Analysis in Dimension 1: Eine ausführliche Erklärung grundlegender Zusammenhänge

Matthias Moßburger Analysis in Dimension 1

Matthias Moßburger

Analysis in Dimension 1 Eine ausführliche Erklärung grundlegender Zusammenhänge STUDIUM

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Matthias Moßburger Hans-Leinberger-Gymnasium Landshut Jürgen-Schumann-Straße 20 84034 Landshut [email protected]

1. Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1894-2

F¨ ur meine Eltern

Vorwort Das Buch umfasst die wesentlichen Inhalte der Analysis-Vorlesungen im ersten Semester. Auf zus¨ atzliche Inhalte wird weitgehend verzichtet, damit mehr Platz f¨ ur ausf¨ uhrliche Erkl¨ arungen bleibt. Dabei soll m¨oglichst wenig nur auf Vorrat gelernt werden (jetzt stur pauken, was sp¨ ater vielleicht einmal gebraucht wird). Vielmehr gilt: Neue Inhalte werden entwickelt, weil sie Fragen beantworten. Viele unserer Fragen ergeben sich aus der Schul-Analysis, werden vertieft, und mit den Mitteln der Hochschul-Analysis beantwortet. Die Hochschul-Analysis wird also als eine nat¨ urliche Weiterentwicklung und Vertiefung der Schul-Analysis dargestellt. Damit soll ein Problem entsch¨ arft werden, mit dem viele Studienanf¨anger zu k¨ampfen haben: Die Hochschul-Mathematik wird oft als etwas sehr Fremdes erlebt, das scheinbar nur wenig mit der Schul-Mathematik zu tun hat. Nat¨ urlich ist eine vollkommen neue Welt auch etwas sehr Spannendes. Doch f¨ ur ein echtes Verst¨andnis und eine wirkliche Vertrautheit mit neuen Inhalten ist es wichtig, Beziehungen mit bereits vertrauten Inhalten herzustellen. Zwei Hinweise f¨ ur fortgeschrittene Leser: Der Text nutzt konsequent elementare Argumente aus der Theorie der Ringe (zun¨achst implizit, sp¨ ater explizit). Damit sollen drei Dinge erreicht werden: Ein Einblick in die Gemeinsamkeit vieler Begriffe und Ideen, die zun¨achst sehr verschie¨ den erscheinen; ein besserer Uberblick u ¨ber den inneren Aufbau der Analysis; und schließlich ein Verst¨ andnis f¨ ur den großen Vorteil, den abstrakte Begriffsbildungen in der Mathematik besitzen. In der Literatur findet man zum Begriff der Konvergenz h¨aufig erg¨anzende Erl¨auterungen wie die Glieder der Folge werden schließlich kleiner als jedes “. ” Im vorliegenden Buch wird schließlich kleiner“ als eigener Begriff definiert, und ” damit eine Halbordnung auf dem Ring der reellen Folgen eingef¨ uhrt. Dadurch werden einige Begriffe und Argumente u ¨bersichtlicher und verst¨andlicher. Ich bedanke mich bei Herrn Dr. Bartholom´e f¨ ur sein Interesse und f¨ ur seine hilfreiche Kritik.

Landshut, im Juli 2011

Matthias Moßburger

Inhaltsverzeichnis 1 Grenzwert 1.1 Unendlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . 1.2 Konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . 1.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 S¨atze u ¨ber Folgen . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Konvergente Funktionen . . . . . . . . . . 1.7 Logarithmus- und Exponentialfunktionen 1.8 Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Gleichwertige Axiomensysteme . . . . . .

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2 Ableitung 2.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . 2.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . 2.3 Mittelwertsatz und lokale Eigenschaften 2.4 Klassische Mechanik . . . . . . . . . . . 2.5 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . ¨ 2.6 Uber die Sprache der Ringe . . . . . . .

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81 . 82 . 90 . 99 . 112 . 115 . 120

3 Integral 3.1 Treppenfunktionen . . . . . . 3.2 Riemann-Integral . . . . . . . 3.3 Gleichm¨ aßige Konvergenz und 3.4 Hauptsatz . . . . . . . . . . . 3.5 Taylorpolynome . . . . . . . . 3.6 Potenzreihen . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 9 15 30 42 51 57 65 76

139 140 150 160 172 183 198

L¨ osungen

210

Literaturverzeichnis

227

Stichwortverzeichnis

228

Kapitel 1

Grenzwert Die Analysis wird manchmal auch als Infinitesimalrechnung bezeichnet (infinit: unendlich), weil sie unendlich Großes“, unendlich Kleines“ und unendliche Pro” ” ” zesse“ verwendet, um Funktionen zu untersuchen. Was das genau heißt und wie so etwas u oglich ist, soll im vorliegenden Kapitel schrittweise gekl¨art ¨berhaupt m¨ werden.

1.1

Unendlichkeitsrechnung

Die Untersuchung von Funktionen kann sehr leicht zu unendlichen Prozessen“ ” f¨ uhren: Beispiel 1.1.1. Wo schneidet der Graph von f (x) = 4x2 − 5x die x-Achse? Die gesuchten Stellen sind die L¨ osungen von 4x2 − 5x = 0 . Wer nicht mehr genau weiß, wie solche Gleichungen mit Hilfe der Algebra gel¨ost werden (oder wer einfach keine Lust auf Termumformungen und L¨ osungsformeln hat), der kann ja mal versuchen, L¨ osungen durch Probieren zu finden: f (0) = 0 . Treffer! f (1) = −1 . Daneben. f (2) = 6 . Daneben. f (3) = 21 . Daneben . . . Aber halt: f (1) war negativ und f (2) positiv, also sollte doch eine L¨osung zwischen 1 und 2 liegen! Wir zielen in die Mitte von 1 und 2 und erhalten f (1,5) = 1,5 . Daneben. Unser inzwischen geweckter Jagtinstinkt sagt uns, wohin wir als n¨achstes zielen sollten: f (1) < 0 und f (1,5) > 0 , also probieren wir die Mitte von 1 und 1,5 und erhalten f (1,25) = 0 . Treffer! Da quadratische Gleichungen h¨ ochstens zwei L¨ osungen besitzen, haben wir jetzt alle Schnittpunkte von Graph und x-Achse gefunden. 2 In diesem ersten Beispiel hatten wir Gl¨ uck, dass unsere Suche bereits nach wenigen Schritten erfolgreich war und nicht zu einem unendlichen Prozess“ f¨ uhrte. ” (In Wahrheit habe ich nat¨ urlich mit Absicht einen passenden Term konstruiert.) In anderen Beispielen hat man weniger Gl¨ uck:

M. Moßburger, Analysis in Dimension 1, DOI 10.1007/978-3-8348-8633-0_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

2

Kapitel 1. Grenzwert

-2

y

y

2

2

1

1

-1

1

2

x

-2

-1

1

-1

-1

-2

-2

2

x

Abbildung 1.1: Die Graphen von 4x2 − 5x und 12 x5 − 2x + 1 Beispiel 1.1.2. Wo schneidet der Graph von f (x) = 12 x5 − 2x + 1 die x-Achse? Versuchen Sie doch mal, die Gleichung 12 x5 − 2x + 1 = 0 durch Umformen, Wurzelziehen oder dergleichen zu l¨ osen. Sie werden es wahrscheinlich, je nach Geduld oder Einsicht, fr¨ uher oder sp¨ ater aufgeben. (Ich habe es jedenfalls nicht geschafft, und ich kenne auch niemanden, der das geschafft hat.) Jetzt bleibt uns scheinbar nichts anderes u osungen durch systematisches Probieren suchen: ¨brig, als dass wir L¨ f (1) = −0,5 < 0 und f (2) = 6 > 0 , also sollte eine L¨osung zwischen 1 und 2 liegen; wir probieren den Funktionswert in der Mitte und erhalten f (1,5) = 1,796 . . . . Daneben. Wegen f (1) < 0 und f (1,5) > 0 sollte eine L¨osung zwischen 1 und 1,5 liegen; wir probieren den Funktionswert in der Mitte und erhalten f (1,25) = 0,025 . . . . Daneben. Wegen f (1) < 0 und f (1,25) > 0 sollte eine L¨osung zwischen 1 und 1,25 liegen; wir probieren den Funktionswert in der Mitte und erhalten f (1,125) = −0,348 . . . . Daneben. Sp¨atestens beim zehnten Schritt sollte man sich vielleicht u ¨berlegen, ob es nicht besser w¨are, wenn man ein kleines Programm schreibt, das einem die ganze Rechenarbeit automatisch abnimmt. Ein solches Programm liefert bei einer Rechengenauigkeit von 14 Dezimalen beim 44. Schritt die Grenzen l44 = 1,2435963906735 r44 = 1,2435963906736

mit mit

f (l44 ) ≈ −1 · 10−13 und f (r44 ) ≈ +2 · 10−13 .

Immer noch kein Treffer. Als n¨ achstes k¨ onnte man sich nach Programmen mit h¨oheren Rechengenauigkeiten umsehen – aber vielleicht h¨ort das ja nie auf! 2 Hat 12 x5 − 2x + 1 = 0 u ¨berhaupt exakte bzw. unendlich genaue“ L¨osungen? ” Die leichtsinnige Antwort lautet: Ja, denn in Abbildung 1.1 sieht man ja“, dass ” der zugeh¨orige Graph die x-Achse schneidet. Aber: K¨onnte es nicht sein, dass die xAchse unsichtbar kleine L¨ ocher hat, und dass der Graph genau bei solchen L¨ochern durch die x-Achse geht? Dann g¨ abe es weder Schnittpunkte noch L¨osungen. Wir werden gleich sehen, dass so etwas durchaus denkbar ist. Und damit beginnt dann die eigentliche Analysis: Ihre Begriffe und Methoden erm¨oglichen einen Blick ins unendlich Kleine“. ” Doch zun¨achst besprechen wir einen Einwand: Wozu braucht man eigentlich unendlich genaue“ L¨ osungen? N¨ aherungen sind doch erstens einfacher, zweitens ”

1.1. Unendlichkeitsrechnung

3

f¨ ur die Praxis v¨ ollig ausreichend und drittens ist die Frage, ob es exakte L¨osungen gibt, f¨ ur praktische Zwecke unwichtig. Dieser Einwand erweist sich bei genauerer Betrachtung als falsch. Das Rechnen mit N¨aherungen kann ¨ außerst unpraktisch sein und sogar v¨ollig unbrauchbare Ergebnisse liefern:  0,04 auf zwei Arten: Zun¨achst Beispiel 1.1.3. Wir berechnen 10 · (2 : 7) · 7 − 2 mit dem exakten 2 : 7 = 27 , und danach mit der N¨aherung 2 : 7 ≈ 0,2857143 .  0,04 10 · (2 : 7) · 7 − 2

 =

10 ·

0,04  0,04 2 = 10 · 2 − 2 = 0. ·7−2 7

Jetzt die N¨aherung:  0,04 0,04 10 · (2 : 7) · 7 − 2 ≈ 10 · (0,2857143 · 7 − 2) =

10 · (2,0000001 − 2)

0,04

= 10 · 0,00000010,04 ≈ 5,25 .

Die zweite Rechnung ist nicht nur umst¨ andlicher (rechnen Sie das doch einmal nach, und zwar so weit wie m¨ oglich schriftlich!), ihr Ergebnis ist auch – nun ja, eine doch etwas grobe N¨aherung von 0. Noch umst¨ andlicher und immer noch nutzlos ist die N¨aherung 2 : 7 ≈ 0,2857142857143 :  0,04 0,04 ≈ 10 · (0,2857142857143 · 7 − 2) 10 · (2 : 7) · 7 − 2 =

10 · (2,0000000000001 − 2)

0,04

= 10 · 0,00000000000010,04 ≈ 3,02 .

Selbst wenn erst an der 25. Stelle nach dem Komma eine 1 steht, erh¨alt man  0,04 10 · 10−25 = 10 · 10−1 = 1 . Ein Taschenrechner kann u ¨brigens manchmal auch zuf¨allig passend runden“. Aber ” auf den ist ohnehin kein Verlass: Zum Beispiel sieht man sofort, dass     1 + 10−20 − 1 · 1023 = 1 − 1 + 10−20 · 1023 = 10−20 · 1023 = 1000 gilt, aber f¨ ur einen Taschenrechner ist (je nach Bauart)     1,0 − 1,0 + 10−20 · 1023 ≈ 1000 . 1,0 + 10−20 − 1,0 · 1023 ≈ 0 und Der Grund daf¨ ur ist die beschr¨ ankte Genauigkeit von zum Beispiel 14 Stellen: dann ist 1,0 + 10−20 ≈ 1,0 . 2 Nat¨ urlich erkennt man bei solch einfachen Beispielen sofort, woher die großen Abweichungen vom exakten Ergebnis kommen und wie man am besten rechnet. Andere Beispiele sind aber nicht so leicht zu durchschauen, und es w¨are in der Tat sehr aufwendig, immer bei jedem Rechenschritt zu u ufen, wie stark sich ¨berpr¨ Rundungsfehler auswirken.

4

Kapitel 1. Grenzwert

Was sollen wir also tun, wenn wir die L¨osungen von 12 x5 − 2x + 1 = 0 nicht genau kennen? Ein naheliegender Gedanke w¨are, den L¨osungen zun¨achst Namen zu geben und symbolisch“ mit ihnen zu rechnen. So etwas sind wir auch schon lange ” gewohnt:√Die Kreiszahl tr¨ agt den Namen π , die positive L¨osung von x2 = 2 den Namen 2 und das Ergebnis von 2 : 7 den Namen 27 . Und eine Faustregel beim Runden lautet: Zun¨ achst exakt rechnen, erst ganz am Schluss runden.“ ” Doch einer L¨ osung“ einfach einen Namen zu geben und mit ihr nach den ge” wohnten Regeln zu rechnen ist etwas leichtsinnig: Was ist, wenn sie gar nicht existiert, oder wenn sie in einer Menge liegt, deren Rechenregeln man noch nicht kennt? M¨oglicherweise geht man von einer falschen Annahme aus, die dann lauter falsche Aussagen nach sich zieht. Damit sind wir wieder bei unserer urspr¨ unglichen Frage: Kann es sein, dass die x-Achse unendlich kleine L¨ocher“ besitzt, und dass sich ” Graph und x-Achse nur scheinbar schneiden? Das ist durchaus denkbar: Beispiel 1.1.4. Versetzen wir uns einmal in die Zeit zur¨ uck, als wir noch nichts von irrationalen Zahlen wussten (etwa in die 7. Klasse). Die Menge aller Zahlen, die wir damals kannten, war die Menge Q der rationalen Zahlen. Die (rationale) Zahlengerade und der Graph von f (x) = x2 − 2 wurden als durchgehende Linien gezeichnet: Bei sichtbaren L¨ ucken h¨ atte man (unendlich√ viele) Bruchzahlen ausgelassen, und von unsichtbar kleinen L¨ ucken (wie etwa 2 ) wussten wir ohnehin nichts. y 2 1

-2

-1

1

2

x

-1 -2

Abbildung 1.2: f (x) = x2 − 2 Wo schneiden sich Graph und x-Achse? Ein Sch¨ uler der 7. Klasse befindet sich hier in einer ¨ahnlichen Situation wie wir in Beispiel 1.1.2: Er kann die Gleichung osen, aber durch systematisches Probieren immer x2 − 2 = 0 zwar nicht nach x aufl¨ besser eingrenzen; auch dieser Vorgang bricht nie ab, also wird er sich fragen, ob es u osung in Q gibt (Q ist f¨ ur ihn die Menge aller Zahlen!). Die ¨berhaupt eine L¨ gleichen Fragen, die wir uns vor diesem Beispiel u ¨ber die Existenz von L¨osungen, Rundungsfehler und symbolisches Rechnen“ stellten, stellen sich damit auch f¨ ur ” einen Sch¨ uler der 7. Klasse. Abbildung 1.2 legt nahe, dass L¨osungen existieren, denn dort sieht man ja“, dass sich Graph und x-Achse schneiden! Doch das ist in ” Q falsch. Sehen wir zu was passiert, wenn wir einfach von der Existenz einer L¨osung √ ausgehen, ihr den Namen 2 geben und symbolisch“ so rechnen, wie man es in ” der 7. Klasse gewohnt ist:

1.1. Unendlichkeitsrechnung

5

Alle Zahlen in der 7. Klasse kann man durch Br¨ uche nz darstellen, wobei z ∈ Z √ und n ∈ N . Nehmen wir also die Existenz eines Bruches nz = 2 an, der zudem bereits vollst¨andig gek¨ urzt sein soll. Da nz eine L¨osung der Gleichung x2 − 2 = 0 ist, folgt z2 = 2 bzw. z 2 = 2n2 mit z ∈ Z , n ∈ N . n2 z 2 ist ein Vielfaches von 2, also eine gerade Zahl. Dann muss auch z gerade sein, denn bei einem ungeraden z w¨ are auch z 2 ungerade. Wenn aber z gerade ist, dann 2 2 ist z durch 4 teilbar, also n = z 2 : 2 gerade, also n gerade. Das widerspricht aber andig gek¨ urzt ist. Die Annahme, es g¨abe in Q unserer Voraussetzung, dass nz vollst¨ eine L¨osung von x2 − 2 = 0 , f¨ uhrt letztlich dazu, dass wir uns selbst widersprechen. Einer L¨osung“, die mit systematischem Probieren vergeblich gesucht wurde, kann ” man also nicht einfach einen Namen geben und so tun, als w¨are nichts gewesen. 2 Q hat also unendlich kleine L¨ ocher“. Gilt das auch f¨ ur R ? Schneidet der Graph ” von f (x) = 12 x5 − 2x + 1 die x-Achse nur scheinbar oder wirklich? Um das herauszufinden, unternehmen wir eine gedankliche Forschungsreise, die uns bis zum Abschnitt 1.5 f¨ uhrt. Die genannten Fragen bilden den Leitstern, an dem wir uns orientieren: In jedem Abschnitt werden Begriffe und Methoden entwickelt, die wir brauchen, um eine Antwort auf unsere Fragen zu finden. Und am Ende unserer Reise werden wir feststellen, dass wir viel mehr gewonnen haben, als nur die Antworten auf unsere urspr¨ unglichen Fragen. (Soviel sei bereits jetzt verraten: Wir werden zum Beispiel Objekte kennenlernen, mit denen man beinahe so rechnen kann wie mit den reellen Zahlen, die aber im Gegensatz zu den reellen Zahlen in einem genau definierten Sinn unendlich klein“ sind: die sogenannten Nullfolgen .) ” Unsere Reise beginnt mit einer Erinnerung an ein Verfahren, das Sie, lieber Leser, wahrscheinlich bereits kennen, und dessen Idee wir in den ersten beiden Beispielen bereits benutzt haben: die Intervallschachtelung. Sie dient unter anderem dazu, L¨osungen von Gleichungen immer besser einzugrenzen. Wir m¨ ussen eigentlich nur unsere Gedanken aus Beispiel 1.1.2 genau aufschreiben, um Intervallschachtelungen zu definieren: Unser erstes Intervall, in dem wir eine L¨osung von f (x) = 0 vermuten, wobei f (x) := 12 x5 − 2x + 1 , ist [l1 ; r1 ] := [1 ; 2] , da f (1) < 0 < f (2) . Danach wird das Intervall halbiert, wobei das Vorzeichen von f (1,5) entscheidet, ob wir in der linken oder in der rechten H¨ alfte von [1 ; 2] eine L¨osung vermuten: [l2 ; r2 ] := [1 ; 1,5] , da f (1) < 0 < f (1,5) . Das geht immer so weiter: Angenommen, wir haben bereits [ln ; rn ] berechnet, und es gilt f (ln ) < 0 < f (rn ) (siehe Abbildung 1.3). Dann soll auch beim n¨achsten Schritt f (ln+1 ) < 0 < f (rn+1 ) gelten. Es sei mn := 12 (ln + rn ) der Mittelpunkt von [ ln , rn ] . Im Fall f (mn ) = 0 h¨ atten wir eine L¨ osung gefunden; im Fall f (mn ) = 0 gehen

6

Kapitel 1. Grenzwert

ln

ln mn

mn

rn

rn

Abbildung 1.3: Wie w¨ ahlt man die neuen Grenzen? wir vom alten Intervall [ ln , rn ] in folgender Weise zum neuen Intervall [ ln+1 , rn+1 ] u ¨ber:  [ ln , mn ] falls f (mn ) > 0 (n ∈ N) . [ ln+1 , rn+1 ] := [ mn , rn ] falls f (mn ) < 0 ( A := B“ bedeutet setze A gleich B“.) Tabelle 1.1 enth¨alt die ersten 6 Schritte. ” ” Dieses Verfahren wird auch als duale Intervallschachtelung bezeichnet. n 1 2 3 4 5 6

ln 1 1 1 1,125 1,1875 1,21875

mn 1,5 1,25 1,125 1,1875 1,21875 1,234375

rn 2 1,5 1,25 1,25 1,25 1,25

f (ln ) −0,5 −0,5 −0,5 −0,348 . . . −0,194 . . . −0,093 . . .

f (mn ) 1,796 . . . 0,025 . . . −0,348 . . . −0,194 . . . −0,093 . . . −0,035 . . .

f (rn ) 6 1,796 . . . 0,025 . . . 0,025 . . . 0,025 . . . 0,025 . . .

Tabelle 1.1: Nullstellensuche f¨ ur f (x) = 12 x5 − 2x + 1 Sprechweise. Eine duale Intervallschachtelung der L¨ ange N ∈ N ist eine endliche Folge von Intervallen [ l1 , r1 ] , [ l2 , r2 ] , [ l3 , r3 ] , . . . , [ lN , rN ] , sodass das jeweils n¨achste Intervall die linke oder rechte H¨ alfte des vorherigen Intervalls ist: F¨ ur alle n < N gilt [ ln+1 , rn+1 ] = [ ln , mn ] wobei mn := 12 (ln + rn ) .

oder

[ ln+1 , rn+1 ] = [ mn , rn ] , 2

Intervallschachtelungen kann man auf sehr viele Gleichungen anwenden: Jede Gleichung kann durch Subtraktion ihrer rechten Seite auf die Form f (x) = 0 gebracht werden. Dann sucht man zwei Stellen l1 und r1 , deren Funktionswerte unterschiedliches Vorzeichen besitzen (dass solche Stellen gefunden werden, ist eine wesentliche Voraussetzung unseres Verfahrens!). 1.Fall: f (l1 ) < 0 < f (r1 ) ; dann kann man die Intervallschachtelung (am besten mit einem Rechner) so lange fortf¨ uhren, bis ein Treffer erzielt wird oder eine bestimmte

1.1. Unendlichkeitsrechnung

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Rechengenauigkeit erreicht ist. 2.Fall: f (l1 ) > 0 > f (r1 ) ; dann multipliziert man f (x) mit −1 (das ¨andert nichts an der L¨osungsmenge), was zum 1. Fall f¨ uhrt. Beispiel 1.1.5. Wo schneiden sich die Graphen von x und cos(x) ? (Abbildung 1.4.) Eine L¨osung von x = cos(x) mit Hilfe von Wurzeln oder dergleichen zu finden erscheint v¨ollig aussichtslos. Mit einer Intervallschachtelung erh¨alt man aber wieder N¨aherungsl¨osungen. Die Gleichung ist ¨ aquivalent zu f (x) := x − cos(x) = 0 und es gilt f (0) < 0 < f (1) . Die Ergebnisse der ersten 6 Schritte findet man in Tabelle 1.2. 2

y

y

1 0,46 1

1

x

x

Abbildung 1.4: Die Graphen von x , cos(x) und x − cos(x)

n 1 2 3 4 5 6

ln 0 0,5 0,5 0,625 0,6875 0,7187. . .

mn 0,5 0,75 0,625 0,6875 0,7187. . . 0,7343. . .

rn 1 1 0,75 0,75 0,75 0,75

f (ln ) -1 -0,3775. . . -0,3775. . . -0,1859. . . -0,0853. . . -0,0338. . .

f (mn ) -0,3775. . . 0,0183. . . -0,1859. . . -0,0853. . . -0,0338. . . -0,0078. . .

f (rn ) 0,4596. . . 0,4596. . . 0,0183. . . 0,0183. . . 0,0183. . . 0,0183. . .

Tabelle 1.2: Nullstellensuche f¨ ur f (x) = x − cos(x) Mit einer endlichen Folge von Intervallen findet man im allgemeinen keine L¨osung (außer man hat Gl¨ uck, und eines der ln , mn , rn ist zuf¨allig eine L¨osung; immerhin werden die Intervalle, in denen eine L¨ osung vermutet wird, zunehmend kleiner). Also sollten wir vielleicht unendliche Folgen von Intervallen verwenden, die m¨ogliche L¨osungen mit unendlicher Genauigkeit“ eingrenzen. Doch wie erzeugt man eine ” unendliche Folge von Objekten, und wie geht man mit ihr um? Ich kann sie mir ja nicht auf den Tisch legen oder vollst¨ andig auf ein Blatt Papier schreiben, um sie zu untersuchen. Wie soll ich zum Beispiel herausfinden, ob sie auch wirklich das tut, was sie soll, n¨ amlich . . . – ja was denn eigentlich? Was habe ich davon, wenn ich eine L¨osung suche, aber keine einzige der unendlich vielen Intervallgrenzen ln und rn eine L¨osung ist? Nun ja, es mag zwar sein, dass kein einziges ln eine L¨osung

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Kapitel 1. Grenzwert

ist, doch die Folge l1 , l2 , l3 , . . . n¨ ahert sich, als Ganzes betrachtet, mit unendlicher ” Genauigkeit der L¨ osung“, das heißt der Abstand zwischen den ln und meiner gesuchten L¨osung wird 0 im Unendlichen“, das heißt die ln werden im Unendlichen ” ” zur L¨osung“, das heißt . . . – heißt das, ich habe mein Problem nur auf die unendlich lange Bank geschoben? Benutze ich lediglich Ausreden, und widerspr¨ uchliche noch dazu? ( Die ln sind zwar alle endlich, doch da ganz weit hinten, im Unendlichen ” halt, da kommen sie dann schon ins Unendliche.“) So verwirrend und falsch dieses Gestammel auch ist – es enth¨alt bereits einen entscheidenden Gedanken: Wir m¨ ussen uns von den einzelnen ln l¨osen und unendliche Folgen als Ganzes betrachten, sie zu einem eigenen Objekt (l1 , l2 , l3 , . . .) zusammenfassen. Erlauben Sie mir den h¨ olzernen Vergleich: Wer immer nur auf die einzelnen B¨ aume“ ln blickt, und nie auf den ganzen Wald“ (l1 , l2 , l3 , . . .) , der ” ” sieht den Wald vor lauter B¨ aumen nicht“. Wir m¨ ussen lernen, mit unendlichen Fol” gen umzugehen. Und im n¨ achsten Abschnitt werden wir sehen, dass das keineswegs unendlich schwierig ist.

Aufgaben  0,04 1. Zeichnen Sie die Graphen von x0,04 , (x − 3)0,04 , (x2 − 2)0,04 und sin(x) . 1 und die Zuordnung x → x25 (Wir lassen negative x in x0,04 zu, da 0,04 = 25 in ganz R umkehrbar ist.) K¨ onnen Sie jetzt anschaulich begr¨ unden, warum die N¨aherungen in Beispiel 1.1.3 zu solch großen Abweichungen f¨ uhren? √ √ √ 2. Zeigen Sie wie in Beispiel 1.1.4, dass 3 , 5 und√ 10 nicht in Q liegen. Warum funktioniert das gleiche Argument nicht bei 9 ? (Dass es nicht funktionieren kann, ist ja klar. Die Frage ist aber: An welcher Stelle bricht die Begr¨ undung in Beispiel 1.1.4 zusammen?) 3. Nehmen wir einmal an, die Gleichungen x2 + 1 = 0 und 0 · x = 1 haben L¨osungen in R : i sei eine L¨ osung von x2 + 1 = 0 , ∞ sei eine L¨osung von 0 · x = 1 . K¨ onnen Sie aus i oder ∞ Widerspr¨ uche folgern? 4. Bestimmen Sie jeweils n¨ aherungsweise mit einer dualen Intervallschachtelung der L¨ange 3 alle L¨ osungen der Gleichung f (x) = 0 . Starten Sie dabei (falls m¨oglich) mit einem Intervall, dessen Grenzen benachbarte ganze Zahlen sind. (a) f (x) = 3x − 2

(b) f (x) = x3 − 7

(c) f (x) = x3 − 3x + 1

(d) f (x) = x4 − 3x2 + x + 2

(e) f (x) = x5 − 4x + 2

(f) f (x) =

(g) f (x) = cos(x) − x2

4 −1 2 + x2 (h) f (x) = 2 sin(x) − x

5. Formulieren Sie die Entscheidungsregel einer Intervallschachtelung f¨ ur den Fall f (ln ) > 0 > f (rn ) . Anschauliche Begr¨ undung!

1.2. Konvergente Folgen

1.2

9

Konvergente Folgen

Am Ende des vorherigen Abschnitts haben wir uns vorgenommen, bei einer unendlichen Folge von Zahlen a1 , a2 , a3 , . . . nicht mehr nur auf die einzelnen Zahlen an zu achten, sondern sie zu einer Gesamtheit, zu einem eigenen Objekt (a1 , a2 , a3 , . . .) zusammenzufassen. Das funktioniert erstaunlich leicht sobald man erkennt, dass eine Folge eigentlich nur ein Spezialfall von etwas l¨angst Vertrautem ist: Eine Folge (a1 , a2 , a3 , . . .) kann als Funktion aufgefasst werden, bei der jeder nat¨ urlichen Zahl n eine reelle Zahl an zugeordnet wird, das heißt an ist der Funktionswert von n . Definition 1.2.1. Eine Funktion mit Definitionsmenge N heißt Folge . f : N n

−→ R −→ f (n)

  Schreibweisen: f = f (n) n∈N = (fn )n∈N = (f1 , f2 , f3 , . . .) . Die Zahlen f (n) heißen Glieder der Folge f . 2 f (x)

f (n)

3

3

2

2

1

1

1

2

3

4

5

x

Abbildung 1.5: Die Graphen von

1 2 x

2

3

4

5

n

mit Definitionsmenge R+ bzw. N

    Zum Beispiel ist die Folge f = n2 n∈N = 21 , 22 , 23 , . . . nichts anderes als die Funktion f : N −→ R mit f (n) = n2 ; ihr Graph ist im rechten Teil von Abbildung 1.5 skizziert. Wir werden Funktionen auch dann als Folgen bezeichnen, wenn ihre Definitionsmenge von der Form {5; 6; 7; . . .} oder {−14; −13; −12; . . .} ist, das heißt genauer: von der Form {n ∈ Z | n > k} mit einem zuvor festgelegten k ∈ Z . In so einem Fall schreiben wir (fn )n>4 bzw. (fn )n>−15 bzw. (fn )n>k . Insbesondere ist (fn )n>0 = (fn )n∈N . Wenn aus dem Zusammenhang ohnehin klar ist, von welcher Definitionsmenge wir sprechen, dann schreiben wir Folgen auch kurz als (fn )n oder (fn ) . Man kann Folgen nicht nur durch Angabe eines Funktionsterms festlegen, sondern auch durch eine rekursive Definition. Dabei wird das erste Folgenglied (oder die ersten paar Glieder) angegeben und zus¨ atzlich eine Regel aufgestellt, mit der man das jeweils n¨ achste Glied aus den vorherigen Gliedern erh¨alt. Einige Beispiele: Beispiel 1.2.2. Die Folge der Fakult¨ aten 0! , 1! , 2! , 3! , . . . ist   1 , 1 , 1 · 2 , 1 · 2 · 3 , . . . , also n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n .

10

Kapitel 1. Grenzwert

Finden Sie, dass ich das genau erkl¨ art habe? Wenn ja, dann schauen Sie doch mal in das n¨achste Beispiel; dort sieht man, dass P¨ unktchen-Ausdr¨ ucke von der Art 1; 2; 3; . . . auch falsch verstanden werden k¨ onnen. Vielleicht haben Sie bei n! ja richtig geraten und meinen dasselbe wie ich. Da man sich aber lieber nicht aufs Raten verlassen sollte ist es besser, Begriffe ohne P¨ unktchen zu definieren. Außerdem: Was soll 1 · 2 · 3 · . . . · n im Fall n = 0 bedeuten? Die Fakult¨at kann ohne Raten und Zweifel eindeutig festgelegt werden, und zwar ohne großen Aufwand mit Hilfe einer Rekursion – ich muss nur den Anfang hinschreiben und erkl¨aren, wie man das n¨achste Folgenglied aus dem vorherigen Glied erh¨alt: 0! := 1 , (n + 1)! := n! · (n + 1) f¨ ur n ∈ N0 . Mit dieser Regel erh¨ alt man 1! = 0! · 1 = 2! = 1! · 2 = 3! = 2! · 3 = 4! = 3! · 4 =

1 1·2 = 2 1·2·3 = 6 1 · 2 · 3 · 4 = 24

und so weiter. (Durch die Regel wissen Sie genau, wie es weiter geht!)

2

Beispiel 1.2.3. Wissen Sie, was ich mit der Folge (1; 2; 3; . . .) meine? Die Folge der nat¨ urlichen Zahlen? Falsch geraten, das n¨achste Folgenglied heißt 5. Meine ich die Folge der nat¨ urlichen Zahlen ohne die Vielfachen von 4, oder vielleicht die Zahlen mit h¨ochstens zwei Teiler? Wieder falsch geraten! Sobald ich Ihnen aber die rekursive Definition mitteile, brauchen Sie nicht mehr zu raten: a1 := 1 , a2 := 2 , ur n ∈ N . Jetzt ist die Folge eindeutig festgelegt: an+2 := an + an+1 f¨ a3

=

a1 + a2 = 1 + 2 = 3

a4

= = =

a2 + a3 = 2 + 3 = 5 a3 + a4 = 3 + 5 = 8 a4 + a5 = 5 + 8 = 13

a5 a6

und so weiter. Folgen mit an+2 = an + an+1 nennt man u ¨brigens Fibonacci-Folgen . Jeder Anfang a1 , a2 ∈ R legt eindeutig eine Fibonacci-Folge fest. 2 Beispiel 1.2.4. Die Potenzen xn = x · x · . ?. . · x kann man ohne P¨ unktchen mit einer Rekursion definieren: ur x ∈ R und n ∈ N0 . x0 := 1 , xn+1 := xn · x f¨ Das liefert die Folge der Potenzen mit nat¨ urlichen Exponenten, zum Beispiel f¨ ur x = 2: x1 x2 x3

=

x0 · x = 1 · 2 = 2

= =

x1 · x = 2 · 2 = 4 x2 · x = 4 · 2 = 8

und so weiter. Insbesondere ist 00 = 1 .

2

1.2. Konvergente Folgen

11

Beispiel 1.2.5. Auch die Intervallschachtelungen in Abschnitt 1.1 wurden mit einer Rekursion definiert; allerdings waren diese Folgen eventuell endlich und bestanden nicht aus Zahlen, sondern aus Intervallen. Man kann aber auch eine (unendliche) Folge definieren, die nur aus den linken Intervallgrenzen besteht: Es sei f (x) = 12 x5 − 2x + 1 , x1 := 1 und  xn+1 :=

xn xn + 2−n

falls sonst

f (xn + 2−n ) > 0

(n ∈ N) .

Dadurch ist die Folge (xn )n∈N eindeutig festgelegt: n=1: n=2: n=3:

x1 + 2−1 = 1,5 , f (1,5) > 0 , also x2 = x1 = 1 x2 + 2−2 = 1,25 , f (1,25) > 0 , also x3 = x2 = 1 x3 + 2−3 = 1,125 , f (1,125) ≤ 0 , also x4 = x3 + 2−3 = 1,125

und so weiter. Wenn die Intervallschachtelung in Beispiel 1.1.2 nicht abbricht, wenn also stets f (mn ) = 0 gilt, dann sind die Folgen (xn )n∈N und (ln )n∈N gleich: xn +2−n ist die Mitte des Intervalls von xn bis xn + 2 · 2−n , das heißt ln entspricht xn , rn entspricht xn + 2 · 2−n und mn entspricht xn + 2−n . 2 Jetzt wissen wir also was Folgen sind und wie man sie festlegt. Als n¨achstes gehen wir der Frage nach, was es bedeutet, dass sich eine Folge mit unendlicher ” Genauigkeit an eine Zahl ann¨ ahert“. Um das zu pr¨azisieren m¨ ussen wir Aussagen u ¨ber Folgen als Ganzes machen, und nicht wieder nur u ¨ber einzelne Glieder einer Folge (denken Sie an den Wald vor lauter B¨aumen“ am Ende von Abschnitt 1.1!). ” Wir m¨ ussen lernen, mit Folgen als eigenen Objekten umzugehen. Was bedeutet es zum Beispiel, dass das Objekt (xn )n kleiner ist als das Objekt (yn )n ? Was f¨ ur ein Objekt entsteht, wenn man die Objekte (xn )n und (yn )n addiert? Damit steht unser Arbeitsprogramm f¨ ur die n¨ achsten Seiten fest: Wir m¨ ussen verstehen, wie man mit Folgen rechnen und wie man sie der Gr¨ oße nach vergleichen kann. (Sobald wir das gekl¨art haben, werden uns auch unendlich kleine Objekte zur Verf¨ ugung stehen.) Es bietet sich an, bei Folgen einfach komponentenweise zu rechnen und zu vergleichen. Dann ist zum Beispiel  2 n + = n n∈N 10 n∈N   2 n2 = n n∈N · 10 n∈N 2 = 3 · n n∈N 2 3 wegen n n∈N < n n∈N 2 n n∈N < 2,5 wegen

2

 

2 n

+

n2 10





 2

= n∈N

20+n3 10n



  = n5 n∈N ,  2  n∈N  6  3 · n n∈N = n n∈N , 2 n 2 n

2 n

·

<

n 10

3 n

f¨ ur alle n ∈ N ,

< 2,5 f¨ ur alle n ∈ N .

, n∈N

12

Kapitel 1. Grenzwert f (n)

f (n)

3

3

2

2

1

1

1

2

3

4

Abbildung 1.6:

n

5

2 n n∈N

1

<

3 n n∈N

und

2

3

2 n n∈N

4

5

n

< 2,5

Definition 1.2.6. F¨ ur r ∈ R und Folgen (xn )n>N und (yn )n>N definieren wir Verkn¨ upfungen +“ und ·“ und eine Anordnung <“ durch ” ” ” (xn )n>N + (yn )n>N (xn )n>N · (yn )n>N r · (xn )n>N (xn )n>N < (yn )n>N (xn )n>N ≤ (yn )n>N (xn )n>N < r

:=

(xn + yn )n>N ,

:= :=

(xn · yn )n>N , (r · xn )n>N ,

:⇔ :⇔

F¨ ur alle n > N gilt xn < yn , F¨ ur alle n > N gilt xn ≤ yn ,

:⇔

F¨ ur alle n > N gilt xn < r .

( A :⇔ B“ bedeutet: Definiere Aussage A durch Aussage B“. :=“ wird verwendet, ” ” ” wenn A und B keine Aussagen sind, sondern Zahlen, Folgen, . . . ) Analog sind auch “>“ und ≥“ komponentenweise definiert. 2 ” Den Vergleich (xn )n>N < r zwischen einer Folge (xn )n>N und einer Zahl r kann man u ¨brigens auch als Spezialfall eines Vergleichs zweier Folgen auffassen, n¨amlich zwischen (xn )n>N und der konstanten Folge (r)n>N = (r, r, r, . . .). Analog ist r · (xn )n>N ein spezielles Produkt zweier Folgen. Den in 1.2.6 definierten Gr¨ oßenvergleich kann man noch etwas erweitern. Der Grundgedanke dabei ist, die ersten Glieder einer Folge nicht zu beachten. Zum Bei  spiel ist die Folge n2 n∈N nicht < 12 , aber man erh¨alt eine Folge, die < 12 ist, wenn   man die ersten vier Glieder abschneidet und zur Restfolge n2 n>4 u ¨bergeht (sie  2 n2 , aber wenn man he Abbildung 1.7). Die Folge n n∈N ist auch nicht < 10 n∈N

von beiden Folgen ur die Restfolgen  die ersten zwei Glieder abschneidet, dann gilt f¨ 2 n2 < . Immer dann, wenn man eine geeignete Anzahl N an ersten n n>2 10 n>2

Gliedern abschneiden kann, sodass f¨ ur die Restfolgen (xn )n>N < (yn )n>N gilt, sprechen wir von schließlich kleiner“ . Mit schließlich“ wird betont, dass die Folge zum ” ” ” Schluss hin endg¨ ultig“ kleiner ist, und nicht etwa nur ab und zu“ oder immer wie”n ” der“. Zum Beispiel sind die Glieder der Folge ((−1) )n∈N = (−1; +1; −1; +1; . . .) immer wieder kleiner als 0, aber nie endg¨ ultig kleiner als 0. Zus¨atzlich zu <“ er”

1.2. Konvergente Folgen

13 sch

halten wir jetzt einen weiteren Gr¨ oßenvergleich zwischen Folgen, den wir mit < “ ” bezeichnen (sch f¨ ur schließlich): f (n)

f (n)

3

3

2

2

1

1

2

1

2

Abbildung 1.7:

3

4

5

2

n

ist schließlich <

n n∈N

n / 10

1 1 2

2

3

4

 und schließlich <

n

5 n2 10

 n∈N

Definition 1.2.7. F¨ ur Folgen (xn )n∈N und (yn )n∈N sei sch

(xn )n∈N < (yn )n∈N sch

(xn )n∈N ≤ (yn )n∈N

:⇔

Es gibt ein N ∈ N mit (xn )n>N < (yn )n>N ,

:⇔

Es gibt ein N ∈ N mit (xn )n>N ≤ (yn )n>N . sch

Im Fall einer konstanten Folge (r)n∈N = (r, r, r, . . .) schreiben wir auch (xn )n∈N < r sch

statt (xn )n∈N < (r)n∈N .

2

1

Beispiel 1.2.8. Die Aussage n n∈N < 23 ist falsch, denn f¨ ur n = 1 ist n1 > 23 . Aber   1 sch 2 1 2 ur alle n > 3 , das heißt n1 n>3 < 23 . Es n n∈N < 3 ist wahr, denn n < 3 gilt z.B. f¨     sch 1 1 1 , denn f¨ ur n > 1000 ist n1 < 1000 , also n1 n>1000 < 1000 . ist auch n1 n∈N < 1000 Es gilt sogar:   sch F¨ ur alle  ∈ Q+ ist n1 n∈N <  , z denn jedes  ∈ Q+ l¨ asst sich als Bruch ur alle N mit z, N ∈ N schreiben, und f¨  1 z 1 n > N ist n < N =  , das heißt n n>N <  . Kann man Q+ durch R+ ersetzen? Diese Frage ist interessanter, als man auf den ersten Blick meinen k¨ onnte – wir heben sie uns f¨ ur den n¨achsten Abschnitt auf. 2

Jetzt k¨onnen wir pr¨ azisieren, was (xn )n n¨ahert sich a mit unendlicher Genau” igkeit“ bedeutet: aßig unendlich Definition 1.2.9. Eine Folge (xn )n∈N heißt Nullfolge bzw. betragsm¨ klein , wenn gilt: sch

F¨ ur alle  ∈ R+ ist (|xn |)n∈N <  . Eine Folge (xn )n∈N konvergiert gegen eine Zahl a ∈ R , wenn (xn − a)n∈N eine Nullfolge ist. In diesem Fall heißt a Grenzwert von (xn )n∈N . Schreibweise: (xn )n∈N → a 2 bzw. lim xn = a . n→∞

14

Kapitel 1. Grenzwert

Ein einfaches Beispiel f¨ ur eine konvergente Folge ist die konstante Nullfolge (0)n∈N = (0; 0; 0; . . .) . Ihre Betragsfolge ist mit Sicherheit kleiner als jedes  ∈ R+ , und zwar nicht nur schließlich < , sondern immer < . Daraus folgt f¨ ur alle konstanten Folgen (a)n∈N = (a, a, a, . . .) → a , denn (a − a)n∈N ist eine Nullfolge.

Aufgaben 1. Zeichnen Sie die Graphen der jeweiligen Folgen. (a) an := 3 +

2 n

5 − n2 n2 − 50 (e) en := cos(n)   (g) gn := cos n5

(c) cn :=

3 − 2n n+2 3n2 + n (d) dn := 2n2 − 9 (f) fn := sin(n)   (h) hn := sin n3 (b) bn :=

2. Definieren Sie rekursiv f¨ ur alle n ∈ N : (a) Sn = 1 + 2 + . . . + n (c) n · x = x + x + . . . + x

(b) Un = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)  x  x(x − 1) . . . (x − n + 1) = (d) 1 · 2 · ... · n n

3. Durch welche Folgen kann man nicht dividieren? ¨ 4. Uberpr¨ ufen Sie die folgenden Aussagen durch Rechenexperimente; die Folgen stammen aus Aufgabe 1. K¨ onnen Sie Ihre Antworten plausibel“ machen? ” sch

(a) an − 3 < 0,01 sch

(c) −0,1 < cn + 1 sch

(e) en − 1 < 0,02 sch

(g) 1 − gn < 0,02

sch

(b) bn + 2 < 0,1 sch

(d) 1,5 < dn sch

(f) fn < 0,02 sch

(h) hn < 0,02

1.3. Reelle Zahlen

1.3

15

Reelle Zahlen

Es gibt viele Fragen u ¨ber reelle Zahlen, die wir mit unseren bisherigen Mitteln noch ur nicht beantworten k¨ onnen. Zum Beispiel: Gibt es ein  ∈ R+ , sodass  < n1 f¨ alle n ∈ N ? (Das w¨ urde bedeuten:  liegt unendlich nahe“ bei 0.) Man k¨onnte ” versuchen, ein solches  mit einer Intervallschachtelung zu definieren: wegen

0<<

wegen

0<<

wegen

0<<

1 1 1 2 1 4

ist das 1. Intervall

]0 ; 1[ ,

ist das 2. Intervall

]0 ; 0,5[ ,

ist das 3. Intervall

]0 ; 0,25[ ,

und so weiter. Das gesuchte  w¨ are eine Zahl, die in allen diesen Intervallen liegt. Doch woher sollen wir wissen, ob so etwas m¨oglich ist? Einerseits enth¨alt jedes Intervall unendlich viele Zahlen; andererseits werden die L¨angen der Intervalle bei jedem Schritt halbiert, also bleibt nach unendlich vielen Schritten“(?) vielleicht ” nichts mehr u ¨brig. Aus einem solchen  erg¨aben sich ungewohnte Konsequenzen (siehe Aufgaben); urde   das heißt aber nicht, dass  nicht existiert. Zum Beispiel w¨ folgen, dass n1 n∈N nicht gegen 0 konvergiert, da  ∈ R+ und  < n1 f¨ ur alle n ∈ N (vergleiche Definition 1.2.9). Geht man diesen Gedanken weiter nach, so erscheinen pl¨otzlich viele Dinge zweifelhaft, die man bisher als selbstverst¨ andlich hingenommen hat (vielleicht hat man es vor langer Zeit auch einfach nur aufgegeben, u ¨ber sie nachzudenken): Existiert 2 x = 2 ? Wir haben uns schon lange daran gew¨ohnt, ein x ∈ R+ mit der Eigenschaft √ 2“ zu beantworten; und sollte uns jemand fragen,√was diese Frage mit Ja: x = √ ” denn 2“ ist, so k¨ onnen wir ihm eine weit verbreitete Definition mitteilen: 2“ ” ” ur das x2 = 2 gilt. Jetzt haben wir uns√allerdings nur im Kreis ist dasjenige x ∈ R+ , f¨ gedreht: Einer gesuchten L¨ osung einfach einen Namen wie 2“ zu geben sagt noch ” nichts dar¨ uber aus, ob es diese L¨ osung gibt. Man k¨onnte ja auch der L¨osung“ von ” 0 · x = 1 den Namen ξ“ geben; deswegen existiert ξ“ noch lange nicht. ” ” + 2 Eine bessere Antwort auf die Frage, ob es ein x ∈ R mit x = 2 gibt, ist der Versuch, ein solches x mit einer Intervallschachtelung zu finden: wegen wegen wegen

12 < 2 < 22 12 < 2 < 1,52 1,252 < 2 < 1,52

ist das 1. Intervall ]1 ; 2[ , ist das 2. Intervall ]1 ; 1,5[ , ist das 3. Intervall ]1,25 ; 1,5[ ,

und so weiter. Eine L¨ osung von x2 = 2 w¨ are eine Zahl, die in allen diesen Intervallen liegt. Damit ergeben sich die gleichen Zweifel wie zuvor bei  . Eine weitere Frage, deren Antwort erstaunlich schwer f¨allt: Warum ist (−1) · (−1) = +1 ? Ist das nur eine Vereinbarung, an die man sich aus Gewohnheit h¨alt, oder gibt es einen eindeutigen Grund, mit dem man diese Aussage beweisen kann? So k¨onnten wir immer weiter fragen und uns in ein scheinbar unentwirrbares Kn¨auel von Schwierigkeiten verstricken. Der haupts¨ achliche Grund f¨ ur unsere Schwierigkeiten besteht darin, dass wir noch nicht genau festgelegt haben, was wir eigentlich mit der Menge R der reellen Zahlen meinen. R ist f¨ ur uns bisher eine Menge, die irgendwie aus Kommazahlen besteht“. Mit einer solch vagen Vorstellung k¨onnen ” wir unsere Fragen nicht beantworten.

16

Kapitel 1. Grenzwert

Im vorliegenden Abschnitt geht es um eine genaue Definition der Menge R . Das geschieht, indem wir ihre grundlegenden Eigenschaften, ihre sogenannten Axiome , formulieren. Aus diesen Axiomen folgen alle Eigenschaften der reellen Zahlen. (Insbesondere k¨onnen wir dann auch die zuvor genannten Fragen beantworten.) Zum Vergleich: In der Physik sucht man nach dem Urstoff“ (Atome, Quarks, . . . ), aus ” dem sich die ganze materielle Welt zusammensetzt; in der Mathematik sucht man nach den geistigen Atomen“, aus denen zum Beispiel alle Eigenschaften der reellen ” Zahlen folgen. In allen Axiomen der reellen Zahlen werden sogenannte Quantoren wie f¨ ur alle ” . . .“ und es gibt ein . . .“ verwendet. Wir f¨ uhren daher folgende Abk¨ urzungen ein, ” um die Axiome u ¨bersichtlicher zu formulieren: Der Allquantor ∀

bedeutet: f¨ ur alle . . .“ bzw. zu jedem . . .“. ” ” Der Existenzquantor ∃ bedeutet: es gibt ein . . .“. ” Um mit Quantoren besser vertraut zu werden, betrachten wir zun¨achst einige Beispiele: Beispiel 1.3.1. 1. Das Kommutativgesetz der Addition lautet: F¨ ur alle x, y ∈ R ” gilt x + y = y + x . Kurz: ∀ x, y ∈ R : x + y = y + x . 2. Eine Aussage wie Alle Funktionswerte von f : R −→ R , x −→ x2 + 1 sind ” positiv“ bedeutet: F¨ ur alle x ∈ R gilt x2 + 1 > 0“. Kurz: ” ∀ x ∈ R : x2 + 1 > 0 . 3. Die Kosinus-Funktion hat eine Nullstelle“ bedeutet: Es gibt ein x ∈ R mit ” ” cos(x) = 0“. Kurz: ∃ x ∈ R : cos(x) = 0 . ∃ x ∈ R . . .“ heißt, dass es mindestens ein x ∈ R gibt. F¨ ur Es gibt genau ein ” ” x ∈ R . . .“ schreibt man ∃1 x ∈ R . . .“. ” + 2 4. Die Wertemenge von f : R −→ R , x −→ x ist R0 “ bedeutet: ” 2 Zu jedem y ∈ R+ 0 gibt es ein x ∈ R mit x = y“. Kurz: ” 2 ∀ y ∈ R+ 0 ∃x ∈ R : x = y . ur alle n ∈ N gilt xn < “. 5. In 1.2.6 wird (xn )n∈N < “ wie folgt definiert: F¨ ” ” Kurz: ∀ n ∈ N : xn <  . sch

6. In 1.2.7 wird (xn )n∈N < “ wie folgt definiert: Es gibt ein N ∈ N mit ” ” (xn )n>N < “. Kurz: ∃ N ∈ N : (xn )n>N <  . Dabei bedeutet die Aussage (xn )n>N < “ nach 1.2.6: ∀ n > N : xn < “. Damit ” ” erhalten wir insgesamt: ∃ N ∈ N ∀ n > N : xn <  .

1.3. Reelle Zahlen

17

In Worten: Es gibt ein N ∈ N , sodass f¨ ur alle n > N gilt: xn < “. ” ur alle  ∈ R+ gilt 7. In 1.2.9 werden Nullfolgen (xn )n wie folgt definiert: F¨ ” sch (|xn |)n∈N < “. Kurz: sch

∀  ∈ R+ : (|xn |)n∈N <  . sch

Wenn (|xn |)n∈N < “ durch eine Formulierung wie in 6. ersetzt wird, dann ent” steht ∀  ∈ R+ ∃ N ∈ N ∀ n > N : |xn | <  . In Worten: Zu jedem  ∈ R+ gibt es ein N ∈ N , sodass f¨ ur alle n > N gilt: ” 2 |xn | < “. Die grundlegenden Eigenschaften der reellen Zahlen kann man wie folgt einteilen: 1. Die K¨ orperaxiome beschreiben Eigenschaften der Addition und Multiplikation reeller Zahlen. 2. Die Anordnungsaxiome beschreiben Eigenschaften des Gr¨oßenvergleichs <“ ” zwischen reellen Zahlen. 3. Das Vollst¨ andigkeitsaxiom beschreibt die Eigenschaft, dass bestimmte“ Fol” gen konvergieren. Bei einem K¨ orper in unserem Sinn sollte man nicht an geometrische K¨orper denken: Ein K¨ orper ist einfach nur eine Menge (wie etwa Q oder R) mit zwei Rechenarten +“ und ·“, sodass die folgenden K¨ orperaxiome erf¨ ullt sind. Die Rechenarten ” ” −“ und :“ werden nicht eigens erw¨ ahnt, da man sie durch +“ und ·“ ersetzen ” ” ” ” kann: ur y = 0). x − y := x + (−y) und x : y := x · y −1 (f¨ Sind die Axiome wahr? Warum gilt zum Beispiel x + y = y + x f¨ ur alle x, y ∈ R ? Solche Fragen besitzen nur dann einen genauen Sinn, wenn man genau festgelegt hat, wovon u ¨berhaupt die Rede ist, wenn man R also bereits definiert hat. Das haben wir aber noch gar nicht. Es ist ja nicht so, dass wir R zum Beispiel konstruiert“ ” haben, und dass wir uns anschließend fragen, welche Eigenschaften unser Konstrukt besitzt. (Nat¨ urlich besitzen wir alle bereits eine gewisse Vorstellung dar¨ uber, was R sein soll. Irgendwas mit Kommazahlen“ ist aber nur eine Andeutung, keine ” Konstruktionsvorschrift.) Die Beziehung zwischen Axiomen und R ist eher so zu verstehen, dass mit den Axiomen die Menge R genau festgelegt wird: R ist eine Menge, die die folgenden Axiome erf¨ ullt. Oder anders formuliert: Wenn eine Menge die folgenden Axiome erf¨ ullt, dann nennen wir sie eine Menge reeller Zahlen. Die Frage, ob es eine solche Menge auch tats¨ achlich gibt, werden wir im vorliegenden Buch nicht behandeln (siehe zum Beispiel [Ebb]).

18

Kapitel 1. Grenzwert

K¨ orperaxiome f¨ ur die reellen Zahlen. 1. Eigenschaften der Addition: Assoziativgesetz: ∀ x, y, z ∈ R : (x + y) + z = x + (y + z) . Kommutativgesetz: ∀ x, y ∈ R : x + y = y + x . Existenz eines neutralen Elements: ∃ n ∈ R ∀ x ∈ R : x + n = x . Existenz inverser Elemente: ∀ x ∈ R ∃ y ∈ R : x + y = n (dabei ist n neutral bzgl. +“). ” 2. Eigenschaften der Multiplikation: (a) (b) (c) (d)

(a) Assoziativgesetz: ∀ x, y, z ∈ R : (xy)z = x(yz) . (b) Kommutativgesetz: ∀ x, y ∈ R : xy = yx . (c) Existenz eines neutralen Elements bzgl. ·“: Sei n neutral bzgl. +“; ” ” dann gilt: ∃ e ∈ R \ {n} ∀ x ∈ R : xe = x . (d) Existenz inverser Elemente: Sei n neutral bzgl. +“ und e neutral bzgl. ” ·“; dann gilt: ∀ x ∈ R \ {n} ∃ y ∈ R : xy = e ; ” 3. Distributivgesetz: ∀ x, y, z ∈ R : x(y + z) = xy + xz ; dabei wurde die Vereinbarung Punkt vor Strich“ benutzt, um Klammern zu sparen. 2 ” Aus den K¨orperaxiomen folgen bereits viele Aussagen, an die wir uns schon sehr fr¨ uh in unserer Schulzeit gew¨ ohnt haben. Wir zeigen dies an einigen Beispielen. Die Beispiele dienen noch einem anderen Zweck: Es soll vorgef¨ uhrt werden, wie man Aussagen exakt und vollst¨ andig beweist. Beispiel 1.3.2. Unser Axiomensystem enth¨alt m¨oglichst wenig Eigenschaften, da es u ussig w¨ are, etwas zu fordern, was ohnehin aus den bereits formulierten ¨berfl¨ Axiomen folgt. Betrachten wir Axiom 1c: Es wird nur gefordert, dass es (mindestens) ur alle x ∈ R ; jeder ein neutrales Element gibt, das heißt ein n ∈ R mit x + n = x f¨ denkt nat¨ urlich sofort an die 0 und daran, dass n = 0 die einzige Zahl ist mit der Eigenschaft x + n = x f¨ ur alle x ∈ R ; aber das muss man im Axiomensystem nicht eigens erw¨ahnen, da aus den dort formulierten Eigenschaften bereits folgt, dass es genau ein neutrales Element bzgl. +“ gibt: ” Behauptung: ∃1 n ∈ R ∀ x ∈ R : x + n = x . Beweis: Nach Axiom 1c gibt es mindestens ein neutrales Element. Wir m¨ ussen also nur noch zeigen, dass es keine zwei verschiedenen neutralen Elemente gibt: Es seien n und n ˜ neutral, d.h. ∀ x ∈ R : x + n = x = x + n ˜ . Dann folgt n ˜

= n ˜+n = n+n ˜ = n

(da n neutral) (Kommutativgesetz) (da n ˜ neutral) .

Das eindeutig bestimmte neutrale Element bzgl. +“ bezeichnen wir ab jetzt mit ” dem Symbol 0“. 2 ”

1.3. Reelle Zahlen

19

Beweise wie in 1.3.2 kann man mit einem Schachspiel vergleichen: Im Axiomensystem werden die Spielregeln festgelegt (die Z¨ uge“, die erlaubt sind); und f¨ ur ” einen Beweis muss man eine geeignete Strategie finden. Das heißt in 1.3.2: Man muss sich u ˜ in n umformen kann, wenn nur die vereinbarten ¨berlegen, wie man n Z¨ uge“ erlaubt sind (die Vereinbarungen“ stehen im Axiomensystem und eventuell ” ” in zus¨atzlichen Voraussetzungen einer Behauptung). Das gilt entsprechend auch f¨ ur die folgenden Beispiele. Beispiel 1.3.3. Zu jedem x ∈ R gibt es genau ein inverses Element bzgl. +“: ” Behauptung: ∀ x ∈ R ∃1 y ∈ R : x + y = 0 . Beweis: Nach Axiom 1d gibt es mindestens ein inverses Element. Wir m¨ ussen also nur noch zeigen, dass es keine zwei verschiedenen inversen Elemente gibt: Es sei x ∈ R und y, y˜ invers zu x , das heißt x + y = 0 = x + y˜ . Dann folgt y˜ = y˜ + 0 = y˜ + (x + y) = (x + y˜) + y = 0+y = y

(da 0 neutral) (da x + y = 0) (Assoziativ- und Kommutativgesetz) (da x + y˜ = 0) (Kommutativgesetz und 0 neutral) .

Das zu x ∈ R eindeutig bestimmte inverse Element bzgl. +“ bezeichnen wir ab ” jetzt mit −x“. 2 ” Beispiel 1.3.4. Jede Gleichung a + x = b hat genau eine L¨osung x : Behauptung: ∀ a, b ∈ R ∃1 x ∈ R : a + x = b . Dabei gilt: a + x = b kann man wie gewohnt aufl¨osen: x = b − a := b + (−a) . Beweis: Es seien a, b ∈ R . Zun¨ achst zeigen wir, dass es mindestens eine L¨osung gibt, n¨amlich b + (−a) ; dazu m¨ ussen wir b + (−a) in x einsetzen und zeigen, dass dann tats¨achlich a + x gleich b ist:     a + b + (−a) = a + (−a) + b (Kommutativ- und Assoziativgesetz) = 0+b (da −a invers zu a) = b (Kommutativgesetz und 0 neutral) . Jetzt m¨ ussen wir nur noch zeigen, dass es keine zwei verschiedenen L¨osungen x und x ˜ gibt: Es seien x, x ˜ ∈ R mit a + x ˜ = b = a + x . Dann folgt nach dem Kommutativgesetz x ˜ + a = x + a , also x ˜

= x ˜+0   = x ˜ + a + (−a)   = x ˜ + a + (−a)   = x + a + (−a)   = x + a + (−a)

(da 0 neutral)

= x+0 = x

(da −a invers zu a) (da 0 neutral) .

(da −a invers zu a) (Assoziativgesetz) (da x ˜ + a = x + a) (Assoziativgesetz)

20

Kapitel 1. Grenzwert 2

Damit folgt die Behauptung. Beispiel 1.3.5. Das Inverse vom Inversen ist das Original: Behauptung: ∀ x ∈ R : −(−x) = x . Beweis: Es sei x ∈ R . Dann gilt nach dem Kommutativgesetz (und −x invers) (−x) + x = x + (−x) = 0 . Außerdem ist −(−x) invers zu (−x) , das heißt   (−x) + − (−x) = 0 . −(−x) und x l¨ osen also dieselbe Gleichung; nach 1.3.4 folgt −(−x) = x .

2

Beispiel 1.3.6. Die bisherigen Beispiele enthielten Eigenschaften der Addition. ¨ F¨ ur die Multiplikation zeigt man analog (Ubung!): ∃1 e ∈ R ∀ x ∈ R : xe = x . ∀ x ∈ R \ {0} ∃1 y ∈ R : xy = e . ∀ a ∈ R \ {0} ∀ b ∈ R ∃1 x ∈ R : ax = b . Das eindeutig bestimmte neutrale Element bzgl. ·“ bezeichnen wir ab jetzt mit ” dem Symbol 1“. Das zu x ∈ R \ {0} eindeutig bestimmte inverse Element bzgl. ·“ ” ” 2 bezeichnen wir ab jetzt mit x−1“. ” Beispiel 1.3.7. Behauptung: ∀ x ∈ R : x · 0 = 0 . Beweis: Es sei x ∈ R . Dann gilt nach dem Distributivgesetz (und 0 neutral) x · 0 + x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 ,   und nach 1.3.4 folgt x · 0 = (x · 0) + − (x · 0) = 0 .

2

Beispiel 1.3.8. Warum gilt Minus mal Minus ergibt Plus“? Das ist nicht etwa ” eine zus¨atzliche Vereinbarung, an die man sich nur deswegen h¨alt, weil das auch alle anderen Leute tun. Es gibt einen eindeutigen Grund, den man auch leicht verstehen kann: x · (−1) ist invers zu x : Behauptung: ∀ x ∈ R : x · (−1) = −x . Beweis: Es sei x ∈ R . Dann gilt x + x · (−1)

= x · 1 + x · (−1)  = x · 1 + (−1) = x·0 = 0

(da 1 neutral) (Distributivgesetz) (da −1 invers zu 1) (nach 1.3.7) .

Daraus folgt, dass x · (−1) invers zu x ist; und weil das Inverse eindeutig bestimmt ist (s. 1.3.3), d¨ urfen wir x · (−1) = −x schreiben.

1.3. Reelle Zahlen

21

F¨ ur x = −1 folgt insbesondere (−1) · (−1) = −(−1) = 1 nach 1.3.5. Das kann man jetzt leicht verallgemeinern:     (−x) · (−y) = x · (−1) · y · (−1) (siehe oben) = (x · y) · (−1) · (−1) (Assoziativ- und Kommutativg.) = (x · y) · 1 (siehe oben) = x·y (da 1 neutral) f¨ ur alle x, y ∈ R .

2

Kommen wir nun zu den Axiomen des Gr¨ oßenvergleichs <“. Um <“ f¨ ur reellen ” ” Zahlen zu definieren muss man nur festlegen, welche Zahlen positiv“ sind; denn ” dann kann man x < y“ durch y − x ist positiv“ definieren. Wie aber soll man po” ” ” sitiv“ festlegen? Ich kenne kein konkretes Verfahren, mit dem man f¨ ur jede reelle Zahl entscheiden kann, ob sie positiv“ ist. Sollten Sie ein solches Verfahren fin” den, dann h¨atte das gewaltige Auswirkungen auf die Mathematik. Zur Erl¨auterung betrachten wir das folgende Beispiel: Beispiel 1.3.9. Eine nat¨ urliche Zahl n heißt vollkommen , wenn sie gleich der Summe ihrer Teiler ist, die kleiner als n sind. Zum Beispiel sind 6 = 1 + 2 + 3 und 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 vollkommen. Damit definieren wir eine Folge (xn )n :  xn :=

1 0

falls n vollkommen sonst

(n ∈ N) .

Der Anfang dieser Folge (xn )n lautet (0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; . . .) . Durch (xn )n wird eine unendliche Dezimalzahl definiert: x := 0,x1 x2 x3 . . . , das heißt an der n-ten Stelle nach dem Komma steht die Ziffer xn , also x = 0,0000010 . . . . (Dabei wird benutzt, dass man reelle Zahlen als Kommazahlen“ darstellen kann; was das genau bedeutet ” haben wir zwar noch gar nicht besprochen, aber das vorliegende Beispiel dient nur der Erl¨auterung.) Die Zahl x ist eindeutig positiv. Wir definieren eine weitere Folge  yn :=

1 falls 2n − 1 vollkommen 0 sonst

(n ∈ N)

und damit die Zahl y := 0,y1 y2 y3 . . . . Die Zahl y ist genau dann positiv, wenn es eine ungerade vollkommene Zahl gibt (denn 2n − 1 durchl¨ auft alle ungeraden Zahlen). Wenn wir ein Verfahren h¨atten, mit dem wir f¨ ur jede reelle Zahl, also auch f¨ ur unser y , entscheiden k¨onnten, ob sie positiv ist, dann k¨ onnten wir eine ber¨ uhmte Frage beantworten: Gibt es eine ungerade vollkommene Zahl? Diese Frage konnte meines Wissens bisher noch nicht beantwortet werden. Mit einem Verfahren, das f¨ ur jede reelle Zahl entscheidet, ob sie positiv ist, k¨onnten wir sogar jede Frage der folgenden Form beantworten: Gibt es ein n ∈ N mit ” der Eigenschaft E ?“ Dazu m¨ ussten wir in der Definition von xn nur vollkommen“ ” durch E“ ersetzen und entscheiden, ob x positiv ist. 2 ”

22

Kapitel 1. Grenzwert

Wir k¨onnen also positiv“ nicht nach folgender Art definieren: x ∈ R heißt ” ” positiv, wenn . . .“, wobei an der Stelle . . .“ ein konkretes Kriterium steht, das ” f¨ ur jede reelle Zahl entscheidet, ob sie positiv ist. (Wer jetzt an ein Kriterium mit Kommazahlen“ denkt, der bezieht sich auf vage Andeutungen. Gilt zum Beispiel ” 0,9 < 1 ? Zahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma, wie etwa 0,9 , werden mit Hilfe konvergenter Folgen definiert; dazu m¨ ussen wir aber zuerst wissen, was R+ ist: siehe Definition 1.2.9.) Wir k¨onnen aber folgendes tun: Einfach annehmen , dass es eine gewisse Menge R+“ mit bestimmten Eigenschaften gibt; die Elemente von R+ werden dann po” ” sitiv“ genannt; dabei sollen die Eigenschaften von R+ unsere (vagen) Vorstellungen von positiv“ widerspiegeln bzw. pr¨ azisieren ( alles, was auf der Zahlengeraden ” ” rechts von der Null liegt“). So sind u brigens alle Axiomensysteme zu verstehen: Sie ¨ pr¨azisieren die Grundannahmen, von denen eine Theorie ausgeht. Anordnungsaxiome f¨ ur die reellen Zahlen. Es gibt eine Teilmenge R+ ⊆ R mit folgenden Eigenschaften: 1. ∀ x ∈ R : Entweder x ∈ R+ oder x = 0 oder −x ∈ R+ . 2. ∀ x, y ∈ R+ : x + y ∈ R+ und xy ∈ R+ .

2

x ∈ R heißt positiv im Fall x ∈ R+ , und negativ im Fall −x ∈ R+ . Außerdem sei + + − R+ 0 := R ∪ {0} und R := R \ R0 . Definition 1.3.10. Es seien x, y ∈ R . Wir legen fest: x
:⇔

y − x ∈ R+

x≤y

:⇔

x < y oder x = y .

Außerdem sei y > x bzw. y ≥ x gleichbedeutend mit x < y bzw. x ≤ y .

2

Aus den Anordnungsaxiomen folgen viele Aussagen, an die wir uns schon lange gew¨ohnt haben: Beispiel 1.3.11. Die Relation <“ ist transitiv : ” Behauptung: F¨ ur alle x, y, z ∈ R gilt: Wenn x < y und y < z , dann x < z . Beweis: Es seien x, y, z ∈ R mit x < y und y < z , das heißt y − x ∈ R+ und z − y ∈ R+ . Wegen z−x = (z−y)+(y−x) folgt z−x ∈ R+ nach dem zweiten Anordnungsaxiom, also x < z . 2 ¨ Ubrigens kann man die Behauptung in 1.3.11 in einer reinen Formelsprache ausdr¨ ucken. Dazu legen wir f¨ ur Ausagen A und B fest: A∧B A∨B

bedeutet: A und B bedeutet: A oder B

A =⇒ B

bedeutet:

Wenn A , dann B

A ⇐⇒ B

bedeutet:

(A =⇒ B) ∧ (B =⇒ A) .

1.3. Reelle Zahlen

23

Damit kann man die Behauptung in 1.3.11 so formulieren:   ∀ x, y, z ∈ R : (x < y ∧ y < z) =⇒ x < z . Beispiel 1.3.12. Behauptung: ∀ x, y, r ∈ R : x < y =⇒ x + r < y + r . In Worten: F¨ ur alle x, y, r ∈ R gilt: Wenn x < y , dann x + r < y + r . Beweis: Es seien x, y, r ∈ R mit x < y , das heißt y−x ∈ R+ . Wegen (y+r)−(x+r) = y − x ∈ R+ ist x + r < y + r . 2 Beispiel 1.3.13. Die Relation <“ ist vertr¨ aglich mit der Addition : ”   Behauptung: ∀ x, y, r, s ∈ R : (x < y) ∧ (r ≤ s) =⇒ x + r < y + s . In Worten: F¨ ur alle x, y, r, s ∈ R gilt: Wenn x < y und r ≤ s , dann folgt x+r < y+s . Beweis: Es seien x, y, r, s ∈ R mit x < y und r ≤ s . Im Fall r = s folgt die Behauptung nach 1.3.12. Es sei also r < s . Dann folgt jeweils nach 1.3.12 x+r
und y + r < y + s .

Daraus folgt die Behauptung, da <“ transitiv ist (s. 1.3.11). 2 ”   Beispiel 1.3.14. Beh.: ∀ x, y, r ∈ R : (x < y ∧ r ∈ R+ ) =⇒ xr < yr . Beweis: Es seien x, y ∈ R mit x < y und r ∈ R+ . Dann ist y − x ∈ R+ , und nach dem 2. Axiom folgt yr − xr = (y − x)r ∈ R+ , das heißt xr < yr . 2   Beispiel 1.3.15. Beh.: ∀ x, y, r ∈ R : (x < y ∧ r ∈ R− ) =⇒ xr > yr . Beweis: Es seien x, y ∈ R mit x < y und r ∈ R− . Dann ist y − x ∈ R+ und −r ∈ R+ , also folgt nach dem 2. Axiom xr − yr = (y − x)(−r) ∈ R+ , das heißt yr < xr . 2 Beispiel 1.3.16. Beh.: ∀ x ∈ R \ {0} : x2 ∈ R+ . Beweis: F¨ ur x ∈ R+ folgt x2 = x · x ∈ R+ nach dem 2. Axiom. F¨ ur x ∈ R− ist + 2 + 2 −x ∈ R , also folgt x = (−x) · (−x) ∈ R nach dem 2. Axiom. Die Beispiele 1.3.11 bis 1.3.16 legen folgende Vermutung nahe: Alle Regeln f¨ ur Ungleichungen, an die man sich schon sehr fr¨ uh in seiner Schulzeit gew¨ohnt hat, folgen letztlich aus den K¨ orper- und Anordnungsaxiomen. Diese Vermutung ist richtig. ¨ Ab jetzt werden wir solche Regeln ohne Beweis benutzen. (Empfehlung: Zur Ubung sollte man einige weitere Regeln aus den Axiomen herleiten.) Insbesondere ist die Relation <“ im folgenden Sinn mit der Multiplikation vertr¨ aglich : ”   ∀ x, y, r, s ∈ R : (0 ≤ x < y) ∧ (0 ≤ r < s) =⇒ xr < ys Etwas weniger bekannt als die bisherigen Aussagen u ¨ber Ungleichungen ist eine Beziehung zwischen Betr¨ agen, die wir als Lemma ( Hilfssatz“) festhalten. Dabei ist ”  x f¨ ur x ∈ R + 0 |x| := −x f¨ ur x ∈ R − .

24

Kapitel 1. Grenzwert

Lemma 1.3.17. ∀ x, y ∈ R : |x + y| ≤ |x| + |y| . ( Dreiecksungleichung“ ) ” Beweis. Es seien x, y ∈ R . Dann ist x ≤ |x| und y ≤ |y| , also x + y ≤ |x| + |y| . Außerdem ist −x ≤ |x| und −y ≤ |y| , also −(x + y) = (−x) + (−y) ≤ |x| + |y| . Insgesamt: ±(x + y) ≤ |x| + |y| , also |x + y| ≤ |x| + |y| .

2

Um das Vollst¨ andigkeitsaxiom zu formulieren, ben¨otigen wir zun¨achst zwei Definitionen: ankt , wenn es ein Definition 1.3.18. Eine Folge (xn )n∈N heißt nach oben beschr¨ s ∈ R gibt mit (xn )n∈N ≤ s ; in diesem Fall nennen wir s eine obere Schranke f¨ ur ankt und untere Schranke (ersetze ≤“ durch (xn )n∈N . Analog: nach unten beschr¨ ” ≥“). Eine Folge heißt beschr¨ ankt , wenn sie nach oben und unten beschr¨ankt ist.2 ” F¨ ur die Folge ((−1)n )n = (−1 ; +1 ; −1 ; +1 ; . . .) sind 1 und 5 obere Schranken, −2 und −1 sind untere Schranken. Eine Folge (xn )n ist genau dann beschr¨ankt, ankt ist. wenn (|xn |)n nach oben beschr¨ Definition 1.3.19. Eine Folge (xn )n∈N heißt monoton steigend (bzw. fallend ), wenn f¨ ur alle i, j ∈ N gilt:   bzw. xi ≥ xj . i < j =⇒ xi ≤ xj ur alle i = j , dann heißt (xn )n∈N streng monoton steigend Gilt zus¨atzlich xi = xj f¨ (bzw. fallend ). 2 f (n)

f (n)

3

3

2

2

1

1

1

2

3

4

5

n

1

2

3

4

5

Abbildung 1.8: streng monoton steigend bzw. fallend Eine Folge (xn )n∈N ist monoton steigend, wenn ∀ n ∈ N : xn ≤ xn+1 . Denn dann gilt f¨ ur alle i, j ∈ N mit i < j : xi ≤ xi+1 ≤ xi+2 ≤ . . . ≤ xj .

n

1.3. Reelle Zahlen

25

Dieses Argument kann man auch ohne P¨ unktchen formulieren, n¨amlich mit einer sogenannten vollst¨ andigen Induktion (dazu sp¨ ater mehr). Vollst¨ andigkeitsaxiom. Jede Folge reeller Zahlen, die monoton steigt und nach oben beschr¨ankt ist, konvergiert gegen eine reelle Zahl. 2 Damit haben wir alle Axiome von R aufgez¨ahlt. Nach dem Vollst¨andigkeitsaxiom konvergiert zum Beispiel auch jede Folge (xn )n , die monoton f¨allt und nach unten beschr¨ankt ist, denn f¨ ur ein solches (xn )n ist (−xn )n monoton steigend und nach oben beschr¨ankt. Das hat eine wichtige Konsequenz f¨ ur Intervallschachtelungen. Definition 1.3.20. Eine (duale) Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervalur alle n ∈ N gilt: len, ([ ln , rn ])n∈N , sodass f¨ [ ln+1 , rn+1 ] = [ ln , mn ]

oder

[ ln+1 , rn+1 ] = [ mn , rn ] ,

wobei mn := 12 (ln + rn ) der Mittelpunkt von [ ln , rn ] ist.

2

Das Vollst¨andigkeitsaxiom garantiert, dass Intervallschachtelungen nicht ins ” Leere laufen“: Lemma 1.3.21. Es sei ([ ln , rn ])n∈N eine (duale) Intervallschachtelung. Dann gibt es a, b ∈ R mit (ln )n∈N → a und (rn )n∈N → b . Beweis. Die Folge (ln )n ist monoton steigend, denn f¨ ur alle n ∈ N ist ln+1 = ln oder ln+1 = mn ≥ ln , also stets ln ≤ ln+1 . Analog: (rn )n ist monoton fallend. r1 ist eine obere Schranke f¨ ur (ln )n , denn f¨ ur alle n ∈ N ist ln ≤ rn und rn ≤ r1 (da (rn )n monoton fallend), also ln ≤ r1 . Analog: l1 ist eine untere Schranke f¨ ur (rn )n . Damit folgt die Behauptung nach dem Vollst¨ andigkeitsaxiom. (Wir werden sp¨ater zeigen, dass außerdem a = b gilt.) 2 Zwischen R und Q gibt es einen wesentlichen Unterschied: Die Aussage des Vollst¨andigkeitsaxioms (und auch 1.3.21) wird falsch, wenn man R durch Q ersetzt. √ Betrachten wir eine Intervallschachtelung f¨ ur 2 , die mit [0 ; 1] beginnt. Bei jedem Schritt werden die Intervalle halbiert, das heißt alle Intervallgrenzen ln und rn sind rationale Zahlen; wie in 1.3.21 ist (ln )n monoton steigend und nach oben beschr¨ankt; doch (ln )n konvergiert nicht gegen eine rationale Zahl (sondern gegen √ 2 ). In diesem Sinn k¨ onnen Intervallschachtelungen ins Leere laufen“, wenn man ” nur rationale Zahlen zur Verf¨ ugung hat: Die Intervalle ziehen sich auf eine Stelle der Zahlengeraden zusammen, an der sich keine rationale Zahl befindet. Es w¨are auch denkbar, dass sich an einer solchen Stelle keine reelle Zahl befindet; doch mit dem Vollst¨andigkeitsaxiom gehen wir davon aus, dass so etwas nicht geschehen kann; die reelle Zahlengerade ist vollst¨ andig“, das heißt es gibt keine L¨ocher“, auf die sich ” ” Intervalle zusammenziehen k¨ onnten. Mit den Axiomen der reellen Zahlen k¨ onnen wir die Fragen beantworten, die am Anfang dieses Abschnitts stehen. Doch zun¨ achst sollten wir uns u ¨berlegen, wie man Quantoren negiert ( verneint“), und wie man Aussagen, die mehrere Quantoren ” enthalten, in handlichere St¨ ucke zerlegt. F¨ ur Aussagen A legen wir fest: ¬A

bedeutet: A gilt nicht .

26

Kapitel 1. Grenzwert

Die wichtigsten Regeln f¨ ur die Negation ¬ lauten: ¬¬A

⇐⇒

A

¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B ¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B ¬( ∀ x ∈ X : A(x)) ⇐⇒ ∃ x ∈ X : ¬A(x) ¬( ∃ x ∈ X : A(x)) ⇐⇒ ∀ x ∈ X : ¬A(x) . Von der G¨ ultigkeit dieser Regeln u ¨berzeugt man sich am besten anhand einfacher Beispiele: Die Aussage ∀ x ∈ R : x2 > 0“ gilt nicht: ” ¬(∀ x ∈ R : x2 > 0) . Warum nicht? Weil es ein x ∈ R gibt (n¨ amlich 0), sodass x2 > 0 nicht gilt: ∃ x ∈ R : ¬(x2 > 0) . Das war ein Beispiel f¨ ur die vorletzte Regel (Negation von ∀ ), und zwar genauer f¨ ur ⇐=“: Wenn etwas f¨ ur ein x nicht gilt, dann gilt es nicht f¨ ur alle x . Ein Beispiel ” f¨ ur die letzte Regel (Negation von ∃ ): Die Aussage ∃ x ∈ R : x2 + 1 = 0“ gilt nicht: ” ¬(∃ x ∈ R : x2 + 1 = 0) . Warum nicht? Weil f¨ ur alle x ∈ R die Aussage x2 + 1 = 0 falsch ist: ∀ x ∈ R : ¬(x2 + 1 = 0) . Wenn etwas f¨ ur alle x falsch ist, dann gibt es kein x , f¨ ur das es richtig ist. Das waren nat¨ urlich nur Erl¨ auterungen und keine Beweise f¨ ur die G¨ ultigkeit der betreffenden logischen Schlussfolgerungen. Mit welchen logischen Schlussfolgerungen soll man denn logische Schlussfolgerungen begr¨ unden? Wir befinden uns hier im Bereich der grundlegenden Voraussetzungen unseres logischen Denkens (siehe [Kut]). Wir nehmen jetzt also einfach an, dass die Regeln zur Negation g¨ ultig sind. Dann kann man Aussagen, die mehrere Quantoren enthalten, ganz einfach schrittweise negieren; dabei muss man noch nicht einmal den Inhalt der Aussage verstehen, da man stur nach den obigen Regeln vorgehen kann: Immer wenn ¬ u ¨ber einen ” Quantor wandert“, dann werden ∀ und ∃ gegeneinander ausgetauscht. Zum Beispiel: ¬(∀ y ∈ R ∃ x ∈ R : f (x) = y) ⇐⇒ ∃ y ∈ R ¬(∃ x ∈ R : f (x) = y) ⇐⇒ ∃ y ∈ R ∀ x ∈ R : ¬(f (x) = y) ⇐⇒ ∃ y ∈ R ∀ x ∈ R : f(x) = y .

1.3. Reelle Zahlen

27

Ein weiteres Beispiel: ¬(∀  ∈ R+ ∃ N ∈ N ∀ n > N : |xn | < ) ⇐⇒ ∃  ∈ R+ ¬(∃ N ∈ N ∀ n > N : |xn | < ) ⇐⇒ ∃  ∈ R+ ∀ N ∈ N ¬(∀ n > N : |xn | < ) ⇐⇒ ∃  ∈ R+ ∀ N ∈ N ∃ n > N : ¬(|xn | < ) ⇐⇒ ∃  ∈ R+ ∀ N ∈ N ∃ n > N : |xn | ≥  . Diese Aussagen bedeuten jeweils die Wertemenge von f ist nicht ganz R“ bzw. ” ur die Umformungen unwichtig. (x ) ist keine Nullfolge“ (s. 1.3.1); aber das ist f¨ ” n n Umformen“ bedeutet, dass man von einer Aussage A zu einer Aussage B u ¨bergeht; ” A ⇐⇒ B“ bedeutet, dass A genau dann gilt, wenn B gilt; in so einem Fall sagt ” man auch, A und B sind gleichwertig bzw. ¨aquivalent . Ein weiteres Beispiel zum schrittweisen Negieren steht im folgenden Beweis. Satz 1.3.22. In R gilt das Archimedische Axiom , das heißt ∀ x, y ∈ R+ ∃ n ∈ N : nx > y . Beweis. Wir zeigen die Behauptung, indem wir aus ihrem Gegenteil eine falsche Aussage herleiten. Annahme: ¬(∀ x, y ∈ R+ ∃ n ∈ N : nx > y) . Es ist ¬(∀ x, y ∈ R+ ∃ n ∈ N : nx > y) ⇐⇒ ∃ x, y ∈ R+ ¬(∃ n ∈ N : nx > y) ⇐⇒ ∃ x, y ∈ R+ ∀ n ∈ N : ¬(nx > y) ⇐⇒ ∃ x, y ∈ R+ ∀ n ∈ N : nx ≤ y . Nach Annahme gibt es also x, y ∈ R+ mit der Eigenschaft ∀ n ∈ N : nx ≤ y . Das bedeutet: Die Folge (nx)n∈N ist durch y nach oben beschr¨ankt. Außerdem ist (nx)n∈N monoton steigend, da x > 0 . Nach dem Vollst¨andigkeitsaxiom hat (nx)n∈N somit einen Grenzwert a ∈ R . Der Abstand |nx − a| wird also schließlich kleiner als z.B. x2 . Aus |nx − a| < x2 und |(n + 1)x − a| < x2 folgt |x| = |(n + 1)x − a + a − nx| ≤ |(n + 1)x − a| + |a − nx| < x , das heißt die falsche Aussage |x| < x . Also muss die Annahme falsch sein.

2

Das Archimedische Axiom m¨ ussen wir also nicht in unser Axiomensystem aufnehmen, da es aus den dort bereits formulierten Axiomen folgt. Mit Satz 1.3.22 k¨onnen wir endlich die erste Frage dieses Abschnitts beantworten: Wir w¨ahlen y := 1 im Archimedischen Axiom (und schreiben  statt x); dann entsteht ∀  ∈ R+ ∃ n ∈ N : n > 1 bzw.

∀  ∈ R+ ∃ n ∈ N :  >

1 n

.

Nach den Regeln der Negation ist diese Aussage gleichwertig damit, dass es im folgenden Sinn kein unendlich kleines“  ∈ R+ gibt: ” ¬ ∃  ∈ R+ ∀ n ∈ N :  ≤ n1 .

28

Kapitel 1. Grenzwert

Satz 1.3.23. Es gilt:

1 n n∈N

→ 0.

  sch Beweis. Die Behauptung bedeutet nach Definition: ∀  ∈ R+ : n1 n∈N <  . Es   sch sei  ∈ R+ . Wir zeigen n1 n∈N <  .   sch Nach Definition von < ist also zu zeigen: ∃ N ∈ N : n1 n>N <  . Nach 1.3.22 gibt es ein N ∈ N mit N  > 1 , da  , 1 ∈ R+ (ersetze x durch  und y durch 1).   2 Aus N  > 1 folgt N1 <  , also n1 n>N <  . In vielen Beweisen werden Quantoren schrittweise abgebaut“ (so auch im vor” herigen Beweis). Dabei geht man oft nach folgendem Muster vor: Beim Beweis einer Aussage der Form ∀ x ∈ X : A(x)“ schreibt man ” Es sei x ∈ X . Wir zeigen A(x) . . .“. ” Damit hat man es im restlichen Beweis nur noch mit einer Aussage der Form A(x) zu tun, die bereits einen Quantor weniger enth¨alt als die urspr¨ ungliche Aussage ∀ x ∈ X : A(x)“. Bei Es sei x ∈ X“ wird nichts spezielles u ¨ber x vorausgesetzt ” ” und anschließend benutzt, außer dass x eben in X liegt. Beim Beweis einer Aussage der Form ∃ x ∈ X : A(x)“ beruft man sich h¨aufig auf ” eine Aussage der Form ∃ x ∈ X : B(x)“, die bereits zur Verf¨ ugung steht; dann muss ” man nur noch zeigen, dass A(x) aus B(x) folgt. Ein Beweis von ∃ x ∈ X : A(x)“ ” beginnt also oft so (siehe Beweis von 1.3.23): Nach . . . ∃ x ∈ X : B(x) . Aus B(x) folgt A(x) , denn . . .“ ” Im restlichen Beweis muss man nur noch B(x) =⇒ A(x)“ zeigen; dadurch hat man ” es mit einem ∃“ weniger zu tun. ” Manchmal kann man ∃ x ∈ X : A(x)“ auch durch Angabe eines konkreten ” x ∈ X beweisen, zum Beispiel bei ∃ x ∈ R : x2 = 0“. ”

Aufgaben 1. Nehmen wir an, dass es ein  ∈ R+ mit folgender Eigenschaft gibt: F¨ ur alle n ∈ N ist  < n1 . Zeigen Sie unter dieser Annahme: (a) Ein solches  liegt zwischen 0 und Q+ (positive Bruchzahlen). (b) F¨ ur alle k ∈ N gilt: k ·  liegt zwischen 0 und Q+ . (c) Es gibt ein δ ∈ R+ , sodass δ <

 k

f¨ ur alle k ∈ N .

(d) Es gibt unendlich große“ reelle Zahlen, das heißt x ∈ R mit x > n f¨ ur ” alle n ∈ N . 2. Formulieren Sie die folgenden Aussagen wie in 1.3.1 mit ∀“ bzw. ∃“ : ” ”

1.3. Reelle Zahlen

29

(a) x2 ist immer gr¨ oßer oder gleich 0. (b) f (x) hat im Bereich zwischen 1 und 2 eine Nullstelle. sch

(c) (xn )n∈N < (yn )n∈N . (d) Es gibt eine Zahl, die von 3 + x − x4 nicht u ¨berschritten wird. (e) f : D −→ R hat einen gr¨ oßten Funktionswert. 3. Beweisen Sie 2 + 2 = 4 ; dabei ist 2 := 1 + 1 und 4 := ((1 + 1) + 1) + 1 . 4. Beweisen Sie die Aussagen in Beispiel 1.3.6. 5. Beweisen Sie: ∀ x, y ∈ R : −(x + y) = −x − y . 6. Beweisen Sie: ∀ x, y ∈ R \ {0} : (xy)−1 = x−1 y −1 . 7. Beweisen Sie: ∀ x, y ∈ R : xy = 0 ⇐⇒ (x = 0 ∨ y = 0) . 8. Beweisen Sie: ∀ x, y, r ∈ R : x < y ⇐⇒ x + r < y + r . 9. Beweisen Sie: <“ ist mit der Multiplikation vertr¨aglich. ” 10. Beweisen Sie: 0 < 1 . 11. Beweisen Sie: ∀ x ∈ R+ : x−1 ∈ R+ . 12. Beweisen Sie: ∀ x, y ∈ R : 0 < x < y =⇒ y −1 < x−1 . 13. Falls Sie Vektoren kennen: In jedem Dreieck ist jede Seite h¨ochstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seitenl¨ angen. K¨onnen Sie damit den Namen Dreiecksungleichung“ erkl¨ aren? ” 14. Beweisen Sie: ∀ x, y ∈ R : |x| − |y| ≤ |x + y| .   15. Beweisen Sie: n1 n∈N ist streng monoton fallend; (n2 )n∈N ist streng monoton steigend. 16. Formen Sie die folgenden Aussagen so um, dass ¬“ verschwindet: ” ¬ ( ∀ a ∈ A ∃ b ∈ B ∀ c ∈ C ∃ d ∈ D : ab = cd ) . ¬ ( ∃ s ∈ S ∀ t ∈ T ∀ u ∈ U ∃ v ∈ V ∃ w ∈ W : s + t < uv − w ) . 17. Man k¨onnte auf den Gedanken kommen, Nullfolgen (xn )n so zu definieren: ∀  ∈ R+ ∃ N ∈ R ∀ n > N : |xn | <  . Der einzige Unterschied zur Definition 1.2.9 besteht in N ∈ R“ statt N ∈ ” ” N“, siehe letztes Beispiel in 1.3.1. Damit w¨ urde sofort n1 n → 0 folgen, und zwar sogar dann, wenn weder das Vollst¨andigkeitsaxiom noch das Archimediur sche Axiom gelten w¨ urden: Zu jedem  ∈ R+ w¨are N := 1 geeignet, denn f¨ 1 alle n ∈ N mit n >  ist n1 <  . ¨ W¨are das nicht viel einfacher als die entsprechenden Uberlegungen in Abschnitt 1.3?

30

Kapitel 1. Grenzwert

1.4

S¨ atze u ¨ ber Folgen

In diesem Abschnitt geht es um S¨ atze zur Berechnung von Grenzwerten. Dabei orientieren wir uns an Abschnitt 1.3: Dort sind wir von einigen wenigen grundlegenden Regeln zum Rechnen und Anordnen von reellen Zahlen ausgegangen, um weitere Eigenschaften zu gewinnen; jetzt werden wir zun¨achst u ¨ber einige grundlegende Regeln zum Rechnen und Anordnen von Folgen nachdenken, um anschließend weitere Eigenschaften von Folgen zu gewinnen. In 1.2.6 haben wir die Addition und Multiplikation von Folgen einfach komponentenweise definiert. Dadurch u ¨bertragen sich fast alle Rechenregeln von Zahlen auf Folgen. Zum Beispiel gibt es ein neutrales Element f¨ ur die Addition von Folgen, n¨amlich (0)n = (0 ; 0 ; 0 ; . . .) : (xn )n + (0)n = (xn + 0)n = (xn )n . F¨ ur die Multiplikation ist (1)n neutral. Die Addition von Folgen ist kommutativ, denn (xn )n + (yn )n

= (xn + yn )n = (yn + xn )n = (yn ) + (xn )n

(nach Definition) (Kommutativgesetz f¨ ur reelle Zahlen) (nach Definition) .

Es gibt nur ein einziges K¨ orperaxiom, das sich nicht auf Folgen u ¨bertr¨agt: Die Existenz inverser Elemente bzgl. ·“. In R ist 0 das einzige Element, das kein ” Inverses bzgl. ·“ besitzt; es gibt aber unendlich viele Folgen, die kein Inverses ” bzgl. ·“ besitzen (wenn an mindestens einer Stelle eine 0 steht). Grob gesagt kann ” man mit Folgen genauso rechnen wie mit reellen Zahlen, solange man keine Inversen bzgl. ·“ ben¨otigt. ” sch Die grundlegenden Eigenschaften der Anordnung < “ lauten wie folgt: ” Lemma 1.4.1. Die Anordnung

sch

”

< “ ist transitiv:

sch

sch

sch

(xn )n < (yn )n und (yn )n < (zn )n =⇒ (xn )n < (zn )n . Außerdem ist

sch

”

< “ vertr¨ aglich mit

”

+“ und

”

·“ :

sch

sch

sch

(xn )n < (yn )n und (rn )n ≤ (sn )n =⇒ (xn + rn )n < (yn + sn )n , sch

sch

sch

sch

sch

0 ≤ (xn )n < (yn )n und 0 ≤ (rn )n < (sn )n =⇒ (xn rn )n < (yn sn )n . Beweis. Zun¨achst zur Transitivit¨ at von

sch

sch

< “: Wir setzen (xn )n < (yn )n und ” sch sch (yn )n < (zn )n voraus und m¨ ussen zeigen, dass dann (xn )n < (zn )n gilt, das heißt nach Definition 1.2.7 ist zu zeigen: ∃ N ∈ N ∀ n > N : x n < zn .

1.4. S¨atze u ¨ber Folgen

31

Nach Voraussetzung gibt es K, L ∈ N (die verschieden sein k¨onnen) mit ∀ n > K : x n < yn

und ∀ n > L : yn < zn .

Wenn man K und L vergr¨ oßert, dann bleiben diese Aussagen richtig. (Was f¨ ur alle n > 100 gilt, gilt auch f¨ ur alle n > 200 .) Es sei N die gr¨oßere der beiden Zahlen K und L . Dann gilt ∀ n > N : xn < yn

und ∀ n > N : yn < zn ,

ur alle n > N , da <“ f¨ ur reelle Zahlen transitiv ist. also xn < zn f¨ ” sch Vertr¨aglichkeit von < “ mit +“: Wir suchen ein N ∈ N mit ” ” ∀ n > N : xn + rn < yn + sn . Nach Voraussetzung gibt es K, L ∈ N mit ∀ n > K : xn < yn

und ∀ n > L : rn ≤ sn .

Es sei N die gr¨oßere der beiden Zahlen K und L . Dann gilt auch ∀ n > N : xn < yn

und ∀ n > N : rn ≤ sn ,

ur alle n > N , da bei reellen Zahlen <“ mit +“ vertr¨aglich also xn +rn < yn +sn f¨ ” ” ist (siehe 1.3.13). sch ¨ Vertr¨aglichkeit von < “ mit ·“: Ubung! 2 ” ” sch

Die Anordnung < “ bei Folgen unterscheidet sich in einer wesentlichen Ei” genschaft von der Anordnung <“ bei Zahlen: Alle Zahlen sind miteinander ver” gleichbar : F¨ ur alle x, y ∈ R gilt entweder x < y oder y < x oder x = y . Das gilt bei Folgen nicht: Zum Beispiel gilt f¨ ur ((−1)n )n = (−1; +1; −1; +1; . . .) weder sch

sch

((−1)n )n < (0)n , noch (0)n < ((−1)n )n noch ((−1)n )n = (0)n . sch

Lemma 1.4.2. Wenn (xn )n → a , (yn )n → b und (xn )n ≤ (yn )n , dann ist a ≤ b . Insbesondere sind Grenzwerte eindeutig bestimmt: (yn )n = (xn )n =⇒ b = a . Beweis. Die Annahme a > b f¨ uhrt zu einem Widerspruch: sch

Setze  := 12 (a − b) . Dann ist  ∈ R+ , also (|yn − b|)n <  , das heißt sch

sch

b −  < (yn )n < b +  , also sch

sch

(xn )n ≤ (yn )n < b +  = a −  im Widerspruch zu (xn )n → a . sch

Sei nun (yn )n = (xn )n . Wegen (xn )n ≤ (xn )n folgt a ≤ b und b ≤ a .

2

32

Kapitel 1. Grenzwert sch

Aus den Eigenschaften von < “ in 1.4.1 gewinnen wir Eigenschaften von Null” sch folgen (denn Nullfolgen wurden mit Hilfe von < “ definiert): ” Lemma 1.4.3. Es gilt: 1. (xn )n → 0 und (yn )n beschr¨ ankt 2. (xn )n → a

=⇒

(xn yn )n → 0 .

=⇒

(xn )n beschr¨ ankt. sch

Beweis. Zu 1.: Es sei  ∈ R+ . Wir zeigen (|xn yn |)n <  : Da (yn )n beschr¨ ankt ist, gibt es ein s ∈ R+ mit (|yn |)n ≤ s < s + 1 , also sch

(|yn |)n < s + 1 . Wegen (xn )n → 0 und

 s+1

∈ R+ ist sch

(|xn |)n <

 s+1

.

sch

sch

 · (s + 1) =  , da < “ mit ·“ vertr¨aglich ist. Somit: (|xn yn |)n < s+1 ” ” Zu 2.: Zun¨achst behandeln wir den Spezialfall (xn )n → 0 . Wir suchen ein s ∈ R mit (|xn |)n ≤ s . sch

Wegen (xn )n → 0 gilt z.B. (|xn |)n < 1 , das heißt es gibt ein N ∈ N mit |xn | < 1 f¨ ur alle n > N . Sei s die gr¨ oßte der Zahlen 1; |x1 |; |x2 |; . . . ; |xN |. Dann ist |xn | ≤ s f¨ ur alle n ∈ N , das heißt (|xn |)n ≤ s . Allgemeiner Fall (xn )n → a : Dann gilt (xn − a)n → 0 , also gibt es ein s ∈ R mit (|xn − a|)n ≤ s . Damit ist (|xn |)n ≤ s + |a| , denn mit der Dreiecksungleichung folgt 2 |xn | = |xn − a + a| ≤ |xn − a| + |a| ≤ s + |a| . f (n)

f (n)

1

1

1

2

3

-1

Abbildung 1.9:

4

5

n

1

2

3

4

5

n

-1

1 n n

bzw. ((−1)n )n und das Produkt

1 n

· (−1)n

 n

n Zum  bleibt ((−1) )n innerhalb der Schranken −1 und +1 , und das Pro 1 Beispiel n dukt n · (−1) n konvergiert gegen 0. Das Produkt aus einer Nullfolge und einer   unbeschr¨ankten Folge muss aber nicht konvergieren: n1 · n2 n = (n)n konvergiert nicht.

1.4. S¨atze u ¨ber Folgen

33

Lemma 1.4.4. Wenn (xn )n → 0 und (yn )n → 0 , dann folgt: (xn + yn )n → 0 und (xn yn )n → 0 . sch

Beweis. Es sei  ∈ R+ . Wir zeigen (|xn + yn |)n <  : Nach der Dreiecksungleichung ist (|xn + yn |)n ≤ (|xn | + |yn |)n . Wegen (xn )n → 0 , (yn )n → 0 und

 2

∈ R+ gilt

sch  2

(|xn |)n < Da

und

sch  2

(|yn |)n <

.

sch

”

< “ mit +“ vertr¨ aglich ist, folgt ” sch  2

(|xn + yn |)n ≤ (|xn | + |yn |)n <

+

 2

=.

Die Aussage (xn yn )n → 0 folgt nach 1.4.3.

2

Jetzt k¨onnen wir zwei S¨ atze formulieren und beweisen, die sehr n¨ utzlich bei der Berechnung von Grenzwerten sind: Satz 1.4.5. Wenn (xn )n → a und (yn )n → b , dann folgt: (xn + yn )n → a + b und (xn yn )n → ab . Beweis. Nach Voraussetzung sind (xn − a)n und (yn − b)n Nullfolgen. Dann ist auch     (xn + yn ) − (a + b) n = (xn − a) + (yn − b) n nach 1.4.4 eine Nullfolge, das heißt (xn + yn )n → a + b . Außerdem ist       xn yn − ab n = xn yn − ayn + ayn − ab n = (xn − a)yn + a(yn − b) n nach 1.4.3 und 1.4.4 eine Nullfolge, das heißt (xn yn )n → ab .   F¨ ur die Inversen (−xn )n und x−1 n n einer konvergenten Folge (xn )n gilt:

2

Satz 1.4.6. Es sei (xn )n → a . Dann folgt: 1. (−xn )n → −a .   −1 2. x−1 , falls a = 0 und xn = 0 f¨ ur alle n ∈ N . n n →a ¨ Beweis. Ubung!

2

Nach 1.4.5 und 1.4.6 folgt (xn − yn )n → a − b und (xn · yn−1 )n → a · b−1 , falls ur alle n ∈ N . Damit kann man viele (xn )n → a , (yn )n → b = 0 und yn = 0 f¨ Grenzwerte sehr leicht berechnen:

34

Kapitel 1. Grenzwert

Beispiel 1.4.7. Es sei xn =

2n2 + 5 f¨ ur alle n ∈ N . Dann ist n2

xn = 2 +

5 1 1 =2+5· · . n2 n n

Die Folge (xn )n setzt sich also aus lauter einfachen Folgen zusammen, deren Grenzwerte wir bereits kennen: Es seien (an )n und (bn )n die konstanten Folgen mit an = 2 und bn = 5 , und (cn )n die Folge mit cn = n1 . Damit ist (xn )n = (an )n + (bn )n · (cn )n · (cn )n . Wir wissen bereits, dass konstante Folgen gegen ihre Konstante konvergieren, also (an )n → 2 und (bn )n → 5 , und nach 1.3.23 gilt (cn )n → 0 . Mit 1.4.5 erhalten wir (xn )n → 2 + 5 · 0 · 0 = 2 . Diese Art der Berechnung von Grenzwerten funktioniert bei vielen Bruchtermen; man muss nur geeignet k¨ urzen k¨ onnen: 2 + 5 · n1 2+5·0 2n + 5 2 = = . 1 −→ 3n − 11 3 − 11 · 0 3 3 − 11 · n Oder (k¨ urze mit n8 ): 1 n7 + 5n6 n +5· = n8 + n5 1 + n1 ·

1 n 1 n

· ·

1 n 1 n

0+5·0·0 =0. 1+0·0·0

−→

Wir haben jetzt stets mit der h¨ ochsten Potenz von n gek¨ urzt, die im Nenner vorkommt. Das n¨ utzt aber nichts, wenn der Z¨ ahler eine gr¨oßere Potenz von n enth¨alt als der Nenner; solche F¨ alle behandeln wir ab 1.4.16. 2 Statt n1 · n1 · n1 (wie in 1.4.7) schreiben wir in Zukunft wieder n13 , denn man 1 gegen 0 konvergieren. Warum? Na ja, sieht sofort, dass Terme wie n13 oder n153 1 1 1 1 n153 = n · n · . . . · n , jeder Faktor geht gegen 0, und wenn man 1.4.5 mit großer Geduld 152 mal anwendet, dann folgt die Behauptung. Geht’s urzer und  auch etwas k¨ ur jeden Exponenten ohne P¨ unktchen? Uns ist schon irgendwie klar, dass n1k n f¨ k ∈ N gegen 0 konvergiert. Schreiben wir doch einmal genau auf, warum wir das denken: F¨ ur k = 1 folgt unsere Behauptung nach 1.3.23. Mit 1.4.5 k¨onnen wir von k = 1 auf k = 2 schließen: 



1 n1 n

Jetzt wissen wir 



1 n2 n

→ 0 und 



1 n2 n





1 n1 n

→0

1.4.5 =⇒





1 n2 n

=



1 n1

·



1 n1 n

→0.

→ 0 , also k¨ onnen wir mit 1.4.5 von k = 2 auf k = 3 schließen:

→ 0 und





1 n1 n

→0

1.4.5 =⇒





1 n3 n

=



1 n2

·



1 n1 n

→0.

1.4. S¨atze u ¨ber Folgen Jetzt wissen wir 



1 n3 n





1 n3 n

35

→ 0 , also k¨ onnen wir mit 1.4.5 von k = 3 auf k = 4 schließen:

→ 0 und





1 n1 n

→0



1.4.5 =⇒



1 n4 n

=



1 n3

·



1 n1 n

→0.

Das h¨ort nie auf: Wenn wir unsere Behauptung f¨ ur ein k ∈ N wissen, dann k¨onnen wir mit 1.4.5 von k auf k + 1 schließen: 



1 nk n

→ 0 und





1 n1 n

→0

1.4.5 =⇒





1 nk+1 n

=



1 nk

·



1 n1 n

→0.

Damit gilt unsere Behauptung f¨ ur alle k ∈ N . Der Kern des soeben benutzten Arguments ist das Prinzip der vollst¨ andigen Induktion: Eine Teilmenge G ⊆ N habe folgende Eigenschaften: 1. 1 ∈ G 2. k ∈ G =⇒ k + 1 ∈ G . Dann ist G = N .

2

Fassen wir zusammen (sonst meint noch jemand, Beweise mit vollst¨andiger Induktion w¨aren immer so langwierig):   Lemma 1.4.8. F¨ ur alle k ∈ N gilt n1k n → 0 . Beweis. F¨ ur k = 1 folgt die Aussage nach 1.3.23.   k → k + 1“: Induktions–Annahme: F¨ ur ein k ∈ N gilt n1k n → 0 .  1  ” → 0. Induktions–Behauptung: Dann gilt auch nk+1 n Beweis: Mit 1.4.5 und Induktions–Annahme folgt      1  = n1k n · n11 n → 0 · 0 = 0 . nk+1 n

2

¨ Vielleicht ist Ihnen die Ahnlichkeit zwischen einer rekursiven Definition (siehe Beispiel 1.2.4) und einer vollst¨ andigen Induktion aufgefallen: Die erste pr¨azisiert P¨ unktchen–Definitionen“, die zweite P¨ unktchen–Argumente“; in beiden F¨allen ” ” wird ein Anfang vorgegeben und mitgeteilt, wie man jeweils einen Schritt weiter kommt. ¨ Zur Ubung beweisen wir einige Aussagen mit vollst¨andiger Induktion: Beispiel 1.4.9. F¨ ur alle k ∈ N und alle reellen x ≥ −1 gilt (1 + x)k ≥ 1 + kx

( Bernoullische Ungleichung“) . ”

Beweis mit vollst¨ andiger Induktion: k = 1 : (1 + x)1 ≥ 1 + 1 · x . Ann.

k → k + 1“: (1 + x)k+1 = (1 + x)k (1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x) = ” 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x .

2

36

Kapitel 1. Grenzwert Das Archimedische Axiom kann man auch so formulieren: sch

Es seien x, y ∈ R+ . Dann gilt y < (nx)n . Mit der Bernoullischen Ungleichung erhalten wir eine ¨ahnliche Aussage: Beispiel 1.4.10. Es seien x, y ∈ R+ . sch

1. F¨ ur x > 1 gilt y < (xn )n . sch

2. F¨ ur x < 1 gilt (xn )n < y . Insbesondere: (xn )n → 0 .

2

Beweis. Zu 1.: Setze a := x − 1 . Dann ist a > 0 ≥ −1 , also nach Bernoulli 1 + na ≤ (1 + a)n = xn

f¨ ur alle n ∈ N .

sch

Mit Archimedes folgt y < (na)n < (1 + na)n ≤ (xn )n . ¨ Zu 2.: Ubung!

2

Beispiel 1.4.11. Es gibt eine praktische Schreibweise f¨ ur Summen, die aus vielen Summanden bestehen. Zum Beispiel: 100

i := 1 + 2 + . . . + 100

1000

oder

i=1

xi := x1 + x2 + x3 + . . . + x1000 .

i=1

Allgemeiner: Wenn eine Folge (xn )n und ein k ∈ N gegeben sind, dann ist k

xi := x1 + x2 + x3 + . . . + xk .

i=1

Die meisten Leser denken bei diesem + . . . +“ wahrscheinlich an das gleiche wie ich. ” Man kann die Summe aber auch ohne P¨ unktchen mit einer Rekursion definieren: F¨ ur j, k ∈ Z sei ⎞ ⎛ k k k−1



xi := 0 f¨ ur j > k und xi := ⎝ xi ⎠ + xk f¨ ur j ≤ k . i=j

Dann ist zum Beispiel

i=j 6

i=j

xi = x4 + x5 + x6 und

i=4

1

xi = 0 .

i=4

Vielleicht kennen Sie bereits die Formel k

i=1

i=

k(k + 1) 2

f¨ ur alle k ∈ N .

Es kann einige Zeit dauern, bis man auf so eine Formel kommt. Doch sobald man sie vermutet, ist ihr Beweis mit vollst¨ andiger Induktion recht kurz:

1.4. S¨atze u ¨ber Folgen

k = 1:

1

i=1=

i=1

1·(1+1) 2

37

.

k i = k(k+1) . k → k + 1“: Ind.Ann.: F¨ ur ein k ∈ N gilt 2 ” i=1 k+1 Ind.Beh.: Dann gilt auch i = (k+1)(k+2) . 2 i=1   k+1 k Ann. i= i + k + 1 = k(k+1) + k + 1 = (k+1)(k+2) . Beweis: 2 2 i=1

2

i=1

Beispiel 1.4.12. F¨ ur alle k ∈ N0 und alle x ∈ R \ {1} gilt k

xi =

i=0

Die zugeh¨orige Folge (Sk )k≥0 mit Sk :=

1 − xk+1 . 1−x k

xi heißt geometrische Reihe .

i=0

Beweis mit vollst¨ andiger Induktion: 0 0+1 k = 0: xi = x0 = 1 = 1−x 1−x . i=0  k  k+1 i i Ann. x = x + xk+1 = k → k + 1“: ” i=0 i=0

1−xk+1 1−x

+ xk+1 =

1−xk+2 1−x

.

2

Beispiel 1.4.13. Ein elastischer Ball f¨ allt zu Boden. Nehmen wir an, die Zeit zwischen dem 1. und dem 2. Aufprall betr¨ agt 1 Sekunde, die Zeit zwischen dem 2. und dem 3. Aufprall 0,7 s , die Zeit zwischen dem 3. und dem 4. Aufprall 0,7·0,7 s = 0,49 s und immer so weiter: nach jedem Aufprall wird die Zeit mit 0,7 multipliziert. Nach unserer praktischen Erfahrung bleibt der Ball nach einigen Sekunden liegen. Doch wie lange w¨ urde das theoretisch dauern, wenn der Ball also nach jedem Aufprall zur¨ uckspringen w¨ urde? Es mag sehr einleuchtend klingen, dass der Ball theoretisch nie zur Ruhe kommt: Er springt immer wieder zur¨ uck, also kann es doch keinen letzten Sprung geben! Außerdem ben¨ otigen unendlich viele Spr¨ unge auch unendlich viel Zeit! An diesem Beispiel sieht man recht sch¨ on, dass plausible Meinungen und angebliche Selbstverst¨ andlichkeiten falsch sein k¨ onnen. Das zuvor genannte Argument enth¨alt mindestens einen Fehler: Der Wert einer Summe, die aus unendlich vielen positiven Summanden besteht, muss nicht unendlich groß sein (siehe auch Beispiel 1.4.15): Der erste Sprung dauert 1 Sekunde, der zweite 0,7 s , der dritte 0,7 · 0,7 s und unge dauern so weiter: der k–te Sprung dauert 0,7k−1 Sekunden. Die ersten k Spr¨ somit insgesamt 1 + 0,7 + 0,72 + . . . + 0,7k−1 = 

Sekunden. Nach 1.4.10 gilt 0,7 1 1 1−0,7 = 3 3 Sekunden.

k

 k

k−1

i=0

0,7 i =

1 − 0,7k (siehe 1.4.12) 1 − 0,7

→ 0 , also dauern unendlich viele Spr¨ unge 2

38

Kapitel 1. Grenzwert Wir halten allgemein fest:

Lemma 1.4.14. F¨ ur |x| < 1 gilt

∞

xi := lim

i=0

k

k→∞ i=0

xi =

1 . 1−x

Beweis. Siehe 1.4.12 und 1.4.10.

2

Beispiel 1.4.15. Dezimalzahlen. Die Tatsache, dass eine Summe keinen unendlich großen Wert haben muss, wenn sie aus unendlich vielen positiven Summanden besteht, benutzen wir schon lange (auch wenn uns das vielleicht nicht bewusst war): Die genaue Definition einer periodischen Dezimalzahl wie 0,9 lautet: 0,9 :=

∞



9 · 0,1i



= 0,9 + 0,09 + 0,009 + . . .

i=1

Mit 1.4.14 folgt 0,9 = 9 ·

∞



i

0,1



 − 0,1

0

 =9·

i=0

 1 1 −1 =9· =1 . 1 − 0,1 9

Allgemein: Es sei (zi )i eine Folge mit zi ∈ {0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 9} f¨ ur alle i ∈ N , und k   zi · 0,1i f¨ ur alle k ∈ N . Die Folge (Sk )k ist monoton steigend mit oberer Sk := i=1

Schranke 0,9 = 1 (da alle zi ≤ 9), also konvergiert (Sk )k nach dem Vollst¨andigkeitsaxiom gegen eine reelle Zahl. F¨ ur den Grenzwert benutzt man die Schreibweise ∞



 zi · 0,1i = 0,z1 z2 z3 . . .

(an der i-ten Stelle steht die Ziffer zi ) .

i=1

2

In Beispiel 1.4.7 haben wir gezeigt, wie man Grenzwerte von Bruchtermen berechnet, wenn der Z¨ ahler keine h¨ ohere Potenz von n enth¨alt als der Nenner. Aber n3 Br¨ uche wie n+1 konvergieren nicht, sondern sie divergieren nach Unendlich . Definition 1.4.16. Eine Folge (xn )n ist unendlich groß bzw. divergiert nach ∞ , wenn sie bez¨ uglich

sch

”

< “ gr¨ oßer ist als jede reelle Zahl: sch

∀ s ∈ R : s < (xn )n . Schreibweise: (xn )n → ∞ bzw. lim xn = ∞ . Eine Folge divergiert nach −∞ , wenn n→∞

sie bez¨ uglich

sch

”

< “ kleiner ist als jede reelle Zahl. sch

2

F¨ ur (xn )n → ∞ w¨ urde auch gen¨ ugen, dass s < (xn )n f¨ ur alle s ∈ R+ gilt. Zwei Beispiele divergenter Folgen kennen wir bereits: Nach Archimedes gilt (nx)n → ∞ ur x > 1 . Das folgende Lemma liefert f¨ ur x > 0 , und nach 1.4.10 gilt (xn )n → ∞ f¨ viele weitere divergente Folgen:

1.4. S¨atze u ¨ber Folgen

39 f (n)

s

1

2

3

4

5

n

Abbildung 1.10: (xn )n ist schließlich > s (Definition 1.4.16) Lemma 1.4.17. F¨ ur alle Folgen (xn )n und (yn )n gilt: sch

1. (xn )n → ∞ und r ≤ (yn )n f¨ ur ein r ∈ R

=⇒

sch

ur ein r ∈ R+ 2. (xn )n → ∞ und r ≤ (yn )n f¨ 3. (xn )n → −∞

⇐⇒

=⇒

(−xn )n → ∞ .

ur alle n ∈ N 4. (xn )n → 0 und xn ∈ R+ f¨

=⇒

5. (xn )n → ∞ und xn = 0 f¨ ur alle n ∈ N

=⇒

(xn + yn )n → ∞ . (xn yn )n → ∞ .

 −1  xn n → ∞ .  −1  xn n → 0 .

sch

Beweis. Zu 1.: Es sei s ∈ R. Wir zeigen s < (xn + yn )n : sch

sch

ur ein r ∈ R , und s − r < (xn )n . Daraus folgt Nach Voraussetzung ist r ≤ (yn )n f¨ sch

s < (xn + yn )n (denn

sch

< “ ist mit +“ vertr¨aglich) . ” ”  sch  + Zu 4.: Es sei s ∈ R . Wir zeigen s < x−1 n n: sch

Wegen (xn )n → 0 und s−1 ∈ R+ gilt (xn )n < s−1 . Diese Ungleichung multi   sch sch  plizieren wir mit s x−1 x−1 < “ ist mit ·“ n n und erhalten (s)n < n n (denn ” ”  sch  vertr¨aglich); aber das ist gleichbedeutend mit s < x−1 n n. ¨ Zu 2.,3.,5.: Ubung! 2 Die Aussage 1.4.17.5 kann man noch etwas ab¨andern: Aus (xn )n → ∞ folgt z.B. sch

0 < (xn )n , das heißt es gibt ein N ∈ N mit xn = 0 f¨ ur alle n > N ; dann ist die Restfolge (x−1 ) definiert und sie konvergiert gegen 0. n>N n Wir haben jetzt eine Methode, mit der wir alle rationalen Terme (Br¨ uche, deren Z¨ahler und Nenner Polynome sind) auf Konvergenz/Divergenz untersuchen k¨onnen: Zun¨achst mit der h¨ ochsten Potenz von n k¨ urzen, die im Nenner vorkommt; danach eventuell die h¨ochste Potenz des Z¨ ahlers ausklammern. Beispiel 1.4.18. Es gilt n n2 = n+1 1+

1 n

=n·

1 1+

1 n

→ ∞

40

Kapitel 1. Grenzwert

  nach 1.4.17, denn (n)n → ∞ und 1+1 1 konvergiert gegen 1, das heißt es gilt n n  sch  . Analog: zum Beispiel 12 ≤ 1+1 1 n

n

1 1 n3 − n2 + n1 n5 − n 4 + n 3 1 − n + n4 = = n · → ∞ 3n2 − 1 3 − n12 3 − n12   nach 1.4.17, denn n3 n → ∞ und der Bruch konvergiert gegen 13 . Die Divergenz  k n n → ∞ gilt sogar f¨ ur alle k ∈ N ; das zeigt man am besten mit einer vollst¨andigen Induktion. 2

Wo schneidet der Graph von f (x) = 12 x5 − 2x + 1 die x–Achse? Diese Frage stand ganz am Anfang dieses Buches in Beispiel 1.1.2 und war der Ausl¨oser daf¨ ur, dass wir uns u ¨berhaupt mit Folgen und Grenzwerten besch¨aftigt haben. Die Intervallschachtelung in Beispiel 1.1.2 erzielte leider keinen einzigen Treffer“. Aber ” jetzt k¨onnen wir beweisen, dass jede Intervallschachtelung ein eindeutig bestimmtes Ergebnis im folgenden Sinn besitzt: Satz 1.4.19. Jede Intervallschachtelung ([ ln , rn ])n hat ein eindeutiges Ergebnis, das heißt es gibt genau ein a ∈ R mit (ln )n → a und (rn )n → a ; außerdem ist a die eindeutig bestimmte Zahl mit a ∈ [ ln , rn ] f¨ ur alle n ∈ N . Beweis. Nach 1.3.21 gibt es a, b ∈ R mit (ln )n → a und (rn )n → b . Die Zahlen a und b sind Grenzwerte, also nach 1.4.2 eindeutig bestimmt. Außerdem gilt a = b , denn (rn − ln )n → b − a und (rn − ln )n ist eine Nullfolge: Die Intervalle [ ln , rn ] werden bei jedem Schritt halbiert, also folgt rn − ln =

 1 n−1 2

f¨ ur alle n ∈ N (vollst¨ andige Induktion!), und ¨ Beweis der zweiten Aussage: Ubung!

· (r1 − l1 )  1 n  2

n

→ 0 nach 1.4.10. 2

Mit der Intervallschachtelung in Beispiel 1.1.2 erzielen wir nach wie vor keinen Treffer. Doch der wesentliche Unterschied zur damaligen Situation besteht darin, dass Treffer jetzt nicht mehr n¨ otig sind: Wir wissen mit 1.4.19 auch ohne Treffer, dass ein eindeutig bestimmtes Ergebnis a ∈ R existiert; wir k¨onnen diesem Ergebnis einen Namen geben und mit ihm wie mit jeder anderen reellen Zahl umgehen, da eben a ∈ R gilt. So etwas sind wir auch schon lange gewohnt: Die Kreiszahl oder das Ergebnis von 2 : 3 k¨ onnen wir auch nicht als unendliche Kommazahl hinschreiben; wir benutzen stattdessen Namen und Schreibweisen wie π oder 23 und rechnen nach unseren gewohnten Regeln, das heißt nach den Axiomen von R . Und falls gew¨ unscht, k¨ onnen N¨ aherungen dieser Zahlen bis zur Grenze einer jeweils gegebenen Rechengenauigkeit bestimmt werden.

1.4. S¨atze u ¨ber Folgen

41

Aufgaben ¨ 1. Uberpr¨ ufen Sie, welche K¨ orperaxiome auch f¨ ur Folgen gelten. 2. F¨ uhren Sie den Beweis von 1.4.1 zu Ende. 3. Es sei RN die Menge aller Folgen (xn )n : N −→ R . Definieren Sie (in Analogie zu R+ und <“ f¨ ur reelle Zahlen) eine Menge (RN )+ und definieren Sie unser ” sch < “ mit Hilfe von (RN )+ . Formulieren und u ufen Sie Anordnungsaxio¨berpr¨ ” me f¨ ur RN (analog zu R). sch

4. In 1.4.2 sei (xn )n < (yn )n . Folgt dann a < b ? 5. Beweisen Sie 1.4.6. 6. Berechnen Sie die Grenzwerte wie in 1.4.7. 5 − n2 n2 − 50 n8 + 6n3 (c) xn := 10 n −n n5 − 5n2 (e) xn := cos(n) · 7 n −1

3n2 + n 2n2 − 9 n12 − 5n6 (d) xn := 15 n + 2n13 n21 + (−1)n · n17 (f) xn := n25 + 9n20

(a) xn :=

(b) xn :=

7. Zeigen Sie f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion:   n n n   (2i − 1) = n2 (b)  xi  ≤ |xi | (a) (c)

i=1 n

i=1

(4i − 1) = 2n2 + n

(d)

i=1

n

i=1

3i−1 =

i=1

3n −1 2

(e) Es sei xk+1 = axk f¨ ur alle k ∈ N . Dann ist xn = an−1 x1 . (f) xn − y n = (x − y) ·

n−1

xn−1−i y i . (Wink: Addiere −xy n + xy n )

i=0

8. F¨ uhren Sie den Beweis von 1.4.10 zu Ende. 9. Untersuchen Sie auf Konvergenz/Divergenz wie in 1.4.18. (a) xn := n13 − 10n12 + 3n + 7

(b) xn := 1 + 2n3 − n8

(c) xn := 2n14 − n9 + 4 cos(n)

(d) xn := sin(n) + 3n6 − n5

(e) xn :=

−5n4 + n3 − 1 n2 − n

(f) xn :=

−n7 − 9 n6 + 11n3 + 14

42

1.5

Kapitel 1. Grenzwert

Stetigkeit

Nach 1.4.19 hat die Intervallschachtelung in Beispiel 1.1.2 ein eindeutig bestimmtes Ergebnis a . Wir wissen aber noch nicht, ob f (a) = 0 gilt. Das war zwar unsere Absicht und es mag sogar plausibel klingen – doch woher wollen wir wissen, dass wir unser Ziel auch erreicht haben? Wir k¨ onnen a nicht in f (x) einsetzen um zu u ufen, ob f (a) = 0 gilt, denn a ist nicht konkret gegeben. Abbildung 1.1 ¨berpr¨ und die zugeh¨orige Intervallschachtelung legen vielleicht nahe, dass f (a) = 0 gilt; trotzdem kann f (a) = 0 falsch sein, wie das n¨achste Beispiel zeigt. Im vorliegenden Abschnitt werden wir S¨ atze besprechen, die f¨ ur sehr viele Funktionen L¨osungen von f (x) = 0 liefern, insbesondere auch f¨ ur f in Beispiel 1.1.2. Beispiel 1.5.1. Wir betrachten eine Funktion, bei der man leicht erkennt, warum die Folge (ln )n∈N der linken Grenzen einer Intervallschachtelung zwar konvergiert, aber nicht gegen eine L¨ osung von f (x) = 0 . Setze ⎧ ⎨ |x− 13 | f¨ ur x = 13 x− 13 f (x) := . ⎩ 1 f¨ ur x = 1 3

Es gilt f (0) < 0 < f (1) , also starten wir mit [ l1 , r1 ] := [ 0 ; 1] und setzen  [ ln , mn ] falls f (mn ) > 0 [ ln+1 , rn+1 ] := [ mn , rn ] sonst f¨ ur n ∈ N und mn := 12 (ln + rn ) . Tabelle 1.3 enth¨alt die ersten 6 Werte. n 1 2 3 4 5 6

ln 0 0 0,25 0,25 0,3125 0,3125

mn 0,5 0,25 0,375 0,3125 0,34375 0,328125

rn 1 0,5 0,5 0,375 0,375 0,34375

f (ln ) −1 −1 −1 −1 −1 −1

f (mn ) +1 −1 +1 −1 +1 −1

f (rn ) +1 +1 +1 +1 +1 +1

Tabelle 1.3: Intervallschachtelung f¨ ur f (x) = 0 ur x ≥ 13 konvergieren (ln )n , (mn )n Wegen f (x) = −1 f¨ ur x < 13 und f (x) = 1 f¨ 1 1 und (rn )n gegen 3 , aber 3 ist nat¨ urlich keine L¨osung der Gleichung f (x) = 0 . 2 Die Besonderheit der Funktion f in Beispiel 1.5.1 besteht darin, dass sich ihre Werte in der N¨ ahe von x = 13 sprunghaft a¨ndern“ (siehe Abbildung 1.11). Da” durch ist es m¨ oglich, dass die Folge der Funktionswerte f (mn ) nicht konvergiert, obwohl (mn )n konvergiert. Beim Einsetzen in f kann die Konvergenz einer Folge also verloren gehen. Nat¨ urlich gibt es auch Folgen (xn )n , sodass (xn )n und (f (xn ))n konvergieren, etwa (ln )n und (rn )n . Die entscheidende Frage lautet aber, ob f die Eigenschaft der Konvergenz immer erh¨ alt, ob also f¨ ur jede konvergente Folge (xn )n auch (f (xn ))n konvergiert. Solche Funktionen nennt man stetig :

1.5. Stetigkeit

43

f (x) 1

1/3

1

x

Abbildung 1.11: Beispiel 1.5.1 Definition 1.5.2. Eine Funktion f : D −→ R heißt stetig an einer Stelle a ∈ D , wenn f¨ ur jede Folge (xn )n∈N in D gilt: (xn )n∈N → a

=⇒

(f (xn ))n∈N → f (a) .

Dabei bedeutet (xn )n∈N in D“, dass xn ∈ D f¨ ur alle n ∈ N gilt. Wenn f an jeder ” Stelle a ∈ D stetig ist, dann heißt f stetig . 2 Die Funktion in 1.5.1 ist unstetig an der Stelle 13 , aber stetig zum Beispiel an der Stelle 2; denn f¨ ur (xn )n → 2 wird (f (xn ))n schließlich sogar konstant 1, also folgt (f (xn ))n → 1 = f (2) . Mit Hilfe der Stetigkeit k¨ onnen wir das zu Beginn dieses Abschnitts formulierte Problem l¨osen, denn wie wir gleich sehen werden konvergieren Intervallschachtelungen bei Funktionen, die stetig sind und keine Definitionsl¨ ucken besitzen, immer gegen L¨osungen der zugeh¨ origen Gleichungen. Definition 1.5.3. Sei f : D −→ R eine Funktion, [ l1 , r1 ] ⊆ D , f (l1 ) ≤ 0 ≤ f (r1 ) und  [ ln , mn ] falls f (mn ) > 0 [ ln+1 , rn+1 ] := [ mn , rn ] sonst f¨ ur n ∈ N und mn := 12 (ln + rn ) . Dann heißt ([ ln , rn ])n Intervallschachtelung f¨ ur f (x) = 0 . 2 Nat¨ urlich k¨onnten wir im Fall f (l1 ) = 0 , f (r1 ) = 0 oder f (mn ) = 0 die Intervallschachtelung sofort abbrechen, da wir dann L¨osungen f¨ ur f (x) = 0 besitzen; doch die gew¨ahlten Formulierungen in 1.5.3 sparen uns im Folgenden viele Fallunterschei¨ dungen. Ubrigens: Wenn man zwei Stellen l1 und r1 findet mit f (l1 ) ≥ 0 ≥ f (r1 ) , dann muss man f nur mit −1 multiplizieren; das a¨ndert nichts an der L¨osungsmenge von f (x) = 0 , und nach 1.5.3 ist eine Intervallschachtelung f¨ ur −f (x) = 0 definiert. Lemma 1.5.4. Es sei ([ ln , rn ])n eine Intervallschachtelung f¨ ur f (x) = 0 . Dann ur alle n ∈ N . gilt f (ln ) ≤ 0 ≤ f (rn ) f¨ Beweis. Vollst¨andige Induktion: n = 1 : f (l1 ) ≤ 0 ≤ f (r1 ) gilt nach Definition 1.5.3.

44

Kapitel 1. Grenzwert

n → n + 1“: Ind.Ann.: F¨ ur ein n ∈ N gilt f (ln ) ≤ 0 ≤ f (rn ) . ” Ind.Beh.: Dann gilt auch f (ln+1 ) ≤ 0 ≤ f (rn+1 ) . Beweis: 1. Fall: f (mn ) > 0 . Dann ist ln+1 = ln und rn+1 = mn , also folgt f (ln+1 ) = f (ln ) ≤ 0 < f (mn ) = f (rn+1 ) . 2. Fall: f (mn ) ≤ 0 . Dann ist ln+1 = mn und rn+1 = rn ; damit erhalten wir 2 f (ln+1 ) = f (mn ) ≤ 0 ≤ f (rn ) = f (rn+1 ) . Jetzt k¨onnen wir den versprochenen Satz formulieren und beweisen: Satz 1.5.5. Sei f : D −→ R stetig, [ l1 , r1 ] ⊆ D , f (l1 ) ≤ 0 ≤ f (r1 ) und ([ ln , rn ])n eine Intervallschachtelung f¨ ur f (x) = 0 mit Ergebnis a . Dann ist f (a) = 0 . Beweis. Nach 1.4.19 gilt (ln )n → a und (rn )n → a , also folgt aus der Stetigkeit von f , dass (f (ln ))n → f (a) und (f (rn ))n → f (a) gilt. Nach Lemma 1.5.4 ist (f (ln ))n ≤ 0 ≤ (f (rn ))n , also f (a) ≤ 0 ≤ f (a) nach 1.4.2. Somit ist f (a) = 0 . 2 Wenn also zum Beispiel die Funktion in 1.1.2 stetig w¨are, dann k¨onnten wir mit 1.5.5 sofort schließen, dass das Ergebnis a der zugeh¨origen Intervallschachtelung eine L¨osung von f (x) = 0 ist, und dass der Graph die x–Achse bei a schneidet. Das gilt f¨ ur alle stetigen Funktionen mit f (l1 ) ≤ 0 ≤ f (r1 ) , also besprechen wir im Folgenden S¨atze zum Nachweis der Stetigkeit. Nach unserer Definition der Stetigkeit ist unmittelbar klar, dass alle konstanten Funktionen und auch die identische Funktion id : R −→ R , x −→ x stetig sind. Daraus lassen sich aber bereits alle rationalen Funktionen herstellen: Eine Funktion heißt rational , wenn ihr Funktionsterm ein Quotient von Polynomen ist, wobei Polynome Terme der Form f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x1 + a0 , n ∈ N 2

x sind. Zum Beispiel ist f (x) = x+3 der Term einer rationalen Funktion; sie setzt sich aus der Funktion id und aus der konstanten Funktion g mit g(x) = 3 zusammen: id(x)·id(x) id·id x2 f = id+g , denn id(x)+g(x) = x+3 . Allgemein rechnet man mit Funktionen wie folgt (vergleiche Definition 1.2.6):

Definition 1.5.6. Es seien f und g zwei Funktionen mit gemeinsamer Definitionsmenge D . Dann sind f + g , f − g und f · g Funktionen mit Definitionsmenge D und Termen (f + g)(x) := f (x) + g(x) , (f − g)(x) := f (x) − g(x) und (f · g)(x) := f (x) · g(x) . Ist außerdem g(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ D , dann ist fg die Funktion mit Definitionsmenge D und Term

f g (x)

:=

f (x) g(x)

.

2

Manchmal m¨ ussen Definitionsmengen eingeschr¨ankt werden, damit f und g die gleiche Definitionsmenge besitzen bzw. damit g(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ D . Zum Beispiel id·id die Funktionen id und g auf R \ {−3} eingeschr¨ankt. werden f¨ ur das vorherige id+g Alle rationalen Funktionen setzen sich aus konstanten Funktionen und der Funktion id mittels + , − , · , :“ zusammen; dabei geht die Stetigkeit nicht verloren: ”

1.5. Stetigkeit

45

Satz 1.5.7. Es seien f und g stetig bei a ∈ Df = Dg . Dann sind auch f + g , f − g und f · g bei a stetig. Gilt außerdem g(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ Dg , dann ist auch fg bei a stetig.   Beweis. Es sei (xn )n → a . Wir zeigen (f + g)(xn ) n → (f + g)(a) : Nach Voraussetzung sind f und g bei a stetig, also gilt (f (xn ))n → f (a) und (g(xn ))n → g(a) . Mit Satz 1.4.5 folgt (f (xn ) + g(xn ))n → f (a) + g(a) , also genau das, was f¨ ur die Stetigkeit von f + g zu zeigen war. Der Rest von Satz 1.5.7 folgt analog. 2 Man beachte, dass Funktionen mit Termen wie x1 stetig sind, obwohl“ sie bei ” x = 0 einen riesigen Sprung“ haben: Die Stetigkeit macht nur Aussagen u ¨ber ” Stellen, die in der Definitionsmenge liegen, aber 0 liegt nicht in der Definitionsmenge von x1 . Jetzt wissen wir, dass alle rationalen Funktionen stetig sind, insbesondere auch die Funktion f mit f (x) = 12 x5 −2x+1 in Beispiel 1.1.2. Der Graph von f schneidet also nach Satz 1.5.5 die x–Achse an einer Stelle a (dem Ergebnis einer Intervallschachtelung). Das erschien uns nat¨ urlich bereits von Anfang an irgendwie plau” sibel“: Wenn man zwei Punkte, die auf verschiedenen Seiten einer Geraden liegen, mit einer Linie ohne L¨ ucken und ohne Spr¨ unge verbindet, dann wird die Gerade mindestens einmal geschnitten (vergleiche Abbildung 1.12). Doch Beispiel 1.1.4 hat gezeigt, dass es unsichtbar kleine L¨ ucken“ geben kann: Der Graph von Q −→ Q , ” x −→ x2 − 2 schneidet nur scheinbar die x–Achse. Der Zwischenwertsatz pr¨azisiert, wann wir unserer geometrischen Intuition trauen d¨ urfen: wenn die Linie“ ein ” Funktionsgraph ist, und wenn ohne L¨ ucken und ohne Spr¨ unge“ bedeutet, dass die ” Definitionsmenge ein reelles Intervall und die Funktion stetig ist. y f (d)

z f (c) c

a

d

x

Abbildung 1.12: Zwischenwertsatz Satz 1.5.8. Zwischenwertsatz. Es sei f : [ c , d ] → R eine stetige Funktion und z eine reelle Zahl zwischen f (c) und f (d) . Dann gibt es ein a ∈ [ c , d ] mit f (a) = z . Beweis. Im Fall f (c) < z < f (d) sei g(x) := f (x) − z , im Fall f (c) > z > f (d) sei g(x) := z − f (x) . Dann gilt jedenfalls g(c) < 0 < g(d) . Es sei [ l1 , r1 ] := [ c , d ] und orige Intervallschachtelung f¨ ur g(x) = 0 mit Ergebnis a . Die ([ ln , rn ])n die zugeh¨ Funktion f ist stetig, also nach 1.5.7 auch g . Mit 1.5.5 folgt g(a) = 0 , und damit f (a) = z . 2

46

Kapitel 1. Grenzwert

√ Sind auch Funktionen mit Termen wie x2 + 1 stetig? Eine solche Funktion 2 setzt sich√aus zwei Funktionen f und g wie √ folgt zusammen: Mit f (x) := x + 1 und 2 2 g(x) := x ist g(f (x)) = g(x + 1) = x + 1 . Diese Art der Zusammensetzung von g und f nennt man eine Verkettung von g nach f . Wir wissen bereits, dass f stetig ist; außerdem ist g eine Umkehrung der Quadratfunktion. Wir m¨ ussen also zwei Dinge kl¨aren: Welche Umkehrfunktionen sind stetig? Ist die Verkettung stetiger Funktionen wieder stetig? Definition 1.5.9. Es seien f : A −→ B und g : C −→ D Funktionen mit Wf ⊆ C . (Dabei bezeichnet Wf die Menge aller Funktionswerte von f .) Dann ist g◦f :

A x

−→ D −→ g(f (x)) 2

die Verkettung von g nach f . Beispiel 1.5.10. F¨ ur f : ist

R x

−→ R −→ x2 + 1 g◦f :

und

R −→ x −→

g : R+ 0 x

−→ √R x −→

R √ x2 + 1

definiert, denn f¨ ur alle x ∈ R ist x2 + 1 ≥ 1 , also Wf ⊆ Dg . Vertauscht man f und g , so erh¨ alt man eine andere Verkettung: f ◦ g : R+ −→ 0 x −→

R x+1

.

Die Verkettung ist also nicht kommutativ: f ◦ g = g ◦ f .

2

Satz 1.5.11. Es seien f und g stetige Funktionen mit Wf ⊆ Dg . Dann ist auch g ◦ f stetig. Beweis.  Es sei a ∈ Df und (xn )n∈N eine Folge in Df , die gegen a konvergiert. Wir zeigen g(f (xn )) n → g(f (a)) :   Nach Voraussetzung ist f stetig, also folgt f (xn ) n → f (a) . Nach Voraussetzung   ist auch g stetig, also folgt g(f (xn )) n → g(f (a)) . 2 Definition 1.5.12. Eine Funktion f : A −→ B heißt umkehrbar oder auch bijektiv , wenn es eine Funktion g : B −→ A gibt mit g ◦ f = idA und f ◦ g = idB , wobei idA : A −→ A , x −→ x . In diesem Fall heißt g Umkehrfunktion von f . Schreibweise: 2 f −1 := g . f −1 hat also genau die umgekehrte Wirkung“ wie f : F¨ ur f (a) = b ist f −1 (b) = ” f −1 (f (a)) = a ; f¨ ur f −1 (c) = d ist f (d) = f (f −1 (c)) = c . Eine Funktion f : A −→ B ist genau dann bijektiv, wenn jedes b ∈ B genau 1 mal als Funktionswert vorkommt, das heißt wenn es zu jedem b ∈ B genau ein a ∈ A gibt mit f (a) = b ; dieses a ist dann f −1 (b) .

1.5. Stetigkeit

47

Beispiel 1.5.13. f : R −→ R mit f (x) := x2 ist nicht bijektiv, denn zu b = 4 gibt es zwei verschiedene a wegen f (−2) = f (2) = 4 . Aber auch f : R+ 0 −→ R mit f (x) := x2 ist nicht bijektiv, denn zu b = −4 ∈ R gibt es kein a ∈ R+ 0 mit + 2 f (a) = −4 . Erst f : R+ 0 −→ R0 mit f (x) := x ist bijektiv (siehe 1.5.15). Das bedeutet letztlich, dass jedes b ∈ R+ 0 genau eine Quadratwurzel besitzt, das heißt 2 = b . F¨ u r die zugeh¨orige Umkehrfunktion f −1 verwendet genau ein a ∈ R+ 0 mit a √ 1 −1 2 man die Schreibweisen b := b := f (b) = a . 2 Um nachzuweisen, dass eine Funktion bijektiv ist, verwendet man h¨aufig die Monotonie (vergleiche mit Definition 1.3.19): Definition 1.5.14. Eine Funktion f heißt monoton steigend (bzw. fallend ), wenn f¨ ur alle a, b ∈ Df gilt (siehe Abbildung 1.13): a
=⇒



 bzw. f (a) ≥ f (b) .

f (a) ≤ f (b)

Gilt zus¨atzlich f (a) = f (b) f¨ ur alle a = b , dann heißt f streng monoton steigend (bzw. fallend ). 2

y

y f (b)

f (a) f (a) f (b) a

b

x

a

b

x

Abbildung 1.13: streng monoton steigend bzw. fallend + n Lemma 1.5.15. Es sei n ∈ N . Dann ist f : R+ 0 −→ R0 mit f (x) = x bijektiv. + Beweis. Es sei b ∈ R+ 0 . Wir zeigen, dass es genau ein a ∈ R0 gibt mit f (a) = b . Nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein k ∈ N mit b < k . Wegen f (0) = 0 ≤ b < k ≤ k n = f (k) folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass es mindestens ein a ∈ [ 0 ; k ] gibt mit f (a) = b . Es gibt aber nur ein a ∈ R+ 0 mit f (a) = b , da f streng monoton steigend ist. (Die strenge Monotonie zeigt man zum Beispiel mit ¨ einer vollst¨andigen Induktion. Ubung!) 2

Lemma 1.5.15 erlaubt uns die Definition von Wurzeln: + f (x) = xn . Die UmDefinition 1.5.16. Es sei n ∈ N und f : R+ 0 −→ R0 mit √ 1 ur kehrung f −1 heißt n–te Wurzelfunktion . Schreibweisen: n x := x n := f −1 (x) f¨ x ≥ 0. 2

48

Kapitel 1. Grenzwert y

y

x

x

Abbildung 1.14: f ist stetig, aber f

−1

unstetig

Sind Wurzelfunktionen stetig? Sie sind zwar Umkehrungen der stetigen Potenzfunktionen x → xn , aber die Umkehrung einer stetigen Funktion f kann unstetig sein wie man in Abbildung 1.14 erkennt. Wenn jedoch die Definitionsmenge Df keine L¨ ucke hat, dann ist f −1 stetig. Das liegt letztlich an einem engen Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Monotonie: ucken, f ist stetig und f −1 existiert. Dann muss Nehmen wir an, Df hat keine L¨ f streng monoton sein, sonst ergibt sich zum Beispiel eine Situation wie in Abbildung 1.15: Der Wert f (b2 ) wird nach dem Zwischenwertsatz im Intervall [ a , b1 ] ein zweites Mal angenommen, was der Existenz von f −1 widerspricht. y

f (b1) f (b2)

f (a) a

b1

b2

x

Abbildung 1.15: f (b2 ) taucht zweimal auf, wenn f stetig ist Satz 1.5.17. Es sei f : [ c , d ] −→ Wf stetig und bijektiv. Dann ist f streng monoton. ¨ Beweis. Ubung!

2

Umgekehrt folgt aus der Monotonie auch die Stetigkeit, wenn die Wertemenge keine L¨ ucken hat: Satz 1.5.18. Es sei f : D −→ R monoton mit Wertemenge Wf = [ c , d ] . Dann ist f stetig. Beweis. Es sei a ∈ D und (xn )n eine Folge in D mit (xn )n → a . Wir zeigen (f (xn ))n → b := f (a) .

1.5. Stetigkeit

49

b+ε

b+ε

l

l

b

b

k

k

b-ε

b-ε i

a

j

x

j

a

i

x

Abbildung 1.16: Satz 1.5.18 f¨ ur steigendes bzw. fallendes f sch

Dazu: Sei  > 0 . Wir zeigen (|f (xn ) − b|)n <  . 1. Fall: c < b < d . Wegen Wf = [ c , d ] gibt es k, l ∈ Wf mit b−
zwischen k und l , also gilt (|f (xn ) − b|)n <  . ¨ 2. Fall: b = c oder b = d : Analog. (Ubung!)

2

Korollar 1.5.19. Es sei f : [ c , d ] −→ Wf streng monoton. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 : Wf −→ [ c , d ] stetig. Korollar 1.5.20. Es sei f : [ c , d ] −→ Wf stetig und bijektiv. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 : Wf −→ [ c , d ] stetig. Aus 1.5.19 folgt insbesondere die Stetigkeit der Wurzelfunktionen, da die Funktionen f : [ 0 , d ] −→ Wf , x −→ xn f¨ ur alle d ∈ R+ und alle n ∈ N streng monoton sind. Damit sind auch Verkettungen√von Wurzelfunktionen und rationalen Funktionen stetig, wie zum Beispiel x −→ x2 + 1 . Durch eine spezielle Art der Verkettung k¨onnen wir Potenzen mit rationalen Exponenten definieren: f

g

1

1

z

+ + n n z n R+ 0 −→ R0 −→ R0 , x −→ x −→ (x ) =: x f

1

g

1

f¨ ur z ∈ Z und n ∈ N . Man kann zeigen, dass (x n )z = (x b )a f¨ ur nz = ab gilt, dass also r x bei gegebenem r ∈ Q nicht von der Wahl eines zugeh¨origen Bruchs nz = ab = r abh¨angt. ur alle x ∈ R+ In Abschnitt 1.7 erweitern wir den Begriff der Potenz so, dass xr f¨ und alle r ∈ R definiert ist.

50

Kapitel 1. Grenzwert

Aufgaben 1. Beispiele, in denen eine Intervallschachtelung zwar durchf¨ uhrbar ist, aber keine L¨osung der zugeh¨ origen Gleichung liefert: ( Wie lautet das Ergebnis a ? Was ist f (a) ? Zeichnen Sie Gf . ) (a) f (x) =

1 x−

; Gleichung: f (x) = 0 ; Startintervall: [ 0 ; 1 ] .

1 3

x+ 47

; Gleichung: f (x) = 0,5 ; Start: [ −1 ; 0 ] . 2 (x+ 47 )  x f¨ ur x ≤ 4/3 (c) f (x) := ; Gleichung: f (x) = 2 ; Start: [ 1 ; 2 ] . 5 − x f¨ ur x > 4/3

(b) f (x) =



2. Finden Sie eine Funktion f und Folgen xn → 1 , yn → 1 und zn → 1 , sodass f (xn ) → 2 , f (yn ) → 4 und f (zn ) divergiert. (Beispiel 1.5.1!) 3. F¨ uhren Sie den Beweis von Satz 1.5.7 zu Ende. 4. Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Aussage des Zwischenwertsatzes falsch wird, wenn f Definitionsl¨ ucken hat. Welche Argumente werden dann im zugeh¨origen Beweis falsch? 5. Bestimmen Sie jeweils die Funktionsterme von f ◦ g und g ◦ f : (a) f (x) = 3x2 , g(x) = x + 1

(b) f (x) = 2x − 5 , g(x) = −3x + 8 √ , g(x) = sin x (d) f (x) = cos x , g(x) = x2 − 1

1 x+1 1 1 (e) f (x) = , g(x) = x x+1 (c) f (x) =

(f) f (x) = 2x , g(x) = x2

6. Finden Sie jeweils Terme f (x) und g(x) mit (f ◦ g)(x) = h(x) : (a) h(x) = (2x − 1)3   1 (c) h(x) = log2 x+1 (e) h(x) = x6 + 10x3 + 25

(b) h(x) = sin(x2 − x + 3) (d) h(x) =

5 cos x

(f) h(x) = 5x + 53x

7. Finden Sie eine bijektive Funktion, die nicht streng monoton ist. Finden Sie eine streng monotone Funktion, die nicht bijektiv ist. 8. Zeigen Sie: Wenn f bijektiv und streng monoton ist, dann ist auch f −1 bijektiv und streng monoton. 9. F¨ uhren Sie den Beweis von Satz 1.5.18 zu Ende.

1.6. Konvergente Funktionen

1.6

51

Konvergente Funktionen

Die Stetigkeit einer Funktion f ist nur an Stellen der Definitionsmenge Df erkl¨art, also sind beide Funktionen zu den Graphen in Abbildung 1.17 stetig, obwohl“ ” der rechte Graph an der Stelle 2 einen Sprung hat, denn 2 liegt nicht in Df . Um das unterschiedliche Verhalten beider Graphen in der N¨ahe von 2“ beschreiben zu ” k¨onnen, erweitern wir den Begriff der Stetigkeit an einer Stelle a zum Begriff der Konvergenz f¨ ur x → a .

y

y

1

1

2

x

2

x

Abbildung 1.17: konvergent bzw. divergent f¨ ur x → 2 Das Verhalten des linken Graphen in 1.17 k¨onnte man in etwa so beschreiben: Wenn sich x der Stelle 2 n¨ ahert, dann n¨ ahert sich f (x) der Zahl 1; dabei ist es egal, wie sich x der 2 n¨ ahert. Das ist beim rechten Graph anders: Dort kommt es darauf an, von welcher Seite sich x der Stelle 2 n¨ ahert. Die Formulierung x n¨ahert sich 2“ ” pr¨azisieren wir durch Folgen (xn )n in Df , die gegen 2 konvergieren; entsprechend bedeutet f (x) n¨ ahert sich 1“, dass (f (xn ))n gegen 1 konvergiert. Das Verhalten ” des linken Graphen pr¨ azisieren wir damit so: F¨ ur jede Folge (xn )n in Df gilt: (xn )n → 2

=⇒

(f (xn ))n → 1 .

¨ Man beachte die große Ahnlichkeit zur Definition der Stetigkeit: Die einzigen Unterschiede bestehen darin, dass 2 nicht in Df liegt und dass f (2) durch 1 ersetzt wurde. Bei der Definition der Konvergenz f¨ ur x → a werden wir aber a ∈ Df nicht verbieten. Damit ist die Stetigkeit bei a ein Spezialfall der Konvergenz f¨ ur x → a . / Df gelten. Allerdings muss es eine Bei der Konvergenz kann a ∈ Df oder a ∈ Folge (xn )n in Df geben, die gegen a konvergiert, das heißt a muss unendlich nahe ” bei Df liegen“. Es w¨ are auch wenig sinnvoll, das Verhalten einer Funktion f in ” der N¨ahe von 2“ zu untersuchen, wenn Df = ]3 ; 5[ ist: Dann gibt es kein f in ” der N¨ahe von 2“. Wenn a unendlich nahe bei Df liegt“, dann nennen wir a einen ” uhrpunkte von ]3 ; 5[ , aber 2 ist Ber¨ uhrpunkt von Df ; zum Beispiel sind 4 und 5 Ber¨ kein Ber¨ uhrpunkt. Insbesondere sind also Zahlen a , die ohnehin in Df liegen, auch Ber¨ uhrpunkte von Df : Es gibt eine Folge in Df , die gegen a konvergiert, n¨amlich die konstante Folge (a)n = (a, a, a, . . .) . Definition 1.6.1. (a) Eine Zahl a ∈ R heißt Ber¨ uhrpunkt von M ⊆ R , wenn es eine Folge (xn )n in M gibt mit (xn )n → a .

52

Kapitel 1. Grenzwert

(b) Es sei f eine Funktion, a ∈ R ein Ber¨ uhrpunkt von Df und b ∈ R . Die Funktion f konvergiert gegen b f¨ ur x → a , wenn f¨ ur jede Folge (xn )n in Df gilt: (xn )n → a

=⇒

(f (xn ))n → b .

In diesem Fall heißt b auch Grenzwert von f f¨ ur x → a . Schreibweise: lim f (x) = b , x→a

oder auch f (x) → b f¨ ur x → a . Die Funktion f divergiert f¨ ur x → a , wenn sie nicht konvergiert. 2 π ur Beispiel 1.6.2. Die Funktion mit Term f (x) = sin x ist bei 0 divergent: F¨ 1 xn := n1 gilt zwar (xn )n → 0 und f (xn ) = sin(nπ) = 0 → 0 ; aber f¨ ur yn := n+0,5 gilt (yn )n → 0 und f (yn ) = sin ((n + 0,5)π) pendelt st¨andig zwischen 1 und −1 . (Den Sinus definieren wir offiziell“ erst in 1.8, aber Sie haben sicher schon eine ” ungef¨ahre Vorstellung davon.) 2

y 1

x

1

Abbildung 1.18: f (x) = sin

π  x

Beispiel 1.6.3. Die Funktion f aus Beispiel 1.5.1 ist bei a = 13 divergent: F¨ ur ur yn := 13 − n1 gilt zwar ebenfalls xn := 13 + n1 gilt (xn )n → 13 und (f (xn ))n → 1 ; f¨ (yn )n → 13 , aber (f (yn ))n → −1 . Bei solchen Funktionen spricht man manchmal auch von einer rechtsseitigen und linksseitigen Konvergenz: F¨ ur alle Folgen (xn )n > 13 mit (xn )n → 13 konvergiert ur (xn )n < 13 mit (xn )n → 13 konvergiert (f (xn ))n gegen (f (xn ))n gegen 1; und f¨ −1. Schreibweise: lim f (x) = 1 und lim f (x) = −1 . 2 + − x→ 13

x→ 13

Man erweitert Definition 1.6.1, indem man f¨ ur a und b auch noch ±∞ zul¨asst (bis auf a ∈ R oder b ∈ R kann man 1.6.1 w¨ortlich abschreiben; allerdings hat sich f¨ ur den Fall f (x) → ±∞ der Begriff bestimmte Divergenz eingeb¨ urgert.) Doch bevor wir das tun, m¨ ussen wir u berpr¨ u fen, ob die neue“ Konvergenz von Funktionen im ¨ ” Fall x → ∞ mit der alten“ Konvergenz von Folgen u bereinstimmt: Eine Folge ist ¨ ” ja ebenfalls eine Funktion, n¨ amlich eine Funktion mit Definitionsmenge N , und ∞ ur Folgen fassen wir als Ber¨ uhrpunkt von N auf, denn (n)n → ∞ . Damit h¨atten wir f¨ zwei Konvergenz–Begriffe: Einen gem¨ aß 1.2.9, und einen gem¨aß 1.6.1 (mit a = ∞). Doch diese Begriffe sind zueinander a ¨quivalent:

1.6. Konvergente Funktionen

53

Lemma 1.6.4. Es sei b ∈ R und f : N −→ R eine Folge. Dann sind ¨ aquivalent: 1. (f (n))n → b 2. F¨ ur alle (xk )k in N mit (xk )k → ∞ gilt (f (xk ))k → b . Beweis. 1. ⇒ 2.“: Es sei  > 0 und (xk )k in N mit (xk )k → ∞ . Wir zeigen ” sch sch (|f (xk ) − b|)k <  : Nach Vor. gilt (f (n))n → b , also (|f (n) − b|)n <  , das heißt es gibt ein N ∈ N mit |f (n) − b| <  f¨ ur alle n > N . Wegen (xk )k → ∞ gibt es ein K ∈ N mit xk > N

f¨ ur alle k > K . sch

ur alle k > K , das heißt (|f (xk ) − b|)k <  . Damit folgt |f (xk ) − b| <  f¨ 1. ⇐ 2.“: Folgt sofort mit (xk )k := (k)k . ”

2

Analog zeigt man, dass die neue“ Divergenz f (x) → ∞ f¨ ur x → ∞ mit ” ¨ der alten“ Divergenz von Folgen in Definition 1.4.16 u ¨bereinstimmt (Ubung!). ” Damit k¨onnen wir Definition 1.6.1 erweitern, ohne mit der bisherigen Konvergenz/Divergenz von Folgen in Konflikt zu geraten: Definition 1.6.5. (a) a ∈ R ∪ {±∞} heißt Ber¨ uhrpunkt von M ⊆ R , wenn es eine Folge (xn )n∈N in M gibt mit (xn )n∈N → a . (b) Es sei f eine Funktion, a ∈ R ∪ {±∞} ein Ber¨ uhrpunkt von Df und b ∈ R . Die Funktion f konvergiert gegen b f¨ ur x → a , wenn f¨ ur jede Folge (xn )n in Df gilt: (xn )n∈N → a

=⇒

(f (xn ))n∈N → b .

(c) Es sei f eine Funktion, a ∈ R ∪ {±∞} ein Ber¨ uhrpunkt von Df und b ∈ {±∞} . Die Funktion f ist bestimmt divergent gegen b f¨ ur x → a , wenn f¨ ur jede Folge (xn )n in Df gilt: (xn )n∈N → a =⇒ (f (xn ))n∈N → b . (d) Es sei f eine Funktion und a ∈ R∪{±∞} ein Ber¨ uhrpunkt von Df . Die Funktion f ist unbestimmt divergent f¨ ur x → a , wenn wenn sie f¨ ur x → a weder konvergent noch bestimmt divergent ist. 2 Beispiel 1.6.6. Wir untersuchen das Verhalten von f (x) =

x2 − x − 2 bei 0, ±1 x2 − 1

und ±∞ . Die Funktion f ist rational, also stetig. Außerdem ist 0 ∈ Df , somit f (x) → f (0) = 2 f¨ ur x → 0 .

54

Kapitel 1. Grenzwert

y

1 -1

x

1

Abbildung 1.19: Gf in Beispiel 1.6.6 −1 ∈ / Df , da der Nenner dort 0 wird. Da aber auch der Z¨ahler 0 wird, kann man aus Z¨ahler und Nenner den Faktor (x + 1) ausklammern und k¨ urzen: f (x) =

x2 − x − 2 (x − 2)(x + 1) x−2 3 = = → x2 − 1 (x − 1)(x + 1) x−1 2

f¨ ur x → −1 .

F¨ ur x → 1 geht der Z¨ ahler gegen −1 , der Nenner gegen 0 bei unterschiedlichem Vorzeichen rechts und links der 1, also ist f bei 1 unbestimmt divergent. F¨ ur x → ±∞ k¨ urzt man mit x2 : f (x) =

1 − x1 − x22 →1 1 − x12

f¨ ur x → ±∞ .

Mit diesen Informationen kann man bereits den groben Verlauf des Graphen skizzieren: Wegen lim f (x) = 1 hat Gf die horizontale Asymptote y = 1 . Wegen x→±∞

lim |f (x)| = ∞ hat Gf die vertikale Asymptote x = 1 ; mit Hilfe der Vorzeichen von

x→1

Z¨ahler und Nenner erkennt man, auf welcher Seite von 1 der Graph nach +∞ bzw. −∞ divergiert; 1 heißt auch Polstelle von f . Wegen lim f (x) = 32 hat Gf bei −1 x→−1

2

eine stetig behebbare Definitionsl¨ ucke“. ”

Aufgaben 1. Finden Sie jeweils a ∈ R und Folgen xn → a , yn → a und zn → a , mit f (xn ) → ∞ , f (yn ) → −∞ und f (zn ) divergiert unbestimmt: 3 x+2 x−2 (c) f (x) = 2 x − 4x + 4

(a) f (x) =

(b) f (x) = − (d) f (x) =

1 x3

−2 (x − 3)2 (x + 1)

2. Geben Sie zwei Teilmengen A, B ⊆ R mit folgender Eigenschaft an: Die Zahl 0 ist ein Ber¨ uhrpunkt von A und B , aber nicht von A ∩ B . Analog mit ∞ statt 0. Zeigen Sie außerdem f¨ ur alle A, B ⊆ R : Jeder Ber¨ uhrpunkt von A ∪ B ist ein Ber¨ uhrpunkt von A oder B .

1.6. Konvergente Funktionen

55

3. Zeigen Sie: Es sei c < d und a ein Ber¨ uhrpunkt von [ c , d ] . Dann ist a ∈ [ c , d ] . 4. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte (falls sie existieren). Setzen Sie außerdem zur Probe Zahlen in der N¨ ahe“ der betreffenden Stellen ein. ” (a)

lim (x2 + 5x − 1)

x→−1

5−x x→5 x − 5 x2 + 6x + 9 (e) lim x→−3 x2 + x − 6

(c) lim

(b)

lim (4x3 + 3x + 3)

x→0,5

x9 + x x→0 3x7 − 2x x2 − 5x − 14 (f) lim x→7 x2 − 49

(d) lim

¨ 5. Uberpr¨ ufen Sie jeweils auf Stetigkeit und Konvergenz: (a) f (x) = |x + 1| (b) f (x) = x + sgn(x) , wobei sgn die Vorzeichen-Funktion ist: ” sgn(x) = 1 f¨ ur x > 0 , sgn(x) = −1 f¨ ur x < 0 und sgn(0) = 0 .  2 x − 10 f¨ ur x < −3 (c) f (x) := −4 − x f¨ ur −3 < x  x + 1 f¨ ur x ≤ 2 (d) f (x) := ur 2 < x 7 − x2 f¨ 6. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte (falls sie existieren). Setzen Sie außerdem zur Probe Zahlen in der N¨ ahe“ von ±∞ ein. ”   3 − 5x (a) lim x2 + 7 (b) lim x→∞ x→∞ x + 2 5 − x2 x2 + x (c) lim (d) lim x→−∞ x2 − 500 x→−∞ 2x2 − 2x + 9 7 3 x + 6x + 9 x12 − 5x6 − 14 (f) lim (e) lim x→−∞ x9 + x − 6 x→∞ x15 + 2x13 − 49 3+x 3+x (g) lim (h) lim x→∞ |x| − 4 x→−∞ |x| − 4 (i)

lim

x→−∞

(k) lim

x→∞

4 − 5|x| − 6|x|3 |x|3 + 2x2 + 3 ax + b cx + d

(j) lim

x→∞

(l)

lim

4 − 5|x| − 6|x|3 |x|3 + 2x2 + 3

x→−∞

xk + 1 2xn + 3

7. Untersuchen Sie die folgenden Terme in der N¨ahe ihrer jeweiligen Definitionsl¨ ucken (rechts/linksseitige Konvergenz/Divergenz). Setzen Sie zur Probe Zahlen in der N¨ ahe“ der Definitionsl¨ ucken ein. ” (a) a(x) =

2 +7 x

(b) b(x) =

3 + 5x x+2

56

Kapitel 1. Grenzwert x2 x5 x4 − 1 (e) e(x) = 2 x −1 |x + 1| (g) g(x) = |x| − 1

(c) c(x) =

x−1 x2 − 2x + 1 x6 − 9 (f) f (x) = 6 x + 6x3 + 9 |x − 2| (h) h(x) = |x| − 2

(d) d(x) =

8. Untersuchen Sie die folgenden Terme f¨ ur x → ±∞ (Konvergenz / Divergenz). Setzen Sie zur Probe Zahlen in der N¨ahe“ von ±∞ ein. ” (a) a(x) = x13 − 10x12 + 3x + 7

(b) b(x) = 1 + 2x3 − x8

(c) c(x) = 2x14 − x9 + 4 cos(x)

(d) d(x) = sin(x) + 3x6 − x5

−5x4 + x3 − 1 x2 − x 5 |x| − x (g) g(x) = |x|4 − 1

−x7 − 9 x6 + 11x3 + 14 |x7 − 2| (h) h(x) = |x|3 − 2x2

(e) e(x) =

(f) f (x) =

9. Zeigen Sie, dass die neue“ Divergenz f (x) → ∞ f¨ ur x → ∞ (1.6.5) mit der ” alten“ Divergenz (1.4.16) u ¨bereinstimmt, wenn f eine Folge ist. ”

1.7. Logarithmus- und Exponentialfunktionen

1.7

57

Logarithmus- und Exponentialfunktionen

Konvergente Folgen dienen nicht nur dazu, Eigenschaften von bereits gegebenen Funktionen zu beschreiben, sondern auch dazu, Funktionen u ¨berhaupt erst zu definieren. Als Beispiele daf¨ ur behandeln wir in diesem Abschnitt Logarithmus- und Exponentialfunktionen. √ Mit Wurzeln werden Gleichungen wie x3 = 5 gel¨ost: 3 5 bezeichnet die L¨osung von x3 = 5 . Mit Logarithmen werden Gleichungen wie 3x = 5 gel¨ost: log3 (5) bezeichnet die L¨osung von 3x = 5 . Doch L¨ osungen“ einfach einen √ Namen zu geben ” reicht nicht – woher wollen wir wissen, ob L¨osungen“ wie 3 5 oder log3 (5) auch ” wirklich existieren? Außerdem w¨ are es praktisch, nicht nur zu wissen, dass sie existieren Existenz √ , sondern auch ein Verfahren zu ihrer Berechnung zu kennen. Die 3 von 3 5 wird durch den Zwischenwertsatz und die Stetigkeit von x →  x gesichert √ (siehe 1.5.15); und mit einer Intervallschachtelung kann 3 5 n¨aherungsweise berechnet werden. Es liegt also nahe, die Existenz von log3 (5) durch die Stetigkeit der ur x ∈ Q Exponentialfunktion f : x → 3x nachzuweisen. Doch 3x ist bisher nur f¨ definiert. Wir besitzen also noch keine Exponentialfunktion mit Definitionsmenge R ; und ob sie stetig ist, wissen wir erst recht nicht. Damit wissen wir auch nicht, ob log3 (5) oder gar eine Funktion log3 : R+ −→ R existiert. Wir besitzen allenfalls eine vage Vorstellung davon, was log3 leisten soll. Im einfachsten Fall soll ein Logarithmus z¨ ahlen, wie oft zum Beispiel der Faktor 3 in einer Potenz von 3 vorkommt: F¨ ur 3m = 9 und 3n = 81 ist m = log3 (9) = 2 und n = log3 (81) = 4 . Wenn man 9 und 81 multipliziert , dann addieren sich die Anzahlen der Faktoren: log3 (9 · 81) = log3 (32 · 34 ) = log3 (32+4 ) = 2 + 4 = log3 (9) + log3 (81) . Die Regel log3 (a · b) = log3 (a) + log3 (b) enth¨alt bereits die wesentliche Eigenschaft der Logarithmen: Nach dem folgenden Lemma ist jede Funktion f : R+ −→ R daf¨ ur geeignet, Gleichungen der Form ax = b nach x aufzul¨osen (zumindest f¨ ur x ∈ Q und f (a) = 0), wenn sie die Eigenschaft f (ab) = f (a) + f (b) f¨ ur alle a, b ∈ R+ besitzt. ur alle Lemma 1.7.1. Es sei f : R+ −→ R eine Funktion mit f (ab) = f (a) + f (b) f¨ a, b ∈ R+ . Dann gilt f¨ ur alle a, b ∈ R+ und x ∈ Q   f ab = f (a) − f (b) und f (ax ) = x f (a) ; insbesondere ist x =

f (b) f (a)

f¨ ur ax = b und f (a) = 0 .

      Beweis. Nach Voraussetzung ist f ab +f (b) = f ab · b = f (a) , also folgt f ab = f (a) − f (b) . Die zweite Gleichung zeigen wir schrittweise f¨ ur immer allgemeineres x . Zun¨achst wird f (ax ) = x f (a) f¨ ur alle x ∈ N0 durch Induktion bewiesen: x = 0 : Es ist f (1) = f (1 · 1) = f (1) + f (1) , also f (1) = 0 . Daraus folgt f (a0 ) = f (1) = 0 = 0 · f (a) . x → x + 1“: f (ax+1 ) = f (ax · a) = f (ax ) + f (a) = x f (a) + f (a) = (x + 1)f (a) . ”

58

Kapitel 1. Grenzwert

Damit ist f (ax ) = x f (a) f¨ ur alle x ∈ N0 gezeigt. F¨ ur jedes x ∈ Q+ gibt es z, n ∈ N mit x = nz . Damit: 1

1

1

1

f (ax ) = f ((a n )z ) = z f (a n ) = xn f (a n ) = x f ((a n )n ) = x f (a) . F¨ ur x ∈ Q− k¨onnen wir die Gleichung bereits auf −x ∈ Q+ anwenden:   1 = f (1) − f (a−x ) = 0 − (−x) f (a) = x f (a) . f (ax ) = f a−x

2

Um Logarithmen“ zu finden, das heißt um Gleichungen wie 3x = 5 l¨osen zu ” k¨onnen, sollten wir also nach Funktionen f mit f (ab) = f (a)+f (b) suchen. Die Idee daf¨ ur entnehmen wir der Anschauung: Es sei L(x) der Inhalt der Fl¨ache zwischen der Hyperbel y = x−1 und der x–Achse im Bereich von 1 bis x , siehe linkes Bild in 1.20, wobei x > 1 . (Fl¨ achen mit gekr¨ ummten R¨andern haben wir zwar noch y

y

1

1

B B’

1

x

1

b

a

ab

Abbildung 1.20: L(ab) = L(a) + L(b) , da B = B  nicht besprochen, aber es geht uns jetzt nur um die Idee.) Die Fl¨ache von 1 bis ab setzt sich zusammen aus der Fl¨ ache von 1 bis a und der Fl¨ache von a bis ab , das heißt es gilt L(ab) = L(a) + B  . Der Fl¨acheninhalt B  ist aber gleich dem Fl¨acheninhalt B : Wenn man jeden Punkt (x, y) in der Fl¨ache B“ auf den Punkt ” alt man die Fl¨ ache B “ ; dabei werden L¨angen in x– (ax, a−1 y) abbildet, dann erh¨ ” Richtung um a gestreckt und L¨ angen in y–Richtung um a gestaucht, das heißt der Fl¨acheninhalt bleibt gleich. Somit ist B  = B = L(b) , also L(ab) = L(a) + L(b) . Es liegt also anschaulich nahe, dass die Zuordnung x → L(x) genau die Eigenschaft besitzt, die wir zur Herstellung von Logarithmen“ ben¨otigen. ” Zur genauen Definition der Funktion L m¨ ussen wir pr¨azisieren, was wir unter dem Fl¨acheninhalt“ L(x) verstehen. Dazu lassen wir uns zun¨achst wieder von der ” Anschauung leiten und konstruieren eine Folge, die sich dem Fl¨acheninhalt“ immer ” besser n¨ahert. Unsere erste (noch sehr grobe) N¨aherung ist ein Rechteck mit Inhalt x − 1 (Bild oben√links in 1.21). √ x − 1 , und Setze x1 := x . Dann hat das Rechteck von 1 bis √ x1 den √ Inhalt √ das Rechteck von x1 bis x den gleichen Inhalt (x − x ) · ( x )−1 = x − 1 (Bild oben rechts in 1.21). Damit ist 2(x1 − 1) unsere n¨achste N¨aherung. Den soeben beschriebenen Schritt von x nach x1 wiederholen wir jetzt als Schritt √ von x1 nach x2 : Setze x2 := x1 . Dann hat das Rechteck von 1 bis x2 den Inhalt

1.7. Logarithmus- und Exponentialfunktionen

y

y

1

1

1

1

x

y

y

1

1

1 x2 x1

59

x1

1 x3

x

x

x

Abbildung 1.21: Schrittweise N¨aherung der Fl¨ache √ √ √ x −1 , und das Rechteck von x2 bis x1 den gleichen Inhalt (x1 − x1 )·( x1 )−1 = √ 1 x1 − 1 (Bild unten links in 1.21). Damit ist 4(x2 − 1) unsere n¨achste N¨aherung f¨ ur die Fl¨ache von 1 bis x . Den soeben beschriebenen Schritt von x1 nach x2 wiederholen wir jetzt als √ aherung 8(x3 − 1) , und immer so weiter. Schritt von x2 nach x3 := x2 mit N¨  √ Die Anschauung legt uns nahe, dass die Folge 2n (xn − 1) n mit xn+1 := xn gegen den Fl¨acheninhalt“ L(x) konvergiert, also werden wir L(x) als Grenzwert ” dieser Folge definieren. Dazu wird L(x) wie bei einer Intervallschachtelung zwischen y

y

1

1

1

x

1

x1

x

Abbildung 1.22: Untere Absch¨atzung einer  und einer unteren Folge eingegrenzt. Als obere Folge verwenden wir  n oberen 2 (xn − 1) n . Eine untere Folge erhalten wir so: Die erste (noch sehr grobe) N¨ahe√ rung ist ein Rechteck mit Inhalt (x − 1)x−1 (Bild links in 1.22). Setze x1 := x .

60

Kapitel 1. Grenzwert

√ √ Dann hat das Rechteck von 1 bis x1 den√Inhalt ( x − 1)( x )−1 , und das Rechteck von x1 bis x den gleichen Inhalt (x − x )x−1 (Bild oben rechts in 1.21). Damit ist 2(x1 − 1)x−1 n¨ achste N¨ aherung, und immer so weiter. Als untere Folge 1 unsere  √ xn . verwenden wir also 2n (xn − 1)x−1 n n mit xn+1 := √ Lemma 1.7.2. Es sei x0 ∈ R+ , xn+1 = xn , bn = 2n (xn − 1) und an = bn x−1 n f¨ ur alle n ∈ N0 . Dann ist (an )n monoton steigend und (bn )n monoton fallend. ur alle n ∈ N0 . Außerdem ist an ≤ bn f¨ Beweis. Es sei n ∈ N0 . Wegen x2n+1 = xn ist 2(xn+1 − 1) ≤ 2(xn+1 − 1) + (xn+1 − 1)2 = x2n+1 − 1 = xn − 1 , also bn+1 = 2n+1 (xn+1 − 1) ≤ 2n (xn − 1) = bn . Ebenso ist xn − 1 ≤ xn − 1 + (xn+1 − 1)2 = 2x2n+1 − 2xn+1 = 2(xn+1 − 1)xn+1 , −1 −1 also (xn − 1)x−1 n ≤ 2(xn+1 − 1)xn+1 xn = 2(xn+1 − 1)xn+1 , und damit an ≤ an+1 . Außerdem ist an ≤ bn : F¨ ur x0 ≥ 1 ist xn ≥ 1 , also bn ≥ 0 und an = bn x−1 n ≤ bn . 2 F¨ ur 0 < x0 < 1 ist 0 < xn < 1 , also bn < 0 und an = bn x−1 n ≤ bn .

Die Folge (bn )n in 1.7.2 ist monoton fallend und nach unten beschr¨ankt (z.B. durch a0 ), also konvergiert sie nach dem Vollst¨andigkeitsaxiom gegen eine reelle Zahl. Damit k¨onnen wir unsere Vorstellung von einem Fl¨acheninhalt“ L(x) pr¨azi” sieren: Definition 1.7.3. Die Funktion ln : R+ −→ R , x −→ lim 2n (xn − 1) , n→∞

wobei x0 = x und xn+1 =

√ xn f¨ ur alle n ∈ N0 , heißt nat¨ urlicher Logarithmus . 2

F¨ ur x > 1 hat ln(x) die anschauliche Bedeutung eines Fl¨acheninhalts. Die Funktion ln tr¨agt den Namen Logarithmus“ zurecht, da sie die Voraussetzung von Lem” ma 1.7.1 erf¨ ullt: Satz 1.7.4. F¨ ur alle a, b ∈ R+ ist ln(ab) = ln(a) + ln(b) . Beweis. Es sei x0 = a , y0 = b , z0 = ab , xn+1 = √ zn f¨ ur alle n ∈ N0 . Dann ist

√ √ xn , yn+1 = yn und zn+1 =

zn − 1 = xn yn − 1 = xn yn − yn + yn − 1 = yn (xn − 1) + (yn − 1) , also 2n (zn − 1) = yn · 2n (xn − 1) + 2n (yn − 1) . Nach 1.7.5 gilt (yn )n → 1 , und damit folgt die Behauptung. 2

1.7. Logarithmus- und Exponentialfunktionen

61

1

Lemma 1.7.5. F¨ ur alle x ∈ R+ gilt (x k )k → 1 . Beweis. F¨ ur x ≥ 1 und k ∈ N ist Ungleichung  1+

x−1 k

k ≥1+k·

x−1 k

≥ −1 , also folgt mit der Bernoullischen

x−1 =x≥1, k

also

1+

1 x−1 ≥ xk ≥ 1 , k

1

und damit (x k )k → 1 .   1 → 1. F¨ ur 0 < x < 1 ist x−1 > 1 , also (x k )k = (x−11)1/k k

2

Satz 1.7.6. Die Funktion ln ist streng monoton steigend und stetig. Außerdem gilt lim ln(x) = ∞ , lim ln(x) = −∞ und die Wertemenge ist R .

x→∞

x→0

= a0 ≤ ln(x) f¨ ur alle x ∈ R+ , also Beweis. Zur Monotonie: Nach 1.7.2 ist x−1 x b ur 0 < a < b . ln(x) > 0 f¨ ur alle x > 1 . Damit ist ln(b) − ln(a) = ln( a ) > 0 f¨ Zur Stetigkeit: Nach 1.7.2 ist x−1 = a ≤ ln(x) ≤ b = x − 1 f¨ ur alle x ∈ R+ , also 0 0 x ur (xn )n → 1 . Damit ist ln stetig bei 1. (ln(xn ))n → 0 = ln(1) f¨ Sei a ∈ R+ und (xn )n → a . Wir zeigen (ln(xn ))n → ln(a) : Es gilt     ln(xn ) − ln(a) n = ln( xan ) n → ln(1) = 0 , da ( xan )n → 1 und ln bei 1 stetig ist. Damit ist ln stetig bei a . Es sei (xn )n → ∞ . Wir zeigen (ln(xn ))n → ∞ : sch

Dazu zeigen wir s < (ln(xn ))n f¨ ur alle s ∈ R+ : Wegen ln(2) > 0 gibt es nach dem Archimedischen Axiom ein k ∈ N mit k · ln(2) > s . Wegen (xn )n → ∞ ist sch

2k < (xn )n , und mit der Monotonie von ln folgt sch

s < k · ln(2) = ln(2k ) < (ln(xn ))n . Damit ist lim ln(x) = ∞ bewiesen. x→∞

Sei (xn )n eine Folge in R+ mit (xn )n → 0 . Dann gilt (x−1 n )n → ∞ , also −1 (ln(xn ))n = (ln((x−1 ))n = (− ln(x−1 n ) n ))n → −∞ .

Damit ist lim ln(x) = −∞ bewiesen. Mit dem Zwischenwertsatz folgt nun, dass die x→0

Wertemenge von ln gleich R ist.

2

Zu Beginn dieses Abschnitts haben wir uns gefragt, wie man 3x = 5 nach x aufl¨ost. Dazu m¨ ussen wir zuerst ein anderes Problem l¨osen: Es gibt eventuell kein ur x ∈ R \ Q haben wir 3x noch gar nicht definiert. x ∈ Q mit 3x = 5 , aber f¨ Die Exponentialfunktion f : Q −→ R+ mit x −→ 3x hat eben bisher nur die Definitionsmenge Q . Die Frage ist also, wie man f auf ganz R fortsetzen kann, das heißt wie man eine Funktion g : R −→ R+ findet, die auf Q mit dem alten f u ur alle x ∈ Q gelten. ¨bereinstimmt: Es soll g(x) = f (x) f¨

62

Kapitel 1. Grenzwert

Definition 1.7.7. Es seien f : A −→ C und g : B −→ C Funktionen mit A ⊆ B und f (x) = g(x) f¨ ur alle x ∈ A . Dann heißt g Fortsetzung von f , und f Einschr¨ ankung von g . 2 Im Prinzip k¨ onnte man unsere alten Exponentialfunktionen f : Q −→ R+ vollkommen willk¨ urlich fortsetzen. Doch sobald man bestimmte Absichten verfolgt, werden Fortsetzungen nicht mehr willk¨ urlich. Wir wollen zum Beispiel mit dem Zwischenwertsatz aus 31 < 5 < 32 schließen, dass 3x = 5 eine L¨osung zwischen 1 und 2 besitzt. Daher suchen wir nach stetigen Fortsetzungen. Und wie wir gleich sehen werden, sind die Fortsetzungen der Exponentialfunktionen damit eindeutig bestimmt. Das liegt unter anderem daran, dass Q dicht in R liegt: Definition 1.7.8. Es sei A ⊆ B ⊆ R . Die Menge A liegt dicht in B , wenn es zu 2 jedem b ∈ B eine Folge (an )n in A gibt mit (an )n → b . Lemma 1.7.9. Q liegt dicht in R . Beweis. Es sei x ∈ R+ . Wir suchen eine Folge (ln )n in Q mit (ln )n → x . Nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein k ∈ N mit x ∈ [ 0 ; k ] . Es sei [ l1 , r1 ] := [ 0 ; k ] und ([ ln , rn ])n∈N die (duale) Intervallschachtelung (siehe 1.3.20) mit x ∈ [ ln , rn ] f¨ ur alle n ∈ N . Dann sind alle ln , rn ∈ Q , da die Intervalle jeweils halbiert werden und l1 , r1 ∈ Q . Mit 1.4.19 folgt (ln )n → x . Analog: x ∈ R− . Und f¨ ur 0 ∈ R verwenden wir die konstante Nullfolge. 2 Stetige Funktionen sind durch ihre Werte auf dichten Teilmengen bereits eindeutig bestimmt: Lemma 1.7.10. Es seien g, h : B −→ R stetig, A dicht in B und g(a) = h(a) f¨ ur alle a ∈ A . Dann ist g(b) = h(b) f¨ ur alle b ∈ B . Beweis. Es sei b ∈ B . Wir zeigen g(b) = h(b) . Nach Voraussetzung gibt es eine Folge (an )n in A mit (an )n → b . Aus der Stetigkeit von g und h folgt (g(an ))n → g(b) und (h(an ))n → h(b) . Die Folgen (g(an ))n und (h(an ))n sind nach Voraussetzung gleich, also ist auch g(b) = h(b) wegen der Eindeutigkeit des Grenzwerts (siehe 1.4.6). 2 Jetzt wissen wir also, dass es h¨ ochstens eine stetige Fortsetzung g : R −→ R+ einer Exponentialfunktion f : Q −→ R+ gibt. Und mit ln finden wir solche Fortsetzungen: Aus Satz 1.7.6 folgt, dass ln : R+ −→ R umkehrbar ist; die Umkehrfunktion nennen wir E; und nach 1.5.19 folgt, dass E stetig ist. Lemma 1.7.11. Es sei a ∈ R+ und g : R −→ R+ mit g(x) := E (x ln(a)) . Dann ist g stetig und g(x) = ax f¨ ur alle x ∈ Q . Beweis. g ist eine Verkettung stetiger Funktionen, also selbst stetig. Und nach ur x ∈ Q . 2 1.7.1 und 1.7.4 ist g(x) = E(x ln(a)) = E(ln(ax )) = ax f¨ Jetzt k¨onnen wir endlich Potenzen mit Exponenten in ganz R definieren; und zwar so, dass die zugeh¨ origen Funktionen stetig sind, und dass die neue Definition mit der alten Definition f¨ ur rationale Exponenten u ¨bereinstimmt:

1.7. Logarithmus- und Exponentialfunktionen

63

f (x)

f (x)

1

1 1

x

1

x

Abbildung 1.23: Graph von ln und E Definition 1.7.12. F¨ ur a ∈ R+ und x ∈ R sei ax := E(x ln(a)) . Die Funktion R −→ R+ , x −→ ax heißt Exponentialfunktion zur Basis a . Im Fall a = 1 heißt loga : R+ −→ R , x −→ ln(x) ln(a) Logarithmusfunktion zur Basis a . Die Zahl e := E(1) = 2,718 . . . heißt Euler’sche Zahl . 2 ur alle x ∈ R , also Damit gilt ln(e) = ln(E(1)) = 1 und ex = E(x ln(e)) = E(x) f¨ ist E die Exponentialfunktion zur Basis e . Außerdem ist ln die Logarithmusfunktion zur Basis e wegen loge (x) = ln(x) ur alle x ∈ R+ . ln(e) = ln(x) f¨ Lemma 1.7.13. F¨ ur alle x, y ∈ R ist E(x + y) = E(x)E(y) . Beweis. Die Wertemenge von ln ist R , also gibt es a, b ∈ R+ mit x = ln(a) und y = ln(b) . Damit folgt E(x + y) = E(ln(a) + ln(b)) = E(ln(ab)) = ab = E(x)E(y) .

2

Die Definition von loga in 1.7.12 rechtfertigt sich durch ln(ax ) ln(E(x ln(a))) x ln(a) = = = x und ln(a) ln(a) ln(a)   ln(x) ln(a) = E(ln(x)) = x , = E(loga (x) ln(a)) = E ln(a)

loga (ax ) = aloga (x)

das heißt loga ist die Umkehrung von x −→ ax . Auf a¨hnliche Weise zeigt man Rechenregeln wie ax ay = ax+y , ax bx = (ab)x , (ax )y = axy , loga (bc) = loga (b) + ¨ loga (c) und loga (bx ) = x loga (b) (Ubung!). Am Anfang dieses Abschnitts wollten wir 3x = 5 l¨osen. Jetzt wissen wir, dass n x = log3 (5) = ln(5) ln(3) existiert; und mit der Folge (2 (xn − 1))n in Definition 1.7.3 k¨onnen wir N¨aherungen berechnen: x = 1,46497352 . . .

64

Kapitel 1. Grenzwert

Aufgaben 1. Es sei f : R −→ R eine Funktion mit f (a + b) = f (a) · f (b) f¨ ur alle a, b ∈ R . Außerdem sei f bei 0 stetig mit f (0) = 0 . Beweisen Sie: (a) f (0) = 1 . (b) f ist stetig. (c) f (x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ R . (d) f (x) = 0 =⇒ f ( x2 ) = 0 . (e) f (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ R . (f) f (a − b) =

f (a) f (b)

f¨ ur alle a, b ∈ R .

ur a ∈ R , x ∈ Q ; insbes.: f (x) = bx f¨ ur b := f (1) . (g) f (x · a) = f (a) f¨ x

2. Zeigen Sie: F¨ ur (an )n und (bn )n aus 1.7.2 gilt (bn − an )n → 0 . 3. Zeigen Sie: {z · 2−m | z ∈ Z , m ∈ N0 } liegt dicht in R . 4. Es sei f : D −→ R eine Funktion und a ein Ber¨ uhrpunkt von D . Zeigen Sie: f besitzt genau dann eine Fortsetzung g : D ∪ {a} −→ R , die bei a stetig ist, wenn f f¨ ur x → a konvergiert; in diesem Fall ist g(a) = lim f (x) . x→a

5. Finden Sie eine Funktion f : Q −→ R , zu der es keine stetige Fortsetzung g : R −→ R gibt. 6. Warum gibt es keinen Logarithmus zur Basis 1? (log1 (x) := m¨oglich; aber das beantwortet noch nicht unsere Frage.)

ln(x) ln(1)

ist nicht

7. Beweisen Sie die Regeln ax ay = ax+y . . . am Ende von Abschnitt 1.7.

1.8. Winkelfunktionen

1.8

65

Winkelfunktionen

Mit konvergenten Folgen kann man auch Winkelmaße und Winkelfunktionen definieren. Dabei folgen wir zun¨ achst jeweils unserer geometrischen Intuition und entwickeln anschließend exakte Begriffe und Beweise. Hinter dem Gradmaß eines Winkels steckt folgende Vorstellung: Der gestreckte“ ” Winkel soll 180◦ betragen; einen Winkel von 1◦ erh¨alt man, wenn ein Winkel von ucke geteilt wird. Das ist aber schwieriger, als es zun¨achst 180◦ in 180 gleich große St¨ aussieht: Wie stellt man zum Beispiel einen Winkel von 10◦ her? 30◦ kann mit einem gleichseitigen Dreieck und einer Winkelhalbierenden konstruiert werden. Aber wissen Sie, wie man 30◦ mit Zirkel und Lineal durch 3 teilt? Ich jedenfalls nicht (und ich kenne auch niemanden, der so etwas kann). Die soeben erw¨ahnte Festlegung“ ” arung als eine effektive Definition. von 1◦ ist also eher eine Absichtserkl¨

Ein naheliegender Gedanke w¨ are, die L¨ ange eines Halbkreisbogens zu messen und in 18 gleiche Teile zu teilen: Man legt eine Schnur entlang des Bogens, zieht sie gerade, misst ihre L¨ ange, teilt durch 18 und legt die Schnur dann wieder an den Bogen. Das liefert zwar nur eine grobe N¨ aherung, aber es enth¨alt bereits einen entscheidenden Gedanken: Wir m¨ ussen eine Beziehung zwischen Strecken und Kreisb¨ogen herstellen, da wir bisher nur L¨ angen von geraden Linien messen k¨onnen. Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt A und Radius 1, und eine Tangente t mit Ber¨ uhrpunkt B . Jeder Strecke [BC0 ] entspricht genau ein Bogen von B nach D0 ; dabei liegt C0 auf der Tangente t und D0 ist der Schnittpunkt der Strecke [AC0 ] mit dem Kreis. Wir entwickeln ein Verfahren, das zu jeder L¨ange BC0 die L¨ange des Bogens von B nach D0 liefert. Dazu konstruieren wir schrittweise immer bessere N¨aherungen f¨ ur diesen Bogen. t C0

D0

A

1

B

Abbildung 1.24: [BC0 ] legt einen Bogen von B nach D0 fest

66

Kapitel 1. Grenzwert

c0 := BC0 ist unsere erste (noch sehr grobe) N¨aherung. Setze c1 := BC1 , wobei C1 der Schnittpunkt der Tangente t mit der Winkelhalbierenden von BAC0 ist. Die Dreiecke ABC1 und AD0 C1 sind zueinander kongruent, also ist D0 C1 = BC1 = c1 . ange 2c1 und ist unsere n¨achste N¨aherung Der Streckenzug B, C1 , D0 hat damit die L¨ f¨ ur den Bogen von B nach D0 . t

t C0

C0

D0

D0 D1

C1

C1 C2

A

1

B

A

1

B

Abbildung 1.25: Schrittweise N¨aherung eines Bogens Die soeben beschriebene Konstruktion im Dreieck ABC0 wiederholen wir nun im Dreieck ABC1 (rechte Figur in Abbildung 1.25): Setze c2 := BC2 , wobei C2 der Schnittpunkt der Tangente t mit der Winkelhalbierenden von BAC1 ist. Die Dreiecke ABC2 und AD1 C2 sind zueinander kongruent, also ist D1 C2 = BC2 = c2 . Der Streckenzug B, C2 , D1 hat damit die L¨ange 2c2 , also ist 4c2 unsere n¨achste N¨aherung f¨ ur den Bogen von B nach D0 . Die soeben beschriebene Konstruktion im Dreieck ABC1 wiederholen wir nun im Dreieck ABC2 , und immer so weiter. Abbildung 1.26 zeigt die N¨aherung mit der ur das Auge gerade noch von einem Kreisbogen zu unterscheiden. L¨ange 8c3 ; sie ist f¨ Die Anschauung legt uns also nahe, dass die Folge (2c1 , 4c2 , 8c3 , . . .) = (2n cn )n∈N gegen die L¨ange des Bogens von B nach D0 konvergiert. C0

D0

A

1

B

Abbildung 1.26: Die N¨aherung 8c3 Die L¨angen c1 , c2 , c3 , . . . kann man rekursiv berechnen. Dazu betrachten wir noch einmal die linke Figur in Abbildung 1.25. Die Dreiecke ABC0 und C1 D0 C0 sind zueinander a ¨hnlich, also gilt BC0 D0 C0 = . AB C1 D0

1.8. Winkelfunktionen

67

Es ist BC0 = c0 , AB = c1 , und nach Pythagoras im Dreieck  = 1 , C1 D0 = BC1 ABC0 gilt AC0 = 1 + c20 , also D0 C0 = 1 + c20 − 1 . Damit folgt   1 + c20 − 1 1 + c20 − 1 c0 c0 = bzw. c1 = =  1 c1 c0 1 + c20 + 1 (Bruch mit

 1 + c20 + 1 erweitern!). Wir benutzen also die Rekursion1 c0 := BC0 , cn+1 := 

cn f¨ ur n ∈ N0 . 1 + c2n + 1

Bei einem Taschenrechner mit Speicher-Variable c“ tippt man zum Beispiel ” 1.0√→ c 1.0 c/(√1+c2 +1) → c 0.41421356... 0.19891236... c/(√1+c2 +1) → c 2 c/( 1+c +1) → c 0.09849140... (Je nach Taschenrechner muss man nach der zweiten Zeile nur noch auf die Taste =“ √ dr¨ ucken und erh¨ alt jeweils sofort den n¨achsten Schritt.) Bei der Anweisung ” 2 folgendes: Die Zahl, die bisher im Speicher c“ c/( 1+c +1) → c“ geschieht √ ” ” stand, wird in den Term c/( 1 + c2 + 1) eingesetzt, und das Ergebnis anschließend unter c“ abgespeichert (wobei der alte Wert von c“ verloren geht). Tabelle 1.4 ” ” enth¨alt einige Werte von 2n cn . n 0 5 10 15 20 25

2n c n 1,0 0,7855559074. . . 0,7853983174. . . 0,7853981635. . . 0,7853981633. . . 0,7853981633. . .

4 · 2n cn 4,0 3,1422236299. . . 3,1415932696. . . 3,1415926541. . . 3,1415926535. . . 3,1415926535. . .

Tabelle 1.4: N¨ aherung von π Es sieht so aus, als ob sich 4 · 2n cn der bekannten Kreiszahl π n¨ahert. Das passt recht gut mit dem zusammen, was wir fr¨ uher einmal u ¨ber π gelernt haben: Ein Kreis mit Radius 1 hat den Umfang 2π ; im Fall c0 = BC0 = 1 ist das Dreieck ABC0 gleichschenklig und rechtwinklig, also ist der Bogen von B nach D0 ein Achtel vom ganzen Kreis. ¨ Diese Ubereinstimmung ist kein Zufall, denn π und die L¨ange von Kreisb¨ogen werden durch Folgen wie (2n cn )n u ¨berhaupt erst definiert. Wir haben bisher ja noch keine exakte Definition f¨ ur die L¨ ange von gekr¨ ummten Linien, also hat f¨ ur uns eine Formulierung wie L¨ ange des Bogens von B nach D0“ noch keine genaue ” 1 Auf diese Folge und ihre geometrische Bedeutung hat mich Herr Dr. Bartholom´ e aufmerksam gemacht.

68

Kapitel 1. Grenzwert

Bedeutung. Sie hat f¨ ur uns eine anschauliche Bedeutung, und unsere Anschauung uhrt. Wenn wir uns jetzt aber entscheiden, die L¨ange hat uns zur Folge (2n cn )n gef¨ eines Bogens durch den Grenzwert von (2n cn )n zu definieren, dann geben wir dem Begriff Bogenl¨ ange“ eine exakte Bedeutung. ” Dazu m¨ ussen wir nat¨ urlich erst herausfinden, ob (2n cn )n konvergiert. Auf den Taschenrechner k¨ onnen wir uns dabei nicht verlassen, denn f¨ ur alle c = 0 ist zum Beispiel √ 1 + c2 − 1 c = √ c 1 + c2 + 1 √ (Bruch mit 1 + c2 + 1 erweitern!), also m¨ usste eine Rekursion mit  1 + γn2 − 1 γn+1 := γn eigentlich die gleichen Werte wie in Tabelle 1.4 liefern; doch f¨ ur einen Taschenrechur γn nahe ner ist zum Beispiel (je nach Rechengenauigkeit) 223 γ23 = 0 , denn f¨ ” 0“ ist 1 + γn2 f¨ ur den Taschenrechner gleich 1. Aus demselben Grund ist ab einem cn bestimmten n f¨ ur den Taschenrechner cn+1 gleich 1+1 = c2n , also 2n+1 cn+1 gleich n ur ihn konstant. Der Taschenrechner suggeriert 2 cn , das heißt die Folge wird f¨ uns also einerseits eine Konvergenz von (2n cn )n wegen seiner begrenzten Rechenollig andere Werte, obwohl γn = cn f¨ ur genauigkeit; andererseits liefert er bei γn v¨ γ0 = c0 = 0 . are nach dem Vollst¨andigkeitsaxiom konvergent, wenn sie Die Folge (2n cn )n w¨ beschr¨ankt und monoton w¨ are. Das kann man aber leicht aus der linken Figur in Abbildung 1.25 ablesen: [C1 C0 ] ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck C1 C0 D0 , also ist C1 D0 ≤ C1 C0 , und damit 2c1 = BC1 + C1 D0 ≤ c0 . Analog folgt 2cn+1 ≤ cn mit dem Dreieck Cn+1 Cn Dn f¨ ur alle n ∈ N0 , also 2n+1 cn+1 ≤ 2n cn . Wer die euklidische Geometrie als Grundlage akzeptiert, f¨ ur den ist die Monotonie von (2n cn )n jetzt bewiesen. Man kann die Monotonie aber auch allein auf das Fundament der reellen Zahlen stellen: cn f¨ ur alle n ∈ N0 . Dann gilt: Lemma 1.8.1. Es sei c0 ∈ R und cn+1 =  1 + c2n + 1 ur c0 < 0 ist (2n cn )n monoton F¨ ur c0 > 0 ist (2n cn )n monoton fallend und > 0 , f¨ n steigend und < 0 , und f¨ ur c0 = 0 ist (2 cn )n konstant 0 .  2 + 1 sind stets positiv, also folgt (durch Beweis. Es sei c0 > 0 . Die Nenner 1 + c n ur alle n ∈ N0 . Wegen 1 + c2n + 1 ≥ 2 ist Induktion) cn > 0 f¨ 2n+1 cn+1 = 2n+1 · 

cn cn = 2n cn ≤ 2n+1 · 2 2 1 + cn + 1

¨ f¨ ur alle n ∈ N0 . Restliche F¨ alle: Ubung!

2

ur jeden Nach dem Vollst¨ andigkeitsaxiom und Lemma 1.8.1 konvergiert (2n cn )n f¨ Anfangswert c0 ∈ R . Dadurch erhalten wir eine Funktion mit Definitionsmenge R

1.8. Winkelfunktionen

69

und Zuordnung c0 −→ lim 2n cn . F¨ ur c0 ≥ 0 hat sie die anschauliche Bedeutung, n→∞

dass jeder L¨ange BC0 auf der Tangente t die L¨ange des Bogens von B nach D0 zugeordnet wird (Abbildung 1.25). Man nennt diese Funktion daher auch Arkustangens (lat. arcus: Bogen). Definition 1.8.2. Die Funktion arctan : R −→ R , x −→ lim 2n cn , n→∞

cn f¨ ur alle n ∈ N0 , heißt Arkustangens . 1 + c2n + 1 Außerdem sei π := 4 · arctan(1) . 2

wobei c0 = x und cn+1 = 

Bemerkung 1.8.3. Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie mit vergleichsweise elementaren Mitteln (euklidische Geometrie und konvergente Folgen) in einem anschaulichen Zusammenhang entwickelt werden kann. Ihr Nachteil ist, dass sie teilweise recht aufwendige Beweise zur Folge hat (siehe 1.8.6). Am Ende von Abschnitt 3.4 wird eine andere M¨ oglichkeit gezeigt, den Arkustangens zu definieren. Die entsprechenden Beweise sind dann deutlich einfacher. Aber leider stehen uns die dazu n¨otigen Mittel noch nicht zur Verf¨ ugung. 2 Nach Lemma 1.8.1 wissen wir zwar, dass der Grenzwert lim 2n cn existiert, er n→∞

k¨onnte aber stets 0 sein (das ist auch ein m¨ ogliches Ergebnis beim Taschenrechner, siehe oben). Daher grenzen wir arctan(x) wie bei einer Intervallschachtelung zwischen einer oberen und einer unteren Folge ein. F¨ ur c0 > 0 haben wir mit (2n cn )n bereits eine obere, monoton fallende Folge. Wir konstruieren also noch eine monoton steigende Folge (2n en )n mit lim 2n en = lim 2n cn . n→∞

n→∞

t C0

D0 E0

A

E1

1

C1

B

Abbildung 1.27: Untere Absch¨atzung F¨ ur alle n ∈ N0 sei En der Fußpunkt des Lotes von B auf ACn (siehe Abbildung 1.27, wobei n = 0) und en := BEn . Die Dreiecke BEn Cn und ABCn sind zueinander ¨ahnlich, also gilt 1 BEn AB = = BCn ACn 1 + c2n

bzw.

en = 

cn 1 + c2n

f¨ ur alle n ∈ N0 .

70

Kapitel 1. Grenzwert

 Wegen 1 + c2n ≥ 1 ist 2n en ≤ 2n cn f¨ ur alle n ∈ N0 . Außerdem ist (2n en )n monoton steigend; das erkennt man in Abbildung 1.27: [BD0 ] ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck BE0 D0 , also folgt 2e1 = BD0 ≥ e0 . Analog folgt 2en+1 ≥ en und damit 2n+1 en+1 ≥ 2n en f¨ ur alle n ∈ N0 . Diese Aussage kann man auch ohne Geometrie beweisen: Lemma 1.8.4. Es sei (cn )n wie in 1.8.1 und en = √ cn

1+c2n

f¨ ur alle n ∈ N0 . Dann

ur gilt: F¨ ur c0 > 0 ist (2 en )n monoton steigend und 0 < (2n en )n ≤ (2n cn )n , f¨ c0 < 0 ist (2n en )n monoton fallend und (2n cn )n ≤ (2n en )n < 0 . Außerdem gilt lim 2n en = lim 2n cn . n

n→∞

n→∞

Beweis. (cn )n ist eine Nullfolge, da (2n cn )n konvergiert, also konvergiert √

1 1+c2n

¨ gegen 1; damit folgt lim 2n en = lim 2n cn . Der restliche Beweis ist eine Ubung n→∞ n→∞ mit Wurzel–Termen. 2 Der Arkustangens liegt also immer zwischen 2n en und 2n cn ; Tabelle 1.5 zeigt Absch¨atzungen f¨ ur arctan(1) . Insbesondere folgt arctan(c0 ) > 0 f¨ ur c0 > 0 , da mit c0 > 0 auch e0 > 0 und (2n en )n monoton steigend ist. n 0 10 20

2n en 0,7071067811. . . 0,7853980863. . . 0,7853981633. . .

2n cn 1,0 0,7853983174. . . 0,7853981633. . .

Tabelle 1.5: Untere und obere Grenzen f¨ ur arctan(1) Einem Winkel BAC0 wie in Abbildung 1.25 k¨onnen wir bisher kein (exaktes) Gradmaß zuordnen. Inzwischen k¨ onnen wir ihm aber ein anderes Maß zuordnen, ange des Bogens von B nach D0 ; diese Zahl heißt n¨amlich arctan(c0 ) , das heißt die L¨ Bogenmaß des Winkels. Und mit dem Bogenmaß k¨onnen wir auch das Gradmaß exakt definieren. Definition 1.8.5. Es sei ABC ein Dreieck mit AB = 1 und einem rechten Winkel bei B . Dann heißt arctan BC das Bogenmaß des Winkels BAC . Außerdem heißt   ◦ das Gradmaß des Winkels BAC . 2 arctan BC · 180 π Diese Definition passt zu unseren bisherigen Vorstellungen vom Gradmaß: Das Dreieck ABC aus Definition 1.8.5 ist gleichschenklig, wenn BC = 1 ; dann hat der Winkel BAC das Bogenmaß arctan(1) = π4 (siehe 1.8.2) und das Gradmaß π 180◦ ◦ 4 · π = 45 . Jedem spitzen Winkel (gegeben durch ein Dreieck ABC) k¨onnen wir jetzt ein Winkelmaß (Bogenmaß oder Gradmaß) zuordnen. F¨ ur unser Problem am Anfang dieses Abschnitts ben¨ otigen wir aber die umgekehrte Zuordnung: Jedem Winkelmaß soll ein Winkel zugeordnet werden; zum Beispiel sind 10◦ gegeben und ein Winkel dieser Gr¨oße gesucht. (Man beachte den Unterschied zwischen Winkel und Winkelmaß : Ein Winkel ist eine Figur, ein Bogenmaß aber eine Zahl.) Unser Problem

1.8. Winkelfunktionen

71

w¨are gel¨ost, wenn wir jeder L¨ ange eines Bogens von B nach D0 (Abbildung 1.25) die aherungsweise) zuordnen k¨onnten; denn dann zugeh¨orige L¨ange BC0 (zumindest n¨ k¨onnten wir das Dreieck ABC0 und damit den Winkel BAC0 (n¨aherungsweise) konstruieren. Unser Problem lautet also: Gegeben sei die L¨ange α eines Bogens von B nach D0 ; wie findet man x ∈ R mit arctan(x) = α ? Wir stellen zun¨ achst eine speziellere Frage (sp¨ater stellt sich heraus, dass wir mit ihr bereits den schwierigsten Teil des Problems gel¨ost haben): Angenommen wir w¨ ussten f¨ ur zwei α, β ∈ R die zugeh¨ origen x, y ∈ R mit arctan(x) = α , arctan(y) = β ; wie findet man z ∈ R mit arctan(z) = α + β ? Kurz formuliert: Gegeben seien x, y ∈ R ; gesucht ist ein z ∈ R , sodass arctan(x) + arctan(y) = arctan(z) (linke Figur in Abbildung 1.28).

t

t G

G H

F

y α

y C

z

C

D

A

D x

β α

1

I

F

x

β α

B

1

A

B

Abbildung 1.28: arctan(x) + arctan(y) = arctan(z) In Abbildung 1.28 sei x := BC , y := DF und z := BG ; wir bestimmen z in Abh¨angigkeit von x und y . Die Dreiecke ADF und ACH sind zueinander ¨ahnlich; ebenso CIH und ABC; damit ist 1 y = CH AC

und

1 CI = CH AC

,

also

CI = y .

¨ Aus der Ahnlichkeit von CIH und ABC folgt außerdem x HI = , also HI = x · CI = xy . 1 CI Auch die Dreiecke HIG und ABG sind zueinander a¨hnlich; damit ist GI z , = 1 HI

also

GI = HI · z = xyz .

Insgesamt folgt jetzt z = x + CI + IG = x + y + xyz , also z =  arctan(x) + arctan(y) = arctan

x+y 1 − xy

 .

x+y , und damit 1 − xy

72

Kapitel 1. Grenzwert

Diese Gleichung wird als Additionstheorem des Arkustangens bezeichnet. Wir haben sie geometrisch hergeleitet und beweisen sie nun algebraisch. Unsere Folge (cn )n x wird durch cn+1 := f (cn ) mit f (x) := √1+x rekursiv definiert. F¨ ur alle x ∈ R 2 +1 ist |f (x)| < 1 und es gilt: x f¨ ur alle x ∈ R . Dann ist Lemma 1.8.6. Es sei f (x) := √ 1 + x2 + 1   f (x) + f (y) x+y = f¨ ur alle x, y ∈ R mit xy < 1 . f 1 − xy 1 − f (x)f (y) Beweis. F¨ ur x = 0 oder y = 0 ist die Behauptung klar. Es sei also x = 0 und y = 0 .  f

x+y 1 − xy

 =

= =



x+y 1 − xy

(jetzt mit 1 − xy erweitern:) (x + y)2 1+ +1 (1 − xy)2 x+y  2 (1 − xy) + (x + y)2 + 1 − xy x+y  (1.1) 2 (1 + x )(1 + y 2 ) + 1 − xy

Setze a := f (x) und b := f (y) . Wir erweitern mit (1−a2 )(1−b2 ) und formen Z¨ahler und Nenner zun¨ achst getrennt voneinander um. Nach Definition von f (x) ist   x = a· 1 + x2 + 1  x − a = a · 1 + x2 x2 − 2xa + a2 = a2 (1 + x2 ) x − 2a = a2 x (da x = 0) x(1 − a2 ) = 2a ; analog: y(1 − b2 ) = 2b . (1.2) Somit: (x + y)(1 − a2 )(1 − b2 )

= (1.2)

= =

x(1 − a2 )(1 − b2 ) + y(1 − a2 )(1 − b2 ) 2a(1 − b2 ) + 2b(1 − a2 ) 2(a + b)(1 − ab) .

(1.3)

Außerdem: (1 + x2 )(1 − a2 )2

= (1.2)

analog:

(1 + y 2 )2 (1 − b2 )2

(1 − a2 )2 + x2 (1 − a2 )2

= =

(1 − a2 )2 + 4a2 (1 + a2 )2 ;

(1.4)

=

(1 + b2 )2 .

(1.5)

1.8. Winkelfunktionen

73

Mit (1.4), (1.5) und (1.2) folgt   (1 + x2 )(1 + y 2 ) + 1 − xy (1 − a2 )(1 − b2 )

Insgesamt:   x+y f 1 − xy

=

(1 + a2 )(1 + b2 ) + (1 − a2 )(1 − b2 ) − 2a · 2b

=

2(1 − ab)2 .

(1.1)



=

(1.3),(1.6)

= =

(1.6)

(x + y)(1 − a2 )(1 − b2 )  (1 + x2 )(1 + y 2 ) + 1 − xy (1 − a2 )(1 − b2 )

2(a + b)(1 − ab) 2(1 − ab)2 a+b . 1 − ab

Die Voraussetzung xy < 1 wurde in (1.1) beim Umformen der Wurzel benutzt:  1 − xy = (1 − xy)2 , wenn 1 − xy ≥ 0 . 2 Der Beweis des Additionstheorems ist jetzt nicht mehr schwer: Satz 1.8.7. Additionstheorem. Es seien x, y ∈ R mit xy < 1 . Dann ist   x+y arctan(x) + arctan(y) = arctan . 1 − xy x+y , f (t) := √1+tt 2 +1 f¨ ur alle t ∈ R , Beweis. Setze x0 := x , y0 := y , z0 := 1−xy xn+1 := f (xn ) , yn+1 := f (yn ) und zn+1 := f (zn ) f¨ ur alle n ∈ N0 . Mit Lemma 1.8.6 xn +yn folgt induktiv zn = 1−x f¨ u r alle n ∈ N : 0 n yn

 zn+1 = f (zn ) = f

xn + y n 1 − x n yn

 =

f (xn ) + f (yn ) xn+1 + yn+1 = , 1 − f (xn )f (yn ) 1 − xn+1 yn+1

ur n = 0 gilt xn yn < 1 nach Voraussetzung, und f¨ ur n > 0 ist denn xn yn < 1 : F¨ ur alle t ∈ R . xn yn = f (xn−1 )f (yn−1 ) < 1 wegen |f (t)| < 1 f¨ (xn )n und (yn )n konvergieren gegen 0, also folgt   n 2 xn + 2 n y n n (2 zn )n = −→ arctan(x) + arctan(y) . 1 − x n yn n   x+y Mit (2n zn )n → arctan(z0 ) = arctan 1−xy folgt die Behauptung. 2 Lemma 1.8.8. F¨ ur alle x ∈ R gilt arctan(−x) = − arctan(x)

und

| arctan(x)| ≤ |x| .

74

Kapitel 1. Grenzwert

Beweis. Die erste Aussage folgt nach Definition 1.8.2. Die zweite Aussage folgt aus ur alle c0 ∈ R ist | arctan(c0 )| ≤ |c0 | . 2 der Monotonie von (2n cn )n in 1.8.1: F¨ Satz 1.8.9. Die Funktion arctan ist streng monoton steigend und stetig. Außerdem gilt lim arctan(x) = π2 und die Wertemenge ist ] − π2 , π2 [ . x→∞

Beweis. Setze f := arctan . Zur Monotonie in R+ 0 : Es sei 0 ≤ a < b . Dann ist b · (−a) ≤ 0 < 1 , also nach dem Additionstheorem   b−a f (b) − f (a) = f (b) + f (−a) = f >0, 1 + ab b−a > 0 und f (x) > 0 f¨ ur alle x > 0 (siehe Bemerkung im Anschluss an denn 1+ab 1.8.4). Damit ist f streng monoton steigend in R+ 0 . Wegen f (−x) = −f (x) ist f dann in ganz R streng monoton steigend. f ist stetig bei 0 , denn aus (xn )n → 0 folgt (f (xn ))n → 0 wegen |f (x)| ≤ |x| . Stetigkeit in R+ : Sei a > 0 und (xn )n → a . Die Folge (xn )n ist schließlich positiv, also gilt schließlich xn · (−a) < 0 < 1 , das heißt die Voraussetzung des Additionstheorems ist schließlich erf¨ ullt. F¨ ur gen¨ ugend große n gilt also   xn − a →0 f (xn ) − f (a) = f 1 + xn a xn −a → 0 und f stetig bei 0. Damit ist f stetig in R+ wegen 1+x 0 . Wegen f (−x) = na −f (x) ist f dann in ganz R stetig. Sei (xn )n → ∞ . Wir zeigen (f (xn ))n → π2 : Die Folge (xn )n ist schließlich positiv, also gilt schließlich xn · (−1) < 0 < 1 , das heißt f¨ ur gen¨ ugend große n gilt nach dem Additionstheorem   xn − 1 . f (xn ) − f (1) = f 1 + xn

Wegen Wf = ]

xn −1 → 1+xn π π −2,2[

1 und f (1) =

π 4

(siehe 1.8.2) folgt (f (xn ))n →

π 2

. 2

folgt jetzt mit dem Zwischenwertsatz.

y

y

π /2

1 1

x

− π /2

π /2

− π /2

Abbildung 1.29: Graph von Arkustangens und Tangens

x

1.8. Winkelfunktionen

75

Aus Satz 1.8.9 folgt insbesondere, dass arctan : R −→ ] − π2 , π2 [ umkehrbar ist. Die Umkehrfunktion heißt Tangens ; sie wird durch tan(x + π) = tan(x) periodisch fortgesetzt. Außerdem erh¨ alt man mit cos(x) := 

1 , sin(x) := tan(x) cos(x) 1 + tan(x)2

f¨ ur |x| <

π 2

Kosinus und Sinus, die durch sin( π2 ) := 1 , sin(x + π) = − sin(x) , cos( π2 ) := 0 , cos(x + π) = − cos(x) fortgesetzt werden. Mit unseren bisherigen S¨atzen ist es nicht ¨ mehr schwer, die Stetigkeit von Tangens, Sinus und Kosinus zu zeigen (Ubung!). Einen Winkel mit 10◦ k¨ onnen wir nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren. Aber jetzt k¨onnen wir ihn (und jeden anderen Winkel) mit Hilfe einer einfachen π Rechnung n¨aherungsweise zeichnen: Zu 10◦ geh¨ort das Bogenmaß 10◦ · 180 ◦ , also π ist BC0 = tan( 18 ) ≈ 0,176 in Abbildung 1.25; damit kann das Dreieck ABC0 n¨ aherungsweise gezeichnet werden. Bleibt nur noch die Frage, welches Verfahren den Tangens berechnet. Ange√ “ nommen wir h¨atten eine Maschine, die bisher nur +“, −“, ·“, :“ und ” ” ” ” ” beherrscht. Mit unserer Folge (2n cn )n k¨ onnte ihr die Berechnung des Arkustangens π π ) = x ist ¨aquivalent zu 18 = arctan(x) , beigebracht werden. Die Gleichung tan( 18 die wir mit unserer Maschine und einer Intervallschachtelung n¨aherungsweise l¨osen k¨onnten. Das ist zwar nicht das beste Verfahren, aber immerhin eine M¨oglichkeit, π tan( 18 ) zu berechnen.

Aufgaben 1. Sei (cn )n wie in 1.8.1. Berechnen Sie 220 c20 f¨ ur c0 ∈ {0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 10} . 2. F¨ uhren Sie den Beweis von 1.8.1 zu Ende. 3. Skizzieren Sie den Graph des Arkustangens im Bereich von −5 bis 5 mit Hilfe einer Wertetabelle f¨ ur 220 c20 . 4. Erl¨autern Sie geometrisch (Abb. 1.28), woher die Bedingung xy < 1 in 1.8.6 kommt. tan(α) + tan(β) mit 1.8.7 her. Unter welcher Be1 − tan(α) tan(β) dingung gilt diese Gleichung?

5. Leiten Sie tan(α + β) =

6. Erl¨autern Sie geometrisch (Abb. 1.25), warum lim arctan(x) = x→∞

7. Beweisen Sie die Stetigkeit von Tangens, Sinus und Kosinus. 8. Beweisen Sie lim

x→0

arctan(x) = 1. x

9. Bestimmen Sie lim

x→0

tan(x) sin(x) und lim . x→0 x x

π 2

gilt.

76

Kapitel 1. Grenzwert

1.9

Gleichwertige Axiomensysteme

Am Ende dieses ersten Kapitels denken wir noch einmal u ¨ber die Grundlagen der Analysis nach. Alle S¨ atze der Analysis folgen letztlich aus Axiomen (und den Regeln der Logik und Mengenlehre). Das gilt auch f¨ ur andere mathematische Disziplinen, etwa f¨ ur die Geometrie oder Algebra. Jedes Axiomensystem legt seine eigene mathematische Theorie fest. Wer mehrere Analysis-B¨ ucher miteinander vergleicht wird feststellen, dass verschiedene Autoren verschiedene Vollst¨ andigkeitsaxiome f¨ ur ihre“ Analysis verwen” den. Es w¨are denkbar, dass dies zu verschiedenen Theorien f¨ uhrt, dass es also S¨atze gibt, die in der einen Theorie gelten, aber in der anderen nicht. Im Folgenden werden wir einige Vollst¨ andigkeitsaxiome miteinander vergleichen und feststellen, dass sie jeweils zur gleichen Theorie f¨ uhren. Dabei gewinnen wir gleichzeitig sehr hilfreiche S¨atze, da man mit den unterschiedlichen Versionen des Vollst¨andigkeitsaxioms sehr gut argumentieren kann. Das zeigen wir am Beispiel des Extremwertsatzes (siehe 1.9.11). Um unsere Version des Vollst¨ andigkeitsaxioms anwenden zu k¨onnen muss eine Folge vorliegen, die monoton und beschr¨ ankt ist. Die meisten“ Folgen sind aber ” nicht monoton, also ist es auf den ersten Blick schon ein wenig erstaunlich, dass wir bisher immer wieder geeignete Folgen finden konnten. Das liegt letztlich an der bemerkenswerten Tatsache, dass jede Folge eine monotone Teilfolge enth¨alt: Definition 1.9.1. Es sei (xn )n∈N eine Folge reeller Zahlen und (nk )k∈N eine streng monoton steigende Folge nat¨ urlicher Zahlen. Dann heißt (xnk )k∈N Teilfolge von 2 (xn )n∈N .         (2k)−1 k = 12 , 14 , 16 , . . . ist eine Teilfolge von n−1 n = 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , . . . ;     dabei ist xn = n−1 und nk = 2k . Aber 12 , 12 , 12 , . . . und 12 , 11 , 14 , 13 , . . . sind keine  Teilfolgen von n−1 n . Lemma 1.9.2. Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge. xn

xn

m

n

m

n

Abbildung 1.30: Die Stelle m ist rechts-minimal bzw. nicht rechts-minimal Beweis. Es sei (xn )n eine Folge. Wir nennen m ∈ N rechts-minimal , wenn xn ≥ xm f¨ ur alle n ≥ m (Abbildung 1.30).

1.9. Gleichwertige Axiomensysteme

77

1. Fall: Zu jedem N ∈ N gibt es ein n > N , das rechts-minimal ist. Dann erhalten wir induktiv eine monoton steigende Teilfolge: k = 1 : W¨ahle ein rechts-minimales n1 > 1 (existiert nach Voraussetzung). k → k + 1“: W¨ahle ein rechts-minimales nk+1 > nk (existiert nach Vor.). ” Dann ist (xnk )k eine Teilfolge von (xn )n mit xnk+1 ≥ xnk f¨ ur alle k ∈ N , da alle nk rechts-minimal sind. 2. Fall: Es gibt ein N ∈ N , sodass kein n > N rechts-minimal ist. Dann erhalten wir induktiv eine monoton fallende Teilfolge, wobei alle nk > N : k = 1 : Setze n1 := N + 1 . (Insbesondere ist n1 > N .) k → k + 1“: W¨ ahle ein nk+1 > nk mit xnk+1 < xnk (existiert, da nk wegen nk > N ” nicht rechts-minimal ist; insbesondere ist nk+1 > N ). Dann ist (xnk )k eine monoton fallende Teilfolge von (xn )n . 2 Aus 1.9.2 und unserem Vollst¨ andigkeitsaxiom folgt sofort: Satz 1.9.3. Bolzano–Weierstraß bzw. Vollst¨ andigkeitsaxiom (2). Jede beschr¨ ankte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge. Man kann auch umgekehrt aus dem Satz von Bolzano–Weierstraß unser Vollst¨andigkeitsaxiom herleiten. Im folgenden Beweis benutzen wir nur die K¨orper- und Anordnungsaxiome und den Satz von Bolzano–Weierstraß: Vollst¨ andigkeitsaxiom. Es sei (xn )n eine monoton steigende und nach oben beschr¨ankte Folge. Dann konvergiert (xn )n gegen eine reelle Zahl. Beweis. (xn )n ist auch nach unten beschr¨ankt, zum Beispiel durch x1 . Nach Bolzano–Weierstraß gibt es ein a ∈ R und eine Teilfolge (xnk )k → a . urde folgen, Annahme: Es gibt ein N ∈ N mit a < xN . Da (xn )n monoton steigt w¨ dass a < xN ≤ xnk f¨ ur alle nk > N ; das ist aber ein Widerspruch zu (xnk )k → a . ur alle n ∈ N . Die Annahme war falsch, also folgt xn ≤ a f¨ Es gilt (xn )n → a : Sei  > 0 . Wir suchen ein N ∈ N mit |xn − a| <  f¨ ur alle n > N . Wegen (xnk )k → a gibt es ein nk mit |xnk − a| <  . Da (xn )n monoton steigt, folgt xnk ≤ xn ≤ a und |xn − a| <  f¨ ur alle n > nk . 2 Wenn wir unser Vollst¨ andigkeitsaxiom gegen den Satz von Bolzano–Weierstraß austauschen, dann erhalten wir also die gleiche Theorie. Eine dritte Version des Vollst¨ andigkeitsaxioms benutzt keine Folgen, sondern Schranken von Mengen: Definition 1.9.4. Eine Menge M ⊆ R heißt nach oben beschr¨ ankt , wenn es ein s ∈ R gibt mit m ≤ s f¨ ur alle m ∈ M ; in diesem Fall nennen wir s eine obere Schranke f¨ ur M ; ist außerdem s ∈ M , dann ist s das Maximum von M , bezeichnet durch max(M ) . Analog: nach unten beschr¨ ankt , untere Schranke , Minimum und min(M ) (ersetze ≤“ durch ≥“). M heißt beschr¨ ankt , wenn M nach oben und ” ” unten beschr¨ankt ist. 2 Zum Beispiel sind 5 und 6 obere Schranken f¨ ur M = [ 3 ; 5 [ , 3 und 2 sind untere Schranken; 3 ist das Minimum, aber M hat kein Maximum; 5 ist die kleinste obere Schranke und 3 die gr¨ oßte untere Schranke. Allgemein:

78

Kapitel 1. Grenzwert

Definition 1.9.5. Das Supremum einer Menge M ⊆ R ist die kleinste obere Schranke f¨ ur M , bezeichnet durch sup(M ). Das Infimum einer Menge M ⊆ R ist die gr¨oßte untere Schranke f¨ ur M , bezeichnet durch inf(M ). 2 Weder sup(M ) noch inf(M ) m¨ ussen existieren, zum Beispiel f¨ ur M = Z . Jedoch: Satz 1.9.6. Es sei M ⊆ R nicht leer. Wenn M nach oben beschr¨ ankt ist, dann existiert sup(M ). Wenn M nach unten beschr¨ ankt ist, dann existiert inf(M ). Dabei sind sup(M ) und inf(M ) Ber¨ uhrpunkte von M . ur Beweis. Es sei M nach oben beschr¨ ankt. Dann gibt es eine obere Schranke r1 f¨ ur M . Definiere M und ein x ∈ M ; die Zahl l1 := x − 1 ist keine obere Schranke f¨ eine Intervallschachtelung durch  ur M ist [ ln , mn ] falls mn eine obere Schranke f¨ [ ln+1 , rn+1 ] := ur M ist [ mn , rn ] falls mn keine obere Schranke f¨ f¨ ur n ∈ N und mn := 12 (ln + rn ) . Dann gilt f¨ ur alle n ∈ N : ln ist keine obere Schranke f¨ ur M , und rn ist eine obere Schranke f¨ ur M . Nach 1.4.19 haben (ln )n und (rn )n einen gemeinsamen Grenzwert s . s ist eine obere Schranke f¨ ur M : Sei m ∈ M . Dann gilt m ≤ rn f¨ ur alle n ∈ N (denn rn ist eine obere Schranke), also m ≤ lim rn = s nach 1.4.2. n→∞

s ist die kleinste obere Schranke f¨ ur M : Sei s eine obere Schranke f¨ ur M . Wir zeigen s ≤ s : Es gilt ln < s f¨ ur alle n ∈ N (denn ln ist keine obere Schranke), also s = lim ln ≤ s nach 1.4.2. n→∞

s ist ein Ber¨ uhrpunkt von M : Zu jedem n ∈ N gibt es ein xn ∈ M mit xn ∈ [ ln , rn ] (denn ln ist keine obere Schranke, rn ist eine obere Schranke). Die Folge (xn )n konvergiert ebenfalls gegen s = lim ln = lim rn . n→∞ n→∞ ¨ Beweis f¨ ur den Fall M nach unten beschr¨ ankt“: Ubung! 2 ” Einige Autoren benutzen die erste Aussage von 1.9.6 als Vollst¨andigkeitsaxiom (zum Beispiel [Br¨ o1], Abschnitt I.1): Vollst¨ andigkeitsaxiom (3). Es sei M ⊆ R nicht leer und nach oben beschr¨ankt. Dann existiert sup(M ). Nach 1.9.6 folgt aus unserem Axiomensystem diese dritte Version. Das gilt aber auch umgekehrt: Wenn man unsere Version gegen die dritte Version austauscht, dann kann man die G¨ ultigkeit unserer Version herleiten (siehe [Br¨o1], Abschnitt II.2, Satz (2.2)). Einige Autoren formulieren ihr Vollst¨ andigkeitsaxiom mit Cauchy-Folgen (zum Beispiel [For1], Abschnitt 5): Definition 1.9.7. Eine Folge (xn )n heißt Cauchy-Folge , wenn gilt: ∀  ∈ R+ ∃ N ∈ N ∀ n, m > N : |xn − xm | <  .

2

1.9. Gleichwertige Axiomensysteme

79

Satz 1.9.8. Eine Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann gegen eine reelle Zahl, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Beweis. Wir wissen bereits, dass unsere“ Analysis mit der Analysis in [Br¨o1] ” u o1] wird Satz 1.9.8 bewiesen (Abschnitt II. 2, Satz (2.12)), ¨bereinstimmt. In [Br¨ also folgt dieser Satz auch nach unserem Axiomensystem. 2 Vollst¨ andigkeitsaxiom (4). Jede Cauchy-Folge reeller Zahlen konvergiert. In [For1] wird die vierte Version des Vollst¨andigkeitsaxioms zugrunde gelegt und unsere Version bewiesen (Abschnitt 5, Satz 7). Das Axiomensystem in [For1] ist damit zu unserem System gleichwertig. Mit den unterschiedlichen Versionen des Vollst¨andigkeitsaxioms kann man sehr gut argumentieren. Wir zeigen das bei der Herleitung des Extremwertsatzes: Lemma 1.9.9. Es sei f : [ c , d ] −→ R stetig. Dann ist die Wertemenge Wf beschr¨ ankt. Beweis. Annahme: Wf ist nach oben unbeschr¨ankt. W¨ahle zu jedem n ∈ N ein xn ∈ [ c , d ] mit f (xn ) > n (existiert nach Annahme). Nach 1.9.3 besitzt (xn )n eine konvergente Teilfolge (xnk )k , deren Grenzwert a in [ c , d ] liegt (siehe 1.4.2). Da f stetig ist folgt (f (xnk ))k → f (a) ; das ist aber ein Widerspruch dazu, dass f (xn ) > n f¨ ur alle n ∈ N gilt. ¨ ankt. Ubung! 2 Annahme: Wf ist nach unten unbeschr¨ Lemma 1.9.10. Es sei f : [ c , d ] −→ R stetig und b ein Ber¨ uhrpunkt der Wertemenge Wf . Dann liegt b in Wf . Beweis. Nach Voraussetzung gibt es eine Folge (yn )n in Wf mit (yn )n → b . W¨ahle zu jedem yn ein xn ∈ [ c , d ] mit f (xn ) = yn . Nach 1.9.3 besitzt (xn )n eine konvergente Teilfolge (xnk )k , deren Grenzwert a in [ c , d ] liegt (siehe 1.4.2). Da f stetig ist folgt (f (xnk ))k → f (a) ; außerdem ist (f (xnk ))k eine Teilfolge von (yn )n , also hat sie nach 1.6.4 den gleichen Grenzwert wie (yn )n , das heißt b = f (a) ∈ Wf . 2 Das Maximum einer Funktion f ist definiert als max(Wf ) , das Minimum von f onnen wir den Extremwertsatz formulieren und beweisen: als min(Wf ) . Jetzt k¨ Satz 1.9.11. Extremwertsatz. Es sei f : [ c , d ] −→ R stetig. Dann besitzt f ein Minimum r und ein Maximum s, und die Wertemenge ist [ r , s ] . ankt, also existieren r := inf(Wf ) und s := Beweis. Nach 1.9.9 ist Wf beschr¨ sup(Wf ) nach 1.9.6, wobei r und s Ber¨ uhrpunkte von Wf sind, also r, s ∈ Wf nach 1.9.10. Damit ist r das Minimum und s das Maximum von f . Mit dem Zwischen2 wertsatz folgt Wf = [ r , s ] . Es gibt zwar unterschiedliche Versionen des Vollst¨andigkeitsaxioms, aber wenn man es ganz wegl¨ asst, dann entsteht eine andere Theorie:

80

Kapitel 1. Grenzwert

In Q gelten die K¨ orper- und Anordnungsaxiome. Wenn man aus diesen Axiomen das Vollst¨andigkeitsaxiom herleiten k¨ onnte, dann w¨ urde der Zwischenwertsatz auch in Q gelten, da wir zu seinem Beweis letztlich nur unser Axiomensystem benutzt haben. Damit h¨ atte die Gleichung x2 = 2 auch in Q eine L¨osung. Das ist nach Beispiel 1.1.4 aber nicht der Fall.

Aufgaben 1. Beweisen Sie: Jede unbeschr¨ ankte Folge besitzt eine bestimmt divergente Teilfolge. 2. F¨ uhren Sie den Beweis von 1.9.6 zu Ende. 3. Beweisen Sie, ohne die S¨ atze von Abschnitt 1.9 zu benutzen: Jede CauchyFolge ist beschr¨ ankt. 4. Es sei f : Df −→ Wf eine stetige Funktion mit Wertemenge Wf . Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (a) Wf ist ein Intervall

=⇒

Df ist ein Intervall.

(b) Df offenes Intervall

=⇒

Wf offenes Intervall.

(c) Df halboffenes Intervall

=⇒

Wf halboffenes Intervall.

(d) Wf halboffenes Intervall

=⇒

Df halboffenes Intervall.

5. Finden Sie jeweils eine Funktion f : Df −→ Wf mit Wertemenge Wf . (a) Df ist ein Intervall, Wf besteht aus zwei getrennten Intervallen. (b) Df ist ein abgeschlossenes Intervall, Wf ist unbeschr¨ankt. (c) Df ist ein abgeschlossenes Intervall, Wf ein offenes Intervall. 6. Finden Sie eine Funktion f mit Df = R und Wf = Z . Beweisen Sie, dass alle Funktionen f mit Df = R und Wf = Z unstetig sind. Was gilt im Fall Df = Z ?

Kapitel 2

Ableitung Viele Graphen haben die Eigenschaft, dass sie wie eine Gerade aussehen, wenn man sie unter dem Mikroskop“ betrachtet. In so einem Fall nennt man die zugeh¨orige ” Funktion differenzierbar und die Steigung der Geraden“ die Ableitung der Funktion ” an der betreffenden Stelle: 1.2

y

1.1

1

1

0.9

1

x

0.8 0.8

0.9

1

1.1

1.2

Abbildung 2.1: f (x) = x2 ist bei 1 differenzierbar In der rechten H¨ alfte von Abbildung 2.1 sieht man die Vergr¨oßerung des kleinen Quadrats aus der linken H¨ alfte. Der Graph von f (x) = x2 ist dann kaum mehr von einer Geraden zu unterscheiden. Die Steigung dieser Geraden“ kann n¨aherungs” weise abgelesen werden: Wenn x um ungef¨ ahr 0,2 w¨achst (von etwa 0,9 bis 1,1) , dann w¨achst y um ungef¨ ahr 0,4 (von etwa 0,8 bis 1,2), das heißt die Steigung ist ungef¨ahr 2. Die Ableitung von f an der Stelle 1 ist also ungef¨ahr 2 ; daf¨ ur schreibt man auch kurz f  (1) ≈ 2 . Auch in der rechten H¨ alfte von Abbildung 2.2 sieht man die Vergr¨oßerung eines kleinen Quadrats aus der linken H¨ alfte. Doch der Graph von f (x) = |x| ist dann keineswegs eine Gerade. Daran a ndert sich auch bei noch so starker Vergr¨oßerung ¨ nichts: Die Funktion f ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar. In den Abschnitten 2.1 und 2.2 stehen folgende Fragen im Mittelpunkt: Was bedeutet ungef¨ahr eine Gerade unter dem Mikroskop“? Wie berechnet man Ab” leitungen m¨oglichst einfach? In 2.3 werden Ableitungen benutzt, um Eigenschaften M. Moßburger, Analysis in Dimension 1, DOI 10.1007/978-3-8348-8633-0_2, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

82

Kapitel 2. Ableitung 0.2

y 0.1

1

0

-0.1

-1

1

x -0.2 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Abbildung 2.2: f (x) = |x| ist bei 0 nicht differenzierbar von Funktionen nachzuweisen; Dreh- und Angelpunkt ist dabei der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Abschnitt 2.4 zeigt Anwendungen der Ableitung in der Physik. In 2.5 wird mit Hilfe der Ableitung ein einfaches und sehr wirkungsvolles Verfahren entwickelt, das N¨ aherungsl¨ osungen f¨ ur viele Gleichungen liefert. Im letzten Abschnitt blicken wir auf die ersten beiden Kapitel dieses Buches zur¨ uck, um u uckgelegten Weges noch einmal ¨ber die wichtigsten Stationen des bis dahin zur¨ nachzudenken. Dabei sollen vor allem Zusammenh¨ange zwischen diesen verschiedenen Stationen hergestellt und in einer einheitlichen Sprache formuliert werden; wir wagen es aber auch, eine sehr grunds¨ atzliche Frage zu stellen: Ist auch eine ganz ” andere Analysis“ denkbar?

2.1

Definition und Beispiele

Zur Definition der Ableitung m¨ ussen wir pr¨ azisieren, was Formulierungen wie un” gef¨ahr eine Gerade beim Blick durch ein Mikroskop“ bedeuten. Es sei g eine Funktion, deren Graph eine (exakte) Gerade ist; außerdem sei f eine Funktion, deren Graph sich an den Graphen von g bei Vergr¨oßerung ann¨ahert“ (siehe Abb. 2.3). ” F¨ ur den Unterschied zwischen f und g beim Blick durch ein Mikroskop mit Ver” y

f g

b a

x

Abbildung 2.3: Vergleich von f und g gr¨oßerung 100“ vergleicht man zum Beispiel f (a + 0,01) und g(a + 0,01) , das heißt man betrachtet den Unterschied zwischen f (a + 0,01) und g(a + 0,01) bei 100-facher

2.1. Definition und Beispiele

83

Vergr¨oßerung, also   f (a + 0,01) − g(a + 0,01) 100 · f (a + 0,01) − g(a + 0,01) = 0,01

.

Die Graphen von f und g sind also bei starker Vergr¨oßerung kaum zu unterschei” klein“ ist. Das pr¨azisieren wir durch den“, wenn f¨ ur kleine“ h auch f (a+h)−g(a+h) h ” ” f (a + h) − g(a + h) lim =0. h→0 h Wie berechnet man g , wenn f und (a, b) gegeben sind? Dazu muss man die Steigung von g berechnen. Diese Steigung gewinnen wir wie folgt: f (a + h) − b g(a + h) − b f (a + h) − g(a + h) = − = s(h) − m h h h mit s(h) :=

f (a+h)−b h

und m :=

g(a+h)−b h

; dabei ist m die (konstante) Steigung des

y

y g

f

f(a+h)

g(a+h) b

b a

a+h

x

a

a+h

x

Abbildung 2.4: Steigung von g und von einer Sekante von f Graphen von g , und s(h) die Steigung der Geraden durch (a, b) und (a + h, f (a + b)) (siehe Abb. 2.4); solche Geraden durch zwei Punkte eines Graphen werden auch als Sekanten bezeichnet. Wegen lim

h→0

f (a + h) − g(a + h) =0 h

⇐⇒

lim s(h) = m

h→0

kann man die Steigung m durch den Grenzwert von s(h) berechnen. Durch diesen Grenzwert ist die Ableitung f  (a) an der Stelle a definiert. Geometrisch bedeutet dies, dass sich f¨ ur h → 0 die Steigung der Sekante an die Steigung der Geraden g ann¨ahert; die Gerade g wird auch als Tangente an den Graphen von f bezeichnet. Beispiel 2.1.1. Es sei f (x) = x2 und a = 1 (siehe Abb. 2.1). Wegen f (1 + h) = 12 + 2h + h2 = 1 + (2 + h)h gilt f¨ ur h = 0

f (1 + h) − 1 =2+h→2 h

f¨ ur h → 0 ,

84

Kapitel 2. Ableitung

also hat die Tangente an der Stelle 1 die Steigung f  (1) = 2 und den Term g(1 + h) = 1 + 2h

bzw.

g(x) = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1

mit x = 1 + h . Allgemeiner: Wegen f (a + h) = a2 + 2ah + h2 = a2 + (2a + h)h gilt f¨ ur h = 0

f (a + h) − a2 = 2a + h → 2a f¨ ur h → 0 , h also hat die Tangente an der Stelle a die Steigung f  (a) = 2a und den Term g(a + h) = a2 + 2ah bzw.

g(x) = a2 + 2a(x − a) = 2ax − a2 2

mit x = a + h .

Wenn man f (a + h) wie in 2.1.1 bereits in der Form f (a + h) = f (a) + r(h)h geschrieben hat, dann muss man nicht mehr nach r(h) aufl¨osen. Ein Term wie (a) r(h) = 2a + h hat gegen¨ uber dem Bruch s(h) = f (a+h)−f sogar den Vorteil, dass h  man 0 einsetzen kann, und dass man f (a) ohne Grenzwertbildung einfach durch Einsetzen erh¨alt: f  (a) = r(0) . Das ist nicht nur beim Rechnen, sondern auch in vielen Beweisen sehr praktisch (siehe n¨ achster Abschnitt). Das folgende Lemma beschreibt den Zusammenhang zwischen r(h) und dem Grenzverhalten von s(h) . Lemma 2.1.2. Es sei f : Df −→ R eine Funktion, a ∈ Df , m ∈ R und 0 ein (a) . Dann sind ¨ aquivalent: Ber¨ uhrpunkt der Definitionsmenge von s(h) := f (a+h)−f h 1. lim s(h) = m h→0

2. Es gibt eine bei 0 stetige Funktion r , sodass f (a + h) = f (a) + r(h)h f¨ ur alle h ∈ R mit a + h ∈ Df , wobei r(0) = m . In diesem Fall ist insbesondere r(0) = lim s(h) eindeutig durch f und a bestimmt. h→0

Beweis. Der einzige Unterschied zwischen r und s besteht darin, dass 0 nicht zur Definitionsmenge von s geh¨ ort, das heißt r ist eine Fortsetzung von s . Die Behauptung folgt damit nach Aufgabe 4 in Abschnitt 1.7. 2 F¨ ur die Definition der Ableitung spielt es also keine Rolle, ob man die Konvergenz von s oder die Existenz eines bei 0 stetigen r fordert. Der Quotient s(h) = f (a+h)−f (a) wird u ¨brigens auch als Differenzenquotient bezeichnet. h Noch ein Wort zur Definitionsmenge Df : F¨ ur die Ableitung an einer Stelle a ∈ Df interessiert uns nur, wie der Graph in einer winzigen“ Umgebung um ” a aussieht. Damit ist auch f¨ ur Df nur wichtig, wie sie in einer Umgebung von a aussieht. Eine solche Umgebung erh¨ alt man durch ]a − δ , a + δ[ ∩ Df mit einem winzigen“ δ > 0 . Damit nun der Graph bei Vergr¨oßerung wie eine Gerade oder ”

2.1. Definition und Beispiele

85

wenigstens wie eine Halbgerade aussehen kann (und nicht wie eine Gerade mit lauter L¨ ocher oder dergleichen) setzen wir voraus, dass die Umgebung ]a − δ , a + δ[ ∩ Df ein Intervall ist. Um dann noch F¨ alle wie Df = [3 ; 3] auszuschließen, soll dieses Intervall mehr als einen Punkt enthalten (es enth¨alt dann automatisch unendlich viele Punkte). Definition 2.1.3. Es sei f eine Funktion, a ∈ Df und ]a − δ , a + δ[ ∩ Df ein Intervall mit mehr als einem Punkt f¨ ur ein δ > 0 . f heißt differenzierbar an der Stelle a , wenn es eine bei 0 stetige Funktion r gibt, sodass f (a + h) = f (a) + r(h) · h f¨ ur alle h ∈ R mit a + h ∈ Df . In diesem Fall nennt man f  (a) := r(0) die Steigung bzw. Ableitung von f an der Stelle a , und die Gerade g mit g(a + h) = f (a) + f  (a) · h heißt Tangente von f an der Stelle a . Sprechweise: f wird lokal bei a durch g approximiert. f heißt differenzierbar , wenn f an jeder Stelle ihrer Definitionsmenge differenzierbar ist. 2 1.4

y

1.2

1 1

0.8

2

x

0.6 1.6

1.8

2

2.2

2.4

Abbildung 2.5: Graph und Tangente f¨ ur f (x) = 18 x3 Beispiel 2.1.4. Wir untersuchen, ob f (x) = 18 x3 an der Stelle 2 differenzierbar ist. Die graphische N¨ aherung in Abbildung 2.5 legt nahe, dass f  (2) existiert mit f  (2) ≈ 0,8 = 1,6 . F¨ u r den exakten Nachweis m¨ ussen wir eine bei 0 stetige Funktion 0,5 r finden, sodass f (2 + h) = 1 + r(h)h f¨ ur alle h ∈ R . F¨ ur alle h ∈ R ist 1 1 1 (2 + h)3 = (4 + 4h + h2 )(2 + h) = (8 + 12h + 6h2 + h3 ) 8 8 8   3 3 2 1 3 1 3 3 = 1+ h+ h + h =1+ + h + h2 h 2 4 8 2 4 8 = 1 + r(h)h ,

f (2 + h) =

86

Kapitel 2. Ableitung

wobei r(h) der Term in der großen Klammer ist. r ist stetig (Polynom!), also ist f bei 2 differenzierbar mit f  (2) = r(0) = 32 und Tangente g(2 + h) = 1 +

3 ·h 2

bzw.

g(x) = 1 +

3 3 · (x − 2) = · x − 2 mit x = 2 + h . 2 2

(Die graphische N¨ aherung lag knapp daneben; sie wird besser bei st¨arkerer Vergr¨oßerung und genauerem Ablesen.) 2

y

1.7

1,5

1.6

1.5

1.4

1.3

x

0,5

0.3

Abbildung 2.6: Graph und Tangente f¨ ur f (x) =

0.4

1 4

√

0.5

0.6

2x − 1

4

0.7

−x+2

4 √ Beispiel 2.1.5. Wir untersuchen, ob f (x) = 14 2x − 1 − x + 2 an der Stelle 0,5 differenzierbar ist. Der Graph n¨ ahert sich bei Vergr¨oßerung nur einer Halbgeraden wegen Df = [ 0,5 ; ∞[ . Abb. 2.6 legt nahe, dass f  (0,5) existiert mit f  (0,5) ≈ −1 . F¨ ur den exakten Nachweis m¨ ussen wir eine bei 0 stetige Funktion r finden mit f (0,5 + h) = 1,5 + r(h)h

f¨ ur alle h ≥ 0

.

F¨ ur alle x ∈ Df = [ 0,5 ; ∞[ ist f (x) =

1 1 (2x − 1)2 − x + 2 = (4x2 − 4x + 1) − x + 2 = x2 − 2x + 2,25 , 4 4

also f¨ ur alle h ≥ 0 f (0,5 + h)

2

(0,5 + h) − 2 (0,5 + h) + 2,25 = 0,25 + h + h2 − 1 − 2h + 2,25 = 1,5 − h + h2

=

=

1,5 + (−1 + h)h = 1,5 + r(h)h ,

wobei r(h) = −1 + h . r ist stetig (Polynom!), daher ist f bei 0,5 differenzierbar mit f  (0,5) = r(0) = −1 und Tangente g(x) = 1,5 − 1 · (x − 0,5) = −x + 2 .

2

2.1. Definition und Beispiele

87

Beispiel 2.1.6. Die Betragsfunktion f (x) = |x| ist bei 0 nicht differenzierbar, da es kein geeignetes r gibt (siehe Abbildung 2.2): Es sei r eine Funktion mit f (0 + h) = f (0) + r(h)h

f¨ ur alle h ∈ R .

Dann ist r bei 0 nicht stetig, denn f¨ ur alle h = 0 ist  |h| f (0 + h) − f (0) −1 f¨ ur h < 0 = = r(h) = 1 f¨ ur h > 0 h h also lim− r(h) = −1 und lim+ r(h) = 1 . h→0

, 2

h→0

(a) Die Steigung s(h) = f (a+h)−f (mit h = 0) wird u ¨brigens auch mittlere Steih gung von f in [ a , a + h ] genannt; f  (a) heißt dann momentane Steigung . In Anwen¨ dungen spricht man manchmal auch von mittleren bzw. momentanen Anderungsraten , statt von mittleren bzw. momentanen Steigungen:

Beispiel 2.1.7. Es sei v eine Geschwindigkeitsfunktion, das heißt jedem Zeitpunkt t wird die Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t zugeordnet. Die mittlere Beschleunigung a im Zeitintervall [ t , t + h ] gibt an, wie sich die Geschwindigkeit pro Zeit ¨andert: v(t + h) − v(t) = r(h) f¨ ur h = 0 . a := h ¨ Sprechweise: a ist die mittlere Anderungsrate von v . F¨ ur h → 0 wird aus der mittleren Beschleunigung a die momentane Beschleunigung a , das heißt man definiert v(t + h) − v(t) = v  (t) . h ¨ Sprechweise: a ist die momentane Anderungsrate von v . ¨ des Ortes: Es sei Analog ist v bzw. v die mittlere bzw. momentane Anderungsrate x eine Ortsfunktion, das heißt jedem Zeitpunkt t wird der Ort x(t) zum Zeitpunkt t zugeordnet. Die mittlere Geschwindigkeit v im Zeitintervall [ t , t + h ] gibt an, wie sich der Ort pro Zeit ¨ andert. F¨ ur h → 0 wird aus der mittleren Geschwindigkeit v die momentane Geschwindigkeit v : a(t) := lim

h→0

x(t + h) − x(t) h

x(t + h) − x(t) = x (t) . 2 h ¨ Es gibt viele weitere Situationen, in denen man von Anderungsraten spricht: Ist E(t) zum Beispiel die Zahl der Einwohner eines Landes zum Zeitpunkt t , dann ist ¨ (E(t+h)−E(t))/h die mittlere Anderungsrate bzw. Wachstumsrate dieser Bev¨olkerung im Zeitraum [ t , t + h ] . Oder: Ist N (t) die Anzahl der Atomkerne eines radioaktiven Pr¨aparats zum Zeitpunkt t , dann ist (N (t + h) − N (t))/h die mittlere ¨ Anderungsrate bzw. negative Zerfallsrate dieses Pr¨aparats im Zeitraum [ t , t + h ] . In all diesen Situationen wird letztlich die Steigung r(h) einer Sekante betrachtet. F¨ ur differenzierbares f : D −→ R heißt die Funktion v :=

und v(t) := lim

h→0

f  : D −→ R , x −→ f  (x) Ableitung von f .

88

Kapitel 2. Ableitung

Beispiel 2.1.8. F¨ ur f (x) = x2 ist f  (x) = 2x nach 2.1.1.

-2

2

y

y

2

2

1

1

-1

1

2

x

-2

-1

1

-1

-1

-2

-2

2

x

Abbildung 2.7: Gf und Gf  in Beispiel 2.1.8 und 2.1.9 Beispiel 2.1.9. Es sei f (x) = x−1 und a ∈ R \ {0} . Dann ist f (a + h) = =

a a+h−h a+h −h 1 = = = + a+h a(a + h) a(a + h) a(a + h) a(a + h) 1 −1 + · h = f (a) + r(h)h a a(a + h)

mit r(h) := −(a(a + h))−1 f¨ ur alle a = 0 , h = −a . r ist stetig (rationale Funktion!), ur alle a ∈ R \ {0} . Somit: also ist f bei a differenzierbar mit f  (a) = r(0) = −a−2 f¨ f (x) = x−1

=⇒

f  (x) = −x−2

f¨ ur alle x ∈ R \ {0} .

2

Beispiel 2.1.10. Es sei f (x) = mx + t und a ∈ R (m, t ∈ R) . Dann ist f (a + h) = m(a + h) + t = ma + t + mh = f (a) + r(h)h mit r(h) := m . r ist stetig (konstant!), also ist f bei a differenzierbar mit f  (a) = r(0) = m f¨ ur alle a ∈ R . Somit: f (x) = mx + t

=⇒

f  (x) = m f¨ ur alle x ∈ R .

Dieses Ergebnis war zu erwarten: Eine Gerade mit Steigung m hat an jeder Stelle die Steigung m . 2

2.1. Definition und Beispiele

89

Aufgaben 1. Zeichnen Sie Gf mit Hilfe einer Wertetabelle der Schrittweite 0,01 an der Stelle a . Bestimmen Sie außerdem eine N¨ aherung f¨ ur f  (a) anhand Ihrer Zeichnung. (a) (c) (e) (g) (i)

f (x) = x2 − 4x + 4 , a = 3 f (x) = x2 + 3x + 3 , a = −2 f (x) = x2 − 4x , a = 2 f (x) = x3 + 1 , a = 1 f (x) = 0,5 · x + 2 , a = −3

(b) (d) (f) (h) (j)

f (x) = x2 − 4x + 4 , a = 4 f (x) = x2 + 3x + 3 , a = −3 f (x) = x2 + 2x , a = −1 f (x) = x3 − 2 , a = −1 f (x) = −2x + 6 , a = 4

2. Berechnen Sie jeweils f  (a) und die Gleichung der zugeh¨origen Tangente f¨ ur die Funktionen in Aufgabe 1. Zeichnen Sie Gf und die berechnete Tangente. 3. Berechnen Sie f¨ ur den freien Fall mit Anfangsgeschwindigkeit 0 die mittleren Geschwindigkeiten f¨ ur die Zeitintervalle [ 0 ; 1s ] , [ 1s ; 2s ] , [ 2s ; 3s ] , [ 1s ; 1,1s ] und [ 1s ; 1,001s ] . 4. Nehmen wir an, auf der Erde leben zu einem Zeitpunkt 0 genau 6 Milliarden Menschen und diese Zahl verdoppelt sich alle 30 Jahre. Berechnen Sie die mittlere Wachstumsrate der Erdbev¨ olkerung in den Zeitintervallen [ 0 ; 1a ] , [ 0 ; 1d ] , [ 0 ; 1h ] und [ 0 ; 1s ] . 5. Nehmen wir an, ein radioaktives Pr¨ aparat mit einer Halbwertszeit von einem Jahr bestehe zu einem Zeitpunkt 0 aus 1010 Atomkernen. Berechnen Sie die mittlere Zerfallsrate in den Zeitintervallen [ 0 ; 1a ] , [ 0 ; 1s ] , [ 1a ; 1a + 1s ] , [ 2a ; 2a + 1s ] und [ 3a ; 3a + 1s ] . 6. Bestimmen Sie f¨ ur die Funktionen in Aufgabe 1 jeweils f  (x) wie in Beispiel 2.1.9. Zeichnen Sie Gf und Gf  in ein gemeinsames Koordinatensystem und erl¨autern Sie die Beziehung zwischen Gf und Gf  .

90

Kapitel 2. Ableitung

2.2

Ableitungsregeln

Die Berechnung der Ableitung ist f¨ ur viele Funktionen zu schwer oder zu umst¨andlich, wenn man nur die Definition der Ableitung zur Verf¨ ugung hat. Wir besprechen daher S¨atze, die uns das Rechnen und Argumentieren erleichtern. Nach dem folgenden Satz kann man Summen gliedweise ableiten, z.B.: (x2 + 5x) = (x2 ) + (5x) = 2x + 5 . Satz 2.2.1. Summenregel. Es seien f und g differenzierbar bei a ∈ Df = Dg . Dann ist auch die Funktion f + g bei a differenzierbar mit (f + g) (a) = f  (a) + g  (a) . Beweis. Nach Voraussetzung gibt es Funktionen r und s , die bei 0 stetig sind, sodass f (a + h) = f (a) + r(h) · h

und

g(a + h) = g(a) + s(h) · h

f¨ ur alle h ∈ R mit a + h ∈ Df = Dg . Damit: (f + g)(a + h) = f (a + h) + g(a + h) = f (a) + r(h) · h + g(a) + s(h) · h     = f (a) + g(a) + r(h) + s(h) · h =

(f + g)(a) + (r + s)(h) · h

f¨ ur alle h ∈ R mit a + h ∈ Df = Dg . Nach Voraussetzung und Satz 1.5.7 ist r + s stetig bei 0, also f + g differenzierbar bei a . Außerdem ist (f + g) (a) = (r + s)(0) = r(0) + s(0) = f  (a) + g  (a) .

2

Differenzen werden wie Summen abgeleitet (Beweis analog): (f − g) (a) = f  (a) − g  (a) . Damit ist zum Beispiel (x2 − 3x + 2) = (x2 ) − (3x) + 2 = 2x − 3 . ?

F¨ ur Produkte k¨ onnte man eine Regel der Form (f · g) = f  · g  vermuten. Das ? ist aber falsch, denn sonst w¨ are (x2 ) = (x · x) = x · x = 1 · 1 = 1 im Widerspruch 2  zu (x ) = 2x (Beispiel 2.1.8). Satz 2.2.2. Produktregel. Es seien f und g differenzierbar bei a ∈ Df = Dg . Dann ist auch die Funktion f · g bei a differenzierbar mit (f · g) (a) = f (a) · g  (a) + f  (a) · g(a) .

2.2. Ableitungsregeln

91

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es Funktionen r und s , die bei 0 stetig sind, sodass f (a + h) = f (a) + r(h)h und g(a + h) = g(a) + s(h)h f¨ ur alle h ∈ R mit a + h ∈ Df = Dg . Damit: (f · g)(a + h)

= f (a + h) · g(a + h)     = f (a) + r(h)h · g(a) + s(h)h = f (a)g(a) + f (a)s(h)h + r(h)h g(a) + r(h)h s(h)h   = (f · g)(a) + f (a)s(h) + r(h)g(a) + r(h)s(h)h h

f¨ ur alle h ∈ R mit a + h ∈ Df = Dg . Nach Voraussetzung und Satz 1.5.7 ist der Term in der großen Klammer stetig bei h = 0 (dabei sind f (a) und g(a) konstante Zahlen), also f · g differenzierbar bei a . Außerdem ist (f · g) (a)

= f (a)s(0) + r(0)g(a) + r(0)s(0) · 0 = f (a) · g (a) + f  (a) · g(a) . 2

Korollar 2.2.3. Sei n ∈ N und f (x) = xn f¨ ur alle x ∈ R . Dann ist f  (x) = nxn−1 f¨ ur alle x ∈ R . Beweis. Vollst¨ andige Induktion: n = 1 : Siehe 2.1.10. n → n + 1“: Wenn die Aussage f¨ ur n gilt, dann auch f¨ ur n + 1 : ” (xn+1 ) = (x · xn ) = x · (xn ) + x · xn = xnxn−1 + xn = (n + 1)xn .

2

Einen Spezialfall von Satz 2.2.2 erh¨ alt man, wenn die Funktion g konstant ist: F¨ ur k ∈ R und differenzierbares f folgt wegen k  = 0 (k · f ) (x) = k · f  (x) + k  · f (x) = k · f  (x) f¨ ur alle x ∈ Df . Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten also einfach stehen. Damit ist zum Beispiel (7 · x3 ) = 7 · (x3 ) = 7 · 3x2 = 21x2 . Zusammen mit der Summenregel k¨ onnen wir Polynomfunktionen jetzt sehr leicht ableiten. Zum Beispiel ist   13x4 − 7x3 + 5x − 9 = (13x4 ) − (7x3 ) + (5x) − 9 = 52x3 − 21x2 + 5 . Wie leitet man (x2 + 3)17 ab? Mit unseren bisherigen Mitteln wird das eine ziemlich lange Rechnung, da wir zuerst ausmultiplizieren oder eine Produktregel f¨ ur 17 Faktoren verwenden m¨ ussten. Doch mit Hilfe der folgenden Regel wird die Rechnung sehr kurz.

92

Kapitel 2. Ableitung

Satz 2.2.4. Kettenregel. Es sei f differenzierbar an der Stelle a ∈ Df , g differenzierbar an der Stelle b = f (a) ∈ Dg und Wf ⊆ Dg . Dann ist auch die Funktion g ◦ f bei a differenzierbar mit   (g ◦ f ) (a) = g  (b) · f  (a) = g  f (a) · f  (a) . Beweis. Nach Voraussetzung gibt es Funktionen r und s , die bei 0 stetig sind, sodass f (a + h) = f (a) + r(h) · h und g(b + h) = g(b) + s(h) · h f¨ ur alle h, h ∈ R mit a + h ∈ Df und b + h ∈ Dg . Damit:   (g ◦ f )(a + h) = g f (a + h)   = g f (a) + r(h)h (∗)

= =

(∗)

=

g(b + h) g(b) + s(h)h     g(b) + s r(h)h r(h) · h .

An den Stellen (∗) haben wir h := r(h)h benutzt; dabei folgt wegen Wf ⊆ Dg aus a + h ∈ Df automatisch b + h = f (a + h) ∈ Dg . Der Term in der großen Klammer setzt sich aus stetigen Funktionen zusammen, ist also ebenfalls stetig und hat f¨ ur 2 h = 0 den Wert s(0) · r(0) = g  (b) · f  (a) . Damit folgt die Behauptung. Beispiel 2.2.5. Wir k¨ onnen jetzt (x2 + 3)17 sehr schnell ableiten: Die ¨außere“ ” 17 Funktion ist g(y) = y mit Ableitung g  (y) = 17y 16 . Die innere“ Funktion ist ” f (x) = x2 + 3 mit Ableitung f  (x) = 2x . Die gesamte Funktion ist die Verkettung g(f (x)) = (x2 + 3)17 , und nach der Kettenregel folgt 

(x2 + 3)17



  = g  f (x) · f  (x) = 17(x2 + 3)16 · 2x = 34x(x2 + 3)16

.

2

F¨ ur die bisherigen Ableitungsregeln stellen Definitionsmengen kaum ein Problem (x) dar. Doch bei dem nun folgenden Satz zur Ableitung von Quotienten fg(x) verh¨alt sich das (zun¨achst) anders: Der Quotient ist nur an Stellen a mit g(a) = 0 definiert, also ist die Frage nach der Ableitung auch nur an solchen Stellen sinnvoll. Doch f¨ ur die Differenzierbarkeit gen¨ ugt ein einzelner Punkt in der Definitionsmenge nicht: Man ben¨otigt Intervalle mit mehr als einem Punkt (siehe Definition 2.1.3). Es w¨are denkbar, dass a die einzige Stelle mit g(a) = 0 ist, oder dass es in jeder noch so kleinen Umgebung von a immer wieder Stellen x mit g(x) = 0 gibt. Nach dem folgenden Satz sind differenzierbare Funktionen aber stetig, das heißt f¨ ur ein differenzierbares g mit g(a) = 0 gibt es eine ganze Umgebung von a , in der g(x) = 0 gilt. Satz 2.2.6. Es sei f differenzierbar an der Stelle a ∈ Df . Dann ist f auch stetig bei a.

2.2. Ableitungsregeln

93

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es eine bei 0 stetige Funktion r mit f (a + h) = f (a) + r(h) · h bzw.

f (x) = f (a) + r(x − a) · (x − a)

f¨ ur x = a + h ∈ Df . Die Verkettung x → x − a → r(x − a) ist bei a stetig, das heißt f setzt sich aus Funktionen zusammen, die bei a stetig sind, also ist f ebenfalls bei a stetig. 2 Aus der Differenzierbarkeit folgt also die Stetigkeit, aber nicht umgekehrt: Die Betragsfunktion ist bei 0 stetig, aber nicht differenzierbar (siehe Beispiel 2.1.6). Satz 2.2.7. Quotientenregel. Es seien f und g differenzierbar bei a ∈ Df = Dg f bei a differenzierbar mit mit g(a) = 0 . Dann ist auch g   f g(a)f  (a) − f (a)g  (a) (a) = .  2 g g(a) Beweis. Nach Satz 2.2.6 ist g stetig bei a , also ist fg wegen g(a) = 0 in einer ganzen Umgebung von a definiert. Nach der Produkt- und Kettenregel und Beispiel 1 f 2.1.9 ist = f · bei a differenzierbar mit g g          f 1 1 1 (a) (a) = f· (a) = f · + f · g g g g   −1 1 = f · 2 · g + f  · (a) g g =

−g  (a) g(a)f  (a) − f (a)g  (a) f  (a) f (a) ·  = 2 +  2 g(a) g(a) g(a)

. 2

Eine verbreitete Merkhilfe f¨ ur die Formel der Quotientenregel ist   N AZ − ZAN Z = . N N2 Dabei steht N AZ“ f¨ ur Nenner mal Ableitung des Z¨ahlers“ und ZAN“ f¨ ur Z¨ahler ” ” ” ” mal Ableitung des Nenners“. Einen Spezialfall von 2.2.7 erh¨alt man f¨ ur f (x) = 1 n und g(x) = x mit n ∈ N :   xn · 0 − 1 · nxn−1 1 (x−n ) = = = −nx−n−1 . n x x2n Wir k¨onnen nun alle rationalen Funktionen ableiten. Zum Beispiel:   12 (x2 + 1) · 60x11 − (5x12 − 4) · 2x 50x13 + 60x11 + 8x 5x − 4 = = 2 2 2 x +1 (x + 1) (x2 + 1)2

.

94

Kapitel 2. Ableitung

Aber auch die Ableitungen der Logarithmus-, Exponential- und Winkelfunktionen sind jetzt nicht mehr schwer: Satz 2.2.8. F¨ ur alle x ∈ R+ ist ln (x) = x−1 . Beweis. Nach 1.7.2 und 1.7.3 ist ln(x) 1 x−1 = a0 ≤ ln(x) ≤ b0 = x − 1 , also ≤ ≤1 x x x−1 f¨ ur alle x ∈ R+ \ {1} , und damit ln(1 + h) − ln(1) ln(x) = lim =1. x→1 x − 1 h→0 h

ln (1) = lim F¨ ur a ∈ R+ folgt

) ln( a+h ln(1 + ha ) −1 ln(a + h) − ln(a) a = = · a −→ ln (1) · a−1 = a−1 h h h a f¨ ur h → 0 , also ln (a) = a−1 .

2 1 . 1 + x2

Satz 2.2.9. F¨ ur alle x ∈ R ist arctan (x) =

Beweis. Wir verwenden die Abk¨ urzung f := arctan . Nach Aufgabe 8 in Abschnitt  1.8 ist lim f (h) = 1 , also folgt f (0) = 1. h h→0

Sei a = 0 . F¨ ur |h| < |a| haben a + h und a das gleiche Vorzeichen, also folgt (a+h)(−a) < 0 < 1 , und damit k¨ onnen wir das Additionstheorem 1.8.7 f¨ ur x = a+h und y = −a anwenden:   h f (a + h) − f (a) = f (a + h) + f (−a) = f . 1 + (a + h)a 

Somit: f (a + h) − f (a) = h

f

h 1+(a+h)a

h 1+(a+h)a

 ·

1 1+(a+h)a

f¨ ur h → 0 .

−→ 1 ·

1 1 + a2 2

Aus ln und arctan gewinnt man Exponential- und Winkelfunktionen durch Umkehrung (siehe Abschnitte 1.7 und 1.8). Wir ben¨otigen daher einen Satz zur Ableitung von Umkehrfunktionen. Satz 2.2.10. Es seien A und B offene Intervalle, f : A −→ B stetig mit Umkehrfunktion f −1 : B −→ A , a ∈ A und f bei a differenzierbar mit f  (a) = 0 . Dann ist f −1 bei b := f (a) differenzierbar mit 

 f −1 (b) =

1 f  (a)

.

2.2. Ableitungsregeln

95

y

y

f -1

k h f

f

a

b+k k

k b

b

h a

a+h x

h b

a

x

Abbildung 2.8: Ableitung der Umkehrfunktion 1 liegt auch anschaulich nahe: Den Graphen von f  (a) −1 f erh¨alt man durch Spiegelung des Graphen von f an der Geraden y = x ; dabei werden die Rollen der Katheten in den Steigungsdreiecken vertauscht (siehe Abbildung 2.8 rechts). Diesen anschaulichen Zusammenhang muss man nur genau aufschreiben um daraus einen Beweis zu erhalten:

Die Gleichung (f −1 ) (b) =

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es eine bei 0 stetige Funktion r mit f (a + h) − f (a) = r(h) · h

f¨ ur alle h mit a + h ∈ A .

F¨ ur h = 0 ist r(h) = 0 , denn f (a + h) − f (a) = 0 (da f umkehrbar); außerdem ist r(0) = f  (a) = 0 . Damit sind alle r(h) = 0 . Sei k ∈ R mit b + k ∈ B . Setze h := f −1 (b + k) − f −1 (b) (siehe Abbildung 2.8 links) . Dann folgt k = f (a + h) − f (a) , also k = r(h) · h

bzw.

h=

1 ·k r(h)

bzw.

1  ·k . f −1 (b + k) − f −1 (b) =  −1 r f (b + k) − f −1 (b) Der große Bruch setzt sich nach Voraussetzung und 1.5.20 aus stetigen Funktionen 1 = f 1(a) . 2 zusammen, ist daher selbst bei 0 stetig und hat f¨ ur k = 0 den Wert r(0) Mit Hilfe von Satz 2.2.10 k¨ onnen wir Exponential- und Winkelfunktionen ableiten: Aus ex := ln−1 (x) folgt nach 2.2.10 und 2.2.8 (ex ) =

1 = ex ln (ex )

f¨ ur alle x ∈ R .

Damit folgt f¨ ur die Ableitung der Potenzfunktionen x → xt (xt ) = (et ln(x) ) = (et ln(x) ) · t · x−1 = txt−1

f¨ ur alle t ∈ R und x > 0 .

Aus tan := arctan−1 folgt nach 2.2.10 und 2.2.9 tan (x) =

1 = 1 + tan(x)2 arctan (tan(x))

f¨ ur |x| <

π 2

.

96

Kapitel 2. Ableitung 1

Aus cos(x) := (1 + (tan(x)2 )− 2 und sin(x) := tan(x) cos(x) (f¨ ur |x| < Abschnitt 1.8) folgt cos (x)

π 2

, siehe

3

= − 12 (1 + tan(x)2 )− 2 · 2 tan(x)(1 + tan(x)2 ) 1

= − tan(x)(1 + tan(x)2 )− 2 = sin (x)

− sin(x) ,

= tan(x)(− sin(x)) + (1 + tan(x)2 ) cos(x) = − tan(x) sin(x) + cos(x) + tan(x) sin(x) = cos(x) .

Diese Terme f¨ ur tan (x), cos (x) und sin (x) gelten nicht nur f¨ ur |x| < ¨ f¨ ur alle x aus der jeweiligen Definitionsmenge (Ubung!).

π 2

, sondern

Aufgaben 1. Berechnen Sie den Term der Ableitung: (a) (c) (e) (g) (i)

f (x) = 3x2 − 4x + 4 f (x) = −5x6 + 31x2 − 13x f (x) = ax2 + bx + c f (x) = x2n − rxs + t 2 f (x) = xm+n − xn

(b) (d) (f) (h) (j)

f (x) = 7x2 − 9x + 41 f (x) = −9x7 − 20x4 + 2 f (x) = 3x4 + kx3 + d f (x) = ixn + dax g(x) = 0,5f ix2 + 0,5f ox2 y

2. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten an Gf , die parallel zur Geraden Gg verlaufen: (a) f (x) = x2 − 2x + 2 , g(x) = x − 2 (b) f (x) = x2 + 4x , g(x) = −x + 3 (c) f (x) = 13 x3 − 12 x2 + 1 , g(x) = 2x − 4 (d) f (x) = 13 x3 − 2x , g(x) = −x + 3 (e) f (x) = 13 x3 − 12 x2 − 6x , g(x) = 1 (f) f (x) = 14 x4 + x3 + x2 + 1 , g(x) = 3 3. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten an Gf , die senkrecht zur Geraden Gg verlaufen: (a) f (x) = 14 x2 + 3x + 1 , g(x) = − 12 x + 1 (b) f (x) = −2x2 + x + 2 , g(x) = 13 x − 2 (c) f (x) = 13 x3 − 12 x2 + 1 , g(x) = − 43 x − 1 (d) f (x) = 13 x3 − 2x , g(x) = −x + 3

2.2. Ableitungsregeln

97

4. Differenzieren Sie mit der Produktregel: (a) f (x) = (x + 3)x (c) f (x) = (1 − x)(3 + x) (e) f (x) = (3xr + s)(a − bxc )

(b) f (x) = x2 (3 − 2x) (d) f (x) = (4 + x3 )(x4 − 1) (f) f (x) = (rx3 + s)2

5. Differenzieren Sie mit der Kettenregel: (a) f (x) = (x + 3)2 (c) f (x) = (1 − x2 + x4 )n (e) f (x) = (ax + b)31

(b) f (x) = (3 − 2x7 )4 (d) f (x) = (x4 − 1)3k (f) f (x) = (rx3 + s)n

6. Differenzieren Sie mit der Quotientenregel: 1 x+2 x+3 (c) f (x) = x−1 1 − x2 − x4 (e) f (x) = x6 + 2 (a) f (x) =

x x−5 x2 − 1 (d) f (x) = 3 x +1 xa − xb (f) f (x) = c x −d (b) f (x) =

7. Berechnen Sie jeweils (f −1 ) (b) am Punkt (b ; a) ∈ Gf −1 : (a) f (x) = x2 , (4 ; 2)

(b) f (x) = x3 , (8 ; 2)

(c) f (x) = x3 − 2x , (−1 ; 1)

(d) f (x) = x4 − 3x3 , (−8 ; 2)

x2 − 1 , (0 ; 1) x2 + 9 (g) f (x) = cos(x) , (y ; x)

x , (0,4 ; 2) x2 + 1 (h) f (x) = sin(x) , (y ; x)

(e) f (x) =

(f) f (x) =

8. Berechnen Sie f  (x) : √ x · (1 − 3x2 ) √ (c) f (x) = x2 + x + 7 (e) f (x) = x2 cos(x)

√ (b) f (x) = (xt + xs ) x √ (d) f (x) = xt + xs (f) g(x) = cos(x) sin(x)

(g) f (x) = cos(kx − c) sin(x) (i) f (x) = x (k) f (x) = 3ex + e3 √ (m) f (x) = x ex

(h) g(x) = sin(cos(x)) √ x (j) f (x) = cos(x) (l) f (x) = ex − xe

(a) f (x) =

2

(o) f (x) = e−x 1 (q) f (x) = √ 5 x e

(n) f (x) = x4 ex (p) f (x) = e1+

√

x−2

(r) f (x) = ecos(x)+sin(x)

98

Kapitel 2. Ableitung (s) f (x) = xx

√ (u) f (x) = ln( x) (w) f (x) = sin(ln(x)) (y) f (x) = log7 (ln(x)) ex + x (¨a) f (x) = ln √ x

(t) f (x) =

√

√

x

x

(v) f (x) = (ln(x))4 (x) f (x) = ln |x| √   (z) f (x) = log9 x − 1 + x3 (¨ o) f (x) = log2 (3x − 5−x )

2.3. Mittelwertsatz und lokale Eigenschaften

2.3

99

Mittelwertsatz und lokale Eigenschaften

Graphen differenzierbarer Funktionen sehen bei hinreichender Vergr¨oßerung beinahe so aus wie ihre Tangenten, wobei die Ableitung jeweils die Steigung der Tangente ist. Es liegt daher nahe, dass sich Eigenschaften von Tangenten auf die zugeh¨origen Funktionen u ¨bertragen: Eine Funktion, deren Ableitung in einem ganzen Intervall 0 ist, ist in diesem Intervall konstant; eine Funktion mit positiver Ableitung an einer Stelle ist zumindest in der N¨ ahe der Stelle streng monoton steigend. ¨ Diese Zusammenh¨ ange sind (nach kurzer Uberlegung) anschaulich plausibel. Doch wir mussten bereits an mehreren Beispielen erfahren, dass plausible Vermutungen falsch sein k¨ onnen, auch wenn sie noch so einleuchtend klingen. Und tats¨achlich ist der letzte der vorhin genannten naheliegenden Zusammenh¨ange“ falsch: ” Beispiel 2.3.1. Es sei  f (x) :=

x + x2 cos 0

π x

f¨ ur x = 0 f¨ ur x = 0

.

Dann ist f  (0) = 1 :    f (x) − f (0) = lim 1 + x · cos πx = 1 . x→0 x→0 x

f  (0) = lim

0.3

0.03

0.2

0.02

0.1

0.01

0

0

-0.1

-0.01

-0.2

-0.02

-0.3 -0.3 -0.2 -0.1

0

0.1

0.2

0.3

-0.03 -0.03 -0.02 -0.01

Abbildung 2.9: f (x) = x + x2 cos

0

0.01 0.02 0.03

π x

1 < n1 , aber Aber f ist in keiner Umgebung von 0 monoton: F¨ ur alle n ∈ N ist n+1  1  1  1  1 f n+1 > f n f¨ ur ungerades n und f n+1 < f n f¨ ur gerades n :   F¨ u r ungerades n ist cos(nπ) = −1 und cos((n + 1)π) = 1 , also f n1 = n1 − n12 und  1  1 1 + (n+1) f n+1 = n+1 2 . Somit:

 f

1 n+1

 −f

  n+2 1 n−1 n2 + n + 1 = − = 2 >0. 2 2 n (n + 1) n n (n + 1)2

Die Aussage f¨ ur gerades n folgt analog.

2

100

Kapitel 2. Ableitung

Plausibles Vermuten“ f¨ uhrt also auch bei Zusammenh¨angen zwischen f  und f ” manchmal nur zu einem vermeintlichen Verst¨andnis“ von Aussagen, die in Wahr” heit falsch sind. Den Schl¨ ussel zum wirklichen Verst¨andnis und Beweis von Zusammenh¨angen zwischen f  und f liefert der Mittelwertsatz . Mit ihm werden viele Situationen auf einen gemeinsamen Grundgedanken zur¨ uckgef¨ uhrt, der vergleichsweise einfach bewiesen und angewendet werden kann: Zu jeder Sekante gibt es eine parallele Tangente (unter gewissen Voraussetzungen). Bei der Herleitung des Mittelwertsatzes spielen Maxima und Minima eine wichtige Rolle. ur Definition 2.3.2. Es sei f eine Funktion, δ > 0 und a ∈ Df mit f (a) ≤ f (x) f¨ alle x ∈ ] a−δ ; a+δ [ ∩ Df . Dann heißt a lokale Minimalstelle, f (a) lokales Minimum und (a ; f (a)) lokaler Tiefpunkt von f . Gilt f (a) ≤ f (x) sogar f¨ ur alle x ∈ Df dann heißt a globale Minimalstelle, f (a) globales Minimum und (a ; f (a)) globaler Tiefpunkt von f (vergleiche Definition 1.9.4). Analog: Maximalstelle , Maximum und Hochpunkt . Eine Extremalstelle ist eine Minimal- oder Maximalstelle. 2 Das Wort lokal“ bedeutet also soviel wie zumindest in einer Umgebung“. In ” ” Abbildung 2.10 sind −3 und 1 lokale Minimalstellen, −2 und 2 lokale Maximalstellen. 1 ist die globale Minimalstelle und −2 ist die globale Maximalstelle. Da −2 im Inneren der Definitionsmenge [−3 ; 2 ] liegt, wird −2 manchmal auch innere Maximalstelle genannt. Entsprechend heißt −3 Rand-Minimalstelle . Allgemein heißt a innerer Punkt einer Menge M ⊆ R , wenn es ein δ > 0 gibt mit ] a − δ ; a + δ [ ⊆ M . y

1 -3

-2

2

x

Abbildung 2.10: Extremalstellen Die Ableitung liefert ein notwendiges, aber noch nicht hinreichendes Kriterium f¨ ur innere Extremalstellen: Satz 2.3.3. Es sei a eine innere Extremalstelle von f und f differenzierbar bei a . Dann ist f  (a) = 0 . Beweis. Es sei a eine innere Minimalstelle, das heißt es gibt ein δ > 0 mit ] a − δ ; a + δ [ ⊆ Df

und f (a) ≤ f (a + h) f¨ ur alle h ∈ ] − δ ; δ [ .

Außerdem gibt es eine bei 0 stetige Funktion r mit f (a + h) − f (a) = r(h) · h f¨ ur alle h ∈ ] − δ ; δ [ .

2.3. Mittelwertsatz und lokale Eigenschaften

101

Damit ist r(h) · h ≥ 0 f¨ ur alle h ∈ ] − δ ; δ [ , also r(h) ≤ 0 f¨ ur h ∈ ] − δ ; 0 [ und r(h) ≥ 0 f¨ ur h ∈ ] 0 ; δ [ . Aus der Stetigkeit von r folgt f  (a) = r(0) = 0 . Den Fall a Maximalstelle“ zeigt man analog. 2 ” Bei differenzierbaren Funktionen kann es innere Extremalstellen also nur bei Nullstellen der Ableitung geben. Die Bedingung f  (a) = 0 ist aber noch nicht hinreichend daf¨ ur, dass a eine Extremalstelle ist: F¨ ur f (x) = x3 ist f  (0) = 0 , aber 0 ist keine Extremalstelle. Der folgende Satz ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes: Lemma 2.3.4. Satz von Rolle. Es sei a < c , f stetig in [ a , c ] , differenzierbar in ] a , c [ und f (a) = f (c) . Dann gibt es ein b ∈ ] a , c [ mit f  (b) = 0 .

y

a

b

c

x

Abbildung 2.11: Satz von Rolle Beweis. F¨ ur konstantes f ist f  (x) = 0 sogar f¨ ur alle x ∈ ] a , c [ und es ist nichts weiter zu zeigen. Sei f also nicht konstant. Nach dem Extremwertsatz besitzt f ein globales Minimum und Maximum. Da f nicht konstant ist, kann f (a) = f (c) nicht gleichzeitig ein globales Minimum und Maximum sein. Damit gibt es eine globale 2 Minimal- oder Maximalstelle b ∈ ] a , c [ . Nach Satz 2.3.3 folgt f  (b) = 0 . Satz 2.3.5. Mittelwertsatz. Es sei a < c , f stetig in [ a , c ] und differenzierbar in ] a , c [ . Außerdem sei f (c) − f (a) m := c−a die Steigung der Sekante zu den Stellen a und c . Dann gibt es ein b ∈ ] a , c [ mit f  (b) = m (das heißt es gibt eine parallele Tangente). Beweis. Im Fall f (a) = f (c) w¨ aren wir in der Situation des Satzes von Rolle. Man gewinnt aus f aber leicht eine Funktion g mit g(a) = g(c) : Setze g(x) := f (x) − m(x − a) f¨ ur alle x ∈ [ a , c ] .

102

Kapitel 2. Ableitung

y

a

b

c

x

Abbildung 2.12: Mittelwertsatz (Idee: Ziehe von f eine Gerade ab, die parallel zur Sekante verl¨auft; dann ist die neue Sekante horizontal, genau wie im Satz von Rolle.) Damit gilt g(a) = f (a) − m(a − a) = f (a) und g(c) = f (c) −

  f (c) − f (a) · (c − a) = f (c) − f (c) − f (a) = f (a) = g(a) c−a

.

Außerdem ist g stetig in [ a , c ] und differenzierbar in ] a , c [ . Der Satz von Rolle ist somit auf g anwendbar, also gibt es ein b ∈ ] a , c [ mit g  (b) = 0 . Wegen g  (x) = 2 f  (x) − m folgt 0 = g  (b) = f  (b) − m , und damit die Behauptung. Die Sekantensteigung k¨ onnte man als mittlere Steigung des Graphen bezeichnen, die Tangentensteigung als momentane Steigung . Nach Satz 2.3.5 gibt es unter gewissen Voraussetzungen eine Stelle, an der die momentane Steigung gleich der mittleren Steigung ist. Daher der Name Mittelwertsatz“. ” Wie bereits angek¨ undigt, werden wir nun einige Zusammenh¨ange zwischen f und f  aus dem Mittelwertsatz herleiten. Ist f eine konstante Funktion, so ist ihre Ableitung u ¨berall 0. Es gilt auch die Umkehrung: Lemma 2.3.6. Es sei a < c , f stetig in [ a , c ] und differenzierbar in ] a , c [ . Außerdem sei f  (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ ] a , c [ . Dann ist f in [ a , c ] konstant. Beweis. Die Annahme, f w¨ are nicht konstant, f¨ uhrt zu einem Widerspruch: Nach dieser Annahme g¨ abe es zwei verschiedenen Funktionswerte, und die zugeh¨orige Sekante h¨atte eine Steigung m = 0 . Da alle Voraussetzungen des Mittelwertsatzes erf¨ ullt sind, g¨abe es dann auch ein b ∈ ] a , c [ mit f  (b) = m = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung. 2 Satz 2.3.7. Es sei a < c , f und g stetig in [ a , c ] und differenzierbar in ] a , c [ . ur alle x ∈ ] a , c [ . Dann gibt es eine Zahl k ∈ R , Außerdem sei f  (x) = g (x) f¨ sodass g(x) = f (x) + k f¨ ur alle x ∈ [ a , c ] , das heißt Gg und Gf gehen in [ a , c ] durch Parallelverschiebung auseinander hervor.

2.3. Mittelwertsatz und lokale Eigenschaften

103

Beweis. Nach Voraussetzung gilt g (x)−f  (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ ] a , c [ , die Funktion g − f ist stetig in [ a , c ] und differenzierbar in ] a , c [ , das heißt g − f erf¨ ullt alle Voraussetzungen von Lemma 2.3.6 und ist damit konstant in [ a , c ] . Es gibt also ein k ∈ R mit g(x) − f (x) = k f¨ ur alle x ∈ [ a , c ] . 2 Beispiel 2.3.8. Gegeben sei f : R −→ R mit f (x) = x2 . Gesucht sind alle Funktionen F mit F  = f . Zum Beispiel hat jede Funktion F (x) = 13 x3 + k diese Eigenschaft, wobei k eine konstante Zahl ist. Nach Satz 2.3.7 hat man dann aber bereits alle F mit F  = f gefunden: Ist G eine Funktion mit G = f , so ist G = f = F  , also unterscheiden sich G und F nur durch eine Konstante. 2 Definition 2.3.9. Es seien F und f Funktionen mit F  = f . Dann heißt F Stammfunktion von f . 2 Die Aussage von Satz 2.3.7 bedeutet also, dass sich Stammfunktionen unter bestimmten Voraussetzungen nur durch einen konstanten Summanden unterscheiden. Die Beziehung F  = f f¨ uhrt zu einer neuen Art von Gleichungen. Bisher wurden in die Variablen von Gleichungen, wie etwa x2 − x = 0 , Zahlen eingesetzt. Doch die Variable y in der Gleichung y  = f steht f¨ ur eine Funktion . Entsprechend besteht ur f : R → R mit f (x) = x2 auch die L¨osungsmenge L von y  = f aus Funktionen : F¨ 1 3 wie in Beispiel 2.3.8 ist L = { F : R → R | F (x) = 3 x + k , k ∈ R } . Gleichungen, die Beziehungen zwischen Funktionen mit Hilfe von Ableitungen ausdr¨ ucken, werden Differentialgleichungen (DGL) genannt. Beispiel 2.3.10. Gegeben sei die Funktion g : R → R mit g(x) = 12x3 −5 . Gesucht ist die L¨osungsmenge der DGL y  = g . Eine L¨osung ist zum Beispiel f : R → R mit osungsmenge aus allen fk : R → R mit f (x) = 3x4 − 5x . Nach 2.3.7 besteht die L¨ fk (x) = 3x4 − 5x + k und k ∈ R . 2 Eine Stammfunktion von f ist nichts anderes als eine L¨osung der DGL y  = f . F¨ ur Polynome f (x) finden wir leicht alle L¨ osungen von y  = f . Aber bei f (x) = x−1 2 −1 oder f (x) = (1+x ) w¨ urden wir uns bisher sehr schwer tun, wenn wir nichts u ¨ber ln oder arctan w¨ ussten. Kapitel 3 enth¨ alt ein Verfahren, das zu allen Funktionen, die auf einem Intervall stetig sind, Stammfunktionen liefert (Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung). Mit Differentialgleichungen sucht man aber nicht nur Stammfunktionen. Zum Beispiel zielen y  = k · y und y  = −k2 · y (mit k ∈ R) in eine ganz andere ¨ Richtung: Man sucht Funktionen, deren Steigungen f  (bzw. deren Anderungsraten  f der Steigungen) proportional zu f sind. Zuf¨allig“ kennen wir L¨osungen: ekx und ” sin(kx) . Der Mittelwertsatz (bzw. Folgerung 2.3.6) liefert wieder das entscheidende Argument f¨ ur die Gesamtheit aller L¨ osungen: Lemma 2.3.11. Es seien a, k ∈ R und f : R −→ R differenzierbar mit f = k · f Dann ist f (x) = a · ekx f¨ ur alle x ∈ R .

und

f (0) = a .

104

Kapitel 2. Ableitung

Beweis. Setze g(x) := g (x) =

f (x) ekx

. Dann gilt f¨ ur alle x ∈ R

ekx · f  (x) − f (x) · k · ekx ekx · k · f (x) − f (x) · k · ekx = =0, e2kx e2kx

also ist g nach 2.3.6 konstant. Wegen g(0) = und damit die Behauptung.

f (0) e0

= a folgt g(x) = a f¨ ur alle x ∈ R , 2

Jetzt kann man auch verstehen, warum so viele Vorg¨ange in Natur, Technik, ¨ Okonomie und so weiter mit Hilfe von Exponentialfunktionen beschrieben werden: ¨ In vielen Situationen ist die Anderungsrate proportional zur jeweils vorhandenen Menge (z.B. die Wachstumsrate von Bakterien, die Zerfallsrate eines radioaktiven Pr¨aparats, die Zuwachsrate eines Kapitals); und nach 2.3.11 sind die Funktionen f ¨ f  proportional zu f mit f (x) = a · ekx die einzigen, bei denen die Anderungsrate ist. ¨ ¨ f  ist die Anderungsrate von f , also ist f  die Anderungsrate von f  . Wenn die ¨ ¨ Anderung der Anderung“ proportional zu f mit negativem Proportionalit¨atsfaktor ” ist (z.B. bei Spiralfedern: F = ma = my  = −Dy), dann erh¨alt man Sinus- und Kosinusfunktionen: Lemma 2.3.12. Es seien a, b, k ∈ R , k = 0 und f : R −→ R zweimal differenzierbar mit f  = −k 2 · f , f (0) = a und f  (0) = b . Dann ist f (x) = a · cos(kx) +

b k

· sin(kx) f¨ ur alle x ∈ R .

Beweis. Setze g(x) := a · cos(kx) + kb · sin(kx) und h := g − f . Zu zeigen: h = 0 . Es ist g  = −k 2 · g und h = −k 2 · h (Beweis durch Ableiten), also   2 2 k h + h 2 = 2k 2 hh + 2h h = 0 . Nach 2.3.6 ist k 2 h2 + h 2 konstant. Wegen h(0) = 0 = h (0) ist k2 h2 + h 2 sogar konstant 0. Da Quadrate nicht negativ werden, folgt h = 0 . 2 Die entscheidende Idee dieses Beweises, n¨ amlich k2 y 2 + y  2 zu betrachten, h¨angt D mit der Energieerhaltung zusammen: Bei einem Federpendel ist k 2 = m , also ist  1 1 1 2 2 2 2 2 = m k y + y Dy + my die Summe aus potentieller und kinetischer Ener2 2 2 gie (denn y  ist die Geschwindigkeit). Nach 2.3.12 ist die Sinusfunktion ist die einzige Funktion mit f  = −f , f (0) = 0 ur Sinus und Kosinus und f  (0) = 1 . Man kann mit 2.3.12 auch Additionstheoreme f¨ herleiten: F¨ ur y ∈ R und f (x) := sin(x + y) ist f  = −f , a = f (0) = sin(y) und b = f  (0) = cos(y) . Mit 2.3.12 folgt also sin(x + y) = a cos(x) + b sin(x) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) . Wir haben jetzt nur einige spezielle Typen von DGL gel¨ost. Eine sytematische Einf¨ uhrung in die Theorie der DGL bietet zum Beispiel [Wal] (allerdings werden dort Kenntnisse aus dem ersten Jahr eines Mathematikstudiums vorausgesetzt).

2.3. Mittelwertsatz und lokale Eigenschaften

105

Nach dem folgenden Satz u agt sich die Monotonie von Tangenten auf ihre ¨bertr¨ Graphen: Sind in einem Intervall alle Tangenten streng monoton steigend, dann ist auch die Originalfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. (Man beachte den Unterschied zu Beispiel 2.3.1.) Satz 2.3.13. Es sei a < b , f stetig in [ a , b ] und differenzierbar in ] a , b [ . Außerur alle x ∈ ] a , b [ . Dann ist f in [ a , b ] streng dem sei f  (x) > 0 (bzw. f  (x) < 0) f¨ monoton steigend (bzw. fallend ). Beweis. Wir zeigen den Fall f  (x) > 0 . Es seien x1 , x2 ∈ [ a , b ] mit x1 < x2 . Die Annahme f (x1 ) ≥ f (x2 ) f¨ uhrt zu einem Widerspruch, denn dann g¨abe es eine Sekante mit Steigung m ≤ 0 , also nach dem Mittelwertsatz auch ein x ∈ ] a , b [ mit 2 f  (x) = m ≤ 0 im Widerspruch zur Voraussetzung. Mit Satz 2.3.13 kann man Monotoniebereiche bestimmen, sobald man das Vorzeichen der Ableitung kennt: y 4

1 -3

-2

2

x

Abbildung 2.13: f (x) = 13 x3 + 12 x2 − 2x in Beispiel 2.3.14 Beispiel 2.3.14. Es sei f (x) = 13 x3 + 12 x2 − 2x , Df = [−3 ; 2 ] . Dann ist f  (x) = x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1) . Wir erstellen eine Vorzeichentabelle f¨ ur die einzelnen Faktoren von f  (x) , denn daraus lassen sich leicht die Vorzeichen von f  (x) und schließlich nach Satz 2.3.13 die Monotoniebereiche von f ablesen. Die Ableitung ur x = −2 und x = 1 ; nur dort k¨onnte sich das Vorzeichen f  (x) wird nur 0 f¨ von f  (x) ¨andern. Also teilen wir R auf in die Bereiche ] − 3 ; −2 [ , ] − 2 ; 1 [ und ] 1 ; 2 [ , siehe Tabelle 2.1. Die Funktion f ist also nach Satz 2.3.13 in [−3 ; −2 ] und (x + 2) (x − 1) f  (x) f

−3 < x < −2 − − + steigend

−2 < x < 1 + − − fallend

1<x<2 + + + steigend

Tabelle 2.1: Monotoniebereiche in Beispiel 2.3.14 [ 1 ; 2 ] streng monoton steigend und in [−2 ; 1 ] streng monoton fallend. Die (lokalen) Minimalstellen sind −3 und 1, die (lokalen) Maximalstellen sind −2 und 2. 2

106

Kapitel 2. Ableitung

y

2

2

x

Abbildung 2.14: f (x) = 14 x4 − 43 x3 + 2x2 in Beispiel 2.3.15 Beispiel 2.3.15. Wir bestimmen die Monotoniebereiche der Funktion f , wobei f (x) = 14 x4 − 43 x3 + 2x2 , Df = R . Es ist f  (x) = x3 − 4x2 + 4x = x(x2 − 4x + 4) = x(x − 2)2

.

Die Ableitung f  (x) wird nur 0 f¨ ur x = 0 und x = 2 , also teilen wir R auf in die Bereiche ] − ∞ ; 0 [ , ] 0 ; 2 [ und ] 2 ; ∞ [ , siehe Tabelle 2.2. Die Funktion f x (x − 2)2 f  (x) f

x<0 − + − fallend

0<x<2 + + + steigend

2<x + + + steigend

Tabelle 2.2: Monotoniebereiche in Beispiel 2.3.15 ist also nach Satz 2.3.13 in ] − ∞ ; 0 ] streng monoton fallend und in [ 0 ; 2 ] und [ 2 ; ∞ [ streng monoton steigend, also in [ 0 ; ∞ [ streng monoton steigend. Die einzige Extremalstelle ist 0. 2 Als n¨achste lokale Eigenschaft besprechen wir die Kr¨ ummung . Wenn die Steigungen der Tangenten zunehmen, dann ist der Graph nach links gekr¨ ummt (siehe Abbildung 2.15): W¨ urde man auf einer Straße von der Gestalt des Graphen fahren (in Richtung gr¨ oßerer x-Werte), so m¨ usste man nach links lenken. Daher legen wir fest: Definition 2.3.16. Eine differenzierbare Funktion f (bzw. ihr Graph) heißt linksgekr¨ ummt im Intervall I , wenn f  in I streng monoton steigt. Entsprechend heißt Gf rechtsgekr¨ ummt in I , wenn f  in I streng monoton f¨allt. 2 Die Monotonie einer Funktion f haben wir im vorherigen Abschnitt mit dem onnen wir die Monotonie der Funktion f  Vorzeichen von f  bestimmt. Genauso k¨ mit dem Vorzeichen von f  bestimmen, also mit der Ableitung von f  , falls f zweimal differenzierbar ist.

2.3. Mittelwertsatz und lokale Eigenschaften

107

Abbildung 2.15: Links- bzw. rechtsgekr¨ ummt Beispiel 2.3.17. Wir bestimmen die Kr¨ ummung der Funktion in Beispiel 2.3.14 ur alle x < − 12 ist f  streng monoton fallend mit f  (x) = 2x + 1 : Wegen f  (x) < 0 f¨ und f rechtsgekr¨ ummt in ] − ∞ ; − 12 ] . Analog ist f linksgekr¨ ummt in [− 12 ; ∞[ . Beispiel 2.3.18. Wir bestimmen die Kr¨ ummung der Funktion in Beispiel 2.3.15 mit einer Vorzeichentabelle f¨ ur f  (x) = 3x2 − 8x + 4 = 3(x − 23 )(x − 2) : Siehe Tabelle 2.3. 2 x< (x − 23 ) (x − 2) f  (x) f

2 3

2 3

<x<2

2<x

−

+

+

− +

− −

+ +

linksg.

rechtsg.

linksg.

Tabelle 2.3: Kr¨ ummung in Beispiel 2.3.18 andert die Funktion in Beispiel 2.3.18 ihre Kr¨ ummung. An den Stellen 23 und 2 ¨ Solche Stellen nennt man Wendestellen und die zugeh¨origen Punkte von Gf Wendepunkte (siehe Abbildung 2.16). Definition 2.3.19. Es sei δ > 0 und f differenzierbar in ] a − δ ; a + δ [ . Besitzt f in ] a − δ ; a ] und [ a ; a + δ [ entgegengesetzte Kr¨ ummung, so heißt a Wendestelle von f und (a ; f (a)) Wendepunkt von f . 2 Dass f in ] a − δ ; a ] und [ a ; a + δ [ entgegengesetzte Kr¨ ummung besitzt heißt, dass f  in ] a−δ ; a ] und [ a ; a+δ [ entgegengesetzte strenge Monotonie besitzt, also ist a eine Extremalstelle von f  . Ist f  differenzierbar, dann folgt nach Satz 2.3.3 f  (a) = 0 . (Eine Wendestelle ist nach Definition immer ein innerer Punkt von Df  .) Analog zu Satz 2.3.3 besitzen wir damit ein notwendiges, aber nicht hinreichendes Kriterium f¨ ur Wendestellen:

108

Kapitel 2. Ableitung

y

y

x

-0,5

2/3

2

x

Abbildung 2.16: Wendepunkte in Beispiel 2.3.17 und 2.3.18 Satz 2.3.20. Es sei a eine Wendestelle von f , δ > 0 und f zweimal differenzierbar in ] a − δ ; a + δ [ . Dann ist f  (a) = 0 . Beweis. Satz 2.3.3 mit f  statt f .

2

Wendepunkte kann es also bei zweimal differenzierbaren Funktionen nur an Stellen a mit f  (a) = 0 geben. Doch die Bedingung f  (a) = 0 ist nicht hinreichend: Zum Beispiel ist f (x) = x4 stets linksgekr¨ ummt, also gibt es keine Wendepunkte, obwohl f  (0) = 0 . Die Bedingungen in Satz 2.3.3 und 2.3.20 sind also notwendig, aber nicht hinreichend. Man kann sie jedoch zu hinreichenden Bedingungen erweitern, falls die betreffende Funktion jeweils ein weiteres mal differenzierbar ist: Satz 2.3.21. Es sei f differenzierbar in ] c ; d [ und an einer Stelle a ∈ ] c ; d [ zweimal differenzierbar. Ist f  (a) = 0 und f  (a) > 0 (bzw. f  (a) < 0 ), dann ist a eine lokale Minimalstelle (bzw. Maximalstelle ) von f . Beweis. Wir zeigen den Fall f  (a) > 0 . Nach Voraussetzung ist f  (a) = 0 und f  differenzierbar bei a , also gibt es eine bei 0 stetige Funktion r , sodass r(0) = f  (a)

und f  (a + h) = f  (a) + r(h) · h = r(h) · h

f¨ ur alle h ∈ R mit a + h ∈ ] c , d [ . Da r bei 0 stetig ist mit r(0) = f  (a) > 0 , ist r(h) auch noch in einer kleinen Umgebung um 0 positiv, das heißt es gibt ein δ > 0 mit r(h) > 0 f¨ ur alle h ∈ ] − δ ; δ [ . Daraus folgt wegen f  (a + h) = r(h) · h (siehe oben) f  (a + h) < 0 f¨ ur h ∈ ] − δ ; 0 [

und f  (a + h) > 0 f¨ ur h ∈ ] 0 ; δ [ .

Somit ist f nach Satz 2.3.13 im Intervall [a − δ ; a ] streng monoton fallend und in [ a ; a + δ ] streng monoton steigend, also a eine lokale Minimalstelle. 2 Satz 2.3.22. Es sei f zweimal differenzierbar in ] c ; d [ und bei a ∈ ] c ; d [ dreimal differenzierbar. Ist f  (a) = 0 und f  (a) = 0 , dann ist a eine Wendestelle von f .

2.3. Mittelwertsatz und lokale Eigenschaften

109

Beweis. Siehe Beweis von Satz 2.3.21 mit jeweils einer zus¨atzlichen Ableitung: f  statt f , f  statt f  und f  statt f  . 2 Die Bedingungen in Satz 2.3.21 und 2.3.22 sind hinreichend, aber nicht notwendig f¨ ur eine Extremal- bzw. Wendestelle: Zum Beispiel ist 0 eine Minimalstelle von f (x) = x4 , obwohl f  (0) = 0 ; und 0 ist eine Wendestelle von f (x) = x5 , obwohl f  (0) = 0 . Im Fall f  (a) = 0 bzw. f  (a) = 0 weiß man also leider nichts u ¨ber Extremal- bzw. Wendestellen; dann hilft aber eine Vorzeichentabelle weiter (falls man entsprechende Vorzeichen bestimmen kann). Wir besitzen jetzt alle wichtigen Hilfsmittel f¨ ur die so genannten Kurvendiskussionen . Dabei geht es im wesentlichen darum, die Gestalt eines Funktionsgraphen mit den Nullstellen oder Vorzeichen von f , f  und f  zu bestimmen (also Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von f ). Außerdem untersucht man noch die Definitionsl¨ ucken und R¨ ander (einschließlich ±∞) von Df auf Konvergenz/Divergenz, und eine eventuelle Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung. Der Graph einer Funktion f ist genau dann symmetrisch zury-Achse (bzw. zum Ur- sprung ), wenn Df symmetrisch zur 0 ist und f (−x) = f (x) bzw. f (−x) = −f (x) f¨ ur alle x ∈ Df . y

y

-x -x

x

x

x

x

Abbildung 2.17: Symmetrie zur y-Achse bzw. zum Ursprung

Beispiel 2.3.23. Kurvendiskussion von f (x) = und 2.3.18):

1 4 x 4

− 43 x3 + 2x2 (Beispiel 2.3.15

1. Symmetrie: Zwar ist die maximale Definitionsmenge Df = R , aber f ist eine Polynomfunktion mit geraden und ungeraden Exponenten, also ist f nicht symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung. 1 2 x (3x2 − 16x + 24) . Der Term 3x2 − 16x + 24 hat keine 2. Nullstellen: f (x) = 12 reelle Nullstelle (Diskriminante (−16)2 − 4 · 3 · 24 = −32 < 0), also ist 0 die einzige Nullstelle von f .

3. Monotonie/Extrema: Nach Beispiel 2.3.15 ist f in ] − ∞ ; 0 ] streng monoton fallend und in [ 0 ; ∞ [ streng monoton steigend. Damit ist (0 ; 0) der einzige Tiefpunkt und es existieren keine Hochpunkte.

110

Kapitel 2. Ableitung

4. Kr¨ ummung/Wendepunkte: Die Kr¨ ummung haben wir bereits  4 in 2.3.18 be stimmt. Die einzigen Wendepunkte sind also 23 ; 44 81 und 2 ; 3 . 5. Verhalten am Rand von Df :    1 4 2 4 x = ∞ = lim f (x) . − + lim f (x) = lim x→−∞ x→−∞ x→∞ 4 3x x2 Berechnet man jetzt noch eine kleine Wertetabelle f¨ ur f , so kann man Gf recht mit dem Zwischenwertsatz aus 3., 5. und genau zeichnen. Außerdem folgt Wf = R+ 0 der Tatsache, dass f in ganz R stetig ist (Polynom!). 2

Aufgaben 1. Zeigen Sie die Aussage f¨ ur gerades n in Beispiel 2.3.1. 2. Beweisen Sie Satz 2.3.3 im Fall a Maximalstelle“. ” 3. Bestimmen Sie alle Stellen mit horizontaler Tangente: (a) f (x) = x2 − 4x + 1 x (c) f (x) = 2 x +1 (e) f (x) = cos(x) (g) f (x) = sin( πx )

(b) f (x) = x3 + 3x2 + 3 x−a (d) f (x) = x−b (f) f (x) = tan(x) (h) g(x) = cos( πx )

4. Finden Sie Beispiele daf¨ ur, dass die Aussage des Mittelwertsatzes falsch wird, wenn f nur in ] a , c [ stetig ist bzw. wenn f nicht in ganz ] a , c [ differenzierbar ist. 5. Interpretieren Sie den Mittelwertsatz f¨ ur den Fall, dass Orts- und Geschwindigkeitsfunktionen betrachtet werden. 6. Finden Sie jeweils alle Stammfunktionen: (a) f (x) = x2 − 4x + 1

(b) f (x) = x3 + 3x2 + 3

(c) f (x) = 2x − 3x − 36x + π (e) f (x) = a(x − b)n + c

(d) f (x) = 12 x4 + 23 x3 − 4x2 − 8x (f) f (x) = a sin(bx + c)

(g) f (x) = −x sin(x) + cos(x)

(h) f (x) = − x12 · cos( x1 )

3

2

7. L¨osen Sie die DGL f  = k · f + l , wobei k, l ∈ R , f : R −→ R . 8. Beweisen Sie cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) f¨ ur alle x, y ∈ R . 9. Bestimmen Sie die Monotoniebereiche, Extrempunkte und Wf :

2.3. Mittelwertsatz und lokale Eigenschaften

111

(a) f (x) = x2 − 4x + 1 , Df = [ 3 ; 4 ] . (b) f (x) = x3 + 3x2 + 3 , Df = [−4 ; 1 ] . (c) f (x) = 2x3 − 3x2 − 36x + 10 , Df = [−3 ; ∞ [ . (d) f (x) = 12 x4 + 23 x3 − 4x2 − 8x , Df = ] − ∞ ; 2 ] . x2 3 − , Df = [−3 ; 0 [ . 2 x 5 x3 , Df = R \ {0} . (f) f (x) = 2 + x 3 6x + 9 , Df = R . (g) f (x) = 2 x +4 (h) f (x) = 12 x − sin(x) , Df = R . (e) f (x) =

10. Bestimmen Sie Kr¨ ummung und Wendepunkte wie in Beispiel 2.3.18: (a) f (x) = x4 − 6x2 + 2x + 1 (c) f (x) = x−1 (e) f (x) = cos(x) x2 − 1 (g) f (x) = 2 x +9 x+2 (i) f (x) = x−2

(b) f (x) = 13 x4 − 4x3 + x (d) f (x) = x · |x| (f) f (x) = tan(x) x (h) f (x) = 2 x +1 2  x+2 (j) f (x) = x−2

11. Wenden Sie Satz 2.3.21 auf die Funktionen in Aufgabe 9 an (falls m¨oglich). 12. Wenden Sie Satz 2.3.22 auf die Funktionen in Aufgabe 10 an (falls m¨oglich). 13. Bestimmen Sie Definitionsmenge, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte. 2

(a) f (x) = x ex

(b) f (x) = e−x

(c) f (x) = 12 (ex − e−x )

(d) f (x) = 12 (ex + e−x )

ex − 1 ex + 1 (g) f (x) = ln(x2 ) (i) f (x) = (ln(x))2

1 − e1/x 1 + e1/x (h) f (x) = ln |2 − x|  (j) f (x) = ln(x)

(k) f (x) = (x − 3)2 + ln(x4 )

(l) f (x) = ln(x2 + x − 6)

(e) f (x) =

(f) f (x) =

112

2.4

Kapitel 2. Ableitung

Klassische Mechanik

Dem Engl¨ander Sir Isaac Newton (1643-1727) gelang es mit seiner nach ihm benannten Mechanik, eine unglaubliche F¨ ulle verschiedenster Bewegungen auf einige wenige Prinzipien zur¨ uckzuf¨ uhren. F¨ ur eine solche Theorie fehlten damals teilweise noch entsprechend leistungsf¨ ahige mathematische Begriffe und Methoden. Doch mit der Analysis, an deren Entwicklung er selbst beteiligt war, konnte er seine Theorie schließlich formulieren. ¨ Ubrigens steht die aktuelle Physik immer noch vor ¨ahnlichen Problemen wie damals Newton. Seit etwa 100 Jahren sucht man zum Beispiel nach einer Theorie, mit der man alle vier (zur Zeit bekannten) physikalischen Grundkr¨afte beschreiben kann. Diese Theorie wird manchmal auch mit dem unpassenden Schlagwort Welt” formel“ bezeichnet. Und auch heute scheint, wie damals bei Newton, ein Hauptproblem darin zu liegen, dass wir noch nicht u ur geeignete Mathematik ¨ber eine daf¨ verf¨ ugen. Im Folgenden soll anhand einiger Beispiele angedeutet werden, wie man mit Hilfe der Analysis viele Aussagen der klassischen Mechanik aus nur wenigen Grundprinzipien gewinnen kann. Uns fehlen zwar noch wichtige Teile der Analysis (vor allem Integrale, Differentialgleichungen und mehrdimensionale Analysis), aber f¨ ur bestimmte Bewegungen reichen unsere Methoden bereits aus, um zum Beispiel Bewegungsgleichungen, Energien und Zentripetalkr¨afte herzuleiten, ja sogar um so zentrale Aussagen wie den Energie- und Impulserhaltungssatz f¨ ur viele Kr¨afte zu beweisen. Ausgangspunkt sind die Grundgr¨ oßen Zeit t , Ort x , Masse m und Kraft F . Sie werden in der Physik durch Angabe eines Messverfahrens (Uhr, Maßstab, Waage, Spiralfeder) innerhalb eines jeweiligen Bezugssystems definiert. Alle anderen mechanischen Gr¨oßen werden auf diese Gr¨ oßen zur¨ uckgef¨ uhrt. Die eindimensionale Bewegung eines K¨ orpers wird mit einer so genannten Ortsfunktion x : I −→ R t −→ x(t) beschrieben, wobei I ein Zeitintervall, t ein Zeitpunkt und x(t) der Ort des K¨orpers ur einen einzelnen zum Zeitpunkt t ist. Die Variable x wird in der Physik sowohl f¨ Ort als auch f¨ ur eine ganze Ortsfunktion benutzt. Analoges gilt f¨ ur andere physikalische Gr¨oßen; zum Beispiel kann F f¨ ur einen speziellen Wert einer Kraft stehen, aber auch f¨ ur eine ganze Funktion, die jedem Ort x die dort wirkende Kraft F (x) zuordnet. Die Existenz einer solchen Kraftfunktion bedeutet insbesondere, dass die im betrachteten physikalischen System wirkende Kraft nur vom Ort abh¨angt. H¨angt eine Kraft zum Beispiel von t , x und v ab, so ordnet die zugeh¨orige Kraftfunktion jedem Tripel (t, x, v) die Kraft F (t, x, v) zu. S¨amtliche Funktionen dieses Abschnitts sollen hinreichend oft differenzierbar sein. Mit den oben angegebenen Grundgr¨ oßen und der uns inzwischen zur Verf¨ ugung stehenden Analysis k¨ onnen wir bereits viele weitere physikalische Gr¨oßen definieren. Zum Beispiel:

2.4. Klassische Mechanik

113

Definition 2.4.1. Es sei I ein Zeitintervall, J ein Ortsintervall und x : I −→ R t −→ x(t)

bzw.

F : J −→ R x −→ F (x)

eine Orts- bzw. Kraftfunktion. Geschwindigkeit v , Impuls p und Beschleunigung a sind dann definiert als Funktionen von I nach R mit v = x , p = mv und a = v  = orpers ist. Die Funktion T : v → 12 mv 2 x , wobei m die Masse des betrachteten K¨ heißt kinetische Energie . Ist U : J −→ R eine Stammfunktion von −F , das heißt U  = −F , so nennt man U auch ein Potential oder eine potentielle Energie des Systems. 2 Warum die Gr¨ oßen ausgerechnet so wie in 2.4.1 definiert werden, u ¨berlassen wir der Physik. Es soll hier nur die Bedeutung der Analysis f¨ ur die Physik verdeutlicht ¨ werden. Ubrigens kann man die kinetische Energie ebenfalls als eine Stammfunktion auffassen, n¨amlich als Stammfunktion der Impulsfunktion v → mv . Beispiel 2.4.2. Wir betrachten eine vertikale Bewegung eines K¨orpers der Masse m in der N¨ahe der Erdoberfl¨ ache. Wenn die x-Achse nach oben“ orientiert ist, ” dann zeigt die Gewichtskraft F in die entgegengesetzte Richtung und ist praktisch konstant (bei geringem H¨ ohenunterschied), das heißt es gilt F (x) = −mg f¨ ur alle x ∈ J , wobei J ein kleines“ H¨ ohenintervall und g der Ortsfaktor ist. Dann ist ” U (x) = mgx eine Stammfunktion von −F , also nach Definition 2.4.1 ein Potential. In diesem Fall schreibt man oft U (h) = mgh und spricht von einer H¨ohenenergie.2 Beispiel 2.4.3. Bei einer Spiralfeder gilt F (x) = −Dx , wobei D die Federh¨arte und x die Auslenkung aus der Ruhelage ist. Dann ist U (x) = 12 Dx2 eine Stammfunktion von −F , also nach Definition 2.4.1 ein Potential. In diesem Fall spricht man von einer Spannenergie. 2 Wir leiten nun einige Aussagen der klassischen Mechanik her. Lemma 2.4.4. Bewegungsgleichungen. Es sei x, v : I −→ R die Orts- bzw. Geschwindigkeitsfunktion eines K¨ orpers, der sich mit einer konstanten Beschleunigung ur alle t ∈ I : a bewegt. Außerdem sei x0 := x(0) und v0 := v(0) . Dann gilt f¨ v(t) = at + v0

und

x(t) =

1 2 a t + v0 t + x0 2

.

Beweis. v(t) und at + v0 unterscheiden sich nach Satz 2.3.7 h¨ochstens um eine Konstante, da ihre Ableitungen gleich sind: Nach Definition ist v  (t) = a ; außerdem ist auch (at + v0 ) = a . Da aber v(t) und at + v0 bei t = 0 gleich sind, sind sie auch insgesamt gleich. x(t) und 12 at2 + v0 t + x0 unterscheiden sich nach Satz 2.3.7 h¨ochstens um eine Konstante, da ihre Ableitungen gleich sind: Nach Definition ist x (t) = v(t) ; außerdem ist auch ( 12 at2 + v0 t + x0 ) = at + v0 = v(t) . Da beide Terme bei t = 0 aber gleich sind, sind sie auch insgesamt gleich. 2

114

Kapitel 2. Ableitung

Satz 2.4.5. Energieerhaltung. Es sei I ein Zeitintervall, J ein Ortsintervall, x : I −→ J eine Ortsfunktion und F : J −→ R eine (nur vom Ort abh¨ angende) Kraftfunktion, die ein Potential U besitzt. Dann ist die Gesamtenergie E := T + U : I t

−→ R −→ T (v(t)) + U (x(t))

konstant. Beweis. Nach der Kettenregel und Definition 2.4.1 gilt f¨ ur alle t ∈ I E  (t) = T  (v(t)) · v (t) + U  (x(t)) · x (t) = m v(t) a(t) − F (x(t)) v(t)   = m a(t) − F (x(t)) · v(t) . Nach dem zweiten Gesetz von Newton folgt damit E  (t) = 0 f¨ ur alle t ∈ I , also ist E nach Lemma 2.3.6 konstant. 2 ¨ Ubrigens: Mit dem Begriff des Integrals kann man zeigen, dass jedes stetige F : J −→ R ein Potential besitzt. Satz 2.4.5 gilt damit f¨ ur sehr viele Kr¨afte. Satz 2.4.6. Impulserhaltung. Es sei I ein Zeitintervall, p1 , p2 : I −→ R die Impulse zweier K¨ orper der Massen m1 bzw. m2 und F1 (t) bzw. F2 (t) die Kraft zum Zeitpunkt t ∈ I , die der K¨ orper 2 auf den K¨ orper 1 aus¨ ubt bzw. umgekehrt. Wenn keine weiteren ( ¨ außeren“) Kr¨ afte wirken, dann ist der Gesamtimpuls p := p1 + p2 ” zeitlich konstant. Beweis. Nach dem dritten Gesetz von Newton ist F2 = −F1 , also folgt zusammen mit dem zweiten Gesetz von Newton p (t) = p1 (t) + p2 (t) = m1 v1 (t) + m2 v2 (t) = m1 a1 (t) + m2 a2 (t) = F1 (t) + F2 (t) = F1 (t) − F1 (t) = 0 . Damit ist p nach Lemma 2.3.6 konstant.

2

Aufgaben 1. Zeigen Sie: Der Impuls eines K¨ orpers ist zeitlich konstant, wenn sein Potential translationsinvariant ist, d.h. wenn U (x) = U (x + x ˜) f¨ ur alle x, x ˜ ∈ R gilt. 2. Es sei x : R −→ R die Ortsfunktion eines Federpendels. Zeigen Sie: Im Fall x(0) = 0 ist x(t) = c · sin(d · t) mit geeigneten c, d ∈ R . 3. Ein K¨orper bewege sich auf einer Kreisbahn vom Radius r mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω . Stellen Sie die Ortsfunktionen f¨ ur die x- und y-Koordinate des K¨ orpers auf und leiten Sie seine Zentripetalbeschleunigung her. (Zerlegen Sie die Bewegung in x- und y-Richtung.)

2.5. Newton-Verfahren

2.5

115

Newton-Verfahren

Das L¨osen von Gleichungen ist in Kapitel 1 der Anlass daf¨ ur, sich mit Grenzwert und Stetigkeit auseinanderzusetzen. Inzwischen steht uns der Begriff der Ableitung zur Verf¨ ugung. Dadurch erhalten wir Zugang zum Newton-Verfahren , das deutlich schneller und einfacher durchzuf¨ uhren ist als die bisher verwendeten Intervallschachtelungen. Die Grundidee lautet wie folgt: Die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse liefern die L¨ osungen der Gleichung f (x) = 0 . Wenn sich f in der N¨ahe eines Schnittpunktes a durch Tangenten ann¨ahern l¨asst, und wenn x0 bereits in der N¨ahe von a liegt, dann sollte der Schnittpunkt der zugeh¨origen Tangente t mit der x-Achse eine gute N¨ aherung f¨ ur a liefern. Statt der schwierigen Gleichung f (x) = 0 l¨ost man die einfache Gleichung t(x) = 0 und erh¨alt eine N¨aherungsl¨osung f¨ ur f (x) = 0 . f t x0

a x1

x

Abbildung 2.18: Newton-Verfahren urBeispiel 2.5.1. Wir l¨ osen f (x) := x2 − 2 = 0 mit dem Newton-Verfahren. (Nat¨ lich kennen wir bereits die zugeh¨ origen L¨ osungen; dieses Beispiel soll vor allem die Idee des Newton-Verfahrens verdeutlichen.) Die Funktion f ist differenzierbar mit Tangente t(x) = f (x0 ) + f  (x0 ) · (x − x0 ) an einer Stelle x0 ∈ R . F¨ ur x ≈ x0“ ist f (x) ≈ t(x)“, also l¨osen wir statt √ f (x) = 0 ” ” jeweils √ t(x) = 0 und beginnen mit einer groben N¨aherung der L¨osung 2 , n¨amlich 1 ≈ 2: F¨ ur x0 := 1 ist t(x) = f (1) + f  (1) · (x − 1) = −1 + 2(x − 1) = 2x − 3 , also l¨osen wir 2x − 3 = √ 0 nach x auf: x = 1,5 . Die Zahl 1,5 liegt bereits deutlich n¨aher an der L¨osung 2 als x0 = 1 , also wiederholen wir die gleiche Rechnung mit x1 := 1,5 statt x0 = 1 : F¨ ur x1 := 1,5 ist t(x) = f (1,5) + f  (1,5) · (x − 1,5) = 0,25 + 3(x − 1,5) = 3x − 4,25 , also l¨osen wir 3x − 4,25 √ = 0 nach x auf: x = 1,416 . Die Zahl 1,416 liegt deutlich n¨aher an der L¨ osung 2 als x1 = 1,5 , also wiederholen wir die gleiche Rechnung mit x2 := 1,416 statt x1 = 1,5 . Allgemein: Die jeweils n¨ achste N¨ aherung xn+1 erh¨alt man aus xn durch Aufl¨osen

116

Kapitel 2. Ableitung

von f (xn ) + f  (xn ) · (xn+1 − xn ) = 0 nach xn+1 : xn+1 = xn −

f (xn ) x2n − 2 = x − =: g(xn ) . n f  (xn ) 2xn

aherungswerten rekursiv definiert: Damit wird eine Folge (xn )n von N¨ x1 := g(1) = 1,5 , x2 := g(x1 ) = 1,416 , x3 := g(x2 ) = 1,41421 . . . , . . .

2

Beispiel 2.5.2. Gesucht sind L¨ osungen von f (x) = x5 − 4x + 2 = 0 , vergleiche Beispiel 1.1.2. Wie im vorherigen Beispiel bilden wir g(x) := x −

f (x) x5 − 4x + 2 = x − f  (x) 5x4 − 4

und berechnen rekursiv, ausgehend von einem Startwert x0 , die Zahlen x1 := g(x0 ) , x2 := g(x1 ) , x3 := g(x2 ) , x4 := g(x3 ) , . . . Bei einem Taschenrechner mit Speicher-Variable x“ tippt man zum Beispiel (nach ” der zweiten Zeile eventuell nur noch =“ dr¨ ucken) ” 0.5 → x x-(x5 -4x+2)/(5x4 -4) x-(x5 -4x+2)/(5x4 -4) x-(x5 -4x+2)/(5x4 -4) x-(x5 -4x+2)/(5x4 -4)

→ → → →

x x x x

0.5 0.5084745762... 0.5084994844... 0.5084994846... 0.5084994846...

Die Startwerte x0 = 1,5 bzw. x0 = −1,5 ergeben zwei weitere N¨aherungsl¨osungen: 1,2435963905. . . bzw. −1,5185121527 . . . 2 Beim Newton-Verfahren zur L¨ osung von f (x) = 0 wird also eine Folge von N¨aherungswerten rekursiv definiert: xn+1 := g(xn ) mit g(x) := x −

f (x) . f  (x)

Damit besitzen wir ein einfaches und wirkungsvolles Verfahren zum L¨osen vieler Gleichungen: Zun¨ achst wird eine Gleichung auf die Form f (x) = 0 gebracht. Dann sucht man (zum Beispiel mit einer Wertetabelle) g¨ unstige“ Startwerte x0 , die ” nahe“ bei einer L¨ osung liegen, und berechnet rekursiv die Folge (xn )n . ” Allerdings wissen wir noch nicht, unter welchen Voraussetzungen unser Verfahren funktioniert. Zum Beispiel k¨ onnte bei bestimmten Startwerten einer der Nenner f  (xn ) gleich 0 werden. (Ein anderer Startwert f¨ uhrt dann eventuell zum Ziel – oder auch nicht.) Es gibt sogar Funktionen, bei denen fast kein Startwert zu einer L¨osung f¨ uhrt, obwohl kein Nenner 0 ist. Dabei entsteht manchmal ein sehr interessantes chaotisches Verhalten:

2.5. Newton-Verfahren

117

 s Beispiel 2.5.3. Es sei f (x) =  x1 − 1 mit s ∈ Q \ {0} . Dann ist g(x) := x −

f (x) = x + rx(1 − x) f¨ ur alle x ∈ R \ {0 ; 1} , r := s−1 f  (x)

¨ (Ubung!). Als Startwert w¨ ahlen wir stets ein x0 ≈ 1“, zum Beispiel 0,9. F¨ ur r = 1,5 ” oder 1,9 konvergiert das Newton-Verfahren gegen 1, also gegen die L¨osung von f (x) = 0 . Doch f¨ ur r = 2,1 konvergiert das Verfahren gegen einen Zweierzyklus , das heißt die entstehende Folge (xn )n∈N pendelt immer genauer zwischen 0,823 . . . und 1,128 . . . . F¨ ur r = 2,5 konvergiert das Verfahren gegen einen Viererzyklus aus 0,535 . . . , 1,157 . . . , 0,701 . . . und 1,224 . . . . Tr¨agt man nach rechts die Konstante r und nach oben die jeweils entstehenden Zyklen an, so entsteht Abbildung 2.19. Das linke Bild wurde mit einem Programm im Bereich r ∈ [ 1,9 ; 3 ] gezeichnet.

1

1,5

1,9 2,1

2,5

r

Abbildung 2.19: Verhulst-Prozess Folgen (xn )n∈N mit xn+1 = g(xn ) und g(x) = x+rx(1−x) = (1+r −rx)x sind auch unter dem Namen Verhulst-Prozess bekannt. Ein Wachstum mit konstanter Rate r wird durch g(x) = (1 + r)x beschrieben und f¨ uhrt zu einer exponentiellen Zunahme: xn = (1 + r)n · x0 . Doch jedes reale Wachstum ist letztlich beschr¨ankt. 1845 formulierte P.F. Verhulst Gesetzm¨ aßigkeiten, mit denen begrenzte Wachstums-Prozesse beschrieben werden k¨ onnen. Statt einer konstanten Wachstumsrate r verwendete er r − rx ; dadurch wird ein Wachstum bei steigendem x wieder kleiner. F¨ ur r < 2 pendeln sich solche Prozesse auf den stabilen Wert 1 ein. Doch f¨ ur r > 2 entstehen zun¨achst stabile Zyklen, die ab etwa r = 2,57 in Chaos u 2 ¨bergehen. Das Newton-Verfahren kann sich also chaotisch verhalten. Wir suchen daher nach Bedingungen, unter denen das Newton-Verfahren gegen L¨osungen von Gleichungen konvergiert. Im linken Teil von Abbildung 2.20 wurde y = x und die Graphen von g(x) = x + rx(1 − x) f¨ ur r = 1 und r = 3 gezeichnet. Die Zahl 1 ist ein Fixpunkt f¨ ur alle r ∈ R , das heißt f¨ ur alle r ist g(1) = 1 . Eine Folge (xn )n∈N mit xn+1 = g(xn ) und Startwert x0 = 1 ist also konstant 1. Ob eine Folge mit einem anderen Startwert angt davon ab, wie flach oder wie steil der Graph x ≈ 1“ gegen 1 konvergiert h¨ ” ” 0 von g in der N¨ahe von 1 verl¨ auft“. Im rechten Teil von Abbildung 2.20 wurde ein

118

Kapitel 2. Ableitung 1.2

y

1.1

1

1

r=3

0.9

r=1 x

1

0.8 0.8

0.9

1

1.1

1.2

Abbildung 2.20: g(x) = x + rx(1 − x) kleiner Ausschnitt des linken Bildes vergr¨ oßert. Man erkennt, dass f¨ ur r = 1 der Abstand |g(0,9) − 1| deutlich kleiner als |0,9 − 1| ist. Setzt man g(0,9) erneut in g ein, so wird der Abstand |g(g(0,9)) − 1| so klein, dass er in der Zeichnung kaum mehr zu erkennen ist. F¨ ur r = 1 konvergiert daher jede Folge mit xn+1 = g(xn ) und Startwert x0 ≈ 1“ gegen 1. Dieses Verhalten wird manchmal auch so formuliert: ” Der Fixpunkt zieht alle Punkte seiner Umgebung an.“ Solche Fixpunkte heißen ” auch Attraktoren . F¨ ur r = 3 ist der Abstand |g(0,9) − 1| deutlich gr¨oßer als |0,9 − 1| . Es n¨ utzt auch nichts, wenn der Startwert sehr nahe“ bei 1 liegt: F¨ ur x0 = 1 + 10−8 (Durchmesser ” eines H-Atoms: 10−8 cm) ist x23 = 0,91 . . . . Der Fixpunkt 1 st¨oßt alle Punkte seiner ” Umgebung ab.“ ¨ Das folgende Lemma pr¨ azisiert und verallgemeinert unsere Uberlegungen zu Attraktoren: Lemma 2.5.4. Es sei A ein offenes Intervall, g : A −→ R differenzierbar, g  stetig, a ∈ A mit g(a) = a und g  (a) = 0 . Dann gibt es ein δ ∈ R , sodass jede Folge (xn )n∈N mit xn+1 = g(xn ) und x0 ∈ ] a − δ ; a + δ [ gegen a konvergiert. Beweis. Wegen g  (a) = 0 und g  stetig gibt es ein δ > 0 mit |g  (x)| ≤

1 2

f¨ ur alle x ∈ ] a − δ ; a + δ [ .

Außerdem gibt es f¨ ur jedes x ∈ ] a − δ ; a + δ [ \{a} nach dem Mittelwertsatz ein b zwischen a und x mit g(x) − g(a) . g  (b) = x−a Wegen g(a) = a und |g  (b)| ≤ |g(x) − a| ≤

1 2

folgt f¨ ur alle x ∈ ] a − δ ; a + δ [

1 · |x − a| , insbesondere g(x) ∈ ] a − δ ; a + δ [ . 2

Bei jedem Einsetzen in g wird der Abstand zu a also mindestens halbiert. Daher 2 folgt induktiv |xn − a| ≤ 2−n |x0 − a| → 0 .

2.5. Newton-Verfahren

119

Satz 2.5.5. Newton-Verfahren. Es sei A ein offenes Intervall, f : A −→ R zweimal differenzierbar, f  stetig und a eine Nullstelle von f mit f  (a) = 0 . Dann gibt es ein δ > 0 mit f  (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ ]a − δ ; a + δ[ . Setze g(x) := x −

f (x) f  (x)

f¨ ur alle x ∈ ]a − δ ; a + δ[

.

Dann gibt es ein δ ∈ R mit 0 < δ < δ , sodass jede Folge (xn )n∈N mit xn+1 = g(xn ) und x0 ∈ ] a − δ ; a + δ [ gegen a konvergiert. Beweis. f  ist differenzierbar, also auch stetig; aus f  (a) = 0 folgt damit die Behauptung f¨ ur δ . Wegen g  (x) = 1 −

(f  (x))2 − f (x)f  (x) f (x)f  (x) =  2 (f (x)) (f  (x))2

und f (a) = 0 ist g  (a) = 0 und g(a) = a . Außerdem ist g  stetig, da f  stetig. Damit erf¨ ullt g alle Voraussetzungen von Lemma 2.5.4. 2

Aufgaben 1. Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren jeweils n¨aherungsweise alle L¨osungen mit der Genauigkeit Ihres Taschenrechners: (a) (c)

1 2 x 2 1 2 2x 3

− 2x + 1 = 0

(b) 2x2 − 3x − 1 = 0

− 2x + 3 = 0

(d) 2x2 − 3x + 2 = 0

(e) x − 2x = 12 x2 − 1 =x+2 (g) 2 x +9 (i) 15 x = cos(x)

(f) x4 − 3x3 = −1 x (h) 2 = x2 − 1 x +1 (j) sin(4x) = 1 − x2

2. Zeigen Sie g(x) = x + rx(1 − x) in Beispiel 2.5.3. 3. Berechnen Sie die Zyklen in Beispiel 2.5.3 f¨ ur r ∈ {1,9 ; 1,95 ; . . . ; 2,55} und zeichnen sie das zugeh¨ orige Diagramm (Abbildung 2.19). 4. Vereinfachen Sie zun¨ achst x − f (x)/f  (x) . Warum konvergiert das NewtonVerfahren nicht? Welche Voraussetzungen von Satz 2.5.5 sind nicht erf¨ ullt?  2  15 1 3   (a) f (x) = |x − 1| (b) f (x) = x − 2

120

Kapitel 2. Ableitung

2.6

¨ Uber die Sprache der Ringe

In diesem Abschnitt geht es darum, noch einmal u ¨ber das bisher Erreichte nachzudenken. Dabei sollen vier Dinge erreicht werden: Ein Einblick in die Gemeinsamkeit vieler Begriffe und Ideen, die zun¨ achst sehr verschieden erscheinen; ein besserer ¨ Uberblick u ur den großen ¨ber den inneren Aufbau der Analysis; ein Verst¨andnis f¨ Vorteil, den abstrakte Begriffe wie Gruppe , Ring oder Homomorphismus besitzen; und schließlich eine erste Antwort auf die grunds¨atzliche Frage, ob auch noch eine ganz andere Analysis“ denkbar ist. Wer es eilig hat, oder wem die folgenden ¨ ” Uberlegungen zu abstrakt sind, kann den vorliegenden Abschnitt auch u ¨berschlagen: Kapitel 3 ist unabh¨ angig von Abschnitt 2.6 (bis auf einige Begriffe, die man aber nachschlagen kann). Wahrscheinlich ist Ihnen, lieber Leser, bereits aufgefallen, dass wir bei verschiedenen Themen immer wieder Vorgehensweisen und Argumente benutzt haben, die in ihrer logischen Struktur sehr ¨ ahnlich, ja geradezu identisch waren. Zum Beispiel haben wir uns jeweils mit der gleichen Methode m¨oglichst viele konvergente Folgen, stetige Funktionen und differenzierbare Funktionen verschafft: Nach einigen Beispielen wurde gezeigt, dass Summe und Produkt zweier Objekte einer bestimmten Art (etwa zwei stetige Funktionen) wieder ein Objekt von der gleichen Art ergeben (wieder eine stetige Funktion); dadurch stand uns sehr schnell eine große F¨ ulle von Objekten einer bestimmten Art zur Verf¨ ugung. Objekte einer bestimmten Art“ fasst man zu einer Menge M zusammen; und ” Addition und Multiplikation sind Beispiele f¨ ur Verkn¨ upfungen auf einer Menge M : Definition 2.6.1. Es sei M eine Menge. Dann ist M × M die Menge aller Paare (a, b) mit a, b ∈ M . Eine Verkn¨ upfung auf M ist eine Funktion ∗ , die jedem Paar (a, b) ∈ M × M ein Element a ∗ b ∈ M zuordnet: ∗ : M × M −→ M , (a, b) −→ a ∗ b .

2

Wir kennen bereits viele Verkn¨ upfungen (siehe auch Aufgaben): Beispiel 2.6.2. 1. Die Addition nat¨ urlicher Zahlen: + : N × N −→ N , (a, b) −→ a + b . Die Subtraktion liefert eine Verkn¨ upfung auf Z , aber nicht auf N , da zum Beispiel 3 und 5 in N liegen, aber 3 − 5 ∈ / N. 2. Die Menge aller Funktionen f : D −→ R bezeichnen wir mit RD . In 1.5.6 wurde die Addition zweier Funktionen definiert, das heißt eine Verkn¨ upfung + : RD × RD −→ RD , (f, g) −→ f + g . Im Fall D = N ist RD die Menge aller Folgen f = (f1 , f2 , f3 , . . .) (siehe Definition 1.2.1); die Addition von Folgen ist ein Spezialfall der Addition von Funktionen (vergleiche 1.2.6 mit 1.5.6). Im Fall D = {1; 2; 3} benutzt man f¨ ur f ∈ RD auch die ur i ∈ D ; die Elemente von RD Schreibweise f = (f1 , f2 , f3 ) mit fi = f (i) ∈ R f¨

¨ 2.6. Uber die Sprache der Ringe

121

heißen Tripel ; statt R{1;2;3} schreibt man auch R3 ; die Addition von Vektoren im R3 ist damit ebenfalls ein Spezialfall der Addition von Funktionen. Die Division ist keine Verkn¨ upfung auf RD (wobei D = {}), da fg keine Funktion mit Definitionsmenge D ist, wenn g Nullstellen besitzt. 3. Die Verkettung von Funktionen (1.5.9) definiert eine Verkn¨ upfung auf RR : ◦ : RR × RR −→ RR , (f, g) −→ f ◦ g . F¨ ur {} = D = R definiert ◦ keine Verkn¨ upfung auf RD , da f ◦ g f¨ ur f, g ∈ RD nicht definiert ist, wenn es ein x ∈ D mit g(x) ∈ / D gibt. 2 Bei den Rechenregeln f¨ ur Verkn¨ upfungen gibt es zahlreiche Gemeinsamkeiten. Zum Beispiel gibt es ein Assoziativgesetz der Addition von reellen Zahlen, ein Assoziativgesetz der Multiplikation von Folgen, ein Assoziativgesetz der Verkettung von Funktionen und viele weitere Assoziativgesetze; die Formulierungen dieser Assoziativgesetze unterscheiden sich nur durch die verwendeten Rechenzeichen und durch die Mengen, deren Elemente verkn¨ upft werden. Das gilt auch f¨ ur Kommutativgesetze und f¨ ur viele weitere Regeln. Definition 2.6.3. Es sei ∗ eine Verkn¨ upfung auf einer Menge M . ∗ heißt assoziativ , wenn (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) f¨ ur alle a, b, c ∈ M . ∗ heißt kommutativ , wenn a ∗ b = b ∗ a f¨ ur alle a, b ∈ M . n ∈ M heißt neutral , wenn n ∗ a = a = a ∗ n f¨ ur alle a ∈ M . Ist n ∈ M neutral, a, b ∈ M mit a ∗ b = n = b ∗ a , dann heißt b invers zu a . Es sei  ebenfalls eine Verkn¨ upfung auf M . Das Paar (∗, ) heißt distributiv , wenn (a ∗ b)  c = a  c ∗ a  c und a  (b ∗ c) = a  b ∗ a  c f¨ ur alle a, b, c ∈ M . 2 Im Axiomensystem der reellen Zahlen haben wir bei neutral“ und invers“ nur ” ” a∗n = a und a∗b = n gefordert, weil dort auch das Kommutativgesetz zur Verf¨ ugung steht. Doch bei einer nicht-kommutativen Verkn¨ upfung, wie etwa der Subtraktion in Z , kann folgendes geschehen: Die 0 ist rechts-neutral“, d.h. a − 0 = a , aber ” nicht links-neutral“, d.h. 0 − a = a . ” Beispiel 2.6.4. Die Verkn¨ upfung + : Z × Z −→ Z ist assoziativ und kommutativ; 0 ist das (einzige) neutrale Element, und zu jedem x ∈ Z gibt es genau ein inverses Element, n¨amlich −x . Die Verkn¨ upfung · : Z × Z −→ Z ist assoziativ und kommutativ; 1 ist das (einzige) neutrale Element; 1 und −1 sind die einzigen Zahlen, zu denen es (in Z bez¨ uglich ·“) ein inverses Element gibt; das Paar (+ , · ) ist distributiv. ” Der Verkn¨ upfung − : Z × Z −→ Z mangelt es an guten Eigenschaften: Sie ist weder assoziativ noch kommutativ, da z.B. (5 − 3) − 1 = 5 − (3 − 1) und 5 − 3 = 3 − 5 ; es gibt kein neutrales Element, da f¨ ur a − n = a nur n = 0 in Frage kommt, aber ur alle a = 0 ; da es kein neutrales Element gibt, ist die Rede von 0 − a = a f¨ inversen Elementen sinnlos; und u upfung −“ u ussig, da ¨berhaupt ist die Verkn¨ ¨berfl¨ ” sie wegen a − b = a + (−b) durch die Addition inverser Elemente ersetzt werden kann. Zur Ehrenrettung von −“ sei gesagt, dass immerhin (− , · ) distributiv ist. ” Die Division ist keine Verkn¨ upfung auf Z , da z.B. 3 : 5 ∈ / Z. 2

122

Kapitel 2. Ableitung

Beispiel 2.6.5. Aus den Rechenregeln f¨ ur R ergeben sich Rechenregeln f¨ ur die Menge RD aller Funktionen f : D −→ R : Die Verkn¨ upfung + : RD × RD −→ RD , (f, g) −→ f + g ist kommutativ: F¨ ur alle D f, g ∈ R gilt f + g = g + f , da nach dem Kommutativgesetz der Addition reeller Zahlen f (x) + g(x) = g(x) + f (x) f¨ ur alle x ∈ D gilt (die Werte f (x) und g(x) sind reelle Zahlen!). Analog folgt: + ist assoziativ; die konstante Funktion n ∈ RD mit Wert 0 ist das (einzige) neutrale Element, und zu jedem f ∈ RD gibt es genau ein inverses Element −f . Die Verkn¨ upfung · : RD ×RD −→ RD , (f, g) −→ f ·g ist assoziativ und kommutativ; die konstante Funktion ν ∈ RD mit Wert 1 ist das (einzige) neutrale Element; zu f ∈ RD gibt es genau dann das inverse Element f1 , wenn f keine Nullstelle besitzt; das Paar (+ , · ) ist distributiv. Die Verkn¨ upfung − : RD × RD −→ RD , (f, g) −→ f − g ersetzen wir aufgrund schlechter Erfahrungen lieber gleich durch die Addition f + (−g) . Die Division ist keine Verkn¨ upfung auf RD ; und sollte fg doch einmal in ganz D definiert sein, dann kann man die Division durch die Multiplikation mit dem 2 Inversen ersetzen: fg = f · g1 . Es w¨are recht m¨ uhsam, wenn man bei jeder Verkn¨ upfung immer alle Rechenregeln einzeln aufz¨ ahlen m¨ usste. Bestimmte Regeln treten ohnehin oft gemeinsam auf, also fasst man sie unter Begriffen wie Gruppe, Ring oder K¨ orper zusammen: Definition 2.6.6. Eine Gruppe ist ein Paar (G, ∗) , wobei G eine Menge und ∗ eine Verkn¨ upfung auf G ist, sodass gilt: 1. ∗ ist assoziativ. 2. Es gibt ein neutrales Element. 3. Zu jedem g ∈ G gibt es ein inverses Element. Ist ∗ außerdem kommutativ, dann heißt (G, ∗) abelsch .

2

Nach 2.6.4 und 2.6.5 sind (Z , +) und (RD , +) abelsche Gruppen, (Z , · ) und (R , · ) sind keine Gruppen. D

Definition 2.6.7. Ein Ring ist ein Tripel (R, ∗, ), wobei R eine Menge und ∗,  Verkn¨ upfungen auf R sind, sodass gilt: 1. (R, ∗) ist eine abelsche Gruppe. 2. (∗, ) ist distributiv. 3.  ist assoziativ. 4. Es gibt ein neutrales Element bez¨ uglich  . Ist  außerdem kommutativ, dann heißt (R, ∗, ) kommutativ .

2

¨ 2.6. Uber die Sprache der Ringe

123

Die Aussagen von 2.6.4 und 2.6.5 lauten damit kurz und b¨ undig: (Z , + , · ) und (RD , + , · ) sind kommutative Ringe. Definition 2.6.8. Es sei (R, ∗, ) ein kommutativer Ring, n neutral bzgl. ∗“ und ” e neutral bzgl. “. Wenn e = n und jedes r ∈ R \ {n} ein inverses Element bzgl. ” “ besitzt, dann heißt (R, ∗, ) K¨ orper . 2 ” Zum Beispiel sind (Q , + , · ) und (R , + , · ) K¨orper (siehe K¨orperaxiome f¨ ur R in Abschnitt 1.3). Die nahe Verwandtschaft zwischen (R , + , · ) und allgemeinen Ringen f¨ uhrt dazu, dass man gewohnte Schreibweisen von R auf allgemeine Ringe u ¨bertr¨agt: Statt ∗“ und “ in (R, ∗, ) schreibt man oft wieder +“ und ·“, und ” ” ” ” f¨ ur die neutralen Elemente bzgl. +“ und ·“ verwendet man die Zeichen 0“ und ” ” ” −1 1“; f¨ ur inverse Elemente bzgl. +“ bzw. ·“ schreibt man −x“ bzw. x “. ” ” ” ” ” Da es viele Ringe gibt, kann man mit ihnen viele verschiedene Situationen vergleichen, zusammenfassen und vereinheitlichen, was auch eine Menge Arbeit sparen kann: Alle Aussagen, die man allgemein f¨ ur Ringe gezeigt hat, stehen sofort zur Verf¨ ugung sobald man weiß, dass ein gegebenes Objekt ein Ring ist. Zum Beispiel gelten Regeln wie x · 0 = 0 , x · (−1) = −x oder (−1) · (−1) = 1 in allen Ringen: Beispiel 2.6.9. Es sei (R , + , · ) ein Ring. In 1.3.2 bis 1.3.5 wird nur benutzt, dass (R, +) eine kommutative Gruppe ist; da (R, +) ebenfalls eine kommutative Gruppe ist, kann man die Aussagen und Beweise in 1.3.2 bis 1.3.5 w¨ortlich abschreiben, wenn man R durch R ersetzt: ∃1 n ∈ R ∀ x ∈ R : x + n = x . ∀ x ∈ R ∃1 y ∈ R : x + y = 0 . ∀ a, b ∈ R ∃1 x ∈ R : a + x = b . ∀ x ∈ R : −(−x) = x . Man gehe die in 1.3.2 bis 1.3.5 formulierten Beweise ruhig noch einmal durch: Es werden nur Eigenschaften benutzt, die in jedem Ring zur Verf¨ ugung stehen. Beispiel 1.3.6 kann man nicht auf alle Ringe u ¨bertragen, da inverse Elemente bzgl. ·“ und das Kommutativgesetz f¨ ur ·“ verwendet werden. Doch immerhin ist ” ” das neutrale Element bzgl. ·“ stets eindeutig bestimmt: Es seien e und e˜ neutral, ” d.h. ∀ x ∈ R : e · x = x · e = x = e˜ · x = x · e˜ . Dann folgt e˜ = e˜ · e = e

(da e neutral) (da e˜ neutral) .

Die Beweise f¨ ur x·0 = 0 , x·(−1) = −x und (−1)·(−1) = 1 in 1.3.7 und 1.3.8 kann ¨ man wieder abschreiben; und (−x) · (−y) = x · y kann mit einer kleinen Anderung ebenfalls bewiesen werden. (Hinweis: Man kann zeigen, dass (−1) · y = y · (−1) f¨ ur ¨ alle y ∈ R gilt. Ubung!) 2 Viele Ringe entstehen dadurch, dass man eine geeignete Teilmenge eines bereits gegebenen Rings w¨ ahlt.

124

Kapitel 2. Ableitung

Definition 2.6.10. Es sei (R, + , · ) ein Ring und T ⊆ R mit 1. x, y ∈ T =⇒ x + y , x · y ∈ T ; 2. 1 ∈ T und −1 ∈ T . Dann heißt (T, + , · ) Teilring von (R, + , · ) .

2

Strenggenommen m¨ ussten wir f¨ ur +“ und ·“ in (T, + , · ) andere Zeichen ver” ” upfungen mit einer wenden, wie etwa +T“ und ·T “, da es sich dabei um Verkn¨ ” ” anderen Definitions- und Zielmenge handelt: + : R × R → R , aber +T : T × T → T . Doch letztlich rechnet man in der Teilmenge T genauso wie in R, das heißt f¨ ur x, y ∈ T ist x +T y = x + y , also schreiben wir statt +T“ wieder +“. (In R und ” ” Q ⊆ R verwendet man auch keine verschiedenen Rechenzeichen.) In Definition 2.6.10 tr¨ agt (T, + , · ) zurecht den Namen Teil-Ring“: ” Lemma 2.6.11. Jeder Teilring ist selbst wieder ein Ring. Beweis. Es sei (T, + , · ) ein Teilring von (R, + , · ) . upfungen +“ und ·“ auf R auch VerNach Voraussetzung definieren die Verkn¨ ” ” kn¨ upfungen auf T . Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze u ¨bertragen sich sofort von R auf T : Zum Beispiel gilt x + y = y + x f¨ ur alle x, y ∈ R , also insbesondere auch f¨ ur alle x, y ∈ T ⊆ R . T enth¨alt das neutrale Element 0, da 0 = 1 + (−1) ∈ T nach Voraussetung. Mit jedem x ∈ T ist auch das Inverse −x ∈ T , da −x = (−1) · x ∈ T nach 2.6.9 und Voraussetzung. T enth¨alt nach Voraussetzung das neutrale Element 1. Damit sind alle notwendigen Eigenschaften eines Rings nachgewiesen. 2 Jetzt erkennt man, dass in verschiedenen Abschnitten dieses Buches an jeweils entscheidenden Stellen eigentlich immer wieder das Gleiche geschieht: Es wird gezeigt, dass ein Teilring von (RD , + , · ) vorliegt: Beispiel 2.6.12. Es sei K := {(xn )n ∈ RN | (xn )n konvergiert } . Nach 1.4.5 gilt (xn )n , (yn )n ∈ K

=⇒

(xn )n + (yn )n , (xn )n · (yn )n ∈ K .

Die 1“ in RN , das heißt das neutrale Element bzgl. ·“, ist die konstante Folge ” ” (1)n ; außerdem ist −(1)n = (−1)n und (1)n , (−1)n ∈ K . Nach Definition 2.6.10 ist also (K , + , · ) ein Teilring von (RN , + , · ) . Der Ring (K , + , · ) ist sogar kommutativ, aber kein K¨orper, da zum Beispiel  −1 1 ∈ K , aber das Inverse n1 n = (n)n liegt nicht in K . Immerhin hat nach Satz n n 1.4.6 jedes (xn )n ∈ K ein Inverses (xn )−1 ur alle n ∈ N und n ∈ K , wenn xn = 0 f¨ (xn )n → a = 0 . Mit diesen Ring-Eigenschaften werden in Abschnitt 1.4 die meisten Folgen auf Konvergenz untersucht (Beispiel 1.4.7 und zugeh¨orige Aufgaben). 2

¨ 2.6. Uber die Sprache der Ringe

125

Das gleiche Schema wird f¨ ur Stetigkeit und Differenzierbarkeit benutzt: Beispiel 2.6.13. Es sei a ∈ D ⊆ R und Ca (D) := {f ∈ RD | f stetig bei a} . Nach Satz 1.5.7 gilt f, g ∈ Ca (D) =⇒ f + g , f · g ∈ Ca (D) . Die 1“ in RD ist die konstante Funktion mit Funktionswert 1 ∈ R . Aus der Defi” nition der Stetigkeit folgt sofort, dass alle konstanten Funktionen stetig sind, also insbesondere 1 , −1 ∈ Ca (D) . Damit ist (Ca (D) , + , · ) ein Teilring von (RD , + , · ) . Daraus folgt zusammen mit der Stetigkeit von id : x → x , dass alle Polynomfunktionen stetig sind. Der Ring (Ca (D) , + , · ) ist kommutativ, aber kein K¨orper, da zum Beispiel 1 1 id ∈ C0 (D) , aber id ∈ / C0 (D) , da id bei 0 nicht definiert ist. Immerhin hat nach ur alle x ∈ D . Satz 1.5.7 jedes f ∈ Ca (D) ein Inverses f1 ∈ Ca (D) , wenn f (x) = 0 f¨ Damit folgt, dass alle rationalen Funktionen stetig sind. 2 Beispiel 2.6.14. Es sei a ∈ D ⊆ R , wobei es ein δ > 0 geben soll, sodass die Schnittmenge ]a − δ ; a + δ[ ∩ D ein Intervall mit mehr als einem Punkt ist. Setze Da (D) := {f ∈ RD | f differenzierbar bei a} . Nach Satz 2.2.1 gilt f, g ∈ Da (D)

=⇒

f + g , f · g ∈ Da (D) .

Die 1“ in RD ist die konstante Funktion mit Funktionswert 1 ∈ R . Aus der De” finition der Differenzierbarkeit folgt sofort, dass alle konstanten Funktionen differenzierbar sind, also insbesondere 1 , −1 ∈ Da (D) . Damit ist (Da (D) , + , · ) ein Teilring von (RD , + , · ) . Daraus folgt zusammen mit der Differenzierbarkeit von id : x → x (2.1.10), dass alle Polynomfunktionen differenzierbar sind. Der Ring (Da (D) , + , · ) ist kommutativ, aber kein K¨orper, da zum Beispiel 1 1 id ∈ D0 (D) , aber id ∈ / D0 (D) , da id bei 0 nicht definiert ist. Immerhin hat nach der Quotientenregel 2.2.7 jedes f ∈ Da (D) ein Inverses f1 ∈ Da (D) , wenn f (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ D . Damit folgt, dass alle rationalen Funktionen differenzierbar sind. 2 Mit der Sprache der Ringe kann man auch Gemeinsamkeiten zwischen Mengen erkennen, die auf den ersten Blick scheinbar nichts miteinander zu tun haben. Betrachten wir zum Beispiel die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von 7, und die Menge aller Funktionen f , die an einer Stelle a differenzierbar sind, wobei f (a) = 0 : 7Z := {7k | k ∈ Z}

und Da,0 (D) := {f ∈ Da (D) | f (a) = 0} .

Beides sind Teilmengen von kommutativen Ringen, n¨amlich von Z bzw. von Da (D) ; sie sind selbst keine Ringe, da jeweils das neutrale Element bzgl. ·“ fehlt. Die ” bemerkenswerteste Gemeinsamkeit besteht aber darin, dass 7Z und Da,0 (D) Viel” fachen-Mengen“ sind: Nach Definition 2.1.3 ist eine Funktion f : D −→ R genau dann ein Element von Da,0 (D) , wenn es eine bei 0 stetige Funktion r gibt mit f (a + h) = r(h) · h bzw.

f (x) = r(x − a) · (x − a)

126

Kapitel 2. Ableitung

f¨ ur x = a + h ∈ D . Die Funktion r : h −→ r(h) ist genau dann bei 0 stetig, wenn s : x −→ s(x) := r(x − a) bei a stetig ist. Somit: Da,0 (D) = {(x − a) · s | s ∈ Ca (D)} , wobei (x − a) · s“ die Funktion D −→ R , x −→ (x − a) · s(x) bezeichnet. ” Die Gemeinsamkeit von Z und Da,0 (D) k¨onnen wir also so formulieren: 7Z ist die Menge aller Vielfachen von 7 im kommutativen Ring Z ; Da,0 (D) ist die Menge aller Vielfachen von (x − a) im kommutativen Ring Ca (D) . Dadurch wird auch die Beziehung zwischen differenzierbar“ und stetig“ noch einmal verdeutlicht: Die ” ” bei a differenzierbaren Funktionen f sind genau die bei a stetigen Vielfachen von (x − a) , wenn f (a) = 0 . (Im Fall f (a) = 0 wird noch eine Konstante addiert.) Jetzt kann man auch Argumente, die bereits von den ganzen Zahlen her bekannt sind, auf differenzierbare Funktionen u ¨bertragen:   Beispiel 2.6.15. Es sei f (x) = cos(x) und g(x) = 12 + x − π2  . Ist f · g bei a = π2 differenzierbar? Unsere Ableitungsregeln sind nicht anwendbar, da g bei π2 nicht y

y

g

1

fg

1

f

x

π /2

π /2

x

Abbildung 2.21: Produkt aus differenzierbar“ und stetig“ in 2.6.15 ” ” differenzierbar ist. Ein Vergleich von Da,0 (D) ⊆ Ca (D) mit 7Z ⊆ Z hilft weiter, da aus analogen Gr¨ unden gilt: i ∈ 7Z und r ∈ Z =⇒ i · r ∈ 7Z , f ∈ Da,0 (D) und g ∈ Ca (D) =⇒ f · g ∈ Da,0 (D) . Beweis: i ∈ 7Z bedeutet, dass es ein k ∈ Z gibt mit i = 7·k , also i·r = 7·(k·r) ∈ 7Z , da k · r ∈ Z . Analog: f ∈ Da,0 (D) bedeutet, dass es ein s ∈ Ca (D) gibt mit f = (x − a) · s , also ist 2 f · g = (x − a) · (s · g) ∈ Da,0 (D) , da s · g ∈ Ca (D) . ¨ Die Uberlegungen dieses Beispiels kann man verallgemeinern: Definition 2.6.16. Es sei (R , + , · ) ein kommutativer Ring und I ⊆ R mit 1. (I, +) ist eine Gruppe ; 2. i ∈ I und r ∈ R

=⇒

i·r ∈I .

Dann nennen wir I ein Ideal von R .

2

¨ 2.6. Uber die Sprache der Ringe

127

Hinter Beispiel 2.6.15 steckt der folgende allgemeine Zusammenhang: Lemma 2.6.17. Es sei (R , + , · ) ein kommutativer Ring , g ∈ R und gR die Menge {g · r | r ∈ R} . Dann ist gR ein Ideal von R , genannt Hauptideal von R mit Erzeuger g . Beweis. Die Verkn¨ upfung +“ auf R definiert auch eine Verkn¨ upfung auf gR : Es ” seien i, j ∈ gR ; wir zeigen i + j ∈ gR : Es gibt r, s ∈ R mit i = g · r und j = g · s , also i + j = g · r + g · s = g · (r + s) ∈ gR . +“ ist auf gR assoziativ, da +“ sogar auf ganz R assoziativ ist. ” ” gR enth¨alt das neutrale Element 0“ bzgl. +“, da 0 = g · 0 nach 2.6.9. ” ” F¨ ur jedes i ∈ gR ist auch −i ∈ gR , da i = g · r f¨ ur ein r ∈ R und nach 2.6.9 −i = i · (−1) = g · r · (−1) . Damit ist (gR, +) eine Gruppe. Sei i ∈ gR und r ∈ R ; wir zeigen i · r ∈ gR : Es gibt ein s ∈ R mit i = g · s , also ist i · r = g · (s · r) ∈ gR . 2 Halten wir also fest: 7Z ist das von 7 erzeugte Hauptideal in Z ; Da,0 (D) ist das von (x − a) erzeugte Hauptideal in Ca (D) . Die Menge N der Nullfolgen ist ebenfalls ein Ideal, wie wir gleich sehen werden. Dabei hat N eine grundlegende Bedeutung f¨ ur das vorliegende Buch: Die Differenzierbarkeit wird mit Hilfe der Stetigkeit definiert; die Stetigkeit wird mit Hilfe konvergenter Folgen definiert; konvergente Folgen werden mit Hilfe von Nullfolsch

gen definiert; und Nullfolgen werden mit Hilfe der Anordnung < “ des Rings ” (RN , + , · ) definiert: N besteht aus den betragsm¨aßig unendlich kleinen Elementen N von R , das heißt sch

ur alle  ∈ R+ ist (|xn |)n <  } . N := { (xn )n ∈ RN | F¨ Die gesamte bisher entwickelte Theorie ruht also auf zwei S¨aulen: auf dem Axiomensystem der reellen Zahlen und auf dem angeordneten Ring RN , wobei man der Menge N der betragsm¨ aßig unendlich kleinen Elemente eine besondere Rolle zuschreibt. Geht man die Beweise noch einmal durch, die wir beim Aufbau der Analysis verwendet haben, so erkennt man, dass von Anfang an Ring-Eigenschaften nachgewiesen und benutzt wurden: Die ersten Beweise dieses Buches (1.3.2 bis 1.3.5) kann man in allen Ringen f¨ uhren (s. 2.6.9); Lemma 1.4.1 handelt von der Transitisch

vit¨at und Vertr¨ aglichkeit von < “ mit den Verkn¨ upfungen +“ und ·“ im Ring ” ” ” RN ; mit 1.4.1 wird in 1.4.3 und 1.4.4 letztlich gezeigt, dass N ein Ideal im Ring der beschr¨ankten Folgen ist; und die Ideal-Eigenschaft von N liefert in 1.4.5 die wesentlichen Argumente daf¨ ur, dass +“ und ·“ Verkn¨ upfungen auf der Menge K ” ” der konvergenten Folgen sind.

128

Kapitel 2. Ableitung

Korollar 2.6.18. N ist ein Ideal im Ring B der beschr¨ ankten Folgen. ¨ also selbst ein Ring. Beweis. (B, + , · ) ist ein Teilring von (RN , + , · ) (Ubung!), Außerdem ist N ⊆ B nach 1.4.3. (N , +) ist eine Gruppe: Nach 1.4.4 ist +“ eine Verkn¨ upfung auf N ; das Assozia” tivgesetz u agt sich von RN auf N ; die konstante Nullfolge (0)n ist das neutrale ¨bertr¨ Element bzgl. +“ und liegt in N ; nach 1.4.3 liegt f¨ ur alle (xn )n ∈ N auch das ” Inverse (−xn )n in N . Aus (xn )n ∈ N und (yn )n ∈ B folgt (xn )n · (yn )n ∈ N nach 1.4.3. 2 Im Gegensatz zu 7Z und Da,0 (D) gilt aber: Lemma 2.6.19. N ist kein Hauptideal von B . Beweis. Annahme: Es gibt einen Erzeuger (gn )n von N . Dann ist zum Beispiel   1 ein Vielfaches von (gn )n , das heißt es gibt ein (xn )n ∈ B mit (gn xn )n = n1 n ; n n damit ist insbesondere gn = 0 f¨ ur alle n ∈ N .  Aus (gn )n ∈ N und der Stetigkeit der Wurzelfunktion folgt  ( |gn |)n ∈ N . (gn )n erzeugtN , also gibt es ein (yn )n ∈ B mit (gn yn )n = ( |gn |)n . Aber (yn )n =  √ |gn | ist unbeschr¨ ankt wegen (gn )n → 0 : Widerspruch zu (yn )n ∈ B . 2 gn n

Fassen wir zusammen: 1. Die Begriffe konvergent , stetig und differenzierbar werden letztlich mit Hilfe von R und dem angeordneten Ring RN definiert. 2. Die Mengen K , Ca (D) und Da (D) (konvergente Folgen, bei a stetige Funktionen, bei a differenzierbare Funktionen) sind Ringe. Ring-Eigenschaften sind wichtige Hilfsmittel bei der Frage, welche Folgen bzw. Funktionen konvergent, stetig oder differenzierbar sind. Uns fehlt aber noch ein dritter Aspekt: In der Analysis geht es nicht nur darum, ob Folgen konvergent oder Funktionen differenzierbar sind, sondern auch darum, zugeh¨orige Ergebnisse“ zu berechnen, zum Beispiel den Grenzwert lim (xn )n einer ” n→∞ Folge (xn )n , den Wert f  (a) einer Funktion f oder die Ableitungsfunktion f  einer Funktion f . Auch hier gibt es Gemeinsamkeiten, die man in einer einheitlichen Sprache ausdr¨ ucken kann. ¨ ange Eine erste Gemeinsamkeit besteht darin, dass lim (. . .) und (. . .) (a) Uberg¨ n→∞

zwischen Ringen bewirken: In lim (. . .) werden Folgen (xn )n ∈ K eingesetzt, und n→∞

man erh¨alt Zahlen lim (xn )n ∈ R , das heißt lim (. . .) ordnet jedem Element des n→∞

n→∞

Rings K ein Element des Rings R zu. In (. . .) (a) werden Funktionen f ∈ Da (D) eingesetzt, und man erh¨ alt Zahlen f  (a) ∈ R , das heißt (. . .) (a) ordnet jedem ¨ Element des Rings Da (D) ein Element des Rings R zu. Um die formale Ahnlichkeit  zwischen lim (. . .) und (. . .) (a) zu unterstreichen schreiben wir auch δa (. . .) statt n→∞

¨ 2.6. Uber die Sprache der Ringe

129

(. . .) (a) , und δ(. . .) statt (. . .) . lim , δa und δ sind also Funktionen zwischen n→∞ Ringen: lim

n→∞

δa δ

K

:

: Da (D) :

D(D)

−→

R

,

(xn )n

−→

−→ R

,

f

−→ δa (f ) := f  (a)

−→ RD

,

f

−→ δ(f ) := f  ,

lim (xn )n

n→∞

wobei D(D) die Menge der differenzierbaren Funktionen f : D −→ R bezeichnet. uglich Eine weitere Gemeinsamkeit von lim und δ besteht darin, dass sie sich bez¨ n→∞ der Addition analog verhalten:   lim (xn )n + (yn )n = lim (xn )n + lim (yn )n und δ(f + g) = δ(f ) + δ(g) n→∞

n→∞

n→∞

f¨ ur alle (xn )n , (yn )n ∈ K und f, g ∈ D(D) . Allerdings verhalten sich lim und δ n→∞ bei der Multiplikation unterschiedlich:   lim (xn )n · (yn )n = lim (xn )n · lim (yn )n , aber δ(f · g) = δ(f ) · g + f · δ(g) . n→∞

n→∞

n→∞

Die Gemeinsamkeiten von lim und δ beziehen sich also vor allem auf die Gruppen n→∞

(K, +) , (R, +) und (D(D), +) ; wenn man ber¨ ucksichtigt, dass K , R und D(D) sogar Ringe sind, dann ergeben sich wieder deutliche Unterschiede. Wir formulieren diese Gemeinsamkeiten und Unterschiede mit dem Begriff Homomorphismus : Definition 2.6.20. Ein Gruppen-Homomorphismus von der Gruppe (G, ∗) in die Gruppe (H, ) ist eine Funktion ϕ : G −→ H mit ϕ(a ∗ b) = ϕ(a)  ϕ(b)

f¨ ur alle a, b ∈ G .

Ein Ring-Homomorphismus vom Ring (R, ∗, ) in den Ring (S, , ◦) ist ein GruppenHomomorphismus ϕ von der Gruppe (R, ∗) in die Gruppe (S, ) , sodass zus¨atzlich ϕ(1R ) = 1S

und ϕ(a b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b)

f¨ ur alle a, b ∈ R

gilt, wobei 1R bzw. 1S das neutrale Element bzgl. “ bzw. ◦“ ist. ” ”

2

Homomorphismen tauchen in vielen Situationen auf: Beispiel 2.6.21. Der Logarithmus ln : R+ −→ R ist ein Gruppen-Homomorur alle x, y ∈ R+ (siehe phismus von (R+ , · ) nach (R, +) : ln(xy) = ln(x) + ln(y) f¨ 1.7.4). Die e-Funktion exp : R −→ R+ ist ein Gruppen-Homomorphismus von (R, +) nach (R+ , · ) : exp(x + y) = exp(x) · exp(y) f¨ ur alle x, y ∈ R (siehe 1.7.13). F¨ ur m ∈ R ist fm : R −→ R , x −→ mx ein Gruppen-Homomorphismus von (R, +) nach (R, +) : f (x + y) = m · (x + y) = mx + my = f (x) + f (y) . Durch f : x −→ x2 wird kein Gruppen-Homomorphismus von (R, +) nach (R, +),

130

Kapitel 2. Ableitung

aber ein Gruppen-Homomorphismus von (R+ , · ) nach (R+ , · ) definiert: f (x + y) = ur x = 1 = y , aber f (xy) = (xy)2 = x2 y 2 = (x + y)2 = x2 + y 2 = f (x) + f (y) z.B. f¨ + f (x)f (y) f¨ ur alle x, y ∈ R . lim : K −→ R ist ein Ring-Homomorphismus (siehe 1.4.5). n→∞

δ : D(D) −→ RD ist ein Gruppen-, jedoch kein Ring-Homomorphismus (siehe 2.2.1 und 2.2.2), aber immerhin linear , das heißt f¨ ur alle f, g ∈ D(D) und λ ∈ R ist δ(f + g) = δ(f ) + δ(g) und δ(λ · f ) = λ · δ(f ) . 2 ¨ Ubrigens: Bei Gruppen-Homomorphismen muss man ϕ(0) = 0 nicht fordern, weil das automatisch gilt: ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0) , also folgt 0 = ϕ(0) durch Addition mit dem Inversen von ϕ(0) bzgl. +“ . Dieses Argument funktioniert bei ” Ringen mit ϕ(1) statt ϕ(0) nicht, weil das Inverse von ϕ(1) bzgl. ·“ nicht existieren ” muss. Die Forderung ϕ(1) = 1 ist nicht u ussig, da zum Beispiel die Nullfunktion ¨berfl¨ ur alle ϕ : R −→ R , x −→ 0 zwar ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) und ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) f¨ a, b ∈ R erf¨ ullt, aber nicht ϕ(1) = 1 . Homomorphie-Eigenschaften werden an vielen Stellen dieses Buches nicht nur deswegen verwendet, weil sie interessant und sch¨on sind, sondern auch, weil sie sehr n¨ utzlich sind. Das Schema ist dabei immer das gleiche: Wenn a, b ∈ G gegeben sind, dann kann man ϕ(a ∗ b) auf zwei Arten berechnen: Entweder man berechnet zuerst a ∗ b und danach ϕ(a ∗ b) , oder man berechnet zuerst ϕ(a) und ϕ(b) und danach ϕ(a)  ϕ(b) ; die Ergebnisse sind gleich, wenn ϕ ein Homomorphismus ist. 2

Beispiel 2.6.22. Es w¨ are ungeschickt, lim 2nn2+5 direkt mit Hilfe der Definition n→∞ des Grenzwertes zu berechnen. Daher zerlegt man den Bruch in seine Bestandteile und benutzt, dass lim ein Ring-Homomorphismus von (K, + , · ) nach (R, + , · ) n→∞ ist:   2n2 + 5 1 1 lim = lim 2 + 5 · · n→∞ n→∞ n2 n n     1 1 · lim = lim (2) + lim (5) · lim n→∞ n→∞ n→∞ n n→∞ n = 2+5·0·0 = 2 , 2   Beispiel 2.6.23. Es w¨ are ungeschickt, x2 + 5x + 7 direkt mit Hilfe der Definition der Ableitung zu berechnen. Man benutzt daher, dass die Ableitung (. . .) ein linearer Homomorphismus ist (s. 2.6.21):   2 x + 5x + 7 = (x2 ) + 5(x) + (7) = 2x + 5 . 2 siehe Beispiel 1.4.7.



Beispiel 2.6.24. In Abschnitt 1.7 wird der nat¨ urliche Logarithmus (mit Hilfe konvergenter Folgen) konstruiert, um Gleichungen wie 3x = 5 zu l¨osen. Die entscheidende Idee f¨ ur diese Konstruktion wird am Anfang des Abschnitts aus der Homomorphie-Eigenschaft g(2) · g(4) = 32 · 34 = 32+4 = g(2 + 4)

(mit g(x) = 3x )

¨ 2.6. Uber die Sprache der Ringe

131

entwickelt: Wenn f den Exponenten zur Basis 3 liefern soll, f (3x ) = x , dann ist f die Umkehrung von g , und mit a := g(2) und b := g(4) folgt     f (ab) = f g(2)g(4) = f g(2 + 4) = 2 + 4 = f (a) + f (b) . In Lemma 1.7.1 stellt sich heraus, dass Funktionen f : R+ −→ R mit der Eigenschaft, dass f (ab) = f (a) + f (b) f¨ ur alle a, b ∈ R+ gilt, geeignet sind, Gleichungen osen. Im Anschluss an Lemma 1.7.1 wird daher ausder Form ax = b nach x aufzul¨ dr¨ ucklich nach einer Funktion mit f (ab) = f (a)+f (b) gesucht. Diese HomomorphieEigenschaft wird auch immer wieder benutzt, um weitere Eigenschaften des Logarithmus nachzuweisen: So kann man zum Beispiel aus Stetigkeit und Ableitung an der Stelle 1 mit Hilfe der Homomorphie-Eigenschaft sehr leicht auf Stetigkeit und Ableitung an allen anderen Stellen schließen (siehe 1.7.6 und 2.2.8). 2 Beispiel 2.6.25. Beim Arkustangens in Abschnitt 1.8 werden beinahe“ Homo” morphismen benutzt. Es ist arctan(c0 ) := lim 2n cn , wobei cn+1 := f (cn ) , f (x) := √ n→∞

In Lemma 1.8.6 wird   x+y f (x) + f (y) f = 1 − xy 1 − f (x)f (y) gezeigt. Mit x ∗ y :=

x+y 1−xy

x . 1 + x2 + 1

f¨ ur alle x, y ∈ R mit xy < 1

erhalten wir

f (x ∗ y) = f (x) ∗ f (y) f¨ ur alle x, y ∈ R mit xy < 1 , das heißt, f ist beinahe“ ein Homomorphismus (die Einschr¨ankung xy < 1 ist ” leider notwendig). Mit dieser Eigenschaft von f wird in 1.8.7 das Additionstheorem des Arkustangens bewiesen, der damit beinahe“ zu einem Homomorphismus von ” (R, ∗) nach (R, +) wird: arctan(x ∗ y) = arctan(x) + arctan(y) f¨ ur alle x, y ∈ R mit xy < 1 . Diese fast-Homomorphie-Eigenschaft“ wird auch benutzt, um weitere Eigenschaf” ten des Arkustangens nachzuweisen: So kann man zum Beispiel aus Stetigkeit und Ableitung an der Stelle 0 mit Hilfe der fast-Homomorphie-Eigenschaft“ sehr leicht ” auf Stetigkeit und Ableitung an allen anderen Stellen schließen (siehe 1.8.9 und 2.2.9). 2 Homomorphismen eignen sich also hervorragend zum Rechnen und Argumentieren. Das trifft insbesondere f¨ ur bijektive Homomorphismen zu: Mit ihnen kann man erkennen, dass die Gruppen, zwischen denen sie vermitteln, im Wesentlichen ” gleich“ sind, obwohl sie m¨ oglicherweise sehr verschieden aussehen. Stellen Sie sich einmal vor, man setzt jeder Zahl einen Hut auf, also ˆ1, ˆ2, ˆ3, . . . , und macht einen Kreis um das Pluszeichen, also ⊕ , rechnet sonst aber genauso wie zuvor: ˆ1 ⊕ ˆ3 = ˆ4

132

Kapitel 2. Ableitung

und so weiter. Auf diese Weise erh¨ alt man nichts Neues, außer dass die Rechnungen etwas anders aussehen. Man erh¨ alt auch nichts Neues, wenn man, statt einem Hut, links neben die Zahl so eine komische Schlangenlinie ϕ“ setzt und das Ganze noch ” mit zwei B¨ogen (“ und )“ verziert: ϕ(1), ϕ(2), ϕ(3), . . . . Dann sehen die Rech” ” nungen eben so aus: ϕ(1) ⊕ ϕ(3) = ϕ(4) = ϕ(1 + 3) und so weiter. Statt der Gruppe (R, +) haben wir dann die Gruppe (R, ⊕) vor uns, wobei R := {ϕ(x) | x ∈ R} . Wahrscheinlich wird jeder sofort sagen, dass (R, +) und (R, ⊕) zwar verschieden aussehen, in Wahrheit aber doch gleich“ sind, da jedem x ∈ R genau ein ϕ(x) ∈ R ” entspricht und umgekehrt, und da man in beiden Mengen gleich rechnet, denn ϕ(x) ⊕ ϕ(y) = ϕ(x + y) . Wahrscheinlich wird aber nicht jeder sofort sagen, dass (R, +) und (R+ , · ) gleich“ sind: Alle reellen Zahlen sind doch etwas anderes als nur die positiven ” reellen Zahlen, und die Addition ist etwas anderes als die Multiplikation! Doch in Wahrheit sind wir jetzt in der gleichen Situation wie zuvor, wenn wir ϕ“ durch ” die e-Funktion exp : R −→ R+ ersetzen: exp ist bijektiv, das heißt jedem x ∈ R + entspricht genau ein exp(x) ∈ R und umgekehrt, und in beiden Mengen rechnet man mittels exp gleich: exp(x) · exp(y) = exp(x + y) . urlich etwas Wenn man alle speziellen Eigenschaften vergleicht, dann ist R+ nat¨ anderes als R , genauso wie ˆ 3“ etwas anderes ist als 3“. Aber in gewisser Hinsicht, ” ” das heißt wenn man bestimmte Merkmale außer Acht l¨asst, dann sind sie im We” sentlichen gleich“ (je nachdem, was man als wesentlich ansieht). Das pr¨azisieren wir mit dem Begriff isomorph : Definition 2.6.26. Ein Isomorphismus von Gruppen bzw. Ringen ist ein bijektiver Homomorphismus von Gruppen bzw. Ringen. Gruppen bzw. Ringe G und H nennt man isomorph zueinander, wenn es einen Isomorphismus ϕ : G −→ H gibt. 2 ¨ Ubrigens ist die Umkehrung ϕ−1 von einem Isomorphismus ϕ : G −→ H immer ¨ ein Isomorphismus ϕ−1 : H −→ G (Ubung!). Beispiel 2.6.27. exp : R −→ R+ ist ein Isomorphismus zwischen den Gruppen (R, +) und (R+ , · ) , mit Umkehrung ln : R+ −→ R . Das kann man auch praktisch verwenden: Angenommen, eine Maschine wurde bereits so programmiert, dass sie addieren kann. Mit Hilfe von exp und ln k¨ onnte ihr dann sehr schnell auch das Multiplizieren beigebracht werden: Da ln : R+ −→ R ein Homomorphismus ist, gilt ln(a · b) = ln(a) + ln(b) , und da exp die Umkehrung von ln ist, folgt   a · b = exp ln(a) + ln(b) f¨ ur alle a, b ∈ R+ . Das Multiplizieren kann also mit ln und exp auf das Addieren zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Das wurde zum Beispiel auch beim Rechenschieber benutzt: Zwei Zahlen kann man mit einem Lineal addieren, indem man zwei Strecken entsprechender L¨angen aneinander legt; und mit einer logarithmischen Skala erh¨alt man eine Zuordnung a −→ ln(a) . 2 Beispiel 2.6.28. Die Gruppen (Q, +) und (Q+ , · ) sind nicht isomorph zueinander. Annahme: Es gibt einen Isomorphismus ϕ : Q −→ Q+ . Dann gibt es ein a ∈ Q mit

¨ 2.6. Uber die Sprache der Ringe

133

ϕ(a) = 2 , weil ϕ bijektiv ist. Wegen a2 ∈ Q folgt       ϕ a2 · ϕ a2 = ϕ a2 + a2 = ϕ(a) = 2 ,   das heißt ϕ a2 ∈ Q+ ist eine Quadratwurzel von 2, im Widerspruch zu 1.1.4. ¨ Ubrigens zeigt dieses Beispiel, dass man mit einem Rechenschieber auch (n¨aherungsweise) Wurzeln ziehen kann: Dem Halbieren in (R, +) entspricht verm¨oge 2 exp : R −→ R+ das Wurzelziehen in (R+ , · ) . Beispiel 2.6.29. Nach 2.6.34 sind Ca (D) und Da,0 (D) als Gruppen zueinander isomorph. Nat¨ urlich sind sie nicht als Ringe zueinander isomorph, da Da,0 (D) kein Ring ist (es fehlt die Eins“). 2 ” Es mag vielleicht u ¨berraschen, dass auch die drei folgenden Gruppen im We” sentlichen gleich sind“: Die Ebene, die Menge der Fibonacci-Folgen und die Menge aller Schwingungen eines Federpendels. Dazu m¨ ussen wir diese Mengen zun¨achst mit einer Gruppenstruktur versehen (d.h. eine Verkn¨ upfung definieren): Die Punkte einer Ebene kann man bez¨ uglich eines Koordinatensystems durch ihre Koordinaten (x1 , x2 ) ∈ R2 festlegen, das heißt wir identifizieren eine Ebene mit R2 . In R2 wird durch (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 )

f¨ ur alle (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2

eine Verkn¨ upfung definiert (die u ¨bliche Vektor-Addition). Damit ist (R2 , +) eine ¨ abelsche Gruppe (Ubung!). Die Menge der Fibonacci-Folgen (siehe 1.2.3) ist ur alle k ∈ N } . Fib := { (xn )n ∈ RN | xk+2 = xk+1 + xk f¨ ¨ Mit der u ¨blichen Addition von Folgen ist (Fib, +) eine abelsche Gruppe (Ubung!). Lemma 2.6.30. Die Funktion ϕ : Fib −→ R2 , (xn )n −→ (x1 , x2 ) ist ein GruppenIsomorphismus. Beweis. ϕ ist ein Homomorphismus, da   = ϕ (xn )n + (yn )n = =

f¨ ur alle (xn )n , (yn )n ∈ Fib gilt:   ϕ (xn + yn )n (x1 + y1 , x2 + y2 ) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 )     = ϕ (xn )n + ϕ (yn )n .

ϕ ist bijektiv, da ψ : R2 −→ Fib , (x1 , x2 ) −→ (xn )n mit xk+2 := xk+1 + xk f¨ ur alle k ∈ N (rekursive Definition!) eine Umkehrung von ϕ ist (vergleiche 1.2.3).

2

134

Kapitel 2. Ableitung

Bewegungen, die entlang einer Geraden verlaufen, werden durch Funktionen f : R −→ R , x −→ f (x) beschrieben, wobei x die Zeit und f (x) der Ort ist, an dem sich ein K¨orper zum Zeitpunkt x befindet. F¨ ur die Bewegung eines Federpendels gilt die Differentialgleichung f  = −k2 · f (siehe 2.3.12), das heißt die Menge aller Bewegungen eines Federpendels wird durch die Menge Fed := { f ∈ D2 (R) | f  = −k2 · f } beschrieben, wobei k ∈ R und D 2 (R) die Menge aller zweimal differenzierbaren Funktionen f : R −→ R bezeichnet. (Nat¨ urlich gibt es noch physikalische Einschr¨ankungen: Federn k¨ onnen sich nicht beliebig dehnen, die Lichtgeschwindigkeit kann nicht u ¨berschritten werden, . . . ) Mit der u ¨blichen Addition von Funktionen ¨ ist (Fed , +) eine abelsche Gruppe (Ubung!). Lemma 2.6.31. Die Funktion ϕ : Fed −→ R2 , f −→ (f (0), f  (0)) ist ein GruppenIsomorphismus. Beweis. ϕ ist ein Homomorphismus, da f¨ ur alle f, g ∈ Fed gilt:   ϕ f + g = (f (0) + g(0), f  (0) + g  (0)) = (f (0), f  (0)) + (g(0), g  (0)) =

ϕ(f ) + ϕ(g) .

ϕ ist nach 2.3.12 bijektiv: F¨ ur alle (a, b) ∈ R2 gibt es ein f ∈ Fed mit ϕ(f ) = (a, b) , n¨amlich f (x) = a · cos(kx) + kb sin(kx) , und f ist durch (a, b) ∈ R2 eindeutig bestimmt. 2 ¨ Ubrigens: Wer bereits mit Vektorr¨ aumen vertraut ist, der kann jetzt leicht zeigen, dass R2 , Fib und Fed nicht nur als Gruppen, sondern sogar als Vektorr¨aume zueinander isomorph sind. Die zun¨ achst un¨ ubersichtlichen Mengen Fib und Fed hat man dann mit nur zwei Basisvektoren im Griff. Definition 2.6.32. Ein (reeller) Vektorraum ist ein Tripel (V, + , · ) , wobei (V, +) eine abelsche Gruppe und · : R × V −→ V, (λ, v) −→ λv eine Funktion ist mit 1v = v , λ(μv) = (λμ)v , λ(v +w) = λv +λw , (λ+μ)v = λv +μv f¨ ur alle λ, μ ∈ R und v, w ∈ V . Die Funktion ·“ wird auch skalare Multiplikation genannt. Eine Funktion ” ϕ : V −→ W , wobei V und W Vektorr¨ aume sind, heißt linear (oder VektorraumHomomorphismus) , wenn f¨ ur alle v, w ∈ V und λ ∈ R gilt: ϕ(v + w) = ϕ(v) + ϕ(w) und ϕ(λv) = λϕ(v) . 2 Zum Beispiel ist RD f¨ ur jede Menge D ein Vektorraum. Jede nicht leere Teilmenge U eines Vektorraums V ist selbst wieder ein Vektorraum, wenn v + w ∈ U und λv ∈ U f¨ ur alle v, w ∈ U und λ ∈ R ; in diesem Fall heißt U auch Untervektorraum ¨ von V . Fib und Fed sind Untervektorr¨ aume von RN bzw. RR . (Ubung!) Zum Abschluss unseres R¨ uckblicks auf die ersten beiden Kapitel des vorliegenden Buches setzen wir uns noch ein wenig mit einer grunds¨atzlichen Frage auseinander: Kann es f¨ ur R auch eine ganz andere Analysis“ geben? Genauer: Sind f¨ ur R auch ”

¨ 2.6. Uber die Sprache der Ringe

135

andere Grenzwert- und Ableitungsbegriffe als in 1.2.9 und 2.1.3 denkbar? Das ist nat¨ urlich eine sehr schwierige (und noch sehr vage formulierte) Frage. Gehen wir einmal davon aus, dass die Eigenschaften konvergent“ und diffe” ” renzierbar“ bereits definiert sind, und zwar so wie in 1.2.9 und 2.1.3; damit ist die Menge K der konvergenten Folgen und die Menge Da der bei a differenzierbaren Funktionen festgelegt. Gibt es dann noch verschiedene M¨oglichkeiten, Funktionen K −→ R und Da −→ R festzulegen, die man ebenfalls als Grenzwert“ und Ablei” ” tung“ bezeichnen k¨ onnte? Wir wissen bereits, dass lim : K −→ R ein Ring-Homomorphismus ist. Es n→∞ gibt  nat¨ urlich auch andere Ring-Homomorphismen ϕ : K −→ R , zum Beispiel ¨ Wir fragen uns also, welche zus¨atzlichen Eigenschaften ϕ (xn )n := x3 (Ubung!). lim eindeutig festlegen. n→∞ Am wichtigsten ist dabei die Monotonie : Eine Funktion ϕ : K −→ R heißt monoton bez¨ uglich

sch

”

≤ “, wenn f¨ ur alle (xn )n , (yn )n ∈ K gilt: sch

(xn )n ≤ (yn )n

    ϕ (xn )n ≤ ϕ (yn )n .

=⇒

Nach 1.4.2 ist lim monoton. n→∞ Fordert man jetzt noch, dass konstante Folgen gegen ihre Konstante konvergieren, dann ist lim eindeutig festgelegt. Wir benutzen dazu den Ring-Homomorphisn→∞ mus, der die konstanten Folgen liefert: κ : R −→ K , a −→ (a)n . Wenn man κ und lim hintereinander ausf¨ uhrt, dann erh¨alt man die Verkettung n→∞     lim ◦ κ = id , das heißt es gilt lim κ(a) = lim (a)n = a f¨ ur alle a ∈ R . Der n→∞ n→∞ n→∞ oglichkeit darstellt, die angegebenen folgende Satz zeigt, dass lim die einzige M¨ n→∞ Forderungen zu erf¨ ullen: sch

Satz 2.6.33. Es sei ϕ : K −→ R ein bez¨ uglich ≤ “ monotoner Gruppen-Homo” morphismus mit ϕ ◦ κ = id . Dann ist ϕ = lim . n→∞

/K R@ @@ @@ ϕ id @@   R κ

Beweis. Jede Folge in K l¨ asst sich in der Form (a)n +(xn )n schreiben, wobei a∈ R ,  (xn )n → 0 und lim (a)n + (xn )n = a . Wir m¨ ussen also ϕ (a)n + (xn )n = a n→∞ zeigen.     Da ϕ ein Homomorphismus ist, folgt wegen ϕ (a)n = ϕ κ(a) = a         ϕ (a)n + (xn )n = ϕ (a)n + ϕ (xn )n = a + ϕ (xn )n .

136

Kapitel 2. Ableitung

  Wir m¨ ussen also nur noch ϕ (xn )n = 0 zeigen. Wegen (xn )n → 0 gilt sch

sch

κ(−) ≤ (xn )n ≤ κ()

f¨ ur alle  ∈ R+ ,

also folgt aus ϕ ◦ κ = id und aus der Monotonie von ϕ   ur alle  ∈ R+ , − = ϕ(κ(−)) ≤ ϕ (xn )n ≤ ϕ(κ()) =  f¨   und damit die Behauptung, da ϕ (xn )n ∈ R und 0 die einzige Zahl r ∈ R ist mit 2 − ≤ r ≤  f¨ ur alle  ∈ R+ . Auch die Ableitung δa : Da (D) −→ R , f −→ f  (a) kann man in der Sprache der Homomorphismen festlegen. Wie bereits erw¨ahnt, ist Da,0 (D) das von (x − a) erzeugte Hauptideal im Ring Ca (D) . Dabei gilt: Lemma 2.6.34. Es sei a ∈ D ⊆ R und ] a − δ , a + δ [ ∩ D ein Intervall mit mehr als einem Punkt f¨ ur ein δ > 0 . Dann ist μa : Ca (D) −→ Da,0 (D) , r −→ (x − a) · r ein bijektiver Gruppen-Homomorphismus. Beweis. μa ist bijektiv: Sei f ∈ Da,0 (D) . Nach Definition der Differenzierbarkeit gibt es ein r ∈ Ca (D) mit f (x) = (x − a) · r(x) f¨ ur alle x ∈ D , das heißt f = μa (r) . Dabei ist r eindeutig durch f bestimmt: Es seien r, r˜ ∈ Ca (D) mit f = (x − a) · r = (x − a) · r˜ ; f¨ ur x = a folgt sofort r(x) = r˜(x) , und r(a) = r˜(a) gilt wegen der Stetigkeit von r und r˜ . Außerdem ist μa ein Gruppen-Homomorphismus: r) μa (r + r˜) = (x − a) · (r + r˜) = (x − a) · r + (x − a) · r˜ = μa (r) + μa (˜ f¨ ur alle r, r˜ ∈ Ca (D) .

2

uhrt, Wenn man μa und δa hintereinander ausf¨  dann erh¨ a lt man die Verkettung δa ◦ μa =: ιa ; dabei ist ιa (r) = δa (μa (r)) = (x − a) · r (a) = r(a) , das heißt die Wirkung von ιa auf eine Funktion r besteht nur darin, a in r einzusetzen; man spricht daher auch von einem Einsetzungs-Homomorphismus“: ” Lemma 2.6.35. Es sei a ∈ D ⊆ R und T ein Teilring von RD . Dann ist ιa : T −→ R , f −→ f (a) ein Ring-Homomorphismus. Beweis. F¨ ur alle f, g ∈ T gilt ιa (f + g) = (f + g)(a) = f (a) + g(a) = ιa (f ) + ιa (g) ιa (f · g) = (f · g)(a) = f (a) · g(a) = ιa (f ) · ιa (g) . Die Eins“ im Ring T ist die konstante Funktion mit Wert 1, die wir ebenfalls mit ” 2 1“ bezeichnen; dabei gilt ιa (1) = 1 . ”

¨ 2.6. Uber die Sprache der Ringe

137

Fordert man außer δa ◦μa = ιa noch, dass die Ableitung konstanter Funktionen 0 ist, dann ist δa eindeutig festgelegt. Wir benutzen dazu den Ring-Homomorphismus κ : R −→ Da (D) , wobei κ(b) die konstante Funktion mit Wert b sein soll. Satz 2.6.36. Es sei a ∈ D ⊆ R und ] a − δ , a + δ [ ∩ D ein Intervall mit mehr als einem Punkt f¨ ur ein δ > 0 . Außerdem sei ϕ : Da (D) −→ R ein GruppenHomomorphismus mit ϕ ◦ κ = 0 und ϕ ◦ μa = ιa . Dann ist ϕ = δa . μa κ / Ca (D) Da (D) o R EE t EE t t EE ϕ tt tt ιa 0 EEE t t  " zt R

Beweis. Nach Definition der Ableitung kann jedes f ∈ Da (D) in der Form f (x) = b + (x − a) · r(x) geschrieben werden, wobei b ∈ R , r ∈ Ca (D) und δa (f ) = f  (a) = r(a) . Es ist also f = κ(b) + μa (r) und wir m¨ ussen ϕ(f ) = r(a) zeigen. Das folgt aber sehr schnell aus den angegebenen Voraussetzungen:   ϕ(f ) = ϕ κ(b) + μa (r) = ϕ(κ(b)) + ϕ(μa (r)) = 0 + r(a) . 2

Aufgaben ¨ 1. Uberpr¨ ufen Sie f¨ ur ∗ und  : R × R −→ R , x ∗ y := x · y 2 , x  y := 3 die Eigenschaften in 2.6.3. ¨ 2. Uberpr¨ ufen Sie f¨ ur + und ◦ : RR × RR −→ RR die Eigenschaften in 2.6.3. ¨ 3. Uberpr¨ ufen Sie f¨ ur + und × : R3 × R3 −→ R3 die Eigenschaften in 2.6.3. ur x = (x1 , x2 , x3 ) Dabei ist x × y := (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ) f¨ und y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . (Beachte: ד in x × y “ bedeutet etwas anderes ” ” als ד in R3 × R3“.) ” ” ¨ 4. Uberpr¨ ufen Sie f¨ ur ∪ und ∩ : P(D) × P(D) −→ P(D) (Vereinigungs- und Schnittmenge) die Eigenschaften in 2.6.3. Dabei ist P(D) die Potenzmenge von D, das heißt die Menge aller Teilmengen von D . Zum Beispiel ist P({1; 2}) = { {} , {1} , {2} , {1; 2} } . 5. Zeigen Sie: (R+ , · ) ist eine kommutative Gruppe. 6. Zeigen Sie: (R2 , + , · ) mit der Addition (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 ) und der Multiplikation (x1 , x2 ) · (y1 , y2 ) := (x1 y1 − x2 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ist ein K¨orper. (Das ist der K¨ orper der komplexen Zahlen.) √ √ 7. Zeigen Sie: Q[ 2 ] := { a + b 2 | a, b ∈ Q } ist mit der u ¨blichen Addition und Multiplikation ein K¨ orper.

138

Kapitel 2. Ableitung

8. Zeigen Sie: Die Menge R aller Polynomfunktionen ist mit der u ¨blichen Addition und Multiplikation ein Ring. D | f (a) = 0 } ist ein Ideal in RD . 9. Zeigen Sie: RD a,0 := { f ∈ R

10. Beschreiben Sie das von x3 erzeugte Hauptideal im Ring der Polynome. 11. Bestimmen Sie das kleinste Ideal I im Ring Z , das 4 und 6 enth¨alt. 12. Bestimmen Sie das kleinste Ideal I im Ring R der Polynome, das x − 1 und alt. x2 − 1 enth¨ 13. Es sei ϕ : R −→ S ein Ring-Homomorphismus. Zeigen Sie, dass ker(ϕ) := { x ∈ R | ϕ(x) = 0 } ein Ideal in R ist. F¨ ur welches ϕ ist ker(ϕ) gleich N bzw. Da,0 (D) ? 14. Zeigen Sie: Die Umkehrung von einem Isomorphismus ϕ : G −→ H ist ein Isomorphismus ϕ−1 : H −→ G . 15. Ist (Z, +) isomorph zu (Q, +) ? 16. Zeigen Sie: Fib ist als Gruppe isomorph zu ur alle x ∈ R }. Aff := { f ∈ RR | Es gibt m, t ∈ R mit f (x) = mx + t f¨ uglich ≤“ monotoner 17. Zeigen Sie: ϕ : K −→ R , (xn )n −→ x3 ist ein bez¨ ” Ring-Homomorphismus mit ϕ ◦ κ = id . (Vergleiche 2.6.33.)

Kapitel 3

Integral Das Integral

b

f einer Funktion f : D −→ R+ 0 mit [a , b] ⊆ D soll der Inhalt der

a

Fl¨ache sein, die im Bereich [a , b] zwischen Graph und x-Achse liegt (siehe Abbildung 3.1). Die Idee des Integrals wurde in Abschnitt 1.7 bereits benutzt, um den nat¨ urliy

a

b

x

Abbildung 3.1: Fl¨ ache zwischen Graph und x-Achse in [a , b] chen Logarithmus zu definieren: ln(b) ist der Fl¨acheninhalt

b

f mit f (x) = x−1 ;

1

dabei wurde ein spezielles N¨ aherungsverfahren verwendet, das nun verallgemeinert wird. In den ersten drei Abschnitten stehen folgende Fragen im Mittelpunkt: Bei welchen Funktionen ist es u ¨berhaupt sinnvoll, von einem Fl¨acheninhalt“ zu sprechen? ” Wie kann man einen solchen Begriff m¨ oglichst allgemein definieren? Welche grundlegenden Eigenschaften besitzt er? In Abschnitt 3.4 besprechen wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung , der einen engen Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral herstellt. Damit k¨ onnen wir alle konkreten Beispiele von Funktionen, die wir bisher betrachtet haben, auf x −→ 1 , x −→ x und x −→ x−1 zur¨ uckf¨ uhren. Außerdem kann man mit dem Hauptsatz viele Integrale sehr leicht berechnen. In 3.5 und 3.6 wird das Integral benutzt, um die Idee der Tangente zu verallgemeinern.

M. Moßburger, Analysis in Dimension 1, DOI 10.1007/978-3-8348-8633-0_3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

140

3.1

Kapitel 3. Integral

Treppenfunktionen

Die grundlegende Idee zur Berechnung von Integralen

b

f lautet: Wenn man [a , b] in

a

kleine Teilintervalle zerlegt, dann kann man f innerhalb dieser Teilintervalle jeweils durch eine konstante Funktion ann¨ ahern; dadurch entstehen Rechtecksfl¨achen, die man leicht berechnen und aufsummieren kann; kleinere Teilintervalle ergeben dabei bessere N¨aherungen f¨ ur das Integral. Beispiel 3.1.1. Es sei f (x) = x f¨ ur alle x ∈ R . Dann sollte

1

f nat¨ urlich

0

1 2

sein,

denn die zugeh¨ orige Fl¨ ache ist ein Dreieck mit Grundseite und H¨ohe 1. Das vorliegende Beispiel soll vor allem die oben angedeutete Idee erl¨autern: 0 1 2 Wir zerlegen [0 ; 1] durch 0 = m < m < m < ... < m m = 1 in m gleiche Teile, 1 . Als wobei m ∈ N (siehe Abbildung 3.2). Dann hat jedes Rechteck die Breite m i  i−1 i  i ahlen wir f m = m ; ein solches Rechteck H¨ohe des Rechtecks u ¨ber m ; m w¨ ur m = 4 hat dann den Fl¨ acheninhalt mi2 . Die Summe dieser Rechtecksfl¨achen ist f¨ 1 2 3 4 1 5 + + + = · (1 + 2 + 3 + 4) = . 16 16 16 16 16 8 Allgemein (siehe 1.4.11): m m

i 1 1 1

1 m(m + 1) = + . = i = · 2 2 2 m m m 2 2 2m i=1 i=1 1 2

Diese Summe konvergiert f¨ ur m → ∞ gegen m=4

y

y

1

2

. m = 16

1

1/m 1/m

1

x

1

Abbildung 3.2: N¨ aherungen des Integrals in Beispiel 3.1.1 Beispiel 3.1.2. Wir betrachten die Funktion f : R −→ R mit  1 f¨ ur x ∈ Q 2 f (x) := 1 f¨ ur x ∈ R \ Q .

x

3.1. Treppenfunktionen

141

Den zugeh¨origen Graphen (Abbildung 3.3) kann man eigentlich nur falsch zeichnen: Die Linie auf der H¨ ohe 12 hat in Wahrheit unendlich viele, unendlich kleine L¨ocher, n¨amlich f¨ ur alle x ∈ R \ Q ; genau dort hat dann die Linie auf der H¨ohe 1 ihre Punkte, sonst lauter L¨ ocher. y 1

1

x

Abbildung 3.3: Ein merkw¨ urdiger Graph (Beispiel 3.1.2) Ist es sinnvoll, von einer Fl¨ ache zwischen Graph und x-Achse zu sprechen? Wenn 1 wir f (was auch immer das bedeuten mag) nach der gleichen Methode wie in 0

Beispiel 3.1.1 berechnen, dann erhalten wir folgendes: Alle Zerlegungspunkte  liegen in Q , das heißt f mi ist stets 12 ; damit haben alle Rechtecke die H¨ohe 1 also ist f = 12 .

i m 1 , 2

0

Wenn wir aber Zerlegungspunkte in R \ Q w¨ahlen, dann entstehen Rechtecke 1 der H¨ohe 1. Damit k¨ onnte f also auch 1 sein. 2 0

Beispiel 3.1.2 wirft folgende Fragen auf: 1. Bei welchen Funktionen ist es u ¨berhaupt sinnvoll, von einem Fl¨acheninhalt“ ” zu sprechen? Solche Funktionen werden wir integrierbar“ nennen. ” b 2. Wenn f integrierbar“ ist: Wie soll f definiert werden? Insbesondere k¨onn” a ten verschiedene Zerlegungen von [a , b] zu verschiedenen Werten f¨ uhren. Diese Fragen werden wir schrittweise f¨ ur immer allgemeinere Funktionen kl¨aren: Zun¨achst f¨ ur konstante Funktionen, dann f¨ ur Treppenfunktionen (das sind abschnittsweise konstante Funktionen) und schließlich f¨ ur Funktionen, die man im Sinne von Riemann durch Treppenfunktionen ann¨ahern kann (siehe Definition 3.2.2). Konstante Funktionen f betrachten wir als integrierbar: Es gibt kaum Zweifel, b orige Fl¨ ache ein Rechteck ist. was f bedeuten soll, da die zugeh¨ a

142

Kapitel 3. Integral

Definition 3.1.3. Es sei [a , b] ⊆ D ⊆ R , f : D −→ R , c ∈ R und f (x) = c f¨ ur alle x ∈ ]a , b[ . Dann ist b

f :=

a

b

b

f (x)dx :=

a

c := c · (b − a)

a

2

das Integral von f in [a , b] . Zum Beispiel ist

7

2 = 10 und

2

9 1

−3 = −24 .

Man beachte: Die Werte f (x) f¨ ur x ∈ / ]a , b[ spielen keine Rolle f¨ ur das Integral. Außerdem kann c negativ sein. Das Integral enth¨alt also zwei Informationen: Sein Betrag ist ein Fl¨ acheninhalt, und sein Vorzeichen h¨angt davon ab, ob der Graph von f oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt. Unser Integralbegriff ist bisher noch sehr einfach. Wir formulieren aber trotzdem seine wichtigsten Eigenschaften: Sie dienen uns als roter Faden bis zum Ende von Abschnitt 3.2. Es sei Kons[a , b] die Menge aller Funktionen f : [a , b] −→ R , die im offenen Intervall ]a , b[ konstant sind. Kons[a , b] ist eine Teilmenge von R[a,b] , die alle Funktionen f : [a , b] −→ R enth¨ alt. Es gilt sogar: Lemma 3.1.4. Kons[a , b] ist ein Untervektorraum und Teilring von R[a,b] , das heißt es gilt: 1. Die konstante Funktion 1 liegt in Kons[a , b] ; 2. λ ∈ R und f, g ∈ Kons[a , b]

=⇒

λf , f + g , f · g ∈ Kons[a , b] .

¨ Beweis. Ubung!

2

Unser Integral kann als Funktion mit Definitionsmenge Kons[a , b] und Zielmenge b R betrachtet werden: In (. . .) wird ein Element f ∈ Kons[a , b] eingesetzt; als Wert a

entsteht dann die Zahl

b

f . Wer bisher nur Zahlen in Funktionen eingesetzt hat,

a

dem mag es ungewohnt erscheinen, dass man auch Funktionen in (andere) Funktionen einsetzen kann. Dahinter verbirgt sich aber kein großes Geheimnis: Wurden bisher Zahlen auf Zahlen zugeordnet, so werden jetzt eben Funktionen auf Zahlen zugeordnet. (Eine Funktion, wie etwa das Integral, in die man Funktionen einsetzt, wird manchmal auch als Operator oder Funktional bezeichnet.) Beispiel 3.1.5. Sei [a , b] = [1 ; 5] und fk : [1 ; 5] −→ R konstant mit fk (x) = k . 5 5 Die Funktion : Kons[1 ; 5] −→ R , f −→ (f ) hat eine recht einfache Zuordnungs1

1

5 vorschrift; z.B. wird die Funktion f3 auf die Zahl (f3 ) = 3·4 = 12 zugeordnet, oder die Funktion f7 auf die Zahl

5 1

1

5 (f7 ) = 7 · 4 = 28 ; allgemein: fk −→ (fk ) = k · 4 . 2 1

3.1. Treppenfunktionen

143

Lemma 3.1.6. Die Funktion

b

: Kons[a , b] −→ R , f −→

a

noton, das heißt f¨ ur alle λ ∈ R und f, g ∈ Kons[a , b] gilt 1.

b

b

f ist linear und mo-

a

b b b b (λf ) = λ (f ) und (f + g) = (f ) + (g) .

a

a

2. f ≤ g

a

b

=⇒

(f ) ≤

a

a

b

a

(g) .

a

Dabei bedeutet f ≤ g , dass f (x) ≤ g(x) f¨ ur alle x ∈ [a , b] . Beweis. Es sei λ ∈ R und f, g ∈ Kons[a , b] . Dann gibt es c, d ∈ R mit f (x) = c und g(x) = d f¨ ur alle x ∈ ]a , b[ . Somit: b

b (λf ) = (λc)(b − a) = λ · c(b − a) = λ (f )

a

b

a

(f + g) = (c + d)(b − a) = c(b − a) + d(b − a) =

a

b

b (f ) + (g)

a

b

(f ) = c(b − a) ≤ d(b − a) =

a

b

a

(g) , wenn c ≤ d

a

(bei einem Intervall [a , b] ist stets a ≤ b , also b − a ≥ 0).

2

b b b Im Allgemeinen ist (f · g) = (f ) · (g) , zum Beispiel a

5 0

das heißt

b

a

a

(2 · 3) = 2 · 3 · 5 = 2 · 5 · 3 · 5 =

5 0

5 (2) · (3) , 0

: Kons[a , b] −→ R ist kein Ring-Homomorphismus (siehe 2.6.20).

a

Als n¨achstes betrachten wir Treppenfunktionen . Das sind Funktionen, die abschnittsweise konstant sind, wie etwa die Funktion in Abbildung 3.4. Definition 3.1.7. Es sei [a , b] ein Intervall. 1. Eine Zerlegung von [a , b] ist eine endliche Folge (x0 , x1 , . . . , xm ) , sodass a = x0 < x1 < . . . < xm = b . 2. Eine Funktion t : [a , b] −→ R heißt Treppenfunktion , wenn es eine Zerlegung (x0 , x1 , . . . , xm ) von [a , b] gibt, sodass f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , m} gilt: t ist in ] xi−1 , xi [ konstant. Trep[a , b] sei die Menge aller Treppenfunktionen t : [a , b] −→ R . 2

144

Kapitel 3. Integral

y

a = x0

x1 x2

x3

x4 = b

x

Abbildung 3.4: Treppenfunktion mit Zerlegung (x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ) Zum Beispiel sind (1 ; 2 ; 83 ; 5) und (1 ; 5) Zerlegungen von [ 1 ; 5 ] , aber (1 ; 2 ; 2 ; 5) und (1 ; 3 ; 2 ; 5) sind keine Zerlegungen. [a , b] hat im Fall a = b nur eine einzige Zerlegung, n¨amlich (a) ; dabei ist m = 0 , a = x0 = b und {1, . . . , m} = {} . , b) Nicht jede Zerlegung passt zu jeder Treppenfunktion. Zum Beispiel ist (a, a+b 2 f¨ ur a < b zwar eine Zerlegung von [a , b] , aber keine Zerlegung f¨ ur die Treppenfunktion in Abbildung 3.4. Daher legen wir fest: Definition 3.1.8. Es sei t : [a , b] −→ R eine Treppenfunktion. Eine Zerlegung f¨ ur t ist eine Zerlegung (x0 , x1 , . . . , xm ) von [a , b] , sodass f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , m} gilt: t 2 ist in ] xi−1 , xi [ konstant. Nach 3.1.4 ist Kons[a , b] ein Untervektorraum und Teilring von R[a,b] . Das gilt auch f¨ ur Trep[a , b] . Zum Beweis ben¨ otigen wir den Begriff der Verfeinerung und drei einfache Hilfss¨ atze. Definition 3.1.9. Es seien Z1 = (x0 , x1 , . . . , xm ) und Z2 = (y0 , y1 , . . . , yn ) Zerlegungen von [a , b] . Z2 heißt feiner als Z1 , wenn {x0 , x1 , . . . , xm } ⊆ {y0 , y1 , . . . , yn } . Eine gemeinsame Verfeinerung von Z1 und Z2 ist eine Zerlegung von [a , b] , die feiner als Z1 und Z2 ist. 2 Eine feinere Zerlegung entsteht also, wenn man weitere Zerlegungspunkte hinzunimmt. Zum Beispiel ist (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5) eine gemeinsame Verfeinerung von (1 ; 2 ; 5) und (1 ; 4 ; 5) . Lemma 3.1.10. Zu je zwei Zerlegungen eines Intervalls gibt es stets eine gemeinsame Verfeinerung. Beweis. Es seien (x0 , x1 , . . . , xm ) und (y0 , y1 , . . . , yn ) Zerlegungen von [a , b] . Wenn man die Zahlen in {x0 , x1 , . . . , xm , y0 , y1 , . . . , yn } der Gr¨oße nach anordnet (wobei keine Zahl doppelt verwendet wird), dann erh¨alt man eine gemeinsame Verfeinerung. 2 Lemma 3.1.11. Es seien Z1 = (x0 , x1 , . . . , xm ) und Z2 = (y0 , y1 , . . . , yn ) Zerlegungen von [a , b] , wobei Z2 feiner als Z1 ist, und j ∈ {1, . . . , n} . Dann gibt es ein i ∈ {1, . . . , m} mit ] yj−1 , yj [ ⊆ ] xi−1 , xi [ .

3.1. Treppenfunktionen

145

Beweis. Z1 ist eine Zerlegung von [a , b] , und yj−1 ∈ [a , b[ , also existiert ein i ∈ {1, . . . , m} mit yj−1 ∈ [xi−1 , xi [ . Es gibt ein k mit xi = yk , da Z2 feiner als Z1 ist. Damit ist yj−1 < yk , also yj ≤ yk . 2 Insgesamt folgt xi−1 ≤ yj−1 < yj ≤ xi , und damit die Behauptung. ur eine TreppenfunkLemma 3.1.12. Es sei Z = (x0 , x1 , . . . , xm ) eine Zerlegung f¨ tion t : [a , b] −→ R . Dann ist jede feinere Zerlegung von [a , b] ebenfalls eine Zerlegung f¨ ur t . Beweis. Es sei Z2 = (y0 , y1 , . . . , yn ) feiner als Z1 und j ∈ {1, . . . , n} . Zu zeigen: t ist in ] yj−1 , yj [ konstant. Nach Lemma 3.1.11 gibt es ein i ∈ {1, . . . , m} mit ] yj−1 , yj [ ⊆ ] xi−1 , xi [ . Z1 ist eine Zerlegung f¨ ur t , also ist t in ] xi−1 , xi [ konstant; damit ist t auch in ] yj−1 , yj [ konstant. 2 Lemma 3.1.13. Trep[a , b] ist ein Untervektorraum und Teilring von R[a,b] , das heißt es gilt: 1. Die konstante Funktion 1 liegt in Trep[a , b] ; 2. λ ∈ R und s, t ∈ Trep[a , b]

=⇒

λt , s + t , s · t ∈ Trep[a , b] .

Beweis. Die Aussagen 1 ∈ Trep[a , b] und λt ∈ Trep[a , b] sind unmittelbar klar. Es ur s und Z2 eine Zerlegung f¨ ur t . Nach seien s, t ∈ Trep[a , b] , Z1 eine Zerlegung f¨ 3.1.10 gibt es eine gemeinsame Verfeinerung Z3 = (x0 , x1 , . . . , xm ) , die nach 3.1.12 eine Zerlegung f¨ ur s und f¨ ur t ist. Somit: F¨ ur alle i ∈ {1, . . . , m} sind s und t in ] xi−1 , xi [ konstant. Aber dann sind auch s + t und s · t in ] xi−1 , xi [ konstant, das heißt s + t und s · t liegen in Trep[a , b] . 2 Treppenfunktionen betrachten wir ebenfalls als integrierbar: Die zugeh¨origen Fl¨achen setzen sich aus endlich vielen Rechtecken zusammen; und f¨ ur die einzelnen xi t definiert. Rechtecke haben wir in 3.1.3 bereits ein Integral xi−1

Definition 3.1.14. Sei Z = (x0 , x1 , . . . , xm ) eine Zerlegung f¨ ur eine Treppenfunktion t : [a , b] −→ R . Dann ist  t := Z

xi m

t

i=1 x i−1

2

das Integral von t bez¨ uglich Z . F¨ ur den Fall a = b in 3.1.14 ist m = 0 und



0 i=1

Z

t = 0.

. . . = 0 (siehe 1.4.11), also

146

Kapitel 3. Integral y 1

1/4 1/4

x

1

Abbildung 3.5: Treppenfunktion in Beispiel 3.1.15 Beispiel 3.1.15. F¨ ur i ∈ {1; 2; 3; 4} sei (siehe Abbildung 3.5)   ur x ∈ i−1 , 4i . t(1) := 1 und t(x) := 4i f¨ 4 ur t und Dann ist t eine Treppenfunktion, Z := (0 , 14 , 24 , 34 , 1) eine Zerlegung f¨ 1



4 t =

Z

0

2

1 + 4

4

3

2 + 4

1 4

4

1

3 + 4

2 3 4 5 1 + + + = . 16 16 16 16 8

1 =

2 4

3 4

2

Man beachte, dass das Integral in 3.1.14 ausdr¨ ucklich bez¨ uglich einer Zerlegung definiert wird. Beispiel 3.1.2 zeigt, dass man sehr sorgf¨altig pr¨ ufen sollte, ob Integrale eventuell von Zerlegungen abh¨ angen. Satz 3.1.18 zeigt, dass das Integral einer Treppenfunktion t nicht von den Zerlegungen f¨ ur t abh¨angt. Zun¨achst zwei Hilfss¨atze: Lemma 3.1.16. Es seien Z1 = (x0 , x1 , . . . , xm ) und Z2 Zerlegungen f¨ ur eine Treppenfunktion t : [a , b] −→ R , wobei Z aus Z durch Hinzunahme genau einer wei2 1   teren Zahl y entsteht. Dann gilt Z1 t = Z2 t . Beweis. Nach Voraussetzung gibt es ein k ∈ {1, . . . , m} mit Z2 = (x0 , . . . , xk−1 , y, xk , . . . , xm ) , also ist ⎛



t = ⎝ Z2

k−1

xi

⎞ t⎠ +

i=1 x i−1

Da t in ]xk−1 , xk [ konstant ist, folgt

y t + xk−1

y

y

x k

t +

xk−1

tung.

xk

y

⎛ t + ⎝

m

xi

⎞ t⎠ .

i=k+1 x i−1

t =

x k xk−1

t , und damit die Behaup2

3.1. Treppenfunktionen

147

Lemma 3.1.17. Es seien Z1 = (x0 , x1 , . . . , xm ) und Z2 = (y0 , y1 , . . . , yn ) Zerlegungen ur eine Treppenfunktion t : [a , b] −→ R , wobei Z2 feiner als Z1 ist. Dann  f¨ gilt Z1 t = Z2 t . Beweis. Da Z2 feiner als Z1 ist, gilt m ≤ n . Im Fall m = n ist Z1 = Z2 und die Behauptung klar. Im Fall m < n gibt es eine endliche Folge von Zerlegungen Z1 = Z1,0 , Z1,1 , Z1,2 , . . . , Z1,k = Z2 , sodass Z1,i+1 aus Z1,i durch Hinzunahme genau einer weiteren Zahl entsteht. Nach 3.1.16 folgt     t = Z1,1 t = Z1,2 t = . . . = Z1,k t , Z1,0 2

und damit die Behauptung.

Satz 3.1.18. ur die Treppenfunktion t : [a , b] −→ R .  Z1 , Z2 Zerlegungen f¨  Es seien Dann gilt Z1 t = Z2 t . Beweis. Nach 3.1.10 gibt es eine gemeinsame Verfeinerung Z3 , die nach 3.1.12 ebenfalls eine Zerlegung f¨ ur t ist. Mit 3.1.17 folgt    t = Z3 t = Z2 t . 2 Z1 Das Integral in Definition 3.1.14 h¨ angt also nicht von der Wahl einer Zerlegung f¨ ur t ab. Daher legen wir fest: Definition 3.1.19. Es sei t : [a , b] −→ R eine Treppenfunktion und Z eine Zerlegung f¨ ur t . Dann ist  b b t := t(x)dx := Z t a

a

2

das Integral von t .

Auch f¨ ur das Integral von Treppenfunktionen gelten folgende Rechenregeln (vergleiche 3.1.6): Lemma 3.1.20. Die Funktion

b

: Trep[a , b] −→ R , t −→

a

ton, das heißt f¨ ur alle λ ∈ R und s, t ∈ Trep[a , b] gilt 1.

b

b b b b (λt) = λ (t) und (s + t) = (s) + (t) ;

a

2. s ≤ t

a

=⇒

a

b a

(s) ≤

a

b a

(t) .

a

b a

t ist linear und mono-

148

Kapitel 3. Integral

Beweis. Es sei λ ∈ R , s, t ∈ Trep[a , b] und Z = (x0 , x1 , . . . , xm ) eine gemeinsame Zerlegung f¨ ur s und t (die nach 3.1.10 und 3.1.12 existiert). Dann folgt mit 3.1.6: b (λt) =

xi m

(λt) =

i=1 x i−1

a

b (s + t) =

xi m

m

b

(s + t) =

(s) =

xi m

(s) ≤

(t) = λ

xi m

m

⎛ ⎝

b (t) = λ

i=1 x i−1

xi−1

i=1

i=1 x i−1

a

λ

i=1

i=1 x i−1

a

xi

xi

xi (s) +

xi−1

xi m

(t) a

⎞ (t)⎠ =

xi−1

b

b (s) +

a

(t) a

b (t) , wenn s ≤ t .

(t) =

i=1 x i−1

2

a

Eine weitere Rechenregel ist die sogenannte Intervall-Additivit¨ at : Lemma 3.1.21. Es sei a ≤ b ≤ c , t : [a , c] −→ R eine Treppenfunktion und t1 bzw. t2 die Einschr¨ ankung von t auf [a , b] bzw. [b , c] . c b c Dann ist (t) = (t1 ) + (t2 ) . a

a

b

¨ Beweis. Ubung!

2

In Zukunft werden wir statt

b

t1 (wie in 3.1.21) einfach

a

b

t schreiben:

a

Definition 3.1.22. Es sei [a1 , b1 ] ⊆ [a , b] , t : [a , b] −→ R eine Treppenfunktion b1 b1 ankung von t auf [a1 , b1 ] . Dann ist t := t1 . 2 und t1 die Einschr¨ a1

a1

Aufgaben 1. Beweisen Sie Lemma 3.1.4. 2. Widerlegen Sie:

f < g =⇒

b a

3. F¨ ur welche a, b, c, d ∈ R gilt

b a

b (f ) < (g) . a

b b (c · d) = (c) · (d) ? a

a

4. Bestimmen Sie Zerlegungen und Treppenfunktionen f¨ ur die Abbildungen 1.21 und 1.22 in Abschnitt 1.7.

3.1. Treppenfunktionen

149

5. Es sei Z[a , b] die Menge aller Zerlegungen von [a , b] . Z1 ≺ Z2“ soll bedeuten: ” Z2 ist feiner als Z1 . Zeigen Sie: (a) Z ≺ Z f¨ ur alle Z ∈ Z[a , b] . (b) Z1 ≺ Z2 und Z2 ≺ Z3 =⇒ Z1 ≺ Z3

f¨ ur Z1 , Z2 , Z3 ∈ Z[a , b] .

(c) ∀ Z1 , Z2 ∈ Z[a , b] ∃ Z3 ∈ Z[a , b] : Z1 ≺ Z3 und Z2 ≺ Z3 . (d) Im Fall a < b ∃ Z1 , Z2 ∈ Z[a , b] : weder Z1 ≺ Z2 noch Z2 ≺ Z1 . 6. Beweisen Sie Lemma 3.1.21. 7. F¨ ur f : [a , b] −→ R sei Sab (f ) :=

l

f (i) mit {k, . . . , l} = [a , b[ ∩ Z . Ist

i=k

Sab (. . .)

linear, monoton, Intervall-additiv, ein Ring-Homomorphismus? Beb b stimmen Sie Treppenfunktionen t mit Sab (t) = (t) bzw. Sab (t) = (t) . a

a

150

3.2

Kapitel 3. Integral

Riemann-Integral

Der Begriff des Riemann-Integrals kombiniert die Idee, die am Anfang von Abschnitt 3.1 angedeutet wurde, mit einer Idee, die auch bei Intervallschachtelungen verwendet wird. Zur Erinnerung: Eine Intervallschachtelung√ ist eine Folge von Inter, rn ] , und kann zum Beispiel benutzt werden, um 2 zu definieren. √ Dabei vallen [ln √ √ soll ln ≤ 2 ≤ rn gelten, aber nat¨ urlich kann man 2 nicht benutzen, um 2 zu definieren. Daher fordert man: 1. ln2 ≤ 2 ≤ rn2 f¨ ur alle n ∈ N ; 2. lim (rn − ln ) = 0 . n→∞ √ Dann ist 2 := lim ln = lim rn . n→∞

n→∞

b

f “ soll auch f¨ ur Funktionen f definiert ”a werden, die nicht notwendig Treppenfunktionen sind. Unsere Absicht ist, ein solches Integral durch zwei Folgen von Treppenfunktionen sn und tn einzugrenzen (denn b b b f“ ≤ tn . f¨ ur Treppenfunktionen kennen wir bereits ein Integral): sn ≤ ”a a a b b Nat¨ urlich kann man f “ nicht benutzen, um f “ zu definieren. Daher fordern ”a ”a wir (und denken dabei an die Monotonie des Integrals): Das u ¨bertragen wir auf Integrale:

ur alle n ∈ N ; 1. sn ≤ f ≤ tn f¨   b b 2. lim (tn ) − (sn ) = 0 , n→∞

a

a

wobei f ≤ g f¨ ur Funktionen f, g : D −→ R bedeutet: f (x) ≤ g(x) f¨ ur alle x ∈ D . b b b f “ := lim sn = lim tn denkbar. Mit dieser Idee sind zwei Dann w¨are ”a n→∞ a n→∞ a interessante Fragen verbunden: 1. F¨ ur manche f gibt es keine Folgen (sn )n und (tn )n mit den soeben genannten Eigenschaften (siehe Beispiel 3.2.1). Wie bekommt man die Menge aller f in den Griff, f¨ ur die geeignete (sn )n und (tn )n existieren? sn )n , (tn )n , (t˜n )n ; gilt 2. F¨ ur manche f gibt es mehrere geeignete Folgen (sn )n , (˜ b b b b dann immer lim sn = lim s˜n = lim tn = lim t˜n , oder muss man n→∞ a

n→∞ a

sich zur eindeutigen Festlegung von

n→∞ a

b ”a

n→∞ a

f “ noch etwas anderes u ¨berlegen?

Beispiel 3.2.1. Es sei f : R −→ R die Funktion in 3.1.2 und sn , tn : [0 ; 1] −→ R 1 1 Treppenfunktionen mit sn ≤ f ≤ tn . Dann ist sn ≤ 12 und tn ≥ 1 , denn 0

0

3.2. Riemann-Integral

151

jedes Intervall, das mehr als einen Punkt enth¨alt, enth¨alt sowohl rationale als auch 1 1 2 irrationale Zahlen. Damit kann (tn ) − (sn ) nicht gegen 0 konvergieren. 0

0

Wir untersuchen im Folgenden zun¨ achst die grundlegenden Eigenschaften der Menge aller Funktionen f , f¨ ur die es geeignete (sn )n und (tn )n gibt. Definition 3.2.2. Eine Funktion f : [a , b] −→ R heißt (Riemann-)integrierbar , wenn es zwei Folgen von Treppenfunktionen sn , tn : [a , b] −→ R gibt, sodass 1. sn ≤ f ≤ tn f¨ ur alle n ∈ N ; 2. lim

b

n→∞ a

(tn − sn ) = 0 .

I[a , b] sei die Menge der integrierbaren Funktionen f : [a , b] −→ R .

2

Beispiel 3.2.3. F¨ ur alle a ≤ b ist f : [a , b] −→ R , x −→ x integrierbar: Sei n ∈ N . F¨ u r i ∈ {1; 2; . . . ; n} sei (siehe Abbildung 3.6) und hn := b−a n ur x ∈ [a + (i − 1)hn , a + ihn [ . tn (b) := b und tn (x) := a + ihn f¨ tn ist eine Treppenfunktion mit Zerlegung (a, a + hn , a + 2hn , . . . , b) . Definiere sn durch sn (x) := tn (x) − hn f¨ ur alle x ∈ [a , b] . Dann ist sn ≤ f ≤ tn f¨ ur alle n ∈ N , und b b 2 (tn − sn ) = b−a = (b−a) → 0 f¨ ur n → ∞ . n n 2 a a y

y

tn

b

b sn

a+hn a

a a

a+hn

b

x

a

a+hn

b

x

Abbildung 3.6: Treppenfunktionen tn und sn in Beispiel 3.2.3 Satz 3.2.4. I[a , b] ist ein Untervektorraum von R[a,b] , das heißt I[a , b] ist nicht leer, und f¨ ur alle λ ∈ R und f, g ∈ I[a , b] sind λf und f + g in I[a , b] . Beweis. I[a , b] ist nicht leer, da konstante Funktionen integrierbar sind. Es sei λ ∈ R und f, g ∈ I[a , b] . Nach Definition gibt es Treppenfunktionen sn , tn , un , vn mit

152

Kapitel 3. Integral

1. sn ≤ f ≤ tn und un ≤ g ≤ vn f¨ ur alle n ∈ N ; 2. lim

b

n→∞ a

(tn − sn ) = 0 = lim

b

n→∞ a

(vn − un ) .

Dann gilt λsn ≤ λf ≤ λtn oder λsn ≥ λf ≥ λtn f¨ ur alle n ∈ N (je nach Vorzeichen von λ), und mit 3.1.20 folgt lim

b

n→∞ a

b (λtn − λsn ) = lim λ (tn − sn ) = 0 , n→∞

a

also λf ∈ I[a , b] . ur alle n ∈ N , und Außerdem ist sn + un ≤ f + g ≤ tn + vn f¨   b b b (tn − sn ) + (vn − un ) = 0 , lim (tn + vn − un − sn ) = lim n→∞ a

n→∞

a

a

also folgt f + g ∈ I[a , b] .

2

F¨ ur den Beweis, dass I[a , b] auch ein Teilring von R[a,b] ist, treffen wir einige Vorbereitungen: F¨ ur D ⊆ R und f : D −→ R werden durch   f (x) f¨ ur f (x) > 0 f (x) f¨ ur f (x) < 0 + − f (x) := und f (x) := 0 sonst 0 sonst Funktionen f + , f − : D −→ R definiert. y

y

1

1 x

1

1

x

Abbildung 3.7: sin+ und sin− Lemma 3.2.5. F¨ ur alle Funktionen f, g : D −→ R gilt: f ≤g

=⇒

f + ≤ g + und 0 ≤ g + − f + ≤ g − f .

Beweis. Es seien f, g : D −→ R Funktionen mit f ≤ g . In jedem Fall gilt f + ≤ g + : 1. Fall: f (x) > 0 . Dann ist f + (x) = f (x) und g + (x) = g(x) , also f + (x) ≤ g + (x) . 2. Fall: f (x) ≤ 0 . Dann ist f + (x) = 0 ≤ g + (x) .

3.2. Riemann-Integral

153

In jedem Fall gilt g + − f + ≤ g − f : 1. Fall: g(x) > 0 . Dann ist g + (x) = g(x) , also g + (x) − f + (x) ≤ g(x) − f (x) wegen f (x) ≤ f + (x) . 2. Fall: g(x) ≤ 0 . Dann ist f + (x) = g + (x) = 0 , also g + (x) − f + (x) = 0 , und damit g + (x) − f + (x) ≤ g(x) − f (x) . 2 Lemma 3.2.6. F¨ ur alle f ∈ I[a , b] sind f + , f − , |f | ∈ I[a , b] . Beweis. Es sei f ∈ I[a , b] . Dann gibt es Treppenfunktionen sn , tn mit ur alle n ∈ N , und sn ≤ f ≤ tn f¨

lim

b

n→∞ a

(tn − sn ) = 0 .

+ s+ n und tn sind ebenfalls Treppenfunktionen, und mit 3.2.5 folgt + + s+ ur alle n ∈ N , und n ≤ f ≤ tn f¨

lim

b

+ (t+ n − sn ) = 0 ,

n→∞ a

also ist f + ∈ I[a , b] .   Nach 3.2.4 ist −f ∈ I[a , b] , also (−f )+ ∈ I[a , b] , also − (−f )+ ∈ I[a , b] , also f − ∈ I[a , b] wegen f − = − ((−f )+ ) . 2 Nach 3.2.4 folgt f + − f − ∈ I[a , b] , also |f | ∈ I[a , b] , da |f | = f + − f − . Lemma 3.2.7. F¨ ur alle f ∈ I[a , b] ist f 2 ∈ I[a , b] . Beweis. Es sei f ∈ I[a , b] . Nach 3.2.6 ist |f | integrierbar, also gibt es Treppenfunktionen s˜n , t˜n mit s˜n ≤ |f | ≤ t˜n f¨ ur alle n ∈ N , und

lim

b

n→∞ a

(t˜n − s˜n ) = 0 .

ankt, das heißt es gibt ein m ∈ R mit Wegen |f | ≤ t˜1 ist |f | nach oben beschr¨ 0 ≤ |f | ≤ m . Es kann eventuell Werte von s˜n bzw. t˜n geben, die kleiner als 0 bzw. gr¨oßer als m sind. In diesem Fall ¨ andern wir s˜n und t˜n wie folgt:  ur t˜n (x) < m t˜n (x) f¨ sn := s˜+ und t (x) := n n m sonst f¨ ur alle n ∈ N . Dann sind sn , tn Treppenfunktionen mit ur alle n ∈ N , 0 ≤ sn ≤ |f | ≤ tn ≤ m und s˜n ≤ sn ≤ |f | ≤ tn ≤ t˜n f¨ also lim

b

n→∞ a

(tn − sn ) = 0 . Damit folgt ur alle n ∈ N , und s2n ≤ f 2 ≤ t2n f¨

lim

b

n→∞ a

(t2n − s2n ) = 0

wegen t2n − s2n = (tn + sn )(tn − sn ) ≤ 2m(tn − sn ) . Also: f 2 ∈ I[a , b] .

2

154

Kapitel 3. Integral

Satz 3.2.8. I[a , b] ist ein Teilring von R[a,b] , das heißt es gilt: 1. Die konstanten Funktionen 1 und −1 liegen in I[a , b] ; 2. f, g ∈ I[a , b]

f + g , f · g ∈ I[a , b] .

=⇒

Beweis. Die konstanten Funktionen 1 und −1 sind Treppenfunktionen, also liegen sie in I[a , b] . Es seien f, g ∈ I[a , b] . Mit 3.2.4 und 3.2.7 folgt f + g ∈ I[a , b] und   f · g = 14 (f + g)2 − (f − g)2 ∈ I[a , b] . 2 Jetzt folgt, dass alle Polynomfunktionen f : [a , b] −→ R integrierbar sind: Aus den konstanten Funktionen und der Identit¨ at x −→ x (die nach 3.2.3 in [a , b] integrierbar ist) erh¨ alt man durch Addition und Multiplikation alle Polynomfunktionen. ¨ (Ubrigens haben wir nach dem gleichen Muster auch gezeigt, dass alle Polynomfunktionen stetig und differenzierbar sind.) b In das Integral (. . .) k¨ onnen wir bisher nur Treppenfunktionen einsetzen, das heißt

b

a

ist bisher eine Funktion mit Definitionsmenge Trep[a , b] :

a

b

: Trep[a , b] −→ R , t −→

a

b

t.

a

In Definition 3.2.2 wurde die Menge I[a , b] festgelegt, auf die unser Integral erweitert werden soll. Unser Ziel ist also eine Funktion b

: I[a , b] −→ R .

a

Dazu fehlt noch die Festlegung der Werte b a

f durch lim

b

n→∞ a

sn oder lim

b

n→∞ a

b

f f¨ ur alle f ∈ I[a , b] . Es liegt nahe,

a

tn zu definieren (mit sn , tn wie in Definition 3.2.2).

Es w¨are aber denkbar, dass es zum gleichen f auch s˜n , t˜n gibt, die zu anderen b Grenzwerten f¨ uhren; dann w¨ are f nicht eindeutig festgelegt. Das entscheidende a

Argument f¨ ur die Eindeutigkeit des Integrals liefert das folgende Lemma. Lemma 3.2.9. Es seien X, Y ⊆ R nicht leer, mit x ≤ y f¨ ur alle x ∈ X und y ∈ Y . Außerdem sei (xn )n eine Folge in X , (yn )n eine Folge in Y und lim (yn −xn ) = 0 . n→∞ Dann ist lim xn = lim yn = sup(X) = inf(Y ) . n→∞

n→∞

Beweis. X ist durch y1 nach oben beschr¨ ankt, also existiert sup(X) nach 1.9.6. Y ist durch x1 nach unten beschr¨ ankt, also existiert inf(Y ) nach 1.9.6. Dabei gilt

3.2. Riemann-Integral

155

sup(X) ≤ inf(Y ) : Nach 1.9.6 ist sup(X) bzw. inf(Y ) ein Ber¨ uhrpunkt von X bzw. yn )n in Y mit lim x ˜n = sup(X) und Y , das heißt es gibt Folgen (˜ xn )n in X und (˜ n→∞

lim y˜n = inf(Y ) ; wegen x ˜n ≤ y˜n f¨ ur alle n ∈ N folgt sup(X) ≤ inf(Y ) , da lim

n→∞

n→∞

monoton ist (siehe 1.4.2). Somit gilt xn ≤ sup(X) ≤ inf(Y ) ≤ yn f¨ ur alle n ∈ N , also folgt die Behauptung 2 wegen lim (yn − xn ) = 0 . n→∞

Satz 3.2.10. Es sei f ∈ I[a , b] und (sn )n , (tn )n wie in Definition 3.2.2. Dann ist lim

b

n→∞ a

sn = lim

b

n→∞ a

tn = sup(X) = inf(Y ) , wobei

b b X = { s | s ∈ Trep[a , b] und s ≤ f } , Y = { t | t ∈ Trep[a , b] und f ≤ t } . a

a

Beweis. X und Y erf¨ ullen die Voraussetzungen von 3.2.9: b b F¨ ur x ∈ X , y ∈ Y gibt es s, t ∈ Trep[a , b] mit x = s , y = t und s ≤ f ≤ t ; aus der Monotonie von Setze xn :=

b

b

a

a

(siehe 3.1.20) folgt x ≤ y .

a

sn und yn :=

a

b

tn f¨ ur alle n ∈ N . Dann ist xn ∈ X , yn ∈ Y und

a

lim (yn − xn ) = 0 . Nach 3.2.9 folgt die Behauptung.

2

n→∞

Mit diesem Satz k¨ onnen wir das bisherige Integral

b

: Trep[a , b] −→ R von

a

Trep[a , b] nach I[a , b] fortsetzen: Die betreffenden Grenzwerte h¨angen nicht von einer speziellen Wahl der Treppenfunktionen ab, wenn die Voraussetzungen von Definition 3.2.2 erf¨ ullt sind. Definition 3.2.11. Es sei f ∈ I[a , b] und (sn )n wie in Definition 3.2.2. Dann ist b a

b a

b a

f (x)dx := lim

b

n→∞ a

sn 2

das Integral von f . Das neue“ Integral ”

f :=

b a

: I[a , b] −→ R ist eine Fortsetzung des alten“ Integrals ”

: Trep[a , b] −→ R , das heißt Trep[a , b] ⊆ I[a , b] , und beide Integrale liefern f¨ ur

f ∈ Trep[a , b] den gleichen Wert (setze sn := f ). Die Rechenregeln 3.1.20 und 3.1.21, die f¨ ur Integrale von Treppenfunktionen gelten, u bertragen sich auf alle integrierbaren Funktionen: ¨

156

Kapitel 3. Integral

Satz 3.2.12. Die Funktion

b

: I[a , b] −→ R , f −→

a

b

f ist linear und monoton,

a

das heißt f¨ ur alle λ ∈ R und f, g ∈ I[a , b] gilt 1.

b

b b b b (λf ) = λ (f ) und (f + g) = (f ) + (g) ;

a

a

2. f ≤ g

a

b

=⇒

(f ) ≤

a

a

b

a

(g) .

a

Beweis. Es sei λ ∈ R , f, g ∈ I[a , b] , sn , tn , un , vn ∈ Trep[a , b] mit sn ≤ f ≤ tn , un ≤ g ≤ vn , lim

b

n→∞ a

(tn − sn ) = 0 = lim

b

n→∞ a

(vn − un ) .

Dann folgt mit 3.1.20 b

(λf )

b b (λsn ) = lim λ (sn ) = λ (f ) n→∞ a n→∞ a a   b b   b b b lim (sn + un ) = lim (sn ) + (un ) = (f ) + (g) .

=

lim

a

b

(f + g) =

b

n→∞ a

a

n→∞

a

a

a

a

Im Fall f ≤ g ist sn ≤ vn , also folgt mit 3.1.20 und 3.2.10 b

(f ) = lim

b

n→∞ a

a

(sn ) ≤ lim

b

n→∞ a

(vn ) =

b

(g) .

2

a

Satz 3.2.13. Es sei a ≤ b ≤ c , f : [a , c] −→ R eine Funktion und f1 bzw. f2 die Einschr¨ ankung von f auf [a , b] bzw. [b , c] . Dann gilt: f integrierbar In diesem Fall ist

c

(f ) =

a

b

⇐⇒

f1 und f2 integrierbar .

c (f1 ) + (f2 ) .

a

b

Beweis. ⇒“: Sei f integrierbar und (sn )n , (tn )n wie in Definition 3.2.2. Außerdem ” seien s1,n und t1,n bzw. s2,n und t2,n die Einschr¨ankungen von sn und tn auf [a , b] bzw. [b , c] . Dann gilt s1,n ≤ f1 ≤ t1,n , 0 ≤ t1,n − s1,n ≤ tn − sn , s2,n ≤ f2 ≤ t2,n , 0 ≤ t2,n − s2,n ≤ tn − sn , also lim

b

n→∞ a

(t1,n − s1,n ) = 0 und lim

b

n→∞ a

(t2,n − s2,n ) = 0 ,

das heißt f1 und f2 sind integrierbar. Außerdem folgt mit 3.1.21   c c b c b c (f ) = lim (sn ) = lim (s1,n ) + (s2,n ) = (t1 ) + (t2 ) . a

¨ ⇐“: Ubung! ”

n→∞ a

n→∞

a

b

a

b

2

3.2. Riemann-Integral

In Zukunft schreiben wir

157 b

f und

a

c

f statt

b

f1 und

a

b

c

f2 . Allgemein:

b

Definition 3.2.14. Es sei f : D −→ R eine Funktion, [a , b] ⊆ D und g die Einschr¨ankung von f auf [a , b] . Wenn g integrierbar ist, dann heißt f integrierbar in [a , b] , und b b f := g a

a

2

das Integral von f in [a , b] .

Zum Schluss noch eine grunds¨ atzliche Frage: Kann man f¨ ur I[a , b] auch ein anderes Integral“ ϕ : I[a , b] −→ R definieren? Nat¨ urlich kann man sich sehr viele ” verschiedene Funktionen ϕ : I[a , b] −→ R ausdenken. Doch der Begriff des Integrals soll unsere anschauliche Vorstellung von einem Fl¨acheninhalt pr¨azisieren. Dazu schreibt man am besten genau auf, welche Eigenschaften eines Fl¨acheninhalts“ als ” grundlegend betrachtet werden sollen. Zum Beispiel: 1. Rechtecke haben den Inhalt L¨ ange mal Breite“. ” 2. Wenn sich eine Fl¨ ache aus endlich vielen Rechtecken zusammensetzt, die sich nicht u ander d¨ urfen gemeinsame Punkte haben), dann ¨berschneiden (nur die R¨ ist ihr Inhalt die Summe aus den Inhalten der einzelnen Rechtecke. 3. F¨ ur je zwei Fl¨ achen A und B mit A ⊆ B gilt: Der Fl¨acheninhalt von A ist h¨ochstens so groß wie der Fl¨ acheninhalt von B . Die erste Forderung f¨ uhrt zum Integral konstanter Funktionen, siehe Definition 3.1.3 (dort wird ein orientierter Fl¨ acheninhalt definiert, also ein Inhalt mit Vorzeichen“). ” Die zweite Forderung f¨ uhrt zum Integral von Treppenfunktionen, siehe Definition 3.1.14. Die dritte Forderung f¨ uhrt zur Monotonie des Integrals, siehe 3.2.12: F¨ ur b b + f, g : [a , b] −→ R0 mit f ≤ g liegt die Fl¨ ache von f in der Fl¨ache von g . a

a

Die drei genannten Forderungen (bzw. ihre genaueren Formulierungen in 3.1.3, 3.1.14 und 3.2.12) werden auch als Axiome des Integrals bezeichnet. Es ist bemerkenswert, dass sie das Integral f¨ ur Funktionen aus I[a , b] bereits eindeutig festlegen: Satz 3.2.15. Es sei ϕ : I[a , b] −→ R eine monotone Funktion mit ϕ(t) = alle t ∈ Trep[a , b] . Dann ist ϕ(f ) =

b

b a

f f¨ ur alle f ∈ I[a , b] .

a

⊆

/ I[a , b] Trep[a , b] LLL LLL ϕ L b LLL L%  a R

t f¨ ur

158

Kapitel 3. Integral

Beweis. Es sei f ∈ I[a , b] . Dann gibt es sn , tn ∈ Trep[a , b] mit ur alle n ∈ N , und sn ≤ f ≤ tn f¨

lim

b

n→∞ a

(tn − sn ) = 0 .

Nach Voraussetung folgt b

sn = ϕ(sn ) ≤ ϕ(f ) ≤ ϕ(tn ) =

a

also ϕ(f ) = lim

b

tn f¨ ur alle n ∈ N ,

a

b

n→∞ a

sn =

b

f.

2

a

Dieser Satz hat eine wichtige Anwendung, wenn das Riemann-Integral erweitert werden soll: Das Lebesgue-Integral (siehe [For3]) ist eine monotone Funktion ϕ : L[a , b] −→ R , wobei I[a , b] ⊆ L[a , b] ; außerdem hat ϕ f¨ ur alle Treppenfunktionen den gleichen Wert wie das Riemann-Integral. Nach Satz 3.2.15 hat ϕ dann auch f¨ ur alle f ∈ I[a , b] den gleichen Wert wie das Riemann-Integral.

Aufgaben 1. Beweisen Sie: Jede Treppenfunktion ist Riemann-integrierbar. 2. Bestimmen Sie Treppenfunktionen s, t : [a , b] −→ R mit a < b , s ≤ t , b (t − s) = 0 und s = t . a

3. Bestimmen Sie Treppenfunktionen sn , tn : [a , b] −→ R mit sn < tn f¨ ur alle b ur alle n ∈ N und alle n ∈ N und lim (tn − sn ) = 0 , aber n ≤ sn (x) f¨ n→∞ a

x ∈ [a , b] .

4. Beweisen Sie: f : [1 ; b] −→ R , x −→ x−1 ist integrierbar (siehe Abschnitt 1.7). 5. Zeigen Sie: f = f + + f − , |f | = f + − f − , (f + )− = 0 , (1 + sin)+ − 1 = sin . 6. Berechnen Sie

b

¨ f f¨ ur f (x) := x , indem Sie die Uberlegungen in Beispiel 3.1.1

0

verallgemeinern. 7. F¨ uhren Sie den Beweis von Satz 3.2.13 zu Ende. 8. Es seien f, g : [a , b] −→ R und c ∈ [a , b] mit f (x) = g(x) f¨ ur alle x ∈ [a , b] \ {c} . Zeigen Sie: Wenn f integrierbar ist, dann ist auch g integrierbar b b und g = f . a

a

3.2. Riemann-Integral

159

9. Zeigen Sie: Die Funktion ϕ : I[a , b] −→ R , f −→ f (a) ist linear und monoton, b (vergleiche 3.2.15). aber ϕ = a

10. Bestimmen Sie eine lineare und monotone Funktion ϕ : I[a , b] −→ R mit b b ϕ(t) = t f¨ ur alle t ∈ Kons[a , b] , aber ϕ = (vergleiche 3.2.15). a

a

160

Kapitel 3. Integral

3.3

Gleichm¨ aßige Konvergenz und Stetigkeit

Ein wichtiges Ergebnis dieses Abschnitts lautet: Alle stetigen Funktionen f : [a , b] −→ R sind integrierbar. Den wesentlichen Grund f¨ ur diese Tatsache k¨onnte man grob so formulieren: Wenn f stetig ist, dann gibt es Treppenfunktionen, die beliebig nahe bei f liegen“ (Satz ” 3.3.15); und wenn es Treppenfunktionen gibt, die beliebig nahe bei f liegen“, dann ” ist f integrierbar (Satz 3.3.9). Um nahe bei f “ zu pr¨azisieren, definieren wir einen ” Abstand zwischen Funktionen. Dabei orientieren wir uns an der Definition von Abst¨anden zwischen reellen Zahlen. F¨ ur x, y ∈ R ist |x| der Abstand zwischen x und 0, und |x − y| ist der Abstand zwischen x und y . F¨ ur Funktionen f und g soll analog gelten: f  ist der Abstand zwischen f und der Nullfunktion, und f − g ist der Abstand zwischen f und g . Den Abstand f  zwischen f : D −→ R und der Nullfunktion definieren wir durch den maximalen Abstand zwischen den Funktionswerten f (x) und 0, das heißt f  := max{ |f (x)| | x ∈ D } , falls dieser maximale Abstand existiert. Dann ist zum Beispiel f  = 1 f¨ ur f : R −→ R mit f (x) = sin(x) , und g = 1,5 f¨ ur g : [0 ; 4] −→ R mit g(x) = 38 x . y

y

1

1

x -1

4

x

-1

Abbildung 3.8:  sin  = 1 und g = 1,5 Allerdings: F¨ ur g : [0 ; 4[ −→ R mit g(x) = 38 x gibt es kein maximales |g(x)| . Daher ersetzen wir das Maximum durch das Supremum; dieses Supremum existiert genau dann, wenn f beschr¨ ankt ist. F¨ ur unbeschr¨ankte f definieren wir kein f  . Definition 3.3.1. Es sei D ⊆ R . Dann ist B(D) die Menge der beschr¨ankten Funktionen f : D −→ R . F¨ ur f ∈ B(D) ist f  := sup{ |f (x)| | x ∈ D } die (Supremums-) Norm von f .

2

Beispiel 3.3.2. In 2.3.14 hat f das globale Maximum 10 3 und das globale Minimum . Die Funktion g := f − 3 hat dann die globalen Extrema 13 − 67 , also ist f  = 10 3 25 25 und − 6 , also ist g = 6 . 2

3.3. Gleichm¨aßige Konvergenz und Stetigkeit

161

Das folgende Lemma nennt einige Bedingungen, unter denen eine Funktion f beschr¨ankt ist, unter denen also f  existiert. Lemma 3.3.3. Es gilt: 1. f, g ∈ B(D) , λ ∈ R

=⇒

f + g , f · g , λ · f ∈ B(D) .

2. Jede Treppenfunktion f : [a , b] −→ R ist beschr¨ ankt. 3. Jede integrierbare Funktion f : [a , b] −→ R ist beschr¨ ankt. 4. Jede stetige Funktion f : [a , b] −→ R ist beschr¨ ankt. ¨ Beweis. Ubung!

2

B(D) ist also ein Untervektorraum und Teilring von RD . Außerdem bilden die Treppenfunktionen, die integrierbaren und die stetigen Funktionen Untervektorr¨aume und Teilringe von B([a , b]) (siehe 3.1.13, 3.2.4, 3.2.8, 2.6.13). Der folgende Satz enth¨ alt die wichtigsten Eigenschaften der Norm: Satz 3.3.4. Es seien f, g ∈ B(D) und λ ∈ R . Dann gilt: 1. f  ≥ 0 , wobei f  = 0 genau dann, wenn f = 0 . 2. λ · f  = |λ| · f  . 3. f + g ≤ f  + g (Dreiecksungleichung). 4. f · g ≤ f  · g . ¨ Beweis. Ubung!

2

y

y f

f

g

g

x

x

Abbildung 3.9: Zur Bedeutung des Abstands f − g Den Abstand zweier Funktionen f, g ∈ B(D) definieren wir durch f − g ; nach 3.3.3.1 folgt, dass f − g f¨ ur alle f, g ∈ B(D) existiert. Abbildung 3.9 zeigt die anschauliche Bedeutung des Abstands f − g : Der Graph von g bleibt in einem Schlauch“, dessen Rand dadurch entsteht, dass der Graph von f um ±f − g in ” y-Richtung verschoben wird (linkes Bild); dabei ber¨ uhrt der Graph von g den Rand

162

Kapitel 3. Integral

des Schlauchs“ (oder kommt zumindest beliebig nahe“ heran). Das gilt wegen ” ” f − g = g − f  auch umgekehrt: Der Graph von f bleibt in einem Schlauch“ ” um den Graphen von g (rechtes Bild). Zu Beginn dieses Abschnitts haben wir angedeutet, dass eine Funktion f integrierbar ist, wenn es Treppenfunktionen tn gibt, die beliebig nahe bei f liegen“. ” Das k¨onnen wir nun so pr¨ azisieren: Die Folge der Abst¨ande tn − f  soll gegen 0 konvergieren. Zum Vergleich: Eine Folge (xn )n von Zahlen xn ∈ R konvergiert, wenn es eine Zahl x ∈ R gibt, sodass die Folge der Abst¨ande |xn − x| eine Nullfolge ist. Die Konvergenz einer Folge von Funktionen fn ∈ B(D) definieren wir analog: Definition 3.3.5. Eine Folge (fn )n von Funktionen fn ∈ B(D) konvergiert gleichm¨ aßig , wenn es eine Funktion f ∈ B(D) gibt, sodass die Folge der Abst¨ande fn −f  aßig gegen f , f ist ein eine Nullfolge ist. Sprechweise: (fn )n konvergiert gleichm¨ gleichm¨ aßiger Grenzwert von (fn )n . Schreibweise: (fn )n → f bzw. lim fn = f . 2 n→∞

Satz 3.3.6. Der Grenzwert einer gleichm¨ aßig konvergenten Folge in B(D) ist eindeutig bestimmt. Beweis. Es seien f und g gleichm¨ aßige Grenzwerte von (fn )n . Dann folgt mit der Dreiecksungleichung ur n → ∞ , g − f  ≤ g − fn  + fn − f  → 0 f¨ also g − f  = 0 , und damit g − f = 0 nach 3.3.4.1.

2

Beispiel 3.3.7. F¨ ur n ∈ N und k ∈ {1; 2; . . . ; n} sei (siehe Abbildung 3.10)   k tn (1) := 1 und tn (x) := nk f¨ ur x ∈ k−1 n , n . Dadurch ist eine Folge tn : [0 ; 1] −→ R definiert, die gleichm¨aßig gegen die Funktion ur alle n ∈ N . 2 f : [0 ; 1] −→ R , x −→ x konvergiert, da tn − f  = n1 f¨ n=4

y

y

1

n = 16

1 tn

f

1/n 1/n

1

x

Abbildung 3.10: tn − f  =

1

x

1 n

Beachte: (fn )n → f bedeutet etwas anderes als (fn (x))n → f (x) (mit x ∈ D): Im ersten Fall hat man es mit der Konvergenz einer Folge von Funktionen fn zu tun, im zweiten Fall mit der Konvergenz einer Folge von Zahlen fn (x) . Dabei kann es vorkommen, dass zwar (fn (x))n → f (x) f¨ ur alle x ∈ D gilt, aber nicht (fn )n → f :

3.3. Gleichm¨aßige Konvergenz und Stetigkeit

163

Beispiel 3.3.8. F¨ ur n ∈ N und x ∈ R sei (siehe Abbildung 3.11)  1 f¨ ur 0 < x < n1 fn (x) := 0 sonst.

y

1

1/n

x

Abbildung 3.11: (fn )n ist punktweise, aber nicht gleichm¨aßig konvergent Dann ist zum Beispiel (fn (0,3))n = (1; 1; 1; 0; 0; . . .) → 0 . Es gilt sogar (fn (x))n → 0 f¨ ur alle x ∈ R : F¨ ur x ≤ 0 ist fn (x) = 0 f¨ ur alle n ∈ N ; und f¨ ur x > 0 gibt es nach ur alle n > N . Man spricht Archimedes ein N ∈ N mit N1 < x , also ist fn (x) = 0 f¨ hier auch von einer punktweisen Konvergenz der Folge (fn )n : F¨ ur jeden Punkt“ ” x ∈ R ist (fn (x))n konvergent. Aber (fn )n → 0 ist falsch, da fn − 0 = 1 f¨ ur alle n ∈ N . Damit konvergiert (fn )n zwar punktweise, aber nicht gleichm¨ aßig. 2 Jetzt k¨onnen wir einen Teil des Zusammenhangs, der am Anfang dieses Abschnitts angedeutet wurde, exakt formulieren und beweisen: Satz 3.3.9. Es sei f ∈ B([a , b]) und (tn )n eine Folge von Treppenfunktionen tn : [a , b] −→ R , die gleichm¨ aßig gegen f konvergiert. Dann ist f integrierbar. ur alle n ∈ N . Dann Beweis. Setze rn := tn − tn − f  und sn := tn + tn − f  f¨ ur alle n ∈ N , denn sind rn , sn Treppenfunktionen mit rn ≤ f ≤ sn f¨ rn − f = tn − f − tn − f  ≤ 0

und sn − f = tn − f + tn − f  ≥ 0 .

Damit gilt 0 ≤ sn − rn ≤ sn − rn  , also folgt aus der Monotonie des Integrals (siehe 3.2.12) b b 0 ≤ (sn − rn ) ≤ sn − rn  = (b − a)sn − rn  . a

a

Außerdem: lim sn − rn  = lim 2tn − f  = 0 , also lim n→∞

n→∞

ist f integrierbar (siehe Definition 3.2.2).

b

n→∞ a

(sn − rn ) = 0 . Damit 2

164

Kapitel 3. Integral

Die Bedingung in Satz 3.3.9 ist hinreichend, aber nicht notwendig, das heißt nicht jede integrierbare Funktion ist ein gleichm¨ aßiger Grenzwert von Treppenfunktionen: Beispiel 3.3.10. F¨ ur x ∈ [ 0 ; 1 ] sei    1 f¨ ur x ∈ n1 | n ∈ N f (x) := 0 sonst. Dann gibt es keine Folge von Treppenfunktionen, die gleichm¨aßig gegen f konvergiert: Zu jedem c ∈ R+ gibt es ein n ∈ N mit n1 ∈ ] 0 ; c [ , das heißt f nimmt in jedem Intervall ] 0 ; c [ die Werte 0 und 1 an; also gilt t − f  ≥ 12 f¨ ur jede Treppenfunktion. Aber f ist integrierbar: F¨ ur n ∈ N und x ∈ [ 0 ; 1 ] sei   f (x) f¨ ur x ≥ n1 f (x) f¨ ur x ≥ n1 und tn (x) := sn (x) := 0 sonst 1 sonst. Dann sind sn , tn Treppenfunktionen mit sn ≤ f ≤ tn und

1 0

(tn − sn ) =

1 n

, also ist

f nach Definition 3.2.2 integrierbar.

2

Als n¨achstes beweisen wir, dass alle stetigen Funktionen f : [a , b] −→ R integrierbar sind. Dazu benutzen wir folgenden Gedankengang: 1. f : D −→ R ist nach 3.3.9 integrierbar, wenn f ein gleichm¨aßiger Grenzwert von Treppenfunktionen ist. 2. f ist ein gleichm¨ aßiger Grenzwert von Treppenfunktionen, wenn es zu jedem  ∈ R+ eine Treppenfunktion t mit t − f  <  gibt. 3. Man kann eine Treppenfunktion t mit t − f  <  definieren, indem man D in hinreichend kleine“ Teilintervalle [ak , ak+1 [ zerlegt, wenn f (x) in jedem ” dieser kleinen“ Intervalle um weniger als  schwankt. ” Die Bedingung im 3. Gedanken pr¨ azisieren wir so: Zu jedem  ∈ R+ gibt es eine hinreichend kleine“ Intervalll¨ ange δ , wobei hinreichend klein“ folgendes bedeutet: ” ” F¨ ur alle x, x ¯ ∈ D mit |x − x ¯| < δ ist |f (x) − f (¯ x)| <  . F¨ ur diese Eigenschaft gibt es einen eigenen Namen: Definition 3.3.11. Eine Funktion f : D −→ R heißt gleichm¨ aßig stetig , wenn gilt: ∀  ∈ R+ ∃ δ ∈ R+ ∀ x, x ¯ ∈ D mit |x − x ¯| < δ : |f (x) − f (¯ x)| <  .

2

Nicht jede stetige Funktion ist gleichm¨ aßig stetig: Beispiel 3.3.12. Wir wissen bereits, dass f : R+ −→ R mit f (x) = x−1 stetig ist. Aber f ist nicht gleichm¨ aßig stetig. Dazu m¨ ussen wir folgendes zeigen (zur Negation von Quantoren siehe Erl¨ auterungen vor 1.3.22: wenn ¬ u ¨ber einen Quantor ” wandert“, dann werden ∀ und ∃ vertauscht): ∃  ∈ R+ ∀ δ ∈ R+ ∃ x, x ¯ ∈ R+ mit |x − x ¯| < δ : |f (x) − f (¯ x)| ≥  .

3.3. Gleichm¨aßige Konvergenz und Stetigkeit

165

Es sei  := 1 und δ ∈ R+ . Wegen f (x) − f (x + 2δ ) =

1 x

−

1 x+ δ2

=

δ 2

x(x+ δ2 )

→ ∞ f¨ ur x → 0

gibt es ein x ∈ R+ mit |f (x) − f (x + 2δ )| ≥ 1 . Damit ist f nicht gleichm¨aßig stetig. In Abbildung 3.12 erkennt man den anschaulichen Grund: Wenn ein Intervall mit einer zuvor festgelegten L¨ ange δ in Richtung 0 wandert, dann werden die Abst¨ande der zugeh¨origen Funktionswerte z.B. gr¨ oßer als  = 1 . 2

y

δ

δ

Abbildung 3.12: f (x) = x

−1

x

ist nicht gleichm¨aßig stetig

Die gleichm¨ aßige Stetigkeit bedeutet anschaulich, dass es zu jedem  ein δ mit folgender Eigenschaft gibt: Man kann Intervalle der L¨ange δ beliebig innerhalb der Definitionsmenge verschieben: Die Abst¨ ande der zugeh¨origen Funktionswerte bleiben kleiner als  . Dagegen gibt es bei der Stetigkeit jeweils f¨ ur eine zuvor festgelegte Stelle ein geeignetes δ ; an einer anderen Stelle ben¨ otigt man eventuell ein anderes δ . Nach dem folgenden Satz sind aber stetige Funktionen auch gleichm¨aßig stetig, wenn ihre Definitionsmenge ein abgeschlossenes Intervall ist. Satz 3.3.13. Jede stetige Funktion f : [a , b] −→ R ist gleichm¨ aßig stetig. Beweis. Wir zeigen (ersetze δ durch

1 ) n

∀  ∈ R+ ∃ n ∈ N ∀ x, x ¯ ∈ [a , b] mit |x − x ¯| <

1 n

: |f (x) − f (¯ x)| <  .

1 n

: |f (x) − f (¯ x)| ≥  .

Dazu nehmen wir das Gegenteil an: ¯ ∈ [a , b] mit |x − x ¯| < ∃  ∈ R+ ∀ n ∈ N ∃ x, x

Es gibt also ein  ∈ R+ und Folgen (xn )n , (¯ xn )n in [a , b] mit ¯n | < |xn − x

1 n

und |f (xn ) − f (¯ xn )| ≥  f¨ ur alle n ∈ N

(w¨ahle zu jedem n ∈ N geeignete xn , x ¯n wie in der Annahme). Nach Bolzano-Weierstraß hat (xn )n eine konvergente Teilfolge (xnk )k .

166

Kapitel 3. Integral

Da xn f¨ ur alle n ∈ N in [a , b] liegt, folgt c := lim xnk ∈ [a , b] nach 1.4.2. k→∞ 1 ur n f¨

¯nk wegen |xn − x ¯n | < Es ist lim xnk = lim x k→∞

k→∞

alle n ∈ N .

xnk ) . Aus der Stetigkeit von f folgt lim f (xnk ) = f (c) = lim f (¯ k→∞

k→∞

Das ist aber ein Widerspruch zu |f (xn ) − f (¯ xn )| ≥  f¨ ur alle n ∈ N .

2

Mit Satz 3.3.13 und dem 3. Gedanken, der vor Definition 3.3.11 angedeutet wurde, k¨onnen wir das folgende Lemma beweisen: Lemma 3.3.14. Es sei f : [a , b] −→ R stetig. Dann gilt: ∀  ∈ R+ ∃ Treppenfunktion t : [a , b] −→ R mit t − f  <  . Beweis. Sei  ∈ R+ . Dann gibt es nach 3.3.13 ein δ ∈ R+ , sodass ∀ x, x ¯ ∈ [a , b] mit |x − x ¯| < δ : |f (x) − f (¯ x)| <

 2

.

Nach Archimedes gibt es ein n ∈ N mit b − a < nδ bzw. b−a n < δ. Damit zerlegen wir [a , b] in (hinreichend kleine) Teilintervalle der L¨ange und definieren eine geeignete Treppenfunktion: y

a = a0

n=4

a1

a2

b−a n

< δ,

f

a3

a4 = b

x

Abbildung 3.13: Zerlegung von [a , b] Setze ak := a + k ·

b−a n

f¨ ur k ∈ {0; 1; . . . ; n} , t(b) := f (b) und

t(x) := f (ak ) f¨ ur x ∈ [ak , ak+1 [ , k ∈ {0; 1; . . . ; n − 1} . Dann ist t : [a , b] −→ R eine Treppenfunktion mit t − f  <  : Sei x ∈ [a , b] . Wir zeigen |t(x) − f (x)| < 2 : F¨ ur x = b ist |t(x) − f (x)| = 0 ; f¨ ur x ∈ [ak , ak+1 [ , k ∈ {0; 1; . . . ; n − 1} ist |x − ak | <

b−a n

< δ , also |t(x) − f (x)| = |f (ak ) − f (x)| <

nach Wahl von δ (siehe oben). Damit folgt t − f  ≤

 2

< .

 2

2

Satz 3.3.15. Jede stetige Funktion f : [a , b] −→ R ist ein gleichm¨ aßiger Grenzwert von Treppenfunktionen.

3.3. Gleichm¨aßige Konvergenz und Stetigkeit

167

Beweis. Nach 3.3.14 gibt es zu jedem n ∈ N eine Treppenfunktion tn : [a , b] −→ R 2 mit tn − f  < n1 . Damit ist lim tn − f  = 0 . n→∞

Korollar 3.3.16. Jede stetige Funktion f : [a , b] −→ R ist integrierbar. Beweis. Nach 3.3.3.4 ist f ∈ B([a , b]) . Damit folgt die Behauptung nach 3.3.15 und 3.3.9. 2 Zwischen der Menge C([a , b]) der stetigen, der Menge I([a , b]) der integrierbaren und der Menge B([a , b]) der beschr¨ ankten Funktionen besteht nach 3.3.16 und 3.3.3 folgender Zusammenhang: C([a , b]) ⊂ I([a , b]) ⊂ B([a , b]) . Diesen Zusammenhang wollen wir noch etwas n¨aher beleuchten, und zwar im Hinblick auf Analogien zwischen Folgen (fn )n in B([a , b]) und Folgen (xn )n in R . Es gibt Folgen (xn )n , deren Glieder im offenen Intervall ]0 ; 2[ liegen, deren   Grenzwert aber außerhalb von ]0 ; 2[ liegt, zum Beispiel n1 n . Doch bei abgeschlossenen Intervallen [l , r] ⊂ R gilt: Es sei (xn )n eine Folge in [l , r] , die gegen x ∈ R konvergiert; dann ist x ∈ [l , r] (das folgt aus der Monotonie des Grenzwerts, siehe 1.4.2). Wenn man [l , r] ⊂ R durch C([a , b]) ⊂ B([a , b]) ersetzt, dann erh¨alt man eine analoge Aussage: Satz 3.3.17. Es sei (fn )n eine Folge in C([a , b]) , die gleichm¨ aßig gegen eine Funktion f ∈ B([a , b]) konvergiert. Dann ist f ∈ C([a , b]) . Beweis. Sei c ∈ [a , b] . Zu zeigen: f ist bei c stetig. Dazu sei (xm )m eine Folge in [a , b] mit (xm )m → c . Zu zeigen: (f (xm ))m → f (c) . Sei  ∈ R+ . Gesucht ist ein M ∈ N mit ∀ m > M : |f (xm ) − f (c)| <  . Wegen lim fn − f  = 0 gibt es ein n ∈ N mit fn − f  < n→∞ Da fn stetig ist, gibt es ein M ∈ N mit ∀ m > M : |fn (xm ) − fn (c)| <

 3

.

 . 3

Mit der Dreiecksungleichung folgt |f (xm ) − f (c)|

f¨ ur alle m > M .

≤

|f (xm ) − fn (xm )| + |fn (xm ) − fn (c)| + |fn (c) − f (c)| ≤ f − fn  + |fn (xm ) − fn (c)| + fn − f     < + + = . 3 3 3 2

168

Kapitel 3. Integral

Die Gemeinsamkeit zwischen C([a , b]) ⊂ B([a , b]) und [c , d] ⊂ R besteht also in folgender Eigenschaft: Es sei A ⊆ B und (an )n eine Folge in A , die gegen a ∈ B konvergiert; dann ist a ∈ A . In so einem Fall nennt man A abgeschlossen (in B bez¨ uglich konvergenter Folgen). Man nennt also C([a , b]) abgeschlossen, und zwar genauer abgeschlossen bez¨ uglich der gleichm¨ aßigen Konvergenz . Bez¨ uglich der punktweisen Konvergenz ist C([a , b]) nicht abgeschlossen, das heißt es gibt eine Folge von Funktionen fn ∈ C([a , b]) , die punktweise gegen eine Funktion f ∈ / C([a , b]) konvergiert: Die Folge (fn )n , die im linken Teil von Abbildung 3.14 angedeutet ist, konvergiert punktweise (aber nicht gleichm¨aßig) gegen eine unstetige ¨ Funktion f (vergleiche Beispiel 3.3.8; Ubung!). y

y fn

f

1

1

1/n

x

x

-1

-1

Abbildung 3.14: (fn )n konvergiert punktweise gegen f Die Menge I([a , b]) der integrierbaren Funktionen ist nach dem folgenden Satz 3.3.19 ebenfalls abgeschlossen bez¨ uglich gleichm¨aßiger Konvergenz. Zun¨achst formulieren wir einen Hilfssatz: Lemma 3.3.18. Wenn f : [a , b] −→ R integrierbar ist, dann gibt es zu jedem b n ∈ N zwei Treppenfunktionen s und t mit s ≤ f ≤ t und (t − s) < n1 . a

¨ Beweis. Ubung!

2

Satz 3.3.19. Sei (fn )n eine Folge in I([a , b]) , die gleichm¨ aßig gegen eine Funktion f ∈ B([a , b]) konvergiert. Dann ist f ∈ I([a , b]) und lim

b

n→∞ a

fn =

b

f .

a

Beweis. fn ist f¨ ur alle n ∈ N integrierbar, also gibt es nach 3.3.18 Treppenfunkb tionen sn und tn mit sn ≤ fn ≤ tn und (tn − sn ) < n1 . a

ur alle n ∈ N . Dann folgt Setze s¯n := sn − fn − f  und t¯n := tn + fn − f  f¨ s¯n ≤ fn − fn − f  ≤ f ≤ fn + fn − f  ≤ t¯n f¨ ur alle n ∈ N , und b b 0 ≤ (t¯n − s¯n ) = (tn − sn + 2fn − f ) ≤ a

a

1 n

+ 2(b − a)fn − f  → 0

3.3. Gleichm¨aßige Konvergenz und Stetigkeit

169

f¨ ur n → ∞ , also ist f nach Definition 3.2.2 integrierbar. Nach Definition 3.2.11 ist b a

f = lim

b

n→∞ a

s¯n bzw.

b

lim

n→∞ a

(¯ sn − f ) = 0 .

Außerdem gilt nach Wahl von sn und tn (siehe oben) b b 0 ≤ (fn − sn ) ≤ (tn − sn ) < a

a

1 n

, also lim

b

n→∞ a

(fn − sn ) = 0 .

Wegen fn − f = fn − sn + fn − f  + s¯n − f folgt damit b

b b b (fn ) − (f ) = (fn − sn ) + (b − a)fn − f  + (¯ sn − f ) → 0

a

a

a

a

f¨ ur n → ∞ .

2

Wegen lim

b

n→∞ a

b (fn ) = (f ) f¨ ur alle f, fn ∈ I([a , b]) mit (fn )n → f spricht man a

auch von der Stetigkeit des Integrals

b

: I([a , b]) −→ R . Zur Erinnerung: Eine

a

Funktion g : D −→ R heißt stetig, wenn lim g(xn ) = g(x) f¨ ur alle x, xn ∈ D mit n→∞

(xn )n → x . Eine weitere Analogie zwischen konvergenten Folgen in R und konvergenten Folgen in B(D) betrifft die sogenannten Cauchy-Folgen (siehe Definition 1.9.7). Sie spielen f¨ ur R eine wichtige Rolle, da man mit ihnen das Vollst¨andigkeitsaxiom formulieren kann: Jede Cauchy-Folge reeller Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl (das ist unsere vierte Version nach Satz 1.9.8). Definition 1.9.7 und Satz 1.9.8 kann man analog von R auf B(D) u ¨bertragen: Definition 3.3.20. Eine Folge (fn )n in B(D) heißt Cauchy-Folge , wenn gilt: ∀  ∈ R+ ∃ N ∈ N ∀ n, m > N : fn − fm  <  .

2

Satz 3.3.21. Eine Folge in B(D) ist genau dann gleichm¨ aßig konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Beweis. ⇒“: Es sei (fn )n eine Folge in B(D) , die gleichm¨aßig gegen ein f ∈ B(D) ” konvergiert, und  ∈ R+ . Dann gibt es ein N ∈ N , sodass ∀ m, n > N : fm − f  <

 2

und f − fn  <

 2

,

also folgt mit der Dreiecksungleichung (siehe 3.3.4) ∀ m, n > N : fm − fn  ≤ fm − f  + f − fn  <  .

170

Kapitel 3. Integral

⇐“: Es sei (fn )n eine Cauchy-Folge in B(D) . Wir definieren eine Funktion ” f : D −→ R durch x −→ lim fn (x) ; diese Grenzwerte existieren nach Satz n→∞

1.9.8, da (fn (x))n f¨ ur jedes x ∈ D eine Cauchy-Folge reeller Zahlen ist (wegen |fm (x) − fn (x)| ≤ fm − fn ). Die Folge (fn )n konvergiert gleichm¨aßig gegen f : Sei  ∈ R+ . Gesucht ist ein N ∈ N mit ∀ n > N : fn − f  <  . Nach Voraussetzung gibt es ein N ∈ N mit ∀ m, n > N : fm − fn  <

 4

.

Dieses N ist f¨ ur unsere Zwecke geeignet, da ∀ n > N ∀ x ∈ D : |fn (x) − f (x)| <

 2

gilt: Sei n > N und x ∈ D . Wegen f (x) = lim fm (x) gibt es ein m > N mit |fm (x) − f (x)| <

 4

m→∞

, also folgt mit der Dreiecksungleichung

|fn (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − fm (x)| + |fm (x) − f (x)| <

 4

+

 4

= 2 .

2

Dieser Satz hat f¨ ur B(D) eine ¨ ahnliche Bedeutung wie das Vollst¨andigkeitsaxiom f¨ ur R . (Cauchy-Folgen in R und in B(D) bilden den Schl¨ ussel f¨ ur die zentralen Aussagen in Abschnitt 3.6.) Es gibt u ¨brigens viele weitere Vektorr¨aume, in denen, ¨ahnlich wie in R oder B(D) , Betr¨ age“ bzw. Normen“ definiert sind, und in denen alle ” ” Cauchy-Folgen“ konvergieren. Sie werden unter dem Begriff vollst¨ andiger normier” ter Raum oder auch Banach-Raum zusammengefasst. R und B(D) sind Beispiele f¨ ur Banach-R¨aume. Die Sprache der Ringe (Abschnitt 2.6) verallgemeinert Aussagen u aume ¨ber Addition und Multiplikation reeller Zahlen. Die Sprache der Banach-R¨ verallgemeinert Aussagen u ¨ber konvergente Folgen reeller Zahlen.

Aufgaben 1. Beweisen Sie Lemma 3.3.3. 2. Beweisen Sie Satz 3.3.4. 3. F¨ ur f, g ∈ B(D) sei d(f, g) := f − g (Abstand von f und g). Zeigen Sie: (a) d(f, g) = 0 ⇐⇒ f = g . (b) d(f, g) = d(g, f ) . (c) d(f, h) ≤ d(f, g) + d(g, h) . 4. Finden Sie eine Folge stetiger Funktionen fn , die zwar punktweise, aber nicht gleichm¨aßig gegen die Nullfunktion konvergiert (vergleiche Beispiel 3.3.8).

3.3. Gleichm¨aßige Konvergenz und Stetigkeit

171

5. Definieren Sie die Funktionen fn , die in Abbildung 3.14 angedeutet sind, und zeigen Sie: (fn )n konvergiert zwar punktweise, aber nicht gleichm¨aßig gegen f. 6. Zeigen Sie: Wenn (fn )n gleichm¨ aßig gegen f konvergiert, dann konvergiert (fn )n auch punktweise gegen f . 7. Gibt es eine Folge von Treppenfunktionen, die punktweise gegen die Funktion f in Beispiel 3.3.10 konvergiert? 8. Zeigen Sie: f : R −→ R , x −→ x2 ist nicht gleichm¨aßig stetig. 9. Zeigen Sie: f : R −→ R , x −→ sin(x) ist gleichm¨aßig stetig. 10. Beweisen Sie Lemma 3.3.18. Gilt auch der Kehrsatz? 11. Zeigen Sie: Zu jedem f ∈ C([a , b]) gibt es eine Folge in B([a , b]) \ C([a , b]) , die gleichm¨aßig gegen f konvergiert, wobei a < b . 12. Die Menge D([−1 ; 1]) der differenzierbaren Funktionen [−1 ; 1] −→ R ist nicht abgeschlossen bzgl. gleichm¨ aßiger Konvergenz. Konstruieren Sie dazu eine Folge in D([−1 ; 1]) , die gleichm¨ aßig gegen die Betragsfunktion konvergiert.

172

3.4

Kapitel 3. Integral

Hauptsatz

Inzwischen wissen wir, dass alle stetigen Funktionen f : [l , r] −→ R integrierbar sind. Uns fehlt aber noch ein praktisches Verfahren, mit dem man Integrale berechnen kann. Dazu dient (unter anderem) der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung , der einen engen Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral herstellt. Dabei werden sogenannte Integralfunktionen F : D −→ R , x −→

x

f

a

benutzt, wobei x auch kleiner als a sein kann. Doch bisher galt f¨ ur die Grenzen a b ur a > b definieren wir jetzt und b von Integralen f immer a ≤ b . F¨ a

b

a f := − f .

a

b

Daf¨ ur gibt es mehrere Gr¨ unde, die zwar alle nicht zwingend sind, die aber doch b a b andeuten, dass f := − f eine geschickte Wahl ist: Zum einen galt bisher c = a

a

b

c · (b − a) f¨ ur a ≤ b und konstante Funktionen c ; wenn diese Gleichung auch f¨ ur a > b gelten soll, dann folgt b

c = c · (b − a) = −c · (a − b) = −

a

a

c.

b

Zum andern galt bisher

c

(f ) =

a

b

c (f ) + (f ) f¨ ur a ≤ b ≤ c ; wenn das auch f¨ ur

a

b

beliebige Gr¨oßenverh¨ altnisse zwischen a, b, c gelten soll, dann folgt f¨ ur a = c a b a b a f =− f . 0 = (f ) = (f ) + (f ) , also a

Damit die Regel

c a

(f ) =

a

b

a

b

b

c (f ) + (f ) f¨ ur alle Gr¨oßenverh¨altnisse zwischen a, b, c

a

b

gelten kann, ist es also notwendig ,

b

f := −

a

a

f f¨ ur a > b zu definieren; diese

b

Festlegung (die wir ab jetzt immer voraussetzen) ist aber auch hinreichend : Korollar 3.4.1. Es sei D ein abgeschlossenes Intervall, f : D −→ R integrierbar und a, b, c ∈ D . Dann gilt c b c (f ) = (f ) + (f ) . a

¨ Beweis. Ubung! (Siehe Satz 3.2.13.)

a

b

2

3.4. Hauptsatz

173

Definition 3.4.2. Es sei D ein Intervall, a ∈ D , f : D −→ R eine Funktion, die f¨ ur alle x ∈ D in [x , a] bzw. [a , x] integrierbar ist, und F : D −→ R , x −→

x

f .

a

2

Dann heißt F Integralfunktion von f (mit unterer Grenze a).

Beispiel 3.4.3. Gegeben sei die konstante Funktion f : R −→ R , x −→ m . Dann x ist f = m · (x − 0) = mx f¨ ur alle x ∈ R , also F : R −→ R , x −→ mx eine Inte0

gralfunktion von f . Weitere Integralfunktionen erh¨alt man durch Gc (x) :=

x c

m · (x − c) mit c ∈ R .

f = 2

Beispiel 3.4.4. Gegeben sei die Funktion f : R −→ R , x −→ x . Zur Berechnung b von f verwenden wir Treppenfunktionen tn wie in Beispiel 3.2.3: Sei a < b , n ∈ N a

und hn =

b−a n

. F¨ ur i ∈ {1; 2; . . . ; n} sei

tn (b) := b und tn (x) := a + ihn f¨ ur x ∈ [a + (i − 1)hn , a + ihn [ . Dann ist b

tn

n

=

(a + ihn )hn = ahn ·

i=1

a

n

(1) + h2n ·

i=1

n

(i)

i=1

b−a (b − a)2 n(n + 1) · ·n + n n2 2 n+1 , (b − a) a + (b − a) · 2n

= a· = also b

f

=

lim

n→∞ a

a

1 2 2 (b

= F¨ ur a > b folgt

b

b a

    tn = (b − a) a + (b − a) · 12 = (b − a) 12 b + 12 a

− a2 ) .

f =−

a

f = − 12 (a2 − b2 ) = 12 (b2 − a2 ) . Die Integralfunktion von f

b

mit unterer Grenze a hat also f¨ ur alle x ∈ R den Term F (x) =

x a

f = 12 x2 − 12 a2 .2

In Beispiel 3.4.3 und 3.4.4 ist F  = f . Das gilt sogar f¨ ur alle stetigen f . Um das zu zeigen, verwenden wir den folgenden Satz bzw. sein Korollar.

174

Kapitel 3. Integral

Satz 3.4.5. (Spezieller) Mittelwertsatz der Integralrechnung. b Es sei f : [a , b] −→ R stetig. Dann gibt es ein c ∈ [a , b] mit f = f (c) · (b − a) . a

Beweis. Nach dem Extremwertsatz existiert das globale Minimum m und das globale Maximum M der Funktion f . Mit der Monotonie des Integrals folgt (siehe auch Abbildung 3.15) m · (b − a) =

b

m≤

a

b

f≤

a

b

M = M · (b − a) .

a

Die Funktion g : [a , b] −→ R , x −→ f (x) · (b − a) ist stetig, und besitzt die Funktionswerte m · (b − a) und M · (b − a) . Nach dem Zwischenwertsatz gibt es b also ein c ∈ [a , b] mit f = g(c) = f (c) · (b − a) . 2 a

y M

m

a

b

x

Abbildung 3.15: Zur Absch¨ atzung m(b − a) ≤

b

f ≤ M (b − a)

a

Korollar 3.4.6. Es sei D ein Intervall, f : D −→ R stetig, a ∈ D und h ∈ R mit a+h  a + h ∈ D . Dann gibt es ein l ∈ [0 ; 1] mit f = f (a + lh) · h . a

¨ Beweis. Ubung! (h kann auch negativ sein!)

2

Satz 3.4.7. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, f : D −→ R stetig und a ∈ D . x Dann ist F : D −→ R , x −→ f eine Stammfunktion von f , das heißt F ist differenzierbar mit F  = f .

a

Beweis. Es sei x ∈ D und (hn )n → 0 mit hn = 0 und x + hn ∈ D f¨ ur alle n ∈ N . F (x + hn ) − F (x) = f (x) . Zu zeigen: lim n→∞ hn

3.4. Hauptsatz

175

Nach 3.4.1 gilt f¨ ur alle n ∈ N F (x + hn ) − F (x) =

x+h  n

x+h x  n (f ) − (f ) = (f ) ,

a

a

x

also gibt es nach 3.4.6 zu jedem n ∈ N ein ln ∈ [0 ; 1] mit F (x + hn ) − F (x) = f (x + ln hn )hn . Aus der Stetigkeit von f folgt lim f (x + ln hn ) = f (x) (wegen (ln hn )n → 0), und n→∞ damit die Behauptung. 2 Der Hauptsatz stellt also einen engen Zusammenhang zwischen der Menge C(D) der stetigen Funktionen und der Menge D(D) der differenzierbaren Funktionen her, wenn D ein Intervall mit mehr als einem Punkt ist: Zu jedem f ∈ C(D) gibt es ein F ∈ D(D) mit F  = f . Daraus folgt zum Beispiel die Energieerhaltung bei geradlinigen Bewegungen, wenn die zugeh¨orige Kraftfunktion F stetig ist (siehe 2.4.5): Korollar 3.4.8. Es seien I und J Intervalle, x : I −→ J zweimal differenzierbar und F : J −→ R stetig. Dann hat F eine Stammfunktion U : J −→ R , und f¨ ur m ∈ R ist E : I −→ R t −→ 12 m(x (t))2 + U (x(t)) konstant. Beweis. Die Existenz der Stammfunktion U folgt aus dem Hauptsatz. Damit ist E nach 2.4.5 konstant. 2 Im Folgenden besprechen wir einige weitere Anwendungen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: 1. Berechnung von Integralen, wenn man Stammfunktionen sieht“. ” 2. Herleitung weiterer Regeln f¨ ur Integrale. 3. Die vielleicht bemerkenswerteste Anwendung: Man kann alle konkreten Beispiele von Funktionen, die wir bisher betrachtet haben, auf die Zuordnungen uckf¨ uhren. x −→ 1 , x −→ x und x −→ x−1 zur¨ Zu 1.: Bei vielen Funktionen kann man sofort Stammfunktionen angeben (Polynomfunktionen, Sinus, Kosinus, . . . ). In solchen F¨allen ist die Berechung von Integralen sehr einfach: Korollar 3.4.9. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, a, b ∈ D , f : D −→ R stetig und G eine Stammfunktion von f . Dann ist b a

f = G(b) − G(a) =: [G]ba .

176

Kapitel 3. Integral

Beweis. Setze F (x) :=

x 

f und H(x) := G(x) − G(a) f¨ ur alle x ∈ D . Dann ist

a

F (a) = 0 = H(a) und F = f = G = H  . Nach 2.3.7 folgt F = H , und damit die Behauptung. 2 Jetzt k¨onnen wir die Werte vieler Integrale berechnen. Zum Beispiel: 1

(x3 + 2x)dx =

0

π 0

1

4x

4

+ x2

1 0

= 14 14 + 12 − 0 =

5 4

π

sin(x)dx = [− cos(x)]0 = − cos(π) + cos(0) = 2 .

Leider st¨oßt diese Art der Berechnung schnell an ihre Grenzen: Wie soll man zum 1 2 Beispiel ex dx mit Korollar 3.4.9 berechnen? (Das funktioniert mit Potenzreihen, 0

siehe Abschnitt 3.6.) Zur Berechnung von Ableitungen benutzt man h¨aufig die Produkt- oder Kettenregel. Diese Regeln k¨ onnen wir mit dem Hauptsatz auf Integrale u ur ¨bertragen. F¨ die zugeh¨origen Voraussetzungen wird folgende Sprechweise benutzt: Eine Funktion f heißt stetig differenzierbar , wenn f  existiert und stetig ist. Satz 3.4.10. Substitutionsregel. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, ϕ : [a , b] −→ D stetig differenzierbar und f : D −→ R stetig. Dann ist b 

 ϕ(b)  (f ◦ ϕ) · ϕ = f.

a

ϕ(a)

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt, dass (f ◦ ϕ) · ϕ stetig, also insbesondere integrierbar ist. Setze f¨ ur alle x ∈ [a , b] und alle y ∈ D F (x) :=

x 

(f ◦ ϕ) · ϕ



und G(y) :=

a

y

f .

ϕ(a)

Dann folgt mit der Kettenregel und dem Hauptsatz (G ◦ ϕ) = (G ◦ ϕ) · ϕ = (f ◦ ϕ) · ϕ = F  . Außerdem ist F (a) = 0 = G(ϕ(a)) , und damit F = G ◦ ϕ nach 2.3.7.

2

Satz 3.4.11. Partielle Integration. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, a, b ∈ D und f, g : D −→ R stetig differenzierbar. Dann ist b a

b (f · g  ) = [f · g]ba − (f  · g) . a

3.4. Hauptsatz

177

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt, dass f · g  und f  · g stetig, also insbesondere integrierbar sind. Setze f¨ ur alle x ∈ D x x F (x) := (f · g  ) und G(x) := [f · g]xa − (f  · g) . a

a

Dann folgt mit der Produktregel und dem Hauptsatz G = (f · g) − f  · g = f · g  = F  . 2

Außerdem ist F (a) = 0 = G(a) , und damit F = G nach 2.3.7. Beispiel 3.4.12. Wir berechnen

3 2

2

xex dx mit der Substitutionsregel: Setze f (x) := 2

ex und ϕ(x) := x2 . Dann ist ex = eϕ(x) = f (ϕ(x)) und ϕ (x) = 2x , also 3 x2 3 9 xe dx = 12 · f (ϕ(x))ϕ (x)dx = 12 · eu du = 12 (e9 − e4 ) . 2 2

2

4

Die Bezeichnung Substitutionsregel“ kommt u ¨brigens von der Substitution ” u := ϕ(x) ; dabei wird f (ϕ(x)) durch f (u) , und ϕ (x)dx durch du ersetzt; und ϕ(b) b  f¨ ur x ∈ [a , b] ist u ∈ [ϕ(a) , ϕ(b)] ; damit: f (ϕ(x)) · ϕ (x) dx = f (u) du . a

Beispiel 3.4.13. Wir berechnen

1

ϕ(a)

x cos(x) dx mit partieller Integration. f (x) := x

0

und g(x) := sin(x) . Dann ist f  (x) = 1 und g  (x) = cos(x) , also 1

[x sin(x)]0 −

1 0

1

x cos(x) dx =

0 1

1 · sin(x) dx = sin(1) − [− cos(x)]0 = sin(1) + cos(1) − 1 .

2

Die Regeln 3.4.10 und 3.4.11 sind aber nicht nur bei der konkreten Berechnung von Integralen hilfreich. Man kann mit ihnen auch allgemeinere Aussagen herleiten (siehe Abbildung 3.16): Satz 3.4.14. Es sei f : [a , b] −→ D stetig und c ∈ R . Dann ist b−c 

f (x + c)dx =

a−c

b

f (x)dx .

a

Beweis. F¨ ur ϕ(x) := x + c folgt mit der Substitutionsregel b−c  a−c

f (x + c)dx =

b−c  a−c

f (ϕ(x))ϕ (x)dx =

b a

f (u)du .

2

178

Kapitel 3. Integral

f (x+c)

y

a-c

b-c

f (x)

a

b

x

Abbildung 3.16: Verschobene Fl¨ache F¨ ur die Aussage von Satz 3.4.14 gibt es auch folgende Sprechweise: Das RiemannIntegral ist invariant gegen¨ uber Verschiebungen . Eine Anwendung der partiellen Integration: F¨ ur stetige f  gilt nach dem Hauptsatz x f (x) = f  , falls f (a) = 0 . a

Das folgende Lemma verallgemeinert diese Aussage. Zun¨achst: Definition 3.4.15. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, p ∈ D und ur eine Funktion f : D −→ R bezeichnet f [n] die n-te Ableitung von f , n ∈ N0 . F¨ wobei f [0] := f und f [k] := (f [k−1] ) f¨ ur k ∈ N . Wenn f [n] existiert, dann heißt f n-mal differenzierbar . Außerdem ist C n (D) := {f : D −→ R | f [n] existiert und ist stetig} . Wenn zum Beispiel g die Betragsfunktion ist, dann wird durch f (x) := Funktion f ∈ C 1 (R) definiert; aber f ∈ C 2 (R) .

2 x

g eine

0

Lemma 3.4.16. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, a, x ∈ D , n ∈ N0 , f ∈ C n+1 (D) und f [i] (a) = 0 f¨ ur 0 ≤ i ≤ n . Dann ist 1 f (x) = n!

x

(x − t)n f [n+1] (t)dt .

a

Beweis. Vollst¨ andige Induktion: n = 0 : Nach Voraussetzung ist f (a) = 0 und f  stetig, also gilt nach dem Hauptsatz (bzw. 3.4.9): x x 1  f (x) = f = (x − t)0 f [1] (t)dt . 0! a

a

3.4. Hauptsatz

179

n → n + 1“: Sei f ∈ C n+2 (D) und f [i] (a) = 0 f¨ ur 0 ≤ i ≤ n + 1 . ” ur 0 ≤ i ≤ n , also nach InduktionsDann gilt auch f ∈ C n+1 (D) und f [i] (a) = 0 f¨ annahme x 1 f (x) = (x − t)n f [n+1] (t)dt . n! a

Mit partieller Integration folgt x

(x − t)n f [n+1] (t)dt

 =

−1 (x − t)n+1 f [n+1] (t) n+1

a

x −

t=x t=a

−1 (x − t)n+1 f [n+2] (t)dt n+1

a

1 n+1

=

x

(x − t)n+1 f [n+2] (t)dt ,

a

 t=x denn . . . t=a = 0 wegen x − t = 0 f¨ ur t = x und f [n+1] (t) = 0 f¨ ur t = a . Mit der Induktionsannahme folgt 1 f (x) = (n + 1)!

x

(x − t)n+1 f [n+2] (t)dt .

a

2

Zum Abschluss zeigen wir, dass man mit dem Hauptsatz alle konkreten Beispiele von Funktionen, die wir bisher betrachtet haben, auf die Zuordnungen x −→ 1 , x −→ x und x −→ x−1 zur¨ uckf¨ uhren kann. Zur Definition konkreter Funktionen stehen uns f¨ unf grundlegende Funktionen zur Verf¨ ugung: 1. Die konstante Funktion R −→ R , x −→ 1 . 2. Die Identit¨ at id : R −→ R , x −→ x . 3. Die Hyperbel R \ {0} −→ R , x −→ x−1 . 4. Der nat¨ urliche Logarithmus ln : R+ −→ R . 5. Der Arkustangens arctan : R −→ R . Aus diesen Grundfunktionen kann man durch Vervielfachen, Addieren, Multiplizieren, Verketten, Umkehren, Einschr¨ anken und Zusammensetzen (d.h. Fortsetzen mit Hilfe einer bereits definierten Funktion) unsere restlichen Funktionen herstellen. Zum Beispiel erh¨ alt man aus den ersten beiden Grundfunktionen durch Vervielfachen, Addieren und Multiplizieren alle Polynomfunktionen; mit x−1 entstehen dann alle rationalen Funktionen; x −→ ex entsteht durch Umkehrung von x −→ ln(x) ;

180

Kapitel 3. Integral

die Funktion f in Beispiel 3.1.2 entsteht, wenn man g : Q −→ R , x −→ 12 und h : R \ Q −→ R , x −→ 1 zusammensetzt (d.h. g wird mit Hilfe von h fortgesetzt); dabei entstehen g und h aus der ersten Grundfunktion durch Vervielfachen und Einschr¨anken. Inzwischen besitzen wir eine weitere M¨oglichkeit, aus gegebenen Funktionen neue Funktionen zu definieren: Integralfunktionen. Damit k¨onnen wir ln und arctan auf die ersten drei Grundfunktionen zur¨ uckf¨ uhren: x  x 1 ur alle x ∈ R+ . arctan(x) = 1+t ur alle x ∈ R . Satz 3.4.17. ln(x) = t−1 dt f¨ 2 dt f¨ 1

Beweis. Setze l(x) :=

x 1

0

t−1 dt f¨ ur alle x ∈ R+ . Dann ist l(1) = 0 = ln(1) , und mit

ur alle x ∈ R+ , also l = ln nach 2.3.7 dem Hauptsatz folgt l (x) = x−1 = ln (x) f¨ (Eindeutigkeit von Stammfunktionen). x 1 Setze a(x) := 1+t ur alle x ∈ R. Dann ist a(0) = 0 = arctan(0) , und mit dem 2 dt f¨ 0

1  ur alle x ∈ R, also a = arctan Hauptsatz und 2.2.9 folgt a (x) = 1+x 2 = arctan (x) f¨ nach 2.3.7. 2 x −1 Die Gleichung ln(x) = t dt sollte uns nicht sonderlich verwundern: In Ab1

schnitt 1.7 wurde die Definition von ln(x) aus der Idee entwickelt, die Fl¨ache unter der Hyperbel y = x−1 im Bereich [1 , x] zu verwenden. x 1 1  Auch arctan(x) = 1+t 2 dt bzw. arctan (x) = 1+x2 kann man anschaulich plau0

sibel machen: In Abbildung 3.17 ist arctan(x) die L¨ange des Bogens von B nach D , G

F

z-x b

E

C

a

z

D x

A

1

B

Abbildung 3.17: arctan (x) ≈ a/(z − x) arctan(z) ist die L¨ ange des Bogens von B nach E , also ist arctan(z) − arctan(x) die L¨ange des Bogens von D nach E . Dieser Bogen von D nach E hat ungef¨ahr die L¨ange a der eingezeichneten Strecke. (In Abschnitt 1.8 wurden Bogenl¨angen als Grenzwerte mit Hilfe solcher Strecken definiert; siehe Abbildung 1.27.) Somit ist a arctan(z) − arctan(x) ≈ ; z−x z−x

3.4. Hauptsatz

181

außerdem: a b 1 1 1 AD AB a = · = · = √ ·√ → z−x b z−x 1 + x2 AC AG 1 + x2 1 + z2

f¨ ur z → x .

1 arctan(z) − arctan(x) = anschaulich plauz→x z−x 1 + x2 ¨ sibel. (Diese Uberlegungen kann man auch noch genauer formulieren: a ist eine untere Absch¨atzung f¨ ur die L¨ ange des Bogens von D nach E , vgl. Abb. 1.27; damit ¨ atzung f¨ ur arctan (x) . Eine ¨ahnliche Uberlegung ist (1 + x2 )−1 eine untere Absch¨ 2 −1 anhand von Abb. 1.28 liefert (1 + x ) als obere Absch¨atzung.) Der Arkustangens wurde in Abschnitt 1.8 mit Hilfe konvergenter Folgen definiert. Satz 3.4.17 zeigt, dass man den Arkustangens auch als Integralfunktion definieren kann: Setze Damit wird arctan (x) = lim

x f (x) := 0

1 dt 1 + t2

f¨ ur alle x ∈ R .

Dann ist arctan = f . Legt man diese Definition zugrunde, so werden viele Beweise deutlich einfacher: Nach dem Hauptsatz folgt sofort, dass f differenzierbar ist, wobei f  (x) = (1 + x2 )−1 (vergleiche den entsprechenden Satz 2.2.9 und seinen Beweis). Wegen (1 + x2 )−1 > 0 f¨ ur alle x ∈ R ist f streng monoton steigend; außerdem folgt aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit von f (vgl. 1.8.9). Auch der Beweis des Additionstheorems   x+y f¨ ur xy < 1 f (x) + f (y) = f 1 − xy ist jetzt sehr einfach (im Gegensatz zu 1.8.6 und 1.8.7): F¨ ur x = 0 ist die Gleichung ¨ sicher richtig; da außerdem die Ableitungen beider Seiten u ¨bereinstimmen (Ubung!), folgt die Behauptung nach 2.3.7 (Eindeutigkeit von Stammfunktionen).

Aufgaben 1. Beweisen Sie Korollar 3.4.1. 2. F¨ ur welche t ∈ R ist F : R −→ R , x −→ mx + t eine Integralfunktion von f : R −→ R , x −→ m ? 3. F¨ ur welche t ∈ R ist F : R −→ R , x −→ f : R −→ R , x −→ x ?

1 2 2x

+ t eine Integralfunktion von

4. Beweisen sie Korollar 3.4.6. 5. Zeigen Sie an einem Beispiel, dass der Hauptsatz 3.4.7 falsch wird, wenn man die Voraussetzung wegl¨ asst, dass f stetig ist.

182

Kapitel 3. Integral

6. Berechnen Sie durch Substitution: π/2 2π 1   x(3 + x2 )4 dx , (sin(x))3 cos(x)dx , ecos(x) sin(x)dx . 0

0

0

7. Berechnen Sie mit partieller Integration: π

π

(cos(x))2 dx ,

−π

0

1

x2 ex dx ,

0

e

x ln(x)dx ,

1

cos(kx) cos(nx)dx mit k, n ∈ N .

8. Es sei f : R −→ R stetig mit f (−x) = −f (x) f¨ ur alle x ∈ R . Beweisen Sie a durch Substitution: f (x)dx = 0 f¨ ur alle a ∈ R . −a

9. Beweisen Sie durch Substitution:

b 1

1 x dx

=

ab 1 a

x dx

f¨ ur alle a, b ∈ R+ (siehe

Abbildung 1.20 in Abschnitt 1.7). 10. Beweisen Sie

b

f (x)dx = c ·

a

b/c 

f (cx)dx f¨ ur c = 0 und f stetig. Welche geome-

a/c

trische Bedeutung hat diese Gleichung? 11. Beweisen Sie das Additionstheorem des Arkustangens mittels arctan(x) = x 1 dt . 1+t2 0

12. Beweisen Sie die wichtigsten Eigenschaften des nat¨ urlichen Logarithmus mit x −1 Hilfe von ln(x) = t dt . 1

3.5. Taylorpolynome

3.5

183

Taylorpolynome

ex − 1 x2 und lim ? Das Problem bei diesen x→0 sin(x) x→0 cos(x) − 1 Termen besteht darin, dass Z¨ ahler und Nenner gegen 0 konvergieren. Wenn es sich dabei jeweils um Polynome handeln w¨ urde, die bei x = 0 den Wert 0 annehmen, dann k¨onnte man x ausklammern und k¨ urzen, wie zum Beispiel bei Wie berechnet man lim

x2 − 2x x−2 = lim =2. x→0 x2 − x x→0 x − 1 lim

Wenn es also m¨ oglich w¨ are, Z¨ ahler und Nenner unserer problematischen Br¨ uche durch geeignete Polynome zu ersetzen“, dann k¨onnten wir ihren Grenzwert be” rechnen. Bei der Taylorentwicklung sucht man Polynome, die m¨oglichst gute N¨aherun” gen“ f¨ ur jeweils gegebene Funktionen darstellen. Das ist letztlich eine Verallgemeinerung des Tangenten-Problems aus Abschnitt 2.1: Tangenten sind Geraden, die m¨oglichst gute N¨ aherungen“ f¨ ur jeweils gegebene Funktionen darstellen (und die ” Terme f¨ ur Geraden sind Polynome vom Grad 0 oder 1). x

y

e -1

1

x

sin(x) 1

x

Abbildung 3.18: Tangente an ex − 1 und sin(x) ex − 1 Mit der Idee Graph ≈ Tangente“ k¨ onnen wir lim berechnen: ex − 1 und ” x→0 sin(x) sin(x) besitzen bei x = 0 die Tangente y = x , also lautet die Idee x≈0

=⇒

x ex − 1 ≈ =1. sin(x) x

Mit der Definition der Ableitung wird daraus eine exakte Berechnung. Zur Erinnerung: f ist bei 0 differenzierbar, wenn es eine bei 0 stetige Funktion r gibt mit f (x) = f (0) + r(x)x . Es gibt also stetige Funktionen r und s mit ex − 1 = 0 + r(x)x und sin(x) = 0 + s(x)x , wobei r(0) = (ex − 1) (0) = 1 und s(0) = sin (0) = 1 ; somit: r(0) ex − 1 r(x)x = lim = =1. x→0 sin(x) x→0 s(x)x s(0) lim

184

Kapitel 3. Integral

y 1

x

1 cos

0,3 a=1

0,5

Abbildung 3.19: Parabeln 1 − ax2 an cos(x) x2 : Z¨ahler Die Idee Graph ≈ Tangente“ funktioniert aber nicht bei lim ” x→0 cos(x) − 1 und Nenner besitzen bei x = 0 die Tangente y = 0 , also w¨ urde der sinnlose Bruch 00 entstehen. Doch Graph ≈ Parabel“ k¨ onnte funktionieren: Durch ein wenig Probie” ur cos(x) ren (siehe Abbildung 3.19) findet man y = 1 − 12 x2 als gute N¨aherung“ f¨ ” bei x = 0 , also gilt vielleicht x≈0

=⇒

x2 x2 ≈ = −2 . 1 cos(x) − 1 1 − 2 x2 − 1

Die Idee, Graphen mit Hilfe von Polynomen anzun¨ahern, soll im Folgenden pr¨azisiert werden. Zun¨achst definieren wir die Polynome, die eine gute N¨aherung“ darstellen sol” len. Dabei orientieren wir uns an der Definition der Tangenten: Wenn eine Funktion f an einer Stelle p differenzierbar ist, dann wird die Tangente von f bei p durch eine Polynomfunktion g vom Grad 0 oder 1 dargestellt, wobei g(p) = f (p) und g  (p) = f  (p) ; also: g(x) = f (p) + f  (p)(x − p) . Das verallgemeinern wir so: Gesucht ist ein Polynom g(x) vom Grad ≤ n , sodass g [k] (p) = f [k] (p) f¨ ur 0 ≤ k ≤ n ; das erreicht man zum Beispiel f¨ ur n = 2 durch g(x) := f (p) + f  (p)(x − p) +

f  (p) (x − p)2 , 2

denn dann ist g(p) = f (p) , g  (x) = f  (p) + f  (p)(x − p) , g  (p) = f  (p) g (x) = f  (p) , g  (p) = f  (p) . Im vorherigen Beispiel mit f = cos und p = 0 erhalten wir g(x) = cos(0) + cos (0) · x + Allgemein:

cos (0) 2 · x = 1 − 12 x2 . 2

3.5. Taylorpolynome

185

Definition 3.5.1. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, p ∈ D , n ∈ N0 und f : D −→ R an der Stelle p n-mal differenzierbar. Dann ist τpn (f ) : R −→ R die Polynomfunktion mit Term τpn (f )(x) :=

n

f [k] (p) k=0

k!

(x − p)k . 2

τpn (f )(x) heißt n-tes Taylorpolynom von f bei p .

Manchmal lassen wir auch Klammern weg und schreiben zum Beispiel τpn f (x) statt τpn (f )(x) , oder (τpn f ) statt (τpn (f )) . unschte Der folgende Satz 3.5.3 zeigt, dass die Polynome g(x) := τpn (f )(x) die gew¨ [k] [k] Eigenschaft g (p) = f (p) f¨ ur 0 ≤ k ≤ n besitzen. Die zugeh¨orige Beweisidee ist n recht einfach: Wenn man ein Polynom von der Form g(x) = ak (x − p)k = k=0

a0 + a1 (x − p) + a2 (x − p)2 + a3 (x − p)3 + . . . zweimal ableitet, entsteht n

g  (x) = a1 + 2a2 (x − p) + 3a3 (x − p)2 + . . . =

k ak (x − p)k−1

k=1

g  (x) =

n

1 · 2 · a2 + 2 · 3 · a3 (x − p) + . . . =

(k − 1)k ak (x − p)k−2 ,

k=2

ur k > 2 . Allgemein: also g  (p) = 2! a2 , denn (p − p)k−2 = 0 f¨ Lemma 3.5.2. Es sei n ∈ N0 , a0 , . . . , an , p ∈ R und g(x) = gilt g [k] (p) = k! ak f¨ ur 0 ≤ k ≤ n , das heißt τpn (g) = g .

n

ak (x − p)k . Dann

k=0

Beweis. Wir zeigen f¨ ur alle x ∈ R und 0 ≤ i ≤ n g [i] (x) =

n

k=i

k! ak (x − p)k−i (k − i)!

durch Induktion nach i (die Behauptung folgt dann f¨ ur x = p). n k! k i = 0 : Nach Voraussetzung ist g [0] (x) = g(x) = k! ak (x − p) . [i]

i → i + 1“: Sei 0 ≤ i < n und g (x) = ” Ableiten g [i+1] (x) =

=

n

k=i+1 n

k=i+1

und damit die Behauptung.

n k=i

k=0

k! (k−i)!

ak (x − p)k−i . Dann folgt durch

k! ak (x − p)k−i−1 (k − i − 1)! k! ak (x − p)k−(i+1) , (k − (i + 1))! 2

186

Kapitel 3. Integral

Satz 3.5.3. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, p ∈ D , n ∈ N0 und f : D −→ R an der Stelle p n-mal differenzierbar. Dann gilt (τpn f )[k] (p) = f [k] (p) f¨ ur 0 ≤ k ≤ n , das heißt τpn (τpn (f )) = τpn (f ) . 2

Beweis. Siehe Lemma 3.5.2 mit g := τpn (f ) . Wir berechnen einige Taylorpolynome:

Beispiel 3.5.4. F¨ ur exp(x) = ex und k ∈ N0 ist exp[k] (x) = ex , also exp[k] (0) = 1 , und damit τ0n exp(x) =

n

1 k 1 1 x = 1 + x + x2 + . . . + xn . k! 2! n!

k=0

Es ist ln[1] (x) = x−1 , ln[2] (x) = −x−2 , ln[3] (x) = 2x−3 , . . . Allgemein: ln[k] (x) = (−1)k−1 (k − 1)! x−k

f¨ ur k ≥ 1

¨ (Ubung: vollst¨andige Induktion!), also ln[0] (1) = ln(1) = 0 und 0! und damit τ1n ln(x) =

ln[k] (1) (−1)k−1 = k! k

n

(−1)k−1 k=1

k

f¨ ur k ≥ 1 ,

(x − 1)k .

¨ Außerdem zeigt man mit vollst¨ andiger Induktion (Ubung!): τ02n+1 sin(x) =

n

(−1)k 2k+1 x (2k + 1)! k=0

und τ02n cos(x) =

n

(−1)k k=0

(2k)!

x2k .

2

Mit diesen Beispielen lassen sich leicht weitere Taylorpolynome berechnen, wenn man geeignete Regeln f¨ ur τpn (λ · f ) , τpn (f + g) , τpn (f · g) und τpn (f ◦ g) kennt. Man n sieht sofort, dass τp (. . .) linear ist: F¨ ur λ ∈ R und n-mal differenzierbare f und g gilt τpn (λ · f ) = λ · τpn (f ) und τpn (f + g) = τpn (f ) + τpn (g) , da die Ableitung linear ist: (λ · f ) = λ · f  und (f + g) = f  + g  . Die Regel f¨ ur τpn (f · g) ist einfacher als die Produktregel der Ableitung. Sie ist sogar so einfach, dass man zum Beispiel τ02 (ex · sin(x)) = x + x2 sofort im Kopf berechnen kann; damit erh¨ alt man insbesondere auch (ex sin(x)) (0) = 1 und (ex sin(x)) (0) = 2 durch Kopfrechnen. Dazu muss man aber zuerst verstehen, dass das Rechnen mit Taylorpolynomen ein Rechnen bis auf restliche Terme“ ist. Was ” es damit auf sich hat, soll zun¨ achst an einem konkreten Beispiel erl¨autert werden.

3.5. Taylorpolynome

187

Beispiel 3.5.5. Wir wissen bereits, dass die Taylorentwicklungen von ex und sin(x) so beginnen: 1 1 τ0n ex = 1 + x + x2 + x3 + . . . 2 6

1 und τ0n sin(x) = x − x3 + . . . 6

Mit solchen Taylorpolynomen wollen wir ex und sin(x) ann¨ahern. Unsere (bisher noch vage) Vorstellung lautet also: 1 1 ex ≈ 1 + x + x2 + x3 + . . . 2 6

und

1 sin(x) ≈ x − x3 + . . . 6

Wenn man diese Terme multipliziert und nach Potenzen von x sortiert, dann entsteht   1 1 ex · sin(x) ≈ x + x2 + x3 + . . . − 2 6 Damit k¨onnte τ02 (ex · sin(x)) = x + x2 gelten, denn das zweite Taylorpolynom von ex · sin(x) hat einen Grad ≤ 2 und soll ex · sin(x) ann¨ahern. Diese Art der Berechnung von x + x2 kann man noch abk¨ urzen: Von ex bzw. 1 2 sin(x) ben¨otigen wir nur die Terme 1 + x + 2 x bzw. x , denn die restlichen Terme 1 3 1 3 3 ahrend unser Ergebnis nur ein 6 x + . . . und − 6 x + . . . sind Vielfache von x , w¨ Polynom vom Grad ≤ 2 sein soll. Daher lassen wir alle Vielfachen von x3 weg und multiplizieren nur τ02 (ex ) · τ02 (sin(x)) = (1 + x + 12 x2 ) · x = x + x2 + 12 x3 . Da τ02 (ex · sin(x)) ein Polynom vom Grad ≤ 2 ist, lassen wir 12 x3 weg und erhalten 2 x + x2 . Dieses Weglassen restlicher Terme“ soll nun pr¨azisiert werden. ” Definition 3.5.6. Es sei f : D −→ R an der Stelle p n-mal differenzierbar. Die Funktion rpn (f ) := f − τpn (f ) : D −→ R heißt n-tes Restglied von f bei p . 2 Statt Andeutungen wie ex ≈ τ02 (ex ) + 16 x3 + . . . in Beispiel 3.5.5 schreiben wir jetzt ex = τ02 (ex ) + r02 (ex ) . Damit scheint noch nichts gewonnen zu sein, da es sich dabei zun¨achst nur um eine neue Schreibweise handelt. Doch die Reste rpn (f ) haben besondere Eigenschaften: Lemma 3.5.7. Es seien f und g bei p n-mal differenzierbar. Dann gilt:   1. τpn rpn (f ) = 0 . 2. Wenn τpn (g) = 0 , dann ist τpn (f · g) = 0 . Beweis. Zu 1.: τpn ist linear, also folgt mit Satz 3.5.3       τpn rpn (f ) = τpn f − τpn (f ) = τpn (f ) − τpn τpn (f ) = 0 .

188

Kapitel 3. Integral

Zu 2.: Aus τpn (g) = 0 folgt g [i] (p) = 0 f¨ ur 0 ≤ i ≤ n . Mit vollst¨andiger Induktion k   k [k−i] ¨ (x) g [i] (x) (Ubung!). Damit folgt die Behaupzeigt man (f g)[k] (x) = i f i=0

tung.

2

Satz 3.5.8. Es seien f und g bei p n-mal differenzierbar. Dann gilt:   τpn (f · g) = τpn f · τpn (g) . Beweis. Es ist

  τpn (f · g) = τpn f · (τpn (g) + rpn (g))   = τpn f · τpn (g) + f · rpn (g)   = τpn f · τpn (g) + 0 2

wegen τpn linear und 3.5.7. Wenn man 3.5.8 zweimal anwendet, entsteht   τpn (f · g) = τpn τpn (f ) · τpn (g) .

Dieser Satz rechtfertigt also unser Vorgehen in Beispiel 3.5.5 und pr¨azisiert das Weglassen aller Vielfachen von x3“ bzw. das Rechnen modulo x3“, wie man auch ” ” sagt:     τ02 ex · sin(x) = τ02 τ02 (ex ) · τ02 (sin(x))   = τ02 (1 + x + 12 x2 ) · x   = τ02 x + x2 + 12 x3 =

x + x2 .

Mit der Produktregel 3.5.8 kann man Funktionen oft einfacher ableiten als mit unserer bisherigen Produktregel (f g) = f g  + f  g : Beispiel 3.5.9. Es sei f (x) := x3 ex . Die Holzhammer-Methode“ zur Berechnung ” von f  (0) beginnt so: f  (x) f  (x) f  (x)

=

3x2 ex + x3 ex

= 6xex + 3x2 ex + 3x2 ex + x3 ex = 6xex + 6x2 ex + x3 ex ¨ = . . . (wer unbedingt will: Ubung!)

¨ Anschließend setzt man 0 ein. Wer aber schon ein wenig Ubung mit Taylorpolyno3 3 x 3  men hat, sieht sofort τ0 (x e ) = x , und damit f (0) = 6 . Wer noch ein wenig ¨ Ubung braucht, rechnet wie folgt:     τ03 x3 · ex = τ03 τ03 (x3 ) · τ03 (ex )   = τ03 x3 · (1 + x + 12 x2 + 16 x3 )   = τ03 x3 + x4 + 12 x5 + 16 x6 = x3 .

3.5. Taylorpolynome

189

Nach Definition 3.5.1 ist daher τ03 f (x) = x3 =

f  (0) 3 3! x

, also f  (0) = 6 .

2

τpn (g◦f )

wird ebenfalls modulo restlicher Terme berechnet. Nun zur Kettenregel: Zum Verst¨andnis des folgenden Beweises sollte man sich zun¨achst klarmachen, dass g◦f =

n

ak f k

f¨ ur g(x) =

k=0

n

a k xk

k=0

3

3

gilt. Zum Beispiel gilt g ◦ f = f f¨ ur g(x) = x , da (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x) · f (x) · f (x) = (f · f · f )(x) . ur g(x) = x2 − 7x + 5 , da Ein weiteres Beispiel: g ◦ f = f 2 − 7f + 5 f¨ (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x) · f (x) − 7 · f (x) + 5 = (f · f − 7 · f + 5)(x) . Mit Satz 3.5.8 folgt dann zum Beispiel f¨ ur g(x) = x3   τpn (g ◦ f ) = τpn (f · f · f ) = τpn τpn (f ) · τpn (f ) · τpn (f )     = τpn (τpn (f ))3 = τpn g ◦ (τpn (f )) . (Streggenommen sollte man statt der 5“ in (f ·f −7·f +5) genauer 5·η“ schreiben, ” ” wobei η die konstante Funktion mit Wert 1 ist, da in diesem Term Funktionen addiert werden; eine Verkn¨ upfung Funktion + Zahl“ haben wir nicht definiert. ” Doch η wird oft weggelassen und 5“ als Zeichen f¨ ur eine Funktion aufgefasst; ” aus dem jeweiligen Zusammenhang ist meist klar, ob mit 5“ eine Zahl oder eine ” konstante Funktion gemeint ist. Ebenso m¨ usste man statt τpn (1)“ genauer τpn (1·η)“ ” ” schreiben.) Lemma 3.5.10. Es sei f bei p n-mal differenzierbar und g eine Polynomfunktion. Dann ist τpn (g ◦ f ) = τpn (g ◦ τpn (f )) . Beweis. Wir betrachten zun¨ achst den Fall g(x) = xm mit m ∈ N0 . Dann ist m g ◦ f = f = f · . . . · f (m Faktoren) und g ◦ τpn (f ) = (τpn (f ))m , also lautet   ur m = 0 folgt die Behauptung wegen die Behauptung τpn (f m ) = τpn (τpn (f ))m . F¨ ur m = 1 nach 3.5.3 , und f¨ ur m ≥ 2 nach 3.5.8 durch Induktion f 0 = 1 = (τpn (f ))0 , f¨ nach m . m a k xk : Nun zum allgemeinen Fall g(x) =  τpn (g ◦ f )

=

τpn

k=0 m



ak f

k

m

=

k=0

=

m

k=0

  ak τpn (τpn (f ))k

k=0



=

τpn

m

ak τpn (f k ) (da τpn linear) (siehe oben)

 ak (τpn (f ))k

(da τpn linear)

k=0

= τpn (g ◦ τpn (f )) .

2

190

Kapitel 3. Integral

Dieses Lemma werden wir gleich noch verallgemeinern (hinsichtlich g). Zum Verst¨andnis des folgenden Beweises sollte man sich vor Augen halten, dass τpn (f ) = 0 genau dann gilt, wenn f [k] (p) = 0 f¨ ur alle k ∈ {0; 1; . . . ; n} . Lemma 3.5.11. Es sei f bei p n-mal differenzierbar und g bei q = f (p) n-mal differenzierbar. Dann gilt: τqn (g) = 0

=⇒

τpn (g ◦ f ) = 0 .

Beweis. Vollst¨ andige Induktion nach n : n = 0 : Sei τq0 (g) = 0 , das heißt g(q) = 0 . Dann ist τp0 (g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(p) = g(q) = 0 . n → n + 1“: Sei τqn+1 (g) = 0 . ” Dann ist auch τqn (g) = 0 , also nach Induktionsannahme τpn (g ◦ f ) = 0 . Damit ist nur noch zu zeigen: (g ◦ f )[n+1] (p) = 0 . Wegen τqn+1 (g) = 0 ist auch τqn (g  ) = 0 , also nach Induktionsannahme τpn (g  ◦ f ) = 0 , also nach 3.5.7.2 τpn ((g  ◦ f ) · f  ) = 0 ,  [n] insbesondere (g  ◦ f ) · f  (p) = 0 , [n+1] (p) = 0 . also (g ◦ f )

2

Satz 3.5.12. Es sei f bei p n-mal differenzierbar und g bei q = f (p) n-mal differenzierbar. Dann ist   τpn (g ◦ f ) = τpn τqn (g) ◦ τpn (f ) . Beweis.

  τpn (g ◦ f ) = τpn (τqn (g) + rqn (g)) ◦ f   = τpn τqn (g) ◦ f + rqn (g) ◦ f     (da τpn linear) = τpn τqn (g) ◦ f + τpn rqn (g) ◦ f   (nach 3.5.11 und 3.5.7) = τpn τqn (g) ◦ f   = τpn τqn (g) ◦ τpn (f ) . (nach 3.5.10)

2

Beispiel 3.5.13. Wir berechnen (ecos x ) (0) mit Satz 3.5.12:   τ03 (ecos x ) = τ03 τ13 (ex ) ◦ τ03 (cos x)   = τ03 (e + 1e (x − 1) + 2e (x − 1)2 + 6e (x − 1)3 ) ◦ (1 − 12 x2 )   = τ03 e + 1e (− 12 x2 ) + 2e (− 12 x2 )2 + e6 (− 12 x2 )3 = e − 2e x2 , also (ecos x ) (0) = 0 .

2

3.5. Taylorpolynome

191

Nachdem wir nun wissen, was Taylorpolynome sind und wie man mit ihnen rechnet, untersuchen wir als n¨ achstes, um wie viel sich τpn (f ) von f unterscheidet n bzw. wie groß das Restglied rp (f ) := f − τpn (f ) ist. In Abbildung 3.20 erkennt man im Bereich [−1 ; 1] kaum einen Unterschied zwischen cos , τ02 (cos) und τ04 (cos) ; das Bild enth¨alt u ¨brigens auch den Graphen von τ08 (cos) : sein Unterschied zum Kosinus ist im Bereich [−3 ; 3] unsichtbar klein. y 1 τ40 (cos)

1

x

cos τ20 (cos)

Abbildung 3.20: N¨ aherungen f¨ ur cos oglichst einfachem Wege absch¨atzen zu k¨onnen betrachten wir Um rpn (f ) auf m¨ eine Methode, bei der man rpn (f ) allein mit Hilfe von f [n+1] berechnen kann. F¨ ur n = 0 kennen wir diese Methode bereits: Aus dem Hauptsatz folgt f¨ ur f ∈ C 1 (D) (siehe 3.4.9) rp0 (f )(x)

= f (x) −

τp0 (f )(x)

x = f (x) − f (p) =

f  (t)dt .

p

Die Taylorformel verallgemeinert diesen Zusammenhang: Satz 3.5.14. Taylor-Formel. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, p ∈ D , n ∈ N0 und f ∈ C n+1 (D) . Dann gilt rpn (f )(x)

1 = n!

x

(x − t)n f [n+1] (t)dt f¨ ur alle x ∈ D .

p

ullt die Bedingungen von Lemma 3.4.16: Beweis. Die Funktion rpn (f ) erf¨ rpn (f ) ∈ C n+1 (D) , denn f ∈ C n+1 (D) nach Voraussetzung, und τpn f (x) ist ein ur 0 ≤ i ≤ n nach 3.5.7. Damit folgt nach Polynom; außerdem ist (rpn (f ))[i] (p) = 0 f¨ 3.4.16 x 1 n rp (f )(x) = (x − t)n (rpn (f ))[n+1] (t)dt f¨ ur alle x ∈ D . n! p

Außerdem ist (rpn (f ))[n+1] = f [n+1] , denn rpn (f ) = f − τpn (f ) , und der Grad des Polynoms τpn (f )(x) ist h¨ ochstens n , also (τpn (f ))[n+1] = 0 . 2

192

Kapitel 3. Integral

Mit der Taylorformel und dem nun folgenden Mittelwertsatz kann man eine weitere Darstellung des Restglieds rpn (f ) herleiten (3.5.16), die in vielen Situationen sehr leicht anzuwenden ist. Satz 3.5.15 ist u ¨brigens eine Verallgemeinerung von Satz b 3.4.5, da g = b − a f¨ ur konstantes g = 1 . a

Satz 3.5.15. Mittelwertsatz der Integralrechnung. Es seien f, g : [a , b] −→ R Funktionen, f stetig, g integrierbar und g ≥ 0 oder g ≤ 0 (das heißt g hat keinen Vorzeichenwechsel). Dann gibt es ein c ∈ [a , b] mit b b (f g) = f (c) · g . a

a

Beweis. 1. Fall: g ≥ 0 . Nach dem Extremwertsatz existiert das globale Minimum m und das globale Maximum M der Funktion f . Mit der Monotonie des Integrals folgt b b b b b m · g = (mg) ≤ (f g) ≤ (M g) = M · g . a

a

a

a

Die Funktion h : [a , b] −→ R , x −→ f (x) ·

a

b

g ist stetig (denn

a

konstante Zahl), und besitzt die Funktionswerte m · Zwischenwertsatz gibt es also ein c ∈ [a , b] mit

b

b

b

g ist nur eine

a

g und M ·

a

b a

(f g) = h(c) = f (c) ·

a

g . Nach dem b

g.

a

¨ 2. Fall: g ≤ 0 . Ubung!

2

Satz 3.5.16. Restglieddarstellung von Lagrange. Es seien D, p, n, f wie in Satz 3.5.14 (Taylorformel), und x ∈ D . Dann gibt es ein c in [p , x] bzw. [x , p] mit rpn (f )(x) =

f [n+1] (c) (x − p)n+1 . (n + 1)!

Beweis. f [n+1] und t −→ (x−t)n erf¨ ullen die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes 3.5.15: f [n+1] ist stetig, und (x − t)n hat in [p , x] bzw. [x , p] keinen Vorzeichenwechsel. Daher gibt es ein c in [p , x] bzw. [x , p] mit x

n [n+1]

(x − t) f p

(t)dt = f

[n+1]

x (x − t)n dt =

(c)

f [n+1] (c) (x − p)n+1 . n+1

p

Mit der Taylor-Formel 3.5.14 folgt jetzt die Behauptung.

2

Beispiel 3.5.17. F¨ ur f = cos und p = 0 gibt es nach 3.5.16 ein c ∈ [0 ; 0,5] mit r03 (cos)(0,5) =

cos[4] (c) cos(c) 1 · 0,54 = · 0,54 ≤ · 0,54 ≈ 2,6 · 10−3 . 4! 4! 4!

2

3.5. Taylorpolynome

193

Mit Lagrange kann man eine Aussage verallgemeinern, die in unmittelbarem Zusammenhang mit der Definition der Ableitung steht: F¨ ur n = 0 erhalten wir im folgenden Satz 3.5.18 f (x) = f (p) + R(x)(x − p)

und R(p) = f  (p) .

Das sind letztlich die Gleichungen, die auch in der Definition der Ableitung stehen (siehe 2.1.3). Satz 3.5.18. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, p ∈ D , n ∈ N0 und f ∈ C n+1 (D) . Dann gibt es eine stetige Funktion R : D −→ R , sodass f¨ ur alle x∈D f (x) = τpn (f )(x) + R(x)(x − p)n+1 Beweis. Setze

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ R(x) :=

rpn (f )(x) (x − p)n+1

⎪ f [n+1] (p) ⎪ ⎪ ⎩ (n + 1)!

und

R(p) =

f [n+1] (p) . (n + 1)!

f¨ ur x ∈ D \ {p} f¨ ur x = p .

Nach Lagrange folgt wegen der Stetigkeit von f [n+1] rpn (f )(x) f [n+1] (p) , = n+1 x→p (x − p) (n + 1)! lim

also ist R stetig (f¨ ur x = p ist R ohnehin ein Quotient stetiger Funktionen). Aus der Definition von R folgt unmittelbar, dass auch die geforderten Gleichungen erf¨ ullt sind. 2 Jetzt k¨onnen wir das Problem l¨ osen, mit dem dieser Abschnitt begann: Beispiel 3.5.19. Nach 3.5.18 gibt es eine stetige Funktion R : D −→ R mit cos(x) = τ01 cos(x) + R(x)x2 = 1 + R(x)x2

und R(0) =

1 cos[2] (0) =− , 2! 2

also folgt x2 x2 1 = lim = = −2 . x→0 cos(x) − 1 x→0 1 + R(x)x2 − 1 R(0) lim

2

2

x kann man verallgemeinern: x→0 cos(x) − 1

Unsere Berechnung von lim

Korollar 3.5.20. Sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, p ∈ D , n ∈ N0 , f, g ∈ C n+1 (D) mit f [k] (p) = 0 = g [k] (p) f¨ ur alle k ∈ {0; . . . ; n} , und g [n+1] (p) = 0 . Dann ist f [n+1] (p) f (x) = [n+1] . lim x→p g(x) g (p)

194

Kapitel 3. Integral

Beweis. Nach Voraussetzung ist τpn (f ) = 0 = τpn (g) , also gibt es nach 3.5.18 stetige Funktionen R, S : D −→ R mit f (x) = R(x)(x − p)n+1 und g(x) = S(x)(x − p)n+1 f¨ ur alle x ∈ D , R(p) =

f [n+1] (p) (n+1)!

und S(p) =

g [n+1] (p) (n+1)!

. Damit folgt

f (x) R(x) R(p) f [n+1] (p) . = lim = = [n+1] x→p g(x) x→p S(x) S(p) g (p) lim

2

Korollar 3.5.20 ist u ¨brigens ein Spezialfall der Regeln von l’Hospital (siehe [Br¨o1], Abschnitt V.1). Eine weitere Anwendung von Satz 3.5.18 betrifft das lokale Verhalten von Funktionen. F¨ ur f  (p) = 0 und f  (p) > 0 (bzw. f  (p) < 0) ist p nach 2.3.21 eine ur lokale Minimalstelle (bzw. Maximalstelle). Aber was gilt im Fall f  (p) = 0 ? F¨ f [1] (p) = . . . = f [n] (p) ist f (x) = f (p) + R(x)(x − p)n+1 mit einer stetigen Funktion R (siehe 3.5.18). In einer kleinen“ Umgebung von p ist R(x) ≈ R(p) , also ” f (x) ≈ f (p) + R(p)(x − p)n+1 . Das Verhalten von f (x) ist daher mit dem Verhalten von f (p) + R(p)(x − p)n+1 vergleichbar: n+1 gerade

n+1 ungerade

p

p

Abbildung 3.21: Verhalten von a + b · (x − p)n+1 f¨ ur b > 0 Korollar 3.5.21. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, p ∈ D , n ∈ N , ur alle k ∈ {1; . . . ; n} , f [n+1] (p) > 0 . Dann gilt: f ∈ C n+1 (D) mit f [k] (p) = 0 f¨ 1. F¨ ur gerades n + 1 ist p eine lokale Minimalstelle. 2. F¨ ur ungerades n + 1 ist f in einer Umgebung von p streng monoton steigend. Beweis. Wir wenden Satz 3.5.18 auf f  ∈ C n (D) an: Wegen f [k] (p) = 0 f¨ ur alle k ∈ {0 ; . . . ; n − 1} ist f [n+1] (p) f [n] (p) = >0 n! n! f¨ ur alle x ∈ D mit einer geeigneten stetigen Funktion R : D −→ R . Daher gibt es ein offenes Intervall I mit p ∈ I und R(x) > 0 f¨ ur alle x ∈ I ∩ D . 1. Fall: n ungerade. Dann gilt f¨ ur alle x ∈ I ∩ D : f  (x) < 0 f¨ ur x < p , und f  (x) > 0 f¨ ur x > p . Damit ist p eine lokale Minimalstelle. ur alle x ∈ I ∩ D \ {p} . Damit ist f in I streng 2. Fall: n gerade. Dann ist f  (x) > 0 f¨ monoton steigend. 2 f  (x) = 0 + R(x)(x − p)n

und R(p) =

3.5. Taylorpolynome

195

Beispiel 3.5.22. F¨ ur f (x) := 1 + 12 (x + 1)(x − 1)5 ist f [1] (1) = . . . = f [4] (1) = 0 [5] und f (1) = 120 , also ist f in einer Umgebung von 1 streng monoton steigend. F¨ ur R(x) := 12 (x + 1) ist f (x) = 1 + R(x)(x − 1)5 und R(1) = 1 ; Abbildung 3.22 2 enth¨alt zum Vergleich die Graphen von f (x) und g(x) := 1 + R(1)(x − 1)5 .

y

f

y

1

g

1

1

x

1

x

Abbildung 3.22: f (x) = 1 + 12 (x + 1)(x − 1)5 und g(x) = 1 + 1 · (x − 1)5 Zum Abschluss unternehmen wir noch einen kleinen Ausflug in die Physik: ur Energie, m f¨ ur Beispiel 3.5.23. Was bedeutet E = mc2 ? Nun ja: E steht f¨ Masse und c f¨ ur die Lichtgeschwindigkeit. Aber warum gilt diese Gleichung? Eine Antwort auf diese Frage sucht man am besten in Physikb¨ uchern. Dort findet der erstaunte Leser E := mc2 . Ist das Aush¨angeschild der Relativit¨ atstheorie nur eine Definition, eine willk¨ urliche(?) Festlegung eines Begriffes, also etwas, das durch Experimente weder best¨atigt noch widerlegt werden kann? Dann w¨ urde E := mc2 nichts u ¨ber die Natur aussagen. Eine ganze Theorie auf eine Formel zu reduzieren ist nat¨ urlich grober Unfug. Man muss schon einige Zeit mit seinen Physikb¨ uchern verbringen, um eine echte Antwort auf unsere Frage zu erhalten. Wir greifen nur einen Aspekt heraus (der die N¨ utzlichkeit der Taylorentwicklung unterstreicht): Zun¨achst sollte man sich klarmachen, dass Energie“ ein abstrakter Begriff ist, ” und nicht etwa ein Ding“, das man irgendwo ausgr¨abt oder vom Baum pfl¨ uckt, um ” es anschließend zu untersuchen. Begriffe werden in der Physik verwendet, um die“ ” Natur zu beschreiben; man legt sie also nicht willk¨ urlich fest. In der Relativit¨atstheorie gilt folgender Grundsatz: Relativistische Begriffe werden so definiert, dass sie im Grenzfall klei” ner Geschwindigkeiten“ mit den Begriffen der klassischen Physik u ¨bereinstimmen. Grundbegriffe wie Zeit , L¨ ange und Masse werden in der Physik durch Angabe eines Messverfahrens festgelegt. So wird etwa die tr¨ age Masse m mit Hilfe von Beschleunigungen definiert; die Beschleunigung ist die zweite Ableitung einer ZeitOrt-Funktion, das heißt sie wird letztlich durch Messung von Zeiten und L¨angen

196

Kapitel 3. Integral

bestimmt. Wenn man also bereits erkannt hat, dass Zeiten und L¨angen vom Beobachter abh¨angen, dann ist es nicht mehr verwunderlich, dass auch Massen vom Beobachter abh¨ angen. Es sei m0 die Masse eines Teilchens, die ein Beobachter misst, der sich im Vergleich zum Teilchen mit einer sehr kleinen“ Geschwindigkeit bewegt; außerdem sei ” m(v) die Masse des gleichen Teilchens, die ein anderer Beobachter misst, der sich im Vergleich zum Teilchen mit der Geschwindigkeit v bewegt. Die Relativit¨atstheorie kommt zu folgendem Ergebnis: m(v) = γ(v) · m0

mit

γ(v) =

 − 12 v2 1− 2 . c

Mit Hilfe einer Taylorentwicklung kann man verstehen, inwiefern mc2 etwas mit der klassischen kinetischen Energie Ekin (v) = m20 v 2 zu tun hat: τ0n (mc2 )(v) = m0 c2 +

m0 2 3m0 4 v + v + ... 2 8c2

Setze E(v) := m(v) · c2 ; dann ist ur kleine“ v , E(v) ≈ E(0) + Ekin (v) f¨ ” das heißt E(v) − E(0) ≈ Ekin (v) ; dieser Term beschreibt die Zunahme der Energie eines Teilchens, das von 0 auf v beschleunigt wird. 2

Aufgaben 1. Berechnen Sie τ03 (x5 ) , τ06 (x5 ) , τ13 (x5 ) und τ16 (x5 ) . 2. Beweisen Sie die Behauptungen in Beispiel 3.5.4. 3. Zeigen Sie τpn (f )(x) = τ0n (f ◦ g)(x − p) f¨ ur g(x) := x + p . (Voraussetzungen?) 4. Bestimmen Sie τp2n+1 (sin(x)) und τp2n+1 (cos(x)) . 5. Zeigen Sie (f g)[k] (x) =

k   k i=0

i

f [k−i] (x) g [i] (x) . (Voraussetzungen?)

6. Berechnen Sie τ04 (x2 sin(x)) , τ04 (x2 cos(x)) , τ04 (cos(x) sin(x)) und τ04 (cos(x)ex ) mit der Produktregel 3.5.8. 7. Berechnen Sie τ03 (esin(x) )) , τ03 (cos(sin(x))) , τ03 (sin(ex − 1)) , τ03 (sin(ex )) mit der Kettenregel 3.5.12. 8. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt, p ∈ D , n ∈ N0 , f ∈ C n+1 (D) ur alle x ∈ D . Zeigen Sie: f ist eine Polynomfunktion vom und f [n+1] (x) = 0 f¨ Grad ≤ n .

3.5. Taylorpolynome

197

9. Sei p ∈ R , n ∈ N0 und f (x) ein Polynom vom Grad ≤ n . Zeigen Sie: f (x) ist durch f [0] (p) , . . . , f [n] (p) eindeutig festgelegt. ur −3 < x < 3 . 10. Zeigen Sie mit Lagrange: |r08 (cos(x))| < 0,06 f¨ x3 − 2x2 + x − 2 auf zwei Arten: Mit Polynomdivision x→2 x3 − 2x2 + 3x − 6 und mit Korollar 3.5.20.

11. Berechnen Sie lim

3

x−1 ex − 1 , lim und lim (x ln(x)) . x→1 sin(πx) x→0 sin(x) − x x→0

12. Berechnen Sie lim

13. Bestimmen Sie das lokale Verhalten von f (x) = cos(x) − 1 + 12 x2 bei x = 0 (vergleiche Beispiel 3.5.22).

198

Kapitel 3. Integral

3.6

Potenzreihen

Wie berechnet man

x

2

et dt ? Den Versuch, aus unseren bisher bekannten Funk-

0

tionen (xn , ln(x), ex , sin(x) , . . . ) in endlich vielen Schritten eine Stammfunktion 2 uher oder sp¨ater aufgeben. (Nat¨ urlich ist von et zusammenzusetzen, wird man fr¨ x t2 t2 ur e , aber das allein ist zur Berechnung dieses x −→ e dt eine Stammfunktion f¨ 0

Integrals nicht wirklich hilfreich.) 2 Wenn man et durch ein Polynom ersetzen k¨onnte, dann w¨are die Berechnung 2 einfach. Nach Abschnitt 3.5 wissen wir, wie man et immerhin n¨aherungsweise durch 2 Polynome ersetzen kann: Zum Beispiel ist τ06 (et ) = 1 + t2 + 12 t4 + 16 t6 , also w¨are folgendes denkbar: et

2

≈

1 + t2 +

et dt

2

≈

x + 13 x3 +

x

1 4 t 2!

+

1 6 t 3!

1 5 2!·5 x

+

f¨ ur t nahe 0“ ” 1 7 3!·7 x

f¨ ur x nahe 0“ . ”

0 2

2

onnte mit wachsendem n immer kleiner Der Unterschied zwischen et und τ0n (et ) k¨ werden, also gilt vielleicht 2

et

=

n ∞



1 2k 1 2k t := lim t n→∞ k! k!

k=0

x

2

et dt 0

=

∞

k=0

k=0

f¨ ur gewisse“ x , und ”

1 x2k+1 . k! · (2k + 1)

Dieses Problem formulieren wir allgemein: Gegeben sei (irgend) eine Folge (ak )k in R und ein Punkt p ∈ R . 1. F¨ ur welche x ∈ R existiert

∞

ak (x − p)k := lim

k=0

2. Sei D := { x ∈ R | ∞

∞

n→∞ k=0

ak (x − p)k ?

ak (x − p)k existiert } und f : D −→ R mit f (x) :=

k=0

ak (x − p)k . Ist F : D −→ R mit F (x) :=

k=0

n

∞ k=0

ak (x k+1

− p)k+1 eine Stamm-

funktion von f ? (Kann man einfach gliedweise integrieren?) Definition 3.6.1. Es sei (ak )k≥0 eine Folge in R und x, p ∈ R . Die Folge (An )n≥0 n der Summen An := ak (x − p)k heißt Potenzreihe mit Entwicklungspunkt p und k=0

Koeffizienten ak . Wenn (An )n≥0 konvergiert, dann wird der Grenzwert von (An )n≥0 ∞ mit ak (x − p)k bezeichnet. 2 k=0

3.6. Potenzreihen

∞

199

In der Literatur findet man h¨ aufig zwei verschiedene Bedeutungen des Symbols ak (x − p)k : Es bezeichnet sowohl den Grenzwert der Reihe (An )n≥0 , als auch

k=0

die Reihe selbst. Satz 3.6.2. Es sei (an )n≥0 eine Folge in R und r, s ∈ R . Dann gilt:  n  k k ankt =⇒ |ak r | konvergiert . 0 ≤ |r| < |s| und (|ak s |)k≥0 beschr¨ k=0

 Beweis. Die Folge

 n |ak rk | k=0

n≥0

ist monoton steigend, da |ak rk | ≥ 0 f¨ ur alle

n≥0

k ∈ N . Nach dem Vollst¨ andigkeitsaxiom m¨ ussen wir also nur noch zeigen, dass diese Folge beschr¨ ankt ist. ur alle k ∈ N . Mit Nach Voraussetzung gibt es ein S ∈ R , sodass |ak sk | ≤ S f¨  r  x := s ist 0 ≤ x < 1 und  k |ak r k | = |ak sk | ·  rs  ≤ S · xk f¨ ur alle k ∈ N .   n |ak rk | wird also durch das S-fache einer geometrischen Reihe Die Folge k=0

n

beschr¨ankt (siehe 1.4.14), denn f¨ ur alle n ∈ N gilt n

 Wenn

k=0 n

 |bk |

k=0

n

∞

1 . 1 − x 2 k=0 k=0  n  konvergiert, dann nennt man bk auch absolut

|ak rk | ≤ S ·

xk ≤ S ·

xk = S ·

k=0

n≥0

n≥0

konvergent . Aus der absoluten Konvergenz folgt die Konvergenz: Satz 3.6.3. Es sei (bn )n≥0 eine Folge in R . Dann gilt:   n  n  |bk | konvergiert =⇒ bk k=0

k=0

n≥0

Beweis. Wir zeigen, dass (Bn )n mit Bn :=

n

konvergiert .

n≥0

bk eine Cauchy-Folge ist.

k=0

Sei  ∈ R+ . Nach Voraussetzung konvergiert (zn )n , wobei zn := ist (zn )n eine Cauchy-Folge, also gibt es ein N ∈ N , sodass

n

|bk | . Nach 1.9.8

k=0

∀ m, n > N : |zn − zm | <  . Somit folgt f¨ ur alle m, n > N im Fall m ≤ n mit der Dreiecksungleichung     n  n  bk  ≤ |b | = zn − zm <  . |Bn − Bm | =  k=m+1  k=m+1 k Im Fall m > n folgt analog |Bn − Bm | = |Bm − Bn | <  . Damit ist (Bn )n eine Cauchy-Folge, also nach 1.9.8 konvergent. 2

200

Kapitel 3. Integral 

Beispiel 3.6.4. Die Reihe

n

xk k!

 konvergiert f¨ ur alle x ∈ R : Es sei r ∈ R

k=0

n≥0

und s := |r| + 1 . Nach Archimedes gibt es ein N ∈ N mit s < N , also sk sN s s sN = · · ... · ≤ f¨ ur alle k > N . k! N! N + 1 k N!  k ist somit beschr¨ ankt, also folgt die Behauptung nach 3.6.2 und Die Folge sk! k   k 3.6.3. (Die Folge sk! konvergiert sogar gegen 0, siehe Aufgaben.) 2 k



n

Die geometrische Reihe

 x

k=0

konvergiert f¨ ur |x| < 1 gegen

k

1 1−x

(siehe

n≥0

1.4.14); f¨ ur |x| ≥ 1 divergiert sie. Daher nennt man 1 den Konvergenzradius der geometrischen Reihe. Allgemein: Definition 3.6.5. Es sei (an )n≥0 eine Folge in R . Dann heißt  sup{s ∈ R | (|ak sk |)k beschr¨ankt} , falls sup existiert R := ∞ , sonst Konvergenzradius von

∞

ak tk . Im Fall R = ∞ bedeutet r < R , dass r ∈ R gilt. 2

k=0 ∞ ak tk . Dann gilt: Die Reihe Satz 3.6.6. Es sei R der Konvergenzradius von k=0  n  ak (x − p)k konvergiert f¨ ur |x−p| < R , und divergiert f¨ ur |x−p| > R ∈ R . k=0

n≥0

Beweis. F¨ ur |x − p| > R ist (ak |x − p|k )k unbeschr¨ankt, also divergiert die Reihe. Sei |x − p| < s < R . Dann ist (|ak sk |)k beschr¨ankt, denn sonst w¨are (|ak tk |)k f¨ ur alle t ≥ s unbeschr¨ ankt, was s < R und der Definition von R widersprechen w¨ urde. Die Behauptung folgt damit nach 3.6.2 und 3.6.3. 2 Die Menge D := { x ∈ R |

∞

ak (x − p)k existiert } ist also stets ein Intervall.

k=0

]p − R , p + R[ heißt auch Konvergenzintervall . An den Randpunkten von D sind Reihen manchmal konvergent, manchmal divergent:  n  (−1)k−1 k x . F¨ ur x = −1 ist Beispiel 3.6.7. F¨ ur |x| < 1 konvergiert k n k=1

k=1

(−1)k−1 k x k

=

−1 −1 −1 1 + 2 +. . .+ n

n≥1

; diese Summe divergiert f¨ ur n → ∞ (siehe Aufga-

ben). Der Konvergenzradius unserer Reihe ist also 1. F¨ ur x = 1 ist 1 1 1 n+1 1 1 − 2 + 3 −. . .+(−1) n

n k=1

(−1)k−1 k x k

=

; diese Summe konvergiert f¨ ur n → ∞ (siehe Aufgaben).2

3.6. Potenzreihen

201

Die erste Aussage in 3.6.6 kann man auch so formulieren: F¨ ur jedes k ∈ N0 sei fk die Funktion : ] p − R , p + R [ −→ R x −→ ak (x − p)k .

fk  Dann konvergiert

n

 fk

k=0

g

punktweise gegen n≥0

: ]p − R,p + R[ x

−→ R ∞ ak (x − p)k . −→ k=0

Zur Erinnerung (siehe 3.3.8): Eine Folge (gn )n von Funktionen gn konvergiert punktweise gegen eine Funktion g , wenn f¨ ur jeden Punkt x aus der gemeinsamen Defini tionsmenge gilt: lim gn (x) = g(x) . n→∞

Doch die punktweise Konvergenz reicht f¨ ur unsere Zwecke noch nicht aus, da wir beabsichtigen, Potenzreihen gliedweise zu integrieren: ∞ b

ak (x − p)k dx

=

a k=0 ?

= = =

b

lim

n

a n→∞ k=0 n b

ak (x − p)k dx

lim

ak (x − p)k dx

lim

ak (x − p)k dx

n→∞ a k=0 n b n→∞ k=0 a ∞ b

ak (x − p)k dx .

k=0 a

b

lim gn (x)dx = lim

a n→∞

b

n→∞ a

gn (x)dx kann aber falsch sein, wenn (gn )n nur punktweise

konvergiert: Beispiel 3.6.8. F¨ ur n ∈ N sei gn : [0 ; 2] −→ R mit ⎧ n3 x f¨ ur 0 ≤ x ≤ n1 ⎪ ⎨ gn (x) := 2n2 − n3 x f¨ ur n1 < x ≤ n2 ⎪ ⎩ 0 f¨ ur n2 < x ≤ 2 (siehe Abbildung 3.23). Dann konvergiert (gn )n punktweise gegen die Nullfunktion g = 0 : Es ist gn (0) = 0 f¨ ur alle n ∈ N , und f¨ ur jedes a ∈ ]0 ; 2] gilt lim gn (a) = 0 , n→∞

ur alle denn nach Archimedes gibt es ein N ∈ N mit N2 < a , also ist gn (a) = 0 f¨ n>N. 2 2 2 Damit ist g = 0 = 0 , aber die Folge der gn = n divergiert nach ∞ . 2 0

0

0

202

Kapitel 3. Integral

y n2

x

1/n

Abbildung 3.23: (gn )n konvergiert punktweise gegen 0

Wenn (gn )n gleichm¨ aßig gegen g konvergiert, dann gilt nach Satz 3.3.19 lim

b

n→∞ a

b

g =

a

gn (wenn alle gn integrierbar). Daher suchen wir nach Bedingungen, unter

denen Potenzreihen gleichm¨ aßig konvergieren. (Man beachte die Analogie zwischen Satz 3.6.9 und Satz 3.6.3, einschließlich ihrer Beweise!) Satz 3.6.9. Konvergenzsatz von Weierstraß. Es sei (fn )n≥0 eine Folge beschr¨ ankter Funktionen fn : D −→ R . Dann gilt:  n   n  fk  konvergiert =⇒ fk konvergiert gleichm¨ aßig . k=0

k=0

n

Beweis. Wir zeigen, dass (gn )n mit gn :=

n

n

fk eine Cauchy-Folge ist.

k=0

Sei  ∈ R+ . Nach Voraussetzung konvergiert (zn )n , wobei zn := 1.9.8 ist (zn )n eine Cauchy-Folge, also gibt es ein N ∈ N , sodass

n

fk  . Nach

k=0

∀ m, n > N : |zn − zm | <  . Somit folgt f¨ ur alle m, n > N im Fall m ≤ n mit der Dreiecksungleichung " " " " n " n " fk " ≤ f  = zn − zm <  . gn − gm  = " "k=m+1 " k=m+1 k Im Fall m > n folgt analog gn − gm  = gm − gn  <  . Damit ist (gn )n eine Cauchy-Folge, also nach 3.3.21 gleichm¨ aßig konvergent. 2 Korollar 3.6.10. Es sei R der Konvergenzradius von

∞

a k tk , 0 ≤ r < R , p ∈ R

k=0

und

: [p − r , p + r] −→ R x −→ ak (x − p)k   n f¨ ur alle k ∈ N0 . Dann konvergiert fk gleichm¨ aßig. fk

k=0

n

3.6. Potenzreihen

203

Beweis. F¨ ur alle k ∈ N0 ist fk  = |ak r k | , da ur alle x ∈ [p − r , p + r] , also fk  ≤ |ak r k | ; 1. |ak (x − p)k | ≤ |ak rk | f¨ ur x = p + r , also fk  ≥ |ak rk | . 2. |ak (x − p)k | = |ak rk | f¨ 2

Damit folgt die Behauptung nach 3.6.9 und 3.6.2. 

n

Den gleichm¨ aßigen Grenzwert der Reihe ∞

 fk

k=0

in Korollar 3.6.10 nennen wir n

fk (gleichm¨ aßige Grenzwerte sind nach 3.3.6 eindeutig bestimmt). Wenn eine

k=0

Folge (gn )n gleichm¨ aßig gegen g konvergiert, dann konvergiert sie auch punktweise  gegen g , das heißt g(x) = lim gn (x) und n→∞



∞

 fk

(x) =

k=0

∞



 fk (x)

f¨ ur alle x ∈ [p − r , p + r] .

k=0

Jetzt besitzen wir alle n¨ otigen Hilfsmittel um zu zeigen, dass man Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzintervalls gliedweise integrieren kann: Korollar 3.6.11. Es sei R > 0 der Konvergenzradius von ∞

g : ]p−R , p+R[ −→ R mit g(x) :=

∞

ak tk , p ∈ R und

k=0

ak (x−p)k . Dann ist g in jedem Teilintervall

k=0

[a , b] ⊂ ]p − R , p + R[ integrierbar, wobei b

∞

ak (x − p) dx = k

a k=0

∞ b

ak (x − p)k dx .

k=0 a

Beweis. Es gibt ein r ∈ ]0 , R[ mit a, b ∈ [p − r , p + r] . Sei (fk )k wie in 3.6.10. Nach n ∞ 3.6.10 konvergiert die Folge der gn := fk gleichm¨aßig, wobei g(x) = fk (x) f¨ ur k=0

k=0

alle x ∈ [p − r , p + r] . Alle gn sind Polynomfunktionen, insbesondere integrierbar, also ist g in [p − r , p + r] nach 3.3.19 integrierbar, und ∞ b

fk

=

a k=0

b

g = lim

a

= =

lim

n→∞ a n b

n→∞ k=0 a ∞ b

fk .

k=0 a

b

fk

gn

(nach 3.3.19) (da

b

linear)

a

2

204

Kapitel 3. Integral 

n

Beispiel 3.6.12. Nach 3.6.4 konvergiert ∞ k=0

k=0 xk k!

xk k!

 f¨ ur alle x ∈ R . Setze g(x) := n≥0

f¨ ur alle x ∈ R . Dann folgt mit Korollar 3.6.11 f¨ ur alle x ∈ R x g(t) dt =

∞ x k ∞ ∞



t xk+1 xk dt = = = g(x) − 1 . k! (k + 1)! k! k=0 0

0

k=0

k=1

2

Nach dem folgenden Satz 3.6.14 kann man man Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzintervalls auch gliedweise differenzieren. Dabei wird der Konvergenzradius nicht kleiner: Lemma 3.6.13. Es sei R der Konvergenzradius von genzradius von

∞

∞

ak tk und R1 der Konver-

k=0

ak ktk−1 . Dann ist R ≤ R1 .

k=1

Beweis. F¨ ur R = 0 ist die Aussage klar. Sei 0 < R . Nach Definition 3.6.5 gen¨ ugt ur 0 < r < R beschr¨ankt ist. es zu zeigen, dass (|ak krk−1 |)k f¨ Sei 0 < r < s < R . Dann ist (|ak sk |)k beschr¨ankt, und     1 |ak krk−1 | k = r −1 · |ak sk | · (k k · rs )k k

ist ebenfalls beschr¨ ankt, denn

r s

1 k

1

< 1 und lim (k ) = 1 , also ist (k k · rs )k schließlich k→∞

2

kleiner als 1. Satz 3.6.14. Es sei R > 0 der Konvergenzradius von g : ]p − R , p + R[ −→ R mit g(x) :=

ak tk , p ∈ R und

k=0

ak (x − p)k . Dann ist g differenzierbar,

k=0

und f¨ ur alle x ∈ ]p − R , p + R[ gilt g  (x) =

∞

∞

∞

ak k(x − p)k−1 .

k=1

Beweis. Sei 0 < r < R . h : [p − r , p + r] −→ R mit h(x) :=

∞

ak k(x − p)k−1 ist

k=1

nach 3.6.13 und 3.6.11 integrierbar, und x p

h =

∞

ak (x − p)k = g(x) − a0 f¨ ur alle x ∈ [p − r , p + r] .

k=1

ur alle x ∈ [p − r , p + r] Außerdem ist h nach 3.3.17 stetig, also g  (x) = h(x) f¨ nach dem Hauptsatz 3.4.7. Da jedes x ∈ ]p − R , p + R[ in einem [p − r , p + r] mit 0 < r < R liegt, folgt die Behauptung. 2

3.6. Potenzreihen

205

Um die Frage zu beantworten, die am Anfang dieses Abschnitts steht, m¨ ussen wir jetzt nur noch geeignete Zusammenh¨ ange zwischen Funktionen f , Taylorpolynomen n f [k] (p) k τpn (f )(x) = k! (x − p) und Potenzreihen herstellen. k=0

Definition 3.6.15. Es sei D ein Intervall mit mehr als einem Punkt,  p ∈ D und f : D −→ R an der Stelle p unendlich oft differenzierbar. Die Reihe τpn (f )(x) n≥0   heißt Taylorreihe von f bei p . Es sei R der Konvergenzradius von τpn (f )(x) n≥0 . F¨ ur R > 0 ist τp∞ (f ) : ]p − R , p + R[ −→ R die Funktion mit τp∞ (f )(x) =

∞

f [k] (p)

k!

k=0

(x − p)k ,

wobei ]p − R , p + R[ := R im Fall R = ∞ .

2  n  Wir haben schon mehrfach die Vermutung ge¨außert, dass τp (f )(x) n≥0 gegen ur einige Funktionen k¨onnen wir das f (x) konvergiert, dass also τp∞ (f ) = f gilt. F¨ inzwischen sehr leicht best¨ atigen: ∞

Beispiel 3.6.16. Sei g(x) :=

k=0

g  (x) =

xk k!

f¨ ur x ∈ R . Nach 3.6.4 und 3.6.14 folgt

∞ ∞



xk−1 xk = = g(x) (k − 1)! k!

k=1

f¨ ur alle x ∈ R .

k=0

ur alle x ∈ R . Wegen Außerdem ist g(0) = 1 . Mit Lemma 2.3.11 folgt g(x) = ex f¨ ex = ep · ex−p ist also (vergleiche Beispiel 3.5.4) ex =

∞

ep k=0

k!

ur alle x, p ∈ R . (x − p)k = τp∞ (ex ) f¨

Eine Anwendung der Gleichung ex = ex >

xn+2 (n+2)!

> xn+1 , also

1 x

>

xn ex

∞ k=0

xk k!

: F¨ ur n ∈ N und x > (n + 2)! ist

; damit folgt

xn = 0 f¨ ur alle n ∈ N . x→∞ ex lim

2

 n  (−1)k 2k+1 Beispiel 3.6.17. Die Reihe x konvergiert f¨ ur alle x ∈ R : Die (2k+1)! k=0  2k+1   k n s Folge (2k+1)! ist eine Teilfolge von sk! , also nach 3.6.4 f¨ ur alle s ∈ R+ 0 k≥0

beschr¨ankt. Setze g(x) :=

∞ k=0

g  (x) =

∞

(−1)k k=0

(2k)!

x2k

k≥0

(−1)k 2k+1 (2k+1)! x

f¨ ur alle x ∈ R . Dann ist

und g (x) =

∞

(−1)k 2k−1 x = −g(x) (2k − 1)! k=1

206

Kapitel 3. Integral

f¨ ur alle x ∈ R . Außerdem ist g(0) = 0 und g  (0) = 1 , also folgt g = sin nach 2.3.12, und damit g  = cos . Somit: τ0∞ (sin) = sin und τ0∞ (cos) = cos (vergleiche Beispiel 3.5.4). 2 Aus der geometrischen Reihe (siehe 1.4.14) ∞

xk =

k=0

1 1−x

f¨ ur |x| < 1

gewinnt man Potenzreihen f¨ ur ln und arctan : Beispiel 3.6.18. F¨ ur |r| < 1 ist ln (1 + r) = ln(1 + r) =

∞ k=0

(−1)k k+1 r k+1

ln(x) =

=

∞ k=1

∞

(−1)k−1 k=1

k

=

1 1−(−r)

=

∞

=

(−1)k rk , also

k=0

, und damit (vgl. 3.5.4)

(x − 1)k = τ1∞ (ln)(x)

1 1+x2

F¨ ur |x| < 1 ist arctan (x) =

arctan(x) =

(−1)k−1 k r k

1 1+r

1 1−(−x2 )

∞

(−1)k 2k+1 x 2k + 1

=

∞

f¨ ur alle x ∈ ]0 ; 2[ .

(−1)k x2k , also

k=0

f¨ ur alle x ∈ ] − 1 ; 1[ .

k=0

Mit 3.6.20 folgt τ0∞ (arctan)(x) = arctan(x) f¨ ur −1 < x < 1 . Man beachte: Die 1 1 Potenzreihe f¨ ur 1+x 2 hat den Konvergenzradius 1, obwohl 1+x2 in ganz R definiert ist. 2 Jetzt k¨onnen wir die Frage beantworten, mit der dieser Abschnitt begann: Nach ∞ 2k 2 t f¨ ur alle t ∈ R , also folgt 3.6.16 ist et = k! k=0

x

2

et dt = 0

∞

k=0

x2k+1 , (2k + 1)k!

da man nach 3.6.11 gliedweise integrieren darf. Zum Abschluss fragen wir noch nach allgemeinen Zusammenh¨angen zwischen Potenzreihen und Taylorreihen. Jede Taylorreihe ist eine Potenzreihe. Jede Potenzreihe ist auch eine Taylorreihe: Nach einem Satz von Borel gibt es zu jeder Folge (ak )k reeller Zahlen eine unendlich oft differenzierbare Funktion f : R −→ R mit [k]

ak = f k!(0) f¨ ur alle k ∈ N0 (siehe [Br¨ o1], Abschnitt IV.4, Satz (4.5)). Damit ist allerdings noch nicht gekl¨ art, inwieweit eine Funktion durch ihre Taylorreihe dargestellt wird: F¨ ur welche x gilt τp∞ (f )(x) = f (x) ? Es kann sein, dass der Konvergenzradius einer Taylorreihe 0 ist: Nach Borel gibt es zum Beispiel auch

3.6. Potenzreihen

207 [k]

eine Funktion f : R −→ R mit k! = f k!(0) f¨ ur alle k ∈ N0 ; der Konvergenzradius von τpn (f )(x) n≥0 ist in diesem Fall 0. Es kann aber auch sein, dass τp∞ (f )(x) = f (x) nur f¨ ur x = p gilt, obwohl der Konvergenzradius gr¨ oßer als 0 ist: y

1

1

Abbildung 3.24: f (x) = e−1/x Beispiel 3.6.19. Setze

 f (x) :=

e−1/x 0

2

x

2

f¨ ur x = 0 f¨ ur x = 0 .

Wir zeigen zun¨ achst mit vollst¨ andiger Induktion: Zu jedem n ∈ N0 gibt es ein  2 ur alle x = 0 . Polynom gn (t) mit f [n] (x) = gn x1 · e−1/x f¨  1  −1/x2 [0] n = 0 : F¨ ur g0 (t) := 1 ist f (x) = f (x) = g0 x · e . n → n + 1“: ”       1 [n+1] [n] −1/x2 ·e (x) = f (x) = gn f x     2 1 1 −1 −1/x2 2  · 2 ·e · e−1/x · 3 = gn + gn x x x x   2 1 · e−1/x = gn+1 x f¨ ur gn+1 (t) := −gn (t) · t2 + 2gn (t) · t3 . Damit k¨onnen wir zeigen: F¨ ur alle n ∈ N0 ist f [n] bei 0 differenzierbar mit [n]  (f ) (0) = 0 : 2 1 f (x) − f (0) e−1/x t n = 0 : lim = lim = lim ( x1 )2 = lim t2 = 0 nach 3.6.16, + + + t→∞ x x x→0 x→0 x→0 e x e 2 denn et > et f¨ ur t > 1 . Analog: x → 0− . n − 1 → n“: ”   2 gn x1 · e−1/x − 0 f [n] (x) − f [n] (0) = lim+ lim+ x x x→0 x→0 t · gn (t) = lim = 0 t→∞ et2

208

Kapitel 3. Integral

nach 3.6.16. Analog: x → 0− . ur x = 0 . Insgesamt folgt τ0∞ (f ) = 0 , also τ0∞ (f )(x) = f (x) nur f¨

2

Allerdings gilt: ∞

Satz 3.6.20. Es sei R > 0 der Konvergenzradius von ∞

g : ]p − R , p + R[ −→ R mit g(x) :=

ak tk , p ∈ R und

k=0

ak (x − p)k . Dann ist g unendlich oft

k=0

differenzierbar, ak =

g [k] (p) f¨ ur alle k ∈ N0 , und τp∞ (g) = g . k!

Beweis. Mit Hilfe von 3.6.14 kann man den Beweis von Lemma 3.5.2 beinahe n ∞ ¨ w¨ortlich abschreiben, wenn man jeweils durch ersetzt. (Ubung!) 2

Aufgaben sk k→∞ k!

1. Zeigen Sie: F¨ ur alle s ∈ R ist lim

= 0 (vergleiche 3.6.4). 

ankt. F¨ ur welche x ∈ R konvergiert 2. Sei (bk )k beschr¨

k=0 n

1 n→∞ k=1 k

3. Zeigen Sie: lim 4. Sei An =

n k=1

(−1)k k

= ∞ . Hinweis:

1 3

+

1 4

>

1 2

,

1 5



n

bk

+

1 6

x

k!

+

k

? n≥0

1 7

+

1 8

>

1 2

.

f¨ ur alle n ∈ N . Zeigen Sie: (An )n konvergiert.

5. Verallgemeinern Sie Ihren Beweis von Aufgabe 4: Es sei (ak )k≥0 eine monoton  n + (−1)k ak . fallende Folge in R0 mit lim ak = 0 . Dann konvergiert k→∞

k=0

n≥0

(Dieser Satz wird auch Leibniz-Kriterium genannt.) 6. Finden Sie eine Folge (gn )n mit lim

5

n→∞ 3

gn = 4 , die punktweise gegen die

konstante Funktion g = 1 konvergiert. (Siehe 3.6.8.) 7. Zeigen Sie: Wenn (gn )n punktweise gegen eine unbeschr¨ankte Funktion g konaßig konvergent. vergiert, dann ist (gn )n nicht gleichm¨ 8. Kann man [p − r , p + r] in 3.6.10 durch ]p − R , p + R[ ersetzen? 9. Berechnen Sie

∞ x 0 k=0

(−1)k 2k+1 dt (2k+1)! t

und

10. Zeigen Sie: Die Konvergenzradien von

∞ x 0 k=0

∞ k=0

(−1)k 2k (2k)! t dt .

ak tk und

∞ k=1

ak ktk−1 sind gleich.

3.6. Potenzreihen 11. Sei p > 0 . Zeigen Sie: ln(x) = τp∞ (ln)(x) = ln(p) +

209 ∞ k=1

(−1)k−1 (x kpk

− p)k f¨ ur

0 < x < 2p . ur alle x ∈ R 12. Bestimmen Sie eine Funktion g : R −→ R mit τ0∞ (g)(x) = x2 f¨ und g(x) = x2 f¨ ur alle x = 0 .

210

L¨osungen

L¨ osungen und Hinweise Die folgenden Ergebnisse, L¨ osungsskizzen und Beweisideen sollen bei der Ausarbeitung und Kontrolle eigener L¨ osungen helfen. Guter Rat: Lassen Sie sich Zeit! Viele Aufgaben sind gar nicht daf¨ ur gedacht, dass man sie auf Anhieb l¨ osen kann. Wer sich intensiv mehrere Tage mit einem Problem auseinandersetzt (die Inhalte des zugeh¨origen Abschnitts noch einmal genau studieren, v.a. auch die Beweisideen; einfache (Zahlen-) Beispiele betrachten; Problem ab¨andern und zun¨ achst ein leichteres Problem l¨osen; . . . ) hat wesentlich mehr anhand einer Aufgabe gelernt als jemand, der zu fr¨ uh die folgenden L¨osungen liest. Vielleicht kommt man am Ende ja doch auf eine eigene L¨osung! Und selbst wenn nicht: Mit jeder Aufgabe, u utet hat, steigt die ¨ ber die man l¨angere Zeit gebr¨ Wahrscheinlichkeit, dass man die n¨ achste Aufgabe l¨osen kann. 1.1 Unendlichkeitsrechnung ¨ 1. Die Graphen sind bei ihren Nullstellen sehr steil, also f¨ uhren winzige Ande¨ rungen von x zu großen Anderungen von f (x) . 2. a|b“ soll bedeuten: a ist ein Teiler von b“. nz sei vollst¨andig gek¨ urzt und ”z2 ” 2 2 2 2 2 2 = 3 . ⇒ z = 3n ⇒ 3|z ⇒ 3|z ⇒ 9|z ⇒ 3|n (da n = z 2 : 3) n2 ⇒ 3|n , Widerspruch zu nz vollst¨ andig gek¨ urzt. √ Zu 9 : . . . z 2 = 9n2 ⇒ 9|z 2 ⇒ 9|z . 3. i ∈ R ⇒ i2 ≥ 0 ⇒ 1 ≤ i2 + 1 = 0 , Widerspruch! 1 = 0 · ∞ = (0 + 0) · ∞ = 0 · ∞ + 0 · ∞ = 1 + 1 , Widerspruch! 4. (a) [ 0,5 ; 0,75 ] (b) [ 1,75 ; 2 ] (c) [ −2 ; −1,75 ] ; [ 0,25 ; 0,5 ] ; [ 1,5 ; 1,75 ] (d) [ −1,75 ; −1,5 ] ; [ −0,75 ; −0,5 ] (e) [ −1,75 ; −1,5 ] ; [ 0,5 ; 0,75 ] ; [ 1 ; 1,25 ] (f) [ −1,5 ; −1,25 ] ; [ 1,25 ; 1,5 ] (g) [ −1 ; −0,75 ] ; [ 0,75 ; 1 ] (h) [ −2 ; −1,75 ] ; 0 ; [ 1,75 ; 2 ]  [ ln , mn ] falls f (mn ) < 0 5. [ ln+1 , rn+1 ] := [ mn , rn ] falls f (mn ) > 0 1.2 Konvergente Folgen 1. Zur Kontrolle der eigenen L¨ osung kann man zum Beispiel Programme verwenden, die Graphen zeichnen. M. Moßburger, Analysis in Dimension 1, DOI 10.1007/978-3-8348-8633-0, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

L¨ osungen

211

2. (a) S1 := 1 ; Sn+1 := Sn + n + 1 (b) U1 := 1 ; Un+1 := Un + 2n + 1 (c) 1 · x := x ; (n + 1) · x := n · x + x   x x − n x x · := := x ; (d) n n+1 1 n+1 3. (xn )n : (yn )n = (xn : yn )n ist nicht m¨oglich, wenn es ein k ∈ N gibt mit yk = 0 . 4. Im Folgenden wird jeweils ein geeignetes N wie in Definition 1.2.7 angegeben; es ist nicht immer das kleinstm¨ ogliche N ; insbesondere gilt: Wenn N geeignet ist, dann ist jedes N  > N erst recht geeignet. (a) Wahr; N = 200

(b) Wahr; N = 100

(c) Wahr; N = 30

(d) Wahr; N = 2

(e) Wahr; jedes N ∈ N

(f) Falsch

(g) Wahr; N = 100

(h) Wahr; N = 200

1.3 Reelle Zahlen 1. (a) F¨ ur alle n, z ∈ N ist 0 <  <

1 n

≤

z n

(b) F¨ ur alle n, z ∈ N ist 0 < k ·  < k · (c) δ :=  ·  < (d) x :=

1 

1 k

.

1 kn

≤

z n

.

·

> n.

2. (a) ∀ x ∈ R : x2 ≥ 0 . (b) ∃ x ∈ ]1 ; 2[ : f (x) = 0 . (c) ∃ N ∈ N ∀ n > N : xn < yn . (d) ∃ s ∈ R ∀ x ∈ R : 3 + x − x4 ≤ s . (e) ∃ a ∈ D ∀ x ∈ D : f (x) ≤ f (a) . 3. 4 = ((1 + 1) + 1) + 1 = (1 + 1) + (1 + 1) = 2 + 2 . 4. e, e˜ neutral ⇒ e˜ = e˜e = e˜ e = e. xy = e = x˜ y ⇒ y˜ = y˜e = y˜(xy) = (x˜ y )y = ey = y . x := a−1 b ⇒ ax = a(a−1 b) = (aa−1 )b = eb = b . xa)a−1 = (xa)a−1 = x . ax = b = a˜ x ⇒ x ˜=x ˜(aa−1 ) = (˜ 5. Mit 1.3.8 folgt −(x + y) = (−1) · (x + y) = (−1) · x + (−1) · y = −x − y . 6. (xy)(x−1 y −1 ) = ((xy)x−1 )y −1 = ((xx−1 )y)y −1 = yy −1 = e . 7. ⇐“ nach 1.3.7. ⇒“: Falls x = 0 , dann y = x−1 (xy) = 0 . ” ”

212

L¨osungen

8. ⇒“ nach 1.3.12. ⇐“: x + r < y + r ⇒ (x + r) + (−r) < (y + r) + (−r) . ” ” 9. F¨ ur 0 ≤ x < y und 0 < r < s folgt mit 1.3.14 xr < yr und yr < ys . 10. Nach K¨orperaxiom 2c ist 1 ∈ R \ {0} , also nach 1.3.16 1 = 12 ∈ R+ . 11. Annahme: x−1 < 0 . Mit 1.3.15: 0 < x Widerspruch zu Aufgabe 10.

⇒

0 = 0 · x−1 > xx−1 = 1 ,

12. Nach Aufgabe 11 ist x−1 , y −1 ∈ R+ , also x−1 y −1 ∈ R+ , also: x < y ⇒ y−1 = x · (x−1 y −1 ) < y · (x−1 y −1 ) = x−1 . −→

−→

13. In jedem Dreieck ABC ist AC ≤ AB + BC . F¨ ur x :=AB , y :=BC ist −→

x + y =AC , also |x + y | = AC ≤ |x| + |y | . 14. |x| = |(x + y) + (−y)| ≤ |x + y| + | − y| = |x + y| + |y| . 15. 0 < i < j ⇒

1 i

<

1 j

und i2 < i · j < j 2 .

16. ∃ a ∈ A ∀ b ∈ B ∃ c ∈ C ∀ d ∈ D : ab = cd . ∀ s ∈ S ∃ t ∈ T ∃ u ∈ U ∀ v ∈ V ∀ w ∈ W : s + t ≥ uv − w . 17. Problem: Woher weiß man, dass es zu jedem  ∈ R+ auch tats¨achlich ein n ∈ N gibt mit n > 1 ? Wenn das Archimedische Axiom nicht gelten w¨ urde, ur alle n ∈ N (siehe Beweis von 1.3.22); dann g¨abe es x, y ∈ R+ mit n ≤ xy f¨ f¨ ur  := xy w¨ urde ∀ n ∈ N : n ≤ 1 folgen; damit w¨are ∀ n > 1 : n1 < “ leer ” erf¨ ullt , wie man auch sagt: Es gibt kein n > 1 , sodass n1 <  falsch ist, da es u ¨berhaupt kein n > 1 gibt. 1.4 S¨ atze u ¨ ber Folgen 1. Alle bis auf 2d (Inverse bzgl. ·“), vgl. Aufgabe 3 in Abschnitt 1.2. ” 2. ∃ K ∈ N ∀ n > K : 0 ≤ xn < yn und ∃ L ∈ N ∀ n > L : 0 ≤ rn < sn . Sei N die gr¨oßere der beiden Zahlen K und L . Dann gilt ∀ n > N : 0 ≤ xn < yn und 0 ≤ rn < sn . Mit der Vertr¨ aglichkeit von <“ und ·“ in R folgt: ” ” ∀ n > N : xn rn < yn sn . sch

3. (RN )+ := {(xn )n ∈ RN | ∃ N ∈ N ∀ n > N : xn ∈ R+ } . (xn )n < (yn )n ⇔ (yn − xn )n ∈ (RN )+ . Axiom: ∀ (xn )n , (yn )n ∈ (RN )+ : (xn + yn )n ∈ (RN )+ und (xn · yn )n ∈ (RN )+ . Das 1. Anordnungsaxiom von R kann nicht auf RN u ¨bertragen werden. sch

4. Nein. Beispiel: (0)n <

1 n n

.

5. (xn )n → a ⇒ (xn − a)n → 0 ⇒ (−xn − (−a))n → 0 ⇒ (−xn )n → −a . 1 1 1 xn − a = (a − xn ) · axn → 0 nach 1.4.3. 6. (a) −1

(b)

3 2

(c) 0

(d) 0

(e) 0

(f) 0

L¨ osungen

7. (a)

213 n+1

n

i=1

i=1

(2i − 1) =

n+1    xi  = (b)  i=1 n+1 |xi | .

(2i − 1) + 2(n + 1) − 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .

    n n   n    (xi ) + xn+1  ≤  (xi ) + |xn+1 | ≤ |xi | + |xn+1 | =     i=1

i=1

i=1

i=1

(c) (d)

n+1

n

i=1

i=1

(4i−1) =

n+1

3i−1 =

i=1

n

(4i−1)+4(n+1)−1 = 2n2 +n+4n+3 = 2(n+1)2 +n+1 . 3n − 1 3n+1 − 1 + 3n = . 2 2

(3i−1 ) + 3n =

i=1

(e) xn+1 = a · xn = a · an−1 x1 = an x1 . (f) xn+1 − y n+1 = xn+1 − xy n + xy n − y n+1 = x(xn − yn ) + y n (x − y) = n−1 n n−i i (x − y) (x y ) + y n (x − y) = (x − y) (xn−i y i ) . i=0

8. 0 < x < 1 ⇒ 9. (a) ∞

1 x

i=0 1.

>1 ⇒

(b) −∞

1 y

sch

<





sch

1 xn n

(c) ∞

⇒ (xn )n < y . (d) ∞

(e) −∞

(f) −∞

1.5 Stetigkeit 1. (a) a =

1 3

, f (a) nicht definiert.

(b) a = − 47 , f (a) nicht definiert. (c) a = 43 , f (a) = 43 .  2 f¨ ur x ≤ 1 2. f (x) := , xn := 1 − 4 f¨ ur x > 1

1 n

, yn := 1 +

1 n

, zn := 1 + (−1)n ·

1 n

.

3. Mit 1.4.5 und 1.4.6 folgt (f (xn ) ∗ g(xn ))n → f (a) ∗ g(a) f¨ ur ∗ ∈ {− , · , :} . ucken hat, dann kann die 4. f (x) = x−1 , c = −1 , d = 1 , z = 0 . Wenn Df L¨ verwendete Intervallschachtelung abbrechen, oder a ∈ / Df . 5. (a) f (g(x)) = 3(x + 1)2 , g(f (x)) = 3x2 + 1 (b) f (g(x)) = −6x + 11 , g(f (x)) = −6x + 23   1 1 (c) f (g(x)) = , g(f (x)) = sin sin(x) + 1 x+1   √ (d) f (g(x)) = cos x2 − 1 , g(f (x)) = (cos x)2 − 1 (e) f (g(x)) = x + 1 , g(f (x)) = 2

1 x

(f) f (g(x)) = 2x , g(f (x)) = 22x

1 +1

214

L¨osungen

6. (a) f (x) = x3 , g(x) = 2x − 1

(b) f (x) = sin x , g(x) = x2 − x + 3

1 x+1 (e) f (x) = x2 + 10x + 25 , g(x) = x3

(d) f (x) =

(c) f (x) = log2 (x) , g(x) =

5 x

, g(x) = cos x

(f) f (x) = x + x3 , g(x) = 5x

7. f : R \ {0} −→ R \ {0} , x −→ x−1 ; g : R+ −→ R , x −→ x . 8. f −1 hat eine Umkehrfunktion, n¨ amlich f . Sei f streng monoton steigend, b1 < b2 , a1 := f −1 (b1 ) , a2 := f −1 (b2 ) . Annahme: a1 ≥ a2 ; dann folgt b1 = f (a1 ) ≥ f (a2 ) = b2 , Widerspruch! 9. Betrachte den Fall b := f (a) = c < d , f monoton steigend. Sei (xn )n → a ,  > 0 . ∃ j ∈ D : c < f (j) < c +  . f steigend ⇒ a < j . (xn )n → a ⇒ sch

sch

(xn )n < j ⇒ c ≤ (f (xn ))n ≤ f (j) < c +  . 1.6 Konvergente Funktionen 1. (a) a = −2 , xn = −2 + (b) a = 0 , xn =

− n1

1 n

, yn = −2 −

, yn =

(c) a = 2 , xn = 2 +

1 n

1 n

(d) a = −1 , xn = −1 −

, zn = −2 + (−1)n ·

, zn = (−1) · n

, yn = 2 − 1 n

1 n

1 n

1 n

, yn = −1 +

.

1 n

.

.

, zn = 2 + (−1)n · 1 n

1 n

1 n

.

, zn = −1 + (−1)n ·

2. A = R− , B = R+ . A = Q , B = R \ Q . Sei (xn )n eine Folge in A ∪ B mit (xn )n → a . Dann liegen unendlich viele xn in A , oder unendlich viele xn in B . Damit erh¨ alt man eine Folge (yn )n in A oder in B mit (yn )n → a . 3. Aus c ≤ (xn )n ≤ d und (xn )n → a folgt c ≤ a ≤ d nach 1.4.2. 4. (a) −5

(b) 5

(c) −1

(d) − 12

(e) 0

9 14

(c) Konvergent bei −3

5. (a) Stetig

(b) Divergent bei 0

6. (a) 7

(b) −5

(c) −1

(d)

(g) 1

(h) −1

(i) −6

(f) 0

(f)

1 2

(d) Stetig

(e) 0 (j) −6

ax + b = ∞; ... cx + d xk + 1 (l) 1. Fall: k > n, k − n gerade ⇒ lim = ∞; ... x→−∞ 2xn + 3 (k) 1. Fall: c = 0, d = 0, ad > 0 ⇒ lim

x→∞

7. Zur Kontrolle der eigenen L¨ osung kann man zum Beispiel Grafik- oder Computeralgebra-Programme verwenden. 8. Computeralgebra! sch

sch

9. Vergleiche 1.6.4: Ersetze b durch ∞ und (|f (xk ) − b|)k <  durch s < f (xk ) .

L¨ osungen

215

1.7 Logarithmus- und Exponentialfunktionen 1. (a) f (0) = f (0 + 0) = f (0) · f (0) . (b) f (xn ) = f (xn − a + a) = f (xn − a) · f (a) → f (0) · f (a) = f (a) .    2  (c) f (x) = f x2 + x2 = f x2 . (d) Siehe (c). (e) Annahme:  a ∃ a ∈ R : f (a) = 0 . ⇒ f lim f 2n = f (0) , Widerspruch zu (a).



a 2n



= 0 nach (d). ⇒

0 =

n→∞

(f) f (a) = f (a − b + b) = f (a − b) · f (b) . (g) Vergleiche 1.7.1: Zun¨ achst f¨ ur x ∈ N0 durch Induktion: f ((x + 1)a) = f (xa+a) = f (xa)f (a) = f (a)x+1 . Danach: f (za) = f (n· nz ·a) = f ( nz ·a)n 1 z ⇒ f ( nz · a) = f (za) n = f (a) n . Danach: f (−xa) = f (0 − xa) = f (xa)−1 . 2. bn − an = xn an − an = (xn − 1) · an → 0 . 3. Die ln im Beweis von 1.7.9 sind von der Form z · 2−m , da [0 ; k] schrittweise halbiert wird. ur alle (xn )n in D 4. ⇒“: Wenn g existiert, dann gilt f (xn ) = g(xn ) → g(a) f¨ ” mit (xn )n → a . ⇐“: Wenn f f¨ ur x → a konvergiert, setze g(a) := lim f (x) . ” x→a 5. f (x) := −1 f¨ ur x ∈ Q− und f (x) := 1 f¨ ur x ∈ Q+ 0. ur a = 1 ist x −→ ax nicht 6. loga soll die Umkehrung von x −→ ax sein; doch f¨ umkehrbar, da konstant. 7. ax = E(x ln(a)) ⇒ ln(ax ) = ln(E(x ln(a))) = x ln(a) . ax+y = E((x + y) ln(a)) = E(x ln(a)) · E(y ln(a)) = ax ay . (ab)x = E(x ln(ab)) = E(x(ln(a) + ln(b))) = E(x ln(a)) · E(x ln(b)) = ax bx . axy = E(xy ln(a)) = E(y ln(ax )) = (ax )y . 1.8 Winkelfunktionen 1. 0,463647 . . . ; 0,785398 . . . ; 1,107148 . . . ; 1,249045 . . . ; 1,471127 . . .  cn cn ≥ . 2. Alle cn < 0 und 1 + c2n + 1 ≥ 2 ⇒  2 1 + c2n + 1 3. Siehe Abbildung 1.29. 4. xy = HI < AB = 1 . 5. Setze x := tan(α) , y := tan(β) in 1.8.7. Voraussetzung: tan(α) tan(β) < 1 . ahert sich der Bogen von B nach D0 einem Viertelkreis. 6. F¨ ur x = BC0 → ∞ n¨

216

L¨osungen

7. tan stetig, da Umkehrung von arctan . F¨ ur |x| < π2 werden cos und sin aus stetigen Funktionen zusammengesetzt; ihre Fortsetzungen auf R sind an den Nahtstellen“ ebenfalls stetig. ” 8. F¨ ur x = c0 > 0 folgt e0 ≤ arctan(x) ≤ c0 aus der Monotonie von (2n en )n x und (2n cn )n (siehe 1.8.1 und 1.8.4). Wegen c0 = x und e0 = √ folgt 1 + x2 1 arctan(x) √ ≤ 1 . Analog: x = c0 < 0 . ≤ 2 x 1+x 9. F¨ ur y := tan(x) gilt

tan(x) y = → 1 nach Aufgabe 8. x arctan(y)

tan(x) sin(x) = · cos(x) → 1 . x x 1.9 Gleichwertige Axiomensysteme ankt. Definiere induktiv eine Teilfolge (xnk )k 1. 1. Fall: (xn )n nach oben unbeschr¨ mit xnk > k : k = 1 : ∃ n1 ∈ N : xn1 > 1 . k → k + 1“: ∃ nk+1 > nk : xnk+1 > ” k + 1 . 2. Fall: (xn )n nach unten unbeschr¨ankt . . . 2. Es gibt eine untere Schranke l1 f¨ ur M und ein x ∈ M ; r1 := x + 1 ist keine untere Schranke f¨ ur M . Setze  ur M ist [ ln , mn ] falls mn keine untere Schranke f¨ [ ln+1 , rn+1 ] := [ mn , rn ] falls mn eine untere Schranke f¨ ur M ist . Rest des Beweises: analog zum Beweis von 1.9.6. 3. W¨ahle  = 1 . ∃ N ∈ N ∀ n, m > N : |xn − xm | < 1 . Insbesondere: ∀ n > N : |xn − xN +1 | < 1 . ⇒ (xn )n>N beschr¨ ankt. ⇒ (xn )n∈N beschr¨ankt. f : R \ {0} −→ R+ , x −→ |x| sin : R −→ [−1 ; 1] sin : [0 ; 2π[ −→ [−1 ; 1] sin : ]0 ; π[ −→ ]0 ; 1]  x f¨ ur x ≤ 0 5. (a) f (x) := x + 1 f¨ ur x > 0  −1 x f¨ ur 0 < x ≤ 1 (b) f (x) := 0 f¨ ur x = 0  x f¨ ur 0 < x < 2 (c) f (x) := 1 f¨ ur x ∈ {0 ; 2} 4. (a) (b) (c) (d)

Falsch: Falsch: Falsch: Falsch:

6. F¨ ur x ∈ R sei x die gr¨ oßte ganze Zahl, die kleiner x ist (z.B. 3,7 = 3 , −5,1 = −6). f : R −→ Z , x −→ x . Ann.: f : R −→ Z mit Wertemenge Wf = Z ist stetig. Aus dem Zwischenwertsatz folgt Wf = R , Widerspruch! Jedes f : Z −→ R ist stetig, denn jede Folge (xn )n in Z mit (xn )n → a ist schließlich konstant a , also (f (xn ))n → f (a) .

L¨ osungen

217

2.1 Definition und Beispiele 1. (a) f  (3) ≈ 2 (f) 0 2. (a) (d) (g) (j)

(b) 4 (g) 3

y = 1 + 2(x − 3) y = 3 − 3(x + 3) y = 2 + 3(x − 1) y = −2x + 6

3. f (x) =

1 2

(c) −1 (h) 3

(d) −3 (i) 0,5

(b) y = 4 + 4(x − 4) (e) y = −4 (h) y = −3 + 3(x + 1)

(e) 0 (j) −2 (c) y = 1 − (x + 2) (f) y = −1 (i) y = 0,5 · x + 2

· 9,8ms−2 x2 . Geschw.: ≈ 4,9 ; 14,7 ; 24,5 ; 10,3 ; 9,8 in ms−1 x

4. f (x) = 6 · 109 · 2 30 a . Raten: ≈ 1,4 · 108 a−1 ; 3,8 · 105 d−1 ; 1,6 · 104 h−1 ; 4,4 s−1  x 5. f (x) = 1010 · 12 1 a . Raten: ≈ −5 · 109 a−1 ; −220s−1 ; −110s−1 ; −55s−1 ; −27s−1 6. (a) (d) (g) (j)

f  (x) = 2x − 4 f  (x) = 2x + 3 f  (x) = 3x2 f  (x) = −2

(b) f  (x) = 2x − 4 (e) f  (x) = 2x − 4 (h) f  (x) = 3x2

(c) f  (x) = 2x + 3 (f) f  (x) = 2x + 2 (i) f  (x) = 0,5

2.2 Ableitungsregeln Alle Aufgaben in 2.2 kann man mit Computeralgebra-Programmen u ufen. ¨berpr¨ 2.3 Mittelwertsatz und lokale Eigenschaften 1. n gerade ⇒ cos(nπ) = 1 , cos((n + 1)π) = −1 ⇒ f ( n1 ) = 1 1 1 1 n+1 − (n+1)2 ⇒ f ( n+1 ) − f ( n ) = . . . < 0 .

1 n

+

1 n2

1 , f ( n+1 )=

2. Man vertausche jeweils ≤ und ≥ im Beweis von 2.3.3. 3. Computeralgebra! 4. (a) f (0) := 0 , f (x) := 1 f¨ ur x > 0 , a := 0 , c := 1 . (b) f (x) := |x| , a := −1 , c := 1 . 5. Ortsfunktion (Zeit → Ort): Es gibt einen Zeitpunkt, bei dem die momentane Geschwindigkeit gleich der mittleren Geschwindigkeit ist (in einem zuvor festgelegten Zeitintervall). Geschwindigkeitsfunktion (Zeit → Geschwindigkeit): Es gibt einen Zeitpunkt, bei dem die momentane Beschleunigung gleich der mittleren Beschleunigung ist (in einem zuvor festgelegten Zeitintervall). 6. Computeralgebra! 7. f (x) = c · ekx −

l k

.

8. f (x) := cos(x + y) ⇒ f  = −f , f (0) = cos(y) , f  (0) = − sin(y) . Mit 2.3.12 folgt die Behauptung.

218

L¨osungen

9. bis 13.: Computeralgebra! 2.4 Klassische Mechanik 1. U konstant ⇒ F = −U  = 0 ⇒ p (t) = F (x(t)) = 0 .  D ⇒ x(t) = 2. mx = F = −Dx ⇒ x = −ω 2 x mit ω := m 2.3.12.

v(0) ω

sin(ωt) nach

3. x(t) = r cos(ωt) , y(t) = r sin(ωt) ⇒ Beschleunigung in x-Richtung ax (t) = −rω 2 cos(ωt) , Beschleunigung in y-Richtung ay (t) = −rω 2 sin(ωt) , Betrag  2 2 insgesamt also ax (t) + ay (t) = rω 2 wegen sin2 + cos2 = 1 . 2.5 Newton-Verfahren 1. Computeralgebra! 2. Wegen |x| =

|x| x

ist f  (x) = s · | x1 − 1|s−1 ·

| x1 − 1| −1 · 2 = ... 1 x x −1

3. r = 1,95 : ≈ 1 ; r = 2 : ≈ 1(?); r = 2,05 : ≈ 0,878 und ≈ 1,098 . = −2x + 3 hat keine Fixpunkte, da 1 ∈ / Dg ; außerdem 4. (a) g(x) := x − ff(x) (x) ist |g  (x)| > 1 . Fehlende Voraussetzung: f ist bei 1 nicht differenzierbar. √ −3x3 +10 (b) g(x) := x − ff(x) hat keine Fixpunkte, da ± 2 ∈ / Dg ; außer(x) = 2x √  ur x nahe ± 2 . Fehlende Voraussetzung: f ist bei dem √ ist |g (x)| > 1 f¨ ± 2 nicht differenzierbar. ¨ 2.6 Uber die Sprache der Ringe 1. ∗ : nicht assoziativ: (x∗y)∗z = (xy 2 )∗z = xy 2 z 2 , x∗(y∗z) = x∗(yz 2 ) = xy 2 z 4 ; nicht kommutativ: y ∗ x = yx2 = x ∗ y ; es gibt kein neutrales Element.  : assoziativ: (x  y)  z = 3 = x  (y  z) ; kommutativ: x  y = 3 = y  x ; kein neutrales Element. Nicht distributiv: (x∗y)z = 3 , (xz)∗(y z) = 3∗3 = 27 . 2. (RR , +) ist eine kommutative Gruppe.   ◦ : assoziativ: ((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f (g(h(x))) = f (g ◦ h)(x) = (f ◦ (g ◦ h))(x) ; nicht kommutativ: f¨ ur f (x) = x3 , g(x) = x + 1 ist f (g(x)) = 3 3 (x + 1) , g(f (x)) = x + 1 ; id : x → x ist neutral; f hat kein Inverses bzgl. ◦ , wenn f nicht bijektiv ist (s. 1.5.12); nicht distributiv: f¨ ur f (x) = x2 , g(x) = h(x) = x ist (f ◦ (g + h))(x) = f (g(x) + h(x)) = f (2x) = 4x2 , ¨ (Bij, ◦) ist eine ((f ◦ g) + (f ◦ h))(x) = f (g(x)) + f (h(x)) = 2x2 . Ubrigens: nicht-kommutative Gruppe, wobei Bij := {f ∈ RR | f bijektiv } . 3. ד ist nicht assoziativ, nicht kommutativ, es gibt kein neutrales Element; ” (+, ×) ist distributiv.

L¨ osungen

219

4. Im Fall D = {} gibt es keine Inversen, sonst gilt alles: Seien A, B, C Teilmengen von D ; assoziativ: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) , (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ; kommutativ: A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A ; {} ist neutral bzgl. ∪ , da {} ∪ A = A ; D ist neutral bzgl. ∩ , da D ∩ A = A ; distributiv: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ; u ¨brigens auch (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) . 5. Nach dem 2. Anordnungsaxiom definiert ·“ eine Verkn¨ upfung auf R+ , d.h. + + + + ” · : R × R −→ R , (x, y) −→ xy ∈ R ; außerdem ist 1 ∈ R+ (Aufgabe 10 in 1.3) und x−1 ∈ R+ f¨ ur x ∈ R+ (Aufgabe 11 in 1.3). 6. Es gilt: ·“ ist kommutativ: (y1 , y2 ) · (x1 , x2 ) = (y1 x1 − y2 x2 , y1 x2 + y2 x1 ) = ” ·“: (1, 0) · (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) · (y  bzgl.  (x1 , x2 ) ; invers: 1 , y2 ) ; (1, 0) ist neutral ” x21 + x22 −x1 x2 + x2 x1 −x2 x1 (x1 , x2 ) · = = (1, 0) ; . . . , , x21 + x22 x21 + x22 x21 + x22 x21 + x22 √ √ √ 2) = 7. +“ und ·“ definieren Verkn¨ upfungen auf Q[√ 2] : (a + b 2) + (c + d √ √ √ √ ” ” (a+c)+(b+d) 2 ∈ Q[ 2] und (a+b 2)·(c+d 2) = (ac+2bd)+(ad+bc) 2∈ √ √ √ √ √ Q[ 2] ; 0 = 0 + 0 2 ∈ Q[ 2] und 1 = 1 + 0 · 2 ∈ Q[ 2] sind neutral; invers √ √ √ a b bzgl. +“: −a − b 2 ∈ Q[ 2] ; invers bzgl. ·“: 2 − 2 2 ∈ 2 2 ” a − 2b a − 2b √ ” Q[ 2] . 8. R ist ein Teilring von RR : f, g ∈ P (konstante Funktionen).

⇒ f + g, f g ∈ R , und 1, −1 ∈ R

D D 9. (RD a,0 , +) ist eine Gruppe. (Z.B.: f, g ∈ Ra,0 ⇒ f +g ∈ Ra,0 , denn (f +g)(a) = D ⇒ f g ∈ RD f (a) + g(a) = 0 + 0 = 0 .) Außerdem: f ∈ RD a,0 , g ∈ R a,0 , denn (f g)(a) = f (a) · g(a) = 0 · g(a) = 0 .

10. {x3 · f (x) | f (x) ist ein Polynom } . 11. I = 2Z = {2z | z ∈ Z} , denn: (a) 2Z ⊆ I , da 2 = 6 + (−4) ∈ I (b) 2Z ist ein Ideal in Z . 12. I = (x − 1)R , denn: (a) (x − 1)R ⊆ I , da x − 1 ∈ I (b) x2 − 1 ∈ (x − 1)R , da x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) (c) (x − 1)R ist ein Ideal in R 13. ker(ϕ) ist eine Gruppe: (a) x, y ∈ ker(ϕ) ⇒ x+y ∈ ker(ϕ) , denn ϕ(x+y) = ϕ(x)+ϕ(y) = 0+0 = 0 (b) +“ ist assoziativ auf ker(ϕ) , da assoziativ auf R ⊇ ker(ϕ) ” (c) 0 ∈ ker(ϕ) , da ϕ(0) = 0

220

L¨osungen (d) x ∈ ker(ϕ) ⇒ −x ∈ ker(ϕ) , da ϕ(−x) = ϕ(−x) + 0 = ϕ(−x) + ϕ(x) = ϕ(−x + x) = ϕ(0) = 0 Außerdem: x ∈ ker(ϕ) ∧ y ∈ R ⇒ xy ∈ ker(ϕ) , da ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = 0 · ϕ(y) = 0 . ϕ = lim : K −→ R =⇒ N = ker(ϕ) . n→∞

ϕ = ιa : Da (D) −→ R , f −→ f (a)

=⇒

Da,0 (D) = ker(ϕ) (s. 2.6.35).

14. Seien x, y ∈ H ; dann ∃ a, b ∈ G : x = ϕ(a) ∧ y = ϕ(b) . ϕ−1 (x + y) = ϕ−1 (ϕ(a) + ϕ(b)) = ϕ−1 (ϕ(a + b)) = a + b = ϕ−1 (x) + ϕ−1 (y) . 15. Nein. Ann.: ϕ : Z −→ Q ist ein Isomorphismus. Setze r := ϕ(1) . Wegen 1 r ∈ Q gibt es ein z ∈ Z mit ϕ(z) = 12 r . Somit: ϕ(2z) = ϕ(z + z) = 2 ϕ(z) + ϕ(z) = r = ϕ(1) ; da ϕ bijektiv, folgt 2z = 1 , Widerspruch zu z ∈ Z . 16. ϕ : R2 −→ Aff , (m, t) −→ fm,t mit fm,t (x) := mx + t ist ein Isomorphismus, da (m + m )x + (t + t ) = (mx + t) + (m x + t ) , . . . ; s. Lemma 2.6.30. 17. (a) ϕ((xn )n + (yn )n ) = ϕ((xn + yn )n ) = x3 + y3 = ϕ((xn )n ) + ϕ((yn )n ) (b) ϕ((xn )n · (yn )n ) = ϕ((xn · yn )n ) = x3 · y3 = ϕ((xn )n ) · ϕ((yn )n ) (c) (xn )n ≤ (yn )n ⇒ ϕ((xn )n ) = x3 ≤ y3 = ϕ((yn )n ) ; . . . 3.1 Treppenfunktionen 1. f und g in ]a , b[ konstant ⇒ λf , f + g , f · g in ]a , b[ konstant. 2. F¨ ur b = a ist

b

b (f ) = (g) = 0 .

a

a

!

3. cd(b − a) = c(b − a) · d(b − a) ⇔ c = 0 ∨ d = 0 ∨ a = b ∨ b − a = 1 . 4. (z0 , z1 , . . . , zm ) mit m := 2n , zi := xi/m ; tn (x) := zi−1 f¨ ur zi ≤ x < zi+1 , −1 −1 −1 tn (zm ) := zm−1 ; sn (x) := zi+1 f¨ ur zi ≤ x < zi+1 , sn (zm ) := zm . 5. (a) In Definition 3.1.9 ist {x0 , x1 , . . . , xm } = {y0 , y1 , . . . , yn } zugelassen. (b) {x0 , . . . , xm } ⊆ {y0 , . . . , yn } {x0 , . . . , xm } ⊆ {z0 , . . . , zp } .

∧

{y0 , . . . , yn } ⊆ {z0 , . . . , zp }

=⇒

(c) Lemma 3.1.10. (d) Z.B. Z1 = (a , a + 13 (b − a) , b) und Z2 = (a , a + 23 (b − a) , b) . 6. Zu einer Zerlegung f¨ ur t nimmt man eventuell noch b hinzu; das liefert eine Zerlegung (x0 , . . . , xm ) mit b = xk f¨ ur ein k ; damit: k m c xi xi b c (t) = (t) + (t) = (t1 ) + (t2 ) . a

7.

i=1 xi−1

i=k+1 xi−1

a

b

Sab (. . .)

ist linear, monoton, Intervall-additiv, kein Ring-Homomorphismus. 0,5 2  S02 (1) = 1 + 1 = 2 = (1) ; S00,5 (1) = 1 = 0,5 = (1) . 0

0

L¨ osungen

221

3.2 Riemann-Integral 1. Sei f Treppenfunktion. W¨ ahle sn := tn := f in Definition 3.2.2 2. a = 0 , b = 2 , s(x) = 1 f¨ ur 0 ≤ x ≤ 2 , t(x) = 1 f¨ ur 0 ≤ x < 2 , t(2) = 2 . 3. sn (x) = n , tn (x) = n +

1 n

.

osung von Aufgabe 4, Abschnitt 3.1, an , bn wie in Lemma 4. sn , tn wie in L¨ x x 1.7.2. Dann ist sn = an , tn = bn und lim (bn − an ) = 0 nach Aufgabe 2 1

1

n→∞

in Abschnitt 1.7. 5. Fallunterscheidung! Außerdem: 1 + sin ≥ 0 ⇒ (1 + sin)+ = 1 + sin . b , . . . , bm ) , Rechtecke der Breite 6. Zerlegung (0, m m m 2 1 b i 2 1 = . . . = b ( 2 + 2m ) → 12 b2 f¨ ur m → ∞ . m2

b m

, H¨ohe

bi m

; damit:

i=1

7. Seien s1,n , t1,n , s2,n , t2,n geeignete Treppenfunktionen f¨ ur f1 bzw. f2 . Daraus erh¨alt man geeignete Treppenfunktionen f¨ u r f :  ur a ≤ x ≤ b s1,n (x) f¨ ... sn (x) := s2,n (x) f¨ ur b < x ≤ c 8. Die Treppenfunktionen f¨ ur f m¨ ussen eventuell an der Stelle c ge¨andert werden; das ¨andert aber nichts an den Werten der Integrale dieser Treppenfunktionen. 9. ϕ(f + g) = (f + g)(a) = f (a) + g(a) = ϕ(f ) + ϕ(g) ; ϕ(λf ) = (λf )(a) = λ · f (a) = λ · ϕ(f ) ; f ≤ g ⇒ ϕ(f ) = f (a) ≤ g(a) = ϕ(g) . Setze f (x) := 1 2 f¨ ur alle x ∈ [0 ; 2] ; dann ist ϕ(f ) = 1 = 2 = (f ) . 0

1

 10. ϕ(f ) := f 2 (a + b) · (b − a) . 3.3 Gleichm¨ aßige Konvergenz und Stetigkeit 1. (a) |f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ f  + g . (b) Treppenfunktionen haben jeweils nur endlich viele Funktionswerte; darunter gibt es immer einen kleinsten und einen gr¨oßten Wert. (c) s1 ≤ f ≤ t1 mit Treppenfunktionen s1 , t1 . (d) Extremwertsatz. 2. Siehe Hinweis zu Aufgabe 1a. 3. d(f, h) = f − h = f − g + g − h ≤ f − g + g − h = d(f, g) + d(g, h) . 4. Siehe Beispiel 3.6.8.

222

L¨osungen

5. (fn )n punktweise konvergent: Sei x ∈ R+ ; nach Archimedes gibt es ein N ∈ N ur alle n > N , also fn (x) = 1 f¨ ur alle n > N , mit 1 < N x , also ist n1 < x f¨ also lim fn (x) = 1 . . . (fn )n nicht gleichm¨aßig konvergent: siehe 3.3.17. n→∞

6. Sei x ein Element der Definitionsmenge von f . Zu zeigen: lim |fn (x)−f (x)| = n→∞

0 . Nach Voraussetzung gilt lim fn − f  = 0 . Die Behauptung folgt wegen n→∞

0 ≤ |fn (x) − f (x)| ≤ fn − f  . 7. Ja: (sn )n in Beispiel 3.3.10.

8. Analog zu Beispiel 3.3.12: f (x + δ) − f (x) = 2xδ + δ 2 → ∞ f¨ ur x → ∞ . 9. Die Einschr¨ ankung von f auf [0 ; 4π] ist stetig, also nach 3.3.13 gleichm¨aßig stetig; sin periodisch . . . ⇒ Behauptung. 10. Sei n ∈ N ; nach Definition 3.2.2 gibt es sk , tk mit

b

(tk − sk ) <  :=

a

1 n

. Die

Umkehrung gilt: W¨ ahle zu jedem n ∈ N jeweils sn , tn mit sn ≤ f ≤ tn und b b 1 (tn − sn ) < n ; dann folgt lim (tn − sn ) = 0 . n→∞ a

a

11. Setze fn (x) := f (x) f¨ ur a ≤ x < b und fn (b) := f (b) +  |x| f¨ ur x ∈ [−1 ; 1] \ [− n1 ; n1 ] 12. fn (x) := n 2 1 f¨ ur x ∈ [− n1 ; n1 ] 2 x + 2n

1 n

.

3.4 Hauptsatz 1. Nach 3.2.13 gilt z.B. f¨ ur a ≤ c ≤ b : b a

b

b

c

c

a

b

c

b b c (f ) + (f ) = (f ) , also (f ) =

a

c

a

a

(f ) − (f ) = (f ) + (f ) .

2. F¨ ur alle t ∈ R , denn 3. F¨ ur t ≤ 0 , denn

x a

x

f = mx + t .

−t/m

f = 12 x2 − 12 a2 .

4. F¨ ur h < 0 gibt es nach 3.4.5 ein c ∈ [a + h , a] mit

a

f = f (c) · (a − (a + h)) =

a+h

−f (c) · h , also  5. F¨ ur f (x) := differenzierbar.

a+h 

f = f (c) · h = f (a + lh) · h f¨ ur l :=

a

|x|/x falls 0 falls

x = 0 x=0

ist

x 0

c−a h

. ...

f = |x| an der Stelle x = 0 nicht

L¨ osungen

223 1

6. Mit u := 3 + x2 ist

0 π/2  0 2π 

Mit u := cos(x) ist

0

1

x2 ex dx = e − 2 ;

0 π

−π k n

e 1

ecos(x) sin(x)dx = −

sin(kx) sin(nx)dx = . . . =

−π π

−π

(1 − (cos(nx))2 )dx ⇒ a

8. u := −x :

9. u := ax :

1

10. u := cx :

f (x)dx =

−a

b

1 x dx

b/c 

1 4

.

eu du = 0 .

1

k n2

−π

b

π

1

(cos(nx))2 dx =

b

−a 

1 2

π

ab 1

u du

a

f (u)du =

a

π

(sin(nx))2 dx =

−π

1dx = π .

−π

f (u)du = −

a

=

;

− sin(kx)k· n1 sin(nx)dx =

(cos(nx))2 dx =

−π

−f (−x)dx =

a ax dx

π 2

cos(kx) cos(nx)dx , also: F¨ ur k = n :

−π

a

f (cx)cdx =

a/c

π

−a

=

u3 du =

0 1

0 π π 1 n sin(nx) −π − −π π 2 

cos(kx) cos(nx)dx = 0 ; f¨ ur k = n :

−π π

1

π x ln(x)dx = 14 (e2 + 1) ; (cos(x))2 dx =

 cos(kx) cos(nx)dx = cos(kx) · π

u4 du = 78,1 .

3

(sin(x))3 cos(x)dx =

Mit u := sin(x) ist

7.

4

1 2

x(3 + x2 )4 dx =

a −a

f (x)dx ⇒ Beh.

ab 1

=

a

b

x dx .

f (x)dx . Wenn man die x-Koordinaten

a

aller Punkte durch c teilt, dann werden die zugeh¨origen Fl¨acheninhalte ebenfalls durch c geteilt. x 1 11. Siehe Ende von Abschnitt 3.4: f (x) := 1+t 2 dt , g(x) := f (x) + f (y) , h(x) := 0   x+y 1  f 1−xy . ⇒ h (x) = . . . = 1+x 2 = g (x) . 12. L(x) :=

x 1 1

dt . t

L(ab) =

L(a) + L(b) ; L(1) = 0 , da

ab 1

a

1 1

1

1

dt = t

1 dt t

1 dt t

+

ab 1 a

dt t

9.

=

a 1

1 dt t

+

b 1

1 dt t

=

= 0 ; nach dem Hauptsatz ist L differen-

zierbar mit L (x) = x−1 , also L streng monoton steigend; L (x) = −x−2 , also Graph rechtsgekr¨ ummt; lim L(x) = ∞ , da L(2n ) = n · L(2) → ∞ f¨ ur x→∞

n → ∞ ; lim L(x) = −∞ , da L(x−1 ) = −L(x) . x→0

224

L¨osungen

3.5 Taylorpolynome 1. 0 ; x5 ; 1 + 5(x − 1) + 10(x − 1)2 + 10(x − 1)3 ; 1 + 5(x − 1) + 10(x − 1)2 + 10(x − 1)3 + 5(x − 1)4 + (x − 1)5 = x5 .     2. Induktion: ln[k+1] (x) = ln[k] (x) = (−1)k−1 (k − 1)! x−k = (−1)k k! x−(k+1) . sin[4n] (0) = sin(0) = 0 ; sin[4n+1] (0) = cos(0) = 1 ; sin[4n+2] (0) = − sin(0) = 0 ; sin[4n+3] (0) = − cos(0) = −1 ; cos[4n+i] (0) analog . . . 3. τp0 (f )(x) = f (p) = f (g(0)) = τ00 (f ◦ g)(x − p) . Sei n ≥ 1 . ⇒ τ0n (g)(x) = x + p   ⇒ Grad(τpn (f ) ◦ τ0n (g)) ≤ n ⇒ τ0n τpn (f ) ◦ τ0n (g) = τpn (f ) ◦ τ0n (g) (s. 3.5.2),   also folgt mit 3.5.12 τ0n (f ◦ g)(x − p) = τpn (f ) ◦ τ0n (g) (x − p) = τpn (f )(x) . 4. Mit Aufgabe 3 und den Additionstheoremen folgt τp2n+1 (sin(x)) =   τ02n+1 (sin(x + p))(x − p) = τ02n+1 sin(x) cos(p) + cos(x) sin(p) (x − p) = cos(p) · τ02n+1 (sin)(x − p) + sin(p) · τ02n+1 (cos)(x − p) ; τp2n+1 (cos(x)) = τ02n+1 (cos(x + p))(x − p) =   τ02n+1 cos(x) cos(p) − sin(x) sin(p) (x − p) = cos(p) · τ02n+1 (cos)(x − p) − sin(p) · τ02n+1 (sin)(x − p) . k      k 5. Induktion: (f g)[k+1] = (f g)[k] = f [k−i+1] g [i] + f [k−i] g [i+1] = i k   k

f [k+1] g [0] + f [k+1] g [0] + k+1  i=0

i=1



k+1 i

i=1 k 

f

i k i



f [k−i+1] g [i] + f [k−i+1] g [i] +

[k+1−i] [i]

g

wegen

k i

i=0 k−1 k [k−i] [i+1] g + f [0] g [k+1] = i f i=0 k   [k−i+1] [i] k f g + f [0] g [k+1] = i−1 i=1

+





k i−1

=

k+1 i

.

6. x3 ; x2 − 12 x4 ; x − 23 x3 ; 1 + x − 13 x3 − 16 x4 . 7. 1+x+ 21 x2 ; 1− 12 x2 ; x+ 12 x2 ; sin(1)+cos(1)x+ 12 (cos(1)−sin(1))x2 − 12 sin(1)x3 . 8. Nach der Taylor-Formel ist rpn (f ) = 0 , also f = τpn (f ) . 9. f (x) = τpn (f )(x) =

n k=0

f [k] (p) k!

(x − p)k , da rpn (f ) = 0 (Taylor-Formel!).

 [9]   cos (c) 9  1 9 10. |r08 (cos(x))| =  · x  ≤ · 3 < 0,06 . 9! 9! 11.

5 7

. (Bei der Polynomdivision werden Z¨ahler und Nenner so oft wie m¨oglich durch x − 2 geteilt.)

12. − π1 ; −6 ; 0 .

L¨ osungen

225

13. Wegen τ04 (cos(x)) = 1 − 12 x2 + Minimalstelle.

1 4 24 x

ist τ04 (f (x)) =

1 4 24 x ,

also 0 eine lokale

3.6 Potenzreihen 1.

sN s sk ≤ · → 0 f¨ ur k → ∞ . k! N! k

2. Konvergiert f¨ ur alle x ∈ R :



xk k!

 k

→ 0 nach Aufgabe 1, also



bk ·

xk k!

 k

beschr¨ankt (da (bk )k beschr¨ ankt und 1.4.3); jetzt 3.6.6. 2j 2j



1 1 1 1 ≥ =j· = , also k 2j 2j 2

3. F¨ ur j ∈ N ist

k=j+1 m+1 2

k=3

k=j+1

i+1

m m 2 m 1 1 1 = ≥ = → ∞ f¨ ur m → ∞ . k k 2 2 i i=1 i=1 k=2 +1

2n+1

2n+2

1 4. (A2n )n f¨allt monoton, da A2n+2 = A2n + (−1) + (−1) = A2n − 2n+1 + 2n+1 2n+2 1 2n+2 < A2n . Analog: (A2n+1 )n steigt monoton. Außerdem ist A2n+1 < A2n , 1 da A2n+1 = A2n − 2n+1 < A2n . Damit konvergieren (A2n )n und (A2n+1 )n 1 (Vollst¨andigkeitsaxiom!). Wegen A2n − A2n+1 = 2n+1 → 0 folgt die Beh. 1 k

in Aufgabe 4 ⎧ 2n2 x ⎪ ⎨ 4n − 2n2 x 6. fn (x) := ⎪ ⎩ 0 5. Ersetze

durch ak . . . 1 n ≤ n2

f¨ ur 0 ≤ x ≤ f¨ ur f¨ ur

1 n 2 n

<x

, gn (x) := fn (x − 3) + 1 .

<x≤2

aßig konvergent. Dann gibt es nach Definition eine 7. Annahme: (gn )n ist gleichm¨ beschr¨ankte Funktion f , sodass (gn )n gleichm¨aßig gegen f konvergiert. Dann konvergiert (gn )n aber auch punktweise gegen f , also f = g (Eindeutigkeit des Grenzwerts), Widerspruch zu g unbeschr¨ankt.  n  k 8. Nein: x konvergiert in ] − 1 ; 1[ punktweise gegen das unbeschr¨ankte k=0 n   n k 1 x nach Aufgabe 7 in ]−1 ; 1[ nicht gleichm¨aßig. 1−x , also konvergiert k=0

9.

∞ x 0 k=0 ∞

−

k=1

(−1)k 2k+1 t dt (2k+1)! (−1)k 2k (2k)! x

=

∞ k=0

n

(−1)k x2k+2 (2k+2)!

= − cos(x) + 1 .

∞ x 0 k=0

=−

∞ k=0

(−1)k 2k (2k)! t dt

(−1)k+1 2(k+1) x (2(k+1))!

=

∞ k=0

=

(−1)k 2k+1 (2k+1)! x

= sin(x) .

10. Nach 3.6.13 ist R ≤ R1 . Es gilt auch R1 ≤ R: Sei 0 < s <  R1 . Dann ist (|ak ksk−1 |)k beschr¨ ankt, also auch (|ak sk |)k =  ks · ak ksk−1  k beschr¨ankt.

226  11. ln(x) = ln p · (1 +

L¨osungen 

x−p p )

 = ln(p) + ln 1 +

12. g(x) := x2 + f (x) mit f (x) wie in 3.6.19.

x−p p

 = . . . (siehe 3.6.18).

Literaturverzeichnis [Beh]

Ehrhard Behrends: Analysis Band 1 , Vieweg+Teubner, 2011

[Br¨o1]

Theodor Br¨ ocker: Analysis 1 , Spektrum Akad. Verlag, 1995 (auch unter http://www.mathematik.uni-regensburg.de/broecker/index.htm)

[Ebb]

Heinz-Dieter Ebbinghaus: Zahlen , Springer, 1992

[For1]

Otto Forster: Analysis 1 , Vieweg+Teubner, 2011

[For3]

Otto Forster: Analysis 3 , Vieweg+Teubner, 2010

[Kut]

Franz von Kutschera, Alfred Breitkopf: Einf¨ uhrung in die moderne Logik , Alber, 2007

[Wal]

Wolfgang Walter: Gew¨ohnliche Differentialgleichungen , Springer, 2000

M. Moßburger, Analysis in Dimension 1, DOI 10.1007/978-3-8348-8633-0, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

Stichwortverzeichnis :=, 6 :⇔, 12 <, 22 ⇐⇒, 22 =⇒, 22 R+ , 22 RD , 120 δ, 129 δa , 128 ∃, 16 ∀, 16 inf, 78 max, 77 Kons[a , b], 142 Trep[a , b], 143 min, 77 ¬, 25 sch

< , 13 , 36 sup, 78 τpn , 185 ∨, 22 ∧, 22 f  , 85 f [n] , 178 rpn , 187 B, 128 B(D), 160 C n (D), 178 Ca (D), 125 D(D), 129 Da (D), 125 Da,0 (D), 125 K, 124 N , 127 ¨ Anderungsrate, 87

aquivalent, 27 ¨ abelsch, 122 abgeschlossen, 168 Ableitung, 85, 87 absolut konvergent, 199 Abstand zweier Funktionen, 161 Additionstheorem, 73, 104 Allquantor, 16 Anordnungsaxiome, 22 Archimedisches Axiom, 27 Arkustangens, 69 assoziativ, 121 Asymptote, 54 Attraktor, 118 Axiome - der Anordnung, 22 - der reellen Zahlen, 17 - des Integrals, 157 - des K¨orpers, 18 Banach-Raum, 170 Ber¨ uhrpunkt, 51, 53 Bernoullische Ungleichung, 35 Beschleunigung, 112 beschr¨ankt, 24, 77 bijektiv, 46 Bogenmaß, 70 Cauchy-Folge, 78, 169 Cauchy-Kriterium, 79, 169 dicht, 62 Differentialgleichung, 103 Differenzenquotient, 84 differenzierbar, 85 distributiv, 121

M. Moßburger, Analysis in Dimension 1, DOI 10.1007/978-3-8348-8633-0, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

Stichwortverzeichnis divergent, 51, 53 Divergenz, 38 Dreiecksungleichung, 24, 161 E = mc2 , 195 Einschr¨ankung, 62 Energie - kinetische, 112 - potentielle, 112 Entwicklungspunkt, 198 Ergebnis einer Intervallschachtelung, 40 Erzeuger, 127 Euler’sche Zahl, 63 Existenzquantor, 16 Exponentialfunktion, 63 Exponentialreihe, 200 Extremalstelle, 100 Extremwertsatz, 79 Fakult¨at, 9 feinere Zerlegung, 144 Fibonacci-Folge, 10 Fixpunkt, 117 Folge, 9 Folgenglieder, 9 Fortsetzung, 62 Funktional, 142 gemeinsame Verfeinerung, 144 geometrische Reihe, 37 Geschwindigkeit, 112 gleichm¨aßig stetig, 164 gleichm¨aßige Konvergenz, 162 gleichm¨aßiger Grenzwert, 162 Gradmaß, 70 Grenzwert, 13, 51 - linksseitig, 52 - rechtsseitig, 52 Gruppe, 122 Hauptideal, 127 Hauptsatz, 174 Hochpunkt, 100 Homomorphismus, 129

229 Ideal, 126 Impuls, 112 Infimum, 78 innerer Punkt, 100 Integral, 141, 145, 147, 155 Integralfunktion, 173 integrierbar, 151 Intervall-Additivit¨at, 148 Intervallschachtelung, 6, 25, 43 inverses Element, 19, 121 isomorph, 132 Isomorphismus, 132 K¨ orper, 123 K¨ orperaxiome, 18 Kettenregel, 92, 190 Koeffizienten, 198 kommutativ, 121, 122 konvergent, 13, 51, 53 - linksseitig, 52 - rechtsseitig, 52 Konvergenzintervall, 200 Konvergenzradius, 200 Kosinus, 75 Kr¨ ummung, 106 Kurvendiskussion, 109 l’Hospital, 194 Lagrange, 192 Leibniz-Kriterium, 208 linear, 130, 134 Logarithmus, 60 Maximalstelle, 100 Maximum, 77, 100 Minimalstelle, 100 Minimum, 77, 100 Mittelwertsatz - der Differentialrechnung, 101 - der Integralrechnung, 174, 192 mittlere Steigung, 87 momentane Steigung, 87 monoton, 24, 47, 135, 156 Negation, 25 negativ, 22

230 neutrales Element, 18, 121 Newton-Verfahren, 119 Norm, 160 Nullfolge, 13 Operator, 142 partielle Integration, 176 Polstelle, 54 Polynom, 44 positiv, 22 Potential, 112 Potenzmenge, 137 Potenzreihe, 198 Produktregel, 90, 188 punktweise konvergent, 163, 201 Quantoren, 16 Quotientenregel, 93 rationale Funktion, 44 Reihe - , geometrische, 37 - , absolut konvergente, 199 - Exponential–, 200 - Potenz–, 198 rekursive Definition, 9 Relativit¨atstheorie, 195 Restglied, 187 - nach Lagrange, 192 - nach Taylor, 191 Ring, 122 Rolle, Satz von, 101 schließlich, 13 Schranke, 24, 77 Sekante, 83 Sinus, 75 skalare Multiplikation, 134 Stammfunktion, 103 Steigung, 85 stetig, 43 stetig differenzierbar, 176 stetige Fortsetzung, 64 Substitutionsregel, 176 Summenregel, 90

Stichwortverzeichnis Supremum, 78 Supremumsnorm, 160 Tangens, 75 Tangente, 85 Taylorformel, 191 Taylorpolynom, 185 Taylorreihe, 205 Teilfolge, 76 Teilring, 124 Tiefpunkt, 100 transitiv, 22 Translationsinvarianz, 178 Treppenfunktion, 143 Umgebung, 84 Umkehrfunktion, 46 unendlich groß, 38 unendlich klein, 13 Untervektorraum, 134 Vektorraum, 134 vergleichbar, 31 Verhulst-Prozess, 117 Verkettung, 46 Verkn¨ upfung, 120 vertr¨aglich, 23 vollkommene Zahl, 21 vollst¨andige Induktion, 35 Vollst¨andigkeitsaxiom, 25 Weierstraß - Konvergenzsatz, 202 Wendepunkt, 107 Wendestelle, 107 Wurzel, 47 Zerlegung - eines Intervalls, 143 - f¨ ur eine Treppenfunktion, 144 Zwischenwertsatz, 45