Automatique : représentation externe

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

AUTOMATIQUE REPRESENTATION EXTERNE

TR 1.

1

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

0. Préambule Plan du cours

AUTOMATIQUE CONTINUE 1. Commande. Modèle d’un processus 2. Performances d'un Système : Stabilité - Précision - Rapidité 3. Correction d'un Système Asservi Linéaire (SAL)

AUTOMATIQUE DISCRETE 4. SALs échantillonnés 5. Correction numérique - Régulateurs standards 6. Performances d'un SAL échantillonné : Stabilité - Précision - Rapidité 7. Synthèse des correcteurs numériques - Réponse pile

ANNEXE 8. Logique floue TR 1.

2

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Bibliographie

[1] H. Bühler

« Réglages échantillonnés »

PPR

[5] K. Ogata

« Discrete Time Control systems »

Prentice

[7] M. Rivoire / J.L. Ferrier

« Automatique »

Eyrolles

[8] Y. Sévely

« Systèmes et asservissements linéaires échantillonnés » Dunod

[9] Y. Thomas

« Signaux & systèmes linéaires »

TR 1.

Masson

3

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

1. Commande. Modèle d’un processus COMMANDE

1. Introduction Automatique : Objectif : contrôler, commander un système. Domaines d'application : - commande de processus industriels (domaines initiaux) - économie, gestion, géophysique, biologie, etc... - Systèmes temps réel, capteurs - actionneurs : Constituants de l'automatique : - Théorie des systèmes. - Asservissement (≡ régulation). - Commande - Commande optimale. - Identification. Automatique Continue : Signaux / systèmes mis en jeu sont continus (≡ à TC). Ex.: régulation de la vitesse d'un moteur. Automatique Discrète : ∃ Signaux / systèmes mis en jeu discrets (≡ à TD). Ex. : séquenceur programmable de perçage de pièces.

TR 1.

4

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Représentation Externe :

Représentation Fréquentielle

Système représenté par sa FT

Représentation Interne : Système décrit par son état

x& = f ( x , u )

Représentation Temporelle

x

dans le plan de phase

( x , x& )

( u : entrée)

Exemples de régulation : - Puissance de frappe des touches du clavier d’un ordinateur contrôlée par le retour (feedback) du toucher (perception tactile) - Puissance vocale assujettie au retour (perception auditive). - Direction d’automobile corrigée (perception visuelle) ...

Exemple : Asservissement de la direction de vol d’un vaisseau spatial, décrit dans le plan de phase : Contrôle de la direction de vol (l’inclinaison % verticale au sol) d'un vaisseau spatial.

TR 1.

5

Automatique - Représentation Externe

On veut

θ0 = θ

1. Commande. Modèle d’un processus

( θ 0 : direction de consigne) :

θ

fusées de direction Commande en Boucle Ouverte (non asservie)

u0

(BO)

θ

Système

→ Déterminer le couple de commande

u0 tel que θ

=

Commande directe insuffisante car « aveugle » :

Perturbations

u0 TR 1.

+ Système

+

θ 6

θ0

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Commande en Boucle Fermée (≡ asservie) (BF) (SB: Système Bouclé)

Variations de la sortie prises en compte par un feedback ( Γ : couple)

Exemple de retour le plus simple :

v = − Γ si θ < θ 0  si θ = θ 0 v = 0 v = Γ si θ > θ 0  Commande en tout ou rien :

Perturbations

u0

+

e

+ −

Système

+

v Γ −Γ

θ0

La commande se fait par l'erreur : - si pas de perturbation : - si perturbation : TR 1.

θ

θ =θ0 θ ≠θ0

θ

e = u0 − v v = 0 → e = u0 → v≠0

→

7

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Inconvénient : fortes oscillations de

θ

autour de

θ0.

→ amélioration: introduction d'une bande morte (dead zone)

[ − ε ,+ ε ] autour de θ 0 :

v = − Γ si θ < θ 0 − ε  si θ 0 − ε ≤ θ ≤ θ 0 + ε v = 0 v = Γ si θ > θ 0 + ε 

u0

e

+ −

v

θ0 −ε −Γ

TR 1.

θ

Système Γ

θ0 θ0 +ε

θ

8

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Equations du système (cas de régulation sans bande morte) J : moment d’inertie du vaisseau.

&& J Couples = θ ∑ RFD :

(couple = moment de force)

Jθ&& = e = u 0 − v = u 0 + Γ si θ < θ 0 u0 si θ = θ 0 u 0 − Γ si θ > θ 0 u0 + Γ u0 + Γ & & & & θ θ θ = → = + t 0 .θ < θ 0 : J J  u0 + Γ  2 & → θ = t + θ 0t + θ 0  2J  u0 & & θ = J

u0 & & → θ = + θ t 0 .θ = θ 0 : J  u0  2 & → θ = t + θ 0t + θ 0  2J  u0 − Γ u0 − Γ & & & & θ = → θ = + θ t 0 .θ > θ 0 : J J  u0 − Γ  2 & → θ = t + θ 0t + θ 0  2J  TR 1.

9

Automatique - Représentation Externe

→ Cycle de régulation (cas où

1. Commande. Modèle d’un processus

θ 0 = 0) :

θ&

0

θ

Exemple similaire : Régulation de la direction d’un véhicule automobile : Feedback visuel pour corriger les perturbations (pavé ...) écartant le véhicule de la direction de consigne. - commande analogique : observation de la route en permanence - commande échantillonnée : observation de la route à intervalles de temps réguliers

TR 1.

10

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

2. Structure générale d'un asservissement Asservissement continu d'un processus continu Comparateur x(t)

+

e(t) = x(t) - r(t) -

r(t)

x: u: r : e: y:

Correcteur Contrôleur analogique

u(t)

Processus continu

y(t)

Capteur analogique

entrée, ou consigne (commande de l’asservissement) commande (du processus) retour, ou feedback erreur sortie

Asservissement numérique d'un processus continu

x(t)

+ r(t)

TR 1.

Calculateur Correcteur e (kT) u(kT) uA (t) e(t) q Contrôleur Processus CAN CNA numérique continu

y(t)

Capteur analogique

11

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Asservissement échantillonné d'un processus continu

x(t)

+ -

Calculateur Bloqueur d'ordre 0 Correcteur u*(t) uB (t) e(t) e*(t) Contrôleur Processus B 0 continu échantillonneur numérique

r(t)

y(t)

Capteur analogique

Asservissement numérique d'un processus numérique u(k)

x(k)

Calculateur

CNA

TR 1.

Processus continu

CAN

Processus numérique

≡

y(k)

Processus numérique

12

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Fonctionnement d’un asservissement (l'asservissement obéit à la commande) - Fonctionnement en suiveur (≡ poursuite) : . L’entrée de commande (consigne) varie. . La sortie doit varier dans le même sens que la consigne (elle ne doit pas la contrer, s’y opposer). . Les perturbations peuvent être ignorées pour qualifier en 1ère approximation ce type de fonctionnement.

- Fonctionnement en régulation : . L’entrée (consigne) est constante (réglable). . La sortie doit être constante malgré les perturbations. . L’entrée de perturbations doit être contrée. Structure de l’asservissement → commande par la consigne et non par les perturbations.

TR 1.

13

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

3. Représentation externe TEMPS CONTINU x(t)

TEMPS DISCRET

h(t) y(t) = x(t) * h(t)

TL (monolatérale) ↓ X(p)

H(p)

H ( p) =

(causalité)

Y(p) = H(p) X(p) ( si CI nulles)

Y ( p) X ( p) : FT du système

H ( p) = TL[ h( t )] m

H ( p) =

xk

y k = xk * hk

TZ (monolatérale) ↓ (causalité) z = epT X(z) H (z ) =

H (z) =

i

→

n>m

Opérations Temps - Fréquence (p)

TR 1.

∑b z

i

i=0 n

i=0

Réalisabilité (causalité)

↔

i

i

i=0

∫

∑a z i

∑b p

↔

Y(z) = H(z) X(z) ( si CI nulles)

Y (z ) X ( z ) : FT du système

m

i

i

i

d dt

H(z)

H ( z ) = TZ [ hk ]

∑a p i=0 n

hk

Réalisabilité (causalité) → n ≥ m Opérations Temps - Fréquence (z)

⋅p

−

↔

⋅( z − 1)

÷p

∑

↔

÷ ( z − 1)

14

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

4. Relations fondamentales d'un système bouclé (TC)

Système Bouclé à retour unitaire X(p)

+

E(p)

Y(p)

H(p)

≡ X(p)

Y(p)

H'(p)

R(p)

Y ( p) = H ( p) E ( p) = H ( p)[ X ( p) − R ( p) ] = H ( p)[ X ( p) − Y ( p) ]

Y ( p) H ( p) = X ( p) 1 + H ( p)

→

Y ( p) = H ′ ( p) X ( p)

H ′ ( p) =

H ( p) 1 + H ( p)

H ( p) : FTBO : Y ( p) H ′( p) : FTBF : H ′( p) = X ( p) TR 1.

15

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Système Bouclé à retour non unitaire X(p)

E(p)

+

H(p)

Y(p) ≡

X(p)

-

E(p)

+

H(p)

K(p)

R(p)

-

R(p)

1 K(p)

Y(p)

≡ X(p)

T'(p)

R(p)

1 K(p)

Y(p)

R(p)

K(p)

∆

∆

avec : T ( p) = H ( p) K ( p)

et :

T ′ ( p) =

T ( p) 1 + T ( p)

 X ( p)  Y ( p ) = H ( p )[ X ( p ) − R( p )] = H ( p )[ X ( p ) − K ( p )Y ( p )] = H ( p ) K ( p )  − Y ( p)  K ( p) 

Y ( p) H ( p) 1 T ( p) = = X ( p) 1 + K ( p) H ( p) K ( p) 1 + T ( p) E ( p) 1 Y ( p) 1 = = X ( p) H ( p) X ( p) 1 + T ( p)

R( p) E ( p)

T ( p) = H ( p) K ( p) : FTBO

T ( p) =

1 T ′ ( p) : FTBF K ( p)

1 Y ( p) ′ T ( p) = X ( p) K ( p)

TR 1.

16

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Système Bouclé à comparateur +/+ : X(p)

+

E(p)

H(p)

Y(p) ≡ X(p)

G(p)

Y(p) ≡ X(p)

+

+

E(p)

Y(p)

H(p)

-

R(p)

R(p)

K(p)

-K(p)

H ( p) G ( p) = 1 − K ( p) H ( p) Performances d'un système bouclé - Rapidité - Précision - Stabilité Exemple : autofocus de caméra vidéo : - Rapidité : Correction de la mise au point rapide % à la variation de la prise de vue. - Précision : Mise au point précise sinon images floues. - Stabilité:

TR 1.

Correction de la mise au point → écarts ou oscillations de la netteté dont l’amplitude doit diminuer avec le temps.

17

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Autre exemple : - Système d’antiblocage des roues (ABS) Dilemmes Les performances présentent des dilemmes : Exemple : Ê Précision → Déstabilisation du système. Exemple : Phénomène de larsen 5. Causalité En automatique, les signaux et systèmes mis en jeu sont généralement causaux : l'asservissement se fait en temps réel (≡ on-line).

TR 1.

18

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

MODELE D'UN PROCESSUS 1. Le signal de commande 1.1. Commande analogique Erreur

ε = yc − y

évaluée en permanence

+

y c (t )

ε (t )

y (t ) Ex. : Le conducteur d’un véhicule a l'oeil rivé sur la route. Le signal de commande u est alors ajusté en permanence par le correcteur pour corriger l'erreur.

yc (t )

+

ε (t )

Contrôleur

Correcteur

u(t )

y(t )

Processus

y

TR 1.

19

Automatique - Représentation Externe

a)

1. Commande. Modèle d’un processus

Commande la plus simple : TOUT OU RIEN

ε >0 ε <0

(non linéaire)

→ u mis au maximum → u mis au minimum

u

ε

u

ε b) Commande proportionnelle (commande linéaire) Améliore la commande du type « TOUT OU RIEN » : Commande proportionnelle :

u (t ) = K ε ( t )

Réalisation de cette commande : simple amplificateur de gain K

ε

u

u

u

ε

ε

K

ε

u t

La précision du système croît avec K. Exemple: commande de la vitesse d’un véhicule : le conducteur actionne d’autant plus la commande d’accélérateur qu’il est loin de sa consigne de vitesse. TR 1.

20

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

c)Commande intégrale (commande linéaire) Pb de la commande proportionnelle: variation brutale de la consigne →

u = Kε

yc

(ex.: démarrage) → ε varie brutalement

est immédiatement saturé.

Exemple de la commande de la vitesse d’un véhicule : Au lieu d'écraser brutalement l'accélérateur au démarrage → commande u progressive, par une loi de commande intégrale : t

1 u (t ) = ∫ ε ( x)dx Ti 0 E

-

E t Ti

E

+

yc

( Ti : Cte)

ε

Correcteur intégral

u

Processus

La commande intégrale est progressive mais persévérante : tant que ε ≠ 0, u varie.

ε >0 u ↑ La commande intégrale améliore la précision du système

ε <0 u ↓

Loi de commande intégrale associée à une commande proportionnelle : t

1 u (t ) = ∫ ε ( x )dx + Kε (t ) Ti 0 TR 1.

21

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

d) Commande dérivée (commande linéaire) Ex. : L'observation de la température y à un instant donné indique qu'elle est inférieure de 10°C à la consigne y c → il faut chauffer, mais en tenant compte de la tendance de si

ε Ê il faut plus chauffer que si ε Loi de commande :

ε

:

Ì : commande différentielle, dérivée

u (t ) = Td ε& (t )

Loi de commande différentielle associée à une commande proportionnelle

u (t ) = Td ε& (t ) + Kε (t ) Ex. : La commande d'accostage d'un navire u

ε

(1) t

0

0

( ε = distance au quai) : (1) action proportionnelle (2) action dérivée (3) action résultante t

(3) Inversion du moteur (2)

ε ' = 0 (vitesse nulle au quai)

Commande dérivée → correction rapide sans risque de dépassement par rapport à la consigne ( ε < 0 serait catastrophique !) Elle permet d'accroître la rapidité et la stabilité d'un système.

TR 1.

22

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

e)Commande PID (commande linéaire) Correcteur standard : corrige stabilité, rapidité et précision d’un processus. Loi de commande PID (Proportionelle + Intégrale + Dérivée) : t

1 u (t ) = Kε (t ) + ∫ ε ( x)dx + Td ε& (t ) Ti 0 1.2. Commande échantillonnée Avantage : Souplesse de réalisation du contrôleur. L'erreur

ε

est évaluée périodiquement.

Ex. : Le conducteur d’un véhicule jette un coup d'oeil de temps en temps. Exemple : Commande échantillonnée d’un processus continu u*

y c

y

ε*

t

t

u

t

0 T 2T

0

y + c

ε

y r

y r

ε*

t 0 T 2T

* Correcteur u numérique

t Bloqueur u d'ordre 0 B0

0 T 2T

0

Processus continu

t 0

Capteur

(T : période d’échantillonnage).

TR 1.

23

y

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Loi de commande : algo reliant les échantillons de

u * (t )

* ε (t ) et de

:

u * (t ) = f [ε * (t )] Commande PID échantillonnée (commande linéaire) • Amplification analogique (K)

→ Amplification numérique (K)

•

∫

(Intégration)

→

∑

(Sommation)

•

d dt

(Dérivation)

→

−

(Différence)

1.3. Commande numérique Commande num. = commande échantillonnée + Bruit de quantification Exemple : Commande numérique d’un processus continu y c

+

ε

-

CAN

ε*

Correcteur numérique

u*

CNA

u

Processus continu

Capteur

TR 1.

24

y

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

1.4. Commande PWM (non linéaire) (analog. ou échantillonnée) L'action u n'est plus modulée en amplitude mais en largeur (durée) Ex. : Processus thermique : commande en tout ou rien

u A

τ

0

t T

2T

2. Modèle d'un processus 2.1. Modèle du 1er ordre (intégrateur (≡ passe-bas))

- FT :

k H ( p) = 1 + τp

H ( p)

présente 1 pôle :

p0 = −

1

τ

- Réponse Fréquentielle : k : Gain statique [≡ gain H(iω) à ω = 0] noté H0 k H( p = iω) = = 1 + iωτ

TR 1.

k 1+ i

ω ωc

(ω = 0↔t =∞)

te

τ : C de temps (τ > 0) ω c = 1 / τ : Pulsation de coupure (ω c > 0) ω =2πν ω : pulsation ν : frequence

25

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

2.1.1. Etude fréquentielle | H(iω ) |dB

| H(iω ) |

H0 dB = k dB = 20 log k

H0 = k

3 dB

0 dB

ωc

Arg[ H (iω )]

ω

(-1)

ωc

(si k > 0)

0°

(échelle log.)

(-1) ≡ pente de -20 dB/décade ≡ pente de -6 dB/octave

ω

0

ω

ωc

(échelle log.)

-45 ° -90 °

2.1.2. Etude temporelle - Réponse Impulsionnelle (RI) :

k

−1

h(t ) = TL [ H ( p )] = e

τ

−t / τ

k

Γ(t ) = e p0 t Γ(t )

τ

h(t) H 0 /τ = k /τ

0.05

H 0 /τ 0

TR 1.

τ

t r ≈ 3τ

t

26

(échelle log.)

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

- Réponse indicielle :  1 y (t ) = TL−1[H ( p ) ⋅ TL[Γ(t )]] = TL−1  H ( p )  = k (1 − e − t / τ )Γ(t ) = k (1 −e p0 t )Γ(t ) p  y(t) y(∞) = H0 ⋅ 1 = k ⋅ 1 = k 095 . ⋅ y(∞) 063 . ⋅ y(∞) 0 τ

t

tr ≈ 3τ

tr : temps de réponse à 95 %

2.1.3. Dualité Temporel - Fréquentiel Temps

Fréquence

• Constante de temps

Re[pôle] = −

τ •

TR 1.

petit ≡

H0

τ

• Pulsation de coupure

1

τ Re[pôle ]

ωc =

1

τ

élevé ≡ système rapide ( ω c élevé)

•

H0

27

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

2.2. Modèle du 2nd ordre (intégrateur (≡ passe-bas)) - FT : H( p) =

p2

ω

2 0

+

k 2m

ω0

k : Gain statique [≡ gain H(iω) à ω = 0] noté H0 (ω = 0 ↔t = ∞)

ω 0 : Pulsation propre non amortie (ω 0 > 0) m = Facteur d' amortissement (m > 0)

p +1

H (iω ) = - Réponse Fréquentielle :

k

ω ω   1 + 2mi −  ω 0 ω 0 

2

2.2.1. Etude fréquentielle | H(iω ) |dB

| H(iω ) |

H0 dB = k dB = 20log k 0 dB

6 dB

ω r ω0 m≥

Arg[ H(iω )]

2 2

(si k > 0)

0° -90 ° -180 °

H0 = k

ω

(échelle log.)

m<

ωr

(-2)

0

2 ≈ 0.7 (résonance) 2

ω

ω r ω0

(échelle log.)

: pulsation de résonance

(-2) ≡ pente de -40 dB/décade

ω0

ω

(échelle log.)

m grand m petit

m≥

2 2

m<

2 ≈ 0.7 2

Pas de résonance

Résonance

2 ω = ω − m 1 2 Pulsation de résonance : r 0

Facteur de résonance :

Q=

Q=

1 2m 1 − m

2

( Q dB = 20 log Q )

H (iω ) maxi H (iω ) à ω = 0 TR 1.

28

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

2.2.2. Etude temporelle - Réponse Impulsionnelle (RI) :

y ( t ) = TL−1 [ H ( p) ⋅ TL[δ ( t ) ]] = TL−1 [ H ( p) ]

•

m > 1 : régime hyper-amorti (apériodique) : p 1 = − mω 0 ± ω 0 m 2 − 1

2 pôles réels de H(p) :

y (t ) =

kω 0 2 m −1 2

3 cas :

(e

p1t

−e

2

p2t

t −  − τt e 1 − e τ2 Γ(t ) = 2 m 2 − 1 

kω 0

)

 Γ(t )  

∆ 1 1 τ2 = − τ1 = − en posant p2 p1 et ∆

pôles de H(p)

y(t) t

0

Im(p) 0

Re(p)

Un mode dû à un pôle réel est non oscillant. TR 1.

29

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

m = 1 : régime critique (apériodique) : 1 pôle double réel de H(p) : p 0 = − mω 0 = −ω 0 •

2 −ω 0 t 0

y (t ) = kω e

t Γ (t ) = kω e 2 0

−

∆

t

t Γ (t )

τ

y(t)

avec :

τ =−

pôles de H(p)

t

0

1 p0

Im(p) 0

Re(p)

Un mode dû à un pôle réel est non oscillant. •

0 < m < 1 : régime sous-amorti (pseudo-périodique) :

2 pôles complexes conjugués de H(p) : ( σ = mω 0 ; ω ′0 = ω 0 1 − m ) 2

p 1 = − mω 0 ± iω 0 1 − m 2 = −σ ± iω ′0 2

t −   − mω 0t τ   e e y (t ) = kω 0 sin (ω 0′ t ) Γ(t ) = kω 0 sin (ω 0′ t ) Γ(t )   1 − m2 1 − m2     ∆ 1 ∆ 1 =− τ =− en posant Re( p1 ) Re( p2 )

y(t) 0 T0′

ω′0 : pseudo-pulsation pôles de H(p) Im(p) t T0′ = 2π : pseudo - période ω′0 0 Re(p)

Un mode dû à 2 pôles complexes conjugués est pseudo-oscillant TR 1.

30

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

- Réponse indicielle :

 1 y (t ) = TL [ H ( p) ⋅ TL[Γ (t )]] = TL  H ( p)  p  −1

•

−1

3 cas :

m > 1 : régime hyper-amorti (apériodique) :

2 pôles réels de H(p) :

p 1 = − mω 0 ± ω 0 m 2 − 1 2

Im p Re p t t  − −   τ τ 1 2       e 1 e e 1  e   y(t) = k1+ − −  Γ(t)  Γ(t) = k1+ 2 2 2 2 2 2  2 m −1 m+ m −1 m− m −1  2 m −1 m+ m −1 m− m −1    p1t

p2t

∆ 1 1 τ1 = − τ2 = − en posant : p1 et p2 ∆

y(t) y (∞) = H0 ⋅ 1 = k ⋅ 1 = k 0.95 ⋅ y (∞)

0

TR 1.

tr

t

t r : temps de réponse à 95 %

31

Automatique - Représentation Externe

•

1. Commande. Modèle d’un processus

m = 1 : régime critique (apériodique) :

1 pôle double réel de H(p) :

p0 = − mω 0 = −ω 0

Im p Re p

t −   −ω 0t τ y (t ) = k 1 − e (1 + ω 0t ) Γ(t ) = k 1 − e (1 + ω 0t ) Γ(t )   ∆ 1 τ =− avec : p0

[

]

y(t) y ( ∞) = H 0 ⋅ 1 = k ⋅ 1 = k 0.95 ⋅ y(∞)

0

TR 1.

tr

t

t r : temps de réponse à 95 %

32

Automatique - Représentation Externe

•

1. Commande. Modèle d’un processus

0 < m < 1 : régime sous-amorti (pseudo-périodique) :

2 2 pôles complexes conjugués de H(p) : ( σ = mω 0 ; ω ′0 = ω 0 1 − m )

p1 = − mω 0 ± iω 0 1 − m 2 = −σ ± iω ′0 2

Im p

1 ∆ 1 =− τ =− Re ( p1 ) Re ( p 2 ) ∆

Re p

t −   τ   e e y (t ) = k 1 − sin (ω 0′ t + ψ ) Γ (t ) = k 1 − sin (ω 0′ t + ψ ) Γ(t )   2 1− m2 1 m −     − mω 0 t

ψ = arccos m = arcsin 1 − m 2

∆

ϕ=

( cosψ = m

ω0 ϕ ψ − mω 0

π − ψ = arcsin m = arccos 1 − m 2 2 y(t)

Im p ω 0′ Re p

ω ′0 : pseudo - pulsation

1 .05 ⋅ y ( ∞ )

y(∞) = H0 ⋅1= k ⋅1= k

π T0′ = 2 : pseudo - période ω ′0

0 .95 ⋅ y ( ∞ )

0

TR 1.

sin ψ = 1 − m 2 )

T0′

tr

t

t r : temps de réponse à 95 %

33

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

2.2.3. Dualité Temporel - Fréquentiel Temps

Fréquence

• amortissement

m

• Temps de réponse

• amortissement

tr

• Pulsation

m

ω0

Re[pôles ] = − mω 0

tr •

petit ≡

Re[pôles ]

élevé ≡ système rapide

H0

•

ω0

élevé

H0

2.2.4. Rapidité Rapidité vue d’après le temps de réponse (échelle log.)

t rω 0 1000

600

300 50 20

3

m (échelle log.)

1 0.01

A

0.5 0.7 1

100

ω0

fixé, le temps de réponse minimal est obtenu pour m = 0.7

TR 1.

34

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Rapidité vue d’après le lieu des pôles

Im p

p1

p2

Re p

p1*

tr

TR 1.

petit ≡

Re[pôle ]

élevé ≡ système rapide

35

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

2.3. Systèmes d'ordre supérieur à 2 Système dont la FT

H ( p ) , du k ième ordre,admet donc k

pôles.

H ( p)

peut être décomposée en produit de plusieurs FT (éléments simples). → Réponse du système = somme des réponses des sous-systèmes. Réponse plus fortement marquée par les pôles situés près de l'axe imaginaire (pôles dominants) car ils correspondent aux Ctes de Temps les plus élevées ( Re( pôle ) est en

−1/τ

).

→ On peut souvent négliger les pôles éloignés de l'axe imaginaire par rapport aux pôles dominants. Exemple (lieu des pôles) : 3ème ordre (3 pôles) constitué d’un sous-système du 1er ordre (pôle

p 2 ) et d’un sous-système du 2nd ordre (pôles p1

et

p1* )

Im p

p1

Re p

p2

p1*

Pôle dominant (≡ mode lent) situé le plus près de l’axe imaginaire : → 3ème ordre ∼ 1er ordre (pôle TR 1.

p 2 ). 36

p2

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

H (iω ) k H ( p) = Exemple : Représentation d’un 1er ordre : 1 + τp (avec : τ > 0 , k > 0 ( k > 1 ))

3. Représentation graphique de la Réponse Fréquentielle

Représentation de Bode H(iω) dB 0 dB

H(iω) dB =20logH(iω)

ω

1 1

0

ϕ = Arg[ H(iω) ]

τ

0°

ω = 0−

ω = −∞

ω

ω =0 ω

+

ω = +∞

ω

Limité à p = iω ( ω > 0 ) Contour de Bromwich :

p = iω (ω < 0)

γ

ϕ = Arg[ H (iω ) ]

Courbe paramétrée en ω Domaine de variation de p

Limité à p = iω ( ω ≥ 0 )

iθ p =r e (r ∞) θ i p=ε e (ε 0)

Avantage : Générale, puissante.

Inconvénient :

Inconvénient :

TR 1.

ω =∞

Re(p)

Avantage : Visuelle et simple. Pas générale (stabilité).

ϕ

p = iω (ω > 0)

θ 0

0 dB 0°

ω

Domaine de variation de p

Im(p)

ω =0

Re[H( p )]

Courbe paramétrée en

Domaine de variation de p

H (iω ) dB -90°

(échelle log

-90 °

Représentation de Black

ω <0 ω >0

Im[H( p )]

(échelle lo

τ ϕ

Représentation de Nyquist

Plus abstraite.

Avantage : Prédiction du SB à partir de la BO. Inconvénient : Pas générale (stabilité).

37

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

Passage de la représentation de Bode aux Représentation de Nyquist/Black :

Rappel : passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires

Im[ H (iω )] x 0

ϕ y

ψ

Re[ H (iω )]

M

ω .

H (iω ) = x + iy

.

M = H (iω ) =

.

M dB = 20 log M = 20 log H (iω ) = H (iω ) dB

x2 + y2

y Arctg = . ϕ = Arg [ H (iω )] x .ψ TR 1.

= ϕ − 2π = ϕ 38

Automatique - Représentation Externe

1. Commande. Modèle d’un processus

4. ANNEXE : Représentations de Bode de RF élémentaires Gain complexe

H (iω )

ω H (iω ) = i ω0 H (iω ) =

ω i ω0   

0 dB

n

1

H (iω ) dB

Octave :

Pente :

Décade :

f

→ 10 f

ω

ω0

(échelle log.)

(-1)

ω

ω0

(échelle log.)

(échelle log.)

(+1) Courbe réelle

(échelle log.)

ω0

ϕ

ω

(échelle log.)

(-1)

(+n) Courbe réelle Courbe asymptotique

ω

(échelle log.)

ω0

ω0

(échelle log.)

0

(échelle log.)

Courbe réelle

ω0

ω0

0

−π / 4 −π / 2

ω

ω

(échelle log.)

(échelle log.)

Courbe réelle Courbe asymptotique

ϕ nπ / 2 nπ / 4 0

ω

Courbe asymptotique

π /2 π /4

ϕ ω0

ω

−π / 2

0

ω

ω0

nπ / 2

ω

ω0

0

ϕ

(+n)

Courbe réelle

3n dB 0 dB

π /2

ϕ

Courbe asymptotique

H (iω ) dB

Arg [ H (iω )] 0

Courbe asymptotique

0 dB -3 dB

n

2f

(échelle log.)

H (i ω ) dB

ω 1+ i ω0

→

ω0

3 dB 0 dB

 ω H(iω) = 1+ i   ω0 

f

ω

H (iω ) dB 0 dB

ω H (iω ) = 1 + i ω0 H (iω ) =

(+1) 0 dB

Phase

ϕ

H (iω ) dB

H (iω ) dB

1

 ω H (iω ) =  i  ω0

Module H (iω ) dB = 20 log H (iω )

Courbe asymptotique Courbe réelle

ω0

ω

(échelle log.)

(-n) ≡ pente de -20 ndB/décade ≡ pente de -6 n dB/octave (+n) ≡ pente de +20n dB/décade ≡ pente de +6 n dB/octave

__________

TR 1.

39