物性物理30講 (物理学30講シリーズ)

物理学30講シリーズ ９ 戸田盛和 著

物性物理30講

朝倉書店

は

し

が

き

  本 シ リー ズ第 ８巻 『量 子 力 学30講

』 で は,１ 個 の 粒 子 （ 電 子 ） の運 動 の範 囲 で

量 子 力 学 を扱 っ た.こ れ に続 い て,本 書 で は ２個 以 上 の粒 子 の量 子 力 学 に つ い て 述 べ る.こ れ は大 変 自然 な成 り行 きで あ る よ う に思 う.し か し,こ の よ う に 限定 され る こ とに な っ た も う一 つ の理 由 は,物 性 物 理 学 は きわ め て 広 い の で,全 分 野 を １巻 で お お う こ とは とて も で きな い か らだ と も い え る だ ろ う.し た が って,こ こで 扱 うの は物 性 物 理 の ほ ん の一 部 で あ って,化 学 結 合 の量 子 力 学 に よ る説 明 ,分 子 間 力,量 子 統 計,金 属 の 自由 電 子 模 型 に よ る電 気 抵 抗 の扱 い な どが 主 要 な テー マ と な っ た.近 藤 効 果 や 超 伝 導 現 象 な ど に つ い て は,原 理 的 な考 え方 を述 べ る に と ど ま っ た.   本 書 で は ま ず,電 子 ２個 を含 む体 系 と して 具 体 的 に は水 素 原 子 ２個 か ら水 素 分 子 が形 成 され る わ け を説 明 す る.こ の と き,量 子 力 学 の 基 本 原 理 の一 つ で あ るパ ウ リの 原 理(排 他 律)と

電 子 の 集 ま りの 波 動 関 数 の反 対 称 性 とい う概 念 が 導 入 さ

れ る.さ

ら にパ ウ リの 原理 を用 い て 元 素 の 周 期 律 を考 察 す る.歴 史 的 な こ とを い

え ば,こ

う し て量 子 力 学 樹 立 か らわ ず か 数 年 の 間 に化 学 と物 理 学 との 間 の 壁 が と

り除 か れ,新

しい 物 質 観 が 誕 生 した の で あ っ た.

  量 子 力 学 は プ ラ ン ク の熱 輻 射 の式 か らは じ ま った が,熱 輻 射 は電 磁 的 な 振 動 の 場 で あ り,量 子 力 学 的 に は フ ォ トン(光 子)と

い う粒 子 の集 ま りで あ る.振 動 の

場 の 別 の例 と して は,結 晶 格 子 の振 動 が あ り,こ れ は フ ォ ノ ン(音 響 量 子)と う粒 子 の 集 ま りと見 な せ る.フ

い

ォ トン と フ ォ ノ ンは 古 典 的 な粒 子 が し たが う ボル

ツ マ ン統 計 力 学 に は した が わ ず,ま

たパ ウ リの原 理 の 制 約 も受 けず,ボ ー ス‐ア イ

ン シュ タイ ン統 計 とい う統 計 法 に し たが う.   これ に対 し,電 子 の よ う にパ ウ リの原 理 の制 約 を受 け る粒 子 は,フ ェル ミ‐デ ィ ラ ック統 計 に し たが う.こ れ ら ２つ の統 計 を合 わ せ て量 子 統 計 とい い,そ を それ ぞ れ ボー ス粒 子,フ

の粒 子

ェル ミ粒 子 とい う.量 子 統 計 を踏 ま え て振 動 あ る い は

粒 子 の場 を量 子 化 す る,い わ ゆ る 多体 問題 の基 礎 に つ い て も述 べ,そ

の 一 つ の例

と し て相 互 作 用 を もっ た １次 元 フ ェル ミ粒 子 系 の励 起 を ボ ー ス系 と して 扱 う朝 永 振 一 郎 先 生 の論 文 の あ ら ま しに つ い て 記 した.   そ して 最 後 に ス ピ ンが 積 極 的 な 役割 を演 じる体 系 の例 と し て,近 藤 効 果 と超 伝 導 現 象 の 理 論 の 要 約 を加 え た.   この30講 で あ る.そ

シ リー ズ で は,な るべ く基 礎 的 で 普 遍 的 なテ ー マ を 中 心 に したつ も り して い く らか 数 理 物 理 的 な テ ー マが 多 くな った.「 自然 とい う書物 は数

学 で 書 か れ て い る 」 とガ リ レイ は述 べ て い る.人 間 が そ の 特 有 な感 性 と論 理 を用 い て 自然 を理 解 し よ う とす る とき,論 理 を適 確 に運 び,広

い観 点 を見 出 す た め に

は数 学 に頼 ら ざ る を得 な い.こ の とき 自然 の も つ あ ま りに も豊 富 な特 徴 の 中 か ら 対 象 を十 分 簡 潔 化 した モ デ ル を仮 定 し,こ れ に数 学 を適 用 す る.科 学 的 な線 で 自 然 と人 間 を結 べ ば,(自

然 ・モ デ ル ・数 理 ・自然 観)と

い う こ と に な るの で は な い

だ ろ うか.自 然 の 一 つ の 局 面 を見 事 に モ デ ル 化 す る こ とが で きれ ば,数 理 は厳 正 に 機 能 し,美   Tea

しい 理 論 が 形 成 され るわ けで あ る.

Timeで

少 し触 れ た よ うに,最 近 は原 子 的 尺 度 の 実 験 技 術 が め ざ ま し く進

歩 し,量 子 論 の ミク ロ的 な検 証 が 進 ん で い る.原 子 を １個 ず つ 積 み 上 げ て人 工 的 原 子 の よ う な構 造 物 を作 る技 術 は,近 もた らす に ち が い な い が,そ

い将 来 の 生 命 科 学 や 医 学 に も絶 大 な革 新 を

れ に は人 工 の ミク ロ的 なバ イ 菌 の発 明 な どを伴 う危

険 が 大 い に あ る.   お わ りに,本 書 の 校 正 に あ た っ て助 力 と助 言 を い た だ い た東 京 大 学 大 学 院 生 の 礒 島 伸 君 に感 謝 した い.

2000年

９月

著

者

目

次

第

１ 講  水 素 分 子   Tea

 

１

Time:物

理 学 と化 学 の統 一  ８

第 ２ 講  オ ル ト水 素 とパ ラ 水 素   Tea 第

Time:カ

Time:友

第

  48

ィ グナ ー  52  

54

ラ統計   63

９ 講  理 想 気 体  

65 理 科学 の モ デ ル(１) 

69

ボ ー ス‐ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮    Tea Time:ボ

34 

  40

８ 講  量 子 統 計

第10講 

 

モ 湖   46

Time:Ｅ.ウ

  Tea Time:数

25

あ り遠 方 よ り来 た る  38

Time:コ

  Tea Time:パ

  シ ミア効 果   32

７講   ウィグナー分布 関数   Tea

第

微 鏡  23

６講  密度行列 の古典近似   Tea

第

Time:顕

 17

５ 講  密 度 行 列 Tea

第

体 水 素 と固体 水 素   15

４ 講  分 子 性 物 質   Tea

第

10

３ 講  元 素 の 周 期 律   Tea

第

Time:気

 

ー ス とア イ ンシ ュ タイ ン  75

71

第11講

  自 由電 子 気 体   Tea

第12講

Time:表

響 量 子) 

 

第20講 

 124 線 形 振 動 子 の量 子 力 学  130 132

ュ レ ーデ ィ ンガ ー と格 子振 動   137

 ボース多体 系

  139 子 数 の増 減   145

フ ェ ル ミ多 体 系   Tea Time:湯

118

じ り波 の模 型   123

生成 消 滅 演 算 子  

  Tea Time:粒

108

面 張 力 波 の圧 力   115

  Tea Time:シ 第19講

101

の 圧 力   106

Time:ね

Time:非

  90

子) 

調和 振動子   Tea

第18講 

Time:波

 84

イ ラー の公 式   99

ス ピ ン 波   Tea

第17講

82

ロ ッホ  89

Time:オ

 フ ォ ノ ン(音   Tea

第16講 

Time:Ｆ.ブ

フ ォ ト ン(光   Tea

第15講

理 科 学 の モ デル(２) 

  自 由電 子 の磁 性 とホ ー ル 効 果   Tea

第14講 

Time:数

  トー マ ス‐フ ェ ル ミ の 近 似   Tea

第13講

 77

  147 川先 生 の 著 書   151

第21講

  フ ェ ル ミ振 子 と ボ ー ス 振 子   Tea

第22講

超

伝

  Tea 第27講 

 

Time:連

  191 成 振 子  198

Time:高

 200

温 超伝 導  203

 超 伝 導 の現 象 論

 205 伝 導理 論   210

  ギ ン ツ ブ ル ク‐ラ ン ダ ウ 方 程 式

  212

束 量子   216

 超 伝 導 トンネ ル 効 果

引 

182

ェル ミ面 上 の 拡 散  189

導

  Tea Time:微

索

属 電 子論   180

Time:フ

  Tea Time:磁 第30講

  176

Time:金

  Tea Time:超 第29講

ンマー フ ェル ト‐ べ ー テ  174

超 伝導体 の対応原理   Tea

第28講

Time:ゾ

  169

近 藤 効 果   Tea

第26講 

然 数 の 分 割数   167

 低温 の電気抵抗   Tea

第25講 

Time:自

  161

  電 子 と格 子 振 動   Tea

第24講

ネ ル ギー の分 配   159

  １次 元 フ ェ ル ミ気 体 の 励 起   Tea

第23講

Time:エ

 153

  218

小 量 の接 頭 語  225

227

第１講

水

テ ー

素

分

子

マ

◆ 水素 分子 ◆ 交換 相互 作 用 ◆ パ ウ リの原 理 ◆Tea

Time:物

理 学 と化学 の統一

水素分 子   物 理 学30講

シ リー ズ の 第 ８巻 『量 子 力 学30講

１個 の 電 子 の運 動,あ

』 で は ほ と ん どす べ て テ ー マ が

るい は状 態 に関 す る もの で あ った.こ れ に対 し,こ の 巻 で は

２個 以 上 の電 子 な どが 関 係 す る問 題 を扱 う.   ２つ の 電 子 を もつ もの と して一 番 簡 単 な 原 子 はヘ リウ ム原 子(He)で

あ る.こ れ

は １個 の原 子 核 の まわ りを ２個 の 電 子 が まわ って い る構 造 を して い る.リ チ ウ ム イ オ ン （Li+）,ベ リ リウ ム イ オ ン(Be2+)な   これ らの よ うに,プ イ ナ ス電 荷(-e)を

ラ ス 電荷(2eと

ど も これ に類 す る構 造 を もっ て い る.

しよ う)を もつ １個 の原 子 核 の まわ りで マ

もつ ２個 の電 子 が まわ っ て い る場 合 に は,一 方 の 電 子 に対 す

る原 子 核 の 作 用 は,他 方 の 電 子 の負 電 荷 に よ っ て部 分 的 に打 ち 消 さ れ て,あ た か も(Z-σ)eの れ,実

正 電 荷(σ は あ る定 数)が あ る の と同 じ よ うに な る だ ろ う と考 え ら

際 こ の よ う に考 えて ヘ リウ ム 原子 な どを近 似 的 に扱 う こ とが で き る.大 ま

か に考 えれ ば この よ うな 近 似 を す べ て の 原 子 に あ て は め て,い わ ゆ る原 子 の周 期 律(第

２講 参 照)を 理 解 す る こ とが で き る.

  し か し も っ と 重 要 な こ と は,２ 原 子 分 子(H2)の 素 原 子 は ２個 結 合 し て 水 素 分 子 を つ く る.こ る 化 学 結 合 の 一 番 簡 単 な 例 で あ る.ボ 出 し て 以 来,な

問 題 で あ る と い え る だ ろ う.水

れ は 原 子 が 結 合 して 分 子 な ど をつ く

ー ア(N.Bohr)が

原 子 模 型(1913年)を

提

ぜ 水 素 原 子 が ２個 結 合 し て 分 子 を つ く る の か と い う こ と は 大 き な

疑 問 に な っ て い た.こ

の 疑 問 は シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー （Schrodinger)の

(1926年)を

用 い て 計 算 を お こ な っ た ハ イ トラ ー(W.Heitler)と

London)に

よ り,理

論 的 に 解 決 さ れ た(1927年).こ

波動 方程式

Ｆ.ロ ン ド ン(F.

れ は 化 学 結 合 と い う化 学 の

領 域 の 現 象 が 量 子 力 学 に よ っ て 理 解 さ れ る こ とが わ か っ た 画 期 的 な 出 来 事 で あ っ た.い

わ ば 物 理 学 と化 学 とが 原 理 的 に 統 一 さ れ る こ と に な っ た の で あ る.

  ハ イ ト ラ ー と ロ ン ド ン に よ る 扱 い は い く ら か 不 正 確 な も の で あ る が,化 の 本 質 を 明 ら か に し て い る の で,こ

学結合

こ で は こ の 扱 い の 線 に 沿 っ て 述 べ よ う.

水 素分 子 の結 合 エネ ル ギ ー   水 素 原 子 の ２つ の原 子 核 を ａお よび ｂ とし,こ の分 子 に属 す る ２個 の電 子 を１ お よび ２で 区別 す る.た

とえ ばγalは 核 ａ と電 子１ との 間 の距 離 で あ り,γ12は ２個

の電 子 間 の 距 離 で あ る.電 子 の 質 量 をｍ とし,電 子１ の運 動 量 をp1と す る と,そ の運 動 エ ネル ギ ー はP12/2mで

あ り,こ れ は量 子 力 学 で演 算 子 (１)

を 意 味 す る(hは

プ ラ ン ク 定 数).た

だ し 電 子１ の 位 置 座 標 を(x1,y1,z1)と

して

▽12は ラ プ ラ ス 演 算 子

(２)

で あ る.電 子 ２に つ い て も同 様 で あ る.   電 子 は核 ａお よ び ｂ とク ー ロ ン力 が相 互 作 用 し,さ ら に核 ど う しや 電 子 ど う しの 間 で 反 発 力 が はた ら く.そ の 図１

た め全 系 の ハ ミル トニ ア ン は (３)

と書 け る.こ

こで Ｒ は ２つ の 核 ａ と ｂの 間 の距 離 で あ る.

  実 際 の 水 素 分 子 で は,２ 個 の 原 子 の距 離 Ｒ が 振 動 的 な 変 化 をす る分 子 内振 動 が あ り,こ れ は光 学 的 な 方 法 で くわ し く知 る こ とが で き る が,理 論 的計 算 で は距 離 Ｒ を 一 定 に保 っ て 全 系 の ハ ミル トニ ア ン(３)の 固 有 値 を Ｒ の関 数 と して求 め る. これ を断 熱 ポ テ ン シ ャル とい う.   し か しハ ミル トニ ア ン(３)を

正 確 に解 くこ とは大 変 むず か しい.そ

こで １つ の

近 似 方 法 と し て,波 動 関 数 ψ と して もっ と も ら しい もの を選 び(ψ*は ψの 複 素 共 役)

(４)

を 計 算 す る(dτ1=dx1dy1dz1,dτ2=dx2dy2dz2).た

め しの 関 数 ψ を正 確 に選 べ ば

〈Ｈ 〉は 正 し い エ ネ ル ギ ー 固 有 値 を与 え る.し

か し一 般 に は 〈Ｈ 〉は 正 し い 最 低 の エ

ネ ル ギ ー 固 有 値 Ｅ よ り も高 い こ と が 変 分 原 理 に よ っ て 保 証 さ れ て い る(『量 子 力 学 30講 』の 第22講).す

な わ ち 最 低 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 の 正 確 な 値 を Ｅ,た

関 数 ψ を 用 い た エ ネ ル ギ ー 期 待 値(４)を

め しの

〈Ｈ 〉 と す る と (５)

で あ る.た め しの 関 数 ψ を う ま く選 べ ば エ ネ ル ギー 固有 値 の よ い近 似 値 が得 られ るわ け で あ る.  核 が ａで電 子 が １で あ る水 素 原 子 が １個 だ け独 立 して 存 在 して い る場 合 は,そ の基底状態 の波動 関数 は (６)

で あ り,エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は (７) で あ る(eVは

電 子 ボ ル ト).た

だ しa0は

ボー ア半 径 (８)

で あ る(『 量 子 力 学30講

』 の第11講).同

様 に核 ｂ に電 子 ２が 属 し て い る状 態 の

波 動 関 数 は ψb(２)と 書 か れ る.

ク ー ロ ン相 互作 用  ２つ の 原 子 が 十 分 離 れ て い る と き の波 動 関 数 は積 の形 (９)

で 与 え られ る.そ こで原 子 間 距 離 Ｒ が 小 さ くな った とき も波 動 関 数 は(９)の で あ る と想 像 し,こ れ を た め しの 関 数 として用 い て ψ=ψ(r1,r2)と ギ ー 期 待 値(４)を

まま

お き,エ ネル

計 算 す る と,２ つ の 原 子 が近 づ いた と きの エ ネル ギー 低 下 はエ

ネル ギ ー 期 待 値 〈Ｈ 〉か ら原 子 が 十 分 離 れ た と きの エ ネル ギ ー2E0を

引いた値 で

(10) と な る.た

だ し こ こで

(11) で あ る.こ れ は各 原 子 の 波 動 関 数 ψa(１),ψb(２)で与 え られ る ２個 の 原 子 の電 子 雲 が ク ー ロ ン力 で相 互 作 用 して い る た め の エ ネ ル ギ ー に ほ か な らな い.す

なわ ち Ｃ

は単 純 な クー ロ ン項 で あ る.核 間 距 離 Ｒ を与 え て クー ロ ン項 Ｃ を数 値 的 に計 算 し て み る と,〈H〉-2E0の

絶 対 値 は小 さす ぎて ２個 の水 素 原 子 を結 合 させ て水 素 分 子

を形 成 す る結 合 エ ネル ギ ー と して 全 く不 十 分 で あ る こ とが わ か る.

交換相互作用   クー ロ ン項 が 結 合 エ ネ ル ギ ー と して 全 く 不 十 分 な 値 しか与 え なか っ た 原 因 は,た しの関 数(９)が す る.考

め

適 当 で な か った こ とを意 味

え て み る と,電 子 １と ２は そ れ ぞ

れ が 核 ａ と ｂ に束 縛 され て い る とは限 らず, これ らが 入 れ か わ った 状 態 もあ り得 るわ け で,そ

の波動 関数 は

(12) と書 か れ る.さ

ら に(９)と(12)は

同等で

図２

あ るか ら,こ れ ら を加 え た もの も,差 を と った もの も同 等 に波 動 関 数 と して考 え られ る.そ こ で対 称 な関 数

(13) あ るい は反 対 称 な 関 数

(14) を 採 用 す る.こ

こ でc±

は 規 格 化 の 因 子 で あ り,ψaと

ψbが 規 格 化 さ れ て い る こ と

を考 慮 す れ ば

(15) と な る.こ

こで

(16)

で あ る.Ｓ   (13)あ

は 重 な り積 分 と よ ば れ る. る い は(14)を

用 い る と,断

熱 ポ テンシャル

(17) はそれぞれ

(18) で 与 え ら れ る こ と が わ か る.た

だ し こ こで

(19) で あ る.Ｊ を交 換 積 分 とい う.Ｃ

は単 純 な ク ー ロ ン積 分(11)で

直 観 的 に理 解 で き

るが,Ｊ は直 観 的 な 模 型 で は考 え に くい もので あ る.水 素 の 場 合,原 づ か な け れ ばＪ<0で

子 が あ ま り近

あ る.

  S=S(R),C=C(R),Ｊ=Ｊ(R)を

数 値 的 に Ｒ の 関 数 と して 求 め る と,断 熱 ポ

テ ン シ ャルU〓 （R）は 図 ３の よ う に な り,U+（R） が 低 下 す る場 合 を 表 わ し,U-(R)は

は ２原 子 が結 合 して エ ネ ル ギー

２つ の原 子 が たが いに 反 発 す る場 合 を表 わす

こ とが わ か る.こ れ か らわ か る よ うに 水 素 原 子 が結 合 す る の は 交 換 項Ｊ『が著 しい

負 の 値 を もつ こ とに よ るの で あ る.   交 換 項 は古 典 的 に理 解 で きない項 であ るが,こ れ は電 子 の 交 換 が 波 動 関 数 に影 響 を与 え,そ れ が ク ー ロ ン相 互 作 用 の 値 を変 えた効 果 で あ っ て, これ がe2に 比 例 す る こ とか ら もわか るように,も と も とは ク ー ロ ン力 に よ る もの で あ る.   なお ψ(r1,r2)と

ψ（r2,r1）との線 形 結 合 を (20)

とす る と,〈 Ｈ 〉が極 値 を与 える の はA=+1と A =-1の

場 合 で あ る こ とが 確 か め られ る.こ の

う ち でA=+1が

図３

〈Ｈ 〉の 極 小 値 を与 え,A=

  ↑↑は ス ピ ン平 行 の場 合,↑ ↓はス ピン 反 平 行 の場 合 のハ イ トラー‐ロ ン ドン理

-1が

論 に よ るポ テ ン シ ャ ル,Ｃ は ク ー ロン 積 分 を 表 わ す.破 線 は 実験 的 に 得 られ た ポ テ ン シ ャル 曲 線 で あ る.

っ て 波 動 関 数 と して(13)を

〈Ｈ 〉の極 大 値 を与 え るの で あ る.し た が 採 用 した の は正 しか

っ た こ とが わ か る.

  【 ２電 子分布 密度 】 電子の分布密度 は (21) と 書 け る.こ

こで

(22)

で あ る.ρa,ρbは

古 典 的 な電 子 密 度 と解 釈 で き るが,ρex(1,2)は

電 子 の交 換 に よ

る波 動 関 数 の干 渉 効 果 に よ る もの で古 典 的 に解 釈 で き ない 量 子 論 的 な もの で あ る. 交 換 積 分Ｊ は ρexを用 い て書 く こ とが で き る. ス ピ ン とパ ウ リの 原 理  電子 の状態 は空間的 な （ 軌 道 ）波 動 関 数(ψaあ る い は ψb)だ けで な くス ピ ン も 含 め て 表 わ さな けれ ば な らな い.ハ 場 合,全

ミル トニ ア ンが(３)の

よ うに ス ピ ン よ らな い

系 の 波 動 関 数 は 空 間 座 標 の み の 関 数 とス ピ ン座 標 の み の 関 数 との積 と し

て 表 わ され る.

  さ らに電 子 はパ ウ リ(Pauli)の とい う.第

８講 参 照).す

原 理 に した が う(こ れ を フ ェル ミ(Fermi)粒

子

なわ ち 全 系 の波 動 関 数 に任 意 の ２電 子 の 空 間 座 標 とス ピ

ン座 標 とを 同 時 に入 れ か えた と きに 符 号 が 変 わ る もの だ け に 限 られ る(こ れ を反 対 称 的 な波 動 関 数 だ けが 許 され る とい う).   水 素 分 子 は電 子 が ２個 だ け で あ る.こ の 場合 に 全 系 の波 動 関 数 は,空 間座 標 に 関 して対 称 で ス ピン に関 し て は反 対 称 的 な もの ψ〓と,空 間座 標 に関 して反 対 称 で ス ピ ン に 関 して 対 称 的 な もの ψ〓 とに分 け られ る(こ こで ↑お よび ↓はそ れ ぞれ 上 向 き と下 向 きの ス ピ ン状 態 を表 わ す).ψ〓 は(13),(14)と α,下 向 き ス ピ ン波 動 関 数 β を用 い て(1/√2は

上 向 きス ピ ン波 動 関 数

規 格 化 の定 数)

(23) と表 わ さ れ る.こ れ は水 素 分 子 の形 成 に導 く波動 関 数 で あ る.い

い か え れ ば ２つ

の 電 子 が 逆 向 き に な っ て 水 素 分 子 の 結 合 を生 じ るの で あ る.こ の こ とは 逆 向 き の ス ピ ンが 対 にな っ て化 学 結 合 を形 成 す る とい う こ とが で き,化 学 結 合 の 力(原 子 価)が 飽 和 性 を もつ こ とが これ か ら理 解 され る.ψ〓 の状 態 は 上 式 の よ うに １つ だ け なの で １重項 で あ る.   これ に対 し ψ〓は ３つ の状 態 （ ３重 項 ）が あ っ て,下

の よ うに ま とめ て 書 く こ と

が で き る.

(24)

これ は ス ピ ンが 平 行 の状 態 で あ り,す で に み た よ う に ２つ の水 素 原 子 が た が い に 反 発 す る状 態 で あ る.

コメン ト   さ き に 注 意 し た よ う に ハ イ トラ ー と ロ ン ド ン に よ る 水 素 原 子 の 扱 い は 不 正 確 な も の で あ る.こ 用 い て い る が,変

の 扱 い で は{ψa(1)ψb(2)+ψa(2)ψb(1)}な

どをた め しの 関 数 として

分 原 理 の 立 場 か らい え ば た め しの 関 数 に は変 分 法 に よ っ て きめ

る パ ラ メ ー タ を含 ん だ もの を採 用 し な けれ ば な ら な い.(19)の

よ う にパ ラ メ ー タ

Ａを含 ませ る だ け で は 不 十 分 で あ っ て,波 動 関 数 ψaお よび ψbを 変 形 して 変 分 を とれ る よ う にす れ ば近 似 を高 め る こ とが で きる.そ の一 番 簡 単 な方 法 は ψaや ψbと し て(６)を

仮 定 し,た だ しa0を 固 定 しな い で変 分 原 理 で 定 め る よ うに す る こ とで

あ る.こ れ は ワ ング(Wang)に

よ る近 似 法 で,理 論 と し て よ り一 貫 性 を もち,実

験 との 一 致 もい く らか よ くな る.し か し さ ら に近 似 を 上 げ る に は 原 子 の変 形(分 極)を

くわ し く扱 う必 要 が あ る.

Tea

Time

物 理 学 と化 学 の 統 一   シ ュ レー デ ィ ンガー の 量 子 力 学 が発 表 され たの は1926年

で あ り,そ の 翌 年1927

年 に は ハ イ トラー と Ｆ.ロ ン ドンに よ る水 素 の原 子 価 結 合 の理 論 が提 出 され た.原 子価 結合 （ 分 子 構 造 論 ） を量 子 論 的 に説 明 した この 理 論 は化 学 で基 本 的 な原 子 の 性 質 を物 理 学 的 に導 き出 した もの で,い わ ば物 理 学 と化 学 の統 一 を意 味 す る.化 学 と物 理 学 の 間 に位 置 す る こ の理 論 はむ し ろ化 学 で 評 価 され る べ きで あ っ た ろ う が,そ

の た め に ノ ー ベ ル 賞 を逸 して し ま った の で は な い だ ろ うか.Ｆ.ロ ン ドンは

分 子 間 力 （フ ァ ン ・デ ル ・ワー ル ス 力 ） を は じめ て 量 子 論 的 に明 らか に した(1930 年).こ

れ も物 性 論 に お け る画 期 的 な仕 事 で あ る.ま た超 伝 導 と液 体 ヘ リウム の超

流 動 が と もに ボ ー ス‐ア イ ン シ ュ タ イ ン(Bose-Einstein)凝 よ る量 子 力 学 的 現 象 で あ る こ とを指 摘 して い る.1938年

縮 （ 第10講

参 照 ）に

に弟 の Ｈ.ロ ン ドン と共 に

提 出 した 超 伝 導 に対 す る現 象 論 的 な 方 程 式(ロ ン ドン方 程 式,第28講

参 照)も 有

名 で あ る.   ロ ン ドン とい う とイ ギ リス を連 想 す るが,Ｆ.ロ ンで ゾ ンマ ー フ ェル ト(A.J.Sommerfeld)に

ン ドン(1900‐1954)は

学 び,1939年

ミュ ンヘ

以 後 はア メ リカ に渡

っ て デ ュー ク大 学 の理 論 化 学 の教 授 を して い た.   物 理 学 と化 学 の 統 一 とい う とい さ さか 語 弊 が あ る よ うな 気 が す る.化 学 に は物 理 学 と異 な る もの の見 方,研 究 方 法 が あ る にち が い な い.自 然 は複 雑 で あっ て,い ろ い ろ の 見 方 が あ り得 る.目 の見 え な い,象

を知 らな い人 た ち が 象 に手 で さ わ っ

て み て,足

に さ わ った 人 は 「象 は壁 の よ う な もの だ 」 とい い,鼻

「象 は ホ ー ス の よ うな もの だ 」とい っ た.そ

にさわった人 は

ん な話 しが,自 然 を調 べ よ う とす る人

間 の 理 解 につ い て もい え る よ うな 気 が す る.物 理 学 よ り も化 学 の 方 が 生 物 学 に近 い で あ ろ う し,一 般 に生 命 現 象 に近 い と思 わ れ る.

第２ 講 オ ル 卜水 素 とパ ラ 水 素

テー マ

◆ ２原子 分 子 ◆ 回転 の対称 性 ◆ 角運動 量 ◆Tea

Time:気

体 水素 と固体 水素

２原 子 分 子   原 子 核 の ス ピ ン に関 す るテ ー マ を １つ と り上 げ る.   水 素 分 子H2や 心 の 並 進 運 動(自

酸 素 分 子O2な

ど は ２原 子 分 子 と よ ばれ て い る.２ 原 子 分 子 は重

由 度 ３)が あ り,ま た 回転(自

由 度 ２)が あ っ て合 計 自 由度 が ５

で あ る.古 典 統 計 力 学 に よれ ば,１ 自 由度 につ きk/2(kは 熱 を もつ の で,１ モ ル の ２原 子 分 子 気 体 は(5/2)R(R=Nkは 熱 （ 体 積 一 定 の 比 熱 ） を も つ と期 待 され る.実 際,高

ボ ル ツ マ ン定 数)の 比 気 体 定 数)の 等 積 比

温 の ２原 子 分 子 気 体 の等 積

比 熱 は(5/2)Rで

あ る.し か し低 温 で は比 熱 が 小 さ くなっ て極 低 温 で並 進 自 由度 に

よ る値(3/2)Rに

な る.分 子 の 回 転 に よ る比 熱 は 高 温 で は Ｒ に等 しいが,極 低 温

で は な くな って し ま うの で あ り,こ れ は量 子 効 果 を示 して い る.   分 子 軸 の 方 向 は 空 間 の 極 座 標 θ と ψで 指 定 さ れ る.θ が 増 す 方 向 の 速 度 は rdθ/dtで あ り,ψ の増 す 方 向 の速 度 は γsinθdψ/dtで あ る(図 ４).し た が っ て ２ つ の 同 じ原 子 か らな る ２原 子 分 子 の 回転 の運 動 エ ネ ル ギ ー は(ｍ 量,ｒ

は重 心 か ら の距 離)

は原 子 １個 の 質

図４

図 ５ Ｏ の まわ りの角 運 動量L   L=r×mν

(１) で あ る(2IHrは こ こ でI=2r2mは

角 運 動 量(図

５)の ２乗 に な っ て い る.後

の(15)∼

重 心 の ま わ り の 慣 性 モ ー メ ン トで あ る.角

（18）参 照).

θ と ψに それ ぞれ共

役 な 運 動 量pθ とpφ は (２) で あ る か ら ハ ミ ル トニ ア ン は (３)

で与 え られ る.  量 子 力 学 で は座 標xに

対 す る運 動 量 は （h/i） ∂/∂xであ るか ら,回 転 のハ ミル ト

ニ ア ン演 算 子 は (４)

と思 わ れ るか も しれ ない が,正

しい 回 転 の ハ ミル トニ ア ン は (５)

で あ る.こ の よ うに 古 典 力 学 を量 子 力 学 へ 翻 訳 す る と き に は,あ

る種 の 不 定 力 が

存 在 す る が,定 れ る.回

ま っ た 物 理 量 に対 す る ハ ミ ル トニ ア ン の と り方 は 一 義 的 に 定 め ら

転 の ハ ミ ル トニ ア ン は い つ も(５)で

  回 転 運 動 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 をEl,固

あ っ て(４)で

は な い.

有 関 係 を φl(θ,ψ)と

す る と (６)

で あ り,lを

回 転 の量 子 数 と して (７)

で あ る が,こ れ は2l+1重

に縮 退 して い る.す な わ ち 重 率 は (８)

で あ る.   ２原 子 分 子 の ２つ の 原 子 が 異 な る場 合(AB型

分 子)に は,原 子 核 が フ ェル ミ統

計 に した が う もの で あ っ て もボ ー ス 統 計 に した が う も の で あ っ て も,状 態 和(分 配 関 数)は (９) で 与 え られ る.

水素分子   しか し,２ 原 子 分 子 の 原 子 核 が 同 じ場 合(AA型 原 理 に した が う粒 子(フ ー ス粒 子)か

ェ ル ミ粒 子)か,パ

分 子)に は,原 子 核 が パ ウ リの

ウ リの原 理 に した が わ な い粒 子(ボ

で 熱 的 性 質 が異 な る.

  水 素 分 子H2Oの

場 合,水

素 Ｈ の 原 子 核 は 陽子 （プ ロ トン）で あ り,こ れ は電 子

と 同 じ よ う にパ ウ リの原 理 に し たが う フ ェル ミ粒 子 で あ る.そ の た め分 子 の 回転 の 波 動 関数 は原 子 核 の と りか え に対 し反 対 称 で な け れ ば な らな い.そ

こで 水 素 分

子 に は 次 の ２種 類 が あ る こ とに な る.   【オ ル ト水 素 】 ２つ の 水 素 の 原 子 核 ス ピ ンが 平 行 な もの.ス

ピ ンの と りか え に対

し て ス ピ ン波 動 関 数 は対 称 な の で,空 間 的 な と りか え(θ →‐ θ,ψ→ ψ+π の 同 時 変 換)に 対 して 波 動 関 数Фl(θ,ψ)は 反 対 称 で な けれ ば な ら な い.そ の た め オル ト 水 素 の 回 転 はｌ が 奇 数 の も の だ け に限 られ る.そ の 状 態 和 は した が っ て

(10) で 与 え られ る.  【 パ ラ水 素 】 ２つの水 素 の原 子 核 ス ピンが 反 対 称 な もの.ス

ピ ンの と りか え に対 し て ス ピ ン波

動 関 数 は反 対 称 な の で,空

間 的 な と りか え に 対

図 ６  オル ト水素

図 ７ パ ラ水素

して 波 動 関 数 Φl(θ,ψ)は 対 称 で な けれ ばな らな い.そ の た めの パ ラ水 素 の 回 転 は ｌが 偶 数 の もの だ け に 限 られ る.そ の状 態 和 は

(11) で与 え られ る.   上 の 状 態 和 を使 って 回 転 比 熱Crを して 単 調 でT→0でCr→0に

計 算 して み る とオ ル ト水 素 の比 熱 は温 度 に対

な るが,パ

ラ 水 素 の 比 熱 は あ る温 度 で 山 を もっ こ と

が わ か る.   水 素 の 原 子 核 が 逆 転 し,そ の た め にオ ル ト水 素 が パ ラ水 素 に な っ た り,パ ラ水 素 が オ ル ト水 素 に変 わ っ た りす る オ ル ト‐ パ ラ反 応 は 高 温 で はお こ りや す い .オ ル 素 ト水 素 の 原 子 核 ス ピ ン(平 行)の 合 成 ス ピ ン はl=1,そ これ に対 しパ ラ水 素 は合 成 ス ピンl=0,そ

の 重 率 は2l+1=1で

オ ル ト水 素 はパ ラ 水 素 の ３倍 の 統 計 的 重 み を もつ.そ とパ ラ水 素 は3:1の

比 で 混 ざ っ て い て,そ

の重 率 は2l+1=3で

の比 熱 は

図 ８ 水 素 の回 転 比 熱

あ る.

あ る.し た が っ て

の た め 高 温 で は オ ル ト水 素

(12) と な る.こ の 式 は実 測 と一 致 して い る.   低 温 で は触 媒 が な い 限 り,オ ル ト〓 パ ラ反 応 が 進 行 し ない.そ の た め温 度 を下 げ て い っ た と き3:1の

比 率 は そ の ま ま保 た れ る こ と に な る.し か し,オ ル ト‐ パ

ラ反 応 を促 進 させ れ ば,非 常 な低 温 で は 回 転 の 基 底 状 態l=0が

実 現 され るよ うに

完 全 にパ ラ水 素 に な るの で あ ろ う.

付

記

  状 態 和 （分 配 関 数 ） をZ(T)と 比 熱 をCvと

し,エ ネ ル ギ ー(内 部 エ ネ ル ギ ー)をE,等

積

すると

(13) (14) で あ る.

角運 動 量

  (１)は

θ方 向 と ψ方 向 の 運 動 に よ るエ ネル ギー で あ るが,こ れ は原 点 の まわ り

の 角 運 動 量 の ２乗 に比 例 す る量 で あ る.角 運 動 量 につ い て 述 べ よう.ｘ,ｙ,ｚ 方 向 の 運 動 量 をPx,Py,Pzと

す る と原 点 の ま わ りの 角 運 動 量 は

(15) を成 分 とす るベ ク トル で あ る.量 子 論 的 に は極 座 標 で

(16)

で あ って その ２乗 は

(17) で 与 え ら れ る.こ

こ でΛ

は

(18) で あ り,こ れ は(５)の l2=2IH

演 算 子 に ほ か な ら な い.

rの 関 係 が あ るの で あ る.

  中心 力 場 で は,角 運 動 量 の ２乗l2と 角 運 動 量 の ｚ成 分lzが

エ ネ ル ギ ー と同 時 に 固有 値 を もつ.l2

の 固 有 値 は(７)で

与 えた よ うにl(l+1)h2で

図 ９  量 子 力 学 にお け る角運 動量

ある.

す なわち

(19) ま たlzの 固 有 値 をｍ とす る と,こ れ は

(20) とい う2l+1個

の 値 を と る こ とが で き る.し た が っ てl2の

固有 値 の 縮 退 度 は

(21) で あ る.   ス ピ ン も角 運 動 量 で あ る.角 運 動 量 Ｓ の ス ピ ンの Ｚ 成 分 の最 大 固 有 値 をShと す れ ばS2の

固有 値 はS(S+1)h2で

の 固有 値 は3h2/4で

あ る.特 に電 子 な どで はS=1/2で

あ り,S2

あ る.

Tea

Time

気体水素 と固体水素   オ ル ト水 素 とパ ラ 水 素 に つ い て は じ め て 知 っ た の は,大

学 生 の と き で あ っ た.

小 谷 正 雄 先 生 と読 ん だ,N.F.MottとH.S.W.Masseyの

共 著The

Atomic

Collisions(Oxford,

New

York,

1933)に

Theory of

こ れ が 出 て き た と覚 え て い る.

後 に手 に した 伏 見 康 治 『量 子 統 計 力 学 』(共 立 出 版,1948)のp.248に

よ る と,「 一

般 に統 計 上 の重 み の大 き い状 態 を オル ト(オ ル ソ と もい う)と 名 づ け,小 さ い も の をパ ラ と名 づ け る慣 わ し」 な の だ そ うで あ る.水 素 分 子 の ２つ の 陽 子 の ス ピ ン が 反 平 行(全 ス ピ ン0)の 水 素 分 子 で は ス ピ ン に よ る重 み は １で あ り,ス

ピ ンが 平

行(全 ス ピ ン １)の水 素 分 子 で はス ピ ン に よ る重 み は ３で あ る.そ の た め 前 者 は パ ラ水 素 と よ ばれ,後 者 はオ ル ト水 素 とよ ば れ る.   陽 子 の ス ピ ンが 反 平 行 な もの(パ

ラ水 素)で

は ス ピ ン波 動 関 数 は反 対 称 な の で

(パ ウ リの 原 理 に よ り)分 子 の 回転 量 子 数ｌ は 偶 数 （0,2,4,… ） で あ る.こ れ に 対 し陽 子 の ス ピ ン が平 行 な もの(オ ル ト水 素)で は分 子 の 回 転 量 子 数ｌ は奇 数 （1, 3,5,…

） で あ る(こ れ は本 文 で も述 べ た).

  気 体 の 水 素 で は分 子 は 自 由 に 回転 す る が,回 転 の エ ネ ル ギ ー は(h2/2I)l(l+1) (Iは 慣 性 モ ー メ ン ト)で あ る か ら,絶 対 零 度 で はパ ラ 水 素 の 状 態(l=0)が ト水 素 の状 態(l=1)よ

オル

り も低 い エ ネ ル ギ ー を も つ.

  小 谷 先 生 は固 体 水 素 に お け る分 子 回 転 の 影響 を理 論 的 に 考 えた ら ど うか,と

い

う問 題 を 私 に提 出 して下 さ っ た.回 転 が ち が うか らパ ラ 水 素 固 体 とオ ル ト水 素 固 体 で は凝 集 エ ネル ギ ー も体 積 もち が う だ ろ う.融 点 もち が うか も しれ な い.ま た 重 水 素 で は ど うだ ろ う.   固 体 内 で は分 子 の 回転 に対 して まわ りの分 子 に よ る力 の ポ テ ン シ ャル を考 えな けれ ば な らな い.結 局 この 問 題 は論 文 に で きな か っ た.そ の か わ り,ふ つ う の 水 素 と重 水 素 の 固体 を扱 った 論 文 を書 い た.こ れが 私 の最 初 の学 術 論 文 にな った(M. Toda:The

solid state of H2 and D2, Proc. Phys. Math. Soc. Jpn., 22, 503−507

(1940)).第

２次世 界 大 戦 の直 前 で あ っ た が,こ れ を読 ん だ イギ リス の学 者 か ら液

体 の 中 の分 子 振 動 を扱 っ た,少

し関 係 の あ る論 文 が 送 られ て き て,こ れ が 戦 争 前

の 最 後 の論 文 交 換 とな っ た.ま

た,固 体 ヘ リ ウム の 最 低 エ ネ ル ギ ー状 態 を論 じた

永 宮 健 夫 さん の 論 文 が 出 た の は私 の 固 体 水 素 の 論 文 とほ とん ど同 時 で あ っ た.  な お,水 素 の 回 転 比 熱 な どにつ い てはA. Farkas: gen and

Heavy

Hydrogen(Cambridge,

1935)と

Ortho Hydrogen

Parahydro

い う古 典 が あ る.

  最 近 は燃 料 電 池 の実 用 化 な どに よ り水 素 が話 題 に な る こ とが 多 い ら し い.水 素 は あ る種 の物 質 に多 量 吸着 され る.水 素 は 固体 中で ほ とん ど裸 の 陽 子 の よ うに な っ て 吸 収 され,他

の物 質 と は大 変 ち が う振 舞 い をす る に ち が い な い.

第３ 講 元素 の周 期律

テー マ

◆ 周 期表 ◆ パ ウ リの原理 ◆ 原 子 の電 子構 造 ◆Tea

Time:顕

微鏡

周

期

表

  化 学 の起 原 は む か しの 錬 金 術 で あ っ た とい って よい だ ろ う.物 質 を混 ぜ 合 わ せ, 火 に さ ら し,そ の変 化 を追 跡 し,む か しの 化 学 者 た ち は何 百 年 に もわ た っ て 物 質 の 神 秘 を解 き明 か そ う と した.そ れ は想 像 を絶 す る努 力 と経 験 の積 み重 ね で あ っ た に ちが い な い.そ の 結 果19世

紀 は じ め頃 に は化 学 反 応 に関 係 す る物 質 の 質 量 や

気 体 の体 積 の 間 に成 り立 つ量 的 な関 係 が つ ぎつ ぎ に発 見 され,こ 物 質 の基 礎 で あ る元 素 が 確 認 され る よ う にな った.さ Dolton)は

ら に1803年

れ を も と に して に ドル トン(J.

元 素 が 基 本 的 な粒 子 で あ る 原子 か らな る とす る原 子 説 を唱 え,各 原 子

の 相 対 的 な質 量 の 比 まで 推 定 した.現 在 で は炭 素 の 同位 体 の １つ の 原 子 量 を12と した とき の各 原 子 の 質 量 を原 子 量 と定 め て い る.た

と え ば水 素 は一 番 質 量 の 小 さ

い 原 子 で,そ の 原 子 量 は約 １で あ り,窒 素 の 原 子 量 は約14,酸

素 の 原 子 量 は約16

で あ る.   元 素 を原 子 量 の順 に並 べ た と き,こ の 表 の は じ め の 方 で は ８番 目 ご とに性 質 の 似 た 元 素 が現 れ る こ と に気 づ い た 人 が 何 人 か い た.そ

の 中 で 有 名 な の は メ ンデ レ

ー フ(D .I.Mendeleef)で

あ る.彼 は 当 時 知 られ て い た65の

順 に並 べ,性 質 の似 た 元 素 が縦 に そ ろ う よ う に して,ほ 周 期 表 を作 った(1869年).彼

元 素 を ほ ぼ原 子 量 の

とん ど現 在 の と同 じ形 の

の す ぐれ て い た の は,こ の 表 の 中 で そ こに あ て は ま

る 元 素 が な い と こ ろ は未 発 見 の 元 素 が あ る に ちが い な い と予 想 し,当 時 知 られ て い な か っ た い くつ か の 元 素 の存 在 と,そ の化 学 的 お よび 物 理 的 な性 質 を正 確 に予 言 した こ とで あ る.ゲ ル マ ニ ウ ム な ど も彼 が 予 言 した 元 素 で あ る.  現 在 で は 原 子 の構 造 は よ くわ か っ て い る.原 子 の 中 心 に は正 の電 荷 を もつ 原 子 核 が あ る.原 子 核 は正 電 荷 を もつ 陽 子 と電 荷 を もた な い 中 性 子 とが い くつ か結 合 し た も の で 陽 子 の 数 が そ の 電 荷 を きめ る.原 子核 の 中 の 陽 子 の数 を原 子 番 号 とい う.電 気 的 に 中 性 な原 子 は 原 子 番 号 と同 数 の 電 子 を もっ て い て,そ の た め原 子 の 化 学 的 性 質 は原 子 番 号 に よ って 定 め られ る （同 じ原 子 で も中 性 子 の数 が ちが う原 子 核 を もつ もの （ 同 位 体 ） もあ り,原 子 量 は 同位 体 の混 ざ った もの の 平 均 的 な 質 量 を意 味 して い る）.

表 １  元 素 の周 期 表

本 表 の 値 は1991年 の 資料 に よ る.安 定 な 同位 体 が な く,天 然 同 位 体 組 成 を示 さな い元 素 で は,そ の元 素 の よ く知 られ た 放 射 性 同 位 体 の 中 か ら １種 を選 ん で そ の 質 量 数 を()内 に表 示 した.し た が って,そ れ らの値 を他 の 元 素 の原 子 量 と同 等 に取 り扱 う こ とは で き な い.

  1880年 代 か ら1890年 代 の おわ りにか けて,化 学 的 に不 活 発 な ５つの 元 素 が 発 見 さ れ た.軽

い順 に い う と,こ れ ら は ヘ リウ ム,ネ

オ ン,ア ル ゴ ン,ク

リプ トン,

キ セ ノ ンで あ る.こ れ らに さ ら に ラ ドンが 加 わ っ て周 期 表 に第 ０族 （ 不 活 性 ガ ス, 第18族

） を形 成 す る こ とが わ か っ た.

  ま た,原 子 番 号57か

ら71ま で の 間 に は よ く似 た元 素 が 並 び ラ ン タ ン系 列(ラ

ン タ ノ イ ド,あ る い は希 土 類 元 素)と よ ばれ る.さ

ら に原 子 番 号89か

ら上 の た が

い に似 た 元 素 は ア ク チ ニ ウ ム 系 列(ア ク チ ノ イ ド,超 ウ ラ ン元 素)と よ ばれ る.こ れ らは単 純 な周 期 表 を乱 す もの で あ るが,1920年

代 にな っ て スペ ク トル分 析 と原

子 の 電 子 構 造 の 理 論 の発 達 に よ って この謎 が 説 明 さ れ る よ う に な っ た.こ

れ につ

い て は 次節 で触 れ る こ と に した い. パ ウ リの 原 理   水 素 原 子 はた だ １個 の 電 子 を もち,こ

れ は原 子 核 の クー ロ ン力 （静 電 力 ） に引

か れ て原 子 核 の まわ り を回 っ て い る.量 子 力 学 に よ れ ば,こ 元 的 な軌 道 運 動 を定 め る ３つの量 子 数ｎ,ｌ,ｍ 古典 力 学 的 に は電 子 の 自転 運 動)で

は よ らず,エ

とス ピン量 子 数ms(+1/2と-1/2,

表 わ され る.水 素 原子 の エ ネ ル ギ ー は 主量 子

数ｎ で 定 ま り,方 位 量 子 数l(=0,１,…,n-1)や …,l)に

の電 子 の 状 態 は ３次

磁 気 量 子 数m(=l,-l+1,

ネ ル ギ ー が 最 も低 い の はn=1（

基 底 状 態 ）で あ り,ｎ の 大

きい ほ どエ ネ ル ギ ー が 高 い(励 起 状 態).   原 子 は そ れ ぞ れ 原 子 番 号 Ｚ に 等 しい 個 数 の電 子 を もって い る.水 素 以 外 の 原 子 で は電 子 は た が い に ク ー ロ ン力 で 反 発 し合 っ て い るが,大

雑 把 に考 えれ ば各 電 子

は 原 子 核 を 中 心 とす る共 通 な静 電 場 の 中 で た が い に独 立 に 運 動 し て い る と見 る こ とが で きる.少

な く と も原 子 番 号 の 小 さ い 原 子 に つ い て は この よ うな模 型 を用 い

て 元 素 の周 期 律 を次 に述 べ る よ う に解 釈 す る こ とが で き るの で あ る.   この模 型 で は電 子 はそ れ ぞ れ独 立 で あ るか ら,そ の 運 動 状 態 は ４つ の量 子 数(ｎ,ｌ ,ｍ,ms)に

よ っ て 区 別 さ れ る.n=1が

一 番 エ ネ ル ギ ー の低 い状 態 な ので,原

の最 低 エ ネ ル ギ ー 状 態(基 底 状 態)で はす べ て の電 子 がn=1の い る と思 わ れ るか も しれ な い が,こ を理 解 す る に は,次

子

状 態 に 落 ち込 ん で

れ で は元 素 の 周 期 律 は説 明 で きな い.周 期 律

に述 べ るパ ウ リの 原 理 を認 め な け れ ば な ら な い.

  【パ ウ リの 原 理 】 これ は排 他 原 理 （排 他 律 ） と もよ ば れ,次

の よ うに 述 べ る こ

とが で き る.   多 くの 電 子 を含 む体 系 で は １組 の量 子 数(原 子 の 場 合 は(ｎ,ｌ,ｍ,ms))で され た状 態 に は,た

指定

だ １個 の 電 子 しか 入 りえ な い.

  簡 単 に い え ば,１ つ の量 子 状 態 は電 子 が １個 入 れ ば満 員 にな って し ま う,と い う こ とで あ る.パ

ウ リの原 理 は数 学 的 な 言葉 で 表 わ す と次 の よ う に な る.

  多 電 子 系 の 状 態 を表 わ す 波 動 関 数 は,２ 個 の 電 子 の入 れ か え をす る と符 号 が変 わ る （こ れ を 電 子 の入 れ か え に 関 して 反 対 称 性 を もつ と い う）.  電 子 を 区 別 し て1,2,… m2,ms2),…

と し,そ れ ぞ れ の 量 子 数 を(n1,l1,m1,ms1),(n2,l2,

と し,波 動 関 数 を記 号 的 に

と表 わ す と,２ 個 の電 子 １と ２を入 れ か えた 波 動 関 数 は

で あ り,パ ウ リの 原 理 は

と 書 け る(他

の 電 子 の 対 の 入 れ か え に つ い て も 同 様).

  も し も ２ つ の 状 態 が 同 じ も の で あ れ ば,ψ パ ウ リ の 原 理 ψ（2,1,… … ）を得 る

.こ

）=-ψ

れ は ψ（1,2,…

（1,2,… ）=0を

（2,1,…

） と 合 わ せ る と ψ （1,2,…

意 味 し,い

あ る こ と は 不 可 能 だ と い う こ と に な り,は

）=ψ （1,2,…

い か え れ ば,２

） と な る の で, ）=-ψ

（1,2,

電 子 が 同 じ状 態 に

じめ に述 べ た パ ウ リの 原 理 と同 じ こ と

に な る.   【閉 殻,原

子 核 電 荷 の 遮 蔽 】 周 期 表 で 水 素 の 次 は ヘ リ ウ ム(Z=2)で,２

電 子 を もつ.こ

れ ら の電 子 はn=1の

はl=m=0の

軌 道 （記 号1sで

個 の

軌 道 に 入 るがn=1

表 わ す)し

か な い の で,

パ ウ リの 原 理 に よ り こ れ ら は 同 じ ス ピ ン で あ る こ と が で き な い.つ ms2=-1/2,あ

ま り ２電 子 は ス ピ ン が 逆 向 き(ms1=1/2, る い はmsl=-1/2,ms2=1/2)で

こ う し て ヘ リ ウ ム の 基 底 状 態 はn=1の 満 員 に し た 状 態 で あ る.こ

あ る. 軌 道 を ２電 子 が

れ を 閉 殻 と い う.電

子状 態

図10  ヘ リウム 原子(He)

図11  原子 の電 子構 造 模 型

は安 定 し て満 足 した 状 態 に あ り,ヘ リ ウム は化 学 的 に不 活 発 な 元 素 で あ る.   ヘ リウム 原 子 にお いて 電 子 の もつ 負 電 荷 は 原 子 核 の 正 電 荷 の周 囲 を お お うの で, 各 電 子 は他 の電 子 で い く らか遮 蔽 さ れ た 電 場 の 中 で 運 動 して い る こ とに な る.電 子 に は た ら く有 効 電場 は純 粋 な クー ロ ン力 で な くな り,そ の た め に主 量 子 数ｎ の 同 じ軌 道 で は方 位 量 子 数ｌ の大 き い もの の 方 が エ ネ ル ギー は高 くな る傾 向 が あ る. これ は ヘ リウ ム に 限 らず,多 電 子 を もつ す べ て の原 子 につ い て い え る こ とで あ る. しか し定 性 的 に は,電 子 数 の あ ま り大 き くな い 原 子(リ 電 子 数 が大 き くな るに つ れn=1の

閉 殻 の 外 のn=2の

っ て 占 め られ て い く.そ してZ=10の

ネ オ ン(Ne)に

チ ウ ム(Li)以

下)で

は

軌 道 が つ ぎつ ぎに電 子 に よ 至 っ てn=2の

軌道 はすべ

閉 殻 の外 のn=3の

軌 道 に電 子

て満 員 に な る.こ れ は第 ２の 閉 殻 の 完 成 で あ る.   ネ オ ン の 次 に くる ナ トリ ウム(Na)で

はn=2の

が １個 入 る.こ れ は閉 殻 の 外 に電 子(殻

外 電 子)が

チ ウ ム と似 た構 造 で あ る.ナ NaHな

１個 あ る構 造 な の で 水 素,リ

トリウ ム が 水 素 や リチ ウム と似 た 化 合 物(H2,LiH,

ど)を つ くる な ど とい う元 素 の 化 学 的性 質 は この よ う な原 子 の構 造 を考 え

れ ば理 解 で き る.   ナ トリ ウ ム以 後 に はn=3,l=0(3sで

表 わ す)お よびn=3,l=1(3pで

す)が つ ぎつ ぎ に 占 め られ て い き,Z=18の

ア ル ゴ ン(Ar)に

表わ

至 っ て3sと3p軌

道 が 満 員 に な る.ア ル ゴ ン も化 学 的 に不 活 発 な元 素 で あ る.   アル ゴ ンの 次 の カ リウム （ Ｋ）で は,19番 の 軌 道 に入 らず にn=4,l=0(4sで

目の 電 子 はn=3,l=2(3dで

表 わ す)

表 わ す)に 入 る こ とが 原 子 の 出 す 光 の ス ペ ク

トル な どか ら確 か め られ る.こ れ は次 の よ う に理 解 で き る.   方 位 量 子 数ｌ の大 きな軌 道 は遠 心 力 の た め外 へ広 が っ て い るの に対 し,ｌ の小 さ

表 ２ 原 子 の電 子 配位

な軌 道 は原 子 核 の近 くに位 置 して い る.原 子 核 の 近 くで は他 の電 子 に よ る遮 蔽 が 少 な い の で,原 子 核 の 電 荷 が その ま ま で電 子 に はた ら くか らlの 小 さ な軌 道 の 方 が大 きな もの よ り もエ ネル ギ ーが低 くな る傾 向 が あ る.そ のた めカ リウム で はn=3, l =2(3d)よ

り もｎ が 高 くて もlの 小 さ な軌 道n=4

ー が 低 い の で あ る.

,l=0(4s)の

方が エネルギ

  こ の よ う に電 子 数 が 多 くな る と各 軌 道 の エ ネル ギ ー の順 序 は複 雑 にな っ て くる. さ ら に い くつか の 要 因 が こ れ を さ ら に複 雑 に す る.   その １つ はパ ウ リの 原 理 で あ る.こ の 原 理 に よれ ば,ス

ピ ンの 平 行 な ２つ の 電

子 はた が い に近 づ く確 率 が 小 さ い の で ク ー ロ ン反 発 力 が 強 くはた らか ず,ス

ピン

が 反 平 行 な 電 子 対 の エ ネ ル ギー よ り も低 くな る(こ の こ とは フ ン ト(Hund)の

規

則 と よ ば れ る もの と関係 が あ る).   さ ら に,原 子 核 を まわ る電 子 が 感 じ る電 場 は そ の 運 動 の た め にた えず 変 化 す る の で,電 子 に は磁 場 が は た ら く こ とに な る(電 子 に対 して 原 子 核 が 相 対 的 に運 動 す る の で 電 子 に は磁 場 が は た ら く と解 釈 す る こ と もで き る).こ の た め電 子 の磁 気 モ ー メ ン トに は ス ピ ン軌 道相 互 作 用 とい う力 が は た らき,エ ネ ル ギー を変 化 させ る.こ の 影 響 は 原 子 核 の 電荷 が 大 き い ほ ど,す な わ ち原 子 番 号 の 大 き な原 子 ほ ど 著 しい.

Tea

Time

顕微鏡   中 学 校 の 理 科 の教 科 書 は改 訂 ご と に色 が きれ い に な る.物 理 と化 学 の 第 １分 野 の写 真 や絵 は あ ま り変 わ りよ うが な いが,生 物 と地 学 の 第 ２分 野 は使 わ れ る色 の 数 が 多 くな る に つ れ て もっ た い な い く らい美 し くな っ て くる.顕 微 鏡 で 見 た花 な どの 美 しい 写 真 を見 て い る と,教 科 書 に あ る よ う な顕 微 鏡 を買 っ て 楽 しん で み た くな る.子 供 の と き に顕 微 鏡 が ほ しい と父 に せ が ん だ 記 憶 が 残 っ て い る.父 は 学 校 の 先 生 に き い た ら し く,「 い ま買 っ て あ げ て も猫 に小 判 だ 」とい っ て 買 っ て くれ な か っ た.「 猫 に 小 判 」と は ひ どい と思 っ た.買

っ て くれ た ら物 理 で な く生 物 を専

門 に した か も しれ な い の に残 念 な こ とで あ る.中 学 の こ ろ,光 が直 進 す る性 質 を もつ こ とを 学 ん だ と き,こ れ を利 用 す れ ば い くら で も大 き く拡 大 した 像 を つ くれ る か ら原 子 を見 る こ と もで き る だ ろ う と考 え た が,高 校 で は光 が100分

の １ミ リ

以 下 の 波 長 を もつ た め に その 程 度 の分 解 能 しか な い こ と を知 っ て顕 微 鏡 の 発 明 を あ き ら め た.

  ふ つ うの 光 で 見 る光 学 顕 微 鏡 で 見 分 け られ る ２点 間 の距 離 は １万 分 の ２ ミ リ程 度 が 限 界 で あ る と い う.こ れ は200ナ

ノ メ ー トル で あ る.ナ ノ は10-9の 意 味 で あ

る.ナ

ノ ・マ ニ フ ァ ク チ ャ リン グ)が 発 達 して い

ノ メ ー トル 程 度 の 加 工 技 術(ナ

る.電 子 顕 微 鏡 の分 解 能 は0.1ナ

ノ メー トル程 度 に達 して い る とい う.

  とが った 金 属 に高 電 圧 を か け る とそ の先 端 の 強 い電 場 の た め に イ オ ン化 され た 原 子 が 電 圧 に よ っ て ま っす ぐ飛 ぶ.こ れ を利 用 した 顕 微 鏡(電 界 イ オ ン顕 微 鏡) も あ り,金 属 表 面 の研 究 な どに 用 い られ る.   画 期 的 だ っ た の は 走 査 型 トンネ ル 電 子 顕 微 鏡(STM)で,金 させ,針

属 針 を試 料 に接 近

と試料 の 間 に一 定 の トンネ ル 電 流 が 流 れ る よ う に針 を原 子 的 な ス ケ ー ル

で 上 下 させ な が ら動 か す.横 方 向 で0.2ナ トル 程 度 の分 解 能 を もつ.STMを

ノ メー トル,上 下 方 向 で0.01ナ

ノ メー

開発 し た ス イ ス のG.BinnigとH.Rohrerは

1986年 の ノー ベ ル 賞 を与 え られ た.   何 年 前 の こ とだ っ た か 覚 えて い な いが,ソ 連 の研 究 者 が 精 巧 な 天 秤 を 開 発 し て レ ンズ 型 の物 質 を た が い に近 づ けた と き に はた ら く分 子 間 力(フ ァン ・デ ル ・ワ ー ル ス力)を 直 接 測 定 す るの に成 功 した とい う報 告 が あ った(た しか デ ル ヤ ー ギ ン とい う人 の 実 験 だ っ た と思 う).こ れ に興 味 を もった 私 は これ に関 す る総 合 報 告 を読 み,応 用 物 理 学 会 の特 別 講 演 で 話 し を した.こ し て あ っ た が,当

の 報 告 の コ ピ ー は最 近 まで 残

時 の コ ピー は いわ ゆ る コ ンニ ャ ク版 で 次 第 に色 が あ せ て 判 読 不

可 能 に な っ て きた の で 棄 て て し まっ た.ソ 連 の研 究 を疑 う人 も あ る が,こ で は電 磁 気 学 はマ ク ス ウ ェ ル(J.C.Maxwell)で Lebedev,光

の 圧 力 の測 定 で 知 られ る)が つ くっ た もので あ る と書 い て あ っ た.最

近 は フ ァ ン ・デ ル ・ワー ル ス力 を直 接 測 定 す る原 子 間 力 顕微 鏡(AFM)が れ,STMと

の報 告

な くロ シ ア の レべ デ フ(P.N.

つ くら

同程 度 の分 解 能 で ３次 元 像 を得 る こ とが で き る とい う こ とで あ る.

第４ 講 分 子 性 物 質

テー マ

◆ 分 子 間力 ◆ 第 ２摂 動項 ◆ 対 応状 態 の原 理 ◆Tea

Time:カ

シ ミア効 果

分 子 間 力   ヘ リ ウ ム,ネ オ ン,ア ル ゴ ン な どは元 素 の 同期 表 で第 ０族 に属 し,化 学 的 に不 活 発 で あ る.こ れ らの 元 素 の 原 子 は １個 で 安 定 した 分 子 と し て振 舞 う.つ ま り典 型 的 な 分 子 性 物 質 で あ る.水 素,窒 素,酸 素 な どは ２原 子 分 子(H2,N2,O2な か ら な る分 子 性 物 質 で あ る.二 酸 化 炭 素CO2,メ

タ ンCH4,四

ど)

塩 化 炭 素CCl4な

ど も代 表 的 な分 子 性 物 質 で あ る.   これ らの 分 子 性 物 質 は低 温 で 液 体 や 固体 に な る.こ れ は分 子 間 に引 力 が はた ら くか らで あ る.電 気 的 に 中性 で 化 学 的 な結 合 力 を もた な い分 子 の 間 に は た ら く力 は フ ァ ン ・デ ル ・ワー ル ス力 と よ ばれ て い るが,こ

れ は分 子 性 気 体 が 凝 縮 して 液

体 に な る現 象 を論 じた フ ァン ・デ ル ・ワー ル ス(J.D.van

der Waals)の

仕 事(1873

年)に 由来 す る名 称 で あ る.中 性 な分 子 の 間 に なぜ 分 子 間 引 力 が はた ら くの か,と い う こ と は量 子 力 学 に よ っ て これ が 解 明 さ れ る ま で長 い 間 疑 問 に 思 わ れ て きた .   分 子 間 引 力 の 本 質 は 量 子 力 学 的 な もの で あ る が,あ き る.ヘ

る程 度 古 典 力 学 的 に理 解 で

リウ ム の よ うな 単 原 子 分 子 を 考 え る と,原 子 核 を 中心 に 電 子 が 運 動 して

い るか ら,平 均 的 に 分 子 は球 対 称 で あ るが各 瞬 間 に は電 子 の位 置 が 偏 っ て い て 電 気 的双 極 モ ー メ ン トを もっ て い る.こ の モ ー メ ン トは

図12

周 囲 に電 場 を つ くるか ら,そ の 影 響 に よ って 近 くに 来 た 第 ２の分 子 は分 極 す るが,こ

の 影 響 を平 均 して も引 力 は生 じな い.し

か し第 ２の 分 子 の 分 極 が 第 １の 分 子 に影 響 し て,そ の 電 子 の運 動 を各 瞬 間 に変 化 さ せ,エ

ネ ル ギ ー の 低 下 を生 じ る の で あ る.

  簡 単 な模 型 を使 え ば フ ァ ン ・デ ル ・ワー ル ス力 に よ るエ ネ ル ギ ー の低 下 を簡 単 に 説 明 す る こ とが で きる.１ 次 元模 型 を と り,電 子 が 原 子 核 に よ って クー ロ ン力 を 受 けて い る とす るか わ りに,原 子 核 は各 分 子 の電 子 に対 して単 振 動 の場 をつ くっ て い る と し よ う.図12の

よ う に直 線 上 に ２個 の 分 子OとO'が

各 分 子 の 中心 か らx1,x2だ る.相 互 作 用 は+-の

あ る と し,電 子 が

け変 位 した とき のエ ネ ル ギ ー を(1/2)C(x12+x22)と

電 荷 に よ る もの で,各 電 荷 をeと す る とr≫x1,x2と

す して

(１)

で あ る.し

た が っ て全 エ ネ ル ギ ー は (２)

と な る(ｍ

は 電 子 の 質 量,x1とx2は

電 子 の 速 度).こ

こで (３)

とお く と (４)

と な る.こ

れ は ２ つ の 独 立 な 単 振 子 の エ ネ ル ギ ー の 和 で あ る.こ

こ でCs,Caは (５)

で 与 え られ,２ つ の振 子 の振 動 数 は (６)

と な る.量

子 力 学 に よれ ば,こ

で 与 え ら れ る か ら,e2/2r3≪1と

れ らの 振 子 の 最 低 エ ネル ギ ー は それ ぞれhνs/2,hνa/2 して 全 エ ネ ル ギ ー を 求 め る と (７)

とな る.こ

こで

〓は孤 立 した分 子 の電 子 の振 動 数 を意 味 し,hν0は ２分

子 が 孤 立 した とき の エ ネ ル ギー で あ る.し た が っ て 相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー は 上 式 の第 ２項,す

なわ ち (８)

で 与 え られ る。 これ が フ ァ ン ・デ ル ・ワー ル ス力 の エ ネル ギ ー で,分 子 間 距 離 ｒの ６乗 に 反 比 例 し,マ イ ナ ス が つ い て い るの は これ が 引 力 で あ る こ とを表 わ す.   【分 散 力 】 上 の扱 い で は分 子 を調 和 振 動 子 で 近 似 した.こ 束 縛 す る力 はf=-cxで

の分子模型 で電子 を

あ る.こ の分 子 に電 場 Ｅ をか け る と電 子 はeEの

力 を受

け,そ の 変 位 をｘ とす る と,静 電 単 位 系 で (９)

とな る.分 子 の 分 極 は電 荷 の変 位exで

あ り,単 位 電 場E=1に

よ って生 じる分 極

を分 極 率 とい う.分 極 率 を α とす る と

(10) す なわち (11) で あ る.こ

れ を 用 い る と フ ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス 力 の ポ テ ン シ ャ ル(８)は

(12) と書 か れ る.   この よ うに フ ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス 力 は分 子 の 分 極 率 に 関 係 す る が,分 極 率 は 光 の分 散 現 象 に現 わ れ る もので あ る.こ の た め フ ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス 力 は しば し ば分 散 力 と よ ば れ る.光 の場 合 に は 電 場 が 高 速 で 振 動 す る の で,電 子 が それ に つ れ て 運 動 す る分 極 は光 の 振 動 数 に 関係 す る.こ の た め分 極 率 は光 の振 動 数(あ

る い は波 長,色)に

よ っ て 異 な る の で光 の 屈 折 率 が色 に

よ っ て 異 な る現 象(分 散 現 象)が 生 じ るの で あ る.   な お,分 子 を一様 な 負 電 荷 の球(全 電 荷-e)で

近 似 し,

そ の 半 径 をａ とす る と,負 電 荷 を 中 心 の 原 子 核(+eの 電 荷 とす る)か らｒ だ け ず らす の に要 す る力 は

(13) と 計 算 さ れ る.し (11)と

た が っ て 力 の 定 数 はc=e2/a3で

あって

比 べ る と

(14) す なわ ち分 子 の静 電 場 に対 す る分 極 率 は分 子 の体 積a3の 程 度 で あ る こ とが わ か る.

図13  一 様 な電荷 の球

  【第 ２摂 動 項 】 量 子 力 学 の摂 動 論 を用 い る とフ ァ ン ・ デ ル ・ワ ー ル ス 力 は 第 ２摂 動 項 と し て 与 え られ る.こ

れ は1930年

の分 極 にF.ロ

ン ドン に

よ っ て は じ め て 明 ら か に さ れ た こ と で あ る.   簡 単 の た め ２個 の 分 子 が そ れ ぞ れ １個 ず つ の 電 子 を も っ て い る と し,各 中 心 を 原 点 と し て 各 電 子 の 位 置 を(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)と だ 分 子 間 の 距 離 をｒ

とす る と(図14参

照),相

し,ｘ

分子の

方 向 に並 ん

互 作 用 の エ ネル ギ ー は

(15) で 近 似 で き る((１)参 照).こ ２摂 動 項 に よっ て 与 え られ,こ

の体 系 に対 す る分 子 間 の相 互 作 用 のエ ネル ギ ー は第 れは

(16) と 書 け る.こ

こ でE0(1)とE0(2)は

各 分 子 の 基 底 状 態 の エ ネ ル ギ ー,En1(1)とEn2(2)

は 同 じ く 励 起 状 態 の エ ネ ル ギ ー で あ り,(H')00,n1n2は

n1,n2)行

摂 動 エ ネ ル ギ ー-H'の(00,

列 要 素 で あ る.n1とn2に

つい

て の 和 を １項 だ け で 代 表 さ せ て 書 き 直 す と 図14

(17) で 近 似 で き る.他 方 で 振 動 数 ω の電 場 に 対 す る分 子 の 分 極 率 は

(18) と書 け る.く わ しい説 明 は省 略 す るが,こ こで〓 学 で 使 わ れ る用 語)と

は振 動 子 強 度(光

よ ば れ,ま たEj-Ei=ωij/hで

あ る. (19)

と近 似 す る.E*-E0は

分 子 の イオ ン化 エ ネ ル ギーIに

近 い こ とが 知 られ て い るの

で,各 分 子 に対 して

(20) とお け ば上 式 か ら分 散 率 αを 用 い て 相 互 作 用 は (21) と表 わ さ れ る こ とに な る.   【フ ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス 力 の加 算 性 】 多 くの場 合,分

子 間 力 は加 算 的 で あ る

と考 え られ て い る.し か し多 数 の分 子 が ｌ直 線 に並 んだ 模 型 を考 え る と,１ つの 分 子 の 電 子 の振 動 は他 の 分 子 に影 響 し,そ の 運 動 は波 とな っ て伝 わ る.こ の場 合 の 全 系 の エ ネ ル ギ ー の低 下 は各 分 子対 に対 す る フ ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス力 の相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー を加 え合 わ せ た もの と一 致 しな い.い い か え れ ば フ ァ ン ・デ ル ・ ワ ー ル ス 力 の 相 互 作 用 は完 全 に は加 算 的 で な い.し

か し分 子 間距 離 が少 し大 き く

な れ ば 非 加 算 性 は ほ と ん ど問題 に な ら な い.   【反 発 力 】 分 子 間 の 反 発 力 は,化 合 物 の 中 で 原 子 と原 子 との 間 で は た ら く反 発 力 と同様 の もの で あ る.す な わ ち 反 発 力 の エ ネ ル ギ ー は 原 子 中 の 電 子 雲 の ひ ろが りの程 度 の 範 囲 で は た ら き,e-γ/a(ａ は定 数)の よ う に分 子 間 距 離ｒ

共 に急 激

に減 少 す る.こ の 反 発 力 とフ ァ ン ・デ ル ・ワー ル ス 引 力 とに よ り,２ つ の 分 子 間 の 相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー(分 子 間 力 ポ テ ン シ ャル)は

(22)

の よ う に 表 わ さ れ る.ま

た レ ナ ー ド・ジ ョ ー ン ズ(Lennard‐Jones)ポ

テ ン シ ャル

と よ ばれ る形

(23) が よ く使 わ れ る.各 物 質 に つ い て気 体 の状 態 方 程 式 （ 理想気体 か らのずれ）や固 体 に 関 す るデ ー タ か ら分 子 間 力 が 推 定 され る. 対 応 状 態 の原 理   分 子 性 物 質 に お い て,２ 分 子 間 の相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャルu(r)は な 形 を して い る の で,u(r)の

極 小 値 を-φ0と

し,u(σ)=0と

図15の

よう

な る分 子 直 径 を σ

とす る と

(24) と書 け る.関 数 ψ は ネ オ ン,ア ル ゴ ン な どの 分 子 性 物 質 に 共 通 な もの と して よい で あ ろ う.   そ こで 分 子 性 物 質 が Ｎ 個 の分 子 か らな る と し,ｎ 番 目の 量 子 状 態 の エ ネル ギー 固 有 値 をEnと

す る と,全 系 の シ ュ レー デ ィ ンガ ー方 程 式 は(ｍ

は分 子 の 質 量)

(25)

と書 け る.長

さ は σ を 単 位 と し て 測 り,エ

ネ ル ギ ー は φ0を 単 位 と し て 測 る こ と に

す る と,形

式 的 に は 無 次 元 の 量(還

量)r*=r/σ,En*=En/φ0を

元 され た

用 いて上 の方 程

式 は

(26) と書 け る.こ

こで

(27) 図15  分子 間 力の ポ テ ン シ ャルu(r)

図16  体 積 の 温 度変 化

図17  臨 界温 度Tc*∼Λ

は量 子 効 果 の 程 度 を表 わ す 量(ド

・ブ ー ル(de

Boer)の

パ ラ メ ー タ とい う)で あ

る.分 子 の質 量ｍ が 小 さ く,分 子 間 力 が 小 さい物 質 ほ どΛ は大 きい.En*は され た体 積V*=V/Nσ3とΛ

とｎ で きま り,物 質 の熱 的 性 質 はEn*の

ま る わ け で あ る.温 度Ｔ,体

積Ｖ,圧

力p,表

還元

集 ま りで き

面 張 力ｒ な ど の還 元 され た値 (28)

な ど を用 い て分 子 性 物 質 の 性 質 を比 較 す る と図16∼18の

よ うに な る.

  また,量 子 効 果 のパ ラ メ ー タΛ の 値 を表 ３に示 す.   図16∼18か

らわ か るよ うに,ヘ

リウム や水 素

で は量 子 効 果 が 著 し く,ネ オ ン で も少 し量 子 効 果 が 認 め られ る.し か しア ル ゴ ンや 窒 素 で は量 子 効 果 は認 め られ ず,こ

れ ら よ り質 量 の 大 き な

分 子 は ほ と ん ど完 全 に古 典 力 学 的 に振 舞 う と考 え られ る.   図19∼20で

は ヘ リ ウ ム の 同 位 体4Heと3He

(これ らは圧 力 を加 え な い限 り,絶 対 零 度 で も液 体 で あ る)の 間 に きわ だ っ た性 質 の ち が い は な い よ うに見 え る.し か し これ らは超 流 動 な ど,ほ か の物 質 に な い 性 質 を もつ.さ

らに4Heの

超流

図18  表 面 張力 の温 度 変 化

表 ３ 量子 効 果 の パ ラ メ ー タΛ

図19 

動 と3Heの

4Heの

相図

図20  極 低温 に お け る3Heの 相 図(mKは10-3K)

超 流 動 は ち が っ た 機 構 で 起 こ る も の で あ る こ と も 知 られ て い る(次 講

で 述 べ る よ う に4Heは

ボ ー ス 統 計 に し た が い,3Heは

Tea

フ ェ ル ミ統 計 に した が う).

Time

カ シ ミア 効 果   分 子 間 に はた ら く引 力 で あ る フ ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス 力 は,つ め て い え ば電 子 と電 子 が 電 磁 場 を媒 介 とし て 引力 を及 ぼ し合 う力 で あ る.フ ス 力 は,電 子 ど う しが(第

ァン ・デ ル ・ワ ー ル

２摂 動 項 で,仮 想 的 に)光 子 を交 換 す る こ とに よ っ て

相 互 作 用 す る力 で あ る とい う こ ともで き る.２ 個 の 水 素 原 子 な どを結 び つ け る原 子 間 結 合 力 は ス ピ ンが 関 係 す る の で 原 子 価 とい う概 念 か ら もわ か る よ う に結 合 の 原

子 数 が 特 定 され る飽 和 力 で あ る. これ に対 して フ ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス 力 は ス ピ ン に関 係 しな い 力 で 近 似 的 に 加 算 的 で あ る.前 講 の Tea

Timeで

述べた デルヤー ギ ン

の 実 験 で は この加 算 性 の 吟 味 に重 点 が あ て られ て い た と思 う.   こ の よ うに物 質 間 に は た ら く力 の 理 論 を勉 強 して い た と き に,光 の 圧 力 の た め に接 近 させ た ２枚 の 金 属 板 の 間 に はた ら く力 が あ る こ と を知 った.図21の

ように ２枚 の

図21

金 属 板 を 接 近 させ て立 て る と,こ れ らの 間 の 電 磁 場 の定 常 波 の 波 長 は板 の 間 隔 の 距 離 で 制 限 され る.板 が 無 限 に 広 い とす る と板 に垂 直 な 方 向 の 定 常 波 の最 小 の 波 長 λは板 の 間 隔ａ の ２倍 で あ り,こ の 波 の振 動 数 はν=c/2a(cは

光 速 度)と な る.量 子 論 に よれ ば振 動 数ν の振 動

の 最 低 の エ ネ ル ギ ー(零 点 エ ネル ギ ー)はhν/2(hは

プ ラ ン ク定 数)で あ る か ら

間 隔ａ を小 さ くし よ う とす る とエ ネ ル ギ ーが 高 くな る.２ 枚 の板 の 外 は事 実 上 無 限 に広 が っ て い るか らそ の 零 点 エ ネ ル ギ ー はゼ ロ と考 え て よい.し

た が っ て ２枚 の

板 の 間 に はた が い に遠 ざか ろ う とす る反 発 力 が はた ら くこ とに な る.こ シ ミア(Casimir)効

の力 は カ

果 と よ ば れ て い る.

  この 力 を知 った 当 時 の メ モ や論 文 の コ ピー は失 っ て し ま った の で理 化 学 辞 典 を み る と,こ の 力 に つ い て 次 の よ う に書 か れ て い る(『理 化 学 辞 典 第 ４版 』岩 波 書 店, 1987).   ２枚 の 極 板 の間 の距 離ａ が極 板 の 大 きさ に比 べ て 小 さ い場 合,極 板 の単 位 面 積 あ た り(π2/240)hc/a4の 大 き さ を もつ 引 力 が はた ら く.こ れ は1948年 シ ミア が 予 言 し,ス パ ー ネ ー （M.J.Sparnay)が 方 を実 験 で 確 認 した.

にH.B.G.カ

この力 の 大 き さ とａ 依 存 性 の 両

第５ 講 密

度

行

列

テー マ

◆ 密 度行 列 ◆ プ ロ ッホ方程式 ◆ 密 度行 列 の変換 性 ◆Tea

Time:友

あ り遠 方 よ り来た る

統計 集 団 と期 待値  量 子 力 学 に お い て は物 理 量 Ａ は一 般 に エ ル ミー ト演 算 子(第17講 され る.体 系 の 波 動 関 数 が ψ（x,t）で あ る と き,Ａ

の期待値

参 照)で 表 わ

（ 平均値 ）は (１)

で与 え られ る.ψn(x)を

規 格 化 され た 直 交 関 数 系 とす る.す な わ ち (２)

と す る.ψ

を ψn(x)で

展開 し (３)

とす る.Ａ

の行 列 表 示 を (４)

とす る とそ の 期 待 値 は

(５)

で 与 え られ る. 体 系 の ハ ミル トニ ア ン を Ｈ とす る と,ψ の時 間 変 化 は (６)

で 与 え られ る.し た が っ て係 数cn(t)の

時 間変 化 は (７)

で 与 え られ る.た だ し (８) で あ る.ハ

ミル トニ ア ン Ｈ は エ ル ミ ー ト演 算 子 で あ る か ら (９)

で あ る.こ

の と き 積cncm*の

時間変化 は

(10) で 与 え られ る こ とが 直 ち に示 され る.   さ て,同

じ構 造 を もち 同 じ巨 視 的 条 件 の も とに あ る多 数 の体 系 を考 え,こ れ を

統 計 集 団,あ

るい は単 に集 団 とい う.こ の 集 団 に対 す るＡ の平 均 値 は(５)か

ら

(11) と な る.こ

こ でcncm*の

集団平均

(12) を表 わす行列 (13) を密 度 行 列(統

計 集 団 の 密 度 行 列)と

 一 般 に行 列M=(M

い う.

nm)の 対 角 要 素 の和 を対 角 和,あ

る い は跡(trace)と

いい

(14) で これ を 表 わ す.こ

の 記 号 を用 い る とＡ の 平 均 値(11)は

(15)

と書 け る.Ａ

お よび ρのｘ 表 示 を それ ぞ れ

(16)

とす る と

(17) と書 け る. 密 度 行 列 の 時 間 変 化 は(10)に

より

(18) で 与 え られ る.こ れ は量 子 力 学 の リュ ー ビ ュ(Liouville)方   定 常 な集 団 で は,Ｈ

程 式 で あ る.

を対 角線 的 にす る表 示 で 密 度 行 列 も対 角 線 的 で あ る.す な

わち (19) こ の場 合 は (20) が 集 団 を 規 定 す る.   温 度 Ｔ,β=1/kTの をEnと

す る.す

と きハ ミル トニ ア ン Ｈ の 固 有 関 数 を ψn(x)と

し,固

有値

なわ ち

(21) この と き重 みwnは

ボル ツ マ ン因 子

(22) で あ り,体 系 の統 計 集 団 の 密 度 行 列(密 度 行 列 のx表

示)は

(23) で あ る.

(24) で あ り,各

項 について

(25) を用 いれば

(26) した が っ て 密 度 行 列 は(密 度 行 列 のｘ 表 示)

(27) と書 け る.こ れ を β で微 分 す る と

(28) を得 る.こ れ を ブ ロ ッホ(Bloch)方

程 式 とい う.ハ

ミル トニ ア ン Ｈ が 与 え られ

た 体 系 にお い て は ブ ロ ッ ホ方 程 式 を解 く こ と に よ っ て体 系 の 統 計 熱 力 学 的 な性 質 が 導 き出 せ るの で この 方 程 式 は き わ め て 重 要 な 方 程 式 で あ る.ブ ロ ッホ 方 程 式 を 解 く と きの"初

期 条 件"(β →0)は(27)か

らわ か る よ う に

(29) で あ る(多 粒 子 系 で は右 辺 を対 称 化 しな けれ ば な ら な い).   密 度 行 列 を用 い る と状 態 和 は

(30)

で 与 え ら れ る.こ 分)を

意 味 す る.状

の と き のtrは

ρ(x,x')の

対 角 要 素 ρ(x,x)のｘ

に 関 す る 和(積

態 和 Ｚ を 用 い る と体 系 の 自 由 エ ネ ル ギ ー Ｆ は

(31) で 与 え ら れ る.

密度行列の変換性   密 度 行 列(27)で

は ψn（x）をハ ミル トニ ア ン Ｈ の 固有 関 数 系 とした.こ の 関 数

系 か ら任 意 の 直 交 関 数 系 φj(x)へ 移 る変 換 を考 え よ う.変 換 を

(32) とす る.こ れ らの 関 数 系 は完 全 系(任

意 の 関 数 が 展 開 で き る)と す る.す な わ ち

(33) が 満 た さ れ て い る と す る.こ

の とき

(34) が 成 り立 つ こ とが た だ ち に示 され る.   さ て密 度 行 列(27)は

(35) と な る が(34)に

よ り

(36) とな る.し た が っ て関 数 系 φj(x)に 対 して も密 度 行 列 は 関数 系 ψn(x)に 対 して と 同 じ形 で 書 け る の で あ る.密 度 行 列 を求 め るの に は適 当 な完 全 系 を選 べ ば よ く, か な らず し もエ ネ ル ギ ー の 固 有 関 数 を 用 い る必 要 は な い.   な お,(33)と(27)お

よ び(36)を

用 い れ ば密 度 行 列 ρ(x,x')は

(37) と 書 け る こ とが わ か る.こ の 極 限 で は ρ(x,x')→ 期 条 件"に

こでe-βHはx-x'のｘ δ(x-x')で

あ り,こ

に作 用 す る演 算 子 で あ る.β

→0

れ が ブ ロ ッ ホ 方 程 式 を 解 く と き の"初

な る.

Tea

Time

友 あ り遠 方 よ り来 た る   は じ め て ア メ リ カ へ 行 っ た 昭 和30年 大 学(カ

ル テ ク).フ

の こ と で あ る.場

ァ イ ン マ ン(R.P.Feynman)の

ル ゼ ン 氏(Haakon Olsen),ド ３人 の 外 国 人 が い た.オ

所 は カ リフ ォルニ ア工 科

イ ツ の コー フ ィン ク氏

研 究 室 に は ノル ウ ェー のオ （Walter

ル ゼ ン氏 は 素 粒 子 が 専 門 だ っ た が,後

Kofink）

と私 の

に ノル ウェ ーの 大 学

で 旧 交 を あ た た め る縁 が あ り,パ グ ウ ォ ッシ ュ会 議 で来 日 した こ と もあ った.戦 後 約10年

だ っ た の で,敗 戦 国 ど う し の コー フ ィ ン ク氏 とは す ぐに親 し くな り,彼

の アパ ー トへ 行 っ て イ チ ゴ を御 馳 走 に な っ た り した.彼 して いた よ うに 思 うが,1937年

は中 性 子 の拡 散 の 計 算 を

頃 の仕 事 が 伏 見 康 治 さんの1940年

の有 名 な論 文(次

講 末 参 照)に 繰 り返 し引 用 され て い る の を大 変 誇 りに思 って いた(こ 列 の性 質 に関 す る研 究 で あ る.Ann.d.Phys.,28,264(1937)な

れ は密 度 行

ど).

  コ ー フ ィ ン ク氏 は た しか ２年 間 カ ル テ ク に い て か ら ドイ ツの カ ル ル ス ル ー エ の 大 学 へ 帰 っ た が,と

き ど きア メ リカへ 行 っ て い た ら しい.私 が ベ ル ギ ー に １年 間

い た と き 自動 車 を運 転 して カル ル ス ル ー エ へ 寄 っ た こ とが あ る.ド イ ツ へ 入 る検 問 か ど こか で 自動 車 の保 険証 を な く して し ま っ た の で ベ ル ギ ー の 保 険 屋 さん へ 電 報 を打 っ て と り寄 せ た.こ

の と き郵 便 局 の 人 が 英 文 の 電 報 の 字 数 を減 ら して 電 報

料 をや す くす るの に頭 を ひ ね って くれ た の が 忘 れ られ な い(結 局 ２字 を くっ つ け て １字 の よ う に す る こ とで解 決 した).保

険 証 が速 達 で くる まで コー フ ィ ンク さん

の 家 や 近 くの シ ュ ワル ツ ヴ ァル トで 二 三 日過 ご した の だ が,コ

ー フ ィ ン ク氏 の 息

子 さん を乗 せ て ドラ イ ブ した り,そ の愛 犬 と遊 ん だ りし て楽 しむ こ とが で きた.   そ れ か ら何 年 か た っ た あ る年,コ られ た 知 らせ が あ った.そ

ー フ ィ ン ク夫 人 か ら の手 紙 で 氏 が 急 に 亡 くな

れ か ら また 何 年 か た っ て か ら,私 が ドイ ツ の学 会 に 出

席 した と き,シ ュ トッ トガ ル トの研 究 所 に い た 小 川 泰 氏 ら と 自動 車 で 小 旅 行 を し た が,特

に カ ル ル ス ル ー エ に寄 って も らっ て 町 はず れ に コ ー フ ィ ン ク夫 人 を訪 ね

た こ とが あ っ た.夫 人 の 話 で は コー フ ィ ン ク氏 は授 業 中 に急 に倒 れ て 入 院 し,頭 の 病 で 亡 くな った とい う こ とで あ っ た.息 子 さ ん は就 職 して近 くの 町 に移 り,と き ど き夫 人 を訪 ね て くる とい う.カ ルル スル ー エ は落 ち つ い た静 か な町 で あ った.   そ れ か ら また 何 年 か た った1989年 に カ ル ル スル ーエ か らの 客 人 が その夫 人 と共 に東 京 の私 の 家 へ や って きた.こ の に ぎや か な客 はWolfgang Burgerさ ん とい い, カ ル ル ス ル ー 工 大 学(コ

ー フ ィ ンク氏 の カ ル ル ス ル ー エ 工 科 大 学 と は違 う大 学)

の 理 論 力 学 の教 授 で あ る.『 お もち ゃ の科 学 』の研 究 者 と し て の私 の名 を知 っ て 来 日 の機 会 に訪 ね て きた の で あ っ て,彼

は ドイ ツ で 同 様 に お もち ゃ の研 究 を して い

る.私 の お もち ゃ を と り出 して 共 に遊 び 共 に食 べ,一 夜 を大 い に楽 しん だ もの で あ る.彼 た.も

は1995年

と1999年

に は新 し く出 版 した お もち ゃの 科 学 の本 を送 っ て来

ち ろ ん私 が 書 い た本 を献 本 した.彼 の 本 は ドイ ツ 語 で,私

の本 は 日本 語 で

書 か れ て い る.共 通 の望 み は これ らの本 の 日本 訳 と英 語 訳 を出 版 す る こ とで あ り, 共 通 の 悩 み は この 望 み が達 成 され て な い こ とで あ る.

第６ 講 密度 行列の古典近似

テー マ

◆

カー ク ウ ッ ドの 方 法

◆ 古 典 近 似(h→0) ◆ 伏 見 の方 法 ◆Tea

Time:コ

モ湖

カ ー ク ウ ッ ドの 方 法   前 講 で 述 べ た ブ ロ ッ ホ 方 程 式 の 古 典 的 な 近 似 方 法 に つ い て 考 え よ う.い な 方 法 が あ る が,ま

ず カ ー ク ウ ッ ド(J.G.Kirkwood)の

簡 単 な 例 と し て １粒 子 の 問 題 を と り上 げ る.ハ るH0と

ポ テ ン シ ャ ルＵ

ろい ろ

方 法 を 述 べ る こ と に す る. ミ ル トニ ア ン を 自 由 粒 子 に 対 す

の 和 で あ る とし て

(１)

と す る.密 度 行 列 を 求 め る の に任 意 の直 交 関 数 系 を用 い て もよ い か ら,自 由 粒 子 に対 す る固有 関 数 系 (２) を 使 う こ と に す る.Ｌ

は １次 元 の 箱 の 大 き さ で あ り,

(３)

密 度 行 列(前 講(27))を

求 め るた め便 宜 上 (４)

とお き,こ れ に対 す る ブ ロ ッ ホ 方程 式 (５) を 解 く た め,さ

らに (６)

と お く.こ (５)に(６)を

こ でp2/2m+Uは

古 典 的 な エ ネ ル ギ ー の 値 で あ っ て,演

算 子 で は な い.

代 入 す ると

(７)

と な る が,こ

の 右 辺 を 書 き 直 す と(計 算 を わ か りや す く表 わ す た め,"・"な

どを

入 れ る)

(８)

を得 る.こ れ を(７)の

右 辺 に代 入 す る とい くつ か の項 は打 ち消 し合 っ て (９)

とな る.β →0の と きw→1を

下 限 と して β に つ い て 積 分 す れ ば積 分 方 程 式 の形

(10) に書 け る.そ

こでwを

形 式 的 にｈ で 展 開 し て

(11) とお い て 逐 次 的 に解 く と

(12)

を得 る.こ れ らを 用 い て 密 度 行 列 は

(13) と な る.

 形 式 的 にh→0と

した場 合,あ

るい は β≪1(高 温)の 場 合 は,l=0だ

け を採 用

して

(14) こ こで 運 動 量ｐ は

(15) で あ る か ら,Ｌ が 十 分 大 きい ふ つ うの場 合 はｐ あ る い はｎ につ い て の和 を積 分 で お きかえ

(16) と し て よい.こ

う して 古典 的 な 式

(17) を得 る.こ れ か ら状 態 和 を計 算 す れ ば

(18) と な る.こ れ は よ く知 られ た古 典 的 な式 で あ る.  特 にU=0の

場 合,す

なわ ち 自由 粒 子 の場 合 は

(19) とな る.   これ らの式 か らわ か る よ うに,量 子 力 学 の式 か ら 出発 して 古 典 力 学 的 な極 限 を 求 め る と,量 子 力 学 に お け る １つの 状 態 は古 典 力 学 で は位 相 空 間(p,x)の

体 積ｈ

に対 応 す る こ とが 自然 に 導 か れ る.

伏見の方法   カ ー ク ウ ッ ドの 方 法 は有 名 で あ り,多 粒 子 系 に も拡 張 で き るが,大

変複 雑 で あ

る.高 温 の 展 開 を 求 め る だ け な ら ば も う少 し簡 潔 な 方 法 が あ る.   簡 単 の た めh=1,m=1と

す る単 位 を と る.こ の と き,ブ ロ ッホ 方 程 式 は １粒

子 １次 元 の場 合

(20) と 書 け る.こ

こ で β→0の 極 限 で は 初 期 条 件(前 講(29))ρ(x,x')→

δ(x-x')に

よ り

(21) で あ る こ と を考 慮 して

(22) と お く.

(23)

こ れ を(20)に

代入 す る と

(24) こ こでΦ を β の べ き で展 開 し て

(25) と す る と,β0の

係数 か ら

(26) を 得 る.こ

れは

(27) と書 け るか ら,積 分 し て

(28)  次 に β1の 係 数 か ら

(29) を得 る.こ れ を積 分 す れ ば

(30)  さ てU(x)をx'の

付近 で

(31) と展 開 す る と

(32) し た が っ て(28)に

よ り

(33) こ れ を微 分 して

(34)

これ を(31)に

代 入すれ ば

(35) よって

(36)  さ らに 高 次 へ 進 め ば

(37)

を得 る.   こ う して 形 式 的 な展 開

(38) を得 る.そ の 対 角 要 素 は

(39) で あ る.   こ の節 で述 べ た 方 法 は   K.Husimi:

Some

formal

properties

of the

density

matrix,Proc.Phys.Math.

Soc.Japan,22,264-314(1940) に よ る.こ

の 論 文 は 密 度 行 列 に つ い て く わ し く 論 じ た 画 期 的 な 仕 事 で あ る.

Tea Time

コモ 湖   ベ ル ギ ー の プ リゴ ジ ン(I.Prigogine)の

研 究 室 に １年 間 い た と き(1957年),イ

タ リア の コモ 湖 で 統 計 力 学 の 国 際 会 議 が 開 か れ た.コ モ は風 光 明 媚 で有 名 な と こ ろで あ る.帰 国予 定 の 期 限 が きて い たが,東

京 教 育 大 学 の三 輪 光 雄 先 生 か ら出 張

の 延 長 許 可 と文 部 省 旅 費 まで い た だ く こ とが で きた.プ

リゴ ジ ン の研 究 室 で は女

性 の学 生 も含 め 自 動 車 を運 転 して 行 くか ら と一 緒 に行 くこ とをす す め られ たが,私 は 少 し年 を とっ て い る か ら と辞 退 し て列 車 で 行 く こ とに した． コモ に つ い て か ら 聞 い た と こ ろ で は 自動 車 の人 達 は 「湖 を見 るた び に泳 い だ」 とい うか ら,辞 退 し た の は 賢 明 で あ っ た と思 っ た.列 車 はベ ル ギ ー か らル ク セ ンブ ル ク,ド イ ツ,ス イ ス を通 っ て(フ

ラ ン ス も通 った か も)イ タ リア へ入 り,そ の 頃 はEUに

な る前

だ か ら国境 を越 え る ご とに税 関 吏 が 列 車 に 入 っ て く るの で よ く寝 る こ と もで きな か った.   ミ ラ ノ へ 着 い て朝 食 を しに広 場 の レ ス トラ ン に入 った ら 日本 人 は魚 が い い で し ょ う とい わ れ,朝

か ら フ ラ イ を食 べ た.レ

オ ナ ル ド ・ダ ・ヴ ィ ンチ の 描 い た 『最

後 の 晩 餐 』 を見 た が,戦 争 中 に兵 隊 が 入 っ て い た とい う こ とで ひ ど く荒 れ た感 じ だ った.観

光 バ ス か ら外 を見 て い た ら,高 校 の 同 窓 生 だ っ た 山本 正 君 が 数 人 の イ

タ リ ア人 ら し い人 と歩 い て い るの を見 掛 け た が,バ る こ と もで き な か っ た.彼

ス の 窓 が 開 か な くて声 を か け

は 医学 者 で イ タ リア との 交 流 に努 め て い た.ミ

ラノか

ら コモ 湖 へ の 電 車 の 乗 客 の 多 くは学 者 連 中 で あ っ た.   会 議 に は オ ンサ ガ ー(L.Onsager),ウ ク ウ ッ ド,メ イ ヤ ー （J.Mayer)な

ー レ ンべ ック(G.E.Uhlenbeck),カ

カ ー ク ウ ッ ドや メ イ ヤ ー は湖 で水 泳 を楽 しん で い た.ウ と した 風 格 が あ っ た.1953年

ー

ど統 計 力 学 や 液 体 論 の人 が集 ま った.元 気 な ー レ ンべ ッ ク は貴 公 子 然

の 国 際 会 議 で 知 り合 っ た オ ン サ ガ ー と親 し く話 が で

き た の は楽 しか っ た.会 議 が 終 っ て か ら小 野 周 君 と船 で 湖 を渡 っ て 一 泊 した.帰 りは ミラ ノ か ら １人 で ブ ラ ッセ ル行 きの 列 車 に 乗 っ た が,や だ けの コ ンパ ー トメ ン トだ っ た.ど

や高 齢 の 婦 人 と ２人

うい う わ けか 帰 途 は税 関 吏 に悩 ま され る こ と

もな く無 事 ベ ル ギ ー へ 帰 る こ とが で きた.   二 度 目 に コモ 湖 へ行 った の は1976年 で 非 線 形 問 題 の 国 際 会 議 だ っ た.ク ル スカ ル(M.D.Kruskal)夫 妻,パ ス タ(J.Pasta),フ ラ シ ュ カ(H.Flaschka)な ど が ア メ リカ か ら集 まっ た.フ

ォ ー ド(J.Ford)は

若 い 新 しい 奥 さ ん を つ れ て きた.

日本 か らは 斎 藤 信 彦 君 が参 加 した.エ しん だ.む

ク ス カ ー シ ョ ンの 夕 べ に は湖 上 の 花 火 を楽

か し湖 の近 くで 戦 い が あ っ て,勝 利 を花 火 で 町 へ 知 らせ た 故 事 を記 念

した 花 火 だ った.コ

モ湖 に は電 池 の 発 明 で知 られ た ヴ ォル タ(A.Volta)の

あ り,立 派 な 白 い館 で あ っ た.ヴ

屋敷 が

ォル タ を讃 えた ヴ ォル タ の 広 場 もあ っ た.日 本

に も物 理 学 者 の 名 前 を もつ 広 場 が ほ し い.   1957年 の 会 議 の と きに 発 表 され た 論 文 に 弱 い力 で相 互 作 用 を して い る ボー ス気 体 に 関 す る もの が あ っ た.こ れ は モ ン トロ ー ル(E.W.Montroll)と わ れ る ウ ォ ー ド(Ward)の

若 い 学 生 と思

仕 事 で あ る.こ れ は 大 ま か に い う と次 の よ う な 内容 の

もの で あ っ た.ボ ー ス粒 子 の 理 想 気 体 を統 計 力 学 で 扱 う場 合,体

系 は粒 子 が ネ ッ

ク レ スの よ う に環 をつ くっ た パ ー ミュ テー シ ョ ン ・リ ング の 集 ま りで表 わ す こ と が で き るが,弱

い 相 互 作 用 が あ る と き は リ ング ど う しが と こ ろ ど こ ろ で相 互 作 用

を す る と考 え て 近 似 計 算 が 実 行 で き る.日 本 へ 帰 っ て か ら この 論 文 を セ ミナ ー な どで 紹 介 した の が,こ

れ は い わ ゆ る素 粒 子 論 の 方 法 を物 性 論 に応 用 す る研 究 方 向

の さ きが け の １つ で あ っ た.

第７ 講 ウ ィ グナ ー 分 布 関 数

テー マ

◆

ウィ グナ ー表示

◆

ウィ グナ ー分布 関数

◆ 古典 的位 相 空間 ◆Tea

Time:E.ウ

ィグナー

ウ ィグナ ー 表 示   量 子 力 学 と古 典 力 学 を連 続 的 に つ な ぐ方 法 の １つ に ウ ィ グ ナ ー表 示 が あ る.こ の 量 子 力 学 の 表 示 で プ ラ ンク定 数 ｈを ０に近 づ け れ ば古 典 力 学 にな るの で あ る.１ 自由 度 の粒 子 に つ い て これ を説 明 し よ う.一 般 的 な体 系 へ の 拡 張 は こ こ に現 わ れ る積 分 な ど を多 次 元 変 換 に書 き直 せ ば 十 分 で あ る.   任 意 の物 理 量Ａ

の座 標 表 示 を(第

５講(16)参

照) (１)

と し た と き,こ

れ に 対 応 す る ウ ィ グ ナ ー 表 示 をAw（p,q)と

す る.こ

れ は (２)

で 定 義 され る.た だ し (３)

あ るいは

(３')

とお く.す な わ ち座 標 表 示 の ２つ の脚xとx'の

重 心 を位 置 座 標 ２と し,そ の 差ｒ

に つ い て の フ ー リエ 変 換 の パ ラ メ ー タ を運 動 量ｐ に対 応 させ る.ウ Aw（p,q)は

位 相 空 間(q,p)に

  (１)に お い て 物 理 量Ａ

ィ グ ナー 表 示

お け る関 数 で あ っ て,演 算 子 で は な い.

を運 動 量ｐ と座 標ｘ の 関 数A（p,x)と

すると (４)

と な る こ とが 示 さ れ る.  特 にＡ が 座 標ｘ だ け の 関 数U(x)で

あれ ば,演 算 子Ｕ

の座 標 表 示 は

(５) で あ る.し

た が っ て そ の ウ ィ グ ナ ー 表 示Uw（p,q）

は (６)

で 与 え られ る.ま たＡ が 運 動 量ｐ だ け の 関 数K(p)で

あれ ば,演 算 子 Ｋ の座 標

表示は (７)

で あ る. (８)

で あ るか らK(p)の

ウ ィグ ナ ー 表 示 は

(９)

とな る((９)の 第 ２式 の被 積 分 を形 式 的 に ∂/∂qにつ い て 展 開 し ∂δ(r)/∂q=0を 考 慮)が,べ

き級 数 展 開

(10) を仮 定 す る と,

(11) で あ り,部 分 積 分 を繰 り返 せ ば

(12)

高 次 の項 も同 様 な の で,し た が っ て

(13) と な る.こ

れ ら の 結 果Uw=U(q),Kw=K（p）

は い わ ば 当 然 で,古

典 的な力学量

と 量 子 力 学 的 な 量 と の 対 応 を 示 し て い る.   一 般 に 座 標ｘ 換 で な い か ら,演 え てp,qで

と運 動 量ｐ が 混 じ っ て い る 場 合 に は,量 算 子A(x,x')のｘ

表 わ し た も の とＡ

子 力 学 的 に はそ れ らは可

とx'をx=q+r/2,x'=q-r/2で

の ウ ィ グ ナ ー 表 示Aw（p,q)と

お きか は,ち

が う 場 合 もで

て く る.

ウ ィグナ ー分 布 関 数   密 度 行 列ρ(x,x')の

ウ ィ グ ナ ー表 示 は

(14) で あ る.こ れ は特 に ウ ィ グ ナ ー分 布 関 数 とよ ば れ て い る.こ の逆 変 換 は

(15)

で あ る.物 理 量Ａ の平 均 は

(16)

で 与 え られ る(xとx'の

順 序 に 注 意)か ら,こ れ を ウ ィ グ ナ ー表 示 で 計 算 す る と

(17) と な る.こ

こ でq=（x+x')/2,r=x-x'で

あ り

(18)

を用 い て

(19) し た が っ て(２)と(17)に

よ り (20）

とい う公 式 が 得 られ る.   (２)に よ れ ば物 理 量Ａ を位 相 空 間 で表 わ した ものが 、Aw(p,q)で 系 の 位 相 空 間 にお け る分 布 がf(p,q)で 値(20)に

あ る とみ れ ば,Ａ

あ り,そ の 体

の平 均 は古 典 的 な 平 均

よ っ て与 え られ る.対 応 関 係 は  量 子 力 学 の演 算 子A←  密 度 行 列 ρ   期 待 値(平

→ ウ ィ グ ナ ー 表 示Aw（p,q) ← → ウ ィ グ ナ ー 分 布 関 数f(p,q)

均 値)tr←→

位 相 空 間 の積 分〓

この 関 係trと 位 相 空 間 の積 分(1/h)∬dpdqの 空 間 の体 積hが

(21)

対応関 係 は,１自由 度 あ た りの位 相

１つ の量 子 状 態 に対 応 す る こ と を意 味 して い る.自 由度 が ｆ の場

合 に は こ の対 応 関 係 は

(22) とな る.位 相 空 間 の体 積hfの

中 に量 子 力 学 的 な １つ の状 態 が 存 在 す る とい う解 釈,

い い か え れ ば位 相 空 間 の体 積 の 単位 はhfで 関 係 はh→0の

あ る とい う解 釈 が成 り立 つ.こ の対 応

古 典 力 学 的 極 限 にお い て ウ ィグナ ー 関 数Awが

応 す る こ と を示 して い る.

古 典 的 な物 理 量 に対

Tea

E.ウ

Time

ィ グナ ー

  ア イ ン シ ュ タ イ ン の 生 誕 百 年 祭 が プ リ ン ス トン 高 等 研 究 所 で あ っ た の は1979年 の こ と で あ っ た.た さ そ わ れ て,こ

ま た ま プ リ ン ス トン 大 学 に い た 私 は 数 学 教 室 の ク ル ス カ ル に

の行 事 の うち の ウ ィ グ ナ ー

デ ィ ラ ッ ク(P.A.M.Dirac)の

（E.Wigner）

の講 演 を聞 きに い っ た.

話 も 一 部 き く こ と が で き た が,年

ッ ク に 比 べ て ウ ィ グ ナ ー の 方 が 少 し 若 そ う に 見 え た(デ ウ ィ グ ナ ー は 同 じ 年 の11月

を とったデ ィラ

ィ ラ ッ ク は1902年

８月,

生 ま れ).

  ウ ィ グ ナ ー は シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー や ハ イ ゼ ン ベ ル ク ほ ど に は 有 名 で な い が,量 子 力 学 に お い て 多 くの 貢 献 が あ り,原 ベ ル 賞 を 受 け て い る.固 ら れ,量

子 核 と素 粒 子 の 理 論 に よ っ て1963年

のノー

体 の 凝 縮 エ ネ ル ギ ー に 関 す る ウ ィ グ ナ ー-サ イ ツ 法 で も知

子 力 学 の 観 測 の 問 題 で は 「シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 猫 」 の 話 を さ ら に 一 歩

進 め た 「ウ ィ グ ナ ー の 友 人 」 も よ く語 ら れ る.   数 年 前 に カ リ フ ォ ル ニ ア 大 学 ア ー ヴ ァ イ ン校 の 蒲 生 秀 也 さ ん か ら ウ ィ グ ナ ー に 関 す る 本 を い た だ い た.The

Recollections of

Szanton(Plenum,N.Y.,1992)で

Eugene

Wigner

あ る(Szantonは

ー が 話 す の を その ま ま聞 い て い る よ う な気 が す る本 で ラ ッ ク,数

as Told

to Andrew

フ リー ラ イ タ ー).ウ ,ア

イ ン シ ュ タ イ ン,デ

学 者 で 子 供 の と き か ら の 友 人 だ っ た フ ォ ン ・ノ イ マ ン(J

Neumann),そ

れ に マ ク ス ウ ェ ル の魔 の解 釈 や 著作

シ ラ ー ド(L.Szilard)な

ィグ ナ ィ

.L.von

『イ ル カ 放 送 』 な ど で 有 名 な

ど に つ い て も 生 き 生 き と語 ら れ て い る .こ

の 本 か ら,彼

が 物 理 を は じ め た 頃 の こ と を 少 し 引 用 し て み よ う.   彼 は ハ ン ガ リ ー の ブ ダ ペ ス トで 育 っ た.父

は 伝 統 的 な 製 革 業 を 営 ん で い て,息

子 に も こ の 仕 事 を 継 い で も ら い た い と 思 っ て,ベ

ル リ ン で 勉 強 さ せ る こ と に し た.

工 科 大 学 の 化 学 工 学 科 に 入 っ た の は ウ ィ グ ナ ー が18歳 学 を 勉 強 す る と同 時 に 物 理 学 に も興 味 を も っ た.フ れ た.人

の1921年

で あ る .彼

は化

ロ イ ドの 心 理 学 に も強 く惹 か

間 が もつ 意 識 が 関 心 の 中 心 で あ っ た ら し い.物

理 学 とい う不 思 議 な世 界

が な か っ た ら 心 理 学 者 に な っ て い た だ ろ う.   し か しベ ル リ ン 大 学 で 水 曜 に お こ な わ れ る ドイ ツ 物 理 学 会 の コ ロ キ ア ム に 出 席 す る よ う に な り,急 イ ン,ラ に な る.ウ

ウ エ,プ

に 物 理 学 へ と傾 斜 し て い っ た の で あ る.こ

ラ ン ク,ネ

こ で ア イ ン シ ュタ

ル ン ス ト な ど の 高 名 な 学 者 を 知 り,シ

ィ グ ナ ー は 遠 慮 深 い が シ ラ ー ド は 強 引 で,ア

ラ ー ドが 友 人

イ ン シ ュ タ イ ン に統 計 力

学 の講 義 を させ た とい う.こ の 講 義 に は後 年 ホ ロ グ ラ フ ィ ー を発 明 した ガ ボ ー ル も出 席 し,ゲ

ッチ ンゲ ン の ノ イ マ ン もベ ル リ ン に き た と き は これ に加 わ っ た.

  1925年 に工 科 大 学 を卒 業 して ブ ダペ ス トへ 帰 り,父 の仕 事 を継 ご うと したが,ど う して も物 理 学 を や りた く思 っ て い た と こ ろへ,1926年

に ベ ル リン の カ イ ザ ー ・

ウ ィル へ ル ム研 究 所 の 知 人 か ら結 晶 の Ｘ 線 解 析 を手 伝 っ て ほ しい とい う手 紙 が き た.月

給 は少 な く,食 費 と部 屋 代 で ほ とん どな くな っ た が,将 来 が 開 け る よ うな

気 が した.こ

こで 彼 は結 晶 の対 称 性 の 研 究 か ら群 論 の勉 強 に入 り,こ れ が そ の後

の 彼 の 研 究 上 の 武 器 に な っ た よ うで あ る.   ６か 月後 に電 磁 気 学 者 の ベ ッ カ ー の助 手 に な り,1927年 に は数 学 者 ヒル ベ ル ト の 助 手 と な っ て ゲ ッチ ンゲ ン に移 っ た.し か し ヒル ベ ル トは病 気 の た め急 に衰 弱 し,全

く仕 事 が で きな くな っ て し まっ た の で,ウ

て し まっ た.ど

ィ グ ナ ー は ひ と りぼ っ ち に な っ

う した ら よ いか と彼 は 深 く悩 ん だ ら しい が,や が て ハ イ トラ ー や

ワ イ ス コ ッ プ な ど の若 い 友 人 が で き,大 家 ボル ンや ヨル ダ ン と も知 り合 う よ うに な っ て,1929年 は1930年

に ウ ィグ ナー は本 格 的 な研 究 に と り組 む よ うに な った の で あ る(彼

に ア メ リカ へ 渡 り,プ

リン ス トン大 学 の 教 授 と な っ た).

第８ 講 量

子

統

計

テー マ

◆ 粒子 の 同等性 ◆

フ ェ ル ミ統 計,ボ

◆ 状 態 和,大

ー ス統計

きな 状 態 和

◆ 遷 移 確 率 と平 衡 ◆Tea

Time:パ

ラ統計

粒 子 の 同等 性   同 種 の原 子,分 る.た

子 あ る い は電 子 ど う し は本 質 的 に同 じで 区別 で き な い もの で あ

とえ ば ２個 の 同 種 粒 子 １ と ２が １つ の箱 の 中 に入 っ て い て,そ

動 量 がp(1)とp(2)で

あ る状 態(図22で

れぞれの運

この状 態 を Ａ で 表 わ そ う)を 考 え る.こ

れ らの粒 子 の 運 動 量 を と りか え た状 態 Ｂ は,粒 子 を区別 しな い立 場 で は Ａ と同 等 で あ る.し た が って Ａ と Ｂ は ２つ の 微 視 的状 態 で な く唯 一 の微 視 的 状 態 と考 えな け れ ば な らな い.   古 典 力 学 で は微 視 的 状 態 の"数"と 入 っ て い る箱 が 長 さlの p(1)+dp(1)の

し て位 相 空 間 の 広 さ を考 え る.２ 個 の 粒 子 が

１次 元 空 間 で あ る とす る と,粒 子 １の 運 動 量 がp(1)と

間 に あ る よ うな微 視 的 状 態 の位 相 空 間 の広 さ はldp(1)で

様 に粒 子 ２の位 相 空 間 の広 さ はldp(2)で れ 運 動 量p(1),p(2)を dp(2)で あ るが,上

あ り,同

あ る.し たが って これ ら ２粒 子 が それ ぞ

もつ よ う な位 相 空 間 の 広 さ はldp(1)×ldp(2)=l2dp(1) に述 べ た よ う に同 種 粒 子 は本 質 的 に区 別 で きな い とす る と,微

図22  運 動 量 空 間

図23  ２粒 子 のエ ネ ル ギ ー状 態

視 的状 態 の"数"は これ を ２で 割 っ た値l2dp(1)dp(2)/2で あ る とい う こ とに な る. 一 般 に Ｎ 個 の 同種 粒 子 か ら な る体 系 で は位 相 空 間 の 体 積 を Ｎ!(粒 子 の い れ か え の数)で 割 っ た も の が 微 視 的 状 態 の 数 を与 え る と考 え られ る.(こ

の よ う に,古 典

力 学 に も とづ き微 視 的 状 態 は連 続 で あ り,ど こ まで も くわ し く観 察 し区 別 で き う る な らば これ は正 し い.こ れ は量 子 力 学 的 で な い 古 典 力 学 の 立 場 で あ る.)   量 子 力学 で は微 視 的 状 態 が 不 連 続 に な る.粒 子 間 に相 互 作 用 が な い(理 想 気 体 の 場 合)と

す る と各 粒 子 の 微 視 的状 態 はエ ネル ギ ー 固 有 値(準

位)に

よ っ て指 定

さ れ る が,簡 単 の た め準 位 の エ ネ ル ギ ー はた が い に す べ て異 な る(縮 退 が な い) とし よ う.２ 粒 子 系 の状 態 は粒 子 １の単 位 ε(1)と 粒 子 ２の 単 位 ε(2)と に よって指 定 され る.こ れ を 図23の

よ うに 表 わ す と,前 の 図22と

同様 に,状 態 Ａ と状 態 Ｂ

とは同 一 の も の と して 見 な けれ ば な らな い.   そ の上,も

し も粒 子 が パ ウ リの原 理 に した が う とす る と,同 じ準 位 に ２個 の粒

子 が 入 る こ と は で き な い か ら,ε(1)=ε(2)の 除 か れ な け れ ば な ら な い.パ

状 態 Ｃ は 実 現 さ れ な い もの と して,

ウ リの 原 理 に した が う粒 子 を フ ェル ミ粒 子 とい い,

フ ェル ミ粒 子 の 集 ま りを扱 う統 計 を フ ェル ミ統 計,あ

る い は フ ェル ミーデ ィ ラ ック

(Fermi-Dirac)統

リウ ム の 同 位 体3Heな

計 と い う.電 子,陽 子,中

性 子,ヘ

どは

フ ェル ミ粒 子 で あ る.   これ に対 し同 じ準 位 に粒 子 が い くつ で も入 る こ とが で き る よ うな粒 子 も あ り,こ れ は ボ ー ス粒 子 と よば れ る.光 の 量 子 （ 光 子 ）,ヘ リ ウム の同 位 体4Heな

どはボ ー

ス 粒 子 で あ る.ボ ー ス粒 子 の 集 ま りを扱 う統 計 を ボー ス統 計,あ

るい は ボ ー ス‐

ア イ ン シ ュ タ イ ン統 計 とい う.ボ ー ス粒 子 系 に とって は ε(1)=ε(2)の

Ｃ も １つの

可 能 な状 態 で あ る.   ま た,こ れ ら に対 して 古 典 的 な 粒 子 が した が う統 計 は ボ ル ツマ ン(Boltzmann) 統計 （ 古 典 統 計 ）とよ ばれ る.こ の統 計 で は,ま ず粒 子 は区別 で きる もの と して微 視 的 状 態 の"数"を 求 め,こ れ を粒 子 の と りか えの 数N!(Nは

粒 子 数)で 割 る ことに よ

っ て粒 子 の 区別 をな くす ことがで きる と考 える.粒 子 数 が ２の場 合 にp(1)=p(2)(あ るい は ε(1)=ε(2))の 状 態 の数 は(2!で 割 るた め),(位

相 空 間 ÷2)で あ る こ とにな

る.た だ,運 動 量 が 連 続 な古 典 力 学 で は図22に お い て,ち ょ う どp(1)=p(2)で

あ

る よ う な位 相 空 間 の体 積 は ０で あ るか ら,そ の 状 態 の 数 は問 題 に な らな い.ボ ル ツ マ ン統 計 とボ ー ス統 計 の 相 違 は 次 に述 べ る扱 いで さ らに 明 らか に な るで あ ろ う.

熱 力 学 的 関係 式  こ こ で熱 的 平 衡 状 態 に あ る体 系 の 扱 い を証 明 な しに ま と めて お く.  体 系 の エ ネ ル ギ ー 固有 値 をEnと

し,可 能 な状 態 す べ て に わ た る和 (１)

を状 態 和(分 配 関 数)と い う.添 字 Ｎ は粒 子 の個 数,Ｔ

は絶 対 温 度, kは ボル ツ

マ ン定 数 で あ る. (２) は 自 由 エ ネ ル ギ ー で あ り,体

系 の エ ネ ル ギ ー(内

部 エ ネ ル ギ ー)Ｅ

は (３)

体系 の圧力ｐ は (４)

で 与 え られ る(Ｖ

は体 系 の体 積).

さ らに (５)

を大 き な状 態 和,ζ

を化 学 ポ テ ン シ ャル とい う.ζ を与 えた と き,体 積Ｖ

の中 に

あ る粒 子 の 個 数 は (６)

で 与 え られ,こ の 系 の圧 力ｐ は (７)

で与 え られ る.１ 成 分 系 で は (８)

の 関係 が あ る.Ｇ

は熱 力 学 的 ポ テ ン シ ャル とよ ば れ る.

理想気体   粒 子 間 に 相 互 作 用 の 力 が は た ら か な い と き,す 典 統 計 の 場 合 も 位 相 空 間 をhf(fは

自 由 度)に

な わ ち 理 想 気 体 を 考 え よ う (古

細 分 して不 連 続 空 間 の よ う に扱 う

こ と に す る).   【ボ ル ツ マ ン 気 体 】 ２個 の 粒 子 か ら な る 気 体 を 考 え よ う.粒 ギ ー を 図24の

よ う に ε0,ε1,ε2,…

と す る.体

系 の 微 視 的 状 態ｎ

ε(1)と 粒 子 ２の 状 態 ε(2)で 表 わ さ れ,ε(1),ε(2)は …） を と り うる +ε(2)で

.全

子 の と りう るエネ ル は 粒 子 １の 状 態

そ れ ぞ れ 値 εi（i=0,1,2,

エ ネ ル ギ ー はE=ε(1)

あ る か ら,こ

の 体 系 の状 態 和 は

(９)

で与 え られ る よ う に見 え る.し か し こ うす る と,図23の

ように １つの状 態 Ａ と ２粒 子

を入 れ か えた 状 態 Ｂ を別 々 に扱 う こ とにな るが,粒 子 は本 当 は 同 等 な の で Ａ と Ｂ は １ つ の状 態 で あ る と しな けれ ば な ら な い.し た が っ て ２粒 子 系 の状 態 和 は上 の 式 を ２で 割 った もの,す な わ ち

Ａ

Ｂ

図24  準 位 εiと２つの粒 子

(10) で あ る.こ れ が ボ ル ツマ ン統 計 の 考 え方 で あ る.粒 子 が Ｎ 個 の場 合 は粒 子 を と り か え る 方 法 の数N!で

割 った もの,す

なわ ち

(11) こ れ を 用 い て 大 き な 状 態 和(５)は(公

式1+x+x/2!+…=exに

よ り)

(12) と な り,(６),(７)か

ら

(13) (14) し た が っ てPV=NkTが

成 り立 つ(こ

れ は ボ イ ル‐シ ャ ル ル(Boyle‐Charles)の

方 程 式 で あ る が,こ

の方 程 式 はニ ュ ー トン力 学 に 限

らず,ボ ル ツ マ ン統 計 で は特 殊 相 対 論 的 な理 想 気 体 で も成 り立 つ の で あ る).   (13)は 温 度 Ｔ の と き(β=1/kT),準

位iを

占め

る粒 子 数 が

(15) で 与 え ら れ る こ と を 示 し て い る.す で あ る.こ

な わ ちNi∝e-β

εi

れ を マ ク ス ウ ェ ル ーボ ル ツ マ ン分 布 と い う.

  【フ ェ ル ミ気 体 】

パ ウ リの 原 理 に した が う フ ェ ル

ミ粒 子 で は,各

準 位 に た か だ か １個 の 粒 子 し か 入 り

え な い(図25参

照)の

で,Ni=0,１

に 限 ら れ,全

体

の粒 子 数 は 図25  フ ェ ル ミ粒 子 の分 配 の例

(16)

で あ る.こ

の制 限 の も とに

(17) した が っ て

(18) で あ り,フ ェル ミ粒 子 系 の大 き な状 態 和Ξ

は す べ て の可 能 なNiの

組 に対 す る和

なので

(19) で 与 え ら れ る.(６)でΞ

をΞFと

す れ ば,粒

子 の総 数 と し て

(20) を得 る.こ れ は温 度 Ｔ の と き(β=1/kT)準

位ｉ を 占 め る粒 子 数 が

(21) で あ る こ とを示 して い る.こ の 粒 子 分 布 を フ ェ ル ミ分 布(フ

ェル ミ‐デ ィラ ック分 布)と

い う.

  【ボ ー ス気 体 】 ボ ー ス粒 子 で は パ ウ リの 原 理 に よ る 制 限 は な く,各 準 位 に 入 りう る粒 子 の 個 数 は ０か ら∞ まで 許 さ れ る(図26参

照).す

なわち (22)

で あ る.そ

こで フ ェル ミ粒 子 系 の場 合 と同 じ よ う に し

て ボ ー ス 気 体 の大 きな 状 態 和ΞBを 求 めれ ば(等 比 級 数 の 公 式1+x+x2+…=（1-x)-1を

用 い て)

(23) 図26  ボー ス粒 子 の 分 配 の例

を 得 る.(６)に

よ り α を与 え る式 は

(24) と な る.こ

れ は 温 度 Ｔ の と き(β=1/kT),準

位ｉ を 占 め る 粒 子 数 が

(25) で あ る こ と を 示 し て い る.こ ン 分 布)と

の 粒 子 分 布 を ボ ー ス 分 布(ボ

ー ス‐ア イ ン シ ュ タ イ

い う.

エ ン トロ ピー

  多 くの テ キ ス トで は,粒 子 を各 準 位 に分 配 す る方 法 を数 え上 げ て体 系 の エ ン ト ロ ピー を求 め て い る.こ の 方 法 で は準 位ｊ の縮 退 度 をcjと して 粒 子 を分 配 す る方 法(組

み合 わ せ の 方 法)の

数 Ｗ を求 め る.気 体 の エ ン トロ ピ ー Ｓ は

(26) で与 え られ る.そ の 結 果 ボ ル ツマ ン気 体 で は,粒 子 数 を十 分 大 きい と し て

(27) N,njが

十 分 大 き い とす る と ス タ ー リ ン グ(Stirling)の

公式 を用い て

(28) と な る.  フ ェ ル ミ気 体 で は

(29) (30)  と な り,ボ

ー ス気 体 で は

(31) (32) と な る こ と が 示 さ れ る.

  こ れ ら の エ ン ト ロ ピ ー の 式 を 導 くの は 繁 雑 な の で 本 書 で は こ の 方 法 を 採 用 し な か っ た.そ

の 代 わ り に 上 に 論 じ た 式 か ら こ れ らの エ ン ト ロ ピ ー の 式 を 導 く こ と に

し よ う.   【略 証 】

大 き な 状 態 和Ξ=ΣλN'ZN'(λ=e-α)の

ろ で す る どい 山 を もち,Ｎ

項λNZNは

が 十 分 大 きい 体 系 で はlog〓

で お き か え て よ い(統 計 力 学 の 常 套 手 段 で あ る) .さ -TS=-kTlogZ

Nで

あ るN'=Nの

とこ

を 最 大 項Nlogλ-logZN ら に 自 由 エ ネ ル ギ ー はF=E

あ る.

  し た が っ て フ ェ ル ミ気 体 で は(λ=e-a)

(33) また

(34) から

(35) こ こ でE=Σ

εjnjを 考 慮 す れ ば

(36)

ゆ えに

(37) こ れ は,(30)で っ て(30)と

す べ て のcj,を

１ と し た 式(縮 退 し た 準 位 を 分 け て 考 え た 式)で

あ

同 じ こ とで あ る.

  ボ ー ス 気 体,ボ

ル ツ マ ン 気 体 に つ い て も 同 様 で あ る.

遷 移 確 率 と平衡   古 典 的 な 粒 子(た の 気 体)と

とえ ば容 器 の壁 の原 子)と

フ ェル ミ粒 子(た

が 一 緒 に存 在 す る体 系 を想 像 し よ う.あ

と え ば粒 子 の 中

る準 位 ａに あ る古 典 粒 子 と準

位 ｋ に あ る フ ェ ル ミ粒 子 とが衝 突 し て,古 典 粒 子 は 準 位 ｂへ 移 りフ ェル ミ粒 子 は

準 位 ｈへ 移 る 過 程 が お こ る 確 率(遷

移 確 率)をP(a,k→b,h)と

す る と,こ

れは

(38) で 与 え られ るだ ろ う.こ

こでＡ はあ る定 数,Naは

準 位 ａに あ る古 典 粒 子, nkは

準 位 ｋ に フ ェル ミ粒 子 が 存 在 す る確 率 で あ り,ANankは

これ らの粒 子 が 衝 突 す る

確 率 で あ る.し か し フ ェ ル ミ粒 子 で はパ ウ リの 原 理 に よ って 移 っ て い く準 位 ｈが 粒 子 に よ っ て 占 め られ て い れ ば そ こへ 移 る こ とが で きな いか ら,こ の遷 移 が お こ る確 率 は準 位 ｈが 空 い て い る確 率1-nhに

も比 例 す る と考 え られ るの で,右 辺 最

後 の 因 子 を直 観 的 につ け た の で あ る.   同 様 に 逆 の 過 程,す

な わ ち 古 典 粒 子 が 準 位 ｂか ら ａへ 移 り,フ ェル ミ粒 子 が 準

位 ｈか ら ｋ へ 移 る確 率 をP（b,h→a,k）

とす る と

(39) で与 え られ る だ ろ う.  熱 平衡 の 状 態 で は これ ら の遷 移 は等 し くな け れ ば な らな い か ら

(40) した が っ て

(41) が 成 り立 つ.   準 位 ａ,ｂ,ｋ,ｈ の エ ネ ル ギ ー を そ れ ぞ れEa,Eb,εk,εhと

す る と,衝

突 によっ

て エ ネ ル ギ ー 保 存 が 成 り立 つ は ず な の で

(42) で あ り,ま た 古 典 粒 子 に対 し て は ボ ル ツマ ン統 計 に よ り

(43) が 成 り立 つ.し

たが って

(44) は ｋ,ｈ に よ ら な い.こ

の式か ら

(45)

を得 る.こ れ は フ ェル ミ分 布 に ほ か な ら な い.  同様 な 方 法 で ボ ー ス 分 布 を得 る た め に は(38)の

代 わ りに

(46) (47) と しな け れ ば な らな い.こ の 場 合 の 因 子1+nhや1+nkは

直 観 的 な意 味 づ けが 不

可 能 で あ る.た だ パ ウ リの 原 理 とは逆 に ボー ス粒 子 で は す で に粒 子 に よ っ て 占 め られ て い る準 位 に は,粒 子 が 移 る確 率 が大 き い とか,あ

る い は ボー ス粒 子 は 集 ま

る こ と を好 む と い う奇 妙 な性 質 が あ る こ と を納 得 しな けれ ば な ら な い の で あ る.   な お本 節 に述 べ た こ とに つ い て は第14講

Tea

フ ォ トン を参 照 し て ほ しい.

Time

パ ラ統計   ず いぶ ん 昔 の こ とで あ るが,終 戦 後 間 もな くど こか の 大 学 で 量 子 力 学 の 講 義 を した こ とが あ る.た

しか テ ン プ ル とい う人 が書 いた 小 さな 本 を読 み な が ら講 義 の

た め の ノ ー トを つ く った の が,整 理 を し て い た 本 棚 の 隅 か ら出 て きた.『 量 子 論, 講 義 原 稿 』 と表 紙 に 墨 で 書 い て あ っ て,第 はPlanckが1900年

『古 典 力 学 』と題 さ れ,ｐ.3∼4に 換,ポ

１ペ ー ジ を 開 い て み る と 「量 子 の 出現

に発 表 した 熱 輻 射 の研 究 に 潮 る.…｣で 始 まっ て い る.p.2は か けて ハ ミル トン の変 分 原 理,一 般 座 標,接

ア ソ ン括 弧 が述 べ られ て い る.p.5は

触変

も う 『量 子 力 学 』で あ っ て ハ イゼ ンベ

ル ク の 運 動 方 程 式 で書 か れ,量 子 力 学 の 運 動 方 程 式 が 時 間 につ い て １階 の 微 分 方 程 式 で な け れ ば な らな い こ とが メ モ 的 につ け加 え られ て い る.こ

こ らか ら し ば ら

くデ ィ ラ ック風 に ブ ラ とケ ッ ト記 号 が 用 い られ て い る.こ の ま ま講 義 した とした ら,学 生 諸 君 は 目 を まわ した こ とだ ろ う.こ の ノ ー トは書 き は じめ て す ぐに講 義 用 で は な くな っ て し まっ た に ち が い な い.p.16に で,い

わ ゆ る第 ２量 子 化 が 扱 わ れ る.フ

脱 線,つ

なると『 非 相 対 論 的 多体 問 題 』

ェル ミ統 計 か らボ ー ス 統 計 へ進 む う ち に

ま り勝 手 な思 い つ き も書 い て あ る.

  脱 線 は 拡 張 した 交 換 関係 ［b,b+b］‐=b(b,b+は

消 滅 ・生 成 演 算 子)か

らはじ

まっ て,１ つ の 単 位 に １個 の粒 子 が入 れ ば満 員 に な る フ ェル ミ統 計 と,無 限 個 入 る

ボー ス統 計 の 中 間 の統 計,す

な わ ち １つ の 単 位 に数 個 まで の 粒 子 が 入 る統 計 へ と

それ て い っ て し ま う.も ち ろ ん ふ つ うの 第 ２量 子 化 も右 ペ ー ジ に述 べ られ,こ れ は湯 川 秀 樹 先 生 の本 な ど を参 考 に した 覚 えが あ るが,左 張 した統 計 の 話 が 数 ペ ー ジ続 い て,行   そ れ か ら20年

ペ ー ジ に は上 の よ う に拡

く先 不 明 の ま まで 終 わ っ て い る.

ほ どた って か ら,東 京 教 育 大 学 で亀 渕迪 さん か らパ ラ統 計 とい う

のが あ る と教 え られ た.こ

れ も大 雑 把 に い え ば各 準 位 にｐ 個(p=1∼

∞)ま で 粒

子 が 入 りう る統 計 で パ ラ統 計 と よ ば れ る とい う.亀 渕 さん と大 貫 義 郎 さん に よ る 解 説 記 事 「パ ラ統 計 」(日 本 物 理 学 会 誌,23,644‐653(1968年

９月 号))の 別 刷 を

い た だ い た の も本 棚 の隅 か ら出 て きた.   別 刷 を も らっ て か らさ ら に30年 以 上 もす ぎ てい る.こ の別 刷 に よ る と,こ の種 の研 究 とし て最 初 と思 わ れ る もの は1940年

にG.Gentileに

よ って 提 出 され て い る

とい う.Sommerfeld(1942),H.Wergeland(1944),D.ter の論 文 もあ る とい う.Wergelandさ

Haar(1952)な

の教 授 で あ るが す で に故 人 に な られ た.ter

Haarさ

ん は ヨー ロ ッパ で知 り合 い,

い まで も著 書 や 手紙 を や り と り して い る.実 は このTea 別 刷 の 最 後 の文 献 を調 べ,こ

ど

ん は 私 を １年 間 招 い て くだ さ っ た ノル ウ ェー Timeを

書 くた め に この

れ らの 人 が パ ラ統 計 の研 究 を して い た こ とを は じめ

て発 見 して驚 いた ので あ る(以 前 に亀 渕 さんか ら この別 刷 を もらった の はWergeland さ ん やter Haarさ

ん を知 る以 前 の こ とで あ っ た).

  と にか く私 が パ ラ統 計 に い く らか 関 係 の あ る こ とを ひ と りで 考 えて い た 頃,あ る い は そ の少 し前 か ら相 当 多 くの 人 が これ に つ い て研 究 して い た.パ 究 が そ の後 ど うな っ た の か,知

ラ統 計 の 研

りた い とは思 うが,理 論 が 内 部 矛 盾 を含 まな い か,

相 対 論 的 に拡 張 した と き ス ピ ン と統 計 との 関 係 は ど うな るか,因

果 律 との 関 係 は

ど うか な ど,い ろ い ろな 面 か ら議 論 され た で あ ろ う.興 味 深 い が,そ

の後 の 展 開

は 知 らな い.   な お,こ

こで 使 わ れ て い る 「パ ラ」 とい う言 葉 は,オ ー ソ ドッ ク ス で な い とい

う意 味 でDel1'Antonioら

に よ っ て は じめ て 使 わ れ た(1964年)の

だ そ う で あ る.

前 に述 べ た パ ラ水 素 の パ ラ は 化 学 に お け る使 い方 だ ろ う.パ ラ とい う接 頭 語(?) は い ろ い ろな 意 味 で使 わ れ て い る よ うで あ る.数 え切 れ な い く らい た くさ んの 化 合 物 に そ れ ぞ れ の名 前 が つ い て い る(化 合物 命 名 法)の

は恐 れ 入 る.た

と え ばベ

ンゼ ン環 の ６か所 の １,2‐,１,3‐,１,4‐ の水 素 の 置換 体 は それ ぞれ オル ト,メ タ,パ ラ とよ ん で 区 別 して い る.

第９ 講 理

想

気

体

テー マ

◆ 準位 密度 ◆ 状 態 方程 式 ◆ ベル ヌ ー イの式 ◆Tea

Time:数

理 科 学 の モ デ ル(１)

準位密度   自 由 に 運 動 す る粒 子 か らな る気 体 を 理想 気 体 とい う.こ れ は物 質 の モ デ ル と し て最 も簡 単 な もの の １つ で あ る(調 和 振 動 子(単 振 子)の

集 ま り も最 も簡 単 な物

質 のモ デ ル で あ る.た と えば結 晶 格 子 の熱 振 動 な どは調 和 振 動 子 の 集 ま りで ある).   量 子 力 学 で は 自 由粒 子 の シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー 方 程 式 は

(1) で与 え られ る(ｍ は粒 子 の 質 量,ε は運 動 エ ネル ギ ー).粒

子 は一 辺Ｌ の 立 方 体 の

箱 の 中 で 運 動 す る と し,こ の 長 さ を周 期 とす る周 期 条 件  等 

を採 用 す る と,固 有 関 数 ψ とエ ネル ギ ー 固 有 値(エ

(２)

ネ ル ギ ー準 位)ε は (３)

た だ しpx,py,pzはｘ,ｙ,ｚ

方向の運動量 成分 で

(４)

(nx,ny,nzは

量 子 数)で

与 え られ る.

  粒 子 の エ ネ ル ギ ー は ε=p2/2mと

書 け る.運 動 量pの 成 分px,py,pzで

張 られ る

空 間(運 動 量 空 間)で 考 え る と,エ ネ ル ギ ー が ε以 下 の状 態 が運 動 量 空 間 で 占 め る体 積 は半 径ｐ の球 の 体 積 に 等 し い か ら, (５)

で与 え られ る.す で に述 べ た よ うに,量 子 論 的 な運 動 状 態(準 位)が

運 動量空 間

で 占 め る体 積 は (６)

な の で,エ

ネ ル ギ ー が ε以 下 の 準 位 の数 は(V=L3は

気 体 の体 積) (７)

で あ り,エ ネ ル ギ ー が ε と ε+dε の 間 に あ る準 位 の 数 は上 式 を εで微 分 した 式 (８) で 与 え ら れ る.粒

子 が ス ピ ンな どの

自 由 度 を もつ と き は,そ 率 をgs(電

のための重

子 ス ピ ン で はgs=2)と

て

(９)

あ るい は 図27  運動 量 空 間

し

(10) は こ の気 体 粒 子 の準 位 密 度 を 表 わ す こ とに な る.こ れ を

(11) と 書 こ う.

状態方程式   量 子 論 的 な理 論 気 体 で あ る フ ェ ル ミ気体 と ボー ス気 体 を ま とめ て 考 え よ う.前 講 で述 べ た よ うに,大

きな状 態 和Ξ を用 い る と気体 の圧 力ｐ と粒 子 の個 数 Ｎ は

(12) で 与 え ら れ る.た

だ し εiを 準 位 エ ネ ル ギ ー(〓)と

して

(13) で あ る.複

号 の 上 は フ ェ ル ミ気 体,下

は 逆 温 度 で あ り,α=-β

は ボ ー ス 気 体 の 場 合 で あ る.な

ζ と し て ζ は 化 学 ポ テ ン シ ャ ル で あ る.こ

お β=1/kT こで準 位 密 度

g(ε)を 使 う と

(14) と書 け る.た

だ し εi＞0と

し た.(12)は

(15)

と な る.こ

こ で 展 開(α

＞0の

と き 成 り立 つ)

(16) を用い る と

(17)

で あ り,準 位 密 度 の 式(９)に

より (18)

同様 に (19) を得 る.温 度 が十 分 高 く,気 体 が 十 分 希 薄 な らばN/Vは 十 分 小 さ い.こ の と き(19)を

逐 次 近 似 で解 い て(18)に

十 分 小 さ い の でe-α も 代 入 す る こ とに よ り

(20) を 得 る.右 辺 第 １項 は ボ イ ル ーシ ャル ル の 法 則 を与 え,第

２項 以 下 は これ に対 す る

量 子 論 的 な補 正 を与 え る.   す で に前 講 で述 べ た よ う に,理 想 気体 に対 して 古 典 統 計(ボ

ル ツ マ ン統 計)は

必 然 的 に ボ イ ル‐シ ャル ル の法 則 に導 くが,こ の 統 計 は気 体 が 十 分 希 薄 で,温 度 が 十 分 高 い とき に お い て 成 り立 つ もの で あ る. ベ ル ヌ ー イ の式  古典 統 計 の場 合 は前 講(12)と

本 講(11)に

より

(21) と な るが,こ

の 右 辺 の 積 分 を部 分 積 分 して(11)と

前 講(15)を

用 いれ ば

(22) と な る.こ て(22)に

こ で Ｅ は 理 想 気 体 の エ ネ ル ギ ー(内

部 エ ネ ル ギ ー)で

あ る .し

たが っ

よ り圧 力 と エ ネ ル ギ ー を 結 び つ け る 式

(23) を 得 る.こ れ をベ ル ヌ ー イ(Bernoulli)の式 係 数 が2/3で

とい う(１ 次 元 気 体,２ 次 元 気 体 で は

は な い).特 殊 相 対 論 的 な理 想 気 体 で はベ ル ヌ ー イ の式 は成 り立 た な

い.

  ベ ル ヌ ー イ の 式 は フ ェル ミ統 計 で も ボ ー ス統 計 で も理 想 気 体 に対 して 成 り立 つ 式 で あ る.こ れ を次 に示 そ う.  【 証 明 】 フ ェル ミ理 想 気 体 とボ ー ス 理 想 気 体 に 対 し て(部 分 積 分 に よ り)

(24) を 得 る.し

た が っ て(23)が

成 り立 つ.

Tea

Time

数 理 科 学 の モ デ ル(１)   気 体 は 非 常 に小 さ な 分 子 か らな り,気 体 の 分 子 は ほ とん ど 自 由 に 直 進 して 容 器 の 壁 に衝 突 して 力 を 及 ぼ す.こ は早 くか ら考 え られ,ジ

れ が 圧 力 で あ る.こ の よ う な気 体 の 模 型(モ デ ル)

ュ ー ル(J.P.Joule),マ

ク ス ウ ェル,ボ

ル ツ マ ンな ど に

よ っ て 扱 わ れ た 分 子 は球 形 の 剛体 あ る い は引 力 を及 ぼ し合 う弾 性 体 で あ る.気 体 の典 型 的 な 性 質 は こ う し て数 理 的 に厳 密 に扱 え る モ デ ル を想 像 す る こ とに よ っ て 理 解 さ れ る.こ れ は 数 理 物 理 学,あ

るい は も う少 し一 般 的 に い っ て,数

理科学 の

方 法 で あ る.   数 理 科 学 で 目標 とす る物 の 性 質 は必 ず し も現 実 の物 質 の細 か い性 質 で は な く,む し ろ そ の 核 心 の部 分 で あ る.別 の 例 の １つ と して相 転 移 を挙 げ よ う.固 体 が 液 体 に な り,気 体 に も変 化 す る.さ

らに 強 磁 性 体 の 温 度 を上 げ れ ば常 磁 性 体 に な る.

こ の よ う に相 転 移 に は い ろい ろ の もの が あ る が,個 々 の 場 合 で な く協 力 現 象 の本 質 を と ら え る数 理 物 理 学 的 な モ デ ル と し て合 金 の モ デ ル とか イ ー ジ ン グ模 型 な ど が 扱 わ れ る.   もっ と物 理 学 に根 本 的 な モ デル もあ る.た と え ば相 対 論 的 な ４次 元 時 空 は,ロ ー レ ン ツ変 換 に した が う連 続 体 で 時 空 の 根 本 的 な モ デ ル で あ る.こ の 時 空 に お け

る量 子 論 的 な 方程 式 の １つ で あ るデ ィ ラ ック 方 程 式 は物 質 の 根 本 的 な モ デ ル で あ る.こ

の モ デ ル か ら粒 子 の ス ピ ン とい う性 質 が 導 か れ,現 実 に も これ と よ く符 合

す る電 子 ス ピ ン な どが あ った の は望 外 の 事 柄 で あ っ た とい え る だ ろ う.デ ィ ラ ッ ク は 単 に 美 し い理 論 をつ くろ う と した の だ ろ う と思 う.そ う し て つ くっ た 理 論 の 当 為 が 自然 の 当為 とほ とん ど一 致 した の は考 え て み れ ば 奇 妙 な こ とで あ る.こ こ に 自 然 科 学 の 魔 法 が あ る よ う に思 え る.し か し この 一 致 は 完 全 で な く,自 然 は小 さ な 不 一 致 も用 意 して い た.そ

こを究 め る た め に理 論 は量 子 電 磁 力 学 を編 み だ し,

さ ら に素 粒 子 の モ デ ル を 改 良 して対 処 し よ う と して い る.   も し も こ う して 「究 極 の 理 論 」 が で きた とす る と,そ れ に 用 い られ る数 理 的 モ デ ル は モ デ ル 化 した 自然 で あ って 自然 そ の もの で は な い に ち が い な い.だ

とす れ

ば そ れ が 完 全 に 自然 と一 致 す る はず は な い か ら,究 極 の 理 論 で は あ りえ な い.   理 論 と は人 間 の 考 え る論 理 で あ って,「 自然 が 考 え る論 理 」で はな い.鳥 に は鳥 の,犬 に は犬 の論 理 が あ るだ ろ う し,コ ン ピ ュ ー タ ー,人 工 知 能 に もそれ ぞ れ の 論 理 が あ っ て,そ れ ぞれ の論 理 の 届 き う る範 囲 が あ る に ちが い な い.

第10講 ボ ー ス‐ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮

テー マ

◆ ボー ス気体 ◆ ボー ス凝縮 ◆ 現 実 の ボース凝縮 ◆Tea

Time:ボ

ース とアイ ン シュタ イ ン

ボ ー ス気 体   Ｎ 個 の ボ ー ス粒 子 か らな る理 想 気 体 が 体 積Ｖ の箱 に 入 っ て い る と し よ う.エ ネ ル ギ ー が εiの準 位 に あ る粒 子 の 数Niは (１)

で 与 え られ る.準

位 の 最 低 エ ネ ル ギ ー を ε。=0と す る と,こ

の 準 位 に 対 して もN0≧0

で あるか ら (２)

で な け れ ば な らな い.α は全 粒 子 の 数 が Ｎ で あ る とい う条 件 で きま る.す なわ ち 条件 (３)

に よ っ て αが で き るわ けで あ る.体 積Ｖ の 間 の 準 位 の数 は(ス

ピ ン は な い とす る)

の理 想 気 体 で はエ ネル ギ ー が ε と ε+dε

(４)

で あ る.前

講(19)に

よ り

(５)

と な る.こ

の右 辺 の 和 は α を小 さ くす る につ れ て大 き くな るが,α=0で

有 限の最

大値 (６) に 達 す る.   した が っ て (７) で 与 え ら れ る 温 度 以 下 で は εi＞0の 準 位 が す べ て の 粒 子 を 収 容 す る こ と は で き な く な る.収

容 し き れ な い 粒 子 は 最 低 準 位 ε0=0に

  こ の よ う な 状 況 を 考 え る と,(３)は 1/（eα+ε0/kT-1)を

落 ち 込 ま ざ る を え な い.

最 低 準 位 ε0=0を

占 め る 粒 子 の 数N0=

特 別 に扱 っ て

(８)

と しな けれ ば な らな い.

転移 現象 事 実 上,気

体 の 体 積 は十 分 大 きい の で,(７)で

与 え られ る温 度T0の

上で は (９)

に よ っ て α が き ま り,T0よ

り下 の 温 度 で は

図28  ボー ス凝 縮 等 温線

図29  ボ ース凝 縮 比 熱

（10）

と な る こ とが わ か る.N*は

最 低 準 位 ε0よ りも上 の準 位(εi＞0)を

状 態 に あ る)粒 子 の総 数 で あ る.No=N-N*は 粒 子 の 数 で あ り,T0よ はNo/Nは

最 低 準 位 ε0=0に 落 ち込 ん で い る

り上 の温 度 で はN0/Nは

有 限 の割 合 に な る.そ

限 りな く ０に近 い がT0よ

してT→0でN0→Nに

  この よ う に ボー ス 気体 で はあ る温 度T0を に 落 ち 込 む.こ

占 め る(励 起

り下 で

な る.

境 と して低 温 で多 くの 粒 子 が 最 低 準 位

れ を ボー ス凝 縮(ボ ー ス‐ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮)と い う.こ れ を

い い 出 した の は ア イ ン シ ュ タ イ ンで あ っ た.ボ ー ス(S.N.Bose)は

ボ ー ス‐ア イ

ン シ ュ タ イ ン統 計 の 提 案 者 の １人 とい う わ け で あ る. 体 積 を一 定 に保 っ て温 度 を下 げた とき,(７)で の 気 体 の圧 力 は体 積 に よ ら な くな る.す

与 え られ る転 移 点T0よ

り下 で こ

なわ ち圧 力 をpと す る と

(11)

とな る.温 度 を一 定 に保 っ て体 積 を小 さ くして い っ た と き

(12) で与 え られ る体 積V0以

下 で圧 力 は体 積 に よ ら な くな る.気 体 の比 熱CvはT0で

折 れ 曲 る.こ れ ら を図28と

図29に

示 した.図 で 破 線 よ り左 は ボ ー ス凝 縮 を した

領 域 で あ る.   ボー ス凝 縮 の 出 現 は準 位 密 度g(ε)が あ る.３ 次 元 の 気 体 で は(４)の

εの どの よ うな関 数 で あ るか に よ る事 柄 で

よ うにg(ε)は√ε

に 比 例 す る.こ の と き は(５)

の 積 分 は α→0で 有 限 に 止 ま り,こ の た め に ボー ス 凝 縮 が 生 じる ので あ る.も し も こ の積 分 が α→0で 発 散 す る な ら ば,す な わ ち

(13) な らば 温 度 に よ らず ε＞0の 準 位 が す べ ての 粒 子 を収 容 す る こ とが で き,最 低 準 位 に有 限 の 割 合 の 粒 子 が 落 ち 込 む ボ ー ス凝 縮 は お こ ら な い.こ

の た め １次 元 や ２次

元 の 気 体 で は ボー ス凝 縮 は お こ らな い こ とに な る.

現 実 の ボ ー ス凝 縮   実 際 に は ふ つ うの 気 体 は ボ ー ス 凝 縮 の お こ る条 件 の も とで は液 体 あ る い は 固 体 に な っ て し ま う と考 え られ て い る.し か し液 体 ヘ リウ ム に ２つ の 相(ヘ とヘ リウ ムⅡ)が

リ ウムⅠ

あ り,こ れ ら の相 の 中 で ヘ リウ ムⅡ は ボ ー ス凝 縮 を お こ した 相

で あ る と考 え られ て い る(原 子 量 ４の ヘ リウ ム 同位 体4Heは

ボ ー ス統 計 に した が

う).そ う考 え る １つ の情 況 証 拠 は液 体 ヘ リウムの密 度NV=2.3×1022cm-3を(７) に代 入 す る と転 移 温 度 と してT0=3.14Kが 点2.19Kに

得 られ,こ れ が ヘ リウムⅠ とⅡ の転 移

近 い こ とで あ る.液 体 ヘ リウム の比 熱 も図29に

の ラ ム ダ λの よ う な形)を

似 た形(ギ リシ ャ文 字

して い る の で この 転 移 温 度 を λ点 とい っ て い る.液 体

ヘ リウ ム の 超 流 動 現 象 は ボー ス凝 縮 に よ る と考 え られ て い る.   ご く最 近 に な っ て,ミ

ク ロ 的 な 技 術 が 大 変 進 歩 し て,レ ー ザ ー を用 い て きわ め

て低 い 温 度(た と え ば10-4K)が

つ くられ る よ う に な っ た.レ

ー ザ ー の圧 力 に よ っ

て 原 子 の 運 動 を ほ とん ど停 止 させ て 極 低 温 の 気 体 が 実 現 で き る よ う に な っ た の で あ る(レ ー ザ ー冷 却).こ

の実 験 に よ っ て ボ ー ス 凝 縮 が本 当 に 実証 さ れ た とい う こ

とに な る.   電 子 は ボ ー ス粒 子 で な くフ ェル ミ粒 子 で あ るが,結

晶 格 子 の 振 動(フ

ォ ノ ン)

を媒 介 して ２個 の電 子 が 束 縛 し あ っ た電 子 対 を つ くる こ とが あ る.こ の よ う な電

子 対 はボ ー ス粒 子 の よ う に振 舞 い,超 伝 導 現 象 は こ のた め にお こる現 象 で あ る と 考 え られ る.超 伝 導 状 態 へ の 転 移 は ボ ー ス 凝 縮 と考 え られ るの で あ る.   ヘ リウ ム の 同位 元 素3Heも

フ ェル ミ粒 子 で あ る が,10-3Kと

流 動 体 に な る.こ れ も弱 い分 子 間 力 に よっ て3He原

い う低 い 温 度 で超

子 が ２個 結 合 して ボー ス粒 子

と し て振 舞 う現 象 で あ る と考 え られ る.   ボ ー ス凝 縮 が お こ る と きボ ー ス粒 子 の波 動 関 数 は秩 序 あ る マ ク ロ的 な波 動 とな り,超 流 動 や 超 伝 導 の 現 象 を 引 きお こす の で あ る.

Tea

Time

ボ ー ス とア イ ンシ ュ タ イ ン

  ３次 元 的 な ボ ー ス 理 想 気 体 で はボ ー ス凝 縮 が お こるが,２ 次 元 や １次元 の ボー ス 理 想 気 体 で は ボ ー ス 凝 縮 は お こ ら な い.３ 次 元 の 場 合 は ボ ー ス‐ア イ ン シュ タ イ ン 分 布 に お い て 最 低 エ ネ ル ギ ー準 位 よ り も上 の 準 位 が 収 容 で き る粒 子 の 数 が 有 限 に と ど ま る の で,収 容 で き な い粒 子 が す べ て最 低 エ ネ ル ギ ー 準 位 へ 落 ち る.こ れ が ボ ー ス 凝 縮 で あ る.こ れ に対 して ２次 元 や １次 元 の場 合 は最 低 エ ネ ル ギ ー準 位 よ り も上 の 準 位 が た くさん あ っ て,そ

こへ 粒 子 が い く らで も収 容 され る ので 最 低 準

位 へ 粒 子 が 多 数 落 ち込 む 凝 縮 は お こ ら な い の で あ る.   つ ま り,ボ ー ス 凝 縮 が お こる か お こ ら な い か は最 低 エ ネ ル ギ ー準 位 付 近 の準 位 の 構 造,す な わ ち準 位 密度 に よ っ て き ま る.エ ネ ル ギ ー が ε と ε+dε の間 の準 位 の 数 をVg（ ε）dε(Ｖ は気 体 の体 積)と

し,全 粒 子 数 を Ｎ とす る.最 低 準 位 ε=0

を 特 別 に 扱 う とボ ー ス‐ア イ ンシ ュタ イ ン分 布 に よ り

こ こでN0は

最 低 準 位 に落 ち込 ん だ粒 子 数,N'は

ε＞0の 準 位 に よる粒 子 数 で あ る.

  ３次 元 理 想 気 体 で は本 文 に あ る よ うにg(ε)∝√ε で あ り,α →0に して もＮ'は 有 限 に 止 ま る の で,Ｎ が あ る値 を越 えて 大 き くな れ ば そ の分 だ け最 低 準 位 に落 ち 込 む.こ

れ が ボ ー ス凝 縮 で あ る.

  ２次 元 理 想 気 体 で はg(ε)=一

定 で あ り,１ 次 元 の 場 合 はg(ε)∝1/√ε であ り,こ

れ ら の 場 合 は 常 にN0《N'で

あ り,ボ

  【イ ン ドの 物 理 学 者 ボ ー ス 】 ー ・カ レ ッ ジ で 学 び,ダ

ー ス 凝 縮 が お こ ら な い の で あ る.

ボ ー ス(1894-1974)は

法 則 を 光 の 粒 子 説 に も と つ い て 説 明 す る論 文 を1924年 た.ア

ラ ン ク の輻 射

に ア イ ン シ ュタ イ ンに送 っ

イ ン シ ュ タ イ ン は こ れ を 高 く評 価 し て そ の 出 版 を 世 話 し,こ

れ て い た 統 計 法 を 気 体 分 子 に 拡 張 し た.こ り,こ

カ ル カ ッ タ の プ レ・ズ デ ン シ

ッ カ や カ ル カ ッ タ 大 学 の 教 授 に な っ た .プ

の論 文 に含 ま

れ が ボ ー ス ーア イ ン シ ュ タ イ ン統 計 で あ

の 際 に ボ ー ス ーア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮 が 見 出 さ れ た の で あ る(1925年).Ｆ,ロ

ン ド ン は 液 体 ヘ リ ウ ム の λ転 移 を こ の 凝 縮 に よ っ て 説 明 し よ う と し た(1938年).

第11講 自由電 子 気 体

テー マ

◆

自由電子

◆

フ ェ ル ミ準 位,フ

◆

電子比 熱

◆Tea

Time:数

ェ ル ミ面

理 科 学 の モ デ ル(２)

金 属 自由電 子   金 属 は電 気 お よ び 熱 の 良 導 体 で あ るが,そ

れは金属原子 の価電子 が金属 内を 自

由 に動 くか らで あ る と想 像 され る.こ れ らの 電 子 は金 属 イ オ ン や他 の 電 子 か ら電 気 的 な力 を う け て い る は ず で あ る か ら,決 し て 自 由 に動 く と は い え な い はず で あ る.し か し金 属 中 に ほ とん ど 自 由 な電 子 が あ る とい う直 感 も正 し くな い と はい え な い.こ

れ に よ っ て 非 常 に 多 くの 事 実 が 説 明 され る ば か りで な く,く わ しい 研 究

に よれ ば この 仮 説 は 理 論 的 に 根 拠 が あ る と思 わ れ る.電 子 間 に はた ら くク ー ロ ン 力 は 遠 く及 ぶ も の で あ る が,金 属 イ オ ンの 正 電 荷 で 打 ち 消 さ れ る傾 向 が あ る こ と や,パ

ウ リの 原 理 に よ っ て電 子 問 にた が い に 強 い 相 関 が あ る こ と,そ れ に電 子 は

古 典 的 な 粒 子 で な く波 と して振 舞 う こ とな どが,古 典 力 学 的 に は全 く異 常 と も思 わ れ る性 質 を電 子 に与 えて い るわ けで あ る.不 純 物 の な い 完 全 な ダ イ ヤ モ ン ドの 中 で 光 が 全 く自 由 に進 む の と同 じ よ う に,原 子 が規 則 正 し く並 ん だ 完 全 な金 属 結 晶 の 中 で 金 属 自 由 電 子 は 全 く自 由 に運 動 す る.不 純 物 や 熱 振 動 で原 子 の 配 列 が乱 れ る とそ れ が 電 気 抵 抗 や 熱 抵 抗 の原 因 に な る.こ の よ うな 自由 電 子 が あ る もの と

仮 定 し よ う.   前講 で述 べ た よ う に 自 由な 粒 子 が 一 辺 の長 さＬ の 立 方 体 の 中 で 運 動 して い る と き,そ の エ ネ ル ギ ー 準 位 は (１)

ただ し

(２)

で 与 え られ る. 図30 

フ ェ ル ミ準 位ζ0

  金 属 内 に Ｎ 個 の 自 由 電 子 が あ る とす る.各 電 子 はｎ お よ

び ス ピ ン の値 に よ りそれ ぞ れ の 状 態 が き ま るが,電

子 は フ ェ ル ミ統 計 に した が う

か ら,同 じ状 態 を ２個 の電 子 が 占 め る こ とは許 され な い.し たが って絶 対 零 度(0K) で は,電 子 はエ ネ ル ギー の低 い準 位 か ら 占 め て い く.占 め られ た 最 高 エ ネ ル ギ ー の 準 位(こ

れ を フ ェル ミ準 位,フ

ェ ル ミエ ネ ル ギ ー な ど とい う)をζ0と

すると (３)

で あ る.図31の の 半 径 をp0と

よ う に 運 動 量 （px,py,pz） す る とp02/2m=ζ0,す

の 空 間 で エ ネ ル ギ ー が ζ0に等 し い 球 面

なわ ち (４)

で あ り,こ

の 球 の 体 積 は(4π/3)p03で

あ る.図

か らわ か る よ う に こ の 運 動 量 空 間 で

１つ の準 位 が 占 め る体 積 は(h/L)3で

あ るか ら,

準 位ζ0以 下 の 状 態 の数 は

(５)

とな る.た だ しV=L3は

体 系 の体 積 で あ る.パ

ウ リの原 理 に よ り,１ つ の準 位 には ２個 の電 子 が 入 りう る か ら電 子 の総 数 を Ｎ とす る と 図31  運 動 量 空 間 とフ ェル ミ準 位

(６)

した が っ て フ ェル ミ準 位 は (７)

で 与 え られ る.こ

れ は 電 子 密 度N/Vと

フ ェル ミ準 位 との 関係 を表 わ す 式 で あ る. (８)

で 定 義 され る温 度 を フ ェル ミ温 度 と い う.表 あ る と仮 定 した 場 合 のζ0お よびTFの TFは 数 万 Ｋ の 程 度 で あ る.TFに

４は １原 子 あ た り １個 の 自 由電 子 が

値 で あ る.多

くの金 属 でζ0は 数eVの

程 度,

比 べ て 十 分 高 い温 度 で は フ ェル ミ統 計 の代 わ り

に ボ ル ツマ ン統 計 を用 い て よ い が,TFは

金 属 の融 点 よ り もは るか に 高 い か ら,金

属 自 由 電 子 に対 し て は必 ず フ ェ ル ミ統 計 を用 い な けれ ば な ら な い.フ

ェル ミ温 度

よ り も は るか に低 い温 度 に お け る フ ェル ミ気 体 の状 態 を縮 退 した 状 態 とい う こ と が あ る. 表 ４  フ ェル ミ準 位

自由電 子 の 比熱   電 子 の場 合 は ス ピ ンが 上 向 き と下 向 きの 状 態 が あ るの で,ス

ピ ン まで 考 慮 した

微 視 的 状 態 の 数 をg(ε)dε とす る と,状 態 密 度g(ε)で は前 講 で 述 べ た よ う に (９)

で 与 え られ る.そ

して フ ェル ミ気 体 にお い て 温 度 Ｔ の とき に準 位 εに あ る粒 子 の

数 は フ ェル ミ分 布

(10) で 与 え られ る.こ

こで ζは 化 学 ポ テ ン シ ャル で あ るが,こ れ は温 度 と粒 子 密 度 に

よ っ て き ま る もの で あ る.す なわ ち電 子 の 総 数 を Ｎ とす る と

(11) に よ っ て ζが き ま る.   εの 関 数 と し てf(ε)の よ う で あ る.す

形 はお よ そ 図32の

な わ ち ε〈 ζ に 対 し てf(ε)

図32  フェル ミ分布 は1に

る.粒 子 密 度N/Vが

近 く,ε 〉 ζで はf(ε)は0に

近 くな

十 分 大 きけれ ば,ε ＜ζ0でf(ε)〓1,ε ＞ζ0でf(ε)〓0に な る

よ う な ζの 値ζ0が あ る こ とが 想 像 され る.こ れ は前 節 で 述 べ た よ うな縮 退 した電 子 の 状 態 で あ る.   物 理 的 な 類 推 の 方 が わ か りや す い だ ろ う.密 度 が 十 分 大 き く,温 度 が 低 い な ら ば 全 体 の エ ネル ギ ー も低 い か ら粒 子 は低 い準 位 に"沈 殿"し,す 状 態 に な る.金 属 自由 電 子 は この状 態 に あ る こ とに な る.そ

な わ ち 縮 退 した

して温 度 を高 め る と

沈 殿 して い た電 子 は少 し高 い準 位 に上 が る よ う に な るわ けで あ る.   金 属 自 由電 子 は 強 く縮 退 して い て,化 学 ポ テ ン シャ ル ζは フ ェル ミ準 位 ζ0にほ と ん ど等 し く,f(ε)は

ε〓ζの付 近 で 急 激 に １か ら ０に な る.そ の た めdf/dε は

ε〓ζの 近 くだ けで 大 き な値 を もつ の で部 分 積 分 に よ り

(12) で あ る.∂f/∂ ε は ζ の 近 くだ け で 有 限 の 値 を も つ か ら

(13) とお い てｙ に対 す る積 分 の 下 限 を-∞

まで 広 げ て も よい.そ

こで

(14) こ こ で 右 辺 第 １項 は容 易 に積 分 で き,第

２項 は被 積 分 が 奇 関 数 な の で ０に な る.

第 ３項 はey/（ey+1)2をe-yで

展 開 し

(15) また

(16) (最 後 の 級 数 は ζ関 数)と

な る.し た が っ て

(17) と な り,(11)は

(18) を 与 え る.そ

こ で ま ずT=0の

場 合 を 考 え,こ

の と き の ζ をζ0と す る と

(19) とな るが,こ

れ は 前 節 で 求 め た フ ェ ル ミ準 位 に ほか な らな い.こ れ を(18)の

に代 入 し て補 正 を 求 め,さ

右辺

ら に展 開 す る こ とに よ り

(20) を 得 る.   (12)を

一 般 化 し てn〓-1に

対 し

(21) を求 め る こ とが で き る.そ

の結 果 は

(22) とな る.  次 に 自 由電 子 の エ ネ ル ギ ー の総 和 は

(23)

こ れ はI3/2で 計 算 で き

(24) を 得 る.   した が っ て 自 由電 子 気 体 の比 熱(モ

ル 比 熱)は

(25) と な る.こ =3カ

れ は10-4Tカ

ロ リ ー/モ ル ・Ｋ く ら い の 大 き さ で,古

ロ リー/モ ル ・Ｋ に 比 べ る と非 常 に 小 さ い

与 す る 電 子 の 励 起 は フ ェ ル ミ面 付 近 のζ0±kTく ら れ る か ら,こ

.フ

典 的 な 値(3/2)Nk

ェ ル ミ統 計 に よ る と,比

熱 に寄

ら い の エ ネ ル ギ ー を もつ 電 子 に 限

の よ う に 小 さ い の で あ る.

Tea

Time

数 理 科 学 の モ デ ル(２)   第 ９講 の あ と のTea Timeで 数理 科 学 の モ デル に つ い て 記 し,理 想 気体 や イ ー ジ ン グ磁 性 体 モ デル な ど につ い て述 べ た.今 回 は そ の延 長 で もあ る.   金 属 の 特 性 の 多 くは金 属 の 中 で ほ とん ど 自 由 に 運 動 す る電 子 が あ る とす れ ば よ く説 明 が つ く.電 気 を 導 く性 質,電 気 抵 抗,熱

を よ く伝 え る性 質,金 属 光 沢,そ

れ に トム ソ ン熱 や ペ ル テ ィエ 効 果 な どの 熱 電 効 果 も自 由電 子 モ デル で よ く説 明 で き る.こ の モ デ ル の 有 効 性 は理 想 気 体 モ デ ル に比 べ て遜 色 な い く らい で あ る.   そ こ で 中 学 校 の 理 科 の教 科 書 で も金 属 の 中 に 自 由 電 子 が あ っ て電 気 を よ く伝 え る こ とな どが 教 え られ る.し か し高 校 や大 学 へ 進 ん で 自 由電 子 の数 が金 属 の 原 子 と同 じ く らい で あ る こ とを知 る よ う に な る と,自 由 電 子 が そ ん な に た くさ ん あ る の に お た が い にぶ つ か った り,原 子 に衝 突 した り しな い とい うの は全 く不 思 議 だ と思 うの で は な い だ ろ うか.さ

ら に電 子 ど う し は ク ー ロ ン力 で 反 発 し合 い,そ の

ク ー ロ ン力 は遠 く まで 作 用 が 及 ぶ 遠 達 力 な の で あ る か ら,自 由 電 子 が ほ とん ど 自 由 に走 りま わ る な ど とい う仮 定 は とん で もな く奇 妙 な 想 像 で あ る と思 う は ず で あ る.

  金 属 電 子 間 の遠 達 力 は金 属 原 子(イ オ ン)の 正 電 気 に よ っ て打 ち消 され る の で, 電 子 は案 外 自由 に走 り まわ れ る もの ら しい.実 際 い ま の金 属 電 子 論 に よれ ば そ う い う こ とに な っ て い る.し か し そ うで あ る に して も,昔 の人 が 金 属 の 中 に 自由 な 電 子 が あ る と考 え た の はや は り大 胆 な仮 定 だ った とい わ な けれ ばな らな いだ ろ う.   同 じ よ うな 遠 達 力 で あ る万 有 引力 の 場 合 に は さ ら に深 刻 で あ る.   考 え て み れ ば,も

し も宇 宙 が 無 限 に広 が っ て い た ら,遠 方 に 無 限 に あ る星 の 引

力 の 和 が発 散 す る た め に地 球 も太 陽 も そ して す べ て の 星 もあ らゆ る方 向 か ら無 限 に 大 き い力 で 引 か れ る こ と にな り,太 陽 系 の 中 だ けで 惑 星 の運 動 を論 じる ケ プ ラ ー や ニ ュー トン の立 場 は ナ ンセ ンス だ といわ な けれ ば な らな くな る.天 の 川 銀 河 だ っ て 遠 方 の銀 河 の た め に八 つ 裂 き に され て し まい か ね な い.宇 宙 が 有 限 だ とす れ ば こ の種 の 困 難 は軽 減 さ れ るか も しれ な いが,有

限 か どう か を確 か め な い う ち

は 惑星 の運 動 を論 じた りで きな い こ とに な っ て し ま うだ ろ う か.   惑 星 の運 動 を論 じ る の に遠 方 の星 に よ る力 を無 視 して もよ い とす る太 陽 系 の モ デ ル を採 用 して ニ ュ ー トン は力 学 を始 め,大 成 功 を収 めた.私

た ち は宇 宙 の 広 が

りな ど に関 す る十 分 な知 識 を も った 上 で 太 陽 系 の 力 学 を始 め た の で は な い.そ

こ

まで 考 え た ら物 理 学 は永 遠 に出 発 で きな か っ た は ず で あ る.科 学 の 発 生 以 前 の 実 態 が何 で あ っ た か に関 係 な く科 学 は発 生 した.大 胆 な 仮 定 は そ の起 爆 剤 あ る い は ビ ッ クバ ン だ っ た の で あ る.

第12講 卜ー マ ス‐フ ェ ル ミの 近 似

テー マ

◆

トー マ ス‐フ ェ ル ミの 統 計 的 方 法

◆ 原 子 の場合 ◆ 荷電 粒 子 に対 す る阻止能 ◆Tea

Time:F.プ

ロ ッホ

卜ー マ ス‐フ ェル ミの 統 計 的 方 法   電 子 数 が 多 い原 子 で は電 子 間 の 相 互 作 用 を厳 密 に と り入 れ て 波 動 方 程 式 を解 い た りす る の は事 実 上 不 可 能 で あ る.こ とが 考 え られ るが,ト 示 した.こ

うい う場 合 に 多 数 の 電 子 を統 計 的 に扱 う こ

ー マ ス(L.H.Thomas)と

フ ェ ル ミは独 立 に この 方 法 を提

れ を トー マ ス‐フ ェル ミの統 計 的 方 法 とい う.こ の 近 似 方 法 は原 子 の性

質 に つ い て 細 か い 情 報 を与 え な い が,電 子 の分 布 密 度,角

運 動 量 な ど を相 当正 確

に与 え,ま た 高 エ ネ ル ギ ー の 荷 電 粒 子 に対 す る物 質 の 阻 止 能 な どに つ い て も よい 結 果 を与 え る.   トー マ ス‐フ ェル ミの 方 法 は,体 系 が エ ネ ル ギ ー 最 低 の 状 態(基 底 状 態)に あ る こ と を前 提 と し,電 子 に対 す る ポ テ ン シ ャル エ ネル ギ ー の変 化 が 小 さ い と見 られ る領 域 内 に十 分 多 数 の 電 子 が あ る こ とを仮 定 す る.   まず,電

子 の 荷 電 密 度 を ρ,こ れ に作 用 す る静 電 ポテ ンシ ャル をΦ とす る と,こ

れ らの 間 に は ポ ア ソ ン の方 程 式 (１)

が 成 り立 つ.こ 密 度,-eは

こでｎ は電 子 の数

電 子 １個 の電 気 量 で

あ る. 次 に電 子 はパ ウ リの 原 理 に よ り 各 微 視 的状 態 に １個 の 電 子 しか 入 り え な い.電 子 が 最 低 エ ネ ル ギ ー 状 態 か ら運 動 量pmの

状 態 まで 完

全 に 占 め て い る(縮 退 して い る) 図33

とす る.運 動 量 の大 き さがpmま

で

の 運 動 量 空 間 の大 き さ は(4π/3)pm3で れ をh3(ｈ

は プ ラ ン ク定 数)で

あ る.座 標‐運 動 量 空 間(位 相 空 間)に は こ

割 った だ けの 微 視 的状 態 が あ り,さ ら に ス ピ ン に

よ る重 率 ２が あ るか ら,完 全 に縮 退 した状 態 で体 積dxdydzの

中 にあ る電 子 の個 数

は (２)

で 与 え ら れ る.   電 子 の エ ネ ル ギ ー の 最 大 値(図33参

照)はpm2/2m-eΦ

で あ っ て,こ

れ を-eΦ0

とす る と (３) す な わ ちpmはΦ=Φ（x,y,z）

を通 して場 所 の 関 数 で あ り (４)

で 与 え ら れ る.故 に (５) で あ る.こ

れ を(１)に

代入 すれ ば (６)

を 得 る.も

ち ろ ん 電 子 の 存 在 し な い 領 域 で は∇2Φ=0で

あ る.こ

こで (７)

で あ る.(6)を

トー マス‐フェル ミ

の微 分 方 程 式 とい う.こ の 方 程 式 は φ につ い て非 線 形 で あ るので 数 値 的 に 解 く こ とが 考 え られ る.   原 子 の 問 題 で は中 心 に原 子 核 が あ り,そ の 付 近 で は電 子 の影 響 は 小 さい か ら Ｚ を原 子 番 号 とす る と 図34  トー マ ス‐フェ ル ミの 微 分方 程 式 の解

(８)

で な け れ ば な らな い.ま

た全 電 子 数 を Ｎ とす れ ば (９)

で な け れ ば な ら な い.

原 子 の場 合   トー マ ス‐フ ェル ミの 方程 式(６)は

非 線 形 で あ るが,原

子 の 場 合 は球 対 称 の 問

題 で あ る こ と を利 用 して 無 次 元 化 で き る.こ の場 合,対 称 性 に よ り(６)は

(10) と な る が,さ

らに

(11) とお くと

(12) と な る.た

だ しここで

(13) で あ る.こ の と き境 界 条 件(r→0)は

(14) と 書 き 直 さ れ る.x=0か 曲 線 ψ(x)が

ら(12)を

得 ら れ る.そ

積 分 す る と き ψ'(0)の 値 に よ っ て 無 限 に 多 くの

の 中 で 原 子 の 境 界r0(あ

う も の を え ら ば な け れ ば な ら な い.こ

る い はx0)に

の 条 件 は(９)に

お け る条 件 に合

よ り

(15) と 書 け る.(12)を

用 い て 書 き 直 し,部

分積 分す る と

(16) と な る が,r0(あ

る い はx0)はΦ=Φ0(あ

る い は ψ=0)と

な る場 所 で あ るか ら

(17) あ るいは

(18) がr0(あ

る い はx。)を

定 め る 境 界 条 件 で あ る.

  (１)  中 性 の 原 子 で はN=Zで る こ とが 確 か め ら れ る.原

.ま

よ り満 た さ れ

れ は 有 限 な 広 が り の イ オ ン を 与 え る.

す る とx0ψ'(x0)＞0で

一 義 的 に き ま らな い

れ はx0=∞,ψ'(∞)=0に

子 は 無 限 の 広 が り を も つ.

  (２)  陽 イ オ ン で はN＜Z.こ   (３)  N＞Zと

あ り,こ

な け れ ば な ら な い が,こ

た こ の と き εm=pm2/2m=eΦ

れ を 満 た す.x0は

＞0と な っ て 不 都 合 で あ る.

こ の よ う な こ と か ら トー マ ス‐フ ェ ル ミ の 方 法 は 陰 イ オ ン を 扱 う こ と が で き な い こ と が わ か る.し ク の 方 法)こ

か し 電 子 の 交 換 力 を と り入 れ れ ば(ト の 欠 陥 を 補 う こ と が で き る の で あ る が,こ

ー マ ス‐フ ェ ル ミ‐デ ィ ラ ッ こで は省 略 す る こ とに し

た い.

荷 電粒 子 に対 す る阻 止 能   高速 の 荷 電 粒 子 が物 質 の 中 を通 過 す る と き,物 質 を構 成 す る原 子 にエ ネル ギ ー を与 え て減 速 す る.こ の 問 題 は多 くの人 に よ っ て扱 われ るが,プ は非 相 対 論 的 な式 と して

ロ ッホ(F.Bloch)

(19) を与 えた.こ

こで Ｔ は入 射 粒 子 が物 質 内 で 距 離ｚ を通 過 した と きの運 動 エ ネル ギ

ー ,ｖ と Ｅ は そ の速 度 と電 荷,Ｎ

は単 位 体 積 内 の 原 子 数,fnは

に対 す る振 動 数 強 度 と よば れ る量,ｍ

振 動 数 ωnの 励 起

と ｅ は電 子 の 質 量 と電 荷 で あ る.阻 止 能 Ｂ

は

(20)

で 定 義 され,原 子 の構 造 を反 映 す る もの と考 え られ る.   物 質 に荷 電粒 子 が 入 射 す る と,ク ー ロ ン力 に よ っ て 原 子 内 の電 子 に衝 撃 を与 え る のだ が,入 射 粒 子 が 原 子 の 中 心 に近 い と き は,衝 撃 に よ る原 子 の 励 起 を量 子 論 的 に扱 わ な けれ ば な らな い.こ れ に対 し入 射 粒 子 が 遠 く を通 る と き は,入 射粒 子 の 直 線 運 動 の経 路 を古 典 力 学 的 に考 え る こ とが 許 さ れ るだ ろ う.ブ

ロ ッホ は入 射

粒 子 が 原 子 か ら遠 い と こ ろ を通 る と き に原 子 が受 け る衝 撃 を トー マ ス‐フェ ル ミの 原 子 模 型 で計 算 し,古 典 力 学 と量 子 力 学 の 間 の対 応 原 理 を利 用 して 原 子 の近 くを 入 射 粒 子 が 通 過 す る と き に も有 効 な理 論 式 を得 た(1933年).そ

の結果 は阻止能の

原 子 番 号 Ｚ へ の依 存 性 を表 わ す 式 と し て

(21) (Ｒ は リ ュー ドべ リ定 数R=2π2e4m/h3)と 的 な 定 数 で あ っ て,ト で あ るが,ブ

書 け る.ｘ は原 子 番 号 に よ ら な い普 遍

ー マ ス‐フェル ミの原 子 模 型 の 固有 振 動 を扱 え ば わか る はず

ロ ッホ は実 験 との 比 較 に よ っ て これ を定 め,阻 止 能 が 原 子 番 号 に依

存 す る様 子 を み ご と に表 わ す こ とが で きた.   この 扱 い で は トー マ ス‐フ ェル ミ模 型 の原 子 は完 全 に縮 退 した フ ェル ミ気 体 で あ る と して い る.し た が っ て入 射 粒 子 に よ る撹 乱 は電 子 気 体 の流 体 的 な運 動 を 引 き お こす.そ れ はや が て 電 子 気 体 の 粘 性 に よ っ て熱 的励 起 に変 化 す る もの と期 待 さ れ る わ けで あ る. 【参 考 文 献 】 F.Bloch:Zeits.f.Phys.,81,363(1933)

H.Jensen:Zeits.f.Phys.,106,620 戸 田 盛 和:日

(1937)

本 物 理 学 会 誌,３,第5∼6号(1947)

Tea

F.ブ

Time

ロ ッホ

  す こ し くわ しい 金 属 電 子 論 の本(た とえ ば第23講Tea Timeの ゾ ンマ ー フ ェル ト‐べー テ の本)を 見 る とブ ロ ッホ(1905‐1983)の 名 が し き りに 出 て く る.ス イ ス 生 ま れ の ブ ロ ッホ はハ イ ゼ ンベ ル ク の助 手 を つ とめ,金 属 電 子 を量 子 論 的 立 場 か ら は じ め て 明 らか に した の で あ る.彼 の 原 論 文 は あ ま り読 ん で い な い が,す

ば

ら しい 計 算 力 の あ るす ぐれ た 才 能 だ っ た ろ う と思 う.周 期 的 な 電 場 を受 け て い る 金 属 電 子 の 波 動 関 数 に対 す る ブ ロ ッホ 関数,ブ

ロ ッホの定 理 で最 も有 名 で あ る.本

文 で触 れ た 物 質 の 阻 止 能 で は トー マ ス‐フ ェル ミ模 型 で 原 子 内 の電 子励 起 を扱 って い る(こ の 問題 で は 当 時 べー テ をは じ め多 くの研 究 が あ っ た) .ト ー マ ス‐フ ェ ル ミ気 体 の励 起 を この 気 体 の 音 波 的 な振 動 と して と ら え る ブ ロ ッホ の扱 い は この論 文 以 外 に も あ り,お そ ら く同 じハ イ ゼ ンベ ル ク の と こ ろ に 留 学(1937‐1939年)し て い た 朝 永 振 一 郎 先 生 に も大 き な印 象 を与 えた の で は な い か と思 う.ち な み に こ の 留 学 の と き に書 か れ た論 文 は フ ェ ル ミ気体 の 粘 性 を論 じた もの で あ っ た .朝 永 先 生 が1950年

に 発 表 した １次 元 フ ェル ミ気 体 の励 起 に関 す る論 文 の表 題 に は ブ ロ

ッホ の 名 が 記 され て い る(第22講

参 照).

  1952年 に ブ ロ ッホ は ノ ー ベ ル 物 理 学 賞 を受 けた.こ れ は磁 気 共 鳴 吸 収 に よ る原 子 核 の磁 気 モ ー メ ン トの 断 定(1946年)で あ り,同 時 に 受 賞 した パ ー セ ル(E .M. Purcell)と は 独 立 な 実験 的 研 究 で あ る.ブ ロ ッホ は1934年

に ア メ リカ に渡 り,戦

時 中 に発 達 した マ イ ク ロ 波 を利 用 した 方 法 を考 案 した の で あ った.理

論 家 と して

す ぐれ た人 が 実 験 家 と して もす ぐれ た業 績 を挙 げ た 一 例 で あ る.   ブ ロ ッホは ジュネー ブの ヨーロ ッパ合 同 原 子核 研 究 機 構CERN(Conseil Europeen pour la Recherche Nucleaire)の 初 代 会 長(1954‐1955年)を つ とめ た.

第13講 自由 電 子 の 磁 性 とホ ー ル 効 果

テー マ

◆ ス ピ ンの 常 磁 性(パ ◆ 軌 道 運 動 の 反 磁 性(ラ ◆

ウ リ) ン ダ ウ)

ド ・ハ ー ス‐フ ァ ン ・ア ル フ ェ ン 効 果

◆ ホー ル効果 ◆Tea

Time:オ

イラー の公 式

パ ウ リの 常磁 性   自 由 電 子 は弱 い常 磁 性 と弱 い 反 磁 性 を も っ て い る.こ の常 磁 性 は電 子 の ス ピ ン 磁 気 モ ー メ ン トが磁 場 の 方 向 を向 く こ とに よ る もので パ ウ リの常 磁 性 とよばれ,反 磁 性 は 外 か ら加 え た磁 場 に よ っ て電 子 が ロー レ ンツ 力 を受 け て 円 運 動(ら 動)を

せ ん運

す るた め に生 じ る(後 者 は外 か ら磁 場 を加 え る と誘 導 電 流 が 生 じて,外

ら の磁 場 を押 し出 そ う とす る レ ン ツ(Lenz)の

か

法則 に よ る もの と い う こ と もで き

る).   ま ず,パ

ウ リの 常磁 性 か ら述 べ よ う.電 子 は ス ピ ン(自 転 運 動 に あ た る)を

も

つ と同 時 に そ の 方 向 に磁 気 モ ー メ ン トを も っ て い る(電 子 は小 さ な磁 石 で あ る). 電 子 の磁 気 モ ー メ ン ト μ は ボ ー ア磁 子(マ グ ネ トン)と い い,そ の 大 き さ は(-e を電 子 の 電 荷 と して) (１)

(便宜 上 ガ ウス 単 位 を用 い た)で あ る.電 子 の ス ピ ン は ±h/2で も と にお け る エ ネ ル ギ ー はFμHで (準位)を

あ り,磁 場 Ｈ の

あ る.す な わ ち電 子 の 軌 道 運 動 の エ ネ ル ギ ー

ε と して (ス ピ ン) 

(磁気 モ ー メ ン ト) 

(電子 の エ ネ ル ギ ー)

(２)

  した が っ て磁 場 Ｈ を加 え る と± の ス ピ ン を もつ電 子 の 分 布 関 数 は

(３)

とな り,g(ε)を ス ピ ンの 重 率 ２を含 めた状 態 密 度 とす れ ば ± ス ピン の 総 数 は そ れ ぞ れ

(４)

で 与 え られ る(図35参

照).因

子1/2は

±ス

ピ ン を別 々 に勘 定 す るた め で あ る.

図35  自由 電子 の常 磁性 (パ ウ リの常 磁 性)

(５)

とな る(こ

こで Ｈ が 小 さ い と し て右 辺 の被 積 分 を展 開 して 近 似 値 を求 め た) .自

由 電 子 気 体 の状 態 密 度 (６)

を用いれ ば (７) ま たH2の

程 度 の 項 を0(H2)と

書 くと

(８) こ こ で 第11講

の(22)を

用 いれば

(９)

下 の 式 でT=0,ζ=ζ0と

おいて

(10) さ ら に(９)を

ζに つ いて 解 い て

(11) こ れ を(９)の

上 の 式 に代 入 す れ ばO(H2)を

無 視 す る近 似 で

(12) を 得 る.し

た が っ て 電 子 の 磁 気 モ ー メ ン トに よ る 帯 磁 率xparaは

(13) で与 え られ る こ とが わ か る.

ラ ンダ ウの 反 磁 性   磁 場 Ｈ の も とで は 自由電 子 は ロー レ ンツ力 を 受 けて 磁 場 に垂 直 な 面 で は 円運 動 をす る.そ の 向 き は外 場 を打 ち消 す 反 磁 性 を与 え る向 きで あ る.し か し図36か

ら想 像 され る よ う に,こ の 運

動 は金 属 内 部 で は た が い に打 ち 消 し合 い,表 面 に お い て も境 界 面 にぶ つ か りな が ら走 る電 子 が そ の 内 部 に よ る反 磁 性 電 流 を打 ち消 して し まう. 図36 

フ ァ ン ・リュー ウ ェ ンの 定理

実 際 これ を古 典 統 計 力 学 で 扱 う と電 子 全 体 と し て の反 磁 性 は消 え て し ま う(こ れ を フ ァ ン ・リュー ウ ェ ン の定 理 とい う).   量 子 力 学 的 に この 問 題 を扱 う と図36の 説 明 は あ ま りに も粗 雑 す ぎ て,実 際 は打 ち消 し方 が 完 全 で な い た め に,反 磁 性 が残 って くる.こ れ を ラ ン ダ ウの 反 磁 性 と い う.そ の 結 果 に よ る と反 磁 性 帯 磁 率(軌

道 運 動 に よ る)は

(14) と な る.こ

れ は パ ウ リ の 常 磁 性 帯 磁 率 の-l/3倍

帯 磁 率 はx=xpara+xdia=Nμ2/ζ0と

す る.電

の 結 果,自

由電 子 の

な る.

  【証 明 】 磁 場 はｚ 方 向 に あ る と し,そ =Az=0と

で あ る.そ

の ベ ク トル ポ テ ン シ ャル をAx=-Hy,Ay

子 の シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー 方程 式 は

(15) あ るい は

(16) この 式 にx,zは

現 わ れ て い な い か ら波 動 関 数 は

(17) と書 け る.-px,pzはｘ,ｚ

方 向 の 運 動 量(定

数)で

あ る.ψ

は

(18)

を 満 た す.(18)は

(19) を中 心 とす るｙ 方 向 の振 動 子 を表 わ す 式 で あ る.こ の振 動 子 の 周 期 は ラー マ ー振 動数

(20) で あ り,そ

の エ ネ ル ギ ー は ボ ー ア 磁 子 μ=eh/2mcを

用 いて

(21) と書 け る.   周 期 条 件 を と り,ｘ,ｙ,ｚ 方 向 の 体 系 の 大 きさ はそ れ ぞ れＡ,Ｂ,Ｃ よ う.ｙ 方 向 の運 動 は すで に(21)の

で あるとし

よ うに量 子 化 され る.こ れ に垂 直 なｘ,ｚ 方 向

の 運 動 に対 す る位 相 空 間 の 大 きさ はAC⊿px⊿pzで

あ る.こ

こで,ｙ 方 向 の振 動 の

中心 は (22) の 領 域 に あ る の で,pxの

範 囲 は(19)に

よ り

(23) に限 られ る.し た が って 各ｎ に対 しpzがdpzの

範 囲 に あ る微 視 的 状 態 の 数 は

(24) で与 え られ る(V=ABCは

体 系 の 体 積,因

子 ２は ス ピ ン に よ る重 率).

 化 学 ポ テ ン シ ャル は全 電 子 数 Ｎ を用 い て

(25) に よ っ て 定 ま る.こ

こ でpyに

対 す る 積 分 をf(n+1/2)と

書 い た.1/（e（ ε-ζ ）/kT+1）

が ε=ζ の と こ ろで 急 激 に １か ら ０に落 ち る階 段 型 関 数 であ る こ とを考 慮 し,f(x) を次 の よ う に近 似 す る.

(26) すると

(27) (25)の 和 を この 積 分 で お きか えた の で は磁 場 の 影 響 は消 え て し ま うか ら,も う少 し正 確 なオ イ ラ ー の 公 式(Tea

Time参

照)

(28) を 用 い よ う.こ

こ で ε=2μHx+p2/2m-ζ

とお くと

(29) (29)に

お い て,x=0とx=∞

df/dx=0で

あ る.ま

たx=0で

の 値 が 必 要 で あ る.こ は(29)の

こ でx=∞

微 分 ∂/∂εが ε=0す

で は ε=∞

な わ ちp=√2mζ

で で

す る どい極 値 を もつ か ら

(30) と 計 算 さ れ る.し

た が っ て(25)か

ら(μ=eh/2mc)

(31) を 得 る.  同 じよ うにして

(32) こ こで 磁 場 が な い とき の フ ェル ミ準 位 を ζ0とす れ ば

(33) と な り,(μH)2ま

で とれ ば

(34)

ただし

(35) を得 る.し た が っ て磁 化 は

(36) で あ り,帯

磁 率xdia=∂Mdia/∂Hは(14)と

な る.

ド ・ハ ー ス‐ フ ァ ン ・ ア ル フ ェ ン 効 果

  磁 場 を強 く して い く と,自 由電 子 によ る磁 化 は1/Hと

共 に振 動 す るのが 認 め ら

れ る.こ れ を ド ・ハ ー ス‐フ ァ ン ・アル フ ェ ン効 果 とい う.こ の 現 象 は電 子 の 運 動 が磁 場 に垂 直 な面 内 で量 子 化 され る た め で あ る.   図37の

よ うに 磁 場 が ｚ軸 方 向 に あ る とす る とロ ー レ ン ツ力 が 向 心 力 とな って 電

子 はｘ,ｙ 面 内 で 円 運 動 をす る(ｚ方 向 に は直 進 運 動).こ p=mv=√px2+p

れ は運 動 量 空 間 で は半 径

y2の 円 運 動 で あ る.遠 心 力 と ロー レ ン ツ力 の釣 り合 い は

(37) こ の ２次 元 運 動 の振 動 数 は

(38) で あ り,エ

ネ ル ギ ー は((21)と

同 じ)

図37  磁 場 の 中 の電子 の運 動

図38  自由電 子 の 運 動 の量 子 化

(39) を得 る.こ

う して 量 子 化 され るた め電 子 は図38の

よ うに,各ｎ

れ 円筒 状 の 面 内 で運 動 す る こ とにな る.フ ェル ミ面 とpz=0の 円 で,そ

の半 径 は ほ ぼ 一 定 の 値p=√2mζ0(ζ0は

の で,Ｈ

をHnか

らHn+1に

に した が い そ れ ぞ 面 が切 り合 う曲線 は

フ ェル ミエ ネ ル ギ ー)に 保 た れ る

変 わ った と き この 円 周 上 でｎ がn+1に

な った とす る

と

(40) これ か ら磁 化 の1/Hに

対 す る振 動 数 は

(41) で 与 え ら れ る こ と に な る.た

だ し こ こで

(42) は フ ェ ル ミ面 とpz=0の

面 が 切 り合 う平 面 の 面 積 をh2で 割 った 値,す

なわ ち位 相

空 間 に お け る切 断 面 の面 積 で あ る.振 動 は温 度 が 高 くな け れ ば 弱 くな る.   関 係 式(41)は

電 子 が 完 全 な 自 由電 子 で な い と き に も成 立 す る.ド

・ハ ー ス‐フ

ァ ン ・ア ル フ ェ ン効 果 に よ ってＡ の 値 を 求 めれ ば フ ェル ミ面 の 形 な どに対 す る知 識 が 得 られ る. 【参 考 文 献 】L.Onsager:Phil.Mag.,43,1006(1952) ホ ール 効 果   金 属 や 半 導 体 の 電 子 の 運 動 に関 す る知 識 を与 え る現 象 と して ホ ー ル(Hall)効 果 が あ る.図39の

よ うに長 方 形 の試 料 を と り,ｘ 方 向 に電 流jxを 流 す.同 時 にｚ

方 向 に磁 場 Ｈ を加 え る と,ｙ 方 向 に電 場Eyが

発 生 す る.こ れ が ホ ー ル効 果 で あ

る.電 気 を運 ぶ 粒 子(電 子 な ど)の 電 荷 をｑ と し,半 導 体 積 内 の キ ャ リヤ ー の 数 をｎ とす る と き

(43)

が 成 り立 つ.RHを

ホール係 数 とい う.

 【 証 明 】 粒 子 の 速 度 をｖ とし,電 場 をＥ,磁

場 をＨ とす る と粒 子 には

た ら く力(ロ

ー レ ン ツ 力)は

(44) で 与 え られ る.定 常 状 態 で はF=0 で あ るか ら,上 に述 べ た状 況 に お い てFy=0は 図39  ホ ール 効 果

を与 え る.こ

(45)

こで 電 流 は

(46) で あ るか ら

(47) 電 子 と空 孔  キ ャ リヤ ー が電 子 な ら ば電 荷 はｑ=-eな

の で,ホ

ー ル係 数 は 負 に な り

(48)

表 ５  ホ ー ル 係 数 の 実 測 値 と 自 由 電 子 論 に よ る 計 算 値 と の 比 較(室

温,単

位

10-12ボ ル ト/cm・ ア ンペ ア ・ガ ウ ス)

と な る こ とが期 待 され る.金 属 の価 電 子 が す べ て 自 由電 子 に な る と して 上 式 を用 い た計 算 値 を実 測 値 と比 べ た の が 表5で あ る.一 価 の 金 属 で は 一 致 は相 当 よ く, これ らの 金 属 で は 自由 電 子 近 似 が よ く成 り立 って い る こ とが わ か る.し か し,ベ リ リ ウム,亜 鉛,カ

ド ミウ ム な どで は ホ

ー ル係 数 は正 で あ っ て ,電 流 が 正 の電 荷 を もつ もの(正 孔)に

よ っ て運 ばれ る こ

と を示 唆 す る.電 子 は正 イ オ ンに 強 く結 合 して い て,電 子 が 欠 け た と ころ が正 の 電 荷 を もつ粒 子 の よ う に振 る 舞 うのが 正 孔 で あ る.ｐ 型 の 半 導 体 とよ ばれ る半 導 体 で は 正 孔 が 大 き な役 割 をす る.

Tea

Time

オ イ ラー の 公 式  本 文(28)で

公式

を 用 い た.こ の 式 はオ イ ラ ー の 公 式 と よば れ る こ とが あ る ら しい が,あ

ま り見 掛

け な い式 な の で 簡 単 に説 明 して お こ う.   まず 積 分 の 近 似 式(台 形 公 式)

+剰 余項 か ら は じ め よ う.a→a+h→a+2h→

… と して加 え合 わ せ る と

を 得 る.剰 余 項 を正 し くと り入 れ る と(h=（b-a）/n)

（*）

こ れ を オ イ ラ ー-マ ク ロ ー リ ン(Euler‐Maclaurin)の

公 式 と い い,数

値 計 算 に使

わ れ る 式 で あ る.   こ の 式 でｎ

を2nに

変 える と

（**）

（**）

を ２倍 し て(*)を

引 く と,ｌ が 奇 数 の 項 だ け が 残 る.あ

ら た め てh=

(b-a)/n,b=a+nhと

を得 る.こ

こでh=1と

書

く と

お き,剰 余 項 の う ちの 主 要 項 だ けを残 せ ば,は

た オ イ ラー の 公 式 が得 られ る.

じめ に記 し

第14講 フ ォ トン(光

子)

テー マ

◆ 熱 輻射 ◆

フ ォ トン

◆

ボー ス統計

◆Tea

Time:波

の圧力

熱

輻

射

  よ く知 られ て い る よ う に,量 子 論 は 熱 輻 射(熱 放 射,温 じ ま っ た.プ

ラ ン ク(M.Planck)が

表 した の は19世

度 放 射)の

研 究か らは

量 子 論 の は じ ま り とな っ た 先 駆 的 な 考 察 を発

紀 が ま さ に終 わ ろ う と して い た1900年

の こ とで あ っ た.歴 史 的

な こ と は さ て お き,プ ラ ン ク以 後 に 明 らか に さ れ た 熱 輻 射 の性 質 を簡 単 に ま とめ て お く こ と に し よ う.   物 体 で 完 全 に か こ まれ た 真 空 の領 域 を空 洞 と よぶ.壁

の物 質 が 一 定 の 温 度 に保

た れ て全 体 が 熱 平衡 の状 態 に あ る と き,空 洞 内 に は そ の温 度 に相 当 す る熱 輻 射 が 存 在 す る.こ れ は空 洞 輻 射 と も よば れ,ま わ りの物 質 と熱 平 衡 に あ る真 空 の電 磁 場 の状 態 で あ る.し

た が っ て この 輻射 は これ をか こむ 周 囲 の物 質 に よ らず,温 度

だ け で き ま る.電 磁 場 はマ ク ス ウ ェル の 方 程 式 で 表 現 さ れ,こ 電 磁 場 は光 速 度 で 伝 わ る電 磁 波 で 表 わ され,こ

の 方 程 式 に よれ ば

の 波 は横 波 で あ る.

  空 洞 内 の 輻 射 は壁 の 近 くを 除 き周 囲 の物 質 に よ ら な い か ら,周 囲 の 物 質 は電 磁 場 の 方程 式 を解 くの に便 利 な境 界 条 件 を与 え る も の と して 考 え れ ば よ い.空 洞 を

長 さＬ の 立 方 体 とし,壁 を完 全 導体 とす れ ば,電 磁 波 の固 有 振 動 数ν は (１)

で 与 え られ る.こ こで ｃ は光 速 度 で あ り, nx,ny,nzは

整 数 で あ る.横 波 に は ２つ

の 偏 りが あ る か ら,真 空 の場 の 振 動 数 が ν とν+dν の 間 に あ る 固有 振 動 の 数 は (２) (V=L3は

空 洞 の 体 積)で

あ る.

  ｈをプ ランク定 数 とすれ ば,振 動 数ν の 振 動 エ ネル ギー は最 低 状 態 か らhν の等 間 隔 の 値 εη=nhν （n=0,1,2,…

）だ け を

と り う る.統 計 力 学 に よ れ ば 絶対 温度 Ｔ

図40  黒 体 輻射 のス ペ ク トル

の と き エ ネ ル ギ ー が εnで あ る確 率 は, e-εn/kT(ボ ル ツ マ ン 因 子)に

比 例 す る か ら,固

有振動 のエ ネルギーの平均 は

(３)

で 与 え られ る.し たが って単 位 体 積 内 の 輻 射 エ ネル ギー の 中で振 動 数 がν とν+dν の間 にあ るものは (４)

で あ る.こ れ を プ ラ ン ク の 熱 輻 射 式 とい う.ｕ は輻 射 のエ ネル ギー 密 度 で あ る.プ ラ ン ク は この 式 と実 験 デ ー タ を比 べ て プ ラ ン ク定 数 の値 (ジ ュ ー ル ・秒) 

(５)

を は じ め て 求 め た.   輻 射 エ ネ ル ギ ー 密 度u（ν,T）

は あ るν の 値 で 最 大 値 を もつ.こ

ばdu/dν=0（ν=νm）

れ か ら

で あ り,こ

れ をνmと

すれ

(６)

とな る.す な わ ち 輻 射 の も っ と も強 い 振 動 数 は絶 対 温 度 に比 例 す る.こ れ を ウ ィ ー ン(Wien)の

変 位 則 とい う.

  全 エ ネル ギ ー 密 度 は (７) と な り,T4に

比 例 す る.こ

れ を シ ュ テ フ ァ ン ーボ ル ツ マ ン の 法 則 とい う.体

定 に し て 輻 射 場 に エ ネ ル ギ ー を与 え る と き の 比 熱 は ∂(uV)/∂Tで 例 す る.こ

積 を一

あ っ てT3に

比

れ は い わ ば 真 空 の 比 熱 で あ る.

  輻 射 場 の エ ン ト ロ ピ ー Ｓ は 一 般 式(Ｅ

は 内 部 エ ネ ル ギ ー) (８)

をE=uVと 書 け ば,こ

し,V=0でS=0と

い う 条 件 の 下 で 積 分 し て 得 ら れ る.u=aT4と

う し て エ ン トロ ピ ー は (９)

とな り,輻 射 場 の 自 由 エ ネ ル ギ ー Ｆ は

(10) とな る.し たが って 輻 射 場 は

(11) で 与 え られ る圧 力 を もつ こ とが わ か る.こ の圧 力 は光 の圧 力(光 圧)と よば れ る.   輻 射 場 は エ ネ ル ギ ーhν の 粒 子 の 集 ま り とみ る こ とが で きる.こ れ は ア イ ン シ ュ タ イ ン に よ っ て は じ め て 導 入 さ れ た もの で光 子(フ 子 １個 の 運 動 量 はhν/cで

ォ トン)と よ ば れ る.ま た光

あ る.

光子 の 放 出 と吸 収  空 洞 の 中 に い くつ か の 原 子 を お くと(あ るい は空 洞 の 壁 の 原 子 で もよ い),原

子

は 熱 輻 射 の場 の光 子 を吸 収 した り, 光 子 を輻 射 場 へ 放 出 した りす る.そ の 結 果 と し て原 子 と輻 射 場 とは熱 平 衡 を保 た な けれ ば な らな い.こ の機 図41  輻 射 と遷 移

構 を ア イ ン シ ュ タ イ ン は次 の よ うに 考 えた(1917年).

  簡 単 の た め,す <E2)で

べ て の 原 子 の と り う る エ ネ ル ギ ー(準

あ る と し よ う.原

位)はE1とE2だ

け(E1

子 は

(12) で 与 え られ る振 動 数ν の光 子 を放 出 した り,吸 収 した りす る こ とが で き る.こ の と き次 の ３つ の 過 程 が 可 能 で あ る.   (１)  自発 放 出:準 位E2に 子hvを

あ る原 子 の 数 をN2と

し,こ の 原 子 が 単 位 時 間 に光

放 出 す る確 率 を Ａ とす る と,こ のた め 準 位E2に

にN2Aだ

あ る原 子 の数 は単 位 時 間

け 減 少 す る.

  (２)  誘 導 吸 収:低

い エ ネル ギ ー の 準 位E1に

れ が 輻 射 場 か ら光 子hν を吸 収 して準 位E2に の 光 子 の 数u（ν,T）

あ る原 子 の数 をN1と

す る と,こ

上 が る数 は,単 位 体 積 内 の 振 動 数ν

に比 例 し,E1B12π(ν,T)で

与 え られ る(B12は

この 遷 移1

→2の 確 率) .   (３)  誘 導 放 出:輻 射 場 の刺 激 に共 鳴 し,準 位E2に

あ る原 子 は光 子hν を放 出

す る(こ れ は誘 導 放 出 とい い,ア イ ン シ ュ タ イ ン に よ っ て 導入 され た 第 ３の 過 程 で あ る).こ

の 誘 導 放 出 に よ っ て単 位 時 間 に準 位E2か

N2B21u(ν,T)で

あ る.(B21は

この 遷 移2→1の

らE1へ 下 りる原 子 の数 は

確 率).誘

導放 出 は レーザーの

作 動 原 理 で あ る.   この ３過 程 は釣 り合 わ な けれ ば な らな い.準 位E2に

あ る原 子 の減 少 に着 目す る

と,こ の 釣 り合 い は

(13) と 書 け る.こ

れか ら

(14)

を得 る.  他 方 で,原 子 の数 はN1とN2は

ボ ル ツマ ン の分 布 法 則 に よ り

(15) を満 た す はず で あ る.し た が っ て

(16) が 成 り立 つ.こ れ をプ ラ ン ク の 輻 射 式(４)と

比 べれ ば

(17) で あ る こ とが わ か る.   この よ う に,遷 移 確 率 を考 え る こ と に よ って プ ラ ン ク の輻 射 式 が 導 か れ る.関 係 式B12=B21は

原 子 と輻 射 場 の 間 の相 互 作 用 の行 列 要 素 （ の 絶 対 値 の ２乗 ）が 過

程1→2と2→1と

で 等 しい こ と を意 味 し,当 然 の こ と と考 え られ る. ボ ー ス-ア イ ン シ ュ タ イ ン 統 計

  プ ラ ン クの 輻 射 式(４)に

お いて係 数g(ν)=（8π/c3）ν2dν は単 位 体 積 あた りの準

位 の数 で あ る か ら

(18) は各 準 位 に あ る光 子 の 数 を意 味 す る.こ の 式 は先 に ボー ス‐アイ ン シ ュタ イ ン分 布 とし て 第 ８講 で述 べ た 式

(19) と同形 で,ζ=0と

した式 と同 じで あ る.さ

ら に第 ８講 に よれ ば ζ=0は 粒 子 数 一

定 の条 件 を と り除 い た 場 合 に相 当 す る.実 際,光 に つ い て は ζ=0と

子 の 数 は不 定 で あ る の で,光

子

しな けれ ば な らな い.し た が っ て,プ ラ ン クの輻 射 式 は光 子 が

ボ ー ス‐ア イ ン シ ュ タ イ ン統 計 に した が う粒 子 で あ る こ と を示 して い る の で あ る.   この こ とに気 が つ い た の はイ ン ドに いた ボ ー ス で あ っ た.ボ ー ス は 光 子 を た が い に 区別 の つ か な い粒 子 と考 え る統 計,す

な わ ち ボー ス-ア イ ン シュ タ イ ン統 計 と

現 在 よ ばれ て い る統 計 を考 え出 した の で あ っ た.ア

イ ン シ ュ タ イ ンは ボー スか ら

送 られ て き た論 文 を読 ん で 直 ち に そ の 重 要 さ を認 め,こ

れ を ドイ ツ語 に訳 し て 出

版 さ せ た とい う話 で あ る.ア イ ン シ ュ タ イ ンは この 統 計 を さ らに発 展 させ 物 質 粒 子 の場 合,い ー ザ ー(光

わ ゆ るボ ー ス 凝 縮(第10講)の

の 圧 力)を

現 象 を予 言 した の で あ る.最 近 は レ

用 い て気 体 原 子 の 運 動 を停 止 させ る こ とに よ って 極 低 温 を

つ く り,ボ ー ス凝 縮 を実 験 的 に検 証 す る こ とに 成 功 して い る.

Tea

Time

波の圧 力   光(電 磁 波)の 圧 力 につ い て は 『電 磁 気 学30講

』に い ろ い ろ書 い た(p.157‐159).

熱 輻 射 に 関 す る シ ュ テ フ ァ ン-ボ ル ツ マ ン の法 則(『 熱 現 象30講 ネ ル ギ ー と質 量(『 相 対 性 理 論30講 30講 』p.42)で

』p.42‐44),さ

も光 の運 動 量 につ い て触 れ た.光

』p.118‐119),エ

らに 不 確 定 性 原 理(『 量 子 力 学 は物 理 学 の 基 礎 に 関連 した もの

で あ り,光 の 圧 力 ・運 動 量 は基 本 的 現 象 の いた る と こ ろ に現 わ れ,種

々の解釈が

な され る の で あ る.   電 磁 波 が 等 方 的 で あ る と き,そ の圧 力ｐ とエ ネ ル ギ ー 密 度ｕ との 間 に は

とい う関 係 が 成 り立 つ.こ れ は理 想 気 体 に対 して成 り立 つ ベ ル ヌ ー イ の関 係 式pV =(2/3)E(Ｖ は体 積,Ｅ は分 子 の 直 進 運 動 の エ ネ ル ギ ー の和,『 分 子 運 動30講 』 p.2)に 相 応 す る式 で あ っ て,波 一 般 に つ い て 成 立 す る式 と考 え られ る.２ 次 元 の 波 な らばp=u/2で

あ る.

  固体 や 水 な どの 弾 性 体,あ

る い は ひ もな ど を伝 わ る波 の 圧 力,す

なわ ち力 学 的

な 波 の 圧 力 に つ い て はか え っ て い くらか 考 え に くい と こ ろが あ る.波

と して の現

象 と同 時 に ほ か の力 な どが 関 係 して い るか らで あ ろ う.基 本 的 な 力 学 的 な波 はひ も を伝 わ る波 で あ るか も し れ な い.た (東 西 出版 社,1948;み

とえ ば朝 永 振 一 郎 先 生 の 『量 子 力 学(Ⅰ)』

す ず 書 房,1952)に

お い て は,付 録 Ｖ 「弦 の横 振 動 の 圧 力 」

の 中 で 固 定 端 の 間 に入 れ た 滑 り板 の 間 に張 られ た 弦 の横 振 動 に よ っ て滑 り板 に加 わ る圧 力 が 考 察 さ れ て い る(図42).こ

の場 合,弦

の 振 動 に よ って た しか に滑 り板

を外 方 へ 押 す力 が 生 じ る.し か し同 時 に弦 が 振 動 す れ ば両 端 の 固 定 端 を 内 方 へ 引 く力 も生 じ るわ け で,空 気 な ど の弾 性 体 の 波 の 圧 力 を考 え る と 図42  滑 り板 を入 れ た弦

き こ の 内 方 へ の力 が 邪 魔 を す る.   空 気 な どの波 の場 合,２ つの誤 解 が

あ りう る よ うで あ る.そ れ は 波 の 振 動 に よ る圧 力 は正 に な っ た り負 に な っ た りす る の で 平 均 とし て は ０で あ ろ う とい う誤 解 で あ る.ま た 波 に よ る変 位 も正 と負 が 打 ち 消 す か ら波 に よ る変 位 は お こ ら な い とい う の も誤 解 で あ る.こ れ につ い て は レ イ リー の有 名 な著 書Theory of Sound(1877)の245節 に特 に述 べ られ た記 述 が あ る.音 波 に よ っ て 波 の伝 播 方 向 に物 質 の 移 動 が あ るの で あ る(『波 動 と非 線 形 問 題30講

』p.4参 照).水

面 波 に よ る水 の移 動 に つ い て は,『 流 体 力 学30講

』(p.

137‐138)を 参 照 され た い.こ の よ う に波 に は 一 般 に物 質 の 移 動 が 伴 い,運 動 量 の 伝 達 も生 じ るの で あ る.   音 の 圧 力 の絶 対 測 定 に は レ イ リー板 と い う装 置 が 使 わ れ る そ う で あ るが,マ

イ

ク ロ フ ォ ン な ど は振 動 板 に か か る音 圧 を電 流 に 変 え る装 置 で あ る.   な おp0=2×10-5N/m2=20μPaは 対 して20log10(p/p0)を

ふ つ うの聴 力 で聞 ける最 小 可 聴 値 で,音 圧ｐ に

そ の 音 の音 圧 レベ ルdB(デ

シベ ル)と

い う.

第15講 フ ォ ノ ン(音

響 量 子)

テー マ

◆ 固体 比 熱 ◆ １次元格 子 ◆ 格 子振 動 の量子 化 ◆Tea Time:表 面張 力波 の圧 力

固 体   物 質 の 比 熱 の理 論 は1900年

比

熱

頃 の物 理 学 に基 本 的 な影 を投 げか けて いた.古 典 力

学 に も とづ く統 計 力 学 を樹 立 したギ ブ ズ(W.Gibbs)も of

StatisticalMechanics(1900)の

分 子 の 比 熱(等

積 モ ル 比 熱)が,理

な の に実 測 で は(5/2)Rに

主 著Elementary

Principles

序 文 の 中 で これ に ふ れ て い る.こ れ は ２原 子 論 で は(7/2)R(Rは

気 体 定 数)に

な る はず

す ぎ な い とい う不 一 致 で あ る.ギ ブ ズ は 自分 の理 論 に

十 分 の 自信 を もっ て いた の で あ ろ う.こ の不 一 致 に もめ げ ず,力 学 の 考 え を一 貫 して 発 展 させ た 理 論 の 価 値 を疑 わ なか っ た.実 際,力 学 が 量 子 力 学 で お きか え ら れ た とき に 統 計 力 学 はギ ブ ズ の 路 線 に い くらか の 量 子 論 的 な修 正 を加 えた だ け で, そ の本 筋 はゆ るが な か った.２ 原 子 分 子 の比 熱 につ い て い え ば,分 子 内 原 子 の振 動 は そ の 振 動 数 が 大 き い の で,量 子 論 的 効 果 の た め に ふ つ う の温 度 で は無 視 で き る くら いで あ る.つ

ま りギ ブ ズ が 気 に した不 一 致 は量 子 論 に よ っ て と り除 か れ た の

で あ る.   も っ と基 本 的 に 考 えれ ば,原 子 は原 子 核 や 電 子 な どの 多 くの粒 子 か ら構 成 され

て い る の で,も

し も これ らす べ て の粒 子 が 古 典 論 的 な比 熱 に 寄 与 す る な ら ば物 質

の 比 熱 は途 方 も な く大 きな もの に な っ て しま う.金 属 内 の 自由 電 子 も比 熱 に大 き な寄 与 をす る こ とに な るが,実 際 に は そ う い う こ と は な い.古 典 的 な統 計 力 学 で は そ れ が 適 用 で き る範 囲 を適 宜 に制 限 す るの が ふ つ う で あ る.   【固 体 の 比 熱 】 原 子 が構 成 要 素 に な っ て い る 固体 で は そ の １モ ル の比 熱 を古 典 論 に よ っ て求 め る と (１) に な る.こ

れ は だ い た い よ く成 り立 ち,デ

ュ ー ロ ン‐プ テ ィ(Du1ong-Petit)の

法

則 と よ ば れ て い る.   し か し,き CV=0に

わ め て 低 い 温 度 に な る と金 属 な ど の 比 熱 は 小 さ くな り,絶

対零度 で

な る.

  ア イ ン シ ュ タ イ ン は原 子 の 振 動 を プ ラ ン ク の量 子 論 的 な振 動 と して 扱 わ な け れ ば な ら な い こ と に 注 意 し て,１

モ ル の 内部 エ ネ ル ギ ー Ｅ が (２)

で与 え られ る と考 えた.こ

の と き比 熱CV=∂E/∂Tは (３)

で与 え られ る こ とに な る.こ の式 はT≫hν/kで でCv→0と

な る.し か し低 温 でCvは

古 典 値Cv=3Nkを

与 え, T→0

あ ま りに も速 く ０に近 づ く.

  この 欠 点 は原 子 が す べ て 同 じ振 動 数ν で振 動 す る と した た め に 生 じた もの で あ る.固 体 中 の 原 子 の 振 動 は音 波 の よ う な波 動 と な っ て 固体 中 を伝 わ る.そ の波 長 や 振 動 数 は さ ま ざ まで あ る.し か し振 動 数 の 小 さい 波 は波 長 の 長 い波 として伝 わ るので,固 体 を連 続 体 と し て扱 って も よ い.こ の とき 固 有 振 動 は真 空 中 の電 磁 場 の 固 有 振 動 の 類 推 が 成 り立 つ.電 磁 場 の場 合 の 式(前 講(２))を 援 用 すれ ば,振 動 数ν とν+dν の間 の 固 有 振 動 の 数 はν2dν に比 例 す る.こ の式 をν の最 大 図43  固 体 の比 熱

値νmま で 用 い うる とし,固 有 振 動 の 総 数 が 固 体 の 自 由度3Nに

等 しい とお く と固

体 の比 熱 は (４)

ただし (５)

とな る.こ れ は デ バ イ(Debye)の

比 熱 式 と よ ば れ,ΘDは

デ バ イ温 度 と よ ばれ

る.   デバ イの比 熱 式 は温 度 の全 範 囲 にわた って 固体 の比 熱 を よ く表 わす.ま たT≪ΘD の 低 温 で はCv∝T3を

与 え る(こ れ をT3法

(熱 輻 射)の エ ネ ル ギ ー はT4に 比 熱 はT3に

固 体(結

比 例 し(シ ュ テ フ ァ ンーボ ル ツ マ ンの 法 則),そ

比 例 す る が,固 体 のT3法

  熱 輻 射 の 場 の励 起 は光 子(フ 晶 格 子)中

則 とい う).前 講 で 述 べ た よ う に真 空 の

則 は これ と同 様 な 現 象 な の で あ る.

ォ トン)と い う粒 子 とし て扱 え る.こ れ と同様 に

の振 動 の励 起 は音 響 量 子(フ

ォ ノ ン)と

し て扱 わ れ る.次 節

で は振 動 の 場 を量 子 論 的 に扱 う理 論 の １つ の典 型 とし て フ ォ ノ ンを や や くわ し く 扱 う こ と に す る. １次

元

格

子

  た が い に力 を及 ぼ し合 う多 数 の 粒 子 か らな る体 系 の １つ の 典 型 的 な もの と して １次 元 格 子 を考 え よ う.格 子 とい うの は結 晶 の 中 の 原 子 の よ うに規 則 正 し く粒 子 が 並 ん だ体 系 であ る.同 種 の粒 子 が １直 線 上 に並 んだ １次 元 格 子 を考 え,ｎ 番 目 の粒 子 はn-1番

目 の粒 子 とn+1番

目 の粒 子 とか ら力 を受 けて い る とす る.各 原 子 が

静 止 した 平 衡 の位 置 を規 準 に して,ｎ 番 目の粒 子 の 変 位 をunと とn-1番

目の粒 子 との 距 離 の変 化 はun-un-1で

す る と,こ の 粒 子

与 え られ, n+1番

距 離 の 変 化 はun+1-unで

目の粒 子 との 与 え られ

る.粒 子 間 に は これ ら の相 対 変 位 に 比 例 す る復 元 力 が は た ら く とす る と, ｎ番 目の 粒 子 に は た ら く力 は 図44  １次 元 格 子 の振 動

(６)

(Ｋ は 力 の 定 数)と

書 け る.し た が っ て粒 子 の 質 量 をｍ とす れ ば,ｎ 番 目の粒 子

の運動 方程式 は (７)

で 与 え られ る.   格 子 を伝 わ る波 動 は (８)

とお い て 求 め られ る.こ れ を運 動 方 程 式(２)に

代 入す る と (９)

した が っ て

(10) を得 る.  Ｎ 個 の粒 子 か らな る格 子 に お い て 周 期 条 件

(11) を採 用 す る と(７)か

らkN=2πs(sは

整 数)を 得 るが,ｓ は 負 で あ っ て もよ い の

で,粒 子 数 Ｎ だ けの 個 数 の 固 有 振 動 は

(12) とす る こ とが で き る.こ れ らの 固 有 振 動 を 用 い て展 開 し,一 般 の 運 動 を

(13) と書 く.た だ しas*はasの

複 素 共 役 で あ る.(12)を

運 動 方程 式 の左 辺 に代 入 す る

と

(14) と な り,左

辺 に 対 し て は(c.c.は

複 素 共 役 を 表 わ す)

(15) を 得 る.た

だ し こ こ で(10)に

よ り

(16) で あ る.(７),(14),(15),(16)か

らas,as*の

時 間 変 化 は

(17) で 与 え ら れ る.こ

れ か ら

(18) と して よい こ とが わ か る.  格 子 の 運 動 エ ネル ギ ー Ｔ は

(19) で あるが

(20) を考慮 すれ ば (21)  次 に位 置 エ ネル ギ ー を求 め よ う.ま ず

(22) で あ る.全 位 置 エ ネ ル ギ ー を Ｕ とす れ ば,運 動 エ ネ ル ギ ー の 場 合 と同 様 に して

(23) し た が っ てT=Uで

あ り,全

エ ネ ル ギ ー Ｈ(ハ

ミ ル トニ ア ン)は

(24) と書 け る.  さ らに実 数 の 量QsとPsを

(25) あ るいは

(26) を導 入 す れ ば,ハ

ミル トニ ア ン Ｈ は

(27) とな る.そ

し て運 動 方 程 式(18)は

正準方程式

(28) の形 を と り

(29) を与 え る.   こ こ まで は古 典 力 学 で あ る.次 に量 子 化 へ 進 も う.

量   (27)のHlは

子

化

単 振 子 の ハ ミル トニ ア ンで あ る か ら,量 子 化 す るた めPlを 演 算 子

とみ て

(30) とお く.こ こで 交 換 関 係 は

(31)

で あ り,単 振 動 のエ ネ ル ギ ー(Hlの

期 待 値)は

(32) こ こ でhωlは

フ ォ ノ ン の エ ネ ル ギ ー,nlは

フ ォ ノ ン の 数 と 解 釈 さ れ る.

 他 方 で

(33)

と お く と,ハ

ミ ル トニ ア ンHlは

(34) と な り,交 換 関 係(31)は

(35)

と な る.こ

れ を用 い る と

(36) と して

(37) とな り,nl=al+alが

フ ォ ノ ン の数 を意 味 す る演 算 子 で あ る こ とが わ か る.

  こ う して 格 子 振 動 の 場 が 量 子 化 され る こ とが わ か っ た.こ の 方 法 は他 の場 に対 して も広 く用 い られ,一 般 的 に第 ２量 子 化 の 方 法 とよ ばれ て い る.１ つ の 粒 子 に対 す る シ ュ レー デ ィン ガ ー 方 程 式 を 量 子 化 して 多 くの粒 子 の 量 子 力 学 を導 く こ とが で き,他 の量 子 力 学 的 な粒 子 場 に対 し て も この 方 法 が 用 い られ る.こ の よ うな と き に は確 か に 第 ２量 子 化 の 名 が ふ さわ しい.し か し こ こで 述 べ た よ うな 格 子 振 動

や 光 の場 で は た だ １回 だ け量 子 化 を お こな っ て い るの で,第

２量 子 化 の名 はふ さ

わ し くな い よ う で あ る.   な お,ハ

ミル トニ ア ン(24)に

お い て変 換

(38) を お こ な え ば,た

だ ち に(34)が

導 か れ る が,こ

こ で は 単 振 動(27)を

量 子化す る

過 程 を ふ む た め に ２度 の 変 換 を お こ な っ た.   フ ォ ノ ン １個 の エ ネ ル ギ ー は ε=hω を λ,波 数 を2π/λ ≡q,角 ら,フ

で あ る こ とが わ か っ た が,フ

ォ ノ ンの 波 長

振 動 数 を ω,音 速 を Ｓ とす る と ω=2πs/λ=sqで

あ るか

ォ ノ ン １個 の エ ネ ル ギ ー は

(39) と書 け る こ と を 注 意 し て お こ う.ま

た フ ォ ノ ン １個 の 運 動 量 の 大 き さ はp=hqで

あ る.

Tea

Time

表面 張力波の圧 力   弾 性 波 に つ い て 前 講 のTea

Timeで

触 れ た が,空 気 中 の音 波 を量 子 論 的 に みた

とき の フ ォ ノ ン とい うの は聞 い た こ と もな い.し か し特 殊 な情 況 で は そ うい う の も考 え られ な くは な い だ ろ う.た あ る.第12講 第22講

とえ ば フ ェル ミ気 体 の 振 動 を音 波 とす れ ば,で

で触 れ た トー マ ス‐フ ェル ミモ デル で 原 子 を考 えた 物 質 の阻 止能 や,

で 考 え る フ ェ ル ミ気 体 の 励 起 で は実 際 に気 体 中 の音 波 を扱 って い るわ け で

あ る.ま た本 書 で は述 べ な い が,液 体 ヘ リウム 中 の第 ２音 波 といわ れ る もの は,量 子 論 的 な音 波(よ り正 確 にい え ば超 流 動 成 分 の 中 の 常 流 動 成 分 に よ る浸 透 圧 の 波) で あ る.   しか し量 子 力 学 か ら離 れ て 古典 物 理 学 の 世 界 に戻 る と,空 気 や 水 な どの 波 に つ い て は(非 線 形 波 動 の ソ リ トン を除 き)フ ォ ノ ン の よ うな 粒 子 を考 え な い の が ふ つ うで あ る.た だ 波 の 圧 力 を考 え る と き は波 を粒 子 の よ う に扱 え ばわ か りや す く

な る.   こ こ で 思 い出 す もの の 中 に ブ リユ ア ン(L.Bril1ouin)が 論 が あ る.(彼

提 出 した 表 面 張 力 の理

は結 晶 内 の電 子 状 態 を指 定 す るブ リュア ン帯,超 音 波 に 関 す るブ リ

ュア ン散 乱,磁

性 体 の磁 化 に関 す るブ リュ ア ン関 数 な どで 知 られ て い る.ま た 音

の 波 につ い て の 著 書 や統 計 力 学 に つ い て の 著 作(『量 子 統 計 学 及 び其 の金 属 電 子 論 へ の応 用 』(細 田 ・眞木 訳,白 tion and

Group

水 社,1946)も

Velocity(Academic

あ る).L.Bril1ouin:Wave

Press,1960)は

Propaga 高 尚 だ が名 著 で あ る(一 部

を ゾ ンマ ー フ ェ ル トが 書 い て い る).   液 体 の 表 面 張 力 は 液 体 を特 徴 づ け る量 で,そ の意 味 で は気 体 の圧 力 に相 当 して い るが,温 度 を上 げ る と表 面 張 力 は温 度 変 化 に比 例 して減 少 す る.表 面 張 力 を γ, 温 度 を Ｔ,臨 界 温 度 をTc,１

モ ル の 液 体 の体 積(分 子 容)をＶ

とす る とエ トヴ ェ

シ ュの 式 とい わ れ る 式

が 成 り立 つ(一 般相 対 性 理 論 の 等 価 原 理 の 検 証 で有 名 なエ トヴ ェ シ ュ(R .Eotvos) で あ る).定 数 αは ほ とん ど物 質 に よ らず,だ い た い α=2 .12(CGS単 位 系)で あ る.こ の 式 で(V/N)2/3(Ｎ は ア ボ ガ ドロ数)は,１ 分 子 あた りの表 面積 を表 わ し,∝Tc/V 2/3は分 子 ど う しの 凝 縮 力 を 表 わ す とみ る こ とが で き る(表 面 張力 は分 子 が 引 き合 っ て 液 体 の 表 面 積 を で き るだ け小 さ くし よ う とす る凝 集 力 を表 わ す).こ れ に 対 し上 式 の第 ２項-αT/V2/3は

熱 運 動 の た め分 子 が ぶ つ か り合 って 反 発 す るた

め に 表 面 張 力 が 弱 め られ る こ と を表 わ す とみ る こ とが で き る(こ れ が 温 度 Ｔ に比 例 す るの は 気体 の圧 力 に似 た 効 果 と解 釈 され る).臨 界 点T=Tcで

γ=0に な るの

は この 温 度 で 液 体 とそ の 蒸 気 とが 区 別 が つ か な くな るの で あ る か ら当 然 で あ る.  さ て,ブ (1925))は

リュ ア ン(Compt. 反 発 項-αT/V2/3が

と考 えた.こ

rend.(コ

ム タ ラ ン デ ュ と い う雑 誌 の),180,1248

液 体 の 表 面 波 の圧 力 に よ る もの として理 解 で きる

れ が 正 しい か ど う か,い

(河 出 書 房,1947)の

まで もわ か ら な い .私 の著 書 『 液体 理論』 この部 分 を少 し補 足 し て引 用 し て お く.読 者 も これ が 正 しい

か 考 え て ほ しい(表 記 ・記 号 を少 し改 め る).   「Brillouinは 表 面 分 子 の振 動 が 表 面 張 力 波 と して伝 わ り境 界 におい て反 射 す るた め に圧 力 を及 ぼ す と考 え,表 面 張 力 の温 度 変 化 の原 因 を これ に求 めた.表 面 張 力 波 の 速 さ Ｗ は(ρLは 液相 の 密 度,ρGは 気 相 の 密 度)

で 与 え られ る(ν は振 動 数).分

子 の 振 動 数 が 一 定 値 の まわ りに分 布 して い る とす

る と,エ

ネ ル ギ ー は 群 速 度W9で

で 与 え られ る か ら(3/2)Wに

伝 わ る.こ

等 しい.こ

れ は

の群 波 の 単 位 面 積 あた りの エ ネ ル ギ ー を

ｕとす れ ば,波 の圧 力 は単 位 長 さ に つ き

と な る.分

子 １個 が3kTの

エ ネ ル ギ ー を もつ とす る と

した が っ て,γ0を 分 子 間 引 力 に よ る定 数 と して 表 面 張 力 の 式

が 得 られ る(Ｎ

は ア ボ ガ ドロ数).こ

れか ら (CGS単

と計 算 され るが,こ

れ は実 測 値 とよ く一 致 して い る.」

位 系)

第16講 ス

ピ

ン

波

テーマ ◆

ス ピ ンの 交 換 相 互 作 用

◆

ス ピ ン波

◆

マグ ノ ン

◆Tea

Time:ね

じ り波 の模 型

交換 相 互 作 用   電 子 な どの 荷 電 粒 子 は磁 気 モ ー メ ン トを もっ て い て,小 他 方 で,一 般 に磁 気 モ ー メ ン トs1とs2の

さな磁 石 と考 え られ る.

２つ の磁 石 の 間 の 力 に よ るエ ネ ル ギ ー は

磁 気 モ ー メ ン トの間 の距 離 θ に関 係 し (１)

で 表 わ さ れ る.   電 子 の もっ て い る磁 気 モ ー メ ン トは磁 性 体 の磁 化 や 磁 気 共 鳴 吸 収 な どで あ らわ に現 わ れ る.し か し電 子 な どの 磁 気 モ ー メ ン トは量 子 論 的 な もの で,古 典 物 理 学 的 な解 釈 は正 し くな い. そ れ ど こ ろか 多 くの 場 合,物

質 の 強 磁 性 や物 質 の 中

の電 子 ど う し の相 互 作 用 は電 子 の 磁 気 モ ー メ ン ト間 の直 接 の 力 に よ る もの で は な く,パ ウ リの 原 理 に よ る もの で あ る こ とが 知 られ て い る.す で に第 ２講 で 図45  磁 石 どう しの相 互 作 用

述 べ た よ う に ２個 の 水 素 原 子 が 結 合 して分 子 を つ く

る と き,各 電 子 に 付 属 す る 電 子 が ス ピ ン を もちパ ウ リの 原 理 に した が うた めで あ る.２ つ の 原 子 の 間 の 力 に よ るエ ネル ギ ー は この場 合 (ス ピ ン が平 行 の と き)  (２)

 (ス ピ ン が逆 平 行 の と き) と書 け る.こ こでE0は

あ る定 数,Ｃ

はク ー ロ ン静 電 力 に よ る相 互 作 用 の エ ネ ル ギ

ー で あ り,Ｊ は交 換 積 分(交 換 相 互 作 用)と よ ば れ る項 で あ る.水 素 が 分 子 をつ く る場 合 は (３)

で あ っ た.こ

れ が 負 で あ る こ とが ２個 の 水 素 原 子 を結 合 さ せ る力 の原 因 な の で あ

る.し か し交 換 積 分Ｊ が 正 に な るか 負 に な るか は電 子 の 波 動 関 数 に よ る ので 物 質 に よ り,電 子 の 状 態 に よ りJ<0で

あ った りJ>0で

あ った りす る.(２)の

右辺 の

交換相 互作用 を  (ス ピ ン が平 行 の と き)  (４)

(交換) とす る と,こ

れ は(１)に

 (ス ピ ン が逆 平 行 の と き) 似た形 で

(交 換)

 (５)

と書 け る こ とを 示 そ う.  【証 明 】 ２電 子 系 の 全 ス ピ ン角 運 動 量 は (６) で あ り,こ

の ２乗 は (７)

で あ るが,ス の 値 は(第

ピ ンは 角運 動 量 演 算 子 で あっ て,ス

ピ ン Ｓ の大 きさ を Ｓ とす る とS2

２講 参 照) (８)

で あ る.１ 個 の電 子 ス ピ ンで はs=1/2(hを と に す る)な の で(『 量 子 力 学30講

単 位 として ス ピ ン角運 動 量 を表 わ す こ

』 参 照) (９)

し た が っ て(７),(９)か

ら

(10) とな る.こ

こで ス ピ ンが 平 行 な らばス ピ ン角 運 動 量 は加 え合 わ され てS=1に

ス ピ ン が逆 平 行 な ら ば打 ち消 し合 ってS=0に は(４)と

な る.し た が っ て(５)の

な る. Ｕ(交 換)

一 致 す る.

ス ピ ン 波   外 部 磁 場 が な い と き,強 磁 性 体 は絶 対 零 度 です べ て の 電 子 ス ピ ンが 平 行 にな り, 温 度 を上 げ る とい くつ か の ス ピ ンが 逆 転 す る.そ

して キ ュ リー 温 度 に な る とス ピ

ン の 方 向 が 完 全 に乱 れ て 強 磁 性 を失 う.

図46  ス ピ ン波 の １次元 的 な図

  い ま ス ピ ンが す べ て そ ろ っ て い る状 態 で １個 の ス ピ ンが 逆 転 した とす る と,そ の影 響 は波 の形 で 結 晶 を伝 わ る.こ の 波 を ス ピ ン波 とい い,こ

れ を量 子 化 した励

起 を マ グ ノ ン と い う.   結 晶 の 格 子 点 に あ る隣 ど う しの ス ピ ンが 交 換 相 互 作 用 を し て い る とし,そ の ハ ミル トニ ア ン を (交 換) と し よ う.こ

こ でSlはｌ

番 目 の 原 子 の ス ピ ン で,〈l,m〉

い て の 和 を と る こ と を意 味 す る(ス る).ス

ピ ン 演 算 子 のｘ,ｙ,ｚ

(交換) と な り,運 動 方程 式 は

 (11)

は最 隣 接 ス ピ ン波 につ

ピ ン は電 子 に 限 らず 原 子 の ス ピ ン を考 え て い

成 分 をSxl,Syl,Szlと

書 くと  (12)

(13)

[Ｈ(交 換),Slx]等  で 与 え ら れ る([A,B］=AB-BA).ス

ピ ンの 交 換 関 係

等 

(14)

を用 い る と

(15)

とな る.ま た,励 起 され た マ グ ノ ンの 数 は少 な い とす れ ば

(16) と して よ い.こ の 近 似 を用 い る と運 動 方 程 式 は

(17)

と な る.こ

れ ら は 線 形 方 程 式 な の で 波 数k=(kx,ky,kz)の

と が で き る.そ

こ でl番

目 の ス ピ ン の 位 置 を （xl,yl,zl）

成 分 に 分 解 して 解 くこ として

(18) とお い て運 動 方 程 式(17)に

入れ る と

(19) を得 る.   結 晶 と して 単 一 立 方格 子 を と る と,最 隣 接 格 子 点 の 数 は ６で あ る.最 隣 接 格 子 点 間 の 距 離(格

子 定 数)をａ

と し,波 数 の十 分 小 さ い と こ ろ(￨kxa￨≪1)で

(20) と近 似 す る と

として

(21) を 得 る.こ

れ が ス ピ ン 波 の 励 起 マ グ ノ ン の エ ネ ル ギ ー で あ る.

  温 度 が 上 が る と次 第 に多 くの マ グ ノ ンが 生 じ るが,そ れ らが た が い に干 渉 し あ わ な い とす れ ば,ボ

ー ス 統 計 に した が う と考 え られ る.振 動 数 の スペ ク トル は フ

ォ ノ ン と同 様 に し て

(22) で与 え られ る.Ｖ

は全 体 積 で あ る.マ

グ ノ ン の総 数 は

(23) こ こでωmは 最大 の 振 動 数 で あ る が,低 温 にお け る励 起 を問 題 に して い るの でωm =∞

とお い て よい .し た が っ て

(24) を用 い て

(25) と な る.N(マ え る.し

グ ノ ン)はT=0Kに

た が っ てV/a3=Nは

お い て そ ろ っ て い た ス ピ ン の 成 分 の 減 少 を与 ス ピ ン の 総 数 で あ り,T=0Kに

お け る 自発 磁 化 は

(26) (μBは ボ ー ア磁 子,ｇ は ラ ンデ(Lande)のｇ

因子(磁 気 角 運 動 量 比))で あ る.マ

グ ノ ン はＳ の 変 化 を与 え,マ グ ノ ン１ 個 に つ い て磁 化 はgμBだ け減 少 す る.し た が ってN(マ

グ ノ ン)個 の マ グ ノ ン に対 して磁 化 の 減 少ΔMは

(27) とな る.こ れ は 自発 磁 化 の 温 度 依 存 性 に 関 す る プ ロ ッホ のT3/2法 則 として 知 られ て い る.

Tea

Time

ね じ り波 の 模 型   坪 井 忠 二 先 生 は 寺 田寅 彦 さん の 弟 子 で,日 本 付 近 の 重 力 の測 定 や 地 震 の研 究 を した こ とな どで 有 名 で あ っ た.坪 井 先 生 と一 緒 に教 科 書 を書 い て い た 頃,あ

ると

き波 の 運 動 をわ か りや す くす るた め にね じれ 波 が 伝 わ る よ うな模 型 をつ くろ う と い う こ とに な っ た.   理 科 教 育 に 熱 心 な 編 集 部 の 山 口 豊 君 な ど も一 緒 に机 の 上 に ２メ ー トル ば か りの 長 さ の セ ロ テ ー プ を,接 着 面 を上 に し てぴ ん と張 っ て両 端 を お さ えて お く.中 華 そ ば の 箸 を何 十 本 も用 意 し,そ の 中 心 を セ ロ テ ー プ に接 着 させ,箸 ち ん と数 セ ンチ 間 隔 で 等 間 隔 に並 べ る.こ

をテ ー プ に き

う して 出 来 た す だ れ の よ うな もの の一

端 を天 井 か ら吊 し,ぴ ん とな る よ う に下 端 も固 定 す る.こ れ でで き上 が りで あ る.   箸 が水 平 に 並 ん だ す だ れ の一 部 を軽 く押 す と,上 下 に ね じれ 波 が ゆ っ く り と伝 わ っ て い くの が み られ る.   波 動 の 説 明 を 目的 に した 理 科 実 験 用 の 装 置 は い ろ い ろ 工 夫 さ れ て い る.水 平 す だ れ 式 波 動 実 験 器 で は,帯 状 の鋼 鉄 に垂 直 に多 数 の 棒 を 固 定 して あ る.ね

じれ波

が 伝 わ る様 子 は 中 華 そ ば の 箸 で 作 っ た す だ れ の 波 と 同様 で あ る.む か し理 科 教 育 の研 究 で 私 の と こ ろ に来 て い た 高 校 の 先 生 は水 平 す だ れ 式 波 動 実 験 器 の 鋼 鉄 の帯 を 環 状 に し,す だ れ の棒 が 鉛 直 に な る よ う に し た装 置 を発 明 し た.こ の場 合,波 は 周 期 的 な 波 とな っ て伝 わ る.ま た これ は水 素 原 子 の ド ・ブ ロ イ波 を説 明 す る の に 適 して い る.   ゴ ム ひ もを水 平 にぴ ん と張 っ た もの に等 間 隔 に止 め針 を並 べ て刺 した もの は,縦 に 並 ん だ す だ れ を伝 わ る波 の 運 動 が よ くわ か る(こ れ は非 線 形 波 動 の サ イ ン‐ゴル ドン方 程 式 とい わ れ る もの の 波 の 模 型 と して 知 られ て い る が,磁 場 が か か った ス ピ ン波 の伝 播 に も似 て い る).止

め針 は重 力 の た め にた れ下 が るので,こ の 装 置 は

「す だ れ 」 で な く,む し ろ 「のれ ん」 で あ る.

第17講 調 和 振 動 子

テーマ

◆ 振動 の波 動関 数 ◆ 振動 の行列 要 素 ◆ エル ミー ト行 列 ◆Tea

Time： 非線 形振 動子 の量 子力学

古 典 的 な調和 振動   調 和 振 動(単 振 動)は 最 も基 本 的 な 運 動 で あ る.こ に 『 量 子 力 学30講

の シ リー ズ に お い て もす で

』第 ９講 で 調 和 振 動 子 を扱 い,こ れ に対 す る シ ュ レ ー デ ィ ン ガ

ー 方 程 式 の解 を 示 し て お い た .こ

こで は別 の 観 点 か ら もっ と一 般 的 な調 和 振 動 を

見 直 す こ とに す る.   角 振 動 数 ω=2πν(ν は振 動 数)の

調 和 振 動 は一 般 に (１)

(ｔは時 間)と 書 け る.複 素 共 役（i→‐i）

を とる と (２)

と な る.以

下a(t)を

簡 単 にａ と 略 記 す る こ と に し よ う. (３)

と お く.こ =m=1と

こ で し ば ら く の 間ｈ し て も よ い) .

とｍ

は 単 な る 定 数 と す る(た と え ば 簡 単 の た めh

(３)をｔ で 微 分 す る と (４)

した が っ て (５)

を得 る.こ れ は調 和 振 動 子 の古 典 力 学 的 な運 動 方 程 式 で あ り,ｘ は変 位,ｐ は運 動 量,ｍ

は 質 量 を表 わ す.

(５)の 解 を,た

とえば (６)

と書 く と,x(0)は

振 幅 を 与 え,エ

ネ ル ギ ーEの

保存則 は

(７)

で 与 え られ る.変 位ｘ の ２乗 平 均 を 〈x2〉と書 くと (８)

とな る こ とが 確 か め られ る. 調 和 振 動 子 の量 子 力学   調和 振 動 の シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 を考 え よ う.変 位ｘ に対 し て運 動 量 をp =（h/i） ∂/∂xとお け ば ,ハ

ミル トニ ア ン は（h=h/2π,こ

こで ｈ はプ ラ ンク定 数)

(７)か ら (９)

と な り,シ

ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 は

(10) で 与 え られ る.こ

こでｘ を無 次 元 化 して

(11) を導入 す る とｎ番 目の固有状 態

(12) に対 して(10)は

固 有 値 方程 式

(13) を 与 え る.こ

こで

(14) はエ ネ ル ギ ー 固有 値 で あ る.   (13)は

ψnに 対 して 線 形 の 方程 式 な の で

(15) と規 格 化 す る こ とが で き る.こ

の と き,よ

く知 ら れ て い る よ う に,固

有 関 数 ψn(ξ)

は

(16) と書 け る.こ

こでNnは

規 格 化 の定 数,Hn(ξ)はｎ

次 の エ ル ミー ト関 数 で あ り

(17)

で 与 え ら れ る.

 変位ｘ と運動量p=

∂/∂xの行 列 要 素 は

(18)

で あ る.変 位 をｘ か ら ξ に変 え て

(19) に 注 意 す る と,(16),(17)を

用 い て(証

明 略)

(20)

(そ の 他 のxm，n=0)と

(21)

(そ の 他 のpm,n=0)を

得 る.

  これ らの行 列 要 素 を ま とめ て 次 の よ うに ま とめ て書 くと便 利 な こ とが 多 い.

(22)

(23)

行 列 の 行 と列 を と りか え,同 ル ミ ー ト共 役 と い う.ｘ,ｐ (23)か

時 に す べ て の 要 素 を複 素 共 役 で お き か え た も の を エ の エ ル ミー ト共 役 を そ れ ぞ れx+,p+と

表 わ す.(22),

らわ か る よ う に

 x+=x,p+=x  が 成 り立 つ.こ

れ らの よ う に,あ

(24)

る行 列 が そ の エ ル ミー ト共 役 に 等 し い と き,こ

の行 列 をエ ル ミー ト行 列 と い う.量 子 力 学 で は観 測 され る量 を物 理 量 とい い,物 理 量 はエ ル ミー ト行 列 で表 わ さ れ る と考 え て い る.   な お 調和 振 動 子 をH=p2/2m+(mω2/2)x2と

し,交 換 関 係[x,p]=ihを

おい

て 固有 運 動 を求 め る,す な わ ちハ イ ゼ ンベ ル ク の行 列 力 学 に 沿 っ て調 和 振 動 子 の 固 有 運 動 を解 く場 合,ｐ (20)の 代 わ りに

とqの 行 列 表 現 は一 義 的 に き ま る もの で は ない.た

とえば

(25)

と し て も よ い(『 量 子 力 学30講

』p.160参

照).

エ ル ミ ー ト演 算 子

  こ こ で エ ル ミ ー ト性 と い う こ と を は っ き り述 べ て お こ う.例

と して 運 動 量 演 算

子 (26) を考 え る.f(x)とg(x)を

任 意 の 関 数 とす る と き,部 分 積 分 に よ り

(27) を 得 る.た

だ し 遠 方x→

± ∞ でf(x)とg(x)は

十 分 速 く ０ に な る と し て い る.上

式は (28) と書 け る.こ こでp*は =‐(h/i)∂/∂xを  一 般 にf(x)

演 算 子ｐ の複 素 共 役,す

な わ ちｉ を‐iに 変 えた演 算 子p*

意 味 す る.

,g(x)を

適 当 な境 界 条 件 を満 た す任 意 の関 数 とす る と き

(29) が成 り立 つ よ う な演 算 子A=A(x,∂/∂x)を

エ ル ミー ト的 な演 算 子 とい う.演 算

子 はエ ル ミー ト的 で あ る とは 限 らな い が,量

子 力 学 で は物 理 的 に観 測 し う る量 は

エ ル ミー ト的 な演 算 子 で あ る と して い る.   エ ル ミー ト的 で な い 演 算 子Ａ に対 し て も

(30) が 成 り 立 つ よ う な 演 算 子A+を な 演 算 子 と い う.こ

見 出 す こ とが で き る.A+をＡ

の 定 義 を 用 い る と,エ

の エ ル ミー ト共 役

ル ミー ト的 な 演 算 子 と は そ れ が 自 己 の

エ ル ミ ー ト共 役 演 算 子 に 等 し い よ う な も の で あ る.   エ ル ミー ト共 役 な 演 算 子 の エ ル ミ ー ト共 役 演 算 子 は も と の 演 算 子 に 等 し い.す なわち   で あ る.ま

た ２ つ の 演 算 子Ａ

 

（A+）+=A 

(31)

と Ｂ に対 して （AB）+=B+A+ 

(32)

が 成 り立 つ こ と が 容 易 に 示 さ れ る.   【行 列 表 現 】(ψ1,ψ2,…

） を正 規 直 交 関 数 系 とす る.す

なわ ち

(33) と す る.こ

れ を 基底 に して

(34) を演 算 子Ａ の行 列 要 素 と し,こ の 演 算 子 の 行 列 表 現 を   A=(Am,n)  と書 く.Ａ

の エ ル ミ ー ト共 役 演 算 子A+の

  で 与 え られ る.す

行 列 表 現 をA+と

（A+）m,n=（An,m）* 

(35) す る と,そ

の要素 は (36)

な わ ち 行 と 列 を い れ か え て 複 素 共 役 を と っ た も の で あ る.特

エ ル ミー ト的 な 演 算 子 に 対 し て は  

A+=A 

(37)

す なわ ち   が 成 り立 つ ． た と え ば(23)で   で あ る.

（An,m）*=Am,n 

(38)

確 か め られ る よ うに （pn,m）*=pm,n 

(39)

に

Tea

Time

非 線形振 動子の量子 力学   量 子 力 学 は調 和 振 動 子 に は じ ま っ た と も い え るが,1930年

前 後 に い ろい ろ な非

線 形 振 動 子 の 量 子 力 学 が解 か れ て い る.そ の い くつ か に つ い て 記 そ う.シ ュ レー デ ィンガー方程式 は

で あ る(戸 館,1968)参

田盛和

『量 子 力 学30講

』(朝 倉 書 店,1999),お

  (１)  テ ラ ー‐ペ ッ シ ェ ル ポ テ ン シ ャ ル(E.Teller, 143

よび

G. Poschel:Z.Phys.,83,

(1933))

(0＜x＜

π/2x).こ

と お く と,エ

こ で

ネルギー固有値 は

また

(x＞x0).μ-ν

＞-1の

と き ポ テ ン シ ャ ル は 極 小 値 を も つ.

エ ネル ギ ー 固有 値 は

 (２) 

モ ー ス ポ テ ン シ ャ ル(P.M.Morse:Phys.Reυ.,34,57(1929))

エネル ギー固有値 は

ただ し

『 振 動 論 』(培 風

照).

  (３) 

ロ ー ゼ ン‐ モ ー ス ポ テ ン シ ャ ル(B,C,d＞0)(N.Rosen,P.M.Morse:

Phys.Reυ.,42,210（1932)）

エ ネ ル ギ ー 固有 値 を-Enと

特 にB=0の (1930))と

場 合 は,エ

すると

ッカ ー

ト ポ テ ン シ ャ ル(C.Eckart：Phys.Reυ.,35,1303

よ ば れ る こ と が あ る.

とお く と

た だ し[p]はｐ

を越 えな い 最 大 の整 数.も

で あ り,さ

ら にp=1な

が あ る(こ

の 値 は ポ テ ン シ ャ ル の 深 さ-Cの

ら ばE0=0を

し もｐ が 整 数 な ら ば

除 い て 唯 一 の 束 縛 状 態,E1=-h2/2md2だ 半 分 で あ る).

け

第18講 生成消滅演算子

テーマ ◆ 励 起 粒 子 の 生 成 と消 滅 ◆ 昇 降演 算子 ◆Tea

Time：

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー と格 子 振 動

生成消滅演算子

  本 講 か ら 演 算 子(行

列)をａ,a+,ｘ,ｐ

な ど と書 く こ と に す る.演

算 子ａ

な ど の 太 文 字 に し な い で,ａ,a+,ｘ,ｐ

と そ の エ ル ミ ー ト共 役a+

（１）

を 定 義 す る.行

列 表 示 は 前 講(22)と(23)を

参 照 し て(１)か

ら

（２ ）

す な わ ちａ は右 上 の 第 １非 対 角 要素 以 外 の要 素 が すべ て ０で あ る行 列,a+は

左下

の第 １非 対 角 要 素 以 外 の要 素 が す べ て ０で あ る行 列 で あ る.こ れ ら を掛 け る と

(３)

これ は対 角 要 素 がn=0,1,2,…

で あ る対 角行 列 で あ る.(２)はN=a+aを

対角

化 した 表 示 で あ り,ｎ は励 起 を表 わ す粒 子 の数 と解 釈 され る.ま たａ とa+を 逆 に 掛 ける と

(４)

と な る.し

たが って

(５)

こ れ は対 角 要 素 が す べ て １の対 角行 列 で あ る.  ａ,a+とx,ｐ

との 関 係 は(１)を

逆 に解 い て (６)

と書 く こ と が で き る.こ

れ は 古 典 的 な 式(前

て お こ う.(５)は(６)と

講(３))と

同形 で あ る こ と を注 意 し

交換関係 (７)

か ら 導 く こ と が で き る.す

な わ ち(７)に(６)を

代 入 す る と(７)の

左辺 は

(８) と な り,し

た が っ て(５)が

  (１)と(７)に

得 ら れ る.

よ り

(９)

した が っ て 調和 振 動 子 の ハ ミル トニ ア ン は

(10) あ る い は(３),(４),(５)を

用 い て

(11) と 書 け る.  

N=a+aを

対 角 化 し た 行 列 表 現(２)に

お け る 基 底 ベ ク トル ψ0,ψ1,…

は成 分 を

用 い て表 わ す と

(12)

で あ る.た

と え ばa+ψ0,a+ψ1,aψ0,aψ1は

そ れ ぞ れ

(13)

を 意 味 す る.一

般 に

(14) で あ る.

昇降演算子   無 次 元 化(形

式 的 にｈ,ω,ｍ

を す べ て １ とす る)し

て ハ ミル トニ ア ン を

(15)

と す る(Hψn=Enψn).こ

の と き 固有 値 は

(16) 規格 化 され た固有 関数 は (17) と な る.こ

こ でHn(x)は

エ ル ミ ー ト多 項 式 で

(18) で あ り,微 係 数 は

(19) また漸化式 (20) が 成 り立 つ ． こ こ で

(21) と お く と,こ

れ は 生 成 消 滅 演 算 子 で あ る.実

際(17),(19),(20)を

用 いれ ば

(22) が 簡 単 に 示 さ れ る.し

た が っ て(17)に

ｎを １つ 下 げ る 演 算 子 で,こ に 時 間 因 子exp(-iEnt/h)を

対 し てa+はｎ

を １つ 上 げ る 演 算 子,ａ

れ ら は 昇 降 演 算 子 と よ ば れ る こ とが あ る.(17)の つ け た も の を(14)の

は ψn

ψnと す れ ば,(14)と(22)と

は 同 じ こ と を 述 べ て い る. (22)に

よ り

(23) な どが 成 り立 つ.

Tea

Time

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー と格 子 振 動

  本 文 で は調 和 振 動 子 に対 す る シュ レー デ ィ ンガ ーの 波 動 方 程 式 の 固有 関 数 ψn(x) のｎ を増 や した り,減 ら した りす る昇 降 演 算 子 につ い て 述 べ た.   別 の 場 合 の 昇 降 演 算 子 の例 を挙 げ よ う.

とし (＊) に な る よ う な 関 数 系{Jn(x),n=0,1,2,…

した が ってJn(x)は

｝を 考 え る.こ

の場合

微 分 方程 式

を満 た し,こ れ はべ ッセ ル 関 数 で あ る.   (＊)の ２式 か らn/xの

項 を消 去 す る と

を得 る.こ の 式 をｘ で 微 分 す る と

と な るが,こ

れ は １次 元 線 形格 子 の運 動 方程 式

(**) に お い てx=2√r/mtと

を 得 る.も

お い た の と 同 形 で あ る.た

っ と 一 般 に は 上 の 運 動 方 程 式(**)に

と お く とl=2jとl=2j+1の

いず れ に つ い て も

と え ばn=2jと

おい て

お い て特 解

が 成 り立 つ こ と が わ か る.し

た が っ て ξe(x)は

ベ ッ セ ル 関 数 で あ る.こ

の こ とを

使 っ て 格 子 の運 動 の 一 般 解 は

で 与 え られ る こ と が 示 さ れ る(ξn(0)ば

ξn(x)の

初 期 値).こ

れ か らvj=duj/dtに

つ いて は

と な る(Jn'(x)=dJn(x)/dx).   こ こ で 述 べ た １次 元 線 形 格 子 の 運 動 の 表 わ し 方 は シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー に よ る も の で あ る.こ

の こ と に つ い て,W.ム

(小 林澈 郎 ・小 佐 幸 子 共 訳,培   「1914年 術専 門誌

３ 月 初 め,シ

ー ア 『シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー ， そ の 生 涯 と思 想 』

風 館,1995,p.87‐89)に

は 次 の よ う な 記 述 が あ る.

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー は 当 時 も っ と も重 要 な ドイ ツ の 物 理 の 学

『ア ナ ー レ ン ・デ ア ・フ ィ ジ ー ク 』 に 「弾 性 力 で 結 合 さ れ た 質 点 系 の 力

学 」 と 題 す る 純 理 論 的 な 論 文 を 投 稿 し た.こ 文 の 中 で 最 も優 れ た も の で あ る.…

  こ の 論 文 は Ann.d.Phys.,44(4),916‐934(1914)で 用 さ れ て い る(戸

田盛和

れ は第 １次 大 戦 前 に 彼 が 発 表 し た 論

」 あ り,そ

『 振 動 論 』,培 風 館,1968,p.137‐138).

の 後 繰 り返 し 引

第19講 ボ ー ス多体 系

テー マ

◆ ２粒 子 系 ◆ Ｎ 粒 子系 ◆ 演算 子波 動 関数 ◆Tea Time： 粒 子数 の増 減

多粒子系   本 講 と次 講 で は,多 数 の 同 種 粒 子 か ら原 子 体 系 を扱 う一 般 的 な 方法 に つ い て 述 べ る.１ 成 分 の 気 体(あ る い は液 体,固 体)と か,光 子 の集 ま りで あ る輻 射 場 な ど が 対 象 で あ るが,具

体 性 を もた せ るた め物 質 粒 子 を考 え よ う.Ｎ

位 置(お よび ス ピ ン)の 座 標 をx1,x2,…,xNの

個 の 同種 粒 子 の

関 数 と して体 系 の 状 態 を表 わ す 方

法 を配 位 空 間 の 方 法 と よぶ こ とに し よ う.   これ に対 して,た

とえ ば 気 体 に お い て Ｎ 個 の粒 子 は エ ネル ギ ー εkの 準 位(kは

準 位 の 番 号 づ け でk=1,2,…

あ る い はk=0,1,2,…

とす る と き,各 準 位 に あ る粒 子 の数n1,n2,…,nk,…

とす る)の い ず れ か に あ る に よっ て体 系 の 状 態 を表 わ

す こ と もで き る(量 子 論 で は 同種 粒 子 は た が い に 区別 で きな い と してい るか ら,ど の 粒 子 が どの 準 位 に あ る とい う こ とは 問題 に しな い).こ れ を粒 子 数 の 方 法 とよん で お こ う.   この 方法 は粒 子 間 に相 互 作 用 が あ る体 系 に も適 用 す る.こ の 場 合,各 立 に と り う る準 位 とい う概 念 は不 確 か に な るが,一

粒子が独

般 的 に は相 互 作 用 を と り除 い

た 仮 想 的 な体 系 の 準 位 を εkと考 えれ ば よ い.も っ と形 式 的 に い う と,適 当 な 規 格 直 交 関 数 系ψk(x)に

よっ て 表 わ さ れ る １粒 子 の状 態 を準 位 と し,そ の集 ま りを基

底 と して 多 粒 子 系 を記 述 す るの で あ る.   こ こで まず 配 位 空 間 の 方 法 につ い て 説 明 して か ら粒 子 数 の 方 法 を説 明 し,ボ ー ス粒 子 系 と フ ェル ミ粒 子 系 に つ い て これ ら の方 法 が 同 等 な結 果 を与 え る こ と を示 そ う と思 う.し か し多 数 の粒 子 を扱 う と式 は長 くな る し,わ か りに く くな るの で, 準 位 が ２つ,粒 子 が ２個 の場 合 を扱 っ て か ら一 般 式 を述 べ る こ とに した い.準 位 が ２つ しか な い体 系 は全 く仮 想 的 な もの で あ るが,こ れ らは エ ネ ル ギー が 異 な る ２つ の準 位 を もつ ２準 位 レ ー ザ ー の よ うな も の と考 えて お こ う.

配 位 空 間   準 位 １,２ に あ る と きの粒 子 の状 態 を ψk1(x),ψk2(x)と

し よ う.ま ず ボ ー ス‐ア

イ ン シ ュ タ イ ン統 計 に した が う ボー ス粒 子 の 体 系 で は,波 動 関 数 は粒 子 の と りか え に対 し て対 称 で な け れ ば な らな い.そ

こで ２個 の 粒 子 が 準 位 １と ２に １個 ず つ

あ る状 態 は対 称 な 波 動 関数 ψ を(座 標x1,x2を

省 略 す る) (１)

と 書 け る.(時

間 変 数 は 省 略 し て 書 い た.上

  こ こ で エ ネ ル ギ ー を 表 わ すh(x)と は 微 分 演 算 子 を 含 み,た

式 で1/√2は

規 格 化 の 定 数 で あ る.)

い う 関 数(演 算 子 と い っ た 方 が 適 当 で,h(x)

と え ば 自 由 粒 子 の エ ネ ル ギーh(x)=-(h2/2m)∂2/∂x2,

振 動 子 の エ ネ ル ギ ーh(x)=-(h2/2m)∂2/∂x2+(mω2/2)x2な

ど を 考 え る.粒

子が

２個 あ る の で (２)

と す る.h(x1)は

粒 子 １に は た ら き, h(x2)は

h(x)ψk (x)をψk1(x),ψk2(x)で

粒 子 ２ に は た ら く.そ

こで まず

展 開 で き る と して

(３)

と お い て,係

数hk1,k1,

hk2,k1,  hk1,k2,  hk2,k2を

され た 直 交 関 数 系 で あ る とす るの で

き め よ う.ψk1(x),ψk2(x)は

規 格 化

(４) と な る(ψ*は

ψ の 複 素 共 役).(３)に

ψk1*(x)を

掛 け て積 分 す る と

(５)

同様 に

(６)

を 得 る.さ

らに

(７) と な る.   こ の 計 算 は Ｎ 粒 子 の 場 合 へ 一 般 化 で き る.準 称 化 さ れ た ボ ー ス 系 の 波 動 関 数 は(粒

位 をk1,k2,…,

子 の 座 標(x1, x2,…, xN)を

kNと

す る と,対 省 略 す る)

(８) と書 け る.njは

同 じkjの

現 わ れ る 数,全

k1,k2,…,kNの

並 べ か え(置 換),Σ

粒 子 数 はN=n1+n2+…

で あ り,Ｐ

は

は す べ て の 可 能 な 置 換 に つ い て の 和 で あ る.

こ の 総 和 は パ ー マ ネ ン ト と よ ば れ る も の で,記

号det+で

表 わ さ れ て い る.す

なわ

ち (９) と書 か れ る(det+は も の で あ る).さ

行 列 式 を 形 式 的 に 展 開 し た と き の(-1)Pを ら に(２)を

す べ て+1と

した

拡 張 し

(10) と す る と,(７)の

一般化

(11) が 得 ら れ る.こ

こ でｋ に つ い て の 和 はk=k1,k2,…,kNの

す べ て に わ た る和 で あ

る.

粒子数表示  準 位ｊ に あ る粒 子 の 数 ０,１,２,… を 固有 値 とす る行 列 演 算 子

(12)

を 導 入 す る.こ

こ で,準

位ｊ に 粒 子 が な い 状 態 ψ0(j),１個 あ る状 態 ψ1(j),２個 あ る

状 態 ψ2(j),… を

(13)

とす る.こ の粒 子 を １個 減 らす 演 算 子 をbj,増

や す 演 算 子 をbj+と 書 こ う.(前 講

まで に説 明 した 消 滅 演 算 子 と生 成 演 算 子 な の で,こ れ らはaj,aj+と で あ る が,aj,aj+は

した い と ころ

電 子(フ ェ ル ミ粒 子)に 対 して 使 う こ とが 多 い の で,こ

は ボー ス粒 子 に対 す る生 成 ・消 滅 演 算 子 をbj+,bjで

こで

表 わ す こ とにす る.文 字ｂ を

用 い る の は ボ ー ス 粒 子 の頭 文字 を採 用 して の こ とで あ る.次 講 で は フ ェル ミ粒 子

に 対 す る 生 成 ・消 滅 演 算 子 をaj+,ajと

書 く こ と に す る).粒

子 数njを(12)の

う に 対 角 化 し た 表 示 に お い てbj,bj+は

前 講 に述 べ た と こ ろ に よ り

よ

(14)

で 与 え ら れ る.

(15) が 成 り立 つ.   粒 子 数 に よ る 表 示 で は ψn（j） （j=1,2,… が 全 然 な い 状 態 は そ の 原 点 で あ る.こ k1,k2,…,  kNに

）を 座 標 軸 と す る 空 間 で 表 わ さ れ,粒

れ をΦ0(真

空 状 態 と い う)と

子

し よ う.準

位

そ れ ぞれ 粒 子 が あ る状 態 は

(16) で 表 わ さ れ る(bj+,bk+は に 対 し て 対 称 で あ る.す

た が い に 交 換 す る と す る).Φ な わ ち,た

はk1,  k2,…,  kNの

交 換

とえ ば

(17) が 成 り立 つ.   bj,bj+の 交 換 関 係(マ

イ ナ ス の 交 換 関 係)は

(18)

と な る.   こ こ で 係 数hk,k'を

もつ 演 算 子

(19) を 導 入 す る と,こ れ は準 位k'に あ る粒 子 を １だ け減 らし,準 位ｋ に粒 子 を １個 増 や す 演 算 子 の 集 ま りで あ る か ら

(20) と な る.こ

れ は(11)と

同 じ形 の 式 で あ る.こ

の 計 算 は 逆 に た ど る こ と も で き,配

位 空 間 の表 示(８)を

使 う の と,粒 子 数 表 示(16)を

使 う の と は全 く同 等 で あ る こ

とが わ か る.粒 子 数 表 示 の 方 が簡 単 に扱 え るの で,多

体 系 は これ を用 い る こ とが

多 い.

演算子波動関数  前 節 で 述 べ た こ と はハ ミル トニ ア ンが 配 位 空 間 で

(21) の と き に も成 り立 つ こ とが 示 され る.こ れ に対 応 す る粒 子 数 表 示 は ボ ー ス 系 に お いて

(22) と な る.た

だ し こ こで

(23)

で あ る.さ

らに 演 算 子bkを 含 む 波 動 関 数

(24) を導 入 す る とハ ミル トニ ア ン は

(25) と 書 け る.   bj,bk+の

交 換 関 係(18)と

関 数 系 ψk(x)の

完備 性

(26) を用 い れ ば,ボ

ー ス 系 に 対 す る演 算 子 波 動 関 数 の 交 換 関係

(27) が 導 か れ る.ま

た(18)に

よ り

(28) が 導 か れ る.

Tea

Time

粒子 数の増減  ボ ー ス 系 に お い て粒 子 数 を表 わ す行 列 を

と す る.(b+b)+=b+bで 共役 な量 を Ｍ

あ る か ら,Ｎ

と す る.す

は エ ル ミ ー ト演 算 子 で あ る.そ

こで こ れ に

なわち

とし

を考 え る と (＊)   Ｎ が ０か ら は じ ま る 対 角 行 列Njk=(j-1)δj,kで

し た が っ てk=1の

と きUj1=0で

成 分 だ け が ０で な い.し

 U+を(＊)に

ま た(＊)の

あ る と す る と(＊)に

な け れ ば な らな い.ま

たが って

左 か ら掛 け る と

エ ル ミー ト共 役 を と る と

たk〓1な

よ り

ら ばk=j+1の

こ こで Ｎ は対 角行 列 と して い る か ら

で あ り,適 当 な ユ ニ タ リ変 換 で

とす る こ とが で き

と書 く こ とが で き る.Ｕ と い う こ と に な る.

は粒 子 数 を １つ 減 らす演 算子,U+は

１つ 増 や す 演 算 子

第20講 フ ェル ミ多 体 系

テ ーマ

◆ ２粒 子 系 ◆ Ｎ 粒 子系 ◆ 演 算子 波動 関数 ◆Tea Time： 湯川 先生 の著 書

配 位 空 間   フ ェル ミ粒 子 系 で は,波 動 関 数 は ２粒 子 を交 換 す る とマ イ ナ ス符 号 が つ く.波 動 関 数 は粒 子 の 変 換 に対 して 反 対 称 な の で あ る.こ

の た め １つ の準 位 に は,た か

だ か １個 の粒 子 し か入 りえ な い(パ ウ リの 原 理).２ つ の 準 位k1,k2だ

けか らな る

フ ェ ル ミ系 の 波 動 関 数 は (１)

で あ る.こ

こで 前 講 と同 様 に (２)

とす る と

(３)

この場 合 に は波 動 関 数 の反 対 称 性 に よ り ２粒 子 は 同 じ準 位 に入 りえ な い か ら (４) で あ る.し

た が っ て(３)は

(５) と書 い て も よ い.こ

れ は 前 講(７)と

同 じ形 で あ る.

  こ の 計 算 は Ｎ 粒 子 の 場 合 へ 一 般 化 で き る.粒 とす る と,反

子 の お か れ た 準 位 をk1,k2,…,kN

対 称 化 さ れ た フ ェ ル ミ系 の 波 動 関 数 は

(６)

と書 け る.こ

こで Ｐ は粒 子(あ る い は準 位)の 置 換,(-1)Pは

偶 置 換 の と き+1で

あ る.上 式 は行 列 式(det)の

奇 置換 の と き-1,

形で表 わせ ば (７)

で あ る. (８) と す る と(５)の

一般 化 は (９)

が 得 られ る.こ れ はN=2の

場 合(５)と

一 致 す る こ とが確 か め られ る.

粒子数表示   フ ェル ミ粒 子 に対 し て は １つ の準 位 に入 り う る粒 子 の数 は ０か １に 限 られ て い

るか ら,準 位ｊ に あ る粒 子 の数njは

これ を対 角 化 す る表 示 で

(10) で あ る.準 位ｊ に あ る粒 子 の数 が な い 状 態 ψ0(j),１個 あ る状 態 ψ1(j)はそ れ ぞれ

(11) と表 わ せ,粒

子 を減 らす 演 算 子ajと 増 や す演 算 子aj+は

(12) で 与 え ら れ る.

(13)   粒 子 が 全 然 な い 真 空 状 態 をΦ0と

す る と,k1,k2,…, 

kNに

粒 子 が １個 ず つ あ る

状態は (14) で 表 わ さ れ る.aj,akの

交換 関 係(プ

ラ ス の 交 換 関 係)は

(15)

で あ る.こ

の と きΦ(k1,k2,…,kN)の

反 対 称 性 は 保 証 さ れ る.た

とえ ばk1とk2を

交換 す る と

(16) とな る.   こ こで 係 数hk,k'を もつ 演 算 子

(17) を導 入 す る と

(18) とな る こ とが 確 か め られ る.こ れ は(９)と ど る こ と もで き,配 位 空 間 の表 示(６)を

同 じ形 の 式 で あ る.こ の 計 算 は逆 にた 使 うの と,粒 子 数 表 示(14)を

使 うの と

は全 く同 等 で あ る こ とが わ か る.粒 子 数 表 示 の方 が簡 単 な の で,多 体 系 で は これ を用 い る こ とが 多 い. 演算子波動関数  前 節 で 述 べ た こ と はハ ミル トニ ア ンが 配 位 空 間 で

(19) の と き に も成 り立 つ こ とが 示 さ れ る.こ れ に対 応 す る粒 子 数 表 示 は フ ェ ル ミ系 に お いて

(20) と な る.た

だ し こ こで

(21)

で あ る.さ

らに演 算 子akを

含 む波動 関数

(22) を導 入 す る とハ ミル トニ ア ンは

(23) と 書 け る.   aj,ak+の

交 換 関 係(15)と

関 数 系ψk(x)の

完備性

(24) を用 い れ ば フ ェ ル ミ系 に対 す る交 換 関 係

(25)

が 導 か れ る.

Tea

Time

湯川 先生 の著書   湯 川 秀 樹 先 生(1907‐1981)が

「素 粒 子 の相 互 作 用 に つ い て 」 と題 す る論 文(英

文)を は じめ て 発 表 した の は昭 和10年(1935年),先 年 後 に ア メ リ カで ア ン ダー ソ ン(C.D.Anderson)ら

生28歳

の とき で あ っ た.２

が 宇 宙 線 の 中 に湯 川 先 生 の予

言 し て い た粒 子(い まで は 中間 子 と よ ばれ る)を 発 見 して 有 名 に な る.昭 和14年 ソル ベ ー 国 際 会 議 に招 か れ て渡 欧 した が,第

２次 大 戦 が は じ ま っ て会 議 は 中止 に

な り,ア メ リカ を経 由 して帰 国 し,翌 年33歳

で 日本 学 士 院 賞 恩 賜 賞 を受 ける.昭

和16年(1941年)日

本 が ア メ リカ と交戦 を は じ め る.昭 和20年

23∼28年 プ リン ス トン高 級 研 究 所,コ ベ ル 賞 受 賞 .昭 和28年(1953年)京

ロ ン ビア大 学 教 授.そ

大 戦 終 了.昭 和

の 間 に昭 和24年

ノー

都 大 学 基 礎 物 理 学 研 究 所 が 設 立 され 所 長 とな

る.同 年 京 都 と東 京 で 開 か れ た 国 際 理 論 物 理 学 会 議 で は会 長 を務 め た.   第 ２次 大 戦 は昭 和20年(1945年)に が 相 当 多 く出版 さ れ て い た.外

お わ った が,戦 争 中 か ら湯 川 秀 樹 先 生 の本

国 か らの本 が手 に入 らず,大

まな い時 代 で あ っ た せ い もあ っ て,手 い い く らい だ った.そ

に入 る本 は とに か く読 み た か った とい っ て

の 中 で も湯 川 先 生 の本 は 大 い に励 み に な っ た.上

先 生 の 略 年 譜 の 期 間 に 買 っ た本(あ もの もあ る か も しれ な い が)で の50年

学 の研 究 も あ ま り進 に記 した

る い は この 期 間 に書 か れ た の を 古 本 で 買 っ た

今 で も もっ て い るの が 何 冊 か あ る.紙 が 悪 くて こ

の 間 に酸 化 し て し ま った が,何 冊 か と り出 して 並 べ て み る と次 の よ う な も

の で あ る.(す べ て湯 川 先 生 の著 作.初

版 発 行 日 と所 持 す る本 の発 行 日 を記 して お

く)  『 極 微 の 世 界 』 岩 波 書 店,昭

和17年

２月17日(２

 『 存 在 の 理 法 』 岩 波 書 店,昭

和18年

７月15日

  『目 に見 え な い も の』 甲文 社,昭 和21年  『 理 論 物 理 学 講 話 』 朝 日新 聞 社,昭

  『自然 と理 性 』 秋 田屋,昭

和22年

３月20日(再

和21年

 『 量 子 力 学 序 説 』 弘 文 堂 書 房,昭 和22年

刷 同 年 ６月20日)

版 同 年 ７月10日)

７月10日 ２月15日

２月25日

そ の 後 の発 行 の もの は省 略 す る.   上 の著 書 の 中 で 『 量 子 力 学 序 説 』 は テ キ ス ト風 で あ る.一 番 専 門 的 とい え るの は縦 書 き で あ るが,『 存 在 の 理 法 』で あ る.こ れ に は 「現 代 物 理 学 の根 本 問 題 」 と い う副 題 が つ い て い る.い

ま読 ん で も大 変 お も し ろ い.目 次 を見 よ う.

内篇 ：第 １章  理論 物 理 学 の 方 向 に就 て  

第 ２章  自然 法 則 の形 態 に就 て

 

第 ３章  場 の 理 論 の基 礎 に就 て 外 篇 ：第 １章   物 理 学 的 世 界 に就 て

 

第 ２章  時 間 と因 果 に就 て

 

第 ３章   中 間 子 論 の 由来 と発 達 に就 て

 

第 ４章  素 粒 子 の 方 法 に就 て

この 最 後 の 「素 粒 子 の 方 法 に就 て」 はい わ ゆ る再 度 量 子 化(第 を解 説 した もの で,熱

心 に 読 ん だ こ とが あ る.今 回 も第19講

２量 子 化)の と第20講

方法

を書 く と

き の 参 考 に した.   こ う い う こ と を本 編 『物 性 物 理30講

』に含 め るの は い さ さか躊 躇 しな い で も な

い が,物 理 学 の 中 の境 界 を あ ま り意 識 し ない 数 理 物 理 学 の 立場 を考 えな が ら30講 シ リー ズ の各 巻 を続 け て きた つ も りで あ る.私 の 関 係 した セ ミナ ー で も第 ２量 子 化 の 方 法 が テ ー マ に な り,こ れ に関 係 した フ ォ ッ ク(V.A.Fock)の 熱 心 に 議 論 さ れ た こ とが あ る.

論文 な ども

第21講 フ ェ ル ミ振 子 と ボ ー ス 振 子

テー マ

◆ 等間 隔準位 ◆ フ ェ ル ミ系 と ボ ー ス 系 ◆ 状 態 和,大 ◆Tea

き な状 態 和

Time：

エ ネル ギ ーの分 配

等間隔準位   独 立 な粒 子 か らな る体 系 で 粒 子 の エ ネ ル ギ ー準 位 が き まっ て い て も,体 系 の エ ネ ル ギ ー 励 起 は粒 子 が フ ェ ル ミ統 計 に した が うか,ボ

ー ス統 計 に した が うか に よ

っ て異 な る.し か し例 外 的 に フ ェル ミ統 計 とボ ー ス 統 計 が 全 く同 じ励 起 ス ペ ク ト ル を もつ 場 合 が あ る.   これ は具 体 的 に い う と １つ の 調 和 振 動 子 の 場 の 中 に独 立 な粒 子 が お か れ た 体 系 で あ る.図47と り,図48は

図48に

この 体 系 の状 態 の例 を ２つ 示 した.図47は

励 起 状 態 の １例 で あ る(粒 子 の ス ピ ン は考 え な い).

  調 和 振 動 子 の 準 位 は(n+1/2

,)hω （n=0,1,2,…

位 に エネ ル ギ ー の 原 点 を 移 し,準

）で あ る が 零 点 エ ネ ル ギ ー の 準

位エ ネルギー を

εj=jε   と す る(す

最 低状態 であ

（j=0,1,2,…

）

な わ ち 準 位 間 隔 は 一 定 で εで あ る と す る) .こ

の 粒 子 を 配 置 す る.フ

ェ ル ミ系 でj=f1,f2,…,fNに

い 方 か ら 順 序 づ け た とす る と,パ

（１） の 準 位 の集 ま りに Ｎ 個

粒 子 をお いた配 置 で ｆ は小 さ

ウ リの 原 理 に よ りfiは

す べ て異 な り

図47  最低 状 態

図48  励 起 状 態 の 例

(２) で あ る.こ

れ に 対 応 す る ボ ー ス 系 で は 粒 子 の 準 位 をj=b1,b2,…, 

bNと

し,や

は

り小 さ い 方 か ら 番 号 づ け し て (３)

とす る(ボー ス粒 子 はパ ウ リの 原 理 に した が わ な い か ら等 号 が 許 され る).こ

こで

(下 か ら上 へ エ ネ ル ギ ー が 上 が る)

(４)

とす れ ば,上 れ る(す

に述 べ た フ ェル ミ系 の励 起 とボ ー ス 系 の 励 起 が １対１ に対 応 づ け ら

な わ ち フ ェ ル ミ系 の １つの 励 起 状 態 に対 して ボ ー ス 系 の １つ の励 起 状 態

が あ り,逆 の こ と もい え る.図47,48参

照).

  フ ェル ミ系 の 全 エ ネ ル ギ ー はfjの 和 で 与 え られ (５)

で あ り,対 応 す る ボ ー ス 系 の 全 エ ネ ル ギ ー はbjの 和 (６)

で あ る.こ れ らの 間 の差 は(４)か

ら明 ら か な よ う に

(７)

で 与 え られ るが,こ た)に

れ は定 数 で フ ェル ミ系 の 基 底 状 態 の エ ネル ギ ー(E0(F)と 書 い

等 し い.こ れ らの 体 系 を仮 に フ ェ ル ミ振 子,ボ

ー ス 振 子 とよ ぶ こ と に し よ

う.   こ の事 実 か ら この よ うな フ ェ ル ミ系 の状 態和ZN(F)と

ボー ス 系 の状 態 和ZN(B)と

の 間 に関 係 式 (８)

が成 り立 つ こ と は明 らか で あ る. 大 きな状 態 和

  全 粒 子 数 Ｎ の と きの 状 態 和 をZNと ツ マ ン 因 子e-βENの

和 で あ り(β=1/kT),可

す る． これ はエ ネル ギ ーENに 能 なENに

対 す る ボル

つ い て の 和 で あ る.す

な

わ ち (９)

これ に対 して 大 きな状 態 和Ξ は粒 子 数 につ い て の 和

(10) (こ れ はZNに

対 す る母 関 数)で あ る.状 態 和 よ り も大 きな状 態 和 の 方 が 計 算 しや

す い の で,フ

ェル ミ系 の大 きな状 態 和Ξ(F)と ボ ー ス 系 の大 き な状 態 和Ξ(B)を 求 め

よ う.粒 子 は 独 立 で,粒 子 の 占 め うるエ ネル ギ ー準 位 を εj=jε,j=0,1,2,…

と

し

(11) と お く.  フ ェ ル ミ系 で は

(12) ボー ス 系 で は

（13)

で あ る.   【証 明 】

フ ェ ル ミ系 の 場 合,(12)の

因 子1+xjzは

(14) と 書 け る.こ

の よ う な 因 子 をj=0,1,2,…

に つ い て 掛 け 合 わ せ た の がΞFで

あ

るか ら

(15) こ こ で も ち ろ ん0n0=0で

あ る.njをｊ

番 目 の 準 位 に あ る 粒 子 数 と見 れ ば(フ ェ ル

ミ系 で は パ ウ リ の 原 理 に よ りnj=0,1)

(16) は全 粒 子 数 で あ り,

(17) は全 エ ネ ル ギ ー で あ る.し た が っ て Ｎ を き めた 和

(18) は状 態 和ZNに

等 し く,こ れ にzNを

掛 け て Ｎ につ い て加 え た(15)は

大 き な状 態

和 で あ る.   次 に ボ ー ス統 計 の 場 合,(13)の

因 子1/（1−xjz)は

(19) と書 け る.こ

こでnjをｊ

番 目 の準 位 に あ る粒 子 数 を見 れ ば(ボ ー ス系 で はnj=0,

1,2,…)

(20) また

(21) は全 粒 子 数 で あ り,

(22) は 全 エ ネ ル ギ ー で,Ξ(B)は

ボ ー ス 系 の 大 き な 状 態 和 で あ る.

状

  こ こ で 扱 っ て い る体 系 に お い て,フ

態

和

ェ ル ミ系 の 状 態 和ZN(F)と

ボ ー ス系 の 状 態 和

ZN(B)は

(23) た だ しE0(F)は

こ の 場 合 の フ ェ ル ミ系 の 基 底 状 態 の エ ネ ル ギ ー

(24) で あ り,x=e-βε

と して

(25) で あ る.

  【証 明 】 す で に第 １節 で 明 らか に され た よ う に

(26) で あ る.し

た が っ て ボ ー ス 系 の 状 態 和ZN(B)(x)が,(25)のχN(x)で

こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.こ す る と,関

与 え られ る

れ を 示 す た め ボ ー ス 系 の 大 き な 状 態 和(13)に

着 目

数関係式

(27) が 成 り立 つ.そ

こ で この 関 係 式 が

(28) で 満 た さ れ る こ と を 示 せ ば よ い が(こ あ る),実

際

れ は,オ

イ ラ ー(L.Euler)が

用 いた方法で

(29) と な る.し

か る に 他 方 で(28)のｚ

をxzに

変 える と

(30)

した が っ て,関 係 式(27)が

満 た され,ボ

ー ス系 の状 態 和ZN(B)(x)はχN(x)で

与

え られ る こ とが わ か る.   同様 に この 体 系 は フ ェル ミ統 計 の と き大 きな状 態 和(12)に

着 目す る と関 数 関 係

式

(31) が 成 り立 っ ． こ れ は

(32) に よ って 満 た され る こ とが 直 ち に確 か め られ る.し たが って フ ェル ミ統 計 の 場 合,

この体 系の状態和 が (33) で あ る こ とが 直 接 示 さ れ た.   こ こで は準 位 間 隔 が 一 定 とい う特 殊 な体 系 を考 えた.し が少 な い 場 合 に,フ

か し フ ェ ル ミ系 の励 起

ェ ル ミ準 位 の近 くだ け を考 えれ ば,準 位 間 隔 を ほ ぼ 一 定 とす

る近 似 が 一 般 に使 え るだ ろ う.こ の 近 似 に お い て フ ェル ミ系 の 励 起 は ボ ー ス 系 と して 取 扱 う こ とが で き るわ け で あ る.   な お,こ

こで 扱 った 特 殊 な体 系 につ い て は,M.Toda:J.Phys.Soc.Jpn.,7,230

(1952)が あ る.ま た こ こで 用 い た母 関 数 の 方 法 に つ い て は,伏 見 康 治 『確 率 論 及 び統 計 論 』(現 代 工 学 社,1977)に

くわ しい叙 述 が あ る.

Tea

Time

エネル ギーの分配   自然 数 で あ るエ ネ ル ギ ー λを Ｎ 個 の粒 子 に 分 か ち与 え る方 法 の 総 数(エ ネル ギ ー を も らわ な い粒 子 が あ って もよ い)をpN(λ)と す る.い い か え る と自然 数 λを (同 じ数 の繰 り返 し を許 して)多 くとも Ｎ 個 の 自然 数 の和 と して 表 わ す 方 法 の 数 を pN(λ)と す る.こ

の と き Ｎ 個 の粒 子 か ら な る ボ ー ス振 子 の 状 態 和 は

で与 え られ る.こ れ を本 文 で はオ イ ラ ー の 方 法 で や や 複 雑 な証 明 を した が,い

く

らか 意 外 な 関 係 式 で もあ る.   な ぜ な ら,こ の 式 は,pN(λ)は

自然 数 λを(繰 り返 しを許 し て)Ｎ を越 えな い 自 表 ６ λ=8の

分割

然 数(1,2,…,Ｎ

の う ち の 数)の

和 と し て 表 わ す 方 法 の 総 数 で あ る,と

読 む方が

自 然 だ か ら で あ る.   そ の わ け は1/（1‐a）=1+a+a2+…

と 書 け て,λ=n1+2n2+…+NnNは n1個,n2個,…, nN個

を用 い て

Ｎ を 越 え な い 自 然 数 １,2,…,Ｎ

を それ ぞ れ

合 わ せ た 数 だ か らで あ る.

  上 の ２つ の 述 べ 方 が 等 し い こ と,す

なわ ち

[自 然 数 λ を 多 く と も Ｎ 個 の 自 然 数 の 和 と し て 表 わ す 方 法 の 数] ＝ ［自然 数 λ を Ｎ を 越 え な い 自 然 数 の 和 と し て 表 わ す 方 法 の 数] と い う 関 係 は,す 考 え て,直

ぐ に 理 解 で き な い よ う に 思 わ れ る.そ

接 こ れ を 確 か め て み よ う(表

６参 照).

こで λ=8,N=4の

場合 を

第22講 ｌ次 元 フ ェル ミ気 体 の 励 起

テー マ

◆ 密度 場 ◆ フ ェル ミ気 体 の励 起 ◆ 相互 作 用 ◆Tea

Time： 自然数 の分割 数

密度場の交換関係   前 講 で は調 和 振 動 の場 の 中 の フ ェル ミ系 とボ ー ス 系 の励 起 が 全 く同 じ で あ る こ とを見 て きた が,本 講 で は １次 元 の箱 の 中 に粒 子 が 入 っ て い る フ ェル ミ系 の励 起 が ボ ー ス 系 と して 扱 え る こ とを確 か め る こ とに した い.粒 子 間 に は あ ま り強 くな い相 互 作 用 が あ っ て も よい が,は

じめ に相 互 作 用 が な い場 合 を調 べ よ う.

  長 さＬ の １次 元 の 箱 の 中 に入 っ て い る １個 の粒 子 の 波 動 関 数 は(ス ピ ンは考 え な い) (１)

で 与 え ら れ,そ

のエ ネルギー は (２)

で あ る.多 粒 子 系 を扱 い,ψ(x)と

ψ*(x)の 量 子 化 さ れ た 波 動 関 数 を

(３)

とす る.粒 子 密 度 ρ(x)を (４)

と定 義 す る とフ ー リエ係 数 ρsは (５)

で与 え られ る(ｓ が 偶 数 の と き はnは 数)で あ る).ρsはｎ

整 数,ｓ が 奇 数 の と き はnは

半 奇 数(半 整

を 中心 と して粒 子 の 準 位 を ｓだ け変 化 させ る演 算 子 と解 釈

で き る.フ ェ ル ミ系 で あ る か らan,an*は

プラスの交換関係

(６)

を満 た す.目 標 は波 動 場 ψ(x)で な く密 度 の 場 ρ(x)に よ って体 系 を記 述 す る こ と で あ る. 粒 子 数 Ｎ を き め て考 え る と,１ 次 元 系 理 想 フ ェル ミ気 体 の 最 低 エ ネ ル ギ ー状 態 は フ ェ ル ミエ ネ ル ギー εFまで の準 位 が す べ て 粒 子 に よ っ て 満 た さ れ,そ れ 以 上 の 準 位 は す べ て 空 い て い る状 態(完

全縮 退)で

ェ ル ミエ ネ ル ギ ー を(２)に

あ る.フ

より (７)

とす る と,完 全 縮 退 の とき-nF＜n＜nFの 位 は す べ て粒 子 で満 た さ れ る(図49).全

準 粒子

数は (８) で あ る.nFと-nFと

は共 に フ ェ ル ミ準 位,そ

の 間 は い わ ゆ る フ ェ ル ミ海 で あ る. 図49  フ ェル ミ面 を越 え る励 起

  励 起 状 態 で は粒 子 の い く らか の 部 分 がnF以

上 の準 位 と-nF以

下 の 準 位 に上 が

り,こ れ らの 間 に は粒 子 の い な い 空 の 準 位 が で き る.励 起 が あ ま り強 くな い状 況 で は上 の フ ェル ミ準 位nFの 独 立 で あ る.そ

近 くの 励 起 と下 の フ ェル ミ準 位-nFの

近 くの励 起 は

こ で ρsを この２ つ の励 起 に 分 け て

(９)

とす る.   この よ うに励 起ｓ が 小 さ い として ρs+,ρs-な どが 作 用 した ときの 実 質 的 な効 果 を調 べ て み る と,こ れ らの 作 用 素 の 間 の 関 係 と して マ イ ナ ス の 交 換 関 係

(10)

が 成

り立 つ こ と が わ か る.(こ

わ し く はS.Tomonaga：Remarks to

many‐Fermion

Mattis:The   (10)は

れ ら が 成 立 す る 条 件 の 吟 味 は か な り 面 倒 で あ る.く on

Block's

method

of

sound

waves

applied

problems,Prog.Theor.Phys.,5,544‐569(1950)や,D.C. Many‐Body 

Problem(World 

Scientific,1993)p,441を

ボ ー ス 系 の 交 換 関 係 に 似 て い る が,少

し こ れ と 異 な る.し

参 照.) か し次 の変 換

(11)

とお くこ とに よ っ て 完 全 に ボ ー ス系 の 交 換 関 係

(12) に直 せ る.   これ に よ っ て,励 起 が あ ま り強 くない とい う制 限 はつ い て い るが,１ 次 元 フ ェル ミ気 体 の励 起 は ボ ー ス気 体 で 近 似 さ れ る こ とが わ か って き た.し か し さ らにハ ミ ル トニ ア ン を調 べ な け れ ば な らな い.

ハ ミル トニ ア ン

  ρs+と

ρs-に 対 す る 運 動 方 程 式 を 調 べ て ハ ミル トニ ア ン を 導 く こ と に し よ う.ま

ず 作 用 素an,an'*の

時 間 の 因 子 を と り出 せ ば

(13) で あ るか ら

(14) こ こで 実 質 的 に作 用 す る の は フ ェル ミ準 位nFの

付近 なので

(15) と 展 開 し て(n+s/2-nF)2を

無 視 す る こ とが で き る.し

た が っ て(９)に

よ り ρs±

の時間因 子 は (16) (17) と な る(こ の 時 間 因 子 は 励 起 エ ネ ル ギ ー εs=（h2/mL2）nFs（S=1,2,… ち 前 講 の 等 間 隔 準 位 に よ る も の に な っ て い る).し

た が っ て 時 間 微 分,す

）,す な わ なわ ち運

動方程 式 は

(18) で 与 え られ る.他 方 で ハ ミル トニ ア ンをH0と

す る とハ イゼ ンベ ル クの 運 動 方程 式

は

(19) で な け れ ば な ら な い.こ

こ で ハ ミル トニ ア ン を

(20) と す る と(19)が(18)と

一 致 す る.

実 際(19)を

用 い る と ρs+に 対 す る １つ の 項 は

(21) 他 の 項 に対 して も同 様 で あ り,上 のH0が   さ らに(11)を

運 動 方 程 式(18)を

与 え る こ とが わ か る.

用 い て 書 き直 す と

(22) ただ し

(23) が 得 られ る.Qs,Psな

どは交 換 関 係(12)を

ア ンの 形 を したNsとN-Sは(対

満 た す ので,調 和 振 動 子 のハ ミル トニ

角 化 さ れ た 表 示 に お い て)整 数 値 を と る励 起 を意

味 す る もの で あ る こ とが わ か る.こ の励 起Ns,N-sを

用いて

(24) とな る.(12)は

マ イ ナ ス の 交 換 関 係 な の で 励 起Ns,N-sは

準 粒 子 で あ る.こ の 励 起 は前 講 の(22)と

ボ ー ス統 計 に したが う

同 じ形 で,等 間 隔 準 位 の ボー ス系 を表 わ

して い る.

相 互 作 用 が あ る場合 相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー と して

(25)

を 採 用 す る と,こ れ は密 度 場 ρ(x)を 用 い て

(26) と書 か れ る.こ こで 右 辺 最 後 の項 は粒 子 が 自己 と相 互 作 用 す るエ ネ ル ギ ー を差 引 く こ と を表 わ す.フ

ー リエ 変 換 を用 い る と

(27)

とな る.た だ し こ こでJsは 相 互 作 用 の フ ー リエ 成 分

(28) で あ る.ま

た Σ'は 項s=0を

除 い た 和 で あ り,

(29) は 全 粒 子 数 で あ る.   H1を

ρs+,ρS-で

書 くと

(30)

こ う して 全 系 のハ ミル トニ ア ンは

(31)

で あ る こ とが わ か る.さ

ら に(11)を

用 いて変換 す る と

(32)

とな る.そ

こ で上 式 右 辺 の第 ２項 を消 去 す るた め に 主 軸 変 換

(33)

ただし

(34) を お こ な う.こ

の とき

(35) が 満 た され る.そ

して ハ ミル トニ ア ン Ｈ は対 角 化 さ れ て

(36)

と な る.右 辺 の第 １項 は調 和 振 動 子 型 の 励 起 で あ る. 特 に 最 低 エ ネ ル ギー 状 態 で は フ ォ ノ ン型 の励 起 は な く,全 エ ネ ル ギ ー は

(37) で 与 え ら れ る こ と に な る.

Tea

Time

自然 数の分割数   前講 のTea

Timeに

少 し つ け加 え て お きた い こ とが あ る.自 然 数 λ を(同 じ数

の繰 り返 し を許 して)自 然 数 の和 と して 表 わ す 方 法 の総 数p(λ)を 分割 数 （partitio numerorum）

とい う.

  これ に対 して,自

然 数 λを(同

じ数 の 繰 り返 し を許 して)ち

ょ う ど μ個 の 自然

数 の 和 と して 表 わ す 方 法 の数 をpμ*(λ)と す る と

の 関 係 が あ る.   た と え ば 自 然 数 λ=8を (μ=1,2,…,8)を

ち ょ う ど μ 個 の 自 然 数 の 和 と し て 表 わ す 方 法 の 数pμ*(８)

調べ る と

μ=1 

λ=8 

p1*(8)=1

μ=2 

λ=7+1=6+2=5+3=4+4 

p2*(8)=4

μ=3 

λ=6+1+1=5+2+1=4+3+1=4+2+2=3+3+2 

μ=4 

λ=5+1+1+1=4+1+2+1=3+3+1+1=3+2+2+1=2+2+2+2 p4*(8)=5

μ=5 

λ=4+1+1+1+1=3+2+1+1+1=2+2+2+1+1

μ=6 

λ=3+1+1+1+1+1=2+2+1+1＋1+1 

μ=7 

λ=2+1+1+1+1+1+1 

μ=8 

λ=1+1+1+1+1+1+1+1 

p*(8)=5

 p5*(8)=3

p6*(8)=2 p7* (8)=1 p8*(8)=1

した が って λ=8の 分 割 数 は

で あ る.   伏 見 康 治 先 生 の 名 著 『確 率 論 及 び 統 計 論 』(現代 工 学 社,1977)にpμ*(λ)とp(λ) の 表 が あ る.役 に 立 つ の で 引 用 させ て い た だ こう. 表 ７ pμ*(λ)の 表

第23講 電 子 と格 子 振 動

テー マ

◆ 電気 抵抗 ◆ 格 子 振 動 に よ る散 乱 ◆ 散乱 角 ◆Tea

Time：

ゾ ン マ ー フ ェ ル ト‐ べ ーテ

電気抵抗   金 属 の 電 気 抵 抗 を扱 う に は,電 子 の 結 晶 陽 イ オ ンや 不 純 物 に よ る散 乱 を調 べ な け れ ば な らな い.電 子 は あ る距 離(平

均 自 由行 路)を

自 由 に運 動 して 散 乱 され る

とす る.電 子 の 速 度 をυ と し,平 均 自 由行 路 をｌ とす る と き2τ=l/υ

とお く と,

緩 和 時 間 τは相 つ ぐ散 乱 の 間 の時 間 の程 度 を表 わ す.単 位 体 積 内 の 電 子 の 数 をn, 電 子 の 電 荷 を-e,質

量 をｍ とす る と比 電 気 伝 導 度 は (１)

で 与 え られ る.σ の逆 数 ρ=σ-1は 比 抵 抗 で あ る.他 方 で単 位 体 積 内 の散 乱 体 の数 をnsと

し,そ の 断 面 積 を πd2と す る とl=1/nsπd2で

比 抵 抗 ρは1/τ に比 例 し,散 乱 体 の濃 度nsに

あ り,τ=l/2υ

で あ るか ら,

比 例 す る.こ れか ら もわか るよ うに,

比 抵 抗 は散 乱 体 に よ る抵 抗 の和 で 与 え られ る.特

に,不 純 物 の な い完 全 結 晶 の比

抵 抗 を ρ とし,不 純 物 や 結 晶 欠 陥 な どに よる比 抵 抗 を ρ'とすれ ば全 体 の 比 抵 抗 ρ全 は

ρ全=ρ+ρ'（

２）

で 与 え られ る.不 純 物 抵 抗 ρ'はあ ま り温 度 に よ らず,極 低 温 に お い て も残 る.こ れ を残 留抵 抗 とい う.金 属 完 全 結 晶 の比 抵 抗 ρ は極 低 温 で 小 さ くな り,絶 対 零 度 で ０に なる.後 に述 べ る理 論 によ る と,高 温 で は比 抵 抗 ρは絶 対 温 度 Ｔ に比 例 し, 極 低 温 で はT5に

比 例 す る(実 測 に よれ ば極 低 温 で ρ∝Tnと

な る.ｎ は ５に近 い

ら しい).

格 子 振 動 に よ る散 乱   結 晶 で 金 属 の 陽 イ オ ンが規 則 正 し く並 ん で い る と きに は,電 子 は散 乱 され ず に 通 りぬ けて 行 く(第11講

参 照).こ

れ は電 子 が 波 で あ るた め で あ る.し か し １つ

の 陽 イ オ ンが 格 子 点 か らず れ る と電 子 波 は乱 され て散 乱 され,電

子 の進 行 方 向 が

変 わ る と同 時 に エ ネ ル ギ ー も変 わ る.ま た 反 作 用 と して 電 子 は 陽 イオ ンに 押 され て エ ネ ル ギ ー を も らっ た り,陽 イ オ ン を押 し て格 子 振 動 を励 起 した りす る.格 子 振 動 の エ ネル ギ ー は フ ォノ ン とい う粒 子 で 見 る こ とが で き る.電 子 は格 子 振 動 と の相 互 作 用 に よ り,フ ォノ ン を吸 収 した り,フ ォノ ン を放 出 した りす る.   １個 の 陽 イ オ ンが 完 全 格 子 の格 子 点Rnに

あ る とき,こ れ か ら少 し離 れ た 点 ｒに

陽 イ オ ンが つ くる静 電 ポ テ ン シ ャル をU(r-Rn)と け変 位 してRn+rnに

す る.そ

して陽 イオ ンがrnだ

きた と きの場 所 ｒにお け るポ テ ンシ ャル はU(r-(Rn+rn))

で あ る と しよ う(こ れ は １つ の仮 定 で あ り,正 確 か ど うか は よ くわ か らな い).す べ て の 陽 イ オ ン につ い て 考 え る と (３)

が 電 子 に摂 動 を与 え る ポ テ ン シ ャル で あ る.   電 子 が摂 動 に よっ て,波 数ｋ の 状 態eik・rからk'の 状 態eik'・rに 移 る と考 える.そ の行列要素 は

(４)

こ こで 右 辺 第 １項 で は

(５)

第 ２項 で は

(5') と書 き か え る と

(６)

とな るが,右

辺 の 第 １の積 分 は 原 点 をrnだ けず ら して あ るが第 ２の積 分 と同 じ も

の で あ る.そ

こで (７)

とおけ ば

(８) と な る.こ

こ でrnは

小 さ い と して,e-i(k'-k)・rnを1-i(k'-k)・rnで

ら に格 子 振 動 を 波 数qの

波 で 展 開 す れ ば,eaを

近 似 した.さ

波 の 偏 り αの方 向 を表 わす 単 位 ベ

ク トル と し て (９)

と書 け る.こ れ を 上 式 に代 入 し

(10) に注 意 す る(正 確 にい う と,Ｋ +K)と

を任 意 の逆 格 子 ベ ク トル と して 右 辺 は δ(q-(k'-k)

しな けれ ば な らな い.K=0と

した 散 乱 を正 常 過 程 とい う. K〓0と

した

散 乱 は電 子 が結 晶 格 子 全 体 と運 動 量 をや り とりす る過 程 で ウム ク ラ ップ(Umklapp) 過 程 と よ ば れ るが,以

下 で は この 過 程 を省 略 す る こ と にす る).(10)に

よ り,

(11) が 成 り立 つ.こ

こ でhkとhk'は

電 子 の 散 乱 後 と散 乱 前 の 運 動 量 で あ る.運 動 量

は全 体 とし て保 存 さ れ るか ら,こ の 差h(k'-k)=hqは

電 子 が格 子振 動 か ら フ ォ

ノ ンの 運 動 量 p=hq  を受 け と った こ と を意 味 す る(第15講

(12)

参 照).

  こ う し て電 子 が フ ォ ノ ン を吸 収 す る と,波 動 ｑの フ ォノ ンの 数Nq,α は １個 減 っ てNq,α-1と

な る.こ の過 程 を フ ォ ノ ンの粒 子 数 で 表 わ す と(添 字α は省 略 して書

く),消 滅 演 算 子(第19講

参 照)bqは

(13) とな る(Ｍ

は陽 イオ ンの 質 量).同

す る演 算 子bq+の

様 に フ ォ ノ ンの個 数 を １個 ふ や し てNq+1に

行列 要素 は

(14) で あ る.こ

れ を 用 い て(８)の

か わ りに

(15) とす れ ば,電 子 が格 子 フ ォノ ン をNqか

らNq+1へ

励 起 す る 過程 も含 め られ る.

 電 子 と格 子 の相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー を粒 子 数 表 示 で 書 く と

(16) と な る.   電 子 と格 子 の ハ ミル トニ ア ンH(0)は

(17) で あ り,全

ハ ミ ル トニ ア ン は

(18) で与 え られ る.ak+,akは し,bq+,bqは,フ

電 子 に対 す る生 成 消 滅 演 算 子 で プ ラス の交 換 関 係 を 満 た

ォノ ン に対 す る生 成 消滅 演 算 子 で マイ ナ スの交 換 関 係 を満 た す.

bq+,bqの 表 現 は先 に 記 した(13),(14)で

あ る.散 乱 は運 動 量 とエ ネル ギー を保 存

し,厳 密 に散 乱 を扱 っ て 電 気 抵 抗 な ど を計 算 した りす る の は 大 変 煩 雑 で あ る.そ こで 以 下 で は,フ ォ ノ ンの エ ネ ル ギ ー が 小 さい た め に電 子 の 運 動 量 の 大 き さ が散

乱 で ほ とん ど変 わ ら な い事 実 を利 用 して 少 し簡 略 化 した 扱 いで 満 足 す る こ とに し よ う.

散

乱

角

 運 動 量hkの

電 子 が 格 子 振 動 に よっ て散 乱 され て運 動 量 がhk'に

に運 動 量hqの

フ ォノ ンを吸 収,あ るい は放 出 した とす れ ば運 動 量 の保 存k'=k±q

(11)が 成 り立 つ.こ

な り,そ の 際

の と きエ ネ ル ギ ー の保 存 は

(19) (ｍ は 電 子 の 質 量,ｓ

は 音 速)で

あ る.こ

れか ら

(20) し た が っ てk'+kとｑ

との な す 角 を ψ とす れ ば

(21) （υ) =hk/mは

電 子 の 速 度)で

あ る .金

属

自由 電 子 で実 際 に散 乱 の お こ る フ ェル ミ 面 に あ る電 子 の 波 長 は結 晶 の原 子 間 距 離 aの 程 度 で あ り,波数k0は る か らhk0=h/a〓mυ0と

そ の逆 数 で あ な る.こ

れか ら

υ0〓h/ma〓1034/10-3110-10(m/s)=107 (m/s),こ (m/s)で

れ に 比 べ て 音 速 はs〓103 あ る.し

た が っ て,

(22)

図50  散 乱k→k'=k+q

した が っ て ψ は ほ と ん ど直 角 で あ り,こ れ は￨k￨と￨k'￨が

散乱角は θ

ほ とん ど等 しい こ と を物 語 っ て い る.

  実 際 の 散 乱 は 散 乱 後 の 準 位 が電 子 で 占 め られ て い な い空 の状 態 に な けれ ば な ら な い.そ 数は

のた め 金 属 電 子 の 散 乱 は フ ェル ミ面 に ご く近 い と こ ろで お こ り,そ の波

(23) す なわ ち フ ェル ミエ ネル ギー の 電 子 の波 数 に等 しい.そ

して 散 乱 角 θはkとk'の

なす角で あるか ら

(24) の 関係 が あ る(図50参

照).

  散 乱 の 行 列 要 素Vk',kの

２乗 は(８),(９),(11),(13)に

よ り

(25)

と な る.た

だ し格 子 波 は 縦 波 だ け を と り,￨q・eq￨2=q2と

り に θ に よ ら な い と し て￨Uq(θ)￨2を

平 均 値￨Uc￨2で

Tea

した.ま

たUq(θ)は

あま

お き か え た.

Time

ゾ ン マ ー フ ェ ル ト‐べ ー テ   も う50年

も前 に な る が,東

京 文 理 科 大 学 で 講 義 を し て い た と き,タ

用 い た の は ゾ ン マ ー フ ェ ル ト(A.J.Sommerfeld)と 著 Elektronentheorie で あ っ た.く

der Metalle（Handbuch

べ ー テ(H.A.Bethe)の der Physik,

わ し く い う と そ の 海 賊 版 で あ っ た.こ

た と つ く づ く感 じ る.い

ネ本 と して

Springer,

共

Berlin,1933)

う書 い て み る と時 代 が 変 わ っ

ろ い ろ 時 代 考 証 や 注 釈 が 必 要 か も し れ な い.ま

版 と い う の は 第 ２次 世 界 大 戦 中 や 終 戦 後 し ば ら くの 間 に,お

ず,海

そ ら く 日本 や 上 海 な

ど で コ ピ ー し て 発 行 元 に こ と わ り な く不 法 に 販 売 さ れ た 本 の こ と で あ る.海 本 が 手 に 入 ら な か っ た こ の 時 代 に 相 当 多 く 出 版 さ れ,大 ら れ た も の で あ る.終

た H.Frohlick

の Elektronentheorie

と H.Jones

外 の

学 の研 究 室 な どで 重 宝 が

戦 後 に な っ て 進 駐 軍 が 来 た と き に は研 究 室 の 本 棚 に あ っ た

海 賊 版 を あ わ て て か く し た と い う話 も あ る.そ

F.Mott

賊

der

の 頃 の 固体 論 の 本 と して 名 高 か っ

Metalle（Springer,Berlin,1936)やN.

の 共 著 で あ る Theory of

the Properties of

Metals

and

Alloys

(Clarendon

Press, Oxford,1936)な

や Fowler‐Guggenheim こ と が あ る.そ

ど も 海 賊 版 で 読 ん だ し,そ

の 統 計 力 学 関 係 の 本 で も同 様 に 海 賊 版 の お 世 話 に な っ た

れ ら の ほ と ん ど全 部 が 散 逸 し た 今 に な っ て も,ゾ

と べ ー テ の 本 は 手 も と に あ っ て,な

ヘ ン 大 学 教 授(1906‐1946)で,ハ

メ リ カ へ 渡 り,コ 近 似,1935年),荷 っ て 扱 わ れ た.ブ

ウ リ,デ

バ イ な ど多 くの後 輩

ー ベ ル 賞 は 受 け て い な い.

ミ ュ ン ヘ ン 大 学 で ゾ ン マ ー フ ェ ル ト に 学 ん だ が,1935年 ー ネ ル 大 学 教 授(1937‐1975)に

な っ た.合

電 子 粒 子 に 対 す る 阻 止 能(1933年,こ ロ ッ ホ に よ る 扱 い は 第12講

イ ク ル(12Cが

参 照),恒

提 唱)な

理 論 に 対 す る 貢 献 に 対 し1967年

ど,研

金 の 相 転 移(べ

ーテ

の 問 題 は 多 くの人 に よ

な る 反 応 で べ ー テ(1939

究 の 範 囲 が 極 め て 広 い.核

に ノ ー ベ ル 賞 を 受 け た.ロ

反応

ス ・ア ラ モ ス 研 究 所 で

子 爆 弾 の 起 爆 装 置 の 発 明 に も 関 与 し た そ う で,こ

間 も テ レ ビ の 中 に 登 場 し て い た.

にア

星 の エ ネ ル ギ ー 源 と して

陽 子 を 捕 獲 し ガ ン マ 崩 壊 し て13Nに

ワ イ ゼ ッ カ ー(1938年)が

理 論 物 理 学 部 門 を 指 導 し,原

ュン

ー ア の 水 素 原 子 模 型 の相 対 論 化 な どで 多 くの仕 事

く つ か の 名 著 を残 し た が,ノ

  べ ー テ(1906‐)は

のCNサ

高 名 な ドイ ツ の 理 論 物 理 学 者 で あ る.ミ イ ゼ ン ベ ル ク,パ

を 育 て 大 き な 影 響 を 与 え た.ボ

年)と

が悪

時 は相 当 た ん ね ん に読 ん だ覚

た る と こ ろ に 読 み な が ら 鉛 筆 で 記 し た メ モ な ど が 見 ら れ る.

  ゾ ン マ ー フ ェ ル ト(1868‐1951)は

を し,い

ンマー フェル ト

つ か し く当 時 を し の ぶ こ と が で き る.紙

い た め に 酸 化 し て ぼ ろ ぼ ろ に な り か け て い る が,当 え が あ り,い

の 他R.H,Fowler

の

第24講 低 温の電気 抵抗

テー マ

◆ 散 乱 の緩和 時間 ◆ 低 温 の電気 抵抗 ◆Tea

Time： 金属 電子 論

散

乱

  電 場 Ｅ が は た ら く と き電 子 の 加 速 度 は-eE/mで

あ り,そ の 速 度 分 布fk=

f(υx,μy,μz)の 変 化 は ボル ツ マ ン方 程 式(『 分 子 運 動30講

』 参 照) (１)

で 与 え ら れ る.こ

こ で,τ

は 緩 和 時 間(前

（ ∂fk0/∂ε）∂ε/∂υ,ε=mυ2/2で

あ る か ら,定

講 参 照),f0は

平 衡 分 布,∂fk0/∂υ=

常 状 態 ∂fk/∂t=0に

お け る速 度 分 布 は (２)

とな る.   さ て摂 動 ポ テ ン シ ャルＶ

に よ って 電 子 が 波 数ｋ の準 位 か らk'の 準 位 へ単 位 時

間 に 移 る確 率(遷 移 確 率)は,こ を無 視 す る と

の 際 に吸 収,放

出 され る フ ォ ノ ン のエ ネ ル ギ ー

(３) で あ り,状

態k'か

ら 状 態ｋ

へ 移 る 確 率Pk'+kも

こ れ と同 じ で あ る. (４)

  単 位 体 積 の 金 属 を考 え,準 位ｋ に あ る電 子 の数 を表 わ す分 布 関 数 をfkと す る. これ が 準 位k'に

移 る た め に は,準 位k'を

あ り,そ の確 率 は(1-fk)で

他 の 電 子 が 占 めて い な い こ とが 必 要 で

与 え られ る.そ の た め 準 位ｋ に あ る電 子 が あ る確 率

fkの 時 間 的 変 化 は,準 位k'に

関 す る和(添

字 ｃは衝 突 を意 味 す る) (５)

で あ り,同 様 に他 の準 位 か ら準 位ｋ に 移 る電 子 の た め にfkが 増 え る確 率 は (６)   運 動 量 はhkで

あ り,運

h3d3k/h3=d3k/(2π)3で

動 量 空 間 がh3d3k=dkxdkydkzの

与 え られ る

.し

た が っ てfkの

中 に あ る準 位 の数 は 変化 は

(７)

こ こで,定 常 状 態 の分 布 を (８) とお く と (９) さ ら にk'空

で あ る.Vk',kは

間 でｋ

角

の 方 向 をｚ 軸 とす る 極 座 標(k',θ',ψ')を

θ'の 関 数 で あ る か ら こ れ をVk',k(θ')と

用い る と

書

くと

(10) さ らに

(11) ま た εk'=εk,フ

ェ ル ミ 面 上 でk'=k=kFで

あ る か ら

(12) こ れ に(２)を

代 入す る と

(13) と な る.こ

こで

(14) は,電 図51の

子 の 散 乱 前 と 散 乱 後 の 速 度 で あ る. よ う に,υ

υ とυ'-υ Ｅ とυ'-υ

と Ｅ の 間 の 角 を α と し,

の 間 の 角 を β と す る.そ

し て,

の 間 の 角 を γ と す る と,図

ら

か

(15) 図51  散 乱 で あ り,￨υ￨=￨υ'￨=υ

で あ るか ら

(16) そ こ で(13)の

ψ'に つ い て の 積 分 を 実 行 す る と〓cosψ'dψ'=0に

よ り

(17) を 得 る.  (13)∼

（17）に よ り(θ'を

簡 単 の た め θ と書 く)

(18)

他 方 で （∂fk/∂t）cは(１)の

右 辺か ら

(19) これ か ら緩 和 時 間 の 逆 数 は(hk0=mυ0)

(20) が 得 ら れ る.   前 講 で 求 め た 散 乱 行 列(前 (q=ω/s,sは

講(25))を(20)に

代 入 しNq=N(ω)と

書 き直 す と

音 速)

(21) を 得 る.こ

こ でq,θ,N(ω)は

す べ て ω の 関 数 と見 ら れ る.す

なわち

(22)

こ れ ら を(21)に

代 入 す る とΘD=hωD/kBを

デバ イ 温 度 と して

(23) を 得 る.温 度 の高 い場 合 と低 い場 合 につい て これ を吟 味 し よう.電 気 伝 導 度 は τに 比 例 し,電 気 抵 抗 ρ=δ-1は1/τ に比 例 す る.   【高 温 】 デバ イ温 度 はΘDに 比 べ て高 い温 度 の とき(T≫ΘD),x=hω/kT≪1で あ る か らex-1〓xと

して よ い.

(24) と な る か ら,こ

の 場 合 は1/τ∝T,し

たが って

(25) す な わ ち 高 温 に お け る電 気 抵 抗 は絶 対 温 度 に比 例 す る.こ れ は 金 属 で よ く成 立 す る事 柄 で あ る.

  【低 温 】

デ バ イ 温 度ΘDに

は ∞ で お き か え て よ く,こ と な る.し

比 べ て 低 い 温 度T≪ΘDで

は(20)の

積 分 の 上 限ΘD/T

の 積 分 は 温 度 に よ ら な い 定 数 と な る .よ

っ て1/τ ∞T5

た が って

(26) す な わ ち低 温 に お け る電 気 抵抗 は絶 対 温 度 の ５乗 に比 例 す る こ とに な る.不 純 物 や 欠 陥 に よ る残 留 抵 抗 を除 けば金 属 の電 気 抵 抗 はT5の

形 で低 温 に い くほ ど小 さ く

な り,絶 対 温 度 で ０に 近 づ く.

Tea

Time

金 属電子 論   前 講 のTea Timeで は ゾ ン マ ー フ ェル トー べ ー テ の 『金 属 電 子 論 』 に触 れ た が, こ の本 を見 て い る と,シ ュ レー デ ィ ンガ ーの 量 子 力 学 が提 出 され た1926年 か らこ の 本 が 出版 さ れ た1933年

まで の ７年 間 に よ く もこれ だ け の仕 事 が 達 成 され た もの

だ と感 服 せ ざ る を え な い.1933年

とい え ば ヒ トラ ー が 政 権 を とっ た年 で あ り,ユ

ダ ヤ 系 の学 者 が ア メ リカ へ 移 る大 き な流 れ が は じ ま っ た 頃 で あ る.こ れ に よっ て ドイ ツ を 中 心 に す る ヨ ー ロ ッパ の 学 問 の 時代 に １つ の終 わ りが 来 て,以 後 学 問 は ア メ リカ的 に な っ た とい う よ う な気 が す る.物 理 学 の世 界 で も ヨー ロ ッパ か らア メ リカ へ の 質 の 変 化 が あ っ た ら しい .   金 属 の 自 由電 子 論 は ドイ ツ の ドル ー デ(P.K.L.Drude,1863‐1906)と オ ランダ の ロ ー レ ン ツ(H.A.Lorentz)が 発 展 させ た が,こ れ は古 典 統 計 力 学 を用 いた も の で あ っ た.ゾ

ンマ ー フ ェル トは これ を量 子 論 に よ っ て書 き改 め た.電 気 伝 導 の 理 論 は チ ュ ー リ ッ ヒ大 学 と ライ プ チ ヒ大 学 で 学 ん でハ イ ゼ ン ベ ル グ の助 手 を務 め た ブ ロ ッホ(第12講

のTea Time参 照)に よ って 大 い に発 展 した .こ れ は 上 述 の ゾ ンマ ー フ ェル ト‐ べ ー テ の著 書 に も くわ し く述 べ られ て い る.こ の本 で はp.507‐ 509に 藤 岡 由夫 さ ん の1932年 の論 文 や 菊 池 正 士 さん の1930年 の 論 文 な ど も脚 注

に あ る.こ の 頃 に 日本 か ら多 くの 人 が ヨ ー ロ ッパ,主

に ドイ ツ に留 学 し て い た の

で あ る.朝 永 振 一 郎 さん が ラ イ プ チ ヒ大 学 のハ イ ゼ ンベ ル クの も とへ 留 学 した の は1937∼1939年

で あ り,こ の とき フ ェ ル ミ流体 の粘 性 を計 算 した 論 文 を発 表 し,

ま た後 に ブ ロ ッ ホが 書 い た フ ェル ミ流 体 の 振 動 の 論 文 に触 発 され て １次 元 フ ェル ミ気 体 の励 起 を扱 っ た論 文(本 書 第22講

参 照)を 書 い て お られ る.

第25講 近

藤

効

果

―テー マ

◆ 電 気抵 抗 の極 小 ◆ ス ピンの交 換相 互作 用 ◆ 第 ２ボル ン近似 ◆Tea Time： フ ェル ミ面 上の拡 散

ス ピ ン   す で に述 べ た よ う に,ふ つ うの金 属 が デバ イ温 度 よ りもず っ と低 い温 度 に示 す 電 気 抵 抗 は,不 純 物 な ど に よ る残 留抵 抗(あ よ る散 乱 の た め の 抵 抗(T5に Cr,Gdな

ま り温 度 に よ らな い)と

フ ォノンに

比 例 す る)の 和 で 表 わ され る.し か し マ ンガ ン,鉄,

どが わず か に混 ざ った 銅 や 銀 な どの金 属 で は,電 気 抵 抗 が あ る温 度 で極 小 に な り,そ れ よ り下 で は低 温 に な る ほ ど電 気 抵 抗 が増 大 す る こ とが1930年

代 か ら知 られ て い

た.そ の 原 因 は な か な か わ か らな か っ た が,近 藤 淳 に よ って マ ン ガ ンや 鉄 な どの 磁 性 不 純 物 原 子 が もつ 局 在 ス ピ ンに よ る もの で あ る こ とが 明 らか に された(1964年).こ

れ を近 藤 効 果 とい う.

不 純 物 原 子 の 局 在 ス ピ ン とい っ て も,結 局 は原 子 の 中 の 電 子 に よ る もの で,金 図52 金属の電気抵抗の温度変化

属 の 伝 導電 子 と

の間 でパ ウ リの原 理 に よ る交 換 相 互 作 用 が はた

ら く.そ の た め ス ピ ンを もた ない 不 純 物 と全 く性 質 の ちが う方 法 で 伝 導 電 子 を散 乱 し,低 温 に な る ほ ど大 き くな る電 気 抵 抗 が 生 じ るの で あ る.本 講 で は簡 略 化 し て,近 藤 効 果 の 理 論 の あ ら ま し を述 べ る こ と に す る.   ス ピ ンの 本 質 は相 対 論 的 な もの で,物 性 論 の 理 論 で は多 か れ 少 な か れ 模 型 的 に 扱 わ れ る こ とが 多 い.こ

こで は簡 単 のた め局 在 ス ピ ン も電 子 と同様 に ス ピンh/2を

もつ と し よ う.ス ピ ンに つ い て は 『量 子 力 学30講

』で 述 べ た が,こ

こで 必 要 な範

囲 で 復 習 し て お こ う.ス

ピ ンh/2と

い うの は あ る方 向(ｚ 方 向 とす る)の ス ピ ン角

運 動 量 の最 大 値 がh/2に

等 しい とい うこ とで,こ の とき は角 運 動 量 がh/2と-h/2

の ２つ が 可 能 で あ り,そ れ ぞ れ 上 向 きス ピ ンの状 態 α と下 向 きス ピ ンの状 態 β と よ び,こ れ らの状 態 の波 動 関 数 を (１)

と す る.ス

ピ ン 角 運 動 量 ｓ のｘ,ｙ,ｚ

成 分 を(ｈ

を 単 位 と し て) (２)

と 書 く.ｓ

の ２乗 は (３)

で あ る.(１),(２)に

よ り

(４)

さ らに (５)

あ るいは (６) とお く と

(７)

で あ り,S+は

ス ピ ン を １だ け上 げ る演 算 子, s-は ス ピン を １だ け下 げ る演 算 子 と

み な さ れ る.   ス ピ ン1/2の 局 在 ス ピ ンSと

伝 導 電 子 の ス ピ ン ｓ とが あ っ た とき,こ れ らの ス

ピ ン の 内積 を (８)

で定義 す ると

(９)

と書 か れ る.  伝 導 電 子 の ス ピ ン ｓ と磁 性 不 純 物 の局 在 ス ピン Ｓ との 間 にＪ を比 例 定 数 と して (rは 不 純 物 と電 子 との 距 離)

(10) の よ うな相 互 作 用 が あ る とす る と,(７)に

よ りs-は 伝 導 電 子 の ス ピン を下 げ,S+

は 局 在 ス ピ ンの ス ピ ン を 上 げ る作 用 をす る し,s+は

伝 導電 子 の ス ピ ンを上 げ,S-

は 局 在 ス ピ ンを 下 げ る.こ れ らは 全 ス ピ ン を変 えず に,両 方 の ス ピ ンの 向 きが 交 換 され る散 乱 が お こ る.(10)の

最 後 の 項.Szszに ス ピ ンの変 化 を伴 わ な い散 乱 をお

こす.

第 ２ボ ル ン近 似  摂 動 項 をH'と

似 を表わす式 は

す る と き,こ れ に よ る遷 移 確 率 の第 １ボ ル ン近 似 と第 ２ボル ン近

(11) で 与 え られ る.右 辺 第 １項 は第 １ボ ル ン近 似,第

２項 は第 ２ボル ン近 似 で,そ れ

ぞ れ 状 態 αか ら β へ の遷 移 を表 わ す.γ は 中間 状 態,H'γα な ど はH'の

行 列要素

で あ る.   第 １ボ ル ン近 似 の 項 とス ピ ン の交 換 を伴 わ な い第 ２ボ ル ン近 似 の項(Szszの 項) は温 度 に よ っ て大 き く変 わ らな い散 乱 を お こす ので こ こで は無 視 す る.散 乱 が 大 き く温 度 に よ っ て 変 わ る のは 第 ２ボ ル ン近似 の 項 の た め で,し に ス ピ ンの 交 換 を伴 うS+s-+S-s+に

か も後 に示 す よ う

よ る項 で あ る.し か しそ の前 に第 ２ボル ン近

似 に よ る散 乱 に つ い て 準 備 的 な こ とを少 し述 べ よ う.   電 気 抵 抗 ρは伝 導 電 子 が 散 乱 に よ り平 衡 状 態 へ 戻 ろ う とす る緩 和 時 間 τの 逆 数 に比 例 す る.緩 和 時 間 が 大 き けれ ば電 気 は よ く流 れ,抵

抗 は小 さ い の で あ る.そ

して遷 移Pα→βが 頻 繁 な ほ ど緩 和 時 間 は短 い.し た が っ て

(12) とい う関 係 が 成 り立 つ(〈Pα →β〉は遷 移 確 率 の平 均 値).   第 ２ボル ン近 似 だ け に着 目 す る と,Pα →βで 著 しい の は(11)の に な る因 子 で あ る.そ

第 ２項 で 分 母 が ０

の効 果 を考 察 し よ う.ス ピ ン の影 響 を考 え な くて よい散 乱

と,ス ピ ンの 影 響 を考 え な くて は な ら な い磁 性 不 純 物 に よ る散 乱 と を別 に して 考 察 す る こ とに す る.   【ス ピ ン を考 慮 し な い場 合 】(i)波 移 り,さ

らに 散 乱 され て 状 態k'に

数kの

電 子 が 散 乱 され て中 間状 態k"に

移 る.こ の過 程 は図53の

よ う に示 さ れ る(図

で 円 は フ ェ ル ミ球 を表 わ し,円 の 中 は電 子 に よ って ほ とん ど占 め られ て い て,そ の外 は ほ とん ど空 い て い る.中 間 状 態k"は る).一 般 に 波 数kの ン近 似((11)の

電 子 が 入 れ る よ うに空 準 位 で あ る とす

電 子 の エ ネ ル ギ ー を εkと書 く と,こ の 散 乱 過 程 の 第 ２ボル

右 辺 第 ２項)へ

の寄与 は

(13)

図53  第 ２摂動 でkに が い った んk"に

あ った電 子

図54  第 ２摂 動 で,k"に

散 乱 され

あっ た

電 子 がk'に 散 乱 されてか ら

てか らk'に 散 乱 され る過 程

kの 電子 がk"に

移 る過 程

と書 け る.   (ⅱ)図54で され てk'に

示 され る 別 の 散 乱 過 程 が 可 能 で あ る.ま ず 波 数k"の な り,こ の た め に空 い た準 位k"へ

過程 の 寄 与 は(k"に

電 子が散乱

波数ｋ の 電 子 が 散 乱 さ れ る.こ の

雷 子 が あ る と き)

(14) (こ の 式 で 負 の 符 号 が つ くの はk"の

電 子 とｋ の電 子 の 役 目 が入 れ か わ っ た た め)

で あ る.   エ ネ ル ギ ー の保 存 則 か らは じ め とお わ りの 状 態 に お い て

(15) が 成 り立 つ.そ 場 合,す

して(ⅰ)と(ⅱ)の

中 の 各 項 が 顕 著 に な る の は分 母 が 小 さ くな る

な わ ち εk"〓εkの場 合 で あ る.(ⅰ)に

ル ミ面 近 傍 のkBT程

度 まで,(ⅱ)に

バ ン ドの上 限 か らフェ

お いて はバ ン ドの底 か らフェル ミ面 近 傍 のkBT

程 度 まで に限 られ る.そ のた め(ⅰ)と(ⅱ)の で 発 散 し,±logTに

お いてk"は

過 程 はそれぞれ電 気 抵 抗 としてT→0

比 例 す る異 常 な項 を与 え るが,(ⅰ)と(ⅱ)の

過 程 を加 える

と異 常 な項 は打 ち 消 し合 っ て し ま う こ とが 示 さ れ る.そ の た め 局 在 ス ピ ン を もた な い不 純 物 で は電 気 抵 抗 が 低 温 で 極 小 に な る現 象 は生 じな い と考 え られ る.

異常電気抵抗   しか し不 純 物 が 局 在 ス ピン を もつ 場 合 は事 情 が 大 き く異 な る.局 在 ス ピ ンがh/2 で あ る とき は次 に示 す よ う に前 節 の(ⅱ)に 相 当 す る散 乱 はお こ らず,(ⅰ)に 異 常 な電 気 抵 抗 だ け が 現 わ れ るの で あ る(ス ピ ン がh/2よ

よる

り大 きい場 合 も(ⅰ)と

(ⅱ)の 過 程 が 打 ち消 し合 わ な い の で電 気 抵 抗 の異 常 が現 わ れ る).こ れ を説 明 しよ う.   摂 動H'の

行 列 要 素 はス ピ ン を含 め て指 定 す る必 要 が あ る.そ こで 次 の よ うに散

乱 を定 め る.   局 在 ス ピ ン は は じ め下 向 き とす る(上 向 き の場 合 も全 く同様 で,す

べての ス ピ

ン を逆 にす れ ば以 下 の 話 は その ま まで通 用 す る) .散 乱 され る電 子 との間 にはS+sやS-s+に

よ るス ピ ンの 交 換 が お こるの で,局 在 ス ピ ンが 上 向 きの状 態(〓)を"上"

と書 き,下 向 き の状 態(〓)を"下"と   伝 導 電 子 の状 態 は波 数kと

書 く こ と にす る.

ス ピ ン上

向 き を表 わ す ↑お よ び 下 向 き を表 わ す ↓ とで 表 わ しk↑ ，k↓ と書 く.  局 在 ス ピ ンを下 向 き と定 めたか ら,ス ピ ン交 換 は局 在 ス ピ ンが 上 向 きに 変 わ

図55  異常 な電 気抵 抗 をお こす(ⅰ)の 散乱 過 程 (局在 ス ピ ンが は じめ 下 向 き の と き)

り,こ れ に応 じて 電 子 が ↑か ら ↓に変 わ る(k↑ 下 →k"↓ 上)場 合 に限 られ る(図 55).次

に ２度 目 の散 乱 が お こ る と きは局 在 ス ピ ン は下 向 き に変 わ り,電 子 は ↓か

ら ↑へ 変 わ る(k"↓ 上 →k'↑下).し 素 で ０で な い の は(Vは

た が って 前 節 の(ⅰ)に

全 体 積.1/Vは

相 当 す る散 乱 の行 列 要

電 子 の 波動 関 数 の規 格 化 定 数1/√Vに

よ

る因 子)

(16)

な どで あ る.そ の た め散 乱 過 程 の 第 ２ボル ン近 似 へ の 寄 与 は(ⅰ)に で与 え られ,緩 和 時 間 の 逆 数 は(k"↓

相 当 す る もの

の状 態 に は電 子 が な い と して)

(17) で与 え られ る.こ

こで 第 １因 子H'k↑下,k'↑ 下は ス ピ ン に関 係 の な い も の で あ る.

  局 在 ス ピ ンh/2が 先 に考 えた(ⅰ)の

あ る場 合 は前 節 の(ⅱ)に 過 程 と対 に な る(ⅱ)の

され な けれ ば な らな いが,こ

相 当 す る散 乱 はお こ らない.そ れ は

過 程 で は,ま ず 電 子k"↓ がk'↑ へ 散 乱

の と き に は ス ピ ン交 換 に よ り局 在 ス ピ ン は上 向 きか

ら下 向 きへ 変 わ らな けれ ば な らな い.し か し局 在 ス ピ ン は は じめ 下 向 き と定 めて あ る か ら,こ れ はお こ りえ な い 過 程 な の で あ る(局 在 ス ピ ン がh/2よ 合 に は(ⅱ)の

散 乱 もお こ るが,(ⅰ)の

り大 きい 場

過 程 を完 全 に 打 ち消 す こ と は な い).

  した が っ て磁 性 不 純 物 に よ る電 気 抵 抗 の 異 常 は 不 純 物 と伝 導 電 子 が ス ピ ン を交 換 す る相 互 作 用 に よ って 生 じ,そ の 主 要 な 寄 与 は(17)の

中 の項1/（ εk"-εk)の 平

均 値 で 与 え られ る こ とに な る.こ の 因 子 は εk"→ εkに お い て

(18) の よ う に対 数 的 に発 散 す る.そ

して電 気 伝 導 に あ ず か る伝 導 電 子 は フ ェル ミ面 の

上 下 の 熱 エ ネ ル ギー 緑kBTの 程 度 の範 囲 内(￨ε"-ε￨〓kBT)に

あ る もの と考 え られ

る.実 際 くわ し い計 算 に よ る とス ピ ン交 換 に よ る電 気 抵 抗 ρはlogTに こ とが 示 され る.さ

らに高 次 の ボル ン近 似 を調 べ る と(logT)n（n=2,3,…

例 す る抵 抗 が 現 わ れ るそ うで あ る が,主 要 項 はlogTで

比例 す る ）に比

あ る と して よい ら しい.

   い ろ い ろ な不 純 物 に加 え て磁 性 不 純 物 が 入 っ て い る金 属 の電 気 抵 抗 ρは,不 純 物 の 濃 度 ｃが 小 さい とき

(19) と し て よい.こ

こで 第 １項 は純 粋 な金 属 の 場 合 の フ ォ ノ ン に よ る抵 抗,ρrは 残 留

抵 抗,ρJは 磁 性 不 純 物 に よ る抵 抗 を表 わ す 定 数 で あ る.

Tea

Time

フ ェル ミ面 上 の 拡 散   金 属 の伝 導 電 子 はパ ウ リの 原 理 に よ り,エ ネ ル ギ ーの 低 い 準 位 か ら順 に 占 め て, そ の 最 高 の エ ネ ル ギ ー が フ ェル ミエ ネ ル ギ ー(フ

ェル ミ準 位)で

で は フ ェ ル ミエ ネ ル ギー は運 動 量 空 間 で １つ の 球(フ

あ る.自 由電 子

ェル ミ球)を

形 成 す る.こ

れ は電 子 が い っ ぱい つ ま っ た 球 で あ り,平 衡 状 態 で は球 の 中心 は運 動 量 ゼ ロ の原 点 に 静 止 して い る.   外 か ら電 場 が加 わ る と,フ ェル ミ球 は電 場 の 方 向(電 子 は負 の 電 気 を も っ て い る の で 本 当 は逆 方 向)に ず れ て 電 流 が 発 生 す る.し か し フ ェ ル ミ球 が ど こ ま で も 電 場 の 向 き に移 動 す る こ とは な い.格 子 振 動 が 邪 魔 を して 電 子 の加 速 を とめ る か らで あ る.こ れ は 次 の よ うに み る こ とが で き る.   フ ェル ミ球 が 運 動 量 空 間 で電 場 の方 向 にず れ る と,こ れ に格 子 振 動 の フ ォ ノ ン が 衝 突 し,そ の た め電 子 は フ ェル ミ球 の 上 で 散 乱 を お こす.こ

の過 程 は フ ェル ミ

球 の 上 の 拡 散 とみ る こ とが で き るで あ ろ う.   こ の考 え を用 い て フェ ル ミ球 の 上 の 拡 散 方 程 式 を た て て み た こ とが あ っ た.こ れ は電 気 伝 導 だ け で な く,金 属 電 子 に よる熱 伝 導 に対 して も用 い る こ とが で き る. これ を計 算 して ロ ー レ ン ツ数L=x/σT(xは

熱 伝 導率,σ

は電 気 伝 導 度)を 求 め

て み る と,そ の温 度 変 化 は従 来 の理 論 よ り も実 測 値 に よ く合 うので 論 文 に した.こ れ を読 ん で す ぐ返 事 を くれ た の は カ ナ ダ の 大 学 に い た有 名 な 極 低 温 物 理 学 者 の マ ク ドナル ドさん(D.K.C.MacDonald)で

あ った が,彼

は な ん と,私 の 計 算 の 間

違 い を指 摘 して くれ た の で あ る.こ れ を訂 正 して み る と私 の 方 法 で 求 め た ロ ー レ ンツ 数 は従 来 の理 論 と一 致 す る こ とが わ か った .考 え て み れ ば 同 じ よ う な理 論 で た だ 私 の は拡 散 方 程 式 に した と こ ろが ちが っ て い た だ け で,異 な る結 果 が 出 る方 が 不 思 議 だ っ た の で あ る.マ

ク ドナ ル ドさ ん は誤 りが あ る私 の 式 を経 験 式 と した

ら ど うか と も書 い て きた.   そ の後,私

は マ ク ドナル ドさ んの 本 を翻 訳 す る機 会 を もった.『 極 低 温 の世 界 一

絶 対 零 度 の 物 理 学 』(河 出 書 房,1967；

河 出 書 房 新 社,1977).こ

の 訳 書 の あ とが

き に私 は次 の よ うに書 い て い る.   「十 年 以 上 前 の こ とで あ るが,訳 者 の 書 い た論 文 が マ ク ドナ ル ド氏 の 目に とま り, そ の一 部 に対 して意 見 を述 べ て 来 られ た こ とが あ っ た.そ あ っ た と き,は

の後 ベ ル ギ ー で 会 議 が

じめ て 氏 に お会 い した.そ の と きマ ク ドナル ド氏 は 「私 達 は前 か

ら の 知 り合 い で し た ね 」 と言 っ て,に

こ や か に 握 手 さ れ た.背

も や や 老 け て み え る 紳 士 で あ っ た.マ

ク ドナ ル ド氏 は1963年

シ リー ズ に

『フ ァ ラ デ ー,マ

ク ス ウ ェ ル,ケ

の 高 い,年

齢 よ り

に 亡 く な っ た.こ

ル ビ ン 』 の 著 作 も あ る.」

の

超

伝

導

テー

マ

第26講

◆ 超伝 導現 象 ◆ 電子 間 の引力 ◆

クーパ ー対

◆Tea

Time：

連 成 振子

超伝導研究の歴史   超 伝 導(超 Onnes)が

電 気 伝 導)は1911年

に 偶 然 発 見 さ れ た.オ

水 銀 の 電 気 抵 抗 を 測 定 し て い た と こ ろ,あ

と を 見 出 し た の で あ る.や こ と が 知 ら れ た.ま

が て ス ズ,ア

た1933年

図56  超 伝 導 体 の電 気 抵抗

ラ ン ダ の オ ネ ス(H.K.

る 温 度 で 全 く突 然0に

ル ミ ニ ウ ム,亜

なるこ

鉛 な ど も超 伝 導 体 に な る

に マ イ ス ナ ー(W.Meissner)は

図57  臨 界磁 場 曲線Hc(T)と

超伝 導体が磁場 を

転 移 温度 錠Tc

図58  磁力 線

図59  第 １種 お よ び第 ２種 超 伝 導 の磁 化 曲線

反 発 して 押 し出 す こ と(完 全 反 磁 性)を

発 見 した.磁 場 が あ ま り大 き くな る と超

伝 導 状 態 は こわ れ て常 伝 導 体 に な る.超 伝 導 状 態 へ の 遷 移 は ２次 の相 転 移 で あ る (比 熱 は λ型 で あ るが 潜 熱 は伴 わ な い).   磁 気 に対 す る性 質 が 単 純 な第 １種 超 伝 導体 に対 して,や 体 が あ る.第

や複 雑 な第 ２種 超 伝 導

２種 超 伝 導 体 で は磁 場 が小 さい うち は完 全 反 磁 性 で あ るが,第

１臨

界 磁 場 とい う磁 場 の 強 さ を超 え る と磁 束 が 部 分 的 に超 伝 導 体 内 を通 過 す る よ う に な り,さ

らに 強 い第 ２臨 界 磁 場 を超 え る と完 全 反 磁 性 体 に な る.

  超 伝 導 体 内 に は超 伝 導 電 子 と常 伝 導 電 子 の ２種 類 の 電 子 が あ る とす る ２流 体 モ デ ル が 考 え られ,熱 H.London)や た.こ

力 学 的 な扱 いが な され た り,こ とに ロ ン ドン兄 弟(F.London,

ピパ ー ド(B.Pippard)な

どは電 磁 気 学 的 な モ デル 方程 式 を構 成 し

の 方 面 で い まで も研 究 さ れ て い るの は ギ ン ツ ブ ル ク‐ラ ン ダ ウ(Ginzburg‐

Landau)方

程 式 で あ る.

  F.ロ ン ドン は超 伝 導 状 態 へ の転 移 をボ ー ス凝 縮 に な ぞ ら えた が,こ

れ は ボー ス

粒 子 系 だ け の転 移 で あ るの に対 し,超 伝 導 状 態 は 明 らか に フ ェル ミ粒 子 で あ る電

子 に よ っ て お こ る の で あ る か ら,こ れ は そ の ま ま で は受 け入 れ が た い こ とで あ る.   1950年 に な っ て フ レー リッ ヒ(H.Frohlich)は

超 伝 導 現 象 の 原 因 は結 晶 格 子 の

振 動 を媒 介 とす る電 子 ど う しの相 互 作 用 で あ ろ う とい う大 胆 な 説 を発 表 した.た また ま同 じ年 に ア メ リカ で 同位 元 素 効 果 が 発 見 さ れ,超 伝 導 が格 子 振 動 に よ って 生 じ る こ とが 認 め られ る よ う に な っ た.こ ぜ た もの の転 移 温 度Tcが

の発 見 は水 銀 の い くつ か の 同 位 体 を ま

とい う事 実 で あ る.1956年

平 均 的 な 原 子 量Mの

平 方 根 に 反 比 例 す る(Tc∝M-1/2)

に ク ーパ ー(L.N.Cooper)は

２個 の 電 子 が 格 子 振 動

(フ ォ ノ ン)を 媒 介 とす る引 力 で 束 縛 状 態 を つ くる こ とを理 論 的 に示 した.彼 数kと-kの

は波

電 子 が フ ォ ノ ン を媒 介 とす る相 互 作 用 に よっ て結 ばれ る こ とを示 し

た の で あ っ て,こ れ を クー パ ー 対(ク ー パ ー ペ ア)と い う.翌 年 バ ー デ ィー ン(J. Bardeen),ク 論)が

ーパ ー,シ

ュ リー フ ァー(J.R.Schrieffer)の

有 名 な論 文(BCS理

発 表 され た.

  通 常 の電 気 抵 抗 は フ ォ ノ ン に よ っ て フ ェ ル ミ面 近 くの電 子 が 乱 さ れ るた め に お こ る.電 気 抵 抗 が な くな る超 伝 導 状 態 は何 らか の 原 因 で フ ェル ミ面 が か た くな る 現 象 で あ る に ち が い ない し,そ うだ とす れ ば マ イ ス ナ ー効 果 も導 か れ る こ とが示 され る.フ

ェル ミ面 が か た くな る とす れ ば,フ

に は あ るエ ネル ギ ー が 必 要 に ち が い な い.こ

ェル ミ面 か ら外 へ電 子 を励 起 す る

う し て エ ネ ル ギ ー ギ ャ ップ の 存 在 は

自然 に予 期 され る こ と とな っ た.超 伝 導 体 の比 熱 が 指 数 関 数 の形exp（-⊿/kBT） に な る こ と も これ を示 唆 す る.BCS理

論 は この ギ ャ ップ の原 因 を明 らか に し,ギ

ャ ッ プ が 高 温 で小 さ くな り,こ れ が0に な る温 度 が 転 移 温 度 で あ る こ とを示 した. ギ ャ ップ の 温 度 変 化 はマ イ ク ロ波 な どの 実 験 に よっ て測 定 され,BCS理

論 とよ く

合 う こ とが 示 さ れ て い る.

電子間の引力   電 子 と電 子 と は静 電 ク ー ロ ン力 で反 発 し合 う.し か し引 き合 う こ とが な い わ け で は な い.そ

の 最 も著 しい例 は こ の本 の 第 １講 で と り上 げ た 水 素 分 子 の形 成 で あ

る.水 素 分 子H2で

は ２個 の 水 素 原 子 が たが い に引 き合 っ て結 合 し,そ の原 因 は水

素 原 子 の 中 の電 子 で あ っ た.水 素 原 子 は 中 央 に プ ラ ス電 荷 の 原 子 核 が あ り,そ の

まわ りを１ 個 の 電 子 が まわ っ て い るの で 電 気 的 に中 性 で あ るか ら,そ の ま ま で は ２個 の 原 子 は引 き合 う こ と も反 発 し合 う こ と もない よ うに 思 わ れ,ハ イ トラー とF. ロ ン ドン の理 論 が 出 る まで は,大 い に物 理 学 者 や化 学 者 を悩 ま し て い た わ けで あ る.   さ て,水 素 原 子２ 個 を結 合 さ せ るの は,原 子 の 中 の 電 子 ど う し の交 換 力 が あ る と し て説 明 さ れ る.交 換 力 が(第１ 講 参 照)電 子 の 電 荷(-e)の２ い る こ とか ら もわ か る よ う に,も

乗 に 比 例 して

と も とは クー ロ ン反 発 力 に 由 来 す る もので あ る.

ハ ミル トニ ア ン を見 て も交 換 力 とい う特 別 項 が 加 わ って い る わ けで は な く,あ る の は ク ー ロ ン静 電 力 だ けで あ る.し か し２個 の電 子 の波 動 関 数 を つ くる ときに,便 宜 上 電 子１ が 原 子ａ に電 子２ が 原 子ｂ に所 属 す る状 態 と,逆 に電 子２ が 原 子ａ に 電 子１ が 原 子ｂ に所 属 す る状 態 を組 み合 わ せ て クー ロ ンエ ネ ル ギー を計 算 す る と, 電 子 を交 換 した と考 え た た め に生 じ る項(交   電 子1,2の

換 相 互 作 用)が

引 力 を引 きお こす.

状 態 と これ ら を交 換 した状 態 の組 み合 わ せ は電 子 の ス ピン に よっ て

重 大 な 制 約 を受 け る.電 子 の状 態 は軌 道 運 動 とス ピ ンに よ って き ま るが,１ つ の状 態 に２ 個 の電 子 が 入 り えな い とい うパ ウ リの原 理 が あ る.こ の た め(直 観 的 な い い 方 をす れ ば),２ 電 子 の ス ピ ンの 向 きが そ ろ っ て い る とき は２ 電 子 は あ ま り近 よ らな い し,ス

ピ ンの 向 きが 逆 向 き な らば２ 電 子 は比 較 的 近 くに くる こ とがで き る.

水 素 の場 合,交 換 エ ネ ル ギー はマ イ ナ スで あっ て引 力 に寄 与 され るの で あ るが,ス ピ ンが そ ろ っ て い る と きは 交 換 相 互 作 用 が 著 し くな る電 子 の配 置 の 確 率 が 小 さ い の で 引 力 に な らな い で逆 に反 発 力 に な る.ス ピ ンが 逆 向 き の と き は交 換 相 互 作 用 が 著 しい 電 子 の配 置 の 確 率 が 大 き い の で 引 力 が は た ら くこ とに な る.電 子 は原 子 に束 縛 され て い るか ら電 子 間 の 引力 は 原 子 の間 の結 合 力 に な るの で あ る.   水 素 分 子 の 場 合,２ 電 子 を媒 介 し て引 力 を生 じ させ る もの は クー ロ ン力 で あ り, い い か えれ ば電 磁 場 で あ る.電 磁 場 は２ 電 子 の 間 に クー ロ ン反 発 力 を生 じ させ る が,こ

れ はむ しろ 古 典 的 な 力 で あ る.ま た 同 時 に電 磁 場 は２ 電 子 の 間 に 交 換 力 を

生 じ,こ れ は水 素 分 子 の場 合 に ス ピ ンが 逆 向 き だ と引力 とな る.交 換 力 はス ピ ン に関 係 す る こ とか ら も量 子 論 的 な力 で あ っ て,電 子 は電 磁 場 の フ ォ ノ ン を交 換 す る と表 現 され る.こ れ は,摂 動 論 で い えば２ 次 の摂 動 で あ っ て,フ ォ ノ ン の放 出 ・ 吸 収 は ヴ ァー チ ャ ル(仮 想 的)な もの で あ る.ま

と め て い う と,水 素 分 子 の場 合,

２つ の電 子 は電 磁 場(フ ォ トン)を 媒 介 と して 引 力 を及 ぼ し合 う の で あ る.こ れ と 同 じ よ う に,金 属 内 の 自 由電 子 は 結 晶 振 動 の フ ォ ノ ン を媒 介 とし て 引力 を及 ぼ し あ う可 能 性 が あ り,こ れ は次 に述 べ る クー パ ー電 子 対 の形 成 で あ る とい う こ とが で き る.そ

して これ は超 伝 導 現 象 の 理 解 に導 くもの で あ っ た.

２次 摂 動  ク ー パ ー が 発 見 した 電 子 対 の 間 の相 互 作 用 は摂 動 論 で ２次 摂 動 と よ ばれ て い る もの な ので,２ 次 摂 動 に つ い て少 し述 べ て お こ う.  あ る系 の ハ ミル トニ ア ン を (１)

とす る.無 摂 動 のハ ミル トニ ア ンの 固 有 関 数 ψa(0)(x)と そ の 固有 値Eα(0)は 求 め ら れ る と し,摂 動 λH(1)(x)を 含 め た Ｈ に対 す る波 動 関 数 とエ ネ ル ギ ー の 近 似 を求 め るの が 摂 動 論 で あ る.   Eα(0)に縮 退 が な い場 合,す

な わ ちす べ て の 固有 値 が は っ き り と異 な る とき(Eα（0）

〓 Eβ(0)),す べ て の状 態 αが少 しず つ摂 動 を受 ける と考 えて,波 動 関 数 ψα(x)と固 有 値Eα を λの べ き級 数 の形 に展 開 で き る と仮 定 す る.す な わ ち (２)

とお く.こ れ を 波 動 方 程 式 (３)

を λの 低 次 か らつ ぎ つ ぎ と解 い て い く.す る と第 １次 は

(４)

を得 る.た

だ し直 交 関係

が 成 り立 っ と し, (５)

と書 いた.こ

の書 き方 はHβ,a（1） な ど と書 くよ り も便 利 な こ とが 多 い.こ

とに状 態

αを指 定 す る の に い くつ もの パ ラ メ ー タ な どが必 要 な 場 合 そ うで あ る.   Eα（0） が 最低 状 態 な らばEβ(0)＞Eα（0） な の で ２次 摂 動 は一 般 にマ イナ スの寄 与 を与 え る(た

とえ ば分 子 間 力,フ

ァ ン ・デ ル ・ワー ル ス力 は ２次 摂 動 に よ る もの で マ

イ ナ ス で あ り,引 力 を与 え る).   ２次 摂 動 の式(４)は

数 学 的 な式 で あ るが,こ

れ に物 理 的 な物 語 をつ けて 理 解 す

る こ とが お こな わ れ て い る.す なわ ち体 系 は初 期 状 態 αか ら中 間 状 態 β へ遷 移 し て か ら初 期 状 態 αへ 戻 る.遷 移 α→ β は行 列 要 素 （ β￨V￨α）,も とへ 戻 る遷 移 β → αは(α￨V￨β)=（ β￨V￨α)*で 表 わ され る と解 釈 す るの で あ る.(４)は

数学 的

な式 で あ って,体 系 が この よ うな遷 移 を実 際 に物 理 的 に お こな うわ けで は な く,こ の 遷 移 は いわ ば仮 想 的 な もの で あ る.   さ て,電 子 が 格 子 振 動 の フ ォ ノ ン と相 互 作 用 をす る とき無 摂 動 系H(0)は 子 のハ ミル トニ ア ンで あ り,摂 動 系H(1)と 講(7)のVk',kを

自 由電

して は電 子 格 子 の 相 互 作 用 として 第22

採 用 す れ ば よい.格 子 振 動 の座 標rnに 関 す る行 列 要 素 は第22講

の(8),(12),(13)な

どで あ る が,い

まの場 合 こ れ以 上 くわ し く立 ち 入 る 必 要 は

な い.   電 子(波 数k,エ 出 してk-qに

ネル ギ ー ε(k))が フ ォ ノ ン(波 数q,エ

な り,同 時 に別 の電 子k'が

ネ ル ギ ーhωq)を

この フ ォノ ン を吸 収 してk'+qに

放 なる

遷移 の行列要素 を (６)

とす れ ば,こ れ は電 子 対 の状 態(k,k')と の 状 態(k-q,k'+q)を

電子対

結 び付 け る行 列 要 素 で あ

る.

電子対の集 ま り   逆 向 き の 波 数 ベ ク トルkと-kを 電 子(電

子 対)が

はk+qと-k-qに っ て,状

態(k,-k)と

も っ た ２つ の

フ ォ ノ ン を や り と りす る と電 子 な る.こ

の よ う な過 程 に よ

結 び 付 け ら れ る 状 態(k

図60  電 子 対(kと-k)

+q,-k-q)は

無 数 に あ る こ とが 図 か らわ か る.し たが って フ ェル ミ面 に近 い と

こ ろの 電 子 対(k,-k)の

す べ て(い ろ い ろ なk)は

同 等 で た が い に結 び付 け ら

れ る.電 子 対 の 集 ま りは 一 緒 に行 動 し よ う とす る の で あ る.そ の た め前 節 で 述 べ た よ う な摂 動 論 で は な く縮 退 の あ る と きの摂 動 論 を 用 い な け れ ば な らな い.   話 を簡 略 化 して 具 体 的 に わ か りや す くす るた め,２ 電 子 がkと-kに

あ る状 態

を平 面 波eik・r1とe-ik・r2の 積 (７)

と考 え よ う.実 際 に は電 子 対 の 多 くの状 態 が た が い に結 び付 け られ る の で あ る か ら,波 動 関 数 は (８)

で 近 似 で き る だ ろ う.係 数Ckに

対 す る波 動 方 程 式 は (９)

と な る.た

だ しH(0)を

自 由 な ２電 子 に 対 す る ハ ミ ル ト ニ ア ン と し て

(10) と お く.こ

こで

(11) と書 く と

(12) を 得 る.さ

ら に 簡 単 の た めVk,k'が

る と し,こ

れ をVと

振 動 数,デ

バ イ フ ォ ノ ン)の

お く.こ

と考 え られ る の でVk,k'は

電 子 対 ど うしの相 互 作 用 の 及 ぶ 範 囲 で 定 数 で あ

れ は フ ォ ノ ン エ ネ ル ギ ーhωD(ωDは 範 囲 で あ る と考 え ら れ る.電

結 晶格 子 の最 大

子 対 は引 力 で 引 き合 う

負 であ る とし

(13) と す る.こ

の とき

(14) あ るい は

(15) これ をkに

つ い て加 え る と,電 子 対 の エ ネ ル ギ ーEを

与 え る式 と して

(16) を得 る.こ

こで ε(k)は 自由 な電 子 の エ ネ ル ギ ー で あ る が,エ ネ ル ギ ー を フ ェル

ミ面 上 か ら測 る こ とに し て,電 子 の エ ネ ル ギ ー が εと ε+dε の 間 の 準 位 の 数 を N(0)dε(N(0)は

フ ェル ミ面 にお け る状 態 数 密 度)と す る.相 互 作 用 の 及 ぶ 範 囲

で 上 式 の 和 を結 合 で お きか え る と

(17) こ こ でN(0)g≪1と

思われ るか ら

(18) これ は フ ェル ミ面 の上 に あ る電 子対 の エ ネ ル ギ ー と考 え られ る.   す で に 述 べ た よ うに,こ

う して た が い に 束縛 し合 う電 子対 は ス ピ ンが 逆 向 きの

２電 子 で あ り,ク ー パ ー対 と よ ば れ て い る.

Tea

Time

連成 振子  ク ー パ ー対 の話 で 出 て くる永 年 方 程 式 の 解 は

とい う よ うな形 で,ち

ょっ と見 なれ な い も の の よ うで あ るが,振

動 数 の似 た 振 子

が た が い に相 互 作 用 を して い る体 系 の振 動 数 が この よ うな形 を して い る.図61の カ チ カ チ 球 と称 す るお もち ゃが これ に似 て い る.振 動 数 ω1,ω2,ω3の ３つの 振 子 が 相 互 作 用 を して い る体 系 と し て

図62

図61  カチ カ チ球

を 採 用 し よ う.固

有 振 動 をΩ

とす る とxi=-Ω2xi（i=1,2,3）

に よ り と お く)

し た が っ て 解Ω

は 図62の

よ う な 図 式 解 法 で 与 え ら れ る.

  振 子 が も っ と 多 数 で ω12,ω22=ω12+u,ω32=ω12+2u,…,ωn2=ω12+(n-1)u の と き は,和

を積 分 で 近 似 す る と

した が っ て

が 最 低 の 固 有 振 動 数 Ω を与 え る.   な お カ チ カ チ球 を揺 ら して 放 置 す る と最 後 に は台 も揺 れ だ し,球 が 全 部 そ ろ っ て台 と逆 方 向 に振 れ る よ う に な る.こ れ は非 線 形 の効 果 と思 わ れ る.ク ー パ ー電 子 対 も安 定 し た状 態 で は そ ろ っ て行 動 す る.

第27講 超伝導体の対応原理

テー マ

◆

エ ネ ル ギ ー ギ ャ ップ

◆ 転移 温度 ◆ 対応 状態 の 原理 ◆Tea

Time：

高温超 伝 導

エ ネ ル ギ ーギ ヤ ッ プ   前 講 で は フ ェ ル ミ面 の 外 に お い た 電 子 対 は格 子 との 相 互 作 用 に よ って エ ネ ル ギ ー の低 下 を お こ し ,た が い に束 縛 した 状 態 に な る こ と を示 し た.こ れ を手 が か り に して バ ー デ ィー ン,ク ー パ ー,シ 理 論(BCS理

ュ リー フ ァー の ３人 は超 伝 導状 態 の くわ しい

論)を つ く り上 げ た.こ

こで は そ の結 果 の 一 部 を述 べ るだ け に止 め

る.   まず,フ ギ ーEを

ェル ミ面 付 近 の 電 子 は 電 子 対 を つ く り,こ れ を こわ す に は あ るエ ネ ル 与 え な けれ ば な らな い.こ

の エ ネ ル ギ ー(エ

ネ ル ギ ー ギ ャ ップ)を

Ee=2⊿

(１)

と し よ う.温 度 が 上 が る と電 子 対 は 次 第 に壊 れ て 励 起 され た 電 子 が 増 加 す る.こ の た め に エ ネ ル ギ ー は温 度 の上 昇 に つれ て 小 さ くな り,⊿=0が る 温 度,す

な わ ち転 移 温 度Tcを

超 伝 導 状 態 の終 わ

与 え る.

  温 度 の影 響 を考 え る と き は,エ ネ ル ギ ー で な く自 由 エ ネ ル ギ ー を計 算 し な け れ ば な ら な い が,こ

こで は省 略 す る こ とにす る.こ の計 算 をお こな っ たBCS理

論に

よれ ば⊿ は (２) で 与 え られ る.こ

こ でT→0と

す れ ばtanh∞=1に

よ り,絶

対 零 度 に お け る⊿ の

値⊿0は (３) で 与 え ら れ る.N(0)g≪1と

仮 定 す る と これ か ら (４)

を 得 る が,こ れ は 電 子 対 の 束 縛 エ ネ ル ギ ーEと

し て前 講 で 求 め た 式 と一 致 し て

い る.   また,転 移 温 度Tcは⊿=0に

な る温 度 なの で (５)

で あ る.こ

れ をTcに

つ い て 解 く の は 簡 単 で な い が,N（0）g≪1と

す る と (６)

と な る か ら,転

移 温 度 は⊿0に 比 例 す る こ と に な る.す

な わ ち(4)と(6)か

ら (７)

で あ る.   エ ネル ギ ー ギ ャ ップ は トンネ ル効 果 な どの 実験 か ら求 め る こ とが で きる.表 らわ か る よ う に実 測 値 はBCS理 で,⊿0/kTcは

論 の値(7)と

８か

よ く一 致 して い る.こ の表 の範 囲

超 伝 導 体 の 種 類 に よ ら ない とい う対 応 状 態 の原 理 が 成 り立 っ て い る

こ とが わ か る.   エ ネ ル ギー ギ ャ ップ⊿ は,ト ンネ ル効 果 な どの実 験 に よ って測 定 され て い る.絶 対 零 度 に お け る値⊿0と の 比⊿/⊿0を 絶 対 温 度 と転 移 温 度 の比T/Tcに ッ ト した の が 図63で

あ る.い

対 して プ ロ

くつ かの 超 伝 導体 の温 度 変 化 はだ い た い 一 致 して い

て,対 応 状 態 の 原 理 が 成 り立 っ て い る よ うに 見 え る.   (2)と

この 式 でT→0,⊿

→⊿0と した 式 とを組 み 合 わ せ,(7)を

用 いて

表 ８ 2⊿0/kTcも の 実 測 値

図63  超 伝 導 体 にお け るエ ネ ル ギ ー ギ ャ ップ の温 度変 化

(８)

を得 る.hωD/⊿0が 超 伝 導体 の 種 類 に よ らな い普 遍 定 数 で あ る と仮 定 す る と,こ れ に適 当 な値 を与 え て これ を数 値 的 に 解 けば⊿/⊿0とT/Tcの

間 の 関係 が 得 られ る.

対応 状態   こ う し てBCS理

論 で 求 め られ る⊿/⊿0とT/Tcの

関 係 は図63の

破 線 で 示 した

よ うに 実 測 値 と よ く一 致 し て い る.   しか し(８)に

は積 分 の上 限 にhωD/⊿0が あ るか ら,対 応 原 理 が完 全 に成 り立 つ

わ け で は な い こ とが わ か る.す なわ ち,も い 普 遍 定 数 で あ る とす れ ば,(３)に こ とに な る.こ こでN(0)は

し もhωD/⊿0が 超 伝 導 体 の種 類 に よ らな

よ りN(0)gの

値 も超 伝 導体 の種 類 に よ らない

フ ェル ミ面 にお け る準 位 密 度 であ り,電 子 と格 子 振 動

の 結 合 を表 わ す のが ｇで あ っ て,こ れ ら はた が い に 無 関 係 で あ る はず で あ る.し た が っ て 積N(0)gが

普 遍 定 数 で あ る は ず はな い.

  この 矛 盾 は お そ ら く(２)が

い くらか 不 完 全 な た め,hωD/⊿0は(N(0)gの

値 も)

完 全 な普 遍 定 数 で は な い と考 えれ ば解 決 が つ くよ うで あ る.hωD/⊿0は 固 体 比 熱 の デ バ イ 温 度(数 百 Ｋ)と 超 伝 導 の転 移 温 度 の比 の 程 度 で あ る か ら100あ

るいは も

っ と大 き な値 で あ ろ う.hωD/⊿0の こ の よ う に大 き な値 に対 して(８)は

敏感 で は

な い の で あ ろ う.

Tea

Time

高温超伝導   オ ラ ン ダの オ ネ スが 超 伝 導 を発 見 した の は1911年,水

銀 の 電 気 伝 導 度 を測 定 中

に 全 く予 期 して い なか っ た 発 見 で あ っ た.そ れ 以 来 多 くの金 属 と合 金 の超 伝 導 体 が 見 出 され た が,転 移 温 度(臨 界 温 度)が 約20K(マ ば か りで あ った.1957年

にBCS理

イ ナ ス253℃)以

下 の もの

論 が発 表 され て超 伝 導 の原 因 が つ き とめ られた

と多 くの人 は思 い,こ の理 論 か ら30K以

上 の転 移 温 度 の超 伝 導 体 はな い で あ ろ う

とい う 「BCSの 壁 」 を唱 え る人 まで あ っ た.そ

れ で も高 い転 移 転 度 の 物 質 を求 め

る 努 力 は あ と をた た ず,発 見 した とい う不 確 か な報 告 もた えず 現 れ た.空 盤 のUFOを

も じっ て これ をUSO(unidentified

superconducting

飛ぶ 円

object)と

い

う人 もあ った く らい で あ る.   と ころが1986年 A.Muller）

４月 の論 文 で ス イス の チ ュー リ ッヒIMM研

とべ ドノ ル ツ(J.G.Bednorz)は

体 に な る こ とを発 見 した.こ

究 所 の ミュラー （K.

あ る種 の酸 化 物 が約10Kで

超 伝導

れ は銅 と ラ ン タ ン とバ リウム が 酸 素 と結 合 した 酸 化

物 で あ っ た が,酸 化 物 は一 般 に典 型 的 な絶 縁 体 と考 え られ て い る し,乳 鉢 の 中 で す り合 わ せ て 焼 け ば で き る よ うな も の だ か ら,そ れ が超 伝 導 体 に な る とい うの は 大 変 意 外 な発 見 で あ っ た.し

か もバ リウ ム を ス トロ ンチ ウム で お きか え る と転 移

温 度 は さ ら に10度 上 が る こ と も間 も な く明 らか に な った.さ ン大 学 の チ ュ ー教 授(P.Chu)は り転 移 温 度 が90K以 (約77K)で

らに米 国 ヒュー ス ト

ラ ン タ ン を イ ッ ト リウム で お き か え る こ と に よ

上 の もの を つ く り出 した.こ れ らの発 見 は超 伝 導 を液 体 窒 素

利 用 す る技 術 に道 を ひ ら く もの と期 待 さ れ,い わ ゆ る 「高 温 超 伝 導 フ

ィ ーバ ー 」が お こ っ た.1987年

の ノー ベ ル物 理 学 賞 は ミュ ラ ー とべ トノ ル ツ に与

え ら れ て い る.   本 文 で 少 し触 れ た よ う に超 伝 導体 に は 第 １種 と第 ２種 とが あ る.第 体 は外 部 磁 場 を完 全 に 拒 否 す る が,少 っ て し ま う.第 が,(侵

１種 超 伝 導

し強 い 磁 場 が か か る と超 伝 導状 態 で な くな

２種 超 伝 導 体 は 外部 磁 場 が細 い束 に な って 侵 入 通 過 す る の を許 す

入 磁 場 が 動 か な い よ う に適 当 な 不 純 物 で"ピ ン どめ"す る こ とに よ り)第

１種 の もの に比 べ 数 百 倍 の 強 さの磁 場 に も耐 え る こ とが で きる.酸 化 物 高 温 超 伝 導 体 はす べ て 第 ２種 に属 し,磁 場 や 電 流 に対 して 強 い の で 広 い 応 用 が期 待 さ れ るの で あ る.BCS理

論 に よ れ ば第 ２種 超 伝 導 体 で は外 部 磁 場 の侵 入 す る深 さが 超 伝 導

電 子 対 の広 が りを表 わ す コ ヒー レ ンス の長 さ よ り も大 きい もの で あ り,ロ ン ドン

の 現 象 論 的 な方 程 式(本   BCS理

文参 照)は 第 ２種 超 伝 導 体 だ け に つ い て 成 り立 つ.

論 で は,電 子 対 を つ くる電 子 間 の引 力 は電 子 と格 子 振 動 フォ ノ ンの相 互

作 用 に よ る もの とし て い る.高 温 超 伝 導体 で は他 の作 用 が は た らい て電 子 対 を つ くっ て い る と思 わ れ る.純 粋 なナ トリウ ム な どの典 型 的 な金 属 で は超 伝 導状 態 に な ら ず,超 伝 導 は導 体 と絶 縁 体 の 境 界 で お こ る現 象 で あ る ら し い.電 子,フ

ェル

ミ粒 子 は 絶 対 零 度 の 近 くの環 境 で(分 子 内 の 電 流 の よ う に)超 伝 導 ・超 流動 を お こす もの で あ る と仮 定 して,こ れ で 熱 力 学 の第 ３法則 を補 填 した ら ど うだ ろ う.そ して この 環 境 が 破 壊 され て ふ つ う の電 気 抵 抗 や 粘 性 が お こ る原 因 を考 え る立 場 が あ りう るか も しれ な い.

テ

第28講 超伝導 の現象 論

ーマ

◆ 完全 な反磁 性 ◆ ロン ドン方程式 ◆ 熱力学 的性 質 ◆Tea Time： 超伝 導理 論

ロ ン ド ン方 程 式   超 伝 導 状 態 の 最 も著 しい 特 徴 は電 気 抵 抗 が 完 全 に な くな る こ と と,完 全 反 磁 性 で あ る.温 度 を高 くす る と転 移 温 度 で これ らの 性 質 は 失 わ れ る.ま た磁 場 を強 く す る と臨 界 磁 場 で 超 伝 導 状 態 が 破 られ る.こ の よ う な事 実 か ら,超 伝 導 体 に は超 伝 導 性 を もっ た超 伝 導 電 子 と常 伝 導 電 子 とが あ り,絶 対 零 度 で は常 伝 導 電 子 は な くな っ て す べ て の 伝 導 電 子 は超 伝 導 電 子 に な り,ま た 転 移 温 度 以 上 で は超 伝 導 電 子 は な くな っ て す べ て の電 子 が 常 伝 導 電 子 に な る と考 え られ る.こ れ を ２流 体 モ デル とい う.単 位 体 積 内の超 伝 導 電 子 の数 をns,常

伝 導 状 態 の電 子 をn0と す る と,

伝 導電子 の総数 n=ns+nn 

(１)

は一 定 で あ る と考 え られ る.  超 伝 導 電 子 は 電 場Eを j=-ensνs(νsは

加 え る と抵 抗 な し に 加 速 さ れ る か ら,超 伝 導 電 流

超 伝 導 電 子 の 速 度)の

加速 は

(２)

で 与 え られ,マ

クス ウェルの方程式 (３)

は超 伝 導 体 で も成 り立 つ.   さ て超 伝 導 体 に対 し て(2)が

成 り立 つ とす る と,電 流 の な い状 況 で はE=0,

す なわ ち超 伝 導 体 内 で電 場 は存 在 し な い が,こ の と き は(3)の

第 １式 に よ り (４)

とな り,磁 場 の 変 化 は な い こ と に な る.し か し これ は マ イ ス ナ ー効 果 の 実 験 事 実 に反 す る.た (b)超 伝 導 状 態(T＜Tc)

(a)正 常 状 態(T＞Tc)

と え ば転 移 温 度 以 上 の常 伝 導体

図64  超 伝 導 転移 に よ る磁 束 変 化

に磁 場 を貫 通 させ て お い て か ら

温 度 を下 げ て超 伝 導 状 態 に す る.こ の と き(4)に

よれ ば超 伝 導 体 内 の磁 場 は変 化

な く貫 通 し た ま まで あ る はず で あ る.し か し実 際 に は 転 移 温 度 以 下 に温 度 を下 げ た とた ん に超 伝 導 体 か ら磁 場 は押 し出 され て し ま う.履 歴 の い か ん に よ らず,超 伝 導体 で はB=0で

な けれ ば な らな い.す な わ ち超 伝 導体 は完 全 反 磁 性 で あ る とい

うの が マ イ ス ナ ー 効 果 で あ る.   (2)と(3)の

第 １式 とか ら (５)

を 得 るが,完

全 反 磁 性 を記 述 す るた め に は,超 伝 導 体 に対 して (６)

を 要 求 しな けれ ば な ら な い.す な わ ち(6)が rotB=jを

成 り立 て ば,こ れ と(3)の

第 ３式

組 み合 わ せ て (７)

を 得 る が,一

般 にrot

rot＝-▽2+grad

divで

あ り,(3)の

第 ２ 式div

B=0で

あ

るか ら (８)

を得 る.た

とえ ばx＜0に

超 伝 導体 が あ っ てx=0が

表 面 で あ る とす る と (９)

と な り,解

は

(10) で 与 え られ る.こ れ は超 伝 導 体 の外 の 磁 場 がB0の

と き 超 伝 導 体 内 で は λ≫

￨x￨に お い てB=0と

な る こ とを示 して

い る.す な わ ち磁 場 は超 伝 導体 の 表 面 か ら λの 程 度 の 深 さ まで 入 るが,そ 中 で はB=0に

の

な る.こ れ はマイ スナー

効 果 を表 わ し て い る.た

とえ ば転 移 温

度 以 上 の温 度 で外 部 磁 場B0を

図65  侵 入 の深 さ λ

加 えてお

き,温 度 を 下 げ て超 伝 導 体 に す る と き は表 面 に電 流 が誘 起 さ れ て 円 部 の 磁 場 を打 ち消 す.外 部 の 磁 場 をな くす まで この 状 態 が 続 くの で あ る.λ を ロ ン ドン の侵 入 の深 さ と い い,完 ∼10-5cmの

全 反 磁 性 を記 述 す る(6)を

ロ ン ドン方 程 式 と い う.λ は10-6

程 度 で あ る.

  ベ ク トル ポ テ ン シ ャルAを

使うと

(11) で あ る か ら,ロ

ン ド ン方程 式(6)と

組 み合 わ せ て

(12) が 得 られ る.こ れ は ロ ン ドン方 程 式 の別 の 形 で あ る.こ の 方程 式 は,あ の電 流 が そ の 場 所 で のベ ク トル ポ テ ン シ ャルAで え て い る.し

る場 所 で

き ま る とい う局 所 的 な 関 係 を与

か し これ は不 完 全 な こ とが 知 られ て い て,ピ パ ー ドは修 正 され た 式

(ピパ ー ド方 程 式)

(13) を 提 唱 した(ξ0は あ る定 数).ξ

は コ ヒー レ ンス の 長 さ と よば れ る.こ れ は超 伝 導

体 内 の 電 子 の波 動 関 数 の 広 が りの 程 度 を表 わ して い る こ とが知 られ て い る.コ ー レ ン ス の長 さ は10-4cmの

ヒ

程 度 で あ る.

熱 力 学的 性 質   長 い 円 柱 状 の 超 伝 導体 を考 え,外 部 磁 場Hは ネ ル ギ ー をG,磁

束 密 度 をBと

これ に平 行 で 一 様 とす る.自 由 エ

す る と(ガ ウ ス単 位 系 で)

(14) 常伝 導 状 態nで

はB=Hで

あ り,超 伝 導状 態 ｓで はB=0(完

全 反 磁 性)で

ある

か ら,上 式 を積 分 し

(15) 臨 界 磁 場Hc（T） =Gs(T,Hc)

の下 で は常 伝 導状 態 と超 伝 導 状 態 は共 存 す る の で,Gn(T,Hc)

.こ れ を上 式 と組 み 合 わ せ る と

(16)

が 得 ら れ る.  エ ン トロ ピ ー はS=-∂G/∂Tで

あ る か ら,そ

の差 は

(17) 比 熱 はT∂S/∂Tで

与 え られ る.転 移 温 度Tcで

はHc=0で

あ る こ とを考 慮 すれ ば,

転 移 温 度 に お け る比 熱 の と び は

(18) と な る.

超伝導体の状態方程式   1985年

まで に知 られ て い た超 伝 導 体(金 属 や 合 金)の 転 移 温 度 はす べ て20K以

下 で あ った.と

ころが1986年

に銅 酸 化 物La1-xBaxCuO2な

ど,い わ ゆ る高 温 超 伝

導 体 が続 々 と発 見 され る よ う にな った.高 温 超 伝 導 とい う けれ ど も転 移 温 度Tcは 20∼100K程

度 で 液 体 空 気 の 温 度 よ り高 い もの は まだ見 出 され て い な い.こ れ らは

第 ２種 的 な超 伝 導 体 で あ り,異 方 性,磁 ざ ま で あ る.む か し はBCS理 わ れ て い た が,今

性 な どで 複 雑 な性 質 を もち,材 質 もさ ま

論 か らこの よ うな 高 温 の超 伝 導 体 はあ りえな い と思

後 どの よ う な発 見 が な さ れ るか 見 当 が つ か な い.あ

は な い が 有 機 物 の超 伝 導 体 もあ る.多

くの場 合,高

ま り高 温 で

温 超 伝 導 体 で も電 子 対 が 超 伝

導 の 要 因 に な っ て い る ら しい.   主 に 第 １種 の 超 伝 導 体 に つ い て 共 通 な事 柄 を列 記 して お こ う.   (ⅰ)  比 熱 ：   電 子 の 関 与 す る比 熱(電 子 比 熱)は ふ つ うの 金 属 で は温 度Tに 比 例 し γT（γは ゾ ンマ ー フ ェル トの 定 数 ）で 表 わ さ れ る.超 伝 導 体 の 電 子 比 熱Ce は0K付

近 で指数 関数的で あって

(19) の よ う に表 わ され る.転 移 温 度Tcで   (ⅱ)  臨 界 磁 場 ： 界 磁 場Hcと

λ型 の 比 熱 の とび が あ る.

それ 以 上 の磁 場 を加 え る と超 伝 導状 態 が こわ れ る 限界 を臨

い う.状 態 方 程 式

(20) が ほ ぼ 成 り立 つ.   (ⅲ)  超 伝 導 電 子 対 の 密 度nsの

温 度 変 化 に対 して も

(21) が,ほ

ぼ成 り立 つ と考 え られ る(ns,0はT=0に

お け る電 子 対 の 密 度).nsは

超伝

導 体 の細 い 針 金 な どを 用 い て ロ ン ドンの侵 入 長λLを 測 り,そ の値 か ら推 定 され る. 超 伝 導 電 子 対 を形 成 す る電 子 の 数 は伝 導 電 子 の 総 数 の1%程 を つ くる電 子 は フ ェル ミ面 近 くの エ ネ ル ギ ーhωDぐ

度 で あ る が,電 子 対

らい の 幅 に限 られ るか らご く

 

わ ず か な の で あ る. (ⅳ)  磁 束 量 子 ：   超 伝 導 体 の コ イ ル な ど に誘 起 され る電 流 は減 衰 す る こ とな く永 遠 に流 れ続 け る.こ れ を永 久 電 流 とい う.永 久 電 流 を貫 く磁 束Φ は

(22) の 整 数 倍 に 限 ら れ る.Φ0は

磁 束 の 素 量 で 磁 束 量 子 と よば れ て い る.分

な の は 電 子 対 が 永 久 電 流 を 運 ぶ 単 位 で あ る こ と を 示 し て い る.な (Wb)は10-7ガ

母 がm*=2e

お １ウ ェ ーバ ー

ウ ス ・cm2で あ る.

Tea

Time

超伝導理論   超 伝 導 の理 論 と開 発 の歴 史 をた ど るの は教 訓 的 で あ る.こ

こで は理 論 の 方 を ま

ず振 りか え ろ う.金 属 の電 子 論 に 関 す る有 名 な講 義 を ロー レ ン ツが コ ロ ン ビ ア大 学 で お こな った の は1906年 発 見 した.ロ

で あ っ たが,1911年

に はオ ネ スが 水 銀 の 超 伝 導 現 象 を

ー レ ン ツの 理 論 は もち ろん これ を説 明 で き な か っ た し,電 子 に よ る

比 熱 にお い て 実験 と大 き な矛 盾 を か か え こ ん で い た(後 者 に つ い て は量 子 論 的 な 説 明 が 与 え られ た.第11講

参 照).

  この 頃 はオ ラ ンダ が 低 温 物 理 学 で先 行 し て い た.超 伝 導 の 理 論 にお い て も1920 年 代 にホ ー タ ー(C.J.Gorter)と カ シ ミア(H.B.G.Casimir)は 超 伝導状態 で は 一 部 の伝 導 電 子 が 超 伝 導 性 の 流体 とな る とい う ,二 流 体 理 論 を提 唱 した.1935年 に 当時 オ ッ ク ス フ ォ ー ドに い たF.ロ

ン ドン とH.ロ

ン ドンの兄 弟 は超 伝 導状 態 の

電 気 的性 質 を記 述 す る現 象 論(ロ ン ドン の方 程 式)を 発 表 した.こ れ は1933年 発 見 さ れ た マ イ ス ナ ー効 果(超 伝 導 体 の完 全 反 磁 性)を

に

も与 え る もの で あ る.

  F.ロ ン ドン は化 学 結 合(第

１講)を ハ イ トラー と共 に 明 らか に した ロ ン ドン と

同 一 人 物 で あ る.彼 は1900年

に生 まれ,は

じめ哲 学 を学 ん だ が,物 理 学 の発 展 に

魅 せ られ て ゾ ンマ ー フ ェ ル トの と こ ろで 研 究 を は じ め た.1927年

に は チ ュー リッ

ヒの シ ュ レー デ ィ ン ガ ー の と ころ へ 行 き,ハ イ トラ ー と共 に 水 素 分 子 の 結 合 の理 論 をつ くっ た.1933年

に は ナ チ ス の ユ ダ ヤ人 迫 害 か ら逃 れ て(弟 のH.ロ

ン ドン も

１年 半 お くれ て)イ ギ リス の オ ック ス フ ォー ドへ 渡 り,つ い で ア メ リカ へ移 っ た.   F.ロ ン ドン は化 学 結 合 の 仕 事 か ら物 理 学 に入 っ た た め で あ ろ うが,大

きな分 子

の 中 を流 れ て い る と想 像 さ れ る永 久 電 流 や 原 子 と分 子 が示 す 反 磁 性 と超 伝 導 状 態 の 性 質 の間 の類 似 に こだ わ っ て い た よ う で あ る.原 子 や分 子 は エ ネ ル ギ ー 最 低 の 状 態 と励 起 状 態 の 間 に有 限 の エ ネ ル ギ ー ギ ャ ップ が 存 在 し,そ の波 動 関 数 は外 か ら磁 場 を加 えて もた や す く変 化 す る こ とは な い.超 伝 導 体 も こ れ と同 じ振 舞 い を す る.こ の よ う にふ つ う は原 子 ・分 子 とい う ミク ロ な もの に特 有 な量 子 効 果 が マ ク ロの 大 き さ に 出現 す る のが 超 伝 導(お 考 えか らF.ロ ン ドンは1948年 これ が 囲 む磁 束 はhc/e(ガ

よび液 体 ヘ リウ ム超 流 動)で

あ る.こ の

の 論 文 で超 伝 導 の永 久 電 流 が リング状 に流 れ る とき,

ウ ス単 位 系 で)の 整 数 倍 に量 子 化 され る とい う予 想 を

述 べ て い る.こ れ は 少 し ちが っ た 形 で1961年

に実 証 され た(第29講Tea

Time

参 照).   超 伝 導 が 発 見 され て か ら約40年

間 もその 根 本 的 な原 因 は不 明 の ままで あったが,

1950年 に フ レ ー リ ッ ヒ は伝 導 電 子 と格 子 振 動 の 相 互 作 用 に よ り,フ ェル ミ面 の上 と下 で 電 子 の エ ネル ギ ー に差(ギ

ャ ッ プ)が で き る と考 え た.こ

の考 え に よれ ば

超 伝 導 体 の 転 移 温 度 は格 子 を形 成 す る原 子 の質 量 あ る い は原 子 量 の平 方 根 に逆 比 例 す る と予 想 され る.ち

ょ う どそ の 頃 ア メ リカ で 水 銀 の 同位 体 を混 ぜ た 実 験 が お

こな わ れ,水 銀 の 転 移 温 度 が 水 銀 の 平 均 の原 子 量 の 立 方 根 に 逆 比 例 す る こ とが 見 出 され た.こ

れ を同 位 体 効 果 とい う.

  こ う して 超 伝 導 の原 因 は電 子 と格 子 振 動 の相 互 作 用 で あ る こ とが ほ ぼ 明 らか に な っ た が,こ

れ を摂 動 論 で 扱 っ た の で は どん な に近 似 を高 め て も マ イ ス ナ ー 効 果

が 得 られ な い こ とが1951年

に シ ャ フ ロ ス(M.R.Schafroth)に

よ っ て 示 され る な

ど理 論 の 発 展 に は困 難 が つ き ま とっ た.   1956年 に な って ク ー パ ー が フ ェル ミ面 の外 に あ る ２電 子 が 対 に な っ てエ ネ ル ギ ー の低 下 を お こす こ と を理 論 的 に つ き とめ,こ れ が きっか け にな ってBCS理 論が つ くられ た の で あ った(1957年).高

温 超 伝 導 体 で は同 位 体 効 果 は超 伝 導 の主 役 で

は な い ら し い.し た が っ て フ レ ー リ ッ ヒ の予 見 と同位 体 効 果 の 発 見 に よ っ て超 伝 導 理 論 の 道 が ひ らか れ た の は僥 幸 で あ った か も しれ な い.自 然 は不 思 議 さ を もっ て わ れ わ れ を翻 弄 す るの で あ る.し か しBCS理 与 え た こ と は 明 らか で あ ろ う.

論 が 超 伝 導 現 象 の １つ のモ デ ル を

第29講 ギ ンツ ブル クーラ ン ダ ウ 方 程 式

テー マ

◆ 電子 対 の集団 ◆ 秩 序 パ ラメー タ ◆ ギ ン ツ ブ ル クーラ ン ダ ウ 方 程 式 ◆Tea

Time：

磁 束量 子

電子対の集団   超 伝 導 体 を 記 述 す る方 程 式 とし て,有 名 な ギ ン ツ ブル クーランダ ウ方 程 式(Ginzburg ‐ Landau,略

してGL方

程 式)が

あ る.こ れ は 半 ば弾 性 論 的 ・電 磁 気 学 的 で

あ る と同 時 に半 ば 電 子 論 的 ・量 子 論 的 な 方 程 式 で あ り,BCS理 だ っ て1950年 今 で はGL方

論(1957年)に

先

に発 表 され た の で,電 子 対 の 考 えが 提 出 され る前 の こ とで あった が, 程 式 とBCS理

対 を考 え な が らGL方

論 な ど との 関 係 も明 らか に され て い る.こ こで は電 子

程 式 を説 明 す る こ と に し よ う.

  電 子 は フ ェル ミ粒 子 で あ るが,電 子 対 は ２個 の 電 子 が 結 合 した もの な の で ボ ー ス粒 子 で あ る と考 え られ て い る.少

し電 子 対 に つ い て主 な こ と を述 べ て お く こ と

にす る.   電 子 対 とい うが,本

当 に空 間 的 に接 近 し て １つの 粒 子 に な って い るの で はな い.

この 点 は 直 観 的 に 理 解 し に くい .対 を つ くって い る ２個 の 電 子 は本 当 は か な り広 い 空 間 に ひ ろが っ て い て,電 子 対 と電 子 対 の 間 の平 均 距 離 よ り も １個 の 対 の 大 き さ の 方 が 相 当 大 きい.つ

ま り多 くの電 子 対 が 同 時 に同 一 の 空 間 領 域 を 占 め て い る.

そ れ で あ る か ら こ そ,た

くさ ん の 電 子 間 に集 団 的 な 引 力 が は た ら くの で あ る.電

子 が バ ラバ ラ に 運 動 す る もの で あ る とい う イ メ ー ジ を棄 て な い と,超 伝 導体 の磁 束 や ジ ョセ フ ソ ン接 合 な どの 性 質 の理 解 に進 む こ と も むず か し くな る.   電 子 対 が １個 の 粒 子 の よ う に振 舞 い,し た が っ て １個 の 粒 子 と し て波 動 関 数 で 表 わ され る とい う こ とを認 め よ う.電 子対 は ボ ー ス粒 子 で あ り,ボ ー ス粒 子 は ボ ー ス-ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮 を お こす こ とか ら もわか る よ うに １つ の状 態 に一 緒 に 入 り こ も う とす る性 質 が あ る.フ

ァイ ンマ ン も次 の よ うに 書 い て い る(フ

マ ン物 理 学V『 量 子 力 学 』(砂 川 重 信 訳)岩 波 書 店,1979,p   「した が っ て,ほ

ァイ ン

.451).

とん ど全 部 の 電 子 対 が 正 確 に同 じ状 態 に,最 低 の エ ネ ル ギー を

もっ て 閉 じ こ め られ る こ とに な る―

そ れ らの 電 子 対 の一 つ が 他 の別 の 状 態 に跳

び 出 す こ と は容 易 な こ とで は な い ので あ る.… す べ て の電 子 対 が 同 一 の 状 態 に移 っ て し ま う こ とが 期 待 され る.」   レ ー ザ ー光 が 位 相 の そ ろ っ た 波 で あ る よ うに 電 子 対 の波 動 関 数 の位 相 が そ ろっ て,コ

ヒー レ ン トな 波 の 束 にな る.こ れ が ボー ス粒 子 系 の秩 序 あ る状 態 で あ る.こ

の最 低 エ ネ ル ギー 状 態 の波 動 関 数 を ψ とす る と,ψ*ψ は電 子 対 密 度 ρに比 例 す る. した が っ て波 動 関 数 は (１)

と書 く こ とが で き る.θ は波 動 関 数 の位 相 で あ り,こ れ は流 れ(あ るい は電 流)に 結 び 付 け られ る.  流 れJは

量 子 力 学 の 一 般 式(▽=grad) (２)

で 与 え ら れ る.こ 2e),Aは

こ でm*は

電 子 対 の 質 量(m*=2m),e*は

ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル で あ る.こ

の 式 に(1)を

電 子 対 の 電 荷(e*= 代入 す る と

(３)

を得 る.こ の よ うに位 相 θ は 流 れJの

一 部 を与 え る.

 超 伝 導体 の定 常 状 態 で は電 子 対 密 度 が 一 様 で θは一 定 で あ る こ とが 示 され る.こ の と きは

(４) が 成 り立 つ.こ

れ は ロ ン ド ン 方 程 式 で あ る.こ

 さ ら に こ の 場 合,ψ(x)は

れ か らマ イ ス ナー効 果 も導 か れ る.

シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー 方程 式 (５)

を 満 た す も の と 期 待 さ れ る.こ

こ で(A,φ)は

ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル で あ る.確

率密度 (６) に対 し て ρ=一 定 と お き,速

度((3)参

照)

(７)

を 導 入 す る とシ ュ レー デ ィ ン ガ ー 方程 式(5)は (８)

とな る こ とが 示 され る(フ ァ イ ン マ ン物 理 学V『 こ こで 電 磁 気 学 に した が い電 場Eと

量 子 力 学 』,前 頁 参 照).た

だし

磁 束Bを (９)

に よ っ て 導 入 した.こ な ら な い.し 流体(電

こでe*（E+ν

た が って この場 合,シ

磁 流 体)で

×B)は

電 子 対 に は た ら くロー レ ン ツカ に他

ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 は(ν,ρ)の 場 が完 全

あ る こ とを保 証 す る.

  上 の取 扱 い で は ρ=ψ*ψ が 空 間 的 に一 様 で あ る と した が,こ れ で は超 伝 導 体 を 記 述 す る上 で もち ろん不 十 分 で あ る.GL方

程 式 は この 不備 を満 た して くれ る もの

で あ る. ギ ン ツ ブ ル ク ーラ ン ダ ウ 方 程 式   この 理 論 で は超 伝 導 体 は あ る種 の秩 序 が あ る状 態 で あ る と考 え,秩 序 を表 わ す パ ラ メー タ ψ(x)を 導 入 す る.こ れ は 前 節 で 考 案 した電 子 対 の波 動 関 数 と考 えて差 し支 え な い.ψ(x)は

流 体 の よ う な 波 動 の よ う な場 ψ(x)で あ っ て,秩 序 パ ラ メ

ー タ と もよ ば れ ,超 伝 導 体 の 自 由 エ ネ ル ギ ー は ψ(x)と

ψ(x)の 空 間 微 分 で 表 わ

され る と考 え る.簡 単 な話 か ら は じめ よ う.自 由 エ ネ ル ギ ー を

(10) と仮 定 す る(α,β,γ

は定 数,１ 次 元 に した).こ れ を最 小 にす る ψ(x)を 求 め る と

(項 の順 序 を左 右 逆 に す る),ψ(x)の

満 た す べ き微 分 方程 式 と して

(11) を得 る.こ れ は量 子 論 の波 動 方 程 式(γ=h2/2mと

す れ ば)に 似 て い る.こ の類 似

を進 め,３ 次 元 の方 程 式 に してベ ク トル ポ テ ン シ ャルAを

含 ませ る(超 電 導体 内

で は電 場 は な い か らス カ ラ ー ポ テ ン シ ャル φ は考 え な い).   こ う して(γ=h2/2m*と

お く)

(12) を 得 る.こ

れ が ギ ン ツ ブ ル ク ーラ ン ダ ウ 方 程 式(GL方

の 電 荷,m*は

そ の 質 量 で,e*=2e,m*=2mと

程 式)で

お く.量

あ る.e*は

電 子対

子 力 学 との類 推 か ら電

流密度 は

(13) と し,超

伝 導 電 子 対 の 数 はns=ψ*ψ

  外 場 が な い と き,GL方 次 元(x方

と す る.

程 式 は 定 数 係 数 な の で ψ は 実 数 と し て よ い.こ

向)で 考 え る とGL方

程 式 は(ψ02=α/β

と お き,ψ/ψ0を

の とき １

改 め て ψ と書

く)

(14) こ こで ψ=1+gと

お い てgの

線形項 だ けを とると

(15) と な り,解

は

(16)

で あ る （g0は 定 数 ）.パ ラ メ ー タ ξ は ピ パ ー ド方 程 式(第28講(13)式)の

コ ヒー

レ ン ス の 長 さ と 同 じ と 考 え ら れ る.   ロ ン ドン の 侵 入 長 λ とコ ヒー レ ン ス の長 さ ξ との 比

(17) をGLパ

ラ メ ー タ とい う.超 伝 導 体 は κの 値 に よ っ て分 類 され,第

体(第 １種 と第 ２種 の超 伝 導 体 につい て は第27講Tea で あ り,第

Timeを

１種 の超 伝 導

参 照)で は κ＜1/√2

２種 超 伝 導体 で は κ＞1/√2で あ る.ま た 変 温 超 伝 導 体 で は コ ヒー レ ン

ス長 ξが きわ め て小 さ い もの が あ る.   κの 値 に応 じ て適 当 な線 形 近 似 を採 用 してGL方

程 式 を解 くこ とに よっ て,第

１

種 と第 ２種 の超 電 導 体 の 特 性 を よ く説 明 で き る こ とが 示 され て い る.

Tea

Time

磁 束量子   SI(メ

ー トル ・キ ロ グ ラ ム ・秒 ・ア ンペ アMKSA有

の 次 元 は(『 電 磁 気 学30講

  [Φ]=［N・m・s/C]=[作 で あ る.し か え,電 Φ=h/eが =h/2eと

理 化)単

位 系 で は,磁

用 量/電 荷]

た が っ て こ れ が 量 子 化 さ れ た と す る と 作 用 量 を プ ラ ン ク 定 数hで 荷 を 電 子 の 電 荷 量eで 考 え ら れ る.し な る .こ

束Φ

』p.80)

おき

お きか え る こ とに よ っ て磁 束 量 子 の大 き さ と して

か し 超 伝 導 で は ２個 の 電 子 が 対 を つ く っ て い る た めΦ

の と き電 荷 は ク ー ロ ン(C),磁

束 は ウ ェ ー バ ー(Wb)が

単位で

あ る.   こ れ に 対 し て 多 く の 本 で は 磁 束 量 子 をΦ0=hc/2eと 意 味).こ

れ は ガ ウ ス 単 位 系 を 使 っ て い る の で あ っ て,ど

い よ う に こ れ ら の 単 位 系 を併 記 し て み よ う.ガ トル ・グ ラ ム ・秒),電   な お,磁

書 い て あ る(cは

ク ス ウ ェ ル(記

号Mx)と

荷 に 対 し て は 静 電 単 位(esu)を

い う.

ち ら も正 し い.誤

ウ ス 単 位 系 で はCGS(セ

束 の 単 位 ガ ウ ス ・cm2(ガ ウ ス 単 位 系,あ

光 速度 の りが な ンチ メ ー

使 う. る い はCGS電

磁 単 位 系)を

マ

表 ９ 磁 束 量子

(1Wb=108ガ

  【磁 束 量 子 の 可 視 化 】 外 村 彰 さん(日 立 中研)を

ウ ス ・cm2)

中 心 とす る グ ル ー プ は一 種 の

電 子 顕 微 鏡 で あ る電 子 線 ホ ロ グ ラ フ ィ ー を開 発 して,磁 気 量 子 を 目 に見 え る よ う に し,そ の振 舞 い を 明 らか にす る こ とに成 功 した.   外 村   彰 『量 子 力 学 を見 る』 岩 波 科 学 ラ イ ブ ラ リー,1995   外村   彰 『ゲ ー ジ場 を見 る』 講 談 社 ブ ル ーバ ック ス,1997 に は 電 子 波 の 干 渉(電 子 線 ホ ロ グ ラ フ ィー)に よ る磁 束 量 子 の 美 し い写 真 が あ る.

第30講 超 伝 導 トンネル 効果

マ

テー

◆ 磁 束 の量子 化 ◆

トン ネ ル 効 果

◆

ジ ョ セ フ ソ ン効 果

◆Tea

Time：

微 小量 の接頭 語

磁束の量子化   超 伝 導 体 の 円 筒 に磁 束 が と ら え られ て い る場 合,あ

る い は超 伝 導 体 に磁 束 の貫 通 して い る小

さ な部 分 が あ る場 合 を 考 え よ う.磁 束 の まわ り を 回 っ て 磁 場 の な い とこ ろ を通 る閉 曲 線 をCと す る(図66).こ

の 閉 曲 線 に沿 って超 伝 導 体 の 秩

序 パ ラ メー タ(前 講 参 照)ψ

を (１)

と す る.θ

は 位 相 で あ る.ま

た￨ψ￨2=nsは

図66  磁 束量 子

電子

対 密 度 で あ っ て 一 定 で あ る とし よ う.こ の と き超 伝 導 体 内 で 電 流 は存 在 し な いか ら

(２) ψ=￨ψ￨eiθ の １価 性 か ら 閉 曲 線Cに （n=1,2,…

） で あ る.し

沿 っ て １周 し た と き の 位 相 θ の 変 化 は,2πn

た が っ て 上 式 右 辺 第 １項 か ら

(３)

他 方 で 第 ２項 に つ い て はス トー ク ス の 定 理 に よ り (４)

こ こ でФ

はCを

貫 く磁 束 で あ る.し

た が っ て(2)に

より (５)

こ こ で 電 子 対 の 電 荷 はe*=2eで

あ るか ら

(６)

とな る.す な わ ち 超 伝 導体 の 円 筒 に と らえ られ た 磁 束 や超 伝 導 の 中 に と らえ られ た 磁 束 は,磁 束 量 子 のΦ0の 整 数 倍 で あ る. トン ネ ル 効 果   薄 い 絶 縁 体(厚 さ １nm程

度 の金 属 酸 化 物 な ど)を 間 に は さ ん で超 伝 導体 と常 伝

導 体 を 接 合 さ せ る.そ の ま まほ う っ て お く と電 子 が い くらか 流 れ て,超 伝 導 体 の フ ェル ミ面 と常 伝 導 体 の フ ェル ミ面 が 同 じ に な った 平 衡 状 態 に な る(こ の と きの 電 位 差 は 接 触 電 位 差 で あ る).超 伝 導 体 の フ ェル ミ面 はエ ネ ル ギー ギ ャ ップの 中央 に あ る.ま た 常 伝 導 体 の フ ェル ミ面 は充 満 帯 の上 端 に あ る.   この 平 衡 状 態 で 外 か ら電 位 差V0を

加 え る と,常 伝 導 体 の フェ ル ミ面 はeV0だ

け

も ち上 げ られ る.し か しV0が 小 さ い う ち は超 伝 導 の ギ ャ ップが あ るた め電 流 は流 れ な い.そ

して 電 位 差V0が

十 分 大 き くな り,常 伝 導 体 の フ ェル ミ面 が超 伝 導 体 の

ギ ャ ッ プ の 上 に く る よ う に な る と,常 伝 導体 の 電 子 が 絶 縁 体 を通 る トン ネ ル 効 果 に よ り超 伝 導 体 へ 流 れ は じ め る.こ の と きの 電 位 差 か ら超 伝 導体 のエ ネ ル ギ ー ギ ャ ップ を測 定 す る こ とが で きる.

ジ ョセ フ ソ ン接 合   絶 縁 体 の 薄 膜 を は さ み ２つ の 超 伝 導 体 を接 合 し た もの を ジ ョセ フ ソ ン接 合 とい う(図67).絶

縁体

層 が 厚 す ぎ る と電 子 対 も電 子 も こ の層 を通 りぬ け られ な い が,薄

けれ ば トンネ ル 効 果 に よっ て 通 り

ぬ け る こ とが で き る.常 伝 導 電 子 に よ る電 流 は無

図67  ジ ョセ フ ソ ン接 合

視 し,こ こで は超 伝 導 電 子 対 の 振 舞 い だ け に焦 点 を あ て る こ とに す る.   電 子 対 は ボ ー ス粒 子 と して行 動 し,超 流 動性 を もっ て い る.そ の た め超 流 動 体 で あ る液 体 ヘ リウム の よ うに圧 力 差 な しに細 い管 を通 して 流 れ た り,〓 が れ た ２つ の容 器 の 間 を振 動 的 に流 れ るだ ろ う と思 わ れ る.実 際 ジ ョセ フ ソ ン(B.D.Josephson )は この よ う な奇 妙 な現 象 を予 言 し(1962年),こ

れ はす ぐに 実 験 に よ って 確

か め られ た の で あ る.   電 子 対 の 状 態 は １つ の波 動 関 数 ψ(x)で 表 わ され,こ れ はGL方 ル ク‐ラ ン ダ ウ 方 程 式)で 記 述 され るが,さ て シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 とし て よい.つ

らにGL方

程 式(ギ ンツ ブ

程 式 は 多 くの 場 合 線 形 化 し

ま り電 子 対 は シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方

程 式 で扱 え る こ と に な る が,こ れ は す で に 本講 で用 い た 方 法 で もあ る.波 動 関 数 ψ(x)の 位 相 を θ（x,t） と して(a,θ

は実 数) (７)

と書 く と,ベ ク トル ポ テ ンシ ャルAは

な い とす れ ば,電 子 対 の流 れ は前 講(3)で

示 した よ う に (８)

で与 え られ る.   絶 縁 体 を は さ ん で 同 種 の超 伝 導 体 を 接 合 させ た ジ ョセ フ ソ ン接 合 で は,絶 縁 体 内 で 波動 関 数 は振 幅 がe-αxの よ うな形 で 減 衰 す る だ ろ う.そ の た め の 波 動 関 数 は 絶縁体領 域で (９)

で 近 似 で き るだ ろ う.こ

こで α は絶 縁

体 の性 質 や 厚 さ な どで き ま り,そ の 厚 さ は2aで

あ る と し て い る(図68).ま

た ω は振 動 数,θ1,θ2は 接 合 部 を は さ ん で左 側 と右 側 に お け る波 動 関 数 の位 相 で そ れ ぞ れ一 定 と して い る.電 子 対 の流 れ は

図68  超伝導波動関数 の振幅￨ψ￨2 （10）

で あ り,こ れ を計 算 す る と

(11) ただし

(12) とな る.こ の 式 は特 に 波 動 関 数(9)を

用いて導 いたが

(13) は もっ と一 般 的 な条 件 の 下 で 成 り立 つ 式 で あ る.   電 子 対 の エ ネ ル ギ ー を接 合 の 左 と右 で それ ぞ れ ε1,ε2と し,電 子 対 の波 動 関 数 の 振 動 数 を ω1,ω2と す る と

(14) で あ る.ト る と き,ih∂

ン ネ ル 電 流 が な け れ ば,左

と 右 の 領 域 に お け る 波 動 関 数 を ψ1,ψ2と す

ψ1/∂t=ε1ψ1,ih∂ ψ2/∂t=ε2ψ2が 成 り立 つ.し

か し,接

合 部 で 左 右 の領

域 の 波 動 関 数 が 干 渉 す る こ と を 考 慮 す る と(２ つ の 振 子 の 連 動 に 似 た 方 程 式)

(15) とお くこ とが で き るだ ろ う.Kは

接 合 の 特 性 を表 わ す定 数 で あ る.K=0な

らば左

右 の超 伝 導 体 の 間 の相 互 作 用 は な い.  【 左 右 に電 位 差Vを

与 えた とき】 接 合 点 の 左 右 の 超 伝 導体 を それ ぞ れ 電 池 の 両

端 に接 続 し て電 位 差Vを

与 え る.こ の と きエ ネル ギ ー 差 は ε2-ε1=e*Vで

あ る.

便 宜 上 エ ネ ル ギ ー の原 点 を そ の 中 間 に とる と(15)は

(16)

とな る.こ こで 電 子 対 密 度ρ=nsを が,立

一 定 と仮 定(こ れ は 実験 条 件 に よ る で あ ろ う

ち 入 ら な い こ と にす る)し て

(17) と お く と δ=θ2-θ1に

対 して

(18) した が っ て一 定 の 電 圧V=V0を

か けた ときは

(19)

(δ0は 定 数) 

と な り,(13)に

よ り

(20) した が って 一 定 の 電 圧 差V0を れ をACジ

か けれ ば角 周 波 数e*V0/hの

ョセ フ ソ ン効 果 とい う.こ れ はe*/h=2e/hの

振 動 電 流 が生 じ る.こ 値 の測 定 に も用 い られ

る.   外 部 電 圧V0が0で

あ っ て もJ=J0sinδ0の

電 流 が 流 れ る((12)参

照).こ

の奇

妙 な現 象 も,超 伝 導 電 流 を ヘ リ ウム の 超 流 動 に類 似 の もの と考 え れ ば理 解 され る (DCジ

ョセ フ ソ ン効 果).

  【交 流 電 圧 】 直 流 電 圧V0に

加 えて 小 さな 高 周 波 電 圧 をか け る とき,高 周 波 の周

波 数 を ω と して

(21) と お く と(18)か

ら

(22) した が っ て電 流 は

(23) と な る.こ

こで￨y￨が

十 分 小 さい とき の公 式 (24)

を使 え ば

(25) とな る.右 辺 の 第 １項 は平 均 と して0に

な る.し か し第 ２項 は

(26)

と書 き な お せ る.し た が っ て 交 流 電圧 の周 波 数 が ち ょ う ど

(27) で あ る とき は 直 流 電 圧 が 流 れ 続 け る.

量子干渉計   ジ ョ セ フ ソ ン 接 合 に お け る 超 伝 導 電 流 は 波 動 関 数 の 位 相 差 に 敏 感 で あ り,位 差 は 磁 場 に よ っ て も 影 響 さ れ る.こ に 測 定 す る装 置 が つ く ら れ る.こ quantum

interference

相

の た め ジ ョ セ フ ソ ン接 合 を 使 っ て 磁 場 を 精 密

れ を超 伝 導 量 子 干 渉 素 子(SQUID)と deviceの

い う(superconducting

略 で あ る).

  同 じ材 質 で つ く られ た ２個 の ジ ョセ フ ソ ン 接 合 を リ ン グ 状 に つ な い だSQUIDを と り上 げ よ う(図69).す

で に 述 べ た よ う に ジ ョ セ フ ソ ン接 合 の 中 の 位 相 θ は

(28) を満 た す.Aは

ベ ク トル ポ テ ン シ ャル で あ る.リ ン グ の 中 で積 分 す れ ば

(29) とな る.図69で

左 側 の 道 に 沿 って 積 分 す れ ば (30)

図69  超 電 導量 子 干渉 素 子(SQUID)の

原理図

図70  直 流 ジ ョセ フ ソ ン電 流 と磁 束 の 関係 (Φ0=h/2e)

右 の道 に沿 って積分 すれば (31) を得 る.こ こで δaは左 の接 合aに で あ る.位 相 差 θ(Q)-θ(P)は

お け る位 相 差,δbは 右 の 接 合bに

お け る位 相 差

左 の道 を と っ て も右 の道 を とって も同 じで な け れ

ば な らな い か ら

(32) と な る.こ

こで 積 分 は リ ン グ に つ い て １周 し,ス

ン グ を 貫 く磁 束Φ

を 与 え る.す

トー ク ス の 積 分 定 理 に よ り,リ

なわち

(33) し た が って

(34) で あ る.便 宜 上

(35) (e*=2e)と

お く と,リ

ン グ の 左 と右 を 通 る 電 流 の 和 は

(36) で与 え られ る こ とに な る.電 流J全 は,こ のSQUIDを

貫 く磁 束Φ の変 化 につれ て

振 動 的 変 化cos(eФ/h)を れ,ま

す る(図70).こ

の 方 法 で 磁 束 の くわ しい 変 化 が 測 定 さ

た磁 束 量 子 の存 在 も確 か め られ る.

Tea

Time

微 小量 の接頭語   た とえ ば,味 覚 を健 全 に保 つ に は亜 鉛 が必 要 で あ る ら しい.人 体 に は微 小 量 で は あ っ て も,な

くて は な らな い もの が い ろ い ろあ る とい う こ とで あ る.生 物 学 や

化 学 に比 べ て19世

紀 ま で の物 理 学 は どち らか とい う と大 雑 把 で,少

しの不 純 物 に

大 き く左 右 さ れ な い法 則 や 物 の 性 質 を論 じて きた.元 素 の 原 子 量 が現 象 論 的 に 扱 わ れ て きた の に対 して,微 小 な ち が いが 問題 に され る よ うに な っ た の は レ イ リー (Lord Rayleigh)の

研 究 が は じ ま りだ っ た と思 わ れ る.レ イ リー は窒 素 の原 子 量

が 窒 素 を つ く り出 した 方 法 に よ って ちが うよ うに み え る こ とを くわ し く吟 味 して, 空 気 中 に ア ル ゴ ン とい う元 素 が あ る こ とをつ き とめた(1894年).周

期 表 の0族 元

素 の 発 見 の は じ ま りで あ る.わ か っ て み れ ば ア ル ゴ ン は 空気 中 に1%も 決 して微 量 で は な い.つ い で1906年 ン(J.J.Thomson)が

に は同 位 体 の発 見 が あ り,1912年

あるので に は トム ソ

陽 極 分 析 に よ って ネ オ ンに 同 位 体 が あ る こ とが 確 か め られ

た.元 素 は 同位 体 の混 合 物 だ っ た の で あ る.こ

う して 分 析 の 分 野 で も化 学 と物 理

学 の 統 一 が お こな わ れ,微 小 量 の 分 析 技 術 が 確 立 され た.   積 極 的 に微 小 量 を問 題 に す る よ う にな った の は半 導 体 素 子 の 開 発 か らで あ ろ う. ゲ ル マ ニ ウ ム の純 度99.99…%が

テ ンナ イ ンな どと よば れ た のが 象 徴 的 で あ り,今

日の ナ ノ技 術 の 世 界 へ の 出 発 点 で あ った.ナ る.SI接

ノ は10-9の 単 位 を表 わす 接 頭 語 で あ

頭 語 を書 く と次 の よ う に な る(表10,『 表10

岩 波 理 化 学 辞 典 』 に よ る).

  濃 度,存

在 比 な ど が 小 さ い こ と を 表 わ す の に パ ー セ ン ト(％,percent,10-2)

が ひ ろ く用 い ら れ て い る が,環 ピ ー ピ ー エ ム(ppm,10-6)が 10-6;

ppb,

をpg/cm3の

境 問題 な どで は るか に低 い 濃 度 な どを表 わ す の に

よ く用 い ら れ る よ う に な っ た(ppm,

part per billion,10-9).10-12に

part

対 し て は ピ コ(10-12)を

per mi11ion, 用 いて濃度

よ う に 表 わ す こ とが あ る.

  ナ ノ技 術 が先 端 技 術 と して もて はや され る反 面 で ダ イオ キ シ ンな ど に よ る汚 染 問 題 が 深 刻 に な っ て,ppmよ

り さ ら に低 い 濃 度 が た え ず 話 題 に な る の が 現 代 の 科

学 文 明 で あ る.   長 さ や 濃 度 だ け で は な い.化 レ ー ザ ー パ ル ス が 使 わ れ る.フ 年 ノ ー ベ ル 化 学 賞 を 受 け た.こ そ う で あ る.

学 反 応 を 調 べ る 技 術 で は 数 十 ∼ 数 百 フ ェ ム ト秒 の ェ ム トは10-15,千

兆 分 の １で あ る .こ

の 研 究 は1999

うい うパ ル ス をあ て る とガ ラ スが 宝 石 に な る の だ

索引

ア  行

力  行

ク ー パ ー 対   193,198 ク ー ロ ン積 分   5

ア イ ン シュ タ イ ン  75,104,109

回転 の 運 動 エ ネ ル ギ ー  10

跡   35

回転 の ハ ミル トニ ア ン  11 回転 比 熱   13

原子核  18

異 常 電 気 抵抗   187

化 学 ポ テ ン シ ャル  57,67,79

原 子価結 合 8

位 相 空 間 の広 さ  54

カ ー ク ウ ッ ドの 方 法  40

原子 間力顕微鏡 24

1次 元 格 子   110

角 運 動 量   14

原子 の化 学的性質  18

1次 元 フ ェル ミ気 体 の 励 起   161

カ シ ミア 効 果   32

原子 の周期律  1

慣 性 モ ー メ ン ト  11

原子 の電 子配位 22

緩 和 時 間   169

原子番号  18

ウ ィ グ ナ ー  52

ク ー ロ ン相 互 作 用   4

元素 の化学 的性質 21

ウ ィ グ ナ ー表 示   48 ウ ィ グ ナ ー分 布 関 数   50

期 待 値   34

ウ ィ ー ン の変 位 則   103

基 底 状 態   19

上 向 き ス ピ ン の状 態   183

軌 道 運 動 の 反磁 性   90

元素 の周期表 18 光 圧   103

ギ ブ ズ  108

高温 超 伝 導  203

液 体 ヘ リウム   74

行 列 表 現   129

光 学 顕 微 鏡   24

エ ネ ル ギ ー ギ ャ ッ プ  200

行 列 表 示   132

交 換 関 係   113,133,143,149

エ ネ ル ギ ー固 有 値   55

行 列 要 素   127

交 換 積 分   5,119

エ ル ミー ト演 算 子   34,128

行 列 力 学   127

交 換 相 互 作 用   4,119,194

エ ル ミー ト関 数  126

局 在 ス ピ ン  182

交 換 力   194

エ ル ミー ト共 役   127,129

金 属   82

光 子   110

エ ル ミ ー ト行 列   127 演 算 子 波 動 関 数   144,150

―の 電 気抵 抗   182 金 属 結 晶   77

固 体 比 熱   108 古 典 力 学 的極 限   43,51

金 属 自 由電 子   77

コ ヒ ー レ ンス の 長 さ  216

オ イ ラー の 公 式   99

金 属 電 子 論  83,180

近 藤 効 果   182

大 きな 状 態 和   57,155

ギ ン ツ ブ ル ク ーラ ン ダ ウ 方程 式

オ ネ ス  191

 

オ ル ト  16 オ ル ト水 素   12 ―の 比 熱   13 音 響 量 子   110

サ  行

212,215

残 留 抵 抗   170,182 空 孔   98 空 洞   101

GLパ

ラ メ ー タ  216

空 洞 輻 射   101

GL方

程 式   212,215

クー パ ー  193

磁 気 共 鳴 吸 収  89

磁 気 量 子 数   19 タ  行

磁 性 不 純 物 原 子   182 磁 束 の 量 子 化   218

第 ０族   19

磁 束 量 子   210,216,225

第 ２摂 動 項   28

下 向 きス ピ ン の状 態   183

第 ２ボル ン近 似   184

自 由 エ ネ ル ギー   56

第 ２量 子 化   114

周 期 表   18

第18族

周 期 律   1,19

対 応 状 態 の 原 理   30,201

自 由電 子   77,82

対 称  140

―の比 熱   79

  19

―した状 態   79

ド ・ハ ー ス‐フ ァン ・ア ル フ ェ ン 効 果  96 ド ・ブ ー ル のパ ラ メ ー タ  31 トー マ ス‐フ ェル ミの統 計 的 方 法  

84

トー マス‐フ ェル ミの微 分 方程 式

多粒 子 系  139

シ ュテ フ ァン‐ボ ル ツマ ンの法 則  

統 計力 学   108

―な 関 数   5

縮 退   85

同 位体   18 統 計集 団   35

単 振 動   124

 

86

朝 永 振 一 郎   89,163 トンネ ル 効 果   219

断 熱 ポ テ ン シ ャル   3 ナ  行

103

シ ュ レー デ ィン ガ ー   2,137

秩 序 パ ラ メ ー タ  215

ナ ノ メ ー トル  24

シュ リー フ ァー   193

超 電 気 伝 導   191

波 の 圧 力  106

主 量 子 数   19

超 伝 導   191

準 位   55

―の 現 象 論   205

準 位 密 度   65

超 伝 導 現 象   75

昇 降演 算 子   135

超 伝 導 体 の 状 態 方程 式   209

状 態 和   14,42,56,157

２原 子 分 子   10 ２次 摂 動   195

超 伝 導 電 子   205

熱 振 動   77

超 伝 導 トンネ ル 効 果   218

熱 抵 抗   77

常 伝 導 電 子   205

超 伝 導量 子 干 渉 素 子   223

熱 輻 射   101

ジ ョセ フ ソ ン接 合   220

超 流 動  31

熱 力 学 的 関 係 式  56

超 流 動現 象  74

熱 力 学 的 性 質   208

水 素 分 子   193

調 和 振 動   124

熱 力 学 的 ポ テ ン シ ャル  57

数 理 科 学 の モ デ ル   69,82

調 和 振 動 子   125,134,153

大 き な― 

57,155

ハ  行

ス ター リン グ の 公 式   60 ス ピ ン  6,183

DCジ

―の 常 磁 性  90 伝 導 電 子 の―

  184

ョセ フ ソ ン効 果   222

デバ イ温 度   110

配 位 空 間   140 ―の 方 法   139

デバ イの 比 熱 式   110

排 他 原 理   20

ス ピン軌 道 相 互 作 用   23

デ ュー ロ ンープ テ ィの 法 則   109

ハ イ トラ ー  2,8

ス ピン 波   120

転 移 温 度  200

パ ウ リの 原理   6 ,19,55,85,

転 移 点   73 正 規 直 交 関 数 系   129

119,147

電 気 抵 抗   77,169

パ ウ リの常 磁 性   90

正 孔   98

金 属 の―

  182

バ ー デ ィ ー ン   193

生 成 消 滅 演 算 子   132,142

低 温 の―

  176

パ ー マ ネ ン ト  142

遷 移 確 率 と平 衡   61

電 子 対  74,213 ―の波 動 関 数   213,214

パ ラ  16 パ ラ水 素   13

走 査 型 トン ネ ル 電 子 顕 微 鏡   24

電 子 の交 換   6

パ ラ統 計   63

阻 止 能   87

電 子 配 位   22

反磁 性 帯 磁 率   93

ゾ ンマ ー フ ェ ル ト  89,174

電 磁 場   101

反対 称   147

伝 導 電 子 の ス ピ ン  184

―な 関 数   5

反 対 称 性   20

ブ ロ ッホ   87,89

半 導体  99

ブ ロ ッホ 方 程 式   37

万 有 引力   83

分 極 率   27

マ イ ス ナ ー  191

分 子 間 の 反 発 力   29

マ イ ナ ス の 交 換 関 係   143

光 の圧 力   103,106

分 子 間 力   196

マ クス ウ ェ ル-ボ ル ツ マ ン分 布

BCS理

分 子 間 力 ポ テ ン シ ャル   29

 

分 子性 物 質   25

マ グ ノ ン  120

論   193,200

微 視 的状 態   55 ―の"数" 

54

非 線 形振 動 子   130

マ  行

58

フ ン トの 規 則  23 分 配 関 数   14,56

密度行 列 35 メ ンデ レー フ  17

比 抵 抗   169 ピパ ー ド  192,207

閉 殻   20

表 面 張 力 波 の 圧 力   115

平 均 自由行 路   169 べ ー テ   89 ,174

フ ァイ ンマ ン  213

ヘ リ ウム  1,20 3Heの 相 図   32

フ ァン ・デ ル ・ワ ー ル ス 力   25, 196

4Heの

―の 加 算 性   29

ベ ル ヌ ー イ の 式  68

ヤ  行 誘 導 放 出   104

ラ  行

相 図   32

フ ァ ン・リュー ウ ェ ンの定 理  93

λ点   74 ラ ンダ ウの 反 磁 性   92

フ ェ ル ミエ ネ ル ギー   78

ボ ー ア 磁 子   90

フ ェ ル ミ気 体   58

ポ ア ソ ンの 方 程 式   84

理 想 気 体   57,65

フ ェ ル ミ準 位   78

ボ イ ル-シ ャル ル の 法 則   68

粒 子 数 の 方 法   139

フ ェ ル ミ多 体 系   147

ボ イ ル-シ ャ ル ル の 方 程 式   58

粒 子 数 表 示   142,148

フ ェ ル ミ統 計(フ ェル ミーデ ィ ラ

方 位 量 子 数   19,21

粒 子 の 同 等 性   54

ッ ク統 計)  55,78 フ ェ ル ミ振 子   155 フ ェ ル ミ分 布(フ ェル ミーデ ィ ラ ッ ク分 布)  59,63 フ ェル ミ粒 子   7,12,55 フ ェル ミ粒 子 系   147 フ ォ トン  110 フ ォノ ン  110

ボ ー ス  75

り ュー ビ ュ方 程 式   36

ボ ー ス-ア イ ン シ ュ タ イ ン凝 縮

量 子 効 果   31

(ボース 凝 縮)  73,106,192,

ボ ー ス‐ア イ ン シ ュ タ イ ン統 計 (ボ ー ス 統 計)  56,105,140 ボ ー ス‐ア イ ン シ ュ タ イ ン分 布 (ボ ー ス 分 布)  60,63

―の 運 動 量   171

ボ ー ス気 体  59

―の 数   114

ボー ス系 の波 動 関 数   141

不 活 性 ガ ス  19

量 子 論 的 な 補 正   68

213 レー ザ ー  106 ―の作 動 原 理   104 レ ーザ ー冷 却   74 レ ナー ド ・ジ ョー ンズ ポ テ ン シ ャ ル  30 連 成 振 子   198

ボ ー ス多 体 系   139

不 活 発 な 元 素   21

ボー ス振 子   155

ロ ン ド ン,F. 

2,8,76

輻 射 場   103

ボ ー ス粒 子   12,140,142,213

ロ ン ド ン,H. 

8

伏 見 の 方 法   43 物 理 学 と化 学 の統 一   8 プ ラス の 交 換 関 係   149 プ ラ ン ク  101 ―の 熱 輻 射 式   102

―の 波 動 関 数   75 ボー ス粒 子 系  140 ―の秩 序 あ る状 態   213

ロ ン ド ン 兄 弟   192 ロ ン ド ン の 侵 入 の 深 さ  207 ロ ン ド ン 方 程 式   207

ホー ル 効 果   97

ワ  行

ボル ツマ ン気 体   57

ブ リュ ア ン  116

ボル ツマ ン統 計   56

フ レー リ ッ ヒ  193

ボル ツ マ ン 方 程 式   176

ワ ン グ  8

著

者 

戸

田 盛

和

1917年  東京 に生 まれ る 1940年  東京 大学 理学部 物理 学科 卒業

現

在 東京教育大学名誉教授 ノル ウェー王 立科学 ア カデ ミー 会員 理 学博士

物理 学30講 シ リーズ9

物性物理30講 2000年11月10日 

定価 はカバー に表示

2004年10月20日

初 版 第 １刷  

第 ２刷

著 者 戸

田

盛

和

発行者 朝

倉

邦

造

倉 書

店

株式 発行所  会社  朝

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵便番 号  電

FAX 

〈検 印省略 〉

4‐254‐13639‐0

03（3260）0180

http://www.asakura.co.jp

〓2000〈 無断複写 ・転 載 を禁 ず〉 ISBN

162‐8707

話  03（3260）0141

C3342

新 日本 印刷 ・渡辺 製本

Printed in Japan

大 貫 惇 睦 ・浅 野   肇 ・上 田和 夫 ・佐 藤 英行 ・ 中村 新 男 ・高 重 正 明 ・三 宅 和 正 ・竹 田精 治 著

物

性

物

13081‐3 C3042 

理

A5判 

学

232頁 本 体4000円

戸 田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ1

一

般

力

学30講 A5判 

13631‐5  C3342 

208頁 本 体3800円

戸 田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ2

流

体

力

学30講 A5判 

13632‐3  C3342 

216頁 本 体3800円

戸 田盛和著

波 動 と 非 線 形 問 題30講 13633‐1 C3342 

A5判 

232頁 本体3700円

戸田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ4

現

象30講 A5判 

13634‐X  C3342 

240頁 本体3700円

戸 田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ5

分

子

運

動30講 A5判 

13635-8  C3342 

224頁 本 体3600円

戸 田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ6

電

磁

気

学30講 A5判 

13636‐6  C3342 

216頁 本 体3800円

戸 田盛和著 物理学30講 シ リー ズ7

相

対

性

理

13637‐4  C3342 

論30講

A5判 

244頁  本 体3800円

戸 田盛 和著 物 理 学30講 シ リー ズ8

量

子

力

学30講 A5判 

13638-2  C3342 

208頁 本 体3800円

戸 田盛 和著 物理学30講 シ リー ズ10

宇

宙

13640‐4  C3342 

力学 の最 も基本 的な ところか ら問いかけ る。 〔 内 容〕力の釣 り合 い/力 学 的エ ネルギー/単 振 動/ ぶ らんこの力学/単 振 り子/衝 突/惑 星の運動/ ラグ ラン ジュの運動方程 式/最 小作用の原理/正 準変 換/断 熱定理/ハ ミル トン‐ ヤ コビの方程 式 多 くの親 しみやす い話題 と有名 なパ ラ ドックスに 富む流体 力学 を縮 まない完全流体か ら粘性流体に 至 る まで解 説。 〔 内容〕 球 形渦/渦 糸/渦 列/粘 性 流体 の運動方程式/ポ アズ イユの流れ/ス トー ク スの抵抗/ず りの流れ/境 界層/他 流体 力 学 に 続 くシ リー ズ 第3巻 で は,波 と非 線 形 問題 を,著 者 自身 の 発 見 の戸 田格 子 を中心 に解 説 。

物理 学30講 シ リー ズ3

熱

物性科 学,物 性論 の全体像 を的確に把握 し,そ の 広が りと深 さを平易 に指 し示 した意欲的入門書。 〔 内容 〕 化 学結合 と結 晶構造/格 子振動 と物性/金 属電 子論/半 導体 と光物性/誘 電体/超 伝導 と超 流動/磁 性/ナ ノス トラ クチャーの世界

と 素

粒 A5判 

子30講 212頁  本 体3800円

〔内 容 〕ロ トカ ーヴ ォ ル テ ラの 方 程 式/逆 散 乱 法/ 双 対 格 子/格 子 のNソ リ トン解/2次 元KdV方 程 式/非 対 称 な 剛体 の 運 動/他 熱 の 伝 導,放 射,凝 縮 等 熱 を と りま く熱 現 象 を熱 力 学 か らて い ね い に展 開 して い く。 〔内容 〕熱 力 学 の 第1,2法 則/エ ン トロ ピー/熱 平 衡 の条 件/ ミ ク ロ状 態 と エ ン トロ ピー/希 薄 溶 液/ゆ ら ぎの 一 般 式/分 子 の 分 布 関数/液 体 の 臨 界点/他

〔 内容〕気体の分 子運動/初 等的理論へ の反省/気 体 の粘性/拡 散 と熱伝 導/熱 電効果/光 の散乱/ 流体 力学の方程 式/重 い原子の運動/ブ ラウン運 動/拡 散方程式/拡 散率 と易動度/ガ ウス過程/ 揺 動散逸定理/ウ イナー ・ヒンチンの定理/他 〔内容 〕 電荷 と静 電場/電 場 と電荷/電 荷 に働 く力 /磁 場 とロー レンツ力/磁 場 の中の運動/電 気 力 線の応力/電 磁 場のエネル ギー/物 質 中の電磁場 /分 極の具体例/光 と電磁波/反 射 と透過/電 磁 波の散乱/種 々のゲー ジ/ラ グランジュ形式/他 〔内容 〕 光の速 さ/時 間/ロ ー レンツ変 換/運 動 量 の保存 と質量/特 殊相対論的力学/保 存法則/電 磁 場の変換/テ ンソル/一 般相対性理論 の出発 点 /ア インシュ タインの テンソル/シ ュワルツシル トの時空/光 線の湾曲/相 対性理論 の検証/他 〔 内容 〕 量子/粒 子 と波動/シ ュレーディ ンガー方 程 式/古 典 的な極限/不 確定性 原理/ト ンネル効 果/非 線形振 動/水 素原子/角 運 動量/電 磁場 と 局所 ゲー ジ変 換/散 乱問題/ヴ リアル定理/量 子 条件 とポア ソン括弧/経 路積分/調 和 振動子他 〔 内容 〕 宇宙 と時間/曲 面 と超 曲面/閉 じた空間 ・ 開 いた空 間/重 力場の方程 式/膨 張宇宙モデル/ 球対称 な星/相 対性理論 と量子力学/自 由粒子/ 水素類似 原子/電 磁場の量 子化/く り込み理論/ ラム ・シフ ト/超 多時 間理論/中 間子の質量/他 上 記 価 格(税 別)は2004年

９月 現 在