Abels Beweis German

Abels Beweis

Peter Pesic

Abels Beweis Übersetzung aus dem Englischen von Markus Junker Mit 23 Abbildungen

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Autor

Übersetzer

Peter Pesic St. John’s College 1160 Camino de la Cruz Blanca 87505-4599 Santa Fe, NM, USA e-mail: [email protected]

Markus Junker Universität Freiburg e-mail: [email protected]

Übersetzung der englischen Originalausgabe „Abel’s Proof“ von Peter Pesic © MIT Press, Cambridge, MA, USA 2003

Mathematics Subject Classification (2000): 01-XX, 12-XX Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

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f¨ ur Ssu, gedankenvoll und innig geliebt

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Der Skandal des Irrationalen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2

Kontroversen und Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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Unm¨ ogliches und Imagin¨ ares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4

Kreise und K¨ usten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5

Vertauschungen und Entt¨ auschungen . . . . . . . . . . 73

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Abels Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

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Abel und Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

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Symmetrien sehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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Die Ordnung der Dinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

10 Das Unl¨ osbare l¨ osen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Anhang A: Abels Artikel von 1824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Anhang B: Abel u ¨ ber die allgemeine Form einer algebraischen L¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Anhang C: Cauchys Satz u ¨ber Permutationen . . . . . 175

VIII

Inhaltsverzeichnis

Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Bildnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Einleitung

Im Jahre 1824 ver¨ offentlichte ein junger Norweger namens Niels Henrik Abel eine d¨ unne Druckschrift, worin er einen neuen Beweis f¨ ur ein altes mathematisches Problem ank¨ undigte. Wenige beachteten das Heft oder lasen es. F¨ unf Jahre sp¨ater starb Abel im Alter von sechsundzwanzig Jahren, kurz bevor sein Werk weite Anerkennung fand. Von anderen ausgearbeitet wurden seine Einsichten zu einem Eckstein der modernen Mathematik. Doch außerhalb der Mathematik sind seine Ideen im allgemeinen unbekannt geblieben. Dieses Buch erz¨ ahlt die Geschichte von jenem Problem und von Abels Beweis. Es enth¨ alt nur ganz wenige Gleichungen, so daß die Hauptlinien der Beweisf¨ uhrung auch all denen zug¨anglich sein sollten, die von Ideen fasziniert sind, aber ein Unwohlsein mathematischen Einzelheiten gegen¨ uber empfinden. Argumente und Beispiele werden in K¨ astchen außerhalb des Textes ausf¨ uhrlicher behandelt; man darf sie guten Gewissens u ¨ berspringen. Die Anh¨ange gehen noch etwas tiefer und enthalten auch eine kom¨ mentierte Ubersetzung von Abels Schrift. In den Anmerkungen folgen Literaturhinweise und Anregungen f¨ ur weitere Lekt¨ ure. Abels Beweis betrifft das L¨ osen algebraischer Gleichungen, dies sind Gleichungen der Form an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x+ a0 = 0, deren L¨ osungen“ oder Wurzeln“ wir suchen, wobei ” ” x die Variable“ oder Unbekannte“ ist, und an , an−1 , . . . , a0 ” ” unver¨ anderliche Koeffizienten“ sind. Wir unterscheiden solche ” Gleichungen nach n, der h¨ ochsten vorkommenden Potenz. F¨ ur n = 2, so ist n = 1 spricht man von linearen Gleichungen; f¨ uresx eine gibt quadraes dann a1 . Falls eine L¨ osung, n¨ amlich − a0

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Einleitung

tische Gleichung, und in der Schule haben wir gelernt, daß die 2 L¨osungen einer quadratischen √ Gleichung a2 x + a1 x + a0 = 0 −a ±

a2 −4a a

allgemein durch x1,2 = 1 2a12 2 0 gegeben sind, gleich um welche Zahlen a2 , a1 , a0 es sich handelt. Die quadratische Gleichung ist also durch Wurzeln aufl¨ osbar“, wie die Mathematiker ” es ausdr¨ ucken: Dies bedeutet, daß man u ¨ ber eine L¨osungsformel verf¨ ugt, in welcher die Koeffizienten der Gleichung auftauchen, die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) und Wurzeln (hier eine Quadratwurzel, aber im allgemeinen d¨ urfen beliebige Wurzeln vorkommen, also auch dritte oder f¨ unfte Wurzeln usw.). So weit geht man meist im Gymnasium; vielleicht lernt man noch, daß es Gleichungen h¨oheren Grades gibt: F¨ ur n = 3 erh¨ alt man kubische Gleichungen wie x3 + 2x2 + x − 1 = 0. Ebenso gibt es Gleichungen vierten Grades, in denen x4 vorkommt, Gleichungen f¨ unften Grades, in denen auch x5 erscheint, und so weiter, so daß also in einer Gleichung n-ten Grades xn auftaucht und alle Potenzen von x bis dahin vorkommen d¨ urfen. Die meisten Menschen wissen noch, daß man quadratische Gleichungen durch irgendeine Formel aufl¨ osen kann; an die L¨osungsformel selbst haben sie aber nur eine verschwommene Erinnerung. Aber wie steht es mit Gleichungen dritten oder vierten Grades? Es stellt sich heraus, daß man sie ebenfalls durch Wurzeln aufl¨ osen kann. Ihre L¨ osungsformeln sind zwar weitaus komplizierter als im quadratischen Fall – f¨ ur kubische Gleichungen etwa tauchen dritte Wurzeln von Quadratwurzeln auf – aber man kann sie in B¨ uchern finden, und noch im neunzehnten Jahrhundert wurden sie u ¨ blicherweise in den Schulen gelehrt. All dies erscheint nicht weiter wild, sogar ein wenig langweilig: Wir w¨ urden erwarten, daß man alle Gleichungen aufl¨ osen kann, gleich wie groß der Grad ist, nur daß die L¨ osungsformeln mit gr¨oßerem Grad immer komplizierter werden. Soweit scheint alles in Ordnung. ¨ Aber es gibt eine große Uberraschung: Im allgemeinen kann man eine Gleichung f¨ unften Grades nicht durch Wurzeln aufl¨ osen. Obgleich es einige spezielle Gleichungen f¨ unften Grades

Einleitung

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gibt, deren L¨ osungen wir durch Wurzelausdr¨ ucke hinschreiben k¨ onnen, gibt es f¨ ur die allgemeine Gleichung a5 x5 +a4 x4 +a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 unendlich viele Werte f¨ ur die Koeffizienten, f¨ ur die man die L¨ osungen x nicht durch eine Formel hinschreiben kann, in der nur endlich viele Quadratwurzeln, dritte Wurzeln, f¨ unfte Wurzeln . . . und andere algebraische Ausdr¨ ucke vorkommen. Es gibt also Werte f¨ ur x, welche die Gleichung l¨osen, die wir aber durch keine noch so komplizierte endliche Formel ausdr¨ ucken k¨ onnen, in der nur Wurzeln und Potenzen, plus, minus, mal und geteilt in irgendeiner Weise vorkommen, so wie es doch f¨ ur alle Gleichungen bis dahin m¨ oglich war. Schlimmer noch: F¨ ur Gleichungen von irgendeinem Grad gr¨ oßer als f¨ unf gilt dasselbe. Im allgemeinen sind Gleichungen sechsten, siebten, achten . . . n-ten Grades nicht durch Wurzeln aufl¨ osbar. Warum? Was ist mit dem bisherigen Muster der L¨osungsformeln passiert? Was ist Besonderes an der Zahl F¨ unf, das die Probleme bereitet? Warum gilt es dann auch f¨ ur alle h¨oheren Grade? Und vor allem: Was bedeutet dieser Zusammenbruch, wenn man solch ein Wort benutzen will? Solche Fragen haben mich seit meiner Kindheit besch¨aftigt. Mathematische Symbole k¨ onnen versteckte Wahrheiten anzeigen, welche eine tiefe menschliche Bedeutung haben, auch wenn sie u ¨ ber den Menschen hinausgehen. Abels Beweis enth¨alt ein wesentliches Geheimnis: Wie kann die Suche nach einer L¨osung zum Unl¨ osbaren f¨ uhren? Vielleicht k¨ onnte ich es verstehen, wenn ich mich nur gen¨ ugend anstrengte. Ich studierte neuere Schriften, aber der Schl¨ ussel zu allem blieb mir verborgen. Spezialisten h¨ oren manchmal auf, sich u ¨ ber ganz einfache Dinge Fragen zu stellen, wenn sie in ihren fortgeschrittenen Studien versinken. Sie w¨ urden die Art von grundlegender Einsicht, die ich suchte, gar nicht bemerken. Um sie zu finden, mußte ich zu den Quellen ahlte Reise zur¨ ucklegen. zur¨ uckkehren und die in diesem Buch erz¨ Die Geschichte beginnt im alten Griechenland und erreicht ihren H¨ ohepunkt im Norwegen und Frankreich der 1820er Jahre. Was Abel entdeckte, ist tats¨ achlich erstaunlich und von sonderbarer Sch¨ onheit.

1 Der Skandal des Irrationalen

Die Geschichte beginnt mit einem Geheimnis und mit einem Skandal. Vor etwa 2 500 Jahren stellten in Griechenland ein Philosoph namens Pythagoras und seine Anh¨ anger den Leitsatz Al” les ist Zahl“ f¨ ur sich auf. Diese pythagor¨ aische Bruderschaft entdeckte viele wichtige mathematische Wahrheiten und erkundete, wie diese sich in der Welt auswirken. Aber sie h¨ ullten sich in Dunkel, da sie sich als H¨ uter der mathematischen Geheimnisse gegen¨ uber der gew¨ ohnlichen Welt betrachteten. Durch ihre Geheimnistuerei gingen viele Einzelheiten ihrer Arbeit verloren; auch blieb unklar, inwieweit sie auf fr¨ uheren Erkenntnissen aus ¨ Mesopotamien und Agypten aufbauten. Ihre wissenschaftlichen Nachfolger sahen in der pythagor¨aischen Schule den Ursprung der Mathematik. Euklids Die Elemente, eine meisterhafte Zusammenstellung, die mehrere hundert Jahre sp¨ ater geschrieben wurde, beinhaltet die pythagor¨aischen Entdeckungen ebenso wie sp¨ atere Arbeiten und gipfelt in der Konstruktion der f¨ unf platonischen K¨orper. Dies sind die einzigen regelm¨ aßigen Vielfl¨ achner (regul¨ are Polyeder), also durch Vielecke begrenzte Figuren mit lauter gleichen Seiten und Winkeln: das regelm¨ aßige Tetraeder (Vierfl¨ achner), der W¨ urfel (Hexaeder), die regelm¨aßigen Oktaeder (Achtfl¨ achner), Dodekaeder (Zw¨ olffl¨ achner) und Ikosaeder (Zwanzigfl¨ achner), siehe Abb. 1.1. Ihren wichtigsten Beitrag lieferten die Pythagor¨ aer jedoch durch den Begriff des mathematischen Beweises, durch die Idee, aus theoretischen Aussagen eine unwiderlegbare Beweisf¨ uhrung erstellen zu k¨ onnen, die keinerlei Ausnahmen zul¨aßt. In diesem

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1 Der Skandal des Irrationalen

Abb. 1.1 Die f¨ unf regelm¨ aßigen, platonischen K¨ orper, gezeichnet nach Leonardo da Vinci, aus Luca Pacioli, De divina proportione (1509). (a) Tetraeder, (b) W¨ urfel, (c) Oktaeder, (d) Dodekaeder, (e) Ikosaeder.

1 Der Skandal des Irrationalen

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Punkt gingen sie u ¨ ber die Babylonier hinaus, die trotz ihrer vielen mathematischen Errungenschaften offenbar kein Interesse daran entwickelt hatten, mathematische S¨ atze zu beweisen. Es waren tats¨ achlich die Pythagor¨ aer und ihre Nachfolger, welche die Mathematik“ in dem Sinne, wie wir ihn immer noch kennen, ” erschaffen haben – ein Wort, das die gelernten Dinge“ bedeutet ” und sicheres, zweifelsfreies Wissen meint. Die Mythen um die pythagor¨ aische Bruderschaft verbergen, wer genau ihre Entdeckungen machte, und wie. Von Pythagoras selbst wird erz¨ ahlt, er habe die einfachen, ganzzahligen Proportionen hinter den musikalischen Intervallen erkannt, die er von den Ambossen einer Schmiede t¨ onen h¨ orte: die Oktave (welche einem Verh¨ altnis 2 : 1 entspricht), die Quinte (3 : 2), die Quarte (4 : 3), und worin sich die Verh¨ altnisse der Gewichte der Schmiedeh¨ ammer zueinander ausdr¨ ucken. Dadurch erkannte er, daß Musik Zahlen h¨ orbar macht. (Hier ist eine gute Stelle, um einen wichtigen Unterschied anzumerken: Der neuzeitliche Bruch 32 bezeichnet in Teile gebrochene Einheiten, wohingegen die alten Griechen das Verh¨ altnis, oder die Proportion, 3 : 2 benutzten, um eine Beziehung zwischen ungebrochenen Ganzen zu bezeichnen.) Eine andere Geschichte erz¨ ahlt, Pythagoras habe hundert Ochsen geopfert, nachdem er den heute nach ihm benannten Satz des Pythagoras“ entdeckt habe. Diese Geschich” ten erz¨ ahlen Ereignisse, denen eine solche Bedeutung zugemessen wurde, daß sie einer mythischen Weitererz¨ ahlung bedurften. Es gibt einen dritten pythagor¨ aischen Mythos, der von einer unvorhergesehenen Katastrophe erz¨ ahlt. Entgegen ihrem Leitsatz Alles ist Zahl“ entdeckten die Pythagor¨ aer Gr¨oßen, die ” sich grundlegend von normalen Zahlen unterscheiden. Betrachten wir zum Beispiel ein Quadrat der Seitenl¨ ange 1. Die L¨ange seiner Diagonale kann dann weder als ganzzahliges Vielfaches der Seitenl¨ ange noch in einer ganzzahligen Proportion dazu ausgedr¨ uckt werden. Sie sind unvergleichbar oder inkommensurabel. Kasten 1.1 beschreibt den einfachen Beweis daf¨ ur, wie er von Aristoteles wiedergegeben wird. Es ist ein Beispiel eines Beweises durch Widerspruch, einer reductio ad absurdum: Man beginnt

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1 Der Skandal des Irrationalen

Kasten 1.1 Die Diagonale eines Quadrates ist inkommensurabel mit seiner Seite:

Die Seite des Quadrates habe die L¨ ange 1 und die Diagonale die L¨ ange s. Nehmen wir an, s ließe sich als ganzzahlige Proportion s = m : n ausdr¨ ucken. Wir k¨ onnen dann annehmen, daß m und n so klein wie m¨ oglich gew¨ ahlt sind, also keinen gemeinsamen Faktor besitzen. Nun gilt s2 = m2 : n2 = 2 : 1, denn nach dem Satz des Pythagoras ist das Quadrat u ¨ber der Hypotenuse s gleich der Summe der Quadrate u ¨ ber den beiden Seiten. Also ist m2 gerade (als Doppeltes einer nat¨ urlichen Zahl) und somit auch m (da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade w¨ are). Aber dann muß n ungerade sein, denn sonst k¨ onnte man m und n durch den Faktor 2 teilen und die gew¨ ahlte Proportion vereinfachen. Da m gerade ist, k¨ onnen wir m = 2p f¨ ur eine nat¨ urliche Zahl p schreiben. Dann gilt m2 = 4p2 = 2n2 und daher n2 = 2p2 . Aber damit ist n2 gerade und somit auch n. Da aber eine nat¨ urliche Zahl nicht sowohl gerade als auch ungerade sein kann, muß die urspr¨ ungliche Annahme s = m : n falsch sein. Daher l¨ aßt sich die Diagonale eines Quadrates nicht als ganzzahlige Proportion in der Seitenl¨ ange ausdr¨ ucken.

mit der Annahme, es g¨ abe eine solche Proportion, und zeigt dann, daß diese Annahme zu einem Widerspruch f¨ uhrt, n¨amlich hier, daß ein und dieselbe Zahl sowohl gerade als auch ungerade sein muß. Daher muß die Annahme falsch sein: Keine ganzzahlige Proportion kann die L¨ angenbeziehung zwischen Diagonale und Seite eines Quadrates beschreiben. Diese ist also, nach heutigem Sprachgebrauch, irrational.

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Der griechische Ausdruck daf¨ ur ist sch¨ arfer. Das Wort f¨ ur Proportion“ ist logos, was unter anderem Wort, Rechnung“ ” ” bedeutet und von einer Wurzel aufnehmen“ oder sammeln“ ” ” kommt. Die neuen Gr¨ oßen wurden alogon, also unausdr¨ uck” bar, unsagbar“ genannt. Irrationale Gr¨ oßenverh¨ altnisse ergeben sich zwangsl¨ aufig aus der Geometrie, aber sie sind unausdr¨ uckbar durch gew¨ ohnliche Zahlen, und die Griechen waren sorgsam genug, verschiedene W¨ orter f¨ ur Zahlen (arithmos) und f¨ ur Gr¨ oßen (megethos) zu benutzen. Sp¨ ater verschwamm der Unterschied, aber im Augenblick ist es wichtig, darauf zu bestehen. Das Wort arithmos beschreibt die zum Z¨ ahlen benutzten Zahlen, beginnend mit der Zwei, denn die Einheit“ oder die Eins“ ” ” (die Griechen nannten es die Monade“) sahen sie nicht als Zahl ” an. Die indisch-arabische Null kannten die Griechen nicht und h¨ atten sie mit Sicherheit nicht als arithmos anerkannt, und auch heute z¨ ahlen die Menschen u ¨ blicherweise nicht null, eins, zwei, ” ¨ drei, . . .“. Daher steht eine Wendung wie es gibt keine Apfel“ ” ¨ eher f¨ ur es ist nicht der Fall, daß es Apfel gibt“ als f¨ ur hier ” ¨ ” gibt es null Apfel“. Erst im siebzehnten Jahrhundert wurde der Begriff Zahl“ ” u urlichen Zahlen ab Zwei hinaus auch auf irratio¨ ber die nat¨ nale Gr¨ oßen ausgedehnt. Die alten Mathematiker dagegen betonten den Unterschied zwischen den verschiedenen Arten mathematischer Gr¨ oßen. Das Wort arithmos geht vermutlich auf die indo-europ¨ aische Wurzel (a)r¯ı zur¨ uck, die in W¨ortern wie Ritus und Rhythmus erkennbar ist. Im vedischen Indisch bedeutete r.ta die kosmische Ordnung, den regelm¨ aßigen Ablauf der Tage und Jahreszeiten, dessen Gegenteil (anr.ta) f¨ ur Unwahrheit und S¨ unde stand. Somit geht das griechische Wort f¨ ur (nat¨ urliche) Zahl“ auf eine Vorstellung von kosmischer Ord” nung zur¨ uck, die sich in einem besonderen Ritual spiegelt: Gewisse Dinge kommen zuerst, andere an zweiter Stelle, und so weiter. Hierbei ist die rechte Ordnung wichtig; man kann keine der emporgekommenen Gr¨ oßen wie ein Halb“ oder gar ” die Quadratwurzel aus Zwei“ zwischen den ganzen Zahlen ge” brauchen. Die ganzen Zahlen sind ein Muster an Integrit¨at

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und Ganzheit; sie sollten nicht mit teilbaren Gr¨ oßen vermischt werden. Zun¨ achst nahmen die Pythagor¨ aer an, alles w¨are aus nat¨ urlichen Zahlen gemacht. Am Anfang floß die grundlegende Eins in die Zwei u ¨ ber, dann in die Drei, dann in die Vier. Den Pythagor¨ aern waren diese vier Zahlen heilig, da 1 + 2 + 3 + 4 = 10 eine volle Dekade ergibt. Sie beobachteten auch, daß den konsonanten Intervallen in der Musik Proportionen zugrundeliegen, bei denen nur Zahlen bis vier auftreten, aus der heilgen Te” traktys“ (Vierheit), wie sie es nannten. Sie vermuteten, daß die ganze Welt aus solchen einfachen Proportionen aufgebaut war. Die Entdeckung von Gr¨ oßen, welche sich nicht durch ganzzahlige Verh¨altnisse ausdr¨ ucken lassen, war daher zutiefst verst¨orend, da sie das Projekt, die Natur allein durch Zahlen zu erkl¨aren, bedrohte. Diese Entdeckung war das dunkelste Geheimnis der Pythagor¨ aer, ihre Enth¨ ullung der gr¨ oßte Skandal. Man kennt weder den Namen des Entdeckers noch den Namen dessen, der es der profanen Welt verraten hat. Manche vermuten, es handele sich um die gleiche Person, vielleicht um Hippasos von Metapont, ungef¨ ahr zu Ende des f¨ unften Jahrhunderts v. Chr. Sicherlich war es nicht Pythagoras selbst oder einer seiner fr¨ uhen Nachfolger. W¨ahrend Pythagoras seinen Satz mit einem Tieropfer feierte, forderte das Irrationale der Legende nach ein Menschenopfer: Der Verr¨ ater des Geheimnisses ertrank im Meer. Jahrhunderte sp¨ ater vermutete der alexandrinische Mathematiker Pappos: Alles, was sich auf keine Weise ausdr¨ ucken l¨ aßt, sowohl das Unaussprechbare wie auch das Unerschaubare, verbirgt sich gern; wenn aber irgendeine Seele auf eine solche Gestalt trifft und sie ¨ offentlich und sichtbar macht, dann wird sie in das Meer des Werdens versenkt und von dessen unsteten Wogen umhergetrieben. Also diejenigen, welche sich ins Irrationale versenken, ertrinken nicht durch g¨ ottliche Rache oder durch die Hand einer emp¨orten Bruderschaft, sondern im dunklen Ozean namenloser Gr¨oßen. Ironischerweise ist er eine Folgerung aus der Geometrie und gar

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dem Satz des Pythagoras selbst! Als Pythagoras klar wurde, daß das Quadrat u ¨ ber der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate u ¨ ber den beiden andern Seiten ist, war er sehr nahe an der weiteren Entdeckung, daß die Seiten nicht kommensurabel sind, obwohl die Quadrate es sein k¨ onnen. Tats¨ achlich h¨angt das Argument in Kasten 1.1 entscheidend vom Satz des Pythagoras ab, und es legt nahe zu vermuten, daß Pythagoras, h¨ atte er versucht, das Verh¨ altnis von Diagonale zur Seite eines Quadrates auszudr¨ ucken, die Unm¨ oglichkeit sofort erkannt h¨ atte. Vermutlich hat er dies nicht getan, aber eben seine Nachfolger. Die Entdeckung des Irrationalen hatte weitreichende Folgen. Davon ausgehend traf Pappos eine Unterscheidung zwischen solchen kontinuierlichen Gr¨ oßen“ einerseits und den ganzen Zah” len, welche stufenweise fortschreiten durch Addition von dem ” kleinsten aus und unbeschr¨ ankt weiterlaufen, w¨ ahrend die kontinuierlichen Gr¨ oßen mit einem bestimmten Ganzen beginnen und unbeschr¨ ankt oft teilbar sind.“ Ebenso k¨ onnen wir von einer nicht mehr vereinfachbaren Proportion wie 2 : 3 ausgehend geradewegs eine Reihe vergleichbarer Proportionen bauen: 2 : 3 = 4 : 6 = 6 : 9 = . . . . Falls es aber keine kleinste Proportion in einer Reihe g¨ abe, dann k¨ onnte das Ganze gar nicht durch eine Proportion ausgedr¨ uckt werden. Das Zitat von Pappos legt nahe, daß diese Argumentation den Pythagor¨ aern die Augen ge¨offnet haben k¨ onnte. Betrachten wir wieder Seite und Diagonale im Quadrat. Der Versuch, beide als Vielfache einer gemeinsamen Einheit auszudr¨ ucken, f¨ uhrt zu einem infiniten Regreß“ (Ka” sten 1.2): Wie klein wir auch die Einheit w¨ ahlen, das Argument verlangt nach einer noch kleineren. Wieder sehen wir, daß solch eine Einheit nicht existieren kann. Die Herausforderung der griechischen Mathematik bestand darin, zwei unvergleichbare mathematische Welten zu meistern, n¨ amlich Arithmetik und Geometrie, jede f¨ ur sich genommen ein einsichtig geordnetes, vollkommenes Reich, jedoch in einer gewissen Spannung untereinander. In Platons Dialogen ruft diese Herausforderung tiefgehende Antworten hervor, welche u ¨ ber die Mathematik hinaus in das emotionale und politische Leben

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Kasten 1.2 Ein geometrischer Beweis f¨ ur die Inkommensurabilit¨ at der Diagonale eines Quadrates mit seiner Seite, durch infiniten Regreß:

A

E

G

@ @ @ @

B

H F

D

C

Im Quadrat ABCD tr¨ agt man mit einem Zirkel die Strecke DA = DF auf der Diagonalen BD ab. In F errichtet man das Lot EF . Dann ist das Verh¨ altnis von BE zu BF , also von Hypotenuse zur Seite, dasselbe wie von DB zu DA, da die Dreiecke BAD und EF B ¨ ahnlich sind. Angenommen AB und BD w¨ aren kommensurabel. Dann g¨ abe es eine Strecke I, von der sowohl AB als auch BD ganzzahlige Vielfache w¨ aren. Da DF = DA, ist dann also auch BF = BD − DF ein ganzzahliges Vielfaches von I. Nun gilt aber BF = EF , denn diese Seiten des Dreiecks EF B entsprechend den u ¨ bereinstimmenden Seiten des Dreiecks BAD. Auch gilt EF = AE, denn die Dreiecke EAD und EF D (verbindet man D und E) sind kongruent. Also ist AE = BF ebenfalls ein Vielfaches von I, und damit auch BE = BA−AE. Daher sind sowohl die Seite (BF ) als auch die Hypotenuse (BE) Vielfache von I, das somit auch ein gemeinsames Maß f¨ ur Diagonale und Seite des Quadrates mit Seite BF ist. Dieser Prozeß kann nun wiederholt werden: Auf EB tr¨ agt man EG = EF ab und konstruiert das Lot GH auf BG. Das Verh¨ altnis von Hypotenuse zur Seite ist wieder dasselbe, und somit haben auch die Seite des Quadrates u ¨ ber BG und

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Kasten 1.2 Fortsetzung seine Diagonale I als gemeinsames Maß. Da wir diesen Vorgang beliebig fortsetzen k¨ onnen, werden wir irgendwann ein Quadrat erreichen, dessen Seitenl¨ ange kleiner als I ist, was unserer urspr¨ unglichen Annahme widerspricht. Daher gibt es kein solches gemeinsame Maß I.

hineinreichen. Ein zentraler Moment ergibt sich im Dialog zwischen Sokrates und Menon, einem einflußreichen Thessalier, Freund und Verb¨ undetem des persischen K¨ onigs, zu Besuch in Athen. Menon war f¨ ur seine amoralische Haltung bekannt, als habgieriger und zynischer Opportunist. Merkw¨ urdigerweise befragt er zu Ende seines Besuchs Sokrates immer wieder, ob Tugend gelehrt werden kann oder angeboren ist. Ihr Gespr¨ach dreht sich um den Unterschied zwischen Wissen und Meinung. Mitten in der Diskussion ruft Sokrates nach einem Sklavenjungen, den er dazu befragt, wie man die Fl¨ ache eines gegebenen Quadrates verdoppelt. Im Gegensatz zu Menon ist der Junge naiv und offenherzig; u ¨ berzeugt behauptet er, die Fl¨ache des Quadrates verdoppele sich mit doppelter Seitenl¨ ange. Ihre Unterhaltung ist beispielhaft f¨ ur Sokrates’ Philosophie durch Dialog. Im Gespr¨ ach wird dem Jungen klar, daß ein Quadrat mit doppelter Seitenl¨ ange die vierfache Fl¨ ache enth¨ alt, was ihn u ¨berrascht und best¨ urzt. Das griechische Wort f¨ ur solch eine Situation, aporia, bedeutet Sackgasse, einen inneren Widerspruch. Kurz vor diesem Gespr¨ ach hatten Sokrates’ Fragen Widerspr¨ uche in Men¨ ons Uberzeugungen hinsichtlich der Tugend offengelegt, worauf Menon ¨ argerlich wurde und Sokrates als einen h¨aßlichen Zitterrochen bezeichnete, der seinen Opfern schade und sie hilflos mache. Sokrates antwortet, indem er zeigt, wie gut der Sklavenjunge den Ber¨ uhrungsschock“ vertr¨ agt. Der Junge ist verwun” dert und neugierig, aber nicht ver¨ argert. Er folgt willig Sokrates’ Anleitung zu einer neuen Zeichnung (Kasten 1.3). Mit wenigen diagonalen Strichen erscheint ein wirklich verdoppeltes Quadrat in dem vervierfachten Quadrat des Jungen. Indem er freim¨ utig auf Sokrates’ Vorschl¨ age eingeht, erkennt der Junge dies selbst.

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Kasten 1.3 Sokrates’ Konstruktion des verdoppelten Quadrates in Menon: H

D

G

A

@ @ @ @ @ @ @ @

E

@ @ @ @ @ @ @ O @ B

C

F

Sei AEBO das Ausgangsquadrat. Der Sklavenjunge dachte, das Quadrat u atte die doppelte Fl¨ ache, be¨ber der verdoppelten Seite HE h¨ merkt aber, daß HEF G in Wirklichkeit die vierfache Fl¨ ache von AEBO besitzt. Auf Sokrates’ Veranlassung hin zieht er die Diagonalen AB, BC, CD, DA in das Quadrat HEF G. Jedes Dreieck AOB, BOC, COD, DOA besitzt nun genau die halbe Fl¨ ache des urspr¨ unglichen Quadrates, also ergeben alle vier zusammen das wahrhaft verdoppelte Quadrat ABCD.

Menon muß einsehen, daß der Schock“, sein Unwissen einzuse” hen, dem Jungen, der seine falsche Meinung durch eine richtige ersetzt, nicht geschadet hat. Der Dialog endet mit einem innerlich weißgl¨ uhenden Menon und einer Vorahnung auf die ver¨argerten Athener, die sich sp¨ ater f¨ ur das Todesurteil gegen den Philosophen aussprechen werden. Diese Ungeheuerlichkeit weist auf die Kraft neuer mathematischer Einsichten hin. Obwohl Sokrates nicht auf die Irrationalit¨ at der Diagonale einging, war sie doch entscheidend. Die Verdopplung des Quadrates (ein durch und durch rationales“ Unterfangen) muß auf das Irrationale zur¨ uck”

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greifen: eine Tatsache, die Platon und seine H¨ orer sehr wohl verstanden. Obgleich eine Folgerung aus der logischen Mathematik, hat das Wort irrational“ hier ersichtlich bereits die emotionale Ne” benbedeutung erlangt, die ihm immer noch anhaftet. In Platons Der Staat scherzt Sokrates, die Jugend sei so irrational wie ” Strecken“ und daher solle man sie nicht den Staat regieren las” sen und das Wichtigste von ihnen abh¨ angig machen“. Folgerichtig und doch ironisch verschreibt Sokrates diesen jungen Irrationalen die Besch¨ aftigung mit Mathematik zusammen mit Musik und Sport, um das Ungeordnetste und Unangemessenste in ihren Seelen zu z¨ ahmen. Sein Scherz zielt auf die weitverbreitete Ansicht, das Irrationale in der Mathematik sei ein st¨orendes Zeichen von Verwirrung und Unordnung in der Welt, eine ebenso f¨ urchterliche Gefahr wie das Ertrinken. Sicher war diese gr¨aßliche Aussicht den Pythagor¨ aern eigen, aber Platons Dialoge er¨offnen eine gr¨ oßere Perspektive. Was irrational ist, in der Seele oder in der Mathematik, kann mit dem Rationalen in Harmonie gebracht werden. Um ein unvergeßliches Bild aus einem anderen Dialog zu benutzen: Das schwarze Pferd der Leidenschaft kann mit dem weißen Pferd des Verstandes ein Gespann bilden. Platons großer Dialog u ¨ ber die Natur der Erkenntnis beruht auf dieser mathematischen Schwierigkeit. Benannt ist er nach Theaitetos, einem Mathematiker, der zu Beginn des Dialoges eingef¨ uhrt wird, wie er als Sterbender nach Athen zur¨ uckgebracht wird, an Ruhr erkrankt und auf dem Schlachtfeld verwundet. In einem R¨ uckblick auf seine Jugend erfahren wir, er habe grundlegende Erkenntnisse u oßen und die f¨ unf re¨ ber die irrationalen Gr¨ gul¨aren K¨ orper erlangt und kurz vor Sokrates’ Verurteilung und Tod mit diesem Gespr¨ ache gef¨ uhrt. Sokrates war von seiner Jugend tief beeindruckt; er schien zu großen Leistungen bestimmt und ¨ ahnelte Sokrates auch k¨ orperlich durch die aufgeworfene ” Nase“ und die hervortretenden Augen“. Bei ihrem Gespr¨ach war ” auch Theodoros zugegen, ein ¨ alterer Mathematiker √ √ √ und Lehrer 3, 5, 7 . . . bewiedes Theaitetos, der die Irrationalit¨ a t von √ sen hatte bis zu 17, wo er aus irgendeinem Grunde aufh¨orte.

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Sokrates stellt seine u uck, als er Theaite¨ bliche Ironie zur¨ tos befragt, der seine Entdeckung verschiedener Grade der Irrationalit¨ at erl¨ autert. Obgleich Gr¨ oßen wie die Quadratwurzeln aus 3 und aus 17 irrational sind, bleiben sie doch vergleichbar ” im da√ihre Quadrate ein gleiches Maß besitzen (denn √ Quadrat“, 2 2 ( 3) = 3 und ( 17) = 17 sind beides ganze Zahlen). Sokrates ist von der Wahrheit und Sch¨ onheit dieser Einsicht beeindruckt und benutzt sie als Beispiel in der weiterf¨ uhrenden Diskussion u ¨ ber die Natur der Erkenntnis. Er erinnert Theaitetos und Theodoros an seinen Ruf, Verbl¨ uffung und Verwirrung zu erzeugen, und bittet scherzend Theaitetos, ihn nicht als b¨ osen Zauberer zu denunzieren, da er in Wahrheit nur eine Hebamme“ sei, welche ” den Menschen Geburtshilfe f¨ ur ihre Gedanken leiste. Als n¨ ahme er die am n¨ achsten Tag erfolgende Anklage gegen sich vorweg, rechtfertigt sich Sokrates gegen¨ uber diesem netten, begabten Menschen, der ihm so ¨ ahnlich ist, statt gegen¨ uber seinen w¨ utenden Ankl¨agern. Theaitetos ist weit von feindschaftlichen Gef¨ uhlen entfernt und gerne bereit, sich auf eine Untersuchung einzulassen, die mit der Mathematik als einem Probierstein wahrer Erkenntnis beginnt und pr¨ uft, ob andere Erkenntnis durch die Sinne entsteht oder auf geheimnisvollere Weise aus dem Innern der Seele. Obwohl Sokrates sich selbst als unfruchtbar und bar jeder Weisheit beschreibt, verhilft er den Gedanken des Theaitetos zur Geburt und pr¨ uft danach ihre Gesundheit. Sokrates hat oft u aßlichen Gesichtsz¨ uge ge¨ ber seine eigenen h¨ scherzt, beschreibt aber Theaitetos als sch¨ on. Theaitetos’ mathematische Erkenntnisse entsprechen seiner Tapferkeit, mit der er f¨ ur die Stadt k¨ ampfen und als Held sterben wird: dem Mut dessen, der mit dem Irrationalen ringen konnte. W¨ ahrend ihrer Unterhaltung ermuntert Sokrates seine G¨aste, sich der Pr¨ ufung, der Tortur zu unterwerfen“, womit er meint, ” sie sollen furchtlos sich darum bem¨ uhen, gemeinsam ihre Auffassungen zu pr¨ ufen und zu verbessern. Im Griechischen bedeutet das Wort f¨ ur Tortur“ auch Probierstein“: ein Mineral, mit ” ” welchem man Gold von unedlen Metallen unterscheiden kann anhand der darauf hinterlassenen Spur. Dieses extreme Bild l¨aßt

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an eine Folter denken, mit der ein Richter die Wahrheit aus einem Sklaven herauszupressen sucht, doch Sokrates meint damit eine Wahrheitssuche, die selbst vor starkem Schmerz und Erniedrigung nicht zur¨ uckschreckt. Wie Soldaten oder Athleten sehen Sokrates und Theaitetos im Leiden den Weg zum h¨ochsten Vergn¨ ugen der letztendlichen Wahrheit. Dies haben sie in der Mathematik gelernt, deren Studium denjenigen oft qualvoll erscheint, welche die Freude der Einsicht nicht kennen. Kein Wunder, daß Platon u ¨ ber das Eingangstor seiner Akademie den Warnspruch h¨ angte: Kein der Geometrie Unkundiger trete hier ein!“ ” Theaitetos’ Entdeckungen und das Pr¨ ufen mathematischer Beweise wurden in Euklids Elemente aufbewahrt, die auch heute noch eine lebendige Quelle der Mathematik sind, von unsch¨atzbarem Wert sowohl f¨ ur Anf¨ anger als auch f¨ ur erfahrene Mathematiker. Euklid geht u ¨ ber die Darstellung seiner eigenen Ergebnisse hinaus und f¨ uhrt die Entdeckungen anderer ins Feld als Probierstein mathematischer Klarsicht und logischer Strenge. Im Falle des Irrationalen zieht er einen von Eudoxos eingef¨ uhrten Kompromiß heran, der Zahlen und irrationale Gr¨oßen streng getrennt hielt, nicht aber in der Proportion. Zum Beispiel betrachtet Euklid zwei Zahlen in einer bestimmten Proportion (etwa 2 : 3) und zeigt, daß sie einer Proportion zwei irra√ √ zwischen tionalen Gr¨ oßen gleich sein kann (wie 2 2 : 3 2 gleich 2 : 3 ist). Aber er w¨ urde nie die beiden verschiedenen Arten vermischen und etwa die Proportion zwischen einer Zahl und einer Gr¨oße betrachten. Dies war keine mathematische Rassentrennung, sondern die Entscheidung, Zahlen und Gr¨oßen als zwei vollst¨andig verschiedene Wesensgattungen zu betrachten, deren Vermischung zu unabsehbarer Verwirrung gef¨ uhrt h¨atte. Euklids Beitrag ging weit u ¨ ber die Trennung dieser Bereiche hinaus. Im f¨ unften Buch f¨ uhrt er eine weitreichende Definition von Gleichheit und Ungleichheit ein, die sich auf Proportionen irrationaler Gr¨ oßen ausdehnt. Eudoxos’ Vorgaben folgend schl¨agt er vor, um die Gleichheit zweier Proportionen zu testen, die einzelnen Glieder mit verschiedenen ganzen Zahlen zu multiplizieren und jedesmal zu pr¨ ufen, ob diese kleiner, gr¨ oßer oder gleich sind

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(Kasten 1.4). Dieses Verfahren h¨ angt von der M¨oglichkeit ab, Vielfache von Gr¨ oßen vergleichen zu k¨ onnen, auch wenn sie kein gemeinsames Maß besitzen. Es benutzt ganz beliebige Vielfache, so als k¨ onne man alle m¨ oglichen Vielfachen daraufhin pr¨ ufen, ob sie gleich werden k¨ onnen. Also ist es wirklich eine Probe, ein Entscheidungsverfahren durch Multiplikation, eine M¨oglichkeit, auf dem Ozean des Irrationalen einen Weg zu finden. Dagegen behandelt Euklid die ganzen Zahlen auf v¨ ollig verschiedene Weise in den B¨ uchern VI und VII, denn ganze Zahlen sind kommensurabel, da sie eine gemeinsame Einheit besitzen. Kasten 1.4 Euklids Definition gleicher Proportionen, die f¨ ur beliebige Gr¨ oßen anwendbar ist (Buch V, Definition 5): Man sagt, daß Gr¨ oßen in demselben Verh¨ altnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfachung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegen¨ uber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich gr¨ oßer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind. Also heißt die Proportion a : b gleich der Proportion c : d, falls f¨ ur beliebige ganze Zahlen m und n folgendes gilt: falls ma > nb, so auch mc > nd; falls ma = nb, so auch mc = nd; und falls ma < nb, so auch mc < nd.

Euklids wagemutige Erforschung des Irrationalen erscheint im zehnten Buch, worin er danach fragt, ob die irrationalen Gr¨ oßen eine einsichtige Ordnung aufweisen. Kann man sie in klare Kategorien mit Gattungen und Arten einordnen? Er beginnt damit zu zeigen, daß jede Gr¨ oße beliebig oft geteilt werden kann. Obwohl implizit in der Geometrie enthalten, legt er damit offen, was sp¨ ater das Kontinuum genannt wurde: eine stetige und unbeschr¨ ankt unterteilbare Gr¨ oße im Gegensatz zur unteilbaren Eins, deren ganzzahlige Vielfache alle Z¨ ahlzahlen ergeben. Um die beliebige Unterteilbarkeit zu beweisen, zeigt Euklid, wie man

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immer wieder von einer Gr¨ oße die H¨ alfte oder etwas mehr abziehen kann, und damit f¨ ahrt er so lange fort, bis eine Gr¨oße erreicht wird, die einen beliebig vorgegebenen Betrag unterschreitet (Kasten 1.5). Also gibt es keine kleinste Gr¨ oße, kein geometrisches Atom“, aus dem alle anderen Gr¨ oßen aufgebaut w¨aren, denn ” dann m¨ ußten alle Gr¨ oßen diese kleinste Gr¨ oße als gemeinsames Maß besitzen. Wieder setzt Euklid ein unbeschr¨ ankt laufendes Verfahren ein, das nicht in einer einzelnen Figur illustriert werden kann, aber doch einsichtig und logisch zwingend ist. Kasten 1.5 Euklids Beweis der unbeschr¨ ankten Unterteilbarkeit jeder Gr¨ oße (Buch X, Proposition 1): Nimmt man bei Vorliegen zweier ungleicher (gleichartiger) Gr¨ oßen von der gr¨ oßeren ein St¨ uck gr¨ oßer als die H¨ alfte weg und vom Rest ein St¨ uck gr¨ oßer als die H¨ alfte und wiederholt dies immer, dann muß einmal eine Gr¨ oße ¨ ubrig bleiben, die kleiner als die kleinere Ausgangsgr¨ oße ist.

Dann macht sich Euklid daran, verschiedene Arten des Irrationalen zu klassifizieren, zu benennen und ihren Bezug zueinander aufzuzeigen. Wie schon Theaitetos zeigte, ist Irrationalit¨at ein relativer Begriff. Die Diagonale des Quadrates ist irrational im Verh¨ altnis zur Seite, aber sie kann mit einer anderen Strecke kommensurabel sein, die wiederum die Seite oder Diagonale eines anderen Quadrates sein k¨ onnte. Was ausdr¨ uckbar ist, h¨angt vom Verh¨altnis der geometrischen Figuren zueinander ab. Euklids Klassifikation irrationaler Gr¨ oßen ist verwickelt, obwohl sie nicht u ¨ ber das hinausgeht, was wir die Quadratwurzel einer Summe oder Differenz von Quadratwurzeln nennen w¨ urden. Er macht solche Gr¨ oßen in der Unterteilung von Strecken ausfindig, aber wir k¨onnten auch eine Saite unterteilen, um verschiedene Intervalle erklingen zu lassen. Dies bedeutet, daß wir eine musikalische Version der durch das Irrationale ausgel¨ osten mathematischen Krise angeben k¨ onnen. Wenn wir versuchen, eine Oktave (deren

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Verh¨ altnis 2 : 1 ist) genau am Punkt des geometrischen √ Mittels zu unterteilen, erhalten wir das Bastardverh¨ altnis“ 2 : 1 (Ka” sten 1.6). Dies liegt sehr nahe am dem hochdissonanten Tritonus, dem sp¨ ater so genannten Teufel in der Musik“. Falls das ganze ” Universum aus Zahlen aufgebaut ist, werden solche Harmoniefragen zu Problemen. Kasten 1.6 Der Klang der Quadratwurzeln Man nehme zwei Saiten, eine doppelt so lang wie die andere, die also eine Oktave h¨ oher als die erste klingt. Dann suche man das geometrische Mittel zwischen den beiden L¨ angen, also die L¨ ange x, f¨ ur die 2 : x dieselbe Proportion wie x : 1 ergibt. Aus 2 : x = x : 1 erh¨ alt 2 = 2. Somit ist die gesuchte Proman durch Hochmultiplizieren x √ ” ahr 1, 414 in moderner Dezimalschreibweise portion“ 2 : 1, was ungef¨ ergibt. Dies liegt nahe am Tritonus, einem dissonanten Intervall, das sp¨ ater auch der Teufel in der Musik“ genannt wurde. Der Tritonus ” besteht aus drei Ganzt¨ onen von je 9 : 8, entspricht also dem Verh¨ altnis 9 : 8 × 9 : 8 × 9 : 8 = 93 : 83 = 729 : 512 ≈ 1, 424. Ab dem siebzehnten Jahrhundert bot die gleichm¨ aßige Temperatur“ ” eine neue M¨ o√ glichkeit an, Tonleitern zu erstellen: Sie definiert einen 2 : 1, so daß zw¨ olf gleiche Halbt¨ one eine Oktave 2 : 1 Halbton als 12√ ergeben, da ( 12 2)12 = 2. Diese neue Stimmung setzte sich erst im neunzehnten Jahrhundert vollkommen durch; J. S. Bach benutzte eine nicht v¨ ollig gleichm¨ aßige, wohltemperierte“ Stimmung. Auch wenn ” sich heutige Ohren an diese gleichm¨ aßige Stimmung gew¨ ohnt haben m¨ ogen, vergewaltigt sie doch das pythagor¨ aische Verst¨ andnis der Intervalle als ganzzahlige Verh¨ altnisse. In der Praxis m¨ ussen beim Stimmen der Instrumente die irrationalen Intervalle der gleichm¨ aßigen Temperatur durch irgendwelche Proportionen approximiert werden, da Meßger¨ ate nur eine endliche Genauigkeit haben.

Euklid stellt seine Klassifikation irrationaler Gr¨oßen in etwa hundert S¨ atzen vor. Nach dieser anstrengenden Glanzleistung sagt er im letzten Satz des Buches etwas Erstaunliches: Von den bereits gezogenen Linien kann man weitergehen und noch

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mehr irrationale Linien finden, die von unbeschr¨ankter Anzahl ” sind, und keine davon ist einer vorangehenden ¨ ahnlich“. Trotz des gelassenen Tones ist dies eine ungeheure Behauptung. Das Reich des Irrationalen ist nicht nur unendlich, weil es eine unbeschr¨ ankte Anzahl irrationaler Gr¨ oßen eines Types gibt, sondern weil es unendliche viele Sorten solcher Gr¨ oßen gibt, jede eine verschiedene Art mit unendlich vielen Vertretern. Die Entdeckung des Irrationalen legte auch einen sich unendlich verzweigenden Weg offen. Euklids leidenschaftsloser Tonfall enth¨ ullt nicht, was er von der Lage hielt. Mit diesem letzten Satz k¨ onnte Euklid beabsichtigt haben, einen beunruhigenden Blick in den Abgrund des Irrationalen zu werfen, als wolle er sagen: Hier befindet sich ein unergr¨ undlicher, unerforschbarer Ozean von unaufh¨orlich verschiedenen Gr¨ oßen, von dem man sich mit Schrecken abwenden sollte. Aber man kann seine Stille auch anders verstehen. Er k¨onnte gemeint haben: Hier liegt ein unersch¨ opflicher Vorrat an Sch¨atzen, unendlich in der Anzahl, obwohl jeder endlich in seiner Gr¨oße ist. Schauen wir und staunen . . .

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¨ In seinem Versuch, einen Uberblick u ¨ ber die irrationalen Gr¨oßen zu gewinnen, betrachtete Euklid m¨ ogliche L¨ osungen von dem, was wir heute quadratische Gleichungen nennen w¨ urden. Diese Darstellung verdreht aber Euklids Verst¨ andnis des Gegenstandes und ist daher ¨ außerst irref¨ uhrend. Den alten Griechen war das Wort Algebra“ ebenso unbekannt wie das symbolische Sy” stem, das wir damit bezeichnen, auch wenn viele ihrer mathematischen Erkenntnisse in eine algebraische Sprache u ¨ bersetzt werden k¨ onnen. Euklid trennte die Zahlen streng von den Linien und Gr¨ oßen. Er w¨ are m¨ oglicherweise entsetzt u ¨ ber die Art, wie die Algebra Rationales und Irrationales, Zahlen und Wurzeln mischt. Bevor wir uns der Aussagekraft von Gleichungen n¨ ahern, sollten wir daher eine Pause einlegen und die Bedeutung der mathematischen Revolution einsch¨ atzen, welche sich im Aufkommen der uns bekannten Algebra widerspiegelt. Das Wort Algebra“ ist arabisch, nicht griechisch, und be” deutet von seinem Ursprung her das Zusammensetzen von etwas Zerbrochenem. Im Don Quijote bezeichnet Cervantes einen, der gebrochene Knochen richtet, als algebrista. Die ersten arabischen Algebraiker ersannen Rezepte, um verschiedene Arten mathematischer Probleme zu l¨ osen, gew¨ ohnlich welche, die mit ganzen Zahlen zu tun hatten. Sie arbeiteten, indem sie Beispiele mit L¨ osungen vorstellten, doch ohne die methodische Symbolik, die wir heute mit Algebra verbinden, und ohne die ebenso wichtigen systematischen L¨ osungsverfahren. Sie erkannten die logische St¨arke der Geometrie und versuchten, ihre L¨ osungen mit geo-

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metrischen Beispielen zu veranschaulichen, aber sie kamen nicht sehr weit ohne die Symbole, die ihnen gestattet h¨atten, in gr¨oßerer Allgemeinheit zu arbeiten. ¨ Uberraschend ist daher, daß einige der gr¨ oßten Fortschritte beim L¨ osen algebraischer Probleme, lange bevor die m¨achtige Symbolik ersonnen war, gemacht wurden. Im Falle quadratischer Gleichungen waren schon die Babylonier vor viertausend Jahren in der Lage, viele solche Probleme zu l¨ osen. Deutlich fortgeschrit¨ tener als die Agypter stellten die Babylonier bereits komplizierte Berechnungen an, indem sie eine im wesentlichen moderne Zahlenschreibweise benutzten (die Stelle bestimmt den Wert einer Ziffer), jedoch auf Grundlage der Zahl 60 (Kasten 2.1). Wir benutzen dieses Sexagesimalsystem noch in unserer Zeit- und Winkeleinteilung (60 Minuten in der Stunde; 60 Bogenminuten in einem Grad). Solch eine Stellenwertnotation war in Europa bis zur Renaissance unbekannt, und die reichen Erkenntnisse der babylonischen Mathematik kamen erst im zwanzigsten Jahrhundert vollkommen zur Geltung. Ein mathematisches Problem schrieben die Babylonier aber aus und l¨ osten es in Worten. Ohne symbolische Schreibweise f¨ ur eine Unbekannte konnten sie nicht die allgemeine L¨ osung einer Gleichung mit beliebigen Werten beschreiben, obwohl sie spezielle Beispiele wie in Kasten 2.2 l¨osen konnten. Kasten 2.1 Die babylonische Sexagesimalschreibweise (Basis 60) Die babylonische Schreibweise f¨ ur unsere Dezimalzahl 870 kann man als 14, 30 = 14 · (60)1 + 30 · (60)0 wiedergeben; die Schreibweise f¨ ur die 0 −1 Bruchzahl 0, 5 w¨ are 0; 30 = 30 = 0 · (60) + 30 · (60) . 60

¨ Ahnliches k¨ onnte man u ¨ ber die Methoden der arabischen Algebraiker aussagen, deren bedeutendster Vertreter f¨ ur die damalige mathematische Welt Muhammed ibn-Musa al-Khw¯ arizm¯ı war. Er wirkte im neunten Jahrhundert und verbreitete aljabr als eine ungemein praktische Kunst wie sie von Menschen ” best¨ andig ben¨ otigt wird . . . in jeglichem Umgang miteinander.“ Als Beispiele f¨ uhrt er Probleme an, die bei Erbschaften, Ge-

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Kasten 2.2 Babylonische L¨ osungen Hier ist ein Beispiel einer babylonischen L¨ osung dessen, was wir die Gleichung x2 − x = 870 nennen w¨ urden. Die numerischen Gr¨ oßen wurden dabei in moderne Dezimalschreibweise u ¨ bersetzt. Nimm die ” H¨ alfte von 1, was 0, 5 ist, und multipliziere 0, 5 mit 0, 5, was 0, 25 ergibt; addiere dies zu 870, um 870, 25 zu erhalten. Dies ist das Quadrat von 29, 5. Nun addiere 0, 5 zu 29, 5, das Ergebnis ist 30, die Seite des Quadrates.“ Vergleichen Sie dies mit der modernen Aufl¨ osung der Gleichung n¨ amlich a2 x2 + a1 x + √ a20 = 0 mit a2 = 1, a1 = −1 und a0 =
−870,  1 2 −a1 ± a1 −4a2 a0 1 x1,2 = , was die positive L¨ o sung x = + 870+ 1 2a2 2 2 ergibt. Man sieht, daß jeder Ausdruck darin einem Schritt der babylonischen L¨ osung entspricht.

richtsverfahren, Handel, Landvermessung und Kanalbau auftreten. Wie die Babylonier konzentriert sich al-Khw¯arizm¯ı auf spezifische Probleme, aber er f¨ ugt hinzu, es sei n¨ otig, geometrisch die ” Wahrheit der gleichen Probleme zu beweisen, die wir in Zahlen er¨ortert haben.“ Kasten 2.3 zeigt seine geometrische Erl¨auterung eines Problems, n¨ amlich eine unbekannte Wurzel“ so zu finden, ” daß ein Quadrat und 10 Wurzeln 39 Einheiten gleich seien“ ” ucken w¨ urden). Seine L¨osung (x2 + 10x = 39, wie wir es ausdr¨ benutzt die Methode der quadratischen Erg¨ anzung“, auch wenn ” al-Khw¯ arizm¯ı nur ein einziges Beispiel angibt. Schauen Sie sich die Wiedergabe seiner Methode in moderner Zeichensprache in Kasten 2.3 an. In K¨ urze werden wir uns der Geschichte und Bedeutung dieser Symbole zuwenden. Nachdem die algebraischen Schriften der Araber ins Lateinische u ¨ bersetzt worden waren, begannen Europ¨aer in der sogenannten großen Kunst“ zu arbeiten, auch die Dingkunst“ ” ” oder Coß“ genannt, die Kunst der cosa, der Sache“ oder Un” ” bekannten. Die Geschichte der fr¨ uhen neuzeitlichen Algebra ist turbulent. Nach langen Zeiten des Stillstands wurden innerhalb weniger Jahre von einer Handvoll Personen große Fortschritte erzielt. Diese mathematischen Neuerungen waren oft mit Pro-

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Kasten 2.3 Al-Khw¯ arizm¯ıs geometrische Erkl¨ arung der Aufl¨ osung der quadratischen Gleichung 2 12

x J

2 12

e A

B

h

K

f

D

C g

M

L

Betrachten Sie die Aussage ein Quadrat und 10 Wurzeln sind gleich ” 39 Einheiten“ (x2 + 10x = 39, in moderner Schreibweise). Das mittange ist daher lere Quadrat ABCD habe die Fl¨ ache x2 ; die Seitenl¨ x. An dieses Quadrat f¨ ugt man vier gleiche Rechtecke e, f, g, h mit ache 2 12 x und zuSeitenl¨ angen x und 2 12 an, jedes daher von der Fl¨ sammen von der Fl¨ ache 10x. Nun erg¨ anzt man die Figur zum gr¨ oßeren Quadrat JKLM , indem man die kleinen Quadrate in jeder Ecke hinzunimmt, die jeweils die Fl¨ ache 2 12 × 2 12 = 6 14 besitzen, zusammen also 4 × 6 14 = 25. Das mittlere Quadrat soll mit den Rechtecken zusammen 39 ergeben, daher hat das große Quadrat JKLM die Fl¨ ache 39 + 25 = 64 und daher Seitenl¨ ange 8. Andererseits ist die Seitenl¨ ange des großen Quadrates auch 2 12 + x + 2 12 = 5 + x, woraus wir x = 3 erhalten. Im Vergleich dazu ist diealgebraische osung von a2 x2 + a1 x +
L¨ a1 a1 2 a0 = 0 durch die Formel x = − 2a ± 2a − a0 gegeben. Hier ist 2 2   √ a2 a2 = 1, a1 = 10, a0 = −39, also x = −5 ± 25 + 39 = −5 ± 8 = 3 oder −13.

blemen verbunden, die von wirtschaftlichen Ver¨ anderungen herkamen, wie es sich auch schon mit der Arbeit der Araber verhielt. In den Jahrhunderten nach den Kreuzz¨ ugen verlangte der erwei-

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terte Handel mit seinen umf¨ anglichen Warenbewegungen danach, daß sich u ¨ berall der Gebrauch des Geldes als Tauschmittel verbreitete, und auch nach neuen Wegen, Verm¨ ogensfl¨ usse zu analysieren. Europ¨ aische G¨ uter waren weit verbreitet und wurden gegen Gew¨ urze und Seide gehandelt. Als die Kaufleute sich um einen raschen Kapitalanstieg bem¨ uhten, wurde ihnen klar, daß sie neuer M¨ oglichkeiten bedurften, mit verstreuten Partnern und Agenten aus den verschiedensten lokalen Wirtschaftsr¨aumen umzugehen. Schiffsversicherungen kamen auf, Wechsel und Tratten wie auch verschiedene Arten internationaler Kredite. Die alte Art der Buchf¨ uhrung war nicht mehr zu gebrauchen, wenn ein Kaufmann, wie Shylock es beschreibt, eine Galeone, die auf Tripolis ” geht, eine andre nach Indien [hat]. Ich h¨ ore ferner auf dem Rialto, daß er eine dritte zu Mexiko hat, eine vierte nach England – und so hat er noch andre Auslagen in der Fremde verstreut.“ In dieser neuartigen Situation wurde die doppelte Buchf¨ uhrung zu einer unsch¨ atzbaren Erfindung. Sie bildet die Grundlage aller sp¨ ateren Kontof¨ uhrungspraxis und erfordert eine zweifache Auflistung aller Ein- und Auszahlungen, die in einer einzigen W¨ ahrung aufgezeichnet werden und gepr¨ uft, indem man sowohl die Soll- als auch die Haben-Seite in den B¨ uchern abschließt. Mit griechischen oder r¨ omischen Zahlen war diese neue Art der Buchf¨ uhrung ¨ außerst unangenehm, aber mit dem Aufkommen der indo-arabischen Zahlen, welche Leonardo von Pisa (besser bekannt als Fibonacci) mit seinem Liber Abbaci (das Buch vom Abakus, 1202) in Europa einzuf¨ uhren verhalf, kam sie zur Bl¨ ute. In dieser Zeit entstand aus dem arabischen Wort .sifr sowohl das Wort Ziffer“ als auch das franz¨ osische und englische Wort zero ” f¨ ur Null – beides unentbehrliche Konzepte zum Rechnen mit Zahlen in symbolischer Darstellung. In Fibonaccis Buch geht es um mathematische Fragen, die bei kaufm¨ annischen Gesch¨aften eine Rolle spielen, insbesondere uche auftreten. Solche um W¨ ahrungsumrechnungen, bei denen Br¨ praktischen wirtschaftlichen Probleme f¨ uhrten zu theoretischeren Fragestellungen, etwa: Wie viele Kaninchenpaare entstehen ” innerhalb eines Jahres, wenn, mit einem Paar beginnend, jedes

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Paar jeden Monat ein neues Paar gebiert, das von seinem zweiten Lebensmonat an fruchtbar wird?“ Durch die Betrachtung solcher Probleme kam Fibonacci auf seine ber¨ uhmte Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 . . . , in welcher jede Zahl Summe ihrer beiden unmittelbaren Vorg¨ anger ist. Diese Folge kann sowohl das Wachstum eines Kapitals beschreiben als auch die zunehmende Kaninchenbev¨ olkerung. Bei einer Zinseszinsbetrachtung taucht dann die Gr¨ oße auf, die wir heute e = 2, 718 . . . nennen, und die den Schl¨ ussel zum exponentiellen Wachstum bildet. An anderer Stelle untersucht Fibonacci auch kubische Gleichungen, von denen er behauptet, daß sie nicht mit ganzen Zahlen, Quadratwurzeln und Br¨ uchen aufgel¨ ost werden k¨ onnen, f¨ ur die er aber ziemlich genaue N¨ aherungsl¨ osungen liefert. Fibonaccis Buch war die Hauptquelle f¨ ur Luca Paciolis Werk Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalit` a (Alles u ¨ber Arithmetik, Geometrie, Proportionen und Proportionalit¨ at, 1494), in welchem zum ersten Mal die doppelte Buchf¨ uhrung beschrieben wird. Pacioli war Freund und Kollege der beiden K¨ unstler Piero della Francesca (von dem er die Mathematik abschrieb) und Leonardo da Vinci, der sein Buch De divina proportione (Von den g¨ ottlichen Proportionen, 1509) illustrierte, eine Abhandlung u ¨ber den Goldenen Schnitt der Griechen. Pacioli ist der Ansicht, im Wirtschaftsleben sei es notwendig, ein guter Buchhalter und ein geschickter Mathematiker“ zu ” sein, und Gesch¨ afte m¨ ußten systematisch geregelt werden, denn ” ohne systematische Aufzeichnungen w¨ urde ihr Geist so m¨ ude und verwirrt werden, daß es ihnen unm¨ oglich w¨ urde, ein Gesch¨aft zu f¨ uhren.“ Sein System hat den großen Vorteil, eine ausf¨ uhrliche Buchf¨ uhrung zu konzipieren, in der alle Unternehmungen einer Handelsgesellschaft zusammengebracht werden k¨onnen. Passenderweise war Paciolis Summa eines der ersten in beweglichen Lettern gedruckten B¨ ucher, denn es wandte sich an die wachsende Zahl der Kaufleute, die f¨ ur ihre Gesch¨ afte systematische und strenge Buchhaltungsregeln brauchen konnten. Der bekannteste Aspekt der doppelten Buchf¨ uhrung ist wahrscheinlich die Doppelung in Soll und Haben, die sich im zwiefachen Fest-

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halten jeder Transaktion auf den beiden Seiten des Kontobuches niederschl¨ agt. Dadurch kann man beide Seiten unabh¨angig voneinander nachrechnen und erh¨ alt eine Kontrolle u ¨ ber die Richtigkeit der Kontof¨ uhrung. Obwohl sicher n¨ utzlich, ist dies nicht die entscheidende Neuerung der doppelten Buchf¨ uhrung, denn auch die Kontof¨ uhrung r¨omischer Sklaven oder mittelalterlicher Verwalter konnte bilanziert werden. Paciolis System erlaubt dagegen auch die Vollst¨andigkeit der Buchf¨ uhrung, denn sie h¨alt jede Art von Transaktionen fest: sowohl in Personenkonten“ konkre” te Transaktionen mit bestimmten Kunden oder Gl¨aubigern als auch in Sachkonten“ etwa Abschreibungen oder Firmenwerte. ” Pacioli stellt seine Abhandlung u uhrung und kauf¨ ber Buchf¨ m¨ annische Mathematik unmittelbar neben seine Darstellung der Algebra. Darin schuf er nichts Neues, legte aber eine einflußreiche Zusammenfassung der bekannten Methoden vor. Seine Darstellung zeigt den engen Zusammenhang auf zwischen dem Handel und dem, was wir als reine“ Mathematik ansehen. Ein ¨ahnli” cher Eindruck entsteht durch andere Werke, etwa die Arith” metik von Treviso“ (1478) oder Johann Widmanns Behend und h¨ upsch Rechnung uff allen Kauffmanschafften (1489), dem ¨altesten Buch, in dem die vertrauten Zeichen +“ und −“ im ” ” Druck erscheinen. Auch diese Zeichen beziehen sich zun¨achst auf ¨ Ubersch¨ usse und Fehlbest¨ ande bei Lagerinventuren und wurden erst sp¨ ater zu Zeichen f¨ ur abstrakte Operationen. Wie bei Pacioli ¨ f¨ uhren die praktischen Uberlegungen erstaunlich schnell zu Fragestellungen, welche die kommerziellen Urspr¨ unge der Symbole u osbarkeit von Gleichungen ¨ bersteigen und zum Beispiel die L¨ betreffen. Zwar hatten schon die Babylonier bedeutende Schritte unternommen, um Probleme zu l¨ osen, die wir heute mit kubischen Gleichungen beschreiben w¨ urden, doch ist ihre gesamte Arbeit verloren gegangen. Fibonacci meinte, diese Gleichungen w¨aren nicht durch ganze Zahlen und Quadratwurzeln aufzul¨osen; Pacioli dachte sogar, sie w¨ aren u ¨ berhaupt nicht durch Algebra zu l¨ osen, eine Meinung, die er von dem arabischen Dichter und Mathematiker Omar Khayy¯ am ableitete, der in einer ausgedehnten

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Arbeit kubische Gleichungen klassifizierte und ihre Aufl¨osbarkeit untersuchte. Piero della Francesca, ein großer Mathematiker und Maler, versuchte erfolglos Gleichungen dritten, vierten und auch f¨ unften Grades aufzul¨ osen. Den Durchbruch erreichte erst ein buntes H¨ auflein italienischer Mathematiker; der auff¨alligste darunter ist Girolamo Cardano, dessen Lebensspanne den gr¨oßten Teil des sechzehnten Jahrhunderts umfaßt (Abb. 2.1). Cardano war Arzt, ein unverbesserlicher Spieler und Astrologe, dessen religi¨ osen Ansichten ketzerisch genug waren, daß die Inquisition ihn im Alter noch einsperrte. (Sein Interesse am Spiel f¨ uhrte Cardano dazu, das erste Buch u ¨ ber die Mathematik der Wahrscheinlichkeiten zu schreiben.) All dessen ungeachtet wurde er auf angesehene Professuren berufen und erhielt schließlich sogar eine Pension des Papstes. Er war ein Vielschreiber; seine Lebensbeschreibung De propria vita liber ist erstaunlich offenherzig. Sie beschreibt nicht nur seine eigenen Leidenschaften und Obsessionen in allen Einzelheiten, sondern auch die Mißgeschicke seiner Kinder (einer seiner S¨ ohne vergiftete seine Frau und wurde hingerichtet; der andere war ein Tunichtgut und raubte seinen Vater aus). Cardano spielt eine zentrale, aber bereits unter seinen Zeitgenossen umstrittene Rolle in der Geschichte der Algebra. In seinem Buch Ars magna sive de regulis algebraicis (Die große Kunst oder u ¨ ber algebraische Regeln, 1545) sieht er die Probleme, die wir quadratisch nennen w¨ urde, als bereits gel¨ost an und verweist daf¨ ur auf Mahomet, den Sohn von Moses, dem ” Araber“ (gemeint ist al-Khw¯arizm¯ı) als auch auf Fibonacci. Das Problem der kubischen Gleichung stellt er in einem Text mit einem ziemlich gewollten wirtschaftlichen Hintergrund vor: Zwei ” M¨ anner steigen mit einem unbekannten Kapital in ein Gesch¨aft ein. Ihr Gewinn ist dabei gleich der dritten Potenz von einem Zehntel des Kapitals. Mit drei Dukaten weniger h¨atten sie genausoviel wie ihr Kapital verdient. Wie groß sind das Kapital und der Gewinn?“ Falls x das unbekannte Kapital bezeichnet,  x 3 , und das Problem beist der Gewinn in heutiger Sprache 10  x 3 schreibt die Gleichung 10 − 3 = x.

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Abb. 2.1 Girolamo Cardano

Der wirtschaftliche Aspekt solcher Fragestellungen mag f¨ ur Cardano weniger wichtig gewesen sein als die M¨oglichkeit, mit den Alten zu wetteifern. In jenen Tagen wurden in Italien andauernd klassische Statuen ausgegraben, die u ¨ber die unglaublichen Leistungen der Antike staunen ließen. Platons Werke waren erst k¨ urzlich ins Lateinische u ¨ bersetzt worden, und man begann gerade, die griechischen Mathematiker zu lesen. Handelte es sich dabei um alte G¨ otter, welche anzur¨ uhren den Zeitgenossen nicht anstand? Andererseits hatten die Alten die kubische Gleichung

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nicht gel¨ ost, also k¨ onnten die Zeitgenossen auch ihnen nacheifern oder sie gar u ¨ bertreffen . . . Die Folge der Ereignisse ist nicht v¨ ollig klar; klar ist nur, daß die L¨ osung der Gleichung dritten Grades das erste Beispiel eines sch¨ abigen modernen Genres wurde: des wissenschaftlichen Priorit¨ atenstreits. Niccol`o Fontana, genannt Tartaglia ( der Stotte” rer“), behauptete, als erster das Problem gel¨ ost zu haben. In Wahrheit begann er seine Arbeit, nachdem er geh¨ort hatte, daß Scipione del Ferro die L¨ osung gefunden, sie aber nicht ver¨offentlicht, sondern vor seinem Tode einem seiner Studenten verraten habe. Tartaglia k¨ onnte sehr wohl einen Hinweis aus dieser Quelle erhalten haben. In jener Zeit war man sehr nachl¨assig, was Urheberschaft und Nachweise betraf; Tartaglia hatte bereit eine ¨ fremde Archimedes-Ubersetzung als seine eigene ver¨offentlicht und versuchte auch, ohne den wahren Entdecker zu nennen, als Autor der Gesetze von der schiefen Ebene durchzugehen. Wie dem auch sei, Tartaglia erreichte einen Durchbruch beim L¨osen der kubischen Gleichung, der es ihm erlaubte, einen ¨offentlichen Wettbewerb gegen del Ferros Studenten zu gewinnen. Diese Wettbewerbe verraten einiges u ¨ber das Prestige der Algebra zu jener Zeit: Sie waren Turniere der Fertigkeit und Geschicklichkeit, aber r¨ upelhaft im Charakter; jeder Teilnehmer versuchte den andern mit einem Problem herauszufordern, um das ansehnliche Preisgeld zu gewinnen. In ihrer popul¨ aren Anziehungskraft waren diese mathematischen Gladiatorenk¨ ampfe eine B¨arenhetze ebenb¨ urtig und vermittelten eine ¨ ahnliche Atmosph¨are. Aber wie konnte Tartaglia gewinnen, wenn del Ferros Student die L¨ osung von seinem Lehrer erfahren hatte? Damals gab es viele Varianten der kubischen Gleichung, die wie verschiedene Probleme aussahen, und auf die verschiedene Methoden angewandt wurden, denn der Mathematik fehlte noch die moderne symbolische Schreibweise, mit der alle Varianten unter der allgemeinen Form a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 zusammengefaßt werden konnten. Daher war der Student vielleicht in der Lage, ein Problem der Form der Kubus und die Zahl sind gleich der ” ersten Potenz“, wie Cardano es nennt, zu l¨ osen (zum Beispiel

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x3 + 21 = 16x), um dennoch ratlos zu sein bei der Kubus und ” die erste Potenz sind dem Quadrat und der Zahl gleich“ (wie Car3 2 dano eine Gleichung der Art x + 20x = 6x + 33 beschrieben h¨ atte). Da damals nur positive Zahlen betrachtet wurden, mußte jeder Fall, in dem negative Zahlen aufgetreten w¨aren, getrennt behandelt werden, indem diese Zahlen auf die andere Seite der Gleichung bewegt wurden. Wie dem auch sei, die Neuigkeiten von Tartaglias Sieg erreichten Cardano, der ihn daraufhin um Details seiner Methode bedr¨ angte mit dem Hinweis, er k¨onne ein Treffen mit einem reichen M¨ azen organisieren. Tartaglia war argw¨ ohnisch, brauchte aber das Geld. Als Kind hatte er bei der franz¨ osischen Invasion in Italien 1512 eine S¨abelwunde in der N¨ ahe des Mundes erhalten und war dadurch sprechbehindert; vielleicht konnte er daher keinen ausreichenden Lebensunterhalt verdienen. Nachdem er Cardano schw¨oren ließ, das Geheimnis nicht zu verraten, weihte er ihn im Jahre 1539 ein. Tartaglia nannte ihm die L¨ osung in Form eines schwerf¨alligen Gedichtes, das selbst so r¨ atselhaft ist, daß man es fast l¨osen m¨ ußte. Dann passierte einige Jahre lang nichts; auch Tartaglia ver¨ offentlichte seine L¨ osung nicht. Doch 1543 kam Cardano nach Bologna und erhielt Einsicht in del Ferros Papiere, aus denen hervorging, daß del Ferro tats¨ achlich die kubische Gleichung vor Tartaglia gel¨ ost hatte. Daraufhin f¨ uhlte sich Cardano berechtigt, die Methode in seiner Großen Kunst zu ver¨ offentlichen, wobei er sie Tartaglia und del Ferro zuschrieb, allerdings seinen Schwur nicht erw¨ ahnte. Durch die Angabe seiner Quellen suchte er sicher den Eindruck zu verhindern, er habe das Geheimnis stehlen wollen. Er schreibt, vor Einsicht der Arbeiten habe er Luca Pacioli geglaubt, daß es jenseits der quadratischen Gleichungen keine L¨ osungsregeln g¨ abe. Aber indem er del Ferros fr¨ uhere Entdeckung erw¨ ahnt hat, setzte er Tartaglias Urheberanspr¨ uche herab. Als Erkl¨ arung gab er lediglich an, Tartaglia habe auf seine dringenden Bitten hin ihm die L¨ osung gegeben“, aber auch, daß ” er selbst im Anschluß weitergekommen sei als Tartaglia. ur Tats¨ achlich besaß Tartaglia nicht die vollst¨ andige L¨osung f¨ s¨ amtliche Varianten, die Cardano beschreibt, aufgeteilt in 13

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F¨alle, manche noch mit Unterf¨ allen. Trotzdem war Tartaglia emp¨ ort und bezichtigte Cardano des Plagiats. An diesem Punkt tritt ein neuer Herausforderer auf. Cardano hatte einen Diener namens Ludovico Ferrari, der so großes Interesse an der Mathematik gezeigt hatte, daß Cardano ihn als Studenten annahm. Da die Ehre seines Lehrers auf dem Spiel stand, forderte Ferrari Tartaglia zu einem mathematischen Duell, das wohl mit einem Sieg Ferraris endete, wie man aus den folgenden Ereignissen ablesen kann, denn Ferrari erhielt mehrere schmeichelhafte Angebote, unter anderem eine Professur in Bologna, w¨ ahrend von Tartaglia berichtet wurde, er habe den Wettbewerb fr¨ uhzeitig verlassen. Wie wurde die kubische Gleichung nun gel¨ ost? Die Methode stellt sich als eines der ersten Beispiele einer wirksamen mathematischen Strategie heraus: Um ein schwieriges Problem zu l¨osen, f¨ uhrt man es auf ein anderes zur¨ uck, das man bereits l¨osen kann. Hier ist die Methode der quadratischen Erg¨anzung der Schl¨ ussel. Wie wir schon festgestellt haben, kann man eine quadratische Gleichung aufl¨ osen, indem man sie in die Form eines perfekten Quadrates bringt und dann die Wurzel zieht. Es ist naheliegend, die kubische Gleichung auf gleiche Weise durch kubi” sche Erg¨ anzung“ anzugehen. Del Ferro, Tartaglia und Cardano zeigten, wie man jede kubische Gleichung in die Form ein per” fekter Kubus ist gleich einer Zahl“ bringen kann. Dann k¨onnen wir die L¨ osung erhalten, indem wir die dritte Wurzel ziehen. Obwohl sie ihre Ableitungen nicht in einem dreidimensionalen Diagramm darstellten, ist eine solche Figur sehr n¨ utzlich anzusehen (Kasten 2.4), denn wie in dem entsprechenden Bild f¨ ur quadratische Gleichungen in Kasten 2.3 sieht man, daß es sich im wesentlichen um eine Art Puzzlespiel handelt. Um dieses dreidimensionale Puzzle l¨ osen zu k¨ onnen, muß man es in Schichten zerlegen. Die kubische Erg¨anzung bedarf einer ganzen Reihe von ineinandersitzenden Figuren, die erg¨ anzt und anders angeordnet werden m¨ ussen. Kasten 2.4 zeigt ein Beispiel von Cardano zusammen mit seiner L¨ osung in moderner Schreibweise. Auch wenn das Ergebnis einsch¨ uchternd aussieht, verwendet es nur verschach-

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Kasten 2.4 Cardanos Methode der kubischen Erg¨ anzung:

Betrachten wir Cardanos Beispiel Sei der Kubus und sechsmal die ” Seite gleich 20“ oder x3 + 6x = 20 in moderner Schreibweise. Wir wollen es so umformen, daß sich ein perfekter Kubus ergibt; der Trick urfel besteht darin, x = u − v zu setzen. Im Diagramm sei x3 der W¨ in der linken oberen Ecke hinten, der in einem gr¨ oßeren W¨ urfel mit Seitenl¨ ange AC = u sitzt. Dann gibt es noch einen kleineren W¨ urfel in der rechten unteren Ecke mit Seitenl¨ ange BC = v. Um den W¨ urfel mit Seite x aus dem großen W¨ urfel mit Seite u auszuschneiden, m¨ ussen wir drei Scheiben abschneiden. Jede Scheibe hat f¨ ur sich den Rauminhalt u2 v, aber sie u ¨ berlappen sich. Der gemeinsame Teil zweier Scheiben ist uv 2 , aber auch diese gemeinsamen Teile schneiden sich in dem kleinen W¨ urfel des Inhalts v 3 . Somit ist x3 = u3 − {(Inhalt der ¨ ¨ Scheiben) − [(Inhalt der Uberlappungen) − (Inhalt der Uberlappung ¨ ur der Uberlappungen)]} = u3 −3u2 v+3uv 2 −v 3 . Zu diesem Ausdruck f¨ ussen wir gem¨ aß dem Ausgangsproblem 6x = 6u − 6v addieren. x3 m¨ Also haben wir jetzt x3 + 6x = u3 − 3u2 v + 3uv 2 − v 3 + 6u − 6v. Um dies in die Form eines perfekten Kubus zu bringen, m¨ ussen wir die gemischten Ausdr¨ ucke“ −3u2 v + 3uv 2 + 6u − 6v = −3(uv)u− ”

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Kasten 2.4 Fortsetzung 6v + 3(uv)v + 6u loswerden, die hier nach uv zusammengefaßt sind. Falls nun uv = 2, so heben sich diese Ausdr¨ ucke gegenseitig weg: −3(uv)u − 6v + 3(uv)v + 6u = −6u − 6v + 6v + 6u = 0. Zur kubischen Erg¨ anzung m¨ ussen wir also nur fordern, daß u und v der Bedingung uv = 2 gen¨ ugen, was wir tun k¨ onnen, denn die beiden Variablen u, v wurden f¨ ur die eine Variable x eingesetzt und k¨ onnen daher eine weitere Bedingung erf¨ ullen. Der Rest l¨ auft fast von alleine: Mit dieser Bedingung lautet unsere Gleichung also u3 − v 3 = 20, wobei v = u2 . Setzt man dies ein, erh¨ alt man u3 − u83 = 20. Multiplikation beider 3 6 Seiten mit u ergibt u − 8 = 20u3 bzw. u6 = 20u3 + 8, falls man (wie Cardano) alles positiv lassen m¨ ochte. Das sieht zwar schlimmer als am Anfang aus, da von sechster Ordnung in u, aber in Wirklichkeit ist es ein in u3 quadratischer Ausdruck. Wenn man also y = u3 setzt, onnen wir aufl¨ osen: wird die Gleichung zu y 2 = 20y + 8. Diese k¨  √ 20 ± 400 − 4 · (−8)) 20 ± 4 · 108) y1,2 = = 2 2 √ √ =10 ± 108 = 10 + 108, wobei das Minuszeichen weggelassen ist, weil es zu einer negativen L¨ osung f¨ uhren w¨ urde, die√Cardano nicht akzeptiert h¨ atte. Also folgt √ 108 und v 3 = 108 −  10. Die dritte Wurzel auf jeder Seite u3 = 10 +  √ √ 3 3 ergibt u = 108 + 10 und v = 108 − 10. Nun war aber x = u−  3 √ 108 + 10− v, also erh¨ alt man Cardanos letztendliche Antwort x =  √ 3 108 − 10.

telte Wurzeln, das heißt Wurzeln von Wurzeln (wie zum Beispiel dritte Wurzeln aus Quadratwurzeln). Ebenso wie in der L¨osungsformel der quadratischen Gleichung Quadratwurzeln auftauchen, kommen in der L¨ osungsformel der kubischen Gleichung dritte Wurzeln vor, die wiederum Ausdr¨ ucke mit Quadratwurzeln enthalten. Sp¨ ater werden wir sehen, daß diese charakteristische Struktur verschachtelter Wurzeln in den L¨ osungen der kubischen Gleichung einen wichtigen Hinweis f¨ ur die Suche nach L¨osungen h¨ ohergradiger Gleichungen gibt. Ferrari verteidigte seinen Lehrer nicht nur, sondern machte auch selbst Fortschritte. Auf Cardanos Vorschlag hin ging

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Ferrari die L¨ osung dessen an, was wir heute Gleichungen vier” ten Grades“ (oder Quartiken“) nennen, sie aber mit Quadrat” ” Quadrat“ bezeichneten. Ihr Ausdruck zeigt, daß sie noch nicht u ¨ ber unseren allgemeineren Begriff von Gleichungen beliebiger Ordnung verf¨ ugten. In Cardanos Buch erscheinen kubische Probleme v¨ ollig getrennt von den quadratischen, und beide besitzen eine geometrische Bedeutung, die den Quadrat-Quadrat“” Gleichungen abgeht. Da kubische Gleichungen durch ein dreidimensionales Puzzle gel¨ ost werden k¨ onnen, w¨ urde man bei den Gleichungen vierten Grades erwarten, daß man sich irgendwie mit einem vierdimensionalen Puzzle herumschlagen m¨ ußte. In Wirklichkeit erfordert die L¨ osung keine vierte Raumdimension, sondern man kann mit einer etwas anderen quadratischen Erg¨anzung arbeiten, indem man x2 als Seite des Ausgangsquadrats nimmt. Dies erlaubte es Cardano und Ferrari, QuadratQuadrat-Probleme auf Quadrat-Probleme zur¨ uckzuf¨ uhren. Diesmal gab es keinen Priorit¨ atenstreit: Ferrari schaffte es ganz alleine, wenn auch zweifelsohne von Cardanos Beispiel inspiriert. Kasten 2.5 zeigt Ferraris L¨ osung in moderner Schreibweise. Man kann es als ein kompliziertes Faktorisierungsproblem verstehen, um einen modernen Ausdruck zu verwenden. Da sie so schnell der L¨ osung der kubischen Gleichung folgte, mußte es so scheinen, als w¨ aren nun alle solchen Probleme reif, gel¨ost zu werden. Kasten 2.5 Ferraris L¨ osung f¨ ur die Gleichung vierten Grades: Betrachten wir die Gleichung x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0. Indem man einige Ausdr¨ ucke auf die andere Seite holt, ergibt sich x4 +a3 x3 = a2 2 −a2 x − a1 x − a0 . Dann addiert man 43 x2 zu beiden Seiten, damit aus der linken ein perfektes Quadrat wird: a23 2 x = 4   2  a3 x 2 a3 − a2 x2 − a1 x − a0 x2 + = 2 4

x4 + a3 x3 +

(2.5.1)

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Kasten 2.5 Fortsetzung W¨ are auch die rechte Seite ein perfektes Quadrat, k¨ onnte man die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen und die Gleichung so auf eine quadratische Gleichung zur¨ uckf¨ uhren. Im allgemeinen ist sie es zwar nicht, aber man es arrangieren, indem man zu beiden Seiten den   2 Ausdruck y x2 + a32x + y4 addiert: a3 y 2 x2 + = x+ 2 2   2     a3 1 1 − a2 + y x2 + −a1 + a3 y x + −a0 + y 2 . 4 2 4 

(2.5.2)

Aus der rechten Seite kann man nun ein perfektes Quadrat machen, indem man y anpaßt. Wenn A, B, C die Ausdr¨ ucke in den Klammern der rechten Seite von Gleichung (2.5.2) sind, will man Ax2 +Bx+C = erreichen. Dazu = e2 , B = 2ef , C = f 2 gelten (ex + f )2 √ √ muß A B bzw. e = A und f = C = 2e . Damit dies klappen kann, muß B 2 − 4AC = (2ef )2 − 4e2 f 2 = 0 gelten. Also (nach Einsetzen der Werte f¨ ur A, B, C aus Gleichung (2.5.2) in B 2 = 4AC) muß y die Bedingung   2  2   1 a3 1 − a2 + y · −a0 + y 2 (2.5.3) −a1 + a3 y =4· 2 4 4 erf¨ ullen. Dies ist eine kubische Gleichung in y, welche die Resolven” te“ der Gleichung vierten Grades genannt wird, und daher nach der del Ferro-Cardano-Tartaglia-Methode aufl¨ osbar. Hat man damit y bestimmt, kann man mit (2.5.3) e und f ausrechnen. Dann kann man zu (2.5.2) zur¨ uckkehren, nun als 

x2 +

y 2 a3 x+ = (ex + f )2 2 2

(2.5.4)

geschrieben. Die Quadratwurzel daraus ergibt zwei quadratische Gleichungen x2 +

a3 y x + = ex + f , 2 2

x2 +

a3 y x + = −ex − f , 2 2

(2.5.5)

in denen e, f, y nun bestimmte Gr¨ oßen sind. Diese beiden Gleichungen k¨ onnen sofort durch die Formel f¨ ur quadratische Gleichungen aufgel¨ ost werden und liefern die vier L¨ osungen der Gleichung vierten Grades.

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Wenn man u ¨ber die kubische Gleichung hinausgeht, verschwinden allerdings die offensichtlichen Bez¨ uge zur zwei- und dreidimensionalen Geometrie, und das Problem wird abstrakter. Wie kann der menschliche Geist verstehen, was er nicht sieht? Cardano schreibt dazu, es w¨ are n¨ arrisch, u ¨ber diesen Punkt hin” auszugehen. Die Natur erlaubt es nicht.“ Außerdem ließ die Ausdrucksweise der Algebraiker viel zu w¨ unschen u ¨ brig. Kasten 2.6 zeigt die Schreibweisen zweier Renaissance-Algebraiker im Vergleich zur modernen Form. Die fr¨ uhen Ausdrucksweisen beruhten auf ganz anderen Prinzipien: Sie bestanden in erster Linie aus einer Art Kurzschrift, aus Abk¨ urzungen f¨ ur normale Sprache. Die moderne Symbolschreibweise der Mathematik ist ganz entschiedKasten 2.6 Eine Veranschaulichung der algebraischen Schreibweisen von Cardano und Vi`ete: Cardanos Schreibweise ist synkopisch“, was bedeutet, das sie ” haupts¨ achlich aus abgek¨ urzten W¨ ortern besteht. Er hat kein allgemeines Symbol f¨ ur Unbekannte (die er rebus nennt, Dinge“) oder f¨ ur ” Koeffizienten. Die L¨ osung zu der speziellen kubischen Gleichung in Kasten 2.4, die er mit cubus p ¯. 6. rebus æqualis 20“ beschreibt, dr¨ uckt er folgen” dermaßen aus: . v. cub.

. 108. p¯. 10. m. ˜ . v. cub.

. 108. m. ˜ 10.

ur radix, Dabei stehen p¯. und m. ˜ f¨ ur plus und minus und . f¨ (Quadrat-)Wurzel, w¨ ahrend . v. cub. die dritte Wurzel bezeichnet. Man vergleiche dies mit der modernen Form:

3 √ 3 √ x= 108 + 10 − 108 − 10 . Dagegen schreibt Vi`ete A cubus + B plano 3 in A, aequari Z ” solido 2“ f¨ ur das heutige x3 + 3B 2 x = 2Z 3 . Er benutzt Vokale f¨ ur Unbekannte und Konsonanten f¨ ur Koeffizienten; cubus“ oder solido“ ” ” f¨ ur hoch 3“ und plano“ f¨ ur im Quadrat“. Also ist A cubus“ soviel ” 3 ” ” ” wie x , B plano 3“ ist 3B 2 und Z solido 2“ ist 2Z 3 . Er benutzt ” ” bereits die heutigen Zeichen + und −, aber das Zeichen
f¨ ur die √ Quadratwurzel .

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en von der normalen Sprache abger¨ uckt und erlaubt dadurch systematische Handhabungen, die nat¨ urlichen Sprachen fremd sind. Obwohl wir eine Gleichung in Worten ausdr¨ ucken k¨onnen, k¨onnen wir mit den W¨ orter nicht so umgehen wie mit der Gleichung. Wie beeindruckend die Errungenschaften der italienischen Mathematiker auch waren, ihnen fehlten die Einsichten, welche durch die symbolische Mathematik erreicht wurden. Die moderne mathematische Schreibweise beruht auf den Erfindungen von Fran¸cois Vi`ete (Abb. 2.2), einem franz¨osischen

Abb. 2.2 Fran¸cois Vi`ete

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Rechtsanwalt, der auch k¨ oniglichen Berater war und Geheimschriften entschl¨ usselte. Solche Chiffren, Abstraktionen aus dem Rechtswesen und bereits bestehende Mathematik mischte er zu einer algebraischen Zeichensprache zusammen, die wir in der Grundlage heute noch benutzen. Vi`ete sah sich als Wiederentdecker einer verlorenen alten Kunst, denn er konnte einfach nicht daran glauben, daß die antiken Mathematiker ihre Errungenschaften nur mit den vorgeblichen Mitteln erreicht h¨atten. Das ist nicht ganz von der Hand zu weisen: Wenn man einen von Euklids großartigen geometrischen Beweisen liest, kommt man nicht umhin sich zu wundern, was ihn auf die Idee brachte, die entscheidenden Linien zu ziehen, auf denen der Beweis beruht. Jeder, der sich der Geometrie widmet und versucht, einen eigenen Beweis zu finden, versteht, daß es keinen K¨ onigsweg“ dorthin ” gibt, wie Euklid es ausdr¨ uckte. Man verirrt sich in vielen Sackgassen und erlebt viele Entt¨ auschungen, bevor man auf einen Trick st¨ oßt, der funktioniert. Dies ist, was Pappos synthetische Mathematik“ nannte. Da” mit meinte er, daß etwa Euklid mit gewissen Axiomen beginnt und dann zeigt, wie sie zusammengesetzt werden k¨onnen, um den zu beweisenden Satz zu ergeben. Aber Pappos deutete auch den Prozeß der analytischen Mathematik“ an, bei dem der Ma” thematiker vom gew¨ unschten Resultat aus r¨ uckw¨arts arbeitet, um auf dem Weg zu entdecken, was n¨ otig ist, um zum erw¨ unschten Ergebnis zu gelangen. Es gibt einige faszinierende und anregende Beispiele f¨ ur dieses R¨ uckw¨ arts-Arbeiten in Apollonius’ bedeutender Arbeit u ¨ ber Kegelschnitte, die Vi`ete sorgf¨altig studiert hatte. Er schloß daraus, daß die analytische Vorgehensweise wahrscheinlich die Methode war, mit der die Alten ihre wundersamen Beweise gefunden hatten: Um einen bestimmten Satz zu beweisen, arbeite man r¨ uckw¨ arts, bis man die notwendigen Schritte herausgefunden hat, um den Satz zu erhalten. Dann dreht man das Ganze herum, beginnt diesmal beim Startpunkt und geht alle die als notwendig erkannten Schritte. Das analytische Probleml¨ osen baut gleichsam ein Ger¨ ust, von dem aus die vollkommene Architektur des Beweises konstruiert werden kann.

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Am Ende, so Vi`ete, w¨ urden die alten Meister das Ger¨ ust entfernt haben, damit ein Betrachter die Sch¨ onheit des Beweises bewundern k¨ onne, ohne daß die Sicht von den Werkzeugen, mit denen er erstellt wurde, versperrt w¨ are. Nach Vi`etes Ansicht vertuschten die Alten die Spuren ihrer Arbeitsmethode, um zum einen gr¨ oßere Bewunderung hervorzurufen, zum andern die Sch¨ onheit des Endergebnisses zu betonen. Er dachte, nur ihre Methoden wiederzuentdecken und nichts Neues zu erfinden. Allerdings gibt es keine Belege daf¨ ur, daß die Alten tats¨ achlich u ugten, die Vi`ete ¨ ber die Kunst verf¨ rekonstruiert zu haben glaubte; wahrscheinlicher ist, daß sie ein heuristisches R¨ uckw¨arts-Arbeiten benutzten ohne eine Vi`ete vergleichbare Symbolik. Ohne Kenntnis der Ziffernschreibweise und der indisch-arabischen Null hatten die Alten den entscheidenden Schritt auf eine wahre Symbolik hin nicht getan. Vi`ete selbst war durch seine Arbeit an der Entschl¨ usselung von Geheimschriften geleitet: Die Methode, algebraische Gleichungen durch Manipulation von Symbolen aufzul¨ osen, war f¨ ur ihn der Methode ¨ahnlich, Geheimschriften zu entr¨ atseln – auch dies den Alten unbekannt. Es mag auch sein, daß er durch das r¨ omische Recht angeregt war, in welchem ein Buchstabe benutzt wurde, um einen unbekannten Angeklagten zu bezeichnen (ein Herr X“, wie wir ” heute sagen w¨ urden). Wenn man durch solch ein Symbol eine Person darstellen kann, warum nicht auch die cosa, das gesuchte Ding“ in einem Problem? ” Dann wurde Vi`ete klar, daß man ein solches Symbol handhaben kann, als w¨ are es selbst eine Zahl anstatt eines Buchstabens. Dies ist der entscheidende Augenblick, in dem die algebraische Symbolik u ohnlichen Sprache und ihrer ¨ ber die Grenzen der gew¨ Bedeutung hinausgeht. Nicht bloß durch Pr¨ agnanz – vergleichen Sie die K¨ urze von 4x2 mit vier Mal das Unbekannte quadriert“ – ” sondern der Vorteil der algebraischen Symbolschreibweise geht weiter: Man kann beispielsweise zwei Gleichungen addieren, was mit zwei S¨ atzen unm¨ oglich ist. Was die Sprache mit ihrem Satzbau erreicht, schafft die Algebra allein dadurch, einige Symbole hintereinanderzuschreiben. Außerdem fallen die Mehrdeutig-

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keiten der Sprache in der Algebra fort, deren Symbole eindeutig sind. Wo die Sprache Logik und Urteilsverm¨ogen erfordert, braucht die Algebra nur feste Regeln, wie mit den Symbolen umzugehen ist. Man k¨ onnte fast sagen, daß die Symbole das Denken u orpern die logische und mathemati¨ bernehmen, denn sie verk¨ sche St¨ arke, welche die Benutzer weder jedesmal neu erfinden noch wirklich verstehen m¨ ussen, wenn sie nur die Regeln anwenden k¨onnen. Im Laufe unserer Geschichte wird klar werden, daß sich daraus komplizierte Folgerungen ergeben, denn sie erm¨oglichen unglaubliche Entdeckungen, deren Bedeutung sie jedoch hinter gerade dieser Symbolik verbergen, die ihre Entdeckung erm¨ oglicht. Vi`ete nannte seine neue Entdeckung logistica speciosa, eine Logik der Gebilde“ (Buchstabenrechnung) im Gegensatz zur ” logistica numerosa, Logik der Zahlen“ (oder Zahlenrechnung). ” Mit Gebilde“ meinte er, daß die Unbekannte nicht nur f¨ ur ei” ne einzige Zahl, sondern f¨ ur eine ganze Klasse m¨oglicher Werte stehen kann. Das heißt, die Unbekannte ist nicht nur ein Platzhalter f¨ ur einen einzigen Wert, sondern gibt ein ganzes Spektrum an M¨ oglichkeiten wieder. Es ist eine Variable, wie wir es heute nennen. Auch hier bleibt die Sprache zur¨ uck: Platon behauptete, jedes Wort strebe nach einer nat¨ urlichen Verbindung mit dem, was es bezeichnet, zumindest Substantive. Algebra dagegen ist eher wie ein nur aus Verben und Pronomen aufgebauter Text, von zwangsl¨ aufiger K¨ unstlichkeit: Gleichwie wir die Unbekannte nennen, ob x oder ω, es gibt keinen nat¨ urlichen Zusammenhang zwischen dem Namen und der Variablen, die er bezeichnet. Anders als die Sprache, die voller Bedeutungen und Absichten ist, r¨ aumt die Algebra alle Spuren u ¨ blicher Intentionalit¨at und Bedeutung fort. Sie zielt vielmehr auf eine von Platon v¨ollig verschiedene Sichtweise der Verst¨ andigung, auf eine Folge von rein ¨ auf Ubereinkunft beruhenden Symbolen, denen keine Bedeutung innewohnt. Die Abstraktion der Mathematik wird durch eine noch bemerkenswertere Entdeckung Vi`etes noch verst¨ arkt: den Koeffizienten. Es mag nicht so erstaunlich sein, die Unbekannte durch

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ein einzelnes Symbol wiederzugeben, denn auch die Italiener haben den komplizierten Begriff von einer Zahl, die ich suche, ” aber nicht kenne“ bereits durch das alleinige Wort cosa wiedergegeben, oder auch durch ein einziges Zeichen (manchmal einen einfachen Punkt, ·). Aber die Unbekannte wurde stets mit einer festen Gr¨ oße multipliziert, und erst Vi`ete besaß die K¨ uhnheit, dieser Gr¨ oße zu erlauben, ebensowenig festgelegt zu sein wie die Unbekannte selbst. Hier ist die Geburtsstunde des Koeffizienten, der einen enormen Zugewinn an Allgemeinheit und St¨arke erlaubte. Man vergleiche den besonderen Fall x2 − 3x + 2 = 0 mit a2 x2 + a1 x+ a0 = 0, welche die erste Gleichung als einen Spezialfall beinhaltet unter einer unendlichen Ausdehnung an M¨oglichkeiten, bei denen die Koeffizienten a2 , a1 , a0 u ¨ ber alle m¨oglichen Werte laufen. Und tats¨ achlich kann man einen Ausdruck wie a1 x nur m¨ uhsam in gew¨ ohnlicher Sprache beschreiben: Multipliziere ” eine beliebige Zahl a1 mit einer anderen beliebigen Zahl x.“ Die algebraischen Symbole verhindern die babylonische Katastrophe und umgehen die Verwirrung menschlicher Sprachen. Vi`ete gelangen nicht nur diese bedeutenden Fortschritte, er sah auch ihre unermeßliche St¨ arke. Obwohl er sich nur als der Wiederentdecker von etwas Verlorenem ansah, h¨ ullte er sich in einen heroischen Mantel. Arabische Algebra sieht er als ¨ode“ ” und barbarisch“ an und verwirft sogar ihren Begriff Algebra“, ” ” f¨ ur den er die analytische Kunst“ einsetzt. Vi`ete weist sie zu” recht, als w¨ aren sie betr¨ ugerische Alchimisten, hingegen er im Besitze des k¨ oniglichen Probiersteins, der tats¨ achliches mathematisches Gold von Schlacke unterscheidet. Den bitteren religi¨osen Auseinandersetzungen seiner Zeit gegen¨ uber blieb Vi`ete kalt. Seine Leidenschaft hob er f¨ ur die Mathematik auf, die er durch seine neue, systematische Dechiffrierkunst nutzte, um Frankreich zu sch¨ utzen. Er triumphiert in seinen analytischen Kr¨aften und ist sich bewußt, daß er eine alte Kunst gereinigt und ihr neues Leben eingehaucht hat. Auf der H¨ ohe seiner Kr¨ afte nahm Vi`ete eine Herausforderung an, welche in algebraisches Neuland verwies. Der belgische Mathematiker Adriaan van Roomen forderte im Jahre 1593

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Kasten 2.7 Adriaan van Roomens Testproblem: L¨ ose x45 − 45 x43 + 945 x41 − 12 300 x39 + 111 150 x37 − 740 259 x35 + 3 764 565 x33 − 14 945 040 x31 + 46 955 700 x29 − 117 679 100 x27 + 236 030 652 x25 − 378 658 800 x23 + 483 841 800 x21 − 488 494 125 x19 + 384 942 375 x17 − 232 676 280 x15 + 105 306 075 x13 − 34 512 075 x11 + 7 811 375 x9 − 1 138 500 x7 + 95 634 x5 − 3 795 x3 + 45 x = A, wobei A eine feste Zahl ist, f¨ ur die van Roomen



7 5 45  3 A= 1 − − 1 − 4 16 8 64 vorgab.

die Mathematiker der ganzen Welt“ heraus, eine Monsterglei” chung f¨ unfundvierzigsten Grades zu l¨ osen (Kasten 2.7). Als der holl¨ andische Botschafter Vi`etes k¨ oniglichem Dienstherrn Henri IV. einen Besuch abstattete, sprach er dem K¨ onig ironisch sein Beileid dar¨ uber aus, daß Frankreich keine Mathematiker h¨atte, diese Herausforderung anzunehmen. Angestachelt ließ Henri IV. Vi`ete kommen, der sich das Problem ansah und innerhalb weniger Minuten die positiven Wurzeln der Gleichung fand. Vi`ete ver¨ offentlichte sein Ergebnis 1595 zusammen mit der Erkl¨arung seiner Methode. Humorvoll bot er an, aus diesem Anlaß hundert Schafe zu opfern, in einem ironischen Echo von Pythagoras’ mythischer Geste, wenn auch mit sanfteren Tieren. Vi`ete betonte den Zusammenhang zwischen seiner neuen Algebra“ und der ” Geometrie und bemerkte, daß die fr¨ uheren Mathematiker nicht in der Lage waren, beides miteinander zu vers¨ ohnen. Aber lag ” dies nicht daran, daß Algebra bis dahin unrein praktiziert wur-

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de? Freunde des Lernens, umarmt eine neue Algebra; lebt wohl und schaut auf das Wahre und Gute.“ Vi`etes Triumph best¨atigte seinen Eindruck, nicht nur ein bestimmtes Problem gel¨ost zu haben, sondern das stolze Problem aller Probleme, welches ist: ” Kein Problem ungel¨ost zu lassen.“

3 Unmo ares ¨gliches und Imagin¨

Van Roomen war von Vi`etes erstaunlicher Leistung so beeindruckt, daß er eigens nach Frankreich reiste, um ihn zu treffen: Da war ein Mann, der behauptete, die meisterliche Kunst gefunden zu haben, die jedes algebraische Problem l¨ osen w¨ urde. War es wirklich m¨ oglich, daß Vi`ete u ugte, jede m¨ogliche ¨ ber Mittel verf¨ Gleichung aufzul¨ osen, welchen Grades auch immer? Nun, im Falle von van Roomens Gleichung hatte Vi`ete Gl¨ uck, denn er hatte eine nahe Verwandtschaft dieser Gleichung mit gewissen Gleichungen, denen er in der Trigonometrie begegnet war, erkannt. H¨ atte van Roomen nur einen Koeffizienten ge¨ andert, w¨are Vi`etes L¨ osungsmethode nicht mehr anwendbar gewesen. Van Roomen hatte nicht das allgemeine Problem, Gleichungen beliebigen Grades aufzul¨ osen, im Sinn, sondern war auf diese spezielle Gleichung im Laufe seiner trigonometrischen Studien gestoßen und wollte sehen, ob andere sie ebenfalls entdeckt hatten. Insofern trug das L¨ osen von van Roomens Problem nichts zur Erhellung der allgemeinen Frage bei, ob alle Gleichungen durch Wurzeln aufl¨osbar seien. In der Tat benutzte Vi`ete bei seiner L¨ osung trigonometrische Methoden, und dies geht (wie wir sehen werden) u ¨ ber die Benutzung von Wurzeln hinaus. Al¨ lerdings wird Vi`etes Uberzeugung deutlich, daß alle Gleichungen durch das gleiche allgemeine Verfahren aufl¨ osbar sein sollten, das bei den Gleichungen zweiten bis vierten Grades erfolgreich war. Andere Mathematiker zweifelten an der Existenz algebraischer L¨ osungen; ihre Vorbehalte stellten dem Triumphmarsch der modernen Algebra einen bedeutendes Kontrapunkt entgegen. Etwa

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3 Unm¨ ogliches und Imagin¨ ares

Johannes Kepler, der trotz all seiner K¨ uhnheit in der Astronomie den Behauptungen der Algebra gegen¨ uber kritisch blieb und meinte, nichts werde durch Symbole bewiesen, nichts Verborge” nes werde in der Naturphilosophie durch geometrische Symbole entdeckt.“ Dies geht noch u ¨ber Keplers heftige Erkl¨arung, er hasse alle Kabbalisten und ihre esoterischen Symbole, hinaus. ¨ Er sah die Algebra zwar als etwas Einfallsreiches und Uberra” schendes“ an, das aber niemals an die Gewißheit der Geometrie, seines mathematischen Probiersteines, heranreichen k¨onne. Die Frage der Algebra spitzt sich in Keplers Harmonices Mundi ( Von der Harmonie der Welt“, 1619) zu, worin er ver” sucht, der Musik eine neue, geometrische Grundlage zu verschaffen anstelle der alten, pythagor¨ aischen Numerologie der einfachen ganzen Zahlen. Die neue Grundlage sollte auf den Verh¨altnissen zwischen den Seiten der einfachsten regelm¨aßigen Vielecke beruhen. Unter anderem wollte er in seiner Theorie auch die zeitgen¨ ossischen Tonleitern erfassen (die Intervalle wie 5 : 4 und 6 : 5 benutzten), nicht nur die pythagor¨ aischen Tonleitern (in denen lediglich die Zahlen bis vier vorkamen). Dazu brauchte er alle regelm¨ aßigen Figuren bis einschließlich des Sechsecks; das Siebeneck aber sollte ausgeschlossen bleiben, da es harte Dissonanzen wie 7 : 3 in sein Schema gebracht h¨ atte. Sein geometrisches Argument daf¨ ur war, daß man das regelm¨ aßige Siebeneck nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren k¨ onne. (Dies wurde von Kepler vermutet, aber erst 1801 von Carl Friedrich Gauß bewiesen.) Er wußte allerdings, daß der Schweizer Mathematiker und Uhrmacher Jost B¨ urgi algebraische Gleichungen aufgestellt hatte, deren L¨ osungen die Seitenl¨ angen regelm¨ aßiger Vielecke beschreiben. Im Falle des Siebenecks ist es eine kubische Gleichung, die daher mit der Methode von del Ferro, Cardano und Tartaglia aufl¨osbar ist (Kasten 3.1). F¨ ur Keplers Musiktheorie h¨atte dies problematisch werden k¨ onnen, denn mit dieser L¨ osung w¨aren jenen schrecklichen Dissonanzen die  T¨ ur ge¨ offnet. Jedoch kommen in √ der L¨osungsformel Terme wie 3 1 − −27 vor, die in der damaligen Zeit absonderlich, wenn nicht gar absurd erschienen. Kepler sah voraus, daß die Aufl¨ osung solcher komplexen Wurzeln einen

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unendlichen Prozesses erforderte (den man sp¨ ater als die unendliche Reihenentwicklung gewisser trigonometrischer Funktionen verstehen w¨ urde). Da selbst der allwissende Geist“ Gottes sol” che Wurzeln nicht in einen einfachen ewigen Akt“ fassen kann, ” kann es auch vom menschlichen Geist nicht erkannt werden“. ” Kasten 3.1 Falls wir die Seite des Vielecks x nennen und y = x2 setzen, so ist ur das Siebeneck B¨ urgis Gleichung f¨ ur das F¨ unfeck 5−5y+y 2 = 0 und f¨ 3 2 osbar, doch im y − 7y + 14y − 7 = 0. Beide sind durch Wurzeln aufl¨ Falle des Siebenecks liefert die Methode von del Ferro, Cardano und Tartaglia 




1 3 7 
√ √ 3 3  1 − −27 + 1 + −27 . x= 3 2

Da die Geometrie hingegen stets einfache ewige Akte“ g¨ott” licher Vernunft widerspiegele, zog Kepler sie den fragw¨ urdigen Prozessen bei der Aufl¨ osung kubischer Gleichungen vor. Dies war ein wichtiges Problem, denn von ihm hingen nicht nur musikalische Fragen ab, sondern die ganze Struktur des Universums, von der Kepler annahm, daß sie auf musikalischen Verh¨altnissen beruhe. Seine Suche nach der kosmischen Harmonie f¨ uhrte ihn zu seinem dritten Gesetz u ¨ ber die Planetenbewegungen: Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz des mittleren Bahnradius. Ist der Kosmos geometrisch strukturiert, wie Kepler glaubte, bleibt die Algebra unbedeutend oder unzul¨anglich. Andere schenkten ihr noch weniger Beachtung: Galileo Galilei erw¨ ahnte die Algebra nie, obwohl er wahrscheinlich davon geh¨ ort hatte. In seinem ber¨ uhmten Ausspruch beschrieb er zwar das Buch der Natur“ als in den Buchstaben der Ma” ” thematik“ geschrieben, meinte damit aber ausdr¨ ucklich Dreiecke und andere geometrische Figuren und keine algebraischen Symbole. Vielleicht war Galilei hier von der akademischen Mathematik seiner Zeit beeinflußt, die ferne der wirtschaftlichen Bez¨ uge der fr¨ uhen Algebra stand.

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Nichtsdestotrotz erregten Vi`etes Entdeckungen weites Aufsehen in Frankreich. Sein Optimismus hinsichtlich der L¨osbarkeit aller Probleme wurde von seinem großen Nachfolger Ren´e Descartes geteilt, der sieben Jahre alt war, als Vi`ete 1603 starb, und dessen fruchtbares Buch La G´eom´etrie (1637) Vi`etes Ergebnisse festigen und ausweiten w¨ urde. Trotz der N¨ ahe ihrer Arbeiten erkannte Descartes aus irgendeinem Grunde Vi`etes Vorrecht nur ungern an. Er erw¨ ahnte ihn nur widerwillig und behauptete, die gleichen Entdeckungen unabh¨ angig gemacht und erst danach die B¨ ucher des ¨ alteren Mathematikers gelesen zu haben. Allerdings muß gesagt werden, daß Descartes die neue Algebra mit unvergleichlicher Klarheit und Kraft handhabte. Auch stellte er die neuen Entdeckungen in der Dienst einer neuen Philosophie, an deren Ende ein Verst¨ andnis der Welt als Materie in mathematisch erfaßbarer Bewegung stehen sollte. Die algebraische Mathematik durchzieht als roter Faden Descartes’ gesamtes Werk. Symbolische Mathematik und strenge Regeln stehen beispielhaft f¨ ur sein Schlagwort: Methode. Denn sowohl La G´eom´etrie als auch Abhandlungen u ¨ber Optik und Meteorologie sind nur Anh¨ ange zu seinem Discours de la M´ethode, seiner Abhandlung u ¨ ber die Methode, den Verstand recht zu ” f¨ uhren“. Diese technischen Werke rechtfertigen sein Beharren auf der richtigen Methode (auf den Regeln f¨ ur die Ausrichtung des ” Geistes“, wie ein fr¨ uheres Werk es nannte). Er wandte diesen Probierstein an, indem er das u ¨ berkommene Wissen seiner Zeit systematisch in Zweifel zog. Descartes wandte sein Kriterium der Methode aber auch an, um die Algebra auf ihre im wesentlichen heutige Form zu bringen. Vi`ete hatte zur Bedingung gemacht, daß alle Terme in einer algebraischen Gleichung die gleiche Dimension haben m¨ ussen, wie wir es heute ausdr¨ ucken w¨ urden; das heißt, wenn x die Dimension einer L¨ ange besitzt, und x3 in einer Gleichung vorkommt, dann m¨ ussen auch alle anderen Terme der Gleichung die Dimension des Volumens (L¨ ange hoch drei) besitzen. Descartes zeigte, daß dies nicht n¨ otig ist: Man kann allen Termen die gleiche Dimension verschaffen, indem man sie so oft wie n¨ otig mit einer Einheitsl¨ ange multipliziert. Wenn zum Bei-

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spiel 6 und x jeweils die Dimension einer L¨ ange haben, so kann man 6x einfach mit der Einheitsl¨ ange multiplizieren, um auf die Dimension des Volumens zu kommen. Schaut man sich eine Seite aus La G´eom´etrie an, so sieht man Gleichungen, die fast wie unsere heutigen aussehen (Abb. 3.1). Descartes zeigt, wie Euklids Geometrie und Apollonius’ Kegelschnitte durch quadratische Gleichungen beschrieben werden k¨ onnen, und kl¨ art dabei l¨ astige Probleme auf, welche diese Gleichungen u ¨ berschatteten. Schon die Araber hatten bemerkt, daß manche quadratischen Gleichungen L¨ osungen zu haben scheinen, die keine positiven Zahlen sind. Negative Zahlen erkannten sie nicht als Zahlen an, obwohl es so aussieht, als seien sie mit Schulden und Verm¨ ogen auf eine Weise umgegangen, die unserem Begriff einer Zahl mit Vorzeichen nahe kommt. Wieder h¨alt sich die urspr¨ ungliche Bedeutung der Zahl hartn¨ ackig, denn der Begriff negative Zahlen“ scheint unserer intuitiven Vorstellung des ” Z¨ ahlens gewaltig zu widersprechen: Wie kann man Verneinendes z¨ahlen? Sogar Vi`ete erlaubte seinen Koeffizienten und seinen Unbekannten nicht, negativ zu sein. Erst Albert Girard akzeptierte 1629 negative L¨ osungen von Gleichungen und erkl¨arte, das Ne” gative in der Geometrie bedeute ein Zur¨ uckschreiten, wo das Positive ein Vorangehen ist“: im wesentlichen die heutige Idee eines Zahlenstrahls“, bei dem positiv“ und negativ“ die beiden ver” ” ” schiedenen Richtungen entlang des Strahls darstellen. Dennoch waren die Neuank¨ ommlinge nicht g¨ anzlich willkommen. Andere Mathematiker jener Zeit lehnten sie ab und nannten sie absurde ” Zahlen“; Descartes sagte, sie seien weniger als Nichts“. Noch im ” achtzehnten Jahrhundert bestritten einige Lehrb¨ ucher die Regel, das Produkt zweier negativer Zahlen ergebe eine positive Zahl, und selbst Pierre Simon Laplace sagte 1795, diese Regel weise ” einige Schwierigkeiten auf“. Auch wenn Descartes lieber von falschen Wurzeln“ rede” te, gesteht er den negativen Zahlen doch zu, zu existieren und L¨osungen zu sein. Er t¨ uftelt sogar eine geniale Methode aus, um zu erkennen, wieviele positive und negative L¨ osungen eine Gleichung besitzt: die Descartessche Zeichenregel“. Sie ist erstaun”

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3 Unmogliches und Imaginäres LIVRE TROISIESME.

37?

nepeuteftrcdiuifeeparvn binömecompofedelaqaautitd"inconnue4-ou —quelque autrequantitd, cela te£ moigne que cete autre quantitd n'eft la valeur d'aucune n defesracines. Commecetederniere atutt *•» — 4 * ' — 1 9 :wc - 1 - 1 otf * - - 1 i o 30 o

Uur d'vne

peutbiencftre diuiföe, par x — z, & par *•- 3,&parlicme" *—4,&par*H-5 ; maisnonpoint par x-+- ou — aucuneautrequantitc'. cequi monftre qu'elle ne peuc auoir que les quatre racincs 2,3>4,& f. Onconnoiftauflydecccycombienilpeut y auoirde Combicn Trayes racines, 8c combicn de faufles en chafque Equa- auolr de tion. A f§auoir ily en peutauoir autancde vrayes, que ^ 7 " lesfignes•+• &—s'y trouucnt de fois eftre changes s & chafque aotant de fauflcs qu'ils'ytrouuede fois deux fignes-1-, E 6 oudeuxfignes« qui s'entrefuiuent. Comme ea la deroiere,a caufe qu'aprös -4-» 4 ilya-4Ar »,qui eft VQ changcmentdufigneH-cn—,&apr€s~ 19 »arilya-J-iodw, &apres-f-lo6 Arilya- izoqui font encoredeux autres changemens, on connoift qu'il ya trois vrayes racines;&: vnefeufle.acaufe que les deuxfignes—,de 4 x ',& 19 xx, s'etnrefuiuent. Deplusileftayfcde faire en vne mefme Equation, que toutes les racines qui eftoiont fiiufles deuienent vrayes,& par mefmemoyen que toütes cellesqui eftoiet vrayes deuienent faufTes: a fcauoir ea chaoccaut tous les fignes -+- ou « qui font en la leconde , en la nu quatriefme , en la fixiefme , ou autres places quife„ defignenc par les nombres pairs , fans changer ceux lcs y de la premiere , de la troifiefme, de la cinquiefine au es< & femblables qui fe defignent par les nombres Aaa 3 impairs. Abb. 3.1 Aus: Rene Descartes La Geometrie (1637), Seite 373.

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lich einfach: Es kann so viele wahre [positive Wurzeln] geben, ” wie es Wechsel der Zeichen + und − gibt; und so viele falsche [negative], wie zwei Zeichen + oder zwei Zeichen − aufeinanderfolgen.“ Kasten 3.2 zeigt ein Beispiel; Descartes gibt allerdings keine Begr¨ undung f¨ ur seine Regel. Hier wird die St¨ arke der neuen Schreibweise deutlich: Allein an den Vorzeichen der aufeinanderfolgenden Terme einer Gleichung kann man die Vorzeichen der L¨ osungen bestimmen, auch wenn man ihren numerischen Wert nicht kennt. Descartes’ Regel ist v¨ ollig allgemein und gilt f¨ ur Gleichungen beliebigen Grades. Er zeigt auch, daß es einfach ist, ” in einer einzigen Gleichung zu erreichen, daß alle Wurzeln wahr werden, die falsch waren, und gleichzeitig, daß alle falsch werden, die wahr waren“, indem man die Vorzeichen jedes zweiten Terms ¨ mit der Regel. Diese Erkenntnis, ¨andert, in Ubereinstimmung wahre Wurzeln“ in falsche“ verwandeln zu k¨ onnen und umge” ” kehrt, hat sicher mit dazu gef¨ uhrt, daß Descartes beide als verschiedene, aber vergleichbare Arten von L¨ osungen anerkannte. Kasten 3.2 Descartes’ Zeichenregel: Auf der in Abb. 3.1 gezeigten Seite erkl¨ art Descartes, daß die Gleichung x4 −4x3 −19x2 +106x−120 = 0 drei positive ( wahre Wurzeln“) ” und eine negative ( falsche Wurzel“) L¨ osung besitzt, denn es gibt drei ” Vorzeichenwechsel zwischen den Termen. Descartes gibt kein Argument f¨ ur seine allgemeine Regel (die schon in Ans¨ atzen bei Cardano und Wallis auftritt), aber hier ist ein einfacher Hinweis: Betrachten wir x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, wo es zwei Vorzeichenwechsel und zwei positive L¨ osungen gibt (x = 2 und x = 3). Multipliziert man diese Gleichung mit x − 4, gibt es drei positive L¨ osungen (x = 2, 3 und 4) und drei Vorzeichenwechsel: (x − 2)(x − 3)(x − 4) = x3 − 9x2 + 26x − 24 = 0. Im allgemeinen kann jede zus¨ atzliche positive L¨ osung h¨ ochstens einen Vorzeichenwechsel hinzuf¨ ugen. Es kann also nicht mehr positive L¨ osungen als Vorzeichenwechsel geben.

Descartes ¨ offnete auch einer noch problematischeren Art von L¨ osungen die T¨ ur, bei denen Quadratwurzeln aus negativen Zah-

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len auftreten d¨ urfen, und die wir nach wie vor durch den skeptischen Namen imagin¨ are Zahlen“ mit Vorsicht genießen. So ” schwierig es bereits zu verstehen ist, was negative Zahlen sind, imagin¨ are Zahlen sind noch verwunderlicher, und viele gebildete Menschen h¨ atten selbst heutzutage M¨ uhe, sie zu erkl¨aren. Ihr fremdartiger Charakter wird dadurch verst¨ arkt, daß alle nichtimagin¨ aren Zahlen reelle Zahlen“ heißen. Die Araber erlaub” ten ganz einfach keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen; al-Khw¯ arizm¯ı sagt in solchen F¨ allen, es gibt keine Gleichung“. ” Cardano hielt eine solche Gr¨ oße f¨ ur sophistisch“ und so subtil ” ” wie nutzlos“. Tats¨ achlich ist es so, daß bei quadratischen Gleichungen mit reellen L¨ osungen in der Formel keine imagin¨aren Zahlen auftauchen und es somit kein Problem gibt. Denn falls die L¨ osung eine imagin¨are Zahl ist, k¨ onnen wir sie als nicht zul¨assig verwerfen, eben weil sie nicht reell ist. Dahingegen kann es im Falle kubischer Gleichungen passieren, daß zwar alle Wurzeln reell sind, die Formel von del Ferro, Cardano und Tartaglia aber ausdr¨ ucklich imagin¨ are Zahlen benutzt. Dieser sogenannte irreduzible Fall bedeutet, daß wir mit imagin¨ aren Zahlen umgehen m¨ ussen, falls wir die Formel f¨ ur die kubische Gleichung benutzen wollen. 1560 hatte Raphael Bombelli einen, wie er es nannte, gewagten Gedanken“: Dieses Puzzle k¨ onnte gel¨ost werden, ” wenn man zeigt, daß die imagin¨ aren Teile sich gegenseitig aufheben (Kasten 3.3). Dieser Trick klappt allerdings nur in wenigen F¨ allen und l¨ aßt die allgemeine Frage offen, wie man imagin¨are Zahlen zu verstehen habe und (schlimmer noch) wie man dritte Wurzeln aus ihnen ziehen oder wie man mit ihnen umgehen solle, wenn sie zusammen mit reellen Zahlen auftauchen. Descartes f¨ uhrte die Begriffe reell“ und imagin¨ar“ im heu” ” tigen Sinn ein. (1831 wurde von Carl Friedrich Gauß der Begriff komplexe Zahlen“ eingef¨ uhrt, der sowohl die reellen wie auch ” die imagin¨ aren Zahlen umfaßt.) Indem er beiden Arten einen Namen gab, erteilte er den imagin¨ aren L¨ osungen eine Art Legitimit¨ at, wenn auch unter einem Namen, der ihre Unwirklichkeit andeutet. Diese Aura besteht noch in Gottfried Wilhelm Leibniz’ verbl¨ uffender Beschreibung: Die imagin¨ aren Zahlen sind ”

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Kasten 3.3 Bombellis gewagter Gedanke: osunBombelli betrachtete die Gleichung x3 = 15x + 4, deren L¨ gen, gem¨ a ß der Formel von del Ferro-Cardano-Tartaglia, durch x=   √ √ 3 2 + −121 + 3 2 − −121 beschrieben sind. Durch einfaches Einsetzen sieht man aber auch, daß x = 4 die Gleichung l¨ ost. Um beide L¨ o sungen miteinander in Einklang zu bringen, setzt Bombel √ √ 3 li 2 + −121 = 2 + b −1 an, wobei b zu bestimmen bleibt. Er√ hebt man beide Seiten in die dritte Potenz, ergibt sich 2 + −121 = √ √ √ √ 3 2 3 2 + 11 −1 = (2 + b −1) = 8 + 12b −1 − 6b − b −1, was nur f¨ ur b = 1 erf¨ ullt ist. Auf ¨ ahnlichem Wege zeigt Bombelli  √ √ 3 2 − −121 = 2 − −1. Die Gesamtl¨ osung x ergibt sich somit als √ √ x = 2 + −1 + 2 − −1 = 4. Dieser einfallsreiche Trick scheint f¨ ur Bombelli aber auf Sophisterei“ zu beruhen. Tats¨ achlich kann er nicht ” auf jede Gleichung angewandt werden, sondern nur in Spezialf¨ allen. (Die L¨ osung der Gleichung des Siebenecks in Kasten 3.1, die Kepler besch¨ aftigte, ist ein Beispiel, das nicht auf diese Weise behandelt werden kann.)

eine feine und wunderbare Zuflucht des g¨ ottlichen Geistes, beinahe ein Amphibium zwischen Sein und Nichtsein.“ Leibniz mag dabei auf das geheimnisvolle Fortschreiten des Heiligen Geistes in der christlichen Theologie anspielen, aber sein Ausspruch schreibt eine Gespenstigkeit dieser Gr¨ oßen fort, von denen man doch mit gewissem Recht behaupten kann, daß ihnen ebensoviel Realit¨ at wie den reellen“ Zahlen zukommt. Diesen Eindruck ” vertreibt man vielleicht am besten, indem man sich die komplexen Zahlen als Punkte einer Ebene vorstellt, wobei der Realteil die x-Koordinate und der Imagin¨ arteil die y-Koordinate wiedergibt (Abb. 3.2). In dieser Sichtweise sind die komplexen Zahlen zweidimensional, die reellen Zahlen hingegen eindimensional. ¨ Uber die Anerkennung komplexer L¨ osungen hinaus behauptet Descartes (ohne Beweis), daß jede Gleichung ebensoviele L¨ osungen besitze wie ihr Grad angibt: Eine quadratische Gleichung habe zwei L¨ osungen, eine kubische drei und eine Gleichung n-ten Grades habe n L¨ osungen. Diese ganz entscheidende Ein-

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Abb. 3.2 Die zweidimensionale Darstellung komplexer Zahlen

sicht wurde zuerst 1629 von Girard formuliert; sie dr¨ uckt Vi`etes und Descartes’ Vertrauen darin aus, daß alle algebraischen Probleme L¨ osungen besitzen. Sp¨ ater wird sie zum Fundamentalsatz der Algebra f¨ uhren, der aussagt, daß jede Gleichung zumindest eine komplexe L¨ osung besitzt, aber im Augenblick ist dies nur ein Schimmer in Descartes’ Auge. Descartes bemerkt auch, daß man die L¨ osungen eines Gleichung um einen gewissen Wert ver¨ andern kann, auch ohne diese L¨osungen zu kennen. Will man etwa den Wert jeder L¨osung um 3 erh¨ ohen, ersetzt man jedes Vorkommen von x durch y − 3. Die neue Gleichung in y hat dann per Konstruktion L¨osungen y = x+3, also wie gew¨ unscht verschoben. Um alle L¨osungen einer Gleichung mit einem Faktor s zu skalieren, muß man x u ¨berall durch sy ersetzen: Die neue Gleichung in y hat dann L¨osungen y = x/s. Durch solch einfache Umformungen erh¨alt man aus jeder Gleichung eine ganze Familie von Gleichungen, mit jedesmal verschiedenen Werten der L¨ osungen. Hingegen ver¨andern diese Umformungen nicht das Verh¨ altnis der L¨ osungen zueinander, die ja alle gleichermaßen ver¨ andert werden. Im Kapitel 9 werden wir auf diese Relativit¨ at“ der L¨ osungen zueinander (die von Des” cartes nicht untersucht wurde) zur¨ uckkommen. Descartes ist sich so sicher, daß Gleichungen auch jenseits des vierten Grades aufgel¨ ost werden k¨ onnen, daß er sich gar nicht osungsverfahren auszut¨ ufteln. Stattdarum bem¨ uht, spezielle L¨ dessen gibt er eine allgemeine Regel“: Versuche durch Fakto”

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risierung die Gleichung zu einer Gleichung niedrigeren Grades zu vereinfachen. Descartes kann sich nicht nur auf die Arbeiten von Cardano und Ferrari berufen, er konnte auch (wie Vi`ete vor ihm) durch sein analytisches Verst¨ andnis der Geometrie Probleme l¨ osen, die den Alten ein R¨ atsel blieben: die Dreiteilung des Winkels und die Verdoppelung des W¨ urfels. Allerdings brauchte er neben Zirkel und Lineal auch gewisse Kegelschnitte und damit Hilfsmittel, die in der antiken Geometrie nicht erlaubt waren. Descartes’ gr¨ oßter Stolz war die L¨ osung eines anderen Problems, das die Alten verst¨ orte, n¨ amlich Pappos’ Problem des geometrischen Ortes zu vier Geraden: die Kurve derjenigen Punkte zu bestimmen, deren Abst¨ ande von gegebenen vier Linien bestimmten Proportionen gen¨ ugen. Descartes l¨ ost dieses Problem nicht nur mit arroganter Leichtigkeit, sondern er geht auch weiter zu dem Problem des Ortes zu f¨ unf Geraden, an dem sich die Alten nicht einmal versucht hatten. Diese Triumphe besch¨aftigten ihn weit mehr als der Versuch, Gleichungen vom Grad gr¨oßer als vier aufzul¨ osen. Zwar gibt er ein Beispiel an: Er findet die L¨osungen einer Gleichung sechsten Grades durch geniale Handhabung von Kegelschnitten. Jedoch ist seine Gleichung nicht vollkommen allgemein: Die Koeffizienten m¨ ussen gewissen Einschr¨ankungen gen¨ ugen, damit seine geometrische Methode funktioniert. Mit einer ironische Floskel schließt er: Man m¨ usse nur denselben Weg ” verfolgen, um alle komplizierteren [L¨ osungen] zu konstruieren bis ins Unendliche. Denn im Falle einer mathematischen Progression ist es einfach, wenn die ersten beiden oder drei Ausdr¨ ucke gefunden sind, auch den Rest zu finden“, und er dr¨ uckt seine Hoffnung aus, die Leser m¨ ogen ihm dankbar sein f¨ ur das, was er absichtlich ausgelassen habe, um ihnen das Vergn¨ ugen des ” Entdeckens zu lassen.“ Aber indem er das Problem der Gleichungen h¨ oheren Grades ¨ dem Leser als eine gehobene Ubung u aßt, u ¨ berl¨ ¨ bersieht er doch ¨ offensichtlich die Schwierigkeit dieser Ubung. Die kommenden Jahrhunderte brachten viele Versuche, Vi`etes und Descartes’ Visionen zu realisieren. Obwohl im sechzehnten Jahrhundert noch erstaunliche Fortschritte beim L¨ osen von Gleichungen gemacht

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wurden, ist es wohl nicht u ¨berraschend, daß die prinzipielle Frage nach den Gleichungen f¨ unften Grades noch zweihundert Jahre ungel¨ ost liegenblieb. Descartes hatte ein weites Feld f¨ ur mathematische Untersuchungen er¨ offnet; die Aufl¨ osung h¨ohergradiger Gleichungen war nur eine unter vielen. Aber dieser eine Faden ist reichlich verwoben mit der ganzen mathematischen Geschichte der zwei Jahrhunderte nach Descartes, in denen einige der gr¨ oßten Mathematiker aller Zeiten auftreten werden: Newton, Leibniz, Euler und Gauß.

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Sir Isaac Newtons Verh¨ altnis zur Algebra war sonderbar zwiesp¨altig. Als junger Mensch studierte er Descartes’ Werke sorgf¨ altig; im Alter dagegen verabscheute er Descartes so sehr, daß er manchmal seinen Namen weder aussprechen noch niederschreiben zu wollen schien, als k¨ onnte er sich damit besudeln. Die Gr¨ unde daf¨ ur sind nicht v¨ ollig klar. Newton verachtete Descartes’ Philosophie als bem¨ antelten Atheismus, aber es gab auch mathematische Gr¨ unde f¨ ur sein Mißfallen. Wie Vi`ete sah Newton sich selbst als Verehrer und Wiederhersteller der Antike, wohingegen Descartes seines Erachtens die Tiefe der griechischen Geometrie zugunsten der fragw¨ urdigen Vorteile der analytischen Geometrie verraten habe. Um seine Behauptung zu belegen, bietet er in seiner Principia eine rein geometrische L¨ osung des Problems des Ortes zu vier Geraden, womit sich Descartes so gebr¨ ustet hatte, und merkt sarkastisch an, dies sei nicht eine [analytische] Berechnung, son” dern wie von den Alten gefordert eine geometrische Synthese des klassischen Problems der vier Geraden, wie von Euklid begonnen und von Apollonius fortgef¨ uhrt.“ Auch im Rest der Principia versucht Newton, die analytische Algebra m¨ oglichst zu vermeiden und seine S¨ atze im Stil von Euklid zu formulieren. Dieser Schein ist allerdings tr¨ ugerisch, denn Newton benutzt sowohl algebraische Ausdr¨ ucke wie auch das von ihm neu geschaffene Werkzeug der analytischen Mathematik: die Infinitesimalrechnung. Obwohl er sie geometrisch formuliert, geht sie u ¨ ber alles

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den Alten Bekannte hinaus, auch u ¨ ber Archimedes, den Newton als seinen Vorg¨ anger betrachtete. Trotz seiner Bevorzugung der Geometrie ist Newton damit in die Algebra eingetaucht. Als junger Professor hat er Vorlesungen u ¨ber dieses Gebiet gehalten (von 1672 bis 1683), aber seine Vorlesungen u ¨ ber Universal Arithmetic (Universelle Arithmetik) wurden erst 1707 ver¨ offentlicht. Newton gelangen auch einige die Gleichung f¨ unften Grades betreffende Entdeckungen. Er konnte gewisse Zusammenh¨ ange zwischen den Koeffizienten einer Gleichung und ihren L¨osungen oder Wurzeln aufstellen, die sogenannten Newton-Relationen“, welche die Girard-Relationen“ ” ” verallgemeinern (in Deutschland eher als Vietascher Wurzel” satz“ bekannt): Der Koeffizient des Terms vom zweith¨ochsten unften Grades) ist gleich der Grad (x4 im Falle einer Gleichung f¨ negativen Summe aller L¨ osungen (siehe Kasten 4.1). Ebenso sind die folgenden Koeffizienten gleich der Summe aller Produkte von je zwei L¨ osungen, dann der negativen Summe aller Produkte von je drei L¨ osungen, bis schließlich der letzte, konstante Term bis auf Vorzeichen das Produkt aller L¨ osungen ist. Sp¨ ater wird es sich als ¨ außerst wichtig erweisen, daß in diesen Summen von Produkten alle L¨ osungen in symmetrischer Weise auftreten. Dies bedeutet, daß jede L¨ osung in genau derselben Weise wie jede andere auftritt: Wenn man zwei von ihnen vertauscht, ¨andert sich weder die Summe aller L¨ osungen noch die Summe aller Produkte von je zwei L¨ osungen, und so weiter. Die Bedeutung dieser Relationen liegt darin, daß sie direkte Zusammenh¨ange zwischen den Koeffizienten und den L¨ osungen erkennen lassen, ohne daß man die Werte der L¨ osungen kennen muß. Newton konnte auch obere und untere Schranken f¨ ur die L¨ osungen bestimmen (in Abh¨ angigkeit von den Koeffizienten), also zeigen, wie groß oder klein sie werden k¨ onnen. Mit diesen Methoden k¨onnen wir eine beliebige Gleichung anschauen und einen Bereich bestimmen, in dem die L¨ osungen liegen, und auch, wieviele negativ und wieviele positiv sind. Newtons tiefste Einsicht blieb allerdings f¨ ur viele Jahre unentdeckt. Sie findet sich versteckt in einer Passage seiner Princi-

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Kasten 4.1 Girard- und Newton-Relationen: Betrachten wir eine kubische Gleichung mit L¨ osungen x1 , x2 , x3 . Die Gleichung kann somit als (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) = 0 geschrieben werden. Multipliziert man dies aus, erh¨ alt man x3 − (x1 + x2 + x3 )x2 + (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )x − x1 x2 x3 = 0. Der Koeffizient vor x2 ist also die negative Summe aller drei L¨ osungen, −(x1 + x2 + x3 ), w¨ ahrend der Koeffizient vor x die symmetrische Summe der Produkte von je zwei L¨ osungen ist: x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 . Schließlich ist der konstante Term der Gleichung das negative Produkt aller drei L¨ osungen: −x1 x2 x3 . Die gleiche Argumentation funktioniert f¨ ur Gleichungen beliebigen Grades: Der Koeffizient der zweith¨ ochsten Potenz der Unbekannten muß die negative Summe aller L¨ osungen sein, der n¨ achste Koeffizient die symmetrische Summe aller Produkte von je zwei L¨ osungen, und so weiter. Diese einfachen Zusammenh¨ ange werden wir als die Girard” Relationen“ bezeichnen. Newton hat sie deutlich verallgemeinert, indem er Formeln f¨ ur die Summe der Quadrate aller L¨ osungen und die Summe der n-ten Potenzen aller L¨ osungen ableitete. Dies sind dann die Newton-Relationen“. ”

pia und wurde bis zum zwanzigsten Jahrhundert kaum beachtet. In Lemma 28 aus Buch I, einer Untersuchung der Kurven, welche ein bewegter K¨ orper beschreiben kann (beispielsweise Planetenbahnen), zeigt er, daß es keine ovale Figur geben kann, deren ” durch beliebige Geraden beschnittene Fl¨ ache allgemein durch Gleichungen beschrieben werden kann, die endlich in der Anzahl ihrer Terme und Dimensionen sind.“ Dies bedeutet folgendes: Wenn man eine Gerade ax + by + c = 0 durch ein Oval zieht, kann man die dadurch abgeschnittene Fl¨ ache nicht durch ein endliches Polynom in a, b und c ausrechnen. Hierbei ist die Fl¨ache als Funktion dieser Gr¨ oßen zu verstehen, nicht als ein reiner Wert. Newton definiert den Ausdruck Oval“ nicht expli” zit, aber er scheint damit eine beliebige geschlossene Kurve zu meinen, die sich nicht selbst schneidet (eine einfache“ Kurve ” in der Sprache der modernen Mathematik), die glatt ist ( belie” big differenzierbar“) und stets gekr¨ ummt, nirgends flach“. Die ”

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einfachste solche Kurve ist ein Kreis, und es wurde schon lange vermutet, daß die Fl¨ ache eines Kreises irrational im Verh¨altnis zum Radius ist. Doch was Newton anspricht, geht weit u ¨ ber die Irrationalit¨ at von π hinaus (wie das Verh¨ altnis der Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser sp¨ ater von Euler bezeichnet wurde), und auch u at von π 2 . Newtons Argument ¨ber die Irrationalit¨ deutet an, daß die Fl¨ ache eines Kreises durch ¨ uberhaupt keine algebraische Gleichung gegeben ist, wie hoch ihr Grad auch immer gew¨ ahlt werde, also daß die Fl¨ ache (und damit auch π) auf keine Weise durch endlich viele Quadratwurzeln, dritte, vierte, f¨ unfte Wurzeln und so weiter ausgedr¨ uckt werden k¨onne. Um den von Euler sp¨ ater eingef¨ uhrten Begriff zu benutzen: Die Fl¨ ache des Kreises ist transzendent im Verh¨ altnis zum Radius. Dies bedeutet, daß es keine Gleichung endlichen Grades mit rationalen Zahlen als Koeffizienten gibt, von der dieses Verh¨altnis eine L¨ osung ist. Auf einen Schlag l¨ aßt Newton erkennen, daß solche Gr¨ oßen u ¨ berhaupt existieren (denn Kreise existieren ja und somit auch ihr Fl¨ acheninhalt), aber auch, daß es unendlich viele solcher Gr¨ oßen gibt, da sich sein Beweis nicht auf Kreise beschr¨ ankt, sondern f¨ ur beliebige ovale“ Kurven gilt. Sein Be” ¨ weis ist ein Wunder an Einfachheit und Uberzeugungskraft; er macht sich nicht einmal die M¨ uhe, ein Bild zu zeichnen oder eine Zeile Algebra aufzuschreiben. Er folgt aus einem einzigen, genialen Kunstgriff: Man w¨ ahlt einen Punkt im Innern des Ovals, den wir den Pol P nennen. Von diesem Pol soll eine gerade Linie ausgehen, die sich mit gleichm¨ aßiger Winkelgeschwindigkeit um ihn dreht. Man kann an einen Minutenzeiger denken, der in einer Stunde eine vollst¨ andige Umdrehung zur¨ ucklegt. Nun stelle man sich vor, daß sich entlang des Zeigers, vom Pol startend nach außen, ein Lichtpunkt bewegt, dessen Geschwindigkeit jeweils das Quadrat des Abstandes zwischen dem Pol und dem Schnittpunkt des Zeigers mit der ovalen Kurve sein soll (Abb. 4.1). Newton hat damit eine Methode eingerichtet, den Fl¨acheninhalt des Kreises zu messen, denn jede Stunde streicht der Zeiger einmal u ache, und der sich bewegende Punkt ¨ ber die ganze Fl¨ f¨ uhrt Buch u ache, da er sich mit einer zu der u ¨ ber diese Fl¨ ¨ berstri-

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Abb. 4.1 Newtons Diagramm f¨ ur sein Lemma 28, welches beweist, daß keine ovale Kurve eine Fl¨ ache umfaßt, die durch eine endliche algebraische Gleichung ausgedr¨ uckt werden kann. Von irgendeinem Punkt P im Innern des Oval zieht man eine gerade Linie, die sich mit gleichm¨ aßiger Winkelgeschwindigkeit um P dreht.

chenen Fl¨ ache proportionalen Geschwindigkeit bewegt. Hier benutzt Newton implizit seine neugeschaffene Differentialrechnung der Bewegung, denn damit weiß er, daß der von dem Punkt in einem unendlich kleinen Zeitabschnitt zur¨ uckgelegte Weg gerade gleich der Fl¨ ache ist, die der Zeiger in dieser Zeit u ¨ berstreicht (Abb. 4.2). F¨ ur das folgende braucht man aber keine Ahnung von Differentialrechnung zu haben: Entscheidend ist jetzt nur noch, daß der sich bewegende Punkt Sekunde um Sekunde die Fl¨ache erfaßt, welche der Zeiger u ¨berstrichen hat, und wir daher die

Abb. 4.2 Ein Detail aus Newtons Lemma 28: die Geschwindigkeit des sich bewegenden Punktes ist proportional zu der zwischen A und A
u ache. ¨ berstrichenen Fl¨

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Gesamtfl¨ ache des Ovals messen k¨ onnen, indem wir einfach den Ablauf einer Stunde abwarten und dann den Abstand messen, den der Punkt zwischen sich und den Pol gebracht hat. Newton ersetzt somit das zweidimensionale Problem, eine Fl¨ache zu berechnen, durch ein eindimensionales, das dieselbe Antwort gibt: n¨ amlich die L¨ ange zu bestimmen, um welche sich der Punkt innerhalb einer Stunde nach außen bewegt hat. Der Zeiger dreht sich gleichm¨ aßig, der Punkt aber beschleunigt abwechselnd und bremst wieder ab in einem jede Stunde wiederkehrenden Muster, eben proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen Pol und dem in diesem Augenblick betroffenen Randpunkt des Ovals. Nach Ablauf jeder Stunde kehrt er zur Anfangsgeschwindigkeit zur¨ uck. Wenn man den Lichtpunkt beobachten w¨ urde (oder unter Langzeitbelichtung mit einer Kamera aufn¨ ahme), so s¨ ahe man eine Spirale, die vom Pol ausgehend eine unendliche Anzahl an Windungen“ zur¨ ucklegt, ” wie Newton sich ausdr¨ uckt (Abb. 4.3). Nun f¨ uhrt Newton einen Widerspruchsbeweis, eine reductio ad absurdum: Legen wir ein Koordinatensystem durch den Pol und nehmen wir an, es w¨are m¨oglich, diese Spirale (und damit auch die Fl¨ ache der Ovalabschnitte) durch eine polynomiale Gleichung in endlich vielen Termen f (x, y) = 0 zu beschreiben. Betrachten wir nun die Gerade quer durch die Spirale, welche durch y = 0 definiert ist (mit anderen Worten die x-Achse). Was kann man u ¨ber die Schnittpunkt dieser Gerade und der Spirale sagen? Jeder einzelne gibt eine L¨ osung der Gleichung f (x, 0) = 0. Nun hat Descartes zum Beispiel gezeigt, daß jeder Kegelschnitt durch Gleichungen zweiten Grades beschrieben werden kann und daher nicht mehr als zweimal von einer Geraden geschnitten werden kann. Newton benutzt jetzt die Tatsache, daß eine Gleichung endlichen Grades nur endlich viele L¨ osungen haben kann, auch wenn es sehr viele sein k¨ onnen. Aber die Spirale mit ihren unendlich vielen ” Windungen“ schneidet die Gerade unendlich oft. Also muß es unendlich viele Schnittpunkte und damit unendlich viele L¨osungen der Gleichung geben. Dies widerspricht aber der Annahme, daß die Gleichung von endlichem Grad ist, und daher ergibt sich

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Abb. 4.3 In Newtons Lemma 28 l¨ auft der sich bewegende Punkt auf einer spiralf¨ ormigen Bahn, die sich aus der Bewegung des Punktes entlang der Linie und der gleichf¨ ormigen Drehung der Linie selbst um den Punkt P ergibt. Newton bestimmt den Fl¨ acheninhalt innerhalb der Kurve, indem er den Abstand des Pols P von dem Punkt X nach einer vollen Umdrehung betrachtet, w¨ ahrend der der gesamte Fl¨ acheninhalt des Ovales u ¨ berstrichen wurde. Der sich bewegende Punkt legt achsten Umlauf zur¨ uck, und dieselbe Entfernung XX
= P X beim n¨ so weiter.

Newtons Schlußfolgerung, daß keine solche Gleichung die Fl¨ache des Ovals beschreiben kann. Dieses brillante Argument zeigt, daß alle einfachen geschlossenen Kurven, wie der Kreis oder die Ellipse, Fl¨ achen umfassen, die nicht durch endliche algebraische Gleichungen beschrieben werden k¨ onnen. Das Argument schien so einfach, daß es Newtons Zeitgenossen mißtrauisch machte. Daniel Bernoulli und Leibniz versuchten Gegenbeispiele zu finden; es gelang ihnen aber nur mit Kurven, die sich selbst schneiden (wie zum Beispiel die Lemniskate ∞, eine auf die Seite gelegte 8) oder nicht geschlossen sind (wie etwa eine Parabel). Sp¨ ater verlangten die Mathema-

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tiker gr¨ oßere Strenge als Newtons wundersch¨ on einfache Argumente (wie kann man beweisen, daß die Spirale unendlich viele Schnitte mit der Geraden haben muß?), aber die grundlegende Stoßrichtung seiner Einsichten blieb erhalten. Es gibt unendlich viele Gr¨ oßen, die irrationaler als jede Wurzel sind in dem Sinne, daß keine L¨ osung einer endlichen Gleichung mit ihnen kommensurabel ist. In diesem Sinne sind sie transzendent. Implizit nahm Newton an, daß sein Beweis den Vorrang der Geometrie vor der Algebra untermauere, indem er zeigt, daß eine einfache geometrische Figur Gr¨ oßen enth¨ alt, welche jedes endliche St¨ uck Algebra zunichte machen. Dies l¨ aßt seine eigene Bevorzugung der Geometrie (und seine geometrisch formulierte Differentialrechnung) u ¨ berzeugender wirken, denn dadurch stellt er seine meisterhafte Theorie u ¨ ber die Grenzen der Algebra. In Newtons Sicht haben die Alten mit ihm als modernem Champion den Empork¨ommling Descartes besiegt, indem sie die Algebra dem umfassenderen Schirm der Geometrie untergeordnet haben. Angesichts dessen ist es verst¨ andlich, daß Newton die Aufl¨osung der Gleichung f¨ unften Grades nicht als Teil seines gr¨oßeren Projektes empfunden haben mag, obwohl er in seiner Jugend viel Energie darauf verwandt hatte, kubische Gleichungen zu klassifizieren, und damit zum Fortschritt der Algebra beigetragen hatte (man denke nur an das Newton-Verfahren“ zur ” n¨ aherungsweisen L¨ osung von Gleichungen). Falls die wirkliche Anstrengung geometrischen Gr¨ oßen gilt, die sich nicht durch endliche Gleichungen ausdr¨ ucken lassen, warum sollte man sich dann Gedanken u osung der Gleichung f¨ unften Grades ma¨ ber die Aufl¨ chen? Ironischerweise haben die nachfolgenden Generationen an Mathematikern Newtons Arbeiten in der von seinem Erzrivalen Leibniz erfundenen algebraischen Notation aufgegriffen, w¨ahrend seine Einsichten u oßen erst Jahrhunderte ¨ber transzendente Gr¨ sp¨ater wiederentdeckt wurden. Wir werden in der sich weiter entwickelnden Geschichte der Gleichung f¨ unften Grades auf sie zur¨ uckkommen. Newton zum Trotz sicherte die St¨ arke und Sch¨onheit der algebraischen Notation den grundlegenden Fragen der Algebra

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ein hohes Interesse. Neue Hoffnung auf die Aufl¨ osung der Gleichungen h¨ oheren Grades ergab sich aus der Arbeit eines s¨achsischen Adligen, des Grafen Ehrenfried Walter von Tschirnhaus. Tschirnhaus hatte vielseitige Interessen. Er diente in der niederl¨ andischen Armee und hielt sich l¨ angere Zeit in Paris und in England auf. Sein Interesse an Optik f¨ uhrte dazu, daß er Glash¨ utten in Italien bauen ließ. Er wurde der Erfinder des ” Porzellans“ genannt (obwohl die Kunst in China bereits lange bekannt war), da er die Porzellanmanufaktur in Meißen aufbauen half. In der Algebra wollte er Cardanos Herangehensweise verallgemeinern, indem er eine h¨ ohergradige Gleichung zun¨achst durch Umformungen vereinfachte. 1683 gelang es Tschirnhaus zu zeigen, daß in einer Polynomgleichung vom Grade n (gr¨oßer origen Terme durch eine seiner als 2) die zu xn−1 und xn−2 geh¨ Umformungen eliminiert werden k¨ onnen (Kasten 4.2). In einer Gleichung f¨ unften Grades kann man also stets die Variablen so ver¨ andern, daß die x4 - und x3 -Terme verschwinden. Ein Jahrhundert sp¨ ater zeigte der schwedische Mathematiker E. S. Bring, daß man auch den x2 -Term loswerden kann, was die allgemeine Gleichung f¨ unften Grades in der sehr vereinfachten Form aßt. Sie sah nun so einfach aus, daß es x5 + px + q = 0 hinterl¨ immer verbl¨ uffender erschien, daß sie nicht nachgab. Tats¨achlich war George B. Jerrard so sehr davon u ¨ berzeugt, eine L¨osung gefunden zu haben, daß er sie sogar noch im Jahre 1858 verteidigte. Die Widerspenstigkeit der Gleichung f¨ unften Grades wurde als eine Herausforderung angesehen, der nur noch der rechte Angriff fehlte, und bis etwa 1800 glaubte man weitgehend an ihre Aufl¨ osbarkeit. Als allerdings Tschirnhausens Freund Leibniz seine Aufmerksamkeit auf die Gleichung f¨ unften Grades lenkte, bemerkte er schon um 1680 herum etwas, das sich sp¨ater als Hinweis auf eine grundlegende Schwierigkeit erweisen w¨ urde. Leibniz fragte sich, ob eine Erweiterung von Tschirnhausens Methoden die Gleichung f¨ unften Grades weiter vereinfachen k¨onnte auf die Form x5 ist gleich einer Konstanten“, was dann ganz einfach ” aufzul¨ osen w¨ are. Ungl¨ ucklicherweise m¨ ußte man dazu Hilfsgleichungen von h¨oherem Grade als f¨ unf aufl¨ osen. Diese Herange-

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Kasten 4.2 Tschirnhaus-Transformation (1683): F¨ ur eine beliebige Gleichung n-ten Grades an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 betrachtet man Substitutionen, welche die L¨ osungen x1 , x2 , . . . , xn so in neue L¨ osungen z1 , z2 , . . . , zn umformen, daß z1 = b4 x41 + b3 x31 + b2 x21 + b1 x1 + b0 z2 = b4 x42 + b3 x32 + b2 x22 + b1 x2 + b0 .. . zn = b4 x4n + b3 x3n + b2 x2n + b1 xn + b0 gilt, wobei die b4 , b3 , . . . , b0 (mit Wurzeln ausdr¨ uckbare) Funktionen der urspr¨ unglichen Koeffizienten a0 , a1 , a2 , . . . , an seien. Tschirnhaus zeigte, daß man die beiden Terme der zweith¨ ochsten Potenzen der Unbekannten x, also xn−1 und xn−2 , eliminieren kann, osen dieser Gleichungen vierten indem man b4 , b3 , . . . , b0 durch Aufl¨ Grades geeignet w¨ ahlt. 1843 zeigte George B. Jerrard, daß auch der xn−3 -Term durch eine ¨ ahnliche Transformation zum Verschwinden gebracht werden kann. Somit erlauben es diese Transformationen, statt einer allgemeinen Gleichung f¨ unften Grades die viel einfachere Form x5 + px + q = 0 zu betrachten (aus deren L¨ osungen man die L¨ osungen der allgemeinen Gleichung wiederum durch Wurzelausdr¨ ucke bekommt). Diese Transformationen sind aber ¨ außerst kompliziert; selbst ein Computer br¨ auchte Megabytes an Speicherplatz, um das Ergebnis zu speichern.

hensweise w¨ urde das Problem der Gleichung f¨ unften Grades also nicht vereinfachen, sondern auf noch kompliziertere Gleichungen f¨ uhren. Leibniz ersah daraus, daß Tschirnhausens Methode nicht zum Ziel f¨ uhren k¨ onnte, aber er zog noch nicht den Schluß daraus, daß keine andere Methode erfolgreich sein k¨ onne. Zu jener Zeit wurde auch der allgemeinen Frage viel Aufmerksamkeit geschenkt, ob jede Gleichung zumindest eine (kom-

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plexe) L¨ osung habe: Dies ist die Aussage des Fundamentalsatzes der Algebra, der von Girard und Descartes ohne wirklichen Beweis behauptet wurde. 1748 stellte Jean Le Rond D’Alembert einen Beweis vor, der sich als ebenso unzul¨ anglich erwies wie die Versuche von Leonhard Euler in den Jahren danach. Trotz ihrer grundlegenden Einfachheit stellte sich diese Aussage wegen der Vielfalt der M¨ oglichkeiten als schwierig zu zeigen heraus. Den Vorgang, eine Gleichung zu l¨ osen, kann man (nach Descartes) so veranschaulichen, daß man nach dem Punkt (oder den Punkten) sucht, in denen die Kurve y = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 eine bestimmte Linie schneidet (f¨ ur die reellen L¨osungen etwa die x-Achse y = 0, siehe Abb. 4.4). Wir wissen bereits, daß dies

Abb. 4.4 Der Graph einer Gleichung f¨ unften Grades, y = f (x) = x5 − 15x2 + 9x + 3, deren drei Schnittpunkte mit der x-Achse den drei reellen L¨ osungen der Gleichung y = 0 entsprechen. Beachten Sie, daß zwei der L¨ osungen positiv sind, gem¨ aß der Vorzeichenregel von Descartes (Kasten 3.2). Es stellt sich heraus, daß diese L¨ osungen nicht durch Wurzeln ausdr¨ uckbar sind.

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f¨ ur quadratische, kubische und viertgradige Gleichungen funktioniert, da diese Schnittpunkte gerade die von Cardano, Ferrari und allen anderen gefundenen reellen L¨ osungen sind. Aber wie k¨ onnen wir sicher gehen, daß es nicht irgendeine seltsame Gleichung gibt, die keine solche Linie schneidet? Euler schaffte es, auf viele Weisen Gleichungen h¨ oheren Grades in Produkte von Gleichungen niedrigeren Grades zu zerlegen, doch trotz seiner enormen Geschicklichkeit und Leistungsf¨ ahigkeit (die auch nicht nachließ, als er erblindete), konnte er kein vollkommen allgemeines Ergebnis erzielen. Dies blieb dem F¨ ursten der Mathematik“, Carl Friedrich ” Gauß, vorbehalten. Noch bevor er achtzehn war, machte Gauß bereits eine bedeutende Entdeckung u ¨ ber eine spezielle Klasse von Gleichungen, die den regelm¨ aßigen, in Kreisen eingeschriebenen Vielecken entsprechen. Euklids Geometrie erlaubte nur die Benutzung von Zirkel und Lineal, und Descartes hat gezeigt, daß dies auf der algebraischen Seite bedeutet, daß nur Quadrat wurzeln in den L¨ osungen der entsprechenden Gleichungen vorkommen d¨ urfen. Daher schien es unm¨ oglich, mit Zirkel und Lineal ein regelm¨ aßiges Vieleck zu konstruieren, dessen Anzahl von Seiten eine Primzahl gr¨ oßer als f¨ unf ist, ohne auf h¨ohere Wurzeln als nur Quadratwurzeln zur¨ uckzugreifen. Der junge Gauß zeigte dagegen, daß auch das regelm¨ aßige Siebzehneck konstruiert werden kann, was bedeutet, daß er eine L¨osung der entsprechenden speziellen Gleichung sechzehnten Grades gefunden hat, die sich nur mit Quadratwurzeln ausdr¨ ucken l¨ aßt. Diese Entdeckung best¨ arkte ihn in seinem Entschluß, sich der Mathematik zu widmen statt der Philologie. Im Laufe seines langen Arbeitslebens wird Gauß vier verschiedene Beweise des Fundamentalsatzes aufstellen. Aus dem ersten, 1799, besteht seine Doktorarbeit. Im letzten (und vielleicht elegantesten) darf nicht nur x eine komplexe Zahl sein, mit Realund Imagin¨ arteil, sondern auch die Koeffizienten d¨ urfen komplexe Zahlen sein. Der Gebrauch komplexer Zahlen gestattet es Gauß, allgemeine Aussagen gewissermaßen auf Bilder zu st¨ utzen. Abbildung 4.5 zeigt den Kern seines Beweises. Sie illustriert eine

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Abb. 4.5 Gauß’ Diagram f¨ ur den Fundamentalsatz der Algebra. Die schattierten Gebiete sind die Meere“, in denen der Realteil der Po” lynoms kleiner als Null ist; die weißen Gebiete sind das Land“, auf ” dem der Realteil gr¨ oßer als Null ist. Wenn man entlang der K¨ uste“ ” von P nach Q l¨ auft, muß man an einer Stelle eine L¨ osung finden (z. B. bei A). Ebenso findet man L¨ osungen bei D und C (dort eine doppelte L¨ osung).

¨ Gleichung f¨ unften Grades; dieselben Uberlegungen gelten aber f¨ ur beliebige Gleichungen. Gauß stellt das Verhalten der Gleichung in Polarkoordinaten r und ϑ dar. Die Abbildung zeigt die komplexe Ebene, wie in Abb. 3.2. In dieser Ebene haben wir einen Kreis vom Radius R, der so groß gew¨ ahlt ist, daß das Verhalten der Gleichung außerhalb des Kreises, also wenn r gr¨oßer als R ist, von dem h¨ ochsten Term xn (bzw. rn in Polarkoordinaten) bestimmt ist. Gauß zeigt zun¨ achst, daß man stets einen solchen Kreis finden kann, egal welche Gleichung vorliegt. Er zeigt auch, daß der Realteil der Gleichung abwechselnd positive

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und negative Werte annimmt, wenn man den Kreis durchl¨auft, und dabei muß auch der Imagin¨ arteil sein Vorzeichen wechseln und also durch Null laufen. Zur Vervollst¨ andigung des Beweises zieht Gauß Linien, welche die Gebiete, wo der Realteil des Polynoms positiv ist, von den Gebieten, wo er negativ ist, abtrennen: Auf diesen Linien ist der Realteil also null. Dieses Bild kann man so verstehen, daß die gef¨ arbten (negativen) Gebiete Meere“ darstellen und die nicht” gef¨ arbten (positiven) Gebiete das Land“; die Linien bilden die ” K¨ uste, auf denen der Realteil des Polynoms gleich Null ist. Falls es eine L¨ osung gibt, muß dort sowohl der Real- als auch der Imagin¨ arteil verschwinden. Laufen wir nun entlang der K¨ uste von P nach Q, zwei Punkten auf dem großen Kreis, und behalten das Meer“ auf der linken Seite. Von Gauß’ fr¨ uherem Ergebnis her ” wissen wir, daß der Imagin¨ arteil der Gleichung sich von negativ zu positiv ¨ andern muß, wenn wir entlang der K¨ uste laufen. Dies bedeutet, daß an einer Stelle des Spaziergangs der Imagin¨arteil null sein muß, und dann haben wir eine L¨ osung gefunden, denn der Realteil ist ja entlang der gesamten K¨ uste null. Dies ist der Punkt A im Bild; es gibt auch noch die anderen L¨osungen B und D und eine doppelte L¨ osung bei C (dies sind zwei L¨osungen, die zuf¨allig zusammenfallen; man sieht dies an den sich schneidenden K¨ ustenlinien). Also hat diese spezielle Gleichung f¨ unften Grades f¨ unf L¨osungen (von denen zwei gleich sind), und man kann ganz ¨ahnlich f¨ ur jede andere Gleichung f¨ unften Grades argumentieren, gleich welche Geografie“ von Meer und Land vorliegt, denn es wird ” ustenlinie geben, die irgendwie heruml¨auft, auf der stets eine K¨ an gewissen Stellen Real- und Imagin¨ arteil verschwinden werden. Hier benutzt Gauß Argumente, die man sp¨ ater topologisch nennen wird, was bedeutet, daß sie nicht die spezielle Form der Figur in Betracht ziehen, sondern nur das Gesamtbild. Durch die Wahl seines Beispiels ist klar, daß Gauß den L¨ osungen der Gleichung f¨ unften Grades auf der Spur war. Er hat gerade gezeigt, daß sie existieren m¨ ussen: Dort sind sie, genau an der Wasserlinie. Das Problem besteht nur noch darin, sie auszudr¨ ucken.

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Gauß’ vollst¨ andigem Beweis des Fundamentalsatzes waren viele nicht u ¨ berzeugende Versuche vorausgegangen. Dem Weitblick von Vi`ete und Descartes folgend hatten die Mathematiker erahnt, daß alle Gleichungen L¨ osungen haben, und die meisten wurden durch die jahrhundertelange Blockade bei der Gleichung f¨ unften Grades nicht entmutigt. Gegen Ende des achtzehnten Jahrhunderts entdeckte dann Joseph-Louis Lagrange etwas, das sich als entscheidend erweisen w¨ urde. Daraus ergab sich eine Herangehensweise, die den Weg f¨ ur eine neue Art von Mathematik offnete. Seine Nachfolger betrachteten seinen Artikel von 1771, ¨ ¨ R´eflexions sur la r´esolution alg´ebrique des ´equations“ (Uber” legungen zur algebraischen Aufl¨ osung der Gleichungen), als ein grundlegendes Dokument. Lagrange begann mit der Frage, warum die L¨ osungsformeln f¨ ur die Gleichungen dritten und vierten Grades u ¨ berhaupt funktionieren. Er studierte den Faktorisierungsprozeß (d. h. die quadratische bzw. kubische Erg¨ anzung) und fand, daß ein entsprechendes Verfahren f¨ ur Gleichungen f¨ unften Grades nicht m¨oglich ist. Nat¨ urlich bedeutete dies noch nicht, daß kein anderes Verfahren funktioniert, sondern nur, daß es mit der wohlbekannten Methode nicht geht. Nehmen wir an, wir kennen die drei L¨ osungen einer kubischen Gleichung a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0; nennen wir sie x1 , x2 , x3 . Bei der Analyse dieser L¨ osungen fiel Lagrange auf, daß den sogenannten dritten Einheitswurzeln eine besondere Rolle zuf¨allt. Dies sind die L¨ osungen der kubischen Gleichung α3 = 1 (sie-

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5 Vertauschungen und Entt¨ auschungen

he Kasten 5.1), also der einfachsten kubischen Gleichung u ¨berhaupt, und daher wichtige Bausteine f¨ ur die L¨ osungen komplizierterer kubischer Gleichungen. Dies ist nicht u ¨ berraschend. Im Falle der quadratischen Gleichung sind +1 und −1, die L¨osungen von α2 = 1, die beiden grundlegenden Elemente, aus denen alle anderen (positiven und negativen) Zahlen aufgebaut sind. Die im vorherigen Kapitel erw¨ ahnten Arbeiten von Gauß zeiur gen auch die allgemeine Bedeutung der Gleichung αn = 1 f¨ die Konstruktion des regelm¨ aßigen n-Ecks. Offenbar werden die L¨ osungen dieser Gleichung auch f¨ ur die Aufl¨ osung der allgemeinen Gleichung n-ten Grades bedeutsam sein. Kasten 5.1 Einheitswurzeln Wir suchen die L¨ osungen der Gleichung α3 − 1 = 0, neben α1 = 1. Wir k¨ onnen zuerst den Term α − 1 ausklammern, was α3 − 1 = (α − 1)(α2 + α + 1) = 0 ergibt, wie man leicht durch Ausmultiplizieren nachpr¨ uft. F¨ ur α = 1 muß also α2 + α + 1 = 0 gelten. Dies ist nun√eine einfache quadratische Gleichung mit den L¨ osungen α2,3 = −1±2 −3 , die also neben 1 die beiden anderen dritten Einheitswurzeln sind. (Es gilt u ¨ brigens α22 = α3 und α23 = α2 .) Die Gleichung f¨ ur die n-ten Einheitswurzeln, αn − 1 = 0, kann in einer ¨ ahnlichen Weise in αn − 1 = (α − 1)(αn−1 + αn−2 + · · · + α2 + α + 1) = 0 faktorisiert werden. Ist α = 1 eine n-te Einheitswurzel, muß also αn−1 + αn−2 + · · · + α2 + α + 1 = 0 gelten.

Kehren wir zur allgemeinen kubischen Gleichung zur¨ uck. Lagrange nahm die drei L¨ osungen x1 , x2 , x3 und eine dritte Einheitswurzel α = 1 und bildete daraus einen sehr einfachen Ausdruck, die Resolvente genannt: R = (1x1 + αx2 + α2 x3 )3 , also die Summe der Produkte von je einer L¨ osung und einer dritten Einheitswurzel hoch drei. Dabei bemerkte Lagrange eine sehr einfache und u ¨ berraschende Eigenschaft. Die Numerierung der ollig beliebig; wir h¨ atten die Namen drei L¨ osungen x1 , x2 , x3 ist v¨ auch verdrehen k¨ onnen und sie x2 , x1 , x3 oder x3 , x2 , x1 nennen k¨onnen, ohne daß sich irgendetwas a urde. Wir k¨onnen ¨ndern w¨ also die L¨ osungen auf verschiedene Arten vertauschen oder per-

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mutieren. Es gibt genau 6 = 3 × 2 × 1 verschiedene Arten, die 3 L¨osungen zu permutieren. Im allgemeinen, wenn n Objekte gegeben sind, gibt es n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · 2 × 1 Vertauschungen oder Permutationen. (n! wird n Fakult¨at“ gelesen, ” siehe auch Kasten 5.2.) Kasten 5.2 Permutationen Man betrachte n Objekte, zum Beispiel die 32 Karten eines Kartenspiels. Es gibt n M¨ oglichkeiten, ein erstes Objekt daraus auszuw¨ ahlen (32 M¨ oglichkeiten, eine erste Karte zu w¨ ahlen). Dann gibt es jedesmal (n − 1) M¨ oglichkeiten, ein zweites zu w¨ ahlen (31 beim Kartenspiel), also n(n−1) M¨ oglichkeiten f¨ ur die ersten beiden (32×31 beim Kartenspiel). Entsprechend gibt es (n − 2) M¨ oglichkeiten, das dritte Objekt zu w¨ ahlen . . . bis f¨ ur das letzte Objekt nur noch eine M¨ oglichkeit u ¨ brigbleibt. Folglich gibt es n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 2 × 1 Permutationen der n Objekte.

Bei seiner Untersuchung dieser Vertauschungen fand Lagrange einen entscheidenden Anhaltspunkt, um die Aufl¨osung der kubischen Gleichung wirklich zu verstehen, und dies wird f¨ ur alles folgende von grunds¨ atzlicher Bedeutung sein. (Unabh¨angig von Lagrange fand 1770 auch Alexandre-Th´eophile Vandermonde diesen Punkt.) Lagrange fragte sich n¨ amlich, was mit der Resolvente R passiert, wenn die L¨ osungen permutiert werden. Im Kasten 5.3 wird gezeigt, daß die sechs m¨ oglichen Vertauschungen der L¨ osungen dabei nur zu zwei m¨ oglichen Werten von R f¨ uhren. Lagrange hielt dies f¨ ur sehr beachtenswert“ und benutzte es, um ” zu zeigen, wie sich das Aufl¨ osen einer kubischen Gleichung auf das Aufl¨ osen einer quadratischen Gleichung zur¨ uckf¨ uhren l¨aßt (Kasten 5.4). Lagrange dehnte diese Idee auf Gleichungen h¨oheren Grades aus: Es gibt stets eine Resolvente, also eine R entsprechende Gr¨ oße, welche eine bestimmte Anzahl von Werten annimmt, wenn die L¨ osungen permutiert werden. Diese Zahl ist ein wichtiger Anhaltspunkt f¨ ur die Aufl¨ osbarkeit. Auch im Falle der Glei-

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Kasten 5.3 Lagranges Permutationen der L¨ osungen einer kubischen Gleichung Betrachten wir R1 = (1x1 + αx2 + α2 x3 )3 und nehmen wir die (123)

Ersetzung x1 x2 x3 −→ x2 x3 x1 vor, die man symbolisch als (123) (123)

schreiben kann. Unter dieser Ersetzung ergibt sich R1 −→ R2 = (132)

(1x2 + αx3 + α2 x1 )3 . Unter der Ersetzung x1 x2 x3 −→ x3 x1 x2 oder (132)

(132) wird R1 −→ R3 = (1x3 + αx1 + α2 x2 )3 . Von den sechs verschiedenen Permutationen der drei L¨ osungen sind dies, einschließlich der Identit¨ atspermutation“, die die L¨ osungen unvertauscht l¨ aßt, die ” drei sogenannten geraden Permutationen. Dies bedeutet, daß man sie durch eine gerade Anzahl von Transpositionen (das sind Vertauschungen von je zwei Elementen) erh¨ alt (jeweils zwei f¨ ur R2 und R3 , null f¨ ur R1 ). Es bleiben drei ungerade Permutationen: (32), was f¨ ur den Ausuhrt und R4 = (1x1 + αx3 + α2 x2 )3 tausch x2 ↔ x3 steht, x1 nicht ber¨ ergibt; (12), was R5 = (1x2 + αx1 + α2 x3 )3 ergibt; und schließlich (13), was R6 = (1x3 + αx2 + α2 x1 )3 ergibt. Es stellt sich nun heraus, daß diese Ausdr¨ ucke miteinander zusammenh¨ angen, n¨ amlich R2 = R1 und R3 = R1 , sowie R5 = R4 und R6 = R4 . Also nimmt die Gr¨ oße R unter allen Permutationen nur zwei Werte an, die wir t1 = R1 = R2 = R3 und t2 = R4 = R5 = R6 nennen. Kasten 5.4 Lagranges Resolvente f¨ ur die kubische Gleichung Als Fortsetzung von Kasten 5.3 betrachten wir wieder die kubische −a2 = Gleichung x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0. Die Girard-Relation √ √ 3 3 4.1) und die Definitionen t = R = 1x1 + x1 +x2 +x3 (aus Kasten 1 1 √ √ α2 x√ αx2 + α2 x3 sowie 3 t2 = 3 R4 = 1x1 + 2 + αx3 liefern drei lineare √ Gleichungen, welche x1 , x2 , x3 durch 3 t1 , 3 t2 und die Konstante a2 bestimmen. Um t1 und t2 zu bestimmen, k¨ onnen wir mit den NewtonRelationen t1 + t2 = −2a32 + 9a1 a2 − 27a0 und t1 t2 = (a32 − 3a1 )3 berechnen. Damit k¨ onnen wir t1 und t2 als die beiden L¨ osungen der quadratischen Gleichung (t − t1 )(t − t2 ) = 0 = t2 − t(t1 + t2 ) + t1 t2 bzw. t2 + (2a32 − 9a1 a2 + 27a0 )t + (a32 − 3a1 )3 = 0

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Kasten 5.4 Fortsetzung ausdr¨ ucken, der im Text erw¨ ahnten Resolventen-Gleichung“ von ” niedrigerem Grad. Dieses Endergebnis stimmt mit der L¨ osungsformel von del Ferro, Cardano und Tartaglia u ¨ berein.

chung vierten Grades konstruierte Lagrange eine Resolvente R aus den vier L¨ osungen (siehe Kasten 5.5). Diese L¨ osungen k¨onnen auf 4! = 24 verschiedene Weisen permutiert werden, aber unter all diesen 24 Permutationen nimmt R nur drei verschiedene Werte an, welche die L¨ osungen einer kubischen Gleichung sind, aus der Lagrange dann die L¨ osungmethode von Ferrari ableiten konnte. Kasten 5.5 Lagranges Resolvente f¨ ur die Gleichung vierten Grades F¨ ur die Gleichung vierten Grades x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 betrachtet man die vier L¨ osungen x1 , x2 , x3 , x4 und die Funktion R = (x1 + x2 − x3 − x4 )2 . Wenn man die 24 Permutationen der vier L¨ osungen durchgeht, nimmt R nur drei verschiedene Werte an: R1 = (x1 + x2 − x3 − x4 )2 , R2 = (x1 + x3 − x2 − x4 )2 , R3 = (x1 + x4 − x2 − x3 )2 . Wie im Falle der kubischen Gleichung lassen sich die√vier L¨ osunamlich gen als Kombinationen der verschiedenen Werte von R, n¨ √ √ √ R1 , R2 , R3 , und durch die Bedingung, daß die Summe aller vier L¨ osungen −a3 ergibt, bestimmen. Außerdem kann man mit den Newton-Relationen verschiedene Summen und Produkte der Resolvente durch die Koeffizienten der Ursprungsgleichung ausdr¨ ucken. Mit Hilfe aller dieser Ausdr¨ ucke zeigt Lagrange, daß R eine kubische Gleichung erf¨ ullen muß, aus deren drei L¨ osungen R1 , R2 , R3 man wiederum x1 , x2 , x3 , x4 ausrechnen kann, genauso, wie sie durch Ferraris Formel gegeben sind.

In diesen F¨ allen von durch Wurzeln aufl¨ osbaren Gleichungen nimmt die Resolvente also, wenn die L¨ osungen vertauscht wer-

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den, weniger Werte an als der Grad der Gleichung angibt. Dies spiegelt die Tatsache wider, daß sich ihre Aufl¨ osung auf die Aufl¨osung einer Gleichung niedrigeren Grades zur¨ uckf¨ uhren l¨aßt. Die kubische Resolvente hat zwei Werte und die Resolvente der Gleichung vierten Grades hat drei, jeweils eins weniger als der Grad der Gleichung, deren L¨ osungen permutiert werden. Aber als Lagrange sich der Gleichung f¨ unften Grades zuwandte, stellte er fest, daß ihre Resolvente sechs Werte annimmt, also eine gr¨oßere Anzahl als der Grad der Gleichung angibt. Deshalb brechen die Methoden, welche bis zur Gleichung vierten Grades funktionierten, danach zusammen. Unabh¨ angig von Lagrange hat dies auch der italienische Mathematiker Gianfrancesco Malfatti (1770) festgestellt, und es mag auch von Leibniz viel fr¨ uher bemerkt worden sein, wie im vorherigen Kapitel angedeutet. Lagrange zog aus dieser Arbeit den Schluß, daß ein neuer Weg gefunden werden m¨ usse, um die Gleichung f¨ unften Grades ¨ anzugehen. Er hoffte wohl, seine Uberlegungen k¨ onnten ihm diesen Weg zeigen, und sei es nur, indem sie ihn von den falschen Pfaden der Vergangenheit wegf¨ uhrten. Aber er war noch weit davon entfernt, an die Unaufl¨ osbarkeit der Gleichung f¨ unften Grades zu glauben. Er schrieb, es sei sehr zweifelhaft, daß die ” gerade besprochenen Methoden eine vollst¨ andige Aufl¨osung der Gleichungen f¨ unften Grades geben k¨ onnen, um so weniger h¨oheren Grades.“ Bei der Ausarbeitung der Resolvente der Gleichung f¨ unften Grades notierte er: Die Berechnungen [. . .] sind so lan” ge und kompliziert, daß sie die unerschrockensten Rechner entmutigen k¨ onnen“, womit er in seiner Papier- und Bleistift-Zeit nat¨ urlich menschliche Rechner meint. Seines Erachtens dr¨ uckt sich darin eine Unsicherheit aus, welche von vornherein alle die” jenigen entmutigen werde, welche versucht sind, diese Methoden zu benutzen, um eines der ber¨ uhmtesten und wichtigsten Probleme der Algebra zu l¨ osen.“ So blieb Lagrange die Hoffnung, daß neue Methoden erfolgonnten, wo die alten nicht taugen. Sein Zeitgenosreich sein k¨ ´ se, der Mathematikhistoriker Jean Etienne Montucla, dr¨ uckte diesen optimistischen Geist in einem milit¨ arischen Bild aus, als

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w¨are die Gleichung f¨ unften Grades eine belagerte Stadt: Die ” Schutzw¨ alle sind alle gefallen, aber eingeschlossen in der letzten Schanze verteidigt sich das Problem verzweifelt. Welches gl¨ uckliche Genie wird den Sturmangriff f¨ uhren oder es zur Kapitulation zwingen?“ Gauß kam hier zu einem anderen Schluß. In seiner Doktor¨ arbeit legte er zum ersten Mal seine Uberzeugung nieder, daß die Gleichung f¨ unften Grades keine allgemeine Aufl¨osung durch Wurzeln gestatte. Gauß k¨ undigte diese M¨ oglichkeit zusammen mit seinem ersten Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra an. 1801 ver¨ offentlichte Gauß seine Meinung in seinem Meisterwerk Disquisitiones Arithmeticae, einer Sammlung vieler bemerkenswerter Resultate. Unter anderem nahm Gauß seine ber¨ uhmte Arbeit u aßiger Vielecke auf, bei der die ¨ber die Konstruktion regelm¨ Frage der Aufl¨ osbarkeit ihrer Gleichungen auftritt. Seine Gedanken mußten sich in diesem Zusammenhang ganz von selbst dem allgemeinen Problem der Aufl¨ osbarkeit zuwenden. Bekanntlich ” sind alle Bem¨ uhungen der gr¨ ossten Geometer, die allgemeine Aufl¨ osung der Gleichungen, welche den vierten Grad u ¨bersteigen [. . .] zu finden, bisher stets vergeblich gewesen, und es bleibt kaum zweifelhaft, dass dieses Problem nicht sowohl die Kr¨afte der heutigen Analysis u ¨ bersteigt, als vielmehr etwas Unm¨ogliches erreichen will.“ Gauß, der sich seiner F¨ ahigkeiten sehr wohl bewußt war, h¨ atte als letzter aufgegeben, h¨ atte er nicht geahnt, daß hier tiefere Probleme zugrundeliegen als durch seine Genialit¨at und Hartn¨ ackigkeit l¨ osbare. Aber obwohl Gauß diese neue Schwierigkeitsstufe erriet, erunften Grades unaufl¨osbar kl¨arte er nicht, warum die Gleichung f¨ atten ihn Permutationen und Kombinasein soll. Es scheint, als h¨ tionen nie interessiert, und daher ist unklar, ob seine Meinung auf einer Art Permutationsargument wie bei Lagrange beruhte. Umso beachtlicher ist, daß noch bevor Gauß seine Meinung kundtat, ein kaum bekannter italienischer Mathematiker die Behauptung aufstellte, die Gleichung f¨ unften Grades sei mit Wurzeln nicht aufl¨ osbar, und dies zu beweisen suchte. Paolo Ruffini (Abb. 5.1) wurde als Sohn eines Arztes in einer kleinen Stadt in Italien gebo-

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Abb. 5.1 Paolo Ruffini

ren, und kam dann als Kind nach Reggio, in die N¨ ahe von Modena. Als Kind schien er f¨ ur die Priesterlaufbahn bestimmt, zog es dann aber vor, Philosophie, Medizin und Chirurgie zu studieren. 1788 erhielt er seinen Abschluß. In Modena war er dann als Pro-

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fessor der Mathematik t¨ atig, bis die Umbr¨ uche der franz¨osischen Revolution Italien erreichten. Als Ausdruck seines Widerstands weigerte sich Ruffini, den Franzosen einen Treueeid abzulegen, und wurde bis 1799 von seiner Universit¨ atsstelle ausgeschlossen. W¨ahrend dieser erzwungenen Abwesenheit vom Universit¨atsleben galt sein gr¨ oßtes Interesse der Mathematik, obwohl er die meiste Zeit der Medizin widmete. Seine Gedanken und Ideen notierte er am Tagesende auf den Briefen, die er erhalten hatte, und auf den R¨ andern der Artikel, die er gerade las. Seine Gedanken wandten sich der Theorie der Gleichungen zu, als er seine erste Arbeit vorbereitete, welche seinen ersten Beweis der Unm¨oglichkeit, die Gleichung f¨ unften Grades aufzul¨ osen, enthielt. Trotz seiner mathematischen Interessen war Ruffini der Medizin tief ergeben. W¨ ahrend einer Typhusepidemie 1817/18 k¨ ummerte sich Ruffini mit großer Hingabe und großem Mut um die Kranken und steckte sich dabei an. Bezeichnenderweise nutzte er diese Erfahrung, um einen Artikel u ¨ber den ansteckenden Typhus zu schreiben. Er hielt auch seine philosophischen und religi¨osen Interessen aufrecht und schrieb u ¨ ber die Definition des Lebens, wobei er sich gegen Laplaces mechanistische Moraltheorie wandte. Seine Zeitgenossen r¨ uhmten seine selbstlose Bescheidenheit und seine (katholische) Spiritualit¨ at. Ruffini erhielt sp¨ater einen Ruf auf eine Mathematikprofessur an der Universit¨at Padua, lehnte ihn aber ab, da er seine vielen Patienten nicht verlassen wollte. Vielleicht ist Ruffini wegen dieser Bescheidenheit nicht besonders beachtet worden, trotz seiner großen Verdienste und dem besonderen Interesse seines Doppellebens“ als Arzt und Mathe” matiker. Obwohl es so aussieht, als habe ihm der u ¨ bliche Lohn in Form mathematischen Ruhmes wenig bedeutet, blieb Ruffini doch hartn¨ ackig in seinem Bestreben, die Unaufl¨osbarkeit der Gleichung f¨ unften Grades zu beweisen und der mathematischen Welt darzulegen. Er ver¨ offentlichte nicht weniger als sechs Versionen seines Beweises (1799 die erste und 1813 die letzte), wobei er bei einigen auf Fragen und Kritiken seines Freundes Pietro

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Abbati und des ¨ alteren Mathematikers Malfatti einging, die den Begriff der Unaufl¨ osbarkeit nicht akzeptieren konnten. Er begann seinen ersten Beweis mit der Ank¨ undigung, daß die algebraische L¨ osung der allgemeinen Gleichung vom Grade ” gr¨ oßer als vier stets unm¨ oglich ist. Dies ist ein sehr bedeutender Satz, den zu beweisen ich in der Lage bin (sofern ich nicht irre); den Beweis darzulegen ist der Hauptgrund f¨ ur die Ver¨offentlichung dieses Bandes. Der unsterbliche Lagrange hat mit seinen erhabenen Gedanken die Grundlagen f¨ ur meinen Beweis geliefert.“ In der Tat war Ruffini einer der ersten, der die ungeheure Bedeutung von Lagranges Idee der Permutationen“, wie Ruffini ” sie nannte, begriff, und war u ¨ berdies der erste, der einen Beweis der Unaufl¨ osbarkeit der Gleichung f¨ unften Grades vorlegte. Ungl¨ ucklicherweise dr¨ uckte sich Ruffini in seinen Beweisen umst¨andlich und unverst¨ andlich aus, dadurch waren sie schwer zu durchschauen. Er schickte Lagrange seinen Beweis und hoffte auf die Anerkennung des Mannes, dessen Arbeiten ihn inspiriert hatten. Lagrange hat nie geantwortet, eine bittere Entt¨auschung f¨ ur Ruffini und seine Freunde, denn sie betrachteten Lagrange (der aus Turin stammte, wenn auch aus einer franz¨osischen Familie) als einen Landsmann, der von dieser italienischen Errungenschaft doch Notiz nehmen sollte. Lagrange war sp¨ater sogar Mitglied eines Ausschusses, der Ruffinis Arbeit begutachten sollte, konnte sich aber nicht daf¨ ur erw¨ armen und fand wenig ” darin, das beachtenswert w¨ are“. Wie sp¨ ater herauskam, hatte der bereits ¨ altere Lagrange wohl Schwierigkeiten, sich durch den Artikel zu k¨ ampfen; einem Dritten gegen¨ uber erkl¨arte er, der Artikel sei zwar gut“, w¨ urde aber einige seiner Behauptungen ” nicht ausreichend beweisen. Wahrscheinlich hat er nicht viel Zeit darauf verwandt, Ruffinis Beweis zu studieren. Andere Mathematiker waren g¨ unstiger gestimmt. Einige Gutacher der Royal Society waren ziemlich zufrieden“ mit Ruffinis ” Beweis. Wichtiger war allerdings, daß der große franz¨ osische Mathematiker Augustin Cauchy die Bedeutung von Ruffinis Arbeit anerkannte und von 1813 bis 1815 einige seiner Ergebnisse verallgemeinerte (wie sp¨ ater im Text und im Anhang C bespro-

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chen wird). Man kann sich Ruffinis Genugtuung vorstellen, als er sechs Monate vor seinem Tod einen Brief von Cauchy bekam, der ihm schrieb: Ihre Abhandlung u ¨ber die allgemeine L¨osung ” von Gleichungen ist eine Arbeit, die mir der Aufmerksamkeit der Mathematiker stets w¨ urdig erschien und die meines Erachtens vollst¨ andig die Unaufl¨ osbarkeit der allgemeinen Gleichung vom Grad gr¨ oßer vier beweist.“ Cauchy schrieb Ruffini auch, daß er dessen Arbeit in seinen Vorlesungen zitiert habe. Trotz Cauchys kr¨ aftiger Unterst¨ utzung erlangte Ruffinis Arbeit keine allgemeine Anerkennung unter den Mathematikern. Die Gr¨ unde sind unklar, scheinen sich aber auf die Neuartigkeit der Permutationsargumente zu konzentrieren und mehr noch auf die radikale Vorstellung, daß gewisse Gleichungen nicht durch Wurzeln aufl¨ osbar seien. Dies mag auch hinter Lagranges Vorsicht stecken, denn er beschrieb Ruffinis Beweis als schwierige ” Materie“, die er selbst f¨ ur unwahrscheinlich, wenn nicht gar unglaubw¨ urdig hielt, und f¨ ur die er Ruffinis Argumente als nicht ausreichend erachtete. Tats¨ achlich best¨ atigten andere Mathematiker sp¨ ater Lagranges Behauptung, daß ein wichtiger Schritt in Ruffinis Beweis fehle. Ruffinis Beweis blieb also hinter seinen Anspr¨ uchen zur¨ uck, zumindest insofern, als er andere nicht davon u ur seine ¨ berzeugen konnte. Ruffini verdient aber Anerkennung f¨ Weitsicht und seinen Mut, auch wenn es anderen vorbehalten blieb, die Frage endg¨ ultig zu kl¨ aren.

6 Abels Beweis

Ideen, insbesondere mathematische Ideen, besitzen ein Eigenleben, das ihre menschlichen Sch¨ opfer u ¨ bersteigt. Ohne Ruffinis Arbeit zu kennen, entdeckte nur wenige Jahre sp¨ater Niels Henrik Abel (Abb. 6.1) dasselbe Argument und erstellte den ersten im wesentlichen vollst¨ andigen Beweis. Abels Lebensgeschichte ist eine der bewegendsten in der ganzen Geschichte der Mathematik. In seinen nur sechsundzwanzig Lebensjahren entdeckte er vollst¨ andig neue Gebiete der Mathematik, obwohl er st¨andig gegen Armut und Unverst¨ andnis zu k¨ ampfen hatte. Sein Heimatland Norwegen stand damals in den Anfangsjahren als unabh¨angiger Staat, und Abels wechselvolles Geschick spiegelt gewissermaßen Norwegens Ringen wider. Als Abel zw¨ olf war, trennte sich Norwegen von D¨anemark, dem lange beherrschenden Partner in dem vorherigen Doppelk¨onigreich, und gab sich ein eigenes Parlament, den Storting. Doch Norwegen konnte sich nicht vollst¨ andig dem Einfluß seiner st¨ arkeren Nachbarn entziehen: 1814 wurde die norwegische Krone dem schwedischen K¨ onig Karl XIII. angeboten; unter den Delegierten befand sich auch Abels Vater. Er war Pfarrer, wie schon sein Vater, und machte eine beachtliche Karriere als Mitglied des Storting. Er war ein Mann der Aufkl¨ arung, las Voltaire und setzte sich f¨ ur Bildung und die Verbreitung von Impfungen im l¨ andlichen Norwegen ein. Er schrieb mehrere popul¨are Katechismen und Gebetsb¨ ucher, die gewiß von seinem Sohn gelesen wurden. Er war auch an Naturwissenschaften interessiert; beispielsweise weckte er seine Kinder, wenn eine Mondfinsternis

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6 Abels Beweis

Abb. 6.1 Niels Henrik Abel

zu beobachten war. Seine politische Karriere endete allerdings schm¨ahlich, nachdem er unbegr¨ undete Anklagen gegen gewisse einflußreiche Pers¨ onlichkeiten erhoben hatte. Er starb als Alkoholiker, hinterließ neun Kinder und eine Witwe, die dann ebenfalls Trost im Alkohol suchte. Nach seiner Beerdigung empfing

6 Abels Beweis

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sie geistliche Besucher, w¨ ahrend sie mit ihrem b¨ auerlichen Geliebten im Bett lag. Abel, damals achtzehn, war nun ohne Unterst¨ utzung und mußte die Rolle des f¨ ur seine j¨ ungeren Geschwister verantwortlichen Erwachsenen u ucklicherweise fand er einen ¨bernehmen. Gl¨ Mentor in dem jungen Mathematiklehrer Berndt Michael Holmboe, der ihn anregte und ihm ein lebenslanger Freund wurde. Abel zeigte rasch eine erstaunliche F¨ ahigkeit, schwierige Probleme zu l¨ osen. Schon als Gymnasiast laß er Arbeiten von Lagrange und Cauchys Artikel von 1815 u ¨ ber Permutationen (allerdings nicht die Arbeit von Ruffini, obwohl Cauchys Artikel darauf aufbaute – wohl, weil Ruffinis Arbeiten auf Italienisch geschrieben und schwer zu finden waren). Holmboe erkannte und r¨ uhmte das u ulers. In der neu¨berragende mathematische Genie“ seines Sch¨ ” en Hauptstadt Kristiania (heute Oslo), die damals 11 000 Einwohner umfaßte, war 1819 die k¨ onigliche Fredericks-Universit¨at er¨ offnet worden. Dort begann Abel 1821 zu studieren, machte weiterhin immense Fortschritte und begann, eigene Arbeiten zu schreiben, welche die F¨ ahigkeiten seiner Lehrer weit u ¨berstiegen. Diese Lehrer zeigten ein beachtliches Verst¨ andnis und schlugen ihn f¨ ur ein spezielles Stipendium vor, mit dem er nach Paris und Berlin reisen konnte. Allerdings hatte er selbst von den gr¨oßten Mathematikern seiner Zeit wenig zu lernen. Obwohl stets ein bescheidener Mensch, machte sich Abel w¨ahrend dieser Zeit daran, die bekanntesten und schwierigsten Probleme zu bearbeiten. 1823 versuchte er sein Gl¨ uck am ber¨ uhmten sogenannten großen Satz von Fermat“: die Unm¨og” lichkeit, positive ganze Zahlen a, b und c zu finden, f¨ ur die n n n oßer als 2 ist. Es ist nicht u a + b = c gilt, wobei n gr¨ ¨berraschend, daß er sich diesmal wie gefesselt“ vorkam, wie er sich ” ausdr¨ uckte, denn dieses Problem widerstand noch lange einer L¨osung, bis es 1993 ausgefeilten abstrakten Techniken wich. Allerdings entdeckte er die heute so genannten Abelschen For” meln“, welche zeigen, daß eine L¨ osung, falls sie existierte, aus außerst großen Zahlen bestehen m¨ ußte. Abel besch¨aftigte sich ¨ auch schon mit dem Problem der Gleichung f¨ unften Grades. 1821

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6 Abels Beweis

dachte er zun¨ achst, eine L¨ osungsmethode gefunden zu haben, und war sehr aufgeregt. 22 Jahre zuvor hatte Ruffini die erste Version seines Beweises ver¨ offentlicht, aber damals kannte Abel Ruffinis Arbeiten immer noch nicht, was wegen der isolierten Lage von Norwegen und seiner mangelnden mathematischen Bibliotheken nicht u ahrend der Wintermonate war der ¨berrascht. W¨ Oslo-Fjord oft zugefroren und die Postzustellung verz¨ogert. Obwohl Abel vermutlich Gauß’ Meinung, die Gleichung f¨ unften Grades sei im allgemeinen nicht durch Wurzeln aufl¨osbar, kannte, hatte ihn dies nicht dazu gebracht, die Suche nach einer L¨osungsformel aufzugeben. Schließlich hatte Gauß seine Meinung nicht begr¨ undet, und Abel konnte wie Lagrange und die meisten anderen Mathematiker durchaus annehmen, daß es nicht hoffnungslos w¨ are. Als seine Lehrer ihn jedoch baten, einige Zahlenbeispiele f¨ ur seine L¨ osung zu liefern, merkte Abel bald, daß seine Methode doch nicht so allgemein funktionierte, wie er dachte. In diesem entscheidenden Moment h¨ atte er hartn¨ackig sein Forschen nach einer allgemeinen Aufl¨ osung fortsetzen k¨onnen und versuchen, die L¨ ucken in seiner Arbeit zu f¨ ullen. Stattdessen machte er eine Kehrtwendung und setzte seine Kraft darein, die Unaufl¨ osbarkeit der allgemeinen Gleichung f¨ unften Grades zu beweisen. Er hat seine Gr¨ unde daf¨ ur nie erkl¨art, und man mag sich fragen, was ihn dazu bewogen hatte. 1824, zwei Jahre nach Ruffinis Tod, ver¨ offentlichte Abel seinen ersten Beweis der Unaufl¨ osbarkeit der Gleichung f¨ unften Grades, der in vielen Belangen sehr nahe an Ruffinis Beweis liegt, allerdings eine wichtige L¨ ucke schließt, die Ruffini nicht bemerkte. 1826 fiel Abel dann eine Zusammenfassung von Ruffinis Arbeiten in die H¨ande, und in seinem letzten, posthum ver¨ offentlichten Artikel, erkennt Abel Ruffinis Leistung an: Der erste und, falls ich mich nicht ” irre, einzige, der vor mir versucht hat, die Unm¨oglichkeit einer algebraischen Aufl¨ osung der allgemeinen Gleichung zu zeigen, ist der Geometer Ruffini. Doch sein Artikel ist so kompliziert, daß es sehr schwierig zu entscheiden ist, ob seine Schlußweise korrekt ist oder nicht. Mir scheint es, als sei seine Beweisf¨ uhrung nicht immer befriedigend.“

6 Abels Beweis

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Da Ruffinis Arbeit sich sehr stark mit dem, was Abel tun wird, u ¨ berschneidet, werde ich sie nicht gesondert besprechen. Damit will ich keineswegs die Ruffini zustehende Anerkennung mindern: Der Satz u osbarkeit sollte vielleicht bes¨ber die Unaufl¨ ser Satz von Abel und Ruffini“ genannt werden. Jedoch weisen ” sowohl Abels Bemerkung als auch Lagranges Z¨ ogern darauf hin, daß es Ruffini mitunter an Beweisstrenge mangelt. Und ein Beweis, dem ein entscheidender Schritt fehlt, ist noch kein wirklicher Beweis. Demgem¨ aß werde ich Abels Version zusammenfassen, dabei auf die gemeinsamen Argumente hinweisen, aber auch auf die entscheidende, von Abel gef¨ ullte L¨ ucke in Ruffinis Argumentation. Falls Sie Abels Originalversion lesen m¨ ochten, finden Sie im ¨ Anhang A eine Ubersetzung seines Artikels von 1824. Diese fr¨ uheste Version des Beweises ließ Abel auf eigene Kosten als Brosch¨ ure drucken, in der Hoffnung, mit dieser Visitenkarte“ ” die Aufmerksamkeit der großen Mathematiker, in erster Linie von Gauß, zu erringen. Um jedoch Geld und Papier zu sparen, verdichtete Abel seine Argumente zu telegrafischer Knappheit, die er in sp¨ ateren Darstellungen des Beweises wieder ausf¨ uhrte. Dementsprechend habe ich einen durchlaufenden Kommentar eingef¨ ugt, der dem Leser helfen soll, Abels Argumente zu verstehen. Die Anh¨ ange B und C f¨ uhren einzelne Punkte aus, die Abel ohne Erl¨ auterung benutzte. Im folgenden will ich die vier entscheidenden Schritte des Beweises in Abels 1826er Version vorstellen, ohne auf die in den Anh¨ angen behandelten technischen Fragen einzugehen. Jedem Schritt ist zun¨ achst eine zusammenfassende Behauptung gewidmet, die anschließend erl¨autert wird. Abel benutzt die zu seiner Zeit beliebte Methode der reductio ad absurdum: Er beginnt mit der Annahme, eine Gleichung f¨ unften Grades sei stets aufl¨ osbar, und f¨ uhrt dies zu einem Widerspruch. Im ersten Schritt bestimmt er die Form, welche eine L¨ osung haben muß. Gegeben sei eine allgemeine Gleichung m-ten Grades (wobei m eine Primzahl sein soll, so daß die Gleichung nicht weiter zerlegt werden kann) am y m + am−1 y m−1 + · · · + a2 y 2 + a1 y + a0 = 0 .

(6.1)

90

6 Abels Beweis

Dann, so zeigt Abel, muß jede durch Wurzeln ausdr¨ uckbare L¨osung (was er, in Abh¨ angigkeit von den Koeffizienten der Gleichung gesehen, eine algebraische Funktion“ nennt) eine sehr ” allgemeine Bedingung erf¨ ullen: (I) Alle algebraischen Funktionen y k¨onnen in der Form 1

2

y = p + R m + p2 R m + · · · + pm−1 R

m−1 m

(6.2)

1

geschrieben werden, wobei R m eine im allgemeinen irrationale Funktion in den Koeffizienten a0 , . . . , am der Gleichung ist, keine h¨oheren als m-te Wurzeln in y vorkommen, und p, p2 , . . . endliche Summen von Wurzelausdr¨ ucken und Polynomen in den Koeffizienten a0 , . . . , am mit geringerer Schachtelungstiefe der 1 Wurzeln als R m sind. Falls also y die L¨ osung einer Gleichung vom Grade m ist, so kann man y durch eine Reihe von Ausdr¨ ucken mit verschachtelten Wurzeln beschreiben, welche die Koeffizienten und irrationale 1 1 Ausdr¨ ucke wie√R m enthalten. (Zur Erinnerung: R m ist nur eine m R zu schreiben.) Dies kommt der von Euler ein andere Art, paar Jahre zuvor vermuteten allgemeinen Form sehr nahe. Abel gibt einen ausf¨ uhrlichen Beweis (siehe Anhang B, wo auch einige hier vernachl¨ assigte Details ausgef¨ uhrt sind), die Idee kann freilich ohne weiteres mit ein paar Beispielen veranschaulicht werden. Wie Kasten 6.1 zeigt, kann man die L¨ osung der quadrati1 schen Gleichung als y = p + R 2 schreiben, was der obigen Form mit m = 2 entspricht, wobei p sogar ein Polynom ist. Ebenso 1 2 kann die L¨ osung der kubischen Gleichung als y = p + R 3 + p2 R 3 geschrieben werden, was der allgemeinen Form f¨ ur m = 3 entspricht. In beiden F¨allen ist m eine Primzahl. Da 4 keine Primzahl ist, benutzt die L¨ osung der Gleichung vierten Grades wie ja schon fr¨ uher besprochen nur eine Kombination der Formen f¨ ur den quadratischen und den kubischen Fall. Im Falle der Gleichung f¨ unften Grades wird aus Abels allgemeiner Form (6.2) 1

2

3

4

y = p + R 5 + p2 R 5 + p3 R 5 + p4 R 5 .

(6.3)

6 Abels Beweis

91

Kasten 6.1 Abels Form f¨ ur die quadratische Gleichung: In der quadratischen Gleichung y 2 − a1 y + a0 = 0 ersetze man y = 1 1 p + R 2 , um (p2 + R − a1 p + a0 ) + (2p − a1 )R 2 = 0 zu erhalten. Damit dies allgemein g¨ ultig sein kann, muß jede Klammer f¨ ur sich null sein (wie Abel in [A8] in Anhang A darlegt). Also gilt p = a21  a2 und dann R = −a0 + 41 . Also ist y = a21 ± 12 a21 − 4a0 , was die bekannte L¨ osungsformel f¨ ur die quadratische Formel ist. F¨ ur den Fall einer kubischen Gleichung, siehe Seite 174 in Anhang B.

Da dies aus seinem allgemeinen Ergebnis u ¨ber die Form einer algebraischen Funktion folgt, muß sich eine L¨ osung der Gleichung f¨ unften Grades entweder so schreiben lassen, oder es gibt keine durch Wurzeln ausdr¨ uckbare L¨ osung. Also nimmt Abel an, daß die Gleichung f¨ unften Grades eine L¨ osung genau dieser Form habe. Er f¨ ahrt nun fort im Beweis und zeigt, daß diese Form zu einem Widerspruch f¨ uhrt. Daf¨ ur braucht er drei weitere Schritte. Als n¨ achstes kommt der entscheidende Schritt, den Ruffini ohne Beweis einfach angenommen hatte, Abel aber ausf¨ uhrt. (II) Alle in dem obigen Ausdruck f¨ ur y auftretenden algebraischen Funktionen k¨onnen als rationale Funktionen in den L¨osungen der Gleichung ausgedr¨ uckt werden. Die Idee ist einfach, aber wirkungsvoll. In Gleichung (6.3) ist y allgemein ausgedr¨ uckt durch verschiedene irrationale Funk1 2 3 4 tionen (in diesem Fall p, p2 , p3 , p4 , R 5 , R 5 , R 5 , R 5 ) in den Koeffizienten der Gleichung. Aber Abel zeigt auf brillante Weise: Wenn wir y durch die L¨osungen der Gleichung statt durch die Koeffizienten ausdr¨ ucken, dann werden aus den verschiede1 nen irrationalen Funktionen der Koeffizienten (zum Beispiel R 5 ) nun rationale Funktionen in diesen L¨ osungen. Um ein einfaches Beispiel zu w¨ ahlen: Im Falle der quadratischen Gleichung wie 1 oben ist die allgemeine L¨ osung y = p + R 2 , und Kasten 6.2 zeigt 2 osungen der Gleichung 4R = (y1 − y2 ) , wobei y1 , y2 die beiden L¨ 1 2 sind. Also ist 2R , die Quadratwurzel von 4R, gleich der Differenz (y1 − y2 ) der beiden L¨ osungen. Dies ist tats¨achlich eine

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6 Abels Beweis

rationale Funktion der L¨ osungen, sogar eine ganz einfache, ganz ¨ in Ubereinstimmung mit Abels Beweis. Kasten 6.2 Der Zusammenhang zwischen L¨ osungen und Koeffizienten: 1

a2

Sei, wie in Kasten 6.1 gezeigt, y = p + R 2 und R= −a0 + 41 . 1 Betrachten wir osungen y1 = a + 12 a21 − 4a0 und 2  nun die beiden L¨ a1 1 2 y2 = 2 − 2 a1 − 4a0 . Dann gilt (y1 − y2 ) = a21 − 4a0 und somit a2

oße a21 −4a0 wird auch (y1 −y2 )2 = a21 −4a0 = 4(−a0 + 41 ) = 4R. Die Gr¨ die Diskriminante genannt: Sie ist null, wenn beide L¨ osungen gleich sind, positiv, wenn beide L¨ osungen reell sind, und negativ, wenn sie imagin¨ are Zahlen sind.

Im Falle der Gleichung f¨ unften Grades ergibt sich aus Abels 1 Schritt II, daß R 5 eine rationale Funktion in den L¨osungen der 2 3 4 Gleichung ist, ebenso die Potenzen R 5 , R 5 , R 5 und auch p, p2 , . . . . Als Summe von Produkten all dieser rationalen Funktionen ist dann auch y wieder als rationale Funktion der L¨osungen dargestellt. Hier entsteht eine interessante Spannung: Die L¨osungen einer Gleichung sind irrationale Funktionen der Koeffizienten, aber diese Koeffizienten sind stets rationale Funktionen der L¨osungen (denn die Girard-Relationen aus Kasten 4.1 zeigen, daß sie sogar Summen von Produkten der L¨ osungen sind). Gewissermaßen steigt diese Spannung mit wachsendem Grad der Gleichung: Je gr¨oßer der Grad der Gleichung, desto schwieriger wird es, diese Spannung auszugleichen. Schließlich ist dies ab Grad f¨ unf nicht mehr m¨ oglich, und wir k¨ onnen im allgemeinen durch Wurzelausdr¨ ucke keine L¨ osung mehr finden. Der n¨ achste Schritt beschr¨ ankt die hypothetischen L¨osungen in entscheidender Art. (III) Falls eine rationale Funktion in f¨ unf Gr¨oßen weniger als f¨ unf Werte annimmt, wenn die f¨ unf Gr¨oßen untereinander vertauscht werden, dann kann sie entweder nur zwei Werte annehmen (von gleichem Betrag, aber verschiedenem Vorzeichen) oder nur einen Wert, niemals aber drei oder vier Werte.

6 Abels Beweis

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Abel hat diesen Satz als Spezialfall aus Cauchys Arbeit herausgezogen. Cauchys Beweis ist im Anhang C dargestellt. Er beruht auf den verschiedenen Arten, wie man die L¨osungen einer Gleichung vertauschen kann. Daneben braucht Abel hier auch den Fundamentalsatz der Algebra: Eine Gleichung f¨ unften Grades hat mindestens eine, aber nie mehr als f¨ unf verschiedene L¨ osungen. Also gibt es f¨ ur die algebraische Funktion y, die gem¨aß (II) als Funktion der f¨ unf L¨ osungen der Gleichung dargestellt ist, nicht mehr als f¨ unf Werte, wenn die f¨ unf L¨ osungen permutiert werden. Schauen wir uns nun einen der Ausdr¨ ucke in der L¨osungform an, etwa p, der sich wie alle anderen auch als rationale Funktion der L¨ osungen der Gleichung schreiben l¨aßt. Cauchys Ergebnis verlangt, daß p entweder f¨ unf, zwei oder einen Wert annimmt, wenn die L¨ osungen der Gleichung vertauscht werden, niemals drei oder vier. Hier kann Abel den Hebel ansetzen, um zu zeigen, daß die angenommene L¨ osungsform nicht funktionieren kann. Zun¨ achst k¨ onnen nicht alle Ausdr¨ ucke nur einen Wert annehmen, denn dann g¨ abe es nur eine einzige L¨osung, was aber bei der allgemeinen Gleichung nicht der Fall ist. Dann schaut sich Abel den Fall an, daß einer der Ausdr¨ ucke, etwa 1 unf verschiedene Werte annimmt (Anhang A, [A15]–[A16]). R 5 , f¨ Dies f¨ uhrt zu einem Widerspruch, denn er kann zeigen, daß f¨ unf 1 m¨ogliche Werte f¨ ur R 5 unter den Vertauschungen der L¨osungen bedeuten w¨ urde, daß der L¨ osungsausdruck insgesamt 120 verschiedene Werte annehmen muß, was aber unm¨oglich ist, da es h¨ ochstens f¨ unf verschiedene L¨ osungen der Gleichung geben kann. Somit ist auch dieser Fall ausgeschlossen. Also folgt aus 1 Cauchys Satz, daß ein Ausdruck, der dann die Form R
2 hat, zwei Werte annehmen muß (Anhang A, [A27]). Aber auch dies f¨ uhrt Abel zu einem Widerspruch: Er findet eine Gleichung, deren linke Seite 120 m¨ ogliche Werte zul¨ aßt, wenn wir die f¨ unf L¨osungen permutieren, die rechte aber nur 10, was wiederum unm¨ oglich ist. Insgesamt f¨ uhrt die hypothetische L¨osung also stets zu Widerspr¨ uchen. Daraus folgt nun

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6 Abels Beweis

(IV) Es ist unm¨oglich, die allgemeine Gleichung f¨ unften Grades durch Wurzelausdr¨ ucke zu l¨osen. Abels Strategie geht keine Umwege: Er nimmt die einzig m¨ogliche Form, welche eine L¨ osung haben kann, und zeigt, daß sie zu widerspr¨ uchlichen Ergebnissen f¨ uhrt, wenn wir die L¨osungen der Gleichung untereinander vertauschen. Diese Widerspr¨ uche nutzen bestimmte Eigenschaften der Zahl F¨ unf aus, welche sich in der Anzahl an Werten ausdr¨ ucken, welche die angenommene L¨ osungsform unter den Permutationen der L¨osungen annehmen kann. Aber das Argument funktioniert ebenso f¨ ur h¨ ohere Grade als f¨ unf. Zum Beispiel kann man einfach eine nicht durch Wurzeln aufl¨osbare Gleichung f¨ unften Grades mit einem Faktor y multiplizieren und erh¨ alt so eine Gleichung sechsten Grades mit einer L¨ osung y = 0 und f¨ unf anderen, nicht ausdr¨ uckbaren L¨ osungen. Entsprechend f¨ ur h¨ ohere Grade. Abels Argumente zeigen zwar, daß die Gleichung f¨ unften Grades im allgemeinen nicht durch Wurzeln aufl¨ osbar ist, insgesamt bleiben sie aber undurchsichtig. Die Frage nach dem Warum dieser Unaufl¨ osbarkeit bleibt. Um dies besser verstehen zu k¨onnen, m¨ ussen wir nach dem Herzst¨ uck des Beweises suchen.

7 Abel und Galois

Abel ver¨ offentlichte seinen Beweis kurz vor Antritt seiner Reisen in der Hoffnung, er w¨ urde ihm T¨ uren ¨ offnen. Er wußte, daß seine Fahrt ein Gottesgeschenk war und seine einzige Chance, sich in einer gr¨ oßeren Welt einen Namen zu machen. Er war so arm, daß er zu Hause kaum u ¨ber die Runden kam; nur das Stipendium seiner Universit¨ at erm¨ oglichte ihm diese ertr¨ aumte Reise. Da er sch¨ uchtern war und anf¨ allig f¨ ur Einsamkeit, entschloß er sich, mit Freunden zu reisen, mit anderen Norwegern, die ebenfalls ihr Studium im Ausland fortsetzen wollten. Aus diesem Grund ging er nicht direkt nach Paris, dem damaligen Zentrum der mathematischen Welt, sondern wandte sich vielmehr nach Berlin. Er hoffte darauf, Gauß zu treffen, aber der große Mann empfing, ganz in sich gekehrt, nur sehr wenige Besucher. Er erhielt zwar Abels Schrift, schnitt aber nicht einmal die Seiten auf, sondern legte sie beiseite, als k¨ ame sie von einem Narren – Schon wieder ” so eine Ungeheuerlichkeit!“ In Berlin traf Abel auf August Crelle, einen Mathematikliebhaber von Rang, der gerade dabei war, eine mathematische Zeitschrift zu gr¨ unden, die dann so bekannt wurde, daß ihre Leser sie einfach Crelles Journal nannten. Crelle war Abel gegen¨ uber aufgeschlossen und erkannte bald die außerordentliche Begabung seines neuen Freundes. Er ver¨ offentlichte sieben Arbeiten von Abel im ersten Band seiner Zeitschrift und bem¨ uhte sich auch, ihm in Berlin eine Stellung zu verschaffen. Diese Aufmerksamkeit belebte Abels Hoffnung, er k¨ onne seinen Lebensunterhalt als Mathematiker verdienen und seine Verlobte Christine Kemp

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7 Abel und Galois

heiraten, die, mittellos wie Abel, in Norwegen geblieben war und als Gouvernante arbeitete. Trotz der Anforderung, die meiste Zeit in Paris zu verbringen, begleitete Abel seine Freunde auf ihren Reisen nach Italien und in die Schweiz. In seinen Briefen bat er seine Lehrer in Norwegen inst¨andig, seinen Wunsch, diese ber¨ uhmten Gegenden zu sehen, nicht zu mißbilligen, trotzdem die Reisen seine knappen Finanzen bis an die Grenzen belasteten. Obgleich er damals jung und gesund war, schien er eine Vorahnung zu haben, daß dies seine einzige Chance bleiben w¨ urde, die Welt zu sehen. Schließlich verließ Abel seine Freunde und wappnete sich, Paris alleine zu betreten. Dort konnte er immerhin mit den bedeutenden Mitgliedern der Acad´emie des Sciences, Adrien-Marie Legendre und Augustin Cauchy, zusammentreffen, die bestens qualifiziert waren, Abels Errungenschaften zu beurteilen und seine Karriere zu f¨ ordern. Doch der Empfang blieb k¨ uhl. W¨ahrend seiner Vorstellungsbesuche bei den ber¨ uhmten M¨annern wurde er h¨ oflich empfangen, doch ohne wirkliche W¨ arme oder Anerkennung. Seinen Beweis beachteten sie gar nicht. Sie waren vor allem in ihre eigenen Angelegenheiten vertieft und sahen in ihm einen weiteren genialen jungen Mann unter so vielen, die im Laufe der Jahre gekommen waren und sie um einen Gefallen gebeten hatten. Abel schrieb einem Freund: Der Franzose ist gegen¨ uber ” Fremden ungeheuer zur¨ uckhaltend. [. . .] Jeder arbeitet f¨ ur sich, ohne sich um die andern zu k¨ ummern. Alle wollen belehren, kei¨ ner will lernen. Uberall herrscht der krasseste Egoismus.“ Obschon Abel entt¨ auscht war, fuhr er fort, fleißig zu arbeiten, und konnte mit seinem Vorankommen Crelle mehr und mehr Artikel schicken. Schließlich hinterließ er doch einen Eindruck bei einem Franzosen. Jacques Fr´ed´eric Saigey, der f¨ ur Mathematik zust¨andige Herausgeber von Baron de F´erussacs Bulletin, einer wichtigen Zeitschrift jener Tage, bat Abel, kurze Zusammenfassungen von Artikeln anderer Zeitschriften zu verfassen, einschließlich seines eigenen Unaufl¨ osbarkeitsbeweises f¨ ur die Gleichung f¨ unften Grades. Zu dieser Zeit (1826) bekam Abel Ruffinis Arbeiten zu Ge-

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sicht und bemerkte ihre unzureichende Qualit¨ at. Abel traf auch einen bedeutenden autodidaktischen Wissenschaftler, Fran¸coisVincent Raspail, einen gl¨ uhenden Anh¨ anger der franz¨osischen Republik, der mehrere Exil- und Gef¨ angnisstrafen verb¨ ußte. In seiner wissenschaftlichen Arbeit hatte er Schritte hin zur Entwicklung der Zelltheorie in der Biologie und zum Begriff einer von Mikroben verursachten Krankheit gemacht. Raspail war von Abel sehr beeindruckt. Trotz seiner Einsamkeit und seines schrumpfenden Budgets fand Abel auch Zerstreuung in Paris. Er spielte Billard und gab seiner Neigung f¨ ur das Theater nach, das er in bewegten Briefen beschrieb. Am Ende des Jahres 1826 ging sein Geld zur Neige, und er mußte einige Monate fr¨ uher als geplant nach Norwegen zur¨ uckreisen. Er hoffte, in Norwegen eine Anstellung zu finden, aber die einzige freie Stelle im ganzen Land war w¨ahrend seiner Abwesenheit besetzt worden, ironischerweise mit seinem Lehrer und Mentor Holmboe. Abel war dar¨ uber nicht verbittert, und ihre Freundschaft hielt an, aber er muß zutiefst irritiert gewesen sein. In solcher Armut war an eine Heirat nicht zu denken; er mußte seinen Lebensunterhalt k¨ ummerlich als Ersatzlehrer an einer Milit¨ arakademie verdienen. Dennoch h¨ orte er nicht auf, u ¨ ber seinen Unaufl¨ osbarkeitsbeweis nachzudenken, und forschte nach weiteren Konsequenzen. Im M¨ arz 1828 bemerkte er eine bedeutende Sache. In einem neuen Artikel f¨ ur Crelle schreibt Abel: Obwohl das algebrai” sche Aufl¨ osen von Gleichungen im allgemeinen nicht m¨oglich ist, gibt es dennoch in allen Graden spezielle Gleichungen, welche eine solche Aufl¨ osung gestatten. Solches sind zum Beispiel die Gleichungen der Form xn − 1 = 0 .“ – Gleichungen, die Gauß sogar in noch j¨ ungerem Alter als Abel so brillant gel¨ost hatte. Das Aufl¨ osen dieser Gleichungen beruht auf bestimmten Zu” sammenh¨ angen, die zwischen ihren L¨ osungen bestehen. Ich habe versucht, diese Methode zu verallgemeinern, indem ich annehme, daß zwei L¨ osungen einer gegebenen Gleichung so miteinander zusammenh¨ angen, daß man eine rational durch die andere ausdr¨ ucken kann, und ich bin zu dem Ergebnis gekommen, daß eine

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solche Gleichung stets mit Hilfe einer gewissen Anzahl von Gleichungen niedrigeren Grades aufgel¨ ost werden k¨onnen. Es gibt sogar F¨ alle, in denen man die gegebene Gleichung selbst algebraisch l¨ osen kann.“ Abel gibt diesem Zusammenhang zwischen den L¨osungen der Gleichung eine einfache Form. Die erste L¨ osung nennt er ur die zweite L¨ osung x2 = f (x1 ) x1 , und er nimmt an, daß f¨ gilt, wobei f (x) eine rationale Funktion ist. Dann nimmt er an, daß die n¨ achste L¨ osung sich mit derselben Funktion aus der vorangehenden ergibt, also x3 = f (x2 ) = f (f (x1 )), was man auch f 2 (x1 ) schreibt und ein zweimaliges Anwenden der Funktion f bedeutet. Er f¨ ahrt nun fort, f auf jede folgende L¨ osung anzuwenden, und bekommt so die Folge von L¨osungen x1 , f (x1 ), f 2 (x1 ), f 3 (x1 ), . . . , f n−1 (x1 ), wobei n der Grad der Gleichung ist. Falls n = 5 ist, ergibt sich zum Beispiel x6 = f 5 (x1 ) = x1 , da die Gleichung nur f¨ unf verschiedene L¨osungen haben kann, die man in einem Kreis anordnen kann:

Dieser Kreis illustriert die zyklische Symmetrie der L¨osungen. Solche Gleichungen werden heute abelsche Gleichungen“ ge” nannt und sind Spezialf¨ alle von durch Wurzeln aufl¨osbaren Gleichungen. Abels Einsicht ist nun, daß in solcherart aufl¨osbaren Gleichungen zwei beliebige L¨ osungen durch eine rationale Funktion

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ineinander u ¨ bergehen. Falls dies der Fall ist, sind alle L¨osungen rational u ¨bereinander und u ¨ber den Koeffizienten der Gleichung. Allerdings fehlt noch eine entscheidende Bedingung, damit die Gleichung durch Wurzeln aufl¨ osbar wird. In dem oben betrachteten Fall ist sie implizit gegeben; sie wurde erst explizit, als Abel Gleichungen betrachtete, deren Grad sich in ein Produkt mehrerer Primzahlen zerlegt. Dann lassen sich die L¨ osungen manchmal in mehreren Kreisen anordnen, und die Gleichung wird durch Wurzeln aufl¨ osbar: Falls n¨ amlich x eine L¨ osung einer solchen Gleichung ist, und zwei andere L¨ osungen durch zwei verschiedene rationale Funktionen f (x) und g(x) gegeben sind, dann, so schließt Abel, ist die Gleichung durch Wurzeln aufl¨osbar, falls g(f (x)) = f (g(x)) . Falls also die Reihenfolge, in welcher diese Funktionen angewandt werden, keine Rolle spielt, dann ist die Gleichung aufl¨osbar. Diese Einsicht sehe ich als ¨ außerst hilfreich an. Zun¨achst mag sie rein formal zu scheinen und bar jeder wirklichen Bedeutung: Gleichungen sind durch Wurzeln aufl¨ osbar, wenn ihre L¨osungen durch Funktionen zusammenh¨ angen, bei denen es nicht darauf ankommt, in welcher Reihenfolge wir sie anwenden. Umgekehrt mag eine Gleichung aber unaufl¨ osbar sein, wenn die Reihenfol¨ ge eine Rolle spielt. Doch eine große Uberraschung ist in dieser scheinbar flachen Aussage verborgen. Bisher waren die grundlegenden Operationen der Arithmetik oder Algebra kommuta” tiv“, d. h. vertauschend: a + b = b + a und a × b = b × a. Diese sogenannten Kommutativgesetze beschreiben eine wichtige Eigenschaft der Zahlen und beherrschen die Operationen in allen Gleichungen, welchen Grades auch immer. Abels Erkenntnis verbindet Aufl¨ osbarkeit mit Kommutativit¨ at. Damit er¨ offnete er den ganzen Bereich der Kommutativit¨ at der mathematischen Betrachtung. In der Tat glaube ich, daß hier zum ersten Mal in der Mathematik die M¨oglichkeit nicht-kommutativer Operationen auftaucht, vor allem im Zusammenhang mit einfachen Gleichungen, wo wir am wenigsten solch eine seltsame Sache vermuten w¨ urden. Abel erlebte es

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nicht mehr, aber seine Nachfolger erweiterten und erl¨auterten Schritt um Schritt den subtilen Zusammenhang zwischen NichtKommutativit¨ at und Unaufl¨ osbarkeit. Im Rest dieses Buches m¨ ochte ich dieser Geschichte folgen und ihre Konsequenzen erkunden. Betrachten wir zun¨ achst einmal, wie Abels Erkenntnis u ¨ ber aufl¨ osbare Gleichungen hier hineinpaßt: Bei den abelschen Glei” chungen“ war er in der Lage gewesen, die L¨ osungen in dem oben gezeigten Kreismuster anzuordnen. Es ist offensichtlich, daß in diesem Fall die Abh¨ angigkeiten zwischen den L¨ osungen kommutativ sind, da es keine Rolle spielt, ob wir den Kreis vorw¨arts oder r¨ uckw¨ arts durchlaufen. Abel arbeitete die Vertauschbarkeitssymmetrie als die entscheidende Eigenschaft dieses Musters heraus. Dennoch ist diese Erkenntnis erst ein Beginn, denn sie erkl¨art noch nicht, wie man bestimmt, ob das Muster einer gegebenen Gleichung kreisf¨ ormig ist oder nicht. Abel muß erkannt haben, daß die Untersuchungen noch viel weiter zu f¨ uhren waren. Sein Artikel von 1828 l¨ aßt allerdings die Frage offen, wie er dies h¨atte tun k¨ onnen. Genau zu dieser Zeit lief n¨ amlich Abels kurzer Lebensfaden ab. Anfang 1828 erkrankte er und wußte nicht, wie weit seine Artikel verbreitet waren, denn Norwegen blieb immer noch isoliert. Obwohl nicht zu u ¨bertriebener Begeisterung neigend sprach Gauß inzwischen von der Tiefe, Feinheit und Eleganz“ ” der Abelschen Arbeiten, und vielleicht hatte Abel u ¨ ber Crelle davon geh¨ ort. Wahrscheinlich wußte er nichts von der Bewunderung Legendres oder Carl Gustav Jacob Jacobis, der mit Abel darum wetteiferte, die Ergebnisse weiter auszudehnen. Im Alter von dreiundzwanzig Jahren war Jacobi bereits außerordentlicher Professor an der Universit¨ at K¨ onigsberg. Sowohl Jacobi als auch Abel waren 1828 zur Aufnahme ins Institut de France vorgeschlagen worden, aber keiner von beiden wurde gew¨ahlt. Crelle bem¨ uhte sich immer noch sehr, eine Stelle f¨ ur Abel zu finden. In einem Bittbrief an einen alten Freund, den er um ein Darlehen bat, beschrieb Abel sich selbst als arm wie eine Kirchenmaus“ ” und unterzeichnete Dein Vernichteter“. ”

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Crelle war nicht der einzige, der Abel zu helfen versuchte. Vier ber¨ uhmte franz¨ osische Mathematiker (darunter Legendre und Sim´eon-Denis Poisson) schrieben an den schwedischen K¨onig und baten ihn um Hilfe f¨ ur einen seiner Untertanen, einen jun” gen Mathematiker, Monsieur Abel, dessen Arbeiten eine geistige Kraft von h¨ ochstem Range zeigen und der dessen ungeachtet in Kristiania in einer Stellung darbt, die seiner seltenen und so fr¨ uh entwickelten Begabung kaum w¨ urdig ist.“ Der K¨ onig antwortete nie, und Abel erfuhr vermutlich nie von diesem Versuch, zu seinen Gunsten einzuschreiten. Abel seinerseits fuhr fort zu arbeiten, nicht allein u ¨ ber die Aufl¨ osbarkeit von Gleichungen, sondern auch u ¨ ber elliptische Funktionen und das, was heute abelsche Integrale genannt wird, wo er ebenfalls grundlegende Beitr¨ age lieferte. Er erhielt einige Briefe von Legendre, die ihn durch ihre offene Bewunderung und ihr Interesse an seiner Arbeit best¨ arkten, obwohl Legendre einen wichtigen Artikel von Abel verloren zu haben schien, welchen Abel Jahre zuvor an das Institut geschickt hatte (was Abel in seinen Antworten nicht erw¨ ahnte). Großz¨ ugig schrieb Abel zur¨ uck, Legendres Anerkennung habe ihm einen der gl¨ ucklich” sten Momente“ seines Lebens bereitet, denn ohne von ihrem ” Licht geleitet gewesen zu sein, w¨ urde ich, daran besteht kein Zweifel, nichts ausgerichtet haben.“ Mit kindlicher Freude zitierte Abel solches Lob vor seinen Freunden. Er schrieb aber auch: Ich bin jetzt doch ziemlich einsam. Ich beteuere ihnen, daß ich ” im eigentlichen Sinne mit keinem einzigen Menschen Umgang habe. Ich werde jedoch vorerst keine Entbehrung sp¨ uren, da ich so grausam viel f¨ ur das [= Crelles] Journal zu tun habe.“ Zu Weihnachten 1828 konnte Abel der Gelegenheit nicht widerstehen, die Ferien mit seiner Verlobten auf dem Lande zu verbringen, obwohl es außergew¨ ohnlich kalt war. Er wurde zunehmend kr¨ anker, aber seine Freunde konnten ihn von der Reise nicht abbringen. Er fuhr ab und hatte nur Socken, um seine H¨ande zu w¨ armen. Nach den Weihnachtsfeierlichkeiten mußte er sich mit einer Lungenentz¨ undung ins Bett legen, doch arbeitete er weiter an einem Artikel u ¨ ber transzendente Funktionen, um

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einen Teil des in Paris verlorenen Schatzes wieder aufzuzeichnen. Crelle schrieb ihm, er habe ihm mit einiger Sicherheit eine Stelle in Berlin besorgt, welche ihm finanzielle Absicherung und die M¨ oglichkeit zur Heirat gebe. Ganz gekl¨ art sei die Angelegenheit aber noch nicht. Abel gestand sich immer noch nicht ein, daß er dabei war, an Tuberkulose zu sterben. W¨ ahrend seiner letzten Tage war er außerordentlich tapfer, aber w¨ ahrend der N¨achte erschreckte seine Wut und seine Verzweiflung die Menschen in seiner Umgebung. Er verfluchte seine Armut und die Ungerechtigkeit der Vernachl¨ assigung, die er erlitten hatte, aber erkannte immer noch nicht den Ernst seiner Lage an. Am 6. April 1829 starb er in der Anwesenheit seiner Verlobten Christine. Crelle, der nichts vom Tode seines Freundes wußte, schickte ihm zwei Tage sp¨ ater die endg¨ ultige Best¨ atigung, daß die Anstellung von Abel angenommen sei. Auf seinem Todesbett schrieb Abel seinem Freund Keilhau einen Brief und bat ihn dringend, nach seinem Tode Christine zu heiraten. Obwohl er sie nie getroffen hatte, machte ihr Keilhau in einem Brief einen Heiratsantrag, und sie schlossen bald darauf die Ehe. Abels neue Erkenntnisse des Jahres 1828 erschienen also erst nach seinem Tode in Druck. Wir k¨ onnen nur dar¨ uber spekulieren, wohin er diese Ideen getragen h¨ atte. Jedoch hatte noch vor Abels Tod, und ohne sein letztes Werk zu kennen, ein junger Franzose bereits die Schritte unternommen, welche Abels Einsichten zu einem vollen Verst¨ andnis der Aufl¨ osbarkeit von Gleichun´ gen verallgemeinern w¨ urden. Die Geschichte von Evariste Galois (Abb. 7.1) steht neben der von Abel als einer der dramatischsten Lebengeschichten in der Mathematik. Die Geschichte von Galois ist allerdings viel bekannter und in Romanen, Filmen und Biografien ausgearbeitet und bisweilen romantisiert. Abel starb mit sechsundzwanzig Jahren, Galois schon mit zwanzig, in einem geheimnisvollen Duell, das mit Liebe und Politik zu tun hat. Galois wurde 1811 in Bourg-la-Reine geboren, im S¨ uden von Paris. Seine Familie war den Idealen der Franz¨ osischen Revolution von 1789 zugetan, welche die mehr als achthundertj¨ahrige Herrschaft der Dynastie der Bourbonen und Kapetinger beende-

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´ Abb. 7.1 Evariste Galois

te. Nach Napol´eons erstem Fall und Exil in Elba kehrte Frankreich aber zu seiner monarchistischen Vergangenheit zur¨ uck, und Ludwig XVIII. u ¨ bernahm den Thron seines enthaupteten Bruders Ludwig XVI. Als Napol´eon von Elba aus versuchte zur¨ uckzukehren, wurde Galois’ Vater B¨ urgermeister von Bourg-la-Reine und blieb es f¨ unfzehn Jahre lang, auch nach Napol´eons Niederla´ ge bei Waterloo. Mit elf Jahren kam Evariste als Internatssch¨ uler

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in das ber¨ uhmte Pariser Coll`ege de Louis-le-Grand . Ungeachtet seines ber¨ uhmten Namens war die Schule so entsetzlich wie ein Gef¨ angnis. Die Sch¨ uler mußten um halb sechs aufstehen und zwei Stunden lang still arbeiten, bevor es ein Fr¨ uhst¨ uck aus Wasser und Brot gab. Sie wurden oft bestraft und dann tagelang in Einzelzellen gesperrt. Zu der Zeit war Ludwig XVIII. wieder an der Macht, und die Schulleitung war strikt monarchistisch. Dennoch machte Galois ausgezeichnete Fortschritte und gewann Preise in Griechisch und Latein. Wie Abel erhielt Galois Hilfe von seinen Lehrern, zun¨achst ´ Hippolyte Jean Vernier und dann Louis-Paul-Emile Richard. Der sch¨ uchterne Richard suchte sogar auf ungew¨ ohnlichem Wege, seinem erstaunlichen Sch¨ uler M¨ oglichkeiten zu verschaffen. Er trat an Cauchy heran, der dann 1829 eine von Galois’ Arbeiten der Acad´emie des Sciences einreichte, wo sie von ihm und anderen ber¨ uhmten Mitgliedern begutachtet werden sollte. Zu Galois’ niederschmetternder Entt¨ auschung kam nie ein Gutachten; aus unklaren Gr¨ unden bekam Galois nicht einmal sein Manuskript zur¨ uck. Galois gab Cauchy die Schuld, das Manuskript verloren zu haben, aber andere Dokumente lassen vermuten, daß Cauchy Galois dazu gedr¨ angt habe, den Artikel zu u ¨berarbeiten und auszuweiten. Es ist m¨ oglich, daß Galois etwas paranoid war, und einige nach seinem Tode erz¨ ahlten Geschichten enth¨ ullen eine dunkle Seite an ihm. Zum Beispiel erz¨ahlte die Mathematikerin Sophie Germain, Galois habe Sitzungen der Acad´emie beigewohnt und die Vortragenden beleidigt. Der romantische Mythos des verkannten Genies geht u ¨ ber solch provokantes und sicher emp¨ orendes Verhalten hinweg. Dennoch weckt die ganze Angelegenheit eine traurige Erinnerung an Abels Entt¨ auschung w¨ ahrend seiner Pariser Zeit 1826/27, als seine Eingabe f¨ ur die Acad´emie ebenfalls verschwand. (Abel beschrieb Cauchy als einen katholischen Bigotten“.) Obwohl sie zur glei” chen Zeit in Paris waren, sind sich Abel und Galois wohl nie onnten, daß sie sich, ohbegegnet, obwohl wir uns vorstellen k¨ ne voneinander zu wissen, in der Straße begegnet sein m¨ogen. Jedenfalls dachten sie 1828 u ¨ber das gleiche Problem nach, das

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der Aufl¨ osbarkeit von Gleichungen; Galois aber wußte von Abels Arbeiten nichts, als er seine eigene Theorie entwickelte. Diese Jahre waren schrecklich f¨ ur Galois. Der Nachfolger von Ludwig XVIII., Karl X., war noch entschlossener, zum ancien r´egime zur¨ uckzukehren, und die Partei der Kleriker gewann zunehmenden Einfluß. In ihrer kleinen Stadt schmiedete der jesuitische Gemeindepriester aus dem Namen von Galois’ Vater unfl¨atige Epigramme, die er an dessen Verwandte schickte. Durch den dadurch ausgel¨ osten Skandal sah sich Galois’ Vater gezwungen, die Stadt zu verlassen, und f¨ uhlte sich so erniedrigt, daß er 1829 Selbstmord beging. Bei der Beerdigung seines Vater sah der trau´ ernde Evariste, wie der Gemeindepriester beschimpft und mit Steinen beworfen wurde. In jenem Sommer legte er die Aufnah´ mepr¨ ufung f¨ ur die angesehene Ecole Polytechnique ab. Er wurde w¨ ahrend der Pr¨ ufungen u ¨ber logarithmische Reihen befragt, und als die Pr¨ ufer ihn baten, seine Behauptungen zu beweisen, lehnte die Galois mit der Begr¨ undung ab, sie seien v¨ ollig offensichtlich. Mit seinem Eigensinn beendete er so seinen Traum, ein polytechnicien zu werden. Dank des Einschreitens seines Lehrers Richard ´ ´ wurde Galois in die Ecole Pr´eparatoire (aus der sp¨ater die Ecole Normale Sup´erieure hervorging) aufgenommen, wo er sich nicht bem¨ uhte, seine Verachtung f¨ ur die Lehrer zu verbergen, und nur Mathematik betrieb. 1830 begannen in Paris Aufruhre gegen die Regierung; Galois wollte sich den K¨ ampfen anschließen, blieb aber in der Schule eingesperrt. Karl X. wurde aus Paris vertrieben und scheiterte im Juli daran, die Macht zur¨ uckzuerobern. Der alte General de Lafayette, ein Gem¨ aßigter wie sein Freund George Washington, gestattet Karls dynastischem Rivalen, dem Herzog von Orl´eans, als der sogenannte B¨ urgerk¨ onig“ Louis-Philippe I. K¨onig von ” Frankreich zu werden. Galois und viele andere sahen diese Juli” ur die Monarchie“ als einen grotesken Betrug an ihrem Kampf f¨ Wiedereinf¨ uhrung der Republik an. Zusammen mit Raspail trat Galois der radikalen Soci´et´e des Amis du Peuple bei und wurde politisch aktiver, wof¨ ur er schließlich mit dem Rauswurf aus seiner Schule bestraft wurde. Seine Situation wurde dann noch

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schwieriger: Er versuchte, sich seinen Lebensunterhalt durch Nachhilfestunden in Mathematik zu verdienen. Er schickte der Acad´emie einen weiteren Artikel, in welchem er seine Theorie der Gleichungen umriß. Dieser Artikel wurde nun abgelehnt, was Galois noch mehr in Wut versetzte. Bei einem Bankett der Soci´et´e streckte Galois ein Messer in die H¨ ohe und brachte einen sarkastischen Toast Auf Louis-Philippe!“ dar. Im Tumult ging dann ” unter, daß er fortfuhr: Falls er seinen Eid verr¨ at.“ ” Obgleich von der Anklage wegen Hochverrats freigesprochen, wurde Galois bald danach wegen anderen Dingen zu Gef¨angnis verurteilt, zusammen mit Raspail, der sp¨ ater beschrieb wie Galois, der immer noch wie ein Kind aussah, selbst dort weiter an seinen mathematischen Fragen arbeitete. Von seinen Zellengenossen verspottet versuchte Galois zu beweisen, daß er trinkfest war. Bei einer dieser Gelegenheiten, so Raspail, mußte Galois in betrunkenem Zustand von einem Selbstmordversuch abgehalten werden. Bei einer anderen entging Galois knapp einer Gewehrkugel, welche ein W¨achter in die u ullte Zelle abfeuerte. ¨ berf¨ 1832 wurde der Skandal bekannt, wie das Institut Abel be¨ handelt hatte, und Galois machte im Gef¨ angnis seinem Arger Luft u anner, die schon Abels Tod auf dem ¨ ber genau diese M¨ ” Gewissen haben“, und die er auch daf¨ ur verantwortlich machte, ihn selbst u ¨ bergangen zu haben. In diesem Jahr war es den Republikanern nicht m¨ oglich, weitere Demonstrationen zu organisieren, da so viele ihrer F¨ uhrer im Gef¨ angnis saßen. Als die Cholera in Paris ausbrach, wurden die j¨ ungsten Gefangenen auf Ehrenwort in ein Krankenhaus verlegt. Dort verliebte sich Galois in St´ephanie Poterin-Dumontel, die Tochter ei¨ nes seiner Arzte. Zwei in Fragmenten erhaltene Briefe deuten an, daß sie ihn zwar urspr¨ unglich ermutigte, schließlich seine Liebe aber doch ablehnte. Einem Freund schrieb er daraufhin: Wie soll ich mich tr¨ osten, in einem Monat die sch¨onste Quelle ” des Gl¨ ucks im Menschen ersch¨ opft zu haben, ohne Gl¨ uck, ohne Hoffnung und sicher, sie f¨ urs ganze Leben trockengelegt zu haben.“ Die Galois-Legende rankt sich um die nun folgenden Ereignisse. Nur wenige Wochen nach diesem Brief starb er in

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einem Duell, dessen Motive und Einzelheiten unklar bleiben. Manche Autoren f¨ uhren es auf romantische, andere auf politische Gr¨ unde zur¨ uck; die volle Wahrheit wird wohl nie zutage treten. Die erhalten gebliebenen Dokumente scheinen deutliche Beweise zu enthalten, lassen aber doch keine endg¨ ultige Beurteilung zu. Aus dem Gef¨ angnis entlassen und im Liebeskummer schrieb Galois: Mitleid: niemals! Haß ist alles.“ Seine letzten Briefe ent” halten sein deutlichstes Zeugnis, obwohl es vieles unerkl¨art l¨aßt: Ich sterbe als Opfer einer infamen Verf¨ uhrerin und zwei von ihr ” Betrogenen.“ Dazu der Bericht u ¨ ber das Duell in einer Zeitung ´ aus Lyon: Der junge Evariste Galois . . . k¨ ampfte mit einem sei” ner alten Freunde, einem jungen Mann wie er selbst, wie er selbst Mitglied der Soci´et´e des Amis du Peuple, und von dem ebenfalls bekannt ist, daß er in einem politischen Prozeß vor Gericht stand. Es wird gesagt, daß Liebe die Ursache des Kampfes war. Die Gegner hatten die Pistole als Waffe gew¨ ahlt, aber aufgrund ihrer alten Freundschaft konnten sie es nicht ertragen, sich in die Augen zu sehen, und u ¨berließen die Entscheidung dem Schicksal. In geringstem Abstand erhielt jeder eine Pistole und feuerte. Nur eine war geladen.“ Falls der Zeitungsbericht stimmt, spielten zwei Genossen derselben geheimen politischen Vereinigung, die mit der gleichen Frau zu tun hatten, russisch Roulette, um zu entscheiden, wer u ¨ berleben sollte. In seinem letzten Briefe bat Galois seine Kameraden, ihm nicht vorzuwerfen, f¨ ur etwas anderes als sein Land ” zu sterben“, womit er andeutete, aus rein pers¨ onlichen Gr¨ unden zu sterben. Dennoch bleibt ein Geheimnis. Galois schrieb: Nur ” unter Zwang habe ich einer Provokation stattgegeben, die ich mit allen Mitteln abzuwenden versuchte.“ Er warf sich vor, eine ” unheilvolle Wahrheit Menschen gesagt zu haben, die so wenig in der Lage waren, sie leidenschaftslos anzuh¨ oren. Doch schließlich sagte ich die Wahrheit. Ich gehe ins Grab mit einem Gewissen, welches rein von L¨ uge und rein von patriotischem Blut ist. Lebt wohl! Ich habe mein Leben f¨ ur das ¨ offentlichen Wohl eingesetzt. Verzeiht denen, die mich get¨ otet haben, denn sie handeln in gu-

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tem Glauben.“ Welcher Provokation hat er nachgegeben, welche unheilvolle Wahrheit ausgesprochen? Wir wissen es nicht. Hier h¨ oren die Beweisindizien auf. Seine letzten Worte richtete er an seinen Bruder: Weine nicht. Ich brauche meinen ganzen ” Mut, um mit zwanzig zu sterben.“ Bei seinem Begr¨abnis waren dreitausend Menschen bereit, die Polizei anzugreifen. Doch im letzten Augenblick wurde der allgemeine Aufstand um einige Tage verschoben auf eine g¨ unstiger erscheinende Gelegenheit, n¨ amlich die Beerdigung eines bekannten, von Napol´eon ernannten Generals. Falls er doch einem politischen Zweck dienen sollte, so war Galois’ Tod umsonst gewesen. Aber sein Leben bot den Stoff f¨ ur Legenden. 1870 nutzte Raspail die Beispiele von Abel und Galois in einer kraftvollen Rede vor dem Abgeordnetenhaus, in welcher er die etablierte Klasse wegen ihrer Grausamkeit und K¨ alte jungen Genies gegen¨ uber heftig kritisierte. Doch bereits in den vierziger Jahren begannen Mathematiker Galois’ nachgelassene Schriften zu lesen und zu studieren, darunter einen Brief vom Vorabend des Duells. Dieses Testament wurde das zentrale St¨ uck der Legende, als h¨atte Galois seine großartige Theorie fieberhaft im Angesicht des Todes hingekritzelt. Ich habe nicht die Zeit dazu“, schrieb er auf ” den Rand, die tragische Kurzbeschreibung verurteilter Genies. Wieder einmal ist die Wahrheit weniger romantisch. Oft war er zu ungeduldig, die langwierigen Einzelheiten seiner Beweise auszuarbeiten, daf¨ ur hatte er keine Zeit“. Tats¨ achlich waren viele ” von Galois’ Ideen bereits in seinen fr¨ uher ver¨ offentlichten Arbeiten vorhanden (f¨ unf wurden w¨ ahrend seiner Lebenszeit ver¨offentlicht) und in seinen unver¨ offentlichten Artikeln. Allerdings deutet sein letzter Brief an, daß seine Ideen weiter reichte. Galois’ Arbeit stimmt v¨ ollig mit Abels Ergebnissen u ¨ berein. Neu dagegen ist ein Zug zur Abstraktion in einer wesentlich modernen Art, welche zu einem vollst¨ andigen Verst¨andnis der Aufl¨ osbarkeit von Gleichungen f¨ uhrte, wie es Abel fehlte. Bei der Umformulierung und Erweiterung von Abels Ansatz erkannte Galois, daß es n¨ utzlich ist, Permutationen der L¨osungen einer Gleichung nicht Fall f¨ ur Fall zu untersuchen, sondern durch

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eine meisterhafte Abstraktion, welche viele Permutationen auf einmal erfassen w¨ urde. Galois sprach als erster von diesen Permutationen als einem Beispiel einer neuen Art von mathematischem Objekt: einer Gruppe. Dadurch er¨ offnete er den Weg f¨ ur die charakteristische Sprache und die Ziele der modernen Mathematik in all ihrer Allgemeinheit und St¨ arke. Gleichzeitig ¨offnete er damit aber auch eine entscheidende Kluft zwischen der neuen Sprache und einem allgemeinen Verst¨ andnis. Was die St¨arke der Mathematik bewirkt, hinterl¨ aßt gleichzeitig bei vielen hochgebildeten Menschen Verst¨ andnislosigkeit. Es bleibt eine große Frage, inwieweit diese Kluft verst¨ andlich gemacht, geschweige denn u uckt werden kann. ¨ berbr¨

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Es passierte einmal in einem Vortrag eines Mathematikers, als er gerade dabei war, einen komplizierten, von abstrakten Begriffen und Symbolen strotzenden Satz anzuschreiben, und zum Beweis u otzlich jemand im Publikum her¨bergehen wollte, daß pl¨ ausplatzte: Ist das wirklich wahr?“ Der Vortragende hielt an, ” zeichnete ein kleines gleichseitiges Dreieck an die Tafel und bezeichnete die Ecken wie ein Schulkind mit A, B und C. Er starrte das Dreieck eine Weile an, wischte es dann aus und sagte: Ja, ” es ist wahr. Sei G eine Gruppe . . .“ und ging zum Beweis seines Satzes zur¨ uck. Selbst jemand, der in der Abstraktion vollkommen zu Hause ist, sp¨ urte die Notwendigkeit, u ¨ber ein einfaches Beispiel nachzudenken, bevor er zur abstrakten Aussage u ¨ berging. Ebenso wollen wir versuchen, eine intuitive Sicht auf den Prozeß des Aufl¨ osens von Gleichungen zu erhalten, bevor wir zur Geschichte der Abstraktion zur¨ uckkehren. Dabei bilden Symmetrien und Permutationen zentrale Punkte. Um ihre Bedeutung zu illustrieren, werde ich sie als Bewegungen in einem Tanz darstellen. Betrachten wir zun¨ achst eine quadratische Gleichung. Im allgemeinen hat sie zwei verschiedene L¨ osungen. Um deren Symmetrie zu veranschaulichen, denken wir uns zwei T¨anzer, die nach jedem Tanzschritt wieder die beiden Ausgangspositionen besetzen. Dabei haben sie zwei M¨ oglichkeiten: zu ihren jeweiligen Startpunkten zur¨ uckzukehren oder ihre Pl¨ atze zu wechseln.

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Die Pl¨ atze zu wechseln kann man sich als eine halbe Drehung (180◦ ) vorstellen; sie entspricht der Vertauschung der beiden L¨osungen. Ein zweimaliges Wechseln der Pl¨ atze bedeutet eine anzer zu den urspr¨ unglichen volle Drehung (360◦ ), welche die T¨ Positionen zur¨ uckbringt. Nennen wir diesen Tanz S2 , da er S ymmetrisch ist und zwei T¨ anzer braucht. Er besteht aus zwei Elementen, die (1) und (12) geschrieben werden: (1) bedeutet nichts tun“ und wird auch ” die Identit¨ at“ genannt; (12) bedeutet: T¨ anzer 1 und 2 ver” ” tauschen ihre Pl¨ atze.“ Um den Tanz vollst¨ andig zu beschreiben, werden wir auch die Weisen auflisten, wie diese Grundschritte kombiniert werden. Die m¨ oglichen Kombinationen dieser Schritte k¨onnen in einer sogenannten Cayley-Tafel“ verzeichnet wer” den, wie sie von Arthur Cayley 1854 eingef¨ uhrt wurde (Tafel 8.1). Die Schritte werden von links nach rechts gelesen. Zum Beispiel bedeutet (12) ∗ (12) = (1), daß zweimaliges Wechseln zum Ausgangspunkt, d. h. der Identit¨ at, zur¨ uckf¨ uhrt. Da der Nichtstun” Schritt“ nichts ¨ andert, gilt (12) ∗ (1) = (1) ∗ (12) = (12). Man sieht, daß die Reihenfolge, in welcher die Schritte ausgef¨ uhrt werden, hier keine Rolle spielt, also ist S2 kommutativ oder abelsch, um den modernen Begriff zu verwenden, der Abels Entdeckung der Kommutativit¨ at als ein Charakteristikum seiner aufl¨osbaren Gleichungen ehrt. Tabelle 8.1 S2

(1)

(12)

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(12)

(1)

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Außerdem ist S2 zyklisch. Dies bedeutet, daß es einen Schritt gibt, n¨ amlich hier (12), der alle anderen Schritte des Tanzes erzeugt, sofern die T¨ anzer diesen Schritt wieder und wieder nacheinander ausf¨ uhren. Dies ergibt das Muster: (1), (12), (1), (12), (1) . . . Weil die T¨ anzer nach zweimaliger Ausf¨ uhrung von (12) zur urspr¨ unglichen Position zur¨ uckkehren, heißt (12) auch ein 2-Zykel. onnte nat¨ urlich die Permutationen von zwei beliebigen S2 k¨ Objekten darstellen, aber wir sind besonders an den beiden L¨ osungen einer quadratischen Gleichung interessiert. Da sie in der L¨osungsformel durch das ± verbunden sind, m¨ ussen wir sie als Paar erforschen. Nach der quadratischen Erg¨anzung finden wir eine Quadratwurzel, deren beide Werte in einem 2-Zykel vertauscht werden k¨ onnen, wie die beiden T¨ anzer. Wir haben gerade gesehen, daß dieser zyklische Tanz auch abelsch ist. Daraus entspringt die grundlegende Einsicht: Eine Gleichung aufzul¨osen entspricht einer gewissen kommutativen Symmetrie. Wir werden nach und nach diese Einsicht u ufen und verfeinern, was eine ¨berpr¨ etwas subtile Angelegenheit sein wird. osungsverfahren f¨ ur eiDie Analogie zwischen S2 und dem L¨ ne quadratische Gleichung beruht auf der Parallelit¨at von Tanzschritten einerseits und Schritten, welche die L¨ osungen der Gleichung miteinander verbinden, andererseits. In beiden F¨allen gibt es etwas Invariantes wie hier die zentrale Achse, um die sich die beiden T¨ anzer drehen. Damit nehmen wir eine andere wichtige Einsicht vorweg: Jede Symmetrie hat Invarianten. Dieser Einsicht werden wir bei den komplizierteren T¨ anzen und Gleichungen folgen. So wie bei quadratischen Gleichungen zwei T¨anzer auftreten, sind es bei kubischen Gleichungen drei. Stellen wir uns vor, daß sie auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks stehen und sich so bewegen, daß sie stets wieder zu dieser dreieckigen Anordnung zur¨ uckkehren, wobei allerdings die T¨ anzer nunmehr auf vertauschten Ecken stehen k¨ onnen. Wir werden sehen, daß sie sechs verschiedene solche Schritte ausf¨ uhren k¨ onnen: drei verschiedene Austausche von je zwei T¨ anzern, zwei verschiedene

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8 Symmetrien sehen

Drehungen von allen drei T¨ anzern und die Identit¨at. Suchen wir wieder nach den invarianten Achsen, um die sich die T¨anzer jeweils bewegen. Schauen wir uns zun¨ achst die verschiedenen Arten an, wie je zwei T¨ anzer die Pl¨ atze wechseln k¨ onnen. Wir bezeichnen die T¨ anzer mit 1, 2 und 3 (und k¨ onnten uns verschiedene Kost¨ ume vorstellen). Im ersten Bild sieht man die Startposition (aus etwas erh¨ohter Position; die Abst¨ ande sollen jeweils gleich sein):

Nun k¨ onnen die T¨ anzer 2 und 3 ihre Pl¨ atze gegenseitig austauschen, w¨ ahrend T¨ anzer 1 stehenbleibt. Diesen Tanzschritt nennen wir (23). (T¨ anzer, die sich nicht bewegen, werden in der symbolischen Schreibweise weggelassen, außer bei der Identit¨at, wof¨ ur sich (1) eingeb¨ urgert hat.)

Beachten Sie die Symmetrieachse, die von dem stillstehenden T¨anzer zum Mittelpunkt der beiden die Pl¨ atze wechselnden T¨anzer verl¨ auft.

8 Symmetrien sehen

115

Es gibt noch zwei weitere M¨ oglichkeiten: (12) bedeutet, daß (3) stehenbleibt, w¨ ahrend (1) und (2) die Pl¨ atze tauschen:

Und schließlich bedeutet (13), daß (2) stehenbleibt, w¨ahrend (1) und (3) die Pl¨ atze tauschen:

Jeder dieser Austausche ist eine ungerade Permutation, da nur ein Paar von T¨ anzern die Pl¨ atze wechselt. (Die Identit¨at wird als gerade Permutation betrachtet, da null Paare betroffen sind.) Setzt man ungerade Permutationen zusammen, also etwa zwei Austausche, so erh¨ alt man eine gerade Permutation. Zum Beispiel, wenn erst (12) und dann (13) vertauscht werden:

Diese beiden nacheinander ausgef¨ uhrten Vertauschungen ergeben dasselbe wie eine Drehung (123): Die T¨ anzer haben sich um ein Drittel eines Kreises (also 120◦) gedreht, so daß 1 zu 2 wird

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(das heißt, 2 nimmt den urspr¨ unglichen Platz von 1 ein), 2 wird zu 3 und 3 zu 1. Aus unserer Vogelperspektive sieht das folgendermaßen aus:

Der Einfachheit halber messen wir den Winkel der Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Drehung erfolgt um eine Achse, die wie ein Maibaum senkrecht in der Mitte des Dreiecks steht. Damit die T¨ anzer immer wieder auf die Ecken des Dreiecks zur¨ uckkehren, k¨ onnen sie sich nur um 120◦ (ein Drittel eines vollen Kreises) oder Vielfache davon drehen. Eine einzelne Ver¨anderung um 120◦ haben wir gerade mit (123) bezeichnet. Entsprechend steht (132) f¨ ur eine Drehung um 240◦ , so daß 1 zu 3, 3 zu 2 und 2 zu 1 wird:

Wir k¨ onnen alle m¨ oglichen Drehungen, welche die Dreiecksgestalt erhalten, durch Wiederholung der Grunddrehung um 120◦ bekommen. So ergeben zwei aufeinanderfolgende Drehungen um 120◦ dasselbe wir eine Drehung um 240◦, was wir als (123) ∗ (123) = (132) beschreiben k¨ onnen:

8 Symmetrien sehen

117

Drei nacheinanderfolgende Drehungen um 120◦ summieren sich zu einer vollen Kreisdrehung um 360◦ auf, was uns zur Identit¨at zur¨ uckbringt: (123) ∗ (123) ∗ (123) = (132) ∗ (123) = (1):

Damit bilden die Drehungen der drei T¨ anzer einen zyklischen Tanz: Wenn man die Grunddrehung (123) immer wieder wiederholt, ergibt sich der 3-Zykel“ (1), (123), (132), (1), (123), ” (132), (1) . . . Beachten Sie, daß diese zyklischen Drehungen f¨ ur sich genommen abelsch sind: Gleich in welcher Reihenfolge man sie ausf¨ uhrt, das Ergebnis wird dasselbe sein. Der Tanz S3 besteht also aus sechs Schritten: die Identit¨at (1), die beiden Drehungen (123) und (132) und die drei Austausche (12), (13) und (23). Er ist komplizierter als S2 , denn S3 als Ganzes ist nicht kommutativ. Wenn man zum Beispiel erst dreht (123) und dann vertauscht (13), erh¨ alt man (12):

Aber wenn man erst vertauscht (13) und dann dreht (123), erh¨alt man (23):

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8 Symmetrien sehen

Also ist S3 nicht abelsch: Wenn man Drehungen und Austausche mischt, h¨ angt das Ergebnis von der Reihenfolge ab. Die Drehungen sind u ¨ brigens hier alle gerade Permutationen, die Austausche stets ungerade. Aus dem ganzen nicht-abelschen Tanz S3 , der gerade und ungerade Permutationen enth¨ alt, k¨ onnen wir nun die ur Alternierend“). Dies geraden aussondern und A3 nennen (f¨ ” sind gerade die Drehungen ohne die Austausche; in Tafel 8.2 sind sie hervorgehoben. Diese Menge an Drehungen ist abgeschlos” sen“ in dem Sinn, daß die Drehungen unter sich bleiben: Zwei nacheinander ausgef¨ uhrte Drehungen ergeben stets wieder eine Drehung und niemals einen Austausch. Nat¨ urlich m¨ ussen wir dazu die Identit¨ at (1) als Drehung z¨ ahlen; aber sie stellt ja auch eine Drehung um 0◦ (oder irgendein Vielfaches von 360◦ ) dar. Tabelle 8.2 S3

(1)

(123)

(132)

(12)

(13)

(23)

(1)

(1)

(123)

(132)

(12)

(13)

(23)

(123)

(123)

(132)

(1)

(23)

(12)

(13)

(132)

(132)

(1)

(123)

(13)

(32)

(12)

(12)

(12)

(13)

(23)

(1)

(123)

(132)

(13)

(13)

(23)

(12)

(132)

(1)

(123)

(23)

(23)

(12)

(13)

(123)

(132)

(1)

S3 ist nicht abelsch, was man an der fehlenden Symmetrie bez¨ uglich der Hauptdiagonalen sieht. Zum Beispiel ist (123) ∗ (13) = (12), aber (13) ∗ (123) = (23). Die unterlegten Eintr¨ age zeigen die abelsche Unuglich der Diagonalen symmetrisch ist. tergruppe A3 , die bez¨

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119

Wir werden A3 eine invariante Untergruppe“ von S3 nen” nen, was bedeuten soll, daß A3 einige, aber nicht alle Schritte von S3 beinhaltet, und daß es abgeschlossen und invariant ist. Der letzte Begriff (der in den Anmerkungen pr¨ azise definiert ist) bedeutet folgendes: Wenn ein Tanzschritt eines bestimmten Typs in einer invarianten Untergruppe liegt, dann liegen auch alle anderen Schritte desselben Typs darin. Hier sind zum Beispiel die Drehungen (123) und (132) vom selben Typ. Wenn wir uns S3 anschauen, finden wir keine weitere invariante Untergruppe, außer der Identit¨ at f¨ ur sich alleine genommen. Zum Beispiel bilden (1) und (12) zusammen eine Untergruppe, die aber nicht invariant ist, da die beiden anderen Austausche (13) und (23), die vom selben Typ wie (12) sind, nicht eingeschlossen sind. In symbolischer Schreibweise sieht das Verh¨ altnis dieser T¨anze so aus: S3  A3  I , was einfach bedeutet, daß S3 die invariante Untergruppe A3 enth¨alt, die wiederum die nur aus der Identit¨ at (1) bestehende invariante Untergruppe I enth¨ alt. Die Kette geht von der gr¨ oßten“, umfassendsten Symmetrie zur n¨ achstkleineren inva” rianten Untersymmetrie, dann zur n¨ achstkleineren Unteruntersymmetrie usw. und endet mit der kleinsten von allen, der Identit¨ at. Diese verschachtelte Struktur spiegelt das L¨osungsverfahren einer kubischen Gleichung wider: Die kubische Erg¨anzung entspricht dem Schritt von S3 herunter zu A3 . Eine kubische Gleichung aufzul¨ osen entspricht dem Auffinden einer invarianten Untersymmetrie (n¨ amlich A3 ) innerhalb der gr¨ oßten Symmetrie der Gleichung, n¨ amlich S3 . Eine kurze Atempause und wir schauen uns vier T¨anzer an, deren M¨ oglichkeiten weit u ¨ber eine Anordnung im Quadrat hinausgehen. Wenn man alle m¨ oglichen Schritte einbeziehen m¨ochte, m¨ ußte man das Quadrat auf solche Weisen verformen, daß seine geometrische Form nicht erhalten bliebe. Wenn man sich zum Beispiel einen Tanzschritt wie (234) anschaut: 1 bleibt stehen,

120

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w¨ahrend 2, 3 und 4 untereinander ihre Positionen verdrehen, so ist dies in einer quadratischen Anordnung nicht m¨oglich. Um diesen Schritt darstellen zu k¨ onnen, brauchen wir eine r¨aumliche Figur. Mit einem Tetraeder funktioniert es gut: Bei (234) bewegt sich T¨ anzer 1 nicht, durch ihn geht eine Achse, um die 2, 3 und 4 sich um 120◦ drehen:

S4 , also die volle Symmetrie des Tetraeders, die sowohl Drehungen als auch Spiegelungen enth¨ alt, entspricht genau den T¨ anzen von vier T¨ anzern. S4 ist außerdem auch noch die Drehsymmetrie eines W¨ urfels und auch eines Oktaeders (Abb. 8.1). Beim W¨ urfel entsprechen dann die vier Raumdiagonalen den vier T¨ anzern (oder auch den vier L¨ osungen einer Gleichung vierten Grades). Diese beiden K¨ orper haben außerdem drei Symmetrieachsen:

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121

Abb. 8.1 Johannes Keplers Figur zeigt in einem W¨ urfel ein Oktaeder, das man dadurch erh¨ alt, daß man die Mittelpunkte der Seitenfl¨ achen miteinander verbindet. Also haben W¨ urfel und Oktaeder dieselben Symmetrien.

S4 ist ein komplizierter Tanz mit 4! = 24 m¨ oglichen Schritten. Dies sind bereits so viele, daß man nur mit M¨ uhe die Tafel der S4 wiedergeben k¨ onnte, die 24 × 24 = 576 Eintr¨ age hat. Es ist nun nicht u berraschend, daß S nicht abelsch ist: Wieder kommutie¨ 4 ren Austausche und Drehungen in der Regel nicht miteinander. Auch die Untergruppe A4 der geraden Permutationen ist hier nicht abelsch. Ihre Tafel besteht aus 12 × 12 = 144 Eintr¨agen, was auch noch zu viele sind, um hier wiedergegeben werden zu k¨ onnen. alt aber eine abelsche UnterA4 ist zwar nicht abelsch, enth¨ symmetrie V , die in Tafel 8.3 gezeigt ist. V ist sogar invariant, da sie neben der Identit¨ at (1) alle Doppelaustausche“ (12)(34), ” (13)(24) und (14)(23) enth¨ alt, bei denen alle vier T¨anzer sich bewegen, aber in getrennten Paaren (wie die Do-si-do“-Figur ” beim square dance). V ist abelsch (aber nicht zyklisch): Die Doppelaustausche kommen sich nicht ins Gehege und k¨onnen in beliebiger Reihenfolge ausgef¨ uhrt werden. Indem wir in dem vollen Tanz eine invariante, abelsche Untergruppe gefunden haben, k¨ onnen wir nun auch die Gleichung vierten Grades vereinfachen und schließlich sogar aufl¨ osen, wie Ferrari es tat. Bei diesem Fortschreiten ist etwas sehr Sch¨ones passiert: Nach und nach sind die platonischen K¨ orper aufgetaucht. Sie wurden durch mathematische Notwendigkeit heraufbeschworen,

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8 Symmetrien sehen

Tabelle 8.3 V

(1)

(12) (34)

(13) (24)

(14) (23)

(1)

(1)

(12) (34)

(13) (24)

(14) (23)

(12) (34)

(12) (34)

(1)

(14) (23)

(13) (24)

(13) (24)

(13) (24)

(14) (23)

(1)

(12) (34)

(14) (23)

(14) (23)

(13) (24)

(12) (34)

(1)

V ist eine abelsche Untergruppe von A4 .

die nur Permutationen betraf und keinerlei Geometrie erw¨ahnte. Nachdem uns so das Tetraeder, der W¨ urfel und das Oktaeder begegnet sind, stellt sich die Frage, wo die beiden anderen bleiben, das Dodekaeder und das Ikosaeder? Wie in den vorangegangenen F¨ allen erwarten wir, daß die unfen, beGleichung f¨ unften Grades durch S5 , einen Tanz von F¨ aßt bereits vermuten, leuchtet wird. Unsere Erfahrung mit S4 l¨ daß die Bewegungen der T¨ anzer nicht in einem F¨ unfeck oder einer anderen ebenen Figur wiedergegeben werden k¨onnen, denn sie k¨ onnen M¨ oglichkeiten wie (12)(345) nicht darstellen, bei denen zwei T¨ anzer ihre Pl¨ atze tauschen, w¨ ahrend die anderen drei sich untereinander drehen. Wir m¨ ussen wie vorher nach r¨aumlichen Figuren Ausschau halten. Aber kein regul¨ares Polyeder hat die Symmetrie S5 . Man ist versucht, einen Zusammenhang zwischen der Tatsache, daß kein solches Polyeder existiert, und der Unaufl¨ osbarkeit der Gleichung f¨ unften Grades herzustellen, aber dadurch w¨ urde man f¨alschlicherweise einen urs¨ achlichen Zusammenhang zwischen zwei Ph¨anomenen aufstellen, wo bestenfalls eine Analogie vorliegt. Es gibt keinen inneren Zusammenhang zwischen der Geometrie des dreidimensionalen Raumes und der Aufl¨ osung von Gleichungen f¨ unften Grades. Trotzdem ist es faszinierend, daß weder ein Polyeder osung der allgemeinen Gleimit Symmetrie S5 noch eine Aufl¨ chung f¨ unften Grades mit derselben Symmetrie existiert. Falls es ein Zufall ist, so ist es ein sch¨ oner Zufall. Es gibt so wenige

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123

grundlegende Symmetriegruppen (S2 , S3 , S4 , S5 ), daß sie notwendigerweise in einfachen algebraischen oder geometrischen Situationen auftreten m¨ ussen. ogliche KombinaDer Tanz S5 besitzt 120 × 120 = 14 400 m¨ tionen von zwei Schritten und ist nicht abelsch. Allein die Tafel ahlt 60 × 60 = 3 600 Eintr¨age. f¨ ur die geraden Schritte, also A5 , z¨ A5 ist ebenfalls nicht abelsch: Doppelaustausche und Drehungen treffen darin aufeinander, bei denen die Reihenfolge der Schritte eine Rolle spielt. An diesem Punkt treten wir wieder mit einem geometrischen Modell in Kontakt, denn A5 beschreibt die Drehsymmetrien sowohl des Ikosaeders als auch des Dodekaeders (Abb. 8.2). Hier finden die letzten beiden platonischen K¨orper ihren Platz in dem Schema. Ihre F¨ unffach-Symmetrie entspricht dem Muster von f¨ unf T¨ anzern (Abb. 8.3). Untersuchen wir wie zuvor diese Figuren etwas genauer und schauen, ob wir Untersymmetrien finden, die jeweils invariant in der n¨achstgr¨oßeren Symmetrie sind. Wenn wir nur eine finden k¨ onnten, h¨atten wir

Abb. 8.2 Keplers Diagramm zeigt ein Ikosaeder in einem Dodekaeder, das wiederum dadurch konstruiert wird, daß man die Mittelpunkte der Seitenfl¨ achen miteinander verbindet. Also haben auch Ikosaeder und Dodekaeder dieselben Symmetrien.

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Abb. 8.3 Die zwanzig Ecken eines Dodekaeders kann man in f¨ unf Mengen von je vier gleichermaßen voneinander entfernten Ecken aufteilen. Indem man die Ecken jeder dieser Teilmengen untereinander verbindet, erh¨ alt man f¨ unf sich durchdringende Tetraeder. Dies zeigt die F¨ unfer-Symmetrie“, die Dodekaeder, Ikosaeder und der F¨ unfer” ” tanz“ A5 gemeinsam haben.

eine M¨ oglichkeit, die Gleichung f¨ unften Grades zu reduzieren und schließlich durch Wurzeln aufzul¨ osen. Wenn wir diese invarianten Untergruppen suchen, d¨ urfen wir nicht nur Drehungen um eine feste Achse des Ikosaeders als einen Permutationstyp betrachten, sondern Drehungen um alle m¨oglichen Achsen, wie es Kasten 8.1 zeigt. Falls eine invariante Untergruppe irgendeine Drehung enth¨ alt, dann auch alle Drehungen um denselben Winkel um irgendeine andere Achse, die solche Drehungen gestattet. Aber es gibt keine solche invariante Untergruppe außer der Identit¨ at. Kasten 8.1 zeigt, daß die Symmetrien des Ikosaeders so miteinander zusammenh¨ angen, daß jede von ihnen zu allen ande-

8 Symmetrien sehen

125

ren f¨ uhrt. Wenn zum Beispiel jedes m¨ ogliche Paar die Pl¨atze vertauscht, in beliebigen Reihenfolgen, dann werden dabei schließlich alle 3 600 Schrittkombinationen durchtanzt werden. Keine Untergruppe an Tanzschritten bleibt abgeschlossen, wenn sie invariant werden soll, also zu allen m¨ oglichen ¨ aquivalenten Achsen erweitert wird. Das sch¨ one, aber verwickelte Muster der A5 ist so vollst¨ andig in sich verflochten, daß es nicht in Einzelteile heruntergebrochen werden kann. Es gibt also keine invariante Untergruppe außer dem ganzen, nicht-kommutativen Tanz selbst. Daher kann die Gleichung f¨ unften Grades im allgemeinen nicht aufgel¨ ost werden. Kasten 8.1 Die Symmetrie A5 des Ikosaeders hat keine eigentliche invariante Untergruppe: Wie sehen die verschiedenen Klassen von Drehsymmetrien des Ikosaeders aus? Jede Symmetrie entspricht einem der 60 Elemente der A5 . Das Ikosaeder hat 20 Seitenfl¨ achen (jede ein gleichseitiges Dreieck), 12 Ecken (an denen jeweils 5 Kanten zusammentreffen) und 30 Kanten (Linien, welche zwei Ecken verbinden). Es gibt sechs Achsen, welche gegen¨ uberliegende Ecken verbinden, und um jede dieser Achsen gibt es vier verschiedene F¨ unfecks“-Drehungen (jede ein Vielfaches von 15 ” einer vollen Drehung, denn in einer Ecke treffen f¨ unf Seitenfl¨ achen in einer f¨ unfeckigen Anordnung aufeinander). Diese Drehungen decken zwei verschiedene Klassen in der A5 ab, jede mit 6 × 2 = 12 Elementen: zum einen die ungeradzahligen, zum andern die geradzahligen Vielfachen von Drehungen um 72◦ . Dann gibt es zehn Achsen, welche die Mittelpunkte gegen¨ uberliegender Seitenfl¨ achen verbinden, um die es zwei verschiedene Dreiecks“-Drehungen gibt (jede 13 einer vollen ” Drehung, da die Seitenfl¨ achen Dreiecke sind). Dies sind 10 × 2 = 20 weitere Elemente. Dann gibt es 15 Achsen, welche gegen¨ uberliegende Mittelpunkte der 30 Kanten verbinden. Um diese kann man um 180◦ herumklappen, was nochmals 15 Elemente ergibt. Schließlich bleibt noch die Identit¨ at. Also teilen sich die 60 Drehsymmetrien wie folgt in Klassen auf: 60 = 12 + 12 + 20 + 15 + 1. Betrachten wir zun¨ achst F¨ unfecks“-Drehungen. Es stellt sich her” aus, daß jede durch eine Folge von Dreiecks“-Drehungen erreicht wer” den kann:

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8 Symmetrien sehen

Kasten 8.1 Fortsetzung

Infolgedessen h¨ angen diese Klassen miteinander zusammenh¨ angen und k¨ onnen keine getrennten Untergruppen bilden. Außerdem kann jede Dreiecks“-Drehung aus zwei Klappungen“ zusammengesetzt ” ” werden:

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127

Kasten 8.1 Fortsetzung ogliAlso entstehen die m¨ oglichen Untersymmetrien der A5 aus allen m¨ chen Klappungen, und somit gibt es keine invariante Untergruppe, die nicht schon das Ganze w¨ are. Diese Argumente werden durch eine wichtige allgemeine Regel untermauert, den Satz von Lagrange: Falls eine Symmetrie (d. h. eine Gruppe) aus n Elementen besteht, ist die Anzahl der Elemente jeder Untergruppe ein Teiler von n (ein Beweis dieses Satzes ist in Anhang C gegeben). S3 hat sechs Elemente, die invariante Untergruppe A3 hat drei, ein Teiler von sechs. Ebenso besteht S4 aus 24 Elementen, w¨ ahrend A4 aus 12 und V aus 4 Elementen bestehen, beides Teiler von 24. Nun hat S5 120 Elemente und A5 hat 60, ein Teiler von 120. Also muß jede Untergruppe von A5 einen Teiler von 60 geben. Andererseits haben wir gesehen, daß die m¨ oglichen invarianten Untergruppen der Liste 60 = 12 + 12 + 20 + 15 + 1 entsprechen m¨ ussen. Daher muß jede invariante Untergruppe sowohl ein Teiler von 60 sein, als auch sich aus den Zahlen der Liste zusammensetzen. (Zur Erinnerung: Die Identit¨ at ist stets in einer Untergruppe enthalten.) Nun ist aber weder 12 + 1 = 13, noch 20 + 1 = 21 oder 15 + 1 = 16, noch irgendeine Summe dieser Zahlen ein Teiler von 60. Also sind die einzigen invarianten Untergruppen der A5 uneigentlich“: entweder ganz A5 , alle ” 60 Elemente, oder nur die Identit¨ at, denn 60 und 1 sind die einzigen in Frage kommenden Teiler von 60. Also hat A5 keine eigentlichen invarianten Untergruppen.

Was wir eine abgeschlossene Menge m¨ oglicher Tanzschritte genannt haben, wird in der modernen Mathematik eine Gruppe genannt. Im abstrakten Sinne ist eine Gruppe eine Menge von Elementen mit einer besonderen Struktur, die durch vier Anforderungen bestimmt ist: Die Gruppe ist unter einer gegebenen Operation (die wir ∗ nennen) abgeschlossen, so daß f¨ ur Elemente a und b der Gruppe auch a∗b ein Element der Gruppe ist. Es gibt eine Identit¨at I (f¨ ur die stets a∗I = I ∗a = a gilt). Jedes Element ur das a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = I gilt). a besitzt ein Inverses a−1 (f¨ Schließlich gilt das Assoziativgesetz : a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c. Die ersten Beispiele f¨ ur Gruppen waren Vertauschungssymmetrien wie S3 , S4 , S5 . Diese hatte Galois im Sinn, als er als erster das Wort

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Gruppe“ in dieser Bedeutung benutzte. Hier sind die Elemente ” die Permutationen, die Gruppenoperation ∗ ist das Hintereinanderausf¨ uhren der Permutationen, und das neutrale Element ist die Nichtvertauschung“ (1). ” Nach und nach wurde die Vorstellung von Gruppen immer allgemeiner und schloß nicht mehr nur Permutationen ein, sondern jede Menge von Elementen, welche die grundlegenden Anforderungen erf¨ ullen. Erst 1854 formulierte Cayley diese grundlegende Definition von Gruppen in ihrer abstrakten Form. Er zeigte auch, daß jede endliche Gruppe in ihrer Struktur mit irgendeiner Gruppe von Permutationen u ¨bereinstimmt. Befreit von anschaulichem oder intuitivem Inhalt fand die Theorie der Gruppen nun in der Abstraktion zu neuer Kraft. Der Begriff der Gruppe stellt damit einen ¨ ahnlichen Schritt der Verallgemeine¨ rung dar wie der Ubergang von einem Paar bestimmter Objekte zu der Zahl 2. Ein anderer solcher Schritt geschah, als Vi`ete von einer bestimmten Zahl wie 2 zu einem unbestimmten Koeffizienten a einer Gleichung u allen den Wert 2 ¨ berging, der in einigen F¨ annehmen kann, im allgemeinen aber auch viele verschiedene andere Werte. Das Konzept einer Gruppe gestattet es uns, allein die Beziehungen zwischen Objekten zu studieren, ohne davon abgelenkt zu werden, welche Objekte in Beziehung miteinander stehen. Außerdem gibt es viele verschiedene Gruppen, jede mit ihren eigenen Besonderheiten, jede kann durch viele Mengen von Elementen realisiert werden. Die einfachsten Gruppen sind die sogenannten trivialen“, wie die Mathematiker sagen, die nur aus ” einem Element, der Identit¨ at, bestehen. Wie wir es bei S5 gesehen haben, hat jede Gruppe ihren eigenen Charakter und ihre besondere Sch¨ onheit, manchmal verwickelt oder sogar bizarr. Die Konzepte der Gruppentheorie gehen Schritt f¨ ur Schritt einher mit der Analogie der T¨ anze. Die besprochenen Symmetrien – S2 , S3 , S4 , S5 – sind alles Gruppen mit verschiedenen Anzahlen an Elementen. Jede dieser Gruppen enth¨ alt Untergruppen, wie zum Beispiel S4 die Untergruppe A4 , worin sich die Verh¨ altnisse der Untersymmetrien zu den n¨ achstgr¨oßeren Symmetrien ausdr¨ ucken. Gruppen k¨ onnen abelsch (kommutativ) sein

8 Symmetrien sehen

129

oder nicht-abelsch. Was wir invariante Untergruppen nannten, wird u ¨blicherweise normale“ Untergruppe genannt (siehe auch ” die Anmerkungen zu diesem Kapitel auf S. 195). Das Ineinanderstecken von Symmetrien und Untersymmetrien wird durch eine Kompositionsreihe“ formalisiert, wie im Falle der kubischen ” Gleichung S3  A3  I , wobei S3  A3 bedeutet, daß S3 die Gruppe A3 als normale Untergruppe enth¨ alt. Galois’ großer Vorteil gegen¨ uber Abel war, genau bestimmen zu k¨ onnen, welche Gleichungen durch Wurzeln aufl¨ osbar sind und welche nicht. Camille Jordan und Otto H¨ older dr¨ uckten dies 1889 in einer Weise aus, in der die Kommutativit¨ at ins Rampenlicht ger¨ uckt wird: Eine Gleichung ist dann durch Wurzeln aufl¨osbar, wenn die Faktorgruppe“ von jedem ” aufeinanderfolgenden Paar von Gliedern der Reihe abelsch ist. Diese Reihen zeigen, wie die Gruppe aus Bausteinen“ zusam” mengesetzt ist. Diese Bausteine bilden invariante Untergruppen, die ineinanderstecken und miteinander verkn¨ upft sind, wobei jede folgende Untergruppe so groß wie m¨ oglich in der vorhergehenden ist. Damit eine Gleichung durch Wurzeln aufl¨osbar ist, muß jede Untergruppe der Reihe mit der folgenden auf abelsche Weise verkn¨ upft sein. Hier gibt es einen subtilen Unterschied zu beachten, denn es ist nicht notwendig, daß die Glieder der Reihe abelsch sind, sondern nur ihr Zusammenhang. Der Begriff der Faktorgruppe“ (definiert und illustriert auf den Seiten 176–177 ” und 198) bringt dies in eine pr¨ azise Form. Eine Gruppe ohne invariante Untergruppen (außer der Identit¨ at und sich selbst) wird einfach“ genannt, obwohl man sie ” (wie zum Beispiel die Drehgruppe des Ikosaeders, A5 ) intuitiv eher als außerordentlich kompliziert ansehen w¨ urde. Einfache nicht-abelsche Gruppen haben insbesondere keine Kompositionsreihen mit abelschen Faktoren. Es stellt sich heraus, daß A5 die kleinste nicht-abelsche einfache Gruppe ist (kleinst in dem Sinne, daß sie die wenigsten Elemente besitzt). Eine große Kraftanstrengung der Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts war

130

8 Symmetrien sehen

die Beschreibung aller endlichen einfachen Gruppen, von der A5 bis zum sogenannten Monster“, das der Symmetriegruppe einer ” gewissen 196 883-dimensionalen Figur entspricht. Hier bleibt der Intuition leider keine Anschauung und kein Zugriff. Aber die abstrakte Theorie ist genau dann von Nutzen, wenn die Intuition u ¨ berfordert ist und keinen Anhaltspunkt mehr hat. Die Frage der Kommutativit¨ at kann hier den roten Faden bilden.

9 Die Ordnung der Dinge

Bei der Untersuchung seiner Gleichungen bemerkte Abel als erster die Kommutativit¨ at als besondere Eigenschaft, insofern wird sie berechtigterweise nach ihm benannt. Obwohl Galois Abels Ansatz immens ausweitete, legte er keine besondere Bedeutung auf die Nicht-Kommutativit¨ at, und auch diejenigen, welche seine Ideen sp¨ ater systematisch ausarbeiteten, etwa Jordan und H¨ older, taten es nicht. Zweifellos galt ihre Aufmerksamkeit eher pr¨ azisen mathematischen Formulierungen als philosophischen Auswirkungen. Aber ihre Einsichten gingen tief in die wichtigen Str¨ omungen der Mathematik ein, haupts¨achlich durch den Einfluß ihrer Theorie der Gleichungen. Der Faden der NichtKommutativit¨ at verl¨ auft so wesentlich darin, daß moderne Darstellungen ihn einfach f¨ ur gegeben nehmen. Daher ist es wichtig, sich von Neuem seine Bedeutung klarzumachen und die Stellen ausfindig zu machen, wo er sichtbar wird. F¨ ur die ersten auf Abel und Galois folgenden Generationen war diese Theorie noch reichhaltig und fremd. Im R¨ uckblick setzte sich Galois’ radikale Sichtweise deshalb gegen¨ uber den ¨alteren Herangehensweisen durch, weil sie ein vollst¨ andiges Verst¨andnis der Aufl¨ osbarkeit von Gleichungen gab, wo Abel nur Teilergebnisse erzielt hatte. Dennoch lohnt es sich innezuhalten, beide gegen¨ uberzustellen und zu sehen, wie die Auseinandersetzung sich abspielte, denn sie wirft Licht auf tiefe Str¨ omungen in der Entwicklung der Mathematik. Zu Beginn des neunzehnten Jahrhunderts wurde die Algebra immer noch als Spr¨ oßling der Arithmetik angesehen, eng ge-

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9 Die Ordnung der Dinge

bunden an die grundlegenden Operationen + und ×. Gauß sah a × b = b × a als die erste Hauptwahrheit u ¨ ber die Multiplika” tion“ an. 1830 versuchte George Peacock als erster der Algebra den Charakter einer beweisenden Wissenschaft“ zu verleihen. ” Er unterschied zwischen arithmetischer“ Algebra, deren Ele” mente Zahlen und deren Operationen die arithmetischen Operationen sind, und symbolischer“ Algebra, einer Wissenschaft, ” ” die Kombinationen aus Zeichen und Symbolen nur in Hinsicht auf festgelegte Gesetze betrachtet, die unabh¨ angig von besonderen Bedeutungen der Symbole sind.“ Diese Unterscheidung ist nicht weit entfernt von Vi`etes Gegensatz zwischen Logik der ” Zahlen“ und Logik der Gebilde“. Sie unterstreicht die abstrakte ” Qualit¨ at der Symbole und ¨ offnet die T¨ ur f¨ ur neue M¨oglichkeiten, auch wenn Peacock die Symbole haupts¨ achlich als Verallgemeinerung gew¨ ohnlicher Zahlen ansah. Peacock stellte auch ein von ihm so genanntes Permanenz” prinzip ¨ aquivalenter Formen“ auf, das im wesentlichen bedeutet, daß die Gesetze der Algebra stets dieselben wie die der Arithmetik sein sollten, auch wenn die Symbole ganz allgemeiner Natur sein d¨ urfen. Zum Beispiel schrieb Cauchy: Wenn a und b ganze ” Zahlen sind, kann man beweisen, daß ab mit ba u ¨bereinstimmt; daher ist ab identisch mit ba, was auch immer die Interpretation der Operation, die sie verbindet, sein mag.“ Es gibt keinen Hinweis, daß diese Symbole jemals den Gesetzen gew¨ohnlicher Zahlen entkommen k¨ onnten. Peacocks Zeitgenossen warfen diese Einschr¨ ankungen nach und nach u ¨ ber Bord. Augustus De Morgan schrieb 1830, kein Wort oder Zeichen der Arithmetik oder ” Algebra habe auch nur ein Atom an Bedeutung“; die m¨ogliche Interpretation sollte also offen und beliebig sein, nicht auf gew¨ohnliche Zahlen oder Gr¨ oßen beschr¨ ankt. Sp¨ atestens 1840 erlaubte Duncan Gregory den Symbolen, auch Operationen darzustellen, nicht nur Zahlen. Darauf aufbauend benutzte George Boole 1847 algebraische Symbole, um Elemente einer Menge“ wiederzuge” ben, wobei der ganze Bereich, auf den sich die Betrachtung bezog, 1 genannt wurde, und die leere Menge 0. In der modernen booleschen Algebra“ gibt es zwei Operationen, eine Art Additi”

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on, welche die Vereinigung zweier Mengen bedeutet, und eine Art Multiplikation, welche f¨ ur ihren Schnitt steht. Falls man mit 1 die Gesamtheit der Menschen bezeichnet, mit x alle Europ¨aer und mit y alle Frauen, so kann man (1 − x) f¨ ur alle Nicht-Europ¨aer schreiben, x + y f¨ ur alle, die Europ¨ aer oder Frauen sind, und xy f¨ ur alle europ¨ aischen Frauen. Boole zeigte damit nicht nur die enge Verwandtschaft von Logik und Mathematik, er unterstrich auch, daß die Form der symbolischen Schreibweise gr¨oßere Bedeutung als ihr Inhalt hat. Bertrand Russell schrieb daher Boole die Entdeckung der reinen Mathematik zu, die gr¨oßte ” Entdeckung des neunzehnten Jahrhunderts“. Der Weg war nun geebnet f¨ ur Algebren, die endg¨ ultig mit den Regeln der gew¨ ohnlichen Arithmetik brechen w¨ urden. Die erste wurde von dem Iren William Rowan Hamilton entdeckt. Er war ein fr¨ uher Bewunderer von Abels Beweis und schrieb dar¨ uber eine ausf¨ uhrliche Abhandlung, die seinerzeit anderen Mathematikern sehr hilfreich war, die den Beweis extrem verwirrend fanden. Wie bereits erw¨ ahnt, glaubte Jerrard 1835 ein Aufl¨osungsverfahren f¨ ur die allgemeine Gleichung f¨ unften Grades gefunden zu haben, was Hamilton dazu anregte, Abels Beweis sorgf¨altig zu studieren. Hamilton versuchte Jerrard taktvoll davon zu u ¨berzeugen, daß sein Beweis fehlerhaft war, aber Jerrard blieb bis zu seinem Tode vom Gegenteil u ¨ berzeugt und verteidigte noch im Jahre 1858 seinen Beweis. Daraus ersieht man, wie lange es dauerte, bis Abels Ideen in großen Kreisen angenommen wurden. W¨ ahrend der gleichen Zeit versuchte sich der geniale J´anos Bolyai, einer der Entdecker der nicht-euklidischen Geometrie, an einer L¨ osungsmethode f¨ ur Gleichungen f¨ unften Grades. Offensichtlich hatte er von Abel und von Ruffini nichts geh¨ort. Indem er die St¨ arke und Allgemeinheit von Abels Einsichten unterstrich, zeigte Hamilton seinen Zeitgenossen, wie wichtig und sch¨ on Abels Theorie wirklich war. Dadurch verhalf er ihr in den K¨ opfen anderer Mathematiker zu Leben und zur Bl¨ ute, wodurch sie trotz ihrer Neuartigkeit und Schwierigkeit nicht vernachl¨ assigt wurde. In Frankreich leisteten Joseph Liouville und Camille Jordan einen noch gr¨ oßeren Dienst an Galois,

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dessen fragmentarische und verk¨ urzte Schriften einer ausf¨ uhrlichen Erl¨ auterung bedurften, bevor ihre Bedeutung deutlich werden konnte. Diese großz¨ ugige Bewunderung brachte reiche Belohnung. Ab 1833 dachte Hamilton an eine neue Art von Zahlen, welche die komplexen Zahlen erweitern sollten. √ Er stellte fest, daß eine komplexe Zahl wie a + bi (wobei i = −1) als ein geordnetes Paar (a, b) aus zwei reellen Zahlen (Real- und Imagin¨ arteil) gedacht werden konnte. Wie bereits erw¨ ahnt, kann solch ein geordnetes Paar als Punkt in der Ebene dargestellt werden (siehe Abb. 3.2). Hamilton versuchte, diese Idee von der Ebene auf den dreidimensionalen Raum zu verallgemeinern, von geordneten Paaren a + bi zu geordneten Tripeln a + bi + cj, wobei j sich ¨ahnlich alte. wie i verhielte, also i2 = j 2 = −1 g¨ Zehn Jahre lang versuchte Hamilton mit diese Tripeln zu Rande zu kommen. Er verstand, wie er sie zu addieren hatte (Term f¨ ur Term, geordnet nach den gemeinsamen Faktoren 1 oder i oder j), aber nicht, wie die Multiplikation funktionieren k¨onnte. 1843 kam ihm pl¨ otzlich eine Antwort, als er mit seiner Frau am Royal Canal in Dublin spazieren ging. Seine Schwierigkeiten konnten mit Tripeln nicht gel¨ ost werden, aber mit Quadrupeln a + bi + cj + dk, wobei i2 = j 2 = k 2 = −1. Damit die Multiplikation f¨ ur diese Quaternionen“, wie er sie nannte, funk” tionierte, mußte er sie nicht-kommutativ machen: ij = k, aber ji = −k, und entsprechend jk = i = −kj und ki = j = −ik. Da ij = −ji gilt, dreht sich beim Vertauschen der Faktoren also das Vorzeichen um. Insofern k¨ onnte man diese Multiplikation antikommutativ nennen. Um diesen besonderen Augenblick festzuhalten, nahm Hamilton sein Taschenmesser und ritzte die Gleichung i2 = j 2 = k 2 = ijk (denn ijk = kk = −1) in einen Stein der Brougham Bridge. Die eingeritzte Gleichung ist seit langer Zeit verwittert, aber die fremdartige Sch¨ onheit dieser nicht-kommutativen Zahlen lebt weiter. Hamilton verbrachte den Rest seines Lebens damit, eine neue Algebra der Quaternionen zu entwickeln, die er beschrieb als einen merkw¨ urdigen Spr¨ oßling eines Eltern-Quartetts, sagen ”

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wir der Geometrie, Algebra, Metaphysik und Poesie“, was seine Hingabe zur Philosophie und Poesie aufzeigt (er war ein Freund von Samuel Taylor Coleridge und schrieb begeistert Gedichte, vielleicht nicht einmal schlechte). Schrittweise entwickelte er die Theorie der Quaternionen, die dann zu den modernen Begriffen der Vektoren (Gr¨ oßen mit einer Richtung) und Skalaren (reine Gr¨oßen ohne Richtung) f¨ uhrte. Hamilton bemerkte, daß dabei zwei Arten von Multiplikation auftauchten. Eine nannte er das Skalarprodukt“: Es ist kommu” tativ und liefert aus zwei Vektoren ein Skalar als Ergebnis. Dieser Name ist geblieben. Die andere (ohne besonderen Namen bei Hamilton) ist nicht kommutativ und liefert einen Vektor als Ergebnis. Hamilton glaubte, seine Quaternionen verspr¨ achen eine neue Sichtweise des Kosmos, und einige britische Mathematiker sahen sie ebenfalls als einen Schl¨ ussel zur Mathematik und mathematischen Physik an. Der schottische Physiker James Clerk Maxwell war zwar an den Quaternionen interessiert, schloß sich aber letztendlich doch nicht den wahren Gl¨ aubigen an. Die Schwierigkeit blieb, daß die Quaternionen mit ihren vier Komponenten einen vierdimensionalen Raum“ zu erfordern schienen, so wie ” die komplexen Zahlen eine zweidimensionale Ebene beschreiben. Damals gab es keinen Hinweis darauf, was dies sein k¨onnte. Als w¨ urde er auf dieselbe unausgesprochene Frage antworten, entwickelte unabh¨ angig davon Hermann Grassmann, Gymnasiallehrer in Deutschland und Sanskrit-Spezialist, eine Algebra, die auf einem n-dimensionalen Raum“ beruht, nicht nur einem ” dreidimensionalen. Grassmann ver¨ offentlichte 1844 seine Aus” dehnungslehre“, die kommutative innere“ Produkte wie Hamil” tons Skalarprodukt von nicht notwendig kommutativen ¨auße” ren“ Produkten unterschied. Beim Studium der verschiedenen M¨ oglichkeiten bewies Grassmann: F¨ ur Produkte aus zwei Fak” toren giebt es [...] nur zwei Gattungen linealer Produktbildung, und zwar ist das System der Bedingungsgleichungen f¨ ur die eiur die andere (2) [er es ] = [es er ], ne (1) [er es ] + [es er ] = 0, f¨ wo f¨ ur r und s [...] nach und nach jede 2 der Zahlen 1 · · · n gesetzt werden sollen.“ Dies bedeutet, daß die Faktoren entweder

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kommutieren m¨ ussen (er es = +es er ) oder antikommutativ sein m¨ ussen (er es = −es er ). Da sie nicht auf eine bestimmte Anzahl von Dimensionen beschr¨ ankt sind, betonen Grassmanns Algebren die Allgemeinheit des Gegensatzes zwischen Kommutativit¨ at und Antikommutativit¨ at. Grassmanns Arbeit wurde nur sehr langsam aufgenommen, da sie in ungew¨ ohnlicher Notation aufgeschrieben war. Andere begannen nach und nach, ¨ ahnliche Ideen auf ihre eigene Weise auszudr¨ ucken. Tats¨ achlich fanden Oliver Heaviside und Josiah Willard Gibbs unabh¨ angig von Grassmann und voneinander ¨ ahnliche Ergebnisse. Gibbs formulierte Grassmanns Ideen in der jetzt g¨ angigen Sprache der Vektoren. Gem¨aß Gibbs wuraußerem Produkt“ das, was wir heute das de aus Grassmanns ¨ ” Kreuz-“ oder Vektorprodukt“ nennen, f¨ ur welches wie bei Ha” ” → − − → → − − → miltons Quaternionen-Multiplikation A × B = − B × A gilt. Diese nicht-kommutative Algebra ist die Grundlage des modernen Verst¨ andnisses der Physik, sei es Newtons Mechanik oder Maxwells Theorie der Elektrizit¨ at und des Magnetismus. Man findet sie in jedem Lehrbuch, und sie wird u ¨ blicherweise ohne besondere Beachtung ihrer auffallenden Nicht-Kommutativit¨at gelehrt. Diese ist auch ein zentraler Punkt der Matrixalgebra, die ungef¨ ahr ab 1858 von zwei untrennbaren englischen Freunden, den invarianten Zwillingen“ Arthur Cayley und James Joseph ” Sylvester, entwickelt wurde. Die Idee einer Matrix kommt auf, wenn man sich die Koeffizienten mehrerer gleichzeitig betrachteter Gleichungen in einer tabellenartigen Anordnung anschaut. Einmal mehr regte das Problem, Gleichungen l¨ osen zu wollen, die Forschung zu einer neuen Richtung an, denn die Matrixalgebra erlaubte große Vereinfachungen bei den L¨ osungsverfahren (Kasten 9.1). Bald bemerkte man, daß Matrizen sich ebenfalls nicht-kommutativ multiplizieren (Kasten 9.2) und dazu benutzt werden k¨ onnen, die Algebren von Hamilton und Grassmann darzustellen. Mit Matrizen kann man sehen, daß solche Algebren nicht unbedingt komplexer“ oder irgendwie exotischer Zahlen ” urfen, denn Matrizen mit reellen Zahlen als Eintr¨agen k¨onnen bed¨ jede algebraische Anforderung an komplexe Zahlen oder Qua-

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Kasten 9.1 Zwei aufeinanderfolgende lineare Transformationen, verglichen mit ihrer Matrixform: Man betrachte eine Transformation (wie zum Beispiel eine Drehung der Koordinaten), welche aus den Variablen x und y neue Variablen x
und y
definiert: a11 x + a12 y = x
a21 x + a22 y = y
. Außerdem betrachte man eine zweite Transformation, welche x

und uckt: y

durch x
und y
ausdr¨ b11 x
+ b12 y
= x

b21 x
+ b22 y
= y

. ucken m¨ ochte, muß Wenn man nun x

und y

durch x und y ausdr¨ man die beiden Transformationen ineinander einsetzen und zusammenfassen. Einfacher geht dies in Matrixform: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ a11 a12 x x

b11 b12 ⎠·⎝ ⎠·⎝ ⎠ =⎝ ⎠ ⎝ b21 b22 a21 a22 y

y Die beiden Matrizen werden multipliziert, indem jede Zeile der ersten Matrix Term f¨ ur Term mit einer Spalte der zweiten Matrix multipliziert wird, und dann die Summe dieser Produkte genommen wird: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ a11 a12 a11 b11 + a21 b12 a12 b11 + a22 b12 b11 b12 ⎠·⎝ ⎠=⎝ ⎠ ⎝ b21 b22 a21 a22 a11 b21 + a21 b22 a12 b21 + a22 b22 Diese Notationen vereinfachen es ungemein, mit Systemen von Gleichungen umzugehen.

ternionen wiedergeben. Matrizen sind sogar perfekt dazu geeignet, Operationen von Gruppen wiederzugeben. Grassmanns Verallgemeinerung der algebraischen M¨ oglichkeiten er¨offnete einen sich immer weiter ausbreitenden Bereich. Cayley entdeckte eine achtdimensionale Verallgemeinerung der Quaternionen, die heu-

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te Cayley-Oktaven oder Cayley-Zahlen genannt werden. Sylvester nannte sich selbst den neuen Adam“, da er dem ganzen neu” en Universum algebraischer Wesen Namen gab (von denen nicht alle Bestand hatten): unter anderem Invarianten, Diskriminanten, zetaische Multiplikatoren, allotrische Faktoren. Bereits 1860 konnte Benjamin Peirce 162 verschiedene Algebren auff¨ uhren. (Sein beachtenswerter Sohn war C. S. Peirce, der als Philosoph Booles Arbeiten u uhrte, daneben aber auch ¨ ber Logik weiterf¨ Chemiker und Astronom war.) Kasten 9.2 Die Matrixmultiplikation ist im allgemeinen nicht kommutativ: Man betrachte zum Beispiel das folgende Produkt zweier Matrizen: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 1 0 0 + 0 0 + (−1) 0 −1 ⎝ ⎠⎝ ⎠=⎝ ⎠=⎝ ⎠, 1 0 0 −1 1+0 0+0 1 0 was verschieden ist von dem Produkt in vertauschter Reihenfolge: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 1 0+0 1+0 0 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠=⎝ ⎠=⎝ ⎠ 0 −1 1 0 0−1 0+0 −1 0

Dieser historische Abriß u ¨ ber das Aufkommen der NichtKommutativit¨ at bringt weitere Fragen mit sich: Was ist ihre Bedeutung? Warum sollten wir uns dar¨ uber Gedanken machen? 1872, nicht sehr lange bevor Cayley die Gruppentheorie in ihrer vollen Abstraktion entwickelte, hielt der große Mathematiker Felix Klein in Erlangen einen Vortrag, in welchem er anregte, die Gruppentheorie als das Herz der Mathematik anzusehen, da sie in ihrer Bedeutung grundlegender als die Geometrie oder Algebra alleine sei. Er machte geltend, daß man eine geometrische Figur in erster Linie in Hinblick auf ihre Symmetrien betrachten sollte – n¨ aher bestimmt durch die sie beschreibende Gruppe – anstatt durch die Figur selbst oder eine sie definierende Gleichung. In Kleins Sicht best¨ unde in der Betrachtung immer allgemeinerer

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Gruppen der K¨ onigsweg zum Verst¨ andnis immer komplizierterer R¨aume, die u ¨ ber drei Dimensionen hinaus zu Mannigfaltigkeiten h¨oherer Dimensionen reichen. Dieses Erlanger Programm“ war die Fanfare f¨ ur eine neue, ” abstrakte Sichtweise, welche u ¨ ber die traditionellen Ausgangspunkte der Mathematik hinausging, um ihre tiefsten, viel allgemeineren Prinzipien darunter offenzulegen. Dieser einflußreiche Ruf hallt noch immer in der zeitgen¨ ossischen Mathematik wider. Als Teil seines Programms kehrte Klein zu den platonischen K¨ orpern zur¨ uck und betrachtete sie von der Gruppentheorie her. Wo bei den Griechen diese Figuren aus den M¨ oglichkeiten entstanden, wie man regelm¨ aßige Vielecke r¨ aumlich zusammenpassen kann, sieht Klein sie als Inkarnationen von Fundamentalgruppen an. In diesem Sinne sollte ein gleichseitiges Dreieck vor allem verstanden werden durch seine Symmetriegruppe S3 , also die Drehungen und Spiegelungen, welche es in sich selbst u uhren. ¨ berf¨ ¨ Ahnlich sollten die platonischen K¨ orper als Verk¨orperung komplizierterer Drehsymmetrien verstanden werden: das Tetraeder urfel und Oktaeder f¨ ur die S4 , Dodekaeder und f¨ ur die A4 , W¨ Ikosaeder f¨ ur die A5 . Kleins Darstellung liegt auch der Analogie mit den T¨ anzen aus dem vorangegangenen Kapitel zugrunde. Tats¨ achlich ist Nicht-Kommutativit¨ at u ¨berall. Zum Beispiel vertauschen Drehungen im dreidimensionalen Raum im allgemeinen nicht. Stellen Sie sich vor, von Santa Fe aus zwei Fahrten anzutreten: (a) Sie fahren 1 000 km geradeaus nach Westen; (b) Sie reisen 1 000 km geradeaus nach Norden. Falls Sie erst die Reise (a) und dann die Reise (b) antreten, kommen sie an einem bestimmten Ort heraus. Aber in umgekehrter Reihenfolge, erst (b) und dann (a), werden Sie an einem anderen Ort ankommen, ungef¨ ahr 123 km vom ersten entfernt. Die Reihenfolge spielt hier eine Rolle, da wir uns auf einer Kugel bewegen und nicht in der Ebene. Klein betrachtete diese eigent¨ umliche Nicht-Kommutativit¨at der r¨ aumlichen Drehungen als das Kennzeichen des Raumes an ¨ sich, verstanden als eine Außerung der ihr unterliegenden Drehsymmetrien. Er klassifizierte Geometrien durch die algebraischen

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Eigenschaften, welche unter bestimmten Transformationsgruppen invariant bleiben, so wie euklidische L¨ angen und Fl¨achen es tun, wenn man sie in der Ebene hin- und herbewegt. Dies war eines von vielen Beispielen, welche Klein dazu brachten, die Gruppentheorie zum wichtigsten Schl¨ ussel zu weihen, der die Geheimnisse sowohl der Algebra als auch der Geometrie entschl¨ usseln w¨ urde, indem er aufdeckt, was beiden zugrundeliegt. Lange zuvor hatte Descartes bemerkt, daß man die L¨osungen einer Gleichung durch Skalieren mit einem Faktor verkleinern oder vergr¨ oßern kann, ohne am Wesentlichen ihrer Konstellation etwas zu ¨ andern. In der R¨ uckschau des zwanzigsten Jahrhunderts sah der bedeutende Mathematiker Hermann Weyl dies als eine Art Relativit¨ at“ an, die lange vor Einsteins Theorien ” auftrat. 1927 bemerkte Weyl: F¨ ur die Entwicklung der Mathe” matik war es ein gl¨ ucklicher Zufall, daß das Relativit¨atsproblem nicht zuerst f¨ ur den kontinuierlichen Punktraum, sondern f¨ ur ein System angepackt wurde, das aus einer endlichen Anzahl verschiedener Dinge besteht, n¨ amlich dem System der Wurzeln einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten (Galoissche Theorie).“ Weyl schrieb sogar, wegen seiner Originalit¨at und Tiefe sei Galois’ letzter Brief vielleicht das inhaltsreichste ” St¨ uck Literatur, welches wir besitzen“. Die urspr¨ ungliche Entwicklung der Gruppentheorie in diesem diskreten, algebraischen Kontext bereitete den Weg f¨ ur Einsteins und Hermann Minkowskis Verst¨ andnis der Relativit¨ at durch Gruppen stetiger Bewegungen, welche die Lichtgeschwindigkeit invariant lassen. Auch hier weist die Symmetrie zwischen allen sich gleichm¨aßigen bewegenden Bezugssystemen auf eine Invariante. Wie der Vergleich zwischen den regelm¨ aßigen Polyedern und den aufl¨ osbaren Gleichungen zeigt, sp¨ urte die Algebra die Auswirkungen der Nicht-Kommutativit¨ at fr¨ uher als die Geometrie, trotz solch einfacher Beispiele wie die gerade beschriebenen Fahrten auf der Erde. Vielleicht liegt dies einfach nur daran, daß die Reihenfolge, in welcher Dinge getan werden, in der Algebra in nat¨ urlicherer Weise auftritt, wo Symbole und Operationen in einer gewissen Reihenfolge gelesen werden m¨ ussen, als in der Geo-

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metrie, die auf zeitlosen Figuren zu beruhen scheint. Platon sah die ewige Unver¨ anderlichkeit der Mathematik als Garantie f¨ ur ihre N¨ ahe zur absoluten Wahrheit an, zum reinen Sein jenseits von Werden und Vergehen. Daher war es ein Schock, als herauskam, daß die Reihenfolge eine Rolle spielt. Die Frage der Reihenfolge ist ganz entscheidend f¨ ur die moderne Physik. Der Kern der Thermodynamik ist ihr zweiter Hauptsatz, welcher aussagt, daß Naturprozesse in der Regel nicht umkehrbar sind. W¨ arme fließt von w¨ armeren zu k¨alteren K¨orpern, aber nicht umgekehrt, es sei denn, wir stecken Arbeit hinein und entlassen W¨ arme in den Rest des Universums. Betroffen von ihrer Reichweite legte Max Planck besonderen Wert auf die Irreversibilit¨at, als er z¨ ogernd die Quanten in die Physik einf¨ uhrte. Auf menschlicher Ebene bedeutet Irreversibilit¨at, daß eine einmal ausgef¨ uhrte Tat niemals wieder r¨ uckg¨angig gemacht werden kann. Sie verleiht der menschlichen Wahl eine besondere W¨ urde, da sie ihre unwiderrufbaren Folgen betont. Zeit ist nicht mehr der best¨ andig umkehrbare Strom der Newtonschen oder Maxwellschen Mechanik, sondern die unumkehrbare Zeit ist der dunkle Fluß der Geschichte, der best¨ andig weiterfließt. Ironischerweise versuchte Planck selbst, den Verlauf der Ereignisse umzukehren und den Quantenschock zur¨ uckzunehmen oder zumindest durch eine klassischere Form zu z¨ahmen. Wehm¨ utig erkannte er, daß auch hier Irreversibilit¨ at herrscht. Als die Quantentheorie ihre Form erhielt, erkannte man die Nicht-Kommutativit¨ at als ihr Herzst¨ uck, ein Kind aus der Ehe der irreversiblen Thermodynamik mit der reversiblen Mechanik. Max Born und Pascual Jordan zeigten formal, daß physikalische Gr¨oßen in dieser Theorie, wenn man sie algebraisch faßt, nicht notwendig kommutieren. Sie beschrieben die Lage eines Partikels p und sein Moment q als Operatoren, welche der nicht-kommutativen Relation pq − qp = ih/2π gehorchen, wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist (h = 6, 6 × 10−34 Joulesekunden) und √ i = −1. Da h f¨ ur menschliche Maßst¨ abe winzig ist, ¨außerst sich diese Nicht-Kommutativit¨ at u ¨ blicherweise nur auf atomarer Ebene. Sie ist die direkte Quelle von Heisenbergs Unsch¨arferela-

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tion. Wie ich es in meinem Buch Seeing Double ausgef¨ uhrt habe, sind dies die sichtbaren Kennzeichen der extremen Ununterscheidbarkeit der Quanten. Nicht-Kommutativit¨ at h¨alt an, die tiefsten Ebenen der physikalischen Theorie zu beherrschen, sei es der Quantenfeldtheorie in Raum-Zeit-Punkten oder alternativ der Stringtheorie, die nicht von Punkten, sondern von winzigen F¨ aden oder Membranen ausgeht. Die Nicht-Kommutativit¨at stellt f¨ ur sie alle die Grundlage dar und verspricht es auch in Zukunft zu bleiben. Zu Beginn stand die Nicht-Kommutativit¨ at in der Quantentheorie f¨ ur die Irreversibilit¨ at des Messens im allgemeinen. Die Relativit¨ atstheorie beruht auch in einem anderen Prinzip auf Nicht-Kommutativit¨ at: Wirkungen folgen nicht unverz¨ uglich ihren Ursachen, sondern sind in ihrer Geschwindigkeit durch die Lichtgeschwindigkeit beschr¨ ankt. Hier dr¨ uckt die Gruppentheorie die Symmetrie der Raum-Zeit wunderbar aus: Falls Ereignisse r¨ aumlich und zeitlich hinreichend voneinander entfernt sind, so daß keine Lichtsignal sie verbinden kann, dann m¨ ussen alle physikalischen Gr¨ oßen dieser Ereignisse miteinander kommutieren, was ihre Unabh¨ angigkeit ausdr¨ uckt. Umgekehrt werden physikalische Gr¨ oßen in der Regel nicht kommutieren, wenn sie im Bereich von h¨ ochstens mit Lichtgeschwindigkeit fortschreitenden Kausalit¨ atseinfl¨ ussen liegen, was ihren Kausalzusammenhang ausdr¨ uckt. Jede Ver¨ anderung an diesem Prinzip w¨ urde dazu f¨ uhren, daß man das vieltausendfach best¨ atigte Kausalit¨atsprinzip ganz u ußte. Der Gegensatz zwischen ¨ ber Bord werfen m¨ Kommutativit¨ at und Nicht-Kommutativit¨ at liegt damit auch im Kern der Kausalit¨ at. Wenn man von diesen allgemeinsten Prinzipien zu spezielleallen fortschreitet, sieht man, daß die Nicht-Kommutatiren F¨ vit¨ at ganz entscheidend f¨ ur die Entwicklung der Standardheo” rie“ ist, die recht erfolgreich die ganzen bekannten Elementarteilchen in ein weitgehend einheitliches Schema gepaßt hat. Diese Theorie beruht auf sogenannten nicht-abelschen Eichfeldern. Ohne darauf eingehen zu wollen, was solche Felder sein k¨onnten, zeigt bereits ihr Name, daß sie auf einer besonderen Art

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der Nicht-Kommutativit¨ at in den Symmetrien der Elementarteilchen beruhen. Solche nicht-abelschen Theorien versprechen das unausweichliche Werkzeug der zuk¨ unftigen theoretischen Physik zu sein, und sei es nur als Ausgangspunkt. Sie sind jedenfalls der Startpunkt f¨ ur die Versuche, die Quantentheorie mit Einsteins allgemeiner Relativit¨ atstheorie zu vereinen, die eine geometrische Theorie der Schwerkraft als Kr¨ ummung der Raum-Zeit darstellt. Diese Forschungsrichtungen der Physik haben hinwiederum weitere Entwicklungen in der Mathematik angeregt, insbesondere die Theorie nicht-kommutativer Geometrie“. Kleins Programm ” ist noch immer eine Provokation: Nicht-abelsche Gruppen k¨onnten tiefe Hinweise zum Verst¨ andnis der Natur von Raum und Zeit geben. Wie im letzten Kapitel erw¨ ahnt, f¨ uhren Drehinvarianten des dreidimensionalen Raums zu den platonischen K¨orpern. Vielleicht k¨ onnen eines Tages solche Gruppenbetrachtungen erkl¨ aren, warum wir drei r¨ aumliche, aber nur eine zeitliche Dimension wahrnehmen. Die Suche hat gerade erst begonnen.

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Abels Leistung ebnete den Weg f¨ ur Galois’ Erkl¨ arung daf¨ ur, daß nicht alle Gleichungen durch Wurzeln aufl¨ osbar sind. Wurzeln haben von Anfang an Probleme bereitet. Die Entdeckung irrationaler Gr¨ oßen stellte die Natur der Mathematik in Zweifel und damit die M¨ oglichkeit eines endg¨ ultigen, umfassenden menschlichen Wissens. Das griechische Wort Krisis steht f¨ ur einen Entscheidungsmoment, f¨ ur einen ausschlaggebenden Akt der Unterscheidung, des Urteils und der Trennung. Die Unm¨oglichkeit, Irrationales durch Rationales zu messen, pr¨ ufte und gestaltete die griechische Mathematik und Philosophie. Viel sp¨ ater wurde Abels Unm¨ oglichkeitsbeweis“ zu einer ” Wasserscheide der modernen Mathematik. Er hatte die Ausmaße einer Krisis, obwohl seine Bedeutung nicht vollst¨andig eingesch¨ atzt und anerkannt wurde. Dazu bedarf es einer besonderen Anstrengung unserer Einbildungskraft, um zu jenem vergessenen Moment zur¨ uckzukehren, als Abel sich dem, was er bewiesen hatte, gegen¨ ubersah. Wie zu Beginn erl¨ autert, ist es unklar, ob die Alten die Entdeckung des Irrationalen als ein Unheil oder als ein Wunder betrachteten. Es war jedenfalls bedrohlich: Man k¨onnte in einem solchen Ozean des Unbeschreiblichen ertrinken, fern des Festlandes der nat¨ urlichen Zahlen. Wie Euklid am Ende seines Buches X zeigte, f¨ uhren die irrationalen Gr¨ oßen zu einer unendlichen Aussicht, die Erschrecken oder Erstaunen hervorrufen konnte. Euklid versuchte sie streng getrennt von den nat¨ urlichen Zahlen zu halten, und sei es nur, um Paradoxien und Verwirrung zu vermeiden.

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Doch was die Alten trennten, legten die Modernen zusammen. Langsam, aber unerbittlich, f¨ uhrte die Entwicklung der Algebra dazu, den Begriff Zahl von den nat¨ √ urlichen auf die irrationalen Zahlen auszudehnen, denn x = 2 erschien eine nicht weniger wertvolle L¨ osung der Gleichung x2 = 2, als y = 2 eine L¨osung 2 von y = 4 ist. Als erst einmal die symbolische Algebra entwickelt war, blieb die Krisis der Unaufl¨ osbarkeit unvermeidbar. Abels Beweis zeigte, daß Wurzeln nicht ausreichen, gerade so wie die Alten gezeigt hatten, daß die rationalen Zahlen nicht ausreichen. Da durch den Fundamentalsatz der Algebra bekannt ist, daß es zu allen Gleichungen L¨ osungen gibt, muß eine neue Art mathematischer Gr¨ oße existieren. Mit dem Namen algebraische Zahlen bezeichnete man daraufhin alle L¨ osungen von algebraischen Gleichungen mit nat¨ urlichen Zahlen als Koeffizienten. Wie bei den irrationalen Zahlen scheint der Eindruck einer Krise oder eines Paradoxes bereits durch einen Namen zu verschwinden. F¨ ur die Mathematiker stellten diese neuen L¨ osungen von Gleichungen das Problem der Aufl¨ osbarkeit durch Wurzeln in den Schatten, denn nun kann man einfach den durch Wurzeln ausdr¨ uckbaren Zahlen die algebraischen Zahlen hinzuf¨ ugen. Um einen Namen zur Verf¨ ugung zu haben, wollen wir jene algebraischen Zahlen, die nicht durch Wurzeln ausdr¨ uckbar sind, hier ¨ uberradikale Zahlen nennen. Jetzt k¨ onnen wir die Odyssee der Gleichung f¨ unften Grades vollenden. Es stellt sich heraus, daß man ihre L¨osungen durch sogenannte elliptischen Modulfunktionen ausdr¨ ucken kann (die Summen von Produkten aus Potenzen und trigonometrischen Funktionen sind). Diese Funktionen beruhen auf den θ” Funktionen“, die Abel und Jacobi 1827 zu untersuchen begannen. Ihr Zusammenhang mit den Gleichungen f¨ unften Grades wurde aber erst 1858 aufgedeckt, und zwar unabh¨angig voneinander von Charles Hermite, Leopold Kronecker und Francesco Brioschi. Sp¨ atestens 1870 hatte Jordan sogar einen vollst¨andigen Beweis daf¨ ur, daß jede polynomiale Gleichung, welchen Grades auch immer, durch diese verallgemeinerten Funktionen gel¨ost werden kann.

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Zur gleichen Zeit begann man mit dem Bau von Maschinen, die N¨ aherungsl¨osungen finden konnten. Ungef¨ahr 1642 hatte Blaise Pascal die erste Idee zu einer Rechenmaschine. 1840 entwarf Leon Lalanne eine mechanische Rechenmaschine, die Gleichungen bis zum siebten Grade n¨ aherungsweise l¨osen konnte. Leonardo Torres Quevedo entwickelte 1895 eine elegante Maschine, die Logarithmen ausrechnen konnte, welche man wiederum zur L¨ osung schwieriger algebraischer Probleme brauchte (Abb. 10.1). In den Bell-Laboratorien entwickelten Wissenschaftler 1937 eine gr¨ oßere, aber weniger elegant erscheinende Maschine, den Isographen, der mit Gleichungen bis zum f¨ unfzehnten Grad umgehen konnte (Abb. 10.2). Und am Ende des zwanzigsten Jahrhunderts verf¨ ugten die Benutzer von Heimcomputern u achtigere Programme. ¨ ber weitaus m¨ Diese Entwicklungen umgingen das Problem der Aufl¨osbarkeit durch Wurzeln einfach. Aber was geschah dann mit der Kri” sis“ ? Wurde sie jemals gel¨ ost? Oder handelt es sich um den Fall einer Geschichte, die von den Siegern geschrieben wurde, den Modernen, die erfolgreich einen anderen Weg nahmen und die ¨ alteren Skrupel einfach beiseite legten? Vielleicht hatten sie

Abb. 10.1 Eine von Leonardo Torres Quevedo 1895 gebaute Maschine zur Logarithmenberechnung.

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Abb. 10.2 Der Isograph“, der 1937 in den Bell-Laboratorien gebaut ” wurde, um Polynomgleichungen bis zum f¨ unfzehnten Grad zu l¨ osen.

recht damit, nicht zur¨ uckzuschauen; schließlich waren sie so damit besch¨ aftigt, sich eine Bahn nach vorne zu brechen, daß wenig Zeit zum R¨ uckblick blieb. Dennoch sind sicherlich wertvolle Einsichten dadurch zu gewinnen, daß man dar¨ uber nachdenkt, was jede der aufeinanderfolgenden Krisen wirklich bedeutete. Jede Krisis er¨ offnete eine neue Sicht auf das Unendliche, in verschiedenen Zusammenh¨ angen. Zun¨ achst zwischen Arithmetik und Geometrie: Die griechische Entdeckung der Inkommensurabilit¨ at bedeutet, daß man unendlich viele Ziffern braucht, um eine irrationale Zahl auszudr¨ ucken. Dann zwischen Geometrie und Algebra: Um die Fl¨ ache eines Ovals auszudr¨ ucken, braucht man eine unendliche Anzahl algebraischer Ausdr¨ ucke, wie Newton zeigte. Schließlich Abels Beweis, innerhalb der Algebra: Um die L¨osung einer endlichen Gleichung zu beschreiben, bedarf es unendlich vieler Ausdr¨ ucke, wie in K¨ urze erl¨ autert wird. Selbst wenn man eine kubische Gleichung, die nur reelle Wurzeln hat, l¨ osen m¨ ochte, muß man dritte Wurzeln aus beliebigen

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komplexen Zahlen ziehen. Als die komplexen Zahlen angenommen wurden, stellte sich das Problem, Wurzeln aus ihnen zu ziehen. Dies wurde von Abraham De Moivre 1707 gel¨ost und 1748 von Euler in die heute u ussen ¨ bliche Form gebracht. Zun¨achst m¨ wir dabei jede komplexe Zahl durch eine skalare Gr¨oße und einen Winkel ausdr¨ ucken, die man als Polarkoordinaten der Ebene verstehen kann. De Moivres Formel gibt dann einen sch¨onen Ausdruck f¨ ur die n-te Potenz einer komplexen Zahl (wobei n irgendeine nat¨ urliche oder rationale Zahl sein kann) mit Hilfe von Sinus- und Cosinus-Funktionen (Kasten 10.1). Kasten 10.1 Die Formel von de Moivre Zun¨ achst dr¨ uckt man eine komplexe Zahl z durch ihren Absolutbetrag r und ihr Argument θ aus als z = r(cos θ + i sin θ). In moderner Schreibweise ausgedr¨ uckt bewies De Moivre nun, daß z n = r n (cos nθ + i sin nθ) . Um dies zu zeigen, betrachtet man die beiden Taylor-Reihen sin x = 3 5 7 2 4 6 x − x3! + x5! − x7! + · · · und cos x = 1 − x2! + x4! − x6! + · · · . Wenn wir iθ 2 nun z = re schreiben, wobei i = −1 und e = 2, 718 . . . die Basis des nat¨ urlichen Logarithmus ist, so gilt z n = r n einθ . Mit der Taylor-Reihe 2 2 2 f¨ ur einθ = 1 + inθ + i n2! θ + · · · folgt De Moivres Formel, indem wir Real- und Imagin¨ arteile zusammenfassen:     n3 θ3 n2 θ2 + · · · + i nθ − + ··· . 1− z n = r n einθ = r n 2! 3! F¨ ur nθ = π und r = 1 ergibt sich dann eiπ = −1 (da sin π = 0 und cos π = −1) oder eiπ + 1 = 0, Eulers bewundernswerte Formel.

Die meisten Taschenrechner liefern Sinus und Cosinus, man muß nur einen Knopf dr¨ ucken. Geometrisch geben diese Funktionen einfach die Verh¨ altnisse der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zur Hypotenuse an. Aber algebraisch gesehen sind Sinus und Cosinus nicht endlich, durch Polynome beschreibbar, sondern nur durch unendliche Reihen. Bereits Newton hat diese algebraische Unendlichkeit festgestellt, als er die Fl¨ achen von Ovalen unter-

150

10 Das Unl¨ osbare l¨ osen

suchte. F¨ ur ihn bedeutete dies, daß die Geometrie mit wenigen Linien ausdr¨ ucken kann, wozu die Algebra unendliche Reihen braucht. Denn Newton konnte Sinus und Cosinus entwickeln in 3 5 7 2 4 6 sin x = x− x3! + x5! − x7! +· · · und cos x = 1− x2! + x4! − x6! +· · · . Taschenrechner benutzen solche Reihen, um einen Wert von beliebiger Genauigkeit zu errechnen, indem sie die ersten Ausdr¨ ucke aufsummieren. Wie Kasten 10.1 zeigt, f¨ uhren diese Reihen auch zu einem von Eulers sch¨ onsten Gedanken, der Formel eiπ +1 = 0, welche e, i, π, 1 und 0 in einer fruchtbaren Formel vereint. Obwohl es schon lange vermutet wurde, konnte erst Hermite 1873 streng beweisen, daß e eine transzendente Zahl ist, also keine L¨osung irgendeiner algebraischen Gleichung endlichen Grades. 1882 gelang Ferdinand Lindemann dasselbe f¨ ur π. Damit endeten die Tr¨ aume der Kreisquadrierer, deren Hoffnungen auf der M¨ oglichkeit einer algebraischen Formulierung f¨ ur π beruhten. Man k¨ onnte meinen, daß solche transzendenten Zahlen selten und exotisch w¨ aren. 1874 entwickelte Georg Cantor eine Methode, die relativen Gr¨ oßen unendlicher Mengen untereinander zu vergleichen. Er zeigte, daß die rationalen Zahlen eins zu eins ¨ mit den nat¨ urlichen Zahlen in Ubereinstimmung gebracht werden k¨onnen, und ebenso die algebraischen Zahlen. Daher nannte er diese Mengen abz¨ ahlbar“. Aber mit den transzendenten Zah” len geht dies nicht mehr, sie sind daher u ¨ berabz¨ahlbar“. Dies ” bedeutet, daß es in jedem Intervall des reellen Zahlenstrahls unendlich viel mehr transzendente Zahlen als algebraische gibt. Um all diesen Entwicklungen Gerechtigkeit widerfahren zu lassen, bed¨ urfte es eines weiteren Buches, und es w¨ urde uns weit weg von Abel f¨ uhren, zu dem wir nun ein letztes Mal zur¨ uckkehren wollen. Seine Entdeckung zeigte, daß es eine Zwischenklasse zwischen den durch Wurzeln ausdr¨ uckbaren Zahlen und der vollen Allgemeinheit aller auch transzendenten Zahlen gibt. Die u osungen der Gleichungen f¨ unften Grades sind im ¨ berradikalen L¨ allgemeinen weder das eine, noch sch¨ opfen sie das andere aus; sie sind algebraische Zahlen, aber im allgemeinen nicht aus Wurzeln zusammengesetzt. Darin sind sie eine Art Amphibium zwischen dem Festland der Wurzeln und der weiten transzendenten See.

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151

Dabei sind sie nur eine der unaufz¨ ahlbar vielen Arten irrationaler Zahlen, deren Unendlichkeit bereits in Euklids Buch X angedeutet war. Am Rande dieses Ozeans stand Abel, als er eine neue Mathematik heraufd¨ ammern sah, die er in den wenigen ihm verbleibenden Jahren zu erforschen begann. So großartig wie er ist, kam ihm der Beweis der Unaufl¨ osbarkeit der Gleichung f¨ unften Grades w¨ ahrend seiner Schulzeit. Es w¨ are ungerecht, sie als seine gr¨oßte oder gar einzige mathematische Leistung darzustellen. Er legte weiterhin tiefreichende Arbeiten vor, u ¨ber transzendente Funktionen, unendliche Reihen und trigonometrische Funktionen verallgemeinernde Integrale, die abelschen Integrale“ und ” das Additionstheorem von Abel“, welche seine Nachfolger stark ” beeinflußten, und welche viele Mathematiker seine gr¨oßte Errungenschaft nennen. Auch f¨ uhrte er Gauß’ fruchtbare Einsichten noch weiter als der Meister selbst. Der junge Gauß hatte zur Konstruktion eines regelm¨ aßigen Siebzehnecks einen Kreis in siebzehn Teile zerlegt. Abel gelang eine ¨ ahnliche Unterteilung f¨ ur eine kompliziertere Kurve, die Lemniskate. Nichtsdestotrotz nannte Abel die Unaufl¨ osbarkeit von Gleichungen sein Lieblingsthema“. Obwohl er nicht besonders dazu ” neigte, u ¨ ber die Bedeutung seiner Arbeit nachzusinnen, formulierte Abel in der Einleitung seiner letzten (1828 geschriebenen, aber erst posthum 1839 ver¨ offentlichten) Arbeit u ¨ber die Aufl¨ osbarkeit von Gleichungen eine Art Glaubensbekenntnis: Man ” muß einem Problem eine solche Form geben, daß es stets m¨oglich ist, es zu l¨ osen, was man mit jedem beliebigen Problem stets tun kann. Statt einen Bezug zu fordern, von dem man nicht weiß, ob er existiert oder nicht, sollte man sich fragen, ob ein solcher Bezug wirklich m¨ oglich ist.“ Er hat gezeigt, daß Aufl¨ osbarkeit durch Wurzeln eine Bedingung ist, die nicht immer gegeben sein muß. Aber indem Abel diese Beschr¨ ankungen u ¨berwand, l¨oste er das Unl¨ osbare. Als w¨ urde er Vi`etes k¨ uhne Forderung, kein Problem ” ungel¨ ost zu lassen“, aufnehmen, schrieb Abel die M¨oglichkeiten der unendlichen Erweiterungen der endlichen Algebra fest. Das Ende der alten Annahme, alle Gleichungen h¨ atten eine endlich

152

10 Das Unl¨ osbare l¨ osen

ausdr¨ uckbare L¨ osung, enth¨ ullte eine neue Mathematik der unendlichen Reihen und der Nicht-Kommutativit¨ at. Es gibt ein weiteres Dokument, das etwas von Abels inneren Gef¨ uhlen u ¨ ber seine Arbeit und sein Leben verzeichnet, jedoch ist es geheimnisvoll und privat: Kritzeleien in einem seiner Pariser Notizb¨ ucher (Abb. 10.3), geschrieben 1826 w¨ahrend seiner Arbeit an der Lemniskate, eine so unkontrollierte Mischung aus

Abb. 10.3 Eine Seite aus Abels Pariser Notizbuch (1826). Die große Lemniskate (∞) sieht man oben auf der Seite; die im Text erw¨ ahnten Stellen rechts davon und darunter.

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153

Mathematik und Tr¨aumereien, daß Abel dar¨ uber lachen oder es ihm unglaublich peinlich sein m¨ ußte zu erfahren, daß dies heute einen Schatz der Nationalbibliothek Oslos darstellt. Abel schreibt auf Franz¨ osisch und Norwegisch, mit eingestreuten Formeln und Zeichnungen, vor allem einer auffallenden Lemniskate, einer großen Figur ∞. Abel hat sie kreuzweise schraffiert und mehrfach umfahren. Oben auf der Seite schreibt Abel Vollst¨ andige L¨ osung der Gleichungen, deren . . .“, was ” sich dann in Gleichungen und intime Gedanken aufl¨ost: Mein ” Freund . . . Geliebter . . . Komm zu mir in Gottes Namen . . .“ In der Mitte ein ironisches Gebet: Vater unser im Himmel, gib mir ” Brot und Bier. H¨ ore ein Mal.“ Dann, auf Franz¨osisch, Sagen ” Sie mir, meine Liebe“, und ihr Name merkw¨ urdig verschlungen in einem elliptischen Integral 1 w= 0

dx Elisa  . (1 − x2 )(1 − α2 x2 )

Dann: H¨ oren Sie . . . H¨ oren Sie . . . Komm zu mir mein Freund . . . ” H¨or ein Mal mein Freund . . . L¨ osung der algebraischen Gleichungen . . . Komm zu mir . . . in aller Liederlichkeit.“ Es gibt keine Seite, die verwegener den Zusammenhang zwischen Begierde und Mathematik andeutet. Wer ist Elisa? Eine unbekannte Geliebte, eine der verf¨ uhrerischen Pariserinnen, deren Sch¨ onheit er in einem Brief erw¨ ahnt, eine Frau, an die er sich erinnert, oder eine, die er sich einbildet? Warum kritzelt er hier und auch auf einer anderen Seite Soliman den Anden“ hin, ” also den Namen des osmanischen Herrschers Soliman II.? Was hat es mit den sauberen Gleichungen auf sich, die mit diesen tr¨ aumerischen Fragmenten verwoben sind? Und was bedeuten die Worte ziemlich oben auf der Seite: Verdammt . . . Verdammt ” mein ∞“ ? In welchem Tonfall ist dieser Ausbruch zu lesen, mit ¨ welchem Gef¨ uhl? Heiterkeit, Arger, Verwunderung? Wir werden es nie erfahren. Es bleiben Gleichungen und ∞.

Anhang A: Abels Artikel von 1824

Abhandlung ¨ uber die algebraischen Gleichungen, in der die Unm¨oglichkeit der Aufl¨osung der allgemeinen Gleichung f¨ unften Grades gezeigt wird (1824) Die Geometer haben sich sehr um die allgemeine Aufl¨osung der algebraischen Gleichungen bem¨ uht, und manche unter ihnen haben versucht zu zeigen, daß dies im allgemeinen unm¨oglich ist; doch, falls ich mich nicht irre, ist dies bislang nicht gelungen. Ich wage daher zu hoffen, daß die Geometer mit Wohlwollen diese Abhandlung annehmen, deren Ziel es ist, diese L¨ ucke in der Theorie der algebraischen Gleichungen zu f¨ ullen. Sei y 5 − ay 4 + by 3 − cy 2 + dy − e = 0

[A1]

die allgemeine Gleichung f¨ unften Grades, und nehmen wir an, sie sei algebraisch l¨ osbar, d. h. daß man y durch eine durch Wurzeln gebildete Funktion der Gr¨ oßen a, b, c, d und e ausdr¨ ucken k¨onne. [Die Kommentare stehen in eckigen Klammern und sind kursiv gedruckt; ebenfalls in eckigen Klammern wurden den Gleichungen Nummern hinzugef¨ ugt. Beachten Sie Abels Bezeichnung f¨ ur die Koeffizienten, die nicht mit den Gewohnheiten unseres Textes u ¨ bereinstimmt. Die Vorzeichen in [A1] hat Abel so gew¨ahlt, daß der Koeffizient a die Summe der L¨osungen ist, b die Summe der paarweisen Produkte, c die Summe der Dreierprodukte usw. gem¨aß dem Vietaschen Wurzelsatz (Kasten 4.1)]

156

Anhang A

Es ist klar, daß man in diesem Fall y in folgender Form schreiben kann: 1

2

y = p + p1 R m + p2 R m + · · · + pm−1 R

m−1 m

,

[A2]

wobei m eine Primzahl ist und R, p, p1 , p2 usw. Funktionen derselben Form wie y sind, und so fort, bis man rationale Funktionen der Gr¨ oßen a, b, c, d und e erreicht. [Siehe Anhang B f¨ ur Abels Argument, daß [A2] tats¨achlich die allgemeine Form einer algebraischen L¨osung wiedergibt (was er als den ersten Schritt des ausf¨ uhrlichen Beweises ansah). Im wesentlichen zeigt er, daß jede endliche Summe von Wurzeln, wie verschachtelt sie auch ineinander sein m¨ogen, stets in der Form [A2] wiedergegeben werden kann, indem er alle Ausdr¨ ucke auf einen gemeinsamen Nenner bringt, so daß man schließlich nur noch rationale Funktionen innerhalb der innersten Wurzeln stehen hat. Abel benutzt dann [A2] als Ausgangspunkt f¨ ur eine reductio ad absurdum: Er nimmt an, man k¨onne y als Summe einer endlichen Reihe algebraischer Ausdr¨ ucke schreiben, in denen R, p, p1 , p2 , . . . Funktionen derselben Form wie y sind, also jede eine algebraische Funktion in den Koeffizienten a, b, c, d, e, aber von geringerer Verschachtelungsstufe der Wurzeln (oder Ordnung), wie in Anhang B erkl¨art.] 1 Wir k¨ onnen auch annehmen, daß R m nicht als rationale Funktion der Gr¨ oßen a, b usw. p, p1 , p2 usw. ausgedr¨ uckt werden kann, und indem man R durch pRm ersetzt, ist klar, daß man 1 p1 = 1 erreichen kann. Man hat also 1

2

y = p + R m + p2 R m + · · · + pm−1 R

m−1 m

.

[A3]

[Abel vereinfacht [A2], indem er p1 eliminiert; er ersetzt   m1 1 1 = R m . (Abel zeigt in R → pRm , so daß p1 R m → p1 pRm 1 1 seinem Artikel von 1826, daß man stets p1 = 0 annehmen kann, indem man andernfalls R mithilfe eines pj = 0 auf ¨ahnliche Weise umdefiniert.) Im folgenden nimmt Abel nun an, daß dies getan wurde und p1 verschwunden ist.]

Anhang A

157

Wenn wir diesen Wert f¨ ur y in die urspr¨ ungliche Gleichung einsetzen, erh¨ alt man ein Ergebnis der Form 1

2

P = q + q1 R m + q2 R m + · · · + qm−1 R

m−1 m

=0,

[A4]

wobei q, q1 , q2 usw. rationale und ganze Funktionen [d. h. Polynome] der Gr¨ oßen a, b, c, d, e, p, p2 usw. und R sind. [Abel setzt nun die angenommene L¨osung [A3] in die Hauptgleichung [A1] ein. Dies f¨ uhrt zu [A4], worin die neuen Funktionen q, q1 , q2 . . . von allen vorherigen Gr¨oßen abh¨angen: den Koeffizienten a, b, c, d, e und den gerade benutzten Gr¨oßen p, p1 , p2 . . . R. Da die Gleichung [A1] ein Polynom gleich Null setzt, gilt dies auch f¨ ur die umgeschriebene Gleichung, also P = 0. Beachten Sie auch, daß Abel q, q1 , q2 . . . so definiert hat, daß jedes 1 vor der entsprechenden Potenz von R m steht. Die h¨ochste vorkommende Potenz ist dabei m−1 m , wie in Anhang B, Seite 173 erl¨autert wird.] Damit diese Gleichung gelten kann, muß q = 0, q1 = 0, q2 = 0 1 usw. qm−1 = 0 sein. Denn, wenn man R m mit z bezeichnet, bekommt man die beiden Gleichungen zm − R = 0

und

q + q1 z + · · · + qm−1 z m−1 = 0 . [A5]

[Abel geht daran, q = 0, q1 = 0, q2 = 0, . . . , qm−1 = 0 zu beweisen. Sein Beweis braucht mehrere Schritte und endet mit 1 [A8]. Er beginnt damit, z = R m zu definieren, so daß z m = R 1 bzw. z m −R = 0. Und durch Einsetzen von z = R m in [A4] erh¨alt er q + q1 z + · · · + q m−1 z m−1 = 0. Diese beiden Bestandteile von [A5] grenzen z ein.] Wenn nun die Gr¨ oßen q, q1 usw. nicht gleich Null sind, haben diese Gleichungen notwendigerweise eine oder mehrere gemeinsame L¨ osungen. Sei k deren Anzahl. Man weiß, daß man eine Gleichung k-ten Grades finden kann, deren L¨ osungen gerade die erw¨ ahnten gemeinsamen L¨ osungen sind und deren Koeffizienten rationale Funktionen in R, q, q1 und qm−1 sind. Sei r + r1 z + r2 z 2 + · · · + rk z k = 0

[A6]

158

Anhang A

diese Gleichung. Sie hat gemeinsame L¨ osungen mit der Gleichung z m − R = 0; damit sind alle L¨ osungen dieser Gleichung der Form αµ z, wobei αµ eine der L¨ osungen der Gleichung αm µ − 1 = 0 bezeichne. Durch Einsetzen [von z → αµ z in [A6]] erh¨alt man die folgenden Gleichungen: r + r1 z + r2 z 2 + · · · + rk z k = 0 2

2

r + αr1 z + α r2 z + · · · + α rk z = 0 ... k

k

r + αk−2 r1 z + α2k−2 r2 z 2 + · · · + αkk−2 rk z k = 0 .

[A7a] [A7b]

[A7k]

[Der Index µ in αµ l¨auft im Prinzip von 1 bis k (der Anzahl der gemeinsamen L¨osungen in [A5], die z, αz, α1 z, α2 z, . . . , αk−2 z lauten). Ersetzt man z durch αµ z in z m − R = 0, so erh¨alt man m αm − R = 0. Wegen z m = R bedeutet dies αm µ z µ R − R = 0. Teilt man durch R (das = 0 ist), so sieht man, daß αµ L¨osung der ur die ganze Reihe von Gleichung αm µ − 1 = 0 ist. Nun soll αµ f¨ Werten 1, α, α1 , α2 , . . . , αk−2 stehen, wobei Abel verwendet, daß 1 eine L¨osung dieser Gleichung ist. (Dadurch bleiben nur k − 2 Werte f¨ ur αµ , da die ersten beiden 1 und α sind.) Abel setzt nun nacheinander die Werte z, αz, α2 z, . . . , αk−2 z f¨ ur die Unbekannte in [A6] ein. Einsetzen von 1 f¨ ur αµ ergibt [A7a], Einsetzen von α gibt [A7b] . . . bis schließlich Einsetzen von αk−2 [A7k] ergibt.] Aus diesen k Gleichungen kann man stets den Wert von z herausziehen, und zwar als rationale Funktion der Gr¨oßen r, r1 , r2 usw. rk ausgedr¨ uckt, und da diese Gr¨ oßen selbst wieder rationale Funktionen von a, b, c, d, e, R . . . p, p2 usw. sind, folgt, daß auch z eine rationale Funktion dieser letztgenannten Gr¨oßen ist, was aber der Annahme widerspricht. Daher muß gelten q = 0, q1 = 0, . . . , qm−1 = 0 .

[A8]

[Nun kommt Abel zur entscheidenden Beobachtung: aus den k Gleichungen [A7a–A7k] kann man stets z als rationale Funktion von r, r1 , . . . , rk und α gewinnen, denn wir haben k gleichzeitig gegebene Gleichungen, mit denen wir k Unbekannte z, z 2 . . .

Anhang A

159

z k bestimmen k¨onnen. Dies ist der Unterschied zur Ausgangssituation [A1], in der nur eine Gleichung gegeben war, aus der f¨ unf Werte f¨ ur y zu berechnen sind; man kann [A7a–A7k] n¨amlich als k lineare Gleichungen mit k Unbekannten auffassen, die man durch Eliminieren l¨osen kann: Dazu betrachtet man jede Potenz von z als eine eigene Unbekannte und l¨ost die k Gleichungen als w¨aren sie ein System linearer Gleichungen f¨ ur diese 1 k Unbekannten. Aber wir hatten angenommen, daß z = R m keine rationale Funktion ihrer Variablen ist, womit uns nur noch die Wahl bleibt, daß q = q1 = q2 = . . . = qm−1 = 0, was den Beweis von [A8] vollendet.] Wenn nun diese Gleichungen gelten, ist klar, daß die gegebene Gleichung [also [A1]] f¨ ur alle Werte erf¨ ullt ist, die man aus y 1 erh¨alt, indem man R m alle Werte 1

1

1

1

1

R m , αR m , α2 R m , α3 R m , . . . , αm−1 R m

[A9]

durchlaufen l¨ aßt, wobei α eine L¨ osung der Gleichung αm−1 + αm−2 + · · · + α + 1 = 0 ist.

1

2

[A10] m−1

[Falls y1 = p + R m + p2 R m + · · · + pm−1 R m [A3], so m−1 1 q + q1 R m + · · · + qm−1 R m = 0. Dies geschieht aus folgendem Grund: Falls wir diese Form von y1 in [A1] einsetzen, bekommen wir Ausdr¨ ucke wie: 1 2 (ein Produkt von p, p2 , . . . )·(R m )a (R m )b · · · . Zusammenfassen der Potenzen ergibt dann: 1 (ein Produkt von p, p2 , . . . )·(R m )a+2b+··· . Da der Exponent a + 2b + · · · stets als mi + j geschrieben werden kann mit nat¨ urlichen Zahlen i, j (j ≤ m − 1), k¨onnen die ganz1 zahligen Potenzen von Ri = (R m )mi ausgeklammert und wie in [A4] zu den Produkten von p, p2 , . . . in q, q1 , . . . gesteckt werden. Abel hat gerade gezeigt, daß alle diese q’s null sind. Wenn wir 1 1 dann y2 betrachten, was durch R m → αR m entsteht, gibt es ein ¨ahnliches Argument. Nun entsteht zwar ein Faktor α zu einer gewissen Potenz (a + 2b + · · · ), der mit den vorangegangenen

160

Anhang A

Produkten aus q und R multipliziert wird, aber da die q’s alle null sind, verschwinden auch diese Ausdr¨ ucke, und also gen¨ ugt auch y2 der Gleichung P = 0 in [A4]. Dasselbe Argument gilt 1 1 auch f¨ ur y3 (mit R m → α2 R m ) und alle anderen Werte von [A9].] Man sieht auch, daß alle diese Werte von y verschieden sind; denn andernfalls h¨ atte man eine Gleichung derselben Form wie die Gleichung P = 0, und eine solche Gleichung f¨ uhrt, wie gerade gesehen, zum einem widerspr¨ uchlichen Ergebnis. Die Zahl m kann daher 5 nicht u ¨berschreiten. Indem wir also mit y1 , y2 , y3 , y4 und y5 die L¨ osungen der gegebenen Gleichung [A1] bezeichnen, haben wir 1

2

y1 = p + R m + p2 R m + · · · + pm−1 R y2 = p + αR .. .

1 m

2

+ α p2 R

1

2 m

+ ···+ α

m−1 m

m−1

pm−1 R

2

[A11a] m−1 m

ym = p + αm−1 R m + αm−2 p2 R m + · · · + αpm−1 R

[A11b]

m−1 m

. [A11m]

[Falls im Gegenteil zum Beispiel y1 = y2 g¨alte, so w¨are [A11a] = [A11b], was α − 1 = 0 = α2 − 1 = α3 − 1 = · · · erforderte und [A10] widerspr¨ache. Daher sind alle Werte f¨ ur y verschieden. Nat¨ urlich gibt es Beispiele besonderer Gleichungen f¨ unften Grades mit gleichen L¨osungen, aber man kann zeigen, daß sie durch Wurzeln aufl¨osbar sind. Falls zum Beispiel alle L¨osungen gleich y0 sind, so kann die Gleichung einfach in (y − y0 )5 = 0 umgeformt werden, und dies kann offensichtlich nur unter großen Einschr¨ankungen an die Koeffizienten gelten. Da es nicht mehr als f¨ unf L¨osungen geben kann, schließt Abel auch, daß keine h¨oheren Wurzeln als f¨ unfte vorkommen k¨onnen.] Aus diesen Gleichungen erzielt man ohne M¨ uhe 1 (y1 + y2 + · · · + ym ) m  1  y1 + αm−1 y2 + · · · + αym = m

p= 1

Rm

[A12a] [A12b]

Anhang A 2

 1  y1 + αm−2 y2 + · · · + α2 ym m .. .  1  y1 + αy2 + · · · + αm−1 ym . = m

[A12c]

p2 R m =

pm−1 R

m−1 m

161

[A12m] 1

Daraus sieht man, daß p, p2 usw. pm−1 , R und R m rationale Funktionen der L¨ osungen der gegebenen Gleichung [A1] sind. [Abel nennt nun diese f¨ unf L¨osungen y1 , y2 , . . . , y5 und benutzt [A3] und die Ergebnisse von [A9–A10], um sie in [A11a– A11m] explizit auszuschreiben. Dann addiert er diese Gleichungen auf und erh¨alt   1 y1 + y2 + · · · + ym = mp + 1 + α + α2 + · · · + αm−1 R m +   2 + p2 1 + α + α2 + · · · + αm−1 R m +   m−1 + · · · + pm−1 1 + α + α2 + · · · + αm−1 R m . [A12.1] Aber mit [A10] f¨ uhrt dies unmittelbar zu [A12a], da alle Summen (1 + α + α2 + · · · + αm−1 ) verschwinden. Nun wird Abel die anderen Summanden in [A4] herausarbeiten, indem er jede Gleichung in geeigneter Weise multipliziert, um den Summand 1 wie folgt zu isolieren: Um herauszufinden, was R m ist, multiplim−1 ziert man [A11a] mit 1, [A11b] mit α , [A11c] mit αm−2 , . . . , [A11m] mit α. Dann summiert man sie auf und erh¨alt: y1 + αm−1 y2 + αm−2 y3 + · · · + αym =   1 + α + α2 + · · · + αm−1 p +   2 1 + mαm R m + p2 αm 1 + α + α2 + · · · + αm−1 R m +   m−1 + · · · + αm pm−1 1 + α + α2 + · · · + αm−1 R m . [A12.2] 1

Da αm = 1, ist mR m = y1 + αm−1 y2 + αm−2 y3 + · · · + αym [A12b]. Gleiche Tricks ergeben den Rest [A12c–m].] Betrachten wir nun eine beliebige dieser Gr¨ oßen, zum Beispiel R. Sei 1

2

R = S + v n + S2 v n + · · · + Sn−1 v

n−1 n

.

[A13]

162

Anhang A

Indem wir diese Gr¨ oße in derselben Weise wie y behandeln, erhalten wir ein ¨ ahnliches Resultat, n¨ amlich daß die Gr¨oßen 1 v n , v, S, S2 usw. rationale Funktionen der verschiedenen Werte der Funktion R sind; und da diese rationale Funktionen von y1 , y2 1 usw. sind, gilt dies auch f¨ ur die Funktionen v n , v, S, S2 usw. Indem man diese Argumentation weiterf¨ uhrt, schließt man, daß alle im Ausdruck f¨ ur y enthaltenen irrationalen Funktionen rationale Funktionen in den L¨ osungen der gegebenen Gleichung sind. [Damit ist Schritt II des Gesamtbeweises beendet.] Nachdem dies erreicht ist, ist es nicht mehr schwierig, den Beweis zu vollenden. Betrachten wir zun¨ achst die irrationalen 1 Funktionen der Form R m , wobei R eine rationale Funktion von 1 a, b, c, d und e ist. Sei R m = r, [wobei] r eine rationale Funktion von [den L¨osungen] y1 , y2 , y3 , y4 und y5 ist und R eine symmetrische Funktion dieser Gr¨ oßen. Da es sich nun um die L¨osung der allgemeinen Gleichung f¨ unften Grades handelt, ist es klar, daß angige Variablen betrachten man y1 , y2 , y3 , y4 und y5 als unabh¨ 1 kann; die Gleichung R m = r soll daher unter dieser Annahme gelten. Daraus folgt, daß man die Gr¨ oßen y1 , y2 , y3 , y4 und y5 in 1 der Gleichung R m = r untereinander vertauschen kann; beach1 tet man, daß R eine symmetrische Funktion ist, so nimmt R m also unter diesen Vertauschungen m verschiedene Werte an. [Nun beginnt der letzte Abschnitt der reductio. Abel setzt 1 R m = r und erinnert daran, daß er sie als rationale Funktion der L¨osungen y1 , y2 , . . . , y5 nachgewiesen hat. Außerdem ist R eine symmetrische Funktion dieser L¨osungen. Dies bedeutet, daß wir sie untereinander vertauschen k¨onnen, ohne R zu ¨andern. Es bedeutet aber auch, daß mit den L¨osungen y1 , y2 , . . . , y5 auch 1 die Gleichung R m = r, also die m-ten Wurzeln von R, irgendwie permutiert werden; dabei wird r alle m verschiedenen Werte annehmen.] Die Funktion r muß also die Eigenschaft besitzen, unter allen m¨ oglichen Permutationen der in ihr enthaltenen f¨ unf Variablen m verschiedene Werte anzunehmen. Da m eine Primzahl ist, muß m = 5 oder m = 2 sein. (Siehe eine Abhandlung von Herrn Cauchy im Journal de l’´ecole polytechnique, Heft XVII.)

Anhang A

163

[Siehe Anhang C f¨ ur Abels Ausarbeitung dieses Arguments. 1 Cauchys Satz sagt aus, daß f¨ ur m = 5 unsere Funktion r = R m entweder f¨ unf oder zwei Werte annehmen kann, niemals drei oder vier. Cauchys Satz l¨aßt zu, daß r nur einen Wert annimmt, dies w¨ urde aber unserer Ausgangsannahme widersprechen, daß alle L¨osungen verschieden sind.] Sei zun¨ achst m = 5. Die Funktion r hat also f¨ unf verschiedene Werte und kann folglich in die Form 1

R 5 = r = p + p1 y1 + p2 y12 + p3 y13 + p4 y14

[A14]

gebracht werden, wobei p, p1 , p2 , . . . symmetrische Funktionen in y1 , y2 usw. sind. Diese Gleichung ergibt, indem man y1 mit y2 vertauscht, p + p1 y1 + p2 y12 + p3 y13 + p4 y14 = αp + αp1 y2 + αp2 y22 + αp3 y23 + αp4 y24 ,

[A15]

wobei α4 + α3 + α2 + α + 1 = 0 ;

[A16]

aber diese Gleichung kann nicht gelten; also muß die Zahl m gleich zwei sein. [In seiner Arbeit von 1826 widmet Abel diesen knappen Behauptungen eine viel ausf¨ uhrlichere Darstellung und gibt auch ein viel einfacheres Argument daf¨ ur, daß m = 5 nicht m¨oglich ist. Zun¨achst das einfache Argument: Betrachten wir den Ausdruck 1 2 einer der L¨osungen y1 wie in [A11a] als y1 = p+R 5 +p2 R 5 +· · ·+ 4 p4 R 5 und leiten daraus unter der Annahme m = 5 den Ausdruck 1 f¨ ur R 5 = 15 (y1 + α4 y2 + α3 y3 + α2 y4 + αy5 ) wie in [A12b] her. Dieser Zusammenhang ist aber unm¨oglich, da die linke Seite f¨ unf Werte hat (die m¨oglichen Werte der f¨ unften Wurzel), w¨ahrend die rechte Seite 120 Werte annimmt (die Permutationen der f¨ unf L¨osungen). Daher ist der Fall m = 5 ausgeschlossen. Alternativ hier nun auch Abels l¨angere Argumentation f¨ ur [A14–A15]: Betrachten wir eine rationale Funktion v, die von y1 , y2 , y3 , y4 , y5 abh¨angt und in vieren davon, sagen wir

164

Anhang A

y2 , y3 , y4 , y5 , symmetrisch ist. Denn so muß eine Funktion in den f¨ unf Variablen aussehen, die unter Permutationen f¨ unf verschiedene Werte annimmt: Diese erh¨alt sie unter den Vertauschungen y1 → y2 , y1 → y2 , y1 → y3 . . . bei geeigneter Auswahl von y1 , wohingegen sie symmetrisch bez¨ uglich aller Permutationen ist, die y1 unver¨andert lassen. Dann k¨onnen wir v durch y1 und die Koeffizienten einer Gleichung ausdr¨ ucken, deren L¨osungen y2 , y3 , y4 , y5 sind. Um dies einzusehen, schreibe man (y − y2 )(y − y3 )(y − y4 )(y − y5 ) = y 4 − s1 y 3 + s2 y 2 − s3 y + s4 . Die L¨osungen y2 , y3 , y4 , y5 k¨onnen durch die Koeffizienten s1 , s2 , s3 , s4 ausgedr¨ uckt werden, da es sich um eine Gleichung vierten Grades, also eine durch Wurzeln aufl¨osbare handelt. Nun unften Grasind y1 , y2 , y3 , y4 , y5 die L¨osungen der Gleichung f¨ des y 5 − ay 4 + by 3 − cy 2 + dy − e = 0 [A1], also gilt nach unserer Annahme (y − y1 )(y − y2 )(y − y3 )(y − y4 )(y − y5 ) = y 5 − ay 4 + by 3 − cy 2 + dy − e = (y − y1 )(y 4 − s1 y 3 + s2 y 2 − s3 y + s4 ) Aus dem Vergleich dieser beiden Formen derselben Gleichung schließt man, daß s1 , s2 , s3 , s4 durch die L¨osung y1 und die urspr¨ unglichen Koeffizienten a, b, c, d ausdr¨ uckbar sind. (Ausf¨ uhrlich: Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen erh¨alt man (y − y1 )(y 4 − s1 y 3 + s2 y 2 − s3 y + s4 ) = y 5 − (s1 + y1 )y 4 + (s2 + py1 )y 3 − (s3 + qy1 )y 2 + (s4 + ry1 )y − s4 y1 und somit s1 = a − y1 , s2 = b − ay1 + y12 , s3 = c − by1 + ay12 − y13 und s4 = d − cy1 + by12 − ay13 + y14 .) Damit kann die Funktion v also rational in y1 , a, b, c, d ausgedr¨ uckt werden. Daraus folgt, daß v als eine Reihe von Ausdr¨ ucken v = r0 + p1 y1 + p2 y12 + · · · + pm y1m geschrieben werden kann, wobei p0 , p1 , . . . , pm Polynome in a, b, c, d, e sind und die Abh¨angigkeit von y1 jeweils herausfaktorisiert wurde. (Hier benutzt Abel ein Argument, daß dem in Anhang B sehr ¨ahnlich ist, wonach der Nenner stets in die rationalen Ausdr¨ ucke p0 , p1 , . . . , pm eingebracht werden kann.) Da y1 L¨osung von [A1] ist, gilt y15 = ay14 − by13 + cy12 − dy1 + e, womit man alle Summanden in v = p0 + p1 y1 + p2 y12 + · · · + pm y1m , deren Exponent gr¨oßer oder gleich 5 ist, umformulieren kann. Somit kann man jede Funktion, die symmetrisch in y2 , y3 , y4 , y5 ist, in die Form v = p0 + p1 y1 + p2 y12 + p3 y13 + p4 y14 bringen.

Anhang A

165

Wenn wir nun in einer solchen Funktion alle f¨ unf Variablen y1 , y2 , y3 , y4 , y5 permutieren, so kann sie folglich entweder nur einen Wert annehmen und ist dann symmetrisch (da sie es bereits unf in y2 , y3 , y4 , y5 ist und nun auch noch in y1 ) oder sie nimmt f¨ Werte an (einen f¨ ur jede Vertauschung y1 → y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ). Da wir den symmetrischen Fall ausschließen, zeigt dieses Argument, daß jede Funktion mit f¨ unf verschiedenen Werten f¨ ur ihren ersten Wert die Form v = p0 +p1 y1 +p2 y12 +p3 y13 +p4 y14 [A14] annehmen ur ihren zweiten Wert muß, v = p0 + p1 y2 + p2 y22 + p3 y23 + p4 y24 f¨ und entsprechend f¨ ur die anderen drei. (Abel bespricht mehrere F¨alle, in denen v verschiedene Anzahlen an Werten annimmt, aber dies ist das Wesentliche seines Arguments.) Wir wissen auch durch [A9], daß die verschiedenen f¨ unften 1 1 1 1 Wurzeln von R zusammenh¨angen via R 5 → R 5 , αR 5 , α2 R 5 , 1 1 1 α3 R 5 , α4 R 5 . Betrachtet man dann [A14] in der Form R 5 = r = p + p1 y2 + p2 y22 + p3 y23 + p4 y24 und multipliziert beide Seiten 1 1 mit α, was den Ersetzungen R 5 → αR 5 bzw. y1 → y2 entspricht, so erh¨alt man α(p + p1 y1 + p2 y12 + p3 y13 + p4 y14 ) = p + p1 y2 + p2 y22 +p3 y23 +p4 y24 bzw. (nach Vertauschen der beliebig gew¨ahlten Namen y1 und y2 , wie Abel es tut) p+p1 y1 +p2 y12 +p3 y13 +p4 y14 = αp + αp1 y2 + αp2 y22 + αp3 y23 + αp4 y24 , was [A15] ist. Aber diese Gleichung kann nur gelten wenn α = 1 bzw. y1 = y2 , was nicht erlaubt ist, da die L¨osungen alle verschieden sind. Somit kann nach Cauchys Satz r nur zwei Werte annehmen.] Sei also 1

R2 = r ;

[A17]

r muß zwei verschiedene Werte annehmen von entgegengesetztem Vorzeichen; man hat also (siehe die Abhandlung Herrn Cauchys) 1

1

R 2 = r = v(y1 − y2 )(y1 − y3 ) · · · (y2 − y3 ) · · · (y4 − y5 ) = vS 2 , [A18] wobei v eine symmetrische Funktion ist. [Abel schreibt in [A17] die beiden m¨oglichen Werte f¨ ur r auf, wenn man bedenkt, daß die Quadratwurzel nur bis auf ein Vor-

166

Anhang A

zeichen bestimmt ist. Cauchys Satz ergibt auch, daß in diesem Fall r in der Form [A18] geschrieben werden kann, wobei v eine von den Koeffizienten abh¨angige symmetrische Funktion ist 1 1 und S 2 die spezielle Funktion S 2 = (y1 −y2 )(y1 −y3 ) · · · (y4 −y5 ), die in Anhang C besprochen ist. Man beachte, daß S nicht null sein kann, da alle L¨osungen y1 , . . . , y5 verschieden sind.] Betrachten wir nun die irrationalen Funktionen der Form   m1 1 1 p + p1 R ν + p2 R1µ + . . . ; [A19] p, p1 , p2 usw. R, R1 usw. seien rationale Funktionen von a, b, c, d und e und folglich symmetrische Funktionen von y1 , y2 , y3 , y4 und y5 . Wie wir gesehen haben, muß man ν = µ = usw. = 2, R = v 2 S, R1 = v12 S usw. haben. Die voranstehende Funktion [A19] kann also in die Form 

1

p + p1 S 2

 m1

[A20]

gebracht werden. Sei   m1 1 r = p + p1 S 2 , 1   1 m r1 = p − p1 S 2 .

[A21] [A22]

Durch Multiplizieren erh¨ alt man  1 rr1 = p2 − p21 S m . 1

[A23] 1

[Abel erinnert daran, daß wir mit R 2 und nicht mit R 5 umzugehen haben. Mit den Definitionen R = v 2 S, R1 = v12 S, . . . kann 1 1 er irrationale Funktionen wie [A19] in der Form r = (p+p1 S 2 ) m [A21] ausdr¨ ucken, welches die allgemeine Form ist, da die anderen Teilausdr¨ ucke in [A19] verschwinden. Entsprechend w¨ahlt er einen anderen irrationalen Ausdruck r1 in ¨ahnlicher allgemeiner

Anhang A 1

167

1

Form r1 = (p − p1 S 2 ) m [A22]. Er w¨ahlt hier das Minuszeichen, um dem Produkt rr1 in [A23] eine angenehme Form zu geben.] Falls nun rr1 keine symmetrische Funktion ist, muß die Zahl m gleich zwei sein; aber in diesem Fall h¨ atte r vier verschiedene Werte, was unm¨ oglich ist; also muß rr1 eine symmetrische Funktion sein. [Abel beweist, daß das Produkt rr1 eine symmetrische Funktion ist: falls nicht, so w¨are (nach Cauchys Satz) m = 2. Was w¨ urde dies bedeuten? In [A21] w¨ urde r vier Werte annehmen, da es sich mit einer Quadratwurzel eines Ausdrucks schriebe, in dem wiederum Quadratwurzeln auftreten. Dies ist nicht erlaubt: nur m = 5 oder m = 2 sind m¨oglich. Somit ist rr1 in [A23] eine symmetrische Funktion.] Sei v diese [symmetrische] Funktion [rr1 ], dann hat man  m1 − m1   1 1 r + r1 = p + p1 S 2 + v p + p1 S 2 =z. 1

[A24]

1

[Denken Sie daran, daß r1 = vr = v(p + p1 S 2 )− m .] Diese Funktion hat m verschiedene Werte, also muß m = 5 sein, wieder unter Beachtung der Tatsache, daß m eine Primzahl ist. Also haben wir z = q + q1 y + q2 y 2 + q3 y 3 + q4 y 4  15 − 15   1 1 = p + p1 S 2 + v p + p1 S 2 ,

[A25]

wobei q, q1 , q2 usw. symmetrische Funktionen von y1 , y2 , y3 usw. sind und folglich rationale Funktionen von a, b, c, d und e. [Da er die M¨oglichkeit m = 2 ausgeschlossen hat, bleibt nur noch m = 5 u ¨ brig. Um wieder zu seiner Suche nach den L¨osungen der Ursprungsgleichung zur¨ uckzukehren, dr¨ uckt er z in [A25] mit Hilfe von [A14] durch die L¨osungen unserer Gleichung f¨ unften Grades aus: z = q + q1 y + q2 y 2 + q3 y 3 + q4 y 4 .] F¨ ugt man diese Gleichung mit der gegebenen Gleichung zusammen, kann man daraus den Wert von y als rationale Funktion in z, a, b, c, d und e herausziehen. Nun ist solch eine Funktion stets auf die Form

168

Anhang A 1

2

3

4

y = P + R 5 + P2 R 5 + P3 R 5 + P4 R 5 ,

[A26]

zur¨ uckzuf¨ uhren, wobei P, R, P2 , P3 und P4 Funktionen der Form 1 p+ p1 S 2 sind mit Funktionen p, p1 und S, die rational in a, b, c, d und e sind. [Nun st¨ ulpt“ er die Gleichung [A25] um, wie er es viele Male ” zuvor schon getan hat, um y als Funktion von z und den Koeffizienten a, b, c, d, e auszudr¨ ucken. Wegen [A11a] kann er dies in der Form [A26] tun, wobei alle die Funktionen P, R . . . nach 1 der Argumentation in [A20] in der Form p + p1 S 2 geschrieben werden k¨onnen.] Aus diesem Wert f¨ ur y erh¨ alt man 1

R5 =

  15 1 1 (y1 + α4 y2 + α3 y3 + α2 y4 + αy5 ) = p + p1 S 2 , 5 [A27]

wobei α4 + α3 + α2 + α + 1 = 0 .

[A28] 1

[Zum letzten Mal: Er st¨ ulpt [A26] um, um R 5 durch die L¨osungen y1 , y2 . . . auszudr¨ ucken, was [A27] ergibt; dies ist nichts anderes als [A12b] mit m = 5. Und er bemerkt, ganz ent1 1 1 scheidend, daß er auch bewiesen hat, daß R 5 mit (p + p1 S 2 ) 5 gleichgesetzt werden kann.] Nun hat aber der erste Teil 120 verschiedene Werte und der zweite Teil nur 10; folglich kann y nicht die gefundene Form haben; wir haben aber bewiesen, daß y notwendigerweise diese Form haben muß, wenn die gegebene Gleichung l¨ osbar ist. [Die linke Seite von [A27] hat kann 120 verschiedene Werte annehmen, aber die rechte Seite von [A27] l¨aßt nur zehn Werte zu, da die Quadratwurzel nur zwei M¨oglichkeiten hat, multipliziert mit den f¨ unf M¨oglichkeiten f¨ ur die f¨ unfte Wurzel. Und es ist ausgeschlossen, daß etwas mit 120 m¨oglichen Werten stets etwas anderem mit nur 10 Werten gleicht. Somit scheitert die Annahme, die Gleichung k¨onne algebraisch gel¨ost werden, also durch ein in [A2] gegebenes y.]

Anhang A

169

Daraus schließen wir also, daß es unm¨oglich ist, die allgemeine Gleichung f¨ unften Grades durch Wurzeln zu l¨osen. Es folgt unmittelbar, daß es ebenso unm¨ oglich ist, allgemeine Gleichungen h¨ oheren Grades als f¨ unf durch Wurzeln zu l¨osen. [Ganz einfach, denn wenn man eine unl¨osbare Gleichung f¨ unften Grades mit y multipliziert, erh¨alt man eine Gleichung sechsten Grades mit einer L¨osung y = 0 und f¨ unf unaufl¨osbaren“ ” L¨osungen, und entsprechend f¨ ur h¨ohere Grade. Oder direkt mit Abels Beweis, denn dasselbe Argument, das er gegeben hat, gilt auch f¨ ur n > 5, da Cauchys Satz auch dann gilt. Betrachtet man zum Beispiel eine Gleichung siebten Grades. Dann sagt Cauchys Satz, daß jede Funktion in der L¨osung nur 1, 2 oder 7 Werte annehmen kann, und wir k¨onnen alle Argumente von Abel wieder anwenden und zeigen, daß alle diese M¨oglichkeiten zu Widerspr¨ uchen f¨ uhren, ganz parallel zum Fall n = 5. Es ist der M¨ uhe wert sich anzuschauen, warum dies f¨ ur die Grade 2, 3 und 4 nicht gilt. F¨ ur sie stimmen die Anzahl der L¨osungen und die Anzahlen m¨oglicher Werte von Funktionen in der L¨osungsformel u ¨ berein (2, 3 oder 4). Erst ab Grad 5 ¨ offnet sich die L¨ ucke zwischen der Anzahl der L¨osungen und den zul¨assigen Anzahlen an Werten f¨ ur die Funktionen (5, 2, 1, aber niemals 3 oder 4).]

Anhang B: Abel u ¨ ber die allgemeine Form einer algebraischen L¨ osung

Abel muß beweisen, daß die allgemeine L¨ osung y einer Gleichung die Form 1

2

y = p + p1 R m + p2 R m + · · · + pm−1 R

m−1 m

[B1=A2]

hat, wobei m eine Primzahl ist und R, p, p1 , p2 , . . . Funktionen derselben Form wie y sind, die vielleicht weitere, verschachtelte Wurzeln enthalten, aber schließlich, nach einer endlichen Anzahl von Wurzeln in den Wurzeln, nurmehr rationale Funktionen in den Koeffizienten der Ursprungsgleichung. Die Grundidee ist einfach: Wir nehmen an, daß die L¨ osung aus einer endlichen Anzahl von Ausdr¨ ucken besteht, in denen eine endliche Anzahl von Wurzeln vorkommt. Abel beweist nun, daß solch ein Ausdruck immer in die Form [B1] gebracht werden kann, gleich wie kompliziert er ist. Die Hauptidee besteht darin, alle Ausdr¨ ucke (ob in Wurzeln oder Koeffizienten) rational zu machen, indem man sie u ¨ ber einen gemeinsamen Nenner schreibt. Das wird zwar ziemlich un¨ ubersichtlich, ist aber an sich ein geradliniges Verfahren. In seiner Arbeit von 1824 f¨ uhrt er dies nicht aus, daher folgt diese Darstellung seinem Artikel von 1826. Zun¨ achst betrachtet Abel eine polynomiale Funktion f (x). Diese besteht aus Summen von Ausdr¨ ucken oder Termen, die jeweils aus einem Koeffizienten mal einer Potenz von x bestehen. Eine rationale Funktion ist definiert als ein Quotient aus zwei polynomialen Funktionen, ¨ ahnlich wie eine rationale Zahl der Quotient zweier ganzer Zahlen ist. Als algebraische Funkti” on“ bezeichnet Abel nun eine Funktion, die sich durch rationale Funktionen ausdr¨ ucken l¨ aßt, wobei man auch noch Wurzeln

172

Anhang B

ziehen darf. Dies ist ein Spezialfall des modernen Gebrauchs: Heute bezeichnet man als algebraische Funktionen gewisse implizit durch Polynomgleichungen f (x, y) = 0 definierte Funktionen. Nun ordnet Abel diese Funktionen nach ihrer Komplexit¨at in eine Hierarchie ein: Eine algebraische Funktion null” ter Ordnung“ ist einfach eine rationale Funktion f (a, b, c, d, e) der Koeffizienten a, b, c, d, e. Eine algebraische Funktion erster ” 1 Ordnung“ ist f (p0m ), wobei p0 eine Funktion nullter Ordnung ist und f eine rationale Funktion. Analog ist eine Funktion zweiter ” 1 Ordnung“ der Form f (p1m ), wobei p1 eine Funktion erster Ordnung ist und f eine rationale Funktion. Dann kann man fortfahren und algebraische Funktionen k-ter Ordnung definieren, die k Schachtelungsstufen von Wurzeln in Wurzeln haben. Sei v nun eine allgemeine algebraische Funktion. Indem wir m faktorisie1 ucken, k¨onnen wir ren und R m als eine Folge von Wurzeln ausdr¨ annehmen, daß m eine Primzahl ist. Nun k¨ onnen wir die algebraische Funktion v als VT schreiben, 1 2 m wobei V in der Form V = v0 + v1 R n + v2 R n + · · · + vm R n ausgedr¨ uckt ist, und ebenso f¨ ur T . (Hier sind wir zu Abels 1824er Schreibweise zur¨ uckgekehrt.) Nun betrachtet Abel die Substitu1 1 1 1 1 1 tionen R n → αR n , R n → α2 R n , . . . , R n → αn−1 R n , wobei n α = 1, aber α = 1 ist, wie in [A10]. Unter diesen n − 1 Substitutionen wird V im allgemeinen n − 1 Werte V1 , V2 , . . . , Vn−1 annehmen, die alle ungleich Null sind mit Argumenten ¨ahnlich denjenigen, welche zu [A8] f¨ uhren. Falls wir die Definition v = VT V1 V2 ...Vn−1 mit 1 = V1 V2 ...Vn−1 multiplizieren, so ergibt sich v=

T V1 V2 . . . Vn−1 . V V1 V2 . . . Vn−1

[B2]

Abel zeigt nun, daß der Nenner von [B2] ein Polynom ist. Um dies 1 2 zu sehen, erinnern wir uns daran, daß V = v0 + v1 R n + v2 R n + m 1 1 · · · + vm R n . Unter der Substitution R n → αR n wird V zu V1 = 1 2 m v0 + αv1 R n + α2 v2 R n + · · · + αm vm R n ; unter der Substitution 1 1 1 2 m 2 2 4 R n → α R n zu V2 = v0 + α v1 R n + α v2 R n + · · · + α2m vm R n , und so weiter. Um den Nenner von [B2] zu finden, multipli-

Anhang B

173

zieren wir alles aus und fassen dann gleiche Ausdr¨ ucke zusammen: V V1 V2 · · · Vn−1 ist ein Polynom in den Potenzen von v0 , v1 , . . . , vm und in den Potenzen von R, da es ein in allen Pom tenzen von R n symmetrischer Ausdruck ist. Zum Beispiel gilt 1 1 im quadratischen Fall V V1 = (v0 + v1 R 2 )(v0 − v1 R 2 ) = v02 − Rv12 3 3 3 2 und im kubischen Fall V V1 V2 = v0 + v1 R + v2 R − 3v0 v1 v2 R. ¨ Ahnliche Gruppierungen der Potenzen sind f¨ ur alle h¨oheren Grade m¨ oglich, so daß man annehmen kann, daß der Nenner in [B2] ein Polynom ist und alle irrationalen Funktionen im Z¨ahler stecken. Außerdem k¨ onnen wir die rationale Funktion im Z¨ ahler so umdefinieren, daß sie das Polynom im Nenner enth¨ alt. Das ist ein entscheidender Punkt. Mit demselben Argument 1 kann man annehmen, daß der Z¨ ahler ein Polynom in R n ist. Man kann also eine Funktion v der Ordnung k schreiben als 1

2

m

v = q0 + q1 R n + q2 R n + · · · + qm R n ,

[B3]

wobei R, q0 , q1 . . . Funktionen der Ordnung k − 1 sind und Faktoren enthalten, in welchen der polynomiale Nenner aufgegangen ist. Im Falle einer Gleichung f¨ unften Grades w¨ aren R, q0 , q1 . . . alles Funktionen vierter Ordnung. In Gleichung [B3] k¨onnen wir auch stets m < n annehmen, denn sonst schreibt man m = an+b mit nat¨ urlichen Zahlen a und b < n. Dann gilt m

Rn = R

an+b n

b

= Ra R n .

[B4]

und wir k¨ onnen die ganzzahligen Potenzen des Polynoms Ra in dem umdefinierten Koeffizienten qb
= qb Ra aufgehen lassen. Es b bleiben dann die gebrochenen Potenzen R n mit nb < 1. Wenn man so fortfahrend die Potenzen von R mit Exponenten gr¨oßer 1 als 1 eliminiert, bleibt als h¨ ochste Potenz von R n eine Potenz n−1 kleiner als n, gr¨ oßtenfalls R n . Dies zeigt, daß [B3] schließlich die behauptete Form [B1] annimmt. Schauen wir uns einige Beispiele an. Kasten 6.1 zeigt, daß die L¨ osungen der quadratischen Gleichung sich in dieser Weise schreiben lassen. Der Fall der kubischen Gleichung y 3 − a1 y−

174

Anhang B

a0 = 0 ist nur um weniges komplizierter. Cardanos L¨osungsformel f¨ ur die Gleichung (siehe Kasten 2.4) ist

3 a0 3 a0 a31 a3 a20 a20 + + + − + 1 . [B5] y= 2 4 27 2 4 27 Um zu zeigen, daß dies Abels Form gen¨ ugt, schreiben wir y = 1 2 p + R 3 + p2 R 3 . Da die kubische Gleichung keinen y 2 -Term aufweist, ist die Summe der L¨ osungen gleich Null. Die Summe der 1 2 L¨ osungen ist aber auch 3p+R 3 (1+α+α2 )+R 3 (1+α+α2 ) = 3p, da 1 + α + α2 = 0 gilt. Also folgt p = 0. 1 2 Nun setzen wir y = R 3 + p2 R 3 in die kubische Gleichung ein und klammern die verschiedenen Potenzen von R aus. So erhalten wir:   1 2 R + p32 R2 − a0 + R 3 (3p2 R + a1 ) + R 3 (3Rp22 + a1 p2 ) = 0 . [B6] Wegen [A8] im Anhang A bedeutet dies, daß alle Koeffizienten f¨ ur sich genommen null sind: R + p32 R2 − a0 = 0, 3p2 R + a1 = 0 a1 und 3Rp22 + a1 p2 = 0. Somit ist p2 = − 3R und nach Einsetzen a3

ergibt sich R2 − a0 R − 271 = 0. Eine L¨ osung dieser quadratischen
1 2 a20 a31 a0 3 Gleichung ist R+ = 2 + p2 R+3 = 4 + 27 . Es folgt y = R+ +
1 1 1 −1 a20 a31 3 = − a31 , wobei R− = a20 − R+3 − a31 R+ 3 . Aber R+3 R− 4 + 27 die andere L¨ osung der quadratischen Gleichung ist. Also gilt y = 1 1 3 3 R+ + R− , was genau der in [B5] gezeigten Form entspricht. Also l¨aßt sich die L¨ osung dieser kubischen Gleichung in Abels Form bringen.

Anhang C: Cauchys Satz u ¨ber Permutationen

Abels Artikel von 1824 benutzt Cauchys Argument u ¨ ber Permutationen, welches wiederum Ruffinis Ergebnis verallgemeinert. In seinem Artikel von 1826 gibt Abel eine weitere Darstellung davon, welche hier zusammengefaßt und in der modernen Sprache der Gruppentheorie dargestellt ist. Cauchy betrachtet irgendeine Funktion in n Variablen, sagen wir f¨ ur n = 5 die Funktion f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ). Falls der Wert der Funktion sich nicht andert, wenn die Werte der Variablen permutiert werden, nennt ¨ man sie eine symmetrische Funktion. In diesem Falle ist es also unwichtig, welche Variable welche ist: f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = f (x2 , x1 , x3 , x4 , x5 ) = f (x5 , x2 , x3 , x4 , x1 ) = · · · und so weiter durch alle 5! = 120 m¨ oglichen Permutationen der f¨ unf Variablen hindurch. Falls die Funktion nicht symmetrisch ist, f¨ uhren verschiedene Permutationen von x1 , x2 , x3 , x4 , x5 zu verschiedenen Werten der Funktion. Die gr¨ oßtm¨ ogliche Anzahl solche verschiedener Werte der Funktion kann die Gesamtzahl der Permutationen, also n!, nicht u ¨ bersteigen. Nennen wir diese Werte f (A1 ), f (A2 ), . . . , f (An! ), wobei A1 , A2 , . . . , An! alle Permutationen der urspr¨ unglichen Reihenfolge x1 , x2 , x3 , . . . sind. Nehmen wir an, die Funktion nehme p verschiedene Werte mit p < n! an. Als erstes zeigen wir, daß p dann ein Teiler von n! ist. Also einige der n! m¨ oglichen Werte m¨ ussen gleich sein. Durch Umnumerieren k¨ onnen wir annehmen, daß dies die ersten m sind, also f (A1 ) = f (A2 ) = · · · = f (Am ), und daß alle anderen Werte verschieden davon sind. Wenn wir nun jedes A1 , . . . , Am gleichermaßen in sich permutieren, etwa A1 →

176

Anhang C

Am+1 , A2 → Am+2 , . . . , Am → A2m , erhalten wir wieder m gleiche Werte f (Am+1 ) = f (Am+2 ) = · · · = f (A2m ). Diesen Prozeß k¨ onnen wir fortsetzen, bis alle Permutationen aufgebraucht sind, und unterteilen so die n! M¨ oglichkeiten in p Mengen der Gr¨oße m. Mithin gilt pm = n!, und p ist Teiler von n!. In heutiger Gruppentheorie wird dies der Satz von Lagran” ge“ genannt: Betrachten wir eine Gruppe G und nennen wir die Anzahl ihrer Elemente |G| (wobei |G| = n!, falls G die Gruppe der Permutationen von n Elementen ist). Betrachten wir dann eine Untergruppe H von G. Der Satz von Lagrange sagt nun aus, daß die Anzahl der Elemente von H, also |H|, ein Teiler von |G| sein muß. Sei nun H die Untergruppe der Permutationen, welche einen der p m¨ oglichen Werte der Funktion f festh¨ alt, sagen wir f (A1 ). Das Verfahren oben entspricht nun der Zerlegung der Gruppe G in sogenannte Nebenklassen ” von H in G“. (Falls G nicht kommutativ ist, muß man Rechts” nebenklassen“ von Linksnebenklassen“ unterscheiden.) Das Ar” gument von oben zeigt nun, daß die Elemente von G sich ohne Ausnahme in sich gegenseitig ausschließende Klassen von je m Elementen aufteilen lassen, also muß p ein Teiler von n! sein. Da die Nebenklassen ganz G zerlegen, liegt es nahe, sie als den ” Quotienten G/H“ aufzufassen, der selbst wieder eine Gruppe ist, wenn H eine normale Untergruppe ist (wie auf Seite 198 definiert). Ein gutes Beispiel daf¨ ur ist die Arithmetik einer Uhr. Auf einer 24-Stunden-Uhr bildet jede Ziffer eine Nebenklasse, welche ¨ die Aquivalenzklasse einer Stunde darstellt: 13 Uhr ist ¨aquivalent zu 13 + 24 = 37 Uhr, zu 13 + 48 = 61 Uhr, usw. Wenn wir dann zu einer 12-Stunden-Uhr u ¨bergehen, betrachten wir den Quoti” enten“ der 24-Stunden-Uhr geteilt durch 2, denn nun sind auch 13 Uhr und 1 Uhr ¨ aquivalent, wie auch 25 Uhr und 37 Uhr, und so weiter. Dies ist nur eine kurze Erl¨ auterung; weitere Beispiele und Einzelheiten findet man in den ab Seite 195 verzeichneten Werken. Gruppen kann man mit Molek¨ ulen vergleichen, die man dadurch analysiert, daß man sie in kleinere Molek¨ ule zerlegt und

Anhang C

177

schließlich in die sie aufbauenden Atome. So wie dieselben Atome verschiedene Molek¨ ule ausbilden k¨ onnen, k¨ onnen dieselben ma” thematischen Atome“ verschiedene Gruppen bilden. Betrachten wir eine Gruppe G mit einer eigentlichen normalen Untergruppe H (H ist also weder die ganze Gruppe G noch die Identit¨at). Dann sind H und die Faktorgruppe G/H die Untermolek¨ ule“ ” von G. Wenn wir nun diese Untermolek¨ ule“ auf dieselbe Weise ” weiter aufbrechen, bis dies nicht mehr geht, dann erhalten wir als die unzerlegbaren Teile die Atome“ der Gruppe. Ein ber¨ uhmter ” Satz von Jordan und H¨ older sagt aus, daß man stets die gleichen Atome“ findet, gleich in welcher Reihenfolge man die Zerlegung ” angeht. Aus dieser Sicht bedeutet Abels Beweis, daß eine Gleichung dann und nur dann durch Wurzeln aufgel¨ ost werden kann, wenn die Atome“ der Gruppe alle abelsch sind (und dann sogar ” zyklisch von Primzahlordnung, falls die Gruppe endlich ist). Wir sind von einer symmetrischen Funktion in n Variablen ausgegangen, die also nur einen Wert annimmt, wenn wir die Variablen permutieren. Andere Funktionen k¨ onnen zwei Werte annehmen. Betrachten wir zum Beispiel die Funktion, welche Cauchy und Abel √ S= (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x1 − x4 )(x1 − x5 )(x2 − x3 ) · · · (x4 − x5 ) nannten und in der alle f¨ unf Variablen antisymmetrisch auftauchen. Dies bedeutet, daß die Funktion unter einer Permutation wie x1 → x2 das Vorzeichen andert, nicht aber den Absolut¨ √ √ betrag ihres Wertes: S → − S. Jedes Vertauschen von zwei Variablen wird zwei Funktionswerte hervorbringen, die sich gerade durch das Vorzeichen unterscheiden. Wir k¨ onnen nat¨ urlich diese antisymmetrische Funktion mit einer beliebigen symmetrischen Funktion multiplizieren, die sich unter Vertauschung nicht andert, und bekommen das gleiche Verhalten (Abel benutzt dies ¨ in [A18], Anhang A). Im allgemeinen ist es aber nicht m¨ oglich, eine Funktion zu basteln, die mehr als zwei Werte annimmt, selbst wenn es ein Teiler von n! ist. Sei im folgenden p die gr¨ oßte Primzahl, die kleiner

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oder gleich n ist. Sei Am irgendeine Permutation der Ordnung p, das heißt, wenn wir sie p-mal anwenden, kommen wir stets zum Ausgangspunkt zur¨ uck, was wir als f (Am )p = f (Am )0 schreiben. Wenn wir annehmen, daß die Funktion weniger als p Werte annimmt, dann m¨ ussen zwei der dabei durchlaufenen Werte gleich
sein, etwa f (Am )r = f (Am )r , wobei 0 < r < r
< p − 1. Wenn wir nun die Permutation Am auf beide Seiten (p − r)-mal anwen
den, erhalten wir f (Am )r+p−r = f (Am )r +p−r bzw. f (Am ) = j f (Am ) , denn es gilt (r + p − r) = p und f (Am )p = f (Am ), und wir definieren j als r
+ p − r. Nun sind nicht nur die beiden Werte f (Am ) = f (Am )j gleich, sondern auch f (Am ) = f (Am )bj f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl b. Da p eine Primzahl ist, k¨onnen wir stets nat¨ urliche Zahlen a und b finden, so daß bj = pa + 1. Also gilt f (Am )bj = f (Am )pa+1 = f (Am ). Andererseits hatten wir gezeigt, daß f (Am ) = f (Am )pa . Daraus ergibt sich, daß aufeinanderfolgende Werte der Funktion gleich sind, also f (Am )pa = f (Am )pa+1 , und damit kann die Permutation Am den Wert der Funktion gar nicht ¨ andern. Also folgert Cauchy, daß eine Permuation der Ordnung p die Funktionswerte nicht andert, sofern die Funktion weniger als p Werte annimmt. ¨ Denken wir uns nun eine Funktion, die weniger als p Werte annimmt (unter der Annahme, daß p > 3, was f¨ ur den Fall der Gleichung n-ten Grades wahr ist, da dort n = p = 5), aber nicht symmetrisch ist (was sie auf einen Wert beschr¨anken w¨ urde). Vom letzten Ergebnis her wissen wir, daß die Funktion sich unter Permutationen der Ordnung p > 3 nicht ¨ andert. Um solch eine Permutation durchzuf¨ uhren, m¨ ussen wir Variablen vertauschen. Um zum Beispiel von f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) zu f (x2 , x1 , x3 , x4 , x5 ) zu kommen, m¨ ussen wir x1 ↔ x2 vertauschen. Und eine beliebige Permutation ist aus einer gewissen Anzahl solcher paarweisen Vertauschungen (oder Transpositionen) zusammengesetzt. Deren Anzahl kann gerade oder ungerade sein. Betrachten wir nun zwei spezielle Permutationen der Ordnung p, zwei p-Zykel (wie in Kapitel 8): In der ersten sei xa → xb , xb → xc , xc → xd , . . . , xp → xa , das heißt, jede Variable geht in die n¨ achste in der Liste u ¨ber. Mit der Schreibweise aus

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Kapitel 8 ist dies die Permutation (abcd · · · p). Sicher ist diese Ersetzung von der Ordnung p, denn nach p-maliger Anwendung kommen wir zum Ausgangspunkt zur¨ uck. Ebenso betrachten wir eine zweite Reihung: xb → xc , xc → xa , xd → xb , xe → xd , xf → xe , . . . , xa → xp bzw. (ap · · · edbc). Auch dies ist eine Ersetzung der Ordnung p, denn nach p-maliger Anwendung kommen wir zur Ausgangssituation zur¨ uck. Es ist eine leicht ver¨ anderte Form der ersten Ersetzung (u. a. da xa ans Ende verschoben wird). Also lassen diese beiden Ersetzungen nach dem Ergebnis des voranstehenden Abschnitts die Funktion unver¨ andert. Aber was passiert nun, wenn wir zun¨ achst die erste und dann die zweite Ersetzung ausf¨ uhren? xa → xb → xc , xb → xc → xa , xc → xd → xb , xe → xf → xe , xf → xg → xf , . . . , xp → xa → xp bzw. (abcd · · · p) ∗ (ap · · · edbc) = (acb). Abgesehen von den ersten drei bleiben alle Variablen unver¨ andert, nachdem beide Ersetzungen durchgef¨ uhrt sind. Dies scheinen willk¨ urliche Beispiele zu sein, sind es aber nicht: Jeder p-Zykel muß die obige Form haben, denn wir k¨ onnten f¨ ur xa → xc , xb → xa , xc → xb ja die geeigneten Variablen w¨ ahlen. Jedenfalls kommt heraus, daß es f¨ ur jeden 3-Zykel zwei Permutationen der Ordnung p (genauer zwei p-Zykel) gibt, deren Produkt gerade dieser 3-Zykel ist. Da keine der Permutationen der Ordnung p nach dem vorangegangenen Ergebnis den Wert der Funktion ¨andert kann, k¨ onnen es auch nicht beide zusammen, also auch kein 3-Zykel. Jetzt zeigen wir noch, daß jeder 3-Zykel sich als Produkt zweier Transpositionen (dann sind Vertauschungen von je zwei Variablen) schreiben l¨ aßt. Betrachten wir den 3-Zykel von oben, xa → xc , xb → xa , xc → xb . Ihn kann man als die Transposition xa ↔ xb gefolgt von der Transposition xb ↔ xc schreiben. Um dies einzusehen, f¨ uhren wir alle Ersetzungen in der vorgegebenen Reihenfolge durch, also: xa → xb → xc , xb → xa , xc → xb , was das gew¨ unschte Resultat ergibt: (ab) ∗ (bc) = (acb). Wieder ist dies ganz allgemein, da a, b, c beliebig waren, und somit ist jeder 3-Zykel Produkt zweier Transpositionen. Das Produkt zweier Transpositionen mit einer gemeinsamen Variable ist also ein 3-Zykel. Das Produkt zweier disjunkter Transpositionen l¨aßt

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sich als Produkt von 3-Zykeln schreiben: Betrachten wir xa ↔ xb gefolgt von xc ↔ xd . Dies kann man auch erreichen, indem auf xa → xb → xc die Ersetzung xc → xa → xd folgt, was die Beziehung (ab) ∗ (cd) = (abc) ∗ (cad) beweist. Doch wie wir gerade gelernt haben, ist die Funktion unter den 3-Zykeln invariant, also unter Produkten von zwei Transpositionen und damit unter jedem Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen. Da die Funktion nicht symmetrisch ist, muß jede Transposition das Vorzeichen wechseln. Zwei Transpositionen wechseln dann zweimal das Vorzeichen, was das urspr¨ ungliche Vorzeichen wiederherstellt, wohingegen jede ungerade Anzahl von Transpositionen das Zeichen wechselt. Die Funktion ist also antisymmetrisch, um den Ausdruck von vorhin zu benutzen. In jedem Fall schließen wir daraus, daß die besprochene Funktion h¨ ochstens zwei Werte annehmen kann. Erinnern wir uns daran, daß all dies aus der Annahme p ≤ n folgt. Damit haben wir nun den f¨ ur Abel so wichtigen Satz von Cauchy erreicht: Wenn die Anzahl verschiedener Werte einer Funktion von n Werten kleiner als die gr¨oßte Primzahl p ≤ n ist, so ist sie 2. Falls n = 5 gilt also p = 5: Im Falle der Gleichung f¨ unften Grades nimmt die Funktion also entweder f¨ unf oder h¨ ochstens zwei Werte an. In dieser Form ist Cauchys und Ruffinis Einsicht entscheidend f¨ ur den letzten Schritt von Abels Beweis.

Anmerkungen

Kapitel 1: Der Skandal des Irrationalen Pythagoras von Samos: Die Gelehrten haben jeden Aspekt der traditionellen Darstellung in Frage gestellt. Siehe Walter Burkert, Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon (Hans Carl Verlag: N¨ urnberg 1962) und auch C. A. Huffman, The Pythagorean Tradition“ in ” The Cambridge Companion to Early Greek Philosophy, herausgegeben von A. A. Long (Cambridge University Press: Cambridge 1999), S. 66–87. Andere Darstellungen bei Peter Gorman, Pythagoras – A Life (Routledge and Kegan Paul: London 1979) und Leslie Ralph, Pythagoras – A Short Account of His Life and Philosophy (Krikos: New York 1961). Eine Sammlung von Originalquellen gibt es in The Pythagorean Sourcebook and Library, herausgegeben von Ken Sylvan Guthrie (Phares Press: Grand Rapids, MI 1987). Euklid: Die kommentierte Standardversion ist The Thirteen Books of Euclid’s Elements, u ¨ bersetzt von Thomas L. Heath (Dover: New York 1956). In Buch X, Proposition 115a findet sich der bei Aristoteles (Analytica Priora I: 23) angegebene Beweis der Inkommensurabilit¨ at. ¨ Die Ubersetzung der Propositionen folgt der von Clemens Thaer u ¨ bersetzten Ausgabe Die Elemente, (Wissenschaftliche Buchgesellschaft: Darmstadt 1969). Siehe auch Robin Hartshorne, Geometry, Euclid, and Beyond (Springer-Verlag: New York 2000) f¨ ur eine einnehmende moderne Begegnung mit diesem Klassiker. Pythagor¨ aische Mathematik und der Goldene Schnitt: Siehe H. E. Huntley, The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty (Dover: New York 1970). R . ta: A. L. Basham, The Wonder That Was India (Grove Press: New York 1954), S. 113, 236–237. F¨ ur indo-europ¨ aische Wurzeln siehe Julius Pokorny, Indogermanisches Etymologisches W¨ orterbuch (Francke

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Anmerkungen

Verlag: Bern 1959), Band 1 S. 56–60. Ich danke Eva Brann daf¨ ur, mich auf den Zusammenhang zwischen arithmos und Ritus“ aufmerksam ” gemacht zu haben. Platon: Die Episode mit dem Sklavenjungen findet sich in Menon, 84d–85b. Siehe auch Jacob Klein, A Commentary on Plato’s Meno (University of North Carolina Press: Chapel Hill, NC 1965), S. 103– 107, vor allem den Punkt, daß, obwohl die Aussagen von Sokrates stammen, die Zustimmung und die Ablehnung von niemand anderem ” als dem Jungen selbst kamen“ (S. 105). Menons Charakter ist in Xeno¨ phon, Anabasis 2: 21–29, beschrieben. Uber die irrationale Jugend“ ” wird in Der Staat, Buch VII, 534d, gesprochen. F¨ ur die Geschichte der schwarzen und weißen Pferde siehe Phaidros 253d–254e; f¨ ur die Geschichte von Theaitetos siehe Theaitetos 142a–150b; Sokrates als Hebamme: 150c–151d. Deutsche Zitate nach der Schleiermacher¨ Ubersetzung (Wissenschaftliche Buchgesellschaft: Darmstadt 2001). Ein poros ist ein Mittel, sich einen Weg zu verschaffen, wie eine Br¨ ucke oder eine F¨ ahre; also bedeutet aporia festzusitzen, nicht in der Lage zu sein hin¨ uberzukommen. Eine hilfreiche Besprechung von Theodoros und Theaitetos findet sich in Wilbur Richard Knorr, The Evolution of the Euclidean Elements (Reidel: Dordrecht 1975), S. 62–108, die eine plausible Darstellung enth¨ alt, warum Theodoros bei 17 aufh¨ orte (S. 181–193) und eine Kritik an fr¨ uheren Erkl¨ arungen (S. 109–130). ¨ Griechische Mathematik: Einen hilfreichen Uberblick bietet das klassische Buch von Carl B. Boyer, A History of Mathematics, revidiert von Uta C. Merzbach (zweite Auflage; John Wiley: New York 1991), das in der Folge als HM zitiert wird. Siehe S. 43–99 (vor allem die Seiten 72–74 u at) und S. 100–119 (Euklid). ¨ ber die Inkommensurabilit¨ Ein anderer wichtiger Klassiker ist Jacob Klein, Griechische Logistik und die Entstehung der Algebra (Berlin 1934), ins Englische u ¨ bersetzt von Eva Brann als Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra (Dover: New York 1992), S. 3–113. Siehe auch Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Oxford University Press: New York 1972), S. 28–34, im folgenden als MT zitiert. Ferner siehe Reviel Netz, The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: A Study in Cognitive History (Cambridge University Press: Cambridge 1999) und S. Cuomo, Ancient Mathematics (Routledge: London 2001). David Fowler bietet eine interessante Kritik an der Standardsichtweise der griechischen Irrationalit¨ atskrise“ in The Ma” thematics of Plato’s Academy: A New Reconstruction (zweite Auflage;

Anmerkungen

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Clarendon Press: Oxford 1999), S. 356–367. Er legt dar, daß wir sehr wenige diese Krise“ untermauernde griechische Belege haben, tritt ” daf¨ ur ein, daß es keine Krise“ gab, und zieht es vor, die irrationalen ” Gr¨ oßen eher als etwas Nat¨ urliches denn als etwas Paradoxales zu behandeln. Obwohl ich seine Argumente als wichtig erachte, u ¨ berzeugen sie mich nicht endg¨ ultig: Meine Darstellung der Standardgeschichte“ ” beruht auf dem, was in meinen Augen die Bedeutung von Platons Bemerkungen in Menon und Der Staat ausmacht, und auf Pappos’ Kommentaren (siehe unten). Eine sorgsame Besprechung ist Sabetai Unguru, Amicus Plato sed . . .: Fowler’s New Mathematical Recon” struction of the Mathematics of Plato’s Academy“, Annals of Science, 59 (2002), S. 201–210. Pappos u ¨ ber das Irrationale: Euklid Opera omnia ed. Heiberg (Leipzig 1883–1916), Band 3 S. 417, zitiert nach Stuloff, Geschichte der Mathematik, Teil I (Mainz 1988). Siehe auch S. Cuomo, Pappus of Alexandria and the Mathematics of Late Antiquity (Cambridge University Press: Cambridge 2000). F¨ unfecke und Irrationalit¨ at: Siehe Kurt von Fritz, The Discovery of ” Incommensurability by Hippasus of Metapontum“, Annals of Mathematics 46 (1945), S, 242–264. Probierstein und Tortur: Ich habe in meinem Buch Labyrinth: A Search for the Hidden Meaning of Science (MIT Press: Cambridge, MA 2000), Kapitel 2, deutsch: Die Spione im Unendlichen (KlettCotta: Stuttgart 2003), die Vorstellung eines Experiments als Fol” ter“ der Natur besprochen. Darin lege ich dar, daß Francis Bacon keinesfalls gesagt oder gemeint habe, die Natur sollte durch experimentelle Versuche der neuen Wissenschaft mißbraucht werden. Bacon benutzt auch nicht den beladenen Ausdruck Tortur“, aber Platon ” benutzt ihn, um die m¨ uhsame Qual von Dialektik und Untersuchungen zu beschreiben. Aus dem Kontext wird allerdings deutlich, daß er sie als eine noble Angelegenheit versteht und nicht niedrig oder mißbrauchend. Dies gilt auch f¨ ur sein gewagtes Bild der philosophischen Untersuchung als Vatermord“; siehe meinen Artikel Desire, ” ” Science, and Polity: Francis Bacon’s Account of Eros“, Interpretation 26: 3 (1999), S. 333–352, Anmerkung 10. F¨ ur die sp¨ ateren Denker, siehe meine Artikel Wrestling with Proteus: Francis Bacon and ” the ‘Torture’ of Nature“, Isis 90: 1 (1999), S. 81–94, Nature on the ” Rack: Leibniz’ Attitude towards Judicial Torture and the ‘Torture’ of

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Anmerkungen

Nature“, Studia Leibnitiana 29 (1998), S. 189–197, und Proteus Un” bound: Francis Bacon’s Successors and the Defense of Experiment“, Studies in Philology 98: 4 (2001), S. 428–456. Euklid u oßen: Siehe Die Elemente, Buch X, Propo¨ber irrationale Gr¨ sitionen 1 (¨ uber die unbeschr¨ ankte Unterteilbarkeit jeder Gr¨ oße) und 115 (die unendliche Anzahl von Sorten irrationaler Gr¨ oßen). Einen all¨ gemeinen Uberblick u at findet man in Mid¨ ber Zahlen und Irrationalit¨ hat Gazal´e, Number: From Ahmes to Cantor (Princeton University Press: Princeton 2000). F¨ ur die Entwicklung der griechischen Theorie der Proportionen siehe Sir Thomas Heath, A History of Greek Mathematics (Dover: New York 1981), 1: 90–91, 154–157, und Howard Stein, Eudoxos and Dedekind: On the Ancient Greek Theory of Ratios and ” its Relation to Modern Mathematics“, Synthese 84 (1990), S. 163-211. Griechische Musik: Siehe M. L. West, Ancient Greek Music (Clarendon Press: Oxford 1992), S. 233–242, und die unsch¨ atzbare Sommlung von Originaltexten mit Kommentaren Greek Musical Writings, herausgegeben von Andrew Barker (Cambridge University Press: Cambridge 1989), 1: 137, 188, 411, 419, die auch Euklis Abhandlung u ¨ ber Musik in 2: 190–208 enth¨ alt. Ich habe keine Passage in den antiken Texten entdecken k¨ onnen, in denen die n¨ aherungsweise Gleichheit von √ 2 und dem Tritonus festgestellt w¨ are, was aber verst¨ andlich ist aufgrund ihrer grundlegenden Annahme, daß musikalische Inervalle von Natur aus durch Proportionen beschrieben sind. Bach und die Stimmung: siehe John Barnes, Bach’s Keyboard Temperament: Internal ” Evidence from the Well-Tempered Clavier“, Early Music 7, S. 236–249 (1979).

Kapitel 2: Kontroversen und Koeffizienten Babylonische Mathematik: HM S. 23–42, MT S. 3–14. F¨ ur einen interessanten Vergleich zwischen griechischer und babylonischer Herangehensweise an die Mathematik siehe Simone Weil, Seventy Letters, ins Englische u ¨ bersetzt von Richard Rees (London: Oxford University Press, 1965), S. 112–127. Siehe auch J. Hoyrup, Varieties of Mathematical Discour” se in Pre-Modern Cultural Contexts: Mesopotamia, Greece, and the Latin Middle Ages“, Science and Society 49 (1985), S. 4–41, Alge” bra and Naive Geometry: An Investigation of Some Basic Aspects of Old Babylonian Mathematical Thought“, Altorientalische Forschungen 17 (1990), S. 27–69, S. 262–354, und Dynamis, the Babylo”

Anmerkungen

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nians and Theaetetus 147c7–148d7“, Historia Mathematica 17 (1990), S. 201–222. ¨ Chinesische Algebra: Einen allgemeinen Uberblick verschafft Joseph Needham, Science and Civilisation in China (Cambridge University Press: Cambridge 1959), 3: 1–170, mit einem Kommentar u ¨ ber das kubische Problem auf Seiten 125–126. Eine Er¨ orterung eines be¨ deutsamen Textes mit wertvollen Ausz¨ ugen und Ubersetzungen bietet J. Hoe, The Jade Mirror of the Four Unknowns – Some Reflections“, ” Mathematical Chronicle 7 (1978), S. 125–156, der erl¨ autert, daß die inh¨ arente Symbolik der chinesischen Sprache“ sich in die Richtung ” der modernen algebraischen Symbolschreibweise bewegt. Al-Khw¯ arizm¯ı: Siehe mein Labyrinth, Kapitel 7. Sein Buch (auf Arabisch Al-jabr w’al muqab¯ alah) befindet sich in A Source Book in Mathematics 1200–1800, herausgegeben von D. J. Struik (Harvard University Press: Cambridge, MA 1969), S. 55–60. Siehe also B. L. van der Waerden, A History of Algebra from al-Khw¯ arizm¯ı to Emmy Noether (Springer-Verlag: New York 1980). F¨ ur einen ausgezeichne¨ ten Uberblick siehe Karen Hunger Parshall, The Art of Algebra from ” al-Khw¯ arizm¯ı to Vi`ete: A Study in the Natural Selection of Ideas“, History of Science 26 (1988), S. 129–164. Es gibt eine wertvolle Sammlung von Essais in Rushdi Rashid, The Development of Arabic mathematics: Between Arithmetic and Algebra (Kluwer: Dordrecht 1994). Siehe auch Reviel Netz, From Problems to Equations: A Study in the Transformation of Early Mediterranean Mathematics (Cambridge University Press: Cambridge 2003). ¨ Khayy¯ am: Eine wertvolle Sammlung von Ubersetzungen mit hilfreichen Kommentaren bietet R. Rashed und B. Vahabzadeh, Omar Khayyam the Mathematician (Bibliotheca Persica: New York 2000). Rashed legt dar, daß Omar der Dichter und Omar der Mathematiker vielleicht zwei verschiedene Personen sind; aber seine Behauptung bleibt umstritten. Shylock u ¨ber den Handel: Der Kaufmann von Venedig, I.iii.18–21, in ¨ der Ubersetzung von A. W. von Schlegel. Fibonacci: Siehe HM S. 254–257, John Fauvel und Jeremy Gray, The History of Mathematics: A Reader (Macmillan: London 1987), S. 241– 243, und J. und F. Gies, Leonard of Pisa and the New Mathematics ur eine moderne Ausof the Middle Ages (Crowell: New York 1969). F¨ gabe seines Buch vom Abakus siehe Leonardo Fibonacci, Fibonacci’s

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Anmerkungen

Liber abaci: a translation into modern English of Leonardo Pisano’s Book of calculation, u ¨ bersetzt von L. E. Sigler (Springer, New York 2002). Fibonacci betrachtet kubische Gleichungen in seinem Buch Flos (1225). e: See Eli Maor, e: The Story of a Number (Princeton University Press: Princeton 1998); deutsch: Die Zahl e – Geschichte und Geschichten (Birkh¨ auser: Basel 1996). Falls 1 A C in ein Bankkonto mit 100 % Jahreszins investiert wird, so liegen am Ende eines Jahres 2 A C auf dem Konto. Wird der Zins dagegen in jedem Augenblick dazugezahlt, so enth¨ alt das Konto am Ende des Jahres e = 2, 718 . . . A C. Pacioli: R. Emmett Taylor, No Royal Road: Luca Pacioli (Arno Press: ¨ New York 1980) enth¨ alt Ubersetzungen von Teilen aus der Summa, die sich auf die doppelte Buchf¨ uhrung beziehen. So auch B. S. Yamey, Luca Pacioli’s Exposition of Double-Entry Bookkeeping; Venice 1494 (Abrizzi: Venice 1994), S. 9–33 und 95–171. Siehe auch R. G. Brown und K. S. Johnston, Pacioli on Accounting (McGraw-Hill: New York 1965) und Richard H. Macve, Pacioli’s Lecacy“, in Accounting Hi” story from the Renaissance to the Present: A Remembrance of Luca Pacioli, herausgegeben von T. A. Lee, A. Bishop, R. H. Parker (Garland: New York 1996), S. 3–30. Verbindungen mit der Entwicklung des Buchdrucks: E. L. Eisenstein, The Printing Press as an Agent of Social Change: Communications and Cultural Transformations in Early-Modern Europe (Cambridge University Press: Cambridge 1979), S. 548. Pacioli f¨ ugt am Ende seines De divina proportione (Venice: 1507; Reprint Dominioni: Maslianico 1967) idealisierte, geometrische begr¨ undete Lettern auf. Leonardo da Vinci und Pacioli: Siehe Carlo Zammattio, Augusto Marinoni und Anna Maria Brizio Leonardo the Scientist (McGrawHill: New York 1980), S. 88–117, und Emanuel Winternitz, Leonardo da Vinci as a Musician (Yale University Press: New Haven 1982), S. 10–16. Piero della Francesca: F¨ ur eine herausragende Darstellung seiner großartigen mathematischen Errungenschaften siehe Mark A. Peterson, The Geometry of Piero della Francesca“, Mathematical Intelligencer, ” 19: 3 (1997), S. 33–40, worin auch klargestellt wird, inwieweit Pacioli Pieros Arbeit plagiiert hat, und worin der Zusammenhang zwischen Algebra und Geometrie zu seiner Zeit er¨ ortert wird.

Anmerkungen

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Geschichte der doppelten Buchf¨ uhrung: Siehe Michael Chatfield, A History of Accounting Thought (Krieger Publishing: Huntington, NY 1977), S. 3–18, worin betont wird, die Bedeutung der . . . Einf¨ uhrung ” von Personen- und Sachkonten [in der doppelten Buchf¨ uhrung] u ¨ bersteigt bei weitem jeden andern Aspekt der Entwicklung der Buchf¨ uhrung.“ F¨ ur den Zusammenhang zwischen wirtschaftlicher und mathematischer Entwicklung siehe auch Frank Swetz, Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century (Open Court: La Salle, IL 1987). Cardano: See Girolamo Cardano, Ars magna, or the Rules of Algebra, ins Englische u ¨ bersetzt von T. Richard Witmer (Dover: New York 1993), worin ungl¨ ucklicherweise Cardanos eigentliche mathematische Ausdrucksweise in moderne algebraische Schreibweisen u ¨ bersetzt ist, anstatt seine eigene sprachliche Ausdrucksweise beizubehalten, die nicht auf solchen Symbolen beruht. Seine farbenfrohe Autobiografie: Girolamo Cardano, The Book of My Life (Dover: New York 1962), eine ¨ deutsche Ubertragung von Hermann Hefele, Des Girolamo Cardano von Mailand (B¨ urgers von Bologna) eigene Lebensbeschreibung (Diederichs: Jena 1914). Siehe auch Øystein Ore, Cardano, the Gambling Scholar (Princeton: Princeton University Press, 1953), worin kubische und viertgradige Gleichungen auf den Seiten 59–107 behandelt (das zitierte kaufm¨ annische Problem ist auf S. 69–70), sehr hilfreiche Ausz¨ uge aus den Schm¨ ahschriften der Streitenden und der vollst¨ andige Text von Cardanos Book on Games of Chance (erste Ausgabe posthum 1663) gegeben sind. Siehe auch Anthony Grafton, Cardano’s Cosmos: The Worlds and Works of a Renaissance Astrologer (Harvard University Press: Cambridge, MA 2000). Tartaglias Gedicht: Fauvel und Gray, History of Mathematics, S. 255– 256, worin sich auf den Seiten 253–263 auch andere Dokumente u ¨ ber den Streit finden. L¨ osungen der Gleichungen dritten und vierten Grades: Eine vollst¨ andige und durchsichtige Darstellung in der klassischen Version bietet J. V. Uspensky, Theory of Equations (McGraw-Hill, New York 1948), S. 82–98. William Dunham gibt eine einnehmende Darstellung in Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics (John Wiley: New York 1990), S. 133–154. Siehe auch HM S. 282–288 und MT anzung machte GeS. 263–272. Meine Darstellung der kubischen Erg¨ brauch von Parshall, The Art of Algebra“, S. 144–147. Eine saube” re Ausarbeitung der Faktorisierung dieser Gleichungen findet sich in

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Anmerkungen

Morton J. Hellman, A Unifying Technique for the Solution of the ” Quadratic, Cubic, and Quartic“, American Mathematical Monthly 65 (1958), S. 274–276; Hellman zeigt, wie diese Techniken bei der Gleichung f¨ unften Grades schiefgehen in The Insolvability of the Quintic ” Re-Examined“, American Mathematical Monthly 66 (1959), S. 410. Die Natur erlaubt es nicht“: Cardano, Ars magna, S. 9. ” Vi`ete und die neue Algebra“: Die fruchtbarste Arbeit ist Klein, Greek ” Mathematical Thought, S. 161–185; ich zitiere Vi`etes Introduction to ” ¨ the Analytical Art“ aus der Ubersetzung diese Bandes durch J. Winfree Smith (S. 315–353), worin sich John Wallis’ juristische“ Darstel” lung der species“ auf Seiten 321–322, n. 10, findet. Siehe auch Hele” na M. Pycior, Symbols, Impossible Numbers, and Geometric Entanglements (Cambridge University Press: Cambridge 1997), S. 27–39. Ich habe die Zusammenh¨ ange zwischen Vi`etes Arbeit als Dechiffrierer und in der Algebra in meinem Labyrinth, S. 73–83, er¨ ortert und ausf¨ uhrlicher in Secrets, Symbols, and Systems: Parallels between ” Cryptanalysis and Algebra, 1580–1700“, Isis 88 (1997), S. 674–692. ¨ F¨ ur Ubersetzungen von Originaldokumenten zu Vi`ete siehe meinen Artikel Fran¸cois Vi`ete, Father of Modern Cryptanalysis – Two New ” ¨ Manuscripts“, Cryptologia 21: 1 (1997), S. 1–29. Die Ubersetzung Ge” bilde“ f¨ ur species bzw. Buchstabenrechnung nach Stuloff, Geschichte der Mathematik, Teil II (Mainz 1988). Geschichte der Symbolschreibweise: Siehe Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (Dover: Mineola, NY 1993), S. 117–123 (Cardano), S. 181–187 (Vi`ete). Van Roomens Problem: Siehe Vi`etes Antwort Ad Problema, qvod ” omnibvs mathematicis totivs orbis contruendum proposuit Adrianus Romanus“ (1595) in seinen Opera Mathematica (Georg Olms: Hildesortert in HM S. 309–311 und durch Guiheim 2001), S. 305–324, er¨ do Vetter, Sur l’´equation du quarante-cinqui`eme degr´e d’Adriaan ” van Roomen“, Bulletin des sciences math´ematiques (2) 54 (1954), S. 277–283. Siehe auch die n¨ utzliche Geschichte von I. G. Bashmakova und G. S. Smirnova, The Beginnings and Evolution of Algebra, ins Englische u ¨ bersetzt von Abe Shenitzer, herausgegeben von David Cox (Mathematics Association of America: Washington, DC: 2000), S. 75–90. Vi`ete hatte Ausdr¨ ucke f¨ ur den Sinus und Cosinus von Vielfachen von Winkeln hergeleitet, wie etwa sin nθ = n cosn−1 θ sin θ − n(n−1)(n−2) cosn−3 θ sin3 θ + · · · , wobei die Vorzeichen abwechseln, 3·2·1

Anmerkungen

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und die Koeffizienten jede zweite Zahl aus dem Pascalschen Dreieck sind. Vi`ete setzte nun A = sin 45θ, was er dank seiner Formel durch x = 2 sin θ ausdr¨ ucken konnte, und was ihm van Roomens Gleichung (Kasten 2.7) lieferte. Als L¨ osung fand er θ = (arcsin A)/45, was x = 2 sin θ ergibt. Drei der in Kasten 2.7 angegebenen Koeffizienten (−34 512 075 x11 , +46 955 700 x29 , −740 259 x35 ) sind dank Arnold Sch¨ onhage korrigiert worden, der bemerkt hat, daß die entsprechenden Koeffizienten, wie sie bei van Roomen stehen (−34 512 074 x11 , 469 557 800 x29 , −740 459 x35 ), Tippfehler zu sein scheinen, da sie mit der von Vi`ete gefundenen und mit den anderen Koeffizienten stimmigen L¨ osung nicht zusammenpassen.

Kapitel 3: Unm¨ ogliches und Imagin¨ ares Kepler: Siehe meinen Artikel Kepler’s Critique of Algebra“, Mathematical Intelligencer ” 22: 4 (2000), S. 54–59, worin die vollst¨ andigen Zitate und Quellen angegeben sind, und auch mein Labyrinth, S. 91–94. F¨ ur Keplers Behandlung des Siebenecks, siehe Johannes Kepler, The Harmony of the World, ins Englische u ¨ bersetzt von E. J. Aiton, A. M. Duncan und J. V. Field (American Philosophical Society, Philadelphia 1997), S. 60–79, und D. P. Walker Kepler’s Celestial Music“, in seinen Stu” dies in Musical Science in the Late Renaissance (E. J. Brill, Leiden 1978), S. 34–62; J. V. Field, Kepler’s Geometrical Cosmology (University of Chicago Press, Chicago 1988), S. 99–105; J. V. Field, The ” Relation between Geometry and Algebra: Cardano and Kepler on the Regular Heptagon“ in Girolamo Cardano: Philosoph, Naturforscher, Arzt, herausgegeben von E. Kessler (Harrassowitz Verlag, Wiesbaden 1994), S. 219–242. F¨ ur eine weitere Er¨ orterung des Siebenecks und seiner Bedeutung f¨ ur die Winkeldreiteilung siehe Andrew Gleason, Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon“, American ” Mathematical Monthly, 95 (1988), S. 185–194. Galileo u ¨ ber das Buch der Natur: Siehe The Assayer“ in Discoveries ” and Opinions of Galileo, ins Englische u ¨ bersetzt von Stillman Drake (Doubleday, New York 1957), S. 237–238. F¨ ur Galileos Haltung der Mathematik gegen¨ uber siehe Carl B. Boyer, Galileo’s Place in the ” History of Mathematics“, in Galileo, Man of Science, herausgegeben von Ernan McMullin (Basic Books, New York 1967), S. 232–255. Negative und imagin¨ are Gr¨ oßen: HM S. 219–220 (negative Zahlen in der indischen Mathematik), S. 276–278 (Chuquet), S. 287–289 (Bombelli), S. 305–306 (Girard). Siehe auch Pycior Symbols, Impossible

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Anmerkungen

Numbers, and Geometric Entanglements. F¨ ur Gauß’ Darstellung der negativen und imagin¨ aren Zahlen siehe die ausgezeichnete Anthologie From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, (herausgegeben von William B. Ewald, Clarendon Press, Oxford 1996), 1: 310–313, 307 (Leibniz u ¨ ber das Amphibium, deutsch zitiert nach Felix Klein, Elementarmathematik vom h¨ oheren Standpunkt ” aus“ (Teubner, Leipzig 1908) Band 1, Kapitel IV). Eine einnehmende Darstellung der sich entwickelnden Vorstellung imagin¨ arer Zahlen ist Barry Mazurs Imagining Numbers (particularly the square root of minus fifteen) (Farrar Straus Giroux, New York √ 2002). Siehe auch Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of −1 (Princeton University Press, Princeton 1998). Girard: Siehe seine Abhandlung von 1629, Invention nouvelle en l’alg`ebre, in The Early Theory of Equations (Golden Hind Press, Annapolis, MD 1986). Bombelli: Eine gedankenreiche Einf¨ uhrung, welche auch u ¨ bersetzte Passagen enth¨ alt, ist Federica La Nave und Barry Mazur, Reading ” Bombelli“, Mathematical Intelligencer 24: 1 (2002), S. 12–21. Descartes: La G´eom´etrie in Band VI der Œuvres compl`etes, (Vrin, Paris 1996). S. 453–454 (Einf¨ uhrung der imagin¨ aren“ L¨ osungen), S. 446 ” (Descartes Zeichenregel), S. 447–453 (Methoden, die Werte der L¨ osungen zu vergr¨ oßern oder zu skalieren, Descartes’ Relativit¨ at“), S. 380– ” 387 (das Problem des Ortes zu drei oder mehr Geraden), S. 463ff (Methoden zur L¨ osung h¨ ohergradiger Gleichungen), S. 477–484 (Aufl¨ osung einer speziellen Gleichung sechsten Grades mit Hilfe von Kegelschnitten), S. 485 ( die allgemeine Methode, alle Probleme zu kon” ¨ struieren“, das Vergn¨ ugen des Entdeckens). Ubersetzungen der Zitate aus dem Franz¨ osischen. Eine Besprechung von Descartes’ Begriff der Zahl findet sich in Klein, Greek Mathematical Thought, S. 197–211.

Kapitel 4: Kreise und K¨ usten Newton: Seine Lectures on Algebra, 1673–1683 in The Mathematical Papers of Isaac Newton, herausgegeben von D. T. Whiteside (Cambridge University Press: Cambridge 1972), Band 5 S. 130–135 und 565 (zwei beispielhafte Passagen, welche seinen Umgang mit Gleichungen zeigen). Die Zitate im Text sind von Isaac Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, ins Englische u ¨ bersetzt von I. Bernard Cohen und Anne Whitman (University of California Press: Berkeley 1999), S. 485 (geometrische Synthese), S. 483–485 (Newtons L¨ osung des Problems

Anmerkungen

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des Ortes), S. 511–513 (Lemma 28). Eine weitere Er¨ orterung der Bedeutung und G¨ ultigkeit von Lemma 28 in meinem Artikel The Vali” dity of Newton’s Lemma 28“, Historia Mathematica 28 (2001), S. 215– 219, und auch Bruce Pourciau, The Integrability of Ovals: Newton’s ” Lemma 28 and Its Counterexamples“, Archive for the History of Exact Sciences, 55 (2001), S. 479–499. F¨ ur den Zusammenhang zwischen Newtons mathematischen Vorlieben und seinen anderen Projekten siehe mein Labyrinth, S. 113–133. Tschirnhaus, Bring und Jerrard: HM S. 432–434; siehe unten die Anmerkungen zu Kapitel 9 f¨ ur Jerrards fehlerhafte Aufl¨ osung. Leibniz u unften Grades: Siehe den hilfreichen hi¨ber die Gleichung f¨ ¨ storischen Uberblick in Nicolas Bourbaki (Pseudonym einer Gruppe ´ ements d’histoire des math´ematiques franz¨ osischer Mathematiker), El´ (zweite Auflage; Hermann: Paris 1969), S. 98 im Abschnitt Po” lynˆ omes . . .“ S. 92–109, ins Deutsche u ¨bersetzt als Elemente der Mathematikgeschichte (Vandenhoeck & Ruprecht, G¨ ottingen 1971). Fundamentalsatz der Algebra: Eine vollst¨ andige Behandlung aller Beweise von Gauß in Benjamin Fine und Gerhard Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra (Springer-Verlag: New York 1997), insbesondere S. 182–186 u unglichen Beweis, was wie¨ber Gauß’ urspr¨ derum beruht auf Uspensky, Theory of Equations, S. 293–297, dem ich in meiner Darstellung folge. Siehe auch Heinrich D¨ orrie, Triumph der Mathematik: 100 ber¨ uhmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur (Physica-Verlag: W¨ urzburg 1958), Nr. 23 S. 111ff; ins Englische u ¨ bersetzt von David Antin als 100 Great Problems of Elementary Mathematics (Dover: New York 1965). Ein h¨ ubscher Beweis auf einer Seite findet man bei Uwe F. Mayer, A Proof That ” Polynomials Have Roots“, College Mathematics Journal 28: 1 (1999), S. 58.

Kapitel 5: Vertauschungen und Entt¨ auschungen Lagrange und Vandermonde: Siehe die klassische Studie von Hans Wussing Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes (Deutscher Verlag der Wissenschaften: Berlin 1969), zweites Kapitel §1, van der Waerden, History of Algebra, S. 76–83, und MT S. 600–606, worin auf Seite 605 vorgeschlagen ist, daß Lagrange zu dem Schluß kam, daß die Aufl¨ osung ” der allgemeinen Gleichung h¨ oheren Grades (n > 4) durch algebraische Methoden wahrscheinlich unm¨ oglich war“, auch wenn Lagrange diese Meinung niemals explizit ausdr¨ uckte. Sein Artikel R´eflexions sur la ”

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Anmerkungen

r´esolution alg´ebrique des ´equations“ (1770–1771) findet sich in den Œuvres de Lagrange (Gauthier-Villars: Paris 1869), 3: 205–422. Die Zitate im Text stammen aus van der Waerden, History of Algebra, S. 81. G. E. Montucla (1725–1799): zitiert aus dem hervorragenden Artikel von Raymond G. Ayoub, Paolo Ruffini’s Contributions to the Quin” tic“, Archive for History of Exact Sciences 23 (1980), S. 253–277, auf Seite 257. Gauß: W. K. B¨ uhler, Gauss: A Bibliographical Study (Springer: New York 1981); ins Deutsche u ¨ bersetzt als Gauß: eine biographische Studie (Springer: Heidelberg 1987). Gauß’ mangelndes Interesse an Kombinatorik findet sich zu Beginn des dritten Zwischenkapitels erw¨ ahnt. Gauß u unften Grades: Carl Friedrich Gauss, Dis¨ber die Gleichung f¨ quisitiones Arithmeticae, ins Englische u ¨ bersetzt von Arthur A. Clarke (Yale University Press: New Haven 1965), S. 445 (gem¨ aß B¨ uhler, Gauss, S. 77, eine bei der Fahnenkorrektur hinzugef¨ ugte Passage), S. 407–460 (allgemeine Er¨ orterung des Problem der gleichm¨ aßigen Unterteilung eines Kreises, auch als zyklotomische Gleichung bekannt). ¨ Deutsch zitiert nach der Ubersetzung von H. Maser: Untersuchungen uber h¨ ohere Arithmetik (Reprint der Ausgabe von 1889; Chelsea: New ¨ York 1981), 7. Abschnitt, Artikel 359. F¨ ur eine hilfreiche, vereinfachte Besprechung des 17-Ecks und der zyklotomischen Gleichung siehe D¨ orrie, Triumph der Mathematik, Nr. 37 S. 181ff. Eine ausgezeichnete Darstellung dessen findet sich auch in Felix Klein, Famous Problems of Elementary Geometry, ins Englische u ¨ bersetzt von W. W. Beman und David Eugene Smith (Chelsea, New York 1962), S. 24–41, Original Vortr¨ age ¨ uber ausgew¨ ahlte Fragen der Elementargeometrie (Teubner, Leibzig 1895). Ruffini: Siehe Wussing, Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes, zweites Kapitel §1.4, van der Waerden, History of Algebra, S. 83–85, und besonders Ayoub, Paolo Ruffini’s Contributions to the Quin” tic“, worin sich auf Seite 263 auch das Zitat von Ruffini ( behold ” a very important theorem“ – Dies ist ein sehr bedeutender Satz“) ” findet. Ein weiterer n¨ utzlicher Artikel ist R. A. Bryce, Ruffini and ” the Quintic Equation“, in First Australian Conference on the History of Mathematics, herausgegeben von John N. Crossley (Department of Mathematics, Monash University: Clayton, Victoria 1981), S. 5–31, worin auf eine Reihe von Fehlern in Ruffinis Arbeiten hingewiesen

Anmerkungen

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wird, die es begr¨ unden, den Satz alleine Abel zuzuschreiben. Soweit ich weiß, ist kein Artikel von Ruffini ins Englische u ¨ bersetzt worden; die originale italienische Version steht in den zwei B¨ andern der Opere Matematiche di Paolo Ruffini (Tipografia Matematica di Palermo: Palermo 1915–1953) zur Verf¨ ugung.

Kapitel 6: Abels Beweis Eine umfassende Darstellung von Abels Leben und dem norwegischen Umfeld bietet Arild Stubhaug, Niels Henrik Abel and His Times (Springer: Berlin 2000), deutsch von Lothar Schneider, Ein aufleuchtender Blitz: Niels Henrik Abel und seine Zeit (Springer: Berlin 2003), woraus die Zitate u ¨ bernommen sind, die nicht aus Abels Arbeiten stammen und direkt aus dem Franz¨ osischen u ¨ bersetzt wurden. S. 179–183 (die Bekanntschaft mit Holmboe), S. 239–240 (Abels falsche Aufl¨ osung der Gleichung f¨ unften Grades), S. 297 (Abel und der große Satz von Fermat“). Immer noch n¨ utz” lich ist das k¨ urzere, ¨ altere Buch von Øystein Ore, Niels Henrik Abel (Birkh¨ auser: Basel 1950). Interessante Essais finden sich auch in dem Band zu Abels hunderstem Geburtstag, Niels Henrik Abel: M´emorial publi´e ` a l’occasion du cent´enaire de sa naissance (Jacob Dybwad: Kristiania 1902). Der große Satz von Fermat“: F¨ ur Gauß’ Beweis f¨ ur den Fall n = ” 3 siehe D¨ orrie, Triumph der Mathematik, Nr. 21 S. 98ff. F¨ ur einen allgemeinverst¨ andlichen Streifzug durch Andrew Wiles’ Beweis von 1993 siehe Simon Singh, Fermat’s Enigma (Walker: New York 1997), deutsch Fermats letzter Satz (Hanser, M¨ unchen 1998). F¨ ur Abels Arbeit u ¨ber diese Problem siehe seinen Brief von 1826 an Holmboe, zitiert in Œuvres Compl`etes de Niels Henrik Abel, 2: 254–255. Abels Satz: Moderne Abhandlungen neigen dazu, Abels eigene Arbeit in die Galois-Theorie einzuordnen. Einige ¨ altere Lehrb¨ ucher geben Darstellungen von Abels Arbeit, allerdings mitunter in ungewohnter Schreibweise; siehe die Anmerkungen weiter unten zur GaloisTheorie und J. Pierpont, On the Ruffini-Abelian Theorem“, Bulletin ” of the American Mathematical Society 2 (1896), S. 200–221. F¨ ur hilfreiche Darstellungen in der modernen Sprache der Algebra siehe Lars G˚ arding und Christian Skau, Niels Henrik Abel and Solvable Equa” tions“, Archive for the History of Exact Sciences 48 (1994), S. 81– 103, und Michael I. Rosen, Niels Hendrik Abel and Equations of the ” Fifth Degree“, American Mathematical Monthly 102 (1995), S. 495–

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Anmerkungen

505. D¨ orrie, Triumph der Mathematik, Nr. 25 S. 121ff., gibt eine Darstellung von Leopold Kroneckers u ¨ berarbeiteter Version des Satzes. ¨ Abel und Ruffini: Das Zitat ist eine Ubersetzung aus dem Franz¨ osischen aus Abels Artikel von 1828 Sur la r´esolution alg´ebrique des ” ´equations“, Œuvres Compl`etes de Niels Henrik Abel, herausgegeben von L. Sylow and S. Lie (Johnson Reprint, New York 1965), 2: 217–243 auf Seite 218. Sylow bemerkt (1: 293), daß sich Abels erster Kommentar u ¨ber Ruffini in einer unsignierten Mitteilung in F´erussacs Bulletin befindet.

Kapitel 7: Abel und Galois Abels letzten Jahre: Stubhaug, Abel, S. 329–331 (Crelle), S. 395–421 (Abel in Paris), S. 472 (Appell der vier franz¨ osischen Mathematiker an den schwedischen K¨ onig). Zitate von Abel: S. 414 (krassester Egoismus), S. 399–403 (Billard und Theater), S. 468 (arm wie eine Kirchenmaus), S. 473–474 und 478 (Korrespondenz mit Legendre), S. 469 (ziemlich einsam), S. 485–497 (Abels Tod und seine Verzweiflung), S. 409 (¨ uber Cauchy). ¨ Abel u at: Ubersetzung aus dem Franz¨ osischen sei¨ ber Kommutativit¨ nes Artikels von 1828 M´emoire sur une classe particuli`ere d’´equations ” r´esolubles alg´ebriquement“, in Œuvres Compl`etes, 2: 478–507 auf Seite 478. Siehe auch William Snow Burnside und Arthur William Panton, The Theory of Equations (Longmans, Green: London 1928), S. 282–305. Franz¨ osische Geschichte w¨ ahrend der Zeit von Abel und Galois: ¨ Einen hervorragenden Uberblick bildet das klassische Werk von Albert Gu´erard, France: A Modern History (University of Michigan Press: Ann Arbor 1959), S. 3 (Kapetinger Dynastie), S. 278–296 (die Periode 1814–1848), S. 288 (Lafayette). Galois’ Leben: Die zuverl¨ assigste neuere Studie bietet Laura Toti Ri´ gatelli, Evariste Galois 1811–1832 (Birkh¨ auser: Boston 1996), die eine hilfreiche Bibliographie beinhaltet. Unter den fr¨ uheren kurzen biografischen Werken weit bekannt ist Eric Temple Bell, Men of Mathematics (Simon & Schuster: New York 1986), S. 362–377, deutsch Die großen Mathematiker (Econ: D¨ usseldorf 1967), allerdings schreibt es viele der Legenden fort. F¨ ur poetische Aspekte bei Abel und Galois siehe George Steiner, Grammars of Creation (Yale University Press: New York 2001), S. 207–212. Hilfreiche Korrekturen gibt es in Tony ´ Rothman, Genius and Biographers: The Fictionalization of Evariste ”

Anmerkungen

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Galois“, American Mathematical Monthly 89: 2 (1982), S. 84–102, und ´ The Short Life of Evariste Galois“, Scientific American 246: 4 (1982), ” S. 136–149, das sich auch in seinem Science ` a la Mode: Physical Fashions and Fictions (Princeton University Press: Princeton 1989) be´ findet. Siehe auch die hilfreichen Artikel von Ren´e Taton, Evariste ” Galois and His Contemporaries“, Bulletin of the London Mathematical Society 15 (1983), S. 107–118, und Harold M. Edwards, A Note on ” Galois Theory“, Archive for the History of Exact Science 41 (1990), S. 163–169. F¨ ur Galois’ letzten Brief siehe David Eugene Smith, A Source Book in Mathematics (Dover: New York 1959), S. 278–285. Raspail: Sein Bericht u ¨ber Galois in Toti Rigatelli, Galois, S. 98–100; seine Bekanntschaft mit Abel in Stubhaug, Abel, S. 410–411, 417–418 (Galois’ Kommentar u ¨ ber Abels Tod).

Kapitel 8: Symmetrien sehen Meine Abhandlung des Zusammenhangs zwischen Symmetrien und geometrischen Figuren ist inspiriert von Felix Kleins Behandlung der Symmetrien eines regelm¨ aßigen K¨ orpers als Paradigma f¨ ur die Symmetrien von Gleichungen, die sich in kurzer Form in seinen klassischen Vorlesungen Elementarmathematik vom h¨ oheren Standpunkt aus (Springer, Berlin 1933), Band 1, S.109–154, findet und ausf¨ uhrlich (wenn auch mit schwierig nachvollziehbarer Schreibweise) in seinen Vorlesungen ¨ uber das Ikosaeder (Birkh¨ auser, Basel & Teubner, Stuttgart 1993), S. 3ff. Ich kenne keine anderen Abhandlungen, in denen die Analogie mit einem Tanz oder die in diesem Text und in Kasten 8.3 benutzte Illustration benutzt wird. Mir hat Hartshornes Behandlung der Symmetriegruppen von Polyedern in seinem Geometry: Euclid and Beyond, S. 469–480, sehr geholfen. Grundlegende Abhandlungen u ¨ ber Galois-Theorie: Meine Darstellung versucht lediglich, ein intuitives Verst¨ andnis zu vermitteln (siehe aber Anhang C und weiter unten f¨ ur ein paar mehr Details). Es gibt viele Abhandlungen, davon sind einige besonders zug¨ anglich. John E. Maxfield und Margaret W. Maxfield, Abstract Algebra and Solution by Radicals (Dover: New York 1992) ist besonders f¨ ur das Selbststudium geeignet. Saul Stahl, Introductory Modern Algebra: A Historical Approach (John Wiley: New York 1997) ist ein bewundernswert geschriebenes Lehrbuch, welches wertvolle Ausz¨ uge aus den Schriften von al-Khw¯ arizm¯ı, Cardano, Abel, Galois und Cayley (S. 261–287) enth¨ alt. Ich m¨ ochte auch Jean-Pierre Tignol, Galois’ Theory of Alge-

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Anmerkungen

braic Equations (Longman Scientific Technical: London 1980) empfehlen. Charles Robert Hadlocks Field Theory and Its Classical Problems (Mathematical Association of America, 1978) ist trotz seines n¨ uchternen Titels recht zug¨ anglich, aber etwas abstrakter im Zugang als das ¨ Buch der Maxfields. Es gibt auch einen netten Uberblick in I. M. Yaglom, Felix Klein and Sophus Lie: Evolution of the Idea of Symmetry in the Nineteenth Century, aus dem Russischen u ¨ bersetzt von Sergei Sossinsky (Birkh¨ auser: Boston 1988), S. 1–21. Lillian R. Lieber, Galois and the Theory of Groups: A Bright Star in Mathesis (Science Press: Lancaster, PA 1932), lange vergriffen, gibt auf sechzig Seiten einen klaren Abriß, gewissermaßen in Versen mit Zeichnungen ausgedr¨ uckt. Daneben hat sie ein ebenso entz¨ uckendes Buch u ¨ ber nicht-euklidische Geometrie und allgemeine Relativit¨ atstheorie geschrieben. Andere Darstellungen der Galois-Theorie: Eine vollst¨ andige Liste anzugeben ist wegen der Vielzahl kaum m¨ oglich, aber ich m¨ ochte einige erw¨ ahnen, die ich besonders hilfreich fand. D. E. Littlewood gibt einen ¨ interessanten Uberblick in The Skeleton Key of Mathematics: A Simple Account of Complex Algebraic Theories (Harper: New York 1960), ¨ S. 65–76, und ebenso Kline, Mathematical Thought, S. 752–771. Altere Lehrb¨ ucher stellen die Theorie manchmal weniger abstrakt vor: Siehe Leonard E. Dickson, Modern Algebraic Theories (Sanborn: Chicago 1926), S. 135–250, Burnside und Panton, The Theory of Equations, S. 244–305, und Edgar Dehn, Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois (Dover: New York 1960). Eine h¨ ubsche Darstellung der Theorie findet sich in einer alten franz¨ osi´ schen Ausgabe der Werke Galois’ von G. Verriest, Evariste Galois et la ´ Th´eorie des Equations Alg´ebriques (Gauthier-Villars: Paris 1934), die ´ auch in den Œuvres Math´ematiques d’Evariste Galois, herausgegeben ´ von Emile Picard (Gauthier-Villars: Paris 1897), aufgenommen ist. ´ Eine neuere franz¨ osische Darstellung ist Claude Mutafian, Equations Alg´ebriques et Th´eorie de Galois (Vuibert: Saint-Amand-Montrond 1980). F¨ ur Deutschsprachige mag N. Tschebotarew, Grundz¨ uge der Galois’schen Theorie, aus dem Russischen u ¨ bersetzt von H. Schwerdtfeger (P. Noordhoff: Groningen 1950), n¨ utzlich sein, ein sehr sorgf¨ altiges Buch mit vielen Beispielen. Toti Rigatelli, Galois, S. 115–138, gibt einen wertvollen Abriß seines Werks. Modernere Darstellungen, die freundlich, aber immer noch genau sind: Siehe M. M. Postnikov, Fundamentals of Galois Theory, ins Englische u ¨ bersetzt von Leo F. Boron (P. Noordhoff: Groningen 1962), Ian Stewart, Galois Theory (Chap-

Anmerkungen

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man and Hall: London 1973) und R. Bruce King, Beyond the Quartic Equation (Birkh¨ auser: Boston 1996), was auf Fragen der Symmetrie in der Chemie ausgerichtet ist. Viele Lehrb¨ ucher f¨ ur Anf¨ anger oder Fortgeschrittene enthalten Galois-Theorie: Siehe vor allem Nathan Jacobson, Basic Algebra I (zweite Auflage; W. H. Freeman: New York 1985), S. 210–270, I. N. Herstein, Topics in Algebra (zweite Auflage; Wiley: New York 1975), S. 237–259, und Jerry Shurman, Geometry of the Quintic (Wiley: New York 1997), das sich auf geometrische Aspekte konzentriert. Einige hilfreiche Artikel: Siehe Raymond G. Ayoub, On the Nonsolvability of the General Polynomial“, American Ma” thematical Monthly 89 (1982), S. 397–401, und John Stillwell, Galois ” Theory for Beginners“, American Mathematical Monthly 101 (1994), S. 22–27, die beide eine große Vertrautheit mit der modernen Algebra voraussetzen. F¨ ur die allm¨ ahliche Interpretation von Galois’ Ideen, siehe Wussing, Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes, zweites Kapitel §4, van der Waerden, History of Algebra, S. 103–116, B. Melvin Kiernan, The Development of Galois Theory from Lagrange ” to Artin“, Archive for the History of Exact Sciences 8 (1971–1972), S. 40–154, MT 752–771 und Yo¨ıchi Hirano, Note sur les diffusions ” de la th´eorie de Galois: Premi`ere clarification des id´ees de Galois par Liouville“, Historia Scientiarum 27 (1984), S. 27–41. Modelle der platonischen K¨ orper basteln: Siehe David Mitchell, Mathematical Origami: Geometrical Shapes by Paper Folding (Tarquin Publications: Norfolk 1999). Gruppen: Eine hilfreiche Einf¨ uhrung, welche die gr¨ oßere philosophische Bedeutung der Gruppentheorie betont, ist Curtis Wilson, Groups, Rings and Lattices“, St. John’s Review 35 (1985), S. 3– ” 11. Insbesondere bemerkt Wilson, das allgemeinste oder universellste ” Ziel intellektueller Anstrengung ist die Entdeckung von Invarianten“ (S. 6). Regelm¨ aßige K¨ orper und ihre Gruppen: Ein klassisches Werk, worin Symmetrieargumenten skizziert sind, aus denen die Existenz der nur f¨ unf platonischen K¨ orper folgen, ist Hermann Weyl, Symmetry (Prin¨ ceton University Press: Princeton 1980), S. 149–156; deutsche Ubersetzung: Symmetrie (Birkh¨ auser: Basel 1955). Veranschaulichung von Gruppen: In folgenden zwei B¨ ucher findet man viele M¨ oglichkeiten, Gruppensymmetrien zu veranschaulichen: Israel

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Anmerkungen

Grossman und Wilhelm Magnus, Groups and their Graphs (Mathematical Association of America: Washington, DC 1964) und R. P. Burn, Groups: A Path to Geometry (Cambridge University Press: Cambridge 1985). Diese Veranschaulichungen gehen auf Felix Klein zur¨ uck, Vorlesungen ¨ uber das Ikosaeder, auch abgehandelt in W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order (zweite Auflage; Cambridge University Press: Cambridge 1911), S. 402–408. Normale Untergruppen: Eine Untergruppe H einer Gruppe G heißt normale oder invariante Untergruppe von G, falls es f¨ ur alle Elemente g in G und h in H ein h
in H gibt, so daß h
∗ g = g ∗ h. Dabei muß h
nicht unbedingt mit h u ¨ bereinstimmen. Falls wir beide Seiten der Gleichung von rechts mit g −1 multiplizieren, dem Inversen des Elementes g, so erhalten wir h
∗ g ∗ g −1 = h
= g ∗ h ∗ g −1 (denn oglichen Ausdr¨ ucke g ∗ h ∗ per Definition gilt g ∗ g −1 = I). Alle m¨ ¨ von h g −1 werden die Konjugierten“ oder die Aquivalenzklasse“ ” ” genannt. Eine normale Untergruppe muß nicht abelsch sein, aber sie ist stets selbstkonjugiert“: Falls sie ein Element h enth¨ alt, so enth¨ alt ” sie auch alle Konjugierten von h. Dies ist die pr¨ azise Bedeutung von Elemente desselben Typs“ auf den Seiten 119–125. ” Eine intuitivere Art, sich normale Untergruppen vorzustellen, ist folgende: Man stelle sich vor, die Elemente h einer Untergruppe H bilden eine Bahn“, die aus den m¨ oglichen Werten von h gebildet wird. Die ” zusammengesetzte Operation g ∗ h ∗ g −1 versucht, H aus der Bahn zu schubsen“, indem zun¨ achst eine ¨ außere“ Kraft g einwirkt, die dann ” ” durch eine umgekehrt wirkende Gegenkraft“ g −1 ausgeglichen wird. ” ur jede m¨ ogliche Kraft g stets in der urspr¨ ungliFalls nun g ∗ h ∗ g −1 f¨ chen Bahn bleibt, dann ist die Bahn ungest¨ ort und die Untergruppe H normal“. Falls etwa a eine Drehung um einen Punkt A ist, dann ist ” b = g ∗a∗g −1 die gleiche Art von Drehung um den Punkt B = g −1 (A). (Siehe Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, S. 474.) Denn g bewegt den Punkt B auf A, dann f¨ uhrt a die Drehung aus, und g −1 bewegt A zur¨ uck auf B. Normale Untergruppe zu sein bedeutet in diesem Fall, daß mit einer Drehung auch alle anderen Drehungen derselben Art um alle anderen Punkte in der Untergruppe sein m¨ ussen. Kompositionsreihen und Aufl¨ osbarkeit: Galois-Theorie f¨ angt damit an, die Permutationsgruppe einer gegebenen Gleichung zu bestimmen. In der Praxis kann dies zu komplizierten Berechnungen f¨ uhren. Hat man solch eine Galois-Gruppe“, kann man nach und nach eine maxi” male normale Untergruppe suchen (das ist eine gr¨ oßtm¨ ogliche normale

Anmerkungen

199

Untergruppe kleiner als die ganze Gruppe), dann eine maximale normale Unter-Untergruppe, und so weiter bis man eine Unter-...-UnterUntergruppe erreicht, die nur noch die Identit¨ at enth¨ alt (die immer eine normale Untergruppe jeder Gruppe bildet, per Definition). Diese Reihe schreibt man in Zeichen: G  G1  G2  · · ·  Gn−1  Gn  I, woalt die normale Untergruppe Gi+1“ bei Gi  Gi+1 bedeutet: Gi enth¨ ” (wobei Gi+1 nicht unbedingt normal in der ganzen Gruppe G sein muß). Die Gruppe G heißt dann aufl¨ osbar , und nur dann, wenn die Faktorgruppen Gi /Gi+1 von je zwei aufeinanderfolgenden Gruppen der Reihe abelsch sind. Falls H eine normale Untergruppe von G ist, dann ist die Faktorgruppe G/H definiert als die Menge aller Nebenklassen ” von H in G“, d. h. aller Mengen der Form {g1 ∗ h1 , g1 ∗ h2 , . . . }, {g2 ∗ h1 , g2 ∗ h2 , . . . }, . . . , die aus allen Elementen g1 , g2 , g3 , . . . von G und ur das Beispiel h1 , h2 , . . . von H entstehen. Siehe Anhang C, Seite 10 f¨ der Uhrenarithmetik“, das Nebenklassen und Faktorgruppen veran” schaulicht. Ist die Faktorgruppe Gi /Gi+1 nicht-abelsch, so zerbricht“ ” die Reihe und die Gleichung ist nicht durch Wurzeln aufl¨ osbar. Falls eine endliche Gruppe G aus p Elementen besteht, wobei p eine Primzahl ist, dann ist G abelsch. Beweis: Sei g ein Element der Gruppe G, das nicht die Identit¨ at ist (solch ein Element existiert, da p > 1). Dann betrachte man H = {I, g, g 2 , g 3 , . . . }, wobei g 2 = g ∗ g, g 3 = g ∗ g ∗ g usw. Man kann zeigen, daß H eine Untergruppe ist; dabei hat H eine gewisse Anzahl n von Elementen mit n > 1. Wegen dem Satz von Lagrange (siehe Anhang C) ist n ein Teiler von p. Aber p ist eine Primzahl und hat keine Teiler außer 1 und sich selbst. Da n = 1 muß n gleich p sein, und damit H = G. Die Gruppe G ist abelsch, da sie zyklisch ist: Dies bedeutet, daß sie aus den Potenzen“ eines Elementes ” g besteht, also {I, g, g 2 , g 3 , . . . }. Da g m ∗ g n = g m+n = g n ∗ g m ist jede zyklische Gruppe abelsch, also insbesondere unser G. Umgekehrt ist aber nicht jede abelsche Gruppe zyklisch: Zum Beispiel ist die vierelementige Gruppe V (Tafel 8.3) abelsch, aber nicht zyklisch. Monstergruppe: Siehe Stahl, Introductory Modern Algebra, S. 247–248. ¨ Einen technischen Uberblick u ¨ ber das moderne Studium einfacher Gruppen bietet Ron Solomon, On Finite Simple Groups and Their ” Classification“, Notices of the American Mathmatical Society, 42: 2, S. 231–239. F¨ ur eine allgemeinverst¨ andlichere Darstellung siehe W. Wayt Gibbs, Monstrous Moonshine is True“, Scientific American, ” 279: 5 (1998), S. 40–41.

200

Anmerkungen

Kapitel 9: Die Ordnung der Dinge Geschichte der NichtKommutativit¨ at: Eine ausgezeichnete Auswahl von Originalschriften mit Kommentar ist Ewald, From Kant to Hilbert, Band 1: S. 293– 296 (Gauß u atsgesetz), S. 314–321 (Peacock ¨ ber das Kommutativit¨ und Cauchy), S. 321–330 (Duncan Gregory), S. 331–361 (De Morgan), S. 362–441 (Hamilton), S. 442–509 (Boole), S. 510–522 (Sylvester), S. 542–573 (Cayley), S. 362 (B. Peirce und seine 162 Alge¨ bren), S. 574–648 (C. S. Peirce). Ein hilfreicher Uberblick u ¨ ber all ´ ements d’histoire diese Personen bietet HM S. 575–582, Bourbaki, El´ des math´ ematiques (zweite Auflage; Hermann: Paris 1969), Abschnitt Alg`ebre non-commutative“ S. 149–157, und Yaglom, Klein and Lie, ” S. 71–94. Grassmann: Die Ausdehnungslehre (Enslin, Berlin 1862), S.27. Vergleiche auch Desmond Fearnly-Sanders Artikel Hermann Grassmann ” and the Prehistory of Universal Algebra“ in First Australian Conference on the History of Mathematics, S.41–51, worin sich auch die hier nach dem Original zitierte Aussage von Grassmann u ¨ ber die beiden M¨ oglichkeiten f¨ ur Produkte zweier Faktoren, kommutieren oder antikommutieren, u ¨ bersetzt findet. Gibbs und Heaviside: Siehe Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis. The Evolution of the Idea of a Vectorial Symbol (University of Notre Dame Press, Notre Dame 1967), S. 63–96 (Grassmann), S. 150–181 (Gibbs und Heaviside). Hamilton und die Gleichung f¨ unften Grades: Thomas L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton (Johns Hopkins University Press, Baltimore 1980), S. 276–279, S. 248–252 (Hamilton und Peacock), S. 277–278 (Jerrards falsche Aufl¨ osung). Hamiltons ausf¨ uhrliche Darstellung von Abels Argumenten: On the Argument of Abel, Respecting the Im” possibility of Expressing a Root of Any General Equation above the Fourth Degree, by any Finite Combination of Radicals and Rational Functions“ (1839), siehe The Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton (Cambridge University Press, Cambridge 1967), 3: 517– 569. Hamiltons Inquiry into the Validity of a Method Recently Pro” posed by George B. Jerrard“ (1837) befindet sich im selben Band, S. 481–516. Jerrard: Siehe George B. Jerrard, Mathematical Researches (Longmans, London 1834). Bolyai u unften Grades: Siehe Yaglom, Klein and ¨ ber Gleichungen f¨ Lie, S. 59.

Anmerkungen

201

Hamilton u ¨ ber Quaternionen: HM 582–584 und Hankins, Hamilton, S. 283–325, 247 (Eltern-Quartett), der bemerkt, daß Hamilton m¨ ogli” cherweise durch Gespr¨ ache mit Eisenstein auf die Ablehnung des Kommutativgesetzes vorbereitet war, oder m¨ oglicherweise haben seine Versuche, eine geometrische Darstellung der Tripel zu finden, gezeigt, daß Drehungen des dreidimensionalen Raumes auch nicht kommutieren, oder, was am wahrscheinlichsten ist, die Kommutativit¨ at aufzugeben schien ihm der einzige Weg, u ¨ berhaupt irgendein Ergebnis zu erzielen“ (S. 300). ¨ Felix Klein: F¨ ur einen guten Uberblick u ¨ber sein Werk, vor allem das Erlanger Programm“, siehe Yaglom, Klein and Lie, S. 111–137. Sein ” ber¨ uhmter Erlanger Vortrag von 1872 Vergleichende Betrachtungen ” u ¨ ber neuere geometrische Forschungen“ findet sich in den Gesammelten Mathematischen Abhandlungen (Springer: Berlin 1921), 1. Band XXVII; ins Englische u ¨ bersetzt in A Comparative Review of Recent ” Researches in Geometry“, Bulletin of the American Mathematical Society, 2 [series 1] (1893), S. 215–249. Vergleiche auch seine G¨ ottinger Vorlesung von 1895 The Arithmetizing of Mathematics“, Bulletin of ” the American Mathematical Society, 2 [series 1] (1896), S. 241–249. W¨ urfelverdoppelung, Winkeldreiteilung, Quadratur des Kreises: Siehe Klein, Famous Problems of Elementary Geometry, S. 5–23. Galois-Theorie als Relativit¨ at“: siehe Hermann Weyl, Philosophie der ” Mathematik und Naturwissenschaften (Oldenbourg, M¨ unchen 1982), S.100 (Galois-Theorie und Relativit¨ at), und Symmetry, S.137 ¨ (Galois’ Brief); die Ubersetzung dieses Zitats ist Symmetrie, S.137, entnommen. Quantentheorie und Nicht-Kommutativit¨ at: Siehe Hermann Weyl, Symmetry, S. 133–135, und Gruppentheorie und Quantenmechanik ur Max Plancks Sicht (zweite Auflage; Hirzel: Leipzig 1931), II: §11. F¨ der Irreversibilit¨ at siehe seine Eight Lectures on Theoretical Physics, herausgegeben von Peter Pesic (Dover: Mineola, NY 1998), vii–xiii, S. 1–20. Ich habe diese Frage in meinem Buch Seeing Double: Shared Identities in Physics, Philosophy, and Literature (MIT Press: Cambridge, MA 2002), S. 101–120, weiter er¨ ortert. Kausalit¨ at und Nicht-Kommutativit¨ at: Damit dem Prinzip Gen¨ uge geleistet ist, daß sich kein kausaler Einfluß schneller als Lichtgeschwindigkeit fortbewegen kann, verlangt die Relativit¨ atstheorie das Kommutieren von Quantenfeldern, sofern die betroffenen Punkte durch ein

202

Anmerkungen

raumartiges Intervall getrennt sind, das zwischen ihnen eine Bewegung schneller als Lichtgeschwindigkeit erfordert. Nicht-abelsche Eichfelder: Siehe Michio Kaku, Quantum Field Theory: A Modern Introduction (Oxford University Press: New York 1993), S. 50–54 (Kommutativit¨ atsbedindungen f¨ ur die Lorentz-Gruppe), S. 295–406 (Theorie der Eichfelder und das Standardmodell). Eine allgemeinverst¨ andliche Einf¨ uhung ist Brian Greene, The Elegant Universe (W. W. Norton: New York 1999), deutsch Das elegante Universum (Siedler: Berlin 2000). Nicht-kommutative Geometrie: Siehe die maßgebende (und hochtechnische) Beschreibung in Alain Connes, Non-Commutative Geometry (Academic Press: San Diego 1994). Siehe auch Pierre Cartier, A ” Mad Day’s Work: From Grothendieck to Connes and Kontsevich: The Evolution of Concepts of Space and Symmetry“, Bulletin of the American Mathematical Society, 38, S. 389–408 (2001), das mit Spekulationen endet, in denen die kosmische Galois-Gruppe“ mit der ” Gruppe der allgemeinen Relativit¨ at und der Feinstrukturkonstante 2 hc ≈ 1/137, welche die Wechselwirkung zwischen Elektromaα = e /¯ gnetismus und Quanten beschreibt, in Verbindung gebracht wird. Gruppen und Raum-Zeit: Ich habe dieses Thema in meinem Artikel Euclidean Hyperspace and Its Physical Significance“, Nuovo Cimento ” 108B (1993), S. 1145–1153, besprochen.

Kapitel 10: Das Unl¨ osbare l¨ osen De Moivres Formel: Siehe Smith’ Source Book in Mathematics, S. 440–454, wo sich auch Eulers sp¨ atere Version der Formel findet. Siehe auch Eli Maor, Trigonometric Delights (Princeton University Press, Princeton 1998). Eine Er¨ orterung, die De Moivres eigene Herleitung und Schreibweise klarstellt, findet man in Mazur Imagining Numbers, S. 201–204. L¨ osbarkeit in Hilberts und Smales Problemen: Siehe Jeremy Gray, The Hilbert Challenge (Oxford University Press, Oxford 2000), worin sich auch der Text von Hilberts Ansprache 1900 befindet (S. 240–282), und Steve Smale, Mathematical Problems for the Next Century“, ” Mathematical Intelligencer 20: 2 (1998), S. 7–15. G¨ odel: Ein gedankenreicher Kommentar zu G¨ odel, welcher eine m¨ ogliche Analogie zu Abel und Ruffini ins Spiel bringt, findet sich auf

Anmerkungen

203

S. 161–168 in S. G. Shanker, Wittgenstein’s Remarks on the Signifi” cance of G¨ odel’s Theorem“, in G¨ odel’s Theorem in Focus, herausgegeben von S. G. Shanker (Routledge, London 1988), S. 155–256. Weniger bekannt als G¨ odels Artikel von 1931, aber ebenfalls von großem Interesse ist der Artikel von 1936 von Gerhard Gentzen, Die Wi” derspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie“, Mathematische Annalen ¨ 112 (1936), S. 493–565; englische Ubersetzung in The Collected Papers of Gerhard Gentzen, herausgegeben von M. E. Szabo (North-Holland, Amsterdam 1969), #4 S. 132–200, worin er die Konsistenz der Arithmetik beweist unter der Bedingung, daß transfinite Induktion erlaubt ist. ¨ Uberradikale Zahlen: Dieser Ausdruck wird von Ian Stewart in Galois Theory, S. 148 verwendet. Morduhai-Boltovski nennt Zahlen, die L¨ osungen gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen mit konstanten ganzzahligen Koeffizienten sind, hypertranszendent“, im Gegensatz zu ” einfach transzendenten Zahlen“, die nicht L¨ osungen einer endlichen ” gew¨ ohnlichen Polynomgleichung sind. Siehe A. O. Gel’fond, Transcendental and Algebraic Numbers, u ¨ bersetzt von Leo F. Boron (Dover, New York 1960), S. 96. Der Ausdruck ¨ uberradikal bezieht sich aber nur auf algebraische Zahlen, die nicht durch Wurzeln ausdr¨ uckbar sind. L¨ osungen der Gleichung f¨ unften Grades: Heutzutage stehen den Studenten m¨ achtige, leicht zug¨ angliche Computerprogramme zur Verf¨ ugung wie zum Beispiel Mathematica T M , das in der Lage ist, Gleichungen f¨ unften Grades zu l¨ osen. Siehe die hilfreiche Internetseite http://library.wolfram.com/examples/quintic/, die auch als wunderbares Poster zur Verf¨ ugung steht mit aller Art von Informationen u osung der Gleichun¨ ber die Geschichte und die L¨ gen f¨ unften Grades. Aber auch ohne Computer wurden Fortschritte erzielt: Zum Beispiel konnten Blair K. Spearman und Kenneth S. Williams in ihrem Artikel Characterization of Solvable Quintics ” x5 + ax + b“, American Mathematical Monthly 101 (1994), S. 986–992, ein einfaches Kriterium f¨ ur die Aufl¨ osbarkeit von Gleichungen f¨ unften Grades angeben. L¨ osungen von Gleichungen durch Rechenmaschinen: Siehe Herman H. Goldstine, The Computer from Pascal to von Neumann (Princeton University Press, Princeton 1972), S. 106 (Torres Quevedo).

204

Anmerkungen

Torres Quevedo: Siehe Francisco Gonz´ alez de Posada, Leonardo Tor” res Quevedo“, Investigacion y Ciencia 166: 7, S. 80–87, und sein Buch Leonardo Torres Quevedo (Fundaci´ on Santillana, 1985). Modulfunktionen und verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen: Abel und Jacobi begannen 1827 das Studium der sogenannten θ-Funktionen. 1858 hatten Charles Hermite, Leopold Kronecker und Francesco Brioschi unabh¨ angig voneinander gezeigt, daß jede Gleichung f¨ unften Grades durch elliptische Modulfunktionen gel¨ ost werden k¨ onnen, welche von diesen θ-Funktionen herr¨ uhren, die selbst unendliche Reihen ∞ aus Potenzen mal Kosinus-Funktionen sind.n Die ucke x f¨ ur Schreibweise n=0 xn bedeutet die Summe der Ausdr¨ n = 0 bis n = ∞, also x0 + x1 + x2 + . . . Die beiden θ-Funktionen sind dann definiert als θ2 (z, q) = 2

∞ 

2

q (n+1/2) cos((2n + 1)z) ,

n=0

und

θ3 (z, q) = 1 + 2

∞ 

2

q n cos(2nz) .

n=1

Die elliptische Modulfunktion ϕ(z) erh¨ alt man aus diesen beiden θFunktionen:

θ2 (0, z)4 . ϕ(z) = 3 θ3 (0, z)4 Diese Funktion ist auch in der zeitgen¨ ossischen Mathematik noch von zentralem Interesse. Die L¨ osungen beliebiger Polynomialgleichungen k¨ onnen ebenfalls durch verallgemeinerte hypergeometrische Reihen ausgedr¨ uckt werden, die Quotienten aus allgemeinen Produkten von Potenzreihen sind. Hierf¨ ur braucht man die Schreibweise f¨ ur Produk ucke xn von n = 1 bis te: pn=1 xn bedeutet das Produkt der Ausdr¨ n = p, also x1 × x2 × x3 × · · · × xp . Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion kann folgendermaßen knapp notiert werden: p Fq (a1 , . . . , ap : b1 , . . . , bq : z) =

∞ p  (ai )k z k i=1 , q i=1 (bi )k k! k=0

Anmerkungen

205

wobei das Pochhammer-Symbol“ (ai )k definiert ist als ” (ai )k =

k 

(ai + j − 1) .

(10.1)

j=1

Alle grundlegenden Funktionen (wie zum Beispiel trigonometrische Funktionen) k¨ onnen durch diese ¨ außerst allgemeinen Funktionen ausgedr¨ uckt werden; kurze Zusammenfassungen finden sich unter http://library.wolfram.com/examples/quintic/hypergeo.html und http://library.wolfram.com/examples/quintic/theta.html. Transzendenz von e und π: Siehe die vorz¨ ugliche Darstellung der Beweise in Klein, Famous Problems of Elementary Geometry, S. 61–77. Die allgemeine Geschichte beschreibt Petr Beckmann, A History of π (zweite Auflage; Golem Press: Boulder CO 1971); eine wertvolle Sammlung von Originalarbeiten bietet Pi: A Source Book, herausgegeben von Lennart Berggren, Jonathan Borwein und Peter Borwein (Springer, New York 1997), worin sich auch Lindemanns Originalbeweis (S. 194–229) befindet und Ivan Nivens A Simple Proof That π ” is Irrational“, S. 509. Cantors Beweis: Siehe Gesammelte Abhandlungen (Springer, Heidel¨ berg 1980). F¨ ur eine englische Ubersetzung seines entscheidenden Artikels, siehe Ewald, From Kant to Hilbert, 2: 838–940. Eine h¨ ubsche Darstellung findet sich in Klein, Famous Problems of Elementary Geometry, S. 49–55. Dunham gibt eine hilfreiche und zug¨ angliche Darstellung von Cantors Werk in seinem Journey through Genius, S. 245–283. F¨ ur eine detaillierte Studie der Entwicklung von Cantors Ideen siehe Joseph Warren Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite (Princeton University Press, Princeton 1990). Begriffe des Unendlichen: Richard Dedekinds Einf¨ uhrung des Unendlichen als grundlegendem Begriff der Mengenlehre in seinem Essai Was ” sind und was sollen die Zahlen“ (Vieweg 1969), S. 16. F¨ ur einen allge¨ meiner Uberblick siehe Eli Maor, To Infinity and Beyond: A Cultural ¨ History of the Infinite (Birkh¨ auser, Boston 1987), deutsche Ubersetzung Dem Unendlichen auf der Spur (Birkh¨ auser, Basel 1989). Zusammenh¨ ange mit der Kunst: Siehe J. V. Field, The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance (Oxford University Press, Oxford 1997).

206

Anmerkungen

Sch¨ onheit in der Mathematik: Eine m¨ ogliche Realisierung von dem Gegensatz zwischen klassischem“ und romantischem“ mathemati” ” schen Stil findet sich in Fran¸cois Le Lionnais, Beauty in Mathema” tics“, in seiner Sammlung Great Currents of Mathematical Thought (Dover, New York 1971), 2: 121–158, Original Les grands courants de la pens´ee math´ematique (Cahiers du Sud, Paris 1948). Kant: Seine Darstellung des Mathematisch-Erhabenen“ in der Kritik ” der Urteilskraft 1. Teil, 1. Abschnitt, 2. Buch §§25–27, (Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1983), S. 333–348. Abels Arbeiten u osbarkeit von Glei¨ ber andere Gebiete als die Aufl¨ chungen: Siehe Michael Rosen, Abel’s Theorem on the Lemnis” cate“, American Mathematical Monthly 88 (1981), S. 387–394, und (bez¨ uglich Abels Beitr¨ agen zu den elliptischen Integralen) Roger Cooke, Abel’s Theorem“, in The History of Modern Mathematics, her” ausgegeben von David E. Rowe und John McCleary (Academic Press, New York 1989), 389–421. Abels zusammenfassende Kommentare u ¨ ber die Lemniskate: siehe seinen Brief von 1826 an Holmboe, zitiert in den Œuvres Compl`etes de Niels Henrik Abel, 2: 261–262. Abels Lieblingsthema“: Siehe seinen Brief von 1826 an Holmboe, ” zitiert in Œuvres Compl`etes de Niels Henrik Abel, 2: 260. ¨ Abels Glaubensbekenntnis: Eigene Ubersetzung eines Teils der Einlei´ tung zu Sur la R´esolution Alg´ebrique des Equations“, Œuvres Com” pl`etes de Niels Henrik Abel, 2: 217–243 auf Seite 217; die Herausgeber (auf Seiten 329–338) merken an, daß dieser Artikel zum ersten Mal von Holmboe 1839 ver¨ offentlicht wurde, und geben auch interessante abweichende Lesarten f¨ ur Abels Text an. Abels Pariser Notizb¨ ucher: Stubhaug, Abel, S. 508–509, gibt diese Seite (S. 508) wieder und u ¨ bersetzt sie, zusammen mit einer anderen Seite aus dem Notizbuch. Obwohl von Musik anscheindend nicht bewegt, war Abel vom Theater begeistert. W¨ ahrend seiner Reisen mag er durchaus Beaumarchais’ beliebtes St¨ uck Le Mariage de Figaro gesehen haben, welches eine virtuose Szene (III.5) enth¨ alt, in der Figaro mit dem englischen“ Ausdruck God-dam“ (wie auch Abel es ” ” schreibt) spielt.

Anhang A: Abels Artikel von 1824 Dies ist die Originalversion von Abels Beweis, aus dem Franz¨ osischen u ¨ bersetzt. Der Originaltext

Anmerkungen

207

¨ findet sich in seinen Œuvres, 1: 28–33. In der englischen Ubersetzung in Smith’ Source Book in Mathematics, S. 261–266, finden sich leider einige entscheidende Druckfehler. Meine Anmerkungen versuchen, Abels knappe Angaben zu erl¨ autern, die er selbst in der 1826er Version seines Beweises ausgef¨ uhrt hat, siehe D´emonstration de l’impossibilit´e ” de la r´esolution alg´ebrique des ´equations g´en´erales qui passent le quatri`eme degr´e“, Œuvres, 1: 66–94.

Anhang B: Abel u ¨ ber die allgemeine Form einer algebraischen L¨ osung Meine Darstellung folgt Abels D´emonstration de l’impossibilit´e“, S. 66–72.

”

Anhang C: Cauchys Satz u ¨ber Permutationen Die urspr¨ ungliche Quelle ist Cauchys M´emoire sur le nombre des va” leurs qu’une fonction peut acqu´erir“ (1815), in Œuvres Compl`etes d’Augustin Cauchy (Gauthier-Villars, Paris 1905), s´erie II, 1: 62–90. Meine Darstellung folgt eng Abels Darstellung in seiner D´emonstra” tion de l’impossibilit´e“, S. 75–79.

Danksagung An Larry Cohen und seine Mitarbeiter bei MIT Press f¨ ur ihre Unterst¨ utzung und ihre Mitarbeit daran, dieses Buch auf den Weg gebracht zu haben. An das St. John’s College f¨ ur die freie Zeit im Rahmen einer Louise Trigg-Dozentur, und an meine Mitstudenten, die mich in meiner Anstrengung, Abels Beweis zu verstehen, ermutigten. An Raymond Ayoub, David Cox, David Derbes, William Dunham, Robin Hartshorne, Barry Mazur, Mark Peterson, Michael Rosen, Tony Rothman, Jerry Shurman und Curtis Wilson, deren Kommentare und Kritiken mich vor vielen Fehlern bewahrten. Die verbleibenden Fehler sind meine eigenen. An Markus Junker f¨ ur seine außerordentliche Sachkenntnis ¨ und Sorgfalt bei der Erstellung dieser deutschen Ubersetzung, und besonders f¨ ur seine Zusammenarbeit bei der Korrektur und Klarstellung vieler Punkte. Und an Ssu, Andrei und Alexei, die f¨ ur mich das Unl¨osbare l¨osten.

Bildnachweis Freundliche Genehmigung f¨ ur die Wiedergabe der Abbildungen wurde erteilt von: Dover Publications (Abb. 2.1, 3.1); Collection Mus´ee de Fontenay-le-Comte, France (Abb. 2.2); Mathematische Fakult¨ at der Universit¨ at Oslo, Norwegen (Abb. 6.1); Francisco Gonz´alez de Posada (Abb. 10.1, die in Investigaci´ on y Ciencia, Juli 1990, S. 82, erschien); Robert W. Gray (Abb. 8.3); Lucent Technologies, Inc./Bell Labs (Abb. 10.2), Norwegische Nationalbibliothek, Abteilung Oslo (Abb. 10.3). Ich danke Jean Buck (Wolfram Research), Peter M. Busichio und Edward J. Eckert (Bell Labs/Lucent Technology), Judy Feldmann, Chryseis Fox, John Grafton (Dover Publications), Thomas Hull, Nils Klitkou (Norwegische Nationalbibliothek, Abteilung Oslo), Purificaci´ on Mayoral (Investigaci´ on y Ciencia), Lisa Reeve, Yngvar Reichelt (Mathematische Fakult¨at der Universit¨ at Oslo) und Mary Reilly und Ssu Wen f¨ ur ihre Hilfe bei den Abbildungen. Besonderen Dank an Wan-go Weng f¨ ur seine Kalligrafie des chinesischen Zeichens ssu (was Gedanke“ bedeu” tet) auf der Widmungsseite.

Index

Abbati, Pietro, 82 Abel, Anne Marie, 86 Abel, Hans Mathias, 85 Abel, Niels Henrik, 1–3, 85, 108, 195 – Abels Additionstheorem, 151, 206 – Abelsche Formeln, 87 – abelsche Gleichungen, siehe Gleichung – abelsche Gruppen, siehe Gruppen – Abelsche Integrale, 101, 151, 206 – junge Jahre, 85–88, 193 – Krankheit und Tod, 100–102, 194 – Notizbuch, 152, 206 – Satz von Abel und Ruffini, 1–3, 88–94, 96, 133, 193, 206 – und Cauchy, 87, 93, 96, 104 – und Galois, 104, 108, 129, 131, 145 – und Gauß, 88, 89, 95, 151 – und Hamilton, 133 – und Ruffini, 85, 87, 88, 96, 194 Abel, Søren Georg, 85 abz¨ ahlbar, 150

Acad´emie des Sciences, 96, 104, 106 agyptische Mathematik, 5, 24 ¨ d’Alembert, Jean le Rond, 69 Algebra, 44, 131, siehe auch Koeffizient und Variable – arabische, 23–27, 44, 51, 54 – Boolesche, 132 – Etymologie, 23 – nicht-kommutative, 131–143 – symbolische Schreibweise, 39–44, 132 algebraische Funktion, 90, 91 algebraische Zahl, siehe Zahlen al-Khw¯ arizm¯ı, Muhammed ibn-Musa, 24–26, 30, 54, 185, 195 Alogon, 9 alternierende Gruppen, siehe Gruppen analytische Mathematik, 41, 59 Antikommutativit¨ at, 134–136, 200 antisymmetrische Funktion, 177, 180 Antra, 9 Apollonius von Perga, 41, 51, 59 Aporia, 13, 182 Archimedes, 32, 60

214

Index

Aristoteles, 7, 181 Arithmetik, 131, 176 Arithmos, 9, 182 Athen, 15 Aufl¨ osung durch Wurzeln, 1 Aufl¨ osungsformel, siehe L¨ osungsformel Ausdehnungslehre, siehe Grassmann Ayoub, Raymond, 192, 197 babylonische Mathematik, 5, 7, 24, 25, 29, 184 Bach, Johann Sebastian, 20, 184 Bacon, Francis, 183 Basham, A. L., 181 Bashmakova, I. G., 188 Beaumarchais, Pierre Augustin, 206 Beckmann, Petr, 205 Bell, Eric Temple, 194 Bernoulli, Daniel, 65 Bolyai, J´ anos, 133, 200 Bombelli, Raphael, 54, 55, 189, 190 Boole, George, 132, 138, 200 – Boolesche Algebra, 132 Born, Max, 141 Bourbaki, 191, 200 Boyer, Carl, 182–201 Bring, E. S., 67, 191 Brioschi, Francesco, 146, 204 Brizio, Anna Maria, 186 Brown, R. G., 186 Br¨ uche, siehe Zahlen, rationale Bryce,R. A., 192 Buchf¨ uhrung, doppelte, 27–29, 186, 187 B¨ uhler, Walter, 192 B¨ urgi, Jost, 48

Bulletin, siehe F´erussac Burkert, Walter, 181 Burn, R. P., 198 Burnside, William, 194, 196, 198 Cajori, Florian, 188 Cantor, Georg, 150 Cardano, Girolamo, 30–40, 53, 54, 57, 67, 187–189, 195 – Große Kunst, 30–40, 187 Cartier, Pierre, 202 Cauchy, Augustin, 82, 87, 96, 104, 175, 180, 200 – Cauchys Satz, 93, 162, 165–167, 169, 175–180, 207 – und Kommutativit¨ at, 132, 200 Cayley, Arthur, 112, 128, 136–138, 195, 200 – Cayley-Oktaven, 138 – Cayley-Tafel, 112, 118, 122 Cervantes, Miguel de, 23 Chatfield, Michael, 187 chinesische Mathematik, 185 Chuquet, Nicolas, 189 Coleridge, Samuel Taylor, 135 Computer, 147, 203 Connes, Alain, 202 Cooke, Roger, 206 Coß (cosa), 25, 42, 44 Crelle, August, 95, 96, 100, 102 – Crelles Journal , 95 – Crelles Journal, 97, 101 Crow, Michael, 200 Cuomo, Serafina, 182, 183 Dauben, Joseph Warren, 205 De Moivre, Abraham, 149, 202 De Morgan, Augustus, 132, 200 Dedekind, Richard, 205 Dehn, Edgar, 196 del Ferro, Scipione, 32–33

Index Descartes, Ren´e, 50–59, 69, 73, 140, 190 – Relativit¨ at“ der L¨ osungen, ” siehe dort – La G´eom´etrie, 50–58, 190 – Zeichenregel, 51 Dickson, Leonard, 196 Dimension, algebraische, 50 Diskriminante, 92, 138 Disquisitiones Arithmeticae, siehe Gauß Dodekaeder, 5, 122–124, siehe auch Symmetrie D¨ orrie, Heinrich, 191–194 Don Quijote (Cervantes), 23 Dreieck, siehe Symmetrie Dunham, William, 205 e, 150, 186, 205 ´ Ecole Polytechnique, 105 ´ Ecole Pr´eparatoire, 105 Edwards, Harold, 195 Eichfelder, nicht-abelsche, 142, 202 Einheitswurzeln, 73, 74, 97 Einstein, Albert, 140, 143 Eisenstein, E. L., 186 Die Elemente, siehe Euklid elliptische Funktionen, 101 Erlanger Programm, 138–140, 143, 201 Eudoxos, 17 Euklid, 5, 17–21, 23, 41, 51, 59, 70, 145, 151, 181, 182, 184 – Die Elemente, 5, 17–21, 181, 184 Euler, Leonhard, 58, 62, 69, 90, 149, 150, 202 Ewald, William, 190, 200, 205 Faktorgruppe, siehe Gruppen

215

Fakult¨ at, 75 Fauvel, John, 185, 187 Fearnly-Sander, Desmond, 200 Feinstrukturkonstante, 202 Fermat, großer Satz“, 87, 193 ” Ferrari, Ludovico, 34–37, 57, 121 F´erussac, Bulletin, 96, 194 Fibonacci, 27–30, 185 Field, Judith, 189, 205 Fine, Benjamin, 191 Fontana, Niccol` o, siehe Tartaglia Fowler, David, 182 Frankreich, 44, 45, 96, 102–108, 133, 194 Fritz, Kurt von, 183 F¨ unfeck, 49, 183 Fundamentalsatz der Algebra, 56, 69–73, 79, 93, 146, 191 Galilei, Galileo, 49, 189 ´ Galois, Evariste, 102–109, 133, 140, 194–195 – Erziehung, 104, 194 – Galois-Theorie, 195–197, 201 – Legende, 106, 108, 194 – nachgelassene Schriften, 108 – Nicolas, 105 – Tod, 107–108 – und Abel, 104, 106, 108, 129, 131, 145 – und Cauchy, 104 – und die Soci´et´e des Amis du Peuple, 105 – und St´ephanie PoterinDumontel, 106 Galois, Alfred, 108 Galois, Nicolas, 103 G˚ arding, Lars, 193 Gauß, Carl Friedrich, 48, 54, 58, 70–74, 79, 97, 190–193

216

Index

– Disquisitiones Arithmeticae, 48, 79, 192 – und Abel, 89, 95, 100, 151 – und die Gleichung f¨ unften Grades, 79, 88 – und Kommutativit¨ at, 132, 200 Gazal´e, Midhat, 184 Geheimschriften, 41, 42, 44 Gel’fond, A. O., 203 Gentzen, Gerhard, 203 Geometrie, 49, 59, 60, 66 – analytische, 59 – nicht-euklidische, 196 – nicht-kommutative, 143, 202 La G´eom´etrie, siehe Descartes Germain, Sophie, 104 Gibbs, Josiah Williard, 136, 200 Gibbs, W. Wayt, 199 Gies, J. und F., 185 Girard, Albert, 51, 56, 69, 189, 190 – Girard-Relationen, 60, 61, 92 Gleason, Andrew, 189 Gleichung – abelsche, 98, 100 – durch Wurzeln aufl¨ osbare, 1, 98, 129 – f¨ unften Grades, 2, 73, 78–83, 87–94, 122, 124, 125, 188, 191, 192, 200, 203, 204 – kubische, 2, 28–36, 73–75, 90, 113, 119, 129, 148, 186, 187 – lineare, 1 – L¨ osungen einer, 1 – n-ten Grades, 2, 3, 60, 68, 74 – N¨ aherungsl¨ osungen, 66, 147, 203 – quadratische, 1, 23, 24, 90, 91, 111, 113 – sechsten Grades, 57

– vierten Grades, 2, 36–40, 73, 77, 120, 121, 187 – Wurzel einer, 1 G¨ odel, Kurt, 202 Goldener Schnitt, 28, 181 Goldstine, Herman, 203 Gonz´ alez de Posada, Francisco, 204 Gorman, Peter, 181 Gott, 49, 55 Grafton, Anthony, 187 Grassmann, Hermann, 135–137, 200 – Ausdehnungslehre, 135, 200 Gray, Jeremy, 185, 187, 202 Greene, Brian, 202 Gregory, Duncan, 132, 200 griechische Mathematik, 5–21, 23, 41–42, 182 Gr¨ oßen, 9, 23 Große Kunst, siehe Cardano Grossman, Israel, 198 Gruppen, 109, 127–130, 175–180, 197–199 – A3 , 118–119 – A4 , 121, 139 – A5 , 123–125, 129, 139 – abelsche, 128, 129, 177, 199 – aufl¨ osbare, 199 – Definition, 127 – einfache, 129 – Faktorgruppe, 129, 176, 177, 199 – Identit¨ at, 76, 112, 127, 128 – invariante, siehe normale Untergruppe – inverses Element, 127 – kommutative, siehe abelsche – Kompositionereihe, siehe dort – Lorentz-Gruppe, 202

Index – Monstergruppe, 130, 199 – Nebenklassen, 176, 199 – nicht-abelsche, 118, 121, 123, 129 – nicht-kommutative, siehe nicht-abelsche – normale Untergruppe, 119, 124, 129, 198–199 – philosophische Bedeutung, 197 – Quotienten, siehe Faktorgruppe – S2 , 112–113 – S3 , 113–119 – S4 , 119–121, 139 – S5 , 122–124 – stetige, 140 – triviale, 128 – und Permutationen, 175–180 – Untergruppe, 176 – V , 121, 199 – Veranschaulichung von, 197 – zyklische, 113, 177, 199 Gu´erard, Albert, 194 Hadlock, Charles Robert, 196 Hamilton, William Rowan, 133–136, 200, 201 Hankins, Thomas, 200, 201 Harmonien der Welt, siehe Kepler Hartshorne, Robin, 181, 195, 198 Heath, Thomas, 184 Heaviside, Oliver, 136, 200 Heiliger Geist, 55 Heisenberg, Werner, 141 Hellman, Morton, 188 Henri IV., 45 Heptagon, siehe Siebeneck Hermite, Charles, 146, 150, 204 Herstein, I. N., 197

217

Hexaeder, siehe W¨ urfel Hexagon, siehe Sechseck Hilbert, David, 202 Hippasos von Metapont, 10, 183 Hirano, Yo¨ıchi, 197 Hoe, J., 185 H¨ older, Otto, 129, 131, 177 Holmboe, Berndt Michael, 87, 97 Hoyrup, J., 184 Huffman, C. A., 181 Huntley, H. E., 181 hypergeometrische Funktionen, 204 Identit¨ at, siehe Gruppen Ikosaeder, 5, 122–125, 129, siehe auch Symmetrie indische Mathematik, 9, 189 Infinitesimalrechnung, 59, 63 inkommensurabel, 7, 148, 182 Institut de France, 100, 101, 106 invariante Untergruppe, siehe Gruppen, normale Untergruppe Invarianten, 113, 138 irrationale Gr¨ oßen, 8, 9, 15, 21, 145, 183, 184, siehe auch Zahlen irreduzibler Fall (kubische Gleichung), 54, 55, 149 Irreversibilit¨ at, 141, 201 Isograph, 147, 148 Jacobi, Carl Gustav Jacob, 100, 146, 204 Jacobson, Nathan, 197 Jerrard, George, 67, 133, 191, 200 Johnston, K. S., 186 Jordan, Camille, 129, 131, 133, 146, 177

218

Index

Jordan, Pascual, 141 Juli-Monarchie, 105, 106 Kaku, Michio, 202 Kant, Immanuel, 206 Karl X., 105 Karl XIII., 85, 101 Kausalit¨ at, 142, 201 Kegelschnitte, 41, 51, 57 Keilhau, 102 Kemp, Christine, 95, 101, 102 Kepler, Johannes, 48–49, 189 – Von der Harmonie der Welt, 48, 121, 123, 189 Khayy¯ am, Omar, 29, 185 Kiernan, B. M., 197 King, Robert Bruce, 197 Klein, Felix, 138–140, 143, 192, 195, 198, 201, 205 – Erlanger Programm, siehe dort – Vierergruppe, siehe Gruppen, V Klein, Jacob, 182, 188, 190 Kline, Morris, 182–197 Knorr, Wilbur Richard, 182 Koeffizienten, 1, 39, 43, 90–92 k¨ onigliche Fredericks-Universit¨ at Kristiania, 87 kommensurabel, 7, 16 Kommutativit¨ at, 99, 129, 131 Kompositionsreihe, 129, 198 Kontinuum, 11, 18 Kreis, 62, siehe auch π und Quadratur Kreuzprodukt, siehe Multiplikation Krisis, 145 Kristiania, 87

Kronecker, Leopold, 146, 194, 204 kubische Erg¨ anzung, 34, 35, 73, 119 La Nave, Federica, 190 Lafayette, Marie Joseph de, 105 Lagrange, Joseph–Louis – Resolvente, siehe dort Lagrange, Joseph-Louis, 73–83, 87–89, 191 – Satz von Lagrange, 176, 199 Lalanne, Leon, 147 Laplace, Pierre Simon, 51 Le Lionnais, Fra¸cois, 206 Legendre, Adrien-Marie, 96, 100, 101 Leibniz, Gottfried Wilhelm, 54, 58, 65–67, 78, 183, 190, 191 Lemniskate, 65, 151–153, 206 Leonardo da Vinci, 6, 28, 186 Leonardo von Pisa, siehe Fibonacci Lichtgeschwindigkeit, 140, 142, 201 Lieber, Lillian, 196 Lindemann, Ferdinand, 150, 205 Liouville, Joseph, 133 Littlewood, 196 L¨ osung einer Gleichung, 1 L¨ osungsformel – der quadratischen Gleichung, 24–26 – von del Ferro, Cardano und Tartaglia, 32–36, 48, 49, 54, 55, 70, 73, 75, 77, 119, 174 – von Ferrari, 37, 70, 73, 77 Logik, 133, 138 – der Gebilde“, 43, 132 ” Logos, 9

Index Louis-le-Grand, Lyc´ee, 104 Louis-Philippe I., 105, 106 Ludwig XVI., 103 Ludwig XVIII., 103–105 Macve, Richard, 186 Magnus, Wilhelm, 198 Malfatti, Gianfrancesco, 78, 82 Maor, Eli, 186, 202, 205 Le Mariage de Figaro (Beaumarchais), 206 Marinoni, Augusto, 186 Mathematica T M , 203 Matrizen, 136–138 Maxfield, John und Margaret, 195 Maxwell, James Clerk, 135, 136 Maxwellsche Mechanik, 141 Mayer, Uwe, 191 Mazur, Barry, 190, 202 Meißen, 67 Menon, 13, 182 Merzbach, Uta, 182–201 Minkowski, Hermann, 140 Mitchell, David, 197 Modulfunktionen, 146, 204 Monster, siehe Gruppen ´ Montucla, Jean Etienne, 78, 192 Morduhai-Boltovski, D., 203 Multiplikation – der Quaternionen, 134 – in Grassmanns Algebren, 135 – Kommutativit¨ at der, 132 – Skalarprodukt, 135 – Vektorprodukt, 135, 136 – von Matrizen, 136, 138 Musik, 7, 10, 19, 48, 184 Mutafian, Claude, 196 Nahin, Paul, 190 Napol´eon, 103, 108

219

Needham, Joseph, 185 Netz, Reviel, 182, 185 Newton, Isaac, 58–66, 148, 149, 190 – Lemma 28“, 61–66, 148, 191 ” – Principia, 59–66, 190 – Universal Arithmetic, 60 – Newton-Relationen, 60, 61 – Newton-Verfahren, 66 – und Descartes, 59, 66 Newtonsche Mechanik, 136, 141 Nicht-Kommutativit¨ at, 99, 131–143, 152, 200, 201 Niven, Ivan, 205 Norwegen, 85–88 Null, 9, 27, 42 Oktaeder, 5, 120–122, siehe auch Symmetrie Opfer, 7, 45 Ore, Øystein, 187, 193 Ort, geometrischer, 57, 59 Oslo, siehe Kristiania Oval, 61–66 Pacioli, Luca, 6, 28–29, 33, 186 – Summa de arithmetica, 28 Panton, Arthur William, 194, 196 Pappos, 10, 11, 41, 57, 183 Parabel, 65 Parshall, Karin, 185, 187 Pascal, Blaise, 147 Peacock, George, 132, 200 Peirce, Benjamin, 138, 200 Peirce, C. S., 138, 200 Pentagon, 183, siehe F¨ unfeck Permutationen, 75–78, 82, 93, 109, 111–130, 175–180 – gerade, 76, 115, 118, 121, 123, 178

220

Index

– ungerade, 76, 115, 178 Pesic, Peter, 142, 183–185, 188, 189, 191, 201, 202 Peterson, Mark, 186 π, 62, 150, 205 Piero della Francesca, 28, 30, 186 Pierpont, J., 193 Planck, Max, 141 Planetengesetze (Kepler), 49 Platon, 11–17, 31, 43, 141, 182, 183 – Der Staat, 15, 182 – Menon, 13, 182 – Phaidros, 182 – Theaitetos, 15, 182 platonische K¨ orper, 5, 6, 15, 121, 123, 139, 197 Poisson, Sim´eon-Denis, 101 Pokorny, Julius, 181 Postnikov, M. M., 196 Poterin-Dumontel, St´ephanie, 106 Pourciau, Bruce, 191 Principia, siehe Newton Proportion, 7, 9, 184 Pycior, Helena, 188, 189 Pythagor¨ aer, 5–8, 10, 11, 181 Pythagoras, 5, 7, 10, 11, 45, 181 – Satz des, 7, 11 Quadrat, 7–15 quadratische Erg¨ anzung, 25, 37, 73, 113 Quadratur des Kreises, 150, 201 Quadratwurzel, Klang der, 20 Quantentheorie, 141–143, 201 Quaternionen, siehe Zahlen Ralph, Leslie, 181 Rashid, Rushdi, 185

Raspail, Fran¸cois-Vincent, 97, 105, 106, 108, 195 rationalen Gr¨ oßen, 9 Raum – n-dimensionaler, 135, 139 – dreidimensionaler, 122, 139, 140, 143 – vierdimensionaler, 135 Rechenmaschinen, 147, 203 Reductio ad absurdum, 7, 64, 89 Relativit¨ at – allgemeine, 143, 196, 202 – der L¨ osungen, 56, 140, 190 – spezielle, 140, 142 – und Galois-Theorie, 140, 201 Resolvente, 38, 74–78 ´ Richard, Louis-Paul-Emile, 104, 105 r¨ omisches Recht, 42 Roomen, Adriaan van, 44, 45, 47, 188 Rosen, Michael, 193, 206 Rosenberger, Gerhard, 191 Rothman, Tony, 194 Rta, 9, 181 Ruffini, Paolo, 79–83, 85, 87, 88, 91, 96, 133, 175, 180, 192, 194 Saigey, Jacques Fr´ed´eric, 96 Satz von – Abel und Ruffini, siehe Abel – Cauchy, siehe Cauchy – Lagrange, siehe Lagrange Sechseck, 48 Shakespeare, William, 185 Shanker, Stuart, 203 Shurman, Jerry, 197 Shylock, 27, 185 Siebeneck, 48, 49, 55, 189 Siebzehneck, 70, 151, 192

Index Singh, Simon, 193 Skalare, 135 – Skalarprodukt, siehe Multiplikation Skau, Christian, 193 Smale, Steve, 202 Smirnova, G. S., 188 Smith, David, 195 Soci´et´e des Amis du Peuple, 105, 107 Sokrates, 13–17, 182 Soliman II., 153 Solomon, Ron, 199 Spearman, Blair, 203 Spirale, 64 Stahl, Saul, 195, 199 Standardtheorie“ (Physik), 142 ” Stein, Howard, 184 Steiner, George, 194 Stewart, Ian, 196, 203 Stillwell, John, 197 Stimmung, gleichm¨ aßige, 20 Storting, 85 Stubhaug, Arild, 193–195, 206 Summa de arithmetica, siehe Pacioli Swetz, Frank, 187 Sylvester, James Joseph, 136, 138, 200 Symmetrie, 111, 113 – der Elementarteilchen, 143 – des Dodekaeders, 123–125, 139 – des Dreiecks, 113–119, 139 – des Ikosaeders, 123–125, 139 – des Oktaeders, 120, 139 – des Tetraeders, 119–121, 139 – des W¨ urfels, 120, 139 – in algebraischen Ausdr¨ ucken, 60 – von Funktionen, 175

221

symmetrische Funktion, 175 synthetische Mathematik, 41 Tartaglia, 32–34, 187 Taton, Ren´e, 195 Taylor, R. E., 186 Tetraeder, 5, 120, 122, 124, siehe auch Symmetrie Tetraktys, 10 Theaitetos, 15, 19, 182 Theodoros, 15, 182 Theologie, christliche, 55 Thermodynamik, 141 θ-Funktionen, 146, 204 Tignol, Jean-Pierre, 195 Topologie, 72 Torres Quevedo, Leonardo, 147, 204 Tortur, 16, 183–184 Toti Rigatelli, Laura, 194–196 Transpositionen, 76, 177–180 transzendent, siehe Zahlen transzendente Funktionen, 101 Treviso, Arithmetik von, 29 Trigonometrie, 47, 149, 188 Tritonus, 20, 184 Tschebotarew, Nikolaj, 196 Tschirnhaus, Ehrenfried Walter Graf von, 67–68, 191 – TschirnhausenTransformation, 68 u ahlbar, 150 ¨ berabz¨ Unbekannte, siehe Variable unendlich, 21, 148, 150 Unguru, Sabetai, 183 Universal Arithmetic, siehe Newton Unsch¨ arferelation, Heisenbergsche, 142 Untergruppen, siehe Gruppen

222

Index

Uspensky, James, 187, 191 Vahabzadeh, B., 185 Vandermonde, AlexandreTh´eophile, 75, 191 Variable, 39, 42, 43 Vektoren, 135 – Vektorprodukt, siehe Multiplikation Vernier, Hippolyte Jean, 104 Verriest, G., 196 Vetter, Guido, 188 Vietascher Wurzelsatz, siehe Girard–Relationen Vi`ete, Fran¸cois, 39–47, 50, 51, 56, 57, 59, 73, 128, 132, 151, 188, 189 Voltaire, 85 Waerden, Bartel van der, 185, 191, 192, 197 Walker, D. P., 189 Wallis, John, 53, 188 Washington, George, 105 Weil, Simone, 184 West, M. L., 184 Weyl, Hermann, 140, 197, 201 Widerspruchsbeweis, siehe Reductio Widman, Johann, 29 Wiles, Andrew, 193 Williams, Kenneth, 203 Wilson, Curtis, 197 Winkeldreiteilung, 189, 201 Winternitz, Emanuel, 186 Wirkungsquantum, Plancksches, 141 W¨ urfel, 5, 120, 122, siehe auch Symmetrie

– -verdoppelung, 201 Wurzeln, 2, 36, 90 – Aufl¨ osung durch, 1 – einer Gleichung, 1 Wussing, Hans, 191, 192, 197 Xenophon, 182 Yaglom, I. M., 196, 200, 201 Yamey, B. S., 186 Zahlen – algebraische, 146, 150, 203 – bei den Griechen, 9, 23 – Cayley-Oktaven, 138 – durch Wurzeln ausdr¨ uckbare, 150 – indo-arabische, 27 – irrationale, 8, 146, 148, 151, siehe auch irrationale Gr¨ oßen – komplexe und imagin¨ are, 54, 70, 134, 149, 189 – nat¨ urliche und ganze, 9, 10, 146, 150 – negative, 51–53, 189 – Quaternionen, 134, 201 – rationale, 7, 150 – reelle, 55, 136 – sexagesimale, 24 – transzendente, 62, 150, 203, 205 – u ¨ berradikale, 146, 150, 203 Zahlenstrahl, 51 Zammattio, Carlo, 186 Zeit, Unumkehrbarkeit der, 141 Ziffer, 24, 27 zweiter Hauptsatz der Thermodynamik, 141

Druck- und Bindearbeiten: Stürtz GmbH, Würzburg