そ の テ ン ソ ル 積 を 考 え る こ とが で き
の 元x1,x2,x3,x4が
を 考 え る こ とが で き る.別
に3個
して考 え る
与 え ら れ れ ば,テ
の 元x5,x6,x7が
ン ソル 積
与 ら れ て い れ ば,同
様 にテ ン
ソル積
を考 え る こ と が で き る.し
か し私 た ち は,さ
ら に ξ,ηの'積'
を 考 え る こ と も で き る の で あ る. こ の よ うに,テ
ン ソル 積 の 概 念 は,Vの
元 に 対 す る'か
け 算'の
可能 性 を 与 え
て い る と み る こ と が で き る.た
だ し,か
け 算 を した 結 果 は,自
分 の 中に は お さ ま
ら な い で,ず
っ と 先 の テ ン ソ ル 空 間 の 中 で 捉 え られ る とい う よ うに な っ て い る.
た と え ば,上
の例 で は
で あ るが,結 果 は
で あ っ て,ξ の 入 っ て い る テ ン ソ ル 空 間 間
か ら も,η の 入 っ て い る テ ン ソル 空
か ら も は み 出 し て い る.
こ の よ うな 点 を も う少 し は っ き り さ せ な く て は,テ け 算 と し て 考 え る こ と は,少
し た め らわ れ る.だ
ン ソル 積 を こ こ で す ぐに か
か ら さ し あ た りは,'か
と 引 用 記 号 を つ け て お こ う.
'か け 算'の
に 対 し て,一
規則
般に
(4) と お くこ と に よ り
が 定義 され て,こ れ が 次 の性 質を もつ こ とを注 意 してお こ う. に対 して
(5)
こ の 式 が 成 り立 つ こ とは,(4)か ま た 前 講 の(3)の
ら容 易 に 確 か め ら れ る.
一 般 化 と し て,
に 対 して
(6) も 成 り立 つ. (5)と(6)か
ら,た
とえば
け 算'
は,i1,…,ikに
つ い て1か
らnま
で の 和)
は,j1,…,jlに
つ い て1か
らnま
で の 和)
の と き,
と表 わ され る こ とが わ か る. また に対 し て
が 成 り立 つ.こ
の 式 は,テ
ン ソル 積 は,ど
よ らな い こ と を 示 し て い る.し
の 順 で'か
け る'か
た が っ て こ の 式 を,単
に
の 順 序 の と り方 に とか い て も,差
しつ か え な い こ と に な っ た. な お,一 i≠jの
般 に は
で あ る.た
と え ばVの
基 底{e1,e2,…,en}に
対 し,
ときつ ね に
で あ る.実
際,こ
の 両 辺 が(ei,ej)で
で あ る(こ
と る 値 を み る と
の こ とは,も
で あ る が,
ち ろ ん,
が
の 基 底 を つ く っ て い る こ とか ら も 明 ら か で あ る).
多項式のかけ算 Vの 元 を,テ ン ソル 積 に よって い くつ で も 自由に か け 合 わす こ とが で き る よ う に す るた め に は,(2)に
現 わ れ た ベ ク トル空 間 の 系 列 を,全
部 ま とめ た よ うな
空 間 を 考 え る こ とが 必 要 に な るだ ろ う.そ の考 え は,テ ン ソル代 数 とい う概 念 に 導 くの で あ る が,そ て,も
の話 は 次 講 に まわ す ことに して,こ
っ と考 えや す い 状 況―
多 項 式 のか け算 ―
こでは,そ
の準 備 とし
につ い て話 し てお こ う.
0次 の 単 項 式 は 定 数 項 だ けか らな る もので あ って,そ
の全 体 はRで
あ る.1
次 の 単 項 式 は αx(α∈R)と 表 わ され る ものか らな り,一 般 にk次 の単 項 式 は αxk (α∈R)と
表 わ され る もの全 体か らな る.記 号 は少 し大 げ さだが,あ
明 に 役 立 つ こ と もあ っ て,k次
の単項 式 全 体 をpkと
お く:
とか らの 説
Pkは,対
応axk〓aに
よ っ て,Rと
同 型 な,し
た が っ て1次
に な っ て い る.こ
の とき
と な っ て い る.こ
こ で 右 辺 に 現 わ れ た 記 号 は,ベ
号 で あ っ て,い し て い る(正
ま の 場 合 は,左
ク トル 空 間 の 直 和 を 表 わ す 記
辺 の よ うな 表 わ し方 が た だ1通
確 に い う と,」P0,P1,…,Pkの
元 の ベ ク トル 空 間
元 が,互
い に1次
りで あ る こ と を 示 独 立 と 思 っ て,そ
れ ぞ れ に 属 す る 元 の 和 を と っ て 得 られ る ベ ク トル 全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間 を, こ れ ら の 空 間 の 直 和 と い う の で あ る). こ の よ うな 記 法 を 採 用 した と き,単
と表 わ さ れ る.こ の 式 の 意 味 は,Pkに と っ て か け 合 わ す と,px+lの
項 式 の積 の規 則 は
属 す るaxkとPlに
元 が,abxk+lの
属 す るbxlを
い ろい ろ
形 で す べ て 得 られ る と い う こ と で
あ る.
高 々k次 の多 項 式全 体 のつ くるベ ク トル空 間を
(7) と 表 わ す こ と に す る.こ
の とき
も 成 り立 つ こ と に な る. さ ら に,多 1,2,…)を
項 式 全 体 の つ く る 集 合 をPと
す る.Pは
高 々k次
の 多 項 式(k=0,
す べ て合 わ せ た 集 合
(8) と な っ て い る. Pは,も は,集
ち ろ ん,ベ
ク トル 空 間 の 構 造 を も つ.Pを
合 と し て は 同 じ も の で あ る が,(8)の
ベ ク トル 空 間 と み る と き に
記 法 を か え,む
し ろ(7)の
表わ
し方 に 合 わ す よ うに して
(9) と か く. こ の(9)の
表 わ し方 で 注 意 す る こ とは,右
を し て い る が,集 は,有
合 と し て 意 味 し て い る も の は(8)で
限 個 のPk1,Pk2,…,〓(ki
f1+f2+…+fsと Pは,多
度 はPの
と り,和
algebraと algebraは,代
の よ うに 多 項 式 全 体 を と
中 で か け 算 が 自 由 に で き る の で あ る(4次 式 に な る が,7次
Tea
式 もPに
の 多項 式 と
含 ま れ て い る!).
Time
い う単 語 に つ い て
数 の こ と で あ る と い う こ と は,割
析 学 を 英 語 で 何 と い うか,と
合 よ く知 ら れ て い る.算
聞 か れ る と 少 し戸 惑 う人 で も,代
術
数 は英 語 で
とい う こ と を 知 っ て い る 人 は 多 い.
algebraと
い う,独 特 な 響 き を もつ 単 語 の 起 源 は,9世
文 学 者 で あ り数 学 者 で あ った ア ル ・フ ァ リ ズ ミー(al 作
た が っ て(9)
らf1,f2,…,fsを
項 式 全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間 で あ る が,こ
3次 の 多 項 式 を か け る と,7次
algebraだ
あ る.し
し て 表 わ さ れ る 元 全 体 か ら な っ て い る.
っ て お く と,今
や,解
辺 は 無 限 個 の 直 和 と い う表 わ し方
紀 前 半,イ
ス ラ ムの天
Khwarizmi)の
有 名 な著
『ア ル ・ジ ャ ブ ル ・ヴ ァ ル ・ム カ ー バ ラ』 の 標 題 か ら 由 来 し て い る.こ
の'jabr'は,負
の 項 を 除 くた め に,方
し,'muquabala'は,方
程 式 の 両 辺 か ら 同 じ量 を 引 く こ と に よ り,正 の 項 を 小
さ くす る こ と を 意 味 し て い た そ う で あ る.こ muquabala'は,も
の標 題
程 式 の 両 辺 に 同 じ項 を 加 え る こ と を 意 味
う少 し 一 般 的 に,代
ば 用 い られ て い た と い う(な
お,ア
の2つ
の 言 葉 の 結 合'a1-jabr
wal-
数 的 演 算 を す る と い う意 味 に ,し
ル ゴ リズ ム と い う言 葉 は,彼
ば し
の 名 前 ア ル ・フ
ァ リ ズ ミー か ら き て い る). algebraと
い う言 葉 は,そ
り定 着 し た の で あ るが,20世
の 後,代
数 演 算 を 取 り扱 う学 問 の 総 称 と し て す っ か
紀 に な っ て,algebras,ま
葉 が も う少 し 狭 い 意 味 に も 使 わ れ る よ うに な っ て,事 て き た の で あ る.
た はalgebraと
い う言
態 が 少 し厄 介 な こ とに な っ
た と え ば,上
の 多 項 式 全 体Pは,R上
算 もで き る.英 ル 空 間 で,か
の ベ ク トル 空 間 で あ る が,同
語 で はPをpolynomial
algebraと
い うの で あ る.一 般 に ベ ク ト
け 算 も で き る よ うな 対 象 をalgebraと
い う よ う に な り,こ
数 学 に お け る 重 要 な 研 究 対 象 と な っ て き た の で あ る.こ は,当
初 は,'hypercomplex
環'と
訳 さ れ た の で あ る が,日
algebraと
number
system'と
れが 代
の よ うな数学 的 な対 象
よば れ,日
本 語 で は'多
本 語 の 多 元 環 が 定 着 す る 頃 に は,あ
元
ち ら で は,
よ ぶ こ とが 主 流 と な っ て き た.
私 た ち は,あ
ま りい ま ま で の 経 過 に こ だ わ らず に,Pを
項 式 代 数 と い う こ とに し よ う.ま exterior
時 にか け
algebraと
た,こ
れ か ら,英
語 で はtensor
よ ば れ て い る も の を 導 入 す る が,こ 者 が,い
英 語 の 直 訳 の 形 で,多 algebra,
れ も簡単 に そ の ま まテ ン
ソル 代 数,外
積 代 数 と い う こ と に し よ う.読
の 語 感 に,あ
ま り こ だ わ られ な い こ とを 望 む の で あ る.
ま ま で 知 っ て い るalgebra
第7講 テ ンソ ル代 数 テーマ
◆V上
の テ ン ソル 代数
◆ テ ン ソル 代数 にお け る 演算 の 定義 ◆ テ ン ソル 代数 の構 造 ◆ テ ン ソル代 数 の元 の 次数 ◆ テ ン ソル 代 数 と多項 式 代 数 との違 い―
乗 法 の 非可 換 性 と可 換性
◆ ベ ク トル空 間 か らテ ン ソル 代 数へ の道
テンソル代数 1つ1つ
の 多 項 式 を か け 合 わ せ て い く と,次
項 式 全 体Pを
考 え る と,Pの
ソ ル の 場 合 で も,k次 と,(k+l)次
中 で は,か
け 算 が 自 由 に で き る よ う に な る.テ
の テ ン ソ ル
の テ ン ソル
数 が ど ん ど ん 上 が っ て い くが,多
と,l次
の テ ン ソ ル η
と な る が,こ
【定 義 】
をかける
こで もす べ て の次 数 の テ ン
ソ ル か ら生 成 さ れ た 大 き な ベ ク トル 空 間 を 考 え て お く と,多 成 り立 つ に 違 い な い.そ
ン
項 式 と同様 な 状 況が
こ で 次 の 定 義 を お く.
ベ ク トル 空 間Vに
対 し
(1) と お き,T(V)を,V上
の テ ン ソ ル 代 数 と い う.
こ の 定 義 に 対 し て 説 明 を 加 え よ う. 記 号 つ.す
:こ れ は 直 和 の 記 号 で あ っ て,Pの
な わ ちT(V)の
とき用 いた もの と 同様 の意 味 を も
元 は,有 限 個 の ベ ク トル 空 間
か ら ξ1,ξ2,…,ξsを と っ て
(2) と表 示 され る元全 体 か らな る.
別 の 元 η∈T(V)を
と って
(3)
と表 わ した とき,ξ と ηがT(V)の
と約 束 し て あ る((2)と(3)の
同 じ元 を 表わ す の は
右 辺 に は0は
現 わ れ て い な い と し て い る).
こ の よ うに 形 式 的 に か く とわ か り に くい か も し れ な い が,要 の 多 項 式 が 等 し い の は,次 と を,T(V)の (1)の
す る にPで,2つ
数 が 等 し く,各 係 数 が 等 し い とい う内 容 に 対 応 す る こ
場 合 に 述 べ て い る だ け で あ る.
表 示 で,各
R,V:(1)の
を 直 和 因 子 と い っ て 引 用 す る こ と も あ る.
右 辺 に 直 和 因 子 と し てRとVも
ス カ ラ ー 積 と し て っ て い る:1ξ=ξ.
とか い て も よ い.記
加 え られ て い る.Rの
に か け る こ とが で き る.特
に1∈Rは
元 αは,
乗 法単 位 とな
とお く と,(1)は
号
の 使 い 方 は,記
号
の 使 い 方 と似 て い る.た
だ し,
で は有 限個 の元 の和 だ けを と ってい る.
テ ン ソル 代 数 に お け る 演 算 の 定義 加 法 と ス カ ラ ー 積:(2)と(3)で
表 わ さ れ て い る ξ と ηに 対 し て
(4)
とお く.(4)は,た え る の で あ る.(1)の と ηjを 加 え て,次
と え ば
な ら ば,ξ1+η1は,
か き 方 に 揃 え る た め に は,同 に,直
べ て,加 法 の 形 で か く.こ
和因子の 順に―
の元 として 加
じ 直 和 因 子 に 入 っ て い る ξi
テ ン ソル の 次 数 に し た が っ て―
の よ うな,直 和 因 子 の 順 に し た が う順 序 の 入 れ か え は,
こ れ か らい ち い ち 断 らな い こ と に す る. 積:(2)と(3)で
並
表 わ さ れ て い る ξ と ηに 対 し,そ
の テ ン ソル積 を
(i=1,2,…,s;j=1,2,…,t)で
定 義 す る.
こ の 積 の 定 義 も形 式 的 で わ か りに くい と い う人 は,多 に した が っ て,順
次 か け 合 わ せ て,そ
項 式 の か け 算 を,分
配則
の のち に 降 ベ キの順 に揃 え る こ とを 思 い 出
し て み る と よ い だ ろ う. 注意 これ か らは,T(V)の
零 元 は0で 表わ し,こ れ は 同 時に,ベ
ク トル 空間Vの
零元
を表わ し てい る と考 え る.
テ ンソル代数 の構造 T(V)をV上
の テ ン ソ ル 代 数 と す る.T(V)は
代 数 的 に は 次 の よ うな 構 造 を
もつ. (Ⅰ) T(V)は,(R上 (Ⅱ) T(V)に
の)ベ
は,か
ク トル 空 間 で あ る.
け 算 が 定 義 さ れ て い て,こ
(ⅰ)
(結合 則)
(ⅱ)
(分配 則)
(ⅲ) α∈Rに
対 して
(ⅳ) 1∈Eに
対 して
これ ら の 規 則 が 成 り立 つ こ と は,す 一 般 に,も
の の 集 ま りAが
算 が 定 義 さ れ て い て,こ の)多
元 環,ま
で に 前 項 で 示 し て あ る.
あ っ て,Aの
中 に 加 法,(Rと
れ が 上 の(Ⅰ),(Ⅱ)の
た は 前 講 のTea
れ は 次 の 性 質 を も つ.
Timeで
の)ス
カ ラ ー 積,か
け
性 質 を み た す と き,Aを(R上
の 術 語 の 使 い 方 の 了 承 に よ れ ば,代
数
と い う の で あ る. 一 般 の代 数Aに な お,T(V)に 次数kを 数kの
対 して は,か け 算 は,x,y∈Aに は,多
項 式 代 数Pの
数lの
元 η と の 積
記す のが ふ つ うで あ る.
場 合 と 同 じ よ う に,
も つ と い う こ と に よ り,次 数(ま 元 ξ と,次
対 してxyと
た は 階 数)の は,次
数k+lを
の と き,ξ は
概 念 が 入 る.こ も つ.一
般に
の とき次
が 成 り立 つ.こ
の 式 で 包 含 関 係 ⊂ は 明 ら か で あ ろ うが,等
左 辺 の 空 間 の 次 元 がnk×nl=nk+lと
な っ て,右
号 が 成 り立 つ こ と は,
辺 の 空 間 の 次 元 と 等 し くな る こ と
か らわ か る.
テ ン ソ ル代 数 と 多 項 式 代 数 と の違 い 私 た ち の 関 心 は,V上 っ て,多
項 式 代 数Pの
の テ ン ソ ル 代 数T(V)に 類 似 を た ど りな が ら,い
あ る の だ が,こ
ま ま で 話 を 進 め て き た.
類 似 し て い る 方 だ け を 強 調 し て い く と,T(V)とPに 違 い も な い よ うに みえ て く る.し
か し 実 は,か
の導 入 に あた
は,本
質 的 な点 に 何 の
け 算 の 規 則 に 関 し1つ
の点 で 本質
的 な違 い が あ る.
T(V)は
非 可 換 で あ り,Pは
す な わ ち,ξ,η ∈T(V)に
対 し て,一
対 し て は つ ね にf・g=g・fが
成 り立 っ て い る.
可 換 で あ る.
般 に は
で あ る が,f,g∈Pに
こ の 違 い を も っ と は っ き り認 識 し て も ら うた め に,Vと つ2次
元 の ベ ク トル 空 間 を と り,多
項 式 代 数 と し て は,こ
い て の 多 項 式 全 体 の つ くる 多 項 式 代 数P[x,y]= の 元 は,た
し て,基
底e1,e2を
も
こ で は2変
数x,yに
つ
Pk[x,y]を
と る.P[x,y]
とえ ば f(x,y)=x−5x3y+2x2y2+6y8
の よ うに 表 わ さ れ て い る. こ の と き,T(V)の
非 可 換 性 とP[x,y]の
可 換 性 を 対 比 し な が ら考 え て み る
と次 の よ うに な る. 。 で は, 。 P2[x,y]で ・
が 基 底 を つ く る.
はx2,xy(=yx),y2が
基 底 を つ くる.
で は,
・ p3[x,y]で
は,xxy,xyx,yxxは
こ の 非 可 換 性 と 可 換 性 は,次
は す べ て 異 な る元 と な る. 同 じ元x2yを
表 わ し て い る.
元 の 上 で も は っ き り現 わ れ る.い
ま の場合
で あ る が,
で あ る.
は,pk[x,y]に
比 べ れ ば,は
ベ ク トル空 間Vか こ の よ うに し て,長 て,テ
る か に 大 き い ベ ク トル 空 間 と な る!
ら テ ン ソ ル 代 数T(V)へ
い 道 の りで は あ った が,抽
ン ソ ル 代 数T(V)に
到 達 し た.(1)か
象 的 な ベ ク トル 空 間 か ら出 発 し ら
V⊂T(V) で あ る.し
た が っ て,T(V)は
ベ ク トル 空 間Vを
拡 張 した もので あ ると考 え る
こ と が で き る. ベ ク トル 空 間Vの が,T(V)の
中 で は,加
法 と ス カ ラー積 が 定 義 され て いた だ け であ っ た
中 で 考 え る と,Vの
元 は い く ら で もか け 合 わ す こ と が で き る よ う
に な っ た. だ が,Vに
比 べ れ ば,T(V)は
は 有 限 次 元 で,そ 次 元 で,そ
非 常 に 大 き い ベ ク トル 空 間 で あ る.実
の 基 底 は,{e1,e2,…,en}で
際,V
与 え ら れ て い る が,T(V)は
無 限
の基 底 は 無 限 個 の元
で 与 え ら れ て い る.こ
こ でi1,i2,…,ikは,{1,2,…,n}か
ら重 複 を 許 して と っ た
す べ て の 順 列 を わ た る. ベ ク トル 空 間Vが
与 え られ た と き,Vを
広 げ て,Vの
こ と の で き る よ うな 対 象 を 考 え る こ と は,望 え は,数
元 を 自由に かけ 合 わ す
ま し い こ とだ し,ま
た そ の よ うな 考
学 の 中 に あ る 自 由 性 を 端 的 に 示 し て い る と もい え る だ ろ う.確 か に テ ン
ソ ル 代 数 Υ(V)は,そ
の 方 向 へ の1つ
の 答 を 与 え て い る.し
限 次 元 で,有
限 次 元 の ベ ク トル 空 間Vと
何 か,Vを
含 む 有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 が あ っ て,そ
か し,T(V)は
の 隔 りが あ ま り に も 大 きす ぎ る. の 中 で は,か
け算 が 自由
に 行 な え る よ うな 対 象 を 構 成 す る こ とは で き な い だ ろ うか. さ ら に,(こ
の 要 求 は 多 少 漠 然 と し て い る が)か
い 適 用 性 を もつ も の が 望 ま し い.た 対 して
無
け 算 の 規 則 が 意 味 が あ り,広
と え ば 極 端 な 場 合,Vの
任 意 の2元x,yに
x・y=0 と お い て,か
け 算 を 導 入 す る と,Vの
中 だ け で か け 算 が で き る よ うに な る が,こ
れ は い か に もつ ま ら な い. 次 講 で は,こ E(V)と
の 問 題 の1つ
よ ば れ る1つ
の 答 と して,ベ
ク トル 空 間Vに
の 代 数 を 構 成 し よ う.E(V)はVを
対 し て,外
積代 数
含む 有 限 次 元 のベ ク
トル 空 間 で あ っ て dimE(V)=2n と な っ て い る.E(V)を
構 成 す る 道 は,テ
で あ る が,E(V)はT(V)よ 中で は ―
(n=dimV)
り も,現
ン ソ ル 代 数T(V)を
代 数 学 の 中 で は―
経 由 してい くの 殊 に ベ ク トル 解 析 の
は る か に 広 い 適 用 性 を も っ て い る.
Tea
Time
質 問 1つ の こ とを 発 見 しま した.こ れ は僕 に と って 生 まれ て は じめ て の 数学 上 の発 見 で す.多 項 式 の場 合,Pま ク トル空 間P1の
で 広 げ な くと も,高 々1次 の 多項 式 の つ くるベ
中で も,ち ゃん とか け算 が で き る よ うな規 則 を 見つ け た ので す.
それは
(*) と して,か け 算 〓 を定 義す るの です.分 配則,結 合則 が 成 り立 つ こ と も確 か め て み ま した.結 合 則 を示 して み ま し ょ うか.そ れ に は
が成 り立 つ こ とをみ れ ば よい わ け で す.と こ ろが
左辺 右辺 で,左
辺=右
っ て,P1も'高
辺 と な り,結 々1次
答 発 見 の 喜 び は,大
合 則 が 成 り立 ち ます.僕
式 代 数'と
が 見つ け た このか け 算 〓 に よ
命 名 し て も よ い こ と に な った の で し ょ うか.
き い も の で,1つ
の 発 見 が 数 学 の 勉 強 へ 駈 りた て る 契 機 と
な る こ と も多 い.君
が 発 見 し た こ と は 正 しい こ と で あ る し,ま
式 代 数 とい っ て も構 わ な い わ け で あ る.(*)の っ と,ふ つ うの か け 算 を した 上 で,x2の
たP1を
高 々1次
か け 算 の 規 則 を 発 見 し た の は,き
項 を と っ て し ま っ た ら ど うな る か と考 え
て み た の だ ろ う と思 う. しか し,こ 考 え で,高
の こ と は 数 学 者 が 実 は も う よ く知 っ て い る こ と な の で あ る.同 々k次
に は 高 々k次
の2つ
次 以 上 の 項 を0と
の 多 項 式 全 体Pkも,代 の 多 項 式f,gを
ふ つ う の よ うに か け 算 し て か ら,次
お くの で あ る.す
様 の
数 の 構 造 を い れ る こ と が で き る.そ
れ
にk+1
なわ ち
f(x)g(x)=(f g)(x)+xk+1G(x) (f gはk次
ま で の 部 分)と
こ の と き 得 られ る'高
々k次
し て,か
け 算f gを
式 代 数'は,次
定 義 す る の で あ る.
講 で 述 べ る い い 方 に し た が え ば,P
をxk+1か
ら生 成 さ れ た イ デ ヤ ル で 割 っ て 得 ら れ た 代 数 と い う こ と に な る.君
見 は,も
っ と大 き な 考え へ と 発 展 し,そ
の発
こ に 吸 収 さ れ て い く こ と に な る だ ろ う.
第8講 イ
テ ー
ヤ
ル
マ
◆ 代 数Aの ◆
デ
イデ ヤル の一 般 的 な 定義
イデ ヤ ルIに よ る類 別―
同値 類
◆ 商 集 合A/I ◆ 商 集 合A/Iは,代
数 の 構造 を もつ.
◆ 商代数 ◆ 多 項 式 代 数 に お け る1つ の例
一 般 論―
AをR上
イデヤルにつ いて
の代 数(多 元 環)と す る.Aか
ら新 しい 代 数 をつ くる 一 般 的 な方法
が あ る.そ の こ とを まず 述べ て お こ う.な おAの
元x,yに
対 して積 をxyで
表わ
す こ と にす る. 【定 義 】Aの
空 で な い部 分 集 合Iが 次 の条 件 をみ た す とき,イ デ ヤル とい う.
(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)
こ こ で(ⅰ)と(ⅱ)の と い う条 件 で あ る.す 任 意 のx∈Iに
条 件 は,IがAの な わ ち,Iの
対 し(ⅱ)か
中 で 部 分 ベ ク トル 空 間 に な っ て い る
中 で 加 法 も ス カ ラ ー 積 も 自 由 に で き る.な
ら −x=(−1)x∈Iだ
か ら,(ⅰ)か
ら,Iの
お
中で 引
き 算 も 自 由 に で き る こ とが わ か る. (ⅲ)は,特
徴 的 な 性 質 で あ っ て,単
にIの
元 を2つ
れ る とい う こ と を 保 証 し て い る だ け で は な く て,一 え す れ ば,Aの
ど ん な 元aを,xに(左
る と い う こ と を 保 証 して い る の で あ る.
か け 合 わ せ て もIに
方 の 元xがIに
ま た は 右 か ら)か
含 ま
含 まれ て い さ
け て もIに
含 まれ て い
最 初 に こ の よ う な 話 を 聞 か れ た 読 者 は,イ か も しれ な い.前
デ ヤ ルIの
講 か ら の 話 の 続 き と し て は,次
例 を 知 りた い と思 わ れ る
の よ う な 例 を 述 べ て お くの が,
最 も適 切 で あ ろ う. 多 項 式 代 数Pを,上
の 定 義 のAに
と る.自
然 数kが
与 え ら れ た と き,Pの
部
分 集 合Ikを Ik={f│f(x)=xk+1F(x),F(x)は と お く.す
任 意 の 多 項 式}
な わ ちIkは xk+1(a0+a1x+…+alxl)
の 形 を した 多 項 式 か ら な る集 合 で あ る.IkはPの
イ デ ヤ ル とな る.実
元 に,ど
含 まれ て い る こ とは 明 らか だ
ん なPの
元(多
項 式!)を
か け て もIkに
際,Ikの
ろ う.
イ デ ヤ ル に よ る 類 別―
代 数Aの
中 に イ デ ヤ ルIが
が で き る.す
与 え られ る と,Aの
同 値 類
元 をIに
よ って 類別 す る こ と
なわ ち x−y∈Iの
と きx∼y
と お き,xとyは
同 じ類 に 入 っ て い る と い うの で あ る.こ
(a)
あ る
x∼xで
の とき
な ぜ な らx−x=0∈I (b)
x∼yな
らばy∼x
な ぜ な らx−y∈Iな
(c)
x∼y,y∼zな
ら ば −(x−y)=y−x∈I ら ばx∼z
な ぜ な らx−y∈I,y−z∈Iよ
り,x−z=(x−y)+(y−z)∈Iと
な るか ら
で あ る. こ の(a),(b),(c)を
示 す に は,イ デヤ ル の 性質 の うち,(ⅰ)と,x∈Iな
らば−x∈I
とい う性 質 し か用 いて い な い こ とを注 意 して お こ う. 任 意 のa∈Aに
対 し,aと
分 集 合 が 得 られ る.こ に す る.a∈Aで
同 じ 類 に 入 っ て い るxを1ま
の 部 分 集 合 をaを
あ る が,[a]⊂Aで
と め に す る と,Aの
含 む 同 値 類 と い い,[a]で
あ る.こ
の と き(a)は,x∈[x]を
部
表 わす こ と 示 し,
(b)は,y∈[x]な (c)か
ら ばx∈[y]を
示 して い る.
らは 次 の こ と が わ か る.2つ
[x]=[y]か,[x]∩[y]=φ(空 な ぜ な ら,も
集 合)の
し[x]∩[y]≠
た が っ てz∼y)か
す る と,x∼y,y∼y′
とは,[y]⊂[x]を
示 し て い る.同
結 局,[x]∩[y]≠
φ な ら ば,[x]=[y]が
[x]∩[y]=φ
か の,い
与 え ら れ た と き,
し か 起 き な い. 共 通 なAの
ら,x∼yと
か らx∼y′.し
元zが
な り,y∈[x)と
な る.
た が っ てy′ ∈[x].こ
様 に し て,[x]⊂[y]も 示 さ れ た.こ
い え る.し
の こ
た が っ て,
の こ と は,[x]=[y]か,
ず れ か 一 方 の 場 合 しか 起 き な い こ と を 示 し て い る.
Aは,相
異 な る 同 値 類 に よ っ て,互
さ れ る.こ
れ を,イ
同 値 類 を1つ
い ず れ か1つ
φ とす る と,[x]と[y]に
含 ま れ る.x∼z,y∼z(し そ こ てy′ ∈[y]と
の 同 値 類[x],[y]が
デ ヤ ルIに
の'も
の'と
い に 共 通 点 の な い 部 分 集 合 の 集 ま りに 分 割
よ るAの 思 っ て,相
類 別 と い う. 異 な る 同 値 類 全 体 を 集 め て 得 られ る集 合
を, A/I と 表 わ し,AのIに
よ る 商 集 合 と い う.A/Iの
元 は,相 異 な る 同 値 類[x],[y],…
か ら な っ て い るわ け で あ る. こ れ か ら と き ど き,説 え,関
明 の 便 宜 さ も あ っ て,Aを
係x∼yは,xとyが
な た とえ を と る.こ
同 じ 世 帯 に 属 し て い る 関 係 を 示 し て い る とい う よ う の と き,各
同 値 類 は そ れ ぞ れ の 世 帯 と な り,日 本 の 人 を こ の
関 係 で 類 別 す る とい う こ と は,世 た と え で は,x−yな だ が,Aの
帯 別 に わ け る とい う こ とに な る.も
ど と い う 演 算 に 意 味 は な い し,イ
元xと,xを
含 む 同 値 類[x]と
る 世 帯 と い うた と え が,状
A/Iの'元'[x],[y]に
デ ヤ ルIも
い うと き,人
と,そ
登 場 しな い の の人 の 属 して い
代 数 に な る
加 法 と 乗 法 を 定 義 し,さ 定 義 す る こ と に よ っ て,A/Iに
ら に 任 意 の 実 数 α に 対 し て, 代数 の構 造 を与 え る こ とが で
き る. 結 論 か ら 先 に い う と,こ
ち ろん この
況 を 簡 明 に 説 明 す る こ と も 多 い の で あ る.
A/Iは
ス カ ラ ー 積 α[x]を
日 本 に 住 む 人 の 集 ま りに た と
れ ら は 次 の よ うに 定 義 す る の で あ る:
加
法:[x]+[y]=[x+y]
ス カ ラ ー 積:α[x]=[αx] 乗
(1)
法:[x][y]=[xy]
この定 義 は 自明 な こ との よ うに み え るが,こ の よ うな定 義 が可 能 か ど うか とい うこ とは実 は 少 し も明 らか な こ とでは ない の であ る. 問 題 点 は す べ て 同 じ場 所 か ら 生 ず る の で あ る が,ま
ず 加 法 か ら 説 明 し よ う.上
[x]と[y]の
和 をx+yを
含 む 同値 類 と して
定 義 し よ う と い うの で あ る.と み る とわ か る よ うに,[x]か
こ ろ が,図4を ら別 のx′,[y]か
ら別 のy′ を と っ た と き,x′+y′
が や は りx+y
と 同 じ 同 値 類 に 移 っ て い な い と,こ 意 味 が な い の で あ る.世 [x]世 て,別 [y]世
帯 に い る 父 親 以 外 の 人 た ち が,父
揃 っ 帯 と 親の
帯へ 移 っ た か ど う か
らか な こ とで は な い の で あ る.
つ ま り,こ は,次
帯 の 父 親yが
帯 へ 移 っ て も,[x]世
移 動 に 同 道 し て[z]世 は,明
の 定 義 には
帯 の た と え で い う と,
帯 の 父 親xと[y]世 の[z]世
の 定 義 は,
の加 法 の 定義 に意 味 が あ るた め に
図4
の こ とを 示 さ な くて は な ら な い.
x∼x′,y∼y′
な らばx+y∼x′+y′
と こ ろ が こ の こ とは x−x′ ∈I,y−y′
∈I⇒(x+y)−(x′+y′) =(x−x′)+(y−y′)∈I
と な っ て 成 り立 つ の で あ る.こ
こ で は イ デ ヤ ル の 性 質(ⅰ)を
ス カ ラ ー 積 の 定 義 に 対 し て も,図5を る.こ
の とき示 す べ き こ とは
用 い て い る.
み る とわ か る よ う に 同 じ 問 題 が 起 き て い
図6
図5
x∼x′
な らば
αx∼ αx′
で あ る. こ の こ と はx−x′ デ ヤ ル の 性 質(ⅱ)を
∈I⇒
α(x−x′)∈I,αx−
αx′∈Iか
ら わ か る.こ
こでは イ
用 い て い る.
乗 法 の 定 義 が妥 当 な もので あ るため に は
x∼x′,y∼y′
な ら ばxy∼x′y′
を 示 さ な くて は な ら な い(図6). こ れ は,イ
デ ヤ ル の 性 質(ⅲ)か
x−x′ ∈I,y−y′
ら 導 く こ とが で き る.す
なわ ち
∈I⇒xy−x′y′=(x−x′)y+x′(y−y′)∈I
こ こ で(x−x′)y∈I,x′(y−y′)∈Iを こ れ ら の こ と が 示 さ れ て,は 定 義 が 確 定 し た の で あ る.一
用 い た の で あ る.
じめ て 最 初 に 述 べ た,加 度 確 定 し て み れ ば,Aの
法,ス 元xに
カ ラ ー 積,乗
法の
対 し て,A/Iの
元
[x]を
対 応 させ る対 応 は
を み た し て い る の だ か ら,Aで 則 へ と遺 伝 さ れ て い く.し
た が っ てA/Iは,代
特 にA/Iの0は,Aの0と ら な る.す
成 り立 つ 演 算 規 則 は,そ
の ま まA/Iへ
数 の 構 造 を もつ の で あ る.
同 値 な 元 全 体 か ら な る 類,す
な わ ち,IがA/Iの1つ
の演 算 規
の 元 と な っ て,こ
な わ ちx−0=x∈Iか
れ がA/Iの
零 元 とな るの
で あ る. 【定 義 】A/Iを,Aの な お,Aの 対 し て,そ
イ デ ヤ ルIに
元xに
対 し,xを
よ っ て 得 ら れ た 商 代 数 とい う.
含 む 同 値 類[x]を
対 応 さ せ る対 応―
の 属 し て い る世 帯 を 対 応 さ せ る 対 応―
を,Aか
らA/Iへ
各 個人 に の 標 準射 影
と い っ て πで 表 わ す: π(x)=[x] こ の 記 号 を 使 う と,(1)は((1)の
左 辺 と右 辺 は 逆 に な る が)
π(x+y)=π(x)+π(y) π(αx)=α
(2)
π(x)
π(xy)=π(x)π(y)
と 表 わ す こ とが で き る. 1つ
多 項 式 代 数Pに
の 例
お い て,
Ik={f│f(x)=xk+1F(x),F(x)は が イデ ヤ ル と な る こ と は,前
任 意 の 多 項 式}
に 述 べ て あ る.そ
(k=1,2,…)
れ では 商 代数
P/Ik は どの よ うな も の に な っ て い る の だ ろ うか. イ デ ヤ ルIkに
よ る類 別 を 考 え て み る と f(x)∼g(x)
f(x)−g(x)∈Ik
(3)
で あ る が, f(x)=a0+a1x+…+akxk+xk+1F(x)
(4)
g(x)=b0+b1x+…+bkxk+xk+1G(x) (F(x),G(x)は
多 項 式)と,fとgをk次
け て み る と,(3)が
ま で の 部 分 とk+1次
以 上 の部 分 にわ
成 り立 つ 必 要 十 分 条 件 は a0=b0,a1=b1,…,ak=bk
が 成 り立 つ こ と で あ る こ と が わ か る.す ど うか は,k次 で あ る.こ
な わ ち,fとgが
同 じ類 に 入 っ て い る か
の 部 分 ま で が 等 し い か ど うか に よ っ て,完
の こ と は,(4)の
形 を したfに
全 に 決 ま っ て し ま うの
対 し
[f]∋a0+a1x+…+akxk で あ り,[f]に
属 す る ほ か の 元 は,こ
れ にxk+1次
以 上 の 項 を 任 意 に加 え た も の
か ら な っ て い る こ と を 示 して い る. 簡 単 に た と え で い え ば,世
帯[f]の'世
帯 主'と
し てつね に代 表
a0+a1x+…+akxk
を 選 ぶ こ とが で き る の で あ る. し た が っ てP/Ikの の'世
帯 主'を
カ ラ ー 積,乗
こ の こ と をP/I1に こ と に な る.こ
々1次
々k次
ね にそ の 多項
法 が 定 義 さ れ る こ とに な る.
適 用 す る と,高
々1次
れ が 実 は,前 講 のTea
の 項 を 捨 て た の は,こ
っ て,高
ど に 対 し て,つ
代 表 と し て 演 算 結 果 を 表 わ す こ と に し て お く と,高
式 全 体 に 加 法,ス
で2次
演 算[f]+[g],α[f],[f][g]な
Timeで
の多 項 式全 体 に も乗 法が 定 義 され る 述 べ た 乗 法 と な っ て い る.そ
こ で の 私 た ち の 立 場 か ら い え ば,そ
式 で 代 表 され る'世
帯 主'を
Tea
こ
うす る こ と に よ
選 ん だ こ とに な っ て い る.
Time
イデ ヤ ル につ い て イデ ヤル は,日 本 語 に 訳 しきれ なか った数 学 の 術語 の1つ で あ っ て,英 語ideal を そ の ま ま訳 せば'理 想'に な って しま う.歴 史 的 な 経過 を無 視 す れ ば,い まこ こで 述 べ た イデ ヤル に対 す る 抽 象 的 な一 般概 念 に 対 して,'理
想'な ど とい う定
義 を 与 え て し ま っ て は,一
体,こ
ま うだ ろ う.も
メ リカ や イ ギ リス の 人 た ち が,数
っ と も,ア
の 概 念 の ど こに 理 想 が あ る の か と 面 食 ら っ て し 学 の 中 でidealと
い
う言 葉 に 最 初 に 出 会 った と き,ど の よ うに 感 ず る の か ま で は,私 に は わ か らな い. 歴 史 的 に は,ク
ン マ ー が 代 数 的 整 数 に 対 し て も,素
た せ る た め に は,数 想 数'と
い う概 念 を 導 入 し た の が 最 初 で あ っ た.こ
ヤ ル とい う立 場 で 見 直 さ れ た の は,大 ら に 抽 象 化 さ れ て,こ
体1870年
れ が デ デ キ ン トに よ り,イ デ
頃 の こ とで あ る.そ
こ で 述 べ た よ うな 形 に な っ た の は,20世
数 学 の 考え が 展 開 す る よ うに な っ て か ら で あ る.ク 葉 は,完
因 子 分 解 の 一 意 性 を 成 り立
の 概 念 を 拡 張 す る こ とが 必 要 で あ る とい う 着 想 を 得 て,'理
全 に 抽 象 化 さ れ て い く過 程 の 中 で も,イ
の概念 が さ
紀 に な って抽 象 代
ン マ ー の'理
想 数'と
い う言
デ ヤ ル と い う言 葉 の 中 に 残 り続
け た の で あ る. も っ と も ク ン マ ー が,'理 と,抽
ど と い う も の を 考 え た の は,具
象 的 な イ デ ヤ ル 概 念 を 結 ぶ か け 橋 が あ った か ら で あ る.そ
の 整 数nに る.す
想 数'な
対 し て,nの
な わ ち,整
倍 数 か ら な る イ デ ヤ ルJnを
数 の つ く る代 数Zの
体 的 な整 数
の 橋 と は,任
意
対 応 させ る と い う考 え で あ
中で
Jn={x│x=na,a∈Z} とお く と,JnはZの
イ デ ヤ ル で,対
応
n→Jn は1対1で Z/Jnは,整 ら な り,そ
あ る(m≠nな 数 をnで
ら ば.Jm≠Jn). 割 った 余 りが 等 し い と き に 同 値 で あ る と考 え る 同 値 類 か
の 代 表 元 は{0,1,2,…,n−1}で
と の あ る 人 は,Jnに
よ る 類 別 関 係x∼yは,ふ
を 思 い 出 され る だ ろ う.
与え ら れ る.整
数 論 を 少 し学 ん だ こ
つ うはx≡y(mod
n)と
か くこ と
第9講 外
積
代
数
テーマ
◆ 目標:T(V)の
適 当 な イデ ヤ ルIを とって,有 限 次 元 代数T(V)/I
を つ くる. ◆x x(x∈V)か
ら生 成 され る イデ ヤル
◆ 外積 代 数 の 定 義:外 積 代 数E(V)=T(V)/I ◆ 外 積 ω∧ω′ ◆E(V)の
部 分空 間∧kV
◆E(V)の
乗 法 の基 本 規 則:x∧x=0,x∧y=−y∧x
目 ベ ク トル 空 間Vが
標
与 え られ た と き,Vを
含 む 有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 で,代
数 の 構 造 を も つ も の を つ く る こ と が 目 標 で あ る.そ 数T(V)の
中 に 適 当 な イ デ ヤ ルIを
見 出 し て,商
T(V)/I を 考 え る こ と に よ っ て,そ 勝 手 に イ デ ヤ ルIを そ れ で は,私
の た め に,V上
の テ ン ソル 代
代数
(1)
の 目 標 を 達 し た い の で あ る.
も っ て き て も,(1)は
一 般 に は 無 限 次 元 に な っ て し ま う.
た ち の 目標 に は 合 わ な い の で あ る.ど
の よ う な イ デ ヤ ルIを
とった
ら よ い で あ ろ うか. これ を 考 え る ヒ ン トと し て,テ
ン ソル 代 数T(V)と
多 項 式 代 数Pと
を対 比 し
て み よ う: (2) (3) こ の よ うに か き 並 べ て み る と,す す る も の は,Pの
中 の 高 々1次
ぐわ か る こ と は,T(V)の 式 全 体 の つ くる 空 間R
中 のR
Vに
P1={a+bx│a,b∈R}で
対応
あ る.Pの
中 で イ デ ヤ ルI1={x2F(x)│F(x)は
講 の 終 り で 述 べ た よ うに(そ
任 意 の 多 項 式}を
こ で はP1=R
P/I1〓R
P1
と な っ て い る.Pを,I1で'割
P1と
考 え る と,前
お い て あ る),
(ベ ク トル 空 間 と し て 同 型)
る'こ
と に よ っ て,2次
以 上 の 項 が,除
去 され て
し ま うの で あ る. これ は,(3)の
方 で の 話 で あ る.な I1=P2
お イ デ ヤ ル はI1,は
P3 … Pk
…
と表 わ され て い る こ と に 注 意 し て お こ う. (2)の
方 で これ に 対 応 す る こ と を 考 え て み よ う と す る と,ま
当 す る 2Vと くて,私 は,
い う空 間 に 目が い く.し
際 は,こ
2Vの
中 に 含 ま れ て い るx デ ヤ ルIを x
元xを
T(V)の
x(x∈V)か
れ ら の 元 か ら'生
成
ら 生 成 され る イデ ヤ ル
x∈ 2Vを
中 の 最 小 の イ デ ヤ ルIと
の 形 の 元 は,す
形 の 元 に 注 目 し,こ
成 へ の 道'
と る と こ ろ か ら ス タ ー トす る の で あ る.
と っ てx
う な イ デ ヤ ルIが
xの
の項 に 相
の空 間 そ の もの では な
た ち に と っ て これ か ら重 要 な 役 目 を 果 た す 代 数 を つ く る'構
さ れ る'イ
Vの
か し,実
ず2次
つ く る.こ
は ど の よ うな も の で あ ろ うか.ま
あ っ た とす る と,イ
べ てIに
の よ う な 元x
デ ヤ ル の 性 質(ⅲ)(52頁)か
含 ま れ て い な くて は な ら な い.こ
任 意 の 元 を と っ て も よい と い う と こ ろ に,イ が っ て イ デ ヤ ル の 性 質(ⅰ)(52頁)か
ら,こ
x全 体 を 含 む ず,そ
のよ
ら
こ で ξ,ηがT(V)の
デ ヤ ル の 特 性 が 現 わ れ て い る.し
た
れ らの元 の有 限和 (4)
も ま たIに
属 さ な く て は な ら な い.
逆 に,(4)でs=1,2,… ら れ る 元 全 体 は,イ
と動 か し,xi∈V,ξi,ηi∈T(V)を デ ヤ ル の 条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)(52頁)を
ぐ に 確 か め られ る.ま た(4)の の 形 の 元 も,(4)の こ の こ と は,(4)の
表 現 でs=1,ξ1=η1=1(∈R)と
任 意 に とっ て得 み た す こ とは,す お く と,x1 x1
中 に 含 ま れ て い る こ と を 注 意 し よ う. 形 で 表 わ さ れ る 元 全 体 が,x x(x∈V)を
含 む,T(V)
の 中 の最 小 の イデ ヤル で あ る こ とを 示 してい る.す なわ ち,求 め る最小 の イデ ヤ ルIは
で 与 え られ る. 【定 義 】
イ デ ヤ ルIをx
x(x∈V)か
ら生 成 さ れ た イ デ ヤ ル と い う.
Iの あ る 場 所 を 明 示 して お くと
と な る.I∩(R
V)={0}な
の で あ る.
外積代数の定義 【定 義 】 商 代 数 E(V)=T(V)/I を,V上
の 外 積 代 数(ま
T(V)か
ら,E(V)へ
ξを 含 む 同 値 類[ξ]を 乗 法 は,π
た は グ ラ ス マ ン 代 数)と
い う.
の 標 準 射 影 を π とお く.π
はT(V)の
対 応 さ せ る写 像 で あ っ た.T(V)の
に よ っ て,E(V)へ
元 ξに 対 し て, 加 法,ス
と 自 然 に 移 さ れ て くる が,E(V)の
カ ラ ー 積, 乗 法 は,新
しい記 号
の よ うに,記
号∧
を 用 い て か く こ と に し よ う.す
な わ ち,こ
の 記号 の定 義 は
で 与 え ら れ る. 【定 義 】E(V)の さ て,I∩(R
元 ω と ω′に 対 し,そ V)={0}か
ら,次
π はR
い い か え る と,Rの
の 積 ω∧ ω′を,ω
と ω′の 外 積 と い う.
の 重 要 な こ と が 導 か れ る.
V上
元 α,β,ま たVの
で は1対1で
元x,yに
あ る.
対 して
α≠β⇒
π(α)≠π(β)
x≠y⇒
π(x)≠ π(y)
が 成 り立 つ. 【証 明 】 た と え ばx,y∈Vでx≠yと x−y〓I(I∩V={0}!).し
す る と,x−y∈Vでx−y≠0だ
た が っ てIに
よ る 類 別 で,xとyは
か ら 異 な る同値 類 に
属 し て い る. こ の 結 果 に 基 づ い て,こ れ か ら はR 記 号 で 表 わ す こ と に し よ う:π(α)=α(α
Vの
元 に 対 し て は,π
で 移 った 先 も 同 じ
∈R),π(x)=x(x∈V).
こ こ は 少 し 注 意 を 加 え て お く必 要 が あ る か も し れ な い.R Vの の 属 す る 世 帯 の 世 帯 主 の よ うな 役 目 を して い る の で あ る.世 え ばx≠yな [x])を R Vの
ら ば),世
帯 も違 う(π(x)≠
考 え る 代 りに,世
帯 主 の 名 前xを
元 の 同 値 類 に 対 し て は,世
π(y)と
な る).だ
元 は,こ
の元
帯 主 が 違 え ば(た
と
か ら 世 帯(同
値類
考 え て す ま せ る こ と が で き る.今
後は
帯 主 の 名 前 だ け を か く こ と に す る と い うの
で あ る. 対 応 す る こ と をP/I1で の ま まa+bxで
い え ば,P/I1で,1次
式a+bxを
含 む 同 値 類 を,そ
表 わ し て お く こ と に 相 当 し て い る.
した が って これ か らは R
V⊂E(V)
(5)
と 考 え る.
E(V)の
(5)の
よ うに 考 え る こ と は,π(α)=α(α
分
解
∈R),π(x)=x(x∈V)と
考え る
こ とで あ り,し た が っ て π(R)=R,π(V)=V で あ る. 2Vの か ら,
2Vの
元 は,x y(x,y∈V)の
形 の 元 の1次
結 合 で表 わ さ れ てい る
πに よ る 像 は
の形 の 元 の1次 結 合 で表 わ され てい る こ とに な る.こ の こ とを知 った上 で
π( 2V)=V∧V=∧2V と お こ う.∧2Vは,E(V)の
部 分 ベ ク トル 空 間 で あ る.同
様に
π( 3V)=V∧V∧V=∧3V 一般に k個
(k=2,3,…)
と お く.な お,k=0,1に
対 して は
とお く. ∧kVはVのk次
の 外 積 空 間 と よ ば れ て い る.∧kVはE(V)の
部 分 ベ ク トル
空 間 で あ っ て, (xis∈V) の 形 の 元 の1次
結 合 と し て 表 わ され て い る.
こ の よ う に し て,T(V)か
らE(V)へ
の 標準 射 影 πは
と分 解 さ れ る. 読 者 は こ こ で,T(V)の
右 辺 に は 直 和 記 号 が 用 い られ て い る の に,E(V)の
右 辺 に は,
記 号 と が 混 じ り合 っ て い る の に 目 を とめ られ た か も し
の 記 号 と+の
れ な い. 私 た ち は,E(V)の
方 が,直
い な い の で あ る.た ら と っ た 元 の1次
和 分 解 と な っ て い る か ど うか,ま
と え ば∧2Vに
属 す る元(≠0)が,別
結 合 で 表 わ され るか も しれ な い.も
らば,E(V)は∧kVの
T(V)の
の い くつ か の∧kVか しそ う し た こ と が 起 き る な
直 和 と し て は 表 わ さ れ な い だ ろ う.
こ の 段 階 で わ か っ て い る の は,E(V)の 元 の1次
元 は,∧kV(k=0,1,2,…)に
結 合 で 必 ず 表 わ さ れ て い る とい う こ と だ け で あ る.そ 元 が kV(k=0,1,2,…)に
とか ら の 結 論 で あ る.
だ よ くわ か っ て
属 す る 元 の1次
属す る
し て こ の こ と は,
結合 で 表 わ され て い る こ
E(V)の
乗 法 の基 本 規 則
Vの 元xに 対 して x∧x=0
(6)
が 成 り立 つ.
こ の こ と は,x
x∈Iか
こ の こ とか ら,次
ら の 結 論 で あ る.
の 乗 法 規 則 が 導 か れ る.
x,y∈Vに
対 し
(7) 【証 明 】(6)に
と な る.こ
よ り(x+y)∧(x+y)=0.こ
れ に 再 び(6)を
用いて
す な わ ち,x∧y=−y∧xが
成 り立 つ.
こ の こ とを 繰 り返 す と,た
と え ば∧3Vの
また∧4Vの
れ に 分 配 則 を 適 用 して
中で は (xとyの
と りか え)
(xとzの
と りか え)
元の中では
の よ うな こ と が 成 り立 つ.要
す る に,E(V)の
中 の 乗 法 規 則 は2つ
Vの 元 を 入 れ か え る と 符 号 が 変 わ る と い い 表 わ され る. しか し,実
際 は も う少 し 強 く,次 の こ と が い え る.
隣 り合 った
す なわ ち,必 ず しも隣 り合 っ てい な くとも,ど こか2つ のxiとxjを
入 れ かえ
る と,必 ず 符 号 が変 わ るの であ る. 【証 明】
な お,大 は,Vの
切 な 注 意 で あ る が,積
の 順 序 を と りか え る と 符 号 が 変 わ る と い うの
元 の 積 の 場 合 で あ っ て,一
ω=x1∧x2,ω′=x3∧x4と
で あ っ て,こ
般 に は この こ とは 成 り立 た な い.た
とえ ば
す る と,
の 場 合 符 号 は 変 わ ら な い.
一 般 に は,次
の こ と が 成 り立 つ.
とす る と
【証 明 】
この こ とを示 す に は
ω=x1∧
… ∧xk,ω
の 場 合 を 考 え れ ば 十 分 で あ る.ω …,ylを
こ の 順 で,x1
体 と し てkl回
,…xkの
∧ ω'に お い て,1つ
な お ω=x1∧x2+x3∧x4に れ は 一 般 に は0で
ず つ お き か え な が ら,y1
,
前 に も っ て き て,ω'∧ ω に 到 達 す る た め に は,全
の 手 数 が か か る.1つ
終 的 な 符 号 の 変 化 は(−1)klと
′=y1∧ … ∧yl
お き か え る た び に,符
号 が 変 わ るか ら,最
な る. 対 し て は,ω
は な い.x∧x=0と
も の で あ る こ と を 注 意 し て お こ う.
∧ ω=2x1∧x2∧x3∧x4で
い う乗 法 規 則 は,x∈Vに
あ っ て,こ 対 し て 成 り立 つ
Tea
Time
誰 が 外積 代 数 な ど考 え 出 した のか 外 積 代 数 の 中 に 現 わ れ るか け 算 の 規 則 な ど,本 当 に 妙 な も の で あ る.た だ が,小
学 校 で 九 九 を 習 っ た と き,ま
さ か 将 来2×3=6で
る よ うな か け 算 に め ぐ り会 う こ とが あ る な ど,思 外 積 代 数 を 最 初 に 考 え た の は,ド ま も,外
い る本
『線 形 拡 大 論,数
イ ツ の グ ラ ス マ ン と い う人 で あ る.だ
学 の 新 しい 分 野 』 の 中 で,そ の 本 の 難 し さ は,独
な 用 語 を 用 い た 点 に も あ っ た が,グ 価 し て い た ガ ウ ス さ え も,彼
ラ
の 特
ラスマ ンの仕事 を 評
考 え て い た よ うで あ
ラ ス マ ン 自身 に よ っ て,1862年
が か き 改 め られ て か ら,ハ
ン ケル や,物
に この本
理学 者 ギ ブスな
どの努 力 に よ って,し だい に 外積 代 数 の重要 性― ―
か らい
が あ ま りに も 普 遍 的 な 考 え
を 哲 学 的 抽 象 的 に か き す ぎ た,と か し,グ
な
に 著 し た 難 解 き わ ま りな い とい わ れ て
考え を は じめ て 明 らか に し た.こ
る.し
あ る が3×2=−6と
い も し な か っ た こ と で あ る.
積 代 数 の こ と を グ ラ ス マ ン 代 数 と も い う.グ
ス マ ンは,1844年
とえ話
H.G.
グラス マ ン
特 に ベ ク トル解 析へ の重要 性
が 認識 され る よ うに な って きた.
グ ラ ス マ ン は,一
生 を 中 学,高
校 の 教 師 と して 過 ご し た.な
ル ・ヴ ェル デ ンの 『代 数 の 歴 史 』 と い う本 に よ る と,n次 を 最 初 に 明 確 に と り出 し て 述 べ て あ る の は,1844年
お,フ
ァ ン ・デ
元 ベ ク トル 空 間 の 概 念
の 上 述 の グ ラ ス マ ンの 著 書 の
中 に お い て で あ る とい う. そ の 後 の 数 学 の 流 れ を 見 る と,グ げ て い る.グ い.
ラ ス マ ン は,時
ラ スマ ンの 思想 は着 実 に数 学 の 大地 に 根 を広
代 の 流 れ よ り,少
し早 く生 ま れ す ぎ た の か も しれ な
第10講 外積代数 の構造 テ ーマ
◆Vの
基 底 に よる∧2Vの
◆Vの
基 底 に よる∧kV(k≧3)の
◆k>dimVな ◆E(V)の
元 の表現 元 の 表現
ら ば∧kV={0} 基底
Vの 基 底 を と る ベ ク トル 空 間V上 Vの
の 外 積 代 数E(V)の
基 底{e1,e2,…,en}を1つ
こ の と き,ま 1,2,…,n)で
ずVの2次 与 え られ,し
構 造 を 知 る た め に,dimV=nと
し,
と る. の テ ン ソル 積 2Vの た が っ て, 2Vの
基 底 はn2個
元 は た だ1通
の 元ei ej(i,j=
りに
(1) と表 わ され て いた こ とを思 い 出 して お こ う.T(V)か
らE(V)の
上 へ の標 準 射
影 πに よ って
へ と 移 る.こ
へ と移 る が,前
の と き(1)は
講 の(6)に
よ り,こ
ei∧ei=0 で あ る.ま
た 前 講 の(7)に
こで
(i=1,2,…,n)
よ っ て,i≠jに
(2)
対 して は
ei∧ej=−ej∧ei
が 成 り立 つ か ら,た つ に ま とめ られ て
と え ば(1)でe1
e2の 項 とe2 e1の 項 は,π
で 移 す と1
と な る. こ の こ と は,任
意 のi,j(i≠j)に
対 し て 成 り立 つ こ と で あ っ て,i<jに
対 して
とお くと
(3) と な る. (2)と(3)か
ら,結 局,(1)の
πに よる像 は
と 表 わ さ れ る こ と が わ か っ た. す な わ ち,∧2Vの
と表 わ さ れ る.こ
元は
こ に 現 わ れ た 項 の 数 は,(i,j)(i,j=1,2,…,n;i<j)と
な る
数 の 組 の 個 数 に 等 し く,そ れ は
で 与え られ る.
∧kV(k≧3)の 同 じ よ うに 考 え る と,∧3Vの
場合
元は
(4) と表 わ さ れ る こ と が わ か る.実 ばe1 e2 e1の よ う に,同
際,テ
じeiが2つ
の 中 で,た
ン ソ ル 積 以 上 現 わ れ る 項 は,外
とえ
積 代数 の方 へ移 る と
e1∧e2∧e1=−e1∧e1∧e2=0 に
よ っ て0と
な る し,ま
た e2 e1 e3,
な ど,相
異 な るe1,e2,e3を
方 へ 移 す と,す
べて
e3
e2 e1,
e3
e1
e2
適 当 な 順 序 で テ ン ソル 積 を と っ た も の は,外
積代数の
±e1∧e2∧e3
の 形 に ま とめ ら れ て し ま う.こ れ ら の こ とか ら(4)が
成 り立 つ こ とが わ か る.
一 般 に k≦nの
と き,∧kVの
元 は
(5) と表 わ され る.
この項 の数,す なわ ち ei1∧ei2∧
…∧eik
(i1
の 個数 は
で あ る. こ の 結 果 が 成 り立 つ こ と は,上
と 同 様 の 推 論 で 導 か れ る か ら,も
返 さ な い が,注
ぜk≦nと
意 深 い 読 者 は,な
に 思 わ れ る か も し れ な い.し
か し,k≦nと
い う制 限 を つ け な い と,i1
と い う と り方 が 不 可 能 に な る の で あ る.な か と ら な い か らで あ る.k>nな 現 わ れ て く る だ ろ う.そ ろ うか.そ
ぜ な らi1,…,ikは,1,2,…,nの
らば,i1,i2,…,ikの
れ で はk>nの
う証 明 は 繰 り
い う制 限 を つ け た の だ ろ うか と不 審
と き,実
値 し
中 で どこか に 等 しい も のが 際 ど の よ うな 状 況 が 生 ず る の だ
れ に つ い て 次 の 結 果 が 成 り立 つ.
k>nな
【証 明 】k>nと
す る.
で 表 わ さ れ るか ら,標
kVの
らば∧kV={0}
(6)
元 は
準 射 影 π に よ っ て∧kVへ
移 す と,∧kVの
元は
(7) と表 わ さ れ る.い
ま こ の 中 の 任 意 の1つ
す ぐ上 に 述べ た よ う に,i1,i2,…,ikの is=itと
す る と,
の 項ai1i2…ikei1∧ei2∧…∧eikに 注 目す る. 中 に は 必 ず 等 し い も の が あ る.た
とえ ば
し た が っ て,(7)の
各 項 は0と
な り,結
局∧kVは0だ
け か らな る こ とがわ か
る.
1つ の注 意 E(V)の
元 が0に
な る と い うこ と は,対
に 含 ま れ て い る と い う こ と で あ っ た.し T(V)=R V
2Vの
た が っ て(6)は,
… ( nV) ( n+1V) …
の 灰 色 の 部 分 が す べ て,イ ルIは,
応 す る テ ン ソ ル 代 数 の 元 が イ デ ヤ ルI
デ ヤ ルIに
( kV) …
含 まれ て い る こ と を 意 味 し て い る.イ
一 部 分 で あ るx x(x∈V)の
形 の 元 に 注 目 し て,そ
デヤ
こ か ら生
成 され た イ デ ヤ ル と し て 定 義 し た の で あ っ た.こ
のIは
先 に あ る kV(k>n)を
ま うほ ど実 は十 分大 きい イデ ヤ
全 部'呑
み こ ん で'し
い ま み た よ う に,nか
ら
ル で あ っ た.
E(V)の
基底
(5)は ∧kVはei1∧ei2∧
…∧eik(i1
ら(ベ ク トル 空 間 と し て)生 成 さ れ
る こ と を 示 し て お り, (6)は E(V)=R で あ る こ と を 示 し て い る. 実 は 次 の 定 理 が 成 り立 つ.
【定 理 】 (ⅰ) k=1,2,…,nに
対 して
V+∧2V+∧3V+…+∧nV
{ei1∧ei2∧… ∧eik│i1
基 底 を つ くる.
(ⅱ) こ れ ら ∧kVの て,こ
れ ら は,Rの
(ⅰ)で
基 底 は,kを
基 底1と
動 か した と き,全
と も に,E(V)の
体 と し て1次
独立であ っ
基 底 を つ く る.
い っ て い る こ と は,∧kVの
元 は た だ1通
と表 わ さ れ る と い う こ と で あ り,し
たが っ て また
りに
dim∧kV=nCk で あ る. (ⅱ)で
い っ て い る こ と は,E(V)が E(V)=R
直和
V ∧2V
と 表 わ さ れ る と い うこ と で あ る.し
… ∧kV
… ∧nV
たが って また
dimE(V)=dimR+dimV+dim∧2V+…+dim∧nV =1+n+nC2+…+
nCn
=2n で あ る. 注 意 二 項 定 理 に よ り2n=(1+1)n=1+nC1+nC2+…+nCnで
あ る(nC1=nに
注 意).
定 理 の 証 明(概 略) 定 理 を 示 す の に,こ る た め,一
こ で は 行 列 式 を 用 い る 証 明 を 行 な う.記 号 の 繁 雑 さ を 避 け
般 の 場 合 の 証 明 は 見 送 っ て,(ⅰ)はk=3の
る,(ⅱ)は
∧3Vの
元 が,R,V,∧2V,∧4V…
場 合 にだ け 示 す ことに す に 属 す る元 と1次
独 立 の こ とを
示 す. Vの 双 対 空 間 をV*と は,x*,y*,z*の 意 に と る,と
し,V*か
ら3つ
の 元x*,y*,z*を
順 序 も 問 題 と な る の で,V*×V*×V*か
任 意 に と る(正 確 に ら元(x*,y*,z*)を
任
い った 方 が よい).
こ の(x*,y*,z*)に て 次 の よ うに 定 義 す る.
対 し て,T(V)上
の 線 形 関 数 Φ(x*,y*,z*)を,行 列 式 を 用 い
x y
z∈ 3Vに
対 して は
(8)
ξ〓 3Vに
対 して は
と お く. これ で す べ て の ξ∈T(V)に の 中 に は,
3Vの
対 し て Φ(x*,y*,z*)(ξ)を 定 義 した の で あ る が,読
元 は 一般 に は Σxi yi ziの
の 元 に 対 し て は 値 を 定 義 し て い な い,と
と お くの で あ る(こ
よ う に な っ て い る の に,こ
の形
思 わ れ る方 も い る か も し れ な い.実
際は
の よ うに お い て も よい こ と は,テ
形 性 に よ る の で あ る が,い
ン ソ ル 積 と行 列 式 の 多 重 線
ま は そ こ ま で 立 ち 入 ら な い).
ま た ξ∈T(V)を ξ=ξ0+ξ1+ξ2+…+ξk+… と,T(V)=
=0( kV)に
こ の と き 次 の こ と が 成 り立 つ.
【証 明】
と,直
和 分 解 し て お く.こ の と き
を 示 す と よ い.ξ − η∈Iに
の 形 と な る.
(有 限 個 以 外 は0)
し た が っ て 各 成 分 ξk∈ kVに
と な っ て い る こ と を 注 意 し よ う.
より
者
分 解 した とき
Φ(x*,y*,z*)が この 右 辺 で と る値 に注 目し てみ る と,
で あ る.な
ぜ な ら,(8)に
る か ら で あ る.こ
あ て は め て み る と,行
列 式 の2列
が 一 致 し て0と
な
れ に よって
が 示 さ れ た. こ の こ と は,Φ(x*,y*,z*)は,Iに る.し
よ る 同 値 類 の 上 で 同 じ値 を と る こ とを 示 し て い
た が っ て Φ(x*,y*,z*)は,同 値 類 上 の 線 形 関 数,す
なわ ち
へ の 線 形 関 数 を 与 え て い る. こ の よ う に し て 定 義 さ れ たE(V)上
の 線 形 関 数 Φ(x*,y*,z*)を 用 い る と,定
理 は
す ぐに 証 明 さ れ る. (ⅰ)の
証 明(k=3の
と き)
証 明 す る こと は
αe1∧e2∧e3+βe1∧e3∧e4+…+γei∧ej∧ek+…=0
と い う 関 係 が あ っ た と き,必
(i<j
(9)
ず α=β=…=γ=…=0
が 成 り立 つ と い う こ と で あ る. {e1,e2,…,en}を{e1,e2,…,en}の
双 対 基 底 とす る.こ
の と きE(V)上
関数
を 考 え る と, (i,j,k)=(1,2,3) それ 以外 の と き と な る こ と が 容 易 に わ か る((8)と
し た が っ て Φ(e1,e2,e3)を(9)に
第3講(5)参
適 用 し て み る と,
0=Φ(e1,e2,e3)(αe1∧e2∧e3+βe1∧e3∧e4+…)=α
照).
の線形
と な り,α=0が (ⅱ)の ∧3Vに
得 られ た.同
様 に し て β=0,…,γ=0,…
が 示 され る.
証明 属 す る 元 がR,V,∧2V,∧4V,…
そ の た め,い
ま ξ∈ ∧3Vが,あ
に 属 す る 元 と1次 る η0∈R,η1∈V,η2∈
独 立 の 事 を 示 そ う.
∧2V,η4∈
∧4V,…
に
よ って
ξ=η0+η1+η2+η4+…
(右 辺 は 有 限 和 で,∧3Vの
と 表 わ さ れ る な ら ば,必
然 的 に ξ=0と
と 表 わ し た と き,aijk≠0と
元 は 含 ま な い)
(10)
な る こ とを 示 そ う.ξ を 基 底 を 用 い て
仮 定 し て み る.こ
のとき
た が っ てaijk=0で
あ る.
一 方,
こ れ は(10)に
反 す る.し
i,j,k(i<j
任 意 で よか っ た か ら ξ=0が
結 論 さ れ た.こ
れ は証 明 すべ き
こ と で あ っ た.
Tea
Time
質 問 こ こ まで き て,外 積 代 数 の組 み立 て が お ぼ ろげ な が らわ か って き ま した. 外 積 代数 は,V上
の テ ン ソル代数T(V)の
成 され た イデ ヤ ルIに x x x(x∈V)の T(V)/I?を
中 でx x(x∈V)の
注 目 して得 られ た ので す が,同
じ よ うに 考 え て,今 度 は
形 の 元 か ら 生成 され た イデ ヤ ルI?か
つ くる と,Vの
形 の元か ら生
元 を3乗 す る と0に な る代数,つ
ら 出発 して,代
数
ま りx∧?x∧?x=0
とな る代 数 が で き るわ け です ね. 答 確 か にT(V)/I?は,そ
の よ うな代 数 にな るが,dimV≧2の
と きは,こ
の
代数 は も う有 限 次 元 で は な くな って,そ の構 造 は大変 複 雑 で 捉 え に く くな って し ま う.外 積 代 数E(V)の
重 要 性 は,単
にそ の 代数 的 な 構 造 が 簡単 で あ る とい う
だ け で はな くて,有 限次 元 の ベ ク トル空 間 を つ くってい る とい う点 に あ る.な お
dimV=1の な る が,Vも x3か
と き は 例 外 で あ っ て,こ 2VもRと
同 型 で,こ
の と き に は,T(V)/I?=R の と き はT(V)/I?は,多
ら生 成 され た イ デ ヤ ル で 割 っ た も の と 同 型 に な っ て い る.
V ( 2V)と 項 式 代 数Pを,
第11講 計 量 を もつ ベ ク トル 空 間 テーマ
◆ 内 積 の 導 入,計 量 を もつベ ク トル空 間 ◆ 内 積 の性 質,シ ュ ワル ツ の不 等式 ◆ 角の定義 ◆ 直交性 ◆R3の
場合
内積の導入 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 に 与 え られ て い る 属 性 は,加 る.し
た が っ て,た
{f1,f2,f3}が
と え ば,3次
元 空 間 の 中 に3つ
与 え られ た と き,こ れ ら が と も に1次
法 と ス カ ラ ー積 だ け で あ
の ベ ク トル の 組{e1,e2,e3}と 独 立 な らば,こ
ベ ク トル 空 間 の 言 葉 で は も う こ れ 以 上 区 別 で き な い の で あ る.実 {f1,f2,f3}は
は,各eiをfiに
と も に 基 底 と な り,同
の2つ
の 組 を,
際{e1,e2,e3},
型対 応
移 して い る.
こ の こ と は,図7で の 立 場 か ら だ け で は,本
示 した よ うな 空 間 の3つ
の ベ ク トル の 組 は,ベ
ク トル 空 間
質 的 に 区 別 す る こ と が で き な い こ と を 意 味 し て い る.
私 た ち が ベ ク トル と い う も の を 考 え る と き,単
図7
に 加 法 と ス カ ラ ー 積 とい う よ う
な 代 数 的 な 骨 組 み だ け で は な くて,ベ 角 な ど に も注 意 を 向 け る こ とは,ご
ク トル の 長 さ と か,2つ く 自 然 な こ とで あ る.ベ
2つ の ベ ク トル の な す 角 な ど を 考 察 の 対 象 と す る こ と は,ベ 面 を 考 え る と い っ て よい だ ろ う.そ れ で は,抽
に,加
ク トル の 長 さ と か, ク トル の 幾 何 学 的 側
象 的 な ベ ク トル 空 間 で,こ
な 幾 何 学 的 側 面 も調 べ ら れ る よ うに す る に は,ど 現 代 数 学 の 立 場 で は,ベ
の ベ ク トル の な す
のよ う
う し た ら よ い の だ ろ うか.
ク トル 空 間 の 基 礎 構 造 は,い
ま まで述 べ て きた よ う
法 と ス カ ラ ー 積 と い う代 数 的 演 算 に よ っ て ま ず 与 え られ て い る と考 え る.
次 に,こ
の よ うな 観 点 で 構 成 さ れ た 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 の枠 組 に,幾
考 察 が 可 能 と な る よ う な,あ
何学的な
る 構 造 を 新 た に 加 え て い く.ふ つ う この 構 造 は,内
積 を 与 え る こ と に よ っ て 付 与 さ れ る. 【定 義 】Vを て,こ
ベ ク トル 空 間 とす る.V×Vか
れ が 次 の 性 質 を み た す と き,こ
(ⅰ) (x,x)≧0;等
らRへ
の 写 像(x,y)が
の 写 像 をVの
号 が 成 り立 つ の はx=0の
与 え られ
内 積 と い う. と き に 限 る.
(ⅱ) (αx+βx′,y)=α(x,y)+β(x′,y) (ⅲ) (x,y)=(y,x) 内 積 が1つ
与 え られ た ベ ク トル 空 間 を,計
量 を もつ ベ ク トル 空 間 とい う.
内積の性質 ま ず(ⅱ)と(ⅲ)か
ら
(ⅳ) (x,αy+βy′)=α(x,y)+β(x,y′) が 成 り立 つ こ とが わ か る.し れ ぞ れ の 変 数x,yに れ ば,内
積 はV上
つ い て 線 形 な 関 数 で あ る.あ
ら,内
積(x,y)は,そ
る い は 第5講
で の用 語 を 用い
の 双 線 形 関 数 で あ る とい っ て も よい.
【定 義 】 こ の と き,有
た が っ て(ⅱ)と(ⅳ)か
とお き,‖x‖
をxの
長 さ,ま
た はxの
ノル ム とい う.
名 な シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式 が 成 り立 つ.
(1) 【証 明 】x=0な つ.
ら ば,こ
の 不 等 式 の 両 辺 は と も に0と
な っ て,明
ら か に 成 り立
し た が っ てx≠0の
と き を 考 え る.x(≠0),yを
任 意 に と っ て,実
数tを
変数
とす る 式 φ(t)=(tx+y,tx+y)
を 考 え る.(ⅰ)か
らす べ て のtに
対 し て,φ(t)≧0.ま
た(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)か
ら
φ(t)=t2(x,x)+2t(x,y)+(y,y)
し た が っ て,φ(t)はtの2次
式 で あ っ て,負
次 式 の 判 別 式 は 負 ま た は0で
あ る:
の 値 を と ら な い.し た が っ て こ の2
(x,y)2−(x,x)(y,y)≦0
これ を か き 直 す と,(1)が (1)か
得 られ る.
ら
(2) が 成 り立 つ こ と が わ か る.実
際,こ
負 と な る こ と は な い の だ か ら,辺
の 不 等 式 が 成 り立 つ こ と を み る に は,両 々2乗
を 示 す と よ い.あ
るい はか き直 して
を 示 す と よ い.と
こ ろ が 左 辺 を'展
な ら な い こ とが わ か る.こ
した 不等 式
開'し
れ で(2)が
辺が
て み る と,こ
の 不 等 式 は(1)に
ほか
示 さ れ た.
また ノル ムにつ い て の基 本 的 な性 質 と して
が 成 り立 つ こ と も 注 意 し て お こ う.実
際,
ベ ク トル の な す 角
シ ュ ワ ル ツの 不 等 式(1)を 角 θを 定 義 す る こ と が で き る.
用 い て,0と
異 な る2つ
の ベ ク トルx,yの
なす
【定 義 】x≠0,y≠0に
対 し て,x,yの
な す 角 θを,
(3) を み た す0≦ θ≦ π で あ る と 定 義 す る. こ こ で2つ
の 注 意 を し て お く必 要 が あ る.ま
義 が 可 能 な た め に は,定
義 式 の 右 辺 が,−1と1の
か め て お か な くて は な ら な い.し (1)に
か し,こ
の定
間 の 値 しか と ら な い こ と を 確
の こ と を 保 証 す る も の が,ち
ょ うど
な っ て い る.
y=cosθ
は,θ が0か
した が っ て(3)を yの
ず −1≦cosθ ≦1だ か ら,こ
ら π ま で 動 くと き,1か
み た す θ は,0と
ら 単 調 に 減 少 し て −1と な る.
πの 間 に た だ1つ
決 ま る.そ
の 値 を,xと
な す 角 と 定 義 し よ う と い うの で あ る.
直 θがπ/2(直 角!)の
交
と き,cosθ=0で
り立 つ の は,(x,y)=0の 【定 義 】(x,y)=0の
あ る.上
と き に 限 る.し と き,2つ
性
とyの
の ベ ク トルxとyは
直 交 す る と い う.
場 合 も含 め て い うの が 慣 例 の よ う
と き に は,xとyが
直 交 す る とい う こ と は,も
ち ろ んx
な す 角 が 直 角 で あ る と い う こ と で あ る.
R3の この よ うな 抽 象 的 な 話 だ け で は,私 ル の と き,ベ
場 合 た ち の よ く知 っ て い る 平 面 や 空 間 の ベ ク ト
ク トル の 長 さ や 角 度 が,こ
る の か ど うか,気
の定 義 に よって 本 当 にい い 表わ され て い
に な る と こ ろ で あ る.も
ち ろ ん 実 際 は,上
間 に お け る 長 さ や 角 度 の 概 念 の 拡 張 に な っ て い る.こ 場 合 に,こ R3の
の こ とが成
た が っ て 次 の 定 義 が 自 然 に 導 か れ る.
こ の 直 交 の 定 義 の と き に は,x=0,y=0の で あ る.x≠0,y≠0の
の 定義を み る と,こ
の こ と を 説 明 し て み よ う.
ベ ク トル は,座
標 を用 い て
の 定 義 は,平
こ で は,3次
面 や空
元 空 間R3の
の よ うに 表 わ さ れ る.
は,各
座 標 軸 を 与 え る標 準 基 底 ベ ク トル で あ っ て,
長 さ は1,お
の お の は 直 交 し て い る(図8).
こ の こ と を,'内
積'と
い う 言 葉 を 用い て 表 わ そ 図8
う とす る と (e1,e1)=(e2,e2)=(e3,e3)=1 (ei,ej)=0
(i≠j)
(長 さ が1) (互 い に 直 交)
と な る だ ろ う. と こ ろ が こ の こ と だ け か ら,R3の い う こ と が,自 {e1,e2,e3}を
内 積 と し て ど の よ うな も の を と るべ き か と
然 に 決 ま っ て く る の で あ る.実
際,ベ
ク トルx,yを,標
準 基底
用いて
と表 わ し てお くと,内 積 が性 質(ⅱ)と(ⅳ)を
み たす とい う要 請 か ら必 然的 に
と な る. こ の よ うに し て 導 か れ た(x,y)が る こ と は す ぐに わ か る が,こ
内 積 の 性 質(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を
みた して い
の 内 積 か ら 導 か れ た 長 さ と角 が,私
た ち が ふだ ん 使
っ て い る 長 さ と 角 に 一 致 し て い る こ とを 確 か め て お こ う.
か ら,(x,x)≧0で と が わ か る.ま
あ り,等 た
号 が 成 り立 つ の は,x1=x2=x3=0の
ときに 限 る こ
と な っ て,こ
れ は,ベ
ク トルxの
長 さ とな ってい
る. 次 に2つ
の0で
な い ベ ク トルx,yに
の な す 角 が,(3)の
対 し て,x,y
右 辺 で 表 わ さ れ て い る こ とを 図9
確 か め て お こ う. そ の た め,図9で 適 用 す る.そ
示 した よ うな,x,y,x−yで
つ く られ る三 角 形 に 余 弦 法 則 を
うす る と
(4) 一方
だ か ら,(4)を
移項 して整 理す る と
と な り,(3)の
形 と一 致 す る.
Tea
質 問 R3の2つ
の ベ ク トルx,yの
ろ で 思 っ た の で す が,三 な り,角
ま る とい っ て よ い と思 い ま す.角 と で す.で
は,直
接,内
つ く る 角 θ と,内
角 形 は3辺
が 決 ま っ て し ま い ます.こ
Time
積 との関 係 を示 され た とこ
の 長 さ さ え 決 め れ ば,す
べ て合 同 な三 角形 と
の こ と は 簡 単 に い えば 長 さ に よ っ て,角 が 決 ま る とい う こ とは,内
が決
積 が決 ま る とい うこ
積 を 長 さ で 表 わ す こ とが で き る の で し ょ うか.
答 確 か に そ の 通 りで あ って
(*) の よ うに,内
積 は,ベ
と が で き る.こ
ク トルx+yとx−yの
の こ と に 注 意 す る と,次
な ベ ク トル 空 間 に,幾
長 さ の2乗
の差 を 用 い て表 わ す こ
の よ うな こ と も考 え られ て く る.抽
何 学 的 な 計 量 を 与 え る の に,内
象的
積 は多 少 間接 的 で わ か りに
く い.む
し ろ,ベ
ク トル の 長 さ‖x‖ を 与 え る と こ ろ を 出 発 点 と して,内
積 を上
の 式 で 与 え る と い っ た 道 を と る 方 が 自 然 で は な か ろ う か. こ の 考 え は 一 理 あ る の だ が,ベ と,(*)の
式 で,内
件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を い とか い た が,そ
ク トル の 長 さ‖x‖を 与え る と こ ろか ら出 発 す る
積 を 定 義 で き る か ど うか,た み た す か ど うか,よ
を み た す な ら ば,(*)で
さ(ノ
くわ か ら な ル ム)‖x‖
件
内 積 を 定 義 で き る と い うの で あ る.今
の 意 味 が 一 見 し た だ け で は わ か り難 い.そ
の で あ る.
くわ か らな い の で あ る.よ
れ に 対 す る 数 学 者 の答 は あ る の で あ っ て,長
が,‖ αx‖=│α│‖x‖ 以 外 に,条
内 積 を 経 由 して,角
と え 定 義 して み て も 内 積 の 条
し て 結 局,ベ
度 ま で 定 義 す る 道 は,遠
度 は,こ
の 条件
ク トル の 長 さ‖x‖ か ら,
い 曲 が り くね っ た 道 とな っ て し ま う
第12講 正規直交基底 テ ーマ
◆ 正規 直 交 基 底 ◆ 正規 直 交 基 底 の存 在―
ヒル ベ ル ト‐シ ュ ミッ トの 直交 法
◆ ヒル ベル ト‐シ ュ ミ ッ トの直 交 法 の幾 何学 的 説 明 ◆ 正 規 直 交基 底 と内積
正規直交基底 Vを,計
量 を も つn次
【定 義 】Vの
元 の ベ ク トル 空 間 とす る.
基 底{e1,e2,…,en}が
次 の 性 質 を み た す と き,正
規 直 交基 底 であ る
と い う. (ⅰ) ‖ei‖=1
(i=1,2,…,n)
(ⅱ) (ei,ej)=0 (ⅰ)の
条 件,す
(i≠j) な わ ち 基 底 ベ ク トル の 長 さ が1に
と よ ば れ て い る も の で あ り,(ⅱ)の う条 件 が,直
交 基 底 の'直
交'を
計 量 を も つ ベ ク トル 空 間 に,正
条 件,す
し て,正
規 直 交 基 底{e1,e2,…,en}を
第1段
階:ま
ず
な わ ち 各 基 底 が 直 交 し て い る とい
規 直 交 基 底 が 存 在 す るか ど うか と い う こ と は,
計 量 を も つ ベ ク トル 空 間Vに
【証 明 】{f1,f2,…,fn}をVの1つ
規'
示 し て い る.
あ ま り明 ら か と は い え な い だ ろ う.こ
【定 理 】
等 し い と い う条 件 が'正
れ に つ い て は,次
は,正
の 定 理 が あ る.
規 直 交 基 底 が 存 在 す る.
の 基 底 と す る.こ
の{f1,f2,…,fn}か
構 成 し て い こ う.
ら出発
と お く.明 第2段
らか に‖e1‖=1で
あ る.
階:
と お く.ま ずe2′ ≠0の
こ と に 注 意 し よ う.こ
が っ て ま たf2とe1(=f1の
ス カ ラ ー 倍!)が1次
に よ り,e1とe2′
の こ と はf2とf1が1次
独 立,し
た
独 立 の こ とか ら わ か る.
は 直 交 す る.
そ こで
と お く こ と に よ り,e2′ を 正 規 化 す る(す
な わ ち,長
さ を1と
す る).こ
れ で 第2
段 階 は 終 っ た. 第3段
階:
と お く.f1,f2,f3の1次
独 立 性 か ら,e3′ ≠0で あ る こ と が わ か る.ま
た 容 易 な計
算か ら
と な る.そ
こで
と お く こ と に よ り,第3段 第3段
階 は 終 る.
階 が 終 っ た 時 点 で,長
さ が1で,互
い に 直 交 す る ベ ク トル{e1,e2,e3}を
得 た こ と に な る. 同 じ 操 作 を 順 次 繰 り返 し て い く と,n回
が 得 ら れ る.こ
れ ら は,長
さ が1で,互
底 を つ く っ て い る こ と を い うに は,あ
目に
い に 直 交 し て い る.こ と は,基
れ らが正 規 直交 基
底 で あ る こ とさ え確か め て お くと
よい. そ れ を み る に は,1次
独 立 で あ る こ と さ え 示 せ ば よい(dimV=nだ
か ら!).
いま
と い う関 係 が 成 り立 っ て い る と す る.こ
の 式 の 両 辺 とe1の
内積 を と る と
とな り,こ こで正 規 直 交 性 を用 い る と
が 得 ら れ る.同
様 に し て α2=α3=…=αn=0が
示 さ れ て,{e1,e2,…,en}が1次
独 立 で あ る こ と が わ か る.
これ で,{e1,e2,…,en}がVの
正 規 直 交 基 底 と な る こ と が 示 さ れ た.
与 え ら れ た 基 底{f1,f2,…,fn}か {e1,e2,…,en}を
ら,い
つ く る 手 続 き を,ヒ
ま 述 べ た よ うな 操 作 で 正 規 直 交 基 底
ル ベ ル ト‐シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 とい う.
幾何学的な説明 ヒ ル ベ ル ト‐シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 は,特
に 難 し い こ と は な く,読 者 は,内
性 質 が う ま く用 い ら れ て い る と 感 じ られ た の で は な か ろ うか.と な 空 間 の ベ ク トル の 場 合,直 と,上
の 証 明 は,必
こ ろ が,具
積 の 体的
交 法 と は ど の よ うな 操 作 で あ っ た か を 知 ろ う とす る
ず し もす ぐに そ の こ と を 教 え て くれ な い よ うで あ る.
そ こ で 空 間 の ベ ク トル の 場 合 に,ヒ
ル ベ ル ト‐シ ュ ミッ トの 直 交 法 と は,幾
学 的 に ど の よ うな こ と を 行 な っ た こ とに な っ て い る の か,図
何
を使 って説 明 してみ
よ う. 図10で
示 した よ うな,空
f2,f3は 互 い に1次
間 の ベ ク トルf1,f2,f3が
独 立 だ か ら,3次
与 え られ て い る とす る.f1,
元 の ベ ク トル 空 間 の 中 で1つ
の 基 底 を与 え
て い る. f1,f2の は る平 面 に ま ず 注 目す る.こ る が,そ トルf1を
の 平 面 を と り出 し て 図11の 長 さ1の
ベ ク トルe1と
操 作 で あ る.図11でOQの
の 平 面 は 図10で よ うに 表 わ す.直
な る よ うに,長
は カ ゲをつ け て 示 して あ 交 化 の 第1段
さ を 延 ば す(あ
長 さ は‖f2‖cosθ で あ る.し
階 は,ベ
ク
る い は 縮 小 す る)
た が っ てOQは,こ
の方
図11
図10 向 の 単 位 ベ ク トルe1に
で 与 え られ る.こ
と な る.こ
この長 さを かけ て
のcosθ
を,前
こ で‖e1‖=1を
と な る.QPは,f1に
用 い た.し
直 交 す るf2の
e2′ とか い た も の で あ る.こ を 正 規 化 し て,e2が れ が 第2段 第3段
講(3)を
用 い て 内積 で表 わ す と
た が って
成 分 と な っ て い る.QPは,上
のe2′
得 られ る.こ
階 で あ る. 階 は,図12を
み る と よ い.カ
参 照 して
ゲ のつ け られ て い
る 三 角 形 を 図11に と 考 え る と,f3のe1方
対 応 す る もの 向 へ の正
射影が 図12 で 与 え ら れ る こ と が わ か る.同
で 与 え られ て い る.
様 にf3のe2方
向へ の正 射 影 が
の証 明 で は
し た が っ て,f3の,e1,e2で
で 与 え られ る.f3か
ら こ の ベ ク トル を 引 く と,e1,e2で
方 向 に あ る,f3の'直 も の で あ る.こ
は ら れ る 平 面 へ の 正 射 影OQは
交 成 分'QPが
れ を 正 規 化 し てe3が
こ の よ う に,ヒ
得 られ る.こ
は られ る 平 面 に 直交 す る れ が 第3段
階 でe3′ とか い た
得 られ る.
ル ベ ル ト‐シュ ミ ッ トの 直 交 法 は,空
間 の ベ ク トル に 対 し て は,
ご く 自 然 な 幾 何 学 的 操 作 に な っ て い る.
正規直交基底と内積 Vの
正 規 直 交 基 底 を{e1,e2,…,en}と
と 表 わ す.こ
の と き,x,yの
し,Vの
元x,yを
この基 底 を用 い て
内積 は
す なわ ち
と表 わ さ れ る.し
た が って また
と 表 わ さ れ る. こ の 表 示 を 用 い る と,シ
は
ュ ワル ツ の 不 等 式
と な る.
【定 義 】Rnの
ベ ク トル
に対 して 内積 を
で 与 え た も の を,n次
元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 と い う.
n次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 で は,標
底 を つ く っ て い る.も あ っ て,た
ち ろ ん,正
と え ば,R3の
は正 規 直交基
準 基 底
規 直 交 基 底 は,こ
場 合,{e1,e2,e3}を
の 標 準 基 底 以 外 に も た くさ ん
原 点 の まわ りに 回 転 し た も の は,す
べ て 正 規 直 交 基 底 と な っ て い る.
Tea
Time
任 意 の ベ ク トル 空 間 に内 積 は導 入 で き る 計 量を もつ ベ ク トル 空 間 とい う概 念 は,抽 象 的 なベ ク トル空 間 の概 念 を どれ だ け 特 殊 化 した ものか,と い うことは,誰 な ベ ク トル空 間Vを
し も気 に な る こ とで あ る.実 際,抽 象 的
任 意 に とった とき,Vに
内積 を導 入 す る こ とは で き るの だ
ろ うか? こ の 答 は 肯 定 的 で あ る.そ て,ベ
れ を 示 す に は,Vに1つ
基 底{e1,e2,…,en}を
とっ
ク トルx,yを
と表 わ した とき,xとyの
と定 義 す る と よ い.こ
内積 を
の と き,{e1,e2,…,en}は
この 内積 に 関 して 正規 直 交 基 底
と な っ て い る. これ は 何 か お か し い と思 わ れ る 読 者 も お られ る か も しれ な い.も 正 し い とす る と,R2の
中 に 勝 手 に と っ た1次
交 わ っ て い る と 考 え られ る よ うな 内 積 が,R2に つ い て の 説 明 は 次 の よ うに な る.標 内 積 は,最 る.し
も 自然 で あ っ て,私
か し,R2を
た と き,{f1,f2}を,標 る.
独 立 な2つ
角で
導 入 さ れ る こ と に な る.こ
れに
準 基 底{e1,e2}を
た ち がR2を
正 規 直 交 基 底 とす るR2の
図 示 す る の は,こ
抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 と考 え れば,別 準 基 底{e1,e2}と
し こ の こ とが
の ベ ク トル が,直
の計 量 に よっ てい
の 基 底{f1,f2}を
とっ
区 別 す る よ うな 性 質 は 何 も な い の で あ
{e1,e2}を
正 規 直 交 系 とす る 内 積 を と る と,1つ
き る.{f1,f2}を
正 規 直 交 系 に と る と,ま
の 世 界 像 を 図 示 し よ う と す る と,f1,f2を y軸 上 の 長 さ1の
の 幾 何 学 的 な'世
た 別 の'世
界 像'が
そ れ ぞ れx軸
で き る.こ
上 の 長 さ1の
ベ ク トル と し て 表 わ す こ と に な る.こ
界 像'が
で
の後者
ベ ク トル,
こ で は 今 度 は,{e1,e2}
が 斜 め に 交 わ っ て 表 わ され る だ ろ う. 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 を 図 示 す る こ と な ど,あ 的 な 構 造 しか な い か ら で あ る.内 トル に 形―
長 さ,角
度―
的 な 姿 に 投 影 す る,投
積 を 与 え る とい う こ と は,い
を 与 え,そ
で 図 示 で き る道 を 与 え て い る.さ
ま り意 味 が な い.そ
れ に よ っ て,ベ
こに は代 数
わ ば抽 象 的 なベ ク
ク トル 空 間 を 具 象 的 な 姿
ま ざ ま な 内 積 の 与 え 方 は,ベ
影 の 仕 方 の 多 様 さ を 物 語 っ て い る.
ク トル 空 間 を 具 象
第13講 内 積 と 基 底 テーマ
◆ 基 底 と内積:gij=(ei,ej) ◆ 内 積 を与 え る と,VとV*の
間 の標 準 的 な 同型 対 応 が 決 まる.
◆ 標 準 的 な 同型 対 応 を 詳 し く調べ る. ◆ テ ン ソル記 号,ア
イン シ ュ タ イン の規 約
◆ 指 標 の上 げ下 げ
基底 と内積 Vを
計 量 を もつ ベ ク トル 空 間 とす る.Vに
き る.Vの
基 底 と計 量 と が,い
は,い
ろ い ろ な 基 底 を と る こ とが で
わ ば 整 合 し て い る と い う状 況 は,基
底 が ち ょ うど
正 規 直 交 基 底 と な る と き に 達 せ られ る. し か し,任
意 のVの
で は な い し,ま
基 底{e1,e2,…,en}を
たi≠jの
{e1,e2,…,en}は
と き,eiとejが
と る と,一
般 に は,eiの
直 交 し て い る と も 限 ら な い.い
斜 交 座 標 系 を つ く っ て い る.こ
の よ う な と き,基
関 係 を 少 し調 べ て お こ う. い ま{e1,e2,…,en}をVの
とお く.こ
任意 の基 底 と し
の と き 次 の こ とが 成 り立 つ.
(ⅰ) gij=gji (ⅱ) 任 意 のn個
の 実 数x1,x2,…,xnに
こ こ で 等 号 が 成 り立 つ の はx1=x2=…=xn=0の
対 して
と き に 限 る.
長 さ は1 わ ば,
底 と計 量 と の
【証 明 】(ⅰ) gij=(ei,ej) =(ej,ei)=gji (ⅱ)与
え られ た 実 数x1,x2,…,xnに
と お く と,内 に 限 る.実
(内 積 の 性 質(ⅲ)に
積 の 性 質(ⅰ)か
よ る)
対 して
ら(x,x)≧0,等
号 が 成 り立 つ の はx=0の
とき
際 計算 す る と
し た が っ て
で あ っ て,等 号 が 成 り立 つ の は,x1=x2=…=xn=0の
と き に 限 る. 逆 に(ⅰ)と(ⅱ)の られ る とす る.Vの
性 質 を み た すn2個
の 実 数{gij}(i,j=1,2,…,n)が
基 底{e1,e2,…,en}を1つ
与え
とって
に対 して
と定 義 す る こ と に よ り,Vに1つ
の 内 積 が 導 入 さ れ る.
こ の 点 を も う少 し詳 し く述 べ る と次 の よ うに な る.Vの 1つ と っ て お こ う.Vに を 与 え,ま
たi≠jの
ま っ て く る.読
計 量 を 導 入 す る とい う こ と は,各eiに
と き,eiとejの
者 は,ベ
と い うこ と は,(ⅰ),(ⅱ)を 応 し て い る,と
伸 縮 可 能 な 物 質 か ら な っ て い る と し て, 計 量 を どの よ うに 導 入 す る か 考 え て い る
に 述 べ た こ と は,こ の よ うな 考え でVに み た す{gij}を
い う こ と で あ る.
どの よ うな 長 さ
角 度 を ど の よ うに 与 え る か と い う こ と で 決
ク トル 空 間Vを
そ れ を 伸 ば し た り縮 め た り し て,Vの 様 子 を 想 像 し て ほ しい.上
基 底{e1,e2,…,en}を
内積 を い れ る
ど の よ うに 選 ぶ か と い うこ と に 対
内積と双対空間 ベ ク トル 空 間Vに1つ
内 積 を 導 入 し て お く.こ の と き,任 意 のx∈Vに
対 して
φx(y)=(x,y) と お き,内
積 が 後 の 変 数yに
は,(y∈Vを
つ い て 線 形 で あ る とい う性 質 を 用 い て み る と,φx
変 数 と し て)V上
し た が っ て,φxはVの
の 線 形 関 数 と な る こ とが わ か る:
双 対 空 間V*の1つ
こ の よ う に し て,対
の 元 を 与 え て い る.
応
が得 られ た.こ の対 応 を Φで 表 わ そ う:
今 度 は,内
積(x,y)が
α(x1,y)+β(x2,y)が
前 の 変 数xに
つ い て 線 形,す
成 り立 つ こ と を 用 い る と,写
な わ ち(αx1+βx2,y)=
像 Φは 線 形 性
を もつ こ とが わ か る. 実 は次 の 命題 が 成 り立 つ. ΦはVか
【証 明 】dimV=dimV*だ に は Φ(x)=Φ(x1)な
らV*の
上 へ の 同型 対 応 を与 え る.
か ら,Φ が1対1で ら ばx=x1を
あ る こ と さ え 示 せ ば よ い.そ
示 す と よい.Φ(x)=Φ(x1)と
す べ て のyに
対 し て(x,y)=(x1,y)が
き 直 し て,す
べ て のyに
れ
い う 条 件 は,
成 り立 つ と い う こ と で あ る.あ
るい はか
対 して (x−x1,y)=0
が 成 り立 つ と い っ て も よ い.こ =0か
らx=x1が
得 られ る.し
の 式 で 特 にy=x−x1に た が っ て Φ は1対1と
【定 義】 同 型 写 像 Φ に よる 同型V〓V*を,内 応 とい う.
と る と(x−x1,x−x1) な り,同
型 写 像 と な る.
積 か ら導 か れ た標 準 的 な 同型 対
標準的な同型対応による対応 い ま み た よ うに,ベ 空 間V*と と,抽
ク トル 空 間Vに
内 積 が 与 え ら れ る と,Vと
の 間 に 標 準 的 な 同 型 対 応 Φ が 存 在 す る.す
象 的 な2つ
の ベ ク トル 空 間VとV*を,Φ
なわ ち,内
を 通 して,重
双 対 ベ ク トル 積 が 与 え られ る ね合 わ せ て 見 る
こ とが で き る よ うに な る の で あ る. こ の 同 型 対 応 が ど の よ うに な っ て い る か,も そ の た めVの
基 底{e1,e2,…en}を1つ
基 底 を{e1,e2,…,en}と
す る.ま
う少 し 詳 し く調 べ て み よ う.
と っ て,こ
の 基 底 に 関 す るV*の
双対
た
(1) とお く. Vの 任意 の元yを
(2) と表わ す と,双 対 基底 は
(3) と し て 定 義 さ れ たV上 さ て,Vの
の 線 形 関 数 で あ った こ と を 思 い 出 し て お こ う.
基 底ei(i=1,2,…,n)は,標
準 的 な 同 型 対 応 に よ っ て,V*の
どの
よ うな 元 へ 移 さ れ て い る の だ ろ うか. (1)と(2)か
ら
と な る.こ
こ で(3)を
とな る.こ
の 式 が す べ て のy∈Vで
結局
用い ると
成 り立 つ の だ か ら,Φ
の定 義 に戻 って み る と
が 成 り立 つ こ とが わ か っ た.Φ
は 線 形 写 像 だ った か ら,一
般 に,Φ
に よ って
(4)
と対 応 す る こ とがわ か る.
記号の簡約化(挿 記) 皆 の 了 承 が 得 ら れ る な ら ば,数 ベ ク トル 解 析,特
学 の 記 号 は で き る だ け 簡 単 の 方 が よ い だ ろ う.
に テ ン ソル 解 析 と よ ば れ る分 野 で は,い
わ ば数 学 者 の 間 に公 認
さ れ た 記 号 の 簡 約 化 が 行 な わ れ て い る. ベ ク トル 空 間Vの
基 底{e1,e2,…,en}は,あ
れ を 固 定 し て 考え る こ と に す る.こ を と る も の と し て,こ
ら か じ め1つ
の と きV*の
れ も 固 定 し て お く.こ
と っ て お い て,こ
基 底 は 双 対 基 底{e1,e2,…,en}
の と き 次 の よ うに ベ ク トル の 記 法 を
ま ず 簡 単 に して し ま う の で あ る. 簡約化
Vの 元xi
簡約化
こ の 簡 約 化 で は,Vの
元 とV*の
る か で 区 別 さ れ る こ と に な る.な
V*の
元xi
元 は 指 標 が 上 に つ い て い るか,下 おxiの
代 りに,た
と え ばxsと
につ い て い
か い て も,同
じ
こ と で あ る. こ の と き,こ
の 記 法 で は 内 積 を 通 し て のVとV*の
同 型 対 応(4)は
簡単に
(5)
と表 わ さ れ る. こ こ で さ らに,ア
イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 と よ ば れ る 大 胆 な 規 約 を 導 入 す る.
[規 約] 同 じ指 標 が1つ
の 式 に2つ
以 上 現 わ れ た と き は,こ
の 指 標 に 関 し て,1
か らnま
で の 和 を と る も の とす る.
そ うす る と,(5)の
右辺 は単 に
と 表 わ し て も よい こ と に な る.す ろ に 二 度 現 わ れ て い る か ら,ア
な わ ち 同 じ指 標jがgijの
と こ ろ と,xjの
イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 に し た が え ば,こ
とこ
の式 は頭
に を お い た 式 と 同 じ に な っ て い る の で あ る.
そ うす る と,VとV*の
標準 的 な 同型 対 応 は,単 に (6)
と表 わ され る こ とに な る. この逆 写 像 は (7) で 与 え ら れ る.こ
こ でgijは
を み たす 実数 を 表 わ す.こ の式 で も実 は ア イ ンシ ュタ インの規 約 を 使 って い るわ け で,ふ つ うのか き方 で は
(8) と な る. (7)の
成 り立 つ こ とは,Vの
元gkjxjの 対 応 す る先 のV*の
元 が(6)か
らgikgkjxj=xi
で与 え られ て い る こ とか らわ か る(こ こで ア ィン シ ュ タ イン の規 約 と(8)を 要 す る に,内
積 を 通 し て のVとV*の
と表 わ さ れ る こ と に な った.
標 準 的 な 同 型 対 応 は,こ
用 いた).
の記 法 では
こ の 表 記 の 仕 方 か ら,こ
の 同 型 対 応 を'指
標 の 上 げ 下 げ'と
い い 表 わ す こ とが
多 い. な お,gij=(ei,ej)で V*の
あ っ た が,こ
内 積 へ と移 す と,実
こ と は,(7)と(8)か
の 同 型 対 応 に よ っ てVの
はgij=(ei,ej)と
ら 容 易 に わ か る の で,こ
Tea
内積 を そ の ま ま
な っ て い る こ と を 注 意 し よ う.こ
の
こ で は 証 明 は 省 略 す る.
Time
テ ンソ ル の記 号 につい て 微 分 幾 何学 の本,特 に リー マ ン幾 何 を 論 じた本 や,一 般 相 対 性 理 論 の教 科 書 な ど を開 い て み る と,テ ン ソル とい って
の よ うな,た
く さ ん の 指 標 の つ い た 量 が い た る と こ ろ 現 わ れ て い て,そ
も い か に も 深 遠 そ うで,近
づ き に くい 感 を 与 え る こ と が あ る.こ
れ だけ で
れ は テ ン ソル記
号 と よば れ る も の で あ る. リー マ ン 幾 何 や 一 般 相 対 性 理 論 で は,空 る ベ ク トル 空 間(第29講 れ る の で あ る が,こ
参 照)と,そ
こ で は,そ
間 の 各 点 に 与 え られ た 接 空 間 と よば れ
の 基 底 の と り方 に よ ら な い 性 質 が 論 ぜ ら
こ ま で 立 ち 入 ら な い で,上
の記 法 につ い て の説 明
だ け を し て お こ う. ベ ク トル 空 間Vに
基 底{e1,e2,…,en}を1つ
と っ て 固 定 し て お く.そ
うす る
とテ ン ソル積 s個
に も基 底
が 固 定 さ れ て く る.こ
の と き sVの
元 は,一
意的に
と表わ され るが,こ れ を'座 標成 分'だ け と り出 して
で 表 わ そ う とい う の が,テ こ の 記 号 で,た
とV
ン ソル 記 号 で あ る. Vの 元2e1 e3−5e2
e2は ど の よ うに 表 わ す の だ ろ
うか と 不 審 に 思 わ れ る 読 者 も お られ る か も し れ な い が,そ
れは
それ 以外 の とき と表 わ せ ば よい の で あ る. s個
t個
また は, の元
を 表 わ し て い る(な
お,第6講
扱 わ な か っ た が,( sV) が で き る こ と を,注
で は,1つ
( tV*)の
の ベ ク トル 空 間Vの
テ ン ソル 積 しか
よ う な テ ン ソル 積 も 同 様 に 定 義 す る こ と
意 し て お こ う).
質 問 ア イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 に 登 場 し た ア イ ン シ ュ タ イ ン は,相
対 性 理 論 を創
っ た あ の 人 な の で す か. 答 そ う で あ る.ア
イ ン シ ュ タ イ ン は一 般 相 対 性 理 論 を 創 る と き,そ
基 盤 と し て リー マ ン 幾 何 学 を 採 用 し,そ 対 性 理 論 の 考 え や,重
中 に,テ
こ に 多 くの テ ン ソル 式 を 用 い て,一
般相
力 場 の 考 え を 表 現 した の で あ る.
ベ ク トル 解 析 と い う テ ー マ の 中 に,こ ど うか は,は
の 数学 的 な
の よ うな テ ン ソル の 取 扱 い も 含 め る の か
っ き り と し て い な い の だ が,ふ
つ うは,リ
ン ソル の こ とは か い て あ る よ うで あ る.
ー マ ン幾 何 学 の教 科 書 の
第14講 基 底 の 変 換 テーマ
◆ 基底変換,基 底変換の行列 ◆ 成分の変換 ◆ 互い に反変的な変換 ◆ 双対基底の基底変換 ◆ テン ソル積の基底変換 ◆ 外積 の基底変換 ◆ 変換則の行列式
基 底 変 換 とそ れ に よ って不 変 な 性 質 ベ ク トル空 間Vに
は,い
ろい ろな基 底 を とる こ とが で き る.ベ
ク トル空 間V
に 固有 な性 質 は,も ち ろん基 底 の と り方 に よ らな いで 表 わ され る よ うな もので あ る.た とえ て い えば,抽 象 的 なベ ク トル空 間 は,抽 象 性 の世 界 に姿 を 隠 し てい る が,そ れ が基 底 の と り方 に 応 じて,具 体 的 な 形 を とって,い ろ い ろな鏡 に映 され る.鏡 に映 ず る像 は多 様 と して も,ベ ク トル 空 間 の もつ 本来 の性 質 は,こ れ らす べ て の像 に共 有 してい る性 質―
すべ て の像 に不 変 な 性 質―
と して捉え られ る
ものだ ろ う. この よ うな立 場 で,ベ
ク トル空 間 で は,基 底 変 換 が ベ ク トル の成 分 に どの よ う
な変 換 を 引 き起 こす か,ま た この 変換 に 際 して,不 変 な性 質 は何 か を調 べ る こ と が重 要 な こ とに な って くる. この講 で は,基 底 変 換 に関 す る基本 的 な 事柄 を ま とめ て述 べ て お こ う.
基 底 変換 ベ ク トル 空 間Vに2つ
の基 底
が 与 え られ た と し,そ
れ に よ っ て,Vの
ベ ク トルxが
(1) と2通
り に 表 わ さ れ た とす る.ア
x=xiei=xieiと
イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 に した が え ば,こ
れ は,
表 わ し て も よ い わ け で あ る.
各ei(i=1,2,…,n)は{e1,e2,…,en}を
用 い て 一 意 的 に 表 わ す こ とが で き る.
それを
(2)
と表 わ そ う.Ajiを ふ つ う はAjiを
基 底{ei}か
ら{ei}へ
の 基 底 変 換 の 係 数 と い う.も
行列
(*)
の 形 に か い て,Aを
基 底 変 換 の 行 列 とい う.
逆 に 各ei(i=1,2,…,n)を{e1,e2,…,en}に
よ っ て 表 わ し て,
(3)
と お く と,Ajiは,基 (2)を(3)に
底{ei}か
ら{ei}へ
の 基 底 変 換 の 係 数 と な る.
代 入 して
が 得 られ るが,基 底 に よ る表 現 は一 意 的 だ か ら,こ れ か ら
(4) 同 様 に し て(3)を(2)に
代 入 す る こ とに よ り
っ と も,
が 成 り立 つ こ とがわ か る. この こ とは行 列 でい え ば,基 底 変換 の行 列
と が,互
い に 逆 行 列 の 関 係 に あ る こ とを 示 し て い る.実
際,た
と え ば(4)は,
行 列 の乗 法 を 用 い る と AA=En(Enは と 表 わ さ れ る.し
単 位 行 列)
た が って
で あ る.
成分の変換 {ei}か ク トルxの
ら{ei}へ
の 基 底 変 換 が(2)で
与 え られ る と き,(1)に
戻 っ て,ベ
成 分 が ど の よ うに 変 換 さ れ る か を 調 べ て み よ う.
(1)に(2)を
代入す ると
と い う関 係 が 得 られ る.右
と な る.{e1,e2,…,en}は
辺 で 指 標 をi→j,j→iに
基 底 で,し
変 え て移 項 す る と
た が っ て1次
れ か ら 成 分 に 関 す る変 換 則
(5)
が 成 り立 つ こ とがわ か る. 同様 に して 変 換則
独 立 な こ と に 注 意 す る と,こ
(6) が 成 り立 つ こ と が わ か る. こ こ で(2)を
再記す ると
(2) さ て,(2)と(5)を る と,成 Aijの
見比 べ
分 と基底 の変 換 で は
働 き が ち ょ うど入れ か わ
っ た よ うな 形 と な っ て い る.こ の と き変 換 則(2)と(5)は 互 い に 反 変 的 で あ る と い う. 同 様 に(3)と(6)は
図13
互い
に 反変 的 な変 換 を うけ て い る(図13).
双対基底の基底変換 Vの 基 底 を
と か え る と,対
応 し てV*の
双対基底は
(7) と変わ る. Vの 基 底 の変 換 則 が(2):
で 与 え られ る と き,こ
の 双 対 基 底 の 変 換 則 は どの よ うに 表 わ さ れ る だ ろ うか.
前 の よ う にA=(Aij)は,行
列A=(Aij)の
と き,双 対 基 底 の 変 換(7)の
変 換 則 は 簡 単 に い え ば,行
れ る の で あ る.詳
し くか く と
逆 行 列 を 表 わ す こ と に す る.こ 列tA=tA−1で
の
与 えら
双対 基 底 の変 換 則:
(8)
が 成 り立 つ. 【証 明 】{e1,…,en}は
関係
(9) に よ っ て 決 ま る.一
方
こ の 結 果 は(9)と
見 比 べ て(8)が
2式 か ら第3式
成 り立 つ こ とを 示 し て い る.な
へ 移 る と き,ej(el)はj=lの
と き 以 外,0と
お右 辺 の第
な る ことを 用 い て
い る.
テ ン ソ ル積 の 基 底 変 換
Vの
基 底{e1,e2,…,en}が
が 決 ま る.し
た が っ てVの
与 え ら れ る と,テ
ン ソ ル 積 kVの
基 底 変 換{ei}→{ei}は kVの
基 底
基底変換
を 引 き起 こす. Vの 基 底変 換 の 変 換則 が(2)で 底 の変 換 則 は
与 え られ て い る とき,こ
の kⅤ にお け る基
で 与 え られ る.
外積の基底変換 Vに お け る基 底 変 換{ei}→{ei}は,外
積 空 間 ∧kVの
{ei1∧ei2∧… ∧eik│i1
… ∧eik│i1
の 変 換 則 を 一 般 的 に か くこ と は,多
少 繁 雑 な の でVが3次
元
お け る変 換 則 が どの よ うに な る か だ け を 述 べ て お こ う. と き に は,(2)は
と 表 わ さ れ る.こ
と な る.一
基 底変 換
の と き,た
と え ばe1∧e2を
般 に こ の よ うな 形 の 式 が,外
計 算 し てみ る と
積 空 間 にお け る変 換則 を与 え る式 とな っ
て い る.
変換則の行列式 基 底変 換 の行 列(*)の
行列式
(**)
を 調 べ る こ と が 必 要 と な る こ と も あ る. こ の 行 列 式 は,外
積 空 間∧nVに
に 現 わ れ る の で あ る.∧nVは1次
引 き 起 こ され た 基 底 変 換 の 公 式 に,ご 元 で あ っ て,そ
え られ て い た こ と を 思 い 出 し て お こ う.し が,∧nVに
引 き 起 こ す 基 底 変 換 は,単
に
の 基 底 はe1∧e2∧
た が っ てVの
く 自然
… ∧enで
基 底 変 換{ei}→{ei}
与
だ け と な る.こ
の と き,次
の 命 題 が 成 り立 つ.
【証 明 】
こ こ で,j1,j2,…,jnの … ∧ej
n=0と
あ る.そ
な る.し
こ で 順 列(置
中 に1か
らnま
で 同 じ 数 が 二 度 現 わ れ る と き は,ej1∧ej2∧
た が っ てj1,j2,…,jnは{1,2,…,n}の 換)を
順 列 を 動
くだ け で
一般 に
と表 わす と
こ こ でeσ(1)∧ … ∧eσ(n)を 適 当 に 順 番 を と りか え てe1∧e2∧
… ∧enの
形 に 直 す と,
上式は
とな る.sgnσ 号 で あ る.こ
は,σ が 偶 置 換 な ら ば+1,奇 の カ ッ コ の 中 は,det(A)の
置 換 な らば −1と し た,置
換 σの 符
定 義 式 そ の も の に な っ て い る.し
たが
って e1∧e2∧
… ∧en=det(A)e1∧e2∧
… ∧en
が 成 り立 つ.
Tea
Time
質 問 ベ ク トル の基 底 と成 分 の 変 換 則が 反 変 的 で あ る とい うこ との,も
う少 し見
通 し の よい 説 明 はな い で し ょ うか. 答 結 果 的 に は 同 じ こ とを述 べ て い るに し て も,記 号 を 上 手 に利 用 す る と,ず っ と見 や す くな る とい うこ とが あ る.変 換 則 が,基 底 と成 分 につ い て反 変 的 で あ る
こ とは,次 の よ うな記法 を採 用 す る と,わ か りや す くな る か も しれな い. 基 底 の 変 換(2)を
と か く こ と に す る.あ
る い は(*)の
よ う に,変
換 の 行 列 をAと
す る と,こ
の記
法は
(#) と表 わ さ れ る.ま
た
と 表 わ す こ と に し よ う.こ e2,…,en}を
の と き,ベ
ク トルxを,基
底{e1,e2,…,en}と{e1,
用 い て 表わ す と
と な る. こ こ に(#)を
と な っ て,こ
代 入す る と
れか ら
(##)
が 導 か れ る.(#)と(##)を
見 比 べ る と,ご
入 れ か わ っ た こ とが わ か るだ ろ う.実
く 自 然 にAの
際(##)は,(5)に
働 き 方 が'反
変 的'に
ほ か な らな い.
第15講 R3の
ベ ク トル の 積
テ ー マ
◆x×yの
定 義 と基 本 性 質
◆xとyが1次
独立 の こ ととx×y≠0は
同値
◆ 基 底 ベ ク トル相 互 の 外積 ◆x×yの
幾 何学 的 性 質
◆ 一 般 に結 合 則 は成 り立 た な い.
幕あい― 前 講 ま で で,代
空間R3
数 的 な事 柄 に つ い て の 説 明 は ひ と ま ず 終 った こ とに し て,こ
か ら は 本 書 の 主 題 で あ る ベ ク トル 解 析 を 述 べ る こ と に す る.こ
の 講 は,そ
れ
の 間に
挾 ま れ た 幕 あ い の よ うな もの で あ る. 3次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間R3に 1つ の 特 徴 的 な 性 質 が あ る.そ ベ ク トルx×yを
は,ほ
か の 次 元 の ユ ー ク リ ッ ド空 間 に は な い,
れ は,R3の2つ
の ベ ク トルx,yに
対 し て,R3の
対応 させ る規則 が あ って x×y=−y×x
を み た す の で あ る.こ い て も,外
のx×yを
積 代 数 の と き のx∧yと
元 で あ っ て,R3の
や は り,xとyの
外 積 とい うが,同
は 異 な るの で あ る.実
際x∧yは
じ用 語 を 用 ∧2(R3)の
ベ ク トル で は な か っ た の で あ る.
x×yの 定 義 と基 本 性 質 R3の
ベ ク トルxを
=(x1,x2,x3)の 【定 義 】
成 分 を 用 い て 表 わ す の に,こ
こ で は 横 ベ ク トル を 用 い てx
よ う に 表 わ す こ と に し よ う.
ベ ク ト ルx=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)に x×y=(x2y3−x3y2,x3y1−x1y3,x1y2−x2y1)
対 して
と お き,x×yをxとyの
外 積 とい う.
こ の 右 辺 の 成 分 は,行
列式
(1)
の 第1行
に 関 す る 展 開 の 余 因 子 と覚 え て お く と よい.こ
の こ とか ら,ま
ず次のこ
と が わ か る.
(ⅰ)
αx×y=x×
αy=α(x×y)
(ⅱ)
x×(y+z)=x×y+x×z
(ⅲ) x×y=−y×x (ⅳ)
x×x=0
【証 明 】(ⅰ),(ⅱ):x×yの
成 分 が,xの
1次 式 と し て 表 わ さ れ て い る こ と,す
成 分 とyの
な わ ち,双1次
(ⅰ)と(ⅱ)が
成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ る.
(ⅲ):y×xの
成 分 は,行
列 式(1)の2行
行 目 に つ い て 展 開 し た 余 因 子 で あ る.行 号 が 変 わ る.し
成 分 に つ い て,そ
目 と3行
目 を 入 れ か え て か ら,1
列 式 の 性 質 か ら,こ
た が っ てx×y=−y×x(も
れぞれ
と な っ て い る こ とか ら,
ち ろ ん,こ
の と き各余 因 子 の符
の こ とは 定 義 の式 か ら
も 直 接 確 か め られ る こ と で あ る). (ⅳ):(ⅲ)よ
り,x×x=−x×x.し
た が っ てx×x=0と
な る.
2つ の ベ ク トル の1次 独立 性 次 の命題 が成 り立 つ. xとyが1次
【証 明】〓:xとyが1次 x=βy)と
独 立 ⇔x×y≠0
独 立 で な い と す る.こ
表 わ され る.し
た が っ てx×y=x×
×y=β(y×y)=0)と
な る.ゆ
え に,x×y≠0な
⇒:xとyは1次
独 立 と す る.こ
の と きy=αx(あ
αx=α(x×x)=0(あ ら ばxとyは1次
の と きx≠0,y≠0で
る い は, る い はx 独 立 で あ る.
あ る こ とを まず注 意
す る.い
まx1≠0と
x1y2=x2y1が
す る.さ
成 り 立 ち,こ
が 導 か れ る.x1≠0だ
て,も
しx×y=0な
ら ばx2y3=x3y2,x3y1=x1y3,
れ か ら
か ら,こ れ はxとyが1次
独 立 で あ った こ と に 矛 盾 す る.
基 底 ベ ク トル と外 積 e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)と トル で あ る.こ
す る.{e1,e2,e3}は
標 準基 底 ベ ク
の と き
(ⅴ)
e1×e2=e3,e2×e3=e1,e3×e1=e2
が 成 り立 つ. この こ とは,定 (ⅱ),(ⅲ)の
義 に 代 入 して す ぐに 確 か め られ る.な
性 質 が あ る と,必
お,こ
の(ⅴ)と(ⅰ),
然的 に
とな っ て,定 義 で 与 えた 式 が導 か れ る.
x×yの 幾 何 学 的 性 質 xとyは1次
独 立 とす る.
(ⅳ) x×yは,xとyに
直 交 し て い る.
(ⅶ) ‖x×y‖=(xとyを2辺 (ⅷ) {x,y,x×y}は
【証 明 】(ⅳ):xとx×yの の 第1行
とす る 平 行 四 辺 形 の 面 積)
右 手 系 の1次
独 立 な ベ ク トル で あ る.
内 積(x,x×y)は,x×yの
目に 関 す る 余 因 子 で あ る こ と を 考 慮 す る と,ち
各 成 分 が 行 列 式(1) ょ うど行列 式
で 与 え ら れ る こ と が わ か る(こ を1行
目 に 関 し て 展 開 した 式 が,内
わ す 式 と な っ て い る).こ 目 と2行
積を表
の 行 列 式 は1行
目 が 一 致 し て い る か ら0で
し た が っ て(x,x×y)=0で x×yが
の行 列 式
あ る.
あ っ て,xと
直 交 し て い る こ と が わ か る.同
図14 様 にyとx×yが
直 交 して い る こ とが示
さ れ る(図14). (ⅶ) x×y=(z1,z2,z3)と
で あ る.一
す ると
方,z1,z2,z3は,行
列 式(1)の1行
目に 関 す る 余 因 子 で 与 え られ て
い る こ とに 注意 す る と
した が って
(2)
で あ る.特
に 右 辺 の 行 列 式 は(各
こ とに 注 意 す る と)正
行 が1次
の こ と の 証 明 は 省 略 す る.読
(こ の と きx3=y3=0),x×yが z2=0),行
た が っ て0で
は ない
で あ る.
こ の と き こ の 行 列 式 は,x×y,x,yで い る.こ
独 立 で あ っ て,し
は ら れ る 平 行 六 面 体 の 体 積Vを 者 は,x,yがe1,e2の
し た が っ てe3軸
列 式 の 簡 単 な 計 算 か ら,こ
示 して
は る平 面 上 に あ り
の 上 に あ る と き(こ
の と きz1=
れ が平 行 六面 体 の 体積 を 表わ し てい る こ と
を 確 か め て み られ る と よい. い ま こ こ でxとyで
は られ る 平 行 四 辺 形 を 底 面 と考 え る と,こ
の 平 行 六 面体
の 体 積Vは V=底
面積 ×高 さ
で 与 え られ る.(ⅳ)に
よ りx×yはxとyに
直交
し てい るの だか ら 高 さ=‖x×y‖ で あ る(図15).一
方,底
面 積 は,xとyを2辺
す る平 行 四 辺 形 の 面 積 だ か ら,結 局(2)か ‖x×y‖2=(xとyを2辺 が 得 られ る.こ
とす る 平 行 四 辺 形 の 面 積)× ‖x×y‖
る い は,x,y,x×yの
指,中
示 して あ る よ うに
指 の 方 向 に み る こ と が で き る とい う こ と で
方 向 を 連 続 的 に,し
な い よ うに 変 化 し て い っ た と き,xをe1軸
さ て,(ⅷ)の
独 立 と仮 定 して い た か
右 手 系 で あ る と い う の は,図16で
右 手 の 親 指 人,差
に,x×yをe3軸
ら
成 り立 つ こ と が わ か る.
(ⅷ):{x,y,x×y}が
あ る.あ
図15
の 両 辺 を ‖x×y‖ で 割 る と(xとyが1次
ら ‖x×y‖ ≠0!),(ⅶ)が
x,y,x×yを
と
か し互 い の ベ ク トル は 重 な ら
の 正 の 方 向 に,yをe2軸
の正 の方 向
の 正 の 方 向 に 乗 せ る こ と が で き る とい う こ と で あ る. 証 明 は 次 の よ う に し て 行 な わ れ る.{x,y,x×y}は
手 系 の い ず れ か で あ る.も
し仮 に 左 手 系 とす る な ら ば,1次
独立 性 を 保 ち なが ら
連 続 的 に動 か し て
とで き る.対 応 して成 分 のつ くる行 列 式は
図16
右手 系 か左
図17
へ と変 化 す る.こ の過 程 で行 列 式 は0と な らない のだ か ら
の 符 号 は 負 で な くて は な らな い.一 る か ら((2)の1行
の 行 列 式 の 値 は,(2)と
目を 二 度 入 れ か え て も 符 号 は 変 わ ら な い!)正
れ は 矛 盾 で あ る.し 図17で
方,こ
た が っ て{x,y,x×y}は
は 左 手 系 の 場 合 を 示 し て お い た.読
一 致 し てい で あ る.こ
右 手 系 で あ る. 者 は,{x,y,z}が{e1,e2,−e3}へ
ど の よ う に 連 続 的 に 変 化 し て い くか 確 か め て み られ る と よ い.
コ
xとyが1次 あ っ て,長
実 際,多
ト
独 立 の と き,x×yは,xとyに さ はxとyの
て い る な ら ば,は は な い か,と
メ ン
直 交 す る右 手 系 を つ く る 方 向 に
つ くる 平 行 四 辺 形 の 面 積 で あ る ―
そのことが わ か っ
じめ か ら 外 積 を そ の よ うに 定 義 し た 方 が わ か りや す か っ た の で
考 え る の は ご く 自然 な こ と で あ る. くの 教 科 書 で は そ う し て い る が,こ
の 方法 で外 積 を 定義 す る と今度 は
x×(y+z)=x×y+x×z の 証 明 が,一
読 し て す ぐに わ か る とい う よ うに は か け な い の で あ る.こ
明 し て お か な い と,外 際,成
積x×yが
の 式 を証
成 分 で どの よ うに 表 わ さ れ る か が 示 せ な い.実
分 表 示 の 式 を 導 くた め に は
を計 算 しな くて はな らず,こ
こで分 配則 が本 質 的 に用 い られ るか らで あ る.
一 般 に結 合 則 は成 り立 た な い 外積 を 表 わ す の に,よ
く見慣 れ た かけ 算 の 記 号 ×を 用 い た の で,私 た ちは,外
積 に対 してふ つ うの 演算 規 則 は大 体成 り立 つ の だ ろ う と錯 覚 しが ち で あ る.し か
し 実 際 は,外
積 に 対 し て は,結
す な わ ち,一
合 則 は 成 り立 た な い!
般 には x×(y×z)≠(x×y)×z
で あ る.た
と え ばx=e1,y=e1+e2,z=e3と
お くと
x×(y×z)=−e3 (x×y)×z=0
とな る.し た が っ て純粋 に代 数 的 な立 場 でみ れ ば,R3の
外積 とい うの は,何
か
中 間的 な感 じを 免れ 得 な い ので あ る.
Tea
質 問 R3の
Time
ベ ク トル の 外 積 はx×y=−y×xと
係 を 見 る 限 り,外 積 代 数 ∧R3に な り ま せ ん.講
い う性 質 が あ り ます が,こ
お け る 積x∧yへ
義 の 中 で は,ひ
の関
と関係 が あ る よ うな 気 が して
と ま ず 無 関 係 で あ る と い う よ うな お 話 で し た が,
本 当 に 何 の 関 係 も な い の で す か. 答 '外 積'と
い う用 語 で,x×yとx∧yを
そ の 点 の 違 い を 述 べ た の で あ っ て,全 E(R3)の
立 場 で,R3の
混 同 さ れ て は 困 る の で,講 義 で は 然 無 関 係 と い う わ け で は な い.外
積代数
ベ ク トル の 外 積 を 導 入 す る こ と は 可 能 で あ っ て,そ
れに
は x×y=*(x∧y) とお くの で あ る.こ
こ で*は,*-作
用 素 と よ ば れ る も の で あ っ て,い
まの場 合
*(e1∧e2)=e3,*(e2∧e3)=e1,*(e3∧e1)=e2
で定 義 さ れ る ∧2(R3)か
らR3へ
の 線 形 写 像 で あ る.
この定 義 で は x×y=*(x∧y)=−*(y∧x)=−y×x と な っ て,積
の 順 序 を か え る と符 号 が 変 わ る と い う 性 質 が,x×yとx∧yで
く整 合 し て い る の で あ る.な か ら,*(x∧y)をxとyの 発 点 に と っ たx×yの
よ
お こ の 定 義 で は 分 配 則 が 成 り立 つ こ と は す ぐわ か る 成 分 で 表 わ す こ とが で き て,そ
定 義 と な っ て い る.
れ が この 講義 の 出
第16講 グ リー ンの 公 式
テーマ
◆ 微 分 ・積 分 の基 本 公 式 ◆
グ リー ン の公 式
◆ グ リーン の公 式 の 左 辺―
面 積分
◆ グ リー ン の公 式 の右 辺 ―
線積 分,周 の向 き
◆ グ リー ン の公 式 の 証 明
微 分 ・積 分 の基 本 公 式 1変 数 関 数 の とき,微 分 ・積 分 の基本 的 な 関係 は,連 続 関 数f(x)に
が成 り立 つ とい うこ と で あ る(カ わ し方 に,誤
ッコの中 は
解 が 少 な いか も しれ ない).一 般にf(x)の
とか い た 方が変 数xの 表 不 定積 分 をF(x)と
ると
で あ り,し た が っ てF(x)と
は 定 数 の 差 し か 違 わ な い.
と お く と,F(a)=C. した が っ て
あ る い は,x=bと
対 して
お い て か き直 して
(1)
す
と な る.こ
れ は 微 分 ・積 分 の 基 本 公 式 と よ ば れ る も の で あ る.
この 式 の1つ の 見 方 数学 で は点 は0次 元 と思 っ てい る.線 分 や 円周 の よ うな 曲線 は1次 元 で あ る. 平 面 や 円 の 内部 は2次 元 で あ る.空 間や 立 方体 の 内部,球
の 内部 な どは3次 元 で
あ る. こ の よ うに 次 元 とい 観 を 積 分 し た 結 果 は,0次 とF(b)で
点か ら見 る と,(1)は1次 元 の 量,す
な わ ち 線 分 の 端 点a,bに
お け るFの
で 値F(a)
表 わ さ れ る とい う こ と で あ る.
微 分 と 積 分 の 基 本 的 な 関 係 は,こ とFと
元 の 線 分[a,b]上
の よ う に,線
分 と 線 分 の 端 点 に お け る
の 関 係 を 示 し て い る.
視点を平面上の領域に移す この よ うな 見 方 に 立つ と,線 分 を平 面 上 の有 界 な領 域 にお きか え,線 分 の端 点 を この領 域 の境 界 に お きか え る こ とに よ っ て,(1)の 2次 元 版―
拡張―
いわ ば(1)の
を考 え る こ とがで き る.
そ れ を 説 明 す るた め に,あ ま り一般 的 な 設 定 はせ ず に 平 面 の 有 界領 域 とし て は,図18で
示 し て あ る よ うな,
円を 少 し変 形 した よ うな領 域Dを
考 え る こ と に す る.
またDの
境 界Cは
滑 らか とす る.
注意 一 般 的 な設 定 で は'Dは
有 界 な領 域 で,Dの
図18 境 界 は,区 分 的なC1− 曲線 か らな る'
とい う よ うに述 べ られ る. Cが 滑 ら か で あ る と は,Cの
各 点 で 接 線 が 引 け て接 線 が 連 続 的 に 変 わ る こ と で
あ る.
グ リー ン の 公 式 閉 領 域Dを
含 む あ る 領 域 で 定 義 さ れ た,2変
数 の2つ
の関 数
P(x,y),Q(x,y) が 与 え られ た と す る.P(x,y),Q(x,y)はC1−
級 と仮 定 し よ う.す
なわち
が 存 在 し て,す
べ て 連 続 とす る.
こ の と き,グ
リ ー ン の 公 式(ま
た は 平 面 上 の ガ ウ ス の 公 式)と
よば れ る 次 の 定
理 が 成 り立 つ.
【定理 】 こ の仮 定 の下 で
(2) が 成 り立つ.
この 左 辺 と右 辺 の説 明 は あ と まわ しに して,ひ とまず この式 を 眺 め てみ る と, 左 辺 は,D全
体 に わ た って,PとQを
右 辺 は,境 界C上 PとQの
で のPとQの
変 動 の 模様 が,こ
分 の基 本 公 式(1)の2次
偏微 分 して つ くった 式 を積 分 してお り,
値 を 積分 し てい る.Dの
内部 と,境 界C上 で の
の よ うに対 応 し てい る状 況 を,私
た ち は,微
元 版 とみ る ので あ る.
左辺の説明 (2)の
左 辺 に 現 わ れ た 積 分 の 意 味 は 次 の よ うで あ る.
x軸 上 に と っ た 分 点 x1<x2<…<xN y軸 上 に と っ た 分 点 y1
長方形
Δij={(x,y)│xi≦x<xi+1, yj≦y
φ とな る
Δijだ け と り 出 す の で あ る(図19). 次 に,Δij∩Dに
含 ま れ て い る1点
(ξij,ηij)を と り,和
図19
分 ・積
(3) を つ く る.こ
こ で Σ は,Δij∩D≠
る こ と を 示 す.ま
は,長
φ とな る Δijす べ て に つ い て の 和 を と っ て い
た
方 形 Δijの 面 積 で あ る.
分 点x1,x2,…,xN;y1,y2,…,yMの 0に
近 づ け る と き,(3)は
最 大 幅Max(xi+1−xi),Max(yj+1−yj)を あ る 一 定 の 極 限 値 に 近 づ く.こ
の値 を
と表 わ した ので あ る.こ の よ うな積 分 を面 積 分 とい うこ とが あ る.
右辺の説明 (2)に
現 わ れた 積 分 の意 味 は次 の よ うであ る.
Dの 境 界Cに
向 きを 与 え る.C上
を動 く点 が,Dを
左 手 にみ る よ う に動 くと
き,正 の 向 き に まわ る とい うこ とにす る.時 計 の針 と反 対 方 向 に まわ る 向 きを 正 の 向 き とい うとい った方 が 簡 明 か もしれ な い. C上 の 分 点 P1,P2,…,Pi,…,PN=P1
を,Cの
正 の 向 き に し た が っ て 順 次 と り,
と す る(図20).ま
た,Pi,Pi+1の
間 に あ るC上
の 点(ξi,ηi)を
の と き,和
は,分
点 を 細 か く し て,分
点の間
の 長 さPiPi+1:
が0に
近 づ く よ うに す る と,一
の 極 限 値 に 近 づ く.こ
の値 を
定 図20
任 意 に と る.こ
と 記 し た の で あ る.
1つ の注 意 右 辺 の積 分 ―C上
で の線 積分 ―
の定 義 で は,Cの
向 きは正 の 向き であ る と
きち ん と指 定 され て い る点 に注 意 を してお く必 要 があ る.こ で 示 し て あ る よ うに,積 に な り,∫Qdyを
分 ∫Pdxを
と る と き のxi+1−xiの
と る と き のyi+1−yiの
向 き は,右
の こ とか ら,図21 向 き は,上
と下 で 逆
と 左 で 逆 に な る.
定理の証明 定理 の証 明 で特 に 関 心 のあ るの は次 の2点 であ る.1つ 積 分 の基 本 公 式(1)と わ れ て い る の に,
は公 式(2)と
の 関係 であ り,も う1つ は,左 辺 で
微分 ・
は符 号+で 現
は符 号 −で現 わ れ て い る とい う特 徴 的 な 非 対 称性 で あ る.
さて この2点 に 注 目しな が ら,証 明 の大 略 を 述べ よ う.
で あ る が,こ (変 数xに
の 右 辺 の 極 限 を と る 際 に,ま
つ い て の 積 分!),次
と が 知 られ て い る.こ
にyjに
関 す る和 を と っ て 極 限 に移 り
関 す る和 を と っ て 極 限 へ 移 っ て も よ い こ
れ は 重 積 分 の 累 次 積 分 へ の 還 元 と い う こ と で あ る が,こ
詳 細 に つ い て は 省 略 し よ う(『 解 析 入 門30講
図21
ずxiに
』 第29講
参 照).
図22
の
こ の こ と を も う少 し 整 理 し て 述 べ る と,図22で て 変 数xに
つ い て 積 分 し,そ
と る と,
の 結 果 を,y方
点Pか
らQま
向 に 分 点yjに
でx方
向 に沿 っ
関 して 加え て極 限を
が 得 られ る と い う こ と で あ る.
すなわち
(4) と な る. こ こ で 第1式
か ら第2式
へ 移 る と き,微
分 ・積 分 の 基 本 公 式(1)を
用 い てい
る. 次 に 図21と 向 き が,C上
図22を
見 比 べ て み る と,左
側 の 点P=(xk,yj)で
は,yj+1−yjの
で 線 積 分 を と る 向 き と は 逆 に な っ て い る こ とが わ か るだ ろ う.一
右 側 の 点Q=(xl,yj)で,yj+1−yjの
向 き は 正 の 向 き とな っ て お り,線
方
積分 を と
る 向 き と 合 致 し て い る. し た が っ て,(4)の
第1項
Cの 右 側 で の 線 積 分 ∫Qdyに
ΣQ(xl,yj)(yj+1−yj)は,分 近 づ い て い く.第2項
点 を 細 か くす る と, も,Σ
の 前 の マ イナ ス記 号
C:右 を 中 に入 れ て
(yj−yj+1は
と す る と,分
点 を細 か くした と き
C:左
とか き直 され る ことが わ か る.こ れ で2つ 合 わ せ て
が 成 り立 つ こ とが わ か った. 同様 の 議 論 は
正 の 向 き!)
に も適 用 で き る のだ が,今 度 は(4)に
で,第1項P(xi,yl)(xi+1−xi)で −xiが
はxi+1
負 の 向 き と な り,第2項P(xi,yk)
(xi+1−xi)で (図23参
対応 す る式
はxi+1−xiは
照).し
正 の 向 き とな る
た が っ て線 積 分 の符 号 に
合 わ す た め に は,こ
の 式全 体 の 符号 を 逆 に
し な くて は な ら な い.こ
の こ と か ら,分
を 細 か く した と き に,こ
の和 は
点 図23
に 近 づ くこ とが わ か る. すなわち
で あ る.こ
れ で グ リー ン の 定 理 が 証 明 さ れ た.
証 明か らわ か る よ うに,(2)の
左 辺 の 符号 の違 い は,Cの
向 きが 反 映 し て い
た の であ る.
Tea
Time
面 積 を線 積分 で表 わ す こと グ リ ー ン の 公 式 で 特 にP(x,y)=0,Q(x,y)=xと
と な る.と
こ ろ が 左 辺 はDの
面 積 に 等 し い.こ
お くと
の よ うに し てDの
上 の 線 積 分 に よ っ て 表 わ され て し ま っ た.P(x,y)=y,Q(x,y)=0と 度は
が 得 られ る.こ の2式 を 加 え て2で 割 る と
面 積 が,周C お く と,今
Dの 面積 とい う公 式 も得 られ る こ とに な る.周 上 の値 だ け で,内 部 の面 積 が 求 め られ るの は,少
し不 思 議 な気 がす る.た とえば 琵琶 湖 の面積 の大 体 を知 るに は,座 標 平 面
上 に琵琶 湖 の 地 図 を写 し て,次 に琵 琶湖 の周 を 一周 す る道 に沿 って,上 の積 分 の 近 似 値 を求 め る と よい の であ る.
質 問 グ リー ンの公 式 で は,な ぜPとQを の基 本 公式(1)の
対 に して か くので し ょうか.微
積分
拡 張 と して は
と2つ の式 を 並べ てか く方 が 自然 だ と思 い ます.実 際,証 明を み ま して も,こ の 2式 を別 々に 証 明 してか ら,両 辺 を 加 え て グ リーンの 公 式を 導 い て い ます.な ぜ 1つ に ま とめ る必要 が あ った の で し ょ うか. 答 上 の よ うに グ リー ン の公式 を2つ に分 け てか くときに は,x座
標 とy座 標 の
役 目が あ ま りに もは っ き りしす ぎて い て,公 式 がxy座
標 に密 着 した 形 にな っ て
い る.実 際,座 標 軸 を と りか え て(た とえ ばx軸,y軸
を45° 回 転 した座 標 軸 を
と って),上
の積 分 を新 しい座 標 に か き直 して み る と,そ
れ ぞれ の 積 分 は グ リー
ンの 公式 の よ うな形 に変 わ って くる.い ろ い ろな座 標 の と り方 で 変 わ らな い 形 ―
座標 変 換 で不 変 な形 ―
に公 式 を 整 え て表 わ そ うとす る と,PとQを
対に
した グ リー ンの公 式 の表 示 の方 が 適 して い るの で あ る. グ リー ンの 公式 の重 要 性 は,実 は,単 に 回転 の よ うな 座標 変 換 で 不 変 な形 を し て い るだ け で は な くて,も っ と一 般 の座標 変 換 ― す よ うな もの ―
直 交 座標 を'曲 線 座標'に 移
に対 して も不 変 な 形 を し てい る点に あ る.こ の不 変 性 は,次 の
講 か らの主 題 とな る もの で あ って,解 析学 に新 しい視 点 を 導入 して い く こ とに な るだ ろ う.
第17講 微分形式の導入 テーマ
◆ グ リー ン の公式 の新 しい定 式 化 へ 向 け て ◆ ベ ク トル空 間 に値 を とる 関数 ◆ 連 続 な ベ ク トル値 関 数 ◆C∞-級 の ベ ク トル値 関数 ◆dx,dyを ◆1次,2次
基 底 とす るベ ク トル空 間 の微 分形 式
◆ 外 微 分d
グ リー ンの 公 式 の 新 しい 定 式 化 へ 向 け て グ リー ンの公 式 は,平 面 上 の領 域 の,内 部 と周 上 で の 関数 の 平均 的 な挙 動 が, まった く無 関係 では な く,互 い に 関係 し合 っ てい る とい うこ とを 明 らか に した 点 で,本 当 に興 味 のあ る結果 で あ る.グ
リー ン の公 式 は,2変
数 の微 分 ・積 分 の理
論が1変 数 の場 合 の単 な る形 式 的 な拡 張 で あ る とい う感 じを 打 ち破 る最初 の結 果 で あ る と い って よい のか も しれ な い. 微 分 ・積 分 の理 論 の方 は,変 数 の数 を 増 や して,3変 変数 の理 論 を つ くって い る.そ れ で は対 応 して,3次
数 か ら,さ らに一般 にn 元 の 図形,ま た は一 般 にn
次元 の 図形 の,内 部 と周上 で の 関数 の平 均 的 な挙 動 の 関 係 を明 らか に す る公 式 は な い だ ろ うか とい うこ とは,当 然 考 え られ る こ とであ る. しか し,こ の よ うな 方 向で の グ リー ンの 公 式 の一 般 化 を 目指 す ため に は,微 分 形 式 とい う新 しい概 念 を導 入 す る方 が よい し,そ れ は 問題 の見 通 し よい 定式 化 に と って,絶 対 必要 で あ る とさえ い って よい もの で あ る.微 分 形 式 の理 論 は,使 い 慣 れ る と非 常 に有 用 な もの な のだ が,そ の実 体 は なか なか理 解 し に くい 面 を もっ て い る.こ こで は,グ
リー ン の公 式 を微 分 形 式 で か き表 わす とい う話 か らは じめ
て,徐 々に 微 分形 式 の理 論 の概要 を示 して い く道 を た どっ てみ よ う.
ベ ク トル空 間 に 値 を と る関 数 こ れ か ら は,単
に 実 数 値 の 関 数 を 考 え る だ け で は な くて,'ベ
数 を 考 え る こ と も 必 要 とな っ て くる.そ
の た め こ こ で は,平
ク トル'値
面R2上
た ベ ク トル 値 関 数 に つ い て の 一 般 的 な 事 柄 を 述 べ て お こ う(な お,実 き は,関
数 の 定 義 域 はR2全
義 域 はR2全
体 で な くて も よ い の だ が,簡
で 定義 され 際用 い る と
単 の た め,以
下 では 定
体 と し て お く).
ベ ク トル 空 間Vが
与 え ら れ た とす る.ベ
有 限 次 元 性 を 仮 定 し て い る.Vの る.そ
の関
の と きVの
元aは
た だ1通
ク トル 空 間 と い う とき に は,い
基 底 を1つ
と り,そ
れ を{e1,e2,…,en}と
つ も す
りに
(1) と 表 わ さ れ る. R2の
各 点Pに
対 し て,ベ
ク トル 空 間Vの
れ た と き,fをR2上
で 定 義 され た(Vに
た が っ てf(P)∈Vで
あ る(図24).
Vの 元 を 基 底 を 用 い て(1)の
元 を1つ 値 を と る)ベ
対 応 させ る 規 則fが
与え ら
ク トル 値 関 数 と い う.し
よ うに 表 わ して お く と
f(P)=α1(P)e1+α2(P)e2+…+αn(P)en と表 わ さ れ る.各 【定 義 】
αi(P)(i=1,2,…,n)は
各 αi(P)が
実 数 値 関 数 で あ る.
連 続 な 実 数 値 関 数 の と き,fを
う.
図24
連 続 な ベ ク トル 値 関 数 と い
こ の 定 義 に も1つ …,en}を
注 意 が い る.そ
用 い て い る.も
表 わ し た と き,fが
れ は こ の 連 続 性 の 定 義 に はVの
し別 の 基 底{e1,e2,…,en}を
連 続 で な くな っ て し ま う こ とは,起
し か しそ の 心 配 は 無 用 な の で あ る.な い てfを
と っ て,こ
基 底{e1,e2, の 基 底 でfを
こ り得 な い だ ろ う か.
ぜ か と い う と,基
底{e1,e2,…,en}に
つ
表 わ した もの を
とす る と
と 表 わ さ れ る.こ
こ でaij(i,j=1,2,…,n)は,{e1,e2,…,en}か
へ の 基 底 変 換 の 行 列 の 逆 行 列 成 分 で あ る.こ (P),…,αn(P)の1次 (i=1,2,…,n)も
結 合 と な る の だ か
ら{e1,e2,…,en}
の よ うに 各
ら,各
αi(P)が
βi(P)は,α1(P),α2 連 続 な ら ば,βi(P)
ま た 連 続 と な る.
C∞-級 の ベ ク トル 値 関 数 まずR2上
で 定 義 され た 実数 値 連 続 関数f(x,y)がC∞-級
で あ る こ との定 義を
思 い 出 して お こ う. 各 階数 のfの 偏 導 関 数 が存 在 して,こ れ らがす べ て 連続 関数 とな る とき,fを C∞-級 の関 数 とい う. 各 階数 の偏 導 関 数 とかい て あ る のは,xとyに
つ い て い ろい ろな 順 序 で何 回 か
fを 偏 微 分 して得 られ る関 数 の こ とを い って い る ので,そ る とい うの が 上 のC∞-級 の定 義 で あ る.関
数fがC∞-級
れ らが す べ て連 続 とな の とき に は,各
偏 導関
数 は偏 微 分 す る順 序 に関 係 な くな って (s,t=1,2,…)
と 表 わ す こ とが で き る. fをVに って
と表 わ す.
値 を も つ 連 続 な ベ ク トル 値 関 数 と し,Vの
基 底{e1,e2,…,en}を
と
【定 義 】 各 αi(x,y)(i=1,2,…,n)がC∞-級
の 実 数 値 関 数 の と き,f(x,y)を
C∞-級 の ベ ク トル 値 関 数 とい う. 連 続 性 の と き と 同 様 に し て,こ を 示 す こ と が で き る.ベ
の 定 義 はVの
ク トル 値 関 数 と は,基
基 底 の と り方 に は よ ら な い こ と 底 を と れ ば,結
局n個
の実 数 値 関
れ か ら取 り扱 う ベ ク トル 空 間 で は,基
底を一定の
数 の組
で あ る と い っ て よい の だ が,こ
も の と し な い 見 方 が 必 要 に な る の で,ベ
ク トル 値 関 数 と い う考 え 方 が や は り有 用
と な る の で あ る. な お,以
下 で ベ ク トル 値 関 数 と い う と き に は,つ
ね にC∞-級
の ベ ク トル 値 関 数
を 考 え る こ と に す る.
dx,dyを R2に
は,座
基 底 と す る ベ ク トル 空 間
標 空 間 と し てxy-座
を 用 い て(x,y)と 定 義 の と き に も,断
標 が 入 っ て お り,し
表 わ され て い る.も
つ2次
っ と も こ の こ と は,上
元 の ベ ク トル 空 間V2を
元 の ベ ク トル 空 間 で あ る.し
た が っ てV2の
αdx+βdy(α,β
こでdx,dyは
い ら れ て い る 記 号dx,dyが,突
こ の 記 号 を 用 い な が ら,抽
者 は,微
も
りに
積 分 で,一
積 分 で 用 い ら れ る 記 号 と,し
般 に は 象徴 的 に 用
ク トル 空 間V2の1つ
の
異 の 感 を 抱 か れ る だ ろ う.私 た ち は,
象 的 な ベ ク トル 空 間V2の
で 定 義 さ れ たV2に
底dx,dyを
∈R)
い わ ば ラ イ トの 中 に,グ
ー ン の 公 式 を も う一 度 浮 か び 上 が らせ よ う と し て い る.そ
い う.
の関数の
導 入 す る.V2は,R2
元 は た だ1通
然 単 な る 記 号 と し て,ベ
基 底 を 表 わ す た め に 用 い ら れ た こ と に,奇
【定 義 】R2上
標
単 な る 記 号 と し て の 意 味 し か な い.
こ の 定 義 の 仕 方 は い か に も 不 親 切 で,読
は,微
のC∞-級
標 に 付 随 し た 形 で 与 え ら れ る ベ ク トル 空 間 で あ っ て,基
と 表 わ され る.こ
点 は,座
りな し に 用 い て い た.
こ こ で 多 少 唐 突 で あ る が,2次 のxy-座
た が っ てR2の
の 過 程 で,記
リ
号dx,dy
だ い に 整 合 性 を も っ て くる だ ろ う.
値 を もつ ベ ク トル 値 関 数 を,1次
の微 分 形 式 と
した が っ て,基
底{dx,dy}を
用 い る と,1次
の 微 分 形 式 ω(x,y)と
は
ω(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
と表 わ され る も の で あ る.こ
こ でP(x,y),Q(x,y)はC∞-級
の 関 数 で あ る.
V2上 の 外 積 代 数 私 た ち は,単
にV2だ
け で は な くて,V2上 E(V2)=R
の外積 代 数
V2 ∧2(V2)
(2)
も考 える. V2の
基 底{dx,dy}に
対 応 し て,∧2(V2)は
トル 空 間 と な る.dx∧dy=−dy∧dxで さ て,(2)の
基 底dx∧dyを
値 関 数 で あ る.V2に
元のベ ク
あ っ た こ とを 思 い 出 し て お こ う.
右 辺 を み る と,E(V2)は3つ
の 直 和 に な っ て い る.Rに
も つ1次
の ベ ク トル 空 間,R,V2,∧2(V2)
値 を と る 関 数 は,ふ
値 を と る 関 数 は,1次
つ うの 意 味 で の(C∞-級
の 微 分 形 式 で あ る.そ
の)実
数
こで さ らに次
の 定 義 を お く. 【定 義 】R2上
で 定 義 さ れ た ∧2(V2)に
値 を もつ ベ ク トル 値 関 数 を,2次
の 微 分形
式 とい う. した が っ て 基 底dx∧dyを
用 い る と,2次
の 微 分 形 式 η(x,y)は
η(x,y)=R(x,y)dx∧dy と表 わ され る.こ
こ でR(x,y)はC∞-級
の 関 数 で あ る.な
お
R(x,y)dx∧dy=−R(x,y)dy∧dx で あ る こ とを 注 意 して お こ う. 一 般 に,E(V2)に っ て(2)の
値 を もつ ベ ク トル 値 関 数 をR2上
分 解 に し た が っ て,R2上
の 微 分 形 式 と い う.し
の 微 分 形 式 は た だ1通
たが
りに
f(x,y)+ω(x,y)+η(x,y) と表 わ さ れ る わ け で あ る.こ V2,η(x,y)∈ と も あ る.
∧2(V2)で
こ で 各 点(x,y)に
あ る.実
対 し て,f(x,y)∈R,ω(x,y)∈
数 値 関 数f(x,y)は0次
の 微 分形 式 とい う こ
微 分 形 式 の つ くる 空 間 R2上
で 定 義 され た0次,1次,2次
の 微 分 形 式 全 体 の つ くる 空 間 を,そ
れ ぞれ
Ω0(R2),Ω1(R2),Ω2(R2) で 表 わ す. f,g∈ Ω0(R2)に
対 し て αf+βg∈ Ω0(R2)(α,β
ま た ω,ω∈Ω1(R2)に
は 実 数)は
明 ら か で あ る.
対 し, ω(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy ω(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
と お く と,実
数 α,βに 対 し て αω(x,y)+β
ω(x,y)
=(αP(x,y)+βP(x,y))dx+(αQ(x と な り,し
た が っ て αω+β ω∈ Ω1(R2)と
η,η∈ Ω2(R2)に
,y)+βQ(x,y))dy な る.
対 し て も 同 様 に αη+βη∈ Ω2(R2)と
し た が っ て Ω0(R2),Ω1(R2),Ω2(R2)は か し これ ら の ベ ク トル 空 間 は,無
定 義 し,dを
ベ ク トル 空 間 の 構 造 を も っ て い る.し
限 次 元 の ベ ク トル 空 間 で あ る.
外 【定 義 】 Ω0(R2)か
な る.
微
ら Ω1(R2),Ω1(R2)か
分 ら Ω2(R2)へ
の 線 形 写 像dを
次 の式 で
外 微 分 と い う.
(ⅰ)
(ⅱ)
こ の 定 義 は 形 式 的 に 与 え た だ け だ か ら,も 定 義 の(ⅰ)で
はC∞-級
の 関 数f(x,y)に
う少 し説 明 を 加 えて お こ う. 対 して,微
'全 微 分'
(3)
分 法 で よ く知 ら れ たfの
の 形 に 注 目 し て い る.し
か し 実 際 は 記 号 を 流 用 し て,こ
を 表 わ し て い る と み て,こ 分dfを
れ を1次
のdx,dyはV2の
基底
の 微 分 形 式 と考 え る こ と に よ っ て,fの
外微
定 義 し た の で あ る: Ω0(R2)∋f→df∈
こ の よ う な 記 号 の 流 用 は,も 分 に 使 わ れ るdx,dyと,V2の
Ω1(R2)
ち ろ ん 一 般 に は 許 さ れ る こ と で は な い.し 基 底 と し て の 形 式 的 なdx,dyの
か し,微
記 号 の 使 い 方 は,
し だ い に 整 合 性 を 帯 び て くる の で あ る. な お,fの
全微 分(3)に
x−x0,dy=y−y0で
現 わ れ るdx,dyは,微
分 積 分 の 教科 書 を 開 い てみ る と,dx=
あ って 高 位 の無 限 小を 無 視 し て得 られ る量,な
どの よ うにか か れ て い
るが,ふ つ うはわ か りに くい表 現 とな って い る. 定 義 の(ⅱ)で Q(x,y)に
は,(ⅰ)で
適 用 し て い る.し
定 義 した ば か りの 関 数 に 対 す る 外 微 分 を,P(x,y), た が っ て も う少 し詳 し くか く と 次 の よ う に な る.
(3) この最 後 の 式 に,グ
リー ンの公 式 の左 辺 の 積 分 記 号 の 中に 現わ れ た と同 じ式 が 登
場 して きた の に,読 者 は 驚か れ た ので は な か ろ うか. 号 が 現 わ れ た の は,上
の計 算 でdy∧dxを,dx∧dyに
の前 に,マ
イナ ス記
か き直 す と ころか ら生 じ
て い る.
Tea
dx,dyと dxやdyの
い う記 号 に つ い て
記 号 は,ラ
イ プ ニ ッ ツ に は,適
Time
イ プ ニ ッ ツ(1646-1716)の
切 な 記 号 を 選 ぶ こ と は,私
こ と で あ る とい う考 え が あ っ た.こ
創 案 に な る もの で あ る.ラ
た ちの 数学 の思 考 に とっ て大 切 な
の よ うな 考 え が あ っ た た め,ラ
イ プ ニ ッツは
微 積 分 の 基 本 的 な考 え― の選 択 に,何
微 小差 と総 和 ―
を 得 たの ち,こ の理 論 に 適 した 記 号
度 か 試行 錯 誤 を繰 り返 した.そ
の上 で 最 小 の 差(微 分)をdx,dy
で表 わ す と決 め た の であ る.最 小 の差 とは,高 位 の無 限小 を無 視 した 差 の こ とで あ る.た
とえば1684年
の長 い 標題 の論 文 『無理 量 で も適用 可 能 な 極大,極
小,
お よび接 線 に 関す る新 しい 方 法』 の 中 で は,ラ イ プ ニ ッ ツは,微 分 の積 の公 式 を dxy=xdy+ydx,ま
たxnの
微分 の公 式 をdxn=nxn−1と
ラ ィ プ ニ ッ ツの 創 案 した 記 号 は,こ 多 分 これ ら の 記 号 は,そ
れ 自 身1つ
の ほ か に も 積 分 記 号 ∫ ・dxな ど が あ る が,
の 意 味 を 帯 び て,そ
い に 貢 献 し た の だ ろ う.だ が こ の 一 方 で は,記 な 無 限 小 の 雰 囲 気 を め ぐ って,多 こ と全 体 は,結 dyと
局 は,微
の後 の微 積 分 の展 開 に大
号dx,dyの
中 に ひ そ む,神
秘的
くの 議 論 と批 判 が 湧 き 上 が っ た の で あ る.そ
積 分 と い う学 問 が,ラ
い う記 号 の 導 入 に よ っ て,あ
表 わ してい る.
の
イ プ ニ ッ ツが 考 え た よ う に,dx,
る 不 思 議 な 力 を も ち,活
力 を得 る こ とにな っ
た と い っ て よ い の だ ろ う. 無 限 小 の 概 念 が,19世 確 立 し,そ
紀 に な っ て コ ー シ ー,ワ
れ に よ っ て 記 号dx,dyの
て し ま った.し
イエル シ ュ トラ スな どに よ り
中 か ら 呪 術 的 な も の は,ひ
と まず 消 え去 っ
か しや が て 台 頭 し て き た 微 分 幾 何 学 と い う分 野 の 中 で,解
適 用 し て 幾 何 学 的 な 考 察 を す る よ う に な る と,dxやdyと
い う記 号 が 幾 何学 的
な 意 味 合 い を 帯 び て 図 形 や 空 間 の 中 か ら 再 び 現 わ れ る よ う に な り,ま と よ ば れ るf(x,y)dx∧dyの の よ うに,記
号dx,dyの
析学 を
た微 分形 式
よ う な 式 が 有 効 に 用 い ら れ る よ うに な っ て き た.こ 適 用 範 囲 が は る か に 広 が っ て き て,現
解 釈 を す る よ う に 迫 ら れ た の で あ る.こ
代 数学 は 新 しい
の 解 釈 が どの よ うな も の で あ っ た か は,
これ か ら 講 義 の 中 で 少 し ず つ 述 べ て い こ う.
第18講 グ リー ンの 公 式 と微 分 形 式 テー マ
◆ 微 分形 式 の積 分 ◆ グ リー ン の公 式 を 微分 形 式 を用 いて 表わ す. ◆ 座 標変 換 に よ る不 変 性 ◆ 線 形 な座 標 変 換 ◆ 線形 な座 標 変 換 に よる不 変性 ◆C∞-級 の座 標変 換
微分形式の積分 R2 の 有 界 な領 域Dが
与 え られ た とす る.Dの
境界Cは
滑 ら か な 曲線 か らな
る とす る. 2次 の 微 分形 式 η(x,y)=R(x,y)dx∧dy
が 与 え られ た と き,こ の微 分 形 式 のD上
(1)
の積 分 を
(2)
で定 義 す る. この 定義 に は何 の 問 題 もない よ うであ るが,暗 黙 の うち に,Dはxy−
座標 平 面
上 に あ り,こ の座 標 平面 の正 の向 き が,時 計 の針 と逆 回転 の 向 き―x軸
の正 の
部 分 を 直 角 だ け まわ す とy軸 の正 の部 分 に重 な る よ うな回 転 の 向 き―
であると
決 め られ てい る こ とが 含 まれ てい る.こ の 向 き と,微 分 形 式 の 中 にか か れ て い る dx∧dyの
順 番,す なわ ちdxが
る と考 え て い る ので あ る.
最 初 に,次 にdyが 現 わ れ る順 番 とが 整 合 してい
な ぜ こ の よ うな こ と を い うか と い う と,(1)は
また
η(x,y)=−R(x,y)dy∧dx と表 わ さ れ て い る か ら で あ る.し R(x,y)dy∧dxの
積 分 は,(2)の
として お か な くては,
た が っ て(1)でdxとdyの
順 番 を と りか え た
符 号 を か えた もの
の定 義 が成 り立 た な くな る.
これ に対 す る解 釈 は,積 分 は 座標 平 面 の 向 きを 考 慮す る 必 要 が あ り,向 きの つ け方 に よ って符 号 が変 わ る とす る の で あ る.し た が って,こ こで積 分 に マ イナ ス記 号 が つ い た の は,dy∧dxと
い う表 わ し方 に よっ て 座標 平 面 の
向 きが 負 の 向 きに と られ てい る ことが 指示 され てい る と
図25
考 え るの で あ る(図25). い い かえ る と,単 '微分 形 式'R(x
に'関
数'R(x,y)をD上
,y)dx∧dyのD上
で 積 分 す る こ と と は 少 し 違 っ て,
の 積 分 に は,dx∧dyの
表 わ し 方 に よ っ て,
積 分 す る 向 き ま で 指 定 さ れ て い る と 考 え る の で あ る. ま た,1次
の 微 分形 式 ω(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
の,Dの
周C上
で の積 分 は
に よっ て定 義す る.こ の 積 分 の 向 きは,図21(第16講)で
示 して あ る よ うに,
Dを 左 手 に見 な が らまわ る 向きを 正 の 向 き と して あ る. グ リー ン の 公 式 の 微 分 形 式 に よ る 表 わ し方 この よ うに微 分 形 式 の 積 分を 定 義 す る と,グ
リー ンの公 式 は 微 分形 式 に よ って
簡 明に い い表 わ す こ とが で き る. DをR2の
有 界 な 領 域 とし,Dの
境 界Cは
滑 らか な 曲線 か ら な る とす る.グ
リー ンの公 式 の定 式 化 に は,考 え る関数 は,す べ てC1-級 で よい の だが,微
分形
式 で 話 を進 め るに は も う少 し微 分 可能 の ク ラスを 上 げ た方 が よ く,そ のた め,こ
こ で は す べ てC∞-級
の ク ラ ス の 中 で 考 え て い くこ と に す る.
[グ リー ン の公式 の微 分 形 式 に よ る定 式化] 1次 の微 分形 式 ω(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
に対して
(3) が 成 り立 つ.
実 際,前 講 の 最 後 にか い た(3)を
で あ る.し
た が っ て,微
み ると
分 形 式 の 積 分 の 定 義 を 参 照 す る と,(3)は
グ リー ン の
公 式 そ の も の に ほ か な ら な い こ と が わ か る. こ の よ うに グ リー ン の 公 式 が,微 形 に ま とめ ら れ た の は,グ
の マ イナ ス符 号 が―
分形 式 を 用 い る こ とに よ ってす っ き りと した
リ ー ン の 公 式(第16講)の
左 辺 に現 わ れ る
この符 号 は 累 次 積分 を と る ときの 積 分 の 向 きか ら現 わ れ た
もの で あ っ たが ―,外
微 分dω の 中 で の代 数 的 な演 算 規則
の 中 に 吸 収 さ れ て し ま っ た こ と に よ っ て い る. 現 代 数 学 で は,代 る.こ
数 的 な 視 点 の 導 入 が,数
こ で 述 べ た こ と で も,そ
学 の視 点を 一 気 に 高 め る こ と が あ
の 一 端 が うか が え る か も し れ な い.
座標変換による不変性 グ リーン の公 式 の1つ の 重 要性 は,こ の 公 式 が座 標変 換 で 不 変 で あ る とい うこ とで あ る.こ の ことは,純 粋 に解 析 的 な立 場 で 調べ るに は,2変 変 数変 換 の 公 式 を,グ
数 の微 分 積 分 の
リー ンの 公 式 の 両 辺 に適 用 して実 際 どの よ うに両 辺 が 変 化
す るか,そ れ を どの よ うに不 変 性 と して 定 式 化す るか を み てい か な くて は な らな い.し か し この計 算 は 見通 しが 悪 く,た とえ結 果 は得 られ て も,一 体,ど の よ うな 山 道 を通 って き た のか 少 し もわ か らな い とい うよ うな気 分 に させ る もの であ る. 私 た ち は,グ
リー ンの 公式 が,さ
らに3次 元 か ら,一 般 のn次 元 に ま で拡 張 さ
れ る道 を 示 した い と思 って い るの であ るが,こ の 拡張 され た場 合 で も,座 標 変 換 に よ る不 変性 を 確 かめ る こ とは 重要 な こ とに な る.し たが って,グ
リー ン の公 式
が 座 標 変 換 で不 変 で あ る とい うこ とを示 す 道 は,で きるだ け 見通 し よ く,一 般 化 で き る よ うな も ので な くては な らな い.こ の よ うな とき に,微 分形 式 に よ る定式 化 が,最 も効 果 を示 す の で あ る. 以下 で は,座 標 変 換 の話 か らは じめ て,微 分形 式 が 座標 変 換 で どの よ うに 変わ るか を 述べ,そ の結 果 と して,グ
リー ン の公 式が 向 きを 保 つ座 標 変 換 に よって不
変 で あ る ことを 示す こ とに し よ う.
線形な座標変換 座 標 変 換 とい うと,ふ つ うは
(4) で 表 わ さ れ る よ うな,xy-座
標 か らuv-座
に 対 し て 上 の 関 係 で(u,v)が
た だ1通
標 へ の 線 形 変 換 を い う.各 点(x,y)
りに 決 ま る 条 件 は,よ
うに
(5) で与 え られ て い る. この とき,正 の 向 きを正 の 向 きに保 つ 条 件 は,
で 与 え られ る.こ
の と き(4)は
向 き を 保 つ 座 標 変 換 とい う.
く知 られ て い る よ
線形な座標変換 による不変性 た とえ ば この場 合,グ
リー ンの 公式 が 向 きを 保 つ 座標 変 換 で不 変 であ る とい う
こ とは,次 の事 実 が 成 り立 つ とい うこ とであ る. い ま向 きを 保 つ 座 標 変換(4)で,xy-座 の 有 界領 域Dに
移 った とす る.こ
標 平 面 の 有 界領 域Dは,uv-座
の ときDの
境 界Cは,Dの
標平面
境 界Cに
移 って
い る. xy-平 面 上 の 関 数P(x,y),Q(x,y)と,uv-平
面 上 の 関 数P(u,v),Q(u,v)が
あ っ て,(4)の
対 し て,(4)に
関 係 を み た す(x,y),(u,v)に
対 して 反 変 的 に
(6) が 成 り立 っ て い る と す る. P,QとP,Qが
こ の 一 見 奇 妙 な 等 式 で 結 ば れ て い る と,不
が 成 り立 っ て し ま うの で あ る.こ
の こ とは 座 標 変 換(4)に
公 式 に 現 わ れ る2つ
の 関 数P,Qが,反
変 的 な 関 係 式(6)で
る と す る な らば,グ
リ ー ン の 公 式 は,xy-平
面 で もuv-平
思 議 な こ とに
対 し て,グ
リー ンの
結 ば れ たP,Qへ
移
面 で も ま っ た く 同 じ形
で 成 り立 つ こ と を 示 し て い る. しか し,ど 換(4)に
う し て(6)の
よ う な 関 係 式 で 結 ば れ るP,QとP,Qと
こ の 謎 を 解 き 明 か す 鍵 は,実
は グ リー ン の 公 式 が(3)の
わ され て い る と い う事 実 に ひ そ ん で い る.こ に 対 し て,グ 者 は,微 合 うか,そ
が,座
標変
よ っ て グ リー ン の 公 式 が 変 わ ら な い と い う こ と を 示 した の だ ろ うか?
れ か ら は,一
よ うに 微 分 形 式 で 表 般 のC∞-級
の座 標 変 換
リー ン の 公 式 の 座 標 変 換 に よ る 不 変 性 を 示 し て い くの で あ る が
分 形 式 と い う鍵 が,ど
の よ うに'座
,読
標 変 換 に よ る 不 変 性'と い う鍵 穴 に
の 点 に 注 目 し て 議 論 を 追 っ て い た だ き た い.
C∞-級 の 座 標 変 換 私 た ちは,(4)の
よ うな線形 の座 標変 換 だ け で は な くて,た とえば
(7) の よ うな 座 標 変 換 も 考 え た い.こ −5
,y=2はu=0,v=6に
の と き,x=1,y=1はu=3,v=−2に,x=
移 っ て い る.こ
の よ うな 座 標 変 換 を ど の よ う な 描 像
で 捉 え る か は 一 定 し て い な い か も し れ な い が,私 くて,xy-座 (−5,2)な と に す る.こ
標 平 面 とuv-座 ど の 点 が,uv-座
標 平 面 の2つ
を 考 え て,xy-座
標 平 面 上 の(3,−2),(0,6)に
の 方 が,x,yとu,vを
2つ の 座 標 平 面 に,す
た ち は,1枚
の座 標 平 面 では な
標 平 面 上 の 点(1,1), 移 さ れ た と考 え る こ
対 等 に 考 え る こ とが で き る.1つ
な わ ちxy-座
標 平 面 とuv-座
の 平 面 が,
標平 面 に 同 時 に投 影 され た と
考え る の で あ る. 一 般 的 な 設 定 は 次 の よ う に な る. xy-座 標 平 面 の 点 を,uv-座
標 平 面 の 上 へ と移 す1対1対
と 表 わ す と き,u(x,y),v(x,y)は(x,yの
応 φが 与 え られ て
関 数 と し て)C∞-級
ま た φ の 逆 写 像 φ−1を
図26
の 関 数 で あ り,
と 表 わ す と き,x(u,v),y(u,v)は(u,vの とす る.こ
の と き φ をxy-座
関 数 と し て)C∞-級
標 か らuv-座
標 へ のC∞-級
の 関数 で あ っ た
の 座標 変 換 で あ る と い
う. これ か らは 座 標 変 換 と い う と き に は,つ も の と す る.す
ね にC∞-級
の 座 標 変 換 だ け を 取 り扱 う
なわ ち 簡 単 に い えば
C∞一級
(u,v)
(x,y) C∞一級
が 成 り立 つ と い う こ と で あ る. 図 で い え ば,図27で な 直 線x=aがuv一
示 し て あ る よ うに,x軸
に 平 行 な 直 線y=b,y軸
平 面 で は そ れ ぞ れC∞ 一級 の 曲 線
図27
に平 行
に 移 る とい う こ と で あ り,逆 aが,xy-平
(変 数xが
動 く と(u,v)は
曲 線 を 描 く)
(変 数yが
動 く と(u,v)は
曲 線 を 描 く)
に,u軸
面 で は そ れ ぞ れC∞-級
に 平 行 な 直 線v=b,v軸
に 平 行 な 直 線u=
の 曲線
(変 数uが
動 く と(x,y)は
曲 線 を 描 く)
(変数vが
動 く と(x,y)は
曲 線 を 描 く)
に 移 る とい う こ と で あ る. (5)に
対 応 す る 条 件 は,こ
の 場 合 必 要 条 件 と し て 各 点(x,y)で
が 成 り立 つ と い う こ と で 与 え ら れ る.こ 表 わ した もの―
は,ヤ
コ ビ 行 列 式,ま
こ に 現 わ れ た 行 列 式 ―J(uv/xy)で た は ヤ コ ビア ン とよば れ て い るも ので あ
る. 注意 線 形 変 換 の場 合 と違 って,J(uv/xy)≠0が な る とは限 らな い.J(uv/xy)≠0が け で あ る.こ
各 点で 成 り立 っ て も,変 換 が1対1に
保証 す る のは,各
こで述 べ た こ とは,C∞-級
点 の十 分近 くで1対1と
の座 標 変 換 な らば,そ
い うこ とだ
の結 論 と してJ(uv/xy)≠0
が い え る とい う こ とで あ る.
Tea
Time
質 問 C∞-級 の 座 標 変 換 の こ と は わ か り ま し た が,僕 け だ と い っ て よ い の で す.な ぜ か とい う と,(7)の
にわ か った の は実 は 定義 だ よ うな 場 合 に も こ れ がC∞-級
の 座 標 変 換 で あ る と い う こ と が 確 か め られ な い の で す.僕
に す ぐわ か っ た の は,
u=x+y2+1とv=y3+2y−5がx,yの 1対1の
関 数 と し てC∞-級 だ と い う こ と だ け で す.
こ と は 少 し 考 え て み て わ か りま し た.(u,v)が
値 か らyが
決 ま り―v=y3+2y−5がyに
x+y2+1の
関 係 か ら,の
y=y(u,v)が
が た だ1つ
(6)がC∞-級
うし て,こ
か ど うか な ど
だ と い う こ と が わ か っ て,
具 体 的 に 式 に か くな ど と い う こ と
と ん ど不 可 能 に 近 い こ と に な る だ ろ う.い
にx=x(u,v)を
y7+2y−1で
にu=
写 像x=x(u,v),
の 座 標 変 換 を 与 え て い る と結 論 で き る の で し ょ うか.
ばy3+2y−1−v=0を3次 め,次
か し,逆
当 もつ か ず,C∞-級
れ がC∞-級
答 確 か に 逆 変 換,x=x(u,v),y=y(u,v)を は,ほ
ずvの
つ い て 増 加 関 数 な の で ―,次 決 ま り ま す.し
ど ん な 形 の 式 を し て い る の か,見
確 か め よ う も あ り ま せ ん,ど
与 え られ る と,ま
ま の 場 合 な らば,強
方 程 式 の 解 の 公 式 で と い て,ま 求 め る こ と に な る.し か しyとvの
与 え られ て い る と き に は,解
ずy=y(v)の 関 係 が,た
の 公 式 が な い か ら,も
引に行な え 式 を求 とえ ばv=
うこ うした強 引
な 方 法 も不 可 能 と な る. 一般 に はu=u(x,y),v=v(x,y)が =x(u,v),y=y(u,v)は
具 体 的 な 式 で 与 え られ て い た と し て も,x
具 体 的 な 式 で 与 え られ る と は 限 らな い の で あ る .こ
うな と き に は 数 学 の 一 般 的 定 理 が 役 に 立 つ.次
の よ う な一 般 的 な 定 理 が あ る の で
あ る. u=u(x,y),v=v(x,y)がC∞-級 と き,も
しJ(uv/xy)≠0が
の 関 数 で,対
応(x,y)→(u,v)が1対1の
成 り立 っ て い る な ら ば,x=x(u,v),y=y(u,v)も
C∞-級 の 関 数 で 与 え られ る. (6)の
場合
に よ っ て,こ
の 定 理 か ら,逆
のよ
変 換 もC∞-級 の こ と が わ か る の で あ る.
第19講 外微分の不変性 テーマ
◆ 座 標 変 換 と関 数 の 変 数変 換 ◆ 全 微 分 の復習 ◆ ベ ク トル空 間V2の ◆V2の
基 底 の変 換 則
成 分 の変 換 則
◆ 外 微 分 の座 標変 換 に よ る不変 性
座標変換と関数の変数変換 R2のxy-座
標 か らuv-座
標 へ の 座標 変 換
(1) が 与 え られ た とす る.こ の 逆変 換 を 前 講 の よ うに
(2) に よ っ て 表 わ そ う. R2上
で 定 義 さ れ た 関 数fを,xy-平
面 上 の 関 数 と考 え た も の をf(x,y),uv-平
面 上 の 関 数 と考 え た も の をf(u,v)と の 関 係 は,(1)と(2)か
表 わ そ う.し
た が っ てf(x,y)とf(u,v)と
ら
(3) (4) で 与 え ら れ て い る. 前 に 述 べ た よ うに,関
数f(x,y)はC∞-級
C∞-級 で あ る と し て い る か ら,し い てC∞-級
で あ る こ と が わ か る.
と仮 定 し て い る.ま
た が っ て(4)か
ら,f(u,v)も
た,座
標変 換 は
変 数u,vに
つ
全微分の復習 f(u,v)の
全微分は
(5) と 表 わ さ れ る.こ
の 意 味 は 次 の よ うな も の で あ っ た.関
ら(u+h,v+k)へ
と移 っ た と き,ど
に 注 目 す る.こ
の 式 に 対 し て,hとkに
視 し た 近 似 式 を つ く る.こ
で お き か え る と,全
数f(u,v)が
れ だ け 増 加 す る か,そ
つ い て,│h│+│k│よ
の 近 似 式 は 一 意 的 に 決 ま る.実
微 分 の 式(5)で
の増 分
り高位 の無 限小 を 無 際,こ
の近 似 式 は
与 え られ て い る.
同 じ よ う に,f(x+h,y+k)−f(x,y)の,│h│+│k│よ た 近 似 式 で,h→dx,k→dyと
点(u,v)か
り高位 の無 限小 を 無 視 し
記 号 を お き か え る と,f(x,y)の
全微分
が 得 られ る. 実 は 次 の結 果 が成 り立 つ.
【証 明 】(概
略)(3)に
よ って
こ こで ∼ は高 位 の 無 限小 を 除 い て成 り立 つ こ とを示 し てい る.そ こで
(6) とお く と
と な る.│h│+│k│と│h│+│k│の
無 限 小 の 位 数 は 等 しい こ と に 注 意 す る と,こ
か ら近 似 式 へ と 移 っ て,さ
ら にh,kをdx,dyで
お きか え,h,kをdu,dvで
れ お き
かえて
が 成 り立 つ こ と が わ か る. こ の 等 式 に 現 わ れ るdx,dy;du,dvに
つ い て は,(6)か
ら
(7)
とい う関係 が 成 立 して い る こ とがわ か った.私 た ち は こ の関 係 に注 目す る.
ベ ク トル 空 間V2の
基底 の変換 則
微 分 形 式 を 定 義 す る と き に 導 入 し た ベ ク トル 空 間V2の 座 標 に 密 着 し て い た.新 V2に
し くuv-座 標 を 導 入 し た と き に は,こ の 座 標 に 付 随 し て,
は 新 し い 基 底{du,dv}が
こ の と き,{dx,dy}か
基 底{dx,dy}は,xy-
入 る と考 え る.
ら{du,dv}へ
の 基 底 変 換 は 次 の 式 で 与 え られ る と 約 束
す る.
(8)
注意 深 い読 者 は,基 る行列
底変 換 の行 列 の成 分 は定 数 のは ず な の に,こ
こで は 関数 を成 分 とす
が 基底 変 換 の 行列 と して登 場 して い る こ とに気 づか れ た か もしれ ない.確 か に こ れ は 問 題 で あ る.こ の 点 に関 して,納 得 して も らえ る よ うに 答 え るた め に は,ベ ク トル空 間V2は
各
点 に付 随 して い る とい う考 えを 導 入す る必 要 が生 じ て くる.こ の こと につ い て は,次 講 で 少 し述 べ る こ とに し よ う. (8)は (8)に る.私
見 か け 上,(7)と
ま った く等 し い 形 を し て い る.違
同 じ 記 号 を 用 い て 現 わ れ るdx,dy;du,dvの た ち は,こ
ク トル 空 間V2の に(7)と
の 同 じ記 号 の2通 基底―
うの は,(7)と
意 味が違 うとい う こ とで あ
りの使 いわ け ―
全 微 分 の 表 示 と,抽
を,し だ い に 融 和 さ せ て い こ う とす る.V2の
同 じ形 の 変 換 則(8)を
与 え た の は,こ
象的ベ
基 底 変換
の 融 和 へ 向 け て の,'着
地準
備'と い っ て よ い の で あ る.
V2の 成 分 の 変 換 則 V2の2つ
の 基 底{dx,dy},{du,dv}が
与 え られ る と,V2の
ベ ク トル ξは,
この それ ぞれ の基 底 に よ って
と表 わ さ れ る.(8)を
用 い て 右 辺 を{dx,dy}に
関 す る 式 に か き 直 す と,成
を比べて
(9)
が 得 られ る.(9)は
ベ ク トル の 成 分 の 間 の 変 換 則 を 表 わ し て い る.(8)と(9)
は 互 い に 反 変 的 な 変 換 と な っ て い る こ とを 注 意 し て お こ う(第14講
参 照).
外 微 分 の 座 標 変 換 に 関 す る不 変 性(Ⅰ) 関 数fを,f∈
Ω0(R2)と
考 え る.fの
変 数 をxy-座
標 を 用 い て 表 わ す か,uv-
座 標 を 用 い て 表 わ す か を 明 示 す る た め に,f(x,y),f(u,v)と (3),(4)の
表 わ す.fとfは
関 係 に よ っ て 結 ば れ て い る.
fの 外 微 分dfは,座
標 の と り方 に よ ら な い.す
な わ ち 次 の 結 果 が 成 り立 つ.
分
(Ⅰ)
【証 明】 合成 関数 の 微分 の規 則 か ら
こ の 式 を(8)と
見 比 べ る と,(Ⅰ)が
成 り立 つ こ と が わ か る.
外 微 分 の 座 標 変 換 に よ る不 変 性(Ⅱ) 1次 の微分 形式
の外微 分 は
で定義 した.こ れ もまた 座標 変 換 で不 変 なの であ る.す なわ ち次 の結 果が 成 り立 つ.
(Ⅱ)
な らば
こ こ で ま ず,P,QとP,Qと
の 間 に は,(9)か
ら
とい う関 係 が 成 り立 っ て い る こ と を 注 意 し よ う.こ の 関 係 は,座 講 の(4)の た'奇
よ うに,線
妙 な 等 式'と
形 変 換 で 与 え られ て い る と き に は,前
一 致 し て い る.そ
こ で の'奇
標 変 換 が特 に前
講 の(6)で
妙 な 等 式'は,微
示し
分 形 式Pdx
+QdyとPdu+Qdvが
同 じ も の で あ る こ と を 保 証 し て い る 条 件 で あ っ た!
こ の 証 明 を 直 接 行 な う こ と は 大 変 で あ る(Tea 3つ の 命 題 を 示 し,そ
Time参
れ を 用 い る こ と に よ っ て,直
照).そ
Ω0(R2)に
対 し
【証 明 】 外 微 分 の 定 義か ら
に対 し
(10) 【証 明 】
ω(x,y)=g(x,y)dx+h(x,y)dyと
した が って,外 微 分 の 定義 と,す
お こ う.こ
の と き
ぐ上 に 述べ た 結 果 とか ら
に対 し
(11) 【証 明 】
ず
接 証 明す る こ との困 難 さ を 回
避 し よ う.
f,g∈
の た め,ま
この 外微 分 を とる と
こ こ で,fがC∞-級
の 関 数 で あ っ て,し
たが って そ の とき
が 成 り立 つ こ と を 用 い た. こ の 準 備 の 下 で,(Ⅱ)の ま ず(Ⅱ)の
証 明 に 入 ろ う.
右 辺 に 現 わ れ て い る 記 号du,dvは,関
微 分 と考 え て も よい こ と を 注 意 し よ う.な て は,外
数u(x,y),v(x,y)の
ぜ か と い う と,た
と え ば 関 数uに
外 つい
微 分す る と
と な り,こ
の 右 辺 は(8)の
右 辺 と 一致 し て い る か らで あ る.
そ こで
の右辺を
と考 え て,両
(Ⅰ)の
辺 を(変
数(x,y)に
結 果 に よ っ て,関
て 右 辺 を,上
の(10)を
数P,Qの
で あ る.
よ り
微 分 す る.
外 微 分 は 変 数 の と り方 に よ ら な い.し
たが っ
用いて
と計 算 す る と き,dP,dQは,変 (11)に
つ い て)外
数(u,v)に
つ い て の 外 微 分 と思 っ て よい.ま
た
した が っ て,結
局
が得 られ た.こ れ は証 明 すべ き結 果 に ほか な らない.こ れ で(Ⅱ)が
完 全 に証 明
さ れ た. な お,(Ⅱ)の
結 果 は,か
き直す と
(12) が 成 り立 つ こ とを 示 し て い る.こ
こ ま で く る と,グ
よ らな い こ とを 示 す の は 容 易 な こ と とな る の だ が,そ
リー ン の 公 式 が,座
標変 換 に
れ は 次 講 へ 送 られ る こ とに
な っ た.
Tea
Time
質 問 グ リー ンの 公 式 の左 辺 の積 分 の中 に現 わ れ る式 が 座 標 変 換 に よ らな い とい う結果(12)の
証 明 は,大 体わ か りま した.し か し,変 数 変 換 の公 式 だ け で得 ら
れ そ うな こ とを,こ ん なに 大 げ さに微 分形 式 を 使 って証 明 した 理 由が まだ よ くわ か りませ ん.も
う少 し説 明 して いた だ け ませ んか.
答 微 分 形 式 を用 い て(12)を
導 い た理 由 は,も ち ろん 一 般 化 を 目指 す た め に,
まず足 場 を つ くると い うこ とに あ った の で あ るが,単 に そ れ だ け で はな くて,変 数 変 換 の 公 式 を使 っ て(12)を
証 明す る こ とは,大 変 厄 介 な こ とにな るの で,そ
れ を避 け た い とい う気 持 もあ ったの で あ る. 前 講 に戻 る よ うに な るが,こ の厄 介 さを納 得 して も ら うた め に,座 標 変換 が 線 形変換
で与 え られ て い る場 合(前 講(4)),変
数 変 換 の公 式 だ け を用 い て,(12)を
す ことを 試 み て み よ う.記 号 は前 講 の(6)を
で あ る.し
た が って
そ の ま ま使 うと
示
こ こで
を用い ると (*) 同様 に して
(**) し た が っ て,(*)か
と な る.一
ら(**)を
引 くと
方
した が っ て,結
局
が 得 られ て,(12)が 一 般 の 場 合 に は,こ
確 か め られ た の で あ る. れ よ りは る か に 厄 介 な 計 算 と な る.改
め て 考 え る と,(12)
の 形 の 式 が 成 り立 つ こ とを 最 初 に 発 見 し た 人 は,ど
の よ うな 道 を た ど っ て こ の 結
果 に 達 し た の だ ろ う か と思 わ れ て くる の で あ る.こ
の こ と に つ い て,私
こ と は 知 ら な い.
は詳 しい
第20講 グ リー ンの 公 式 の 不 変 性 テー マ
◆ 向 きを 保 つ座 標 変 換 ◆ グ リーン の公 式 は,向 きを 保 つ座 標 変 換 に よって あ る不 変 性 を もつ. ◆ この証 明 は,外 微 分 の座 標 変 換 に よる不 変 性 と,重 積 分 の変 数変 換 の公 式 に よる. ◆ 各点 に 付 随す るベ ク トル空 間V2―
余接 空 間
向きを保つ座標変換 xy-座 標 か らuv-座
標 へ の座 標 変 換 u=u(x,y)
(1) v=v(x,y)
が与 え られ た とす る.こ
の とき,xy-座
標 で 正 の 向 きに まわ る曲 線が,uv-座
標
で も正 の 向 きに まわ る 曲線 に 移 るた め の条 件 は,各 点 で
(2)
が成 り立 つ こ とであ る. この証 明 は こ こで は与 え ない が,簡 単 な場 合 だけ 確 か め てお こ う.原 点 を 中心 と して,座 標軸 を角 θだ け 回転 して も,正 の 向 き に まわ る 曲線 は,も ちろ ん 正 の 向 き に まわ る曲線 へ と移 ってい る.こ の ときヤ コ ビア ンは
と な っ て い る.一
方,x軸
とy軸
を と りか え て
図28 と す る と,xy-座 曲 線 と な る.こ
標 で 正 の 向 き に ま わ る 曲 線 は,uv-座
標 で は 負 の 向 きに ま わ る
の とき ヤ コ ビア ン は
と な っ て い る(図28). 【定 義 】 座 標 変 換(1)が,条
件(2)を
み た す と き,向
き を保 つ 座 標変 換 で あ
る と い う.
グ リー ンの 公 式 の 不 変 性 向 き を 保 つ 座 標 変 換(1)が P(x,y),Q(x,y)と,uv-座
与 え られ た と す る.xy-座 標 平 面 上 の2つ
標 平 面 上 の2つ
の 関 数P(u,v),Q(u,v)が
係 を み た して い る とす る:
(3)
こ こ でu=u(x,y),v=v(x,y)で
あ る.
の 関数 次の関
ま たxy-座
標 平 面 に あ る 有 界 な 領 域Dは,uv-座
移 っ て い る と す る.こ
の と き,も
ち ろ ん,Dの
標 平 面 上 の 有 界 な 領 域Dに 境 界CはDの
境 界Cに
移 ってい
る. こ の と き 次 の 関 係 が 成 り立 つ.
(4)
(5)
す な わ ち,グ て,そ
リー ンの 公式 の両 辺 に現 われ る積 分 は,向 き を保 つ 座標 変 換 に よっ
れ ぞ れ 不変 に保 たれ る ので あ る.こ
の こ とを簡 単 に 次 の よ う に い い表 わ
す.
【定 理 】
グ リ ー ン の 公 式 は,向
き を 保 つ 座 標 変 換 に よ っ て 不 変 で あ る.
(4)の (3)の
関 係 か ら,xy-座
標,uv-座
証明
標 に よ っ て 表 わ され て い る微 分 形 式
が 定 義 で きる こ とを 注 意 して お こ う(前 講(9)参
照).
前 講 で示 した よ うに
(6) が 成 り立 つ. こ こで
(7)
で あ る.も
っ と も こ の よ う な 変 換 則 が 成 り立 つ こ と は,第14講
行 列 式'で
す で に 一 般 的 な 立 場 で 述 べ て あ る こ と を 思 い 出 し て お こ う.
ま た,2変
数 の 積 分 の 変 換 公 式 か ら,一
般 に,任
の'基
底変換 の
意 の 連 続 関 数f(x,y)に
対 し
て
(8) が 成 り立 つ こ と が 知 ら れ て い る.こ
こ で 座 標 変 換 が 向 き を 保 つ こ と,し
J(uv/xy)>0で
あ る こ と が 用 い られ て い る(こ
『解 析 入 門30講
』 の 第30講
さ て,(6)と(7)か
と な る.い
た が って
の 積 分 の 変 換 公 式 に つ い て は,
を参 照 し て い た だ き た い). ら
ま さ し あ た り,右
辺 の 式 はu=u(x,y),v=v(x,y)に
つ い て の 関 数 と考 え る こ と に し よ う.た と 考 え る の で あ る.こ
と え ば
よ っ てx,yに
は (u(x,y),v(x,y))
の と き 微 分 形 式 の 積 分 の 定 義 に した が っ て
が 得 ら れ る. こ の 右 辺 を 変 数(u,v)に
が 得 られ た.こ
れ で(4)が
変 換 す る と,(8)か
証 明 され た.
(5)の (5)は,(4)が う と,xy-平
と,uv-平
ら
証 明 さ れ れ ば,改 面 上 で の グ リ ーン の 公 式
面 上 で の グ リーン の公 式
証明
め て 示 す こ と は な い の で あ る.な
ぜ か とい
を 見 比 べ る と,(4)は し た が っ て,そ (5)に
こ の2式
の 左 辺 が 等 しい こ と を い っ て い る.
の 結 論 と し て 右 辺 も 等 し くな る.こ
れ は し か し,証
明す べ き式
ほ か な ら な い.
1つ の コ メ ン ト これ で グ リーン の公 式 が 座標 変 換 に よって不 変 で あ る こ と が完 全 に証 明 され た.こ の事 実 を 簡 明 に表 わ す には グ リー ンの公 式 を,前 に述 べ た よ うに微 分 形 式 を用いて
と表 わ す の が 一番 適 してい る(第18講(3)参 さて,グ
照).
リーン の公 式 の座標 変 換 に よる不 変 性 を示す 上 の証 明 を見 て,次 の こ
とに 気 づ か れ た読 者 が お られ るか も しれ ない. '(4)を
示 して,そ の結 論 と して(5)の
成 り立 つ こ とを示 した の な らば,逆
に(5)の
方 を 先 に示 して,そ の結 論 と して(4)が
成 り立 つ ことを示 す 証 明法
もあ りそ うで あ る.そ してそ の 方が 簡 単 では な い だ ろ うか.' 確 か に,線 積 分 に関 す る変 数 変 換が
で 与 え られ る こ と さ え 知 っ て い れ ば,(5)は っ て(4)も
示 さ れ た こ と に な る.確
こ れ か ら 直 ち に 示 さ れ て,し
か に こ の 道 の 方 が,証
私 た ち が こ の 道 を と ら な か っ た の は,(4)が
の領 域Dで
成 り立 つ ことか ら,い わ ば(4)を'微
明 の 近 道 で あ る.
示 され て も,こ
が 各点 で 成 り立 つ こ とは結 論 で きない か らで あ る.も
たが
れ か らす ぐに は
ち ろん,(4)の 分 した もの'と
式 が任 意 して上 式 が
成 り立 つ こ とを示 す ことが で き る.し か し,私 た ちは,微 分 形 式 の立場 か ら,外 微 分 の座 標 変 換 に よる不 変性 とい う観 点 を,上 式 に付 して,そ こを 出発 点 とした
か っ た の で あ る.
微分形式について 最 初 に微 分 形 式 に 出会 った と きの感 想 は,多 分 率直 にい えば,妙 な もの が 微分 ・積分 に登 場 した とい うよ うな もの だ ろ う.こ の 講 義 で も,第17講
で微 分 形式
を 最初 に導 入 した とき,多 少戸 惑 い を感 じ られ た読 者 もお られ た の で はな い か と 思 う.し か し,こ こまで くる と,少 しず つ 微 分 形 式 の取 扱 い に慣 れ て き て,戸 惑 い も多少 は 消 え て き た ので は なか ろ うか. 微 分 形 式 とい う考 えの 最 も重 要 な 点は,座 標 変 換 で不 変 で あ る よ うな微 積 分 の 定 理 を,ど の よ うに定 式 化 し,ど の よ うに 証 明す るか の 道 を示 して くれ る こ とに あ る.ベ ク トル とは,も
とも と座 標 変 換 で 不 変 な量 で あ ったか ら,座 標 変 換 に 関
す る不 変 性 に深 くか か わ る 微分 形式 は,ベ ク トル 解 析 の 中心 に おか れ るの で あ る. 一般 に,関 数 を微 分 す る とき,変 数 を と りか え て微 分 す る と,異 な った 結 果 が得 られ る.そ れ は変 数 変 換 の公 式 が示 す 通 りで あ っ て,微 分 とい う演算 は 変 数 の と り方 に本 質 的 に よっ てい る.そ の点 を,ベ
ク トル解 析 の立 場 か ら取 り扱 い やす い
よ うに す るた め には,微 分 が変 数 の と り方 に よ らない よ うな新 しい形 式 を 導 入す る こ とが 必 要 で あ った.微 分 形式 は,こ の 目的 に適 う1つ の表 現形 式 で あ って, こ の表 現 に よ って,外 微 分 とい う,座 標 変 換 で不 変 な 微 分 演算 が 明確 に定 式化 さ れ た ので あ る.
各 点 に付 随 して い る ベ ク トル空 間V2 と こ ろ で,1次
の 微 分 形 式 は ベ ク トル 空 間V2に
し て 定 義 し た(一
般 の 微 分 形 式 はΛ(V2)に
値 を もつ,ベ
ク トル 値 関 数 と
値 を も つ ベ ク ト ル 値 関 数 で あ る).
し か し,こ
の 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間V2は,座
に 座す'と
い うわ け で は な か っ た.xy-座
標 を と る と,基
底{dx,dy}が
れ,uv-座
標 を と る と,基
指 定 さ れ た.そ
し て,こ
底{du,dv}が
標 空 間 に ま った く無 関 係 に,'天
上
指定 さ
の間 に基 底 変
換 の 関係
(9)
が 成 り立 って い た.こ こで 注意 す るの は,基 底変 換 を 与 え る行 列
が,(x,y)の
関 数 と な っ て い る とい う こ と で あ る.す
xy-座 標,uv-座
な わ ち,基
底 変 換 は,単
標 の と り方 に 関 係 し て い る だ け で は な くて,R2の
各 点(x,y)の
に
と り方 に 従 属 して い る. 数 学 は,こ る.xy-座
の'変
し て 現 わ れ た 基 底 変 換 を 次 の よ うに 理 解 し よ う とす
標 平 面 の 各 点(x,y)に,基
が 付 随 し て い る.ま トル 空 間V2(u,v)が て,点(x,y)上
たuv-座
も つ ベ ク トル 空 間V2(x,y)
標 平 面 の 各 点(u,v)に,基
付 随 し て い る.そ
の 基 底 変 換(9)が
の 考 え 方 は,各
て は 第28講
底{dx,dy}を
底{du,dv}を
もつ ベ ク
し て 座 標 変 換(x,y)→(u,v)に
に あ る ベ ク トル 空 間V2(x,y)か
ル 空 間V2(u,v)へ 29).こ
量'と
ら,点(u,v)上
対応 し に あ るベ ク ト
与 え ら れ て い る と 考 え る の で あ る(図
点 に 付 随 し た 余 接 空 間 と い う考 え を 生 む が,こ
れについ
で 詳 し く述 べ る こ とに し よ う.
図29
Tea
Time
表 現 の 意 味 す る もの 数 学 で は,記 号 の 使 い方 が 研 究 の方 向を示 唆 す る こ とも あ る よ うで あ る.こ の
理 由 を は っ き り述 べ る こ と は 難 し い の だ ろ うが,数 思 考 の 像 を 結ぼ う とす る学 問 に と っ て,形
学 の よ うに,イ
式 が 思 考 を 導 き,イ
デ ヤ の世 界 に
デ ヤ の世 界 へ の道
を 指 し 示 す こ とが あ る の か も し れ な い と思 わ れ る. た とえば不 定 積 分 を∫f(x)dx=F(x)と 面 積―
と の 関 係 を 示 唆 す るが,同
程 式 の 観 点 が 生 じ て く る だ ろ う.グ 向 け る よ うな,記
じ式 を
の 記 号 は 定 積 分―
と か く と,今
リー ン の 公 式 に 対 して も,新
度 は微 分 方
しい方 向 に光 を
号 の 導 入 が あ る の で あ る.
グ リー ン の 公 式 を,∂Dで
か く と き は,こ
で,左
表 わ す と,同
辺 の 積 分 を〈dω,D〉
じ 記 号 の 使 い 方 で,右
辺は
と か く.Dの
境 界C
〈 ω,∂D〉 と表 わ さ れ る.し
た
が っ て グ リー ン の 公 式 は
と か け る こ と に な っ た.微
分 す る記 号dと,境
た く異 質 な の に,同
じ よ うな'顔'を
同 じ よ うな'顔'と
か い た が,よ
と,幾
何 学 的 な 対 応D→
∂Dと の,あ
し て,こ く 見 れ ば,こ
界 へ と移 る 記 号 ∂と が,本
の 等 式 の 左 と右 に 納 ま っ て い る. の 等 式 は,解
析 的 な 演 算 ω→dω
る 双 対 性 を 示 し て い る と も み え て く る.こ
の 双 対 性 を 明 確 に 述 べ られ る よ うな 視 点 が 導 入 で き る な ら ば,こ 幾 何 と の 融 合 点 を 与 え る も の に な る か も し れ な い.実 ン トの 理 論 と し て,1940年 れ た の で あ る.
来 まっ
代 の 後 半,ド
際,こ
の視 点 は 解 析 と
の 種 の 視 点 は,カ
レ
・ラー ム とい う数 学 者 に よ っ て 与 え ら
第21講 R3上 の 微 分 形 式 テーマ
◆ ベ ク トル空 間V3 ◆R3上
の1次 の微 分形 式
◆R3上
の2次,3次
の微 分形 式
◆ 微 分形 式 のつ く る空 間 ◆ 外微分 ◆ 外 微 分 の性 質
ベ ク トル 空 間V3
3次 元 空 間R3に ク トル 空 間V3を 間V3の
も 微 分 形 式 の 概 念 を 導 入 した い.そ 導 入 す る.R2の
基 底 は,R3の
ち,R3にxyz-座
の た め,ま
場 合 の ベ ク トル 空 間V2と
ず3次
同 様 に,ベ
元のベ ク トル 空
座 標 系 の と り方 に 従 属 し て と ら れ て い る とす る.す
標 を と っ た と き に は,V3の
なわ
基 底 として
{dx,dy,dz} を と る.し
た が っ て こ の と きV3の
元 は た だ1通
αdx+βdy+γdz
りに
(α,β,γ∈R)
と 表 わ さ れ る. い ま,x,y,zに あ っ て,変
関 す るC∞-級
数u,v,wを
の3つ
の 関数u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)が
この関 数 を 用い て
u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z) とお い て導 入 した と き,対 応 (x,y,z)→(u,v,w)
は1対1で
あ る と す る.さ
ら に こ の 逆 写 像(u,v,w)→(x,y,z)もC∞-級
で 表 わ さ れ る と き,(u,v,w)に
よ っ て,R3に1つ
の 関数
の 座 標 が 入 っ た と考 え,こ
れ
をuvw-座
標 とい う.そ
し て 下 に 示 し て あ る(1)を,xyz-座
へ の 基 底 変 換 と い う.以 い にC∞-級
下 で 座 標 系 と い う と き に,い
標 か らuvw-座 つ で も,xyz-座
標
標 と,互
の 変 換 で 移 り合 う座 標 系 を考 え る こ と に し よ う.
さ て,R3にuvw-座
標 が 導 入 さ れ た と き,こ
れ に 対 応 し てV3に
は基 底 として
{du,dv,dw} が と ら れ て い る とす る. V3の2つ
の 基 底{dx,dy,dz}と{du,dv,dw}の
間 の 基 底 変 換 は,各
点で
(1)
と い う関 係 で 与 え られ て い る と す る. 基 底 変 換 の 係数∂u/∂xなどが,各 造 は,空
間R3に
点 で 変 化 す る こ と か ら,ベ
密 着 し て い る こ と が わ か り,ま
ク トル 空間V3の構
た 同 時 に 座 標 系 の と り方 に も 深
くか か わ っ て い る こ とが わ か る.
1次 の微 分 形 式 ベ ク トル 空 間V3に R3上
の1次
の微 分形 式
ω は,xyz-座
標 に関 しては
こ でf,g,hは,(x,y,z)に
(2) 関 しC∞-級
の 関 数 で あ る.ま
標 を と った と き に は ω=f(u,v,w)du+g(u,v,w)dv+h(u,v
と 表 わ さ れ る.こ
こでた とえば f(x,y,z)=f(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))
で あ る.
の ベ ク トル 値 関 数 を,
ω=f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz
と 表 わ さ れ る.こ uvw-座
で 定 義 さ れ たC∞-級
の 微 分 形 式 と い う.
し た が っ て,1次
値 を と る,R3上
,w)dw
(3)
た,
(2)に
お け る基 底{dx,dy,dz}と
に 反 変 的 な 変 換 を うけ る.し
係 数(f,g,h}は,(3)に
た が っ て(1)か
移 る と き,互
ら,{f,g,h}と{f,g,h}の
い
間に
は変換則
(4)
が 成 り立 っ て い る こ と が わ か る.
2次 お よび3次 の 微 分 形 式 ベ ク トル 空 間Λ2(V3),ま 級 の ベ ク トル 値 関 数 を,そ xyz-座
た はΛ3(V3)に れ ぞ れR3上
標 を と っ た と き,Λ2(V3)の
で 与 え られ る.し
た が っ て2次
値 を と る,R3上
の2次,ま
た は3次
で 定 義 さ れ たC∞の 微 分 形 式 と い う.
基底は
の 微 分 形 式 ηは,次
の よ う に 表 わ さ れ る.
η=f(x,y,z)dxΛdy+g(x,y,z)dyΛdz+h(x,y,z)dzΛdx Λ3(V3)は1次
元 の ベ ク トル 空 間 で あ っ て,xyz-座
標 を と っ た と き,基
底は
dxΛdyΛdz で 与 え られ る.し
た が っ て3次
の 微 分 形 式 ζは,こ
のとき
ζ=f(x,y,z)dxΛdyΛdz と表 わ さ れ る.uvw-座 る が,こ
標 を と っ た と き,Λ3(V3)の
の と き の 変 換 則 は(1)か
ら
基 底 はduΛdvΛdwと
変わ
で 与 え られ る こ とがわ か る(第14講
参 照).こ の 式 はヤ コビ ア ンの 記号 を用 い て
簡単 に duΛdvΛdw=J(uvw/xyz)dxΛdyΛdz と 表 わ さ れ る. な お,実
数 値 関 数(C∞-級)fは,0次
の 微 分 形 式 と考 え る.
微 分 形 式 の つ くる 空 間 R3上
で 定 義 さ れ た,0次,1次,2次,3次
の 微 分 形 式 全 体 の つ くる 空 間 を
そ れ ぞ れ,Ω0(R3),Ω1(R3),Ω2(R3),Ω3(R3)と
とお い て,Ω(R3)を,R3上
表 わ す.ま
の 微 分 形 式 の つ く る空 間 と い う.Ω(R3)は,R3か
ら ベ ク トル 空 間
へ のC∞-級
の ベ ク トル 値 関 数 の 全 体 か ら な る.
ω,η∈Ω(R3)に
対 し
(ⅰ) 線 形 結 合:α ω+β η (ⅱ) 外 積:ωΛ
(α,β∈R)
η
(ⅲ) 関 数 と の 積:fω を 考え る こ とが で き る.な (ⅰ)と(ⅱ)は,各
お,(ⅲ)でf∈Ω0(R3)で
あ る.
点(x,y,z)で ω(x,y,z)∈E(V3),η(x,y,z)∈E(V3)
で あ り,し
た が っ て,E(V3)の
中 の演 算 規則 に よっ て
αω(x,y,z)+β
η(x,y,z)∈E(V3)
ω(x,y,z)Λ
η(x,y,z)∈E(V3)
と な る こ と か ら わ か る. (ⅲ)は,た
た
と え ば2次
の 微 分 形 式 ωが
ω=fdxΛdy+gdyΛdz+hdzΛdx と表 わ さ れ る と き fω=(ff)dxΛdy+(fg)dyΛdz+(fh)dzΛdx
と な る.こ
こで
で あ り,fg,fhも
同 様 に 関 数 と し て の 積 を 表 わ し て い る.こ
の 形 か らfω も2次
の 微 分 形 式 で あ る こ と が わ か る.
外 【定 義 】Ωi(R3)か
微
らΩi+1(R3)(i=0,1,2)へ
分 の 外 微 分 と よ ば れ る 写 像dを
式 で 定 義 す る. (ⅰ)
d:Ω0(R3)→Ω1(R3) f∈Ω0(R3)に
対 して
(5) (ⅱ)
d:Ω1(R3)→Ω2(R3) ω=fdx+gdy+hdz∈Ω1(R3)に
対 し て
dω=dfΛdx+dgΛdy+dhΛdz (ⅲ)
(6)
d:Ω2(R3)→Ω3(R3) ω=fdxΛdy+gdyΛdz+hdzΛdxに
対 して
dω=dfΛdxΛdy+dgΛdyΛdz+dhΛdzΛdx
(ⅳ) ω∈Ω3(R3)に
(7)
対 し て は dω=0
こ の 定 義 は 直 接 的 で,外
微 分 の 定 義 の 仕 方 は よ くわ か る の だ が,(6)と(7)
が 具 体 的 に ど ん な 形 の 式 に な る か は 判 然 と し な い. (5)を
用 い て,(6)と(7)を
計 算 し た 結 果 は 次 の よ う に な る.
次の
これ を実 際 確か め る ことは 読者 に任 せ よ う.
外微分の性質 外徴 分 は次 の 性 質を もつ. (a)
α,β∈Rに
対 して
d(α ω+β η)=αdω+βdη (b)
f,g∈Ω0(R3)に
対 して
d(fg)=gdf+fdg (c)
ω ∈Ωi(R3)(i=0,1,2),η d(ωΛ
(d)
任 意 の
η)=dωΛ
∈Ω(R3)に
対 して
η+(−1)iωΛdη
ω ∈Ω(R3)に
対 して
d(dω)=0
【証 明 】(a)は
明 らか で あ ろ う.
(b):
(c):ω,η
∈Ω1(R3)の
と き,特
に
ω=fdx,η=gdy
の と き だ け 示 し て お こ う.こ
の と き ωΛη=fg dxΛdy.し
d(ωΛ η)=d(fg)ΛdxΛdy =(gdf+f =(dfΛdx)Λg
dy+dgΛfdxΛdy
=(dfΛdx)Λg
dy−(fdx)ΛdgΛdy
=dωΛ (d):f∈Ω0(R3)に
dg)ΛdxΛdy
対 して
η−ωΛdη
た が って
こ の 最 後 の と こ ろ で,fはC∞-級 順 序 に よ ら な い,た
で あ り,し
た が っ て2階
の偏 導関 数 は 偏 微 分 の
とえ ば
の よ うな 等 式 が 成 り立 つ こ と を 用 い た. ま た ω∈Ω1(R3)に
対 し てd(dω)=0と
な る こ と は,ω=fdxの
場 合 だ け示 し
て お こ う.
ω∈Ω2(R3)の
と き は,dω
∈Ω3(R3)と
な る. ω ∈Ω3(R3)の
と き は,dω=0で
あ る.
な り,し た が っ て 必 然 的 にd(dω)=0と
Tea
質 問 僕 に は,こ よ うな 話 で,た い ま し た.こ
こで の お 話 は,R2の だ 変 数 が1つ
増 え,そ
う し た お 話 で し た ら,一
Time
と き 微 分 形 式 を 定 義 した と ま っ た く同 じ の 分,式 般 にRn上
が 長 くな っ た に す ぎ な い よ うに 思 の微 分 形式 も同 様 に定 義 で き る
と思 い ま す が. 答
確 か にRn上
と き に は,p次
の 微 分 形 式 も ま っ た く同 様 に 定 義 す る こ と が で き る.た の 微 分 形 式 と い っ て も,pは0,1,…,nの
こ と に な る.Rnに(x1,x2,…,xn)と の 一 般 の形 は
の よ うに な る.
だその
ど れ か の 値 を と り得 る
い う座 標 を 入 れ て お け ば,p次
の 微 分形 式
第22講 ガ ウスの 定 理 テ一マ
◆ 外微 分 の不 変 性 ◆ ガ ウス の定 理 ◆C∞-級 の曲面 ◆ 曲面Sの
向き
◆ 面 積分 ◆ ガ ウス の定 理 の 証 明 ◆ ガ ウス の定 理 の 不変 性
外微分の不変性 こ の 講 の 主 題 は,ガ 形 式 に 対 し て,外 し か し,R2の
ウ ス の 定 理 を 述 べ る こ とに あ る が,そ
の 前 にR3上
微 分 が 座 標 変 換 で 不 変 で あ る こ と を 示 し て お こ う.こ
場 合(第20講
参 照)と
同 様 な 考 え で 示 せ る の で,こ
の微 分 の こ とは
こで は証 明 の
ス ケ ッチ だ け を 与 え る こ と に し よ う. い まxyz-座
標 か らuvw-座
標 へ の座 標変 換
u=u(x,y,z), が 与 え られ た と し よ う.こ る た めf(u,v,w)=f(x,y,z)と
が 成 り立 つ.こ
の 式 は,前
v=v(x,y,z),
の と き,任
意 の 関数fに
お く と,合
講 の(4),お
w=w(x,y,z) 対 し て,変
数 を は っき りさせ
成 関数 の微 分 の 規則 か ら
よ び(2),(3)を
参 照す る と
が 成 り立 つ こ と を 示 し て い る.す て 計 算 し て も,uvw-座 dfは
な わ ち,関数fの
外 微 分dfはxyz-座
標 に つ い て 計 算 し て も,同
じ結 果 と な る.い
標 につ い い か え る と,
座 標 系 の と り方 に よ ら な い.
そ こ で 次 に1次
の微 分形 式
の 両 辺 を,xyz-座
標 に 関 し て 外 微 分 し て み る と,df=dfな
が 得 ら れ る(前
講,外
微 分 の 性 質(c),(d)参
照).こ
どに注 意 して
の 式 は,ω
の 外 微 分 が,
座 標 系 の と り方 に よ ら な い こ と を 示 し て い る. 同 様 に し て,2次
の 微 分 形 式 ω に 対 し て も,dω
が 座 標 系 の と り方 に よ らな い
こ と を 示 す こ と が で き る.
ガ ウス の 定 理 ガ ウ ス の 定 理 は,グ
リーン の 公 式 と 類 似 の 結 果 が,R3で
も 成 り立 つ こ とを 主
張 す る も の で あ る. 細 か い 定 義 は あ と ま わ しに し て,結
【ガ ウ ス の 定 理 】DをR3の っ て い る と す る.そ
果 を 先 に か く と 次 の よ うに な る.
有 界 な 領 域 と し,Dの
の と き2次
境 界Sは,C∞-級
の 曲 面に な
の 微 分形 式 ωに対 して
(1) が 成 り立 つ.
い ま,xyz-座
標 を用 い て ωを
(2) と 表 わ し て お く.こ
の とき
(3) で あ る. した が っ て ガ ウ ス の 定 理 は,xyz-座
標 を用 いて 表わ す と
(4)
とな る.左 辺 は,D上
の 重積 分,右
辺 はS上 の面 積 分 で あ る.こ
の 面 積 分 の意
味 につ い て はす ぐあ とで 述べ る. 読 者は,グ
リーン の公 式 もガ ウ スの定 理 も,微 分 形式 を 用 い る と同 じ形 で か き
表 わ せ る こ とに注 意 して ほ しい. C∞-級 の 曲 面 領 域Dの
境 界Sが,C∞-級
の 曲面 とな って い る とい うこと の 意 味 か ら 説 明 し
よ う. SがC∞-級
の 曲 面 で あ る と は,Sの
Pの 近 くに あ るS上
の 点 は,x,yに
任 意 の 点P=P(x0,y0,z0)を 関 す るC∞-級 関 数z(x,y)に
と っ た と き, よ って
(x,y,z(x,y)) と 表 わ さ れ る か,ま
た はx,zに
関 す るC∞-級 関 数y(x,z)に
よ って
(x,y(x,z),z) と 表 わ さ れ る か,あ
る い は ま た はy,zに
す るC∞-級 関 数x(y,z)に
関
よって
(x(y,z),y,z) と 表 わ さ れ る こ と で あ る. こ の 定 義 は 少 し わ か りに くい か も し れ な い.点Pの
近 くで,曲
z(x,y)に
よ って
面SがC∞-級
の 関数
(x,y,z(x,y)) と表 わ さ れ る と い う こ と は,xy-座
標平面
図30
か ら測 った 曲面 へ の 高 さz(x,y)が,滑
らか に(C∞-級
に!)変
化 してい る と い
う こ と で あ る. 図30で 点Qや
示 し た よ うな 曲 面 で は,点Pの
点Rの
近 くで は こ の 状 況 が 成 り立 っ て い る が,
近 くで は こ の 状 況 は 成 り立 っ て い な い.点Qや
x,yを 決 め て も,高
さ が1通
の 曲面 上 の 点 は,xz-平
りに は 決 ま ら な い の で あ る.し
点Rの
か し,Q,Rの
の と き に は,y(x,z)が
滑 らか に 変 化 す る こ とを 要 請 す
る の で あ る.
曲 面Sの
向き
ガ ウ ス の 定 理 を 成 り立 た せ る た め に は,Dの 境 界 を つ くっ て い る 曲 面Sの,各
点 の まわ りの
向 き を 決 め て お か な くて は な ら な い. の1点Pを
と り,Pを
始 点 と し て,D
に 対 し て 外 向 き の 法 線 を 引 く.こ
の と き,こ
線 を 右 手 の 中 指 と す る右 手 系 の 向 き,す
の法
なわ ち こ
の と き親 指 か ら ひ と さ し指 へ と ま わ る 向 き を,P の ま わ りの 正 の 向 き とす る. 点P=P(x0,y0,z0)の
まわ りで 曲面 が(x,y,z(x,y))
で与 え られ て い る ときは,点Pに
お け る法線 の方 向余
図31
弦 は,± の符号 の差 を 除 け ば
で 与 え ら れ て い る.こ
こ で 関 数 の 値 は,す
面 S上 の面積 分
近 く
面 か らの 高 さ な らば 一 意 的 に 決 ま っ て,(x,y(x,z),z)の
形 で 表 わ され て い る.こ
曲 面S上
近 くで は,
べ て(x0,y0,z0)で
積
分
の 値 で あ る.
の 意 味 は,xy-平
面 上 に ま ず 分 点x0<x1<x2<…<xn,y0
(x,y,z(x,y))と
表 わ され るS上
を 考 え,こ
と り,
の 部分 で
とした とき の 極 限 で
こ で,
あ る. こ こ で 符 号 ± は,xy-座 ま わ りのSの
標 平 面 上 にSを
向 き が,xy-座
そ うで な い と き は−(マ
射 影 した と き,点(xi,yi,z(xi,yi))の
標 平 面 上 の 正 の 向 き と一 致 す る と き は+(プ
イナ ス)と
す る の で あ る(図32参
照;図
ラ ス),
では 面積 要 素
と い う言 葉 を 用 い て い る).
ガウスの定理の証 明 ガ ウ ス の 定 理 の 証 明 の 考 え 方 を 述 べ よ う.細 立 ち 入 らな い で,最
か い 吟 味 が 必 要 な よ うな 場 合 に は
も簡 単 な 場 合 だ け 考 え る こ と に し よ う.
(4)の
証 明 を ま ず 行 な う.こ の と き も,グ
Q,R,Pそ
れ ぞれ に 対 して等 式
リー ン の 公 式 の 場 合 と 同 じ よ うに,
(5)
図32
図33
が 成 り立 っ て,こ
れ ら を 加 え た 式 と し て,ガ
れ も 同 じ だ か ら,(5)が 【等 式(5)の
証 明】
Sの 点 は,上
ウ ス の 公 式 が 得 られ る の で あ る.ど
成 り立 つ こ とを 示 す こ と に し よ う. 図33の
よ うに,xy-座
の 方 に1つ(x,y,z1(x,y)),下
標 平 面 上 の 点(x,y)に
射 影 され る
の 方 に1つ(x,y,z2(x,y))が
あ る
場 合 を 考 え よ う. こ の と き,重
と な る.最
積 分 を累 次 積 分 に直 す 公 式 に よって
後 の 等 式 に 移 る と き に,−P(x,y,z2(x,y))の
分 の と き の,向
符 号 マ イ ナ ス は,面
き を 考 慮 し た 面 積 要 素 の 符 号 マ イ ナ ス と一 致 し て,最
結 局 マ イ ナ ス 符 号 は 消 え た 形 に な っ て ま とめ ら れ た の で あ る.こ
積
後の式では
れ で(5)が
証
明 さ れ た. こ の よ うに 示 され た(4)を,外 (2),(3)に (2)の
対 し て,積
微 分 の 形(1)に
お き 直 す に は,微
分形 式
お の お の にdx,dy,dzが
現わ
分 を 定 義 す る と よ い.
積分は
と 定 義 す る の で あ る.dxΛdy,dyΛdz,dzΛdxの れ る 順 序 は,x軸
⇒y軸
⇒z軸⇒x軸
が 正 の 向 きに まわ る向 き であ る ことを 示
唆 し て い る. ま た(3)の
積分は
と 定 義 す る の で あ る.こ わ か る.
の よ う な 定 義 に よ っ て,ガ
ウ ス の 定 理 が 成 り立 つ こ とが
ガ ウス の 定 理 の 不 変 性 グ リーン の 公式 と同 じよ うに,ガ ウス の定理 の重 要 性 は,微 分形 式 で 表 わ され た(1)の
式 が,R3の
向 きを 保 つ座 標 変換 で 不変 な式 とな ってい る こ とであ る.
この こ とに つ い ては,第20講
と同様 の議 論を 繰 り返 す こ とに な る ので,こ
れ以
上 立 ち入 らな いが,こ の 背 後 にあ る事 実は,こ の講 の 最初 に述べ た外 微 分 が座 標 変 換 に よ って不 変 で あ る とい う性 質 であ る.
Tea
Time
質 問 面 積 分 の 定 義 に つ い て お 聞 き し た い の で す が,以 あ っ た 定 義 は,こ
こ で 話 さ れ た 定 義 と 少 し違 う よ うで し た.僕
面 積 要 素 とい う言 葉 を 用 い て,次 素 をdσ と し,Sの と き,面
前 僕 が読 んだ 本 で 述べ て の 読 ん だ 本 で は,
の よ うに か か れ て い ま し た.'曲
外 向 き の 法 線 の 方 向 余 弦 をcosα,cosβ,cos γ
面Sの
面積要
とす る.こ
の
積 分 に現 わ れ る面 積要 素 は dxdy=cos γ
で 与え ら れ る.'し
dσ,dydz=cos α
か し,こ
dσ,dzdx=cos,β
こ で の お 話 で は,法
面 積 分 の 定 義 に は 一 度 も 登 場 し ま せ ん で した.な 答 ま ず2つ
か に,私
た ち の 話 で は,面
て 得 ら れ る 面 積 要 素 と定 義 し た か ら,法 か し,君
の 面積 要 素 の 両 辺 に形 式 的 に しい値 に な る とい うこ と
積 要 素 は,座標
平 面 へ射 影 し
線 の 方 向 余 弦 な ど定 義 の 中 に は 登 場 し な
が 読 ん だ 本 の 中 に か い て あ っ た 定 義 と,こ
実 は 同 じ も の な の で あ る.そ 囲 で,xy-座
ぜ な の で し ょ うか.
る 範 囲 に わ た っ て 積 分 す る と,等
で あ る と 理 解 し よ う.確
か っ た.し
線 の 方 向 余 弦 な ど と い う こ と は,
の 面 積 要 素 が 等 しい と い う こ と は,こ
同 じ関 数 を か け て,あ
dσ
れ は 次 の よ う に し て わ か る.い
こで 与 え た定 義 は ま 曲 面Sが
あ る範
標 を 用 い る パ ラ メ ー タ ー表 示 で z=z(x,y)
と表 わ さ れ て い た と し よ う.こ の と き,z方
向 へ の 法 線 の 方 向 余 弦cosγ
は
で 与 え られ て い る.面
積 分 の 面 積 要 素'dxdy'を,cos γ
号 は プ ラ ス を と っ て い る.一
で 与 え ら れ て い る.こ
方,曲
dσ と か く と き に は,符
面 積 を 表 示 す る 積 分 公 式 か ら,
こでdxdyは,xy-座
標 平 面 へ 射 影 し た と き の 面 積 要 素,
した が っ て 私 た ち が こ こ で 与 え た 面 積 分 の 面 積 要 素 と な っ て い る.上 を 見 比 べ る と,cosγdσ=dxdyは,私
の2つ
の式
た ち の 定 義 と一 致 し て い る こ と が わ か る.
第23講 微 分形 式 の 引 き戻 し テー マ
◆ 問題 の提 起 ◆ 問題 の答 は肯 定 的―
ス トー クス の定理
◆ パ ラメ ー ター表 示 で き る曲面 ◆ 微分 形 式 の引 き戻 し ◆ 引 き戻 しに よる外 微 分 の不変 性
問題の提起 グ リー ンの 公式 に戻 ろ う.微 分 形 式 で表 わ され た グ リー ンの公式 は,R2の 標変 換 で は不変 な形 を してい た.そ の と き の 証 明(第20講 る よ うに,グ
リー ン の公 式 はR2全
け で(正 確 にはD上
参 照)を み る とわ か
体 で 定義 され た 座標 変 換 で な くと も,D上
で)定 義 され た 座 標 変 換―
変 数変 換 とい った 方 が よいか も しれ な いが―
座
だ
この ときはC∞-級 の1対1の
で 不 変 で あ る とい う性 質 を も っ て
いた. さて,こ の よ うな観 点 に立 った とき,グ
リー ンの 公 式 の不変 性 は 次 の よ うな場
合 に も保 た れ るか とい う こ とが 問 題 に な る. い ま簡 単 の ため,Dと
してR2の
この とき,Dの
単 位 円周 で あ る.そ
境 界Cは
単 位 円 の 内部 を とる:
こで考 察 の場 をR3へ
と移 し,R3
の座 標 変 換
を 考え る.こ れ たC∞-級
こ で ρは 図34の
グ ラ フ で 示 さ れ て い る よ うな,数
直 線上 で定 義 さ
の 関 数 で あ る.
こ の 座 標 変 換 で,R2の
原 点 の 近 くは,高
さ1だ
け も ち 上 げ られ(図35(a)),
(a)
(b)
図34
図35
し た が っ て 単 位 円Dは,コ
ッ プ を 逆 さ に し て お い た よ う な 曲 面D(図35(b))
に な る.Dの
境 界Cは,や
は り単 位 円Cで
問 題 は,こ
の'も
ち 上 げ'に
あ る.
よ っ て,D上
で 成 り立 つ グ リーン の 公 式 の 形
(1) は,そ
の ま ま保 た れ る か とい う こ と で あ る.も
ン の 公 式 の 不 変 性 が 成 り立 つ な ら ば,グ の 中 に あ る 単 位 円Dで て も変 わ ら な い,何
の よ うな 意 味 で も,グ
リー
リーン の 公 式 を 成 り立 た せ る も の は,R2
は な くて,Dを,空
か'Dの
し,こ
間 の 中 で ふ くら ま して も,へ
内 在 的 性 質'に
こま し
よ っ て い る と い うべ き だ ろ う.
問題の答は肯定的 この 問 題 の 答 は 肯 定 的 で あ る.私 R3上
の1次
た ち は 定 理 を 一 般 的 な 形 に 述 べ る た め に,
の微 分 形 式 ω=P(u,v,w)du+Q(u,v,w)dv+R(u,v,w)dw
が,D上 き,グ
に(一
般 に は 曲 面 上 に)与
リー ンの 公 式 を'も
え られ て い る とい う設 定 か ら 入 る.こ
ち 上 げ た'形
の定 理 と して
(2) が 成 り立 つ こ とを 示 し た い.(2)は
丁 寧 に か く と,外 微 分 の 定 義 か ら
の と
と表 わ さ れ て い る こ とを 注 意 し よ う.こ れ は ス トー ク ス の 定 理 と よ ば れ て い る も の で あ る.私 式 をR3に
た ち は こ の 定 理 を 次 講 で 与 え る こ とに し よ う.以 下 は グ リー ン の 公
ま で'も
ち 上 げ て い く'た め の 準 備 で あ る.
パ ラ メ ー ター 表 示 で き る 曲 面 R2の
有 界 な 領 域Dを1つ
と る.Dの
た め の 条 件 を み た して い る― 閉 領 域Dを
境 界Cは,グ
簡 単 の た めC∞-級
含 む あ る領 域 で 定 義 され た3つ
リ ーン の 公 式 が 成 り 立 つ
の 曲 線 か ら な る―
のC∞-級
とす る.
関数
u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y) が 与 え られ,次
の 条 件 を み た す とす る.
(ⅰ) 対 応(x,y)→(u,v,w)は1対1 (ⅱ) 行 列
の 階 数 は 各 点 で2に こ の と き,対
等 し い.
応
(3) をDか
らR3の
と い う.ま
中 へ の 写 像 と考 え て,φ は,パ
たφ(D)=Sを,パ
ラ メ ー タ ー を もつ 曲 面,ま
さ れ る 曲 面 と い う.こ の と きDの す な わ ちSの
境 界Cは,Sの
はφ(a,b)=(u0,v0,w0)の
少 し わ か りに くい か も し れ な い.直 と き,R2上
の 直 線x=a,y=bの
移 る.な
おDの
観 的 に い え ば,こ 像 が,曲
面S上
近 くで は 妙 な 形 に つ ぶ れ て い な い と い う こ と で あ る(図36).妙
形 で つ ぶ れ て い な い と い う こ とは,こ uw-座
境 界Cへ
た は パ ラ メー タ ー 表 示 像,
内 部 を 開 曲 面 とい う.
上 の 条 件(ⅱ)は
(u0,v0,w0)の
ラ メ ー タ ー を もつ 曲 面 を 定 義 す る
標 平 面 か に 射 影 し た と き,ど
の 曲 線 を,uv-座
標 平 面 かvw-座
れ か の 座 標 平 面 上 で は,独
の条 件 で, な
標 平 面 か,
立 な 方 向 へ 走 る2
図36 本 のC∞-級
図37
の 曲 線 と な っ て い る とい う こ と で あ る.こ の 述 べ 方 は わ か りに くい が,
こ の よ うな い い 方 が 必 要 とな る例 を 図 で 示 し て お こ う.図37で に 射 影 し た と き に は 独 立 な 方 向 へ と走 る2本 座 標 平 面 に 射 影 した と き に は,そ
は,uv-座
標平面
の 曲 線 と な っ て い る が,vw-,uw-
の よ うに は な っ て い な い よ うな,S上
の 曲線 の
例 を 示 し て お い た.
微分形式 の 引き戻 し い ま ま で の 記 号 に 合 わ す た め に,R3に 関 数 や 微 分 形 式 は,ひ
と ま ずR3全
え る と き に は,点(u,v,w)は
はuvw-座
体 で 定 義 さ れ て い る と し て い る が,以
す べ てSの
の 関 数 やS上
の 微 分 形 式 と い うの は,そ
さ て,S上
の 関 数 や 微 分 形 式 は,写
う に,D上
者 の 中 に は,φ
向 き に な っ て,S上
はDか
と 考え る 人 が い るか も しれ な い.し 自 然 な こ と な の で あ る.す [関 数 の 引 き 戻 し]S上 φ*fを,次
の 意 味 とす る.
像φに
らSへ
の 微 分 形 式 が,D上
下 で考
上 だ け を 動 い て い る も の とす る.S上
の 関 数 や 微 分 形 式 を 定 義 す る.こ
あ る が,読
標 が 導 入 さ れ て い る と す る.
よ っ て,い
わ ば'引
き 戻 さ れ る'よ
れ をφ に よ る 引 き戻 し とい う の で
の 写 像 な の に,今
度 はSか
の 微 分 形 式 を 決 め る の は,何
か し,ま
ず 関 数 に 対 し て は,こ
らDへ
と逆
か お か しい の考 え は ご く
なわち の 関 数f(u,v,w)に
つ い て は,fのφに
よ る 引 き戻 し
の よ うに 定 義 す る. (φ*f)(x,y)=f(u(x,y),v(x,y),w(x,y))
[1次
の 微 分 形 式 の 引 き 戻 し] こ の 場 合,引
き 戻 し と い う操 作 を どの よ うに 定
義 す るか は,け
っ し て 自 明 と は い え な い が,少
な く と も任 意 の 関 数fに
φ*(df)=d(φ*f)
対 して
(4)
が 成 り立 つ こ と を 要 請 し て お き た い. こ の 要 請 を み た す よ うに す る に は,次
の よ うに 定 義 す る と よ い の で あ る.
1次 の 微 分 形 式 ω=P(u,v,w)du+Q(u,v,w)dv+R(u,v,w)dw の φ に よ る 引 き 戻 し φ*ωは,関
数P,Q,Rの
い ま定 義 し た ば か り の 引 き 戻 し を
用 い て,
すなわち φ*ω=φ*P・d(φ*u)+φ*Q・d(φ*v)+φ*R・d(φ*w) に よ っ て 定 義 す る.な
お こ こ で,た
と え ばd(φ*u)は,関
数φ*uの
外 微分 を 表 わ
して い る. こ の 定 義 で(4)が [2次
成 り立 つ こ とは,す
ぐあ と で 示 す.
の 微 分 形 式 の 引 き 戻 し] こ の 場 合 も1次
さ れ る の で あ っ て,た
の微 分形 式 の場 合 と同様 に定 義
と えば η=P(u,v,w)duΛdv
に 対 し て は,η
のφに
よ る 引 き戻 しを
と定 義 す る.φ*η は φ*η=φ*P・d(φ*u)Λd(φ*v) と も か け る.ま
た
(5) と 表 わ して も よ い こ とを 注 意 し て お こ う.
引 き戻 しに よ る外 微 分 の 不 変 性 次 の命 題 が成 り立 つ. 0次,1次
の微 分形 式 ωに対 して φ*(dω)=d(φ*ω)
【証 明】0次
の微 分 形 式,す なわ ち ωが 関数fの
(6)
と きを まず 示 そ う.こ の と き,
合成 関数 の偏 微 分 の規 則 か ら
こ こ でφ*
とかい て あ る と こ ろ は,ふ
あ る.φ* な る.こ
と か く と,変 数が(x,y)で
れ で,0次
ωが1次
つ うは
とか く も ので
あ る こ とが強調
され た こ と に
の 微 分 形 式 の とき は 証 明 さ れ た.
の微 分 形 式 ω=Pdu+Qdv+Rdw
の と きは φ*(dw)=φ*(dPΛdu+dQΛdv+dRΛdw) =d(φ*P)Λd(φ*u)+d(φ*Q)Λd(φ*v)+d(φ*R)Λd(φ*w) こ こ で 引 き 戻 しの 定 義 か ら,φ*(dPΛdu)=φ*(dP)Λφ*(du)が よ うな こ と を 用 い て い る.ま
たduに
対 し て は,関
数uの
次 の 場 合 の 結 果 を 適 用 し て い る. 一 方, d(φ*ω)=d(φ*PΛd(φ*u)+φ*QΛd(φ*v)+φ*RΛd(φ*w)) =d(φ*P)Λd(φ*u)+d(φ*Q)Λd(φ*v)+d(φ*R)Λd(φ*w)
成 り立 つ と い う 外 微 分 と 考 え て 上 の0
(第21講,外 る.)両
微 分 の 性 質(c),(d)参
式 を 見 比 べ て,こ
照.こ
こ で,d(d(φ*u))=0を
用 い てい
の場 合 も φ*(dω)=d(φ*ω)
が 成 り立 つ こ とが 示 され た. 注 意 ωが2次 の微 分 形 式 の とき には,dω は3次 の微 分形 式 とな り,こ の と きはφ*(dω) もdφ*ω も0と な る.そ の意 味 でや は り,命 題 で述 べ た 式 は成 り立 つ とい って よい.
Tea
Time
穴 の あ いた 領域 と穴 の あ い た曲 面 い ま までは,簡
単 のた め にR2の 有 界 な領 域 とい うとき には,穴
のあ い て い な
い 領 域 だけ を 図示 して きた.し か し,領域 とい うといつ も この よ うな も のだ け を考 え るの はや は り少 し視 野 を 狭 め るか も しれ ない. 実 際 は領 域 とい うとき には,図38で
示 した よ う
に,円 板 にい くつ か の穴 が あい た もの も考 え てい る.グ
リーン の公 式 の証 明を 読 み 直 して み る とわ
か る よ うに,こ の とき も,境 界 に適 当 な 向 きを つ け て お くと,グ リーン の公 式 は そ の ま ま の形 で 成 り立 つ.適
当 な 向 き とは,内
の で あ る.図38で
図38
部 を左 手 に 見 な が ら まわ る 向 きを正 の 向 き とす る
い うと,外 側 の周 を まわ る と きは時 計 の 針 と逆 まわ りで あ り,
内 側 の周 を まわ る と きは時 計 の針 と同 じ向 き に まわ る こ とに な ってい る.
図39
図38の
よ うな 領 域 の 中 を パ ラ メ ー タ ー が 動 く と き,こ
て 表 示 さ れ る 曲 面 の 中 に は,図39で ま れ て くる こ と に な る.こ
示 さ れ る よ うな,ズ ボン の 形 を し た 曲 面 も 含
の よ う な と き,グ
ス トー ク ス の 定 理 を 成 り立 た せ る た め に は,胴 は 別 に と っ て お か な く て は な ら な い.こ の ま わ り方 と比 べ る の は,は を 指 定 す る に は,周
ち 上 げ た'形
の
ま わ り と裾 まわ りを 回 転 す る 向 き
の よ う な と き,ま
わ る 向 き を,時
計 の針
っ き り し な い こ と に な っ て し ま う.周 を まわ る 向 き
に と っ た 接 線 の方 向 が 右 手 系―
る と よ い.
リ ー ン の 公 式 を'も
に 沿 う外 向 き の 法 線 を 考 え て,こ
軸 の 正 の 方 向 と 考 え る―
の パ ラ メ ー ター に よ っ
法 線 の 向 き をx軸
と な る よ うに,周
の 法 線 と,周
の 正 の 方 向,接
の 向 き を 決 め る,と
を まわ る 向 き 線 の 向 き をy
い うい い 方 を す
第24講 ス トー ク ス の 定 理
テー マ ◆
ス トー クス の定 理
◆
曲面 の向 き
◆
ス ト ー ク ス の 定 理 の 証 明 の 筋 道―
引 き戻 し に よ っ て グ リー ン の 公
式 に帰 着 させ る ◆
ス ト ー クス の 定 理 の 証 明
◆(Tea
Time)記
号:div,rot,grad
境 界につ いて R2の
有 界 な 閉 領 域D上
を パ ラ メー タ ー(x,y)が
動 く と き,こ
の パ ラメ ー タ
ーによって
u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y) と し て 表 示 さ れ るR3の をSと
曲面
す る.
DとSの
境界 を 明示 す る
た め に,Dの は ∂D,ま
境 界 を これ か ら
たSの
境 界 は ∂Sと
表 わ す こ と に し よ う(第20 講,Tea ∂Dと
Time参
図40
照).
∂Sの 向 き は,∂Dと
と る も の と す る(前
講Tea
∂Sに 沿 う外 向 き の 法 線 を 第1座 Time参
照).
ス トー ク ス の 定 理 R3上 の1次 の微 分 形 式
標 とす る 右 手 系 を
ω=P(u,v,w)du+Q(u,v,w)dv+R(u,v,w)dw が 与 え ら れ た と す る.こ
の と き 次 の ス ト ー ク ス の 定 理 が 成 り 立 つ.
【ス トー ク ス の 定 理 】
(1)
外 微 分 と,面 積 分,線 積 分 の定 義 に した が って こ の等式 を か き表 わ す と
と な る.
は,パ
も っ と も面 積 分 と か い た が,
ラ メ ー タ ー表 示 に よ る 積 分 の 意
味 で あ る. こ の 意 味 は,分
点x0<x1…<xn,y0
u(xi,yi),vi=v(xi,yi),wi=w(xi,yi)を
の極 限 を
対 応 し て,S上
の 点ui=
考 え,和
と お くの で あ る.線
積 分
の意味 も
同 様 で あ る.
曲面 の 向 き
こ の 面 積 分 の 定 義 は ご く 自然 に み え る が,よ unの 並 び 方 は,パ
ラ メ ー タ ー(x,y)に
る か に 従 属 し て い る か ら,ふ
u0u1>…>un;v0
ど の よ うに 変 化 し て い
つ うの 積 分 と 少 し 違 う こ と に 気 が つ く.実 際,あ
場合には
と な る が,あ
く見 る とu0,u1,…,un;v0,v1,…,
よ っ て(u,v)が
る
上 の 場 合 が(極 ら,f(u,v,w)>0に
限 の 状 況 で も)起き 対 し て,面
る と き に は,(ui+1−ui)(vi+1−vi)>0だ
積 分
の 値 は 正 と な るが,後
の ま わ りで,パ
ラ メー ターが
か
の 場 合 が起
き る と き は 負 と な る. 一 般 に,同
じ 曲 面S上
の1点
を み た す よ うに 与 え られ て い る と き と,J(uv/xy)<0を い る と き は,互
い に 逆 の 向 き に な っ て い る と い う.
J(uv/xy)>0の 対 し て面
み た す よ うに 与 え ら れ て
向 き に パ ラ メ ー タ ーu,vが
積 分
の 値 は 正 と な るが,逆
こ の こ とは 直 観 的 に い う と,曲 と に な っ て い る.も
与 え ら れ て い る と き に は,f>0に 向き の と き は 負 と な る.
面 を 表 側 か ら 見 るか,裏
ち ろ ん こ の と き も,表
側 か ら見 る か と い う こ
か 裏 か とい う こ と は 相 対 的 な い い 方 に
す ぎ な い(図41).
図41
ス トー ク ス の 定 理 の 証 明 の 筋 道 ス トー ク ス の 定 理 は,ω に よ っ て 証 明 さ れ る.そ
をD上
に 引き 戻 し,グ
の 証 明 に 入 る た め に,前
リーン の 公 式 に 還 元 す る こ と 講 の よ うに,Sの
パ ラ メー タ ー
表 示 を 引 き 起 こ す 写 像 をφ で 表 わ す こ と に す る.
こ の と きφ(D)=Sと
な る が,以
もφ(D)の
上 で と っ て も,積
まず,証
明 す べ き 式(1)の
下 で 積 分 を と る と き に は,φ(D)の
上 で と って
分 の 値 は 変 わ ら な い こ と を 注 意 して お こ う. 左辺を
と か き 直 し,(1)の
右辺 を
と か き 直 し て お く. こ の か き 直 し に よ っ て,(1)は
(1)'
と な る.私
た ち は,(1)'の
こ の と き(1)'の
形 で ス トー ク ス の 定 理 を 証 明 す る こ と に し よ う.
証 明 は,(1)'の
左 辺 と 右 辺 に 対 し て,そ
れ ぞれ 次 の 等 式が
成 り立 つ こ と を 示 す こ とに 帰 着 す る.
(2) (3)
実 際,こ
の2つ
の 式 が 示 さ れ れ ば,φ*(dω)=d(φ*ω)(前 (2)の
と な る.こ
講(6))に
よ り,
右辺
こに グ リー ンの公 式 を 用 い る と
の 右辺! と な る.し
た が って(2)=(3)と
か な らな い.こ
な り,こ
れ で ス トー ク ス の 定 理 が 証 明 さ れ た こ とに な る.
(2)の そ こで(2)の
に対 して
れ は 左 辺 の 方 で み る と(1)'に
証 明 と な る が,一
証明
般 にR3上
の2次
の 微分 形 式
ほ
(4) が 成 り立 つ こ とを 示 す と よい.特
に η=dω
とお く と(2)で
あ る.
簡単のため
の と き を 考 え る.こ
の と き,前
講 の(2)に
よって
で あ る. し た が っ て(4)を
示す に は
が 成 り立 つ か ど うか を み る と よ い.し
か し
に 注 意 す る と,こ
れ は 重 積 分 の 変 数 変 換 の 公 式 に ほ か な ら な い こ と が わ か る.し
た が っ て(4)が
成 り立 つ.
な お,こ
こ で1つ
コ メン トを 述 べ る こ と が 必 要 とな る.ふ
変 換 で は ヤ コ ビ ア ン の 絶 対 値 を と っ て い る が,こ
つ うは 重 積 分 の 変 数
こで は ヤ コ ビ ア ン そ の も の が 右
辺 に現 わ れ てい る.こ れ は∬ ・dudvの 定 義 は,面 積 そ の も の で は な くて,面 積 に(曲 面 の 向 きに した が って)符 号 を つ け た もの にな って い るか らであ る. (3)の この とき も,1次
証明
の微 分形 式 の特 別 な場 合
に 対 して (5) が 成 り立 つ こ とを示 す と よい.す なわ ち
が 成 り立 つ こ とを示 せ ば よい が,こ れ は 左 辺 の線 積 分 の定 義 と
(xi<xi<xi+1,yi
注 意 す る と,記
が 成 り立 つ こ と か らわ か る.こ
れ で(3)が
号 的 に
成 り立 つ こ と が 示 され た.
もっ とも こ こでJ(uv/xy)の
正 負の 符 号 と,周 の向 きにつ い て 触 れ てお か な い と,(4)
と(5)と
とき に もは た し て結 び つ くか ど うか とい うこ とが 問題 と な
が,J(uv/xy)<0の
るだ ろ う.こ こは 直観 的 な説 明 です ます こ とに し よ う.(x,y)が とき,Sが
表 側―J(uv/xy)>0―
v,w)は,∂Sを
と して 表わ され て い る と き に は,パ ラ メー ター(u,
正 の 向 き に まわ る.ま た,Sが
て い る とき には,(u,v,w)は お け る符 号 と,線 積分(5)の
∂Dを 正 の向 きに ま わ る
裏 側―J(uv/xy)<0―
と して 表 わ され
∂Sを 負 の 向 き に まわ る.し た が って,面 積 を測 る(4)に 長 さを 測 る符 号 が一 致 して,(4)と(5)の
符 号 の 整 合性
が 得 られ る の であ る.
結 (2)と(3)が
論
成 り立 つ こ とが 示 され て,ス
トー クスの定 理 が 完全 に 証 明 さ
れ た. 読 者 は,こ の 証 明 の過程 の 中で,グ
リー ンの 公 式 の背 景 とな って いた2次 元 の
平 面 が揺 れ 動 き出 して,何 か も っ と 自由 な世 界 へ と数 学 が 胎動 しは じめ た こ とを 感 じ られ た ので は な いだ ろ うか.微 分形 式 とい う媒 介 を 通 して,数 学 の展 開す る 場 が,平 面 とい う束 縛 を脱 しつつ あ るの で あ る.
Tea
Time
ベ ク トル 解析 にお け る慣用 の記 号 伝 統 的 な ベ ク トル 解 析 で は,R3の
ベ ク トル 値 関 数
に対 し
と お く.div ク ト ルfの
fは,ベ
ク ト ルfの
回 転(rotationま
発 散(divergence)と
た はcurl)と
い う.ま
い う.rot
fをcurl
たrot fと
fは,ベ
か い てあ る本
も あ る. 記 号 と して の 意 味 しか な い が
とお く と,R3の
ベ ク トル の 外 積(第16講)の
定 義 に 見 な ら っ て,ま
っ た く形 式
的ではあるが
とか く こ と もあ る. rotfは,fの
成 分 を 用 い て 微 分 形 式fを
に よ って定 義 した と き
に 対 し て,dyΛdz,dzΛdx,dxΛdyの の こ とか ら,微
成 分 を 対 応 さ せ た も の に な っ て い る.こ
分形 式 の公 式 d(dω)=0
は,
div rot f=0
とか き表 わ され る こ とがわ か る.
ま た関数fに
と お き,こ
対 して
の ベ ク トル をfの
の 係 数 と な っ て い る.こ
勾 配 ベ ク トル(gradient)と
い う.grad
fの 成 分 は
の こ とか らまた
d(df)=0 は,
rot grad f=0 と か い て も,実
質 的 に は 同 じ こ と を い っ て い る こ と が わ か る.
こ の よ う にR3に
お け る ベ ク トル 解 析 の 慣 用 の 記 号 を,微
い 解 釈 を し て お く こ と に よ り,ベ
ク トル 解 析 の 舞 台 を,R3か
広 げ る 道 が し だ い に 見 え て く る の で あ る.
分形 式 を通 して新 し ら一般 のRnへ
と
第25講 曲面上の局所座標 テー
マ
◆ パ ラ メ ー タ ーで表 わ され な い 曲面 ◆ 曲面― ◆R3の
紙 を貼 り合 わ せ る とい う イ メー ジ
曲面 の定 義
◆ 局所座標 ◆ 局 所 座 標 の変 換 ◆C∞-級 の 曲面
パ ラ メー タ ー で 表 わ され な い 曲 面 パ ラ メ ー タ ー で 表 わ さ れ る 曲 面 に 対 し て は,ス る.し
か し一 般 に は,曲
トー ク ス の 定 理 は 成 り立 っ て い
面 は パ ラメ ー ター表 示 に よって表 わ す こ とは で きな い の
で あ る. た と え ば,図42で る.な
与 え た 曲 面 は,パ
ぜ か と い う と,図43右
か く と,C1とC2は1点 断 的 に 交 わ っ て い る.と
ラメ ー ター では表 わ せ な い例 を 与 え て い
の よ う に,こ
の 曲面 上 に2つ
で しか 交 わ っ て い な い.こ
こ ろ が 平 面 の 領 域 の 中 で は,2つ
1点 で しか 横 断 的 に 交 わ ら な い と い うこ と は,け が っ て,平
面 の 領 域 か ら こ の 曲 面 へ の1対1のC∞-級
図42
の1点
の 閉 曲 線C1とC2を で は 十 字 路 の よ うに 横 の 閉 曲 線 が こ の よ うに
っ し て 生 じ な い の で あ る.し の 写 像―
図43
た
パ ラ メ ー タ ー表
示 を 与 え る写像―
は,け っ し
て存 在 しな い. また,境 界 を 全 然 もた な い 曲 面―
閉 曲面―
図44
も,パ ラ メー
ター 表 示 に よ っ て 表 わ す こ と は で き な い(図44).な 必 ず 境 界 を も ち,し
有 界 な領 域 は
た が っ て ま た パ ラ メ ー タ ー 表 示 さ れ る 曲 面 は,必
た な け れ ば な ら な い か ら で あ る(174頁
曲 面―
い 浮 か べ て い る が,数
ず境 界 を も
参 照).
紙 を 貼 り合 わ せ る と い う イ メ ー ジ
私 た ち が 曲 面 と い う と き に は,漠
た 方 が よい.風
ぜ な ら,R2の
然 と 空 間 の 一 部 を 囲 ん で い る よ うな も の を 思
学 的 に 述 べ る た め に は,も
船 で も 浮 輪 で も,私
ば 複 雑 に 曲 が っ た り,よ
う少 し 正 確 な 描 像 を 捉 え て お い
た ち が 曲 面 と考 え る も の は,全
じ れ た り して い る け れ ど,小
は 平 面 の 一部 を 少 し 曲 げ た よ うな 形 に な っ て い る.実 り合 わ せ て い く こ と に よ り,い
体 と してみ れ
さ い 部 分 だ け 見 る と,そ 際,私
こ
た ち は 小 さ な紙 を貼
ろ い ろ な 形 の 曲面 を 作 り上 げ て い く こ と が で き
る.別
の い い 方 を す れ ば,ど
ん な 曲 面 が 与 え ら れ て も,私
た ち は,紙
をちぎっ
て,曲
面 の 上 に 次 々 と貼 っ て い くこ と に よ り,最 後 に は 曲 面 全 体 を 貼 り合 わ せ た
紙 で お お う こ と が で き る(図45). '紙
を ち ぎ る'と
か い た と こ ろ を,R2の
た,ち
ぎ っ た 紙 を'曲
面 に 貼 る'と
有 界 な 領 域 を 考 え る と い い 直 す.ま
か い た と こ ろ を,こ
の パ ラ メ ー タ ー 表 示 を 与え る写 像 が あ る と い い 直 す.そ ら れ た 部 分 は,パ
の有 界 な 領域 か ら曲面 へ うす る と,1つ
の紙 が 貼
ラ メ ー タ ー の つ け られ た 曲 面 上 の 領 域 と い っ て よ く,曲 面 は,
この よ うな 領 域 が'貼
り合 わ さ っ て'で
き て い る と考 え て よ くな る.
図45
曲面を定義する試み す ぐ上 で は,紙 の貼 られ た部 分 を,曲 面 上 の 領域 とい ったが,一 般的 な 観 点 に 立 て ば,こ
こは(紙 の 内部 にだ け 注 目 して)曲 面 上 の開集 合 とい った方 が よい.
一般 に,R3の な 開 集 合Wを
部 分集 合Sが 与 え られ た とき,Sの
開集 合Uと
は,R3の
適当
とると U=S∩W
と表わ され る もの であ る.開 集合 とい う概 念 に あ ま り慣 れ てい な い読 者 は,図46で, 破 線 で 囲 まれ た よ うなSの 部 分 を,Sの
開
集 合 と考 え て お い て も,こ れ か らの議 論 に 特 に困 る こ とはな い. 私 た ち の望 む 曲面Sと ラ メ ー タ ー を も つ(周 うな も の で あ る.す
は,R3の
図46
中 で,パ
を 含 まな い)開 な わ ち,SはR3の
曲 面 が い くつ か 貼 り合 わ さ っ て 得 ら れ る よ 部 分 集 合 で あ っ て,有
限個 の パ ラ メー タ
ー の つ い た 曲 面(周 を 含 ま な い)が 貼 り合 わ さ れ て で き て い る よ うな も の で あ る. こ の と きS上 ら,外
で は,微
分 形 式 も'貼
り合 わ され',ま
微 分 も 定 義 さ れ そ うに 思 え て くる.パ
立 つ こ とは,こ
の よ うに し てS上
た 座 標 変 換 に よ る不 変 性 か
ラ メ ー タ ー の つ け られ た 曲面 で 成 り
で も成 り立 つ こ と が 予 想 さ れ る.そ
の予 想 が 正
し い こ と を 確 か め る 道 を これ か ら歩 ん で い く こ と に し よ う.
R3の 曲 面 の 定 義 【定 義 】R3の Sの
部 分 集 合Sが
次 の 条 件 を み た す と き,SをR3の
適 当 な 有 限 個 の 開 集 合U1,U2,…,Usが
(ⅰ) S=U1∪U2∪
曲 面 と い う:
あ って
…∪Us
(ⅱ) 各Uα(α=1,2,…,s)は,パ
ラ メ ー タ ー を もつ 開 曲 面 とな っ て い る.
注 意 (ⅰ)の 条 件 は,有 限 個 と限 る必 要 は 特 にな い の だ が,簡 単 のた め,こ
こで はUα
は 有 限個 とし てお い た. 第23講
で 述 べ た パ ラ メ ー タ ー を も つ 曲面 の 定 義 を 参 照 して み る と,Uα
上 で,
Sは
次 の よ うな 状 況 とな っ て 表 わ さ れ て い る こ と が わ か る. φα:Dα→Uα
を パ ラ メ ー タ ー を 与 え る 写像 とす る.Dα 点(u,v,w)は,こ
は,R2の
領 域 で あ る.こ
の と きUα
の
の パ ラ メ ー ター写 像 に よって u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y)
と 表 わ さ れ る.u,v,wは
変 数(x,y)に
つ い てC∞-級
の 関 数 で あ る.
パ ラ メー タ ー写 像 に関 す る 条 件―
ヤ コビ ア ン は 各
点 で 階 数 が2(第23講 ―
か ら,実
参 照)
は 次 の ことが
成 り立 っ て い る. (〓)Uの
点Pを
Pの 近 くで は,次
と る と, の3つ
場 合 の 少 な く と も1つ
の
が起 図47
き て い る(図47). Pの 近 くのUの
点 は
(ⅰ) w=w(u,v)と
表 わ さ れ る.
(ⅱ) v=v(u,w)と
表 わ さ れ る.
(ⅲ) u=u(v,w)と
表 わ さ れ る.
こ こ で,右 辺 に現 わ れ た 関数 は,そ れ ぞ れ の変 数 につ い て,C∞-級 の関 数 で あ る. た とえ ば(ⅰ)が
成 り立 つ の は
の ときで あ る. この結 果 か ら,Sは,局
所 的 に は,適 当 な 座標 平 面 か ら測 った高 さの 関数 と し
て表 わ され,こ の高 さは滑 らか に変 化 す る よ うにな って い る こ とが わ か る.
局 所座標 各Uα が パ ラ メ ー タ ー 表 示
を も つ とい う こ と を,も
う少 し 別 の 角 度 か ら み て み よ う.Uα
(xα,yα)のφα に よ る 像 と な っ て い る(図48).す '映写 機'に
よ
っ て,R2の
領 域Dα が 曲 面S上
の 点 は,Dα
の点
な わ ちUα の 点 は,φα と い う に そ っ く り映 し 出 さ れ た と 考 え る.
図48 そ の 意 味 で は,Dα
上 の 点 を 表 わ すR2の
座 標(xα,yα)は,そ
てUα 上 の 座 標 を 与 え て い る と考 え て も よ い.こ (xα,yα)は,パ
ラ メ ー タ ー で あ る と い う よ りは,Uα
の ま まφα を 通 し
の よ うな 見 方 を し て み る と, 上 の1つ
の 座 標 で あ る とい
う考 え 方 を と った 方 が は っ き り し て く る. こ の よ うに,(xα,yα)にUα
を 考え て,こ
上 の 座 標 の 意 味 を も た す と き に は,φα の 逆 写 像
の 写 像 に よ っ て,Uα
と し て 局 所 座 標(xα,yα)が
の 点Pに
導 入 さ れ た と 考 え る の が ふ つ うで あ る(図49).
図49
そ し て,こ
の よ うに し てUα 上 に 導 入 さ れ た 局 所 座 標 を ψαと 対 と して 考 え る
こ と に し て,{Uα,ψα}と ま たSを
記 す.ψα を 局 所 座 標 写 像 と い う.
お お う局 所 座 標 全 体{Uα,ψα}(α=1,2,…,s)を,Sの1つ
の局 所 座
標 系 と い う.
1つ の 注 意 Sが 境 界 の な い 球 面 や,ド
ー ナ ツ面 の と き に は,い
ま の 定 義 で よ い の だ が,実
際 は 図42で 表わ した 曲 面 の よ う に 境 界が あ る と きに は,境 界 の と ころ で は,局 所 座標 の 写像 は,Dα で 定 義 され てい る だ け で は な く て,Dα
の境 界 の 一部 で も定義 さ
れ て い る 必 要 が あ る(図50).し 細 か くな る の で,読
図50
か し こ の よ うな 点 に 立 ち 入 る と,議
論が あ ま り
者 に は そ の よ うな 場 合 も考 慮 す べき だ と い うこ と を,留
て も ら う こ とに し て,上
意 し
の よ うな 設 定 で 話 を 進 め て い く.
局所座標の変換 Sの 局 所 座 標 系 を 与 え るSの
開 集 合U1,U2,…,Usは
い まUα ∩Uβ ≠ φ とす る と,Uα
∩Uβ に 属 す る 点Pは,2つ
を も つ こ と に な る.図
こ の とき,→ →
一 般 に は 重 な っ て い る. の局 所座 標
式 化 して か くと
で表 わ され る写 像 を,局 所 座 標 の変換則 とい う.写 像 の形 で この
の部 分 を 正 確 に か くと,ψαの逆 写 像 と ψβの合 成 写 像 と して
と表 わ され る.実 際
で あ る. 局 所 座 標 の 変 換 則 に よ っ て,xβ,yβ は,(xα,yα)の
関 数 と し て 表 わ され る.
xβ=xβ(xα,yα),yβ=yβ(xα,yα) 私 た ち が い ま 考 え て い る 場 合 は,P∈Uα
(1)
∩Uβ に 対 し て(1)はC∞-級
の 関数
と な っ て い る. これ は(〓)の 結 果 な の で あ る.い ま点Pの
まわ りでSがw=w(u,v)と
表わ され てい
る と し よ う.こ の とき対応 (xα,yα)←→(u,v),(xβ,yβ)←
→(u,v)
は,C∞-級 の対 応 とな っ て,し た が っ て また (xα,yα)→(u,v)→(xβ,yβ) がC∞-級 の 対応 とな る.こ の こ とか ら(1)が,C∞-級
の関 数 とな る こ とが 結論 され る.
局 所 座 標 の 変 換 則 がC∞-級 の 関 数 で 与 え ら れ て い る とい う意 味 で,SはC∞-級 の 曲 面 で あ る.
Tea
Time
曲面 の形 図51で 示 した よ うに,曲 面 を 少 しず つ 引 き 伸 ば した り曲げ た りして い くと, は じめ の形 か らは予 想 も つ か な い よ うな形 を した 曲面 が 生 まれ て くる.座 標 平 面上 で解 析学― 分 ・積分―
微
を展 開す る
と きに は,座 標平 面 が変 化 して い くこ とな ど考 え る こ ともな か った が,曲 面 上 で は状況 が 変わ って き て,い ろ い ろに変 化 し
図51
得 る 曲面 の形 を どの よ うに 考え るか が問 題 とな る.幾 何学 の一 分 野 で あ る微 分 幾 何 学 で は,曲 面 の形 そ の ものを 問 題 とす るが,曲 面 上 で解 析 学 を 展 開す る と きに は,基 本 的 な立 場 で は,形 に は よ らな い で 図51で 示 したす べ て の 曲 面 に共 通 に成
り立つ よ うな結 果 を 数 学 的 に まず 定式 化 し よ うとす る. 図51の よ うに,曲
面 の形 が どん どん 変 化 して い くのを 見 て い る と,こ の よ う
な 立場 は 容 認 しに くい よ うな気 分 に な るか も しれ な い.し か し,た とえば,平 面 上 で解 析 学 を展 開 す る と き,平 面 が 少 し くらい 曲が って い て も,同 じ形 で 解析 学 が成 り立 つ だ ろ うと私 た ち は思 って い る.そ れ は頭 の 中 で,標 準 的 な座 標 平 面 を 思 い浮 か べ て,曲 が った 平面 も この座 標 平 面へ 移 して考 え て い るか らであ る.曲 面 の場 合 で も,少 し変 え て も同様 な こ とが 成 り立 つ だ ろ うと思 うの は,標 準 的 な あ る形 へ と移 して 考 え て い るか らだ ろ う.少 しず つ,少
しず つ 変 え て も,同 様 の
こ とが成 り立 つだ ろ うと思 ってい る と,結 局,図51の
曲面 すべ て に共 通 に成 り
立 つ よ うな理 論が あ って も よいだ ろ うと思 われ て くる.こ の よ うな観 点 を支 え る もの と して,座 標 変 換 で不 変 で あ る よ うな 性 質が 浮 か び上 が って くる ので あ る.
第26講 曲面上の微分形式 テー マ
◆ 曲面 上 のC∞-級 関 数 ◆ 余 接空 間 ◆ 曲面 上 の1次 の微 分形 式 ◆ 曲面上 の2次 の 微分 形 式 ◆ 外 微分 ◆ ス トー クスの 定理 ◆(Tea
Time)ク
ラ インの壼
曲 面 上 のC∞-級 関数 曲 面S上
の 点Pは,P∈Uα
の と き局所 座 標 に よっ て
と表 わ され る.し た が って 曲面S上
で 定 義 され た 連 続 関数f(P)は
f(P)=f(xα,yα)
(Uα上 で)
(1)
と表わ す ことが で きる.こ の関 係 式 は正 確 に か くと
で あ る.し 各Uα S上
か し,(1)の
上 で(1)の
のC∞-級
よ うに か い て お い た 方 が ず っ とわ か りや す い. 右 辺 が(xα,yα)の
の 関 数 の と き,fを
の 関 数 と い う.
こ の よ うな 定 義 が 可 能 な の は,SがC∞-級 級―
関 数 と し てC∞-級
の 曲 面―
局 所 座 標 の 変 換 則 がC∞-
で あ る と い う事 情 が 効 い て い る.
な ぜ な ら,P∈Uα
∩Uβ の と き,fはUα
る か に よ っ て,2通
りの 表 現
の 座 標 を 用 い るか,Uβ
の座 標 を 用 い
を も つ.こ
の と き,f(xα,yα)はC∞-級
状 況 が 起 き て は 困 る の で あ る.関
な の に,f(xβ,yβ)はC∞-級
数fがC∞-級
で ない とい う
で あ る と い う 性 質 は,fがS上
で と る 値 だ け で 決 ま る性 質 で あ っ て ほ し い の で,座
標 の と り方 に は よ ら な い こ と
が 望 ま れ る!実
の 保 証 を 与 え る の が,曲
際 は こ の よ うな 状 況 は 起 き な い.そ
面が
C∞-級 で あ る と い う性 質 で あ る. この ことを示 す には
と正 確 に表 わ し て おい た 方が よい.こ の とき
と な る が,右
辺 で ψαoψ β−1は局 所 座 標 の 変 換 則 でC∞-級,し
らば,foψβ−1もC∞-級
た が っ て,foψα−1がC∞-級
な
と な る.
余接 空 間 R2上
に 微 分 形 式 を 定 義 す る と き に は,ま ず ベ ク トル 空 間V2に
ル 値 関 数 を1次
の 微 分 形 式,Λ2(V2)に
値 を もつ ベ ク ト
値 を も つ ベ ク トル 値 関 数 を2次
の微 分 形
式 と よ ん だ の で あ った. ベ ク トル 空 間V2で っ て い た.R2の が,別
のuv-座
は,R2の
座 標 の と り方 に し た が っ て 基 底 の と り方 が 決 ま
標 準 的 な 座 標 に 対 し て は,V2は 標 に 対 し て は,基
底{du,dv}を
基 底{dx,dy}を も っ て い た.そ
も ってい た し て これ らの 基
底 の 間 の変 換 則は
(2) で 与 え られ て い た. 曲面S上
に微 分 形 式 を導 入す るた め に,V2に
して,2次
元 の ベ ク トル空 間
代 って,今 度 はSの 各 点Pに
対
T*(S)P が 与 え ら れ て い る と考 え る. T*(S)Pの
ベ ク トル 空 間 の 構 造―
加 法 と ス カ ラ ー 積―
は,点Pで
決 ま る が,
基 底 の と り方 は,Pの
ま わ りの 局 所 座 標 の と り方 に よ っ て 決 ま る と考 え る.
点Pの
所 座 標{Uα,ψα}を
ま わ り に,局
と り,し
た が っ てPの
まわ りの局 所
図52 座 標 は(xα,yα)で
与 え ら れ る と き,T*(S)Pの
基底 は
(3) で 与 え ら れ る とす る. い ま,同
じ 点PはUβ
に も属 して い る と す る.点Pの
て{Uβ,ψ β}を と る と,そ
れ に し た が っ て,T*(S)Pの
ま わ りの 局 所 座 標 と し 基底は
(4) を と る も の とす る(図52). し た が っ て,Pの
まわ りの 局 所 座 標{Uα,ψα}を
属 す る ベ ク トル は,た
だ1通
りに,基
底{dxα,dyα}に
と っ た と き に は, T*(S)Pに よって
と 表 わ さ れ る の で あ る. P∈Uα ∩Uβ の と き,P∈Uα T*(S)Pに
は2つ
と(4)の
間 の 変 換 則 は,(2)と
わ ち,Uα
と 考 え る か,P∈Uβ
の 基 底(3)と(4)が
と考え る か に し た が っ て,
入 る こ と に な る.こ
の2つ
の 基 底(3)
同 様 の 形 で 与 え て お く こ と が 望 ま し い.す
上 の 局 所 座 標(xα,yα)とUβ
上 の 局 所 座 標(xβ,yβ)の
な
間 の変換 則 を
と表 わ す とき,基 底 変 換 の変 換 則 は
(5)
で 与 え られ る と す る の で あ る. この よ うに し て 定 義 さ れ た,Sの を,点Pに
お け るSの
ま たT*(S)Pに
各 点Pに
付 随 し て い る ベ ク トル 空 間T*(S)P
余 接 空 間 と い う.
属 す るベ ク トル を,点Pに
お け るSの
記 号 が 新 し くな っ た が,T*(S)Pは,点Pに と考え て も よ い の で あ る.Pの
ベ ク トル 空 間V2が
付随 してい る
近 くで の 局 所 座 標 の と り方 が,同 時 にT*(S)Pの
基 底 を 指 定 す る と い う考 え は,V2の だ け 考 え て い る 限 りで は,基
余 接 ベ ク トル と い う.
場 合 と 同 様 で あ り,ま
底 変 換 の 関 係(5)も,V2の
たPの
ま わ りの 状 態
場 合 と 同 じで あ る.
S上 の1次 の 微 分 形 式 Sの 各 点Pに
対 し て,T*(S)Pに
属 す る 余 接 ベ ク トル を 対 応 さ せ る 対 応 ω(P)
が 与 え られ た と す る(図53). P∈Uα
とす る と,Uα
よ っ てT*(S)Pの
上 の 局 所 座 標(xα,yα)に
基 底{dxα,dyα}が
決 ま る か ら,
ω(P)=fα(xα,yα)dxα+gα(xα,yα)dyα(6) と表 わ さ れ る. 【定 義 】 ω を,各Uα た とす る.こ
上 で(6)の
の と き,fα,gα
関 数 と な る と き,ω をS上
よ うに 表 わ し
がUα 上 でC∞-級
の1次
の
の 微 分形 式 とい
図53
う. 第23講
と の 関 連 で 述 べ る と,私
た ち は,S上
の1次
タ ー空 間 へ 引 き 戻 し た 形 で 定 義 した こ とに な っ て い る.
の 微 分 形 式 を,パ
ラ メー
S上 の2次 の 微 分 形 式 同 様 に し て,S上 は,各
点Pに
の2次
の 微 分 形 式 を 考 え る こ と が で き る.2次
対 し て,Λ2T*(S)Pの
の 微 分形 式 と
ベ ク トル を 対 応 さ せ る対 応 ω で あ っ て,各
Uα上 で
と表 わ す と,hα
が,(xα,yα)に
つ い てC∞-級
の 関 数 と な っ て い る よ うな も の で
あ る.
外 S上 のC∞-級 の 関数f(P)が
微
分
与 え られ た と き,各Uα
上 でfの 外微 分
(7) を 考 え る こ とが で き る.第19講 ら,P∈Uα
で 示 し た よ うに,外
微 分 は 座 標 変 換 で不 変 だ か
∩Uβ の と き
が 成 り立 つ. この こ と は,df(P)の
定 義 は, Pの
ま わ りの 局 所 座 標 の と り方 に よ らず
df(P)∈T*(S)P と な っ て い る こ と を 示 す.ま はC∞-級
た(7)の
の 関 数 だ か ら,dfはS上
の1次
右 辺 で,dxα,dyα
微 分 形 式 と な っ て い る.
dfを,fの
外 微 分 と い う.
S上 の1次
の 微 分 形 式 ωが 与 え られ た と き,同
こ とが で き る.す
な わ ち,Uα
の 係数
様 に ω の 外 微 分dω を 定 義 す る
上で
と表わ す と き
と お く.こ Λ2T*(S)Pと
の 式 の 右 辺 が,Pの
まわ りの 局 所 座 標 の と り方 に よ らず に, dω(P)∈
な っ て い る こ と は,外
微 分 の 座 標 変 換 に よ る 不 変 性 か らわ か る.
ス トー ク ス の 定 理
Uα ∩Uβ ≠φ の と き,点P∈Uα
が 成 り立 つ と き,Sは
∩Uβ で つ ね に
向 き づ け られ た 曲面 で あ る と い う.
S上 の 微 分 形 式 の 定 義 は 確 定 し た の だ か ら,第24講 理 は,任
意 の 向 き づ け られ た 曲 面 上 で も成 り立 ち そ うで あ る.実
正 し い の だ が,そ は,ス
で 述べ た ス トー クスの 定
の 証 明 に は こ こ で は立 ち 入 らな い(向
際,こ
の予 想 は
きづ け を 仮 定 し て い るの
トー ク ス の 定 理 の 積 分 に 現 わ れ る 符 号 の 整 合 性 を 保 証 す る た め で あ る).
パ ラ メ ー タ ー の つ い た 曲 面 に 対 し て は成 り立 っ た 第24講
の 結 果 を,あ
る 意 味 で,
つ な ぎ 合 わ し て い く と よ い の で あ る. 特 に,球
面 や ド ー ナ ツ面 の よ うにSの
の と き に は,ス
境 界 が な い と き に は,す
な わ ち ∂S=φ
トー ク ス の 定 理 は 簡 単 に 次 の よ うな 形 に な る.
Sが 境 界 の な い 向 きづ け られ た 曲面 の と き,任 意 の1次 の微 分 形 ωに対 して
が 成 り立 つ.
Tea
Time
ク ラ インの 壺 ク ラ イ ン の 壺 とい う と,何
か ア ラ ビ ア ン ・ナ イ トに で もで て く る よ うな 不 思 議
な 壺 の こ と を 思 っ て し ま う.実 際,こ の 壺 は 不 思 議 な 壺 な の で あ る.し か し, 'ク ラ イ ン'は この 壺 で 一 攫 千 金 の 金 持 ち に な った ア ラ ビア の 商 人 の 名 前 で は な くて,19世
紀 後 半 か ら20世
紀 に か け て 活 躍 した 高 名 な ドイ ツ の 数 学 者 の 名 前 で
(a)
(b) 図54
あ る. 長 方 形ABCDを
図54の(a)の
と な る が,(b)の っ て し ま っ て,ふ
よ うに 矢 印 に 沿 っ て 貼 り合 わ す と ドー ナ ツ 面
よ うに 矢 印 に 沿 っ て 貼 り合 わ そ う と す る と,ど つ うの よ うな 曲 面 に な ら な い の で あ る.こ
い て い く様 子 を 想 像 す る と,こ
の 曲面 の上 を虫 が 歩
の 虫 は 表 を 歩 い て い る つ も りが,歩
つ の 間 に か 裏 側 に まわ っ て し ま う こ と に な る.こ で あ る.ク
た が って また一 定 した 向 きを
曲 面 全 体 に 指 定 で き な い 壺 で あ る.ク
ラ イ ン の 壺 を,R3の
っ て も,必
ず 交 わ っ て し ま うか ら,前
講 と こ の 講 で 述 べ たR3の
い な い.し
か しR4の
中 で は 交 わ らず に(想
の 部 分 集 合 と か き 直 す と,R4の 味 でR4の
中 で 実 現 し よ うと 思
像 し に くい が)ふ
講 の 曲 面 の 定 義 で,R3の
中 の 曲 面 と な っ て い る の で あ る.も
曲面 とは な って つ うの 曲 面 の 形 と
部 分 集 合 とか い た と こ ろ を,R4
曲 面 の 定 義 が 得 ら れ る.ク
微 分 形 式 や 外 微 分 な ど を 考え る こ とが で き る.
き続 け る と い
の 曲 面 を ク ラ イ ン の 壺 と い うの
ラ イ ンの 壺 は 表 と裏 の 区 別 が つ か ず,し
な っ て 実 現 さ れ る.前
うして も交 わ
ち ろ ん,ク
ラ イン の壺 は そ の意 ラ イ ン の 壺 の 上 で も,
第27講 多様体の定義 テーマ
◆ 再 び抽象的設定へ ◆ 位相多様体 ◆ 局所座標 ◆ 局所座標の変換則 ◆C∞-級 の多様体(滑 らかな多様体) ◆ 多様体上のC∞-級関数
は じめ に この30講
も,あ
と4講 を残 す だけ とな った.振
り返 ってみ る と,こ の講 義 の
前 半 は,抽 象 的 なn次 元 ベ ク トル空 間 か ら ス ター トして,テ ン ソル代 数,外 積 代 数 を構 成 す る道 を歩 ん で き た.こ の外 積 代 数 の概 念 は,後 半 に な っ て,グ の公 式,ガ
ウス の定 理,ス
リー ン
トー クス の定 理 な どを微 分形 式 に よ って表 現 す る手 段
を 与 え た.こ の表 現 に よっ て克 ち とった 最 も重 要 な こ とは,こ れ らの公式 や 定 理 が,座 標 変 換 で 不 変 で あ る とい う解 釈 を付 す こ とが で き る よ うに な った ことで あ る. しか し,外 積 代数 の方 は,n次
元 ベ ク トル空 間 の上 に構成 され てい た のに,微
分形 式 の方 は,ま だ2次 元,3次
元 の場 合 しか導 入 して い な い.対 応 して,n次
元 の場 合 に,微 分 形 式 の理 論 を 展 開す る ため に は,い わ ば'n次
元 の 曲面'と い
っ た概 念 が まず必 要 とな る. 'n次 元 の 曲面'は,現 れ て,n次
代数 学 の中 で は,ま
った く抽 象的 な枠 組 の 中 で捉 え ら
元 の多 様 体 として 導 入 され て い る.
これ か らは,前 半 の抽 象 的 な ベ ク トル空 間 の議 論 の進 め 方 に対 応 す る形 で,抽 象 的 な設 定 の中 で,多 様 体 の概 念 と,そ の上 の 微 分形 式 の こ とにつ い て述 べ る こ
とに し よ う.読 者 は,と ころ どころ で,曲 面 概 念 の ときに 見 た と同 じ よ うな 景 色 を,少 し高 度 の上 が った 山道 か ら見下 ろす よ うな 感 じを もた れ るか も しれ な い.
位相多様体 多 様 体 の 概 念 を 導 入 す る と き,R3の る.私
た ち は,背
っ た 考 え 方 で,多
景 と な るR3を
曲 面 は ま ず 点 の 集 ま り―
か,曲
面 だ け を,い
わ ば裸 で と り出す とい
様 体 を 定 義 した い.
曲 面 そ の も の だ け を 見 て,そ
位 相―
曲面 の概 念 と多 少異 な る視点 か ら 出 発す
捨 て て,曲
こか ら 何 か 抽 象 的 な 概 念 を 抽 出 し よ う と す る と,
集合―
で あ っ て,ま
が 入 っ て い る と み る こ と が で き る.す
た この 集合 には 近 さの概 念―
な わ ち 曲 面 上 で は,1点
の 近傍 と
面 上 の 点 列 が 曲 面 上 の あ る 点 に 近 づ くな ど とい う こ と を 考 え る こ と が で き
る. こ の2つ
の性 質―
点 の 集 ま り と近 さ
位 相 空 間 と い う概 念 が あ る.位 念 を 投 入 し な が ら,'近
さ'の
相 空 間 とは,開
集 合,閉
合)し 集 合,近
た もの と し て, 傍 な ど と い う概
性 質 を 付 与 し た 集 合 の こ と で あ る.位
う言 葉 に 慣 れ て お られ な い 読 者 は,以 ユ ー ク リ ッ ド空 間RNの
―を 抽 象 化(総
下 で 位 相 空 間 と い う と き,十
相 空 間 とい 分 高 い 次元 の
中 の 部 分 集 合 の こ と だ と 読 み 直 して 読 ん で い た だ い て も
差 し つ か え な い. ベ ク トル 空 間 の 概 念 が'集 相 空 間'と
合'の
上 に 建 設 さ れ た よ うに,多
様 体 の 概 念 は'位
い う土 台 の 上 に つ くら れ て い く.
も う1つ ハ ウス ドル フ空 間 の こ とだけ述 べ て お こ う.位 相 空 間Xが,ハ で あ る とは,任
意 の異 な る2点p,qに
対 し,pの
V(q)=φ
を み たす もの が存 在 す る こ とであ る.
【定 義 】
ハ ウ ス ドル フ 位 相 空 間Mが,次
近 傍V(p),qの
の 性 質(C)を
ウス ドル フ空 間
近傍V(q)でV(p)∩
も つ 開 集 合Uα の 集 ま り
{Uα}α∈Aに よ っ て
とお おわ れ て い る と き,Mをn次 (C) Uαか らRnの
元位 相 多 様体 とい う:
開集 合 の上 へ の位 相 同型 写 像 ψαが 存 在 す る.
多 様 体 の 点 は,こ
れ か らx,y,…
の よ うに 表 わ す こ とに し よ う.
Uα と ψαを 対 に して,{Uα,ψ
α}を 局 所 座 標 と い い,こ
をMの
に 属 す る 点xは,ψ
局 所 座 標 系 とい う.Uα
れ ら の 全 体{Uα,ψ α}α ∈A
αに よ っ て
(1) と 表 わ さ れ る.(xα1,xα2,…,xαn)をUα 漂 近 傍 とい う.ま
た(1)を
上 のxの
局 所 座 標 と い い,Uα
を 局 所座
簡単に
と表 わ す.
局所座標の変換 Mの
点xがUα
に もUβ に も属 して い る とす る(図55).こ
の と き,x∈Uα
と
考 え る と局 所座 標 は
と な り,x∈Uβ
と な る.こ
と考 え る と局 所 座 標 は
の とき写 像
(2) を局 所 座標 の変 換 則 とい う. 局 所座 標 の変 換 則 は,抽 象 的 な位 相 空 間 か ら抽 象的 な 位 相空 間へ の写 像 で は な くて,Rnの
開集 合 か らRnの
開
集合 へ の写 像
図55
と な っ て い る こ とを 注 意 し よ う.
C∞-級 の 多様 体 局 所 座 標 の 変 換 則(2)は,Uα (xα1,xα2,…,xαn)の
∩Uβ 上 で は,xβ1,xβ2,…,xβnがn個
関 数 と し て 表 わ さ れ る こ と を 示 し て い る:
の 変 数
これ ら の 関 数 が,ψ α(Uα∩Uβ)上 な っ て い る と き,局
で,(xα1,xα2,…,xαn)に
所 座 標 の変 換 則 はC∞-級
【定 義 】 局 所 座 標 の 変 換 則 がC∞-級
関 し てC∞-級
の 関数 と
で あ る と い う.
で あ る よ うな 位 相 多 様 体 を,C∞-級
の多 様 体
ま た は 滑 らか な 多 様 体 と い う. これ か らは,C∞-級
の 多 様 体 の こ と を,単
C∞-級
Mをn次
元 の 多 様 体 と す る.M上
と お く こ と に よ り,Rnの 【定 義 】
の 関数
の 連 続 関 数f(x)に
のC∞-級
こ の 定 義 が,局 換 則 がC∞-級
対 し て,各Uα
上 で
開 集 合 ψα(Uα)上 で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 が 得 ら れ る.
各 α に 対 し て,f(xα1,xα2,…,xαn)が
と き,fをM上
数'を
に 多 様 体 と い う こ と に す る.
ψα(Uα)上 でC∞-級
の 関 数 とな る
関 数 と い う.
所 座 標 系 の と り方 に よ ら な い 整 合 性 を も つ の は,局
だ か らで あ る(こ
の こ と に つ い て は,前
講 の'曲
所座標の変
面 上 のC∞-級
関
参 照).
コ メ ン ト(Ⅰ)
抽 象 的 な 設 定 とい っ て も,や
は り い ろ い ろ な 配 慮 は 必 要 で あ る.曲
考 え て み よ う.与 え られ た 曲 面 に,座 も,紙
標 近 傍 に相 当 す る紙 を 貼 る と 考 え て み て
の貼 り方 に は い ろ い ろ あ っ て,大
る し,小
さ くき れ い に 整 え た 紙 を,重
面 の 場合 を
き な 紙 を 無 雑 作 に 貼 りつ け て い く人 も い な り 目 が な る べ く目 立 た な い よ うに 丹 念 に
貼 る 人 も い る. こ の こ とを 考 え て み る と,多 と し て,1つ で,窮
だ け 決 め て お く と い う こ とは,紙
屈 す ぎ る よ うで あ る.多
と っ て,M=∪Vλ
様 体 の 定 義 で,M上
α}α ∈A
の 貼 り方 ま で 指 定 し て し ま う よ う
様 体 の 定 義 で は,別
と表 わ して も よ い,と
の 局 所 座 標 系 を{Uα,ψ
の 局 所 座 標 系{Vλ,ψ λ}λ ∈Λを
し て お い た 方 が よい.
し か し,曲
面 の と き と違 うの は,Mは
の 局 所 座 標 系{Uα,ψ α}α ∈Aと,{Vλ,ψ ―C∞-級
の構造 ―
の た め,Uα
ま っ た く抽 象 的 な 対 象 な の だ か ら,2つ λ}λ ∈Λ とが,ど
を 与え る か を,は
∩Vλ ≠ φ の と き,x∈Uα
の よ うな と き,Mに
同 じ属 性
っ き り さ せ て お か な くて は な ら な い.そ
∩Vλ に 対 し て
と お き,局 所 座標 の変 換
が 互 い にC∞-級 の と き に,2つ
の 局 所 座 標 系{Uα,ψ α}α ∈Λ と{Vλ,ψ λ}λ ∈Λは 同 値 で
あ る と い う. そ し てC∞-級 も,変 M上
の 多 様 体Mの
構 造 と い う の は,同
値 な 局 所 座 標 の どれ を と っ て
わ らな い よ うな 性 質 と し て 与 え られ て い る と考 え る の で あ る.た の あ る 関 数 がC∞-級
の 関 数 で あ る とい う性 質 は 同 値 な,ど
と え ば,
の局 所座 標 系 を と
っ て も変 わ らな い 性 質 で あ る.
コ メ ン ト(Ⅱ) 多 様 体M上
にC∞-級
存 在 し な くて は,何
の 関 数 を 定 義 し て も,C∞-級
構造―
実 際,多
る基 本 的 な概 念 を 最初 に導 入 し,そ
を 積 み重 ね てい く.し か し,あ
れ は空 し い概 念 とな る こ と もあ る.た (x,y)を 半 径−1の
に'た
く さ ん'
を 考 え て い る の か は っ き り し な くな る だ ろ う.
数学 を 抽 象 的 に構 成す る とき には,あ 概念―
の 関 数 がM上
の上に層 々と
る場 合 に よっ ては 概 念 を導 入 して も,そ
とえ ば 実数 とい う 概 念 の 上 に,x2+y2=−1と
なる
円 とい うとい っ て も,空 し い概 念 に な って しま うだ ろ う.
様 体 に 何 の 条 件 も つ け な け れ ば,た
て 進 ん で い く よ うなC∞-級
関 数(波
と え ばM上
に どこ まで も波 打 っ
の 高 さ を 示 す 関 数!)が
存 在 す る と い う保 証
は 得 られ な い. こ の た め に は,多
様 体 の定 義 で
[可 算 性 の 条 件] Mは
高 々可 算 個 の 局 所 座 標 近 傍U1,U2,…,Un,…
で お お え る.
を つ け 加 え る と よ い. こ の 条 件 を つ け 加 え る と,多 ん 存 在 す る よ う に な る.私
様 体 は 急 に 活 き 活 き と してC∞-級
た ち は,n変
数 の 関 数 と し てRn上
関 数 は た くさ
で 出会 うよ うな
C∞-関 数 に 対 す る イ メ ー ジ を,M上 これ か ら考 え る 多 様 体 は,い
で も も っ て も よ い よ うに な る.
つ も この 可 算 性 の 条 件 を み た し て い る とす る.
Tea
Time
多様体の例 多 様 体 と な る よ うな 数 学 的 な 対 象 は 実 に た く さ ん あ る.R3の ろ ん 多 様 体 だ が,n次 様 体 で あ る.ま
たRnの
原 点 を 通 るr次
元(1≦r
を もつ ベ ク トル 空 間Vが 体 を つ く る.行
中 の曲 面は もち
元 の球 面{(x1,x2,…,xn+1)│x12+x22+…+xn+12=1}も
多
原 点 を 通 る 直 線 全 体 の 集 合 に も 多 様 体 の 構 造 が 入 る し, 平 面 全 体 の 集 合 に も 多 様 体 の 構 造 が 入 る.計
与 え られ た と き,Vの
列 を 知 っ て い る 読 者 に は,直
量
正 規 直 交基 底 全 体 の集 合 も 多様 交 行 列 の 全 体 も,ユ
ニ タ リ行 列 の 全
体 も 多 様 体 の 構 造 を もつ こ と を 述 べ て お こ う.
質 問 僕 は ま だ 抽 象 的 な 概 念 に慣 れ て い な い もの で す か ら,こ も,抽
こで の多様 体 の 話
象 的 な ベ ク トル 空 間 の 話 を 思 い 出 し な が ら 聞 い て い ま し た.そ
の で す が,抽
象 的 な ベ ク トル空 間 とい っ て も,基
トル 空 間Rnと ょ うか.つ
し て 実 現 さ れ ま した.同
ま り,抽
底 を1つ
と る と,具
こで思 った 象的 な ベ ク
じ よ うな こ と は 多 様 体 で も起 き る の で し
象 的 な 多 様 体 も,何
か あ る 具 体 的 な もの に よ っ て 実 現 さ れ る
と い う よ う な こ と が あ る の で し ょ うか. 答 ま った く一 般 的 な 多 様 体 で は,抽
象 性 と 具 象 性 を 結 ぶ 道 は な い よ うで あ る.
し か し,可
元 の 多 様 体 は,必
算 性 の 条 件 を お く と,n次
リ ッ ド空 間RNの る.'n次
中 に あ る,n次
元 の 曲 面'と
元 の 曲 面 と し て,実
ず あ る高 い 次元 の ユ ー ク
現 され る こ とが知 られ てい
い うい い 方 は は っ き り し な い が,要
す る にRNの
中 で,
局 所的 には
の よ うな 形 で 表 わ さ れ る集 合 の こ と で あ る((x1,…,xn)-平
面 か ら測 っ て,高
さ
がfn+1,…,fNで Mか
ら,RNの
与 え られ て い る!).こ 中 の あ る'n次
写 像 もC∞-級)が,必
上 へ の,C∞-級
の1対1写
ク トル 空 間 の と き と同 じ よ うに,多
元 曲 面'に
す ぎ な い な ら ば,抽
様 体 と い っ て も,RNの
象 的 な 多 様 体 の 概 念 を,わ
す こ と は な か っ た の で は な い か と い う疑 問 が で る か も しれ な い.し で み た よ うに,多
様 体 に は 実 に い ろ い ろ な も の が あ り,そ
ざ ま な 相 を 示 し て い る.そ は,そ
様体 像(逆
ず 存 在 す る の で あ る.
そ うす る と,ベ の'n次
の 詳 しい 内 容 は 述 べ られ な い が,多
元 の 曲 面'Mの
れ ら を わ ざ わ ざ'n次
中
ざわ ざ も ち 出 か し,す
ぐ上
れ らは 数 学 の 中 で さ ま
元 の 曲 面'と
して実現 す る よ り
の も つ 性 質 を そ の ま ま 抽 象 した 多 様 体 の 観 点 か ら調 べ る方 が は るか に 見 通
し が よ い の で あ る.
第28講 余接空間と微分形式 テ ー マ
◆ 余接 空 間 ◆1次
の微 分 形 式
◆k次
の 微 分形 式
◆k次
の微 分 形式 の つ くる空 間 Ωk(M)
◆ 外 微 分: ◆ 余接 バ ン ドル の考 え
余接 空 間 Mをn次
元 の多 様 体 とす る.Mの
各点xに 対 して,xに
おける余接空間 とよ
ば れ るn次 元 ベ ク トル空 間
T*(M)x を 付 随 さ せ る. T*(M)xの x∈Uα
基 底 の と り方 は,xを
の と き,T*(M)xの
含 む 局 所 座 標 の と り方 に よ っ て 決 ま る.
基 底 と して は
(1) を と る.xが
同 時 にUβ に も 属 し て い る と き に は,x∈Uβ
と考 え る と,T*(M)x
の 基 底 と して は
(2) を と る. こ の 考 え 方 は,次
の よ うに 考 え て み る とわ か りや す い.局
開 集 合Uα か ら,Rnの こ のUα か らRnへ 方―
開 集 合 へ の1対1写
像 ψαに よ っ て 与 え ら れ た も の で あ る.
の 写 像 に 伴 っ て,T*(M)xを
基 底 の と り方 ―
所 座 標 と は,Mの
が 決 ま っ て く る.い
ベ ク トル 空 間Rnに わ ば,Uα
をRnの
写像する仕
開 集 合へ 投影 す
る と き,そ
れ に 寄 り添 う よ うにT*(M)xが(ベ
ク トル 空 間 と して)Rnの
上 へ,
と 投 影 さ れ て く る の で あ る. (1)と(2)で
与 え られ る,T*(M)xの2つ
(xα1,…,xαn)か 義 す る.実
ら(xβ1,…,xβn)へ
際,(1)と(2)の
の 基 底 の 間 の 変 換 則 も,や
は り
の 局 所座 標 の変 換 則 に 同伴 してい る よ うに定
変 換 則 は,
(3) (i=1,2,…,n)
とす るの で あ る.す なわ ち,見 か け上 は関 数 (i=1,2,…,n)
を,全
微 分 し た 式 を,そ
の ま ま 借 用 し て,基
底 変 換 の変 換 則 を 与 え る式 とす るの
で あ る. も っ と も 読 者 は,こ
の 式 は,V2,V3の
基 底 変 換 則 で す で に 見 慣 れ た も の だ と感
じ られ る だ ろ う. この よ うに 定 義 さ れ た ベ ク トル 空 間T*(M)xを,xに と い う.ま x∈Uα
た,T*(M)xの
元(ベ
の と き,T*(M)xの
お け るMの
ク トル!)をxに
元 は,た
だ1通
余接 空 間
お け る 余 接 ベ ク トル と い う.
りに
と表 わ さ れ る.
1次 の 微 分 形 式 Mの
各 点xに
対 し て,T*(M)xの
元 を 対 応 さ せ る対 応 ω(x)が
あ っ て,各Uα
上 で
と表 わ し た と き,ξ1α(x),ξ2α(x),…,ξnα(x)がUα ω(x)をM上
の1次
の 微 分 形 式 と い う.
上 でC∞-級
の 関 数 と な る と き,
k次 の微 分 形 式 一 般 に,1≦k≦nを う.Mの
各 点xに
み た す 整 数kに
対 し て,M上
対 し て,∧kT*(M)xの
各Uα 上 で,∧kT*(M)xの
のk次
の微分 形 式 を定 義 し よ
元 を 対 応 させ る 対 応 ω(x)が
あ っ て,
基底
を 用 い て,
(4) と表わ した とき,右 辺 に現 わ れ る
が,Uα
上 でC∞-級
k=1の
の 関 数 と な る と き,ω
と き は,す
ぐ上 に 定 義 し た1次
をM上
のk次
の 微 分形 式 と い う.
の 微 分 形 式 の 定 義 と 一 致 し て い る.
微 分 形 式 の つ くる空 間 M上
のk次
関 数 は0次
の 微 分 形 式 全 体 の つ くる 空 間 を Ωk(M)で
の 微 分 形 式 と考 え,こ
Ωk(M)(k=0,1,2,…,n)で Ωk(M)は
たC∞-級
表 わ す.
あ り,し
際,ω,η
∈ Ωk(M)な
ら ば,各
点xで
ω(x),
た が っ て 任 意 の 実 数 α,βに 対 し て
た が って
と 定 義 す る と,α ω+β η∈Ωk(M)と
な る こ と が わ か る.
実際は
こ れ は,(4)式
の
は 加 法 と ス カ ラ ー 積 の 演 算 が で き る と い う意 味 で,
ベ ク トル 空 間 とな る.実
η(x)∈ ∧kT*(M)xで
と な る.し
の 全 体 を Ω0(M)と
表 わ す.ま
の 両 辺 にf(x)を
か け て も,右
ξαi1…ik(x)がf(x)ξ αi1…ik(x)に変 わ る ―
辺 は 同様 の形 とな っ てい る―
こ と さ え 確 か め れ ば よい.
外 f∈ Ω0(M)に
対 し,x∈Uα
微
分
の と きT*(M)xの
元
(5) を 対 応 させ る こ と を 考 え る.し 対 し てT*(M)xの
た が っ てx∈Uβ
の と き に は,こ
の 規 約 で は,fに
元
(6) を 対 応 さ せ る こ と に な る. x∈Uα ∩Uβ の と き,基
底 の 変 換 則(3)か
の 元 を 表 わ し て い る こ とが 確 か め られ る.し に よ ら な い こ とが わ か って,各Uα
と お く と,dfはM上 す な わ ち,対
の1次
ら,(5)と(6)は
同 じT*(M)x
た が っ て(5)は
局 所 座 標 の と り方
上で
の 微 分 形 式 と な る.
応
が 得 られ た. dfをfの 一 般 にk次
外微 分 とい う の微 分 形 式 ω に 対 し て,そ の 外 微 分dω を,Uα
上 で の ω の 表 現(4)
を用いて
と定 義 す る.こ の定義 が 意 味 を もつ た め に は,右 辺 が局 所 座標 の と り方 に よ らな い表 現 で あ る ことを 確 かめ な くて はな らな い が,こ 議 論(177頁 外微 分dは
の ことは,第19講
で用 い た
も参 照)と 同 じ よ うに して 示せ る ので,こ こ では省 略す る.
へ の 写 像 と 考 え ら れ る(た て 第21講
で 述 べ た'外
だ し Ωn+1(M)={0}と
お く).R3の
微分 形 式 につ い
微 分 の 性 質'(a),(b),(c),(d)は,Mの
対 す る 外 微 分 に 対 し て も 同 様 に 成 り立 つ 性 質 で あ る.特
微分 形 式 に にdは
線形 写 像 で あ って
が 成 り立 つ.
余 接 バ ン ドル の考 え 多 様 体Mの
各 点xに は,余
接 空 聞T*(M)xが
付 随 し てい る.こ れ らをす べ
て 集 め た集 合
を 考 え,こ
れ をT*(M)と
お く.Mの
各 点xに
あ るT*(M)xを,点xの
上に
立 っ て い る ベ ク トル 空 間 で あ る と い う よ うに 想 像 を 働 か し て み る と,T*(M)は, これ を す べ て 束 ね て1つ
に し た 空 間 で あ る と い う イ メ ー ジ が 湧 く.
こ の 束 ね た 集 合T*(M)に,こ
れ か ら 構 造 を い れ る の だ が,そ
られ た 空 間 を 余 接 バ ン ドル と い うの は,バ of straw,わ
ら の 束)と
ン ドル(日
の よ うに して 得
本 語 の 訳 は 束.例:bundle
い う言 葉 の 中 に や は り束 ね る と い う語 感 が 入 っ て い る か
ら で あ る. 局 所 座 標 近 傍Uα
を1つ
と る.x∈Uα
の と き のT*(M)xを
す べ て束 ね て得 ら
れ る集合
を 考 え て み よ う.局
所 座 標(xα1,…,xαn)がUα
に 応 じ て,各T*(M)x(x∈Uα)は い ま ξ∈T*(M)x(x∈Uα)を1つ
と 表 わ し た と き,ξ
こ の 対 応 は,1対1写
上 で 指 定 さ れ て い るか ら,そ
基 底{dxα1,…,dxαn}を とっ て
に 対 し て,(x;ξ1α,ξ2α,…,ξnα)を
像
も っ て い る.
対 応 さ せ る:
れ
(7) を 導 く.そ
し て こ の 対 応 で ベ ク トル 空 間T*(M)x(x∈Uα)は{x}×Rnへ
っ て い る({x}×RnはRnと (7)の
と移
同 じ で あ る と考 え て よ い).
対 応 を簡 単 に
と記 す こ と に し よ う.こ の こ と は,各 整 然 と 並 べ た 形 で,束
座 標 近 傍Uα 上 で は,T*(M)xは,Rnを
ね られ る こ と を 意 味 し て い る.
い まUα ∩Uβ ≠ φ とす る.こ
の と きUα 上 の 束 ね 方
(8) と,Uβ
上 の束 ね 方
(9) は,Uα
∩Uβ 上 で 見 た と き に,一
致 し て い る とは 限 ら な い.
こ の 束 ね 方 の 違 い は どの よ うに な っ て い る だ ろ うか.い と る.ξ ∈T*(M)xに
まx∈Uα
∩Uβ を1つ
対 し,(8)は (8)′
と み て 束 ね た も の で あ り,(9)は (9)′ と み て 束 ね た も の で あ る.(ξ1α,ξ2α,…,ξnα)と,(ξ1β,ξ2β,…,ξnβ)と 反 変的 な関 係
(10) (i=1,2,…,n)で
結 ばれ て い
る. (8)と(9),し
たが って
ま た(8)′
は,x∈
と(9)′
Uα∩Uβ の と き,(10)の
関係
が 成 り立 つ と き に は,同
じも
の と 考 え て1つ
に して し ま
う. この よ うに し て,各Uα
上
図56
は(3)と
で,余 (10)の
接 空 間 を 束 ね て で き たT*(Uα)を
今 度 は,局
所 座 標 近 傍 の 重 な り で は,
関 係 が 成 り立 つ も の を 同 じ も の と 思 って 同 一 視 す る(図56).こ
で,各T*(Uα)は,M上
全 体 で1つ
に 束 ね ら れ る.こ
の操作
の よ う に し て 束 ね られ て
得 られ た 空 間 が
T*(M) に ほ か な ら な い.T*(M)をMの
余 接 バ ン ドル と い う の で あ る.
Tea
Time
質 問 多様 体 上 に微 分 形 式 を定 義 す る方 法 はわ か りま したが,僕 は まだ 数学 の形 式 で整 え られ た 高 い建 物 の 外 に立 って い る よ うな気 が してい ます.こ の建 物 の 中 に は 何が あ るの で し ょ うか.微 分形 式 とい うのは,本 当 に役 立 つ の で し ょ うか. 答 微分 形 式 は現 代 数 学 の 中 で,最 も基 本 的 な概 念 の1つ とい って よ く,実 に有 効 に用い られ て い る.そ れ よ りも まず,前 講 のTea 様 体 は,単 純 な 曲面 概 念 で は律 し きれ な い よ うな,多 を 思 い 出 して お こ う.た
とえ ばRnの
Timeで
も述べ た よ うに,多
くの対 象 を含 んで い た こと
原 点 を通 るr次 元(1≦r
平 面全 体
の 集 ま りも多様 体 の構 造 を も っ てい る.こ の よ うな と ころ に も微 分 形 式 が 定 義 さ れ,外 微 分 を通 して 解析 学 を 展 開す る道 が 開け て きた ことを 注意 す べ きだ ろ う. 一般 の 多様 体 上 で も,ス
トー クス の定 理 を定 式 化 で き る.ス
トー クス の 定理 の
中 か ら,解 析 学 と幾 何学 との深 い接 点 を 読み とって 創 ら れ た ド ・ラー ムの理 論 は,現 代 数学 の 中で 基 本 的 な役 目を演 じて い るが,こ れ も,全 体 と して微 分形 式 の 中 でつ くられ てい る.ま た,曲 面 の微 分幾 何 で よ く知 られ て い る ガ ウ ス 曲率 も,高 次 元 へ拡 張 し よ うとす る と,微 分 形式 の考 え が導 入 され て くるの で あ る.
第29講 接
空
間
テ ー マ
◆ 接 空 間 の 定義:余 接 空 間 の双対 空 間 ◆ 接 ベ ク トル ◆ 接 空 間 に お け る基 底 の変 換 則 ◆ 接 ベ ク トル の成 分 の変 換 則 ◆ 曲 線 の 定義 す る接 ベ ク トル ◆ ベ ク トル場
余接空間と接空間 微 分 形 式 の 話 を 中 心 と し て き た の で,余 な っ た が,'余
接'と
が 別 に あ る.接 gent
spaceと
接 空 間 が舞 台 の前 面 に登 場 す る こ とに
い う 妙 な 言 葉 が 示 し て い る よ うに,実
空 間 は,英
語 でtangent
い う.接 空 間 は,接
spaceと
は 接 空 間 と い う概 念
い い,余 接 空 間 は 英 語 でcotan
線 方 向 の ベ ク トル の つ く る空 間 に 注 目 し て 得
られ た 概 念 で あ る. 接 空 間 の 方 か ら見 る と,余 トル 空 間 ―
双対 空 間 ―
私 た ち は,ベ
接 空 間 は,接
空 間上 の線 形 関 数 の全 体 のつ くるベ ク
と し て 捉 え る こ と が で き る.
ク トル 空 間 の 双 対 性 に 注 目 し て,逆
に,接
空 間 は余 接 空 間 の双 対
空 間 で あ る と い う定 義 か ら 出 発 す る こ とに し よ う.
接空間の定義 n次 元 の 多 様 体Mを 【定 義 】T*(M)xの
考 え る.Mの
点xに
双 対 空 間 をT(M)xと お け るMの
お け る 余 接 空 間 をT*(M)xと 表 わ し て,xに
い う.T(M)xの
元 を,xに
T(M)xはn次
元 の ベ ク トル 空 間 で あ る.x∈Uα
お け るMの
す る. 接空間 と
接 ベ ク トル と い う. の と きT*(M)xは
基 底
を も つ.T(M)xに
おけ る この双 対 基 底 を
に よ っ て 表 わ す.し
た が っ てx∈Uα
の と き,T(M)xの
元 は,た
だ1通
りに
と 表 わ さ れ る. T(M)xと,T*(M)xと
は 互 い に 双 対 空 間 の 関 係 に あ る の だ か ら,xに
おけ る
接 ベ ク トル
と,xに
お け る 余 接 ベ ク トル
の 間 に は,互 い に他 の 線形 関 数 に な って い る とい う関係 が あ り,そ れ は
と表 わ さ れ る(右
辺 は ア イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約(第13講)を
用 い れ ば μiξiとか
い て も よ い).
接空間における基底の変換則 T*(M)xに
お い て,x∈Uα
∩Uβ の と き,2つ
の基 底
(1) の間 に は,変 換 則 (i=1,2,…,n)
が 成 り立 つ.右 辺 に現 われ る変 換 は ヤ コ ビ行 列
に よ っ て 引 き起 こ され て い る こ と を 注 意 し よ う.す 列 はJ(xβ/xα)で
なわ ち(1)の
基 底変 換 の行
あ る.
ヤ コビ行 列 には
単位行列 とい う関 係が あ るか ら
で あ る.こ
の こ とか ら,第14講'双
対 応 す るT(M)xの2つ
対 基 底 の 基 底 変 換'を
参 照 す る と,(1)に
の基 底
(2) の 間 に,変
換則
(i=1,2,…,n)
(3)
が 成 り立 つ こ と が わ か る.
接 ベ ク トルの 成 分 の 変 換 則 Mの (2)を
点xが,x∈Uα 用 い て2通
こ の2つ
∩Uβ と な っ て い る と き,xに りに 表 わ され る.
の 成 分{μ1,…,μn},{v1,…,vn}の
的 で あ っ て(第14講
お け る 接 ベ ク トル μ は,
変 換 則 は,(3)の
参 照), (i=1,2,…,n)
(4)
で 与 え られ て い る.
曲 線 の 定 義 す る接 ベ ク トル い ま,数
直 線 上 の 区 間[−1,1]か
らMの
中へ の連 続 写像
変 換則 とは反 変
図57 が 与 え られ た と し,x(0)=x0と い と き に は,x(t)は
お く(図57),x0∈Uα
とす る と,tが0に
十 分近
や は りUα に 属 し て お り,し た が っ て 局 所 座 標 系 を 用 い て
と 表 わ す こ と が で き る.こ
の 右 辺 に 現 わ れ るtの
分 可 能 な 関 数 の と き,x(t)を(t=0の
関 数xαi(t)(i=1,2,…,n)が
近 くで)微
分 可 能 な 曲 線 とい う.以
微 下で
は 微 分 可 能 な 曲 線 だ け を 考 え る こ と に し よ う. こ の と き,t=0に
お け るx(t)の
接 ベ ク トル を
(5) と 定 義 し よ う と 考 え る の は,自
然 な こ と で あ る.し
と り方 に よ っ て い る.実
しx(0)がUβ
標 を 用 い て,同 き る.そ
際,も
じ 考 え でt=0に
うす る と(5)に
お け るx(t)の
か し こ の 定 義 は,局
に も 属 し て い れ ば,Uβ
所 座標 の
上 の 局所 座
接 ベ ク トル を 求 め て み る こ と が で
代 って
(6) が 得 られ るだ ろ う. (5)と(6)は
ま った く違 う成 分を もつ ベ ク トル で あ る.し
か し 関 係 が ない
わ け で は ない.そ れ をみ るた め には,座 標 変 換 の式 を用 い て
(i=1,2,…,n)と
で あ る.こ
表 わ し,tに
の 式 は,(5)か
つ い て 微 分 し て み る と よ い.結
ら(6)へ
移 る 変 換 則 が,接
果は
ベ ク トル の 成 分 の 変 換
則(4)と
ま っ た く同 じ 形 に な っ て い る.
こ の こ と は,(5)も(6)もT(M)x0に
お け る1つ
の 接 ベ ク トル
の 成 分 を 表 わ し て い る と 考え る こ とが で き る. 【定 義 】T(M)x0に
を,曲
お け る 接 ベ ク トル
線x(t)のt=0に
お け る 接 ベ ク トル と い う.
こ の 接 ベ ク トルdx/dt(0)は,抽 的 な ベ ク トル で あ る.読
象 的 な ベ ク トル 空 間T(M)x0の
者 の 中 に は,図57を
見 て,曲
中 にあ る 抽象
線x(t)の
接 ベ ク トル は,
ち ゃ ん と 図 示 で き て い る の に と 思 わ れ る 方 が い る か も し れ な い.し な 図 に よ っ て 示 され て い る も の は,1つ Rnへ
写 し 出 し た 像 で あ る.別
っ た ろ う.こ
か し この よ う
の 局 所 座 標 を と っ て,Mの
あ る部 分 を
の 局 所 座 標 を と っ て 図 示 す れ ば,全
然別 の 図 とな
の よ う な 図 示 の 仕 方 に よ らな い'接
る と私 た ち は 考 え た い の で あ る が,こ
ベ ク トル'と
い う概 念 は 存 在 す
の 概 念 を い わ ば 定 着 さ せ る の は,T(M)x
と い う抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 の 中 に お い て で あ っ た の で あ る.
ベ ク トル 場 Mの
各 点xに
ら れ た と し て,そ
対 し て,xに れ をX(x)と
お け る1つ お く.し
の 接 ベ ク トル を 対 応 さ せ る 対 応 が 与 え たが って
X(x)∈T(M)x で あ る.
Uα 上 で のT(M)xの
X(x)は,
と表 わ さ れ る. 【定 義 】
各Uα 上 で
基 底
を 用 い る と,x∈Uα
の と き
がC∞-級 の 関 数 の と き,XをM上 ベ ク トル 場Xが え て み よ う.Uα る と,こ
与 え られ た と し,Mの を,局
局 所 座 標 近 傍Uα
上 で,Xの
所 座 標 を 用 い た 写 像 に よ っ て,Rnの
の 開 集 合 上 で は ベ ク トル 場Xは,各
と い うベ ク トル で 表 わ さ れ る.長 え られ た 砂 鉄 と 考 え る と,Xが き が,滑
の ベ ク トル 場 とい う. 模様を考
開 集 合 上 へ移 してみ
点xで
短 は あ る と し て も,こ
れ を 各 点x(∈Uα)に
ベ ク トル 場 とな る 条 件 は,こ
与
の砂 鉄 の 長 さ と 向
らか に 変 わ っ て い く こ と を 示 し て い る.
そ うす る と,ベ
ク トル 場Xが
が 当 然 湧 い て く る.こ
与 え られ た と き,'磁
力 線'を
求 め る と い う考 え
れ は ベ ク トル 場 の 積 分 曲 線 を 求 め る と い う問 題 で あ っ て,
局 所 座 標 を 用 い な い 抽 象 的 な 表 現 で は,'微
を 解 く問 題 と な る の で あ る が,こ
分 方 程 式'
れ に つ い て 述 べ る こ とは,こ
こでは 省 略 す る こ
とに し よ う.
Tea
Time
ベ ク トル場 は 微分 作 用 素 に も な ってい る M上
に ベ ク トル 場Xが
と表 わ し て お く.い か っ た が,い
与 え ら れ て い る と し よ う.XをUα
ま ま で は,記 号
ま仮 に,こ
は,ま
上 で
っ た く記 号 と し て の 意 味 し か な
れ を 偏 微 分 の 記 号 と思 っ て,M上
のC∞-級
関 数 に対 し
て (Uα 上 で) を 考 え て み る.こ が,こ き
こ でfは(xα1,…,xαn)の
(*)
関 数 と 思 っ て い る の で あ る.と
の 値 は 局 所 座 標 の と り方 に よ ら な い の で あ る.す
な わ ちx∈Uα
ころ
∩Uβ の と
が 成 り立 つ(こ
の こ と は 読 者 が 確 か め て み られ る と よい).
し た が っ て,各Uα
上 で(*)を,Xfと
お く と,Xfは,M上
のC∞-級
関数
と な っ て い る. こ の 意 味 で,ベ T(M)xの
ク トル 場 は,1階
基 底 と し て の 記 号
し て く る の で あ る.
の 微 分 作 用 素 と 考 え て よ く,そ と,微
分 作 用 素 と し て の 記 号
こ で は, が 整合
第30講 リ ー マ ン 計 量
テーマ
◆ 接 空間 へ の内 積 の導 入 の 問 題 点 ◆ 内 積 に つ いて の復 習 ◆
リーマ ン計 量
◆ 曲線 の 長 さ ◆
リーマ ン計 量 の 存在
◆
リーマ ン計 量 の表 わ し方gij dxidxj
◆ テ ン ソル計 算
接 空 間 へ の 内 積 の導 入 Mの
各 点xに
空 間 で あ る.こ T(M)xに
のn次
付 随 し て い る.T(M)xはn次
元 の ベ ク トル
元 の ベ ク トル 空 間 に 内 積 を 入 れ る こ とを 考 え た い.
内 積 を 入 れ る とい っ て も,xが
内 積 が,ま る.た
は 接 空 間T(M)xが
変 わ るた び にT(M)xに
っ た くア ト ・ラ ン ダ ム に 変 わ る よ うな も の で は,や
とえ ば,あ
ク トル を,xの
る 点xでT(M)xの ご く近 くの 点yま
く不 連 続 な 変 わ り方 を し て,yに
内 積 で 測 っ た と こ ろ,長
は り困 るの で あ さ1で
で 連 続 的 に 動 か した と こ ろ,長 つ い た と き,T(M)yの
導 入 され た
あ った接 ベ
さ の方 は まっ た
内 積 で 測 った ら,長
が 突 然10000に
な っ て し ま っ た な ど とい う こ と が あ って は 困 る の で あ る.
も っ と も,こ
の 説 明 で,接
ベ ク トル を 動 か す な ど と い うい い 方 は は っ き り し な
い と 指 摘 さ れ る 読 者 もお ら れ る か も し れ な い.そ て,も
さ
の た め に は,次
の よ うに い っ
っ と論 点 を 明 ら か に して お い た 方 が よ い だ ろ う.
い ま,区
間[−1,1]か
前 講 で 述 べ た よ うに,各tに
らMへ
の 微 分 可 能 な 曲 線x(t)が
対 して
与 え られ た と す る.
で あ る(も
っ と も前 講 で はt=0の
場 合 し か 述 べ な か っ た).も
内 積 が 与 え られ て い れ ば,こ
の内
を 考 え る こ と が で き る が,こ
れ が 少 な く と も連 続 的 に 変 化 す る よ う に な っ て い な
くて は,数
の長 さ
学 的 に も 直 観 的 に も 不 自 然 な こ と に な っ て し ま う.
私 た ち の 望 む の は,あ に)変
に よ っ て
し 各T(M)x(t)に
る 意 味 で,xの
化 して い く よ うに,T(M)xに
変 化 に つ れ て 連 続 的 に(で 内 積 を 導 入 し た い,と
き れ ばC∞-級
い う こ とで あ る.
内 積 につ い て の 復 習 内 積 に つ い て は,第11講,第12講 が え ば,ベ
ク トル 空 間 に1つ
で 詳 し く述 べ て き た.そ
内 積 を 与 え る こ と は,正
こで の議 論 に した
規 直 交 系 を1つ
指定す るこ
で 述 べ た よ う な 観 点 に 立 つ 方 が よ い.そ
れ に した が
と で あ る と い って も よい. しか し こ こ で は,第13講 え ば,ベ
ク トル 空 間Vに,い
ま1つ
内 積(,)が
き あ らか じ め 存 在 し て い た 基 底{e1,e2,…,en}に
与 え られ た と す る.こ
のと
対 して
(i,j=1,2,…,n)
と お く と,gij=gjiで,任
意 の 実 数x1,x2,…,xnに
(等 号 はx1=…=xn=0の
対 し
と き に 限 る)
が 成 り立 つ. 逆 に 上 の 条 件 を み た す{gij}(i,j=1,2,…,n)が =gijを
与 え られ れ ば,Vに,(ei,ej)
み た す 内 積 が 導 入 さ れ る.
リー マ ン 計 量 い ま,Mの
各 点xに
対 し,接
空 間T(M)xに,内
る とす る. 局 所 座 標 近 傍Uα 上 でT(M)xの
基底
積(,)xが
与 え られ て い
を 考 え,各
点x∈Uα
に対 して
(1)
とお く. 【定 義 】
各 点xに
み た す と き,Mに (R)各Uα Mに
対 しT(M)xに
与 え ら れ た 内 積(,)xが,次
の 条 件(R)を
リー マ ン計 量 が 与 え られ た と い う: 上 で,gijα(x)はC∞-級
の 関 数 で あ る.
リー マ ン 計 量 が 与 え られ た と き,T(M)x(x∈Uα)の2つ
の 接 ベ ク トル
の 内積 は
と表 わ さ れ る.(μ,v)xは,xの い る.ま
関 数 と考 え る と,Uα
上 でC∞-級
の 関 数 と な って
た μ の 長 さ ‖μ‖xは
(2)
で 与 え られ る.
曲線の長 さ
Mに
リ ー マ ン計 量 が 与 え られ て い る とす る.M上
(−1≦t≦1)を (2)か
考 え よ う.x(t)∈Uα
とす る と,x(t)の
の 微 分 可 能 な 曲 線x=x(t) 接 ベ ク トル の 長 さ は,
ら
と な り,右 辺 はtに
つ い て の 連 続 関 数 と な る.し
た が って積 分
を 考 え る こ と が で き る.こ 読 者 は,各
の 値 を0か
ら1ま
で の 曲 線x(t)の
長 さ と い う.
接 空 間 上 に 内 積 を 通 し て 与 え られ た ベ ク トル の 長 さ の 概 念 が,積
の 概 念 を 用 い る こ と に よ っ て,M全
分
体 へ と広 が っ て い く こ とに 注 目 して ほ し い.
リー マ ン 計 量 の 存 在 で は,任 意 の 多様 体M上
に リー マ ン計量 は 存 在 す る のだ ろ うか とい うこ とが
問 題 とな る.こ れ に つ い ては 次 の定 理 が成 り立 つ.
【定 理 】 多様 体Mに
は,必 ず リー マ ン計量 が 存 在 す る.
これ につ い て の証 明 は こ こで は与 えな いが,考 え 方 は次 の よ うで あ る.各 局 所 座 標 近傍 で は,T(M)xの
が と れ るか ら,こ T(M)xに
の 基 底 を 通 し てRnと
条 件(R)を
をM=∪Uα
基 底 と して
同 一 視 し て お け ば,x∈Uα
み た す 内 積 が 入 る こ とは 明 らか な の で あ る.問
と局 所 座 標 近 傍 で お お っ た と き,各Uα
る か に か か っ て い る.こ
の 貼 り合 わ せ の 操 作 に,1の
に 存 在 し て い る こ と が,本
題 は,M
上 で こ の よ うに 独 立 で 与 え
ら れ た リ ー マ ン 計 量 を,い か に 上 手 に 貼 り合 わ せ て,M上
の 集 ま りが,M上
で あ る 限 り,
の リーマ ン計 量を つ く
分 解 と よ ば れ るC∞-級 関 数
質 的 に 用 い られ て くる の で あ る.
Mが 局 所座 標 近 傍 の 有 限 個 に よ って
とお お わ れ て い る と き,1の M上
分 解 とは どの よ うな も のか だ け説 明 して お こ う.
のC∞-級 の 関 数 の集 ま り{f1,f2,…,fs}で
次 の 性 質 を みた す もの を,1の
分解 とい
うの であ る. (a) (b)
fi(x)≧0
(i=1,2,…,s)
な ら ばfi(x)=0
(i=1,2,…,s)
(c) 1の 分 解 は 必 ず 存在 す る こ とが証 明 され る.一 般 には,'局 所 有 限 な'座 標 近 傍 にお お わ れ て い る と き,こ の座 標 近 傍 に 付随 した1の 分 解 は 必 ず 存在 す るの で あ る.
リ ー マ ン 計 量 の 表 わ し方 一 般 に,ベ あ っ て,し
ク トル 空 間Vの
内 積(x,y)は,xとyに
た が っ て,V×V上
考 え る と,内 積 は,双
つ い て,そ
の 双 線 形 関 数 と 考 え る こ とが で き る.そ
線 形 関 数 の つ く る 空 間
み る こ とが で き る.{e1,e2,…,en}をVの け る こ の 双 対 基 底 とす る.こ
れ ぞれ 線 形 で
の 元 を1つ
の よ うに
与 え てい る と
基 底 と し,{e1,e2,…,en}をV*に
の と き,内
お
積が
で 与 え られ てい る とき,こ の 内積 を表 わす 双 線形 関 数 は
の元 と して
(3) で 表 わ さ れ る.実
際,こ
と な っ て,esとetの こ の こ と を(1)で 接 空 間T(M)xに
の,T*(M)xに
の 双1次
関 数 が(es,et)で
内 積(es,et)に
とる値 をみ てみ る と
一 致 す る.
与 え られ て い る,M上
の リ ー マ ン 計 量 に 適 用 し て み よ う.
お け る基 底
お け る双 対基 底 は
で 与 え られ て い る こ と を 思 い 出 し て お こ う. した が っ て(1)の
表 わ し 方 で,(3)を
か き表 わ し て み る と
とな る. こ こで,記 号 も省略 し,ま た 局 所座 標 近傍 を示 す 添数 αも省略 す る と
と な る.ア
イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 を 用 い れ ば,さ
らに
と か い て も よ い こ とに な る.リ うの こ と に な っ て い る が,こ
ー マ ン計 量 を こ の よ うに 表 わ す こ とは,ご
の 意 味 は,上
くふ つ
に 述 べ た よ う な も の で あ る とい う こ と
は 知 っ て お い た 方 が よ い か も し れ な い.
テ ン ソ ル計 算 ベ ク トル空 間Vに
内積 を 与 え る と,第13講
で 述べ た よ うに,Vと
双対空間
V*の 間 に 標準 的 な 同型 対 応 が存 在 す る. この こ とは,Mに
リー マ ン計 量 が与 え られ ると,各
点xで 接 空 間T(M)xと
余 接 空 間T*(M)xの
間 に 標 準的 な 同型対 応 が 存 在す る こ とを意 味 して い る.し
た が って また,こ れ らの空 間 の テ ン ソル 積 の 間 に も標準 的 な 同型対 応 が 存 在 す る こ とに な る. 第13講 で 述べ た指 標 の上 げ 下 げの よ うな規 約 に よる,こ の 同型 対 応 の表 示 は, 今 度 は,接
空 間 と余接 空 間の 同型 対 応 を 示す 規 約 と して,M全
体へ と広 が って
い く.こ れ は リー マ ン 幾 何 学 で の テ ン ソル 計算 と して知 られ てい る もの であ る が,こ
こでは,こ れ 以上 述べ ない.
本書 の 前 半 で与 えた 線 形 空 間の 理 論 が こ の よ うに して,し
だ い しだ い に 多様 体
の 上 へ と広 が って きて,そ こ で解析 学 と幾 何 学 との 接 合 を示 す よ うな 役 目を演 じ て くる よ うにな る.こ れ は ベ ク トル解 析 が 示 した新 しい 展 望 で あ る.読 者が これ まで の話 で,現 代 数学 の こ の方 向へ の強 い 志 向 に,少 しで も 関心 を抱 かれ れ ば よ い が と望 ん でい る.
Tea
Time
質 問 これ まで の30講 で 学 ん だ ベ ク トル解 析 の 内容 に沿 って,も 勉 強 したい と思 った ら,ど ん な本 で学 ぶ のが よい で し ょ うか.
う少 し先 まで
答 この講義 で は,物 理 的 な事 柄 を少 し も述べ なか った.質 問 の趣 旨 とは 少 しず れ るが,も
し,物 理的 な 応用 も知 りたい とい う人 は,本 屋 さんへ 行 って,数 学 書
と物 理 学 書 の並 ん でい る棚 をみ る と,そ の種 の テ ー マを 扱 った本 を,何 冊 か 見つ け る こ とが で き るだ ろ う.こ の場 合 で も,数 学 者 のか い た ベ ク トル 解析 の本 と, 物 理 学 者 のか い た ベ ク トル解 析 の本 は,少 し ニ ュア ンス が違 うよ うで あ る. さて,こ の 本 で 述べ て きた よ うな,純 粋数 学 の方 向を さ らに押 し進 め る と,多 様 体 の 一般 論 が 眼前 に 広が って くる とい うこ とに な る.こ の講義 では,多 様体 の 導 入 を,微 分 形 式 の道 を た ど って行 な ったが,現 代 数学 の 中で,多 様 体は も っ と 広 い 視 野 で捉 え られて い る.こ れ につ い て は,志 賀浩 二 『現 代数 学 へ の招 待 ― 多 様 体 とは何 か 』(岩 波 書店)が
読 みや す い の では な いか と思 う.多 様 体 に 関す
る本 も,最 近 は 数学 書 の棚 に 見 出す こ とが で き る よ うに な った.微 分形 式 の応 用 は 多 方面 に わ た るが,た とえ ば,古 典 的 な 曲面 の微 分幾 何 で も,微 分形 式 は 有効 に 用 い られ るの であ って,そ れ につ い て は小 林 昭 七 『曲線 と 曲面 の 微分 幾 何』(裳 華 房)を 参 照 され る と よい.
索
ア
引
基
行
―
底 13 と内 積 91
E(V)の
ア イン シ ュ タ イン の規 約 95
―71
基 底変 換 99 ― の行 列 100
位相 空 間 204
―
位 相 多 様 体 204
の係 数 100
1次 結 合 10
外積 の―
1次 従 属 11
双対 基 底 の―
1次 独 立 11
テ ン ソル積 の―
1の 分 解 227
局所 座 標 系 193,205
イデ ヤ ル 52,58 62
103
局所 座 標 の 変換 則 193,205 曲
n次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 89
― ―
カ
行
の 向 き 167 ,181
C∞-級 の―
166,194
向 きづ け られ た ―
積 62,107 R3の ベ ク トル の―
面 190 の開 集 合 190
パ ラ メ ー ターを もつ―
数 47
外
102
局所 座標 写 像 193
か ら生 成 され た ―
階
104
クラ インの 壺 201
外 積 代数 62
グ ラス マ ン 67
回
グ ラス マ ン代数 62
転 186
外 微 分 127,160,200,213 ― の 引 き戻 し に よ る不 変 性 177 ―
グ リー ンの公 式 116,132 ―
の不 変性 150
の座 標 変 換 に 関す る不 変 性 142 , 164
勾 配 ベ ク トル 187
ガ ウス の定 理 165 ― の不 変 性 170 可
201
108
外 積 空 間 64
換 48
サ
行
座標 変換
可 算 性 の条 件 207
C∞-級 の
― 136
カレン ト 155
線形な―
133
向 き を保 つ ―
174
149
C∞-級
内積 と―
―
の 関 数 124
双対 原 理 28
93
―
の 関 数(曲 面 上 の) 196
双対 性 26
―
の 関 数(多 様 体上 の) 206
双対 ベ ク トル空 間 18
―
の 曲面 166 ,194
外 向 きの 法 線 167
―
の 座標 変換 136
―
の 多様 体 206
―
の ベ ク トル値 関 数 125
タ 代
数 47
次
元 13
多 元 環 47
次
数 47
多 重 線形 関 数 37
指 標 の上 げ 下 げ 97 シ ュ ワル ツ の不 等式 78
行
多 様 体 206 ― の例 208
商 集合 54
C∞-級 の ―
206
商 代 数 57
滑 らか な ―
206
乗 法(E(Vの))65 磁 力線 3
直 交 す る 80
ス カ ラ ー 10
テ ン ソル 記号 97
ス カ ラ ー積 9
テ ン ソル空 間 38
線形 関数 の―
17
双線 形 関 数 の―
テ ン ソル計 算 229
31
*-(ス タ ー)作 用 素 113
テ ン ソル積 31,32 テ ン ソル代 数 45
ス トー クス の定 理 181 同
型 14
正規 直 交 基 底 84
同型 写像 14
成 分 の変 換 101
同値(局 所 座標 系 の) 207
接 ベ ク トル 217,221 曲線 の 定義 す る―
同値 類 53 219
ド ・ラ ー ムの理 論 216
零 ベ ク トル 9 ナ
線 形 関数 16 線 形 性 5
内
線 積 分 118
―
全 微 分 140
― 長
積 78,88,89,91 か ら導 か れ た 同型 対 応 93 と双対 空 間 93 さ
双線 形 関 数 30
曲線 の―227
双 対 基 底 21
ベ ク トルの ―
双 対 空 間 18
行
78
連 続 関 数 の つ くる ―
10
ベ ク トル 値 関 数 123
ハ
行
C∞-級 の ―
ハ ウス ドル フ空 間 204 発
連 続 な―
125 123
ベ ク トル 場 222
散 186
変 換 則 の 行 列 式 104
反 変 的 102,105
マ
行
非 可換 48 右 手 系 109
微 分形 式 153 ―
の積 分 130
― ―
のつ くる空 間 159 の引 き戻 し 175
R2上 の―
126
R3上 の ―
157
向
き 曲 面 の― 正 の―
107,181 117,167
1次 の―
125
面
2次 の―
126
面 積 分 117,167
曲面 上 の1次 の―
199
曲面 上 の2次 の―
200
多様 体上 の1次 の ―
211
多 様 体上 のk次 の ―
212
積 120
面 積 要 素 170 ヤ
行
ヤ コ ビ ア ン 137 ヤ コ ビ 行 列 137
微 分作 用素 222 微 分 ・積分 の基 本 公 式 115 標 準 基 底 13
余 接 空 間 154,199,211
標 準 射 影 57
余 接 バ ン ドル 216
ヒルベ ル トーシ ュ ミッ トの直 交法 86
余 接 ベ ク トル 199,211 ラ
行
平 面 上 の ガ ウス の公 式 116 ベ ク トル 9,26 ―
ラ イ プ ニ ッ ツ 128
の なす 角 79
力学 と―
力 学 と ベ ク トル 4
4
ベ ク トル空 間 9 n次 元 ―
リ ー マ ン 計 量 226
10
計 量 を もつ ―
多項 式 のつ くる― 同型 な―
類
78 42
別 53 イデ ヤル に よ る―
14
ワ
無 限次 元 の―
12
有 限次 元 の ―
12
和 9
54 行
線形関数の― 17
双線形 関数 の― 31
著 者 志
賀
浩
二
1930年 新潟 市に生 まれ る 1955年 東京 大学大 学院数物 系数 学科修士 課程修 了 現 在 東京工 業大 学名誉教 授 理学博 士
数学30講 シリー ズ7 ベ ク トル 解 析30講 1989年5月25日
2008年8月30日
定価 はカバ ーに表 示
初 版 第1刷 第16刷
著 者 志
賀
浩
二
発行者 朝
倉
邦
造
株式 発行所 会社 朝
倉
書
店
東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町 6-29 郵便番 号 電 FAX
〈検 印 省 略 〉 C1989〈 ISBN
162-8707
03(3260)0141 03(3260)0180
http://www.asakura.co.jp
無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 978-4-254-11482-9
話
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