AULA D’ARQUITECTURA 52
Análisis plástico de estructuras. Introducción
AULA D’ARQUITECTURA
M. R. Dalmau - J. Vilardell
Análisis plástico de estructuras. Introducción
EDICIONS UPC
La presente obra fue galardonada en el octavo concurso "Ajut a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.
Primera edición: setiembre de 2003
Diseño de la cubierta: Manuel Andreu
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Los autores, 2003
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Edicions UPC, 2003 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 · Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail:
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Depósito legal: B-35174-2003 ISBN: 84-8301-720-2 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.
Prólogo Las causas por las que una estructura pierde su utilidad son la aparición de alguna inestabilidad, las deformaciones excesivas y la fatiga. Por lo demás, una estructura construida con un material de unas características adecuadas de ductilidad puede seguir soportando cargas crecientes pese a que en algún lugar el material haya abandonado el rango elástico. Entonces, de seguir el proceso de carga, van apareciendo más puntos donde se ha iniciado la cesión plástica, hasta que finalmente ese número de puntos es tal y se combinan de tal modo que la estructura llega al colapso o agotamiento. Esto ocurre cuando la estructura está sometida a la denominada carga última, o carga de agotamiento. Aunque sus orígenes más remotos se remontan a mediados del siglo XIX, el mayor desarrollo y la aceptación del diseño por carga última, o diseño por agotamiento, tuvo lugar durante las últimas décadas, a consecuencia de las investigaciones llevadas a cabo desde comienzos del siglo pasado. Es conocido comúnmente como diseño plástico, por contraposición al diseño elástico, basado en la pretensión de que en ningún lugar de la estructura el material se salga del rango elástico, y en su favor se aduce que permite obtener diseños más racionales, una notable simplificación de los cálculos y una cierta economía de materiales. El método plástico se aplica especialmente a las estructuras de acero, aunque también puede utilizarse, en las condiciones debidas, para estructuras de aluminio, hormigón armado y hormigón pretensado. El presente texto trata del comportamiento de elementos de acero estructural cuando se considera que el material es elastoplástico y no elástico. Arquitectos, ingenieros y calculistas en general pueden simplificar su tarea empleando el método plástico al diseñar una estructura, pues ésta puede ser analizada a partir de un esquema más claro y concreto que permite llegar a una solución más racional respecto al aprovechamiento de las posibilidades del material. Cabe añadir, además, que en los años recientes parece confirmarse la evidencia de que el comportamiento de una estructura diseñada por el método elástico no es extensible a una situación en la que el material rebase el rango elástico en varios puntos, como ocurre ante una solicitación extrema, cuando la estructura se pone al borde del agotamiento (por un movimiento sísmico, por ejemplo), en cuyo caso es mejor solución atribuir desde el principio un comportamiento elastoplástico a los componentes de la estructura y disponer así de información acerca de los lugares donde las solicitaciones pueden ser excesivas. El propósito de esta publicación es presentar los fundamentos a partir de los cuales se desarrolla el diseño plástico de estructuras de acero. No aborda el cálculo de estructuras en sí, ni tampoco trata de reología. Este texto está destinado a estudiantes que hayan concluido o estén finalizando su primer ciclo de estudios. Desde este punto de vista, sus contenidos son de nivel básico, aunque se presupone que el lector conoce ya los temas de mecánica general y de mecánica de materiales integrados en los programas de primer ciclo. En cuanto a la redacción y la confección del texto, cabe señalar que se ha puesto especial esmero en la elaboración de las figuras, acompañadas en muchos casos de unas extensas notas al pie que compendian las ideas desarrolladas en el texto, con el fin de complementar y aclarar al máximo su contenido. A fin de no alargar y recargar innecesariamente las exposiciones, se omiten los desarrollos matemáticos en aquellos casos en que dichos desarrollos no aportan ni contienen nada esencial a la idea principal. Y, para evitar cualquier "oficialización" y ampliar el punto de vista, se ha adoptado expresamente y en general el valor VY = 250 MPa, valor que equivale muy aproximadamente a las 36 ksi del acero americano A36, que con
Índice 1
Introducción
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.
Modelos elastoplásticos ...........................................................................................................................11 Análisis elastoplástico..............................................................................................................................14 Análisis plástico .......................................................................................................................................20 Cálculo plástico........................................................................................................................................22 Invalidez del principio de superposición..................................................................................................23 Plasticidad transversal y criterio de von Mises ........................................................................................25 Ejercicios..................................................................................................................................................27
2
Flexión plástica de vigas
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9.
Flexión plástica de vigas y factor de forma..............................................................................................29 Relación entre el momento y la curvatura y articulaciones plásticas .......................................................38 Análisis plástico de vigas: carga última y redistribución de momentos ...................................................42 Aplicación del principio de los trabajos virtuales a la determinación de la carga última.........................51 Dimensionado plástico .............................................................................................................................56 Deformaciones .........................................................................................................................................60 Esfuerzos residuales .................................................................................................................................67 Influencias de la fuerza axial y la fuerza cortante ....................................................................................71 Ejercicios..................................................................................................................................................79
3
Análisis plástico
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13.
Introducción .............................................................................................................................................83 Método estático y teorema del límite inferior ..........................................................................................85 Método de los mecanismos y teorema del límite superior .......................................................................89 Vigas continuas ........................................................................................................................................95 Pórticos simples: método de los mecanismos y teorema de los mecanismos compuestos .....................103 Pórticos simples: método estático ..........................................................................................................109 Pórticos simples con cargas distribuidas ................................................................................................115 Diagramas de interacción .......................................................................................................................122 Pórticos dobles .......................................................................................................................................129 Método del ajuste de momentos.............................................................................................................136 Pórticos a dos aguas ...............................................................................................................................141 El diseño plástico ...................................................................................................................................146 Ejercicios................................................................................................................................................147
Bibliografía .....................................................................................................................................................153
1 Introducción 1.1 Modelos elastoplásticos En la figura 1.1a se representa, no a escala, el aspecto general que presenta la curva de tracción, o diagrama ı-İ, de un acero estructural. En ese diagrama se señalan sucesivamente sobre el eje İ: OA, la zona elástica lineal, intervalo en que la probeta se alarga según la ley de Hooke y recupera su longitud inicial al disminuir la carga hasta anularse; AB, la zona de transición entre la zona elástica lineal y la zona plástica; BC, la zona plástica, intervalo en que la probeta se deforma plásticamente, es decir, además de alargarse notablemente sin que la carga varíe, al retirarse la carga conserva un alargamiento remanente; CD, la zona de endurecimiento por deformación, intervalo en que la probeta sigue comportándose plásticamente, pero es necesario que aumente la carga para que siga alargándose; y DE, la zona de estricción, intervalo en que la probeta, desde un valor máximo de ı alcanzado al final de la zona anterior, sigue alargándose con una fuerte contracción alrededor del punto de la probeta donde sobreviene finalmente la rotura. Se indican en la figura las posiciones del límite de proporcionalidad ıP, del punto de fluencia ıY, y del esfuerzo último ıu. Entre el límite de proporcionalidad y el punto de fluencia, hay una zona intermedia en que la probeta, sin dejar de comportarse elásticamente, ya no obedece a la ley de Hooke. Esa zona debería marcar el límite elástico, pero de hecho los aceros estructurales presentan un punto de fluencia superior y un punto de fluencia inferior, tal como se muestra en el recuadro de la misma figura 1.1a. En las curvas obtenidas mediante las máquinas de tracción el límite de proporcionalidad y los dos puntos de fluencia se muestran muy claros, pero suelen estar poco separados. Además, la recta representativa de la zona elástica lineal presenta una pendiente tan acusada que casi parece paralela al eje de ordenadas (ı), tal como se aprecia en la figura 1.1b, que muestra una curva de tracción real de un acero estructural. La zona elástica lineal de la curva ocupa un fracción muy reducida del eje de abscisas (İ) y es unas quince veces menor que la zona plástica. A efectos prácticos se conviene en idealizar la curva de tracción representándola como en la figura 1.1c, mediante un tramo inclinado OA, representativo del comportamiento elástico lineal del material, y un tramo horizontal AB, representativo del comportamiento plástico. La pendiente del tramo OA es igual al módulo de elasticidad E del acero, y se da la circunstancia de que E = 210 GPa para todos los aceros estructurales. En el punto A, se reúnen el límite de proporcionalidad y los dos puntos de fluencia, por lo que goza de las propiedades de los tres; es decir, hasta A se supone que el material es elástico lineal, y a partir de A se supone que es perfectamente plástico, por lo cual A se conoce como punto de fluencia o punto de cesión plástica. El valor de ı correspondiente al punto A se designa como esfuerzo de fluencia, o esfuerzo de cesión (plástica) y se representa por ıY. Su valor se establece tomando como referencia uno de los dos valores de İ indicados en la figura 1.1d, es decir, el valor del esfuerzo que dé una deformación remanente del 0,2%, el más empleado, o una deformación del 0,5%.1 A diferencia de E, el valor de ıY no es el mismo para todos los aceros estructurales, y ıY puede variar 1 Estrictamente, el punto de fluencia y el esfuerzo de fluencia no son la misma cosa. El primero es una verdadera característica del material, mientras que el segundo es un valor asumido.
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Análisis plástico de estructuras. Introducción
entre 200 MPa y 700 MPa. Sin embargo, el valor de ıY de los aceros estructurales más empleados (por razones económicas) se sitúa en torno a 250 MPa y éste es el valor que aquí adoptamos en general. Además, el valor de ıY permitido para el análisis de fuerzas por el método plástico está limitado en todas las normas y en ningún caso sería admisible un valor de ıY tan alto como 700 MPa.
Fig. 1.1
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1 Introducción
Fig. 1.1 a)
Curva de tracción de una probeta de acero estructural (no a escala).
b)
Curva de tracción real de un acero estructural.
c)
Curva de tracción idealizada: modelo de comportamiento elastoplástico perfecto o modelo de comportamiento bilineal sin endurecimiento por deformación. El segmento OA corresponde al comportamiento elástico lineal del material, siendo su pendiente el módulo de Young, y el segmento AB corresponde al comportamiento plástico. En el punto A, llamado punto de fluencia o punto de cesión plástica, se hacen coincidir el límite de proporcionalidad y los dos puntos de fluencia. El valor correspondiente de ı se conoce como esfuerzo de fluencia, o de cesión plástica, y se representa por ıY.
d)
Definición del esfuerzo de fluencia. El esfuerzo de fluencia, ıY, se define como el esfuerzo que provoca una deformación remanente del 0,2%. Otro criterio menos utilizado consiste en definir el esfuerzo de fluencia como aquel que corresponde a una deformación del 0,5%.
e)
Curva de tracción idealizada: modelo de comportamiento elastoplástico sin endurecimiento por deformación o elastoplástico perfecto. Cuando un material que responde al modelo de comportamiento elastoplástico perfecto se descarga desde un punto C, situado en el tramo elástico, sigue el mismo recorrido que en el proceso de carga, pero en sentido inverso y no queda deformación remanente. En cambio, cuando se descarga desde un punto D en el tramo plástico, el camino en la descarga es el señalado como DO1, paralelo al tramo elástico OA, y queda una deformación remanente OO1. Al volver a cargar a partir de O1, la nueva zona elástica corresponde a O1D y la zona plástica se inicia en D. Puesto que al punto A y al D les corresponde el mismo esfuerzo de fluencia, se deduce que el material no se ha endurecido por deformación.
f)
Curva de tracción idealizada: modelo de comportamiento elastoplástico, con endurecimiento por deformación. En este modelo la deformación plástica está representada por una recta inclinada de pendiente del orden de la diezmilésima parte de la pendiente del tramo elástico. A diferencia de lo que ocurre en el modelo elastoplástico perfecto, una vez alcanzado el punto de fluencia, es preciso seguir incrementando la fuerza aplicada para avanzar en la deformación plástica. Si descargamos desde un punto D, situado en el tramo plástico, el camino en la descarga es el señalado como DO1, paralelo al tramo elástico OA y queda una deformación remanente OO1. Al volver a cargar a partir de O1, la nueva zona elástica corresponde a O1D y la zona plástica se inicia en D. Puesto que al punto D le corresponde un esfuerzo de fluencia superior al del punto A, se observa un endurecimiento del material por deformación.
El diagrama OAB de la figura 1.1c representa el modelo de comportamiento elastoplástico, y de todo material cuyo comportamiento sea asimilable a un diagrama como ése se dice que es un material elastoplástico perfecto. El modelo elastoplástico se completa (fig. 1.1e) admitiendo: a) que si el material se descarga desde un punto como el C, situado en el tramo elástico, el punto representativo sigue la trayectoria CO y la probeta recupera su longitud original, y b) que si el material se descarga desde un punto como el D, situado en el tramo plástico, el punto representativo sigue la trayectoria DO1, paralela a OA, y la probeta queda con una deformación remanente OO1. En este segundo caso, si la probeta vuelve a cargarse desde O1 el diagrama ı-İ sigue obedeciendo al modelo elastoplástico, con una zona elástica lineal, representada por la recta O1D, y una zona plástica (recta horizontal) a partir del punto D, que será entonces el punto de cesión. En los aceros, las características generales de las curvas de compresión no difieren sustancialmente en lo que nos interesa de las de las curvas de tracción. Admitimos, por tanto, que el modelo elastoplástico adoptado es válido tanto para tracción como para compresión. El modelo de comportamiento elastoplástico descrito se conoce a veces como modelo elastoplástico bilineal, por estar compuesto de dos tramos lineales. Hay propuesto otro modelo bilineal cuyo aspecto se muestra en la figura 1.1f. En éste, el diagrama ı-İ está formado primero por una zona elástica lineal, representada por una recta OA de pendiente E, como en el modelo elastoplástico perfecto, pero la zona plástica está representada por una recta AB no horizontal sino inclinada con una pendiente del orden de E/10000. Por lo demás, el comportamiento del
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Análisis plástico de estructuras. Introducción
material en la descarga desde la zona plástica es análogo al del modelo elastoplástico perfecto, o sea, sigue una recta paralela a OA y quedan con una deformación remanente representada por un punto del eje de abscisas (İ). En el caso de otros aceros estructurales, este modelo alternativo de la figura 1.1f se ajusta más a la realidad, pero presenta el inconveniente de complicar los cálculos en el análisis plástico. Por ello, el modelo comúnmente aceptado es el elastoplástico perfecto de las figuras 1.1c y 1.1e, habida cuenta además de que admitir una plasticidad perfecta a partir del punto de cesión implica despreciar los efectos del endurecimiento por deformación, pero ello favorece a la seguridad ya que el endurecimiento por deformación aumenta la resistencia del material.
1.2 Análisis elastoplástico La armadura de la figura 1.2a está formada por dos barras, AN y BN, de acero estructural (ıY = 250 MPa, E = 210 GPa), de 3 cm2 de sección y longitudes respectivas a y b, articuladas en A y B al techo y entre sí en el nudo N. Éste está cargado con una fuerza vertical P que aumenta gradualmente desde cero. La determinación de las fuerzas en las barras para cada valor de P es un problema isostático elemental. Considerando el equilibrio del nudo N, y siendo Ta y Tb las fuerzas en las barras, tenemos (fig. 1.2b) Ta sen D Tb sen E
0
y
Ta cos D Tb cos E
P sen E sen D E
y
Tb
P sen D sen D E
y
Tb
0,897 P
P
(1.1a y 1.1b)
Este sistema de ecuaciones (1.1) nos da
Ta
(1.2a y 1.2b)
Con los valores indicados de Į = 60º y ȕ = 45º, resulta Ta
0, 732 P
(1.2'a y 1.2'b)
Supongamos ahora que se desea obtener la representación gráfica P G V , siendo G V la componente vertical del corrimiento del nudo N. En la figura 1.2c se representa la construcción gráfica para determinar la nueva posición N’ del nudo, basada en la hipótesis de las pequeñas deformaciones. En este caso, la nueva posición N’ del nudo se obtiene sustituyendo los arcos de circunferencia NAN’, centrado en A y de radio a 'a , y NBN’, centrado en B y de radio b 'b , por sendas rectas perpendiculares a los radios respectivos. El corrimiento )& ))))& G NN ' lo referimos a los ejes V y H que se indican en la misma figura 1.2c, mediante las componentes G V y G H . Con referencia a esos ejes, las direcciones de las barras AN y BN se identifican respectivamente mediante los vectores unitarios & ua
cos D , sen D
y
& ub
cos E , sen E
Entonces, tendremos )& &
G ua
'a
y
)& &
G ub
'b
(1.3a y 1.3b)
o bien,
G V cos D G H sen D
'a
(1.3a)
G V cos E G H sen E
'b
(1.3b)
y
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1 Introducción
Fig. 1.2 a)
Sistema isostático. Dos barras de acero estructural, articuladas al techo y entre sí. Fuerza de fluencia en las barras: 75 kN. Carga: Fuerza P, vertical, creciente gradualmente desde cero.
b)
Diagrama de sólido libre del nudo N de conexión entre las dos barras Ta = fuerza en la barra AN, Tb = fuerza en la barra BN.
c)
Diagrama de deformación de las barras y corrimiento del nudo N. 'a = alargamiento de la barra AN, 'b = alargamiento de la barra BN )& )& )* G = corrimiento del nudo N; G H = componente horizontal de G ; G V = componente vertical de G
d)
Diagrama del desplazamiento vertical del nudo N en función de la fuerza aplicada. En el eje de abscisas se ha representado el desplazamiento vertical GV dividido por la longitud c, y en el eje de ordenadas la fuerza aplicada expresada en kN G V crece proporcionalmente con P, desde 0 hasta P = 84 kN. Fuerza de fluencia en ambas barras: 75 kN. Cuando P = 84 kN, Tb = 75 kN, Ta < 75 kN. La barra BN empieza a fluir y, aunque la barra AN sigue en régimen elástico, la estructura deja de ser útil. Carga última: Pu = 84 kN.
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Análisis plástico de estructuras. Introducción
& Este sistema de ecuaciones (1.3) nos da las componentes del corrimiento G del nudo N:
GV
'a sen E 'b sen D sen D E
(1.4a)
GH
'a cos E 'b cos D sen D E
(1.4b)
y
Si en estas expresiones (1.4) sustituimos los valores (1.2') de Ta y Tb y admitimos que 'a e 'b cumplen la ley de Hooke con el valor asignado a E, obtenemos las componentes del corrimiento en función de P y c, tras operar convenientemente:
G V | 0, 035 u 106 Pc
y
G H | 0, 007 u 106 Pc
(1.5a y 1.5b)
donde P es la carga en el nudo N expresada en newtons, y c es la distancia de N al techo expresada en metros. La expresión (1.5a) nos permite efectuar la representación P-įV (con įV en unidades de c). Es evidente que dicha gráfica será una recta que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente es 106/0,035, según se indica en la figura 1.2d, pero sólo mientras no se rebase el esfuerzo de fluencia en ningún lugar. Ahora bien, si P crece sin cesar, llegará un momento en que la barra más solicitada, la BN, estará sometida a la fuerza de fluencia, o de cesión (plástica). Dicha fuerza es la misma para ambas barras, pues las dos son del mismo material y tienen la misma sección de 3 cm2, y vale
VY A
250
u 106 3 u 104
(1.6)
75000 N
La carga P para la cual la barra BN soporta su fuerza de fluencia tendrá, según (1.2'b), un valor Pu tal que 0,8966 Pu
75000
y por tanto Pu
83649 N | 84 kN
Para ese valor de P, es (įV/c) = (0,035 x 10-6) x 83649 = 2,9 x 10-3. El punto del diagrama de coordenadas (84 kN; 2,9 x 10-3) marca el paso de la armadura del régimen elástico lineal al de plasticidad perfecta, tal como se indica en la figura 1.2d. En efecto, en virtud de la ecuación de equilibrio (1.1a) el valor de la fuerza que soporta la barra AN cuando la barra BN está plastificada es Ta = 0,7321 x 83649 = 61239 N, y este valor no puede rebasarse mientras no se altere sustancialmente la geometría del sistema, ya que Tb vale constantemente 75000 N a partir de ese momento. Si entonces aumenta P, el sistema debe adquirir una geometría distinta (unos valores adecuados de Į y ȕ) para que se cumplan las condiciones de equilibrio (1.1) y ello anula la hipótesis de las pequeñas deformaciones, con lo que sobrevienen unas deformaciones que, además, podrían invalidar la utilidad de la estructura. Por consiguiente, el comportamiento elastoplástico de la armadura lo consideramos representado por el diagrama bilineal de la figura 1.2d. El valor de 84 kN, a partir del cual se anula la utilidad de una estructura, recibe el nombre de carga última, o carga de agotamiento, y se designa por Pu. En la realidad, la deformación no será ilimitada, sino que en determinado momento la barra BN llegará al endurecimiento por deformación y ofrecerá resistencia, pero entonces la deformación será ya tan grande que la armadura se considera que carece de utilidad. Consideremos ahora la armadura de la figura 1.3a, obtenida de la armadura de la figura 1.2a a=adiendo a ésta una tercera barra CN, vertical, de longitud c y de las mismas características (E, ıY y A) que las barras AN y BN. Ahora la determinación de las fuerzas en las barras es un problema hiperestático. Las ecuaciones de equilibrio que nos da la estática son (fig. 1.3b) Ta sen D Tb sen E
0
y
Ta cos D Tb cos E Tc
P
(1.7a y 1.7b)
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1 Introducción
Fig. 1.3 a)
Sistema hiperestático. Tres barras de acero estructural, articuladas al techo y entre sí. Fuerza de fluencia en las barras: 75 kN. Carga: Fuerza P, vertical, creciente gradualmente desde cero.
b)
Diagrama de sólido libre del nudo N de conexión entre las dos barras. Ta = fuerza en la barra AN, Tb = fuerza en la barra BN, Tc = fuerza en la barra CN.
c)
Diagrama de deformación de las barras y corrimiento del nudo N. 'a = alargamiento de la barra AN, 'b = alargamiento de la barra BN, 'c = alargamiento de la barra CN )& )& )* G = corrimiento del nudo N; G H = componente horizontal de G ; G V = componente vertical de G
d)
Diagrama del desplazamiento vertical del nudo N en función de la fuerza aplicada. El tramo OG corresponde al intervalo de P en el que todas las barras están en régimen elástico lineal. En G una barra, la CN, se plastifica y, a partir de este momento, ofrece una resistencia constante de 75 kN y el desplazamiento del nudo N está gobernado por las barras AN y BN, cuyo régimen sigue siendo elástico. En el punto H otra barra, la BN, empieza a fluir y la estructura deja de ser útil. Carga de fluencia a la que la primera barra empieza a fluir: PY = 110 kN. Carga última para la que la estructura deja de ser útil: Pu = 160 kN. El intervalo de validez de la estructura se ha incrementado
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Análisis plástico de estructuras. Introducción
Es decir, tenemos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Esta situación se solventa complementando el sistema de ecuaciones dado por la estática con el número de ecuaciones suficientes obtenidas con las consideraciones geométricas pertinentes combinadas con las llamadas ecuaciones constitutivas del material, que en este caso se reducen a la ley de Hooke. Las consideraciones geométricas son aquí que: a) las barras concurrentes antes de la deformación son también concurrentes después de la deformación y b) que es válida la hipótesis de las pequeñas deformaciones. Ambas se aplicaron también en el caso sencillo anterior. La construcción geométrica de la figura 1.3c es similar a la de la figura 1.2c. Ahora la barra CN se alargará una distancia ǻc en sentido vertical, de tal modo que la recta NCN’, que en virtud de la hipótesis de las pequeñas deformaciones sustituye al arco de radio c 'c centrado en C, ocupa la posición que se indica en la figura. Véase que entonces es G V 'c . Por otra parte, las expresiones (1.4) de las componentes del corrimiento son aplicables aquí también; o sea, 'a senE 'b sen D sen D E
'c
Esta última expresión podemos escribirla
'a sen E 'b sen D 'c sen D E
0
(1.7c)
y queda así expresada la llamada condición de compatibilidad geométrica. Tenemos entonces un sistema de tres ecuaciones (1.7) que nos permite obtener las fuerzas en las tres barras mientras se hallen en régimen elástico lineal. Sustituyendo los valores propuestos de Į = 60º y ȕ = 45º, y teniendo además en cuenta las ecuaciones constitutivas Ta c , EA cos 60º
'a
'c =
Tc c EA
0 , Ta cos 60º + Tb cos 45º Tc
P
'b
Tb c EA cos 60º
e
el sistema de ecuaciones (1.7) queda Ta sen60º Tb sen45º
(1.7a, 1.7b)
y § sen 45º · § sen 60º · Ta ¨ ¸ Tb ¨ ¸ Tc sen105º cos 60º © ¹ © cos 45º ¹
0
(1.7c)
Las raíces de este sistema de ecuaciones son Ta
0, 2282 P , Tb
0, 2794 P
y Tc
0, 6883 P
(1.7'a, 1.7'b, 1.7'c)
La tercera de estas expresiones nos permite obtener la relación entre P y la componente vertical įV del corrimiento del nudo N. Como es įV = ǻc, e ǻc = Tcc/EA (con EA = 63 x 106 N), al sustituir aquí Tc por el valor (1.7'c) resulta
G V | 0, 011 u 106 Pc En la figura 1.3d el tramo de recta OG, de pendiente 106/0,011, representa esta relación (con G V en unidades de c). Como sucedía con la armadura de la figura 1.2a, si P crece sin cesar, llegará un momento en que la barra más solicitada, la CN, estará sometida a su fuerza de fluencia. Ésta vale 75000 N según vimos en (1.6). La carga P para la cual la barra CN soporta su fuerza de fluencia tendrá, según (1.7'c), un valor PY tal que 0, 6883 PY
75000
y por tanto PY
108964 N | 110 kN
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1 Introducción
Para ese valor de P, es (įV/c) = (0,011 x 10-6) x 108964 = 1,2 x 10-3. El valor PY es la carga de fluencia, o carga de cesión, de la armadura y en general designa al valor de la carga P para el que alguna parte de la estructura se plastifica. En el caso de la armadura isostática de la figura 1.2a, al constar la misma de sólo dos barras, en cuanto una de éstas llegaba a la cesión plástica, la estructura entraba en régimen plástico y perdía su utilidad. No ocurre lo mismo en el caso presente, ya que las otras dos barras pueden seguir soportando ulteriores aumentos de P, pues al llegar ésta al valor de fluencia PY las fuerzas que soportan esas barras están aún lejos de la fuerza de fluencia de 75000 N. En efecto, con P PY 108964 N , las expresiones (1.7'a y 1.7'b) nos dan, respectivamente, Ta
24866 N
y
Tb
30 455 N
En el momento en que CN fluye, o sea, se plastifica, el problema ya no es hiperestático, pues en las ecuaciones (1.7a y 1.7b) es Tc 75000 N y esas dos ecuaciones podemos escribirlas Ta sin 60º Tb sin 45º
0,
Ta cos 45º Tb cos E
P 75000
(1.8a, 1.8b)
De aquí podemos obtener Ta y Tb en función de P: Ta
0, 7321 P 54904
(1.8'a)
Tb
0,8966 P 67 243
(1.8'b)
y
siendo P ! PY ( 108964 N) . Si P sigue aumentando por encima de este valor, Ta y Tb seguirán también aumentando hasta que una de ellas llegue al valor de la fuerza de fluencia de 75000 N. Examinando las expresiones (1.8’) se ve que es siempre Ta < Tb, luego la barra BN es la siguiente en fluir. En ese momento las circunstancias son similares a las que se daban en la armadura de la figura 1.2a cuando se plastificaba la barra BN y cualitativamente el comportamiento de la armadura de la figura 1.3a será el mismo. La carga última, o de agotamiento, Pu, será aquella para la cual es Tb 75000 N ; o sea, según (1.8'b), Pu
75000 67 243 158647 N | 160 kN 0,8966
(1.9)
En la gráfica de la figura 1.3d, el tramo GH representa el comportamiento de la armadura entre la carga de fluencia PY y la carga última Pu y es una recta cuya ecuación se obtiene efectuando en (1.4a) las sustituciones oportunas2. La expresión (1.8'a) nos da el valor de Ta cuando sobreviene el agotamiento: Ta
0, 7321 (158647) 54904
(1.9')
61241N
En el momento del agotamiento, o colapso, la componente vertical del corrimiento de N (en unidades de c) es, según (1.4a),
GV
61241 sen 45º cos 60º 75000 sen 60º cos 45º
c
63 u 10 sen105º 6
2,9 u 103
En resumen, la gráfica de la figura 1.3d consta de tres tramos, OG, GH y a partir de H. El primero, OG, corresponde a los valores de P para los que las tres barras se encuentran en la zona elástica; el tramo GH representa la situación cuando la barra CN ha cedido plásticamente, pero las otras dos se mantienen aún en la zona elástica y pueden soportar más aumentos de P; el tramo horizontal representa el agotamiento de la armadura, situación en que ésta pierde su utilidad al ser incapaz de soportar más carga sin deformarse más allá de lo admisible en la hipótesis de las pequeñas deformaciones, aunque sea capaz de soportar ese incremento de carga gracias a la aparición del endurecimiento por deformación. 2
(įV/c) = (3,50589 x 10-8)P - 0,002629, con P en newtons, y 108964 P 158647. La pendiente del tramo GH es 106/0,035.
20
Análisis plástico de estructuras. Introducción
1.3 Análisis plástico En §1.2 se ha expuesto para un caso concreto sencillo el método general de análisis elastoplástico. Este consiste en obtener los distintos valores de la carga para los cuales las diferentes partes de la estructura van cesando en su comportamiento elástico, hasta que el número de elementos estructurales que han entrado en régimen plástico es suficiente para convertirla en un sistema hipostático y la estructura pierde su utilidad. Así, para la armadura de la figura 1.3a el resultado del análisis se resume en la gráfica de la figura 1.3d. En ésta, el tramo OG representa la situación en que el acero de las tres barras se mantiene en la zona elástica y el sistema es hiperestático de grado uno; el tramo GH representa la situación cuando la barra CN ya ha cedido, pero la armadura no ha perdido su capacidad de sustentar una carga porque el material de las otras dos barras sigue conservándose en la zona elástica y el sistema es isostático; por último, el tramo horizontal representa la pérdida de utilidad de la armadura, cuando cede la barra BN y el sistema no puede mantener su configuración con Tc = Tb = 75000 N y una carga P mayor que la carga última Pu = 158647 N. Si a la armadura de la figura 1.3a le añadiéramos una cuarta barra, la gráfica equivalente a la de la figura 1.3d constaría de cuatro tramos, uno con origen en O representativo de la situación en que el acero de las cuatro barras se mantiene en la zona elástica, al que seguirían dos tramos inclinados representativos de las situaciones en que hubieran fluido una y dos barras sucesivamente, y finalmente un último tramo horizontal correspondiente a la situación cuando ya hubieran fluido tres barras, al llegar la carga a su valor último, y el sistema no podría mantener su configuración original para valores de la carga mayores que la carga última. Si admitimos que una estructura no pierde su utilidad mientras conserve componentes en régimen elástico en número suficiente para soportar las solicitaciones conservando su configuración, bajo la hipótesis de las pequeñas deformaciones, respecto a la armadura de la figura 1.3a podremos admitir que la misma será útil mientras P d 158647 N . El análisis plástico pretende obtener directamente el valor de la carga última, suponiendo que éste es el valor límite de la carga para el cual se cumplen las condiciones de equilibrio bajo la configuración geométrica original y con la hipótesis de las pequeñas deformaciones. En nuestro caso de la armadura de la figura 1.3a las ecuaciones de la estática vimos en §1.2 que son Ta sen 60º Tb sen 45º
0
y
Ta cos 60º Tb cos 45º Tc
P
(1.7a y 1.7b)
y sabemos que el agotamiento correspondería a la situación en que la fuerza en dos barras fuese la de fluencia de 75000 N, y en la tercera la fuerza fuese menor que ese valor. En general, el procedimiento consistiría en sustituir en las ecuaciones (1.7a y 1.7b) las tres combinaciones del valor de 75000 N asignados a dos barras y resolver el sistema para obtener la fuerza en la tercera barra y P. La solución buscada estaría representada por una fuerza en la tercera barra menor que 75000 N y un valor de P que sería precisamente la carga última Pu. A veces, como en este caso, ese tipo de análisis puede simplificarse. Así, la ecuación (1.7a) nos dice que la combinación AN y BN no es posible, pues necesariamente debe ser Ta < Tb. Tampoco es correcta la combinación de AN y CN, pues ello implica que Ta > Tb, ya que si BN no cede es que Tb < 75000 N. Luego el agotamiento de la armadura procede de la cesión plástica de las barras BN y CN. Si en las ecuaciones (1.7a y 1.7 b) se sustituyen Tb y Tc por 75000 N y se resuelve el consiguiente sistema de dos ecuaciones con Ta y P como incógnitas, resultan los mismos valores (1.9) y (1.9’) deducidos en §1.2. Recuérdese que la determinación de la carga última Pu requiere únicamente emplear debidamente las condiciones de equilibrio. Por ejemplo, en este caso para cada dos barras se hace la hipótesis de que en ellas la fuerza es la de fluencia ıYA, y mediante las ecuaciones (1.7a y 1.7b) se calculan la fuerza en la tercera barra y P. Sin embargo, la determinación de la carga de fluencia PY requiere un análisis elástico hiperestático en el que se combinan las condiciones de equilibrio con las condiciones de compatibilidad geométrica, tal como vimos en §1.2. Por otra parte, hay que tener presente que nos referimos a una fuerza de fluencia como valor absoluto y que dicha fuerza puede ser en general de tracción (positiva) o de compresión (negativa), según la hipótesis formulada en §1.1 respecto al modelo elastoplástico perfecto. Para la armadura de la figura 1.3a parece evidente, y se deduce observando las ecuaciones de equilibrio (1.7a y 1.7b), que las fuerzas que sufren las tres barras son positivas. No sucede lo mismo cuando dicha armadura se carga en el nudo N, como en la figura 1.4a, con la fuerza P horizontal. Aquí las ecuaciones de equilibrio para el nudo N (fig. 1.4b) son Ta sen 60º Tb sen 45º
P
y
Ta cos 60º Tb cos 45º Tc
0
(1.10a y 1.10b)
21
1 Introducción
Según la ecuación (1.10b), las fuerzas en las barras no tienen las tres el mismo signo. Según la ecuación (1.10a) pudiera ser que Ta > 0 y Tb < 0. En las ecuaciones (1.10) introducimos los valores Ta = 75000 N y Tb = -75000 N y resolvemos el sistema para las incógnitas Tc y P, lo que nos da Tc
15533 N | 15,5 kN
y
P 117 985 N | 118 kN
Esta parece una solución correcta. Operando igualmente con Tb = -75000 N y Tc = 75000 N, resulta Ta
43934 N | 44 kN
y
P 14985 N | 15 kN
Aparentemente esta solución cumple también con la condición de que en la tercera barra la fuerza sea menor que la fuerza de fluencia y, además, ahora para un valor de P menor que el obtenido con la hipótesis anterior de agotamiento por cesión de AN y BN. Sin embargo, si P aumenta gradualmente desde cero, cuando alcanza el valor de 14985 N, las barras se encuentran todavía en régimen elástico, como se comprueba resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de equilibrio del nudo N, con P = 14985 N, y la ecuación de compatibilidad geométrica Ta sen 60º Tb sen 45º 14985,
Ta cos 60º Tb cos 45º Tc
0
(1.11a, 1.11b)
y Ta sen 45º cos 60º Tb sen 60º cos 45º Tc sen105º
0
(1.11c)
Las raíces de este sistema de ecuaciones (1.11) son Ta
9547 N | 9,5 kN , Tb
9 494 N | 9,5 kN
y Tc
1940 N | 1,9 kN
valores los tres muy alejados de la fuerza de fluencia de 75000 N. O sea, la carga última del sistema de la figura 1.4a es Pu = 117985 N y la armadura se agota por la cesión plástica de las barras AN y BN. Para determinar el orden en que esas barras fluyen hay que recurrir al análisis hiperestático tal como se expuso en §1.2, el cual revela que la primera barra en fluir es la AN para una carga de fluencia PY = 117691 N, muy próxima a la carga última calculada con las ecuaciones (1.10).
Fig. 1.4 a)
El mismo sistema que el de la figura 1.3a; pero sometido a una fuerza, P, horizontal, creciente gradualmente desde cero.
b)
Diagrama de sólido libre del nudo N de conexión entre las tres barras. Ta = fuerza en la barra AN, Tb = fuerza en la barra BN, Tc = fuerza en la barra CN. Al intentar encontrar Pu por tanteos puede ocurrir que una hipótesis incorrecta respecto al sentido de las fuerzas conduzca a una solución errónea. En este caso, por ejemplo, con Ta = 75 kN, Tb = -75 kN obtenemos Tc = 15,5 kN y Pu = 118 kN, y con Tb = -75 Tc = 75 kN obtenemos Ta = -44 kN y Pu = 15 kN . Sin embargo Pu = 15 kN no es la solución porque en este caso el análisis elástico nos indica que todas las barras se encuentran en régimen elástico, con Ta = 9,5 kN, Tb = -9,5 kN y Tc = 1,9 kN.
22
Análisis plástico de estructuras. Introducción
1.4 Cálculo plástico Supongamos que deseamos calcular la sección que deben tener las barras de una armadura como la de la figura 1.3a para que soporte una carga vertical P de 100 kN. Si adoptamos como método de cálculo el llamado diseño elástico o diseño por esfuerzos permisibles dividiremos V Y por el llamado coeficiente de seguridad n para obtener el correspondiente esfuerzo permisible V perm El valor de n para los aceros estructurales es 1,67, o más exactamente 5/3, o sea, que en este caso se tiene
V perm
250 (5 / 3)
150 MPa
Este esfuerzo permisible lo igualamos al esfuerzo máximo esperable en la estructura, siempre suponiendo que todas las partes de ella se mantienen en régimen elástico lineal, en cuyo caso ese esfuerzo máximo esperable se da en la barra CN y vale Tc/A = 0,6883P/A = (0,6883 x 100000)/A = 68800/A Pa. Igualando este valor al de ıperm, obtenemos para A A
68800 150 u 106
4, 6 u 104 m 2
4, 6 cm 2
Es evidente que así nos aseguramos que toda la armadura se mantendrá sobradamente en régimen elástico lineal con una carga vertical de 100 kN. Sin embargo, cabe plantearse si estamos haciendo un uso realmente “económico” del material. En la figura 1.3d se representa el comportamiento elastoplástico de esa armadura para una sección A = 3 cm2. La porción GH representa una situación en que la armadura sigue siendo útil, aunque ya haya fluido una de las barras. Si el límite de utilidad lo fijamos en la carga de fluencia PY = 110 kN, estamos despreciando los 50 kN de resistencia adicional que la armadura podría presentar antes de inutilizarse al llegar P a su valor último Pu de 160 kN. Es decir, en términos relativos estamos prescindiendo de un 160 110 110
0, 45
45%
de la capacidad real de resistencia de la armadura. Desde este punto de vista, si deseamos que la armadura soporte 100 kN, multiplicamos esta carga por 1,45, lo que supone extrapolar a todas las armaduras de la misma configuración esa capacidad de resistencia adicional. El factor que en este caso vale 1,45 recibe el nombre de factor de carga en el análisis y cálculo plásticos. Tenemos así una carga mayorada de 145000 N, que en la barra más solicitada, o sea en la barra CN, debe producir una fuerza que no debe sobrepasar la de fluencia de (250 x 106)A N. O sea, 0, 688 u 145000
(250 u 106 ) A
y por tanto, A 3,99 u 104 m 2 | 4 cm 2 Resulta, pues, una sección más estrecha. Si la carga de trabajo es 100 kN, en realidad el esfuerzo que soporta la barra más solicitada, la CN, será
V
0, 6883 u 100 u 103 3,99 u 104
172,5 u 106 Pa = 172,5 MPa
que es inferior a ıY, lo que supone que toda la armadura se encontrará en régimen elástico para una carga de trabajo de 100 kN. Con respecto al método tradicional basado en los esfuerzos permisibles, el método plástico favorece el ahorro de material y además simplifica los cálculos, al obviar los más complicados métodos del análisis hiperestático.
23
1 Introducción
1.5 Invalidez del principio de superposición En mecánica de materiales son numerosos los problemas que pueden resolverse empleando las soluciones a otros problemas más sencillos aplicando el principio de superposición. Según éste, el efecto de un conjunto de cargas sobre un sistema material puede obtenerse hallando por separado el efecto de cada carga y superponiendo los resultados así obtenidos, con tal que: a) cada efecto sea una función lineal de su causa y b) la deformación debida a cada carga sea pequeña y no afecte a las condiciones de aplicación de las demás cargas. Este principio resulta especialmente útil para estudiar sistemas hiperestáticos, ninguna de cuyas partes haya rebasado el régimen elástico lineal. En el caso del análisis plástico, sin embargo, el principio de superposición pierde su validez al no cumplirse la condición a) de que la relación causa-efecto sea lineal, ya que hemos admitido en §1.1 que es bilineal, tal como se representa en la figura 1.1c. A título ilustrativo consideremos cómo se comporta el sistema de la figura 1.5a. El sistema consta de una barra rígida ABC sostenida en posición horizontal por las tres barras de acero verticales (ıY = 250 MPa, A = 3 cm2) AA1, BB1 y CC1, de la misma longitud a = b = c = L, las cuales están articuladas a ABC y al techo. Para una carga P como la indicada (fig. 1.5b), la aplicación de las condiciones de equilibrio al diagrama de sólido libre de la barra ABC nos da Ta Tb Tc
P
y
2 Tb 4 Tc
P
(1.12a y 1.12b)
donde (1.12b) resulta de igualar a cero los momentos en A. Tenemos así un sistema de grado de hiperestaticidad uno, que debemos completar con una ecuación de compatibilidad geométrica combinada con la ley de Hooke, en el supuesto de que todavía el material de las barras se halla en zona elástica. La compatibilidad geométrica implica que, al ser rígida la barra ABC, los puntos A, B y C que estaban alineados antes de la deformación deben seguir alineados después de su corrimiento vertical a los puntos A’, B’ y C’, tal como se representa en la figura 1.5c. La suposición de que AA’, BB’ y CC’ sean verticales se justifica con la hipótesis de las pequeñas deformaciones. En la figura 1.5c se cumple 'a 'c 2d
'b 'c d
o sea, 'a 2 'b 'c
0
Esta ecuación expresa la compatibilidad geométrica, donde al sustituir ǻa, ǻb e ǻc por los valores dados por la ley de Hooke queda, en definitiva, Ta 2 Tb Tc
(1.12c)
0
Las raíces del sistema de ecuaciones (1.12) son Ta
7P , 12
Tb
P 3
y
Tc
P 12
(1.13)
Estos valores (1.13) indican que la primera barra en ceder es la AA1. Para los valores de ıY y A indicados, ya sabemos que la fuerza de fluencia de cada barra es de 75000 N; por consiguiente, la carga de fluencia PY es PY
12 u 75000 128571N | 128,6kN 7
Si es P = 120 kN < 128,6 kN, resultan Ta = 70 kN, Tb = 40 kN y Tc = 10 kN (fig. 1.5d). Si ahora estudiamos el sistema con una carga Q situada en el centro del tramo BC, tal como se muestra en el diagrama de sólido libre de la figura 1.5e, para el régimen elástico las fuerzas en las barras serían Ta
Q , 12
Tb
Q 3
y
Tc
7Q 12
(1.15)
El análisis posterior revelaría obviamente que la primera barra en llegar a la fuerza de fluencia de 75000 N sería la CC1, con Q = QY = 128571 N § 128,6 kN, como antes. Si es Q = 85 kN < 128,6 kN, resultan Ta = 7,1 kN, Tb = 28,3 kN y Tc = 49,6 kN (fig. 1.5f).
24
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 1.5 El principio de superposición no es válido en el rango plástico. a)
Sistema formado por una barra rígida, AC, sostenida en posición horizontal por tres barras de acero verticales iguales de la misma longitud. Fuerza de fluencia en las barras verticales: 75 kN. Carga: Fuerza P, vertical, creciente gradualmente desde cero.
b)
Diagrama de sólido libre de la barra rígida AC. Ta = fuerza en la barra AA1, Tb = fuerza en la barra BB1, Tc = fuerza en la barra CC1.
c)
Diagrama de la compatibilidad geométrica de las deformaciones de las tres barras verticales. 'a = alargamiento de la barra AA1, 'b = alargamiento de la barra BB1, 'c = alargamiento de la barra CC1.
d)
Equilibrio de la barra AC al aplicar una fuerza P = 120 kN.
e)
Diagrama de sólido libre de la barra rígida AC con la carga Q en el punto medio del tramo BC.
f) . g)
Equilibrio de la barra AC al aplicar una fuerza Q = 85 kN
h)
Diagrama de sólido libre de la barra rígida de la figura e) para P = 120 kN y Q = 85 kN. La barra AA1 estará plastificada y será Ta = 75 kN. El equilibrio de la barra AC exige que los valores de Tb y Tc sean los indicados en la figura.
Diagrama de sólido libre de la barra rígida AC con la carga P en el punto medio del tramo AB y la carga Q en el punto medio del tramo BC. Por superposición obtendríamos para P = 120 kN y Q = 85 kN: Ta = 77,1 kN > 75 kN , Tb = 68,3 kN , Tc = 59,6 kN
25
1 Introducción
En un tercer caso suponemos una fuerza P, en el centro de AB, y una fuerza Q en el centro de BC, tal como se muestra en el diagrama de sólido libre de la figura 1.5g. Mientras los valores de P y Q sean tales que en ninguna barra se sobrepase la fuerza de fluencia de 75000 N, la fuerza en cada barra podemos obtenerla superponiendo los valores correspondientes de las expresiones (1.13) y (1.15), ya que se cumplen las condiciones de aplicabilidad del principio de superposición; o sea, Ta
7P Q , 12
Tb
PQ 3
y
Tc
P 7Q 12
(1.16)
Consideremos la situación de la figura 1.5h, en la que suponemos que P = 120 kN y Q = 85 kN. De las fórmulas (1.13) y (1.15) resulta que ni P ni Q, por sí sola cada una, origina la cesión plástica de ninguna de las barras. Ahora bien, la aplicación simultánea de ambas, nos daría Ta
70 7,1 77,1kN > 75 kN , Tb
40 28,3 68,3kN
y Tc
10 49, 6
59, 6 kN
lo que revela que la barra AA1 cedería plásticamente y ya no son válidas las fórmulas (1.16). El valor de la fuerza en cada barra hay que calcularlo aplicando las condiciones de equilibrio al diagrama de sólido libre de la barra rígida ABC con P = 120 kN, Q = 85 kN y Ta = 75 kN, tal como se indica en la figura 1.5h. El cálculo nos da Tb = 72,5 kN y Tc = 57,5 kN. Siempre que en algún lugar de un sistema el material rebasa el esfuerzo de fluencia, el principio de superposición deja de ser aplicable. Por otra parte, si en un proceso de carga se alcanza la cesión plástica en algún lugar del sistema, no es posible repetirlo alterando el orden de aplicación de las cargas. Además, si se descarga el sistema, éste no regresa a su estado inicial sin carga, toda vez que el material obedece al modelo elastoplástico propuesto en §1.1 y representado en la figura 1.1c, y por consiguiente quedará afectado por unos esfuerzos residuales y unas deformaciones remanentes. Es importante recordar que el orden en que se aplican las cargas afecta al estado final del sistema. Sobre estos extremos volveremos en el capítulo próximo.
1.6 Plasticidad transversal y criterio de von Mises El comportamiento de los materiales bajo cortante se estudia a partir de los diagramas de cortante en los que se representa el esfuerzo cortante IJ en función de la deformación cortante unitaria Ȗ. Estos diagramas pueden obtenerse con ensayos directos de esfuerzo cortante y, para los mismos materiales, presentan un aspecto general muy similar al de los diagramas de tracción y en ellos pueden identificarse cantidades tales como límite de proporcionalidad, módulo de elasticidad, puntos de fluencia y esfuerzo último. Estas propiedades suelen determinarse mediante ensayos de torsión realizados sobre tubos circulares huecos y en líneas generales dan unos valores del orden de la mitad que sus correspondientes a tracción. Asimismo, muchos diagramas de cortante (del acero, aluminio, latones) se inician como los diagramas de tracción con una recta que pasa por el origen y que representa una región elástica lineal donde
W
GJ
siendo G el llamado módulo de elasticidad transversal, también llamado módulo de rigidez, del material. Hemos tratado en este capítulo de la plasticidad que aparece cuando se agota un estado de esfuerzos monoaxial. Sin embargo, en la práctica hay estados de esfuerzos que no son monoaxiales. Por ello, interesa establecer hasta qué punto es posible aumentar las solicitaciones en un estado general de esfuerzos sin que en cada lugar considerado sobrevenga la cesión plástica. El estudio de esta cuestión es objeto de la reología y de ella se han ocupado investigadores con el propósito de establecer un criterio que permita definir unos valores que sirvan de referencia para la aparición de la plasticidad. De los criterios propuestos, el generalmente aceptado para los aceros estructurales y otros metales es el debido a Richard von Mises. Dicho criterio se basa en consideraciones energéticas y en definitiva se resume en la expresión
V I V II
2
2
V II V III V III V I
2
2 V Y2
(1.17)
26
Análisis plástico de estructuras. Introducción
En ésta, V I , V II , V III son los esfuerzos principales del estado general de esfuerzos considerado y según el criterio de von Mises no se alcanzará la fluencia mientras el primer miembro no rebase el valor dado por el segundo. En muchas piezas y elementos estructurales son corrientes los estados de esfuerzos biaxiales o planos, como el representado en la figura 1.6, en cuyo caso los esfuerzos principales son
VI
V II
Vx Vy 2
Vx Vy 2
2
§Vx Vy · 2 ¨ ¸ W xy 2 © ¹ 2
§Vx Vy · 2 ¨ ¸ W xy 2 © ¹ 0
V III Si estos valores los introducimos en (1.17) resulta
V x2 V y2 V x V y 3W xy2
V Y2
Cuando, como en el caso de la flexión simple, sólo hay que considerar los esfuerzos normales V debidos al momento flector y los esfuerzos cortantes W debidos a las fuerzas transversales, la expresión anterior se reduce a
V 2 3W 2
V Y2
(1.18)
para cada punto de la sección transversal de una viga. Además, cuando el estado de esfuerzos es de cortadura pura, la condición de no plastificación es V Wd Y 3 que concuerda con los resultados experimentales. Así, para el acero es V Y 250 MPa y el esfuerzo cortante de fluencia es W Y 145 MPa , y para el latón y el aluminio, ambos con V Y 100 MPa , el esfuerzo cortante de fluencia hallado experimentalmente es de 60 y 55 MPa respectivamente.
Fig. 1.6 Estado de esfuerzos biaxial plano para el cual el criterio de plastificación de Richard von Mises:
V I V II
2
2
V II V III V III V I
se reduce a : 2 V x2 V Y2 V X V Y 3W XY
V Y2
2
2 V Y2
1 Introducción
27
EJERCICIOS 1.1
La armadura de la figura 1.3a se carga con una fuerza vertical de 140 kN en el nudo N y luego se descarga. Hallar los esfuerzos residuales en las barras. Pueden emplearse los resultados hallados en §1.3.
1.2
Las barras AN, BN, CN y DN, articuladas al techo y al nudo N, que soporta una carga vertical P, son de acero con ıY = 250 MPa y las cuatro tienen la misma sección A = 3 cm2. 1) Analizar elastoplásticamente el sistema y representar los resultados en una gráfica con P en el eje de ordenadas y la componente vertical del corrimiento de N, en unidades de c, en el eje de abscisas. 2) Emplear los resultados anteriores para deducir por cálculo tanto elástico como plástico la sección de las cuatro barras cuando el valor de servicio de P es de 300 kN. ¿Es plenamente satisfactorio el resultado que da el cálculo plástico? Si no es así, ¿cómo corregirlo?
1.3
En la figura, ABCD es una barra que se supone rígida, mientras que las cuatro barras verticales (A1A, B1B, C1C y D1D), articuladas en sus extremos, son de acero, con ıY = 250 MPa y las cuatro tienen la misma sección A = 4 cm2. 1) Analizar elastoplásticamente el sistema y representar los resultados en una gráfica con la carga P en el eje de ordenadas y el corrimiento de D, en unidades de L, en el eje de abscisas. 2) Emplear los resultados anteriores para deducir por cálculo tanto elástico como plástico la sección de las cuatro barras cuando el valor de trabajo de P es de 200 kN. ¿Es plenamente satisfactorio el resultado que da el cálculo plástico? Si no es así, ¿cómo corregirlo?
2 Flexión Plástica de Vigas 2.1 Flexión plástica de vigas y factor de forma La teoría de la flexión simple de vigas en régimen elástico se desarrolla a partir de las cuatro hipótesis siguientes: a) b) c) d)
que el alargamiento de cada fibra longitudinal es proporcional a su distancia al eje neutro (consecuencia de la hipótesis de Navier de que las secciones planas siguen siendo planas después de la deformación); que las fibras longitudinales satisfacen la ley de Hooke, es decir, que el material es elástico lineal; que las deformaciones son lo bastante pequeñas para que pueda admitirse que la curvatura I de la elástica1 cumple que I | tg I ; y que el sistema de fuerzas internas actuante en una sección de la viga, de área A, equivale a una fuerza normal de valor
³ V dA A
y a un par de fuerzas cuyo momento M, el llamado momento flector, es
³ yV dA A
donde y es la distancia al eje neutro y ı es la distribución de esfuerzos en la sección expresada por
V
M y I
Para desarrollar la teoría elemental de la flexión plástica de vigas, se siguen admitiendo esas cuatro hipótesis, pero modificando la b) en el sentido de que el material ya no es elástico lineal, sino elastoplástico perfecto, lo que introduce unas modificaciones en la formulación del comportamiento de la viga que son el objeto de este capítulo. Por otra parte, en la figura 2.1 se resumen los símbolos y el convenio de signos adoptado, siendo este último el mismo que suele adoptarse en el estudio de la flexión simple de vigas en régimen elástico. Siguiendo el criterio de signos admitido para el momento flector, el diagrama de momentos flectores de la viga de la figura 2.1e es el indicado en la figura 2.1g, mientras que la viga se deforma como se indica en trazo grueso en la figura 2.1f. Siguiendo una costumbre bastante generalizada, en los diagramas de momentos flectores se representan los valores positivos de éstos hacia abajo, tal como se muestra en la figura 2.1h, al objeto de “asemejar” la forma del diagrama a la forma de la elástica.
1
Recuérdese que la elástica es la forma que adopta el eje de la viga cuando ésta se deforma, y que el eje de la viga es el lugar geométrico de los centroides de las secciones.
30
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 2.1 a) Rebanada de longitud ds de una viga recta. b) Deformación de la rebanada a causa de un momento M. Las secciones planas siguen siendo planas después de la deformación, según la hipótesis de Navier. c) La fibra cuya longitud no varía es la llamada fibra neutra. La longitud de las otras fibras varía en cantidades, ds, proporcionales a su distancia a la fibra neutra. d) ds = longitud primitiva de todas la fibras Gs = cambio de longitud de una fibra H = deformación unitaria de una fibra = Gs / ds > = ángulo girado por la sección. La fibra que más se deforma es la más alejada de la fibra neutra (a una distancia c). Entre e) y h) se indica el convenio para representar el diagrama de momentos flectores. (Según una costumbre generalizada, los valores positivos de los momentos se toman hacia abajo, al objeto de “asemejar” la forma del diagrama a la forma de la elástica.)
31
2 Flexión plástica de vigas
Consideremos ahora una viga de sección rectangular (base b, altura h), como la mostrada en la figura 2.2a, constituida por un material elastoplástico perfecto (fig. 2.2b). Supongamos asimismo que dicha viga está sometida a flexión pura y que el momento flector M en la sección representada en la figura 2.2a aumenta paulatinamente desde cero. Mientras el material se encuentre en la zona elástica (fig. 2.2c), el esfuerzo máximo en esa sección podremos calcularlo mediante la fórmula ımax = M/W, que se deduce en la teoría simple de la flexión elástica y donde W = I/c es el llamado módulo resistente. I es el momento de inercia de la sección respecto al eje neutro y c es la distancia desde el eje neutro (fig. 2.1) hasta el borde de la sección más alejado; o sea, en este caso es c = h/2. Si el momento flector M en esa sección aumenta hasta un valor MY, llamado momento de fluencia, tal que en las fibras extremas, que son las más solicitadas, empieza a sobrevenir la cesión plástica y en ellas es ı = ıY y İ = İY, esa fórmula sigue siendo aplicable y podremos escribir MY
V YW
(2.1)
que corresponde a la situación de la figura 2.2d. Si luego M sigue aumentando por encima de MY, las deformaciones unitarias en la sección continuarán aumentando y el valor máximo de İ será mayor que İY. Pero, como el material es elastoplástico perfecto, el esfuerzo máximo permanecerá constante e igual a ıY, situación que se representa en la figura 2.2e. Entonces, las zonas más externas de la sección se habrán plastificado enteramente, mientras que un núcleo interior continúa linealmente elástico; es éste el llamado núcleo elástico. Conforme el momento flector va aumentando más, las zonas plastificadas se agrandan avanzando hacia el eje neutro, como en la figura 2.2f, momento en que la deformación unitaria más grande es quizá 10 o 15 veces İY, y además el núcleo elástico está desapareciendo. A efectos prácticos, si la viga es isostática habrá llegado a su capacidad última de resistir esfuerzos, es decir, habrá llegado al agotamiento; entonces se puede admitir que la distribución final de esfuerzos en la sección está idealmente compuesta por las dos porciones rectangulares que se representan en la figura 2.2g, tras haber tenido lugar unas rotaciones ilimitadas. El valor del momento flector en la sección para el que toda ella está plastificada se llama momento plástico y se designa por MP y la carga que lo genera se conoce como carga última, o carga de agotamiento. Para calcular MP basta tener en cuenta que la distribución rectangular de esfuerzos en la sección plastificada equivale a un par de fuerzas cuyo momento debe ser precisamente MP. En la figura 2.3, la resultante P de los esfuerzos de compresión en la mitad superior de la sección vale P VY
bh 2
VY
A 2
La resultante de los esfuerzos de tracción en la mitad inferior de la sección tiene ese mismo valor. Ambas resultantes originan un par de fuerzas de momento Ph/2, o sea ıY(bh2/4), que debe ser igual a MP. Es decir, MP
VY
bh 2 4
(2.2)
Volvamos a la expresión (2.1) que nos daba el valor del momento de fluencia. Como en este caso es I = bh3/12 y c = h/2, resulta que W =bh2/6 y, por tanto, MY
VY
bh 2 6
(2.3)
Si ahora dividimos (2.2) y (2.3) miembro a miembro, obtenemos MP MY
1,50
Es decir, si agotamos la viga cargándola más y más hasta llegar a la plastificación total de la sección, habremos incrementado su capacidad de carga en un 50% por encima de su capacidad al inicio de la cesión plástica. El cociente MP/MY recién calculado para una sección rectangular, y que resulta ser una cantidad adimensional exclusivamente función de la geometría de la sección, recibe el nombre de factor de forma y suele designarse por f.
32
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig 2.2 En esta figura se muestra las distribuciones de esfuerzos y de deformaciones y el giro de una sección recta de la viga de sección rectangular a) al aplicar un momento flector M gradualmente creciente. b) El material se supone elastoplástico perfecto. c) Los esfuerzos, las deformaciones y el ángulo girado crecen proporcionalmente a M, mientras ninguna fibra alcance el esfuerzo de fluencia. En d) las fibras de los extremos empiezan a plastificarse al llegarse al esfuerzo de fluencia ıy. Al momento flector correspondiente se le llama momento de fluencia My. e) y f) Al seguir creciendo el momento, va creciendo la región de fluencia en los extremos de la sección (parte rayada en la figura), sometida a un esfuerzo constante ıy y donde el alargamiento de las fibras está controlado únicamente por la deformación de las fibras de la parte central de la viga que todavía se hallan en régimen elástico, llamada núcleo elástico (parte blanca en el dibujo). Para estos valores del momento flector ya no existe proporcionalidad entre éste y el ángulo girado, los esfuerzos y las deformaciones. En la figura g) toda la sección presenta fluencia y, en ausencia de endurecimiento por deformación del material, las deformaciones unitarias se harían ilimitadas, así como el ángulo girado. La viga está agotada. El valor del momento flector correspondiente es el llamado momento plástico, MP .
33
2 Flexión plástica de vigas
Fig 2.3 La viga de sección rectangular llega al agotamiento cuando el valor del momento aplicado vale MP
Ph 2 V y Ah 4
En el caso, como el recién considerado, de secciones simétricas respecto al eje de flexión elástica, el eje neutro sigue coincidiendo con aquél (y pasando, por ello, por el centroide) al llegarse a la plastificación total. Pero si la sección es asimétrica respecto al eje de flexión elástica, el eje neutro se desplaza, desde su coincidencia con el eje de flexión cuando M = MY, hasta una posición tal que divide a la sección en dos áreas iguales cuando M = MP. Ello es consecuencia de la hipótesis de que la flexión es pura, o sea, de que el sistema de esfuerzos normales distribuidos sobre la sección debe equivaler sólo a un par de fuerzas. Consideremos ahora una sección de forma cualquiera como la de la figura 2.4a, de área total A y donde z es el eje neutro en plastificación total. Este eje divide a la sección en dos porciones, la de área A1 y centroide en G1, y la de área A2 y centroide en G2. En esa misma figura, y1 e y2 son las respectivas distancias al eje z de los centroides G1 y G2. En la parte de área A1 habrá una resultante de compresión ıYA1 aplicada en su centroide G1, mientras que en la parte de área A2 habrá una resultante de tracción ıYA2 aplicada en su centroide G2. Entonces, como la resultante debe ser nula,
V Y A1 V Y A2
0
y, por tanto, A1
A2
A2
Fig 2.4 Si la sección recta de la viga no es simétrica respecto al eje de flexión elástica, el momento en el agotamiento vale
MP
V Y A y1 y 2 2
34
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Es posible con esto establecer una fórmula general para calcular el factor de forma. Para una sección cualquiera como la de la figura 2.4a el momento plástico será (fig. 2.4b) MP
§ A· § A· ¸ y1 V Y ¨ ¸ y 2 ©2¹ ©2¹
VY ¨
o sea, A( y1 y 2 ) (2.4) 2 siendo y1 e y 2 las distancias al eje neutro en plastificación de los centroides G1 y G2 de las superficies de áreas A1 y A2 iguales en que dicho eje divide a la sección. La expresión (2.4) puede escribirse MP
VY
VYZ
(2.5)
A( y1 y 2 ) 2
(2.6)
MP
donde Z
es el llamado módulo plástico de la sección. Si ahora tenemos en cuenta que f = MP/MY y recordamos la relación (2.1), resulta f
Z W
expresión que pone de manifiesto, otra vez, la naturaleza geométrica y adimensional del factor de forma. Si el perfil es simétrico, será y1 y2 , y Z la suma de los momentos estáticos de las dos medias secciones. Así, en la norma UNE 36 521 (Productos de acero. Sección en I con alas inclinadas. Medidas) están tabulados los valores S de los momentos estáticos de las medias secciones y, por tanto, para cada perfil es Z = 2S. Para los perfiles en doble T se calcula 1 2 bt h t s h 2t 4
(2.7a)
s 1 ª1 3 º bt bt (h t ) 2 (h 2t )3 » « h ¬3 6 ¼
(2.7b)
Z
y W
donde b es la anchura del ala, h es la altura total del perfil, s es el espesor del alma y t es el espesor del ala, tal como se indica en la ilustración de la tabla 2-1. En esta misma tabla se dan los valores de W y Z para las vigas en doble T de alas anchas y caras paralelas, calculados mediante las fórmulas (2.7) y con las medidas de b, h, s y t tomadas de la norma UNE 36-524-94 (Perfiles HE de alas anchas y caras paralelas). Obsérvese que en las fórmulas (2.7) no se tiene en cuenta el radio de unión r entre el alma y las alas, por lo que los valores de W que figuran en la tabla 2-1 difieren levemente de sus homólogos en la norma citada. Las fórmulas (2.7) pueden aplicarse, también con poco error, a los perfiles en I tomando como espesor t del ala el espesor de ésta a una distancia b/4 del borde.2 2
Téngase en cuenta que los valores reseñados en la tabla 2-1 no deben tomarse como “oficiales”. Los empleamos sólo como referencias verosímiles.
35
2 Flexión plástica de vigas
En el Manual of Steel Construction del AISC (American Institute of Steel Construction) están tabulados los valores de Z para los perfiles americanos W, M y S. Hay una versión métrica de ese manual. Como ejemplo consideremos el cálculo del factor de forma del perfil en T de la figura 2.5a. Empecemos calculando el módulo resistente W = I/c. Para hallar tanto I como c necesitamos determinar la posición del centroide G de la sección completa. Si tomamos como referencia el eje BB que pasa por la base y denominamos ' la distancia de G a BB (fig. 2.5b), podemos escribir, dividiendo el perfil en las superficies correspondientes al ala y al faldón,
150 u 50 150 u 50 '
150 u 50 75 150 u 50 150 25
con lo que ' 125 mm
O sea, el borde superior de la sección está a una distancia de G de (150 + 50) - 125 = 75 mm, mientras que el borde inferior está a una distancia de G de 125 mm. Es decir, c = 125 mm y al iniciarse la fluencia la distribución de esfuerzos es la indicada en la figura 2.5c. Para calcular I, aplicamos el teorema de Steiner a las dos partes, ala y faldón. Así tenemos
I
150 u 50 12 150 u 50 50 50 u150 12 150 u 50 50 3
2
3
Fig 2.5 Valores calculados para la sección en T. Módulo resistente: W
I c
53, 125 u 106 125 0, 425 u 106 mm3
Módulo plástico: Z
A 2 y1 y2
Factor de forma: f
Z W
150 u 50 25 75
0,75 u 106 mm 3
0,75 u 10 6 mm3 0, 425 u 106 mm3
1,76
2
36
Análisis plástico de estructuras. Introducción
h (mm)
b (mm)
s (mm)
t (mm)
WZ* (m3x 106)
Z** (m3 x 106)
f
A (m2 x 104)
Masa*** (kg/m)
100A 100B 100M
96 100 120
100 100 106
5 6 12
8 10 20
69 86 188
78 100 231
1,13 1,16 1,23
20 24,8 52
15,6 19,4 40,7
120A 120B 120M
114 120 140
120 120 126
5 6,5 12,5
8 11 21
102 140 284
114 159 345
1,12 1,14 1,21
24,1 32,8 65,2
18,8 25,6 51
140A 140B 140M
133 140 160
140 140 146
5,5 7 13
8,5 12 22
150 210 407
167 239 487
1,11 1,14 1,2
30,2 41,7 79,3
23,6 32,6 62
160A 160B 160M
152 160 180
160 160 166
6 8 14
9 13 23
210 302 558
233 342 662
1,11 1,13 1,19
36,8 52,3 95,1
28,8 40,9 74,4
180A 180B 180M
171 180 200
180 180 186
6 8,5 14,5
9,5 14 24
282 414 738
311 467 869
1,1 1,13 1,18
43,3 63,3 111,3
33,9 49,5 87
200A 200B 200M
190 200 220
200 200 206
6,5 9 15
10 15 25
369 551 951
407 620 1113
1,1 1,13 1,17
51,1 75,3 128,5
40 58,9 100,5
220A 220B 220M
210 220 240
220 220 226
7 9,5 15,5
11 16 26
494 715 1198
543 802 1394
1,1 1,12 1,16
61,6 88,3 146,7
48,2 69,1 114,7
240A 240B 240M
230 240 270
240 240 248
7,5 10 18
12 17 32
643 908 1772
707 1016 2080
1,1 1,12 1,17
73,1 102,2 195,8
57,2 79,9 153,1
260A 260B 260M
250 260 290
260 260 268
7,5 10 18
12,5 17,5 32,5
791 1104 2120
867 1230 2471
1,1 1,11 1,17
81,9 113,5 214,7
64 88,8 167,9
280A 280B 280M
270 280 310
280 280 288
8 10,5 18,5
13 18 33
963 1328 2508
1055 1477 2908
1,1 1,11 1,16
92,3 126,4 235,2
72,2 98,8 183,9
300A 300B 300M
290 300 340
300 300 310
8,5 11 21
14 19 39
1192 1612 3425
1305 1790 3999
1,09 1,11 1,17
106,3 142,8 296,8
83,1 111,7 232,1
Tabla 2-1
37
2 Flexión plástica de vigas
*WZ
h (mm)
b (mm)
s (mm)
t (mm)
WZ* (m3 x 106)
Z** (m3 x 106)
f
A (m2 x 104)
Masa*** (kg/m)
320A 320B 320M
310 320 359
300 300 309
9 11,5 21
15,5 20,5 40
1407 1857 3734
1545 2066 4352
1,1 1,11 1,17
118,1 155,1 305,8
92,4 121,3 239,1
340A 340B 340M
330 340 377
300 300 309
9,5 12 21
16,5 21,5 40
1601 2081 3984
1761 2319 4628
1,1 1,11 1,16
127,2 164,6 309,6
99,5 128,7 242,1
360A 360B 360M
350 360 395
300 300 308
10 12,5 21
17,5 22,5 40
1809 2320 4224
1994 2588 4895
1,1 1,12 1,16
136,5 174,4 312,6
106,7 136,4 244,5
400A 400B 400M
390 400 432
300 300 307
11 13,5 21
19 24 40
2218 2794 4737
2455 3125 5464
1,11 1,12 1,15
152,7 191,5 319,5
119,4 149,8 249,8
450A 450B 450M
440 450 478
300 300 307
11,5 14 21
21 26 40
2790 3447 5404
3095 3862 6210
1,11 1,12 1,15
171,8 211,7 329,2
134,3 165,5 257,4
500A 500B 500M
490 500 524
300 300 306
12 14,5 21
23 28 40
3431 4170 6069
3814 4679 6959
1,11 1,12 1,15
191,3 232,4 338
149,6 181,7 264,3
550A 550B 550M
540 550 572
300 300 306
12,5 15 21
24 29 40
4012 4839 6796
4472 5440 7783
1,11 1,12 1,15
205,5 247,8 348,1
160,7 193,8 272,2
600A 600B 600M
590 600 620
300 300 305
13 15,5 21
25 30 40
4639 5556 7519
5185 6260 8607
1,12 1,13 1,14
220,2 263,7 357,4
172,2 206,2 279,5
650A 650B 650M
640 650 668
300 300 305
13,5 16 21
26 31 40
5312 6321 8278
5956 7140 9477
1,12 1,13 1,14
235,4 280,1 367,5
184,1 219 287,4
700A 700B 700M
690 700 716
300 300 304
14,5 17 21
27 32 40
6064 7166 9028
6837 8132 10344
1,13 1,13 1,15
254,2 300,1 376,8
198,8 234,7 294,7
800A 800B 800M
790 800 814
300 300 303
15 17,5 21
28 33 40
7428 8726 10628
8421 9950 12209
1,13 1,14 1,15
278,1 326,5 396,5
217,5 255,3 310,1
900A 900B 900M
890 900 910
300 300 302
16 18,5 21
30 35 40
9195 10693 12254
10496 12269 14126
1,14 1,15 1,15
312,8 363,6 415,9
244,6 284,3 325,2
1000A 1000B 1000M
990 1000 1008
300 300 302
16,5 19 21
31 36 40
10862 12572 14011
12471 14502 16215
1,15 1,15 1,16
339,1 392,3 436,5
265,2 306,8 341,3
s 1 ª1 3 2 3º bt bt h t h 2t » h «¬ 3 6 ¼
** Z
1 2 bt h t s h 2t 4 Tabla 2-1
***Densidad del acero: 7820 kg/m 3
38
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Luego
53,125 u 106 mm 4
I
y el módulo resistente de la sección vale W
53,125 u 106 125
0, 425 u 106 mm3
En general, habría que calcular la posición del eje neutro en plastificación determinando la posición de la línea que divide a la sección en dos áreas iguales. Aquí no hace falta ese cálculo ya que se aprecia que el ala y el faldón tienen áreas iguales, por lo que la línea neutra buscada es la línea AA que separa ala y faldón, como se indica en la figura 2.5b. Se ve, además, que y1 25 mm e y 2 75 mm. Entonces, el módulo plástico Z vale 0,5 2 u 150 u 50 25 75
0, 75 u 106 mm3
Resulta así un factor de forma 0, 75 u 106 0, 425 u 106
f
1, 76
2.2 Relación entre el momento y la curvatura y articulaciones plásticas Volviendo al proceso de plastificación descrito en la figura 2.2, analicemos la situación cuando en la sección considerada el momento flector M en ella sea mayor que el momento de fluencia MY, pero menor que el momento plástico MP (figs. 2.2e y 2.2f). Ya sabemos que entonces las zonas más externas estarán plastificadas, y en ellas el esfuerzo será uniforme y de valor ıY, mientras que la zona interna, que llamamos núcleo elástico, estará sometida a una distribución lineal de esfuerzos. La situación se representa en las figuras 2.6a y 2.6b, donde e es la distancia del eje neutro a cada borde del núcleo elástico. En la figura 2.6b, P es la resultante de los esfuerzos (compresión o tracción) que actúan en cada porción plástica, mientras que Q es la resultante de los esfuerzos (compresión o tracción) que actúan sobre cada porción del núcleo elástico. Claramente se ve que §h · P VY b¨ e¸ ©2 ¹
y
Q VY
eb 2
(2.8)
Considerando la figura 2.6b, el momento flector será §h · § 4e · P¨ e¸ Q¨ ¸ ©2 ¹ © 3 ¹
M
y si en esta expresión introducimos los valores (2.8), resulta M
§h
·§ h
·
§ eb · § 4e ·
VY b¨ e¸¨ e¸ VY ¨ ¸¨ ¸ ©2 ¹© 2 ¹ © 2 ¹© 3 ¹
Si operamos con esta última expresión, teniendo en cuenta que para una sección rectangular es MY = ıY(bh2/6), obtendremos M
§ 3 2e 2 · MY ¨ 2 ¸ ©2 h ¹
(2.9a)
39
2 Flexión plástica de vigas
Fig. 2.6 Si en la figura 2.2 M está comprendido entre My y MP, la distribución de esfuerzos será la mostrada en b), la fuerza resultante equivalente a los esfuerzos uniformes será P y la fuerza resultante equivalente a los esfuerzos triangulares será Q, aplicadas en los puntos indicados.
o, mejor aún, e h
1 · 3 2 ¨§ M ¸ © MY ¹ 2
(2.9b)
Esta expresión (2.9b) concuerda con lo que ya sabíamos, es decir que cuando M = MP es e = 0, ya que entonces el cociente de momentos es precisamente el factor de forma f y éste vale 1,5 para las secciones rectangulares. Volvamos a la figura 2.2. En ella se indica la curvatura I de la elástica para las distintas situaciones representadas. En la teoría de la flexión elástica la curvatura es I = M/EI y al iniciarse la fluencia tendremos MY EI
IY
(2.10)
Para la situación de la figura 2.2e podemos escribir
HY e
I | tgI
(2.11)
y en el núcleo elástico se cumple que HY
VY E
I
VY Ee
(2.12)
Eliminando İY entre (2.11) y (2.12), resulta
y dividiendo esta expresión por la (2.10) obtenemos
I IY
VYI M Ye
(2.13)
Finalmente, si en (2.13) introducimos MY = WıY = (I/c)ıY, queda
I IY
c e
(2.14)
40
Análisis plástico de estructuras. Introducción
I Iy Fig. 2.7 Relación momento-curvatura para vigas de secciones diversas. Las curvas se componen de un tramo recto, desde el origen hasta M / My = 1, que corresponde al comportamiento elástico del material, seguido de una porción curva representativa del intervalo en el que el material es parcialmente elástico y parcialmente plástico y que tiende asintóticamente al valor Mp / My = f, que corresponde a la plastificación total del material.
La expresión (2.14) podemos aplicarla a una sección rectangular, teniendo en cuenta que entonces es c = h/2 y que para ese caso se cumple la relación (2.9a). Resulta así
I IY
1 3 2( M M Y )
,
MY d M d MP
(2.15a)
,
MY d M d MP
(2.15b)
o bien, M MY
1,5
0,5 2 I IY
relación que se representa en la figura 2.7. En ésta se representan asimismo las relaciones del tipo de las (2.15) para otras secciones, relaciones que se obtienen siguiendo el mismo procedimiento que para las secciones rectangulares. Las curvas momento-curvatura de la figura 2.7 se componen de un tramo recto, desde el origen hasta M/MY = 1, que corresponde al comportamiento elástico del material, seguido de una porción curva representativa del intervalo en que el material es parcialmente elástico y parcialmente plástico y que tiende asintóticamente al valor MP/MY = f, al que correspondería un valor infinito de I IY , situación de plastificación total (fig. 2.2g) con rotaciones ilimitadas, abstracción hecha del endurecimiento por deformación. Tal situación se alcanza tanto más rápidamente cuanto menor es el factor de forma f y el fenómeno es muy acusado en las vigas de sección en doble T. Esto último justifica la aplicación del diseño plástico a estos perfiles laminados, pues las vigas en doble T llegan a la situación de rotación ilimitada casi repentinamente tras haber llegado a la fluencia las fibras extremas, lo que permite idealizar la curva momento-curvatura suponiendo que la sección se comportará elásticamente justo hasta el momento en que se plastifica totalmente, tal como se representa en la figura 2.8. Volviendo a la figura 2.7, desde el instante en que M/MY = 1, la deformación está controlada por el núcleo elástico de la sección, comportamiento que suele conocerse como flujo plástico controlado. Seguidamente, conforme la curva tiende a su asíntota horizontal y el núcleo elástico se reduce, la sección se acerca paulatinamente al flujo plástico incontrolado, situación que correspondería a la plastificación total de la sección y en que la deformación seguiría aumentando sin que aumentase el momento flector por encima del momento plástico MP. Llegado ese momento, decimos que en la sección se ha generado una articulación plástica.
41
2 Flexión plástica de vigas
I Iy Fig. 2.8 Curva momento-curvatura idealizada de un perfil en doble T.
Si bien la plastificación total se da en la sección de la viga en la que el momento flector M en régimen elástico es máximo, en las secciones adyacentes a uno y otro lado a la de plastificación total se habrá iniciado la plastificación cuando se haya generado la articulación plástica. De ésta, por tanto, podemos afirmar que ocupa una cierta longitud LP que será igual a la de plastificación de las fibras exteriores. Consideremos el caso de una viga simplemente apoyada con una carga puntual aplicada en su punto medio, en cuyas secciones suponemos despreciables los efectos de las fuerzas cortantes y axiales y suponemos, también, despreciable el peso de la viga frente al valor de la carga concentrada. La longitud LP puede calcularse sin más que considerar que en ambos extremos de LP el momento flector debe ser MY; o sea, MY
P § L LP · 2 ¨© 2 ¸¹
(2.16)
Por otra parte, el momento flector máximo es PL/4 (en el punto medio) y éste debe ser precisamente MP; es decir, MP
PL 4
(2.17)
Combinando (2.16) y (2.17), y teniendo en cuenta que f = MP/MY, obtenemos LP
§ 1· L ¨1 ¸ f ¹ ©
fórmula que da la longitud del tramo de plastificación para una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en su punto medio. Se aprecia que el tramo de plastificación es tanto más corto cuanto menor es el factor de forma. La figura 2.9a corresponde a una viga de sección rectangular y la figura 2.9b a una viga de sección en doble T. Si la sección es rectangular (f = 1,5), es LP = L/3; si la sección es de doble T (1,1 f 1,2), LP varía de 0,09L a 0,17L (el caso representado en la fig. 2.9b corresponde a f 1,14). Pese a que el tramo de plastificación abarca una fracción apreciable de la longitud de la viga, las curvas de la figura 2.7 evidencian que la curvatura tiende a concentrarse (teóricamente a hacerse infinita) en la sección donde la plastificación es total, o sea, en la articulación plástica propiamente dicha. Por ello, y con fines prácticos, es posible suponer que una articulación plástica no tiene dimensiones y está localizada en una sección concreta de la viga; ésta se comporta, en los dos casos aquí considerados (fig. 2.9), como dos barras rígidas unidas por una articulación y que giran una respecto a la otra contra la acción de un par de fuerzas de momento MP. Esta suposición se justifica por el hecho de que a uno y otro lado de la sección de plastificación total el flujo plástico está controlado.
42
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 2.9 La longitud del tramo de plastificación de una viga simplemente apoyada con una carga única en el centro cuando en este punto se alcanza la plastificación total vale
LP
L 1 1 f
donde f es el factor de forma. El tramo de plastificación es tanto más corto cuanto menor es el factor de forma. En la figura se indican la longitud del tramo de plastificación para una viga de sección rectangular (f = 1,5) y para una viga en doble T, con un factor de forma de 1,14. Sin embargo, se admite que la articulación plástica no tiene dimensiones y que está concentrada en la sección en que la plastificación es total. La viga se comporta como dos barras rígidas unidas por una articulación que presenta una resistencia al giro de momento MP.
Una viga isostática se supone que se agota, o se colapsa, en cuanto se sobrepasa levemente la llamada carga última, y ésta, en el caso de una viga isostática como las consideradas en la figura 2.9, es la que genera la única articulación plástica precursora del agotamiento, o colapso. Decimos entonces que el mecanismo de agotamiento, o mecanismo de colapso, está constituido por una articulación plástica. Obviamente, en las vigas hiperestáticas los mecanismos de colapso están formados por más de una articulación plástica. Diremos que un mecanismo de colapso está formado por el número mínimo de articulaciones plásticas capaz de permitir que la viga se agote cuando se sobrepasa levemente la carga última.
2.3 Análisis plástico de vigas: carga última y redistribución de momentos Acabamos de ver que una viga isostática se agota cuando en ella se genera un mecanismo de colapso formado por una única articulación plástica. En la viga de la figura 2.10a, el momento máximo wL2/8 aumenta proporcionalmente a la carga uniformemente distribuida w. Al variar ésta, el diagrama de momentos flectores (fig. 2.10b) conserva su forma de parábola y en cada punto de la viga se conserva la proporcionalidad. Ya sabemos que la articulación empezará a desarrollarse cuando en la sección del centro el momento flector alcance su valor de fluencia MY = ıYW, para un valor wY de la carga distribuida que llamamos carga de fluencia. La
43
2 Flexión plástica de vigas
articulación se habrá formado por completo cuando en la sección del centro el momento flector sea igual al momento plástico MP = ıYZ, para un valor wu de la carga distribuida que hemos llamado carga última o de agotamiento. Suponiendo que consideremos que la utilidad de la viga se prolonga hasta que w alcanza su valor último wu, habremos incrementado la capacidad de carga de la viga. Siendo MP/MY = f, con MP = wuL2/8 y MY = wYL2/8, resulta wu wY
f
Es decir, la carga última es wu = fwY y el más mínimo aumento de w por encima de wu provocará el colapso.
Fig. 2.10 a)
Viga isostática con carga uniformemente distribuida.
b)
Diagrama de momentos flectores. Si aumentamos gradualmente la carga, cuando el momento máximo alcance el valor de fluencia, My, correspondiente a la carga de fluencia wy, empezará la plastificación en las zonas extremas de la sección central de la viga, con MY
WV y
wy L2 8
La articulación plástica en el centro de la viga se habrá generado cuando el valor del momento flector en este punto alcance el valor del momento plástico, MP, correspondiente a la carga máxima que es capaz de soportar la viga, o carga última, wu, para la cual MP
ZV y
wu L2 8
En el caso de una viga isostática, la relación entre la carga última para la cual se produce el colapso y la carga de fluencia para la que se inicia la fluencia es wu wy
Z W
f
44
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Consideremos ahora esa misma viga ligada hiperestáticamente mediante sendos empotramientos en los extremos A y B (fig. 2.11a). Al igual que en el caso de la misma viga simplemente apoyada, conforme aumenta w, en cada sección de la viga los valores del momento flector conservan la proporcionalidad. El diagrama de momentos flectores (fig. 2.11b) revela que será en los empotramientos, A y B, donde se formarán las dos primeras articulaciones plásticas para un valor wi de la carga distribuida, que podemos llamar carga de primera plastificación y que vale (fig. 2.11c) 12M P wi L2
Fig. 2.11 a) b) c) d)
Viga hiperestática doblemente empotrada con carga uniformemente distribuida. Diagrama de momentos flectores en régimen elástico. Cuando w = wy (carga de fluencia), con My = ıy W = wy L2 /12, se inicia la formación de una articulación plástica en cada empotramiento. Cuando w = wi (carga de primera plastificación), con MP = Z ıy = wi L2 /12, en los empotramientos se habrán generado sendas articulaciones plásticas. Sin embargo, esta carga no provocará el colapso de la viga, sino que la carga podrá seguir aumentando hasta que se forme una tercera articulación. Cuando w = wu (carga última), con MP = wu L2 /16, se habrá formado la tercera articulación en el centro de la viga. Habrá tenido lugar una redistribución de momentos (en trazo grueso en la figura) porque la fluencia del material impide que los empotramientos resistan un momento mayor que MP. En el caso de esta viga hiperestática, la relación entre la carga última para la cual se produce el colapso y la carga de fluencia para la que se inicia la fluencia es wu wy
4f 3
45
2 Flexión plástica de vigas
Se comprueba de inmediato que wi wY
f
O sea, que si consideramos que la viga sigue siendo útil por encima de la carga de fluencia w = wY hasta el valor w = wi, en que se forman las primeras articulaciones plásticas en A y B, habremos aumentado la capacidad de carga de la viga por un factor f. A pesar de la aparición de las articulaciones plásticas en A y B, la viga no se agota. Ello ocurrirá cuando aparezca una tercera articulación plástica en el centro, o sea, cuando en ese punto el momento flector valga también MP. En ese instante, MP será el valor del momento flector en los dos empotramientos, A y B, y en el centro, y el diagrama de momentos flectores será el representado por la curva de trazo continuo de la figura 2.11d, donde la curva en trazo discontinuo representa el mismo diagrama de momentos flectores de la figura 2.11c correspondiente a la formación de las articulaciones plásticas en A y B. Es decir, entre el instante en que se forman las articulaciones en A y B y el instante en que se forma la tercera articulación en el centro y se genera el mecanismo de agotamiento para un valor de w = wu, que será la carga última, tiene lugar una redistribución de momentos y el diagrama de momentos flectores pasa de estar representado por la curva de trazo discontinuo de la figura 2.11d a estarlo por la curva de trazo continuo de la misma figura, y además se pierde la proporcionalidad. El valor de la carga última wu puede deducirse sin más que considerar el equilibrio de los momentos de la mitad izquierda de la viga, que se representa en la figura 2.12 y donde, al tomar momentos en el centro de la viga, resulta MP
wu L § L · wu L § L · ¨ ¸ ¨ ¸ MP 2 ©2¹ 2 ©4¹
0
o sea, wu
16M P L2
(2.18)
y, por tanto, wu wi
16 M P L2 12 M P L2
4 3
Esta relación indica que admitiendo que la viga es útil desde la formación de las articulaciones plásticas en los empotramientos hasta la formación de la tercera articulación en el centro, se incrementa en un tercio la capacidad de carga. Pero en realidad, con respecto a los criterios del análisis elástico, la capacidad de carga ha sido aumentada desde w = wy, cuando comienza la cesión plástica en A y B, hasta w = wu en que se alcanza la carga última y se forma el mecanismo de colapso. Por consiguiente, el aumento de la capacidad de carga respecto a un análisis elástico sería wu 4 f wY 3
Fig. 2.12 Diagrama de sólido libre de la mitad de la viga de la figura 2.11 cuando se forma la articulación plástica en el centro, formadas ya las articulaciones plásticas en los empotramientos.
46
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Hay que señalar que el aumento de la capacidad de carga para una viga y unas cargas dadas, depende no sólo de la viga (f y ıY) sino también de las ligaduras. Supongamos que la viga de la figura 2.10a es una doble T de alas anchas y caras paralelas, de 8 m de longitud, con f = 1,12 y W = 908 x 10-6 m3 (la 240B de la tabla 2-1), hecha de un acero estructural de ıY = 250 MPa. Vamos a determinar su carga última wu para los casos en que esté empotrada en los extremos, como en la figura 2.11a, y empotrada en el extremo A y apoyada en el extremo B, como en la figura 2.13a. En uno y otro caso es MY
250 u10 908 u10 6
6
227 000 m N
Fig. 2.13 Las articulaciones plásticas no siempre se producen exactamente en las secciones donde el momento es máximo cuando la viga trabaja en régimen elástico ni tampoco siempre coinciden exactamente las posiciones de las secciones de momento nulo en régimen elástico y plástico. a) b) c)
Ejemplo: Viga hiperestática con un extremo empotrado y el otro articulado. Diagrama de momentos flectores en régimen elástico. Diagrama de momentos flectores cuando se forma una articulación plástica en el empotramiento y otra en otro lugar. Obsérvese que no coinciden el punto de momento máximo en régimen elástico en b) con el de momento máximo, MP, donde se forma la articulación plástica ni las secciones de momento nulo.
47
2 Flexión plástica de vigas
En la viga doblemente empotrada, las fibras más externas empiezan a ceder plásticamente en los empotramientos para una carga de fluencia wY = 12MY/L2, o sea, wY
12 227 000 82
42562,5 N m | 42,56 kN m
En los empotramientos la plastificación es total cuando se alcanza la carga wi = 12MP/L2, donde MP
fM Y
1,12 227 000
254 240 m N
Por tanto, wi
12 254 240 82
47 670 N m | 47, 67 kN m
Por último, se forma la tercera articulación plástica en el centro de la viga para la carga última wu = 16MP/L2,, que vale wu
16 254 240 82
63560 N m | 63,56 kN m
En resumen, si alargamos la utilidad de la viga desde el instante en que w = wY hasta que se alcanza la carga última, habremos ampliado la capacidad de carga, merced a la redistribución de momentos y al factor de forma, según un porcentaje que resulta ser 63,56 42,56 42,56
0, 49
Por otra parte, además, se comprueba que 4f/3 = 4(1,12)/3 = 1,49. Para la misma viga con el extremo A empotrado y el otro extremo B apoyado, el análisis elástico nos dice que la fluencia se iniciará en el empotramiento, sección donde el momento es máximo. Es decir, wY
8M Y L2
y, por tanto, wY
8 227 000 82
28375 N m | 28,38 kN m
Fig. 2.14 Diagrama de sólido libre para determinar la ubicación de la articulación plástica en la viga de la figura 2.13.
48
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 2.15 Diagrama de sólido libre para calcular la carga última de la viga de la figura 2.13. El cálculo de las cargas últimas realizado en el supuesto de que las articulaciones plásticas se formen en las secciones donde en régimen elástico el momento flector es máximo, difieren poco de los valores calculados situando correctamente las articulaciones plásticas.
Si la carga w sigue aumentando, prosigue la plastificación de A hasta que en esa sección el momento alcanza el valor MP = 254 240 m·N y la carga w adquiere el valor de primera plastificación: wi
8MP L2
que vale wi
8(254 240) 82
31780 N m | 31, 78 kN m
Cuando en A se forma la articulación plástica, la viga no está agotada. Lo estará cuando se forme una segunda articulación en algún otro lugar. En el caso anterior, en que la viga estaba doblemente empotrada, la simetría imponía que la tercera articulación se formara en el centro, y las reacciones en los empotramientos no variaban y se mantenían iguales a wL/2. Ahora, al formarse en A una articulación plástica, la viga presenta el diagrama de sólido libre de la figura 2.14; es decir, la viga equivale a una viga simplemente apoyada sometida a una carga distribuida w (wi w wu) y a un par de momento MP en su extremo izquierdo. Podemos determinar la reacción R1 tomando momentos en el punto B: M P R1 L
wL2 2
0
o sea, R1
wL M P L 2
Se trata ahora de averiguar a qué distancia del empotramiento A se encuentra la sección de momento máximo dentro de la viga, que es la sección donde se formará la segunda articulación. Si es x la distancia hasta A de una sección cualquiera, en esa sección el momento flector es M ( x)
§ wL M P MP ¨ L © 2
wx · ¸x 2 ¹
2
Si esta expresión (en la que wi w wu) la derivamos, la igualamos a cero y despejamos x, obtenemos x
L MP 2 wL
wi d w d wu
(2.19)
49
2 Flexión plástica de vigas
que es la distancia al empotramiento A (donde M = MP) de la sección de momento flector máximo y en la cual se formará la segunda articulación plástica si w sigue aumentando por encima de wi hasta w = wu. Ahora consideramos el equilibrio de los momentos actuantes sobre la porción de viga situada a la izquierda de esa sección, según se representa en la figura 2.15: § w L M ·§ L M · § L M · 1 § L M · M P ¨ u P ¸ ¨ P ¸ ¨ P ¸ wu ¨ P ¸ M P L ¹ © 2 wu L ¹ © 2 wu L ¹ 2 © 2 wu L ¹ © 2
0
Operando, esta expresión queda 2
§ MP · 2 § MP ¨ ¸ 3L ¨ w © u ¹ © wu
· L4 ¸ ¹ 4
0
que es una ecuación de segundo grado en (MP/wu) y que nos da MP wu
(1,5 2) L2
Es decir, wu
11, 66 M P L2
(2.20)
y wu
11, 66 254 240 82
46319 N m | 46,32 kN m
Para una viga cualquiera, sometida a una carga distribuida, con un extremo empotrado y el otro apoyado, el aumento de la capacidad de carga, f(wu/wi), sería 11, 66 f 8
1, 46 f
y si f = 1,12, el aumento de la capacidad de carga resultaría ser 1,63. Por otra parte, se ve también que wu wi wi
46,32 28,38 28,38
0, 63
Cuando la viga está empotrada en un extremo resultan unas cargas menores que cuando tiene los dos extremos empotrados; sin embargo, el aumento de capacidad de carga es mayor. Cuando la viga con un extremo empotrado trabaja en régimen elástico lineal, el momento flector es nulo para x = L/4. Ahora, igualando a cero la expresión (2.19) de los momentos cuando el empotramiento está plastificado, resulta la ecuación de segundo grado 2M P § x2 ¨ L wL ©
2M P · ¸x w ¹
0
cuyas raíces son x1
L
y
x2
2M P wL
50
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Cuando está a punto de sobrevenir el agotamiento (w = wu), el momento flector es nulo en el punto x2
2 254 240 46320 u 8 | 1,37
mientras que en régimen elástico ese punto estaba en x2 = 2 m. El punto de momento flector máximo también se desplaza desde la aparición de la articulación plástica en el empotramiento A, cuando estaba en 5L/8 = 5(8)/8 = 5 m, para estar en L MP 2 wL
8 254 240 2 46320 u 8
4, 69 m
(2.21)
justo antes del agotamiento de la viga. En la figura 2.13c se representa el diagrama de momentos redistribuidos.
Fig. 2.16 En el análisis plástico hay que suponer que las cargas se aplican simultánea y gradualmente. a)
Viga isostática, sometida a dos fuerzas.
b)
Diagrama de momento flector de la viga a).
c)
Diagrama de momento flector de la viga a), sometida únicamente a la fuerza en C. El momento flector en C es doble que en el diagrama b), lo cual significa que pudo producirse fluencia plástica al actuar únicamente una fuerza, aunque si actuasen las dos simultáneamente no se produjera. La fluencia plástica es un hecho irreversible y no se altera al aplicar posteriormente otra carga. Es por ello que las cargas se suponen aplicadas simultánea y gradualmente y que la relación entre ellas permanece constante durante el proceso de carga
51
2 Flexión plástica de vigas
En el análisis elástico de vigas, al suponerse que el esfuerzo de fluencia no se rebasa en ningún caso, es posible aplicar el principio de superposición y se obtienen los mismos resultados independientemente del orden en que se apliquen las cargas. En §1.5 vimos que no es posible aplicar el principio de superposición a una armadura constituida por barras solicitadas axialmente cuando el material de las barras es elastoplástico perfecto. Tampoco es posible aplicarlo al análisis plástico de vigas, ya que en éstas la aplicación de cargas transversales se traduce en solicitaciones axiales sobre las fibras longitudinales. Veamos la viga sometida a dos cargas puntuales de la figura 2.16a. Si las dos cargas se aplican a la vez, el diagrama de momentos flectores es el representado en la figura 2.16b y la carga de fluencia es PY = 9MY/L. Si se aplica primero la carga sobre el punto C, el diagrama de momentos flectores es el representado en la figura 2.16c y la carga de fluencia es PY = 9MY/2L, la mitad que en el caso anterior. Si tras aplicar la carga en C, en este punto sobreviene la cesión plástica y ésta progresa, el hecho es irreversible y no se altera porque en D se aplique posteriormente otra carga, por lo que la situación final de la viga no es la misma que en el caso en que ambas cargas se apliquen simultáneamente. Por esta causa, es importante tener presente que en el análisis plástico de vigas se supone siempre que las cargas se aplican simultánea y gradualmente y que la relación entre ellas permanece constante durante el proceso de carga.
2.4 Aplicación del principio de los trabajos virtuales a la determinación de la carga última Hemos visto que cuando en una viga se forma un número suficiente de articulaciones plásticas, la misma se colapsa, y el mecanismo de colapso correspondiente está formado por el número mínimo de articulaciones plásticas capaces de permitir el colapso. El hecho de que supongamos que las partes de la viga situadas a uno y otro lado de la articulación giran una respecto a la otra bajo la oposición de un par de fuerzas de momento MP permite determinar directamente el valor de la carga última sin más que aplicar el principio de los trabajos virtuales. Consideremos nuevamente la viga sometida a una carga uniformemente distribuida de la figura 2.11. Ya sabemos que del examen del diagrama de momentos flectores (fig. 2.11b) se deduce que el mecanismo de colapso está formado por tres articulaciones plásticas, una en cada empotramiento y una tercera en el centro, tal como se representa en la figura 2.17. En este caso el trabajo virtual es la suma de los trabajos virtuales de los momentos plásticos MP en las articulaciones, negativos porque los momentos plásticos se oponen al giro, y del trabajo de la carga distribuida (wu), que es positivo. El trabajo de los momentos plásticos es M PT M PT M P 2T
4 M PT
y el trabajo de wu es L
³ (w dx) y u
0
integral que, al ser wu constante, será igual al producto de wu por el área del diagrama de desplazamientos representado en la figura 2.17, es decir, ș (wuL2/4). Por consiguiente, según el principio de los trabajos virtuales, debe ser 4 M PT
wu L2 T 4
0
y, por tanto, wu
16 M P L2
que es la misma expresión (2.18) hallada anteriormente aplicando los métodos de la estática. Sobre los métodos de la estática, el principio de los trabajos virtuales ofrece la ventaja de la sencillez, pues basta considerar los desplazamientos y en función de éstos escribir la expresión de la suma de los trabajos virtuales; este método, al estar basado en la mecánica analítica, adolece de ser menos descriptivo. Por otra parte, en muchas ocasiones hay que recurrir a los métodos de la estática, pues puede ser necesario conocer los diagramas de momentos flectores.
52
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 2.17 Una viga se colapsa cuando en ella se forma un número suficiente de articulaciones plásticas. El mecanismo de colapso de la viga de la figura 2.11 consiste en las tres articulaciones plásticas indicadas. La aplicación del principio de los trabajos virtuales permite calcular la carga última.
Como ejemplo adicional volvamos a considerar la viga de la figura 2.13, igual a la anterior, pero con el extremo A empotrado y el extremo B apoyado. En este caso el mecanismo de colapso (fig. 2.18) está formado por dos articulaciones plásticas, una en el empotramiento A (la primera en formarse) y otra en un punto cuya ubicación a hay que determinar, y que se combinan con la del apoyo B para permitir el colapso. El trabajo de los momentos plásticos es M PT1 M P T1 T 2
2 M PT1 M PT 2
y el de la carga distribuida wu es, como antes, el producto de ésta por el área del diagrama de desplazamientos, o sea, § LT a · w¨ 1 ¸ © 2 ¹ Entonces, igualando a cero la suma de los trabajos virtuales, tenemos 2M PT1 M PT 2 w
LT1a 2
0
expresión que, teniendo en cuenta que ș2 = aș1/(L - a), nos da 2M P § 2 L a · ¨ ¸ aL © L a ¹
wu
(2.22)
para la carga última wu. Este valor es matemáticamente función de a, pero el verdadero valor de wu será el mínimo que nos dé esta expresión (2.22), si tenemos en cuenta la hipótesis formulada al final de §2.3 de que la carga aumenta gradualmente. Igualando a cero la derivada de (2.22) y despejando a, resulta a
L 2 2
Obsérvese que con L = 8 m, es a = 4,69 m, como en la expresión (2.21). Así hemos obtenido los mismos valores que en §2.3 cuando tratamos de la redistribución de momentos. Este último procedimiento recordemos que se basa en la determinación del punto de momento flector máximo, mientras que el expuesto aquí consiste en hallar una expresión de wu en función de la posición a del momento máximo y buscar el valor de ésta que minimiza el valor de wu. (Sobre este extremo volveremos en el capítulo siguiente al tratar de los teoremas del límite inferior y
53
2 Flexión plástica de vigas
Fig. 2.18 Mecanismo que provoca el colapso de la viga de la figura 2.13. La aplicación del principio de los trabajos virtuales y la condición de mínimizar la carga permiten calcular la ubicación de la articulación y la carga última.
del límite superior.) En condiciones de carga más complicadas, lo mejor es recurrir al tanteo suponiendo que la articulación plástica ocupa varias posiciones y para cada una de éstas hallar wu aplicando el principio de los trabajos virtuales. Este procedimiento permite hallar con buena precisión el verdadero valor de wu y la ubicación de la articulación. Para el caso de la viga con un extremo empotrado y el otro apoyado sometida a una carga distribuida como en la figura 2.13, hemos visto que la articulación plástica no ocupa la misma posición que la ocupada por el momento flector máximo en el vano prevista por el análisis elástico, sino una posición levemente desplazada. Concretamente, la segunda articulación plástica no está en x = 5 m, sino en x = 4,68 m. Importa ahora tener en cuenta que si se supone que la articulación no se desplaza desde el punto de momento flector máximo en régimen elástico, la carga última podría obtenerse directamente de la expresión (2.22) sustituyendo en ella a = 5 m, con lo cual wu
2 u 254 240 § 2 u 8 5 · ¨ ¸ 5u8 © 85 ¹
46 611 N m = 46,61 kN m
que es un valor levemente superior al obtenido mediante la aplicación de la estática y que supone un error de 46, 61 46,32 46,32
0, 63%
Generalmente, bajo cargas distribuidas, el desplazamiento de cada articulación plástica respecto a la posición original del momento flector máximo es suficientemente peque=o para que, en principio, puedan iniciarse los cálculos, de análisis o diseño, admitiendo que cada punto de momento flector máximo en régimen elástico es potencialmente un punto donde puede formarse una articulación plástica, para luego corregir convenientemente los resultados cuando proceda. Hemos visto que en una viga doblemente empotrada sometida a una carga uniformemente distribuida la utilización del principio de los trabajos virtuales para determinar la carga última es el procedimiento más directo. En toda viga doblemente empotrada el mecanismo de colapso está formado por tres articulaciones y en el caso de la viga doblemente empotrada sometida a una carga uniformemente distribuida en toda su longitud, esas articulaciones están localizadas una en cada empotramiento y una tercera en el centro, situación impuesta por la simetría. Pero en una viga doblemente empotrada sometida a otras cargas, el mecanismo de colapso en principio no será tan evidente a la hora de aplicar el principio de los trabajos virtuales y serán varios los conjuntos de tres articulaciones a examinar para determinar aquel al que
54
Análisis plástico de estructuras. Introducción
corresponda la menor carga última. En §3.1 se trata de esta cuestión con más generalidad. Por ejemplo, consideremos la viga doblemente empotrada de la figura 2.19a, sometida a las cargas puntuales P y Q. Éstas se suponen, según las hipótesis del análisis plástico, aplicadas simultánea y gradualmente, conservándose la relación entre ellas durante el proceso de carga.; o sea, podemos escribir que siempre Q = ȜP, y Ȝ es un parámetro. Además, p, q y r son fracciones conocidas de la longitud L de la viga. En las figuras 2.19b, 2.19c, 2.19d y 2.19e se representan los mecanismos de colapso a considerar, obtenidos combinando de tres en tres las cuatro articulaciones posibles. En realidad, los mecanismos 1 y 2 pueden descartarse desde un principio, ya que el análisis elástico nos informa de que, al iniciarse el proceso de agotamiento de la viga, las dos primeras articulaciones plásticas se forman en los empotramientos, donde los momentos flectores son mayores que en cualquier otro punto, y por tanto el mecanismo estará formado por sendas articulaciones en los empotramientos y una tercera bajo una de las cargas. Pero supongamos que carecemos de esa información y confirmemos que el análisis mediante el principio de los trabajos virtuales revela que el mecanismo está formado como se ha dicho. El mecanismo de colapso verdadero será el que necesite del menor valor de Pu para generarse. El principio de los trabajos virtuales aplicado al mecanismo 1 nos permite escribir M PT1 M PT 2 M P (T1 T 2 ) Pu '
y teniendo en cuenta que ' mecanismo 1
pLT1 y T 2
0
( pT1 / q ) , la expresión anterior nos da como carga última para el
Pu
§ 1 1·M 2¨ ¸ P © p q¹ L
(2.23)
La carga última para el mecanismo 2 la podemos deducir de esta expresión (2.23) sin más que sustituir Pu por ȜPu, p por q y q por r: Pu
2 § 1 1 · MP ¨ ¸ O©q r¹ L
(2.24)
Para el mecanismo 3, el principio de los trabajos virtuales nos da M PT1 M PT 2 M P (T1 T 2 ) Pu ' O Pu ' '
0
o sea, Pu ' O' '
2 M P T1 T 2
r' r ( pLT1 ) ; además, es T 2 qr qr teniendo en cuenta que p + q + r = 1, se obtiene
siendo '
pLT1 ,
y por tanto ' '
Pu
pT1 . Por consiguiente, operando y qr
MP 2 p[q (1 O )r ] L
Finalmente, para el mecanismo 4 la expresión de partida es la misma que en el mecanismo 3; es decir,
Pu (' O ' ' )
2 M P (T1 T 2 )
(2.25)
55
2 Flexión plástica de vigas
siendo aquí '
pLT1 , ' '
( p q ) LT1
y T2
( p q)T1 . Operando, y teniendo asimismo en cuenta que r
p q r 1 , resulta
Pu
MP 2 [(1 O ) p O q] r L
(2.26)
Fig. 2.19 a)
La viga doblemente empotrada de la figura precisa de tres articulaciones plásticas para colapsarse.
b) a e)
Los mecanismos de colapso posibles a considerar, obtenidos combinando de tres en tres las cuatro articulaciones plásticas posibles. El análisis elástico indica que las dos primeras articulaciones plásticas se forman en los empotramientos, por cuyo motivo podríamos prescindir de los mecanismos b) y c) y determinar cuál de los dos restantes es el verdadero.
Si aplicamos las fórmulas (2.23) a (2.26) cuando Ȝ = 0,50 a los dos casos en que a) p = 0,50, q = 0,30 y r = 0,20 y b) p = 0,20, q = 0,30 y r = 0,50, manteniendo la posición relativa de las dos cargas, se obtienen los valores del cociente Pu/(MP/L) que se reseñan seguidamente:
56
Análisis plástico de estructuras. Introducción
(Ȝ =0,50)
Mecanismo 1 (falso)
Mecanismo 2 (falso)
Mecanismo 3
Mecanismo 4
10,667
33,333
6,667
11,111
16,667
21,333
9,524
8,889
p = 0,50 a)
q = 0,30 r = 0,20 p = 0,20
b)
q = 0,30 r = 0,50
Vemos que en el caso a) la carga última se presenta en el mecanismo 3 para un valor Pu
6, 667M P L
mientras que en el caso b) la carga última se presenta en el mecanismo 4 para un valor Pu
8,889M P L
2.5 Dimensionado plástico En §1.4 recordábamos que el diseño de estructuras de acero con la pretensión inicial de que todas las partes conserven sus propiedades elásticas, o sea, sin que se rebase en ningún lugar el esfuerzo de fluencia y no haya deformaciones permanentes, se conoce como diseño elástico o diseño por esfuerzos permisibles. En este tipo de diseño se parte de un esfuerzo permisible ıperm, que se determina dividiendo el esfuerzo de fluencia ıY por un número n, llamado coeficiente de seguridad, que para las estructuras de acero sometidas a cargas estáticas se toma igual a 1,67, o más exactamente 5/3. Seguidamente, se dimensionan las distintas partes de la estructura de tal modo que en ningún punto se tenga un esfuerzo superior a ıperm. El diseño de estructuras de acero tomando como base de partida su capacidad de carga última recibe el nombre de diseño plástico, diseño por carga última o diseño por agotamiento. En este caso se empieza por establecer las cargas de trabajo de la estructura y, multiplicando éstas por un factor de carga de 1,7 para elementos estructurales de acero, se determinan las cargas últimas con las cuales se dimensionan las distintas partes de la estructura; es decir, en cierto modo, se procede a la inversa que en el diseño elástico. En el diseño elástico se emplean unos diagramas de momentos flectores con unos materiales que trabajan en régimen elástico; en el diseño plástico, se emplean unos diagramas de momentos flectores que son los anteriores “redistribuidos” del modo que se vio en §2.3. Resulta claro, por tanto, que los dimensionados de una misma estructura hechos por uno y otro procedimiento son distintos. Ahora bien, una estructura calculada por cargas últimas trabajará en la práctica en régimen elástico, ya que las cargas de trabajo difieren en un factor del orden de 1,7 de las cargas últimas tomadas como base para el dimensionado. Suponiendo que la carga de trabajo sea la carga calculada en régimen elástico justo para el esfuerzo de fluencia, el factor de carga será el cociente de la carga de agotamiento dividida por aquélla. Este factor de carga será entonces un valor que dependerá de parámetros como son el tipo de sección, las cargas, las ligaduras e incluso la rigidez. Por convenio, se toma como referencia la viga en doble T, o en I, doblemente empotrada. En tal caso, el factor de carga será el cociente wu/wY3, o sea, la carga última dividida por la carga de fluencia, o carga para la cual se inicia la cesión plástica en los empotramientos. En §2.3 se vio que ese cociente vale 4f/3, y si admitimos f = 1,2 como valor general 3
Más exactamente, según el criterio expuesto en §1.4 el factor de carga sería 1 + (wu-wY)/wY, que es precisamente wu/wY.
57
2 Flexión plástica de vigas
del factor de forma para las secciones en doble T, resulta un factor de carga general de 1,6. Para prevenir el hecho de que alguna sección bisimétrica en doble T o en I, o similar, pueda tener un factor de forma algo superior a 1,2, y por otras consideraciones, se conviene en admitir 1,7 como valor del factor de carga. Téngase en cuenta que esa cifra queda estrictamente restringida a los perfiles estructurales de acero de uso habitual, es decir a los perfiles en doble T y en I para los cuales puede tomarse f = 1,2. (Una sección rectangular maciza, cuyo factor de forma es f = 1,5, tendría un factor de carga de valor 2. El factor de carga para la sección en T de la figura 2.5 sería 2,35.) Por otra parte, está implícito el hecho de que ese factor de carga de 1,7 se refiere a cargas estáticas, sean permanentes (peso de los miembros y otros elementos inmutables de la estructura) o variables (peso de las personas, equipos, tabicaciones,...). Desde luego, una estructura puede estar solicitada por otros tipos de carga: de viento, de nieve, sísmicas, de lluvia y de hielo. Es corriente tener que considerar que sobre una misma estructura actúen simultáneamente a la estática otras cargas de los tipos citados, en cuyo caso el factor de carga aplicable ya no es 1,7 sino otro. A efectos expositivos, por lo general admitiremos que el factor de carga es de 1,7, salvo observación en contrario. Como ejemplo consideremos la selección de un perfil de la tabla 2-1 para una viga doblemente empotrada que ha de soportar una carga de 25 kN/m en un vano de 8 m. Se sigue suponiendo que ıY = 250 MPa. Si nos basamos en el criterio del diseño elástico, empezamos calculando el momento máximo que se da en los empotramientos, y que vale M max
25000 u 82 12
133333 m N
Por otra parte, si el coeficiente de seguridad es 5/3, el esfuerzo permisible será
V perm
250 5 3
150 MPa
y así resulta un módulo resistente W
133333 150 u 106
888,8 u 10-6 m3
Este valor se=ala a la viga 240B (W = 908 x 10-6 m3). Pero ese perfil tiene un peso de 79,9 x 9,81 = 784 N/m, que debe tenerse en cuenta. O sea, tendremos entonces un momento máximo M max
25784 u 82 12
137 515 m N
al que corresponde un módulo resistente W
137 515 150 u 106
916, 7 u 10-6 m3
que se=ala a la viga 260B (W = 1104 x 10-6 m3). En efecto, teniendo en cuenta que este perfil pesa 88,8 x 9,81 = 872 N/m el momento máximo será M max
25872 u 82 12
137 984 m N
y entonces, W
137 984 150 u 106
920 u 10-6 m3
Este valor sigue siendo inferior al módulo resistente de la viga 260B, y este perfil es el seleccionado.
58
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Si nos basamos en el criterio del diseño plástico, empezamos admitiendo que la carga última es la carga de trabajo wt multiplicada por el factor de carga; o sea, wu
1, 7 u 25000
42500 N/m
Según (2.18), a esta carga última le corresponde un momento plástico MP
42500 u 82 16
170 000 m N
y, por tanto, el módulo plástico es Z
170 000 250 u 106
680 u 106 m3
Así pues, seleccionamos la viga 220B. El peso de ésta es 69,1 x 9,81 = 678 N/m, por lo que la carga de trabajo es wt = 25678 N/m y la carga última que debemos considerar es wu
1, 7 u 25678
43653 N/m
43653 u 82 16
174 612 m N
a la que corresponde un momento plástico MP
Entonces, el módulo plástico es Z
174 612 250 u 106
698,5 u 10-6 m 3
cuyo valor confirma que la viga que debemos seleccionar es la 220B. Se comprueba que la viga así seleccionada sigue trabajando en régimen elástico sometida a su carga de trabajo de 25678 N/m. Efectivamente, el momento flector máximo (en cada empotramiento) es M max
wL2 12
25678 u 82 12
136950 m N
que no supera al momento de fluencia MY, pues éste vale MY
R YW
250 u10 715 u10 6
6
178750 m N
Es decir, pese a que el dimensionado se ha basado en criterios plásticos, la viga trabajará en régimen elástico pero sus dimensiones serán más económicas. En este proceso de dimensionado no se han tenido en cuenta los posibles efectos de la fuerza axial y la fuerza cortante. Una y otra tienden a reducir el momento plástico, y por tanto la capacidad de carga de la viga. La fuerza axial no suele ser importante y, por lo general, es posible ignorar la reducción que produce en el momento asociado a la articulación plástica. Ahora bien, en las estructuras de varios pisos las columnas de los pisos inferiores pueden verse sometidas a unas fuerzas axiales cuya influencia en MP deba tenerse en cuenta al calcular la carga última. Por lo que respecta a la fuerza cortante, ésta puede que haya de tenerse en cuenta en dos casos. El primero es el de una viga larga en voladizo con una o varias cargas concentradas cercanas al extremo libre. En tal situación, al iniciarse la plastificación en el empotramiento y no poder el esfuerzo crecer por encima de ıY en las zonas plastificadas, la totalidad de la fuerza cortante debe ser soportada por el núcleo elástico, y si la fuerza cortante es elevada se acelerará el proceso de plastificación, tanto más cuanto más cercana al empotramiento esté la sección; el agotamiento se producirá antes de lo previsto por la teoría aquí expuesta, en la que sólo hemos considerado el papel del momento flector. El segundo caso a tener presente acerca de la fuerza cortante es el de
59
2 Flexión plástica de vigas
una viga con una carga concentrada en el centro, o cerca de éste, en la cual la situación es similar a la de una viga en voladizo. En §2.8 se trata de las influencias de las fuerzas axial y cortante. Otro factor que debe tenerse en cuenta en el dimensionado plástico es la eventual presencia del pandeo, que puede revestir dos formas. Una de éstas es el pandeo local, en una viga en doble T o en I, del alma o de las alas que puede sobrevenir en una sección de dimensiones relativas inadecuadas cuando en ella se alcanza el momento plástico, y es incapaz de conservar la forma y soportar el momento plástico hasta que se formen articulaciones plásticas en otras secciones. Resulta así que los elementos sometidos a compresión (habitualmente el ala superior y la zona superior del alma) deben poseer una cierta relación entre su anchura y su espesor para que no se desencadene un pandeo plástico prematuro. Los estudios revelan que las dimensiones de la sección deben cumplir las condiciones b d 17 t
h d 55 s
y
(2.27)
(Si hay una fuerza axial de compresión, puede que la segunda de estas expresiones deba modificarse. En §2.8 se aclara esta cuestión.) En el caso de la viga 220B seleccionada en este apartado es (b/t) = 13,75 y (h/s) = 23,16. La gran mayoría de los perfiles en doble T y en I cumplen las condiciones (2.27) (puede comprobarse en la tabla 2-1), y aquellos que no las cumplen se refuerzan localmente en los lugares donde se prevé que pueden formarse articulaciones plásticas. La otra forma de pandeo a considerar es el lateral, que muchas veces acompaña al local. El pandeo lateral puede presentarse si la longitud de la viga sobrepasa un valor crítico que es función de las características geométricas de la viga y del material. Para determinar la longitud crítica de pandeo L podemos recurrir a la ecuación propuesta por Beedle, Thurlimann y Ketter: ( L / i)2 2
2 § L · 3S E § h · ¨ ¸ ¨ ¸ 4G © t ¹ ©i¹
2
2S EG / 3 V Y (h / t )
(2.28)
En esta ecuación (2.28) E y G son, respectivamente, los módulos de elasticidad y de elasticidad transversal y el cociente L/i, de la longitud crítica entre el radio de giro de la sección, recibe el nombre de relación de esbeltez crítica. Apliquemos esta ecuación (2.28) a la viga 220B seleccionada en este apartado, para la cual es (h/t) = 13,75. Con E = 210 GPa, G = 84 GPa y ıY = 250 MPa, operando resulta la ecuación 4
2
§L· §L· 6 ¨ ¸ 19 645,1¨ ¸ 68, 7 u 10 ©i¹ ©i¹
0
una de cuyas raíces es (L/i) = 150,6. El momento de inercia que se calcula para la sección es I 715 u 106 m3 110 u 10-3 m 78650 u 109 m 4 , que dividido por el área de 88,3 x 10-4 m2 nos da i2
78650 u 109 / 88,3 u 104
89, 07 u 104 m 2
y, por tanto, i = 9,44 x 10-2 m. O sea, la longitud crítica de pandeo lateral será L 150, 6 u 9, 44 u 102
14, 2 m
La longitud crítica de 14 m así calculada es muy superior a la supuesta de 8 m en el ejemplo considerado en este apartado. Ahora bien, al aplicar la fórmula propuesta con los valores de E y G indicados se supone que en el perfil puede alcanzarse el valor de MP sin que sobrevenga el pandeo. Un cálculo más realista se basa en suponer que las alas alcanzan el endurecimiento por deformación antes del pandeo. Si en la ecuación (2.28) suponemos que E = 5 GPa, G = 17 GPa y ıy = 250 MPa cuando el material está en situación de endurecimiento por deformación, el valor resultante de L/i es 15,82 m que nos da una longitud L = 15,82 x 9,44 x 10-2 § 1,50 m, que será la distancia a la cual habrán de disponerse los apoyos.
60
Análisis plástico de estructuras. Introducción
2.6 Deformaciones Suele aducirse que una de las ventajas del cálculo plástico sobre el cálculo elástico es que permite determinar la capacidad de carga de una viga con gran facilidad. Ahora bien, al igual que en el cálculo elástico, una vez diseñada una viga queda pendiente la determinación de su utilidad en lo referente a su deformación. En el cálculo elástico se obtiene la llamada curva elástica de la viga integrando la ecuación y ''
M EI
(2.29)
a lo largo del eje de la viga, siendo éste el lugar geométrico de los centroides de las secciones y la elástica la forma que adquiere el eje de la viga al deformarse ésta. Recordemos que la ecuación (2.29) se establece tras haber deducido la relación siguiente de la curvatura I con el momento flector M y la rigidez a la flexión elástica EI:
I
M EI
Seguidamente, al introducir la hipótesis de las peque=as deformaciones, la expresión analítica de la curvatura
I
y '' [1 y '2 ]3 / 2
se reduce a
I
y ''
(2.30)
y así se llega a la ecuación (2.29), donde M suele ser un polinomio multiforme, de primer grado si las cargas son puntuales y de segundo grado si las cargas son uniformemente distribuidas. La relación (2.30) es puramente geométrica y, si admitimos que sea aplicable al campo del análisis plástico la hipótesis de las peque=as deformaciones, podremos emplearla escribiendo adecuadamente el segundo miembro de la ecuación (2.29). Este segundo miembro, para una viga de sección rectangular, sería una expresión como la (2.15) en aquellas zonas de la viga donde se hubiera iniciado la plastificación. Para vigas con secciones de otro tipo habría que tomar las expresiones equivalentes a (2.15). Ocurre entonces que el problema es matemáticamente mucho más complicado que en el análisis elástico, por lo que parece perderse una buena parte de la ventaja inicial si es que es necesario determinar la deformación como prueba definitiva de la utilidad de una viga. No obstante, téngase en cuenta que una viga diseñada por carga última, en realidad se deforma bajo las cargas de trabajo en el rango elástico y en las mismas condiciones que una viga diseñada por esfuerzos permisibles. A la postre, lo importante es que la viga soporte su carga de trabajo sin deformarse excesivamente. Por consiguiente, la necesidad de comprobar la utilidad de la viga puede satisfacerse mediante unos cálculos suficientemente aproximados. Estos se orientan a estimar la flecha máxima bajo la carga última y bajo la carga de trabajo. Estimando la flecha bajo la carga última se pretende prever los efectos de una posible sobrecarga; y estimando la flecha bajo la carga de trabajo, se pretende tener en cuenta la posible existencia de condiciones de diseño que limiten la deformación. Recordemos que se admite que la relación momento-curvatura es la idealizada de la figura 2.8, a consecuencia de lo cual en los tramos de viga comprendidos entre cada dos articulaciones plásticas se conserva una rigidez a la flexión elástica EI. Consideremos el tramo AB de viga, en régimen elástico, de longitud l de la figura 2.20a, donde ǻ es la distancia vertical entre los extremos A y B. Ese tramo de viga se halla en equilibrio bajo los momentos MAB y MBA, en sus extremos A y B respectivamente, y las fuerzas que actúen en el tramo en cuestión. En la figura 2.20a se representan los momentos y los giros con los sentidos que se consideran positivos; es decir, con sentidos antihorarios. La distancia ǻ se considera positiva si está a la derecha y por debajo de la sección considerada, y también si está a la izquierda y por encima de la sección considerada. Es decir, en la figura 2.20a, ǻ es positiva porque está a la derecha y por debajo de la sección A, y a la izquierda y por encima de la sección B.
61
2 Flexión plástica de vigas
Fig. 2.20 CRITERIOS DE SIGNO DE MOMENTOS Y DISTANCIAS EN LA RELACIÓN DE DEFORMACIONES Se consideran positivos los momentos y giros antihorarios. Las distancias verticales se considerarán positivas si están a la derecha y por debajo de la sección considerada o si están a la izquierda y por encima de la sección considerada.
Para las cargas actuantes sobre la viga de la figura 2.20b, los giros en los extremos A y B tienen los signos indicados. En la figura 2.21a se representa una viga con un par de fuerzas de momento MAB, aplicado en su extremo A. Según el análisis elástico, y con el criterio de signos adoptado, los giros en los extremos A y B debidos a ese par de fuerzas son, respectivamente, M AB l 3EI
T A1
y
T B1
M ABl 6 EI
(2.31a y 2.31b)
Para la viga de la figura 2.21b, con un par de fuerzas de momento MBA, aplicado en su extremo B, los giros en los extremos A y B serán, respectivamente,
T A2
M BA l 6 EI
y
T B2
M BA l 3EI
(2.32a y 2.32b)
Entonces, para la viga de la figura 2.20a, el giro en el extremo A debido a los dos momentos en los extremos se obtiene, aplicando el principio de superposición, mediante la suma de (2.31a) y (2.32a); o sea, M · 1 § M AB BA ¸ 3EI ¨© 2 ¹ A este giro debemos superponer el debido a las fuerzas aplicadas a la viga comprendidas en el tramo de longitud l considerado. Ese giro lo designamos por ș’AB y es igual a la pendiente en el extremo A de una viga simplemente apoyada de la misma longitud l que el tramo considerado y sometida a la misma carga que el tramo
62
Análisis plástico de estructuras. Introducción
considerado. Por otra parte, la distancia vertical ǻ (positiva), respecto a la sección A, es consecuencia de un giro horario (negativo) de valor ǻ/l (según la hipótesis de las peque=as deformaciones). Por consiguiente, superponiendo los tres valores, podemos escribir que
T 'AB
T AB
M · l § ' M AB BA ¸ l 3EI ¨© 2 ¹
(2.33)
es el giro en el extremo A de un tramo de viga de longitud l como el de la figura 2.20a. Esta expresión (2.33) se conoce como relación entre giro y corrimiento, o relación de deformaciones, y puede emplearse, en el análisis elástico, como alternativa a la integración de la ecuación diferencial de la elástica (2.29) cuando se desean conocer los corrimientos de puntos concretos del eje de la viga sin entrar en la integración de la ecuación (2.29)4. En el análisis plástico puede emplearse, además, para determinar en qué orden se han generado las articulaciones plásticas provocadoras del colapso, pues con el principio de los trabajos virtuales sólo puede averiguarse cuál es el mecanismo de colapso, pero no el orden en que se forman las articulaciones plásticas. La manera de proceder consiste en hallar la carga última mediante el principio de los trabajos virtuales y dibujar el diagrama de momentos redistribuidos. Con ayuda de éste se determinan los tramos, entre cada dos articulaciones plásticas, a los que aplicar la relación de deformaciones (2.33). Con un razonamiento paralelo al seguido para llegar a la expresión (2.33) se habría obtenido una expresión similar a la (2.33) referida al extremo B.
Fig. 2.21 a)
Viga sometida a un momento MAB en A. Según el análisis elástico los ángulos girados en A y en B son
T A1 b)
M ABl 3EI
T B1
M ABl 6 EI
Viga sometida a un momento MBA en B. Según el análisis elástico los ángulos girados en A y en B son
T A2
4
M BAl 6 EI
T B2
M BAl 3EI
Al obtener la ecuación de la elástica integrando la ecuación diferencial (2.29) resulta una función y = f(x) que da unos corrimientos y que pueden ser positivos o negativos, y negativos en su mayor parte si las cargas están dirigidas hacia abajo. Como éste suele ser el caso, en la fórmula (2.33) se asignan valores positivos a los corrimientos hacia abajo. Puede invertirse el sentido positivo de ǻ sin más que cambiar su signo en la relación de deformaciones (2.33).
63
2 Flexión plástica de vigas
Como ejemplo, vamos a aplicar la relación de deformaciones a la determinación de la flecha bajo la carga en el estado de agotamiento de la viga doblemente empotrada de la figura 2.22a. Mediante el procedimiento de los trabajos virtuales expuesto en §2.4 determinamos la carga última, que resulta ser 9MP L
Pu
A este valor de P corresponde un momento en los empotramientos de valor MP, y para las expresiones del momento flector tendremos M
M P ª¬ 1 3 x L º¼ en el primer tramo (1-2)
y
M
M P ª¬5 6 x L º¼ en el segundo tramo (2-3)
Estas son las rectas de la figura 2.22b. El trazado del diagrama de momentos flectores es en general necesario, porque usualmente no se conocerán las posiciones de todas las articulaciones, como se conocen aquí, para establecer el mecanismo de colapso (fig. 2.22c). Suponiendo que la última articulación plástica se forme en la sección 1, para el tramo 1-2 la relación de deformaciones será
T12
T '12
G1 l
M · l § M 12 21 ¸ ¨ 3EI © 2 ¹
donde į1 es la flecha bajo la carga si la última articulación plástica se forma en la sección 1 (círculo blanco), y es el valor que queremos determinar. Debemos ahora asignar un valor a ș12. Mientras en una sección en proceso de plastificación ésta no se culmine, la viga se mostrará continua exteriormente, porque el flujo plástico estará controlado y habrá un núcleo elástico que soporte los incrementos de carga. Sólo cuando por fin se alcance la plastificación total, la viga mostrará exteriormente una discontinuidad. Por tanto, podemos admitir que en el instante de alcanzarse la carga última, aún hay continuidad en la sección donde se forma la última articulación plástica y, según esto, es ș12 = 0. Además, ș’12 es la rotación en el extremo 1 de una viga simplemente apoyada de la longitud del tramo 1-2 con la misma carga que el tramo 1-2. Pero en este tramo no hay carga, luego ș’12 = 0. Entonces, teniendo en cuenta el diagrama de sólido libre del tramo 1-2 representado en la figura 2.22d, podemos escribir G1 M · (2 L / 3) § 0 0 MP P ¸ ¨ (2 L / 3) 3EI © 2 ¹ y, por tanto,
G1
2 M P L2 27 EI
Esta cantidad es el valor de la flecha en el punto de aplicación de la carga justo cuando la viga se agota, en el supuesto de que la última articulación plástica se forme en la sección 1. Para la hipótesis de que la última articulación plástica se forme en la sección 2 hay que considerar los tramos 2-1 y 2-3. La situación se representa en la figura 2.2e, donde se indica con un círculo blanco la última articulación. En este caso es también ș’21 = ș’23 = 0 y, además, en el tramo 2-3 es ' G 2 , según el criterio de signos adoptado para ǻ. Entonces, a la vista de la figura 2.22e, podremos escribir las siguientes relaciones de deformaciones:
T 21
G2 (2 L / 3)
M · (2 L / 3) § MP P ¸ 3EI ¨© 2 ¹
3G 2 M P L 2 L 9 EI
y
T 23
(G 2 ) ( L / 3) § M · M P P ¸ ( L / 3) 3EI ¨© 2 ¹
3G 2 M P L L 18EI
64
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 2.22 a) b) c) d) e) f)
Viga doblemente empotrada, sometida a una única fuerza. Diagrama de momentos en el instante del colapso. Tres articulaciones plásticas provocan el colapso de la viga. Diagrama de sólido libre del tramo 1-2 en la hipótesis de que la articulación plástica en el vano ya estuviera formada (círculo negro) y se acabase de formar la articulación plástica en el empotramiento (círculo blanco). Diagrama de sólido libre de la viga en la hipótesis de que ya se hubiesen formado las articulaciones plásticas en los empotramientos (círculos negros) y se acabase de formar la tercera articulación plástica en el vano (círculo blanco). Diagrama de sólido libre del tramo 2-3 en la hipótesis de que la articulación plástica en el vano ya estuviera formada (círculo negro) y se acabase de formar la articulación plástica en el empotramiento (círculo blanco).
65
2 Flexión plástica de vigas
Si ahora imponemos la condición de continuidad, ș21 = ș23, y despejamos į2, tendremos que
G2
M P L2 27 EI
es la flecha bajo la carga P si la última articulación plástica se forma en la sección 2. Por último, en la figura 2.22f se representa el diagrama de sólido libre del tramo 3-2, en el supuesto de que sea en la sección 3 donde se forma la última articulación plástica. Aquí la condición de continuidad es ș32 = 0. También es ș’32 = 0 y ' G 2 . Entonces, la relación de deformaciones se escribe 0
(G 3 ) ( L / 3) § M · M P P ¸ ( L / 3) 3EI ¨© 2 ¹
y, por tanto,
G3
M P L2 54 EI
Comparando las expresiones de į1, į2 y į3, se deduce que en el empotramiento izquierdo se forma la última articulación plástica y la flecha bajo la carga en las condiciones de carga última es
G1
2 M P L2 27 EI
Una viga diseñada por carga última trabaja en régimen elástico cuando se halla bajo la carga de trabajo, por lo que si interesa hallar deflexiones basta con utilizar las fórmulas pertinentes del análisis elástico. Por ejemplo, la viga en doble T doblemente empotrada sometida a una carga de trabajo de 25678 N/m de la que se trató en §2.5, tendrá una flecha įt en el centro
Gt
wL4 384 EI
25678 u 84 384 u 210 u 109 u 78650 u 109
0, 017 m
(2.34)
Hay situaciones en que será deseable conocer con cierto detalle cómo evoluciona la flecha cuando la carga se aplica gradualmente. Ello puede conseguirse efectuando un análisis similar al que se seguía en el capítulo anterior cuando se estudiaron sistemas de barras bajo fuerzas axiales y se determinaba el corrimiento de un nudo en función de una carga. Por ejemplo, en el caso de la viga 220B considerada en §2.5, cuando la carga varía desde cero hasta el valor de primera plastificación wi de formación de las articulaciones plásticas en los empotramientos, la representación w-į es la recta OA (fig. 2.23) que une el origen de coordenadas O con el punto A (įi,wi). La carga wi viene dada por wi
12M P L2
12 u 174 612 82
32 740 N/m
para la que sigue siendo válida la fórmula (2.34) de la flecha de la viga doblemente empotrada. Entonces,
Gi
32 740 u 84 384 u 210 u 109 u 78650 u 109
0, 021 m
A partir del punto A, la viga se comporta como una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente distribuida y a un par de fuerzas de momento MP en cada extremo. Si w sigue aumentando, la relación entre ésta y į recorre la recta AB, donde B es el punto de coordenadas (įu, wu) en el cual se genera el mecanismo.
66
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 2.23 Diagrama carga-flecha de la viga de la figura 2.11 al aplicar gradualmente la carga. La recta OA corresponde al comportamiento elástico. En el punto A se genera la primera plastificación (articulaciones plásticas en los empotramientos). La recta AB corresponde al comportamiento de una viga simplemente apoyada con sendos momentos de valor MP en los extremos. En el punto B se forma la tercera articulación plástica en el centro y se genera un mecanismo. A partir de B la flecha crece incontroladamente en ausencia de endurecimiento por deformación del material.
Un análisis igual cabría para la viga de la figura 2.22. La relación entre la carga y la flecha bajo ella estaría representada por cuatro rectas (fig. 2.24). La primera, OA, partiendo del origen hasta el punto A, es representativa de la formación de la primera articulación en la sección 3. La segunda, AB, desde el punto A hasta la formación de la segunda articulación en la sección 2, representada por el punto B, corresponde a una viga con un extremo empotrado y el otro apoyado con un par de fuerzas de momento MP aplicado en él. Cuando en la sección 2 aparece la articulación plástica, la viga empieza a comportarse como una viga en voladizo con una carga P y un par de fuerzas de momento MP en el extremo libre y el punto representativo recorre la recta BC, hasta que en el punto C se forma la tercera articulación en la sección 1 y aparece el mecanismo de colapso. Los procedimientos de análisis descritos concuerdan con la experimentación en grado suficiente, especialmente teniendo en cuenta que la teoría prescinde de la influencia de los esfuerzos residuales, de la concentración de esfuerzos y de que la plastificación de una sección no tiene lugar repentinamente. Una cuestión que debe considerarse, referente al proceso de deformación de una viga hasta el agotamiento, es la capacidad de rotación en las articulaciones plásticas. Simultáneamente a la formación del mecanismo de colapso en una viga, tiene lugar una redistribución de momentos y ello está ligado a que el momento plástico se conserve en la primera articulación que se forma. (De aquí que en ocasiones haya que considerar factores como las fuerzas axiales y cortantes y los pandeos, los cuales tienden a rebajar el momento plástico.) Por ejemplo, cuando en una sección extrema de una viga doblemente empotrada se forma una articulación plástica, es evidente que durante el proceso subsiguiente esa articulación necesitará de una notable capacidad de rotación; la suficiente para admitir un aumento de un tercio de carga hasta la carga última5. La capacidad de rotación caracteriza la aptitud de un miembro estructural para admitir rotaciones bajo el momento plástico. En el caso de una viga doblemente empotrada bajo una carga uniformemente distribuida, si bien la capacidad de rotación en las articulaciones extremas ha de ser alta, no ocurre lo mismo con la central, pues ésta es la 5
Recuérdese que wu = 16MP/L2 y wi = 12MP/L2, por lo que (wu - wi)/wi = 1/3.
67
2 Flexión plástica de vigas
última en formarse. Si la carga es puntual en el centro, no caben consideraciones acerca de la capacidad de rotación, ya que las tres articulaciones se forman a la vez. La condición de capacidad de rotación depende, pues, de la carga y de la geometría. Habitualmente, en lo que respecta al diseño no es necesario estimar la capacidad de rotación, pero hay casos en que ello puede revestir importancia. El procedimiento hace uso de la relación de deformaciones (2.33).
Fig. 2.24 Diagrama carga-flecha de la viga de la figura 2.22. La recta OA corresponde al comportamiento elástico. En el punto A se genera la primera articulación plástica en el empotramiento 3. La recta AB corresponde al comportamiento de una viga con un empotramiento en el extremo de la izquierda y a un apoyo en el extremo de la derecha con un momento de valor MP. En el punto B se forma una segunda articulación en el punto de aplicación de la fuerza. En la recta BC el crecimiento de la flecha está gobernado por la resistencia del empotramiento de la izquierda. En el punto C se forma la tercera articulación en el empotramiento de la izquierda. A partir de C se produce el colapso.
2.7 Esfuerzos residuales Cuando en una sección el momento flector M alcanza un valor tal que MY < M < MP, sabemos que las zonas más extremas están plastificadas, y en ellas el esfuerzo es uniforme y vale ıY, mientras que la zona interna, el núcleo elástico, está sometida a una distribución lineal de esfuerzos, situación que se representa en las figuras 2.25a y 2.25b. Si entonces cesa de actuar el momento flector M, ocurre que las zonas plastificadas, al haber adquirido una deformación permanente, impiden a las fibras del núcleo elástico recuperar sus longitudes originales. Se habrán generado así unos esfuerzos residuales6.
6
Evidentemente nos referimos a unos esfuerzos residuales de origen muy diferente a los que también se llaman esfuerzos iniciales, y que se presentan en los perfiles estructurales a consecuencia del proceso de manufactura. La laminación y los enfriamientos y calentamientos irregulares del material inducen en éste esfuerzos internos. Puede asimismo ocurrir que determinadas operaciones de ejecución de obra, como el doblado en frío y la soldadura, generen por su parte esfuerzos internos. En uno y otro caso el efecto es rebajar el inicio de la fluencia hasta cargas menores que las predichas por el análisis, o bien disminuir la capacidad de carga última provocando pandeos en miembros que trabajen a compresión. Salvo en estos casos, se demuestra que la influencia de este tipo de esfuerzos residuales sobre el momento plástico puede despreciarse.
68
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Conociendo la distribución de esfuerzos producida en la sección por la flexión elastoplástica inicial, es posible determinar la distribución de esfuerzos residuales tras la descarga. Para simplificar nos referimos a una sección rectangular como la de la figura 2.25a, en la cual la distribución de esfuerzos de la figura 2.25b se debe a un momento flector M de sentido positivo. Si el material es elastoplástico perfecto, durante la descarga la totalidad del mismo se comportará según la ley de Hooke, siguiendo una línea como la BCC’ de la figura 2.26, y como si en la sección actuara un momento flector también de valor M, pero de sentido negativo. En consecuencia, durante la descarga, a la distribución de esfuerzos ya existente se superpone una distribución de esfuerzos lineal como la representada en la figura 2.25c. En ésta el esfuerzo máximo de descarga es ıd = M/W. La distribución de esfuerzos de descarga es
V'
Vd (h / 2)
y
y, al sustituir ıd por su valor,
V'
M y I
Fig. 2.25 Esfuerzos residuales a) b) c) d)
Corte de una viga de sección rectangular, sometida en esa sección a un momento flector M, comprendido entre My y MP. Se indica con distinto relleno las zonas plastificadas y las zonas en régimen elástico a tracción y régimen elástico a compresión. Distribución de esfuerzos provocado por el momento M. Distribución de esfuerzos de momento resultante - M, correspondiente al efecto de la descarga (ver fig. 2.26). Distribución de los esfuerzos residuales, obtenida por superposición de las distribuciones de esfuerzos b) y c). El momento es nulo.
69
2 Flexión plástica de vigas
En la mitad superior de la sección, la distribución de esfuerzos debida a la flexión plástica es
VY
V
e
y
para
0 y e
y
V
para
VY
e y h/2
La distribución de esfuerzos residuales es ıres = ı’ - ı; es decir,
V res
§ M VY · ¨ I e ¸ y, © ¹
V res
M y VY , I
para
0 y e
y para
e y h/2
Suponiendo que la plastificación haya avanzado hasta la mitad de la sección, la expresión (2.9a) con e = h/4 nos da para M un valor M
11 M Y 8
M
11W VY 8
o bien (MY = ıYW):
Entonces, la distribución de esfuerzos residuales es
V res
5V Y y , 4 h
para
0 y h/4
y
V res
§ 11 y · 1¸ , ©4 h ¹
VY ¨
para
h/4 y h/2
Fig. 2.26 Gráfica esfuerzo-deformación de un material elastoplástico ideal. El proceso de carga en régimen elástico se representa por el tramo OA, la fluencia plástica por el tramo AB y la descarga por el tramo BCC’. En C’ la deformación es nula, pero el esfuerzo es negativo. Cuando el esfuerzo en la descarga es nulo (punto C), la deformación no lo es (valor OC).
70
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 2.27 Si se secciona la viga de la figura 2.25 a lo largo de su eje, ambas mitades se comban hacia arriba, tal como se indica aquí, debido a la distribución de los esfuerzos residuales no equilibrada en cada mitad.
Para y = h/4, ambas expresiones dan
V res
5V Y 16
V res
3V Y 8
y para y = h/2 es
mientras que para y = 4h/11 es ıres = 0. En la figura 2.25d se representa la distribución de esfuerzos para la sección completa, donde los esfuerzos por encima y por debajo del eje de la viga sólo difieren en el signo. Se comprueba que la distribución de esfuerzos de la media sección superior es equivalente a una fuerza de compresión de valor 9ıYbh/32 cuya recta soporte coincide con el eje de la viga, mientras que la distribución de esfuerzos de la media sección inferior es equivalente a una fuerza de tracción del mismo valor cuya recta soporte coincide también con el eje de la viga. Esas dos fuerzas, reducidas a los centros de las medias secciones respectivas, equivalen cada una a una fuerza, de tracción o compresión, del mismo valor y a un momento de sentido horario y valor 9ıYbh2/128, tal como se muestra en la figura 2.27. Entonces, si se seccionara la viga a lo largo de su eje, ambas mitades se combarían hacia arriba, al no estar equilibrados los esfuerzos que en cada una de ellas se han desarrollado durante el proceso descrito. Experimentalmente, se miden los esfuerzos residuales en una viga que haya sido deformada plásticamente eliminando, por métodos químicos o mecánicos, rebanadas longitudinales de material para medir luego la deformación elástica del resto de la viga. El procedimiento se ilustra en la figura 2.28.
Fig. 2.28 Si eliminamos por métodos químicos o mecánicos la parte inferior indicada de la viga de la figura 2.25, sometida a los esfuerzos residuales, el momento total en la sección dejará de ser nulo y la viga se combará tal como se indica en e). De la medida del radio de curvatura se puede deducir el momento resultante, m, que actúa en la sección. A partir de la gráfica de los radios de curvatura en función del espesor de viga eliminado, se puede deducir experimentalmente la distribución de los esfuerzos residuales existentes.
71
2 Flexión plástica de vigas
Por otra parte, es posible ampliar el rango del comportamiento elástico de una viga si antes se deforma plásticamente de la manera adecuada. Consideremos, por ejemplo, la viga de la figura 2.25, que ha sido cargada más allá de su carga de fluencia y luego descargada, por lo cual en su interior hay esfuerzos residuales. En la figura 2.29 se muestra la distribución de esos esfuerzos. Sometamos ahora la viga a un momento creciente del mismo signo que el que había provocado la cesión plástica. En la sección, los esfuerzos lineales generados por ese momento se sumarán a los residuales y en ningún punto se llegará a la fluencia hasta que el momento aplicado supere el valor M del momento aplicado antes, tal como se muestra con detalle en la figura 2.29. Es decir, los esfuerzos residuales debidos a la primera flexión permiten aumentar el valor del momento flector que la viga puede contrarrestar elásticamente. En la práctica, se aprovecha este efecto del incremento de la capacidad elástica de las vigas por cargas previas pretensándolas. Ha de tenerse muy en cuenta que es esencial controlar el sentido en que se aplican los momentos; o sea, que los momentos de pretensado y los de servicio deben tener el mismo sentido, pues de lo contrario el pretensado puede tener un efecto opuesto al buscado.
Fig. 2.29 Para ampliar el rango de comportamiento elástico de una viga puede someterse a una deformación plástica previa. a) b) c)
Viga de la figura 2.25, sometida a esfuerzos residuales, producidos por una deformación elastoplástica provocada por la aplicación de un momento M>Mp. Nueva carga en rango elástico de momento M, de igual módulo al que produjo la deformación elastoplástica. Distribución final de los esfuerzos en la sección. Todas las fibras se hallan en el rango elástico de comportamiento.
2.8 Influencias de la fuerza axial y de la fuerza cortante La presencia de una fuerza axial de compresión ocasiona dos efectos adversos: una posible inestabilidad por pandeo y una disminución del momento plástico. Normalmente en las vigas transversales el segundo efecto puede ser ignorado, pues generalmente en ellas la fuerza axial es peque=a. No sucede lo mismo cuando la viga hace las veces de montante o columna, especialmente si se encuentra en una de las plantas más bajas de una estructura de varios pisos. Entonces, la fuerza axial, además de causar la inestabilidad por pandeo, puede reducir apreciablemente el momento plástico, y este hecho debe tenerse en cuenta al calcular la carga última. La figura 2.30a muestra una sección de una viga, que se supone bisimétrica, sometida a un momento flector M y a una fuerza axial de compresión F, y no sólo al momento M como hasta ahora se ha supuesto. Salvo el signo, según la teoría de la flexión simple, la distribución de esfuerzos producida por M es lineal y el esfuerzo máximo (compresión o tracción) es M/W (fig. 2.30b), mientras que el esfuerzo de compresión debido a F es uniforme y vale F/A (fig. 2.30c). En tanto persiste el régimen elástico, ambas distribuciones de esfuerzos se superponen con una línea neutra desplazada hacia abajo, tal como se muestra en la figura 2.30d. Resulta así que la cesión plástica se iniciará en la zona de compresión antes que en la zona de tracción (fig. 2.30e). Finalmente, cuando la plastificación sea total, la distribución de esfuerzos será como la representada en la figura 2.30f, con la línea
72
Análisis plástico de estructuras. Introducción
neutra definitivamente desplazada hacia abajo una distancia d. Esa distribución podemos descomponerla en dos partes, una asociada al momento flector (fig. 2.30g), y otra asociada a la fuerza axial (fig. 2.30h). Si para simplificar suponemos que la sección es rectangular (base b, altura h), designando por MPA al momento plástico en presencia de fuerza axial podemos escribir M PA
§h ©
1§h
· ª ¹ ¬
·º ¹¼
V Yb ¨ d ¸ 2 «d ¨ d ¸» 2 2 2 ©
Operando, esta expresión queda M PA
§ bh 2 · bd 2 ¸ 4 © ¹
VY ¨
Para una sección rectangular, Z = (bh2/4); por consiguiente, M PA
V Y Z bd 2
(2.35)
Fig. 2.30 Influencia de la fuerza axial en el comportamiento plástico a) b) c) d) e) f) g) h)
Viga bisimétrica (en el dibujo rectangular), sometida a un momento flector, M, y a una fuerza axial de compresión, F. Distribución lineal de esfuerzos correspondiente a M, de valor máximo M/W. Distribución uniforme de esfuerzos correspondiente a F, de valor F/A. Superposición de b) y c). La línea neutra se sitúa por debajo del centro de la sección. Al crecer M se inicia la cesión plástica en el extremo superior de la sección. Distribución de esfuerzos cuando la plastificación es total. Distribución de esfuerzos asociada al momento flector. Distribución de esfuerzos asociada a la fuerza axial. En consecuencia, la presencia de la fuerza axial rebaja el momento plástico.
Por otra parte, se cumple que MP = ıYZ y F = 2ıYdb, y (2.35) queda M PA
MP
F2 4V Y b
(2.36)
Esta expresión (2.36) puede ponerse en forma adimensional dividiéndola por MP = ıY(bh2/4), y así resulta M PA MP
§ F · 1 ¨ ¸ © FY ¹
2
(2.37)
donde FY = ıYbh es la fuerza axial correspondiente al esfuerzo de fluencia. La expresión (2.37) indica que el momento plástico se reduce tanto más cuanto mayor es la carga axial.
73
2 Flexión plástica de vigas
Siguiendo el mismo procedimiento que para una sección rectangular, se deduce que la expresión equivalente a la (2.37) para el caso de una sección en doble T es M PA MP
2
1
§ F s h 2t · ¨0 ¸ F A Y © ¹
A2 § F · ¨ ¸ , 4sZ © FY ¹
(2.38a)
cuando la línea neutra está en el alma de la sección. Cuando la línea neutra está en el ala, la expresión correspondiente resulta ser 2 A ª § F · A§ F · º « h ¨1 ¸ ¨1 ¸ », 2 Z « © FY ¹ 2b © FY ¹ » ¬ ¼
M PA MP
§ s h 2t F · 1¸ ¨ A FY © ¹
(2.38b)
En estas expresiones (2.38) los parámetros h, s y t son las dimensiones que se indican en la ilustración de la tabla 2-1. En la figura 2.31a se representan la curva (2.37), de la sección rectangular. De los 72 perfiles que figuran en la norma UNE 36-524-94, el primer perfil (el más ligero) es el de designación oficial HEA 100 y el último es el de designación oficial HEA 1000, aproximadamente los perfiles 100A y 1000M de la tabla 2-1, cuyos valores para las ecuaciones (2.38) son los siguientes:
h (mm)
b (mm)
s (mm)
t (mm)
Z (m3 x 106)
A (m2 x 104)
100A
96
100
5
8
78
20
1000M
1008
302
21
40
16215
436,5
Llevando estos valores a las ecuaciones (2.38), se obtiene para el perfil 100A:
M PA
2
M P 1 2,551 F FY ,
para
0 F FY 0, 200
y
M PA
^
2
`
M P 12, 755 0, 096 ª¬1 F FY º¼ ,
para
0, 200 F FY 1
Y para el perfil 1000M:
M PA
2
M P 1 1,399 F FY ,
para
0 F FY 0, 446
y
M PA
^
2
`
M P 1,346 1, 008 ª¬1 F FY º¼ 0, 072 ª¬1 F FY º¼ ,
para
0, 446 F FY 1
74
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 2.31 a)
Representación de MPA / MP en función de F / Fy . MPA = Momento plástico en presencia de una fuerza axial. MP = Momento plástico en ausencia de fuerza axial. F = Fuerza axial. FY = Fuerza axial que por sí sola provocaría fluencia. Están representadas las curvas correspondientes a una sección rectangular, a las de las secciones de perfil 100A y 1000M de la tabla 2-1, y en la zona sombreada se encuentran todas las curvas correspondientes a los 70 perfiles restantes de la tabla. También está representada la aproximación lineal admitida en la práctica.
b)
Construcción gráfica que permite explicar la relación (2.41)
Estas dos curvas se representan asimismo en la figura 2.31a. Entre ambas se encuentran las curvas correspondientes a los 70 perfiles restantes. Se ve que, en ausencia de fuerza axial, por supuesto es MPA = MP y que, cuando F = FY = ıYA, la viga pierde su aptitud para soportar un momento plástico. Una curva como la 100A o la 1000M para el perfil de cada caso sirve para hallar el verdadero momento plástico cuando en la viga actúa una fuerza axial. Ahora bien, el conjunto de las curvas para todos los perfiles se apiñan dentro de una banda estrecha, tal como se aprecia en la figura 2.31a. Por ello, en la práctica, se admite que si F/FY < 0,15, la carga axial puede no tenerse en cuenta con un error inferior a 0,05. Si F/FY > 0,15, las curvas pueden asimilarse a la recta que consta en las fórmulas de corrección siguientes: M PA MP
1
F § · d 0,15 ¸ ¨0 FY © ¹
(2.39a)
y M PA MP
§ F · 1,18 ¨ 1 ¸ © FY ¹
§ · F d 1¸ ¨ 0,15 FY © ¹
(2.39b)
75
2 Flexión plástica de vigas
Y esta función se representa asimismo en la figura 2.31a. Cuando la fuerza axial rebasa el valor de 0,15FY y el valor de MP debe considerarse afectado, es necesario corregir el valor del módulo plástico obtenido inicialmente de acuerdo con la hipótesis de ausencia de fuerza axial. Sabemos que la sección debe soportar un momento plástico de valor MP1, y si no hubiera fuerza axial el módulo plástico sería ZP = MP1/ıY. Si el valor de la fuerza axial es F, la expresión (2.39b) nos indica que el valor del momento plástico que la sección podrá soportar es MPA1, tal que § F · 1,18 ¨ 1 ¸ M P1 © FY ¹
M PA1
situación que se representa en la figura 2.31b. Es necesario ahora elegir otra sección de tal modo que se restaure el valor del momento plástico hasta el valor MP1. En la figura 2.31b se indica la correspondiente construcción gráfica, en la que se ha empleado la expresión (2.39b) de tal modo que el punto de coordenadas (F, MP1) está sobre una recta cuya abscisa en el origen es una fuerza axial de valor FY2 que sería el límite para la sección que debe seleccionarse. Por otra parte, véase que a esa nueva sección le corresponde un momento plástico en ausencia de fuerza axial que vale MP2 (> MP1); y entonces es § F · 1,18 ¨ 1 ¸ M P2 © FY ¹
M P1
(2.40)
donde MP2 = ıYZ, siendo Z el módulo plástico de la sección a seleccionar. Puede admitirse como aproximación que el área de la sección es proporcional al módulo plástico, y así podemos escribir M P1 M P2
FY1 FY2
relación que combinada con la (2.40) da M P1 M P2
1 · 0,85 §¨ F ¸ © FY1 ¹
o bien, prescindiendo ya del subíndice 1, Z
§ F · Z P ¨ 0,85 ¸ F © Y ¹
(2.41)
fórmula que es la empleada habitualmente para corregir el valor del módulo plástico en presencia de fuerza axial. Por ejemplo, supongamos que un perfil en doble T, seleccionable de la tabla 2-1, debe transmitir un momento plástico de 300 m·kN y soportar a la vez una fuerza axial de compresión de 600 kN. Si ésta no existiera, el módulo plástico que se consideraría sería ZP
MP
VY
300 u 103 250 u 106
1200 u 106 m3
En principio consideramos el perfil 260B, para el que Z = 1230 x 10-6 m3 y A = 113,5 x 10-4 m2. Con este valor de A podemos hallar la relación F/Fy, que resulta ser F FY
600 u 103 VY A
600 u 103
250 u10 113,5 u10 6
4
0, 211
76
Análisis plástico de estructuras. Introducción
que es mayor que 0,15. Por consiguiente, hay que corregir empleando la fórmula (2.41): Z
§ F · Z P ¨ 0,85 ¸ FY ¹ ©
(1230 u 106 ) 0,85 0, 211 1305, 6 u 106 m3
Este valor nos indica el perfil 280B, para el que Z = 1477 x 10-6 m y A = 126,42 x 10-4 m2. Por último, el momento plástico verdadero será, según (2.39b), M PA
§ F 1,18 ¨1 F © Y
· ¸V Y Z ¹
§ · 600 u 103 ¸ 250 u 106 1477 u 106 1,18 ¨1 6 4 ¨ 250 u 10 126, 42 u 10 ¸ © ¹
353 m kN.
Al ser MPA > 300 m·kN, el perfil seleccionado es el 280B. En §2.5 se dijo, con relación a las vigas transversales, que las condiciones que deben cumplir las dimensiones de la sección para que no se desencadene un pandeo plástico (local) prematuro son b d 17 t
y
h d 55 s
(2.27)
Cuando (h/s) > 55 o cuando 0,15 < F/FY < 0,27, la segunda de las condiciones (2.27) hay que sustituirla por § F · h d 70 100 ¨ ¸ s © FY ¹
(2.42)
Para la viga 280B seleccionada en el ejemplo es F FY
600 u 103
250 u10 126, 42 u10 6
4
0,19
y, por tanto, resulta (h/s) 70 - 100 x 0,19 = 51. Para la viga 280B es (h/s) = 280/10,5 = 26,7, luego sus dimensiones son correctas respecto al pandeo local. (También es (b/t) = 280/18 = 15,6 < 17). Cuando una viga actúa como montante o columna, la segunda de las condiciones (2.27) pasa a ser h d 43 s
(2.27')
Respecto a la fuerza cortante Q, ya mencionamos en §2.5 que puede revestir importancia en los casos en que se ha iniciado la plastificación y, al no poder contribuir a contrarrestar el esfuerzo cortante las fibras más extremas de la sección, queda éste a cargo del núcleo elástico. Si la fuerza cortante es lo bastante elevada en una sección donde ha comenzado la plastificación, puede ocurrir que en el núcleo elástico los esfuerzos normales y cortantes se combinen de manera que se cumpla la condición del criterio de von Mises, expresado en este caso por (1.18), y sobrevenga la plastificación de esa sección antes que en la que presentaba el momento flector máximo y para un momento plástico menor que el previsto en ausencia de fuerza cortante. En la teoría de la flexión de vigas en régimen elástico se deduce una expresión para la distribución de esfuerzos cortantes en una sección de una viga de perfil rectangular constante como el de la figura 2.32a, según las hipótesis de que IJ es paralelo al eje YY’ y de que IJ es sólo función de y. Estas dos hipótesis, combinadas con el hecho evidente de IJ debe ser nulo en los bordes superior e inferior de la sección, desembocan aplicando convenientemente las condiciones de equilibrio, y tras los cálculos adecuados, en la expresión
W
Q § h2 2 · ¨ y ¸ 2I © 4 ¹
(2.43)
77
2 Flexión plástica de vigas
Esta relación concuerda tanto más con la realidad cuanto más esbelta es la sección, o sea, cuanto mayor es el cociente h/b. Por ello, por debajo de un cierto valor de ese cociente, el segundo miembro de (2.43) debe multiplicarse por un factor mayor que uno, y que vale 1,13 cuando h = b. En la figura 2.32a se representa un tramo de una viga, de sección rectangular constante, cargada de tal modo que en sus secciones limítrofes, A y B, se ha iniciado la plastificación, y en la que se cumple, además, que MY < MA < MB < MP. Cuando en una de esas secciones se inicia la plastificación, el esfuerzo cortante en los bordes superior e inferior es nulo según (2.43) y en ellos la plastificación sobreviene sólo por la acción del esfuerzo normal. Resulta entonces que en la fórmula (2.43) los valores de h e I serán los correspondientes a la sección que resulta de excluir las fibras más extremas ya plastificadas. Así pues, a medida que avanza la plastificación, la acción del esfuerzo cortante se concentra en el núcleo elástico, y en éste coincide una distribución de esfuerzos normales:
V
VY e
y
(2.44)
con un distribución de esfuerzos cortantes:
W
Q 2 e y2 2I
(2.45)
mientras que en las zonas plastificadas se tiene únicamente un esfuerzo normal ı = ıY (figs. 2.32b y 2.32d). (Una sección que haya desarrollado una articulación plástica no podrá ofrecer resistencia a las fuerzas cortantes.) Al fin, si la carga aumenta, llegará un instante en que en la sección B los esfuerzos normales y cortantes son tales que se cumple
V 2 3W 2
V Y2
Fig. 2.32 Influencia de la fuerza cortante en el comportamiento plástico a)
Tramo de una viga de sección rectangular en cuyas secciones limítrofes se ha iniciado la plastificación.
b) y c)
Distribuciones de esfuerzos normales en el supuesto de que MY < MA < MB< MP.
d) y e)
Distribuciones de esfuerzos cortantes. Si la sección está totalmente plastificada, Wmax Wy =Vy / 3 , y si no está totalmente plastificada, Wmax <Wy .
(1.18)
78
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 2.33 a) b)
Distribución de los esfuerzos cortantes en la sección de una viga en doble T. Se admite en la práctica que toda la fuerza cortante es soportada por el alma de la viga y que, cuando el alma está totalmente plastificada por el esfuerzo cortante como en esta figura, únicamente las alas contribuyen al momento plástico.
Si entre (2.44) y (1.18) eliminamos ı y despejamos IJ, resulta
W
VY
1 y e
2
3
como distribución de los esfuerzos cortantes en la sección plastificada B (fig. 2.32e). Obsérvese que, para y = 0, el esfuerzo cortante es el de plastificación W Y V Y / 3 . Se ve, pues, que el efecto del esfuerzo cortante es rebajar el valor del momento plástico, al impedir el crecimiento del esfuerzo normal hasta el valor ıY en la zona que fue núcleo elástico hasta que se cumplió en ella la condición (1.18). En la sección A, el material del núcleo elástico permanece elástico y, según la teoría de la flexión elástica, en esa zona la distribución de esfuerzos cortantes es la dada por (2.45) con Q = QA. Recuérdese que en las zonas plastificadas por esfuerzos normales no puede haber cortantes y, para y = e, es IJ = 0. El valor máximo de IJ se da en el eje neutro, o sea, para y = 0. Si se tiene en cuenta que para un rectángulo de base b y altura 2e, es I = (2be3)/3 = Ae2/3, donde A es el área, se tiene 3QA 1,5W 2A donde W es el esfuerzo cortante medio en la superficie que ocupa el núcleo elástico.
W max
En una viga en doble T la distribución de los esfuerzos cortantes en la sección es más complicada. En las alas puede haber esfuerzos cortantes horizontales y verticales; en el alma, son verticales. Una característica importante es que los valores de los esfuerzos cortantes en el alma son mucho mayores que en las alas y en la figura 2.33a se muestra el aspecto general de las distribuciones correspondientes, cuyas expresiones matemáticas se deducen mediante un proceso similar al que se sigue para deducir (2.43). En la práctica, se admite que toda la fuerza cortante es soportada por el alma de la viga. Así, puede ocurrir que toda el alma esté plastificada por el esfuerzo cortante y el momento plástico sea sólo responsabilidad de las alas. Esta es la situación que se representa en la figura 2.33b. La resistencia a la fuerza cortante es Qu W y s h 2t Además, si el alma está plastificada, en ella es IJy = ıY/ 3 (§1.6). O sea, la expresión anterior quedará Qu
0,577 V Y s h 2t
(2.46)
Según la hipótesis de que el alma está plastificada por el esfuerzo cortante, una sección para la cual la fuerza cortante tiene el valor dado por (2.46) resulta incapaz de generar por completo el momento plástico que le corresponda. La experimentación muestra que no es así, sino que, a consecuencia del efecto del endurecimiento por deformación, en todo caso MP se reduce sólo ligeramente, mientras Q no rebase el valor dado por (2.46) y la plastificación por esfuerzo cortante empiece a invadir las alas.
79
2 Flexión plástica de vigas
EJERCICIOS
2.1
Comprobar que el módulo plástico de una sección triangular de base b y altura h es Z
2 2 bh
2
6
2
para un eje neutro paralelo a la base, y Z
bh para un eje neutro paralelo a la altura. 12
2.2
Calcular el módulo resistente W, el módulo plástico Z y el factor de forma f de las sección representada. Calcular MY y MP, si ıY = 220 MPa.
2.3
En un perfil en doble T de alas anchas y caras paralelas b = 180 mm, h = 180 mm, s = 8,5 mm y t = 14 mm. Si ıY = 250 MPa, ¿para qué valor del momento flector M el núcleo elástico abarcará exactamente sólo el alma y qué porcentaje de M resiste ese núcleo elástico?
2.4
Una viga en voladizo soporta una carga uniforme w en toda su longitud L y una carga puntual P en su extremo libre. Hallar la longitud Lp de la zona plástica cuando el momento flector máximo alcanza el valor MP. Aprovechar el resultado obtenido para comprobar que Lp/L = 1 - (1/f)0,5 cuando la viga soporta únicamente la carga distribuida w; y que Lp/L = 1 - (1/f) cuando la viga soporta únicamente la carga puntual en el extremo libre.
2.5
Para una viga de sección rectangular, dibujar los contornos de las zonas elásticas suponiendo: (a) que está simplemente apoyada en los extremos y soporta una carga puntual en su centro; b) que está en voladizo y soporta una carga uniforme en toda su longitud.
2.6
Para una sección rómbica, obtener la expresión analítica de la relación entre M/MY y I/IY que se representa en la figura 2.7. Representar la expresión obtenida y consignar los valores de M/MY para I/IY = 1, 2, 3, 4, 5, y 10.
80
2.7
Análisis plástico de estructuras. Introducción
En la figura se incluyen los correspondientes diagramas de momentos flectores en régimen elástico de las dos vigas representadas, ambas de factor de forma f = 1,15. Para las dos vigas, calcular PY (carga de fluencia), Pi (carga de primera plastificación) y Pu (carga de agotamiento), así como los respectivos valores de la flecha įY, įi y įu. Con esos seis valores trazar la gráfica de P/Pu en función de į/įu, y emplear esa gráfica para hallar el factor de carga estática.
2 Flexión plástica de vigas
81
2.8
El diagrama de momentos flectores que acompaña a la viga representada, de acero, con ıY = 250 MPa, corresponde a las cargas de trabajo que se indican. Admitiendo un factor de carga de 1,7, seleccionar el perfil adecuado en la tabla 2-1. Examinar la estabilidad de la viga seleccionada respecto al pandeo local y al pandeo lateral, si E = 210 GPa y G = 84 GPa.
2.9
De la viga representada se conoce MP. Localizar las tres articulaciones plásticas y hallar la carga última wu y la flecha įu en el agotamiento.
2.10
Una viga de sección rectangular se lleva hasta la plastificación total en flexión pura. Hallar la distribución de esfuerzos residuales una vez cesa la solicitación externa.
3 Análisis Plástico 3.1 Introducción Al comienzo del capítulo anterior (§2.1), se definieron las hipótesis en que se basa la teoría elemental de la flexión plástica de vigas. Ahora, para abordar el análisis plástico de vigas continuas y pórticos, a esas hipótesis añadimos las tres siguientes, ya justificadas en el capítulo anterior con las reservas pertinentes: 1) 2) 3)
La estructura se conserva estable hasta que se alcanza la carga última; o sea, no se presentan fenómenos de pandeo durante el proceso de carga. Pueden despreciarse los efectos de las fuerzas axiales y cortantes sobre el momento plástico MP. El proceso de carga es proporcional, de tal modo que en cada instante la relación entre las cargas se mantiene constante.
Y a estas tres hipótesis hay que añadir una cuarta relativa a las uniones, y es que éstas son perfectamente capaces de transmitir íntegramente el momento plástico MP; es decir, las uniones proporcionan una continuidad completa. En el capítulo anterior, para estudiar la flexión plástica de una viga hiperestática se partía del diagrama de momentos flectores y a la vista de éste se estimaban los puntos en los que se consideraba posible la formación de las articulaciones plásticas que conformaban cada posible mecanismo de colapso; cada uno de éstos era construido por consideraciones geométricas particulares para cada caso. Nos interesa ahora generalizar los criterios de localización de las articulaciones plásticas y, así, admitiremos que las articulaciones plásticas pueden formarse en: a) b) c) d)
Los empotramientos, los nudos rígidos y las uniones no articuladas donde concurran dos o más elementos. Los apoyos intermedios de las vigas continuas. Los puntos de aplicación de las cargas concentradas. Bajo cargas distribuidas, a partir de los puntos donde el momento flector es máximo.
Cuando se considere la formación de un mecanismo de colapso, a estos puntos habrá que añadir las posibles articulaciones constructivas. (La diferencia entre una articulación plástica y una articulación constructiva radica en que en ésta el momento flector es nulo y la primera soporta el momento plástico de la sección.) Una vez conocidos los lugares donde pueden formarse las articulaciones plásticas, y por tanto el número N de ellas, deseamos determinar el número m de mecanismos de colapso que esas articulaciones pueden generar. Recordemos una vez más que grado de hiperestaticidad H de un sistema de cuerpos es la diferencia entre el número de incógnitas que se deben conocer para determinar por completo las fuerzas reactivas externas e internas al sistema, menos el número de ecuaciones que las condiciones universales de equilibrio permiten escribir. La viga representada en la figura 3.1a es isostática, o sea, de grado de hiperestaticidad H = 0, pues en ella el número de incógnitas que debemos conocer para determinar las reacciones es de dos, y dos son las ecuaciones de equilibrio. Según los criterios admitidos, hay posibilidad de articulación plástica bajo cada carga, es decir N 2 . Por otra parte, es evidente que los mecanismos de colapso son los dos indicados en la misma figura 3.1a; o sea, se cumple
84
Análisis plástico de estructuras. Introducción
que m = N - H. Si el apoyo simple izquierdo de esa viga se sustituye por un empotramiento (fig. 3.1b), habremos introducido una incógnita más en las reacciones y entonces será H = 1, pero el número de articulaciones posibles, según los criterios admitidos, habrá aumentado en uno, es decir, será N = 3. En esa misma viga observamos que el número m de mecanismos son dos, tal como se representa en la misma figura. Aquí también se cumple m = N - H. En las tres vigas representadas a continuación en la misma figura 3.1 se comprueba que se cumple la relación m
N H
Fig. 3.1 De acuerdo con la relación de Neal y Symmonds, en cada una de las cinco vigas de la figura existen dos mecanismos de colapso posibles, que son los indicados.
(3.1)
3 Análisis plástico
85
Así, por ejemplo, en la viga de la figura 3.1e es N = 4 y H = 2, con lo que m = 2. Se ve que por cada grado de aumento de la hiperestaticidad, aparece la posibilidad de una nueva articulación plástica, pero el número de mecanismos no varía mientras no variemos la carga. Si en cada una de las vigas de las figura 3.1 añadimos una carga puntual, aumentamos en uno el valor de N pero el grado de hiperestaticidad H sigue siendo el mismo, con lo que m = 3. Conviene aclarar que la relación (3.1), debida a Neal y Symmonds, se corresponde con el hecho de que cada mecanismo está ligado a unas condiciones de equilibrio independientes, y se dice que tal mecanismo es “independiente” o “elemental”. No es válida para vigas con tramos de secciones diferentes, ni para pórticos u otras estructuras con uniones acarteladas. Si una estructura se agota cuando en la misma se forma un número suficiente de articulaciones plásticas, en el preciso instante en que se forme la última de esas articulaciones hemos de admitir que se cumplen las tres condiciones siguientes: 1) 2) 3)
Condición de equilibrio: la estructura en conjunto cumple las condiciones universales de equilibrio, y también las cumple cada una de las partes que pueda suponerse que integran la estructura. Condición del momento plástico: en ninguna sección de la estructura puede el momento flector ser mayor que el momento plástico MP correspondiente a esa sección. Condición del mecanismo: la carga alcanza su valor último cuando se forma el mecanismo de colapso.
La condición de equilibrio, que debe cumplirse siempre, combinada con una u otra de las otras dos, debe dar dos soluciones respectivas que deben coincidir. El procedimiento que resulta de aplicar la condición de equilibrio y la condición del momento plástico recibe el nombre de método estático y el que resulta de aplicar la condición de equilibrio y la condición del mecanismo recibe el nombre de método de los mecanismos. En el método estático se construye el diagrama de momentos flectores y se impone la condición de que M d M P , para determinar así una carga última cuyo valor será correcto sólo si se supuso un número de articulaciones plásticas correcto. En el método de los mecanismos se suponen los mecanismos posibles y se calcula qué carga genera cada uno aplicando el principio de los trabajos virtuales del modo expuesto en el capítulo anterior, y la carga última así calculada debe satisfacer la condición del momento plástico. Ambos procedimientos dan el mismo resultado si se aplica cada uno teniendo en cuenta una determinada condición. Así, el método estático debe aplicarse teniendo en cuenta el teorema del límite inferior, mientras que el método de los mecanismos debe aplicarse teniendo en cuenta el teorema del límite superior. Estos dos teoremas, enunciados por Fainberg y demostrados por Greenberg y Prager, permiten usar a elección uno u otro procedimiento. En los dos parágrafos §3.2 y §3.3 que siguen se justifican y se ilustra su aplicación.
3.2 Método estático y teorema del límite inferior Consideremos la viga doblemente empotrada de la figura 3.2a sometida a una carga uniforme en toda su longitud. En la figura 3.2b se representa en trazo continuo el diagrama de momentos flectores en el estado de primera plastificación, es decir, tal como vimos en §2.3, cuando en los empotramientos el momento flector es MP pero la viga, según nuestros criterios, se sigue considerando útil y la carga es menor que la de agotamiento wu. Si, como siempre, deseamos agotar la viga, deberemos aumentar la carga w hasta que se genere el mecanismo indicado en la figura 3.2c, cuando en el centro el momento flector alcanza el valor MP y el diagrama de momentos flectores es el que se indica en la figura 3.2b en trazo discontinuo. Este ejemplo sencillo concuerda con el hecho de que toda carga calculada a partir de un diagrama de momentos flectores hipotético, pero que corresponda a una situación de equilibrio, y tal que en ninguna sección el momento flector sea mayor que MP, será siempre menor o igual que la carga última. Es éste el teorema del límite inferior, cuya aplicación se traduce en buscar entre los mecanismos de colapso en principio posibles aquel que dé una distribución de momentos flectores tal que en ninguna sección sea M > MP. El procedimiento a seguir comprende los tres pasos siguientes: 1) 2) 3)
Se dibuja el diagrama de momentos flectores. (Se recomienda dibujar el de cada carga por separado.) Se seleccionan las secciones donde pueden formarse articulaciones plásticas y se consideran las combinaciones de éstas capaces, en principio, de generar un mecanismo de colapso. Se busca la combinación que satisface la condición M d M P , a la cual corresponderá la verdadera carga última.
86
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 3.2 a) b) c) d) e)
Viga doblemente empotrada con carga uniformemente distribuida. El diagrama de trazo continuo corresponde al diagrama de momento flector de la viga de la figura a) cuando se forman las articulaciones plásticas en A y en B, y el de trazo discontinuo corresponde al de la formación de la tercera articulación plástica en el centro, que provocará el colapso de la viga. Mecanismo de colapso correspondiente al diagrama de momentos flectores de trazo discontinuo de b). En el mecanismo dibujado con trazo continuo la tercera articulación plástica no está en el centro de la viga. El diagrama de momentos flectores de trazo continuo corresponde al mecanismo de colapso con la articulación plástica descentrada. No es posible la formación de este mecanismo porque el momento flector en las secciones de la región CD de la viga serían superiores a MP.
87
3 Análisis plástico
Vamos a aplicar el procedimiento a la determinación de la carga última Pu para la viga empotrada y apoyada de la figura 3.3a. En las figuras 3.3b a 3.3e se representan por separado los diagramas de momentos flectores (paso 1). Aquí es N = 4 y H = 1 y, por consiguiente, m = 3. El mecanismo de colapso estará formado por una articulación plástica en la sección A del empotramiento y una segunda articulación en la sección C, D o E (paso 2). O sea, hemos de considerar tres mecanismos y determinar cuál de ellos satisface la condición M < MP del paso 3. Suponiendo que la segunda articulación se forme en C (combinación A y C), en esa sección el momento flector es MP
14,1 P 0, 7 M P
y MP
14,1P 1, 7
8,3 P
Entonces, tendremos MD
15,5 P 0,5 8,3P 11, 4 P ! 8,3P,
incorrecto
y ME
8, 6 P 0, 2 8,3P
6,9 P 8,3P,
correcto
O sea, la combinación A y C no genera el mecanismo de colapso. Si probamos con A y D, en D MP
15,5 P 0,5 M P
y resulta
15,5 P 1,5
MP
10,3 P
Entonces, MC
14,1 P 0, 7 10,3 P
6,9 P 10,3 P,
correcto
ME
8, 6 P 0, 2 10,3 P
6,5 P 10,3 P,
correcto
y
Por último, considerando la combinación A y E, en E, MP
8, 6 P 0, 2 M P
y resulta MP
8, 6 P 1, 2
7, 2 P
Entonces, MC
14,1 P 0, 7 7, 2 P
9,1 P ! 7, 2 P,
incorrecto
MD
15,5 P 0,5 7, 2 P 11,9 ! 7, 2 P,
incorrecto
y
88
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Es decir, el mecanismo está formado por una articulación plástica en el empotramiento y otra bajo la carga de 1,5P. Como MP = 10,3P, resulta una carga última Pu = 0,097MP.
Fig. 3.3 a) 1) f)
Método estático Viga hiperestática sometida a cargas puntuales. Dos articulaciones plásticas bastarán para que se produzca el colapso. Diagramas de momentos flectores, correspondientes al momento MP en el empotramiento y a cada una de las cargas puntuales. Expresión obtenida por superposición del momento flector en el empotramiento y en los puntos de aplicación de las fuerzas, donde pueden formarse las articulaciones plásticas. Se comprueba que el colapso se producirá cuando se forme una articulación plástica en A y otra en D para Pu = 0,097MP .
89
3 Análisis plástico
Apliquemos ahora el procedimiento a la determinación del momento plástico de diseño de la viga empotrada y apoyada en voladizo de la figura 3.4a, donde las cargas indicadas son las cargas de diseño, es decir, las que resultan de multiplicar las cargas de trabajo por el factor de carga. En las figuras 3.4b a 3.4d se representan por separado los diagramas de momentos flectores. En este caso N = 3 y H = 1, por lo que m = 2. Para los tres puntos donde pueden formarse articulaciones plásticas tenemos: MA MB
105 m KN
113, 75 (5 M P 12) m kN
y MC
MP
Los dos mecanismos de colapso posibles son: 1) el formado por una única articulación plástica en el apoyo A, y 2) el formado por una articulación bajo la carga de 120 kN y otra en el empotramiento. Si consideramos el mecanismo 1, será MP = MA = 105 m·kN y en B tendremos MB
113, 75 5 u 105 12
70 m kN 105 m kN
y esta es la solución correcta. En efecto, si consideramos el mecanismo 2 hay que suponer que MB = MP, y entonces MP
113, 75 5 M P 12
Despejando MP resulta
MP
12 u 113, 75 17
80,3 m kN
Este valor es menor que el establecido con el mecanismo 1, luego éste último es el verdadero y el valor de diseño de MP es 105 m·kN.
3.3 Método de los mecanismos y teorema del límite superior Consideremos nuevamente la viga doblemente empotrada de la figura 3.2a. Si arbitrariamente suponemos que el mecanismo de colapso es el representado en la figura 3.2d, el diagrama de momentos flectores sería el representado con trazo continuo en la figura 3.2e. Ocurriría entonces que entre C y D el momento flector debería ser mayor que MP, lo que vulneraría la condición del mecanismo. Para que esto no ocurra, debe elegirse un mecanismo de tal manera que en ningún lugar el momento flector sea mayor que MP. Ello concuerda con el hecho de que toda carga calculada con referencia a uno cualquiera de los mecanismos que se consideran será siempre mayor o igual que la carga última. Es este el teorema del límite superior. El número de mecanismos posibles es tanto mayor cuanto mayor es la hiperestaticidad de la estructura y ello puede dificultar gravemente dibujar el diagrama de momentos flectores. Este inconveniente puede salvarse mediante el método de los mecanismos, que se basa en el teorema del límite superior y que se reduce a buscar un mecanismo que no viole la condición del momento plástico. El procedimiento a seguir comprende los cuatro pasos siguientes: 1) 2) 3) 4)
Se ubican las posibles articulaciones plásticas. Se consideran los mecanismos posibles. Mediante el principio de los trabajos virtuales, se determina el valor de la carga causante de cada mecanismo. La carga última será la menor de las halladas en el paso 3.
90
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 3.4 Método estático Para determinar el momento plástico de diseño de la viga de la figura a) se sigue el mismo procedimiento que en la viga de la figura 3.3. Se deduce que se formará una articulación plástica en A si MP = 105 m·kN y en B si MP = 80,3 m·kN. Por tanto, el valor de diseño ha de ser MP = 105 m·kN para que la viga no se colapse.
La viga de la figura 3.5a es la misma que la de la figura 3.3a. Ahora vamos a determinar su carga última mediante el método de los mecanismos. Ya sabemos (paso 1) que las articulaciones plásticas pueden estar en A, C, D y E. Como N = 4 y H = 1, es m = 3. En las figuras 3.5b, 3.5c y 3.5d se representan los tres mecanismos posibles (paso 2) a los que aplicar el principio de los trabajos virtuales (paso 3). Para el mecanismo 1, el principio de los trabajos virtuales permite escribir
91
3 Análisis plástico
M P T1 M P T1 T 2 2 P 14T 2 1,5 P 10T 2 P 4 T 2
0
y teniendo en cuenta que 6 ș1 = 14 ș2 y operando, resulta P
0,121 M P
Fig. 3.5 a) b) a d)
Método de los mecanismos La misma viga de la figura 3.3. Mecanismos de colapso posibles. Aplicando el principio de los trabajos virtuales se deduce que la carga última es Pu = 0,097 MP, correspondiente al mecanismo 2. El resultado obtenido por el método estático fue el mismo.
92
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Para el mecanismo 2 tenemos M P T M P 2T 2 P 6T 1,5 P 10T P 4T
0
y despejando P, resulta P
0, 097 M P
Por último, para el mecanismo 3: M P T1 M P T1 T 2 2 P 6 T1 1,5 P 10T1 P 16 T1
Como T 2
0
4T1 , despejando P, resulta P
0,140 M P
Es decir, la carga última es Pu = 0,097MP para un mecanismo (el 2) formado por una articulación plástica en el empotramiento y otra bajo la carga de 1,5P. Todos los resultados coinciden con los obtenidos al aplicar el método estático.
Fig. 3.6 a) b)
Método de los mecanismos La misma viga de la figura 3.4. Mecanismos de colapso posibles Aplicando el principio de los trabajos virtuales se deduce que el momento plástico de diseño ha de ser MP = 105 m·kN, el mismo obtenido por el método estático.
93
3 Análisis plástico
En la figura 3.6a se representa la misma viga que en la figura 3.4a. Los dos mecanismos correspondientes se representan en las figuras 3.6b y 3.6c. Para el mecanismo 1 se tiene M P T 42 2,5T
0
y, por tanto, MP
105 m kN
Para el mecanismo 2: 42 2,5T1 M P T1 T 2 120 2,5T1 M P T 2
0
Como 2,5ș1 = 3,5ș2, despejando MP resulta MP
80,3m kN
Se obtienen, pues, los mismos resultados que con el método estático; es decir, el momento plástico de diseño vale 105 m·kN y corresponde al mecanismo formado exclusivamente por una articulación en el apoyo simple. Una aplicación interesante del teorema del límite superior es la localización de la última articulación plástica, es decir, de la articulación que definitivamente precede al colapso. En la figura 3.7 se representa una viga de longitud L sometida a una carga uniforme w en un tramo de longitud d desde su extremo izquierdo A. En la figura 3.7a esa viga está empotrada en A y apoyada en B, mientras que en la figura 3.7b está empotrada en A y B. En cada caso se representan los correspondientes mecanismos de colapso y a es la distancia de la última articulación al extremo A. Aplicando el principio de los trabajos virtuales al caso de la figura 3.7a, tenemos M P T1 M P T1 T 2 WE
0
(3.2)
donde WE es el trabajo virtual de la carga uniforme. Ese trabajo valdrá WE
1 1 1 wa' w L a ' w L d ' ' 2 2 2
y teniendo en cuenta que '' '
Ld La
queda WE
2 ª L d º 1 w' « L » L a ¼» 2 ¬«
Entonces (3.2) se expresa M P 2 T1 T 2
2 L d º w' ª «L » 2 ¬« L a ¼»
y si en esta expresión tenemos en cuenta que ǻ = ș1 a = ș2 (L - a), resulta
(3.3)
94
Análisis plástico de estructuras. Introducción
M P 2 L a
wd 2 dL d 2 La 2
Despejando w y operando convenientemente queda a 2 2 MP L 2 L2 d § d·a §a· 2 ¨ ¸ ¨ ¸ L© L¹L ©L¹
w
(3.4)
En esta expresión cada valor de a representa un mecanismo hipotético al que, según el teorema del límite superior, corresponde un valor de la carga w que es mayor o igual que la carga última wu. Ello implica que el valor de a correspondiente al mecanismo de colapso será aquel que haga mínima la expresión (3.4). Entonces, si en ésta tomamos a/L como variable, la derivamos e igualamos a cero, resulta la ecuación de segundo grado 2
d· §a· §a· § d ·§ ¨ ¸ 4¨ ¸ 2¨ ¸¨ 2 ¸ L L L L¹ © ¹ © ¹ © ¹©
0
una de cuyas raíces es a L
2 4
2d § d· ¨2 ¸ L © L¹
(3.5)
que nos da la posición de la última (en este caso, segunda) articulación plástica. Véase que si la carga ocupa todo el vano, d = L y entonces (3.5) nos da a
L 2 2
que es el valor ya obtenido en §2.4.
Fig. 3.7 Localización de la última articulación plástica Las expresiones (3.5) y (3.7) del texto, obtenidas aplicando el teorema del límite superior, permiten determinar la posición de la articulación plástica interna, que es la última en formarse.
95
3 Análisis plástico
Para el mecanismo de colapso de la viga doblemente empotrada de la figura 3.7b el principio de los trabajos virtuales permite escribir ª § d ·2 º 1 « » wL « ¨© L ¸¹ » 1 M P T1 M P T1 T 2 M P T 2 ' a » 2 « 1 « L »»¼ «¬
0
donde el último sumando es el trabajo WE de la carga distribuida ya calculado y expresado en (3.3). Y como antes, si tenemos en cuenta que ' T1 a T 2 L a y operamos, resulta w
4 MP 1 2 L2 d § d·a §a· 2 ¨ ¸ ¨ ¸ L© L¹L ©L¹
(3.6)
También en esta expresión cada valor de a representa un mecanismo hipotético al que, según el teorema del límite superior, corresponde un valor de la carga w que es mayor o igual que la carga última wu. Ello implica que el valor de a correspondiente al mecanismo de colapso será aquel que haga mínima la expresión (3.6). Entonces, si en ésta tomamos a/L como variable, la derivamos e igualamos a cero, resulta la condición siguiente: a L
d ·d § ¨1 ¸ © 2L ¹ L
(3.7)
que nos da la posición de la última (en este caso, tercera) articulación plástica. Nótese que si la carga ocupa toda el vano, d = L y entonces (3.7) nos da a = 0,5L como ya sabíamos.
3.4 Vigas continuas Admitimos que una viga continua, como la de la figura 3.8a, está formada por una sucesión de vigas empotradas una a continuación de otra de tal manera que el conjunto conserva el mismo eje. Admitimos, además, que la rigidez a la flexión EI es la misma a lo largo del eje de la viga. El análisis plástico de una viga continua requiere esencialmente lo mismo que el análisis plástico de una viga simple; es decir, determinar el mecanismo de colapso y el valor de la carga última correspondiente. Adicionalmente, puede interesar otra información, como el diagrama de momentos redistribuidos o las deformaciones. La viga de la figura 3.8a es una viga continua de tres vanos de la misma luz L cada uno, sometida en toda su longitud a una carga uniforme w, cuyo valor último se desea determinar. En esta viga, el número N de articulaciones plásticas posibles es de cinco (una en cada apoyo interno B y C, y una en cada vano AB, BC y CD) y el grado de hiperestaticidad H es de dos. Por tanto, el número m de mecanismos que deben considerarse es m = 5 - 2 = 3. En la figura 3.8b se representa el diagrama de momentos flectores obtenido del análisis elástico, según el cual el momento flector máximo para toda la viga aparece en los apoyos intermedios B y C y vale 0,1wL2, mientras que en los dos vanos extremos se tienen sendos máximos relativos de 0,08wL2 a una distancia de 0,4L de los apoyos externos A y D. En el centro del vano interno se da otro máximo de valor 0,025wL2. La plastificación se iniciará en uno de los apoyos intermedios B y C, y el colapso sobrevendrá por la formación de un mecanismo formado por una articulación en B o en C y otra dentro del vano AB o del vano CD. Desde luego, teóricamente, deberían colapsarse a la vez los dos vanos extremos AB y CD. En la realidad, no obstante, no será así dada la imposibilidad de obtener exactamente las mismas características en AB y CD. Uno de éstos se comportará entonces como una viga empotrada y apoyada y, por tanto, la carga última para toda la viga será wu
11, 66 M P L2
(2.20)
96
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 3.8 a) b) c) d)
Viga continua de tres vanos de la misma luz, sometida a una carga uniforme. Diagrama de los momentos flectores obtenido del análisis elástico. Mecanismo de colapso con las articulaciones plásticas situadas en los puntos de momento flector máximo en régimen elástico. Diagrama de los momento redistribuidos cuando se produce el colapso.
97
3 Análisis plástico
Para que el colapso tuviera lugar por agotamiento del vano central, que se comportaría entonces como una viga doblemente empotrada, debería alcanzarse una carga de valor wu
16 M P L2
(2.17)
mayor que la dada por (2.20). Por consiguiente, la viga se colapsa por uno de los vanos extremos con uno de los mecanismos de la figura 3.8c. Cuando ello está a punto de ocurrir el diagrama de momentos flectores redistribuidos es como el de la figura 3.8d, en el cual el diagrama de momentos del vano central obedece a la expresión M
2 § §x· §x· · M P ¨ 1 5,83 ¨ ¸ 5,83 ¨ ¸ ¸ ¨ ©L¹ © L ¹ ¸¹ ©
tomando como origen de la coordenada x el punto B. En el centro del vano BC el momento flector resulta ser 0,46MP y nulo en los puntos x = 0,22L y x = 0,78L. Para hallar la flecha bajo la carga última, hay que tener presente que en este caso la última articulación se forma, en cada vano extremo, a una distancia de 0,586L de cada apoyo interior para una carga última wu dada por (2.20). Si aplicamos la relación de deformaciones (2.31) del modo expuesto en §2.6, para la flecha máxima bajo la carga última resulta el valor M P L2 8, 74 EI
Retornemos a lo que ya se dijo en §2.4 acerca del desplazamiento de las articulaciones. Supongamos aquí que ignoramos el
hecho de que la segunda articulación plástica se forma en cada vano extremo a una distancia 2 2 L
0,586 L del
apoyo interno y admitimos que se forma a una distancia 0,6L de ese apoyo; es decir, donde el momento flector es máximo en régimen elástico, tal como se indica en §3.1 entre las hipótesis de ubicación de las articulaciones plásticas. Para el vano CD, la situación se representa en la figura 2.18 y aplicando el principio de los trabajos virtuales a ese mecanismo, podemos escribir
M P T1 M P T1 T 2 Si en esta expresión tenemos en cuenta que 0, 6 T1
1 wu L' 2
0, 4 T 2 y que ' wu
0
0, 6 L T1 , y despejamos wu, obtenemos
11, 67 M P L2
(3.8)
valor muy levemente superior al dado por (2.20). Por otra parte, el valor recién obtenido es, como antes, inferior al (2.17) que se obtiene para el vano central. Si tomamos como carga última el valor (3.8), el error por exceso sería
11, 67 11, 66 0,1% 11, 66
(cfr. §2.4)
Generalmente el error que se comete admitiendo que las articulaciones plásticas se forman en los puntos en los que el momento flector es máximo en régimen elástico es totalmente aceptable y los cálculos suelen simplificarse mucho.
Cuando las luces son distintas, el agotamiento puede sobrevenir en cualquiera de los tres vanos según los valores relativos de las luces. Si (fig. 3.9a) las luces de los dos vanos extremos son iguales, y de valor L1, y es L2 la luz del vano central, el colapso se presentará en éste si se cumple que
98
Análisis plástico de estructuras. Introducción
16 M P 11, 66 M P L2 2 L12
(3.9)
L2 ! 1,17 L1
(3.10)
o sea, si
Si esta desigualdad es de sentido contrario, obviamente el colapso ocurrirá en los vanos extremos, y puede ocurrir en los tres vanos a la vez cuando L2 = 1,17L1.
Fig. 3.9 a) b) c) d) e)
Viga continua de vanos de longitud distinta y distribución de carga uniforme. Si el colapso se va a producir en los vanos extremos, se admite que el comportamiento de dichos vanos equivale al de vigas con un empotramiento y un apoyo (ver figs. 2.13 y 2.18). Mecanismo de colapso de los vanos extremos. Si el colapso se va a producir en el vano central, se admite que el comportamiento de dicho vano equivale al de una viga doblemente empotrada (ver figs. 2.11 y 2.17). Mecanismo de colapso del vano central.
99
3 Análisis plástico
La condición expresada por (3.10) parece contraponerse a lo que revela el análisis elástico. Éste, para la viga continua de la figura 3.9, establece que las reacciones son RA
RD
· wL1 § 2 L2 :¸ ¨4 4 © L1 ¹
(3.11a)
RB
RC
w L1 : 4
(3.11b)
y
donde :
L2
3
2
L1 6 L2 L1 10 L2 L1 5 3 L2 L1 2
Por otra parte, se comprueba que el momento flector máximo en un vano extremo es
RA 2 2w
o
RD 2 2w
(3.12)
y que el momento flector máximo en el vano central es 1 ª 2 RA RB 2 RB wL1 º¼ 2w ¬
(3.13)
Si igualamos la primera de las expresiones (3.12) a la (3.13) y operamos, nos queda como condición para la igualdad de los momentos flectores máximos en los tres vanos 2 RA RB 2 wL1
0
Introduciendo en esta relación los valores (3.11) de las reacciones RA y RB y operando, resulta la ecuación 3
2
§ L2 · § L2 · § L2 · ¨ ¸ 6¨ ¸ 2¨ ¸ 5 0 L L © 1¹ © 1¹ © L1 ¹ de tercer grado en (L2/L1), una de cuyas raíces es 1,26. Resulta, pues, que la condición elástica para la igualdad de los tres momentos flectores máximos es que L2 = 1,26L1, y si L2 > 1,26L1 el momento flector máximo en el vano central será mayor que en los vanos extremos. Esto no contradice a la relación (3.10). En realidad, mientras la viga se mantenga dentro del régimen elástico, los valores relativos entre los momentos flectores máximos en los tres vanos estará regida por la relación que hemos deducido para las luces. Ahora bien, si la carga aumenta paulatinamente hasta el colapso, éste sobrevendrá en el vano central si L2 > 1,17L1, y en los vanos extremos si L2 < 1,17L1, en virtud de la redistribución de momentos.
Respecto al análisis plástico de vigas continuas sometidas a cargas distribuidas la consideración esencial es que si el colapso sobreviene en un vano extremo, ese vano se comporta, en el colapso, como una viga empotrada y apoyada, mientras que si el colapso sobreviene en un vano interno, ese vano se comporta, en el colapso, como una viga doblemente empotrada. Que el colapso tenga lugar en un vano extremo o un vano interno depende, como hemos visto en un caso concreto, de los valores relativos de las luces y, por supuesto, de los valores de las cargas actuantes en cada vano. Hay que recalcar una vez más que, en virtud de la redistribución de momentos, la articulación plástica no suele formarse exactamente en el mismo punto donde el momento flector es máximo en régimen elástico, pero suponer tal cosa introduce por lo general, tal como ya vimos, un error por exceso muy pequeño. Si hay cargas concentradas, según las hipótesis formuladas en §3.1 cada punto de aplicación de una de ellas es un punto de posible formación de una articulación plástica y este hecho debe tenerse en cuenta en el análisis. Como ejemplo consideremos la viga continua de tres vanos de la figura 3.10a, en la que se supone que las cargas se han aplicado simultánea y gradualmente y manteniéndose la relación entre ellas durante el proceso de carga. Si la viga se agotase por el vano AB, las dos articulaciones plásticas del mecanismo de colapso sabemos que se formarían una en el apoyo B y la otra a una distancia a de éste dada por (3.5). Si en esta
100
Análisis plástico de estructuras. Introducción
expresión hacemos d = 3,5 m y L = 7 m, resulta (a/L) = 0,42, y por tanto a = 2,93 m. Por otra parte, con las sustituciones convenientes, la expresión (3.4) da wu
0, 465 M P
Si como factor de carga tomamos el valor 1,7, será wu = 1,7 x 40 = 68 kN/m, y por tanto MP
146, 24 m kN
Fig. 3.10 a) b) c) d)
Viga continua, sometida a una carga distribuida y a otra concentrada. Mecanismo de colapso cuando la viga se agota por el vano AB. Mecanismo de colapso cuando la viga se agota por el vano BC. Mecanismo de colapso cuando la viga se agota por el vano CD. La aplicación del teorema del límite inferior indica que esta viga propende a colapsarse por el vano CD y debe dimensionarse para que tal cosa no ocurra; en consecuencia, si los vanos AB y BC se construyen con las mismas dimensiones quedan preparados para soportar cargas superiores a las previstas.
(3.14)
101
3 Análisis plástico
Si la viga se agotase por el vano BC, el mecanismo de colapso estaría formado por una articulación en cada apoyo B y C y una tercera a una distancia a de B dada por (3.7), la cual, con d = 3,5 m y L = 7 m, da (a/L) = 0,375, y por tanto a = 2,63 m. Por otra parte, con las sustituciones convenientes, la expresión (3.6) da wu
0,580 M P
de donde, con wu = 1,7 x 40 = 68 m·kN, resulta MP
(3.15)
117, 24 m kN
Por último, si la viga se agotase por el vano extremo CD, lo haría con el mecanismo de colapso representado en la figura 3.10d. Entonces, podemos escribir M P T1 M P T1 T 2 P 3T1
0
Si en esta expresión hacemos P = 1,7 x 80 = 136 m·kN y tenemos en cuenta que 3T1 4T 2 , obtenemos MP
148,36 m kN
(3.16)
Según el teorema del límite inferior, al comparar (3.14), (3.15) y (3.16), la viga propende a colapsarse por el vano derecho CD y debe dimensionarse para que soporte un momento plástico de 148,36 m·kN. Además, de ese modo, los otros dos vanos quedan preparados para soportar sendas cargas últimas superiores a 68 kN/m. Así, para el vano izquierdo AB, la carga última sería 0,465 x 148,36 = 69 kN/m, y para el vano interno BC la carga última sería 0,580 u 148,36 86 kN/m
Vemos que el análisis plástico de vigas continuas por el método de los mecanismos es un modo muy sencillo para determinar cómo se agota la viga, por lo que suele ser el preferido. El método estático, descrito en §3.2, puede en principio resultar algo más pesado, ya que requiere dibujar los diagramas de momentos flectores. No obstante, si dichos diagramas son conocidos, el procedimiento no reviste ninguna dificultad y, además, ofrece más información. En la figura 3.11a se representa la misma viga que en la figura 3.10a, pero en este caso con las cargas de trabajo sustituidas ya por las últimas. En la figura 3.11b se representan los diagramas de momentos flectores en régimen elástico de los tres vanos, considerados como vigas simples. En la figura 3.11c se representan los diagramas de momentos flectores debidos a los momentos en los soportes, considerando como antes cada vano como una viga independiente del resto. Entonces, si el colapso sobreviene en el vano AB, se cumplirá que MP
234, 281 0, 625 M P
o sea, MP
144,17 m kN
(3.17)
Si el colapso sobreviene en el vano central es que MP
234, 281 M P
MP
117,14 m kN
y entonces
Por último, para el vano derecho CD, MP
233,143 4 M P 7
(3.18)
102
Análisis plástico de estructuras. Introducción
y resulta MP
146,36 m kN
(3.19)
Este valor (3.19) coincide exactamente con el (3.16), calculado por el método de los mecanismos. Las leves discrepancias entre el valor (3.17) y el (3.14), y entre el (3.18) y el (3.15), hay que achacarlas a la redistribución de momentos, en virtud de la cual, como sabemos, en el vano AB la segunda articulación se forma a 2,93 m de B, y no a 2,625 m, mientras que en el vano interno BC la tercera articulación se forma a 2,63 m de B y no a 2,625 m.
Fig. 3.11 a) b) c) d)
La misma viga que la de la figura 3.10a, pero cargada con las cargas últimas (factor de carga 1,7). Diagramas de momentos flectores en régimen elástico de los tres vanos, considerados como vigas simplemente apoyadas. Diagramas de momentos flectores, provocados por los momentos en los soportes, considerando cada vano como una viga independiente del resto. Valor del momento flector en los puntos de posible formación de articulaciones plásticas. El valor del momento plástico de diseño coincide con el calculado por el método de los mecanismos; pero los valores obtenidos de los momentos que provocarían el colapso en los tramos AB y BC difieren ligeramente de los anteriormente hallados, debido a la redistribución de momentos cuando se supera el régimen elástico.
103
3 Análisis plástico
Dado que el análisis elástico proporciona una distribución de momentos flectores con unos valores máximos a veces muy diferentes, para economizar un diseño parece que en principio habría que dimensionar las vigas de acuerdo con esas variaciones. Ello puede no ser posible, ya que de hecho obligaría a construir las vigas con unas secciones que variasen según unas leyes que, en muchas ocasiones, las harían económicamente inviables. Así, en el diseño elástico, cuando no es aconsejable emplear miembros de sección variable, se recurre a cartelas y llantas y hay que rehacer los cálculos. En este aspecto, el análisis plástico ofrece la ventaja de la simplicidad, ya que los esfuerzos en las vigas se calculan como si éstas fueran isostáticas, con las modificaciones necesarias en los valores de MP. Por ejemplo, si un perfil en doble T, de módulo plástico Z calculado con (2.7a), debe modificarse soldando a las alas sendas llantas de superficie As y espesor ts cada una, el nuevo módulo plástico será Z
As h ts
donde h es la altura del perfil. En las vigas de perfil constante, con lo expuesto hasta ahora, la determinación de la carga última no reviste complicación alguna. Sin embargo, si el perfil es variable, las articulaciones plásticas pueden generarse en secciones muy diferentes, según cómo se combinen las secciones y la distribución de momentos flectores. Ello hace conveniente determinar la variación de MP a lo largo de la viga para compararla con la distribución de momentos flectores, y localizar así las secciones más peligrosas.
3.5 Pórticos simples: método de los mecanismos y teorema de los mecanismos compuestos Para aplicar a los pórticos los conceptos del análisis plástico es esencial admitir como hipótesis que la continuidad en las uniones es completa; es decir, que las uniones son capaces de transmitir íntegramente el momento plástico MP, tal como se dijo en §3.1. Las condiciones en que una unión es capaz de satisfacer esta condición, en cuanto a rigidez, resistencia y capacidad de rotación, es un tema por sí mismo que excede del carácter introductorio y elemental de esta publicación, y debe buscarse en textos de cobertura más amplia. Por ejemplo, en §3.1 admitimos que los empotramientos, los nudos rígidos y las uniones no articuladas son lugares donde pueden generarse articulaciones plásticas. Entonces, en las esquinas B y D de los pórticos simples de las figuras 3.12a1 y 3.12a2 podremos admitir que puede formarse una articulación plástica en cada una. Sin embargo, si esas uniones son acarteladas, en cada una de ellas podrían originarse dos articulaciones plásticas diferentes. No tratamos este caso, pues rebasa el alcance de esta publicación. En las figuras 3.12a1 y 3.12a2 se representa un mismo pórtico sometido a las mismas cargas concentradas, con la diferencia de que en la primera (caso 1) está articulado al suelo y en la segunda (caso 2) está empotrado al suelo. Según las hipótesis formuladas en §3.1, en el caso 1 podrán formarse articulaciones plásticas en B, C y D, y a éstas hay que añadir las articulaciones constructivas A y E cuando se consideren los posibles mecanismos de colapso. En el caso 2, pueden formarse articulaciones plásticas en A, B, C, D y E, por lo que los mecanismos de colapso que deberán considerarse son los mismos que en el caso 1. La diferencia entre uno y otro caso estriba en que para el caso 2 hay que tener en cuenta los momentos plásticos en A y E al evaluar los trabajos virtuales. Si en la figura 3.12 aplicamos el principio de los trabajos virtuales a los cinco mecanismos de colapso que en principio parecen posibles, b) a f) de cada caso 1 y 2, se obtienen para MP los valores que se reseñan en la tabla siguiente:
MP (m·kN)
b)
c)
d)
e)*
f)
Caso 1
180
125
255
-162,5
162,5
Caso 2
180
62,5
159,4
-108,3
108,3
* Más adelante se comentan los valores negativos de esta columna
104
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 3.12 Mecanismos de colapso posibles de los pórticos de las figuras a), que difieren únicamente en que en el caso 1 el pórtico está articulado al suelo y en el caso 2 está empotrado. Obsérvese que los mecanismos de colapso son idénticos, a excepción de que en el caso 1 en A y en E las articulaciones son constructivas y en el caso 2 son plásticas. Únicamente dos de los cinco mecanismos de colapso son elementales (m=2) y los otros tres son compuestos. Aunque los mecanismos elementales pueden elegirse arbitrariamente, se conviene que en los pórticos rectangulares sean los indicados en la figura 3.13. Por tanto, los mecanismos elementales serán los b) y c) y los combinados los d), e) y f).
105
3 Análisis plástico
O sea, en el caso 1 el mecanismo de colapso sería el (d1), y en el caso 2 sería el (b2). Si las cargas representadas son las últimas, es decir, las de trabajo multiplicadas por el factor de carga, y es ıY = 250 MPa, los módulos plásticos respectivos serían
Z1
255 u 103 250 u 106
1020 u 106 m3
Z2
180 u 103 250 u 106
720 u 106 m3
y
Es posible aplicar a los pórticos simples la relación de Neal y Symmonds (3.1) justificada en §3.1 para las vigas rectas bajo cargas transversales, simplemente recordando que el grado de hiperestaticidad habrá que determinarlo teniendo en cuenta que el número de ecuaciones que permiten escribir las condiciones universales de equilibrio es ahora de tres. En el caso presente, tomaríamos N1 = 3 y H1 = 1, y N2 = 5 y H2 = 3, con lo cual en ambos casos m = 2. Quiere esto decir que de todos los mecanismos que se representan en la figura 3.12, sólo dos pueden considerarse independientes en cada caso 1 ó 2, y los demás son combinaciones de esos dos. Los mecanismos que pueden considerarse independientes se llaman mecanismos elementales, y las combinaciones de éstos son los llamados mecanismos compuestos. Los mecanismos elementales pueden elegirse arbitrariamente, pero respecto a los pórticos rectangulares se conviene en que los mecanismos elementales son los representados en la figura 3.13: los mecanismos de viga o de columna y los mecanismos de marco, o mecanismos laterales. Según este criterio, los mecanismos b) y c) son mecanismos elementales y los d), e) y f) son mecanismos compuestos de viga y marco.
Fig. 3.13 Mecanismos elementales.
106
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Hay que añadir que los mecanismos de viga pueden ser hacia arriba y hacia abajo, o hacia la derecha y hacia la izquierda1; mientras que los mecanismos de marco pueden ser hacia la derecha y hacia la izquierda. La elección de cada mecanismo elemental debe hacerse de modo que el trabajo WE de las cargas sea positivo. Esto puede que a veces no sea evidente, y así en los dos casos (e1) y (e2), que corresponden a la formación de articulaciones en B y C, al tomar el mecanismo de viga hacia arriba resulta un valor de WE negativo; mientras que en los mecanismos (f1) y (f2), también debidos a articulaciones en B y C, ese valor es positivo. A los cinco mecanismos representados en la figura 3.12 podría pensarse en añadir un sexto mecanismo, que sería el debido a las articulaciones en C y D, como en (d1) y (d2) pero con marco hacia la izquierda y viga hacia arriba; ello no se ha incluido pues es evidente que daría un valor de WE negativo. Si en ambos casos de la figura 3.12 se añade una tercera carga, por ejemplo en algún punto no extremo de los montantes AB o DE, o bien en un punto del dintel distinto al C, el número N de articulaciones posibles aumenta en uno, mientras que el grado de hiperestaticidad H no varía. Esto significa que el número de mecanismos elementales pasa de dos a ser tres: dos de viga y uno de marco. Aumenta así el número de mecanismos, tanto elementales como compuestos, que se han de considerar. Es decir, la aplicación del método de los mecanismos se complica a medida que aumenta el número de cargas aplicadas. El teorema de los mecanismos compuestos permite aliviar en parte esa dificultad. Al aplicar el principio de los trabajos virtuales, resulta siempre una expresión de la forma DM P T FT
0
(3.20)
donde el primer sumando (negativo) es el trabajo WI de las fuerzas internas y el segundo es el trabajo WE de las cargas aplicadas. De (3.20) resulta MP
F D
(3.21)
Consideremos, en un pórtico cualquiera, dos de los mecanismos elementales posibles, 1 y 2, y el mecanismo compuesto de los anteriores, o mecanismo 3. Según (3.21), para el mecanismo elemental 1, M P1
F1 D1
M P2
F2 D2
y para el mecanismo elemental 2,
Al combinarse los dos mecanismos elementales 1 y 2, los valores de los trabajos WE de las cargas aplicadas se suman, y si los giros relativos que producen ambos mecanismos elementales en todas las secciones son del mismo sentido, los valores de WI también se suman y
M P3
F3 D3
F1 F2 D1 D2
que es un valor comprendido entre MP1 y MP2, y el mecanismo 3 es irrelevante. Pero si los mecanismos 1 y 2 producen giros relativos de sentidos opuestos en alguna sección, podría ocurrir que MP3 fuese mayor que MP1 y MP2. O sea, para que un mecanismo compuesto sea determinante es condición necesaria, pero no suficiente, que los dos mecanismos elementales que lo componen produzcan giros relativos opuestos en una misma sección. Este teorema permite excluir del análisis los mecanismos compuestos que no lo cumplan. Consideremos el pórtico de la figura 3.14a. Según las hipótesis de §3.1 es N = 7, mientras que H = 3. O sea, el número m de mecanismos elementales será de cuatro: tres de viga y uno de marco (figs. 3.14b a 3.14e). (El mecanismo de marco se toma hacia la derecha, de modo que el trabajo de las cargas sea positivo, tal como se comprueba fácilmente.) En total hay que considerar diez mecanismos, los cuatro elementales y los seis que resultan de combinar de dos en dos los anteriores, ya que las combinaciones de más de dos mecanismos producen más articulaciones de las estrictamente necesarias para producir el colapso. En la tabla siguiente se resume el resultado de aplicar el teorema de los mecanismos compuestos a esos seis mecanismos compuestos.
1
Los mecanismos de viga hacia la izquierda y hacia la derecha se llaman también mecanismos de columna.
107
3 Análisis plástico
Fig. 3.14 a) b) a g) h)
Pórtico simple. Mecanismos de colapso posibles elementales y combinados. Este mecanismo no es estrictamente de colapso ya que tiene articulaciones plásticas en exceso.
108
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Combinación
Observación
¿Cumple?
Mecanismo número
1-2
En C los giros relativos son opuestos
Sí
5
1-3
En C los giros relativos son del mismo sentido
No
X
1-4
En E los giros relativos son del mismo sentido
No
X
2-3
En C los giros relativos son opuestos
Sí
6
2-4
En E los giros relativos son del mismo sentido
No
X
3-4
No es un mecanismo de colapso
--
--
En la figura 3.14f y 3.14g se representan los dos mecanismos compuestos que debemos considerar. Para completar el análisis se incluye, en la figura 3.14h, la combinación 3-4. Respecto a ésta se señala que sobran dos articulaciones para que sea estrictamente un mecanismo de colapso, lo que por otra parte concuerda con el hecho de que, asignando el valor MP al momento flector en los puntos donde deberían formarse las articulaciones plásticas, las distintas partes del sistema no pueden cumplir simultáneamente las condiciones de equilibrio. En la tabla siguiente se resume la aplicación del principio de los trabajos virtuales a los seis mecanismos que se consideran.
Mecanismo
Trabajo WE de las cargas y trabajo WI de las fuerzas internas (WI + WE = 0), en kJ
MP (m·kN)
WE = 100×3ș = 300ș
75
1 WI = - MP (1+2+1)ș = -4ș MP WE = 100×5ș +50×8ș-150×4ș = 300ș
2
64,29 WI = - MP [1+1+(4/3)+(4/3)] = -(14ș/3) MP WE = 100×5ș = 500ș
3
93,75 WI = - MP [1+(8/3)+(5/3)] = -(16ș/3) MP WE = 150×3ș = 450ș
4
112,5 WI = - MP (1+2+1) = -4ș MP WE = 100×5ș +50×8ș+100×3ș -150×4ș = 600ș
5
90 WI = - MP [1+2+1+(4/3)+(4/3)]ș = -(20ș/3) MP WE = 100×5ș +50×5ș -150×2,5ș = 375ș
102,27
6 WI = - MP [1+1+(5/6)+(5/6)]ș = -(11ș/3) MP
Es decir, según el teorema del límite inferior, el mecanismo de colapso será el mecanismo (elemental) 4.
109
3 Análisis plástico
3.6 Pórticos simples: método estático Aunque, en lo que respecta a los pórticos, el procedimiento más expedito para determinar las cargas últimas, o el momento plástico MP, sea el basado en el principio de los trabajos virtuales, puede que en ciertos casos convenga hacer uso del método estático. Vamos a aplicarlo al pórtico simple de la figura 3.14a, ya analizado en §3.5 por el método de los mecanismos. Como entonces, empezaríamos por determinar el número m de mecanismos elementales, que ya sabemos que es 4, y luego combinar esos cuatro mecanismos para obtener los mecanismos compuestos, y eventualmente filtrar ese resultado mediante el teorema de los mecanismos compuestos. Resultaría entonces, como ya sabemos, que los conjuntos de articulaciones plásticas capaces de permitir el colapso del pórtico son los representados en las figuras 3.14b a 3.14g. La primera de ellas (fig. 3.14b) nos indica que un colapso posible obedecería a la formación de un mecanismo de viga en el dintel. En la figura 3.15a se representa el diagrama de sólido libre de esa viga, y en las figuras 3.15b y 3.15c los correspondientes diagramas de momentos flectores del modo que se expuso en §3.2. Entonces, en el punto D tendremos MP
M P 150
MP
75 m kN
o sea,
valor igual al hallado mediante el principio de los trabajos virtuales en §3.5.
Fig. 3.15 a) b) c) d)
Método estático Diagrama de sólido libre del dintel CE del pórtico de la figura 3.14a cuando se colapsa por el mecanismo 1. Diagrama de momento flector correspondiente a las carga puntuales. Diagrama de momento flector correspondiente a los momentos plásticos en C y D, que provocarían sendas articulaciones plásticas en dichos puntos. Expresión, obtenida por superposición, del momento flector en los tres puntos donde pueden formarse las articulaciones plásticas en el dintel.
110
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Las articulaciones plásticas del mecanismo de marco de la figura 3.14c originan una estructura isostática que se analiza aplicando directamente las condiciones de equilibrio a los tres miembros ABC, CDE y EFG. En la figura 3.16a se representa el diagrama de sólido libre del dintel CDE, y para éste se tiene 6VC 2 M P 100 u 3 0
lo que nos da VC
50
MP 3
y
VE
50
MP 3
tal como se representa en la figura 3.16b. Considerando las condiciones de equilibrio de los tres miembros, podemos dibujar los diagramas de sólido libre de ambos montantes. Para ABC (fig. 3.16c), podemos escribir (tomando momentos en A) 2 M P 8 H 50 100 u 5 0 o sea, 2 M P 8H
900
(3.22a)
mientras que para EFG (fig.3.16d), tomando momentos en G, tendremos 2 M P 6 H 150 u 3 0
es decir, 2MP 6 H
450
(3.22b)
Fig. 3.16 Método estático Diagramas de sólido libre correspondientes al pórtico de la figura 3.14a cuando se colapsa por el mecanismo 2.
111
3 Análisis plástico
Resolviendo el sistema de ecuaciones (3.22) se obtiene MP = 64,23 m·kN, que coincide con el valor hallado en §3.5, y H = -96,43 kN, valor este último que permitiría obtener los diagramas de sólido libre de la estructura completa y sus tres miembros. El colapso en la figura 3.14d obedece, como en la figura 3.14a, a un mecanismo de viga; en este caso en el montante ABC. En la figura 3.17a se representa el diagrama de sólido libre de la viga y en las figuras 3.17b y 3.17c, los correspondientes diagramas de momentos flectores. Así pues, en el punto B, MP
M P 187,5
MP
93, 75 m kN
o sea,
que es, también en este caso, igual al valor hallado en §3.5.
Fig. 3.17 a) b) c) d)
Método estático Diagrama de sólido libre del montante AC del pórtico de la figura 3.14a cuando se colapsa por el mecanismo 3. Diagrama de momento flector correspondiente a la carga puntual. Diagrama de momento flector correspondiente a los momentos plásticos en A y C, que provocarían sendas articulaciones plásticas en dichos puntos. Expresión, obtenida por superposición, del momento flector en los tres puntos donde pueden formarse las articulaciones plásticas en el montante.
La figura 3.14e corresponde a un caso similar a los de las figuras 3.14b y 3.14d. En la figura 3.18a se representa el diagrama de sólido libre del montante GFE, y en las figuras 3.18b y 3.18c los diagramas de momentos flectores por separado. En el punto F se tiene MP
M P 225
112
Análisis plástico de estructuras. Introducción
y, por tanto, MP
112,5 m·kN
Este valor también coincide con el hallado en §3.5 y sabemos que corresponde al valor verdadero de MP. Recordemos aquí que interesa muchas veces determinar las reacciones exteriores en el momento del agotamiento, al objeto de obtener el diagrama de momentos redistribuidos. En la figura 3.18d se dibuja el diagrama de sólido libre del pórtico completo, para el cual se tiene (tomando momentos en G) 6 V 2 H 100 u 3 50 u 8 100 u 3 150 u 3 0
o sea, 6V 2 H
50
(3.23a)
mientras que en la figura 3.18e se dibuja el diagrama de sólido libre de la parte ABCDE, para el cual (tomando momentos en E), 3 u 100 3 u 100 8 H 6V 0 es decir, 6V 8 H
600
(3.23b)
Fig. 3.18 Método estático Diagramas de sólido libre correspondientes al pórtico de la figura 3.14a cuando se colapsa por el mecanismo 4.
113
3 Análisis plástico
Al resolver el sistema de ecuaciones (3.23), resulta V = - 44,4 kN y H = 108,3 kN, con lo que podemos dibujar (fig. 3.18f) el diagrama de sólido libre completo del sistema justo en el instante del colapso. Las articulaciones plásticas del mecanismo compuesto de la figura 3.14f originan una estructura isostática que asimismo se analiza aplicando convenientemente las condiciones de equilibrio a los tres miembros ABCD, DE y EFG. En la figura 3.19a se representa el diagrama de sólido libre del medio dintel DE, y para éste se tiene 3V 2 M P
0
lo que nos da V
2 MP 3
tal como se representa en la figura 3.19b. Considerando las condiciones de equilibrio, se dibujan los diagramas de sólido libre de los otros miembros. Para ABCD (fig. 3.19c), podemos escribir (tomando momentos en A): 2 MP · § 2 M P 5 u 100 50 u 8 8 H 3 ¨100 3 ¸¹ ©
0
o sea, 4MP 8 H
1200
(3.24a)
mientras que para EFG (fig.3.19d), tomando momentos en G, tendremos 2MP 6 H
450
(3.24b)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (3.24) se obtiene MP = 90 m·kN, que coincide con el valor hallado en §3.5, y H = -105 kN, valor este último que permitiría dibujar los diagramas de sólido libre de la estructura completa y sus tres miembros.
Fig. 3.19 Método estático Diagramas de sólido libre correspondientes al pórtico de la figura 3.14a cuando se colapsa por el mecanismo 5.
114
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Finalmente, en la figura 3.20a se dibujan los diagramas de sólido libre del sistema isostático correspondiente al mecanismo de la figura 3.14g. El equilibrio de AB y de EFG permite escribir respectivamente 2 MP 5 H
0
y
2MP 6 H
450
lo que da H = 40,91 kN y MP = 102,273 m·kN, resultado igual al obtenido en §3.5. El análisis puede completarse como siempre obteniendo el diagrama de sólido libre de la totalidad, para lo cual se determina V aplicando las condiciones de equilibrio al conjunto o bien a BCDE. En uno y otro caso resulta V = 54,55 kN, y así puede dibujarse el diagrama de sólido libre de la figura 3.20b.
Fig. 3.20 Método estático Diagramas de sólido libre correspondientes al pórtico de la figura 3.14a cuando se colapsa por el mecanismo 6.
115
3 Análisis plástico
3.7 Pórticos simples con cargas distribuidas El análisis de los pórticos que soportan cargas distribuidas presenta la dificultad de que la posición de las articulaciones plásticas que se generan bajo esas cargas no es siempre patente. En las vigas continuas sabemos que en el momento del colapso cada vano se comporta como una viga doblemente empotrada o como una viga empotrada y apoyada, y que el momento en cada empotramiento es igual al momento plástico correspondiente. Esto no es extensible al caso de los pórticos. Si se trata de una carga uniformemente distribuida en todo el dintel, para acometer el análisis por el método de los mecanismos suele dar buen resultado suponer, en primera aproximación, que la articulación se forma en el centro del dintel. En muchos casos esa aproximación da una precisión suficiente. Si la carga es de otro tipo, como punto de partida para el tanteo puede tomarse un punto próximo al que correspondería el momento flector máximo en régimen elástico. En el pórtico de la figura 3.21a el momento plástico en los montantes es MP y en el dintel es 2MP. El número N de articulaciones plásticas posibles es de cinco, en los cuatro puntos A, B, C y D, y una quinta en algún punto E del dintel. Por otra parte, el grado de hiperestaticidad H es tres. Por tanto, el número de mecanismos elementales es m = N - H = 5 - 3 = 2, que son los representados en las figuras 3.21b y 3.21c, de marco (mecanismo 1) y viga (mecanismo 2) respectivamente. Hay que considerar también el mecanismo 3 de la figura 3.21d, compuesto de los dos anteriores. La carga total sobre el dintel vale (3,5P/L)(1,5L) = 5,25P. Admitiendo que el punto E donde se forma la articulación plástica en el dintel se halle en el centro de éste, la aplicación del principio de los trabajos virtuales se resume en la tabla siguiente:
Mecanismo
Trabajo WI de las fuerzas internas y trabajo WE de las cargas (WI + WE = 0)
WI = - MP (1+1+1+1)ș = - 4 M șP
Pu 2, 667 M P L
1 WE = 1,5Pu Lș WI = - Mp ș –2 MP(2ș) – Mp ș = - 6 MP ș 2 WE = 0,5 (5,25 Pu)(0,75 Lș) = 1,969 Pu Lș WI = - Mp ș – 2 MP (2ș) – MP (2ș) – Mp ș = - 8 MP ș 3 WE = 0,5 (5,25 Pu)(0,75 Lș) + 1,5 Pu Lș = 3,469 Pu Lș
3, 048 M P L
2,306 M P L
Según el teorema del límite superior, el mecanismo de colapso es el mecanismo 3 para una carga última Pu = 2,306(MP/L). Queda comprobar que se cumple el teorema del límite inferior, es decir, que en ninguna sección el momento flector es superior al momento plástico correspondiente a esa sección. En la figura 3.21e se representa el diagrama de sólido libre del pórtico justo antes del colapso. Con el valor de Pu hallado, la carga en la esquina B es § 2,306 M P · 1,5 ¨ ¸ L © ¹
1,5 Pu
3, 459 M P L
(3.25a)
y la carga total en el dintel es 5, 25 Pu
§ 2,306 M P · 5, 25 ¨ ¸ L © ¹
Además, la carga distribuida sobre el dintel es
12,108 M P L
(3.25b)
116
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 3.21 (a - j) a) b) a d) e) a i) j)
Pórtico simple con carga distribuida. Mecanismos de colapso posibles. El teorema del límite superior señala el mecanismo 3 como mecanismo de colapso. Diagramas de sólido libre del pórtico y de partes del mismo justo antes del colapso. Diagrama de momento flector del pórtico en el agotamiento.
117
3 Análisis plástico
3,5 Pu L
w
§ 3,5 · § 2,306 M P · ¨ ¸¨ ¸ L © L ¹© ¹
8, 072 M P L2
(3.25c)
Tomando momentos en D, podemos escribir § 3, 459 M P 2 M P 1,5 LVA ¨ L ©
· § 12,108 M P · ¸L¨ ¸ 0, 75 L L ¹ © ¹
0
(3.25d)
de donde
y también, como VD
VA
5, 081M P L
(3.25e)
VD
7, 027 M P L
(3.25f)
5, 25Pu VA , es
Con este valor de VD podemos escribir la expresión del momento flector en una sección del dintel situada a una distancia x de la esquina C (fig. 3.21f): M
§x· 1 §x· M P 7, 027 M P ¨ ¸ 8, 072 M P ¨ ¸ ©L¹ 2 ©L¹
2
(3.26a)
Si en esta ecuación (3.26a) imponemos la condición (dM/dx) = 0, hallaremos el punto en que el momento es máximo, y resulta x L
0,871,
o bien
Fig. 3.21 (k) k) Esquema de las deformaciones del pórtico.
x
0,871 L
(3.26b)
118
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Si este valor (3.26b) lo introducimos en (3.26a) se obtiene M max
(3.26c)
2, 059 M P
valor superior al admisible para el dintel, donde el momento flector no debe exceder de 2MP. Para hacer otro tanteo, en vez de Pu = 2,306MP/L, corregimos este valor y tomamos 2,306 u 2 M P 2, 059 L
Pu
2, 241 M P L
Si con este nuevo valor se repiten los cálculos desarrollados en las relaciones (3.25) y (3.26), resulta que a una distancia x = 0,866L de la esquina C el momento flector en el dintel es máximo y vale Mmax = 1,939MP. Este valor puede admitirse en virtud del teorema del límite inferior, pero es posible ajustar más el resultado. Como carga última podemos tomar ahora la carga promedio de las dos empleadas; o sea, Pu
2,306 + 2, 241 M P L 2
2, 274 M P L
Repitiendo, como antes, con este valor de Pu los cálculos desarrollados en las relaciones (3.25) y (3.26), resulta que en el dintel el momento flector máximo se halla a una distancia x = 0,868L de la esquina C y ese momento flector máximo vale M max
1,992 M P
Este valor es perfectamente admisible. Entonces, la carga distribuida valdrá w
3,5 2, 274 M P / L L
7,960 M P L2
Un procedimiento alternativo consiste en imponer directamente en el dintel el cumplimiento del teorema del límite inferior. Con relación a la figura 3.21e podemos escribir al tomar momentos en D: 2 M P 1,5 LVA 1,5 Pu L
3,5 Pu (1,5 L) (0, 75 L) L
0
(3.27a)
Esta expresión (3.27a) nos da para VA
y como VD
VA
1, 625 Pu
4MP 3L
(3.27b)
VD
3, 625 Pu
4 MP 3L
(3.27c)
5, 25 Pu VA , será
Empleando como antes la figura 3.21f, el momento flector en una sección del dintel situada a una distancia x de la esquina C es M
M P VD x
3,5 Pu 2 x 2L
(3.27d)
Se trata ahora de deducir Pu imponiendo la condición de que el momento máximo en el dintel valga 2MP. Para ello derivamos la expresión (3.27d) y la igualamos a cero, con lo cual
119
3 Análisis plástico
VD
3,5 Pu x L
0
y si aquí introducimos el valor de VD dado por (3.27c), y despejamos Pu, obtenemos 4 MP 3L
Pu
(3.27e)
§x· 3, 625 3,5 ¨ ¸ ©L¹
Este valor (3.27e) de Pu lo introducimos en la expresión (3.27d) del momento flector y queda, tras operar, M
2 ª º x L 7 M P « 1 » 3 3, 625 3,5 x L »¼ «¬
(3.27f)
Si en esta expresión (3.27f) hacemos M = 2MP y operamos, resulta la ecuación de segundo grado en x/L 2
§x· §x· 7 ¨ ¸ 31,5 ¨ ¸ 32, 625 ©L¹ ©L¹
0
una de cuyas raíces es (x/L) = 0,868, coincidente con el valor hallado antes en el tercer tanteo. Con este valor de x/L introducido en la expresión (3.27c), la carga última resulta ser Pu
2, 274 M P L
(3.27g)
que asimismo coincide con el hallado antes por tanteo. Introduciendo este valor (3.27g) de Pu en la expresión (3.27d) del momento flector, ésta queda M
2 ª §x· §x· º M P « 1 6,911¨ ¸ 3,980 ¨ ¸ » ©L¹ © L ¹ ¼» ¬«
(3.27h)
donde recordemos que x se mide desde la esquina C del dintel. Si deseamos referir la coordenada x a la esquina izquierda B del dintel, basta con sustituir x por 1,5L - x en esta expresión (3.27h). Con ello, la expresión del momento flector es M
ª §x· §x· M P « 0, 411 5, 029 ¨ ¸ 3,980 ¨ ¸ ©L¹ ©L¹ «¬
2
º » »¼
(3.27i)
que da un valor Mmax = 2MP para x = 0,632L. Además, si en (3.27b) y (3.27c) introducimos el valor de Pu dado por (3.37g), obtenemos VA
5, 029 M P L
y
VD =
6,911 M P L
valores coincidentes con los coeficientes de (x/L) en las expresiones (3.27h) y (3.27i) del momento flector en el dintel. En la figura 3.21g se representa el diagrama de sólido libre del montante DC justo antes del colapso y se cumple que 2 M P HD
0
120
Análisis plástico de estructuras. Introducción
y, por tanto, HD
2MP L
Entonces (fig. 3.21e), HA
H D 1,5 Pu
2 1,5 u 0, 274
MP L
1, 411 M P L
y el diagrama de sólido libre del pórtico justo antes del colapso es el representado en la figura 3.21h. Para el montante AB se cumple que (fig.3.21i) MB MP
1, 411 M P L L
0
y, por tanto, MB = 0,411MP. Este valor coincide con el que figura en la expresión (3.27i) del momento flector. En la figura 3.21j se representa el diagrama de momentos flectores del pórtico en el agotamiento. Para completar el análisis de este pórtico vamos a calcular el corrimiento vertical v del punto E del dintel donde se forma la articulación plástica y el corrimiento horizontal h de los puntos B y C de los extremos del dintel en el momento del colapso. Para ello empleamos la relación de deformaciones (2.33). Recordemos que dicha relación puede servir para determinar flechas en condiciones de trabajo, cuando el régimen es elástico en toda la estructura, y bajo la carga última, justo cuando sobreviene el agotamiento porque entre cada dos articulaciones el régimen es elástico y el flujo plástico en cada articulación aún está controlado. En uno y otro caso debe conocerse el diagrama de momentos flectores, pero en el segundo se trata del diagrama de momentos redistribuidos, que en este caso es el representado en la figura 3.21j. Admitiendo, en resumen, que el mecanismo de colapso es el compuesto de la figura 3.21d, con articulaciones plásticas en A, E, C y D, según el diagrama de momentos flectores de la figura 3.21j, al aplicar la relación de deformaciones (2.33) a cada porción AB, BE, EC y CD, podemos escribir (fig. 3.21k)
T AB
0, 411 M P · h L § MP ¨ ¸ L 3 EI © 2 ¹
M L h 0, 265 P L EI
T BA
M · h L § 0, 411 M P P ¸ L 3 EI ¨© 2 ¹
M L h 0, 030 P L EI
T BE
(7,960 M P / L2 ) (0, 632 L)3 2 MP · v 0, 632 L § 0, 411 M P ¨ 24 EI 0, 632 L 3 EI © 2 ¸¹
-1,582
T EB
(7,960 M P / L2 ) (0, 632 L)3 0, 411 M P · v 0, 632 L § 2 MP ¨ ¸ 24 EI 0, 632 L 3 EI © 2 ¹
-1,582
T EC
M L v 0,381 P L EI
M L v 0,548 P L EI
(7,960 M P / L2 )(0,868 L)3 M · M L v 0,868 L § v 2 M P P ¸ 1,152 0.506 P 24 EI 0,868 L 3 EI ¨© 2 ¹ L EI
121
3 Análisis plástico
T CE
(7,960 M P / L2 ) (0,868 L)3 2MP · M L v 0,868 L § v M P 1,152 0,362 P 24 EI 0,868 L 3 EI ¨© 2 ¸¹ L EI
T CD
T DC
M · h L § MP P ¸ ¨ 2 ¹ L 3 EI ©
M L h 0,167 P L EI
T BE ; es decir
Como en B no se forma articulación, será T BA
M L h 0, 030 P L EI
1,582
M L v 0,381 P L EI
o bien h v 1,582 L L
0,351
MP L EI
(3.28a)
Esta relación debe cumplirse cualquiera que sea la articulación última en formarse. Ahora comprobamos los resultados de los cuatro casos correspondientes a considerar que la última articulación se forma A, E, C o D. Si la última articulación se forma en A, será șAB = 0, o sea h L
0, 265
MP L EI
(3.28b)
La resolución del sistema de ecuaciones (3.28a) y (3.28b) nos da para v el valor negativo 0,135 M P L2 EI , lo
que implica que el punto E ascendería en vez de descender. La solución no es admisible. Si la última articulación en formarse es E, T EB da un valor
T EC . Igualando estos giros resulta una ecuación en v/L, que nos
v
0, 015
M P L2 EI
(3.28c)
Si es C la última articulación, șCE = șCD; es decir, 1,152
M L v 0,362 P L EI
M L h 0,167 P L EI
h v 1,152 L L
0,529
o bien MP L EI
La resolución del sistema de ecuaciones (3.28a) y (3.28d) nos da un valor v
0, 044
M P L2 EI
Finalmente, la hipótesis de que la última articulación se forma en D implica que șDC = 0; es decir,
(3.28d)
122
Análisis plástico de estructuras. Introducción
h L
0,167
MP L EI
(3.28e)
El sistema de ecuaciones (3.28a) y (3.28e) da v = -0,117(MPL2/EI), no admisible por ser negativo. Resulta, pues, que la última articulación se forma en el punto E del dintel y que el corrimiento vertical de ese punto al sobrevenir el colapso es v
0, 065
M P L2 EI
(3.28c)
Este corrimiento vertical del punto E va acompañado de un desplazamiento horizontal del dintel que, según (3.28a), es h
0, 454
M P L2 EI
3.8 Diagramas de interacción Para un pórtico dado y una configuración de cargas dada, el diagrama de interacción revela el mecanismo de colapso correspondiente a cada relación de cargas, aunque su mejor aplicación está en la determinación de las características de los elementos de la estructura que hacen a ésta más económica. Para tratar esta cuestión nos servimos del pórtico simple de la figura 3.22a, en el cual el momento plástico de los montantes es MP y el momento plástico del dintel es ȜMP, con Ȝ > 0. Según la fórmula de Neal y Symmonds hay dos mecanismos elementales (m = N - H = 5 - 3 = 2) y éstos son uno lateral y uno de viga. A estos dos mecanismos hay que añadir el mecanismo compuesto que resulta de combinar los dos anteriores. Las figuras 3.22b, 3.22c y 3.22d representan respectivamente esos tres mecanismos para el caso en que Ȝ < 1, mientras que las figuras 3.22e, 3.22f y 3.22g representan los mismos mecanismos para el caso en que Ȝ > 1. En ambos casos llamaremos mecanismo 1 al mecanismo de marco, mecanismo 2 al mecanismo de viga y mecanismo 3 al mecanismo compuesto. Tomemos ahora un sistema de ejes cartesianos con XL/MP como abscisas e YL/MP como ordenadas, tal como se muestra en la figura 3.23a. Para el mecanismo 1, si es Ȝ <1 podemos escribir 2 1 O M P T
XL T
o bien XL MP
2(1 O )
(3.29a)
y si Ȝ > 1 podemos escribir 4MP T
XL T
o bien XL MP
4
(3.29b)
123
3 Análisis plástico
Fig. 3.22 a) b) a g)
Pórtico cuya relación entre el momento plástico del dintel y el de los montantes es Ȝ. Mecanismos de colapso posibles. Las articulaciones en las conexiones dintel-montante se formarán en el dintel si Ȝ<1 y en los montantes si Ȝ>1.
124
Análisis plástico de estructuras. Introducción
La expresión (3.29a) representa, para cada valor de Ȝ, una recta paralela al eje de ordenadas en el sistema de coordenadas de la figura 3.23a y la expresión (3.29b) representa una recta paralela al eje de ordenadas que corta al eje de abscisas en el punto 4. Para el mecanismo 2, con Ȝ < 1, podemos escribir 6O MP T
YL T
o bien YL MP
(3.30a)
6O
y si es Ȝ > 1, podemos escribir 3 1 O M P T
YL T
o bien YL MP
3(1 O )
(3.30b)
Las ecuaciones (3.30a) y (3.30b) son ecuaciones de rectas paralelas al eje de abscisas Para el mecanismo 3, con Ȝ < 1, se tiene 2 1 3O M P T
XL T YL T
o bien XL YL MP MP
2(1 3O )
(3.31a)
Por último, para ese mismo mecanismo 3, con Ȝ > 1,
5 3O M P T
XL T YL T
y, por tanto, XL YL MP MP
5 3O
(3.31b)
Las expresiones (3.31a) y (3.31b) son ecuaciones de rectas de abscisa y ordenada en el origen iguales. Para cada valor de Ȝ, las rectas de ecuaciones (3.29), (3.30) y (3.31) delimitan con los ejes coordenados XL/MP e YL/MP la zona de cargas posibles, tal como se muestra en la figura 3.23b para un valor cualquiera de Ȝ. Los puntos de la línea quebrada definida por dichas rectas corresponden a situaciones de colapso, y éste tendrá lugar según un mecanismo u otro en función de los valores relativos de las cargas X e Y y del valor de Ȝ. Una representación gráfica como la de la figura 3.23b recibe el nombre de diagrama de interacción. En la figura 3.23a se han reunido los diagramas de interacción del pórtico de la figura 3.22a para los valores de Ȝ que se indican.
125
3 Análisis plástico
Fig. 3.23 a) b) c)
d)
Diagramas de interacción del pórtico de la figura 3.22a para distintos valores de Ȝ. Diagrama de interacción para una Ȝ dada. Los puntos de la línea quebrada corresponden a situaciones de colapso según los mecanismos indicados y las cargas admisibles están limitadas por dicha quebrada. Diagrama de interacción para Ȝ=2. Las rectas OM y ON separan los haces de rectas que conducen al desarrollo de los distintos mecanismos. Las rectas OA y OB corresponden a la relación de carga Y/X = 5 y Y/X = 3, respectivamente. Los puntos A y B de intersección con el diagrama permiten calcular las cargas últimas para las relaciones de carga citadas. Utilización del diagrama de interacción para la determinación de la estructura más económica para una relación de cargas 4/3 (recta OM).
126
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Supongamos que sea Ȝ = 2, caso cuyo diagrama de interacción se representa en la figura 3.23c. En ésta, se ve que para todas las cargas tales que (Y/X) > 4,5 el mecanismo de colapso será el mecanismo 2. Así, si X = P e Y = 5P, en el diagrama de interacción la relación de cargas está representada por la recta OA de pendiente 5 que corta al diagrama en el punto A de ordenada YL/MP = 9 y abscisa XL/MP = 1,8. Por tanto, 5Pu L/MP = 9 y Pu L/MP = 1,8, y la carga última es en este caso Pu
1,8 M P L
Si se cumple que 4,5 > (Y/X) > 1,75, el mecanismo de colapso es el mecanismo 3. Por ejemplo, con X = P e Y = 3P la recta representativa de la relación de cargas es OB, de pendiente 3, que corta al diagrama de interacción en el punto B, de coordenadas XL/MP = 2,75 e YL/MP = 8,25. Esto nos da para la carga última 2, 75 M P L
Pu
Por último, para los valores de X e Y tales que (Y/X) < 1,75 el mecanismo de colapso es el mecanismo 1 y la carga última, si es X = P, vale Pu
4MP L
cualquiera que sea Y < 1,75P. Una aplicación importante de los diagramas de interacción se encuentra en la determinación de la estructura más económica en lo que respecta a la cantidad de material empleado. Por supuesto que, cuando se diseña una estructura, son diversos los factores que deben tenerse en cuenta, tanto en lo que respecta al ahorro de material como a la seguridad, viabilidad de ejecución, limitaciones geométricas, peso propio, etc. Nos limitamos aquí a esbozar el método de Foulkes para conseguir la estructura de menor masa sin entrar en otras consideraciones. Nos centramos en el pórtico de la figura 3.22a admitiendo, desde luego, que está formado por miembros de sección constante, y además que esos miembros son vigas constituidas por un material que permite admitir la hipótesis de que la masa µ por unidad de longitud de cada una de ellas es una función lineal del momento plástico MP correspondiente: P a b M P . Esto significa que la masa total del pórtico será 2 L a b M P 1,5 L a b O M P
o sea, 3,5 L a L b 2 1,5O M P
Para que esta cantidad sea mínima, ya que L, a y b son parámetros, deberá ser mínima la cantidad: S
2 1,5 O M P
(3.32)
Se trata ahora de determinar con ayuda de los diagramas de interacción qué valores de Ȝ y MP minimizan el valor de S, conocidas las cargas X e Y. Por ejemplo, para X = 3P e Y = 4P la solución debe estar en un punto de la recta OM (fig. 3.23d) de pendiente 4/3. En el tramo OE, el mecanismo de colapso será el mecanismo 2 con Ȝ <1 y, por tanto, de (3.30a) y (3.32), teniendo en cuenta que Y = 4P se deduce que S PL
2 2 1,5 O 3O
(3.34)
127
3 Análisis plástico
expresión válida en el tramo OE, para 0 < Ȝ < 4/9, siendo 4/9 el valor de Ȝ, correspondiente al punto E. En el tramo EF, el mecanismo de colapso es el mecanismo 3 con 4/9 < Ȝ < 1. Si en la expresión (3.31a) hacemos X = 3P e Y = 4P y la sustituimos en la (3.32), tendremos S PL
3,5 2 1,5 O 1 3O
(3.35)
En el tramo FG el mecanismo de colapso sigue siendo el mecanismo 3, pero como Ȝ > 1, la ecuación aplicable es la (3.31b). Procediendo como en los tramos anteriores, se halla que S PL
7 2 1,5 O 5 3O
(3.36)
válida para 4/9 < Ȝ < 13/9 , siendo Ȝ = 13/9 el valor de Ȝ del punto G. Por último, a partir del punto G (o sea, con Ȝ > 13/9) es (XL/MP) = 4 y, como X = 3P, resulta S PL
0, 75 2 1,5 O
Fig. 3.24 Gráfica de S/PL en función de Ȝ, donde S = (2+1,5 Ȝ) es la cantidad que debe ser mínima para que el pórtico de la figura 3.22a sea lo más ligero posible para una relación de cargas Y/X = 4/3.
(3.37)
128
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Ahora se trata de ver para qué valor de Ȝ es mínimo el valor de S/PL, el cual representa la mínima cantidad de material. En la figura 3.24 se representa S/PL en función de Ȝ según las expresiones (3.34), (3.35), (3.36) y (3.37): 2 2 1,5 O
S PL
0 O 4 9
3O
3,5 2 1,5 O
S PL
4 9 O 1
1 3O
S PL
1 O 13 9
S PL
O ! 13 9
7 2 1,5 O 5 3O
0, 75 2 1,5 O
(3.34)
(3.35)
(3.36)
(3.37)
En dicha figura 3.24 se ve que S/PL es mínimo para Ȝ =1. Con la expresión (3.36) resulta (S/PL) = 3,0625. Haciendo Ȝ =1 y S/PL = 3,0625 en (3.32), se obtiene MP
VY Z
0,875 PL
En resumen, para un pórtico simple como el de la figura 3.22a sometido a unas cargas X = 3P e Y = 4P, la solución más económica respecto a la cantidad de material apunta hacia unos montantes y un dintel construidos los tres con un perfil (módulo plástico, Z) de un acero (ıY) con MP
0,875 Pu L
donde Pu es la carga última obtenida multiplicando P por el factor de carga. Obsérvese que en el tramo FG la gráfica de la figura 3.24 parece una recta casi horizontal, por lo cual cualquier valor de Ȝ comprendido entre 1 y 13/9 sería aceptable. Considerando el caso límite en que Ȝ = 13/9, resultaría MP
0, 75 Pu L
para los montantes, y
O MP
13 9 0, 75 Pu L
1, 083 Pu L
para el dintel. Conviene comentar que, cuando las cargas son concentradas, los diagramas de interacción están formados por segmentos de rectas; pero que las cargas distribuidas producen unos diagramas de interacción con alguna línea curva. Cuando se trata de una estructura más compleja que un pórtico simple y la solución más económica está definida por un número n de momentos plásticos superior a 2, el diagrama de interacción está formado no ya por rectas en un plano euclídeo, sino por un conjunto de planos definidos en un espacio n-dimensional, que limitan una zona de cargas admisibles convexa respecto al origen de coordenadas de ese espacio n-dimensional. La solución al problema general se basa en los trabajos de Foulkes y Neal y la aplicación de éstos al dimensionado de estructuras requiere desde luego el uso de ordenadores.
3 Análisis plástico
129
3.9 Pórticos dobles La ventaja, por su comodidad, del método de los mecanismos para analizar pórticos simples se ha evidenciado a lo largo de §3.5, §3.6 y §3.7. Ahora vamos a extender el método a los pórticos dobles. Al tratar de los pórticos simples en los tres apartados citados se supuso que cada uno de los posibles mecanismos de colapso es un sistema de un solo grado de libertad, o dicho de otro modo, que es posible expresar la rotación en torno a cada articulación plástica en función de la rotación en torno a una cualquiera de ellas. Esta hipótesis es imprescindible para poder aplicar el principio de los trabajos virtuales, con independencia de que puedan imaginarse una infinidad de mecanismos. En el pórtico doble de la figura 3.25a se trata de determinar la carga última Pu sabiendo que los cinco miembros rectos que lo componen poseen los momentos plásticos que se indican (en m·kN). Al estar el pórtico articulado en los apoyos A, B y C, si conocemos las dos componentes de fuerza que en cada uno de ellos forman la reacción correspondiente, a partir de éstas podremos obtener los diagramas de sólido libre de cada una de los cinco tramos rectos que forman la estructura. Para todo el pórtico, considerado como cuerpo único, la estática nos proporciona tres ecuaciones. Por tanto, el grado de hiperestaticidad de la estructura es H = 6 - 3 = 3, mientras que en principio, y según las hipótesis establecidas en §3.1, podrían desarrollarse articulaciones plásticas en los cinco puntos D, E, F, G y H, con lo que el número de mecanismos elementales sería m = 5 - 3 = 2, si tratamos de aplicar aquí la relación de Neal y Symmonds. Sin embargo, utilizando ahora los dos mecanismos elementales ya definidos en §3.5, la realidad parece sugerir que el número de mecanismos elementales posibles es de tres, dos de viga y uno de marco (tomados cada uno en el sentido que hace positivo el trabajo de las fuerzas exteriores), tal como se representa en las figuras 3.25b, 3.25c y 3.25d. La dificultad se salva introduciendo un tercer tipo de mecanismo elemental, el mecanismo de nudo representado en la figura 3.25e, asignando una posible articulación plástica al punto F en cada uno de los miembros que concurren en él. Resulta entonces que el número N de articulaciones pasa de cinco a siete, y el número de mecanismos elementales es m = 7 - 3 = 4, es decir, los dos de viga (mecanismos 1 y 2) y el de marco (mecanismo 3), considerados en un principio, más el de nudo (mecanismo 4). Hay que tener en cuenta que un mecanismo de nudo no es por sí mismo un mecanismo de colapso, pues al aplicarle el principio de los trabajos virtuales, y al no haber fuerzas externas, lo que resulta es la expresión del equilibrio del nudo. Como en el caso de los pórticos simples, ahora hay que considerar los posibles mecanismos compuestos. La combinación 1-3, que es el mecanismo 5 de la figura 3.25f, elimina la articulación plástica en D, mientras que en F se desarrollan dos articulaciones, una con MP = 350 m·kN en el miembro FD, y otra con MP = 200 m·kN en el miembro FB. En H hay una cuarta articulación con MP = 450 m·kN. La combinación 2-3 (mecanismo 6, fig. 3.25g) restablece en F la perpendicularidad entre FB y FH, por lo que en ese punto hay una articulación con MP = 350 m·kN, correspondiente a FD, pues éste gira con relación a los otros dos miembros FB y FH. Hay además sendas articulaciones plásticas en D y H cada una con el valor de MP que le corresponde. Por último, en la figura 3.25h se representa el mecanismo 7, compuesto de los mecanismos 1, 2 y 3. Su constitución se deduce de los mismos razonamientos seguidos respecto a los mecanismos 5 y 6. Aquí se restablece la perpendicularidad tanto en D como en F2. Recuérdese que debe contarse con un mecanismo de nudo siempre que en un punto concurran tres o más miembros. Cuando en un nudo concurran cuatro miembros, el mecanismo de nudo correspondiente estará compuesto por cuatro articulaciones plásticas. En la tabla siguiente se resume la aplicación del principio de los trabajos virtuales a los seis mecanismos que consideramos:
2 Todos los mecanismos que consideramos cumplen con el teorema de los mecanismos compuestos, ya que en todos ellos hay al menos una sección donde los giros relativos son opuestos.
130
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Mecanismo
Trabajo WI de las fuerzas internas y trabajo WE de las cargas (WI + WE = 0), en kJ
Pu (kN)
WI = -(1+2+1)(350ș) = -1400ș 140
1 WE = 2Pu (5ș) = 10Pu ș WI = -[1+(7/4)+(3/4)](450ș) = -1575ș
105
2 WE = 2,5Pu (6ș) = 15Pu ș WI = -(350+200+450)ș = -1000ș
200
3 WE = Pu (5ș) WI = -(350 x 2 + 350 + 200 + 450)ș = -1700ș
113,33
5 WE = Pu (5ș) + 2Pu (5ș) = 15Puș WI = -[350+350+450(7/4)+450(7/4)]ș = -2275ș
113,75
6 WE = Pu (5ș) + 2,5Pu (6ș) = 20Pu ș WI = -[2 x 350 + 2 x 350 + 450(7/4) +450(7/4)]ș = -2975ș
99,16
7 WE = Pu (5ș) + 2Pu (5ș) + 2,5Pu (6ș) = 30Pu ș
Es decir, según el teorema del límite superior, el mecanismo de colapso será el mecanismo 7. No se recomienda utilizar en estructuras formadas por múltiples pórticos el método de los mecanismos, pese a las ventajas que parece reportar en los pórticos simples y dobles. Si bien siempre sería teóricamente posible determinar la totalidad de los mecanismos que deberían considerarse, y reducir el número de éstos mediante el teorema de los mecanismos compuestos, ocurre que cuando el número de pórticos crece, así mismo crece el número de mecanismos y ese número puede ser muy elevado. Existe entonces el peligro de que se pase por alto algún mecanismo. Lo usual es combinar el método estático y el de los mecanismos del modo conveniente. Como suele ser necesario conocer los momentos flectores máximos en puntos que no intervienen en el mecanismo de colapso, habrá que obtener el diagrama de momentos flectores. En el apartado 3.10 se expone el fundamento de un método de tanteos, llamado método de ajuste de momentos, de aplicación especialmente recomendable en pórticos múltiples. En el pórtico doble de la figura 3.26a, hiperestático de grado cuatro, pueden formarse articulaciones plásticas en ocho puntos. Esos puntos son las dos esquinas B y F, el empotramiento H, el punto C bajo la carga de 150 kN del dintel izquierdo, un punto E en primera aproximación el centro del dintel derecho, y tres en torno al nudo D (uno a la izquierda (1), uno a la derecha (2) y uno debajo (3)). Por consiguiente, el número de mecanismos elementales es m = N - H = 8 - 4 = 4. Estos son los mecanismos de viga 1 y 2 de las figuras 2.26b y 2.26c, el mecanismo de marco 3 de la figura 3.26d y el mecanismo de nudo en D de la figura 3.26e. A esos cuatro mecanismos habría que añadir las combinaciones 1-3, 2-3 y 1-2-3 (los mecanismos a considerar serían esencialmente los mismos que para el caso del pórtico de la figura 3.25a). Pero aquí tomamos en cuenta sólo la combinación 1-2-3, que es el mecanismo compuesto 5 de la figura 3.26f. En la tabla siguiente se resume la aplicación del principio de los trabajos virtuales a los cuatro mecanismos considerados:
131
3 Análisis plástico
Fig. 3.25 a) b) a e) f) a h)
Pórtico doble sometido a cargas concentradas. En los pórticos múltiples hay que tener en cuenta los mecanismos de nudo (fig. 3.25e). Mecanismos elementales. Mecanismos compuestos.
132
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Mecanismo
1
Trabajo WI de las fuerzas internas y trabajo WE de las cargas (WI + WE = 0), en kJ
WI = -(1 + 2 + 1)Mpș = -4MPș
MP (m·kN)
187,5
WE =150(5ș) = 750ș 2
WI = -(1 + 2 + 1)Mpș = -4MPș
250
WE = 0,5(5ș)(10)(40) = 1000MP 3
WI = -(1 + 1 + 1 + 1 + 1)Mpș = -4MPș
75
WE = 60(5ș) = 300ș 5
WI = -(2+2+1+2+2)Mpș = 9MPș
227,8
WE = (750 + 1000 + 300)ș = 2050ș El valor máximo de MP corresponde al mecanismo 2. Ahora bien, el valor de MP obtenido para el mecanismo compuesto 5 es muy próximo al anterior y se ha calculado suponiendo que la articulación plástica se forma en el centro E del dintel derecho. Cabe preguntarse si una solución más aproximada da un valor para MP superior al de 250 m·kN. Suponiendo que la posición verdadera de la articulación plástica sea un punto E’ situado a una distancia a de F, en ese punto E’ el momento flector será máximo y la fuerza cortante nula. En la figura 3.26g se representa el diagrama de sólido libre de la porción E’F del dintel derecho, en el supuesto de que el colapso correspondiese al mecanismo 5, y atribuyendo, por ello, un momento plástico de 227,8 m·kN a los puntos E’ y F. Al ser nula en E’ la fuerza cortante, tomando momentos en F podemos escribir 0,5 40 a 2 2 u 227,8
0
de donde a
4, 77 m
O sea, si el momento plástico fuese 227,8 m·kN, la articulación plástica estaría desplazada aproximadamente 0,23 m hacia la derecha del centro E del dintel. Con este valor de la posición de la articulación volveríamos a aplicar el principio de los trabajos virtuales al mecanismo 5 para obtener un valor muy parecido al que ya se obtuvo. Generalmente no es necesario afinar tanto. Podemos, pues, admitir que el mecanismo de colapso es el mecanismo 2. En realidad, para el mecanismo 5 la solución exacta pasa por aplicar el teorema del límite superior al valor de MP obtenido en función de la distancia desconocida b de la articulación plástica al nudo D. Es decir, teniendo en cuenta la figura 3.26h, podemos escribir M P 2T M P 2T M P T
10 T 100 MP M P 60 5T 150 5T 0,5 40 10 b T 10 b 10 b
0
O sea, MP
50 210 19 b 4 b 2 70 5 b
La derivada de esta expresión es dM P db
40 119 28 b b 2
b 14
2
que se anula para b = 5,23 m. Llevando este valor de b a la expresión obtenida para MP, resulta MP = 228 m·kN. Estos valores de b y MP coinciden prácticamente con los anteriormente obtenidos.
133
3 Análisis plástico
Fig. 3.26 a) b) a e) f) y h) g) i)
Pórtico doble sometido a cargas distribuidas. Cuando las cargas están distribuidas no se conoce de antemano la posición exacta E= donde se formará la articulación plástica. Puede suponerse, en una primera aproximación, que se formará en el centro de la distribución. Mecanismos elementales. Mecanismos compuestos. Diagrama de sólido libre de una parte del dintel para calcular la ubicación exacta de la articulación plástica. Diagrama de momentos flectores del pórtico en el momento del agotamiento.
134
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Queda por comprobar que podemos admitir que en ningún punto del pórtico el momento flector sobrepasa el valor de 250 m·kN del momento plástico correspondiente al mecanismo 2 seleccionado. Los puntos que debemos considerar son los ya mencionados antes, o sea, la esquina B, el centro C del dintel izquierdo, los tres puntos D1, D2 y D3 en torno al nudo D, el centro E del dintel derecho, la esquina F y el empotramiento H; ocho en total. Sabemos ya que MD2 = ME = MF = 250 m·kN. El problema es de cinco incógnitas (MB, MC, MD1, MD3 y MH) con un grado de hiperestaticidad de dos, al ser tres las ecuaciones de equilibrio. Ahora bien, para que se cumpla el teorema del límite inferior, bastará con asegurar que ninguno de esos cinco momentos es mayor que MP = 250 m·kN. Como situación desfavorable, en el dintel izquierdo podemos asignar a MB, MC y MD1 el valor de 187,5 m·kN, valor del momento plástico calculado para el mecanismo 1. Entonces, para los dinteles resultará el diagrama de momentos flectores representado en la parte correspondiente de la figura 3.26i. En el nudo D se tiene M D1 M D2 M D3
0
187,5 250 M D3
0
o sea,
Por tanto, M D3
62,5 m kN
Por otra parte, si en el extremo B de AB, MB = 187,5 m·kN, la reacción en A será (187,5/5) = 37,5 kN. Además, si en el extremo F de GF, MF = 250 m·kN, la reacción en G será (250/5) = 50 kN. Resultará también que la reacción en H será 60 + 37,5 - 50 = 47,5 kN. Por último, para obtener MH, basta con considerar el equilibrio del miembro HD y tomar momentos en D: MH = 47,5 x 5 - 62,5 = 175 m·kN. En resumen, podemos admitir que en ningún lugar del pórtico el valor del momento flector es mayor que 250 m·kN y que, por tanto, este es el momento plástico y el mecanismo de agotamiento es el mecanismo 2. Cuando se aplica la regla de Symmonds y Neal a un pórtico múltiple conviene prestar atención no sólo a los mecanismos de nudo, y al número de articulaciones que debe atribuirse a cada uno de ellos, sino también al mínimo número de incógnitas que deben determinarse para obtener los diagramas de sólido libre de todas las partes de la estructura. Así, en el caso de los pórticos de las figuras 3.25a y 3.26a, el número mínimo de incógnitas que debían determinarse para obtener los diagramas de sólido libre de cada parte de la estructura eran, respectivamente, de seis y siete y eran tres las ecuaciones que nos da la estática, con lo que el grado de hiperestaticidad resultaba ser de tres en la figura 3.25a y de cuatro en la figura 3.26a. Luego, al considerar las posibles articulaciones plásticas según las hipótesis de §3.1 con la modificación introducida por el mecanismo de nudo, resulta que N = 7 en la figura 3.25a, y N = 8 en la figura 3.26a, y en ambos casos es m = 4, según se representa en las figuras 3.25 y 3.26. En la figura 3.27a se representa un pórtico doble con los tres apoyos A, B y C empotrados, lo que obliga a determinar nueve incógnitas para obtener el diagrama de sólido libre y, por tanto, H = 9 -3 = 6. Según se indica en la misma figura 3.27a, el número de posibles articulaciones plásticas es N = 11, por lo que el número de mecanismos elementales será m = 11 - 6 = 5. Éstos serán uno de viga en DF, dos de viga en FI, uno de cuadro y uno de nudo en F. En los casos en que los pórticos no sean contiguos, sino sobrepuestos como el de la figura 3.27b, donde el número de posibles articulaciones plásticas es de trece según se indica, hay que tener en cuenta que el número de incógnitas que deberán determinarse para obtener el diagrama de sólido libre está dado no sólo por los apoyos en el suelo sino también por las conexiones entre los pórticos. Descomponiendo el pórtico en dos pórticos simples, tal como se representa en la figura 3.27c, queda claro que el número de incógnitas que deberán determinarse para obtener el diagrama de sólido libre es de doce. La estática nos da tres ecuaciones para cada pórtico simple; o sea, seis ecuaciones. Entonces, H = 12 - 6 = 6, y el número de mecanismos elementales es m = 13 - 6 = 7. Éstos serán tres de viga (dos en FI y uno en CE), dos de cuadro (ACEB y CFIE) y dos de nudo (en C y en E). La estructura de la figura 3.27d está formada por tres filas de pórticos triples, cada uno de los cuales requiere determinar doce incógnitas. Es decir, el número total mínimo de incógnitas que permiten obtener el diagrama de sólido libre de la estructura es de 3 x 12 = 36. La estática nos da tres ecuaciones por cada piso, o sea, nueve ecuaciones. Por consiguiente, el grado de hiperestaticidad es H = 36 - 9 = 27. El recuento de posibles articulaciones plásticas da N = 59 y, por tanto, el número de mecanismos elementales es m = 59 - 27 = 32. Éstos serán tres de cuadro (piso inferior, intermedio y superior), 19 de viga (siete en travesaño inferior, cuatro en el intermedio y ocho en el superior) y diez de nudo (cuatro de cuatro articulaciones y seis de tres articulaciones).
135
3 Análisis plástico
Fig. 3.27 a) b) c) d)
Pórtico doble con tres apoyos empotrados. Pórticos superpuestos. Diagramas de sólido libre de los dos pórticos simples en los que se puede descomponer el pórtico de la figura b). Número de incógnitas: 12; número de ecuaciones independientes: 6; grado de hiperestaticidad del pórtico: H = 12-6 = 6. Pórtico formado por tres filas de pórticos triples. En cada caso se indica el grado de hiperestaticidad, H, el número, N, de las posibles articulaciones plásticas y el número, m, de mecanismos elementales. No es muy recomendable utilizar el método de los mecanismos a este tipo de pórticos, dado el gran número de mecanismos de colapso posibles entre elementales y combinados.
136
Análisis plástico de estructuras. Introducción
3.10 Método del ajuste de momentos El método del ajuste de momentos, o método de Horne, se aplica especialmente al dimensionado de pórticos múltiples en los que no es inmediato el trazado de los diagramas de momentos flectores en el equilibrio para comprobar que no se ha sobrepasado en ningún punto el valor del momento plástico correspondiente. También se utiliza para analizar la estructura desde el punto de vista de un dimensionado económico que sea suficiente para soportar las cargas propuestas simplemente obteniendo una distribución de momentos que garantice que en ningún lugar el momento flector sobrepasa el valor de MP. Si para un pórtico disponemos de un diagrama de momentos flectores cualquiera, pero que cumple las condiciones de equilibrio, y el pórtico se dimensiona de acuerdo con ese diagrama de momentos flectores de modo que haya un número suficiente de articulaciones plásticas para que se forme un mecanismo de colapso y en ningún lugar se sobrepase MP, se cumplirán los dos teoremas de los límites. Por una parte, al estar el diagrama de momentos flectores en equilibrio con las cargas y no ser en ningún punto el momento flector mayor que MP, la carga correspondiente será menor o igual a la carga última, por lo que se cumple el teorema del límite inferior. Por otra parte, si hay articulaciones plásticas suficientes para que se forme un mecanismo de colapso, es que la carga correspondiente es mayor o igual que la carga última, y se cumple así el teorema del límite superior. La base del método es similar a la del método estático en el sentido de que se empieza identificando los puntos donde potencialmente pueden generase articulaciones plásticas; luego, a esos puntos se asignan valores de los momentos plásticos. Para efectuar los ajustes de los valores de los momentos, se adopta en este método el convenio de signos que se resume en la figura 3.28. Los momentos actuantes en las secciones extremas de un miembro, se admite que son positivos si su sentido es antihorario y los momentos internos se toman como positivos si producen tracción en las fibras más inferiores de la sección. En la figura pequeños segmentos indican el lado en que se encuentran las fibras sometidas a tracción para momentos positivos.
Fig. 3.28 Convenio de signos de los momentos en la aplicación del método de Horne Los momentos internos se toman positivos si producen tracción en las fibras inferiores de la sección y los momentos en las secciones extremas de un miembro se toman como positivos si su sentido es antihorario. Se indica con pequeños trazos el lado en que se encuentran las fibras sometidas a tracción para momentos positivos.
Apliquemos este método para determinar el momento plástico del pórtico hiperestático de sexto grado de la figura 3.29a, formado con elementos de rigidez uniforme. El método consiste en adoptar una distribución arbitraria de momentos en equilibrio en relación a los distintos mecanismos elementales de colapso e ir disminuyendo el momento máximo, sin transgredir las ecuaciones de equilibrio. En las figuras 3.29b a 3.29f se representan los mecanismos elementales. En la figura 3.29g figura la nomenclatura que utilizaremos para indicar los momentos flectores en las secciones de interés y, de acuerdo con el criterio de signos de los momentos, se indica con pequeños segmentos el lado en que se encuentran las fibras sometidas a tracción para momentos flectores de signo positivo. Las ecuaciones de equilibrio de momentos correspondientes a los mecanismos elementales de acuerdo con la nomenclatura y signos convenidos son:
137
3 Análisis plástico
Mecanismo de la figura
Ecuación de equilibrio de momentos
3.29b (viga)
-MC (CD) + 2 MG +MD (CD) = 5PL/2 = 2,5FL
(3.38)
3.29c (viga)
-MB (BE) + 2 MH +ME (BE) = 5PL/2 = 2,5FL
(3.39)
3.29d (lateral)
MB (BC) + MC(BC) + MD (DE) + ME (DE) + FL = 0
(3.40)
3.29e (lateral)
MA (AB) + MB (AB) + ME (EF) + MF (EF) + 2FL = 0
(3.41)
3.29f (nudo B)
MB (AB) + MB (BC) + MB (BE) = 0
(3.42)
3.29f (nudo E)
ME (DE) + ME (BE) + ME (EF) = 0
(3.43)
Además el equilibrio de los nudos C y D exige que M C BC M C CD
0
(3.44)
M D CD M D DE
0
(3.45)
Podemos empezar suponiendo que los mecanismos de inicio sean los laterales y que los momentos se reparten equitativamente, puesto que la rigidez de las columnas es uniforme. Por tanto de las ecuaciones (3.40) y (3.41) deducimos que M B BC
M C BC
M D DE
M E DE
M A AB
M B AB
M E EF
M F EF
FL 4
0, 25 FL
2 FL 4
0,50 FL
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (3.42), (3.43), (3.44) y (3.45) se deduce que M C BC
M D CD
0, 25 FL
y
M B BE
M E BE
0, 75 FL
y sustituyendo estos valores en las ecuaciones (3.38) y (3.39) resulta MG
MH
1, 25 FL
En la figura 3.29h se identifican con (1) los valores de los momentos hallados divididos por FL. Por supuesto que con estos valores el pórtico está equilibrado; pero vamos a tratar de hallar un nuevo equilibrio con valores más bajos de los momentos máximos. Probemos con un valor del momento máximo de 0,90FL y un valor del momento en D de 0,60FL. La ecuación (3.38) nos permite deducir el valor del momento en la sección C del dintel. Las ecuaciones (3.44) y (3.45) nos dan los valores de los momentos en las secciones superiores de las columnas. En la misma figura 3.29 h se identifican con (2) los valores obtenidos. La ecuación (3.40) nos permite deducir que MC(BC) + ME(DC) = -0,50FL, valor que repartimos por igual entre las dos columnas, siendo, por tanto, MC(BC) = ME(DC) = -0,25 FL. En la viga BE procedemos de modo similar y exigimos que se cumplan las ecuaciones (3.42) y (3.43). Los valores de los resultados se indican también en la figura 3.29h con (2). Al aplicar la ecuación (3.41) deducimos que MA(AB) + MF(EF) = -FL, valor que repartimos también por igual entre las bases de las dos columnas inferiores. Así, los valores indicados por (2) equilibran perfectamente el pórtico; pero todavía se pueden ajustar más. Un nuevo tanteo se refleja en la citada figura con la indicación (3) y ya nos damos cuenta de que estos valores corresponden al mecanismo de colapso compuesto de la figura 3.29i para un valor del momento plástico de 0,80FL, sin que en ninguna sección el momento supere este valor. No es preciso dibujar el diagrama de momentos cuando se utiliza este método; no obstante, se representa en la figura 3.29j.
138
Análisis plástico de estructuras. Introducción
Fig. 3.29 a) b) a f) g) h) i) j)
Método de ajuste de momentos o de Horne Pórtico formado con elementos de rigidez uniforme. Mecanismos elementales. Nomenclatura asociada a los momentos. Los pequeños trazos indican el lado en que se encuentran las fibras sometidas a tracción para momentos positivos. Con (1), (2) y (3) se indican los valores de los momentos que equilibran el pórtico en tres tanteos sucesivos. Mecanismo de colapso que corresponde a los valores (3) de la figura h). Diagramas de los momentos flectores correspondientes a los valores (3) de la figura h), cuando se produce el mecanismo de colapso de la figura i).
139
3 Análisis plástico
Veamos que para facilitar la tarea del tanteo resulta útil tener en cuenta que podemos variar los valores de los momentos de equilibrio para un elemento, superponiendo una distribución de momentos lineal tal y como se muestra en la figura 3.30. Para que ello sea correcto hay que suponer que el elemento está vinculado hiperestáticamente y que, por tanto, en sus extremos las fuerzas están indeterminadas.
Fig. 3.30 Cuatro vigas sometidas a sistemas de fuerzas cuyos diagramas de momentos flectores están representados por rectas. En cada caso se indica en las figuras inferiores el valor de M/FL en los extremos y en el punto medio de la viga, adoptando el criterio de signos para los momentos mostrado en la figura 3.28.
Consideremos ahora el pórtico de la figura 3.31a, donde las cargas representadas son las de trabajo y se comprueba que el número de mecanismos elementales es m = 3, dos de viga y uno de cuadro. Se desean dimensionar los miembros de manera que con las cargas indicadas se forme un mecanismo de colapso. Si empezamos considerando únicamente el mecanismo de viga en el dintel, según (2.18) el correspondiente momento plástico será, admitiendo un factor de carga de 1,7, MP
1, 7 u 20 u 202 16
850 m kN
140
Análisis plástico de estructuras. Introducción
y Z
850 u 103 250 u 106
3400 u 106 m3
El perfil en doble T de la tabla 2-1 más ligero sería el 450B con Z = 3862 x 10-6 m3, al que corresponde un momento plástico MP
3862 u10 250 u10 6
6
965,5 m kN
El momento en la esquina B debido a la carga de 9 kN/m es 1, 7 u 9 u 5 u 2,5 191, 25 m kN
al que habría que sumar el momento de la componente horizontal de la reacción en A. Pero cabe pensar que la suma de ambos sea bastante inferior a 965,5 m·kN. Entonces, si se emplea el perfil 450B en montantes y dintel, no se formará un mecanismo para la carga especificada.
Fig. 3.31 Aplicación del método de Horne para hacer más económica la construcción del pórtico de la figura a) con perfiles normalizados.
Veamos si es posible aligerar la estructura. La diferencia entre el momento plástico para el perfil 450B y el calculado para el dintel es 965,5 - 850 = 115,5 m·kN. Según el convenio de signos adoptado diremos que la primera distribución de momentos en el dintel es -850, +850, +850, tal como se indica en la figura 3.29b. A esta distribución le superponemos la distribución +115,5, +115,5, -115,5, de modo que en el centro del dintel tengamos 965,5 m·kN y en los extremos 734,5 m·kN, tal como también se indica en la misma figura 3.29b. Por consiguiente, si dimensionamos los montantes de modo que sean capaces de desarrollar un momento plástico de 734,5 m·kN puede formarse un mecanismo. Para este valor de MP tenemos Z
734,5 u 103 250 u 106
2938 u 106 m3
Este valor nos señala al perfil 400B, para el que Z = 3125 x 10-6 m3 y
141
3 Análisis plástico
MP
3125 u10 250 u10 6
6
781, 25 m kN
Si se construye el pórtico con un perfil 450B en el dintel y perfiles 400B para los montantes, resultará más económico que si se construye en su totalidad con perfiles 450B, pues resulta un ahorro de 10(165,5 - 149,8) = 157 kg de acero. Por otra parte, con los perfiles seleccionados y las cargas propuestas no hay posibilidad de que se forme un mecanismo. (Además, las cargas de trabajo son desde luego inferiores a las utilizadas según los factores de carga que se hayan empleado.) Lo que se consigue es hacer más económica la construcción del pórtico con acero de ıY = 250 MPa y perfiles normalizados. De hecho, es posible determinar cualquier distribución de momentos que esté en equilibrio con las cargas sin que en ningún lugar el momento flector sea mayor que MP. El pórtico lo hemos dimensionado admitiendo un factor de carga de 1,7 para la carga del dintel y para la carga del montante izquierdo, como si ambas fueran cargas estáticas. Sin embargo, una carga como la de 9 kN/m sobre el montante izquierdo será una carga eólica y para una combinación de carga estática y carga eólica como la presente el factor de carga es 1,3, lo cual permitiría, sin duda, aligerar todavía más la estructura. Para considerar definitivamente apta la estructura hay que comprobarla al pandeo mediante las condiciones (2.27), (2.28) y (2.41); esta última en especial para los montantes, pues podrían estar sometidos a solicitaciones axiales importantes. Téngase presente que la distribución de momentos de la figura 3.31c no es necesariamente la verdadera. El método de Horne sólo pretende obtener una estructura que baste para las cargas especificadas. Este método se aplica especialmente al dimensionado de pórticos múltiples. Su desarrollo para esas estructuras rebasa el alcance de esta publicación, pero se expone su fundamento por su importancia práctica.
3.11 Pórticos a dos aguas El análisis plástico de los pórticos a dos aguas es en general más arduo que el de los pórticos rectangulares, pues la determinación de los desplazamientos y los giros en los distintos mecanismos posibles no es ni mucho menos tan inmediata. Siempre que un pórtico, u otra estructura, posee algún miembro inclinado, para determinar algunos giros y desplazamientos hay que recurrir al concepto de centro instantáneo de rotación. En el pórtico a dos aguas de la figura 3.32a, hiperestático de grado 1, se aprecian cinco puntos donde pueden formarse articulaciones plásticas (B, C, D, E y F). Entonces, el número de mecanismos elementales sería m = N - H = 5 - 1 = 4. De éstos, dos pueden ser los de viga que se muestran en las figuras 3.32b y 3.32c, asignados a los dos pares BCD y DEF, a los que se añade el mecanismo lateral de la figura 3.32d. Falta, pues, un mecanismo elemental para que sea válida la fórmula de Neal y Symmonds. Ese mecanismo elemental no puede ser de nudo, al no concurrir tres o más miembros en ningún punto. Se solventa esta dificultad definiendo un nuevo tipo de mecanismo elemental que se muestra en la figura 3.32e. En éste, que recibe el nombre de mecanismo de gablete, uno de los montantes no gira, pero sí los otros tres miembros merced a las articulaciones que se forman en B, D y F. El mecanismo de gablete puede considerarse una variante del mecanismo lateral originada por la existencia del nudo rígido D, donde según las hipótesis formuladas en §3.1 puede formarse una articulación, haya o no carga en ese punto. Por otra parte, hay que suponer que un montante no gira para respetar la hipótesis de que la configuración del mecanismo de agotamiento está definida por un solo grado de libertad. Para el mecanismo de viga de la figura 3.32b, tenemos M P T M P 2 T M P T 170 3T
o sea, MP
127,5 m kN
Y para el mecanismo de viga de la figura 3.32c, tenemos
0
142
Análisis plástico de estructuras. Introducción
M P T M P 2 T M P T 110 3T
0
o sea, MP
82,5 m kN
En el mecanismo lateral de la figura 3.32d, tenemos M P T M P T 20 8T
0
y MP
80 m kN
Fig. 3.32 a) b) a e)
Pórtico a dos aguas. Mecanismos elementales. El mecanismo de gablete no se presenta en los pórticos rectangulares.
143
3 Análisis plástico
Al sobrevenir el colapso, en el mecanismo de gablete de la figura 3.32e, el par BD gira en torno a B, tal como se indica en la figura 3.33, y el montante GF gira en torno a G, tal como indica también en dicha figura. Con referencia a esta misma figura, donde ABD’F’G representa el mecanismo de colapso, el par DF girará en torno al punto O, que es su centro instantáneo de rotación determinado como intersección de las rectas definidas por BD y GF. El punto D se desplaza hacia D’, de tal modo que DD’]ADO. Para determinar el trabajo de las cargas, necesitamos hallar los desplazamientos de sus puntos de aplicación. En la figura 3.33, H es un punto cualquiera del par DF que se desplaza hacía H’, de tal modo que HH’]HO. Los puntos D y H giran el mismo ángulo ș alrededor de O. Si es H’I la componente vertical del desplazamiento HH’, y observamos que los triángulos HH’I y OHJ son semejantes, podemos escribir H 'I HH '
y como T
HJ OH
HH' OH H 'I
HJ u T
Es decir, el desplazamiento vertical de un punto cualquiera del par DF es igual a la distancia de ese punto a la recta vertical GFO multiplicada por la rotación en torno a O. Análogamente, el desplazamiento vertical de un punto cualquiera del par BD es igual a la distancia de ese punto a la vertical definida por AB multiplicada por la rotación en torno a B. Teniendo esto en cuenta, el trabajo de las cargas será WE
125 6 T 110 3T 170 3T 1590T
Fig. 3.33 El punto O es el centro instantáneo de rotación cuando se produce el mecanismo de gablete en el pórtico de la figura 3.32e.
144
Análisis plástico de estructuras. Introducción
El trabajo de las fuerzas internas se compone del efectuado por los momentos plásticos en B, D y F. En B es -MPș. En D, el giro relativo de los dos pares BD y DF es 2ș, compuesto del giro ș respecto a B y del giro ș respecto a O. Análogamente, en F el giro relativo de FD y FG es 2ș. Por consiguiente, el trabajo de las fuerzas internas es WI
M P T M P 2T M P T
5 M P T
Por tanto, según el principio de los trabajos virtuales, resulta MP = 1590/5 = 318 m·kN.
Fig. 3.34 El punto O es el centro instantáneo de rotación cuando se produce el mecanismo combinado, resultante de los mecanismos lateral (fig. 3.32d) y de gablete (fig. 3.32e). En él el ángulo en B no varía.
Es necesario ahora examinar la posibilidad de que exista un mecanismo compuesto que dé un valor de MP mayor que 318 m·kN. Se comprueba que los que resultan de cualquier combinación salvo la de mecanismo lateral y de gablete dan valores inferiores de MP. El mecanismo compuesto de lateral y gablete que se representa por AB’D’F’G en la figura 3.34 posee sólo dos articulaciones plásticas, en D y en F, de tal modo que al colapsarse está formado por los tres cuerpos ABD, DF y FG. El centro instantáneo de rotación de ABD es A, y el centro instantáneo de rotación de FG es G. Así pues, el centro instantáneo de rotación de DF es el punto O donde se cortan las rectas definidas por AD y GF. El punto D se desplaza hacia D’, de tal modo que DD’]ADO; mientras que el punto F se desplaza hacia F’, de tal modo que FF’]GF. Las cotas indicadas en la figura se deducen de consideraciones geométricas sencillas. Por una parte, tenemos que
145
3 Análisis plástico
OD u T1
AD u T 2
y, por tanto,
T2
T1
Además, OF u T1
GF u T 3
o sea, OF GF
T3 T1
16 8
y
T3
2T1
Fig. 3.35 Comprobación del cumplimiento del teorema del límite inferior en el mecanismo combinado de la figura 3.34.
146
Análisis plástico de estructuras. Introducción
El trabajo de las fuerzas internas en D será entonces -M P (ș 1 + ș 2 ) = -2M P ș 1 ; mientras que en F será -M P (ș 1 + ș 3 )= -3M P ș 1 . Es decir, W I = -5M P ș 1 . Por su parte, el trabajo de las cargas es WE
20 8T 2 170 3T 2 125 6 T1 110 3T1
o sea, como ș2 = ș1, WE
1750 T1
Por consiguiente, MP = 1750/5 = 350 m·kN Podemos, por tanto, admitir que el mecanismo de la figura 3.34 es realmente el mecanismo de colapso. Ello podemos confirmarlo comprobando que se cumple el teorema del límite inferior, es decir, que el momento flector es en todos los puntos menor o igual que 350 m·kN. Conociendo los momentos en D y F, el problema se convierte en isostático y el pórtico puede descomponerse como en la figura 3.35a para hallar las componentes de fuerza H y V, que permiten determinar completamente las reacciones. Entonces, a partir del diagrama de sólido libre de la figura 3.35b se traza el diagrama de momentos flectores de la figura 3.35c, donde se comprueba que en todos los puntos M d 350 m kN. A juzgar por el caso sencillo expuesto para ilustrar el procedimiento de análisis de pórticos a dos aguas, por el método de los mecanismos podemos adivinar que para sistemas de cargas más complicadas, la determinación de los desplazamientos de los puntos de aplicación de las mismas puede conllevar el trazado de un buen número de diagramas, tantos como mecanismos debamos considerar, para ubicar los centros instantáneos de rotación de los distintos cuerpos que constituyen cada mecanismo. Ello puede resultar arduo y engorroso, y así puede que en muchos casos sea más recomendable recurrir al análisis por el método estático.
3.12 El diseño plástico Pese a las reticencias que suscita, el análisis y diseño plástico de estructuras de acero se ha desarrollado intensamente durante los últimos cincuenta años, si bien las primeros intentos de aprovechar de modo sistemático las posibilidades de los materiales dúctiles de aceptar grandes deformaciones más allá del límite elástico datan de la segunda mitad del siglo XIX. En los sitios oportunos, se señaló que merced al control del flujo plástico, los aceros, y los materiales dúctiles en general, ofrecen una notable resistencia de reserva por encima de su punto de cesión en los lugares de una estructura que hayan llegado a la cesión plástica, por lo que en esos lugares, una sección en una viga a flexión por ejemplo, los esfuerzos se redistribuyen. La consecuencia es que en general una estructura de acero puede soportar una carga bastante superior a la que corresponde al inicio del flujo plástico en algunos lugares de la estructura. (Añadamos aquí, para centrar más la cuestión, que en el diseño elástico la capacidad de la estructura la fija la resistencia de la sección en el lugar del momento flector máximo, calculado según un modelo elástico lineal, mientras que el diseño plástico atiende a la resistencia de toda la estructura.) Este argumento es el que habitualmente se aduce en primer término a favor del diseño plástico, ya que, tal como se trató de resaltar en los capítulos anteriores, abarata la estructura con respecto a la calculada por análisis elástico. Un segundo argumento a favor es que, a excepción quizá de algunas estructuras relativamente sencillas, los procedimientos basados en el análisis plástico son, una vez excluida la posibilidad de pandeo, mucho más sencillos que los basados en el análisis elástico, los cuales suelen ser bastante complejos y obligan a formular algunas hipótesis que finalmente se muestran poco acordes con la realidad. En los años recientes parece asentarse la evidencia de que el comportamiento de una estructura diseñada por cálculo elástico no es ampliable a una situación en que el material rebase el rango elástico, como ocurre cuando la solicitación es extrema y la estructura se pone al borde del colapso real (por un movimiento sísmico, por ejemplo), y en este caso es mejor solución atribuir desde un principio un comportamiento elastoplástico a los componentes de la estructura para disponer así de información acerca de los lugares donde las solicitaciones puedan ser excesivas.
3 Análisis plástico
147
Por otra parte, el análisis plástico presenta sus inconvenientes. En primer lugar, hemos visto que se pretende que una estructura diseñada por métodos plásticos trabaje en la práctica en régimen elástico. El análisis plástico no proporciona información alguna sobre el comportamiento de la estructura en su estado normal de trabajo, pues el diagrama de momentos redistribuidos se refiere al estado de agotamiento que precisamente se pretende eludir. Ello hace necesario recurrir a un análisis elástico cuando es necesario disponer de información acerca de la situación real de la estructura. Muchas veces, no obstante, basta con conocer los lugares donde puedan generarse los esfuerzos máximos y el valor de éstos, así como las deformaciones para contrastarlas con las limitaciones de diseño. Y en este punto radica un segundo inconveniente y es que los resultados de un análisis plástico deben siempre comprobarse determinando las deformaciones en las secciones más solicitadas para compararlas con las establecidas en las normas aplicables. Cabe recordar aquí que no se recomienda la aplicación del análisis plástico a estructuras muy sencillas o isóstáticas, pues en éstas no puede tener lugar la redistribución de esfuerzos desde las secciones más solicitadas a las menos solicitadas, lo cual es precisamente el fundamento del análisis plástico de estructuras hiperestáticas y donde radica la posibilidad de aprovechar mejor las posibilidades del material con el consiguiente ahorro de éste. En las normas actualmente en vigor, están reguladas las condiciones en que puede emplearse el análisis plástico. Por ejemplo, véanse §3.2.2.2 y §5.2.1.4 de Eurocódigo 3 (“Ejecución de estructuras de acero”, AENOR), donde se especifican las características de los aceros que pueden emplearse en la construcción de estructuras calculables por diseño plástico, así como los métodos utilizables y los elementos materiales a disponer. Por su parte el AISC LRFD Manual of Steel Construction3, contiene en sus especificaciones las condiciones en que se permite el análisis plástico. Así, en §A5.1 se limita el esfuerzo de fluencia del acero a 450 MPa; en §B5.2 se establece la esbeltez de la sección; en §C2 se limita la fuerza axial que puede transmitir una columna; en §E1.2 se limita la esbeltez de las columnas; en §F1.3 se especifica la longitud no soportada lateralmente en torno a una articulación plástica; y en §I1 se establecen las condiciones en que puede emplearse el análisis plástico en las columnas compuestas de elementos de acero y hormigón.
EJERCICIOS (Donde proceda, se supondrá ıY = 250 MPa.)
3.1. Para la viga representada, hallar la carga última por el método estático y por el método de los mecanismos.
3 Literalmente, Manual de construcción en acero con diseño por factores de carga y resistencia del AISC. El diseño por factores de carga y resistencia es un procedimiento que está remplazando al tradicional diseño por esfuerzos permisibles (ASD, “Allowable Stress Design”). EL AISC tiene un manual ASD, en el que se trata de la construcción en acero con diseño por esfuerzos permisibles y donde desde luego no se considera el diseño por carga última, pues uno excluye al otro.
148
Análisis plástico de estructuras. Introducción
3.2. Para la viga representada, determinar el mecanismo de colapso y hallar el módulo plástico Z, si w = 30 kN/m.
3.3. Hallar MP para la viga continua de tres vanos representada. Las cargas indicadas son de agotamiento.
3.4. Hallar el módulo plástico Z del perfil que debe seleccionarse para la viga continua de tres vanos representada. Las cargas indicadas son de trabajo y se tomará un factor de carga de f = 1,6.
3 Análisis plástico
3.5, 3.6, 3.7
149
Los tres miembros del pórtico simple de la figura tienen el mismo momento plástico. Calcular éste, sabiendo que las cargas indicadas son de agotamiento.
150
Análisis plástico de estructuras. Introducción
3.8.
Dibujar los diagramas de interacción de los pórticos representados y mediante ellos obtener el valor más económico de Ȝ, suponiendo que en el pórtico a) es Y/X = 6 y que en el pórtico b) es Y/X = 4.
3.9.
Todos los miembros del pórtico múltiple representado tienen el mismo momento plástico MP. Hallar la carga última Pu y dibujar el diagrama de momentos redistribuidos.
3 Análisis plástico
3.10. Resolver por el método de Horne el pórtico doble sobrepuesto representado.
3.11. Estudiar el pórtico a dos aguas representado.
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Bibliografía Entre los textos Aclásicos@ donde se desarrolla la teoría para el análisis y el diseño plástico de estructuras cabe mencionar los siguientes: BEEDLE, L.S. Plastic Design of Steel Frames, Wiley 1958, Nueva Cork (Hay una versión en español, Diseño plástico de marcos de acero, 30 impr. CECSA, 1970, México) HORNE, M.R. Plastic Theory of Structures, Pergamon Press, 1979, Oxford MASSONET, C.E.; SAVE, M.A. Calcul plastique des constructions, 1960, Centre belgo-luxembourgeois d=information de l=acier. (Hay una versión en español, Cálculo plástico de las construcciones, Montaner y Simón, S.A, 1966, Barcelona) NEAL, B.G. The Plastic Methods of Structure Analysis, Chapman & Hall, 1977, Londres A éstos puede añadirse el Manual 41 de la ASCE (American Society of Civil Engineers), Plastic Design in Steel: A Guide and Commentary, Nueva York. En español, Nociones de cálculo plástico, de C. BENITO HERNÁNDEZ (40 ed., Madrid 1975), contiene un gran número de casos resueltos. Además, Cálculo plástico, de C. FRATELLI DE CÁMPORA (Buenos Aires, 1967), ofrece una exposición de los fundamentos ilustrada con un gran número de ejemplos. En la mayoría de los tratados de cálculo de estructuras se incluyen los temas relativos al cálculo plástico. Por ejemplo, puede verse La estructura metálica hoy (Bellisco, Madrid 1988), de R. ARGÜELLES ALVAREZ, y Estructuras de acero, del mismo autor y otros (Bellisco, Madrid 2001). Asimismo, los textos de Estructuras metálicas de la UNED (FRANCISCO QUINTERO MORENO, coordinador), de la Escuela de la edificación (Madrid, 1988), también tratan de esta materia.
