位相への30講 (数学30講シリーズ)

は

し

が

き

 20世 紀 も しだ い に終 りに 近 づ い て,次 え て くる よ うに な って きた.振

の世 紀 の 迫 って くる 足音 が 少 しずつ 聞

り返 っ てみ る と,20世

紀 にな ってか ら,数 学 は,

それ まで の数学 に はみ られ なか った よ うな方 向へ 大 き く進 展 し,そ の過 程 で い ろ い ろ な新 しい 考 え を導 入 して きた.こ れ らの 新 しい考 え方 の 多 くは,誕 生 当初 は 誰 に で も近 づ きやす い もの であ った が,や が て数 学 の中 で 熟成 され 抽 象化 され て くる につ れ て,一 般 の人 た ち の理 解 を は るか に超 えた もの とな り,数 学 の専 門 家 だ け が読 み とれ る よ うな難 しい 形 式 に よっ て書 き表 わ され る よ うにな っ て し ま っ た.   この よ うな一 般 的 な傾 向 の中 に あ って,位 相 とい う考 えだ け は,数 学 者 の専 門 集 団 を越 え て,し だ い に広 い範 囲 へ と浸透 して い った よ うで あ る.位 相 とい う言 葉 を 聞 き なれ な い 人 で も,ト ポ ロジー とい えば,そ の言 葉 は ど こか で 聞 いた こ と が あ る と思 い 出す 人 も多い だ ろ う.ト ポ ロジ ー とい う数 学 の 分 野 は,か な り広 い 研 究 対 象 を含 ん で お り,そ れ を特 定 す る こ とは難 しいが,遠 い近 い とい う 日常 的 な ご くあ りふ れ た 感 じ,あ るい は何 か 近 づ い て くる よ うな感 覚 的 な もの を,数 学 的 に い い 表わ して み た い と考 え る と,そ こに何 か 言 葉 が ほ し くな って くる.こ の よ うな 言葉 を用 意 す る ものが,プ

リ ミテ ィヴの意 味 で トポ ロジ ー であ る とい って

よい.   この近 さ の感 覚 は 漠然 と して い る もの だ け に,こ こか ら数 学 的 な対 象 とな る も の を 取 り出 して,正 確 な考 え を進 め る こ とが で き る よ うにす るた め には,極 度 に 鋭 い 感 性 に支 え られ た,分 析 力 と抽 象 力 とが 必要 で あ った． これに 対 す る数 学 者 の 努 力 は,20世

紀 初 頭 か らは じ ま って1930年 代 まで続 いた の で あ って,こ の よ

うに して得 られ た 理 論 は,位 相空 間 の理 論 と して広 く知 られ る よ うにな った.位 相 空 間 の 考 え方 は,数 学 の野 を広 く潤 して い っただ け で は な くて,そ の 影響 は 物 理 学 や 情 報工 学 や 経 済学,心 理学 な ど,広 い 範 囲 に まで 及 んだ の で あ る．

  しか し,位 相空 間の 理論 の枠 組 は今 では 完全 に で き上 が って し ま った ので,こ れ をそ の ま ま何 の用 意 もな く学 ん で理 解 す る ことは,な か な か難 しい こ とに な っ て しま った.実 際 は この理 論 の 奥 に ひそ む もの は,私 た ち の近 さに対 す る柔 らか い感 性 なの だが,完 成 され た数 学 の理 論 が 往 々そ うで あ る よ うに,こ こで もや は り,数 学 は,形 式 論理 の壁 で 囲 まれた 堅 牢 な建 物 の よ うな外 観 を,理 論全 体 に与 え て し ま った の であ る.数 学 内部 にお け る理論 体 系 の完成 は,そ の完 全 さに よっ て,か え って数 学 者 以 外 の一 般 の 人 をそ こか ら遠 ざけ る よ うに して し ま うとい う ことは,や む を得 ぬ ことか も しれ な いが,望

ま しい こ と とは い えな い よ うに 私 は

思 う.   ここで は,位 相 空 間へ の道 を,私 た ち の 中 に あ る近 さに対 す る感 性 を 拠 り所 と しなが ら,一 歩 一 歩 手 探 りす る よ うな慎 重 さで学 ん でい く方 向 に とっ てみ た.こ の道 を進 めば,や が て読 者 の 眼 の前 に位 相 空 間 の理 論 の全 容 が 浮か び上 が って く るだ ろ う.理 論 を知 る こ と で は な くて,理

論 の意 味 を知 る こ とが 重 要 な の で あ

る.こ の本 を読 み 終 え られ た 読者 が,位 相 空 間 とい う抽 象的 な 建造 物 の中 に ひそ む 柔 らか な感 触 を,少 しで も感 じ とって も らえ る な らば,私 と しては 嬉 しい こ と で あ る.   終 りに,本 書 の 出版 に際 し,い ろ い ろ とお世 話 にな った朝 倉 書店 の方 々に,心 か らお 礼 申 し上 げ ます. 1988年8月 著

者

目

次

第1講  第2講

遠 さ,近 さ と数 直 線     平 面上 の距 離,点 列 の収 束 

第3講 

開集 合,閉 集 合  

1 8 17

第4講

  集積 点 と実数 の連続 性  

26

第5講

 コンパ ク ト性  

35

第6講 

写像 と集合 演 算  

42

第7講 

連

49

続

性

 

第8講

 連 続 性 と開集 合  

57

第9講

  部分 集 合 にお け る近 さ と連 結集 合  

64

第10講   距離 空 間へ  

71

第11講   距離 空 間 の例  

77

第12講  距 離空 間 の例(つ づき) 

85

第13講  点 列 の収 束,開 集 合,閉 集 合  

91

第14講  近 傍 と閉包  

99

第15講 

連続 写像  

107

第16講 

同相 写像  

114

第17講   コンパ ク トな距 離 空 間 

120

第18講  連 結 空 間  

128

第19講 

134

コー シ ー列 と完備 性  

第20講   完備 な距 離 空 間 

140

第21講 

べー ル の性 質 の応 用

第22講  完

備

化

 147  

153

第23講  距離 空 間 か ら位 相 空 間へ

  160

第24講  位 相 空 間

  166

第25講  位 相空 間上 の連 続 写 像 第26講  位 相空 間 の構 成 第27講   コ ンパ ク ト空 間 と連 結空 間 第28講 

分離公 理

 173   180  187   194

第29講   ウ リゾー ンの 定理

  201

第30講  位 相空 間か ら距離 空 間 へ

  207

問題 の解 答

 214

索

引

  217

第1講 遠 さ,近

さ と数 直 線

テーマ

◆ 近 さの感 じ は,時 間,空 間 の 中 に深 くひそ ん で い る． ◆ 近 さを測 るた め に は実 数 を 用 い る. ◆ 長 い 長い 物 差 し― ◆2つ

数直線

の もの の位 置 関係 の数 直線 上 へ の表 わ し方

◆ 絶対値 ◆2点

間の距離

近 さ と は   位 相 と は,近

さ の 感 覚 を 背 景 に し て展 開 す る よ うな,か

指 し示 す と き用 い ら れ る術 語 で あ る ． し た が っ て,位 て,近

相 の話 を は じめ る にあ た っ

さ と い う こ と を ど の よ うに 考 え る か とい う設 問 を 最 初 に お く こ と は,ご

自然 の こ と と思 っ て い た.し み え て も,ふ と,私

な り広 い 数 学 の 対 象 を

か し,こ

つ うの 人 に は,何

の よ うな 問 い か け は,数

の も の が,ど

遠 くに あ る か を 比 ベ る よ うな こ と は,い と か ら,'近

さ'と

  た と え ば,机

学 者 に は 当 り前 に

か 奇 妙 に 響 くの で は な い だ ろ うか.な

た ち の 日 常 の 生 活 の 中 で,2つ

つ も 行 な っ て い る こ と だ し,ま

の 上 に あ る本 と ノ ー ト ・ブ ック が,ど

ち らが

たそのこ

ず な い か ら で あ る.

ち らが 手 近 に あ るか は 聞 か

れ な く と もわ か っ て い る こ と だ し,ま

た 家 か ら郵 便 局 へ 行 く方 が,駅

ず っ と近 い とい う よ う な い い 方 も,ご

くふ つ うの い い 方 で,こ

ど,何

ぜか とい う

ち ら が 近 くに あ り,ど

は 一 体 何 だ ろ う と考 え る よ う な こ と は,ま

く

へ 行 くよ り

こに考 え る こ とな

も あ りそ うに な い.

  遠 い 近 い は,物

差 し とか,地

か る こ と で あ る ． も っ と も,こ な 場 合 も あ る.た

と え ば,室

図 の 上 で 距 離 を 調 べ る こ と に よ っ て,す の よ うに,長

ぐにわ

さで 遠 近 を 調 べ る だ け で は な い よ う

町 時 代 は 明 治 時 代 よ り,ず

っ と遠 い 昔 の こ と だ と い

う.こ

の と き遠 い 近 い は,時

間 で 測 っ て い る.も

か ら 車 で 東 京 駅 へ 行 く と き,車 ろ うか と 考 え る と き は,道

っ と身 近 な 例 で は,東

の 渋 滞 を 避 け る た め に,ど

の 長 さ を,距

離 で は な くて,通

京 の郊 外

の道 を通 った ら近 い だ 過 に 要 す る時 間 で 測 っ

て い る.   い ず れ に し て も明 らか な こ と は,こ

の よ うな 遠 近 の 感 覚 とい うも の は,私

の 経 験 の 中 に ほ と ん ど無 条 件 に 取 り入 れ ら れ て い る も の で あ っ て,い れ ば,遠

い 近 い と い う認 識 の 仕 方 は,私

あ る,先

験 的 な 直 観 形 式 か ら く る も の な の だ ろ う.だ

取 り立 て て 考 え る 機 会 な ど,ほ

と か,い

い方 を か え

た ち が 生 き て い る この 時 間 ・空 間 の 中 に か ら'近 さ'と い う も の を,

と ん ど な い の で あ る.

数

  こ の よ う な,遠

たち

直

線

さ 近 さ を 測 り比 べ る の に,私

た ち は,い

ろ い ろな種 類 の 物差 し

ろ い ろ な 単 位 の 時 間 を 使 う の だ が,数

学 で は,こ

れ らを 抽 象 化 し て,数

用 意 し て お い て,そ

の 目盛 りに よ っ て,こ

直 線 と い う '長 い 長 い 物 差 し'を1本

れ ら の 遠 い 近 い を 数 量 的 に 表 わ そ う と す る.   数 直 線 に つ い て は,す の30講 う.直

で に こ の シ リ ー ズ で も,『 微 分 ・積 分30講

』 の 中 で 詳 し く述 べ て き た か ら,こ 線 上 に(直

こで は 簡 単 に 述べ るだけ に してお こ

線 は 横 に 引 い て お く とす る)原

と り,Oに0,Eに1の

目 盛 りを つ け る と,自

…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…

点Oと,Oの

が 得 ら れ る.0と1の

も,実

理 数 の 目 盛 りを も つ 点 列 が,し

る.こ

対 応 す る.実

間 をn等

分 す る 点 を,各

整数

目 盛 る点 が 決 ま っ て くる ．

だい に 近づ い て い く 先 の 点 に対 して

数 の 目盛 りを 与 え る こ と に よ っ て,直

に よ っ て1対1に

右 側 に 単 位 点Eを

然 に こ の 直 線 上 に 整 数 の 目盛 り,

区 間 に 同 じ よ うに 配 列 す る こ とに よ り,有 理 数m/nを さ ら に,有

』 や 『集 合 へ

線 上 の 点 と,実

数 と が,こ

の 目盛 り

数 の 目盛 りは 一 般 に は 無 限 小 数 で 表 わ さ れ て い

の よ うに し て 得 られ た 直 線 を 数 直 線 とい う．

  した が っ て,数

直 線 上 に は, やπ=3.14159…

図1

の よ うな数 に対

し て も,ち

ょ う ど1つ

  数 直 線 上 の 各 点Pに 座 標aを

与 え ら れ た この 目盛 りの こ と を,Pの

もつ こ とを 明 示 し た い と き に は,P(a)と

な どは,自 を,座

の 目盛 りが 与 え られ て い る こ と に な る ．

書 く．P(1),P(2),P(3),…

然 数 を 座 標 に もつ 点 で あ り, 

とP(π)は,そ

  考え て み る と,私 た と え ば,自

,π

た ち は,こ

の もの の 位 置 関 係

の 数 直 線 を 非 常 に 身 近 な も の に 感 じ と っ て い る.

分 の 家 か ら,30m歩

い た 所 に あ る 木 の 多 い 家 と,反

歩 い た 所 に あ る ス ー パ ー ・マ ー ケッ ト と い う と き,頭 の2つ

の 位 置 関 係 を,数

て 感 じ と っ て い る.ま す る と,や て,似

れ ぞ れ 

標 に もつ 点 を 表 わ し て い る ．

数 直 線 と2つ

に,こ

座 標 と い う.点Pが

た30年

の 中 で は,無

直 線 上 の 点P(30)とP(−50)に 先 の こ と と,50年

は り,現 在 を 座 標 原 点 に お い て,時

対 方 向 へ50m 意 識 の うち

近 い ものを 描 い

前 の こ とを 整 理 し て 考 え よ う と 間 は 一 直 線 上 に 並 ん で い る と思 っ

た よ うな こ とを 考 え て い る ．

図2   実 数 に は 大 小 関 係 が あ っ て,た

とえ ば

−5 .1<−5<−3<2<100<100.56 で あ る が,こ

の 大 小 関 係 は,数

の 点 を 表 わ す 座 標 が,し   しか し,私

直 線 の 点 と し て は,左

か ら右 へ 進 むに 従 っ て,そ

だ い に大 き くな っ て い る と い う こ とで 表 わ さ れ て い る ．

た ち に 関 心 の あ る の は,

こ の 大 小 関 係 よ り,む し ろ 数 直 線 上 に あ る2点

間 の 相 互 の距 離 で あ る.自

の 家 が 図2で

分

示 した よ うに図示 され て

い る と き に は,門

を 出 て 右 へ50m進

む と ス ー パ ー ・マ ー ケ ッ トが あ る と い う状 況 は,点P(−50)で

表わ さ れ る

図3

が,こ

の 家 に 道 路 を へ だ て て 面 し た 所 に あ る 家 の 人 は,今

50m進

む と ス ー パ ー ・マ ー ケ ッ トが あ る と い うだ ろ う(図3).し

家 の 人 が,図2の

よ うな 図 を か く と し た ら,ス

の 右 側 に,点P(50)の 関 係 は,少

場 所 に か くだ ろ う.こ

し も変 わ っ て い な い.ス

右 に か こ うが,ど ら い え ば,2つ

度 は,門

たが って この

ー パ ー ・マ ー ケッ トは,自 うか い て も,相

に か こ うが

しい と もい え な い と い う こ とは,数

の 位 置 関 係 を 示 す の に,数

分 の家

互 の位 置 を表 わ す

ー パ ー ・マ ー ケ ッ トの 位 置 を,左

ち らが よ い と も,正

を 出 て左へ

の方 か

の 大 小 と い う こ と は あ ま り関 係 な い と

い う こ と を 示 し て い る.   ま た,位

置 関 係 と い う こ と だ け に 注 目す る な ら ば,自

こ と も,あ

ま り必 然 的 な 意 味 は な い こ とに な る.自

す い とい う心 理 的 な こ と さ え 除 け ば,た に と っ て,自

分 の 家 をP(50)の

分 の家 を座 標 原点 にお く

己 中心 的 に考 えた 方が 考 え や

と え ば ス ー パ ー ・マ ー ケ ッ トを 座 標 原 点

所 に,ま

た 木 の 多 い 家 をP(80)の

所 にか い て も

差 しつ か え な い わ け で あ る.

絶

  数 直 線 上 の2点

対

値

の 間 の 距 離 を 示 す た め に は,実

数 の 絶 対 値 と い う概 念 が 有 用 で

あ る.   実 数aの

絶 対 値 とは aが 正 の と き に は   ￨a￨=a; aが0の

と き に は  ￨0￨=0;

aが 負 の と き に は  ￨a￨=−a と し て 定 義 さ れ る ． 数 直 線 上 で い え ば,aの P(a)ま

絶 対 値￨a￨と

は,原

で の 長 さ で あ る.

  た とえば ￨5￨=￨−5￨=5, ￨-100￨=100, 

￨6−10￨=￨-4￨=4

で あ る.   絶対 値 の基 本 的 な性 質 は   (ⅰ)  ￨a￨≧0;こ   (ⅱ) ￨−a￨  = ￨a￨

こで 等 号 はa=0の

と き だ け 成 り立 つ.

点Oか

ら,点

で あ る.こ

の(ⅱ)の

性 質 は,2つ

の 実 数a,bを

と っ た と き,a−b=−(b−a)

だ か ら,   (ⅱ)' と い う形 で 使 わ れ る こ とが 多 い.   ま た, 

の こ と も 注 意 し て お こ う.実

っ て い る し,aが 両 辺 に−1を

負 の と き に はa<0<￨a￨と

か け て(ⅱ)に

際, a≧0の

と き に は 等 号 が 成 り立

な っ て い る.さ

注 意 す る と,−￨a￨≦aが

て,−a≦￨−a￨の

出 る.こ

の こ とか ら

  (ⅲ) が 成 り立 つ こ とが わ か る.   なぜ な ら

し た が っ て,左 ら,(ⅲ)が   (ⅲ)の

辺 が 

に 等 しい こ と に 注 意 す る と,絶

対 値 の定義 か

成 り立 つ. 式 で,  bの 代 りに−bと

お く と,

  (ⅲ)' と な る.

2点

間 の 距 離

  数 直 線 上 の2点P=P(a),Q=Q(b)の

距離 を

d(P,Q)=￨b−a￨

に よ っ て 定 義 す る.こ の,2点P,Qの

の 定 義 は 絶 対 値 を 用 い て い る が,要

す る に ふ つ うの 意 味 で

間 の 長 さ で あ る(図4).

図4   す ぐに この こ と が わ か りに くい と き に は,次 座 標 原 点 をPの

と こ ろ ま で 移 す と,数

の よ うに 考 え る と よ い.い

直 線 上 の 目 盛 り(座

標!)は,ど

まa≦bと こ で も−aだ

す る. け変

a=−2;上

の 座標 を下 の座 標 に か え る;x→x−a=x+2

図5 化 す る.し たが って,Pの

座 標 は0と な るが,Qの

Qま で の距 離 は,明 らか にQの 座標b−aで 義 したd(P,Q)=￨b−a￨に

座標 はb−aと

な る.こ の とき,Pか

ら

与え られて い る.と ころ が,こ の値 は,上 に定

等 しい. a≧bの と き も同 様 で あ る.

  絶 対 値 に 関 す る性 質(ⅰ),(ⅱ)',(ⅲ)は,次   (ⅰ)  d(P,Q)≧0;等

の よ うな 距 離 の 性 質 を 導 く.

号 が 成 り立 つ の はP=Qの

と き に 限 る.

  (ⅱ)  d(P,Q)=d(Q,P)   (ⅲ)  d(P, Q)≦d(P,  R)+d(R,    (ⅲ)に

つ い て だ け,少

Q)

し説 明 が い る. P=P(a), 

Q=Q(b), 

R=R(c)と

す る

と

問1 

任 意 の 実 数aに

対 して

 

￨a￨2=a2

が 成 り立 つ. 問2 

任 意 の 実 数a,bに

対 して

が 成 り立 つ.

Tea

Time

質 問  大 きな書 店 へ 行 って,数 学 書 の並 ん で い る棚 を見 る と,「位 相 幾 何学 」 と

か,「 トポ ロジ ー 」 とか,「 位 相 的 … 」 の よ うな 書 名 が 目 に つ き ま す.位 て もい ろ い ろ あ る よ うで す が,こ

相 とい っ

れか らの話 は どん な こ とが 中心 に な る の で す

か. 答  位 相 は,英

語 の トポ ロ ジ ー の 訳 で,こ

(位 置)と ロ ゴ ス(こ

と ば,意

味)か

の トポ ロ ジ ー は,ギ

リ シ ャ 語 の トポ ス

ら と っ た と い わ れ て い る.位

相 は,は

じめ 図

形 とそ の 連 続 的 な 変 化 と の 関 連 を 調 べ る考 察 か ら は じ ま っ て,19世

紀 後 半 か ら,

し だ い に 位 相 幾 何 学 と し て 数 学 の 中 に 定 着 し て き た.し

紀 に な っ て,

か し,20世

集 合 論 が 数 学 の 前 面 に 押 し 出 さ れ て き て,数

学 は 集 合 概 念 の 上 に 立 っ て,も

基 礎 的 な 部 分 か ら,種

れ ら を 抽 象 化 し て,数

々 の 概 念 を 見 直 し,そ

い う動 き が 顕 著 に な っ て き た.そ に'近

さ'と

き,ど

さ'の

学 を築 こ うと

概 念 も 見 直 さ れ,そ

い う も の を 積 極 的 に 数 学 の 対 象 と し て 取 り扱 お う とす る,位

論 が 登 場 し て き た の で あ る.こ あ る.こ

れ に 応 じ て,'近

れ か ら 述 べ る の は,こ

っと

こ

相空間

の 位 相空 間 論 の導 入部 分 で

の 位 相 空 間 論 に 関 す る 基 礎 的 な 知 識 が な い と,図 形 を 少 し ず つ 変 え た と

の よ うな 性 質 が 保 た れ,ま

学 の 勉 強 に も 入 れ な い し,ま

た,解

た 変 わ っ て い くか とい う こ とを 調 べ る 位 相 幾 何 析 学 に 現 わ れ る 関 数 の 連 続 性 や,微

な ど に つ い て の 深 い 理 解 が 得 ら れ な くな っ て い る の が 現 状 で あ る.

分方 程 式

第2講 平 面上 の距 離,点 列 の収 束 テー マ

◆ 座 標 平面 ◆ 平 面 上 の2点 間 の 距離 ◆ 点 列 の収 束 ◆ 点Pの

ε-近傍Vε(P)

◆ 点 列{pn}がPに

近 づ くこ と と,{pn}が

点Pの 任意 の ε-近傍 の 中 に,い

  ず れ は含 まれ る こと とは 同値

座 標

  数 直 線 上 に 並 ぶ2点P(a),Q(b)の で 表 わ さ れ る こ と は,前 は,ど

平

面

距 離d(P,Q)は,絶

講 で み て き た.そ

れ で は,平

対 値 を 用 い て￨b−a￨ 面 上 に あ る2点

の よ う に 表 わ さ れ る の だ ろ うか.

  平 面 上 の 点 を,2つ

の 実 数 の 組 か ら な る 座 標 を 用 い て 表 わ す た め に は,平

座 標 系 を 導 入 し て お く必 要 が あ る.座 よ う に,互

標 系 は,2つ

の 数 直 線 を,原

い に 垂 直 に お く こ と に よ っ て 得 ら れ る ． ふ つ うは,1つ

横 に,も

う1つ

か き,そ

れ ぞ れx軸,y軸

x軸,y軸

の 数 直 線 は こ れ と垂 直 な 方 向 に と い う.平 面 上 に,

が 与 え ら れ た と き,こ

れ を座 標 平 面

  座 標 平 面 上 の 任 意 の 点Pは,図6の

よ うに 座

標(a,b)に

座 標(a,

と い う.

b)を

よ っ て 表 わ さ れ る.点Pが

もつ こ と を 明 示 し た い と き は,P(a,b)と

か き,Pのx座 う.

間 の距 離

標 はa,y座

標 はbで

あるとい 図6

点Oで

面に

重な る

の数 直線 は真

P(0,0)は,原

点Oで

と 表 わ さ れ る 点 は,y軸

あ る.P(a,0)と

つ で も 座 標 平 面 を 考 え て い る こ と に す る.

2点

  平 面 上 に あ る2点P(a1,a2),  距 離 は,ピ

間 の 距 離

Q(b1,

タ ゴラ スの 定理 か ら

求 め る こ とが で き る ． 図7の Rを

上 に あ り, P(0,b)

上 に あ る.

以 下 で は 平 面 とい う と き に は,い

b2)の

表 わ さ れ る 点 はx軸

よ うに点

と り,直 角 三 角 形PQRに

対 し て,

ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 を 適 用 す る.そ

の と

き

図7

で あ る.

と,

に注 意 す る と

と表 わ さ れ る.し

と な る.そ

たが って

こで

と お い て,d(P,Q)を, 

PとQの

 注 意 深 い 人 は,図7で,QがRの に 気 づ くか も しれ な い .そ

距 離 とい う. 場 所 に あ った な らば,ピ タ ゴ ラス の定 理 は使 え な い こ と

の と き, Qの

な っ てい るか ら,上 の距 離 の 式 で,ち

座 標 は,(b1,a2)で, 

ょ うどa2=b2の

と

場 合 とな っ て,や

は りこの場 合 も成

り立 って い る.   こ の 平 面 上 に あ る2点P,Qの   (ⅰ)  d(P,Q)≧0;等

距 離 に 対 し て も,前

号 が 成 り立 つ の はP=Qの

講 の場合 と同様 に と き に 限 る.

  (ⅱ)  d(P, Q)=d(Q, 

P)

  (ⅲ)  d(P,Q≦d(P,R)+d(R,Q) が 成 り立 つ.   (ⅰ)と(ⅱ)は,明 は,Rが

直 線PQ上

ら か で あ ろ うが,(ⅲ) に な い と き は,三

に お い て,1辺PQの

長 さ は,他

角 形PQR

の2辺

の長 さ

の 和 を 越 え る こ と は で き な い と い う こ とを 示 し て い る(こ

の と き は,実

Rが 直 線PQ上

際 は(ⅲ)で

不 等 号<が

に あ る と き は,1直

これ は す で に 第1講

で の(ⅲ)の

図8 成 り立 っ て い る こ と に な る).

線 上 に あ る3点P,Q,Rの

距 離 の 関 係 だ か ら,

場 合 に な っ て い る.

点 列 の 収 束

  数 直 線 で も,座

標 平 面 で も,こ

っ て 近 さ が 測 れ る か ら,点

の よ う に 距 離 を 導 入 し て お く と,こ

列P1,P2,…,Pn,…

がPに

近 づ くこ と を,ご

の距 離 に よ く 自然 に

定 義 す る こ とが で き る ． す な わ ち,   'nが 大 き くな る に つ れ,2点PnとPと

の 距 離d(Pn,P)が

い くら で も小 さ く

な る と き', 点 列P1,P2,…,Pn,… い,こ

は,n→

た はPに

収 束 す る とい

の よ うに 表 わ す.

  こ の 挿 入 句'nが

  'nが

近 づ く,ま

れ を記 号 で

ま た は, 

で は,も

∞ の と きPに

大 き く な る に つ れ … … い く らで も 小 さ く な る と き'は,数

学

う少 し別 の 慣 用 の い い 方 が あ る. 大 き くな る に つ れ'は,大

る と,n>kの

と き'と

  ま た'd(Pn,P)が

き く な る範 囲 を 指 定 して,'十

分 大 き いkを

と

い うい い 方 を す る のが ふ つ うで あ る.

い くら で も小 さ くな る'も,小

'ど ん な に 小 さ い 正 数 εを と

っ て もd(Pn,P)<ε

さ くな る 範 囲 を 明 示 し て,

と な る'と い うい い 方 を す る の が

ふ つ うで あ る.   こ の い い 方 を 採 用 し た と き,最

初 の 挿 入 句 は 次 の よ う に い い 直 さ れ る．

ど ん な 小 さ い 正 数 εを と っ て も,十 n>kの

と きd(Pn,P)<ε

大 き く な る に つ れd(Pn,P)が

し変 わ る よ う で あ る.今

と る と,

と な る.

  あ く ま で 感 じ方 の 問 題 に す ぎ な い が,こ べ た,nが

分 大 き い 番 号kを

度 はPが

の よ う に い い 直 し て み る と,最 初 に 述 い く らで も 小 さ く な る と い う感 じが 少

主 体 に な っ て,Pに

ε以 内 の範 囲 に 注 目 して い る と,そ

立 っ て い る 人 が,足

こ に あ る 番 号kか

ら 先 のPnが

も との

す べ て 入 って

い る と い う 状 況 を 述 べ て い る よ う に み え る.   な お,点 {Pn}と

列P1,P2,…,Pn,…

を{Pn￨n=1,2,…},あ

る い は 一 層 簡 単 に,単

に

表 わ す こ と も 多 い.

  さ て,数

直 線 上 で 点 列{Pn}がPに

近 づ く様 相 は 大 体 図9の(a),(b),(c)

の よ う に 示 さ れ る.

(b)

(a)

(c)

図9   座 標 を 用 い てPn(an),P(a)と

表 わ す と,(a)の

場合は

a1
∞)が 成 り立 つ と き で あ る.こ

の と き,点

列Pnは

単調に

の と き,点

列Pnは

単調に

近 づ く とい う.

場合は a1>a2>…>an>…>a

で あ っ て,an→a(n→ 減 少 し な が らPに   (c)の

∞)が

成 り立 つ と きで あ る.こ

近 づ く と い う.

場 合 は,PnがPの

右 へ 行 っ た り,左

へ 行 っ た り し な が ら,し

だ い にP

に 近 づ く と き で あ る.   こ れ 以 外 に も,あ あ る.ま

る 番 号kか

た(a),(b),(c)の

近 づ くこ と も あ る.

ら 先 で,Pk+1=Pk+2=…=Pと

な る よ うな と き も

状 況 が 適 当 に ま じ り合 い な が ら,点

列PnがPに

 数 直 線 の場 合 に 比 べ れ ば,平 き方 は,図10か

面 上 の 点 列P1,P2,…,Pn,…

が 点Pに

近 づ く近 づ

ら も わ か る よ うに 非 常 に 多 様 と な る.

(a)

(b)

(c)

図10

近

傍

 数 直 線 上 で まず 閉 区間,開 区 間 の定 義 を導 入 してお こ う.一 般 に実数a,b(a< b)に 対 して

と お ぎ,[a,b]を(端

点a,bの)閉

区 間 とい い,(a,b)を(端

点a,bの)開

区間

と い う.   正 数 εが 与え ら れ た と し よ う.数 直 線 上 の 点Pに あ る 点 の 集 合 をVε(P)で

Pの 座 標 をaと

表 わ し,Pの

す る と,Vε(P)は,ち

対 し,Pか

ε-近 傍 と い う:

ょ うど開区 間 (a− ε,a+ε)

と 一 致 し て い る こ と が わ か る.   同 様 に,平

面 上 の 点Pに

で 定 義 す る.Pの

対 し て も,Pの

座 標 を(a,b)と

あ るい は 同 じこ とで あ るが

ε-近傍Vε(P)を

す る と,Vε(P)は

ら ε以 内 の 距 離 に

図11

を み た す 点(x,y)の (a,b),半   Pの

全 体 か ら な る こ と が わ か る.Vε(P)は,し

た が っ て,中

心

径 εの 円 の 内 部 で あ る.

ε-近 傍Vε(P)と

は,Pに

立 っ て い る人 が,自

囲 を 仕 切 っ た よ うな も の で あ る.ε

分 の 足 も とか ら ε以 内 の 範

と し て ど ん ど ん0に

近 づ く数,た

と え ば,1, 

を と る と,こ れ に対 応 す るPの 近 傍

は,し

だ い に 小 さ な 範 囲 と な っ て,Pに

凝 集 し て い く よ う な 状 況 を 呈 し て く る.

図12

点列 の 収 束 と近 傍

  こ の こ とか ら,点

列P1,P2,…,Pn,…

さ い 正 数 εを と っ て も,あ

が 点Pに

る 番 号 か ら 先 のPnが,す

含 ま れ て し ま う こ と で あ る こ と が わ か る.も →P(n→

∞)の

べ てPの

ち ろ ん,こ

定 義 の い い か え に す ぎ な い が,近

で 示 し た よ うな 点 列 の 収 束 の と き に は,点Pの'足 い て い く様 子 を,よ

近 づ く と い う こ と は,ど

ん な小

ε-近傍Vε(P)に

の こ と は 前 に 述 べ たPn

傍 を 使 うい い 方 の 方 が,図10 も と に',Pnが

くい い 表 わ し て い る よ うに 思 え る.

どん どん近 づ

ま とめ て お く と Pn→P(n→ ⇔

∞)

  どん な 正 数 εを と っ て も,あ

る 番 号kで

をみ たす ものが あ る. ⇔

  どん な正 数 εを と って も,あ る番 号kで

を み た す もの が あ る.

Tea

Time

札 幌 の街 角 で   札幌 へ 行 った 人 は,札 幌 の 中心 街 が,東 西 に走 る道 筋 と南 北 に走 る道 筋 に よ っ て整 然 と仕 切 られ,そ の真 中 を緑 と花 で色 ど られ た 大通 り公 園が 東 西 に 横切 って 景観 を 添え て い る の を見 て,北 国 の都 の美 しさを 感 じた ことだ ろ う.   札 幌 に い る 人 は,P地 点 へ と行 く の に,東

点 か らQ地

西 と南 北 に走 る

こ の 道 筋 に 沿 っ て 行 か な くて は な ら な い.座

標 平 面 を 用 い て,図13の

よ う に 表 わ し て お く と,地 点P(a,b) か ら,地 は,太

点Q(c,d)へ

行 く最 短 の 道

線 で 示 した道 のい ず れか で あ

っ て,こ

の 走行 距 離 は

で あ る.   こ の 場 合 に は,平

図13 面 上 の2点P,Q間

の 距 離 は,こ

の 講 義 で 述 べ た 距 離dよ

り

は,

で 与 え て お く方 が か え っ て 自 然 に 思 え る.dに

対 し て も,dに

対 し て 成 り立 つ

(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)と ん 違 う.し

同 様 の 性 質 が 成 り立 っ て い る.dとdで

測 った距 離 は もち ろ

か し

と,

(両 辺2乗

す る と容 易 に 確 か め ら れ る)か

た と き,n→

∞ の と き,点Pに

ら,点

列P1,  P2,…,  Pn,…

が 与 え られ

対 し

が 成 り立 つ こ と と,

が成 り立 つ こ とは 同値 で あ る ことがわ か る.   し た が っ て,距 て み て も,距

離dを

と って測 っ

離dを

と って測 っ てみ

て も,点 列{Pn}がPに

近 づ くとい う

性 質 は 変 わ ら な い.こ

れ は常 識 的 に

考 え て も ご く当 り前 の こ と で あ る.   も ち ろ ん,ふ の2点P,Qを

つ う私 た ち が 平 面 上 物 差 しを 用 い て 測 っ

て い る距 離 は,d(P,Q)の な おd(P,Q)<1と 心P,半

径1の

d(P,Q)<1を

方 で あ る.

な る 点Qは,中

図14

円 の 内 部 と な る が, み た す 点Qは,Pを

中 心 と し た 図14で

示 す よ うな 正 方 形 の 内 部 と

な っ て い る こ と に 注 意 し て お こ う．

質 問   近 傍 とい う言 葉 は,日 み た ら,近

所,近

常 あ ま り使 っ て い な い 言 葉 な の で,広

辺 と あ り ま し た.Vε(P)をPの

日常 的 だ と 思 い ま す が,せ

辞苑を引いて

ε-近所 と い うの は あ ま りに も

め て ε-近 辺 と で も い っ て も ら った 方 が,僕

感 覚 的 に ず っ と よ くわ か る よ うな 気 が し ま す.

たちには

答   近 傍 は 英 語neighborhoodの 近 傍 は 確 か に 固 苦 し い.数

訳 で あ る ．neighborhoodの

学 の 術 語 は,あ

う訳 そ う と決 め た と き か ら ス タ ー トし て,そ に つ れ て 定 着 し て し ま う よ うで あ る.有 (比)を

考 え れ ば,有

い く方 が,数

る と き,こ

在 の よ うに,日

の 英語 を こ

れ が しだ い に一般 に使 いな れ て くる

理 数rational

numberも,英

比 数 と 訳 す ベ き だ っ た の だ ろ うが,も

て 定 着 し て し ま っ た.現 て い く と き に は,数

る 数 学 者 が,あ

親 近 感 に 比 べ れ ば,

語 のratio

う今 で は 日本 語 と し

本 語 の語彙 の もつ 感 覚 が どん どん変 化 し

学 の 術 語 も 旧 態 依 然 と し た も の か ら,新

し い も の へ と変 え て

学 を 一 般 の 人 に 近 づ きや す くす る の に 役 立 つ か も し れ な い.

第3講 開 集 合,閉

集合

テーマ

◆ 円 の 内部Bと,円 ◆2つ

周 まで つ け加え た 円Bと

の 特徴 的 な違 い

の対 照 的 な性 質(☆)と(★)

◆(☆)の

性 質 を もつ もの―

開集合

◆(★)の

性 質 を もつ もの―

閉集合

◆ 開集 合 の基 本 的 な性 質 ◆ 閉集 合 の基 本 的 な性 質

円と円の内部  平 面 上 で,点P0を

中心 と して 半 径1の 円 を画 く.こ の 円 の 内部 をB,Bに

周 をつ け 加 えた もの をBと

表 わ す ことにす る.

 近 さ の観 点 か らみ た と き,BとBの   (Ⅰ)  B：Bの

円

特徴 的 な違 い は何 で あ ろ うか.

任 意 の 点Pを と った と き, (☆)  十 分 小 さ い正数 εを と る と  Vε(P)⊂B

B:Bで

は こ の(☆)に え ば,円

対 応 す る性 質 は,一

周 上 の1点Pを

と る と,ど

図15

般 に は 成 り立 た な い.た

と

ん な 小 さ な 正 数 εを と っ て も,

Vε(P)は,円 (Ⅱ)B:Bの  

の 外 側 に あ る 点 を 含 ん で い る.

点 列Pn(n=1,2,…)が,点Pに 点 で あ る.す

近 づ くな らば,Pも

なわ ち

(★)  B:Bで

な らば

は こ の(★)に え ば,円 (★)に

ま たBの

対 応 す る 性 質 は,一

の 内 部 か ら 円 周 上 の 点Pに 対 応 す る 性 質 は,Bで

般 に は 成 り立 た な い.た 近 づ く点 列{Pn}を

と

と る と,

成 り立 た な い こ とが わ か る.

  た と え て い え ば,Bは,点 P0を 中 心 と し て 半 径1kmの 城壁 の中 で 囲 まれ て い る町 並 み の よ うな も の で あ り,Bは, こ の 町 並 み と城 壁 か ら な っ て い る よ うな も の で あ る.   (Ⅰ)は

図16 この とき 次 の こ と

を 示 して い る.Bに

つ い て い っ て い る こ と は,町

い 自分 の まわ りを 見 回 す と,そ こ とで あ る.Bに

並 み の 中 に い る 人 は,十

分小 さ

こは 同 じ町 並 みか らな ってい る ことを知 る とい う

つ い て 述 べ て い る こ と は,城 壁 に 立 って い る 人 は,す ぐ足 も と の

近 く に 城 壁 の 外 の 草 原 が 広 が っ て い る の を 見 る こ と が で き る と い う こ と で あ る.   ま た(Ⅱ)は

次 の こ と を 示 し て い る.城

て 走 っ て 行 く場 合,そ

壁 の 中 に い る人 が,あ

る場 所 に 向か っ

の 地 点 は 町 並 み か ら は ず れ る か も しれ な い が,せ

いぜ い城

壁 の 所 ま で で あ る.   Bを

開 円,Bを

  同 様 な こ と は,数 b]を

閉 円 とい う. 直 線 上 で,Bの

代 りに 開 区 間(a,b),Bの

代 りに 閉 区 間[a,

と っ て も成 り立 つ.

性 質(☆)と(★)

  も う少 し,一 般 の 図 形 で(☆)と(★)に   図17の(a)は,輪

対 応 す る 性 質 を み て み よ う.

の 形 を し た 図 形 で あ る が,こ

の境 界(破 線 で ふ ち ど ら れ た

(a)

(a)'

(b)

(c)

(b)'

(c)'

図17 所)は,こ

の 図 形 に 含 ま れ て い な い.(a)は,(☆)と

同様 の 性 質 が 成 り立 って

い る.   (a)'は,直 も,数

線 上 で,開

区 間 を い くつ か 並 べ た よ うな も の とな っ て い る.(a)'

直 線 上 で 考 え た と き,(☆)と

  図17の(b)は,閉

円 を 少 し歪 め た 図 形 に,何

うな 図 形 で あ る(ア は,(★)と

同 様 の 性 質 を み た し て い る.

ン テ ナ の 端 点 は こ の 図 形 に 含 まれ て い る とす る).こ

同 様 の 性 質 を み た し て い る.左

ソ テ ナ 上 に あ る点 列P1,P2,…,Pn,… 列 の 収 束 す る 先 は,同   (b)'は,直

本か のア ンテ ナが 出 てい る よ

の 上 か ら,切

れ切 れ に な ってい る ア

は 大 丈 夫 か と思 うか も しれ な い が,こ

じ ア ン テ ナ 上 に あ るか,真

限 個 の 点 が あ る よ うな 図 形 で

あ る ． こ の 図 形 も,数 直 線 上 で 考 え た と き に は,(★)と た は(★)の

て い る.図 形(c)で

い え ば,下

質 を 分 か ち あ っ て,全

体 と して は,一

の点

中 の 図 形 の 境 界 上 に あ る.

線 上 で 有 限 個 の 閉 区 間 の 右 側 に,有

  (c),(c)'は,(☆),ま

の 図形

同 様 の 性 質 を もつ.

よ うな 性 質 を も た な い 図 形 の 例 を 与 え

の 部 分 と,把

手 の 部 分 が,(★)と(☆)の

性

方 だ け の 性 質 が 成 り立 つ よ うに は な っ て い

な い.   定 義 は す ぐあ とで 述 べ るが,(a),(a)'は,そ で の開 いた部 分集 合― た部 分集 合―

開集 合―

れ ぞ れ 平 面 上,お

の 例 で あ り,(b),(b)'は,そ

閉 集 合 の 例 とな っ て い る.(c),(c)'は,開

分 集 合 の 例 を 与 え て い る.

よび 直 線 上 れぞ れ 閉 じ

で も閉 で も な い 部

開 集 合,閉 【定 義 】Sを

集 合 の 定義

平面 の部 分集 合 とす る.Sの 任 意 の点Pを

が成 り立 つ とき,Sは(平

と った と き,あ る正 数 εで

面 の)開 集 合 で あ る とい う.

  Sが 直 線 の部分 集 合 の とき も,同 様 の性 質 を み たす な らばSを(直

線 の)開 集 合

で あ る と定 義 す る. 【定 義 】  Sを 平 面 の部 分集 合 とす る.Sに に近 づ くと き,Pも

属 す る点 列P1,P2,…,Pn,…

またSに 属す る とい う性 質 を もつ とき,Sは(平

が,点P 面 の)閉 集 合

で あ る とい う.   Sが 直 線 の部 分 集 合 の とき も,同 様 に してSが(直

線 の)閉 集 合 で あ る こと を

定義 す る ことが で き る.   開集 合,閉 集 合 の議論 は,平 面 の場 合 も,直 線 の場 合 も,同 様 に議論 を進 め て い く こ とが で き る のだ が,図17で

見 る よ うに,直 線 の 場 合 は状 況が 簡単 す ぎて,

か え って想 像 力 が働 かず,わ か りに くい面 もあ る.そ のた め,以 下 では,平 面 の 部 分 集 合 の 場 合 を主 に取 り扱 うこ とに して,必 要 に応 じて,時 々,直 線 の部 分集 合 に触 れ る こ とにす る. 開集合の基本 的な性 質   開集 合 に つ い て,次 の基 本 的 な性 質が 成 り立 つ. (O1)  O1,O2,…,On,…

が 開 集 合 な ら ば,和

集 合O1∪O2∪

… ∪On∪

…

も 開 集 合 で あ る. (O2)O1,O2が

  ま ず 図18を は,わ

開 集 合 な ら ば,共

通 部 分O1∩O2も

参 照 す る と,(O1),(O2)で

また 開 集 合 で あ る.

述 べ て い る こ と が ど の よ うな こ と か

か る と思 う.

  証 明 に は い る 前 に,(O1),(O2)に   (O1)で,特

つ い て3つ

に た と え ば,  O1∪O2∪

… ∪On∪On+1∪

の 注 意 を 述 べ て お こ う. の場 合 を考 え ると

…==O1∪O2∪

… ∪On

(O1)

(O2) 図18

だ か ら,(O1)は,有

限 個 の 開 集 合 の 和 集 合 は,常

に また 開集 合 とな る とい う こ

と も述 べ て い る こ とにな る．   (O2)で,O1とO2が

共 通 点 の な い 場 合 を 考 え る とO1∩O2=φ

で 述 べ て い る こ と を こ の 場 合 に も成 り立 た せ る た め に は,実

だ か ら,(O2)

は

(O3)  空集 合 φは 開集 合 で あ る． と 約 束 し て お く必 要 が あ っ た の で あ る.以 (O3)も

下 で は,開

集 合 の 定 義 の 中 に,こ

の

加 え て お く こ と にす る.

  (O2)は

く り返 し て 用 い る こ とが で き る.た

とえば

O1∩O2∩O3=(Ol∩O2)∩O3 に お い て,O1∩O2は ∩O2∩O3が

開 集 合,し

た が っ て ま た(O1∩O2)∩03は

開 集 合 で あ る こ と が 結 論 で き る.同

様 に し て,開

通部分 O1∩O2∩ は,ま

… ∩On

た 開 集 合 と な る こ とが わ か る.

(O1),(O2)の

  さ て,(O1),(O2)の   (O1)の

証 明

証 明 に は い ろ う.

証明 ： Q=O1∪O2∪

…∪On∪ …

開 集 合,結

局O1

集 合 の有 限 個 の共

と お く．Qの

任 意 の 点Pを

と る.Pは

右 辺 の 和 集 合 に 含 ま れ て い る点 な の だ か

ら,Pは,O1,O2,…,On,…

の 少 な く と も1つ

う.Onは

分 小 さ い 正 数 εを と る と

開 集 合 だ か ら,十

と な る.し

た が っ てVε(P)⊂O1∪O2∪

に は 含 ま れ て い る.P∈Onと

… ∪On∪ …=Qと

しよ

な り,

(εは あ る 正 数) が い え た.し   (O2)の O1∩O2≠

た が っ てQは

証 明:(O3)を

開 集 合 で あ る. 認 め て い るか ら,

φ の と き だ け 示 す と よ い.任

点P∈O1∩02を

と る.Pは

意に

開 集 合O1,O2

に 含 ま れ て い る の だ か ら,あ

る 正 数 ε1,ε2

が 存 在 して

と な る.し

た が っ て,ε=Min(ε1,ε2)(ε1と

ε2の 小 さ い 方)と

図19

お くと

とな る． この こ とは,O1∩O2が

開 集合 で あ る ことを 示 してい る.

閉 集 合 の 基 本 的 な性 質 対 応 して,閉 集 合 につ い て,次 の基本 的 な性 質 が 成 り立 つ. (F1)F1,F2,…,Fn,… Fn∩

が 閉 集 合 な ら ば,こ

の 共 通 部 分F1∩F2∩

… ∩

… も 閉 集 合 で あ る.

(F2)F1,F2が

閉 集 合 な らば,和

集 合F1∪F2も

ま た 閉 集 合 で あ る.

 (F1)を 無 条 件 で成 り立 たせ るた め には,次 の補 足 的 な規 約 (F3)  空集 合 φは閉 集 合 で あ る. を 加 え て お く必 要 が あ る.   (F1)は,特

別 な場 合 と して,有

限 個 の閉 集 合 の共 通 部 分 は 閉集 合 で あ る とい

う命 題 を 含 ん で い る し,ま

た,(F2)を

く り返 し て 適 用 す る こ と に よ り,有

限個

の 閉 集 合 の 和 集 合 は ま た 閉 集 合 とな る こ と もわ か る.   (F1)の

証 明:P1,P2,…,Pn,…

n→ ∞ の と き,Pn→Pと

をF1∩F2∩

す る.点

ま れ て い て,各Fnは

… ∩Fn∩ … か ら と っ た 点 列 と し,

列{Pn}は,.F1,F2,…,Fn,…

のそ れ ぞれ に含

閉 集 合 だ か ら,P∈F1,P∈F2,…,P∈Fn,…

た が っ てP∈F1∩F2∩

… ∩Fn∩ … と な り,F1∩F2∩

と な る.し

… ∩Fn∩ … が 閉 集 合 で あ

る こ と が 示 さ れ た.   (F2)の

証 明:P1,P2,…,Pn,…

き,Pn→Pと

す る.F1,F2の

をF1∪F2か

ら と っ た 点 列 と し,n→

い ず れ か 少 な く と も 一 方 は,P1,P2,…,Pn,…

の 無 限 個 の 点 を 含 ん で い る.た

と え ばF1が

をPi1,Pi2,…,Pin,…

の と き 明 ら か にPin→P(in→

と す る.こ

閉 集 合 だ か ら,P∈F1.し

∞ の と

無 限 個 の 点 を 含 ん で い る と し,そ

た が っ て も ち ろ んP∈F1∪F2.こ

∞)で

の中 れ

あ る.  F1は

れ でF1∪F2が

閉集

合 で あ る こ と が 示 さ れ た.

問1 

(1) 

数 直 線 上 で,有

限 個 の 点 か ら な る 集 合 は,閉 集 合 で あ る こ と を 示 せ.

  (2)  数 直線 上 で,整 数 を座 標 に もつ 点 全 体 は,閉 集 合 で あ る こ とを示 せ. 問2  数 直 線上 で,有 理 数 を座 標 に もつ 点 全 体 のつ くる集 合 は,開 集 合で も閉集 合 で もない こ とを示 せ. 問3  座 標 平 面上 の 開集 合Oに

対 し,Oを

x軸 上 に射 影 して得 られ る集合 π(O)={x￨適

当 なyに 対 して(x,y)∈O}

は,数 直 線 上 の 開 集 合 と な る こ と を示 せ

図20

(図20). Tea

Time

開 集 合 の補 集 合 は 閉集 合,閉 集 合 の補 集合 は開 集 合 平面 の 開集 合Oを

考 え よ う.平 面 か らOを

除 い た残 りの 集合Fを,Oの

補集

合 とい うが,上

の タ イ トル に 述 べ て い る 最 初 の こ と は,こ のFが

い う こ と で あ る.Tea 並 み と,そ

Timeら

の 外 に は 草 原 が 広 が っ て い て,こ

を 開 集 合Oと

考 え,町

並 み の 外,す

の 境 に 城 壁 が あ る と し よ う.町 並 み

な わ ち 草 原 と城 壁 をFと

集 合 で あ る こ とを 示 し た い.P1,P2,…,Pn,… 馬 の 列 と す る.こ に な い.な

の 列 が,あ

ぜ な ら,も

る地 点Pに

しPが

考 え よ う.Fが

の と きPは

町 並 み の 中 に あ れ ば,Pの

町 並 み の 中 に あ り,し

も町 並 み の 中 に 入 っ て し ま っ て い な くて は な ら な い.騎

た が っ て 番 号 が あ る 所 か ら 先 の 騎 馬 の 列Pn+1,

み の 外 に い た の だ か ら,こ

れ は 矛 盾 で あ る.し

り,こ

閉 集 合 で あ る こ と が 示 さ れ た.

  閉 集 合 の 補 集 合 が 開 集 合 で あ る こ と も,背 者 は,開

町並 み の中

十 分 近 くの 場 所(ε-近

Pn+2,…

で は 省 略 し よ う.(読

閉

は草 原 の 中 を走 っ て来 た一 群 の騎 近 づ く と す る.こ

傍!)も

れ で 町 並 み の 外Fが

閉集 合 で あ ると

し く,こ れ を お 話 の よ う な 形 で 示 し て み よ う.町

馬 の 列 は,町

た が っ てPは,町

理 法 で 示 さ れ る が,こ

集 合 で な い とす る と,ど

並

並 み の外 にあ

の 証 明 は ここ

の よ うな 矛 盾 が 導 か れ る

か 考 え て み る と よ い.)

質 問   開 集 合 と 閉 集 合 の 基 本 的 な 性 質 を 見 ま す と,開 … が 与 え られ た と き ,共 と,閉

通 部 分O1∩O2∩

集 合 の 系 列F1,F2,…,Fn,…

集 合 の 系 列O1,O2,…,On,

… ∩On∩ … が ど う な る か とい う こ と

が 与 え ら れ た と き,和

∪ … が ど う な る か と い う こ と が 述 べ ら れ て い ま せ ん.こ

集 合F1∪F2∪

… ∪Fn

れ ら は,一 体,ど

んな集

合 に な る の で し ょ うか. 答   O1∩O2∩

… ∩On∩ … は 開 集 合 に な る と き も あ る し(た

On⊂ … の と き),ま は,座

た 開 集 合 に な ら な い と き も あ る.開

と え ばO1⊂O2⊂

標平面上で

(原点 中心,半 径1+1/nの 円 の 内部)と お くと,こ の場 合,共 通 部 分 は

(b)

(a) と な り,閉 集 合 と な る(図21(a)).

…⊂

集 合 に な らな い例 と して

図21

  同 様 にF1∪F2∪ … ⊃Fn⊃ し て は,座

… ∪Fn∪ … は 閉 集 合 に な る と き も あ る し(た と え ばF1⊃F2⊃

… の と き),ま

た 閉 集 合 に な ら な い と き も あ る.閉

集合 に な らな い例 と

標平 面 上 で

と お く と,こ

の場 合,和

集合は

とな り,開 集 合 とな る(図21(b)).ま を{r1,r2,…,rn,…}と とお く と,F1∪F2∪

た,数

直 線 上 で,有

番 号 を つ け て 並 べ て,Fn={rn}(1点 … ∪Fn∪ … は,有

開 集 合 で も 閉 集 合 で もな い.

理 数 を 座 標 に もつ 点 か ら な る 閉 集 合!)

理 点 の 全 体 か ら な り,こ

れ は数 直線 上 で

第4講 集積点 と実数 の連続性

テ ー マ

◆ 集 積 点 の 定義 ◆ 開 集合Oの

点 は,す べ てOの

集 積点

◆ 開 集合 に境 界 点 は存在 す るか ◆ 実 数 の連 続 性,sup,  infの 存在 ◆ 区 間縮 小 法 ◆ コー シ ー列 の収 束 性 ◆ 開集 合 に境 界点 が 存在 す る こ との証 明

集

  点 列P1,P2,…,Pn,… Pn=…=Pの

が 点Pに

積

近 づ く と い っ て も,こ

場 合 も 含 ま れ て い る.こ

れ は い わ ば,点

ま で も足 踏 み し て い る 状 況 で あ る.確 と い わ れ れ ば,あ

点

の 中 に は, P1=P2=…= 列 が 同 じ点Pの

か に こ の と き も,点

列 がPに

え て 異 を 唱 え る わ け に は い か な い の だ が,'点

義 の 中 に こ の よ うな 場 合 も含 め た の は,数

学 で は,定

上 で,い

つ

近 づ いて い る

列 が 近 づ く'定

義 を 与 え る と き,で

き るだ

け 一 般 の 場 合 を 包 括 し よ う と 考 え て い る か ら で あ る.   しか し,ふ て い て,し

つ う,近

づ く と い う と き に は,や

か も こ の 点 列 が,あ

状 況 を 想 定 し て い る.数 は な ら な い.特

に,集

る点Pに

学 で は,こ 合Mか

は りP1,P2,…,Pn,…

向 か っ て,し

が相異なっ

だい に 密集 して集 って い く

の 状 況 を 改 め て 定 義 と し て 述 べ て お か な くて

ら と り出 し た 点 列 が,こ

の意 味 で密集 して近 づ い

て い く点 の 状 況 を 調 べ る こ と が 大 切 な こ とに な っ て く る. 【定 義 】  Mを

平 面(ま

な る点 列P1,P2,…,Pn,… 点 と い う.

た は 直 線)の が,n→

部 分 集 合 と す る.Mの

∞ の と き1点Pに

中 の 相 異 な る点 か ら

近 づ く と き,PをMの

集積

 点PはMに

含 まれ てい る とき もあ る し,含 まれ てい ない とき もあ る.

 定 義 か ら明 らか な よ うに,Mが

有 限 個 の点か らな る集 合 の とき には,Mの

集

積点 は存在 しない.ま た Mが

閉集 合 な らば,Mの

集 積 点 はすべ てMに

含 まれ てい る.

この ことは,閉 集 合 の定 義か ら明 らか で あ ろ う. 【例1】

数 直 線上 の集 合

を 考 え よ う.こ

の と きMの

集 積 点1と−1はMに

集 積 点 は1と−1で

あ っ て,

含 ま れ て い な い(図22).

図22 【例2】Mと は,こ

し て,相

異 な る点 列{P1,P2,…,Pn,…}を

の{P1,P2,…,Pn,…}か

と る と,Mの

ら 適 当 に 取 り出 した 無 限 点 列,す

集 積点 と

な わ ちMの

部

分点列 Pi1,  Pi2,…,Pin,… が 収 束 す る点 の こ とで あ る.こ 例1か

の こ と は 集 積 点 の 定 義 か ら もわ か る し,あ

るいは

ら も推 察 す る こ とが で き る.

【例3】   平 面 上 の 集 合  

B={(x,y)￨x2+y2<1}

を 考 え よ う.Bは は,Bの

原 点 中 心,半

径1の

円 の 内部 で あ る.こ

点 と,円 周 上 の 点 か ら な る.Bの

で あ ろ うが,証

の と き,Bの

点 が 集 積 点 に な る こ と は 明 らか な こ と

明 し よ う とす る と 次 の よ う に な る.(x0,y0)∈Bと

小 さ い 正 数 εを と る と

集積 点

す る と,十 分

と な る.し

たが って また

で あ る.  て お く.明

に 属 す る 点Pnを,  らか に 

円 周 の 点 は,円 る点 は,円

n=1,2,…

に 対 し て 相 異 な る よ うに と っ

が 成 り立 つ か ら,(x0,y0)はBの

の 内 部 の 点 か ら 近 づ け るか ら,Bの

集 積 点 で あ る.

集 積 点 で あ る.円

周 の外 にあ

の 内 部 の 点 か ら近 づ け な い こ と は 明 ら か で あ ろ う.

開集合の境 界点の存在   この例3か

ら もわ か る よ うに,開 集 合O(≠

φ)が 与 え られ た とき,Oに

れ てい る点 は,す べ てOの 集 積 点 とな って い る.し か し,Oの してい な い もの もあ る.な ぜ な らOが,全 '境界'の 点 が存 在 す る.こ Oの 集 積 点 であ るが,Oに

含ま

集 積点 で,Oに

属

平面 と一 致 しない 限 り,必 ずOに

は

の境 界 の点 は,Oの

内部 か ら近 づい て い け るか ら,

は属 してい な いか らで あ る.(城

壁 で 囲 まれ た町並 み

の た とえ話 を 思 い 出 してほ しい.境 界 の点 とは,い わ ば城 壁 上 の 点 であ る.)   この 開集 合Oに'境

界'の 点 が存 在 す る とい うこ とに,曖 昧 さを感 ず る読 者 が

い るか も しれ な い.曖 昧 さを感 じな くて も,一 般 の場 合 どの よ うに して この存 在 を証 明 す るのか と思 う人 は 多 い ので は なか ろ うか.実 際,こ の 証 明 はあ ま り 自明 とはい え な い の で あ って,実 数 の連 続 性 を必 要 とす る.こ れ か ら位相 の話 を続 け てい くに あ た っ て,実 数 の連 続 性 を必 要 とす る こ とが 多 い の で,こ の機 会 に実数 の連 続 性 につ い て述 べ て お く.そ の あ とで,こ の連 続 性 の 最初 の応 用 と して,全 平 面 と一 致 しな い 開集 合Oに

は,境 界点 が 存 在 す る こ とを示 す こ とに しよ う.

実数 の連続性   実数 の集 合 をRと 続 性'と

す る(Rに

つ い て は,『 集 合へ の30講 』 参 照).Rは,'連

よば れ る強 い 性質 を も ってい る.こ の連 続 性 につ い て は,い ろい ろ な述

べ 方 が あ るが,こ

こで の 話 の続 き方か らい え ば,'上 端(sup),下

在'の 形 で,連 続 性 を述 べ て お く ことが望 ま しい と思 わ れ る.   まず,有 界性 の定 義 を与 え る.

端(inf)の

存

【定 義 】MをRの 在 して,Mに

部分 集 合 とす る.Mが

上 に有 界 で あ る とは,あ る実 数kが 存

属 す るす べ て の実数xに 対 して x
が成 り立 つ こ とで あ る.   す なわ ち,数

直線 上 で表 わ せ ば,Mは

は いか な い とい う ことで あ る.Mを べ てのxに 対 してx≦cを

数 直 線 上 を右 の方 に ど こま で も 延 び て

上 に有 界 な集 合 とす る と き,Mに

み たす 実数cの

全体 のつ くる 集合 を,Mの

属 す るす 上 界 とい

う: Mの上 界    同様 に して,下 に 有 界 な集 合Nと,Nの え ば,Nの

下 界を 定 義 す る こ とが で きる.た

と

下 界は Nの下 界 

で与 え られ る(図23).

図23

実数 の 連続 性:Mを この ときMの

  こ の 最 小 元 をsupMと supremumか 目 し て,こ

上 界 に最 小 元 が存 在 す る.

表 わ し,Mの

ら き て い る.)直

上 に 有 界 な集 合 とす る.

上 端 と い う.(記

観 的 に は,図23で,Mの

の 点 を 左 へ 動 か し て い っ た と き,も

号supは,上

う これ 以 上,上

す こ とが で き な い と い う点 の 存 在 を い っ て い る.supMが,'上 で あ る とい う こ と を 数 学 的 に い い 表 わ す と 次 の よ うに な る.   1)  す べ て のx∈Mに

対 し,x≦supM.

  2)  ど ん な 小 さ い 正 数 εを と っ て も sup M− を み た すMの

元xが

存 在 す る.

ε<x

端 の英 語

上 界 に あ る1点Pに

注

界 の 中 で左 へ動 か 界 の''最

小 元'

  実 数xに

対 し て,−xを

逆 転 し,し は,下

対 応 さ せ る と,数

た が っ て ま た,大

小 関 係 も逆 に な る.こ

に 有 界 な 集 合 へ と変 わ る.こ

て お く と,同 時 に,次

直 線 は,原

点Oを

中 心 に し て,左

の 対 応 で,上に

右

有 界 な集 合

の こ とか ら,実 数 の 連 続 性 を 上 の よ うに 与 え

の こ と も成 り立 つ こ とが わ か る.

Nを 下 に有 界 な集 合 とす る.こ の と きNの

下界 に

最 大元 が存 在 す る.   こ の 最 大 元 をinfNと infimumか

表 わ し,Nの

下 端 とい う.(記

号infは,下

端 の英 語

の1)',2)'で

特 性づ け

ら き て い る.)

  上 端 の 性 質1),2)に

対 応 して,Nの

下 端inf

Nは,次

られ る.   1)'す

べ て のy∈Nに

対 し てinf N≦y.

  2)'ど

ん な 小 さ い 正 数 εを と っ て も y
を み た すNの   上 端,下 とを,よ

元yが

存 在 す る.

端 に つ い て は,図24を

参 照 し て,1),2);1)',2)'の

述べ て い る こ

く感 じ と っ て ほ し い.

図24   Mと

し て 開 区 間(a,b)を

と った と き inf M=a, 

で あ る.こ

の と き,下

間[a,b]を   な お,上 きsup

端 も,上 端 もMに

と る と,こ

Mも

属 し て い な い.し

の と き は 下 端aも,上

に も 下 に も有 界 な 集 合Mの

Mもinf

sup M=b

存 在 す る.

端bもNに

こ とを,単

か し,Nと

して閉区

属 し て い る.

に 有 界 な 集 合 と い う.こ

のと

連 続 性 か ら の2つ

の帰結

 実 数 の連続 性 か ら,し ば しば 用 い られ る次 の2つ の命 題 が示 され る. (Ⅰ) で,  ば,た

だ1つ

なら の 実 数cが

存 在 して

が 成 り立 つ.

(Ⅱ) 

数 列{an}{n=1,2,…)が

を み た して い る とす る.こ

の と き,た

だ1つ

の 実 数cが

存 在 して

が 成 り立 つ.

  (Ⅰ)の

証 明:

と お く.Mは

上 に 有 界 だ か らsup

bn−an→0に

よ り,supM=inf 

Mが Nと

あ る.Nは な る.c=sup よ り よ り

  (Ⅱ)の

証 明 の 概 略: Mn={an,an+1,an+2,…}

と お く.Mnは

上 に も 下 に も 有 界 な集 合 だ か ら cn=inf Mn, dn=sup Mn

が 存 在 す る ． 容 易 に 確 か め ら れ る よ うに

し た が っ て(Ⅰ)か

ら

下 に有 界 だ か らinf Nが M=inf

Nと

お くと

あ る.

と な る 実 数cが   (Ⅰ)は,見

存 在 す る.こ

方 を 変 え る と,閉

区 間 の減 少 列

[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃ が,bn→an→0を

み た し て い る と,あ

と な る こ と を 示 し て い る.こ   (Ⅱ)の

を み た し て い る.

のcは, 

… ⊃[an,bn]⊃ る 実 数cが

の 意 味 で(Ⅰ)を

…

存在 して

区 間 縮 小 法 と い う.

条件

を み た す 数 列{an}を

コ ー シ ー 列 とい う(コ

数 学 者(1789-1857)の

名 前).し

明 に 述 べ ら れ る こ とが 多 い.ま

ー シ ー(Cauchy)は,フ

た が っ て(Ⅱ)は,コ た こ の 性 質 を,実

ラン スの

ー シ ー 列 は 収 束 す る と簡

数 は 完 備 で あ る と い う.

開 集 合 の境 界 点 の 存 在 と 実 数 の 連 続 性   さて,実 数 の連 続 性か ら導 か れ る平 面 の部 分 集合 に関す る重 要 な性 質 は,次 講 で 述べ る ことに して,さ

し当 り 懸案 で あ った 事 実,平 面上 の開 集 合Oが 全 平 面

と一 致 しない な らば(も ち ろんO≠ φ も 仮定 す る),Oは

境 界点 を もつ こ とだけ

を示 してお こ う.  Oか

ら任意 の1点Pを

と る.Pを

の ときす べ て の半 直 線がOに らばOは

の 半 直 線L

原 点 と して 正の 方 向へ 延び

る 数 直 線 と 同 一 視 す る.そ

と し,L上 PはOの Oの

の 点P=inf

Mを

こで

と る と,

境 界 点 に な っ て い る.Pは

集 積 点 で あ る が,Oに

い な い.こ

含 まれ る とい うこ とは な い.な ぜ な ら,も しそ うな

全 平 面 と一 致 して し ま う.し たが って あ る半 直線Lは,先

属 さ な い 点 を も つ.こ を,Pを

始 点 とす る半直 線 を い ろい ろ描 い てみ る.こ

は属 して

の こ と は ほ と ん ど 明 らか

図25

の 方 でOに

な こ と で あ ろ うが,読 問1 

者 はinfの

定 義 に 戻 っ て 確 か め て み る と よ い.

単 調 増 加 の 数 列a1
cが 存 在 し て, 

が 上 に 有 界 な らば,必 ず あ る 実 数

と な る こ と を 示 せ.

問2  数 直 線上 の集 合

の 集 積点 の集 合 を求 め よ.

Tea

Time

有 理 数 の集 合 も,無 理数 の集 合 も連 続 性 の性 質 を もたな い.   実 数 が連 続 性 を もつ こ とは,実 数 の集 合 の もつ特 徴 的 な性 質 で あ って,実 数 の 部 分集 合 であ る有理 数 の集 合 を と ってみ て も,無 理 数 の 集合 を と ってみ て も,対 応 す る性 質 は成 り立 た ない.た とえ ば は 有理 数}

とお くと,Mは

有理 数 の 中 で上 に 有 界 な集 合 で あ るが,上 限(実 は 

理数 の 中に は存 在 しない.ま 限(実 は0)は,無

たNは

)は,有

無 理 数 の 中 で 下 に有 界 な集 合 で あ るが,下

理 数 の 中 に は 存 在 しな い.有

も,こ の よ うに連 続 性 の 性質 を もた な いが,2つ

理 数 の集 合 も,無 理 数 の集 合 の集 合 を 併 せ た実数 の集 合 は,

連 続 性 を もつ の で あ る.

質 問   開 集 合Oの

任 意 の 点 は,近

と な る こ と は わ か り ま し た.そ と か 知 りた く な り ま し た.一 の は,ど

点 が あ っ て,0の

集積点

れ で は 集 積 点 で は な い と い う こ と は,ど

く に い く ら で もOの

うい うこ

般 に,集

合Mの

点Pが,Mの

集積 点 で な い とい う

ん な 場 合 な の で す か.

答  質 問 に 答 え る前 に,ま

ずPがMの

集 積 点 と な る と い う こ と を,も

う少 し よ

 近 傍 

く調 べ て お こ う.Pの

を 考 え て み る.n=1,2,…

近 傍 は ど ん ど ん 小 さ く な っ て,Pに の 中 に,P以

外 のMの

近 づ い て い く.い

点Pnが

存 在 し た'と

と す る と,こ

ま,'ど

ん なnを

し よ う.こ

の

と っ て も 

の とき

(1) は,Pに

収 束 す るMの

か も し れ な い.し

点 列 と な る.P1,P2,…,Pn,…

た が っ てPが

の中 には 等 しい もの が あ る

集 積 点 と な っ て い る こ とを み る に は,も

う少 し議

論 が い る.  た とえ ばd(P,P1)=1/100

d(P,P100)<1/100 で あ る.こ

とす れ ば,P1≠P100は

だ か ら で あ る.次

成 り立 っ て い る.な

に も しd(P,P100)=1/230

の よ う に 考 え る と,(1)の

ぜ なら

な ら ば,P100≠P231

部分点列

Pi1,Pi2,…,Pi n,… で,互

い に 異 な る 点 か ら な る も の が とれ る.Pin∈Mで,Pin→Pだ

合PはMの

集 積 点 で な い た め に は,あ

と な っ て い な くて は な ら な い.逆 点 はP自

の場

集 積 点 と な っ て し ま う.

  した が っ て,PがMの

Mの

か ら,こ

るnを

とると

に こ の 条 件 が 成 り立 て ば,Pの1/n

身 し か な い の だ か ら,Pは

集 積 点 と な り得 な い.こ

の 近 くに は, こ で1/n は,

十分小 さい正 数 とい って も同 じ こ とであ る.   す なわ ち,PがMの

集 積 点 とな ら ない た め の必 要か つ 十 分 な条 件 は,十

分小

さい 正数 εが 存在 し て Vε(P)∩M={P} が 成 り立 つ こ とで あ る.こ の ときPはMの てい る感 じは,よ Mの

孤 立 点 とい う.PがMの

くわ か るだ ろ う.結 局,Mの

任 意 の点Pは,孤

集 積 点 とな って い るか,い ず れ か な ので あ る.

中 で孤 立 し 立 してい るか,

第5講 コ ン パ ク ト性

テー

マ

◆ 数 直線 上 の有 界 な 閉 集 合:無 限 個 の点 を 含め ば集積 点 を もつ. ◆ 平 面 の 有 界 な閉 集 合:無 限個 の 点 を含 め ば集 積 点 を もつ. ◆

この共 通 な 性 質 を コ ンパ ク ト性 とい う.

◆

コンパ ク トな集 合 は,有 界な 閉集 合 に 限 る.

数直 線上の有 界な閉集合  実数 の連続性 か ら次 の定理が導かれる. Mを

数 直線 上 の有 界 な 閉集 合 で,無 限個 の 点 を含 んで い る もの とす る.

この とき,Mは 【証 明 】 Mは

必ず 少 な くと も1つ の集 積点Pを

有 界 な 集 合 だ か ら,十

もつ.P∈Mで

分 大 き い 自 然kを

あ る.

とる と

M⊂[−k,k] と な る.区

間[−k,k]を2等

と き 次 の3つ

分 し,閉

区 間[−k,0]と[0,k]を

考 え る.こ

の

の 場 合 が お き る.

  (ⅰ)  [−k,0]の

中 に はMの

点 が 無 限 個 含 ま れ る が,[0,k]の

中 に はMの

点

は 高 々 有 限 個 し か 含 ま れ な い.   (ⅱ)  [−k,0]の に はMの

中 に はMの

  I1を2等

両 方 にMの

点 が 無 限 個 含 ま れ る.

と き に はI1=[−k,0],(ⅱ)の

左 側 に あ る[―k,0]を 長 さkの

中

点 が 無 限 個 含 ま れ る.

  (ⅲ)  [−k,0],[0,k]の   (ⅰ)の

点 は 高 々有 限 個 し か 含 ま れ な い が,[0,k]の

閉 区 間 で,Mの 分 す る.こ

と き に はI1=[0,k],(ⅲ)の

と っ て,I1=[−k,0]と

ときに は

お く.い ず れ の 場 合 で も,I1は,

点 を 無 限 に 含 ん で い る. の と き,こ

の2等

分 し た 区 間 にMの

点 が どの よ うに含 ま

図26 れ て い る か を み れ ば,(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)と る.し

た が っ て,そ

同 様 の 状 況 が お き て い る こ とが わ か

れ ぞ れ の 場 合 に 応 じ て,I1を

し た い ず れ か 一 方 の 閉 区 間 を と っ て,閉   I2は,長

さk/2の 閉 区 間 で,Mの

  次 にI2を

さ ら に2等

規 則 で そ の ど ち ら か1つ 閉 区 間 で,Mの

選 ん だ の と同 じ規 則 で,2等

区 間I2が

得 ら れ る.

点 を 再 び 無 限 に 含 ん で い る.

分 し て,(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)に を と る こ と に し て,そ

対 応 す る場 合 に 応 じ て,同 れ をI3と

す る.I3は

長 さ 

じ の

点 を 無 限 に 含 ん で い る.

  こ の 操 作 を 次 か ら 次 へ と く り返 し て い く こ と に よ り,閉 I1⊃I2⊃I3⊃

点 を無 限 に 含 ん で い る.ま

∞ の と き,0へ

近 づ く.し

た が っ て 区 間 縮 小 法 に よ り,

とな る1点Pが

存 在す る.Pの

たInの

長 さは 

で,n→

どんな 小 さい近 傍 を とっ て も,そ の 中 に十 分 先 の

Inが 含 まれ て お り,し た が って またMの 集 積点 で あ る.Mが

区 間 の減少 列

… ⊃In⊃ …

が 得 ら れ る.各InはMの

PはMの

分

点 が無 限 に含 まれ て い る.し たが って,

閉集 合 の こ とに注意 す る と,P∈Mで

あ る こ とが

わ か る.こ れ で証 明 され た. 平面上 の有界な閉 集合   い ま述べ た 数直 線 上 の有 界 な 閉集 合 の性 質 は,平 面上 の有界 な閉集 合 に対 して も成 り立つ 性 質 で あ る.な お,平 面 の部 分 集合 が 有 界 とは,十 分 大 きな正 方 形 の

中 に 含 ま れ て い る こ と で あ る. Mを

平 面 上 の 有 界 な 閉 集 合 で,無

こ の と き,Mは

  この 証 明は,数 は,Mを

限 個 の 点 を 含 ん で い る も の とす る.

必 ず 少 な くと も1つ

の 集 積 点Pを

もつ.P∈Mで

あ る.

直線 上 の有 界 な 閉集 合 の場 合 と 同様 の 考 えで で きるが,今

度

まず 大 きな 正方 形 の中 に 入 れ て お いて,こ の 正方 形 を4等 分 してい く

とい う操 作 を くり返 して い くこ とに な る.   まずMの

点 が無 限 に含 まれ て い る よ うな 正方 形 が与 え られ た と き,図27の

うに,こ の正方 形 を4等 分 して,番 号Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ をふ って お く.Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 順 で この小 正方 形 を 見 て い った とき,最 初 にMの

よ の

点 が無 限 に含 まれ てい る小 正

方 形 を取 り出す とい う規 則を つ くってお こ う.た とえばⅠ 番 目とⅡ 番 目には,M の 点 は有 限 個 しか 含 まれ てい な いが,Ⅲ 番 目にはMの

点 が 無 限 に 含 まれ る とい

うときは,Ⅲ 番 目の 小正 方 形 を取 り出 す とい う規則 で あ る.

図27   Mを

図28

含 む 正 方 形 をJ1と

の と き,正 正 方 形J3が

方 形J2が

し,こ

のJ1を4等

得 られ る.J2を4等

得 ら れ る.こ

分 して,今

分 して,再

の よ う に し て,1辺

の 規 則 を 適 用 す る.こ

び こ の 規 則 を 適 用 す る と,

の 長 さ が,前

の1/2と な る よ うな 正

方形 の系 列 J1⊃J2⊃J3⊃ が 得 られ る.各Jnに

はMの

… ⊃Jn⊃ …

点 が 無 限 に 含 ま れ て い る(図28).

とす る と,こ

の こ とは

で,bn−an→0,dn−cn→0を x0,y0が

示 し て い る.し

た が っ て 区 間 縮 小 法 に よ り,あ

る

存 在 して

と な る.P=(x0,y0)は,Mの

集 積 点 と な っ て い る.Mは

閉 集 合 だ か ら,P∈M

で あ る.   こ の 定 理 は,ふ る.直

つ う ボ ル ツ ァ ー ノ ・ワ イ エ ル シ ュ トラ ス の 定 理 と よ ば れ て い

観 的 に は,箱

の 中 に,無

で 想 像 上 の こ と だ が―,砂 て,ど

限 に 多 くの 砂 粒 が 入 っ て い れ ば―

粒 がす べ て離 れ 離 れ に な って い るわ け に はいか な く

こ か に 密 集 して くる こ と を い っ て い る.密

め る が,密

集 した究 極 の点 ―

う直 観 を 越 え て い る.こ

集 積 点―

集 す る と こ ろ ま で は 感 じが つ か

に 相 当 す る 砂 粒 が あ る か ど うか は,も

こ に 実 数 の 連 続 性 が 働 い て,数

点 が 存 在 す る こ とが,保

これ は あ く ま

学 の 中 で は,こ

の究 極 の

証 さ れ た の で あ る, コ ンパ ク ト 性

  平 面(ま

た は 直 線 上)の

性 を もつ,あ

る い は 簡 単 に,Mは

(C)  Mの Mの

集 合Mが

次 の 性 質(C)を

コ ン パ ク トで あ る と い う.

中 に必 ず 集 積点 を もつ.

をMの

中 の 任 意 の 無 限 点 列 と す る.そ

の 点 列 自 体 が 収 束 す る と は 限 ら な い が,こ Pi1,Pi2,…,Pi n,… は,必

ずMの

有 限 集 合 の と き に は,取

は 無 条 件 に 成 り立 っ て お り,Mは ら,Mが

コ ンパ ク ト

中か ら任意 に無 限点 列 を と った と き,こ の無 限点 列 は

  す な わ ち,P1,P2,…,Pn,…

  Mが

も つ と き,Mは

の と き,こ

の 中 か ら 適 当 に 取 り出 し た 部 分 点 列

あ る 点 に 収 束 す る,と

い う性 質 で あ る.

り 出 す べ き 無 限 点 列 が な い か ら,こ コ ン パ ク トで あ る と 考 え る.ま

無 限 個 の 点 を 含 む 有 界 な 閉 集 合 の と き に も,Mは

の と き,(C) た上 の 証 明か

コ ン パ ク トで あ る こ

とが わ か る.実

際,Mに

含 まれ る無 限点 列 に注 目 して,上

法(直 線 の場 合 は2分 法)を

で示 した よ うな4分

くり返 して い くと よい.

  有 限集 合 は,も ち ろ ん有 界 な閉 集 合 だか ら,こ の2つ の結 果 は,ま とめ て簡 単 に 有 界 な 閉 集 合 は コ ン パ ク トで あ る.

と い い 表 わ さ れ る.   と こ ろ が この 逆 も成 り立 つ. コ ン パ ク ト性(C)が

成 り立 つ 集 合 は,有 界 な 閉 集 合 で あ る.

【証 明 】  平 面 の集 合 の場 合 だ け 示 してお こ う.(数 直 線 上 の集 合 に対 して も,以 下 の推 論 は全 く同様 で あ る.)次 の2つ の こ とを 示 す と よい.   (ⅰ)  有界 で なけ れば(C)は

成 り立 た ない.

  (ⅱ)  閉集 合 で な けれ ば(C)は

成 り立 たな い.

(ⅰ)

(ⅱ)

図29   (ⅰ)  の 証 明:Mは

有 界 で な い とす る.こ

に 大 き い 円 を 描 い て も,こ

の と き,原

の 円 の 外 に あ るMの

点Oを

中 心 とす る ど ん な

点 が 存 在 す る.こ

の こ とか らM

の点列 P1,P2,…,Pn,… で,d(O,Pn)→

∞(n→

∞)と

な る も の が あ る.こ

の 点 列 は,明

らか に集 積 点 を

も た な い(図29(ⅰ)).   (ⅱ)の

証 明:Mは

て み る と,Mの が, 

閉 集 合 で な い とす る.こ

点 列P1,P2,…,Pn,…

の と き,閉

が 存 在 し て,こ

と い う事 態 が お き て い る.平

集 合 の 定義 を 思 い 出 し

の 点 列 は1点Pに

収 束す る

面 全 体 の 中 で 考 え れ ば,P1,P2,…,Pn,…

の 集 積 点 は 明 らか にPた

だ1つ

で あ る.こ のPがMに

属 し て い な い の だ か ら,M

は 性 質(C)を

み た し て い な い.

  す な わ ち,結

局 次 の 結 果 が 証 明 され た こ と に な る.

Mが

コ ン パ ク トで あ る た め の,必

Mが

有 界 な 閉 集 合 で あ る こ とで あ る.

Tea

質 問   コ ン パ ク トと い う性 質 が,有

Time

界 な 閉集 合 の 特 徴 的 な 性 質 な ら ば,何

ン パ ク トと い う 言 葉 を わ ざ わ ざ も ち 出 して,Mは い う必 要 も な い よ うに 思 い ます.有 うか.定

も 同 感 で あ る.し

の こ と は 当 て は ま らな い.確

面 上 の集 合 に つ い て は,コ

合 とい え ば 済 む こ とで あ る.だ (C)は,点

コ ン パ ク トで あ る と 改 ま っ て

た ち に は 助 か る の で す が.

答   定 義 が 少 な い 方 が 助 か る とい う の は,私

合 や,平

も,コ

界 な 閉集 合 とい うだ け で十 分 で は な い で し ょ

義 は な るべ く少 な い 方 が,僕

ク トと い う定 義 につ い て は,こ

要 か つ 十 分 な 条 件 は,

か し,こ

か に,数

の コンパ

直線上 の集

ン パ ク トな 集 合 とい わ な くと も,有 界 な 閉 集

が,こ

こで 取 り出 さ れ て きた コ ン パ ク トの 性 質

列 に 限 らず 何 か あ る 系 列 が'近

で も 定 義 さ れ る こ と を 注 意 し よ う.た

づ く'と い う概 念 の あ る所 に は,い

つ

とえば

y=xn(n=1,2,…) と い う連 続 関 数 の 系 列 は, 

の 範 囲 で'集 積 点'を も つ だ ろ うか と い う こ

とを 問 うて み る こ とが で き る.こ の と き.'近 づ く'と は,グ ラ フ が 各 点 で 近 づ く こ と に し て お く.y=xnの

グ ラ フを か い て み る とわ か る よ うに,こ

続 関 数 の 中 で は 集 積 点 を も た な い.も

の 関 数 列 は,連

し単 に グ ラ フ の 形 に だ け 注 目 す る な ら ば,

x2,x4,x6,…,x2n,…

の グ ラ フ は,図30(a)の

形 の 折 れ 線 に 近 づ き, x,x3,x5,…,x2n+1,…

の グ ラ フは,図30(b)の うに い え る の で あ る.連

折 れ 線 に 近 づ く.い ず れ に し て も,私 続 関数 の系 列

た ち は,次

のよ

(a)

(b) 図30

は,コ

ン パ ク トの 性 質(C)を

ク トの 性 質(C)を れ に つ い て は,ア

も つ の は,ど

も た な い.そ

れ で は,連

続 関 数 の 系 列 が,コ

ンパ

ん な と き か と い う問 題 が 次 に 生 ず る だ ろ う.こ

ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラ の 定 理 と い う も の が あ り,非 常 に 応 用 の 広

い 定 理 と な っ て い る.   現 代 数 学 の さ ま ざ ま な 場 所 で み ら れ る コ ン パ ク ト性 の重 要 さ を 考 え る と,む ろ 今 で は,有

界 な 閉 集 合 とい う母 胎 の 中 か ら,コ

が 誕 生 し て き た と い っ て よい 状 況 に な っ て い る.

し

ン パ ク ト とい う注 目す べ き性 質

第6講 写像 と集合演算 テーマ

◆ 関 数 の見 方 か ら写像 の見方 へ ◆ 平 面 か ら平 面,ま た は 数直 線 上 へ の 写像 ◆ 集 合 か ら集 合 へ の写 像 ◆ 部 分 集合 の 像 と逆 像 ◆ 部 分 集合 の 間 の基 本 演 算―

和 集 合 と共通 部 分―

と写 像 との 関 係

◆ 集 合 列 の和 集合 と共 通 部分 と,写 像 との関 係

実 数,ま

た は 座 標 平 面 上 で 定義 され た 関 数 と写 像

  実 数 上 で 定 義 され た 関 数 y=x2+x+1,y=2sinx+1,y=5ex は,実

数xに

ら 離 れ て,視 (集 合!)Rか   一 般 に,集 元yを

対 し,実

数yを

対 応 させ て い る.こ

点 を も っ と 一 般 に し て み て み る と,こ らRへ 合Xか

ら 集 合Yへ

座 標 平 面 の 各 点P(x,y)に

の 写 像 ψ とは,Xの

  一 般 に,R2か

対 し て,原

点Oか

は,座 標 平 面R2か

関数  る こ と が で き る.ま

た,座

らR2へ

各 元xに

数 の集 り

と 表 わ さ れ る こ とを 注 意 し て お こ う.

に 関 し対 称 な 点

の 写 像 を 与 え て い る.

の 関 数f(x,y),g(x,y)と

ψ:x′=f(x,y),y′=g(x,y)

の写 像 を 与 え て い る とみ

対 し て,x軸

の 写 像 ψ は,点P(x,y)に れ は2つ

あ る

を 対 応 させ る

ら の 距 離 

ら実数Rへ

らR2へ

対 し てYの

書 く.

標 平 面 の 各 点P(x,y)に

対 応 させ る 対 応 は,R2か

せ る 規 則 で あ るが,こ

れ ら の 関 数 は,実

の 写 像 の 例 を 与 え て い る.

対 応 させ る 規 則 の こ と で あ る.y=ψ(x)と

Q(x,−y)を

れ ら の 関 数 の もつ 個 々 の 性 質 か

対 し て 点Q(x′,y′)を に よっ て

対応 さ

  な お,単 な る言葉 の使 い方 にす ぎな いが,ふ 写 像 を,X上

つ うは,集 合Xか

ら実 数Rへ

の

の関 数 とい うよ うで あ る.こ の場 合 で も,写 像 とい う とき と,関 数

とい うとき には,人 に よ って,多 少 ニ ュアン スの違 いは あ るか も しれ な い.し か し,数 学 の定 義 とし ては,同 じ もの を指 してい る.

集 合 か ら集 合 へ の 写 像   この よ うな 写像 を,こ れか ら しだ い に一 般 的な 立場 で取 り扱 う必 要 が生 じて く るので,集 合Xか

ら集 合Yへ

の 写 像 の基 本 的 な こ とが らにつ い て,こ こで 少 し

ま とめ て 述べ てお こ う.   集 合Xか

ら集合Yへ

とお く こ と に よ り,Aの

の写 像 ψが 与 え られ る と,Xの

ψ に よ る 像 ψ(A)が

部 分集 合Aに

決 ま る.ψ(A)はYの

対し

部 分集 合 と

な っ て い る.

図31   Xの 部 分集 合 全体 のつ くる集合 を 〓(X),Yの る と,Xの

部 分 集合Aに

部 分集 合 全 体 のつ くる集 合 を 〓(Y)と す

ψ(A)を 対 応 させ る対 応 は,〓(X)か

られ る,し た が って,写 像 ψ:X→Yが

ら〓(Y)へ

与え られ る と,〓(X)か

ら〓(Y)へ

の写 像 と考 え の写 像 が新 し

く生 まれ て くる とい う 見 方 もで き るわ け で あ る.こ の 見方 を 強調 した い とき に は,〓(X) か ら〓(Y)へ

の この 写像 の こ とを,ψ の 拡 張写 像 とい い,ψ と表 わす こと もあ る.

  特 に,Yの

部 分 集 合 ψ(X)を,Xの

と き,ψ

をXか

らYの

像(ま

た は 像 集 合)と

上 へ の写 像 とい う

  x≠x′ の と き ψ(x)≠ ψ(x′)が 成 り立 つ な ら ば,ψ は1対1の   ψ が,Xか

らYの

す な わ ち ψ−1は

い う.ψ(X)=Yの

上 へ の1対1写

写 像 で あ る とい う.

像 の と き,ψ の 逆 写 像 ψ−1：Y→Xが

決 ま る.

とい う関 係 に よ って決 まる.   集 合Xか

ら集 合Yへ

像 φ,集 合Yか

の写

ら 集 合Zへ

の写 像 ψが 与 え られ る と,X か らZへ

の 写 像ψoφが 図32

とい う関 係 で 決 ま る.こ の関 係 は下 の図式 の よ うに 表 わ した方 が見 や す いか も し れ ない.

写 像ψoφ を,φ

と ψ の 合 成 写 像 と い う.

部 分 集 合 の 演 算 と写 像 と の 関 係   Xか らYへ

の写 像 φが 与 え られ た とき,い

ま述べ た よ うに,Xの

部 分集 合A

の,φ に よ る像 φ(A)を 考 え る こ とがで き る.部 分 集 合 に注 目す る この考 えは, φが1対1写

像 で な い と きに も,逆 にYの

部 分集 合Cに

対 して,Cの 逆 像 

を 考 え る こ とを 可 能 にす る.

φ−1(C)は,φ

に よ っ てCの

中 に 移 さ れ る 元x全

体 か ら な るXの

部 分 集 合 であ

る.

図33   図33で,Cが

φ(X)の

当 然 の こ と で あ る.こ

外 に あ る と き, 

の と き は 

は ど うな る だ ろ う と 思 うの は (空 集 合!)と

な っ て い る.空

集合 φ

 

は,任

意 の 集 合 の 部 分 集 合 で あ る と い う約 束 が,こ

う した と き,有

効 に き くの で

あ る.   部 分 集 合 の 間 に は,和 の 演 算 と,写   φ をXか

集 合 を と る 演 算 ∪ と,共 通 部 分 を と る 演 算 ∩ が あ る.こ

像 と の 関 係 に つ い て は,次 らYへ

の 結 果 が 成 り立 つ.

の 写 像 と し,A,B⊂X,C,D⊂Yと

す る.

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ)

だ か ら,ま

【証 明】(ⅰ) 

ず 

が成 り立 つ こ とがわ か る.逆 向 きの包 含 関 係 を示 す た め に  こ の と き,あ

るx∈A∪Bが

存 在 し てy=φ(x)と

な らば 

で あ る. 

が 成 り立 つ.こ

な っ て い る. 

な らば 

し た が っ て 

が 成 り立 つ こ と が わ か っ た.

が

か ら, 

(ⅱ)  成 り立 つ こ と は 明 らか で あ る.こ らRへ

こ で 等 号 が 一 般 に は 成 り立 た な い 例 と し て は,

の 写 像 

を と り,A=[−1,0], 

B=[0,1]を

と

で

る と, 

あ る が,  し た が っ て  と な

り, 

で あ る.こ

の 例 よ り も,図34で

示 し て あ る 例 の 方 が,わ

か りや す い か

も し れ な い.   (ⅲ)と(ⅳ)の し て お こ う:

か, 

を 示 してお り,結 局 前 

の こ と は 

の こ と と併 せ て 

φ と してRか

と す る.

うち,(ⅳ)だ

け示 図34

が成 り

 だ か ら, 

とす る.こ

立 つ こ とが わ か る.逆 の 包含 関 係 を示 す た め  か ら 

とき 

か ら 

また 

こ の こ と は 

の

し た が っ て 

を 示 し て い る.ゆ

え に 

前 の 包 含関 係 と併 せ て, 

が

見 比 べ て み る と,部

よ

示 さ れ た.   (ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)を り,む

分 集 合 の 演 算 に 関 し て は,φ

し ろ φ−1の方 が 自 然 に 振 舞 っ て い る こ とが わ か る.第8講

性 を 述 べ る際,開

集 合Oの

こ こ で(ⅲ),(ⅳ)の

逆 像 φ−1(O)が

で,写

像 の連 続

考 察 の 対 象 と な っ て くる.そ

の た め,

性 質 を よ く注 意 し て 覚 え て お い た 方 が よ い.

集 合 列 の 演 算 と写 像 と の 関 係

  開 集 合 や 閉 集 合 の 基 本 的 な 性 質 の と ころ で もみ た よ う に,一 列A1,A2,…,An,… こ と が で き る.こ

に 対 し て も,和 集 合 

や,共

般 に は,集

通 部 分 

合 の系

を考 え る

の よ うな 可 算 個 の 集 合 の 和 集 合 や 共 通 部 分 に 対 し て も,同

様の

結 果 が 成 り立 つ.

(ⅰ)'

(ⅱ)' (ⅲ)'

(iv)'   証 明 は,前

と全 く同 様 に で き る.こ

こで も,(ⅲ)',(ⅳ)'の

性 質 に,特

に注 目

し て お い て ほ し い.

集 合 族 の 演 算 と写 像 との 関 係

  『集 合 へ の30講

』 を 読 ま れ た 方 は,も

空 で な い 集 合)に

対 し て も 和 集 合 

と を 学 ば れ た で あ ろ う.た は 

(Nは

,共

と え ば,集

自 然 数 の 集 合)と

っ と 一 般 に,部

分 集 合 族 

通 部 分 

合 列A1,A2,…, 

表 わ され,和

集 合,共

は

が 定義 され る こ An,…

は,こ

通 部 分 は,そ

の記 法 で れ ぞれ

 と表 わ さ れ る. こ の 場 合 に も,上

と 同 様 な こ と は成 り立 つ こ と が 示 さ れ る.

(ⅰ)"

(ⅱ)" (ⅲ)" (ⅳ)"

Tea

写 像 φ:X→Yが で,φ−1(E)の   一 読 し た だ け で は,何 を 説 明 し よ う.Yの る.Ecは

与 え られ て い る と き,E⊂Yの

を い っ て い る か わ か りに くい か も し れ な い が,こ

部 分 集 合Eの

補 集 合Ecと

は,Yか

らEを

の こと

除 い た残 りであ

したが って

右 の 図 参 照).こ

れ をXか

らYへ

の写 像 φに

方 へ 引 き戻 し て み る と

す な わ ち,(ⅲ),(ⅳ)か

とな る.こ

補 集 合Ecは,φ−1

補 集 合 φ−1(E)cへ 移 る.

と い う性 質 を も っ て い る(図35の よ っ てXの

Time

ら

の こ とか ら, 

が,Xか

ら 

を除 い た 残 りとな って い

図35 る こ とが わ か る(直 観 的 に は 明 らか で あ ろ う が,厳 密 に 示 す こ と もで き る(『 集 合 へ の30講

』 第11講Tea

Time参

照).す

なわ ち

が 成 り立 つ.こ

れ が 冒 頭 で 述 べ て い る こ と で あ る.簡 単 に い え ば,部

引 い た 残 りは,ψ−1で,や

は り残 りの 集 合 へ と移 る と い う こ と で あ る.

質 問   今 ま で 僕 た ち が 関 数y=x2−5xやy  xの あ る 値 に 対 し て,yが た.こ

=cos 3xな

どを 考 え る と き,い

ど の よ う な値 を と る か だ け が,問

こ で の お 話 し で は,今

に な っ て い る か とか,y軸

分 集 合Eを

度 は,x軸

題 とな って い ま し

上 の 部 分 集 合Aが,y軸

上 の 部 分 集 合Cへ

移 さ れ る よ うなx軸

な もの か と い っ た こ と を 考 え る よ う に な る と い う こ と で す が,僕 は 随 分 目 新 しい 考 え の よ うに み え ます.ど

つで も

上 で どの よ う 上 の 集 合 が どん た ち に は,こ

れ

う し て こ うい う見 方 が 必 要 な の で し ょ

うか. 答  日 常 で も,こ え ば,東

の よ うに 部 分 集 合 が 移 る 先 を 考 え る こ と もあ る の で あ る.た

京 か ら 京 都 へ 向 け て2台

の 自 動 車 が 東 名 高 速 道 路 を 走 り出 した 場 合,こ

の 走 行 距 離 は 出 発 時 か ら 経 過 し た 時 間 の 関 数 と し て,そ と表 わ さ れ る.(時

間tの

1時 間20分(80分)ま と き に は,t軸

と

単 位 は 分 に と っ て お く.)私

れ ぞれy=f(t),y=g(t) た ち は,出

発 後40分

か ら

で の 間 に,2台

の 自動 車 が どの 辺 りを 走 っ た か を 考 え る

上 の 区 間[40,80]のfとgに

よる像 を考 え て い る こ とに な るだ ろ

う.   こ の よ うな 日常 的 な 話 を 離 れ れ ば,私 逆 像 の 考 察 を 必 要 とす る の は,次 た い の は,`近

た ち が ここで写 像 に よる部 分集 合 の像 や

の よ うな こ と に よ っ て い る.私

さ'に つ い て の 数 学 的 取 扱 い で あ り,こ

だ け で は な くて,1点

の 近 く,た

の 場 合,'近

係 し合 うか を み る た め に は,単 く―

さ'と は,1点

と え ば εを い ろ い ろ に と った と き の ε-近傍 で の

状 況 を 調 べ る こ と に よ っ て 明 らか とな る も の で あ る.し の 写像 φ が 与 え ら れ た と き,φ

た ち が問 題 と し

に よ っ てXとYの に1点

た が っ て,Xか

近 さ の 性 質 が,ど

らYへ の よ うに関

が ど こ に 移 る か だ け で は な くて,1点

の近

ε-近傍―

が ど の よ う に 互 い に 移 り合 っ て い る か を 調 べ る こ と が 必 要 と な

る.こ

の と き,考

察 の 中 心 は,点

る.こ

れ は 実 は 第8講

の 対 応 か ら,部

の テ ー マ で あ る.

分 集合 へ の 対応 へ と移行 し て く

第7講 連

続

性

テ ー マ

◆ 関 数 の グ ラフがつ なが って い る場 合 と,つ なが っ て いな い場 合 ◆ 連 続 性―

グ ラ フの つ なが り

◆ 連 続 性 と近 さ ◆1点

にお け る連続 性

◆ 各 点 にお け る連 続 性―

連 続 関数

◆ 連 続 写像 ◆ 連 続 写像 に よ って コン パ ク ト性 は保 た れ る.

つ な が って い る グ ラ フ

  数 直 線 上 で 定 義 され た 実 数 値 関y=f(x)を う に 数 直 線 上 の 点 をPで しか し,必

要 な と き に 改 め てPの

は,y=f(x)の

考え る.も

表 し て,y=f(x)の

ち ろ ん,第1講

代 りに,y=f(P)と

のよ

書 い て も よ い.

座 標 を 明 示 す る 面 倒 さ を 避 け る た め に,こ

こで

記 法 を 用 い る こ と に す る.

  よ く知 ら れ て い る よ うに,関 ラ フ 表 示 が 用 い ら れ る.た

数y=f(x)の

対 応 を 示 す の に,座

標平 面 上 の グ

と えば y=mx+n

の グ ラ フ は,傾

き がmで,y軸

の 切 片 がnで

あ る 直 線 で あ り,

y=ax2+bx+c(a≠0) の グ ラ フ は 対 称 軸 がy軸

に 平 行 な 放 物 線 で あ る.ま y=sin

の グ ラ フは,周

期2π で 高 さ が1と−1の

た三 角 関数

x 間を 波 打 つ 曲線 と して 表 わ され て い る

(図36).   これ ら の グ ラ フ は,す

べ て 切 れ 目が な く`つ な が った 曲 線'と

な っ て い る.

図36   これ に 反 し て,た は,原

と え ば 次 の よ う に定 義 さ れ るy=sgn

xと い う関 数 の グ ラ フ

点 の と こ ろ で 切 れ て い る:

ま た,

で 与 え られ る 関 数 の グ ラ フ も,原 つ な が っ て い な い(図37,破

点 の と ころで

線 で 示 され て い る

グ ラ フ).

図37

関 数 の1点   これ か ら,関 数y=f(x)が

にお ける連続性

連 続 で あ る とい う性 質 を どの よ うに 捉 え た らよい

か を 考 え た い ので あ るが,ま ず 連 続性 につ いて 最 も 素 朴 でわ か りや す い いい 方 は,次 の よ うに 述べ る ことで あ る:   関数y=f(x)の

グ ラ フが つ なが って い る とき,y=f(x)は

連 続 関 数 であ る と

い う.   このい い 方 で,連 続 性 とい うこ とで関 数 の どの よ うな 性質 に注 目した いか とい うこ とは ひ と まず わ か るのだ が,し か し これ は数 学 の 定 義 として は適 当 で な い.

な ぜ か とい う と,グ

ラ フ が つ な が っ て い る と い う こ とが,ど

実 は あ ま りは っ き り し な い か ら で あ る.眼 よ い 人 と悪 い 人 と で は,結

う い う こ とな の か,

で 見 て 確 か め る と い うの で は,視

果 が 違 っ て くる だ ろ う.

  グ ラ フ が つ な が っ て い る と い う こ と を 厳 密 に 定 義 し よ う とす る と,最 つ く こ と は,こ

れ は グ ラ フ 上 の1点

し てy=f(x)の

点

わ ば視 線 を動 か して いか

ラ フ が つ な が っ て い る な ら ば,xを

少 し変 え た と き,対

応

値 も 少 しだ け 変 わ るだ ろ

う.ま

たxに

るyの

値 の 方 も,f(x)へ

だ ろ う.'近

初 に 気が

だ け の 性 質 で は な い と い う こ と で あ る.各

の 近 く で の グ ラ フ の つ な が っ て い く模 様 に 注 目 し て,い な く て は な ら な い.グ

力の

近 づ く点 列 が あ れ ば,対

と近 づ い て い く

づ く'と い う性 質 は,こ

全 体 の 主 題 で あ る.こ 性 の 背 景 に,'近

応す

の講 義

の よ うに して,連

続

さ'の 概 念 が 浮 か び 上 が っ

て く る.   そ こ で,連

続 性 を 近 さ の観点 か ら改 め て

定 義 し て み た い.そ f(x)を,数

直 線Rか

の た め に は,関 ら 数 直 線Rへ

1点aで,y=f(x)が て,f(a)に

数y=

図38

の 写 像 と み る 方 が 考 え や す い か も し れ な い.

連 続 で あ る と い う こ とを,aに

近 づ く 点 列 は,fに

近 づ く点 列 へ 移 さ れ る と い う こ と で 定 義 し よ う.す

【定 義 】 関y=f(x)が,x=aで 任 意 の 点 列x1,x2,…,xn,…

連 続 で あ る と は,n→ に 対 し,点

なわ ち

∞ の と き,aに

列f(x1),f(x2),…,f(xn),…

よっ

近づ く

がf(a)に

近 づ く こ と で あ る.   い いか えれ ば

n→ ∞ の と き, 

(矢 印 ⇒

は'な

ら ば'と

読 む と よ い.)

関 数の連 続性 と ころ が,こ の定 義 だ け では,グ ラ フがaの 近 くでつ なが って い る とい う こと

は いえ な い の で あ る.実 際,図39で 示 した よ う に,グ

ラフが しだ い に細

か い ち ぎ れ 雲 の よ う に な っ て,グ フ 上 の 点(a,f(a))に と き に も,グ に,上

ラ

近 づ い てい く

ラ フは切 れ 切 れ な の

の定 義 で 述べ て い る性質 は成

り立 っ て い る か ら で あ る.   で は,ど

の よ う に し て,グ

ラ フが

つ な が っ て い る とい う性 質 を,数

学

的 に 抽 出 し た ら よい だ ろ うか.こ の と こ ろ だ け に 注 目 し な い で,全

図39

の 答 を 得 るた め に は,図39の

体 を 眺 め て み る と よ い の で あ る.そ

雲 の 切 れ 目 に な っ て い る よ うな と こ ろ で は,右 らか か ら 近 づ く点 列 に 対 して は,定 か る.そ

とな る だ ろ う.グ

成 り立 つ,す

度 は,雲

の こ とか ら,ど な わ ち 

ち

の 点xを

つ の雲 と っ て も, が

の ち ぎれ が な くな っ て,全

体 と してつ な が った雲

ラ フが つ な が っ た の で あ る!!

  こ こ で 前 に 与 え た 素 朴 な 形 で の連 続 関 数 の 定 義 を,次 に し て,こ

の 方 か ら か,ど

ャ ン プ し て い るか らで あ る.(一

か ら 次 の 雲 へ と 連 続 的 に 乗 り移 れ な い!)そ

成 り立 つ とす る と,今

の 方 か ら か,左

うす る と,

義 で 述 べ て い る 性 質 が 成 り立 た な い こ とが わ

こ で グ ラ フ が 完 全 に 切 れ て,ジ

定 義 で 述 べ て い る性 質 がxで

グ ラ フ を,x=a

の 定義 にお きか え る こ と

れ を 連 続 性 の 出 発 点 と し よ う.

【定 義 】 各 点xで

次 の 性 質 が 成 り立 つ と き,関

  xに 近 づ く任 意 の 点 列x1,x2,…,xn,…

数y=f(x)は

連 続 で あ る と い う.

に対 し

写像の連続 性   こ こで与 えた 連 続性 の定 義 は,数 学 に と って,最 も基 本 的 な定 義 だか ら,も う 少 しい ろ い ろ調 べ て い くこ とに しよ う.   第2講 を 参 照 す る と,絶 対値 を 用 い て導 入 した 数 直線 上 の 距離dを 用 い る と,  とい うこ とは,

'ど ん な 小 さ い 正 数 εを と

っ て も,あ

る 番 号kで

  を み た す も の が あ る' と書 く こ と が で き る.連

続 性 の 定 義 か ら も 直 接 気 が つ く こ とだ し,ま

き直 し て み て もわ か る こ とだ が,連 な くて,距

離 が あ っ て,点

続 性 の 定 義 は,何

と え ば,次

う書

も数直 線 上 の関 数 だ けで は

列 が 近 づ く と い う概 念 が は い る 所 に は,同

べ る こ と が で き る の で あ る.た

た,こ

じ よ うに 述

の 定 義 を お く こ とは 自然 な こ と で あ ろ

う.   【定 義 】

平 面 か ら 平 面 へ の 写 像 ψ が,各 点Pで

次 の 性 質 を み た す と き,連

続写

像 で あ る と い う:   'Pに 近 づ く任 意 の 点 列P1,P2,…,Pn,…

  平 面 か ら 平 面 へ の 写 像 に 対 し て は,グ ら,写

像 ψがx′=f(x,y),y′=g(x,y)と

フ を 書 くた め に は,ま

ずx軸,y軸

に対 し

ラ フを 描 くわ け に は い か な い.な 座 標 で 表 わ さ れ た とす る と,こ

を 用 意 し,次

ぜな の グラ

に これ に 直 交 す る 方 向 にx′ 軸,

y′軸 を 引 か な け れ ば な ら な い.こ

ん な こ と は,3次

能 な こ とで あ る.し

面 か ら平 面 へ の 写 像 が 連 続 で あ る こ と は,グ

た が っ て,平

元 の 中 に住 む 私 た ち には不 可 ラ

フ が つ な が っ て い る こ と で あ る と い う よ う な 視 覚 的 な い い か え で 説 明 す るわ け に は い か な い.   数 直 線 上 の 関 数 の 場 合 か ら ス タ ー ト し た 連 続 性 の 定 義 は,こ れ る 可 能 性 を 内 蔵 して い る の だ か ら,グ だ わ る よ りは,む

しろ こ れ か ら は

  '連続 性 と は,近

づ く も の を,近

の よ うに一般 化 さ

ラ フ が つ な が っ て い る と い う考 え 方 に こ

づ く も の へ と移 す 性 質 で あ る'

と考 え て お い た 方 が よ い.   そ うす れ ば,同

じ よ う な 定 義 で,平

が 連 続 で あ る こ と も,ま

面 か ら数 直 線 へ の 写 像(平

面 上 の 関 数!)

た 数 直 線 か ら平 面 へ の 写 像 が 連 続 で あ る こ と も,同

述 べ る こ とが で き る だ ろ う.

様に

連 続 写 像 と コ ン パ ク ト集 合

  今 ま で 考 え た 範 囲 で は,写 と,平

像 と し て は,数

直 線 か ら数 直 線 ま た は 平 面 へ の 写 像

面 か ら 数 直 線 ま た は 平 面 へ の 写 像 と,4つ

の 場 合 が 考 え ら れ る.連

定 義 は こ の い ず れ の 場 合 に も 当 て は ま る よ う に 与 え て お い た が,次

続性 の

の 定 理 も,こ

の い ず れ の 場 合 に も 成 り立 つ.

【定 理 】 連 続 写 像 に よ っ て,コ

ン パ ク トな 集 合 は コ ン パ ク トな 集 合 へ 移 る.

【証 明 】  平 面 か ら平 面 へ の 連 続 写 像 ψ の 場 合 に だ け 示 し て お こ う.定 理 で 主 張 し て い る こ と は,Mを

コ ン パ ク トな 集 合 と す る と,ψ(M)も

に な る と い う こ と で あ る.第5講

の コ ン パ ク ト性(C)を

ま た コ ン パ ク ト集 合 見 る と,そ

の ため に は

を と る と,こ

の点 列 は 必

次 の こ と を 示 せ ば よ い こ と に な る.   (*)ψ(M)か ず ψ(M)の

中 に 集 積 点 を も つ.

  (*)の

証 明.Mの

ψ(Pn)=Qn,… Mの

ら 任 意 に 無 限 点 列Q1,Q2,…,Qn,…

点 列P1,P2,…Pn,…

の よ う に と る.P1,P2,…,Pn,…

コ ン パ ク ト性 に よ り,必

ずMの

ら 適 当 な 部 分 点 列Pi1,Pi2,…,Pin,…

と な る.ψ

の 連 続 性 か ら,こ

ψ(P)=Qと

す る と,P∈Mに

で あ る.す

な わ ちQは

  第5講

を,ψ(P1)=Q1,ψ(P2)=Q2,…,

中 に 集 積 点Pを

中 の 無 限 点 列 だ か ら, もつ.す

な わ ち,{Pn}か

を とると

のとき

よ り,Q∈

ψ(M)の

を 参 照 す る と,こ

は,Mの

ψ(M)で

集 積 点 で あ る.こ

あ って

れ で(*)が

証 明 さ れ た.

の定理 は

有 界 な 閉集 合 の連 続像 は,有 界 な閉集 合 であ る. と い っ て も 同 じ こ と を 述 べ て い る こ と に な る.

Tea

コ ンパ ク ト集 合M上

Time

で定 義 され た 連 続 関数 は,有

界 であ って,最

大 値,最 小 値 を と る.   講 義 の 中 で は,平

面 全 体 で 定 義 さ れ た 関 数 を 考 え て き た が,部

け で 定 義 さ れ た 関 数fに

対 し て は,Mに

す る と き,f(Pn)→f(P)が

成 り立 つ と き,連

の 証 明 が そ の ま ま 使 え て,Mが

直 線 の(し

(P∈M)の

点Pに

続 で あ る と い う.こ

コ ン パ ク トの と き,f(M)が,数

と し て コ ン パ ク トで あ る こ と が 示 さ れ る.し は,数

分 集 合M上

属 す る 点 列{Pn}が,Mの

た が っ てRの)有

た が っ て第5講

界 な 閉 集 合 で あ る.有

と る 範 囲 が 有 界 で あ る こ とが わ か る.そ

だ 収束

の と き,定

理

直線 上 の集 合 の 結 果 か ら,f(M) 界 性 か ら,ま

ずf(P)

こで

k=supp∈Mf(P) とお く.上

限 の 定 義 か ら,f(M)の

x2=…=xn=…=kの だ っ た か ら,k∈f(M)で f(P0)=kと

中 に 点 列x1,x2,…,xn,…

場 合 も あ る),xn→k(n→ あ る.こ

の こ と は,Mの

な る こ とを 示 し て い る.す

同 様 に し て,fはM上

質 問   以 前,本

∞)と

中 に1点P0が

な わ ち,fはP=P0で

閉集 合 存 在 して

最 大 値kを

と る.

で 最 小 値 を と る こ と もわ か る.

で 見 た こ とが あ る の で す が,x>0で

y=f(x)は,xが

が 存 在 して(x1=

な る.f(M)は

有 理 数 の と き 不 連 続,xが

次 の よ うに定 義 さ れた 関数

無 理 数 の と き連 続 と書 い て あ り ま し

た.

xがq/pと 既約 分 数 で表 わ され て い る と き xが 無 理 数 こ の 関 数f(x)は,連

続 の 所 と,不

連 続 の 所 が,入

こ の 感 じ が ど う も よ くわ か り ま せ ん,説 答   ま ずx=aが 分 母 が100ま

無 理 数 な ら ば,aでf(x)は で の 分数 

り ま じ っ て い るわ け で す が,

明 し て い た だ け ませ ん か. 連 続 で あ る こ と を 示 し て み よ う. は,数

直 線 上 で,1/2の

間 隔 の 等 分 点,

１/3の間 隔 の等 分 点,…,1/100の ら,こ

間隔 の等 分 点上 に並 んで い る.aは

れ ら の 等 分 点 の ど こ に も 乗 っ て い な い.aか

無 理 数 だか

ら この一 番近 い等 分 点 までの

図40 長 さ を ε とす る.そ

うす る とd(x,a)=￨ｘ−a￨<ε

上 に 乗 っ て い な い.し 数 で あ る.し

た が っ てxは

を み た すxは,こ

無 理 数 か,xは

分 母 が100よ

の等 分点 の り大 き い 既 約 分

たがって f(x)<1/100

と な る.100の

代 り に,も

っ と大 き い 数Kを

くに と ら な け れ ば な らな い が,そ

と る と,xはaの

も っ と ず っ と近

こで f(x)<1/K

と な る.す f(x)は

な わ ちx→aの

と きf(x)→0(=f(a))と

な る.し た が っ てx=aで,

連 続 で あ る.

 次 にx=aがq/pの で あ る.し

所 で は,f(x)は

不 連 続 の こ とを 示 そ う.

は 無理 数

たが って また

も無理 数 で あ る. 

は,0か

ら 

まで をn等 分 した 目盛 り

を,ど

ん ど ん 先 に 等 間 隔 に つ け て い っ た 点 と し て 記 さ れ て い る.nを

ば,こ

の 目盛 りは い く ら で も細 か くな る.し

x1,x2,…,xn,…

を 伝 わ っ て,い

→ ∞ の と き,f(a)に

た が っ て この 目盛 りに 乗 っ て い る点

く ら で もaに

f(x1)=f(x2)=…=f(xn)=…=0で 近 づ か な い.し

あ る.一

大 き くす れ

近 づ け る.各xnは 方,f(a)=1/pだ

たが って

,aで

無 理 数 だか ら か らf(xn)は,n

不 連 続 で あ る.

第8講 連続性 と開集合 テ ー マ

◆1点

にお け る連 続性 を,近 傍 を 用い て い い表わ す.

◆ ε δ-論法 ◆ 連続 性 と開集 合:連 続 性 ⇔

開集 合 の逆 像が 開集 合

◆ 連 続 性 と閉 集 合:連 続 性 ⇔

閉集 合 の逆 像が 閉集 合

◆ 連 続写 像 に よ って,一 般 に,開 集 合 は開集 合に 移 らな い.閉 集 合 も閉集 合 に移 るとは 限 らな い.

連 続 性 と近 傍   こ こで は,平 面 か ら平 面へ の連 続 写像 ψを中心 に して話を 進 め てみ よ う.ψ は 各点Pで 連 続だ か ら,

(*) が 成 り立 っ て い る.第2講

の最 後 を 見 る と,

Pn→P⇔

どん な 正 数 δを と っ て も,あ

る番 号kで

で あ り,同 様 に  ど ん な 正 数 εを と っ て も,あ

と 表 わ さ れ る.(kとk′,δ る た め,別

と εは,そ

れ ぞ れ が 別 の 状 況 で あ る こ と を 明 らか に す

々の 記 号 を 使 っ た に す ぎ な い.)(*)の

両 辺 が,こ

傍 に 入 っ て い くと い う形 で い い 表 わ さ れ て い る の だ か ら,Pに は,何

か,Pと

ψ(P)の

が,当

然 考 え ら れ て く る.

る 番 号k′ で

の よ うに点列 が近 お け る 連 続 性(*)

近 傍 相 互 の関 係 で い い表 わ され な い だ ろ うか と い う こ と

近 傍 に よ る連 続 性 の 表現 実際,(*)は

次 の こ とと同値 であ る. どん な 正 数 εに 対 して も,適

当 な 正 数 δを と る と

(**) が 成 り立 つ.

同 値 で あ る こ と の 証 明:(*)⇒(**)

図41   (*)が

成 り立 つ の に,(**)が

よ う.(**)が

成 り立 た な い と仮 定 し て 矛 盾 の 生 ず る こ と を み

成 り立 た な い とす る と,ε と して あ る 正 数 ε0をと っ た と き,こ

命 題 が 成 り立 た な い こ とに な る.す  

なわ ち,ど

の

ん な 正 数 δを と っ て も

で あ るが, 

と な る よ う なQが

存 在 す る こ と に な る.

δ と して 特 に 

を と る と,そ

れ に 応 じ て,あ

るQnで

で あ る が, と な る も の が 存 在 す る.n→ だ か ら,ψ(Qn)は ⇒(**)が

∞ の と き,Qn→Pで

あ る が, 

ψ(P)に 近 づ か な い.こ れ は(*)に

矛 盾 す る.し

た が っ て(*)

示 さ れ た.

  (**)⇒(*)   (**)が

成 り立 つ と す る.Pn→P(n→

数 εを1つ

と っ て き た と き,(**)を

∞)と

な る 点 列 を 任 意 に と る.任

み た す 正 数 δが 決 ま る.Pn→P(n→

意 に正 ∞)に

よ り,あ

る番 号kが

と な る.し

存 在 して,

た が っ て δの と り方 か ら,

も成 り立 つ こ と に な る.ε は 任 意 の 正 数 で よか っ た の だ か ら,こ → ψ(P)(n→

∞)を 示 し て い る.す な わ ち(*)が

の こ と は ψ(Pn)

成 り立 つ .こ れ で(**)⇒(*)

が 示 され た.

数 直 線 上 の 実 数 値 関 数

  数 直 線 上 の 実 数 値 関y=f(x)が る と い う性 質 は,(**)の  x∈Vδ(a)は,￨x−a￨<δ   

与 え ら れ た と き,点aでf(x)が

形 で い い 表 わ さ れ る わ け で あ る.こ

連 続で あ

の場 合

と同 じ こ と で あ り,

は,￨f(x)−f(a)￨<ε

こ と に注 意 す る と,結 局f(x)でx=aが

と同 じ ことで あ る 連 続 で あ る こ と は,次

の よ うに い い 表

わ さ れ る こ と が わ か る.

ど ん な 正 数 εを と っ て も,あ

る 正 数 δが 存 在 し て

が 成 り立 つ.

  この連 続性 の表現 で,こ の よ うに ギ リシ ャ文 字 εと δを使 うこ とは,ほ ぼ 定着 して し ま っ た の で,こ

の連続 性 の表 現 を 用い て,関

数 の連 続性 につ い て のい ろい ろな 性質 を 導 く論法

の こ とを,εδ-論法 とい うのが ふつ うの こ とにな って し ま った.だ が,こ の内 容 を,微 積 分 の教 程 の 最初 に十 分 よ く理 解 して もら うこ とは,な か な か難 しい ことな ので あ る.

連 続 性 と 開 集 合   (**)を

み る と,QはVδ(P)の

任 意 の 点 で よ い の だ か ら,(**)は

ど ん な 正 数 εに 対 し て も,適

(***) が 成 り立 つ.

当 な正 数 δを と る と

と書 き 直 し て も よ い こ とが わ か る.   さ て,こ

れ ら は す べ て,写

れ で は,ψ

像 ψ の 点Pに

が 連 続 写 像 で あ る こ と,す

(**),(***))が

お け る連 続 性 を い い 表 わ し て い る.そ な わ ち 各 点Pで(*)(あ

るい は 同値 な

成 り立 つ こ と を,簡

明 な い い 方 で い い 表 わ す こ とは で き な い だ ろ

像 の 連 続 性 の 中 に,開

集 合 と い う概 念 が は っ き り した 形 を と っ て 登

うか.   こ こで,写

場 し て く る の で あ る.す

な わ ち 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

【定 理 】 ψ が 連 続 写 像 で あ る た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は,任 し て, 

対

が 開 集 合 と な る こ と で あ る.

【証 明 】 必 要 性:ψ 1点Pを

意 の 開 集 合Oに

を 連 続 写 像 とす る.Oを

と る. 

で あ る.Oは

任 意 の 開 集 合 とす る. 

開集 合 だ か ら,十

か ら

分 小 さ い 正 数 εを と ると

(1) と な る.し

た が っ て ψ の 点Pに

お け る 連 続 性 と(***)か

ら,あ

る 正 数 δが 存 在

して

(2) が 成 り立 つ.(1)と(2)か

と な る.こ

ら

の こ とは 

と書 い て も よ い.す

  に 含 ま れ て い る.Pは 

な わ ち,Pの

の 任 意 の 点 で よか っ た か ら,こ

δ-近傍 が の こ と は,

  が 開 集 合 で あ る こ とを 示 して い る.   十 分 性:逆

に,任

意 の 開 集 合Oに

を ψが も っ て い る とす る.任 を み よ う.与

対 し て, 

意 の 点Pを

が 開 集 合 で あ る と い う性 質

と っ て,そ

え られ た 正 数 εに 対 し, 

こ で(***)が

成 り立 つ こ と

の ε-近傍 は 開 集 合 だ か ら

(3) と お く.こ た が っ て,十

の と き,も

ち ろ ん 

分 小 さ い 正 数 δを と る と 

,ま

た 仮 定 か ら 

は 開 集 合.し

と な る.し

た が っ て

 (3)を

を 示 し て い る.ゆ

見 る と,こ

え に ψ はPで

の こ とは

連 続 と な る.Pは

任 意 の 点 で よ か っ た か ら,ψ は

連 続 写像 で あ る. 連 続 性 と閉 集 合   定理 は,写 像 ψが連 続 で あ る こと と,開 集合 の逆 像 は 開集 合 であ る とい う性 質 が 同値 の こ とを 述 べ て い る.そ れで は,連 続 性 と閉 集 合 との 関係 は ど うな って い るのか と問 うて み る こ とは,ご

く 自然 な ことで あ る.こ れ につ い ては,実 は対 応

す る定 理 が成 り立 つ.

【定 理 】  ψが連 続 写 像 で あ るため の必 要 か つ十 分 な 条 件 は,任 意 の 閉集 合Fに して,ψ−1(F)が

  この定 理 は,前

閉集 合 とな る こ とで あ る.

の定 理 と,第3講

か れ る.実 際,第3講

のTea

と 第6講 のTea

Timeか

ら,Fが

合 で あ る.ψ が 連 続 写 像 な らば,  か ら,し

対

Timeで

述べ た こ とか ら導

閉 集 合 な らば,補 集 合Fcは

は 開集 合 で あ る.第6講

たが って 

のTea

は,開 集 合 

開集 Time

の補集 合 と

して閉 集 合 とな る.こ れ で,ψ が 連 続 な らば,閉 集 合 の逆 像 は 閉集 合 であ る こと が 示 され た.こ の逆 が成 り立 つ こ とも,同 様 に して示 す こ とが で き る. 開 集 合 の 連 続 写 像 に よ る像 は一 般 に 開 集 合 で な い   連 続写 像 ψに対 して,一 般 に 開集 合 の像 は,開 集 合 に な る とは 限 ら ない.ま た 閉 集 合 の像 が 閉 集 合 に な る とも限 らない. 【例1】  数 直 線上 で 定義 され た連 続 関 数y=x2を 1)のy=x2に

よる像 は,[0,1)と

考 え る.x軸

上 の 開 区 間(−1,

な り,こ れ は 開集 合 で は な い.

【例2】   座 標 平 面 か ら座 標 平面 へ の連続 写 像 ψを

に よ り定義 す る.ψ はx軸 の上 に あ る部 分 を,x軸

を折 れ線 と して下 半 分 の方 へ

折 り曲げ た もので あ る.こ の と き,原 点 を中 心 とす る半 径1の 円の 内部 をOと す る と,Oは

開集 合 で あ るが,ψ(O)は

開集 合 では ない(図42).

図42   連 続 写 像 に よ っ て,閉 は,第7講 る と,有

集 合 の像 が 一 般 に 閉 集 合 に な ら な い 例 を 見 出 す た め に

の 最 後 に 述 べ た こ とを 考 慮 し な い と い け な い.そ 界 な 閉 集 合 の 像 は,必

あ る とす る と,有

ず 閉 集 合 とな る の だ か ら,も

界 で な い 閉 集 合 の と き で あ る.た

と え ば,数

こで 述べ た こ とに よ し も そ の よ うな 例 が 直線 上 で 定義 され

た連 続 関 数 y=tan−1x は,閉

集 合[0,∞)を,[0,1)に

は1つ

の 例 を 与 え て い る.

移 して い る.[0,1)は

図43

閉 集 合 で な い か ら,こ

れ

Tea

質 問  第7講 て,そ

Time

で の 連 続 性 の 定 義 で は,ま

れ か ら,次

に 各 点Pで

ず1点Pに

連 続 の と き,写

像 は 連 続 で あ る と定 義 し ま し た.と

ころ が 開 集 合 を 用 い て連 続 性 を 述 べ る と,'各 え て し ま い ま し た.連

続 性 とは,1点

おけ る 連 続性 の 定 義 を 与 え

点Pで

連 続'な ど と い う い い 方 は 消

の ご く近 くの 性 質 が 基 本 だ っ た の で は な い

の で す か. 答   適 切 な 質 問 と思 う.連 続 性 と は,1点 態 が,各

開 集 合Oは

域 的 な 性 質 と局 所 的 な 性 質 を 併 せ も っ て い る.す

い く ら で も 大 き く と る こ と が で き る が,'開

十 分 近 くの 性 質:'あ

る.開 集 合 は,し

で あ る'と

る 正 数 εを と る とVε(P)⊂O'で

た が っ て,各

的 な 集 合 で あ る と い え る.も

う少 しわ か りや す くい え ば,開

に よ く適 合 し た の で あ る.実

際,講

の 性 質,1点

所 性!)と

い う 性 質 は,

集 合 を 書 く と き は,

続 性 と は,開

続 性 と実

続 性 の 中 に あ る2つ

各 点 に お け る連 続 性(大

い う簡 明 な い い 方 が 可 能 に な っ た の で あ る.こ

の 内在 的 な性 質

の 開 集 合 の 概 念 が,連

義 の 中 で み た よ うに,連

集 合 の も つ 性 質 の 中 に 融 和 さ れ て,連

ろ う.

なわ ち

点 で の局所 的 な性 質 に よ って規 定 され て い る大域

所 的 な も の で 与 え られ て い る の で あ る.こ

で の 連 続 性(局

方,

いい 表 わ され て い

い つ も 大 き な 円 の よ うな 図 形 の 内 部 を 書 い て例 示 し て い る が,そ は,局

の状

点 で 成 り立 っ て い る とい う こ とを 述 べ て い る こ と は 確 か で あ る.一

開 集 合 と い う概 念 は,大

各 点Pの

の 近 く の 写 像 の'つ な が り'と,そ

域 性!)が,開

集 合 の逆像 は 開集 合 で あ る と

れ は概 念 の勝利 とい って よい のだ

第9講 部 分 集合 にお け る近 さと連 結集合 テ ー マ

◆ 部 分 集 合 上 に 限 って 考 え る. ◆ 部 分集 合 に限 った ときの,近 さ と,近 づ くとい う概 念 の見 直 し ◆ 部分集合に

け る近 傍,開 集 合,閉 集 合

◆ 連 結集 合:離 れ 離れ にな っ て いな い 集合 ◆ 数 直 線 上 の 連結 集 合 は 区間 に 限 る. ◆ 連 結 集 合 の連 続 写 像 に よ る像 は,連 結 で あ る.

部 分 集 合 の 上 に 限 って 考 え る   数 直 線 の上 で 実 数値 関数 を考 え る場 合,数 は,む

直 線上 全 体 で 定 義 され た 関数 よ り

しろ あ る 範 囲 の ところ だ けで 定 義 され てい る関数 を 考 え る こと の方 が 多

い.た と えば,区 間(−1,1)で

関数y=tanπ/2xを

考 え る とか,東 京 か ら大 阪 ま

で新 幹 線 が 到 着 す る まで の 間 の(た とえば15時 か ら17時56分

まで の間 の),運

行 グラ フを 考 え る とか い う よ うな こ とで あ る.   同様 に,平 面 の上 で 考 え る とき に も,平 面 全 体 の上 で定 義 され た関 数 や写 像 を 考 え る よ りは,む

しろ 日常 的 な 例 で は,あ

る部 分集 合M上

に 限 って 定義 され た

関 数 や 写 像 を考 え る と きの方 が 多 い.た とえ ば,薄 い 円板 に盛 られ た水 が,小 さ な 穴 か ら溢 れ 出 した とき,単 位 時間 後 に ど こまで 水 が広 が った か を考 え るのは, 円 板 か ら平 面 の中 へ の写 像 を 考 え る こ とに な る.   この よ うな部 分 集 合M上

だ けで 定義 され た 関 数 や写 像 を 考 え る場 合,Mの

に あ る世 界 の こ とは忘 れ て,Mの え な くて は な らな い.

中 だ け で,近

外

さ とか,近 づ くとい う ことを考

部 分 集 合 に お け る近 傍 の 概 念

  数 直 線 上 の 部 分 集 合 で も,平

面 上 の 部 分 集 合 で も 同 じ こ とで あ る が,こ

は,平

と っ て 考 察 し よ う.い

面 上 の 部 分 集 合Mを1つ

の 点 は 一 切 忘 れ て,Mだ

ま,Mの

こで

外 に あ る平 面 上

け に 注 目 し て い る と い う立 場 を と る.

  そ う し て も,Mの2点P,Qの き る ． し た が っ て,Mの

間 の 距 離d(P,Q)を

考 え る こ と は,も

点 列Pn(n=1,2,…)が,Mの

点Pに

ち ろん で

近 づ く こ と も,

と 定 義 し て お く と よ い.   Mの

点Pに

対 し て,Mに

で 定 義 す る こ と は,自 ε 一近 傍 

お け るPの

ε ‐近 傍 

然 な こ と だ ろ う. 

の 中 で,Mに

を

は,Pの(平

面 の 中 で 考 え た)

入 っ て い る部 分 だ け を 取 り 出 し た も の に な っ て い る.

すなわち

で あ る.   図44の

場 合,P1で

は,ε を

ど ん な に 小 さ く と っ て も  の 点 でMに

含 まれ な い ものが

あ る.す な わ ち こ の と き  で あ る.P2で

は,ε を 図44

十 分 小 さ く とれ ば,  と な る.P3で

は,ε

心 と す る 開 区 間 と な る.P4で

を 十 分 小 さ く と る と,  は,ε を 十 分 小 さ く と る と, 

は,直

線 上 のPを はP1点

中

だけ

か ら な っ て し ま う.

Mに

お け る 開 集 合,閉

集合

  第3講 で 開集 合 と閉集 合 の 概 念 を導 入 した の と 同 じ よ うに して,Mに 開 集 合 と閉集 合 の 概念 を 導 入す る こ とが で き る.

おける

Mに

お け る開集 合Oと

は,任

意 の点P∈Oに

対 して,十 分 小 さい正 数 εを と

ると

が 成 り立 つ よ うな 集 合 で あ る.   Mに

お け る 閉 集 合Fと

点Pに

は,Fの

近 づ くな ら ば,P∈Fが

  こ の 定 義 で み る 限 り,今 よ うで あ る が,た 1点P4は,Mに

点 列Pn(n=1,2,…)がn→

∞ の と き,Mの

成 り立 つ よ うな 集 合 で あ る. ま で の 開 集 合,閉

と え ば 図44で

集 合 の 概 念 と実 質 的 に そ う違 わ な い

み る と,

お け る開 集 合 で も あ り,

同時 に ま た閉集 合 に もな って い る こ とを注 意 し て お こ う.   も う1つ 典 型 的 な 例 を 図45で こ う.こ はMの

こ でOはMの

示 して お

開 集 合 で あ り,F

閉 集 合 に な っ て い る.

図45

連結な集合   この よ うな 開 集 合,閉

集 合 に 対 す る も っ と典 型 的 な 例 と も 考 え ら れ る の は,図

46の

の 離 れ 小 島XとYか

よ うに,Mが2つ

き,上

ら な っ て い る と き で あ る.こ

の と

の 定 義 を み て み る と,XもYも,

と も にMの

開 集 合 で も あ り,同

時 に閉

集 合 に も な っ て い る こ と が わ か る.   Mが

い くつ か の離 れ 小 島か らな っ て

い る よ うな と き に は,こ が,Mの

開 集 合 で も あ り,ま

た 閉 集 合 に な っ て い る.し

い くつ か の 有 限 個 の 島 を 併 せ た も の(た も,Mに

図46

の それ ぞ れ の 島

と え ばX1とX2の

島 を 併 せ たX1∪X2)

お け る 開 集 合 で あ り,同 時 に 閉 集 合 と な っ て い る ．

  この よ うな 状 況 が お きて い ない 集 合― を,連

た が っ て ま た こ の 場 合,

結 な 集 合 と い う こ と に す る.す

い わ ば,1つ

なわち

の 島 か らな る 集 合 ―

【定 義 】  平 面(ま た は直 線)の 部 分集 合Mが,2つ 集 合X,Yに

よっ て,次

の(#)の

の 空 で ない,Mに

よ うに表 わ され な い とき,Mを

おけ る開

連 結 な集 合 で

あ る とい う:   (#) 

M=X∪Y,XとYは

  も し(#)の

共 通点 な し

よ うに表 わ され て いれ ば,Yは,Mに

と して閉 集 合 で あ り,同 様 に,XはMに

お け る 開集 合Xの

補集合

お け る閉集 合 とな ってい る.し た が っ

て上 の定 義 で,開 集 合 を 閉集 合 といい か え て も同 じ こ とにな る.   した が って,連 結 な集 合 とは,そ の 言葉 通 り,離 れ 離 れ に な って い な くて,1 つ につ な が って連 結 して い る集 合 であ る と考 えて い て,大 体 さ しつ か え ない.

数 直 線 上 の連 結 な 集 合

少 な くと も2点 を 含 む 数直 線 上 の連 結 な集 合 は,次 の形 の もの に限 る: (− ∞,a),(−

∞,a],(−

∞,+∞)

(a,b),[a,b),[a,b] [b,+∞),(b,+∞)

た だ しa
  こ こで− ∞,+∞

を用 い る 記法 は,た

直線!),    こ の こ と を 示 す に は,第4講   ま ず,上

とえ ば(− ∞,a)={x￨x
に 書 い て あ る8つ

で 述 べ た 実 数 の 連 続 性 を 用 い る. の 集 合 が,い

ず れ も 連 結 で あ る こ と を 示 そ う.ど れ

を と っ て も 同 じ だ か ら,[a,b]が

連 結 の こ とを 示 す.

  [a,b]が

の と き[a,b]は

O2に

∞,+∞)=R(数

の よ うに使 って い る.

連 結 で な い と す る.そ

空 で な い[a,b]の

開 集 合O１,

よ って

と 分 割 さ れ る. 

と し,

と お く. O1は

開 集 合 だ か ら,a<x0
で あ る.実

際 この こ と は,十

分小さ

い 正 数 εを と る と, 

と な っ て い る こ と と,上 端 の 定 義 を

思 い 出 し て み る とわ か る.し

た が っ て 

で あ る.

 次に

と お く.明

ら か に 

で あ る.実

ん な に 小 さ く と っ て も,x0の 点,す

な わ ち,O2に

含 ま れ る 点 が 存 在 す る.し

開 集 合 だ か ら,十

あ る.x0=y0だ あ る.し

あ る こ と を 示 そ う.正

定 義 か ら,(x0,x0+δ)の

で も小 さ く とれ る か ら,y0≦x0.こ   O2は

はx0=y0で

か ら,こ

た が っ て(x0−

中 に はO1に

数 δを ど

含 まれ な い

た が っ てy0≦x0+δ.δ

れ で,x0=y0が

い え た.特

は い くら

にy0∈O2.

分 小 さ い 正 数 εを と る と, 

で

れ は 

と書 い て も 同 じ こ と で

ε,x0)は,O1に

属 す る 点 を 含 ま な い.こ

れ はx0の

と り

方 に 矛 盾 す る.   これ で[a,b]が   今 度 は,数

連 結 で あ る こ とが 示 され た.

直 線 上 の 少 な く と も2点

を 含 む 連 結 な 集 合Mは,上

の い ず れ か と な っ て い る こ とを 示 そ う.Mを

の8つ

の集 合

有 界 と 仮 定 し よ う(有 界 で な い 場 合

も 同 様 に で き る). a=inf

M,b=sup

とす る.a∈M,b∈M;a∈M,  の 場 合 が あ る が,ど

M

; 

,b∈M; 

の 場 合 も 同 様 だ か ら,a∈M,b∈Mの

, 

と4つ

場 合 を 考え る こ と に

す る.   こ の と き,M=[a,b]で

と お く と,O1,O2は,共

あ る.も

しa
通 点 の な いMの

の 点 が あ っ た とす る と

開 集 合 で,

M=O1∪O2 と な る.こ す べ てMに

れ はMの

連 結 性 に 矛 盾 す る.し

属 し て い る.こ

た が っ て,a
の こ と は,M=[a,b]を

み た すcは,

示 し て い る.

連 続 写 像 と 連 結 性

  M,Nを

平 面(ま

た は 直 線)の

部 分 集 合 と し,ψ をMか

らNへ

の 写 像 と す る.

ψがMか

らNへ

の 連 続 写 像 で あ る こ と は,前

1,2,…)が,n→

∞ の と きP(∈M)に

と 同 じ よ うに,Mの

点 列Pn(n=

近 づ くな ら ば ψ(Pn)→ ψ(P)が

成 り立 つ,

と い う こ とで 定 義 す る.   この と き,こ

れ も 前 講 と全 く同 様 の 証 明 で,次

の 結 果 が 成 り立 つ こ と を 示 す こ

とが で き る.

ψがMか のNに

らNへ

の連 続 写 像 とな るた め の必 要 かつ 十 分 な条 件 は,任 意

お け る 開集 合Oに

対 して, 

がMに

おけ る開集 合 とな る

ことで あ る.   これ か らす ぐに 次 の定理 が 導 か れ る.

【定 理 】Mを

連結 な集 合 と し,ψ をMか

す る.こ の ときMの

【証 明 】N=ψ(M)と

像 ψ(M)は

お く.Nが

ら平 面,ま た は数 直 線 へ の連 続 写像 と

連 結 な集 合 とな る.

連 結 で あ る こ とを 示 す とよい.Nが

い と仮 定 して,矛 盾 を導 こ う.こ の仮 定 か らNの

連結でな

空 で な い2つ の 開集 合O1,O2

が 存 在 して,

と な る.し

た が って ψ に よ る 逆 像 を 考 え る と

と な る.ψ−1(O1),ψ−1(O2)は,Mの で な い.ま

開 集 合 で あ っ て,N=ψ(M)か

ら,空

集合

た

こ の こ とか ら,Mが

連 結 で な い こ と に な り,矛

盾 が 導 か れ た.し

た が っ てNは

連 結 で あ る.

問1  MとNが

連 結 な 集 合 で,M∩N≠

φな らば,M∪Nは

また連 結 な集 合 と

な る こ とを 示 せ. 問2 

Mを

平 面 の 部 分 集 合 と し,Mの

任 意 の2点P,Qに

対 し て,[0,1]か

らM

へ の連 続 写 像 ψで ψ(0)=P,ψ(1)=Q を み た す も の が 存 在 す る とす る.こ

の と きMは

Tea

連 結 な 集 合 で あ る こ とを 示 せ.

Time

中 間値 の 定理 につ い て   中 間 値 の 定 理 は,解

析 学 の 基 本 定 理 と し て よ く知 ら れ て い る.そ

れ は,ふ

つ う

次 の よ うに い い 表 わ さ れ る.   「閉 区 間[a,b]上 とf(b)の

で 定 義 さ れ た 実 数 値 連 続 関 数 をy=f(x)と

間 に あ る 任 意 の 実 数 とす る.こ

っ て,f(x0)=cと

な る.」

  こ の 定 理 は,実

は,こ

す る.cをf(a)

の と き 必 ず あ るx0がaとbの

間 に あ

の講 で 示 し

た 連結 集 合 の連続 像 は連 結 であ る と い う定 理 の1つ

の応 用 で あ る こ とを

み て お こ う.閉

区 間[a,b]は

で あ り,fは[a,b]か

連結

らRへ

の連 続

写 像 だ か ら,[a,b]のfに f([a,b])は て,数

連 結 で あ る.し

の 区 間 とな っ て い

の 区 間 はf(a),f(b)を

の こ と か ら,f(a)とf(b)の 間 に 少 な く と も1つ

図47

含ん

で い る の だ か ら,f(a)とf(b)の

とbの

たが っ

直 線 上 の 連 結 集 合 と し て,

f([a,b])は1つ る.こ

よ る 像

間 の 値 もす べ て 含 ん で い な くて は な ら な い.こ 間 に あ るcを

と る と,f(x0)=cと

は あ る こ とが わ か る.

な るx0が,a

第10講 距 離 空 間 へ テ ーマ

◆ 空間 の2点P(a1,a2,a3),Q(b1,b2,b3)間

の距 離

◆ 距 離 が あれ ば,収 束,開 集 合,閉 集合 等 の概 念 は 導 入 され る ので は な いか. ◆ 一 般 的 な観 点 へ 向 けて ◆ 集 合 へ の距 離 の 導 入―

距離空間

◆ 距 離 の 性 質,特 に,収 束 と三 角不 等式

空間 の距離 今 まで は,数 直線 や 平 面 の部 分集 合 に 限 って話 を 進 め て きたが,そ ろそ ろ 一般 的 な 設 定 へ 入 る 準 備 を は じ め た い.   ま ず 誰 で も考 え る こ とは,3次 も,今

元 の空 間で

ま で と 同 様 の こ とが で き る の だ ろ うか

と い う こ と で あ る.空 導 入 し て お く と,任  

間 に 直 交 座 標 系 を1つ

意 の 点Pは

座 標 に よ って

P=(a1,a2,a3)

と 表 わ され る(図48).   2点P=(a1,a2,a3)とQ=(b1,b2,b3)の

距

図48

離d(P,Q)を

で 定 義 す る.式

の 形 は 面 倒 な 形 を し て い る が,私

た ち が 空 間 に あ る2点

うの よ う に,物

差 し を 使 っ た り 糸 を 張 っ て 測 る 長 さは,こ

を,ふ

つ

の式 で 与 え られ てい る

長 さ で あ る.   この こ とは ピタ ゴ ラス の定 理 か らわ か る.P,Qをxy平 P′,Q′とす る.図49で

示 して あ る よ うな,xy平

面 上 に 正射 影 して得 られ る点 を

面 上 に あ るP′Q′を斜 辺 とす る直 角三 角 形

図49 に ピ タ ゴ ラスの定 理 を適 用 す る と

次 に,PQを

斜辺 とす る直 角三 角 形 に ピ タ ゴラス の定 理 を も う一 度使 うと

とな っ て,d(P,Q)が

上 式 の形 で 与 え られ て い る こ とがわ か る.

  この 空 間 の2点

間 の 距 離d(P,Q)に

対 し て も,第1講

講 で 平 面 の 場 合 に 与 え た 距 離 に つ い て の 性 質 が,そ る.す

で 数 直 線 の場 合 に,第2

の ま ま 同 じ形 で 成 り立 っ て い

なわ ち

  (ⅰ)d(P,Q)≧0;等

号 が 成 り立 つ の は,P=Qの

と き に 限 る.

  (ⅱ)d(P,Q)=d(Q,P)   (ⅲ)d(P,Q)≦d(P,R)+d(R,Q)   こ の 距 離 を 用 い て,点 し て ε-近傍Vε(P)を 議 論 に よ っ て,開 ク ト性 や,連

列 が 近 づ く性 質 を 考 え る こ と が で き,ま

考 え る こ と もで き る.そ

集 合,閉

結 性,ま

集 合,集

の こ と か ら,今

た,各

対

ま で と全 く同 様 の

積 点 な ど の 概 念 を 導 入 で き る し,ま

た 連 続 写 像 に 関 す る 性 質 も,す

点Pに

た コ ンパ

べ て同様 な形 で 述べ て い く

こ と が で き る. 一 般 的 な 観 点 へ 向 け て

  こ の よ う に,数 て,読

者 は,多

直 線 や 平 面 で 成 り立 っ た こ とが,空

分,ひ

間で も成 り立つ こ とにつ い

とつ ひ とつ の こ と を 確 か め る ま で もな く,そ

と だ と思 わ れ るだ ろ う.当 然 の こ とだ と 思 う根 拠 は,今

れは 当 然 の こ

ま で 述 べ て き た こ と は,

距離 か ら導 か れ る性 質 と,コ ンパ ク ト性 の ときに用 いた 実数 の連 続 性 しか,本 質 的 に は使 って い な い のだか ら,そ こで 成 り立 った ことは 当然,空 間 の と きに も継 承 され て い くに違 いな い と考 え て い るか らで あ ろ う.そ して,そ

う思 うこ とは,

確 か に正 しい こ とな ので あ る.   しか し,よ

く考 え てみ る と,こ の こ とは,私 た ちの 中 に,い つ の ま にか,背 景

とな って い る場 が,直 線 であ るか,平 面 であ るか,空 間 であ るか とい うこ とが 少 し薄 れ て きて,距 離 とい う概 念が む しろ前 面 に登 場 して き た こ とを意 味 す る もの で はな か ろ うか.   これ か らは,そ の 考 えを 育 て るた め に,距 離 とい う概 念 を 中 心 にお い た,一 般 的 な数学 の場 の設 定 を試 み て みた い.

集 合の上に与え られた距離   この とき,最 初 に 問題 とな るの は,距 離 だけ で は な くて,実 数 の連 続性 に も十 分 注 目 しなが ら,一 般 的 な 設定 を 目指 す の か ど うか とい うこ とであ る.な ぜ か と い うと,第1講

で述 べ た よ うに,'長 さ'の概 念 は,私 た ち の 時空 の認識 の 中か ら

生 まれ て きた もの で あ り,時 空 の連 続 性 は,数 学 の 中で は 実数 の連 続性 に よ って 表 現 され てい るか らで あ る.   この観 点 を どの よ うに考 え るか とい うこ とにつ い ては,実 際 は難 しい問 題 で あ る し,将 来,今

とは全 く別 の立場 か ら見 直 され,論 ぜ られ る よ うな 時 が くるのか

も しれ ない.   しか し,20世

紀 に な って数 学 が,抽 象数 学 とい う理 念 を基 盤 と しな が ら採用 し

た立 場 は,背 景 とな る場か らは,ひ と まず 実 数 の連 続 性 を切 り離 す,し か し2点 間 の長 さは,実 数 に よ って与 え る とい う立 場 で あ った.も 背 景 とな る場 と して は,単 に集 合Xを て は,実 数 に よる距 離d(x,y)(≧0)が

う少 し正 確 にい うと,

と り,こ の集 合 の任 意 の2元x,yに

対し

与 え られ てい る状況 を,一 般 的な 状況 と

して設 定 した ので あ る.   集 合概 念 に した が え ば,集 合Xと 合 の元!)が

い うとき には,た だ 単 に そ こに'も の'(集

存 在 す るだ けで あ って,そ れ 以 外 に は何 の 属 性 も 与 え られ て いな

い.そ こに新 し く,2つ

の'も の'の 間 の長 さd(x,y)と

い う概 念 を 導入 して み

よ う.こ の 長 さ に よ っ て,集 さ'に

よ っ て,Xに

合Xに

は,'近

さ'の 概 念 が 誕 生 し て く る.こ

の'近

は ど の よ う な 性 質 が 賦 与 さ れ た の だ ろ うか.

  こ の よ うに,背

景 とな る場 か ら 実 数 の 連 続 性 を ひ と まず 切 り離 して し ま っ た こ

と に 関 して は,前

講 まで の 話 と の 関 連 で 述 べ れ ば,次

の よ うな こ とは い え る だ ろ

う.   平 面 全 体 で 考え る と き,平

面 は 確 か に 連 続 性 と い うべ き も の を も っ て い る が,

近 さ の 性 質 は,実

際 は,平

反 映 して くる.写

像 の 連 続 性 も,開

よ う に,部

集 合 を 用 い て 述 べ ら れ る よ うに な っ た.こ

分 集 合 の 方 に し だ い に 考 察 の 中 心 が 移 って く る と,離

部 分 集 合 や,有 も,'近

面 に含 まれ て い る部 分集 合 の さま ざ まな性 質 とな って

理 点 の 集 合 の よ う に,稠

の

れ 離 れ に な った

密 で あ る が 隙 間 だ ら け の よ うな 部 分 集 合

さ'の 観 点 か ら調 べ る 必 要 が 生 じ て く る.と

こ ろ が,こ

の よ うな 集 合 は,

平 面 全 体 が も っ て い る よ うな 連 続 性 の 性 質 を も っ て は い な い.   し た が っ て,'近

さ'の 性 質 を 調 べ る 対 象 と して,こ

の よ うな さ ま ざ ま な 部 分 集

合 も数 学 の 研 究 対 象 と して 取 りい れ よ う とす る と,実

数 の 連 続 性 とい う視 点 を 背

景 の 場 の 中 に 保 持 し て い こ う とす る 立 場 は,し 距

離

  こ の よ うな こ と を 前 提 と し た 上 で,距 【定 義 】 集 合Xの

任 意 の2元x,yに

だ い に 遠 の い て くる の で あ る.

空 間

離 空 間 と い う概 念 を 導 入 し ょ う.

対 し て,実d(x,y)が

性 質 を み た す と き,Xを

距 離 空 間 と い い,d(x,y)をxとyの

  (ⅰ)  d(x,y)≧0;等

号 が 成 り立 つ の はx=yの

与 え ら れ て,次

の

距 離 と い う.

と き に 限 る.

  (ⅱ)  d(x,y)=d(y,x)   (ⅲ)  d(x,y)≦d(x,z)+d(z,y)   距 離 空 間 は,集 離 空 間(X,d)'と 多 い.距

離 空 間Xの

合Xと

距 離dで

与 え ら れ て い る か ら,引

書 くの が 適 当 で あ る.し 元 を,ふ

か し単 に,距

つ う点 と い う.し

用 す る と き に は'距

離 空 間Xと

書 く ことが

た が っ てd(x,y)は,2点x,y

の 距 離 とい う こ と に な る.   さ て,距 う.

離 の 性 質 と し て 定 義 の 中 に 述 べ て あ る(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

みてみ よ

  (ⅰ)は,相

異 な る2点

は,必

ず 離 れ て い て,そ

の間 の距 離 は正 で あ る とい う

こ と を い っ て い る.   (ⅱ)は,xか

らyを

測 っ た 距 離 も,yか

らxを

測 った 距 離 も同 じで あ る こと

を い っ て い る.   (ⅰ),(ⅱ)が

比 較 的 自 然 に み え る の に 比 べ て,(ⅲ)は

の 場 合 に は,(ⅲ)の

性 質 は,三

こ と を 述 べ て い た.そ 考 えて み る と,抽

角 形 の1辺

は,他

の こ と か ら,(ⅲ)は,三

象 的 な 集 合Xに,新

少 し変 っ て い る.平

の2辺

面

の 和 よ り小 さ い と い う

角 不 等 式 と よ ば れ る.し

し く距 離 を 定 義 す る と き に,何

か し, もわ ざ わ

ざ 三 角 形 の 性 質 を も ち 出 さ な くて も よ い よ うに 思 わ れ る.(ⅲ)は,実

は,三

形 の 性 質 を,距

離 空 間 に 導 入 す る た め に 用 意 し た も の で は な くて,点

調 べ る と き,必

要 と な る 不 等 式 で あ る.

角

列 の収 束 を

収 束 と三 角 不等 式   そ れ を 説 明 す る た め に,ま 【定 義 】 距 離 空 間Xの

ず 点 列 の 収 束 の 定 義 を 与 え て お こ う.

点 列x1,x2,…,xn,… n→ ∞

に 対 し,1点xが

存 在 して

の と きd(xn,x)→0

が 成 り立 つ と き,点

列{xn}は,xに

収 束 す る と い う.

  点 列{xn}がxに

収 束 す る こ と を,記

号 でxn→x(n→

∞),ま

た は 

の よ うに 表 わ す.   こ の 定 義 が,私

た ち の'近

づ く'と い う感 じ に対 し て,ご

す い も の に な っ て い る こ と を 保 証 す る の が,三

n→ ∞ の と き,xn→x,xn→yな

実 際,(ⅲ)に

く 自 然 な,な

角 不 等 式(ⅲ)で

ら ば,x=yで

じみや

あ る.

あ る.

よ って

((ⅱ)に 収 束 の 定 義 か ら,こ た が っ てd(x,y)=0と

の 右 辺 は,nを な る.(ⅰ)に

大 き くと る と,い よ り,x=yが

よ る)

く らで も0に 導 か れ る.

近 くな る.し

n→

  す な わ ち,収

∞ の と き,xn→xな

ら ば,m,n→

束 す る 点 列{xn}は,nが

集 し合 う よ うに な っ て くる.こ

∞ の とき

大 き くな る に つ れ,相

れ も ま た(ⅲ)を

互 に しだい に 密

用いて

か ら導 か れ る.

Tea

Time

質 問  距 離 空 間 とい うのは,い つ頃 か ら考 え られ た ものな の です か. 答  距離 空 間が 考 え られ た の は,20世

紀 にな ってか らで あ る.も っと も19世 紀

の終 り頃 か ら,こ の よ うな 考 え の萌芽 は あ った のか も しれ な い.し か し,微 積 分 の誕 生 が17世 紀 後 半 で あ り,ガ ウス,ア ー ベ ル,ガ ロアな どが活 躍 した時 代 は 19世 紀 前 半 だ か ら,そ れ に比べ れ ば距 離 空 間 の 出現 はず っ と新 しい こ とであ る と い って よい だ ろ う.距 離 空 間が ここで 述 べ た よ うな形 で定 義 で き るた め には,数 学 の中 に集 合 とい う考 えが 定着 す る必 要 が あ っ た.今 で は,集 合 の考 え は,高 等 学 校 の 数学 の 中で も教 え るが,数 とい う概 念 を ひ と まず 切 り離 して,集 合 の上 に 数 学 を 築 くこ とも可 能 で あ る とい う考 えは,20世

紀初 頭 で は,ま

だ 革新 的 な考

え であ った.こ の革 新 的 な考 え は,や がて 抽 象数 学 の疾風 を巻 きお こ し,そ の 中 か ら,距 離空 間が 生 まれ て きた ので あ る.

第11講 距 離空 間 の 例 テー マ

◆ ε-近傍 と収 束 ◆ 直 線,平 面 か らRnへ ◆n次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間

◆ ユー ク リ ッ ド距 離 以 外 の距 離 の例 ◆ いろ い ろ な距 離 と近 づ くとい う性 質

ε-近

  距 離 空 間 の 例 を 与 え る 前 に,ま (X,d)が

与え られ た と き,任

傍

ず ε-近傍 の 定 義 を 与 え て お こ う.距

意 の 点x∈Xと,任

離空間

意 の 正 数 εに 対 し て

Vε(x)={y￨d(x,y)<ε} と お き,Vε(x)を,点xの

ε-近傍 とい う.

  記 号 の使 い 方 に つ い て,コ メ ン トして お く.数 直線 上 や,座 P,Q,…

標 平面 上 の点 は,ふ つ うは

の よ うに 表 わ す 習 慣 が あ る よ うな の で,前 講 ま で は,直 線,平 面,空 間 に 関す る議

論 で は,こ

の慣 習 に従 った の で あ る.し か し,抽 象 的 な 集 合 の立 場 へ と移 る と,今 度 は,

集 合 の元 の,ふ つ うの書 き表 わ し方 に従 った方 が よい.そ

こで,距 離 空 間Xの

点x,yな

ど

の書 き方 を採 用 す る こ とにな る.   前 講 の 点 列 の 収 束 の 定 義 と,こ と 同 じ こ と が,や

の ε-近傍 の 定 義 か ら,第2講

は り成 り立 つ こ と に な る.

距 離 空 間(X,d)に xn→x(n→ ⇔

おいて ∞)

ど ん な 正 数 εを と っ て も,あ n>k⇒d(xn,x)<ε を み た す も の が あ る.

る番 号kで

の 終 りに 述 べ た の

⇔

ど ん な 正 数 εを と っ て も,あ

る 番 号kで

  n>k⇒xn∈Vε(x)   を み た す も の が あ る.

n次

  数 直 線,平 次 元,2次

面,空

元,3次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rn

間 に は,す

で に 距 離 を 導 入 し て き た.こ

元 の ユ ー ク リ ッ ド空 間 と よ ば れ る も の で あ る.私

で き る 世 界 は,も

ち ろ ん3次

直 線 を 通 し て,実

数 と し て 表 わ さ れ,2次

と2つ

元 まで で あ る.し

の 実 数 の 組 で 表 わ さ れ,3次

x3)と3つ

か し,1次

元 平 面 の 点 が,座

元 空 間 の 点 が,同

―y1はx1に

近 い,y3はx3に

た ちの 知覚

標 を 通 し て(x1,x2)

様 に座 標 を 通 し て(x1,x2,

近 い と い う こ と は,そ

近 い,y2はx2に

れ ぞ れ1

元 の 直 線 上 の 点 が,数

の 実 数 の 組 で 表 わ さ れ て い る こ と に注 目 し よ う.ま

の2点P(x1,x2,x3)とQ(y1,y2,y3)が い

れ ら は,そ

近 い―

た,た

とえば空 間

れ ぞれ の 座 標が 近 と 表 わ され る こ と に

も注 目 し よ う.   さ て,話

を か え て,あ

た とす る.こ か ら1500ま て,そ

る ス ー パ ー で 取 り扱 っ て い る 品 物 の 種 類 が1500で

れ らの 品 物 が,毎

日毎 日 ど の 程 度 売 れ た か を 調 べ る に は,品

で の 通 し 番 号 を つ け,そ

あっ 物 に1

れ ぞ れ の 売 上 高 をx1,x2,x3,…,x1500と

し

の全 体 (x1,x2,x3,…,x1500)

を 考 察 す る こ と に な る だ ろ う.   こ の よ う な 考 察 を 支 え る 数 学 の 一 般 的 な 設 定 と して は,実

数 を1500個

並べ

た x=(x1,x2,x3,…,x1500) の 全 体R1500を

考 え る こ と に な る.

  あ る 日 の 売 上 高x=(x1,x2,…,x1500)と,1か を 比 べ た と き,1番

目 の 品 物x1とy1の

品 物 は 売 行 き が よ くて,y2はx2に とが お き る.こ

れ は,'2点xとy'の

月 後 の 売 上 高y=(y1,y2,…,y1500) 売 上 高 に は あ ま り差 は な い が,2番

比 べ て,ず

目の

っ と 大 き くな っ た と い う よ う な こ

距 離 の遠 近 を座 標 を 通 して調 べ て い る の

だ とい う見 方 を と る と,R1500に

距 離 を 導 入 す る こ と も,さ

ほ ど不 自 然 で は な く

な っ て く る.   こ こ で 再 び 一 般 的 な 立 場 に 戻 っ て,任

意 の 自 然 数nに

対 し て,n個

の 実数 の組

(x1,x2,x3,…,xn) を 考 え る こ と に す る.こ

のn個

の 実 数 の 組 全 体 の つ くる 集 合 をRnで

表 わ し,Rn

の2点 x=(x1,x2,…,xn) y=(y1,y2,…,yn) に対 し

(1) とお く.   d(x,y)は,す

ぐあ と で 示 す よ うに,距

離 の 性 質(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

みた して

い る. 【定 義 】Rnに,距   n=1,2,3の て い る.距

離(1)を と き は,そ

離(1)を,ユ

導 入 した も の を,n次 れ ぞ れ,前

元 ユ ー ク リッ ド空 間 と い う.

に 述 べ た 数 直 線,平

面,空

間 の場 合 とな っ

ー ク リ ッ ド距 離 とい う こ とが あ る.

距 離 とな る こ と

  (1)が,距

離 の 性 質 を み た し て い る こ と を み よ う.ま ずd(x,y)≧0で,等

が 成 り立 つ の はx=yで はx1=y1,x2=y2,…,xn=ynの =d(y,x)も

あ る こ とは 明 らか で あ ろ う.実 と き に 限 る.ま

た,距

際,d(x,y)=0と

号 な るの

離 の 性 質(ⅱ):d(x,y)

明 らか に 成 り立 っ て い る.

  明 らか で な い の は,三

角 不 等 式 が 成 り立 つ か ど うか と い う こ とで あ る.証

べ き式 は d(x,y)≦d(x,z)+d(z,y) す なわ ち

(2)

明す

で あ る;こ

こ でz=(z1,z2,…,zn).

 

Xi=xi−zi,Yi=zi−yi(i=1,2,…,n)

と お く と,Xi＋yi=xi−yiだ

と な る.両

か ら,証

辺 は 負 で な い か ら,2乗

明 す べ き 不 等 式(2)は

して

が 成 り立つ ことを示 す と よい.左 辺 を展 開 して整 頓す る と,結 局

(3) を 示 せ ば よ い こ と に な っ た.   と こ ろ が,こ   が,負

の 不 等 式 は,tに

つ い て の2次

式

(tX1+Y1)2+(tX2+y2)2+…+(tXn+Yn)2  に な る こ と は な く,し

た が っ て,こ

(4) の判 別 式

と な る こ と か ら,成

り立 つ の で あ る.((4)でt2の

ち

の 場 合 に は,判

こ の と き,X1=X2=…=Xn=0と

係 数 が0と

な る場 合,す

なわ

別 式 を 用 い る 上 の 議 論 は 適 用 で き な い が, な る か ら,(3)の

成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ

る.)

開

  n次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 で,点xの εの 開 球 で あ る とい う.特

ε-近傍Vε(x)を,点xを

に,xが0=(0,0,…,0)で,ε

と い う.1次

元 の と き は,単

原 点 中 心,半

径1の

 また

球

位 開 球 は 開 区 間(−1,1)で

円 の 内 部 で あ る.

中心 と した半 径 が1の

あ り,2次

と き,単

位 開球

元 の と き は,

を,点xを

中 心 と し た 半 径 εの 球 と い う.

い ろ い ろ な 距 離

  実 数 のn個

の 組 か ら な る 集 合 に は,ユ

ー ク リ ッ ド距 離 以 外 に も,い

ろ い ろな距

離 を 導 入 で き る こ とを 注 意 し て お こ う.実 際,2点x=(x1,x2,…,xn),y=(y1, y2,…,yn)の

距離 と して

とお い て も,ま

たpを1よ

とお い て も,こ

れ ら は,距

で き る.(dpに

つ い て は,(ⅲ)の

  し た が っ て,距

り大 き い 実 数 と し た と き

離 の 性 質(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

み た す こ とを 示 す こ と が

性 質 を 確 か め る こ と は,あ

離 空 間(Rn,d1)や(Rn,dp)を

  (R2,d1)に

つ い て は,第2講

のTea

の と きが,ユ

ー ク リ ッ ド空 間 で あ る.

Timeで

ま り容 易 で な い.)

考 え る こ とが で き る. 述 べ て あ る.(Rn,dp)でp=2

  また

とお い て も 距 離 に な る.こ

こ で 右 辺 の 記 号 は 

の

中 で 一 番 大 き い 値 を と った と い う こ とで あ る.

どの距 離 を と って も点列 の 収 束 性 は 変 わ らな い

  集 合Rnに

は,こ

て み て も,点

列{xn}がxに

  た とえ ば,ユ

の よ う に い ろ い ろ な 距 離 が 入 るが,こ

近 づ く と い う性 質 は 変 わ ら な い.

ー ク リ ッ ド距 離dと

が 成 り立 つ の で あ る.し

れ ら の どの 距 離 を と っ

比 べ て み る と,n→

た が っ て,xn→x(n→

∞ の とき

∞)は,ど

の 距 離 を と っ て調 べ

て み て もか わ ら な い.あ

る い は,

'長 さ'の

測 り方 の 違 い は あ る が

'近 さ'の

性 質 は変 わ

,

っ て い ない

と い う方 が わ か りや す い か も しれ な い.   こ の こ と は,d,d1,dp,d∞

の距

離 の 間 の 関 係 を 調 べ る とわ か る の で あ る が,こ に,原

こ で は,R2の

点 の ε-近傍 が,そ

場合

れ ぞれ の

距 離 で ど の よ う に 図 示 され て い る か を 示 す こ と で 説 明 し て み よ う. 図50   図50で,1番

外側 に 書 か れ て

い る 正 方 形 の 内 部 が,d∞ る ε-近傍 で あ り,こ る ε-近傍 で あ る.d1に に 大 き くな っ て,外

に 関 す る ε-近傍 で あ る.半

径 εの 円 の 内 部 がdに

関す

の 中 に あ る 辺 が 斜 め に 走 っ て い る 正 方 形 の 内 部 がdIに

関す

関 す る ε-近 傍 が,破

側 のd∞ に 関 す る ε-近傍 へ 達 す る 過 程 は,ち

近 傍 を 描 い た と き,pが1か

∞ の と き,距

外 枠 の 正 方 形―d∞

の ε-近傍!―

離d∞ に 関 し,原 の1辺

縮 小 し て 小 さ な 正 方 形 に と り直 し て も,kさ

50か

点Oに

ε-

近 づ く と い う こ と は,

の 長 さを,ど

ん な に(原

点 中 心 に)

え 十 分 大 き く と れ ば,kか

ら先 のす

の 点 列 は,d1,d,dpの

に 対 し て も 同 じ 性 質 を もた な くて は な ら な い.す が 成 り立 っ て い る.こ xn→Oと

ょ う どdpの

の 正 方 形 の 中 に 入 っ て し ま う と い う こ と で あ る.こ

ら 明 ら か な よ う に,こ

だい

ら し だ い に 大 き くな っ て い く過 程 に 対 応 し て い る.

  点 列{xn}が,n→

べ て のxnは,こ

線 で 書 か れ た 曲 線 に 従 っ て,し

の と き,図

ε-近傍 を 適 当 に 縮 小 し た も の な わ ち, 

の こ と は,ど

の 距 離 を と っ て み て も,

い う性 質 は 変 わ ら な い こ と を 示 して い る.

問   d1とd∞

が,距

離 の 性 質(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

み た し て い る こ と を 確 か め よ.

Tea

Time

高 次 元 に な る とお き る1つ の奇 妙 な 現 象   ふ つ う取 り扱 う よ う な 事 柄 に つ い て は,R2,R3で で も 成 り立 つ.そ

の こ とは,講

売 上 げ を 調 べ る こ と と,た

成 り立 つ こ と は,一

義 の 中 で の た と え で い え ば,2個,3個

と え ば10個

の 品 物 の 売 上 げ を 調 べ る こ と も本 質 的 な

違 い は な い と い う ご くふ つ うの 感 じ か ら 考 え て み て も,も   し か し,稀

に は,私

お き て い る.こ

般 のRn の品 物 の

っ と も ら し い.

た ち の 直 観 で は 理 解 し難 い よ う な こ と が 高 次 元 のRnで

れ か ら 述 べ る の は そ の よ うな 例 の 一 つ で あ っ て,何

は

年 か 前,ド

イ

ツ の 雑 誌 で 見 た も の で あ る.   図51で

は,1辺

が2の

正 方 形 を 原 点 中 心 に 描 い て あ る.こ

で き る だ け 大 き な 等 し い 半 径 の 円 を 詰 め る.こ

の 円 の 真 中 に で き る だ け 大 き な 円 を 詰 め る(図51で,カ 上 の 正 方 形 の 対 角 線 の 長 さ が 

の 正 方 形 の 四 隅 に,

の 円 の 直 径 は1で

あ る.こ

の4つ

ゲ の つ け て あ る 円).右

の こ と に 注 意 す る と,こ

の 円 の 半 径r2は

で与 え られ る こ とが わ か る.

図51

図52

  今 度 は3次 元 で,座 標 原点 を 中心 と して,1辺

の長 さが2の 立方 体 を 考 え,8

つ の隅 に,で き るだ け 大 きな球 を 詰 め こむ.こ の直 径 は1で あ る.次 に原 点 の ま わ りに で きて い る隙 間 に,で 半 径 をr3と す る.1辺

き るだ け 大 きな 球 を,も

う1つ 詰 め る.こ

の長 さが1の 立 方 体 の対 角 線 の 長 さ は 

の球 の だ

か ら,

で あ る こ とが わ か る.   これ 以 上 の 次 元 に な る と,図 示 で きな い が,同

じ よ うな こ とを 考 え て い く こ と

は で き る だ ろ う.   さ て,R10―10次

元!―

して1辺

立 方 体Iを

Iに,ま

の 長 さ が2の

ず,で

あ る.次

標 原点 を中心 に

考 え る:

き る だ け 大 き な 等 し い 半 径 を もつ'球'を,各

こ の 球 の 直 径 は1で の,で

の 所 で 考 え て み よ う.R10で,座

に,原

き る だ け 大 き な 半 径 の'球'を

々 の 隅 に 詰 め る.

点 の まわ りに で き て い る隙 間 に,原 詰 め る.こ

の 球 の 半 径 をr10と

点 中心

す る.前

と

同様 の推 論 で

とな る こ と が わ か る.と の 球 の 半 径 は1を が,い

ころ が 

越 え て い る.す

だ か らr10=1.081… な わ ち,内

つ の ま に か 立 方 体 の 外 へ は み 出 して い る!!こ

を 考 え て い る だ け で は,全

と な り,こ

部 にひ そん で いた と思 って いた 球

く想 像 も つ か な い,奇

れ は2次

元,3次

妙 な 現 象 で あ る.

元のこと

第12講 距 離 空 間 の 例(つ づき)

テ ー マ

◆ 無 限 次 元 空 間R∞:距

離 と近傍 の形

◆ 連続 関 数 の つ くる空 間C[0,1] ◆ 積 分 に よ って定 義 され る距 離 ◆ 距離 空 間C[0,1]とC[0,1]

無 限 次 元 の 空 間R∞

  実 数 の無 限列 (x1,x2,…xn,…) 全 体 の つ く る 集 合R∞

に,距

離 を 定 義 し よ う.

  x=(x1,x2,…,xn,…)とy=(y1,y2,…,yn,…)に

対 して

とお く.  こ の右 辺 が 収束 して,1つ

の こ と と, 

  こ のR∞

の実 数 を表 わす ことを示 さな くては な らない が,そ れ は

の こ とか らわ か る.

上 で 定 義 さ れ たd(x,y)が

を 示 さ な く て は な ら な い が,そ

れ は こ こで は 省 略 し よ う.た

を 示 す と き に は,第1講,問2の R∞ と 書 く と き に は,ふ   点x=(x1,x2,…,xn,…)の

距 離 の性 質(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

み たす こ と

だ,三 角 不 等 式(ⅲ)

不 等 式 が 用 い られ る こ と だ け 注 意 して お こ う.

つ う こ の 距 離 を 入 れ た 距 離 空 間 を 示 し て い る. ε ‐近 傍Vε(x)が

に 述 べ るわ け に は い か な い が,次

ど の よ う な 形 に な る か は,具

の こ とは わ か る.ま

ずkを

体的

十 分 大 き くと って

と す る.こ

の と き集 合

は任意 は,Vε(x)に

含 ま れ て い る.実

際,(1)に

} (1)

含 ま れ て い るy=(y1,y2,…,yn,…)

を 任 意 に とる と

と な る.

  正 数 εを どん な に 小 さ く と っ て も,あ Vε(x)の

る 番 号kか

ら 先 のyk+1,…,yk+l,…

中 で 任 意 の値 を と る よ う に 動 け る と い う こ と が

は,

,注 意 を 要 す る 点 で あ

る.

連 続 関 数 の つ く る 空 間C[0,1]   数 直線 上 の 閉区 間[0,1]上

で 定義 され た 連 続 関数 全 体 のつ くる集 合 に,距

離

d(f,g)を

に よ っ て 導 入 し て 得 ら れ る距 離 空 間 をC[0,1]に   こ こ で,f(t),g(t)は[0,1]上

で 定 義 さ れ て い る 連 続 関 数 で,し

￨f(t)−g(t)￨も

連 続 関 数 と な る.区

のTea

Timeに

よ り,￨f(t)−g(t)￨は,区

fとgの

距 離 と し て 定 義 し た の で あ る.

  d(f,g)が

距 離 の性 質(ⅰ),(ⅱ)を

よ っ て 表 わ す.

間[0,1]は

た が って

コ ン パ ク ト集 合 だ か ら,第7講

間[0,1]で

最 大 値 を と る.こ

の値 を

み た す こ と は 容 易 に確 か め られ る か ら

(ⅲ)  が 成 り立 つ こ とだ け を 示 し て お こ う. 

が 最 大 値 を と る 点 をt0と

す

る と,

した が って

図53 fの

ε-近傍Vε(f)は,0≦t≦1に

対 して

が 成 り立 つ 関数g全 体 か らな る.こ の よ うな 関数 は 図53で,fの

グラ フの上 下

ε以 内の 範 囲 に グラ フが 描 け る よ うな 関数 か らな ってい る. 積 分 に よ って 定 義 さ れ る 距 離   閉 区間[0,1]上

で定 義 され た 連 続 関 数 の集 合 には,積

分を 用 い て,上 に与 え

た もの とは全 く異 な る距離 を 定 義 す る こ とが で きる.す なわ ち,今 度 は2つ の連 続関 数fとgの

距 離 と して

と お く.   d1は 距 離 の 性 質(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を   (ⅰ)d1(f,g)≧0は の と きf=gと

み た し て い る.

明 ら か で あ る.い

な る こ と を 示 した い.も

存 在 し て 

まd1(f,g)=0が

しf≠gと

と な る. 

は 連 続 関 数 だ か ら,正

成 り立 つ と す る.こ

す る と,あ

るt0(∈[0,1])が

と お く. 

数 εを 十 分 小 さ く と る と 

で 

m/ 2と

な る.し

た が って

これ は 仮 定 と反 す る.し で,暗

た が っ てd1(f,g)=0な

に 

ら ば,f=gで

を 仮 定 し て い た.そ

あ る.(上

の証 明

うで な い と き に は,証

明を 少

し補 正 す る必 要 が あ る.)   (ⅱ) 

は,明

らか で あ る.

  (ⅲ) 

は 次 の よ うに し て 示 さ れ る:

  閉 区 間[0,1]上

で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 全 体 の 集 合 に,こ

得 られ る 距 離 空 間 をC[0,1]と の 性 質 が 全 く異 な っ て い る.そ

表 わ そ う.C[0,1]とC[0,1]と れ を み る た め に,任

中 で の ε-近傍   

意 のfに

の 距 離d1を

導 入 して

で は,そ

の近 さ

対 し て,C[0,1]の

が ど ん な も の か を 考 え て み よ う.

とい うこ とは

とい う こ と で あ り,こ こ と で あ る.図54で,こ

の こ と は,￨f(t)−g(t)￨の の こ と は,縦

グ ラ ブ の 面 積 が ε以 下 と い う

線 部 分 の 面 積 が ε以 下 で あ る こ と を 示 し

て い る.し

た が っ て,図54でhの

う な 関 数 も,ま

たVε(f)に

し ま う の で あ る.要

よ

含 まれ て

す る に,fか

らは

み 出 してい る グラ フ の 部 分 の 面積 が ε 以 下 で あ り さ え す れ ば よ い の で あ る.   hの

よ う な 関 数 で,と

ん 大 き く して も(グ 延 ば し て も),高

る 値 を どん ど

ラ フを 上 へ 上 へ と くな る場 所 の 幅 を そ

れ に 応 じ て 細 く と っ て お け ば(1本

の

糸のよ うに 見 え る細 くて高 い 高 い 木!),fの hの

グ ラ フ か ら は み 出 て い る, 図54

グ ラ フの 面 積 は ε以 下 に で き る.

す な わ ち,こ

の こ と か ら,Vε(f)の

中 に は,い

数 が 含 ま れ て い る こ と が わ か る.こ 53)と,全

くらで も大 きい値 を とる 連続 関

の 状 況 はC[0,1]に

く異 な っ て い る.C[0,1]とC[0,1]と

お け る ε-近傍Vε(f)(図

で は,本

質 的 に近 さの規準 が

違 う の で あ る.

Tea

'近 さ'と

か'近

  C[0,1]とC[0,1]は,集

づ く'感

の 距離dとd1が

か も しれ な い.確

か に,連

本 質 的 な も の で あ っ て,Rn上

入 っ た こ と に,読

でd,d1,dpな

る か は,全

さの性 質

の 距 離dとd1の

ど の 距 離 が,近

違 いは

さ と い う観 点 か ら

く対 照 的 な 状 況 を 提 示 し て い る.

常 的 な 場 合 に は 起 き な い と思 わ れ るか も し れ な い.し

れ は そ うで は な い.た

で 測 る か,地

の距離

者 は奇 妙 な 感 じ を もたれ た

続 関 数 の 集 合 上 で の こ の2つ

れ ほ ど差 の な か った こ と に 比 べ れ ば,全

  こ の よ うな こ と は,日 し,そ

じ が 全 く違 う2つ

合 と し て は 同 じ 連 続 関 数 の 集 合 な の に,近

が 全 く異 な る2つ

は,そ

Time

と え ば,日

上 の 乗 物 を 使 っ て,1つ

本 の2つ

の 地 点 の 長 さ を,地

か

図 上 の距 離

の 地 点 か ら他 の 地 点 に 達 す る最 短 時 間 で 測

く違 っ た 遠 近 の 感 覚 を 与 え る こ と に な る だ ろ う.最

短 時 間 で 測 れ ば,

東 京 か ら箱 根 の 芦 の湖 へ 行 くよ りは,東 京 か ら名 古屋 へ 新 幹線 で 行 く方 が 近 い と い うこ とに もな りか ね な い.こ の2つ の測 り方 は,全

く違 う測 り方 だか ら,一 方

で 測 って遠 い 近 い とい う2地 点 も,他 方 で 測 る と,遠 近 が逆 転 す る こと もあ る. 距 離 を測 る尺 度が 全 く違 うか らで あ る.

質 問   これ は た ま た ま 気 が つ い た か らお 聞 きす る と い う質 問 で す が,Rnの2点 間 の 距 離 の 場 合 に もd1と C[0,1]の か,そ

れ と も何 か,意

答   同 じ 記 号d1を   Rnの

い う記 号 を 使 い,同

距 離 に も使 っ て い ま した.こ

じ 記 号 を,積

味 が あ っ た こ と な の で す か.

用 い た の は,多

少 意 味 が あ った の で あ る.

場 合x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)に

と お い た.一

方,区

と定 義 し た.積

で あ る.す

分 を 用 い て導 入 した

れ は 全 く無 関 係 な 記 号 の 使 い 方 な の で す

間[0,1]上

対 して

の 連 続 関 数f,gに

分 の 定 義 に 戻 る と,こ

対 し て,C[0,1]の

距離は

の右 辺 は

な わ ち,d1(f,g)は,Rnの2点

のd1− 距 離d1(fn,gn)を

と っ て,収

束 す る た め に1/n を か け て,n→

∞ と した も

の とな っ て い る:

この 意 味 で,少 d1)の,n→

し乱 暴 な い い 方 を す れ ば,C[0,1]は,n次

∞ と した と き の 無 限 次 版!と

な っ て い る.

元 の 距 離 空 間(Rn,

第13講 点 列 の 収 束,開

集 合,閉

集合

テー マ

◆ 点 列 の収 束 の 具体 例 ◆Rnに

お け る収束;座

標 成 分 の収 束 との 関係

◆R∞ に お け る収 束;座 標 成 分 の収 束 との 関 係 ◆C[0,1]に

お け る関 数列 の 収束

◆ 距離 空 間 に お け る開集 合,閉 集 合 ◆ 開 集合,閉 集 合 の基 本的 な性 質

点列 の 収 束 の 具 体 例   距離 空 間 の点 列 の 収束 につ いて は,第10講

で一 般 的 な定 義 を 述 べ て おい た.

一般的 な 定 義 だ け で は,な か なか 実感 が つ か めな いか も しれ な いか ら,前 講 の Rn,R∞,C[0,1]の

と き,点 列 の収 束 が具 体 的 に どの よ うな形 で述 べ られ るか調

べ てお こ う. Rnの

とき

  まず,不 等式

(1) (i=1,2,…,n)が で, 

成 り立 つ こ と に 注 意 し て お こ う.左 以 外 の 項 を0に

側 の 不 等 式 は,√

お き 直 した も の で あ る.右

側 の 不 等 式 は√

の中 の中

の

の す べ て を,こ

の 中 で 一 番 大 き い 

にお き直 して 得 られ た もので あ

る.

Rnの

点 列x(1),x(2),…,x(s),…

がxへ

収 束す る状況 を 考 え るた め

と お く.そ

s→ ∞

の とき

の と き,x(s)→xと

対 し て,s→

∞

な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,各i=1,2,…nに

の とき

が 成 り立 つ こ と で あ る.

  す な わ ち,x(s)→xと

な る こ とは,各

座 標 成 分xi(s)がxiに

近 づ くこ と と同 じ

こ と で あ る と い っ て い る の で あ る.   こ の こ と は(1)式

を,x(s)とxに

と 書 い て み る と わ か る.も

適用 して

し 

に 対 し て, 

な らば,左

が 成 り立 つ こ と が わ か る.ま   が 成 り立 っ て い れ ば,も

が 最 大 とな る も の も,0に (s→ ∞)が

と お く.そ

対 し て,

中 で 

側 の 不 等 式 か ら, 

い え る.

の 点 列x(1),x(2),…,x(s),…

成 り 立 つ.そ

た 各iに

ち ろ んi=1,2,…,nの

近 づ くか ら,右

R∞

  R∞

側 の 不 等 式 か ら,各i

がxへ

の と き

収 束 す る と き に も,Rnと

同 様 の こ とが

れ を 述 べ る た め に,

のとき

s→ ∞ の と き,x(s)→xと 対 し て,s→

∞ の とき

が 成 り立 つ こ と で あ る.

な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,各i=1,2,…

に

こ れ を 示 す た め に,ま

ずi=1,2,…

に対 して

す なわ ち

が 成 り 立 っ て い る こ と に 注 意 し よ う.し 各iに

対 し てxi(s)→xiと

た が っ てs→

∞ の と き,x(s)→xな

な る こ と が わ か る.

こ こで 

を 用 い た. 

逆 に,各iに

対 して, 

正 数 と し て,xの

が 成 り立 っ て い る とす る.ε を 任 意 の

ε-近 傍Vε(x)を

と る と,y=(y1,y2,…)∈R∞

考 え る.前

を み た す も の は,Vε(x)の っ て い る か ら,番

が 成 り立 つ.そ

講 の(1)か

十 分 大 き く

は 任 意

中 に 含 まれ て い る.各iに

号s1,s2,…,skを

対 し て 

が 成 り立

十 分 大 き くとる と

こ でs0=Max(s1,s2,…,sk)と

お くと

の こ と は,

を 示 し て い る.ε は 任 意 の 正 数 で よ か っ た か ら,こ ∞)を

ら,kを

で

yk+1,yk+2,…,yk+l,…

と な り,こ

ら ば,

示 し て い る.

の こ とは ま た,x(s)→x(s→

C[0,1]の

  {f1,f2,…,fn,…}を,閉 C[0,1]の

区 間[0,1]で

点 列 と考 え て,あ

と き

定 義 さ れ た 連 続 関 数 の 列 と し,こ

る 連 続 関 数fに

れが

近 づ く と す る:

す なわ ち

が 成 り立 つ とす る.し

た が っ て,任

意 の 正 数 εに 対 し て,あ

る 番 号kで,n>k

な らば

に注 意 す る と,

を 成 り立 たせ る もの が あ る.  結 局 次 の こ とが 示 され た. C[0,1]の

中 でfn→f(n→

正 数 εに 対 し て,あ

∞)と

な る た め の 必 要 十 分 な 条 件 は,任

る 番 号kで,n>kな

ら ば,す

意の

べ て のt(0≦t≦1)

に対 して

を成 り立 たせ る ものが あ る こ とで あ る.

図55

  この と き,関 数 列{fn}はfに   な お,C[0,1]に

一 様 収 束す る とい う.

お け る関数 列 の 収束 の状 況 を,こ

の よ うに 別 の言葉 で い い 直

す た め に は,ル ベ ー グ積 分 とい う新 しい積 分 の考 え を導 入 して お いた方 が 見 通 し が よ くな る.し か し,こ こで は,こ の こ とにつ い て は触 れ な い. 距 離 空 間 に お け る 開 集 合,閉   (X,d)を

距 離 空 間 とす る.Xの

集合

開集 合,閉 集 合 の 定義 は,直

線や 平面 の場 合

と,全 く同様 な 形 で述 べ る ことが で き る. 【定 義 】OをXの

部 分 集合 とす る.Oの

任 意 の点xを

と った とき,あ る正 数 ε

で Vε(x)⊂O が 成 り立 つ と き,Oを   一般 に,Xの

開集 合 とい う.

任意 の 部 分 集合Sが

与 え られ た と き,Sの

点xで,十

分 小 さい

正 数 εを とる と Vε(x)⊂S が 成 り立 つ とき,xをSの

内点 とい う.す なわ ち,十

xの まわ りはSの 点 だ け か らな って い る とき,xをSの

分 小 さい範 囲 に 限 れ ば, 内点 とい うので あ る.

  この 言葉 を使 えば,開 集 合 とは,そ のす べ ての 点 が 内点 か らな る集 合 で あ る と い って も よい. 【定義 】  FをXの づ くと き,xも

部 分集 合 とす る.Fに またFに

属 す る点 列x1,x2,…,xn,…

属 す る とい う 性 質 を もつ と き,Fを

が点xに 近

閉集 合 で あ る とい

う.

開 集 合,閉

集 合の基本 的な性質

  直 線 や平 面 の場 合 と同様 な 開集 合 と閉集 合 に関 す る基 本 的 な性 質 が,一 般 の距 離 空 間 の場 合 で も成 り立 つ. (O1)  き 和 集 合 

を,開

集 合Orか

も 開 集 合 で あ る.

ら な る 集 合 族 とす る.こ

の と

(O2)  O1,O2が

開 集 合 な ら ば,共

(O3)  全 空 間Xは

通 部 分O1∩O2も

ま た 開 集 合 で あ る.

開 集 合 で あ る.

(O4)  空 集 合 φ は 開 集 合 で あ る.

 を,閉 き 共 通 部 分 

集 合Frか

ら な る 集 合 族 とす る.こ

の と

も 閉 集 合 で あ る.

(F2)  F1,F2が

閉 集 合 な ら ば,和

(F3)  全 空 間Xは

集 合F1∪F2も

ま た 閉 集 合 で あ る.

閉 集 合 で あ る.

(F4)  空 集 合 φ は 閉 集 合 で あ る.

  第3講

と 見 比 べ て み る と,ま

の 可 算 列O1,O2,…, 代 って い る.Γ

,On,…

ず 気 の つ く よ う に,(O1)は,第3講

と な っ て い る の が,こ

と し て 特 に Γ={1,2,3,…}を

集 合 列{O1,O2,…,On,…}と

な る.し

3講 で 述 べ た も の よ り一 般 的 で あ る.し は,(O1)を

開 集 合 列O1,O2,…,0n,…

で は 開集 合

こで は 開 集 合 族{Or}r∈rに

と る と,開

た が っ て,こ

集 合 族{Or}r∈

お き

Γは,開

の 形 で 述 べ て お く 方 が,第

か し,開 集 合 族 の 概 念 に な じ め な い 読 者 に 対 して 成 り立 つ と読 ん で も,さ

し当 り

は 特 に 支 障 は な い.   同 様 の 注 意 は(F1)に   (O3),(F3)は,第3講 全 空 間Xが

つ い て もい え る. で は 特 に 取 り上 げ な か っ た も の で あ る.定

開 集 合 の 条 件 も,閉

  (O4),(F4)を を(O3),(F3)と

で き る の で,こ

集 合 の 条 件 もみ た し て い る こ と は 明 ら か で あ る.

要 請 し て お い た 方 が よ い理 由 は,第3講 し て 引 用 し て あ る)述

  こ の(O1),(O2);(F1),(F2)の

義 を み れ ば,

で(そ

こで は 同 じ こ と

べ た 理 由 と同 じ で あ る.

証 明 は,第3講

で 述 べ た も の と,全

く同 様 に

こ で は く り返 さ な い.

Tea Time

質 問   R∞ の距 離 の こ とな の です が,僕

の考 え で は,講 義 で 与 え た距 離 は 複雑 す

ぎ る よ う に 思 い ま す.僕

な ら

x=(x1,x2,…,xn,…),y=(y1,y2,…,yn,…) の 距 離 を,￨xn−yn￨(n=1,2,…)の

で 定 義 し ま す.こ

う ち 最 大 な も の,す

の 方 が ず っ と 簡 単 だ と思 い ま す.そ

<ε とい う こ と は,す

答   こ の 質 問 は,問 る こ と に,ま

な わ ち 

常 に よ い 性 質 を も っ て い る と思 い ま す.

題 点 を 的 確 に 捉 え た よ い 質 問 な の だ が,質

ず 多 少 の 補 正 が い る.い

と し て み る と,￨xn−yn￨=nと ￨xn−yn￨は

し て こ の 距 離 で,d(x,y)

べ て の 座 標 成 分 が ε以 下,す

と な っ て い る こ と で,非

な わ ち

問 の 中 で述 べ て い

ま,

な り,し

た が ち て こ の と きnが

い く ら で も 大 き くな る か ら,d(x,y)の

大 き く な る と,

値 は 存 在 しな くな る.

  また

で,n→

と お く と, 

∞ の と き1に

る こ とは な い の だ か ら,￨xn−yn￨(n=1,2,…)に   こ の よ うな 点 を 考 慮 し て,質

と お く と よ い.こ

こ で 

と1の,ど

で あ り,こ

で あ る.も

も本 質 的 に は 同 じ'近

し,あ

とな って い る

の 定 義 は 不 完 全!)もd′

感 じ を 捉 え よ う と し て い る.

  d'は 距 離 の 性 質(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

み た し て い る し,式 の 形 も簡 単 だ か ら,d

よ り,d′ の 方 が よ い 距 離 の よ うに み え る.実 が よい か,一

ち らか 小 さい方 の

な らば

違 い は あ る が,d(こ

さ'の

な

補 正す るに は

るnで 

し,す べ て のnで 

の と きMaxとsupの

ょ う ど1に

最 大 値 は 存 在 し な い.

問 の 意 向 を 生 か す よ う に 距 離dを

値 を と っ て い る と い う意 味 で あ る.も と, 

近 づ くが,ち

際,距

離dの

概 に 比 較 で き る よ うな こ とで は な い が,い

て み よ う. x(1)=(0,1,1,…,1,…) x(2)=(0,0,1,1,…,1,…)

方 が よ い か,d′

の方

ま 次 の よ うな 点 列 を 考 え

こ の 点 列 の 各 々 の 座 標 成 分 は,あ xi(s)→0(n→ 0)→0(s→

∞)で ∞)で

  す な わ ち,距

あ っ て,し あ る.こ

離dに

る と こ ろ か ら 先0と

た が っ て,講

な る か ら,各iに

こで0は0=(0,0,0,…)を

つ い て はx(s)→0(s→

対 して

義 の 中 で 述 べ た こ と に よ り,d(x(s), 表 わ し て い る.

∞)で

あ る.し

か し 距 離d'で

は,

つねに

で あ る こ と は す ぐに わ か る か ら,点   R∞ の 点 列 が,あ

列{x(s)}は0に

近 づ か な い.

る 点 に 近 づ く様 子 を 調 べ る と き,私

た ち は,ふ

つ うは,各

標 成 分 が ど の よ うな 値 に 近 づ い て い くか を 注 目す る こ と に よ っ て,調 とす る.こ な く,dの る.

の よ うな 望 み に 適 合 す る 距 離 は,こ 方 な の で あ る.こ

の 例 で み た よ うに,d′

の 理 由 か ら,数 学 で は,距

離dの

座

べ てい こ う の方 で は

方 を 主 に用 い て い

第14講 近 傍 と 閉 包 テ ー マ.

◆ 開近 傍,近 傍 ◆ 点 列 の 収束 と近 傍 ◆ 部分 集 合 の近 傍 ◆ 閉包 の 定義:集 積点 をす べ て つ け加 え た 集合 ◆ 閉包 の基 本的 な 性質 ◆(Tea

Time)近

傍 と閉包 との関 係

開

  第1講

か ら 第9講

傍

ま で の 主 題 と な っ て い た,数

関 す る概 念 の ほ とん ど は,そ か し,そ

近

直線 や 平面 の部 分集 合 の近 さに

の ま ま の 形 で 一 般 の 距 離 空 間 に ま で 拡 張 さ れ る.し

れ を そ の ま ま く り返 す こ と は,い

か に も 退 屈 な こ と だ か ら,少

しずつ 新

し い 概 念 を 導 入 して い くこ と に よ り,数 学 の 世 界 を 広 げ て い く こ と に し よ う.   距 離 空 間(X,d)の,点xに あ る ． し か し,xの

お け る ε-近傍Vε(x)の

近 傍 ―xの

ま わ りの 点 の集 り―

け に こ だ わ る こ と は な い よ うで あ る.図56は 近 傍 と し て,図 の も,xの

示 し て あ る よ う な,xを

定 義 は,第11講

とい う と き に,ε-近 傍 だ

平 面 の 場 合 に 描 い て あ る が,点xの

完 全 に 中 に 含 む よ うな さ ま ざ ま な 形 の も

近 傍 と い っ て も よ い と思 わ れ る.

  開 集 合 の 概 念 は,す

で に よ く知 っ て い る か

ら,こ の 考 え に 基 づ い て,こ れ か ら は,単 にxの ε ‐近 傍 だ け で は な くて,点xを xの 開 近 傍 と い っ て,こ

含 む 開 集 合 も,

れ も,近

に 加 え て お く こ と に し よ う.そ で 示 し た もの は,す

べ てxの

で与 え て

傍 の概 念 の 中 うす る と,図56

開 近 傍 とい って よ

図56

い こ と に な る.   点xの xの

開 近 傍Vを

と る と,xはVの

ε-近傍 はVに

内 点 だ か ら,十 分 小 さ い 正 数 εを と る と,

含 ま れ て い る: Vε(x)⊂V 

  い ま 点 列{xn}がxに て も,あ

る 番 号kを

上 の こ とか ら,次

近 づ く と し よ う.こ

の と き,ど

と る と, 

ん な 小 さ い 正 数 εを と っ

と な っ て い る.  し た が っ て

の こ と が 成 り立 つ こ と が わ か る.

(*)xn→x(n→

∞)の

る 番 号kが

(1)

と き,xの

任 意 の 開 近 傍Vに

対 し て,必

ずあ

あ って

が 成 り立 つ.

近

  点xの う.こ

ま わ りを'完

傍

全 に 蔽 っ て い る'よ

うな あ る 範 囲 に 注 目 す る こ と に し よ

の よ うな 範 囲 を 特 性 づ け る 性 質 は,xに

nが ど ん ど ん 大 き くな る と,い

近 づ く ど ん な 点 列{xn}も,番

ず れ は あ る 番 号 か ら 先 のxnが

含 ま れ て し ま う と い う こ と で 与 え られ る だ ろ う.す り立 つ と い う こ とで あ る.上   した が っ て,開 も,ご

の 性 質(*)は,(1)か

近 傍 の 概 念 を さ らに 一 般 化 し て,次

な わ ち,上

す べ て この範 囲 に の 性 質(*)が

たす と き,Wをxの

の よ うな 定 義 を 与 え る こ と

の性質 をみ

近 傍 とい う.

  十 分 小 さい正 数 εを とる と

が 成 り立 つ.   図57で

は,平

面 の 場 合 に,xの

い ろ い ろな

近 傍 を 描 い て あ る.   こ の と き,次

の こ と が 成 り立 つ.

成

ら の 結 論 で あ る.

く 自然 な こ とに な っ て くる.

【定義 】 点xを 含 む 集 合Wが,次

号

図57

Wがxの

近 傍 ⇔xに

近 づ く ど ん な 点 列x1,x2,…,xn,… あ る 番 号kが

【証 明 】 ⇒ の 成 り立 つ こ と は,す 背 理 法 を 用 い る た め,Wがxの

近 傍 で な い と す る.そ

を み た す 点 列{x1,x2,…,xn,…}が べ て のnに

の 証 明 は 次 の よ うに す る. の と き に は,ど

含 ま れ て い な い.特

はWに

を と っ た と き, 

で あ る が,す

あ っ てn>k⇒xn∈W.

で に 述 べ て あ る.〓

い 正 数 εを と っ て も,Vε(x)は,Wに

を と っ て も,

んな 小 さ

に ε=1,1/2,1/3,…,1/n,…

含 ま れ て い な い か ら,

存 在 す る こ と に な る.明 ら か にxn→x(n→∞)

対 し てxn〓Wな

の だ か ら,こ

る こ と が 成 り立 た な い こ と を 意 味 し て い る.背

の こ と は 右 側 に述 べ て あ

理 法 に よ っ て,こ

れで ⇒ が成 り

立 つ こ とが 示 され た. 次 の こ とを 注 意 してお こ う. Wがxの

近傍 ⇔

あ る 開集 合Oで x∈O⊂W をみ た す ものが 存 在 す る.

【証 明 】  ⇒:Wがxの

近 傍 な ら ば,十

り立 っ て い る.Vε(x)は

分 小 さ い 正 数 εを と る とVε(x)⊂Wが

開 集 合 だ か ら,O=Vε(x)と

お く と,x∈O⊂Wが

成 成

り立 つ.  〓:x∈O⊂Wと

な る 開 集 合Oが

存 在 す れ ば,開

集 合 の 性 質 か ら,十

分 小 さい

正 数 εを と る と Vε(x)⊂O と な る.し

た が っ てVε(x)⊂Wと

な り,Wはxの

近 傍 とな る.

部 分集合の近傍   1点xの

近 傍 だけ で は な くて,任 意 の部 分集 合Sに 対 して も,Sの

を導 入 したい.

近 傍 の概 念

【定義 】 部 分 集 合Sが 与 え られ た とき,次 の 性 質 を み たす 部 分集 合Wを,Sの   適 当 な開 集 合Oを

近 傍 とい う:

とる と

S⊂O⊂W 

(2)

が 成 り立 つ.  特 に,W自

身 がSを

含む 開 集 合 と な っ て い

る とき,す な わ ち(2)でOと とれ る とき,WをSの

し てW自

身が

開 近 傍 とい う.

図58

閉

包

  平 面(ま た は直線)の 部 分集 合 に対 して,集 積 点 の 定義 はす で に第4講 で与 え て あ る.全

く同様 に して,距 離 空 間Xの

部 分 集 合Sに 対 して も,Sの

集積点の

概 念 を導 入す る こ とが で き る. 【定 義】 点xがSの

集 積 点 で あ る とは,Sの

…,xn,… を とる と,xn→x(n→∞)が   Sの 集 積 点 は,Sに る.Sの

中か ら適 当 に 相 異 な る 点 列x1,x2,

成 り立 つ ことで あ る.

属 して い る こと もあ る し,ま たSに 属 して い な い こと もあ

集 積点 が1つ も存 在 しな い こと もあ る.た とえ ば,有 限 集合Sに

は 集積

点 は な い.無 限集 合 で あ って も,た とえば数 直 線 上 の整数 を座 標 に もつ 点 全 体 の 集 合Sに

は,集 積 点 はな い.(整

数 の点 は,と び とび に並 ん でい て,密 集 して い

くよ うな点 はな いの で あ る!) 【定 義】 部 分集 合Sに,Sの 閉 包 とい い,Sで

集積 点 を すべ てつ け 加え て 得 られ る 集 合 を,Sの

表 わ す.

  す なわ ち,S=S∪{Sの

集 積 点}で あ る.

【例1】  数 直線 上 の集 合

を と る と,Sの

で あ る.

集 積 点 は0だ

け か ら な り,し た が っ て

【例2】   平 面 上 の集 合

を と る.Sは る.こ

半 径1の

円 の 内 部 か ら,中

心 とな って い る原 点 を 除 いた もの であ

の とき

とな る.(中 心 も,周 上 の点 も,中 心 を除 い た 円 の内部 の点 か ら近 づ け る.)

閉包 の性質 閉包 は,次 の4つ の基 本 的 な性 質 を もって い る.

  こ の4つ

の 性 質 が 成 り立 つ こ と を 確 か め て み よ う.

  (C1):SはSに

集 積 点 を つ け 加 え て 得 ら れ る の だ か ら,こ

の こ とは 明 らか で

あ る.   (C2):集 然Tの

積 点 の 定 義 を み る と わ か る よ うに,S⊂Tな

集 積 点 に も な っ て い る.し

  (C3):S⊂S∪T,T⊂S∪Tに も に,S∪Tに

ら1点xを

た い.xはS∪Tの

点 か,あ

∪Tの

よ り,(C2)か

集 積 点 の と き に,x∈S∪Tを

あ る.逆

集 積 点 か,ど

点 を 含 ん で い な く て は な ら な い.い

ち ら か で あ る.xがS

が 存 在 し てxn→x(n→

ち ら か 少 な く と も一 方 は,x1,x2,…,xn,… ま,

xi1,xi2,…,xin,…

∈S

の 包含 関 係 を示

な って い る こ とを示 し

示 せ ば よい.xはS∪Tの

属 す る 無 限 点 列x1,x2,…,xn,…

る.SかTか,ど

らS⊂S∪T,T⊂S∪T.S,Tと

と る.こ の と きX∈S∪Tと る い はS∪Tの

集 積 点 は,当

あ る.

含 ま れ て い る の だ か ら,S∪T⊂S∪Tで

す た め に,S∪Tか

S∪Tに

た が っ てS⊂Tで

ら ば,Sの

集 積 点 だ か ら, ∞)と の 中 の,無

な って い 限個 の

と す る.こ

の と き,xin→xで

ちx∈S⊂S∪Tで

あ る.こ

  (C4):Sは,Sの つ.逆

の と き,Sに

閉 包 の こ と で あ る.し

点 か,Sの

なわ

示 さ れ た.

た が っ て(C1)か

らS⊂Sは

と る.x∈Sで

成 り立 あ る こと

集 積 点 の と き を 考 え れ ば 十 分 で あ る.こ

属 す る 無 限 点 列x1,x2,…,xn,…

の 各 点 は,Sの

集 積 点 と な る.す

属 す る 任 意 の 点xを

の た め に は,xがSの

を み た す 点ynがSの る.実

た が っ てxはSの

れ で 結 局,S∪T⊂S∪Tが

の 包 含 関 係 を 示 す た め にSに

を 示 し た い.こ

x2,…

あ り,し

でxに

集 積 点 で あ る.し

中 に 存 在 す る.こ

近 づ く も の が あ る.こ のx1, た が って

の 点 列{y1,y2,…,yn,…}はxに

収束 す

際

した が っ て,xはSの   こ の(C4)の と を,注

集 積 点 で あ っ て,x∈Sで

証 明 の 中 に も,距

意 し て お い て ほ しい.ま

あ る.

離 の 三 角 不 等 式 が 本 質 的 に 用 い られ て い る こ た,特

に 述 べ な か っ た が,{y1,y2,…}の

中に,

異 な る も の が 無 限 個 あ る こ と も 容 易 に 確 か め られ る.   な お,空

集 合 φに対 して は

(C5)φ=φ

と約 束 し て お く こ と に し よ う.   こ こで,簡 …,xn,… xn,…

単 な 注 意 を1つ

が 点xに

述 べ て お こ う.部

近 づ く と き,2つ

分 集 合Aか

の 場 合 が あ る.1つ

の 中 に 相 異 な る も の が 有 限 個 し か な い 場 合 で あ り,も

異 な る も の が 無 限 に あ る と き で あ る.最

ら と っ た 点 列x1,x2, の 場 合 は,x1,x2,…, う1つ

の 場 合 は,相

初 の 場 合,d(xm,xn)→0(m,n→

∞)に

注 意 す る と(す

な わ ち,先

注 意 す る と),あ が わ か る.し

へ 進 む と点 列 間 の 間 隔 が い く らで も 小 さ くな る こ と に

る 番 号kが

あ っ て,n>kな

た が っ て この と き,x∈Aで

で あ り,し

た が っ てx∈Aで

  さ て,閉

包 に つ い て,次

あ る.あ

なること

と の 場 合 は,xはAの

集積点

あ る. の 性 質 は よ く用 い られ る.

SはSを

  最 小 と い う の は,も

らばxn=xn+1=…=xと

含 む 最 小 の閉集 合 で あ る.

し あ る 閉 集 合FがS⊂Fと

な っ て い れ ば,必

ずS⊂Fと

な

る こ と で あ る.   ま ず,Sは

閉 集 合 で あ る こ とを み よ う.な ぜ な ら,Sか

xn,…

近 づ く と,上 の こ とか ら(Aと

がxに

る.(C4)か

らS=Sだ

か ら,い

し てSを

ら と った 点 列x1,x2,…,

と る)x∈Sか,x∈Sで

ず れ の 場 合 で もx∈Sと

な っ て,Sは

あ 閉集 合 で

あ る.   次 に,S⊂Fを

み た す 閉 集 合Fを

に 収 束 す れ ば,Fは が っ てS⊂Fで

問1 

あ り,SはSを

  (ⅱ)  Wがxの 問2 

点 列x1,x2,…,xn,…

がSの

点x

属 して い な くて は な ら な い.し

た

含 む 最 小 の 閉 集 合 で あ る.

近 傍 に つ い て 次 の性 質 が 成 り立 つ こ と を 示 せ.

  (ⅰ) U,Wがxの

S=Sが

と る.Sの

閉 集 合 だ か ら,xはFに

近 傍 な らば,U∩Wも 近 傍 な らば,W⊂Sを

距 離 空 間 の 部 分 集 合Sが 成 り立 つ こ とで あ る.こ

ま たxの み た すSは

近 傍 で あ る. ま たxの

閉 集 合 と な る た め の,必

近 傍 で あ る.

要 か つ 十 分 な る条 件 は,

の こ と を 証 明 せ よ.

Tea

Time

近 傍 と閉 包 の 関係  近 傍 と閉包 の2つ の概 念 を,講 義 の 中 で は並列 的 に 導入 して しま ったが,こ れ で済 ま して しま うと,読 者 の頭 の中 に は,こ の2つ の 概念 が ば らば らに 入 って し ま うか も しれ な い.そ れ で はや は り困 るの で,こ こで は近 傍 と閉包 の 直接 の結 び

つ き を 与 え て お こ う.   部 分 集 合Sが は,xの

与 え ら れ た と き,点xがSに

す べ て の 近 傍Wに

属 す るため の 必 要 か つ 十分 な条 件

対 して W∩S≠

φ

が 成 り立 つ こ と で あ る.   Tea

Timeに

この こ と の 形 式 的 な 証 明 を し て み て も は じ ま ら な い.ど

とか だ け を 説 明 し よ う.Sの あ り,し

た が っ てW∩S≠

題 と な る.xがSの

点xに

対 して は,x∈Wな

の だ か ら,W∩S∋xで

φ は 明 らか な こ と で あ る.xがSの

集 積 点 で あ る と い う こ と は,xの

点 が 押 し 寄 せ て く る と い う こ とで あ る.た 海 が 広 が っ て い る か,あ

近 傍Wの

と え て い え ば,xの

る い は 小 川 が 流 れ て い て,岸

う.す

範 囲 に―

な わ ち,Wは

足 を動 か せ ば

水Sと

,そ

集 積 点 の と きが 問

足 も と に い く らで もSの 前 に は,Sと

に 立 つxの

ら で も 水 が 波 打 っ て 近 づ い て くる よ う な 状 況 で あ る.し ―

うい う こ

い う

足 も とには い く

た が っ て,xが

少 しで も

こに は 必 ず 水が あ るこ とに な るだ ろ

交 わ る―W∩S≠

φ―

とい うこと にな っ て し ま う

の で あ る.

質 問   点xの

近 傍 と い うの は,何

定 義 を み る と,全 ば,全

空 間Xも,1点xの

平 面 も原 点 の 近 傍 だ,と

っ て は,何

か 小 さ い も の だ と 思 っ て い ま した が,こ 近 傍 と な っ て い ま す.平

い う こ と に な り ま す.こ

こで の

面 の場 合 で い え

ん な に 大 き くな っ て し ま

か 近 傍 と い う言 葉 の 感 じ と 合 わ な い よ うで す.

答   確 か に 近 傍 と い う言 葉 か ら く る 日常 的 な 感 じ に こ だ わ っ て い て は,全

空間 ま

で が 近 傍 と な っ て し ま う こ と は,少

うか と

しお か し い か も し れ な い.し

か し,そ

い っ て,ど の 範 囲 ま で を 近 傍 と い うか と い う こ と も,は っ き り しな い こ と で あ る. 近 傍 の 概 念 の 中 に は,全 の 近 傍 で … が 成 り立 つ'な て い く,限

空 間 も含 ん で い る が,実 ど と い う と き に は,頭

際 は,た

と え ば,'xの

の 中 で は,xに

りな く小 さ くな る近 傍 を 思 い 描 い て い る.

すべて

ど ん どん 近 づ い

第15講 連

続

写

像

テーマ

◆2つ

の距 離 空 間 の間 の 写像 の例

◆ 写 像 の連 続 性:近 づ くもの を近 づ くものへ 移す ◆ 連 続 性 と閉包:  ◆ 連 続性 と開集 合:開 集 合Oに

対 しφ−1(O)が 開集 合

◆ 連 続性 と閉集 合:閉 集 合Fに

対 しφ−1(F)が 閉 集 合

◆ 連続 性 と近 傍

2つ

  今 ま で は,1つ

の 距 離 空 間 だ け を 考 え て い た が,こ

d)と(Y,d′)を

考 え る.(X,d)と(Y,d′)は,全

い う設 定 か ら,話   Xか

らYへ

の 距 離 空 間

こ で は2つ

の 距 離 空 間(X,

く無 関 係 な 距 離 空 間 で あ る と

は は じ ま る.

の 写 像φ が 与 え ら れ た とす る.こ

性 に つ い て 調 べ た い.そ

の 前 に,こ

の と き,こ

の 講 で は,φ

の連 続

の よ うな 一 般 の 空 間 の 場 合 で の 写 像 の 例 を 与

え て お こ う.   た と え ば,(X,d)と

し て 数 直 線R,(Y,d)と

の つ く る距 離 空 間C[0,1]を

し て 区 間[0,1]上

の連続 関 数

と る.

  この とき

は,Rか

らC[0,1]へ

え て い る).す し,−5に   逆 にXと

の 写 像 の 例 を 与 え て い る(fx(t)は

な わ ち,数

は−5t2−5と してC[0,1]を

直 線 上 の1に

は,φ

区 間[0,1]だ

に よ っ てt2+1と

い う関 数 が 対 応 し て い る. と り,Yと

し てRを

と った 場 合,

けで考

い う関 数 が 対 応

は,Xか

らYへ

の 写像 の 例 を 与 え て い る.た  と な っ て い る.要

と えば, 

す る に,φ

は,fに

対 し て,fの

グ ラ フ の 面 積 を 対 応 さ せ て い る の で あ る.

連 続 写

  さ て,こ

の よ うな2つ

像φ の 連 続 性 を,'近

の 距 離 空 間XとYが

像

与 え ら れ た と き,Xか

づ く も の を 近 づ く も の へ 移 す'と

らYへ

の写

い う性 質 で 定 義 す る.す

なわ ち 【定 義 】Xか

らYへ

の 写像φ が 連 続 で あ る とは,任

く任 意 の 点 列x1,x2,…,xn,…

意 の点x∈Xと,xに

近づ

に対 して

f(xn)→f(x) 

(n→ ∞)

が 成 り立 つ こ と で あ る.   簡 単 に 書 け ば,連

続性 とは

が 成 り立 つ こ とで あ る.   上 に 述 べ た2つ

の 写 像φ と ψ は 連 続 写 像 で あ る.ψ の 方 の 連 続 性 だ け を 述 べ て

お こ う.   fn→fと

す る.こ

の こ と はC[0,1]の

距 離 の 定 義 か ら,任 意 の 正 数 εに 対 し て,

kを 十 分 大 き く とれ ば

が 成 り立 つ こ と を 意 味 し て い る.し

と な り,こ

の こ と は,n→

た が っ て,n>kの

∞ の と き, 

し た が って ψ は 連 続 で あ る.

とき

と な る こ と を 示 し て い る.

連続性 と閉包  写 像φ が 連 続 で あ る とい う上 の定 義 は,閉

包 の概 念 と密 接 に結 び つ い てい る.

す なわ ち φが 連 続 ⇔Xの

す べ ての部 分 集 合Sに 対 して

が 成 り立 つ.

【証 明 】 ⇒:φ

を 連 続 と す る.任

と よ い.x∈Sな

ら ば,こ

か ら,φ

の た め,xに

意 の 部 分 集 合Sに

まあ る 点xと,xに った と す る.こ

無 限 点 列x1,x2,…,xn, あ る.φ(xn)

閉 集 合 で あ る こ と に よ りφ(x)∈φ(S)が 対 し て,φ(S)⊂φ(S)が

近 づ く点 列{xn}に の と き,あ

近 づ くSの

い え た.

成 り立 っ て い る とす る.い

対 し て,φ(xn)→φ(x)が

る 正 数 ε0と,{xn}の

示 す

集 積 点 とな っ

の 連 続 性 に よ っ て,φ(xn)→φ(x)で

∈φ(S)(n=1,2,…)とφ(S)が   〓:任

と っ た と きφ(x)∈φ(S)を

の こ と は 明 ら か に 成 り立 つ か ら,xがSの

て い る と き を 考 え る と よい.そ … を と る,xn→xだ

意 の 点x∈Sを

成 り立 た な か

中 か ら と っ た 無 限 点 列{xn1,

xn2,…,xni,…}で

(1) と な る も の が 存 在 す る.そ

こ でSと

し て,

S={xn1,xn2,…,xni,…} を と っ て み る.こ

の と き S={xn1,xn2,…,xni,…,x}

で あ る.す

な わ ちSは,た

で あ る が,(1)か

ら,φ(S)の

 だ か ら,こ   証 明 は,ひ

だ1つ

の 集 積 点xを

中 に は,φ(x)は

も つ.一

方

含 ま れ て い な い.x∈Sで,φ(x)

れ は 仮 定 に 矛 盾 す る.

と ま ず こ れ で 済 ん だ が,重

う基 本 的 な 性 質 が,点

要 な こ と は,写

像φ が 連 続 で あ る と い

列 が 近 づ く と い う素 朴 な 概 念 を 切 り離 して,部

分 集 合 とそ

の 閉 包 と い う 抽 象 概 念 で も述 べ る こ と が で き る よ うに な っ た と い う こ とで あ る.

  近 づ くもの を近 づ くもの に移 す とい う,連 続 性 のわ か りやす い 表 現 を,な ぜ こ の よ うに 抽 象的 な形 に昇 化 して い く必要 が あ るのか と疑 問 に思 わ れ る読 者 も多 い か も しれ な い.こ れ に対 す る明確 な解答 は ない の だが,ひ

とまず 完成 した 現 代数

学 の 構 図 に立 っ てみれ ば,近 さ の概 念 を数 学 の 枠組 の中 に はめ こんだ 位 相 空 間論 で は,連 続 性 を,写 像 と部 分 集 合 相 互 の関 連 とい う観 点 で捉 え た ので あ る.こ の よ うな捉 え方 が可 能 で あ った のは,こ

こで み た よ うに,ま た 以下 で もみ る よ うに,

近 づ くとい うこ とに根 ざす さ ま ざ まな概 念 が,閉 包 とか,開 集合 とか,閉 集 合 と か い う概 念 に 吸収 され て い った こ とに よ る.こ の過 程 は,数 学 の抽 象 化 とよば れ る もの の一 つ の 現わ れ とな って い る. 連 続 性 と開 集 合   写像φ が 連続 で あ る とい う性 質 は,逆 結 びつ い て い る.φ をXか

らYへ

の写 像 とす る.

φが 連 続 ⇔Yの

任 意 の 開集 合Oに はXの

  この 証 明 は,第8講

像 を 通 して 開集 合 の 概 念 とも し っか り

対 し,φ−1(O)

開 集 合 とな る

で,平 面 か ら平 面(ま た は 直線)へ の写像 の場 合 に与 えた

証 明 と全 く同様 に で き るの で,こ こで は く り返 さ ない.   前 と同 じ よ うな注 意 に な るが,読

者 はむ しろ,ε-δ論 法 の もと とな る 不 等 式 に

よ る連 続 性 のい い表 わ しが,こ の よ うな不 等 号 とは全 然 無 関 係 な形 で い い表 わ さ れ て し まった こ とに,注 意 を 払 うべ き であ ろ う.集 合概 念 の もた らす一 つ の 簡 潔 さを こ こにみ る ことが で き る. 連続性 と閉集合  第8講 で述 べ た の と同 様 に,上 の 命題 を,補 集 合 に移 しか えて述 べ る こ とに よ り,連 続 性 と閉集 合 の関 係 も得 られ る. φが連 続 ⇔Yの

任 意 の 閉集 合Fに はXの

閉 集 合 とな る.

対 し,φ −1(F)

連 続 性 と近 傍 連 続 性 を近 傍 に よ ってい い 表わ す こと もで き る. φが連 続 ⇔

各 点x∈Xに

対 し て,y=φ(x)と

意 の 近 傍Wに

 実際,yの

近 傍Wを

お く と,yの

対 し,φ −1(W)はxの

と る と,あ る開集 合Oが

任

近 傍 と な る.

存 在 してy∈O⊂Wと

な って い

る.φ に よる逆像 を考 え る こ とに よ り

と な る.φ が 連 続 な らば,φ −1(O)は の 近 傍 で あ る こ と を 示 し て い る.こ

開 集 合 だ か ら,こ

の こ と は,φ−1(W)がx

れ で ⇒ の 証 明 が 得 られ た.

図59   逆 向 き〓 のYの

が 成 り立 つ こ と の 証 明:右

開 集 合Oに

x∈φ −1(O)を

と り,y=φ(x)と

か らφ −1(O)はxの φ1(O)は

対 し て,φ −1(O)が

側 に 述 べ て あ る こ とを 仮 定 す る と,任 開 集 合 と な る こ と を み る と よ い.任

お く.y∈Oで,O自

近 傍 と な る.し

身yの

た が っ てφ −1(O)の

近 傍 だ か ら,仮

意 意に 定

点 は す べ て 内 点 と な り,

開 集 合 で あ る.

Tea

Time

質 問 φ が連 続 であ る とい うこ とが,任 意 のYの

開集 合Oに

対 してφ−1(O)が

開集 合 に な る とい う性 質 で 述 べ られ る こ とは,ひ とまず 覚 え ま した.し か し,ま

だい って い る内容 を十 分理 解 した よ うな 気が しませ ん.φ が不 連続 の とき こ の性 質 が ど う して成 り立 た な くな る のか,例 で示 して いた だ け ませ ん か. 答   よ く理 解 す るた め に,い ろい ろ な例 で 内 容 を確 か め て み る こ とは よい こ とで あ る.φ が 不連 続 の と き,開 集 合 の逆 像 は 一般 に は開集 合 にな らない とい う こと を,3つ

の例 で 示 してお こ う.

  最 初 の例 はRか

らRへ

の写 像φ を

で 与 え た も の で あ る.図60か 1))=(−1,0]と   次 もRか

な り,開 らRへ

ら,φ はt=0で

区 間(−1,1)の

不 連 続 と な って い る.φ−1((−1,

逆 像 は 開 集 合 に な って い な い.

の 写 像 の 例 で あ る.

tが 無理 数 tが 有理 数 と定 義 さ れ る ψ を 考 え る.こ

の と き,開

の 逆 像 は,

区 間 

有理数の集合 と な り,開 集 合 で は な い.

図61

図60   3番 目 は,こ Rへ

の2つ

と は 少 し変 わ っ た 例 を 考 え て み よ う.い

の 写 像 Φ を,f∈C[0,1]が,区

f(t)≦0の

と お く.そ

ま,C[0,1]か

間[0,1]で

つ ね にf(t)≧0,ま

な わ ちfの

グ ラ フ がx軸

ら

た はつ ね に

とき には

う で な いfに

対 し て は,す

を横 切 る とき には

と お く.こ

の と き,Φ

は,多

く の 場 所 で 不 連 続 と な る が,た

とえ ば

とい う関数f0の と ころ で不連 続 とな る.不 連 続 とな る 状 況 は図61を 見 る とわ か で あ る が,Vε(f0)の

る. 

Φ(h)=0と

な っ て い る.hの

こ の と き,Φ(h)=Oな

中 に あ るhに

よ うな 関 数 を 通 っ て,f0に

の に, 

対 し て は,

近 づ く こ とが で き る が,

とな る のだ か ら,Φ はf0で 不 連 続 で あ

る.

 そ こで 

に対 して,Rの

開 区 間 

の Φ に よ る 逆 像 Φ−1 

を 考 え てみ る.こ の逆 像 の 中 にはf0は 含 まれ て い るが,f0の ど ん な 小 さ い 近 傍 の 中 に も あ る,hの の 中 で,f0は 合 で は な い こ とが わ か る.

よ うな 関 数 は 含 ま れ て い な い.し 内 点 で な くな り,こ

た が っ て 

の 集 合 はC[0,1]の

開集

第16講 同

相

写

像

テー マ

◆ 距離 空 間Xか

らYの

上へ の1対1連

続 写 像φ

◆ 同 相写 像:φ と逆 写像φ−1が連続 ◆ 同相 写 像 で 距離 は保 た れ な い. ◆ 同相 写像 で保 た れ る もの:閉 包,開 集 合,閉 集 合,近 傍 ◆ 位 相 的性 質:同 相 写像 に よ って保 たれ る性質

逆

  集 合Xか

らYの

上 へ の 写 像φ が1対1と

え る こ とが で き る.こ

の と き は,φ

し合 っ て い る か ら,集

合 と し て は,本

  同 様 の 発 想 に 立 て ば,距 Yの

上 へ の,1対1の

像

な っ て い る と き は,逆

を 通 し て,XとYは,完

写 像φ−1を 考

全 に1対1に

対応

質 的 に は 同 じ も の と考 え て も よ い.

離 空 間(X,d),(Y,d′)が

与 え ら れ た と き,Xか

ら

連 続 写 像φ が あ っ て,φ −1も ま た 連 続 と な っ て い る よ うな

状 況 を 調 べ て み る こ と は,大   ま ず,そ

写

切 な こ と に な る だ ろ う.

の 前 に,φ が 連 続 な ら ば,逆

写 像φ −1は連 続 と な っ て い る の か ど うか

を 調 べ て お こ う. 一般 に

,φ が 連 続 で あ っ て も,逆

  実 際,φ −1が連 続 と な ら な い 例 を1つ   Xと を,90°

し て は,3次

写 像φ −1は連 続 と は 限 ら な い.

与 え て お こ う.

元 空 間 の 中 で,xy-座

標 平 面 のx軸

回 し て 平 面 に 垂 直 に 立 て た も の を 考 え る.空

こ こ に 制 限 し て 考え る こ と に よ り,Xは 平 面 を と る.Xか

らYへ

所 に'寝

い う写 像 を と る.し

か す'と

の 写像φ

の 正 の 方 の つ く る半 直 線

間 に あ る ふ つ うの 距 離 を,

距 離 空 間 と な る.Yと

と し て は,垂

し て は,xy-座

直 に 立 て た 半 直 線 を,も

た が っ て,そ

れ 以 外 の 点 で は,φ

標

との場 は恒 等 写

図62 像 で あ る.φ

は,Xか

らYの

は な い.図62で,点

上 へ の1対1の

連 続 な 写 像 で あ る が,φ −1は連 続 で

列Pn=(n=1,2,…)は,x軸

(n=1,2,…)は,ど

上 の 点Pに

こ に も 近 づ か な い.

同 相

写

像

  こ の よ う な 例 が あ る こ とを 知 っ た 上 で,次 【定 義 】  距 離 空 間(X,d)か φ−1もYか φ をXか

らXへ らYへ

近 づ くが,φ −1(Pn)

ら(Y,d′)の

の 定 義 を お く. 上 へ の1対1連

続 写 像φ が あ っ て,

の 連 続 写 像 と な っ て い る と き,XとYは

同 相 で あ る と い い,

の 同 相 写像 と い う.

図63 同 相 写 像 を 位 相 同 型 写 像 と い う こ と も あ る.  さ て,こ

こで ま た 大 切 な 注 意 が あ る.い

ま(X,d)と

し て ュ ー ク リッ ド平 面R2

を と る.こ の と き距 離dは  (Y,d′)と

し て は,同

で 与 え ら れ て い る.

じ平 面 で あ る が,距

を 採 用 した もの とす る.Xか

らYへ

離d′ と して

の 写 像φ と して,恒

等 写像φ(x)=xを

と

る.こ

の と き,第11講

近 づ く こ と と,距 あ る.こ

で も 述 べ た よ うに,距

離d′ で 測 っ て,点

の こ とは,φ

列{xn}がxへ

の 場 合(X,d)か

列{xn}がxへ

近 づ くこ と と は 同 じ こ と で

ら(Y,d′)へ

距 離 は 違 っ て い る.す

と,φ で 移 し て(同

測 っ て,点

もφ −1も連 続 写 像 で あ る こ とを 示 し て い る.

  し た が っ てφ は,こ し か しXとYの

離dで

の 同 相 写 像 を 与 え て い る.

な わ ち2点x,yの

じ 点 で は あ る が 距 離 空 間Yの

距 離 をdで

点 と考 え て)測

測 った もの

った も の と は,

値 が 違 っ て い る.   この 意 味 で,同

相 写 像 は,距

離 を 保 っ て い な い.そ

互 い に連 続 写 像 で 移 り合 え る―

と い う も の は,空

れ で は 一 体,同

相写像―

間 の ど の よ うな 性 質 を 保 っ て

い る の だ ろ うか.

同 相 写 像 で 保 た れ る もの

  同 相 写 像 で 保 た れ る 性 質 は,基 た が っ て,こ

本 的 に は,点

列 が 近 づ く と い う性 質 で あ る.し

の 性 質 に 基 づ くい ろ い ろ な 性 質 が,ま

こ と に な る.以

た 同 相写 像 に よって 保 たれ る

下 で そ れ を 列 記 し て み よ う.

  φを(X,d)か

ら(Y,d′)へ

の 同 相 写 像 とす る.

(Ⅰ) 

こ こで記 号 ⇔

は,今

ま で も た び た び 使 った が,左

と が 成 り立 ち,右

の こ と が 成 り立 っ て い れ ば,左

の こ とが 成 り立 て ば 右 の こ

の こ と が ま た 成 り立 つ と い う こ

と で あ る.   こ の(Ⅰ)が

成 り立 つ こ と は,φ

(Ⅱ)  OがXの

開集 合 ⇔φ(Ｏ)はYの

  ⇒ は,φ −1の連 続 性 に よ る.す =φ が,開

開集 合

な わ ちφ−1が 連 続 だ か ら,φ −1の逆 写 像(φ −1)−1

集 合 を 開 集 合 へ 移 し て い る.〓

(Ⅲ)  FがXの (Ⅱ)と

とφ −1の連 続 性 を い い か え た に す ぎ な い.

はφ の 連 続 性 に よ る.

閉 集合 ⇔φ(F)はYの

同 様 に ⇒ がφ −1の 連 続 性,〓

閉集 合

がφ の 連 続 性 を 示 し て い る.

(Ⅳ)  S(⊂X)の

閉 包 

  こ こ で 述 べ て い る こ と は,Sの と い う こ と,す

の 閉 包φ(S)

閉 包 が,φ

に よ っ てφ(S)の

閉包 へ 移 って い る

なわ ち

と い う こ と で あ る.実

際,φ

の連 続 性 に よ って

(1) φ−1の連 続 性 に よ っ て

す なわ ち

(2) (1)と(2)を

見 比 べ て,(Ⅳ)の

(V)  Wが 点x∈Xの

成 り立 つ こ と が わ か る.

近 傍 ⇔φ(W)が

点φ(x)∈Yの

これ も,⇒ がφ−1の連 続 性 を示 し,〓 がφ の連 続性 を 示 してい る. 位 【定 義 】  距 離 空 間(X,d)と(Y,d′)が と き,XとYは,同   Xか

同相 の

じ位 相 を もつ とい う.

らYへ

よ っ て,点

の 同 相 写像 をφ とす る と,φに

列 が 近 づ く と い う性 質 も,ま

の 開 集 合,閉

相

集 合,閉

そ の ま ま 移 さ れ て,す

包,近

たX

傍 の 概 念 が,Yに

べ て上 に述 べ た意 味 で保

た れ て い る.   そ の 意 味 で,こ

れ ら の 性 質(お

よび 概 念)を,

距 離 空 間 のも つ 位 相 的 性 質(お よび 位 相 的 概 念) で あ る と い う. 【例1】   開 区 間(−1,1)と,Rは もつ(図64).こ

の 場 合,同

同 じ 位相 を 相写 像 と して は

図64

近傍

を とる こ とが で き る. 【例2】   単 位 円 の 内部 

と,全 平 面R2と

は,同 相 であ る.

同相 写 像φ と しては

  同相 写 像 は1つ

とは 限 らない.一 般 に は,2つ

の距 離 空 間 の 間の 同相 を 与 え る

写 像 は,非 常 に 多 く存 在 してい る.た とえば,例1で

を と っ て も,こ

れ ら の写 像 は す べ て,(−1,1)か

は,φ の代 りに

らRへ

の 同相 写像 を 与 え てい

る.

Tea

距 離 空 間(X,d)で

Time

は,位 相 を変 えず に,2点

間 の距 離 が つ ね に1

以 下 で あ る よ うな新 しい距 離 を 導 入で きる.   こ こ で い っ て い る こ とは,ど が あ っ て(新

ん な 距 離 空 間(X,d)を

し い 物 差 し が あ っ て),こ

と っ て も,新

し い 距 離d′

の 新 し い 距 離d′ で 測 る と,い

つで も

d′(x,y)<1 と な っ て い る と い う こ と で あ る.'位

相 を 変 え ずに'と

い う こ と は,点

列{xn}に

対 して

(*) が 成 り立 つ とい う こ と で あ る.   最 初,こ

の こ と を 聞 く と,妙

な 気 が す る か も しれ な い が,例1で

な ず っ と 延 び て い る 直 線 が,2点 な っ て い る.同 あ る.   さ て,d′

間 の 長 さ が2以

相 とい う観 点 か ら み る と,長

と い う新 し い 距 離 は

も,Rの

下 の 開 区 間(−1,1)と

よう 同相 に

い 短 い は あ ま り関 係 な い こ と な の で

で 定 義 さ れ た も の を 採 用 す る と よい.d′ 講)を

み た し て い る.ま

は 距 離 の 性 質(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)(第10

た 0≦d′(x,y)<1

も 明 ら か で あ ろ う.(*)の

成 り立 つ こ と は,⇒

は

d′(x,y)≦d(x,y)

か ら,ま

た ⇒ は,0<ε<1に

対 して

が 成 り立 つ こ と か らわ か る.

質 問   円 が,薄

い ゴ ム膜 か ら で き て い る とす る と,円

を 伸 ば し た り一 部 分 を 縮 め た り して,前 像 と し て は,円

周 部 分 を 固 定 し て,一

の 点 が ど こへ 移 っ た か を み る こ と は,写

か ら 円 へ の 同 相 写 像 と 考 え られ ま す.同

あ る わ け で す ね.そ

部分

の こ とか ら考 え た の で す が,距

相 写 像 は本 当 にた くさん

離 空 間(X,d)か

ら(X,d)

へ の 同 相 写 像φ が あ っ た と き, d(x,y)=d(φ(x),φ(y)) と お く と,dは,Xに (X,d)は

新 しい 距 離 を 与 え る よ う に 思 い ます し,ま

同 じ 位 相 を も つ と思 い ます が,こ

答  正 し い.質 と に な る.い

問 の 例 で は,dは,伸

も,Xの

る こ と を 考 え て い る と,し

も,距

づ く点 列 は,や

じ位 相 を 与 え て い る の だ か ら,dで

開 集 合 や 閉 集 合 は変 わ らな い.こ

在 感 が 出 て く る.こ

れ は 正 しい で す か.

縮 し て か ら の2点

く ら 伸 ば し て 縮 め て も,近

て い る.dとdは,同

だ い に,距

た,(X,d)と

間 の距離 を 測 って い る こ は り近 づ く点 列 へ と 移 っ 考 え て も,dで

の よ うな 距 離dが,非

離 よ りは,開

常 に た くさん あ

集 合 や 閉 集 合 の概 念 の 方 に 実

の よ う に 徐 々 に 醸 成 さ れ て く る意 識 の 変 化 が,数

離 空 間 か ら,一

般 の 位 相 空 間(第24講

の 契 機 を 与 え た よ う で あ る.

考えて

以 下 で 述 べ る)へ

学 史 の上 で

と 移 行 す る一つ

第17講 コ ンパ ク トな距 離 空 間

テ ー マ

◆ コンパ ク ト距 離空 間:無 限点 列 は集 積点 を もつ. ◆ コンパ ク ト空 間 は連 続 写像 に よっ て,コ ンパ ク ト空 間 へ 移 る. ◆ 部 分 空 間 の概 念 ◆ 開被覆 ◆ コ ンパ ク ト距離 空 間:可 算 開 被覆 か ら有 限開 被覆 が選 び 出せ る. ◆(Tea

Time)コ

ンパ ク ト性 と,閉 集 合の 有 限交 叉性

コ ン パ ク ト空 間 の 定 義

  (X,d)を

距 離 空 間 と し,SをXの

で に 第14講

で 与 え て あ る が,も

は,Sの

部 分 集 合 とす る.Sの

集 積 点 の 定 義 は,す

う一 度 こ こで 思 い 出 し て お こ う.Sの

集積 点 と

中 か ら と っ た 無 限 点 列 に よ っ て近 づ く こ と の で き る 点 で あ り,Sに,S

の 集 積 点 を す べ て つ け 加 え た も の が,Sの   した が っ て,特

にSが

閉 包Sで

無 限 点列

S={x1,x2,…,xn,…}(xnは の と き に は,Sの

あ っ た.

集 積 点xと

は,Sか

相 異 な る)

ら適 当 な 部 分 点 列

{xi1,xi2,…,xin,…} を と る と,xiπ →x(in→

∞)が

【定 義 】  距 離 空 間(X,d)が

成 り立 つ よ う な点 の こ とで あ る. 次 の 性 質(C)を

もつ と き,Xは

コ ン パ ク トで あ る

と い う:   (C)Xか

ら 任 意 に 無 限 点 列 を と っ た と き,こ

の 無 限 点 列 はXの

中に必 ず集 積

点 を もつ.   この 性 質 は,平 て あ る.そ

面(ま

の 場 合 に は,コ

た は 直 線 上)の

集 合 に 対 し て は,第5講

ン パ ク ト性(C)を

み た す 集 合 は,有

で くわ し く述 べ 界な 閉集 合 で あ

っ た.こ

の 定 義 に 従 っ て い い 直 せば,'距

離 空 間(X,d)が

の 部 分 集 合 か ら得 ら れ て い る と き に は,Xが つ 十 分 な 条 件 は,Xが

平 面(ま

た は 直 線 上)

コ ン パ ク ト空 間 で あ る た め の 必 要 か

有 界 な 閉 集 合 と な る こ と で あ る'.

  こ の コ ン パ ク ト性 の 条 件(C)は   (C′) Xの

任 意 の 無 限 集 合 は 必 ずXの

とい い 直 して も,同

中 に集 積 点 を もつ.

じ こ とで あ る こ と を 注 意 し て お こ う.実 際,無

限 集合 は必ず

無 限 点 列 を 含 ん で い るか ら で あ る.

コ ン パ ク ト空 間 と 連 続 写 像

【定 理 】 Xを の と ぎYも

コ ン パ ク ト距 離 空 間,φ

をXか

らYの

上 へ の 連 続 写 像 とす る.こ

コ ン パ ク トで あ る.

  こ の 証 明 は,第7講

で 平 面(ま

え た 証 明 と全 く同 様 で あ るが,念

た は 直 線 上)の

の た め 記 し て お こ う.

  Yの 無 限 点 列{y1,y2,…,yn,…}を を 示 す と よ い.φ

コ ン パ ク ト部 分 集 合 の と き に 与

任 意 に と る.こ

に よ っ て,y1,y2,…,yn,…

へ と,そ

の 点 列 が 集 積 点 を もつ こ と れ ぞ れ 移 さ れ る よ うなXの

点 をx1,x2,…,xn,…

と す る:φ(xn)=yn(n=1,2,…).Xは

{x1,x2,…,xn,…}の

適 当 な 部 分 点 列{xi1,xi2,…,xin,…}を

き,こ

の 部 分 点 列 はXの

＝φ(x)と

あ る 点xに

コ ン パ ク トだ か ら,

収 束 す る:xin→x(in→

と る と,in→ ∞ の と ∞).し

た が っ てy

お く と,φ の 連 続 性 に よ っ て

と な る.   し た が っ て,yは{y1,y2,…,yn,…}の

集 積 点 で あり,こ

れ でYが

コンパ ク ト

で あ る こ とが 示 され た.

部 分 空 間   一般 に距離 空 間Yと,そ 距 離 を,Sの と きSはYの

の部 分集 合Sが 考 え られ た とき,Y上

上 だけ に限 って 考 え る ことに よ り,Sは 部 分空 間 で あ る とい う.

に与 え られ た

また 距離 空 間 と な る.こ の

  い ま,距 Xの

離 空 間Xか

らYへ

像φ(X)は,Yの

φ(X)はYの 中 で,'Xの はYの

部 分 集 合 で あ っ て,し

た が っ て 上 の 言 葉 を 用 い れ ば,

部 分 空 間 を つ くっ て い る と考 え る こ とが で き る.こ れ か ら の 講 義 の 像φ(X)は'と

い う よ うな い い 方 を す る と き に は,い

部 分 空 間 と し て,距

ま た,φ

の 連 続 写 像φ が 与 え られ て い る とす る.こ の と き,

はXか

らφ(X)の

つ で もφ(X)

離 空 間 に な っ て い る も の と 考 え て い る こ と に す る. 上 へ の 写 像 と な っ て い る こ と も注 意 し て お こ う.

  そ うす る と 上 の 定 理 は,

φ を コ ン パ ク ト空 間Xか よ る 像φ(X)は

らYへ

の 連 続 写 像 と す る.こ

の と きXのφ

に

コ ン パ ク トで あ る.

と述 べ る こと もで き る. 開

被

覆

  前 講 まで に しだ い に高 め られ て きた観 点 に従 え ば,点 列 の収 束 よ りは,む

しろ

開集 合,閉 集 合 とい う概 念 が,距 離 空 間 の前 面 に押 し出 され て きてい る.そ れ で は コンパ ク ト性(C)も,何

か,開 集 合,閉

集合 とい う概 念 を 用 いて い い 表わ す

こ とが で きな いだ ろ うか とい う ことが 問題 とな る.実 際 そ れ は 可 能 な の で あ る が,そ の た め には まず 開 被覆 とい う考 え を導 入 してお か な くては な らな い. 【定 義】  距離 空 間Xの

が

開集 合 の族 

(1) を み た す と ぎ, 

をXの

開 被 覆 と い う.

  こ の 一 般 的 な 集 合 族 を 用 い る 定 義 は,少 2,…,n}の

と き に は,(1)はX=O1∪O2∪

開 被 覆 と い う.Γ={1,2,…,n,…}の … で あ っ て,こ

… ∪Ｏnで あ っ て,こ と き に は,(1)はX=O1∪O2∪

の と き は 有限 … ∪On∪

の こ と は 可 算 開 被 覆 と い う.

  た と え ば 夏 の 浜 辺 をXと が,完

しわ か りに くい か も し れ な い.Γ={1,

し,上

空 か ら見 下 す と,1000個

の ビ ー チ ・パ ラ ソ ル

全 に 浜 辺 を 蔽 っ て い る よ う な 状 況 を 考 え て み る と,X=O1∪O2∪

の 直 観 的 な 感 じ は わ か る.こ

の た と え で は,開

い る 浜 辺 の 部 分 がO1,O2,…,O1000と

… ∪O1000

い た ビ ー チ ・パ ラ ソ ル で 蔽 わ れ て

な っ て い る.ま

た ビ ー チ ・パ ラ ソル は,一

般 に は 重 な り合 っ て い る の で あ る.

有 限 被 覆 性

  距 離 空 間Xに

関 す る 次 の よ う な 条 件 を 考 え て み よ う.

  有 限 被 覆 性:可

算 開 被 覆{O1,O2,…,On,…}に X=O1∪O2∪

と蔽 わ れ て い る な らば,こ て,す

で にXは

… ∪On∪ …

の 中 か ら と っ た 適 当 な 有 限 個 のOi1,Oi2,…,Oisに

ぐあ と で 示 す よ うに,有

ト性(C)が

… ∪Ois

限 被 覆 性 が 成 り立 つ とい う こ と と,コ

成 り立 つ と い う こ と と は,同

値 で あ る.だ

被 覆 性 が 成 り立 た な い の は ど うい う と きか,そ   平 面 全 体 をXと 半 径1の

よっ

蔽 わ れ て い る: X=Oi1∪Oi2∪

  実 は,す

よ っ て,Xが

す る と,Xに

が,そ

れ を示 す 前 に有 限

の 状 況 を 少 し検 討 し て お こ う.

は 有 限 被 覆 性 は 成 り立 た な い.な

円 で 平 面 を 蔽 う と す る と,有

ンパ ク

ぜ か と い う と,

限 個 で は 決 し て 蔽 え な くて,無

限 個 の 円を

ど う して も 必 要 とす る か ら で あ る.   さ て,平 う.こ

面Xを

蔽 う可 算 無 限 個 の 半 径1の

の 中 か ら,ど

円,O1,O2,…,On,…

を と って お こ

ん な に 有 限 個 の 円 を 取 り 出 し て み た と ころ で,決

で 平 面 を 蔽 う こ と は で き な い,と

して そ れ ら

い う こ と を 銘 記 し た 上 で,

B={(x,y)￨x2+y2<1} と お き,Xか と は,前

らBへ

の 同 相 写 像 をφ とす る.こ

講 で 示 し て お い た(118頁,例2).こ

On=φ(On),…

とお く と,こ

れ ら はBの

B=O1∪O2∪ で あ るが,こ

の 中 の 有 限 個 を と っ てBを

の 有 限 個 で 蔽 え る な ら ば,平 に な る!Onは,nが

面Xも,有

の よ うな 同 相 写 像 が 存 在 す る こ

の と きO1=φ(O1),O2=φ(O2),…, 開集 合 で あ って … ∪On∪ … 蔽 う こ とは で き な い.も 限 個 の 半 径1の

大 き く な る につ れ,し

しBが

これ ら

円で 蔽 え て しま うこ と

だ い に 半 径 が 小 さ くな って,円

周

の 近 く に 密 集 し て い く状 況 を 呈 し て く る(図65).   す な わ ち,単

位 円 の 内 部Bも,有

性 とい うの は,集

限 被 覆 性 の 条 件 を み た し て い な い.有 限 被 覆

合 が 単 に 有 界 の 範 囲 に あ る と い うだ け で は,一

般 に は み た され

図65 な い の で あ る.   し か し,円

と お く と,Bは 場 合 に は,実

周 も こめ て

今 度 は 有 限 被 覆 性 を も つ.こ 際 は,円

周を 蔽 ってい る 開被 覆 の

中 か ら有 限 個 を 取 っ て,上 し て い くOnの

の

の 例 で 際 限 な く密 集

先 の 方 を,こ

の開被 覆 の 笠 で 蔽

っ て し ま う こ と が で き る か らで あ る.Bは

コン

図66

パ ク トで あ る こ と に 注 意 し て お こ う(図66).

コ ン パ ク ト性 と 有 限 被 覆 性 【定 理】  距 離空 間Xが

コン パ ク トとな るた め の 必 要 十 分 条 件 は,Xが

有 限被 覆

コ ンパ ク トとす る.背 理 法 を用 い るた め に,Xは

有 限被 覆

性 を もつ こ とで あ る.

【証 明】  必 要性:Xは

性 を み た して い な い とす る.こ の ときXの ら と っ た 有 限 個 のOnで O1∪O2∪

は 決 し てXを

… ∪On(n=1,2,…)は,Xと xn〓O1∪O2∪

と い う点 が とれ る.Xは な わ ち,{xn}か

可 算 開 被 覆 

で,こ

蔽 い つ くせ な い も の が あ る.し

の中 か

た が って

一 致 し な い か ら, … ∪On (n=1,2,…)

コ ン パ ク トだ か ら,点

列{xn}は

ら適 当 な 部 分 列 を と る と xi1,xi2,…,xin,…

→x0 

(in→ ∞)

集 積 点x0を

もつ.す

と な る.一

方,x0は,あ

だ か ら,十

分 先 か ら のxinは

号inを

るOlに

は 含 ま れ て い る(X=∪On!).Olはx0の

す べ てOlに

十 分 大 き く と っ て,さ

近傍

含 ま れ な くて は な ら な い.こ の よ う な 番

ら にin>lと

xin〓O1∪O2∪

な る よ う に し て お く.xinの

と り方 か ら

… ∪Ol∪ … ∪Oi n

一方 xi n∈Ol⊂O1∪O2∪ これ は 明 ら か に 矛 盾 で あ る.し   十 分 性:こ

た が っ てXは,有

れ も背 理 法 で 示 す.い

は も た な い と す る.こ

の と きXの

も も た な い も の が 存 在 す る.し

… ∪Ol∪ … ∪Oin

ま,Xは

限 被 覆 性 を も つ.

有 限 被 覆 性 は も つ が,コ

無 限 点 列{x1,x2,…,xn,…}で,集

ン パ ク ト性 積 点 を1つ

たが って

F={x1,x2,…,xn,…} はXの

閉 集 合 で あ る(近 づ く点 が1つ

の こ と か らOは

対 し て,十

以 外 に はFの と,εn→0と

補 集 合 をOと

お く と,こ

開 集 合 で あ る こ とが わ か り,ま た xn〓O 

  各xnに

も な い!).Fの

(n=1,2,…)

分 小 さ い 正 数 εnを選 ん で お く と,Vεπ(xn)の

元 が 含 ま れ な い よ う に す る こ とが で き る.(も し て もVεn(xn)の

中 に は,xn以

外 のFの

中 に は,xn

しそ うで な い とす る

点 が 入 っ て き て,xnは

集

積 点 と な っ て し ま う.)   そ こで On =Vε と お く と,Xの

n(xn) 

開被 覆 X=O∪O1∪O2∪

が 得 られ る が,こ

の 中 の 有 限 個 で はXを

の も の を 選 ん で も,あ Onの

る番 号 か ら先 のxnは

中 に は,xn+1,xn+2,…

に 反 す る.背

(n=1,2,…)

理 法に よ り,Xは

… ＵOn∪ … 蔽 う こ とが で き な い:ど

ん な に有 限 個

こ の 中 に 含 まれ な い.(O∪O1∪

は 含 ま れ て い な い!)し

…∪

た が っ て これ は 有 限 被 覆 性

コ ン パ ク トで な くて は な ら な い.

Tea Time

有限被覆性 と有限交叉性   上 の 定 理 の 証 明 を み る と,背 限 被 覆 性 は,同 重 要 さ は,コ

じ も の を,表

理 法 が う ま く用 い られ て い て,コ

ン パ ク ト性 と有

と裏 か ら 眺 め て い る よ うな 感 じ に な る.こ

ン パ ク ト性 を,点

列 の 収 束 を 用 い な く と も,開

の定 理 の

集 合 の 言葉 で 述 べ る

こ と が で き る と い う こ と を 明 らか に し た 点 に あ る.   開 集 合 の 補 集 合 は 閉 集 合 で あ る(第3講,Tea

Time).ま

たX=O1∪O2∪

…

∪On∪ … は 補 集 合 へ 移 る と

と な る.(こ と,有

こ で ド ・モ ル ガ ン の 規 則 を 用 い た).し

限 被 覆 性 は,次

  "閉 集 合 の 系 列F1,F2,…,Fn,…

お く

が,

F1∩F2∩ を み た し て い る と,こ

た が っ て,Fn=Oncと

の よ う に も い え る こ と に な る:

… ∩Fn∩ …=φ

の 中 か ら 適 当 に と っ た 有 限 個 のFi1,Fi2,…,Fi,に

対 して

Fi1∩Fi2∩ … ∩Fis=φ が 成 り立 つ"   実 は,こ

の 対 偶 の 方 が,'有

限 交 叉 性'と

  "閉 集 合 の 系 列F1,F2,…,Fn,… き,つ

が,そ

し て よ く用 い ら れ る. の 任 意 の 有 限 個Fi1,…,Fisを

ね にFi1∩ … ∩Fis≠ φ が 成 り立 っ て い る な らば,実

す な わ ち,Xが

コ ン パ ク トで あ る と い う性 質 は,閉

とった と

は

集 合 を 用 い て,有

限 交 叉性

と い う性 質 で も 捉 え られ る の で あ る.

質 問   有 限 被 覆 性 を ど の よ うに 使 うの か,具

体 的 な 例 を1つ

示 し て い た だ け ませ

ん か. 答  閉 区 間[a,b]は

コ ン パ ク トだ か ら,有

上 で 定 義 され た 連 続 関 数f(t)は,必

限 被 覆 性 を も っ て い る.い

ま,[a,b]

ず 有 界 で あ る と い う結 果 を 示 す の に,有

限

被 覆 性 を 使 っ て み よ う. On=f−1((−n,n))  と お く と,(−n,n)は

開 集 合 で,fは

(n=1,2,…)

連 続 だ か ら,Onは[a,b]の

開 集 合 で あ る.

また O1⊂O2⊂ し た が っ て[a,b]=〓

… ⊂On⊂

で あ る.有

… →[a,b]

限 被 覆 性 か ら,こ

と 蔽 う こ と が で き る. k=Max{i1,i2,…,is} と お く と, −k
れ でfの

有 界 性 が 示 さ れ た.

の 中 の有 限個 に よ り

第18講 連

結

空

間

テー マ

◆ 連結 な距 離 空間:2つ

の 開集 合 に分 割 され な い空 間

◆ 連 結空 間 は連 続 写 像 に よっ て,連 結 空 間 へ 移 る. ◆ 共通 点 の あ る連 結 空 間 の和 集 合 は連 結 ◆ 連結 空 間 の 閉包 は 連 結 ◆ 連 結成 分 ◆ 連結 成 分 に よる空 間 の分 解 ◆ 弧状 連 結 な空 間 は 連 結 ◆(Tea

Time)連

結 で も弧状 連 結 とは 限 らない.

連

結

性

  まず 連 結 な 距 離 空 間 の 定 義 か ら 出 発 し よ う. 【定 義 】  距 離 空 間Xが,空

で な い2つ

  (#) 

X=I1∪O2 

の 開 集 合O1,O2に (O1∩O2=φ)

と 分 解 され な い と ぎ,連

結 で あ る と い う.

  こ の 定 義 は,平

た は 直 線 上)の

同 様 で あ る.一

面(ま

集 合 に 対 し て 第9講

で 与 え た も の と全 く

般 の 距 離 空 間 に 対 し て そ の ま ま 拡 張 し て 述 べ た にす ぎ な い.第9

講 で も注 意 した よ う に,も

し(#)が

集 合 に も な っ て お り,同 様 にO1は で あ る と い う定 義 は,Xが れ な い と き,と

よって

成 り立 つ な らば,O2はO1の 閉 集 合 に もな っ て い る.し

空 で な い 閉 集 合F1,F2に

補 集 合 と して閉 た が っ てXが

よ っ てX=F1∪F2と

連結 分解 さ

い っ て も 同 じ こ と で あ る.

  い ず れ に し て も,連

結 性 の 定 義 が,'(#)が

の 形 で 述 べ ら れ て い る こ と に,注

意 を し て お く必 要 が あ る.し

が 連 結 で あ る こ と を 示 す に は,(#)が ば よい こ と に な る.連

成 り立 た な い と き'と

い う,否

た が っ て,空

定 間X

成 り立 っ た と し て 矛 盾 が 生 ず る こ と を 示 せ

結 性 を 証 明 す る の に,こ

の よ うに 背 理 法 を 用 い る の が 一 般

的 なの だが,そ れは 定 義 そ の もの に 由来 して い るの だ とい うこ とを 覚 え て お くと よいだ ろ う. 連 続 写 像 と連 結 性   連 結性 は,連 続 写 像 に よ って保 た れ る性 質 で あ る.す なわ ち

【定理 】 φを連 結 空 間Xか

らYへ

の連 続 写像 とす る.そ の とき,φ(X)は

連結

で あ る.

  こ こでφ(X)はYの

部 分空 間 と考 え てい る.こ の証 明 は,第9講

で 与 え た,

平 面(ま たは 直線)の 連 結集 合 の と きの対 応 す る定 理 の 証明 と,全 く同様 に で き る の で,く

り返 して ここで 述べ る こ とはや め て お こ う.こ こで もし,細 か い点 で

注 意 す る こ とが あ る とす れ ば,φ は,Xか

らφ(X)へ の 写像 と考 えて も連 続 で あ

る とい うこ とで あ ろ う.し か し この こ とは,φ(X)の

距 離 は,Yの

距離を制限 し

て考 え てい る のだ か ら,当 然 の ことで あ る. 連結空 間の性質

距 離 空 間Xの 合S1∪S2も

【証 明】  S1∪S2が

部 分 空 間S1,S2が

連 結 で あ っ て,S1∩S2≠

φ な らば,和

集

連 結 で あ る.

連 結 で な か っ た とす る.こ

  (#)' 

S1∪S2=O1∪O2(O1∩O2≠

の よ うに,S1∪S2は,空

で な い2つ

のとき φ)

の 開 集 合O1,O2に

よ っ て 分 解 さ れ る.こ

の

とき S1=(S1∩O1)∪(S1∩O2) と な る が,S1∩O1,S1∩O2は,S1の

開 集 合 とな っ て い る か ら,S1の

ら,ど ち ら か 一 方 は 空 集 合 で な くて は な ら な い.い こ の と きS1⊂O1で な ら ばS1∪S2=O1と

あ る.S2に な り,O2≠

まS1∩O2=φ

対 して も,S2⊂O1か,S2⊂O2と φ に 矛 盾 す る.ま

たS2⊂O2な

連結性か

の 方 を 仮 定 す る. な る が,S2⊂O1 ら ばS1∩S2⊂O1

∩O2=φ

とな り,仮 定S1∩S2≠

ら,(#)'は

成 り立 た な い.し

  同 じ よ うな 証 明 で,次

φ に 矛 盾 す る.い た が っ てS1∪S2は

ず れ に し て も矛 盾 が 導 か れ た か 連 結 で あ る.

の結 果 が 成 り立 つ こ と も示 す こ とが で きる.(証 明 は読

者 が試 み られ る と よい.) (*)距

離 空 間Xの

部 分 空 間 の族 

が 与 え ら れ て,次

の2つ の

性 質を み た してい る とす る.  

(ⅰ)  各Sγ は連 結

 

(ⅱ)  すべ て のSγ に共通 に含 まれ て い る点x0が あ る:  この とき, 

は連結 で あ る.

 連 結 空 間 の 閉 包 を と って も,ま た 連結 とな って い る.す なわ ち (**)距

離 空 間Xの

部 分空 間Sが 連 結 な らば,Sも

【証 明 】 Sが 連 結 で な い と仮 定 し て 矛 盾 を 導 こ う.Sが   (#)" 

また連 結 で あ る. 連 結 で な い とす る と

S=O1∪O2(O1∩O2=φ)

と分 解 さ れ る.こ

こ でO1,O2は

空 で な い.と s∩O1≠

が 必 ず 成 り立 っ て い る の で あ る.な 傍 だ か ら,O1は

必 ずSの

x∈Sか,xはSの

ころが この とき

φ,S∩O2≠

φ

ぜ な らO1はSの

点xを

含 む が,O1はxの

点 を 含 ん で い な くて は な ら な い か ら で あ る.(x∈Sは,

集 積 点 で あ る こ と を 思 い 出 し て ほ し い.)し

φ で あ る.同

様 にS∩O2≠

近

た が っ てS∩O1≠

φ も成 り立 つ.

  した が っ て S=(S∩O1)U(S∩O2) は,Sの

空 で な い 開 集 合 に よ る 分 解 を 与 え るが,こ

れ はSの

連 結 性 に 反 す る.こ

れ で証 明 され た.  

連 結 成 分

  (*)は,連 間Xに

結 性 の もつ 非 常 に強 い性 質 であ る.こ

お いて,1点

の性 質 か ら,一 般 の距 離空

の連結 成 分 とい う概 念 が生 まれ て くる.

  距 離 空 間Xの1点xを xを

含 むXの

を 考 え,こ

と る.

連結 な部分空間

の よ うな もの全 体 を

{Sγ}γ ∈Γとお こ う.各Sγ で あ っ て,ま

たxを

は 連結

共通 な 元 と

し て 含 ん で い る.し

たが って

と お く と,(*)か

らC(x)は

図67

xを 含 む 連 結 集 合 と な って い る(図67).   C(x)は,実

はxを

連 結 な 空 間Sが

含 む 最 大 の連 結 な 空 間 で あ る.な

あ れ ば,Sは{Sγ}γ

し た が っ てS⊆C(x),す

∈Γの 中 の1つ

な わ ちS=C(x)と

ぜ な ら,C(x)⊆Sと

なる

のSγ と な っ て い る は ず で あ り,

な っ て い な くて は な ら な い か ら で あ

る.   こ の こ と か ら,(**)を な ぜ な ら,C(x)が

み る と,C(x)が

ま たxを

閉 集 合 と な っ て い る こ とが わ か る.

含 む 連 結 な 空 間 と な っ て い るか ら,C(x)=C(x)が

成 り立 た な くて は な らな い か ら で あ る.   C(x)をxの   C(x)に

連 結 成 分 とい う. 属 さ な い 点yを

 

C(x)∩C(y)=φ

で あ る.な C(x)の

と る と,

ぜ な ら,C(x)∩C(y)≠

φ な らば,C(x)∪C(y)が

最 大 性 か らC(x)∪C(y)=C(x)と

  した が っ て また,C(x),C(y)に C(y)と

連 結 集 合 と な っ て,

な り,y〓C(x)に 属 さ な い 点zを

反 す る か ら で あ る.

と る とC(z)は,C(x)と

共 通 点 を も た な い:{C(x)∪C(y)}∩C(z)=φ.

  こ の よ う に し て,空 間Xは,共 は,か

  (1)

通 点 の な い 連 結 成 分 に 分 解 さ れ て い く.実 際 に

な り複 雑 な 例 が あ る の だ が,さ

1つ の 島―

し あ た っ て は,距

離 空 間 は,連

結 成 分―

とい う概 念 に よ っ て,離 れ 離 れ の 小 島 か ら な っ て い る と考 え て よ い.

弧 状

  2人 の 人 が,そ

連

結

れ ぞ れ 住 ん で い る 家 か ら 他 の 家 へ,歩

い て 行 くな り,自 動 車 な

りで 行 け る とす れ ば,2人

の 人 は,同

じ島 の 中 に 住 ん で い る と 考 え て よ い だ ろ う.

  2軒 の 家 を 結 ぶ 経 路 に 相 当 す る の は,連 空 間Xの

任 意 の2点x,yが

続 曲 線 の 概 念 で あ る.す

与 え ら れ た と き,[0,1]か

らXへ

な わ ち,距

離

の 連 続 写 像φ で,

φ(0)=x,φ(1)=y を み た す も の を,xとyを   第9講

結 ぶ 連 続 曲 線 と い う.

で 示 し た よ う に,[0,1]は

φ([0,1])も

連 結 だ か ら,xとyを

結 ぶ 連 続 曲線 の像

ま た 連 結 で あ る.

【定 義 】  距 離 空 間Xの 存 在 す る と き,Xを

任 意 の2点x,yに

対 して,xとyを

弧 状 連 結 で あ る とい う.

  Xを

弧 状 連 結 な 空 間 と し,Xの1点x0を1つ

点yに

行 く連 続 曲 線 の 像 をWyと

に 書 か れ たxとyを

観 的 に は,Wyは,Xと

の 注 意 か らWyは

ら,Xの

任意の

い う地 図 の上

連 結 で あ る.こ

こ でyを

の す べ て の道 の集 り

の 集 合 は 明 ら か にXで

い る こ と を 考 え て(*)を

固 定 す る.x0か

す る.直

結 ぶ 道 で あ る.上

い ろ い ろ 動 か し て,こ

を 考 え る と,こ

結 ぶ 連 続 曲線 が 必 ず

み る と,結

あ る.す

べ て のWyはx0を

共 通 に 含 んで

局 次 の 結 果 が 示 され た こ と が わ か る.

弧 状連 結 な空 間 は連結 で あ る. これ は 予想 され て い た結 果 で あ った.

Tea

Time

連 結 成 分 が1点 か らな る空 間   連 結 成 分 に空 間 を 分 け る こ とは,空 間 を離 れ小 島 の集 りの よ うにみ る ことで あ る と書 い たが,い つ も海 に点 々 と浮か ぶ 島 の よ うに想 像 され て も困 る こ ともあ る の で,注

意 して お く.た とえば 数 直 線上 の有 理数 全 体 か らな る空 間 をXと

する

と,Xの

各 点xの 連 結 成 分 はxだ け で あ る.連 結 とい う観 点 か らみ る と,Xは1

点1点 がば らば らな 点 か らな って い る.し か し,有 理 数 は 稠密 に詰 ま ってい る. だ か らこの よ うな と きに は,点 々 と して 浮 か ぶ離 れ小 島 とい うた とえ は適 切 で な

く な っ て くる.一

般 に,有

け か ら な る と き,完

理 数 の つ く る空 間 の よ う に,各

点 の 連 結 成 分 が1点

だ

全 非 連 結 な 空 間 と い う.

質 問  弧 状 連 結 な らば 連 結 とい うこ とはわ か りま した が,逆 は ど うな の で し ょう か.つ ま り僕 が お 聞 き した い のは,連 結 な らば 弧状 連 結 にな るか とい うこ とです. 答   一 般 に は連 結 で あ って も弧 状連 結 とは 限 らない.こ

の よ うな1つ の例 を,図68で

してあ る.図68の

図 は,周

示

も入れ た1辺 が

1の 正方 形 に,縦 線 で 書 い てあ る よ うな 無 限 の 切 り口を入 れ た もの で あ る.縦 線 はx座 標 が1/n の と こ ろ に,交 互 に 上 と 下 か ら,  の 切 り 口 を い れ た も の で あ る.こ か ら,原

点Oへ

の と き 点P

行 く連 続 な 道 を 見 つ け るわ け

に は い か な い.な

ぜ か と い う と,PとOを

ぶ 連 続 曲 線φ(φ(0)=P,φ(1)=O)が く ら で もOに ら下,下

結

図68

あ った とす る と,t→1の

近 づ か な け れ ば な ら な い が,φ(t)は,い

と き,φ(t)は

つ ま で も約1の

い

振幅で上か

か ら 上 へ の 進 み 方 を く り返 し続 け る か ら で あ る.

  い ま,図68で

示 し た 図 形 をXと

な い と い う こ と で あ る.Xか る と今 度 はSは

弧 状 連 結 と な る.Sの

す 道 に よ っ て 必 ず 結 べ る!し 明 らか にS=Xで

あ る.し

す る と,い

ま 述 べ た こ と はXは

ら正 方 形 の 周 だ け 除 い た も の をSと 中 の 任 意 の2点

た が っ てSは た が っ て(**)か

は,有

限 回 の 上 下 を く り返

連 結 で あ る.全 体 のXの らXは

連 結 で あ る.こ

連 結 だ が 弧 状 連 結 で な い 例 を 与 え て い る こ と が わ か っ た.

弧状 連 結 で

し よ う.そ うす

中 で み る と, れ でXが,

第19講 コー シ ー列 と完 備 性

テー マ

◆ コー シ ー列 の定 義:互 い に近 づ き合 っ てい く点 列 ◆ コー シー列 の定 義 の検 討:近

さの一 様 性

◆ 距 離 の 与 え る空 間全 体 にわ た る近 さ の一 様性 は,一 般 に は同 相写 像 では保   たれ な い. ◆ 完 備 な距離 空 間:す べ て の コー シ ー 列が 収 束す る空 間

互 い に 近 づ き 合 う点 列

  (X,d)を

距 離 空 間 と す る.い

ま 点 列y1,y2,…,yn,…

がyに

近 づ く と す る.こ

のとき

に よ り,m,nが

ど ん どん 大 き くな る と,d(ym,yn)の

同 じ こ と を い い 直 す と,ど でm,n>kな

ん な に 小 さ い 正 の 数 εを と っ て お い て も,あ

らば,d(ym,yn)<ε

  す な わ ち点 列{yn}は,先

値 は い くら で も小 さ くな る. る 番 号k

と な る. に進 む に つ れ て,互

い に 近 づ き合 う様 相 を 呈 し て く

る.

コ ー シ ー 列

  こ の 互 い に 近 づ き 合 う と い う性 質 だ け に 注 目 し て,次 【定 義 】  Xの

点 列{xn}(n=1,2,…)が,次

の 定 義 を お く.

の 性 質 を み た す と き コ ー シ ー列 で あ

る と い う.   任 意 の 正 数 εに対 し て,あ

【例 】 Xと

る 番 号kが

存 在 して

して,数 直線 上 で,有 理 数 だ け か らな る集合 を とる.Xの

点列

x1=1.4,x2==1.41,x3=1.414,x4=1.4142,… (一 般 にxnと {xn}は

し て は, 

の 小 数 展 開 の 小 数 点 以 下n位

コ ー シ ー 列 で あ る が,Xの

点(有

理 数!)に

ま で を と る)を 考 え る.

は 収 束 し て い な い.

コ ー シ ー列 の 定 義 の 検 討

  コ ー シ ー 列 の 定 義 を,も

う少 し詳 し く検 討 し て み た い.コ

べ て い る こ と は,あ

の 列{xn}を

(以 下 で1つ

る1つ

 に と る と,m,n>100の

(b)

 に と る と,m,n>1000の

(c)

 に と る と,m,n>100000の

こ の よ うな 状 況 が ε→0の

とき

と き

と き

と き生 ず る の が,コ

義 を 適 当 な εとkで

うに み え る.そ   (a)で

と っ て い え ば 次 の よ う な こ と で あ る.

の 例 と し て ε,kに と っ て み た 数 に は 特 別 の 意 味 は な い.)

(a)

て も,定

ー シー列 の定 義 で述

ー シ ー 列 で あ る が,こ

書 き 直 し た だ け で,何

こ で(a),(b),(c)の

述 べ て い る こ と は,た

内 容 を,も

う書 い て み

も 注 意 を 払 う こ とな ど な い よ う少 し 丁 寧 に書 い て み よ う.

とえば

 (a)': 

の よ うな こ と で あ る.  (b)で

述 べ て い る こ とは,た

とえば

 (b)' 

の よ うな こ と で あ る.   (c)で

述 べ て い る こ とは,た

とえば

 (c)' 

の よ う な こ と で あ る.   こ の よ う に し て み る と,コ

ー シ ー 列 の 定 義 の 中 に は,実

にた くさん の 内容 が 含

ま れ て い る こ とが わ か る.   しか し,実

際 注 意 し た い の は,距

れ て お り,そ れ に よ っ て,コ

離 に よ って空 間 に 近 さの一 様 な規 準 が 与 え ら

ー シ ー 列 の 定 義 に 意 味 が あ る と い う こ とで あ る.以

下 で は そ の こ と に 触 れ て み よ う.

距 離 に よ っ て与 え られ る 近 さの 一 様 性

  距 離 空 間 で は,単 概念―

に1点

位 相 の 概 念―

の 近 さ が 測 ら れ,し

が 導 入 さ れ る だ け で は な くて,遠

大 き さ も 比 較 で き る の で あ る.た 私 の 家 か ら1kmの

た が っ て1点xの

と え ば,私

範 囲 に あ る もの,大

い は 月 面 の あ る 地 点 か らlkmの

の 点 の ま わ り1kmの

くに 離 れ た 点 の 近 傍 の

た ち の ご くふ つ う の 経 験 の 中 で も,

阪 駅 か ら1kmの

範 囲 に あ る も の,あ

範 囲 に あ る も の と い う と き に は,す

さ の 中 に あ る と考 え る こ と が で き る の で あ る.空 も,そ

ε 一近 傍 とい う

範 囲 とい え ば,そ

る

べ て 同 じ近

間 の ど ん な 遠 くの 点 を 想 像 し て

の近 さの範 囲を は っき りと認識 す

る こ と が で き る.   す な わ ち,距

離 空 間 で は,正

数 εが 与 え ら れ る と,空

ε-近傍 と い う近 さ の 範 囲 が 一 様 に 決 ま っ て し ま う.そ

間 全 体 にわ た って各 点 の

の 意 味 で,距

体 に わ た る 近 さ の 一 様 な 規 準 を 与 え て い る の で あ る.こ

離 は,空

間全

れ は 今 まで 触 れ なか った

距 離 の も つ 新 し い 観 点 で あ る.   と こ ろ が,コ

ー シ ー 列 の 定 義 は,距

離 の与 え る この 近 さ の一 様 性 の考 え に深 く

よ っ て い る.   (a)'は,x200か

ら み て も,x300か

らみ て も,x1000か

らみ て もxn(n>100)は,

す べ て1/2 以 内 と い う一 様 な 近 さ の 中 に あ る こ とを 示 して い る.  (b)'は,x10000か

ら み て も,x6786521か

ら み て もxn(n>1000)は,す

べ て1/4

以 内 と い う一 様 な 近 さ の 中 に あ る こ とを 示 し て い る.   (c)'は,x100001か

らみ て も,x10000581か

ら み て もxn(n>100000)は,す

べ て1/8

以 内 と い う一様 な 近 さ の 中 に あ る こ と を 示 し て い る.

同 相 写 像 と近 さ の 一 様 性 2つ の距 離 空 間(X,d)と(Y,d′)が

同 相 で あ った と し,Xか

らYへ

の 同相

写 像 をφ とす る.同 る.2つ

相 写 像φ で 移 り合 う も の は,各

点 に お け る近 さ の 概 念 で あ

の 空 間 に お け る近 さ の 一 様 な 規 準 を 保 つ こ と ま で,φ に 要 求 し て い な い.

  こ の こ と を 示 す も っ と も端 的 な 例 は 次 の 例 で あ る.   数 直 線 上 の 開 区 間I=(−1,1)と,数

直 線Rは,写

像

に よ っ て 同 相 と な っ て い る.   IとRに

は,そ

れ ぞ れ 距 離 に よ る 近 さ の 一 様 な 規 準 が あ る が,し

近 さ の 一 様 な 規 準 を 保 っ て い な い.た

と え ばIの

の近 さの 範 囲 

(x)に

の一様 な近

方 へ 移 す と完 全 に 崩

な わ ち,x→1,ま

の と き,V(x)と

ら長 さ が1/100

を 与 え て お こ う.こ

さ の 範 囲 は,φ でRの さ れ る.す

各 点xに,xか

か しφ は こ の

た はx→

−1

い う近 さ の 範 囲 は,y=φ

よ っ てRの

方 へ 移 し て み る と,際 限

な く大 き な 範 囲 へ 移 さ れ て い く.し た が っ てφ(V(x))は,Rに

近 さの一様 な規準 を

与 え て い な い.   逆 に,Rの 囲U(y)の

各 点yに,長

を 指 定 し て も,y→

さ1の

近 さの範

±∞ の と き,

φ−1によ るU(y)の

像 は 限 りな く小 さ くな

っ て し ま っ て,Iに

近 さの一様 な規 準 な ど

与 え て い な い(図69). 図69 コ ー シー 列 と同 相 写 像

  こ の よ うな こ と が あ る の で,Xか コ ー シ ー 列 は,Yの

らYへ

の 同 相 写 像φ に よ っ て,一 般 にXの

コ ー シ ー 列 へ 移 され る と は 限 ら な い.

た とえば 上 の例 で

(1)

は,I=(−1,1)の

は,Rで

コ ー シ ー 列 で あ る が,

は,無 限 大 へ発 散 す る点列 とな ってい る. 完備 な距離空間

 定 義 を述 べ る前 に,コ ーシ ー列{xn}が

も し集 積点 を もつ な らば,集 積 点 はた

だ1つ に限 る こ とを 示 してお こ う.実 際,適 当 な2つ の部 分点 列 を と って

に な った とす る と

と な り,d(x,x)=0と

な って,x=xが

結 論 で き る か ら で あ る.し

シ ー 列 の 集 積 点 は,も

し存 在 す れ ば た だ1つ

で あ っ て,そ

た が って コー

の とき コ ーシ ー列 は そ

の 点 に 収 束 す る こ と に な る. 【定 義 】 距 離 空 間(X,d)に る と き,Xを   第3講 (−1,1)で ち,RとIは

お い て,任

意 の コ ー シ ー 列 が,必

ず あ る点 に 収 束 す

完 備 で あ る と い う.

の 結 果 を 参 照 す る と,Rは は,コ

ー シ ー 列(1)は

同 相 で あ る が,一

  こ の こ と か ら も,完

完 備 な 距 離 空 間 で あ る.一 収 束 す る点 が な い か ら,完

方,開

区 間I=

備 で な い.す

なわ

方 は 完 備 で あ り,一 方 は 完 備 で は な い.

備 性 は,単

に 各 点 の ま わ りの近 さ の 状 況 だ け で は な くて,

空 間 全 体 に わ た る近 さ の 一 様 な 規 準 に 関 係 し て い る こ とが わ か る.

Tea

Time

質 問  以前 読 ん だ 微 分 積 分 の 教科 書 中 に,一

様連 続 とい う 言 葉 が 出 て き ま した

が,そ れ は ここで 述 べ られた 近 さの一 様 性 と関 係す る こ となの で す か.

答   こ こ で 君 の い っ て い る一 様 連 続 とは 次 の こ と だ と思 う.数 で 定 義 さ れ た 連 続 関 数y=f(x)が,こ 数 εを と っ て も,あ も, 

る 正 数 δが あ っ て,こ

て お く と,こ の 意 味 で,一

様 連 続 性 と は,近

が 必 ず 成 り立 つ と

え て い る 範 囲 の 中 で,近

の 近 さ の 規 準 の δ-範囲 は,必

い っ て よ い.少 続 関 数 は,一

な わ ち,考

ずfに

さ の 一 様 な 規 準 δを と っ

よ っ て ε-以内 に 移 さ れ る.こ

さの一 様 な 規準 を 保 つ こ とまで 要 求 す る性 質 だ と

し程 度 の 高 い 微 積 分 の 本 に は'閉

様 連 続 で あ る'と

ん な正

の 範 囲 に 属 す る ど ん なx,x′ を と っ て

が 成 り立 っ て い さ え す れ ば 

い う こ と で あ る.す

直 線 上 の あ る範 囲

の 範 囲 で 一 様 連 続 と い うの は,ど

区 間[a,b]上

い う定 理 が の っ て い る.こ

も う成 り立 な い.y=tanπ/2xは,上

で 定義 され た連

の 定 理 は,開

で み た よ うに,(−1,1)上

区間では

で 一 様連 続 で は な

い.

  な お,距

離 空 間(X,d)の

か ら(Y,d′)へ

う概 念 を 導 入 す る こ とは で き る.そ δが 存 在 し て,い

れ に は,ど

対 し て も,一

様 連 続 とい

ん な 正 数 εを と っ て も,あ

る正 数

つ でも

が 成 り立 つ と き,φ あ り さ え す れ ば,空 る.一

の 写 像φに

は 一 様 連 続 で あ る と い え ば よ い.xとx′ 間 の ど こに あ っ て も よい と い う 所 に,一

様 連 続 な 写 像 に よ っ て,コ

は,距

離 が δ以 内 で

様 性 が あ るの で あ

ー シ ー 列 は コ ー シ ー 列 へ と移 さ れ る.

第20講 完備 な距離空間 テーマ

◆ 完 備 な距 離 空間 の例 ◆R,Rn,R∞ ◆C[0,1]は

は完 備 完備

◆ コ ンパ ク トな距 離 空 間 は 完備 ◆ べ ー ル の定 理:完 備 な 距 離空 間 では,稠 密 な 開集 合列 の共通 部 分 は また稠 密 とな る とい う性 質 が あ る.   この 性質 を ベ ー ル の性 質 とい う.

完 備 な 距 離 空 間 の例 まず 一 般 に 次 の こ とを注 意 して お こ う. (X,d)を

完 備 な距離 空 間 とす る と,Xの

閉集 合Fは(部

分 空 間 として)

また完 備 な 距離 空 間 とな る.   この こ と を み る に は,Fの 列 と な っ て お り,し ∞)と

コ ー シ 一 列{xn}は,も

た が っ て,Xの

な っ て い る.し

か し,Fは

ち ろ んXの

完 備 性 か ら,あ

る点xが

閉 集 合 だ か ら,x∈Fで

中 の コー シー

存 在 し てxn→x{n→ あ る ことに注 意 す る と

よい.   (Ⅰ)  数 直 線Rは

完 備 で あ る(第4講,32頁

参 照).し

た が っ て 閉 区 間[a,b]

も ま た 完 備 で あ る.   (Ⅱ)平

面R2,一

般にn次

  そ れ を み る た め に,Rnの

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnは

完 備 で あ る.

コー シ ー列 x(1),x(2),…,x(s),…,x(t),…

を と る. 

とす る と

か ら,i=1,2,…,nに

し た が っ て, 

が 成 り立 つ.す

な わ ち,{x(s)}の

っ て 各i-座 標 成 分 は,xiに

  (Ⅲ) R∞

各 座 標 成 分 は コ ー シ ー 列 と な っ て い る.し

お く と,

な わ ちRnは

完 備 で あ る.

も 完 備 で あ る.

  こ れ は 第13講,'R∞   (Ⅳ)  C[0,1]は

の と き'の 項 を 参 照 す る と,上 と 同 様 に 示 す こ と が で き る. 完 備 で あ る.

  C[0,1]は,第12講

で 導 入 し て あ る.区

{fn(t)}が,C[0,1]の

中 で コ ー シ ー 列 を つ くる と は,m,n→

と な る こ とで あ る.[0,1]の

だ か ら,実

たが

収 束 す る:

こ の と きx=(x1,x2,…,xn)と

が 成 り立 つ.す

対 し

任 意 の 点tに

間[0,1]で

こ の コ ー シ ー 列 の 収 束 す る 実 数 が 存 在 す る.こ 対 し て,実

∞ の とき

注 目す る と

数 列{f1(t),f2(t),…,fn(t),…}は

う に し て 各t∈[0,1]に

定義 され た連続関数列

数f(t)が

コ ー シ ー 列 で あ る.し の 実 数 をf(t)と 定 ま る.こ

のf(t)は

た が っ て,

お こ う.こ

の よ

実 は連 続 関 数

と な り, d(fn,f)→0  と な る.し

た が ってC[0,1]は

(n→ ∞)

完 備 で あ る.

fが 連 続 関 数 とな る こ とは,不 等 式

と,fnの

連 続 性 か らわ か る.(右

さ くな る こ と に 注 意.)

辺 の 第1項,第3項

は,nを

大 き く と る と,い

く ら で も小

コ ンパ ク ト空 間 の 完 備 性

コ ン パ ク トな 距 離 空 間 は 完 備 で あ る.

  (X,d)を

コ ン パ ク トな 距 離 空 間 と し,{xn}を

る 番 号 か ら先xn+1=xn+2=…=xと うで な い と き に は,集

な っ て い れ ば,も

積 点xを

を も つ とす れ ば た だ1つ

コ ー シ ー 列 と す る.{xn}が

もつ.前

ち ろ んxn→xで

に 注 意 し た よ うに,コ

で あ り,こ れ が{xn}の

あ

あ る.そ

ー シー列 が集 積 点

収 束 す る 先 と な っ て い る.し

た

が って xn→x(n→ で あ り,Xは

∞)

完 備 で あ る. べ ー ル の 定 理

  完 備 な 距 離 空 間 の もつ も っ と も 著 しい 性 質 は,次

の 定 理 に よ っ て 示 され て い る

性 質 で あ る.

【定 理 】  (X,d)を

完 備 な距 離 空 間 と し,Xの

開 集 合 の 系 列O1,O2,…,On,…

は,

On=X(n=1,2,…) を み た し て い る とす る.こ

のとき

が 成 り立 つ.

  こ の 定 理 の 中 で 述 べ ら れ て い る 性 質 を べ ー ル の 性 質 と い う.ベ の 数 学 者R.L.Baire(1874-1932)の   一 般 に,Xの

名 前 で あ る.

部 分 集 合Sは,S=Xを

葉 を 用 い れ ば,ベ

み た す と き,稠

ー ル の 性 質 と は,可

の 共 通 部 分 も ま た 稠 密 で あ る,と   定 理 を 証 明 す る 前 に,完

ール は フ ラ ンス

密 で あ る とい う.こ

の言

算 個 の 稠 密 な 開 集 合 が 与 え ら れ た と き,そ

述 べ る こ と が で き る.

備 と い う条 件 を お か な け れ ば,ベ

は 成 り立 た な い こ と を 注 意 し て お こ う.そ

ール の性 質 は一般 に

の よ う な 例 と して,有

理 数 の つ く る空

間Qを

と る.QはRの

部 分 空 間 と し て 考 え て い る.Qは

は 可 算 集 合 だ か ら{r1,r2,…rn,…}と

完 備 で は な い.さ

て,Q

番 号 を つ け て 並 べ る こ と が で き る.こ

の

とき

は,開

集 合 で あ っ て,各OnはQか

On=Qで

あ る.し

ら 有 限 個 の 点 を 除 い た だ け だ か ら,明

らか に

か し

だ か ら,も ち ろ んベ ール の性 質 は成 り立 た な い. べー ル の 定 理 の 証 明  ベ ール の定 理 を 証 明 し よ う.  そ れ に はXの

任 意 の1点x0を

とった と き,す べ て の正 数 εに対 して

 (*)

が成 り立 つ こ とを示 せ ば十 分 で あ る.な ぜ な ら εの任 意 性 か ら,

が 得 られ,x0は

任 意 の点 で よか った か ら,結 局

が 示 さ れ た こ と に な るか ら で あ る.   (*)の

証 明;O1=Xに

よ り,y1∈O1で

を み た す も の が 存 在 す る.O1は で,か

つ

と な る よ う に で き る.

開 集 合 だ か ら ε1>0を 十 分 小 さ く と っ て お く と, 

O2=Xに

よ り,y2∈O2で

を み た す も の が 存 在 す る.O2は

開 集 合 だ か ら,ε2>0を

十 分 小 さ く と っ て お く と, 

で

と な る よ う に で き る.   以 下 同 様 に し て,順

次 点 列y1,y2,…,yn,…,お

よ び 正 数 列 ε1,ε2,…,εn,…

を選

ん で

が 成 り立 つ よ うに で き る(図70).   こ の よ う に し て 得 られ た 点 列{yn}は

ば 

コ ー シ ー 列 で あ る.実

で あ り,し た が っ て

とな る か ら で あ る.   Xは

完 備 だ か ら,点

の1点yに

収 束 す る.点

列{yn}はX 列{yn}の

構

成 の仕 方 か ら

がn=1,2,…

で 成 り 立 つ か ら,

(1) で あ る.   一方

図70

(2) で あ る.な

ぜ なら

と な る か ら で あ る.

際,m,n>kな

ら

(1)と(2)に

よ っ て,(*)が

成 り立 つ こ とが わ か る.

Tea

C[0,1]は 第12講

で,区

を 導 入 し て,距 と え ば,n=1,2,…

Time

完 備 で は な い.

間[0,1]上

で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 に,距

離 空 間C[0,1]を

考 え た.こ

の 空 間C[0,1]は

完 備 で は な い.た

に対 して

に よ っ て 定 義 さ れ た 連 続 関 数 列fnは,C[0,1]の fnはC[0,1]の

離

中 で は 収 束 して い な い.こ

中 の コ ー シ ー 列 で あ る.し の こ と は,図71か

か し

ら明 ら か で あ ろ

う.

図71

質 問   細 か い ことか も しれ ませ ん が,気 が つ き ま した ので 質 問 して み た くな りま

し た.前

講 で は,完

備 と い う性 質 は,位

相 だ け の 性 質 で は な くて,距

さ の 一 様 性 に 深 くか か わ っ て い る と い うお 話 で し た.し は,コ

ン パ ク ト空 間 は い つ も 完 備 に な る と い う こ と で す.空

る とい う性 質 は,同 性 質 で す.こ

相 写 像 で 保 た れ る 位 相 的 な 性 質 で,距

っ て 空 間 が コ ン パ ク トで あ れ ば,そ て み て も,完

際 は,位

ク ト と い う位 相 的 な 性 質 は,実

っ た.

間 が コ ンパ ク トで あ

離 の と り方 に よ ら な い

こ に(同

常 に 強 い 性 質 な の で あ る.し じ 位 相 を 与 え る)ど

備 とい う性 質 が 現 わ れ て く る の で あ る.こ

な い か も し れ な い.実

は 必 然 的 に空 間 に,一

れ に 触 れ な い の で,質

様 位 相―

たが

ん な距離 を いれ

うい っ て も,答

に はな ら

相 と は 別 に一 様 位 相 と い う考 え が あ っ て,コ

を 与え て い る と い う こ と示 す 理 論 が あ る.そ

の で あ る.そ

離 の もつ近

こで の お 話 で

れ は ど の よ うに 理 解 し た ら よ い の で し ょ うか.

答  空 間 が コ ン パ ク トで あ る と い う性 質 は,非

準―

か し,こ

ンパ

近 さ の 一様 な 規

れ は一様 位 相 空 間論 とい うも

問 に 対 す る 答 は,何

か 中途 半 端 に な っ て し ま

第21講 べ ー ルの性 質の応 用

テーマ

◆ ベ ー ル の性 質 の いい か え:内 点 を もた な い 閉集 合列 の和 集 合 は,全 空 間 と 一 致 し ない . ◆ 各 点 で微 分 不可 能 な連 続 関数 ◆ ワイ エ ル シ ュ トラ ス の関 数 ◆ バ ナッ ハ の証 明:C[0,1]が

完 備 な距 離 空 間 で,し た が って,ベ ール の性

  質 を もつ こ とを 用 い る.

べー ル の 性 質 の い い か え 前 講 で 述べ た ベ ー ル の性 質 とは,空

間Xの

開集 合 列O1,O2,…,On,…

が与え

られ た とき

が 成 り立 つ とい う こ とで あ っ た.   こ の 性 質 を,O1,O2,…,On,…

とお く と,F1,F2,…,Fn,…

の補 集 合 を と る こ と に よ りい い 直 し て み よ う.

は,そ

れ ぞ れ 開 集 合 の 補 集 合 と し て 閉 集 合 とな っ て

い る.   こ の と きOn=Xと

い う性 質 は,次

の よ うに い い か え ら れ る.

 は 内点 を もたな い.

  こ の こ と を 説 明 し て み よ う.内 と,Fnが

点 の 定 義 は 第13講

内 点 を も た な い と い う こ と は,任

小 さ い 正 の 数ε を と っ て も

で 与 え て あ る.そ

意 の 点x∈Fnを

れ に よる

と っ た と き,ど

んな

と い う こ と で あ り,同

じ こ と で あ るが

(1) と い う こ とで あ る.Onに と は,と

属 さ な い 点xに

り も 直 さ ずOn=Xが

 の 補 集合 は 

対 し て つ ね に(1)が

成 り立 つ とい う こ

成 り立 つ と い う こ と で あ る.

であ る ことに注 意 す る と,同 様 に  は 内 点 を もたな い.

  し た が っ て ベ ー ル の 性 質 は 次 の よ うに い い か え て 述 べ る こ と が で き る.   べー ル の 性 質:内 き,和

点 を も た な い 閉 集 合 の 系 列F1,F2,…,Fn,…

が 与 え られ た と

集合

も内点 を もた な い.  前 講 で 証 明 した よ うに,完 備 な距 離 空 間 はベ ール の性 質 を み た して い る.し た が って特 に次 の こ とが 成 り立 つ こ とが わ か った. 完 備 な 距 離 空 間Xで,内

点 を も た な い 閉 集 合 の 系 列F1,F2,…,Fn,…

が

与 え られ た と き

各点で微分不 可能な連続 関数 区間[0,1]で

定 義 され た連 続 関 数で,微 分可 能 で な い 関数 は,図72で

うに い く ら で も 存 在 す る.グ っ た 点 の 所 で,こ き な い.し

ラ フの尖

れ らの 関数 は微 分で

か し,こ

れ ら の 関 数 は,こ

れ ら有 限 個 の 尖 点 以 外 で は 滑 らか で 微 分 可 能 で あ る.   そ れ で は,[0,1]の

各 点で 微分 で き

な い よ うな 連 続 関 数 は 存 在 す る の だ ろ うか.1870年

代 に,ワ

イ エ ル シ ュ トラ

図72

示す よ

ス は,各

点 で 微 分 不 可 能 な 連 続 関 数 の 例 を つ く っ て み せ て,当

せ た.ワ

イ エ ル シ ュ トラ ス の 与え た 例 は,次

た だ し0
の よ うな 関 数 で あ る.

とす る.こ

奇 数 で 

時 の数 学 界 を驚 か

の 関 数 は 連 続 で あ る が,ど

とって も

と な っ て,微

分 不 可 能 で あ る こ と が 示 さ れ る.(こ

知 りた い 人 は,雑

誌

『数 学 セ ミナ ー 』1984年6月

氏 に よ る これ に 関 す る 解 説,ま 出 版)を

の 証 明 は 容 易 で な い.証 号 に 掲 載 さ れ て い る,笠

た は 吉 田 耕 作 『19世 紀 の 数 学

明を 原皓司

解 析 学I』(共

立

参 照 さ れ る と よ い.)

  しか し,1931年 で あ り,し

に ポ ー ラ ン ドの 数 学 者 バ ナ ッハ は,C[0,1]が

た が っ て ベ ー ル の 性 質 を も つ こ と か ら,こ

完 備 な距 離 空 間

の よ うな 関 数 が 実 は 非 常 に

た く さ ん 存 在 す る こ とを 示 し,再

び 世 界 の 数 学 界 を 驚 か せ た の で あ る.ベ

性 質 は,こ

析 学 に 多 くの 応 用 を もつ よ うに な っ た.

れ 以 来 注 目 を 浴 び,解

ール の

バ ナ ッハ の 証 明

  バ ナ ッハ は,n=2,3,4,…

に 対 して,C[0,1]の

閉 集 合Fnを

次 の よ うに 定 義

し た. を み た す 少 な く と も1つ

  Fnは, 

のt=t0に

対 して,不

等式

(2) が,す

べ て の0
  こ のFnが

成 り立 つ よ うな 連 続 関 数f全

体 か ら な る.

実 際 閉 集 合 と な っ て い る こ と は 証 明 し な くて は な ら な い.

  そ の た め に は,fi∈Fn(i=1,2,…),fi→g(i→

∞)の

と き,g∈Fnを

示せば

よ い.   各fiに

が,す

対 し て あ るt0(i)が 存 在 して

べ て の0
成 り立 つ;こ

こで 

必 要 な らば

部 分 点 列 を とれ ば よ い か ら,は る と し て よい.明

じ め か らi→ ∞ の と き, 

らか に 

は あ る点s0に 収束 す

で あ る.

 こ の と き

こ こ で 第1項,第4項 5項 はgの

は,fi→g(i→

連 続 性 か ら,i→

∞)に

∞ の と き0に

よ り,i→

∞ の と き0に

近 づ く.第2項

は,こ

−g(t0(i)+h)￨と の 差 が い く らで も 小 さ くな る こ と と,gの i→∞ の と き0に

近 づ く.第

の 項 と 

連 続 性 か ら,や

は り

近 づ く こ と が わ か る.

  したが って

が い え て,g∈Fnの

こ と が わ か っ た.

  さ ら に 次 の こ とが い え る. Fnは

【証 明 】f∈Fnを

任 意 に と る.こ

数hを

勾 配 がnを

と る.hは

グ ラ フ で 示 さ れ て い る よ うな 関

明 らか に

み た し て い な い.し た が っ てh〓Fn

で あ る が,hはfに る.す

の と き 図73の

越 す折 れ線 と

し て 表 わ さ れ る 関 数 で あ る.hは (2)を

内 点 を も た な い.

な わ ち,ど

い く ら で も 近 く とれ ん な 小 さ い 正 数 εを と っ

て もh∈Vε(f)と

な るhが

あ る.こ

のこ

と は,fがFnの

内 点 で な い こ とを 示 して

い る.fはFnの

任 意 の 元 で よ か っ た か ら,

図73

これ で 証 明 さ れ た. C[0,1]は

ベ ー ル の 性 質 を もつ.し

た が っ て 

に 属 さ な い 

が存 在 す る. f0は 各 点 で微 分 不 可能 な連 続 関数 で あ る. 【証 明 】 f0は,ど 必 ず あ るhが

の よ うな 自然 数n,ま

た ど の よ うな 点t(0≦t<1)を

と っ て も,

あ って

(3) と い う性 質 を も っ て い る.   f0が,も

し0≦t0<1を

み た す あ る点t0で

微分 可 能 で あ っ た と して 矛盾 を 導 こ

う.   微 分 の 定 義 か ら,正

が 成 り立 つ.一

で あ る:こ

方

こでK=Max￨f0(t)￨+1と

お よび 

よ り大 に と れ ば,す

と な り,(3)に   t0=1で

数 ε0を十 分 小 さ く と る と

も,少

お い た.ゆ べ て のhに

反 す る 結 果 と な る.こ

え に 自 然 数nを,￨f′(t0)￨+1

対 して

れ で 矛 盾 が 得 ら れ た.

し証 明 を 補 正 す れ ば,微

分 可 能 性 の 仮 定 か ら同 じ よ うな 矛 盾 が

導 か れ る.   こ れ でf0∈C[0,1]が,各

点 で 微 分 不 可 能 な 連 続 関 数 で あ る こ と が わ か り,バ

ナ ッ ハ の 証 明 が 完 了 した.

Tea

Time

質 問   バ ナ ッハ の 証 明 は わ か り ま した が,ベ

ー ル の 性 質 を 用 い て な ぜ こ の よ うに

簡 明 に 証 明 で き た の か の 理 由 が,ま

だ 十 分 納 得 で き ま せ ん,も

う少 し説 明 を 補 足

し て い た だ け ませ ん か. 答   私 た ち が,微

分 不 可 能 な 連 続 関 数 を グラ フで 表 示 し よ う とす る と,図73の

よ う に,有 限 個 の 点 で'と げ'を もつ 関 数 を 書 くだ け で,そ れ 以 上 は 進 め な い. 'とげ'を ど ん どん 増 し て い っ て も,区 間[0,1]の 至 る所 で'と げ'(微 分 不 可 能 な 点)を

もつ よ うな グ ラ フ な ど 想 像 で き な い の で あ る.逆

フ 表 示 の 限 界 が あ る と もい え る.C[0,1]の 'とげ'が ど ん ど ん 増 え て い る の で あ る.バ ま え,結

完 備 性 は,そ

に い え ば,そ

こ に グラ

の 限 界 を 乗 り越 え て,

った と き の 極 限 の 状 態 に あ る 関 数 の 存 在 を 保 証 し て い

ナ ッハ の 証 明 は,そ

の 論 点 を ベ ー ル の 性 質 を 通 し て,見

事 につ か

晶 させ た もの で あ る と い っ て よい.

  も う少 し説 明 を 加 え る と,C[0,1]の

完 備 性 は 次 の よ うに 働 くの で あ る.た

え ば 実 数 は 完 備 で あ る.私

た ち は1辺

を 精 密 に 測 り続 け る と,し

だい に

の 長 さが1の

正 方 形 を 描 い て,そ

と

の対 角 線

1,1.4,1.41,1.414,… と い う有 限 小 数 の 系 列 が得 られ る.こ

れ はC[0,1]の

して グ ラ フを か い て い く状 況 に 似 て い る.し

中 で'と

げ'の

数 を順 次 増

か し誰 も この 究 極 の と ころ に あ る 無

限 小数 1.4142135… を か き つ くす わ け に は い か な い.こ だ が,こ

の 無 限 小 数 の 最 後 ま で 誰 も見 た 人 は い な い の

の 無 限 小 数 の 存 在 は 実 数 の 完 備 性 に よ っ て 保 証 さ れ て い る(次

同 じ よ うに'と だ が,C[0,1]の

げ'を

講 参 照).

増 し て い っ た と き の 究 極 の グ ラ フ は 誰 も見 た 人 は い な い の

完 備 性 に よ っ て そ の 存 在 が 保 証 さ れ て い る の で あ る.

第22講 完

備

化

テーマ

◆ 有 理数 の コー シー 列 ◆ 有 理数 の完 備 化 が 実 数 ◆ 任 意 の距 離 空 間(X,d)は

完 備 な距 離 空間(X,d)の

稠 密 な 部 分空 間 とな

る. ◆(X,d)を(X,d)の ◆(X,d)の

完 備 化 とい う.

構成:(X,d)の

すべ ての コー シー列 を 同値 類 に わ け る.

  この同 値類 が,コ ー シー列 の収 束す る'理 想 的 な点'を 表 わす と考 え る.

有 理 数 の コー シ ー列

  有 理 数 全 体Qは い が,無

完 備 で は な い が,実

数Rは

1.4142135… は 実 数 の 中 で 存 在 し て,x2=2を 数(1)の

完 備 で あ る. 

 (1)

み た す 正 の 数 

を 表 わ し て い る.こ

の無 限 小

見 方 を 少 し 変 え て み よ う. a1=1,a2=1.4,a3=1.41,a4=1.414,…

と い う有 理 数 の 系 列 を 考 え る と,m,n>kの

で あ っ て,し 有 理 数Qの

は 有 理 数 で はな

限小数

た が っ てk→ ∞ の と き 

  (2) とき

で あ る.す

中 の コ ー シ ー列 で あ る.(1)は

な わ ち 数 列(2)は

この コー シー列 の極 限 を表 わ してい

る と考 え られ る.   この よ う に み る と,無

限 小 数 は 有 限 小 数 の コ ー シ ー 列 の 極 限 と 考 え られ,有

小 数 の つ くる コ ー シ ー列 に よ っ て,実

限

数 が 得 られ て い る と考 え る こ と も で き る.

完

  一 般 に 距 離 空 間(X,d)が よ っ て,新

備

化

与 え られ た と き,(X,d)か

し い 距 離 空 間(X,d)を

ら完 備 化 とい う操 作 に

つ く る こ とが で き る.こ

こ でXは

完備 な距

離 空 間 で あ る.   こ の 完 備 化 とい う操 作 は,有 方法―

理 数 の 空 間Qか

有 限 小 数 か ら無 限 小数 へ ― 次 の 性 質 を も つ.

  (a) 

(X,d)は

完 備 な 距 離 空 間 で あ る.

  (b) 

(X,d)は,(X,d)の

  (c) 

X=X.

(c)はXはXの Xの

得 る

部 分 空 間 と な っ て い る.

  少 し説 明 を 加 え て お く と,(b)は,X⊂Xで 対 し て はdと

備 な 実 数 の 空 間Rを

の 一 般 化 で あ る と み る こ と が で き る.

  さ て,(X,d)は

y∈Xに

ら,完

あ っ て,か

一 致 し てd(x,y)=d(x,y)と

で,xに

距 離dは,x,

な る と い う こ とで あ る.

中 で 稠 密 で あ り,し た が っ てXの

点 列x1,x2,…,xn,…

つXの

任 意 の 元xに

対 して,必

ず

収 束 す る も の が とれ る こ とを 意 味 し て い る.

この とき xn→x  だ か ら,点

列{xn}はXの

こ の コ ー シ ー 列 はXの

中 で の コ ー シ ー 列 に な っ て い る.x〓Xの

(b),(c)を (X,d)の

束 す る 点xが

存 在 す る とい う こ とに な っ て い る.

構 成 法 の 大 筋 を 述 べ る が,(X,d)が

み た す 空 間 は,本 完 備 化,あ

場 合 に は,

中 で は 収 束 す る 先 の 点 を み つ け る こ と が で き な い が,Xま

で 空 間 を 広 げ て 考 え る と,収   以 下 で,(X,d)の

(n→ ∞)

質 的 に は た だ1つ

る い は(X,d)を

与 え ら れ た と き,(a),

しか 存 在 し な い.(X,d)を

完 備 化 して 得 られ た 空 間 と い う.

コ ー シ ー 列 と完 備 化

  距 離 空 間(X,d)か 理 数 の 空 間Qか

ら 完 備 化(X,d)を

ら実 数Rを

得 る 操 作 は,前

に も 述 べ た よ う に,有

構 成 す る 操 作 の 一般 化 だ か ら,Qか

を,も

う少 し詳 し く調 べ て お こ う.

 

は,有

理 数 の コー シ ー列

らRへ

移 る過程

1,1.4,1.41,1.414,1.4142,… の 極 限 で あ る が,  る.た

と え ば,上

 (3)

に 近 づ く 有 理 数 の コ ー シ ー 列 は こ の ほ か に もた く さ ん あ の 系 列(3)の

末 位 に1を

加 え た も の

2,1.5,1.42,1.415,1.4143,… や,0に

近 づ く有 理 数 を 加 え た り引 い た り し た も の

な ど は,す

べて 

に近 づ く,有

理 数 の コー シ ー 列 で あ る.

  に近 づ く,有 理 数 の コ ー シ ー 列 は 無 限 に あ る.も 標 準 的 な も の と考 え ら れ る の は,  しか し,(3)の

ち ろ ん この 中 で も っ と も

の 小 数 展 開 を 順 次 求 め て い く(3)で

よ うな 標 準 的 な コ ー シ ー 列 が とれ る の は,実

あ る.

数 の 中 に10進

法が

存 在 す る か ら で あ る.   一 般 の 距 離 空 間 へ の 考 察 へ 移 る た め に は,こ な 特 別 な 設 定 は 捨 て な く て は な ら な い.そ で あ る.こ で,ど

の 観 点 に 立 て ば, 

の 実 数 の 中 に あ る10進

うす る と,残

る概 念 は コー シ ー列 だ け

に 近 づ く コ ー シ ー 列 は,ど

れ が よい コー シー 列

れ が 悪 い コ ー シ ー 列 か な ど と い う見 方 は 消 え て し ま う.た

ー シ ー 列 が す べ て 共 通 な 極 限(そ

法 の よう

だ,こ

れ は も う有 理 数 で は な い が) 

れ らの コ

へ 近 づ くとい

う性 質 を もつ と い う こ とだ け が 問 題 とな る.

共 通 な極 限 へ 近 づ くコ ー シ ー 列   そ れ で は,有

理 数 しか 知 ら な い 人 が,有

理 数 の2つ

の コー シ ー列

a1,a2,a3,…,an,… b1,b2,b3,…,bn,… が 与 え ら れ た と き,こ

の2つ

の 系 列 が 同 じ極 限 値(た

うか とい う こ と を 判 定 で き る だ ろ うか.   こ れ に つ い て は 次 の こ とが い え る.

とえ ば  

)へ

近 づ くか ど

{an},{bn}を て,n→

有 理 数 の コ ー シ ー列 とす る.{an},{bn}がRの

中 で考え

∞ の と き 同 じ値 に 収 束 す る た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は ￨an−bn￨→0(n→

∞) 

(4)

が 成 り立 つ こ と で あ る.

な らば

【証 明 】 

で あ る.   逆 に,￨an−bn￨→0(n→

∞)が 成 り立 つ とす る.Rは

で 考 え れ ば コ ー シ ー 列{an},{bn}は (4)に

そ れ ぞ れ 実 数x,yに

完 備 だ か ら,Rの 収 束 す る.こ

中

の と き,

よって

とな る.す

な わ ちx=yが

 条 件(4)が,有

示 され て,こ

れ で 証 明 が 終 った.

理 数 の 中 だ け で 述 べ られ て い る こ とが 重 要 な の で あ る.

  前 の 話 に戻 れ ば,任

意 の 実 数,た

とえ ば  

は,有

理 数 の コ ー シ ー列

a1=1,a2=1.4,a3=1.41,a4=1.414,… だ け で は な くて,こ シ ー 列{bn}に

の{an}と(4)の

よ っ て,得

  も っ と 一 般 的 な 立 場 で,有 に な る.2つ

条 件 を み た し て い る よ うな す べ て の コ ー

られ て い る の で あ る. 理 数 の コ ー シ ー列 の 方 を 主 体 と して い えば 次 の よ う

の 有 理 数 の コ ー シ ー 列{an},{bn}は,(4)の

同 じ 実 数 を 規 定 し て い る.そ の 同 値 類((3)の

し て,実

数 全 体 は,こ

条 件 を み た す と き, の よ うな 有 理 数 の コー シ ー 列

条 件 を み た す もの を 等 し い と 考 え た もの)全

体 か らな っ て い

る と 考 え られ る.

完 備 化 の 概 略

  上 の 説 明 を も と に し て,与

え ら れ た 距 離 空 間(X,d)か

ど の よ う に 構 成 す る か の 概 略 を 述 べ て お こ う.   距 離 空 間(X,d)が

与 え られ た とき,Xの

コ ーシ ー列

ら,完 備 化(X,d)を

x={xn} を 考 え る.2つ

の コ ー シ ー 列x={xn},y={yn}は d(xn,yn)→0 

の と き,同

値 で あ る とい い,x∼yで

'も の'を 表 わ す と考 え て え ら れ る'理 想 的 な 点'で   こ の よ うなxの

い う条 件 が,ち

元aに

お く.xは,い

値 な コ ー シ ー 列 の 全 体 は1つ

わ ば コ ー シ ー列{xn}が

お く.Xの2つ

の 元x,yの

表 わ す コ ー シ ー 列 を{xn},{yn}と

か り,し た が っ てx=yで   Xの

表 わ す.同

の

近 づ く と考

あ る.

全 体 をXと

うに 定 義 す る.x,yを

d(x,y)=0と

,xと

(5)

次の よ

した と き

ょ うど 右 辺 を み る と(5)に

あ る.dは,X上

間 の距 離dを

対応 して い るこ とがわ

の 距 離 を 与 えて い る.

対 して a={a,a,…,a,…}

と お く と(足

踏 み し て い る 点 列!),aはXの

の 元 で あ る.aとaを

コ ー シ ー 列 で,し

同 一 視 す る こ と に よ り,XはXの

た が っ てaはX

中 に 含 まれ て い る と 考

え て よ い.  に 対 し て,a={a,a,…},b={b,b,…}だ

が 成 り立 つ こ と は 明 らか で あ ろ う.こ

と い う1対1対

応 で,距

の ことは

離 が 保 た れ る こ と を 示 し て い る.

 が,x={x1,x2,…,xn,…}と

で あ る.xが

か ら

表 わ さ れ て い る と き,

コ ー シ ー 列 で あ っ た こ と に 注 意 す る と,こ れ か ら

(6) が 得 ら れ る.(xn=(xn,xn,…,xn,…)に x1,x2,…,xn,…

の 極 限 と な っ て い る.し

注 意.)す たが って

な わ ち,xは,'Xの

点 列'

が い え た.   Xの

完 備 性 は,次

の表 わすXの

がXの

の よ う に し て 証 明 され る.

点列

コ ー シ ー 列 で あ っ た とす る.

  こ の と き,ま

ず,各s=1,2,…

で あ る よ うな 番 号nsを

に対 して

選 ぶ.こ

い る か ら で あ る. 

の よ うな こ とが で き る の は,(6)が

に 注 意 して

(7) とお く.yはXの

コ ー シ ー 列 で あ る.

 な ぜ な ら

が 成 り立 つ か らで あ る.こ   し た が っ てy∈Xで   (7)か

ら(6)を

が 成 り立 つ.し

こ で{x(s)}が

あ る. 参 照 して

た が って

コ ー シ ー 列 の こ と を 用 い た.

成 り立 っ て

こ こ で{x(s)}が

を 示 し,し

コ ー シ ー 列 で あ る こ とを も う一 度 用 い た.こ

た が っ て,コ

ー シ ー列{x(s)}はyに

の式 は

収 束 す る.こ

れ でXが

完備で

あ る こ と が 示 さ れ た.

Tea

質 問  区 間[0,1]上

Time

の 連続 関 数全 体 の集 合 に,距 離

を 導 入 し て 得 ら れ る 距 離 空 間C[0,1]は,完

備 で は な か っ た の で す が,こ

の完 備

化 は ど の よ う な 空 間 に な る の で す か. 答   講 義 で 述 べ た 抽 象 的 な 完 備 化 の 操 作 を,こ

の よ う な 具 体 的 な 空 間 の場 合 に 考

え て み よ う とす る と,空 々 漠 々 と し て つ か み 所 が な い.C[0,1]の の 収 束 す る 先 に お く'理 想 的 な 点'fに た く な る.た

と え ば 有 理 数Qの

う だ け で は な くて,数 る の か'と

対 し て,何

完 備 化Rも,単

コ ー シ ー 列{fn}

か も っ と具 体 的 な 意 味 を 付 し

にQの

コ ー シ ー 列 の 同 値 類 とい

直 線 上 の 点 と し て 実 現 さ れ て い る.'ど

い う君 の 質 問 の 趣 旨 は,完

備 化 さ れ た 空 間 が,ど

の よ うな空 間 にな の よ うな 具 体 的 な 空

間 と して 実 現 さ れ て い る か を 問 うて い る も の と 思 う.   こ の よ うな 観 点 に 立 っ て,C[0,1]の

完 備 化 さ れ た 空 間 を 求 め よ う とす る と,

ル ベ ー グ積 分 の 考 え に つ な が って くる.C[0,1]の つ くる 空 間 と 考 え られ,そ

る も の で 定 義 さ れ た も の と な って い る.た は,収

束 す る先 の'理

い た る所 等 し い'関

想 的 な 点'が1つ

数 は,同

だ し,コ

は りあ る 関 数 の

ベ ー グ積分 とよば れ

ー シ ー 列 の 同 値 類 と い う概 念

の 関 数 を 指 定 し な く な っ て,`ほ

とん ど

じ も の で あ る と考 え る 考 え 方 を 導 く こ と に な る.ル

ベ ー グ積 分 の 本 を 開 い て み る と,L1[0,1]と る か も しれ な い が,こ

完 備 化 は,や

し て そ こ に 拡 張 され た 距 離 は,ル

れ がC[0,1]の

書 か れ た 空 間 を み つ け る こ とが で き

完 備 化 し た 空 間 で あ る.

第23講 距離 空 間 か ら位 相空 間へ テ ー マ

◆ 距 離 空 間 の もつ 性 質:近 傍 の 分離 性 と近傍 の 可 算性 ◆ 近傍 の分 離性 を もた ない 位 相空 間 の例 ◆ 近傍 の可算 性 を もた ない 位 相空 間 の例 ◆'近 さ'の 概 念 は 一般 には 距 離 だ けで は 規定 され ない ◆ 距 離 空 間か ら位 相空 間 へ

距 離 で 測 れ な い 近 さ '近 さ'と い う概 念 は

,必 ず し も距 離 だ け で 測 られ る と は 限 ら な い.

  ご く 日常 的 な 例 か らは じ め よ う.あ

る 道 筋 に 沿 っ て,ず

す る.こ

の 家 は,2階

の 家 並 み に あ るOと

い う人 とQと

建 で,1階

い う人 が 別 々 に 住 ん で い る と す る.Pも,Qも,自

並 み とい う と き に は,2人 は,数

い う1軒

っ と家 が並 ん で い る と

と も 同 じ も の を 考 え て い る.こ

学 で モ デ ル 化 して も,PとQの

近 さ の 感 じ を,距

と2階

に は,Pと

分 の家 に近 い 家 うい う状 況 の と き に

離 でい い表 わ せ な い ので

あ る.   そ れ は 距 離 空 間 に は 次 の 性 質 が あ る か ら で あ る.

(分離 性)距

離 空 間(X,d)の

近 傍V(x),V(y)が

異 な る2点x,yに

対 し て,xとyの

ある

存 在 して V(x)∩V(y)=φ

  こ の 距 離 空 間 の も つ 性 質 は 次 の よ う に 示 され る.d(x,y)=δ あ る.こ

の と き明 らか に

が 成 り立 つ.

とす る.δ>0で

  さ て,上

に 述 べ た 日常 的 な 例 を,数

直線

上 の 連 続 的 な モ デ ル に お き か え て み る と次 の よ う に な る.数 に 点Pを

直 線R上

お き,Oか

1の 所 に 点Qを R∪{Q}で

ら(y軸

お く.考

あ る.Rに

の 原 点Oの

所

方 向 の)高

さ

え る 空 間 はX=

は ふ つ うの'近

さ'

を 導 入 し て お く,点Qの

ε-近傍 とは

とす る.そ

ん な 正 数 ε に対 し

うす る と,ど

図74

て も

とな って,上 に述 べ た 分離 性 を み た さ ない.空 間Xで … はn→ ∞ の と き,Pに Xの'近

さ'を,距

近 づ く と 同 時 にQに

の よ うな 空 間

離 空 間 の 立 場 か ら捉 え る こ と は で き な い.

可

  距 離 空 間(X,d)の 味 で,可

は,点 列1，1/2，1/3，…，1/n，

も 近 づ い て い る.こ

各 点xの

算

性

ま わ りの 近 さ の 規 準 を 与 え る もの と し て,次

算 個 の 近 傍 を と る こ と が で き る.

(可 算 性)距

離 空 間(X,d)の

U2(x),…,Un(x),… るnを

各 点xに

が 存 在 し て,xの

対 し て,可

算 個 の 近 傍U1(x),

任 意 の 近 傍V(x)に

対 し て,あ

とる と V(x)⊃Un(x)

が 成 り立 つ.

この 距 離 空 間 の 性 質 は,た

とえ ばxの

とお く こ と に よ り確 か め ら れ る.明

近 傍 と して,n=1,2,…

らか に

に 対 して

の意

で あ る.   数 学 で 登 場 す る空 間 の 中 に は,近

さ の 概 念 は 入 っ て い る が,こ

の可 算性 をみ た

さ な い も の が 存 在 す る.こ

の よ うな1つ

  い ま 半 閉 区 間[1,∞)で

定 義 さ れ た 連 続 関 数 全 体 の 集 合C[1,∞)を

C[1,∞)の

各 点fの

  任 意 の0に

近 さ の1つ

の 例 を 述 べ て お こ う. 考 え る.

の 規 準 を 与 え る近 傍 と し て 次 の 形 の も の を と る.

収 束す る単調 減少 列 μ:μ1>μ2>μ3>…>μn>…

→0

に対 し

(図75参

照).

図75   図 か ら も わ か る よ うに,Vμ(f)に f(t)とg(t)は

属 す るgを

と っ て み る と,t→

∞ の と き,

し だ い に 近 接 し合 う状 況 と な っ て い る.

  この よ う なVμ(f)をfの

近 傍 と考 え る こ と に よ り,C[0,∞)に,確

近 さ の 感 じ は 入 る の で あ る が,こ

れ は,距

か にあ る

離 空 間 の も つ 可 算 性 を も っ て い な い.

  そ れ は 数 列 に 関 す る次 の 結 果 に よ っ て い る.   可 算 個 の0に

収 束 す る単 調減 少 列

を任 意 に とった とき,こ

の どれ よ りも速 く0に 収 束す る 単 調 減少 な 数列 μが存

在 す る.   こ の こ と か ら,fの

可 算 個 の 近 傍Vμ(1)(f),Vμ(2)(f),…,Vμ(3)(f),…

を

ど ん な に と っ て も,こ

の 中 の どれ も 中 に 含 ん で い な い よ うなVμ(f)が

存在す る

こ と が 結 論 さ れ て し ま うの で あ る.

直

  第12講

で,距

積

離 空 間 の 例 と し てR∞

空 間

に つ い て 述 べ て お い た.R∞

は,Rの

可算

個 の 直 積 で あ る.   『集 合 へ の30講

』 を 読 ま れ た 読 者 な ら ば,も

ど うな る だ ろ うか と考 え られ る だ ろ う.た る と き,集

合 族 

っ と濃 度 の 高 い 直 積 集 合 の 場 合 は

と え ばrが,区

間[0,1]の

点 を わた

の直積 集 合

に どの よ うな近 さをい れ た ら よいか,ま た この空 間 は距 離空 間 とな るか とい う こ とが 問題 とな る.し か し,こ の よ うな大 きな集 合 にな る と,最 も 自然 と思 わ れ る 近 さの概 念 を この直 積 集 合 に導 入 した と き,こ れ は 距離 空 間 に はな らな くな って くる.上 に述 べ た距 離 空 間 の もつ 可算 性 が成 り立 た な くな って くるか らで あ る. 距 離 空 間 か ら位 相 空 間 へ   この よ うに,数 学 に現 わ れ る'近 さ'の 概念 は,必 ず しも距離 に よ って記 述 で き る とは 限 らな い.し た が って,近 さ とい うものを 数 学 の立 場 で よ りよ く理 解 す るた め に は,距 離 に よらな い よ うな概 念 で,近 さを 調 べ る こ との で き る道 を 用 意 して お か な くては な らない.2つ

の距 離 空 間 が 同相 で あ った と き,距 離 は必 ず し

も保 た れ なか った が,開 集合 や,閉 集 合 や,閉 包 の概 念 は保 た れ てい た.す なわ ち,こ れ らの概 念 は,点 列 が近 づ くとい う性 質 が2つ の 空 間で対 応 し合 ってい る 限 り,保 たれ るの で あ る.   この こ とは,開 集 合 や 閉集 合 や 閉 包 の概 念 を,ま ず 空 間 の'近 さ'を 調べ る最 初 の出 発点 と して 採 用 した ら ど うか とい うこ とを示 唆 して い る よ うにみ え る.実 際,こ の方 向 に従 って,20世

紀 初 頭 に,位 相 空 間 論 が誕 生 して きた の で あ る.

  これ につ い ては,次 講 か ら述 べ るが,距 離 空 間 をみ なれ た 目には,位 相空 間論

の 出 発 点 は,あ い.こ

ま りに も抽 象 化 され て,取

の 段 階 で1つ

りつ き に くい よ う に み え る か も しれ な

だ け 注 意 し て お く こ とは,距

上 の 長 さ と い う考 え に あ っ た が,位

離 空 間 を 生 ん だ 母 胎 は,数

相 空 間 論 を 生 ん だ 母 胎 は,む

直線

しろ集合 概 念 の

中 に あ った と い う こ とで あ る.

Tea

Time

高速 道 路 を ゆ っ く り走 る 自動 車   Tea

Timeに

は,や

は り気 楽 な 話 が よ い か も しれ な い.い

て い る 自動 車 が 故 障 して,ス こ の 自動 車 に 向 か っ て,後

ピ ー ドを 落 と し て ノ ロ ノ ロ運 転 を は じ め た とす る.

速 で 走 っ て い る か ら,一 瞬 の うち に 視 界 か

ら消 え て い く.絶 対 追 い つ け な い とい う意 味 で は,10m前 を 走 っ て い る 車 も,同

に お い て 考 え れ ば,後

速 道路 を走 っ

方 か ら ど ん どん ほ か の 自 動 車 が 近 づ い て く る.一 方,

こ の 自動 車 の 前 を 走 っ て い る 車 は,高

km前

ま,高

じ よ うに 遠 くに あ る.す

か ら こ の 車 に 近 づ け るが,(相

を 走 っ て い る 車 も,1

なわ ち,こ

の故障 車 を 中心

対 的 に い っ て)前

の 方か ら

近 づ い て くる 車 は な い の で あ る.   数 直 線 の 各 点 が,さ

な が ら こ の 故 障 車 の よ う に,左

は 絶 対 に 近 づ け な い よ う な 性 質 を もつ よ う に,数 入 す る こ とが で き る.そ

れ は,数

を 採 用 す る の で あ る.xn→a(n→ εに 対 し て,あ と,aに

る 番 号kが

か らは 近 づ け るが,右

直 線 の 各 点P=P(a)に

∞)と

か ら

直線上 に新 しい近 さの概 念を 導

い うの は,い

対 して,ε-近

傍 として

つ もの よ う に,任

意 の正 数

決 ま っ て 

の こ と と 決 め てお く

近 づ く点 列 は 常 に 左 か らaに

近 づ く こ と に な る.aの あ る 点 は,ど

少 し で も右 に

ん なWε(a)に

て い な い と い う意 味 で,aか

も 含 まれ ら 限 りな

図76

い ほ ど遠 い の で あ る.   どの よ うな 距 離 を 導 入 し て み て も,こ の 数 直 線 上 の'左 離 に よ っ て い い 表 わ す こ と は で き な い.(こ る.)し る.

た が っ て,'左

か ら だ け の 近 さ'を

か らだ け の 近 さ'を 距

の 証 明 は 少 し準 備 が い る の で 省 略 す もつ 数 直 線 は 距 離 空 間 で は な い の で あ

質 問   講義 の最 後 で,集 合 といわ れ た ので思 った の です が,ど んな集 合 に も距離 を 考 え る こ とは で きる ので し ょ うか. 答  どん な集 合 に も距 離 を いれ る こ とはで きる.た とえば の とき の とき とお く と よ い.た

だ こ の 距 離 は,各

な 有 効 性 に は 乏 し い.近

点 を 離 れ 小 島 と 思 っ た よ うな 距 離 で,実

傍 に し て も,ε を1よ

質的

り小 さ い 正 数 と す る と

Vε(x)={x} と な っ て し ま う.し のxnがxに

た が っ てxn→x(n→

∞)と

い っ て み て も,あ

等 し くな る と い っ て い る に す ぎ な い の で あ る.

る番 号か ら先

第24講 位

相

空

間

テーマ

◆ 位 相空 間:集 合 と開集 合 族 ◆ 近傍 の定 義 ◆ 閉 集 合:開 集 合 の補 集 合 ◆ 閉包:Sの

閉包 は,Sを

含む 最 小 の 閉 集合

◆ 閉 包 の 基本 的 な 性 質

位相 空間の登 場  直 線,平 面 の'近 さ'か ら出発 して,距 離 空 間 を通 って きた 長 い旅 も,い よい よ,抽 象 的 な位 相空 間 論へ 到 達 す る こ とに よ って,あ と数 講 で 終 りを 迎 え る こ と に な った.   こ こで,考

え る対 象は,全

く抽 象 的 な集 合Xで

あ る.2点

間 の 長 さを 測 るな

どとい う考 え はひ とまず 忘 れ て し まお う.ま た 数 直線 の よ うな考 え も忘 れ て し ま お う.   抽 象的 な集 合Xに,今

まで距 離 空 間 に対 して述 べ て きた'近 さ'に 関 す るい ろ

い ろ な考 察が 同様 に で き る よ うな,何 か'近 さ'に 付 随 す る概 念 構成 を 可 能 にす る道 はあ るだ ろ うか.そ の手 がか りは,Xの

部 分 集 合 の 中 に,開 集 合 に相 当 す る

もの を指 定 す る ことに よ っ て得 られ るか も しれ な い.   そ こで,位 相 空 間 に 関す る最 も基本 的 な,次 の定 義が登 場 す る. 【定義 】 集 合Xに,次

の 性 質 を もつ 部 分集 合 の族〓 が 与 え られた と き,Xを

相 空 間 とい う.

(O1)

(O2)

 を〓

 な らば

の 中 か ら と っ た 集 合 族 とす る.こ

の とき

位

(O3) (O4) 部 分 集 合 族 〓 に属 す る集 合 を,Xの   (O1)か て,第13講 離 関数dが

ら(O2)ま

開集 合 とい う.

で の 性 質 は,距

離空 間 におけ る開集 合 の基本 的 な性 質 と し

です で に述 べ た もので あ る.そ

の と きは,2点

間 の距 離 を与 え る距

まず 与 え られ,そ れ か ら生み 出 され る概 念 と して,ε-近 傍,開 集 合 な

どが 得 られ,そ の性 質 が調 べ られ た の であ った.   この 定義 で 述べ てい る こ とは,そ の と き得 られ た 開集 合 の性 質(O1)か

ら(O4)

を,今 度 は まず,最 初 に 檜 舞 台 に登 場 させ よ うとい うの で あ る.こ の檜 舞 台 は抽 象数 学 と よばれ る舞 台で あ って,舞 台 の素 材 は集 合 で あ る.   位相 空 間(X,〓)と

よば れ る もの の 中 に用意 され て い る のは,(O1)か

ら(O4)

まで の性 質 をみ た す部 分 集 合 の集 り しか な い.こ の部 分集 合 に開集 合 とい う名前 を 与 えた か ら とい って,私 た ち に,集 合Xに

何 か'近 さ'ら しい もの が 入 った と

納 得 させ る よ うな もの は,こ の定 義 を み る限 り何 もな い だ ろ う.   そ れ で は,こ の定 義 の 中 に私 た ち の感 覚 に訴 え る よ うな もの が全 然 何 もな いか とい え ば,そ れ も正 し くな い よ うで あ る.な ぜ か とい うと,私 た ち は この 定 義 を 生 む背 景 に あ る直線 や 平 面 や,ま た 距 離 空 間 の開集 合 の 姿 を,こ の 定義 の奥 に, は っ き り と感 じ と ってい るか らで あ る.   論理 の形 式 の 中 には ど うに も盛 りこむ こ とので きな い,こ の抽 象 と具 象 との 間 を つ な ぐ,私 た ち の感性 の 中 にあ る微 妙 な往 き来 を,立 ち止 ま って少 し感 じ とっ て も らわ ない と,位 相 空 間論 の理 論全 体 の立 つ場 所 を見 失 うお そ れが あ る. 近   位相 空 間(X,〓)が して,位 相空 間Xと 【定 義 】  x∈Xに

与 え られ た とす る.(以 下 で は 開集 合族 〓 を 書 くのを 省 略 い う こと もあ る.)

対 し,xを

含 む 開集 合Oをxの

集 合Vが

を み た す と き,Vをxの

傍

近 傍 と い う.

開近 傍 とい う.ま たXの

部分

  す な わ ち,xの

あ る 開 近 傍 を 中 に 含 ん で い る よ う な 集 合 をxの

近 傍 と い うの で

あ る.   一 般 に,Xの

任 意 の 部 分集 合sに

Sを 含 む 開 集 合 をSの すVをSの

対 して,Sの

開近 傍 といい,あ

開近 傍,近

る開集 合Oを

傍 を 同 じ よ うに定 義 で きる:

と る とS⊂O⊂Vと

近 傍 とい う.

  どん な 点x∈Xを

と っ て も,xの

に よ り開 集 合 で あ り,し

近 傍 は 存 在 す る.そ

た が っ てXが

  xの 近 傍 と い う 以 上,全

空 間X以

確 か にxの

相 空 間 を,極

し た た め に,全

傍 は1つ

の で あ る.そ

空 間X以

外 に は,近

の よ う な 位 相 空 間 は,開

て 得 られ る 位 相 空 間 で あ る.開

れ は,全

が は じ ま らな い

度 に 抽 象 化 した 定 義 か ら 出発

もな い とい う 位 相空 間 は存 在 す る

集 合 族 〓 と し て,φ

集 合 の 条 件(O3),(O4)を

とX,2つ

だけとっ

み る と,〓={φ,X}と

す る の は,開

集 合 族 と し て 最 小 限 の も の で あ る こ と が わ か る.し

に,(O1)か

ら(O4)ま

か しこれ で確 か

で み た し て い る の で あ る.

  位 相 空 間 の 枠 組 の 中 に は,こ

の よ うな 近 さ につ い て の'話

端 な 例 も 含 ま れ て い る こ とは,注 閉

【定 義 】  Xの

空 間Xが(O3)

近 傍 と な っ て い る か ら で あ る.

外 に も 近 傍 が な くて は,話

と思 う読 者 も 多 い だ ろ う.し か し,位

う な,極

い う関 係 を みた

部 分 集 合Fの

集

が は じ ま らな い'よ

意 し て お く必 要 が あ る. 合

補 集 合 が 開 集 合 と な っ て い る と き,Fを

閉集 合 とい

う.   す なわ ち

Fが 閉集合 ⇔  閉集 合 全 体 の つ くる部 分 集 合族 を 〓 で表 わ す.〓

(F1)

(F2) (F3) (F4)

(1) は 次 の性 質 を もつ.

 を 〓 の 中 か ら と っ た 集 合 族 とす る.こ

 な らば

の とき

  この 性 質 は,(1)に よ っ て 得 ら れ る.た

よ り,開

集 合 の もつ 性 質 を 補 集 合 の 方 へ い い 直 す こ と に

とえ ば(F2)は

次 の よ うに 示 さ れ る. ((1)に

よ る)

((O2)に

よ る)

((1)に

よ る) (ド ・モ ル ガ ン の 規 則)

  同 じ よ うに,(F1)は(O1)を

い い か え た も の で あ る.(F3)は(O4)を

か え た も の で あ り,(F4)は(O3)を   こ の(F1)か し て 第13講

ら(F4)ま

いい

い い か え た も の で あ る.

で の 性 質 は,距

離 空 間 の 場 合 に は,閉

集 合 の性 質 と

で 述 べ た も の と な っ て い る.

閉

【定 義 】  Xの

部 分 集 合Sに

包

対 し て,Sの

閉 包Sを,次

の 性 質 を もつ 点xの

全体

と し て 定 義 す る:   (*) 

xの す べ て の 近 傍Vに

  まずS⊂Sの

  ま た,x∈Sな

らば,も

ち ろ ん,xの

す べ て の 開 近 傍Oxに

に こ の 性 質 が 成 り立 て ば,xの

し て は,xの

ら ば,xの

す べ て の 近 傍V

か ら で あ る.

と な る 開 近 傍Oxが Vと

φ.

こ とを 注 意 し よ う.な ぜ な らx∈Sな

に 対 しV∩S∋xだ

で あ る.逆

対 し て,V∩S≠

任 意 の 近 傍Vを

存 在 す るか ら,V∩S≠

対 し て,  と っ た と き, 

φ とな る.こ

の こ と は,(*)で,

開 近 傍 だ け を と っ て も よい こ と を 示 し て い る.

Sは 閉 集 合 で あ る.

【証 明 】  (S)cが の あ る 開 近 傍Oxが

開 集 合 で あ る こ とを 示 そ う.x〓Sと

す る.閉

包 の 定 義 か ら,x

存 在 して Ox∩S=φ

す な わ ち  を とる と

こ こでxを,Sに

属 さ な い す べ て の 元 を 動 か し て,和

集合

こ こで 

と,各Oxがxを

が 得 ら れ た.(O1)に

ってSが

含 ん で い る こ と に 注 意 す る と,結

よ り,左 辺 は 開 集 合 だ か ら,(S)cも

開 集 合 と な り,し

局

たが

閉集 合 で あ る こ とが 示 された.

 実 は 次 の こ とが い え る. SはSを

  す な わ ち,Sを

含 む 任 意 の 閉 集 合Fを

っ て い る の で あ る.実 るx∈Sで,x〓Fと か ら,xの

含 む最 小 の 閉集 合 で あ る.

際,も

ずS⊂Fが

成 り立 つ とい

しそ うで な か った と 仮 定 し て み よ う.そ

な る も の が あ る.す

開 近 傍 で あ る.S⊂Fに

こ とは,x∈Sで

と っ た と き,必

な わ ちx∈Fcで

よ りFc∩S=φ

あ っ た こ と に 矛 盾 す る.し

あ る.Fcは

だ か ら,(*)を

た が っ て,S⊂Fが

うす る とあ 開集 合 だ

み る と,こ

の

示 さ れ た.

  こ の 系 と し て 次 の こ と が 成 り立 つ こ とが わ か る.

Fが 閉集合 ⇔F=F  第14講

で述 べ た 閉 包 の基 本 的 な 性 質(C1)か

ら(C4)は,今

の場 合 も成 り立

つ.す なわ ち

(C1) (C2) (C3) (C4) 【証 明 】  (C1)が

成 り立 つ こ と は す で に 注 意 し て あ る.(C2)は

閉 包 の 定義 を 参

照 す る と容 易 に わ か る.   (C3):S∪T⊃S,Tに ∪T.一

よ り(C1)か

方,S∪Tは(F2)に

S∪TのS∪Tを

らS∪T⊃S,T.し

よ り 閉 集 合 でS∪Tを

た が っ てS∪T⊃S 含 ん で い る.し

含 む 閉 集 合 と し て の 最 小 性 か らS∪T⊂S∪T.2つ

た が っ て, の包 含 関 係

を あわ せ て, 

がい え た.

  (C4):Sは,Sを ら,S=Sで

含む 最 小 の 閉 集合 であ った が,S自

身 が 閉集 合 な の だ か

あ る.

Tea

Time

距離 空間 も,前 講 で 与 え た空 間 もす べ て位 相 空 間 で あ る.   距 離 空 間 が 位 相 空 間 で あ る こ とは,距

離 空 間 の 開 集 合 族 〓 が,(O1)か

を み た し て い る か ら で あ る(第13講).し と き に は,距 る.だ

か し,距

離 の こ と は ひ と まず 忘 れ て,開

か ら た と え ば,第11講

を 与 え て い るか ら,位

で 与 え たRnの

相 空 間 と し て は,同

っ て も,xの

適 当 な 近 傍 Ｖ を と る と,V⊂Oと

  実 際 の 例 に 対 し て,位

現 在,数

の と き,位

見,'近

空 集 合 φ は,あ

学 の 中 に 現 わ れ る'近

さ れ て い る.そ

集 合Oと

し て,ど

の 点x∈Oを

と

な る 性 質 を も つ も の を と る.そ

相 空 間 論 を 適 用 し よ う とす る場 合,考

ら(O4)ま

でを み

察 の対 象 とな って

ず 位 相 空 間 と な っ て い る こ とを 確 か

相 空 間 の 定 義 に 示 さ れ て い る 簡 潔 さが,こ

確 認 を 非 常 に 容 易 な も の と し て い る.実 空 間Xと

じ開集 合族

ぐ に 確 か め ら れ る.

さ'の 感 じ の 入 っ て い る 集 合 が,ま

め な くて は な ら な い.こ

い.全

い ろ い ろ な 距 離 は,同

の よ う に 定 義 し た 開 集 合 の 集 りが(O1)か

た し て い る こ と は,す

い る,'近

集 合 族 〓 の 方 を注 目す る こ とにな

じ も の を 定 義 し て い る こ と に な る.

  前 講 で 述 べ た い ろ い ろ な 空 間 の 例 で は,開

れ ぞ れ の 場 合,こ

ら(O4)

離 空 間 を位 相 空 間 と してみ る

際 確 か め る の は,(O1),(O2)だ

の

けで よ

とか ら 開 集 合 と し て つ け 加 え て も よい の で あ る. さ'の

感 じ を もつ 対 象 は,位

の よ うな 広 い 適 用 範 囲 を もつ 代 償 と し て,位

さ'と は 無 関 係 で あ る よ う な,病

的 な 例 や,お

相 空 間 論 の 中 に包 括 相 空 間 の 中 に は,一

も し ろ くな い 例 も含 む こ と

に な っ た の で あ る.

質 問  直 線 や 平面 や,ま た 距離 空 間 の場 合 で も,点 列{xn}がxに

収束 す る こ と

が 中 心的 な考 え に な って いた よ うに思 い ます が,一 般 の 位 相空 間で は 点列 の収 束

は 考 え な い の で す か. 答  点 列{xn}が (n=1,2,…)の た.こ ―

点xに

収 束 す る こ と は,距

ど の 中 に も,い

の と き,点xの

な い 位 相 空 間 の 例 も あ る.こ み て も,1点 と が,必

算 個 の 近 傍 で 規 定 さ れ て い る―

ころ が 前 講 で 示 し た よ うに,近

の よ うな 例 で は,可

可算性

傍 の可算 性 を もた

算 個 の 点 列 を ど の よ うに 選 ん で

に 収 束 す る と は い え な い 状 況 が お き る.す

ず し も近 さ の 性 質 を 反 映 し な くな っ て くる.こ

の 位 相 空 間 で は,点

傍 の 可 算 列 

つ か は こ の 点 列 が 入 っ て く る こ とを 意 味 し て い

近 さ の 模 様 が,可

が 本 質 的 に 効 い て い る.と

離 空 間 で は,近

列 の 収 束 は あ ま り考 え な い.だ

が,点

な わ ち,点

列 の近 づ くこ

の よ うな こ と か ら,一

般

列 の 収 束 に か わ っ て,

そ れ を 一 般 化 した 有 向 点 系 の 収 束 と い う も の を 考 え る こ と は あ る.

第25講 位相空間上の連続写像 テー マ

◆ 位 相 空間Xか

らYへ

◆ φが 連続 ⇔

開 集合 の逆 像 が 開集 合

◆ φが 連 続 ⇔

閉 集合 の逆 像 が 閉集合

◆ 同相 写像:Xか

らYの

の連 続 写像 φ:φ(S)⊂ φ(S)

上 へ の1対1の

連 続 写像 で,逆 写 像 も連 続

◆ 同 相写 像 に よ って,開 集合,閉 集合,閉 包 な どの概 念 は互 い に移 り合 う. ◆ 位相 的性 質:同 相 写 像 に よ って保 た れ る性 質 ◆ 位 相 の強弱

連 続 写 像   第15講

で 述 べ た よ うに,距 離 空 間か ら距 離 空 間へ の写 像が 連続 で あ る とい う

性 質 は,点 列 の収 束 を用 い な くと も,閉 包や,開 集 合,閉 集 合 が 写像 に よって ど の よ うに移 り合 ってい るか を み る こ とに よ って捉 え る ことが で きる.一 般 の位相 空 間か ら位 相 空 間へ の写 像 が,連 続 で あ る ことを定 義す るに は,こ の点 が 重要 な 手 が か りを与 え てい るに違 い ない.   そ こで 次 の定 義を お く. 【定 義 】 位相 空 間Xか あ る とい う:Xの

らYへ

の 写 縁 φが,次 の性 質を み た して い る とき連 続 で

任意 の部 分 集 合Sに 対 し

(1)  距 離空 間 の とき と同様 に,こ の連 続 性 の定 義 は,開 集合,閉 集 合 を用 い て も述 べ る こ とが で きる.す なわ ち,次 の結 果が 成 り立 つ.

φが連 続 ⇔Yの

任 意 の 開集合Oに φ−1(O)はXの

対 し,

開集 合 とな る

φが 連続 ⇔Yの

任意 の閉 集合Fに φ−1(F)はXの

対 し,

閉 集合 とな る

  証 明 を試 み て み よ う.証 明 の関心 は,上 の連 続 性 の定 義 に妥 当性 を感 じさせ て くれ る この よ うな結 果が,位 相空 間 の ま った く抽 象 的な 公理 体 系か ら どの よ うに し て導か れ るか とい う点 にかか ってい る. 【証明 】  証 明 の便 宜 上,閉 集 合 の逆 像 につ い て述べ てい るこ とが定 義 と同値 で あ る こ とを まず 証 明す る.   ⇒:φ を連 続 と し,FをYの

閉集 合 とす る.こ の とき

の こ と に 注 意 し よ う.φ の 連 続 性(1)か

ら(Sと

し て 

を と っ て)

したが って

閉 包 の 性 質(C1)(第24講)を

が 得 られ て,φ −1(F)は   〓:Yの

参 照 す る と,こ

閉 集 合 で あ る こ とが わ か っ た.

閉 集 合 の φ に よ る 逆 像 は,つ

対 し,φ(S)はYの

れから

ね に 閉 集 合 で あ る と仮 定 す る.S⊂Xに

閉 集 合 で あ る こ と に 注 意 し よ う.し

たが って 仮 定 か ら

 は 閉 集 合 で あ り,

(2) と な る.一 と もSを

方, 

か ら, 

,こ

の左 辺は少 な く

含 ん で い る こ と は確 か だ か ら

両 辺 の 閉 包 を と っ て(C2)(第24講)と(2)を

用いると

が成 り立 つ こ とがわ か る.こ の式 は 

を示 して い る.す なわ ち φの

連 続 性(1)が

示 され た.

  これが いえ る と,上 の方 の 命題:φ の連 続 性 と開 集 合 の逆 像 は開 集合 で あ る,

こ と の 同 値 性 は 次 の よ うに 示 さ れ る.OをYの 集 合Ocは

閉 集 合 で あ る.し

開 集 合 とす る.こ

の と きOの

補

た が って

φが連続 ⇔ 

が閉集合

⇔  ⇔

が閉集合  

が開集合

(こ こ で 補 集 合 の 逆 像 は 補 集 合 へ 移 る こ と(第6講,Tea

Time)を

用 い た).こ

れ で 同値 性 が 証 明 され た. 同 相 写 像 【定 義 】 φを位 相 空 間Xか もYか

らXへ

う.Xか

上 へ の1対1の

連 続写 像 とす る.逆 写 像 φ−1

の連続 写 像 とな って い る と き,φ をXか

らYへ

 第16講

らYの

らYへ

の 同相 写像 が 存在 す る とき に,XとYは

の 同相写 像 とい

同相 で あ る とい う.

で距 離 空 間 の とき に述べ た よ うに,XとYが

同相 の とき に は,互 い の

同相 写 像

に よ っ て,Xの る.す

開 集 合 族 〓xと,Yの

開 集 合 族 〓Yと は1対1に

移 り合 っ て い

な わ ち, (φ−1の連 続 性)

で あ り,

(φの連 続 性) で あ る.   こ の こ と は 次 の こ とを 意 味 して い る.XとYを ずXとYを

単 な る 集 合 と して 考 え た と き,Xの

す る こ と に よ り,XとYと の リ ン ゴ の 集 合 と,10個 に よ っ て,2つ

同 相 な 位 相 空 間 と し よ う.ま 元xと,Yの

元 φ(x)を

同一 視

は,本 質 的 に は 同 じ集 合 で あ る と 考 え て よ い.(10個 の ナ シ の 集 合 の 間 に1対1の

の 集 合 は,集

対 応 を つ け れ ば,こ

の対 応

合 の 立 場 で は 同 じ集 合 を 表 わ し て い る と 考 え ら れ

る.)次

に,位

相 空 間 と し て 考 え る と き に は,集

合Xに

合Yに

開 集 合 族 〓Yを 付 し て 考 え る こ と に な る が,同

さ ら に 開 集 合 族 〓x,集 相 写 像 の 条 件 は,こ

の 〓x

と 〓Yと が,ま

た 同 じ写 像 に よ っ て1対1に

  し た が っ て,も

し集 合 と してXとYを,φ

こ の と きXとYの す 画 像 と,Yを

移 り合 っ て い る こ と を 示 し て い る. を 通 し て 同 一 視 して お くな ら ば,

開 集 合 族 も 同 一 視 さ れ て し ま う.た 表 わ す 画 像 を,φ

合 わ せ て み る と,開

と え て い え ば,Xを

に よ っ て 調 整 し て,1枚

集 合 も全 く重 な っ て,Xの

表わ

の ス ラ イ ドの 上 に 重 ね

開 集 合 かYの

開集 合 か 区別 が つ

か な くな っ て し ま う と い う こ とで あ る.   そ の 意 味 で,同

相 な 位 相 空 間 は,本

質 的 に は 同 じ構 造 ―

位 相 構造 ―

て い る と考 え ら れ る.構

造 と い う言 葉 は 少 し唐 突 か も し れ な い.こ

の 慣 用 の 術 語 で あ る.今

の 場 合 は,同

相 な らば,本

を もっ

れ は ブル バ キ

質 的 に は 同 じ位 相 空 間 と考 え

て よ い と い う こ と で あ る.

位 相 的 な性 質

  位 相 空 間(X,〓)と

い う対 象 の 中 に 与 え ら れ て い る もの は,集

合 族 〓 だ け で あ り,許

さ れ て い る 演 算 は,部

分 集 合 族 の 間 の,和

り,共 通 部 分 を と っ た りす る 集 合 演 算 だ け で あ る.あ て み る と,位 あ る.い

相 空 間 と い う対 象 は,全

っ て み れ ば,骨

く抽 象 的 な も の で あ る こ と に 気 が つ くの で

同 相 で あ る とい う こ と は,XとYに

の 骨 組 み を も と に し て 組 み 立 て ら れ る,さ

す な わ ち,こ

の 空 間 の 中 に,本

ま ざ ま な 概 念,た

た が っ て,こ

と え ば,閉

集合や閉

質 的 に は 全 く同 じ集 合 族 を 生 ん で い く. 上 で,同

じ形

れ ら の 間 に成 り立 つ い ろ い ろ な 関 係 も,Xと

く同 じ よ うな 形 で 成 り立 っ て い く こ と に な る だ ろ う.

  2つ の 同 相 な 位 相 空 間 で 同 時 に 成 り立 つ 性 質 は,'近 て い る と考 え る.数 質 を,'位

与 え られ た こ

の 骨 組 み か ら 築 き 上 げ られ て い く建 物 は,XとYの

を と っ て い く.し た が っ て ま た,こ Yの 間 に,全

集 合 を とった

ら た め て こ の よ うに 見 直 し

く同 じ も の と考 え て よい と い っ て い る の で あ る.し

包 な ど も,XとYと

集

組 み し か な い 建 物 の よ うな も の で あ る.

  2つ の 位 相 空 間XとYが の 骨 組 み は,全

合Xと,開

学 で は,位

相 空 間 を 経 由 し て,こ

相 的'な 性 質 と い う.い

い か え れ ば,位

っ て 保 た れ る 位 相 空 間 と して の 性 質 で あ る.

さ'に 関 す る 性 質 を 表 わ し の よ うに抽 出 され て き た性

相 的 な 性 質 と は,同

相 写像 に よ

位 相 の強 弱

  い ま 特 に,基

礎 と な る集 合 と し て は,同

じ集 合Xを

合 族 〓,〓 を 与 え る こ と に よ り得 ら れ る2つ

と り,そ

こ に2つ

の開 集

の位 相 空 間

(X,〓),(X,〓) を 考 え よ う.   Xか

らXへ

の 恒 等 写 像 Φ: Φ(x)=x(x∈X)

が,(X,〓)か

ら(X,〓)へ

の 同 相 写 像 を 与 え る た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は,

開 集 合 族 が 完 全 に 一 致 す る こ と,す

なわ ち 〓=〓

が 成 り立 つ こ と で あ る.こ

の こ と は,上

に 述 べ た こ とか ら 明 ら か で あ ろ う.

  そ れ で は, 〓⊃〓 の と き,恒

  (3)

等 写像 φ:(X,〓)→(X,〓)

の 連 続 性 と の 関 係 は,ど

の よ う に な っ て い る の で あ ろ うか.

  こ こで 包 含 関 係(3)は,位

相 空 間(X,〓)の

も 開 集 合 に な っ て い る と い う こ と で あ る.た Rを

と る.開

し て は,全

集 合 族 〓 と し て は,数

空 間Rと

開 集 合 は,す と え ば,集

合Xと

べ て(X,〓)で して実数 の集合

直 線 上 の 開 集 合 全 体 を と る.開

空 集 合 φ の み か ら な る も の を と る.明

集 合 族,〓 と

らか に

〓⊃〓 で あ る.ま と,こ

た 実 数 の全 部 の 部 分 集 合 を 開 集 合 と し て 採 用 した も の を,〓

の とき は 〓 ⊃〓

で あ る.   一 般 に 次 の 結 果 が 成 り立 つ.

(X,〓)か

ら(X,〓)へ

の 恒 等写 像 Φが 連 続 ⇔

〓⊃〓

とす る

  こ の こ と は,Φ が 連 続 の こ と は,任 (X,〓)の

開 集 合,す

  (3)が

成 り立 つ と き,位 相 空 間(X,〓)の

(ま た は 細 か い)と た は 粗 い)と

な わ ちO∈

意 にO∈

い う.ま

い う.上

〓 を と っ た と き, 

〓 と な る こ と か ら,明

た,(X,〓)の

ら か で あ る.

位 相 は,(X,〓)の 位 相 は,(X,〓)の

に 述 べ た こ と は,恒

が

位 相 よ り,強 い 位 相 よ り弱 い(ま

等 写 像 は 強 い 方 か ら弱 い 方 へ と,連

続

に 走 っ て い く と い う こ とで あ る.   集 合Xに

入 る 最 も 強 い 位 相 は,Xの

た も の で あ る.こ

の 位 相 をXの

す べ て の 部 分集 合 を 開集 合 と して採 用 し

離 散 位 相(ま

Tea

た は デ ィス ク リー ト位 相)と

い う.

Time

ブ ルバ キ と構 造   講 義 の中 で述 べ た ブル バ キに つ いて 少 し 述 べ てお こ う.1930年

代 後半,フ

ラ

ンス の新 進 気鋭 の数 学 者た ち が,新 興数 学 を謳 う一 つ の グル ー プを結成 した が, 彼 らは その グル ー プの理 念 を 象 徴す る もの と して,架 空 のNancago大

学 の 数学

科 教 授 ニコ ラス ・ブルバ キ氏 を創 案 した.こ の と き,ブ ル バ キ教授 が この世 に 誕 生 した ので あ る.こ の数学 者 の グル ー プの構成 員は,次 々 と世 代交 代 して入 れ か わ ってい ったが,ブ ルバ キ教 授 だけ は 常 に変 らぬ地 位を 確 保 してい た.た だ,誕 生 当時 の新鮮 さは しだ い に消 え て,現 在 で は 抽 象的 な姿 にな りつ つ あ る こ とは止 む を得 ない こ とだ ろ う.   ブルバ キ の理 念 の 中心を なす'構 造'と い う考 えを,簡 単 に述 べ る ことは難 し い の で あ るが,数 学 を 見 る一 つ の見 方 と して,数 学 的 な対 象 は,集 合 とい う概 念 の上 に,構 造 を のせ て,そ の論理 的 に内包 して い る性 質を 調 べ てい くとこ ろに あ る とす るの で あ る.数 学 が 深 まる につ れ て,構 造 もしだ い しだ い に積 み重 ね られ て くる.数 学 は したが って,こ

の考 え に よれ ば,一

種 の建 築術 の 観 を 呈 して く

る.   もち ろん,こ の よ うな見 方 の 適応 しな い数 学 も多 くある.し か し,位 相 空 間 の もつ位 相 構 造や,群

や環 や 体 な どの もつ 代数 構 造 は,も

と も と20世 紀 初 頭 の 抽

象数 学 の考 え の中か ら個別 に生 まれ て きた もの で あ ったが,こ の構造 とい う考 え に よって,統 一 的 な視 点を 得 る こ とが で きた の で あ る.

  こ こで ブル バ キ に対 す る私 の感 想 を少 し述 べ てお こ う.   た とえば,位 相 空 間 論 も,こ こで述 べ て きた よ うな,直 線や 平 面 の部 分 集 合 に まで溯 って 話 をす る こ とを止 め る と,直 接 第24講 の'位

相空 間'か

らス タ ー ト

す る こ とに な る.集 合 と開集 合 とい う概 念 の上 に,閉 集 合,近 傍,連 続 写 像 と, '位相 構 造'を 順 次積 み重 ね て い くと,ブ ル バ キ の理 念 にか な った 位 相空 間論 が で き上 って くる.し か し水 脈 の 源 泉 に溯 らな いで,こ の よ うな抽 象 数学 の演 繹 的 体 系 を構 築 してい くだ け で,ど れ だ け数 学 がわ か った とい え る だ ろ うか.   ブル バキ の'建 築 術'は,数

学 とい う深 い 森 の 中に建 て られ た 白い 尖塔 であ っ

た よ うな気 がす る.こ の 白 い尖 塔 は,モ ダ ンで瀟 洒 で あ って,そ こに立 って見 下 ろす と,確 か に森 の木 々の 間を 縫 うい くつ か の道 のつ な が りを 明 らか にす る こ と は で きた.し か し,木 々を育 て る光 と土 とに は,結 局 は無 縁 で あ った の で は なか ろ うか,と 私 は思 うの で あ る.

第26講 位相空間の構成 テーマ

◆ 与 え られ た 部 分集 合 を 開集 合 とす る位 相 ◆ 与 え られ た 部 分集 合 族 を開 集 合 族 の一 部 分 とす る最 弱 位 相 ◆ 有 限個 の積 空 間 の位 相:各 座 標成 分 へ の 射 影 を連 続 とす る最 弱 位相 ◆(Tea

Time)直

積 空 間 の位 相

部 分 集 合 と位 相

  集 合Xが   Xの

与 え られ た とす る.

部 分 集 合Aを1つ

さ て,こ

のAを

と り 出 し て,こ の 部 分 集 合Aに

開 集 合 とす る よ うなXの

  こ の よ うな 位 相 は 存 在 す る.そ の)は,開

注 目す る こ と に し よ う.

位 相 の 与 え 方 は 存 在 す る だ ろ うか.

の 中 で 最 も弱 い 位 相(開

集 合族 が 一番 小 さい も

集合 族 〓 と して {φ,A,X}

を 採 用 し た も の で 与 え られ る.こ て み た す べ き条 件(O1)か あ ろ う.位

ら(O4)ま

相 空 間(X,〓)は

の 開 集 合)と

の 集 合 か ら な る 集 合 族 が,開

で み た し て い る こ とは,ほ

明 ら か にAを

開 集 合(実

集 合族 とし

と ん ど 明 らか で

際 は 自明 で な い た だ1つ

し て 含 ん で い る.

  そ れ で は,2つ る よ う な,Xの

の3つ

の 部 分 集 合A,Bを

と り出 した と き,A,Bを

同 時 に 開 集 合 とす

位 相 は 存 在 す る だ ろ うか.

  こ の よ う な 位 相 は 存 在 す る.そ

の よ うな 位 相 の うち で 最 も 弱 い 位 相 は,開

集合

族 と して {φ,A,B,A∩B,A∪B,X} を と っ た も の で あ る.こ あ り,A∩Bを

こ でA∪Bを

含 め た の は(O2)を

含 め た の は,(O1)を

成 り立 た せ る た め で

成 り立 た せ る た め で あ る.

  同様 に3つ の部 分 集 合A,B,Cを

開 集 合 とす る最 も弱い 位 相 は,開 集 合 族 と し

て

こ れ ら か ら 任 意 に い くつ か と っ て つ く っ た 和 集 合} を と っ た も の で あ る.   こ こで 文章 で書 い た部 分 集 合を 念 の ため 列 記 して み る と

で あ る.

図77

集 合 列 と 位 相   次 にXの

部 分 集 合 の可 算 列 A1,A2,…,An,…

が 与 え ら れ た と き,こ う.こ

の 位 相 は,開

  (1)

れ ら の す べ て を 開 集 合 とす る 最 も 弱 い 位 相 を 考 え て み よ

集 合 族 と し て φ とXと,さ

らに

∪(Ai1∩Ai２ ∩ … ∩Ais) 

(2)

とい う形 の 集 合 を す べ て 採 用 し た も の で 与 え ら れ る.こ

こ でAi1∩Ai2∩

…

∩Aisは,(1)か

集 合 ∪ は,こ

の

ら 任 意 に 有 限 個 と っ た 共 通 部 分 を 表 わ し,和

よ うな 集 合 の 任 意 個 数(有   (1)を

限 個 ま た は 無 限 個)の

開 集 合 と す る 位 相 で は,(2)の

っ て い な く て は な ら な い.な (O2)か

ぜ な ら,各Anが

和 を 表 わ し て い る.

よ うな形 の集 合 は必 然 的 に開 集合 とな 開 集 合 と い う要 請 に よ っ て,ま

ら任 意 有 限 個 の 共 通 部 分Ai1∩ … ∩Aisが 開 集 合 と な り,し

ら の 和 集 合 も 開 集 合 と な っ て い な くて は な ら な い か ら で あ る.

ず

たが って これ

  し た が っ て(2)の

よ うな 集 合 全 体(お

み た す こ と を 示 す と,こ れ が,求

よ び φ とX)が(O1)か

ら(O2)を

め る 性 質 を も っ た 最 弱 の 位 相 をXに

与えてい

る こ と に な る.   (O1)に つ い て は,(2)の こ とは 明 らか で あ る.(O2)に

よ うな形 の和 集 合 を い くらつ くって も,同

じ形 の集 合 に な る

つ い て は,集 合演 算 の 規則 か ら 成 り立つ ことがわ か るの だ

が,形 式 的 に書 く とわ か り難 い.こ

こで は1つ の例 だ け で示 して お こ う.い ま(2)の

よ

うな形 の 集合 の 中 で,特 に

を とって,S∩Tが

再 び(2)の

形 で表 わ され る こ とを示 して お こ う.

集 合 族 と位 相   一般にXの 部分集合族

が 与 え られ た と き,各Arを

開集 合 とす る よ うな,Xの

最 も弱 い位 相 は存 在 す る.

そ の 位相 は,開 集 合 族 〓 と して,φ とXと,   ∪(Ar1∩Ar2∩ … ∩Ars) の形 の集 合 をす べ て採用 した もの で与 え られ る.こ こで和 集 合 は,Ar1∩ … ∩Ars の形 を した任 意 の集 合族 の上 に わ た って とられ る もの で あ る. 一 つの注意

  私 たち は,い

つ の まにか この よ うな 議 論へ と話 を 進 め て きたが,考

え てみ る

と,こ こで 述べ た よ うな こ とは 距離 空 間 の 中で は思 い もつ か な い 問題 設定 で あ っ た.与 え られ た部 分 集合 を 開 集合 とす る よ うな'よ い距 離'が あ るか な ど とい う 問題 は漠 然 と してい て,よ い 答 な ど見 つ か りそ うにな い.距 離 空 間で は この よ う な問題 は 意 味 が ない とい って よいか も しれ ない.   距離 空 間 で は,ま だ私 た ち の近 さに対 す る直観 が 働 く場所 が あ って,こ の直観 が 逆 に この よ うな問題 設 定 を 無意 味 な もの に させ て い る ので は ない か と思 う.距 離 空 間 か ら位 相 空 間 へ移 る こ とに よ って,数 学 は,近 さの 直観 を 捨 てて,集 合 と,

(O1)か

ら(O4)ま

の で あ る.い ―

に,位

さ は,確

で を み た す 部 分 集 合 族 の 存 在 に,一

っ て み れ ば,形

切 を お きか え て しま った

式 論 理 の 世 界 の 中 で だ け 意 味 を もつ 骨 組 み ―

相 の 出 発 点 を 還 元 して し ま っ た の で あ る.こ

か に 私 た ち を た め らわ す も の が あ る.こ

述 べ た よ う な 問 題 設 定 と,そ

構造

の よ うな抽 象数 学 の 大胆

の よ うな 形 式 化 に よ っ て,上

の 答 が 可 能 と な っ た の で あ る が,こ

に

れ は や は り数 学

者 の 創 っ た 不 思 議 な 世 界 像 と い うべ き な の か も し れ な い.   位 相 空 間 論 の 一 つ の 主 要 な 道 筋 は,こ し て,も

う一 度,近

は 第29講

と第30講

の よ う な形 式 的 な 枠 組 か ら,ど

の よ うに

さ の 直 観 の 働 く世 界 へ と戻 っ て い くか と い う点 に あ る.そ

れ

の 主 題 で あ る.

有 限 個 の 積 空 間

  上 の よ う な 考 え 方 は,与 き,役

え られ た 位 相 空 間 か ら,新

しい位 相 空 間 を構 成す る と

立 つ こ とが あ る.

  そ の よ うな 例 と し て,有

限 個 の位 相 空 間 X1,X2,…,Xn

が 与 え ら れ た と き,直

積 集合 Y=X1×X2×

… ×Xn

に ど の よ うに 位 相 を 導 入 し た ら よ い か 考 え て み よ う.   直積 集 合 とは y=(x1,x2,…,xn)(xi∈Xi;i=1,2,…,n) と し て 表 わ さ れ る 点 全 体 か ら な る 集 合 で あ る.こ

の とき

π1(y)=x1,π2(y)=x2,…,πn(y)=xn と お く こ と に よ り,i=1,2,…,nに

対 し て,写

像

πi:Y→Xi が 得 ら れ る.πiをYか

らXiの

上 へ の(あ

る い はi成

  Xi(i=1,2,…,n)の

方 に は 位 相 が 入 っ て い る.こ

の よ う な 位 相 を い れ た ら よ い だ ろ うか.Yの っ て 決 ま る よ う な 位 相 が ほ し い.そ 2つ の こ と を 要 請 し よ う.

の た め,導

分 へ の)射

影 とい う.

の と き 直 積 集 合Yの

点 の 動 き は,各i成 入 す べ きYの

方 にど

分の動きによ

位 相 と し て,次

の

  a)  各 射 影 πi(i=1,2,…,n)は,Yか   b)  Yの 位 相 は,a)の   この 要請a)に

らXiへ

の 連 続 写 像 と な る.

要 請 を み た す 最 も 弱 い も の で あ る.

つ いて は 特 に問 題 は な いだ ろ うが,b)に

であ ろ う.し か し このb)の

要 請:Yの

a)を みた す よ うにせ よ,の 意 味 につ いて は,Tea   さ て,a)を

つ い て は多 少 の コメ ン トが必 要

開集 合 族 と して はで きるだ け 小 さい ものを とって Timeで

述べ る こ とに し よ う.

み た す た め に は,Xiの

開 集 合 族 を 〓iと し た と き,i=1,2,…, nに 対 して   す べ て のOi∈

〓iに 対 し  がYの 開 集 合

と な っ て い な くて は な ら な い.   こ の 要 請 を み た すYの

最 弱 位 相 は,

前 に述 べ た こ とに よる と 図78

(3) の 形 の 集 合(お (2)で

よ び φ とY)を

開 集 合 族 と し て 採 用 す る こ と に よ り得 られ る.

は 適 当 な 有 限 個i1,…,isを

と っ て い る の に,こ

部 と っ て い る の で お か しい と思 うか も しれ な い が,た

こ で は,1か と え ばO1と

らnま し てX1を

で全 と

る と

と な っ て,(2)の っ て い る.し

表 記 で,{i1,i2,…,is}と

し て{2,3,…,n}を

た が っ て この よ う な こ とか ら,(3)の

と った もの に な

表 わ し方 で 十 分 な こ とが わ

か る の で あ る.   こ の 開 集 合 族 を と っ てYを と い う.そ

し て こ のYの

位 相 空 間 と し た も の を,X１,X2,…,Xnの

位 相 を 直 積 位 相 と い う(図78).

直積 空 間

Tea

Time

最 弱 位 相 であ る こ との要 請 に つ いて   Y=X1×X2× がa)の

… ×Xnの

開 集 合 族 と し て(3)の

形 の 集 合 全 部 を とれ ば,こ

要 請 を み た す 最 小 の 開 集 合 族 で あ る こ と は わ か っ た.(3)の

せ な い よ うなYの

任 意 の 部 分 集 合Aを

集 合 と な る よ う な新 し い 位 相 をYに め に,こ

も っ て き て,(3)以

導 入 し た とす る.直

の 新 し い 位 相 を い れ た 積 集 合 をYと

Xi(i=1,2,…,n)は に 対 して,πi−1(Oi)は

す で にYの

外 に さ ら にAも 積 空 間Yと

開

区 別 す るた

書 く こ と に し よ う.射

や は り連 続 写 像 で あ る.な

れ

形で表わ

影 πi:Y→

ぜ か と い う と,Xiの

開 集 合 と な っ て い る か ら で あ る.と

開 集 合Oi ころ が新

し くつ け 加 え られ た 開 集 合Aは,射

影 の 連 続 性 とは ま っ た く無 関 係 で あ る.ま

た,開

る 近 さ'は'座

集 合Aで

規 定 され るYの'あ

標 空 間'X1,X2,…,Xn,の

近

さ と は 全 く関 係 な い も の と な っ て い る.   た と え ばX1=X2=Rを て のR2の

数 直 線 と す る.こ

位 相 は,ち

開 集 合 を つ け 加 え て,た

と え ば,R2の

位 相 を,R2に

の 位 相 空 間 をR2で

列{xn}がxに

入 れ て,こ

の 位 相 は,そ

もっ とた くさん

表 わ す こ と に し て み よ う.R2で

点

必 ず 足踏 み して しま

標 軸 と な っ て い る)そ

れ ぞれ の

く無 関 係 な も の と な っ て し ま っ て い る.積

空 間

れ ぞ れ の 成 分 の 位 相 か ら 調 べ た い と 思 っ て い る か ら,こ の よ うなR２

の 位 相 で は 困 る の で あ る.こ

質 問   講 義 の 中 で は,有 講,第13講

し,R2に

る 番 号 か ら 先xで

の よ う な 近 さ の 性 質 は,(座

数 直 線 の も つ 近 さ の 性 質 と は,全

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 と し

す べ て の 部 分 集 合 を 開 集 合 とす る よ う な

収 束 す る と い う こ と は,あ

う状 況 で あ る が,こ

の と き2次

ょ う ど 直 積 位 相 と な っ て い る.も

で は,Rの

れ がb)の

要 請 を お い た 理 由 で あ る.

限 個 の 空 間 の 直 積 空 間 し か 話 さ れ ませ ん で し た が,第12 無 限個 の直積 R∞=R×R×

に ど ん な 距 離 を い れ る の が よ い か,ま

… ×R× … た そ の と き,点

ど ん な 形 を し て い る か も学 び ま し た.あ

列 の 近 づ く性 質 や,近

の と き の 距 離 か ら き ま っ たR∞

傍が

の位 相 と

い う の は,上

の お 話 と 同 じ よ う に,R∞

か ら各 座 標 成 分Rへ

の 射 影 πi

を 連 続 とす る 最 弱 の 位 相 だ っ た の で し ょ うか. 答  そ うで あ る.こ の 点x∈R∞

こ で も う一 度,第12講

の ε-近傍Vε(x)の

の(1)を

見 直 し て も ら う と,任

意

中に

は任意} の 形 の近 傍 が 含 まれ てい た.こ の 講 で の記号 で は,こ の近 傍 は

と表 わ され て い る こ とに注 意 しよ う.こ の注意 か らだ け で は,第12講 R∞ の位 相 が,各

で 与えた

πiを連 続 とす る最 弱位 相 と一 致 して い る こ とはす ぐに はわ か り

難 い か も しれ ない が,2つ

の 位 相 は 密接 に 関係 し合 って い る ことはわ か るだ ろ

う.   な お,つ い で に い っ てお くと,位 相 空 間 の族 

が 与 え られ た と

き,直 積 集 合

に入 れ る位 相 と して は,Yか

ら各Xrへ

これ を直 積 空 間 とい うの で あ る.

の射影 πrを連 続 とす る 最 弱 位 相 をい れ,

第27講 コ ンパ ク ト空 間 と連 結 空 間

テー マ

◆ コ ンパ ク ト空 間 と連 結 空 間 の定 義 ◆

コンパ ク ト空 間 の定 義 に お け る,任 意 の 開集 合 族 に よる開 被 覆 につ いて の 注意

◆ 距 離 空 間 に おけ る コンパ ク ト性 の 定義 との比 較 ◆ コ ンパ ク ト性,連 結 性 は連 続 写 像 に よっ て保 た れ る. ◆ 相 対 位相 ◆ コ ンパ ク ト空 間 の 閉集 合 は コンパ ク ト

定   第17講

義

と18講 で,距 離空 間 の 場合 に コ ンパ ク ト空 間 と,連 結 な空 間の 定義 を

与 え てお い た.コ ン パ ク ト性 は,集 積 点 の存 在 か ら出発 した概 念 で あ ったが,第 17講 で示 した よ うに,こ の 性質 は点 列 の収 束 の概 念 を 切 り離 して,開 被覆 の中 か ら有 限 開被 覆 が 選 べ る とい う形 で 述べ る こ と もで きた.コ ン パ ク ト性 の この述 べ 方 の 中 で は,開 集 合 とい う概 念 しか用 い られ て いな い.連 結 性 は,も と も と,2 つ の 開集 合 に分 け られな い よ うな 空 間 と して 定義 され て い た.   この こ とに注 意 す る と,一 般 の 位 相空 間―

集 合 と開 集合 族 ―

の枠組 の中 で

も,コ ン パ ク ト空 間 と連 結空 間 の 概念 を 与 え る こ とが で き るだ ろ う. 【定 義 】 位 相 空 間Xが

次の 性 質を み たす とき,Xは

  Xの 任 意 の 開 被 覆 

コンパ ク トで あ る とい う:

が与 え られ た とき, 

た 適 当 な有 限 個Xr1,Xr2,…,Xrsに

よって,Xは

X=Or1∪Or2∪

の 中 か ら と り出 し

すでに

… ∪Ors

と蔽 わ れ て い る. 【定義 】 位相 空 間Xが

次の 性 質 をみ たす とき,Xは

  Xは 空 で な い2つ の 開集 合O1,O2に

よ って

連 結 で あ る とい う:

と分 解 さ れ な い.

コ ン パ ク トの 定 義 に 対 す る 注 意

  連 結 の 定 義 は 距 離 空 間 の 場 合 と全 く同 様 で あ るが,コ に つ い て は コ メ ン トが 必 要 で あ る.第17講 の 存 在 を 保 証 す る コ ン パ ク ト性 は,次

ン パ ク ト空 間 の 上 の 定 義

で 距 離 空 間 で 述 べ た こ と は,集

積点

の こ と と同 値 で あ る と い う こ と で あ っ た:

'可 算 開 被 覆' X=O1∪O2∪ が 与 え ら れ た と き,そ

… ∪On∪ …

の 中 か ら適 当 な 有 限 個 を 選 ぶ と開 被 覆 X=Oi1∪Oi2∪

… ∪Oi

が 得 られ る.   こ の こ と と上 の 位 相 空 間 に お け る 定 義 を 見 比 べ て み る と,こ に 可 算 族 で は な くて)全

く'一 般 の 開 集 合 族' 

こ で の 定 義 は(単 を と っ て,も

し

とな って い れ ば,そ の中 か ら有 限 開 被覆 が 選べ る とい う ことを い っ てい る.こ れ は,距 離 空 間 で述 べ た もの に比 べ れ ば,明 らか に飛 躍 してい る.こ んな に,一 気 に飛躍 した 定 義 を採 用 して よい のだ ろ うか.   本 当 に これ は飛 躍 した の か ど うか は,ま ず 距離 空 間 の場 合,次 の ことが い え る か ど うか 確 か め て お く必 要 が あ る. 距離 空 間Xが,可

算 開 被 覆 の中 か ら有 限開 被 覆 を 選 べ る とい う性 質を

もつ な らば,任 意 の 開被 覆    す なわ ち,距

の 中か ら有 限開 被 覆 を選 べ る.

離 空 間 が第17講 で 述べ た 意 味 で コン パ ク トな らば,実

は こ こで

述 べ た位 相 空 間 の意 味 で も コ ンパ ク トに な って い る とい う こ とで あ る.   この こ とは 成 り立つ ので あ るが,証 明 はか な り手 間 どる の で,以 下 で はそ の証 明の 輪 郭だ け を 述べ てお こ う.

可 算 被 覆 性

  距 離 空 間Xが,可

算 開 被 覆 の 中 か ら 必 ず 有 限 開 被 覆 を 選 べ る と い う 性 質(距

味 で コ ン パ ク ト!)を

も っ て い る とす る.証

明 し た い の は,こ

離 空 間 の意

の と きXは,位

相空間 とし

て コ ン パ ク トに な っ て い る と い う こ とで あ る.   ま ず こ の と き,任

意 の ε>0に

対 し て 適 当 な 有 限 個 の 点x1,…,xtを

… ∪V ε(xt)が 成 り立 つ こ と を,示

す こ と が で き る.(こ

点 を も た な い 点 列 が あ る こ と に な る!)こ よ り,Xの

こ で ε と し て ε=1,1/2,…1/n,…

中 に 可 算 個 の 点{x1,x2,…,xn,…}で,Xの

わ か る.次 に,各xnを

と る とX=Vε(x1)∪

れ が 成 り立 た な い とす る と,集

積

と とる こ とに

中 で稠 密 な も のが 存在 す る こ とが を 考 え る.

中 心 に して可 算 個 の近 傍 

 この よ うに して得 られ た可 算 個 の 開集 合

は,次 の意 味 で,十 分 細 か い 集合 を すべ て含 ん でい る:任 意 の 開集 合O(≠ に 対 して,必 ず あ るkとnが

φ)とOの

点x

存在 して

とな る.   そ こで い ま, 

とい う開被 覆 が 与え られ た とす る.任 意 の 点x∈Xに

必 ず あ るrが あ って 

とな る.し た が って

とな る 

が あ る.こ の よ うに して 登場 して くる 

対 して,

の 中 で異 な る もの は,も ち

うん可 算 個 で あ る.そ れ らを 並べ て V1,V2,…,Vn,… とす る.こ こで 

とす る と X=Or1∪Or2∪

… ∪Orn∪ …

とな ってい る こ とがわ か る.   す なわ ち, 

の 中か ら,可 算 開 被覆 が選 べ る こ とが わ か っ た.し た が っ て仮 定

か ら,こ の 中か ら さ らに有 限個 の 開被 覆 が 選 び 出 され て,コ

ンパ ク ト性 が 示 され た の で あ

る.   し た が っ て 位 相 空 間 の 場 合,こ

こ で 与 え た コ ン パ ク ト空 間 の 定 義 は,距

の 場 合 に は 前 に 与 え た 定 義(第17講)と 義 で は な い.飛

躍 し た とい え ば,そ

一 致 して お り,そ の 意 味 で は 飛 躍 し た 定 れ は コ ン パ ク ト性 の 定 義 か ら,距

合 に お い た 可 算 性 を 完 全 に 取 り去 っ た 点 に あ る.距

離 空 間 の 場 合,可

算 個 の 点 列 が あ る 点 に 近 づ く と い う性 質 と深 くか か わ っ て い た.私 く'と い う感 じ か ら い え ば,取

離空 間

離 空 間 の場 算 性 は,可

た ち の'近

づ

り除 く こ と の で き な い よ う に み え る こ の 可 算 性 を,

ま っ た く触 れ ず に コ ン パ ク ト空 間 の 定 義 を 位 相 空 間 の 中 に 導 入 し た と こ ろ に,こ の 定 義 の 抽 象 性 と 斬 新 さが あ る.

コ ン パ ク ト空 間 と 連 結 空 間 の 連 続 写 像 に よ る 像

  コ ン パ ク ト性 と連 結 性 は,連

続 写 像 に よ っ て 保 た れ る.す

なわ ち次 の 定理 が成

り立 つ.

【定 理 】 φ を 位 相 空 間Xか

らYへ

の 連 続 写 像 と す る.そ

  1)  Xが

コ ン パ ク トな らば,φ(X)も

  2)  Xが

連 結 な らば,φ(X)も

  定 理 の 証 明 に 入 る 前 に,位

の とき

コ ン パ ク トで あ る.

連 結 で あ る.

相 空 間Xの

部 分 集 合Sへ

の位 相 の 導 入 の 仕 方 につ

い て 触 れ て お こ う.   Sの 開 集 合Oと

して は,Xの

適 当 な 開 集 合Oを

とる と

O=S∩O と 表 わ さ れ る もの 全 体 を と る.こ

の 全 体 は,(O1)∼(O4)を

相 を 与 え る 開 集 合 族 と し て 採 用 で き る.こ 位 相 とい い,'位

相 空 間'Sを,Xの

のSの

位 相 を(Xに

み た す か ら,Sの 関 す る)Sの

位 相対

部 分 空 間 と い う.

  定 理 で 述 べ て い る こ とは,φ(X)がYの

部 分 空 間 と し て,そ れ ぞ れ コ ン パ ク ト,

ま た は 連 結 と な る と い う こ と で あ る.   定 理 の 証 明:1)の

証 明.φ(X)の

が 与 え られ た とす る.Yの に 対 してYの

開被 覆

部 分空 間 と しての φ(X)の 位相 の いれ 方 か ら,各Or

開集 合Orが 存 在 して

とな って い る． この とき

はXの が 成 り立 つ こ と に 注 意 し よ う.し

開集 合(φ たが って

の連 続性!)

はXの

開 被 覆 と な る.Xは

コ ンパ ク トだ か ら,適

当 な 有 限 個 の 

,…,

 を と る こ と に よ り

と な る.し

た が って

とな り,φ(X)の   2)の

コ ン パ ク ト性 が 示 さ れ た.

証 明:こ

れ は 第9講(第18講

も 参 照)で

与 え た,こ

の 定理 の原 型 の 場 合

の 証 明 と全 く同様 にで きる ので,こ こで は くり返 さな い. コ ン パ ク ト空 間 の 閉 集 合

Xを

コ ン パ ク ト空 間,FをXの

そ の と きFは

閉 集 合 と す る.

コ ン パ ク トで あ る.

【証明 】  Fの 開 被覆

が 与 え られ た とす る.各Orに Xの

対 して

開 集 合Orで

(1) と な る もの を と る.ま O=Fc(Fの と お く.Oは

た 補 集 合!)

開集 合 で あ る.こ

が 成 り立 っ て い る(図79).Xは

の とき

コン

図79

パ ク トだ か ら こ の 中 の 有 限 個 で 蔽 え る:

OはFの

点 を1つ

が 得 られ る.し

も含 ん で い な い こ と に 注 意 し て(1)を

た が っ てFは

コ ン パ ク トで あ る.

用 い る と,こ れ か ら

Tea

Time

連 結空 間の 応用例   連 結 空 間 の 定 義 は,距 っ て い る.し

離 空 間 の 場 合 で も,位

た が っ て,第18講

相 空 間 の 場 合 で も全 く同 じ形 を と

で 与 え た 連 結 空 間 に 関 す るい ろ い ろ な 性 質 は,

す べ て 一 般 の 連 結 な 位 相 空 間 の 場 合 に も同 様 に 成 り立 つ こ とは,す

ぐに 確 か め る

こ とが で き る.   そ う した こ とを く り返 す よ りは,連 結 性 に 関 す る 興 味 の あ る簡 単 な応 用 を 思 い 出 し た の で,そ 第9講

れ を 述 べ て お こ う.こ の話 題 は,平

面 の連結集 合 の ことを述べ た

に 加 え て お い た 方 が 適 当 だ った の か も しれ な い.

  区 間[0,1]で

定 義 さ れ た 連 続 関 数y=f(x)が,単

か 単 調 減 少(グ

ラ フが 下 り坂)な

は 明 らか で あ る.そ

調 増 加(グ

ら ば,f(x)は1対1の

ラ フが 上 り坂)

写 像 とな っ て い る こ と

れ で は こ の逆 の 問題 は ど うだ ろ うか.

問 題   区 間[0,1]で

定 義 され た 連 続 関数y=f(x)が1対1な

らば,単

調増 加か

単 調 減 少 で あ る こ とを 示 せ.   これ は 直 観 的 に は 当 り前 の こ とで,す 明 で き そ うに み え る が,厳

ぐに 証

密 に証 明 し よ うとす

る と,な か な か 手 ご わ い の で あ る.   しか し こ の 問 題 は,次 を 用 い る と,実

の よ うに 連 結 性 の 考 え

に 簡 単 に 証 明 され て し ま う.

  い ま平 面 上 の 正 方 形[0,1]×[0,1]の か ら の 上 半 分(た くる図形―

直 角2等

る(図80).Xは [0,1]上

対角線

だ し対 角 線 は 含 ま な い)の 辺三角形―

をXと

明 らか に 連 結 で あ る.区

で 定 義 さ れ た,1対1の

つ す 図80

間

連 続 関数y=f(x)に

対 し て,X上

の 連続関 数

F(s,t)を F(s,t)=(f(t)−f(s))(t−s) に よ っ て 定 義 す る.X上 1!)だ

か ら,X上

で はs
あ っ て,ま

F(s,t)≠0  と な る.F(s,t)の

たs
ら ばf(s)≠f(t)(1対

で

と る 値 全 体 は,連

続 写 像Fに

(*) よ るXの

像F(X)と

し て,数

直 線 上 の あ る 連 結 集 合 を つ くる.こ の だ か ら,F(X)は

の 連 結 集 合 は(*)か

数 直 線 上 の 正 の 側 に あ る 区 間 か,負

れ か に な っ て い な くて は な ら な い.前

ら原 点 を 含 ん で い な い の側 にあ る区間 のい ず

者 の場 合 は

F(s,t)>0 す な わ ちs
ら,fは

な っ てfは

単 調 増 加 で あ り,後

単 調 減 少 で あ る こ とが わ か る.

者の場 合 には

第28講 分

離

公

理

テーマ

◆ 分 離公 理:(T1),(T2),(T3),(T4) ◆T1空

間:1点

◆T2空

間 の部 分 空 間 が コンパ ク トな らば 閉集 合

が 閉 集合

◆ コ ンパ ク ト空 間 か らT2空 間 へ の連 続 写像 は,閉 集 合 を 閉集 合 へ移 す. ◆ コンパ ク トT2空 間 の 間 の1対1連

続 写 像 は同 相写 像

◆ 正 則空 間,正 規 空間

位 相 の 条 件 を強 め る   位相 空 間の 定義 の 中 で述 べ てあ る開集 合族 〓 のみ たす べ き条件(O1)か

ら(O4)

は,あ ま りに も一 般 的 す ぎて,い ろ いろ な分 野 か ら登 場 して くる具体 的 な空 間の 近 さの状 況 を,十 分 い い表 わ して くれ な い ことが 多 い.た とえば極 端 な場合,空 集 合 と全 空 間 の2つ だ け が 開集 合 で あ る よ うな位相 空 間 を考 え る と,こ の空 間で は,各 点 の近 傍 は全 空 間 を とった ものだ け とな る.近 傍 に入 って い る点 を近 い と い うな らば,こ の空 間 で は,任 意 の点 は どの点 と も近 い とい うこ とに な る.こ れ で はお話 にな らない.   開集合 の族 を 適当 に大 き くとって,す な わ ち位 相 を適 当 に強 め て,よ い 位相 空 間 の族 を得 た い.そ の よ うな考 え か ら,い くつ か の分 離公 理 と よばれ る ものが, 位 相 空 間 の中 に導 入 され て きた. 分 離 公 理   位 相空 間Xにお

い て,次 の条 件 を考 え る.

  (T1)  異 な る2点x,yに

対 して,xを

含 まないyの 近 傍 が存 在 す る.

  (T2)  異 な る2点x,yに

対 して,xの

近 傍V(x),yの

近 傍V(y)で

V(x)∩V(y)=φ とな る も の が 存 在 す る.   (T3) 

1点xと,xを

含 ま な い 閉 集 合Fに

対 し て,xの

近 傍V(x),Fの

近

傍V(F)で V(x)∩V(F)=φ と な る も の が 存 在 す る.   (T4)共

通 点 の な い2つ

の 閉 集 合F1,F2に

対 し て,F1の

近 傍V(F1),F2の

近 傍V(F2)で V(F1)∩V(F2)=φ と な る も の が 存 在 す る.   こ れ ら を そ れ ぞ れT1,T2,T3,T4分

離 公 理 と し て 引 用 す る こ と が あ る.

T1空

  位 相 空 間Xが,条

件(T1)を

間

み た す と きT1空

位 相 空 間XがT1空

画 で あ る と い う.

間 とな るた め の条 件 は,各 点xが

閉集 合 とな ってい る こと であ る. 実 際,次   {x}が  

の 同 値 性 が 成 り立 つ. 閉 集 合 ⇔{x}={x}

⇔{x}に

属 さ な いyに

   ⇔(T1)が   T1空

対 し,あ

るyの

体 上 の こ とだ け で つ き る の で あ っ て,T1空

され る 機 会 は そ れ ほ ど 多 くな い.重

要 な の は,次

T2空

み た す 空 間 ―T2空

ル フ空 間,ま

存 在 し てx〓V(y)

成 り立 つ

間 の もつ 性 質 は,大

  (T2)を

近 傍V(y)が

間―

のT2空

間 で あ る.

間

は,重

要 な 概 念 で あ っ て,独

た は 分 離 空 間 と い う名 前 で 引 用 され る こ と が 多 い.ハ

(F.Hausdorff)は,今

間 が 引用

世 紀 の は じ め に,集

合 論,位

野 で 多 くの す ぐれ た 仕 事 を し た 数 学 者 で あ る.条

相 空 間 論,測

件(T2)は,2点

立 に ハ ウス ド ウ ス ドル フ 度 論 な どの 分 の近 傍が 分 離

さ れ て い る とい うい い 方 で 述 べ られ る こ と も多 い.第23講 か る よ うに,距 間 で あ る.ま

離 空 間 は こ の 分 離 性 を も っ て い る.し た,T2空

間 はT1空

がT2空

ン パ ク ト空 間Xの

間 の と き に は,こ

閉 集 合Fは

の 結 果 が 成 り立 つ.

間 とす る.Xの

コ ンパ ク トな らば,Sは

【証 明 】 SをXの

間

コ ン パ ク トで あ る こ とを 示 し た.X

れ に 関 連 して,次

XをT2空

部 分 空 間Sが 閉 集 合 で あ る.

コ ンパ ク トな 部 分 空 間 とす る.Sが

め に は,y〓Sな

らば,適

た が っ て 距 離 空 間 はT２ 空

間 と な っ て い る こ と を 注 意 し て お こ う.

コ ン パ ク ト なT2空

  前 講 で,コ

を 見 直 し て み る とわ

当 なyの

近 傍V(y)が

閉 集 合 で あ る こ とを 示 す た

存 在 して

V(y)∩S=φ と な る こ と を 示 せ ば よ い.実 し た が っ てScは   XはT2空

際 こ れ が い え れ ば,Sの

開 集 合 で,Sは

間 だ か ら,Sの

補 集 合Scは

内 点 か ら な り,

閉 集 合 と な る.

各 点xに

対 し て,あ る近 傍V(x)と,yの

近 傍Vx(y)

が 存 在 して

(1) が 成 り立 つ.必

要 な ら ば,V(x)に

て と り直 し て お け ば,V(x)は

含 ま れ る 開 近 傍 を,あ

らた め てV(x)と

は じ め か ら 開 近 傍 で あ る と して もか まわ な い.

(2) と お く と,V(x)はSの の 全 体 はSの

Sは

開 集 合 で あ る.こ こ でxをSの

元 を わ た らせ る と,V(x)

開 被 覆 を つ く る:

コ ン パ ク トだ か ら,V(x)の

これ に対 応 して

有 限 個 でSを

蔽 う こ とが で き る:

し

とお く.V(y)はyの

近 傍 で あ る.さ

だ か ら,(1)と(2)に

し た が っ て,左

らに

より

辺 のiに

関す る和 集合 を と って V(y)∩S=φ

これ で 証 明 され た.  前 講 の結 果 とあわ せ れば,要 す る に次 の こ とが成 り立 つ とい う こ とで あ る. Xをコ ン パ ク トなT2空

間 と し,S⊂Xと

Sが 閉 集 合 ⇔Sが

コ ン パ ク ト なT2空

す ぐ上 に 述 べ た こ と は,コ し,興

たYはT2空

φ をXか

らYへ

まXは

コ ン パ ク ト空 間

の 仮 定 の も とで

の 連 続 写 像 とす る.こ 対 し て,φ(F)はYの

ン パ ク ト空 間Xの

は コ ン パ ク トで あ る が,こ

間 と連 続 写 像

の こ と を 説 明 し よ う.い

間 とす る.こ

意 の 閉 集 合Fに

  実 際,コ

コ ンパ ク ト

ン パ ク ト空 間 か ら コ ン パ ク ト空 間 へ の 連 続 写 像 に 関

味 あ る結 果 へ と 導 く.そ

と し,ま

す る.

閉 集 合Fは

の と き,Xの

任

閉 集 合 と な る.

コ ン パ ク トで あ り,し

の こ と と上 の こ と か ら φ(F)はYの

た が っ て φ(F) 閉 集合 とな る と

結 論 さ れ て し ま う.   第8講

で も注 意 し た よ う に,空

間 に 何 の 条 件 も お か な け れ ば,閉

は 一 般 に は 閉 集 合 に な ら な い の だ か ら,上

の 結 果 は,コ

集 合 の連 続 像

ン パ ク ト性 が い か に 強 い

性 質 か を あ ら た め て 明 らか に し て い る と い え る.   こ の こ とか ら ま た,次

の 結 果 が 成 り立 つ.こ

れ は よ く用 い ら れ る の で 定 理 の 形

で 述 べ て お こ う.

【定 理 】 X,Yを

コ ン パ ク トなT2空

間 とす る.Xか

らYの

上 へ の1対1の

連続

写 像 φが 存 在 す れ ば,φ −1も連 続 と な り,し た が ってXとYは

  な ぜ な ら,こ

の と きXの

閉 集 合 は 必 ずYの

同 相 と な る.

閉 集 合 へ と移 り,こ

の こ とは 逆 写

像 φ−1が連 続 で あ る こ と を 示 して い る か ら で あ る.   こ の 定 理 の 原 形 に 溯 っ て み る と,そ れ は 微 積 分 の教 科 書 の 中 に 見 出 され る 次 の 定 理 で あ る こ と に 気 が つ く だ ろ う:'区 y=f(x)が

与 え ら れ た と き,逆

間[0,1]で

関 数 も ま た 連 続 で あ る'

T3空

  分 離 公 理 の(T3)は,位

に(T1)を

み た さ な い もの も存 在 す る.し

た が っ てT2空

み た し て い て,さ

た し て い る.こ

と(T4)を

か し も し,T3空

間が 同 時

か ら な る 集 合 は 閉 集 合 と な る か ら,条 間 と な る.こ

T4空

  (T4)を

近 では 特 に この

間 と し て 述 べ る 機 会 は 少 な くな っ た よ うで あ る.

み た し て い れ ば,1点

は 成 り立 ち,し

間

相 空 間 の 歴 史 の 過 程 で 現 わ れ た が,最

条 件 を み た す 空 間 を,T3空   T3空 間 で も(T1)を

定 義 され た 連 続 な 増 加 関 数

ら に(T1)も

件(T2)

の よ う な 空 間 を 正 則 空 間 とい う.

間

み た し て い る と,必

の よ うな 空 間 を 正 規 空 間 と い う.す

な わ ち,正

然 的 に(T2)を

み

規 空 間 と は,(T2)

同時 にみ た す空 間

で あ る.   正 規空 間 の概 念 は重 要 で あ る.こ こで は 証 明 は述 べ な い が,距 離 空 間 は 正規 空 間 で あ る.こ の証 明 を 読者 が 試 み ら

図81

れ よ う とす る と,思 いの ほか 証 明 が厄 介 そ うだ とい うこ とに気 づ かれ るだ ろ う. そ れ は(T4)条

件 が,1点

の 近 くの性質 では な くて,何 か空 間 の 大域 的 な近 さの

性質 に関 係 して い るか らであ る.た

とえ ば 図81で 示 した よ うな,平

面上 の2つ

の 閉集 合 を 分離 す る開集 合 を 求 め るた め には,空 間全 体 にわ た る近 さ のつ なが り 具合 を 調 べ る こ とが 必 要 とな るだ ろ う.

(T4)条

件 と 正 規 空 間 に つ い て は 残 っ た2講

Tea

質 問   コ ン パ ク トなT2空 と で し た が,こ つ い て,一

間 の 間 の1対1の

の 位 相 空 間XとYの

の 空 間 が 同相 で あ る とい うこ とに

間 に,Xか

らXへ

し て は,数

上 へ の1対1連

続 写 像 φ,Y

同 相 と い え る か?'

向 け て の 別 の1対1連

れ か ら 導 か れ る か と い う こ とで あ る.こ

般 に は 答 え られ な い こ と も 多 い.こ 知 っ て い る の で,そ

の よ う な 問 題 の 答 を 教 え て くだ

らYの

続 写 像ψ が あ れ ば,XとYは

答   問 題 は,φ −1の連 続 性 は,Yか

  Xと

連 続 写 像 は 同 相 写 像 に な る とい う こ

れ に 多 少 関 連 す る こ と で,2つ

上 へ の1対1連

れ ば,そ

Time

つ 質 問 し た い こ とが 出 て き ま し た.次

さ い.'2つ か らXの

で 詳 し く述 べ る.

続写像 ψがあ

の 種 の 問 題 は 微 妙 で あ っ て,一

の 間 題 に つ い て は,幸

い 成 り立 た な い 反 例 を

の 反 例 を 紹 介 し て お こ う. 直線 上 の 可算 個 の 開区 間

I0=(0,1),I1=(2,3),I2=(4,5),…,In=(2n,2n+1),…

と点 列

を と る.

図82   Yと

し て は,数

直 線 上 の可 算 個 の半 閉 区 間

J0=(0,1],J1=(2,3],J2=(4,5],…,Jn=(2n,2n+1],… と 点 列p0,p1,p2,…   ま ずXとYは

を と る(図82). 同 相 で な い こ と を 注 意 し よ う.な

ぜ な ら も し 同 相 とす る と 連 結

成 分 は 連 結 成 分 へ と移 さ な け れ ば な らず,そ へ 移 ら な け れ ば な ら な い.し か しI0とJnは

の こ とか ら,た

と え ばI0は

あ るJn

同 相 で な い こ と は す ぐ に わ か る か ら,

こ の よ う な こ と は 絶 対 お き な い.   しか しXか

らYの

上 へ の1対1の

連 続 写 像 φ と,Yか

らXの

上 へ の1対1

の 連 続 写 像 ψ は 存 在 す る の で あ る.   φ の 存 在:φ

は,各InをJnの

中 に 恒 等 写 像 と し て 自 然 に 移 し,p2n(n=0,1,

2,…)をJnの

右 の 端 点2n+1に

移 し,p2ｎ −1をpn(n=0,1,2,…)に

移す写像 と

し て 定 義 す る.   ψ の 存 在:ま

ず ψ(pn)=pn(0,1,2,…)と

定 義 す る.

  次 に準備 的 な注 意 と して

が示 す よ うに,開 区 間 は可 算 個 の半 開 区 間の 直和 として表 わ され る とい う事 実 を 思 い 出 してお こ う.  そ こで半 閉 区 間 の 可算 列

に注 目 し,Jを,可

各Jκ は,可

算 個 の 可算 集 合族 に分 解す る:

算 個 の 

=1,2,…)を,上

へ の1対1の な え ば,各Jnの

(s=1,2,…)か

ら な る.こ

の 可 算 個 の 半 閉 区 間 

(ｓ

の 注 意 の よ うに 順 次 端 点 で 貼 り合 わ す こ と に よ り

連 続 写 像 が 得 られ る.k=0,1,2,… 行 く先 が 決 ま っ て,そ

  こ の よ う に し て つ く っ た φ と ψ は,最 こ の こ と は 自分 で 確 か め て み る と よ い.

に対 して この 操 作 をす べ て行

れ に よ っ て ψ が 定 義 さ れ る. 初 に 述 べ た 性 質 を も っ た 写 像 で あ る.

第29講 ウ リ ゾ ー ンの 定 理

テー マ

◆ 連 結 な位 相 空 間 の濃 度 の 問題 ◆ 正 規空 間 の 場 合 の 問題 の解 決 ◆ この 解 決 の途 中 に登 場 した ウ リゾー ンの 定理 ◆(T4)条 ◆2つ

件 は,条 件 自身 の 中 に く り返 しを 許 す性 質 が 隠 され て い る. の共 通点 のな い 閉集 合 の 間 を結 ぶ 開 集合 の 系 列

◆ 連 続 関 数 の 存在 ◆(Tea

Time)(T4)条

件 とウ リゾー ンの定 理 の 同値 性

問題の誕 生   も う今 か ら70年 近 くも昔 の話 とな って しま ったが,1920年

前 後 に次 の よ うな

問 題 が考 え られ て いた よ うであ る. 問 題  少 な くと も2点 を 含 む連 結 な位 相 空 間 の集 合 と して の濃 度 は ≧〓 か?   こ こで 〓は,実 数 の集 合 の濃 度,す なわ ち連 続 体 の濃 度 を 表わ してい る.こ の 問題 を 最 初 に提 起 した 数学 者 は 誰 で あ った か,私 は知 らな い.こ の問題 の当 初 の 関心 は,集 合論 と位 相空 間 とを 結 びつ け る1つ の架 け橋 と して,連 結 性 とい う概 念 の意 味が あ るの で は な いか と考 えた の で はな か ろ うか.感 覚的 には,連 結 な空 間で は点 が ば らば らに離 れ てい る はず は な く,し たが って点 はつ な が ってい る状 況 を 示 して い るに違 い ない.も しそ うだ とす れば,そ の濃 度 は 少 な くと も 〓は な くて は な ら ない だ ろ うと肯 定 的 に予 想す る のが,問 題 の趣 旨で あ る.   しか し別 の観点 か らみ れ ば,全

く抽 象 的 に与 え られ た位 相 空 間 の性 質 が,空 間

の 点 の濃 度 まで規 定 して しま うよ うな 力を もつ の だ ろ うか.位 相 空 間の もつ 徹 底 した抽 象 性 に 眼を 凝 らせ ば,こ の 問題 の成立 は 疑 わ しい よ うに もみ え て くる.

問題の解決―

ウ リ ゾー ンの 登 場

  この 問題 の成 立 に関 す る2つ の 相反 す る予 想 は,結 果 にお い ては,両 方 とも正 しい 予 想 であ った とい って よか った ので あ る.   まず この問 題 は,全

く無条 件 で は成 り立 た な い,一 般 の位 相空 間で は 反例 が あ

る ので あ る.実 際 は正 則 空 間,す なわ ち(T1)と(T3)の

分離 条 件 をみ た しな が

ら,な お可 算 個 の点 か らな る連 結 空 間が 存 在 す る.位 相空 間 の抽 象 性 は,正 則 空 間 まで きて も,な お この よ うな反 例 の存 在 を 阻 止 し得 な い ので あ る.   そ れ で は この 問題 が 肯 定 的 に解 け る位 相 空 間 の カ テ ゴ リーは,ど の よ うな カ テ ゴ リーな のか.こ れ に対 す る決 定 的 な答 は,1924年,ロ

シ アの数 学 者 ウ リゾー ン

に よ って与 え られ た.   ウ リゾー ンの答 は次 の よ うな もの で あ った. (#)少

な くとも2点 を含 む 連 結位 相 空 間 が,正

規 空 間 な らば,そ

の濃

度 は ≧〓 であ る.

ウ リゾ ー ンの 定 理

  ウ リ ゾ ー ン は,こ し,そ

の 問 題 の 答 を 求 め る 過 程 で,有

名 な ウ リゾー ンの 定理 を発 見

れ を さ ら に 意 外 な 方 向 に 発 展 さ せ た の で あ る.

  ウ リ ゾ ー ン の 定 理 は 次 の よ う に 述 べ る こ と が で き る.

【定 理 】 XをT4空 き,X上

間 と し,F0,F1を

共 通 点 の な いXの

で 定 義 され た 実 数 値 連 続 関 数f(x)で,次

閉 集 合 とす る.こ

のと

の 性質 を み たす もの が存 在 す

る.   (ⅰ)  0≦f(x)≦1   (ⅱ)  x∈F0の

と きf(x)=0

  (ⅲ)  x∈F1の

と きf(x)=1

  この 定 理 か ら(#)が

ど の よ うに 導 か れ る か 述 べ て お こ う.Xを

少 な く と も2

点 を 含 む 連 結 な 正 規 空 間 と す る.Xの み た して い る か ら{x0},{x1}は ら,x0で0の 0≦f(x)≦1で f(X)はRの

異 な る2点

をx0,x1と

閉 集 合 で あ る.し

値 を と り,x1で1の あ る.fをXか

値 を と るX上 らRへ

す る.Xは(T1)を

た が って ウ リ ゾ ー ン の 定 理 か の 連 続 関 数f(x)が

の 連 続 写 像 と 考 え る と,Xの

連 結 な 集 合 と な る.f(X)∋0,1に

存 在 す る. 連 結 性 か ら,

よ り,こ れ か ら

f(X)=[0,1] が 結 論 さ れ る(第9講 xt∈Xが

参 照).し

あ ってf(xt)=tと

つ く るXの な ら な い.こ

た が っ て 任 意 のt(0≦t≦1)に

な る.こ

のxtは

す べ て 異 な る か ら,こ

部 分 集 合 の 濃 度 は 〓 で あ る.し た が ってXの れ で(#)が

対 し て,あ のxt全

る点 体の

濃度 は ≧〓 で なけ れば

証 明 さ れ た.

  ま こ と に 目 を 瞠 る よ うな 推 論 で あ る!

(T4)条

件 の 検討

  ウ リ ゾ ー ン の 定 理 を 証 明 す る 前 に,(T4)条 共 通 点 の な い2つ

の 閉 集 合F0,F1に

件 を 検 討 し て み よ う.(T4)条

件を

対 して適 用す る と

F0⊂U,F1⊂V と な る 開 集 合 Ｕ,VでU∩V=φ

に 注 意 す る と,(T4)条

と な る も の が 存 在 す る こ とが わ か る.

件は

あ る開集 合U,Vが

と 書 き 直 され る.F1は 合 で あ る.こ

閉 集 合 だ っ た か ら,F1cは

こ に 現 わ れ た 集 合 の 開 集 合,閉

を 書 い て み る と,次

開 集 合 で あ る.ま

たVcも

閉集

集 合 だ け に 注 目 し て こ の 仮 定 と結 論

の よ うに な る.

閉集 合 ⊂開集 合 ⇒ す な わ ち,簡

存在 して

単 に い え ば,(T4)条

件 は,閉

閉 ⊂開 ⊂閉 ⊂開 ⊂ 開 とい う関 係 が あ れ ば,そ

の 間 に,

閉 ⊂ 開 ⊂ 閉 ⊂ 開 と2つ

の 集 合 を 挟 ん で い く こ とが で き る と い う こ とで あ る.

  と こ ろ が この 結 論 の 方 の は じめ と終 りの2つ

の対

閉 ⊂開 ⊂閉 ⊂ 開 は,ち

ょ う ど 仮 定 の 形 と な っ て い る.し

た が っ て,こ

こ に も う一 度(T4)条

件が

使えて 閉  ⊂  開  ⊂  閉  ⊂  開

閉 ⊂開 ⊂ 閉 ⊂開  ⊂  閉 ⊂ 開 ⊂ 閉⊂ 開 の よ うな関 係 が 得 られ る.こ の傍 線 部 分 に また(T4)条   す な わ ち,(T4)条

件 が 使 え る.

件 は,何 度 も何 度 も くり返 して使 っ て い け る よ うな条 件 だ

った の で あ る. ウ リゾ ー ンの 定理 の 証 明   この(T4)条

件 の く り返 しを,あ る意 味 で極 限 まで 追 ってみ る こ とで,ウ

リゾ

ー ンの 定理 の証 明 が得 られ る.こ の 極 限移 行 を追 っ てみ よ う.   上 の くり返 しの 操作 に現 わ れ た開 集合 の系列 に注 目 して,次 の よ うに番 号 をふ って い く.ま ず (1) とな る開集 合Uを

に 注 意 し て お こ う.こ

と お く.こ の と き 

が 閉 集合 だか らで あ る. (1)の

系 列 に も う一 度(T4)条

をみたす開集合   こ れ をn回

件 を使 うと

が存 在す る こ とがわ か る.

く り返 す と,F0とF1cの

間 にあ る開集 合 の系 列

れ はVc

が 得 られ る.こ の系 列 は

(2) と い う性 質 を み た し て い る.   帰 納 法 に よ っ て,結

局, 

(n=1,2,…;k=1,2,…,2n−1)の

形 のす べ て の

実 数 に対 して,開 集 合

が 得 られ た.こ の開 集 合 は(2)の み た し て い る.な 1]で

お 

性質を

の 形 の 実 数 は[0,

稠 密 な こ と を 注 意 し て お こ う.

 集 合 の 包 含関 係 にだ け注 目 して,こ の 開

集合族 

を 図 示す る と,図83の

よ う に な る.

 この 図 は,海 抜0のF0台 1のF1台

地 か ら,海 抜 図83

地 ま で に 等 高線 が 稠密 に引か れ

た 地 図 の よ うにみ え る.こ の 等 高線 は,空 Xの 任 意 の点xで'高

さ'f(x)が

間X全

体 に 引か れ て い るか ら,空 間

決 ま るだ ろ う.し か し等 高 線 は稠 密 に 引か れ

て い るが,連 続 的 に変 わ る高 さ まで は まだ 与 え てい な い.   したが っ て最 後 に極 限 移行 し て,い わ ば 土地 を階 段状 か ら滑 らか にす る操 作 が 必 要 で あ る.す なわ ちf(x)を

厳 密 に定 義す る には,

と お く.

  こ の と き0≦f(x)≦1で,x∈F0⇒f(x)=0;x∈F1⇒f(x)=1は

明

らか で あ ろ う.   f(x)の

連 続 性 を 示 す 必 要 が あ る の だ が,そ

れ は,ど

ん な に 細 か く等 高 線 を と

っ て も,(2)に

よ っ て,2つ

の 等 高 線 の 間 に は 閉 包 に よ る分 け 目 が あ り,い

わ

ば 直 観 的 に は,断

崖 は 決 し て 生 じ な い と い う よ うな こ とで 示 す こ と が で き る.こ

の形 式 的 な証 明 は 省 略 し よ う.f(x)は

定理 で 述べ た 性質 を もつ 関数 とな ってい

る. これ で ウ リ ゾ ー ン の 定 理 が 証 明 さ れ た.

  な お,ウ た.わ

リ ゾ ー ン は こ の 定 理 を 証 明 し た 同 じ年 の 夏,水

ず か26歳

で あ っ た.こ

の 定 理 は ウ リ ゾ ー ン の 白 鳥 の 歌 で あ る.

Tea

質 問   (T4)条 (T4)条

泳 中 事 故 で 亡 くな っ

Time

件 が あ る と ウ リ ゾ ー ン の 定 理 が 成 り立 つ こ とは わ か りま し た が,

件 を も っ と 弱 め て も ウ リ ゾ ー ン の 定 理 が 成 り立 つ とい う こ と は な い の で

し ょ うか. 答   実 は ウ リ ゾ ー ン の 定 理 が 成 り立 つ よ うな 空 間 で は 必 然 的 に(T4)条 立 っ て い る.そ

れ は 次 の よ う に し て 示 す こ とが で き る.Xを,ウ

が 成 り立 つ よ うな 位 相 空 間 と し,F0とF1を 仮 定 に よ っ て,F0上 る.こ

で0,F1上

で1の

共 通 点 の な いXの

値 を と るX上

件 が成 り

リゾー ンの定 理 閉 集 合 と す る.

の連 続 関 数f(x)が

存在す

の とき

とお く と,U,Vは わ ち(T4)が

そ れ ぞ れF0,F1の

開 近 傍 で あ っ て,U∩V=φ

で あ る.す

な

成 り立 つ.

  し た が っ て,位

相 空 間 に(T4)条

件 を 課 す こ と と,ウ

リ ゾ ー ン の 定 理 が 成 り立

つ こ と を 要 求 す る こ と と は 同 じ こ と な の で あ る.と

もに同値 な 性 質 を述 べ て い る

の だ が,ど

れ は や は り,(T4)条

ち ら が 広 い 適 用 性 を もつ か と い え ば,そ

件を く

り返 し 使 っ て 得 ら れ た ウ リ ゾ ー ン の 定 理 の 方 が は る か に 内 容 豊 か で 使 い や す い と い え る.

第30講 位 相空 間 か ら距 離空 間 へ テー マ

◆ 位 相 空 間 へ 向 け ての 抽 象化 の方 向 ◆ そ の 方 向 に対 す る批 判 として の距 離 づ け可 能 問 題 ◆ どの よ うな条 件 が あ れ ば,位 相空 間 は 距離 空 間 とな るか. ◆ ウ リゾー ンの解 決:可 算基 を もつ正 規 空間 は,距 離 づ け可 能 で あ る. ◆R∞ へ の埋 め こみ

抽象 化の方 向と距離空間   この講 義 全 体 の 流 れ を,い ま改 め て振 り返 ってみ る と,数 直 線 や 平面 の 部分 集 合 の位相 の性 質 ―

点 列 が 近 づ くとい う性 質―

を 調べ る ことか ら,ま ず 話が は

じ ま って い った.次 に直 線 や平 面 の 位相 を 規定 して い る距 離 そ の もの に注 目 して 距 離空 間へ の 考 察へ と移 り,最 後 に同相 写 像 に よって移 り合 う開集 合 族 に着 目し て,位 相 空 間 の 抽 象 的構 成へ 辿 りつ くとい う構 成 を と って きた.   この流 れ は 平 面 上 の点 集 合 論 ⇒

距 離空 間 ⇒

位 相空 間

と表わ され るが,数 学 史 の上 で も大 体似 た よ うな流 れを 辿 って きた.上 の 図式 を 数 学 史 の上 で の 時 間 的 な推移 で書 け ば,大 体 1880年 代 ⇒1900年

代 ⇒1910年

∼1920年 代

の よ うな流 れ に な る で あ ろ うか.   さて,こ の よ うな抽 象化へ 向け て の この矢 印 の示 す よ うな一方 的 な志 向 に対 し て,数 学 内部 か らの一 つ の 反 省が 生 じて きた ので あ る.現 実 に数 学 の さ まざ まな 局 面 に現 わ れ る位相 空 間は,直 線 や 平面 の とき の よ うに あ らか じめ標 準 的 な距 離 が 設 定 され てい るわ け では な い として も,適 当 な距離 を導 入 して み る と,そ の距 離 に よ って 位相 が 規 定 され てい る とい う場 合 が 多 い.こ の よ うな位 相空 間は,本

当 は距離 空 間 と考 え て よい のだ が,距 離 が 表 面 に 出て きてい な い ので あ る.距 離 は ひ と まず 隠 され て い る,し か し実 際 は距 離 空 間 と考 え て よい 位相 空 間 は,ど の よ うに して特 性 づ け る こ とが で き るの だ ろ うか.集

合 と 部 分集 合 族(開

!)の 性 質 だ け で規 定 され てい る位相 空 間 の 中か ら,2点

集合族

間 の 長 さ(距 離!)の

よ うな具 体 的 な 考 えを 抽 出 して くる ことは で きる のだ ろ うか.   この問 題 は 難 しそ うで あ る.し か しこの 点 を 明確 に しなけ れば,私 た ちは,抽 象 的 な位 相 空 間 を調 べ て い くと き,こ の対 象が,ど れ くらい距 離 空 間 に近 い 対 象 な のか 遠 い 対 象 な のか,判 断 の 基準 が な くな って,抽 象 の霧 に包 み こ まれ る空 し さを感 ず るだ ろ う. 距 離づ け可能問題   そ こで1910年 Problem)と

代 の後半 あた りか ら,し だ い に距 離 づ け可 能 問題(Metrization

い うものが ク ロー ズ ・ア ップ され て き たの で あ る.そ れ は 次 の よ う

に定 式 化 され る. 距 離 づ け可 能 問題:位 相 空 間Xが 件 をみ た す とき に,Xは   も し,Xが

与 え られ た と き,Xが

あ る距離 空 間(Y,d)と

距離 空 間(Y,d)と,同

どの よ うな条

同相 にな る か?

相 写 像 φに よ って 同相 とな る な らば,Xに

距離 を d(x,y)=d(φ(x),φ(y)) と し て導 入す る こ とに よ り,位 相空 間Xの

位相 は この距離dか

ら得 られ て い る

こと にな る.   この距 離 づ け 可 能 問題 の 内蔵 して い る 問題 の 深 さは次 の点 にあ る.位 相空 間の 枠 組 は,全 体 が 集合 概 念 の 中 に包 み こ まれ てい る.一 方,距 離 空 間 は,2点

間の

長 さを測 る基 準 と して実数 を 採 用 して い る.そ の意 味 で,距 離空 間を 支 え る基 盤 は,集 合 概 念 よ りは,む しろ実数 そ の もの の 中 に あ る とい って よい.距 離 づ け 可 能 問題 の 問 うて い る こ とは,抽 象 的 な集 合概 念 は,位 相 とい う考 えを通 して,再 び 実数 概 念 と出会 う場 所 が あ るか とい うこ とであ る.

ウ リゾ ー ン の 解 決

  ウ リ ゾー ン の鋭 い 数 学 的 感 性 は,ウ

リ ゾ ー ン の 定 理 を 証 明 し た あ と,直

離 づ け 可 能 問 題 の 中 に ひ そ む こ の 論 点 に,敏   ウ リ ゾ ー ン の定 理 は,こ 間 の 中 に,実

ち に距

感 に 反 応 し た の だ と思 う.

の 観 点 に 立 っ て み る と,(T4)条

件 は,抽

数 値 連 続 関 数 の 存 在 を 保 証 す る と い う意 味 で,は

象 的位 相 空

じ め て 実 数 と結 び

つ く道 を 拓 い た の で あ る.   い まXを,さ い る か ら,相

ら に 正 規 空 間 と す る.こ 異 な る2点x,yに

連 続 関 数 が 存 在 す る.し す る こ と に な る.こ

の と き は,1点1点

が 閉集 合 と な って

ね にxで0,yで1の

値 を とる実数 値

対 し て,つ

た が っ て,X上

に は,実

に 多 くの 実 数 値 連 続 関 数 が 存 在

の よ う な 実 数 値 連 続 関 数 を 適 当 に 用 い て,Xに

距 離 を導 入 し

て い く方 法 は な い だ ろ うか.   し か し,第23講 あ る.こ

で 示 し た よ う に,距

離 空 間 に は,各

点 の 近 傍 に'可

の 可 算 性 の 条 件 を ど こ か で 加 え て お か な い と,Xに

算 性'が

距離 を与 え る こ とは

で き な い だ ろ う.   ウ リ ゾ ー ン は,'ウ

リ ゾ ー ン の 定 理'を

続 く形 で 次 の 定 理 を 証 明 し て,距

【定 理 】 Xを

発 表 し た 同 じ 論 文 の 中 で,そ

離 づ け 可 能 問 題 に1つ

可 算 基 を もつ 正 規 空 間 とす る.こ

れ に引 き

の 終 止 符 を 打 っ た.

の と きXは

距 離 づ け 可 能 で あ る.

可 算 基 を もつ 空 間

  上 の 定 理 の 中 で 述 べ て い る 可 算 基 を もつ 空 間 とは,ど

の よ うな空 間か を まず 説

明 し て お か な く て は な ら な い.   位 相 空 間Xが

可 算 基 を もつ と は,次

の 性 質(〓)を

{O１,O2,…,On,…} 

もつ 可算 個 の 開集 合 族 (1)

が 存 在 す る こ とで あ る.   (〓)任

意 の 開 集 合Oに

{Oｉ,Oi2,…,Oin,…}を

対 し,(1)の

適 当 な(有

とる と O=∪inOin

限 ま た は 無 限 個 の)部

分列

と 表 わ せ る.   す な わ ち,Xの 集 合 は,こ Xは

開 集 合 族 は,可

算 個 の 組 成 分 子(1)を

の 組 成 分 子 か ら適 当 に 組 み 立 て ら れ て い る(和

可 算 基 を もつ と い うの で あ る.(1)をXの

  数 直 線Rや う.x座

も っ て い て,任

平 面R2は

標,y座

集 合!)と

意 の開

い う と き,

開 集 合 の 可 算 基 と い う.

可 算 基 を も っ て い る.平

面R2む

標 が と も に 有 理 数 で あ る よ う な 点(有

径 が 有 理 数 で あ る よ うな 開 円全 体 は 可 算 個 で あ る.そ

場合 だ け 説 明 してお こ

理 点)を

中 心 と し て,半

れを

(2) と す る.さ

て,平

面 の 任 意 の 開 集 合Oを

と る.Oの

任 意 の 点xに

対 して

Vε(x)⊂O と な る 正 数 εが 存 在 す る.い (有 理 点 の 稠 密 性),次

まxか

にy0を

で あ る よ う な 開 円Onを

ら ε/3以 内 の 距 離 に あ る 有 理 点y0を1つ

中 心 に し て,半 径rが1/3ε<ｒ<2/3ε

とり

を み たす有 理 数

とっ てお くと (3)

と な る.Onは(2)の   Oの

各 点xに

系 列 に 含 まれ て い る こ と に 注 意 し よ う. 対 し て こ の よ う なOnを

とす る.∪inOinの

で あ る.一

中 にOの

方(3)か

ら,逆

が成 り立 ち,(2)がR2の   同様 に して,n次

点xは

選 び,異

な る もの を

す べ て含 まれ て い る のだ か ら

の 包 含 関 係 が 成 り立 っ て い る.し

たが って

可 算 基 を与 え て い る こ とがわ か った.

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnも

可 算 基 を もつ こ とがわ か る.ま た

R∞ も可 算基 を もつ. 定 理 の 証 明(概

略)

  さて,距 離 づ け可 能 定理 の証 明 の概 略 を述 べ て み よ う.Xを 空 間 とす る.Xの

開集 合 の可 算 基を (4)

可 算 基 を もつ正 規

とす る.こ

の系列 の 中で Om⊂On 

を み た す 対(Om,On)の

(5)

全 体 も可 算 集 合 を つ くる.そ {Q1,Q2,…,Qκ,…} 

と す る.各Qκ   い ま,Qκ

は 条 件(4)を が(Om,On)と

れ を並 べ て

(6)

み た す 開 集 合 の あ る 対(Om,On)を

示 し て い る.

い う対 で 与 え られ て い る とす る.(5)は Om∩Onc=φ

と表 わ さ れ,Om,Oncは

そ れ ぞ れ 閉 集 合 だ か ら,ウ

リ ゾ ー ン の 定 理 に よ っ て,X

上 の 連 続 関 数fκ(x)で

と な る も の が 存 在 す る.こ

の よ う に し て(6)に

対 応 し てX上

の連続 関 数 の 系

列 {f1,f2,…,fκ,…} が 得 ら れ た.   そ こ でXか

らR∞ へ の 写 像 φ を,x∈Xに

対 して

φ(x)=(f1(x),f2(x),…,fκ(x),…) で 定 義 す る.   φ は1対1で

あ る:実

際x≠yと

と な る も の が 存 在 す る.(こ

す る と,(4)を

れ は(4)が

み た す 対(Om,On)で,

開 集 合 の 基 を つ く っ て い る こ と と,(T4)

条 件 か ら の 結 論 で あ る.)(Om,On)が(6)の

系 列 の 中 のQκ で 与 え られ て い る

とす る と, fκ(x)=0,fκ(y)=1 と な る.し

たが って

と な り,φ(x)≠

φ(y)が

得 られ る.こ

れ は φが1対1の

こ とを 示 し て い る.

  φは 連 続 で あ る:こ

れ は 各 座 標 成 分fκ(x)が

連 続 関 数 で あ る こ と と,R∞

の位

相 の い れ 方 か ら わ か る.  いま Y=φ(X) と お く と,YはR∞

の 部 分 空 間 で あ る.R∞

は 距 離 空 間 だ か ら,そ

の 部分 空 間

Yも 距 離 空 間 で あ る.   実 は,逆

写 像 φ−1:Y→Xも

  し た が っ て φ は,Xか は,Xが

ら,距

連 続 の こ と を 証 明 す る こ とが で き る. 離 空 間Yへ

の 同 相 写 像 を 与 え て い る.こ

の こと

距 離 づ け 可 能 な 空 間 で あ る こ とを 示 し て い る.

Tea

質 問  可算 基 を もつ 正規 空 間Xに,ど と思 った ら,XをR∞

Time

の よ うに して 具体 的 に距 離 を い れ るの か

の中へ 埋 め こん で,R∞

の距 離 を 利用 す る 方 法 を と った の

に驚 きま した.し か しそ れ よ りも っ と,不 思議 に思 った こ とは,可 算基 を もつ 正 規 空 間 は,す べ てR∞ の部 分 空 間 と考 え て よい とい うこ とで した.可 算 基 を もつ 正 規空 間 とい うのは 抽 象 的 な概 念 で したの に,ど

うして,無 限 個 の座 標 を もつ空

間で すが,座 標 空 間R∞ の一 部 分 と考 え て よ くな った の で し ょ うか. 答  抽 象的 な位 相 空 間 は,今 まで の数 学 に ない 全 く新 しい 未知 の世 界 を広 げ て い くか と思 った の に,少 な くとも可 算基 を もつ正 規空 間― 間は 大体 この条 件 を み た して い る―

応 用 に現わ れ る位 相空

は,す べ てR∞ とい う実 数 を並 べ た既 知 の

世 界 の 中 で実現 され て し まっ た とい うこ とは,私 も不 思 議 な 気が して い る.な ぜ こ うな った の か と聞 か れ て も,上 に 証明 した こ とに よって で あ る と しか 答 え られ ない.   た だ,数 学 の既 存 の体 系 の中 か ら本 質 的 な性 質 を取 り出 し て,全 く抽 象 的 な対 象 を つ くってみ て も,こ の抽 象 的 な対 象 は,多

くの場 合,よ

く知 られ た数 の 世界

と深 い絆 で結 ば れ て い る こ とが 判 明す る.ま たそ の よ うな形 を と る抽象 数 学 で な い な らば,数 学 の広 い 分 野へ の適用 性 が 乏 しい とい うべ きな のか も しれ ない.い ず れ に して も抽 象数学 とい って も,抽 象数 学 を 支 え る数学 者 の思 考 は常 に具 体 的

な数 の 世 界か らの 光 に照 ら され てい る こ とが,き っ と ど こか で 反映 して い る のだ ろ う.   位 相空 間 とい う考 え も,こ の30講 で 述べ て きた 抽 象的 な 理 論 構成 の 道 を通 り 抜 け て,現 代 数学 の い ろ い ろな分 野へ の応用 を 目指 す よ うに な る と,急 に視 界が 広 が って くるの で あ る.

問

題

の

解

答

第1講 問1 

a≧0の

と き は,￨a￨=aか

ら,明 .し

ら か.a<0の

と き は,a=−a′

とお く と,a′>0で

た が って ￨a￨2=a2=a′2

間2

 (分 母,分

((ⅲ)に

子 を￨a+b￨で

割 る)

よ る)

第3講 問1 

(1) 

1点Pか

ら な る集 合 は,閉

ばP1=P2=…=Pn=…=Pだ した が っ て,閉

集 合 で あ る.な

け で あ っ て,こ

ぜ な ら,集

れ は 明 らか にPに

集 合 の 基 本 的 な 性 質(F2)か

ら,有

合{P}の

近 づ く(!)か

点 列 とい え ら で あ る.

限 個 の 点 も また 閉 集 合 で あ る こ と が

わ か る.   (2) 

相 異 な る 整 数 間 の 距 離 は1以

あ る と す る と,あ

る 番 号 か ら 先 は,必

上 だ か ら,Pn→Pと

い.し

た が っ てPも

問2 

有 理 数 を 座 標 に もつ 点 の 集 合 をQと

と,

存在 す る 

数 の中 に

な っ て い な くて は な ら な

ま た 整 数 を 座 標 に もつ 点 で あ る.

で, 

す る.P1=1.4,P2=1.41,P3=1.414,…

, 

任 意 に 有 理 数rと,正

な る 点 列{Pn}が,整

ずPn+1=Pn+2=…=Pと

で あ る.ゆ

数 εを と っ た と き,rの

ε-近傍(r−

え にQは

とす る

閉 集 合 で は な い.ま

ε,r+ε)の

た.

中 には必 ず 無理 数 が

の形 の無 理 数 は,数 直線 上 に稠 密 に 存在 して い る).し た が って,Qは

開

集 合 で は な い. 問3 

x∈ π(O)と

Vε(P)⊂Oが

す る.あ

るyが

存 在 してP=(x,y)∈Oと

成 り立 つ が,π(Vε(P))=(x−

(x− ε,x+ε)⊂ π(O) とな る.し

た が っ て,π(O)は

な る.Pの

あ る ε-近傍 で,

ε,x+ε)(半 径 εの 円 を 射 影 し て み よ!)だ

開 集 合 で あ る.

か ら

第4講 問1 

{a1,a2,…,an,…}は

上 に 有 界 だ か ら,上

質2)か

ら,ど

ま た,単

調 増 加 性 か ら,m≧nの

端cが

ん な 小 さ い 正 数 εを と っ て も,あ

この こと は

とき

存 在 す る.an≦cで

るanが

あ る.上

存 在 し て 

ゆ え にm≧nの

端 の性

した が って

とき

を 示 し て い る.

問2  集積点の集合 は

で あ る.

第9講 問1 

M∪Nが

連 結 で な か っ た と し て 矛 盾 の 生 ず る こ と を み る と よ い.M∪N=O1∪O2

と 開 集 合 に よ り 分 割 され た とす る.O1′=M∩O1,O2′=M∩O2と の 開 集 合 でM=O1′

∪O2′ で あ る.Mは

合 で な くて は な ら な い.し O1⊂Mが

得 ら れ て,結

Mが

た が っ てO2⊂N.Nに

局O1=M,O2=Nが

あ っ た の に,O1∩O2=φ 問2 

連 結 だ か ら,ど

だ か ら,こ

こ で[0,1]か

り,N=φ([0,1])と

らMへ

お く.Nは

で あ っ て,こ と 分 割 され る か ら,こ

と え ばO2′

つ い て 同 様 の 推 論 を 行 な うと,今 成 り立 つ こ と に な る.MとNに

はM は空 集 度は

は共 通 点 が

れ は 矛 盾 で あ る.

連 結 で な い と仮 定 す る.M=O1∪O2を

を と る.そ

お く と,O1′,O2′ ち ら か 一 方,た

開 集 合 に よ る分 割 とす る.

の 連 続 写 像 φ で,

とな る もの を と

連 結 集 合 で あ る.

と お く と,

れ ら は Ｎ の 共 通 点 の な い 開 集 合 と な っ て い る.Nは れ は 矛 盾 で あ る.

第11講 問   d1が 距 離 と な る こ と は,絶

対 値 の 性 質 か ら 明 ら か で あ ろ う.

  d∞ に つ い て の 三 角 不 等 式 だ け を 示 し て お こ う.

で右 辺 の 最 大値 を,k番

目 の座 標 で とった とす る.こ の とき

第14講 問1 

(i) 

存 在 す る.こ

U,Wがxの

近 傍 な ら ば,x∈O1⊂U,x∈O2⊂Wを

の と き,O1∩O2は

開 集 合 で あ っ て,x∈O1∩O2⊂U∩Wを

み た す 開 集 合O1,O2が み た し て い る.

した が っ てU∩Wもxの   (ⅱ)  x∈ Ｏ⊂Wと

近 傍 で あ る. い う開 集合Oに

対 して は,も ち ろ んx∈O⊂Sが

成 り立 つか ら,Sは

xの 近 傍 で あ る. 問2  Ｓが 閉 集 合 な らば,S自  逆 にS=Sな

らば,Sが

身 がSを 含 む 最小 の閉 集 合 だか ら,S=Sで

閉 集 合 だか ら,Sも

また 閉 集 合 であ る.

あ る.

索

ア

引

開集 合  167 行

距 離空 間 にお け る ―

R∞  85

直線の―

  20

粗 い(位 相)  178

平面の―

  20

  95

平 面 の 部分 集 合 に おけ る― ― の 加算 基   210

位 相  1 同 じ― 

―

117

強い―

  178

弱 い―

  178

の 基本 的 な 性 質  20,95

開被 覆   122 下 界  29

位 相空 間  166

下 端  30

位 相的 な性 質   176

可 算 開 被 覆   122

位 相同 型 写 像   115

可 算 基 を もつ   209

1対1の

可 算 被 覆 性  189

写像

43

一 様収 束   95

関数 の連 続性   51

一 様連 続   139

完 全 非連 結  133

inf N  30

完 備   138

上 に有 界  29

完 備 化   154

実数は―

  32

上 へ の写 像   43 ウ リゾ ー ン の定理   202

逆 写 像  43,114 逆 像  44

ε-近傍   12,77

球   81

ε δ-論法   59

距 離  74 空間の―

同 じ位 相   117 カ

行

 9

― の分 離 性  160

開 近傍  167 距 離空 間 にお け る ―

 87

距 離 空 間  74 ― の可 算 性  161

開 球  80

開 区 間   12

 5

積 分 に よる― 平面上の―

開 円  18

 71

数 直 線 上 の―

  99

距離 づ け 可能 問題   208 近傍  12,167

  65

距 離 空 間 に おけ る― 部 分 集 合 の―

  100

正 則 空 間  198

  101

平 面 の 部分 集 合 に お け る―

  65

像

43

相 対 位相   190 区 間縮 小 法  32 タ 合成 写 像

44

行

単 位 開球  80

構 造   178

単 調 に減 少   11

弧 状 連 結  132

単 調 に増 加  11

コー シー 列  32,134 細か い(位 相)  178

近 さの一 様 性

孤立 点  34

近 づ く  10

コンパ ク ト  38,120,187 ― なT2空

間   196

136

中 間値 の定理  70 直 積 位相   184 直 積空 間  184,186

サ 座 標 平面

行

8

強 い(位 相)  178

三 角 不 等式   75 T1空 間   195 下 に有 界  29

T2空 間  195

射 影   183

T3空 間  198

写 像  42

T4空 間  198

集 合 の 演算 と写 像  44

デ ィス ク リー ト位 相   178

集 合 族 の演 算 と写 像  46 集 合 列 の 演算 と写 像  46

同 相  115

集積点

同 相 写像  115,175

26

収束   10,75 C(0,1)の Rnの

同 相 で あ る  175 と き―

とき―

 91

R∞ の と き―

 92

上 界 29

 94

トポ ロジ ー  7 ハ

行

ハ ウス ドル フ空 間   195

上端  29 微 分不 可 能 な連 続 関 数 数 直 線  2 sup M  29

部 分空 間  121,190 ブル バ キ  178

正 規 空 間  198

分 離空 間  195

148

ユ ー ク リッ ド距 離  79

分 離公 理   194

ユ ー ク リ ッ ド空 間  79 閉 円  18 弱 い(位 相)  178

閉 区 間  12 閉 集 合  168 距 離空 間 に おけ る― 直 線の ―

20

平 面 の―

 20

ラ

  95

行

離 散位 相  178

平 面 の部分 集 合 にお け る―   65 ― の基 本 的 な性 質  22 ,95

ルベ ー グ積 分   159

連結   128,187

閉 包  169 距離 空 間 にお け る―

  102

ベ ールの性 質   142,148 ベ ールの 定理   142

連結 成分   131 連結 な集 合  187 数 直線 上 の― 平面 の―

ボル ツ ァー ノ ・ワ イエ ル シ ュ トラスの定 理   38 行

  66

連 続   173 x=aで

ヤ

  66

―

  51

距 離空 間 に おけ る―

  108

数 直線 上 の関 数 が―

  52

有 界(直 線 の部 分集 合)  30

連続 関数 のつ くる空 間  86

有 界(平 面 の部 分 集 合) 36

連続 曲線   132

有 限開 被覆   122

連続 写 像  173

有限 交 叉性   126

距 離空 間 に おけ る―

 108

有限 被 覆性   123

平面 か ら平 面へ の―

  53

著 者 志

賀

浩

二

  1930年  新潟市 に生 まれる   1955年  東京大学大学院数物系数学科修士課程修了   現 在 東京工業大学名誉教授 理学博士

数学30講 シリーズ4 位 相 へ の30講

 定 価 はカバ ー に表 示

1988年9月10日

  初 版 第1刷

2007年12月25日

 

第18刷

著 者 志

賀

浩

二

発行者 朝

倉

邦

造

会社  発行所  株式

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