a Dina, luce di un sorriso che l'ombra della vita non pUD spegnere
C. Canuto, A. Tabacco
Analisi matematica I Teoria ed esercizi con complementi in rete 3a edizione
~Springer
CLAUDIO CANUTO
Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino, Torino ANITA
T ABACCO
Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino, Torino
ISBN 978-88-470-0871-7 Springer Milan Berlin Heidelberg New York e-ISBN 978-88-470-0872-4 Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com ©
Springer-Verlag Italia, Milano 2008
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Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: Signum Srl, Bollate (MI) Springer-Verlag Italia Srl, Via Decembrio 28, 20137 Milano
Prefazione
I nuovi Ordinamenti Didattici hanno imposto un ripensamento globale della struttura e dei contenuti degli insegnamenti universitari italiani e, corrispondentemente, del materiale didattico di supporto. In molti corsi, in particolare in quelli di base, e necessario portare gli allievi ad acquisire un insieme non piccolo di concetti e di conoscenze operative avendo a disposizione un numero ridotto di crediti sovente compressi in poche settimane. Si pone quindi il problema di effettuare delle scelte sui contenuti, sul linguaggio usato e sul livello di approfondimento con cui viene trattata la materia. II presente testo intende essere di supporto ad un primo insegnamento di Analisi Matematica in quei corsi di studio (quali ad esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui 10 strumento matematico e parte significativa della formazione dell'allievo. I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in una variabile sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare 10 studente ad un loro usa operativo, rna critico. La filosofia che ha ispirato l'impostazione generale e stata quella di semplificare e alleggerire il materiale rispetto ai testi in usa prima della riforma, senza pero rinunciare al rigore espositivo e scadere in un mero prontuario di regole e formule. In questa prospettiva, il testo presenta tre diversi livelli di lettura. II livel10 intermedio corrisponde, per ciascuno degli argomenti trattati, alla totalita del materiale qui presentato. I concetti sono dapprima introdotti in modo discorsivo e poi rigorosamente definiti; successivamente, si discutono le varie proprieta matematiche ad essi collegate e si delineano le metodologie di calcolo che ne derivano. I teoremi e le proprieta pili importanti sono accompagnati dalla relativa dimostrazione. Un livello di lettura pili essenziale prevede l'omissione di tutte le dimostrazioni riportate, che a tale scopo sono facilmente distinguibili, e di quelle parti di testo presentate sotto la voce "Osservazione". Per facilitare 10 studente, le formule assolutamente fondamentali, e quelle comunque importanti, sono state messe in rilievo mediante l'uso del colore, rispettivamente ciano e grigio. Alcune tabelle, nel testo e al fondo del libro, riassumono formule di usa frequente. Non si e invece voluto
VI
Prefazione
stabilire una classifica di importanza tra i teoremi, per lasciare al docente la Iiberta di operare eventuali scelte in tal senso. Un terzo livello di lettura, basato sull'accesso ad un sito web, permette all'allievo pili motivato ed interessato di approfondire la sua preparazione sulla materia. Riteniamo infatti che gli obiettivi generali dei nuovi Ordinamenti Didattici siano compatibili con la possibilita, per gli studenti capaci e volenterosi, di acquisire una formazione solida e completa, secondo la migliore tradizione universitaria italiana. Nel libro si trovano vari riferimenti alle sezioni di un testo virtuale disponibile in rete, contenenti complementi e approfondimenti degli argomenti di volta in volta trattati. In tal modo, tutti gli enunciati presenti nel testo cartaceo vengono ad essere corredati dalla rispettiva dimostrazione. Per consentire un approccio morbido alla materia, nei primi due capitoli si e scelta una esposizione pili discorsiva, in cui definizioni e proprieta sono sovente inglobate nel testo; nei capitoli successivi, la veste grafica mette in luce in modo pili evidente tali strutture. Deliberatamente, di alcune definizioni e teoremi non si fornisce la forma pili generale possibile, al fine di privilegiare l'immediatezza di comprensione da parte dello studente. Gli enunciati sono in genere immediatamente seguiti da numerosi esempi; 10 stesso vale anche per la descrizione dei procedimenti di calcolo. Varie osservazioni fanno da complemento all'esposizione principale, mettendo in luce, fra l'altro, casi particolari ed eccezioni. Un rilevante numero di esercizi viene fornito al termine di ogni capitolo, permettendo all'allievo di valutare immediatamente 10 stato delle conoscenze acquisite. Gli esercizi sono raccolti in gruppi che riprendono i principali argomenti trattati nel capitolo e sono ordinati per difficolta crescente. Di tutti gli esercizi viene fornita la soluzione; per oltre la meta di essi, si delinea il procedimento risolutivo. Nel testo saranno usate Ie seguenti convenzioni grafiche: le definizioni appaiono su sfondo grigio, mentre gli enunciati su sfondo ciano; gli esempi sono segnalati da una barra verticale in colore; gli esercizi di cui si fornisce la soluzione sono indicati con un riquadro nel testo (ad esempio [ill). Questo volume e dedicato all'amica Dina Giublesi, per molti anni preziosa collaboratrice, di cui sempre ricordiamo la luminosa figura. Siamo riconoscenti ai molti colleghi e studenti che ci hanno permesso, con i loro consigli, suggerimenti ed osservazioni, di migliorare l'esposizione ed arricchire i contenuti di questa terza edizione. Torino, giugno 2008
Claudio Canuto, Anita Tabacco
Cornplernent.i disponibili in rete
All'indirizzo internet
http://calvino.polito.it/canuto-tabacco/analisi_1
e disponibile
un testo virtuale, contenente complementi e approfondimenti della materia qui trattata (ad esempio, vi si possono trovare lc dimostrazioni degli enunciati non fornite nel presente libro). II materiale e suddiviso nei seguenti argomenti:
• • • • • • • • • • • • • •
Principio di induzione Numero di Nepero Funzioni elementari Limiti Funzioni continue Successioni Serie numeriche Derivate Teorema di de l'H6pital Funzioni convesse Sviluppi di Taylor Integrale di Cauchy Integrale di Riemann Integrali impropri
Nel presente volume, il rinvio al testo elettronico complementare simbolo ~, ad esempio \~~<\~.~_~_~
e segnalato dal
Indice
1
2
N ozioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.1 Insiemi..................................................... 1.2 Elementi di logica matematica 1.2.1 Connettivi logici 1.2.2 Predicati............................................. 1.2.3 Quantificatori......................................... 1.3 Insiemi numerici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3.1 L'ordinamento dei numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3.2 La completezza di JR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.4 Fattoriali e coefficienti binomiali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.5 Prodotto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.6 Relazioni nel piano 1.7 Esercizi.................................................... 1.7.1 Soluzioni
1 5 5 7 7 9 12 18 19 22 24 26 27
Funziorri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1 Definizioni e primi esempi 2.2 Immagine e controimmagine 2.3 Funzioni suriettive e iniettive; funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4 Funzioni monotone 2.5 Funzioni composte 2.5.1 Traslazioni, cambiamenti di scala, riflessioni 2.6 Funzioni elementari e lora proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.6.1 Funzioni elevamento a potenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.6.2 Funzioni polinomiali e razionali 2.6.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche 2.6.4 Funzioni trigonometriche e lora inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.7 Esercizi 2.7.1 Soluzioni
33 33 38 40 43 46 48 49 51 53 53 54 59 61
1
X
Indice
3
Limiti e continuit.a I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.1 Intorni..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2 Limiti di successioni 3.3 Limiti di funzioni; continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3.1 Limiti all'infinito 3.3.2 Continuita. Limiti al finito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3.3 Limiti destro e sinistro; punti di discontinuita . . . . . . . . . . . .. 3.3.4 Limiti di funzioni monotone 3.4 Esercizi.................................................... 3.4.1 Soluzioni.............................................
4
Limiti e cont.inuit.a II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91 91 4.1 Teoremi sui limiti 4.1.1 Teoremi di unicita e permanenza del segno 91 4.1.2 Teoremi del confronto 94 4.1.3 Algebra dei limiti; forme di indeterminazione di tipo algebrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98 4.1.4 Teorema di sostituzione 105 108 4.2 Altri limiti notevoli; forme indeterminate di tipo esponenziale 111 4.3 Proprieta globali delle funzioni continue 118 4.4 Esercizi 4.4.1 Soluzioni 120
5
Confronto locale di funzioni. Successioni e serie numeriche 5.1 Simboli di Landau 5.2 Infinitesimi ed infiniti 5.3 Asintoti 5.4 Ulteriori proprieta delle successioni 5.5 Serie numeriche 5.5.1 Serie a termini positivi 5.5.2 Serie a termini di segno alterno 5.6 Esercizi 5.6.1 Soluzioni
127 127 134 139 141 146 151 154 155 158
6
Calcolo differenziale 6.1 La derivata 6.2 Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione 6.3 Punti di non derivabilita 6.4 Punti di estremo e punti critici di una funzione 6.5 I Teoremi di Rolle e Lagrange 6.6 Prima e seconda formula dell'incremento finito 6.7 Intervalli di monotonia di una funzione 6.8 Derivate di ordine superiore 6.9 Convessita e flessi 6.9.1 Estensione del concetto di convessita
171 171 174 180 183 186 188 191 193 194 198
67 67 68 74 74 76 84 87 89 89
Indice
XI
6.10 Studio di funzioni 6.10.1 Le funzioni iperboliche 6.11 II Teorema di de l'H6pital 6.11.1 Applicazioni del Teorema di de l'H6pital 6.12 Esercizi 6.12.1 Soluzioni
199 201 204 205 207 211
7
Sviluppi di Taylor e applicazioni 7.1 Le formule di Taylor 7.2 Sviluppi di Taylor notevoli 7.3 Operazioni sugli sviluppi di Taylor 7.4 Uso degli sviluppi di Taylor nello studio locale di una funzione 7.5 Esercizi 7.5.1 Soluzioni
231 231 235 242 251 256 258
8
Rappresentazioni del piano e dello spazio 267 8.1 Coordinate polari, cilindriche, sferiche 267 8.2 Vettori nel piano e nello spazio 270 8.2.1 Vettori applicati nell'origine 270 8.2.2 Modulo e prodotto scalare 273 8.2.3 Vettori applicati in un punto 279 8.3 Numeri complessi 280 8.3.1 Operazioni algebriche 280 8.3.2 Coordinate cartesiane 282 8.3.3 Forma trigonometrica e forma esponenziale 284 8.3.4 Potenze e radici 286 288 8.3.5 Equazioni algebriche 8.4 Curve nel piano e nello spazio 290 8.5 Cenni alle funzioni di pili variabili 296 8.5.1 Continuita 296 8.5.2 Derivate parziali e gradiente 297 8.6 Esercizi.................................................... 301 8.6.1 Soluzioni 304
9
Calcolo integrale I 9.1 Primitive e integrali indefiniti 9.2 Regole di integrazione indefinita 9.2.1 Integrazione di funzioni razionali 9.3 Integrali definiti 9.4 Integrale secondo Cauchy 9.5 Integrale secondo Riemann 9.6 Propriet.a dell'integrale definito 9.7 Media integrale 9.8 II Teorema fondamentale del calcolo integrale 9.9 Regole di integrazione definita
311 312 316 323 329 330 333 340 342 344 349
XII
Indice
9.9.1 Applicazione al calcolo di aree 9.10 Esercizi 9.10.1 Soluzioni
10 Calcolo integrale II 10.1 Integrali impropri 10.1.1 Integrali su intervalli illimitati 10.1.2 Integrali di funzioni non limitate 10.2 Altri integrali impropri 10.3 Integrali curvilinei 10.3.1 Lunghezza di un arco e ascissa curvilinea 10.4 Integrali di linea 10.5 Esercizi 10.5.1 Soluzioni
352 354 356 369 369 369 378 382 383 389 391 393 395
11 Equazioni differenziali ordinarie 403 11.1 Definizioni generali 403 11.2 Equazioni del primo ordine 404 408 11.2.1 Equazioni a variabili separabili 11.2.2 Equazioni lineari 411 11.2.3 Equazioni omogenee 413 11.2.4 Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo 415 11.3 II problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine416 11.3.1 Funzioni lipschitziane 416 11.3.2 Una condizione di risolubilita del problema di Cauchy 419 11.4 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti 421 427 11.5 Esercizi 11.5.1 Soluzioni 429 Tavole e formulari
441
Indice analitico
447
1
N ozioni di base
In questa capitolo intraduttivo, vengono presentati in forma sintetica alcuni dei concetti m atematici che stanno alia base del successivo studio dell 'Analisi Matematica. Molti di essi dovrebbero essere gia noti all 'allievo , magari in una forma ancor pili approfondita rispetto a quella usata nel seguito; alcuni , invece, sono probabilmente nuovi . In ogni caso, la trattazione seguente ha 10 scopo di fissare molte delle notazioni e della simbologia matematica di uso frequente nei capitoli successivi.
1.1 Insiemi Indicher emo gli insiemi prevalentemente con lettere maiuscole X, Y , , mentre gli elementi di un insieme saranno indicati con lettere minuscole x , y, L'appartenenza di un elemento x all'insieme X sara indicata dal simbolo x E X ('l'elemento x appartiene all 'insieme X '), la non appartenenza dal simbolo x f/- X. La maggior parte degli insiemi che considereremo saranno costruiti a partire da insiemi di numeri . Per la lora importanza, i principali insiemi numerici sono indicati con notazioni particolari; esse sono: N = insieme Z = insiem e Q = insieme lR = insiem e C = insiem e
dei dei clei dei clei
numeri numeri numeri numeri numeri
naturali int eri relativi razion ali reali complessi.
Le definizioni ed alcune tra Ie principali proprieta di tali insiemi, conl'esc!usione dell'ultimo, saranno brevemente ricordate nel Paragrafo 1.3. L'insieme dei numeri complessi sara trattato nel Paragrafo 8.3. Supponiamo di fissare un insieme non vuoto X, che consideriamo come insieme ambiente. Un sottoinsieme A di X e un insieme i cui element i sono anche elementi
2
Nozioni di base
CA
x Figura 1.1. Diagr ammi di Venn (a sinist ra) e com pleme nt a re d i un insiem e (a dest ra ) di X; scrivere mo A ~ X (' A contenuto in X ' ) se am mettia mo che il sot t oinsieme A possa coincidere con X , oppure A C X ('A contenuto p ropriamen t e in X ' ) se A e un sottoins ieme prop rio di X, cioe non contiene tutti gli element i eli X . Puo essere utile, dal punto di vist a intuiti vo, rappresent are un so ttoins ieme medi an t e un a regione finit a del pi an o, attraverso i cosid det t i diagm mmi di Venn (si ved a la F igur a 1.1, a sinistra) . Un sottoins ieme puo essere det erm inato elenca ndo gli eleme nt i di X che 10 com pongono
I A ={x ,y, ... , z }; I
l'ordi ne in cui compaiono gli eleme nt i non e essenziale. L 'u so di tale not az ion e e ovvia me nte limit at a a sot t oins iem i contene nti pochi eleme nti. Pili comunement e si usera la notazione
I A = {x
E X
I p( x)}
oppure
A = {x EX: p(x)}
I
(che si legge 'A e il sot t oins ieme degli eleme nt i x di X tali che la cond izione p(x) C verificat a') ; p(x) indica la prop rieia caratteris tica degli element i del sottoins ieme, cioe la cond izione vera per gli e1ement i del sottoinsieme e fa lsa p er t ut t i gli alt ri eleme nt i. Ad esempio, il sot t oins ieme A dei numeri naturali minori 0 uguali a 4 puo essere indica to come
A = {O,1 ,2 , 3,4}
oppur e com e
A
= {x
E N I x ::::: 4} .
L'espression e p( x) = 'x ::::: 4' e un esem pio di predicate logico, su cui torneremo nel paragr afo successivo. La collezione di tut ti i sottoinsiemi di un insiem e X costit uisce l'insieme delle parti di X , denotat o con P (X ). Ovviamen t e , X E P (X ). Inoltre, tra i sottoins iemi di X esiste l'insieme vuoto, ossia l'insieme che non cont iene eleme nt i; esso viene indicat o con il simbolo 0, dunqu e 0 E P (X ). Tut ti gli alt r i so ttoins iem i di X sono propri e non vuoti. Se ad ese mpio cons ide ria mo l'i nsieme a mbi ente X = {I , 2, 3}, abbia mo
P (X )
= { 0, {I }, {2}, {3}, {I , 2}, {l , 3}, {2, 3}, X}.
1.1 Insiemi
:1
No t iam o che X co nticne 3 elementi (0, com e si d ice, ha cardin alita 3), men trc P (X ) cont iene 8 = 2 3 elem ent i (h a ca rd inalita 8). In gene rale, se un insieme finit o (cioe comp ost o d a un numero fini t o di element i) ha ca rd ina lita n , il suo insiem c delle parti ha card ina lita 2 n . A partire d a uno 0 p ili so t t oins iem i di X , e p ossibile definire nu ovi sot t oinsiemi , att rave rso operazion i insiemisti ch e. La pili sem plice di esse e il pass aggio al corn p lement a re : se A c un sottoinsiem e di X , si defini sce complementare di A (in X ) il sottoins ieme
ICA
=
{x
E X
I x rf- A}
I
cost it u ito d a t utti gli elernent i di X che non a p part engo no ad A (si ved a la Fi gura 1.1 , a destra). T al volta , p er accent uare il fat t o che il comp leme ntare di A e fatto rispetto ad X, si usa la notazione pili preci sa Cx A. Le seguenti pr oprieta sono immediate:
CX=0 ,
C0 =X,
C(CA) = A .
Ad ese m p io, se X = N e A indica il sottoinsieme dei numeri pari (cioe di visibili p er 2), allor a CA e il sottoins ieme dei nurneri dispari . Dati due sottoins icm i A e B di X , si defini sce intersezione di A e B il sot t oins ieme
IA n B =
{:r E X
Ix
E A c x E B}
I
cost it u it o d a t utti gli elem enti di X che a p partengo no sia ad A sia a B , m en t re si defini sce unione di A e B il sottoins ieme
IA u B
=
{x E X
Ix
E A oppur e x E B}
I
cost it u it o d a t utti gli clemen ti che a p pa rtengono ad A oppure a B (in sens o non a lternat ivo). Si veda la Figura 1.2.
Figura 1.2. Intersezione e unione di insiemi
4
1 Nozion i di base
Ripo rtiamo alcune deHe propriet a di tali op er azio ni.
i) Proprieia boolean e: AnCA = 0,
AUCA=X ;
ii) proprieia cornrnutativa, associativa, distri butiva:
An B = B nA ,
A UB =B uA ,
(A n B) n C = A n (B n C ), (A n B) U C = (A U C) n (B U C ),
(A U B) U C = A u (B U C ), (A U B)
n C = (A n C ) U (B n C );
iii) leggi di De Morcom:
C(A nB) =CA uCB , Not iamo inolt re che la condizion e A oppure aHa condizione A U B = B .
C(AUB) = CAn CB . ~
B equivale alla condiz ione A n B
=
A,
Altre du e op erazioni insiemisti che sono utili. Esse sono la differenza (non simmetrica ) t ra un sottoinsieme A ed un sottoins ieme B
IA \ B
= {x E A I x
~ B} =
A n CB
I
(che leggiamo 'A meno B') , la quale seleziona gli elementi di A che non stanno in B , e la differenza simmetrica tra due sottoinsiem i A e B
I A L1 B = (A \ B) U (B \ A) = (A U B) \ (A n B), I la qu ale selezion a gli eleme nt i che stanno in A oppure in B rna non in ent rambi gli insiemi (si ved a la F igura 1. 3) .
Ad esempio, se X = N, A e l'insieme dei numeri pari e B = {n E N In:::; 1O} numeri interi minori 0 uguali a 10, a llora B \ A = {l, 3, 5, 7, 9} e l'insieme dei numeri disp ari m inori di 10, A \ B e l'insie me dei numeri pari maggiori di 10, mentre AL1B e l'unione di qu esti due insiemi .
e I'insieme dei
Figura 1.3. Di fTeren za A \ B (a sinistra) e d ifferen za sim metrica A .d B (a destra) di insiem i
1.2 Elementi di logica matem atica
5
1.2 Elementi di logica matematica Una proposizione logica e un enunciat o del quale si puo inequivocabilme nte dire, in un certo contesto, se e vera 0 falso. Dunque una praposizione logica port a con se un valore di oerita, Vera 0 Falso; t ale valore puo venir rappresent a to in vari mo d i, ad esempio a t t raverso il valo re binario d i un bit d i me mo ria (1 oppure 0), 0 attraverso 10 statu di un cir cuito elet t rico (chi uso oppure aperto) . Esempi d i prop osizioni logich e sono : ' 7 e un numero disp ar i' (Vera), '3 > JI2' (Falso), 'Venere e un a stella ' (Falso) , 'quest o t esto e scrit to in italia no ' (Vera) , etc. Invece, l'enunciat o 'Milano e lon t an a da Rom a ' non e un a pr op osizione logica , in asse nza di pr ecisazioni sul con cet t o di lon t ananza ; 10 e pero l'espression e 'Mila no e pili lont an a di Torino da R om a '. Indicher em o le praposizioni logiche con let t ere minuscole p ,q,r, ....
1.2.1 Connettivi logici
A partire da praposizioni logich e, p ossiamo ottenerne altre attraverso op erazioni logiche, espresse d a simb oli det ti conne tt ivi logici. L 'op erazion e pili se m p lice e la negazione logica: con il sim bo lo -'p (che leggia mo ' non p') , indichi amo la pr op osizione logica che e vera se p e falsa , ed e falsa se p e vera. Ad ese m pio, se p = ' 7 e un numer o razion ale' , a llora -'p = '7 e un nu mero irrazion ale '. La congiunzione logica d i d ue propos izioni p e q e la praposizione p 1\ q (che leggiamo 'p e q' ), la quale e ver a se p e q sono entrambe vere , ed e falsa in t u tti gli a lt ri casi . Invece , la disgiunzione logica di p e q e la praposizione p V q (che leggiamo 'p opp ure q' ), la qua le e falsa se p e q sono ent rambe false , ed e vera in t utt i gli altri ca si. Ad ese m pio, sia no p =' 7 e un num ero razionale' e q = ' 7 e un numera pari '; la prop osizione p 1\ q = '7 e un nu mera razion ale pari' e falsa perche q e falsa, men t re la prop osizion e p V q = '7 e un numero razion ale oppure un nu mero pari' e vera perche p e vera. Molti degli enunc iati in Ma t em at.ica sono del t ipo: 'Se e ver a l'ipot esi p , allora e ver a la tesi q' , alt riment i es presso come 'Condizione sufficiente affinche sia vera la tesi q e che sia vera l'ipotesi p ' , op pure ancora com e 'C ondizione necessaria affinche sia vera l'ipot esi p e che sia ver a la tesi q' . Tali enunciat i sono forme linguistiche diverse della stessa praposizion e logic a p =} q (che leggiamo ' p implica q'), detta implicazione logica. P er defini zione, la proposizion e p =} q e fals a se p e vera e q e falsa , mentre e vera in t utti gli alt ri cas i. In alt ri t ermini , l'implicazi one logica esclude che da un a premessa vera si pos sa d edurre un a conclus ione falsa , men tre non esclude che la co ncl us ione sia vera anche se la pr em essa e fals a . Cosi, la pro posizione 'se piove, a llora esco con l'ombrello' mi imped isce di us cir c senza ombrello qu ando piove , rna non cond iziona il mio comportame nto se il cielo e sere no . Si puo ver ifica re fac ilmente, conside rando t utti i valori d i ver ita possibili delle prop osizion i p e q, che la p raposizion e p =} q ha gli st essi valori di verita della
6
1 Nozioni di base
pr oposizione -,pVq. Per t an t o, il connettivo logico =} puo essere es press o in fun zion e dei connettivi primari -, e V. Altri enunciati ricorren t i in Mat em a ti ca sono del tipo : ' La tesi q e vera se e solo se I'ipotesi p e vera ' , op pure 'Cond izione necess aria e sufficie nt e affinc he sia vera la tesi q e che sia vera l'ipotesi p ' . Tali enunc iati corrispondono a lla proposizione logica p {::} q (che leggiamo ' p equivale a q ' ) , det t a equivalenza Iogica. Essa e vera se p e q hanna gli stessi valori di veri t a , cd e falsa se p e q hanna val ori di verita di versi. Un ese m pio e l'enuncia to ' un numero naturale e di sp ari se e solo se il suo quadrato e disp ari ' . La proposizione p {::} q e la congiunzione delle due proposizioni p =} q e q =} p, vale a dire le proposizioni p {::} q e (p =} q) 1\ (q =} p ) hanna gli stessi valori di verita; dunque, il conne t t ivo {::} c esprimibile in fun zion e dei conne t t ivi primari -', V e 1\. La proposizione p =} q (cioe un enunc ia to del tipo 'se e ver o p , allora e vero q') PUC) essere espressa in vari e altre forme, logic amente equival cnti ad essa . Tali form e rappr esenta na delle regole di dimostra zione per ottener e l'implicazion e preced ente. Ad esempio, p =} q e logicamente equivalente all a proposizion e -' q =} -, p , det ta la sua contron ominale; in forrnul e, possiarn o scriver e
(p =} q)
~
(-,q =} -,p).
La verifica e facile: per definizion e, p =} q e falsa solo qu ando p e vera e q e falsa , cioe quando -'q e vera e -'p e falsa ; rna quest 'ultima sit uazione corrisponde pr ecisamente al fatto che l'implicazion e -'q =} -,p sia falsa . Dunque, abbia mo stabilito la seg uente regola di dimostrazione: per dimostrare che se e vera l' ipotesi p a llora e vera la tesi q , possiamo su pp orre fals a la tesi q e da cio dedurre che e falsa l'ipotesi p . Ad ese m pio, se voglia mo dimostrare l' implica zion e 'se un numero naturale e d isp ari , a llora non e di visibile per 10', possiamo suppo rre che il numero sia un mul tiplo di 10 e da cio declurre (molt o facilmente) che il numero e pari. Un'alt ra regola di dimost razion e e la dimostrazion e per assurdo, che user emo t al volt a nel cor so del nostro stud io. Essa si esprime come (p
=}
q)
~
(p 1\ -' q
=}
-,p) .
Cio significa che per dimostrare I'implicazione p =} q possiamo equivalent cmentc proced ere nel seguente modo: supponi amo che sia ver a l'ipotesi p e che sia falsa la tesi q e usando cio deduciam o I'assurdo che I'ipotesi p cleve essere anche falsa . Un a forma pili gen er ale della dimostrazione per assurdo eespress a dalla formula
(p =} q)
~
(p 1\ -'q
=}
r 1\ -'r),
dove r e un 'altra proposizione logica : I'implicazione p =} q equiva le a su pporre ver a I'ipot esi p e falsa la tesi q , e a dedurre d a cio ch e un a certa a ffermazione r risulta contem poraneame nte vera e falsa (si noti che la proposizion e r 1\ -,r e sempre falsa , qualunque sia il valore di ver ita di r).
1.2 El em en ti di logic a m at ern atica
7
1.2.2 Predicati Introduciamo or a un conce tto import.ante. Chi amiamo predicato lo gico un enuncia t o p(x , . .. ) dipendente da uno 0 pili ar gom enti x, . . . variabili in opportuni insiemi, il Qual e diventa un a proposizione logica (cioe assume valori di verita Vero o Falso) tutte le volte che fissiamo ilji suoi argom enti . Ad esem pio, se x varia ne ll'insieme dei numer i naturali , l'enunciato p( x) = 'x e un numero dispari ' e un predi cato: p(7) e vero, p(10) e falso, e cost via . Se x e y vari ano nell'i nsiem e degli studenti iscritti al Politecnico, l'enunciato p( x, y) = 'ix e y sono compagni di corso' e un predi cato . Not ia m o che le op erazioni logiche possono essere applicate anche ai predicati , dando luogo a nuovi predicati (ad esempio -,p(x ), p( x) V q(x) , eccetera) . Cia, tra l'altro, stabilisce un preciso legame tra i connettivi logici primari -' , A, V e le op erazioni insiemisti che di passaggio al com plement are , intersezione e unione. Infatti, tornando alla definizione A = {x E X I p(x)} di sot t oinsieme A di un certo insi eme a mbie nte X , la 'proprieta cara tteristica' p( x) degli elementi di A null'altro e se non un predicato logico , che e vero per tutti e soli gli eleme nti di A. Il complementare CA e allora ottenuto negando la proprieta caratteristica , CA = {x E X I -'p(x)} ,
mentre l'intersezione e l'unione di A con un secondo sottoinsieme B = {x E X I q(x)} sono ottenuti rispet tiv amente congiungendo e disgiungendo le propriet a caratteristiche:
AnB
=
{ x E X I p( x) A q(x )},
AuB
=
{ x E X I p( x) V q( x)} .
Le proprieta delle operazioni insiemistiche ricordate nel paragrafo preced ent e corrispondono ad analoghe propriet a delle op erazioni logiche , che il lettore potra faci lmente esplicitare. 1.2.3 Quantificatori Dato un predi cato p(x) , con x vari abile in un certo insieme X , e naturale chied ersi se l'enunciato p( x) sia vero per tutti gli elementi x, oppure chiedersi se esista alm ena un elemento x per cui p( x) sia vero. Quando ci poniamo tali domande, st iamo consider ando le due proposizioni logiche
I::!x, p(x )
(che leggiam o 'per agni x,
e uero p(:r ) ' )
e :3x, p(x)
(che leggiamo 'esisie alm ena un x, per cui
e veTO p(x) , ).
Se vogliamo essere pili precisi ed indicare anche l'insiem e di appartenenza di x , scriviamo ri sp ettivamente 'I::!x E X, p(x) ' e ' :3x E X , p( x) ' . Il simbolo I::! ('per ogn i')
8
1 Nozioni di base
vien e detto quantificatore universale , men t re il simbolo 3 ('esiste a lmeno ') vien e detto quantificatore esistenziale . (Talvolt a si usa un t erzo q uantificatore, 3!, che sign ifies 'csist c esattamente un eleme nto' 0 'esist e ed e un ico '.) Sottolineiamo il fatto che l'applicazion e di un q uant ificatore a un pred icat o 10 t rasfor ma in una proposizione logica , della quale si puo st abilire il valore di ver it a. Ad esempio, se consideriamo il predicato p(x ) = 'x e stre t t a me nt e minore di 7', la prop osizione 'Vx E N, p(x )' e fa lsa (pe rche , ad esempio , p(8 ) e fa lsa ), men t re la proposizion e '3x E N, p(x)' e ver a (ad ese m pio x = 6 soddisfa l' enuncia to).
E util e soffermarsi sull'effet to della nega zion e logica su un pred icat o quantificato. Supponiamo ad esem pio che x ind ichi il gener ico student e del P olit ecn ico e sia p(x ) = 'x e d i nazionalit a italiana'. La proposizio ne 'Vx, p( x )' (cioe, ' t utti gli studenti del Politecn ico sono d i nazionalita it al iana ') e falsa. Pertanto, la sua negazione logica , '-{l7'x , p(x))' e vera; rna , attenz ione l: essa non affer ma che t u tti gli studenti del Politec nico sono stra nieri, be nsi che 'esist e alm eno uno stude nte del Po lit ecn ico che non e it ali ano'. Dunqu e, la negazion e della proposizione 'V.T, p(x) ' e la prop osizione ' 3x , , p(:r)' . In for mule possiarn o scrivere I , (vx, p(x)) In modo analogo ,
~
3x, , p(x)· 1
e facile convincersi che vale l' eq uiva lenza logica 1 , (3x, p(x))
~
Vx, ,p(x) · 1
Se un predi cato dipende da d ue 0 pill a rgome nt i, cias cuno di essi puo essere qu antificato. Tut t avia , I' ordin e in cui compaiono i q uantificatori puo essere importante. P recisame nte, due q uant ificat ori dello stesso t ipo (univer sal e 0 esist enz ia le) possono essere scambiati senza modifica re il valore di verita della proposizion e; in a lt ri termini, si ha
VxVy, p(x , y ) 3x3y , p(x ,y)
VyVx, p(x , V), 3y 3x , p(x ,y).
Al contrario, 10 scambio di due qu a nt ificatori di t ipo d iverso in gene re por t a a due prop osizioni logiche diver se; pert ant o, bisogna essere molt o atte nt i nell'elen care i quantificatori. A t itolo di esem pio, consider ia rno il predi cato p(x , y) = 'x 2:: V' , dove x e y variano nell 'insiem e dei nu meri naturali. La proposizione 'Vx Vy , p(:r , V)' sign ifica 'pr esi due numeri naturali qualunque , ciascuno e maggior e 0 ugu al e all'altro' ed e palesem en t e falsa . La pro posizione 'Vx 3y , p(x ,y) ', che sign ifica ' preso un qualunqu e int ero x, esiste un int ero y minore 0 ugu al e a x ', e vera: ad ese mpio, possiamo scegliere y = x . In vece la proposizione '3x Vy, p( x , V)' , che signifi ca 'esist e un int ero x mag gior e 0 uguale di tutti gli interi ' , e fa lsa: ogni int ero x a m mett e il successor e x + 1, strettamente maggiore d i x . Infine, la proposizione '3x 3y , p(x , V)' (' esist ono a lmeno d ue interi, l' uno maggior e 0 uguale a ll' alt ro') e banalm ente vera.
1.3 In sierni numerici
9
1.3 Insiemi nurnerrct Esaminiamo brevemen t e i p rincipali ins iem i numer ici che saranno usati nel segui to. La t rat t a zione e volutamente non esaust iva, in qu an t a le pro pr iet a princip ali di t ali insierni dovrebbero esse re gia note all'allievo. L'insieme N dei numeri naturali. L'i nsiem e e forma to dai nu mer i 0, 1, 2, . . . In esso sono definit e le op erazion i di somma e pr od ott o, che godono delle ben not e propriet a commut at iva, associat.iva e distribut iva . Indicherem o con N+ l'insiem e dei numeri naturali d iversi da 0, ossia
Un numer o natural e n viene comuneme nte rappresentato secondo la base decimale, come n = ck 10 k + Ck _ l lO k- l + .. . + c l IO + co, dove c; sono int eri cornpresi tra 0 e 9 det ti cifre decimali; la rappresen tazione e uni ca se supponi amo Ck =I 0 quando n =I O. Scriveremo n = ( Ck Ck-l .. . c ,coh o 0 , pili se mpliceme nt e, n = CkCk - l . . . C1C O' In luogo della base 10, si puo usare come base un qu alunque alt ro intero ;:::: 2; un 'al t erna tiva piuttosto comune a lla base decimale e cost it uit a dalla bas e 2, 0 base bin aria. I numeri naturali possono a nche esse re rappresent a ti geome t ricament e, come punti su un a retta. A tale scopo, e sufficiente fissare un primo punt o 0 sulla retta , che chiame remo punt o origin e e che ass ociamo a l numero 0, ed un secondo punt a P , diverso da 0 , che as socia mo a l numero 1. II verso di p ercor renza della retta che por t a da 0 a Pe defini t o come verso positivo, mentre la lun ghezza del seg mento OP viene presa co me un iia di tnisura delle lu ng hezze. Ri port ando i mult ipl i del segmento 0 P sulla retta , secondo il verso posit ivo, otten iamo i punti associati ai numeri na turali (si veda la F igura 1.4). L'insieme Z dei numeri interi relativi. L'insierne cont iene i numeri 0, + 1, - 1, + 2, - 2, . . . L 'i nsieme N puo esse re identi ficat o al sottoinsieme di Z farmat o dai numeri 0, +1 , +2 , .. . I numeri + 1, + 2, ... (rispettivame nt e - 1, - 2, . . .) sono detti interi posit ivi (rispet t iva me nte inieri negativi). In Z sono defini te le ope razioni di som ma e prodot t o ed in oltre l'op er azione di differen za , che e l'inversa della somma. Un numero in t ero relati vo puo essere rappresent ato in form a decim al e com e Z = ± Ck Ck - l . .. C l Co . La rappresentazione geometrica dei numeri negativi estende qu ella dei naturali all a sinistra del punt o origine (Fi gura 1.4) . L'insieme iQl dei numeri razionali. Un numero razional e e il quoziente di due interi relativi , di cui il den orninatore e diverso da O. Non e restrit tivo supporre che il den omina tor e sia positi vo, per cui ogni raz ion al e pu o essere rappresentato come -2
-1
5
o
o
4"
2
p
Figura 1.4. Rapp resentazione geomet rica dei numeri
10
1 Nozioni di base
z
r= - , ti
con z E Ze n E N+ .
Inoltre, possiamo supporre che la frazione sia ridotta a i minimi t er mini , ossia che z e n non abbia no fat t ori comu ni; in tal m od o , I'in siem e Z e identi fica b ile con il sot t oinsieme dei razionali il cui denominatore e 1. In
La seq uenza di cifre decim ali d 1 , d2 , . . . dopo il punto so ddisfa una e una sola delle seguenti pro p rie ta: i) t utte lc cifrc sono 0 a parti re d a un cert o indice i ~ 1 in p oi (si ha in t al caso un a m ppresen tazion e decimale lim itata; in gene re le cifre mi lle non vengono scrit te), opp ure ii) da un cert o indice in p oi , un a seque nza finit a di cifr e decim al i non t utte nulle, det t a periodo , si ripete infin ite vo lt e (si h a in t al caso una mppresentazion e decimale illimitata periodica; viene scritto un so lo p eriodo , sopralineato) . Ad ese rn p io, so no rap presentazion i de cimali d i nu m eri razion ali le espress ioni 35 163
-100 = -
351.6300 · · ·
=
- 371.63
e
11579
~
---
= 12.51 783783 · .. = 12.517 83 .
Notia mo che la rappresentazione decimale di certi numeri razionali non e unica. In fat t i, se un numero amrnette una rappresentazione d ecima le limitata, esso ammette a nc he la rappresentazionc decimale illim it a t a periodica , ot t enut a dalla prima diminuendo d i una u n it a la cifra de cimale non nulla che si t ro va pill a destra e aggiu nge ndo il p er iodo 9. Ad esemp io , Ie rappresent azioni 1.0 e 0.9 definiscono 10 stesso numero razional e 1; analogamente, 8.35 7 e 8.3569 sono ra p presen t azioni . 1en t 1o d e 1 numero 4120 cq uiva 493. La ra ppresent azion e geometrica di un numero razionale r = ±!ft si ottiene su ddi videndo il seg me nto OF in n parti ugual i e ri portando tri m u lt ip li del segmento cosi otten uto nel verso p ositi vo 0 nega t ivo a secon da d el segno di r (F igu ra 1.4). L'insieme lR dei numeri reali. No n t utti i punti di una retta corrispondono a num eri razionali , secondo la corrisponde nza a p pena descrit ta. C ia signifi ca ch e, comunque si fissi una unit a d i m isura, non t utte Ie lunghezze p ossono essere m isurate attraverso suo i multi p li e sottomultipli. E noto fin d all 'anti chi t a che la d iagonale d i u n quadrat o non e commens umbile con il lat o ; cia significa che la lunghezza d della di agonal e no n e proporzionale alia lungh ezza £ del lat o attraverso u n fattore d i p rop orzionali t a razionale . P er convincerci d i questo fat t o , ricordiamo il Teorema di P it agora : applicato a uno d ei 1
Pr eferiamo usar e it punt o, piuttosto che la virgola , per indica re I'in izio della parte non intera di un numero, in quanto questa notazione, di origine anglos asson e, e universalm ente adottata nel calcolo scient ifico.
1.3 lnsiemi numerici
11
d
o Figura 1.5. II quadrato d i lata £ e la sua diagonale
due triangoli equilateri rettangoli in cui la diagonale divide il quadrato (si veda la Figura 1.5) , esso afforrna che cioe Se chiam ia rno p il fat tore di proporzionalita tra la lunghezza della diagonale c la lunghezza del lato, cioe se d = p£, elevando al quadrato e sostituendo nella relazione precedente vediarno che necessariamente deve essere p2 = 2. Diciamo chc p e la radic e quadmta eli 2, ch e indichiamo con il simbolo V2.
Proprieta 1.1 Be il tuun ero p soddisfa p2 = 2, allora p nan Diruostrazione.
c razionale.
Per ass urdo , sup po niamo chc esistano due naturali m ed n , necessariamcnte diversi da 0, tali chc p = ~. Supponiamo inoltrc che ni ed n non a bbiano fattor i coinuni. E levando al qua drate, si ot tiene 11 = 2.• vale a di re rn 2 = 2n 2 . Dunqu c m 2 C Illl num cro pari,• e cio cq uivale al fatto che m c pari. Pe rta nto, sa ra rri = 2k per 1111 opportuno naturale k. Sostituendo nella relazioue prcccdente, otteniamo 4k 2 = 2n 2 , cioe n 2 = 2k 2 . Dunque anche n 2 , e consegucntemcntc n , c pa ri. Siarno qu incli giunti alia conclusio ne chc In cd n sono cntrarnbi pa ri , contro l'ip otcsi cho css i non abbiano fattori cornuni . L'assurdo c nato dall 'aver SIlPPOStO P razionalc.D
m:
Un altro esempio rilevante di non commensurabilita razionale, anch 'esso ben noto nell 'antichita, riguarda la lunghezza di una cir conferenza rispetto a lia lunghezza del suo diametro. Anche in questo caso, e possibile dimostrare ch e il fattore di proporzionalita tra Ie due lunghezze, noto con il simbolo 11" , non puo essere un numero razionale . L'insieme dei numeri reali costit uisce un'estensione dell'insieme dei numeri r azionali ; esso fornisce un modello rnatematica della retta, nel senso che ogni punta P d ella retta e associate ad uno e un solo numero reale x, d etto I' ascissa di P, e vic eversa. Esistono vari modi , tra loro equivalent i, per effet t u a re tale estension e; tuttavia , non vogliamo qui entrare in t ali d ettagli. Ri cordiarno soltanto che , in
12
1 Noz ioni di base
termin i di rappresentazione in base decimal e , i numeri rea Ii possono d are lu ogo ad un qualunque a llineamento di cifre do po il punto . I nu m eri rea li non razion al i, detti numer i irrazion ali, sono ca rat te rizzat i dall'avere una rapprescnta zione decimale illimi tata e non peri odica. Ad esem pio, si ha
J2 =
1.4142135623731 · . .
e
7i
= 3. 1415926535897· · ·
Pi li che la costr uz ione d ell 'insicme lR , cia che ci int eressa so no Ie prop riet a dei nu meri reali , che ci permet t on o d i operare su d i ess i. T ra q ueste, ne ricordiamo alc u ne tra le pili ril evant i. i) Le operazioni aritm etiche definite sui razionali si esten dono ai reali, con a naloghe proprieta . ii) L 'ordinarnento x < y dei tiumeri razionali si esten de ai reali, ancora con a naloghe proprieta. Approfondirerno questo a rgoment o nel successivo Paragrafo 1.3.1. iii) I tiumeri razionali sono densi nei reali. C ia significa che tra due numeri reaIi qu alunque esist ono in finiti numeri razionali. Quest a p ropriet a implica che ogn i nurnero real e puo essere approssirnato tanto b ene q uanta vogliamo d a un numero razion ale. Ad ese m p io, se 7' = CkCk - l . . . c lco .d 1 d 2 · · · d id i + 1 . . . ha una rappresentazione decim ale illimit at a non p eriodica , esso puo cssere a p p rossim ato dal nur nero razionale qi = Ck Ck - l . . . c icc -dvd z .. . d , ottenuto troncando la parte d ecimale di r dopo i cifre; al crescere di i , si ottengono approssimazion i d i r via via pili precise. iv) L 'insierne dei numeri reali e completo. Quest a propri eta, che geo metrica m ent e equivale al fatto , gia m enzion ato , ch e og ni punt o di u na retta puo ess ere univoca ment e associato ad un numero real e, garantisce ad esem p io I'esist en za de lla rad ice quadrat a d i 2, cioe la risolubi lit a in lR de11 'equazion e x 2 = 2, COS ) come la riso lubi lita di in fini t e alt re eq uazion i, alge briche e non . Tornere mo su ques to as pett o ne l successivo P aragr a fo 1.3.2.
1.3.1 L'ordinamento d ei numeri r eali I nume ri reali diversi d a 0 si dividono in numeri p osi ti vi , che formano il sottoinsieme lR+, e numeri negativi , che form a no il so t toinsiern e lR_ . Abbiamo quindi la parti zione lR = lR_ U {O} U lR+. E utile d efinire anch e I'insiem e
dei numeri p ositivi 0 nulli. I numeri p osi ti vi corrispondono a punti sulla ret t a che si trovano a d estra de11'ori gine rispet to a l verso di p ercor ren za positi vo . Anz iche sc rivere x E lR+, scriveremo p ili sernp licemente x > 0 ('x e maggiore d i 0') ; analogamente, in luogo d i x E lR., scrive re mo x ::::: 0 ('x maggiore 0 ugu al e a 0') . P ossiamo allora defin ire un ordi namento tra i numeri reali , p on endo
e
x
y -
x > O.
1.3 In siem i numeri ci
13
L'ordinament o c totale, cioe presi comunque due numer i reali x e y di stinti , e sernpre vera un a (e una so la ) delle due con dizioni x < y op pure y < x . Dal punto di vista ge omet rico, la rela zione x < y significa che il p un t a su lla ret t a di ascissa x si t rova alla sin ist ra d el punta di asc issa y . P oniamo ino lt re
x
oppure
x = y.
Ov viamente , se x < y allo ra si ha pure x ::::: y. Ad esempio, le relazioni 3 ::::: 7 e 7 ::::: 7 sono vere, m en tre la rela zion e 3 ::::: 2 e falsa . La relazione d i ordi ne ::::: (opp ur e < ) inter agisce con le op erazioni algebriche di so m ma e pro dotto nel modo seguente: se x ::::: y e se z
e un qualunque nu mero reale, allora :1: + Z ::::: y + Z
(cioe, aggiu ng en d o a d am bo i membri di una disuguaglianza uno stesso numero rea le, la di sugu aglianza non cambia ) ; se x :::::y e se
{
z > 0. z
-
<
, 0,
allora xz::::: y z , allora xz
~ yz
(cioe, mo lt ip lica ndo a mbo i m em bri di u na disu gu aglianza p er un o stesso numer o p ositi vo 0 nullo la di sugu aglianza non ca m b ia , men tre se il moltiplicat ore e negati vo la clisuguaglia nza si invert e ). Ad ese m pio , molt ipli ca nd o p er - 1 la di su gu aglianza - 3 ::::: 2 si ottiene - 2 ::::: 3. Notiam o che d all a prop riet a preced ente seg ue la b en no t a regola dei segni: il p rodot to di due numer i di segno concorde e po sit ivo, di seg no d iscorcle e nega t ivo . Valore assoluto. Veni amo ora ad un concet to se mplice m a impor t ant e. Dat o un nurn er o reale x, ch ia rniamo valore assoluto 0 m odulo di x il numero reale
°
Ixl = { X -x
°
- , se x > se x < 0.
Abbiamo q uind i Ixl ~ qua lunque sia x in R Ad ese m p io, 1 51 = 5, 101= 0, I - 51 = 5. D a l p u nta d i v is ta geometrico , Ixl rappresent a la di st anza clall 'origin e del p un to sulla retta d i as cissa x ; a nalogame nte, il nurnero Ix - yl = Iy - z ] e la di st anza tra due punti d i ascissa rispett ivame nt e x e y. Saranno uti li le seg uenti relazioni , di facile ver ifica , che lega no il valore ass oluto alle operazion i a lgeb ric he :
I lx + yl : : : Ixl + IYI ,
p er ogni x , y E
~I
(1.1)
14
1 Nozi oni eli base
(d etta disuguaglia nza tTiangolar'c) o
I lxyl = 1:r;llyl,
per ogni x, y E R
I
Nel cors o del n ostro st ud io, dovremo riso lvcre equ azion i e di sequazioni che fanno int erveni re il val ore assoluto , Vedi arno Ie pili sem p lici. In b ase alia definizione,
1:1:1= ammette l'unica so luz ione x l' equazione h a due soluz ioni , :r; = a e .7:
° e un
0; invece , se a
qualunque numero
> 0,
Ixl =a
= - a . In
I lxl = a
sintesi ,
x = ±a,
vo.> 0.
So inve ce vogliarno risolvere la dis equazion e
Ixl :s; a ,
con a ?: 0,
cons ide ria m o d apprima Ie soluz ioni x ?: 0 , p er Ie quali si ha Ixl = x e dunque la condi zione diventa semplice mente x :s; a ; successiva rne nte co ns id eria m o lc solu zio ni x < 0 , per Ie quali si ha 1.7:1 = - x, c in t al caso la cond izione di venta - x :s; a, cioe -a :s; x . In conclus ione, Ie soluz ioni sa na i reali x ch e so d d isfano :s; x :s; a oppure - a :s; x < 0, il che puo essere scri t to com pattament e come
°
I lxl :s; a Analogamen t e,
-
e facile ver ificare che, I lxl ?: b
(J,
:s; x :s; a.
(1.2)
se b ?: 0,
x :s; - b oppure x ?: b.
(1.3)
Una di su gu aglianza un poco p iu generale, del tipo
1.7: - Xo I :s;
(J"
can Xo E lR fissa t o e a ?: 0, equivale a - a :s; x - Xo :s; a ; som mando .7:0 a ciascun te rm ine , ott eni amo
I lx - :r;ol :S; a
Xo - a
:s;
x
:s;
Xo
+ a·1
(1.4)
Ne lle d isuguagli anze p re ced en ti , p ossiarno sostit u ire il sim b olo :s; con il sirnb olo
<.
1.3 In siemi nu me rici
15
Intervalli. Come most ra it semplice st udi o appen a svo lto, soven te in Ana lisi Mate mat ica int ervengono sottoi nsiemi di lR costit uiti da t utti i numeri com pr esi tra due est rem i fissati. Tali sottoins iemi sono det t i int ervall i.
D efinizione 1.2 Si ano a e b due numeri reali tali che a intervallo chiuso di estremi a e b l'insi em e
[a, b] = { x
E
< b. Chiamiarno
lR I a:::; x :::; b}.
Se a < b, chiamiarno invece intervallo aperto di estremi a e b l'insiem e
(a,b)={x E lR I a < x
e la, b[.
a
b
b
Figura 1.6. Rapp resent azione geometrica d i un int ervall o ch iuso [a, b] (a si nistra) e di un inter vall o aperto (a, b) (a destra)
E po ssibile
escludere dall 'i nt crvallo uno solo degli estremi , ot t enenelo l'int ervallo sem i-apert o a dest ra eli estrem i a e b
I [a, b) = { x E lR I a :::; x < b} I opp ure l' intervallo semi-aperio a sinis tra
I(a, b] = {x
E lR
Ia < x
:::;
b}· 1
Esempio 1.3 Si voglia det erminar e l'insiem e A formato dagli x E lR t ali che 2 :::; [z] < 5. Ricordanelo le (1.2) e (1.3) , si ottiene facilme nte che
A = (-5, -2] U [2, 5).
E utile considerare a nche
int ervalli definiti da un a sola disu gu aglian za . Poniamo
I [a, +00) = {x E lR I a :::; x }, op pure
D
(a, +00 ) = {x E lR I a < x }, I
16
1 Nozioni d i base
I(- oo,b]
=
{.r E JR I x:::; b},
(- 00, b)
=
{x E JR
I x < b}· 1
I simboli - 00 e +00 non inelicano nurneri reali; essi p ermettono eli estenelere 1'01'dinamento elei reali , a t t raverso la convenzione che - 00 < x e x < +00 p er ogni x E IR. In alt r i termini , la cond izionc a :::; x equivale a a :::; x < +00 , il che mostra che la notazione [a, + (0 ) e coerente con quell a usat a precedenternente nel caso eli est remi reali. Talvolta e conven iente porre
(- 00, +(0) = IR. In generale diremo che un intervallo J e ch iuso sc contiene i suoi est rem i e a perto se non li contiene . I punti dell'intervallo che non sono estrerni vengono elet t i punti inte rni. Insiemi limitati. Veni amo ora al concert o eli insieme lim it a t o. Definizione 1.4 Sia A un sott oinsieme di IR. Diciamo superiormente limitato se esisie un tiumero reale b tale che
x:::; b,
che A
e
per ogni x E A.
Ogni b che soddisfa tale relaziotie viene detto un maggiorante di A . Si dice che A e inferiormente limitato se esiste un numero reale a tale che
a :::; x,
per ogni x E A.
Ogni ache soddisfa tale relazione viene detto un minorante di A . Si dice infine che A e limitato se e contemporaneame nte superiormeni e e inferiorment e limitato . In termini eli intervalli , un insierne e superiormente lim it at o se e cont enut o in un intervallo del tipo (-00, b] per qualche b E JR. Sirnilrnente, A e limitato se c contenuto in un intervallo elel tipo [a, b] per qualche a, b E IR. Non e elifficilc verificare che A e lirnitato se e solo se esiste un re ale c > 0 tale che
Ixl :::; c,
per ogni x E A .
Esempi 1.5 i) L'insiernc N e inferiormente lirnit a to (ogni numero a :::; 0 e un minoranto di N) , rna non e superiorme nte limit a to: infatti, vale la cosielclet t a proprieta di Archimede : per ogni numero reale b > 0, esiste un intero n tale che
> b.
(1.5) ii) L'intervallo (- 00,1] e sup eriorrnente limitato, rna non inferiormente limitato. L'intervallo (-5, 12) e lirnitato . 11
1.3 In siemi numer ici
17
iii) L'insi em e
A= {n: l lnEN } = {O, ~ , ~ , ~ , . . . } e limi t at o; infat ti
si ha 0 :::; n
(1.6)
n
+ 1 < 1 per ogni n E N.
iv) L'insiem e B = {x E Q I x 2 < 2} e limi t ato. Infat ti , se ad esempio necessariamente x 2 > ~ > 2 e d un que x
Ixl >
3
2'
o
D efinizione 1.6 Diciamo che un insiem e A C IR ammette massimo se esiste usi elem ento x MEA tale che per ogni x E A. L 'elem enio XM [necessariam en ie unico] dicesi il m a ssimo dell'insieme A e uiene denotato con x M = max A . Il minimo di uti in siem e A , che indichiamo con X m = min A , e definito in modo analogo. Osserviamo che se un insiem e ammette massimo, esso e su pe riorme nte limi t ato ; in fa t ti , il mas simo dell 'insiem e e un maggiorant e dell'insiem e , a nzi e facile vede re che e il piu piccolo dei su oi maggiomnti. Tut t avia, non vale il viceversa : un insiem e puo essere superiormente limi t at o senza am mettere mas simo. Cons ide riamo ad esem pio l'insiem e A defini t o in (1.6). Abbiamo gia osservato che 1 e un maggiorant e dell'insiem e. 'Ira t ut t i i m aggior anti di A , 1 e privilegiat o: e il piu piccolo dei m aggiom nti. P er convince rc i di qu est a fatto, facciam o vedere che ogni numero reale r < 1 non e un m aggiorant e di A: cia signifi ca che esist e un int ero n t ale che
n n +l
- - >1'.
· li . . , 1 + -1 < 1 vale a dire . -1 < T a 1e d Isugu ag Ian za equival e a -n + - 1 < 1 ctoe n r n r n 1- r r - - , cioe ancora n > - - L'esis t en za di tale n segue allora dalla proprieta di l'
1-1'
Ar chimed e (1.5). Dunque, 1 e il piu pic colo dei m aggioranti di A , ma non e il massimo di A , in quanto 1
= sup A.
n+ l
In modo analogo , se cons ide ria mo I'intervallo 1= (0, 2), possiamo verificare che 2 e il piu piccolo dei maggioranti di I , ma non appa rt iene ad I. Diciamo quindi che 2 e I'estremo su periore d i I e scriviamo 2 = sup I .
18
1 Noz ion i d i base
D efinizione 1.7 Sia A c IR un insieme superiormenie lim itato. Chi amuuno estrerno superiore eli A il piu piccolo dei rnaggioranti di A ; denoi iamo tale tiumero reale con sup A. Similme nte, se A eIRe un insieme inferiorment e limiiaio, chiamiamo e st r erno inferiore eli A il piu grand e dei rninoranti di A ; denotiamo tale numero reale con inf A. sup A
Osservi amo che il numero s condizioni:
i) per ogni x E A , x ::::: s ; ii) per ogni reale r < s , esiste
1Ln
e caratterizzato
elall e seg ue nt i due
eleme nto x E A tale che x > r .
(1.7)
La p rima cond izione di ce che s e un m agg iorant e di A ; la seconda a fferma che ogni numero m inore di s non e un m aggio rante eli A , cioe ch e s c il p ill p iccolo dei m aggioranti di A. Le conelizion i (1.7) sono quelle da verifica re per far ved er e che un numcro e l'estremo su pcriore eli un insieme . E precis arnente cia che a bb ia rno fatto per asse rire che 1 e I'estrcmo superiore elell 'insiem e A definito in (1.6). II concetto eli est re rn o superiore estende quello eli m assimo eli llll ins ieme. Infatt i, e im rned ia to verifica re che sc un insi eme A h a rnassimo x M, allora tale nurn ero e an che l'estremo superiore eli A . Sc un insierne A non e su pe riormente limit a te, eliciamo che il suo est remo sup eriore e + 00, ossia poniamo p er elefinizione su p A = + 00. Analo gament e, se A non
e inferiormen t e limita te , poniamo in f A =
- 00.
1.3.2 La cornpletezza eli IR La proprieta eli corn pletezza eli IR si esprime in va rie forme, tra loro equ ivalent i. P robabilmente, 10 stuelente h a gia vis to la p rop rie t a eli separabilit a delle classi contigue: se de componiamo IR nell 'unione eli elue sott oinsierni elisgiunti 0 1 e O 2 , t ali che ogni ele me nt o eli 0 1 sia minore 0 ug uale eli og n i elemento eli O2 (0 1 e O2 sono detti classi contigue), allora esis te un (unico) element o s E IR tale che
Un 'altra forma della propri eta eli com p letezza di IR e legata al conc etto di est re mo su p eriore eli un insiem e . Essa afferrna pre cisamente che ogni insierne superiorm enie lirnitato amrn ette in IR estre rno superiore, cioe esiste un nurnero real e ch e e il pili pi ccolo elei m aggioranti dell 'insieme.
1.4 Fa t toriali e coe fficient i binomiali
19
E attraverso questa p ropriet a che, ad esem pio, possiamo d imostrare I'esistenza in JR della radice quadrata di 2, cioe di un numero (> 0) tal e che p2 = 2. Riprendendo infatti I'Esempio 1.5 iv), la complete zza di JR ci assicura l'esistenza dell 'es tremo su pe rior e dell'insieme limitato B = {x E Q I x 2 < 2}; sia esso indicato con p. Usando Ie proprieta di JR, e possibile far vedere che non puc, esse re p2 < 2 altrimenti p non sarebbe un maggiorante di B , ne puc, esse re p2 > 2 al trimen ti p non sare bbe il pili piccolo dei maggioranti di B . Dunque necessariamente deve essere p2 = 2. Si noti ch e I'insiem e B , pur essendo cont enut o in Q, non potrebbe avere un estre mo superiore razion ale ; infat ti , abbiamo gia osservato che se p2 = 2, p non puc, essere razionale (Propriet a 1.1). L' esempio ora dis cu sso illustra come la proprieta di completezza di JR sia alla base della possibilita di risolvere in JR varie equazioni notevoli . In particolare , se consid eriamo la famigli a di eq uaz ioni algebriche (1.8) con n E N+ ed a E JR, vale la p ena di ricordare il seguent e ben nota risultato. Proprieta 1.8 i) Sia ti E N+ dispari . Allora, per ogni a E JR, l 'equazione (1.8 ) ha in JR esatt ame nte una soluzione. Essa vien e indicata con x = \Iii oppure con x = a l /n , e detta la radice n-esima di a .
ii) Sia n E N+ pari. Allora, per ogni a > 0, l'equazione (1.8) ha in JR esattam ente due soluzioni, di uguale ualore assoluto ma di segno opposio; per a = 0 si ha la sola soluzione x = 0; per a < 0 non si hanno soluzioni in JR. La soluzione ::::: 0 dell 'equazione viene indicata con x = \Iii oppure con x = a l / n , e detta la radice n-esima (aritmetica) di a.
1.4 Fattoriali e coefficienti binomiali Introduciamo or a alcune qu antita intere notevoli , che int ervengono in diversi campi dell a Mat em a tica. Dato un numero intero n ::::: 1, il pro dot to di t utti gli interi compresi t ra 1 ed n vien e det to fattoriale di n ed indicato con il simbolo n! (che si legge ' n fattoriale ') . E conven ient e definire anche il fatto riale di 0, ponendo O! = 1. Si ha dunque per n::::: 2. 1
(1.9)
II fattoriale cr esce molto rapidamente all 'aumentare di n ; ad ese mpio, 5! 10! = 3628800 mentre 100! > 10 157 .
= 120,
I O!
=
1,
I!
= 1,
n! = 1 · 2 · . . . . n = (n - I) ! n
20
1 Nozioni di base
Esempio 1.9 Su pponia mo che un 'u rn a cont enga n 2: 2 palline di co lore di verse . C hied iam oc i: in quanti modi possiamo est rarre le palline d a ll' urna ? Quando cstraia mo la p rima pallina, effett u ia mo un a sce lta t ra le n p alline presenti nell 'urna ; p oi est raia mo la seconda palli n a , sceglienclola tra le ti - 1 palline rimanenti ; la te rza e sce lta t ra le n- 2 pal lin e r im anen ti , e COS! via. In totale, a b b ia mo dunque n(n- I) ·. . . ·2 ·1 = n! risult a ti diversi dell'est razion e delle p alline: n! rappresen t a il num ero d i possibili disposizioni di n oggetti distinti in seq u e n z a , 0 - che e 10 stesso - il numero di p ossib ili p ermutazioni di n ogg ett i orclina t i. Se ci lirnit iamo a k estrazioni, con 0 < k < n ; abbiamo n (n - 1) . . . (n - k + 1) n! risu lta ti possibili. Tale espress ione , che p uo essere scr it t.a come (n _ k) !' rap presenta il nu m ero cli po ssibili disposizioni di n oggetti distinti in sequenze di k . Notiamo che se ammettiamo la rip etizione del co lor e , cioe se ogni vol t a che estraia m o un a p alli n a immett iamo nell' urna un ' altra p allin a dello stesso co lor e, allora ad ogn i estrazion e scegliamo tra n palline di colore diver so. Se effet t u ia m o k est razion i, con k > 0 ar b it rario, a b b iam o dunque n k seque nze p ossibili di colori: n k e il numero delle disposizioni di n ogg etti in seq uen ze di k , con ripetizione (cioe ammettendo la ripetizione d ell 'oggetto) . !D Dat i clue int eri n e k t ali che 0 ::::: k ::::: n , d efin iamo il coefficiente binomiale di indici n e k come la qu anti t a
n! k!(n - k) !
(1.10)
(il simbolo ( ~) si legge comunemente ' coefficient e binomial e n su k' ). Osserviamo che se 0 < k < n , po ssiamo scrivere
n! = 1·. . . ·n
=
1·. . . ·(n- k)( n- k+ I) ·. . .·(n- I) n
=
(n -k )!(n -k + I ) ·. . . ·( n- I )n
e dunque, sem p lificando e inver tendo l'ordine dei fattori a numeratore, la (1.10) d iven ta
(nk )
= n(n - I) · . .. · (n - k+ I )
k!
'
(1.11)
che e un 'al t ra esp ressione sovente usa t a p er il coeffi ciente bi nomiale. Dall a defin izion e (1.10), segu e p oi facilm en te che
e che
(~) (~)
= I,
1.4 Fa t t orial i e coe fficie nt i b ino m ia li
Inoltre, no n e difficile ver ificare che , per ogni n vale la relazion e
~
21
1 e per ogni k tale che 0 < k < n , (1.12)
la quale forn isce un conveniente modo di ca lcolar e i coefficienti binomiali in modo ricorsivo; cia significa che i coefficient i di indice n posson o essere facilm ent e ca lcolati un a volta noti qu elli di indi ce n - 1. La form u la suggerisce di disporre i coefficient i binomiali secondo un a tabella di forma tria ngo lar e, not a come triangolo di Tartaglia (si veda la Fi gura 1.7) , in cui ogni coefficiente di indice n , ad eccezione de l primo e dell 'ulti mo, si t rova al di sotto dei d ue coefficient i di indice n - 1 che 10 gene rano seco ndo la (1.12). Si osserv i che la costruzione del t ria ngo lo di Tart aglia mostra che i coefficienti bin omi ali sono t utti nu meri int eri . 1 1
1
121 1 33 1 1 4 6 4 1 1 . ..
. .. 1
Figura 1. 7. Tria ngo lo d i Tartag lia
I coefficienti binomi ali traggono il loro nome dal fatto che essi int er vengono nello svil u ppo de lle poten ze d i un binomio a + b in termini dei prodot ti delle potenz e di a e b. Lo studente ricorda gli svilup pi not evoli e I coefficient i che ap paiono so no propr io i coefficient i bin omi ali relati vi ag li indici n = 2 e n = 3. In generale, p er ogni n ~ 0, si ha la formula (a
+ b)n = a n + n o, n- 1b + . . . + =
t (~)
(n)
k a n-k bk
+ . . . + no,bn - 1 + bn (1.1 3)
an- kbk,
k=O
not a come formula del binomio di Newton. Ess a si dim ostra usanda la relazione (1.12) , medi ante il metod a di dimostrazione per in duzione ~ Princ ipio di induzi one.
Esempio 1.9 (seguito)
I
Dat e Ie n pa lline di colore di verso e fissa to k ca n 0 ::; k ::; n , chied ia moc i or a quanti insiem i di stinti di k palline possiam o for mar e.
22
1 Nozio ni di base
Se p ro ced iamo est raend o una pallina d all'insiem e in izial e , poi un a pallina d all' insiem c delle n - 1 pall inc rimanenti, e cosi via pCI' k volt e , abbiarno , come gia osservato, n (n - 1) . . . (n - k + 1) risultati possi b ili. D 'altro ca nto , l'estrazione delle stesse k pallinc in un ord ine diverso porta a l med esim o insi eme . R icorclando che gli orclinamenti possibili di k palline so no k! , con c1uclia mo ch e il numero
diI insi msierrui d iist stiinti nt i diI x pa11'me e, n (n - l ) · ...k !·(n - k + l)
. = ( n) k . Diremo
c1te
tale coe fficient e b ino rniale rappresenta il num ero d i combinazioni di n oggetti distinti in gruppi di k . Equivalentemente , esso rapprcsenta il numero clci sottoins iemi d i k eleme nt i conte nut i in un insiem e di n elementi. Si osservi che, come rnostra la (1. 13) co n a = b = 1, la sornma di t utti i coefficien ti bi nom iali di inclice n c ugu ale a 2n , ch e e p recisa rnen t e il nu m ero totale D clei sottoins iemi di un insicrne d i n elementi.
1.5 Prodotto cartesiano Siano X e Y clue insicmi non vuoti. P res i un elemento :E in X e un cleme nte V in Y, formiamo la coppia ordinata
(x ,V) av ente come prima com pone n ie l'elem ento x e co m e seconda com pone n ie l'elem cnto V. Notiamo che una coppia orclinata co nc ettualm cnte cliversa cla un insiem e conte nente clue element i. Come clice il nome, in una cop p ia ordinata importante I'or d ine in cu i com paiono Ie com p one nt i; cia non e vera p er un insieme . Se x i- V, Ie coppie orclinate (x , V) e (y,x) sono cliverse, mentre gli insiemi { x ,V} e {V, x} coinc idono. L'insi emc clelle coppie orclin ate (x, V) a l variare d i x in X c V in Y costituisce il prodotto cartesiano d i X e Y , chc in dichiamo con X x Y , In formu la ,
e
I
X x Y = {(x, V) I x E X, V E
e
Y}· I
E possibi le rappr ese ntarc gr aficamente il pro clot to ca r tesia no come un ret tangolo, in cui la b ase corrisponcle a ll' insieme X e I'altezza corr isponde all' ins icme Y (si vecla la F igura 1.8). Se gli insiem i X e Y so no cliversi , il p roclotto X x Y sara clivc rso clal proclot t o Y x X; in alt ri term in i, il proclotto ca rtesia no no n e com mutative. Sc invece si ha Y = X , allora e consu et u cline p orre per brevita X x X = X 2 . In tal caso, e clefini to in X 2 il sottoins ierne
.d ={ (X,V) EX 2I x =v} cost it uit o clall e coppie avcn t i uguali com p one nt i, che chi amiamo la diagonale clel proclotto ca rtesia no.
1.5 Prodotto cart esia no
23
Y -------- ,.....,..~~~=---:-:,..., XxY
(x , y)
x Figura 1.8. Prodotto cart esia no di insiemi
L' esempio piii significativo di prodotto cartesiano si ha qu ando X = Y = R L'insieme jR2 e Formato da tutte Ie coppie ordinat e aventi componenti reali . Come I'insieme jR costituisce un modello matemati co della ret t a, cosl jR2 rappresenta un mod ello matematico del piano (vedasi la Figura 1.9, a sinist ra). Per definirlo, scegliamo una ret ta nel piano, sulla qu ale fissiamo un'origine 0 , un verso positivo di per corren za e un a unita di misura delle lunghezze. Tale ret t a costituira I' asse delle asciss e. Su ccessivamente, ruotiamo la ret ta attor no all' origine di 90° in senso antiorar io, ott en endo I' ass e delle ordinate. Abbiamo cost ottenuto un rife rime nto cariesuui o ortogonale isometrico (menzioniamo qui , senza ulterio ri approfondiment i, che t alvolta e utile cons ider are riferiment i cartesiani in cui gli assi non siano ortogonali t ra loro e/o Ie unita di misura, t alvol t a dette scale, siano diver se sui du e assi) . Dato un qu alunque punto P del piano, tracciamo Ie due parallele agli assi ca rtesiani passanti per P ; indichiamo con x il numero reale as socia t o a l punta inter sezione dell 'asse delle ascisse con la parallela all' asse delle ordinate ; similmente, sia y il reale assoc iato al punto int ersezion e dell'asse delle ordinate con la parallela all 'asse delle ascisse. In t al modo ass ocia mo univocam ente a ogni punto P del piano una copp ia (x ,y) E jR2, e viceve rsa. Diciamo che x e I'as cissa e ye I'ordinata di P ; globalmente, x e y sono Ie coordin ate cart esian e di P risp etto a l riferimento scelto.
z
(x , y)
•
•
(x , y, z)
:r
Figura 1.9. Modello m at ematico del piano (a sinistra) e della spazio (a destra)
24
1 Nozion i d i base
II conce t to d i prodot t o ca rtesia no puo esse re generalizzato al caso di pili di due insiemi . Precisam ent e, da t i n insiemi no n vuoti X l , X 2 , . . . , X n , formiamo Ie n- up le ord inate ( X l,X2 ,
,X n )
sceg liendo ordinatament e, p er i = 1, 2, ,n, ciasc una com ponente Xi nell'insiem e X i. II prodot to cartesiano Xl x X 2 X X X n e costit uito dall 'insiem e di t utte quest e n- uple. Se Xl = X 2 = . . . = X n = X , poniamo pili se mpliceme nte X x X x . . . x X = X " : In partico la re v R'' e l'insieme delle terne (x , y , z) a com po ne nt i reali; esso cost it uisco un modello matem atico dello spazio t rid imen siona le (vedas i la F igur a 1.9, a dest ra).
1.6 Relazioni nel piano C hia miamo pian o cartesiano un piano mu nito di un riferi m en t o ca rtesiano ortogonale isometrico. Come abbiamo visto , esso puo esse re ident ificato al prod ot t o cartesiano ]R2 . Ogni sot t oins ieme non vuo t o R di ]R2 definisce una relazione t ra numeri reali ; pr ecisamente, diciamo che X e in relazione con y att raoerso R se la coppia ordi nata (x , y) appartiene a R . II grafi co della relaz ione e l'i nsieme dei punt i del pian o le cui coord inate st anno in R . Sovent e, un a relazione e definit a attraverso una a pili equazioni 0 disequazioni, che fanno int ervenire due varia bili x e y. II sot t oinsieme R e a llora definit o come l'insieme di t utte le coppie (x, y) tali che x e y soddi sfano la a le condiz ioni impost e. Identi ficare R significa spesso ind ivid uare il suo grafico nel pian o. Vediamo alc uni ese m pi. E sempi 1.10 i) Un 'equazione del t ipo
ax
+ by
= c,
ca n a , b cost ant i non t utte nulle, definisce una ret t a . Se b = 0, la retta e parall ela all'asse delle ord inate , men tre se a = 0 la retta e parall ela a ll' asse delle asc isse. Supponendo b -I- 0, possi amo riscrivere l'equazione come y
= m x +q,
ca n m = - ~ e q = ~. Il va lor e m dicesi il coeffi ciente ango lare della ret t a . La ret t a pu o essere tracciata determinan d o le coord inate d i d ue punti su d i ess a , cioe t rovando due coppie dist int e (x, y) che sodd isfano l'equ azion e. Notiamo in part icolare che c = 0 (oppure q = 0) se e solo se l' ori gine a ppartiene alia ret t a. Ad ese mpio, l'equazione x - y = 0 defin isce la biset trice del prim o e t erzo qu ad rant e. ii) Se in luogo dell'equazione pr eced ent e consideria mo la disequ azi on e
ax
+ by < c,
1.6 Relazioni nel pian o
25
Figura 1.10. Grafico della relaz ione defini t a nell 'Esem pio 1.10 ii)
a llora definia mo uno dei due semipiani in cui la ret t a di equa zione ax + by = c suddivide il piano (si ved a la F igura 1.10). Ad esem p io, se b > 0, ottenia mo il sem ipiano ehe si trova a l di sotto della retta in questione. L'insieme cost det ermina to e ap erto , ossia non eomprende la retta, in qu ant o nella disequazione vale la disu gu aglianza forte; se inveee si eons ide ra la disequazione debo le ax + by ::; c, allora si defini see un insieme ehiuso, cioe eont enente la ret t a ehe definisee il semipia no . iii) 11 sistema di disequazioni y > 0, { x -y::::: 0,
definisee l'int ersezione t ra il sem ipia no ape rt o ehe si t rova al di sopra dell 'asse delle ase isse, e il semipia no ehiuso ehe si t rova a l di sotto della biset t riee del primo e te rzo qu adrant e. Si ottiene quindi (F igura 1.11, a sinist ra) l'angolo raeehiuso t ra il serniasse posit ivo delle asci sse e la biset triee del primo quadrante (i punti sull'asse delle asc isse so no esclusi). iv) La diseq uazione
[z -
yl < 2
equivale, ricordando la (1.2), a lla doppia disequazione
- 2 < x - y < 2.
y = :r +2
y = x -2
F igura 1.11. Gra fici delle relaz ioni definit e negli Es empi 1.10 iii) (a sinistra) e 1.10 iv ) (a destra )
26
1 Nozio ni di base
y
=
1
F ig u r a 1.12. G rafici delle rela zioni defini te negli Esempi 1.10 v ) (a sinist ra) e 1.10 vi) (a destra)
A sua volta, la elisequ azione eli sinistra equiva le a y < x + 2 e dunque elefinisce il semipian o ap erto al eli sot t o della retta y = .1: + 2; sirnilm en t e, la di sequazion e eli elestra equivale a y > x - 2 e dunque d efin isce il sem ipi ano aper to a l d i sopra dell a ret t a y = x - 2. In defini ti va , ottenia rno la striscia eli pian o racchiusa t ra Ie elue rette, con esclus ione elelle rett e st esse (Figura 1.11 , a dest ra ). v) Ricorelanelo il Teorem a di P it agor a , l'equazione
x2
+]/ =
1
defini sce il luogo elei puuti P d el pian o che elistano 1 elall'origin e degli assi , ossia la circo nfer enza eli centro l'origine e raggio 1 (in trigo nome t ria , essa prende il nome eli circonfe renz a t7'igonometri ca). Invece, la elisu gu ag lianza x2
+y2 < 1
elefini sce il ce rchio elelimit ato da tale circonfere n za (F igura 1.12 , a sinist ra). vi ) L'equazion e y = x2
elefini sce 1'1 parabola ael asse verticale eli vertice l'ori gine , passante per il punto P eli coord inate (1,1 ). P er t anto la doppia disequazionc
x2
::; y ::;
1
definisce la regione di pian o racc hiusa inferiormente d al la parabola e supe riormente d all a retta eli equazione y = 1 (Figura 1.12, a d estra) . D
1.7 Esercizi 1. Risolvere le seg uen ti disequ ezioni :
~ 2x - 1 > 0
~
@]
x- 3
x - I
x - 2
2x - 3 :1: - 3
>- -
b)
1-7x - - >0 3:r + 5
Ixl x+ 1 -- > - :r - 1
2.1: - 1
27
1. 7 Esercizi
e)
2x + 3 x+5
+1 - Ix -I I x
f) v x 2 - 6x > x
- -- < - - x - 3 ::::
V.T2 -
v lX2- 41-
2x
h)
x 2': 0
£)
+
(x
+2
x+ 3 > 0 1)2 v x2 - 3 -
xvl x2 - 41.T 2 -
4
1> 0
2. Determinare i segiien ti sottoinsiem i di IR:
A = { x E IR : x 2 + 4x + 13 < O} n {x E IR : 3x 2 + 5 > O} b)
[ill d)
3x + 1 B = {x E IR : (x + 2)( x - 1)( x - 5) < O} n {x E IR : x _ 2 2': O} x 2 - 5x + 4 2 < 0} U {XEIR : V7x +l +x =1 7} x - 9 D = { x E IR : x - 4 2': V x 2 - 6x + 5} U {x E IR : x + 2 > JX=l}
C= {x EIR : '
3. D et ermin are e rappresentare gra ficamen te i segueuti sot toinsi emi di IR 2 :
~
A
=
{( x , y) E IR
[ill
C
=
{( x ,y) E IR 2
~
E = { (:r, y )EIR 2 : 1 +xy> 0 }
2
IR 2 : x 2 - y2 > O}
:
x y 2': O}
b) B = {(.T, y)
:
Iy - x 2 1< I}
d) D ={(X,Y) E IR 2 : x 2+
E
y2
4
2': 1}
f) F ={( X ,Y) E IR2 : X -y ~ 0}
4. Dire se i seguenti sottoinsicmi di IR sono lim it ati s uperiorrnente e / o inferiorm ente, spcci ficandone estremo eup eiiore , estremo inferiore e, se esistono, massimo e m in im o: 1
~
A = { x E IR : x = n oppure x = 2" ' n. E N \ {O}}
b)
B
[ill d)
ti
=
{x E IR : - 1
< x :::: 1 oppure x = 20}
2n - 3 C = {x E IR: 0 :::: x < 1 oppure x = - - , n E N \ {O, I }} D = { z E IR : Z
n -l = x y con x , y E IR, - 1 :::: x :::: 2, -3 :::: y < - I }
1.7.1 Soluzioni 1. Disequ eziotii:
a) Si tra t.ta di una d isequazi one frat t a . Una fraz ione e po sit.iva se e solo se nu meratore e d enominatore sono di segno concor de. Poi che N( x) = 2x - 1 > 0 se x> 1/ 2 e D (x ) = x - 3 > 0 se x > 3, la dis eq uazione e verificat a per x < 1/2 oppure p er x > 3.
28
1 Nozioni di base
b) -~ < x < ~ . c) Porti amo t ut t o al primo membro e semplifichi amo I'espression e:
x - I 2x - 3 - - - - - >0 x - 2 x - 3 '
- x 2 + 3x - 3 > O. (x - 2) (x - 3)
doe
Le radici del numer atore non sono real i, quindi N (x) < 0 sempre. P ertanto la disequazione e verificata dove D( x) < 0, ossia per 2 < x < 3. d ) Portiamo t utto al primo membro e semplifichiamo:
[z] x +1 - - - - - >0 x- I 2x - 1 '
Ixl(2x -
1) - x 2 + 1 > O. (x - I) (2x - 1)
doe
Poiche Ixl = x per x ~ 0 e Ixl = - x p er x < 0, studiamo i due casi sep ara t amente. Se x ~ 0, la di sequazione divent a
2x 2 - X - x 2 + 1 (x - 1) (2x - 1) > 0 ,
x2 - X + 1 (x - 1) (2x - 1)
cioe
> 0.
11 numeratore non ha radici reali , quindi x 2 - x + 1 > 0 sempre. P er t anto la disequazione e ver ifica t a se il denominatore e positivo , ossi a , t enendo cont o del vincolo x ~ 0, per 0 :::; x < 1/2 oppure p er x > 1. P er x < 0, si ha
- 2x 2 + X - x 2 + 1 (x-l)(2x-l) > 0 ,
-3x 2 + X + 1 (x - 1) (2x - 1) > O.
doe
11 numeratore N( x) si annulla per X l = 1-fI3 e per X2 = l+ fI3, quindi N( x) > 0 per xl < x < X 2 (si osservi che X l < 0 e che X 2 E (~ , 1)) . Come prima il denominatore e positivo per x < 1/2 e per x > 1. P ertanto, tenendo cont o del vincolo x < 0, la dis equazione e verifica ta per X l < X < O. In conc1usione , la disequazione e verifi cata per x E (X I '~) U (1 , + 00). -2 ' 3 _1. -< x < 1 , 1 < x < 5+V57 .' e) -5 < x < 2
f) x < - ~5 .
g) Osserviamo dapprima che il secondo membro e sempre ~ 0 dove e defini to, ossia per x 2 - 2x ~ 0, doe per x :::; 0 oppure x ~ 2. La di sequazione e sicuramente verificata se il primo membro x - 3 e :::; 0, ovvero p er x :::; 3. Se x - 3 > 0, elevia mo al qu adrato ent ramb i i membri ottenendo doe
4x
~
9,
ossia
9
x> - -4 .
Raccogliendo t ut te le info rmazioni ottenute, conc1ud ia mo che la disequazione e verificata dove e defini t a , ossia per x :::; 0 oppure per x ~ 2.
h) x E [-3, -V3) U (V3, + 00).
1. 7 Esercizi
29
i) Osserviamo che Ix2 - 41 2: 0 e quin di J lx 2 - 41 e sempre definita. Scriviam o la disequazione nella for m a
Se x ::; 0, la di sequazion e e veri ficata in qu an t a il pri mo membro positivo. Se x > 0, elevia mo al quadrato entrambi i membri :
e semp re
Osser viamo che
Ix2_ 41 =
2 { x - 4 se x ::; - 2 oppur e x 2: 2, _ x 2 + 4 se - 2 < x < 2 .
Sia dapprima x 2: 2; la di sequazione diven ta x 2 - 4 2: x 2 che non e mai vera. Sia ora 0 < x < 2; si ha _ x 2 + 4 2: x 2 ovvero x 2 - 2 ::; O. Dunque dovra essere 0 < x ::; V2. In definitiva, la disequazion e e verificata per x ::; V2.
£) x E (-2, -
V2) U (2, +00 ).
2. Sot toiusiemi di IR: a) P oichc x 2 + 4x + 13 = 0 non ha soluzioni reali , la condizione x 2 +4x+ 13 < 0 non e mai verificata e il primo insieme e vuoto. Viceversa, 3x 2 + 5 > 0 e ver ificata p er ogni x E IR, cioe il secondo insieme e t ut t o R Dunque A = 0 n IR = 0.
b) B = (-00, -2) U (2, 5) . c) P ossiam o scr ivere
x2
-
5x
x2 -
+4 9
(x - 4)(x - 1) (x - 3)( x + 3) ,
dunqu e il primo insiem e e (-3, 1) U (3, 4) . P er individuare il secondo in siem e, risolviamo l'equ azion e irrazion ale J 7x + 1+ x = 17 che riscriviam o nella for ma J 7x + 1 = 17 - x. Osserviam o che per l'esistenza del radicale deve essere x 2: - ~ e che , essendo un a radi ce qu adrata sempre 2: 0, dobbiamo imporre 17 - x 2: 0, ovvero x ::; 17. P er -~ ::; x::; 17, eleviamo al quadrato ambo i membri, ot t ene ndo
7x +l= (17 - x )2 ,
x2
-
41x + 288
= o.
L' ult ima equazione ha due soluzioni X l = 9 e X 2 = 32; la seconda non acce t t a bile. Quindi il seco ndo insieme contiene soltanto x = 9. In defini t iva , C = (- 3, 1) U (3,4) U {9} .
d) D = [1, +00 ).
e
30
1 Nozi on i d i b ase
x = y
x = - y Figura 1.13. Sono rappresentati i sott oinsiem i A e B re la ti vi all'Eserciz io 3
3. Sotioinsiciui eli ]R2 : a) La cond izione e veri fieata se x e y sono eli segno eo n eorele , ossia nel prirno c te rzo qu adrantc , ass i eom pre si (F igu ra 1.13 , a sin ist ra.) . b ) Si vecla In Fi gura 1.13, a dest ra. e) Si ha se y ?: x 2 sc y :s: :1;2
.
La eonclizione y ?: x 2 signifiea ehe stiamo consid erand o In region e clel p iano elelim it a t a in feri ormen te clall a pa ra bola y = :1:2 . In talc regione clev e ess ere 2
cioe
y
<
cioe
y
> x2
:1:
+ 1,
ossia cleve valere x 2 :s: y < x 2 + 1. Viceversa , se y < x 2 , si deve avere -
1,
ossia cleve va lere x 2 - 1 < y :s: x 2 . In concl usione , la regione cerc a t a e com presa tnt le clu e p a rabole (non incluse ) y = x 2 - 1 e y = x 2 + 1 (F igura 1.14 , a sin istra) .
- 1
Figura 1.14. Sono ra p p rcsentati i sot t oinsicm i C e D relativi a ll'Eserc izio 3
1.7 Esercizi
31
x =y
F
,(
-:
Figura 1.15. Sana rappresentati i so ttoinsiemi E e F relativi a ll'E sercizio 3
d) Si ved a la Figura 1.14 , a dest ra, e) Se x > 0, la eond izione 1 + xy > 0 equivale a y > - ~ . Quind i si eonside rano i punti del primo e del quarto quadrante ehe si t rovano al di sopra elell'iper bole y = -~. Se x < 0, la eon dizion e 1 + x y > 0 equivale a y < - ~ e pertanto e soddisfatta elai pun t i elel seeonelo e del terzo quadrante ehe si trovano al di sotto dell'iperbo le y = - ~ . Se x = 0, la dis equazion e 1 + x y > 0 e verifieata per ogni y , ossia l' asse y appartien e al l'insieme E. Riass um endo, la region e eereata e eompresa t ra i due rami dell'iperbole (esclus a) y = - ~ a cui va agg iunto l'as se y (F igur a 1.15, a sinistra).
f) Si veda la Figura 1.15, a destra. 4. ln sictui limitnti
C 11011:
/6'" .}.
P oiche N \ {O} C A , l'insieme A non e super iormente limitato e q uindi sup A = +00 e il massimo non esist e. In oltre, ogni elemento di A c positivo e elunq ue A c inferiormente limi t at o. Ver ifiehiamo ehe 0 e il massimo dei minoran t i di A . Infa t t i, se T > 0 fosse un minorante eli A, elovr ebbe valere ~ > r per ogni n E N non nu llo . Quest o eq uivale a n 2 < ~ , ovvero an < il ehe e ass urelo in qu anto l'insiem e dei nu mer i naturali non e su per iorm ente limit a to. Inolt re 0 tJ- A e qui ndi eonclud iamo ehe inf A = 0 e A non ha minimo.
(1) R isulta A = {I , 2,3, . . . , :t , ~ ,
Jr,
b) inf B = - 1, sup B = maxB = 20, non esiste min B .
i , t, ...]
C [0, 2); quindiC c limitato. R isulta infC= c) Siha C= [O , l ] U{~ , ~ , . . 2n - 3 1 mill C = 0; moltre. essenelo - - - = 2 - - - , non e diffieile verifieare che . n - 1 n -1 sup C = 2, rna il m as simo non esist e.
d ) inf C = mi nC = - 6, s up B = maxB = 3.
2
Funzioni
Esempi di funzioni ci provengono d all a vita quotidian a (ad ogni st ude nte iscr it t o al Polit ecni co e univocamente associato un numero di m a t ricola) , d all a descrizione del mo ndo fisico (a d og ni punt o d i una reg ione dello spazio occupata da un f1uido associamo la veloc ita dell a pa rti cella che in un certo ist ant e t rans ita per il punto), d all 'econ omia (a d ogni giorno d i apertura della borsa di Milano associamo l'indice Mibtel del mer cato azionario) , e COS! via. Il co ncetto mat emati co di funzione unifi ca sit uazioni di ver se.
2.1 Definizioni e primi esempi Siano X e Y due insiemi. Una funzione f definita in X a valori in Y e una corr isp onde n za che associa ad ogni eleme nto x E X at piu un eleme nto y E Y . L' insiem e d egli x E X a cui f associa un elemento di Y forma il dominio di f ; esso e d unque u n sottoins ieme d i X , che indicherem o con dom f . Scriveremo quindi
I f : dom f
<:: X ----t Y.
I
Se dom f = X , diremo che f e defini t a su X e scr iveremo pi li sempliceme nt e f : X ----tY. L 'elemento y E Y associato ad un eleme nt o x E dom f si d ice l'immagine di x attraverso f e si indica co n y = f( x) . Talvolta si scrive
f :x
f---+
f (x).
L'insieme degli element i y d i t ipo y = f (x ) forma l'immagine di f ; esso e dunque un sottoins ierne di Y che indich eremo con im f . Il grafico di f e il sottoinsi eme r (J ) del prodot t o cartes iano X x Y costit uito d alle coppie (x , f (x )) a l var ia re d i x nel dom ini o di f , ossia
Ir (J ) = { (x , f (x ))
E X x Y : x E domn · 1
(2.1)
34
2 Funzioni
Figura 2.1. R appresentazionc schem at ica di una funzione a t t.ravers o di agrammi di Venn
Nel seguito, considere re mo nella maggior parte dei casi fun zioni che operano t ra insiemi di numeri. Se Y = 1R, la fun zione dicesi reale. Sc X = 1R, la funzione di cesi di variabile reale. Os servi arno che il grafico di una funzione reale di variabile reale e un sottoinsiem e del pi ano cartesiano 1R 2 .
.r
Un caso p articolarc notevole di fun zione si ha quando X = Neil dominio della fun zione contiene un insieme del tipo {n E N : n 2 no} p er un qualche intero no 2 O. Una tale funzione dicesi successione. Solitamen t e, denotata con a la successione, si preferisce indicate I'immagine d ell'intero n con la notazione an piuttosto che con il simb olo a(n); in altre parole scriverc m o a : n f----t an' Un modo comunem ente usato per indicare una su cces sione e {an }n::::no (ignorando gli even tual i t erm in i con n < no) 0 a nc ora piu se m p licem ente {a n}. E sempi 2.1 Consideriamo d apprima alcun i esempi di funzioni reali di variabile reale.
i) f : IR --+ 1R, f (x) = a.r + b (con a, b coefficienti re ali), il cu i grafico (Figura 2.2 , in alt o a sinist ra ).
.r :
IR ii) destra).
--+
1R, f(x)
iii) f : IR \ {O} C IR
= x2, --+
il cui grafico
1R, f( x)
1
x asintoti (Figura 2.2, in basso a sinistra).
e una
e una
retta
parabola (Figura 2.2, in alt o a
il cu i grafico
e un 'iperbole
riferita agli
iv) Una funzione reale di variabile reale puo essere definita a tratti , ossia attravers o esp ressi on i divers e su intervalli diversi . Un esempio e la fun zione f : [0, 3] --+ IR d efini ta come se 0 < x < 1, 3x
f( x) =
{
4- x
< x :::; 2, se 2 < x :::; 3,
se 1
x - I e rappresen tata in Fi gura 2.2, in basso a destra,
(2 .2)
2.1 Definizioni c primi esempi
35
o
- 2
\
- 1 1
L
- 1
2
0
3
2
/
1
- 1
1
0
2
3
Figura 2 .2. Grafico delle fu nzioni f( x) = 2x - 2 (in alto a sinistra) , f( x) = x 2 (in alto a 1 dest ra ), f( x) = - (in basso a sinistra) e dell a funzionc defini t a a tratti in (2.2) (in basso x a destra)
Tra Ie funzioni definite a t ra t t i, sono particolarmente significative: v) la funzion e Valore asso lu t o (Fi gura 2.3, in alto a sinistra)
f : JR
----7
f (x ) =
JR ,
Ixl =
X {
.
- :t
se x > 0,
-.
se x < 0,
vi) la funzione Se gno (Figura 2.3, in alto a dest ra ) f : JR
----7
Z,
f( x ) = sign (x) =
{
+ 1 se x > 0, se x = 0,
°
- 1
se x
< 0;
vii) la fun zione Parte intera (F igura 2.3, in basso a sinistra)
f : JR
----7
Z,
f (x) = [x] = il pill grande intero relativo ::; x
(ad esempio, [4] = 4, [V2] = 1, [- 1] = - 1, [-~ l = - 2); si osservi che, per ogni
x
E
JR , si ha [x] ::; x < [x] + 1;
36
2 Fu nz ion i
Il l o
2
- 2 - 1
0
1
2
- 2
- I
0
2
- 1
-2 Figura 2.3. G rafici delle funz ioni Valore as so luto (in a lt o a sinist ra) , Seg no (in alto a d est ra ), P ar t e int era (in basso a sin ist ra) e M anti ssa (in bas so a dest ra )
viii) la fun zione Mantissa (F igur a 2.3, in bas so a dest ra )
II : lR. -; lR.,
I(x)
= Al(x) = x - [xl;
si osservi che , per la pr eced en te propriet a della P art e in ter a , si ha sem pre 0 :::;
M (x ) < 1).
Vedi arno ora qualche esem pio d i success ione. ix) La succ ess ione an
n
=- -
n+ l e definita per ogni n :2: O. I prirni valor i de lla successione sono 1 2 3 ao = 0 , al = 2 = 0.5 , a 2 = "3 = 0.6 , a 3 = 4" = 0. 75 . 11 grafic o di t ale success ione
e ripor t ato in
x) La successione an
=
(2.3)
Figura 2.4 (in alt o a sinist ra).
(1+ ~)
(2.4)
n
e defini t a al
=
per ogni n :2: 1. I primi va lori della success ione sono 9 64 625 2 , a 2 = 4" = 2.25 a 3 = 27 = 2.37037 , a 4 = 256
11 gra fico di tale successione
e ripo rt ato in
= 2.44 140625 .
F igura 2.4 (in a lto a c1estra ).
2.1 Definizioni e primi esempi
37
3 2
0
1
2
:3
4
5
6
o
2
3
4
5
6
2
3
4
5
(j
120
1 0 - 1
24 (j
0
:3
2
4
5
Figura 2 .4. Grafico delle successioni (2 .3) (in alto a sinistra) , (2.4) (in a lto a destra) , (2 .5) (in basso a sinistra) e (2 .6) (in basso a destra)
xi) La successione
(2.5) associa ad ogni intero il suo fat t oriale, definit o in (1.9). II grafico di tale successione e riportato in Fig ura 2.4 (in basso a sinistra); si not i che i valori ass unti dalla successione crescono mo lto veloc emente al cres cer e di n e quindi si sono utilizzate scale d ifferenti sugli assi coordinati. xii) La success ione
{+1
sen e pari, (2.6) (n ~ 0) . , . -1 se n e dis pari , alterna i va lori +1 e - 1 a seconda della parita di n . II grafico di tale success ione e rip ort at o in Figura 2.4 (in basso a destra) .
an
n
= (-1) =
Infine, ecco due esem pi di funzioni defin ite su JR2 (funzioni di due variabi li reali). xiii) La funzione
f : JR2 ~ JR,
f (x , y ) =
v
x 2 + y2
assoc ia al generico punta P del piano, di coord inate (x , y) , la sua distanza dall'origine degli assi . xiv) La funzione
f : JR2 ~ JR 2,
f (x , y ) = (y,x)
associa al punto P il punta P ' simmetrico rispet t o alla bisettrice del I e III o quadrant e.
38
2 Funzioni
Si cons ide ri una fun zion c defini t a in X a valori in Y . E b ene prestare attenz ione al fat to che il simbolo usato p er indi care gli elementi di X (a cu i sovente ci si riferisce come la vari abile indipendente) e quello usato p er indica re gli elerne nti di Y (la vari abile dipendente), p osson o essere assolutamente a rbitrari. Quello che realmen t e det ermina la fun zion e e il modo di associa re ad og n i ele me nto del dominio il corrispondente eleme nto dell' irnrn a gine. Ad ese m p io, sc x , y , Z, t sono simboli per indicare numeri reali, le scritture y = f (x ) = 3x , oppure x = f (y ) = 3y , oppure a ncora Z = f (t ) = 3t , den ot an o la siessa funzione , quella che ad og ni numero re ale associa il suo t rip lo .
2.2 Immagine e controimmagine Sia A un sottoinsiem e di X . L' immagine eli A att raverso
I e l'insieme
I f(A) = {f (x ) : x E A} ~ iIllI I di t utte le immagini de gli element i di A. Si osservi che f (A ) c vu oto se e solo se A non co ntiene elementi del dominio di I. L 'immagine f (X ) d ell 'intero in sieme X e gia stat a indica t a con im f . Sia poi y un ge ne rico elemento di Y ; la controimmagine eli y attraverso f l'insieme
e
Ir
1
(y) = {x E dom f : I (x ) = y}
I
d egli elementi di X che hanno come imrnagin e y . Notiamo che talc in sieme e vuoto se e solo se y non sta nell 'immagine di f. Se B e un sottoins ieme di Y , la controimmagine eli B attraverso I e l'insieme
Ir
1(B )
=
{x E domf : f (x ) E B} ,
I
unione di tut t e le con troimmagini degli element i eli B .
E fac ile vcrificar e che A ~ I - I U (A) ) per ogni sot t oins ierne A di dom I , m entre
I U- 1 (B )) = B n im f
~ B per og n i sot t oinsiem e B di Y.
Esempio 2.2 Sia I : lR --? lR, f (x) = x 2 . L'immagine attravcrso f dell 'intervallo A = [1, 2] l'int ervallo B = [1, 4]. Al cont rario , la controim magine eli t al e B attraverso I l'union e degli intcrvalli [-2, - 1] e [1,2]' os sia l'insiern e
f -l (B ) (si ved a la Fi gura 2.5).
= {x
E lR : 1 :::;
e e
Ixl :::; 2} 0
I concetti eli estre mo superiore/ in feriore e di massim o j'minirno eli un insieme, gia int ro dotti nel Paragrafo 1.3 .1, p osson o essere p artico lareggia ti al casu dell 'immagine eli una fun zione .
2.2 Immagine o co nt ro im magine
4
= f (x)
L _ )J
_
~ _1
)J
39
= f(x)
_
A 2
o
Figura 2.5. Irnmagine di un intervall o (a sinist ra l e controimrna gin e di un intervall o (a de stra) per la fu nz ione f( x) = x 2
Definizione 2.3 Sia f una funzione reole, e sia A uri sottoin siem e di dom f. Chiamiamo estremo superiore di f su A (0 in A ) I'esirem o superiore dell 'immagin e di A atira uerso I , poniamo dunq ue sup f(x) x EA
= sup f(A) = sup{f (x ) I x
E A }.
Diciamo che f e superiormente limitata su A se l'in siem e f (A ) superiorment e limitato, cioe se sup f (x) < +00 . S e sup f( x) x EA
e
x EA
e.finito ed appart iene ad f(A) , allora esso e il massimo di questo
in siem e. Tale numero viene detto il valore massimo (0 semplicem ente il massimo) di f su A e indicato can m axf( x) . xEA
I concetti di estremo inferiore e di minimo di f su A son o definiti in modo analogo. Infin e, f dicesi limitata su A se l'insiem e f(A) e limitato .
Talvolta si us ano le notazioni pill sint etiche sup A f , max a Notiamo che il valore massimo M dalle seguen ti cond izioni :
i) M
=
max ,
e un valore assunt o dall a fun zion e su
f
di
f
sullinsieme A
e m aggiore 0
e caratterizzato
A , cioe
esiste Xlv! E A tale che f( xlv!) ii) M
I , etc.
=
M;
uguale a og ni a lt ro valore assun to d alla fun zione p er ogn i x E A , f( x) ::; M .
SIl
A, cioe
40
2 Funzion i
Esempio 2.4 Consider iamo la fun zione f( x) definit a in (2.2) . max f (x )
xE [O,2]
= 3,
min f( x)
xE [O,2]
= 0,
E facile
m ax f( x)
xE [I,3]
=
3,
verifi car e che inf f( x)
xE [I ,3]
=
l.
Il valo re 1 non e ass unt o dalla fun zion e in a lcun punta dell 'intervallo [1, 3], dunque non esiste il minimo di f su tale insiem e. D
2.3 Funzioni suriettive e iniettive; funzione inversa Una fun zion e a valo ri in Y dic esi suriettiva (su Y) se im f = Y ; in a lt re parole, ogni y E Ye immagine di almeno un elemento x E X. Ad esempio, la fun zion e f : JR ---+ JR , f( x) = ax + b con a i=- e suriett iva su JR: il numero reale y e immagin e
°
Y - b. Al cont rario, la fun zione f : JR ---+ JR, f (x) = x 2 non a JR , in qu anta il suo insiem e immagin e e l'int ervallo [0, +00).
di x
=
e sur iet t iva su
Una fun zion e f dicesi iniettiva se ogni y E im f e immagine di un solo eleme nt o x E dom f. In alt ri t ermini , se si ha y = f( XI) = f( X2) co n Xl, x2 elem ent i del dominio di f , a llora necessari am ent e deve essere X l = X2. Cio, a sua volta, eq uivale alla condiz ione che, p er ogni Xl , x2 E dom f, (si ved a la Fi gura 2.6). Se un a fun zion e f e inietti va , possiamo associare ad ogni element o y dell'immagine l'unico eleme nto X del dominio tale che f( x) = y. Tale corr isponde nza determina dunque una fun zion e defin ita in Y a valori in X , che viene detta funzione inversa di f ed indica t a con il simbolo t: l . Si ha quindi
y
= f( x)
Figura 2.6 . R appresenta zion e sche rnatica d i una fu nz ione in iettiva e dell a sua inversa
2.3 Funzion i suriet t ive e iniet t ive ; funzione inver sa
41
(si osservi che la not azione volu t am en t e confonde l'insieme cont roimmagine di y attraverso I con I'uni co eleme nto in esso cont enut o) . La fun zion e inversa I - I ha come dom ini o I'immagine d i I e come immagine il dominio di I ; in formule, dom I
-I =
im I ,
im I
-I =
dom
f.
Una fun zion e ini ettiva e d unque invertibile; i du e concetti (iniettivita e invert ibilit a ) coinci dono. Qu al e il legam e t ra il gra fico della fun zione I , definit o nella (2.1), e il grafico della fun zione inversa I -I ? Abbiam o
r (J - l )
= {( y,I- 1(y ))
E Y x X
: y E domI-
I
}
= {(J (x ), x ) E Y x X : x E dom!}.
P ertanto , il grafico della fun zion e inversa si ottie ne da quello di I scam bian do ira loro Ie comp one nt i di ciascuna coppia. Nel caso di un a funzione reale di var iabile rea le, tale sca mbio corr ispo nde, nel piano ca rtesiano , a lia riflession e rispetto alia ret t a y = x . P ertanto , il grafico della fun zione inversa si ot t iene ribaltando il grafico della I rispe tto a lia bisettrice del I e III quadrant e (si ved a la F igura 2.7 , :/:
y
u> »
y= x
imJ
Y = f (x) ~~~ ~ ,
, , , ,, ,
, , ,,,
a)
clorn f
clorn f
:/;
b)
im
f
u
11
im f - l
c)
x
Figura 2.7. D al grafico d i un a fun zion e ini et ti va al grafico d ell a sua inversa
42
2 Fu nzioni
passaggio da a ) a b )). Si noti , invece, chc it problem a d i elet enninare esplicit ame nte l'esp ressione elella funzione inversa nella forma x = j -I (y ) puo esse re eli d ifficile, se non aeld irittura di impossibi le, soluzione . Sp esso , qualora sia possibile detenninare la funz ione inv ersa nella forma x = (y) , si prefer isce tornare ad ind icare la va ria bile ind ipendent e (de lla j - I ) con il sim bo lo x e la variab ile elipenden te con il sim b olo y , ottenendo COS! I'espressione y = j - I (;/:). Si esegue dunqu e un puro e sem plice cambia me nt o eli not azion i (si ricoreli quanta det to alla fine elel Paragrafo 2.1) . Cia pcrmet t e, ad esem pio, d i t raccia re il grafico della funzione inversa sullo stesso rifcrimcn to cartesia no usato per rappresent are il grafico della funzione j (si veda la F igura 2.7, passaggio da b) a c)).
r: '
Esempi 2 .5 i) La fun zione j : JR. ~ JR., f (;/:)
f( x d = j (X2)
=}
aXI = aX2
= =}
aa: + b ;/; 1
e iniet ti va
per ogni a.
i-
0 (infatti,
= X2). La sua fun zion e inversa
ex
y- b x - b f -I(y) = - - , 0, che c 10 stesso, y = f - I( X) = - - . a. a ii) La funzione f : JR. ~ JR., f (x ) = x 2 no n c iniet ti va per che f (x ) = f (- x ) per ogn i x rea le. Tuttavia , se ci limi ti a mo a conside rare valor i 2: 0 p er la variabile ind ipendente, cioe se restringiamo f a ll'interva llo [0, +(0 ), allora la funzione risult a iniet t iva (infatti, f (x d = f (X2) =} xi - x~ = (XI - X2)(XI + X2) = o =} XI = X2). La funz ionc inversa e x = f - I(y ) = vY, a ncli 'essa definit a su [0, + (0). Pili comunement e, si elice che la fun zione 'e leva ment o al quaelrat o' y = x 2 ha come fun zione inversa (su [0, +(0)) la funz ion e 'radice quadrat a ' y = JX. Not ia mo che anch e la rest rizione eli f all'int crvallo (-00, 0] fornisce una funz ione iniet ti va ; in tal caso, la fun zione inversa e y = - JX.
= x 3 e in iet tiva.
In fat ti , f (x I) = f (X2) =} xy - x~ = (XI - x2 )(xi + XI."1:2 +x~) = 0 =} XI = X2 in quanta xi +XIX2 +x~ = ~[xi + 1;~ + (XI + X2 ) 2 J > 0 qu alunquc sia no Xl i- X2. La funz ione inver sa c la funzione 'rad ice cubica ' y =
Osserv iarno che , come fat to ncll'esempio ii) preceelen t e , se una fu nziono f non su t utto it suo elominio, 10 puo ess erc su un sot t oins iemc A ~ dom j . La r estrizio ne di f ad A , cioe la fun zion e
e iniettiva
t ale che
f IA(x ) = f( x ) ,
VXE A,
risult a quind i invertibile. Sia j elefinit a su X a valor i in Y . Se f e ini et.t iva e sur iettiva su Y , si di ce che e un a biiezione (0 una funz ione b iiettiva) eli X in Y . In tal caso , la fun zion e inversa r: e elefini t a su Y , ed e anch' essa in iet t iva e suriettiva (su X ) ; elunqu e , e
f
una biiezione eli Y in X . Ad esc m pio, le fun zioni f (x ) = ax + b (con a i- 0) e f (x ) = x 3 sono biiezioni eli JR. in se. La funz ione f (x ) = x 2 C una bi iezione elell'int ervallo [0, +(0) in se .
2.4 Fu nzi on i monotone
43
Se f e una biiezione di X in Y , si dice che gli insiemi X e Y sono in corrispondenza biunivoca att raverso f : ad ogni eleme nt o di X corrisp onde uno e un solo element o d i Y , e viceversa. L 'allievo osservi che due insiemi jiniti (cioe conte ne nt i un numero finito di cleme nt i) possono essere mess i in corrispondenza biunivoca se e solo se hanno 10 stesso numero di elemen ti . Al con trario, un insieme infin ito puo esse re me sso in corrisponde nza biunivoca con un suo sottoins ieme proprio; a d esempio, la fun zione (su ccessione) f : N -+ N, f(n) = 2n, stabilisce un a corrispondenz a biunivo ca t ra N eil sottoinsieme formato dai numeri pari . A conclusione di questa paragrafo, vogliamo men zionare un 'import ante interpretazione dei concet t i di iniettivita, suriettivita e biiettivita qui introdotti. 80vente, tanto nella Mat ematica pura quanto nelle sue applicazioni, si e interessati a risolvere un problema , 0 una equ azione, che si scrive nella form a f( x)
=y
con f opportuna funzione t ra due insiemi X e Y . La quanti ta y rappresent a il dato del problema , 0 il t ermine noto dell' equa zione, men tre x rappresen t a la soluzione del problema , 0 l 'incognita dell 'equazione. Ad esempio, d ato il numero reale y, si vuole trovare x numero re ale soluzione dell 'equazione algebrica
Ebben e, di re che la fun zione f e sur iet t iva su Y equival e a dire che il problema 0 l'equazione cho ci in teressa ha almena una soluz ione per ogni y fissato in Y ; dire che f e ini ettiva significa che la soluzione, se esiste , c unica ; finalmente, dire che f e un a biie zione di X in Y equivale a dire che per ogni y fissato in Y esiste una e un a sola soluzione x E X .
2.4 Funzioni monotone Sia f una fu nzio ne reale di variabile re ale . Indichiamo con I il dominio di f , oppure un intervallo contenuto nel dominio. Vogliamo descrivere in term ini precisi la situazione in cui a l crescere della vari abile indipenden t e in I si ha una crescit a , 0 un a diminuzione , della variabile dipendente. Ad esempio, se aume ntiamo la temperatura di un ga s confinato in un recip iente, la sua pressione aurnen ta; vicever sa, all 'aumentare dei chilomet ri percorsi dall 'ultirno rifornimento, la quantita di carburant e in urr'au tomobilo diminuisce. Diamo la seguente definizione. D e fin iz io n e 2.6 La funzione f dicesi monot.ona crescente s u I se, presi com un que due elemen ts Xl e X2 in I con Xl < X2, si ha f (x d < f(X2) ; in simboli,
(2.7)
44
2 Funzioni
y =
f (:I: ) y
= f (x)
- - - ------- - - - - ----"'-T--
1
--,---"
1
Figura 2. 8. Funzion e st ret t a me nt e crescent e (a sinist ra) e funzione d ecrescente (a destra) Sll
un intervallo I
La Junzi one con dizione
f dicesi mo notona st ret tamente crescente su I se vale la (2.8)
Notiamo che se una fun zion e c strettamente cre scente allora e anche crescent e, cioe la condizione (2.8) e pili rest rit t iva della condizione (2.7) . Le defini zioni di fun zion e monotona d e c r es cente e m onotona st rettam ente d e crescente su I si ottengono dall e corrispondenti defini zioni pr eced cn ti rovesciando le disuguaglianze t ra f( XI) c f( X2). Si dice che una funzione f e (st ret tamen te) m ono t ona s u I se f e monotona (strettamente) crescente oppure monotona (strettamente) decrescente su I . Un intervallo I su cui f sia monotona si chiam a intervallo di m onotonia di f . Esempi 2.7 i) La funzione f : JR. --+ JR., f (x) = ax + b, per a > 0 e strett amente crescent e su JR. , per a = 0 e costant e SI1 JR. (e dunque t anto monotona crescente qu anto monotona decrescente) , p er a < 0 e strettamente decrescente su JR..
ii) La fun zion e f : JR. --+ JR., f (x) = x 2 e monotona stret tamente crescent e su I = [0, + 00 ) ; infatti , presi due numeri arbit rari Xl, X2 ?: 0 con Xl < X2, si ha xi ::; XIX2 < x~ . In modo analogo, si vede che f e monotona strettament c decr escente SI1 (- 00 ,0]. Non e difficile verifi care che tutte le funz ion i del tipo y = x n con n ?: 4 pari hanno, per quanto riguarda la monotonia, 10 st esso comportament o della f (Figura 2.9, a sinistra) . iii) La fun zion e f : JR. --+ JR., f (x) = x 3 e monotona st re ttam ente crescente su R Tutt e le funzioni del t ipo y = z" con n dispari hanno 10 st esso compor t a mento (Figura 2.9, a dcst ra) .
iv) Con riferimento agli Es empi 2.1, le fun zioni y = [x] (Parte intera di x ) e = sign(x) (Segno di x ) sono monotone cre sccnt i (rna non strettamente) su R
y
2.4 Funzion i monotone
~
:c ]()
45
x5
4 :1:
Vx'
:[; 11
~ x"
- 1 - 1
jl Figur a 2 .9 . Grafici di alcune funzioni y dispari
=
z " , a sin ist ra con n pari e a d estra con n
Invece la funzione y = M (.7:) (M antissa di x ) non e monotona su lR.; essa e p ero strettamente crescent e su ogni intervallo [n, n + 1) con n E Z . 0 Enunciamo ora un sernplice rna signifi cativo risultato. Proposizione 2.8 Se j e ini etti va.
c strett ame nte rnonotona sui suo
dorninio, allora j
Dimostrazione. Sup p onia rno , per fissare Ie idee, che j sia stret t amente cresce nte . Prcsi du e numeri ;);1 , ;);2 E dom j con Xl =I X2 , sa ra Xl < X2 oppure ;(;2 < Xl · Nel primo caso, usando l'implicazione (2.8) otteniamo j (x d < j (X2 ) e dunque cer t amente f (:r:d =I j (X2)' Nel secondo caso , arriv iamo ali a stessa conclusione scambiando il ruolo di X l 0
e~ .
Nell'ip ot esi dell 'enunciat o appen a dimostrato, esiste dunque la funzione inversa risulta anch' essa strettamente monotona, in modo con corde con j (doe ent ram be sono strettamente crescent i 0 st ret t ament e deerescenti) . Ad esempio, la funzione strettamente crescent e j : [0, + (0) ----7 [0, +(0) , j(x) = x 2 ha come inversa la funzione [0, +(0) ----7 [0, +(0) , j -1(X) = Vi, anch' essa strettamente crescent e.
r:' , e faci le verificare che
r:'
r:' :
Notiamo che I'implicazione logica j strettamente monotona sui suo dominio
j iniettiva
46
2 Funzioni
non p uo essere rovesciat a . In altri term ini, una fun zione f puo essere ini et ti va senza essere strettame nte mon oton a su i suo dominio. Ad ese m p io , la fu nz ione f : JR ----> JR defini t a come se x
=J 0,
se x = 0 ,
e ini et ti va ,
a nzi e una bii ezion e di JR in se , rna non e ne strettame nte cr escente, ne strettame nte decrcscen tc su JR . Tomeremo su quest a punta nel successivo P aragr afo 4.3.
E util e osservare che la som ma di funz ion i m on ot on e co nc ord i (cioe t utte ere sce nti opp ure t utte decrescen ti ) e a nco ra una funzion e m on otona della st esso tipo ed c strettame nte monot on a sc alme no una d elle fun zioni 10 C. Ad ese m p io, la funzione f (x) = x 5 + xc st re t tame nte cre scente su t utto JR in quanta somma di due fun zioni ch e godono di t ale propriet a , In base alla Proposiziono 2.8, f e dunque invcr tibile; si noti tuttavia chc non e po ssibile esp licitare la rela zione f( x) = y nella forma x = 1- 1 (y) . 2.5 Funzioni composte Indichi amo con X , Y, Z t re insiemi. Sia 1 una fun zione definit a in X a valori in Y , e sia g una fu nz ione defini t a in Y a valor i in Z . P ossiamo cost r uire una nuova fun zione h defini t a in X a valori in Z ponendo
Ih(x )
= g(.f (x ))· 1
La fun zion e h si dice funzione composta d i h = g o 1 (che si legge 'g com posto .f').
1
(2.9) e g , c si indica con il sim bolo
Esempio 2.9 Co ns ide riam o Ie due fun zioni reali di variabile re al e y = 1 (:r;) = x- 3 e z = g(y) = y2 + 1. La fun zione com posta di 1 o 9 c z = h(:r;) = 9 0 f( x ) = (x - 3)2 + 1. 0 II dominio d ella fun zione comp os t a 9 0 1 si determina , tene ndo cont o d ella dcfini zion e (2 .9) , in ques to modo: affinche x appartenga al dominio di g o f , deve innan zitutto ess ere defini t o 1(.1;), dunque x d eve stare nel dominio di I , inoltrc , f (x ) d eve esserc un elemen to del dominio di g. P er t ant o ,
Ix
E domg
II dominio di 9 F igura 2.10) .
0
0
1 e
f
x E do m 1 e
f( x) E do m g.
dunque un sottoinsieme d el dominio di
1
(si ved a la
2.5 Fu nz ion i compost e
47
Figura 2.10. R appresen t azione schematica di una funzione com p ost a a ttrave rso d iagrammi di Venn
Esempi 2 .10
e l'intervallo tali che
I~ ~ ~I ' il cui
=
i) Sia f( x)
dominio
e lR \
{l} ; sia poi g(y) = VfJ, il cui dominio
[0, + 00). Il dominio di g o f( x) =
x + 2
-I-I :::: 0; dunque, dom g 0 f x - I
=
JI~ ~ ~ I e
costituito dagli x -=I- 1
[- 2, + 00) \ {I} .
ii) Talvolta la funzione com p osta g o f ha dominio vuoto. Cia acc ade , ad esempio, se f( x)
=
1
1 + x 2 (p er cui si ha sempre f( x)
e [5, +00 )).
:s; 1) e g(y) = Vy - 5 (il cui dominio 0
Il prodotto d i com posizione non e commut ativo: se e possibile definire tant o g o f quanto f og (ad esem p io qu ando X = Y = Z) , le due fun zioni in generale non coin cidono. Ad esempio, se f( x) mentre f
0
g( x) = 1 + x.
=
.!. x
e g( x)
= _1_ , si ha g o f (x ) = _ x_ , l+x
l +x
Se f e 9 sono entram be funzioni inie t tive (oppure suriettive, oppuro bii ettive) , non e difficile verificare che la fun zion e com posta 9 0 f ha la stcssa proprieta, In parti cola re, nel caso dell 'iniet tivit a , vale la formula
Inoltre , se f e 9 so no fun zioni reali di varia bile reale monotone, anche la 9 0 f sara monotona : precisamente , sara monotona crescent e se f e 9 sono ent ramb e mo-
48
2 Fu nzion i
notone eres eent i oppure monotone deereseenti , ment re sara mon oton a deereseen t e negli alt ri easi. Ver ifiehiamo un a di tali proprieta . Sia ad ese mpio I ereseente e 9 deereseen t e; se Xl < X2 sono du e eleme nt i d i dom 9 0 I , a llora dall a mo notoni a d i I si deduce I (x d ::; I (X2); sueeessiva me nte, la m on ot on ia di 9 im pliea ehe g(J (:cd ) 2: g(J (X2))' Du nque g o I risul t a decrescen te. Osserviamo infine ehe se inversa 1 -1 ), si ha
I e un a fun zione iniet ti va
(e dunqu e esiste la funzion e
1- 1 0 I (x ) = I -I (J (x)) = X,
Vx E dom j' ,
1 0 1 - 1 (y ) = I(J -l (y )) = y,
Vy E im f .
Det t a funzione Ident.ita su un insieme X la funzione id x : X - X t ale ehe 1 0 f = iddomj e 1 01 = id imj . id x (:r ) = X per ogni X E X , si ha quindi
r:'
2.5.1 Traslazioni, eambiamenti di scala, riflessioni Sia I un a funzione reale d i variab ile reale (si conside r! ad ese mpio la funzione rap pr esent at a nella Fi gur a 2.11). F issato un nu rnero reale c i 0, ind iehi arno con t e : IR - IR la funzione te(x ) = X + e. La eornposizione d i I con t.; ha I'effet t o d i un a traslazione del grafieo d i I: pr eeisa mente, il grafieo della funzion e 1 0 t.; (x) = I (x + c) e traslato orizzontalment e risp et to al grafieo di I , verso sinist ra se c > 0, verso dest ra se c < O. Similrnente, il grafieo d i t e 0 I (x ) = I (x ) + c e t ras la to vertica lme nt e risp et to al grafieo di I , verso I'alt o se e > 0, verso il basso se c < O. Si veda per un esem pio la F igura 2.12. Fissato un numero reale c > 0, ind ich iamo poi co n s ., : IR -
IR la funzi on c
se(x) = ex . La eompos izione d i I con Se ha I'effet t o d i un e a m b ia men t o di scala nel grafieo di I . Preeisament e, se c > 1, il grafieo della fun zion e f 0 se(x ) = I( cx )
si 'e omprime' orizzontalment e risp et t o al grafieo di I , verso l'asse delle ordi nate; se inveee 0 < c < 1, il grafieo si 'd ilat a' allontanandosi d a ll'as se delle ord inate. Un effetto analogo, rna in d irezione ver t ieale, si ha per la fun zione S e 0 I (x ) = cl (x): in qu esto easo, se c > 1 il grafi eo si 'd ilat a' allontanandosi dall'asse or izzon t ale,
y = f( :I: )
Figura 2. 11. G rafico d i un a funzio ne f (x )
2.6 Funzioni elementari elora proprieta y = f( :!: + c), c
y=
f (x) + c,
c
>
0
49
f (:!: + c), c
<0
y = f (:r; ) + c, c
>0
y
=
<0
Figura 2.12. Grafi ci delle funzioni f (x + c) can c> 0 (in alto a sinistra) , f( x + c) can c < 0 (in alto a dest ra) , f(x) + c can c < 0 (in basso a sinistra) , f( x) + c con c > 0 (in basso a destra) , dove f( x) e la funzione rappresent ata nella Figura 2.11 m entre se 0 < c < 1 il gr afico si 'com prime ' verso l'asse orizzon t al e. Per un esempio, si ved a la Fi gura 2.13. Notiamo poi che il grafico di f( - x) si ottien e riflettendo il grafico di f( x) specul armente rispetto a ll' ass e delle ordinat e. Invece, il grafico della fun zion e f(l x l) coincide con quello di f p er x ;::: 0, mentre si ot tiene p er riflessione speculare di qu est'ultimo rispetto all 'asse delle ordinate per x < O. Infine, il grafico della funzionc If(x)1 coincide con quello di f dove f( x) ;::: 0, mentre si otti ene dal gr afico di f p er rifiessione sp eculare risp et to all'asse delle ascisse dov e f( x) < O. Per un esem pio, si ved a la Figura 2.14.
2.6 Funzioni elementari e loro propriet.a Prem et ti amo alcune utili definizioni. D efinizione 2.11 Si a f : dorn f ~ lR ----7 lR una Junzion e il cui dominio sia simme trico rispetto all 'origin e, cioe tale che se x E dorn J allora anche -x E dorn J . La Junzion e f dicesi pari se f( - x ) = f (x ) per ogni x E dorn t . m entre dicesi dispari se f (-x) = - f (x) per ogni x E dom f .
50
2 Funzioni
11 = f (cx ),
c> 1
11 = cf (::C ),
c>
11 =f (c::c ), c< l
1
11 = cf (x ), c
<
1
F igur a 2 .13 . Grafico della funz ione f( cx) con c > 1 (in a lt o a sinistra) , della funzi on e f( cx) con 0 < c < 1 (in alt o a destra) , della funzione cf (x ) con c > 1 (in basso a sinist ra}, della funzi o ne cf (x ) con 0 < c < 1 (in basso a d es tra)
Notia mo che il grafi co di una fun zion e pari e simmetrico rispetto all 'asse delle ordinate , mentre qu ello di un a funzione dispari c sim met r ico rispetto all'origine . Osserv iamo inoltre che se f e d isp ari e d efinita nell'origine, allora necess ariamente si annulla nell'origine, in quanto si ha f (O) = - f(O) . Definizione 2.12 Una junzione f : dorn f ~ lR -7 lR dicesi periodica di p eriodo p (con p > 0 reale) se dom f e un in siem e in variante per traslazioni di ± p [cioe se x ± p E dorn f per ogni x E dorn f) e se vale la condizione f (x + p) = f( x ) per ogni x E dorn j' .
E facil e verifi care che se f c periodica di periodo p , allor a e periodica di ogni periodo mp (m E N \ {O}) multiplo di p. II pili piccolo periodo, se esiste, si chia ma per iodo m inimo della funzione. Una fun zione cost a nt e e ovvi amen te periodica di ogni periodo p > 0 e quindi non ha periodo m in imo. P assiamo ora in rassegna le princip ali fun zioni element ari .
2.6 Fun zioni eleme nt.a ri c loro pr opriet.a
y = f (- :t )
51
y = f( lxl)
- - --'.,.--- - - -r-------<>
y =
If (I.1:1) 1
y = If (x)1
F igura 2 .14. Grafico della funzione f( - x) (in a lt o a sinist ra), della fu nz ione f( lx l) (in alto a destra) , d ella funzione 1.f(x)1 (in basso a sinist ral, della fun zione 1.f(lxl)l (in basso a de stra)
2.6.1 Funzioni elevamento a potenza Tali funzioni sono del tipo y = xC<. II casu a = a e bana le, in quanto abbiamo Ia fun zion c cost ante y = x O = 1. Supponiamo a > O. Per a = n E N \ {a } , rit roviamo Ie funz ioni polinomiali y = x n definite su lR e gia cons iderate negli Esempi 2.7 ii) e iii) . Se n e dis pari, tali funzioni sono disp ari , strettamente crescen ti su lR e hanno come immagine lR (si ricordi Ia Proprieta 1.8) . Sc n e pari, Ie funzioni sono pari, strettamente decresce nti su (- 00, 0] e st ret tame nt e crescenti su [0, + 00); I'immagine e I'int ervall o [0, + 00). Considcriamo ora il casu a > a razionale. Se a = ~ con mE N \ {a} , defi niamo la funzione radice m -esima di x , indicata con y = xl/ rn = yIX, come I'inversa de lla funzionc y = x rn . Essa ha come dominio lR se m e dispari , [0, +00) se m e pari. Tale funzione e strettamentc crescente e ha come immagine lR oppure [0, + 00) a seconda che m sia d ispari 0 pari. In gen erale, p er a = {!, E Q, con n , mEN \ {a} privi di fattori comuni , Ia fun zion e y = x n/rn e definita come y = (x n)l / rn = 'y!X11. Questa funzione ha come dominio lR se m e dispari, [0, +00 ) se m e pari. Essa e strettamente crescente su [0, +00) per og ni valore di n ed m, mentre per m clispari essa e strettamente
52
2 Funzioni
Figura 2. 1 5 . G rafi ci delle funzioni y (a destra)
= X 5/ 3
(a sinistra) , y
=
X
4/ 3
(al centro) e y
=
3 2 X /
crescente 0 strettamente de crescente su (-00 ,0] a second a che n sia pari 0 dispari . Co nsideriamo alcu ni esempi (si ved a la F igura 2.15) . La fun zione y = x 5 / 3 e definita su JR, e strettamente cr escente e ha come immagine JR. La funzione y = X 4/ 3 e definita su JR, e strettamente decr escente su (-00,0] e strett amente crescente su [0, +00) e ha come immagine [0, +00) . Infine, la funzione y = x 3 / 2 e definita solo su [0, + 00) , dov e e st rettame nte cres cente e ha immagine [0, + 00). Introduciarno or a la generi ca funzionc y = x'" con a > a irrazionale. A t al e fine, notiamo che se a e un numcro re ale non negativo, possiamo definire la potenza a'" con a E JR+ \ Q, partendo dalle potenze ad esponen te razionale e fac endo uso della densita dei numeri razionali in JR. Se a ~ 1, possiamo infatti porre a'" = sup{a n / m I ~ ::; a} , mentre se a::; a < 1 poniamo a'" = inf{a n / m I ~ ::; a} . Pertanto, la funzione y = x'" con a E JR+ \ Q risulta d efinita su [0, +00) e si dimostra che e ivi strettamente crescent e, con immagine l'intervallo [0, + 00). Riassumendo , abbiamo defini to le funzioni y = x'" per ogni valor e di a > 0. Esse sono tutte definite alme no su [0, +00) e strettamente crescent i su t al e intervallo; ino ltre, tutte soddisfano y(o) = 0, y(l) = 1. E utile osservare che , se a < (3, si ha
a < x f3 < x'" < 1,
per
a < x < 1,
1
< x'" < x f3 ,
per x
>
1
(si veda la Figura 2.16) .
o
1
Figur a 2.1 6. Grafici di a lcune funzioni y
= z" (0' >
0) per x :::: 0
(2.10)
2.6 Funzioni elementari e loro proprieta
53
~ T-" 1
0--------<>
- 1
1
- 1
Figura 2.17. Grafici di alcune funzioni y Consid eriamo infine il eas o
= xC<
con a < 0 1
0:
< O. Poniamo per definizione y = xe> = x-e> . II
dominio e dunque il dominio di y = x -e> privato dell 'origine. Ciaseuna fun zion e e st ret tamente deereseente su (0 , +00 ), mentre se 0: = - ~ con m dispari , la funz ion e su (- 00,0) e stret t amente ereseent e se n e pari , stret tamente deereseente se n e dispari (si ved a la Fi gura 2.17) . Notiamo infine ehe, per ogni valore di 0: i- 0, la funzione inver sa della fun zion e y = xe> , ove definita, e la funzione y = .r 1 / e> . 2.6.2 Funzioni polinomiali e razionali
Una funzione polinomiale 0 , sem plieement e, polinomio e del ti po P(x) = anx n + . . . + al X + ao con an i- 0; n dieesi grado del polinomio. Ess a e definita su t utt o 1R; la funz ione e pari (r isp ettivamente dispari) se e solo se t ut t i i eoeffieient i di indiee dispari (rispettivamente pari) sono nulli (rieordar e ehe 0 e un numero pari) . Un a funzione razionale
e del t ipo R( x) = ~~:~ , con
P e Q polinomi. Se P
e Q non hanno fattori eomun i, il dominio della fun zione sara IR privato degli zeri del denominatore. 2.6.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche
Sia a un numero reale > O. In base a quanto visto sopra, la funzione esponenziale = a X risul t a defini t a p er ogni valore reale x; essa soddisfa y(O) = a O = l. Se a > 1, la funzione e strettamente ereseent e; se a = 1, la funzione e cost ant e uguale a 1, mentre se a < 1, la funzione e st rettam ente deer eseent e. Se ai-I, l'immagin e e (0, +00 ) (si ved a la Fi gura 2.18) . E utile rieordar e le seguenti proprieta delle potenze: per ogni x, y E 1R, si ha y
a
x -y
aX aY ,
=- .
54
2 Fu nzioni
8
4 2 1
1
o
o
2 3
=2
Figura 2.18 . G rafid della funzione esponenziale y
x
(a sinis tra) e y
=
( ~) X (a destra)
Se a =I=- 1, la funzione espo nenziale e strettamente mon otona su JR, dunque inver t ibile. La fun zion e inversa e la funzione logaritmo y = log, x , definita su (0 , +00) con immagine JR; essa soddisfa y (l) = log; 1 = O. La funzione e strettamente erescente se a > 1, st rettamente decrescent e se a < 1 (F igura 2.19) . Le propriet a delle potenze sopra ricordat e si traducono nelle seguent i relazioni: loga( x y)
= log, x + log,
x
y,
log a - = log a x - log a V,
'Ix, V > 0 , 'I x, V
> 0,
V
loga(x Y )
=
y logax ,
'I x> 0 , 'IV E JR.
o
Figura 2 .19. Gr a fid delle fu nzioni y
~
' 4-----"<;"----0
= log., x
(a sinis t ra) e y
=
log l / 2 x (a destra)
2.6.4 Funzioni trigonometriche e loro inverse Indichi amo qui con X , Y Ie coordinat e nel piano cartesiano JR2. Introduciamo la circonferenza trigonometrica, ossi a la circo nferenza di centro l'origine 0 = (0,0) e raggio unit ar io, avente quindi equazione X 2 + y 2 = 1. A partire dal punt o A = (1,0) di intersezion e tra la circonfere nza e il sem iass e posit ivo dell e
2.6 Funzioni eleme nt a ri e lora pr oprieta
55
asc isse, percorriamo la cir conferenza in senso a nt iorario oppure in senso orario. Precisamen t e, detto x un qual unque numero reale, indichi amo con P (x ) il punt o sulla circonferenza ottenuto percorren do la circonferenza in senso antiorar io p er un arco di lunghezza x se x 2: 0, op pur e in senso or ario per un a rco di lungh ezza - x se :E < O. Il punto P (x ) individua un angolo nel piano, avent e vertice in 0 e delimit at o dalle semir ette uscen ti da 0 e pas sant i rispettivamente per A e per P (x ) (vedas i la F igura 2.20). Il nurnero x rappresent a la misura dell'angolo in mdianti . L 'an golo d i 1 rad iante e quello ind ivid ua t o sulla circonfere nza trigono met rica dall 'arco d i lungh ezza 1; tale angolo m isura ~~ = 57.2957795 · · · gradi . La Tabella 2.1 forni sce la corrisp onde nza tra mi sura in grad i e misura in radi an ti d i alcuni ango li notevoli . Nel seguito, t utt i gli angoli saran no misurati in radi an ti.
grad i
0
30
45
rad ia nt i
0
-
7r 6
-
tt
4
60 tt
3
90 tt
2
120
135
150
180
270
360
27r 3
37r 4
57r 6
7r
37r 2
27r
-
T a b ella 2. 1. Co rrispondenz a t ra grad i e radi anti
Osserviamo che se incrernen ti amo 0 decrem enti arno d i 27r la lungh ezza x , com piamo un intero giro dell a cir conferenza risp et ti vament e in senso antiorario o or ario, ri t ornando allo stesso punt a P (x ). In alt re parol e, vale la relazione di periodi cit a (2.11) P (x ± 21f) = P (x ), \:Ix E R Indi chiarno con cos x ('coseno d i x' ) e con sin x ('seno di x') risp ettiva ment e l' ascissa e l'or d in at a del punt a P (x ) , vale a dire pon iam o P (x ) = (cos x , sin x) . La
F ig u r a 2.20. Circo nferenza trigonom etrica
56
2 Funzioni
- 1
Figura 2.21. Grafico della fun zione y = sin x
funzione cosen o y = cos x e la funzione seno y = sin x sono dunque definite su lR ed assumono t utti i valo ri dell'intervallo [-1, 1]; p er 1a (2.11) , sono funzioni periodiche di periodo minimo 2 7T. Esse soddisfano 1a re1azione trigonometrica fondamenta1e
I cos 2 X + sirr' x: = 1,
\Ix E R
I
(2.12)
E evide nte da1 significato geornetrico che 1a funzione seno e dispari, rnentre 1a funzione coseno e pari . L'andarnento delle fun zioni seno e coseno, e rappresentato nelle Figure 2.21 e 2.22. Alcuni valori notevo1i delle funzioni sono riportati nella seg uente tabella (in cui k denota un qu a1unqu e intero re1ativo ): sinx = 0
per x = k7T ,
sinx = 1
per x =
7T
2" + 2k7T, 7T
sinx = - 1 per x = - 2
+ 2k7T
'
cos x = 0
per x =
cos x = 1
per
X
= 2k7T ,
cos x = - 1 per x =
- 1
Figura 2 .22. Grafico de lla funzione y
= cosx
7T
2" + k7T ,
7T
+ 2br .
2.6 Funzioni element ari e loro proprieta
57
Per qu anta riguarda la monotonia, si ha
y = sinx
e
y = cos x
e
strettamente cresc ente in [ { stret tame nte decres cent e in
~ + 2k1r ~ + 2k7r] 2
' 2
[~+ 2k7r, 3; +2k1r] ,
strettamente decrescente in [2k1r, 11' + 2k11'] { strettamente crescente in [11' + 2k11', 211' + 2k11'] .
Di notevole importanza sono le formule di addizione e sottrazione sin( a ± fJ) = sin a cos fJ ± cos a sin fJ cos( a ± fJ ) = cos a cos fJ -F sin a sin fJ. Da esse, con oppor tune scelte degli ar gom enti, si ottengono ad esempio le formule di duplicazione
I sin2x = 2sinxcosx ,
cos2x
= 2 cos2 x-
I,
I
(2.13)
oppure le for mule di prost aferesi . . . x- v x+y smx - sm y = 2 sm - - co s - . 2 2 '
cos x - cos y
(2.14)
. x - v . x+y 2- sm - 2- '
= - 2 sm -
(2.15)
oppure ancora le relazioni
I sin (x + 11') = sin (x
sin x,
+ ~ ) = cosx,
cos(x
cos(x
+ 11') = ?T
+ 2') = -
cos x ,
I
(2.16)
•
smx .
(2.17)
Alla luce di qu anta visto nel P aragrafo 2.5.1, la prima delle relazioni (2.17) , ci dic e che il grafico della funzione coseno si ottiene da qu ello della funzione seno med iante una trasl azion e verso sinist ra di 11'/2 (si vedano ancora le F igure 2.21 e 2.22). La funzione tangente y = t an x (indicata anche con y = tg x ) e la funzione cotangente y = cotan x (indicata a nche con y = cot g x ) sono definite risp ettivamente come
58
2 Funzioni
Figura 2.23. G rafici delle fun zioni y
t an x
sinx cos x
= --,
= t an x
(a sinistra ) e y
cotanx
= cota n x
(a dest ra)
cos x sinx
=- - .
Ri cordando la (2.16), e facile ved ere che tali fun zioni sono p eriodiche di p eriodo minimo Jr, anziche 2Jr. La funz ione tange nt e e defin it a su lR\ { ~ + kJr : k E Z }, e st rettame nte crescente su ogni int er vallo (- ~+kJr , ~+ kJr ) ed assume in ciasc uno di questi intervalli t utti i valori reali. An alo gamen t e , la funz ion e cotangente e defini t a su lR \ {kJr : k E Z}, e strett amente decrescente su og ni intervallo (kJr, Jr + kJr) ed assume in ciasc uno di qu esti in tervalli t utti i valo ri reali . E ntrambe le funzioni sono dispari. I grafici di tali fun zioni sono riportat i ne lla F igura 2.23. Ricordiamo che , dal punto di vista geomet rico, la quant it a t an x rappresent a l'ordinata del punta Q(x) int ersezione t ra la sem iretta uscente dall 'origine e passante per P( x ) e la retta ver t icale passante p er A (si ved a ancora la Fi gura 2.20). Le fun zioni trigonometriche, in quanta p eriodich e, non sono ovvi amen t e invert ibili su t utto il loro dominio. P er effet t uarne l'inver sione, esse vengono rist rett e ad un intervallo massimale di rnonotonia stretta; per ciascuna fun zione, si sceglie un intervallo principale di invertibilita . La fun zion e y = sin x e strettame nt e crescente nell 'int ervallo [- ~ , ~] . La funzione inversa su tale int ervallo viene det t a funzione arcoseno e indicat a con y = arcs in x; essa e definit a in [-1 ,1 ]' e ivi stret t ament e crescente e ha come immagine l'intervallo [ -~ , ~ ] . E una fun zione disp ari (si ved a la Figura 2.24 a sinistra) . Similmente, la fun zion e y = cos x e strettamente de crescente nell 'in t ervallo [0, Jr]. Restringendola a t ale int ervallo, se ne in troduce la funzione inver sa y = arcc os x , de tta funzione arcocoseno , ch e risulta dunque defini t a in [- 1, 1], ivi st ret tament e decrescent e e con im magine l' int er vallo [0, Jr] (si ved a la F igura 2.24 a destra).
2.7 Esercizi
59
11"
"2
- 1
o
- 1 Figura 2.24. G rafici d elle fun zioni y
= ar csin x
o = arcc os x
(a sinistra ) e y
(a destra)
Infine, la funzione y = t an x e strettamente cresce nt e nell'int ervallo (- ~ , ~) . La fun zione invers a su t ale intervallo viene det ta funzione arcotangente e indicata con y = arctan x (0 a nche con arctg x ) . Essa e defini t a su lR, e ivi strettamente erescent e e ha com e immagine l'intervallo (-~ , ~). Anch 'essa e un a funz ione dispari (si ved a la Figura 2.25 a sinistra) . Similmente, e p ossibile definire la funzione arcocotangente y = arccot an x come fun zione inversa della funz ione cotangente sull'inte rvallo (0,7f) (Figura 2.25 a destra) .
11"
------------------
"2
7f
-----------------
11"
o
"2
Figura 2.25. G rafi ci delle fu nzioni y
= arct an x
(a sinistra) e y
= arccotanx
2.7 Esercizi 1. Det erminare il dominio delle seguen ti funzioni:
a) f (x)
=
3x
x2
+1
+ ;I; -
f( x) = v' x 6
2
- 3x - 4 x+5
(a destra)
60
2 Funzioni
c) f (x ) = log (x 2
-
~ f (x) = { 2x ~ 1
x)
se x;::: 0 ,
e v x+ 1
se x < 0
2. Determinare l 'im rnaginc delle segu enti funzioni:
GJ f (x ) = x
2
~1
@D f (x ) = V X + 2 - 1
c) f (x ) = e5 x +3
d) f (x )
-
={
se x ;::: 1 ,
log x
- 2x - 5 se x < 1
GO Determinare dominio e immagin e della fun zion e f (x) =
Vcos x-
I; disegn arn e
il greiico.
II]
Si« f( x ) = - log(x - 1); determin are f -1( [0 , +00 )) e f -1(( - 00, - 1]).
5. Disegn are i greiici delle seg uenti fun zioni e indicare event ua1i sim rnetrie e/o periodi cite:
a) f (x ) = ~ c)
b) f (x) = 1 + cos 2x
f (x ) = tan ( x + ~)
6. Si consideri 1a fun zion e
d) f (x ) =
f (x) indicata in Figu ra
f( x) - 1, f( x
[I]
+ 3) , f( x -
X2 {
-x
x- I
sex:::; 1 ,
se x > 1
2.26; disegn are i greiici di
1), - f( x) , f( - x) , If( x) l·
Verificare che le fun zion e f : lR -----+ lR definita come f (x ) = x 2 - 2x + 5 non e in vertibile. Individ uare opp ort une res tri zioni di f ehe siano in ver tibi1i e scrive re l 'espression e delle lora inverse.
:, 3 ,
, ,, , ,,
- 1
Figura 2 .26. G rafico d ella funzione
f
rela tiva a ll' Eserci zio 6
2.7 Esercizi
61
[[] Determinare il piii grande ititetvnllo I s u cui 1a funzione f (x ) = J lx - 21
- Ixl + 2
e invertibile, disegn andone il gteiico. Sctivere I'esptession e della funzion e inversa di f ristretta ad I . [[] Verificare che f(x) = (1 + 3x )(2x - Ix - 1[) deiiiiitr: su [0, + 00) Determinare l'immagine e 1a fun zion e inverse di f .
e iniettiva.
10. Siano f e 9 1e fun zioni sot to assegna te. Scrivere 1e espressioni di 9 0 f e f og , determinandone i domini.
@] b)
f( x) = :r 2 f( x) =
= log(1 + x )
3
e
g(x)
~
e
g (x )= J 2-x
-
x+ l
X
c . 'z(x) = 2e . . 11. Data 1a runzrone 2 + 1 ' espn .mere h com e prod otto di1 com p ostztone X
in cui uno dei fat tori
IT:[]
e 1a
e +2 funzi one
f (x)
=
e" .
Dat e 1e huizioni f (x) = x 2 - 3x + 2 e g(.1.: ) l 'espr ession e e tracciare i grafici delle Iuu zioni h(x) = min(J(x) ,g(x))
e
x2
-
5x
+ 6,
ricavare
k( x) = m ax(h( x), 0).
2.7.1 Soluzioni 1. Domini:
a) domf = lR \ {-3,2} . b) Si devono imporre le condizioni x 2 - 3x - 4 2 0 e x + 5 =I- o. La prima condizione equivale a (x+ 1)( x- 4) 20, ossia x E (-00, - 1] U [4, + 00); la seconda equivale a x =I- - 5. In definitiva il dominio di f e dom f = (- 00, - 5) U (- 5, -IJ U [4, +00) . c) domf = (- 00,0) U (1,+00).
c1 ) Per st udiare il dominio di tale fun zione definita a tratti, consideriamo separat am ente i casi x 2 0 e x < O. Per x 2 0, dobbiamo chiedere chc 2x + 1 =I- 0, ovvero x =I- -~ . P oiche -~ < 0, la funz ione e sempre definita per x 2 o. Per x < 0, impon iamo la condizione x + 1 2 0, ossia x 2 -1. Dunque la fun zione, per x negativi , e definita in [-1 ,0) . In defini tiva, clomf = [-1 ,+00).
62
2 Funzioni
2. Im 111ngini:
a) La funzione y = x 2 ha immagine [0, +00); dunque la funzione y = x 2 + 1 ha immagine [1 , +00). Passando ai reciproci, la funzione data ha immagine (0,1]. b) Si t rat ta di una fun zione ottenuta traslando la funzione element are y = JX (che ha come immagine [0, +00)) dapprima verso sinistra di - 2 (y = y'x + 2) e poi verso il basso di 1 (y = y' x + 2 - 1). Se ne puo quindi tracciare il grafico (Figura 2.27) e ottenere imf = [-1 , +00). im f
- 2 ~
-- I-----------~
- 1
Figura 2.27. Grafico della funzione y
= "';x + 2 -
1
°::;
In alternativa, si puo procedere analiticamen te e osservare che y' x + 2 < +00 implica - 1 ::; y'x + 2 -1 < + 00, da cui si h a ancora imf = [-1, + 00). c) imf
= (0,+00) ;
<1) imf = (-7,+00).
3. Imponendo la condizione cos x - 12 0, si ottiene cos x 2 1. Tale relazione e verific ata solo p er x = 2k1r, k E Z dove il coseno vale 1; pertanto dom f = {x E ffi. : x = 2k1r, k E Z} e im f = {O}. II grafico della funzione e rappresentato in Figura
2.28.
Figura 2.28. Grafico della funzione y
= ...;cos x
- I
4. f - 1([0, + 00)) = (1,2] e f -1(( - 00, - 1]) = [e + 1, + 00). 5. Grafici e simmetrie/p eriodi cit a: a) La funzione a sinistra) .
e pari e non periodica , il grafico e mostrato in Figura 2.29
b) La funzione e pari e periodica di periodo (in alto a des tra).
'IT,
il gr afico
(in alt o
e mostrato in Figura 2.29
2.7 Esercizi
o
- 1
63
1
1
"2
- 1
Figur a 2 .29. Grafici relativi ail e fun zioni dell 'Esercizio 5.a) (in a lt o a sinistra), 5.b) (in alt o a destra), 5.c) (in basso a sinistra) e 5.d) (in basso a destra)
c) La funzione e dispari e p eriodica di poriodo 2.29 (in basso a sinistra) .
il grafico
e mostrato in Figura
d) La funzione non ha ne simmetrie ne periodicita, il gr afico 2.29 (in basso a destra) .
e mostrato in Figura
1f,
6. I grafici richiesti sono mostrati in Figura 2.30. f (x - 1)
f (x + 3)
f (x) - 1
o o
4
-2
If(x)1
f (- :D)
o
3
o
o
F igura 2 .3 0 . Grafici relativi aile funzioni dell 'Esercizio 6
3
64
2 Funzio ni
7. La fun zion e rappresent a un a parab ola con vcr ti ce in (1,4 ) e p er t anto non e inver ti bile su lR p er che non e iniet t iva (ad esem pio f (O ) = f (2) = 5) . La fun zion e ristretta agli int ervalli (-00, 1] e [1, +(0) risult a invertib ile e, p on endo
h = f lc- oo,lJ : (-00, 1]
---+
[4, +(0) ,
[z
=
f l[l ,+oo) : [1, +(0)
---+
[4, +(0) ,
possiamo csplicitame nte calco lare le espressioni di
fl
1
:
[4,+(0 )
Infat ti dalla relazi one x 2
-
---+
r; l : [4, + (0)
(-00, 1],
2x + 5 - y
yY=""4.
i:' e f 2- 1
Ten endo cont o de ll'immagine delle fun zion i variabili x e y , si ot ti ene
l'int ervall o I cerc ato
{
vi4 a
2x
se
a < x :::;
e [0, 2] e il grafico di f e rapp resen t ato ill Fi gura 2.31.
2
Figura 2.31. Grafico della funzione y
X=
4
=
2,
> 2,
se x
o
Inolt re f ([O , 2])
e scambiando i ruoli de lle
sex < O,
2
f (x) =
[0,2], d unque
r: : [0,2]
---+
= J lx -
21-
[0,2]. P ost o Y
2
~ Y , d a cui si otti en e f -1 (X) = 2 - ~ x2 .
9. Risu lt a
f (x ) =
{9X 2
se 0 :::; x :::; 1 , 3x + 4x + 1 se x > 1 e rappresent at o in Fi gura 2.32. 2
e il grafico d i
f
[1, +(0 ) .
= 0, ricaviamo
x = 1±
8. Poiche
---+
-
1
Ixl + 2 =
vl4 - 2x , risul t a
2.7 Eserci zi
65
8
- 1
Figura 2 .32. Grafico della funzione y
=
(1 + 3x)(2x
- Ix -
11)
L'immagine di f e l'intervallo [-1 ,+(0). Per det erminare l'espressione di t:' , separiamo il caso 0 < x < 1 dal caso x > 1. Per 0 :'::: x :'::: 1, si ha - 1 < 11 < 8, e
X =V
Y;I
.
Per x > 1, si ha y > 8, e y = 3x
2
+ 4x + 1
x
- 2 + y!3y + 1 =_-'-:--"---
3
Pertanto se - l:,:::x :'::: 8 , se x
> 8.
10. Futizioni com p oste:
a) Si ha g o f( x) = g(f( x)) = g(x 2 - 3) = log(I + x 2 - 3) = log(x 2 domg of = {x E lR : x 2 - 2 > O} = (-00 , - V2) u (V2,+00) .
-
2) e dunqu e
Inolt re f 0 g(x) = f(g( x)) = f(log(1 + x )) = (log(1 + J;))2 - 3 e quindi domf og = {x E lR : 1 + x > O} = (-1,+00) .
b) g Of (X) = V
f 0 g(x) 11. g(x) =
5X x +l
2
-
7y!2 - x
=
y'2"="X + 1
domg of =( -I ,g] ;
e e
2x+ 1 e h( x) = g 0 f( x) . x +2
- 2--
domf 0 g = (-00 ,2] .
66
2 Funzioni
1
2
Figura 2.33. Grafi ci delle pa rabole f (x)
= x2
-
3x
+ 2 e g( x) = x 2 -
5x
+6
12. Disegn ando i grafic i delle par abole f( x) e g( x) (Figura 2.33) , si vede che 2-3 h( x) ={ X X+2 x 2 - 5x + 6
se x :S;2 , se x > 2
e il grafico di h e rappresentato in Fi gura 2.34, a sinist ra. Ragion ando come sopra , si ha x 2 - 3x
k(x)
e il grafico di k
=
{
e rappresent a to
+2
0 x 2 - 5x
se x:S;l, se l<x< 3 ,
+6
se x 2:: 3
in Fi gura 2.34, a des tra.
3 Figura 2 .34. G rafici rela tivi a ile fun zioni h (a sinist ra) e k (a de stra) dell 'Esercizio 12
3
Limiti e continuita I
In questo cap it olo, affrontiamo 10 studio del comportamen t o limi t e di una successione reale 0 di una fu n zione reale di va riabile real e, e 10 stud io della cont inuit a di u n a t ale fu nzione.
3.1 Intorni Nel defin ir e i con cet t i d i limi t e e d i continuit a , sia mo co ndotti a conside rare num eri reali 'vicin i' ad un ce rto nu mero reale fissat o, 0 , con lin gu aggio geometrico equiva lent e , pu nt i d ell a ret t a 'vicini' ad un p unto fissa to . P ert ant o , in iziamo con il precisare il co ncet t o m a t em ati co di intorno di u n pu nto . D efinizione 3 .1 Sia Xo E lR un punio della retia reole, e sia r > 0 uri numero reale. Cliiamerem o intorno d i Xo d i r a g gi o r l'inieruallo aperio e limitato
Ir(xo) = (xo -
1·,XO
+ r)
=
{x E lR : Ix - xol < r ].
Ad ese m p io , l'intorno di 2 di raggio 10- 1 , che indichi amo con la not azione h O-l (2), e I'i nsiem e dei numeri reali strettam ente comp re si tra 1.9 e 2.1. In t erpretando la qu antita Ix - xol come la d istanza euclide a tra il punto Xo e il punto x , possiamo dire che Ir(xo) e format o d ai punti della rett a reale che di st ano meno di r d a xo. In t erpret ando invece la quanti t a Ix - xol come 10 scarto, 0 errore (asso luto), con cu i il numero x a p p rossim a Xo, p ossiamo dire che Ir(xo) e farmato d a t utti i numeri reali che a p prossimano Xo co n un er rore assoluto in feriore a r .
- - - --t-- - - - _ - - - - - - t - - - - - -t> XQ -
1'
XQ
Figura 3 .1. lnt orno di
XQ XQ
+r
di raggio
T
68
3 Limiti e cont inuita I
Se, fissat o Xo in JR, facciamo variare r nell 'insieme dei nu meri reali strettame nte positi vi, ot tenia mo la famiglia degli intorni di xo . Ogni intorno e contenuto strettamente in t utti gli intorn i avent i raggio pili grande, mentre contiene t utti gli intorn i di raggio pili piccolo. Osservazione 3.2 II concetto di int orno di un punt a Xo E JR non e a lt ro che un caso particola re dell'analogo concetto per un punto appartenente al prodot t o cartesia no JRd (quindi a l pian o se d = 2, a llo spazio se d = 3), che presen ti amo nella Definizion e 8.11. Le successive definizion i di limi te e di continuita, che si bas ano sui con cetto di int orno, possono essere date diret t amen t e p er fun zioni defin it e su sottoins iem i di JRd, cons ide rando Ie fun zioni di una variab ile real e come caso parti colare corrisp ondente a d = 1. Prcferi amo seg uire un approccio pili grad uale, esam inando dapprima l'ambito monodimcn sion ale e riservando il P aragrafo 8.5 ad un cenno all 'est ensione al caso multidimen sion ale. 0
E conveniente
introdurre anche il concetto di intorno di un o dci punti all' infinit o
+ 00 0 - 00 .
Definizione 3.3 P er ogni numero reale a ::::: 0, chiarniarno intorno d i di est rem o inferiore a l'inieruallo aperto superiormenie illim itato 1a (+00)
= (a, +
+00
00 ) .
Analogam ent e, l ' int or n o di -00 di e st r e m o superiore -a sara definito come l a (- oo) = (-oo , - a).
-00
-
o
(l
Figura 3.2. Int orno di
- 00
+00
(l
(a sinistra) e d i
+ 00
(a des t ra)
La seg ue nte notazione sara utile nel seg uit o. Diremo che un a proprieta matemati ca P( x ) val e 'in un intorno' (0 'ne ll'int orno' ) di un punt o c (dove c indica t ant o un nu mer o real e Xo qu an to +00 0 - 00 ) , se esiste un int or no d i c t al e che in ogni suo punta x, P (x ) e vera. Ad ese rnpio, la funzion e f (x ) = 2x - 1 e strettame nte positi va nell 'int orno del punt o Xo = 1; infatti , si ha f (x ) > 0 p er og ni x E 11 / 2 (1).
3.2 Limiti di successiorn Consideriamo un a successione reale a : n 1---+ an ' Sia mo int er essat i a st ud iare il com po rtame nto dei valor i an al crescer e dell 'indice n. Iniziamo con due esempi.
3.2 Limiti d i success ioni
69
Esempi 3.4
i) Sia an = _n_ . I primi va lori della success ione sono riport ati nella Tab ella
n+ l 3.1. Notia mo che ess i 'si avvicinano a L' al cresce re di n. Pili precisamen te , il numero 1 puo essere a pprossimato t ant o ben e qu anto voglia mo dai valori a n con indice n a bbast anza grande; tale affermazione va intesa in qu esto sens o preciso: comunque (piccolo) fissiamo 10 sca rto E > 0, da un cer to indice n £ in poi t utti i va lori an appross imano 1 con un o scarto inferiore a E . Infat ti , la cond izione Ia n -
11 <
se dunque definiamo n £ =
[~]
n
+ 1 > [~] + 1 > ~ ,
1
E
equivale a - - < n+ l
e se n
cioe Ian - 11 <
E.
e un
.
E,
OSSla n
+ 1 > -1 ; E
qu alunque intero > n £, avre mo
In altri t ermini , per ogni scarto
E
> 0,
esist e un intero n £ tale ch e
n > n£ => Ian - 11 < E . Facendo riferim ento al grafico della su ccessione (vedi Fi gura 3.3), po ssiamo an che dire che p er tutti gli n > n; i punti (n , an) del grafico sa na racchiusi tra Ie due ret t e orizzont a li di ordinate 1 - E e 1 + E .
n
an
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000
0.00000000000000 0.50000000000000 0.66666666666667 0.75000000000000 0.80000000000000 0.83333333333333 0.85714285714286 0.87500000000000 0.88888888888889 0.90000000000000 0.90909090909090 0.99009900990099 0.99900099900100 0.99990000999900 0.99999000010000 0.99999900000100 0.99999990000001 0.99999999000000
n
an
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000
2.0000000000000 2.2500000000000 2.3703703703704 2.4414062 500000 2.4883200000000 2.5216263717421 2.5464996970407 2.5657845 13!J503 2.5811747917132 2.5937424601000 2.7048138294215 2.7169239322355 2.7181459268244 2.7182682371975 2.7182804691564 2.71 82816939804 2.7182817 863958
Tabella 3 .1. Alcuni va lori, a ppros simati alia 14-esim a cifra decim ale, delle suc cessioni a n = n~l (a sinistra) e a n = (1 + ~ r (a dest ra )
70
3 Limiti e cont inuita I
1 1- c
- - - - - - - - - ..- - -. - - ~ - - -e_ -
...
- - - - - - - - - - - -
Figura 3.3. Convergenza della successione
ii) Sia an = (1
a n
=
n~ l
+ ~ ) n. I primi valori della s uccessione sono riportat i in Tabella
3.1. Si puo intuire,
0
'conget t ur are ', che i valori della successione, al crescere di
n , si avvicinano ad un cert o numero real e , la cui rappresen t azione de cimal e inizia con 2.718 . . . In effet t i, e possib ile dimostrare cia: t ornere mo pili ava nti su questo esem pio molt o impor t ante. 0 In troduciarno ora , in mod o preciso , il concetto di convergenza di un a suecessione . Supporremo p er sem plicita che la successione sia defini t a sull' ins ieme {n E N : n 2: n o} per un oppor tuno no 2: o.
Definizione 3.5 Si dice che la succe ssione a : n f-7 an tende al limite £ E JR (opp ure converge a £, opp ure ha limite E} , e si scriu e lim an
n --+oo
se, per ogni tuun ero Teale "In
2:
E
= £,
> 0 esisie uti iniero n f: tal e clie
no ,
Con Ia t errninologia degli intorni , la co nd izione n > n f: puo essere riscritt a come E 1n, (+ 00 ), mentre la cond izione Ian - £1 < e equiva le a an E I f:( £). Pertanto , la cond izione di limi t e puo essere espressa ne l modo equivalente: p er ogni int orno I f: (£) di £, esist e un intorno In, (+ 00) di + 00 t al e che
ti
I "In 2: no,
3.2 Limiti di successioni
71
Esempi 3.6 i) In base a quanto visto nell ' Esempio 3.4 i), possiamo dire che lim _ n_ = l. n+1
n ~ CX)
ii) Verifichi amo chc
3n = 2 n -> CX) 2 + 5n
o.
lim
Fissat o
€
> 0, d obbiamo fa r vederc che si ha
12:~n2 1
<
E
p er t utt i i val ori di n maggiori d i un op po rt uno int ero n c. Osservando che p er n ~1
3n I2 + 5n I
3n
2 + 5n 2
2
av remo
3n - 3 < 2 5n
-
5n'
D 'al t ro cant o,
3 <E 5n
-
p erta nto , possia mo porr e n c =
{==}
I primi valori sono rip ort ati in Tabella 3.2. Non solo i val ori dell a success ione no n appaion o avvicinarsi a d a lcun val or e limi t e finit o E, rna essi non sono m aggiorabili dall 'a lt o: comunque (grande) fissiamo un numero real e A > 0, tut ti gli an con n a bbastanza gra nde , cioe maggiore di un opportuno in te1'0 n A, saranno maggiori di A. Infat t i, bas t a porre n A = [VA] e osservare che
>
nA
~n >
JA
5E'
[:E].
Esarn iniamo ora un diverso com po rtarnen t o di una successione a l crescere d i n . Con sideriamo , ad ese m pio, la successione
n
n > _3 .
~ n 2 > A.
Diremo che la succession e d iverge a
+00.
o
n
an
a
a
1
1
2
4
3 4
16
5
25
9
36 7 49 8 64 81 9 10 100 100 10000 1000 1000000 6
Tabella 3 .2. AIcuni valori della successione an = n 2
In gene rale, defini amo il co ncetto di di vergen za di una successione come segue.
72
3 Limiti e continuita I
D efin izio n e 3. 7 Si dice che la successione a : n f---7 an t e n d e a + 00 (oppure diverge a +00, oppure ha limit e + 00), e si scrive
= +00,
lim an
n -. oo
se, per' ogni numero reale A > 0 esistc un intero nA talc che n > nA
an > A .
=}
In termini di intorni, possiamo dire che p er ogn i intorno un into rno r n A ( +00) di +00 t ale che
(3.1)
f A (+ 00)
d i + 00, esiste
I \:In 2:: no , La definizion e di lim an =- 00
n -. oo
e a naloga a lla
precedent e: ora l' implicaz ione (3. 1) va sostituit a da
I \:In 2:: no ,
n > nA
an
=}
< -A .
I
E se m pi 3.8 i) In base a qu anta visto sopra, possia mo afferrnare che lim n 2 = + 00.
n -e- tx:
n
ii) Cons ideriamo la successione an
= 0 + 1 + 2 + .. .+ n =
L
k che assoc ia ad n
k =O
la somma dei num eri naturali fino ad n. P er det erminarne illimi te, most riarno innanzit utto che vale l'ugu aglianza
t
k
= n(n + 1) ,
(3.2)
2
k=O
che ha varie applicazioni in Mat em ati ca. A t ale scop o, osserviamo che si ha anche n
an = n + (n - 1) + . . . + 2 + 1 + 0 =
L (n -
k) e p er t anto
k =O n
2an
=
n
L k + L (n k =O
n
k)
=
k =O
. . da cui l'ass erto. Verifichi arno ora che
n
L n = n L 1 = n(n + 1) , k =O
. n (n hm
n-. oo
k =O
+ 1) 2
=
.
+ 00. Osserviarno che
n (n + 1) n2 , 2 > 2 ' E p ossibil e allora ragion are come neIl' esempio preceden t e e, fissato A > 0, scegliere n A
= [V2A].
0
3.2 Limiti di successio ni
73
Una success ion e puo dunquc essere convergente , oppure divergente (a + 00 o a -00) . Se non e ne co nvergente ne di ver gen te, di ciamo che la successione e indet erminata. Ad esempio , indeterm inata la success ione an = ( _ I)n , ch e gia conoscia rno, op p u re la succes sione
e
an
= (1 + (- 1) n ) n = { 02n
se n se n
e p a ri, e di spari.
Una cond izione sufficiente, che p ermet t e d i escl udere il co m p ortament o in det erminat o di una successione, e la monotonia. Le defini zioni di fun zione mo no tona , d at e nel P aragrafo 2.4 , si a p p licano ovvia mente aile succ ess ioni, che sono part icolari funzioni d efin it e so lo sug li in teri . P er Ie successioni, Ie co nd izioni d i m on ot oni a assu mo no u n a form a p ili se m p lice, nel senso che e su fficiente limit a re il con fro nt o a tutte Ie cop p ie di ind ici co nsecutivi n , n + 1 appartenenti al dominic della successione . Cosi , a d esem p io, u na successione e monotona cre scente se
I I: / n ~ no ,
an :::;an+1 · 1
Le altre defin izion i si sc rivo no in modo an alogo . Vale allora il seg ue nte risult at o. Teorema 3. 9 Sia a : n I-> an una su ccession c monotone. Allam, essa e cotiuerqenie oppu re diuerqeni e. Precisametit e, n el caso in cui la successione sia crescenie , si ha:
e superiormenie lirnitata, cioe se esis te un rnaggiomnte b E ~ tale che an :::; b per ogni n ~ no , allora la su ccessione converge verso l 'esirem o superi ore della sua irnrnagin e:
i) S e la successione
e
lim an =
n-oo
ii) S e la su ccessione non
e=
sup {a n : n ~ no} .
e superiorment e lirnitata, allora essa diverge a +00 .
N el caso in cui la succession e sia dccrescetite, l'enun ciato precedenie si rnodifica in modo ovvio. Dimostrazione.
~
Suc c essioni.
o
Esempio 3. 1 0
n e strettament e n+ l fa t t i , I a con diizione . . , -n- < -n + cres cente. In ntatti an < an+l , cioe -1, equ .rva Ie a n+l n+ 2 n(n + 2) < (n + 1)2, oss ia n 2 + 2n < n 2 + 2n + 1, che e ver ificata per og ni n . Inolt re, si h a an < 1 p er og n i n ~ 0; a nz i, come gia osservato nel P aragr afo 1.3.1, 1 e I'est rem o su periore d ell' insieme {a n n E N} . P ert a nt o , il teo rem a fornisce il risu ltato , gia noto, lim an = 1. 0 R iprendiamo qui l'Esempio 3.4 i). La successione an
n -oo
74
3 Lim it i e cont inuit a
r
Il numero e di N epero
(1 + ~ ) n, gia cons id erata nell 'Esem p io 3.4 ii) .
Ri p rendiarn o la succ essio ne a n =
E p ossibile d im ostra re che essa e strettamente crescente (d u nque, in part icola re, a n > 2 = al per ogni n > 1) e che e sup erior m ente lirnitat a (p re cisamente si h a a n < 3 p er ogni n ). P er t a nto , il Teorem a 3.9 garantisce che la suc cession e e conve rge nte ad un limi t e, com prcs o t ra 2 e 3, ch e t rad izion almente si indica con il sim b olo e:
( + -1) 1
lim 11---1> 00
n
n
(3.:3)
= e.
Tal c numero, detto numero di Nepero , rivest e un ruolo fondamental e nella M atem ati ca. Si dimostra che esso e irrazionale; Ie sue p rime cifre decimali sono
e
= 2.71828182845905 · · ·
P er le d imostrazioni ""V> Numero d i Nepero. II nurner o e costit u isce un a t ra Ie b asi pili usa te per Ie funzion i esp one nz iaIi e logaritmich e . La funz ione csp one nz ia le y = eX sara talvolt a in dicata con la not azion e y = ex p x . II loga ri tmo in base e v ien e d ett o lo g a rit m o neperiano 0 nat urale e sara indica to nel seg u ito con il sim b olo log op p ure In, in lu ogo di loge (ricord ia mo che il logaritmo in b as e 10, detto logaritmo deci mal e, viene indicato con il simbolo Log).
3.3 Limiti di funzioni ; continuita Sia f un a fu n zione reale di varia bile reale. Vogliamo d escrivere il com p ortamento della va ria b ile dipenden t e y = f (x ), a llorche la va r ia b ile indipenden te x 'si avvicina ' ad un punta Xo E JR, oppure ad uno d ei punti all' infin it o - 00 0 + 00. E conven iente ini ziare d a questultirno caso, p oich e a b b ia mo gia a n alizzato il comportame nto di una success ion e a ll'in fin it o . 3.3.1 Limiti all'infinito
Su pponia m o che f sia defin it a nell 'int orno di +00 . In analogia co n quanta fatto p er le succ ession i, di amo Ie segue nt i defini zioni . Definizione 3.11 Si dice che tendente a +00 , e si serine
f
tende a l li m it e finito
lim f (x ) =
x~+oo
e,
eE
JR per x
3.3 Limiti di Iunzioni ; continu ita
75
se, per ogni tium ero reale e > 0, esiste un ti umero Teale B 2:: 0 tale che
'\Ix E domf,
x > B
If(x) -
=?
el < c.
(3.4)
In forma equ ivalente, la condizione ora enunciata richiede che per ogni intorno I E; (e) di e, es ista un intorno 18 ( + 00) di + 00 t ale che
I'\Ix
x E 18(+00)
E domf ,
=?
f (x ) E I E; (e) .
I
f tende a +00 per x t e n d e nt e a +00 , e si
Definizione 3.12 Si dice che serine
lim f(x) = + 00,
x -. + oo
se, per ogni numero reale A > 0, esiste un numero Teale B 2:: 0 tale che
x > B
'\Ix E dom f ,
f( .'E) > A.
=?
(3.5)
La definizione di fun zione f t endente a - 00 si ottiene dall a precedente sostituendo la condizione f( x) > A con la condizione f( x) < -A. Invece , la not azione lim f (:1: ) = 00
x ---+ + oo
significa
lim
x ----++oo
If (x)1= + 00.
Se fe definita nell 'intorno di - 00, le Defini zion i 3.11 e 3.12 si modificano in definizioni di limi t e (finito 0 infinito, sia esso indica to con L) per x tendente a - 00; e sufficiente sost it uire la condizione x > B con x < - B. Si scrivera lim f( x) = L.
x---+-oo
Infine, la notazione lim f(x)
x-.oo
significa che x -> - 00.
f ha 10 st esso limi te
=L
L (finito 0 infinito) sia per x
Esempi 3.13
i) Ver ifichi amo che . 1im
x 2 + 2x
x -. +oo 2x 2
+1
1 2
->
+00 , sia per
76
3 Lirniti e cont inuita I
Fissato c > 0, la condiz ione Ij (x ) - ~ I
< e equ ivale a
12(~:2-+11) I < c . Non e restrittivo sup p or re x > ~ , nel qual caso possiamo toglier e il valore assoluto. Ora, usando semp lici proprieta delle fra zioni , si ha
4x - 1 2x 2x 1 < 2 < - =-
1
- --2 -
P ertanto, la con d izion e (3.4)
c sod disfat ta ponendo B
se x > - . c =
m ax
(~ , ~ ).
ii) Verifi chiamo che
yX
lim
+00.
=
X ---lo+OO
F issato A > 0, la eondizione yX > A equivale a B = A 2 e la (3 .5) e sodd isfatta.
;r;
> A 2 , dunque possiamo porre
iii) Verifichiamo che . lim X -+ -
1
00
vr-=-x = 0.
Fissato e > 0, la cond izione
I~I = -V-1-
1 _- X
<
E
1
. , vr-=-x > -e , cioe 1 - x > 2e1 ' cioe ancora x < poniamo B = max (0, c12 - 1) , si ha x< - B =? I~I
equivale a
2 '
E
Pertanto, se
o
3 .3 .2 Continuita. Limiti al finito Ci oecupiamo ora di studiare il comport amento d ei valori y = j( x) d i una funzione j, quando x 'si avvicina' ad un punto Xo E R Supponiamo che j sia definita in t ut t o un intorno di xo , tranne eventualmente nel punta Xo st esso . Iniziamo con alcun i esempi , ehe ci p ermettono d i cog liere gli as pet t i essen zia li dei concet t i di continuita e di limite finito. F issi amo Xo = e consideriamo Ie t re fun zioni reali
°
di variabile reale j(x)
= x + 1, g(x) 3
=
x
+ [1 -
x 2 ] e h( x) = sin x ; i lora gr afiei ,
in un intorno d ell 'origine, sono presen tati nelle Figure 3.4 e 3.5.
x
P er quanta ri guarda la funzione g , osserviamo ehe se Ixl < 1, allora 0 < 1- x 2 ::::: ] ed il valore 1 e assunt o solo p er x = 0; pertanto, n ell'intorno dell 'origine di raggio 1, si ha se x = 0 ,
g(X)= { l
x
se x
#
0,
3.3 Limiti d i fu nzion i; cont inuita
- -- - - -- -
-
+c: _.-:1 : 1 - - - - -
, -
-
-
-
-
-
-
:-
:,
-I -
,,,
-- --
-
-
-
, ,
o
77
1
ij€
Figura 3.4. Grafici d ell e funzioni f( x) dest ra) , in un intorno d ell 'origine
=
x:l
+1
(a sinis t ra) e g( x)
= x + [1 - x 2 ]
(a
come mostrato dal grafico . Notiamo inol tre che la fun zion e h non e definita nell 'origine. Per ciascuna delle funzioni j e g, confront ia mo i valori assunti in punti x vicini all' or igine, con il valore assunto nell'origin e. Le due fun zioni mo st rano com portamen ti diversi . Il valore j(O) = 1 puo essere ap prossimato tanto bene qu anta vogliamo da t utti i valori j(x) con x abbastanza vicino a O. Precisamente, fissato uno 's cart o' E: > 0 (arbitrariamen te piccolo), po ssiamo fare in modo che Ij( x) - j(O) 1 sia minore di E: per tutte le x t al i che Ix - 01 = Ixl sia minore di un opportuno numero real e J > O. lnfa t ti Ij( x) - j (O)1 = Ix3 1= Ixl3 < E: eq uivale a [z] < ifi e dunque e sufficiente p orre J = ifi. Di remo allora che la funzione j e continua nell'origine.
1
o Figura 3.5. G rafico d ell a funzione h( x)
=
sin x in un int orn o dell 'origine x
78
3 Lirniti e continuita I
Al cont rario, il valore g(O) = 1 non puo essere approssimato arbitrariamentc ben e da tutti i valori g(x) con x vicino a O. Ael esempio, se fissiamo e = la conelizione Ig(x ) - g(O)1 < e equivale at < g(x) < ~ ; rna tut te le x diverse da 0 e t ali che ad esempio Ixl < ~ , soelelisfano - ~ < g(x) = x < ~ e dunque la preceelcnte limitazione per g(x) non potra essere verificata. Diremo allora che la fun zione 9 non e con tinua nell 'origine. Possiamo pero precisare meglio il comportamento eli 9 in un intorno eli 0, osservanelo che pe r valori eli .1: via via pili vicini a 0, rna sempre dioersi da 0, i valori eli g(x) appro ssimano non gia il valore g(O), bensi il valo re P = O. Infatti, fissato e > 0, se x =1= 0 sod disfa Ixl < min(c,I), av remo g( x) = x e Ig(x ) - PI = Ig(x )1= Ixl < c. Diremo allora che la funzione 9 ha limite 0 per x tenelente a O. Infine, per qu anto riguarda la funzione h, essa non potra essere eletta continua nell 'origine, semplicemente perche non ha senso il confront.o dei valo ri h(x) , per x vicino a 0, con il valore elella funzione nell'origine, che non e definito, Tuttavia, il grafico ci permette eli intuire , 0 'congetturare' , ch e t ali valori approssimano sempre meglio il valore £ = 1 se l'argomento .1: e scelto via via pili vicino all 'origine. Siamo portati a dire che anche la funzione h ha limite per x tenel ente a 0, e tale limite vale 1. Dimostreremo tale affermazione pili avanti. Gli esempi or a visti ci introelucono alle seguenti definizioni eli cont inuit a e eli limi t e (fini to).
t,
D efinizione 3. 14 Sia Xo un punto del domiuio di una fun zion e f . La fun zione dicesi continua in Xo se per ogni e > 0 esiste uri {) > 0 tale che (3.6) I::/x E dom I, Ix - xol < {) =} If (·1: ) - f( xo)1 < c. Con illinguaggio elcgli intorni , la conelizione eli cont inu it a puo essere esprcssa corne: per ogni intorno IE(J(xo)) eli f( xo) esiste un intorno Io(xo) eli Xo tale che
I::/x E elom f ,
x E I,s(xo)
=}
f( x) E IE(J(xo) ).
(3.7)
D efinizione 3.15 Sia f una [un xion c definita in un iniorno di Xo E lR, tranne eventualm ente tiel punta x o. Si dice che .f ha limite £ E lR (a tende a P) per x tendente a xo, e si serine lim f( x) X ----1- X
se
o
= £,
per' ogni e > 0 esiste un {) > 0 tale che I::/x E elom t ,
O< lx - xol <{)
=}
If (:r: ) - £I < c .
(3.8)
3.3 Limi ti di fun zioni ; co nt.inuita
I
I I
I
I
I I
I I
y
79
= f (x)
----- - - - - - - - ~ - -- ~
e f (x) f- E
___________
I
L
L
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I I I I
I I I I
1
xo - 8
.1:
_
I
:1:0
xo
+8
Figura 3.6 . D efini zion e di limite finito di una fu nzi on e
Co n illingu aggio degli intorni: per ogni intorno 10 (11.) di £ esiste un intorno lo (xo) di .TO tale che
I 't/x E dorn j', La definizion e di limite
x E Io(xo ) \ {xo}
=?
f (x ) E 10 (£),
e illustra t a graficame nte nella F igura 3.6.
Esaminia rno comparativament e Ie due definizioni appena dat e. Nella defini zione di continuita, i va lori f (x ) ven gono confront at i con il valore f (xo ), men tre nella definizione di lim it e , essi vengo no confront at i con un valor e £, che pUG essere d iverso da f (xo ), se f e defini t a in Xo. In oltre, nella definizione di limite si esclude d al confront o il punto x = xo: la cond izione 0 < Jx- xol significa pr op rio x i- xo; al cont rario , l'implicazion e (3.6) nella de finizione di continuita e banal ment e sodd isfatta da x = Xo . Sia f un a funzione defini t a in un intorno di xo . Se f e continua in Xo, all or a e senz 'alt ro sodd isfatta la cond izione (3.8) ca n £ = f (xo); viceversa, se f ha lim it e £ = f (xo) p er x t enden t e a x o, allora la condizione (3.6) e sodd isfat ta. Dunque, dire che f e cont inua in Xo eq uivale a dire che lim f( x ) = f( xo) .
x ----+xo
(3.9)
Not ia mo poi che , in ent r am be Ie definizioni , fissato un va lore arbit ra rio E > 0, vien e richi est o di det erminare alm ena un valore 0 (' esist e un 0') strettame nt e positi vo per cui va lga l'implicazion e (3.6) oppure (3.8) . Se l'implicazi one e vera per un certo 0, ess a sara sicurame nt e vera anc he per ogni 0' < 0. La definizione non richiede affatto di det er minare 'il pili grande 0 possibile ' per cui l'implicazione sia sodd isfat t a . Ten endo ben pr esent e questo concetto , sovente la verifica della con d izione di continu it a 0 d i limite pu o essere resa pili ag evo le.
80
3 Lirniti e cont inu ita I
Tornando ora all e fun zioni [ , g , h conside rate all' inizio del paragrafo , possiamo dunque dire che la fun zione f e cont inua in Xo = 0, lim f( x)
x~o
=
1
=
f(O) ,
mentre la fun zione 9 ha limite 0 per x tende nte a 0, rna non lim g(:r) = 0
x~o
e continua:
i= g(O) .
Dimostrer emo all'intern o dell 'Esempio 4.6 i) che anche la fun zione h ha limite per x tenden te a 0 e precisamente si ha lim h(x) = l.
x~o
Le funzioni 9 e h su ggeriscono la segue nte definizione. Definizione 3.16 Sia f una funzione definita in uti iniorno di x o, escluso eve n tualmente il punto x o. S e f ammette limit e £ E 1R per x tendente a Xo e se a) .f e definita in Xo rna f( xo) i= £, oppure b) f non e definita in Xo, diciamo che Xo e punto di discontinuita eliminabile per .f. La ter minologia si spiega con il fatto che in t al caso possiamo 0 modificare la definizione dell a fun zion e in Xo 0 definire la fun zione in x o, in modo d a ottenere una fun zione cont inua in x o. Precisamente, la funzione j(x)
=
{;( x)
se x
i= x o,
se x = Xo,
e tale che lim j(x)
x---+xo
= :r;---+x lim f( x) = £ = o
j(xo)
e dunque () cont inua in x o. Per le funzioni conside rate sopra, ab bia mo g(x ) dell'origine, m entre sinx se x i= 0, lL( x) = : { se x = O.
x in tutto un intorno
In quest. 'ultimo ca so, abbiamo quindi prolungato per continuit.a la fun zione sin x Y = - - , assegnando il valore che la rende continua nell'origine. D 'ora in ava nti, x sinx . quando faremo ri ferimento alia fun zione y = - - , intenderemo sempre che e x prolungata pe r continu it a nell 'origine.
3.3 Limiti di funzioni ; cont inu ita
81
Esempi 3.17 Verifichiarno che alcune funzioni element ari sono con tinue. i) Sia f
: JR. ----> JR., f (x) = ax + b e sia Xo E JR. fissato . P er ogni e > 0, 130 cond izione If (x ) - f( xo)1< E eq uiva le a la ll x - xol < c. Se a = 0, ess a e verifi cata per ogni x E JR.; se inve ce a f=. 0, ess a equivale a [z - xol < 1: 1' In tal caso, possiamo porre
o=
E
~
nella (3.6) . La funzione
f
e dunque continua in ogni
Xo E R
ii) Sia f : JR. ----> JR., f( x) = x 2 . Verifichiamo che essa e con tinua nel punto Xo = 2. Indichiamo due modi diversi di proced ere. Fissato e > 0, la condizione If (x ) - f(2) 1< c, cioe 1:r: 2 - 41< c , equivale a 4 - c < x 2 <4 + c.
(3.10)
e restrittivo supporre e ::; 4 (infatti, si ten ga presente che se 130 condizion e e soddisfatt a per un cert o c , 10 sara pure per tutti gli c' > c) ; ino ltre , cerchi amo x in un intorno di 2, dunque non e restrittivo considerare solo Non
If (x ) - f(2) 1 < c
valori di x
> 0. In
t ali ipotesi , la (3.10) equival e a
V4=E <
x < V4+ c,
ossi a a - (2 -
V4=E)
< x - 2 < V4 + c - 2.
(3.11)
Cia suggerisce di porre 0 = min(2 - v:r=€, V4 + c - 2) (= V4 + c - 2, come si verifica facilrnente) . Se dunque Ix - 21 < 0, allora e verificata la (3.11) che, com e abbiamo vis to, equivale a Ix2 - 41 < c. Noti amo che in questa modo, a cost o di qualche passaggio algebrico, abbiamo deterrninato il piu grande valore di 0 per cui la cond izione 1:];2 - 41 < e e soddisfatta. Abbiamo osservato sopra che non e richiest o determinare il massimo valore di O. P ertanto, possiamo procedere in modo diverso . Osserviamo che Ix 2 - 41 = I(x - 2)(x + 2) 1 = Ix - 211x + 21. Se limitiamo x ad un intorno di 2 di raggio < 1, avremo -1 < x - 2 < 1, cioe 1 < x < 3, cioe ancora 3 < x + 2 = Ix + 21 < 5. P ertanto ,
Ix2 Se vogliamo avere Ix 2
-
ricordando che 130 (3 .12)
-
41< 51x - 21.
(3.12)
41 < e , sara dunque sufficiente imporre che Ix - 21 <
e stata ottenuta sotto 130 cond izione
~;
Ix - 21 < 1, potremo
quindi porre 0 = min (1 , ~ ) e 130 condizione di continuita (3.6) sara soddisfattao Notiamo che 130 scelta di limitarci ad un intorno d i raggio < 1 e arbit raria : avre mmo potuto fissare un qualunque altro intorno 'di lavoro' abbast anza piccolo, ottenendo una diversa espressione di 0; rna sempre sarebbe st ato possibile soddisfare 130 cond izione di continuita , Not ia mo infine che con un ragionamento analogo si pu o verifi care che f e conti nua in ogni Xo E R iii) Sia f : JR. ----> JR., f( x) = sin x . Verifichiamo che essa e continua in ogni Xo E R lnnanzi tutto, stabiliamo una semplice rna import ante disu guaglianza .
82
3 Limiti o cont inuit a I
o
A
H
Figura 3 .7 . Dimostrazion e d ella disuguagli anza I sin z ] :S [z ]
Lemma 3.18 P er ogni x E lR,
Isin z] ::; Ixl e I'uguaglianza si ha solo per x
(3. 13)
= o.
Dimostrazionc. Supponiarno dapprirna che 0 < x ::; ~ ; in tal caso , facendo riferimento alla Figura 3.7 , si ha che la lunghezza del segmento PH (cateto del triangolo rettangolo PH A) c minore de lla lungh ezza de l segmento P A (ipotenusa de l triangolo), la quale a sua volta c minore de lla lunghezza dell'arco di circonferenza P A tra P e A (Ia distanza tra due punti e minima se il cammino c in linea retta). In formule,
Ora, per dcfini zione PH = sin x > 0, mentre P A = x > 0 (gli angoli souo misurati in radianti). Dunque, la (3.13) c vera. Se - ~ ::; x < 0, ci si riconduce al caso appcna considerate osservando che Isin z] = sin IJ:I con 0 < Ixl ::; ~ . Infinc, se Ixl > ~, si ha I sin z ] ::; 1 < ~ < 1;r:1 e dunque ancora la disuguaglianza e soddisfatta. D Grazie alla (3 .13) , possiarno verifi car e la cont inu ita della fun zione seno. Infatti, ricordando la formula eli prost afer esi (2 .14) .
SIll .'E -
.
SIll
Xo
. x = 2 SIll -
- Xo -
2
-
x
+ Xo
cos - --,
2
usando la (3 .13) e il fatto che Icos tl ::; 1 per ogni t E lR, a bb ia mo
3.3 Limiti di fu nzioni; conti nuita
. x - sin . Xo I = I sm
83
z -Xo II cos -x +-2-Xo I 2 Isin 2-
:s: 2
x2 -Xo - I ·1
I
= [z - x ol·
Dunque, fissa to E > 0, se Ix - Xo I < E si avra pure Isinz - sin Xo I < E; in altri t ermini, la condizionc di cont inuit a (3.6) e soddisfatta da 0 = E . Con un ragion a men t o analogo , usando la form ula di prostaferesi (2.15) , si dimostra che la funzione g(x) = cosx e continua in ogni Xo E R D Definizione 3.19 Sia I un. insi erne cotitenuio in dorn f . La [unzume f dicesi continua su I (0 in I ) , se f e continua in ogni punio di I . II ris ultato che or a en unciarno e di particolare import an za e verra usat o implicitam ent e in diverse occasioni nel seguito. Proposizione 3.20 Tuit e le [uneioni eleme niari (polin omi e [un zioni mzionali, junzioni eleuame nio a potenza, [un ziotii triqonometri che, funzioni esponenzi ali e le lOTO fun zioni inverse) sotio continue in tutto il loro dominic . Dimostrazion e.
--v>
Funzioni elementari.
D
Torniamo al con cetto di lim ite. Una funzione f , definita in un intorno di x o, tranne eventualmente in xo , pUG assumere va lori via via pili grand i quando la variabile indipendente x assume valori via via pili vicini a :r o. Se consideriarno ad esernpio la fun zione 1
f(x)
=
(x _ 3)2'
definita in ffi. \ {3}, e fissiamo un nu mero reale A > 0 arbitrariamente grande, abbiamo f( x) > A per t u t t e le x
i= Xo tali che Ix - 31 < ~ .
che f tende a + 00 per x t endente a Xo; la definizione precisa
Siamo portati a dire
e la segu ent e.
D efinizione 3.21 Si a f 'una [un zione definita in uti iniorn o di :1:0 E ffi., irantie eveniualme nie tiel punio Xo. Si dice che f h a limite +00 (0 t ende a +00) p e r x ten den te a xu, e si serine lim f( x) = +00,
x ----?xo
se per ogni A > 0 esiste uti 0 > 0 tale che \/x E domf,
0 < Ix - xol < 0
=}
f( x ) > A.
(3.14)
84
3 Limiti e cont inuita I
Co n il lin gu aggio degli int orni, diremo che per og ni int orno 1A ( +00 ) d i + 00 esiste un int orno h (xo) di Xo talc chc
"Ix E do m j',
x E l,s (xo) \ { xo}
=}
J (x ) E l A (+ oo).
La definizione di
si ottiene dall a preced ente sostit ue ndo la co nd izione J (x ) Scrivcremo inoltre lim J (x )
> A co n J (x ) < -A.
= 00
X ---+Xo
per indicare che lim IJ(x) 1= + 00. Ad esem p io , la fun zione ip erbole x---+x o
J (x )
1
=- , x
il cu i grafico e rappresen t at o nella Figura 2.2, non ha limit e p er x tende nte a 0, in quant a in og ni intorno 10 (0) dell 'origine la funzione assum e sia va lor i p ositivi arb itraria me nte grand i, sia valor i negati vi arbit rar iamente pi ccoli . In vece, la fun zion e IJ (x )\ t en de a +00 p er x t endente a O. In fa t ti, fissat o A > 0 arbitrario , si ha
VX E lR\ {O}, . 1 Du nque, hm - = x- Ox
Ixl <
1
A
=}
1 ~ > A.
00 .
3.3.3 Limiti destro e sinistro; punti di discont.inuit.a Come m ostra l'esempio preced en t e, una fu nz ione puo avcre un di verso compor1 tam ento limit e a dcstra e a sinistra di Xo. La funzione J (x ) = - assu me valori x sernpre pili grand i quando x assum e va lori posit ivi vi a vi a pili vicini a 0; invece , J assume valori se rnp re pili pi ccoli , quando x assu me val ori ncgativi via via pill vicini a O. Se cons ide ria rno la fun zion e m antissa y = lvl (x ) (il cu i grafico e rappresen t a to nella Fi gura 2.3), in un intorno di Xo = 1 di raggio < 1 si ha
M (x ) =
{ xX I
se x
< 1,
se x 2 1.
Dunque, M assu m e valori sempre pili vicini a 0 quando x assu me valor i > 1 vi a via pili prossim i a 1, m en t re M assume va lor i sem p re p ili vicini a 1 quando x ass ume valori < 1 via via pili prossim i a 1.
3.3 Limiti di funz ioni ; cont inuita
85
Siamo dunque port ati a introdurre il concetto di limite destro e limite sini-
stro. A t ale scopo, defini amo intorno destro di Xo di raggio r > 0 l'intervaUo semia pert o e limi t ato
I I;:(xo) =
[.'ro,xo + 1') = {x E lR : 0 ::; x - Xo <
r}·1
L'intorno sinistro di Xo di raggio r > 0 sar a definito in modo analogo:
I I;: (xu) = (xu-1', xul={ xE lR
: o::; xu - x <1'} · 1
Se, neUe defini zioni di limite di f per x t endente a Xo date nel paragrafo precedente (si ved ano le Defini zioni 3.15 e 3.21) , sosti tuiamo la condizione 0 < Ix - xol < 8 (vale a dire x E I.s(xu) \ {xo}) con la condizione 0 < x - Xo < 8 (vale a dire x E It (xu) \ {xu}), ot.t eniarno le corr ispondent i definizion i di limite destro di f per x tendente a xo, 0 limite di f per x tendente a X u da destra; un tale limite sa ra indicate con il simbolo lim f( x) . x ---+ x t
Esplicitiamo la definizi on e ne l cas o del limite finito . Definizione 3.22 Sia f una [urczum e definita in uti in torn o destro di X u E lR, tranne eoentualme nte tiel punic xo. Si dice che f ha limite destro £ E lR p er x tendente a xu, se per ogni E > 0 esis te uti 8 > 0 tale che \:Ix E domf,
0<x-
In termini di intorni: per ogni intorno X u t ale che
Xu
<8
=?
If(x ) -
I, (£) di £ esist e un
£1< c .
intorno destro
It (xo) di
\:Ix E do m j' ,
In modo analogo, possiamo dare una definizion e di cont inuita da destra. Definizione 3 .23 Sia f una [usizione definita in uti intorno destro di Xo E lR. Si dice che la fun zione e continua da destra in X u se lim f( x ) = f (xo).
x---+xt
86
3 Limiti e continuita I
Osserviamo che se una funzione e definita solo in un intorno destro di xo , la condizione di continuita da destra coincide con qu ella di continuita data in (3.6) . Ad esempio, la fun zione J(x) = VX, definita solo p er x E [0, + 00), e continua in O. Le definizioni di limite sinistro di J per x tendente a Xo e di continuita da sinistra in Xo sono analoghe alle precedenti, us ando ora gli intorni sinistri di Xo; il limite sinistro sara indicato con il simbolo
Non e difficile vcrificare la seguente proprieta, che fornisce un criterio t alvolta utile nella studio dei limiti e della cont inuit a. Proposizione 3 .24 S ia J una Jun zione dejinita in un ititorn o di Xo E lR, tranne eoeniualme n ie ti el punio .TO' La Jun zione J ha lim ite L (ji nit o a inji n ito ) pCT x ieruleni e a Xo se e so lo se esis iono i lirnit i dest ro e sinis tro di J per x tendente a Xo, e ta li lirniti sotio etitram bi uguali a L. Un a Jun zione J dejinita in uti iniorno di Xo continua da destra e da sinistm in x o.
e con tinua in
Xo se e solo se
e
Tornando agli esempi precedenti, si verifica facilmente che . 1 11m - = +00; x
x~ O+
.
1
lim - =-00 x~ O -
X
e
lim M( x)
x ---.+ l +
= 0;
lim M( x)
x ---+ l -
=
1.
Si noti che M(l) = 0, dunque lim M( x) = M(l) , vale a dire la funzione M(x) x~ l +
e continua da destra in Xo = 1 (mentre dunque non e continua in Xo = 1).
la funzione non
e continua da sinistra,
e
Definizione 3.25 Si a J una junzione dejinita in un iniorno di Xo E lR, irann e even tua lrnen te n el punta :1:0 . Se J lui , per x tendente a Xo, lirniti dest ro e sinistro jiniti rna dioersi ira loro , diciarno che :1:0 e punto di discont inuita di prima specie (0 di salto ) per J . Il salta di J in Xo e dejinit o corne
[f]xo = lim+ J (x ) - lim- J (x ). x ---+xo
x ---+xo
Dunque, possiamo dire che la funzione mantissa ha salta = -1 in Xo = 1 c, in generale, in ogni punto Xo = n E Z . Anche la funzione y = [x] (parte intera di x ) ha una discontinuita di salto in ogni Xo = nEZ, con salto = 1, in quanto
3.3 Lim it i d i fun zion i; co nt inuit a
87
- 1
Figura 3.8. Grafieo della fun zion e f (x )
lim [x] = n;
x-+ n +
= sin ~
lim [x] = n - l.
x--+ n -
La fun zion e y = sign (x) (segno di x ) ha un a discont inuit a d i salto in Xo = 0, con saito = 2; infa t ti , lim sign (x)
x---+O+
=
1;
lim sign (x)
x --+o -
=
-l.
Definizione 3.26 Un punio di discontinuiia che non sia elim uuibile 0 di prima specie vi en e definito punto d i d iscontin u ita d i seconda specie . Tale sit uaz ione si reali zza ad ese m pio quando f non a m mette limi t e (ne dest ro ne sinist ro) p er x t enden t e a Xo. La funzion e f (x ) = sin ~ non ha limi t e per x - 7 0 (vedasi la Fi gura 3.8 e, per una giustificaz ione, la succe ssiva Osser vazion e 4. 19). 3.3.4 Limiti di funzioni monotone La condizione di monot on ia restringe i cas i possibili di comportam ent o limit e d i una funzione. Valgono in fatti i seguenti risultati. Teorema 3 .27 Sia f una [urizione definita e monotone in un iniorn o destro f +(c) del punio c ( dove c puo esse re uti tiumero reale oppure -(0), esc lus o al piu il punic c ste ss o. A llora esiste , finit o 0 infini to, il limite desi ro per x - 7 c e precis am en te si ha lim f (x ) = x-c+
inf{f(x) : x E f +(c), x> c} { sup {f(x) : x E f +( c), x> c}
e cresceni e, s e f e decresc enie. se
f
88
3 Limiti e cont inuita I
An alogament e, se f un a fun zion e definit a e mon oton a in un int orn o sinist ro I - (c) del punto c (dove c puo esse re un num ero reale oppure +(0), escluso al pill il punt a c st esso , si ha lim f (x ) = x - c-
Dimostrazione.
"-+
sup{J(x) : x E I - (c), x < c} { inf{J (x ) : x E I - (c), x
< c}
e crescente , se f e decr escente. se
f
o
Limi ti .
Dal t eorema precedente seg ue immediatamen t e che una funzione monotona definita in un intorno di Xo E JR. puo avere in tale punto solo una dis continuita di prima specie . Si ha infatti il seg uc nte corollario.
Corollario 3.28 Sia f definita e monotona in uri in iorno I (x o) di un punta Xo E JR.. Allora esisiono finiti il limit e destro e sinistro per x ----; Xo e
precisam ente si ha i)
se f
e crescenie,
allora lim f (x ) ::::: f (xo) ::::: lim f (x );
x-+x o-
ii) se
f
X- Xo+
e decrescente, allora lim f (x ) :2: f (x o):2: lim f (x ).
x-xu-
X- Xo+
Dimostrazione. Sia f cresccnte. Pc r ogn i x E I (xo) con :J: < :1:0. si ha f (.'1:) ::::: f (xo) e d unquc , applicaudo il teorema prc ccd cn tc, si otticnc lim f( :I:) = S\lp{J(:I:) : x E I (x o),
:1:
< :I:o} ::::: f (·'l:o),
;c--+;l: (~
Similrucnt c, p cr
:1:
E J(:l:o ) con
f (:l:o) ::::: inf{J(:I:) : x
E
:1:
> :1:0, si ha
I (x o), :1: > :I:o} = lim f (x ). ;z; -+x ;t
Pcrtanto vale l'implicazion e i). Ana loga mcntc si dimost ra limpl icazione ii) . 0
3.4 Es crciz i
89
3.4 Esercizi 1. Verificarc, m ediante la definizion e, che 2
lim n! =
Ib\l ) lim -n - = -00 ~ n--->+ oo 1- 2n
+00
n--->+ oo
lim (2x 2
x--->l
e)
[TI
. hm
x
x ---> -oo
Sia f( x)
+ 3) = 5
=
vx
2 -
sign (x 2
1
d)
f)
= -1
.
1
hm -2- x - 4
x ---> 2 ±
= ±oo
x2 lim - - = x ---> + oo 1 - x
-00
x ). Dis cutere l'esistenza dellimiti
-
lim f( x)
e
x--->O
lim f( x)
x--->l
e studiare la continuits. della fun zion e.
3. Determinare i valori del parametro reale ex per cui le segu enti funzioni sono continue n elloro dominic:
f;0l f (x) ~
= { ex sine x
2x 2
+3
+ ~)
se x > 0 , sex::; 0
{3ex + 2 U X
b) f( x)
=
-
1
se x ~l ,
se x < 1
3.4.1 Soluzioni 1. Verificlle di limite:
a) Fi ssiamo un numero reale A > 0; e sufficiente scegliere un qualunque intero n A ~ A e osservare che se n > n A, si ha
n! Dunque
lim n! =
n ~+ CX)
=
n(n - 1) · ··2· 1 ~ n > nA ~ A.
+00 .
b) Fissiamo un numero reale A > 0 e osserviamo che l~;n
2::-1 2
> A. Per n
~ 1, qu esto equivale a n
conside ria mo un intero nA ~ A per ogn i n > nA. c) F issato
E
+
2
-
< -A equivale a 2An + A > O. Pertanto, se
J A(A + 1), la disuguaglianza e verificata
> 0, studiamo la condizione If( x) - £1< E . Si ha 12x 2
+3 -
51 = 21x 2
-
11 = 21 x - lllx + 11 <
E .
Non e restrittivo supporre che x appartenga all 'intorno di 1 di raggio 1. Cia equivale a
90
3 Limiti e continuita I
-1 < x-I < 1 ,
0< x < 2
+ 3 - 51
< 2 . 31x - 1\ == 61x - 11.
e
1< x
+ 1 ==
da cui
Ix
+ 11
< 3.
Pertanto
12x 2
L'espressione di destra risulta < E se Ix - 11 < ~. Sara dunque sufficiente porre 6 == min(l, ~) per ottenere la tesi. 2. Poiche x 2
x > 0 per x < 0 ex> 1, la funzione f(x) risulta
-
f(x)
==
{~
f e dunque costante negli
se x
==
0e x
se 0
<
x
==
lim f(x) == 1,
lim f(x) x---+o+
lim f (x)
==
1,
< 1.
intervalli (-00,0), (0,1) e (1, +00). Pertanto
x---+o-
x---+l-
definita:
sex
l,
-1
La funzione
COS1
==
-1,
lim f(x) == 1.
-1,
x---+l+
Quindi i limiti richiesti non esistono. La funzione e continua su tutto punti x == 0 e x == 1 nei quali presenta discontinuita di salto.
~
tranne nei
3. Contiuuitii: a) II dominio di f e ~ e la funzione e continua per x#-O qualunque sia studiare la continuita in x == 0, osserviamo che lim f(x)
==
lim f(x)
==
x---+o-
x-+O+
Pertanto b)
Q
==
1.
f e continua
lim (2x 2
x---+o-
lim
Q
+ 3) == 3 ==
sin(x
x-+O+
anche in x
== 0
se
Q
==
f(O) ,
7r
+ -) == 2 3.
Q.
Q.
Per
4
Limiti e continuita II
Prosegui amo 10 studio dei limiti di funzioni , elabora ndo st rume nt i che facilitino il ca lcolo di limiti , senza dov er verificare ogni volt a la condizione contenuta nella definizion e. Su ccessivamente, introduciamo il concet t o di forma indeterminata e ricavi amo vari limiti notevoli . L 'ul tima par te del capit olo e ded icata allo st udio delle propriet a delle funz ioni cont inue su int ervalli della ret ta reale .
4.1 Teoremi sui limiti
o,
Nel seguit o, con il simbolo c indicherem o uno qu alunque dei simboli xo, xt, x +00, -00, 00 introdot ti preced en temente; pertanto, con I(c) si ind icher a di volt a in volt a un intorno Io(xo) di Xo E lR di raggio 6, oppure un int orn o destro It( xo) o sinist ro Ii (xo) di Xo di raggio 6, op pure un intorno I B(+ oo) di + 00 di estremo inferiore B > 0, oppure un int orn o [B( - 00) di - 00 di est remo superiore -B, oppure ancora un intorno I B(oo) = [B( - 00) U [B( + 00) di 00. Supporremo d 'ora in ava nt i (e salvo diverso av viso) che I , g , h, . . . siano fun zioni definite in tuiio lLn in torno di c sa lvo a l pili nel punta c. La no tazione lim f( x) X ----Jo C
indichera , a sec onda del valo re di c, il limite di f per x t endente a Xo E lR, oppure il limite de stro 0 sinistro di f p er x tendente a xo, oppure il limite di f per x t endente a + 00 0 a -00 , 0 p er Ixl tendente a + 00. 4.1.1 Teoremi di unicita e permanenza del segno Iniziamo con 10 st abilire l'unicita del limite. Tal e risul t ato giust ifica I'u so della locuzione "il lim ite di 1", in luogo di "un lim it e di 1".
Teorema 4.1 (d i unicita d el limite) Supponiaino che .f ammetta limite £ (finit o 0 infinito) per x tend ente a c. Al lora .f non ha altri limiti per .1; ten dente a c.
92
4 Limiti e continuita II
y
e -c:
e+c:
Figura 4 .1. Gli intorni di
Dim ostra zion e,
ee r
e'
-r
E
di ra ggio e S
e' +c: 41e- e'l
sa na disgiunti
Procedi ain o per assurdo: supp onia mo chc esista un al tro limite £' =I- £ c facc ia mo vcdcre chc da cia si ot t iene uu a cont ra eldizione . Cons ielcriamo solo il cas u in cu i £ e £' sia no entra mbi finiti: gli a lt ri cas i si p osson o facilmcnte analizzarc aelat t a nelo il ra gionamcnto successive . Osscrviamo innanzi t utto che, essc nelo £' =I- e, esis tono un intorno 1(£) eli £ c un intorno I (e') eli £' dis giunti tra loro, cioe tali chc 1(£) n I( e') = 0. (4.1) l nfatti , e suffic icntc considerare p er ciascun punto un intorno eli raggio E: minore a ugualo alla scmidistanza tra i cent ri, cioe E: :s:; ~ I £ - £/1 (si veda la Figura 4.1) . Cons ide ra t e allora l'in torno 1(£) di £, clall 'ipotcsi lim f( x ) = £ x~c
segu e chc esistc un intorno I (c) di c tale che 't/x E dam t .
x E I (c) \ {c}
~
f (J;) E
I (£):
sim ilme nte. cousi clera to l'intorno I (e') eli e', d a lim
f (x)
e'
x~c
seg ue chc csiste un intorno I' (c) di c t a lc che 't/x E dom i.
x E I' (c) \ {c}
~
f(J:) E I (e').
L'intcrs czion c dei due intorni I (c) e I' (c) e a nco ra un intorno di c: esso cont icnc infiniti eleme nt i elel elomini o di f. in qu anta abbiamo supposto chc f sia elcfinita in tutto un intorno eli c (t ra nne a l pill in c) . P ertanto, se x E domf indica IIll qu alunque eleme nt o appartcn cn t c a cnt ra mb i gli intorni c diverse da c, si avra
f( x ) E 1(£) n 1(£'), cioe i duo intorni 1( £) c I (£') non sa na d isgiunti. Ma cia contraddic e la (4 .1) . 0 La second a propriet a che cons ide ria m o ri guarda illegame t ra il segno d el limite e il segno d ell a funzione f nell 'int orno di c.
T eorema 4 .2 (d i p ermanenza del segno) Supponiamo che f ammetta lim it e (jinit o 0 injinito) per x tend ent e a c. Se > 0 oppure = +00 , esiste un intorn o I (c) di c tale che f e strettament e positiva in I (c) \ {c} . Un risulta to analogo vale per il segno negativo.
e
e
e
4.1 Teoremi sui limiti
3£
"2
---------- -
e
I (€)
e 2
,
,,
y
=
93
f (x )
----------- ---- -- ---'---, ,
I (x o)
:
;
, Xu , I
f( x o)
Figura 4.2. II Teorema di perm anenza del segno Dimostrazionc. Sup po niamo d apprirna che £ sia finito > 0. Considc riamo l'int orn o I , (£) eli £ di raggio e = £/2 > O. In b ase alla elefinizion e eli limite, osiste un intorno I (c) eli c tale che
"Ix E dom j' ,
z E I (c) \ {c}
=}
f( ;r;) E I e (£).
¥)
Osserva ndo che I e (£) = (~, C (0, +00), conc ludia mo che t utt i i valori di f (x ) sono st re t tarnente po sitivi. Se £ = + 00, e sufficien te fissare un qu alunque intorn o IA (+00) = (A, +00) di + 00 (con A > 0) e a pp licate la defini zion c eli limite. D
L 'implica zione logica del t eo rema di p ermanen za del segno puo essere "quasi" rovesci at a , sec on do l'enuncia to segue nte. Corollario 4 .3 Supponia mo che f ammetia lim ite £ (finito 0 infini to) per x tend ente a c. S e esiste un int orno I( c) di c tale che f (x ) 2: 0 in I( c) \ {c} , all ora £ 2: 0 oppure £ = + 00. Uti risultato analogo vale per il segno negativo. Dimostrazione.
Pe r ass urd o, se fosse £ = -00 oppure £ < 0, il Teor em a di p ermanen za del segno implichcrcbbe l'esist en za di un intorn o I' (c) eli c t alc che f (;r) < 0 in I'( c) \ {c}. Nell'intersezione dei due intorni I (c) e 1'(c), si avrebbe conte rn p oranea rnente f (x ) < c f (x ) 2: 0, D il chc e assurdo,
°
Notiamo che anch e facendo l'ipotesi pili forte f( x) > 0 in I( c) non potremmo esclu d ere che £ sia nullo . Infatti , se ad esem pio consideriam o la fun zione
f( x) = a b b iam o f( x)
>
x2 { 1
se x i- 0, se x = 0,
°in ogni in torno d ell 'origine, ep p ure lim f( x) x-> O
=
0.
94
4 Limit i e continuita II
4.1.2 Teoremi del confronto Vediamo ora alcu ni risult ati in cui si con front a il com p ort a ment o di due 0 piu funzioni p er x tendent e a c. Innanzitutto , il coro lla rio a p pena visto pUG essere ge ne ralizzato com e segu e.
Corollario 4 .4 (P r im o teorema d el confronto) Supponuimo che per x tendente a c, la fun zione f abbia lim ite £ mentre la funzione g abbia lim ite m [en trambi finiti 0 infi ni ti). S e esiste un intorn o I (c) di c tal e che f (x ) :::; g (x ) in I (c) \ [ c}, allom m.
c-:
Dimostraziou e. Sc e = -00 oppurc In = +00, non c'o nu lla da dimostrarc . Altrimcnt i, conside riamo la funziono aus iliaria h(:r ) = g(:r) - f(x) . Pcr ip ot esi , si 11'1 h(:r ) 2': () in l(e) \ {e }. Ino ltre, il successive Tcorema 4.10 sull 'a lgebra clei limiti ci assicura chc lim h(:r) = lim g(x ) - lim f (.7:) =
x-c
x-c
III -
e.
f-C
Applicando il Corollario pr eced cnt c all a fun zion e h. otteniamo TIl 2': O. cioe la tcsi. 0
e
St abiliamo ora due utili condizioni che assicurano l'esisten za d el limite di una fun zione; esse si basano sul con fro nto del comport amento d ella fun zione in un intorno eli e con quello di alt re fun zioni , eli cui e not o il limite.
T eorema 4.5 (Se co n d o teorema del confronto - caso finito ) Siano dat e ire funzioni I, g ed li; supponiamo che f ed h abbiano lo st esso lim ite finito per x tendente a c: lim f (x ) = lim hex ) = e. x -c
x-c
Se esisie un intorno I (c ) di c n el qual e si an o defin ite le tre funzio ni (trann e ~k
}vi:\\' '\\,d }\'\ \x\,t\\ c. J 'C, t~,t'C,
d t'C,
f( x) :::; g(x ) :::; h (.7: ),
"Ix E I (e) \ {c},
(4.2)
allora si lui an che lim g(x )
:r -
r
= £.
Dimostrazion e. Verifichiamo la defini zion e eli limite per g . Fissato till intorno 1,,(£) eli e, dall 'ipotesi lim f (.7:) = e elecluciamo l'esistcnza eli un intoruo x-c
l ' (e) di e talc che
4.1 Teoremi sui limiti
y
y
= h(x)
y
= f(x)
95
= f( x) xQ
Figura 4.3. II secondo Teorem a del co nfront o
'V:E E dom t ,
z
E
I ' (c) \ {c}
=?
f(x)
E
I f; (£).
Notia mo che la condizione f (:r ) E 11': (£) puo cssc rc scritta eq uivalenternente come If (:r) - £1 < E, oss ia a nc ora, ri cordando la (1.4) , come £-E< f( :r; )<£ +E . (4.3) Simi hnente , dall'ip ot esi lim h(x ) = £ deduciamo l'esist en za di un X ----tC
intorno 1" (c) di c talc chc
x
'Vx E dom li,
E
I I/ (c)\{c}
=?
£-E < h(x ) < £+ E. (4.4)
Dcfin iamo l'int orno J'I/ (c) = I (c) n I' (c) n 1" (c). In J'I/ (c) \ {c} sono vcrificatc le tre con dizion i (4 .2) , (4.3) e (4.4), dunque 1Il pa rticolare si ha :r E
II//(c) \ {c}
£ - E < f (:E) :::; g(:E) :::; h(:x:) < £ + E,
=?
cioe g(.1:) E 11': (£)' La di mostrazione del t corem a
e conc lusa.
0
Esemp i 4. 6 i) D imostriamo il lim it e fondamentale
.---------, sinx 1im -
x ---> O
x
Osserviamo innanzitutto che la funzion e y
= 1.
(4. 5)
sin x =- e pari,
x
infatti
sin ( - x)
-x
96
4 Limiti e continuita II
Q 1
x
o
A
Figura 4.4. Il set tore circolare OAP - sin x
e strettam ent e conte nuto nel t riangolo
OAQ
sin x D unque , e' su ffi ciente f ar t en d ere x a 0 per va I on· positivi . . , ossia .
--- = --.
-x
x
. sin x dimostrare che lim - - = 1. x---> o+
X
sinx
> 0 si ha sinx < x , cioe < 1. Per ott ex nere una lirnita zione inferiore, supponiamo x < ~ e consideri amo sulla circon-
Ri cordando la (3.13) , per ogni x
ferenza trigonometrica il punto A d i coord inate (1,0) , il punta P di coordi nate (cos x, sin J;) e il punto Q di coord inate (1, tan x ) (si veda la Figura 4.4) . II set tore circolare OAP e strettamente contenuto nel triangolo OAQ , dunque area OAP
< area OAQ .
Essendo are a O AP = si ha
OA · AP x =2 2
e
OA ·AQ
area 0 AQ = --2--'--
x sinx sin x cioe cosx < --. 2 2 cos x ' x In conclus ione, per 0 < x < ~ abbiamo sin x cos x < - - < 1. x La cont inuita della funzione coseno assicura che lim cos x =
t an x 2
- <--
x--->o+
1. P er t anto,
ap plicand o il secondo Teor em a del confront o, otteniamo la tesi. ii) Vogliamo or a st ud iare il com portament o limite d ella funzione g(x ) per x t endent e a +00 . A tale scopo, ricordiamo che p er ogni x real e si ha -1 :::; sinx :::; 1.
sm x
x (4.6)
Dividendo ciascun t ermine per x > 0 , le disuguaglianze si conserv ano ; pertanto, in ogni intorno I A ( + 00) di + 00 si ha
4.1 Teoremi sui limiti
1
sin x
97
1
-< - - < -. x - x - x 1 Posto J(x) = - - , h(x)
1
ed osservato che
x
x
1
lim
x ---> +oo X
0, deduciamo d al
t eorema precedente ch e lim
sin x
x --->+oo
X
= O.
o
Il limite studiato nel secondo esem pio e un caso parti colare della sit uazione considerata nel seguente corollario, che e una utile consegue nza del Teorema 4.5.
Corollario 4.7 Sia J una Junzion e limitata in un iniorno di c, cioe esistono uri in iorno I (c) ed una costante C > 0 tali che
c,
If (x )1 <
"Ix E I( c) \ {c}.
(4.7)
Sia poi g una fun zion e tale che lim g(x)
x--->c
= O.
Allora si ha anche lim J( x)g( x)
x--->c
= O.
Dim ost ra zionc. Ricordau clo la defini zion c eli limi t e, C im me d iate vcri ficare chc lim g(:l:) = 0 sc c solo se lim Ig(x)1 = O. Dall a (4. 7) ottcniamo x -c
x -c
«< IJ (x )g(x )1< Clg(:r)l,
V:t E I
(c) \ {c}, o
e conclud iamo ap plica ndo il Tcor cm a 4.5.
Teorema 4.8 (Secondo teorema del confronto - caso infinito) Siano date due fun zioni J c g ed esista il limite lim J(x) = +00 .
x-c
S e esiste usi uiiorno I( c) di c n el quale sian o defini te entram be le Junzioni (tranne al piu nel punto c) e tale che
f( x)
:s: g(x) ,
"Ix E I (c) \ {c },
allora si ha anch e lim g(x)
x--->c
=
+00.
Uti risultato analogo vale n el caso del lim ite - 00 .
(4.8)
98
4 Limiti e cont inuita II
Dimostrazion e.
E un scmplice adattamento aile nuove ipotcsi del la dimostrazion e 0 del Tcorcrna 4.5 , e vien e lasciata al lettorc.
Esempio 4.9 Si voglia ca lcolare il limite della funzione g(x) = x + sin x p er x t endente a +00. Usando nuovamen te la (4.6) , si ha
+ sin x ,
x- I:::; x Posto f( x) = x -I , essendo
\Ix
E R
lim f( x) = + 00, deduciamo d al teorema che
x--++oo
lim (x + sinx) = +00 .
0
x ---> + oo
4.1.3 Algebra dei limiti; forme di indeterminazione di tipo algebrico
P assiamo ora a st ud iare il com p or tament o d el limite risp et to aile oper azioni a lgebriche di som ma, differenza , prodot to e quoziente di funzioni . A t ale scopo, estend ia mo d apprima le op era zioni aritmetich e su i numeri reali , considerando p er qu anta possibile a nch e i simb oli + 00 e -00. Poniamo p ert anto p er definizione :
+00 +
S
= +00
(se s E JR opp ure s = +00 )
-00 +
S
= - 00
(se
- 00)
S
E JR oppure
S
=
±oo ' S = ± oo
(se s
> 0 oppure
S
= + 00)
± oo ·s = =Foo
(se s
< 0 oppure
S
=
±oo - - = ± oo
(se
S
> 0)
±oo --==Foo s
(se
S
< 0)
s
s
- =
o
s
00
= 0 ±oo
-00)
(se S E JR \ {O} oppure S = ±oo ) . (se s E JR)
Non sono invece definite le espressioni
I
± oo + ('foo),
II seguente ri sult ato
± oo - (± oo),
± 00·0,
e d i fond ament al e im por tanza.
±oo ±oo'
o o
4.1 Teoremi sui limiti
99
Teorema 4.10 Supponi am o cite, per x tendent e a c, la Junzion e f ammetta lim it e £ (finito a infi nito) e la Junzion e 9 ammetta limite m (anch 'esso finito a infin ito) . A llora, ogniqualvolta I'espression e a secotulo m embra e definita , si lui lim (1 (x ) ± g(x )) = £ ± m ,
X-'oC
lim (1( x ) g(x) ) = Ern,
X-'oC
lim f(x) = ~ x-'oc g(x ) ni
(in quest 'ultim o caso supponuim o iuoltre cite g(x ) escluso al piu il punto c) .
-I-
°
ui
un ini orno di c
Dimostrazion e. Dimostriamo due d i t ali rcl a zioni , rimandando la ver ifica delle a lt rc a rv> Limi ti. St ab iliamo inuanzitu tto la re laz ionc lim (1 (:1: ) + g(x ))
.c r-r C
= £+ m,
nol caso in cui £ ed ni sia no ent ra mbi finiti . Fi ssato e > 0, consideriamo l'intorno eli £ eli raggio e / 2; p er ipotesi , csistc un interne I' (c) di c t ale clio \:1:1: E dom t ,
:1: E I' (c) \ {c}
=?
If (x ) -
£1< c/2.
Siinilmcntc, osistc un intorno I" (c) di c t a le chc \:1.1; E domc,
x E I"( c) \ {c]
=?
Ig(x ) -
ml < c/2.
Poniarn o I (c) = 1' (c)nI" (c). Allora, sc x E domf ndomg appart icno a I (c) \ {e} , cnt rambe Ie disuguaglianze prccedcnti saranno soddisfattc; dunquc , ricorclando la di su guaglianza triangolarc
(1.1),
l(f (x ) + g(.<: )) - (£ +
m) 1= 1(f (:l;) -
:s:
If (:I: ) -
£) + (g(x) -
£1+ Ig(x ) -
m) 1 ml < ~ + ~
=
c,
il chc clirnostra la te si. Verifi chi amo or a chc lim (1(:)'; ) g(x ))
x- c
= +00
ncl ca so in cui £ = +00 c tri sia finito c > D. F issato un numcro rcale A > 0, con sid eriamo l'iut orno eli +00 eli est remo inferiore B = 2A /m > D. Per ipotesi, csist e u n intorno 1'( c) eli c tale chc
100
4 Limiti e cont inuita II \:h; E do m.f.
x E I ' (c) \ {c}
:::}
f (x ) > B .
D' alt ra parte, conside rate l'int orno eli m di ra ggio m /2 , esiste intorno I" (c) eli c t alc che
.1; E 1'(c) \ {c }
\:h ; E dom g .
:::}
till
1.17(.1;) - ml < m /2 .
va le a di re 11I / 2 < g(x ) < 3m / 2. Poniaino I (c) = I ' (c) n 1" (c). Allora. sc ;1: E doni f n dorn .17 appa rt icnc a I (c) \ {c} . entrarnbc Ic condizioni prcccd enti sar a nno sorldi sfatt c: pcrt nn to
f (:I: )g (x ) > f (.1;) '~I > I3'~1 = A . Dunque la tcsi
Corollario 4.11 Siano
f
c dimostrata.
o
e g due [usizioni cont inue 'in uti punta Xo E lR..
A llam le fu nzioni f (x ) ± g(x ), f (;r; ) g(x ) e f ( X)) [quesi 'uliima tiel caso in cui gx g( xo) :f. 0) sana contin ue in Xo · Dimost ra zion o. La cont inuita eli f c .17 in Xo cquiva lc al fatto chc lim f (x ) = f (x o) .l:-:r()
C
lim g(;r)
= g(;l:o) (si ricordi la (3.9)).
E duuque
sufficiente
;I"--·t"U
applicare il tcorerna preccd ent e.
0
Corollario 4 .12 Ogni [un zionc razionale e continua in tutio il suo dominio . In particolare, ogni [un zione polinornial e e continua in iuiio lR.. Dimostrazion c. Abbiamo vcrificato al punta i) clcll 'Escmpio 3. 17 chc la fun zion e costantc lJ = a e la fun zione linca re !J = :/; souo cont inue su t utto lR: d unquc, ogni fun ziou c de l t ipo 11 == ax " (con 71 E N) c cont inua su JR . Couseg uc nte iuc utc, i polinoini , csse udo sonuuo di fun zioni eli qucsto gonerc, so no cont inui su JR: lc fuu zion i ra zionali, csse ndo qu ozien ti eli polin omi , sono cont inue laddovo il lor o dcn ominatoro 0 non si auu ulla. Esem p i 4 .13 i) Si voglia calco lare lim 2x - 3 cos x = E. 5 + x sin x Num eratore e denomina tore sono ottenuti attr averso operazioni alge b riche su fun zioni continue . Inolt.re, il den ominatore n on si a n nu lla in x = O. P er t ant o, sostit ue ndo ad x il valore 0, ottenia mo E = -3/ 5. x~ o
4. 1 Teo rem i su i limi ti
ii) Si voglia stud ia re il com p or tame nto limite della fun zion e y t en dent e a ~. P oich e lim sin x
x~ ~
= sin ~2 = 1
lim cos x
e
x -+~
=
101
t an x per x
1f
= cos - = 0 2
'
ottenia mo dal teo rema precedent e lim tan x = lim sinx = ~ = 00 . X ~~ cos x 0 Possiamo essere pili precisi , st ud iando il segno della funzione in un int orno di ~ . Si ha sin x > 0 in t utto un int orno di ~ , mentre cos x > 0 (rispettivamente < 0) in un int orno sinistro (r isp ettivamente destro) di ~ . P er t anto, conclud iamo che X~ ~
lim t an x =
x -+~±
iii) Sia R( x)
= ~~~~
=f 00.
un a funzion e razionale, che supponia mo gia ridotta a i
minimi t ermini, nel senso che i polinomi P e Q non hanno fattori comuni. Sia E ~ uno zero di Q, cioe Q( xo ) = 0; si ha certamente P (x o) =f=. 0, alt riment i P e Q avre bbero il fattore (x - x o) in comune. Dunque Xo
lim R(x )
x--+ x o
= 00 .
Anche in questo caso, 10 stud io del segno d i R(x ) in un int orno di Xo permet t e 2 diI essere piu " precisi, . . Ad ese m pio, . 1a fun . . III . un un zi zione y = x - 2 3x + 1 e, positiva
x - x
intorno sinistro di Xo = 1 e nega ti va in un int orno dest ro , d unque x2 - 3x + 1 . 1im = =f 00 ; 2 x~ l ±
x
-
x
x - 2 al cont rario, la fun zion e y = 2 e negativa in tutto un int orno di Xo = 1 x - 2x+ 1 e pertanto . x - 2 = - 00 . o 1IHl x~ 1 x 2 - 2x + 1
Il Teor ema 4. 10 non fornisce alcuna indicazi on e sul comportame nt o limite d i una espressione algebrica, nei t re cas i di seguito elencati, in cui l'espressione vien e det t a forma indeterminata (0 forma di indeterminazione) di tipo algebrico. i)
Relativamente all 'espression e f( x) + g( x) (rispettivamente f( x) - g( x)), quando ent rambe le funzioni tendono a 00 con segno discorde (rispettivamente concorde); una tale forma indeterminat a vien e indica t a con il simbolo 00 -
00.
ii) R elati vamente all'esp ress ione f (x ) g (x ), quando una fun zione tende a 00 e l'al t ra t ende a 0; una tale forma indetcrminat a viene indicat a con il simb olo 00 '
o.
102
4 Limiti e continuita II
iii) Relativamente all'cspressione I((x)) , quando ent rambe le fun zioni te ndono a 00 g x oppure a 0; tali forme ind eterminate vengono indicate rispettivamente con simboli 00 o oppure
o
00
Quando ci troviamo di fronte a una forma indeterminata, non possiamo dire a priori quale sia il suo comportamento limite. Infatti, come mostrano gli esem pi sotto riportati , ogni comportam ento e possibile: limite infinito, limite finito div erso da 0 oppure uguale a 0, non esist enza del limite. Ogni forma indeterminata deve quindi essere studiata singolarmente, spesso con molta attenzione. St abiliremo nel seguito il comportamento limite di un certo numero di forme ind eterminate notevoli. A partire da esse, usando i teoremi sui limiti presentati in questo paragrafo, sara possibile 10 st udio di forme indeterminate pili complesse. Altri strumenti per analizzare il comport ame nt o limite di forme indet erminate saranno forniti pill avanti: essi sono il confronto locale tra funzioni mediante i simboli di Landau (Paragrafo 5.1) , il Teorema di de l'H6pital (Paragrafo 6.11) e gli sviluppi di Taylor (P ar agrafi 7.1 e seguenti). Esempi 4.14 i) Supponiamo che x t enda a +00. Definiamo le fun zioni h(x) = x+ x 2 , h(x) = x + 1, h(x) = x + ~, 14( X) = X + sin x. Poniamo inoltre g(x) = x . Usando il Teor ema 4.10 oppure ricordando l'Esempio 4.9 , e facil e verificare che tutte le funzioni t endono a +00. Tuttavia, si ha lim
x ---:,. + oo
(h( x) - g(x))
=
lim
(h(x) - g(x)) =
lim
(h( x) - g(x))
x-++oo
x -+ + oo
=
lim x 2 X---+ +O()
= +00,
lim
1 = 1,
lim
~ = o.
x---:,.+oo
x-++oo X
Invece, il limite di 1 4 (x) - g(x ) = sin x non esiste, in quanta la fun zione sin x e periodica e dunque per x t endente a +00 essa assume infinite volte tutti i valori compresi tra -1 e 1. ii) Supponiamo ora che x t enda a O. Definiamo le funzioni h (x) = x 3 , h (x) = x 2 , h(x) = x, 14( X) = x 2sin ~. Poniamo inoltre g(x) = x 2 . Tutte qu este funzioni t endono a 0 (p er quanto riguarda la 14 , e suffici ente applicare il Corollario 4.7) . Tuttavia , si ha . h(x) lim -(-)
x -+O
9
X
=
. lim x
x-+ O
= 0,
· -(-) h(x) = 1·im 1 = 1 , 1im
x-+O 9 X
lim h(x) g(x)
x -+O
x-+ O
=
lim
~=
x-+ OX
00
'
4.1 Teoremi sui Iimiti
103
. . -1 no n ha i imite per x ten d ent e a 0 (p er Ia -f4((x) ) = sm mentre I'1 quoziente
gx
x
dimostrazione vedasi la successiva Osservazione 4.19) . iii) Studiamo il com p ort am ent o di una funzione polinomiale
P( x) = anx n + . . . + a1X + ao
(an
i= 0)
per x ----t ± oo . Osserviamo ch e t ale funzione puo dar luogo ad una forma indeterminata del tipo 00 - 00, a seconda del segno dei coefficienti e de l grado dei monomi . Tale forma di indeterminazione si risolve raccogliendo il mo nomio di grado massimo x n , vale a dire
n P() x = x n ( an + -a --
I
ao ) . + .. . + -a1 1 + n n
x
X
L'espressione in parentesi tende ad an p er x lim P (x) =
x---+±oo
----t
x
-
±oo, pertanto
lim anx n = 00
x -+ ± oo
e il segno del limite si determina facilmente . Ad esempio, lim (-5x 3 + 2x 2 + 7)
X-+-CX)
=
lim (-5x 3 )
x -+- oo
= +00.
Consideriamo ora u na funzione razionale gia ridotta ai minimi termini
= P(x) = anxn+ .. . +alx+aO
( ) an , bm i= 0, m > 0 . bmx m + . . . + h x + bo Q( x ) P er x ----t ± oo, essa d a luogo ad un a forma indeterrninata del tipo : . Trattando numeratore e d enominatore come sopra, si ottiene R(x)
ti
>m,
se n
= rn ,
se
<m.
se
P( x) . I1m - -
x~±oo
Q(x)
anXn . I1m - x~±oo bmx m
ti
Ad esempio, lim
x~+oo
lim
x ~ - oo
lim
x~- oo
2x + 1 3x 3 lim - = -00 ' X - x2 x ~+ oo - x 2 5 3 5 -4x + 2x - 7 - 4x 1 lim 8x 5 - x 4 + 5x x~-oo 8x 5 2'
3x 3
-
6x 2
-
-
+5 +9
X
x3
lim
x ~-oo
6x 2 -3
-x
= O.
. ) L a Iunz . d eterrninata . d i tipo 00 p er x ----t 0; unz iione y = -sin- x e, una crorrna m x a b b ia m o dimostrato al p unta i) degli Esempi 4.6 che il suo lim it e vale 1. Da cio, IV
. d e durre c . determi possiamo urre 1Il comportamento d e IIa rorrn a m eterrninata y p er x
----t
0, anch 'essa d i t ipo
§. Infatti , abbiamo
1 - cos 2 x X
4 Limiti e continuita II
104
1 - cos x x2
=
1.
(1 - cosx)(l + cos x ) x 2 (1 + cos x )
1 - cos? X 1. 1 . Hfl - - - x2 x--->O 1 + cos x Ricordando la relazione trigonometrica fondamentale cos 2 x + sin 2 x = 1 ed usando il Teorema 4.10, otteniano che il primo limite vale
. 1
l Ifl x--->o
Hfl x--->O
1·
sin2 x
l Hl - x--->O x 2
= lim
x--->O
x)2 = (1.Hfl. sinx)2 = = 1·Hfl (Sin -x ---> O
X
x--->O
x
1.
Usando ancora il Teorema 4.10, deduciamo che il secondo limite vale ~ . Concludiamo che .
1 -cosx
1l Ifl ------;,.-----x --->O x2
1
o
2
Negli esempi precedenti abbiamo studiato il comportamento limite di alcune funzioni elementari in certi est re mi del lora dominio. P er completezza, riportiamo nella tabella suc cessiva i limiti pili significativi delle principali funzioni elementari, gia considerate nel Paragrafo 2.6 . Per le relative giustificazioni ~ Funz ioni e lem entar i . lim x'" = +00 ,
lim x'" = 0
a> O
lim x'" = +00
a< O
lim a" = 0
a> 1
lim a X = +00
a
lim log a x = -00
a >l
lim log, x = +00
a<1
x-+oo
x---> o +
lim x'" = 0 , x-+oo
x--->o +
lim a X = + 00 ,
x- +oo
x ---+ - oo
lim a X = 0 ,
x ---.. +oo
x ----+ - oo
lim log a x
= + 00 ,
lim log a x
= -00 ,
x ---++oo
x --->+oo
lim cos x ,
lim sinx,
x- ±oo
lim
x --->( ~ +k1r) ±
x ---> ± oo
tanx
x ---> o +
x --->o +
lim t an x
x-+ ± oo
non esistono
= =foo, Vk E Z 'if
lim arcsin x = ±- = arcsin(± l ) 2
x --->± I
lim arccos x = 0 = arccos 1 ,
x--->+ l .
lim arc tan x
x ---> ± oo
'if
= ±2
lim arccos x =
x ---+ - l
'if
= arccos(- 1)
4.1 Teoremi sui limiti
105
4 .1.4 Teorema di sost it uzione
e
II seguente risultato di grande rilevanza teoriea e nello stesso tempo fornisee una regola utilissima per il eaIcolo dei limiti.
Teorema 4.15 Supponiamo che esisia [finiu: lim f( x)
x ...... c
0
iniiniio]
= R.
(4.9)
Sia poi 9 una [unzion e definite 'in un iniortio di R (esclus o al p'iu il punto R) e tale che 'i) se R E IR, 9
e continua 'in R;
ii] se R=
oppure R =
+00
esisie (jin'ito () 'injin'ito) lim g(y). y......e
-00,
Allora, esisie 'it lim ite per x tendente a c della [unzi on e cornposta 9 ha lim g(f(x)) = lim g(y). x~c
Dimostrazione. Poniamo
tti
0
y -+ £
= lim
y......e
g(y) (notiarno ehe nel easo i} sara
tri
f
e
S2
(4.10)
=
g(R)).
Fi ssato un qualunque intorn o I(rn) di m; grazie aIle ipotesi i) oppurc ii}, esist era un intorno I (R) di R tale ehc
\l y E clomg ,
y E I(R)
g(y) E I(rn).
=?
Osscrviamo che possiamo ser ivere I (R) anziche I (R) \ {R} in quanto nel caso i} 9 e cont inua in R (si rieorcli la (3 .7)) , me ntre ne l caso ii} R non ap partienc a I (R). Dato talc intorno I( R) di R, dall'ipotesi (4.9) clcclueiamo l'esist enza di un intorno I (c) cli c tale che
\Ix E do m j',
:r; E
I (c) \ {c}
=?
f (x)
E
I (R) .
Combiniamo le clue imp licazioni precedenti. Ricor diamo chc x E dom 9 0 f significa che :1:: E clom f c y = f (x) E clom g; pert ant o otteniarno
\Ix E clomg
0
t,
z E I(c) \ {c}
=?
g(f(x))
E
j(rn).
Data l'arbitrarieta di I (rn), cia significa che lim g(f(x)) :C;-+ C
= m:
o
106
4 Limiti e cont inuita II
Osservazione 4.16 Un'altra condizione che garantisce la t esi del teorema seguente:
i ') se £ E ffi., esiste un intorno I( c) di c in c ui J( x) (finito 0 infinito) lim g(y) .
=I=-
£ p er ogni x
=I=-
e la
c ed esis te
y~e
La dimostrazione
e analoga a quella preced ente.
o
Notiamo che nel caso in cui £ E ffi. e g sia cont inua in £ (caso i) ), si ha
li~ g(y)
=
y ~,
g(£) e dunque la relazione (4.10) puo essere scritta come (4 .11 )
lim g(.f (x )) = g(lim J( x)).
x ---+c
x ---+c
Si dic e , in modo imprecise rna efficacc, ch c una fun zione cont inua comrnuta (cioe si scarnbia) con il simbolo di limi te . II Teorema 4.15 implica che la composizione di fun zioni continue come precisato dal segu ente enunciat o.
e continua,
Corollario 4 .17 Sia f continua in Xo e si ponga Yo = J (xo). Sia poi g una jun zion e defin ita in usi in torno di Yo e continua in Yo. Allom la Junzion e composta g 0 J e continua in x o. Dimostrazionc. Dalla (4.11) abbiarno lim (g 0 .f)(.1;) x---+ x o
= g(
lim f (x )) = g(.f (xo )) = (g 0 .f) (xo ),
x ---+xo
o
il che pr ecisam ente equivale alia te si.
Vediamo ora alcuni esempi di applicazione de l Teo rema di sostituziono e del suo corollario. Esempi 4.18 i) La funzione h(x) = sin(x 2 ) e continua su t utto R Infatti, delle due funzioni continue f (x) = x 2 e g(y) = sin y. ii) Si voglia ca lcola re . sin(x 2 ) lim 2
x~ o
Poniamo f( x)
= x2
X
'
e siny
g(y)
=
{
0,
se y
=I=-
se y
= O.
1Y
e la
composizione
4.1 Teor em i s ui limiti
Si ha lim f (x ) = 0 , m entre X~O
e gilt sta to
osser vato che la fun zione g
107
e cont inua
nell 'ori gine. P er t anto , lim sin(x X~ O x2
2 )
=
lim sin y Y
=
1.
y~O
iii) Studiamo il co m portam ento limi te della fun zione h(x ) = a rctan
x t end ente a 1. Post o , f (x )
1
= - - , a b bia mo x - I
=
lim f (x )
x~ l±
g(y ) = a rc t a n y , a b b ia mo (si ricordi la tabella a pag. 104) Dunque lim arctan
x ~ l±
(_1_) = x - I
lim g(y)
y ~ ± oo
(_1_) x- I
per
± oo . P osto invece 7r
lim g(y) = ±-2 .
y~ ± oo
= ± ~2 .
iv) Si vogli a calcola re 1 log sin - .
lim
x ~+oo
Posto f (x ) per og n i x
sin 1 , a b b ia mo £ = x
>
~ . Post o
X
lim
f( x ) = 0 ; si oss ervi che f (x) > 0,
X----lo + ex> g(y ) = log y si h a lim g(y ) =
y~ o +
- 00
e dunque, p er
l'Osservazi one 4. 16, ot t eniamo 1 lim log sin - =
x ~+ oo
X
lim g(y ) =
0
- 00 .
y ~o +
Osservazione 4.19 II Teorema d i sost it uzione 4.15 puo essere facilmente esteso a l caso in cu i la fun zione f sia sostit uit a da un a qualunque suc cessione a : n f---+ an che amm etta limit e (fin it o 0 infinito) lim an = £. n ~ oo
Sotto Ie stess e ip ot esi su lla funzione g fat t e nell 'enunciato del Teorema , si ha allora lim g(an ) n---t (X)
= ylim g(y ). --+ £
Questo risultato e spesso utile ' in negativo' , ossi a fornisce un Criteria di non es is ten za del limite di una funzione: se esistono due su ccessioni a : n f---+ an e b : n f---+ bn aventi entm rnbe limite £ e tali che
allora n ecessariamente g n on pUG avere limit e quand o l 'argornento tend e a £. Ad esem p io, con questa crit er io possiamo dimostrare che la funzione y = sin x non h a limit e p er x ----> +00: se d efini amo Ie successioni an = 2n7r e bn = ~ + 2n 7r , n E N, a b bia mo lim sin an =
n - oo
lim 0 = 0
n - oo
men tre
lim sin bn
n---..,. CX)
=
lim 1
n --+ oo
=
1.
108
4 Limiti e cont inuita II
In modo analogo, si puo ved ere che la funzione y ne limite destro ne limite sinist ro.
= sin
~ non am me t t e , per x
->
0, 0
4.2 Altri limiti notevoli; forme indeterminate di tipo esponenziale Ricordiamo illimite fond amentale (3.3). In luogo della successione an =
(1 + ~)
n,
conside ria mo or a la fun zione di variabile reale
che e definita quando 1 + ~ > 0, cioe in (-00, - 1) U (0, + 00). La proprieta segu ente mostra che il comport ament o di t ale fun zione pe r x tendente ad infinito e ugu ale a quello della successione. Pr-opriet.a 4.20 Vale il seguente risuliaio lim
x--->±oo
Dimostrazione,
'V7
(l + ~) X= x
e.
o
Numero di Nepero .
Parteudo da tale formula e applicando varie propri et a dei limit.i, otteniamo nuovi limiti no t evoli . Cosi , la sos tituzione y = ~ , ca n a i= 0, fornisce lim
x---> ± oo
x= lim (1) (1 +~) 1+-Y ay x y---> ± oo
Invece, ca n la sost it uzione y lim
x---> O
(1
=
lim [ y---> ± oo
(1 + ~)y] a = ea y
~ otteniamo
+ x )I / x
=
lim
y---> ± oo
(1 + ~)y = e. y
Usando la cont inuit a della fun zion e logaritmo e la rel a zione (4.11) , abbiamo, per ogni a > 0,
. loga(1 11m
x--->O
X
+ x ) = lim . log, x --->O
In parti col are, per a
(1 + z )
= e ot teniamo
I/x
=
log a lim (1 + x ) x---> o
I/x
. = log, e
1 = --. log a
4.2 Altri limit i notevoli ; form e indeterminate di tipo esponenziale
109
. log(l + .7;) Iim = 1. x
x-> O
Osserviamo poi ehe la re la zione aX - 1 = Y equivale a x y ----+ 0 se x ----+ O. Con t ale sostituzione, abbiamo
[I'
a" - 1 Y lim - - - = lim -----,-=---- x y -> O log., (1 + y)
im
In partieolare , p er a
= e si ha
loga(1 y
y->O
x-> O
=
log, (1
+ v)] - 1 =
+
y) ; inoltre,
I
(4.12)
oga.
il limite fond amentale eX - 1 lim - - - = 1. x
x -> O
Infine, ponendo 1 + x = eYe d osservando ehe aneora y per ogni 0: E lR,
----+
0 per x
----+
0, otteniamo,
e"'Y - 1 e"'Y - 1 y (1 + x )'" 1 = lim = lim -Y x -> O x y ->O e - 1 y ->O Y eY - 1 lim
= lim (e"')Y - 1 lim ~ = log e" = Y
y ->O
y ->O
eY
-
(4.13) 0: .
1
P er comodita dell 'allievo , riporti amo t utt i i limiti notevoli ottenuti finora nella sottostante lista.
· sin x 1 I1m -- =
x -> O
X
. 1 - eos x lim x -> O x2
lim x-> ± oo
1 2
=-
(1+ ~) X = ea x
(a E lR)
lim (1 + X)l/x = e
x-> O
. loga (1 + x ) I IHl - - " - -- -
x -> O
X
aX - 1
lim - - -
x -> O
.
lim
x-> O
x
I'
(a > 0); in partieolare, im
=
0:
log(1 + x )
x -> O
= log a (a > 0);
(l+ x )"' -l X
1
log a
(0:
in particolare , E lR).
X
= 1
eX - 1 lim - - = 1 x
x -> O
110
4 Lim iti e cont inuita II
Ri torn iamo alia fun zione h(x ) essa
=
(1 + ~)
e del t ipo h(x )
x. Post o f (x )
=
(1 + ~ )
e g(x )
= z,
= [J (x )j9(x).
In generale, un a tale espressione pu o dar luo go a nu ove forme inde t ermina t e per x tendente a un valor e limi t e c. Supponiamo infa t ti che f e 9 sia no funzi oni defin it e in un intorno d i c, t ran ne event ualmente in c st esso , e che ammettan o limi t e per x tendent e a c. Sup po niamo inoltre che f (x ) > 0 in tutto un intorno di c (t ra nne al pill in c), di modo che la fun zione h sia defini t a in un intorno di c (t ra nne al pili in c). P er stud iare il com p ortamento lim it e d i h, e conveniente fare ricor so a ll' ide nt it a f( x ) = e log f( x ) , da lla quale si ottiene l'espressione
h(x) = e g (x ) log j (x ) . Usando la cont inuita della fun zion e espone nziale e la (4.11) , a bbiamo allora che lim [J(x)j9(x) x~c
= exp (lim [g(x ) IOg f (x )l) . x -c
In alt re parole, 10 st udio del com portame nt o lim it e della funz ione h(x ) e ri conducibile a qu ello della fun zione g(x) log j (x) a esponente. U na forma indetermin ata per t a le espone nte definisce quindi un a fo r ma inde t ermina t a di t ipo esp onenziale per la fun zione h(x ). Precisarnen t e, ricordando il com portamento della fun zion e loga rit rno, si po sson o avere Ie seg ue nt i sit uazioni: i) Se 9 t ende a 00 ed f tende a 1 (e dunque log f t ende a 0) , si ha ad esp one nte un a form a indeterminata di t ipo 00 . 0; in tal cas o di ciamo che la funzione h presenta una forma ind et erminata di tipo 100 •
ii) Se 9 tende a 0 ed f tende a 0 (e d unque log f t ende a - 00 ), si ha di nuovo ad esp onent e un a form a indetenninata d i t ipo 00 . 0; in t al caso diciamo che la fun zione h presenta un a forma indeterminata di tipo
iii) Se 9 t ende a 0 ed j t ende a +00 (e dunque log f tende a + 00), si ha ancora ad es ponent e un a form a indet ermina t a di tipo 00 . 0; in tal caso diciamo che la fun zion e h pr esen t a una forma indet erminat a di t ipo
4.3 P roprieta globali delle funzioni cont inue
Esempi 4.21
i) La funzione hex) = tipo 1
00
,
il cu i limite
(1 + ~)
x p er x
--+
±oo
e una
111
forma indeterminata di
e il numero e.
ii ) La funzione hex) = X X per .1: --+ 0+ e una forma indeterminata di tipo 0° . Si dimostra nel Capitolo 6 che lim x logx = 0 e dunque lim hex) = 1. x--->o +
x--->o+
--+ +00 e una forma indeterminata di tipo 00° . l"d . , 1og -I = - 1og y, Sl. ottiene , lil Hl logx e I entita
iii) La funzione hex) = x l ix per x
. . y U san d 0 1a sostituzione -
=
-I x
lim ylogy = 0 e dunque
y --->o+
lim hex)
x ---> +oo
x ---> +oo
y
= 1.
X
0
Un er rore non infrequente, e spesso dalle conseguenze catastrofiche, e quello d i ca1colare d apprima illimite di una d elle due fun zioni f oppure g, sostituire poi il valore del limite alla corrispondente funzione e ca 1cola re infine illimite dell 'espressione risultante. In alt ri termini , puo essere sbagliato ca 1colare il limite per x tendente a c d ella forma indeterminata hex) = [f( x )]9(x) come lim [f( x )]7n,
x ---> c
avendo prima ca1colato m
= xlim g(x) , --->c
oppure com e avendo prima ca1colat o
e = lim f( x). x--->c
Ad esem p io, se seguissimo questa seconda strada per calcolare il limite per x ± oo di hex) ch e
=
lim I X =
X ~±CX)
(1 +~) X ,
e=
lim
(1 + ~ ) = 1
e poi x lim 1 = 1. Saremmo quindi indotti a conclu de re ch e h ha come
x
trover emmo prima che
--+
x--->±oo
x--+±oo
limite 1, mentre gia sappiarno che il valore corretto del limite
e il numero e .
4.3 Proprieta globali delle funzioni continue Nei paragrafi precedenti, abbiamo stabilito varie proprieta locali di una fun zione nell'intorno di un punta dell a rett a real e oppure di un punto all 'infinito, esaminando il suo com p ort ament o limit e. Consideri amo ora una fun zione continua su un intervallo d ell a rett a reale e stabiliamo a1cune rilevanti proprieta di natura globale , vale a dire relative al suo comportamento nell 'intervallo. Iniziamo con una se m p lice definizione. Definizione 4.22 Data 117W fun zione reale i. chiarniarno zero di f ogni punio Xo E dom f in cui la [iuizume si annulla.
112
4 Limiti e continuita II
Ad esempio, gli zeri della funzione y eleme nt i dell 'insieme {m7r I mE Z}.
=
sin x sono tutti i multipli eli tt , ossia gli
Notiamo che il problema di trovare le soluzioni di una equa zione del tipo
J( x)
=0
equivale alla ricerca degli zeri della funzione y = J( x) . E dunque importante avere a disposizione metodi , tanto analitici quanta numerici, per la eleterminazione degli zeri di una funzione , 0 , quanto meno, per la lora localizzazione approssimata.
Il segu ente risultato fornisce una semplice conelizione che garantisce l'esistenza di uno zero di una fun zion e in un intervallo .
Teorema 4.23 (d i e sisten za degli zeri) Sia J una Jun zione conti nua nell'intervallo chi uso e limitato [a, b] . Be f(a)f(b) < 0, cioe se J assume valori di segno discorde agli estrem i dell 'int ervallo , allora esiste uno zero di f n ell 'intervallo aperio (a, b). Be in olire f e strettamente monotone in [a, b]' allora lo zero e unico n ell 'interv allo .
f (b)
f (l1 )
Figura 4.5. II Teorema di esistenza degli zeri
Dimost raz ion c. Nel corso della d imostrazion c farc mo uso di alcunc pr opriet a delle succcssioni che sono racc olte nel successive P aragr afo 5.4 . NOll C rcstrittivo sup porre che J (a ) < 0 < J (b). Poniamo ao = a c bo = b h e sia Co = " il punt o med io dcll'int crva llo lao, bolo Calcolia mo J(co); a bbiamo 3 po ssibilit a, Se J (co) = 0 allora Xo = Co C un o zero d i f c la dimost raziono C tc rrn inat a. Alt r imc nt i, se f ( co) > 0,
""t
4.3 Proprieta globali delle funzioni continue
113
poniarno a l = ao e b, = co, ovvero consideriamo la meta sin ist ra doll 'int ervallo lao, bo]; se inv ece f(co ) < 0, poniarno al = Co e bl = bo, ovvero conside ri a mo la meta destra dell'intervallo lao, bo lo In ent ra rub i i cas i, abbiarno cost r uit o un llUOVO intervallo [aI , bl ] C lao, bo l tale chc
b
e
1 -
al
bo - ao
=
2
Iterando t a le procedimento 0 si p crvicne, in un numero finito di passi , ad UllO zero eli f oppure si costr u isce una su ccess ione di infiniti inter valli [a,,, b" 1 che sodd isfa no Ie scgue nt i propriota:
lao, bo] ::> [a t , bd ::> . . . ::> [an, bn] ::> . .. , bo - ao f (a n ) < 0 < f (bn ) e bn - an = - -n 2 (In giustificaz ione ri gorosa dcll 'csi stenza eli t a lc succcssione ri chi ed e l'uso del Principio eli induzione
Principio di i n d u z i on e ) .
'Vt
In questa sec ondo cas o, mostriamo che esiste un unico punto Xo
contenuto in tutti gli in t ervalli c che t al e punto c uno zero di f. A tale sco po , osserv ia m o che Ie due succession i {a n} e {bn} socldisfano
Pert a nt o la succcssionc {an} c monotona crescente e limi t a t a inc ntrc la succcssione {bn } C monotona decrescen t e e limit a t a . Applicando il Teorcma 3. 9, es istono :);0 ' xt E [a, b] tali che lim an
'11, -4 00
=
X
o
lim bn
e
n -+ (XJ
=
:);t .
D 'al t ro canto , usa ndo l'Esem p io 5. 18 i),
xt -
:r:
o=
lim (bn
rL-
an )
-
CX)
=
b -a
lim - - l! -+CX) 2"
=0
:r:t.
c d u nq ue :1:0 = Indichi amo co n :1:0 talc va lore. Us a ndo or a la continuita della funzione f e il Te ore ma di sostit uz ionc (pag. 142 ), risult a lim f (a,,) = lim f (bn ) = f (.');o ). 1/, -
00
I t - CO
Infinc, ricor d ando che f(a n ) < 0 < f (bn ) C a pp licando il prim o Teorcma del confro nto (pag. 142 ) a ile succession i {f (a n )} e U (bn ) } , si ha lim f( a n) ::; 0
11,- - 00
e
lim f (bn ) 2': 0;
Il-+ oo
dunque , d ovendo esscre 0 ::; f (x o) ::; 0, si ottiene f(xo) = O. Se f c strcttamente m on ot on a in [a, b]' allora e iniettiva p er la Proposizione 2.8 e dunque 10 zero e unico. 0
114
4 Lirn it i e conti nuita II
Alcuni comme nt i sui teorem a precedent e sono utili. Osserviamo innanzitut to che sen za l'ipotesi di continuita della funz ione nell 'inter vallo chiuso [a, b] non sarebbe pos sibile dedurre l'esistenz a di uno zero dall a sola cond izione f (a)f(b) < 0. Ad esempio, la fun zione f : [0, 1] ----+ lR definita come - I
f (x ) = { +1
p er x = 0, p er
°< x < 1
assume valori di segno discorde agli est remi dell'intervallo rna non si annull a mai ; essa pr esent a un a disco nt inuita di sait o nel punto a = 0. D 'altro ca nt o, l'ipotesi f(a)f (b) < e solt anto su fficient e, e non necessaria , per l'esist en za di uno zero . Ad esempio, la funzione continua f( x) = (2x - 1) 2 si annulla all'interno dell 'int ervallo [0,1] pur essendo st re t tame nt e positi va negli est remi dell 'int er vallo. Notiamo infine che la proceelura usat a nella dimostrazione del teorem a puo essere traelotta in un algor it mo di ca lcolo a pprossimato della zero , no to Bel Calcolo Num eri co come Metodo di bisezion e. Vediamo un primo esempio eli applicazi on e elel Teore ma di esist en za elegli zeri.
°
Esempio 4 .24 Con sideri amo la fun zion e f( x) = x 4 + x 3 - 1 nell 'int ervallo [0, 1]. Es senelo un polinomio, la fun zione e cont inua. Inolt re si ha f(O) = - 1 e f(l) = 1. P ertanto, esiste almeno uno zero eli f in [0, 1]. Tale zero e unico in qu anta f e st rettame nte crescente nell'intervallo (pe rche somma delle funz ioni stret tamen t e crescent i y = x 4 e y = x 3 e della funzione costante y = -1). 0 Diam o ora alcune utili estensioni del teore ma preced en t e. Corollario 4.25 Sia f coniituui in un intervallo I . Supponuimo che f amrnett a, per x tend ente a ciascun o degli esirem i dell'interoallo, lirniti (finiti 0 infiniti) dioersi da 0 e di segno opposto . A llom f ha uno zero in I ; tale zero e unico se f e strett arnente monotone in I . Dimostrazione.
II risult ato scg uc facilme nte dal Teorema 4.2 (eli pcrmancn za elel scgno) c dal Tcorcma 4.23 (di esistcnza dcgli zcri) . Per maggiori dcttagli --vT Funzioni continue. 0
Esempio 4.26 Consideri amo la funzione f (x) = x + log x , defini t a nell 'in t ervallo I = (0, +(0). Essa e con tinua e st ret tamente cresc ente in I , in quanto somma delle du e funz ioni y = x e y = log x , che hanno Ie st esse proprieta. Poiche lim f( x) = - 00 e lim
X---++ OCl
f( x)
= +00,
x -+ O+
la funz ione f ha esattamente uno zero nel suo dominio .
0
4.3 Proprieta globali d elle funzion i conti nue
115
y = g(;r; )
g(a) f (b)
f(a ) g(b)
------~--------
y =
, , , , , , , , , , ,
_ _ _ _ _ _ ...I
a
f (x)
_
X l}
b
Figura 4.6 . Illustraz ione del Corollario 4.27
Corollario 4.27 Sian o f e 9 du e [unzioni con tin ue n ell 'interva llo chiuso e limitato [a, b]. S e f (a) < g (a ) e f (b) > g (b) , allora esist e almeno uri punto Xo n ell 'intervallo aperto (a , b) tal e che
f (xo) = g(xo).
(4.14)
Dirnostraziono . In t roduciamo la Iunz ione a usiliaria h(;r; ) = f (;r; ) - g(x ). Essa e continua in [a, b] in qu anto di fferen za eli due fun zion i cont inue. Inolt rc , pCI' ipotesi , si ha h(a) = f(a) - g (a ) < a c h(b ) = f (b) g( b) > D. Pertanto li so ddisfa lo ipotesi elcl Teorc rna eli esistenza elcgli zeri. Esiste dunque in (a, b) un punto Xo tale chc h(xo) = 0, il che equivalc prcc isa mente alla (4. 14). Osserviamo che se li risul t a strcttamcntc crcscente in [a, b], allora 0 la soluzio ne de lla (4. 14) e un ica noll'in t ervallo . Esempio 4 .2 8
Vogliamo trovare tutte le soIuzioni dell'equazione cos x = x . (4.15) Poiche -1 ::; cos x ::; 1 p er ogni x reale , non vi sono soIuzioni per x < - 1 o per x > 1. InoItre, non vi sono soIuzioni nell 'intervallo [-1, 0) in qu anto ivi cosz e st rettament e positivo mentre x e strettamente negativo. Dunque, Ie even tuali soIuzioni vanno cercat e nell' int ervallo [0, 1]. Le funzioni f( x) = x e g(x) = cosx sono continue in tale intervallo; inoltre , f(O) = a < 1 = g(O) e f(l) = 1 > cos 1 = g(l) (la funz ione coseno assume il valore 1 solo per i multipli di 27T) . Pertanto , ap p licand o il corolla rio preced ente, deduciamo che l'equazione (4.15) ha una soluz ione neII 'intervallo (0, 1) . Essa e l'unica soluzione , in quanto f e stret tamente crescente e 9 e st rettame nt e de crescente in [0, 1], e dunque la differen za h(x) = f( x) - g(x) e stret tament e crescente in t ale intervallo . 0
116
4 Limiti e continuita II
y
=
f( x )
f (b) Z
= f (x o)
f (a )
a
Xo
b
F igura 4. 7 . II Teorema d ei valori intermedi
Se applichia mo il corollario precedente nel caso in cui una delle due fun zioni sia costante, otteniamo il seguent e risultato .
Teorema 4.29 (dei valori intermedi) Sia f una Junzion e continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b] . Allora f assum e tutti i valori compresi tra
f (a) e f (b). Dimostrazionc. Se f (a ) = f (b) il risultato c banale: div ersamente, supponiamo dapprirna che f (a ) < f (b). Sia z un qualunque valore com pres o tra f (a) e f(b ) e defini amo la fun zion e cost ante g(;z; ) = z . DaIle disu gu aglian ze f (a) < z < f(b) , otteni amo im modia t amont e f (a) < g(a ) e f (b) > g(b). P ertanto, se applichiamo il Co rollario 4.27 nell 'in t ervallo [a, b] alle du e fun zioni f e g , otteniamo I'esistenza eli un punto ;I:o in [a, b] t ale che f (xo) = g(xo) = z . Se f (a ) > f (b), si scarnbia no i ru oli delle fun zioni f e g. 0
Il Teorema dei valori intermedi ha , tra le sue conseguenze, l'imp ort ante fatto che un a funzio ne cont inua t rasforma intervalli in intervalli, come precisato nel seguente corollario. Corollario 4.30 Si a f una Junzion e continua su un intervallo I . Allora l'immagin e f (1) di I atirauerso la Junzion e e ancora un intervallo di estremi inf'j f e sup! f . Dim ost razion e. Osserviamo che un sottoinsieme di lR e un intervallo se e solo se pr esi comunque du e suo i punti (x < (3 l'int er vallo di est rem i [a, (3] e contenuto nel sottoins ieme stesso. Sia no dunque YI < Y2 du e punti eli f(1 ); allora esisto no in I
4.3 Propriet a globali delle funzioni continue
117
clue pu nti Xl e X2 , necessariament e distinti , tali che f (x d = YI e f (X2) = Y2. Detto J ~ I l'inter vallo chiuso di estremi X l e X2, e sufficiente a pp licare il Teorern a clei valori in t errnedi alla fun zione f ristretta all'inte rva llo J , ot t en enclo [YI , Y2] ~ f (J ) < f(I )· L'irmn agin e f(I ) e clunque un int ervallo e, in base alla Definizion e 2.3 , i suoi estrcmi sono risp ettivarn ente inf, f e SUP I f . 0 Ognuno degli estremi dell 'intervallo f(I) puo essere finito 0 infinito, e puo apparten ere 0 meno all 'intervallo; se appartien e, la funzione ammette rispettivamente minimo 0 massimo su I. Se I e un intervallo aperto 0 semi aperto, la sua immagine f(I) puo essere un int ervallo di qualunque tipo. Vedi amo alcuni esempi. Se con sideri amo la funzione f( x) = sin x nell 'intervallo aperto e limitato I = ( -~ , ~) , I'immagine f(I) e I'intervallo aperto e limitate (-1, 1) . Ma se, per la stessa funzione, con sideri amo I'intervallo aperto e limitato (0, 21T) , allora I'immagine e l'intervallo chiuso e limitato [-1 ,1] . Se invece consideriamo la fun zion e f( x) = tanx nell 'intervallo apert o e limitato ( -~ , ~), I'immagine e l'intervallo illimi ta to (- 00, +(0) . Semplici esempi possono essere costruiti anche nel caso in cui I sia un intervallo illimitato. Se p ero I e un intervallo chiuso e limitato, allora la sua immagin e attraverso una funzione continua non puo ch e essere un intervallo chiuso e limitato. Precisamente, ab biamo il segue nt e fondamentale risultato, che interverra pili volte nel seguito (p er la dimostrazione ~ Funzi oni co nt i nue ) .
Teorema 4.31 (di Weierstrass) Sia f una [usizione continua su uti intervallo chius o e lim itato [a , b]. A llora f e limitata su. [a, b] e ivi assume valori
minima e massuno
m = min f(x)
e
xE [a,b]
Dunque,
M = max f( x) . xE[ a,b]
f ([a, b]) = [rn, M ].
[v!
(4.16)
J\j ~ f(X)
m
a
X lv!
Xm
b
Figura 4.8. II Teorem a di Weierstrass
118
4 Limiti e continuita II
J
= f(1) I
I
J
Figura 4 .9 . Grafico di una funzione continua e invertibile (a sinistra) e della sua inversa (a destra)
Chiudiamo questa paragrafo con due risultati relativi alIa proprieta di invertibilita di un a fun zione (per Ie dimostrazioni 'V7 Funzioni cont inue ) . Ricordiamo che ne l P aragrafo 2.4 abbiamo visto che se una funzione e strettamente monotona, allora e iniettiva (cioe invertibile) ; a bbia mo anche osservato che, in generale, non vale il viceversa . Tuttavia, per Ie funzioni continue, i concetti di monotonia stretta e di ini et.tivi ta coincidono. Inoltre, quando e definita, Ia funzione inve rsa e cont inua.
Te or e m a 4.32 Sia 1 una [usizione continua su uti inieruallo I . A llora iniettiva sn. I se e solo se 1 e stretiamenie monotone su I .
f
e
Teorema 4.33 Sia 1 una Junzione continua e ino ertibile su uti in ieruallo I , A llora la Junzione inve rsa 1- 1 continua sull'i siteruallo J = f(I) ,
e
II Teorema 4.33 garantisce ad esempio Ia continuita delle fun zioni trigonometriche inverse y = arcsin x, y = ar ccos x e y = arctan x in tutto il Ioro dominio di defini zion e, e della fun zion e y = log, x su IR+ in quanta funzione inversa dell' esponenz iale y = a", Tali risultati sono gia st ati anticipati nella Proposizion e 3.20.
4.4 Esercizi 1. Utilizzando i teoremi del con fronto, calcolare i seguen ti limiti:
a)
, Iim
x~+ ~
cos -x
-
yX
b)
lim
X~ + ~
( v r: x
+ sin x )
4.4 Esercizi
[ill e)
lim
x ~ -oo
2x - sinx 3x + cos x
@2]
x ~ + oo
[ill
X ~O
1
lim sinx· sinX
X~O
[xl x
lim
lim
119
x - tanx x2
2. Ca1colare i seguen ti limiti: a)
[ill @] g) i)
x4
lim
X~ O
lim
x~-oo
2x 3 + 5x x5 - x
b)
x3 + x2 + x 2x 2 - X + 3
d)
-
x+ l + 3 + 3x
lim
lim
( Vx + 1 - jX)
lim
(-Vx
X -t -
(X)
+ 1-
-V x -
lim
x ~+ oo
[ill
x ~ - l V6x 2
x ~+oo
lim
x~ +oo
-V1O -
x- 2 x - 2
lim
x~ 2
h)
lim
jX+x
x- + CX)
@]
I)
x+ 3 x 3 - 2x + 5 2x 2 + 5x - 7 5x 2 - 2x + 3
lim
x -+ -oo
X
V2 x 2 + 3 4x + 2
3. Utilizza ndo i limiti notevoli, ca1colare i seguent i limiti: 2 r1 m sin x li xtanx -a) b) rm x~O x ~ o 1 - cosx X
[ill e)
[ill i)
sin 2x - sin 3x X ~O 4x tanx - sinx lim X~O x3 lim
cos~x
lim - - I- x
x~ l
cos x + 1 cos 3x + 1
lim
X~ 7r
@2]
x ~ o+
[ill
X~ O
h)
@]
lim
1 - cos jX 2x 2
li
cos(tanx) - 1 tanx sin x - 1 lim 2 x ~ !f (~ - x ) im
lim
VI +
X--' O
tanx - VI - t an x sinx
4. Ca1colare i segu enti limiti:
a)
[ill @] g)
li
im
X~O
lim x~e
lim
log(l + x) 3x - 1 log x - 1 x - e 2e 2x - 1
x~ o +
lim
X~ O
2x
?II + 3x - 1 x
b) d)
[ill
Qill
lim
X~ O
e 2x - 1 e3x - 1
lim
-
eX -
x --.+ oo e X -
1
liIm-log x eX - e
x~ 1
lim
x~- I
x+l \/x+ 17- 2
4 Li mi ti e cont.in uita II
120
5. Calcolare i seguenti limiti: x 5 / 2 - 2x VX + 1 lim a) x --++ oo 2# - 1
@]
x~ o
@]
x~+oc
Qill
lim ( cot an x _ _._1_ ) slnx lim
g) i)
~
x ---+ + oo
x --+ O
lim
x - 5 x~5 VX - J5
~
-- - - 1 - ) lim (1 xtan x x sin x
@]
lim x (2 +sinx)
lim
x ~ -oo
3x _ 3- x 3 x + 3- x
lim x e x sin ( e -x sin
x ~ + oc
~x )
lim xe sin x
n)
x--++oo
JX=l)
lim (1 + x) cotan x
f)
x~o
sin x
x~o
lim VX ( VX+I -
d)
( x - 1) x- 2 - x+3
eX _ e- x
lim
x --+ - oo
6. Determinare il dominio e il com p ortam ento lim ite agli estrem i del dominio delle seguenti fun zioni: x3 - x2 + 3 x2 + 3x + 2
fh\l
eX
~ f (x ) = 1 + x4
a)
f (x )
=
@]
f (x)
= log [1 + exp ( x
2 :
d)
1) ]
4.4.1 Soluzioni 1. Luuiti:
b)
a) 0 ;
+00.
c) Si ha
lim
x~- oc
. III
=
lim
x ~-oc
x (2 - sin x)
2
(3 + cO :X)
3
x
x
1im cosx = 0 per I·1 C oro11 ano . 4 .7 . x d) Daile disugu aglian ze [xl:::; x < [x] + 1 (Esem pio 2.1 vii)), si deduce im mediatamente che x - I < [xl:::; x , da cui p er x > 0 si ha quanto
1·Hfl -sin -x
2· x - sm x 3x + cos x
x --+ - oo
X
=
x -+ -oo
x -1 [x] - - < - :::;1 ; x x dunque, applica ndo il secondo Teorem a del confronto 4.5, si conclude che lim x~+ oo
[xl x
=
1.
4.4 Esercizi
c)
121
o.
. ch e f() x f) I nnanzit utto osserviamo lim f( x )
x ->o +
=-
=
x - tan x e, una f unzione . diispari, . p er t ant o 2
x
lim f(x) . Sia 0 < x < ~, dalla relaz ione
x ->o -
sinx < x < tanx (per una dimostra zione si veda l' Esempio 4.6 i)) si ha sin a; - tanx < x - tan x < 0
ossia
sinx - tanx ,--X2
------0
<
x - tanx 2 < O. x
Poiche lim
sinx - tanx
x2
x -> o+
sin x (cos x -I) . 11m x 2 cos X
x ->o+
=
1.
Hfl.
x->o+
sin x cos x -I =0 ' cos X x2
--
p er il secondo Teorema del confronto 4.5, concludiamo che
. x - tanx 1nn 2 =0
x ->o+
X
e dunque anche il lim it e cercato vale O.
2. Limiti:
a) -5;
b) O.
c) Si ha
. hm
x -> -oo
x 3 + x 2 +x 2x 2 - X + 3
d) ~ . e) R azional izzando si ha · 1nn
x+ l = + 3 + 3x
x ->-l V6x 2
= f) Ri cordando la formula a3 lim
x->2
~1O X -
-
b3
1· (x +l)(Y!6x 2 +3-3x) im x-> - l 6x 2 + 3 - 9x 2 lim (x + l)(Y!6x 2 +3- 3x ) =1 x -> - l 3(1 -x )(1 +x ) .
= (a - b)(a 2 + ab + b2 ) ,
si ha
x - 2 10 - x - 8 = lim -;--::-:-::-:-;;:;:=:====;~---=---:-;:===-----.2 x ->2 (x - 2) ( {!(10 - xF + 2 ~10 - x + 4)
=
lim
x ->2
-1
{!(1O - xF
+ 2 ijlO -
x
+4
1 -12
122
4 Limiti e continuit a II
no) O·, e) Si ha
i) O.
h) 1 ;
b
J 2x 2 + 3 x ~- = 4x + 2
=
lim
IX1vh + ;2
lim
x (4
x~-=
+
V2
=-
~)
4
lim
x ~- =
V2
- x x
4
3, Lil11i ti:
a) 0 ;
b) 2,
c) Si ha lim sin 2x - sin 3x 4x
=
x~ o
lim sin 2x _ lim sin 3x 4x X ~O 4x
=
X~O
~ 2
_
= _~ ,
~ 4
4
d) Si ha , 1 - cos ,jX I1m 2
e) ~, f) Ponendo
y
I' = x~ 1m o+
2x
x~ o +
= tan x,
Hfl.
x
x~ o +
-
1
2x
= -21 xI'~1mo +
1
= + 00.
2x
si ha
, cos(tan x) - 1 I1m
X ~O
1 - cos ,jX I'
t an x
I'
= ynn ~O
cos Y - 1 y
,
= y~ hm O
cos Y - 1 'y y2
= 0,
g) Ponendo y = 1 - x , si ha cos7!.x lim _ _2_ x~ l 1 - x
lim
lim
y~O
cos7!.( l - y) 2 y
=
, sin 7!.2 Y hm _ _
y~O
Y
= -7f , 2
i) ~,
h) - ~; e) Si ha
X~O
=
J1 + tan x - J 1 - tan x li 1 + tan x - I + tan x = im -:--~~===------;::====~ sin x x ~ o sinx (J 1 + t an x + J1 - tan x ) 1 2 tanx , 1 = - lim - -- = hm - - = 1 2 X~ O sin x X ~ O cos x '
4, Lituiti:
a)
b)
_1_.
log 3 '
2
3'
c) Ponendo y = x - e, si ha lim _l o..:;:g_x__ 1 x - e
=
x~e
lim log (y y~O
=
+ e)
- 1
=
y
lim log (l
+ y j e)
y ~O
Y
lim log e ( 1 + yj e) - 1 Y
y~ O
1 e
4.4 Es ercizi
123
In a lt ernat iva , ponendo z = x[e, si ha lim log x - 1 = lim log( ez) - 1 = ~ lim log z = ~ . x - e z --+l e(z - 1) ez--+lz- 1 e
x--+e
d) 1. e) Si ha
. 2(e 2x-1)+1 hm x--+o + 2x c2 x - 1 1 1 = lim 2 + lim - = 2 + lim - = +00 . x--+ o+ 2x x--+ o + 2x x--+ o+ 2x
2e 2 x -1 lim - - - = x --+o+ 2x
f) P one ndo y = x - 1, si ha log x I. log x . II m - - = im x--+ I eX - e x--+ l e(e x - 1 - 1) = lim log(1 +y) = ~ lim log(1 +y) . _y_ = ~ . y --+o e (e Y - 1) c y --+o y eY - 1 e
g) ~ . h) Ponendo y = x + 1 e ricordando illimitc (4.13) , si ha II·m
x --+- l
x
+1
~x + 17 - 2
= I·Im
y--+ o
Y ~y + 16 - 2
= 16 lim 2
y --+O
V1
y /16
= I·Im
+ f6 -
y --+O
1
Y 2 (V1 + l6
-1)
= 8 . 4 = 32 .
5. Limiii:
a) ~ . b) Si ha . eX - e- x e- x (e 2x - 1) e 2x 1 x . = hm = lim e -x . . 2 . -.- = 2 . x--+ O sin x x--+ O sin x x--+O 2x sin x
lim
c) Si ha 1) I. cos x - 1 I. cos x - 1 x lim ( cotan x - - . - = Hfl = Hfl . -- . x = 0 . sin x x--+ O sin x x --+O x2 sin x
x--+ o
d) 1.
e) Si ha lim x--+ +oo
(Xx
1)X-2=
+3
ex p ( lim (X_2)log X x--++oo
X
1)
+3
= ex p ( lim (x - 2) log (1 _ _ 4_)) = e L x--++oo x +3
.
124
4 Limiti e cont inu ita II
Pon endo y
1 x+3
1
= - - , risulta x = - y
L = lim (.!. - S)log(1 - 4Y) = y ~o + Y
3 e dunque
lim ( log (1-4 Y) - Slog (1 -4 Y) ) = -4 ; Y
y ~o +
per t anto il limit e cercato vale e- 4 .
f) e; 11) Si ha
I' )
g)
2V5.
- "21 '
£) Si ha
Ponendo Y = ~ , il primo limite vale L1
sin 2y
= y lim -~o+ Y
- 2. -
ponendo t = e- x sin ~ e osservando che t
,
->
0 p er x
->
+00 grazie al
Corollario 4.7 , il secondo limi t e vale L2
sin t
= tlim -- = ~O t
1.
In defini tiva illimit e cercato vale 2.
m) Poi che - 1 ::; sin x ::; 1, si ha 1 ::; 2 + sin x ::; 3 da cui x ::; x (2 + sin x) per x > O. Oss ervando che lim x = + 00 e applicando il secondo Teorema del x- +oo
confro nt o 4.8 , si ottiene che il limite cercato vale + 00.
n) - 00. G. Dominio e limi t: di Iuuzioni:
a)
domf =~ \{- 2 ,-1 } ,
lim
x -> - 2 ±
f( x) = ± oo,
b) La funz ione
lim
x ~ - I±
e definita su
tutto
lim f( x ) =
x->+cxo
lim
x-> - cxo
f( x) = ±oo,
f( x ) =
~
lim
x ~ + cxo
f(x) = ±oo.
e si ha eX
x4
_ 4 . - -4 = x 1+x
lim eX.
x -> - cxo
lim
x -> ±cxo
lim
x -> -cxo
lim
x-> +cxo
_ 1_
1 + x4
eX
- 4 = +00, x
= O.
4.4 Es ercizi
c) La fun zion e Si ha
e definita
lim
X---(X)
per x
-I-
0 (si osservi che 1 + exp
f (x) = log lim
(1 (1 (1 (1
x-----.. -(X)
lim f(x) = log lim x--->+= x--->+= lim f( x)
x---> o-
=
log lim x--->o-
lim f( x) = log lim
x---> o+
d ) domf
= lR; x --lim f( x) ±oo
x--->o+
=
O.
2
2 ( X: 1) > 0 sempre) .
1)) = 1= 1)) 1)) = 1= 1))
+ exp ( x + x 2
+ exp ( x + X
2
+ exp ( x + x 2
+ exp ( x + X
125
log
=
0,
+ 00 ,
log
= + 00 .
0,
5 Confronto locale di funzioni. Successioni e serie numeriche
Nella prima parte del capitolo, impariamo a confrontare il comportamento relat ivo di due funzioni nell 'intorno di un punto. A tale fine, introduciamo opportuni simboli stenografici, noti come simboli di Landau, che agevolano la descrizione dell e possibili tipologie di comportamento. Di particolare rilievo e il confronto tra funzioni che t endono a 0 oppure a 00 . Nella seconda parte, vengono ripresi alcuni risultati sui limiti, visti in generale per Ie funzioni, e adattati a l caso particolare delle successioni. Si presentano teeniche specifiche per analizzare il comport ame nt o limite delle successioni . Infine, si introducono Ie serie numeriche e si forni scono i principali strumenti per 10 studio della loro convergen za.
5.1 Simboli di Landau Come gia fatto precedentemente, indichiamo con c uno dei simboli Xo (numero reale) , oppure xci , x oppure ancora +00 , -00. Per 'intorno di c' si intendera un intorno di uno di t ali simboli, come definito precedentemente. Siano dunque f e 9 due funzioni definite nell 'intorno di c, tranne eventualmente nel punto c; inoltre, sia g( x ) =I- 0 p er x =I- c. Supponiamo che esista, finito 0 infinito,
o,
lim f( x)
x ~c
g(x)
= £.
(5.1)
Diamo le seguenti definizioni.
Definizione 5.1 Be £ e .finito, diciarno che tendente a c; in tal caso, usiarno il sirnbolo
f = O(g) , che leggiarno
"f e o grande
f e controllata da
x --... c,
di 9 per x tenden te a c" .
9 per x
128
5 Confront o locale di fun zion i. Su cces sioni e se r ie numer ich e
Tale proprieta puo esse re ult eriorrn ente precisata, distinguendo i seguenti casi:
ee
e
a) Be finito e i= 0, diciarno che f dello stesso ordine d i g randezza di 9 per x tend ente a c; in tal caso, usiamo il sirnbolo j»: g ,
X
----t
C,
che leggiarno "f e equigrande con 9 per x tendente a c ". Corne casu particolare notevole, abbiarno: b) Be = 1, diciarno che f equivalente a 9 per x tend ente a c; in tal caso , usiarno il sirnbolo X ----t C.
e
e
c) Infine, se e = 0, diciarno che f etrascurabile risp etto a 9 per x tendente a c; in tal caso, usiarno il sirnbolo
f che leggiarno
"f
e0
= o(g ),
X
----t
C,
picco lo di 9 per x ten dente a c".
DaIle definizioni preeed enti rest a escluso il eas o in cui aeeade , allora . g(x) 1 ~~ f(x) = = 0,
e sia
infinito. Ma , se cio
e
e dunque pos siamo dire ehe 9 I simboli 0 , :::::::, "'"',
0
=
aU) per x ----t
C.
sono dett i simboli di Landau.
Osservazione 5.2 La definizione dei simboli di Landau puo essere data sotto ip otesi pili generali di qu ella da noi qui eon sider ata , l'esistenza del limi t e (5.1) . Ad esempio, l'espressione f = O(g) per x ----t c puo essere estesa a signifie are ehe esiste una eost ante C > 0 t ale ehe, in un opportuno intorno I di c,
If( x)1
~
C1g(x)[ ,
Tuttavia, la definizione da noi data
\:Ix E I , x
e suffieiente p er
i= c.
il prosieguo dell 'analisi.
Esempi 5 .3 i) Ricordando gli Esempi 4.6, si ha sin z sin x ii) risulta sin x
=
rv
z',
x ----t O,
o(x) , x ----t
= o( t an x ), X
+00,
infatti infatti
----t ~ in quanto
. sinx 11m - - = 1,
x sin x lim - - = 0;
X-' O
x-.+=
X
0
5 .1 Simboli d i Landau SIll X
= x--+~ lim cos x = OJ
lim - tan x
x --+ ~
iii) si ha cos z >: 2x - n ,
X ----+ ~,
129
per che
. cos x . cos (t + ~) li sin t 1 = - l Hl - - = - - . lim - - - = lim 2x - tt t--+ O 2t t --+O 2t 2
o
x--+ ~
Pr-opriet.a dei simboli di Landau i)
E chiaro dall e definizi oni che
i simbo li ec, "', a sono casi par ti colari del simb olo 0 , nel senso che, per x tende nte a c,
f :;;:: 9 => f
=
O(g),
Inoltre, il simb olo '"
f '" 9 => f = O(g),
E utile
=>
f :;;:: g .
f :;;:: g, a llora dall a (5.1) si ha . f (x ) 11m ~( ) x --+c f- g X
ii)
= o(g) => f = O(g).
e un caso particolar e del simbo lo :;;::, vale a dire f '" 9
Notiamo poi che, se
f
=
dunque
1,
f '" £g.
la propriet a
f = 9 + o(g)· 1 Infatti , definiamo h(x )
f "'9
~
~
(5.2)
= f( x ) - g(x ), per cui si ha f (x ) = g(x ) + h(x) . Ora lim f (x ) = 1 x--+ c
g(x )
lim h(x ) = x--+c
g(x )
0
~
~
lim (f (x) _ x--+c
g(x )
1) = 0
h = o(g).
iii) Una semp lificaz ione nei ca lcoli viene dall 'osser var e che , p er ogni costante ..\ =I- 0,
I 0(..\]") = Infat ti , dire 9
aU )
e
= 0(..\]"), significa che
..\oU) = aU)·
~~ :j~;)
1
(5.3)
= 0, il che equivale a
lim jg((x ) = 0, cioe 9 = 0(J) . La seco nda identi t a si dimostra in modo si-
x -c
x
mil e. Prop riet a analoghe alla (5.3) valgono per il simbo lo O . Osser viamo che i simbo li 0(J) e 0U ) non indican o un a parti colar e fun zion e, rna piuttost o una ben precisa propriet a di ogni funzi one rappresentata da qu esti simboli.
130
5 Confronto loc ale di funzion i. Successioni e ser ie numeri che
iv) Notiamo che
f = 0(1) equivale a dire che f t ende a 0 p er x tenden te a c. Infatti, .
hm
X-tC
.
f( x)
f (x) = hm - 1- = o. X -t C
Similmente, f = 0(1) significa che f tende a un limite finito, pe r x tendente a c. Pili in generale (vedi l'Osservazione 5.2), f = 0(1) significa che f e limitata nell'intorno di c: cioe, esiste una costante 0 > 0 tale che , in un opportuno intorno I di c, If( x)1 ::; 0 , \Ix E I , x =I- c. v) La condizione di continuita di una fun zione f in un punto Xo puo essere scritta mediante il simbolo 0 , nella forma equivalente
f( x) = f(xo)
+ 0(1) ,
x
-+
Xo .
(5.4)
Infatti, ricordando la (3.9) , si ha lim f(x)
x---+x o
= f( xo)
lim (J( x) - f( xo))
X---t x o
=0
f( x) - f(xo) = 0(1) , Algebra degli
-+
Xo.
'0'
i) Confrontiamo il comportamento dei monomi x n quando x
n> Infatti ,
x
:En
lim x~ o x m
-+
o. Si ha
m.1
= x~ lim x n - m = 0 se e solo se n - m > o. o
Dunque, per x tend ente a 0, ira due potenze di x esponente maggiore. ii) Consideriamo ora il limite per x
-+
e tras cura bile
quella di
±oo. Risulta, procedendo come sopra, n <
Dunque, per x tend ente a ±oo, ira due pot enze di x esponente minore.
m.1
e troscurabi le
quella di
iii) I simboli di Landau permettono una notevo le semplificazione di certe espressioni a lgebr iche nello studio dei limiti. Consideriamo, ad esempio, il limite per x -+ O. Valgono a llora Ie seguenti proprieta , che costituiscono una sp eciale 'algebra degli 0', la cui verific a e lasciata allo stud ente come esercizio:
5.1 Simboli di Landau
a)
o(x n ) ± o(x n ) = o(x n )
b)
o(x n ) ± o(x m ) n
c)
O(AX
)
= o(x
n
131
,
= o(x P ) ,
can p
= min(n, m ) ;
per ogni A E IR\ {O} ;
),
se 'P e limitata in un int orno di x
d)
= 0;
(5.5)
e) o(xm)o (x n ) = o(x m +n) , [o(xn)]k = o(x kn ) .
f) g)
Limiti fondamentali I limiti fondamentali riportati nella tabella di pag. 109 possono essere riformulati mediante i simboli di Landau. Abbiamo infatti:
sinx
rv
x...-, O;
x,
1 - cos a
2
x ...-, 0; pili precisam ent e, 1 - cos x
x,
X ...-,
>; .1: ,
log(1 + x )
rv
0; equivalentemente, log x
rv
rv
~X2,
x...-, O;
1,
x...-, l ;
.1: -
x...-, O; (1 + x)c> - 1 rv ax,
x...-, O.
Applicando la (5.2) e tendendo canto della proprieta (5.5) c) , qu este relazioni possono essere scritte in forma equiva lente come: sinx
= x + o(x ),
x...-, O;
1 - cosx = ~ x2 + o(x 2),
x ...-, 0 , ovvero, cosx = 1 - ~ x2
log( 1 + x) = x
x...-, O, ovvero , logx = x- I
eX
+ o(x ),
= 1 + x + o(x ),
+ o(x 2),
+ o(x
X ...-,
0;
- 1), x ...-, 1;
x ...-, 0;
(l+x)C> = I+ax + o(x),
x...-, O.
Inoltre, dimostreremo pili avanti (Paragrafo 6.11) le seguenti relazioni: a)
xC> = o(eX ) ,
x...-, +00,
Va E IR;
b)
eX
x...-, -00 ,
Va E IR;
c)
= o(tx tc» , log x = o(xc» ,
x...-, +00 ,
Va> 0;
d)
log x
x ...-, O+,
Va> O.
=0 ( ~ xC> )
,
(5.6)
132
5 Confronto locale di fun zioni. Su ccession i e seri e numeriche
Esempi 5.4 i) Dalla relazione e t = 1 +t+o(t), t ovvero e5 x
= 1 + 5x + o(x) , x
ii) Dalla relazione (1
+ t)I /2
ha (1 - 3X2)1/2 = 1 - ~ x2
-+
0, ponendo t = 5x, si ha e5x = 1 +5x +o( 5x)
O. Equivalentemente , e 5 x
-+
= 1
+ ~t + o(t) ,
+ o( -3x 2)
t
-+
1 - ~x2
=
-
1 '" 5x, x
0, ponendo t
+ o(x 2) ,
X
-+
-+
O.
- 3x 2 , si O. Dunque ,
(1 - 3X2)1 /2 - 1 '" _ ~x2 , X -+ O.
= t + o(t) , t -+ 0, ponendo t = 2x , si ha xsin 2x 2 x (2x + o(2x)) = 2x + o(x 2), X -+ O. Quindi, x sin 2x '" 2x 2, x -+ O. iii) Dalla relazione sin t
0
Vedi amo or a come utilizzare i simboli di Landau nel calcolo di limi ti . Supponiamo che tutte le fun zion i che intervengono nei due enunciat i su ccessivi sia no definite e non nulle nell 'intorno di c, tranne event ua hnent e in c.
Proposizione 5.5 Si voglian o studiare i lim iti lim f( x )g(x)
Se
J e g sono fun zioni tali
che
.
f( x)
1l Hl. - x .....c g(x)
oppure
x .....c
l '" .f e g '" .11 per x -+ c,
allora
lim f( x)g(x) = lim l(x)g(x) ,
lim f(x) x .....c
(5.7)
x---+c
X----l>C
g(x)
=
lim ]( x) . x .....c
(5.8)
g(x)
Di inost raz ione . Provianio la (5.7) . Si ha
..
1.lltl
:r ---><;
.
f (:r ) ~(
.
f (:r) . .11 (:r). ~() _( ) ) limj ;r .11 :r . .f (:r) :r .....c -==--( g :r
.11 (:/:) _( )
.f (:r )g(:r) = :1;---><: Inn -~- .f :r) -==--() .11 .f (:r) .11 :/:
=
lim -~- hill
:t ..... c:
:r
:I; ..... C
Ricord ando la dcfini zion c eli f '" f c ?J '" .11, si otticn c il risultato. La dimostrazionc della (5.8) e dol tutto simile . 0
Corollario 5.6 Si voglian o studiar e i lim iti lim (.t( x)
x ---+c
Se
h = aU)
+ h(x)) (g(x ) + .Ill (x))
e .Ill
= 0(.11)
per' x
-+
c, allora
oppure
n
f( x ) + h (x )
x~ g(x) + 91(X) '
5. 1 Simboli di Landau
lim (J (x ) + h (x )) (g( x)
x ~c
lim x-.c
Dimostrazionc.
f (x ) + h
(x) g (x ) + gl (X)
=
+ gl (X))
lim x-.c
= lim f( x) g (x ),
133
(5.9)
x ~c
f (x )
(5.10)
g (x ) '
Pouiamo j' = I + II: pCI' ipotcsi .F = f + o(f ) c dunquc , p CI' la (5.2) , si lm.f rv f . Analogamcntc, po sto f = g + gl, si ha Drv g. II risultato segue allora dalla proposiziou c prcccdcntc. 0
II significa te di qu est e proprieta e evidente : nel calcolo del limite di un prodotto, possiamo sost ituire a ciascun fattore una fun zion e ad esso equivalente; oppure, in ciasc un fa ttore, p ossiamo eliminare adde ndi trascurabili rispet to ad alt r i. In modo analogo possiamo agi re nel ca lcolo del limite di un quoziente, relativamente a numeratore e denominator e. Esempi 5.7 i) Si debba calcolare . 1 - cos 2x 1Hfl -----,,-----sin 23 x ~ t2 , t --7 0, con la sost it uzione t x-.o
Dall 'equivalen za 1 - cos t
rv
= 2x
otteniamo
2
Dall 'equivalenz a sin t 3x, x --7 0, da cui
rv
1 - cos2x rv 2x , X --7 O. --7 0, con la sostituzione t = 3x otteniamo sin 3x
t, t
sin 2 3x
rv
9x 2 ,
X
--7
rv
O.
Pertanto, app licando la (5.8) , ottenia mo . 1 - cos 2x li 2x 2 2 = nn =1Hfl 2 x-.o sin 3x x-.o 9x 2 9 ii) Si debba calcolare
sin 2x + x 3 x -.o 4x + 51og(1 + x 2 ) . 11m
...,.---::-:---,--,----=
Facciamo vedere che , p er x --7 0, x 3 e trascurabile risp etto a sin 2x e 51og(1 + x 2 ) e trascurabile risp etto a 4x ; cia fatt o, possiamo usar e il corollario precedente e concludere che sin 2x + x = lim sin 2x x-.o 4x + 5 1og (1 + x 2 ) x -.o 4x Ricordi amo che sin 2x rv 2x p er x --7 0; dunque, 3
lim
x3
lim - x-.o sin 2x
=
x3
lim x-.o 2x
=0
= ~. 2
'
vale a dire x = o(sin 2x) p er x --7 O. D 'altro ca nto, ricordando che log(1 + t) rv t per t --7 0, con la sost it uz ione t = x 2 otteni amo log(l + x 2 ) rv x 2 per x --7 O. 3
134
5 Confronto locale di fun zioni. Suc cessioni e se ri e numeriche
P ert ant o, lim 51og( 1 + x
4x
X~O
vale a dire 5 1og(1
+ x 2 ) = o(4x)
p er x
2
lim 5x
) =
=
4x
X ~O
---->
2
o.
0
' o
Le precedenti regole di 'sem plificazione ' nel calcolo de i limiti valgono soltanto ne l caso di prodotti 0 quo zienti. N on e lecito appli care tali reqole nel calcolo del limite di una sotnma 0 diffeTenza di [unzioni. In a ltri term ini , dal fatto che f rv j e g rv 9 per x ----> c, no n c lecit o dedurre cho lim [j (x ) ±g(x)] = lim [J(x) ±g(x)]. x~c
x ~c
+ 2x e g(:r)
Ad esempio, poniamo j(x) = J x 2 lim
x---.. +oo
R azionalizzando , tale lim it e
.
Inn
(x 2
=
J x2
(jx 2 + 2 .1; - j x2
-
-
1; consideria mo il limi te
1) .
e ug uale a
+ 2x) - (x 2
-
1)
x~ +oo Jx + 2x + y'X"2-=1 2
=
2x
. hm
X~+ OO
X
+1
(VI + ~ + VI - ;2 ) =
1.
Se p eru sos tituissimo alla fun zione j(x) la funzione J( x) = x , ch e e ad essa equivalente per x ----> +00, otterrernmo un limite d iverso , errata. Infatti, lim x ~ + oo
(x - j x2 -
1)
=
lim x ~ +oo
x2 X
-
(x 2
+Jx
2
-
1)
-
1
=
. 1 lim x~+oo x (1 +
VI -
x\ )
= O.
II motivo della diversit a st a nella cancella zione d el termine di grado massimo :r 2 , al num eratore della frazione che si ottiene dopo la r azionalizzazione . A seguito di questa ca ncellazione , divent ano determinanti, a l fine del comportamento limite , i termini di grado inferiore, che pure so no trascurabili rispetto a x 2 per x ----> +00.
5.2 Infinitesimi ed infiniti Definizione 5.8 Sia f una [un zione definita n ell 'intorno di c, tranne even tualmenie in c. Si dice che la [uneion e f e infinitesima [oppure e un infinitesimo) in c se lim f( x) x~c
cio e se f = 0(1) per x infinito) in c se
---->
= 0,
c. Invece, si dice che f lim j( x)
x ----+c
= 00.
e infinita
(oppure un
5.2 Infinit esimi ed infiniti
135
Intraduciamo la seguente terminologia relativa al confronto tra due infinitesimi oppurc tra due infiniti in c.
Definizione 5.9 Siano f e 9 du e injinitesimi in c. S e f ;::::: 9 per' x --7 c, f e 9 si di cono infinitesimi dello stesso ordine. S e f = o(g) per x --7 C, f dicesi infinitesimo di ordine superiore a g . S e 9 = oU) per x --7 C, f di cesi infinitesimo di ordine inferiore a g . S e n essuna dell e condizioni pte cedenii e soddisfatta, diciamo ch e injinitesimi non confrontabili ira di loro.
f
e 9 sono
Definizione 5.10 Siano f e 9 du e injiniti in c. S e f ;::::: 9 per x --7 C, f e 9 si dicono infiniti dello stesso ordine . S e f = o(g) per x --7 C, f di cesi infinito di ordine inferiore a g . S e 9 = oU) per x --7 C, f di cesi infinito di ordine superiore a g .
S e n essuna delle condizioni precedenii e soddisfatta, di ciamo che f e 9 sono injiniti non confrontabili ira di loro,
Esempi 5.11 Ricordando i limiti fondamentali visti sopra, e immediato verifi care i seguenti enunciat i: i) eX - 1 e un infinitesimo dello ste sso ordine di x nell 'origine.
e un infinitesimo di ordine superiore a x nell 'origine. iii) ( sinx )2 e un infinito di ordine superiore a .!. nell 'origine. 1- cos x x iv) Per ogni a > 0, eX e un infinito di ordine superiore a x " per x 1 v) Per ogni a > 0, log x e un infinito di ordine inferiore a - per x x" ii) sin x 2
--7
vi) Le funzioni
f (x) = ;r sin ~ e g( x ) = x sono infinitesime p er x
+00 .
--7
0+ .
tendente a
°(p er
la funzione f , si ricordi il Corollario 4.7). Tuttavia, il quoziente f(( X)) = sin 1 non 9 x X ammette limite per x --7 0: esso assume, infinite volt e in ogni intorno di 0, ogni valore compreso tra -1 e 1. Dunque, ness un a delle relazioni f ;: : : g , f = o(g) , 9 = oU) e soddisfatta per x --7 0. I due infinitesimi f e 9 non sono confrontabili tra lora. 0 Con un linguaggio non rigoroso rna espressivo, quando f e un infinitesimo (0 un infinito) di ordine superiore a g , diremo che f tende a (0 a 00) piu velocemente di g . Cia suggerisce l'idea di ' m isura re la velocita' con cui l'infinitesimo (0 l'infinito) converge verso il suo valore limite.
°
136
5 Confronto locale di funzioni. Succ essioni e serie numeriche
A tale scopo, fissiamo un infinitesimo (0 un infinito)
op pure
= Ix - xo l
(la seconda scelta qualora sia necessario considerare potenze non int ere di
= xt
(rispettivamente, c
oppure
Ix
=
= xo), sceg lieremo come
1
-Xo I'
infin itesimo campione
(rispettivamente,
=
(rispettivamente,
= -- ).
Xo - x )
e come infinito campione 1
1
Xo - x
Se c = + 00, l'infinit esimo e l'infinit o campion e saranno rispettivamente 1
e
= - 00, l'infinit esimo e l'infinito 1
e
campione saranno rispettivamente
= Ixl.
La definizione della 'velocita di convergenza' di un infinitesimo 0 di un infinito con le potenze de ll'infinitesimo 0 de ll'infinito campione in c. Precisamente, abbiamo la seguente de finizione.
f e legat a al confronto di f
D efin izio n e 5.12 Sia f uti infinitesim o (0 un infinito) in c. Se esiste nn tuun ero reale 0: > 0 tale che
f
::0::: <po. ,
(5.11)
X -+ C,
allora 0: dicesi l'ordine di infinitesimo (0 di infinito) di all'infinitesimo campione (0 all'infinito campione) ip ,
f
in c rispetto
Notiamo che la condizione (5.11) , se ver ificata, det ermina l'ordine d i infin itesimo (0 di infinito) in modo univoco. Infatti, ne l caso de ll'i nfinitesimo e imm ed iato
5.2 Infinitesimi ed infiniti
137
verificare che, per ogni j3 < a si ha f = a(cpf3) , mcntre per ogni j3 > a si ha cpf3 = aU) . Un'analoga considerazione vale nel caso dell 'infinito. Se f ha ordine di infinitesimo (0 di infinito) a in c rispetto al campione cp, cia significa che esiste un numero reale £ =I- 0 tale che
= £.
lim f( x) x -+c
Dunque,
f
rv
cpOi (x)
£cpOi ,
x
--->
c,
vale a dire, ri cordando la (5.2), f = £cpOi + a(£cpOi), per x ---> c. Per semplicita, possiamo omettere la cost ante £ nel simbolo a, in quanta se una funzione h soddisfa h = a(£cpOi) , allora si avra pure h = a(cpOi) . Pertanto abbiamo
Definizione 5.13 La fun ziane
p(x) = £cpOi (X)
(5.12)
dicesi la parte principale dell'infinitesimo (0 dell'infinito) f in c rispetto all'infinitesimo campione (0 all'infinito campione) ip ,
Dal punto di vista qualitativo, il comportamento della funzione f in un intorno abbastanza piccolo di c coincide con quello della sua parte principale (in t ermini geometrici, il grafico di f si confonde con qu ello della sua parte principale) . Con una opportuna scelta dell 'infinitesimo 0 infinito campione cp , Quale una di quelle indicate sopra, il comportamento della funzione £cpOi(X) e di immediata determinazione. Pertanto, se di una funz ione - magari definita da una complicat a espressione - noi siamo in grado di trovare la parte principale in un punto c, possiamo facilmente conoscer e il comportamento locale della funzione nell 'intorno di tale punto. Ribadiamo che, per determinare ordine di infinitesimo (0 di infinito) e parte principale di una funzione f in c, dobbiamo partire dallimite
e chiederci se esiste un valore di a per cui tale limite sia finito e diverso da O. In tal caso, a e l'ordine cercato e, detto £ il valore del limite, la parte principale di f e data dall'espression e (5.12) .
138
5 Confro n t o local e di fun zioni . Su ccessioni e ser ie numer ich e
Esempi 5.14 i) La funzi one f( :r) = sin x - t an x e infinitesima p er :r ----+ O. Ricordando Ie equivalenze fondamentali eli pagina 131 e la Proposizione 5.5, possiamo scrivere
x· ( _'!' x 2 ) 1 . sin x (cos x - 1) sm x- t an x= '" 2 = _ _ x3 x----+ O. cos x 1 2 Ne segue che f( x) e un infini tesimo di ord ine 3 nell 'origine risp etto a ll'infin itesimo campione ip(.'£) = x e la sua parte principale e p(x ) = - ~ x 3 . ii) La fun zione
e infinitesima
f( .'£) per x
f( x) =
+00.
----+
= J x 2 + 3 - J :];2 -
1
Infatti , razionaliz zando , si ha
(x 2 +3)-(x 2-1)
vi x + 3 + y'X2--=1 2
4 = ---===-----=== -
x (
VI + ;2 + VI - xl,) .
L 'espressione di destra mo st ra che se scegliamo ip(x ) = ~ , allo ra lim
x __ + CXJ
f( x) ip(x )
= 2.
Dunque, f e un infini t esimo di ordine 1 per x ----+ cam pione ~ , e la sua parte princip ale e p(x) = ~ .
+00 ri sp et to
all' infinitesimo
iii) La funzione
f( x) = J9.,£5 + 7x 3
-
1
e infinita per x ----+ +00. P er determinarne I'ordine di infinito rispetto all' infinit o campione ip(x ) = x, conside riamo illimite .
f( x) hm - x --->+ CXJ xO!
=
.
lim
x ---> +oo
X
2. 2
I V9 +
7 x2
-
1 x5
x O!
Se scegliamo 0' = ~, il limi te vale 3. Dunque , f ha ordine di infinit o ~ per x ----+ +00 rispetto all 'infinito cam pione ip(x ) = z , e la sua parte principale e
p(x)
= 3X 5 / 2 .
0
Osservazione 5.15 Abbiamo appen a visto vari esempi di calcolo dell 'ordine di infin itesimo (0 d i infinito) di un a fun zione , rispe tto ad un in finitesimo (un infinito) cam pione , Lo studente non deve p ero cre de re che cia sia sempre possibile. In altri termini , dato un infinitesimo 0 un infinito f in c e sce lt o un infinitesimo 0 un infinito campione ip, puo acc adere che non esist a nes sun numero reale 0' > 0 tale che f ::=:: ipO! , p er x ----+ c. In t al caso, e conveniente op erare una diversa scelta della funzione camp ione, pili adatta a de scrivere il comportamento della f nell'intorno eli c. Illustriamo la situazione con due ese m p i. Consideriamo dapprima la fun zione f( x) = e2 x per x ----+ +00. Usando la (5.6) a ) si ha immediatamente xO! = o(e2 x ) , qualunque sia 0' > O. Dunque, non e possibile determinate un ordine di infinito d i f rispetto a ll'infinit o campione ip(x ) = x : la funzione esponen zial e te nde a infinito troppo velo cem ente p er essere mi surata in term ini di un a Iun zion e polinomiale. Se invece scegliamo come infinito campione
5.3 Asintoti
139
la funzione cp(x) = e" , allora e immediato che f ha ordine di infinito 2 rispetto a tale campione. Consideriamo ora la fun zione f( x) = xlog x per x ----+ 0+ . In (5.6) d) abbiamo anticipato ch e . log x hm - 1 - =0, \/(3 > O. xf3
x~ o+
log x infinitesima per x 1 x campione cp(x ) = x , a b bia mo P ertanto ,
f (x) = - / - e
x log x . 1nn - - -
x~ o +
xC<
= nnn
x --+o+
log x -01 -1 X
-
=
----+
0+. Se usiamo l'infinitesimo
se a < 1,
{ 0
-00 se a ?: 1.
Dunque, applicando la Definizione 5.9 , f e un infinitesimo di ordine sup eriore ad ogni poten za di x con esponente < 1, rna di ordine uiferiore a x e ad ogni potenza di x con espone nte > 1. An ch e in questa caso , non e possibile determinare un ordine di infinitesimo di f rispetto al campione x. La fun zione If(x) 1 = z.[ Iog z] descrive un modo di tender e a zero pili lento di x rna pili veloce di x Oi per ogni a < 1; essa stessa puo essere usata come un diverso infinitesimo campione per .x ----+ 0+ . 0
5.3 Asintoti Consideriamo un a funzione f definita in un intorno di + 00. Nello st ud io del suo comportamento per x ----+ + 00, una situazion e notevole e quella in cui la funzione si comporta come un polinomio di primo grado; in termini geom etrici , cio significa che il gr afico di f tende a confondersi con il grafico di una retta. Precisamente, supponiamo che esistano numeri reali m e q t ali che lim (f(x) - (rnx
x-++oo
0,
+ q)) = 0,
(5.13)
usando i simboli di Landau , f( x) = rnx
+ q + 0(1),
x
----+
+ 00.
Diciamo allor a che la retta g( x) = rnx + q e asintoto destro della funzione f . L'asintoto dicesi obliquo se rn -I- 0, orizzontale se m = O. Geometricamente, la cond izione (5.13) esprime la proprieta che la distanza d( x) = If( x) - g(x)1 tra i punti sul grafico di f e sull 'asintoto aventi la stessa ascissa x, tende a 0 per x tendente a + 00 (si veda la Figura 5.1) . I coefficienti dell'asintoto possono ess ere espressi in t ermini di opportuni limiti, nel modo seguente:
140
5 Confronto locale di funzioni. Sueeession i e serie numeriche
d(x)
-----/ 1 , ,
:r;
Figura 5.1. Graft eo di una funzione e del suo asintoto destro
rn = lim x~+oo
f (x ) x
e
q = lim (f( x) - rnx) .
(5.14)
X---++CX:>
La prima relazione si ottien e d all a (5.13) osservando ch e 0=
lim x ~ +oo
f(x) - rnx - q = x
lim x~+oo
f( x) _ lim rnx _ lim X
x~ + oo
X
2..
x ~ +oo X
=
lim x ~ + oo
f (x ) _ rn X
'
mentre la seconda relazione segue d irettamente dalla (5.13). Le condizion i (5.14) forniscono il metodo p er la determinazione dell 'eventual e as int ot o di u na funz ion e f . Infat ti , se entramb i i limiti es ist ono fin it i, allora f a m met te l'asintoto dest ro y = rnx + q; se , invece, anch e uno solo dei lim it i (5.14) non e finito , la funzione non ammette asi ntoto. Notiamo chc, se f ammette as intoto obliquo, cio e se rn =I- 0 , allora la prima d elle (5.14) ci dice che f e un infinito di ordine 1 ris petto a ll'infinito cam p ione
Se va le la (5.13), p ossiamo quindi d ir e che f e as intotica alla ret t a g(x) = rnx + q. In vece, la funzione f( x) = x 2 + ~ non a m m ette as intoto retto p er x --+ + 00, rna risu lta as intotica alla para b ola g( x ) = x 2 . 0 In modo simile a quanta fa tto finora , e possibile d efinire un as int ot o obliquo orizzontale per x --+ -00 (ossia un as intoto obliq uo 0 orizzontale sinist ro) .
0
5.4 Ulter iori p roprieta delle success ion i
x
141
Se la retta y = m x + q e as intoto obliquo 0 orizzontale sia per x -+ + 00 sia per -00, d iremo che e un asintoto obliquo 0 orizzontale completo per f.
-+
=
Infine , se in un punt o Xo E IR si ha lim f (x ) x -xn
00, si dice che la ret t a di
equazione x = Xo e asintoto verticale per f in x o. In tale sit uaz ione , e la d ist anza tra i punti sui grafico di f e sull'asinto t o avent i la ste ssa or dinata a te ndere a 0 per x te nde nte a xo. Se la cond izione di limit e e verificata solo per x -+ xci oppur e per x -+ X si p arla , ri sp et ti vament e , di asintoto verticale destro 0 sinistro.
o
Esempi 5.17 i) Sia f (x )
x x+ l
= - - . Poiche lim
x---> ±oo
f (x ) = 1
e
lim
x ---> -l ±
f (x ) = =f00
la fun zion e ha un asintot o orizzontale di equazion e y di equazione x = - 1.
VI +
ii) Sia f (x) =
1 e un asintot o verticale
x 2. Risult a lim
lim f (x ) = +00,
e
=
x -±oo
f (x ) =
x --->±oo
(
lim
( ~ + x) =
x -> - oo
.:-lx.. :. .lv_ _ l _+_x_-_
x ---> ± oo
X
1 + x2
-
1 + x2
-
= ±1
x2
Vf+X2 = 0, x --->+oo 1 + x2 + X
~ - x ) = lim
lim
x ---> +oo
x
2
lim
Vf+X2 x -> -oo 1 + x2 lim
x2 = O. x
P ert anto la funzione ha un as intoto ob liquo p er x -+ +00 di equazione y = x e un as int ot o obl iquo per x -+ -00 d i equazione y = - x . iii) Sia f (x ) = x + log x . Si ha lim (x + log x )
x---+O+
= - 00,
lim (x + log x ) x-+oo
= + 00
. X + log x . lim = 1, hm (x + log x - x ) = + 00. x- +oo x x - +~ Dunque la funzione h a un as int ot o vertica le (des tro) di equazione x ha as int ot i ori zzon t ali od obliqui.
=
0 e non 0
5.4 Ulteriori proprieta d elle successiom Riprendiamo qui 10 stud io del com portament o limite delle succession i iniziat o nel P aragr afo 3.2. I teoremi gener ali sui limi ti delle funzi oni valgono anche per Ie successioni (che sono parti colari funzioni definit e sugli int eri). Per comp let ezza , ne ripo rtia mo gli enunc ia ti adattati a lia sit uazione specifica. In oltre enuncia mo e dimostriamo ult eriori propriet a specifiche delle succ essioni. Diremo che una success ione {an }n>no verifica definitivamente una certa propriet a se esiste un in t er o N ~ n o tale che la successione {an } n ~ N verifica tale pr opriet a .
142
5 Confront o loc ale di fun zio ni . Su ccessioni e serie nurncrich c
Teoremi sulle successiorii 1. Teorema di uniciia del limite: illimit e di una successione , se esiste, e unico . 2. Teorema di limit at ezza: un a successione convcrgente e limitat a. 3. Teorema di esist enza del limite delle successioni m onotone: un a su ccessione definit iva mente monotona, se e limit at a allora e converge nte; se non e limit at a allora e divergente (a + 00 se e crescente, a -00 se e decr escen t e). 4. Primo Teore ma del confronio: siano {an} e {b n} due successioni tali che esistano, finit i 0 infiniti , i lirniti lim an = e lim bn = t n: Se defini ti vamen t e n ---+ (X) vale an .:::; bn , allora e.: :; tn, 5. Seco ndo Teorema del confronto: siano {a n}, {b n } e {cn} t re succession i tali che lim an = lim Cn = e. Se definiti vament e vale an .:::; bn .:::; Cn , all or a Tl. --l' CX)
n ---+ oo
lim bn
n -+ oo
= e.
e
n -+ oo
G. Teorema: una successione {an }
e infi nitesima, cioe nlim an = 0, se e solo -> oo
se la succession e {Ianl} c infinitesima. 7. Teorema: sia {a n} una successione infini t csima e {bn } un a successione limit at a. Allora la successione {anb n} e infinit esim a . 8. A lgebra dei lirniti: siano {an} e {bn } d ue successioni tali che lim an = e e lim bn = t ri (e, m finit i n -> oo
0
lim (an ± bn )
n ---+ oo
lim an bn
n ----+CXJ
n -> oo
infinit i) . Si ha
= e± t ti ,
= Em ,
. an e se defini ti vamen t e b =I- 0 , IlIn - = n b« m' ogniqualvolta l'espression e a seco ndo membra e defini t a sec on do la tabe lla di pag. 98. 9. Teorem a di sost ituzi one : sia {an } una successione tale che lim an = e e n -> oo
sia 9 una fu nzione defi nita in un intorno di e. a) se e E lR e 9 e continua in e, allora lim g (a n b) se
n-> oo
n -> oo
)
e tf. lR ed esiste il lim g(x ) = m, allora nlim -+ oo
Dimostraziono.
x---+I!.
= g(e); g(an ) = m.
Provi.uno solt a nt o il Tcorcma 2. in quanto gli nltri si ott cn gono udatt ando Iacihucntc lo nu a log hc duuostrazioui fornit.o p er lc h ui zioui . Supp onimno sia da ta la succcs sionc {a,,} " 2:Tl o couvcrgcntc a £ E R Allora. Iissato c = 1. cs ist e 111l intcro 111 ~ 110 talc che 1 0,, - £1< 1 per ogni 11 > /I) . Per tali /I si lin quindi . usanclo la disuguaglian za t riangolaro ( L 1),
Dunquc
J11. 1::/11 ~
10,,1 = 10,,- £+£1':::; 10,,- £1+1£1 < 1+ If! j· poncndo J\[ = lllax{ lo"ol.... .1 0/11 1.1+ I£I} si lia 10,,1 .: :; 710 .
0
5.4 Ulteriori proprieta d elle sueeession i
143
Esempi 5.18
= q" ; dove q e
i) Consideri amo la successione, detta succession e geometrica, an un numero fissa to in 1Ft Facciamo vedere che
lim qn =
n -> oo
{
o
se Iql < 1,
1
se q = 1,
+00
se q
non esiste
se q ::; - 1.
> 1,
Se q = () oppure q = 1, la successione e costante e dunque banalmente convergente a 0 e a 1 rispettivamente. Se q = -1 , la successione e ind et erminata . Sia or a q > 1; osserviamo ch e la successione e strettamente cres cent e e dunque am met te limite. P er mostrare che illimit e e +00, scriviamo q = 1 + r con r > 0 e applichia mo la formula (1.13) del binomio di Newt on : qn
=
(1 +
-r- = ~ (~)rk = 1 + nr+ ~ (~)rk.
Oss ervando che tutt i gli ad dend i dell 'ul tima somma sono po sitivi, otteni amo la disuguaglianza (1
+ r )"
2: 1 + nr ,
tin 2: 0 ,
(5.15)
detta disuguaglianza di Bernoulli" . Dunque qn 2: 1 + nr; passando al limite per n ----+ 00 e us ando il Primo teorema del confro nt o, si ha il risultato desiderato. 1 Esamini amo il caso Iql < 1 con q =1= 0; notiamo che IQT > 1 e quindi , per qu anto visto prima, nl.!...~ (
1 IQT
)n
=
+00.
Dunque la successione {Iqln}
pertan to pure la successione {q n} 10 Infine, sia q < - 1. Poiche lim q2k
k -+ CX)
la success ione
=
a"
lim (q 2 l =
k ---+(X)
e infinitesim a e
e.
+00,
lim q2k+1 = q lim lk
k ----> oo
k -w oo
= - 00,
e indeterminata.
ii) Sia p un numero fissato > 0 e consideriamo la successione applicando il Teorema d i sost it uzione con g( x ) = v", lim
n ---+(X)
1
fIP =
lim pl / n
fIP.
Si ha ,
= pO = 1 .
r ~ -+ oo
Usando il Principio di induzione , "" Principia di induziane, si puo dimostrare ehe la (5 .15) va le in realta p er ogni r 2: -1.
144
5 Confronto locale d i funzion i. Successioni e serie nurnerich e
iii) Consid eriamo la successione yin ; us ando ancora il Teorema di sostituzione e ricordando la (5.6) c), si ha lim y'n
n ---+<x>
log n
0
= nlim ex p - - = e = ---+ co n
1.
o
Esistono alcuni criteri di facile applicazione per d ecidere se una succ essione infinitesima 0 infinita . Tra questi , il pili usato e il seguente.
e
Teorema 5 .19 (Criterio del rapporto) Sia {a n } una su ccess ione per cui dejinitivamente valga an > o. Supponiamo che esist a jinito 0 injinito il
. an+l 1Hfl. - - = q. an
n ---+ CXJ
S e q < 1, allora lim an 71., ---+00
=
0; se q
> 1 allora lim an = +00 . n ---+<x>
Dimostraxionc . Supponianio chc a" > 0 , Vn 2: 110. Sia q < 1 c poniamo E: = 1 - q. Dalla d cfin iziou c di limite segue chc osistc 1111 iutcro l l-e 2: no talc chc per ogni II > liE; si ha a +1
-n - < q + E: = 1 , a /l
oss ia
an + 1
< a" .
Dunquo la succcssionc {all} C dcfinitivainoutc iuonotona de er esccnt o c portanto aunncttc lim it e fiuito c 2: O. So fosso i= 0 si avrcbbc . a ,,+1 e (] = 11111 - - = - = 1 11- ---+ 00 an e
e
contro l'ipotosi cho q < 1. Se q > i . c sufficicnt o con sidornrc la succcssionc {1/ a,,}.
e
0
Osservazione 5.20 E possibile dare una diversa dimostrazione del t eorema precedente che evid enz ia la velo cit a di convergenza a 0 0 a + 00 della su ccessione. Consid eri amo, ad esempio , il caso q < 1. Sempre d all a definizione di limite, per ogni r con q < r < 1, ponendo E: = r - q, esiste n E; 2: no t ale che p er ogni ti > n E; si ha an+1 - - < r ossi a an+l < r an an e, reiterando, (5.16) (la giustificazione rigorosa d i tale formula richi ede l'applica zione del Principio di induzione '"V7 Principio di i nduzione ). Concludiamo us ando il Primo criterio del confro nt o e il com portame nto lim it e d ella successione geome t rica (Es empio
5.4 Ulteriori pr oprieta delle successioni
145
5.18 i)) . La (5.16) mostra che la successione {an} tende a 0 tanto pili velocemente quanto q e piccolo. Analoghe con siderazioni valgono nel caso q > 1. 0 Da ultimo consideriamo alcune successioni significative che tendono a +00 . Confrontiamo illoro comportamento limite in base alla Definizione 5.10. Precisamente, prendiamo in esame le successioni
11
~g n ,
(a > 0, q > 1)
n a, n q , n., , n n
I
e facciamo ved er e che ciascun a e un infinito di ordine superiore rispetto alla pr ecedente. Il confronto tra le prime due su ccessioni e immediato usando il Teorema di sostituzione e la (5.6) c); otteni amo logn = o(na) per n ----700 . I successivi confro nt i possono essere effet t uat i considerando di volt a in volta la suc cessione quoziente delle due che si vogliono confront are e applica ndo il Cri terio del rapporto 5.19. Precisamente, poniamo dapprima an
a
= nqn .
q1 < 1, Dunque, lim an n--->CXJ
= 0 ovvero n a = o(qn) per n
. . qn d P om amo poi an = " a n.
Infine, sia an =
~; nn
n
----7 00 .
----700 .
.
CUI
qn+l n! (n + I)! qn e quindi qn = o(n!) per n
Allor a
q
+
( n ) 1 n!
n'. = -qn
+1
----7
0 < 1,
n
----7 00 ,
----7 00 .
allora
(n + l)n! n" (n) n (n + I)! nn (n + l)n+l ;r = (n + l)(n + 1)n n! = n + 1 1 1 1 n ----7 00 ,
( n~ 1
r
e dunque n! = o(nn) per n
(1 + ~
----7 00 .
r
----7
~<
1,
Pili precisamente, si puo dimostrare che n ----7 00.
Tale relazione, nota come formula di Stirling, forni sce un 'utile approssimazione del fattoriale di un intero sufficientemente grande.
146
5 Confro nt o local e di funzioni . Successioni e se rie numeriche 1
1
'2
1
1
8 16
:4
-----l
•
I 1111 3
0
'2
7
:4
15
8
2
F ig u r a 5. 2. Suddivisioni success ive dell 'inter vallo [0 , 2]. Le asc isse d ci punti di sudd ivisione so no ind ica t e in basso c Ie lunghezze d ei sott oint er va lli in a lt o
5.5 Serie numeriche Consideri amo un segm ento di lunghezza £ = 2 (si veda Ia Figura 5.2) . Attraverso il suo punto medio, possi amo dividerlo nell 'unione di due segmenti cont igui di lunghezza ao = £/2 = 1. Teniamo fisso il segme nt o di sinist ra, mentre dividiamo il segmento di de stra an cora in due parti uguali, di lunghezza al = £/4 = 1/2 . Iterando tale procedimento infinite volte, possiamo pensare il segm ento inizial e come unione di infiniti segmenti , di lunghezza 1, ~ , ~, ~ , Corrisponden temente, siamo indotti a pensare la lunghezza totale del segmen to come somma delle infinite lunghezze dei segment i in cui 10 abbiamo suddiviso, va le a dire
/6 " "
] 1 1 1 2= 1+ - + - + - +- + .. . 2
4
8
(5.17)
16
Abbiarno, a destra, una somma di infiniti addendi. II concett o di som ma di infiniti termini puo esser e definito in modo rigoroso usando la no zione di su ccessione, e conduce alia definizione di serie num eric a . Data la su ccessione {ad k>o, costruiam o la cosiddetta s uccessio ne d elle som me p a r zi ali 0 d elle ridotte {sn }n>O nel modo seguente: So = ao ,
e , in gene rale, n
s.,
= ao + a l + . . . + an =
L
ak .
k=O
Notiamo che Sn = Sn- l + an ' E naturale st ud ia re il comportamento limi t e d i t ale successione. Poniamo (formalmente) n
00
"" L.-, ak k=O
L
= nlimoo "" L-J ak ---4
k=O
=
lim Sn '
11, - j o CXJ
00
II simbolo della serie.
k=O
ak vien e detto ser ie (n um erica) , mentre ak
e il t erm ine
generale
5.5 Serie nurneriche
147
Definizione 5.21 Data la successione {ad k>O e P08tO 8n
consid eri il limite lim
n -> oo
8n .
e jinito
i) S e il limite esis te ed
L 00
si dicc che la serie
ak converge e il
k=O
valorc
e dctt o somma della serie;
del limite
8
L 00
scriuerem o s
ak · k=O
=
e injinito, si dicc chc la serie L
00
ii) S e il limite esisie ed
ak diverge . k=O
L
00
iii) Se il lim it e non esisie, si dicc che la serie
e indeterminata.
ak k=O
Esempi 5.22 i) Ritorniamo sull'escm p io ini zial e del segment o sudd iviso in infini te parti. La lunghezza del segme nt o ot tenuto con k + 1 suddivisioni e ak = 21k' per k ~ O. 00 1 Dunque, siamo indotti a con side rate la serie 2 k ' Allora
L
k=O
1
So = 1 ,
Sn
= 1
3
= 1 + 2 = 2'
Sl
1
S2
= 1
117
+ 2 + 4;
=
4; ,
1
+ -2 + ... + -2n .
Usando il prodotto notevole a n + 1 _b n + 1 = (a -b)(a n +a n - 1b+ . . .+ abn - 1 + bn ) , e scegliendo a = 1 e b = x arbit rario purche #- 1, ot teniamo l'identita 1 - x n +1 1 + x + ...+ .T n = (5.18) I - x
Dunque 8n
1
1
= 1 + 2 + ... + 2n =
P ertanto lim s.,
'n ---4 OO
1 - 2 n1+! 1 _ 1. 2
=2
(
1-
1)
2 n +1
=2-
1
2n .
= n lim (2 - ~) = 2. ----jooo 2n
Quindi la serie converge e la som rn a vale 2. Cia giustifi ca ri garosamente l' espressione (5.17) .
L
00
ii) Si con sideri la seric
k . Ricordando la (3.2), risulta
k=O
n
s., = '" k = L..J k=O
n(n + 1) 2
'
148
5 C onfro nt o locale d i fun zion i. Su cces sioni e seri e uu me r iche
Allora . lim
Sn
n ---+oo
=
. n(n Inn
n --+oo
+ 1) 2
=
+00 ,
dunque la serie dive rge (po sitivam en te) . 00
iii) Si conside ri la serie
2:)-l)k. Risulta k=O
So
= 1,
S2
= Sl + 1 =
Sl
1
S3
= 1- 1=0 = S2 - 1 = 0
S2n = 1 S2 n + 1 = 0 . Dunque le ridotte can ind ice pari valgono sempre 1 e quelle con indice dispari O. In definitiva il lim Sn non esiste c quindi la ser ie e indeterminat a . D n ~ oo
Talvolta la successione {ad e definita solo p er k ~ ko; la Defini zion e 5.21 si modifica in modo ovvio . Vale inolt re la seguente proprieta la cui verific a , p craltro immedi ata , e lasciata allo st ude nte . Proprieta 5.23 Il cornportarnen to di una seri e non carnbia se si aggiungono oppure rnodificano oppure elirnin an o uri tiumero finito di termini. Si noti che t ale propriet a nulla dice, nel caso si abbia conver genza della seri e, suI valore della somma , il quale generalme nte ca mbia se si modifica la serie. Ad csempio,
Esempi 5.24 1 (k _ l)k detta serie di Mengoli. Risul t a
L 00
i) Conside riamo la serie
k=2
1 1 ---k -1 k
1
e dunque
1
=1 - 3
e, in gen erale, ( 1 - ~) 2
+ (~ - ~) + .. .+ ( _ 1 _~) = 2
3
n-1
ti
1_
.!.n .
5.5 Seri e numeriche
149
Allora
= n.lim r-- oo
lim e;
n ----+ (X)
(1 -
~) =1 n
e quindi la serie converge e la sua somma vale 1.
~ ) . Si ha
ii) Consideriamo la serie flog ( 1 +
( 1) k =l
ak
k+1 = log 1 + k = log -k= log(k + 1) -logk
e, quindi, S2
= =
Sn
= log 2 + (log 3 - log 2) + ...+ (log(n + 1) - logn) = log(n + 1) .
Sl
log2 log 2 + (log 3 - log 2)
= log 3
Dunque lim
n ---+oo
Sn
=
lim log(n + 1) = + 00
n -+ oo
e quindi la serie diverge (positivamente) .
D
Le due serie consid erate sono esempi di una classe pili ampia di serie dette telescopiche, cioe t ali che ak = bk + 1 -b k per un a opportuna succ essione {bd k 2 k o ' In tal cas o si ha s., = bn + 1 - bk o e dunque il comportamento della serie coincide con qu ello della successione {bk } . Diamo ora una sem plice, rna utile, condizione necessaria per la convergenza di una serie numeric a .
L 00
P r o p r ie t.a 5 .25 Sia
ak
una serie conuerqeni e. A llam
k =O
lim
k -+ oo
Dimostrazionc . Sin s
=
lim
n ---+ cx)
.'In .
ak
Po ichc
"·-lim00
(Lk
= O.
Ok
=
= lim
Sh' -
(Sk -
(5.19)
Sk -I,
8k - l)
si ha
=s- s=
0,
D
J..: ---+ oc
Osser viamo che la cond izione (5.19) non e sufficiente a garant ire la converge nza della seri e. In alt re parole, il termine generale di una seri e puo t endere a 0 senza che si a bbia convergenza. Ad esempio, si ricordi che la seri e flog (1 mentre si ha
}~~ log (1 + ~)
k=l
= 0 (Esempio 5.24 ii)) .
+
~)
diverge,
150
5 Confronto locale di fun zioni. Su ccessioni e serie numeri che
Se la serie converge a s , si dice r esto n -simo la quantita
L 00
rn
= S -
s.,
=
a« ,
k=n +1
L ak una eerie converge n te . A llam 00
Propr-ieta 5 .26 Sia
k=O
lim
n -+ oo
Diniostrazionc .
E suf ficicutc osscrvarc
cho
=
lim /'" II ------> OC
= O.
Tn
lim (s - s,,)
ll ............. cx:;
=
S -
S
=
O.
o
Esempio 5.27 Consideriamo la serie, detta serie geo met r ica, 00
dove q e un numero fissato in lR. Se q = 1, risulta Sn = ao + a 1 + . .. + a n = 1 + 1 + . .. + 1 = n + 1 e lim Sn n -+ oo Dunque la serie diverg e a +00. Se q -=I- 1, si ha, grazie alia (5.18), 1 _ qn+1 Sn = 1 + q + q2 + . .. + qn = _ ----.::'-----_
= +00.
1-q
Ricordando l'Esempio 5.18 , otteniamo I
lim Sn
n -+ oo
= nlim -+ oo
1- q
se
1-q
1 _ qn+1 {
Iql < 1
+00
se q
non esist e
seq :S; -l .
>
1
In defin itiva converge a _ 1_
1- q
00
L(/ k=O
{
diverge a
+ 00
e ind eter rnin at a
se
Iql < 1
se q 2: 1 ,
se q :s; - 1 .
o
5.5 Seri e numeriche
151
L 00
ak, non sempre e possibile stabilire il suo comportamcnto k=O facendo uso della dcfinizione. Infatti puo accadere che la successione delle ridotte non sia calcolabile csplicitam ent e. E utile allor a avere dei criteri che garantiscano la convergenza 0 la divergenza della seri e. Nel caso in cui si abbia convergenza , l'eventual e problema di calcolare il valore numerico della serie potra essere affro ntato facendo ricorso a tecniche pili sofisticate, che esulano dallo scop o di questo t esto.
Data una serie
5.5 .1 S erie a t e rmini positivi 00
Si tratta di serie L ak per cui si ha ak ;::0: 0 p er ogni kEN . Vale allora il seguente k=O risultato. 00
Proposiz io ne 5 .28 Sia L ak una seri e a termini positivi . A llora la serie k=O converge 0 div erge positivamen te. Dim ost ra zione. La success ione
s.,
0
C mon otona cresce nte, infatti Vn;::O: O.
E sufficiente lim
Jl -
OO
8n
allora applicar e il Tearema 3.9 pCI' concluclere che esiste, finito 0 uguale a +00 . D
Enunciamo or a al cuni crit eri per 10 studio della convergenza di serie a termini positivi, per la cui dimostrazione rimandiamo a '"'-+ Serie numeriche .
00
00
Teorema 5 .29 (Criterio d el confronto) Siano L ak e L bk due serie k=O k=O numeri che a t ermini posi tivi e si abbia 0 :::; ak :::; bk , per ogni k ;::0: O.
Lb
00
00
i) S e la seri e 00
00
k
k=O
L ak :::; L bk; k=O k=O 00
conv erge, allora conv erge an che la seri e L ak e vale k=O
00
ii) se la seri e L ak div erge, allora div erge anc he la seri e L »: k=O k=O
152
5 Confronto local e di fun zioni. Successioni e se r ie nurneriche
Esempi 5.30 1
Lv 00
i) Si consideri la serie
PoicM
k=l
1
L 00
e la seri e di Mengoli
1
k2 < (k _ l)k Vk ~ 2, 1 (k _ l)k converge (E sempio 5.24 i)), possiamo conclu-
k=2 dere che anche la seri e data converge e la sua somma 2
e :::; 2.
Si puo dimostrare
'iT
che la sua somma vale
6 '
ii) Si consideri la serie
L
00
1
k' detta serie
k=l
armonica. Nel Capitolo 6 (Esercizio
12) , verifi ch er emo la disuguaglianza 10g(1 cui segue che 1 1 10g(1 + k) < k ' quindi , poiche la serie flog (1 k=l
+~)
+ x)
:::; x valida per ogni x > - 1, da
Vk ~ 1 ;
diverge (Esempio 5.24 ii)), possiamo
concluder e che anche la serie arrnonica diverge. iii) Per un'estensione dei casi precedenti si veda l'Esempio 10.14 i).
0
Enunciamo ora un utile criterio che gene ralizza quello del confronto.
L ak 00
Teorema 5 .31 (C r it e r io d el con front o asintotico) Dat e due serie
k=O
L bk a term ini positi vi, se le successiotii {ak }k2:0 e {bk }k2:0 sana equiqrasuli 00
e
k=O per k
----7
00,
allora il comportame nto delle due serie coin cide.
Esempi 5.32 i) Si consideri la serie
~ ak = ~ k 2+ 3 . Sia bk = ~ , allora L2k +5 k
L k=O
k=O
lim ak = ~. bk 2 Dunque la serie data ha 10 stesso comportamento della ser ie armonica e pertanto diverg e. k ~ oo
5.5 Serie numeriche
ii) 8i consideri la seri e
L
00
1
k=l
1 Poiche sin k 2
L sin v 00
ak =
k=l
serie data si com p orta come la serie
L
00
k=l
rv
1 k 2 p er k
153
----+ 00 ,
1 k 2 e dunque converge .
la 0
Enunciamo infine due crite ri, di natura algebrica e sovente di facil e applicazione , che forniscono condizioni .sufficient i per la convergenza 0 la divergenza di una serie.
L ak con ak > 00
T e o r ema 5.33 (C r it e r io d el r apporto) Sia data la serie 0 , 'r/k
O. Si supponga che esista, jinito
~
injinito, il lim ite
0
lim ak+1 = k->oo ak A llora se
k=O
e.
e < 1, la serie con verge; se e> 1, la serie
div erge.
L ak con ak ~ 0, 00
T eorema 5 .34 (C r iter io d ella radice ) Sia data la seri e 'r/k
~
O. Si supponga che esis ia, jinito lim k->oo
A llora se
0
injinito, il limit e
k=O
ifiik = e.
e < 1, la seri e converge; se e > 1, la seri e diverge.
Esempi 5.35 "
•
•
•
I) 81 consideri la sene
L
00
k
3 k ' Allora ak
k
= 3k
e akH
k+l
= 3 k+ 1 ; dunque
k=O . ak +1 . 1k +1 1 lim - - = Inn - - - = - < 1. k- oo a k k -s-co 3 k 3 P ertanto, applicando il Criterio del rapporto 5.33, la serie data converge. 00 1 ii) 8i consideri la serie kk . Allora k=l
L
.!.
lim if(ik = lim = 0 < 1. k- oo k- oo k Pertanto, applicando il Criterio della radice 5.34, la ser ie data converge .
0
154
5 Confronto locale di funzioni. Successioni e seri e numeri ch e
Si noti che, sia p er il Criterio del rapporto si a per il Criterio d ella rad ice, non si puo concluder e nulla nel caso in cui
e= 1. Ad esempio , Ie serie
f
~
f :2
e sono k=l k=l rispettivamente divergente e convergente, rna en trambe soddisfano la condizione in ciasc uno dei due cri teri con = 1.
e
5 .5.2 Serie a termini di segno alterno Si tratta di serie della forma 00
bk > 0 ,
con
Vk
~
o.
Vale il seg ue nte cr it erio dovuto a Leibniz. Teorema 5.36 (C r it e r io di Leibniz) Data una s eri e a termini di segn o 00
alierno l:) -l )kbk , se vaLgon o Le du e con dizioni k=O lim bk = 0 ; k-.oo ii) La su ccessione {bd k>O
i)
allora La eerie
e monotona decresc esite ,
e conue rqen ie . D etta s
La sua somma, per ogni n
~
0 si ha
e
Esempio 5 .37 00 1 Consideriamo la serie armonica a segni al t erni ' " ( _ l )k -k' Poich e lim bk ~ k ----+ oo k=l
lim k-. oo
~
=
0 e la successione
{~} e monotona strettamente decrescen te , la k k ~l
serie converge .
D
P er studiare Ie serie a termini di segno arbitrario , d i convergenza assoluta .
L ak converge asso lu tamente se 00
D efinizi o n e 5.38 Si dice che La serie
L
00
converge La serie a termini positivi
k=O
e u tile in trodurre il concet t o
k=O lak I·
5.6 Esercizi
155
Esempio 5.39 1
L (_l) k k 00
La serie
k=O
2
1
L v: 00
converge assolutarnente in quant a converge la serie
k=O 0
II segu en t e criterio assicura che la converge nza ass oluta irnplica la converge nza dell a serie.
L ak 00
Teorema 5.40 (C r it e r io di convergenza assoluta) S e la serie converge assolutamente, allora essa converge e si ha
k=O
Osservazione 5.41 Esistono serie che convergono rna non asso lutarnente. Ad esem p io, la serie arm onica a seg ni altern i
L
00
L (_l) kk1 converge, men tre la se rie 00
k=l
1
k di ver ge. Dunque la serie arrnonica a seg ni altern i non converge k=l ass olutarnente. Diremo in tal caso che la serie converge semplicemente oppure condizionatamente. 0 armo nica
II cr iterio precedente permet t e d i studiare seri e a segno vari abil e considerando ne la convergenza assoluta. Essend o la serie dei valori asso luti a te rmini posit ivi, si posson o a pp licare a tale serie i criteri visti nel P aragrafo 5.5.1.
5.6 Esercizi 1. Confro n tare gli infinitesimi:
~
x - I,
b)
-x 3 ' e-
1
V~ -
x
,
x 2 e-
(JX - 1) 2 per x ----d
1, x
,
x 2 3-
x
per x
--+
+00
2. Confrontare gli in fi niti:
.'1)
~ b)
3/.11
4 --+
+00
x -log -x ' x log x , x 23 x , 3 x log x per x
--+
+00
2
Vx
- 2x 2 ' I
pe r x
x4,
(X ) og 1 + x
156
[I]
5 Confront o local e d i fun zioni . Succession i e se r ie numerich e
Verificare che f (x) = VX + 3 - J3 e g(x ) = VX + 5 - V5 sono infinitesimi dello s tesso ordine p er x - 7 0 e determinare e E lE. tale che f (x ) '" eg(x) p er x - 7 o.
4 . Verificare che f (x ) = -Yx3 - 2x 2 + 1 e g(x ) = 2x + 1 sono infiniti dello stesso ordine p er x - 7 -00 e deten ni nare e E lE. tale clJe f (x ) rv fg(x) p er x - 7 - 00.
5. Determinare l'ordine di infinitesimo e la p arte prin cipale risp et to a ~(x) = ~ p er x - 7 + 00 delle Iun zioni : 2
L:2J f ( ) = 2x +
Q
X
b) f (x ) =
x4
2
x)
J
x _ I x+ 3
Gill f (x ) = log (9+ sin ~ ) - 2log 3
6. Determinare l 'ordine di infinito e la parte princip ale risp et to a ~ (x ) = x p er x - 7 + 00 delle Iiuizioni: 1 f (x ) = x - J x 2 + x 4 b) f (x) = --== =--------==2 = 2 Vx + 2 - Vx + 1
[ill
7. Determinare l'ordine di infinitesimo e la par te prin cip ale risp et to a p er x - 7 0 delle Iim zioni:
[ill f (x ) = (Jf+3X c) f (x )
= VI + 3x 1 + 2x 3
3
_
1) sin2x 2
L:J
eX -
-2 -
l +x
~ f( x ) = e Cos x
e) f (x) = log cos x
_
1
e-l x 3 + 1
8. Determinare l 'ordin e di infinitesimo e la p ar te principale rispet to a x - Xo p er x - 7 Xo delle iiui zioni :
[ill f (x) = log x - log 3 , Xo = 3 @] f (x) = e e , Xo = 1 x2
-
@] f (X) = I + cos x ,
b )f(x )= vx - J2 , d) f( x) = sin x ,
~ ( VIcos+ x3x ~ x~o x 2
2 _
~ lim log (3 - JX+I) ~ x~3
3- x
Xo = 7r
f) f (x ) = sin (7r cos x ) ,
1)
b) lim (vx - ..)2)2 x ~2
X -
2
e-lx + 2 - e V3 d) lim - ,.--------,-.,.-;;-x~ l (x - 1)2
~ (x)
xo = 2
Xo = 7r
9. Calcolare i seguetiti lim iti: Ic0l lim
x
b) f (x ) = -Ycosx - 1
Id)l f (x ) =
1
~ ( x) =
Xo = 0
5.6 Esercizi
10. Determinare dominio e asin to ti delle seguenti funzioni : x2 + 1 VX2=1
@] f (x ) = Q
llJ
f (x ) = x
2
-
(x
+ 2 arctan x
b) f (x ) = x
+ 1)lx +3
2[
2x
(1 + ~)
e) f (x ) =
0] f (x ) = log (x + eX)
x
11. St udiare i1 com portamen to delle seguenti successioni:
a) an
=n
-
Vii
b) an
=
(_ I) n
d) an = (2n)! n!
f) an = ( ;)
~ an = 2n
~ 2
:3
sin( 2- n 1f)
£) an = n ! ( cos 12. Calco1are i seguenti limiti:
a) c)
n2
lim n- oo 2 n
+1
+ 5n
lim cos n n
lim (1 + (-1 ) n) n- oo
d)
n ---lo (X)
ff)l
lim (n
h)
lim n n- oo n 2
+ 3)! -
~ n- oo n 2 (n 2
n!
+ I )! .
+ sm n
+ 2n - 3
13. Studiare 1a convergenza delle seguen ti serie a termini positivi:
3
00
a)
L 2k2 + 1 k=O 00
3k
@] kL=O k! [ill L 00
k= l
7 k arcsin k 2
00
Qill L k= 2
2k k5 -
3
k! @] L kk 00
k= l
f)
n +2
~ log ( 1 + :2)
vk -1)
157
158
5 Confronto locale di fun zioni . Successioni e serie numeriche
14. Studiare la convergenza delle seguenti serie a termini di segno alterno: CXJ
k3 + 3 2k 3 - 5
15. St udiare la convergenza delle seguenti seric:
rh\l ~ sin k
c)
L
CXJ
k=l
1 k3
L!iJ L y k=l
(k)
CXJ
@D L (- I )k
2
({12 - 1)
k =O
16. Verific are la convergenza delle segn enti serie e calcolarne la somma: CXJ
'3 k
~ kL=O 2 ~42k Q
llJ L k=1 CXJ
2k
k 2(k
+1 + 1)2
1
CXJ
d)
L (2k + 1)(2k + 3) k =O
5.6.1 Soluzioni
1. Coniionio eli iniinitesiuii:
a) Porche lim x- >l
x - I
=
· (fi - 1)2 I im x- I
x---> l
si ha , p er x
----+
lim \I x (x - 1) x->l 1 --- x
=-
lim ijX(x - 1)2/ 3 = 0
x~ 1
I' (x - 1)2 I' x - I = x--->1( im = x---> im = 0, x-l)(yIX+l)2 1 ( fi + l )2
1,
X - - l= O ( ~)
,
(y'X - 1)2 = o(x - 1) .
Dunque possiamo ordinare , dall 'ordine minore al maggiore, i tre infinitesimi:
\I~x -I,
x -I ,
(y'X _ l)2 .
5.6 Ese rci zi
Si pu o a rr ivare a llo stesso risul t at o osservando che , per x
3~ V-;; - 1= e che
,fi - 1 = e dunqu e (,fi _ 1)2
rv
V
1 X - -x-
J1+ (x -
->
159
1,
- (x - 1) 1/3
rv
1) - 1 rv
~ (x 2
1)
t(x _1 )2.
1 b) In ordine crescente si ha : 3' x 2e x
x
e- x , x 2 3- x .
,
2. Couironto eli uiiiuiti:
a) Si ha
Dunqu e \lx ll inferior e a x 4 .
2x 2 = o(x 4 ) per x
-
x4 Si ha immedia t amen t e 1 ( ) og 1 + x
V'x ll
lim
x~ + oo
-
2x 2 log (l
->
+00 e V'x ll
= o(x 4 ).
+x)
--------;----=--"------'x4
.
ossia V'x ll
2x 2
-
degli infiniti
=
a
e:
COg(~~ x ) ). \lx 11
2x 2
-
,
log(l
+ x ) V'1 -
2x - 9
x 1/ 3
x~+oo
=
e un infinito di ordine
In oltre,
hm
=
2x 2
-
lim
log(l
+ x) = 0
x 1/ 3
X~ + OO
'
In concl usione, l'ordinam en to crescente
log (l
b) In ordine di infinit o cresce nte si ha : x log x,
+ x)
,
2
-x1 ,
og x
3 x log x , x 23 x .
3. P oiche lim
JX+3 - V3 =
X~O J x + 5 - J5
lim (x + 3 - 3)( JX+5 + J5) = lim JX+5 + J5 = ~ X~O (x + 5 - 5) ( J x + 3 + V3) X~O J x + 3 + V3 V3"
p ossiam o dir e che f (x ) rv 4. Risul t a f (x )
rv
Vi g(x )
~ g(x ) p er x
->
per x
-00 .
->
O.
160
5 Confro nt o local e d i fu nzion i. Successioni e serie numer ich e
5. Oniine di iuiinitesiuio c p ar tc prin cipele: a) Si ha lim
x~+oo
f (x ) -l / x c>
= lim z" x ~ + oo
2x 2 + x4
2 + X- 9/ 5 = lim 2x c> - 2. x ~ +oo x2 x~+oo
Tale limi t e e finito e uguale a 2 se 0' = 2. P ertant o I'ordine di infinit esim o di f (x ) e 2 e la sua part e princip ale e p(x ) = x22' In altern at iva , si puo osservare che , p er x ----+ + 00,
2:4 ;2 '
b) l 'or d ine di infinit esimo
e 1 e la part e princip al e p( x ) = -
2~ .
c) Osser viarn o innanzitut t o che
) x +1- x x 1 - x = lim (Vr-:;--; x~+oo x ~ +oo Vx 2 - 1 + x 2
2 -
lim
e dunque la funzione f (x ) . lim
x~+oo
e un infinitesimo p er
sin ( VX2=l - x) Vx 2 - 1 - x
=
x
2
----+
+00 . In oltre si ha
sin y lim - Y
y ~Q
= 0
=
1. ,
dunque lim xC> sin ( ~ - x ) x ~ + oo
=
lim xC> ( ~ - x ) x~+oo
=
lim xC> x- +oo
sin ( Vx2 - 1 - x) VX2=l x2 - 1 - x
(~ - x) .
In alternat iva, si puo utilizza re la segue nt e osservaz ione : sin g(x) rv g(x ) p er x ----+ XQ se la funzione g(x ) e infinit esi m a p er x ----+ XQ. A llora, p er x ----+ + 00, si ha
sin ( ~ - x)
rv
~-x
e dunque , p er la Proposizion e 5.5, direttamente lim x C> sin
X~+~
(~ - x)
=
lim xC>
x ~+ ~
(~- x)
Co ns iderand o quest 'ultimo limite, si h a lim
x ~+ oo
rir:':
xC> ( V x 2 - 1 - x
)
=
xC> Xc>- l 1 = lim = 2 x ~+oo v x - 1 + x x ~ +oo ) l + 1 + 1 2 lim
se 0' = 1. Conclud ia mo che l' ord in e di infinit esimo 1 P(x ) = 2x '
x2
e1 e
la part e prin cipal e
e
5.6 Esercizi
161
d) Risul t a log
(9 + sin ~) - 2log 3= log 9(1 + ~ sin ~) - log 9= log (1+ ~ sin ~) x 9 x 9 x i
Poi che, per x ----. +00, sin ~ '" g~ (si veda I'osservazion e fatta nell 'esercizio precedente) e log(I + y) '" y per y ----. 0 si ha .
hm xC> f (x)
x-+ +oo
=
.
1 . 2
hm xC> - sm 9 x
x-++oo
=
.
hm
x-++oo
2x C> -9x
9 parte princip ale
e
se a = 2. P ertanto I'ordine di infinit o di f e 2 e la sua parte princip ale p( x) = - x 2 . b) L 'ordine di infinito di f e 1 e la sua par te prin cip ale e p(x) = 2x .
e
se a = 1. Dunque I'ordine di infini t esim o di p( x) = g2x '
f
e 1 e la su a
2
6. Ordin e di infinit o e parte principale:
a) Si ha
7. Online eli infinitesim o e parte prin cipale: a) Si ha VI
+ 3x
. VI IHfl.
- 1 '" ~x p er x ----. 0; infat ti
+ 3x
x -+O
~x
Inoltre sin 2x 2
'"
- 1
= I'Hfl. -2 x -+O 3
1 + 3x - 1 . = hm x ( VI + 3x + 1) x-+ O VI
2
+ 3x + 1
= 1.
2x 2 p er x ----. 0 e quindi
f( x) '"
~x . 2x 2 2
ossi a
f( x) '" 3x 3,
X ----.
O.
e 3 e la sua part e prin cip ale e p(x) = 3x 3. f e 2 e la sua parte principale e p(x) = - ix2. f e 3 e la sua par te principale e p(x) = _~ x3 .
Pertanto I'ordine di infinite simo di f b) L'ordine di infinitesimo di c) L'ordine di infinitesimo di
d) Usando la relazione eX = 1 + x
+ o(x)
per x ----. 0, si ha
se a = 1. Dunque I'ordine di infinitesimo di p( x) = x .
f e 1 e la su a par t e principale e
162
5 Confronto loc al e di funzioni. Su ccessioni e serie numeriche
e 2 e la sua parte principale e p(x)
c) L'ordine di infinitesimo di f
= _~x2 .
f) Ricordando che 1 cos x = 1- 2 X2 +o(x 2)
~=
(1 + x 3)1 /2
et= 1 + t + o(t ) si ha
f(x) =
:r
= 1 + ~x3 + o(x 3)
Pertanto
x
2
----+
1 2 +0(2) e l -2x x _ e1
+ 21 x 3 +0(x 3) = e ( e - '2 X 2 + 0(2) x 0
1 3 +0 (3)) _ e2X x
(3) x )
e( - ~ x2 +o(x 2)) = _~ x2 +o(x 2) ,
X ----+ 0 .
f ha ordine di infinitesimo 2 e parte principale p(x)
8. Online eli infinitesimo e part e ptincipnle: a) Poniamo t
=x-
log x -log3 Poiche log (1
3 e osserviarno che t
= log(3 + t)
+ ~) '"
~ per
0,
t----+O ,
1 3+ 1 2 + o(x 2) - 1 - 2x = e ( 1 - 2x
=
0,
----+
- log 3
°per x
----+
= IOg3(1 +
----+
= _ ~X2 .
3. Allora
D
= log (1 +
- log 3
D·
t ----+ 0, risulta 1
f(x) = logx - log 3 '" 3(x - 3) ,
x
----+
3.
= ~(x - 3) . e p(x) = 1" (x - 2).
Dunque f ha ordine di infinitesimo 1 e parte principale p(x)
b) L'ordine di infinitesimo di f e 1 e la parte principale c) Ricordando che e t - 1 '" t per t ----+ 0, si ha
f(x)
= e(e
X2
= e(x
-
1
-
1) '" e(x 2
+ 1)(x -
-
1)
1) '" 2e(x - 1)
per
x
----+
1.
Dunque f ha ordine di infinitesimo 1 e parte principale p(x) = 2e(x - 1) . d) L'ordine di infinitesimo di f e 1 e la parte principale e p(x) = -(x - 1f). e) Poniamo t = x - 1f . Allora
Poiche t
----+
°
per x
1 + cos x ----+ 1f ,
f( x)
= 1 + cos (t + rr) =
1 - cos t .
risulta 1 - cos t '" ~t2 e dunqu e 1
= 1 + cos x '" 2(:1; - 1f)2,
X ----+ zr.
P ertanto f ha ordine di infinitesimo 2 e parte principale p(x) = ~(x - 1f)2 . f) L'ordine di infini tesimo di f e 2 e la parte principale e p(x) = -~( x - 1f)2.
5.6 Eser cizi
163
9. Luniii:
a) Ricordando che , p er x
0,
----t
e
si ha lim
VI +
3x 2
cos x
-
x 2 COS X
x-+O
=
lim
1 + 1x 2 2
x -.O
.
= lim
-
1 + .!x 2 + o(x 2 ) 2 x2
2x 2
+ o(x 2 ) = 2 . x2
=
lim log(3 -
x -'O
b) O. c) Posto Y = 3 - x , risulta L
lim log(3 - VX+T) 3- x
=
x-+ 3 -
lim log(3 - 2)1 - y/4) .
=
Y
Y -'O+
Poiche )1 - y/4 L
=
J4=Y)
Y
Y -' O+
1 - ~y + o(y), Y
=
lim log(3 - 2+ Y-'o +
= lim Y -+ O+
Y
----t
0, si ha
t +o(y)) =
lim
log(1 +
y
Y -+O+
t +o(y) = ~ . Y
t + o(y))
4
d) II limi te no n esist e, rna illimit e destro vale + 00 e qu ello sinist ro -00 .
10. Doiuiuio e nsintoti: a) La fun zione e definita per x 2 - 1 > 0, ossia per x < - 1 e per x > 1; pert anto dom f = (-00, -1) U (1, +00). Si osservi che la funzion e e pari , pertan to il suo comportamento per x < 0 si puo dedurre da qu ello p er x > O. Si ha
x 2 (1 + x -+ ±oo Ixl
lim
f( x) =
lim
f( x) = : = +00 ,
x-+±oo
x -+ -] -
lim
0
...L) 2
y'1 _ -fx x
=
lim
x - d oo
lim f( x)
x-. j +
x2 [z]
=
+ 00
= 0: =
+ 00 .
Quindi la retta x = - 1 e as intoto verticale sinistro e la retta x = 1 e asint ot o verti cale destro; non vi sono asintot i orizzont ali . Cerchi amo l'eventuale asint ot o obliquo per x ----t + 00:
164
5 Confront o locale d i fun zion i. Su cces sioni e se rie nurnerich e
f (x ) · -- = 1Hfl x~+oo x
x
1·un
x~ +oo
x
+ x\-) =
2
(1
2
~1 1 VL- X:;:
1
x 2 + 1 - x VX2=1 ~ x~+oo V x2 - 1 . (x 2 +1)2 - x 4 + x 2 = Inn x ~ + oo v x 2 - l( x 2 + 1 + x vx 2 - 1)
lim (J( x ) - x ) =
x~+ oo
=
lim
lim
x~+oo x 3
VI-
+1 (1 + x\ + 3x 2
x\
VI -
lim
x~ + oo
x\ )
3x 2 2x
-:3
=0
dunque la retta y = x e asi nt oto obliquo destra. Pe r x -+ - 00 , si puo proced ere in m aniera analoga, ot t en endo che la ret t a y = -x e as intot o obliquo sinistro . b) dom f = JR; y sinistro. c) La fun zione
= x + 1f
asint oto obliquo destra , y
e defini t a per x #-- ~' dunque dom f
· f( x ) = 1·Hfl x 1un
x~-oo
x ~ -oo
2-
(x+ l) (2 -x ) = 2x + 3
= x-
=
1f
as int oto obliquo
JR \ {- ~ }. Inoltre
1·un
x~ -oo
2 2x - x -2 = 2x + 3
- 00
2 1·1m x - (x + l )(x - 2) = 1·Hfl x+ 2 1 -- = X ~ + OO x~+oo 2x + 3 x~+oo 2x + 3 2 x 2 - (x + 1)(2 - x ) 4 lim f( x) = lim = - = ± oo ; x-t -~ ± X~ -~ ± 2x + 3 O±
· 1un
f() x =
quindi la retta y = ~ e asint oto or izzontale de stro e la ret t a x as int oto ver ti cale. Cerchiamo l'eventual e as intoto obliquo sinistro: lim x ~ -oo
e un
2
f (x) = lim 2x - x - 2 = 1 x x ~ - oo x (2x + 3)
lim (J( x) - x ) =
x~-oo
pertanto la rett a y = x - 2 d) dom f = JR \ { ±1}; x comp let o.
-23
lim
x~+ oo
-4x - 2 = -2 ; 2x + 3
e as int oto obliquo sinistra .
= ± 1 as int oti ver tical i; la ret t a
y
=x
e asint oto obliquo
e) dom f = (- 00, -1) U (0, +00 ); asi ntoto or izzontale y = e, as int oto verticale sinistra x = - 1.
f) La fun zione f e defini ta per x + eX > O. P er ris olvere tale d isequaz ione , osserviamo che g(x) = x + eX e una funzione stre ttame nte cresce nte su JR (somma di due fun zioni avent i t ale proprieta) con g( - 1) = - 1 + ~ < 0 e g(O) = 1 > O. Applicando il Teorema di esistenza degli zeri 4 .23 , si deduce l'esistenz a di un uni co punto Xo E (-1 ,0) tale che g(xo) = o. Dunque g( x) > 0 per x > Xu e dom f = (xo , +00 ). Inoltre
5.6 Esercizi
lim f( x)
x---+xt
=
log lim (x
x---+xt
+ eX) = - 00
e
lim
x ----.. +CX)
165
f( x) = +00 ;
qu indi x = Xo e un asintoto verticale destro e non vi sono asintoti ori zzontali p er x ----+ +00. Cerchiamo I'eventuale asintoto obliquo destro:
f( x) =
lim
x
x ---> +oo
log ex (1 + xe- X) =
lim
X
x ---> +oo
= 1
+
x+ log(l+ xe-
lim
X)
X
x --->+oo
log(1 + xe - X) = 1 , x lim log (1 + xe - X) = 0 lim
x --->+oo
=
lim (f(x) - x)
X ---++CX)
in quanto
lim xe- x
x --->+ oo
=
x- +oo
0 (si ricordi Ia (5.6) a)). Pertanto la retta y
=x e
asi nt ot o obliquo destro. 11. Com portamen to di successioui:
a) Div erge a
+00.
b) Indet errninat a .
c) Ricordando il com portament o della successione geometrica (Esempio 5.18 i)) si ha lim an
n ---> oo
= lim
n ---> oo
4n ((~) n 4
4n(4 - n
1)
+ 1) =
-1
,
quindi la successione converge a - 1. d) Diverge a
+00.
e) Scriviamo
2n(2n-l) .. · (n + 2)(n + l ) 2n 2n-1 n+2 n+l = - · - - - · · · - - · - - >n +l n(n -l) .. · 2 · 1 n n -l 2 1 '
an=
poiche lim (n + 1) = n ---> oo
si deduce che la
+00, p er il secondo Teorema del succession e div erge a +00.
confro nto (caso infinito) ,
f) Converge a 1.
g) Poiche
2
~ + 2 log n 2 -n+l )
an = exp ( V n 2
n +n+2
'
studiarno la successione b., = V
2-n n +l n + 2 log n 2 + n + 2 =
~ 2
Osserviarno che
. I im
n--->oo
e quindi
V
~ 2
( 2n+l ) n + 2 log 1 - -n"'"2-+- n-+----,-2
2n + 1 n2 + n + 2
=0
166
5 Confront o locale d i fun zroni. Snccessioni e se rie numeri che
log ( 1 - 22n + 1 ) n +n+2
rv
2n
n2
+
1
+n+2
n-> oo.
'
Allora · bn -I Hfl
-
n~ oo
Jn2+2 (2n + 1)
I·l Hl
n2
n~ oo
lim
+n +2
2n 2
- 2-
n~ oo
n
= - 2;
du nque la successione {an} converge a e- 2 . h) Post o x = 2- n 7l", osserviam o che x -> 0+ p er n . hm an
n --+ oo
e la success ione {an} converge a
----> 00 .
Dunque
. sin x = x-lim 7l" - - = 7l" o+ X tt .
i) Osser viamo che n + 17l" cos - n-"2
=
quindi , post a x
tt ) = cos (7l""2 + 2n =-
.
Sill
7l" 2n ;
2:' si ha
7l" lim an == - lim n sin - == n ~ OO 2n
n ~ oo
lim
x~ o +
7l" sinx == 2 x
7l" 2
e la successione {an} converge a - ~ .
e) Converge a - ~ . 12. Limiti:
a) O. b) Poiche ~ -> 0 per n
J+ ~ 1
n
----> 00,
si ha
= 1 + J:..+0 2n
e quindi nlim ~ oo n (
c)
o.
(~) n
e
Q)
Vr:;I T ; - V 1
1 -
;
= nlim ~ oo n
(~ 2n + O (~)) n
3 2
d) Non esist e.
e) Scr iviamo
2
V 3n 3 + = exp
(~IOg(3n3 + 2))
e osse rv ia mo che 3
~ log(3n3 + 2) = log (3n (1 + ~ ) ) = log 3 + 310g n + log (1 + ~) n
n
n
n
n
5.6 Esercizi
167
Inoltre n dunque
.
1
lim - log(3n 3
n ---+ oo
n
---+
00 ;
(n
+ 3)(n + 2)(n + 1) -
+ 2) = 0
e quindi il limite cerc at o vale eO = 1.
f) Scriviamo
n'((n + 3)(n + 2)(n + 1) - 1) n 2(n + l)n!
(n+3)! -n! n 2(n + I)!
n 2(n
1
+ 1)
e quindi
+ 3)' - n! = lim (n n 2(n + I)! n -> co
lim (n n -> co
g) Poi che
R1 1 (3 ) Vr;;I-1
+ 3)(n + 2)(n + 1) n 2(n + 1)
1+-=1 + - +0 n 3n
si ha lim n
n -> co
1
(1) n
,
n
---+
= nlim n (~+ -> co 3n 0
--r ;
1
=
1.
00,
(~)) = ~3 . n
h) 1.
13. Studio della convergenza di scrie a termini positivi: a) Converge . b) Osserviamo che il t ermine generale ak t ende a + 00 p er k ---+ 00 . Pertanto per la Propriet a 5.25 la serie div erge po sitivam en te. In alte rnativa, e possibile utilizzare il Criterio della radice 5.34. c) Applich iamo il Criterio del rapporto 5.33: · ak+1 - = I'Hfl IHfl
scrivendo (k
+ I)!
=
(k
'
'
k-s- oo
ak
+ l)k!
e sernplificando, si ottiene
a k +1 · Iim -
k-> co
ak
Ne segue che la seri e conver ge.
k-> co
3 k + 1 k'. (k + I)! 3k
=
I'im -k-3
k -> co
+ 1 = O.
168
5 Con fronto locale d i fun zioni. Successioni e serie numeriche
d) Applichiarno nuovarnente il Criterio del rapporto 5.33 : ' ak+1 I' I l Hl - - = Hfl
k-..oo ak
k -r-- oo
1 < 1. e
(k+l)! . -kk = lim ( -k- )k (k + 1)k+1 k! k -s- cx: k+1
Dunque La serie converge. e) Osserviamo che
7
7
=-
k ---7 00 , per k k Pertanto, applicando il Criterio del confro nt o asintotico 5.31 e ricordando che la seri e armonica diverge, possiamo concludere che la serie data diverge.
ak '" k - 2
f) Converge. 14, St udio della convergenza di serie a termini di segno nltern o: b) non converge.
a) Converge semplicernente; c) Poiche sin la serie ass egn ata
(br + ~) =
cos ( k1f) sin
~ = (-
1)
e a termini di segno a lterno con bk
k
=
~, sin t , Risu lta
sin
e P ertanto, per il Criterio di Leibniz 5.36 , la serie converge. Osserviamo che la per k ---7 00 , dunque la seri e non converge assolutamente in quanto sin seri e dei valori assoluti si comporta corne la serie armonica che diverge. d) La serie converge assolutamente in quanto, usando una delle equivalenze di p ag . 131, si ha
t '" t
k
---7
00 ,
e quindi, ricordando l'Esempio 5.30 i) , possiamo applicare il Criterio del confronto as int ot ico 5.31 alia ser ie dei va lori assoluti. 15. St udio della convergenz a di serie: a) Converge. b) Osserviamo che 1
I S~2kl <- -k
L 00
la ser ie
k =l
2 '
per ogni k > 0 ;
1 k 2 converge e dunque, applicando il Criterio de l confronto 5.29,
anche la seri e dei valori assol uti converge. P ertanto la serie data converge asso lutamente.
5.6 Esercizi
169
c) Diverge.
d) Si tratta di una serie a t ermini di segno alterno con bk = tI2 - 1. Escludendo il primo termine bo = 0, la successione {bdk >l e decrescente, essendo tI2 > k+«'2 p er ogni k :::: 1. Dunque possiamo a pp licare il Criterio di Leibniz 5.36 e eoncludere ch e la serie converge. Si osservi ehe la serie non converge assolutamente, in quanta k~
v2-1=e
~ k
log 2 - 1 ", - -
k '
e quindi la serie dei valori assoluti si comporta corne la seri e armonica che diverge . 16. Verifica elella convcrgenza eli serie e cnlcolo elella lora som ma: 1
a) - 7 ' b) A meno di un fattore, si tratta di una serie geometrica; ricordando l'Esempio 5.27, si ha 3
26 (si noti che il primo indice della sommatoria
e 1).
c) Si tratta di una serie t elescopiea in quanto possiamo scrivere 1
(k+1)2 ' dunque Sn
da cui s d) ~ .
=
lim
n---+ oo
Sn
=
1.
=
1 1 - -,-----,-,,-
(n
+ 1)2 ,
6 Calcolo differenziale
Costituiscono oggetto del Calcolo differ en zial e la definiz ion e rigorosa del concet t o di derivata, 10 st ud io dell a derivabilita di una fun zione ed il calcolo esplicito delle sue derivate successive, l'uso delle derivate nell 'analisi del comportamento local e e globale di una funzione.
6.1 La derivata Iniziarno introducendo il concet to di derivata di un a funzionc . Sia f : dom f ~ IR ----> IR una funzione reale di vari abile reale; sia Xo E dom f e su pponiamo ch e f sia definita in t utto un intorno Ir( xo) di Xo. Fissato x E Ir( xo) , x =1= Xo, indichiamo con
Llx l'incremento (positivo e can
0
= x - Xo
negat ivo) della variabile indipendente tra Xo e x,
Llf = f( x) - f( xo) il corrisponde nte incremento della variabile dipendente. Notiamo che, dalle defini zioni, segue immediatamen t e che x = Xo + Llx e f( x) = f( xo) + Llf. Il quoziente
Llf Llx
f( x) - f( xo ) x - xo
f( xo + Llx) - f( xo) .1.1:
dicesi rapporto incrementale della funzione
f
tra x o e x .
Osserviamo che, mentre Llf rap prese nta l'increm ento assoluto dell a variabile dipendente f nel passaggio d a x o a Xo + Llx , il rapporto incr em entale ne rappresen t a il tasso di incre mento (m entre la quantita Llf/ f ne rapprese nt a l'in crem ento
172
6 Ca lcolo differ en ziale
r-elalivo). Se moltiplichiarno per 100 il rapporto incrernentale , otteniamo il cosiddetto lasso di incremento perceniuale. Ad esernpio, se a fron t e di un inc rement o .<1x = 0.2 dell a variabile indipendente x si registra un incr em ento .<1f = 0.06 della variabile dipendente I . il rapporto incrementale vale 0.3 = 13000 e il tasso di incremento per centuale e del 30%.
*
Dal punto di vista geometrico, il rapporto incrernentale tra Xo e un punto nell 'intorno di Xo e il coefficiente angolarc della retta s che passa per i punti Po = (xo,f(xo)) C PI = (XI,J( XI)) appartenenti al gra fico d ella funzione; essa e detta retta secante il grafico di f in Po e PI (si veda la Figura 6.1). Infatti , posto .<1x = Xl - Xo e .<1f = f( xI) - f(xo) , I'equazione della retta secant e e Xl
y = 8(X) = f( xo)
.<1f
+ -::1 (x LJ X
x o),
X
E
JR.
(6.1)
Oal punto di vista fisico, un a classica interpretazione del rapporto increment.al e
e la seguente. Sia Ail un a particella materiale chc si muove lungo una linea retta al
variare del tempo; indichiamo con 8 = s(t) l'ascissa d el punto sulla ret ta occupato da Ail al tempo t. , rispetto ad un a posizione di riferimento O . Nell' inte rva llo di tempo tra gli istanti to e h = to + .<1t , la particella subisce uno spostamcnto .<18 = s(tI) - s(to). II rapporto incrementale ~~ rappresenta a llora la velocitd m edia della particella nell'intervallo tcmporale considerato . Studiamo ora il comportamento del rapporto increm entale al t endere a 0 dell 'incremento .<1x.
f (x o + L1x )
f (·7:o )
p,)
- - - - - - ----- - ---~~
y
=
y
= s(x)
y
= t( x)
f (x )
->.
----~ - --- ~
:
I
I
I I I I
I I I I I
Xo
Xo + L1x
Figura 6.1. Retta seca nte e retta tangente a l gr afico della fun zione
f in Po
6.1 La derivata
173
D efinizi o n e 6 .1 Sia f una funzione dejinita in un in torna di Xo E lR. Essa L1f dicesi d erivabile in Xo se esiste jinito il limit e del rapporto in crem entale ~ L.1X
tra Xo ex , per x tendent e a Xo. Il tiumero reale f ' (.TO ) = I'im f (x ) - f (xo ) = I'im f( xo + L1x ) - f (xo) x ->xo X - Xo .d x ->O L1x dicesi derivata (p r im a) di f in Xo . Altri simboli spesso us ati p er indicar e la derivata in Xo sono
y'(xo) ,
df
Df(xo) . x La prima no tazione vien e asso ciat a al nome di Newt on , la seconda a qu ella di Leibniz. Dal punto di vista geometrico , 1'(xo) e il coefficiente a ngolar e di un a retta t , detta retta tangente a l gr afico di f in Po = (xo ,f(xo») : essa si ottiene come po sizione limite delle rette s secanti il grafico di f in Po e in punti P = (x , f (x) ) via via pili vicini a Po. Ricordando la (6.1) e la defini zione di deriva ta, abbiamo infatti y = t( x) = f( xo) + j' (xo)( x - xo) , XElR. 1 -d (xo) ,
I
Dal punta di vista fisico , la derivata v eto)
= s' (to) =
uelociia istantanea dell a particella M all'istante to.
lim
~s
.dt ->O L.1t
rappr esenta la
Poniamo poi dom!, = { x E domf : f
e derivabile in x }
e definiamo la funzione I' : dom l' ~ JR. ---7 JR., I ' : x f---+ l' (x) ; essa asso cia ad ogni x E dom l' il valore della derivata di f in x . Tal e funzione dicesi funzione derivata (prima) di f . D efinizi one 6 .2 Sia I un insierne contenuto in dom f . La fun zione f dicesi derivab ile su I (0 in 1)! se f e derivabile in ogni punta di I . Stabiliamo innanzitut to una semplice rna sign ifica t iva propriet a delle fun zioni derivabili. Proposizione 6.3 Se f e continua in Xo.
eTITW funzione deriuabile in un pun ta Xo, allora essa
174
6 Calcolo differen zialc
Dimostrazion e. La cont inu ita di
f
in xo puo esse re cspressa come
lim f (x ) = f (x o),
lim (f (x ) - f (xo))
ossia
x - xu
X -Xn
Ora , se
c der ivabile in
f
= O.
Xo, a bbia mo f (:I; ) - f (:I;O)
lim (f (x ) - f (x o)) = lim
X- Xn
x - xu
=
X -
Xo
(x - xo)
f (x ) - f (x o) .
.
lim X- X n
X -
lim (:1; - xo)
:1;0
d'-
I n
o
= f' (x o) · 0 = O.
Non tut t e le fun zioni cont inue in un punta sonG ivi derivabili. Consideriarno , ad ese mp io, la funzione f( x) = 1:1;1 . Essa e continua n ell 'origine; tuttavia , il suo rappor to incrementale tra l'origin e e UIl punt o x -=I- 0 val e
= f (x) - f (O ) =
.1f .1x
x- 0
El = x
{+1 -1
x > 0, se x < 0,
se
(6.2)
e quindi non a m m ette limite p er x --> O. In a ltri t ermini , f non e derivabile nell 'origine . Questo esemp io m ost ra dunque che l'im p licazione co nte nut a nell a Proposizione 6.3 non puo esse re rov esciat a: la proprieta di d eri vabilit a e piu forte della propriet a di continuit a, Approfondirem o questo a rgom ento nel P aragrafo 6.3.
6.2 D erivate di funzioni e le m e nt a r i. R egole di deriva zione Stud ia mo d apprima la derivabilit a di alc u ne funzioni elem ent a ri, usando dirett amen t e la Defini zion e 6.1. i) Co nsid eria mo innanzitut t o la fun zion e a ffine f (x ) ar b itrario . Abbiamo
'(
)
.
f Xo = Llx-+O lim
(a (xo+.1x)+b) - ( axo +b ) L1 X
= ax + b,
e sia Xo E lR
.
= Llx-+O lim a = a,
coe re nte mente con il fatto che il grafico di J e u n a retta di coefficiente angolare a. D unque, la derivata della funzione f( x) = ax + b ela funzion e cost ante j'(x) = a. Notiamo in p articolare che, se f e una funzione costant e (a = 0) , la sua derivata e id cn ti camen t e nu lla. ii) Sia ora f (x )
= x2 e
sia Xo E lR. Si ha
f ' (Xo ) = 1·im (XO+ .1X)2- x 6 Llx-+O .1x Dunque, la derivat a della funzione f (x )
A) = 2x o. = Llx-+O lim (2x o + L.1X
= x2 e
la fun zione j' (x )
= 2x .
6.2 Derivat e di funzioni elernent ari. Regale di derivazione
175
iii) Pili in generale , possiamo conside rare la funzione f( x) = x n con n E N. Ricordando la formul a del binomio di Newton (1.13) , si ha , p er ogni Xo E lR,
'( ) 1· (xo + L1x) n A f Xo = L1xIlll --->O LlX =
=
x~
X~ + nx~-I L1x +
· 1Hfl
L1x ---> O
1~~0 (nx~-I +
t (~) x~-k (L1x)k
- xg
k=2 L1x
t (~) X~-k(L1X)k-l) k=2
e la fun zione
Dunque, la derivata dell a fun zione f( x) = x n
=
nx~-I .
f'( x) = nx n - I .
iv) Un' ulteriore gen eralizzazione si ha considerando la fun zione f( x) ex E R Sia Xo -I=- a un punto del suo dominio. Allora
f'( x o) = lim (xo
+ L1x)
L1x
L1x ---> O
=
xg -
I
(1+
lim
L1x --->O
Q
x
Q
- Xo = lim L1x --->O L1x) Q x {)
Q
0
[(1 +
L1x XQ
=
x
Q
con
) Q- 1]
L1x
1
X{)
Mediante la sostituzione y = ~: ci riconduciamo al limite fond amentale (4.13) e dunque otteniamo f'( xo) = exxg - I . Se ex > 1, e facile verificare che f e derivabile anche in Xo = a e si ha 1'(0) = O. Pertanto , conelud ia mo che la fun zion e f( x) = x e derivabile in t utti i punti in cui e definit a l' espressione x I ; la sua derivata e la funzione f'( x) = exx I . Ad esem pio, la funzione f( x) = Vi = XI/ 2, definita in [0, + 00), c derivabile in Q
Q
Q
-
e f'( x)
-
1;;;;. Invece, la fun zione f( x) = ijX5 = X5 / 3, 2y x definita su lR, e ivi anche derivabile e si ha f'( x) = ~X2 / 3 = ~ h2.
(0, +00 ) e la sua d erivata
=
v) P assiamo ora alle funzioni t rigonometriche . Sia f(x) = sin x ed Xo E R Ricordando la formula d i prost afcresi (2.14) , abbia mo
A) · 2 sm · -L1x ( L1X) '( ) 1· s i.n (.TO + Ll:r - sm z n 2 cos Xo + - 2 = ~1·im f Xo = ~1m--->o L1x --->o L1x =
sin L1x lim ~ lim cos (xo
L1x --->O
T
L1x --->O
+
L1x _
0
2
)
.
Usa ndo il limite fondamentale (4 .5) e la cont inuit a della funzione coseno, coneludi amo che f'( xo) = cos z n.
176
6 Calcolo d ifferen ziale
P ertanto, la derivat a della fun zione f( x) = sin x e la funzione 1'(x) = cos x . Proced endo in modo analogo , e facendo ora ri corso alia formula di prostaferesi (2 .15) , ot teniamo che la derivata della funzione f( x) = cos x e la funzione f'( x) = - sin x. vi) Da ul timo consideriarno la fun zione esp one n zia le f( x) = a" , Ten endo presente illimite fondamentale (4.12) , abbiamo a Llx - 1 a xo+ Llx _ a Xo J'( xo) = lim L1 = a xo lim L1 = axOlog a . Ll x ~O X Llx->O X Dunque, la derivata dell a funzione f( x) = a" e la funzio ne f'(x) = (loga)a x .
Notiamo che , essendo log e = 1, si ha in particolare ch e la derivat.a della fun zione f (x) = eX e la fun zione I ' (x) = eX = f (x), cioe la funzione derivata l' coincide in ogni punto con la fun zione f . Questo im p ort a nt e risultato e un a delle mo tivazion i pe r la sce lta d el numer o e di Nep ero come b as e privilegi ata per la funzione esp one nz iale .
Vedi amo ora come si comporta la derivazione ri spetto aile op erazioni (algebriche, di com p osizione , di inver sione) che sappiamo eseguire sulle funzioni . Stabiliamo p ertanto delle regale di derivazion e che ci p erm etteranno di calcolare agevolm ente le derivate di fun zioni ottenute a part ire da fun zioni elerne n t ar i, senza dover ogni volta risalire alia definizione di derivata . Per le relative dimostrazioni 'V7 De r i vat e .
Teorema 6.4 (Algebra delle derivate) Siano f( x) e g(x) due fun zioni derivabili in un punto Xo E R Allora sotio ivi derivabili le fun zioni f( x )±g(x ),
f (.'r)g(x ) e, se g(xo ) i- 0, la fun zion e f(( X)) . In olire si ha gx
(.f ± g)'(xo) = f'( xo) ± g'( xo) ,
(6.3)
(.f g)' (xo) = f'( x o)g(xo ) + f( xo)g'(xo) ,
)'(.) (L 9 Xo
= 1'(xo)g( xo ) - f (xo)g'( xo)
[g(x oW
.
(6.4)
(6.5)
Corollar io 6.5 (Proprleta di linear-it.a della derivata) Siano f( x ) e g(x) due fun zioni derivabili in uti punto Xo E R Allora, per ogni 0: , (3 E R, la
fun zion e o: f (x ) + (3g(x ) (o: f
e deriualnle in Xo e si ha
+ (3g)'(xo) = o:.f' (x o) + (3g' (x o).
(6.6)
Dimostrazione. Usando la (6.4) e ricor dando che la deri vat a di un a costante e ugu ale a 0, a bbiamo innanzitut t o (o:f)'(xo) = o: f'(xo) e ((3g)' (xo) = (3g' (x o). II risul tat o seg ue allora dall a (6.3) . 0
6.2 Derivate d i funzioni eleme ntari. Regole d i derivaz ion e
177
Esempi 6.6 i) Per der ivar e un polinomio, usiamo rip etut amente il cor ollario pr ecedente e il fa t to che D x n = nx n - 1 • Ad esempio, se f( x) = 3x 5 - 2x 4 - x 3 + 3x 2 - 5x + 2, si ha f'( x)
= 3 · 5x 4
-
2 · 4x 3
-
3x 2
+ 3· 2x
- 5
=
15x 4
-
8x 3
-
3x 2
+ 6x
- 5.
ii) Per derivare un a funzione razion ale, usiamo la (6.5) , avendo ca lcolato le derivat e del numera tore e del denominatore com e appe na visto . Ad esempio, la de rivat a della funz ione
=
f (x)
x
2
e la fun zione f'( x) = (2x- 3)(2x-l) -(x (2x-l)2
- 3x + 1 2x -1
2-3
x+l)2 = 2x 2 -2x +l 4x 2 -4x+l '
iii) Consideriamo la funzion e f( x) = x 3 sin x . Usando la (6.4) e il fatto che (sin x )' = cos x , abbia mo f'( x) = 3x 2 sin x + x 3 COSX . iv) Consideri amo infi ne la funzione sinx cosx Usando la (6.5) e le derivate del seno e del coseno, otteni amo f( x)
= t an x = - - .
cos xcos x- sin x(- sin x) cos 2x + sin 2 x sin 2 x 2 = = 1 + - - = 1 + tan x . cos- x cos? X cos? x In alte rnat iva, us ando la relazione fond am en t ale cos 2 x + sin 2 x = 1, otteni amo l'espressione equivalent e
'( ) f x =
f'( x) =
+.
o
cos x
Teorema 6.7 (Derivata di u n a fu n zio n e composta) Sia f(x) una funziane deri oabile in un punta Xo E lR. Sia pai g(y) una funziane deriua bile n el punta Yo = f (xo) . A llam la fun ziane campasta go f (x) = 9 (J(x)) e deTivabile in Xo e si ha (g
0
j)'(xo)
= g'(Yo)j'(xo) = g' (J( xo))f'( xo) .
(6.7)
Esempi 6.8 i) Si voglia derivare la funzione h( x ) = f( x) = 1 - x 2, la cui derivata e f'( x) g'(y)
=
x 2 . Essa e com post a dalle fun zioni -2x, e g(y) = yfij , la cui derivata e
VI =
1 2yfij ' Applicando la (6.7), otteniamo
178
6 Calcolo differenz ia le
1 x JI=X2(2x) = - ~. 2 1 - x2 1 - x2 ii) Cons ide riamo or a la funzi one h(x) = e Cos 3 x . Essa e composta dalle funzioni f (x ) = cos 3x e g(y ) = e Y • A sua volta , la funzione f (x) e composta dalle funzioni cp(x ) = 3x e 'lj; (y ) = cosy; dun que, grazie a lia (6.7) , a bbia mo j' (x ) = - 3 sin 3x . D 'alt ro cant o, sappia mo che g' (y ) = e Y • Usando a ncora la (6.7) , concl ud iamo che h' (x ) = _3ecos3xsin3x . 0
h ' (x ) =
T e ore rn a 6 .9 (Der ivata della funzione in ve r sa ) Sia f (x ) una [iuizion e continua e inuertibile in un intorno di uti pun ta Xo E IR; inolire, sia f derivabile in Xo, can j' (x o) of. O. Allam la [unzion e iruiersa f - l (y ) C derivabile in Yo = f( xo) e si ha
( j '- 1)' (Yo) = f '(1x o) = f' (J -l1 (yO))
(6.8)
Esernpi 6 .10 i) Cons ideriamo la fun zion e y = f (x ) = t a n x , la cui fun ziono der ivata e j' (x ) = ex = (y ) = a rct a n y. Ap plicando la (6.8), otteniamo - 1 '( ) 1 1 ( f ) y = 1 + tan 2 x 1 + y2 .
r'
1 + tarr' x e la cui funz ione inversa
t:'
Se, per se mplicit a d i no t azioni , poni amo = 9 e se to rn ia mo ad indicare la variabile indipend ent e con la let t er a x, poss iamo dire che la derivat a della funzione g(x )
= arctan x e la
funz ione g' (x ) = _ _1_ 2
,
1+ x ii) Cons ide riamo ora la fun zione y = f (x ) = sin x. Sappiamo che nell' interva llo [ -~ , ~ ], essa e inver tibile e precisamen te si ha x = f -l (y ) = arcsin y . D 'al t ro ca nto, la deri vat a della fun zione f e la funz ione j' (x ) = cosx ; usando la relazi on e fondamenta le cos 2 x + sin 2 x = 1 e, t ene ndo conto che nell 'intervall o d i inver ti bilit a considerat o si ha cos x ?': 0, possiamo esprimere la derivat a d i f nella forma equivalente j'( x) = \11 - sin 2 x. Applicando allora la (6 .8) , ot tenia mo (J - l )'(y ) =
r:'
J1 -
1 sin 2 x
1
J1 -
.
y2
Se nu ovament e poni amo = 9 e to rnia mo alia va riabile indipenden t e x, possiamo di re che la derivata della funzione g( x ) = arcsinx e la fun zion e
g' (x ) =
~.
In modo analogo, si d imostra che la deri vat a dell a funzione g(x) funzion e g' (x )
= - ~2 . ]- x
= arccos x e la
6.2 Derivate di fun zioni eleme ntari. Regol e di derivazione
179
iii) Consideriamo infine la fun zion e y = I (x) = aX, la cui funzione deriva ta e f '( x) = (loga)a X e la cui funz ione inversa e x = f -l(y) = log, y. Applieando la (6.8) ,otteniamo
u:')'(y) = (loga)a 1
X
1.
(loga)y
Se, p er sernp licita di notazioni , poniamo aneora I -I = 9 e se torniamo ad indieare la variabile indipendente con la lettera x, possiamo dire ehe la derivata della funzione g(x ) = log., x (con x > 0)
1
e la fun zione g'( x) =
Se poi eons ide ria mo la fun zione h(x)
=
(I ) . oga x loga( - x) (con x < 0), ehe
dalle fun zioni x ~ -x e g(y) , abbiamo ancora h'( x) 1
( loga ) x
= (I
1
e eomposta
)( )( -1) = oga -x
. Sintetizzando i due preeedenti risult ati , possiamo dire ehe la derivata
della fun zione g(x)
=
log a Ixl (con x =I- 0)
e la funzione
g'( x) = ( 1) log a x
Notiamo che, con la seelta della base a = e, si ha ehe la derivata della fun zion e
g(x) = log Ixl
e la fun zione g'( x) = .!.. x
D
Osservazione 6 .11 Sia f( x) una fun zion e deri vabile e st rettame nte po sitiva in un intervallo I . Grazie a l ri sultato preeed ente e al Teor ema 6.7 , la der ivata della fun zione eomp osta g(x) = log f( x) e dat a da
'( ) _ 1'(x) f( :1;) '
9 x -
L 'espressione
j
vien e detta derivata logaritmica della fun zion e
f.
D
Concludiamo questo paragrafo con un'ut ile eon segu enz a del Teorem a 6.7 .
I una Junzion e pari (rispettiv ame nte dispari) derivabile in tutto il suo dominio. A llora la derivata l' e una Junzion e dispari (rispettiv ame nte pari) .
Proprieta 6.12 Sia
Dirnost razionc. Se la funzionc J e pari , si ha f (- .1; ) = f (x ) per ogni x E dornf . Deri viam o ambo i me mbri di questa ugu agli anza , osservando ehe la funzione f ( -:r) e composta dalla fun zione x ~ -x e dalla funz ione y ~ f (y) e, per t an t o, la sua deri vat a e la fun zione -1'( -.1;). Ne segue che 1'(-:r) = - 1'(1;) per ogni .» E dorn j, cioe la funzio ne l' e disp ari , In modo ana logo si rag iona se f c dispari. D
180
6 Calcolo difTerenz iale
Per cornod it a dell'allievo , Ie derivate delle principali funzioni eleme nt ari sono raccolt e nella sottostante Iista,
(vo E ffi.) D sin x
= cos x
D cos x = - sinx 2
D t an x = 1 + tan x = D arcsin x =
-2X
1
Vf=X2 1
= - --=== 2
D arct an x
=
=
1
COS
~==
D arccos x
D a"
. -
J1 - x 1
--2
l+x
(log a) aX
in par ticolar e,
1
D log, Ix l = (Ioga ) x
in particolare,
1
D log lx l = -
x
6.3 Punti di non derivabilita Abbiamo gia osservato che la funzione f(x) = [z] e continua rna non derivabile nell'origine. D 'altra parte, essa e derivabile in ogni altro punto della retta reale, in quanta coincide con la semiretta y = x per :1; > 0 e con la semiretta y = - x p er x < O. Abbiamo quindi f'(x) = +1 p er x > 0 e 1'(.7:) = - 1 per x < O. Ricordando la definizione della funzione Segno (Esempio 2.1 iv)), possiamo scrivere sinteticamente che D Ixl
= sign(x) ,
p er ogni x =1= O.
L'originc e dunque un punto isolato di non derivabilita per la funzione y = Ixl. Tornando all 'espressione (6.2) del suo r apporto incr ementale nell 'origine, notiamo pero che esistono finiti i limiti da destra e da sinistra: . L\f I im ~=1,
X~o+
Cia suggerisce la seguente
.wX
. L\f hm =-1. L\x
x ~o-
6.3 Punti di non derivabilita
181
Definizione 6.13 Sia f una fun zion e definita in un intorn o destro di Xo E K Essa dicesi derivabile da destra in Xo se esiste fini to il limit e destro del
L1f rapporto incrementale tra Xo e x, per x tendente a Xo. Il numero Teale L1x ., ( ) j + Xo =
l'
Hfl
x-xci
f( x) - f( xo ) . x - Xo
=
li
l Hl
Llx -O+
f (xo + L1x ) - f( xo ) L1 x
dicesi derivata destra di f in Xo. La definizion e di derivata sin ist r a I': (x o) e analoga. Se la funzione f e definita solo in un intorno destro (sinistro) di Xo ed e derivabile da destra (sinistra) in x o, diremo piu sempliceme nte che la funzione e derivabile in Xo e scrivcr emo f'( xo) = f~(xo) (J'( xo) = f~( xo)) . Ri cordando la Proposizione 3.24 sui limiti, abbiamo innanzitutto il seguente criterio di derivabilita , Proprieta 6 .14 Una fun zion e f definita in un in torna di un punta Xo E lR c derivabile in Xo se e solo se e derioabile da destra e da sinis tra in .TO e le derivate destra e sinistra coincidono. In tal caso si ha
.f'(xo)
= f~(xo) = f~ (xo ) .
Se invece f e derivabile da dcstra e da sini stra in Xo rna le derivate destra e sinistra sono diver se (come accade alla funzione f( x) = Ixl nell 'origine) , diciamo chc Xo e un punto angoloso per f (si ved a la Fi gura 6.2). II tcrmine deriva dal fatto che, da un punto di vista geome t rico, la derivata destra di f in Xo rappresenta il coe fficiente angola re della retta tang ent e destra al grafi co di f in Po = (xo , f( xo)) , ossia della posizione limite delle rette secanti il grafico di f in Po e in punti P = (x , f( x)) con x > Xo via via piu vicino a xo. Se la tangen te des tra e la tangente sinistra (definita in modo a nalogo) non coincidono, esse formano un angola in Po.
Figura 6.2. Punti di non derivabilita: l'o rigine e un punta a ngoloso (a sinist ra}, un punto a tangen te verticale (al ce nt ro ), un punta d i cuspide (a destra)
182
6 Calcolo differ cn ziale
Altri casi ril evanti di non derivabilit a si hanno qu ando in Xo esistono (fini ti oppure infiniti) i limiti destro e sinistro del rapporto inc rem entale d i 1, che ind ichiamo ancora ri sp ettivamen te con i simb oli I~( :ro) e I~(xo) , rna uno almeno di essi e infinito. Precisamente , se uno solo t ra I~ (x o) e I~ (xo) e infinito, di ciamo ancora che Xo e un punto angoloso per 1. Se I~(xo) e I~ (x o ) sono entrambi infiniti e di segno concorde (e dunque il limi t e completo del rappor to inc reme ntale esiste e val e +00 oppure - 00), di ciamo che Xo e un punto a tangente verticale per 1. Tale e il caso della fun zione I( x) = ijX nell 'o rigine ; si ha infatti
I'nn -ijX = I'1m 3r<} 1 = +00. I ±, (0) = x--->o± x x--->o± V x 2 Se invece I~ (xo) e I~ (xo) sono ent rambi infiniti rna di segno dis cord e, dici amo che Xo e un punto di cuspide per 1 . Tal e e il caso d ella fun zionc 1(·1:) = nell'origine; si ha infatti
v1XT
I~(O) = x--->o± lim v1XT = lim v1XT = x--->o± lim 1 = ±oo. x x--->o± sign (x ) I:rl sign (.1:) v1XT Diamo infin e un utile criterio pe r stabilire la der ivabilit a di una funzione in un punto xo. La dimostrazione, che utilizza il Teo rema di de l'Hopital , verra presentata nel P aragrafo 6.11. Teorema 6.15 Sui 1 una fun zion e continua in Xo e derivabile in tutti i punti -I Xo di un iniorn o di xo. Be esiste finito il limite per x -+ Xo della [un zion e l' (x) , allora 1 e derivabile anche in Xo e si ha
x
.f'( xo) = lim .f'( x). X-tXo
Esempio 6.16 Consideri amo la funzione
a sin 2x - 4
I( x) = { b(x -l)+ ex
se x < 0,
sex2 0, e chied ia moci se esistono valori dei parametri real i a e b per i quali 1 risulti derivabile nell 'origin e. Imponiamo innanzitutto la continuita di 1 nell 'origine (ri cordiamo che un a fun zion e derivabile e necessariamente con tinua). Abbiamo lim I( x)
x--->o-
=
- 4,
lim I(x)
x--->o+
= 1(0) = - b + 1;
uguagliando i due valori , ot t eniamo b = 5. Con t al e val or e di b, po ssiamo all or a imporre che i limi ti destro e sinistro di I' (x) p er x -+ sia no uguali , in modo che illimi t e complet o di 1'(x) pe r x -+ esista finito , e p oi a pp licate il Tcorem a 6.15. Abbiamo
°
°
6.4 Punti di estremo e punti crit ici di una funzion e
lim j'( x)
x---+o-
=
= 2a, otteniamo a = 3.
lim 2a cos 2x
x ---+ o-
uguagliando i due valori ,
lim j'(x)
x---+ o+
=
lim (5 + e" )
x---+ o+
183
= 6; 0
Osservazione 6.17 Nell' ap plicaz ione del Te orema 6.15 non si dimentichi di verificare l'ipotesi di continu ita nel punta :l:o. Infatti la sola esis t enza del limi te della f' non bast a a garant ire la derivabilita di f in xo. Ad esem p io, f (x) = x + sign x e derivabile per ogni x =I=- 0 con f'( x) = 1. Pertanto lim f'( x) = 1 ma la fun zione, non essendo con t inua, n on
e derivabile in
x
=
x--->O
O.
0
6.4 Punti di estremo e punti critici di una funzione Definizione 6.18 Sia Xo E dorn f. Si dice cite xo e punto d i m a ssi m o relativo (0 lo cale ) per f se esis te un intorno Ir(xo) di Xo tale cite
f (x)
~
f(xo).
Il ualore f (xo) dicesi massimo relativo d i f . Si dice cite Xo e punto d i massimo assoluto (0 g lobale) per
Vx E dornf,
f( x)
~
f
se
f (xo).
Il ualore f (xo ) dicesi massimo assoluto d i f . In tutti i casi, il massirno si defini sce st retto se si Ita f( x) < f( xo) per x =I=- xo·
Le definizioni di punto di minimo relativo e assoluto si ot tengono dall e precede nti sost it uend o il simbolo ~ con 2:: nelle disu gu aglianze . Un punta d i minimo o di rnassimo verra indicato genericame nte come punto di estremo per f .
(I~ XQ
XQ
~I
,
Figura 6.3. Va ri ti pi d i punti d i m assimo di una funzion e
XQ
184
6 Calcolo differ enziale
Esempi 6.19 i) P er la parabola 1(.7:) = 1 + 2x - x 2 = 2 - (x - 1)2, il punta Xo = 1 e punto di massimo assoluto st ret to. II valore 2 e il massimo assoluto della fun zione. Si noti che la der ivata 1' (x) = 2(1 - x ) si annulla nel punto di mas sirno . Non vi sono punti di minimo (ne rela t ivi, ne assoluti).
ii) Pe r la funz ione g(x) = arcsinx (si veda la Fi gura 2.24 ), il punto Xo = 1 e punto di m assimo ass olut o stret to , ed il valoro massirno e l Invece, il punto X l = - 1 e punta di minimo ass olut o stretto , con valore m inimo - ~ . In quest a caso, i punti di estremo di 9 sono punti di non derrvabilit a della funzione. D Siamo int eressati ad individuare i punti di est remo d i un a fu nzione. A t al e scop o, se la funzione e derivabile, puo essere utile cere are i punti in cui la deriva t a si annulla. D efinizione 6.20 Di cesi punto critico (0 stazionario) di una fun zion e ogni punio Xo in cui f sui deri uolnle e si abbia l' (x o) = O. Un punto critico orizzontale.
e dunque un
f
punta in cu i la t angente al grafico della funzione
(,
,, ,, ,
, ,
Xo
Xl
Figura 6.4 . Vari ti pi d i punti cr it ici di una fu nzione
Teorema 6.21 (d i Fermat) Sia f definita in iuiio uri iniorno di uri punio XQ e deriuabile in XQ. Be Xo e punic di esirem o per i, allora
.f' (xo ) = 0, cioe Xo
e punta
criiico per f .
e
6.4 Punti di est remo e punti critici di una fun zione
185
Dimostrazione. Supponiamo, per fissar e le idee, che Xo sia un punto di massimo relati ve per f e sia IT(:ro) un suo intorno t alc che f (x ) ::::: f (xo ) per ogni x E IT(:ro). In tale intorn o si ha quincli Lif = f( x) - f(x o) ::::: o. . , Ll:r " = x - Xo > 0, I'1 rapporto incr . em en t a 1e --;:;Lif e, Sex> xo, cioe Ll X
::::: 0; pert an to , grazie al Corollario 4.3 del Teore ma di perrn an en za del segno, si ha ·
1l Ifk x --->xt
f (:r) - f (xo) < 0 X -
·'];0
-
.
Viceversa .. se x < xo., cioe Lix < 0, il rapporto increm en t al e
e 2: 0; pertanto,
·
1l Hl x ---> x ,-;-
f (x ) - f (xo) > 0 .1; -
·'];0
-
~f Ll X
.
Ricordando la Proprieta 6.14, si ha
.'( )-
.t Xo -
li
Hfl x --->xt
f (x ) - f (:ro) _ li -
X -
Xo
un
x --->x,-;-
f (x ) - f (xo ) X -
·'];0
,
dunque f' (xo) deve essere conte mpora neamente ::::: 0 e 2: 0 e pert an to deve essere null a. In modo analogo si ragiona quando .'];0 e punta di minimo re lat ive 0 per f . II Teorema di Fermat garantisce che, per un a funzione derivabile, i punti di estremo int erni al dominio vanno ricercati tra i punti crit ici della fun zione. Tuttavia, una fun zione puo avere punti crit ici che non sono punti di est remo (si veda la Figura 6.4) . Ad ese m pio, la fun zione f(x) = x 3 ha I'origin e com e punto cri tico (p erche j'(x) = 3:r;2 = 0 se e solo se x = 0), rna non ha punti di est remo essendo st ret t am ent e cres cente su t utt o ffi.. D 'aitro canto, una funz ione puo avere punti di estre mo che non sono punti critici (si ved a Ia Figura 6.3) ; cio accade qu ando un punto di estremo interno al dominio e punta di non derivabilita (come ad esempio Ia fun zione f( x) = [z], che ha ii suo minimo assolut o nell 'origin e) , oppure quando un punto di estremo non e interno al dominio (come visto nell'Esempio 6.19 ii)) . Dunque, per trovare tutti i punti di est rem o di una funzione, puo non essere suffieiente eereare i punti erit iei della fun zione. Riassumendo, i punti di est re mo di una funzione vanno rieereati t ra i punti del dominio di f eh e sono i)
0
punti crit ici;
ii)
0
punti d i non derivabilita ;
iii)
0
est rem i (in ffi.) del dominio.
186
6 Ca lcolo differenziale
6.5 I Teoremi di Rolle e Lagrange I Teoremi di Rolle e di Lagrange , ch e ora present iamo, so no di fondamental e importanza nello stud io delle funzioni derivabili su un in t ervallo.
Teorema 6.22 (di Rolle) Sia f una funzion e definita su uri intervallo chiuso e limitato [a, b], continua su [a , b] e derivabile (alme no) su (a, b). Be f(a) = f(b) , allora esiste Xo E (a, b) tale che
f'(Xo)
=
0,
cioe esiste almena uri punto critico di f in (a,b).
f( a) = f(b)
{]~ ---,, ,, ,
, ,
,,
a
, , , , , , , , ,
---- - -
XQ
, , , , , , , , , b
Figura 6.5. II Teorema di Rolle
Dimostra ziono. 11 Teorcma di Weierstra ss ass icura che l'irnmagin e f ([a , b]) di f e un int ervallo chiuso e limitate [rn, !II], essc ndo m c 111 rispett ivame nte il minimo e il massirno della fun ziou e sull' interva llo: rn
= min f (:r ) = f (x m ) , " E[a,b]
111 = max f (x ) = f (XfIl ), " E[a,bl
per op port un i x m , :l;fIl E [a, b]. Sc tti = !II, a llora f c costantc su [a , b]' dunque in particolare f' (:1:) = 0 p er ogni x E (a, b) e la t csi e dimostrata . Sia inve cc m < PoicltC m ~ f (a) = f (b) ~ !II , un a alrn en o t ra lc discqua zioni st rette f(a) = f (b) < 111 oppure m < f (a ) = f (b) do vr a cssc re soddisfatta. Sc f( (1) = f (b) < 111, il punta di m assim o as solu t o .TAl non pUG coinc idere ne con a ne con b; pertanto , .Till E (a, b). Abbia rno dunquc trovato un punta eli cstre mo p er la fun zion e [, interno al
u.
6.5 I Teoremi d i Roll e e Lagr ange
187
elominio c in cui f e dcri vabilc, 11 Teorerna eli Fermat ga ra nt isce allora chc z Ai e il punto critico :z;o cerc ato. Se m < f (a) = f (b), si dimostra con un ragion amento analogo D cite :f", e il punta cr it ico Xo cerca to. 11 t eorema assicura l'esistenza eli almeno un punto crit ico eli mostra la Figura 6.5 , i punti crit ici possono essere pili eli uno.
f
in (a, b). Come
Teorema 6 .23 (d i Lagrange 0 del valor m edio) Sia f una fun zion e definita su un intervallo chiuso e limitato [a, b]' continua su [a , b] e derivabile {alm eno) su (a , b). Allora, esiste Xo E (a , b) tale che
f(b ) - f(a) = b- a
r: .)
(6.9)
Xo .
Ogni punio Xo che soddisfi talc relazionc dicesi punto d i Lagrange per f in (a, b) .
f (b)
,,
, " ;,, ---------:;y----------, ,
( ; I
/
/ '
" " :
I I I
"
f (a) __ _____ 1/: a
XQ
"
"
.,
'
, I
: I
, , :
,
:
b
Figura 6 .6 . Punta d i La grange p er f in (a, b)
Dimost razion e. Cons ide riamo la fun zione a usi liaria dcfinita su [a, b]
g(;z;) = f (:l: ) -
f (b) - f(a ) (.1; - a). b -a
Essa e cont inua su [a, b] e eleri vabi le su (a, b), pcrch e elifferen za elella funzion c i, chc ha p er ipo t esi t ali propriet a , c eli un a funz ione affine, che e cont inua c eler ivabilc su t utto R Not iarno chc si ha
g' (x ) = f' (x ) _ f (b~ - f (a). - a
188
6 Calcolo d ifferenziale
Si vcrifica facilmente che
g(a) = f (a),
g(b) = f (a).
Pert anto, t ut te le ipotesi del Tcorem a di Rolle sono soddisfat te dalla fun zione g. Ne segue che esiste un punta Xo E (a, b) t ale che
' ( . ) -1" (,. ) f (b)b - f(a ) -- 0, :£ 0 - a
g .T O -
che
e pr ecisarnente la (6.9) .
D
II significato geometrico del Teorema di Lagrange e illu st rato dalla Figura 6.6. In ogni punta di Lagrange, la retta tange nte al grafico di f e parallela alla ret t a secante il grafico nei punt i di asc issa a e b. Esempio 6.24 Sia f (x) = 1 +x + VI - x 2 , definit a neIl'intervallo [-1 ,1]. Essa e cont inua su t ale intervaIlo, in quanto ottenuta componendo funz ioni elernentari cont inue . Inoltre, essa e derivabile neIl'int ervallo ape rto (-1 ,1) (rna non nei punti est re mi): si ha infat ti
f' (x) =I - ~2 .
1- x Dunqu e, le ip ot esi del Teor em a di Lagr ange sono soddisfat t e da i , che quindi am met te alme no un punta di Lagrange in (-1 ,1) . La (6.9) diven t a
1 = f(1) - f( -I) = f' (x o) = 1 -
che
e soddis fatta da Xo =
1 -( -1 ) O.
Xo , J1- x 6 D
6 .6 Prima e seconda formula dell'incremento finito Stabiliamo ora du e utili for mul e per rappresent are l'increm ento di una fun zione tra due punti del suo dominio. In iziamo supponendo che f sia una funz ione der ivabile in un punto xo. P er definizione, si ha lim f( x) - f( xo) = j' (xo) , x->x o
X - Xo
vale a dire lim (f( X) - f (x o) _ f'( x X -> X o
X - Xo
o))
=
lim f( x) - f( xo) - f'( xo)( x - x o) X -> XO
X - Xo
ossia, con la simbologia di Landau int rodot t a nel P aragr afo 5.1,
f( x) - f( xo) - j'(xo)(x - x o) = o(x - x o),
x
-+
Xo.
= 0,
6.6 Prim a e seconda formula dell'inc remento finito
f (.7;O+ L1.x ) L1.f f (x o)
/
-------------------: --- --------------
----/ y =
:
-1
y
=
189
f( x)
~ (.d x )
-
: f'( xo)L1.x I
- - - - - -r - - - -
t(x )
L1x
: I
:
I
I I
I I
I
I
I
xo
xo
+ L1. x
Figura 6 .7. La prima formul a dell'increm ento finito
Tale relazione puo essere scritta in forma equivalente come
f( x ) - f (xo) = f' (xo)(x - xu) + o(x - xu),
x
-->
xu,
(6.10)
ovvero , ponendo .:1x = .7.: - Xo e .:1f = f( x) - f( xo) ,
l .:1 f = .t'( xo).:1x + o(.:1x) ,
.:1x
-->
o.
(6.11)
Le (6.10)-(6.11) sono espressioni equivalenti dell a prima formula dell'incremento finito il cu i significato geometrico e illustrato nella Fi gura 6.7. Essa dice che , se f '(xu) #- 0, l'incremento .:1f dell a variabile dipendente, corr ispo ndente ad un incremento .:1x della variabile indipe ndente , e proporzionale a .:1x stesso, a meno di un infinitesimo trascurabile risp etto a .:1x . In pratica, cio significa che, per .:1x abbastanza pic colo, siamo aut orizzati a confondere .:1f con f '( xo).:1x . Consideria mo ora una fun zion e f continua su un int ervallo I di ffi. e deri vabile nei suoi punti int erni . Fi ssiamo du e punti X l < X2 in I e osserviamo che f e cont inua su [Xl, X2 ] e derivabile su (Xl , X2 ). Pertanto, le ip ot esi del Teorem a di Lagrange sono sodd isfat te dalla funzione f ristretta all'int ervallo [Xl , X2]. Dunque esiste X E (Xl , X2 ) t ale che
f( X2) - f( xd = f'( x) , X2 - X l ovvero esiste X
E
(Xl , X2) t ale che (6.12)
190
6 Calcolo d ifferen ziale
Tale formu la viene ch iamata secon da for mula dell'incremento finito. Si noti che il punt a x dipende dai punti Xl e X2 m a , in gen erale, tale dipendenza non e esp licita. L'importanza della formula viene d al fatto ch e essa permette di ottenere delle informazioni sull 'incremento J( X2) - J( xd d al com p ort a me nt o della funzione f' nell 'int ervallo [Xl , X2]. La seconda formula dell'incr em ento finito puo essere us ata per descrivere il comportamento di una fun zione nell'intorno di un punto Xo in modo piu preciso rispetto a quanta fat to d alla prima formula d ell ' incremento finito . Supponiamo che J sia una funzione continua in Xo e derivabile in tutto un intorno di Xo t ranne eventualmente in Xo . Detto X un punta di tale intorno e applicando la (6.12) nell 'intervallo di est rem i Xo e X otteni amo la relazione
IL1J = J' (x )L1x , I
(6.13)
con x compreso tra Xo ex. Tale espressione della seconda formula dell'incremento finito rappresenta l'incr emento della variabile dipendente L1J come se fosse proporzionale all 'in cr em ento della variabile indipendente L1x ; in realt a , il co efficiente di proporzionalita, che e il valore de lla derivata prima in un punta vicino a Xo e in generale non noto, dipende ess o stesso da L1x (e da xo). Un 'al tra a pp licaz ione della seconda formu la d ell'incremento finito , che tornera utile nel seg uito, e la seguente.
Proprieta 6 .25 Una Jun zione definita e deri uabile su un inieruallo I della retia Teale e costan te su I se e solo se la sua deri uaia e ivi id enticam ente nu lla . Dirnostrazion e. Indichiarno con
f la fun zionc, Supponiamo dapprima chc J sia . ;)':0
cost ante; per ogm
E
I , I·1 rapporto incrementa . Ic "---'''---'--''----''----'-J(x) - f( xo) :y - :yo
con x E I , X i=- xo , e nu llo e dunque, per dcfinizionc eli derr vata, J' (:r;o ) = O. Vicevcrsa, supp oniamo chc J abbia dcrivata nulla su I c facciamo vcd erc che f e costante su I . Osserviarno che cia equivale al fatto che Siano dunquc Xl, ;)':2 E I ; applichiamo la seconda formu la dcll'incremento finito (6.12) alia funzione dcrivabile f . Allora, per un opportune x compreso tra X l c :Y2, si ha
Concludiamo che
fled =
f( :Y2 ).
o
6.7 Intervalli d i rnonotonia di un a funz ione
191
6.7 Intervalli di monotonia di una funzione Come prima rileva nte a p p licazione dei ri sult ati a pp ena stab ilit i, affront iam o 10 studio della monotonia di una funzione.
Teorema 6 .26 Sia I un in te rv allo ed f una [uiizion e deri vabil e su I . Valgono le seque n ti im plicazioni: a) Se
f
e cresce n te su
I , allora f' (x) 2': 0 per ogni x E I .
bl } Se f' (x ) 2': 0 per ogni x E I , allora f b2) se f' (x )
>0
per ogni x E I , allora f
e cresce n te su I ; e strett arnen te cresce n te
si: I .
Dimostrazione . Dirnostriamo a). Sia f crescente su I . Co ns ide ria mo dapprima un punto Xo interno ad I . Pe r ogni x E I tale che x < ;ro, si ha
f( :1:) - f (x o) ::; 0
~f
Per t an t o, il rap port o incremcntale canto, per ogni ;r E I talc chc
x - Xo <
e
;1:
f(x) - f (·1:0) 2': 0
>
Ll T
tra
;DO; 's i
ha
e
x-
;r o
e
2': O. Riassu mc ndo ,1f = f (x ) - f (;);o) > ,1;); x - ;1:0 -
;1:
;1:0>
Anche in qu esto caso il rapporto increm entale
o.
e 2': O.
D 'alt ro
O.
,1f tra ,1:1;
;1:0
e x
e
o. ,
applicando il Co rolla rio 4.3 del Teore ma della p crmanen za del seg no a l limi t e
,1f =. f" ( Xo ) · ---;;1rm
X ---7 X
o Ll X
otten iamo f'(.1:0) 2': o. Neg li eve nt uali punt i di estremo di I , arriviamo allo stosso ris u ltat o limitandoci a cons iderare il limi t e dest ro opp ure siuistro del r apporto incr em cnt al e, che risult a csse rc sem pre 2': O. Dimostria mo ora le irnpli cazion i b). Sia f t alc chc f' (;);) 2': 0 pCI' ogni ;r; E I. F issia mo due punt i Xl < X2 in I e dimostria mo clio f (x t} ::; f (·1:2)' A tale scopo applichiamo la seconda formula dell' incrcmcnto fini t o (6.1 2) e osservia mo chc f' (j;) 2': 0 p er ipotosi , me ntre X2 - Xl > O. Dunque concl udia mo che abbia mo quind i stabi lito la b1). Se invece f e talc che f' (x ) > 0 per ogni z E I , a llora la (6. 12) implica f(X2) - f (.1: t} > 0 e dunque anche la b2) e ver ificata. D
192
6 Calcolo differ en ziale
b" " : ~ ~
7/ //' ./ ~
f( xI)
"
/
" "
"
'"
/
'" "
I
:
,," I
1
I
, ,, , ,
,
I
Xl
Figura 6.8. Dimostra zione delle implica zioni b) rela ti ve a l Teorem a 6.26
II t eorem a app ena dimostrato affer ma dunque che se su I si ha l' equivalen za logica
1 j' (x ) :::,: O, 'VxE I
1 e una funzi one deriv abile
1 e cres cente su
I
I
e l'implicazione
j' (x) > 0,
'Ix
E
I
===:}-
1 e strettame nte
crescente su I .
Osserviamo che non e possibile rovesciare l'ultima implicazione, cioe dedurre dal fatto che 1 sia strett ame nte crescente su I il fatto che I' (x) > 0 p er ogni x E I . Come gia osservato, la funzione l( x) = x 3 e st ret t amen t e cr escente su JR, rna la sua der ivata si annulla nell'origine. Un enunciat o analogo al teorema preced ente val e sost it ue ndo 'crescente ' con 'dec rescente' e i simboli :::,: , > rispettivamente con:S, <.
1 derivabile sull'i ntervallo I . Sia Xo un punta critica di 1 interne ad I . Se 1'(x) e:: ': 0 a sui istra di Xo e :S 0 a desira di xo, allora Xo e punta di massima per 1; viceversa, se 1' (x) e :S 0 a sinistra di Xo e :::': 0 a desira di xo, allora Xo e punta di minima per 1.
Corollario 6.27 Sia
II Teor ema 6.26 e il Corollario 6.27 p ermettono di ri condurre la ricerca dei punti di est remo di 1 e dei suoi intervalli di monotonia alla ric er ca degli zeri di I' e allo studio del suo segno. E sempio 6.28
Consid eri amo la fun zione 1 : JR ---* JR, l( x) = x e2 x • Si ha f'( x) = (2x + 1)e2 X , dunque Xo = - ~ e l'unico punto critico d i 1. Poiche l' (x) > 0 se e solo se x > -~ , deduciamo che Xo e punto di minimo assolut o p er 1; la fun zione e strettamente de crescen t e sull' intervallo (-00, - ~ ] ed e strettamente crescen t e sull'intervallo [- ~ , + 00). 0
6.8 Derivate di ordine superiore
193
6.8 Derivate di ordine superiore Sia I una funzion e derivabile in un intorno di xo. Sia dunque definita in un intorno di xo . Definizione 6.29 S e volte in Xo e si pone
1" c deri oabil e in Xo,
1/ la
si dice che
funzione derivata di
I,
I e derivabile d u e
.t" (xo) = (I /)/(xo) ,
che chiarniarno derivata seconda di f in Xo. La funzione derivata seconda di I , indicata con I", asso ci a a x il ualore f" (.1:) , ove questo sia definito.
Altre notazioni sono comunemente usate per indicare la derivata seconda di
f in
Xo, quali ad esempio y"(xo) ,
La derivata terza di derivata seconda ; ossia,
f in Xo e, se esiste , la derivata prima in Xo della funzione
.t"/ (xo) = (I")/ (xo) .
In generale, p er k ~ 1, la derivata di ordine k (0 derivata k-esima) di f in Xo e, se esiste, la derivata prima della funzione derivata (k - l)-esima di f in xo:
Altri simboli usati sono
E conveniente
porre p er definizione
f (O) (xo)
= f (xo).
Esempi 6.30 Calcoliamo le derivate successive di alcune funzioni eleme nt ari. i) Fissato n E N, consideriamo la funzione f( x) = z " . Si ha
I/( x) = nx n -
1
=
I
n. xn (n - I)!
I"( x) = n(n - 1)x n -
2
=
1
n! (n - 2)!
xn -
I (n)(x) = n(n -1)·· ·2 · l x n- n = n! .
2
194
6 Ca lcolo dif fer en zia le
In forma compa tta, possiamo scrivere che, per 0 :::; k :::; n , j (kl ( X )
=
n! .n- k (n _ k)! x .
Si ha po i j(n+ll(x) = 0 per ogni x E IR (perche la eleri va t a della fun zion e costa nt e j (nl( x) e O} , e eli conse gue nza tutte le derivate j(kl eli oreline k > n esist ono e sono identicamente nu lle. ii) Consieleriamo la fun zione j( x) = sinx. Abbiamo j'( x) = cos z, j"( x) = - sin x , f'''( x) = -cos x e j (4 l(x) = sin x . Le elerivate suc cessive di j ripetono cic1icamente tale sequen za eli funzioni trigonometriche. Un ri sultato analogo vale per la funzione y = cos x . iii) Sia infine j(x) = e" . Sappiamo che f'( x) = eX e pertanto j(kl(x) = e" pe r ogni k ~ O. Si ha quindi la rimarchevole proprieta che le elerivate eli ogni or eline della funzione es ponenz iale eX coincidono con la funzione stessa. 0 Chiueliamo il paragrafo con alcune ut ili definizioni, D efinizione 6.31 Un a [unzione j dicesi eli classe Ck (con k ~ 0) su. uri in tervallo I se ess a e derivabile k volte in ogni punto di l e se la sua junzione derivata di ordine k , j (kl , e contin ua su I. L 'in si em e dellejunzioni di class e Ck S71 I vie ne indicato con c- (1). Una jun zion e j dicesi di classe Coo su I se ess a e deri vabile uri tuunero arbitra rio di volte in ogni punto di I . L 'ins ierne delle junzioni di class e Coo sti I viene indicato con Coo (1). In virtu elella Proposizione 6.3, se j E Ck (1) , tutte le sue elerivate eli oreline min ore 0 uguale a k sono continue su I . Osserviamo inoltre che tutte le funzioni elementari sono elerivabil i un numero arbitrario eli volte (cioe sono eli classe COO) in t utti i punti intcrni al loro elominio.
6.9 Convessit.a e flessi Sia j un a fu nzione elerivabile in un p unto Xo elel suo elominio. Come gia fatto preceelentemente , inelichiamo con y = t( x) = j(xo) + f'( xo)(x - x o) l'equ azione della retta t angente al grafico eli j in xo. D efinizione 6.32 Di ciamo che j c convessa in Xo (0 che ha la concavita rivolta verso l'alto) se esis te uri uitorno Ir( xo) ~ domf tale che j (x ) ~ t (x ). Diciarno che j
e strettamente
convessa se si ha j (x) > t (x ) per x
i- x o.
6.9 Convessit a e flessi
/
195
y = t (x)
:r:o
xQ
Figura 6.9. Funzione st re t tame nte convessa in concava in X Q (a destra)
Xo
(a sinist ra) e fun zion e st ret tamente
Le definizioni di funzione concava (0 avent e conoavita rivolta verso il basso) e strettamente concava si otten gono dalle pr ecedenti sostituendo i simboli 2 e > rispet tivamente con ::; e <.
Geometricamente, una funzione e convessa (rispet tivamente , concava ) in un punto se , nell 'intorno del punto, il suo grafico si t rova al di sop ra (risp et tivamente , al di sotto) della retta tangente (si ved a la Figura 6.9) . Esempio 6.33 Verifichiamo che la funzione f( x) = x 2 e strettamente convessa in Xo retta t angente al suo grafico in tale punto ha equazion e
1. La
t( x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - l. La condizion e f (x) > t( x ) equivale dunque a x 2 > 2x - 1, vale a dire x 2 - 2x + 1 = (x - 1)2 > 0; t ale cond izione e soddisfatta da ogni x i=- 1. D
D e finizi o n e 6.34 Sia I un interva llo e f una funzio ne derivabile su I . La funzione f dicesi convessa su I se e con ves sa in ogni [Junto di I . Nello st ud io delle proprieta di convessita di una fun zione, i punti di Besso , che or a introduciamo, rivestono un ruolo analogo a qu ello dei punti di est remo nella studio della monotonia , Definizione 6 .35 Il [Junto Xo dicesi punto di ftesso di f se esiste un iniorno I r( xo ) ~ dorn f in cui e soddisf att a una delle seguen ti condizioni: se x {
< Xo, f( x ) ::; t(.r ),
se x> Xo,
f(x) 2 t( x) ,
196
6 Calcolo differen ziale
Y = f( x) XQ
Figura 6.10. F lesso ascende nte in
(a sinistra) e flesso discenden t e in
XQ
XQ
(a d estra)
(ne l qual caso il fi esso si dira ascendente) ; oppure
{
se x < x o,
f (x) ::::: t( x ),
se x > x o,
f (x ) ::; t (x ),
(ne l qual caso il fi esso si dir « discendente) .
Geometricarnente, in un punto di flesso il grafico di tangente (si ved a la F igura 6.10) .
f 'attraver sa' la retta
Enunciamo ora alcuni risultati , che ci permettono di st udiare la convessita di una funzione e di determinare i suoi punti di flesso. Teorema 6.36 Sui I un intervallo ed f una funzion e derivabile su f . Valgono Ie seguenti irnplicazioni:
e convessa su l , allora ]' e crescent e su f . Be .f' e crescente su t, allora f e conv essa su t, se]' e sireiiamenie crescenie S11 I , allora f e strettarn ente cotiuessa su f .
a) Be f bi) b2)
Dirnostrazione.
~
Funzioni convesse .
Corollario 6 .37 Sia irnplicazioni: a) Be f
f
e cotiuessa su l ,
D
derivabile due volt e su f . Valgono le sequenii allora f"( X) ::::: 0 per ogni x E f .
e cotiuessa su L; se I" (x ) > 0 per ogni .1: E I , allora f e stretiame nie cotiuessa
bl ) Be .f"(x) ::::: 0 per ogni x E L, allora f b2)
su f.
6.9 Convessit a e flessi
Dirnostrazione.
197
L'enunc iato segue dal teo rerna pre cedente, applica ndo alia fun zione l' il Tcore ma 6.26. D
Tal e risul t ato si puo enunciar e nella seguente forma. Se derivabile due volte su J si h a I'equivalenza logica
j"( x) 2 0 ,
f
Vx E I
e convessa
f
su I
e un a
funz ion e
I
e l'irnplicazione
j"(x) > 0,
Vx E I
==::}
f
e st ret t amente convessa su I .
An che in qu esto caso, come per la caratte rizzazione della monotonia di un a funzione, l'ultima implicazione non pu o essere rovesciata. Ad esempio, f( x) = x 4 e st ret tarnent e convessa su JR., rna la de rivata seconda si a nnulla nell'origine. An aloghi enunciati , con le ovvi e modifiche, valgono p er le funzioni concave. Corollario 6.38 Sia f derivabile due volt e in un intorno di xo. Valgono le seguenti implicazion i:
a) Se Xo
e pun to di fl esso
di [ , allora 1" (xo) =
o.
b) Sia I" (xo) = O. Se f" e di segno diverso a destra e a sinistra di xo, allora Xo e punto di fl esso per f (precisament e, il fl esso e ascendent e se 1"(x ) :S 0 a sinistra di Xo e 1"(x) 2 0 a destra di xo, discendent e n ella situazione opposta) . S e invece f" non cam bia segno a destra e a sinistra di xo, allora tale punto non e di fl esso per f . La dimostrazione, che si appoggia sull 'uso della formula di Taylor , verra data nel successivo P aragrafo 7.4. Si pr esti at te nz ione al fatto che la condizione f"( xo) = 0 da sola non e sufficiente a garantire che :.co sia un punto di fiesso per f. Se ad esempio consideriamo la funzione f( x) = x 4 , la sua derivata seconda f"( x) = 12x 2 si annulla in Xo = O. Tuttavi a, l'origine non e punto di fiesso per f : la t angente al grafico di f in Xo e l'asse delle as cisse y = 0, ed il grafico di f si trova sempre al di sopra di t ale retta . Si noti che f" non cam bia segno in xo. Esempio 6.28 (s eguito) Per la funzione f (x) = x e2 x si ha 1"(x) = 4( x + 1 )e2x , che si annulla in X l = -1. Poiche f" (x) > 0 se e solo se x > -1 , la fun zione f risulta strettamente concava nell'intervallo (-<Xl, -1) e strettarnente convessa nell 'intervallo (-1 , +oo). II punto X l = -1 e punto di fiesso ascendente. II grafico dell a funzione f (x) C riprodotto in Figura 6.11. D
198
6 C alcolo differenzial e
Xl
Xo
F igura 6 .11. G rafico della fu nz ione f dell 'Esempio 6.28
6.9.1 Estensione del concetto di convessita Una definizione di fun zione eonvessa su un intervallo, pili generale di quella da noi pr esentata nel P aragrafo 6.9, puo essere dat a sulla base di eonsidera zioni di natura geometrica. Ricordiamo cho un sot t oinsiem e C del piano e detto convesso se per ogni eoppia di punti P, e Pz appartene nt i a C , il segmento PIPZ d i est re m i PI e P z e eonten ut o in C . Data una funzion e f : I <:: JR - t JR, ehiamiamo epigrafico di f l'insiem e E] = {(x ,y) E JRz : x E I, y 2 f( x)}
dei punti del piano ehe st anno al di sopra del gr afieo di a sinistra). Diamo allor a la seguen te definizione.
f (si veda la Figura 6.12,
D efi n izione 6.39 La fun zione f : I <:: JR - t JR dicesi convessa su I se il suo epigm fico E f e un sottoinsi erne convesso del pi ano .
E facile eonvineersi ehe nella verifie a della eondizione di convessit.a di E f , e suffieient e limita rsi ai punti PI e Pz apparten enti a l grafieo di f . Cia signifiea ehe presi eomunque due punti :1:1 e Xz in I , il segmento 8 l Z di est rem i (Xl , f (x d) e (x z, f (xz)) deve stare al di sopra de l grafieo di f. Osservando ehe ogni :1: eompreso tra X l e Xz puo essere rappresen t ato nell a forma X - Xl X = (1 - t) XI + txz con t = E [0,1] , Xz -
la conv essita di
f
Xl
su I puo essere espressa dall a eond izione
Se tale disuguag lianza e stretta quando X l i- Xz e t E e s t rettamen te convessa s u I .
(0,1) , diremo ehe la fun zione
6.10 Studio di fun zioni
199
y
y
y
= J(x)
a
Figura 6.12. Epigrafico d i una generica fun zione J definita funzione y
x
x
= Ixl (a
SIl
I (a sinistra ) e della
destra)
Si puo dimostrare che, per le funz ioni deriuabili su I , 1a con vessit.a secondo 1a Defini zione 6.39 equiva1e a quella secondo la Definizion e 6.32. D 'a1tro ca nt o, una funzione puo essere convessa secondo 1a Definizion e 6.39 senza essere derivabi1e su I , corne mostra ad esem pio 1a funzione f(x ) = [z] su I = lR. (si ved a 1a Figura 6.12 , a destra) . Notiamo tuttavia che 1a condizione di convessita implica la con tinuit a della fun zione in tutti i punti interni dell'int ervallo I , mentre e compat ibile con l'even tua1e discon tinuita neg1i est rem i dell 'intervallo .
6.10 Studio di funzioni Abbiamo sin qui presentato un certo numero di st ru me nt i analit ici che, opportuna mente comb inati, p ermettono di st ud iare in modo pili 0 meno approfondito i1 comportamento di un a fun zione f nel suo dominio e di tracciarne un gr afico qu a1itativo . Descriviamo nel seguito alcuni passi in cui puo essere art ico1ato 10 st ud io. Dominio ed eventuali simmetrie
II dominio di una funzione sara in gen ere determinabile a partire dai domini delle funzioni e1em entari che conc or ro no a definir1a tene ndo conto delle op erazioni a1gebriche e di prodotto di composizione che intervengono. Per semplifica re 10 st ud io succ ess ivo e conveniente individuare immedi atamente Ie event ua1i sim me t rie e periodicita della fun zion e (Paragrafo 2.6). Ad esempio, se un a funzione e pari 0 di sp ari sara sufficient e studiarla solo per valori po sitivi dell 'argomen to e da t ali risultati d edurne l'andamento globa1e. Segn aliamo che una funzione puo presentare a1t ri t ipi di simme t ria , quali ad esem p io 1a simmetria rispetto ad una retta vertica1e diversa dall 'asse delle ordina te. II grafico della funzione f( x) = e - 1x- 21 e sim met rico rispetto alla retta x = 2 (si ved a la Figura 6.13). Analogamente, i1 cornport amento globale di un a funzione periodica sa ra ottenuto a partire dallo studio su un in tervallo di ampiezza pari al pe riodo.
200
6 Calcolo dilTeren ziale
2
Fi gura 6. 13. G ra fico della fu nzione f (x ) = e- 1x - 21 Comportamento limite agli estremi del dominio Supponendo che il dominio sia un 'unione di intervalli (come sovente avviene) si studieranno i limi ti uni lateri in ognuno degli estremi degli int ervalli . Una volta det erminati i lim it i potra essere st udiat a I'eventua le esiste nza di asintoti come illustrato nel Paragrafo 5.3. Ad esempio, per deterrninar e il dorninio di
f (x ) = log (2 - x ) , J x 2 - 2x osserv ia mo che la funzi one log(2 - x) e definita per 2 - x > 0, cioe x < 2; che la fun zione J x 2 - 2x e definit a per x 2 - 2x ::::: 0, cioe x ::; 0 oppur e x ::::: 2; che essendo tale fun zione a denominator e, dovr a essere x i= 0,2. P ertant o, si ha dom f = (- 00, 0). In oltre, lim f (x ) = + 00 , dunque la ret t a x = 0 e as intoto f (x~ ) 0 - I' log (2 - x ) . I . . I' vert ica e sinistro e im x = im Ix I = 0 , d unque Ia retta y = 0 e' x --~ x - -~ asintoto or izzontale sinist ro. Intervalli di monotonia ed estremi II primo passo consiste nel det erminar e la deri vat a prima f' e individuarne il dominio dom I' . Si osser vi che dovr a essere sem pre dom I' S;;; dom f , anche se I'espressione analit ica della derivata puo essere defini t a su un insiem e pili arnpio. Ad esernpio, se f(x) = log x , si ha f ' (X) = ~ e dornf = dorn j" = (0, +00 ) anche se la funzione g(x) = ~ e definita per ogni x i= o. Su ccessivamente si deterrninano gli event ua li zer i e il segno di I'. Cia perrnette di trovare gli intervalli di rnonotonia di f e d i dis cutere la natura dei punti critici (gli zeri di f') , a lia luce di quanto vist o nel P aragr afo 6.7. Segn aliarno una sit uazione che richied e una a t tenta analisi, senz a la qu ale si pu o pervenire a conclusioni errate . Supponiarno che una fun zion e f sia derivabile nell'unione (a, b) U (b, c) di du e intervalli contigu i, in cui si abbia I' > O. Se f non e deri vabile in b, allor a n on e cor ret to dedurre che f e crescent e sull'unione (a, b) U (b, c). Ad esernpio la fun zione f (x ) = -~ so ddisfa I' (x ) = xl, > 0 in (- 00, 0) U (0, +00) , rna la funzione no n e crescente su t a le insierne (ad esernpio si ha che f ( - 1) > f (1)); possiarno solo affer mare che f e cres cente su (- 00, 0) e su (0, +00) .
6.10 Stud io di fu nzion i
201
Ricordiamo che i punti di est remo di un a funzione non vanno ricercati soltanto t ra i suoi punti crit ici. Ad esem pio, la funzione f( x)
V
=
1 : x 2 ' definita per
x 2: 0, ha come punto crit ico x = 1 che e punto di massimo assoluto, e come ulteriore punta di est remo il punta di non derivab ilit a x = 0, che e di minimo assoluto. Intervalli di convessita e ftessi
La det erminazion e degli intervalli di convess ita 0 conca vita e degli event uali punti di flesso segue le lin ee guida tracciate precedentemente, considerando ora la derivata seconda di f e a pplicando i risultati del P ar agr afo 6.9 . Segno della funzione
0
delle sue derivate
Ne l tracciare il grafico qu alitativo di f puo essere ut ile (rna non indispens abile) determinare il segno della fun zion e nel suo dominio e i suoi eventuali zeri (che rappresentano le as cisse dei punti di intersezione del grafic o con Passe ori zzontale) . Non sempre p ero l'equazione f( x) = 0 puo essere risolt a analit ica me nt e. In tali cas i, si puo event ualme nte fare ricorso al Teor em a 4.23 di esistenza degli zeri , al fine di dedurre che in un certo intervallo esiste necessariament e uno e un solo zero di f . Analo ghe consielerazion i si possono applicare a llo st udio del segno della deri vata prima 0 della de rivata seconda . Si cons ider i, ad esempio, la fun zione f (x) = x logx - 1, definita p er x> O. Si ha f( x) < 0 per x ::; 1. P er x 2: 1, la fun zion e e stret tamente cresce nte (infatti f'( x ) = log x + 1 > 0 per x> l /e) ; inoltre f(l) = -1 < 0 mentre f( e) = e -1 > O. Dunque la fun zione ha esattame nte una zero, apparte nente a ll' intervallo (1, e) ed e negativa a sinistra e po sitiva a dest ra di tale punto. 6.10.1 Le funzioni iperboliche A t itolo eli esem pio, studiarno una famiglia di funzioni , dette iperboliche, che int erven gon o in varie applicazioni. Definiamo dapprima le fun zioni f( x ) = sinh x e g(x) = cosh z, dove
e
cosh x
=
eX + e-
2
x
'
I
dette rispe ttivament e fun zion e seno iperbolico e fun zion e coseno iperbolico. II nome deriva dal fatto che vale la relazione fondament ale cosh''
X -
sinh 2 x = 1 ,
\:Ix E JR ,
e dunque il punto P di coordina te (X, Y) = (cosh x, sinhx ) per corre, al var iare eli z , il ramo destro dell'iperbole equila te ra eli equazion e X 2 - y 2 = 1.
202
6 Calcolo differenziale
Osserviamo innanzitutto che domf = domg = JR; inol tre f( .1:) = - f (- x ) c g(x) = g( - .1:) , ossia il seno iperbolico e una funzione disp ari mentre il coseno iperbolico e una funzione pari. P er qu anto riguard a il com portament o limite, si ha lim cosh x = +00.
lim sinh z = ±oo ,
x----:,. ±oo
X--+ ±CXJ
P ertanto le fun zioni non hanno as intoti verticali 0 orizzontali. Non esist ono neppure asint ot i obliqui in qu anto, per x ----+ 00, le funzioni si comportano come degli espone nziali; precisament e si ha 1 sinh x "-' ±_e 1xl .
2
cosh z
'
r-;»
1 _e 1xl , 2
x
----+
±oo .
E immediato verificare che sinh x = 0 se e solo se x = 0 e sinh x > 0 pe r z > 0; invece, cosh x > 0, per ogni x E R Lo st ud io della monotonia delle Iunzioni segue facilmente dal fa t t o che D sinh x = cosh x
e
D cosh x = sinh x ,
\:Ix E JR .
Dunque il seno iperbolico e stret t amente cr escente su tutto R Il coseno iperbolico e strettamente crescente su [0, + 00) c st re t t ame nte decrescente su ( - 00, 0]; il punto x = 0 e punta di minimo assoluto con cosh 0 = 1 (e quindi cosh x :2': 1 su JR). Derivando ulteriorrncnte si ha D 2 sinh x
= sinh x
e
D 2 cosh x
= cosh x ,
\:Ix E JR.
P er t anto la fun zione seno ipe rbolico e strettamente convessa su (0 , + 00) e strett amente concava su (- 00,0) e l'origine e punta eli flesso asce ndente. Invece la funzione coseno ip erbolico e stret tamente convess a su tutto R I gr afici delle funzioni iperboliche sono mostrati nella Figura 6.14.
1
Figura 6.14. Grafici delle funzioni seno iperbolico (a sinistra) e coseno iperbolico (a
destr a)
6.10 Studio di funzioni
203
Figura 6.15. Gr afico della funzione tangent e iperbolica Analogamente a quanto visto per le fun zioni t rigonomet riche , si definisce la fun zione tangente iperbolica come e 2x - 1 sinhx tanh x = - - = -2x- - . cosh x e +1
Essa e definit a su tutto JR., e una fun zion e disp ari st ret tame nt e crescente a valori nell 'intervallo aperto (-1 ,1) (vedasi la Figura 6.15). La funzione inve rsa del se no ip erbolico , definita su t utt o JR., vien e de t t a funzione settore seno iperbolico, ed e facilmen te esprimibile medi ante la funzione logaritmo (inversa dell 'esponenziale) come
I settsinhx =
log(x
+
vx + 1) , 2
XE JR. · I
(6.14)
La funzione settore coseno iperbolico e ottenuta inver t endo la funzione coseno iperbolico ris tretta a ll'int erva llo [0, +00 ) e si esprime come
I set tcoshx =
log(x
+ ~),
xE [I ,+oo) .
e l'inver sa
della fun zione tan-
.'EE( - I, I ) .
(6.16)
Infine, la funzione settore tangente iperbolica gente iperbolica su JR. ed e espressa da 1
1 +x , I - x
set t tanh x = - log - -
2
(6.15)
Le de rivat e delle funzioni ip erboliche inverse sono D sett sinh x =
~ , 2 x +1
D set t tanh x =
D sett cosh x 1 1 - x2
.
=
1
vx -1 '
-;:=== 2
(6.17)
204
6 Ca lcolo differenziale
6.11 II Teorema di de l'H6pital II seguente risul tato fornisce un utile strumento per il calcolo di limiti di forme indeterminate. Come pr eced entem ente, indichiamo con c uno dei simboli x o, xt , x(j, +00, - 00 . T eorema 6.40 Siano j e 9 due ju nzioni definit e nell 'intorno di c, tranne eventualme nte in c, e tali che
lim j( x ) = lim g(x ) = L ,
x ---+c
x --+c
con L = 0 oppure +00 oppure - 00 . Se j e 9 sono derivabili nell 'intorno di c, tranne eventualmente in c, con g' =I=- 0, e se esiste (finito 0 infinito)
.
f' (x)
lim -g' (X-) '
x->c
allora esiste anche
lim j(x ) x-> c
e tale lim it e
Dimostrazione.
(6.18)
g(:r )
c uguale al precedence. 'V+
o
Teorema di de Hopital.
II teorema afferma dunque che, se sono verifi cate Ie ipot esi , val e la formula
j (x ) f' (x ) - = lim - - . g(x ) x->c g'( x)
lim -
x ->c
(6.19)
Esempi 6.41
i) Si voglia calcolare
e 2 x _ e- 2 x lim-- - x-> O sin 5x
*.
che e un a forma indeterminata di tipo Le funzioni a numeratore e a denominatore sono derivabili , e si ha 2e2 x + 2e- 2 x 4 lim--- - x-> O 5 cos 5x 5 Pertanto,
e 2 x - e- 2 x lim - - - x -> O sin 5x
4
5
6.11 II Teorem a di de I'Hopital
205
ii) Se il quoziente l' (x) / g' (x) e an cora una forma indeterminata , e se f e g sono derivabili due volte nell 'intorno di c, tranne event ualme nte in c, possiamo reiterare l'applicazione della formula (6.19) , studiando il limite del quoziente f"( x) /gl/( x) , e COSl via . Si voglia, ad ese m pio, studiare la forma indeterminat a 0/0 . 1+3x -J(1 +2x) 3 1Hfl. . X sin X
x~o
Derivando numer atore e denominatore, siamo condotti a st ud iare
3 - 3)1 + 2x lim . , x~ o sin x + x cos x che e ancora un a forma indeterminata 0/0. Derivando an cor a numeratore e denominatore , arriviamo a · 1im
x~ o
3
-~
3
2cos x - x sinx
2
Applicando quindi due volte la (6.19) , conclud iamo ch e . 1 + 3x - J (1 + 2x) 3 hm x~o sin 2 x
3 2
o
= --.
Osservazione 6.42 Il Teorema di de l'Hopital fornisce una condizion e solt anto sufficient e all' esistenza del limite (6.18) . In alt ri te rmini, si puo pr esentare il caso in cui non esiste il limite del rapporto delle derivate rna esis t e qu ello del rapporto delle fun zioni. Ad esem pio, poniamo f( x) = x + sin x e g(x) = 2x + cos x . II quoziente 1'/ g' non ha limite per x --+ +00 come si ved e facilmen te applicando il Criterio di non esistenz a del limite (Osservazione 4.19) . Tuttavi a , il limite del rapporto f / g esiste e val e
· 11m
x ~ +oo
x+ sinx = 2x + cos x
li
1m
x ~+ oo
x + o(x ) 2x + o(x)
1 2
o
6.11.1 Applicazioni del Teorema di de I'Hopital Vediamo ora come il t eorema possa essere utilizzato in varie situazioni . Limiti notevoli
II Teorema di de l'Hopit al permette di ottenere gli import anti limiti
eX = +00 , xC<
lim
-
lim
log x
x~ +oo
X ~ + OO
xC<
= 0,
lim
X ---+ -
CX)
IxlC<e x
lim x" log x
x---> o+
=
0,
= 0,
VO; E JR, VO;
>
°
(6.20) (6.21)
gia anticipati in (5.6) nell a forma equivalente mediante i simboli di Landau. Ini ziamo dalla prima delle (6 .20) per 0; = 1. Applicando la (6.19), abbiamo
206
6 Calcolo differenziale eX
lim
-
x->+oo
P er ogni al tro
0'
lim
> 0, a b biam o eX
-
x----..+oo xQ:
(1
lim
=
e~ ) Q -.....,,ex -
J :---++OO
-
1
1
O'Q
Q
= + 00 .
(
e . 11m -
Y) Q + 00. =
y -> + oo y
lnfine, per 0' :::; 0, il risultato e banale in quanta non si e in presenza di una forma indeterminata. Per quanto riguarda la seconda d elle (6 .20) , abbiamo
Passan do alle (6.21) , si ha . lim
x->+oo
e
. lim x log x Q
x-> o +
log x - - = x Q
.
. lim
log x
= Inn - x-> o+ :1:-
~ - - -1
x ->+ oo O'x Q
lim
x ->o +
Q
-
1.
1
X
(-0')x-
Q
-
1
lim x
Q
0' x->o +
= O.
Dimostrazione d el Teorema 6 .1 5 Siamo ora in grado di fornire la giustificazione di tale teorema. Dimostrazione . Partiamo dall a definizione di der ivat a
f ' (Xo ) = liim f( :r) - f( ·7:o) X -
X ->Xo
Xo
e ca1colia mo illirnite med iant e il Tcorcma di de l'H opi t al , ave ndo osservato che lim (.f(x ) - f (xo))
X---'+X o
Si ha dunqu e
j " (Xo )
= lim (x - xo) = o. x--+x o
f' (x = l'nn - ), x ->xo
1
o
il che d imostra la tesi .
( C a lc o lo di ordini di infinitesimo e infinito Illustriamo con a1cun i esem pi corne il Teorema di de I'Hopital possa essere utilizzato p er il calcolo di ordini di infinitcsimo e infinito di funzioni e delle relative parti principali. Consideriamo la fun zione
f (x) = eX -
1 - sin x
6.12 Eserc izi
20 7
che e un infinit esimo per x -+ O. Scelto
.
. eX - 1 - sin x Inn a
eX- cos x a xa - 1
= lim
x
X~O
X~ O
= lim
X ~O
eX + sin x . a (a - I )x a - 2
P er a = 2 l'ult imo lim it e esiste (giustificand o l' applicazione del Teor em a d i de l'Hopit al) e val e ~ . Conclud ia mo che f( x) e un infinitesimo di ordine 2 nell'ori gine rispe tto a ll'infinitesim o cam p ione x; inolt re , la sua parte principale c p(x) = ~ X 2 . Consid eri amo, poi , la funzione
f (.T) = tan x , che
e infini t a
p er
:1; -+
%- . Posto
1 Z!. _ x ' abbiamo 2
lim
X ~~ -
t anx
(".1--)
-
-
-
2 -
X
-a =
lim sin x
X ~~ -
xt
(Z!. lim ~2_-----!.-_ cos x
X~~ -
Il primo lim it e va le 1, mentre al secondo applichia mo il Teore ma di de l'Hopit al. Otten iamo . - a ( Z!. _ X)a- l ( Z!.2 _ x )a = lim _----'--2 "----_ ----'--_ lim CO S :1; X~ ~ sin x x-+ ~ P er a = 1 t ale lim it e vale 1. Conclud iamo che la funzione tan x primo ord ine p er x -+ %- , r ispet t o all' infinit o campione
e un
in finit o del ' La sua "2 - x 1
-71"-
e p roprio
6.12 Esercizi 1. Dire se Ie seguenti Iuu zioni sono dcrivabili ncl pun to Xo indicato:
a)
[ill
f (x ) =x+ lx - I I, f( x) =
{
:
- 1/x
2
[ill
Xo = 1
x# O x=O
Xo = 0
d)
f( x) = sin I.TI , f (x) =
J 1 + x3 ,
Xo = 0 Xo = - 1
2. Trovare dove son o derivabili Ie seguenti Iuuzioni e ca1colarnc la derivat a:
GJ f( x) c)
=
x JiXT
f( x) = { x
2
+1
eX - x
b) se x 2': 0, se x < 0
f( x) = cos [z ]
2 se x 2': 1, @D f (X) = { X + X - 5 x -4 so x < 1
208
6 Calcolo differ enz iale
3. Calcolare, dove definita, la derivata prima delle seguenti fun zioni:
a) f(:I;)=3x\h+x 2 c) f(x)
= cos
b) f (x )
= log I sin z ]
1 d) f( x) = - I -
X2
( e +1)
x og x
4. Trovare il massimo e il minimo delle seguenti funzion i nell 'intervallo indicato: a)
Qill
f(x) = sinz + cos :]; , f(x) = x 2
[0 ,21T]
- Ix+ 11- 2,
[- 2, 1]
5. Scrivere Teqnezione della retta tangente tiel punto di escisse seguenti funzioni:
[ill [ill
f( x)
=
f(:I;) =
log (3x - 2) , ev'2x +1 ,
Xo =
Xo =
2
0
Xo
al grafi co delle
x
b) f (x)
=
1+
d) f(x)
=
sin.!. , X
[I]
Sie f(x) = 5x + x 3 + 2x 5 . Verificare ch e f derivabile. Calcolare U- I )'(0) e U- I )'(8) .
[1J
Sia f( x) = (.r - l)e + a rc t a n (log x) + 2. Dimostrare che f s uo dominio e det erminarne l 'im m agin e.
~
Verificare ch e f( x)
[QJ
Det erminare il numero di zeri e di p llnti critici de lla funzione
e invertibile su
Xo =
IR e che
X2
1
-
1T
t:' e ivi
e invert ibile sul
x non ha altri zed oltre a x+2
= log (2 + x) + 2 + 1
1
Xo =
;];2 '
Xo
=
-1.
f(x) = X log ~ - 1 . x
ITQJ Studiare i massimi e i minimi relativi e assoluti della f (x) = 2 sin x
funzione
1
+ "2 cos 2x
sull 'intervallo [0, 21T].
lliJ Determinare il pii: grande in tervallo contenente
Xo
=
~ dove la funzione
1
f(x) = log x - -I -
og z
e invertibile e scrivere esplicitamen te la funzion e inversa. di tale Iun zione nell 'origine.
Calcolare la derivata
6.12 Eserciz i
ITD
209
Verin care ch e vale 1a re1azione log (l
+ x)
::; x ,
"Ix> - 1 .
[IT]
Disegn are il gran co del polino mio f (x ) = 3x 5 - 50x 3 + 135x. Determinare ino1tre a1 variare del param etro t eele k il m assimo ed il minimo numero di radici reali di f (x ) + k .
[]I]
Si conside ri 1a fun zione f (x ) = x 4 - 2V1ogx . Si chiede di a) determinarn e il dominio; b) studiarn e 1a m onotoni a; c) provare che il punta (e" - 2, e) appartien e a1 greiico di derivata di in e 4 - 2.
r:'
r:'
e ca1co1are 1a
[}I] Data 1a fun zione f (x ) =
~'
a) det erminarn e dominio, 1imiti ag1i estr em i del dominio ed event uali asin toti; b) s t udiarne gli inter valli di monotonia ed individu arne i punti di massimo e minimo, sp ecilicen do se sono re1a ti vi 0 asso1ut i; c) tra cciarne un greiico q ualitativo ; d) posta f (x + V3) se x 2': 0 , g(x ) = { f (x - V3) se x < 0 ,
sfru t tare i risultati gia tro vati p er disegn are I1n grafico qua1itativo di 9 e per st udiarne le con tin uite e derive bilitii nell'origine.
[DO
Si consider i 1a fun zion e
f (x ) = Jlx 2
-
4[ - x,
a) determinarne dominio, 1imi ti ag1i estre mi del dominio, even t ua1i asin toti ;
b) determinare il segno di f ; c) det erminare gli in tervalli di monotonia ed e1encare t ut ti i punti di estrem o di f ; d) determinare even t ua1i punti di discontinuiie e di non derivnbilite di I , e) tracciare un grafico qu a1itativo di f .
02J Si consideri 1a segu ente fun zione
f( x) = \!e 2x
-
1.
Si chiede di a) st udiare il com portam ento di f (x ) agli estr emi del cam po di esistenza; b) dir e qu ali sono gli in tervalli di m onotonia e gli even t ua1i punti di non deri vsbiliti: di f (x );
210
6 Calcolo differen ziale
c) st udiare la convessite di f (x ), indicando i punti di Besso; d) disegn are un grafico q ualitativo di f (x ). ~ Data la funzione
a) b) c)
d)
[TID
f (x ) = 1 - e- 1xl + ::., e dct erminarne il dominio e gli event uali asintoti; discu tern e la deri ve bili tii c la m on otonia; det erm inarnc i punti di m assim o e minima, precisan do sc sana glo bali a loculi ; tracciarne un grafico q us lite uvo.
Sia data la fun zion e
Si cuiede di a) determinarne gli in tervalli di monotonia; b) det erminarne i pun ti di estrem o rela ti vo e l 'imm agin e im f ; c) indicare event uali pun ti di discou tinuite a di non tlerivebilite; d) tracciarne un gra fico q ualitativo; e) dire se esiste un a costante reale a tale c11C la iunzi on e
g(x ) = f( x) - a lx -
31
sia di clnsse C1 su t lltto l'esse reale.
~ Sia data la fun zione
f( x) = log 11+ xl (l+x)2 ,
a) tleterm inerne il dominio, il com portamento agli es trcmi ed event uali esi ntoti; b) individuerue gli in tervalli di m on otonia, gli event ue li pun ti di m assimo e minima relativo e assoluto; c) individuarn e gli inter valli di couvessitii e i punti di Besso; d) disegn arn e un grafico qu alitativo. ~ Sia data la Iun zion e
f (x ) =
x log Ixl . 2 1 + log 1 xl
a) Si dimostri che f p UG essere p rohmga ta con con tiu uite s u t llttO IR e 5 1 discu te la detivebitite della hinzion e 9 COS] ottcrwta; b) si determini il numero dei punti stazionari di g; c) si disegni un grafico qualit at ivo di 9 cbe tenga con to della m on otoni a e di even t uali asintoti.
6.12 Eser ciz i
211
~ Si cons ideri 1a Iun zion e
Ixl -3 +3 .
f (x ) = arctan -
x-
a) D eterminare il dominio di f (x), i 1im iti ag1i estrem i del dominio e gli event ueli asintoti; b) determinare gli in ter valli di m onotoni a di f (x) , gli even t ua1i punti di estrem o relati vi e asso1uti. Indicare inf f e sup I , c) discu tere le deri vebilits. di f; d) det ennina re gli in ter valli di concs vi te e di con vessite di I , e) tracciare il grafi co della Iun zioue clJe evidenzi i ris u1tati preceden ti . 123 .1
Si a data 1a Iuu zione
f (x) = a rcs in J 2ex - e2x .
Si chiede di a) determinare il dominic di j (x ), i limiti ag1i estrem i e gli even t us li asintoti; b) stabilire in qu eli punii del s uo dominio 1a huizion e j e deri vabile; c) determinare gli in ter valli di m on otoni a ed even t ueli punti di massimo e di m inima; d) tra cciare il grafico q ualitativo della Iunzione j(x ), in base elle info rmazioni raccolte nei punti preceden ti; e) definire un a fun zi one j che sia un 'estensionc contin ua di j a t utto JR.
6.12.1 Soluzioni 1. Derivnbilite:
a) No. b) Calcoliamo il limi t e dest ro e sinistro del rappo rto increme ntale per x
Iim
x~ O+
sin x - 0 = 1 x - 0 '
lim
x~O -
sin( -x) - 0 x - 0
=
~
0:
- 1.
e derivabile in Xo = O. =I- 0, la fun zione e derivabile e si ha
Dunque la funzione non c) Osser via mo che , per x
j I (x)
r
= 32 e - 1/ x 2 x
.
lim j (x) = lim (x) = O. P ertan t o la funz ione x- a x-a e, per il Teorema 6.15, e anc he derivabile in tale punt o. In oltre
d) No.
e continua in Xo = 0
212
6 Calcolo d ifferen ziale
2. Den vnbili te: a) Si ha
f( X)={ x
fi
se:1: :2:0 ,
xv=;i se x < 0 ,
pertanto
f'
e cert ament e derivabile p er f'( x) =
x =I- 0 con
{ ~fi
~v=;i
se z > 0 ,
se x< O.
La funzione e cont inua su tutto ~ (p erche com posizione e prodotto di fun zioni continue) , in par ticolare 10 e in x = O. Inoltre lim t' (x) = lim (x) = 0 e qu indi
f
e derivabil e anche
b ) Derivabile in
in x = f'( x) = - sinx .
~,
r
{2:
lim (x 2
x----+ l +
e quindi
x---> o-
se x :2: 0 , ~, f'( x) = e - 1 se x < O. e con tinua per x =I- 1; inol tre
c) Derivabile in d) La fun zione
x---> o+ 0 con f' (0) = O.
+x -
5)
e cont inu a anche in x =
= f(1) = - 3 =
lim (x - 4)
x-+ l ~
1. Risult a
f I (x) = {2X+ 1 1
sex> l, sex< l ,
pertanto f e derivabile almena in ~ \ {I}. Inoltre, applicando il Teorem a 6.15 alla derivat a destra e sinist ra separat amente, otteni amo f~(1)
Dunque x = 1
= x-+l lim f'( x ) = 3 , +
f~(1)
=
lim f'( x)
x-+ l -
e un punto di non der ivabilita , essendo
=
1.
un punta angoloso.
3. Calcolo di derivat e: I
a) f (x)
5x 2
+3
= (1 + X 2 ) 2/3
b) f'( x) = cotan x
d)
'( ) f x =
log x + 1 x
----'--~ 2 10g 2 X
4. Messimi e minimi: Notiamo che ent rambe le fun zioni sono cont inue e dunque i valori massimo e minimo esistono certame nte per il Teorema di Weier strass . a) Valore mas simo V2 nel punto x = ~ ; valo re minimo -V2 nel punto x = % 1l'. (Gli estre m i dell'int ervallo sono rispettivament e punto di minimo e m as simo relativo, ma non as solut o, della funz ione. )
6.12 Esercizi
213
1 1
"2
, , , ,
----- - 1:
Figura 6 .16. Grafico della fun zione f(x) = x 2
b) Si ha
2
-
Ix
+ 11-
2
1 se x < - 1 , 3 se:r 2': -1 . Per x < - 1, la funzione coincid e con la parabola y = (x + ~)2 - ~ . Essa ha vertice in ( -~, - ~ ) ed e convessa, quindi , nell'intervallo [- 2, - 1] di nostro interesse, essa e sempre decr escente; assume valore massimo 1 in x = -2 e va lore minimo - 1 in x = - 1. P er x 2': -1 , la funzione coincide con la parabola y = (x - ~)2 - 143 che e rivo lt a verso l'al t o e ha vertice in (~ , - Ii) . Pertanto, nell'intervallo [-1 ,1], essa ha un punto d i minimo in x = ~ con f(~) = _ 143. Inoltre f( -l) = - 1 e f( l) = - 3, quindi ass ume val ore massimo - 1 in x = - 1. In conclusione, la fun zione f ha valore minimo - 143 (r aggi unto in x = ~) e valore massimo 1 (raggiunto in x = - 2) (si veda la Figura 6.16).
f (x) = { x + x2 -
X X -
5. R ette tangenti: a) Poiche
j'(x) = 3x 3_ 2 '
l'equazione della retta tangente richiesta y
j'(2) =~ ,
f(2) = log 4 ,
e 3
= f(2) + j'(2)(x - 2) = log 4 + 4(x - 2) .
b) y = ~ . c) Poiche
j'(x) =
e v 2x + 1
V2XTI'
l'eq uazione de lla retta tangente y
f(O) = 1'(0) = e ,
e
= f(O) + 1'( O)x = e + ex .
214
6 Ca lcolo differen ziale
6. La funzi one e stret tamente crescent e su JR. in quanto som ma di fun zioni elem entari con tale propriet a , p er t anto e invertibile su JR.. In olt re, p oich e f e continua e lim f (x ) = ± oo, dal Corolla rio 4.30 d educiamo che irn f = JR.. La fun zion e e x~±oo
deri vabile su JR. co n j' (x ) = 5 + 3x 2 + l Oz " > 0 p er og n i x E JR.; dunque, per il Teorem a 6.9 , i ' e deri vabile su t utto R Inoltre f (O ) = 0 e f (l ) = 8, p ertanto
(f
- 1
1
I
) (0) = 1' (0) =
1
e
"5
(f
- 1
I ) ) (8
1
= 1' (1) =
1 18 .
7. La funzione e d efinita su lla sem iretta (0, + (0 ); e st re ttam ente crescent e su I suo dominio p er ch e somma di fun zioni COn t al e proprieta e p er t anto e inv ertibile. (La stretta m onotonia si puc a nc he verifi care osservando che la deriva t a
f'( x) = (2x - 2.1: + l) eX 2
2
+
1
2
x (I+ log :r)
e > 0 per ogni
x > 0.) Inoltre f e cont inua nel su o dominio e, p er il Corollario 4.30 , la sua immagine e un int ervall o di estrem i inf f e sup f . P oiche .
mf f
=
.
7r
lim f (x ) = -1 - 2
x~o+
7r
+2=1- -
sup f =
e
2
lim
x----.+oo
f (x ) = +00 .
risult a imf = (1 - ~ , +oo) .
8. La funzione e defini ta p er x > -2, do m inio in quanto 1
I
e continua e st rettamente cr escente nel suo 2
"Ix > - 2 .
f (x ) = x + 2 + (x + 2)2 > 0 , Dunque f (x )
< f (l ) = 0 p er x < 1, f(x) > f (l ) = 0 p er x > 1.
9. La fun zione condiz ione
e d efini t a
p er x
> O.
x logx - 1 = 0 Post o h( x)
= logx e g(x) = ~,
Gli zeri della fun zione
f
devon o so d disfa re la
1 log x = -.
ossi a
x
osservia m o che
h(l) = 0 < 1 = g(1)
e
1
h(e) = 1 > e
= g(e) ;
quindi , p er il Corollario 4.27 , esiste un punta Xo E (1, e) tale che h( xo ) = g(x o). Inoltre t al e punto e unico in quanto h e stre t t a mente crescente e 9 e st ret t a mente decr escente. Possiamo conclude re che la funzione f ha un unico zero , ap p artenente all' inte rvallo (1, e). P er elet erminare il numer o eli punti crit ici , calcolia mo la d eri va t a prima : 2
j' (x ) = x (logx + 1) - 2x (xlog x -1 ) x4
;c + 2 - x logx
x3
6.12 Esercizi Gl i zer i di
l'
215
sono det erminati dall a condizione
x
+2-
x log x = 0
2+ x
log x = - x
ossia
.
Posto g(x ) = 2~X = 1 + ~ , osserviamo che
2 h(e) = 1 < 1 + e
g(e)
=
e
quindi , ancora per il Cor ollario 4.27 , esiste un uni co punto Xo E (e, e 2) tale che h(xo) = g(xo) (I'unicit a e conseguenza della stret t a mon otonia di h e g). In definiti va, f ha un unico punto crit ico, appartenente all 'intervallo (e, e 2). 10. Si ha, r icor dando le formule di duplicazione (2.13) ,
f ' (x) = 2 cos x - sin 2x = 2 cos x(1- sinx). Quindi 1'(x) = 0 per x = ~ ex = ~ 7f, f'( x) > 0 per 0 < x < ~ e ~ 7f < X < 27f; cosi x = ~ e un punta di massimo assoluto con fG) = ~ , x = ~ 7f e un punta di minimo ass olut o con f( ~1f) = -~. Inoltre f(O) = f(27f) = ~ e ag li est re mi dell'intervallo [0, 27f] si hanno due punti estrem i, Pin pr ecisament e, x = 0 e un punto di minimo e x = 27f e un punta di massimo. 11. Osserviamo che la funzio ne f e definita per x > 0 e x i=- 1, per cui il piu grande inter vallo contene nte Xo = ~ dove f e invertibile e al piu (0,1) . Studiamo allora, in tale int ervallo , la monotonia stret ta di f , che e equivalente alla sua inver tibilita essendo la funzione cont inua nel suo do minio. Poi che 1
1
X
x log x
f'( x)=- +
log2 X + 1 X log2 X
2
si verifi ca immedi atamente che 1'(x) > 0 per ogni x E (0 ,1) , ossi a f e monotona strettame nt e crescente su (0,1) . P er qu an ta det to pr im a possiamo con cludere che il piu grande intervallo di invertibilit a cerc ato e proprio (0,1) . P er scrivere esplicitame nte la funzion e inversa poniamo t = log x , e otteniamo
t2
-
ty - 1
= 0,
t=
Tornando alla variabile x, si ha
x
=e
y±VJi2+4 2
Poiche siamo interessa ti a x E (0 ,1) , si avra x
= f - 1 (y) = e
y-VJi2+4
Scambiando i simboli delle variabili, si ottiene
2
•
y ± V y2 + 4 . 2
216
6 Calc olo differenziale
Y=f -I(x) = e Infine si ha f - I(O) = e-
I
x-y?±! 2
•
e pertanto 1 2e
12. Consid eri amo la fun zion e f( x) lim
x--->- I +
f( x) = - 00 ,
= log(l + x ) - x. E defini t a
lim
x ---+ + oo
Inoltre
pe r x > - 1 e
f( x) = lim ( - x+o( x)) = - 00. x ---++oo
1
x
1'(x) = - 1= -- , l+ x l + :r dunque x = 0 e un punto crit ico di i , 1'(x) > 0 p er x < 0 e f 'ex) < 0 per x > o. P ertanto f e cres cente in (-1 , OJ e decr escent e in [0, +(0); x = 0 e il punto di massimo assolut o della fun zione con f(O) = O. In conclusione f( .1:) :::::; f(O) = 0, per ogni x > - l. 13. Si verifica che
f
e dispari e
1'(x) = 15x 4 - 150x 2 + 135 = 15(x 4 - lOx 2 + 9) = 15(x 2 - 1)(x 2 - 9) = 15(x + l)( x - l)( x + 3)(x - 3) . Lo studio del segno di
l' e riportat o
nella seguente t abella :
~------J-~~~==~------~ -3
- 1
o
3
1
Quindi la fun zion o e crescente in (- 00, - 3], in [- 1, 1J e in [3, + (0) ed e decr escente in [- 3, - l J e in [1,3]; i punti x = -1 ex = 3 sono punti di minimo relativo e i punti x = 1 e x = - 3 SOll O punti di massimo relati vo con
f (1) = - f (-1) = 88
e
f( 3)
= -
f( - 3) = - 216.
lnoltre lim
X ---+- oo
Pertanto il grafi co di
f
f( x) = -00,
lim
x ---+ +oo
f( x) = + 00.
e qu ello disegn ato nella F igura 6.17.
II secondo problem a post a e equivalente a studiare, a l variar e del parametro k , il numero di soluzioni dell'equazion e f( x) = -k, ossi a il numero di intersezioni tra il grafico di f e la ret t a Y = - k.
6.12 Esercizi
Figura 6 .17. G ra fico della funz ione f( x) = 3x 5
Risulta
per k
> 216 oppure k < -216
per k
=
=
50x 3
+ 135x
un a soluzione
± 216
due soluzioni
p er k E (-21 6, -88) U (88 , 216) per k
-
217
± 88
t re soluzioni quattro solu zioni
p er k E (-88 , 88)
cinque solu zioni .
Quindi il massimo e il minimo numero di radi ci reale del polinomio 3x 5 135x + k sono risp ettivament e 5 e 1.
14. S tudio della huizion e f( x) = x 4
-
50x 3 +
2y'log x:
-
a) Po iche deve essere x > 0 e log x ~ 0, ossia x ~ 1, ris ulta domf = [1, + 00). b) Si ha
f'( x)
=
4
4x y1IOgX - 1 x y'logx
e quindi
f'( x) = 0
91(X) = log x =
1
-8
16x
= 92(X).
Graficamente ot t en iamo, p er x ~ 1, un punto di inter sezione tra i grafici di > 1 (si ved a la F igura 6.18) . Pertanto f'( x) > 0 p er x > Xo e f e decrescente in [1, x o] e crescente in [xo , + 00). Allora Xo e un punto di minimo e, p er la monotonia , la funzione sar a invertibile negli inte rvalli [1, x o] e [xo , + 00). Inoltre, 0 = log 1 < /6 e log2 > ~. Cosl1 < Xo < 2. c) P oiche f( e) = e 4 - 2, il punt o (e4 - 2, e) appartiene al grafico di e 9 1 e 92, sia Xo
r:'
(f - l )' (e4 - 2 ) =
1
l' (e) =
4e4
e
-
1.
218
6 Calcolo d ifferen ziale
Figura 6 .18. Grafico delle funzi o ni gl(X ) = log X e .92(X) = 161x 8
15. Studio della fun zione f (x ) = ";::"]3 : a) 11 dominio e det erminato dalle condiz ioni x 2 domf = (-00, -V3] u [V3, + 00). Si ha lim
x ---> ± oo
f( x ) = f( x) =
lim x--->- y"3-
-
3 >
°
e x
i-
lim
IX Iy/1- ~ Ixl 1x = lim - = .'1:(1 + x ) x ---> ± oo x
lim
f( x ) = 0,
x ---> ± oo
- 1, e dunque
±1,
x--->y"3 +
quindi la ret ta y = 1 or izzontale sinistro.
e as int oto
orizzontale destro e y
- 1
e as intoto
b) Ri sul t a
J' (x)
=
(x
x+3
+ 1)2v x 2 -
°
3
,
quindi f' (x ) = 0 per x = - 3 e f' (x) > p er x E (- 3, -V3) U (V3, + 00). P ert anto f e crescente in [-3, -V3] e in [V3, +00), decrescen te in (- 00, -3] ; < - l. in punto x = - 3 e un punta di minimo ass oluto con f( - 3) = Inoltre, i punti x = ±V3 sono anch' ess i punti di est re mo, pili prccisam ente x = -V3 e un punto di massim o relat ivo e .1: = V3 e un punto di minimo relat ivo con f( ±V3) = O.
V;
c) 11 grafico dell a funzione
f
e mos trato
nella F igura 6.19 (a sinist ra).
d) La fun zione 9 e ot t enu t a traslando di V3 la fun zion e f verso destra p er x < 0, verso sinistra per x > O. 11 grafico della funz ione 9 risul t era qu indi qu ello most rato nella F igura 6.19 (a dest ra). La funzi one 9 risulta cont inua su t utto ffi. , in p articolare lim g( x) =
x .--;.o -
lim f( x - V3) = f( -
x ---+o-
°
V3) = = f( V3) =
lim g(x ).
x-" O+
6.12 Esercizi
1 1--- - - - - - -
1 1--- - - - - - -
- 3 - )3
- 3+ )3
- - - -~_j'-_j
- 1
------~ _+I
Figura 6.19. Grafici delle fu nzioni
Inoltre lim l(.'r)
x-> O±
e quindi g non
x-> V3+
e derivabile in x
lim
e definita su
x->+ oo
f( x) =
- 1
f (a sinistra) e 9 (a destra) relative all 'Esercizio 15.
= lim f'( x) =
16. Studio della funzione f( x) a) La funzione
219
lim
x -> -V3-
f'(x)
= +00
o.
=
= Jl x 2
-
41 -
x:
tutto IR e si ha
lim
x2
x -> + oo
4 - x2
-
~
x2
-
4
+x
= 0-,
lim
x ---+-oo
f( x)
= +00.
Cost y = 0 e asint ot o ori zzontale destro. Verifichiamo I'esistenza dell 'eventuale asintoto obliquo sinistro. Risulta
. f( x) Inn x
X ~ -CX)
(8
. = x ---+lim oo
U (x) + 2x) = x->-oo lim
lim
x->- oo
4
1- - 2 -1 ) x (
J x2
-
= - 2,
4 + x)
x2 -
4-
x2
= x ->lim ~ =0 - oo x2 - 4 - x
e asintoto obliquo sinistro. E sufficiente risolvere la disequazione J lx 2 - 41 - x :::: o. Osserviamo che J lx 2 - 41 :::: x e verifi cata per ogni x < O. Per x :::: 0, distinguiamo due
ossi a la retta y = -2x b)
casi: x 2 - 4 < 0 (cioe 0 :::; x < 2) e x 2 - 4 :::: 0 (cioe x :::: 2) . Sia 0 :::; x < 2, elevando al quadrato si ha
Sia x :::: 2, elevando al quadrato si ha x 2 - 4 :::: x 2 che non e mai verificata. In conclusione, la fun zione si annulla solo per x = J2, e strettamente positiva p er x < J2 e stret tamente negativa per x > J2.
220
6 Ca lcolo diffe renziale
c) Poiche
f(x)
=
f'( x)
=
~-x
{vx
si ha
2 -
4- x
se - 2
< x < 2,
se x :::; - 2, x 2: 2 ,
~2 -1 se-2 < x <2 ,
{
Y4;- x
----=== - 1 se x < -2 , x> 2 . 2 v x -4
Per -2 < x < 2, 1'(x) 2: 0 se x + V 4 -x 2 :::; 0 ovvero V4- x 2 :::; - x . La disequazione non e verificata pe r alcun valore di x > 0; per -2 < x < 0, elevando al quadrato si ha
- 2 :::; x :::; -v'2 . Quindi 1'(x) = 0 per x = - v'2, f '( X) > 0 per - 2 < x < - V2 e f'( X) < 0 per -V2 < x < 2. Se x < - 2 oppure x> 2, f'( X) 2: 0 se x - vx 2 - 4 2: 0 ovvero v x 2 - 4 :::; x. La disequazione non e verific ata per alcun valore di x < - 2; p er x > 2, elevando al qu adrato si ha x 2 2: x 2 - 4 che e sem pre verifi cat a. Quindi l' (x) > 0 pe r x > 2 e l' (x) < 0 per x < - 2. In conclus ione f risulta decrescent e negli in tervalli (- 00, - 2] e [-V2, 2], erescente negli int ervalli [-2 , -V2] e [2, + 00). I punti x = ±2 sono punti di minimo relativo, il punto x = - V2 e un punto di massimo relati vo. Le ordinate valgono f( -2) = 2, f(2) = - 2 e f( - V2) = 2V2. Quindi x = 2 e pili precisamente un punto di minimo assolut o. d) La fun zione f e cont inua su t ut t o il suo dominio in quant o comp osizione di funzioni eleme ntari con tinue. P er 10 studi o della d erivabilita , e sufficien t e esaminare il comp ortame nt o di f' per x ----+ ±2. P oiche lim j'(x) = 00,
x--->± 2
la funz ion e non
e derivabile nei punti x = ± 2. f e mo strat o nell a Figura 6.20 .
e) II grafico della funzione
17. Studio della iiui zion e a) La funzione
f (x)
e defini t a su lim
x--+
+ <x:>
=
ije 2x
1:
-
tutto JR. e risulta
f( x) = + 00
e
lim
X --+-()Q
f( x) = -l.
b) Si ha 2
j'(x) = 3" (e2 x
e 2x _ 1)2/ 3 '
pe r cui l' (x) > 0 per ogni x E JR. \ {O} , f non e derivabile per x limj'(x) = + 00. La funzione e crescente su tutto JR.. x--->o
=0
in quanto
6.12 Eser cizi
Figura 6 .20 . Grafico della funzione f( x)
f
x
4
lx 2
-
41-
x
i= 0, ot t en endo
c) Calcolia mo la deri vat a seco nda per x /I ( )
=J
221
2x
= ge
e
2x
(e 2x
_
-
3
1 )5/3 .
Risul t a f" (x ) = 0 p er x = ~ log 3 e f" (x ) > 0 per x E (-00, O ) U ( ~ log 3, +00) . Quindi il punta x = ~ log 3 e un flesso ascende nt e, f e convessa in (-00, 0] e in [~ log3,+00) , f e co ncava in [0, ~ log3] . Can un 'est ension e della definiz ione, anche il punta x = 0 puo essere conside rato un flesso (a tange nte verticale) . d) 11 grafico della funzion e
f
e mostrata nella F igura 6.21.
~ log 3
======---- - -1 -1 F igura 6.21. G rafico della fun zione f (x )
=
Ve 2x
-
1
222
G Calco lo d iffer en ziale
18. S t udio della Iunzionc f (x ) a) Chiarament e d om
=
1 - e- 1xl + ~ :
f = R Osser vanelo che lim
x--±oo
e - [:c [
= 0,
otten iamo immediatamente lim f (x ) = ± oo , x-- ±oo
.
.
f (x )
lim - - = lim x-±oo x x-±oo
(1x
1)
e - 1xl - - - -
+-
x
e
1
e
lim ( f (x ) - :: ) = lim (1 - e - 1xl) = 1 x-±oo e x- ±oo e quineli la ret t a Y =
ix + 1 e asi ntoto obliquo complet o.
b) La funzione e continua su t utto lR e non vi sono problemi eli der ivabilita per x =I- O. R isulta - x
J' (x ) =
+
1
se x > 0 ,
+ -1
se x < 0 ,
e {
-e
x
~
e
da cui lim J' (x ) x-o-
= x-olim
( _ ex +
~e ) = ~e -
=I- lim J'( x) = lim x- o+
x-o+
1
(e- + ~) = ~ + x
e
e
1
e quindi f non e deriva bile in :1; = O. Inoltre, per x> 0, j' (x ) > O. Per x < 0, j' (x ) > 0 se eX < ~ ossia se x < - 1. In conclus ione f e crescente su (-00, - 1] e su [0, +00), decr escen t e su [- 1, 0].
c) Per qu anto ap pena visto possiamo affermare che x = - 1 e un punto d i mas simo locale con f( - 1) = 1 - ~, ment re x = 0 e un punto di minimo locale con f (O ) = O. d) II grafi co della fun zion e
f
19. St udio della Iunzion c f( x) a) La funz ione
e most rato nella F igura 6.2 2. = e (x 2 X
e definit a su t utto R
-
81x -
31-
8):
Scriviamo se :c < 3 , se
e qu incli
:1: ~
3,
6.12 Esercizi
Figura 6.22. Grafico della funzione f( x)
j'( x) =
=
223
I - e- 1xl + ~
e X (X2 + 10X - 24) se x <3 , { eX (:r 2 - 6x + 8)
se x >3 .
Cost se x < 3, si ha j'( x) = 0 se x + lOx - 24 = 0 ossia p er x = -12 e per x = 2, mentre f '( x) > 0 se x E (- 00, - 12) U (2,3) . Se x > 3, f'(x) = 0 se x 2 - 6x + 8 = 0 ossia p er x = 4 (si noti che x = 2 e soluzione dell 'equazione rna non e da consieler arsi in qu anta 2 < 3), mentre j'(x) > 0 se x E (4, + 00). In elefinitiva , f e cre scente negli intervalli (- 00, - 12], [2, 3], [4, +00 ) e deere2
sce nt e negli intervalli [-12,2] e [3, 4]. b) Dallo studio effettuato nel punto a ) si ricava che x = -12 e x = 3 sono punti eli massimo relativo, x = 2 e x = 4 sono punti di minimo relat ivo. Inolt re f( -12) = 16e- 12 , f(2) = -12e 2 , 1(3) = e3 e f( 4) = O. Per determinare I'immagine di f , calcolia mo lim
f (x) =
lim
f( x)
X ---+ - (X)
x --->+ oo
Poi che la fun zion e
=
e continua,
lim eX( x 2 + 8x - 32)
= 0,
lim eX (x 2
=
X - - (X)
x--->+oo
-
8x + 16)
+ 00.
risulta
im f = [m in f( x) , sup f( x)) = [f (2), + 00) = [-12e 2 , +00 ). c) Non vi sono punt i eli dis continuita in qu anta la funzione e un a comp osizione di funzioni continue. P er la derivabilit a , l' unico punto da studiar e e x = 3. Risulta lim j'( x)
x ---+3-
=
lim j'(x) =
x---+3+
quindi 1 non
e derivabile in
lim eX( x 2 + lOx - 24)
=
lim eX (x 2
_ e3 ,
x ---+3-
x ---> 3 +
x = 3.
-
6x + 8)
=
15e3
,
224
6 Calco lo differenziale
e3
- 12
2 .10 - 4
- 14 - 2 . 10- 4
-1 2
' - - - - - - - - - - --
-
-'----'
-12e2
--
Figura 6.23. Grafico della fu nzio ne f( x) = e X( x 2
-
31-
81x -
8)
d) P er il grafico della funzione si ved a la Fi gura 6.23; nel riquadro compare, in scala differente, il grafico di f in un intorno del punto x = - 12. e) La funzione g
e cont inua
su tutto l'asse reale e si ha se x < 3 , se x> 3 .
Affinche g sia derivabile in x
= 3 deve
essere
lim g'( x) = 15e3 + a =
x-+3-
concludiamo che , per a = -8e3 , g
e di
lim g' (x ) = _ e 3
x-+3+
-
a;
classe C1 su tutto l'asse reale.
20. Studio dell a fun zione f(x) = l(i~lx~~ I :
a) Risulta domf = IR \ {-I} . Applicando la (5.6) c), si ottiene lim
x----+±oo
f( x) = 0+
mentre lim
x -+ - l±
Da cio si deduce che x orizzontale completo .
f( x) =
00 +
0
=
-00.
= -1 e un asintoto vertical e, m entre y = 0 e un asintoto
6.12 Ese rc izi
225
1
2C
-e* -- 1JC- l
T
T
e*- 1
JC- I
Figura 6 .24. G rafico della funz ione f( x)
=
1(~~lx~~ 1
b) Si ha
f'( x)
=
1-2Iogl x +ll . (x + 1)3
Osservi amo che 1 (.7;) risul t a deri vabile in ogn i punta del suo dominio e che f'( x) = 0 se Ix + 11 = vie e quindi se x = -1 ± vie. Inolt re f'( x) > 0 se x E (- 00 , - vie - 1) U (-1 , vie - 1) ; pertanto la funzione e cresce nte negli intervalli (- 00 , - vie - 1] e (-1 , -1 + vie]' decrescen t e in [- vie - 1, -1) e [- 1 + vie, + 00) ; i punt i x = - 1 ± vie son o punti di massimo (assoluto) con
f( -1 ±
vie)
= zle '
c) Si ha
j"(x ) = - 5 + 6 log Ix + 11 (x + 1)4
da cui risulta che la derivata seconda e defini ta in ogni punta del dominio di f e j"(x) = 0 p er Ix + 11 = e 5 / 6 , ossi a per x = -1 ± e 5 / 6 . In oltre j"(x) > 0 per x E (-00, _ I _ e 5 / 6 ) U (e 5 / 6 - 1, + 00) ; p ertanto f e convessa in (- 00, _ 1 _ e 5 / 6 ] e in [e 5 / 6 - 1, + 00) e concava in [- 1 - e5 / 6 , - 1) e (-1 , e5 / 6 - 1]; i punti x = - 1 ± e 5 / 6 sono punti di flesso . d) Il grafico della fun zione
f e mostrato ne lla Fi gura 6.24.
21. St udio della fun zion e f( x) a)
E chia ro
= l~:::JI; I:
che dam f = lR \ {O} e poi che lim 1(x) = 0 (x pr evale sul logar itmo) x ---> O
la fun zione puo esser e prolungata con conti nuita su t utto lR ponendo g(O) = O. Inoltre la fun zione e di sp ari ed e quindi sufficiente studiarne il compo rtame nto p er x > O. P er qu anta riguarda la derivabilit a si ha , per x > 0,
f'( x) = log3 X -logZx ,+ log x + 1 (1 + logZx )2
226
6 Calcolo di fferenzial e
e , p osta t = log x ,
.
,
f (x) x~o lim
t3
.
lim
=
t~ - oo
-
(
t2 + t + 1 2)2 = 1+t
lim
t~-oo
t3 t
- 4 = O.
D unque la fun zione g , prolungat a come detto prim a , e n on so lo cont inu a rna, a pp licando il Teorem a 6.1 5, a nc he derivabile su tutto JR ed, in part icolare ,
g'(O) = o.
b) Dal p unto a ) si ved e che x = 0 e un punta stazionario di g . P er individ uare gli event u ali altri punti in cui la derivata prima si a nnulla , studiamo gli zeri d ella funzione ausiliaria h( t) = t 3 - t 2 + t + 1 dove t = log x con x > o. P oich e lim h(t)
t ---+ - oo
= -00,
h(O ) = 1,
lim h (t )
t ---+ (X)
h' (t ) = 3t 2
-
2t
= +00,
+ 1 > 0,
Vt E JR ,
la funzione h e crescente p er og n i t ed h a un so lo zero, sia esso to, negativo. II suo grafico quali t at ivo e mostrato ne lla F igura 6.25 (a sinistra). Allora t o = log Xo < 0, im pli ca 0 < Xo = e t o < 1. Cost , p er la d isparita d ella funz ion e, 9 h a alt ri due pu nt i stazionari, risp ettivamente in Xo e -Xo. c) P er quanto ottenuto nel p unto b) , risu lta g' (x) > 0 in (x o, + 00) e g' (x) < 0 in (0 , x o). Ri assumendo , e ten endo conto d ella disparita , risul t a 9 crescente in (-oo,-x o] e in [x o, + 00), 9 decr escente in [- x o, xo]. Inol t re lim g(x ) = + 00
x ~+oo
e
· g(x ) 1l Hl - -
x~+oo
X
=
log x x ~ +oo 1 + 10g2 X
I.
Hfl
.
t
lim - - = 0, t--->+ oo 1 + t 2
cosicche la funzione 9 non ha as intot i. II grafico della fun zion e 9 e mostrato nella F igura 6.25 (a d estra).
to - I
Figura 6.25. Gra fici d elle funzi oni h (a sinistra) e g (a d est r a ) re lative a ll'Esercizio 21
6 .12 Eserc izi
227
22. St udio della funzione J (x ) = arctan 1~ ~33 : a) Si ha dom J
= lR \
{3} e, esplicit ando,
= arctan (-
a rct a n - x + 3
J (:r )
=
1)
x- 3 { a rc tan -x+- 3 x- 3
= -~
se x ::; 0 ,
4
se x > 0,
da cui lim
x - - oo
71'
J (x ) = lim
lim J( x)
=
lim f( x)
= arctan
x - 3-
x-3+
Allora le rette y sinistro e destro) .
=
arctan
-~
71'
x - + oo
71'
= arctan 1 = -4 ,
~ = arctan( -oo ) = - ~2 ,
a
= arct an (+oo ) = ~ .
:
a
2
=
e y
~
sono asintoti or izzontali (rispe t t iva ment e
b) Abbiamo
j' (x ) =
lim J (x )
-- , 4
4
x - - oo
{ ~_3_
se x < 0 ,
se x > 0, x # 3, x2 + 9 cosi j' (x ) < a p er og ni x > 0, x # 3 e J risult a strettame nte decrescente in
[0, 3) e in (3, +00), decrescen te (in senso non stretto) in (- 00, 3). Lo studente osservi che sarebbe sbagliato d ire che J e strettament e decrescente nell'ins iem e [0,3) U (3, +00) (si ri cordi quant o det to a pag. 200) . Tht ti i pu nt i x E (-00 , 0) sono punti di m as simo e d i m inimo relativo non stret to , con J (x ) = - ~ , men tre x = a e punto d i m assimo relati vo. Infine inf J (x) = - ~ , sup J( x) = ~ (si noti chc non esist ono ne il minimo ne il massim o della funz ione) . c) La fun zione e se nz'alt ro deri vabile in lR \ x = 0, dove f e continua, si ha lim j'( x)
:r - O-
e quind i
= a#
f e effettiva ment e
d) Si ha
lim j'( x)
x _ O+
6x
ogni x > 0, x
#
(x 2
cosi J" (X) > (3, +00).
a per
=
x = 3,
J non e definit a ; in
-~ O+ X +9
lim
x-
der ivabile solo in lR \
{a
J" (x ) =
{a, 3} . In
1
3
{a, 3}.
se x < 0 ,
+ 9)2
se x> 0,
3 e quindi
x # 3,
f risult a convessa in [0,3) e in
228
6 Calcolo differenziale
-------1------I
7r
:2 4
Figura 6.26 . Gr aftco della funzione f( x)
e) 11 grafico della fun zion e
23. Studio della fun zione
f
e mostrato
= a rct an Ixl + 3 x -3
nella Figura 6.26 .
f (x) = arcsin v'2 e x
-
e 2x :
a) Imponiamo che sia 2e x _ e2 x :::: 0 e - 1 :::; v'2e x - e 2 x :::; 1; la prima disequazione equivale a 2-e x :::: 0 ossia x :::; log 2. Essendo una radice se m pre :::: 0, la seconda disugu aglianza si riduce a 2e X - e2 x :::; 1. Ponendo y = e", la disuguaglianza diventa y2 - 2y + 1 = (y - 1)2 :::: 0, che e sempre verifica t a. Quindi dom f = (- 00, log 2]. Inoltre lim
x---+ -oo
La retta y = 0
f (x ) = 0 ,
f(log 2) = O.
e asint oto orizzontale sin ist ro .
b) Dall'espressione
si ved e che lim
x ---> (log 2)-
f'( x ) = - 00 ,
lim f'( x) = - 1,
x ---> o +
Qu indi i punt i di non derivabilit a di e x = 0, punta angoloso.
f sono x
lim f' (x )
x---+o -
=
1.
= log 2, punto a tangente ver ti cale
6.12 Esercizi
229
log 2
Figura 6.27. Grafico dell a fun zione f( x) = a rcs in y!2e x
-
e2x
c) Si ha f'( x) > 0 p er x < 0 e j' (x ) < 0 pe r 0 < x < log2 . Cost x = 0 e un punta di massimo assolut o con f(O) = ~ e x = log 2 e un punta di minimo assoluto con f(log 2) = 0; gli int ervalli di monotonia sono (- 00, 0] (in cui f e crescent e) e [0, log 2] (in cui f e decrescente) .
e most rat o nella Fi gura Una possibile estens ione cont inua di f e
d) II grafico dell a fun zione e)
f
j(x) = {
~(x)
6.27.
se x ::; log 2 , se x > log 2 .
7 Sviluppi di Taylor e applicazioni
Lo sviluppo di Taylor di una fun zion e, nell 'intorno di un punto Xo dell'asse reale, rappresentazione dell a fun zion e come somm a di un polinomio e di un infini tesimo di ordine sup er iore a l grado del polinomio. Esso costit uisce uno strumento di a na lisi est rem amente efficace , a livello sia qu ali tativo sia quantitativo. Infatti, in un intorno abbastanza piccolo di Xo, e possibile approssimare la funzione (che magari ha una forma com plessa) con il polinomio, di cui invece e immediato st abilire le propriet a qu ali t ative e che e facilmente ca lcola bilo. In oltre, gli sviluppi di Taylor delle principali fun zioni eleme nt a ri possono esse re age volme nte combinati in modo da fornire gli sviluppi di funzi oni pili complesse, dando luogo a un 'algebra degli sv iluppi non di ssimile dall 'algebra dei polinomi.
e la
7.1 Le formule di Taylor In qu esta paragrafo, affront ia mo il problem a dell'approssim az ion e di un a funzione Xo E JR, medi ante polinomi algebrici di gr ado via via pili elevat o. Ini ziamo supponendo che la funzione sia almena cont inua in Xo. Vale allora la formul a (5.4) ; se introduciamo il polinomio costante (di grado 0)
f , nell 'intorno di un punta
Tfo ,xo(x)
= f(xo),
\:Ix E JR ,
possiamo scrivere tale formula come
I f (x ) = T fo,xo(x) + 0(1),
x
-7
xo· 1
(7.1)
In alt ri t ermini, possiamo a ppross ima re la funzione f , in un intorno di Xo, mediante un polinomio di grado 0 in modo che la differenza f (x ) - Tfo,xo(x ) (de t t a errore di approssi mazione , 0 resto ) sia un infinitesimo in Xo (si veda la Figura 7.1). La relazione (7.1) e il primo ese m pio di formula di Taylor.
232
7 Sv ilu ppi di Tay lor e ap plicazioni y
=
f( x )
y = T fo (x )
f (xo)
Xo
Figura 7.1. Appross irna zione locale d i f me diante il p olinorni o T f o
= T fo ,xo
Supponiamo ora che la funzione f sia non solo continua rna anche de rivabile in xo. Vale dunque la prima formula dell'incr em en to fini t o (6.10) ; introducendo il polinomio di pr imo grado in x
T!J, xo (x ) = f( xo) + j'(xo)( x - xo), il cui grafico e, come sappiamo , la retta t angente al grafic o di Fi gura 7.2) , la relazione (6.10) si scrive come
I f( x) = T!J, x"(x) + o(x - xo),
x
---> X O,
I
f in
Xo (si veda la
(7.2)
che e una nuova formula di Taylor: essa dice che una funzione derivabile in Xo PUQ essere appross imata nell 'intorno di tale punto medi a nt e un po lino mio di primo grado, con un err ore di appross imazione che non solo te nde a 0 p er x ---> Xo, rna che e un in finitesimo di ordine superiore al pr imo. Se invece f e derivabile in t utto un intorno di xo, t ranne a l pili in x o, possiamo usar e in t ale int orno la seconda formula dell 'incr em en t o finit o (6.12) , in cui poniamo Xl = Xo e x2 = x e che scriviamo come
I f (x ) =
T fo,x"(x)
+ j'(x)( x -
xo), I
(7.3 )
dove x e un opportuno pu nt o compre so tra Xo ex. Si confro nti t ale relazione con la form ula (7.1): abbiamo or a a disposizione una espressione qu anti t ativamente pili pr ecisa dell 'errore di appross imazione, 0 rest o . Es sa permet t e ad esem pio di dare un a st ima numeri ca dell'errore, una volta noti l'increm ento x - Xo e una st ima numeri ca della grandezza di l' in un intorno di x o. An che la (7.3) e una formula di Taylor, in cui il resto e espresso nella cosidde tta fo rma di Lagrange. Di ciamo invece che nelle (7.1) e (7.2) il rest o e nella forma di P eano.
7.1 Le formule di Taylor
233
Y = f (x)
f (x o)
Xo
Figura 7.2 . Approssimazione locale di
f
mediante il polinomio TfJ
= TfJ ,xo
Dopo aver approssimato la funzione mediante polinomi di grado 0 oppure 1, commettendo un errore che e rispettivamente 0(1) = o((x - xo)O) e o(x - xo) pe r x ----7 Xo , e naturale chiedersi se sia possibile approssimare f mediante un polinomio di secondo grado, commettendo un errore che sia o((x - XO)2) per x ----7 Xo. Cerchiamo dunque se esiste un numero reale a tale che si abbia
f( x) = f(xo)
+ J'(xo)(x -
x o) + a(x - xO)2
+ o((x -
XO)2),
X ----7 Xo.
(7.4)
Cio significa che lim f(x) - f(xo) - f'(xo)( x - xo) - a(x - XO)2
(x - xo)2
X ~Xo
=0 .
Applicando il Teorema di de l'Hopital, tale condizione
e verific ata se
f'(x) - f'( xo) - 2a(x - xo) 0 · IHfl. 2(x - xo) - ,
X ~Xo
ovvero se lim X ~X o
ossia an cora se
!
2
(! f'(x) - Xof'(xo) _ a) 2
x -
=
0,
lim f'( x) - f'(xo) = a. x ~X o
x - Xo
Concludiamo che la (7.4) e soddisfatta se il limite a primo membro esist e finito, cioe se f e derivabile due volte in xo; in tal caso, il coefficiente a vale ~ f" (xo) . Siamo quindi giunti alia nuova formula di Taylor (con resto nella forma di Peano):
(7.5)
234
7 Sviluppi di Tay lor e ap plicazion i y
= f (x)
y=Th(x)
f(xo)
;:r;o
Figura 7 .3. Approssimazione loc ale di f mediante iI p olinomio T h = Th ,xo dove
T h,xo (:J:) = f( xo) + f'( xo)( x - x o) + dicesi polinomio di Taylor di
~f"(xo )(x -
xO)2
f in Xo di grado (0 ordine) 2 (si ved a la Fi gura 7.3) .
II procedimento appe na descri tto per la cost ruzione dell 'approssimazione di f di ordine 2 puo essere reiterato, al fine di cost ruire appross imazioni polinomiali di f di ordine via via crescente. II risultato pre ciso e cont enuto nel seguente teorema . Teorema 7.1 Sia ti 2: 0 ed f derioabile ti volte in Xo. A llam, vale la formula di Taylor (7.6) f (x ) = Tfn ,xo(x) + o((x - xoY' ), x ----7 Xo, dove 1 'r (k)(Xo)(. . )k Tfn,xo(z) X -- ~ L k! ·'r - Xo
(7.7)
k=O
= f( xo) + f' (.'ro)(x - xo) + ... + ~.rcn)(xo) (x - xo)n . n.
II polinomio T f n,xo (x ) dicesi polinomio di Taylor di f in Xo di grado (0 ordine) n , mentre il te rmine o(( x - x o)n) nella (7.6) di cesi resto di ordine n nella forma di Peano. La rappresen t azione di f d at a d all a formula (7.6) di ccsi sviluppo di Taylor di f in Xo di ordine n , con resto nella forma di P eano. Con un 'ipot esi pili fort e su f , siarno in grado di dare urr'espressione pili precisa del rcsto nella formula di Taylor ; essa estende la (7.3).
7.2 Svilu ppi di Tay lor not evoli
235
Teorema 7.2 Sia n 2: 0 ed f derivabile n vo lte, con deri uaia n -esima con iinua, in Xo; ino lire, sia f deriuain le n + 1 vo lte in un in iorno di x o, tranne eve n tu almen te nel punto xo . A llora , va le la form ula di Taylor
per un opporiuno
x
compreso ira Xo ex .
L 'espression e preceelente del resto elicesi resto di ordine n nella forma di Lagrange, e la (7. 8) rappresen t a 10 svilup po eli Taylor eli f in Xo eli oreline n, con resto nella forma eli Lagrange. P er le dimostrazioni dei Teorem i 7.1 e 7.2 ~ Sviluppi d i Ta ylor . No t iamo infine che uno sv iluppo eli Taylor nell 'origin e (xo = 0) si chia ma anche sviluppo di Maclaurin. Un' utile proprieta che permette eli semplificare il ca1colo elegli sviluppi eli Maclaurin e la seg ue nte. Propriet.a 7.3 Il polinomio di Mac laurin di una f un zion e pari (rispettivam ente dispari) contiene so ltanto pote nze pari (rispettivamen te dis pori] della uariabile indipendente . Dimostraz ione.
Supponiarno che f sia una funzione pari, elerivabil e n volte in un intorno dell'origine . La pro prieta segue dalla (7.7) con Xo = 0, se faccia mo vedere che t utte le derivate di ordine disp ari di f si an nullano nell'origine . Ricordando la Proprieta 6. 12, dall'ipotesi che f sia pari d educiarno che I' e dispari , f" e pari , I'" e dispari e cosi via. In generale, le der ivate di ord ine pari f (2k ) sono funzioni pari, ment re le deri vate di oreline dis pari f (2k + l ) sono fun zioni elisp ari . Per concl uelere, e sufficiente osservare che un a fun zione elisp ari 9 definit a nell'origine necessariamente si an nulla in tale punto; infat ti , pon endo x = 0 nella relazione g(-x) = -g(x) si ottiene g(O ) = - g(O), da cui g(O ) = O. Analogamente si rag iona nel caso in cui f sia disp ari . 0
7.2 Sviluppi di Taylor notevoli Det erminiamo ora gli sv ilup pi eli Taylo r di a1cune funzioni eleme ntari. Nel successivo Paragrafo 7.3, usererno t ali risult a ti p er ot ten ere gli svilu ppi eli diverse a lt re fun zioni.
236
7 Sviluppi di Taylor e applicazioni
Funzione esponenziale Sia f (x) = e" . Ricordando che tutte le su e derivate coincidono con eX, abbia mo f Ck) (0) = 1 per ogni k 2': o. P ertanto, 10 sviluppo di Maclaurin di ordine neon resto di P eano della funzione y = eX e e
X
x2
xk
xn
2
.
n.
= 1 + x + - + .. .+ -k l + ... + , + o(x
n
)
= L kI + o(x n
xk
k=O
.
n
),
(7.9)
mentre se esprimiamo il resto nella forma di Lagrange , abbiamo n
X
~
e = Z::
k=O
x
k
e
x
kT + (n + l)'x
n +l
,
per un certo
x compreso
tra 0 e x .
(7.10)
I polinomi di Maclaurin della fun zion e eX di ordine n = 1,2 ,3,4 sono rappresentati in Figura 7.4. Osservazione 7.4 Poniamo x = 1 nella formula preced ente: (con 0 <
x<
1) .
f
Figura 7.4. Approssimazione locale di f( x) = eX m ediante i polinomi Tfn = Tfn.o per n
= 1,2 ,3,4
7.2 Sviluppi d i Taylor notevoli
Per ogni data da
~
ti
237
0, otteni amo dunque uri'a pprossim azione (per difetto) de l numero e, 1
n
en
=
L
k=O
(7.11)
k' ;
ino ltre, osservando che 1 < eX < e < 3, abbiamo pure un a st ima dell 'errore com messo: 1 3 I < e - en < ( (n + l ) . n+l )'. . Poiche il fattoriale cresce mo lto veloccmente al crescere di n , la successione {en} converge verso il lim it e e in modo mo lto velocc, a differenza di quanto faccia la successione {a n = (1 + ~ usat a per definire il numero di Nepe ro (si veda la Tabella 7.1 e la si confronti con la Tabella 3.1) . Pertanto, la (7.11) rappresenta un'ot t ima formula per il calcolo numerico approssirnato del numero e. 0
r}
n
en
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.0000000000000 2.0000000000000 2.5000000000000 2.6666666666667 2.7083333333333 2.7166666666667 2.7180555555556 2.7182539682540 2.7182787698413 2.71828 15255732 2.7182818011464
Tabella 7 .1. Alcuni va lori de lla suc cessione en definita in (7.11)
Lo svi luppo de lla funzione f( x) = eX in un punto Xo gene rico si ottien e osservando che f Ckl( xo) = eX" e dunque
Funzione logaritmo Sia f (x) = log x. Le sue d erivate succ essive sono
f , () x
= -1 = x -
x
1
,
J"(x) = (- 1)x - 2
,
J"'( x) = (-1)( - 2)x - 3
,
238
7 Sviluppi di Taylor e applica zion i
e, in gene rale, Ne segu e che, per k 2: 1, f(k )(l) = (_l) k-l ~
k!
k f in Xo = 1 risulta essere
e dunque 10 sviluppo di Taylor di ordinc n di
10g x = (x - 1) -
(x -
1)2
2 ( .
n
= "l) - l )k- l :L ~ l
+ . . . +(_ 1)n- l
)k
(x - l )n n
+ o((;r - 1)n) (7.12)
+ o((x - 1)n) .
k= l
E ffet t uando il cambiament o di vari abile indipendente x - I ~ x, otteni amo immediatamen te 10 sviluppo di Macla urin di ordine n della funzione 10g(1 + x ) 10g (1 + x) = x n
=
2) k= l
x x 2" + . .. + (_1) n- l--;- + o(x n) n
2
(7.13)
k
_ l )k- l x + o(x n). k
I polinomi di Maclaurin della fun zione y = log( 1 + x ) di ordine n = 1, 2, 3, 4 sono rappresentati in Figura 7.5.
Th /
f
\ Tfl
Th l Th ! f
.
\ \ \ \
Tf4 \ Tf4 Figura 7.5. Approssimazionc locale di f( x) = log(1 Tfn.o p er n = 1,2 ,3 ,4
Th
+x)
m ediant e i p olinomi Tfn
=
7.2 Sv iluppi eli Tay lor not evoli
239
Funzioni trigonometriche Conside ria mo la fun zione j (x) sin x . Ri cordand o che il senD e un a funzio ne disp ari , in bas e a lla Proprieta 7.3, il suo sviluppo di Macl aurin contiene soltant o potenze d ispari. Abbiamo j' (x ) = cos x , jlll (X) = - cosx e, in gen erale, j (2k+ 1) (x) = ( - l) k cos x ; d un que, r - : » (0) = ( - l)k . Ne seg ue che il suo svil uppo di Macl aurin di ord ine n = 2m + 2 e 3
x . . _ X. - I" .x 5 - . . . + (+ I" 3. 5.
Slll X -
m
= "'(_ l) k Z::
k=O
X 2m +1
l )m (2
m
+ 1) 1.
+ 0 ( x.2m+2) (7. 14)
2k + l
x + o (.-r2 m +2 ) . (2k + 1)!
Si osservi la p art icolare strutt ura di tale sviluppo, t ipica degli sviluppi di Maclaurin delle funz ioni dispari. 11 p olin omio di Macl aurin T Jz m +2,O di or dine pari 2m + 2 coincide con il polinomi o T h m +l ,O di ord ine disp ari 2m + 1, esse ndo j (2m +2) (0) = O. Arrestando 10 sv iluppo a ll'ordine 2m + 1, si avrebb e m
2k+l
~
(2k+ 1)!
sin x = "'( - l)k x k=O
+o(x 2rn+1)
'
ma la (7.14) e preferibile, in quanta forni sce un 'informa zione pili pr ecisa sul comportamento del rest o per x -> O. I po linomi di Maclaurin della funzio ne y = sin x di ordine 2m + 1 per 0 :::; m :::; 6 sono rappresentati in Fi gura 7.6. Tfg
Th
r t.,
Th
Th :l
T !5
Th
y )'
\
\
\\
/
/ I
T Ill Th Figura 7.6 . Approssimazione local e eli f (x)
T h m+l ,O p er 0 ::; m ::; 6
sin x medi ante i polinomi T h m+l
240
7 Sv ilup p i di Tay lor e a pp licazioni
f \
\
\
\
\
\ \
\
\
Th \ Figura 7.7. Approssim azion e locale d i f (x ) p er 1 :S m :S 6
= cos x
m ed iant e i p olinorni Th Tn
= T hTn,o
Per quanto riguarda la funzi on e pari f (x ) = cosx, il suo sv iluppo di Macl aurin cont iene solo pot enz e pari . Abbiam o f "(x) = - cosx, f (4)(X) = cos x e, in generaIe, f (2k) (x) = (- l)k cos Xi dunque, f (2k) (0) = (- l)k . Ne seg ue che il suo sv iluppo di Macla urin di ordine n = 2m + 1 e cos x
=
x2 1- 2
4!
_,,( v x - L - 1 (2k) ! + rn
2rn
4
x + -x - ... + (_ l)rn _'__ + O(X 2rn+ 1)
(2m) !
.2k
0
(
x
2rn +l)
(7.15)
.
k =O
Valgono per t ale sviluppo cons ide raz ioni analoghe a quelle fatte per 10 sv iluppo della funzione sin x. I polinomi di Maclaurin della funzione y = cos x di ordine 2m per 1 :S m :S 6 sono rappresentati in Fi gura 7.7 . Funzioni elevamento a potenza Co nside ria mo la famiglia di fun zioni p ot enz a f (x ) = (1+ x )Q, con a E IR arbitrario . Abbiam o
= a( l + x)Q- l f " (x ) = a(a - 1) (1 + x)Q-2 J" ' (x ) = a(a - l )(a - 2) (1 + x) Q-3 f' (x )
e, in generale, f (k)(x) = a(a - 1) .. . (a - k
+ 1) (1 + x) Q-k . Dunqu e
7.2 Sviluppi di Taylo r notevoli
j CkJ(O)
j(O) = 1 ,
0:( 0: -
- --
1) . . . ( 0:
k!
k
-
+ 1)
k!
241
per k :::: 1 .
E allora conveniente estende re la defini zione di coefficiente binomiale dat a in al cas o in cui
0:
(1.10) sia un numero reale qu alsiasi , ponendo, in analogia con la (1.11) ,
0:) = 0:(0: - 1) . .k!. (0: (k
k + 1)
per k :::: 1 .
Ne segue che 10 sv ilupp o di Macl aurin di ordine n di j(x)
I
(7.16)
e
(7.17)
Dettagliamo alcuni casi particolar i notevoli dell a pr eced ente famiglia di sviluppi . P er 0: = - 1 si ha
- 1) = (-1)( -2) = 1 2 ' ( 2
(-1) = (-1)(-2)( - 3) =_ 3
3!
(-1) _(-1)(-2) · · ·(-k ) __ 1) , k
-
k!
- (
1, ... ,
k
e dunque 1
-- = 1 -
1+ x
Inve ce, per
x
+ x2 -
.. .
+ (_l) nxn + o(.1;n) =
2) -llx n
k
+ o(x n) .
(7.1S)
k =O
0:
= ~ abbiamo
1) 2 _ 1(1 2 2 _1) (2 2 -
_1
S'
( 3~ ) = ~ ( ~ -1)(~ 3!
2) = ~ 16 '
e dunque 10 svilupp o arrest a to a ll'ordine 3 della funzione j(x) =
I polinomi di Maclaurin della funz ione y = rapprese ntati in Fi gura 7.S.
Vf+X
Vf+X e
di ordine n = 1,2,3,4 sono
242
7 Sviluppi di Taylor e ap plicazion i
Figura 7 .8. Approssim azione locale d i f( x) per n = 1,2 , 3,4
= VI + x
mediante i polinomi T i « = T f n,o
P er comodita dell 'allievo, riportiamo nella sottostante lista gli sviluppi di Maclaurin con resto di P eano ottenuti finor a . Una list a pili completa si trova a pag.444. .
eX
x2 2
xk .
= 1 + x + - + ... + -kl + ...
10g(1
+ x) = x
x2 - 2
x3
x5
+, + xn
n.
o(x n )
n
+ ... + (_1) " -1 _x + o(x n) n
X 2rn+ 1
. . _. . sin x - x - "I 3.
+ "I 5.
x2 cosx = 1 - ~ 2
x + -x - .. . + (_ l )rn _ _ + O(.T 2rn+ 1)
- . ..
. ( 2rn+2) + ( - L)?' (2m + 1)'. + 0 x
4
2rn
4!
0:(0' 2- 1) x
(l + x )<X= l +o:x + 1
-- = 1 - x + x2
l +x
1 2
v'l+X = 1 + - .T -
-
.. .
1 _x 2 8
(2m)!
2
+ ...+
(0:) n x n + o(x n )
+ (-l)" x n + o(x" ) 1 3 x 16
+_
+ o(x 3 )
7.3 Operazioni sugli sviluppi di Taylor Se la fun zion e f ha una espressione piuttosto com plica ta, che fa int ervenire diverse fun zioni elementari, puo non essere agevole ca1cola re 10 sviluppo di Taylor
7.3 Operazioni sugli sviluppi di Taylor
243
di f usando Ia definizione, cioe ca1colando il valore in Xo dell e derivate di f fino all'ordine n . Al contrario, partendo d agli sviluppi noti delle funzioni elementari, e spesso pili convenient e combinarli - secondo procedimenti illustrati qui di seguito in modo d a pervenire a quello di f . Questo approccio e giustificato dal seguente risultato. Proposizione 7.5 Sia f : (a, b) -+ lR una [un zioti e deriuabile n volte in Xo E (a, b). Se esiste un polinomio Pn di qttulo :s: n, tale clie
per x allora Pn coincide con il polinomio di Taylor Tn daf in xo · Dimostrazionc.
-+
Xo,
(7.19)
= Tfn,xo di ordui e n qen eraio
Dalla (7.19) si ricava chc
Pn(x)
= f(x) + cp(x) ,
con cp(:r:)
= o((x - xo)n)
Analogamente, dalla form ula di Taylor pCI'
per x
-+
Xo .
f in Xo,
con 'ljJ (.T ) = o((x - xoy'). Dunque
Pn(:r) - Tn (:r) = cp(x) - 't/J (x ) = o((x - .ToY'). D 'altro canto, la diffcrcnza Pn (:r) - Tn (x) :s: n , c dunquc si potra scrivere corne
(7.20)
e un po linomio eli graelo
n
Pn(x) - Tn(x)
= L cd·T - xO)k . k=O
Dobbiarno elimostrare che tutti i coefficienti Ck sono nu lli. Pe r assurdo, supponiamo che esistano dei Ck no n nulli, e sia m il pill piccolo iudice cornpreso t ra 0 eel n tale che Cm =1= O. Allora n
L
Pn(.T) - Tn(x) =
cdx - XO)k
k =nl-
c, dividendo per (x - x oy n, si ha
Passando allimite per x
-+
Xo e ricorelando la (7.20) , si ottiene 0=
contra l'ipot esi.
Cm ,
o
244
7 Svilu pp i d i Tay lor e a pp licaz ioni
La pro posizione app en a d imost rat a ci as sicura che, qu a lu nque sia la strada co n cu i a rrivia mo ad u na espress ione del t ipo (7.19) (p urc he m a temati camen t c leci t a ), essa fornisce precisament e 10 sv ilup po di T aylor d i ord ine n in Xo d i f . Esempio 7.6 Suppon iamo d i sapere che un a funzion e f (x ) soddi sfa
f (x ) = 2 - 3(x - 2) + (x - 2)2 -
~ (x -
2)3 + o((x - 2)3)
p er x
~
2.
Allora , ricordando la (7.7), deducia mo che
1"(2)
f (2) = 2,
1' (2) = - 3,
-2- = 1,
f(2 ) = 2,
1' (2) = -3 ,
1"(2) = 2,
1'" (2) 3!
e qui nd i
1'''(2) --
- ~2 '
D
P er sern p licita, supporremo nel segu ito ch e Xo = 0, A quest a sit u azione ci si puo semp re ridurre con il ca mbia me nto di variabile indipenden te x ~ t = x - Xo. Sia no ora
e
g(x ) = bo + b1 x
+ ... + bnx n + o(x n ) = qn(x ) + o(x n )
gli sv ilup p i d i Maclaurin di d ue fun zioni
f
e g.
Somma algebrica di sviluppi Abbiamo , usando la (5.5) a) ,
f (x ) ± g(x ) = [Pn(x ) + o(x n) ]± [qn (x ) + o(x n )] n n)] = [Pn(x) ± qn(x )] + [o(x ) ± o(x n) = Pn(X) ± qn(x) + o(x . Dunque 10 svilu p p o di una somma algebrica di funzioni sv iluppi.
e la somma alge brica dcgli
Esempio 7.7 Calc oliamo gli sv ilu ppi di Taylor nell 'origine d elle fun zioni se no e coseno ip erbolico introda t t e nel P aragrafo 6.10.1. Ab b ia mo x2 x 2n + 2 x- I + ( ,2n+2) , e x + 2" + ...+ (2n + 2)! + 0 x
7.3 Oper azioni sugli sv ilu p pi di Taylor
245
e, ca mb ia ndo x in -x, e -x -_ 1. - x
+ -x
2
Dunque 1
X)
2
- ... + ( x3
X 2n + 2
+2
2n
)1 + 0 (x 2n +2) . .
x5
=
_ (eX - e-
= x + I" + I" + ...+ (
x 2n + !
)1 + o(x 2n + ) . 2 3. 5. 2n + 1 . Proced endo in modo analogo, si perviene allo sviluppo 2 4 2n 1 X X cosh x = -·(e X + e -X ) = 1 + -X + I" + ... + ( )1 + 0 ( X 2n+!) . 2 2 4. 2n . Si not i l'analogia con gli svi lu p pi d i sinx e cos x . sinhx
2
0
Nello svilu ppare la di fferen za f - g, si puo ver ificare la canc ellazione di t utte le pot en ze di x di es pone nte :S n , se ciasc una di qu est e com pare nei due sviluppi con 10 stesso coefficient e. P er otten ere la prima pot en za di x con coefficiente non nullo , e necessario allora partire da svilup pi di f e di 9 di ordine n' > n. In gene rale, non si puo dire a priori qu ale sia il valore minimo di n' necessario, e si pr oced e per tentativi. Si ri cordi com unq ue che se si usano svilup pi pill 'lunghi' dello stretto necessario, si fanno calcoli che a p ost eriori si riveler anno inu tili, rna no n si commette errore . Al contrario, se gli svi luppi sono pill 'cort i' de l necessario, si pe rviene a risult a ti no n significativi, 0, peggio ancora, in certe situaz ioni si com mette er rore. A buon int enditor ... Esempio 7.8 Si voglia det erminare l'ordine di infinitesimo in 0 di h( x) = eX -
VI + 2:1:
medi ante 10 sv ilu p po d i Maclaurin della funzione h (si veda a tale prop osit o il successivo P aragrafo 7.4). Se si usano gli svilu p pi al primo ord inc d i f (x )
e di g( x) =
= eX = 1 + x + o(x )
VI + 2:1: = 1 + x + o(x),
si ha un a cancellaz ione, e si puo solo dire che h( x ) = o(x ),
il che non basta a determinare l'ordine di infinitesimo di h . Se invece usiamo gli sv ilup pi del secon do ordine x2 2 f (x ) = eX = 1 + x + 2 + o(x ) g (x )
= VI + 2x = 1 + x
-
x2
2 + o( x 2 ) ,
a llora h (x )
dunque h (x )
= x 2 + o(x 2 ) ,
e un infinit esimo del seco ndo
ordine nell 'origine.
o
246
7 Sviluppi di Tayl or e applicazioni
Prodotto di sviluppi Abbiamo, us ando rip etutam ent e la (5.5) d) e poi la (5.5) a ),
f( x)g(x) = [pn(X) + o(xn)][qn(x) + o(x n)] = Pn(x)qn(x) + Pn(x)o(x n) + qn(x)o(x n) n) + o(x n) + o(x 2n) = Pn(x)qn(x) + o(x = Pn(X)qn(x) + o(x n) .
+ o(xn)o(x n)
Nell'eseguire il prodotto Pn(X)qn(x) ot t errem o potenze di x di esponente > n ; ciascuna di esse e un o(x n ) , dunque potremo fare a meno di ca1colarla. In altri termini, scriveremo dove Tn (X) cont iene t ut te e sole le pot en ze di x di esponent e :::; n. Be ne conclude che
f( x)g(x) = Tn(X) + o(x n).
Esempio 7.9 Ca1coliamo 10 sviluppo al secondo ordine nell 'origine di
VI + z e" ,
hex) = Abbiamo
f( x) =
x2
VI + x = 1 + "2 - 8 + o(x 2), X
g(x) = eX = 1 + x
2
+ ~ + o(x 2) ,
dunque
hex) = =
(
X 1 +"2
2
x - 8
)
x2 ) ( 1 + x+ 2
= 1
(
1+x
2
x +2
2
)
+ o(x 2)
I:iil)
x +L:IJ + ( "2x + 2
I:iil
2 (8 x +m+llij +o(x 2)
~)
+ "2 x + sx2 + o(x 2). 3
7
Abbiamo riquadrato i termini di ordine supe riore al secondo nel prodotto dei due polinomi, cioe qu elli che vengono inglob ati nel simbolo o(x 2) (e dunque possono D non essere ca1colat i esplicit ament e). Quoziente di sviluppi Supponiamo che g(O) =I- O. Posto
hex) = f( x) , g(x)
7.3 Operazioni sugli sviluppi di Taylor
247
cerc hia mo uno sviluppo di n
con rn( x) = 2:::Ckxk. k=O Dovra essere
h( x)g(x)
e dunque rn(x)qn(x)
=
f( x)
+ o(x n ) = Pn( x) + o(x n) .
Cio significa che la part e di grado :::; n del polinomio (di grado 2n ) rn (x )qn(x ) deve coinci de re con Pn (x). Cio permette di det erminare i coefficienti Ck di rn (x) , in ordine crescente di indice, a part ire da Co. II calcolo puo essere organiz zat o seco ndo le regole di divisione de i p olino mi, purche qu esti siano ordinati secon do le potenze crescen ti di x : aO + a lX + a2x 2 + ao + a~x + a~ x2 + 0+ ihx + 0'2 x2 + o'l X + 0,~x2 +
+ anx n + o( x n) + a~ xn + o( x n) + o'nx n + o(x n) + o'~xn + o(x n)
bo + b1x + b2x 2 + ...+ bnx n + o( x n) Co + CIX + ... + cnx n + o(x n)
Esempi 7.10 i) Calcoliamo 10 sviluppo al secondo ordine di h( x) (7.9) e (7.13), si ha eX = eseg uia mo la division e 1+x
2 3
3
1
+ "2 x 2 + o(x 2) 1 3
2
54
3
3 + 2x - x 2 + o( x 2)
11 2 2 + o(x 2 ) -31 + -91 x + -54 x + o( x )
+ -1 x + _11 x 2 + o(x 2) . 9
x
2 1e ( ). Usando le + og 1 + x l+ x+~ x2+ o(x2) , e 3+210g(1+ x) = 3 + 2x -x 2 + o(x 2);
1+ - x - - x
. 1 da cm h(x) = -
=
248
7 Sviluppi di Taylor e ap plicazion i
ii) Calcoliamo 10 sviluppo al qu arto ordine di h(x) = tanx . Poiche la fun zione e disp ari , e sufficient e ca lcola re il polinomio di Maclaurin del terzo ordine che coincide con qu ello del qu arto . Abbiamo sin x = x -
x3
6 + o( x 3 )
e
dividendo XX -
x3
6 + 0( x 3) x3
2 + o(x
3
1-----"'------
)
x3
:3 + 0( x 3 ) x3
:3 + 0( x 3 ) 0( x
3)
otteni amo D
Sviluppo di una funzione composta Sia
f( x)
=
al x
+ a2x 2 + ...+ anx n + o(x n)
10 sviluppo di Maclaurin di una funzione infinit esirna per x Sia poi
g(y)
-->
0 (dunque ao = 0) .
= bo + b1 y + ...+ bnyn + o(yn )
10 sviluppo di Maclaurin (rispetto a y) di un'altra fun zion e g(y) . Si noti che
significa
infini tesirno di orditie superi orc a yn
p er y
-->
0,
che possiamo anche scrivere con 0(1)
-->
0 p er y
Possiamo dunque formare la funzione com p osta h(x) f( x) nello sviluppo di g(y ) abbiamo
g(f( x))
-->
O.
= g(J(x)) . Sostituendo
y
=
= bo + bd(x) + b2[f( x)] 2 + ...+ bn[f(x)] n + [f( x)] no (l ).
Si noti che , p er la cont inuita di f( x) in 0, si ha che y = f( x) --> 0 p er x --> 0, dunque nell'espressione pr eceden te 0(1) --> 0 anche p er x --> O. Inoltre, dallo sviluppo di un prodotto si ha che
7.3 Oper azioni sugli sviluppi di Taylor
249
Dunque
[j (x )]no (l ) = o(x n)
per x
----+
o.
Sviluppando le po t enz e [j( x)]k (1 < k < n) risp etto ad x fino all' ordine n, si p ervien e a llo svilupp o di g(J(x)) . Esempi 7 .11 i) Calcolia mo 10 sviluppo di ordine 2 in 0 di h(x)
= evl+ x -
1.
Poniamo
Allo ra
h(x) = 1 + (
2
"2X - 8x + o(x 2)) + 2"1 (x"2 - 8x 2 + o(x 2 ) ) 2 + o(x 2 )
= 1+
(~ _ ~2 + O( X2)) + ~ (:2 + o(x 2)) + o(x 2)
= 1+
"2 + o(x 2 ) .
X
ii) Calcol iamo 10 svilupp o di ordine 3 in 0 di 1
h (x ) - ----,------,----1+10g(1+ x) Quest o svilupp o puo esse re calcolat o come sviluppo di un qu oziente. In alte rnativa, possiamo pen sare h(x) corne una funzione composta, precisamen t e da
f( x)
x2
x3
= 10g(1 + x ) = x - 2 + 3 + o(x 3 )
e da 1
Allora
g(y) = _ _ = 1 _ y +y2 _ y3 + o(y3). l+y
250
7 Sviluppi di Taylor e applicazioni
Osservazione 7.12 Qu ando f(x) e un infinitesim o di or d ine superiore al primo nell 'origine, e possibil e 'risparmiare' calcoli, nel senso che si puo ottenere uno sviluppo di ordine n di h(x ) = g(J(x)) par t endo da sviluppi di ordine < n di g(y ). Ad esempio, se f e un infini t esim o di ordine 2 nell 'ori gin e (cioe al = 0, a2 =I- 0), allora [f(x)jk = a~ x2 k + o(x 2k) , dunque per ot tenere uno sviluppo di ordine n di h(x ) e sufficiente partire da uno sviluppo di ordine -i (se n e pari ) op pure (se n e dispar i) per la fun zione g(y ) (me ntre, in gene rale, f (x ) deve esse re sviluppata fino all'o rdine n). 0
n!1
Esempio 7.13 Calcoliamo 10 sviluppo al secondo ordin e di h(x) = J cos x = J~ 1+---'(c o-s-x---1-""") . P oniamo x2 (2° ordine ) f( x) = cos x - 1 = - 2 + o(x 2)
g(y)
= Jf+Y = 1 + ~ + o(y)
(1° ordine ).
Allor a
h(x ) = 1 +
=
1-
~ ( _ ~2 + o(x 2)) + o(x2) x2
4 + o(x 2)
(2° ordine).
o
Sviluppi asintotici (non di Taylor) Qu an do un a fun zione f (x ) e infinita per x --+ 0 (opp ure per x --+ xo), e in molti casi possibile dare un o sviluppo 'as intot ico' di f (x ) seco ndo pot enze crescenti di x (0 di x - xo), ammettendo anche pot enz e negati ve. In a ltri termini,
f (X ) = -a-m xm
m+l n (n) . a- I + -a- 1- + ... + - - + ao + alx + ...+ anx + 0 x xm X
Qu esto permette di meglio comp re ndere il modo con cui f tende a infinito. Infat ti , se a _ m =I- 0, f risul t era un infinito di ordine m risp et t o all' infinito cam pione X- I . Sp esso e po ssibi le arrivare a un o sviluppo del tipo precedente, partendo da 1
sviluppi di Taylor di f( x) (che
e infini t esima per x --+ 0).
Anche in qu esto caso, ci limitiamo ad illu strare il procedimento con un esempio. Esempio 7.14 Si voglia dar e un o sviluppo 'asintotico' per x
--+
0 della fun zione
1
f (x ) = eX _ 1 . Dallo sviluppo della funzione espo nenz iale, arrestato ad ese mpio al terzo ordine, abbiamo
7.4 Uso degli svilu pp i di Taylor nello studio local e di un a funzione
251
Dunque 1
1
f( x) = -
X
X
1 + 2"
X
2
+ 6 + o(x
2
.
)
La seconda frazione puo essere sviluppata usando 10 sviluppo di Maclaurin di 1 __ = 1 - y + y2 + 0(y 2) ;
ponendo
l+y
si otterra
2) = + -x12 + o(x) 2
1 + -x + o(x) , 2 12 che rappresenta uno sv iluppo asintot ico della funz ion e f nell 'origine. Da esso si puo dedurre ad ese m pio che, per x ----> 0, la fun zion e f( x) e un infinito di ordine 1 ri sp et to a ll' infinit o campione cp(x ) = ~ . Inoltre, trascurando il term ine in x e scrivendo f( x) = ~ + 0(1) , otteniamo che la fu nzione e asint ot ica a ll'ipe rbole 2- x o g(x) =~ .
f( x) = -1 ( 1 - -X x 2
1 x
- - -
!
7.4 Uso degli sviluppi di Taylor nello studio locale di una funzione Lo sviluppo di Taylor di una fun zion e f( x) in un punto permette di studiare il com p ortamento local e d i f in un intorno di t al e punto. Esaminia mo nel seg uit o a lcune significat ive ap plicazioni.
Ricerca di ordini di infinitesimo e di parti principali Sia
xot + o(( x - xo)n) 10 sv iluppo d i Taylor di ordine n di f in un punto xo, e supponiamo che per un cert o intero m tale che 1 :s: m :s: n si ab bia ao = al = ... = am- l = 0, rn a am i=- 0. Allora
f( x) = ao + alex - xo) + ...
+ an(x -
f( x) = am(x - x oyn
+ o(( x
- xo)m)
e dunque f( x) , in un intorno di Xo sufficientemente piccolo, si comportera come la fun zione polinomial e
p(x) = am(x - x o)m, che ne costituisce la parte prin cipale rispetto all 'infinitesimo campione y = x - xo. In particolare , f( x) sara un infinitesimo di ord ine m rispetto a tale campione.
252
7 Sviluppi di Taylor e appli cazioni
Esempio 7.15 Si voglia calcolare l'ordine di infinitesimo e la parte principale per x -+ 0 della funzione f (x) = sin x - x cos x - ~ x 3 rispetto all'infinitesimo campione rp(x ) = x . Usando gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni seno e coseno si ottiene facilmente
f( x)
= -
310x5 + o(x 5) ,
X -+
o.
f e un infinitesimo di ordine 5 e la sua parte princip ale vale p(x) Si osservi che ottenere 10 stesso risultato con il Teorema di de l'Hopital sarebbe risultato ben pili gravoso dovendosi derivare 5 volte la funzione. 0 Dunque - 310x5 .
Comportamento locale di una funzione Se di una funzione f conosciamo 10 sviluppo di Taylor del secondo ordine nell'intorno di una punto Xo,
x
-+
Xo ,
allora dalla (7.7) deduciamo che
f( xo) = ao ,
1'(xo)
=
aI ,
Supponiamo che f e la sua derivata prima e seconda siano continue in un intorno di xo. Allora, grazie al Teorema della p ermanenza del segno, i segni di ao, al e a2 (qualora tali quantita siano diverse da 0) coincideranno rispettivamente con i segni di f(x) , 1'(x), 1"(x) in tutto un intorno di x o. Cia permette, in particolare, di conoscere la monotonia e la convessita di f in t ale intorno, applicando il Teorema 6.26 b2) e il Corollario 6.37 b2). Esempio 7.6 (seguito)
I
Riprendendo l'Esempio 7.6, abbiamo f(2) > 0, 1'(2) < 0 e 1"(2) > O. Dunque, in un intorno di Xo = 2, f sara strettamente positiva , strettamente decrescente e strettamente convessa. 0
I casi in cui al = 0 oppure a2 = 0 sono considerati nel seguito. Studio della natura di un punto critico Sia Xo unpunto critico di una funzione f , derivabile in un suo intorno. Sappiamo (Corollario 6.27) che se l' e di segno diverso a destra e a sinistra di Xo, allora Xo e un punto di est remo per i: invece, se l' e di segno costante a destra e a sinistra di Xo, allora Xo e punta di Besso a tangente orizzontale p er f . In alternativa all'analisi del segno della derivata prima nell 'intorno di xo, quando f ammette derivate di ordine superiore in Xo e possibile studiare la natura del punto critico analizzando la prima derivata di f che non si annulla in tale punto. Vale infatti il seguente risultato.
7.4 Usa degli sv ilu ppi di Taylor nella st ud io loc ale di un a funzione
253
Teo rem a 7.16 Si a j derivabile n volte (n 2: 2) in Xo e si abbia j " (Xo) =, .. = j (m -l ) ( Xo) = 0 ,
(7,21)
per un certo m talc che 2 ::s: m ::s: n. A llora:
c pari, ,TO C punto di estrem o per j , e precisameni e e pun to di m assim o se j (rn )(xo) < 0, punto di minimo se f (rn )(xo) > 0; ii) se m e dispari , Xo c pun to di flesso a tang ent e orizzontale per I , e precisame nte e punto di flesso discendent e se j (m ) (xo) < 0, ascendent e se f (m)(.To ) > O. i) se m
Dimostrazionc,
Confro nt iamo j (x) con j (xo) in un intorno eli Xo. P art endo dalla formula eli Tay lor (7.6)-( 7,7) c usand o lc ipot esi (7.21), ottcniarno
f'(X ) - ,f'(:1:0) =
,
j ("' ) (:1:0) , UL
(:1: - Xo )'"
+ 0 (( .T - :z:o)111) '
Scr ivcndo 0(( :1: - xo)',,) = (:r - :r o)"' o(l ) e ra ccogliendo il fattore (:r - :r o)' '' , abbiarno
j (x ) - f (x o) = (x - ,Tor'"
I' (m ) (T [
,' ()
rn ,
)
+ h(:z: )]
,
dove h(x) C una opp ortuna fun ziono infini t esim a per :r ----+ :z:o' Pertanto, in un int orno eli Xo abbastanza piccolo, il te rminc racchiuso tra parentcsi qu ad re avra 10 stosso segno eli j (111 ) (:1:0); dunque il segno eli f (x) - j (:1;0) in talc intorno sa ra determinat e dai segni eli f (111)(XO) c (x - XO)111. Esaminando i vari casi possibili , si giungc alia tcsi . 0
Esempio 7.17 Supponiamo che in un intorno eli Xo = 1 si ab bia
f( x)
=
2 - 15(x _1) 4 + 20(x - 1)5 + o((x - 1)5).
(7.22)
Deduciamo che
1"(1) = 1"'(1) = 1""(1) = 0 ,
mentre
f (4 )(I) = -360 < O.
P ertanto , Xo e punta eli massimo rela t ive per f (si ved a la Fi gura 7.9 a sinistra) . Supponi amo invece chc in un intorno eli X l = - 2 si abbia
f( x) = 3 + 10(x
+ 2)5 -
35(x
+ 2)7 + o((x + 2)7).
(7.23)
Deeluciamo che
1"( - 2)
= 1"'( -2) = f'lI( - 2) = f (4 )( - 2) = 0,
mentre
f(5 )( -2)
Pertanto , Xl e punta eli fless o ascenelente a t angente orizzon t ale la Fi gura 7.9 a elestra).
= 10 · 5! > O. p er f (si veela 0
254
7 Sviluppi d i Taylo r e a pplicazioni
y
=
y
f (x )
2 ----------
= f( x)
--------------
3
-2
Figura 7.9. Comport amen to della funzion e f( x) definita in (7.22) nell 'intorno di X Q = 1 (a destra) e della funz ione f( x ) definita in (7 .23) nell 'intorno di X Q = - 2 (a sinistra) Ricerca d ei punti di fle sso Sia f una funzione derivabile due volte in un in torno d i x o. Mediant e le formule di Taylor, e possibile decidere se Xo sia 0 m eno punto di fiesso p er f . R icordiamo innanzitutto che nel Capitolo 6 abbiamo enu nciato il Corollario 6.38, rimandandone la giustificazione al presente p aragr afo. Vediamo ora t al e dimostrazione. Di mostrazion e. a) Sia Xo punta di flesso p er
f . Indi cat a
come al solito con y
=
t(x) = f (xo) + f' (xo)(x - xo) l'equazione della ret t a tange nte al grafico di f in Xo , dall a formula di Taylor (7.6) con n = 2 ricaviamo
Raccogliendo a secondo membra il fat t or e (x - xO)2 p ossiamo scrivere
f( x ) - t (x ) = (x - xO) 2 D!" (XO)
+ h(X)]
,
p er un a opp ortuna fun zion e h infinitesirn a in xo. Se p er ass ur do fosse f" (xo) =I 0, in un intorno a bbastanza piccolo di Xo il secondo membra av rebbe seg no costante a destra e a sinist ra di Xo, cont raddicendo l'ipo tesi che Xo sia punta di flesso. b ) In qu est o caso, usiamo la formula d i Taylor (7.8) , sem pre con n = 2. P er ogn i x =I Xo in un intorno di Xo, esiste un punta X cornpres o Lra Xo e x tale che f (x) - t (x ) =
~!" (x)(x -
XO)2.
La conclusi one seg ue allora dall 'analisi del seg no dei t ermini a 0 secondo membro.
7.4 Uso degli svilu ppi di Taylor nello studio locale d i una funzi on e
255
Supponiamo, d 'ora in avanti , di sapere che I "( XO) = O. In alternativa all'analisi del segno della derivat a seconda nell 'intorno di Xo, quando 1 amme t te derivat e di ordine superiore a l secondo in Xo e possibile studiar e la natura di Xo analizza ndo la prima derivat a di 1 di ordine > 2 che non si annulla in t ale punto . Vale infat ti il segu ente risultato. Teorema 7.18 Sia 1 derivabile n valle (n > 3) in Xo e si abbia
I Xo - . . . - I Cm- 1) ( Xo ) -- 0 , II (
)
-
(7.24)
-
per un certo m tale che 3 :::; m :::; n . Allam :
i) se m e dispari, Xo e punta di fiessa per I , e precisam ent e e punta di fiessa discendent e se I Cm)(xo ) < 0, ascendent e se f Cm)(xo) > OJ ii) se m e pari,xo nan e un punta di fi esso per I . Dirnostrazione. Procedendo in modo ana logo a quanto fatto nella dimost ra zione del Teorema 7.16, otteni amo Ia relazione
f (:r ) - t( x) = (.r - xo )m [
f cm)(x o) m!
+ h(x)
]
,
dove h(x) indi ca un a opportuna fun zione infinitesim a per x ----+ XO. II risul tato segue allora dalla discussione dei segni dei termini a secondo membra. 0 Esempio 7.19 Supponi amo che in un int orn o di Xo = 3 si abbia
f( x)
=
- 2 + 4(x - 3) - 90(x - 3)5 + o((x - 3)5) .
(7.25)
Deduciamo che 1"(3) = 1"'( 3) = I (4)(3) = 0, mentre I (5)(3) = -90 · 5! < O. Concludiamo che Xo = 3 e punto di flesso discendent e per 1 (si ved a la F igura 7.10) . 0
3
/ - 2 - - --- -- - -- -- -- -i
y =t(x ) /
y
=
f( x)
Figura 7 .10. Com portamento locale della fun zione f(x ) defin it a in (7 .25)
256
7 Sv iluppi d i Taylor e applicazioni
7.5 Esercizi 1. Usando la definizione, scrivere il polinomio di Tay lor delle seg uenti funzioni, di ordine n e centrat o nel punto Xo:
[ill
= eX, n =4 , Xo = 2 b) f (x ) = sinx, n = 6, Xo = ~ [ill f( x) = log x , n =3 , Xo = 3 d) f( x) = v'2x + 1 , n = 3, Xo = 4 2 3 @] f (x) = 7 + x - 3x + 5x , n= 2 , f) f (x) = 2 - 8x 2 + 4x 3 + 9x 4 , n = 3, f (x )
Xo
=
Xo
1
=0
2. Determinare 10 sviluppo di Tay lor delle segu enti funzioni, centrato nel punto Xo e con il res to eli Peeno, sino al massimo ordine possibile:
[ill b)
f( x)
= x 2 1xl + e2x
f (x) = 2 + x
+ (x
Xo
,
Vx
- 1)
=0 1,
2 -
Xo = 1
3. Usando gli s viluppi delle fun zioni clem entari, detertninere 10 sviluppo di Maclaurin delle seg uenti funzioni, con il resto di Peano e sino all 'ordine indicato:
GJ
f (x) = x cos 3x - 3 sin x , 1+x log -1 - 3- ,
Qill [ill
f (x ) =
d)
f( x) =
e)
f( x) = Veos (3x -
rf)l ~
f( x) =
~
f( x) = cosh' x -
h)
f (x ) =
.
+
2
I)
f( x) =
£)
f( x)
=
e - x cosx
n =4
X
f( x) = eX sin 2x ,
n =2
n= 5
+ sinx -
cos x ,
x2) ,
n = 4
~ - sin x, 6 1 + x2 e 2x
-
1
C=O= '
v cos 2x
n =2
n = 5
vII + 2x 2 ,
n =4
n =3
1 10 ' -y8 sin x - 2 eos x
Vs + sin 24x 2 -
n = 3
2( 1 + x 2 eos x 2 )
,
n =4
4. Colcolere l'ordine di infinitesimo e I« parte prineipale p er x all 'in finitesim o cam pione 'f/(x ) = x, delle seguenti funzioni: a) f( x)
= ecos2x - e
fb)l f( x) ~
= cos 2x
---7
0, risp etto
+ log( 1 + 4x 2 ) eos h 2x
_
1
7.5 Eserci zi
~ f( x) ~
~ f( x) L.!J
=
3
JX3 -
sin Vi e 3 v'x - l
= x - arc tan
d) f( x) = 2x x
VI -
4x 2
f) f( x)
+ (x 2
{II -
=
x2
-
-
l+ x 1) log-I - x
~ X2
f (:1;) =
b)
f (x ) =e -~- 1
[ill d)
1
f (x)
X -
3
----+
+00 , rispe tto
1 2 - 2( x - 2) -log( x - 1)
= ~II + 3x 2 + x 3
f (:1:) =
4
VI - 3 + sin x18
5. Calcolare l'ordine di iniiiii tesuno e la parte principale per :r ell 'iniiniiesim o campione rp (x ) = ~, delle seguenti fun zioni:
Gill
257
2 + sinh 22
V'2 + 5x 4 + x 5
-
~
-
X
6. Calcolare i seg uenti limiti: lim (1 x ---> O
+ X 6 ) 1/( x
4
s in
2
b)
3x)
lim
cos .:J. 7rX 4
x ---> 2
d)
lim
[2]
e)
x ---> O
(e
x 7
-
~ 7r log :r. 2
2
(4 - x 2 ) 2
+ sin 2 x_sinh'' x)1/ x
4
lim 3x 4 [log(1 + sinh x )] cosh x x--->O 1 - VI + x 3 cos JX3 2
[2J
Determinare, al veriere di a in 1Ft, l'ordine di intinitesimo per x funzion e h(x) = log cos x + log cosh(ax) .
[]J
Cslcolere i1 valore della derivata sesta nel punta x
2
----+
0 della
= 0 della funzione
4
h(x) = sinh(x + 2sin x ) . 1 + x lO 2
[QJ
Posto rp (x ) = log(1
+ 4x) - sinh4x + 8x 2 ,
det erminare i1 segno della fun zione y = sin rp(x ) risp et tivamente in un intorno destro e in un in torno sinistro di Xo = o.
[]QJ
Provare cbe esiste un intorno di 0 nel quele vale la relazion e 2 cos( x
[ill
Celcolere, al variare di
0:
E
+ x2)
:::;
2 - x2
-
1Ft+ , i1limite lim
x--->o +
eX / 2
-
(x +
cosh
Vi
V'X )a
2x 3 .
258
7 Sviluppi di Taylor e applica zioni
~ Det erminare a E lR in modo cbe
f( x) = (arctan2x) 2 - o z sin z sia infinitesima del quarto ordine per x
----'>
O.
7.5 .1 Solu zioni
1. Polinomi di Taylor: a) Po iche t utte Ie derivate di f( x) = eX coincidono con la fun zione stessa, risulta f
1 71" 2 b) Tf6,~(x)=1-2(x-"2) c) Risult a 1'(x)
:31 ' f
/I (
3
)
= ~, 1
x
= - "9 ' f
j"( x)
/I, ( )
3
1
= - ~, x
71" 6
2
j"'(x)
=
2 e quindi f(3) x3
=
log 3, f'(3) =
= 27 ' Dunque
T h,3(X) = log 3 + d)
1
71" 4
+ 4!(x - "2 ) - 6!( x-"2) '
Th,4(X)=3+~(X-4)-
~(x -
3) - lIS (x - 3)2 + ;1 (x - 3)3.
14( 5 x -4) 2+
e) Poi che 1'(x) = 1 - 6x + 15x 2 e 1"(x) 1'(1) = 10, 1"(1) = 24 e pertanto T h,l(X)
=
4~6(x- 4)3 . =
-6
10 + 10( x - 1)
+ 30x ,
+ 12(x
si ot t iene f(l )
10,
- 1)2.
Osser viamo che, in alternativa, possiamo proced er e effettuando la sostituzione t = x - I , ovvero x = 1 + t . II polinomio f (x) nella variabile t diventa g(t)
=
f(1
+ t ) = 7 + (1 + t)
- 3(1
+ t)2 + 5(1 + t) 3 = 10 + lOt + 12t 2 + 5t 3.
Dunque il polinomio di Taylor di f (x) cent rat o in Xo = 1 corr isponde al polinomio di Maclaurin di g(t) e per cio si ottiene immedi atamente Tg 2,o(t) = 10 + lOt
+ 12t 2 ;
t ornando alla variabile x , si ritrova il risult ato preced ente. f) T h,o(x) = 2 - Sx 2 + 4x 3.
7.5 Esercizi
259
2. Sviluppi di Tay lor:
a) Osserviamo che f( x) = g(x) +h(x) con g(x ) = x 2 1x l e h(x) = e2x. La funz ione h(x ) e derivabile infinite volte su t utto JR, mentre la fun zion e g(x ) e continua su JR e derivabile infinite volte in ogni x -I- 0. Inoltre
g'( x)
2
se x > 0 , se x < 0 ,
= { 3X
- 3x 2
g" (x ) = {6X -6x
se x > 0 , se x < 0 ,
pertanto
=
lim g'( x)
x---+ o+
lim g' (x)
x---+o-
= 0,
lim g"( x)
x --+ o+
= lim g" (x) = 0. x--o -
Quindi, usando il Teorem a 6.15, deduciamo che g e derivabile due volt e nell'origin e con derivat a prima e seconda null e. D'altro can to , g"( x) = 61 xl , che no n e der ivabile nell 'origine; dunque g non e derivabile tre volt e in t ale punto . In conclus ione, la fun zione f e sviluppabile nell'origin e solo fino all'ordine 2. Poiche h'(x) = 2e2x e h"(x) = 4e2x , risul t a f(O) = 1, 1'(0) = 2,1"(0) = 4 e 10 sviluppo di Maclaurin di ordine 2 e:
f (x ) = 1 + 2x b) La fun zione
e derivabile
+ 2x 2 + o(x 2) .
solo un a volt a in Xo
f( x) = 3 + (x - 1) + o(x - 1).
=
1 e 10 sviluppo cercato
e
3. Sviluppi di Macla urin :
a) f( x)
= -2x + o(x 2).
b) Possiamo scrivere f (x ) = 10g(1 + x ) - 10g(1 + 3x) e utilizzar e 10 sviluppo notevole di log(l + t) con t = x e t = 3x . Si ottiene
f (x ) = X =
x2
x4
x3
2" + 3 - 4 -
-2x
+ 4x 2 -
d) f( x) = x 2 + o(x 2).
+ x3 -
(3X)2
+ -2- -
(3x) 3 (3x) 4 -3- + -4-
+ o(x
26 _ x 3 + 20x 4 + o(x 4) . 3
c) Utilizzando gli sviluppi di e t con t
e) f (x ) = 1 - ~x2
3x
~~X4
= x 2 e di sin t con t = 2x , si ha
+ o(x 4).
4
)
260
7 Sviluppi di Taylor e a pplicazion i
f) Utilizzando 10 sviluppo notevole della fun zione (1 si ha
+ t )D:
con
0'
=
-i e t = x
2
,
e quindi f( x) ,
=x
1 7 1 1 - _ x 3 + _x 5 - X + _ x 3 - _x 5 + o( x 5) 6 72 6' 5!
=
g) Usando gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni cosh x, (1 t = 2x 2 si ha f( x) = =
1 + x 2 + ~ X4 , 4
+ ~X4 + o( x 4) _ 4!'
1 3
=
+ t) D:
con
0' =
~ e
(1+~X2 + :! X4 +0(X4 )Y_(1+2x 2)1/2
= 1 + x2 + _ x4 h) f( x)
4 5 _ x 5 + o( x ). 45
2x
(1
+ ~2X2 + (1 2/2) 2
1
1 - x 2 + _ x 4 + o( x 4) 2
=
(2 X2)2
+ o( x 4))
5 _ x 4 + o( x 4) . 6
+ 2x 2 + 130 x 3 + o( x 3 ) .
i) Sostituendo a sin x e cos x i loro sviluppi di Macl aurin si ha 1 2 -2 - V8x + x + ~x3
f( x) =
+ o( x 3)
.
Proced endo alia divisione per potenze crescent i di x risulta f( x)
5 2 = --1 + -V2 x - -x + -17yin2 x 3 + o(x 3 ) . 2
2
4
4. Ordini eli iniiuites im o c parti prin cipali p er a) L'ordine di infini tesimo
12
:1;
---->
0:
e 2 e la parte principale e p( x)
b ) Scriviamo
=
+ 10g(1 + 4x 2 ) -
cosh 2x , cosh 2x e notiamo che per calcola re I'ordine di infinitesimo della funzione per x ----> 0 e sufficien t e st ud iare iI numer atore in quanta iI denominatore t ende a 1 p er x ----> O. Utilizzando gli sviluppi di Maclaurin delle fun zioni cos t , log( 1 + t) e cosh t si ha h(x)
cos 2x
= - 2e x 2 .
7.5 Esercizi cos 2x
+ log(1 + 4x 2) -
cosh 2x 1 2 1 4 1 = 1 - -(2x) 2+1 -(2x) 4 + (2x) - - (2x ) - 1 - -(2x) 2- 1 -(2x) 4 2 4! 2 2 4!
=
261
- 8x 4
+ O(X4 )
+ 0(x 4 )
e quindi l'ordine di infin itesimo richiesto e 4 e la parte princip ale
c) Usando gli sviluppi di Macl aurin di sin t e di et e pon endo t =
e p(x) = -8x 4 . VX, per t ----+ 0,
si ha 9 (t ) -
t 3 - sin 3t
e 3t - l
-
t 3_(t _.!.t 3+0(t3)) 3 1 +3t+o(t) - 1
-
_-----'-_-"6 -----,------,------'--'-----
cioe
f( x)
=
1
6' x 2 + 0(x 2).
e 2 e la part e princip ale e p(x) infinitesimo e 3 e la parte princip ale e p(x) = ~x3.
Dunque l'ordine di infinit esimo d) L'ordine di
e) Usando gli sviluppi di Macl aurin dell e funzi oni (I + t )'" (con si ha (1 - 4x 2) -1 / 2 = 1 + 2x 2 + o(x :l) ,
arctan
x
VI -
X
= x + 2x 3 + 0(x 4 )
4x 2
x
=
-
0'
=
i x 2.
= - ~)
e ar ct an t,
= X + 2x 3 + 0(:r4)
Vl- 4x 2 ~(x - 2x 3 + 0(X4)) 3 + 0(x 3) 3
5
+ 3 x 3 + 0(x 3) .
Dunque
f( x) =
_~ x3 + 0(x:3)
3 e quindi l'ordine di infinitesimo e 3 e la par t e principale f) L' ordine di infinitesimo 5. Orelini eli iniini tesuuo
a) P er x
----+
e 6 e la parte principale e p(x ) =
e p(x) (- 3~
=
+
-i x3. 2.13 )x 6.
e pert: pruicipnli per z ----+ +00:
+00, possiamo scr ivere x - 2 -log( x - 1) - 2(x - 2)2 - (x - 2) log( x - 1) x - 2 - 1og (x- l ) 2 2x - 8x + 8 - (x - 2) log( x - 1)
f (x ) -
=
-::-:-------=--,-;;------,-----=--:-::-:----;------,-
x + o(x) 2x 2 + 0(x 2)
=
1+ (1)~
2x
da cui si ved e che l'ordine di infinitesimo di principale e p(:r) = 2~ '
0
f per x
----+
+00
e1 e
la parte
262
7 Sviluppi d i Taylor e a p plicazion i
e 1 e la parte princip ale e p(x)
b) L'ordine di infinitesim o c) Possiamo scrivere
f( x) =
3
=x
(1 +~ +~) - x (1 +~ +~) (1 +~ +~) (1 +~ +~) x3
x3
5
5
x3
X
X
1/ 3 _
x5
X
x
1/5
x5
X
e, utilizzando 10 sviluppo di (1 +t)Q con (} = risp ettivamente, si ot t iene
f( x) = x
= - 4~ .
i, t = ~ + x\
e (} = ~, t = ~ +
[1 +~3 (~+~) _(i)2 (~ + ~) 2 + (~) + x x x 3
X
- 1_
0
3
X
2
~5 (~ +~) _(~)2 (~+ ~) 2 + (~)] x x x X
5
0
5
X
e 1 e la part e principale e p(x) L'ordine di infinitesimo e 2 e la parte princip ale e p(x) = 3~ Pertanto l'ordine di infinitesimo
d)
2
= ~
G. Limiti:
a) Possiamo scrivere lim (1 + x 6 ) 1 / ( x
4
2
si n
3x )
= lim exp (
x --->O
x ---> O
.1 10g(1 + x 6 ) ) x 4 sln 2 3x
= exp (lim 10g(1 +2 x x ---> O
6
x sin 3x 4
))
= eL .
Per calcolare L , utilizziamo gli sviluppi delle funzioni 10g(1
+ t)
e sin t :
. x + o(x ) x + o(x ) 1 = lim = 2 6 6 x ---> O x (3x + o(x ) ) 2 x--->O 9x + o(x ) 9· 6
.
L = lim
6
6
6
4
P ertanto il limite cercat o vale e 1 / 9 . b) 11 limite vale 2~6 tt . c) Usa ndo gli sviluppi del seno e della t an gent e, si ha
i
· x - sin(tan x) . x - t an x + t an'' x + o(x 3 ) = lim -----,;:-:---''------,-------,-----'------'L = 11m 2 x--->o x sin (t a nx ) x ---> O x 2 (tanx + o(x )) x - x - l x 3 l x 3 o(x 3 ) _l6 x 3 o(x 3 ) = lim 3 6 = lim '-::-_ -:--:,..,..----x ---> o x 3 + o(x 3 ) x --->o x 3 + o(x 3 )
+ +
---.0
+
1
6
;5
7.5 Eserciz i
263
c1 ) II limi t e vale e- 2 / 3 . e) II limi t e va le -l. f) Si osservi che, p er x
-t
0, si ha
3x 4[10g(1 + sinh 2 x)] cosh 2 X rv 3x 4 sinh 2 x
rv
3x 6 .
Inoltre, usando gli sv iluppi di Maclaurin possiam o scrivere il denomin at ore come seg ue: Den : 1 - (1 + x 3 ) 1/ 2 cos x 3 / 2 = 1 - (1
=
+ ~x3 + (1;2) x 6 + o(x 6) )
1 6 1 3 1 - ( 1 +"2 x - SX
- "21 x 3 -
1 6 4" x
(1 _
~x3 + ~! x 6 + o(x6) )
6 ) 1 6 + 24 x + o(x) =
1 6 3" x
+ o(x 6 ).
P ertanto il limite proposto diventa
6
6)
+ o(x = 9. x -> O ~x6 + o(x 6 ) lim 3x
7. Utilizziamo gli sv iluppi noti di Maclaur in delle fun zioni 10g (1 + t ), cos t , cosh t. Si ha
h (x )
=
log (1 -
~X2 + ~, x4 + o(x 5 ) ) + log (1 + ~ (axf + ~! (ax) 4 + o(x 5 ) )
1 = - - x2 +1-4! x 4- 1-2 2
(
1 - - x 2+1 - x4) 2 4!
2 (-a2 x
1 2
- 1 2 = _(a 2
_
1)x 2
+ ( _1 - -1) 4!
8
2
2
2
4
+ o(x 5 ) + -a2 x 2 + -a4! x 4
4 )2 + o(x
+ -a x 4 4!
5
-
)
(a 4 + 1)x 4 + o(x 5 )
da cui si ricava che , se a =1= ± 1, h (x ) ha or dine di infinit esimo 2 per x - t 0, men tre se a = ± 1 il primo coefficien t e non nullo della sviluppo di h (x ) e qu ello di x 4, quindi la fun zione risult a infinit esim a di ordine 4 per x - t O. 8. Per ca lcola re M6 )(X) in x
=
0 sfruttiamo le ca rat te rist iche della sviluppo di Macl aurin in cui il coefficiente di x 6 e a6 = h(6~/O) . Occor re quindi ca lcolare 10 sviluppo di Macl aurin del sesto ord ine di h (x ). Utilizzando gli sviluppi delle fun zioni sin t e sinh t , il numerat or e di h div enta Num : sinh ( x
2
= sinh ( x 2
+ 2(x 4 -
; ,x
6
+ o(x 6) ) )
+ 2x 4 - ~x6 + o(x 6) ) 3
7 -- x 2 + 2x 4 - _6 x 6 + o(x 6 ) .
= x2
+ 2x 4 - ~ x6 + ~x6 + o(x 6) 3
3!
264
7 Sv iluppi d i Tay lor e a p plicaz ion i
1Q Operando la d ivisione per potenz e crescent i tra x 2 + 2x 4 - t x 6 + o(x 6 ) e 1 + x si ha 7 h (x ) = x 2 + 2x 4 - _ x 6 + o(x 6 ) 6 6! = - 840. e per t anto h(6)(0) =
-t .
9. Utilizzando gli svilup pi d i Macl aurin delle funzioni 10g(1 + t ) e sinh t , possiamo scrivere
poiche la fun zione seno nell'int orn o dell'o rigine e concorde con il suo argo mento la fun zione y = sin cp(x ) risult er a negativa p er x < 0 e positiva p er x > O. 10. Ut ilizzando 10 svilup po di Maclaurin della funzion e cos t , si ha
Allor a , nell'into rno dell 'ori gine in cui vale questo sv ilu ppo, si ha la relaz ione richi esta in quant a la par te principale della di fferenza t r a il primo e il sec ondo membra della d isequaz ion e e cost it uita dalla qu ant it a , sicurament e nega t iva , x4.
g
11. Consid eri amo separatame nte gli svilup pi di Maclaurin del numeratore e del den ominatore Num :
l +~X + ~ (~ f +o(x 2) - (l +~X + ~! x2 +0(x2))
( ~8 _ Den:
~) x 2 + o(x 2) = ~x2 + o( x 2 )
(1 + x 5 (1 + x 4/ 5 )
1 5 [X /
= xa /
r
4!
4 5 / )
a
12
'
= x a / 5 (1 + a x 4/ 5 + O(X4/ 5) )
.
Allor a lim
x-. Q+
e X / 2 - cosh (x
Vi.
+ {/X)a 1
12
o
=
l x 2 + o( x 2) x-.Q+ x a / 5 (1 + a x 4/ 5 + o(x 4/ 5) )
lim
_~-;-",,-,12=-----:~-,----,---:--,--~
a se 2 = 5 ' se2 > "5 '
+00 se
~12
a
2
a
< "5
{
se a
= 10 ,
sea < lO ,
+00 se a > 10.
7.5 Es erci zi
265
12. Usando gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni arctan t e sin t , si ottiene
e f( x) risultera infinitesima di online 4 nell'origine se a si ha
= 4 p erche per
tale valore
8 Rappresentazioni del piano e della spazio
Qu est o ca pit olo ha una duplice funzione. Da un lato , esso si ricollega al Capitolo 1 introducendo vari oggetti ma t em atici nel piano e nella spazio. Pili precisamente ver ranno trattati altri sist emi di coordinate oltre a qu ello cartesiano, i vet t ori con le lora propriet a element ari e l'in sieme C dei numeri complessi. D' altro lato esso forni sce una prima t r att azione di concett i che saranno approfonditi in cors i succes sivi qu ali le curve e Ie fun zioni di pili variabili.
8.1 Coordinate polari, cilindriche, sferiche Un punto P del piano cartesia no, di coordinate (x , y) , puo anche essere individua to mediante le su e coordinate polari (r,()) . Esse sono definite nel modo seguente. Indichi amo con r la distanza di P dall'origine O . Se r > 0, sia () la misura in radi anti , a meno di multip li di 211", dell'an golo formato dal semi asse positivo delle asc isse e dall a semiretta us cente dall'origine e passante per P (si veda la Fi gura s .i) . Usualme nte () e scelto nell'int ervallo (- 11", 11"], oppure, in alte rnativa, nell 'in-
p = (x , y) y - - - - -----------------~,
,, ,, ,, ,, , , ,, ,
o
x
Figura 8.1. Co ordinate cartesia ne e pol ari nel piano
268
8 Rappresent azioni d el pi ano e d ello spazio
tervallo [0, 27r) . Se r = 0, cioe se P coincide con l'origine , () puo assumere un qualunque valore. Il passaggio d alle coord ina te polari (1', ()) a qu elle cartesi ane (x , y) e esp resso d alle formule
1 x = l' cos () ,
y
= 1'sin() · 1
(8.1)
La trasformazione inversa , qu alor a () venga scelto nell 'intervallo (-7r, 7r],
y arctan -
se x> 0 ,
7J arctan > + 7r
se x < 0, u > 0 ,
arctan J!... -
se x
x
X
r = j x 2 + y2,
() =
x
7r
2
'if
7r
2
< 0, Y < 0 ,
se x = 0, y
> 0,
se x = 0, y
<
e data da
(8.2)
°
Esempi 8.1 i) Consideriamo il punta P di coordinate cart esia ne (x , y) distanza d all 'origine e d ata da r = y'~72-+-2-4 = J96 = 4v6 ;
essendo x
(6,;2,2v6) . La
> 0 , abbiamo () = arc tan
2V6
V3
6,;2 = arc tan :3 =
tt
"6 .
7r Dunque le coor dinate polari di P sono d ate d a (1', 0) = (4v6, "6 ). ii) Sia ora P di coordinate cart esiane (x , y) = (-5 , -5) . Si ha r = 5,;2, ino ltre siccome x < e y < 0, si ha - 5 7r 3 () = arctan - 7r = arc t a n 1 - 7r = - - 7r = --7r
°
-5
e dunque (1',())
=
4
4
3 (5,;2, - 4 7r) .
2
iii) Infine se P ha coordinate polari (1', ()) = (4, "3 7r), le sue coord inate cart esiane sono 2 7r 7r X = 4 cos "3 7r = 4 cos (7r - "3) = -4 cos "3 = - 2 ,
Y = 4 sin
~7r = 4 sin (7r - ~) = 4 sin ~ = 203 . 3 3 3
o
Passiamo ora alla rappresentazione di un punto P E ]R3 di coordinat e cartesiane (x , y , z). Introduciamo due diversi sistemi di riferimento: le coord inate cilindriche e quelle sferiche .
8.1 Coordinate polari , cilindriche, sferiche
269
Le prime si ottengono semplicem ente sostituendo alle coordinate cartesiane (x , y) le coo rd inate polari (1" , B) de l punta P' proiezione ortogonale di P su l piano xy e mantenendo inva ri at a la coord inata z . Indicand o con (1", (), t) le coordinate cilindriche di P, abbiamo d unq ue
Ix = 1"
y
cos () ,
= r' sin e' ,
=t. 1
z
Anche in questa caso l'angolo () e definito a meno di mult ipl i di 2Jr ; qualora esso venga lim it at o all'intervallo (-Jr , Jr], le coordinate cilindriche si esprimono in funzione delle coordinate cartesiane definendo 1" e () mediante le (8.2) (si veda la F igura 8.2, a sinistra) . Le coordinate sferiche (1', cp , ()) sono definite nel modo seguente. Sia r = x 2 + y2 + Z2 la distanza di P dall'origi ne, cp l'angolo formato dal semiasse po sitivo de lle z e dalla semiretta uscente dall 'origine e passante pe r P, () l'angolo formato dal semiasse positivo de lle x e la semiretta nel piano xy uscente dall'origine e passante per la proiezione P' di P su tale piano (si veda la Figura 8.2, a destra) . Con linguaggio geografico, chiamiamo () la longitudine e cp la colatitudine de l punta P (m entre la qu an t it a ~ - cp e la latitudine , misurata qui in radianti) . Abbiamo quindi z = r cos cp, mentre x = 1" cos () e y = 1" sin (), essendo 1" la distanza di P' dall'origine; tale quantita puo essere espressa com e 1" = r sin ip , Sostit ue ndo, otten iamo la seg uente espressione delle coordi nate cartesiane di P in termini de lle sue coordinate sferiche (1', cp, ()):
J
Ix =
T
sin cp cos () ,
y
= r sin cp sin (),
z = T COS
cp .
1
Le trasformazio ni inverse si ottengono facilmente ricon d ucendosi al caso bid imensionale; osserviamo solo che e sufficiente far variare l'ango lo sp in un intervallo di
z
z
• p = (x , y, z)
0 x
T
0 X
Y
p i = (x, y, 0)
P = (:r: ,y , z)
cp
o
,
"\
\ 7",
, ,
Y
•
pi = (x , y, O)
Figura 8.2. Coordinate cartesiane e cilindriche (a sinistra) e cartesiane e sferiche (a destra)
270
8 R appresentazion i del piano e dello spazi o
ampiezza it ; ad esempio l'intervallo [0 ,1f], mentre come nel caso bidimensionale () vari a in un intervallo di ampiezza 21f , ad esem pio (- 1f,1f]. Esempio 8.2 Si consid eri il punt o P di coordinare ca rtesia ne (1,1 , V6). Le coordinate polari del punto P' = (1,1 ,0 ), proiezion e ortogona le di P sui piano xy, sono (r' , ()) =
(v'2, ~). Per tanto le coor dinate cilind r iche di P sono date d a
(r' ,(),t) = (v'2, ~ ,V6) . Det erminiamo or a le coordinate sferiche . Si ha r = VI + 1 + 6 = 2)2; inoltre sin e = ~ = ~ e quindi 'P = essendo 'P variabile nell 'intervallo [0, 1f] . Dunque
-i,
le coordinare sferi che di P sono (r,(), 'P) = (2v'2,~ ,
-i).
0
8.2 Vettori nel piano e nello spazio Introduciamo ora il concet t o di vettore e le principali op er azioni t ra vet tori ; consideriamo dapprima i vettori applicat i nell 'origin e e su ccessivamente qu elli applicati in un punta a rbi trario del piano e dello spa zio. 8.2.1 Vettori applicati nell'origine Consider iamo il piano munito di un sistema di coordinate ca rte siane or togonali. Una coppia (x ,y) E lR 2 con (x ,y) i- (0,0) defini sce un vettore v del piano applicato nell'origine, che si rappresenta come il segme nt o di est remi 0 = (0,0) e P = (x, y) orientato da 0 a P (l'orientamento vien e in genere indicato da una freccia avente la punta in P) ; si veda la Fi gura 8.3, a sinist ra.
P = (x , y)
/
p = (x, y, z )
o o
Figura 8 .3 . Vet tore del pi an o (a si nistra) e dello spazio (a destra)
8.2 Vettori nel piano e nello spazio
271
Le coord inate x e y del punt o P si dicono Ie componenti del vettore v (rispetto al sistema di coordinate ca rtesiane scelt o); si scrivera v = (x , y), identificando di fat t o il vettore v con la sua est remit a P . In modo del t utto analogo , si int roducono i vet to ri dello spaz io applicati nelI'origin e. Un vettore v di com po nent i (x , y , z ) -I- (0, 0, 0) si rappresent a come il segmento di estre mi 0 = (0, 0, 0) e P = (x, y, z) orientato da 0 a P (vedasi la Fi gura 8.3, a destra); scriveremo v = (x, y , z). Sia nel piano sia nello spazio, e conveniente introdurre il vettore 0 di componenti t utte null e, che ch iamia mo vet t o re nullo ; esso si rappresent a come il punt o origine 0 , privo di freccia. In qu esta mod o, i vet tori del pian o (rispe ttivame nte dello spazio) applicati nell 'ori gin e sono in corrisponde nza biunivoca con i punti di 1R2 (rispe ttivamente di 1R 3 ) . Nel seguito, sara conven iente considerar e i vettori applicati nell'origine senza dist inguere se siano del pian o 0 dello spa zio; il gener ico vet t ore v , di componenti (VI , V2 ) se vet tore del piano op pure (VI, V2 , V3 ) se vet tore dello spazio, sara indicat o come (VI , . . . ,Vd). II simbolo V indichera I'insieme dei vett ori del piano, oppure I'ins ieme dei vettori dello spazio. Una volt a fissato il punt o origine 0 , un vet tore e definito intrinsecamente (doe indipendentem ente dal sistema di coordinate cartes iane) dall a sua direzione , doe d alla retta passante per 0 su cui il vet t ore giace, dal suo verso , cioe dal verso di per correnza della ret ta risp et t o all'origine , e dal suo m o d u lo , doe dalla lungh ezza del segmento di estre mi 0 e P . Definiamo ora alcune ope razioni sui vet tori . Sian o v = (VI, "" Vd) e w = (WI , . .. ,Wd) due vet t ori . Chiamiamo somma di v e w il vettore v + w Ie cui compo nent i sono la som ma de lle componenti di ugu ale indice dei due vettori; ossia (8.3) Quand o si trattano i vettori, i numeri reali vengon o anche det ti scalari. Sia qu indi A E 1R; defini amo il p rodotto d ello scala r e A p er il v e t t o r e v come il vettore AV le cui com po ne nti so no il prod ot to di A per Ie compo nenti di v , vale a dir e (8.4) II vettore (-l)v viene indicato con - v e detto I'opposto di v . La differenza v - w di due vettori e definita come (8.5) Le usu ali proprieta della som ma e del prodot to (associa tiva , commutat iva, distribu tiv a , . . . ) valgono an che per tali operazioni, come si puo vedere ragionando com ponente per comp one nte. Le ope razioni or a introdot t e hanno un a semplice int erpret azione geomet rica. Se A > 0, il vettore AV giace su lla stessa ret t a su cui giace v , e orientato concordemente e ha modulo pari a A volt e il modulo di v (si veda la Fi gura 8.4); se A < 0, allora
272
8 Rappresentazioni del piano e dello spa zio
Q = (AX, AY)
AU/ / p
=
(x,y)
v
o Figura 8.4. Vet tori v e AV
'xv = - I'xl v = l'xI(-v) e dunque si applicano le considerazioni preeedenti con v sost it uito da -v. Dici am o ehe due vettori v e w sono allineati se w = 'xv per un qu alehe ,X -I- o. Diamo ora l'int erpret azione geomet rica della som ma di due vettori , v e w , non nulli . Se v e w sono allineat i, cioe w = 'xv , allora v + w = (1 + ,x)v e ancora allineat o con v e w . Altrimenti, v e w giaeeio no su ret te di st inte, rispettivam en t e Tv e T w , ehe si incontrano nell 'ori gin e. Sia II il piano individuato da t ali ret te (ovviamente, se v e w sono vettori del pi a no, II coincide ra con il piano stesso); i vet tori v e w indi viduano un parallelograrnrna in tale pi ano (si ved a la Figura 8.5) . Precisamente, se indichiarno con P l'estremo di v e con Q l'estremo di w , il par allelogr amma e defini to dalle rette T v , row , d alla retta p arallela a T w passante per P e dall a rett a parallel a a Tv pass ante per Q ; esso ha verti ci 0, P, Q ed R , essendo R il vertice opposto all' origine. Allora il vet t ore v + w e precisarnente la di agon ale 0 R del parallelogramrna, orientata da 0 a R . Modi equivalent i per ind ividuare l'estremo R di v + w sono qu elli di "rnuoversi" lungo due lati eont igui del par allelogramma: ad esempio, da P p ossiamo traeciare il scgm en to parallelo a OQ, di pari lunghezza e giaecnt e nello stesso semipiano , rispet to alla rett a T v , in
r
r
,, ,,, ,
,
r.; r" ,, ,
R " --+-,
, ,,
Q ""- -
_ - - -4
,
V +w
w
__.. / .... - -
v _ - - i
0,/ , ,
, ,, ,, , ,,
1"v
, ," P ,,, ,, ,,
Figura 8 .5. Rappresenta zion e geometrica del vet tore somma v
+w
8.2 Vettori nel pia no e nello spazio
,, ,, ,
R/
273
,,
-::'.,,
,
_ I- -
I
-- 9_~ __
,,
- - - '4 --
-
w
/ p - - - - --
• - ",,'-<:':-
, ,,, , , ,,
v
o
v -w
-w
. ---
.r-r:
,,
R'
-,.--
Q' Figura 8. 6. R a p presen t a zion e geometrica del vettore differenza v - w cui giace OQ . Anche la d ifferenza V - w ammette un a semplice rapp resentazione geometrica . Essendo v - w = v + (-w ), possiamo applicare le considerazion i precedent i e rappresentare v - w come la d iagonal e uscent e dall' origine del parallelogramma ind ivid uat o dai vettori v e - w (si veda la Figura 8.6) . In alternat iva , possiamo considerare la diagonale QP d el parallelogramma individ uato da v e w ; "t rasport ando" tale segmento parall elam ent e a se stesso nell'origine , si ottiene v - w . L'insieme V dei vettori de l piano 0 dello spazio, su cui sono definit e le operazioni di somma tra d ue vettori e d i prodotto di un o scalare per un vettore sopra introdotte, viene d etto s p a z io v ettoriale su R Il vet tore v = .xV I + f-LV2 , con VI , v2 EVe .x, f-L E lE. viene detto c o m b inaz io ne lineare dei vettori V I e V2; tale concetto puo essere esteso a un numero finito di addendi. Esempi 8 .3 i) Consideriamo i vettori VI = (11 , 0, - 12).
e da to da v
= (2,5, - 4) e V2 = (-1 ,3 , 0). Il vettore V =
3 VI-5 v2
ii) I vettori v = (V8, - 2, 2\1'5) e w = (2 , - V2,VlO) sono allineati , in quanta il rapporto tra le componenti e costante, essendo
d unque v =
V2 w.
V8 = ~ = 2\1'5 = v'2 ' 2 - V2 vT6 ' o
8.2.2 Modulo e prodotto scalare Ab biamo gia introdotto il modulo di un vettore v di estrernita P come la lu ngh ezza del segmento OP, vale a dire la distanza euclidea di P da ll'origin e; il modulo,
274
8 Rappresentazioni del piano e dello spa zio
detto anche norma euclidea di v , sara indicato con Ilvll. Es so si esprime me diante le comp onent i di v come
Ilv ll =
W{ LVT= i= 1
Jvr + v~
se d= 2 ,
Jvr + v~ + v~
se d= 3;
osserviamo che il modulo di un vettore e se m pre :::::: 0, e che IIvll = a se e solo se v = O. Notiamo che valgono le segue nt i proprieta , la cui dimostrazione sara data a pag. 277 : p er ogni v, w E V e per ogni >. E ~ , Ilv + wll ::::: [u]
II>,vll = 1>.lllvll ,
+ Ilwll ·
(8.6)
Un vet tore di modulo 1 vien e detto versore; geomet ri cament e, i versori hanno la loro est remit a P gia cente sulla cir conferen za oppure sulla sfer a di cent ro l'origine e rag gio 1. Dato il vettor e non nullo v , possiamo assoc ia re ad esso il versore v = I I ~II alline at o con v . Si ha elunqu e v = Ilv ll v, il che mostra che ogni vettore puo essere rappresentato come il prodotto della sua norma p er un versore. Defini amo infine l'operazione di prodotto scalare tra due vettori . Dati due vettori v = (VI, . . . ,Vd) e w = (WI, . . . ,Wd) , il loro prodotto scalare e il numero reale se d= 2, sed=3 . Valgono le seg uent i propriet a , eli facile verifica : p er ogni v , w , v!, V2 EV e >. , p, E si ha
v·w=w·v , (>'Vl + p,V2) . w = >'(Vl . w)
~,
(8 .7)
+ P,(V2 . w) .
(8.8)
Not ia mo poi che la norma di un vettore puo ess er e espressa mediante il prodotto scalare , essendo per ogni v E V Ilvll =
vv:v .
(8.9)
Vicever sa , per ogni v , wE V , si ha (p er la dimostrazione di ved a a pag. 278)
(8.10) il che permett e eli esprime re il prodotto scalare m ed iant e la norma . Vale inoltre la seguent e importante disuguaglianza , no t a come disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: per ogni v , wE V
Iv ,wl ::::: Ilvllllwl l·
(8.11)
8.2 Vet tor i nel piano e nella spaz io
275
R \
Q
\
--
\
\
v +w
\ \
w
P
v
o Figura 8. 7 . Rap present azione geometrica del Teorema di Pitagora Ancor pili precisamente , si puo scrivere
I
v ·w
= Ilvll llwll
cos O I
(8 .12)
e
dove misura l'a ngolo racchi uso t ra i vet tori v e w (si noti che il modo d i esprimer e l'angolo formato da i due vettori e ininfluent e risp etto a t ale form ula , essendo cos O = cos (- O) = cos(2n - 0)). Anche le relazioni (8.11) e (8 .12) saranno giustificate pili sot to. Med iante il prodot to sca lare, p ossiamo definire il concet t o d i ortogon alit a t ra vettori. Precisamente, d ue vettori v e w si dicono ortogonali se v·w =O;
la rappresen t a zione (8 .12) del prodotto sca lare mostra che d ue vet tori sono orto gonali qu ando uno di ess i e nullo oppur e qu ando l'angolo format o dai vettori e retto. Inoltre , ricorda nd o la (8 .10) , l'ortogonal it a d i due vet t ori v e w equivale all' ide nt ita
Ilv + wl1 2 = I vl12 + IIwl1 2 ,
ben not a a llo st ud ente come Teorem a di Pitagora (ved as i la Figura 8.7) . Se v e un vettore e u e un versore, la co m p o nent e di v lungo u e il vet tore
I
Vu
= (v · u ) u ,
mentre la c o m p o nen te di v ortogonale a u
I
e il vettore
Si ha dunque la rappresentazione d i v con
(8 .13)
det t a d ecomposizione ortogonale di v rispetto al versore u (ved asi la F igura 8.8) .
276
8 R app resentazioni d el piano e dello spaz io p
-o Figura 8 .8. Decomposizi on e ortogonale d i un vettore v rispetto a un versore u
Esempi 8.4 i) I vet tori v = (1,0, J3) e w = (1,2, J3) hanno modulo risp ettivamente ugu ale a
°
Ilvll = Vi + + 3 = 2,
Ilwll = VI + 4 + 3 = 2V2 ;
°
il lora prodotto scalare vale v . w = 1 + + 3 = 4. Volendo inol tre calcolare l'an golo form ato dai due vettori, possiamo ricavare d all a (8.12)
V2
v ·w
cos () = -------
Ilvll llwll
e dunque () = ~ . ii) I due vettori v
2
= (1,2 , -1) e w = (-1 ,1 ,1) sono tra loro ortogonali in qu anto v ·w= -1+2-1=0.
iii) Consideriamo il vers ore u risulta
= ( ~ , ~,- ~) . 1
1
J3
J3
Dato il vettore v
=
(3,1 ,1)
v·u = V 3 + - - - =V3
e dat a da = V3(~, ~ , - ~) = (1,1 , -1) ,
e dunque la component e di v lungo u vu
mentre la comp onent e ortogonale vale
E facile verific ar e che
= (3,1 ,1) - (1,1 , - 1) valgono le (8.13) .
v u ""-
= (2,0,2) . o
Introduciamo i versori dello spazio i = (1,0,0) , j = (0,1 ,0) e k = (0,0,1) , che sono allineat i risp et tivamente con gli assi x , y e z del sistema di riferimento car te siano (ved asi la Figura 8.9) ; t ali versori ven gono anche indicati con e l , e2, e3. E immediat o verificare che essi sono a due a due ortogon ali, cioe
i ·j =j ·k=i ·k =O ;
(8.14)
8 .2 Vettori ne l pia no e nello spazio
277
z
k i /~ ,
/ j~1i Figura 8.9 . Versori i ,j e k si d ice che i , i , k formano un sistema ortonormale in V (cioe un ins ieme d i vettori a d ue a due ortogonali e aventi modulo, 0 norma, ugu ale a 1) . Sia ora v = (VI , V2 , V3) un qualunq ue vet tore della spazio. Dalla definizione delle operazioni tra vettori , si ha
v = (VI ,O,O)
+ (0,V2, 0) + (0,0,V3)
= VI (1, 0,0)
e per t a nt o
Iv
=
+ V2(0, 1, 0) + V3( 0, 0,1)
vIi
+ v2j + V3 k · 1
Cio mostra che ogni vettore della spazio puo essere rappresentato come combinazione lineare dei versori i , i e k ; si dice che essi for mano una b a se ort onormale di V . II prodotto scalare di v con ciascuno dei vettori ortonormali i , j e k fornisce un 'espres sione de lle componenti di v, essendo
VI = v · i ,
V2
= v ·
i.
V3
=
v · k.
In definitiva, il generico vettore v E V ammette la rappresent azione
v
=
(v · i) i + (v · j ) i + (v · k ) k .
(8.15)
Analogamente, i vettori del piano ammettono la rappresentazione
v=(v· i)i+(v ·j) j , rispctto alIa base ortonormale costituita da i
= (1, 0) e j = (0, 1) .
Dimost razi o ne di alcune proprieta precedenti Dimostrazione. Per quanta rigu ard a la (8.6) , la prima ugu aglian za segue facilme nte dalla dcfinizione di norma ; la seconda disuguaglian za segue da tale uguaglian za se v e w son o allineati, mentrc traduce la nota pr oprieta che in un t riangolo la Iunghezza di un lato e minore della sornrna de lle Iun gh ezze degli altri du e lati , se i vcttori non sono
278
8 Rappresentazioni de l piano e de llo spazio
a lline a t i. Infat ti , con r iferime nt o al t r ia ngo lo OPR della Fi gura 8.5, si ha Il v + w ll = lO R I, Il vll = IO PI e Il wll = IPR I· La formula (8.10) si ottien e sv ilu p pand o Ia quantita Il v + w l12 me d iante la (8.9) e le (8.7) , (8.8) , com e Il v
+ w l12 =
(v + w ) . (v + w ) =v ·v +w ·v +v ·w +w·w
=
II vl1
2
+ 2v
.w
+ Il w11
2
(8.16 )
.
La disu gu aglian za di Cauchy-Schwa rz (8.11) pUG essere ottenuta partendo d all a secon da delle (8.6) , scr itta corne Il v+ w 112 :s; ( 11vII + Il wl l) 2. Usando l'id entita preced en t e a primo membra e svolgend o il qu ad r ato a secondo membra, si ottiene v . w :s; Ilv 1I IIw II, che e la (8 .11) nel caso in cui v . w ~ O. Se invece v . w < 0, e sufficiente ca m bia re v in - v , ottene ndo
Iv, w i = - v· w = (- v) · w :S; 11- vll llw il = Il vlll lwll · Dimost ri amo infine la (8. 12). Siano v e w vettori non nulli (a lt ri rnen ti la rela zione e banalmen t e ver ificata p er og ni valore di B). Non e restrit ti vo SUpp OITC B so d d isfacente 0 :s; B :s; tt . D ctto u = w = I I ~ II il versore ass oc ia t e a w , la com ponente di v lungo u si scri ve com e v ·w (8 .17) u. v U= M Sup po nia mo dapprima B ac uto, cioe 0 < B < 1r / 2. Cons iderand o il tria ng olo rettangolo OP' P (ved asi la Fi gu ra 8.10, a sinis tra) si ha Ilv u ll = IO P 'I = IO Pl cos B = Ilv ll cosB ; essend o V u conc or de con u , ot t eni amo (8. 18) V u = Ilv ll cos Bu .
Q
p
Figura 8.10. Proiezione del vettore v lungo iI vettore w (angolo tra i vettori a cuto, a sinistra, e ottuso , a dest ra )
8.2 Vettori nel piano e nella spazio
279
Se (j eot tuso, 7f/ 2 < (j < tt ; eonsicleranclo anco ra il triangolo 0 p i P (vedasi la F igura 8.10, a clest ra) si ha Ilv"II = IlvII eos (tt - (j ) = - llvII eos (j ; essendo ora v " discorde eon u , si ot tiene nuovarnente la (8 .18) . Anehe nei casi est remi (j = O, 7f/2 , 7f si giunge fac ilme nt e alia rneclesim a rela zione . Uguaglia ndo i seco ndi membri delle (8.17) e (8.18) , e osservando che AV = JLV equiva le a A = JL se v =1= 0, si pcrvi en e all'ug uaglianza v ·w M = Il vll cos (j
da cui otteniarno la (8. 12).
D
8.2.3 Vettori applicati in un punto
In molte applicazioni, e utile il concet to di vet tore applica to in un punta arbit rario del pi ano 0 della spazio (si pensi ad esem pio a un a forz a , rappresentabile come un vettore, che agisce su un punta mater ialc). Tale concet t o puo esser e definito nel seguente modo . Sia v un vet t ore non nullo del piano di componenti (VI ,V2 ) e sia Po un punto qual un qu e del piano, di coord inate (.'1:01 , X02). Definiamo il punto H di coor d inate (xu , X1 2) = (:1:01 + VI , X02 + V2 ) (si ved a la Figura 8.11). II segmento PaP!, orien t ato da Po e PI , e parallelo a l vet tore v ed e orientato in modo con corde . Diciamo che esso rappresenta il vettore v applicato in Po, e 10 indichiamo con (PO , v) . Viceversa , dato un qual un que segm ento di estremi Po = (XOl , X02) e PI = (XU , X12) , or ientato da Po a PI , definiamo il vettore v di compone nt i (VI ,V2) = (xu - XOl, X1 2 - X02 ). Allo ra il segm ento conside rato definisce il vet tore v ap plicato in Po. In defini t iva , da un punto di vista matematico, un vettore applicato del piano e una coppia (Po, v) la cui prima com ponente e un punta Po del piano, detto punta di applicazione, e la cui seconda comp onente e un vet tore v applicat o nell 'origine. Nell' uso comune , p ero, il vettore ap plica t o (Po, v) verra indicato semplicem ente con v, precisando pero il punto di ap plicaz ione Po. Analogh e definizi oni valgono nella spazio .
Po
---
-----;
(Po,v )/
o Figura 8.11. Vet tore v applicato in Po
280
8 Rappresentazioni del piano e dello spazio
Le ope raz ioni sui vettori (applicati nell'origine) introdot t e nei paragrafi preceden ti possono essere estese in mod o ovvio a i vettori a pplica t i in UIl O stcsso pun to. Ad esempio, dat i i vettori (Po, v) e (Po, w ) applica t i in Po, il vet tore somrna (Po, v ) + (Po, w ) sara defini t o come il vet tore (Po, v + w ) a nco ra applicato in Po. Non sa na invece defini te op er azioni t ra vet tori ap plicati in punt i di ver si.
8.3 Numeri complessi E ben nota che non t utte Ie cquazioni a lgebriche
p(x ) = 0 (d ove p e un polinornio di gr ado n nella variabile x ) ammet t ono soluzioni in campo reale. Ad csem pio la scmplice equazione X Z + 1 = 0, ossia (8 .19) corrisponde nte all'estrazion e della radice quadrata del numero negativo - 1, non risolubile in 1R; 10 stesso accadc per la generica cquaz ione di seco ndo grado
ax 2
+ bx + e =
e
(8.20)
0
qualor a il dis criminante L1 = bZ - 4ae sia negativo. Tanto nella matematica pu ra qu an ta in qu ella applicat a , risul t a utile poter gara nt ire l'esistcnza di soluzioni, oppor tunamen te definite, eli ogni equaz ione a lgebr ica. A tale sco po , I'insiem e dei numeri reali dota to delle ope raz ioni di som ma e prodot t o puo esserc am pliato, int roelucendo il cosiddetto insiem e dei numeri complessi , estende ndo nel contempo tali ope razioni e conservandon e Ie pr opriet a formali . E rim arch evolc il fatto che c sufficiente effett uare tale am plia rncnto in modo da gara nt ire la risolubi lit a dell'equ azione (8 .19) p er ott en ere, attraverso un profondo risult a to noto come Teor em a Fondam entalc dell 'Al gebra, la risolubilita di ogni equazione a lgebrica . 8.3.1 Operazioni algebriche Un numero co m p lesso z puo essere definito come una copp ia ordinata z = (x, y) di num eri reali x e y . Indichcrcmo con C I'in sieme eli tali coppie, che quindi puo essere identificato con I'insiemc IR z . I numeri reali x e y sono d etti rispettivamente p arte r eale c parte immaginaria di z e in dicati con :r
= 'Re z
e
y
=Im z.
II sot toins ieme dei numeri com pless i della forma (x , O) puo esse re idcntificato con I'i nsieme dei numeri rea li 1R; in tal sense , scr iviamo IR c C. Numeri compless i della forma (0, y) sono invece detti immaginari pur-l. Diremo che d ue numer i corn p less i Zl = (Xl, yd e Zz = (xz , yz) sono ugu ali se hanno le stesse parti reali e immaginari e, ossia Xl
= Xz
e
Yl
= yz .
8 .3 Num eri com pless i
281
In C, definiamo le operazioni di SOIIlma e prodotto come Zl
+ Z2 =
Z l Z2
yd + ( X 2 , Y2) = ( Xl + X 2 , Yl + Y 2) = (Xl , yd ( X2 , Y2) = (X l :[;2 - Yl Y2 , X l Y2 + X 2 yd · ( Xl ,
(8.21) (8.22)
Osserviamo che
(X,O) + (O ,y) = (x ,Y), e quindi
(X, y)
(O ,l)(y,O) = (O,y)
= (x ,O) + (0, 1) (Y, 0) .
(8.23)
Inoltre le (8.21) e (8.22) diventano Ie usu ali op erazioni di somm a e prodotto quando sono ristrett e a i numer i reali :
e In t al senso, l'insieme dei numeri complessi e un'estensione naturale dell 'insiem e dei numeri reali . Denotiamo con i il numero immagin ario puro (0,1). Id en tificando il numero complesso (r ,O) con il numero reale r , possiamo riscrivere la (8.23) nella form a
I detta forma cartesiana Osserviamo che
Ii
Z
=
X
+ iy , I
0
algebrica del numero complesso
2
= (0, 1) (0, 1) = (- 1, O) = - 1 ,
Z
= (x , y).
I
e quindi il numero complesso i e soluzione dell'equazione (8.19). Usando la forma cartesiana di un numero cornplesso, Ie operazioni di somm a e prodotto (8.21) e (8.22) diventano
(8.24) (8.25) come si ved e e sufficiente operare con le usuali regole dell'algebra, t en endo conto della relazione i 2 = - 1. Elenchi amo di seguito a lcune proprieta della somma e del prodotto, lasciando la facile verifica allet tore; per ogni Z l , Z2 , Z3 E C. si ha Zl
+ Z 2 = Z2 + Zl , + zd + Z3 = Z l + ( Z2 + Z3 ) , ( Z2 + Z3 ) = Z l Z2 + Z l Z3 .
( Zl Zl
Z l Z2
=
Z2 Z l ,
( Zl Z2 ) Z3
= Z l ( Z2 Z3 ) ,
282
8 Rappresentazioni del pi an o e dello spa zio
I numeri 0 = (0, 0) e 1 = (1, 0) sono risp etti vamen t e I'identi t a additiva e moltiplica tiva , in quanta soddis fa no
z + o= o+ z = z
z 1 = 1 z = z,
e
Vz E C .
L' o p p ost o (addit ivo) di z = (x , y) e il numer o - z = (- x , - y); ovvero si ha z + (- z ) = O. Utilizza ndo tale nozione possiamo definire, p er ogni Z l, Z2 E C , la sottrazione: ovve ro Xl
+ i Yl
- (X2 + iY2)
= Xl
- X2 + i (Yl - Y2) .
Il reciproco (moltiplicativo) di un numero z i= 0, indicato con ~ oppure definito dalla relazion e zz - l = 1; non e difficile verifi care che 1
- = Z
Z
- 1 X
2
X
+ Y2
Defini am o dunque la divisione, per ogni
+.
Z
Z l , Z2
x2
- Y + Y2
E C con
Z - l,
e
.
Z2
i=
0, come
Infin e, sott olineiamo che l'usu ale ordinamen to dei numeri reali non e este ndib ile all'insieme dei numeri complessi, in mod o da co nse rvare t utte le pr op riet a elenca te nel P ar agrafo 1.3.1. 8.3.2 Coordinate cartesiane
E na turale associare al nu mero z = (x, y) = x + i y il punt a del pian o ca rtesiano di coo rdinate x e y (si veda la Figura 8.12) . Il numer o z puo anche essere pen sa to come il vettor e applicato nell'ori gin e e avent e talc punt o come est remo. L'asse x e det to asse reale e l' asse y asse immaginario . Osserviamo che, dati Z l , Z2 E C , la somma Zl + Z2 corrisp onde al vet to re som m a ottenuto m edi ante la regola del Tm z
z= x
+ iy
~ - - - - - - - - - - - - - -
x
y
Re z
Figura 8.12. Coord inate ca rtesia ne del nu mero co m plesso z
= x + iy
8.3 Numeri complessi
Tm z
283
I rn z
~'
Z j
Re z
Figura 8 .13. Rappresentazione grafica della somma (a sinistra) e de lla differ enza (a destra) di due n umeri co m plessi Zl e Z 2
parallelogramma (si veda la F igura 8.13, a sinistra) , me ntre la differenza Zl - Z2 e rappresentata d al vettore differenza (si veda la Figura 8.13, a dest ra). I l modulo (0 valore a ssoluto) di Z = x + iy, denotato con [z], e il numero positivo
che rappresenta la distanza de l punta (x , y) dall'origine; si osservi che t ale definizione coincide con quella di modulo del vet tore v associat o a z , vale a dire Izi = Ilvll. Si osservi ino ltre che il modulo di un numero complesso coincide con il valore assoluto quando il numero e rea le, il che giustifica la not azione usata. Notiamo che , mentre l'affermazione Zl < Z2 non ha in generale sign ificato, la diseguaglianza IZl l < IZ21significa che il punto corrispondente a Zl e pili vicino all'origine del punta corrispondente a Z2. La dista nza tra i punti corrispondenti a Zl e Z2 e data da IZl - z2 1 . Per ogni Z E C, si ottengono facilmente le seguenti relazioni:
Izi ~ 0 ; Izi = 0 se e solo se Z = 0; IzI 2 = ('Rez)2 + (Imz)2 ; 'Rez ~ l'Re zl < Izl , I m z ~ IImzl ~ Izl ; Ilzl l-l z211 ~ IZl + z21 ~ IZll + IZ21· Il complesso coniugato, 0 sem plicement e il coni ugato, di un numero complesso z = x + iy , indicato con Z , e definito come
IZ = x -
iy · 1
(8.26)
Graficarnente il coniug ato Z e rappresentato dal punta (x , - y ) che si ottiene mediant e riflessione rispetto all'asse real e del punta (x,y) . Per ogni Z,Zl ,Z2 E C, valgono Ie seg uenti proprieta
284
8 Ra ppresen t azioni d el p ian o e della s pazio z
Izl = [z]:
=z,
(8. 27)
E im medi a to
ver ifica re che , p er og ni z E
z-z
I m z = --. 2i
8.3.3 Forma trigonometrica e forma esponenziale Da to il punt o (x , y), sia no r e O le sue coord inate p ol ari ; p oich e
x
=r
cos (J
e
y = r sin d ,
(x , y) puo essere rappresenta t o nella forma polare
il numero co m plesso z trigonometrica com e
I z = r (cos
(J
+ i sin (J ) · 1
0
(8 .28)
Si ha r = [z]; il numero (J e det to argomento di z e in d icato con (J = arg z. Geometricament e, arg z e u n qualsiasi angolo (m isura t o in radianti) for mato d all a sem ire t t a dei reali po sit ivi e dal vettore individuato d a z (si veda la F igura 8.14). P ert anto p uo as sumere in fin it i val ori che differiscono p er m u lt ip li int er i di 27r . Ch ia meremo valore principale di a rg z , denot andolo co n Arg z , quell'unico va lore (J di a rg z tale che - 7r < (J ::; 7r; esso e defin ito d all a form ul a (8 .2) . Osserviamo che due nu meri com pless i Z l = r i (cos (Jl + i sin (JI ) e Z2 = r 2 (cos (J2 + i sin (J2 ) so no uguali se e solo se rl = r2 e (JI , (J2 differiscono p er un m ult ip lo int ero d i 27r. Im z y
z= x --------------------
+ iy
o x
Re z
Figura 8.14. Coordi nate p ola r i d el nu m ero co m pl esso z
= x + iy
8.3 Nu me ri com plessi
285
La rappresen t azione pola re risulta mol to utile per esprime re in rnaniera semplice il pr odotto di due numer i com plessi; di con seguen za , forn isce un 'espression e elerncnt are pCI' il calcolo delle poten ze e delle radici di un numero complesso. Pili precisamcn t e , sia no e
allora, ricordando Ie formule di adelizione per Ie funzioni t rigon ometriche, si ha ZI Z2 = 7'17'2 [(cos 0 1 cos O2 = 7'11'2 [ COS(OI
-
sin 01 sin O2 )
+ i(sin 0 1 cos O2 + sin O2 cos Od ]
+ O2 ) + isin( OI + O2 ) ] .
(8.29)
Val e dunque la relazion e
(8.30) Si osservi chc tale ident it a non vale se sostituiarno arg con Ar g ; ad esempio, se ZI = -1 = cos tt + i sin tt e Z 2 = i = cos ~ + i sin ~ risulta Z I Z2
=
-i
= cos ( -
1r
- )
2
1r
+ i sin ( - - ) 2
ovve ro Arg ZI
= tt ,
Arg z2
1r
= "2'
Ar g Z I
3
1r
+ Ar g Z 2 = 21r i= Arg ZI Z 2 = -"2 .
Tal volt a e com odo esprimere un numero corn plesso attraverso la cosieleletta forma esponenziale. A tale sco po, estend iamo la defini zion e d i fun zione esp one nzia le al caso di un es pone nte immaginario puro, pon endo per ogni 0 E 1R,
I
e
iO
= cos 0 + i sin 0 ·
1
(8.31)
Tale re laz ione , nota come formula di Eulero, t rova un a giustificazione (anzi e ogget to eli elimostrazione ) nell'ambito elella teoria delle serie in ca mpo complesso . Accontentiamoci qui eli prender la come definizione. L 'espressione (8.28) di un numero com plesso Z diventa a llora
(8.32) che e, appunt o, la forma esp one nzia le eli z. II complesso coniugato di come z = 1'(cos 0 - i sin 0) = 1'(cos( - 0) + i sin e-0) ) = 7'e - i O .
Z
si esprime
La relazione (8.29) fornisce immediatamente I'espression e del prodotto di due numeri compless i Z I = 7'1 e iOl e Z 2 = 7'2 e i 02 , come
(8.33)
286
8 Rappresentazioni de l piano e della spazio
du nque, per molt iplicar e due numer i complessi e sufficiente mo ltiplicare i mo duli e sommare gli argomenti. Per quanta riguarda il quoziente, not iamo che dalla (8.29) con 1'1 = 1'2 = 1, si ottiene (8.34) In particolare, e dunque e- i li e il reciproco di eili ; pertanto il reci proco di un numero complesso Z = rei Ii -I 0 e dato da - l Z (8.35) = -1 e - so r Combinando tale formula con quella de l prodotto, otteniamo l'espressione de l quoziente d i due numeri complessi Z1 = 1'1 e i li , e Z2 = r2eili2 -I 0, dat a da Z l _ 1'1 i (Ii, --e
Z2
1'2
1i2 )
.
(8.36)
8.3.4 P ot e n ze e radici Iterando le relazioni (8.33) e (8.35) , per ogni nEZ, si ottiene (8.37) in part icolare, quando
l'
= 1, si ot t iene la cosidetta formula di D e Moivre
I (cos 0 + i sin Or' = cos nO+ i sin nO . I
(8.38)
Mediante la (8.37) possiamo affront are il problema del calcolo de lla radice nesima di un numero complesso. Fissato un intero n 2: 1 e un numero complesso w = p ei
ovvero
_{r=\iP' o= cp + 2k1r n
, k EZ.
Si noti che l'espressione di 0 non forn isce necessar iament e i valori principali degli argoment i delle radici.
8.3 Nume ri compless i I rn z
287
1 + V3i
-
~
.)
!
Re z
Z4
Figura 8.15. Rappresentazione grafica del punto 1 + = 0, ... ,4
V3i
e delle sue rad ici quint e,
Zj,
j
Ri cordando la per iod icita del seno e del coseno, risultano qu indi determinat e n soluzioni distint e del nostro problema, date da Zk
. <e+ 2 k rr
= y'p c'
n
=
y'p
(cos 'P + 2k7r + i sin 'P + 2k1r) n
n
,
k
= 0,1 , . . . , n - 1.
Geometricament e tali punti si t rovano sull a circonferenza di cent ro l'origine e raggio \IP e sono i vertici di un poli gono regolar e di ti lat i (si ved a la F igura 8.15) . Esempi 8 .5 i) Si consideri, per n 2: 1, l'equazione z" = 1 . Scrivendo 1 = Ie'" , si ot t engono le n radi ci dis tinte
=e
i
2k1r
n k = 0, 1, . .. ,n - 1, dette le radici n-esime dell'unlta. Si noti che per ti disp ari , si ha un 'unica radice reale Zo = 1, men tre per n pari si hanno due ra dici reali Zo = 1 e Zn /2 = -1 (si ved a la F igura 8.16) .
Zk
ii) Veri fichiamo che l'equazione Z2
= - 1
am me t te , come ci si asp et t a , le due radi ci z± ot t eni amo
= ± i . Scri viamo
-1
=
l ei 1r , da cui D
288
8 Rappresentazion i del piano e della spa zio
Irn z
Tm z ZI
I
Z3 '
Re z
\\~
.-- +-- ,.
(/
Re z
Figura 8.16. Radici dell'unita : t er ze (a sinist ra ) e seste (a destra)
Notia mo infine che la (8.31) pc rmette di definire l'esponen ziale di un qualunque numero complesso z = x + iy , ponendo
I eZ =exeiY =eX(cosy+isiny) .
(8.39)
Con tale definizione, us ando la (8.34) , e facile verificare, che la propriet a fondamentale e Z1+Z2 = e Z1e Z 2 cont inua a val er e in campo complesso. Si noti che si ha arg e" = Im z ; la prima rel azione mostra in particolare che e Z -=I- 0 per ogni z E C Inoltre, la periodicita delle fun zioni trigonometriche implica che p er ogni k E ;Z; . 8.3.5 Equazioni algebriche Most riarno ora che l' equazione di secondo grado a coefficienti reali
az 2
+ bz + c =
0
ammette due soluzioni complesse coniugate nel casu in cui il dis criminante L\ sia negativo. Non e restrittivo su pporre a > O. Ri cordando 10 sviluppo del quadrato di un binomio, possiamo scrivere
0= z
2
b + -z + -ac = a
2
ossia
(z
2
b z + - b ) + -C - - b ( Z 2 + 22a 4a 2 a 4a 2 b
+ 2a
)2
L\
= 4a 2
< 0;
'
8. 3 Nu m er i co m plessi
dunque otten ia mo
. V-
b
z+- = ±z- 2a
cioe Z=
289
L\
2a
-b ±iy'=;1 2a
. e puo, esse re sc ntta . com e T a Ie espression
Z
=
- b±
2a
V::1 , .m
' con 1'1 caso d'1 anaI ogia
di scriminante ~ 0. Notia mo che il p ro cedimen to segu ito puo esse re ap plicat o a nc he nel caso in cu i i coefficient i a =I 0, b e e siano numeri co m plessi, P ert ant o I'espression e
z=
- b ± V b2 2a
-
4ac
definisce Ie due soIuz ion i dell'equazione di secondo grad o a z 2 + bz + c = 0, nella sit uazione pili genera le p ossibile, Le equazion i algeb riche di terzo e quarto grado ammcttono rispet t ivamen t c tre e quattro so Iuz ion i (co ntate con Ie opportune molteplicita ) ch e so no es prim ibili in forma es p licita m edi ant e Ie op erazioni algebriche e l'estrazione di radici qu adrate c cu biche ' , No n esist e invece una esp ressio ne a na lit ica per lc so Iuz ioni di equaz ion i di ordine su p eriore a l q uarto . II Teorem a Fondarn en tal e dell 'A Igebra garant isce pero che ogn i equ az ione alge b rica p(z ) = 0, dov e p un polin ornio di gr ado n a coe fficienti rca li 0 complessi, a m m et te esa ttame nte n solu zioni in cam p o cornplesso , ciascu na con I'op p or tun a rno ltep licita. L' en u nci ato prcciso e il segu ente.
e
T eorema 8.6 Sia p(z) = a"zn + ... + 0lZ + (Lo, can an =I 0, un polinornio :S k :S 11. Allam esistono TTl :S n di qrado n avente coefjicienti Ok E C, tiumeri complessi Zl . . . . . Zm, distinti ira loro, ed U] numeri interi Ill, . ... Jim maqqiori a uquali ale soddisjacenti Jll + ... + /1m = 11, tali cite p(z) si [aitorizza come
°
1
Ad esem p io , I'equazione di t.erzo gr ad o x 3 + a:r 2 + bx+ c = 0 si riduce co n la sost it uz ione x = y - fr a ll'e q ua zione y 3 + py + q = () p er opportuni coefficient i p c q fac ilm ente ca lcolab ili. Le so luz ion i d i t al e eq uazione so no es press e dall a formula
nota co m e for mu la di C ardano . P oich e og ni est razione di rad ice fornisce un numero di so luz ion i (event u a lm ent e coin cide nt i) pa ri a ll'o rd ine (2 0 3) d ella rad ice , apparent crn cn t e tale formul a fornisce fino a 12 so luz ion i; tutt avia , e possibile ver ificarc che Ie solu zion i di stinte so no a l pili 3 .
290
8 R appresentazion i del piano e dello spazio
I numer i
sono le radici del polinomio p , ossi a le uniche soluzioni dell 'equazione e la rnolteplicita dell a radice Z k. Una radice si di ce semplice se la sua molteplicit a e 1, doppia se la su a molteplicit a e 2, e cosi via. E opportuno osservare che se i coefficient i di p sono reali e se Zo e una radice complessa del polinomio, allora anche Zo e una radice di p. Infat ti se p(zo) = 0, allora, prendendo il coniugato di amb o i m embri e usando le proprieta del passaggio al coniugato in una somma 0 in un prodotto (vedasi le (8.27)) , otteniamo Zk
p(z) = 0; l'esponente ILk
0= 0 = p(zo) = anzg
+ ...+ alZO+ 0,0
= anzg
+ ...+ al zO + ao =
p(zo) .
Pertanto p(z) e divisibile per (z - zo)(z - zo), che risult a essere un t rinom io di secondo grado a coefficient i reali . Un enunciato del Teorema Fondamentale dell 'Algebra, valido per i polinomi a coefficient i reali e che non fa intervenire la variabile complessa , e fornito nel Teorem a 9. 15.
8.4 Curve nel piano e nello spazio Ritorniamo ora allo studio di funzioni ed in particolare introduciamo il concetto di curva nello sp azio e nel pi ano. Un a curva descrive, ad esem pio, il modo di per correre il bordo di un a regione piana Quale un poligono 0 un ellisse, oppure la traiettoria det erminata dal movimento in fun zion e del tempo di un punta m at eri ale sott o l'effetto di una forza ad esso applicata. Come vedremo nel Capitolo 10, e possibile definire un calcolo integrale sull e curve . Cio perrnettera, ad esempio, di esprimere matem aticament e il concet t o fisico di lavoro. Sia I un qu alunque int ervallo della retta reale e sia , : I ---+ lR3 una funzione. Indichiamo con ,(t) = (x(t) , y(t) , z(t)) E lR 3 il punta immagine di tEl at t raverso I- Diciamo che , e una funzione continua su I se le comp onent i x , y, z : I ---+ lR sono funzioni cont inue. Definizione 8.7 Una [un zionc continua , : I ~ lR ---+ lR 3 dicesi curva (ne llo spazio) . L 'irnrnagine C = ,(I) ~ lR 3 uiene delta sostegno della curua. Se il sostegno della cur va giace su un piano, diremo che la curva e piana. Un caso notevole e dato dalle curve ,(t) = (x(t), y(t) , 0) che giacciono nel pi ano x y e che indicher emo semplicemen t e come ry : I ---+ lR2 , ,(t) = (x(t) ,y(t)) . Not ia mo che un a curva e una funzi one di var ia bi le reale mentre il sost egno di una curva e un insieme nello spazio (0 nel piano) . Una curva defini sce un modo di par ametrizzare il suo sostegno associando ad ogni valore del par ametro t c t uno e un solo punta del sostegno. Tu ttavi a l'insiem e C puo esse re il sostegno di cur ve diverse, ovvero puo essere parametrizzato in modi diver si. Ad esem pio la curva piana ,(t) = (t , t) con t E [0,1] ha come sostegno il segm ento di est re mi A = (0,0) e B = (1,1) . Tale segme nt o e anche il sostegno della curva 8( t) = (e , t 2 ) , t E [0, 1];
8.4 Curve nel piano e nello spazio
291
I( b)
I(a )
Figura 8.17. R appresent azione grafiea del sostegno C
= Ina , b]) di un a rea sempliee (in a lt o a sinistra), un are a non se m pliee (in a lto a destra) , un area ehiuso e sem pliee (in basso a sinistra) e un a rc o ehiuso non sempliee (in basso a destra)
le cur ve , e 8 cost it uiscono due par am etrizzazioni del segment o AB . Il punto med io di AB, ad esempio, e individuato dal parametro t = ~ nel primo caso e t = nel secondo. La eurva , si dice sempliee se , e un 'applicazione iniettiva, ossia se valori diver si del parametro individuano punti diversi del sost egno. Se l'intervall o I = [a , b] e chiuso e limitato, come negli esempi precedenti , la curva v si chia mera areo. Un area si dice ehiuso se ,(a) = ,(b) ; ovvi amente un arco chiuso non e una curva semplice. Tu ttavia , si parla di area ehiuso e sempliee (0 area di Jordan) se il punto ,(a) = ,(b) e l'unico punto del sost egno ad essere immagine di due valori diversi del param etro. La Figura 8.17 illustra diversi esempi di archi. Come per le curve, vi e differ en za concettuale tra un arco e il suo sostegno. Va tuttavi a detto che frequentemente si indica con il termine 'arco' un sottoinsieme del piano 0 dello spazio (ad esem pio si parla comunemente di 'arco di circonferenza ') ; in t al caso vien e sot t intesa una parametrizzazione dell'oggetto geometrico, solit amente de finita nel modo pili naturale.
1
Esempi 8.8 i) La curva piana e semplice
,(t) = (at .
+ b, et + d) , .
ha com e sostegno la retta di equazlOne y
=
t e - x
a
a
E ~,
i- 0 ,
ad - be
+ --a
292
8 Rapprcsent a zion i del pi ano c dell a spazio
Infatti , posto :r
= x (t ) = at + b ey = yet) = et + d, a bb iam o t = x - b, d a cu i a
ad - be y = -(x-b ) +d= - x + . a a a c
e
ii) La eurva
'"Y(t) = (:r( t) , y(t)) = (1 + cos t , 3 + sin t ) ,
t
E
[0 ,21r],
ha eome sostegno la circ on fere nza di centro (1 ,3) e r ag gio 1; infatti vale la relazione (x(t) - 1)2 + (y(t) - 3) 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1. Si t ratta d i un a rc o ch ius o e sem p lice e cos t it uisce il modo pili naturale p er p a rametrizzare t al e circ on fere nza p ercor rendola in sens o a nt iorario a parti re dal punto (2 , :~ ). In gen er ale l'arco chiuso e sem p licc
'"Y(t) = (x(t) , y(t)) = (xo + r cos t , Yo
+ r sin t) ,
t E [0, 21r] ,
h a come sos tegno la circ on fere nza centrata in (x o, Yo) di raggio r. Si osservi che se t varia in un intervallo d i tipo [0, 2k lr], con k intero positivo 2: 2, l'arco h a an cor a come sos tegno la circ on fcrenza rna essa vienc percorsa k volte; dunque l'ar co non e sem plice. Se invece t varia nell 'int ervallo [0 ,1r], la corrispondente curva circ onfere nza ) sernplice rna non ch iuso.
e un
a rc o (di
iii) Sirnilrnente, as segn ati a , b > 0 , l' arco chiuso e sem p lice
'"Y(t) = (x(t) ,y(t)) = (aco st ,bsint) ,
t E [0 ,21r] ,
pararnetrizza l'ellisse centrat o nell 'o rigine e con sem iassi a e b. iv) La curva
'"Y( t) = (x(t) , Yet)) = (t cost, t sint).
t
E [0, +(0 ) ,
ha com e sostegno la sp irale rappre senta ta in Figura 8.18, a sinistra , che viene p er corsa in sen so a nt iora rio a p artire dall'origine. Infatti il punto '"Y(t) ha di stanza 2 (t ) + y2(t) = t , ch e cresc e a l cr escer e di i : La curva e d all 'origine uguale a semplice.
J:r
v) Siano P = (xp, yp , zp ) e Q cu rva sernp lice
=
(:1:Q , YQ , zQ) punti di stinti della sp az io. La
'"Y(t) =P +(Q -P) t , t E JR , ha com e sost egno la retta passante p er P e Q. Infatti '"Y(O) = P , '"Y(1) = Q e il vettore '"Y(t) - P h a direzione costantc cssendo p arallclo a Q - P. Una pili gene rale parametrizzazione d ell a st essa retta
e data d a
P + (Q - P) t - to , t E JR, tl - to con to =I- tl ; in tal caso si ha '"Y(t o) = P , '"Y(td = Q. '"Y(t)
=
vi) La cu rv a sernplice
'"Y(t) = (:r(t) ,y(t) , z(t)) = (cos t , sint , t),
t E JR ,
(8.40)
8.4 Curve nel piano e nello spazio
293
/
Figura 8 .18. R appresentazione della sp ira le e dell 'eli ca circolare d efinite ne gli Esempi 8.8 iv) e vi)
ha come sost egno l' elica cir colar e rappresentata in Figura 8.18, a destra. Si noti che il sostegno giac e sul cilindro infinito di asse coincide nt e con l'asse z e raggio 1, ovvero l'insieme {( x ,y, z) E]R3 : x 2 + y2 = 1}. D Diremo che una curva , : I ----+ ]R3 e derivabile se le su e componenti x , y , z : I ----+ ]R sono fun zioni derivabili su I (ricordiamo che una fun zione e derivabile su un int ervallo I se e derivabile in tutti i punti interni ad I ed e derivabile unilateralmente negli event uali est re mi appartenenti ad 1). Indichiarno con " : 1----+]R3 la funzione derivata ,'(t) = (x'(t) ,y'(t) , z'(t)) . Definizione 8.9 Una curva , : I ----+ ]R3 dicesi regolare se e deriva bile S11 I con derivata conti nua (ovvero le compone nti sono ju nzioni di classe C1 su I ) e se ,'(t ) i- (0,0,0), per ogni t c: L. Una curva , : I ----+ ]R3 dicesi r e go la r e a tratti se I !inito di intervalli su cui, e reqolare.
e un ion e di uti numero
Se, e una curva regol are e se to E I , il vet tore ,'(to) dicesi vettore tangente al sostegno della curva nel punto Po = ,(to) . Tale definizione puo essere giustificata geometricamente nel modo segue nte (si veda la Figura 8.19). Sia to +.:1t E I t ale che il punto PL1t = ,(to + .:1t) sia diverso da Po. Consideri amo la retta passante p er Po e PL1t ; ricordata la (8.40) , t a le retta puo esser e parametrizzata come S(t)
=
R
o
+ (pL1t -
R ) t - to 0.:1t
= 'V(t0 ) + ,(to + .:1t) .:1t I
,(to) (t - t ) 0
•
(8.41 )
Facendo tendere .:1t a 0, il punta P L1t t ende a Po (nel senso che ogni comp one nte di P L1t t ende verso la corrispondente componente di Po) . Nel contempo, grazie ,(to + .:1t) - ,(to) a ll'ip ot esi di regol arita di " il vettore a = rr(to, .:1t) = t ende .:1t
294
8 Rappresentazioni del piano e dello spazio
I
" T (t) /
I
I I
,,
S(t )
,/
I I I
I I
I
Figura 8 .19. Vettori tangente e secante a una curva nel punto Po
a ,'(to ). Dunque la posi zione limite della retta (8.41)
T(t)
=
e la rett a
,(to) + , '(to)(t - to),
t
E
ITt ,
tange nte al sostegno della cur va in Po . A rigore, il vet tore t angent e al sostegno in Po
e il vettore applicato (Po,,'(to)) (si veda il P aragrafo 8.2.3) , rna comunemente 10 si
indica sempliceme nte con ,'(to). Si puo verificare che la re tta t an gente al sostegno di un a curva in un punto e intrinseca al sostegno, cioe non dip ende dall a paramet rizzaz ione scelt a ; invece il vettore t angente d ipende dall a p arametrizzazion e pe r qu anto rigu ard a modulo e ver so. Da un punto di vista cinemat ico, una curva rappresent a la t rai ettoria di una particella che al tempo t occupa la posizione ,(t) nello spazio. Se la cur va e regolare, il vet tore ,'(t) rappresenta la velocita della particella al t empo t. Esempi 8.10 i)
E facile ver ificare che tutte le cur ve cons ide rate negli Esem pi 8.8 sono regolari .
ii) Sia ! : I
-->
ITt un a fun zione derivab ile con cont inuita sull'inte rvallo I ; la curva ,(t) = (t ,!(t)) , t El ,
e una curva regolar e avente come sostegno il grafico della
fun zion e ! . Si osservi
infatti che
,'(t) iii) L' ar co , : [0,2]
= (1 , !,(t)) -I-
(0,0) ,
per ogni i
et
.
--> ]R2
,(t) = {(t ,l) , t E[O,l), (t,t) , t E [1 ,2]'
e una param etrizzazione della p oligon ale ABC (si ved a la Figura 8.20 , a sini stra) ; invece l' arco
8.4 Curve ne l piano e nello spazio
A
o
295
A
1
o
2
2
Fig ura 8 .20. Poligonal e ABC, a sinistra, e ABCA , a des tra, definite nell'Esempio 8.10 iii)
,(t)=
{
(t,I) ,
tE [0,1),
(t ,t) ,
tE [I,2) ,
(t ,2 -~(t -2)) ,
tE[2,4]'
e Una
paramet r izzazione della poligonale ABCA (si veda la F igura 8.20, a dest ra ). E ntrambe le curve sono rego lari a tratti. iv) Le cur ve
,(t) ;;Y(t)
+ v2 cos t , v2 sin t) , t E [0,27f], = (1 + v2cos2t, -v2sin2t) , t E [0,7f] ,
= (1
SOnO due parametrizzazioni (la prima ant ioraria, la seconda oraria) de lla stessa circonferenza C , avente centro in (1,0) e raggio V2. Ess e sono regolari e le loro derivat e sono date da
" (t) = v2 ( - sin t , cos t ) ,
;;y'(t) = 2v2 ( - sin 2t, - cos 2t) .
11 punto Po = (0,1) E C e immagine mediante, del valore to = ~7f del paramet ro e mediante ;;Y del valore to = ~7f del parametro, ossia Po = ,(to) = ;;y(to) . Nel primo caso il vettore tangente e" (to) = (-1 , - 1) e la retta tangente a C in Po e data da
T(t)=(0, 1)-(1 ,1) (t -
333 -t+ ,1 -t+
47f)=(
47f
47f) ,
mentre nel secondo caso si ha ;;y'(to) = (2,2) e 5 5 5 T(t) = (0,1) + (2, 2)(t - 87f) = (2(t - 87f), 1 + 2(t - 8 7f)) ,
tElR ,
t E lR .
I vettori tangenti in Po hanno verso e lunghezza diversi , rna la retta tangente stessa. In effetti, ricordando l'Esempio 8.8 i), in ent rambi i casi si ottiene y = 1+x. D
e la
296
8 Rappresentazioni de l piano e dello spazio
8.5 Cenni aIle funzioni di pili variabili Nei capitoli precedenti , abbiamo studiato funzioni reali di u n a variabile reale , ossia funzioni definite su un sottoinsieme della retta re ale lR (ad esempio un intervallo) a valori in R Vogliamo ora est ende re alcuni dei concetti vis ti in precedenza, ed introdurne di nuovi, relativamente alle funzioni re ali d i due 0 tre variabili r e ali , va le a dire Ie funzioni definite su un sottoinsiem e d el piano lR2 0 dello sp azio lR3 a valori in lR. Le funz ioni che considereremo si scr ivera n no dunque come
j : dom j ~ lR d
-+
(d = 2 oppu re 3) ,
lR
Xf---+j(x) .
Q ui x ind ica il generico elem ento di lRd , vale a dire la coppia x = (XI , X2) se d = 2 oppure la terna x = (XI, X2, X3) se d = 3 ; talvolta per semplicita scriveremo (XI ,X2) = (x,y) e (XI, X2, X3) = (x,y ,z) ; indicheremo ino ltre le coordin ate di x con (XI , .. . , .'rd) quando non e necessario precis are se d = 2 oppure 3. Ricordiamo che ogni x E lRd e univocamente associato a un punto P nel piano o nello spazio, le cu i coo rdinate rispetto a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale sono le componenti di x. A sua vo lta, P indiv idua un vettore applicato nell'origine, di com p one nti XI , . . . ,Xd; p ertanto, l'elem ent o x E lRd puo essere pensato com e tale vettore. In lR d sono dunque definite le operazioni di somma x + Y = (XI + YI , .. . ,Xd + Yd), di prodotto AX = (AXI , . . . , AXd) e di prodotto scalare x . Y = XIYI + ... + XdYd gia introdotte e studiate per i vettori. Inoltre e definita la norma euclidea [rc] = )xi + .. .+ x~ , che rappresenta la distanza euclidea del p unta P di coordinate x dall 'origine O. Si not i ch e la quantit a IIx - yll = )(.'rl - YI )2 + ' " + (Xd - Yd)2 rappresenta la distanza t ra i due p un ti P e Q d i coordinate x e y rispettivamente.
8.5.1 Cont.inuita Mediante il concetto di dis tanza, possiamo d efin ire gli intorni di un punto in lR d e quindi est en de re i concetti di continuita e lim it e a lle fun zioni di pi li variabili .
Definizione 8.11 Sia XQ E lR d e sia r intorno di XQ di raggio r l'insierne
> 0 uti numero reale. Chiamiarno
costiiuito da tut ti i punti di lR d che distano menD di r da Posto Xo
=
(XOI ' . .. ,.'rOd), la condizione
(XI - x od 2 + (X2 - X02)2
Ilx -
XQ.
Xo II < r eq uivale a
< ,2
(XI - xod 2 + (X2 - X02 )2 + (X:l - X03)2
se d = 2 ,
< ,2
se d
= 3;
8 .5 Cenni aile funzioni di pill variabili
297
dunque I r(xo) e rispettivamente il cerchio oppure la sfera di centro Xo e raggio r , privi di frontiera. La definizione di cont inuita e form alm ente identica a qu ella data p er funzioni di una variabile reale. Definizione 8.12 Sia f : dom f <;;; lR d ----+ lR e sui Xo E dom f · La fun zione f dicesi continua in Xo se per ogni E: > 0 esisie un (j > 0 tale che \/x E dom f ,
Ilx - xo ll < (j
If (x ) - f (x o)1<
=?
E: ,
vale a dire \/x E dorn j' ,
Esempio 8.13 Verifichiamo che la funzione Xo = (3, 1). Si ha
f : lR 2
----+
lR, f (x) = 2Xl
+ 5X2 e cont inua
in
12(Xl - 3) + 5(X2 - 1)1 ::; 21 x l - 31+ 51x 2 - 11::; 711x - Xo I . Abbiamo qui usato la proprieta IYi I ::; I y II per ogni i = 1, .. . , d e per ogni y E lRd , che dis cende immediatamente dalla definizione di norma . Fissato E: > 0, e sufficiente scegliere (j = E:/ 7 per ot tenere il risultato . Si noti che il medesimo ragionamento mostra che f e cont inua in ogni Xo E lR 2 . Q
If (x ) - f(xo)1
=
Un a fun zione f : dom f <;;; lR d ----+ lR dicesi cont inua in una regione f2 <;;; dom f se e cont inua in ogni punta x E f2. Le definizioni di limite per x ----+ Xo E lR d sono del tutto sim ili a quelle dat e nel Capitolo 3. 8.5.2 Derivate parziali e gradiente
Sia f : dom f <;;; lR 2 ----+ lR una funzione di du e vari abili , defini ta nell'intorno di un punto Xo = (xo , Yo). La fun zione x f---+ f( x, Yo) , ottenuta fissando il valore della seconda variabile indipendente, e una fun zion e reale di variabile reale, definita nell 'intorno del punta Xo E R Se essa e deriv abile in Xo, dici amo che f ammette derivata parziale rispetto a x in Xo e poniamo
8f (xo) ;:} vX
=
d f (x ,Yo) I -d x
x=xo
Similmente, se la fun zione Y f---+ f( xo, y) e derivabile in Yo, diciamo che f ammc t t e derivata parziale rispctto a y in Xo, e poniamo
298
8 Rappresentazioni del pia no e della sp azio
~fy (x o) = ~7y f (xo, y )IY=Yo Nel caso in cu i ent rambe Ie condizioni d i deriva bilit a siano so ddisfatte , diciamo che f ammette derivate parziali (prime) in Xo e pertanto risulta defi nito il vet t ore g r a d iente di f in xo , indicato con \7 f(xo), ponendo
In modo analogo , data una funzione di tre variabili f : dom f <:: lEt 3 ----+ lEt, definita ne Il'intorno di un punta Xo = (xo, Yo , zo), le sue derivate parziali (prime) in Xo rispetto aIle variabili x, y, z sono Ie quantit a
I
of (xo) = -1 d j .(x, Yo, zo)
""i)
uX
( J;
X=Xo
o f (x o) = d7 d j .(xo, y , zo) I 7}; Y
Y
,
Y=Yo
Of (xo) = -d d j .(xo,Yo, z ) I
""i)
oz
,
Z= Zo
Z
,
supponen do che Ie derivate a secondo membro esistano . II gradi ente di il vettore
.
\7j (xo ) =
(Of (xo ), ""i) of (Xo), ""i) of ) (Xo) ""i)
uX
uy
f in Xo e
3
E lEt .
uZ
Esempi 8.14 i) Sia f (x , y ) = J x 2 + y 2 la funzione distanza dall' origine. Co nsi derando il punto Xo = (2 , - 1), abbiamo
of (2,-1) = ox
(~ Jx2 + 1)(2) =
of (2, -1) 8y
(~ J4 + y2) (-1) = dy
=
dx
x
Vx 2 + 1 J4
y
Ix=2
+ y2
2
J5
I
-
y= - l
~5 '
Vi)
P ertanto 211
\7 f (2, - 1) = (J5 ' -
J5) = J5(2,-1) .
ii) Sia f( x,y,z) = y log(2x - 3z) . Nel p unta Xo = (2 ,3,1) , abbiamo
of 8x(2,3, 1) =
(ddx 3 log(2 x -3) )(2)=3 2x 2-3 I =2 =6 , x
8.5 Cenni aile funzioni di pili variabili
299
~~ (2, 3,1) = (~y ylog 1) (3) = 0 ,
~~ (2, 3,1) = (~Z 310g(4 -
3Z))(1) = 3 4
=~Z IZ=l = -9 ,
e dunque
V f(2, 3,1) = (6,0 , -9) . Posto x = (Xl, .. . ' Xd ), la derivata parziale di Xi ,
f in
o Xo rispetto ali a variabile
i = 1, . . . , d, viene anche indicata con uno dei simboli
La fun zion e
L , (xo) .
oppurc
DxJ(xo)
8f -;:;- : x
8f f--+ -;:;- (
UXi
UXi
x) ,
:f, <;;;; dom f
definita in un sottoinsieme dom derivata parziale di f risp etto a
<;;;; ]Rd a valori in ]R, dicesi funzione La funzione gradiente di f ,
Xi .
Vf : x
Vf(x) ,
f--+
il cui dominio dom V f e I'intersezione dei domini delle singole derivate parziali , e un esempio di campo oettori ole, ossia di fun zione definita in un sottoinsieme di ]Rd a valori in ]Rd (p ensato come spazio vettoriale). Esempi 8.15 Riprendiamo gli esemp i precedenti . i) Per la funzione f(x ,y) = vlx 2 +y2 , abbiamo Vf(x) = (
con dom V f =
]R2 \
vi x 2 + y2 ' vi X
x
y) x 2 + y2
IIxll
{O}.
ii) P er la fun zion e f( x , y , z)
=
y log(2 x - 3z) , abbiamo
-3y ) 2y Vf( x)= ( 2x _3z ,log(2x-3z) '2x_3z '
con dom Vf
= domf =
{( x,y, z)
E]R3 :
2x - 3z > O} .
o
Le derivate parziali risp etto a ile vari abili X i , i = 1, .. . , d, sono casi particolari di de rivata direzionale lungo un vettore, che or a introduciamo. Sia f una funzione definita in un int orno di un punto Xo E ]Rd e sia v E ]Rd un vettore non nullo fissato. Dici amo che f a mmett e derivata parziale lungo v in Xo se esiste finit a la qu antit a 8f (
) _ I.
"?l Xo uV
1m
t --->O
f (xo
+ tv) t
f( xo)
.
300
8 Rappresentazioni del piano e dello spazio
Un altro simbolo usato per tale espre ssione c Dvf(xo) . La condizione precedente esprime la derivabilita in to = 0 della funzione t f--t f(xo + tv) (d efinita in tutto un intorno di to = 0 in quanta se t e abbastanza piccolo, Xo + tv sta nell 'intorno di Xo in cui f e definita) . Si noti che la curva t f--t Xo + tv = i(t) e una parametrizzazione della retta passante p er Xo e avente la stessa direzione di v e si ha (f 0 i) (t) = f (xo + tv) . Dunque, la derivata parziale di f lungo v in Xo puo anche essere espressa come
of ov (xo)
=
(d
dt
f
0
i
)
(0) .
La derivata parziale di f in Xo rispetto a Xi si ottiene ponendo v = e. , dove e, indica il versore la cui i-esima componente vale 1, m entre tutte Ie a lt re componenti valgono 0 (dunque el = i , e2 = i , e 3 = k) . Si ha cioo
Of of oei (x o) = O.Ti (x o), Infatti, ponendo ad esempio d
f(xo
+ ted =
=
2e i
=
f( (.To, Yo)
e p ertanto, con la sostituzione x
i = 1, . .. , d.
1, abbiamo
+ t(l , 0)) =
f( xo + t ,Yo)
= Xo + t , otteniamo
of ( . ) _ I. f( xo + t, Yo) - f(xo, Yo) -;::;-- xo,Yo - im oe, t ->o t _ I. f( x , Yo) - f(xo, Yo) _ of ( ) 1m - Xo, Yo . x -> xo X - Xo O.T
E possibile dimostrare che se f ammette derivate parziali rispetto a ogni Xi in tutto un intorno di Xo e se tali funzioni sono ivi continue, allora f ammett e in Xo derivate direzionali lungo un qualunque vettore v =I- 0 ; tali d erivate si esprimono m ediante il gradiente di f in Xo come Of
of
of
uV
UXI
UX d
i- (xo) = v · \7f (x o) = VI ~ (xo) + ... + Vd~ (x o) . Si noti che tale formula fornisce Ie espressioni, talvolta utili , i
=
1, .. . , d.
Inoltre , sotto Ie ipotesi fatte su f , se i I ---+ IR d e una qualunque curva derivabile in to E I e t ale ch e i(t o) = Xo , allora la funzione composta (f 0 i)(t) = f (l( t)) e derivabile in to e si ha
8.6 Ese rcizi
(~t
f
0
--y) (t)
--y'(to) . V'f(xo) ;
=
301
(8.42)
tale espressione estende la regola di derivazion e della catena vista p er le fun zioni reali di varia bile real e. Esempio 8.16 Sia f( x , y) = j x 2 + y2 la funzione distanza dall 'origine, e sia --y : (0, +00 ) -+]R2 la spirale --y( t) = (t cos t ,t sin t) . Essendo
f (--y (t)) = V"-t2-c-o-s2-t-+-t2-s-in--::2C-t = t , per calcolo di retto otteniamo immedi atamen te
~t
f(--y(t)) = 1 per ogni t >
0. Verifi chi amo che il secondo membro della (8.42) fornisce 10 stesso risult ato . Poniarno x = --y(t) ed introduciamo il versor e x = II ~II = (cost, sint) . Si ha
--y'(t) = (cost, sint) + t(-sin t ,cost) = x + tx l.. ; la notazione per il versore x l.. = ( - sin t, cos t) e motivata dal fatto che esso e or to gonale a x , cioe soddisfa x l.. . x = 0. D 'altro cant o, ab bia rno verificato nell 'Esempio 8.15 che V'f(x) = x per ogni x =1= O. Per t anto, --y'(t) · V'f(x) = (x + tx l..) . X = x· X + txl..· X = IIxl12 = 1 , o come previsto.
8.6 Esercizi
OJ De terminare 1e coordina te poleri dei seguenti pun ti del piano: A = (5V6,5V2) ,
B
= (5V6 , - 5V2) ,
c = (-5V6, 5V2) ,
D
=
(-5V6, - 5V2) .
2. Det erminare 1e coordinate pouui dei seguenti pun ti del piano:
a) A = (-5,0)
b) B
=
(0,4)
c) 0=(0 , -3)
3. Determinare le coordina te poleri dei seguenti punti del piano (si lesci l 'etgom enta espresso in funzion e dell 'ercot engenie}:
~ A
=
b) B = (3V2 - 2V3 , 3V2 + 2V3)
(2V3 - 3V2, 1)
[[] Determinare 1e coordina te polari dei seguenti punti del piano (si lesci l 'ergom enta espresso in fun zione dell'arco tangente) :
A
=
(cos
7r
9"
.7r
sin
9' ),
B
= (-
cos
7r
9"
.7r
sin
9' ),
7r
0 = (sin 9" cos
7r
9' ).
302
8 Rappresentazioni del piano e dello spazio
5. Determinare Ie coordinate poleri dei seguenti punti del piano;
Q ~ A b)
B
V2
Jr
V2 .JrV2
=
(2 cos "9 - 2
=
(2 cos
28
9
it ,
sin "9'
2
cos
Jr
V2 .Jr
"9 + 2
sin
"9 )
. 28 2 sin 9 Jr)
[QJ
Dati VI = (1,0, - 2) e V2 = (0,1 ,1), determinare die VI + AV2 sia ortogonale a V3 = (-1 ,1 ,1).
[2J
Determinare l'insieme dei vettori nel piano ortogonali al vet tore
[§J
j]
nurnero reale A in modo
V
= (2, - 5).
Determinare l 'insieme dei vettori nello spezio or togonali ei vettori VI V2 = (2, - 1, 3).
= (1,0,2)
e
[QJ
Determinare VI
j]
modulo dei veitori:
= (0, V3, 7) ,
V2
= (1,5, -2) ,
V3
Jr .Jr
Jr
= (cos -
Jr .Jr
sm - cos - - sin - sm - ) . 5' 5 7' 5 7
10. Determinare il cosetio dell 'angolo formato dalle seguenti coppie di vettoii:
a) v =(O,l,O),
[!IJ
w=(0,~ ,2)
b) v =(1 ,2,-I) ,
w =(-l,I ,I)
Dato il vettore w = (5, -3, -V2), se n e det ermini j] versore u . Dato poi il vettore V = (2, - 1, 2V2) , se ne determinino la componente lungo u e la com p oncnte ortogonale.
12. Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
(i + /oi)
a) (2 - 3i)(-2 + i)
b) (3 + i)(3 - i)
1 + 2i c) 3 - 4i
5 d) (1 - i)(2 - i)(3 - i)
2- i
+ 5i
13. Sciivere in forma trigonometrica ed esponenziale i segueuti numeri complessi:
a) Z = i
b) Z = -1
c) z = l + i
d) z = i(1 + i)
l+i e) Z = -1 -i
f) z = sin a + i cos a
14. Calcolare il modulo dei seguent: numeri cottiplessi: 1 2i a) Z= -. -+ - L-i i -I
.
i 1 - 2i
b) z = l + z - --
8.6 Esercizi r,-;:-] ~
303
3Z
~ i I = 1. Verincare che se 1 z I = 1 si ha 1 --.3 + 2Z
16. Risolvere le seguenti equazioni:
a)
[ill e)
[!1J
Z2
~
2z + 2
zlzl z2
2z
+ iz =
~ Z2 + 3iz + 1 = 0
=0
+i
=
0
1
d)
Izl 2z 2
OIJ
z3
Verincare che 1 +·i e radice del polinomio le altre radici.
Z4 -
=
= i
Izl 4
5z 3
+ 10z 2 -
lOz
+4
e trovare
18. Calcolare z2, z9, Z20 per l-i
2
1
b) z=--+--;~ V3 - i
a) Z= - . 2
2
19. Calcolare e rappresentare greiicemenie i seguenti numeri complessi:
c) z=V2-2i
a) z=M 20. Determinare i1 dominio delle seguenti funzioni:
~ f(x, y)
=
x - 3y ~ 7 x-y
f(x, y)
=
VI ~ 3xy
f(x,y)
=
V3x+y+ 1-
L.!J
Qi] i0l ~ @2J
f(x, y, z)
=
log(x 2
~ 2y-x
+ y2 + Z2
- 9)
21. Calcolare le derivate pexzieli delle seguenti funzioni nei punti indicati:
a) f(x, y) = V3x
+ y2
x
b) f(x,y,z) =ye +
yZ
in (xo, Yo) = (1,2) in (XO,YO,zo) = (0,1,-1)
22. Determinare le funzione gradiente delle seguenti funzioni: x+y a) f(x, y) = arctan-x-y c) f(x, y, z) = sin (x
+ y) cos(y - z)
b) f(x, y) = (x
+ y) log(2x - y)
d) f(x, y, z) = (x + yy
304
8 R appresentaziani d el piano e della sp azio
23. Calcolare le derivate dir ezionali delle seguen ti Iun zioni luti go i vettori v e nei punti indicati:
a) f( x ,y)
xv y - 3
=
b) f( x ,y, z) =
x
+ 2
v
1
y-
3
(-1,6)
=
Xo = (2,12)
v = (12 , - 9, -4)
z
Xo = (1,1 , -1)
8.6.1 Soluzioni 1. Per tutti i punti si ha r per il punto A risulta ()A
= v'2 5 . 6 + 25 . 2 = 5V8. Utilizzando la formula (8.2) , 5V2 5V6
= arctan -
=
1 ar ct an v'3
7r
=-
6
in quanto x > O. Analogam ent e per il punto B , si ha ()B
1 - ) v'3
= arctan ( -
=-
1 arctan v'3
7r
=-- . 6 '
per il punta C , essendo x < 0 e y > 0, si ha
1 -) v'3
ee = arctan ( -
+ tt
7r
=--
6
+ 7r
=
=
5 6
5 6
-7r'
'
per il punta D , essendo x < 0 e y < 0, si ha
eD
1 v'3
= arc tan -
7r
7r
=- 6
7r
- - 7r .
2. Coordina te polari di pun ti del piano:
a) r = 5 ,
()
=
7r j
b) r
= 4,
c) r
() =!! . 2 '
=
3,
e = - ~.
3. Coordinate polari eli punti del piano: a) Risulta r = V31 - 12V6j inoltre no tando che 2v'3 < 3V2, si ha
+ 3V2 e = arctan 2 v'33 -1 3 V22 + 7r = arct a n 2v'3-6 +7r = b ) r = 5V6 ,
() = arct an (5 + 2V6) .
4. Per tut t i i punti risul ta r
= 1.
eA
Per il punto A , si ha 7r
7r
= arctan t an 9" = 9" .
v'3 V2 arc tan ( - + 3 2
) + 7r .
8.6 Esercizi
305
Per il punto B , tenend o conto che x < 0 e y > 0, si ha
oB
= arct an
( - t an
Per il punto C , si ha
7[
7[
"9 ) + 7[ = - "9 + 7[ =
cos 1C Oe = arctan ~ ; sm g
ricordando le (2.17) e il fatto che la tangente cos_ 1C _ 9
sin( ~ (7r cos "9
sin ~ dunque Oe =
8 g7[ .
+ ~)
e periodica con periodo 7[ , abbia mo
11 t an 187[ =
7r) = +"2
-
7 tan ( - 187[)
= t an
7 187[ ,
78 1 7[.
5. Coordinate polari di pun ti del p ian o; a)
'{( = sin i = cos per il seno e il coseno, p er ottenere
E sufficiente notare che
(
A = cos
7[
7[
.
7[
i
e applicate le for mul e di addizione
7[)
(-4 + "9 ), sin (-4 + "9) =
(cos 367[, 13 . 13 ) sin 367[
Osservando ch e ~~ 7[ < ~ , si ha immediatamente r b) r=2 , 6. J vettori
=
1e 0
=
~~ 7[ .
O=-~7[. VI
+ AV2
e
V3
sono ortogonali se
(VI
+ AV2) . V 3 = O. Ma
da cui A = ~ . 7. Jl vettore (x , y) e or togonal e a V se (x , y) . (2, -5) = 2x - 5y = O. P ertanto l'insierne cer cato e costituito dai vettori che giac ciono sulla retta di equazionc 2x - 5y = o. Ad ese m pio, l'insiem e si puo de scrivere come {A(5, 2) : A E 1R} .
8, Imponendo l'ortogonalita del vettore w = (x, y , z) con VI e V2 otten iamo W ·Vl = x + 2z = 0 e W . V2 = 2x - y + 3z = 0, da cui x = - 2z e y = - z . Ponendo z = A, I'insierne cercato e quindi {A(-2 , - 1, 1) : A E 1R} . 9. [vi]
= V52 ,
10. A ngolo Era vettori: a)
cosO = ~ ;
11. Risulta
b) cose
=
1.
Ilwll = 6 e dunque u = (~ , -~ , -1). Poiche v
· w = ~ , si ha
306
8 R appresen t a zioni del pi a no e dell o spazio
vu = v
u
.L
5 3 V2 (4' - 4' - 4) ,
= (2" -
5
V2 = (-3 - -1 -9 v2) . 4' 4' 4
3
1 2v2) - (- -- - - ) 4' 4' 4
12. Form a algebrica di numeri com plessi:
a) - 1 + 8i;
2 .
b) 2 + i ;
c ) -5 '
13. Forma trigonom et rica e esponenziale di nurn eri com plessi: H
'.
H
a)
z = cos '2 + i sin '2 = e' 'j ;
c)
Z
e)
cos ~+isin ~ = ei-!f;
b) z = cos H +isin H = e''7r;
H) = v In2e''.4 ; = vIn( 2 cos 4H+isiIl4
d)
Z
In ( cos 43 H+isin 4H) 3 In , :j"3 7r ; = v2 = v2e'
f) cos ( ~ -O:) +isin (~ -o:) =ei ( -!f -a ) .
14. Modulo di numeri com plessi:
a)
~ .
V'5. '
b)
[ii .
15. In vece di compiere la verifica diret t a , moltiplichi amo il den ominatore per (= 1) e otteniamo
Ii i
16. Risoluzione di equazioni:
a)
Z
= 1± i .
b) Applichia mo la formula risolu ti va per equazioni di seco ndo grado e otteni amo Z=
- 3i ± j=9=4 2
-3i ± Vl3i 2
- 3 ± Vl3 , 2
i .
c) Scri vendo Z = x + i y, l'equazion e diventa
(x + iy) J x 2 + y2 - 2x - 2iy + i = 0 , ovvero
x J x 2 + y 2 - 2x + i ( y J x 2 + y 2 - 2y + 1) = 0 .
Uguag lia ndo par t e rea Ie e part e im maginaria del p rimo e del secondo membro , ottenia mo il sistema X ( J x 2 + y2 = { 2 y x + y2 - 2y + 1 = 0 .
J
2) 0
8.6 Esercizi
307
vi
Dall a prima equazione, dov ra essere x = 0 oppure x 2 + y2 = 2. Qu est 'ultima rel azione inserita nella seconda equazione del sistem a da un risultato impossibile. Pertanto le uniche soluzioni possibili saranno X
{
=0
ylyl -
2y + 1 = O.
Distinguendo i due casi y ::::: 0 e y < 0, otteniamo = 0 y2 _ 2y
X {
+1= 0,
e dunque
{~ :~ , Pertan to le soluzioni sono z non e accettabile). d) z
=±
V;
e)
(1 + i ) ;
f) Ricordando che
=i
Izl
2
=
zz,
Allora una soluzion e e z si pervien e al sistem a
z
{~:~I±J2.
e ez
=
= i( - 1- J2) (in
qu anto y
v: -i~; v: -i~ .
= -1 + J2 > 0
=-
z
I'cqu azione diventa
= 0 c le alt re soddisfano z -Z2 = O. Ponendo z = x + iy , x2 - y2 - X = 0 { 2xy + Y = O.
Riscrivendo la seconda equazione come y(2 x+ 1)
y= O { x (x - I ) = O,
=
0, si ot tengono i du e sist emi X
=- ~
=
!! 4 '
{
Y2
1
. ±V3 -z.
In definitiva , Ie soluzioni sono z = 0;
z
=
1;
z = --
2
2
17. Poiche il polinomio e a coefficient i reali , oltre alIa radice z = 1 + i , vi e anche la radice coniugata z = I- i. P ertanto il polinomio edivisibile per (z -l - i)( z-l +i) = z 2 - 2z + 2 e si ha
Le radici sono quindi
z=l + i,
z = l -i ,
z
=
1,
z = 2.
308
8 Rappresentazioni d el piano e dell o spazio
18. Potcu zc eli nu m er! coiu pleesi:
a)
z2
= 2i ,
z9
=
- 16( 1 + i),
z 20
=
-2 10
.
b) R azion ali zzando i d en om in at ori si h a
z
= 2 -v'3+i 4
.
- t
1 = -(v'3 2
. t).
Scrivendo il numero in forma espone nzia le, si h a
e quindi
19. Cnlcolo c rapp resen tazione grniicn di numeri com plcss i:
a)
Zo
= i,
Zl
=
- Hv'3 + i) ,
Z2
=
Hv'3 -
i) .
I numeri so no rappresentati nella F igura 8 .21, a sin istra. b) Scriviamo il numer o 1 in form a esp onenziale 1 = eO rri . Allora , ricordando che ca +21r = e a , si ot ti en e
c)
I numeri son o rappresentati nella Fi gura 8.21 , al ce ntro . Z o = -YSe~1ri, Z l = -YSe- k1ri . I numeri son o rappresen t ati nella F igura 8.21 , a d estra . Tm z
Tui z
Irn z zo
zo
Re z
Re z
Zo Re z Z1 /
Figura 8 .21. R adici cu biche di - i (a sin istra) , rad ici q uinte di 1 (al ce nt ro) , e radici qu adrat e d i 2 - 2i (a d est ra )
8.6 Esercizi
309
20. Doiuiuio eli iun zioui: a) 11 dominio e l'insieme {(x, y) E ]R2 : x # y2}, ossia l'insieme di tutti i punti del piano esclusi quelli appartenenti alla parabola di equazione x = y2. b ) La funzione e l'insieme
e definita dove l'argomento della radice e :2': 0; dunque
{(x, y)
E ]R2 :
1
1
y ::; 3x se x> 0, y :2': 3x se x < 0, Y
E ]R
il dominio
se x = O}
ossia l'insieme dei punti del piano compresi tra i due rami dell'iperbole y = 3~' (') La funzione l'insieme
e definita quando 3x + y + 1 :2': 0 e 2y {(x,y)
E]R2:
v > -3x -I} U {(x,y)
x > 0; ossia il dominio
E]R2:
e
y >~}.
e rappresentato nella Figura 8.22. La funzione e definita dove l'argomento dellogaritmo e > 0; pertanto il dominio e l'insieme Esso
ossia l'insieme dei punti del piano esterni alla sfera di centro l'origine e di raggio 3.
2 1. Dcrivnt c: Jlilrziilli rli (llIJzioIJi;
81
a) -8 (1,2) X
=
3 f'7 2y 7
81
b) 8x(0,1,-1)=e
81
-8 (1,2)
' -1
=
y
,
2 f'7 y7
81 8y(0,1,-1)=0,
81 8z (0, 1, -1 )=- e1 .
!J = -:h - 1
,,
,
Figura
v!3x
8.22.
+y +1-
.
,
Rappresentazione grafica del dominio della funzione
v'2~-X
f(x, y)
310
8 R appresenta zioni del pi ano e dello spazio
22. Fuuzioui gredieute: a) \7f(x ,y) = ( - x 2 b
~y2 '
) \7 f( x, y) = (lOg(2X _ y)
c) \7 f( x , y , z ) d)
x2 :y2)
+ 2~X + y) , log(2 x _ x- Y
= ( cos(x + y) cos(y - z ), cos( x + 2y - z ) , sin(x + y) sin(y - z )) .
\7 f( x , y , z ) = (z( x
+ yy-l , z (x + yy -l , (x + y y
23. Derivate direzioueli eli iuu zioni:
a)
of
ov (xo) =
y) _ x + Y ) . 2x _ Y
- 1;
b)
of
ov (xo)
1
=2
log(x
+ y))
.
9
Calcolo integrale I
II Calcolo int egrale affro nta due classi di probl em i ben dist inti: i) Trovare t ut te le fun zion i che , su un certo int ervallo della ret t a reale, hanno come derivata una fun zion e ivi asseg nata. Si tratta cioe di com piere l'operazion e invers a della der ivazione; t ale op erazione viene indicat a con il te rmine integrazione indefinita. ii) Definire e calcolare l'ar ea di un a region e pian a delimitata su periormente e inferiorment e dai grafici di fun zioni assegnate su un intervallo chiuso e limi t ato della retta reale; in t al cas o, si dice che si esegu e una integrazione definita.
A prima vista, qu est e due problema tiche sembrano avere ben po co in comune. II risult at o di una integrazione ind efinit a e, come vedremo t ra po co, un ins ieme di infinit e funz ioni; invece, il ris ult at o di un a int egrazione definit a e un numero , che rappresenta l'area della regione pian a considerata. In realta, esist e un risul t at o profondo e import ant e, noto appunto come Teorem a fo ndam entale del Calcolo in tegrale, che affer ma che lo due problem at iche sono t ra loro perfettam ente equivalenti: se sa ppiamo ricost ru ire un a fun zione dalla conoscenza della sua der ivata , sa ppiamo anche ca lcolare le aree delle regioni piane delimi t at e dal grafico della derivat a e da ret t e parall ele ag li ass i coordinati, e viceversa . Nel seguito, t rattiamo dapprima il problem a dell 'in t egrazi one indefinit a ; suecessivamente, introduciamo il problema dell 'integrazione definita . Per ga rant ire una maggior e flessibilita didat t ica , pr esentiamo in modo indipe nde nte tant o la costruz ione dell 'int egrale di Cauchy qu anto quella di Riem ann, tra t t ando pe ro in modo unitario le propriet a no tevoli dell'int egrale definito. St abiliam o infine il Teorema fondame ntale del Calcolo integrale e ne di amo alcune applicaz ioni al ca lcolo di aree .
312
!l Calcolo int egr ale I
9.1 Primitive e integrali indefiniti Sia
f
una fun zione definita in un intervallo I .
D efinizione 9.1 Ogni fun zion e F deriuabile in I e tale che
F'(x) = f (x ),
'Vx E I ,
dicesi una primitiva di f in I (0 su I). Non tutte le fun zioni definite su un intervallo d ella retta reale am met t ono primitive, cioe sono la derivata di un 'al tra funzione. Il problem a di individuare tutte le funzioni che ammettono primitive su un certo int ervallo, fun zioni che chiameremo integrabili (in senso indefinito) sull'intervallo, e al di fuori dello scopo di questo testo. Ci limi ti amo a segnalare una classe importante di fun zioni integr abili , le funzioni continue su un intervallo reale; t ale risultato sara una conseguenza del Teorema fondament al e del Calcolo integr ale , che vedremo pili avant i. Esempi 9.2 i) Data la fun zion e f(x) = x su JR. , la fun zione F( x) = ~ X2 e una primitiva di f . Questa non C l'unica pr imi tiva d i f : infat t i, ogni fun zione della forma G(x) = ~ x 2 + c, con C costant e arbit aria , e una primiti va di I, in quanta la derivata di una cost ante e nulla. ii ) Data la fun zione f( x) = ~ sull'intervallo I = (-00,0) , le fun zioni F (x)
log Ixl
+c
(con
C
E
JR.) sono primitive d i f su I .
0
Come si e vis to negli esempi precedenti, se F(x) e una primitiva di f( x ) sull'int ervallo I , anche ogni funzione del t ipo F( x) + c, con C costante, 10 C. E naturale chiedersi se esistano altre primitive di f (x) . La risposta e negativa , come mostra il seguent e importante risultato. Proposizione 9.3 Se F e G sono due primi tive di f sull'i nieroollo I , allora esiste una costante c tale che
G(x) = F(x
r.+ c,
'Vx E I .
Dimostrazione. Introduciamo la funzione aus iliaria H (x ) vandola, si ha
G(x) - F(x) . Deri-
H' (x ) = G/(:r ) - F'(:r) = f (x ) - f (x ) = 0,
'Vx E I .
Dunqu e la funzione H ha deri vata null a in ogni punta di I e quindi la Propriet a 6.25. 0
e costante per
9.1 Primitive e int egrali indefiniti
313
Riassumendo, vale il seguen te Teorem a di carat terizzazione dell 'insiem e delle primitive di una funzione f . Teorema 9.4 Sia f una [unzione int egrabile (in sens o ind efinit o) su I e sia F un a sua prirnitiva . Allora le prirnitive di j sono tutte e sole le junzi oni F (x) + c al uariare della costante c in lR. Tale risultato mo tiva la seguente defini zione. Definizione 9.5 L 'insi erne di tutte le primitive di j in un in tervallo reale viene indi cato con il sirnbolo
.I
j(x) elx
(che si legge integrale indeflnito di Se
F e un a
primitiva di
f , avremo
I , oppure
"inieqrale di f (x) in elx") .
dunque
i Jj(x ) d x ~ 1F (" ) +c
, c E JJ<}
i
Si osservi che l'integrale indefinito di j non rappresenta un numero, ben si un insieme di infinite fun zioni. Tuttavi a , per comod ita di scrittura, si usa om ettere le p arentesi graffe eli ins ieme, scrivendo in modo impraprio ma sufficientement e ch iaro
.I
j (x) dx = F (x ) + c.
Esem p i 9.6 i) Sia f (x) = x 4 . Ricordando che D x 5 = 5x 4 , si ha immediatamente che una primitiva di f e data d all a funzione F (x ) = k x 5. Dunque
ii) Sia f( x) =
e
2x
.
.I J
=
elx
= ~X5 5 + c.
Ricordando che De 2x = e
iii) Sia f (x )
X4
2x
dx =
2e
2x
,
si ha F(x) = ~e2x e dunque
~e2X + c.
sin 5x. Ri cordando che D cos5x
- kcos 5x e dunque
. J
sin 5x dx = -
=
51 cos 5x + c.
-5 sin 5x , si ha F( x)
314
9 Calcolo integr ale I
iv) Sia - sin x
< 0,
se x
f( x) = sin Ixl = { . sm x
se x 2':
o.
P er det erminare t utte le primitive di f( x) su ffi., procediamo nel seguente modo. R agioniamo dapprima su ciascuno degli in t er valli h = (- 00,0) e 12 = (0, + 00) sep arat amente. Nell'intervallo I j , tutte le primitive di f( x) sono della forma
1'1 (x) = cos x + Cj
con
Cj
E ffi. a rbit rario;
analogamente, nell'int ervallo l z, tutte le primitive di f( x) sono della forma F 2 (x)
=-
cos x
+ C2
con
C2
E
ffi. arb it rario.
Dunque , la generica primit iva F (x ) di f( x) su ffi. si scrivera come se x < 0, se x >
o.
Inoltre, F dovra essere continua in x = O. Infatti , p er definizione d i prirnitiva, F Dobbiamo quindi raccordare le primitive trovate , imponendo la cond izione
e derivabile, e dunque cont inua, in ogni punto di R lim F( x) =
X--lo Q -
Poiche le espres sioni F1 val e a di re
C
lim F( x) .
x----+ O+
F2 sono cont inue in x = 0, cia equivale a F1 (0) = F2(0) , 1 + C j = -1
+ C2 .
Cia stabilisce un legame tra le constant i Cj e C2, e p ermette di esplicitare una cost ant e in funzione dell'al t ra (coerentemen t e con il fa tto che ogni primitiva di una funzion e dipendc da una, e una sola, cost ant e arbit raria ) . Ad ese mpio, possiamo porre C j = C, otten endo conseguentemente C2 = 2 + c. Concludiamo che la generica primitiva di f (x ) su ffi. e d ata da
F (x ) = { COSX + c se x < 0, - cos x + 2 + C se x 2': O.
0
Dal punto di vist a geometrico, il Teorema 9.4 a fferm a che i grafici di tutte le primitive di una fun zione int egrabile f si ott en gono l'uno dall 'altro p er t rasla zione verticale (si ved a la Fi gura 9.1) . Un modo comunem ente us ato per selezionare una particolare primitiva di f cons ist e nell 'assegnare il suo valore Yo in un punto Xo fissato di I . Se conosciamo una particolare primitiva F (x ) di f (x ) in 1, e se vogliamo determinare la primiti va C( x) = F( x) + Co di f( x) che vale Yo in x o, scriveremo che
C( x o) = F (x o) + Co da cui ricavi amo Co
= Yo - F( xo)
= Yo,
e dunque avremo
C( x) = F (x ) - F( xo) + Yo .
9.1 Primit ive e int egra li indefiniti
.i-:
y y
315
= F( x) + c = F( x)
y = F( x) - F( xo) + Yo
yo Xo
Figura 9.1. Le primitive d i una stessa funzione differiscono per una cost a nte add it iva
La t avol a dell e der ivate delle principali fun zioni eleme ntari, quando la si legga in senso contrario , fornisce una t avola di primitive. Abbiamo ad esempio:
a) b) c) d)
e)
f) g)
;
. xC> dx
=
J~ J J J = J Jh dx
=
Xc>+ l
ex +1
+C
log Ixl + C
sin x dx = - cos x
cos xdx = sin x
eX dx
(ex -1= - 1) (per x > 0 oppure
.T
< 0)
+C
+c
(9.1)
eX + c
_ 1_2 dz = ar ct an x
l+x
1 - ::r 2
+c
dx = ar csin x
+c
Esempi 9.7 i) Si voglia trovar e la primitiva di f (x) = cos x che vale 5 in Xo = ~ . Una primitiva di f( x) e F( x) = sin x . P ertanto, cerchiamo G(x) nella form a G(x) = sinx +co. Imponendo G( ~ ) = 5 otteniamo Co = 4, dunque la primitiva cercat a sar a
G( x) = sinx + 4. ii) Si voglia ora trovare il valore in X l = 3 della primitiva di f( x) = 6x 2 + 5x che si annulla in Xo = 1. Una particolare primitiva di f( x) e data da 5 3
F( x) = 2x
+ "2 X 2 .
316
9 Calcolo int egrale I
Impon endo che G(x ) = F (x ) + Co sodd isfi G (I ) 3
G(x ) = 2x + II
S ilO
valore in
Xl
5
2x
2
=
0, ot ten iam o Co
=
- ~ , d a cui
9
2'
-
= 3 e G(3) = 72.
iii) Si co nside ri la fun zion e continua definita a trat t i se x ::; l ,
X
f (x ) =
{
(x - 2)2 se x ;:: 1.
P roceden do come nell 'Esempio 9.6 iv), otten ia mo che
F (x) = Impon endo la cont inuita in x
l x2+ C 2 1 { ~ (x - 2)3 +
=
se x C2
< 1,
se x> 1.
1, si ha
1
1
-2 + C j = - -:3 + C2.
D a tale relaz ione, ponendo
Cj
=
C,
~ x2
F (x)= {
risult a
+c
~ (x- 2)3 +~ +c
se x
< 1,
se x ;:: 1.
Su pponiamo ora d i voler determ inare la primit iva di f (x ) che si an nulia in Xo = 3. Poich e Xo > 1, usiamo la second a espre ssione d i F (x ) e im p oni amo la cond izione 1 5 F (3) = :3 (3 - 2)3 + "6 + C = 0, d a cu i
C
=
-toNe segu e che la primi tiva cercat a e F (x ) = {
:;~ =;)3 _~ :::: ~:
Si noti che sareb be stato concett ua lmente errato imporre l'a n nullament o dell 'espress ione ~ X2 + Cin X o = 3, in qu a nto t a le es p ressione ra p p resent a una primiti va di f( x ) solo per x < 1. Se invece vog liamo determin a re la primitiva di f (x ) ch e si annulla in Xo = 1, p ossiamo imporr e l' annullamen to dell 'una 0 dell 'al tra esp re ssione di F (x ), in quant o esse coi n cido no in t ale p unto. La p rimitiva ce rcat a e se x
< 1,
se x ;:: 1.
D
9.2 Regole di integrazione indefinita A partire d agli int egrali ind efini ti delle funzio n i elemen tari, e possib ile otten ere gli int egrali indefini t i di alt re fun zion i, usando Ie rega le d i integrazione qui so tto riporta t e.
9.2 Regal e di int egr azia ne indefinita
317
Teorema 9.8 (P r o p r ie t a di linear-ita dell'integrale) Siano f( .T) e g(x ) fun zioni inieqrabili S'U un inierualio I. A llora , per ogni a , (3 E IR, la funzionc a f (x) + (3g(x ) e int egmbile su I e si ha
./ (a f(x) + (39(x))dx =a'/ f(x)dx + (3'/9(.1;) dX.
Dimostrazione.
(9.2)
Sia F(:r) un a qua lunque prirni t iva di f (.T ) e G(.1;) un a qu alunqu e prirnit iva cli g(.T). Rico rdando la propriet a di linearit a della deri vat a , si ha
( a F (x )+ (3G (x ))' = aF/(.T)+(3G'(:r) = a f (.T )+(3g(:r),
Vx E I .
Cia significa che la funzione aF(x) + (3G(x) c un a prirniti va di 8 U I , il che, ricordando la definizionc di int egrale ind efinito , equivale alia (9.2). 0
a f(x) + (3g(x)
La proprieta permette d i int egrare term ine a t ermine un a somma a lgeb rica di fun zioni, portanclo fuori clal segno di int egrale le costant i mol tiplica tive.
Esempi 9.9 i) Si voglia int egrare il polinomio 4x 2 + 3x - 5. R icordando la (9.1) a ), si ha
./(4x
2
+ 3x
2 - 5) d x = 4 ./ x dx = 4
4
+ 3 ./ x clx -
5 ./ dx
(~x3 + Cl ) + 3 (~X2 + C2 )
= -x 3
3
+ -32 x 2 -
5x
- 5 (x
+ C3 )
+ c.
Si no ti che Ie varie cost ant i a rbitrarie Cl, C2, C3 ass ociate a i singoli integrali indefini ti sono state ing lobate in u n'unica costa nte arbitraria c. ii) Si consideri ora la funzion e f( x) = cos 2 x. Si noti che cos 2 x
=
1
'2( 1 + cos 2x )
e che D sin 2x = 2 cos 2x ; dunque ,
J
2
cos x d x
J J.
=
Analogamente , si trova
~
dx
2
+ ~ ./ cos 2x dx = ~x + ~ sin 2x + c.
sm x dx
1 1. = '2 x - 4" sm 2x + c .
0
318
9 Calcolo int egrale I
T eorema 9.10 (R e go la di integrazione per parti) Sian o j (x ) e g(x ) junzioni derivabili su un intervallo I . Se la junzione j '(x) g(x) e integrabile su I , allora lo e anche la Junzione J (x )g' (x ) e si ha
J
j(x)g'(x) dx
= j (x )g(x ) -
J
(9.3)
1' (x )g(x )dx.
Dim ostrazionc. Sia H (:I: ) un a qualunquc primitiva dclla fun zione f' (:r )g(x ) S Il I . Ricordando la formula (6.4) di dcri vazione eli un prodot to , abbiamo
[f (;I: )Y(:I: ) - H (:l;)]' = (f (;r )g(;I: ))' - [-['(;1: ) = l' (x )g(;l: ) + f(:l;)g' (:1:) = f (x)g'( x).
I' (:l; )g(:r)
Pert anto, la funziouc j (;l: )g(x )-H (:I: ) C una primitiva della fun ziono f (:l;)g' (;1:), il chc C prc cisam entc qu an ta espresso dalla formula
(0.3).
0
In prati ca , se si deve integr are il prodot to di due fun zioni, si inden tifi cher a uno dei d ue fattori con la fun zione J( x) e l'altro con la fun zion e g'( x); successiva rnent e, si risalira alla funzion e g(x) , det erminando una prim it iva d i g'( x) ; infin e , si t rove ranno le primiti ve di j' (x)g(x) e si app lichera la (9.3). Esempi 9.11 i) Si voglia ealcolare
J
x x e dx .
Si p on ga J (x )
= x e g'( x) = e" . Abbia mo j' (x ) =
e convenient e seegliere
J
xe x dx
1, m ent re come funzione g(x) la funzione eX stessa. Usando la (9 .3) si ha quindi
= ze" -
J
= x ex - (e" + c) = (x - l )eX + c.
eXdx
Nell'ult irno passaggio si e sostit uito aHa costante arbitraria -c la eostante c, altrettant o arbit raria. Si noti che se avessimo fatto la seelta j (x ) = eX e g' (x) = x (cioe f' (x) = eX e g(x) = 1x2), sa remmo p erv enu ti alla formula
J
x ex dx =
~ x2ex 2
-
~
2
J
x 2ex dx
'
ehe non ci avrebbe p ermesso di ealcola re l'int egr al e eereato. ii) Si voglia ora ca lcola re
J
log xdx .
Conviene porr e j (x )
=
log x e g' (x )
=
1. In tal modo si ha J' (x )
=
~ e
g(x ) = x.
9.2 Regole di integrazione indefini t a
319
P ertanto, con la stessa avvertenza sulla arbit rarieta della eostant e d i integrazione, si ottien e
J
=
5 =
f (x)
x dx = x log x -
=
eXsin x dx .
_ex cos x
+
=
_ ex cos x
+ eX sin x -
eX e g(x)
- eos x .
J
eXeos xdx .
Integriamo nuovamen t e p er parti an eora con f( x) Si ha quindi f'(x) = eX e g(x) = sin x , da cui
5
dx
J
e" e g'( x) = sin x . Abbiamo f'( x)
5
J
x log x - (x + c) = x (log x - I ) + c.
iii) Si voglia ealcolare
Poniamo P ertanto
J~
= x log x -
log x dx
= eX mentre ora g'( :r) = eosx.
J
eX sinx dx = eX (sin x - cos x ) - 5.
Cia significa ehe ogni primitiva F( x) di eXsin x si scriv e come F( x) = eX(sin x cos x ) - G( x) , dove G( x) e ancora una primitiva di eXsinx. Dunque, rieordando il Teorema 9.4 di ca ratterizza zione delle primitive, otteniamo 25
ovvero
5
=
= eX(sinx 1
cos x ) + c
.
o
2e X(sm x - cos x ) + c.
Teorema 9.12 (R e go la di integrazione per sostituzione) Sui f (y ) una fun zion e integrabile su un inieruallo J e sia F (y) una sua primitiva . Sia poi
J
f(
= F(
(9.4)
tale formula vien e sovente scri tta, in m odo m enu precise ma piu sintetico, com e
J
f(
Dimostrazion e.
=
J
f (y ) dy .
(9.5)
E sufficicnte
ricor d are In formula (G. 7) eli deri vazione di una fun zion e cornp osta , cite for nisce d elF d
Dunquc, F(
320
9 Calcolo integrale I
Insistiamo sul fatto che il significato preciso d ella (9.5) e dato dalla (9.4) : per calcolare l'integrale a primo membro, bisogna int egrare la fun zione f rispet to a lla va riabile y e successivament e sost it uire a y I'espressione cp (x ), in modo che anche il secondo membro sia fun zione dell a variabile x . Si noti che , a livello mnemonico , la formula (9.5) puo essere ottenuta formalmente nel seguen t e modo: posto y = cp(:r), derivando si ha ~~ = cp' (;r;) d a cui, trattando la d erivata com e un quoziente secondo la notazione di Leibniz, si ottiene dy = cp' (x )d x ; effet t uando le sostituzioni in uno dei due integrali , si ot t iene l'altro. Esempi 9.13 i) Si vogli a calcolare
I
. xe
x 2
dz.
Poniamo y = cp (x ) = x 2 , d a cui cp' (x) = 2x . Allora
1/
I
. x eX 2 dx ="2
1/
eX 2 2x dz ="2
Ritornando alla variabile x, si ot ti en e quindi 2 1 2 X eX dx = "2ex
1
eY dy = "2 eY+ c.
+ c.
/
ii) Si voglia ora calcolare / tan xdx . sinx e che (cos x )' = - sin x . P ertanto, poniamo y = cos x cp(x ) = cos x e deduciamo che Ri cordiamo che t an x =
/
_l_(cos x)' dx = - / ~ dy y cos x = - log Iy l + c = -log I cos z ] + c.
t an :r d x = - /
iii) Si conside ri
dX . /~ 1+x 2
Ri cordando l'espressione (6 .17) della derivata della funzione settore seno ip erbolico , si ha immediatamente /
~dX = 2 1 +x
sett sinh x+ c .
In alternativa, l'integrale puo essere calcolato con la sostituzione y VI + x 2 - x, da cui dy= cioe
1
~
vI
+ x2
(~-l)dX = x~ dz 1+ x2 1 + x2
1 dx = - - dy . In qu esto modo si ha y
cp(x )
9.2 Re gole d i integrazione indefinita
321
~dx = - J '!' dV = -log lVI + c = -log(~ - x) + c , 1 + x2 V J ove si e tolto il valo re assoluto nell 'argomento del logaritmo essendo, per ogni x E lR, vI + x 2 - X > O. Le due espress ioni trovate coincidono, in quanta - log ( ~ - x ) = log(~ + x ) = set t sinhx . iv) L'integrale
J
1 d ~ x
puo esser e calcolato come nell'esempio precedente. Infatt i, eseguendo la sost it uzion e V =
J
1
v x 2 -1
dx =logl~ + xl + c.
v) L'integrale
s = J \11 + x 2 dx si ca lcola utilizzando l'esempio iii) precedente e una relazion e circolare. Precisamente, integriamo p er parti ponendo f( x) = VI + x 2 e g'( x) = 1. In tal modo a bbiamo f'( x) =
S
~2 e g(x) = x e dunque 1+x
= X\ 11 + x 2 -
X2 vT"+"X2 dx = X\/I + ,T 2 2 1+x
J
=x ~ -JVI+ X2dx +J Per t anto
1
VI + x 2
J x 2 + 1 -1 vT"+"X22 dx 1+x dx
= x~ -S+J~d' T. 1+ x2
2S = 'T ~+J e, in definitiva,
S =
1
VI +x 2
d:1:= x~ +log(~+ x)+ c
~ x~ + ~log(vh + x 2 +x) + c .
Lo stesso procedirnento permette di calcolar e
J~
dx .
vi) Si voglia or a calcola re
s= J~dX .
E possibile
proced er e come nell 'esempio precedente intcgr ando per parti e ri-
cordando che J
~2 dx 1- x
= arcsin x + c. In effett i, posta f( x) = vI - x 2 e
g'( x) = 1, si ha f'( x) = - ~ e g(x) = x da cui
322
9 Calcolo int egrale I
S= x~ Dunque
J
X2 ~dx= x~-S+ 2
1- x
J
1
vlf=X2dx . 1 - x2
2S= x~+J~dX 1 - x2
e
S=
~x~+ ~ arcsinx+ c .
Un procedimento altern at ivo consiste nel porre y = arcsinx ovvero x cui si ha dx = cos y dy e VI - x 2 = cosy, ottenendo
S
=
J
2
1
~
=
cos Y dy
= sin y, da
J(
cos 2y + 1) dy
1
1 .
1
= 4" sin 2y + 2, y + c = 2, sm y cos y + 2, y + c 1 ~ 1 = 2,x y 1- x 2 + 2, arcsin x + c .
vii) Infine, si consideri
J
1
eX + e- X
dx.
Poniamo y = eX da cui dy = eXdx , cioe dx = tdy. Dunque
I
, ex
1
+ e- X
dx-J_l_~d -
y
=
+t
J__
y y
1_ dy
l+y 2
= arctan y
+ c
=
arctan eX + c.
0
L'esempio ii) preced ente e un caso particolare della seguente util e formula , che si ottiene dalla (9.5) con la scelta f(y) =
t:
j ' 'P''P (x(x)) dx
=
log 1'P (x)1
+ c.
(9.6)
In tutti gli ese mpi visti finora, abbiamo cons ide rat o fun zioni f ottenute combinando un numero finito di funzioni elementari a t t raverso le op erazioni algebriche e il prodotto di composizione; delle loro primitive F , abbia mo dato espress ioni analit iche della stessa natura, ossia combinazioni di un certo numero di fun zioni element ari. Qu ando cio e possibile, di ciamo che la funzione f e integrabile elementarmente. Purtroppo , non t utte le funzioni che sono combinazioni finit e di fun zioni eleme ntari sono integrabili elementarment e. Ad esempio, la funzione x2 f( x) = e- ha notevole import an za nel Calcolo delle Probabilita; ebbe ne, si dimostra che le su e primitive (che certamente esist ono , in qu anta f e continua su
9.2 Re gole di integr azione ind efinita
:~ 23
IR) non po ssono essere espresse come combinaz ione finita di fun zioni eleme nt a ri. . . sin x An alogo nsultato vale p er la fun zione f( x) = - - . x Il problema dell a ricer ca di un 'espressione esplicit a delle primitive di un a funzione data e dunque tutt 'altro che banale. Una class e notevole di funzioni int egrabili eleme ntarme nt e e cos t it u ita dall e [un zioni razionali. 9 .2.1 Integrazione di funzioni razionali
In questo p aragr afo, cons ide ria mo la generi ca fun zion e razion ale f( x)
=
P(x) Q( x) '
con P( x) e Q( x) polinomi di gr ado rispettivamente n ed m (m ~ 1), e facciamo ved er e che essa am me t te primitive esprimi bili in termini di funzioni razionali , logaritmi e arcotangenti. Noti amo innanzitutto che se n il polinornio Q( x) , ottenendo
~
m , possiarno dividere il polinomio P(x) per
P(x) = Q( x)D(x)
+ R( x) ,
con D(x) p olinomio di grado n -m e R( x ) polinomio di grado j, m -l. Sostituendo a nurner atore, a bbia m o
J
P( x) Q( x) dx =
In questa modo , il problema raziona le g( x ) =
~~:; ,
J
D(x) dx
e ridotto
f
+.
R( x) Q( x) dx .
al calcolo dell'integrale di una fun zion e
in cui il grado del polinomio a numeratore
e minore del
grado del polinomio a denominatore. Ini ziamo considerando alcuni casi particolari che , pur essendo semplici, sono molto significa t ivi, in qu anto ad essi viene ricondotta l'int egr azion e della pili generica fun zione g( x ). i) Sia g(x) = _1_ , con a E IR; us ando la (9.1) b) ot teni amo x -a
IJ~dX ~ log l x - ol + c ii) Sia g(x)
= (x
1
)'
- aT
f
.
con
T
I
(9.7)
> 1; usando la (9.1) a ) otteni amo
1 1 1 -,---------,--- dx = - +c. (x - a»" 1 - T (x - a )T-l
(9.8)
324
9 Calcolo int egralc I
=
1
' con p2 -q < 0; notiamo ch e in tali ipot esi il poli nom io x + 2px + q a denomin atore non ha radici reali ed ese m pre > O. Con se m p lici passaggi algebrici, p on endo 8 = p2 > 0,
iii) Sia g (x )
2
Jq-
a bb ia mo x2
+ 2p x + q =
x 2 + 2p x
+ p2 + (q _
+ p) 2 + 82 =
p2) = (x
82[1+ ( x :
p)
2] .
() x+ p . . . Esegu encI0 Ia sos tituzione y = cp x = - - , ottemamo s
I
.
:r 2
1
+ 2p.7: + q
dx =
~2 8
J+
_ 1_ . - s dy 1 y2
e d unque, ricordando la (9 .1) f), conclud ia m o ch e
I
1 1 x+ p -2; : - - - - - dx = - arctan - x + 2p.7: + q S 8
.
iv ) Sia 9 () x
=
x
2
ax
ax
+b
+ 2px + q +b=
ax
a bb ia mo
J
ax + b d x = -a x 2 + 2px + q 2
Usando la (9.6) con cp(x)
J
x
2
ax + b 2 dx px + q
+
=
'
a ncora con p 2 - q
+ ap + b -
a
2x + 2p dx x 2 + 2px + q
= x 2 + 2px + q e a - log( x 2 2
+ 2p ) + (b -
+ (b -
J
1 x 2 + 2p x
+q
b - ap
x
+p
+ 2p x + q) + - - arcta n - - + c. 8
=
J
ap )
ap)
(x2
1
dx
.
la (9.9), otteniamo
ax +b , con p2 - q < 0 ed r (x 2 + 2px + q)r integr az ione p er par t i nel calcolo delI'integrale
v) Sia g( x)
(9.9)
. , < O. G raz'ie a 11id ' I ent it a
ap = 2 (2 x
J
+ c.
+ 2px + qy-l
d
S
(9. 10)
> 1. Us a ndo la regola d i
X
e la regola di integrazione p er sostit u zione con cp(x) = x 2 + 2p x + q, si giunge ad esp rime re l' integrale eli 9 co me som m a d i funzioni note e delI'integrale di una fun zion e a naloga alIa g , in cui r e sos titu it o d a r - 1. In questo modo, p arten do d a l caso r = 1 gift t rattato in iv), si ca lcola l'int eg rale eli f nel caso r = 2, p oi r = 3, e cosi via . I d et tagli sono lascia ti a l let t ore volent eroso.
9.2 Regol e di integr az ion e indefini ta
325
Esempi 9.14 Si ha
f J J .
.!.
_1_ dx = log 2x - 4 2
1
21
+ c,
1
+ 5)2 d x = -
(3x
x2
Ix -
4x - 5 d x= 2 2x + 10
-
=
+ 5) + c,
J
3(3 x
x2
21og( x 2
2x - 2 e1x2x + 10
-
-
2x
J
1 dx (x - 1)2 + 9
1
x- I
+ 10) - 3 arctan -3- + c.
0
Ritorniamo a l problema dell' int egr azione della gene ric a funzione razi on ale R((x) x) ' .·1:>er n.cond urci. ai . cas i. parti.co1an. sopra consiider ati e• necess ano . 9 () x = Q erati, de comporre il denominatore nel prodott o di fa ttori element ari del tipo
(x - oY
oppur e
con p2 - q < O. L'esistenza d i una tale decomposizione e garantita dal segu ente te orema, che e una forma del cosid det t o Teorema jondamentale dell'Algebra. T eorema 9.15 Ogni polinornio Q(x ) di qttuio m a coeffic ienti reali si scrive in modo un ico corne
con d, ai , Pj , qj numeri reali, e con ri , Sj interi tali che 1'1
+ ... + rh + 2s 1 + ...+ 2Sk = m .
I numeri a i , distinti ira loro, sotio le radici reali del polinomio, ciascuna con moliepliciia ri . Ogni [aitore x 2 + 2pj x + qj 10 distinto dagli aliri ed irruiucibile in JR, cioe tale che P] - qj < 0; ad esso corris potulono due radici com plesse (coniugate) (3j,±, che hanno mo lieplicita Sj '
E possibile dimostrare che la decomposizione (9.11) del polinomio Q(x) permet t e di scrivere il quoziente g(x) nell a form a R( x) = -1 -
Q(x)
in cui ogni F; (x)
d
[
Fl(x)
] + ...+ Fh(x) + Fl( x) + ...+ Fk(x)
e del t ipo Fi () X
A il =---+ x - (Xi
A i2 (X - a i)2
+ ... + (X -A ir(XiYi ' '
'
(9.12)
326
9 Calcolo integrale I
mentre ogni Fj(x)
e del tipo
per opportune costanti A iR, B j ,"" Cj w Notiamo che il numero di t ali costant i + ... rh + 2s l + ...+ 2S k = m .
e
rl
Per det erminare il valoro dell e costanti, scriviamo l' espressione a secondo membro della (9.12) in form a di unica frazione, il cui denominatore comune e ovviament e Q( x ). Il numeratore R(x ) e un polinomio d i grado :s; m - 1, che deve coincidere con R( x ); i suoi coefficienti sono combinazioni delle costant i incognite. Ricordiamo or a un altro risultato di Algebra, noto come Principio di ident.it a dei polinomi.
Teorema 9 .16 Du e polinomi di qrado
Tn -
1 coinculono
a) se e solo se hanno ordinauimeni e uquoli i coeffic ien ii di ciascuna potenza della ooriabile uuiipend euie; oppure b) se e solo se assumono oalori uquali in m punii disiinii. Osserviamo che la prima equivalenza puo essere facilment e dedotta dalla Proposizione 7.5. Per determinare le m incognite A iR, B j IL , Gj IL , possiamo quindi 0 uguagliare i coefficienti di ciascuna potenza di x nei polinomi R(x ) e R( x) , oppure sceg liere in modo oculato m valori di x in cui far coincide re i due polinomi. Nel secondo caso, conviene sempre considerare gli zer i reali di Q (x) e , qualora qu esti fossero in numero < m, il punto x = O. Una volta det ermina ti i valori di t a li costanti , possiamo integrare t ermine a t er mine l'espressione che compare a secondo me mbro della (9.12) . In t al modo, siamo ricondotti ai casi i)-v) discussi a ll'inizio del P aragrafo. Illu striamo la procedura ora descritta at t raverso a lcun i ese mpi.
Esempi 9.17
i) Si voglia integrare la funzione
+
+
2x 3 x 2 - 4x 7 f(x) --~---
Poiche il numer atore divisione, ottenendo
e
-
x2
+X
2 . di grado maggiore del denominatore, eseguiamo la -
x+5 2 2 x +xIl polinomio a denominatore si fattorizza come Q( x) cerchia mo costanti Al = All e A 2 = A 2 l tali che
f (x)
=
2x - 1 +
=
(x - 1)(x + 2) . Dunque
9.2 Regole di integrazione indefinita
x
+5
Al
x~ 2-+x------::2 = -x -- -l
327
A2
+ -x -+-2 '
vale a dire (9.13) ossia
x
+5=
(AI
+ A 2)x + (2A I -
A 2) .
(9.14)
Uguagliando i coefficienti di x nella (9.14) , otteniamo il sistema
A I + A 2 = 1, { 2A I - A 2 = 5, che ammette come soluzione A l = 2 e A 2 = - 1. In alternativa, possiamo ca lcolare la (9.13) nei due zer i x = 1 e x = -2 di Q(x) , otten endo Ie relazioni 6 = 3A I e 3 = -3A 2 dalle quali si ricava immediatamente Al = 2 e A 2 = - 1. In conclusione, abbiamo
f (X) d X = j(2X - 1) dx
j
= x2
-
X
+
-i
+ 2 log Ix -
_1_ dx - j _1_ dx x - I x+ 2
I I - log Ix
+ 21+ c.
ii) Si voglia ora integrare la funzione
2 f (x) = x - 3x + 3 . x 3 - 2x 2 + x II denominatore si fattorizza come Q(x) = x(x -1)2 . Dunque cerchiamo costanti Al = All , A 2I e A 22 tali che x 2 - 3x + 3 Al A 2I A 22 x 3 - 2x 2 + X = -;- + x - I + (x _ 1)2 ' vale a dire
x 2 - 3x
+3 =
Al (x - 1)2 + A 2IX(X - 1) + A 22X .
P er x = 0 si ricava Al = 3, per x = 1 si ottiene A 22 = 1. Per determinare A 2I si puo scegliere arbitrariamente un valore di x -I- 0, 1. Ad esempio, per x = - 1 si ha 7 = 12 + 2A 2I - 1 da cui A 2I = -2. In concl usione, abbiamo
j
f (x) dx
~x dx -
=
3j
2 j _ 1 _ dx x - I
=
3 log Ixl- 2 log Ix -
+j
(
1)2 dx x -I
1
11 - - + c. x-I
iii) Si voglia infine integrare la funzione
f (x)
=
x3
3x 2 + x - 4 + 5x2 + 9x + 5 .
II denominatore si a nnulla in x = - 1 (perche la somma dei coefficienti di grado dispari uguaglia que lla di grado pari). Pertanto, usando la regola di R uffini, il denominatore si fattorizza come Q(x) = (x + 1)(x 2 +4x + 5). Dunque cerchiamo cost ant i A = All, B = Ell e C = C ll tali che
328
9 C a lcolo integrale I
x3
3x 2 + x - 4 + 5x 2 + 9x + 5
A
=
x
+1 +
+C + 4x + 5 '
Bx x2
vale a dire
3x 2 + X Ponendo x = - 1 e x ponendo ad esempio x
Jf
(x) dx
=-
=
4 = A(x 2 + 4x + 5) + (B x + C)(x + 1). 0 si ottengono le costant i A = -1 e C 1 si ricava B = 4. In conc1usione, abbia mo
J+ J+ =
_1_ dx x 1
_1_ dx x 1
J +++ + J + + + +
x2
4x
4x
1
5
dx
1. Infine,
J
2x 4 dx - 7 1 dx x 2 4x 5 1 + (x + 2)2 - log Ix + 11+ 210g( x 2 + 4x + 5) - 7 arc tan (x + 2) + c.
= -
=
-
2
0
Con cludiamo il paragr afo osservando che molte fun zioni f( x) , che non sono razionali nella va riab ile x, pos sono esscre integrate mediant e una opportuna sostituzione t = cp(x ), che cond uce all'int egrale di una funzione r azionalc nella nuova variabile t. Casi not evoli sono:
e fun zion e raz ion ale di y1x - a per un cert o p intero e a reale . In tal caso si pone da cui x = a + t P e dx = ptp - 1dt. t = y1x - a,
i)
f
ii)
f
e fun zione razion ale di ea x
per un certo a
i-
0 reale. In tal caso si pone
1
1
da cui x = -logt e dx = -dt .
a at iii) f e fun zione razionale di sin x e/ 0 di cos x. In t al caso si puo porre x t = t an "2 e fare ricorso alle identita trigonometriche .
1+
inoltre si ha x
1 - t2
2t
Sln x = --
= 2 ar ct an t , da
cos x = 1 + t2;
t2 '
(9.15)
cui dx
=
2 --d t. 1 + t2
(9.16)
iv) Se pero f e funzione razionale degli argomenti sin 2 x, cos 2 x, t anx, convenient e porre t = t an x e usar e le identita trigonometriche . 2
sin x inol tre x
t
2
1
cos 2 x = - - -2 '
= 1 + t2 '
1+t
'
e pili (9.17)
= arctan t , da cui dx =
1
--2
l +t
dt.
(9.18)
9.3 Integrali definiti
329
Presentiamo nel seguito a lcuni esernpi che illustrano qu este sostituzioni . Ci limitiamo ad ottenere di volta in volta una funzione razionale dell a nuova variabile t , lasciando allo studente il com pito di com pletare l'integrazione e di ritornare alla vari abile originaria x. Esempi 9.18
j. +VX=I
i) Si consideri dapprima l'integrale
S= Poniamo t
x
1
dx.
= vx-=-I, da cui x = 1 + t 2 e dx = 2t dt . Sostituendo, otteniamo S =2
J
(1 + tz)t dt .
l+t
ii) Si consideri ora l'int egrale
J t J =J
S =
e-x
dx .
e2 x - 2ex + 2 dt . Sostituendo, otteniamo
Poniamo t = eX da cui dx =
S
1
dt t 2(t2 -2t+2) .
=
iii) Si cons ideri poi l'integrale
sin x dx . 1 + sin z Usando le formule (9.15) e (9.16) , otteniamo
S
S
=
4J
iv) Si consideri infine l'integrale
S =
t
(1 + t)2(l
J+
+ t2 )
1
1 sin 2 x Usando le formule (9.17) e (9.18) , abbiamo
dt.
dx.
S=J~22dt. 1+ t
D
9.3 Integrali definiti Consideriarno una funzione f definita su un intervallo chiuso e limitato I = [a, b] C lR e ivi limitata. Definiamo il t rapezoide di f sull'intervallo [a, b], che indichiamo con T(J ; a, b), come la regione piana delimitata dall 'intervallo [a , b], dalle parallele all'asse delle ordinate passanti per gli estremi dell 'intervallo, e dal grafico di f (si veda la Figura 9.2) . In formule,
330
9 Calcolo int egrale I
Figura 9.2. Tr apezoide di f sull'intervallo [a, b]
T (f ;a, b) = { (x ,y)
E
JR2 : a ::::: x ::::: b, 0 ::::: y ::::: f (x ) op pure f (x ) ::::: y ::::: O}
(nella definizion e, la scelta del vincolo su y dipende ovviamente dal segno di f (x)) . Sotto opportune ipotesi su f , e possibile associare al t rapez oide di f su [a , b] un numero detto 'inte grale definito di f su [a ,b] ' . Nel caso in cui f sia po sitiva tale numero rappresen t a l'area del trapezoide. In particolare, qu alora il trapezoide di f sia una figura element ar e (ad esempio un rettangolo, un triangolo, un trapezio , etc .) esso fornisce la class ica espress ione deH'ar ea di t ale figura. Esi stono vari modi per costruire l'integrale definito di una funzione; essi richiedono ipo tesi diverse sulla fun zione da integrare. Illustriamo nel seguit o due diver se cost ru zion i: la prima, comunemente associat a al nome di Cauchy, opera su funzioni cont inue 0 cont inue a tratti su [a, b]; la seconda, as sociata al nome di Ri emann, porta alla definizione di un a classe piii am pia di funz ioni integr abili" . Espli citiamo la defini zion e di funz ion e cont inua a tratti, che sara us at a nel seguit o. Definizione 9.19 Una funzione f : [a, b] ---. JR dicesi cont in ua a t r a t ti se e continua in ogni punto dell'int eroallo tranne che in un nurn ero fini to di pun ti , in cui si ha una discontinuita elirninabile 0 di salto.
9.4 Integrale secondo Cauchy Supponiamo dapprima che f sia continua su [a , b] ; su ccessivamente, prenderemo in considerazione un a situazione appena pili gene ra le. P er a rrivare alla definizione 1
Un' ult er iore costruzione, rifer ita a l nome di Lebesgu e, conduce ad un a differente c1asse d i funzioni integrabili , cIasse che risult a essere quella piu naturale in moIte applicazioni della Ma t ematica moderna . La defini zione d ell'integr al e di Lebesgue es ula t uttavia dagli sca pi del presente testa.
9.4 Integr ale secondo Cauchy
331
del numero che ci interessa, costruiamo una successione di ap prossimazioni sempre pili accurat e d el trapezoide di f e poi facciamo ricorso a un procedimento di limite. Vediamo i dettagli . Sia nun qualunque intero > 0. Suddividiamo l'intervallo [a , b] in n p arti uguali, di ampiezza Llx = b-;;a, mediante i punti di suddivisione Xk = a + kLl x per k = 0,1 , . . . , n . Si noti che tali punti sono ordinati in modo cr escente , avendosi precis amente a = X Q < X l < . . . < X n - l < X n = b. Per k = 1, . . . , n , indichiamo con h l'intervallo chiuso e limitato [Xk- I , Xk]. Po iche la funzione f e per ipotesi conti nua su [a, b], 10 sara in p articolare su ogni h i dunque, per il Teorema di Wei erstrass (Teorema 4.31), f assumera valore minimo e valore massimo su h . Poniamo quindi tru; = min f( x), Mi. = maxf(x) . xE 1k
xE h
D efini amo or a le quantita n
s., =
L rnkl1 x k= l
n
e
s; = L
l\!hl1x ,
k =l
che chi amer emo rispett ivamente som m a inferiore e som m a superi ore di f su [a , b], relative a lla sudd ivisione d ell 'intervallo in n parti. Notiamo che, esse ndo p er definizione m i; :::; l\!h e Ll x > 0, si ha sempre Sn :::; Sn .
L 'interpretazione geometrica di t ali somme e immediata nel caso in cui f sia positiva su [a , b] (si veda la Figura 9.3) . La quantita mkl1x rappresen t a l'area d el rett angolo r k = h x [0, mk], che e contenuto nel trapezoide di f relativo all' intervallo I k . P ertanto, s., rappresenta l'area della regione piana unione dei rettangoli r ki t al e regione approssima per dife tto il t rapezoide di f su [a, b] . In modo del tutto simile, Sn rappresent a l'ar ea della regione pi ana unione dei rettangoli R k = I k X [0, M k] , che cost it uisce un 'approssimazione pe r eccesso d el t rapezoide d i f su [a , b] . Usando proprieta delle funz ioni cont inue su un intervallo chiuso e limitato, possibile dimostrare (~ I nt e gr al e di Cauchy ) il segue nte risult ato.
Jj
rnk/ ~
= f (x)
r--"' :;7
/ co---
-
/ c'---/ -'-
---r~ a
---
.1.
Ih\
Xk - l
Xk
Ii
----;/
~ ~
r-r-r-
.1,, '
a
Figura 9.3 . Somme inferiori (a destra) e sornme superiori (a sinist ra ) di
[a, b]
Y = f( x)
!VIk
~
e
Ii
f sull 'int ervallo
332
9 Calcolo int egrale I
Teorema 9 .20 Le successioni n e convergon o allo stesso lirnite.
s., e n
f---t
f---t
S n sono entrarnbe conve rgenti,
Cia giustifica la seguentc Definiz ione 9. 21 Chiarniarno integrale definito di
l
b
f su
[a, b] il tium ero
f (x) dx = lim s., = lim s; n ---+(X)
n ---+ OCl
·a
(che leggiarno int egrale t ra a e b di t ra a e b di f) .
f (x ) in dx
0
pi1L sernplicernen te int egrale
Esempi 9.22
i) Sia f costante su [a, b] . Detto c il suo valore , si ha mi; dunque
= Mi; =
c per ogni
k,
n
sn = S n = c L
l
qualunque sia n . Pertanto,
L\x = e(b - a)
k=l b
f( x) dx
=
e(b - a) .
ii) Consideri amo la fun zion e f( x) = x sull'intervallo [0 , 1]. II suo T( x ; 0,1) e il triangolo rettangolo isoscele di vertici A = (0, 0) , B C = (1,1), la cui area e ~ . Verifichiarno che l'integrale definito di fornisce 10 stesso valore. Sia n > 1 fissato. Abbiamo L\x = ~ e, per k Xk = ~ . Inoltre, essendo n
s., = L
xk - l L\x
f
t rapezoide = (1 ,0) e f su [0,1 ] = 0, ... ,n, crescent e, ab bia m o mk = Xk- l e Mi: = Xk . P ertanto,
=
1 n 2" L(k - 1),
k=l
ti
s; =
k= l
n
LXkL\x k= l
=
1 n 2" L k.
n
k=l
n
La qu antita
L
k rappresenta la sornm a dei numeri interi da 1 a n ; essa vale
k=l n(nz+l l
n
(si ricordi la (3.2)) . Analogamente, L(k - 1) rappresenta la sornma dei
°
k=l
numeri interi da (0, che e 10 stesso, da 1) an - 1; pertanto, ca mbia ndo n in n - 1 nell 'espressione precedentc, essa val e (n-;l ln . Dunque,
_ n(n - 1) Sn -
Passan do al limite per n
----7
2n z
00 ,
'
S
_ n(n + 1) n -
2n z
.
entrambe Ie successioni t endono al valore ~ .
0
9.5 Integrale secondo Ri em ann
333
Come si vede, anche per una fun zion e molto semp lice qual e f( x ) = x , il calcolo dell 'integr ale definito in base alla definizione e tutt 'altro ch e ag evole. Sorge quindi l'esigenza di dota rsi di efficie nt i strumenti di calcolo dell' int egr ale definito di una funz ione cont inua. A t ale problema si d ara risposta nel P aragr afo 9 .8. lntroduciamo ora una sem p lice estens ione del concet to di integrale definito. A tale scop o, osserviamo che se I e una funzione continua su [a, b] e se x* e un punto int erno a t ale intervallo, e possibile di mo strare che 'b -r a /
I( x) d x
=
I X'f( x) dx + l a
b
I( x) dx .
x.
Questa formul a, il cu i sign ifica t o geomet rico e ovvio , suggerisce come estende re la definizione di in tegral e definito al caso in cu i la funzione I sia cont inu a a tratti sull' intervallo [a, b]. lndichi amo con X o = a < X l < ... < Xm - l < X m = b i punti di di scontinuita int erni e gli est re rni dell 'intervallo (che possono essere a nch'essi punt i di discontinuita di J) . Su ogni inter vallo [Xi -I, Xi ], introduciamo la fun zion e Ii che coin cide con I nei punti interni e la prolunga per continuita agli est re rni: lim
I( x) , p er
X
= Xi -
I,
X -'fx t _l
I( x) ,
l i( X) =
lim_ I( x) , X-'f X
p er
Xi -l
pe r
X
<
X
<
Xi ,
= Xi .
i
Poniamo a llora, p er d efinizione,
lb
I (x ) dx =
a
fI i= l
Xi
l i (X )
dx .
Xi - l
Si osservi che se I e continua su [a , b], tale defini zione co inci de con la Definizione 9.21 , in quant a in t al caso si h a m = 1 e la fun zione II coincide con I . lnoltre, come consegue nza immediat a della definizione pre cedente, e fac ile convincersi ch e se modifichiamo il valore di una funzione cont inua (0 cont inua a tra tti) in un numero finito d i punti dell 'intervallo, il suo integral e definito non ca mb ia. Lo studio delle proprieta d ell 'integr al e qui defini to prosegue nel Paragrafo 9.6 .
9.5 Intcgralc secondo Riemann Nel seguito sup p oniam o che I sia una fun zione limitata su ll'interva llo [a ,b] . Defini amo dapprima l'integrale per fun zioni eleme ntari (costanti a trat ti ). Successivam ente, l'integrale di una funzione pili generale sara cos t ruit o a partire d a quello delle funzioni elementari utilizzando i concet t i di estrem o inferiore e superiore.
334
9 Calcolo integrale I
a=
Xu
X4
=b
Figura 9.4. Grafico di una fun zione a scala sull 'intervallo [a, b] Consideriamo n + 1 punti di [a, b] non necess ariamente equispaziati e tali che a
=
Xo
<
Xl
< ... <
Xn - l
<
Xn =
b.
Essi inducono una partizione 0 suddivisione dell 'intervallo [a, b] in sottoint ervalli I k = [Xk -l, Xk ], k = 1, .. . ,n. Se almeno uno degli intervalli h vien e ulteriormente suddiviso, la nuova partizione viene detta suddivisione piu fin e oppure mffinarnento della partizione ini ziale . Le fun zione elementari, alla base della nos tra cos truzione, sono le funzioni costant i a t ratt i associat e a una partizione dell'intervallo [a, b] (vedi la Figura 9.4) . Precisamente, diamo la seguente definizione. D efinizione 9 .23 Un a f un zion e f : [a , b] ----+ JR. si dice funzione a sc ala se esiston o un a suddivisione dell'interva llo [a , b] in dotta da ptutii { x o, X l, . .. , X n } e costanti CI, C2, " " c., E JR. tali che
f( x ) =
Ck,
Vx E ( Xk -I , Xk) ,
k = 1, .. . , n .
Diremo che una suddivisione e adattata ad f se f e costante in ogni intervallo ( Xk - l , Xk ) della suddivisione . Osserviamo che se una suddivisione e ad at t ata ad f ogni suo raffinamento 10 e ancora. In particolare e utile notare che se f e g sono due fun zioni a scala su [a ,b] e sem pre possibile cost r uire una suddivisione adattata ad ent rambe. Infatti , se {xo , X l , . .. ,X n } sono i punti di una suddivisione adattata a f e {zo, Z l , . . . , zm} sono qu elli di una suddivisione ada t t a ta a g, la suddivisione asso ciata all 'insierne unione e adattata sia alla fun zione f sia alla fun zione g. Nel seguito indichererno con S([a , b]) l'insieme delle funzioni a scal a su [a, b]. D efinizione 9.24 Sia f E S ([a, b]) e siano { Xo, .T I , oo . , X n } i p imii di una suddiuisi otie ad essa adattata. Sia Ck il valore costomi e di f su ll 'in teruallo ( Xk - l , Xk ) . Si dice integrale definito di f 871 I = [a , b] il numero
9.5 In tegr ale secondo Riem ann
a
= Xo
Xl
X4
=
335
b
Figura 9.5. Trapezoide di una funzione a scala po sit iva sull' intervallo [a , b]
Not iam o innanzitutto che i) la d efinizione dell 'integrale p a r ticolare, se
f
e indipendente
J=
dall a pa rtizione adattata ad f. In
assum e il valore costante c su [a , b], si h a
f
c(b - a);
ii) se modifichi arno il valore dell a fun zione f in un numero finito di punti, l'integrale non cam b ia; in p a rti col are l'integr al e non dipende dai valori assunti d alla fun zione ne i suoi eventuali punti di di scontinuita , Osserviamo che nel caso in cu i f sia positiva su [a, b], il numero II f rappresen t a precisamente l'a rea del t rapezoid e di I , in fatti esso e la som ma delle a ree dei rettangoli di base Xk - Xk - l e altezza Ck in cui si sudd ivide il trapezoide (si veda la Figura 9.5) . P er il prosieguo della costruzione sara importante il seguente risultato. Pro p r ic t a 9.25 Siano g, h E Se ra, b]) tali che g(x ) A llom
Dimostraz ione.
< hex ), Vx E [a , b].
Siano {:1:0' Xl, . .. , :1: n} i punt i associati ad una su ddivisione adattata a entrambe lo fu nz ioni; a b bia mo gia osservato che tale sudd ivisione esiste, Detti Ck e (h i va lori costanti assunti d all e funzioni nel l'intervallo (Xk -l , Xk) , si ha, p er ip ot esi, Ck ::::: (h, p er k = 1, . .. , n, Pertanto
o Consideriamo ora una ge nerica fun zione limitata Sf
=
sup f (x ) E lR
xE [a,bJ
e
if =
f : [a , b] --+ lR ; poniarno inf
xE [a,b]
f (x)
E R
336
9 Calcolo integrale I
Int ro du ciamo due insiemi di fun zioni a scala formati rispettivamente dalle funzioni che maggiorano e da quelle che minorano la funzione f . P recisamente, definiamo l'insiem e
s; =
{h E S ([a , b]) : f (x ) ::; h(x ), \Ix E [a , b]}
delle funzioni a sca la maggioranti e l'insiem e
Sf
=
{g E S ([a, b]) : g(x ) ::; f( x ), \Ix E [a, b]}
delle funzio ni a scala mino ranti . Not iamo che tali insiemi non sono vuoti, in quanto contengono risp ettivame nte Ie fun zioni costanti
h(x ) = Sf
c
g(x )=if ·
Ha dunque senso conside rare gli insiem i numerici for mati da tutti i valori degli int egrali definit i delle funzioni a scala maggioranti e minoranti. D efinizione 9.26 Si dice integrale s u per io re di
f su I = [a, b] il tium ero
jf = inf {j h : h st} . E
Si dice integrale infer io re di f
s ti
I = [a, b] il tiumero
st
Poiche non e vuoto, e ovvio che I If < + 00; analogamente IIf > - 00. La giustificazione de l fatto che tali quant ita sono finite e cons eguenzadella seg ue nte prop rieta, Proprlcta 9 .27 P er ogni fun zion e f lirnitata su. [a, b], vale la disuguaglianza
jf : ; l: Dimost razio no , Sia no g E S f c li E dcfi n izio nc si ha
st due fu nzioni a scala arbitrarie. Pe r
g(x ) ::; f (x ) ::; h(.1: ) ,
\I.T E [a, b]
9.5 Integrale secondo Riemann
337
o d unquc, npplica ndo la Propricta 9.25, ris ulta
Fissata la funz ionc g, facc udo variare h e ricordando la defini zion e di intcgra lc supcriorc si deduce che
I' g < I'f.
.JI
.J 1
A partirc da questa disu gu agliau za , faccndo var iarc g c ri cordando la dcfin izione eli int cgral c infcriorc, si otticno la tcs i. 0
E naturale a qu esto punto chiedersi se la disuguagli an za precedente sia in realta un'uguaglianza per tutt e Ie fun zioni limitate. La risposta e negativa , come mostra il segu ente esempio. Esempio 9.28 Sia
f la [unzione di Dirichlet f( x)
={
I
se xEQ ,
o
se x EIR \Q . Poiche ogni intervallo (Xk - l ,Xk) di una suddivisione di [0, 1] contiene sia punti razion ali sia punti irrazionali , Ie funzioni in sono tutte 2:: 1 mentre Ie fun zioni in S f sono tutte :s; 0 (tranne al pili in un numero finito di punti) . Dunque
st
1
o
f = 0.
e
L'osservazione precedente motiva la seguente defini zione . Definizione 9.29 Un a [un zione (ne l sensa di Riemann) su I se
f limitaia
!
0..
f =
8U
I
=
[a , b] dicesi integrabile
I'f.
.JI
Tale ualore com une vie ne detto integrale definito di can II f oppure I: f (x ) dx.
f
8U
[a , b] e indicato
II significato geometrico dell 'integrale definito e chiaro nel caso in cui f sia una fun zion e positiva sull'interva llo [a, b]. In tale situazione, il trapezoide di f e cont enuto nel t rap ezoide di ogni funzione h E e contiene il trapezoide di ogni funzione g E S f' L 'integrale superiore rappresenta quindi una misura 'est erna' (0 p er eccesso) del t rapezoide di f ; similmente l'integrale inferiore rappresenta un a
s;
338
9 Calcolo integrale I
mi sura ' interna' (0 per difetto) . Dunque f e integrabile se le due misure coincidono, cioe se al t rapezoide di f e as sociab ile un numero che ne rap presenta l'area. Not iamo che le fun zioni a scal a sono ovviamente integrabili su I . Infatti , se f e a scala, si ha contemp ora n eamente f E S f ed fESt; indicat a con f la quantita introdotta nella Definizione 9.24, la prima condizio ne implica If f < Id,
11
la seconda
11 f
11 t. P ertanto
:::::
e dunque necess ariamente tali quantita co inc id ono . Di amo or a un ese mp io di funzione integrabile non a scal a e di calcolo del corrispondente integrale definito. Esempio 9.30 Consideriamo la funzione f(x) = x sull 'intervallo [0,1] . L 'area del suo trapezoide che l'int egrale definito secon do Ri emann di f su [0, 1] vale proprio 1/2 . Sia n > 1 fissato ; suddivid iamo l'intervallo [0,1] in n parti uguali , 1 , I} = {~ : k = otten endo u na partizione as socia ta ai punti {a, ~ , ~ , ... , 0, . . . , n} . Consider ia mo le funzioni a scala
e 1/2 ; verifi chi amo
n;;
h,,(x) e
g
~
() --=-
gn x
=
k-1 se - se x
n
k n
< x :::::-,
= 0,
k 1 k-1 k se - -<x< - . a n n n ' { se x = O.
k
=
1, .. . ,n,
k=l , . . . , n,
s] , gn
Allora gn(x) ::::: f( x) ::::: hn( x) , \/x E [0,1] e quindi h n E ricordando la (3.2) si ha
rh
if
n
= ~ ~ (~ _
c: n
k =l
n
kn
2
ovvero
inf n
=
~ 2
2
k =l
r gn =
rf < ifri;
2
k= l
~ -~.
i1 if
S f ' Inoltre,
1) = c: ~ ~ = ~ ~ k = .l. n(n + 1) = ~ + ~ n n c: n 2 2 2n
e , analogamente,
Ne segue ch e
E
2
2n
e
rf :::::~ : : : rf.
i
1L
2 1 Dunque , ricordando la Proprieta 9.27 e la definizione di integr al e definito, possiarno concludere che If f = ~ . o
9.5 Int egr a le sec ondo Ri emann
339
Come si e visto, 10 studio de ll'integrabl lit a di una funzi one a ttraverso la verifica della definizione e t utt 'altro che agevole anche per funzioni avent i una sem plice espressione ana lit ica. Sorge q uindi l'esigenza , da una parte di indiv id uare classi signifi cative di funzioni int egrabili, dall'altra di dot arsi di strumenti di calcolo dell 'integr ale definito di tali funzioni. Quest 'ultima problem at ica trovera risposta nel P aragr afo 9.8. II segu en te risu lt ato forn isce invece una risposta sufficientemente ampia alla prima questione. Teorerna 9 .31 Sana integrabili sull 'in tervallo [a, b]
a) b) c) d)
le le le le
junzioni junzioni junzioni junzioni
Dimo strazionc.
continu e su [a, b]; continue a tratti su [a, b]; conti nue su (a , b) e lim it at e su [a, b]; m on ot on e su [a, b]. rv>
o
Integrale di Riemann.
Ad ese rnpi o, il t eorema ci assicura l'integrabilit a della funz ione . 1
f (x ) = che
e continua su
{
~ + sm; se 0 < x :S 1, se x = 0,
(0, 1] e sodddisfa 0 :S j( x) :S 2 su [0, 1], e della fun zion e 1
1
se - - < x:S - , n n+ 1 n se x = 0,
=
1,2, . . . ,
che e monotona cres cente (non strettamen t e) sull 'intervallo [0, 1] (si ved a la F igura 9.6) . Raccogliamo infine a lcune propriet a dell'int egrale di Riemann , che user emo nel seguito.
2
1
-----------
J)
1
2 1
:3
1
4
°
1
°
/ "J 1
1
4 :3
Figura 9 .6. Fu nz ioni integr abili su [0, 1]
1
2
340
9 Calcolo inte grale I
Proposizione 9 .32 Sia
1
un a fun zione integm bile su [a, b]. A llo m
e integm bile su. ogni sotiointerva llo [e , d] C [a, b]; ii) la f unzione If I e int egm bile su [a, b].
i) 1
Dimostrazione,
o
""-" Integrale di Riemann.
9.6 Proprieta dell'integrale definito Nei paragrafi precedenti abbiamo presentato due diverse costruzioni dell'integrale definito. Notiamo che se una fun zion e e continua 0 continua a tratti sull'intervallo [a, b], essa e integrabile sia secondo Cauchy (Teorema 9.20) sia secondo Ri emann (Teorema 9.31) . Inoltre, come verificato esplicitamen te p er la funzione f( x) = .'1: negli Es empi 9.22 ii) e 9.30, si puo dimostrare che le due costruzioni portano allo stesso valore dell 'integrale definito. Ha quindi sen so indicare l'integrale secondo Cauchy e l'integr ale secondo Riem ann con 10 st esso simbolo, D 'ora in ava nt i, indicheremo con il simbolo R([a , b]) l'insieme delle funzioni integrabili su [a , b]. Osserviamo subito che il simbolo f (x) dx rappresenta un numero, che dipende solo dalla fun zione f e dall 'intervallo [a , b] ; esso non dipende da alcuna vari abile x. La lettera x, la cui pr esenza e dovuta essenzia lment e a motivi storici, e un a 'variabile muta ' , che puo essere sostituita da una qualunque a lt ra lettera nel simbolo di int egrale definito. In altri termini, Ie espre ssioni f (x) d x, f (s) ds oppure
J:
J:
J:
J:
f(y) dy rapprese ntano tutte 10 stesso numero.
Sia 1 E R([a ,b]) ; abbiamo visto che se f e positiva su [a, b], allora il suo integrale definito rappresenta l'area del trapezoide di 1 su [a , b] . Se invece 1 e negativa , l'integrale definito rappresenta l'area del trapezoide cambiat a di segno. Se f ha segno variabile sull 'intervallo , l'integrale definito rappresenta la differ en za tra l'area della parte di trapezoide che si t rova sopra l' asse delle as cisse e l'area della parte che si trova sotto. Si osservi che, in ogni caso , l' area del trape zoide di f su [a , b] e data dall 'integrale defini to della funzione 111 su [a, b], vale a dire Area di T (.f; a , b) =
j
'b
If( x)1 d x .
(l
Infatti, l'applica zione del valore assoluto ha l' effetto di ribaltare sopra l' asse delle ascisse le parti del trapezoide di f che si trovano al di sot t o, conservandone l' area (si veda la Figura 9.7) . E utile considerare un'est ensione del con cetto di integrale definito. Sia 1 E R([a , b]) ; se a ::; e < d ::; b, poniamo
i" f (x ) dx =
Jd
-
f df (x ) dx
• c
e
l
c
f (x ) d x
= 0.
(9.19)
9.6 Proprieta d ell'integrale defin it o
Figura 9 .7. L'area d el trapezoide di f
611
[a, b] e
l
b
341
If (x)1d x
In tal mod o, il simbolo fed f(x) dx ris ulta essere definit o quahmque sia no i valori di c e d in un intervallo [a, b] in cui f e integrabile. Enuncia mo ora alc une proprieta di bas e dell'integrale definit o, che discendono facilm ente dalla sua definizion e.
Teorema 9.33 Siano della reti a reale.
f
e 9 [unzioni integmbili
8U
uri intervallo lirnitato I
i) (A d d it iv it a rispetto al dominio di integrazione) P er ogni a, b, c E I , si ha
l
bf (x ) dx =
j,ef (x ) dx + jb f( x) dz . . c
a
(L
ii) (L inea r-it.a dell'integrale definito) P er ogni a, b E I e
ja'b( O'f(x ) + (3g(x )) dx
=
/b
O' .fa f( x) dz
+ (3
0' ,
lba g(x) dx .
iii) (P o s it.iv it a d ell'integrale d efinito) Siano a , b E I, con a in [a , b], allora
l
Inoltre, se nulla.
f
b
f (x ) dx
(3 E JR, si ha
< b. S e f
~
a
~ O.
e cont inua, vale I'uquaqlian za se e solo se f e id enticarnente
iv) (C o n fr o n t o tra intcgrali dcfiniti) Siano a , b E I , can a < b. S e in [a, b], allora
/b j(.'r:)d:r
.fa
:::;
lab
g(x)dx .
f :::; 9
342
9 Calcolo int egrale I
v) (M ag g io ra z io n e dell'integrale definito) Siano a, b El , con a < b. A llom
lib
Dimostraziouc.
f( x)
dxl < i
b
If (x )1 dx .
"-" Integrale di Riemann .
D
9.7 Media integrale Sia f un a fun zione int egr abile su un intervallo [a ,b] della retta real e. Attraverso l'integrale definito di f su [a, b], siamo in grado di a pprossimare l'andamento dell a fun zione sull'intervallo medi ante un a costante. D efinizione 9.34 Si defini sce media integrale (0 valor medio) di sull'intervallo [a, b] i t tiumero 1 m(f ja ,b ) =b _a
l
a
.f
b
f (x )dx .
Il significat o geom etrico della media integrale e evide nte nel caso in cui f sia posi tiva sull'intervallo [a , b]. Riscrivendo la definizione precedente nella form a equivalente
i
b
f(x) dx = (b - a )m (f; a, b),
si osserva che l'ar ea del t rapezoide di .f su [a , b] e ugu ale all'area del ret t an golo avente come base l' intervallo [a , b] e corne alt ezza la media integr ale di .f su t ale intervallo (si ved a la Fi gura 9.8).
y = f (;r; )
~------
m (f ;a,b )
a
b
Figura 9.8 . Med ia integr ale di f sull' interva llo [a , b]
9.7 Media int egrale
343
Il legame tra la media int egrale ed i valor i assu nti d all a funz ione sulI'intervalIo segue nte t eo rema .
e es p resso d al
T e o r e m a 9.35 (della med ia inte g r ale ) S ia f una [u iiziotie in t egra bile sull 'in ie roallo [a, b]. La m edia integrale di f Sl1 [a , b] soddisf a le seque n ti dis uquaqliamze inf f (x ) :S m(J;a, b) :S su p f (x ). (9.20) xE[a ,b]
In oltre, se f
xE [a,b]
e con tin u a o5U
[a, b], esiste alrn eno l1n punio z E [a, b] tale che
m (J ; a, b) = f (z ). Dimostrazionc.
Poniaino if
=
=
inf f(:r) c 8f
;rE[a .b]
1m
(9.21) sup f(:r) . PCI' ogni z E [a, b] si
;rE[a .b]
:S f (:r) :S
if
8
f.
Ricorclando la proprict a iv ) elcl Tcorcuia 9.33 c l'cspressionc dell'iutcgralc eli una costantc. si otticne .b
(b - a) if = •
j
j .b
i f c1:1: :S
(J
•
a
f (x) cl:l: :S
j'b .
8f
dz
= (b -
a) sf·
(l
Divielcnelo pCI' b - a si porvicuc alla (9.20). Sc ora supponiruno f continua , pCI' il Tcorcma eli Weierstrass 4.31 si ha c Sf = max f(·1;) if = min f( :r) ;r: E [a.b]
"'E [a.b]
c dunque la (9.20) garantiscc chc m(J: (1 , b) elm valorc compreso tra il minimo c il rnassimo eli f su [a, b]. L'csistcnza eli un punto z pCI' cui vale la (9.21) segue allorn dalla (4.16). 0
Esempio 9.36 Consid eri amo la funz ione continua
2x f( x) = { 2
°
se :S x :S 1, se 1 < x :S 2,
sull 'intervall o [0,2]. La sua media integrale
m(J ;0,2) =
~
2
e
2Xd x+j2 2dX) Jfo2 f( x)dx = ~2 (t l« 1
=
~(1+2) =~. 2
2
Co erent emente con l'enunciato del teor ema preceelent e , la medi a integ rale e un valo re assu nt o d all a funzione ; infatti si ha m(J; 0 , 2) = f( ~ ) (si ved a la F igura 9.9 , a sinistra).
344
9 Calcolo int egrale I
1'1'1 = 5
Y = f(x)
m(f : 0, 2) Y = f (:r; )
M =2
2
m (f ;O,2) = f ( ~) tn. = 0
~ 1
2
2
Figura 9.9. Illustrazione del Teorema della m edia integrale
Consideriamo ora la fun zione continua a tratti
f (x ) =
{2X se °< x < 1,
5 se x >1. La media integrale di f sull 'intervallo [0, 2] e data da m(J; 0, 2) = 3, mentre qu ella sull' int ervallo [0, 5/4] vale m(J ; 0, 5/4) = 9/5 . Nel primo caso, la medi a non e un valore assunto dalla fun zione (si ved a la Figura 9.9, a destra), nel secondo casu 10 e avendosi m(J; 0,5/4) = f(9 /10). Questo esempio illustra il fatto che la continuita di f e una condizione sufficiente, rna non necessari a , perche valg a la (9.21). 0 Chiudiamo con un 'oss ervazione che sara utile nel paragrafo successivo . Tenendo conto della (9.19) , la media integrale di una funzione su un intervallo di estremi a e b non dipende dall 'ordine degli estrem i dell 'intervallo: 1 m(J;a,b) = -b- a
l
b
a
f(x)dx = -1a-b
fa f(x)dx = m(J ;b,a) . b
(9.22)
9.8 II Teorema fondamentale del calcolo integrale Sia f una funzione definita S11 un intervallo I , non necessariamen te limitato, dell a retta reale ; supp oniamo che f sia int egrabile su ogni sottointervallo chiuso e limitato di I. Ad esempio, tale condizione e soddisfatta se f e una funzione cont inua su I . Chi amiamo funzione integrale di f su I ogni fun zione dell a forma
F( x) = Fxo(x) =
r
.Jxo
f(s) ds ,
(9.23)
9.8 II Teo rema fond amental e del calcolo int egra le
345
dove Xo E I e un punto fis sato m entre x e variabile nell'intervallo I . In altri termini, una funzione integr ale e ottenuta in tegrando 1 su un intervallo di cui uno de gli estremi e fisso m entre l' altro e variabile. Ri cordando la (9 .19) , ogni fun zione integrale e definit a su t ut t o l'intervallo I ; inoltre, la funzione integrale F x o si a nnulla nel punta x o. II segue nt e teorem a, noto come Teorem a fondamentale d el cal colo integrale, affer ma che ogni funzione integrale di una funz ione continua 1 su I e una primitiva di 1 su tale int ervallo .
T eorema 9 .37 Sia 1 definita e continua su uti in tervallo I della retia reale. Sia Xo E I fissata e sia
F( .T)
=
.l:
I( s ) d s
un a [unzion e integrale di 1 su I . A llora F ha
e derivabil e in
F'(x) = I (x ),
Dirnostraziouc.
ogni punta di I e si
\Ix E I.
Fissiamo dapprima u n p u n t o :r interne ad I c sia L:i:l: III I incremento (positivo 0 negativo) tale chc :1: + L:h: appartenga ad T. Cousideriamo il rapporto iucrementale della fu nziouc F tra :r: c x+ L:b:
1 (/', :r+Ll1: f(s) ds _ 1,1: f(s) dS) .
F(.T + L:h:) - F (T) L:h
LJ:r .
:to
• J.n
Ricordaudo la propricta i) del Teorcma
c dunquo F (:1:
A )+ .6:1: LJX
F () :/;
= -
1
LJ.T.
I'
' T+Ll T C
•
C
9 . :~3 ,
si ha
j (s ) ds = m (.f : z , :1: + LJ:I:). •
•
:1'
Abbiauio quindi stabilito chc il rapporto incrcmcntalc della funziouc iutcgrale F tra :r e :1: + LJ:I: coincide con la media integrale di f sullintcrvallo di cstrcmi :1: c :1: + LJx. Possiamo du nquc applicarc il Teorcina de lla media intcgralo 9.35 alla Iunzionc continua [: csso garantiscc lcsistcnza di un punta Z = z (LJx ) in tale intcrvallo , p er il quale si ha m(f:x , :r + LJ:r) = f( z(LJ:1:)) c d unque
F(.T + LJ:r:) - F(:r:) . LJ = j ( Z(LJ:r)). :1:
(9.24)
346
9 Calcolo integrale I
r---_,_L
y = f( :E)
I-----
l
:
/ m(f' x x '
,
+ fJ. x )
I I I I
I I I I
I I I
I
x z(fJ. x )
xQ
F igura 9.10 .
n Teorem a
x + fJ. x
fondamentale del calcolo integrale
Fa cci.uno ora tcndcrc L1:J: a O. Per fiss ure Ie id ee. su p pon ia m o L1:r > O. Dalla rcla zionc
.r :::; z( L1.r) :::; :r + L1:1:. e d al Tc orcm a L1. 5 d el con fro nt o sui liiuiti . dcduciaiuo chc lim
Ll :l' ----:'( )+
Siniihncutc
lim
~ J : -O -
z (L1:r) = z.
z( L1:r) = :r c quiudi lim z( L1:J:) = :1:. U sa n d o Llx -O
la continuita eli f ill :r c ricordando la (4.11) . si ha allora lim f( z (L1:r ))
.cl:l'-> 0
= f(
lim z( L1:r) )
.cl:r:->O
= f (:r ).
Pertanto. passando al limitc nella (9 .24 ). si otticnc la tesi F
I( .) :1'
. F (:r + L1:r) - F (:r ) = .clxlim = ./.(:r ) . ->O L1:r
N cl casu ill cui il punto :E sia 1111 cstrcmo dc ll'intorvallo 1 c sufficicntc proccderc come sopra consideraudo lim it i unilaternli destro o sinistro. 0
Corollario 9 .38 Sia Fxo una funzione in tegrale di una funzione contin ua f
su I . S e G
e una
qualunqu e prirnitiva di f su I , allora
Fxo(x) = G(.T) - G(xo) ,
\Ix E I .
9.8 II Teorcrna fondarn en tale del calcolo integrale
347
Dimostrazione. Per il Tcorcma 9.4. esistc uua cost ante (; ta le chc Pro (:e) = G(:1:)c.. V:I: E I. II valorc della costanto e determinate dalla cond iziouc F.rJI:O) = 0,
0
II corollario seguente, di fond a mentale importanza , fornisce l'espressione di un integr ale definito, nota una qu alunque primitiva della funzione integranda . Corollario 9.39 Sia J una Junzione continua sull 'interva llo [a, b], e sia G una prirnitiva di J su tale interva llo. A llora
/b
Ja J( x) dx = G(b) -
G(a) .
(9.25)
Dimostrazionc. Sc 1\ / indica la fuuzionc iutcgrale eli f chc si anuulla in a. si ha
/
' /)
,
f( :I: ) cl.r = Fo (b),
It
II ris ultato segue allora dal corollario prcccdcnto con
:1' =b ,
,1:0
a c 0
E piuttosto comune indicare la differenz a G(b) - G(a) con un a delle seguent i espressi oni:
I [G(x)]~
oppure
G(x) I~· 1
Esempi 9.40 I seguenti int egr ali definiti sono calcolat i applica ndo la formula (9.25).
/ 1x 2dx = [~x3] 1 ~
Jo
i
3
1r
sin xdx=
0
3
[-cosx]~ =2.
/6 ~ dz = [log x]~ = J2 X
log 6 -log 2 = log 3.
0
E possibile est endere il Teor em a fond amentale del calcolo inte grale a l caso delle funzioni cont inue a trat t i. L'enunciato si modifica come seg ue . Sia f un a funzi one cont inu a a t rat t i su ogni sot t oint ervallo chiuso e limita to di I . Ogni funzione int egrale F di f su I e cont inua su I ; essa e derivabile in t ut t i i punti di I in cu i J e continua, e ivi si ha F'( x) = J( x) . In ogni punto di discontinuita (di salto) di J interno ad I , la F presenta un punto angoloso. Si dic e che la fun zione F e una prirnit iva generalizzata di J su I . 0
348
9 Calcolo integr ale I
Il seguente risultato fornisce una rappresentazione integrale d i una fun zione derivabile, ed e ut ile in diverse circost a nze . Corollario 9.42 Si a f una [urizione deriuabile in uri in ieru allo I , con derivata continua. A llora, per ogni Xo E I , vale la rappresetii azi on e
f(x)
= f (x o) +
l
x
Vx E I.
1"(05 ) ds ,
(9.26)
XQ
Dirnostrazionc.
E sufficiente osscrvarc che f C, in modo ovvio, una prirnitiva della sua derivata. Dunque, usando la (9.25), otteniamo
j
'X
1"(8) ds
= f( :r) - f(:1:o),
• Xo
da cui segue il risultato.
0
Come applicazione di t ale corollario, giustifichi amo gli sviluppi di Maclaurin de lle fun zioni f (x) = arcsin x e f (x) = arct an x . A tale scopo, premettiamo il seguente lem ma tecnico. L emma 9.43 Sia cp una [unzi on c conti nua in uri iniorno di 0, soddisf acente cp(x ) = 0(.1:0: ) per x ----> 0, con 0' ~ O. A llora, la sua primiiiua
'ljJ (x ) = Jo cp(s ) ds soddisfa 'ljJ (x ) = 0(x O: +1 ) per x ----> O. In [ormule, possiamo scriuere che 0(050:) ds = 0(xO:+1 ) per x ----> o. (9.27) .fo x
t
Dimostrazionc.
Applicando il Tcorema di de I'Hopital 6.40, abbiamo che lim 'ljJ (x ) "; ~ O X ,, +l
=
'ljJ' (x ) + l)x"
lim
=
X ~ O (0:
_1_ lim cp(x ) 0' + 1 X ~ O x"
= O.
Consideriamo dapprima 1a funzione f( x) = arctan x . La sua derivata 1 -1- - 2 e dunque , grazie a lla (9.26) , possiamo scrivere
e f'(x)
o =
+x
arct an x =
I
. 0
x
1 - --2
1 + 05
ds .
Lo sviluppo di Maclaurin dell a funzione f'( s), ottenuto d alla (7.18) con 1a sostituzione x = 05 2, e dato da 1 1 + 05 2
=
1 - 05 2 + 05 4 - . . . + (_1) m s 2m + 0( s2m+l)
=
'L) _ 1)ks 2k + o( s2m+l) . m
k=O
9.9 Regole di in tegr azione defin it a
349
Integrando t ermine a te rm ine e usando la (9.27) , otten ia mo 10 sviluppo di Maclaurin della funzione fl c): a rct an x
x3
=x-
~
3
X·2 m + 1
x5
+ ~ - ... + (_l )m_"_ _ + O(x 2m+2) 5 2m + 1
Tn
.2k+ l
~
2k + 1
= ~ ( _ l )k _ X_ _ k=O
+ O(X2m+2).
P er quant a riguarda la funzione f( x) a rcsinx = Usando la (7 .17) co n a
=
= a rcsin x,
infox
possiamo scriver e
hdS. 1-
s2
=
-~ e con la sostituzione x
_ S2 ,
otteni amo
Integr ando term ine a termine e us ando la (9.27) , otteniamo 10 sv iluppo d i Maclaurin d ella fun zione f( x) :
+ -x + -3x + ... + I 3
arcsin z = x
5
6
40
(_1. ) I 2m ++ 1 + m 2
X
2m
1
O(X2m+2)
rn I( 2k+ l + o(x 2m +2). =~ -'21) I ~
c: k=O
k
2k + 1
9.9 Regole di integrazione definita Il 'Ieorema fondamentale del calcolo integrale e le regole di integrazione indefini t a p er parti e per sostit uz ion e, viste nel Paragr afo 9.2, permettono di ottener e regole a nalog he di integr a zione definita . Teorema 9 .44 (Regola di int e g r a z ione p e r parti) Sia n o f e g fun zioni derivabili 8 U un inieruallo [a , b], con derivat e continue. A llom
fb
.fa f (x )g' (x ) dx
=
[f (x) g(x) J ~ -
ja.bf' (x )g(x ) dx .
(9. 28)
350
9 Calcolo inte grale I
Diruostrnz ionc.
Sia f-l (:1:) un a qua lunq uc pri n iit.iva de lla h m ziou e f' (:1: )g(:l:) su [a,b]. La rcgola di intcgrn xionc indefinita pCI' patti dice prccisaiuentc che la funzio ue f (:1: )g(:I:) - H (:1:) e una priuiit i va de lla funzionc f(:I:)g'(:I:) . Pert.auto, grnz ic alia (9.25), si Ita
•
j
.b
f(:I:)g'(:I:) d:/: = [f (:I: )g(:I: )]:: -
[H(x)] ::.
(J
II risultato segue ancora dalla (9.25) applicata alia funzionc
f' (:1: )g(:I:).
D
Teorema 9.45 (R e gola di integrazione per sostituzione) S ia f(y) una [usizione continua su. uti intervallo [a , b]. Sia poi ip(x ) una junzione definita su. un in te rv allo [0:,,8] a valori n ell 'interva llo [a , b], derivabile con deri vata con tinu a. A llora
1
{3
f (ip(x) ) ip'(x) dx
=
1
f(y ) dy .
(9 .29)
a
S e la [unzione ip e una bii ezione ira l 'in tervallo [0:,,8] e l 'intervall o [a, b]' allora la f ormula precedente pUG essere sc ri tta n ella [orma equiualen ie
l
t:
b
f(y ) dy =
a
Dimostrnzionc.
(9.30)
f( ip(x)) ip'( x ) d x .
Sia F (y ) una prirnitiva eli f(y) su [a. b]. PCI' ott cncrc la (9.29) . e snfficicutc ricordarc la (9.4) cd applicarc il Corollario 9.39. Ncl caso ill cui cp sin u na bi iczionc. lcquivalcuza delle clue foruiulc segue dallosscrvazione cite si Ita a = cp(o) . /) = cp({j ) se .p e strcttamente crcsccntc , oppuro a = y (,6), b = cp( 0) so 'P (~ strctt amcntc decrescc ntc. D
Entrambe le formule sono utili nelle applieazioni.
Esempi 9.46 i) Si voglia ealcolare
1
3"
4
3
sin xeosxdx.
Poniamo y = ip(X ) = sin x ; si ha ip'( x) = cos x e ip(O) usando la (9 .29) , si ottiene
r¥sin
Jo
3xeos xdx =
= 0,
ipe n
=
r~ y 3dy = [~y4] ~ =~ .
l«
4 0 16 Si noti eh e in tal ca so ip non e ini ettiva sull'intervallo [0, 3;] .
Jz.Pertanto,
9.9 Regole di int egrazione definita
ii) Si voglia ca lcola re
1 1
s =
351
~ dy .
a rcsin
Poniamo y =
e
Dunque, usando la (9.30),
s= f O (a rcsinVl
-cos2 x)( -sin x)dx = I n/ 2 e finalmen t e , us ando la (9.28),
S = [ - x cos x] ~ / 2 +
r / 2 x sin xdx ,
~
in
~
/ 2 COS X dx = [ sin x] / 2 = 1.
Corollario 9.47 Sia f unafunzione integrabile sull'interva llo [- a, a], a
Se f
e pari, allora
1 a
f (x) dx
I:
- a
se f
e dispari ,
allora
= 2
rf
Jo
Pcr il Tcorcma 9.33 i) .
•
f
a
-
(1
(x) dx ;
f Of(:1:)d:z;+ i
f(:1:)ch: = •
> O.
= o.
f (x) dx
Dimostrazionc.
0
-
a
f(:I:)ch; .
·0
Q
Escguc ndo 1'1 sostituz ioue U =
;.0
f(x) d:1: = -
. - a
;.0
ia
. a
·0
f( - U) d U =
Questultimo intcgralc coincide con
f( - U) d U·
l" f(u) dU sc f c pari e con
./0
il suo oppost o se f e dispari. La tcsi segue ricordando che in \111 integralc definite 1'1 variabile di intcgrazione e muta . 0
352
9 Calcolo int egralc I
y =.jX
o
1
Figura 9.11. Regione racchiusa tra i grafici d elle funzioni f( x)
= x2
= .jX
e g( x)
9.9.1 Applicazione al calcolo di aree Diamo due esem pi di applicazione del Teorema fondamentale del ca lcolo integrale a l calcolo di aree di figure piane. i) Si voglia innanzi tutto cal colare l'area A della regione finita di piano racchiusa tra Ie due curve di equazione y = f( x) = x 2 e y = g(x) = (si ved a la Figura 9.11) . Notiamo che Ie du e curve si intersecano nei due punti di ascisse x = a e x = 1. La regione a cui siamo interessati e la differ enza tra il trapezoide della funzione 9 e quello della funzione i , relativi all'intervallo [0,1] . Pertanto,
vx
A=
11 o
g(x) dx -
11
f( x) dx
0
=
11[JX -
x 2 ] dx
0
=
[23
3 2 _ X / -
1] 1 3 _x 3
0
1 3
2
ii) Verifichi amo ora la ben nota formula A(r) = nr che esprime l'area di un cerchio in funzione del suo raggio r . Consideriamo il cerchio di cen tro l'origine, luo go dei punti (x , y) soddisfacen ti la relazione x 2 + y2 :::; r 2. II quarto di cerchio cont enut o nel primo quadranto e dunque il trapezoide della fun zione y = Jr 2 - x 2 relativo all 'intervallo [0, r] (si ved a la Figura 9.12) ; p ertanto
r
o Figura 9 .12. Trapezoide dell a fu n zione y
r
= vr 2
-
x 2 con te nu t o ne! primo quadrante
9.9 Regole di int.egrazione definita
353
Effettuiamo il cambiamento di variabile indipendente x = tp (t ) = rt. , per il Quale si ha dx = Tdt e 0 = tp(O), r = tp(l) . Grazie alIa (9.30), si ha A(T) = 41' 2
1 1
(9.31 )
J:L=t2 dt .
Ricordando l'Esempio 9.13 vi) , una primitiva della funzio ne f(t) =
F(t) = P ertanto A(T)
= 41'2
Vf=t2 e
~tJ:L=t2 + ~ arcsin t.
[1
1 ] = 4T2~ =
- t J:L=t2 + - arcsint 2 2
1
4
0
7TT2 .
iii) Determiniamo ora l'area A de lla regione finita di piano delimitata dalla parabola di equaz ione y = f (x) = x ( 1 - .1:) e dalla retta di equazione y = g(x) = - ~ (si veda la Figura 9.13, a sinistra) . Le due curve si int er secano nell'origine e nel punto di coordinate (~, - ~ ) ; nell'intervallo [O,~ ] si ha sempre f( x) ;::: g(x) . Notiamo che la region e di interesse si trova in parte ne l semipiano de lle ordinate positive, in parte in quello delle ordina te negative. Tuttavia, la sua are a puo essere ca lcolat a come
A=
r
J
3 2 /
o cio si giustifica osservando che A
(J(.1:) -g(x))dx ;
e ancho l'area dell a regione differen za tra il t ra pez oide de lla fun zion e traslata f (x) + ~ e il t rapezoide della fun zion e traslata
:3
4'
Y = f(x) 1
3
y
= g(x) + ~
"2
Figura 9 .1 3 . L' area racchiusa tra i grafici d elle fun zioni f( :1:) e g(x) t raslazione
e inva r ia nt e
pe r
354
9 Calcolo integrale I
+ ~ ; in altri t ermini, applicando una traslazione verticale che porta l'asse delle asci sse nel punto di ordinata y = - ~, l'area non cambia (si veda la Figura 9.13 (a destra)) . Pertanto ,
g(x)
A
r (32" x - x ) dx = [_34 x 13 x 3 2 /
= Jo
2 _
2
_
9
3 ] 3/2 0
16
9.10 Esercizi 1. Determinare la generica primitiva delle seguenti Iuuzioui:
a)
f( x) = (x + 1?7
Q
~ f( x)
=
b) f( x) = e- 3x
x+1
d) f( x) =
x2 + 1
-
e- 5x
2 - sin x 2x + cos x
2. Determinare la primitiva che in Xo vale Yo delle seg uenti iunzioni:
Gill f( x) = xe 2x2
Xo
= y2
Yo
=
1
b)
x2 f( x) = - -6
Xo = 0
Yo = 1
c)
f( x)
Xo = e
Yo = 0
d)
f (x ) = cos x es in x
1+ x
=
log x x
7f
Xo = 2
Yo = e
3. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
a)
J2
x dx x +7
[illJe~:2 fjJJ J J 1+
dx
e
X
eX dx
4. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
J [illJ a)
x 2 sin x dx
log2 x dx
e)
J
e
2x cosx dx
b)
d)
J J
(6x
X
+ 3) 8 dx 1
log2 x
dx
f)J~dX x 2 +7
J @D J 0J J b)
x 2 log 2x dx x a rctan x dx
(1 +l x 2)2 dx
9.10 Eserciz i
355
5. Ca1colare i seg uenti integrali ind efiniti : a
)J
2x x 2 _ 4x
+3
d
b) J x
x
~ J -xdX ~ x3 - 1 ~ ~
d)
J
lQj
6. Celcolere i seg uenti in tegrali ind efiniti:
Ic0l
L2J
+ 1 dx
e)
J+ J_l_
1 cos x dx 1 - cos x
cos x
~
60 dx
- 2x + 7x + 3 d (x 2 + 4)( x _ 1)2 X
~
cos X dx 1 - 2sin 2 x
2)2 dx x dx
J+ Id)l J-. b)
(1
x 2)2 d X x
~
l_dx sinh z
@] J
log {II + x 2 dx
Dill J
~an x dx
e4x 1+
1 dx
~ .I cos" x dx
5
sin x dx
III
Determ inare la primitiva di f( x ) = Ixllog (2 - x ) cbe si ennulie in x
[]J
Determinare la primitive F (x ) di f (x ) = x e- Ixl tale che
[IQJ
=
1.
lim F (x ) = - 5.
x--+
+(X)
Determinare in (-3, + 00) la primitive che si ennulle in x = 0 della Iunzion e x +2
f(x ) =
ITD
+ 11 dx
2
dx
1 dx x -3+V3 -x
1+
+
16 2
1
x d 2 x x
J [ill J
-
d)
e) J cosh'' x dx
g)
16x
-
x4
(eX
)JV +
~J
2
b)
7. Celcolere i seguetiti in tegrali ind efiniti : a
x
J ~ J + ~in If)l J
e2x
eX
[17 .
3 2 5x + 8x - 9x x 2 - 5x + 6
-
rnl J 2x 3
x4+ 1 dx x 3 -x 2
Gill J
4
(txt + 3)(x
- 3) .
Determinare la primitive generalizzata della iim zione 3
f (x) = { 2x - 5x 4x - 7 che si ennu lle nell 'origine.
+3
se x se x
2 1, <1
356
9 Calcolo integrale I
~ Verificare cbe vale 1'ug uag1ianza
1
Jr
arctan - = - - arc tan x , 2 x
OIJ
> O.
't/x
Scrivere 10sviluppo di Maclaurin di ordine 9 della generica primitive di f( x) = cos 2x 2 .
~ Scrivere 10sviluppo di Macl aurin di ordine 4 della generica primiti va di f( x) = 2 + e- x
3+ x 3
.
15. Ca1co1are i seguenti in tegtnli definiti:
1 l 7r
a)
x cosx elx
b)
x logx elx
cI)
e2
c)
~j
~
3
1
1
1
1/ 2
~clx 2
v 1- x
r: 4 sin x + 3 cos x clx
QlJ 1v'3 M( x
1
- c lx
[x]2
1
./0
2
1) clx
-
(Si ricorcli che [x ] clenota la Parte intera e M( x) la Mantissa eli x .)
[ill
Ca1colare l 'area del trap ezoide di base [e- 1 ,e] re1ativo alla fun zion e f( x) [log z ].
17. Ca1co1are l 'area della region e 1imitat a del piano recchius« tra 1e curve di equazione y = f( x ) e y = g( x) :
~ f( x) =
[z },
b) f( x) = x 2 -2x,
g( x)
= Vf=X2
g( x) =-x 2 + x
~ Ca1co1are F (x)
=
i~ (It -
11
+ 2)clt .
9.10.1 Soluzioni
1. Primitive:
a) F (x )
= 2~ (x
+ 1)28 + c ;
b) F(x) = ~ e -5x
-
~ e -3x
+ c.
9.10 Esercizi
c) Si ha
357
x +1 1 2x 1 - = -2- - + 2- x2 + 1 2x + 1 x + 1
e quindi
1
F( x) = "2log(x2 + 1) +arctan x+ c .
d) F( x) =logI2x+ cosxl + c . 2. Prim it ive:
e F( x)
a) La gen eric a primitiva d i f( x) F ( V2) = 1, si ot t iene 1
= 4"e4 + c
1
e quindi la primitiva cercata
= ~e2x2 + c. Imponendo la condizione
da cui
C
=
e
1 2 2 F( x) = -e x 4
b) F( x) = %arctan z v -t-L;
+1-
1 4 1 - -e 4
1 4 -e . 4
c) F( x) = ~ log2 x -~;
cl ) F (x )
= es in x
.
3. In tegrali ind efiniti: a) 5 =~log( x2 +7)+ c ; c) Ponendo y = si h a dy = -
;2'
5 =-"21
d) 5
=-
_1_
lo g x
J
b ) 5 = i 4 (6x + 3 )9 + c . clx da cui
;3
e t dt =- "2Iet + c =-"21 e l / x + c. 2
+c.
e) Ponendo y = 1 + e", si ha dy = eX dx e quindi 5 =
f) 5 =
vi
x2
+ 7+c.
J
2 2 v'tdt = _t 3/ 2 + c = - J (l + ex)3 + c . 3 3
4. In tegrali indefiniti: a) 5 = (2 - x 2 ) cos x
+ 2xsin x +
b) 5 = %x3 (log 2x -
c;
%) +
c.
c) Integriamo per parti ponendo f (.1.:) = log2 x e g' (x) = 1. In t al modo si ha f'( x) = ~ log x e g( x) = x. Per t anto 5 = x log2 X
-
2
J
log x dx .
Qu est 'ultimo int egrale si calcola ancora per par ti (si ricordi l'Esempio 9.11 ii)) e si ot ti ene 5 =
X
log2 X
-
2x (log x - I ) + c =
X
(log2 X
-
2 log x + 2) + c .
358
9 Calcolo integrale I
d) Integriamo per parti ponendo f(x) = arct a n x e g'(x) = x . Allora j'(x) = 1;x 2 e g(x) = ~ x2 ; dunque
J
1
2
5 = -1 x 2 arctan x - -1 -x -2 dx = -x 2 arc t a n x - -1 2 2 1+ x 2 2 1 2 1 1 = 2x arctan x - 2x + 2 arctan x + c .
J( 1) 1 - -1 + x2
dx
c) 5 = i e2X(sin x +2 cosx) +c . f) Ricordando Ie con siderazion i fatte a pag. 324 (punto v)) , usiamo I'integrazione p er parti nell 'integrale 51 = f 1;x2 dx ponendo f( x) = 1;X2 e g'(x) = 1. Allora j'( x) = - (1;: 2)2 e g( x) = x; quindi 51 =
J
2+2
_1_ dx = _ x_
1 + x2
= _ x_
1 + x2
+2
J
2 x 2 dx (1 + x )2
1+ x 2 x + 1 - 1 dx (1 + x 2 )2
J
= 1: x 2 + 251 - 2
J
(1 +1x 2)2 dx.
P ertanto
5. Jntcgrali inaeiiniti: a) 5=3Iogl x -31-loglx-ll+ c . b) 5 = ~x3 + 2x + 2 log Ix - 31-log Ix - 21 + c. c) Si ha x x A -;---~--oo-------,--,- = - 3 2 x - 1 (x - 1) (x + X + 1) x- I A(x 2 + x + 1) + (B x + C)(x - 1) = x. ovvero
B x +C + -;::---2 x +
X
+ 1'
Ponendo x = 1 e x = 0 si ottengono Ie cost anti A = C = ~ ; ponendo poi x = -1 si ricava B = - ~ . Pertanto si ha
x x3 - 1
In conclusione , 5 =
1( 1
X-I )
=
3" x - I - x 2 + X + 1
=
3" x-I - 2 x 2 + X + 1
=
3" x - I - 2 x 2 +
1 (1
1 2x
1 (1
1
+1-
2x
1log(x 2 + x 3"1( log Ix - 11- 2
+1 X
3)
+ 1+
3
2 (x
1
+
~)2 + ~
2
)
1)
+ 1) + v'3 arct an v'3( x + 2) + c .
9.10 Esercizi
;159
d ) S = log(x 2 + 4) + 3 log Ix - 21- 5 log Ix + 21 + ~ ar ctan ~ + c. e) Si ha x4 + 1 x2 + 1 ABC x3 _ x 2 = X + 1 + x3 _ x2 = X + 1 + x - I + x + x2 . Ponendo x = 1 e x = 0 nella relazion e
A x 2 + (Bx + C)(x - 1) = x 2 + 1 si ottien e A = 2 e C = -1 ; inoltre, ponendo, ad esempio, x = - 1, si ha B = -1. Pertanto
S=
J(x + l +x --I- - - -x-2
f) Si ha
2
1
X
1) dx =-1 x2+ x+2logl x -1 1-logl xl +-+ 1 c. 2 x
2x 3 - 2x 2 + 7x + 3 A B Cx + D (x 2 + 4)( x - 1)2 = x - I + (x - 1)2 + x 2 + 4 .
Imponendo la cond izione
A(x - 1)(x 2 + 4) + B(x 2 + 4) + (C x + D)( x - 1)2 = 2x 3 - 2x 2 + 7x + 3 , si ric ava A = 1, B = 2, C = 1 e D
S =
= - 1. Pertanto
X-I) J(-x --I + (x-l)2 +-x 2+ 4 1
2
dx
2 1 2 1 x = log Ix - 11- - - + -log(x + 4) - - arctan - + c . x- I 2 2 2 6. In iegreli indcfini ti :
a) Posto y = e" , si ha dy = e" dx , da cui
S=J-Y-d
y=J(I-_I_) dy =y -logly+ll+ c y+l y+l = eX - log(eX + 1) + c .
+ c. b) S = 1.4 x - 1. 4 log leX - 21 - 1. 2 _1_ eX - 2
C) Posto t = tan~ , si ha cos x = i+;~ e dx S = 2
J
t2(1
2
=
1;t
2
dt . Allora
J -~
~ t 2) dt = 2 C~
1
t 2) dt
2
= - - - 2 arctan t + c = - - - - x + c . t t an ~
d) S = -
2 1 + t an
~
+ c;
e) S = log
1 + t an f I ; + c. 1 - tan 2" 1
360
9 Calcolo integrale I
" 2 x -f) 1)osto t -- t anx , Sl. h a sm
s=
J
2
1+t t 2
'
COS
2 t -- 1+t 1 2 e d x -- 1+t 1 2 dt , d a cm.
f (~
1 dt = (1 + t 2)(1 - t 2) .
~
1+ t + 1 - t +
D) dt .
Ct + 2 1+ t
Ponendo t = - 1, t = 1, t = 0 e t = 2 nella condizione
A(1 - t)(1 + t 2) + B(1 + t)(l + t 2) + (Ct + D)(l - t 2) = 1 , si ricava A =
i, B = i, C = 0 e D =
J( 4"
1
S =
~ . Pertanto
1 1 1 1 1 ) 1 + t + 4" 1 - t + 2 1 + t 2 dt
1
1
1
= - log 11 + t I - - log 11 - t I + - arctan t + c 4 4 2
1 11 1 Isin -+-t i + l-arctant+ c = -log . x + cos x I + -1 x +c . = -log 4 1- t 2 4 sm x - cos x 2
7. Integrali iudeiiuiti:
a) S=h/(2+ x)3 _4v'2+ x+ c ; lb )S=- 2 (1 ~x2)+ C . 2 2 c) Ponendo t = 3 - x si ha x = 3 - t e 2t dt = - dx , da cui S=
J
2t - dt = 2 / - 1- dt = 2 log It - 11 + c = 2 log -2 t - t
t-l
d) Ricordando che sinh x =
s=
/
e
X -
e-
2
x
1v'3 -
x - II + c.
e ponendo y = eX si ha
_2_ dy = / y2 - 1
(_1 Y- 1
Y
1_) dy
+1
= log Iy - 11- log Iy + 11 + c = log
leX- 11
ex
+1
+ c.
2x - le - 2x + 2x) + c - I sinh 2x + I x + C S -4 - I (le 2 2 - 4 2' 2 2 f) Osserviamo che log {II + x = ~ log(1 + x ) . Integriamo p er parti ponendo f( x) = log(1 + x 2) e g'( X) = 1. Allora f'e x) = 1 ~~2 e g( x) = x ; quindi
C' )
J
S =
~ ( x log(1 + x 2) -
2
=
~ ( XIo g(1 + x 2) -
2/ (1 - 1
=
1 3" (x loge1 + x 2) - 2x + 2 arc t an x ) + c .
1 : 2X2 dX)
g) S = ~ (log 11 + t an xl - ~ log(1 + tan 2 x ) + x) + c .
: x 2) dX)
9.10 Esercizi h) Posto Y
= e4x , si 8
=::11
= 4e4x dx
ha dy
J
y(y
1+ 1) dy
1
= 41y dy . P ertant o
J Y-
= ::11
(1
log Iy + 11)
= ::1 (log Iy l -
+c =
y
+11)
dy
1 4X ::1(4x - log( e
+ 1)) + c
1
::1 log( e4x + 1) + c .
x -
=
ossia dx
361
i) Osser viamo che sin 5 x a llora, posta y
J
sin 5 x dx
= sinx
sin" x
= sinx (1 -
cos 2 X ) 2;
= cos x , da cui dy = - sin x dx , si ha = -
J
(1 - y 2) 2 dy 2 3
=
J(
-1
+ -y3- 1-y 5 + c = -
= - y
5
+ 2y2 cos x
y4) dy
2 1 cos 3 x - - cos 5 x 3 5
+-
+c.
£) Poiche cos" x = cos X cos" x , integri amo per parti ponendo f (x) = cos" x e g'(x)
= cosx. In tal modo si ha 8
=
J
cos " x dx
f'( x)
= -3 sin x cos2 x
= sin xcos 3 x + 3
= sin z cos'' x
+3
= sin z cos" x
+3
J J
In defini tiva
J
.
= sinx; pertanto
cos 2 z sirr' x d x
cos 2 x (l - cos 2 x ) d x cos 2 x dx - 38 .
Dunque, ricordando l'Esempio 9.9 ii) ,
48
J
e g( x)
(1 1. )
= sin x cos" x + 3 "2 x + : 1 sm 2x + c .
cos" x dx =
36
~ sin x cos 3 x + ~x + 1
8. Innanzitut to osservi amo che f( x)
e definita in
Xlog (2 - x ) f( x) = { - x log(2 - .r )
sin 2x
+c.
(- 00,2) e
se 0 :S x < 2, se x
< O.
P er determinarne la primitiva, calcoliamo l'integr ale J x log(2 - x ) dx per parti. Ponendo g( x) = log(2 - x ) e h'(x) = x, si ha g'( x) = x~2 e h( x) = ~ X2 ; percio
362
9 Calcolo integrale I
J
x log (2 - x) dx =
~2 x 2 log(2 -
x) -
=
~X2 10g(2 -
x) -
1
J~ ~ J(X
~2
dx
+ 2+ x
1
2
x - 2
~ 2)
dx
2
="2 X log(2 - x ) - 4 X -x - 2 Iog (2 -x) +c . Allora
F( x) =
l x2 log(2 - X) - l X2 - X - 2 1og(2 - X) + Cl 2
4
{ -~x2Iog(2 - X) + tx2 + X + 21og(2 - X) + C2
Imponend o la condizione F( l) X = 0 per cu i
= 0 si ha Cj =
F( O+) = - 21og 2 +
se x
~ ; ino lt re F deve esser e continua in
5
4 = F( O-) = 2 log 2 + C2·
Du nqu e C2 = - 4 log 2 + ~ e la primitiva cer cat a
F( x) =
se O:::; x <2 ,
e
lx2 log( 2 - x) - l x 2 - X - 2 1og (2 - x ) + ~ 2
4
seO :::; x <2 ,
4
{ -~ x 2 Iog(2 - x) + t x2 + X + 2 1og(2 - x) - 4 log2 + ~
9. Risul t a
f (x ) = { xexe x
se x
X
se x < O.
0,
~
se x < O.
Ricor dando l'Esempio 9.11 i), si ha F () x
={
- (x + l )e- X + c i (x- 1)ex+c2
sex~O,
se x < O.
Imponendo la cont inuita della primit iva in x = 0, si ricava F (O) F (O - ) = C2; dunque la generica primitiva di f e
F( x) ossia F( x)
=
e
10. Poic he
Cj
=
- (x + l )e- + C se x ~ 0 , (x - l)e X + C se x < 0, X
- ( Ixj + l )e- lxl +C . In oltre
pert a nto la condizione cercata
= {
= F(O+) =
lim F( x)
x ---++oo
F( x) =
=
lim (-(x+ l )e- X + c) = C, x-+oo -5 e soddisfatta per C = - 5 e la prim iti va lim
:1:-
+ 00
F(x) =
-(Ixl + l )e- lxl -
x +2 f( x) = (x + 3)(x - 3) x+2 { (x - 3) 2
se x
5.
~
0,
se - 3 < x < 0 ,
9.10 Esercizi
363
calcoliamo dapprima i due integrali indefiniti 51
=
J
x +2 dx (x+3)(x -3)
e
52
=
J
x+2 (x _ 3)2 dx .
Si tratta di integrare funzioni razionali e quindi possiamo utili zzare la tecnica dei fratti semplici, Non e difficile verificare che
1( 1
5)
x +2 A B (x + 3)( x - 3) = x + 3 + x - 3 = 6 x + 3 + x - 3 x+2 A B 1 5 -,-----"""7""7 = - - + = -- + . (x - 3)2 x - 3 (x - 3)2 X - :3 (x - 3)2
Dunque 51
=
1
6 (log Ix +
31+ 5 log Ix - 31) + C1 ,
52
= log Ix
5 - 31- x _ 3 + C2
e la generica primitiva di j h a la forma 51 F () x = { -52 = {
se x 2: 0, se - 3 < x < 0
~ (log Ix +
31 + 5 log Ix - 31) + C1 se x2:0, se - 3 < x < O.
-log Ix - 31+ _ 5 _ + C2 x-3
Im p onendo la continuita e l'annullamento in x = 0, si ottiene 0 = F(O) = F(O+) = log 3 + C1 = F(O-) = - log 3 -
Pertanto dovra essere C1
F(x) =
= - log 3 e C2 = log 3 +
~ (log(x +
3) + 5 log Ix - 31) 5 { - log (3 - x ) + - - + log 3 + x-3
5
3" +
C2 ·
~ e la primitiva cercata
log 3 5 3
e
se x 2: 0 , se -3 < x < O.
11. La generica primitiva gen eralizzata F(x) di j(x) deve essere una funz ione continua soddisfacente la condizione F ' (x) = j (x) in t utti i punti di continuita di j(x), ovvero , nel nostro caso, per ogn i x =f. 1. Quindi dov ra essere
J {J(4X (2x 3
F(x) =
-
5x
+ 3) dx sex2:1, se x < 1
- 7 ) dx
=
I 4 -x 2 { 2x 2 -
5 2 -x + 3x 2 7x + C2
+ C1
se x2:1, se x
364
9 Calcolo integrale I
il legame tra le costanti
Dunque
C2 =
6
+ Cl
Cl
e
C2
si ottiene imponendo la continuita in x = 1:
e
e la generica primitiva generalizzata
~ x4 - ~X2 + 3x +
F( x) = {
C
2x 2 - 7x
+6+C = 6+C =
Imponiamo or a la condizione F(O) fun zione cercata e
F( x) = {
~X4 - ~x2 + 3x 2:r
2
se x
< 1.
0, ottenendo
6
7x
-
se x ;::: 1,
=
C
- 6. Quindi la
se x ;::: 1, se x
< 1.
In alternat iva , si puo not.are che la fun zione cercat a (si ricordi l'Osservazione 9.41) risulta uguale a
F(x) =
l
x
f(t) dt;
si proced e poi calcolando l'integr ale definito della funzione f(t) . 12. Consideriamo le funzioni F( x)
= arct a n ~
e G(x)
=-
arct an x . Poiche
1
F' (x) = - 1 + x 2 = G' (x) , ne segu e che F( :r;) e G( :r) sono due primitive d ella stessa fun zione f( x) = - H~X 2 ; p ertanto, pe r la Proposizione 9.3, differiscono per una opportuna costa nte c E lR :
F(x) P er determinarla, notiamo che F(l) 13. La generica primitiva di
f
=
=
G( x) + c . ~,
G(l)
= - -;f
e dunque
ha la forma
Ricordando il Lemma 9.43 e scrivendo
t 10 sviluppo di F , per x
----+
0,
e
----+
0,
C
=
~.
9.10 Esercizi
365
14. Come nell 'esercizio precedente, ini ziamo con il calcola re 10 svilu ppo di Maclaurin di orcline 3 di f . Si ha f( x)
~ (2+ e-
=
(3 = ~ (3~
=
1 -x 3
= 1-
Dunque
F (x ) = c +
=c+
l
X
(1 +~3 ) - 1
)
+
x
+ ~x2 - ~x3 -
+ _1 x 2 -
~ X2 +
3
1 1- -L 3
0
1 2 + _t
7 3 + 0 (t 3 ) ) dt _t
-
6
Ils x :{ - :2 X4 + 0( x 4) ,
IS
X
---*
b) ~ ;
O.
d)
risult a
S = f) Consideriamo la parabola y =
1 2
1
:1; 2
i log 6 .
se l < x< 2 , se 2 ::; x < 3 , sex=3,
I 2 { 3
[x] =
3))
X ---* O.
15. Integrali definiti :
a) -2 ; e) PoicM
0( x
+ 0( x 3))
lx(
f(t)dt = c +
x -
x
7 _ x 3 + 0( x 3) IS '
6
x
o
(1 - ~x3 +
~x2 - ~x3 + o(x :l))
x
dx
+
r1
5
J2 4 dx = 4 .
- 1 p er 0 ::; x ::; V3 e st ud ia mone l'immagine.
Risulta - 1 ::; x 2
-
0 ::;
-
1
x
2
1 ::; x
2
1<0
per
x E [0, 1)
1< 1
pe r
x E [1, V2)
<
per
x E
e quindi
2
x2 - 1 + 1 2
x
2
{ x
2
) _
M (x - 1 -
S =
1 1
o
x 2 dx
+
fV2 (x 2 -
.
1
se x E [0, 1) ,
-
1
se x E [1, V2)
-
1- 1
se x E
o
Pertanto
[V2, V3)
1) dx
,
[V2, V3)
,
se x=V3 .
+
Jv'V23
(:r 2
-
2) dx =
V2 - J3 + 1.
366
9 Calcolo int egrale I
1
e
1
Figura 9.14. Trapezoide relativo a lla funzione f( x)
= I log z ]
16. Oss erviamo che (si veda la Fi gu ra 9.14)
I log z] =
se e-
{ - log x
log x
1
:s: x
< 1,
se l :S: x <e.
Q uind i, ricordando l'Esempio 9.11 ii) , si ha
A
=
l
e
e- 1
[log z] dx
=
-1
e- 1
= _ [x(log X - I )] 1 + e-
1
1
log x d x
+
1 e
1
log xdx
[x(log X- I )]e = 2 _ 1
~e .
17. Ca1colo di aree: a) Osser viamo che la regione di int eresse e sim m et rica rispetto all'asse y (si veda la Figura 9.15). P er t ant o, ricordando l'Esem pi o 9.13 vi) , l'ar ea cercata sara
Y=
Y=
Ixl
1
Vf=X2
Figura 9 .15. Region e relativa a ll'Eserciz io 17 a)
9.10 Esercizi (../2/2
A = 2 ( }a [x
=
J1-
(
J1-
x2
x ) dx
-
../2/2
x 2 + arcsin x ] a
)
-
[
2]
../2/2
x a
coerent eme nt e con il fat to ch e la regione considerata
=
"4 ' 1r
e un quarto di cerchio.
9
b) 8·
18. Poiche
It -11 =
set
1- t { t -l
set ~l ,
si ha
[ , (1 - t
F(x)
=
11
+ 2) dt
se x < 1 ,
1
{
-
(1 - t + 2) dt +
~ x 2 + :~x + ~
- { 1 2 2x
9
+x + 2
l
x
(t - 1 + 2) dt se x
se x < 1 , se x ~ 1.
367
~
1
10
Calcolo integrale II
In questa capitolo proseguiamo la trattazione del Calcolo integrale. Nella prima parte, introduciamo il concet t o di int egrale improprio , che p ermette ad esempio di estendere il calcolo delle aree al caso di regioni non limitate del piano. Lo studio del comportamento di un integrale improprio si avvale degli strumenti sviluppati nei capitoli precedenti relativi al calcolo dei limiti. La second a parte del capitolo e dedicata alla definizione di un calcolo integrale sull e curve p er fun zioni di pili variabili , il quale este nde quello sugli intervalli della retta re ale presentato nel capitolo precedente.
10.1 Integrali impropri Abbiamo sinora introdotto e st udiat o l'int egrale definito di una funzione limitata su un int ervallo chiuso e limitato della ret ta real e. Vari e applicazioni inducono a este nde re il concetto di integrale definito al caso in cui l'intervallo non sia limitato oppure al caso in cui la funzione considerata non sia limitata. Tale est ensione viene realizzata attraverso un processo di limite a partire da integrali definiti secondo una delle costruzioni viste precedentemente (Ri emann 0 Cauchy) . Si perviene in tal modo al concetto di integrale improprio. Presentiamo dapprima gli integrali impropri definiti su intervalli illimitati e su ccessivamente prendiamo in esame l'integrazione di funzioni non limitate su un intervallo limitato. 10.1.1 Integrali
S11
intervalli illimitati
Consideriamo la semiretta [a , +00) . Introduciamo l'insieme R1oc([a , +00)) delle funzioni definite su [a , +00) e integrabili su ogni sottointervallo chiuso e limitato [a, c] della semiretta. Se f E Rloc([a, +00)) risulta quindi definita su [a, +00) la funzione integrale
F(c)
=
l
c
f( x) dx .
370
10 Calcolo integr ale II
E naturale studiare il comp ort ame nt o
limite di tale funzione per c
--+
+ 00.
Definizione 10.1 Sia f E R\oe([a , +00)). Poniamo (jormalm ente)
j
+ OC
a
f( x) dx
=
lim C---;.+OO
j.e.llr) a
dx ;
il sirnbolo a prima m embra vien e detto integrale improprio di f su [a, +00). S e il lirnite esisie ed e jinito, si di ce che la Jun zione f e integrabil e (in senso improprio) su [a, +00 ) 0 , equiv alen ternente, che il suo integrale i mp ro p r i o e convergente . ii) S e il lirnite esiste ed e injinito, si dice che l ' in t e g r ale improprio di f e divergente . iii) S e il lirnit e non esisie , si dice che l ' inte g r ale improprio di f e oscillanie. i)
L 'insierne delle funzioni integrabili su [a , +00 ) verra indicat.o con il simbolo R([a, + 00)) . E facile cogliere il significato geometrico d ell 'integrale improprio nel caso in cu i la fun zione sia positiva su [a, +00) . Osserviamo innanzitutto che p er una tale funzione vale la segucnte proprieta, Proposizione 10.2 Sia J E Rloe([a, +00 )) tal e ch e J (x ) ~ 0, Vx E [a , +00 ). A llora la Jun zione integrale F( c) e rnonot ona crescenie su [a, +00 ). Dimostraziouc.
Sia no C1, C2 E [a, +00) clue punti tali chc c\ < C2. Grazie al l'addit ivita dcll 'i ntcgralc rispctto al dom inic cli intcgraziono (Tcorcma 9.33. i)). si ha
F(C2) =
j.C2f( :I:) cb: = j .C l f( :I:) cb; + j.C2f( :I:) cb;
.f"
. a u ·
=
Fh)
+
(;1
.1"(:1:) clx.
L'ultimo intcgralc c ~ 0 per la propricta cli positivita dc llintcgralc 0 (Tcorcma 9.:1:1, iii)). Si conclude che F(C2) ~ F(cd.
Corollario 10.3 L 'in tegrale improprio di una fu nzione posit iva appari en enie a R \oe([a , +00)) e 0 convergente oppure divergen te a +00. Diiuostruzionc. Segue dal la proposiziouc prcccdcntc. applicaudo il Tcorciua 3.27 alIa funz ionc iutcgra lc F. 0
10.1 Integrali impropri
a
+00
c
Figura 10.1. Trapezoido d i una funz ion e
371
f defini t a sull'i ntervallo illimitato [a, + 00)
Tornando a ll' int erpretazione geometrica , possiamo dire che I'integrale improprio di una fun zione positiva rap presenta l'area del trapezoide di f su [a, + 00) (ved asi la Figura 10.1). Tale reg ione illimitat a puo esse re considerata come il limite , a l cre scere di e, delle regioni limi t ate rappresent ate dai t rap ezoidi d i f sui sot t ointerva lli [a , e]. II trapezoide di f su [a , + 00) ha dunque area finita se l'integrale improprio di f e convergente; si dice, invece, che ha area infinit a quando l'integrale improprio diver ge. Esempi 10.4 i) Consideriamo le fun zioni f( x) = di
f
su [1 , + 00). Si ha
f Cx1c> d x = i=-
{
se a
1
Se a = 1,
i=-
=
el -c> -
1, 1
{
I -a
log e
1
se o je L,
se a
=
1.
1,
+ 00 1
1
con a> O. Studiamo l' integrale improprio
se a log x l~
P ertanto, se a
1
xC>
- dx = xC>
lim
c ~ +oo
1
+ 00 1
- dx :r
1
e 1 - c> -
1
1- a
=
{
lim log e
c~ +oo
a~1
se a > 1,
+ 00
se a < 1.
= + 00.
II com portamento dell 'integral e improprio non cambia se l'estremo inferi or e di integrazione e un qualunque punt a a > O. In conclusione, abbiamo
1
+ 00 1
a
-
xC>
dx
{ converge
diverge
se a > 1, se a
~
1.
372
10 Calcolo integrale II
ii) Sia
f (x)
=
cos x . La funzione integrale F (c)
non ha limite per c
-+
=
r cos x d x = sin c
./0
+ 00. Ne segue che
c:
cos x dx
e oscill ante.
o
L'integrale improprio ered it a alcune delle proprieta dell 'integrale defini to. Precisamente, siano I, g due fun zioni app artenent i a R([a, +00 )); allora, i) p er ogn i c > a , si ha
r:
./a ii) per ogni
0, 13 E JR., si
1 a
iii) se
f 2
f( x) dx
=
1a c
f( x) dx
00
+ 1+ c
f( x) dx ;
ha
+00 (of( x)+ 13g(x))dx=o 1+00 f( x)dx + 13 1+00 g(x)dx ; a
0 in [a, + 00), si ha
1 a
+00
a
f( x)dx 20.
Tali relazioni si ottengono dalle proprieta i)-iii) del Teorema 9.33 e dall e proprieta dei limi ti . Criteri di convergenza Data un a fun zione f E Rloc([a, + 00)), non sempre e possibile stabilire la sua integrabilita su [a , + 00) facendo uso della defini zione. Infatt i, puo accadere che la sua funz ione integrale F( c) non sia calcolabile esplicitament e. E utile a llora aver e dei criteri che garantiscano la convergenz a 0 divergenza dell 'integr al e improprio. Nel caso di convergenza, l'eventuale problema di calcola re il valore numeri co dell'integrale po tra essere affrontato fac endo ricorso a tecniche pill sofist icat e , che esula no dallo scopo di questo testo. Un primo criterio, che riguarda le funzioni positive, e il seguente. Teorema 10.5 (Criterio del confronto) Siano i, g E R1oc([a, +00 )) due junzioni tali che 0 ::::: j( x) ::::: g(x) per ogni x E [a, +00 ). Allom
0 ::::: In partico lare,
1
+00
a
r: g(x) dx .
f( x) dx ::::: l;
(10.1)
10.1 Integrali impropri
i)
373
se l 'in t egral e im proprio di g con ver-ge, allora conver-ge an ch e l 'in t egral e
i:
improprio di
f
ii) s e l 'integral e unproprio di im proprio di g . Dimostrazionc.
dioerqe, allora diver-ge an che l 'integral e
P er la propricta eli monotonia dell'integrale definite. usando l'ipotosi 0 :::; f (:r) :::; g(:r) S\l [a, +00) , si ha chc
j.ef (:r) dz: :::; j.eg(:1:) el:r = G (c).
F (c) = •
·a
(l
Ri cordiamo chc i lirniti per c ---> + 00 delle fun zioni integrali F (c) c G( c) , esist ono in base al Corollario 10.3 ; applicando a tali funzion i il primo Tcorcma del confrouto per i lirniti (Corollario 4.4) otteniamo 0 :::; lim F (c) :::; lim G(c), c----t+OO
(;- + 00
chc c csa t tam cutc la (10 .1) . Lc implicazioni i) c ii) scgu ono ora dircttamcn to dalla (10 .1) . 0 Esempio 10.6 Studiamo la converg en za d egli integrali impropri
r+=arct~n
I,
x dx
r+=
e
arctan x dx .
I,
X
x
Poiche, p er ogni x E [1, +00) , si ha 1f
ne segue che arctan x
x2
e dunque
1+=
a rct a n x dz
1
X
2
1f
-4 -< arctan x < -2
X
<
<-
2
X
2
d . X
Dall'Esempio lOA, sappiamo che
+= 1 +=
1f
e
2x 2
1+=.z. 1
1f
j+=~
e
1+=
4x
1f
--2
1
arctan x
< - -x -
4x -
2x
d
x:::;
1+= 1+= 1
dx converge, mentre
arctan x d . x. X
1
-1f dx 4x
diverge. Applicando il Teorema 10.5 , l'implicazione i) ci assicura che l'integrale
1 1
arctanx
1
2 d x converge mentre l'implicazione ii) ci dic e che l'integrale x arctan x D - - - dx diverge.
x
374
10 Calcolo int egrale II
La convergenza dell'int egrale di una funzione di segno var ia bile p uo esse re studiata con il segue nte criter io. Te o re m a 10 .7 (Criterio d i convergenza assolu ta) Si considcri un a fun zionc f E R loc ([a , +(0)) tale che If l E R ([a, +(0)). Allam f E R ([a, + (0 )) e
11+=f (x ) dxl ~ 1+=If (x)1dx .
Dimostraziouc. Dcfin iamo lc fun zioni f + c f -, d ctt e risp ct tivamcnt c parte positiva e parte negativa di .1', ncl modo scguc ntc :
f+ (.7.:) c
f - Cz; ) =
sc f(x ) ?: 0 ,
= max(f (:z; ), 0) = { ~' (x) III a x (
- f (:z; ), 0) =
sc f (:r )
{ ~f(:r)
<
0
sc f (:z; ) ?: 0, sc f (:r )
< O.
Osscrvi.uno chc out ra inbc lc fun zioui sono sc m pro ?: 0 o pcrrnctt ouo d i decem pone f e lf I come
f( :r) = f+( :z;) - f - (:z; )
If( :z;) I = f+ (:z;)
c
+ f - (:r)
(10.2)
(ved as i la Figura 10.2 ). Da qucste re lazioui. p er som ma c d iffcrc nzn, segue chc
f+(x)
= If (:[;)I: f (:z; )
c
·_ (..) = If (:I: )I - f (:z; ) • .1.
.f
2
'
da cui. per la propricta ii) del Tcorcma 9.33. si deduce ch c f+. f - E R 1oc([u, + (0 )). Poichc 0 ~ f+( :r), f - (:I: ) ~ If(:z;)I , per ogn i :z; ?: a, po ssianio applicat e il C riterio del confro nt o 10.5 C ott en ere cite f + e f - sono int cgrabili in sens e irnproprio su [a. +00) . La prima dell e (10.2) im p lica ch e anch o f sodd isfa talc propriot.a .
( \:
~ f (x:
y
-t----"\~ F igura 10.2. Grafici d i un a fun zion e e della sua parte negativa (a de stra)
-+-----,~
f
= f-(x)
(a sinistra ) , della su a pa rte positiva (al centro)
10.1 Int egrali impro pri
Infinc , dalla proprieta v) de l Tcorcma 9.33, seg ue chc, C> a ,
pCI'
375
ogni
.ef(:1:)
Ij •
passando al limite
(l
•
(l
+00 si otticnc la tcsi,
pCI' C ---->
o
Esempio 10.8 Consideriamo l'integr ale + 00 /
1
COS X I ::; 12' la f unzion e . hee I--2P OlC
cosx -
2X
dx .
inte grabile su [ 1, +) 00 xs per il Teorema 10.5, usando l'Esempio 10.4. Dunque l'integr ale conside rat o e converge nte p er il criterio preceden t e e si ha X
X
I1(X )I
=
Ico 2 x I e'
t'" cosx x dxl < t": Icosx I dx < t": ~ dx = 1. x l, x
Ii 1
2
-
i1
2
2
-
0
Osservazione 10.9 II Cri te rio di convergen za assoluta forni sce un a condizione sufficiente rna non necessaria p er la converge nza di un integrale improprio. Ad esempi o, + 00 sin x /
- - dx
1
X
converge, rna
1+
00 1
Si:
X
I
dx
diver ge
(p er la giust ificaz ione, ~ I nt egrali impropri ). Le funz ioni 1 tali che su [a, + 00).
111 E R([a , + 00)) sono det t e assolutamente integrabili 0
Un ultimo criterio di semplice a pp licaz ione si basa sullo st udio dell'ordine di infinitesimo p er X --+ + 00 della fun zione integranda. T eorema 1 0. 1 0 (C riterio del confronto a sintotico) Si cons uieri una fu nzio ne 1 E Rloe ([a, +00 )). Su pponiamo che 1 abbia ordin e di infinit esimo ex
per
X ---->
1
+00 rispetto all 'infinitesimo cam pi on e cp(x) = - . X
i) Se ex > 1, allora 1 E R ([a , +00));
1
+ 00
ii) se ex ::; 1, allora
Dirnostrazion c.
~
a
l (x ) dx diverge.
Integrali impropri.
o
376
10 Calcolo integr ale II
Esempi 10.11 i) Consideria mo I'in t egr ale
/ +00
2 a rctan x) dx .
( 7r _
Osserviamo che la funz ione f (x) = 7r - 2 arctan x e infinit esima di ord ine 1 per ----> +00; infa t t i, ap plicando il Teor ema di de l'H opi t al , si ha
x
. IHfl
2x 2 = 2. x~ + oo 1 + x 2
2 arctan x
7r -
I'
Hfl.
Ijx
x~ +oo
---
e d ivergente.
P er t ant o I'integr ale cons iderato
ii) St ud ia mo la conver genza dell'int egrale
1
+00 x
1
Poiche cos x
X
3
+ cos x
. + sm x
= o(x) e sinx = o(x 3 ) per
x
x
1
x3
+ cos x
+ sin x
---->
dx.
+00 , si ha x
'"'-' x 2
---->
+ 00.
Dunque I'int egr ale conve rge.
D
Nel successivo esempio stud ia mo un a famiglia di int egr ali im propri che estende qu ella cons ide rata nell'Esempio 10.4 i). Esempio 10.12 Prendiamo ora in esame la famiglia d i int egr ali
F" J2
con a , {3 > O.
_--,----1_----,,- dx x a (log x) f3
i) II cas o a = 1 pu o esse re st ud ia to a ttraverso un 'integr azion e esplicita; infat ti , introducendo il cambiamento di varia bile t = log x , si ha
+00 ----,-- 1 ....,--" d x 1+00
1 2
x (l ogx )f3
=
1 dt t f3
-
lo g 2
e quind i l'int egr ale converge se {3 > 1 e di ver ge se {3 :::; 1. ii) Se a > 1,
e sufficiente osservare che
log x ~ log 2 se x ~ 2 e dunque 1 1 ---~ < \/x ~ 2. a a x (log x )f3 - x (log 2) f3 ' Ap plicando il Criterio del confro nt o, conclud ia mo che l'int egra le converge per ogni valore di {3. iii) Se a < 1, scriviamo 1 Xa
(log X)f3 Xl - a
1
x l-a
x (log X)f3
e osserviamo che la funzione v-' f3 t ende a +00 per ogn i {3. (log x )
10.1 Integrali impropri
Dunque esiste una costante M > 0 tale che 1 M
"Ix 2: 2;
--,------...,--,;- > -
x a(1ogx) f3 -
377
x '
pertanto, applicando a ncora il Cr iterio de l confronto, l'int egrale diverge. In alcuni casi
0
e conveniente pensare il valore assunto p er x = k da una funzione
f definita su una semiretta reale [ko, + 00) come
il t ermine generale ak di una serie. In questo modo, sotto opportune ipotesi e possibile mettere in relazione il comportamento de lla serie con qu ello dell'integrale improprio della funzione su [ko , + 00). Vale infatti il seguente risultato.
Teorema 10.13 (C r it e r io integrale) Sia f una [urizioti e positiva, deerescente e con tinua in [ko , +00 ), con k o E N. A llora valgono le sequenii disuquaqlian ze
=f( x ) dx::; L=f (k ) ; L= f(k) ::; 1+ ko
k =k o +l
(10.3)
k =k o
pertanio , la seri e e l 'in tegrale improprio hanno lo st esso com poriamen io. Precisamenie a)
l+=f( x) dz
oo
converge
L
{==}
. ko
b)
1+=
f (x) clx div erge
L
{==}
ko
Dimo straziou c.
f (k ) conoerqe;
k= k o co
f(k) diverge.
k =k o
'V+
o
Integrali impropri.
Esempi 10.14 i) II Criterio integrale permette di studiare la convergenza della serie a r m o n ica co
g e ner a lizza t a ' "
~
~ ka
per tutti i valori ammissibili del parametro a . Osserviamo
k =l
infatti che la funzione
~a ,a > 0, x
soddisfa le ipotesi de l teorema e ha integrale
improprio su [1, + 00) convergente se e solo se a > 1. In conc1usione
t; oo
1 k
a
{ converge se a > 1 , diverge se 0 < a ::; 1 .
ii) Studiamo la convergenza della serie
=
L
k =2
1
k logk '
378
10 Calcolo int egrale II
Consideriamo f(x) in qu anto
Pertanto la serie
1
= -1--
00
L
k= 2
x ogx
e rieordiamo ehe il suo integrale su [2, +(0) diverge
+00 - 1 1 +00 -dt 1 dx = = + 00.
1
X log x 1 k 10 k diverge.
2
lo g 2
t
D
g
Osserviamo infine ehe il eon eet to di integrale improprio puo essere defini to sulla semiretta (-00, b] , ponendo
Le propriet a e i eriteri di eonvergenza presentati sopra si adattano faeilmente a questa situazione. 10.1.2 Integrali di funzioni non limitate Consideriamo ora un intervallo limitato [a, b). Introdueiamo l'insieme R1oe([a, b)) delle funzioni definite su [a , b) e integr abili su ogni so ttointervallo ehiuso e lim it ato [a, c] con a < c < b. Se f E R1oe([a ,b)) risulta quindi definita su [a , b) la funzione integrale
F( c)
=
l
e
f( x) dx .
Studiamo il eomportamento limite di t ale funzione p er c
f
Definizione 10.15 Sia
l
a
b
----+
b:' ,
E Rloe([a, b)). Poniamo {fo rmolme nte)
f (x) dx
=
lim_ C -4 b
j.ef (:r) dx ; a
il sim bolo a pr ima m embra viene detto integrale improprio di i)
(10.4)
f su [a , b).
Be illimite esis te ed efinito , si dice che la fun zione f eintegmbile (in sens o impraprio) su [a, b) 0 , equiu aleniemen te , che il suo integrale improprio e co n v e r gen te .
ii) Be il limit e esiste ed divergente .
e infinit o,
si dice che l 'integrale improprio di f
iii) Be il lim ite n on esis te, si dice che l ' int e g r a le improprio di f
e
e oscillante.
10.1 Integrali irnpropri
379
L'insiem e delle fun zioni integr abili su [a, b) verra indicato con il simbolo R( [a, b)). Osservi amo innanzitutto che se un a fun zione definit a in [a, b] e limitata e integrabile su [a, b] (nel senso di Cauchy 0 di Riem ann) , allora essa e pure integrabile in senso improprio su [a, b) ed il suo int egrale improprio coinci de con qu ello definito . In fatti , posta M = sup If (x) I, si ha
ib
x E[a, b] c
lib f( x) dx - i
f (x ) dxl =
lib
If( x) 1dx < M(b - c);
f( x) dxl <
passando al limite per c ----+ tr , si ott iene proprio la (10.4) . Cio giust ifica l'uso della stessa notazione per indicare tanto l'in tegrale definito quanto l'integr ale improprio. Il concetto di int egrale improprio su un intervallo limitato assume quindi rilevanz a qu ando la fu nzione int egranda e illimitat a in un intorno del punto b. Esempio 10.16 1
f (x) = (b _ x )a con a > a (si ved a la Fi gura 10.3 per un esempio). Stud iamo l'int egrale improprio di f su [a, b). Si ha Consideri amo le fun zioni
1
1
c
a
...,....--...,....-dx
{ =
(b- x )a
(b - x )l -a I
se a=/=-l ,
-log(b- X)I~
se a=1
C
a - I
(b - c)l -a - (b - a)l-a _
Pert anto, se a=/=- 1,
l
a
b
1
...,....--...,....- dx (b - x )a
=
b- a { log - b- c
se a =/=- 1,
a-I
. (b - c)l-a - (b _ a)l - a lim -'----'-----'----'--c -i- b : a- I
se a = 1.
=
Figura 10.3. Tra pezoide della funzione illirnit ata f(x)
{( b - a)l-a 1- a
+00
=
< 1, sc a > 1. sc a
vi=x sull'intervallo [~ , 2)
380
10 Calcolo int cgra le II
Se a = 1,
l
b
a
_1_ dz b- X
=
lim log bb - a -
c-> b-
C
= + 00.
In concl usione a bbiamo
j
b 1 { converge - - --,----- dx . a (b - x) a diverge
se a
< 1,
se a 2: 1.
D
Analogamente a quanto fatto p er gli int egrali impropri su in tervalli non limita ti , e possibile di most rare ch e se la funz ione f e positiva su [a, b), I'integrale improprio di f su [a , b) e o converge nte oppure divergent e a + 00. Valgono criteri di convergen za a nalogh i a quelli visti p er gli int egrali impropri su intervalli iIIimitati . Ci Iimitiamo a enunciare esp licit a mente i Criteri del con fro nt o e del confronto asintoti co ; Ie dimo straz ioni verranno omesse, in quanto sim ili a quelie del caso precedente.
Teorema 10.17 (C r it e r io del confronto) Siano i ,g E R1oc( [a, b)) du e f unzioni tali che 0 ::; f (x ) ::; g( x ) per ogni x E [a , b). A llora
0 ::;
l
a
b
f( x ) dx ::;
{b
J
a
g(x) dz..
(10.5)
In part icolare,
i) se l'integrale improprio di g converge, allora converge anc he l'in t egrale improprio di f ; ii) se l'int egrale improprio di f improprio di g.
div erge, allora div erge an che l 'in tegrale
Teorema 10.18 (Criterio del confronto asintotico) Sia .f E R loc([a, b)). Supponiamo che f abbia ordine di infinito a per x ----+ u: rispetto all 'infinito 1 campione ip(x ) = -b - .
- x
i) S e a < 1, allora f E R ( [a , b)); ii) S e a 2: 1, allora
l
b
f (x ) d x diverye.
10.1 Integrali impropri
381
In modo analo go a quanta fat to per introdurre l'integral e improprio di funzi oni defini te S11 [a, b), p ossiamo consi de rare l'integr ale improprio su (a, b], pone ndo
l
·bf (:1; ) dx =
a
jbf (x ) dx .
lim
c ~a + . c
Tutte le propriet a vist e preced entem ente valgono con le ovvi e mod ifiche di not azioni. Esempi 10.19 i) Studiamo l'integrale
J [7=X 3
1
V~
dx .
La fun zione f( x) = J ;= ~ e defini t a e continua in [1 ,3) ed e infinita pe r x ---+ 3- . P oiche, 7 - x ::; 4 per ogni x E [1,3) , ap plica ndo il Criterio del confro nt o, si ha dx < 3 -x J3)73- xx dx < 2J3d-=x 1
+ 00
1
in base a ll'E sem pio 10.16. Dunque l'integrale cons ide rato converge. ii) Prendiamo ora in esame
J
eX + 1
2
1
P oiche, p er x
E
(1, 2]'
( x-
e+1
I)
2
dx .
eX + 1 (x-IF per il Criterio del confronto si deduce che l'integrale assegnato diverge a
...,---....,..",. < (x-IF
...,---~
+00 .
iii) Studiamo
1 1r
Per x
---+
0+ , f (x) =
l'integr ale converge . iv) Sia
!X
sm z
o
rv
/
2
VX
- - dx . sinx
~ ; dunque, per il Criterio del confront o asintotico,
yX
1 4
log( x - 3)
d
x 3 - 8x 2 + 16x x . . log(x - 3) , . . La funz ione f (x) = 3 2 e defimta 1Il [7f, 4) e t ende a x - 8x + 16x 1r
Inoltre,
f( x) = 10g(1 + (x - 4)) x (x - 4F
1 4( x - 4) '
+ 00
per x
---+
4- .
382
10 C alcolo integr al e II
quindi , ancor a per il Cri t erio del confranto as int ot ico, l'integr ale diverge a -00 (si osservi che la fun zione f( x) = l /( x - 4) e negativa in un intorno sinist ra di D x = 4).
10.2 Altri integrali impropri Supponiamo, infine, di voler st udiare l'int egr abilita di un a funzione definita su un int ervallo I , limi t ato 0 non limitato , la Quale event ualme nte presenti un numero finito di punti in cui non sia limitata . E allora possibile suddivider e l'intervallo I nell 'unione di un numero finito di sottointe rvalli I j , j = 1, ... , ri , su ognuno dei qu ali si verifichi soltanto un a delle sit uaz ioni esamin ate nei due paragrafi preceden t i (si ved a la Fi gura 10.4). Scelta la suddivisione, p oniamo formalmente
I
f (x ) dx =
~ lj f (x )dx .
Si dic e che l'integrale improprio di f su I converge se convergo no tut ti gli integrali a secondo membra. Inoltre, non e di fficile verifi care che il comp ortame nt o dell'int egrale e il suo valore in caso di converge nza sono indipendenti dalla suddivisione pr escelta dell'intervallo I . Esempi 10.20 i) Studiamo l'int egrale
s=
1+ + 00
- 00
_1_ dx. 1 x2
Scegliendo ad esempio l'origin e come punta di suddivisione della retta reale, scriviamo
Figura 10.4. Trapezoide di una fun zion e illimitata su un inter va llo illimit a to
10.3 lntegrali curvilinei
5 =
1
1 -1- -
0
+X
- 00
1+ + 00
dx+
2
0
entrambi gli integrali convergono e valgono
-1+
ii) Consideriamo I'integrale
00
51 -
Jr
383
1 -1 2 dx ; X
/ 2, dunque 5
=
Jr .
sin x dx .
-2-
o
X
La funzione integranda e infinita nell'origine, pertanto suddividiamo la semiretta (0, +00) ad esempio nei due sottointervalli (0,1] e [1, +00) e scriviamo 51 =
1
~
per
poiche sm X
x2
rv
X
1
o
.
SIn X 2 X
X
d
x+
J+oo sm. 1
~ 0+
X
2
d .
X
X,
Isin2X I < .l.2
e
x
-
x
'
il primo integrale diverge per il Criterio del confronto asintotico 10.18, mentre iI secondo converge per il Criterio del confronto 10.5. In definitiva 51 diverge a +00. Se invec e consideriamo l'integrale + 00 sin x 52 = ~dx o X con un ragionamento analogo, possiamo concludere che l'integrale converge.
1
iii) Sia
5 -
J6
-
1
(x
X- 5
+ 1)~ x 2 -
6x
+8
dx
La funzione integranda e infinita in -1 (che pero integrazion e) , in 2 e in 4. Dunque possiamo scrivere
5=
(J2 Jr t +
1
+
2
./3
6
+1 4
)
.
e fuori
dell 'intervallo di
x- 5 dx. (x+l)V(x-2)(x-4)
Poiche la funzione ha ordine di infinito 1/3 sia per l'integrale converge.
X
~ 2± sia per X ~ 4± , 0
10.3 Integrali curvilinei Passiamo ora al ca lcolo integrale sulle curve, che verra trattato in questa e nel successivo paragrafo. In molte applicazioni, e utile int egrare una funzione reale definita sul sostegno di una curva (si veda il Paragrafo 8.4) . Introduciamo quindi il concetto di integrale curvilineo; esso rappresenta il primo esempio di int egrazione di una funzione di pili variabili reali. Sia ry : [a,b] ~ ]Rd (con d = 2,3) un arco di curva regolare, e sia C = ,([a,b]) il suo sostegno. Sia poi f : dom f <;;; ]Rd ~ ]R una funzione definita almeno su C ,
384
10 Calcolo int egr ale II
cioe t ale che C S;;; dom f . Supponiamo che la fun zione composta definita come (f 0 I)(t) = f(J(t)) , sia continua su [a , b]. Definizione 10.21 L 'integrale curvilineo di
1 I I
dove i1J/ (t) 11 = J lxl (t )12 euclidea) del ueiiore I' (t ).
f =
f
8U
I
f
0
I : [a, b]
----t
1R,
e il numero
b
(10.6)
f(J(t)) 111'(t)11dt,
a
+ ly' (t )12 + IZ ' (t )12 e il
modulo {cioe la norma
Notiamo che I'integr ale a secondo membro della (10.6) e ben definito in quanto la funzione int egranda f(J(t)) i1J/(t) II e cont inua su [a, b]. Infatti I e pe r ipotesi regolare, dunque Ie derivate prime dell e su e componenti son o fun zioni continue e quindi anche la norma 111'(t) 1 ha tale proprieta, essen do ott enuta componendo funzioni continue; inoltre f(J(t)) e cont inua per ipotesi. L'integrale cur vilineo ha il seguente signifi cato geome t rico. Sia I un ar co semplice di curva piana e sia f non negativa su C ; sia
r(f) il gr afico di
= {( x ,y, z)
E 1R
3
:
(x ,y)
E
domf , z = f( x ,y)}
f . Indichiamo con E = {( x,y , z)
3
E 1R :
(x,y)
E C , 0 ::::; z::::;
f( x ,y)}
la superficie verticale delimitata inferiormente dal sost egno C della curva I e superiormente dal grafico di f (si ved a la Figura 10.5) . Allora si puo dimostrare che I'area di E e uguale all'int egrale curvilineo di f su I ' Ad esem pio, se f e costante e uguale a h su C , l' ar ea di E e data dal prodotto dell 'al t ezza h per la
Q-- "'S~
dom j'
Figura 10.5. Signifi cato geometrico dell 'integ rale curvilineo
10.3 Integrali curvilinei
J:
385
lungh ezza della base C; nel Paragrafo 10.3.1 daremo evide nza al fatto che tale lungh ezza si esprirne come £(C ) = Ih ' (t )11dt e dunque in tal caso area (E) = h£(C) =
l
b
f(-y(t)) lh/(t)11 dt =
J, i .
Esempi 10.22 i) Sia , : [0, 1] ----+ lR 2 l'arco di cur va rcgolare , (t ) = (t , t 2 ) che parametrizza la p art e della parabola y = x 2 compresa tra i punti 0 = (0, 0) e A = (1,1). Si ha ,'(t) = (1 ,2t) e dunque 11,' (t ) 11 = VI + 4t 2 . Sia poi f : lR x [0, + 00) ----+ lR la fun zione definita da f(x, y) = 3x + yY. La funzione cornposta f vale f(-y(t)) = 3t +.Jt2 = 4t . Pertanto
0,
J, = 1 1
f
4tVI
+ 4t 2 dt ,
che si calcola con la sostituzione s = 1 + 4t 2 ottenendo
1 J , f = 2
5
1
2
5
4
v'sds = 2 [3 S3/ 2L =3(5)5 -1) .
ii) Sia, : [0,2n] ----+ lR 2 la pararnetrizzaz ione della circonferenza di centro (2,1) e raggio 2 data da ,(t) = (2 + cost, 1 + sint), per la quale si ha 1Ii'(t) II = 4 sirr' t + 4 cos? t = 2 p er ogni t. Data la funzione f : lR 2 ----+ lR definita da f( x, y) = (:r - 2)(y - 1) + 1, si ha f(-y(t)) = 4sin tcos t + 1 e dunque
V
J,
2
f = 21
71:
(4 sin t cos t
+ 1) dt
= 2 [2 sin 2t
+ t] ~7I:
= 4n .
Se invece si pararnetrizza la stessa circonferenza mediante la curva 'Y avente le stesse cornponenti di , rna con t variabile in [0, 2k n ] (cioe si percorre la circonferenza k volte) , si ha
t i _ f = 2
,
·0
2 k1r
(4 sin t cos t
+ 1) dt
= 4kn .
D
L'ultirno esernpio considerato rnostra che l'integrale curvilineo di una funzio ne non dipende solo dal sostegno della curva, rna an che dal modo con cui tale sostegno viene pararnetrizzato. Tuttavia, pararnetrizzazioni equivalent i od opposte, ne l senso di seguito precisato, danno luogo allo st esso integrale curvilineo. D efinizione 10 .2 3 Sian o , : I ----+ lR d e 8 : J ----+ lR d due curve regolari . Esse si dicono eq u iva le nt i se esiste una biiezione 'P : J ----+ I , derivabile con derivata continua e strett ame n te positiva, tale che
386
10 Calcolo int egr ale II
D e fin izi o n e 10.24 S ia , : I ----+ IRd una C1LTva reqolare. D etto - I l 'in ieruall o {t E lR : - t E I} , la CUTva - , : - I ----+ lR d defin it a da (- , )(t ) = ,(-t) si chi am a I' oppost a di , .
,0
L ' opposta di una curva , si puo ancora scrivere come (- , ) = cp, dove cp : - I ----+ l ela biiezione cp(t ) = - t . Notiamo poi che se , : [a , b] ----+ lRd e un arco di cur va regolare , allora - , e un arco regolare definito suIl'intervaIlo [-b , -a] . E conv eni ente dire che due cur ve regol ari , e 8 sono congruenti se esse sono equivalenti oppure se I'una e equivalente all 'oppost a deIl 'aitra . Cio significa che 8 = , 0 sp con sp biiezione derivabile, avente deri vata cont inua e di segno costante. E import ant e per il seguito osservare che due curve congruent i hanno 10 stesso sost egno. Inoltre, tutte Ie curve congruenti a una curva semplice sono ancora semplici. Sia I una fun zione definita suI sostegno di un arco regol are , : [a , b] ----+ lRd e t ale che 1 0 , sia continua, di modo che esista I'integrale curvilineo d i I su fAllora Ie funzioni I 0 8 (con 8 arco equivalente a ,) e I 0 ( - , ) sono continue, in quanto ottenute componendo una funzione continua tra due intervalli della retta reale con Ia funzione cont inua I 0 , . Proposizione 10.25 Sia , : [a , b] ----+ lR d u ti aTCO di curva reqolare, di sosiegno C, e si a I una [usieion e definita su C e ta le che 10, sia con tin ua. A llam si ha e =
1,1 [ ,I
per ogni CUTva 8 equivalen te a , . Dimostrazione.
Osserviamo che (-,),(t) Ih'(-t)lI · Pertanto,
i..
=
- , ' (-t) c dunque
II( - ,
[~a f(( - , )(t )) II( - , )' (t)11 cIt [~a f (,( - t )) III' (-t) I cIt .
Call la sostit uz ione s = - t, da cui cis = - cit, si ha
[ , f = -
.la
f(,(s)) 111'(05) 11ds
("b f(, (s )) 111'(8)11cis .fa
=
j., f .
)'(t )II
10.3 Integrali curvilinei
Aualogamcutc. sc 8 = , 0 cp. cquivalcuto a "t- si Ita 8'(T)
CO
COli
cp : [c. il]
--->
= ,'(cp(T))cp'(T)
387
[0.Ii]. (~ 1111 ar cp'(T) > O.
COli
D1l11C\1lC
./~ I =
I" ,r'
I(8(T)) 1 8'(T)11 dr fb(y(T))) 1II' (cp (T))y' (T)11 dr
I"fbCp(T))) 1II' (cp (T))ll cp'( T) elT . Ora escgui.uno la sost i tuziouc t ottcncndo
tf .18
=
= cp( T). da cui elt
I,ll fb(t)) Ib '(1.)11
.1/
elf =
t I, .I,
o
In base alla proposizione precedente, si ha immediatamente il seguente risultato. Corollario 10.26 L 'inieqrale curviline o di un a funzione non cam bia se alia curva sos ti tuiam o 11TW CUT'Va ad ess a congruen te . Notiamo che, detto c un qualunque punto in (a, b) e posta I I
=
e
'2all'intervallo ' I si ha , per la proprieta di additivita dell 'integrale definito rispetto di integrazione, =
' I[a,e]
[e,b] ,
(10.7) Tale proprieta suggerisce come estende re in modo naturale il concetto di integrale curvilineo agli archi regolari a tratti . Pili precisamente sia , : [a , b] ---> JRd un arco regolare a tratti e siano a = ao < al < .. . < an = b punti di [a, b] tali che gli archi di curva Ii = 'I[a i-l ,ai ]' i = 1, ... , n, siano archi regolari. Sia ora I , come prima, una funzione definita almena su C e tale che la funzione composta I sia continua a tratti su [a, b]. Si pone allora p er definizione
0,
jI=tl' if . ,
Tale definizione
e coerente con la
i= 1
proprieta additiva (10.7) delle curve regolari.
Osservazione 10.27 11 calcolo di un integrale curvilineo relativo a un arco regolare a tratti , puo essere reso pili agevole usando il Corollario 10.26. Infatti si ha
388
10 Calcolo integrale II
j'"Y f = ti= 1 ./rs, f
(10 .8)
dove ogni ~ i e un arco di curva congruente a '"Yi' i = 1, ... ,n, scelt o in modo da sem plificare il calcolo del corrispondente integrale a secondo mernbro. D Esempio 10.28 Si voglia ca lcolare I'"Y x 2, dove '"Y : [0, 4] ----> ]R.2 del bordo del quadrato uni tario [0, 1] x [0, 1]: '"Y1 (t ) = (t ,O)
e la
seguente parametrizza zione
°
:s:; t < 1 , '"Y2(t) = (1, t - 1) 1 < t < 2 , '"Y(t) = '"Y3(t) = (3 - t, 1) 2 :S:; t < 3 , { '"Y4(t) = (0 ,4 - t) 3 :s:;t:S:;4 (si ved a la Fi gura 10.6, a sinist ra), In troduciamo Ie parametrizzazioni dei lati del quadrato ~1 (t) = '"Y1 (t)
= (t , 1) (0, t)
1,
~4(t) =
(1, t)
°< t <
~1='"Y1 '
1,
°< t < 1, °:s:; t :s:; 1,
~2(t) =
~ 3(t)
°< t <
~2
rv
'"Y2 ,
~3
rv
-'"Y3 ,
~4
r-;»
-'"Y4
(si veda la Figura 10.6, a destra) . Allora sl ha
r x 2 = ./0t' t 2 dt + ./0t
./'"Y
1 dt
+
r
./0
t 2 dt
+
t' °dt = ~3 .
./0
/3
/4
• /2
'
/1
1
1
Figura 10.6. P ar ametrizza zion e del qu adra to unitario relativo a ll'Esem pio 10.28
D
10.3 Integrali curvilinei
389
10.3.1 Lunghezza di un area e ascissa eurvilinea Sia, : [a, b]
----+
~3 un areo regolare a tratti; definiamo lunghezza di , il numero
(10 .9) Nel caso di arco regolare, £h) si esprime come
I liT' b
£h ) =
IJ b
(t)11dt =
(x' (t )) 2+ (y' (t )) 2+ (z' (t )) 2dt .
(10 .10)
Tal e definizione trova la seguente giustificazione geometrica. Introduciamo una suddivisione di [a, b] mediante i punti a = to < t1 < .. . , t n- 1 < t« = b e consideriamo i punti Pi = ,(ti) E C , i = 0, . . . , n. Ta li punti individuano una poligonale in ~3 (eventualm ente degener e) la eui lunghezza e dat a da n
£(to,t 1, . . . , t n ) = L dist (Pi- 1, Pi ) i =1
dove dist (Pi-I, Pi) = II Pi che si ha
IIPi - Pi-II I =
Pi-I II e la distanza euclidea di due
punti. Osserviamo
J(x(t;) - X(ti- 1))2+ (y(ti) - y(ti-d) 2+ (Z(ti) - z (ti- d )2 L1x L1y ( L1z )2 ( L1t )i2+ ( L1t )2 i + L1t i L1ti
avendo posta L1ti = t.; -
t i -l ,
(
x (ti) - X(ti- d ) ti - t i - l
c sim ilmente per le a ltre coordinate. Si ha dunque n
£(to, tl , . . . , tn) = L i= l
L1X) 2 (L1 y)2 (L1z)2 ( L1t i + L1t i + L1t i L1ti ;
si noti l'analogia con l'ult imo int egrale della (10.10), di cui tale espressione puo considerarsi un 'approssimazione. Si dimostra che , se la curva e regolar e a tratti , l'est remo superiore della quantita £(to, tl, "" tn) , al variare di t utte Ie possibili suddivisioni d i [a, b], e fini to e coincide con £h) . Osserviamo ehe la lung hezza di un areo, cost come defini ta dalla (10.9) , dip ende non solo dal sostegno C dell 'ar co, rna anche dalla particolare parametrizzazione
390
10 Calcolo integrale II
sce lt a . Ad esempio, se parametri zziam o la circ onfere nz a di equazione x 2 + y 2 = r 2 medi an te Il (t ) = (rcos t, rsin t) , t E [0,21f], ab biamo
come ben nota dalla geometria eleme ntare . Se invece usiamo la pa rametrizzaz ione 1 2(t ) = (rcos 2t, rsin 2t) , t E [0,21f] otteniamo
In questa secondo caso, la circonferenza e stata per cor sa due volte. In base a lia P rop osizion e 10.2 5, due archi cong rue nt i hanno la stess a lu ngh ezza . Si puo dimostrare che la lungh ezza di un arco sem plice dipende solo dal suo sost egno C ; essa vien e detta lunghezza di C e indicata con f (C ). Nell 'esempio preced ente, 11 e sem plice mentre 12 non 10 e; come si e visto, la lungh ezza f ( C) della circonfe re nza e dat a da fb d. Sia I un a cur va regolare definit a sull'iuter vallo I . Fi ssiamo un punt o arb itrario -+ JR definit a da
to E I e int ro d uciamo la funzion e s : I set) =
r
III'(T) II dr .
(10. 11)
ito
Ri cordand o I'espressione della lu ngh ezza di un arco regolare dat a dalla (10.10), si ha se t > to , se t = to , se t < to. La fun zione s permet t e di definire un a cur va equiva lente a I che fornisce una nu ova parametrizzazion e del sostegno d i f. Infa t ti , ricor dando il Teorem a fondament ale del calcolo int egrale e la definizion e di cur va regolare, si ha
s' (t ) =
1II'(t)II > 0 ,
"It E L ;
per t anto la funzione s e stret tament e crescent e e dunque inver tibile su I. Detto J = s (!), l' intervallo immagin e di I attraverso s , indichiamo con t : J -+ I ~ JR la funzione inversa di s . In altri t er m ini, esprim ia m o il p ara met ro t in fun zione d i un nuovo par am et ro s , come t = t (s). La curva ;:y : J -+ JRd definita come ;:yes) = l(t(S)) e equivalente a I (in parti col are ha 10 stesso sostegno C) . Se PI = I (t d e un punt o arbitrario su C, av remo a nche PI = ;:Y( s d con t l e s l legati dalla relaz ione t l = t (sd . II nu mero s l e detto ascissa curvilinea d i P l . Ri cor dando I'esp ressione della deriva t a di una funzion e in versa , si osservi che _,
I (s)
=
d;:Y ds (s)
d,
dt
I ' (t )
= dI(t (s )) ds (s) = 1II'(t)II '
10.4 In t egrali di linea
da cui segu e
117'(s)11=
391
Vs E J .
1,
Questo significa che usando l'ascissa curvilinea il sostegno dell a curva viene per corso con "velocit a ' costante ugu ale a 1.
J:
Osservazione 10.29 Sia y : [a,b] ----> IR un arco regolare e sia s l'asci ssa curvilinea defini t a dall a (10 .11) con to = a; allora s(a) = 0 e s(b) = II,'(T)II dr = f (r ). Usando tale parametro per esprime re l'int egr al e cur vilineo di un a funzione i , si ha
(
i, f
=
( { e(, )
I;y f
=i
o
f(7( S)) ds
r:
= io
D
f(r(t(s))) ds.
La definizione preced ente di ascissa cur vilinea puo esse re estesa in modo ovvio alle curve regolar i a tratti . Esempio 10.30 Sia , : IR
---->
1R3 la curva ,(t) = (cos t , sin t , t ) il cui sostegno
(ved asi l'Esempio 8.8 vi)). Si ha 1Ir'(t) II = II(- sin t , cos t , 1) II 1)1/ 2 = V2. P ert anto, scegliendo to = 0, abbia mo
s (t ) =
it
1Ir'(T) IIdr
= V2it
dr
e l' elica
=
2
(sin t
circola re
+ cos 2 t +
= V2t .
Ne segue che t = t (s ) = 1s, con s EIRe l'elica circolare puo essere riparamet r izzata mediante l' as cissa curvilinea come
7( S) = ( cos
~ s ,sin ~ s,~ s)
D
10.4 Integrali di linea In qu esto paragrafo , introduciamo le nozioni d i campo vet toriale e di integrale di linea , che permettono di tradurre in t ermini mat em ati ci concet t i fisici fond amentali, qu al i ad ese m pio quelli di cam p o di forze e di lavoro di un a for za . Definizione 10.31 Sia f2 uti soitoinsie m e n on V110to in IR d , d = 2,3 . Una junzi one F : f2 ----> IR d dicesi campo vet toriale in f2. Indichi amo con Ii : f2 ----> IR, i = 1, . . . , d, Ie componenti di F , ossi a scriviamo F = (il , .. . , fd)' Usando i ver sori i , j e k int rodotti nel Paragr afo 8.2.2 , po ssiamo anche scrivere F = f l i + hj se d = 2 e F = I, i + hj + 13k se d = 3. Il concetto di integraIe curvilineo puo essere este so ai cam pi vet t ori ali dando origine al concetto di in t egrale di linea . P recisamente sia , : [a, b] ----> IR d un arco
392
10 Calcolo integrale II
regolare tale che il sostegno C = ,( [a , b]) sia cont enut o in f?; in tal moelo e elefinita t f-+ F(,(t)) a valori in lR d . Supporremo che su [a, b] la fun zion e composta F tale fun zion e sia cont inua, vale a elire che tutte le componenti f i (,(t)), elefinite su [a, b] a valori in lR sia no funzioni cont inue. Per ogni t E [a , b], inelichi amo con
0, :
,'(t)
r(t) = 1II'(t) II
il versore tangente al sost egno elell 'arco nel punto P(t) scalare F; = F . r elefinita com e Fr(t)
= (F . r)(t) =
,(t) . La funzione
F(,(t)) . r(t)
rappresenta la componente elel campo F lungo il versore tangente al sostegno eli
,inP=,(t). D efinizione 10 .32 L 'integrale eli linea di F Sl1 , Sl1 , della [u nzi otie Fr . Ponuuno dunque
r
l-, F·
elP
=
e l'inieqrale curin iin eo
1,
Fr·
Si osservi che l'integrale a seconelo membra val e
Per t anto l'integrale eli linea eli F su , puo essere espresso come
1,
F · elP =
l
b
F(, (t)) ·,'(t) elt .
(10 .12)
II significato fisico e eli particolar e importanza . Se F elescrive un campo eli forze applica t e al sost egno elella curva, l'integrale eli lin ea rappresenta il lavora compiuto elalla forz a F nello spostamento lungo il sostegno elell 'arco ,. La seguente praposizione e la cont ropar te elella Praposizione 10.25 per gli int egrali eli linea. Proposizione 10 .33 Sia,: [a, b] ~ lRd uri arco di C117'va reqolore, di sostegno C, e sia F l1n campo uettori ole definito Sl1 C e tale che F o, sia cont inua. A llora si ha
r F · elP
l-,
=
-1-,
F · elP
per ogni C1l7"Va 8 equioalenie a ,.
e
1,
F · elP =
10 F · elP ,
10.5 Esercizi
393
Da un punto di vist a fisico la proposizione assicura che il lavoro di una forza cambia segno cambiando il verso di percorrenza del sostegno dell'arco; una volt a scelt o il verso, il lavoro dipende soltanto dal sostegno e non dal modo con cui esso viene percorso. Esempi 10.34 i) Consideriamo il campo vettoriale piano F : 1R,2 --+ 1R,2 definito da F (x , y) = 2 2 (y, x ). Consid eriamo poi l' ellisse xg + ~ = 1 che parametrizziamo mediante
,(t) = (3cost ,2sint) . Si ha F (I (t )) ,'(t) = (-3sint ,2cost) . Allora 21r(2sint F · dF = 1 ,3 cost) . (-3sint ,2 cost)dt I'ar co ry : [0, 27f]
--+ 1R,2 ,
= (2s int ,3 cost)
e
1,
= 61 =
21r(
-sin 2t+ cos2t)dt
12121r cos 2 t dt - 127f
= 61
21r(2cos
2t-1)dt
= 0,
poiche, ricordando l'Esempio 9.9 ii), si ha
21r
1 ()
cos 2 tdt =
[ -t 1 + -1 sin2t] 21r = 2
4
tt .
()
ii) Sia ora F : 1R,3 --+ 1R,3 il campo vettoriale definito da F (x , y , z ) = (e" , x + y, y+ z ) e sia, : [0,1] --+ 1R,3 l'arco , (t ) = (t,t 2,t3 ) . Abbiamo F (I (t )) = (e t , t + t 2, t 2 + t 3 ) e ,'(t) = (1, 2t, 3t 2) . Pertanto
o
10.5 Esercizi 1. Verificare la convergenza dei seguenti integrali impropri e ca1colarne
1 Ql + a
1
+ 00
)
()
00
~
2
x2
+ 3x + 2 dx 1
x yX=2dx x - 2
1
+00
b)
o
X
(
x + 1)3 dx
jJ
valore:
394
10 Ca lcolo integr ale II
2. Discu tere la convergenza dei seg uenti in tegrali impropri:
+00 -sin-x & 1o x,jX
~
~
~
1 1
e)
';x - x 2
o
rg)l
r
.
sin 7fX
00
Ql + 1
t": xe- x dx io
c)
1+ 0
oo
~
e
1r
x - 7f / 2
/
f)
dx
0
r
fh)l
dx
L.!Ji o
~ io cos xvsin x
1 log2(2 + eX)
&
log x {IX2 dx
2
1
- - dx , ;sin
x
(7f - x) log x dx Vl log (l - sinx )!
QJ St udiare la convergenza dell 'integrale
al variare di n E N. Calco larlo p er il piii pi ccolo valore p er cui con verge.
00 ar ctan x d )1+ a -00 Ixl<> x
4. Stabilire p er qu ali valori di
c) r +
oo
io
[TI
1
x<>(4 + 9X)2
0:
JR con vergono i seg uen ti in tegrali im propri:
00 fh\l1+ ~ -00 Ix
E
1d5l1+00
dx
~ <>
Determin are p er qu ali valori di
0:
3
1
+ 5x 2 + 8x + 41 <> 1
(x - 2) VTX=3f
dx
dx
E JR con verge l 'in tegrale
r x(sin(x2- 2» <> dx 3
i2 e calcolarlo p er
0: =
v x -4
O.
6. St udiare la convergenza dei seguenti in tegrali impropri:
J
+oo
»: a)
c)
[2J
1
2
(log( x+l) -log x)dx 1 {Y"X-=2 log -x - -2 dx
x- 2
x+ l
b)
r +oo eX - 1 - sin x
io
errx - l -sin 7fx dx
00 @I]1+ d) dx sinx- (x+ x ) log(e +x ) X
0
Calcolare l 'integrale curvilineo della fun zi on e
f (x , y , z) =
x
2(
1 + 8y)
VI + y+ 4x
2
y
sull'etco -v defini to da , (t ) = (t, e, log t), t E [1, 2].
2
10.5 Es erci zi
395
8. Calcolare l 'integrale curvilineo della funzion e f( x , y) = x sull 'arco chiuso e sem plice , il cui sostegno c l'unione dell'arco di p arab ola di equazion e y = 4 - x 2 p ercorso da A = (-2,0) a C = (2,0) e dell 'arco di circonferenza di equazion e x 2 + y2 = 4 di estrem i C e A .
[J[J
Calcolare l 'integrale curvilineo della funzion e f( x, y) = x + y s ull'arco chi uso e semplice , il cui sostegno, contenuto nel primo quadrant e, e l'unione del segm en to di estrem i 0 = (0,0) e A = (1,0) , dell'arco di ellisse di equazione 4x 2 + y2 = 4 di estrem i A e B = y'2) e del segmento che unisce B all 'origine .
(1",
10. Calcolare l 'integrale curvilineo della funzion e f( x , y) =
1
2 sull 'arco x +y + 1 cbiuso e sem plice , i1 cui sostegno e l 'unione del segmento di est rem i l 'origin e e i1 punta A = (y'2, 0), dell'arc o di cerchio di equazione x 2 + y2 = 2 di estrem i A e B = (1,1) e del segm ento che unisce B all 'origine.
II[]
2
Calcolare l 'integrale di linea del cam p o F(x ,y) = (x 2, xy) sull'arco ,(t) (t 2 , t ), t E [0,1] .
12. Calcolare l'in t egrale di linea del cam po F(x , y , z ) = (z , y , 2x) sull 'arco ,(t) (t , t 2 , t 3 ) , t E [0,1] .
=
13. Calcolare l 'integrale di lin ea del cam p o F(x , y , z ) = (2ft, x, y) sull 'arco ,(t) (- sin t ,cost,t2 ) , t E [0, ~].
=
ill]
Calcolare l 'iutegrele di linea del cam po F(x , y) = (x y2, x 2y ) sull'arco sem plice , i1 cui sostegn o e Formato dai tre segm enti consec utivi di estremi A = (0,1) , B = (1,1) , C = (0, 2) e D = (1,2) .
15. Calcolare l 'integrale di linea del cam p o F( x , y) = (0, y) sull 'arco chiuso e semplice i1 cui sostegno e l 'unione del segmento di estrem i l 'origine e A = (1,0) , dell 'arco di circonferenza di equazione x 2+y2 = 1 di estrem i A e B = e del segm ento che unisce B all 'origine.
(1",1")
10.5 .1 Soluzioni 1. Verifi ca eli convergcnza c ca lcolo eli int cgrali impropri:
a) log 2 ;
b) ~ .
c) La funzione integranda f( x) = Xv'~ -2 non e limi t ata in x = 0 e in x = 2. Il punto x = 0 e esterno all'inte rvallo di integrazione e quindi non 10 pr endiamo in conside razione. Possiamo p ert an to suddivide re l'integrale come
396
10 Cal colo int egra le II
1
+ 00
2
1 - -dx xy'X"=2"
=
Osserviarno che per x
1 3
1 dx x ";x - 2
2
2+, f(x)
--+
+
1+
2(x _
rv
00
3
12 )' / 2
1 dx x";x - 2
=
51
+ 52 .
e dunque l'ordine di infini-
t o della fun zione e ~ < 1. Pertanto, per iI Criterio del confronto asintotico 10.18, l'integrale 51 converge. Per verificare la convergenz a di 52, studiamo il comport amento di f per x --+ +00. Si ha f( x)
rv
1
1
X . Xl/2
x 3/ 2
x
'
+00 .
--+
Dunque per Criterio del confronto asintotico 10.10 anche 52 converge. Per calcolar e l'integrale, poniamo t 2 = X - 2, da cui 2tdt = dx e x = t 2 Quindi
r: t +
= Jo
5
2
2
2 dt
2
t
= v'2 arctan v'2
+ 2.
10+ = 2v'2 7f · 00
d) La funzione integranda e infini t a pe r x = 0 e x = 4. Quest 'ultimo punto non appart iene all'intervallo di int egr azione. In x = 0, si ha 1
f( x)
4M
rv - - -
per
x
--+
0,
quindi l'inte gralc converge p er Criterio del confront o asintotico 10.18 applicat o ai due integrali 51 =
1
1
0
- 1
"j=X( x - 4)
Pe r calcolare 51, poniamo t 2 51
=-
=
11- 2
o t2
+4
An alog amente, ponendo t 2
=x
52 =
1
2
1 - - dt
o t
2
-
4
= -1 2
11
0
dx
e
- x da cu i 2tdt dt
=-
1 1
52 =
= t
arc tan 2
. 0
1
r;:;.( . ) dx . y X x - 4
- dx e x - 4
11 = 0
=
_t 2 - 4. Allora
1 arc t an - . 2
si ha
(1t- 2
Dunque 5 = 51 + 5 2 = - (arctan ~
- -1 -) t
+2
dt
= -1 2
It - 21]
[log - t +2
1 = -1 log -1 .
0
2
3
+ ~ log3) .
2. St udio della conve rgenza eli integrali impropri: a) Converge. b) La fun zione f( x) = log2 (~ +eX ) e definita su tutto JR. in qu anta 2 + eX > 2, \:Ix E JR.. Quindi e sufficicnte st udiarne il com por tament o per x --+ +00. Si ha
10.5 Esercizi
quindi
1
1
f( x) = (x + log(1 + 2e- X ))2 "-' x 2 '
397
X ---t +00.
Dunque l'integrale converge per il Criterio del confronto asintotico 10.10. c) Converge. d) Nell 'intervallo di integrazione la fun zione int egranda e limitata. Inoltre log x
1
v z-
v z-
- >-3/"2 - 3 ~'
Vx 2 e .
Dunque, per il Criterio del confro nt o 10.5, l'integrale diverge. e) Converge; f) Converge. g) La funzione integranda non e definita per x = 0, x = ~ e x = tt . Oss erviamo che per x = ~ , la funzione e prolungabile pe r continuita a - 1 in quanto, ponendo t = x - ~ , risulta cos x = cos(t
+~) = - sint = -sin(x -~)
e dunque
f( x) = Quindi l'integrale in x = tt
f( x) "-'-2y'X'
~
x- ~
~
"-' -1 ,
1f
X---t - .
cos xvsm x non e improprio. Inoltre
x---tO+;
f( x),,-,-
2
1f 2V1f -
,
x ---t 1f- .
X
Quindi l'integrale converge p er il Criterio del confronto asintotico 10.18. h) La fun zione integranda non e definita per x = 0, x = ~ e x = tt . Per x ---t 0+, risulta 1f log x 1f log x f( x) "-' Ilog(1- x)11 / 2 "-' fi La funzione non ha ordine di infinito rispetto all'infinito campione ~; tuttavia
essa e sicuramen t e un in finito di ordine inferiore ad ogni poten za x~ con ~ < a < 1, in qu anto illogaritmo e un infinito di ordine inferiore a una qualunque poten za x\ con q > 0, p er x ---t 0+ . Pertanto, per il Criterio del confro nt o asintotico 10.18, l'integrale in 0 converge. P er x ---t ~ , la funzione t ende a 0; dunque in x = ~ l'integrale non e improprio. Per x ---t 1f- , si ha (log1f)(1f-x) (log1f)(1f- x) + sin (x _ 1f))!1 /2 "-' I sin(x _ 1f)11/ 2
f( x) "-' Ilog(1
"-'
(log1f)(1f - x )
1/2
e quindi, ancora, l'integrale in x = 1f non e improprio in qu anto la fun zion e tende a O. In defini tiva, l'integrale assegnat o converge.
398
10 Calcolo int egrale II
3. Osserviamo che la fun zione
e defini t a su t utto ffi. e x
1
f (x ) '" -x Tl - 1 x Tl-
x ---. +00 .
'
P ert an to I'int egr ale converge se n - 1 > 1 oss ia per n > 2. Dunque il pili piccolo va lor e di n per cui si ha convergcnza e n = 3. Calcoliamo quindi I'int egr ale
S=
1
+00
X
J (x 2 + 3)3
2
dx .
P on end o t = x 2 + 3, si ha dt = 2xd x , da cui si ot ti ene
4. lniervnllo di convergcnza eli intcgrali impropri:
a) a E (1, 2). b) Osserviamo che x 3 + 5x 2+ 8x + 4 = (x+ 2)2(x+ 1); pertanto dobbia mo studia re il comport ament o della fun zion e per x ± 00, x ---. -2 e x ---. - 1. Risul t a
f (x ) '"
1
Ix13 <:>
x ---. ± oo ;
'
1
f (x ) rv Ix + f (x ) rv
x ---. -2 ;
2 12 <:> '
1
Ix + 1 1<:>
x---. - 1 .
'
P er avere converge nza, si devono quindi imporre Ie condizioni 3a > 1, 2a < 1 e a < 1. P ertanto deve esserc a E (1, ~) .
c) aE (- l, l ). d) La fun zion e int egr anda non
e limi t at a
per x
1
f( x) '" x 3 / 2 ' f( x)
1 rv X _
=
2e x
= 3. Osserviamo che
x ---. + 00 ,
2 ' 1
f (x ) '"
Ix- 311 / 2
'
Dunque non vi sono probl emi di conve rgenza per x ---. + 00 oppure x ---. 3; mentre se x = 2 e incluso nell 'inter vall o di int egr azion e, I'int egr ale diver ge. P ert ant o dovra essere a > 2. 5. a > -~ e S
= V5.
10.5 Escrcizi
399
6. Studio della convergenza di uitegreli Jmpropri.
a) Diverge;
b) Converge.
e limitata in
c) Nell 'intervallo (2, +00), la funzione non
x-2 log - -
x+1
x = 2. La funzione
1
rv
log -(x - 2) , 3
e un infinito di ordine inferiore a qualsiasi potenza positiva di X ~ 2 per x ----. 2+ . P ertanto f e un infinito di ordine inferiore a (x _ 2~1/3+a (p er ogni a > 0) . Tale ordine, per unopportuna scelta di a (ad esempio a = ~) e minore di 1 e quindi l'integrale converge in x = 2. P er x ----. + 00, si ha
x - 2 log--
x+1
rv
x+1
e, dunquc,
f(x)
3)
log ( 1- - -
3
rv -
X
1/3
3
x+1
3
·x
3
rv - - - rv - - ,
x
x ----. +00.
X 4/3 '
In definitiva , l'integrale converge. d) Esaminiamo il comportamento della funzione integranda in x = O. Si ha sinx - (x + x 2 ) log( e + x ) = x + o(x 2 )
= _ x 2 + o(x 2 )
-
(x + x 2 )
(~ + o(x))
e quindi
f(x)
-
1
rv -
(1 + ~) x '
(x + x 2 ) = -
(1 + log (1 + ~ ) )
(1 + ~) x
2
+ o(x 2 ) ,
X ----.
0
x ----. O.
Dunque l'integrale diverge p er x = O. Non e nec essario studiare il comportamento per x ----. +00 (anche se non e difficile vcrifi care che pure in qu esta caso si ha divergcnza) per concludere che l'integrale assegnato diverge. 7. Poiche p er t E [1,2], si ha
,'(t) risulta
8. O.
=
(1, 2t,~) ,
400
10 Calcolo integrale II
9. Calcoliamo dapprima le coordinate del punta B apparten ente a l primo quadrante e punto di inter sezione t ra la retta y = 2x e l'ellisse 4x 2 + y2 = 4. Si otti ene facilmente B = v'2). Osserviamo che l'arco regolare a tratt i I puo essere suddiviso nei t re archi regol ari 11 ' 12 e 13 i cui sostegni sono risp ettivamente il segmento OA , l' arco d i ellisse AB e il segmento BO . E possibile definire archi 01, 02 e 03 congrue nt i rispettivamente a'l' 1 2 e 1 3' nel modo seguente
(V; ,
01(t ) = (t ,O)
0 ::: t <
02(t) = (cost,2sint)
O -
02 rv 1 2,
03(t) = (t,2t)
0:::::
03 rv - ' 3 '
t:::::
1,
01 = 1 1 ,
V; ,
per cui
Poiche
f( oI(t))=t , o~ (t)
= (1, 0) ,
I lo~(t) 11 si ha
1
,f =
f(02(t))
=
1,
f(0 3(t)) = 3t ,
o~(t) = (- sint,2 cost),
o~(t) = (1,2),
1I0~(t)11
Ilo~(t)11 =
=
Vsin 2t +4 cos 2t ,
V2
4
1
3
h , poniamo u =
v'3 sin t , da 1
E segu endo la sost it uzione v
=
1 [1 -2 V 4 - u M
y3
1L
2
3V5tdt
.
t, = v'3 i
=
/
V5 ,
iro ': cost V 4 -3 sin 2 t dt + 2 iro ': sintV1+ 3cos2tdt
1 3 2 + 4" V5 + II + 12
P er calcolare
h
cos t + 2sint ,
r/ r 2t it' tdt + io ( cost+2 sint)vsin +4 cos 2tdt+ io o
= 2 +4"V5+
=
=
2
~
cui du
rV6/ V4 o
= v'3 cos t dt , e otteniamo
2
u 2 du .
e ricordando l'Esempio 9.13 vi) , si ha
2
u ] V6/2 V5 + M ar csin -v'6 . + 2 arcsin = 2 0 4 y3 4
An alogamen te, per calcolare 12 si pone u =
V3 cos t , da
cui du =
- v'3 sin t d t e
10.5 Eser cizi
401
Utilizzando l'Esempio 9. 13 v) , risu lt a 2 [1 2
1 2
h= - - - u~ - -10g I J1 + U2 -U I
v'3
],J6/2= - -J5 + - 1
v'3
2
0
log
VT6 -V6 . 2
In defini tiva
1 I
10. 2 arctan
1 1 2 . V6 1 = - + - J5 + M arCSIl1 - + M log 2 2 v3 4 v3
f
V2 +
':( (V2
-
VT6 -V6 2
.
l )IT.
11. Poich e F (J (t )) = (t , t 3) e I/(t ) = (2t , 1), si ha 4
1 I
12.
F · dP = t (t 4 , t 3) . (2t ,1 ) dt= [ 1(2t 5 + t 3) dt = !"- .
9
4;
io
13.
IT
io
12
.
4
14. L' arco regolare a tratti I puo essere ristretto ai t re archi regolari 11 ' 12 e 1 3 i cui sostegni sono rispettivamen t e i t re segme nt i AB, B C e C D . E possibile definire archi 01, 02 e 03 congruen t i rispet tivam ent e a ' l ' 1 2 e 1 3' nel modo seg ue nte
01(t ) = (t, 1) 02(t ) = (t , 2 - t ) 03(t ) = (t, 2)
OS;t S;l , OS;t S;l , OS;t S;l ,
01
CV
l 1,
02 cv - ' 2 , 03 cv 1 3 '
P oich e
F (02(t )) = (t (2 - t )2,t 2(2 - t )) , o; (t ) = (1, - 1),
F (Ol (t )) = (t , t 2) , o~ ( t )= (l , O ) ,
F (03(t )) = (4t , 2t2) o~ ( t ) = (1,0) ,
si ha
1 I
F . dP = [
i0
1 1
F · dP -
[ F · dP + [ F · dP
i0
2
1
=
(t, e) . (1,0) dt
-1 1 1
+ 15. O.
i0
3
(t(2 - t)2, t 2(2 - t)) . (1, -1) dt
1 (4t , 2t 2) . (1,0) dt = 2 .
11
Equazioni differenziali ordinarie
Molti fenomeni della F isica, dell 'Ingegneri a 0 delle alt re Scienze applicate possono essere descritti attraverso un modello rnat ernatico, costituito da una 0 pili relazioni che lega no tra loro una funzione incognita e certe sue derivate. Ad esempio, un moto rettilineo uniformemente accelerato e caratteri zzato dalla condizione di acc elerazion e costante, e dunque puo essere rappresentato da una re lazione del tipo d2s dt 2 = g , (11.1) dove s = s(t) indica 10 spostamento in funzione del tempo t e 9 e l'accelerazione. II decadimento di una sostanza radioattiva e tale per cui il t asso con cu i essa si decom pone e proporzionale in ogni istante alla quantita di sostanza stessa; pertanto, possiamo scrivere che dy (11.2) dt = -ky , dove y = y(t) indica la q uantita della sostanza radioattiva e k > 0 e una costante di proporzionalita, Le relazioni precedenti sono esempi di equazioni differen ziali. Questo capitolo costituisce una prima introduzione allo st udio di alcune classi di equazioni differenziali. Non e nostra intenz ione fornire una trattazione esaustiva della materia; ci lim it eremo ad illustrare alcuni concetti di base e a det t agliare qualche metodo di riso luzione per famiglie di equazioni differ en ziali (del primo e del secondo ordine) particolarmen te significative.
11.1 Definizioni generali P er e q uaz io ne differenziale ordinaria intendiamo una relazione tra una variabile indipendente reale (che indicheremo con x ), una funzione incognita y = y( x ) e Ie su e derivate y(k) fino ad un certo ordine n. Tale relazione verra scritta come
'L(X, Y, Y,I ..., Y (n» ) - 0,
J
(11.3)
404
11 Eq uazioni di fferenziali or di narie
dove F e una funzione reale di n + 2 variabili reali. Diremo che I'equazione differen ziale e di orrline n , se n e I'ordine pili alt o dell e derivate di y che interven gono nella (11.3). Per soluzione (in senso classico) dell 'equazione differen ziale in un intervallo I della retta reale, intendiamo una fun zione y : I -+ 1R, der ivabile n volte in I , tale che valga la relazione
F( x , y(x ), y' (x ), ..., y(n)(x)) = a
per ogni x E I.
Sp esso e p ossibil e espli cit ar e nella (11.3) la derivata di ardine massimo y(n) in funzione di x e delle derivate di ordine inferiore (in divers e applica zioni, qu est o e a nz i il modo con cui si scrive originariamente l'equazione differen ziale). In t al caso, possiamo scrivere la (11.3) nella form a
y(n) = f( x , y, ..., y(n-l )),
(11.4)
dove f e una fun zione reale di n + 1 variabili reali. Diremo allora che I'equazione di fferenziale e in forma normale. La definizione di soluzi one si modifica in modo ovvio nel caso in cui I'equ azione sia in forma normale. Infine, direm o che un a equazione differenziale e autonoma se la F (0 la f) non dip endono dalla variabile indipendente x. Le equazioni (11.1) e (11.2) sono esempi di equazioni differenziali in form a normale, aut onome , rispettivamente del secondo e del primo ordine. Nel seguit o, limi teremo il no stro st ud io al caso delle equazion i differ enziali del primo ordine, in form a normale, e a una classe particolarmente im partant e di equazioni del secondo ardine.
11.2 Equazioni del primo ordine Sia f una funzione reale definita in una region e del piano 1R 2 . Una soluzione dell 'equ azion e differenziale
IV'
=
f (x , V)
I
(11.5)
in un int ervallo I della ret t a reale e dunque una funzione V = V(x) derivabile in I e t ale che y'( x) = f( x ,y(x)) in ogni x E I . II grafico di ogni solu zione dell a (11.5) di cesi curva integrale dell 'equazione differ en ziale . La relazion e (11.5) ammet te un a important e int erpret azione geometrica: essa di ce infatti che in ogni punta (x , y) del piano in cui la f sia definita , il valore f( x , y) rapprese nt a il coefficiente angolare della ret t a tange nte alla curva int egraIe passante per (x ,V) (ammesso che t ale cur va esista). L' equazion e differ enziale definisce quindi un campo di direzioni nel piano (vedasi la F igura 11.1) . Osservazione 11.1 Se, partendo da un punta (x, V) = (xo, Yo) , ci muoviam o per un piccolo t rat t o lungo la retta pass ante per (xo , Yo) di coefficient e angolare
11.2 E quazion i d el primo ordine
405
///////////////////11111 ///////////////////11111 ////////////////////1111 /////////////////////111 //////////////////////11 /////////----/////////11 ////////------////////11 ////////--------///////1 ///////----------/////// 1//////------------///// 1//////-------------//// ///////----"",,----///
1/////----""",,----//
1/////---"""""'---/
1/////---""""""'--
1/////---"""""""Figura 11.1. C ampo d i di re zion i dell'equazion e d iffer enzial e y'
=
(1
+ x )y + x 2
f( xo ,yo) , perveniamo in un nuovo punto (XI,yr) che sara prossimo alla curva integr ale passante per (xo , Yo) , in qu anta ci siamo spostati lungo la t angente a lla curva stessa. Ripart endo da (Xl , yr) e rip et endo piu volt e il procedimento, possiamo costruire una sp czzata che approssime ra la curva int egr ale che esce dal punta ini ziale (xo, Yo). Questo metodo (de tto m etoda di Eulero esplici to) e l'esernpio pill semplice di come si possa approssim ar e numer icam en te un a soluzione di un a cquaz ione diffe re nziale, a llorquando essa non possa essere determinata con metodi analit ici. Rimandiamo 10 sviluppo di t ali metodi al corso di Calcolo Numerico. 0 La risoluzione dell'equa zione (11.5) generalizza il problema della ricerca dell e primitive di una fun zion e assegnata. lnfatti, se la funzione f non dipende da y rna soltant o da X, a llora la (11.5) diventa y'
= f( x) ;
(11.6)
supp onendo f cont inua in L, le soluzioni di t ale equazione sono t ut t e e sole le primitive di f in I. Esse si scriveranno dunque come y( x) = F (x ) + C , dove F denota un a particolar e primitiva di f e C e un a cost ante arbit raria. Cia mostra che , almeno nel cas o particolar c in cui f non dipenda da y , l'equazione (11.5) am mette infinite soluzioni distinte, le qu ali dipendono da un a costante arbitraria di int egrazione. Le curve integrali sono ottenute l'una dall 'altra per trasl azione verticale. In real t a , il caso particolare (11.6) riveste fond am entale importanza, in quanta in molti casi di interesse la risoluzion e dell 'equazion e (11.5) vien e ricondott a , mediante opportune trasformazioni, alla ricerc a dell e primitive di un a 0 piu funzioni note. Inoltre, sot t o ipot esi piuttosto gencrali, e possibile dimostrare che l'equa-
406
11 Equazioni differenziali ordinari e
zione (11.5) ammette sempre un'infinita di soluz ioni di st inte, dipendenti da un a cost ant e arbit raria C . Scriv crem o dunque Ie soluzioni nella forma
y = y( x ;C)
(11.7)
con C vari abile in IR (0 in un intervallo di IR). L' espression e (11.7) si dira l'integrale generale dell 'equazione differ enziale (11.5) , mentre una qu alunque dell e soluzioni, corrispondente alla scelta di un valore per la costant e C, si dira un integrale particolare. Esempio 11.2 Risolver e l' equazione
(11 .8) equivale a cercare tut t e Ie fun zioni che coinc idono con la loro der ivata prima . Gia abbiamo osservato che la fun zion e espone nz ialc y( x) = eX gode di qu est a importante propriet a. Per la propriet a di linearit a della derivat a , anche ogni funzione y( x ) = Ce x , con C E IR, coincide con la sua derivata . Pili a vant i dimostreremo che non vi sono altre funzioni avent i t ale propriet a, e quindi possiamo conclude re che tutte Ie soluzioni dell a (11.8) sono espresse dalla relazione y(x ;C) = Ce" , C ER Le cur ve integr ali di t ale equazione sono rappresen t ate nella Fi gura 11.2. 0 y' = y
P er selezionare un int egrale part icolare dell 'equazione differen ziale (11.5) , bisogn a dunque prescrivere una condizion e che si t rad uca nella determinazione della cost ante arbitraria di int egrazione C . Un modo assai frequente per far e cio e qu ello
Figura 11.2. Curve integr ali dcll 'equa zion e differenziale y '
=
y
11.2 Equazioni del primo online
407
di pr escrivere il valore della soluzione dell 'equazion e differ en zia le in corrisponde nza di un valore fissato dell a vari abile indipendente x. In altri termini, si richi edera che y( xo; G) = Yo , dove Xo e Yo sono assegnat i. Geometricam ente, cia equivale a ric hiedere il passaggio della curva int egrale cercata per il punto del piano di coordinate (xo, Yo). Quando si determina in questa modo l'integrale particolare di una equazione differ enziale, si dice che si risolve un problema di Cauchy. Precisamente, un problema di Cau chy , 0 p r oblema ai valo r i iniziali , per l'equazione (11.5) in un intervallo I consiste nel fissare un punta Xo E I e un valore Yo E ffi. e nel det erminare una funzione derivabile y = y( x ) tale che
yl = f (x , y) { y( xo) = Yo·
in I ,
(11.9)
II riferimento ai "va lori iniziali" e dovuto al fatto che sp esso il problema (11.9) modellizz a l'evoluzione t emporale di un sistem a fisico, il qu ale all 'istante Xo in cui inizia la simulazione matem atica si trova nella configurazion e Yo.
Esempio 11.3 La soluzione del problema di Cauchy yl = Y in 1= [0, +00),
{ y(o) = 2, e data dalla fun zion e y( x ) = 2eX •
o
Osservazione 11.4 L'assegnazione di un problema di Cauchy, ancorche molto comune, non e l'unico modo p er determinare una soluzion e particolare di una equazione differen ziale. Ad esempio, possiamo porre il seguent e problema: Trovare la solu zione dell'equazione differenziale yl = Y ch e ha m edia integrale ug ua le a 1 nell'intervallo I = [0,2]. Sappiamo che l'integrale gen erale dell'equazione data e y = Ge x ; imponendo la condizione
11 2
2 si ottiene facilmente C =
e2
~1 .
0
y( x)dx
= 1
o
Osservazione 11.5 Ritorniamo per un istante aIle equazioni differ en ziali di ordine n qualunque. Sotto opportune ipotesi, C possibile dimostrare che l'integrale generale di una t ale equa zione dipende da n costant i di integrazione, ossia ha la form a y = y( x; G 1, C 2, ..., Cn) con Ck (k = 1,2, ... , n) costanti arbit rarie rea li. II problema di Cauchy consiste nell 'assegnare i valori di y e dell e sue prime n - 1 derivate in un punto Xo E I , vale a dire
408
11 Equazioni di fTerenziali ordinarie
y(n) = f( a:,Y, ..., y(n-l))
in I,
y( xo) = Yoo , y'( xo) = YOI , y(n-I )(XO)
=
YO ,n-l,
dove Yoo , YOI , . . . , YO ,n-1 sono n numeri reali assegnati. Ad esem p io , il moto uniformemente acce lerat o descritto dall'equazione (11.1) e univocamente determinato dall 'assegnazione della posizione iniziale s(O) e della velocita ini ziale s' (0) d el punta materiale in movimento. In alt ernat iva 301 problema di Cauchy, e possibile determinare univocamente 130 soluzione di una equazione differenziale di ordine superiore al primo imponendo il valore della soluzione (e/o di cert.e sue derivate) agli estremi dell 'intervallo di integrazione. Si parla in questo caso di problema ai valori al contorno. Ad esempio, il problema ai valori 301 contorno del secondo ordine y" = k siny { yea) = 0, y(b) = 0
n ell 'intervallo (a , b),
modelli zza 130 devi azione d alla posizione di riposo di una sbarra elastica sottile sottoposta ad un ca rico di punta. D Nel seg uit o, studieremo tre casi notevoli di equazioni differenziali del primo ordine che si riducono facilmen t e alla det erminazione di una 0 pili primitive. 11.2.1 Equazioni a variabili separabili
Tali equazion i sono del tipo
Iy'
= g(x) h(y) ,
I
(11.10)
dove g e una fun zione continua della variabile x e h e una fun zione continua della variabile y . In alt r i termini, 130 funzione f( x, y) e il prodotto di una funzione della sola x e di una funzione della sol a y . Se y E ffi. e uno zero di h, ossi a se hey) = 0, allora 130 funzione costante y( x) = y e un integrale particolare della (11.10) , p erche l'equazione diventa 0 = O. Dunque, un'equazione a variabili sep a rab ili ha in nan zit u tto t anti intcgrali particol a ri del tipo y( x ) = costante quanti sono gli zeri distinti di h. Tali integr ali si dicono integrali singolari dell 'equazione. In ogni intervallo J in cui la fun zion e hey) non si annulla , possiamo scrivere 130 (1 1.10) corne 1 dy
h(y)dx = g(x ).
Sia H(y) una primitiva d i _1_ (r isp etto alla variabile v) . Ri cordando 130 formula
hey)
di derivazione di una funz ione com p ost a (Teorema 6.7), a b b ia mo
11.2 E q uazio ni d el primo ordine
eI -d x H(y( x))
dH ely
409
1 dy
= -d ( ,) -dx = g(x) y -d x =ty
e elunque H(y(:r)) e una primitiva di g(x) . Pertan to , se G(x) primitiva d i g(x), si avra
CER I
I H( y(x )) = G(x) + C,
e un a
qu alunque
(11.11)
dH non si annulla, e ely quindi essendo cont inua non cambia di segno, la fun zion e H(y) sara st rettame nt e monotona e dunque inver tibile in J (Teorema 2.8) . Pertanto , si po tra esplicitare la y(x) nella (11.11) , ottenendo Siccom e per ipot esi nell 'intervallo J la fun zion e
I y(x )
=
H -1 (G(x)
1
h(y)
+ C), I
(11.12)
dove H - 1 indica la fun zion e inversa di H . Ta le espressione rapprese nta l'integr ale gen er ale dell 'equa zione (11.10) in ogni int ervallo in cui la funzione h(y(x)) non si a nnulla . Si noti t uttavia che nei casi in cui non sia possibile determinar e esplicit amen te l'espression e a na lit ica della funzione invers a di H(y) , la formula (11.1 2) ha solo valore teorico, In tali casi, ci si limiter a a fornire l'espression e implicita (11.11) dell 'integrale generale. Se l'equazion e a variabili separabili (11.10) ammette integr ali singo la ri, essi possono 0 menu rient rare nell 'espressione (11.12) p er opportuni valo ri della costante C . TalvoIta, aicuni integrali sin golari p ossono esse re ottenuti form almente dall a (11.12) facendo t endere C a ±oo. Osserviamo che e possibil e arr ivare alla formula (11.11) in mani era formale e mnemonica , interpre t ando la derivata
~~
come un 'quoziente', secondo la nota-
zione eli Leibniz . Infatti , dividendo la (11.10) per h(y) e 'mo lt iplicando' per elx , otteniamo dy
h(y) = g(x)dx
da cui, integr ando, si ha
I
I
dy . h(y) = . g(x) dx , che corr isponele precisarn ente alia (11.11) . Non si di men ti chi tuttavi a che la dimostrazion e rigorosa di t ale formula e qu ella che a bbia mo dato sopra! Esempi 11.6
I
i) Si voglia risolver e l'equaz ione y' = y(1 - y) . Abbiamo g(x) = 1 e h(y) = y(l-y) . Gli zeri di h danno luogo ai due integrali sin golari Yl(x) = 0 e Y2( X) = 1.
410
11 E quazioni di fferenziali ordinarie
Supponendo poi h(y) div erso da 0, possiamo scrivere l'equazion e differ enziale come dy JdX, J y(1-y) =
da cui, int egr ando a sinist ra risp et to a y e a destr a risp etto a x, otteniamo log I-y-I = x 1 -y Passando agli esponenziali, abbiamo - y - I = eX +c
dove k = eC
+C
= ke x ,
I 1 -y
e una qu alunque costante > O. Pertanto
= ± kex = Ke" , 1-y dove K e un a qu alu nque costante diversa da O. Ri cavando y in fun zione di x, abbiamo K ex y( x)=l +Kex -y-
Si noti che l'integrale singolar e yd x) = 0 rientra in questa formula dando a K il valore zero, che era escluso dalla deduzione preced ente. Invece, l'altro int egrale singolare Y2( X) = 1 si ottiene form alrnente facendo t endere K all'infinit o. ii) Si con sid eri l'equazione differen ziale
y' =Vfj. Ess a ammette l'integr ale singolare YI (x) = O. Sep arando le variabili, abbiamo
J jy J
dx ,
=
da cui si ottiene
2Vfj = x +C, ossia
y(x) =(~ + Cf ,
CE !R
avendo sostituito C / 2 con C . iii) Consid eriamo l'equazion e differ enziale ,
y
Si ha g(x)
= eX + 1, h(y) =
_1_ eY + 1
=
eX + 1
eY + t
> 0 per ogni valore di y , dunqu e non vi sono
integrali sin golari . Sep ar ando le vari abili , ot t eniamo
J
(e"
da cui
+ 1) dy
=
J
(e"
+ 1) dx ,
eY + Y = eX + x + C, C E !R. In t al caso, non e po ssibile esplicitare y in fun zion e di x .
o
11.2 Equazioni d el p rimo ordine
411
11.2.2 Equazioni lineari
Tali eq uazion i sono del t ipo
Iyl + a(x)y
= b(x )
I
(11.1 3)
con a e b funzioni contin ue su I. In tal caso, la fun zion e f( x , y) = - a(x)y + b(x) primo grad o in y, a coefficienti dipenden ti d a x . L 'equazion e si di ce omogenea se b(x) = 0, non omogenea di versament e. Risolvi amo innanzi tut to l'equazione omogenea , che scriviamo come
e un polinomio di
= - a(x) y.
yl
(11.14)
Essa e una part icola re equazione a variabi li separabili, in cui, facendo riferimento a lla (11 .10) , si ha g(x) = - a(x ) e h(y) = y. Una soluzione e la funzione costante y(x ) = O. Altrimen ti , separando lo variabili , ott eni amo
.I ~dY = .I -
a(x)dx .
Se A( x) indica una primitiva di a(x) , cioe se
.I
ab bia mo allora
a(x) d x
A( x)
=
log Iyl
+0,
c
E
JR,
(11.15)
= - A(x ) - 0
vale a dire e dunque
y(x)
= ±Ke -
A (x) ,
avendo posta K = e - c > O. Notiamo poi che la soluzion e particolare y(x) = 0 e contenuta nella for mula precedente se ammet t iamo che K possa assume re anche il valo re O. Pert anto , tutte le soluz ioni dell'equazione line are omogenea (11.14) sono rappresentat e d alla formula
y(x) =
K e - A (x ) ,
K E JR,
ove A(x) e defini t a dall a (11.15) . P assiamo or a a ll'equaz ione non omogen ea . Applichi amo il cosiddett o m etoda di variazione delle costanti, che consiste nel cereare la soluzione nella forma
y(x)
=
K( x) e -A( x) ,
dove ora K( x) e una funz ione della variabile x , da determinarsi . Tal e rappresent azione di y(x) e sempre possibile, essendo e -A (x ) > O. Sostituendo nell 'equazi one (l1.1 3) , ot t eniamo
4 12
11 E quazion i differ en ziali ord ina rie
K ' (x )e- A(x) + K (x )e- A(x)( - a(x) ) ossia
+ a(x) K (x) e- A(x) =
b(x ),
K ' (x ) = eA(x)b(x) .
Det t a B (x ) un a primiti va della funzion e eA(x)b(x) , cioe
J
eA(x)b(x) dx
abbiamo quindi
=
B (x ) + C ,
C E lR,
(11.16)
K (x ) = B (x ) + C,
e dunque la soluzione generale della (11.13) risul t a essere
I y(x ) = c-A(x)(B(x ) + C ) , I
(11.17)
con A (x ) e B (x ) definit e rispettivamente nelle (11 .15 ) e (11.1 6). Essa viene t al volta scr itta nella forma pili espressiva
y(x ) = e-J a(x)dx
J
eJ a(x)dx b(x ) dx ,
(11.18)
che mette in luce i passi da compiere per risolvere un 'equ azion e lin eare non omogenea : si devono det erminar e in successione due prim iti ve. Se si deve risolvere il probl em a di Cauchy
y' + a(x )y = b(x ) nell 'inter vall o I , { y(xo) = Yo , con Xo E I e Yo E lR ,
(11.19)
pu o essere conven iente scegliere come primitiva di a( x) qu ella che si annulia in xo , che in base al Teor em a fondam ent ale del ca lcolo int egrale rappresen ti amo come
A (x ) =
r a(s) ds ; possiam o operare analoga me nte p er B (x ), definendo
l XD
(si ricordi che Ie vari abili di integr azione sotto segno di int egrale definito sono mu t e). Usando qu est e espress ioni per A (x ) e B(x ) nella (11.17) , ricavi amo y(x o) = C e qu indi la soluzione del pr obl em a di Cauchy (11.19) sara que lla per cui C = Yo, cioe precisamen t e (11.20)
11.2 Equazioni d el primo ord ine
4 13
Esempi 11.7
i) Si voglia determinare l'int egrale generale dell 'equ azion e lineare
y'
°
+ ay = b,
-b eax, si a
dov e a i= e b sono costanti reali . Scegliendo A( x) = ax e B (x) ottiene l'int egrale generale b y( x) = C e- ax + - . a
Noti amo che se a = - 1 e b = 0, la formula precedente mostra che t utte le soluzioni dell 'equazion e y' = y sono dell a forma y( x) = Ce", Se inve ce si vuole risolvere il problem a di Cau chy y' + ay = b in [1, +(0),
{ y(l)
= Yo ,
conviene scegliere A(x) = a( x - 1) e B(x) =
y( x)
=
~
(YO - ~) e- a(x-l) + ~ .
Si noti che se a > 0, la soluzi one tende al valore
Yo) per x
--t
(e a(X-l) - 1) , ot t enendo
+00.
~ a
(indipendente dal dato inizi ale
ii) Si vogliano de t erminare le curve int egrali dell'equazione differen ziale
x y' + y = x 2 che giacc iono nel primo qu adrante del piano (x , y). L 'equazione si scrive nella form a (11.13) come y
dunque a(x) = ~, b (x ) ~ ; consegue ntemente,
=
,
x x. Scegliendo A(x)
J
eA(xlb(x) dx
Ne segue che, per x
~
0, si ha y( x ) >
x> {l3 ICI.
=
J
x,
= log x , si ha eA(x) = x
x 2 dx
ed e- A(x) =
= ~x3 + C.
> 0, l'integr ale generale dell 'equazione e y( x)
Se C
1
+ -y =
= -1 (1- x 3 + C ) = -1 x 2 + -C .
x 3 3 x p er ogni x > 0, mentre se C <
°
°
si ha y( x) >
°
p er
o
11.2.3 Equazioni omogenee
Tali equazioni sono del tipo
(11.21)
414
11 Equazioni differenziali ordinarie
dove cp = cp ( z ) e un a fun zione con tinua della variabile z . Dunque , Ia funzione f (x , y) dipende da x e y solt ant o at t raverso il lora rapporto 1{ ; in forma equiva lente , si
x
puo dire che f (AX, AY) = f( x , y) per ogn i A > O.
Un 'equazione omo gen ea si riconduce ad un'equazione a variabili separabili medi ante la ov vi a sosti t uzione z = 1{, da intendersi corne z (x ) = y( x) . Si ha dunque
x x y( x) = xz (x ) e y'( x) = z (x ) + xz' (x ). Sostituendo nella (11.21) , si ot tiene
cp(z )-z x
=
z'
che e appunt o un'equazion e a variabili separab ili nell 'incognita z. Possiamo p ert ant o applicare la te cn ica risolutiva discussa nel Paragrafo 11.2 .1. Ogni soluzione z dell 'equazione cp(z ) = z da luogo a un integrale singolare z (x ) = z, cioe y( x) = zx . Supponendo invece cp(z ) diverso da z , otteniamo
J
I
dz
dx
cp(z ) - z = . --;;;- '
da cui
H( z) = log
dove H( z) indica un a primitiva di avre mo
Ixl + C ,
1
()
cp z - z
.
. Indicando con H
_
1
I'inversa di H ,
z (x ) = H - 1(log Ixl + C) ,
o dunque , tornando alla incogni t a y , l'integr al e gene rale della (11.21) sara I
y(x) = x H - 1(log Ixl + C ).
1
Esempio 11.8 Si voglia ri solvere I'equazione
x 2y' = y2 + x y + x 2.
(11.22)
Riscrivendola in form a norrnale , si ha
, (Y) 2+ ;;Y+ 1, ;;
Y =
che y
e un'equazione omogenea, con
= x z , si ot tiene
cp(z ) = z2 + z + 1. Eseguendo la sostituzione
I'equazion e a variab ili sep arabili
z
,
z2 + 1
= ---.
x Non vi sono integrali singolari , perche z2 + 1 separazione di variabili , si ha arctan z
e sempre positi vo . Integr ando p er
= log Ixl + C
11. 2 E quazion i d el p ri mo ord ine
415
e perta nto I'int egr ale genera le della (11.22) risulta
y(x ) = x tan (log Ixl + C ). Si no t i che la costante C puo essere scelt a indipend ent em en t e in (-00, 0) e in (0, + (0), a ca usa della singo la r ita in x = O. Si noti altresi che il dominio di ogni soluzione dipende dal valor e della costant e C . D 11.2.4 Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo Se in un 'equazion e differen ziale del secondo ordine non com pare esplicit ament e la va riabile dipenden t e non deriva t a , cioe se I'equazione e del t ipo
I y" = f (y' , x) , I
(11.23)
a llora la sos t it uzione z = y' cond uce all'equazione del primo ord ine Z'
=
f (z , x )
nell 'incogni t a z = z (x ). Se tale equazione e risolubile e se z (x; Cr) ne indi ca l'int egr ale gene rale, ot t errem o t utte Ie soluzioni della (11.23) risolvendo I'equazione y'
= z,
oss ia ca lcola ndo t utte le primitive di z (x; C 1 ) ; cio introd urr a un a nu ova cost ante di int egr azion e C 2 . L'int egr ale ge nerale dell'equ azione (11.23) ha dunque la forma
dove Z (x ; Cr) indica una parti colar e primitiva di z (x ; C r) . Esempio 11.9 Si voglia risolvere I'equazion e del secondo ordine y" _ (y') 2 = 1. P on endo z = y' otteniamo I'equazion e del primo ordine a variabili separabili Z ' = Z 2 + 1, il cui int egr ale gener ale
e da t o da arctan z =
x + C 1 , vale a dire
z (x, C 1 ) = t an (x + Cr) . In t egr ando ulteri ormen t e, a bbia mo
y(x ;C 1 , C 2 ) =
J
tan (x + C 1 ) dx =
Jsin~x
+
cos x +
= - log( cos (x +Cr) ) +C2
,
~l~ 1
dx
C 1,C2 E IR .
D
116
11 Equazioni differ en ziali or d inarie
11.3 II problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine Nei paragr afi precedenti , abbia mo considerat e alcune fam iglie di equazioni differenziali del primo ardine, p er le quali abbi amo fornito procedimenti che permettono di esprime re gli int egrali gen era li delle equazioni mediante integrali indefiniti di funzi oni note. Le fami glie pr ese in esame non esauriscono affatto l'insiem e delle equaz ioni differen ziali delle qu ali e possibile det erminar e per via analit ica le soluzioni ; varie altre tecni che sono state sv iluppate, p er risolvere in modo esat t o equazioni differenziali di int eresse app lieat ivo. Tut tavia , non p er tutte le equazioni sono disponibili metodi ana lit ici di risoluzione, oppure ove di sponibili t ali me todi po ssono rivela rsi di limi tata efficacia pr ati ca, In qu esti casi, e necessario ricorr ere a t ecniche di approssimazione, soven te d i t ip o numer ieo; nelle situazion i pili comuni, ei si limi t a ad appros simare un integrale p articolare dell 'equazion e, ad esempio qu ello definito da un problem a ai valo ri iniziali di Cauchy. L' uso di metodi di appros sim azione deve pero sem pre seg uire uno studio qualitative del problema differenziale di interesse , che garantis ca alme no l'esist enza di una soluz ione esatta cia appross imare . Le prop riet a qu ali t ative delle soluzioni di un 'equazione differenziale hanno cornunque interesse in se , ad esem pio p er ca pire come la soluzione di un problema di Cauchy sia sensibile alla scelta del valo re ini ziale. Consideri amo quindi il problem a di Cauchy (11 .9) e diamo una sem plice eondizion e su f la Quale garant isce che il problema am mette una soluzione, defin it a in un intorno di x o, che tale soluzione e uni ea e che essa dipende in modo cont inuo dal dato iniziale Yo. Qu ando cio aeeade, dici amo che il problema (11.9) e ben posto (secondo Hadamard). 11.3.1 Funziani lipschitziane
Premettiamo alcuni concet ti relativi al modo con cui una fun zion e di una vari abili dipende dai suoi argoment i.
0
pili
D efinizione 11.10 Un a [iui zioru: reale di variabile reale ! : J -> lR, dove J e un in terv al/a, dicesi lipschitziana in J se esiste una cost ante L 2': 0 ta le che (11.24) La eondiz ione puo essere anehe scritta corne
1!(Yl) - !(Y2)1 < L !Yl - Y21
-
(11.2 5)
,
o quindi equivale al fat to che il rapporto incr emen t ale di degli argoment i Yl =1= Y2 in J .
f
e limi t ato, al variare
11. :~
II problema eli Cauchy per Ie equazioni differenziali del primo ordine
417
Si noti che se la (11. 24) e soddisfatt a p er un certo valore di L , 10 e a nc he per va lori maggiori . La p ili pi cco la cost a nte per cui la (11.24) e verificata prende il nome di cost a n te di Lipschitz di f in J . Essa non e altro ch e l'est rem o superiore della quantita a p rimo m embra de lla (11.25), al variare degli a rgom ent i in J . Non sempre e facile d eterminare esattamente t ale valore , rna in genere e sufficiente conoscere una sua approssimazione p er eccesso. Una funzione lipsch it ziana in J e necessariamente cont inua in ogni punta di J (anzi , e uniformem ente continua in J '"'-+ Funzioni continue ); la Definizione 3.14 di cont inu ita e infatti soddisfatta con la scelta 0 = e] L . Tuttavia, non tutte le funzioni continue sono lipschitziane. Ad esem pio, la funzione f(y) = vY non 10 e su ll' interva llo J = [0 , + 00); scegliendo infatti Y2 = 0 si ha 1
If(Y1) - f(Y2)1
VYl '
IY1 - Y2 1
e facendo tendere Y1 a 0 si vede ch e il quoziente a primo membra non e sup eriormente limitato. Si noti ch e tale funzione ha derivat a (destra) infinita in Y = o. La condizione espressa nell 'enunciato seguente e sove nte la pi li im med iat a da verificare tra quelle che assicurano la lipsch it zia nit a di una fun zione. Proposizione 11.11 Si a f : J
JR una fun zion e deriva bile n ell' intervallo J con deriuaia ivi lim itata; poni amo L = sup 11"(y)1< +00 . Altom f e
lipschitziana
8 11
--+
J con costante di Lip schitz L .
yEJ
Dimost razion e. P er verificare la condizione (11.24) , e sufficiente applicate la seconda formula dell 'in cr em ento finito (6.12) a f sull 'intervallo di est re m i Y1, Y2, otten endo
per
lUI
cer to f) cornpreso tra Yl e Y2; ne segue che
Cia dirnostra che la cost ante di Lipschitz L * di f c :::; L. Viceversa, sia Yo E J a rb itrario . Osservando che per la (11.25) ,
I
f(y ) - f(yo) I :::; L * , lt - Yo
\/ y E J ,
si ha l'Hl 1.f"(Yo)1 = 11 y ---> y o
e dunque L :::; L * .
f (y ) - f (yo) I = I'Hfl I f(y) - f(yo) I < _ L* y - Yo
y --->Yo
Y - Yo
,
D
418
11 Equazioni differen ziali ord ina rie
Vedi a mo ora alcuni semplici esempi di fun zioni lip schi t ziane. Esempi 11.12
e lipschit ziana su ogni int er vall o del t ipo
i) La funzione f (y ) = ,jY a > 0, essendo
[a, +(0) con
O
V2Y - V2a
in t ale int ervallo; la cost ante di Lipschi t z vale L
=
vk-.
ii) Le funzioni t rigonomet riche f (y) = sin y oppure f (y) ne su t utto lR con L = 1, in qu an t a If '(y)1::::; 1, \ly E R
= cos y sono lipschit zia-
ii) La funzion e espo nenziale f (y ) = eY e lip schit ziana su ogni int er vall o (-00 , b], b E lR, con cost an te di Lip schit z L = e b ; non e lip schi t ziana su t utto lR, in qu anto sup f' (y) = + 00. 0 y ElR
La cond izione espressa dall a P rop osizione 11.11 e so lt a nto sufficient e ma non necessari a per la lipschit zianit a di un a funzion e. Si noti infat ti che una fun zion e pu o essere lip schit zian a in un int ervall o senza essere ivi derivabile; ad esempio, la fun zion e f( y) = Iyl , non deri vabile nell 'origine, e lip schi t ziana con costante di Lipschit z ugu ale a 1 su t utto lR, esse ndo
P assiamo a lle funz ioni di pili variabili. Una funzion e f : fl s:::; lR d lipschitziana nella regione fl se esiste una costante L ? 0 tale che
-+
lR dicesi
Una funz ione f : I x J s:::; lR 2 -+ lR, con I e J int ervalli rea li, dic esi lipschitziana in fl = I x J nella seconda variabile, uniformemente rispetto alla prima, se esiste un a cost ante L ? 0 tale che \lYl, Y2 E .1, \Ix E I.
Tale condizione
e verificat a
in fl , ossia se L =
sup
(x ,y) Ef?
se
f ammette derivat a par ziale risp etto a y limi t at a
I ~f (x,Y) 1 < uY
+ 00; cio segu e facilm ente applica ndo la
P roposizion e 11 .11 per ogni x E I . Esempio 11.13 Consider ia mo la fun zione
f( x ,y) = {YX sin(x + y) in fl
= [-8,8] x
(11.26)
R Ab biamo
of oy (x , y ) =
{YX cos (x
+ y)
11.3 II problema di Cauc hy per Ie equazioni differ en ziali del primo ord ine
419
e dunque, per ogni (x , y) E [2 ,
Per t anto la
I~~ (x , y) I = I~ II cos (x + y) I ~ (11.26) e verificata con L = 2.
ij8 . 1 = 2 . D
11.3.2 Una condizione di risolubilita del problema di Cauchy
Siamo pronti ad enuncia re il ris ultato generale sul problem a di Cau chy (11.9) . Teorema 11.14 Siano I e J intervalli non vuoti della retta reale, con J aperto. Sia J : [2 = I x J <;;:; JR.2 -7 JR. una Junzion e continua in [2 e lipschitzian a in [2 nella seconda variabile, uniJormem ent e rispetto alla prima. Per ogni (xo,Yo) E [2 , il problema di Cauchy (11 .9) ammett e una e una sola soluzion e y = y(x) , definita e dcrivabile con continuiia in un intervallo I ' <;;:; I contencntc Xo e non ridotto a uri punto, e tale che (x ,y(x)) E [2 per ogni x E 1' . Se (x o,Yo ) E [l e se fJ = y(x ) e la soluzione del corrispon dente problema di Cauchy, definita in uti intervallo 1" <;;:; I , allora si ha "Ix E
r n I" ,
(11.27)
dove L e la costante che compare n ella (11.26). II te ore ma ass icura l'esist en za e l'unicita di un a soluzione "locale" , ossia definita in un intorno di xo, del problema di Cau chy. La soluz ione po trebbe non essere definit a su tut to I , in qu an t o la curva integrale (x ,y(x)), detta anche t raiettoria , po trebbe uscire da [2 prima che x abbia percorso tut to I . Ad esempio, la fun zione J(y) = y2 e lipschitziana su ogni intervallo limit a to J a = (-a , a) con a > 0, essen do sup If'(y)1 = sup 12yl = 2a , y EJa
rna non
e lipschi t ziana su tutto R
IYI
La solu zione del problem a di Cauchy
{ non esist e su t utto l'intervallo I di vari abili ot t eniamo
=
YI = ~ l y(O) -
2'
(11.28)
[0, + 00): risolvendo l'equazione per sep arazione 1
y( x) =2 _ x' il che mostra che la traiet toria (x ,y(x)) esce da ogni regione [2a = I x J a , a > 1, prima che x raggiunga il valore 2 (si veda la Figura 11.3) . Se invece Ie ipotesi del t eorema valgono con J = JR., allora e possibil e dimostrar e che la soluzione e definit a in tutto I .
420
11 Equazioni d ifferenziali or dinarie
(1
1/2 2
I
-(1
Figura 11.3. La soluzione del problem a di Cauchy (11.28) non
e d efinit a su I =
[0, + 00)
L 'unicit a della soluzione del probl em a (11.9) segue fac ihnente dall a disu guaglianza (11.27): se y(x ) e y(x) sono du e soluzi oni corrispondent i a llo stesso dato iniziale Yo = Yo in xo, necessari amen te si ha y(.'r) = y (x) p er ogn i x.
E utile osservare che se f non e lipschi t ziana nella second a va ria bi le in un into rno di (.'ro, Yo ), allora il problema di Cauchy pu o amme ttere pili di un a soluzione . Ad ese m p io, il problem a y' = ,jfj , { y(O) = 0 , risolubile per separazioni di variabili , am mette tanto Ia soluzione cost ante y( x) = singolare), qu ant a la soluzi one y(x ) ~ x2 ; (addirit tura ammett e infinit e soIuzioni, date da
o (l'int egr ale
y(x ) =
{~( . 4 x -
se 0 ::; x ::; c ,
)2 se :r > c , c
c ::::: 0 ,
ottenuta "incollando'' in mo do opportuno le soluzio ni ind icate prima). lnfine, la (11.27) esprime la dipenden za continua della soluzione del problem a (11.9) dal dato iniziale Yo: un a p er turbazion e di ampiezza e nel da t o inizi ale si t rad uce in una perturbazion e di ampiezza a I pill eLlx-xo lc nella soluz ione in x # x o. In alt ri te rmini, la dist anza t ra du e traiettor ie puo crescere al pili di un fat t ore eLlx-xo l nel passaggio da Xo a x. Si no ti t uttavia il caratt ere espo nenz iale di tale fat tore, la cui grandezza dip ende non solo d all a di st anza Ix - xol rna anche dall a grandezza della costante di Lip schitz elella fun zion e f .
11.4 Equazion i lin ea ri d el second o ordine a coefficienti costanti
421
11.4 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti Un 'equaz ione line are del secondo ordine a coefficient i costant i ha la form a
Iy" + ay' + by =
g,
I
(11. 29)
dove a e b sono costanti reali e g = g(x) e un a funzi on e continua. Mostreremo che l'int egrale gene rale di un a tale equaz ione pu o essere facilme nte ca lcolato nel caso in cui g = 0, ossi a ne l cas o in cui l'equazion e sia omogenea. Inoltre, farem o vedere che e po ssibile calcolare esplicitame nte le soluzioni dell 'equazion e qu ando il secondo m embro g e un prodotto di esponenzia li, p olinomi algebrici, funzioni t rigonometriche di t ip o seno e coseno e, pili in gene rale , un a somma di espressioni di questo genere . Al fine di st ud iare l'cquazione (11.29) , e conveniente ammett ere che Ia fun zion e y = y( x ) possa as sumere va lori complessi. Dici am o che la funzione y : I ~ ffi. ----+ C e derivabile (n volte) se 10 sono le du e funzioni Yr = Re y : I ----+ ffi. e Yi = Tm y : 1----+ ffi.; in t al caso si ha y Cn)(x) = y~n) (x) + iy i n )(x) . Un caso particolare notevole e il seguente. Sia A = Ar + iAi E C un qu alunque numero com plesso; ricordando la (8.39) , consideriamo la fun zion e di variabile real e a valori com pless i x 1---+ e AX = eA,-x (cos AiX + i sin AiX). Allo ra si ha (1 1.30) esattame nte come nel caso in cui A e un numero reale. Si ha infa tti
~ e AX = ~ (e ArX cos AiX) + i ~ (e ArXsin AiX) dx
dx
dx
= Are ArX cos AiX - AieArXsin AiX + i (Are ArX sin AiX + AieArXcos AiX) = Are ArX(cos AiX + i sin AiX)
=
(Ar + i Ai)e AX = Ae AX .
+ iAieArX(cos AiX + iAi sin AiX)
E infin e opportuno indicar e con £y = y" + ay' + by il primo membro dell a (11.29) e osser vare che, p er la propriet a di linearita della de rivazion e, si ha £(ay + (3z) = a £ y + (3£z
(11.31)
pe r ogni a,(3 E ffi. e per ogni funzione reale di vari abile reale y = y( x) e z = z (x ) derivabile due volte. Inoltre non e difficile vcrificare che il risul t at o continua a valere qu ando a, (3 E C e y = y( x) e z = z (x ) assumono valori complessi. Tale prop rie t a di lin earita dell 'equazion e differenz iale sara fondamen t ale nella studio successivo. Siamo pronti a st ud iare l'equazione (11.29) . Consideri amo dapprima l'equaziono omogenea
422
11 Equazioni differenziali ordinarie
.cy
= y" + ay' + by = 0
(11.32)
e indichiamo con il polinomio caratteristico dell'equazione differ en ziale, ottenuto sost ituendo ad ogni deriva ta la poten za di ordine corr isp onde nt e di un a variabile compless a A. La (11.30) sug geris ce di cer eare una soluzione nella forma y(x) = e AX per un opportuno valore di A. Con tale scelta ,
e dunque l'equazion e caratteristica
e soddisfatt a A2
se e solo se A
e una
radice dell'equazione
+ a). + b = o.
Se il discriminant e Ll = a - 4b di t ale equazione e div erso da 0, abbiamo due radici AI , A2 distinte a cui corrispondono due soluzioni distinte Yl (x) = eAl X e Y2(X) = eA2X ; le du e radici e le corrispondenti soluzioni sono reali qu ando Ll > 0, sono complesse coniugate quando Ll < O. Se Ll = 0, si ha una radice doppia A, a cui corrisp onde la soluzione Yl (x) = eAX • La condizione di radice doppia implica che X'(A) = 0; po sto Y2(X) = xe AX , si ha 2
y~(x) = (1 + Ax) e AX
e
e dunque sostituendo nell'equazione otteniamo con semplici passaggi algebrici
pertanto la funzione Y2 e una soluzione dell 'equazione, distinta dalla soluzione Yl . In tutti i casi, dunque, abbia mo determinato due soluzioni distint e Yl e Y2 dell 'equazione omogenea (11.32). Osserviamo or a che, per la proprieta di lin earit a (11.31) , se Yl e Y2 sono due soluzioni della (11.32) e C l , C2 due cost ant i, allor a
cioe a nche ClYl +C2Y2 e un a solu zion e dell 'equazione omogenea .Inoltre, e possibile dimostrare che se Y e una soluzion e di t ale equa zione, allora esist ono due cost anti C l e C 2 tali che Y = ClYl + C 2Y2, essendo Yl e Y2 le soluzioni distinte trovate sopra. In conclusione, I'integrale gener ale dell'equazione omogen ea (11.32) si scr ive nell a form a
Iy(x ; C
l,
C2)
= C l Yl (x) + C2 Y2(X), I
dove C l e C 2 sono costant i e Yl( X) , Y2(X) sono definite nel modo seguen te : se Ll -=J 0, si pone Yl( X) = eAlX e Y2(X) = e A2X dov e Al e A2 sono le radi ci distinte dell 'equazione ca ra t t erist ica X(A) = 0;
11.4 Equazioni lin eari del secondo ordine a coe fficie nti cost an ti
se L1 = 0, si pone YI (x) = e AX e Y2 (x) = xe AX dov e A dell 'equazione ca rat t eristica X(A) = O.
e la
423
radice doppia
Nel caso L1 < 0, e po ssibile esprimere le soluzioni mediante funzioni reali, anzich e complesse coniugate come sopra. E sufficiente sost ituire a YI( X) e a Y2(X) rispettivamente la parte reale eA ,.x cos AiX e la parte immaginaria e Ar X sin AiX di YI(x) , avendo posta Al = '\ 2 = Ar + iAi. Infat t i, se Y e una soluzione dell'equazione omogenea , si ha
£(Rey) = Re(£y) =ReO =O,
£ (I m y ) = Im(£y) = ImO = 0 ,
in qu anta i coefficient i dell' equazione sono rea li; dunque anche Rey e Imy sono solu zioni dell 'eq uazione. Ri assumendo, l'integrale generale dell'equazione omogenea (11.32) si esprime medi ante funzioni re ali nel modo seguente. Caso L1 > O. L'equazione caratt erist ica ha du e raclici reali clistinte
A
_ - a ± V2l
1 ,2 -
e l'int egrale generale
2
e clato cla
con C I , G2 costanti ar bitrarie. Caso L1 = O. L 'equazione carat t erist ica ha clue raclici reali coinciclenti, il cui valore comun e e
A= - ~ 2'
e l'integrale generale ha la forma
Caso L1
< O. L'equazione cara t terist ica non ha raclici reali . Ponenclo a
a
= Ar = - 2" '
W =A'= <
l'int egrale generale ha la forma
y(x ;GI , G2 ) = cO'X (GI caswx + C2 sinwx) ,
M2 '
424
11 E qua zion i differen ziali ordinarie
Ritorniamo ora a ll'equaz ione non omogenea (11.29). L 'integrale gener ale si scrive com e (11.33) dove Yo( x ; G1, G2) indi ca l'integrale generale dell'equazione omogenea associata (11.32) , mentre Yp( x) indica un qualunque soluzione particolare dell 'equazione (11.29) . Infatti, gr azie alia lineari ta dell' equazione , si ha
e dunque il secondo membro della (11.33) e soluzione della (11.29) ; viceversa, se y(x) indica un a gener ica soluzione della (11.29) , allora la funzione y(x) - yp(x) soddisfa L(Y - Yp) = L(Y) - L(Yp) = 9 - 9 = 0 e dunque sara della form a Yo( x ; G1, G2) per opportuni valori di G 1 e G2. Qu alo ra il te rmine noto 9 sia una combinazione di prodotti di polinomi algebrici, funzioni t rigonometriche ed esp onenziali, e possibile t rovar e un integrale particolarc avente la st essa struttura. P er comprcndere cio , partiamo da un t errnine noto del tipo g(x) = Pn(x) eD:X con a E C e Pn(x) polinomio algebrico di grado n 2: O. Cer chi amo un a soluzione particolare nella forma Yp(x) = qN(X) eD:X con qN polinomio di grado N 2: n da determinarsi . Sostituendo t ale espressione e qu elle delle sue derivat e prima e seconda nell'equazionc, otteniamo
da cui
x(a)qN(x)
+ x'( a)q~( x) + q'jy(x)
=
Pn(x) .
Se a non e una radice del polinomio ca ratteristico, a llora e sufficient e porre N = n e det erminar e i coefficienti incogniti di qn uguagliando t r a loro i coefficient i delle potenze di pari grado dei du e polinomi a primo c secondo membro; e conven iente partire dal coefficiente di gr ado massimo n e procedere all'ind iet ro . Se a e un a radice semplice del polinomio carat te ristico, allora x(a) = 0 rna X'(a) I- 0, nel qu al caso si pone N = n + 1 e si ce rcher a una soluzione polinomiale dell' equazione x'(a)q~(x)+q'jy(x) = Pn(x) ; poi che il coefficiente di grado 0 di qn+1 non interviene in t ale espressione , e sufficiente cercare qn+ 1 nella form a qn+1 (x) = x qn(x ) con qn arbitrario polinomio di grado n . Se infine a e un a radice doppia del polinomo caratteristico, allora si pone N = n + 2 e si risolve l'equazione q~ +2(X) = Pn(x) , cercando qn+2 nella forma qn+2(X) = x 2qn(x ) con qn arbit rar io polinomio di gr ado n . Le ultime due situazioni si dicono di risonanza. Si noti che quando a e complesso, le espression i x(a) e x'(a) sono in genere complesse , dunque e necessaria cer car e qN(X) come polinomio a coefficienti complessi. Come nel caso dell'equazione omo genea, e possibile evitare l'uso della variabile complessa cons iderando separatam ente la parte reale e la parte immaginaria di
11.4 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti
425
Pn(x) e a x ; ponendo ex = fL + if} , esse sono date rispettivamente da Pn (x ) ell X cosf}x e Pn (x) ell x sin f}x.
Possiamo quindi sintetizzare i risul t at i de lla nostra analisi quando si cons iderino termini noti g reali della forma g( x )
= Pn (x ) eli X COS f}.T
op pure
g( x)
= Pn( x) ell x sin f}x .
(11.34)
Cerchiamo una soluzione particolare YP nella forma (11.35) dove qi,n(X) sono po linomi a lgebrici di grado n, mentre m vale 0 tranne che nelle seguenti situaz ion i di risonanza: i) nel caso L1 > 0, si pone m = 1 se f} A2 de l polinomio caratteristico;
=0e
ii) nel caso L1 = 0, si pone m = 2 se f} del po linomio caratteristico;
=0
iii) nel caso L1 < 0, si pone m
=
1 se It
=a
fL coincide con una de lle radici Al
0
e fL coincide con la radice (doppia) A e f}
= w.
Sostituendo l'espressione (11.35) di YP nell'equazione di fferenziale (11.29) , dopo aver derivato e raccolto addendi comuni si uguaglieranno i coefficienti dei termini x kell X sin f}x e x kell X cos f} x , p er k = 0, ... ,n, a primo e a secondo membro. In tal modo si giu nge a determinare YPSe infine g e una so mma di termini del t.ipo (11.34) , la soluzione particolare Yp sara la somma de lle soluzioni particola ri relative ai singoli t ermini. In altri paro le, se g = gl + g2 + ...+ gK e se Ypk e soluzion e di £ (y ) = gk per k = 1, . . . , K , allora Yp = Ypl + . . . + YpK soddisfa £ (Yp )
=
£ (Ypd
+ .. .+ £ (YpK ) = gl + .. . + gK = g
e dunqu e e sol uzione di £(y) = g. Ta le proprieta prende il nome di principio di sovrapp osizione. Ill ustria mo il procedimento or a descritto con alcuni esempi . Esempi 11.15 i) Consideriamo l'equazione y"
+ y' -
6y
= g.
(11.36)
Troviamo dapprima l'int egrale generale dell'equazione omogenea associata y"
L'equazione caratteristica
+ y' -
A2
+ A-
6y
6
= O.
(11.37)
=0
ammette le radici disti nte Al = -3 e A2 =2 , d unque l'int egrale generale della (11.3 7) sara
426
11 Equazioni differ enziali ordina rie
Cerchiamo ora un integr ale particolare della (11.36), supponendo dapprima che g(x) = 3x 2 - X + 2. Ricordando la (11.34) , abbiamo P2(X) = 3x 2 - X + 2 e J.1 = rJ = O. Poiche J.1 non coincide con Al oppure A2 ' cerchiamo Yp nella forma Yp(x ) = ax 2 + {3x +,. Calcolando Y~ e Y~ e sosti t ue ndo nella (11.36) , otteniamo
- 6ax 2 + (2a - 6{3) x + (2a Uguaglia ndo i coefficient i, troviamo yp(x)
+ {3 - 6,) = 3x 2 -
X + 2.
1
-"2(x 2 + 1).
=
Pertanto, l' integrale gen erale della (11.36) sara
Ve x ;Gl , G2) = Gl e- 3x + G2 e 2x - ~(x2 + 1). Se invece scegliam o g(x) = e2x , allora nella (11.34) abbiamo Po(x) = 1, J.1 = A2 = 2 e rJ = O. Dunque cerchia rno yp nella forma yp(x) = a xe 2x . Calcol ando y~ e y~ e sostituendo nella (11.36) , ot te nia mo 5a e2x = e2x da cui a = t . P ertanto , l'integrale generale della (11.36) sara
G
3x
Ve x ; G l , 2) = G l e-
+
(G2 + ~x) e2x .
ii) Consideriamo l'equazione
y" - 2y' + y = g. (11.38) 2 L'equazione ca ratterist ica A - 2A + 1 = 0 a m met te la radice doppia A = 1. Pertanto l'integrale generale dell'equa zione omogenea sara Yo(X;G l,G2 ) = (G l + G2 x) eX. Supponiamo poi che g(x ) = xe 3x . Poiche J.1 = 3 e diverso da A = 1, cer chiamo l'int egr ale particolar e dell a (11.38) nell a forma yp(x) = (ax + {3) e 3x . Calcolando y~ e y~ e sostituendo nell' equazion e, abb ia mo 4 (a x + a + {3) e3x = x e3x , da cui , uguagliando i coefficienti, ot teniamo
yp(x)
1
4(x - 1) e 3x .
=
Se ne conclude che l'int egrale generale della (11.38) risulta
Ve x ;Gl , G2) = (G l Se invece si ha g(x)
1
+ G2x ) eX + 4(x
= - 4e x , allora cerchia m o
- 1) e3x .
YP nell a form a yp(x)
Calcol ando Y~ e Y~ e sostituendo nell' equazione (11.38), t roviamo
2ae x da cui a
=
=
- 4e x
- 2. Pertanto , l'int egrale generale della (11.38) risulta Ve x ;G l , G2) = (G l + G2x - 2x 2) eX .
= a x 2ex.
11.5 Esercizi
427
iii) Consideriamo infine l'equa zione
+ 2y' + 5y = g. (11.39) L'equazion e ca ratt er ist ica ,,\2 + 2,,\ + 5 = 0 ammet te dis criminante negativo L1 = y"
- 16. Abbiamo a omogenea sara
=
= 2, e dunque l'integr ale generale dell 'equazion e
-1 e w
yo( x ; 0 1 , O2 ) = e- X (Ol cos 2x
+ O2 sin 2x).
Supponiamo poi che g( x ) = sin x . Facendo riferimento alIa prima delle (11.34) , abbia mo Po(x) = 1, f.L = 0 e {) = 1. Cerchia mo dunque l'integr ale par ti colare della (11.39) nella forma yp(x) = o cos z + fJsinx. Calcolando y~ e Y~ e sost it uendo nella (11.39) , si ha (40' + 2fJ) cos x
+ (4fJ -
20') sinx = sin x ,
da cui, ugu agli ando i coe fficient i di sin x e cos x, si ottien e 0' vale a dire 1
yp(x) = - 10 cosx +
= -
/0
e fJ
=
t,
1
"5 sin x .
Se ne conclude che l'integr ale generale della (11.39) risulta
+ O2 sin 2x) -
y( x) = e- X (Ol cos 2x
11 cos x 0
+ ~ sin x .
Supponiamo infine che g( x) = e- x sin 2x . Abbiamo nella prima delle (11.34) It
= a = -1 e {) = w = 2, dunqu e cerchiamo l'integrale parti colare della (11.39)
nella form a yp(x) = xe - x (0' cos 2x
+ fJ sin 2x) . Calcolando
y~
e
y~
e sostituendo
nella (11.39) , si ha e- x (4 fJ cos 2x - 40' sin 2x)
da cui 0'
=
= e- x sin 2x ,
-i e fJ = O. Concludiamo che l'integr ale gener ale della (11.39) risul t a y( x) = e(0 ~x ) cos 2x + O sin 2X) . 0 x
(
1 -
2
11.5 Esercizi 1. Si det ermini l 'integrale generale delle seguenti equazioni differenzi ali a variabili separabili : a ) y' = x log(l ,y2
y = -
-- -
x log x
fb)l
+ x2)
~
y' = (x + 2)y x (x + 1)
1 -
x log x
2. Si determini l'integrale generale delle seguenti equazioni differenziali omogenee:
~ 4x 2y' = y2 + 6x y - 3x 2
b) x 2y'
= x 2 + 4y 2 + yx
428
11 Equa zioni differen ziali ord inarie
c) :r yy'
@IJ x 2y' -
= x 2 + y2
y2e x/ y
= xy
3. Si determini l 'int egrale generale delle seguenti equezioni differen ziali lin eari:
a) y' y
[iJ
,
' 1 3x +2 y =- y - - -3 X x 2x 2 d) x y' = y + - - 2 l+ x
b) ~
+ 3xy = x 3 2x-y
= -
-
-
x - I
Determinare l 'integrale particolare dell 'equazione differen ziale 1 - «: v
---=---
y' =
2x
+
1
soddisfacente la condizione yeO) = 1.
[I]
Stabilire se esistono soluzioni dell 'equazione differen zi ale y'
=
- 2y
+ e- 2x
che hanno derivat a nulla uell 'otiguie. 6. Risolvete, sulla semire tta [VIe, +00 ), il problema di Ca uchy eYy'
= 4x 31og x(1 + eY )
{ y( VIe) =
[I]
o.
Si risolva, nell 'int ervallo (-2 , 2), il segu ente problema di Cau chy 3x- y II y, = x2 - 4 { yeO) = - 1.
~ Data l'equazione differen ziale y' sin 2x - 2(y
+ cos x ) =
0,
de terminarne l 'int egrale generale e indicare la soluz ione che limitata p er x --+ ~ - .
[2J
Sl
m an tien e
Trovare, al variare di a E JR., la soluzione dell 'equazi on e differen ziale y'
p er cui yeO)
=
(2
+ a)y -
roo
y( x) dx.
=
2eC>x
3. Stebilire, successivam en te, p er qu ali valori di a il seguen te
integrale im proprio con verge i o
11.5 E sercizi
ITQJ
429
Siano a , b n um eri rea1i er bitrnri. Risolvere il problema di Ca uchy
V' = {
a~ + 3x b
V(2) = 1
su lla sem ire t ta [2, + 00).
ITD Dat a l 'equazione differen zia1e, dipendente da1 parametro ree le k , V'( x) = -3xy( x) + kx , a) se ne trovi 1a soluzione che si annulla nell'origine; b) p er tale solu zion e, si determini k in modo che V(x)
rv
x 2 p er x
----+
o.
12. Data l'equazione differenzia1e
, V =
y2 - 2y - 3 2(1 + 4:1;) ,
a) determinarne l 'in tegra1e genera1e; b) det erminarn e l'in tegra1e partico1are Vo(x) che soddisfa Vo(O) = 1; c) scrivere 10 svil upp o di M aclaurin di yo(x) arrestato sl secondo ordine. 13. Si determini l 'integrale generale delle seg uen ti eqtuizioni differenziali del secondo ordine ricon d ucibili el primo:
a) V" = 2e x
~
V" + V' - x 2 = 0
14. Si determini l'integra1e gen era1e delle segu ent.i equazioni differenziali lineari del secondo ordine: V" - 4y' + 4y = e2x a) V" + 3V' + 2V = x 2 + 1
Qi]
@]
V"
+y=
d) V" - 3V' + 2V = eX
3cosx
~ v" -9v =e- 3x
f) y" - 2y' - 3V = sin x
15. Risolvere i segu enti problemi di Cauchy :
V" + 2V' + 5y a) y( O) = 0 { V'(O) = 2
=0
y" - 5V' + 4y
Qi] { V(O) = i
11.5.1 Soluzioni 1. Equazioni differcnziali a veri ebili scparabili:
y'( O)
=0
= 2x + 1
430
11 Equazioni differenziali ordinarie
b) La funzione h(y) = y ha uno zero p er y = 0 che quindi e un integrale sing ola re dell 'equazione. Supponiamo or a y -I- 0 e separiamo le variabili, ottenendo
f
.
' -l d y y -
J
x+ 2 d x (x + 1) .
.1:
Ri solvi amo il secondo inte grale usando la tecnica dei fratti semplici :
x+2 x (x + 1)
A
B
x
x + 1
2 x
1 x + 1
----,-----,- = - + - - = - - - e quindi
J + 2 J(2 1) (.J:: )dx= xx+ l
- - - - d x=21og lx l -loglx+ll+1ogC x x+ l 2 Cx C > O. = log Ix + 11 '
Allo ra
Cx2 log Iyl = log Ix + 11
C > 0,
'
e , passando agli espone nziali,
C > 0, ovvero
x2
Y -- C -x+-i '
C-I-O .
Osserviamo che l'integrale singolare y = 0 rientra in quest a formula per C = O. c) Noti amo che il problema richiede x > 0 (argomento del logaritmo) . Scriviamo l'equazione ass egnata nell a forma I
y 2_1
y =--- , x log x da cui si ric ava h(y) = y2 - 1. Dunque le funzioni cost anti y = 1 e y = - 1 sono integrali singolari. Sia or a y -I- ±1 ; sep ariamo le variabili , ot tenendo
J
- -1d y = y2 - 1
J
1 dx . -z log z
Us ando la tecni ca dei fratti semplici nel primo integrale e la sostituzione t log x nel secondo, ricaviamo
2"1log Iyy -+
111 = log Ilog z ] + log C = log C i log x l ,
C > 0,
=
11.5 Esercizi
431
ovvero, log Iy - 1 I = log C log2 X y +1
C> 0 ,
,
e, passando ag li esp one nziali, y - 1
Y
+
CI 2 og x ,
1 =
C # o;
in definitiva , esplicitando risp etto a y , I'integrale generale 1 + C log 2 X
Y = 1 - Clog 2 x
avendo recup erat o I'integrale singolare y d) y =
- ! ± ~ [ ~(tan x -
x
+ C)] 3/2
C
'
E
e
1R ,
= 1 pe r C = o.
e la soluzione costa nte y =
- !.
2. Equazioni diffcrcnziali omogenee: a) Supponendo x
#
0 e dividendo per 4x 2 , si ot tiene
Con la sostit uzione z
=
~,
si ha y'
= z + xz'
da cui
, 1 2 3 3 z +xz =- z + -z- 4 2 4' ovvero 4x z' = (z - l)( z
+ 3) .
Oss erviamo che
Usando la t ecnica dei fratti semplici, si ha 4 (z-1)( z + 3)
A
...,....---..,.-,.----:- = - -
z - l
+ -B- = z+3
1 z- l
1 z+3'
-- - --
quindi il primo integr ale vale
J
--:-(Z---1--:-:--:-(Z -+-3-"--) dz
=
J
(z
-~-1 - -z -:-3) d z = log I-~-~-~ I+ c .
432
11 Equa zioni differenziali ordinarie
Allora risult a
log Iz -
11 =
z+3 e, passando agli esponenz iali,
C > 0,
log Clxl ,
z- 1 - - = Cx. z+ 3 '
C #o .
Esplicitando rispetto a z , si ha 1 + 3Cx 1 - Cx '
z -
CElR. ,
- - _ = _-
avendo ing lobato nella formula anche l'integrale singolare z = 1. In definitiva, tornando alla Iunzione y , l'integrale gen er ale dell'equazione e y=
x
+ 3C x 2
1 - Cx
C E lR. .
'
b) y=~ xt an(2 IogC l xl) , C >O ; c) y = ± x j 2 Iog Cl x l , C >O . 2 d) Supponendo x # 0 e dividendo per x , si ottien e 2
+ !L .
y' = 'lL e x/y x2
Con la sost it uz ione z =
si ha y' = z
~,
z
+ xz' =
ovvero
x
+ x z' da cui Z2e l / z
+z,
xz' = z 2e l / z .
La funzione z = 0, a cui corrisponde la fun zion e y = 0, e un integrale singolar e dell 'equazione. Separando le variabili , ott eniamo
J
e - l /z
--dz = Z2
integrando si ha e-
1 z /
J
= log Cl xl ,
1
-dx ; x
C > 0,
ossia, passando ai logaritmi, 1
- - = log log C lz] ,
z
C > o.
Infine, esplicit ando rispetto a z , ot teniamo
z- -
-
-
1
-c-:--,
log log Cl xl '
C > 0,
e, tornando alla funzione y , 'If =
.
x log log Cl xl '
-c:-----::---:::cc--,
C >
o.
11.5 Es ercizi
433
3. Equezion! di[fcrcllziali Iuienri :
a) y
=
~
(x2
- ~) +Ce- ~ x2 .
b) Applichiamo la formula (11 .18) con a(x) = -~ e b(x) = _3~t2, otten endo y = e
J.l dXJ e -J.ldX ( x
x
-
3X+2)d x = c 3
-
x
ri
J + J + J(- ~ -~) = (~ + ~ + c)
=
IX I
=
x
3 = 2x
-(3x 2) d 11 X xx 3
2
+ 3x 2 + C x ,
x
-(3x 2) d X xx 3
.
X
x
dx
x4
x3
=
e log-l... Ix l ( -3X+2)d -X 3
2x 2
3x 3
C E JR .
c) Possiamo scrivere
1 2x y' +--y= - x- I x- I
e , applicando la formula (11.18) con a( x) = x ~ l e b(x) = x2~1' ottenere y = e-
J x ':',
= - 1lx-I I
dx
J
J
e J X':' l dx ~ dx = e- 1og lx- II
x - I
Ix- l l- 2x- dx = -1-
x- I
x - I
J
J
elog lx- II ~ d x
x- I
1 ( x 2 +C) , 2xdx= - x- I
C E JR .
d) y =2x arctan x +Cx , CEJR . 4. Si t rat ta di un'equazione differenzial e a variabili sep arabili. La soluzione costante
e accettabile in quanta non soddisfa la cond izione iniziale y(O) = 1. Sep arando le variabili , otteniamo
y = 0 non
J
-1-__I_ _-y dy =
e-
J
-2x-'~-1 dx .
11 primo integral e mediante la sostituzione t = dt = dy) diventa
-t
J -1.:I_e _-
y
dy =
Allora
11-
(da cui dt = - e-Ydy , ossia
J t(t ~ 1) dt = J (-t_ _1-1 - ~ ) dt
= log It
log
«»
eYI =
~ 1 I+ c = 1
log 11 -
"2 log 12x + 11 +
~ I+ c =
logC ,
log 11 - eY I + c.
C > 0,
11 Equa zioni differenziali ordinarie
434
ovvero log 11 - eYI = logCVl 2x
+ 11,
C
>
0;
passando agli esponenzia li, si ha 11 - eYI = CvI2.'r + 11,
C > 0,
cioe
+ 11,
1 - e Y = Cvl2x
Infine, esplicit ando risp etto ay e inglobando la soluzione cost ant e y dente a C = 0, si ottiene I'integrale generale dell 'equazione:
C
#- O.
= 0 corrispon-
C E ffi.. Imponiamo ora la condizione inizi ale y(O) = 1: si ha C = 1- e, quindi la soluzione cerc ata sara y = log (1 + (e -1)vI2:x; + 11) . 5. L'integrale generale dell' equazione differ enziale lineare risult a
C E JR . La condizione richiesta si esprime com e y'(O) = O. Ponendo x = 0 nell 'equazione differ enzi ale y'( x) = - 2y(x ) + e- 2 x , tale condizione equiva le a y(O) = da cui si ottiene C = Pertanto la soluzione cercat a e
!
!.
6. y
= log (2e x 4 (lOg X-
;}l -
1) .
7. Notiamo che, per x E (-2 , 2), risulta x 2 -4 < 0; inoltre, dall a condizione iniziale y(O) = -1 , possiamo supporre y( x) < 0 in un intorno di x = O. Allora, separando le variabili , si ha 1 -dy = -23x - dx. y x - 4 Integrando, si ottiene
J
J
-log Iy l = -Iog( -V)
3
= "2 log Ix 2
-
41 + c,
ossia
C > 0 o anche
C < O.
C
E
JR ,
11.5 Esercizi
Im ponendo la condizione y(O) = -1 , si ha C
435
= - 8 e quindi la soluzione cer cata e
8
y
= - (4 - x 2)3/ 2 .
Oss erviamo che no n si e considerata la soluzione costante y = 0, in quanta no n soddisfa la condizione iniziale y(O) = - l. 8. Utilizzando la formula trigonomet rica sin 2.1: = 2 sin x cos x , si ha y' sin x cos x = y + cos x .
Poiche x E (0, ~ ), sin x cos x
iI
0 e possiamo scrivere
y =
1 1 . y+ - .- . sm xcos x sm x
Si t ratta di un 'equazione differ enzia le lineare e l'int egrale gen erale y == e J
-lc osx - dx • -s i n x 1-cos x dXJ e - Js i nx
Calcoliamo d apprim a
S=
J
1
.
sm xcos x
e dato da
1 d x. sm x
- .-
dx ,
usando la sostituzione t = sin x (da cui dt = cos x dx e cos? x = 1 - t 2 ) e la tecnica dei fratti semplici:
S - [ 1 dt _ [ - • - . t(l - t 2 )
(~ t
1 1 = loglt l - "2 11 - t l - "2 10g11
= 10
g
Allora si ha y = sin x cos x
It I J 11 - t 2
1
+ 2(1 +tl
t)
_
2(1
1
+ t)
) dt
+ c
sin x + c= logcosx + c,
1
J
cos x dx = sin x ( _ _ 1_ + sin 2 x cos x sin x
e l'integrale generale de H'equazione
c)
'
E
JR,
e
Csinx - 1 - - cos x
y= -
C
E
JR .
Cerchiamo ora la soluzione che si mantiene limitata per x condizione . Csinx - 1 1im ER x ---> ~ -
C
cos x
----+ ~ -
imponen do la
436
11 Equazioni differ enziali ord ina rie
Ma
Csinx -1 cos x
lim
x~~ -
se e solo se C
=
=
I
1 - C cos t
im
sin t
t ~O -
=
1. La soluzione cercata quindi y =
11.111
1 - C( 1 + o(t
t
t ~O -
+
2
) ) -_
0
o(t 2 )
e
sinx - 1 cos x
9. L' equazione da risolvere e un 'equazione differ enzial e lin eare e si ottiene immedi at ament e l'integrale generale y
= e! (2+a )d x
J
e - ! (2+a ) dx ( _ 2e a x ) d x
= e( 2+ a )X(e- 2 x + C) = e a x (1 + C e 2x) Imponendo la condizione yeO) cerca ta e quindi
=
3, si ha 3
=
,
C ER
1 + C , ossia C
=
2. La soluz ione
L'integr ale improprio 00
1 +
(e ax
+ 2e (a +2)X) dx
conve rge se e solo se l'esp onent e dell'espone nz iale che preval e e negat ivo, ossia deve risult are 0' + 2 < o. P ert ant o l'i ntegral e converge se 0' < -2. 10. Diret t a ment e dall a formul a risolutiva p er Ie equazioni differenziali lin eari , si ha
y = ea! ~dx xa ( {
=
(3Je-a ! ~ dXxb dX) 3 +C )
b - a +1
x a (310g x
+ C)
__3__ xb+ l {
b-a+l
3x a log x
Xb- a+ l
= xa
(3J
Xb-a dX )
se b - a =f=. - 1,
se b -a = - l ,
+ C xa
se b - a =f=. - 1,
+ C x"
se b - a= - l.
Imponendo la cond izione iniziale y(2) = 1, nei due casi, risulta
{
3 2b+ 1 b - a +1
+ C 2a
3 . 2 a log 2 + C 2 a
=1
= 1
se b - a=f=.- l, se b -a= - l ,
11.5 Eserci zi
da cui
e= { e=
T T
a a
(1 -
b_
~ + 12b+l)
#
- 1,
se b -a = -1.
31og2
-
se b - a
43 7
P ert anto la soluzione cercata sara
y=
(1 _ 3
3
xb+1 + 2-a 2b+l) x a b -a+1 b-a +l 3x a log x + (T a - 3 log 2) x a
{
seb-a#-I , se b - a=- 1.
11. Risoluzione dell 'equ ezioue differenziale y'( x) = - 3x y (x ) + k x:
a) Si t ratta di uu'equazione differ enzial e lin eare e si ottiene facilmente l'integrale generale
e E JR. Imponendo la condizione y(O) = 0, si ha 0 = ~ soluzione cercata e quindi
+e
da cui
e
- ~ . La
b) La soluzione deve soddisfare la condizione
per x
Ma
3 2 3 2 e-'x = 1 - - x 2
+ o(x 2 )
--+
per x
O.
--+
0,
quindi per x Dunque la soluzione y
--+
O.
e determinat a dalla condizione ~ = 1, ossia k = 2.
12. Risolnzioiie dell'eque zioue differenziale y' = Y22(~~~~)3 : a ) 1y (x)
+ e /11 + 4xl
= 3 1-
e/ll +4xl
con
e
E lR e la soluz ione costante y (x ) =-1.
438
11 Equa zioni differ enziali ordinarie
J il + 4:rl., 1+Jll +4:rl
_ 31)) Yo () x -
I:l.
Eqllil/jOlli diffi)J'()Jj;;.:iali liuenri
a ) y = 2e x
+ G1 x + G2 , G1 , G2
del secou d o otdiuc ricoucui cibili n] priuio: E
IE. .
h) Ponendo z = y' otteniamo l'equazione lineare del primo ordine
+z =
Zl
il cui integrale generale
x2
,
e
l ntegr ando due vol te per parti , otteniamo
Integrando ulteriormente , abbiamo
14. Eqlla;;.:iolli difIiJrell;;.:iidi liu cnii d el sccoudo otcliuc:
"23 x. + "49 ' G1, G2 E 111> irs, , h) Ri solviamo d apprima l'equazione omogenea associa ta. L' equazione caratterist ica ,\2 - 4,\ + 4'\ = a ha un 'unica soluz ione ,\ = 2 di molt eplici t a doppia ; dunque l'integr ale gener ale dell 'equazione omogenea sara
a
)
y --
GIe - x
+ G2 e - 2x + "21 X 2 -
Poiche fl = ,\ = 2, cer chi amo l'integrale parti colare nella forma yp( x) Calcolando y~ e y~ e sostit ue nd o nell 'equazione, abbiamo
da cui 0: = ~ . P er t anto YP (x) assegnata e
= o:x 2e2x.
~ x2 e2x e l'integrale generale dell 'equazione
c) L' equazione caratteristica ,\ 2 + 1 = a h a di scriminante L\ = -4; a b biam o a e w = 1. Dunque l'int egrale generale d ell'equazione omogenea sara Yo(x ; G1, G2 )
= G1 cosz + G2 sin x , G1, G2 E IE. .
=a
11.5 Es ercizi
439
Poiche 11 = (J = 0, cerchiamo l' integrale particolare nella forma Yl'(x) = x(acosx + ,8 sinx ). Calcolando Y~ e Y~ e sostit uen do nell'equazione, abbiamo - 2a sin .1: + 2,8cos x = 3 cos x , da cui a = 0 e f3 = ~. P ertanto Yp(x) de ll'equazione assegnata e
=
~xcosx e I'integrale gen erale
d) Y = C 1 e x + C 2e 2x - xe x , C 1,C2 E IR. e) L'equazione caratteristica ).2 - 9 = 0 ammette Ie soluzioni ). I'int egr ale ge nerale dell 'equazion e omogenea sara Yo ( x ; C 1 , C) 2 = C I e -3x
=
3x y( x ·, C 1 , C) 2 = C1e -
Dunque
+ C2 e 3x ,
Ce rchiamo I'int egrale particolare nella forma yp( x) y~ e sostit uendo nell'equa zione, abbiamo
da cui a = - i . Pertanto Yp(.1:) assegnata e
= ± 3.
= axe- 3x . Calcolando y~
e
- i x e- 3x e I'int egrale generale dell'equ azione
+ C2 e3x - ~xe-3X 6 '
C 1 , C2 E IR .
15. Probl cmi di Ca uchy:
a) y = e- x sin 2x . b) Risolviamo dapprima I'equazione omogenea associata. L' eq uaz ione caratteristica ). 2 - 5). + 4 = 0 ammette Ie soluzioni ). = 1 e ). = 4. Dunque I'integrale generale de ll'equazione omogenea sara
Cerchiamo I'integrale particolaro nella forma yp( x) = ax + ,8. Calcolando y; e e sostituendo nell 'equ azione, abbiamo
y~
- 5a
da cui a = ~ e f3 de ll' equazione e
+ 4ax + 4,8 = 2x + 1 ,
~ . P ertanto yp(x)
=
~ x + ~ e I'integrale generale
440
11 Equazioni differenziali ordinarie
Imponendo le condizioni iniziali, si perviene al sistema
da cui 0 1
==
i
e O2
== -
i· Dunque la soluzione cercata e y
1 x == -e 6
1 4x - -e 6
1 + -x + -87 . 2
Tavole e Formulari
Formule notevoli
cos 2x +sin 2x sin z = 0
= 1, Vk E
se x = k7r ,
sin x = 1 se x =
"27r +
;Z; ,
7r
sin x = - 1 se x = - - + Zk:n sin( ex
se x
7r
= "2 + len
cos X = 1 se x = 2k7r
2k7r ,
2
cos x = 0
'
cos X = - 1 se x =
± (3) = sin ex cos (3 ± cos ex sin (3
cos (ex ± (3) = cos ex cos (3 =f sin ex sin (3 sin 2x
= 2 sin x cos x
.
.
cos Zz
,
. x - y
sm x - sm y = 2 sm - 2 cos x - cos y sin(x +
7r)
.
sm (x +
I
x+ y
cos - 2-
. x - y . x + y 2- sin - 2-
= - 2 sin -
=-
cos (x +
sinx ,
7r "2) = cos x ,
= log a x + log a y , V.'1:, Y > 0 x log; - = log, x - log, y , Vx, y > 0 y
= y log,
.'1:,
7r )
=
- cosx
cos (x +~ ) = - sin x
loga(x y )
log a (z ")
= 2 cos2 x-
Vx > 0 , Vy E JR
7r
+ 2k7r
442
Tavole e for rnular i
Limiti notevoli
lim xC>
x -+ + oo
= +00 ,
lim xC> = 0 ,
lim xC> = 0 , x-- +oo
x ---> o +
lim a" = +00 , x- +oo
x --+- oo
lim xC>
>0
0
x -+ o+
0 <0
= + 00 ,
a>1
lim a" = 0 , lim a X = +00 ,
a
X - + - (X)
lim log" x
= + 00 ,
lim log" x
= -00 ,
x ---+ + oo
X ---t + OO
lim
x ---> (
if +kIT )±
a
lim a rctan x = ± ~ 2
7r
lim arccos x
= 0 = a rccos 1 ,
=
non esist ono
x ---> ± oo
x ---> + l
lim
= + 00 ,
t an x = =t=oo , Vk E Z,
x ---> ±l
x--->±oo
lim log" x lim t a n x
= ± - = a rcs in (±l)
sm x I im - x
a >l
x--->±oo
lim ar csin x
x ---> o
= -00 ,
x----.. o+
x-+ ±oo
2
lim ar ccos x =
I
1,
'
1 - cos x
1
x2
2
l Ifl. x ---> o
( l + ~) x = ea , x
aX - 1 lim - - X
a E lR ,
= log a , a > 0;
' (1 + x )C> - 1 Iun
x ---> o
X
= 0,
n , L<
E
7r
x-+- l
-
-;:--
lim (1 + x ) ~
x--->o
in p art icolare, lTJ)
l.l">.
= arcc os ( - 1)
=e
1 a > 0; in particolare , log a ' x ---> o
1
lim log" x
x ---> o +
lim cos x ,
lim sinx ,
X __ ±OCl
<
' log (l Iim
x ---> o
+ x)
X
eX- 1 lim - -- = 1
x ---> o
x
= 1
Tavole e forrnu lari
Tavola delle derivate di funzioni e le m e nt ari
l' (:E)
f (x ) x"
ax" -l ,
sinx
cos x
cosx
- sin x
tanx
1 + tan x 2
arcs in x ar ccos .'E arctan x
aX
=
1
V l -x 2 1
vT=X2 1
1 + x2 (log a) aX
sinh x
1 (log a) x cosh .'E
cosh x
sinh x
log, Ix l
'Va E JR
R egole di derivazione
(
f (X) ) '
g(x)
1
--2COS
x
443
444
Tavol e e formulari
Sviluppi di Maclaurin notevoli
x
e = 1+ x
sinx
=
x2
xk
2
.
x3 x5 + :..31 5!
:1; -
-
x2 cos x = 1 - 2 . h
-
sin x -
- . . . + (_l)m
n
+ o(x )
X 2m + 1
(2m
+ I )!
+ O(X 2rn +2)
x4 x 2m + :..- . . . + (_ l)m _'__ + O(X 2m+ 1) 4!
x3
.T
z" n.
+ - + . . . + -k l + ... + I
(2m )!
x5
X
2m
+1
+ ,.3. + ,5. + ... + (2m + 1)'. + 0 (x.2m+2) 242m
cosh x- I
+ -X2 + ,X4. + . . . + -(X2m -)'. + 0 ( X.2m+1)
arcs in x =
X
_
3
5
x + -3x + ... + I + :..6
40
x3
x 5
(_1) I 2
m
2rn 1 x + 2m + 1
X 2m + 1
arctan x = x - - + - - ... + (_ l)m . 352m+1
(l +x)" = l +ax +
a(a - 1) 2 x + ...+
2
+ O( X 2rn +2)
+ O(X2m+2)
((Jc) xn +o(x n) n
Tavole e for mula ri
Tavola degli integrali di funzioni elementari
f(x)
j f (x) dx Xc>+ l
xC>
- -+c a+ 1 '
1
a # -1
log Ixl + c
x sinx
-cosx+c
cos x
sinx + c
eX
e" + c
sinhx
cosh x + c
cosh x
sinhx + c
1 1 +x 2 1
V l -x 2 1
VI +x2 1
JX2=1
ar ctan x + c arcsin x + c log(x + Jx 2 + 1) + c = sett sinh x + c log(x + J x 2 - 1) + c = sett cosh x + c
R egole di integrazione
j ( a f (x ) + l3g(x ))dx = a j f (X)dX + 13j9 (.T )d X j f (x )g'(x ) dx = f (.T )g(X) - j f' (x )g(x ) dx cp' (x ) j cp(x ) dx = log Icp (x )1+ c j f (cp(x ))cp' (x ) dx
=j
f(y ) dy con
y = cp(x )
445
Indice analitico
Ar eo , 291 ehiuso, 291 di Jordan, 291 lunghezza , 389 , 390 sempliee , 291 Areoeoseno, 58, 118 Areos eno , 58, 118 , 178 , 348 Areotangente, 59 , 118 , 178, 348 Argomento, 284 Ascissa eurvilinea, 390 Asintoto, 139 obliquo, 139 ori zzontale, 139 verticale, 141 Binomio di New ton , 21 Cam p o vettorial e, 391 Cardinalita , 3 Cire onferenza trigonometrica , 54 Co efficiente binomiale, 20 , 241 Col atitudine, 269 Combinazioni, 22 Congiunzione logica, 5 Connettivo logico, 5 Cont roimmagine, 38 Coordinate cilind riche, 269 polari,267 sferiche , 269 Coppia ordinata, 22 Coseno, 55 , 103, 176 , 178 , 240 ip erbolico , 201 , 244
Cotangente , 57 Criterio del eonfront o, 151 , 372 , 380 del eonfro nt o as int ot ico, 152 , 375, 380 del rapporto, 144 , 153 della radice, 153 di converge nza ass oluta, 155, 374 di Leibniz, 154 integrale, 377 Curva, 290 con gruente, 386 equiva lent e, 385 integrale, 404 opposta , 386 piana , 290 regolar e, 293 regol ar e a tratti, 293 sem plice, 291 Derivata , 173, 193 destra , 181 log aritmica , 179 parziale, 297, 299 sinistra, 181 Diagrammi di Venn, 2 Differ enz a , 4 simmetrica , 4 Dimostrazione p er assurdo, 6 Dis continuita di prima sp ecie, 86 di seconda specie, 87 elim ina bile, 80
448
Indice analitico
Disgiunzione logica, 5 Disposizioni, 20 Disuguaglianza di Bernoulli, 143 di Cauchy-Schwarz, 274 triangolare, 14 Dominio, 33 Equazione caratteristica, 422 Equazione differenziale a variabili separabili, 408 autonoma, 404 lineare , 411, 421 omogenea, 411, 413, 421 ordinaria, 403 soluzione, 404 Equivalenza logica, 6 Esponenziale, 53, 176, 236 Estremo inferiore, 18, 39, 116 superiore, 18, 39, 116 Fattoriale, 19 Flesso, 195, 254 ascendente, 196 discendente, 196 Forma algebrica, 281 cartesiana, 281 esponenziale, 285 indeterminata, 101, 110 normale, 404 polare, 284 trigonometrica, 284 Formula dell'incremento finito, 188 di addizione, 57 di De Moivre, 286 di duplicazione, 57 di Eulero, 285 di prostaferesi, 57 di sottrazione, 57 di Stirling, 145 di Taylor, 234 Funzione, 33 a scala, 334 arcocoseno, 58, 118 arcoseno, 58, 118, 178, 348
arcotangente, 59, 118, 178, 348 asintotica, 140 assolutamente integrabile, 375 biiettiva, 42 composta, 46, 106, 177 concava, 195 continua, 78, 83, 297 continua a tratti, 330 continua da destra, 85 convessa, 194 coseno, 55, 103, 176, 178, 240 coseno iperbolico, 201, 244 cotangente, 57 crescente, 43 decrescente, 44 definita a tratti, 34 derivabile, 173, 193 di classe Coo, 194 di classe c", 194 di pili variabili, 296 di variabile reale, 34 dispari, 49, 179, 235 equigrande, 128 equivalente, 128 esponenziale, 53, 176, 236 identit.a, 48 infinita, 134 infinitesima, 134 iniettiva, 40, 118 integrabile , 337 integrale, 344 inversa, 40, 118, 178 invertibile, 41 iperbolica, 201 limitata, 39, 97 logaritmo, 54, 118, 179, 237 Mantissa, 36 monotona, 43, 87, 118, 191 o grande, 127 o piccolo, 128 pari, 49, 179, 235 Parte intera, 35, 36 parte negativa, 374 parte positiva, 374 periodica, 50 polinomiale, 53, 100, 103, 177, 326 potenza, 51, 240 razionale, 53, 100, 103, 104, 323 reale, 34
Indice analitico Segno, 35, 36 seno, 55, 81, 95,109,175,239 seno iperbolico, 201, 244 settore coseno iperbolico, 203 settore seno iperbolico, 203 settore tangente iperbolica, 203 superiormente limitata, 39 suriettiva, 40 tangente, 57, 177, 248 tangente iperbolica, 203 trascurabile, 128 trigonometrica, 54 Val ore assoluto, 35, 36 Gradiente, 298 Grado, 53, 55 Grafico, 33 Immagine, 33, 38 Implicazione logica, 5 Infinitesimo, 134, 206 campione, 136 dello stesso ordine, 135 di ordine inferiore, 135 di ordine superiore, 135 Infinito, 134, 206, 251 campione, 136 dello stesso ordine, 135 di ordine inferiore, 135 di ordine superiore, 135 Insieme, 1 ambiente, 1 complementare, 3, 7 delle parti, 2 inferiormente limitato, 16 limitato, 16 superiormente limitato, 16 vuoto, 2 Integrale curvilineo, 384 definito, 329, 332, 334, 337 di linea, 392 generale, 406 improprio, 370, 378, 382 indefinito, 312, 313 inferiore, 336 particolare, 406 secondo Cauchy, 330 secondo Riemann, 333
singolare, 408 superiore, 336 Integrazione per parti, 318, 349 per sostituzione, 319, 328, 350 Intersezione, 3, 7 Intervallo, 15 di monotonia, 44, 191 Intorno, 67, 296 destro, 85 sinistro, 85 Latitudine, 269 Leggi di De Morgan, 4 Limite, 70, 72, 74, 75, 78, 83 destro, 85 sinistro, 85 Logaritmo, 54, 109, 118, 179, 237 naturale, 74 neperiano, 74 Longitudine, 269 Maggiorante, 16 Massimo, 17, 39 assoluto, 183 relativo, 183 Media integrale, 342 Metodo di bisezione, 114 Minimo, 17, 39 Minorante, 16 Modulo, 271, 283 Negazione logica, 5 Numero complesso, 280 di Nepero, 74, 108, 109, 176 naturale, 9 razionale, 9 reale, 10 relativo, 9 Ordine, 404 di infinitesimo, 136, 206, 251 di infintlo, 136, 206 Parte immaginaria, 280 negativa, 374 positiva, 374
449
450
Indice analitico
principale, 137, 251 reale, 280 Partizione, 334 Periodo, 10, 50 minimo, 50 Permutazioni, 20 Polinomio, 53, 100, 103, 177, 326 caratteristico, 422 di Taylor, 234 Predicato logico, 2, 7 Primitiva, 312 Problema ai valori al contorno, 408 ai valori iniziali, 407 di Cauchy, 407 Prodotto cartesiano, 22 scalare, 274 Prolungamento, 80 Proposizione contronominale, 6 logica, 5 Proprieta di Archimede, 16 Punto a tangente verticale, 182 angoloso, 181 critico, 184, 252 di cuspide, 182 di discontinuita, 86 di estremo, 183 di flesso, 195, 254 di Lagrange, 187 di massimo, 183 di minimo, 183 di salto, 86 interno, 16 Quantificatore esistenziale, 8 universale, 8 Radiante, 55 Raffinamento, 334 Raggio, 67 Rapporto incrementale, 171 Relazione, 24 Resto di Lagrange, 232, 235 di Peano, 232, 234 di una serie, 150
Restrizione, 42 Retta tangente, 173 Salto, 86 Seno, 55, 81, 95, 109, 175,239 iperbolico, 201, 244 Serie, 146 a segno alterno, 154 a termini positivi, 151 armonica, 152, 154, 377 assolutamente convergente, 154 condizionatamente convergente, 155 convergente, 147 di Mengoli, 148 divergente, 147 geometrica, 150 indeterminata, 147 semplicemente convergente, 155 telescopica, 149 Simboli di Landau, 127 Somma di una serie, 147 Sostegno di una curva, 290 Sottoinsieme, 1, 7 Spazio vettoriale, 273 Successione, 34, 68, 107, 141 convergente, 70 delle ridotte, 146 delle somme parziali, 146 divergente, 72 geometrica, 143 indeterminata, 73 monotona, 73 Suddivisione, 334 adattata, 334 Sviluppo asintotico, 250 di Maclaurin, 235, 242 di Taylor, 234 Tangente, 57,177,248 Teorema dei valori intermedi, 116 del confronto, 94, 97, 142 della media integrale, 343 di de I'H6pital, 204 di esistenza degli zeri, 112 di Fermat, 184 di Lagrange, 187 di permanenza del segno, 92 di Rolle, 186
Indice analitico di sostituzione, 105, 142 di unicita del limite, 91 di Weierstrass, 117 fondamentale del calcolo integrale, 345 Termine generale, 146 Trapezoide, 329 Traslazione, 48 Unione, 3, 7 Val ore assoluto, 13 massimo, 39 principale, 284
Variabile dipendente, 38, 171 indipendente, 38, 171 Versore, 274 Vettore, 270 applicato, 270, 279 direzione, 271 modulo, 271 ortogonale, 275 tangente, 293 verso, 271 Zero, 111
451
Collana Unitext - La Matematica per il 3+2 a cura di F. Brezzi (Editor-in-Chief) P. Biscari C. Ciliberto A. Quarteroni G. Rinaldi W.J. Runggaldier Volumi pubblicati. A partire dal 2004) i volumi della serie sono contrassegnati da un numero di identificazione. I volumi indicati in grigio si riferiscono a edizioni non pin in commercio A. Bernasconi) B. Codenotti Introduzione alla cornplessita computazionale 1998)X+260 pp. ISBN 88-470-0020-3 A. Bernasconi) B. Codenotti, G. Resta Metodi matematici in complessita computazionale 1999)X+364 pp) ISBN 88-470-0060-2 E. Salinelli, F.Tomarelli Modelli dinamici discreti 2002) XII+354 pp) ISBN 88-470-0187-0 S. Bosch Algebra 2003)VIII+380 pp) ISBN 88-470-0221-4 S. Graffi, M. Degli Esposti Fisica matematica discreta 2003) X+248 pp) ISBN 88-470-0212-5 S. Margarita) E. Salinelli MultiMath - Matematica Multimediale per l'Universita 2004) XX+270 pp) ISBN 88-470-0228-1
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri Matematica numerica (2a Ed.) 2000, XIV+448 pp, ISBN 88-470-0077-7 2002, 2004 ristampa riveduta e corretta (La edizione 1998, ISBN 88-470-0010-6) 13. A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico (2a Ed.) 2004, X+262 pp, ISBN 88-470-0256-7 (La edizione 2002, ISBN 88-470-0149-8) 14. S. Salsa Equazioni a derivate parziali - Metodi, modelli e applicazioni 2004, XII+426 pp, ISBN 88-470-0259-1 15. G. Riccardi Calcolo differenziale ed integrale 2004, XII+314 pp, ISBN 88-470-0285-0 16. M.Impedovo Matematica generale con il calcolatore 2005, X+526 pp, ISBN 88-470-0258-3 17. L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2005, VIII+396 pp, ISBN 88-470-0257-5 18. S. Salsa, G. Verzini Equazioni a derivate parziali - Complementi ed esercizi 2005, VIII+406 pp, ISBN 88-470-0260-5 2007, ristampa con modifiche 19. C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica I (2a Ed.) 2005, XII+448 pp, ISBN 88-470-0337-7 (la edizione, 2003, XII+376 pp, ISBN 88-470-0220-6) 20. F. Biagini, M. Campanino Elementi di Probabilita e Statistica 2006, XII+236 pp, ISBN 88-470-0330-X
21. S. Leonesi, C. Toffalori Numeri e Crittografia 2006, VIII + 178 pp, ISBN 88-470-0331-8 22. A. Quarteroni, F.Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico (3a Ed.) 2006, X+306 pp, ISBN 88-470-0480-2 23. S. Leonesi, C. Toffalori Un invito all' Algebra 2006, XVII+432 pp, ISBN 88-470-0313-X 24. W.M. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini Cattaneo Aritmetica, Crittografia e Codici 2006, XVI+518 pp, ISBN 88-470-0455-1 25. A. Quarteroni Modellistica numerica per problemi differenziali (3a Ed.) 2006, XIV+452 pp, ISBN 88-470-0493-4 (Ia edizione 2000, ISBN 88-470-0108-0) (2a edizione 2003, ISBN 88-470-0203-6) 26. M. Abate, F. Tovena Curve e superfici 2006, XIV+ 394 pp, ISBN 88-470-0535-3 27. L. Giuzzi Codici correttori 2006, XVI+402 pp, ISBN 88-470-0539-6 28. L. Robbiano Algebra lineare 2007, XVI+210 pp, ISBN 88-470-0446-2 29. E. Rosazza Gianin, C. Sgarra Esercizi di finanza matematica 2007, X+ 184 pp, ISBN 978-88-470-0610-2 30. A. Machi Gruppi - Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi 2007, XII +349 pp, ISBN 978-88-470-0622-5
31. Y. Biollay, A. Chaabouni, J. Stubbe Matematica si parte! A cura di A. Quarteroni 2007, XII+ 196 pp, ISBN 978-88-470-0675-1 32. M. Manetti Topologia 2008, XII+298 pp, ISBN 978-88-470-0756-7 33. A. Pascucci Calcolo stocastico per la finanza 2008, XVI+518 pp, ISBN 978-88-470-0600-3 34. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri Matematica numerica, 3a Ed. 2008, XVI+510 pp, ISBN 978-88-470-0782-6 35. P.Cannarsa, T. D'Aprile Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale 2008, XII+268 pp, ISBN 978-88-470-0701-7 36. A. Quarteroni, F. Saleri Calcolo scientifico, 4a Ed. 2008, XIV +358 pp. ISBN 978-88-470-0837-3 37. C. Canuto.A, Tabacco Analisi Matematica I, 3a Ed. 2008, XIV+452 pp, ISBN 978-88-470-0871-7